מכפלה פנימית

‫גרסת ‪12.5.2015‬‬
‫מרחבי מכפלה פנימית‬
‫‪p‬‬
‫אורך הווקטור ) ‪ v = (v1 , v2 , v3‬הוא ‪v12 + v22 + v32‬‬
‫‪2‬‬
‫הווקטור ‪.kvk = v12 + v22 + v32‬‬
‫אורך הצלע השלישית של המשולש שצלעותיו ‪ u, v‬שהיא ‪ v − u‬נתון ע"י‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪ .kvk‬נרבה לעבוד עם ריבוע אורך‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪kv − uk = k(v1 − u1 , v2 − u2 , v3 −‬‬
‫) ‪ u3 )k = (v1 − u1 ) + (v2 − u2 ) + (v3 − u3‬‬
‫) ‪= u21 + u22 + u23 + v12 + v22 + v32 − 2 (u1 v1 + u2 v2 + u3 v3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪= kuk + kvk − 2 (u1 v1 + u2 v2 + u3 v3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫מצד שני‪ ,‬לפי משפט הקוסינוסים קיים ‪,kv − uk = kuk + kvk − 2 kuk kvk cos α‬‬
‫היכן ש־‪ α‬היא הזווית בין שני הווקטורים ולכן ‪ .u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 = kuk kvk cos α‬כך‬
‫אנו רואים שהביטוי ‪ u1 v1 + u2 v2 + u3 v3‬נותן לנו מידע גיאומטרי על המצב ההדדי של שני‬
‫הווקטורים ‪ u‬ו־‪ v‬וכאשר ‪ v = u‬הוא גם נותן את המידע על אורך הווקטור‪ .‬תכונותיו של‬
‫ביטוי זה הן שהוא בילינארי‪ ,‬כלומר לינארי גם ב־‪ u‬וגם ב־‪ ,v‬הוא סימטרי‪ ,‬ועבור ‪ v 6= 0‬הוא‬
‫חיובי‪ .‬נצא מתכונות אלו ונגדיר את המושג המופשט של מכפלה פנימית במרחב ווקטורי ‪V‬‬
‫מעל לממשיים‪.‬‬
‫המכפלה הפנימית במרחב ווקטורי מעל לממשיים תבנית דו־מקומית )‪ (u, v‬נקראת מכפלה‬
‫וחיובית‪ ,‬כלומר לכל ‪v 6= 0‬‬
‫פנימית אם היא בילינארית‪ ,‬סימטרית‪ ,‬כלומר )‪p ,(u, v) = (v, u‬‬
‫קיים ‪ .(v, v) > 0‬בשם האורך‪ ,‬או הנורמה‪ ,‬של ‪ v‬נקרא ל־)‪.kvk = (v, v‬‬
‫כתוצאה מן החיוביות אם ‪ v 6= 0‬אז ‪ ,kvk > 0‬וכתוצאה מן הבילינאריות ‪ .k0k = 0‬ברור‬
‫שלכל סקלר ‪.ktvk = |t| kvk t‬‬
‫הווקטורי )‪ , <(n‬ל־ ‪ ,n ≥ 1‬נגדיר עבור‬
‫דוגמאות למכפלה פנימית‪ .‬א‪ .‬במרחב‬
‫‪Pn‬‬
‫) ‪ u = (u1 , . . . , un‬ו־ ) ‪ .(u, v) = i=1 ui vi v = (v1 , . . . , vn‬ברור שמכפלת ווקטורים‬
‫זאת ממלאת אחר כל הדרישות של המכפלה הפנימית‪.‬‬
‫במרחב הפונקציות הרציפות בקטע ]‪ [0, 1‬נגדיר לכל שתי הפונקציות ‪ f‬ו־‪g‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪´1‬‬
‫‪ .(f, g) = 0 f (x)g(x)dx‬ברור שמכפלת פונקציות זאת ממלאת אחר כל הדרישות של‬
‫‪´1‬‬
‫‪2‬‬
‫המכפלה הפנימית‪ .‬במרחב זה קיים ‪ kf k = c > 0 .kf k = 0 f (x)2 dx‬אומר שבממוצע‬
‫הערך )‪ f (x‬שווה ל־‪ ,c‬כאשר בחישוב ממוצע זה ערכי )‪ f (x‬הגדולים יותר בערכם המוחלט‬
‫מקבלים משקל גדול יותר‪ .‬אם לכל ‪ |f (x)| ≤ c| 0 ≤ x ≤ 1‬אז ‪.kf k ≤ c‬‬
‫ניצבות ווקטורים‪ .‬נצא ממושג האורך כדי ללמוד על התכונות של המכפלה הפנימית‪.‬‬
‫סביר לקבוע ש־‪ v‬ניצב ל־‪ ,u‬ולסמן ‪ u ⊥ v‬אם ‪ ,k−u + vk = ku + vk‬וע"י מעבר לריבועים‬
‫של שני האגפים נקבל שזה שקול ל־ ‪ .(u, v) = 0‬נבחר בשוויון ‪ (u, v) = 0‬כהגדרת הניצבות‬
‫של ‪ u‬ו־‪ .v‬ברור שווקטור האפס ניצב לכל ווקטור‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫משפט פיתגורס‪ .‬אם ‪ u ⊥ v‬אז ‪ .ku + vk = kuk + kvk‬לכן אם ‪ u ⊥ v‬אז‬
‫‪ ,ku + vk ≥ kuk‬וקיים כאן שיוויון בדיוק אז כאשר ‪.v = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫הוכחה‪ .‬מכיוון ש־ )‪ ku + vk = (u + v, u + v) = kuk + kvk + 2 (u, v‬אז אם ‪u ⊥ v‬‬
‫אז ‪.(u, v) = 0‬‬
‫ההיטל של וקטור על וקטור‪ .‬משפט‪ .‬לווקטורים ‪ v‬ו־‪ u‬קיים וקטור }‪ w ∈ Span {u‬יחיד‬
‫כך ש־ ‪ .v − w ⊥ u‬לווקטור זה נקרא ההיטל של ‪ v‬על ‪ u‬והוא הווקטור ‪u‬‬
‫)‪ (v,u‬כאשר‬
‫‪kuk2‬‬
‫‪ u 6= 0‬ו־‪ 0‬כאשר ‪.u = 0‬‬
‫‪1‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח ‪ u 6= 0‬כי המקרה ‪ u = 0‬הוא טריביאלי‪ .‬יהי }‪ w ∈ Span {u‬ואז ‪w = tu‬‬
‫עבור סקלר ‪ v − tu ⊥ u .t‬בדיוק אז כאשר ‪ ,(v, u) − t (u, u) = (v − tu, u) = 0‬וזה‬
‫)‪ w = (v,u‬הוא האיבר היחיד ב־}‪ Span {u‬כך ש־ ‪.v − w ⊥ u‬‬
‫)‪ t = (v,u‬לכן ‪u‬‬
‫קורה אםם‬
‫‪kuk2‬‬
‫‪kuk2‬‬
‫אי השיוויון של קושי שוורץ‪ .‬לווקטורים ‪ u, v ∈ V‬קיים ‪ ,|(v, u)| ≤ kvk kuk‬וקיים כאן‬
‫שיוויון אםם אחד הווקטורים ‪ u, v‬הוא כפולה בסקלר של חברו )כלומר‪ ,‬אם אחד מהם הוא‬
‫‪ 0‬או שכל אחד מהם הוא כפולה בסקלר של חברו(‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬לשני ווקטורים ‪ ,u, v‬אם ‪ w‬הוא ההיטל של ‪ v‬על ‪ u‬אז ‪ v − w ⊥ u‬וזה אומר‬
‫ש־‪ v = (v − w) + w‬לכן‪ ,‬לפי משפט פיתגורס‬
‫ש־ ‪ .v − w ⊥ w‬מכיוון ‬
‫ )‪ (v,u‬‬
‫|)‪ , |(v,u‬ולכן ‪ . |(v, u)| ≤ kvk kuk‬כפי שנאמר בניסוח‬
‫=‬
‫‪ kuk2 u = kwk ≤ kvk‬‬
‫‪kuk‬‬
‫משפט פיתגורס‪ ,‬קיים כאן שיוויון בדיוק אז כאשר ‪ v − w = 0‬ולפי הגדרת ההיטל זה קורה‬
‫בדיוק אז כאשר ‪ v‬הוא כפולה של ‪.u‬‬
‫אי שיוויון המשולש‪ .‬לכל ‪ u, v ∈ V‬קיים ‪ ,ku + vk ≤ kuk + kvk‬והשיוויון קיים אםם‬
‫אחד משני הווקטורים הוא כפולה בסקלר אי שלילי של חברו‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי אי השיוויון של קושי שוורץ קיים‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ku + vk = kuk + kvk + 2(u, v) ≤ kuk + kvk + 2 kuk kvk = (kuk + kvk‬‬
‫ולכן ‪ .ku + vk ≤ kuk + kvk‬קיים כאן שיוויון בדיוק אז כאשר ‪ .(u, v) = kuk kvk‬לפי‬
‫מה שנאמר באי השוויון של קושי שוורץ אם קיים שיוויון זה אז אחד הוקטורים ‪ u, v‬הוא‬
‫כפולה בסקלר של חברו‪ .‬נניח כעת ‪ u = sv‬ונראה מתי קיים ‪ .(u, v) = kuk kvk‬אם ‪s‬‬
‫אי שלילי אז ‪ (u, v) = (sv, v) = s kvk kvk = ksvk kvk = kuk kvk‬והשיוויון קיים‪ .‬אם ‪s‬‬
‫שלילי אז ‪ (u, v) = (sv, v) = s(v, v) = −|s| kvk kvk = − ksvk kvk = − kuk kvk‬ואז‬
‫‪ (u, v) < kuk kvk‬אלא אם כן ‪ u = 0‬או ‪.v = 0‬‬
‫המכפלה הפנימית במרחב ווקטורי מעל לממשיים או מעל למרוכבים‪ .‬אפשר להרחיב את‬
‫מושג המכפלה הפנימית גם למרחבים וקטוריים מעל למספרים המרוכבים‪ .‬כאן ההגדרה‬
‫תהיה שונה מעט מן ההגדרה שהבאנו כאשר דובר רק על מרחב וקטורי מעל לממשיים‪ ,‬אבל‬
‫למקרה של מרחב מעל לממשיים היא תהיה שקולה לגמרי להגדרה שהבאנו לממשיים בלבד‪.‬‬
‫במרחב ווקטורי ‪ V‬מעל לשדה המספרים המרוכבים תבנית דו מקומית )‪ (u, v‬נקראת מכפלה‬
‫פנימית אם היא מקיימת את התנאים הבאים‪:‬‬
‫לינאריות במשתנה הראשון‪ (u + v, w) = (u, w) + (v, w) :‬ו־ )‪,(cu, v) = c(u, v‬‬
‫סימטריה צמודה‪ ,(v, u) = (u, v) :‬וחיוביות‪ :‬עבור ‪.(v, v) > 0 v 6= 0‬‬
‫מתנאים אלו נובעת הלינאריות הצמודה במשתנה השני‪:‬‬
‫)‪(u, v + w) = (v + w, u) = (v, u) + (w, u) = (v, u) + (w, u) = (u, v) + (u, w‬‬
‫ו־ )‪.(u, cv) = (cv, u) = c(v, u) = c(v, u) = c(u, v‬‬
‫תכונות המכפלה הפנימית הכללית‪ .‬גם כאן אנו מגדירים כי ‪ u ⊥ v‬כאשר ‪.(u, v) = 0‬‬
‫הוכחת משפט פיתגורס למקרה הממשי תקפה גם כאן‪ .‬ישנו הבדל בכך שבמקרה הממשי‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫קיים גם המשפט ההפוך למשפט פיתגורס והוא שאם ‪ ku + vk = kuk + kvk‬אז ‪,u ⊥ v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ואילו במרחב המרוכב החד מימדי )‪ C(1‬לווקטורים ‪ 1‬ו־‪ i‬קיים ‪kik = 1 ,k1k = 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ k1 + ik = 2‬אבל לא קיים ‪ 1 ⊥ i‬כי ‪.(1, i) = −i‬‬
‫)‪ (v,u‬תקפים גם במקרה המרוכב‪ ,‬וכן גם‬
‫הגדרת ההיטל של ‪ v‬על ‪ u‬וזיהוי ההיטל כ־ ‪u‬‬
‫‪kuk2‬‬
‫אי־השיוויון של קושי שוורץ‪ .‬במקרה המרוכב קיים השיוויון‬
‫‪2‬‬
‫)‪ku + vk = (u + v, u + v) = (u, u) + (u, v) + (v, u) + (v, v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪= kuk + kvk + (u, v) + (u, v) = kuk + kvk + 2Re(u, v‬‬
‫‪2‬‬
‫בהוכחת אי שיוויון המשולש במקרה המרוכב אנו משתמשים בשיוויון זה כדי לקבל את‬
‫אי השיוויון‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫|)‪ku + vk = kuk + kvk + 2Re(u, v) ≤ kuk + kvk + 2|(u, v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪≤ kuk + kvk + 2 kuk kvk = (kuk + kvk‬‬
‫וזה אומר ש־ ‪ .ku + vk ≤ kuk + kvk‬כדי שיתקיים שיוויון באי שיוויון המשולש דרוש‬
‫כי ‪ .Re(u, v) = kuk kvk‬מכיוון שלפי אי השיוויון של קושי שוורץ‬
‫‪ .Re(u, v) ≤ |(u, v)| ≤ kuk kvk‬לכן לצורך השיוויון דרוש גם |)‪Re(u, v) = |(u, v‬‬
‫וגם ‪ . |(u, v)| = kuk kvk‬השיוויון ‪ |(u, v)| = kuk kvk‬גורר שיוויון באי השוויון של‬
‫קושי שוורץ ולכן אחד הווקטורים צריך להיות כפולה של השני‪ ,‬ונניח כי ‪ .u = sv‬מכיוון‬
‫ש־ |)‪ (u, v) Re(u, v) = |(u, v‬הוא מספר ממשי אי שלילי ומכיוון‬
‫ש־ )‪ (u, v) = (sv, v) = s(v, v‬אז ‪ v = 0‬או ש־‪ s‬הוא מספר ממשי אי שלילי‪.‬‬
‫ההיטל של וקטור והמרחק שלו מתת מרחב‪.‬‬
‫משפט‪ .‬יהי ‪ w‬ההיטל של ‪ v‬על ‪ .u‬אז לכל וקטור }‪ w0 ∈ Span {u‬השונה מ־‪ w‬קיים‬
‫‪ .kv − w0 k > kv − wk‬זה אומר ש־‪ v − w‬הוא הווקטור הקצר ביותר המוביל מווקטור ב־‬
‫}‪ Span {u‬ל־‪ .v‬אורך ווקטור זה נקרא המרחק של ‪ v‬מ־}‪ .Span {u‬ברור כי}‪v ∈ Span {u‬‬
‫אםם המרחק של ‪ v‬מ־}‪ Span {u‬הוא ‪.0‬‬
‫‪0‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי הגדרת ההיטל ‪ ,w‬קיים ‪ .v − w ⊥ u‬מכיוון שגם ‪ w‬וגם ‪ w‬הם כפולות של‬
‫‪ u‬גם הפרשם ‪w0 − w‬הוא כפולה של ‪ u‬ולכן קיים גם ‪ .v − w ⊥ w0 − w‬לכן‪ ,‬לפי משפט‬
‫פיתגורס‪.kv − w0 k > kv − wk ,‬‬
‫הגדרה‪ .‬יהי ‪ U‬תת מרחב של מרחב מכפלה פנימית ‪ .V‬וקטור ‪ v ∈ V‬נקרא ניצב ל־ ‪,U‬‬
‫ואנו כותבים ‪ ,v ⊥ U‬אם ‪ v ⊥ u‬לכל ‪.u ∈ U‬‬
‫ברור כי תמיד ‪ 0 ⊥ U‬ולכל ‪ u 6= 0‬ב־ ‪ u U‬אינו ניצב על ‪ U‬כי ‪ u‬אינו ניצב לעצמו‪ .‬כמו כן‬
‫ברור שאם לכל ‪ v ⊥ uk 1 ≤ k ≤ n‬אז } ‪.v ⊥ Span {u1 , . . . , un‬‬
‫משפט‪ .‬יהי ‪ U‬תת מרחב של מרחב מכפלה פנימית ‪ .V‬לכל ‪ v ∈ V‬קיים לכל היותר‬
‫ווקטור ‪ w ∈ U‬אחד כך ש־ ‪) v − w ⊥ U‬אם ‪ v ∈ U‬אז ‪ .(w = v‬אם קיים ווקטור ‪ w‬כזה‬
‫אז ‪ w‬נקרא ההיטל של ‪ v‬על ‪ ,U‬והאורך של ‪ v − w‬קטן מן האורך של כל וקטור ‪ v − u‬עם‬
‫‪ .v 6= u ∈ U‬אם קיים וקטור ‪ w‬כזה אז ‪ kv − wk‬נקרא המרחק של ‪ v‬מ־ ‪ U‬והוא חיובי‬
‫∈ ‪.v‬‬
‫אםם ‪/ U‬‬
‫הוכחה‪ .‬משפט זה דומה לגמרי למשפט שהוכחנו על הווקטור הניצב ל־}‪ ,Span {u‬וכן גם‬
‫הוכחתו‪ .‬יהי ‪ w‬כמו במשפט‪ ,‬ואז אם ‪ w 6= u ∈ U‬אז ‪ ,0 6= w −u ∈ U‬ולכן ‪.v −w ⊥ w −u‬‬
‫מכיוון ש־ )‪ v − u = (v − w) + (w − u‬לכן‪ ,‬לפי משפט פיתגורס‪.kv − wk < kv − uk ,‬‬
‫מזה נובעת גם יחידות ‪ v − w‬כי אילו היה גם ‪ v − u ⊥ U‬היה קיים‪ ,‬כפי שראינו‪ ,‬גם‬
‫‪.kv − uk < kv − wk‬‬
‫משפט הפוך למשפט הקודם הוא‪:‬‬
‫משפט‪ .‬יהי ‪ U‬תת מרחב של מרחב ‪ .V‬אם ‪ v ∈ V‬ו־ ‪ w ∈ U‬הוא כזה ש־ < ‪kv − wk‬‬
‫‪ kv − uk‬לכל ‪ u ∈ U‬אז ‪.v − w ⊥ U‬‬
‫הוכחה‪ .‬נוכיח כי ‪ v − w ⊥ U‬ע"י שנוכיח כי לכל ‪ .v − w ⊥ p 0 6= p ∈ U‬יהי ‪ q‬ההיטל‬
‫של ‪ v − w‬על ‪ ,p‬ואז ‪ .v − w − q ⊥ p‬מכיוון ש־‪ q‬הוא כפולה של ‪ p‬קיים גם ‪v − w − q ⊥ q‬‬
‫ולכן‪ ,‬לפי משפט פיתגורס‪ ,‬אם ‪ q 6= 0‬אז ‪ kv − wk > kv − w − qk‬ומכיוון ש־ ‪w + q ∈ U‬‬
‫זה סותר את הנחת המשפט‪ .‬לכן ‪ q = 0‬ואז ‪.v − w ⊥ p‬‬
‫שני המשפטים האחרונים מותירים עדיין את השאלה אם לתת מרחב ‪ U‬ולווקטור‬
‫∈ ‪ v‬קיים בכלל ‪ w ∈ U‬כך ש־ ‪ .v − w ⊥ U‬התשובה היא שלא תמיד קיים ‪w‬‬
‫‪/ U‬‬
‫‪3‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2, 2‬‬
‫כזה‪ .‬נבחר ב־ ‪ V‬להיות מרחב הפונקציות הרציפות בקטע‬
‫‪´1‬‬
‫‪ ,(f, g) = −2 1 f (x)g(x)dx‬נבחר ב־ ‪ U‬להיות תת המרחב של הפולינומים וב־)‪ v(x‬להיות‬
‫עם המכפלה הפנימית‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫הפונקציה‬
‫)‪ v(x‬אינה פולינום כי אילו היתה פולינום אז אגף ימין של‬
‫‪. 1−x‬‬
‫)‪ 1 = (1 − x)v(x‬היה פולינום ממעלה חיובית השווה לפולינום ממעלה ‪ .0‬לכל ‪ n‬טבעי קיים‬
‫‪n‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .0 < 1−x‬כך לכל מספר חיובי יש ב־ ‪U‬‬
‫‪− k=0 xk = 1−x‬‬
‫‪− 1−x‬‬
‫‪= x1−x ≤ 12‬‬
‫‪1−x‬‬
‫איבר שמרחקו מ־)‪ v(x‬קטן מ־‪.‬‬
‫בניגוד למה שראינו עתה אם ‪ U‬הוא בעל מימד סופי נראה שעבור ‪ v ∈ V‬קיים‬
‫‪ w ∈ U‬כך ש־ ‪ .v − w ⊥ U‬יהי ‪ u1 , . . . , um‬בסיס ל־ ‪ .U‬כדי לקבל ש־ ‪ w ⊥ U‬די בכך‬
‫ש־ ‪ v − w ⊥ uk‬לכל ‪ .1 ≤ k ≤ m‬ננסה לקבל ‪ w‬כזה בשלבים‪ .‬ראשית נקבל ‪ w1‬כך‬
‫ש־ ‪ w1 .v − w1 ⊥ u1‬כזה הוא ההיטל של ‪ v‬על ‪ .u1‬בצעד השני נקח את ההיטל ‪w20‬‬
‫של ‪ v − w1‬על ‪ u2‬והמועמד שלנו ל־ ‪ w2‬כך ש־ ‪ v − w2‬ניצב גם על ‪ u1‬וגם על ‪ u2‬הוא‬
‫‪ .w2 = w1 + w20‬נבדוק אם הצלחנו‪ .‬לפי בחירת ‪ w20 = tu2 ,w20‬עבור סקלר ‪ t‬מסויים‬
‫וקיים ‪ .v − w2 = (v − w1 ) − w20 ⊥ u2‬האם ‪ v − w2‬ניצב גם על ‪ ?u1‬לשם כך נחשב את‬
‫) ‪ (v − w2 , u1‬ונקבל‬
‫) ‪(v − w2 , u1 ) = (v − (w1 + w20 ) , u1 ) = (v − w1 , u1 ) − (w20 , u1 ) = 0 − (tu2 , u1‬‬
‫) ‪= −t (u2 , u1‬‬
‫זה אומר שאם התמזל מזלנו ו־ ‪ u2 ⊥ u1‬אז ‪ v − w2‬ניצב גם ל־ ‪ u1‬וגם ל־ ‪ ,u2‬ואנו‬
‫יכולים להמשיך ל־ ‪ .u3‬כדי שלא נאלץ לסמוך על המזל‪ ,‬זה מביא אותנו לעיסוק בסדרות‬
‫‪ u1 , . . . , um‬בהן כל אחד מן הווקטורים ניצב על כל האחרים ואת זה נעשה עתה‪.‬‬
‫הגדרה‪.‬סדרת וקטורים נקראת אורתוגונלית אם כל שני ווקטורים בסדרה ניצבים זה‬
‫לזה‪ .‬הסדרה נקראת אורתונורמלית אם היא אורתוגונלית‪ ,‬ואורכו של כל אחד מן הווקטורים‬
‫בסידרה הוא ‪.1‬‬
‫משפט‪ .‬כל סדרה אורתוגונלית של ווקטורים שונים מ־‪ 0‬היא בלתי תלויה‪.‬‬
‫‪Pm‬‬
‫הוכחה‪ .‬תהי ‪ v1 , . . . , vm‬סדרה אורתוגונלית של ווקטורים‪ .‬יהי ‪ k=1 ak vk = 0‬כאשר‬
‫מכיוון שלכל ‪k 6= j‬‬
‫‪ ,a1 , . . . , am ∈ C‬נוכיח כי ‪ .a1 , . . . , am = 0‬יהי‬
‫‪ 1 ≤ j ≤ m‬כלשהו‪Pm .‬‬
‫‪Pm‬‬
‫‪ (vk , vj ) = 0‬קיים ‪.aj (vj , vj ) = k=1 ak (vk , vj ) = ( k=1 ak vk , vj ) = (0, vj ) = 0‬‬
‫מכיוון ש־ ‪ vj 6= 0‬לכן ‪ ,(vj , vj ) > 0‬ולכן ‪.aj = 0‬‬
‫לעיל יצאנו מווקטור ‪ v‬ותת מרחב ‪ U‬שבסיסו ‪ u1 , . . . , um‬וניסינו למצוא ‪ w ∈ U‬כך‬
‫ש־ ‪ v − w ⊥ U‬ע"י חיבור ההיטל של ‪ v‬על ‪ u2‬להיטל של ‪ v‬על ‪ u1‬ולהמשיך כך עד ‪ .um‬שם‬
‫נכשלנו כבר בשלב של ‪ u2‬כי היינו זקוקים לכך ש־ ‪ .u2 ⊥ u1‬כעת נצא מבסיס אורתוגונלי‬
‫של ‪ U‬ואז מכשלה זאת אינה קיימת‪.‬‬
‫‪ P‬ווקטורים ויהי ‪ .v ∈ V‬לכל ‪1 ≤ k ≤ m‬‬
‫משפט‪ .‬תהי ‪ u1 , . . . , um‬סדרה אורתוגונלית של‬
‫‪m‬‬
‫יהי ‪ wk‬ההיטל של ‪ v‬על ‪ .uk‬אז הסכום ‪ w = k=1 wk‬של היטלים אלו הוא ההיטל של ‪ v‬על‬
‫} ‪ ,Span {u1 , . . . , um‬כלומר } ‪ ,v−w ⊥ Span {u1 , . . . , um‬ואז הסדרה ‪u1 , . . . , um , v−w‬‬
‫∈ ‪v−w‬‬
‫היא אורתוגונלית ו־ }‪/ .Span {u1 , . . . , um , v − w} = Span {u1 , . . . , um , v‬‬
‫∈ ‪.v‬‬
‫} ‪ Span {u1 , . . . , um‬אםם } ‪/ Span {u1 , . . . , um‬‬
‫להראות כי לכל ‪1 ≤ j ≤ m‬‬
‫הוכחה‪ .‬כדי להראות כי } ‪{u1 , . . . , um‬‬
‫‪ v − w ⊥PSpan‬די ‪Pm‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ .v − w ⊥ uj‬קיים ) ‪ (w, uj ) = ( k=1 wk , uj ) = k−1 (wk , uj ) = (wj , uj‬כי לכל‬
‫‪ uk ⊥ uj k 6= j‬ומכיוון ש־ ‪ wk‬הוא כפולה של ‪ uk‬גם ‪ wk ⊥ uj‬ואז ‪ .(wk , uj ) = 0‬לכן‬
‫) ‪ ,(v − w, uj ) = (v, uj ) − (w, uj ) = (v, uj ) − (wj , uj ) = (v − wj , uj‬והביטוי הימני‬
‫בשוויון זה הוא ‪ 0‬כי ‪ v − wj ⊥ uj‬כי ‪ wj‬הוא ההיטל של ‪ v‬על ‪.uj‬‬
‫מכיוון ש־} ‪ w ∈ Span {u1 , . . . , um‬כל אחד מ־ ‪ v‬ו־ ‪ v − w‬הוא צרוף לינארי של הווקטורים‬
‫‪4‬‬
‫‪ u1 , . . . , um‬והווקטור השני‪ ,‬ולכן }‪.Span {u1 , . . . , um , v − w} = Span {u1 , . . . , um , v‬‬
‫∈ ‪.v‬‬
‫∈ ‪ v − w‬אםם } ‪/ Span {u1 , . . . , um‬‬
‫מכן ברור כי } ‪/ Span {u1 , . . . , um‬‬
‫תהליך גרם שמיט‪ .‬זהו התהליך המשתמש במשפט הקודם לבנית סדרות אורתוגונליות‬
‫ואורתונורמליות של ווקטורים‪.‬‬
‫משפט‪ .‬תהי ‪ v1 , . . . , vm‬סדרת וקטורים בלתי תלויה‪ .‬אז קיימת סדרה אורתוגונלית‬
‫‪ u1 , . . . , um‬ללא אפסים כך שלכל ‪.Span (u1 , . . . , ul ) = Span (v1 , . . . , vl ) 0 ≤ l ≤ m‬‬
‫הוכחה‪ .‬באינדוקציה על האורך ‪ m‬של הסדרה‪.‬‬
‫ל־ ‪ m = 0‬טענת המשפט מיידית כי המרחב הנפרש ע"י הסדרה הריקה הוא מרחב האפס‪.‬‬
‫שלב האינדוקציה‪ :‬תהי ‪ v1 , . . . , vm , vm+1‬סדרת ווקטורים בלתי תלויה‪ .‬לפי הנחת‬
‫האינדוקציה קיימת סדרת אורתוגונלית ‪ u1 , . . . , um‬ללא אפסים כך שלכל ‪0 ≤ l ≤ m‬‬
‫) ‪ .Span (u1 , . . . , ul ) = Span (v1 , . . . , vl‬לפי המשפט הקודם קיים ווקטור ‪ um+1‬כך‬
‫שהסדרה ‪ u1 , . . . , um , um+1‬היא אורתוגונלית‬
‫ו־ ) ‪.Span (u1 , . . . , um , um+1 ) = Span (u1 , . . . , um , vm+1‬‬
‫מכיוון ש־ ) ‪Span (u1 , . . . , um ) = Span (v1 , . . . , vm‬‬
‫קיים ) ‪,Span (u1 , . . . , um , vm+1 ) = Span (v1 , . . . , vm , vm+1‬‬
‫ולכן ) ‪ .Span (u1 , . . . , um , um+1 ) = Span (v1 , . . . , vm , vm+1‬מכיוון שהסדרה‬
‫∈ ‪ vm+1‬ואז‪,‬‬
‫‪ v1 , . . . , vm+1‬בלתי תלויה ) ‪/ Span (v1 , . . . , vm ) = Span (u1 , . . . , um‬‬
‫כאמור במשפט הקודם‪.um+1 6= 0 ,‬‬
‫מסקנות‪ .‬א‪ .‬תהי ‪ v1 , . . . , vm‬סדרת וקטורים בלתי תלויה‪ .‬אז קיימת סדרה אורתונורמלית‬
‫‪ e1 , . . . , em‬כך שלכל ‪.Span (e1 , . . . , el ) = Span (v1 , . . . , vl ) 0 ≤ l ≤ m‬‬
‫ב‪ .‬בכל מרחב ווקטורי בעל מימד סופי כל סדרה אורתונורמלית ניתנת להשלמה לבסיס‬
‫אורתונורמלי‪ .‬במיוחד‪ ,‬לכל מרחב וקורי בעל מימד סופי ישנו בסיס אורתונורמלי‪.‬‬
‫‪5‬‬