docאלגברה לינארית (ÁÁ) כמו שצריך ־ תקציר הוכחות
download 
Report Transcription
אלגברה לינארית (ÁÁ) כמו שצריך ־ תקציר הוכחות
אלגברה לינארית ) (IIכמו שצריך ־ תקציר הוכחות
25ביוני 2012
תקציר
בקובץ זה ניתן למצוא תקצירי הוכחות )לא בהכרח הוכחות פורמליות ,רק מעביר
את הרעיון של ההוכחה ויש לפתח אותה בעצמכם( הגדרות ,ודוגמאות
בגדול ,כל מה שתרצו בשביל המבחן.
הקובץ עדיין לא גמור ,ובתקווה אני אסיים אותו לפני המבחן.
אור דגמי ־
אתר אינטרנט:
ordigmi.org
http://digmi.org
1פולינומים
1.1
דרגה
1.1.1שורש של פולינום
הגדרה 1.1שורש של פולינום :האיבר λ ∈ Fיקרא שורש של ] p ∈ F [zאם מתקיים
.p (λ) = 0
טענה 1.2
בהינתן ] p ∈ F [zפולינום מדרגה m ≥ 1ובהינתן .λ ∈ Fאזי λ ∈ Fהוא שורש של p
אם"ם קיים פולינום ] q ∈ F [zכך ש p (z) = (z − λ) · q (z) :לכל .z ∈ F
הוכחה :כיוון ראשון:
מניחים כי ) p (z) = (z − λ) q (zלכל .z ∈ Fובאופן טריוויאלי מקבלים:
p (λ) = (λ − λ) ·q (λ) = 0
} | {z
=0
כיוון שני:
מניחים כי λהוא שורש של ,pמתבוננים בהצגה:
p (z) = a0 + a1 z + . . . + am z m
שמים לב כי:
) z 2 − λ2 + . . . + am (z m − λm
p (z) = p (z) − p (λ) = a1 (z − λ) + a2
כמו כן מסמנים את qkבתור:
z k − λk = (z − λ) z k−1 + λz k−2 + . . . + λk−1
|
{z
}
qk
1
1
1.2
פולינומים
חלוקה עם שארית
מסמנים:
)q (z) = a1 + a2 q1 (z) + . . . + am qm−1 (z
ומקבלים כי:
)p (z) = (z − λ) q (z
כנדרש.
הערה 1.3נשים לב כי הפולינום בסעיף הקודם הוא בהכרח מדרגה .m − 1
מסקנה 1.4
בהינתן ] p ∈ F [zפולינום מדרגה m ≥ 0אזי ל pיש לכל היותר mשורשים ב.F
הוכחה :אינדוקציה על דרגת הפולינום .מתחילים מדרגה אפס באופן טריוויאלי ,מראים את
מעלה 1גם כן ,צריך להראות כי הפתרון − aa10יחיד בעזרת הנחה שקיימים λ, λ′ ∈ Fכך
ש p (λ) = p (λ′ ) :ומקבלים:
a0 + a1 λ = a0 + a1 λ′ ⇒ λ = λ′
משם משתמשים בטענה ,על מנת להוריד את דרגת הפולינום לדרגה m − 1כל פעם.
מסקנה 1.5
בהינתן פולינום ] p ∈ F [zכך שלכל z ∈ Fמתקיים p (z) = 0 :אזי pהוא פולינום האפס.
דוגמה 1.6נתבונן במקרה בו ,F = Z2הפולינום p (x) = x (x − 1) = x2 − x :מתאפס על
כל .Z2
נשים לב שגם הפונקציה y (x) = x2 (x − 1) = x3 − x2מתאפס על כל .Z2לכן חשוב
שנבדיל בין הפולינומים כביטוי פורמלי לבין פונקציות פולינמאליות.
מסקנה 1.7
אם Fשדה אינסופי וp (z) = q (z) :לכל z ∈ Fאז ) p = qכפולינומים(
הוכחה :נתבונן ב p − qובמסקנה .1.5
דוגמה 1.8נסמן ב ) F (Fאת כל הפונקציות מ Fאל .Fאם Fשדה אינסופי אז העתקה
) F [x] → F (Fששולחת כל פולינום לפונקציה המתאימה היא שיכון)חח"ע(.
1.2חלוקה עם שארית
טענה 1.9
בהינתן ] p, q ∈ F [zפולינומים כך ש p 6= 0אזי קיימים ביחידות פולינומים ]s, r ∈ F [z
כך ש:
q =s·p+r
ומתקייםdeg r < deg p :
2
פולינומים מעל C
1.3
1
פולינומים
הוכחה :קיום :נבחר את sכך שלפולינום r = q − s · p :יש דרגה מינימלית.
נניח בשלילה כי deg r ≥ deg pכלומר:
r (z) = q (z) − s (z) p (z) = a0 + a1 z + . . . + ap z p + . . . + ar z r
p (z) = b0 + b1 z + . . . + bp z p
נגדיר:
ar
bp
s˜ (z) = s (z) + z r−p
ונקבל סתירה למינימליות.
יחידות:
נניח קיום של ] s, r, s˜, r˜ ∈ F [zכך ש:
˜q = sp + r = s˜p + r
נשים לב כי זה גורר .(s − s˜) p = r˜ − r :במידה ו˜ s 6= sאזי אגף שמאל ממעלה גדולה יותר
מאגף ימין ולכן בהכרח ˜ s = sוזה גורר ˜.r = r
1.3
פולינומים מעל C
Cהוא שדה סגור אלגברית ,כלומר לכל פולינום ממעלה m ≥ 1יש שורש בשדה.
משפט 1.10
אם Fסגור אלגברית p ∈ F [z] ,מדרגה mאזי לפולינום pקיים פירוק:
) p (z) = c (z − λ1 ) · . . . · (z − λm
והפירוק הוא יחיד עד כדי סדר הגורמים.
הוכחה :קיום ויחידות באינדוקציה.
עבור m = 1מראים כי − aa10הוא הפתרון היחיד עבור 0 = a0 + a1 z :בעזרת הנחה
שקיימים λ, λ′ ∈ Fכך ש p (λ) = p (λ′ ) :ומקבלים:
a0 + a1 λ = a0 + a1 λ′ ⇒ λ = λ′
עבור כל mגדול יותר ,נפרק את pבעזרת טענה
1.2
באופן רקורסיבי ונקבל:
) p (z) = c (z − λ1 ) · . . . · (z − λm
על מנת להראות יחידות ,נניח
) c′ (z − µ1 ) · . . . · (z − µm ) = c (z − λ1 ) · . . . · (z − λm
c′ = cבאופן טריוויאלי )המקדם של המעלה הגדולה( ונרוץ על כל λiכך ש. 1 ≤ i ≤ m :
ונראה כי קיים µk = λiכיוון ששניהם צריכים להתאפס.
1.4פולינומים מעל R
טענה 1.11
¯
בהניתן ] p ∈ R [xפולינום ממשי ו λ ∈ Cשורש לא ממשי של ,pאזי גם λשורש של .p
3
2ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
הוכחה :מתבוננים ב a0 + a1 λ + . . . + am λm = 0עושים צמוד על שני אגפים ומקבלים
¯ m = ¯0 = 0
¯2 + . . . + a¯m λ
¯ + a¯2 λ
a¯0 + a¯1 λ
אבל aiממשיים לכן:
¯m = 0
¯ 2 + . . . + am λ
¯ + a2 λ
a0 + a1 λ
תזכורת 1.12ל x2 +bx+cקיים פירוק ) (x − λ1 ) (x − λ2כאשר λi ∈ Rאם"ם ≥ b2 −4c
.0
משפט 1.13
בהינתן ] p ∈ R [xאזי ל pקיים פירוק יחיד עד כדי סדר גורמים כך ש:
p (x) = x (x − λ1 ) · . . . · (x − λm ) x2 + b1 x + c1 · . . . · x2 + bl x + cl
כאשר λi , bi , ci ∈ Rו.b2i − 4ci < 0 :
הוכחה :באינדוקציה על מעל הפולינום .בסיס הוא טריויאלי ,מתבוננים בפולינום מעל .C
מטענה 1.11וטענה 1.2נקבל:
¯ q (x) = c x2 − λx − λx
¯ + λλ
= )¯ q (x
p (x) = c (x − λ) x − λ
2
)c x2 − 2 · Re (x) + |λ| q (x
אבל ) q (xיכול להיות מרוכב ,לכן נתבונן בחלוקה שלו:
מעל :R
)p (x) = s (x) x2 − 2 · Re (x) + |λ|2 + r (x
ומעל :C
p (z) = z 2 − 2 · Re (z) + |λ|2 · c · q (z) + 0
מיחידות של חלוקת פולנומים נקבל כי s (x) = c · q (x) :ולכן ) q (xממשי כנדרש.
2ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
2.1
תת מרחבים אינווריאנטים
הגדרה 2.1תת מרחבים אינווריאנטים ־ ) :(Invariant vetor subspaesבהניתן
) T ∈ L (Vו Uתת מרחב של .Vנאמר ש Uהוא תת מרחב אינווריאנטי )של (Tאם
מתקיים∀u ∈ U ⇒ T u ∈ U :
דוגמה 2.2
.1עבור מרחב ,Vהמרחב } {0Vוגם המרחב Vהוא תת מרחב אינוואריאנטי ביחס לכל
אופרטור T ∈ L (V ) ,T
4
2ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
2.2ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
.2
} {v|v ∈ V, T v = 0V
} {u|u = T v, v ∈ V
=
ker T
=
ImT
T ,R7 [x] .3אופרטור הגזירה.
T a7 z 7 + a6 z 6 + . . . + a1 z + a0 = 7a7 z 6 + 6a6 z 5 + . . . + a1
אזי ] R5 [xהוא תת מרחב אנווריאנטי ביחס ל .T
טענה 2.3
בהינתן Vמרחב וקטורי ובהינתן u ∈ Vכך ש .u 6= 0נסמן:
}U = {au|a ∈ F
כך ש Uהוא תת מרחב חד מימדי.
אזי Uהוא תת מרחב אינווריאנטי ביחס לאופרטור ) T ∈ L (Vאם"ם קיים λ ∈ Fכך
שמתקיים .T u = λu
הוכחה :כיוון ראשון.v ∈ U ⇒ v = au T (v) = T (au) = aT u = aλu ∈ U :
כיוון שני T u ∈ U :לכן לפי ההגדרה של Uקיים λ ∈ Fכך ש T u = λu
טענה 2.4
בהנתן U ⊂ Vתת מרחב אינווריאנטי תחת כל אופרטור ) .T ∈ L (VאזיU = {0} :
או } .U = {V
הוכחה :מניחים בשלילה כי U 6= Vוגם } .U 6= {0בוחרים u ∈ Uכלשהו ,משלימים אותו
לבסיס ומגדירים העתקה שמעבירה את uל wואת היתר לוקטורים כלשהם .ולכן uלא T
אינווריאנטי עבור העתקה הזאת .בסתירה להנחה.
2.2ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
הגדרה 2.5וקטורים עצמיים וערכים עצמיים ): (Eigenvetors and eigenvalues
בהינתן Vמרחב וקטורי מעל שדה ,Fובהינתן ) .T ∈ L (V
.1נאמר שוקטור ,v 6= 0Vהוא וקטור עצמי עבור אופרטור Tאם קיים λ ∈ Fכך
שמתקיים .T v = λv
.2כל λשעבורו מתקיים התנאי T v = λVנקרא ערך עצמי עבור אופרטור T
דוגמה T = a · I 2.6אזי כל וקטור v ∈ Vכך ש v 6= 0Vהוא וקטור עצמי עבור האופרטור
Tעם ערך עצמי .a
דוגמה 2.7עבור המרחב } V = F2 = {(w, z) |w, z ∈ Fוהאופרטור = )T : T (w, z
)(−z, w
5
2.2ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
2ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
z
◦90
w
-z
w
כל וקטור מסובב ב ◦ .90במידה ו F = Rאזי לא קיימים וקטורים עצמיים של .T
במידה ו F = Cאזי:
לעומת זאת( ,
−z = λw
⇒⇐ )T (w, z) = λ (w, z) ⇐⇒ (−z, w) = λ (w, z
w = λz
נניח ש w = 0אזי .z = 0
אם w 6= 0אזי:
w = −λ2 w ⇒ λ2 = −1 ⇒ λ1 = i, λ2 = −i
)λ1 = i ⇒ z = iw → (w, −iw
ולכן וקטור עצמי הוא )λ2 = −i → z = iw → (w, iw
אזי כל וקטור מסוג )) (w, −iwכאשר (w 6= 0הוא וקטור עצמי עבור אופרטור Tעם
ערך עצמי .i
וכל וקטור מסוג )) (w, iwכאשר (w 6= 0הוא וקטור עצמי עם ערך עצמי −i
הערה 2.8מרחבים מסוג
}= {(w, −iw) |w ∈ C
}= {(w, iw) |w ∈ C
W+
W−
הם תת מרחבים אינווריאנטים וחד ממדים עבור אופרטור )T (w, z) = (−z, w
משפט 2.9
יהי ) .T ∈ L (Vבהינתן λ1 , . . . , λmערכים עצמיים של Tהשונים זה מזה עבור וקטורים
עצמיים v1 , . . . , vmבהתאמה .אזי } {v1 , . . . , vmהיא קבוצה בת"ל.
הוכחה :מניחים בשלילה כי } {v1 , . . . , vmתלויה לינארית ,לכן קיים 1 ≤ k ≤ mכך ש
} {v1 , . . . , vk−1לא תלויה לינארית ואילו } {v1 , . . . , vkכן תלויה לינארית .לכן קיימים
c1 , . . . , ck−1כך ש:
vk = c1 v1 + . . . + ck−1 vk−1
6
2.2ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
2ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
נקבל:
T vk = c1 T v1 + . . . + ck−1 T vk−1
λk vk = c1 λ1 v1 + . . . + ck−1 λk−1 vk−1
מציבים את vkומקבלים:
= ) 0 = c1 λ1 v1 + . . . + ck−1 λk−1 vk−1 − λk (c1 v1 + . . . + ck−1 vk−1
c1 (λ1 − λk )v1 + . . . + ck−1 (λk−1 − λk )vk−1
|
{z
}
} | {z
6=0
6=0
בגלל ש } {v1 , . . . , vk−1בת"ל אזי:
c1 = . . . = ck−1 = 0
ולכן vk = 0וזוהי סתירה.
0
1
1 0
= ,v1
= .T
דוגמה V = C2 2.10ו
1
0
0 −1
0
1
1
·
·= 1
−1
0
0
0
0
0
0
·
=
· )= (−1
−1
1
−1
1
= v2
1
0
1
0
כלומר ערכים עצמיים .1, −1
משפט 2.11
יהי ) T ∈ L (Vאזי λהוא ערך עצמי של Tאם"ם T − λIהיא אינה חח"ע.
הוכחה :כיוון ראשון :מניחים ש λהוא ערך עצמי אזי:
T v = λv ⇒ (T − λI) v = 0v
∃v ∈ V, v 6= 0
אבל גם עבור v = 0נקבל אותה תוצאה ,אזי לא חח"ע.
כיוון שני :באותו אופן ,אנחנו מניחים שהעתקה היא לא חח"ע לכן =ker (T − λI) 6
} {0Vולכן:
(T − λI) v = 0v ⇒ T v − λI · v = 0 ⇒ T v = λv
2.2.1אלגוריתם למציאת ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
דוגמה 2.12נתבונן במטריצה
−3 −2
4
6
נרצה למצוא לה וקטורים עצמיים וערכים עצמיים.
7
=A
∃v ∈ V
2ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
2.2ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
אלגוריתם 1מציאת ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצה
.1רושמים את המטריצה A − λI
.2מחשבים ) det (A − λIומשווים לאפס )כאשר λהוא הנעלם(
.3הפתרונות של המשוואה המתקבלת הם הערכים העצמיים.
.4עבור כל ערך עצמי λiמחפשים וקטור עצמי )או כמה( viכאשר viהוא הפתרון
למשוואה(A − λi I) vi = 0V :
.1
−3 − λ
−2
= A − λI
4
6−λ
.2
−3 − λ
−2
= )det (A − λI
= = (−3 − λ) (6 − λ) + 8
4
6 − λ
)λ2 − 3λ − 10 = (λ − 5) (λ + 2
.3הערכים העצמיים הםλ2 = −2 :
λ1 = 5,
.4נמצא וקטורים עצמיים עבור הערך העצמי :λ1 = 5
−8 −2
x
0
1
=
= ⇒ 4x + y = 0 ⇒ v1
4
1
y
0
−4
|
{z
} } | {z
v1
A−5I
ויש לנו אינסוף אפשרויות.
עבור הערך העצמי :λ2 = −2
x
0
−2
−1 −2
=
= ⇒ −x − 2y = 0 ⇒ v2
y
0
1
4
8
{z
} } | {z
|
v2
2.2.2
A−(−2)I
דוגמאות וטענות מהתרגול
דוגמה 2.13נרצה לברר האם λערך עצמי של Tו µערך עצמי של Sאזי λ + µ :ערך עצמי
של ?T + S
התשובה היא לא.
דוגמה נגדית היא T, S : R2 → R2 :המיוצגות בבסיס הסטנדרטי ע"י:
0 1
1 1
= ) M (T
= ), M (S
1 0
0 1
אם נשתמש באלגוריתם נראה כי ההנחה לא מתקיימת.
8
2.2ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
2ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
טענה 2.14
אם λערך עצמי של Tעם וקטור עצמי .vאז λ + µערך עצמי של T + µIהמתאים
לוקטור עצמי v
הוכחה λ :הוא ערך עצמי של .Tאזי קיים 0 6= v ∈ Vכך ש .T v = λvנשים לב כי:
(T + µI) v = T v + µv = λv + µv = (λ + µ) v
משפט 2.15
בהינתן ) T ∈ L (Vאופרטור לינארי כך שכל 0 6= v ∈ Vהוא וקטור עצמי שלו .אזי
T = αIכאשר .α ∈ F
הוכחה :נבחר v, w ∈ Vכך ש .T v = λv v, T w = λw wנרצה להראות כי.λv = λw :
במידה ו v, wתלויים לינארית )דהיינו w = bvכאשר :(b ∈ F
λw w = T w = T (bv) = bT v = vλv v = λv bv = λv w
במידה והם בת"ל אזי:
⇒
⇒ λv+w (v + w) = T (v + w) = T v + T w = λv v + λw w
(
λv+w − λv = 0
⇒ (λv+w − λv ) v + (λv+w − λw ) w = 0
λv+w − λw = 0
λv = λw
2.2.3טענות שימושיות בהקשרים של מטריצות דומות
הערה 2.16נזכור שאם מטריצות דומות אזי העקבה ) (traeשלהן נשמרת ,וגם הדטרמיננטה
נשמרת .אבל זהו תנאי הכרחי אך אין זה תנאי מספיק.
למה 2.17
בהינתן ) A, B ∈ Mn (Fאזיtr (AB) = tr (BA) :
הוכחה :מסמנים:
A = (ai,j ) j = 1, . . . , n ,
i = 1, . . . , n
B = (bi,j ) j = 1, . . . , n
i = 1, . . . , n
נשים לב כי:
ai,l · bl,i
X
al,i · bi,l
X
=
!
ai,l · bl,i
=
!
bi,l · al,i
i,l
i,l
n
n
X
X
l=1
i=1
n
n
X
X
l=1
i=1
= (A · B)i,i
= (B · A)i,i
n
X
=
i=1
n
X
=
i=1
מחליפים את האינדקס iב lולהפך בסכום השני ומקבלים את הנדרש.
9
)tr (AB
)tr (BA
2.3
2ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
מטריצות משולשיות עליונות
למה 2.18
אם Aדומה ל Bאזtr (A) = tr (B) :
הוכחה :אם A = P −1 BPאז:
לפי למה
2.17
נקבל כי:
P −1 B P
)= tr (B
כנדרש
tr (A) = tr
B
−1
= tr P P
למה 2.19
אם Aדומה ל Bו λערך עצמי של Aאז הוא גם ערך עצמי של Bולהפך.
הוכחה :אם v 6= 0וקטור עצמי של Aשמתאים ל λאז נסמן w 6= 0) w = P v :כי P
הפיכה( ולכן:
Bw = BPv = (P A) v = P (λv) = λP v = λw
2.3
מטריצות משולשיות עליונות
משפט 2.20
בהינתן V ,מרחב וקטורי מעל שדה Cכך ש dim V = nובהינתן אופרטור ) .T ∈ L (V
אז קיים ערך עצמי עבור .T
ונתבונן ב v, T v, T 2 v, . . . , T n vבקבוצה יש n + 1איברים
הוכחה :נבחר 0 6= v ∈ V
לכן היא תלויה לינארית לכן 0 = c0 + c1 T + c2 T 2 + . . . + cn T n v :כאשר לפחות ci
אחד שונה מאפס.
הפולינום Pn (z) = c0 + c1 z + . . . + cn z nפריק ונקבלPn (z) = d (z − λ1 ) · . . . · :
) (z − λnועם :T
)Pn (T ) = c0 + c1 T + . . . + cn T n = d (T − λ1 I) · . . . · (T − λn I
d (T − λ1 I) · . . . · (T − λn I) v = 0v
לכן קיים iכך ש (T − λi I) v = 0ולכן העתקה T − λi Iאינה חח"ע ולפי משפט
λiהוא ערך עצמי.
2.11
טענה 2.21
Vמרחב וקטורי כך ש vˇ = {v1 , v2 , . . . , vn } .T ∈ L (V ) .dim V = nבסיס למרחב.
התנאים הבאים שקולים:
M (T, vˇ) .1משולשית עליונה
T vj ∈ Span {v1 , . . . , vj } .2עבור כל 1 ≤ j ≤ n j
Span {v1 , . . . , vj } .3הוא תת מרחב אינווריאנטי ביחס ל Tעבור כל j
1≤j≤n
10
ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים2
T vj =
n
X
מטריצות משולשיות עליונות
a1,1
0
M (T, vˇ) =
.
..
0
ak,j vk
k=1
T vj =
j
X
k=1
∗
...
..
.
.
..
.
...
0
a2,2
..
∗
.
.
.
2.3
:2 ⇐ 1 :הוכחה
∗
an,n
: ולכןk > j ⇒ ak,j = 0
ak,j · vk ∈ Span {v1 , . . . , vj }
:1 ⇐ 2
T vj = a1,j v1 + . . . + aj,j vj
:ולכן
T v1
=
a1,1 v1
T v2
T v3
=
=
a1,2 v1 + a2,2 v2
a1,3 v1 + a2,3 v2 + a3,3 v3
.
.
.
T vn
=
a1,n v1 + a2,n v2 + . . . + an,n vn
a1,1
0
M (T, vˇ) = .
..
0
a1,2
a2,2
...
...
..
.
..
...
0
.
:נבנה את המטריצה ונקבל
a1,n
a2,n
.
.
.
an,n
:3 ⇐ 2
v
v
∈
Span {v1 , . . . , vj }
= c1 v1 + . . . + cj vj
T v = c1 T v1 + . . . + cj T vj
T v1
T v2
∈ Span {v1 } ⊂ Span {v1 , . . . , vj }
∈ Span {v1 , v2 } ⊂ Span {v1 , . . . , vj }
.
.
.
T vj
∈ Span {v1 , . . . , vj }
11
2.3
2ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
מטריצות משולשיות עליונות
ולכן:
} T v ∈ Span {v1 , . . . , vj
) vj ∈ Span {v1 , . . . , vj } ⇒ T vj ∈ Span {v1 , . . . , vj } :2 ⇐ 3בגלל שהוא
אינווריאנטי(
משפט 2.22
בהינתן Vמרחב וקטורי מעל Cכך ש dim V = nובהינתן ) .T ∈ L (Vאזי קיים בסיס
ˇ vבמרחב Vכך שהמטריצה )ˇ M (T, vהיא משולשית עליונה.
הוכחה :הוכחה באינדוקציה מלאה.
עבור n = 1באופן טריוויאלי .נניח כי זה מתקיים לכל .1 ≤ m < nלפי משפט
קיים ל Tקיים ערך עצמי .λ
מסמנים )U = Im (T − λIולכן
T u = (T − λI) u + λu ∈ U
2.20
u∈U
מתבוננים בצמצום של Tל Uמהנחת האינדוקציה קיים בסיס עבורו היא משולשית עליונה
כיוון ש ) dim U < dim Vכיוון שהעתקה היא אינה חח"ע(
משלימים את הבסיס המקיים את המשולשית העליונה לבסיס לכל Vושמים לב שעבור
כל jמתקיים:
} T vl = (T − λI) vl +λvl ∈ Span {u1 , . . . , um , vl } ⊂ Span {u1 , . . . , um , v1 , . . . , vl
} | {z
∈U
ולכן זה מקיים את התנאי של הטענה .2.21
טענה 2.23
) vˇ = {v1 , . . . , vn } dim V = n ,T ∈ L (Vבסיס עבור .אזי det (M (T, vˇ)) 6= 0
אם"ם העתקה Tהיא הפיכה
הוכחה :העתקה Tהופכית ⇒⇐ ל T v = u :יש פתרון יחיד.
αk vk
βm vm
am,k vm
n
X
m=1
αk
n
X
n
X
k=1
n
X
m=1
n
X
= αk T vk
k=1
=
v
= u
=
Tv
k=1
am,k αk = βm
n
X
k=1
ולכן:
α1
β1
..
= .
αn
βn
.
.
.
a1,n
...
.
.
.
..
.
. . . an,n
a1,1
..
M (T, vˇ) = .
an,1
למשוואה הנ"ל יש פתרון יחיד ולכן מלינארית det M (T, vˇ) 6= 0 :I
12
2.3
2ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
מטריצות משולשיות עליונות
טענה 2.24
בהינתן Vמרחב וקטורי כך ש vˇ = {v1 , . . . , vn } .dim V = nבסיס של T ∈ .V
) .L (V
∗ λ1 ∗ . . .
.
0 λ2 . . . ..
M (T, vˇ) = .
.
.
.
.
.
.
.
.
∗
0 . . . 0 λn
)משולשית עליונה( T .היא העתקה הפיכה אם"ם λ 6= 0, . . . , λn 6= 0
הוכחה :נגזר באופן ישיר ממשפט .2.23צריך רק לזכור שהדטרמיננטה של משולשית עליונה
הוא כפל איברי האלכסון.
מסקנה 2.25
בהנתן Vמרחב וקטורי כך ש vˇ = {v1 , . . . , vn } .dim V = nבסיס של Vכך שהעתקה
) T ∈ L (Vבבסיס זה היא משולשית עליונה ,דהיינו:
∗ λ1 ∗ . . .
.
0 λ2 . . . ..
M (T, vˇ) =
. .
.
.
.
..
.
.
∗
0 . . . 0 λn
אזי λ1 , . . . , λnהם ערכים עצמיים של .T
הוכחה :מגדירים את T − λIומתבוננים במטריצה:
λ1 − λ
∗
...
∗
.
.
.
0
.
λ2 − λ . .
M (T − λI, vˇ) = .
.
.
..
..
..
∗
0
...
0 λn − λ
העתקה T − λIאינה הפיכה כאשר קיים 1 ≤ j ≤ n jכך ש λ = λjולפי
תהא הפיכה ולכן λjהוא ערך עצמי.
מסקנה 2.26
m1,n
.
.
.
...
.
.
.
. . . mn,n
13
m1,1
.
.
.
mn,1
M =
2.24
היא לא
מטריצות אלכסוניות2.4
ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים2
λ1
0
: אזיM = C
.
..
0
λ1
∗
0
det M = det
C .
..
0
...
λ2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... 0
λ1
0
det C · det
.
..
0
∗
...
.
λ2
.
.
.
.
...
∗
.
.
.
.
.
∗
.
.
.
−1
C
אם.mi,j ∈ C כך ש
∗
λn
.
.
0
−1
C =
∗
λn
∗ ... ∗
.
.
.
.
.
λ2
.
· det C −1 = λ1 · . . . · λn
.
.
.
.
.
.
∗
. . . 0 λn
מטריצות אלכסוניות
2.4
2.27 טענה
.T ∈ L (V ) .V בסיס שלvˇ = {v1 , . . . , vn } .dim V = n מרחב וקטורי כך שV יהי
λ1 0 . . . 0
.
0 λ2 . . . ..
M (T, vˇ) = .
.. . . . . . . 0
0 . . . 0 λn
: דהיינוT הם וקטורים עצמיים עבורv1 , . . . , vn אם"ם
T v1
=
λ1 v1
.
.
.
T vn
=
λn vn
:⇐= :הוכחה
T v1
T v2
=
=
a1,1 v1 + a2,1 v2 + . . . + an,1 vn
a1,2 v1 + a2,2 v2 + . . . + an,2 vn
.
.
.
T vn
=
a1,n v1 + a2,n v2 + . . . + an,n vn
14
2.4מטריצות אלכסוניות
2ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
כאשר:
a1,n
...
a1,1
.
.
.
..
.
.
.
.
an,1
. . . an,n
M (T, vˇ) =
אבל כיוון ש T v1 = λ1 v1ו {v1 , . . . , vn } :בסיס נקבל כי:
T v1 = a1,1 v1 + a2,1 v2 + . . . + an,1 vn = a1,1 v1 = λ1 v1 ⇒ a1,1 = λ1
}|{z
}|{z
0
באופן דומה עבור כל .viלבסוף מקבלים:
0 ... 0
.
..
.
.
.
λ2
..
..
.
.
0
. . . 0 λn
⇒= :טריוויאלי מהמטריצה.
0
λ1
0
M (T, vˇ) =
.
..
0
משפט 2.28
בהינתן Vמרחב וקטורי כך ש dim V = nובהינתן אופרטור ) T ∈ L (Vבעל ערכים
ˇשבו המטריצה
עצמיים λ1 , . . . , λnשונים זה מזה .אזי קיים בסיס } v = {v1 , . . . , vn
)ˇ M (T, vהיא אלכסונית.
הוכחה :קיימים וקטורים v1 , . . . , vnשהם וקטורים עצמיים עבור .Tומתקיים
λ1 v1
=
T v1
.
.
.
λn vn
=
T vn
אבל λ1 , . . . , λnשונים זה מזה לכן לפי משפט {v1 , . . . , vn } 2.9קבוצה בת"ל בגודל n
ולכן בסיס .ולכן לפי טענה 2.27המטריצה היא אלכסונית.
דוגמה V = C4 2.29
) T (z1 , z2 , z3 , z4 ) = (z1 , z2 , z4 , 5z4
כלומר:
)(1, 0, 0, 0
)(0, 1, 0, 0
= )T (1, 0, 0, 0
= )T (0, 1, 0, 0
)(0, 0, 1, 0
)5 (0, 0, 0, 1
= )T (0, 0, 1, 0
= )T (0, 0, 0, 1
ולכן המטריצה ) M (Tהיא:
0
0
0
5
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
M (T ) =
0
0
15
2.5סכומים וסכומים ישרים של תתי מרחבים
2ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
דוגמה T (ω, z) = (z, 0) , V = C2 , F = C 2.30נחשב ערכים עצמיים של T
T (w, z) = λ (w, z) = (z, 0) ⇒ λw = z, λz = 0
כאשר ω = 0אז .z = 0כאשר ω 6= 0אז:
λ2 w = 0 ⇒ λ2 = 0 ⇒ λ = 0
ערך עצמי .כל וקטור ) w 6= 0, (w, 0הוא וקטור עצמי עם ערך עצמי .0
מכיוום ש dim V = nהבסיס שבנוי מוקטורים עצמיים של Tאינו קיים.
הבסיס שבו מטריצה ) M (Tהיא אלכסונית אינו קיים אם הוא היה קיים הוא היה בנוי
מוקטורים עצמיים של Tוזה אינו אפשרי כיוון שהם תלויים לינארית.
2.5
סכומים וסכומים ישרים של תתי מרחבים
V = U1 + . . . + Um .1כאשר
הגדרה 2.31סכומים וסכומים ישרים של תתי מרחבים:
U1 , . . . , Umתת מרחבים של ⇐⇒ Vכל וקטור v ∈ Vניתן להצגה ע"יv = :
u1 + . . . + umכאשר ui ∈ Uiלכל ) .1 ≤ i ≤ mסכום(
V = U1 ⊕ . . .⊕ Um .2כאשר U1 , . . . , Umתת מרחבים של ⇐⇒ Vכל וקטור v ∈ V
ניתן להצגה באופן יחיד ע"י v = u1 + . . . + um :כאשר ui ∈ Uiלכל 1 ≤ i ≤ m
)סכום ישר(
נשים לב כי ההבדל בין סכום לסכום ישר הוא בהצגה יחידה.
דוגמה 2.32
V = C3 .1
}{(x, 0, 0) |x ∈ C
}{(0, y, 0) |y ∈ C
}{(0, 0, z) |z ∈ C
=
W1
=
=
W2
W3
V = W1 ⊕ W2 ⊕ W3
V = C3 .2
}= {(x, 0, 0) |x ∈ C
}= {(x, y, 0) |x, y ∈ C
}= {(0, 0, z) |z ∈ C
W1
W2
W3
היצוג הנ"ל אינו יחיד ,לדוגמה
)(0, 0, 0) = (0, 0, 0) + (0, 0, 0) + (0, 0, 0
} | {z } | {z } | {z } | {z
∈W3
∈W2
∈W1
∈V
אבל גם ניתן להצגה ע"י:
)(0, 0, 0) = (1, 0, 0) + (−1, 0, 0) + (0, 0, 0
} | {z } | {z } | {z } | {z
∈W3
∈W2
16
∈W1
∈V
2.5סכומים וסכומים ישרים של תתי מרחבים
2ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
V
6= W1 ⊕ W2 ⊕ W3
V
= W1 + W2 + W3
V = C5 [z] .3
אזי במקרה זה:
5
a5 z + a3 z 3 + a1 z|a5 , a3 , a1 ∈ C
4
a4 z + a2 z 2 + a0 |a4 , a2 , a0 ∈ C
=
W1
=
W2
V = W1 ⊕ W2
טענה 2.33
בהינתן Vמרחב וקטורי כך ש U1 , . . . , Um ,dim V = nתתי מרחבים של Vכך ש:
V = U1 ⊕ . . . ⊕ Um
n
o
)(1
)(1
u 1 , . . . , u l1
בסיס של − U1
.
.
.
בסיס של − Um
o
)(m
)(m
)(1
)(1
אזי:
u 1 , . . . , u l1 , . . . , u 1 , . . . , u lm
.dim U1 + . . . + dim Um
o
n
)(m
)(m
u 1 , . . . , u lm
n
בסיס של .Vולכן גם מתקייםdim V = :
oלהציגו באופןnיחיד ע"י v = u1 + u2 + . . . + um :כאשר ui ∈ Ui
הוכחה v ∈ V :ניתן
)(i
)(i
לכל .1 ≤ i ≤ m
u1 , . . . , uliבסיס ל ,Uiולכן uiניתן להצגה באופן יחיד כצירוף
o
o
n
n
)(i
)(i
)(m
)(m
)(1
)(1
לינארי של
. u1 , . . . , uliולכן
u1 , . . . , ul1 , . . . , u1 , . . . , ulmפורש את .V
מתבוננים ב:
)(m) (m
ui
ci
lm
X
+ ...+
)(1) (1
ci u i
i=1
i=1
}
{z
um ∈Um
l1
X
=0
}
|
{z
u1 ∈U1
|
ומראים שראשית כל uiחייב להיות אפס מיחידות הסכום הישר ,ואח"כ כי כל
להיות אפס כיוון שזהו בסיס.
)(k
ciחייב
טענה 2.34
יהי Vמרחב וקטורי כך ש U1 , . . . , Um .dim V = nתת מרחבים של Vאזי = V
U1 ⊕ . . . ⊕ Umאם"ם V = U1 + . . . + Umוגם 0 = u1 + . . . + umמתקיים רק
}|{z
}|{z
∈Um
אםu1 = 0, . . . , um = 0 :
17
∈U1
2.5
2ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
סכומים וסכומים ישרים של תתי מרחבים
הוכחה :⇐= :באופן ישיר מיחידות ההצגה של סכום ישר.
⇒= :מתבוננים בוקטור v ∈ Vמניחים כי יש לו שני הצגות שונות:
u1 + . . . + um
}|{z
}|{z
∈Um
=
v
∈U1
u˜1 + . . . + u˜m
}|{z
}|{z
∈Um
מחסרים אותן זו מזו ומקבילם:
=
v
∈U1
) 0 = (u1 − u˜1 ) + . . . + (um − u˜m
} | {z
} | {z
∈U1
∈Um
אבל לפי התנאי הנוסף נקבל:
0 ⇒ u1 = u˜1
=
u1 − u˜1
=
um − u˜m
.
.
.
0 ⇒ um = u˜m
ולכן סתירה לכך שהן שונות.
משפט 2.35
בהינתן Vמרחב וקטורי כך ש {λ1 , . . . , λm } .T ∈ L (V ) .dim V = nהם ערכים
עצמיים שונים של .T
אזי התנאים הבאים שקולים:
.1קיים בסיס } {v1 , . . . , vnהם וקטורים עצמיים של .T
V = U1 ⊕ . . . ⊕ Un .2כאשר U1 , . . . , Unהם תת מרחבים חד מימדים
אינווריאנטים )ביחס ל (T
V = ker (T − λ1 I) ⊕ . . . ⊕ ker (T − λm I) .3
dim V = dim ker (T − λ1 I) + . . . + dim ker (T − λm I) .4
הוכחה:2 ⇐= 1 :
מגדירים
}= {c1 v1 |c1 ∈ F
U1
.
.
.
}= {cn vn |cn ∈ F
Un
בהינתן v ∈ Vאזי vניתן להצגה ע"י:
v = α1 v1 + . . . + αn vn
} | {z
} | {z
∈U1
∈Un
כלומר זהו סכום ,נרצה להראות כי זהו סכום ישר:
0 = u˜1 + . . . + u˜n
}|{z
}|{z
∈Un
∈U1
18
2.5סכומים וסכומים ישרים של תתי מרחבים
2ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
לפי הגדרה:
0 = c˜1 v1 + . . . + c˜n vn
אבל מכיוון ש } {v1 , . . . , vnבסיס אזי c˜1 = 0, . . . , c˜n = 0ולכן .u˜1 = 0, . . . , u˜n = 0
ולפי משפט 2.34מקבלים את הנדרש.
:1 ⇐= 2
נבחר
v1 ∈ U1
v1 6= 0
.
.
.
vn 6= 0
vn ∈ Un
v1 , . . . , vnהם וקטורים עצמיים של U1 ) .Tתת מרחב T־ אינווריאנטי חד ממדי ולכן
,V = U1 ⊕ . . . ⊕ Un . (T v1 = γv1 ⇐ T v1 ∈ U1 ⇐ v1 ∈ U1ולכן
בסיס של U1
{v1 } −
בסיס של Un
{vn } −
.
.
.
נקבל כי } {v1 . . . , vnבסיס של .V
ולכן לפי טענה
:3 ⇐= 1
)(1
)(1
v1 , . . . , vl1־ וקטורים עצמיים בת"ל עם אותו ערך עצמי .λ1
2.33
.
.
.
)(m
)(m
,v1 , . . . , vlmוקטורים עצמיים בת"ל עם
o
n
)(1
)(1
)(m
)(1
ולכן
v1 , . . . , vlm , . . . , v1 , . . . , vl1
)(m) (m
vi
ci
lm
X
אותו ערך עצמי .λm
בסיס של .V
)(1) (1
ci vi
+ ...+
}
|
}
)um ∈ker(T −λm I
)(1
{z
|
)u1 ∈ker(T −λ1 I
)(1
l1
X
ci (T − λ1 I) vi = 0
|
{z
}
i=1
0
ולכן:
=v
i=1
i=1
{z
l1
X
=
)(1) (1
ci vi
l1
X
i=1
)(T − λ1 I
)V = ker (T − λ1 I) + . . . + ker (T − λm I
בוחנים את:
u˜m
}|{z
+ ... +
)∈ker(T −λm I
u˜1
}|{z
=0
)∈ker(T −λ1 I
u˜1 , . . . , u˜mהם וקטורים עצמיים עם ערכים עצמיים שונים ,לכן הם בת"ל ולכן בהכרח
השיוויון מתקיים רק עם הם אפסים ולכן זהו סכום ישר כנדרש.
19
2.5
2ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
סכומים וסכומים ישרים של תתי מרחבים
:4 ⇐= 3מעבר טריוויאלי מטענה .2.33
:1 ⇐= 4בוחרים
בסיס של )ker (T − λ1 I
o
−
.
.
בסיס של )ker (T − λm I
)(1
)(1
v1 , . . . , vl1
n
o .
n
)(m
)(m
−
v1 , . . . , vlm
o
n
)(m
)(m
)(1
)(1
מספיק להראות שהקבוצה
v1 , . . . , vl1 , . . . , v1 , . . . , vlmבת"ל )כיוון שהגודל שלה
נתון לנו ע"י התנאי(.
v ∈ ker (T − λI) , (T − λI) = 0 ⇒ T v = λv
)(m) (m
vi
ci
lm
X
)(1) (i
ci vi . . . +
i=1
i=1
כלומר:
}
|
{z
um
l1
X
=0
{z
}
|
u1
0 = u1 + . . . + um
נרצה להראות שמתקיים:
u1 = . . . = um = 0
נניח בשלילה כי השיוויון הנ"ל אינו נכון .אזי קיימים s1 . . . , skכך ש < 1 ≤ s1 < . . .
sk ≤ mכך שמתקיים .us1 6= 0, . . . , usk 6= 0
הקבוצה } {us1 , . . . , uskהיא בלתי תלויה לינארית כיוון שהוקטורים שלה הם וקטורים
עצמיים של Tעם ערכים עצמיים שונים .לכן התנאי:
us1 + . . . + usk = 0
אינו מתקיים .ולכן כל הוקטורים u1 , . . . , umהם אפס .ולכן:
=0
)(1
⇒ ci
.
.
.
=0
)(m
⇒ ci
)(1) (1
ci vi
l1
X
=0
i=1
}
{z
basis
)(m) (m
vi
ci
|
lm
X
=0
i=1
o
n
)(m
)(m
)(1
)(1
קיבלנו כי
v1 , . . . , vl1 , . . . , v1 , . . . , vlm
בת"ל ולכן בסיס כנדרש.
משפט 2.36
בהנתן Vמרחב וקטורי כך ש .dim V = nיהי U ⊂ Vתת מרחב של .Vאזי קיים תת
20
2.6
3מרחבי מכפלה פנימית
תת מרחבים אינווריאנטים במרחבי וקטורים ממשיים
מרחב Wשל Vכך שמתקיים .V = W ⊕ U
הוכחה{u1 , . . . , um } :־ בסיס ל .Uניתן להשלים בסיס זה לבסיס } {u1 , . . . , um , w1 , . . . , wkשל
.Vנגדיר.W = Span {w1 , . . . , wk } :
dj wj ⇒ V = U + W
k
X
ci u i +
j=1
} | {z
∈W
m
X
i=1
=v∈V ⇒v
} | {z
∈U
וכיוון ש } {u1 , . . . , um , w1 , . . . , wkבסיס אזי ההצגה הנ"ל היא יחידה ולכן.V = U ⊕ W :
2.6
תת מרחבים אינווריאנטים במרחבי וקטורים ממשיים
משפט 2.37
בהנתן Vמרחב וקטורי מעל Rכך ש dim V = nו ) .T ∈ L (Vאז קיים תת מרחב
אינווריאנטי של Vממימד 1או ממימד .2
הוכחה :ירד במיקוד
הגדרה 2.38אופרטור הטלה )v = u + w ,V = U ⊕ W :(Projetion Operator
אופרטור הטלה הוא אופרטור המקיים PU v = u :כמו כן מתקיימים:
PU + PW = I .1
2
PU2 = PU , PW
= PW .2
משפט 2.39
בהינתן Vמרחב וקטורי מעל Rכך ש .T ∈ L (V ) ,dim V = 2n + 1 :קיים ערך עצמי
עבור .T
הוכחה :ירד במיקוד
3
מרחבי מכפלה פנימית
הגדרה 3.1מכפלה פנימית ) V :(inner produtמרחב וקטורי מעל Rאו Cנניח
שמוגדרת פונקציה h., .iVשמעבירה כל זוג סדור ) (u, vכאשר u, v ∈ Vלסקאלר
h.,.i
(u, v) −→V hu, viV ∈ F
מתקיימים התנאים הבאים:
• hv, viV ≥ 0, ∀v ∈ V
• hv, viV = 0 ⇐⇒ v = 0V
• ∀v, u, w ∈ V
hv, u + wiV = hv, uiV + hv, wiV ,
• hαu, viV = α hu, viVעבור כל α ∈ Fועבור כל v, u ∈ V
• ) hu, viV = hv, uiVהצמוד הרוכב ־
onjugation
21
(omplex
מרחבי מכפלה פנימית3
נורמה3.1
נורמה
3.1
:v ∈ V לכל.h., .iV מרחב וקטורי עם מכפלה פנימיתV יהי: נורמה של וקטורp
3.2 הגדרה
kvk = hv, viV
3.3 דוגמה
V = R2 .1
v
=
v1 e1 + v2 e2
u =
u1 e1 + u2 e2
.2
hv, uiV = v1 u1 + v2 u2
hv, viV = v12 + v22
q
√
he1 , e1 iV = 1 = 1
ke1 k
=
ke2 k
= 1
שיוויונות ואי שיוויונות3.1.1
משפט פיתגורס3.4 משפט
hu, viV = : כך שu, v ∈ V יהיו.h., .iV מרחב וקטורי עם מכפלה פנימיתV בהינתן
.kv + uk2 = kvk2 + kuk2 : אזי0
:הוכחה
kv + uk2 = hv + u, v + uiV = hv, v + uiV + hu, v + uiV =
hv + u, viV + hv + u, uiV = hv, viV + hu, viV + hv, uiV + hu, uiV =
| {z } | {z }
0
0
2
2
2
2
kvk + kuk = kvk + kuk
(z1 , z2 , . . . , zn ) , (w1 , w2 , . . . , wn ) V = Cn 3.5 דוגמה
h(z1 , z2 , . . . , zn ) , (w1 , w2 , . . . , wn )iC = z1 w1 + . . . + zn wn
(The Cauhy-Shwarz Inequality) אי־שיוויון קושי־שוורץ3.6 משפט
22
מרחבי מכפלה פנימית3
כאשרkvk =
p
נורמה3.1
p
hu, ui : מרחב וקטורי עם מכפלה פנימיתV בהינתן
|hv, ui| ≤ kvk · kuk : אזי.v, u ∈ V
hv, vi, kuk =
על הישרu נטיל את,(v אל הישר הנפרש ע"יu הוא האנך היורד מw) hw, vi = 0 :הוכחה
.av ונקבל וקטורv הנפרש ע"י
u = av + (u − av)
| {z }
w
hu − av, vi = hw, vi = 0
hu, vi = a hv, vi = a kvk2
.v = 0 נשים לב שהמשפט מתקיים כאשר
: ולכןkvk 6= 0 : אזיv 6= 0 נניח ש
a=
hu, vi
kvk
w =u−
2
hu, vi
kvk2
v
:ולכןhv, wi = 0 אבל
u = av + w
kuk2 = kavk2 + kwk2 ≥ kavk2 = hav, avi = a hv, avi =
2
2
2
2
kuk ≥ |a| kvk =
|hu, vi|
kvk
4
2
2
2
2
ahav, vi = aahv, vi = a2 kvk
2
kvk ⇒ kuk kvk ≥ |hu, vi| ⇒ |hu, vi| ≤ kuk kvk
(The triangle inequality) אי־שיוויון המשולש ־3.7 משפט
kv + wk ≤ אזי.v, w ∈ V מרחב וקטורי עם מכפלה פנימית ובהינתןV בהינתן
kvk + kwk
:הוכחה
2
kv + wk = hv + w, v + wi = hv, vi + hw, vi + hv, wi + hw, wi =
2
2
2
2
kvk + kwk + hw, vi + hw, vi = kvk + kwk + 2 Re (hw, vi)
Re (hw, vi) ≤ |hw, vi|
2
2
2
kv + wk ≤ kvk + kwk + 2 |hw, vi|
:ונקבל
2
2
Cauhy-Shwarzב
2
≤ kvk + kwk + 2 kvk · kwk = (kvk + kwk)
23
נשתמש
3.2
3מרחבי מכפלה פנימית
בסיס אורתונורמלי
3.2בסיס אורתונורמלי
V
הגדרה 3.8קבוצה אורתונורמלית :בהינתן
.{e1 , . . . , em } ⊂ V
i=j
i 6= j
1
0
(
מרחב
וקטורי
עם
מכפלה
פנימית.
= hei , ej i
אזי הקבוצה } {e1 , . . . , emנקראת אורתונורמלית.
הערה 3.9
v = c1 e 1 + . . . + cm e m
} {e1 , . . . , emקבוצה אורתונורמלית.
2
2
2
| kvk = |c1 | + . . . + |cm
?
kvk2 = hv, vi = hc1 e1 + . . . + cm em , c1 e1 + . . . + cm em i = |c1 |2 + . . . + |cm |2
טענה 3.10
יהי Vמרחב וקטורי עם מכפלה פנימית .תהי } {e1 , . . . , emקבוצה אורתונורמלית .אזי
} {e1 , . . . , emבלתי תלויה לינארית.
הוכחה:
0 = c1 e 1 + . . . + cm e m
2
2
| 0 = hc1 e1 + . . . + cm em , c1 e1 + . . . + cm em i = |c1 | + . . . + |cm
ולכן c1 = 0, . . . , cm = 0ולכן הקבוצה בת"ל.
משפט 3.11הליך גרם־שמידט )(The Gram-Shmidt Proedure
בהינתן Vמרחב וקטורי עם מכפלה פנימית ובהינתן } {v1 , . . . , vmקבוצה בת"ל ב .V
אזי ניתן לבנות קבוצה אורתונורמלית } {e1 , . . . , emמהקבוצה } {v1 , . . . , vmכך ש:
} ∀j = 1, . . . , m Span {e1 , . . . , ej } = Span {v1 , . . . , vj
הוכחה :מגדירים:
v1
, he1 , e1 i = 1
kv1 k
= e1
v2 − hv2 , e1 i e1
kv2 − hv2 , e1 i e1 k
= e2
24
מרחבי מכפלה פנימית3
בסיס אורתונורמלי
3.2
v2 ∈
/ Span {v1 } ⇒ v2 ∈
/ Span {e1 } ⇒ v2 −hv2 , e1 i e1 6= 0 ⇒ kv2 − hv2 , e1 i e1 k =
6 0
he2 , e2 i
= 1
1
· hv2 − hv2 , e1 i e1 , e1 i =
kv2 − hv2 , e1 i e1 k
1
hv2 , e1 i − hv2 , e1 i he1 , e1 i = 0
| {z }
kv2 − hv2 , e1 i e1 k
1
:{ נשים לב כיe1 , e2 } לכן בנתיים יש לנו את הקבוצה
v1
v2
∈ Span {e1 , e2 }
∈ Span {e1 , e2 }
Span {v1 , v2 } ⊆ Span {e1 , e2 }
:וכל יתר האיברים באופן הבא
ej =
vj − hvj , e1 i e1 − . . . − hvj , ej−1 i ej−1
kvj − hvj , e1 i e1 − . . . − hvj , ej−1 i ej−1 k
25
