docאלגברה לינארית 1
download 
Report Transcription
אלגברה לינארית 1
אלגברה לינארית 1 יובל קפלן סיכום הרצאות ד"ר אלי בגנו בקורס "אלגברה לינארית (80134) "1 באוניברסיטה העברית.2006–7 , תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן .אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו .סודר באמצעות LATEX 2εב 4-בפברואר .2008 עדכונים ותיקונים יופיעו ב .http://www.limsoup.net/-לתגובות, לתיקונים ובכל עניין אחר ,אנא כתבו ל[email protected] סיכומים נוספים בסדרה: 2006–7 חשבון אינפיניטסימלי 1 אלגברה לינארית 1 חשבון אינפיניטסימלי 2 אלגברה לינארית 2 תורת הקבוצות 2007–8 מבנים אלגבריים 1 תורת ההסתברות 1 תוכן עניינים 1 2 3 4 שדות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1 Zו – Q-המספרים השלמים והרציונאליים . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 שדות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 תכונות שדה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 – Znשדה השאריות מודולו . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n 7 1.5 המציין של שדה 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Rו – C-המספרים הממשיים והמרוכבים 11 . . . . . . . . . . . . . . מרחבים וקטוריים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1 הגדרת מרחב וקטורי 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 תכונות מרחב וקטורי 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 2.3 המודל הגיאומטרי של Rושל 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 2.4 תת-מרחבים 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 צירופים לינאריים 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 בסיסים 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 מרחב הפולינומים 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 סכום תת-מרחבים 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . העתקות לינאריות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.1 הגדרת העתקה לינארית 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 קריטריון ללינאריות העתקה 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 העתקות מיוחדות 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 מציאת העתקות לינאריות 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 גרעין של העתקה לינארית 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 תמונה של העתקה לינארית 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 כמה מילים על פונקציות 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 הרכבת העתקות לינאריות 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 עוד אודות איזומורפיזמים 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 וקטור הקואורדינטות 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11 מרחב ההעתקות 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12 מרחב המטריצות 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13 תכונות של כפל מטריצות 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14 מטריצות מעבר 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מערכות משוואות לינאריות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 43 מערכות משוואות 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 תוכן עניינים תוכן עניינים 4.2 דירוג מטריצות – פתרון משוואות 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 מטריצת מדרגות קנונית 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 מטריצות אלמנטריות 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 טיפ לחיים 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 שדות 1 שדות 1 Z 1.1ו – Q-המספרים השלמים והרציונאליים 22.10.2006 מוגדרת ב Z = {. . . , −1, 0, 1, . . .}-פעולת חיבור .מתקיימות התכונות: ח .1-לכל a, b ∈ Zקיים c ∈ Zיחיד כך ש) a + b = c-סגירות( ח .2-לכל ,a, b ∈ Z 1 ) a + b = b + aקומוטטיביות – חילוף( ח .3-לכל ,a, b, c ∈ Z )) (a + b) + c = a + (b + cאסוציאטיביות – קיבוץ( ח .4-קיים איבר 0 ∈ Zכך שלכל ,a ∈ Z ) a + 0 = aקיום איבר אפס( ח .5-לכל a ∈ Zקיים b ∈ Zכך ש) a + b = 0-קיום איברים נגדיים( מוגדרת גם פעולת כפל .מתקיימות התכונות הבאות: כ .1-לכל a, b ∈ Zקיים c ∈ Zיחיד כך ש) a · b = c-סגירות( ) a · b = b · aקומוטטיביות( כ .2-לכל ,a, b ∈ Z כ .3-לכל ,a, b, c ∈ Z )) (a · b)c = a(b · cאסוציאטיביות( כ .4-קיים איבר 1 ∈ Zכך שלכל ,a ∈ Z כ-ח .לכל ,a, b, c ∈ Z ) a · 1 = aקיום איבר יחידה( ) a(b + c) = ab + acדיסטריבוטיביות – פילוג( תכונה מקבילה לח 5-אינה מתקיימת ב Z-עבור כפל. 2 נגדיר } – Q = { ab | a, b ∈ Z, b 6= 0קבוצת המספרים הרציונאליים .Z ⊆ Q .מתקיימות כל התכונות הנ"ל ,ובנוסף כ .5-לכל 0 6= a ∈ Qקיים b ∈ Qכך ש) a · b = 1-קיום איברים הפכיים( 1.2 שדות הגדרה .קבוצה Fעליה מוגדרות פעולות "חיבור" ו"כפל" נקראת שדה אם מתקיימות התכונות הבאות: ח∃!c ∈ F : a + b = c .1- חa + b = b + c .2- ∀a, b ∈ F ∀a, b ∈ F ח(a + b) + c = a + (b + c) .3- חa + 0F = a .4- ∃0F ∈ F : ∀a ∈ F ח∃b ∈ F : a + b = 0F .5- כ∃!c ∈ F : a · b = c .1- כa · b = b · a .2- ∀a ∈ F ∀a, b ∈ F ∀a, b ∈ F כ(ab)c = a(bc) .3- כa · 1F = a .4- ∀a, b, c ∈ F ∀a, b, c ∈ F ∃1F ∈ F : ∀a ∈ F 1קיום תכונות אלו ב Z-ניתן להוכחה; אלו אינן אקסיומות. 2קבוצה שמקיימת את התכונות דלעיל נקראת חוג. 5 שדה 1.2 1 שדות כa 6= 0 =⇒ ∃b ∈ F : ab = 1F .5- כ-חa(b + c) = ab + ac . שדות ∀a ∈ F ∀a, b, c ∈ F דוגמה )שדה הדיאז והבמול( .תהי קבוצה }[ .F = {],נגדיר פעולות: [ ] · [ ] + ] ] ] [ ] ] [ ] [ ] [ [ זהו אכן שדה :סגירות )ח ,1-כ (1-מתקיימת ,לפי הגדרת הפעולות; קומוטטיביות )ח,2- כ (2-מתקיימת ,לפי סימטריות הטבלאות; איבר האפס )ח (4-הוא ] ואיבר היחידה )כ (4-הוא [ ,לפי הטבלאות; קיימים איברים נגדיים )ח – −[ = [ ,−] = ] – (5-ואיבר הפכי )כ– (5- [ = ]) [−1הוא איבר האפס ,לכן לא מוגדר לו הפכי( .את קיום תכונות האסוציאטיביות )ח,3- כ (3-והדיסטריבוטיביות )כ-ח( ניתן להראות לפי בדיקת כל האפשרויות. הגדרת שדה זו אינה רנדומאלית :ישנה רק דרך אחת להגדיר שדה בעל מספר שהוא חזקת-ראשוני של איברים ,על-פי משפט מתורת השדות )ואין שדה בעל מספר איברים שאינו חזקת-ראשוני(; ניתן לנסות ולראות שאם ] = [ + [ 6לא יתקבל שדה. משפט :1איבר האפס ואיבר היחידה בשדה יחידים. הוכחה )יחידות האפס( .נניח ש 0F ,00F -האפסים של השדה .Fלכל a ∈ Fמתקיים a + 0F = a ו ;a + 00F = a-לכן בפרט ,עבור ,a = 0Fמתקיים ) 0F = 0F + 00F = 00F + 0F = 00Fבהסתמך על נייטרליות 00Fו – (0F -כלומר.0F = 00F , משפט :2לכל a ∈ Fיש נגדי )איבר bהמקיים (a + b = 0Fיחיד ולכל 0 6= a ∈ Fיש הפכי )איבר bהמקיים (ab = 1Fיחיד. 0 הוכחה )יחידות הנגדי( .יהי .a ∈ Fנניח שיש שני איברים b, b ∈ Fכך שמתקיים a + b = 0F ו .a + b0 = 0F -נוסיף 3 bלשני האגפים .b + (a + b) = b + (a + b0 ) :מהאסוציאטיביות, ;(b + a) + b = (b + a) + b0מהקומוטטיביות ;(a + b) + b = (a + b) + b0 ,מתכונת הנגדי, ,0F + b = 0F + b0ומנייטרליות האפס.b = b0 , נוסיף לדרישות השדה את הדרישה .1F 6= 0Fדרישה זו אינה בגדר חובה ,אבל טענה :3אם בשדה ,1F = 0F Fאז לכל .a = 0 ,a ∈ F הוכחה .למה :1.3יהי Fשדה .אז לכל .a · 0F = 0 ,a ∈ F 4 הוכחה .יהי .a ∈ Fמנייטרליות האפס ומהפילוג.a · 0F = a · (0F + 0F ) = a · 0F + a · 0F , נחבר לשני האגפים ;−a · 0Fנקבל )) .a · 0F + (−(a · 0F )) = a · 0F + a · 0F + (−(a · 0F 3לא ניתן ,בשלב זה ,לכתוב – −aסימון זה כרוך ביחידות ,והרי זה מה שעלינו להוכיח. 4זו אינה טענה טריוויאלית – aלא חייב להיות מספר. 6 25.10.2006 1 1.3 שדות תכונות שדה מהאסוציאטיביות a · 0F + (−(a · 0F )) = a · 0F + (a · 0F + (−a · 0F )) ,ולכן ,מתכונת הנגדי.0F = a · 0F , כעת ,נניח שבשדה .1F = 0F ,Fיהי .a ∈ Fאז ,a = a · 1F = a · 0F = 0כנדרש. 1.3 תכונות שדה יהי Fשדה ויהיו .a, b, c ∈ F אa · 0F = 0F . ב(−1F )a = −a . הוכחה .צריך להוכיח .(−1F )a = −aעל-פי יחידות הנגדי ,כיוון ש −a-הוא הנגדי של ,aאם נוכיח ש (−1F )a-אף הוא נגדי של aנקבל שמתקיים .(−1F )a = −aלכן מספיק להוכיח ,a + (−1F )a = 0Fכלומר .a + (−1F )a = a(1F + (−1F )) = a · 0F = 0F גa(−b) = (−a)b = −(ab) . ד−(−a) = a . ה(−a)(−b) = ab . ו−(a + b) = −a − b . 5 זa(b − c) = ab − ac . ח(a 6= 0F ) (a−1 )−1 = a . 6 ט(a, b 6= 0F ) (ab)−1 = a−1 b−1 . יa + c = b + c =⇒ a = b . יא(a 6= 0F ) ab = ac =⇒ b = c . יבab = 0F =⇒ a = 0F ∨ b = 0F . 1.4 29.10.2006 – Znשדה השאריות מודולו n משפט ) 4חילוק עם שארית( :יהי .1 < n ∈ Nניתן לחלק כל מספר טבעי mב n-עם שארית: קיימים r ,qיחיד כך ש.m = qn + r ∧ 0 ≤ r < n- דוגמה .למשל, r n m q 1 + 3 · 4 = 13 2 + 3 · 4 = 14 0 + 3 · 5 = 15 5כאשר כותבים ,a − bמתכוונים ל.a + (−b)- 6כאשר כותבים ,a−1מתכוונים להפכי של ,aאם קיים. 7 1.4 – Znשדה השאריות מודולו n 1 שדות נגדיר } .Zn = {0, 1, . . . , n − 1אם נבחר שני מספרים מ ,Z-נחבר אותם ,נחלק ב n-וניקח את השארית ,נקבל מספר ב .Zn -נגדיר חיבור מודולו :nאם ,a, b ∈ Zנכתוב a + b = qn + r ונגדיר .a +n b = rבאופן דומה ,נגדיר כפל ב :Zn -עבור ,a, b ∈ Zנכתוב a · b = qn + rואז .a ·n b = r דוגמה .עבור ,n = 2 1 0 ·2 1 0 +2 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 אם נסמן ] = 1 = [ ,0נקבל שוב את דוגמת הדיאז והבמול ,בה כבר ראינו שמתקבל שדה. דוגמה .עבור ,n = 4 3 2 1 0 ·4 3 2 1 0 +4 0 0 0 0 0 3 2 1 0 0 3 2 1 0 1 0 3 2 1 1 2 0 2 0 2 1 0 3 2 2 1 2 3 0 3 2 1 0 3 3 זהו אינו שדה – לא קיים :2−1נניח בשלילה ש 0 6= a ∈ Z4 -הוא ההפכי של .2על-פי הטבלה .0 = 2·4 2 ,נכפיל ב a-ונקבל ) ;a·4 0 = a·4 (2·4 2מחוק הקיבוץa·4 0 = (a·4 2)·4 2 , ועל-פי ההנחה ש a-ההפכי של – 0 = 1 ·4 2 ,2סתירה. הגדרה .יהי .a ∈ Nנסמן ב [a]n -את השארית המתקבלת על-ידי חלוקה של aב ;n-כלומר ,אם .[a]n = r ,a = qn + rאם a0 ,aנבדלים בכפולת ,(a − a0 = qn) nנכתוב ).a ≡ a0 (mod n טענה a ≡ a0 (mod n) :5אם"ם .[a]n = [a0 ]n דוגמה 31 ≡ 16 (mod 5) .כי .31 − 16 = 15 = 3 · 5אפשר לראות זאת גם על-פי כך ש 31 = 6 · 5 + 1-ו.16 = 3 · 5 + 1- הוכחה .נניח ש .a ≡ a0 (mod n)-אז a − a0 = qnולכן .a = a0 + qnנחלק את aב:n- .a0 + qn = a = kn + [a]nמכאן – a0 = (k − q)n + [a]n ,כלומר ,שארית החלוקה של a0 ב n-היא ,[a]nולכן ) .[a]n = [a0 ]nהכיוון השני – כתרגיל(. טענה :6לכל .a ≡ [a]n (mod n) ,a ∈ N הוכחה .יהי .a ∈ Nנכתוב .a = qn + [a]nאז ,a − [a]n = qnולכן ).a ≡ [a]n (mod n טענה :7אם ) a ≡ a0 (mod nו ,b ≡ b0 (mod n)-זא ).(a + b) ≡ (a0 + b0 ) (mod n 8 1 1.4 שדות – Znשדה השאריות מודולו n הוכחה .נניח .b ≡ b0 ,a ≡ a0לכן a − a0 = k1 nו ;b − b0 = k2 n-נחבר את המשוואות ונקבל .(a + b) − (a0 + b0 ) = (k1 + k2 )nאז ).(a + b) ≡ (a0 + b0 ) (mod n 1.11.2006 משפט :8לכל Zn ,1 < n ∈ Nמקיים את כל תכונות השדה פרט )אולי( לקיום הפכי לכפל )כ.(5- הוכחה .נבדוק את קיום התכונות: ח .1-סגירות :אם ,a, b ∈ Znמשפט החילוק עם שארית מבטיח ששארית החלוקה ב n-של a + b היא מספר ב.Zn - ח .2-קומוטטיביות ,a + b = b + a :לכן .a +n b = [a + b]n = [b + a]n = b +n a ח .3-אסוציאטיביות :צ"ל ).(a +n b) +n c = a +n (b +n c מהגדרת הפעולה +nנקבל .(a +n b) +n c = [[a + b]n + c]nמטענות 7ו ,6-מתקיים ,[a + b]n + c ≡ (a + b) + cלכן על-פי טענה .[[a + b]n + c]n = [(a + b) + c]n ,5 מאסוציאטיביות Zנקבל ,[(a + b) + c]n = [a + (b + c)]nועל-פי טענות 7ו,6- a + (b + c) ≡ a + [b + n]nולכן ,מטענה .[a + (b + c)]n = [a + [b + c]n ]n ,5אז ).(a +n b) +n c = a +n (b +n c ח .4-קיום איבר אפסa +n 0 = [a + 0]n = [a]n = a : 7 ח .5-קיום איברים נגדיים :יהי ;0 6= a ∈ Znניקח .−a = n−aאז מתקיים = )a+n (n−a .[a + (n − a)]n = [n]n = 0אם ,a = 0ניקח .−a = 0 כ .1-סגירות :אם ,a, b ∈ Znמשפט החילוק עם שארית מבטיח ששארית החלוקה ב n-של a · b היא מספר ב.Zn - כ .2-קומוטטיביותa ·n b = [ab]n = [ba]n = b ·n a : כ .3-אסוציאטיביות: למה :1.8יהיו .a, a0 , b, b0 ∈ Znאם ) a ≡ a0 (mod nו b ≡ b0 (mod n)-אז .ab ≡ a0 b0 הוכחה .נניח a ≡ a0ו .b ≡ b0 -אז a − a0 = k1 nו .b − b0 = k2 n-אז – = ab − a0 b + a0 b − a0 b0 ab − a0 b0 ) = b(a − a0 ) + a0 (b − b0 = b · k1 n + a0 · k2 n (b · k1 + a0 · k2 )n = ולכן .ab ≡ a0 b0 ממשיכים באופן דומה להוכחת אסוציאטיביות החיבור. כ .4-קיום איבר יחידהa ·n 1 = [a · 1]n = [a]n = a : ∀a ∈ Zn כ-ח .דיסטריבוטיביות הכפל מעל החיבור :צ"ל .a ·n 1 = [a · 1]n = [a]n = aכתרגיל. כ .5-קיום איברים הפכיים :לא תמיד מתקיימת 7אי-אפשר להגדיר −a = [n − a]nכי פעולה זו אינה מוגדרת מחוץ ל.Zn - 9 1.5 1 המציין של שדה שדות הגדרה 1 < p ∈ N .נקרא ראשוני אם אין (k, l ∈ N) 1 < k ,l < pכך ש.kl = p- אחרת p ,נקרא פריק. משפט ) 9המשפט היסודי של האריתמטיקה( :כל מספר 1 < n ∈ Nניתן להצגה באופן יחיד )עד-כדי סדר הגורמים( כמכפלת גורמים ראשוניים. טענה :10יהי pמספר ראשוני .m, n ∈ N ,אם pגורם של mnאז pגורם של mאו של .n הוכחה .נניח ש p-גורם של .mnנציג את mו n-כמכפלת ראשוניים,m = pt11 . . . ptkk : .n = q1r1 . . . qlrlאז .mn = pt11 . . . ptkk q1r1 . . . qlrlאם pגורם של ,mnהוא מתלכד עם אחד המספרים הראשוניים ב – mn-כלומר p = pi ,או .p = qjבמקרה הראשון p ,גורם של ;mבשני ,של .n טענה :11אם n ∈ Nאינו ראשוני Zn ,אינו שדה. הוכחה n = kl .כאשר .1 < k ,l < nאז ,k, l ∈ Znו.l ·n k = [lk]n = [n]n = 0- נניח בשלילה כי xהוא ההפכי של kב .Zn -אז ,k ·n x = 1ו .l ·n (k ·n x) = l-אבל לפי האסוציאטיביות .l ·n (k ·n x) = (l ·n k) ·n x = 0 ·n x = 0קיבלנו ש – 0 = l-סתירה. 8 טענה :12אם n ∈ Nראשוני Zn ,שדה. הוכחה .הוכחנו את כל התכונות ,פרט לקיום איברים הפיכים .יהי ;0 6= k ∈ Znנוכיח ש k-הפיך .נתבונן במספרים הבאים .k ·n 0, k ·n 1, . . . , k ·n (n − 1) :אם בקבוצה זו אין שני מספרים שווים ,כל איברי Znבקבוצה ,וביניהם – 1כלומר ,קיים lכך ש.k ·n l = 1- נניח בשלילה שקיימים 0 ≤ l1 < l2 ≤ n − 1כך ש .k ·n l1 = k ·n l2 -אם כן ,מתקיים [kl1 ]n = [kl2 ]nולכן .kl1 ≡ kl2לכן .k(l2 − l1 ) = kl2 − kl1 = qnכיוון ש n-ראשוני, אם nגורם של ) k(l2 − l1אז nגורם של l2 − l1או של – kסתירה ,כי 0 < l2 − l1 < n ו) 0 < k < n-כלומר n ,גדול משניהם(. 1.5 המציין של שדה יהי Fשדה .אז .0F , 1F ∈ Fנתבונן באיברים .0F , 1F , 1F + 1F , 1F + 1F + 1F , . . .ישנן שתי אפשרויות :כל האיברים שונים זה מזה ,או קיימים m 6= nטבעיים שעבורם מתקיים .1F + . . . + 1F = 1F + . . . + 1F {z | } {z } | nפעמים mפעמים נתמקד במקרה השני .נניח .m > nנוסיף −1Fלשני צידי המשוואה: ) 1 + . . . + 1F +(−1F ) = 1F + . . . + 1F +(−1F | F {z } | {z } mפעמים nפעמים 8אין זה אומר שכלל לא יהיו מספרים הפיכים :אם tזר ל ,n-מתקיים [st]n 6= 0 ∀s ∈ Nו t-הפיך .אולם מספיק שיש בלתי-הפיך אחד כדי ש Zn -לא יהיה שדה ,והראינו שלכל kשמחלק את nלא קיים הפכי. 10 5.11.2006 1 1.6 שדות Rו – C-המספרים הממשיים והמרוכבים כלומר .1F + . . . + 1F = 1F + . . . + 1F ,לאחר nחיסורים ,נקבל .1F + . . . + 1F = 0F {z } | {z | } {z } | n − 1פעמים m − nפעמים m − 1פעמים הגדרה .המספר הטבעי המינימלי kעבורו 1F + . . . + 1F = 0Fייקרא המציין של השדה. | {z } kפעמים מסמנים .char F = kאם לא קיים kכזה )כלומר ,אם מתקיים המקרה הראשון( ,אומרים .char F = 0 דוגמה.char Zn = n 9 ;char Q = 0 . משפט :13אם n ,char F = n > 0ראשוני. הוכחה .נניח ש n-אינו ראשוני .אז יש 1 < k, l < nכך ש .n = kl-אז kפעמים z |} { ) (1F + . . . + 1F )(1F + . . . + 1F ) = 1F (1F + . . . + 1F ) + . . . + 1F (1F + . . . + 1F | {z | } {z } {z } | {z } | lפעמים lפעמים lפעמים 1 + . . . + 1F = 0F | F {z } kפעמים = kl = nפעמים לפי תכונות השדה ,אם ab = 0Fאז a = 0Fאו .b = 0Fאז 1F + . . . + 1F = 0Fאו | {z } kפעמים ,1F + . . . + 1F = 0Fבסתירה למינימליות .n | {z } lפעמים 1.6 Rו – C-המספרים הממשיים והמרוכבים באופן לא-פורמאלי ,נאמר שכל מספר ממשי xניתן לייצוג כ ,x = n.d1 d2 . . .-כאשר n ∈ N ¯¯ = 0. .1.0 ו .di ∈ {0, . . . , 9}-זה נקרא פיתוח עשרוני .ההצגה אינה יחידה – למשל9 , )· (R, +,שדה. 2 לא קיים מספר ממשי המקיים .x = −1נניח שיש שדה שמכיל את Rובו יש מספר שהוא √ ; −1נקרא לאיבר זה .iשדה כזה יהיה חייב להיות סגור לכפל ולחיבור )אם ,x, y ∈ Rגם x + iy יהיה בשדה החדש( .כמו-כן ,החיבור חייב לקיים ) (x + iy) + (x0 + iy 0 ) = (x + x0 ) + i(y + y 0 והכפל חייב לקיים (x + iy) · (x0 + iy 0 ) = xx0 + ixy 0 + ix0 y + i2 yy 0 = (xx0 − yy 0 ) + ).i(xy 0 + x0 y הגדרה ,C = {(x, y) | x, y ∈ R} .כך ש.x = x0 , y = y 0 ⇐⇒ (x, y) = (x0 , y 0 )- נגדיר חיבור )רכיב-רכיב((x, y) ⊕ (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 ) : נגדיר כפל.(x, y) (x0 , y 0 ) = (xx0 − yy 0 , xy 0 + x0 y) : 10 טענה :14הקבוצה Cעם פעולות הכפל והחיבור שהגדרנו מהווה שדה. הוכחה .מתבססת על תכונות .Rכתרגיל .מספר נקודות חשובות: 9למעשה ,המציין של כל שדה שמכיל את Zהוא .0 10כפי שמיד נראה ;0C = (0, 0) ,אילו היינו מגדירים כפל רכיב-רכיב ,היינו מקבלים ,גם אם ),(x, 0), (0, y) 6= (0, 0 ).(x, 0) (0, y) = (0, 0 11 מציין של שדה 1.6 1 Rו – C-המספרים הממשיים והמרוכבים שדות ח .4-איבר אפס(x, y) + (0, 0) = (x, y) : ח .5-איברים נגדיים(x, y) + (−x, −y) = (0, 0) : כ .4-איבר יחידה(x, y) · (1, 0) = (x − 0, 0 + y) = (x, y) : כ .5-איברים הפכיים :אם ) ,(x, y) 6= (0, 0נסמן −y x ( x2 +y ) 2 , x2 +y 2 0 0 = ) .(x , yקל לראות ש.(x, y) · (x0 , y 0 ) = (1, 0)- .Rונגדיר העתקה ¯ נתבונן בקבוצה החלקית ¯ = {(x, 0) | x ∈ R} ⊆ C f : R → Rעל-ידי ) f .f (x) = (x, 0היא העתקה חד-חד ערכית )כלומר ,לכל איבר ¯ ב R-יש לכל היותר מקור אחד ב .(R-הפונקציה fשומרת על הפעולות ב:R- 0 ) (x + x , 0) = (x, 0) ⊕ (x0 , 0) = f (x) ⊕ f (x0 = ) f (x + x ) (xx0 , 0) = (x, 0) (x0 , 0) = f (x) f (x0 = ) f (x · x0 fהיא העתקת שיכון; אז Rמשוכן ב.C- 0 11 8.11.2006 טענה :15האיבר i = (0, 1) ∈ Cהוא שורש של ) 12 .−1כלומר(.i2 = (−1, 0) , הוכחהi2 = (0, 1)2 = (0, 1) (0, 1) = (−1, 0) . יהי .(x, y) ∈ Cאז .(x, y) = (x, 0) ⊕ (0, y) = x ⊕ ((0, 1) (y, 0)) = x ⊕ iy לכן כל מספר מרוכב ניתן להציג כ x ⊕ iy-כאשר – x, y ∈ Rכלומר ,נוכל לכתוב אחרת: .C = x + iy | x, y ∈ R, i2 = −1 הגדרה .עבור x ,z = x + iy ∈ Cנקרא החלק הממשי של y ;(x = Re z) zנקרא החלק המדומה של (.y = Im z) z לפי הכתיב החדש: = ) (x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 = ) (x + x0 ) + i(y + y 0 = = )(x, y) · (x0 , y 0 ) = (xx0 − yy 0 , xy 0 + x0 y = )(xx0 − yy 0 ) + i(xy 0 + x0 y = כפי שהיה ניתן לצפות ,על-פי כללי החשבון הרגילים. ) (x + iy) + (x0 + iy 0 ) (x + iy) · (x0 + iy 0 13 11לא ניתן להגיד R ⊆ Cמכיוון של R-ול C-מבנים שונים. 12למעשה ,יש עוד שורש – ).(0, −1 13אם iקבוע.(x + iy)(x0 + iy 0 ) = xx0 + ixy 0 + iyx0 + i2 yy 0 = (xx0 − yy 0 ) + i(xy 0 + x0 y) , 12 2 מרחבים וקטוריים מרחבים וקטוריים 2 2.1 הגדרת מרחב וקטורי הגדרה .יהי Fשדה .קבוצה V 14נקראת מרחב וקטורי מעל Fאם א .מוגדרת בתוך Vפעולת "חיבור" )מסומנת (+המקיימת: מרחב וקטורי ח .1-לכל v1 , v2 ∈ Vיש v3 ∈ Vיחיד כך ש) v1 + v2 = v3 -סגירות( ח .2-לכל ) v1 + v2 = v2 + v1 ,v1 , v2 ∈ Vקומוטטיביות( ח .3-לכל ) (v1 + v2 ) + v3 = v1 + (v2 + v3 ) ,v1 , v2 , v3 ∈ Vאסוציאטיביות( ח .4-קיים איבר 0V ∈ Vכך שלכל ) v + 0V = v ,v ∈ Vקיום איבר אפס( ח .5-לכל v ∈ Vקיים איבר שנסמנו −v ∈ Vכך ש) v + (−v) = 0V -קיום נגדיים( ב .לכל v ∈ Vולכל α ∈ Fמוגדר .a · v ∈ Vפעולה זו נקראת כפל בסקלר ,ומתקיים ,לכל :α, β ∈ F ,v1 , v2 ∈ V כ) αv1 ∈ V .1-סגירות( כα(v1 + v2 ) = αv1 + αv2 .2- כ) (α + β)v1 = αv1 + βv1 .3-דיסטריבוטיביות( כ) 1F · v1 = v1 .4-קיום סקלר יחידה( כ) (αβ) · v1 = α(β · v1 ) .5-אסוציאטיביות( דוגמה .ניקח xi ∈ R} ,F = R ) V = Rn = {(x1 , . . . , xn ) | ∀i = 1 . . . nאוסף ה-n-יות(. נגדיר חיבור רכיב-רכיב .ניתן לראות שח ,1-ח ,2-ח 3-מתקיימות ,על-פי קיומן ב .R-איבר האפס .(0, . . . , 0) :איבר נגדי.−(x1 , . . . , xn ) = (−x1 , . . . , −xn ) : נגדיר כפל בסקלר רכיב-רכיב .נבדוק ,למשל ,את כ) 2-השאר כתרגיל( :יהיו ,α ∈ R ) .v2 = (y1 , . . . , yn ) ,v1 = (x1 , . . . , xnאז ) = α(x1 + y1 , . . . , xn + yn )) (α(x1 + y1 ), . . . , α(xn + yn = ) (αx1 + αy1 , . . . , αxn + αyn = ) (αx1 , . . . , αxn ) + (αy1 , . . . , αyn = ) α(v1 + v2 = α(x1 , . . . , xn ) + α(y1 , . . . , yn ) = αv1 + αv2 ניתן להכליל דוגמה זו עבור Fשדה כלשהו ו ,V = Fn -כאשר החיבור והכפל בסקלר מוגדרים רכיב-רכיב ,בדיוק כמו ב .Rn -בפרט ,על כל שדה ניתן להסתכל כמרחב וקטורי מעל עצמו ,כאשר החיבור הוקטורי הוא החיבור של השדה והכפל בסקלר הוא הכפל בשדה )למשל, .(F = V = R 14לא בהכרח שדה. 13 תכונות מרחב וקטורי 2.2 מרחבים וקטוריים 2 דוגמה. דוגמה C .הוא מרחב וקטורי מעל .Rהחיבור – החיבור הרגיל ב ;C-הכפל בסקלר – כפל מתוך .(α(x + iy) = αx + iαy) R דוגמה(.char V = 2) .F = Z2 = {0, 1} ,V = {0, 1, a, a + 1} . 1 a a+1 0 + a+1 a 1 0 · a+1 a 1 0 0 0 0 0 0 0 a a+1 0 1 1 a+1 a 1 0 1 1 0 a+1 a a 0 1 a a+1 a+1 12.11.2006 דוגמה V = R3 = {(α1 , α2 , α3 ) | α1 , α2 , α3 ∈ R} .עם פעולת חיבור חדשה ⊕) (α1 , α2 , α3 ) (β1 , β2 , β3 ) = (α1 β1 , α2 β2 , α3 β3ופעולת הכפל בסקלר ) λ(α1 , α2 , α3 ) = (α1λ , α2λ , α3λ ).(λ ∈ R דוגמה .אוסף כל הפונקציות } L = {f | f : R → Rעם פעולת החיבור = )(f1 + f2 )(x ) f1 (x) + f2 (xופעולת הכפל בסקלר ).(λ ∈ R) (λf )(x) = λf (x 2.2 תכונות מרחב וקטורי תכונות מרחב וקטורי יהי Vמרחב וקטורי מעל שדה .F א .ב V -יש איבר אפס יחיד; סימונו 0Vאו .~0 ב .לכל ~v ∈ Vיש איבר נגדי יחיד. ג .לכל .λ · ~0 = ~0 ,λ ∈ F ד .לכל .0 · ~v = ~0 ,~v ∈ V ה .לכל .−1 · ~v = −~v ,~v ∈ V ו .לכל −(~u + ~v ) = (−~u) + (−~v ) ,~u, ~v ∈ V ז .לכל .−(−~v ) = ~v ,~v ∈ V הוכחה )ג’( .יהי .λ ∈ F λ·~0 = λ(~0+~0) = λ·~0+λ·~0 ⇐⇒ λ·~0+(−λ·~0) = λ·~0+λ·~0+(−λ·~0) ⇐⇒ ~0 = λ·~0 פעולת החיסור במרחב וקטורי מוגדרת על-ידי ).~v − ~u = ~v + (−~u 2.3 המודל הגיאומטרי של R2ושל R3 את איברי R2ניתן לזהות כאוסף הנקודות במישור אם נבחר מערכת צירים קרטזית ,או אם נזהה כל נקודה (x, y) ∈ R2עם החץ היוצא מהראשית ומסתיים באותה נקודה .חץ כזה נקרא וקטור גיאומטרי .באותו אופן ,איברי R3יותאמו לוקטורים גיאומטריים במרחב. 14 2 2.3 מרחבים וקטוריים המודל הגיאומטרי של R2ושל R3 כפל בסקלר יהי ) ~a = (α1 , α2וקטור גיאומטרי ב .R2 -אם ) ~a ,~a 6= (0, 0מגדיר ישר אחד ויחיד במישור – הישר שעובר דרך הראשית ודרך ) .(α1 , α2ישר זה נקרא הישר הנקבע על-ידי .~a טענה :16יהי .~b = λ~a ,λ ∈ Rהנקודה ~bנמצאת על הישר הנקבע על-ידי .~a הוכחה .אם .~b = 0 · ~a = ~0 ,λ = 0כלומר ~b ,היא הראשית ולכן נמצאת על הישר שקובע .~a אם .~b 6= ~0 ,λ 6= 0נכתוב ) .~b = (β1 , β2 ) ,~a = (α1 , α2נניח .α1 6= 0נסמן את הזוית בין ~a ל θ (1, 0)-ואת הזוית בין ~bל.ϕ (1, 0)- = = ) ~b = λ~a = (λα1 , λα2ולכן = tan θ = .tan ϕמכאן ϕ = θ ,או .ϕ = θ + πבמקרה הראשון ~b ,~a ,באותו צד של הראשית ,על אותו ישר; במקרה השני~b ,~a , α2 α1 λα2 λα1 β2 β1 מצדדים שונים של הראשית ,על אותו ישר) .אם (.ϕ = θ + π ,λ < 0 במקרה ש ~a ,α1 = 0-על ציר ה ,y-ולכן ~b = λ~aגם-כן על ציר ה.y- הראינו שכל נקודה מהצורה λ~aנמצאת על הישר ש ~a-קובע .ניתן להראות שגם ההיפך נכון – כלומר ,כל נקודה שנמצאת על הישר ש ~a-קובע היא מהצורה {λ~a | λ ∈ R} .λ~aהיא הצגה פרמטרית של הישר הנקבע על-ידי .~a חיבור יהיו .~a, ~b ∈ R2נניח ש ~b-אינו נמצא על הישר הנקבע על-ידי .~aנצייר מקבילית אשר שתיים מצלעותיה הן הקטעים המוגדרים על-ידי הוקטורים הגיאומטריים ~aו .~b-נתבונן באלכסון מקבילית זו ,שקצהו האחד בראשית ואת קצהו השני נסמן ב.~c- טענה .~a + ~b = ~c :17 הוכחה .נסמן ) .~c = (γ1 , γ2 ) ,~b = (β1 , β2 ) ,~a = (α1 , α2צ"ל .γ2 = α2 +β2 ,γ1 = α1 +β1 ש 0a-מקביל ~ ~ ל bc-ושווה לו, נניח שכל הנקודות ברביע הראשון )הכללת ההוכחה – כתרגיל( .כיוון הרי גם היטליהם על ציר ה x-שווים .כלומר α1 = γ1 − β1 ,ומכאן ש .γ1 = α1 + β1 -באופן דומה נקבל .γ2 = α2 + β2לכן .~c = ~a + ~b אם ~aו ~b-קובעים אותו ישר ,אז ~b = λ~aולכן ,~a + ~b = ~a + λ~a = (1 + λ)~aואז גם ~c = ~a + ~bנמצא על אותו ישר. הצגה פרמטרית של R2 15.11.2006 יהיו a1 , a2 ∈ R2שתי נקודות .נניח כי a~2אינה על הישר הנקבע על-ידי .a~1 טענה :18לכל ~b ∈ R2יש λ1 , λ2 ∈ Rכך ש.~b = λ1 a~1 + λ2 a~2 - הוכחה .תהי ~bנקודה במישור .נניח תחילה כי ~bאינה על הישרים הנקבעים על-ידי .a~2 ,a~1 נעביר דרך ~bמקבילים לישרים הנקבעים על-ידי .a~2 ,a~1נסמן a~02 ,a~01את נקודות החיתוך של 15 2.4 2 תת-מרחבים מרחבים וקטוריים מקבילים אלה עם הישרים הנקבעים על-ידי .a~2 ,a~1כעת ,על-פי כלל המקבילית.~b = a~01 + a~02 , a~0נמצא על הישר הנקבע על-ידי a~0 ;a~1נמצא על הישר הנקבע על-ידי .a~2לכן יש λ1 , λ2 ∈ Rכך 2 1 ש .a~02 = λ2 a~2 ,a~01 = λ1 a~1 -לכן .~b = λ1 a~1 + λ2 a~2 אם ~bנמצאת על הישר שקובע ,~b = λ1 a~1 + 0 · a~2 ,a~1ובאופן דומה אם ~bעל הישר שקובע .a~2 הצגה פרמטרית של R3 יהיו a1 , a2 ∈ R3כך ש a~2 ,a~1 -אינם קובעים אותו ישר; אז הישרים הנקבעים על-ידי a~2 ,a~1 קובעים מישור ב R3 -העובר דרך הראשית .ניתן להראות כי כל נקודה ~c ∈ R3הנמצאת במישור זה ניתנת להצגה כ.~c = λ1 a~1 + λ2 a~2 - תת-מרחבים 2.4 2.4.1 תת-מרחב הגדרת תת-מרחב הגדרה .יהי Vמרחב וקטורי מעל שדה .Fתהי U .U ⊆ Vתת-מרחב של (U ≤ V ) Vאם U מרחב וקטורי ביחס לפעולות של .V דוגמה )תת-מרחבים טריוויאליים(.V ≤ V ;{0V } ≤ V . דוגמה.U ≤ V ⇐= V = R3 ,u = {(x1 , x2 , 0) | x1 , x2 ∈ R} . הוכחה .נראה את קיום התכונות. ח .1-סגירות :צ"ל כי לכל u2 = ,u1 = (x1 , x2 , 0) .u1 + u2 ∈ U ,u1 , u2 ∈ U ) ,(y1 , y2 , 0ואכן .u1 + u2 = (x1 + y1 , x2 + y2 , 0) ∈ U ח .2-קומוטטיביות :נובעת בירושה מ.V - ח .3-אסוציאטיביות :נובעת בירושה מ.V - ח .4-קיום איבר אפס.0 = (0, 0, 0) ∈ U : ח .5-קיום איברים נגדיים.−u = (−x1 , −x2 , 0) ∈ U ⇐ u = (x1 , x2 , 0) ∈ U : כ .1-סגירות :אם ,λ ∈ R ,u = (x1 , x2 , 0) ∈ Uאז .λu = (λx1 , λx2 , 0) ∈ U כ .3,2-דיסטריבוטיביות :נובעת בירושה מ.V - כ .4-קיום סקלר יחידה .1F · u = u :נובע בירושה מ.V - כ .5-אסוציאטיביות .(λα)u = λ(αu) :נובעת בירושה מ.V - 16 2 מרחבים וקטוריים 2.4.2 2.4 תת-מרחבים קריטריון לקיום תת-מרחב ניתן לראות ,על-פי הדוגמה ,שבהינתן מרחב וקטורי Vמעל Fוקבוצה U ⊆ Vמספיק שיתקיימו ארבעה תנאים בלבד על-מנת שיתקיים :U ≤ V ח∀u1 , u2 ∈ U u1 + u2 ∈ U .1- כ∀u ∈ U, λ ∈ F λu ∈ U .1- ח0V ∈ U .4- ח∀u ∈ U − u ∈ U .5- נוכל לצמצם את הדרישות האלו אם נשים לב שאם תנאי כ 1-נתון ,ח 5-נובע ממנו – יהי .u ∈ Uאז .−u = −1F · u ∈ Uבנוסף ,אם ∅ = U 6וכ 1-נתון ,ח 4-מתקיים :יהי ) u ∈ Uקיים, כי ∅ = .(U 6ניקח λ = 0ונקבל .λu = 0 · u = 0 ∈ Uנסכם: יהי Vמרחב וקטורי מעל .Fתהי .U ⊆ Vאז U ≤ Vאם אU 6= ∅ . קריטריון לקיום תת-מרחב ב∀u1 , u2 ∈ U, u1 + u2 ∈ U . ג∀u ∈ U, λ ∈ F λu ∈ U . xi ∈ R P דוגמה,V = Rn . x =0 i | ) .U = (x1 , . . . , xn דוגמה.U = {λv0 | λ ∈ R} ,v0 ∈ V ,V = R3 . דוגמה.U = {αv0 + βv1 | α, β ∈ R} ,v0 , v1 ∈ R3 ,V = R3 . 2.4.3 19.11.2006 תת-מרחב הנפרש על-ידי קבוצה יהי Vמרחב וקטורי מעל שדה .Fתהי K .∅ 6= K ⊆ Vאינה בהכרח תת-מרחב :למשל, 3 3 .K = {(1, 2, 3)} ,V = Rאבל } K = {λ(1, 2, 3) | λ ∈ Rתת-מרחב של .R הגדרה .יהי Vמרחב וקטורי מעל .15 ∅ 6= {v1 , . . . , vn } = K ⊆ V ,Fנגדיר = span K } – {λ1 v1 + . . . + λn vn | λi ∈ Fהנפרש של .K מקובל להגדיר }.span ∅ = {0 דוגמה.K = {(1, 2), (2, 9)} . )(1, 2) = 1(1, 2) + 0(2, 9 )(2, 9) = 0(1, 2) + 1(2, 9 )(7, 24) = 3(1, 2) + 2(2, 9 span K ... 15הנחנו ש K-קבוצה סופית ,לשם השפטות .זה לא הכרח. 17 נפרש של קבוצה צירופים לינאריים 2.5 מרחבים וקטוריים 2 משפט :19יהי Vמרחב וקטורי מעל .Fתהי .∅ 6= {v1 , . . . , vn } = K ⊆ Vאז: אspan K ≤ V . בK ⊆ span K . ג .אם K ⊆ W ,W ≤ Vאז ) span K ⊆ Wכלומר span K ,הוא המינימלי המקיים את התכונות א’ וב’(. ב .אם ,v ∈ Kיש i ∈ 1, . . . , nכך ש ,v = vi -ואז v = 0 · v1 + . . . + 0 · vi−1 + הוכחה. .1 · vi + 0 · vi+1 + . . . + 0 · vn ב’ א ,span K 6= ∅ .כי .∅ 6= K ⊆ span Kסגירות לחיבור :יהיו .x1 , x2 ∈ span K (αi , βi ∈ F) x1 = α1 v1 + . . . + αn vn ⇐= x1 ∈ span K x2 = β1 v1 + . . . + βn vn ⇐= x2 ∈ span K לכן .x1 + x2 = (α1 + β1 )v1 + . . . + (αn + βn )vn ∈ span K סגירות לכפל בסקלר :יהי .λ ∈ F ,x ∈ span Kניתן לכתוב αi vi Pn Pn λx = λ i=1 αi vi = i=1 (λαi )vi ∈ span K Pn i=1 = .xכעת, ג .יהי .K ⊆ W ,W ≤ Vנוכיח .spnK ⊆ W יהי .(αi ∈ F) x = α1 v1 + . . . + αn vn ⇐= x ∈ span Kאבל הרי ∈ v1 , . . . , vn ,K ⊆ Wו W -תת-מרחב – סגור לחיבור ולכפל בסקלר .מכאן.x ∈ W , קבוצה פורשת הגדרה .אם ,V = span Kאומרים ש K-פורשת את .V דוגמה .כל קבוצה Kפורשת את .span K דוגמה .עבור } .span K = R3 ,K = {e1 , e2 , e3 הוכחה .נראה הכלה הדדית .K ⊆ R3 :span K ⊆ R3 .על-פי משפט קודם ,כיוון שR3 - מרחב וקטורי המכיל את ,Kהוא מכיל גם את .span K :R3 ⊆ span Kיהי .x = (α1 , α2 , α3 ) ∈ R3אז ניתן לכתוב .x = α1 (1, 0, 0) + α2 (0, 1, 0) + α3 (0, 0, 1) = α1 e1 + α2 e2 + α3 e3 ∈ span K 2.5 צירוף לינארי צירופים לינאריים הגדרה .יהי Vמרחב וקטורי מעל שדה .Fיהיו .v1 , . . . , vk ∈ Vסכום מהטיפוס = αi vi Pk i=1 (∀i ∈ N αi ∈ F) a1 v1 + . . . + ak vkנקרא צירוף לינארי של הוקטורים .v1 , . . . , vk דוגמה 7v1 − πv2 = (14 − 3π, 28 − π) .v1 = (2, 4), v2 = (3, 1) ∈ R2 .צירוף לינארי של v1ו.v2 - דוגמה .נסמן .e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) ∈ R3כל וקטור בR3 - הוא צירוף לינארי של ,e1 , e2 , e3כי אם ) v = (α1 , α2 , α3נקבל v = α1 (1, 0, 0) + .α2 (0, 1, 0) + α3 (0, 0, 1) = α1 e1 + α2 e2 + α3 e3 18 2 2.5 מרחבים וקטוריים צירופים לינאריים יש לשים לב שצירוף לינארי הוא צירוף של מספר סופי של וקטורים. וקטור האפס הוא צירוף לינארי של כל kוקטורים מתוך ) Vניתן לכתוב .(0 = 0·v1 +. . .+0·vk הגדרה .יהי Vמרחב וקטורי מעל .Fאם v ∈ Vצירוף לינארי של v ,v1 , . . . , vkתלוי לינארית תלות לינארית ב.v1 , . . . , vk - הגדרה .יהי Vמרחב וקטורי מעל ∅ 6= K = {v1 , . . . , vk } .Fתלויה לינארית אם אחד מאיבריה תלוי לינארית בחבירו )כלומר ,קיים vi ∈ Kכך שvi = α1 v1 + . . . + αi−1 vi−1 +- .(αi ∈ F ,αi+1 vi+1 + . . . + αk vk 16 דוגמה K = {(1, 2), (3, 4), (−5, −6)} .תלויה לינארית(−5, −6) = 1(1, 2) + : ).(−2)(3, 4 נשים לב שוקטור האפס הופך כל קבוצה שהוא בתוכה לתלויה. הגדרה .הביטוי α1 v1 + . . . + αk vk = 0נקרא צירוף לינארי מתאפס .אם כל המקדמים הם ,0 צירופים לינאריים מתאפסים נאמר שזהו צירוף מתאפס טריוויאלי. 22.11.2006 משפט :20קבוצה } B = {v1 , . . . , vkתלויה לינארית אם ורק אם יש בה צירוף לינארי מתאפס תלות לינארית :הגדרה שקולה שאינו טריוויאלי. הוכחה .נניח ש B-תלויה לינארית .אז יש וקטור vi ∈ Bשהוא צירוף לינארי של חבריו .כלומר, .vi = α1 v1 + . . . + αi−1 vi−1 + αi+1 vi+1 + . . . + αk vkלכן α1 v1 + . . . + αi−1 vi−1 − .1vi + αi+1 vi+1 + . . . + αk vk = 0זהו צירוף לינארי מתאפס כאשר לא כל המקדמים הם .0 כלומר ,זהו צירוף לינארי שאינו טריוויאלי. מצד שני ,נניח שיש צירוף לינארי מתאפס שאינו טריוויאלי .α1 v1 + . . . + αk vk = 0בלי הגבלת הכלליות ,נניח ש ,α1 6= 0-ואז αk α1 vk α2 v2 − . . . − v1 .v1 = − αניתן להצגה כצירוף 1 לינארי של חבריו ,ולכן Bתלויה. הגדרה .קבוצה Bנקראת בלתי-תלויה לינארית אם היא אינה תלויה – כלומר ,אם אין בה וקטור שתלוי לינארית בחבריו – כלומר ,אם כל צירוף לינארי מתאפס של איברי הקבוצה הוא טריוויאלי ).(α1 = . . . = αk = 0 ⇐= α1 v1 + . . . + αk vk = 0 דוגמה .הוכח כי }) B = {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 1בת"ל. הוכחה .נסמן את הוקטורים ב B-ב vi -לפי הסדר .כעת נניח שמתקיים α1 v1 + α2 v2 + ) α3 v3 + α4 v4 = (0, 0, 0, 0ונוכיח .α1 = α2 = α3 = α4 = 0 ובכן ,נניח ).α1 (1, 0, 1, 0)+α2 (0, 1, 0, 0)+α3 (0, 1, 1, 1)+α4 (0, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, 0 אז (α1 , 0, α1 , 0)+(0, α2 , 0, 0)+(0, α3 , α3 , α3 )+(0, 0, 0, α4 ) = (α1 , α2 +α3 , α1 + 16מספיק שיהיה איבר אחד בקבוצה שתלוי בחבריו; לא תמיד כל איבר יהיה תלוי בחבריו. 19 אי-תלות לינארית 2.5 2 צירופים לינאריים מרחבים וקטוריים ) .α3 , α3 +α4 ) = (0, 0, 0, 0לכן ,כנדרש.α4 = 0 ⇐= α2 = 0 ⇐= α3 = 0 ⇐= α1 = 0 : דוגמה B = {(1, 0), (0, 1), (1, 1)} .תלויה לינארית. הוכחה.α1 (1, 0) + α2 (0, 1) + α3 (1, 1) = (0, 0) =⇒ α1 + α3 = 0 ∧ α2 + α3 = 0 . נבחר ;α3 = −1אז ,α1 = α2 = −α3 = −1ו.1(1, 0) − 1(0, 1) + 1(1, 1) = (0, 0)- דוגמה ∅ .בת"ל) .מתקיים ,באופן ריק ,שכל צירוף לינארי מתאפס של איברי ∅ טריוויאלי(. למה ) 21סגירת הדלת :(17יהי Vמרחב וקטורי מעל .Fיהיו v1 , . . . , vk ∈ Vכך שהקבוצה } {v1 , . . . , vk−1בלתי-תלויה לינארית .אז } {v1 , . . . , vkתלויה לינארית אם"ם vkהוא צירוף לינארי של .v1 , . . . , vk−1 18 דוגמה :v1 = (1, 0), v2 = (0, 1), v3 = (1, 1) .הקבוצה } {v1 , v2בלתי-תלויה ,אך } {v1 , v2 , v3כבר תלויה. הוכחה .אם .{v1 , . . . , vk−1 } = ∅ ,k = 1אם ,vk = v1 = 0קיבלנו } {0וזו קבוצה שתלויה לינארית באיברי ∅ על-פי הגדרה )כי } .(span ∅ = {0אם {v1 } ,v1 6= 0אינה תלויה לינארית. כעת נוכל להניח ש .k ≥ 2-נניח ש vk -צירוף לינארי של .v1 , . . . , vk−1אז הקבוצה } {v1 , . . . , vkבוודאי תלויה לינארית. מצד שני ,אם הקבוצה } {v1 , . . . , vkתלויה ,יש α1 , . . . , αk ∈ Fלא כולם אפסים כך ש .α1 v1 +. . .+αk vk = 0-נטען שבהכרח ;αk 6= 0אחרת ,נקבל α1 v1 +. . .+αk−1 vk−1 = 0 כשלא כל המקדמים אפסים ,וזו סתירה לאי-תלות הוקטורים האלו .אז נוכל לכתוב = vk αk−1 αk vk−1 – − ααk1 v1 − . . . −כלומר vk ,צירוף לינארי של חבריו ,ולכן הקבוצה תלויה. 26.11.2006 למה ) 22למת הקודמים( :יהי Vמרחב וקטורי וכן v1 , . . . , vk .v1 , . . . , vk ∈ Vתלויים לינארית אם"ם קיים 1 ≤ j ≤ kכך ש vj -צ"ל של קודמיו. הוכחה .נניח שקיים 1 ≤ j ≤ kכך ש vj -צ"ל של קודמיו .אז ,לפי ההגדרה v1 , . . . , vk ,ת"ל. מצד שני ,נניח ש v1 , . . . , vk -תלויים לינארית .נסמן ב j-את האינדקס הקטן ביותר עבורו v1 , . . . , vjת"ל) .בוודאי קיים jכזה ,שהרי הוקטורים תלויים (.כיוון ש j-מינימלי ,הרי v1 , . . . , vj−1בת"ל .לכן ,לפי למת סגירת הדלת ,כיוון ש v1 , . . . , vj−1 -בת"ל ו v1 , . . . , vj -ת"ל, vjצירוף לינארי של .v1 , . . . , vj−1 18כלומר ,אם k − 1הוקטורים הראשונים בקבוצה בלתי-תלויים ,כדי שהקבוצה תהיה תלויה הוקטור האחרון חייב להיות תלוי באחרים) .תלויות נוספות יכולות להיווצר במקרה זה ,אבל זה לא רלוונטי(. 20 2 מרחבים וקטוריים 2.6 2.6 בסיסים בסיסים נתבונן בוקטורים }) B = {(1, 2), (2, 3), (3, 5ב .R2 -כל וקטור במישור הוא צירוף לינארי של ) ,(2, 3) ,(1, 2כיוון ששני אלה אינם על אותו ישר .אולם }) ,(3, 5) ∈ span {(1, 2), (2, 3לכן גם }) B \ {(3, 5פורשת את .R2אם נוותר גם על ) ,(2, 3למשל ,ניוותר עם ) ,(1, 2שפורש את הישר } {t(1, 2) | t ∈ Rולא את – R2על ) (3, 5יכולנו לוותר כיוון שהוא צ"ל של איברי }).B \ {(3, 5 הגדרה .יהי Vמרחב וקטורי B ⊆ V .נקראת בסיס של Vאם א B .בת"ל; ב B .פורשת את .(span B = V ) V משפט V :23מרחב וקטורי; B ⊆ Vהיא בסיס של Vאם"ם לכל v ∈ Vיש הצגה יחידה כצ"ל של איברי ) Bכלומר ,אם כאשר } v = α1 v1 + . . . + αn vn B = {v1 , . . . , vn ו ,v = β1 v1 + . . . + βn vn -בהכרח .(α1 = β1 , . . . , αn = βn דוגמה .V = R3 .נבחר }) .B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1ניקח .v = (α1 , α2 , α3 ) ∈ R3 = ) v = (α1 , α2 , α3 ) = (α1 , 0, 0) + (0, α2 , 0) + (0, 0, α3 = α1 (1, 0, 0) + α2 (0, 1, 0) + α3 (0, 0, 1) = α1 e1 + α2 e2 + α3 e3 = (α1 , α2 , α3 ) = β1 e1 + β2 e2 + β3 e3 ההצגה יחידה: = ) = β1 (1, 0, 0) + β2 (0, 1, 0) + β3 (0, 0, 1) = (β1 , 0, 0) + (0, β2 , 0) + (0, 0, β3 = (β1 , β2 , β3 ) =⇒ α1 = β1 , α2 = β2 , α3 = β3 הוכחה .נניח ש B-בסיס .לכן Bפורשת את .Vמכאן ,לכל וקטור v ∈ Vיש הצגה כצ"ל של איברי .Bנוכיח כי ההצגה יחידה .ניקח v ∈ Vכך ש.α1 v1 + . . . + αn vn = v = β1 v1 + . . . + βn vn - לכן .0 = (α1 − β1 )v1 + . . . + (αn − βn )vnזה צ"ל מתאפס של איברי ;Bכיוון ש B-בת"ל, הרי המקדמים מתאפסים – .αi = βi ⇐= αi − βi = 0 מצד שני ,נניח שלכל וקטור יש הצגה יחידה ונוכיח כי Bבסיס .על-פי ההנחה ,לכל v ∈ Vיש הצגה כצ"ל של איברי ,Bולכן Bפורשת .נותר להראות ש B-בת"ל .יהי α1 v1 + . . . + αn vn = 0 צ"ל מתאפס של איברי .Bנכתוב .α1 v1 + . . . + αn vn = 0v1 + . . . + 0vnקיבלנו שתי הצגות של 0כצ"ל של איברי ,Bולכן על-פי ההנחה ההצגות שוות והמקדמים שווים – כלומר, .α1 = . . . = αn = 0 משפט ) 24המשפט הכבד( :יהיו } .w1 , . . . , wn ∈ span {v1 , . . . , vmאם ,n > mהקבוצה } {w1 , . . . , wnתלויה לינארית. הוכחה .נוכיח באינדוקציה על .m span ∅ = {0} :m = 0ולכן {0} ;w1 = . . . = wn = 0תלויה לינארית. :m > 0נניח את נכונות המשפט עבור m − 1ונוכיח עבור .mאם ∈ w1 , . . . , wn } ,span {v1 , . . . , vm−1לפי הנחת האינדוקציה w1 , . . . , wnתלויים לינארית וגמרנו .לכן נניח 21 בסיס 2.6 2 בסיסים מרחבים וקטוריים שלפחות את אחד מהוקטורים wiלא ניתן להציג כצירוף לינארי של ;v1 , . . . , vm−1בלי הגבלת הכלליות ,נניח שזו .wnנציג את הוקטורים כ (i = 1 . . . n) wi = ci1 v1 + . . . + cim vm -כאשר ) cnm 6= 0אחרת } .(wn ∈ span {v1 , . . . , vm−1 נגדיר וקטורי עזר: 1 cnm cim wn .(i = 1 . . . n − 1) ui = wi −אזי 1 cnm c1m wn = w1 − 1 ) cnm c1m (cn1 v1 + . . . + cnm vm 1 1 c11 v1 + . . . + c1m vm − cnm c1m cn1 v1 − . . . − cnm c1m cnm vm 1 1 (c11 − cnm c1m cn1 )v1 + . . . + (c1m − cnm c1m cnm )vm 1 1 (c11 − cnm c1m cn1 )v1 + . . . + (c1,m−1 − cnm c1m cn,m−1 )vm1 = } span {v1 , . . . , vm−1 ∈ u1 = c11 v1 + . . . + c1m vm − = = זה נכון לכל .(i = 1 . . . n−1) uiמכאן ,הוקטורים u1 , . . . , un−1כולם ב.span {v1 , . . . , vm−1 }- כיוון ש ,n > m-הרי n − 1 > m − 1ועל-פי הנחת האינדוקציה u1 , . . . , un−1תלויים לינארית. לכן יש סקלרים b1 , . . . , bn−1לא כולם אפסים כך ש .b1 u1 + . . . + bn−1 un−1 = 0-נציב ונקבל = b1 u1 + . . . + bn−1 un−1 1 ) cnm cn−1,m wn bn−1 b1 cnm c1m wn − . . . − cnm cn−1,m wn b1 c1m − . . . − bcn−1 cn−1,m )wn (− cnm nm + . . . + bn−1 (wn−1 − 1 ) cnm c1m wn 0 = b1 (w1 − = b1 w1 + . . . + bn−1 wn−1 − = b1 w1 + . . . + bn−1 wn−1 + זהו צירוף לינארי מתאפס של w1 , . . . , wnשלא כל מקדמיו אפסים .מכאן{w1 , . . . , wn } , תלויה לינארית. משפט :25יהי Vמרחב וקטורי .נניח של V -יש בסיס בעל nוקטורים .אז: א .כל קבוצת וקטורים ב V -שבה יותר מ n-וקטורים תלויה לינארית. ב .אין קבוצה בעלת פחות מ n-וקטורים מ V -הפורשת את .V ג .כל קבוצה בלתי-תלויה המכילה nוקטורים מ V -היא בסיס של .V ד .כל קבוצה פורשת של Vהמכילה בדיוק nאיברים היא בסיס של .V ה .בכל בסיס של Vיש בדיוק nוקטורים. הוכחה. א .אם ל V -בסיס בעל nוקטורים ,ודאי ש V -נפרש על-ידי nוקטורים; לכן ,על-פי המשפט הכבד ,כל קבוצה גדולה יותר של וקטורים תלויה לינארית. ב .נניח שיש קבוצה בעלת פחות מ n-וקטורים שפורשת את .Vאז על-פי המשפט הכבד ,קבוצה בעלת nאיברים כבר תלויה לינארית ועל-כן אינה בסיס ,בסתירה לנתון. ג .תהי Kקבוצה בלתי-תלויה המכילה nאיברים .כדי לקבל ש K-בסיס ,יש להראות שK- פורשת .ניקח ;v ∈ Vצ"ל .v ∈ span Kאם v ∈ Kבוודאי v ∈ span Kוגמרנו .אחרת, נוסיף אותו .K ∪ {v} :זוהי קבוצה בעלת n + 1איברים ,אבל ל V -יש בסיס בעל nאיברים ולכן } K ∪ {vת"ל .כיוון ש K-בת"ל ,הרי על-ידי למת סגירת הדלת vצ"ל של איברי – K כלומר.v ∈ span K , 22 2 2.6 מרחבים וקטוריים בסיסים ד .תהי Kקבוצה פורשת של Vהמכילה בדיוק nוקטורים .נניח בשלילה ש K-ת"ל .אזי יש v ∈ Kכך ש v-צ"ל של חבריו .לכן )} .V = span K = span (K \ {vקיבלנו קבוצה פורשת בת n − 1איברים ,בסתירה לב’. ה .תהי } K = {v1 , . . . , vmבסיס של .Vאם ,n > mעל-פי א’ כל קבוצה בעלת nוקטורים תלויה לינארית ,וזאת בסתירה לנתון שקיימת עבור vקבוצת-בסיס בעלת nוקטורים .אם ,n < mעל-פי ב’ קבוצה בעלת nאיברים אינה פורשת .לכן .n = m 29.11.2006 משפט :26יהי Vמרחב וקטורי מעל B ⊆ V .Fהיא בסיס של Vאם"ם Bבת"ל מקסימלית. 19 הוכחה .נניח כי Bבסיס .צ"ל כי Bבת"ל מקסימלית .ראשית B ,בת"ל מתוקף היותה בסיס. ∈ .v נצטרך להוכיח שהיא בלתי-תלויה מקסימלית .תהי – B ( T ( Vאזי ישנו v ∈ Tכך ש/ B- כיוון ש B-בסיס ,הרי היא פורשת ,ולכן .v ∈ span Bלכן } B ∪ {vהיא קבוצה תלויה לינארית. אבל ,B ∪ {v} ⊆ Tולכן Tגם-כן תלויה לינארית. מצד שני ,נניח כי Bבת"ל מקסימלית .צ"ל כי Bבסיס .על-פי ההנחה B ,כבר בת"ל; נותר ∈ .vהקבוצה } B ∪ {vמכילה ממש להוכיח כי היא פורשת .נניח בשלילה כי ישנו vכך ש/ span B- את ,Bולכן היא תלויה לינארית )שהרי Bבת"ל מקסימלית( .כיוון ש B-בת"ל ו B ∪ {v}-כבר תלויה v ,תלוי ב – B-משמע vשייך ל ,span B-בסתירה להנחה .לכן Bפורשת ולכן מהווה בסיס. משפט :27יהי Vמרחב וקטורי מעל B ⊆ V .Fהיא בסיס של Vאם"ם Bפורשת מינימלית. 20 הוכחה .נניח כי Bבסיס – אז בוודאי Bפורשת .נרצה להראות שהיא פורשת מינימלית .תהי .T ( Bיהי .v ∈ B \ Tכלומר v ,ב B-אך לא ב .T -אם Tפורשת ,בהכרח .v ∈ span Tאבל זה אומר שיש ב B-וקטור שתלוי בחבריו ,וזו סתירה לכך ש ,B-בהיותה בסיס ,בת"ל. מצד שני ,נניח כי Bפורשת מינימלית .צ"ל כי Bבסיס .נתון ש B-פורשת; לכן מספיק להראות ש B-בת"ל .אם Bאינה בת"ל ,יש בה וקטור vשהוא צ"ל של חבריו .נסמן }T .T = B \ {v בהכרח פורשת ,כי כל וקטור פרט ל v-ניתן להציג בעזרת ,vו v-עצמו צ"ל של השאר .אבל על-פי הנתון Bפורשת מינימלית ,ולכן Tשמוכלת בה ממש לא יכולה להיות פורשת – סתירה לכך שB- תלויה. 3.12.2006 הגדרה V .מרחב וקטורי מעל Fנקרא נוצר סופית אם יש B ⊆ Vסופית כך ש.V = span B- על-פי משפט 25ה ,אם ל V -בסיס בעל nאיברים ,כל בסיס של Vיכיל בדיוק nאיברים .לכן נוכל להגדיר: B 19נקראת בת"ל מקסימלית אם כל T ⊆ Vשמכילה את Bממש כבר אינה בת"ל – כלומר ,אם נוסיף עוד וקטור אחד ל ,B-היא כבר תהיה תלויה. B 20נקראת פורשת מינימלית אם כל T ⊆ Vשמוכלת ב B-ממש כבר אינה פורשת – כלומר ,אם נוריד וקטור מ,B- היא כבר לא תפרוש. 23 מרחב וקטורי נוצר סופית 2.7 מימד 2 מרחב הפולינומים מרחבים וקטוריים הגדרה V .מרחב וקטורי מעל .Fנניח ש V -נוצר סופית .מספר האיברים בבסיס שלכהו של V נקרא המימד של .(dim F) V דוגמה ,dim V = 2 ;V = R2 .כי }) B = {(1, 0), (0, 1בסיס של .V דוגמה ,dim V = n ;V = Rn .כי } B = {e1 , . . . , enבסיס של ) Vכאשר = e1 ).((1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1 2.7 פולינום מעלת פולינום שוויון פולינומים מרחב הפולינומים הגדרה .פולינום מעל שדה Fבמשתנה xהוא ביטוי מהצורה )P (x) = a0 + a1 x + (ai ∈ F n .. . . + an xמעלת )דרגת( הפולינום היא המספר הטבעי nהגדול ביותר כך ש.an 6= 0- ⇐⇒ a0 = b0 , . . . , an = bn n 21 n a0 + . . . + an x = b0 + . . . + bn x נסמן ב Fn [x]-את אוסף הפולינומים מדרגה ≥ :n }Fn [x] = {a0 + a1 x + . . . + an xn | a0 , . . . , an ∈ F נגדיר פעולת חיבור בין פולינומים: (a0 + . . . + an xn ) + (b0 + . . . + bn xn ) = (a0 + b0 ) + . . . + (an + bn )xn נגדיר פעולת כפל בסקלר;λ ∈ F : λ(a0 + . . . + an xn ) = λa0 + . . . + λan xn ] Fn [xמרחב וקטורי מעל ) .Fהוכחה – כתרגיל(. נתבונן ב.R2 [x]- טענה :28הקבוצה B = 1, x, x2בסיס ל.R2 [x]- הוכחה .מספיק להוכיח שלכל איבר ב Re2 [x]-יש הצגה יחידה כצירוף לינארי של איברי .Bובכן, ניקח .P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 = a0 · 1 + a1 · x + a2 · x2זהו צירוף לינארי של איברי .B נניח שיש שתי הצגות .a0 · 1 + a1 · x + a2 · x2 = b0 · 1 + b1 · x + b2 · x2 :על-פי הגדרת שוויון פולינומים.a0 = b0 , a1 = b1 , a2 = b2 , לכן Bבסיס של ] ,R2 [xולכן .dim R2 [x] = 3 באופן דומה B = {1, x, . . . , xn } ,בסיס של ] ,Fn [xולכן .dim Fn [x] = n + 1 טענה C = 1 + x, 1 − x, x2 :29בסיס של ].R2 [x 21המעלה של P (x) = 0מוגדרת להיות ∞.− 24 2 2.7 מרחבים וקטוריים מרחב הפולינומים הוכחה .כיוון ש ,dim R2 [x] = 3-מספיק לראות ש C-בלתי-תלויה לינארית .ניקח צ"ל מתאפס α1 (1 + x) + α2 (1 − x) + α3 x2 = 0ונוכיח ש0 = α1 (1 + x) + :α1 = α2 = α3 = 0- .α2 (1 − x) + α3 x2 = (α1 + α2 )1 + (α1 − α2 )x + α3 x2זהו צירוף לינארי מתאפס של וקטורי הבסיס ,Bלכן מקדמיו מתאפסיםα1 = 0 ⇐= α3 = 0 ,α1 − α2 = 0 ,a1 + a2 = 0 : =⇐ .α2 = 0 משפט :30יהי Vמרחב וקטורי נוצר סופית מעל .Fיהי .U ≤ Vאז א U .נוצר סופית; ב;dim U ≤ dim V . ג.U = V ⇐⇒ dim U = dim V . הוכחה .א+ב .תהי .U ≤ Vאם } U = span ∅ ,U = {0ולכן נוצר סופית ו0 = dim U ≤- .dim Vלכן נניח } .U 6= {0אז קיימת ב U -קבוצה בלתי-תלויה לינארית .כל קבוצה בת"ל ב U -גם בת"ל ב) V -כיוון שכל הוקטורים ב U -נמצאים גם ב .(V -אם נסמן ,dim V = n ברור שבכל תת-קבוצה בת"ל של Uיש לכל-היותר nאיברים ,לפי המשפט הכבד .מתוך כל תת-הקבוצות הבת"ל של Uניקח את Bקבוצה שבה מספר מקסימלי של איברים )זה אפשרי כי nהוא חסם עליון למספר האיברים הבת"ל( .כל קבוצת וקטורים מ U -המכילה ממש את Bתלויה )אחרת Bאינה בעלת מספר מקסימלי של וקטורים בת"ל( ,ולכן B בת"ל מקסימלית ב U -ולכן בסיס .ב B-יש מספר סופי של איברים ,ולכן Uנוצר סופית. .dim U = |B| ≤ n = dim V ג’ .אם ,U = Vודאי .dim U = dim Vמצד שני ,נניח .n = dim U = dim Vיהי } B = {u1 , . . . , unבסיס של B ⊆ V .Uקבוצה בלתי-תלויה בעלת nאיברים; לכן היא בסיס של .Vכלומר.U = span B = V , משפט :31לכל מרחב וקטורי נוצר סופית Vמעל Fיש בסיס. הוכחה .יהי Vמרחב וקטורי נוצר סופית .אם } V = span ∅ ,V = {0ו ∅-הוא הבסיס. לכן נניח ש .v 6= {0}-תהי Bקבוצת וקטורים יוצרים סופית של .Vנוכל להניח ש;0 6= B- אחרת ,כיוון שאינו תורם לפרישה ,נגרשו לאלתר )"לך מפה ,יא אפס!"( .נניח בנוסף .|B| = n אם Bבלתי-תלויה B ,בסיס וגמרנו .אחרת ,קיים u ∈ Bשהוא צירוף לינארי של חבריו .נסמן } .B1 = B \ {uכיוון ש u-ת"ל ב ,B-הרי .V = span B = span B1אם B1בת"ל ,כיוון ש B1 ,span B1 = V -בסיס וגמרנו .אחרת ,קיים וקטור ב B1 -שתלוי בחבריו .נזרוק אותו וכו’. אחרי לכל-היותר n − 1צעדים ,ניוותר עם קבוצה בת"ל )שמכילה לפחות וקטור אחד שאינו ,(0 שמהווה בסיס. 6.12.2006 משפט :32יהי } V 6= {0מרחב וקטורי מעל .Fנניח ש .dim V = n-תהי {v1 , . . . , vk } ⊆ V בלתי-תלויה לינארית .אז יש קבוצה } {dk+1 , . . . , dnכך ש {v1 , . . . , vk , dk+1 , . . . , dn }-בסיס של .V 25 2.8 2 סכום תת-מרחבים מרחבים וקטוריים הוכחה .אם {v1 , . . . , vk } ,k = nבסיס. שdk+1 ∈- אם {v1 , . . . , vk } ,k < nאינה פורשת ואינה בסיס .לכן יש dk+1 ∈ Vכך / } – span {v1 , . . . , vkכלומר dk+1 ,אינו ת"ל ב .{v1 , . . . , vk }-על-פי למת סגירת הדלת ,הקבוצה } {v1 , . . . , vk , dk+1בלתי-תלויה לינארית )אחרת ,בהכרח dk+1ת"ל ב .({v1 , . . . , vk }-אם k + {v1 , . . . , vk , dk+1 } ,1 = nמהווה בסיס .אחרת ,קיים dk+2שאינו ת"ל ב.{v1 , . . . , vk , dk+1 }- נצרף אותו וכו’ .בדרך זו ,נוסיף וקטורים לקבוצה עד שנגיע ל n-וקטורים ונקבל בסיס. דוגמה .נשלים את }) {w1 = (1, 2, −1, 4), w2 = (3, −1, −2, 2לבסיס של .R4 w1ו w2 -אינם ת"ל .נוסיף לקבוצה את ) w3 .w3 = e3 = (0, 0, 1, 0אינו תלוי בקודמיו. נוסיף גם את ) .w4 = e4 = (0, 0, 0, 1כעת ,מכיוון ש w1 , w2 , w3 , w4 -בת"ל ,הקבוצה } {w1 , w2 , w3 , w4מהווה בסיס ל.R4 - 2.8 סכום תת-מרחבים משפט :33אם V ) U, W ≤ Vמרחב וקטורי(.U ∩ W ≤ V , משפט U ∪ W ≤ V :34אם"ם U ⊆ Wאו .W ⊆ U ∈U ⊆U ∪W דוגמה .נחבר .W = span {(0, 1)} ,U = span {(1, 0)} ,V = R2אבל נקבל )(1, 0 ∈W ⊆U ∪W ∈ )(0, 1) = (1, 1 / U ∪W סכום תת-מרחבים הגדרה .יהיו .U, W ≤ Vאז .+ u∈U w∈W | .U + W = u + w דוגמה. = })u ∈ span {(1, 0 })w ∈ span {(0, 1 | U +W = u+w = {λ1 (1, 0) + λ2 (0, 1) | λ1 , λ2 ∈ R} = span {(1, 0), (0, 1)} = R2 משפט V :35מרחב וקטורי U + W ;U, W ≤ V ,הוא תת-המרחב המינימלי המכיל את Uואת .W הוכחה .נוכיח רק ש U + W -הוא המינימלי המכיל את .U, Wכלומר ,נניח ש S ≤ V -כך ∈W ∈U ש U ⊆ S-ו ,W ⊆ S-ונוכיח .U + W ⊆ Sיהי ⇐= U ⊆ S .x = u + w ∈ U + W ) u ∈ Sשהרי ) w ∈ S ⇐= W ⊆ S ;(u ∈ Uשהרי .(w ∈ Wלכן ,כיוון ש S-תת-מרחב ,גם ) .x = u + w ∈ Sההוכחה ש U + W -תת-מרחב – כתרגיל(. משפט המימדים 1 משפט ) 36משפט המימדים :(1יהי Vמרחב וקטורי מעל .U, W ≤ V ,Fאז = ) dim(U + W ) .dim U + dim W − dim(U ∩ W הוכחה .בשלב הראשון נניח כי } .U ∩W 6= {0נסמן ,dim(U ∩W ) = kויהי } {d1 , . . . , dkבסיס של .U ∩Wנשלים לבסיסים {d1 , . . . , dk , u1 , . . . , um } :בסיס של {d1 , . . . , dk , w1 , . . . , wn } ;U 26 2 2.8 מרחבים וקטוריים סכום תת-מרחבים בסיס של .Wכעת, dim(U ∩ W ) = k dim(U ) = k + m dim(W ) = k + n ויש להוכיח ש.dim(U + W ) = (k + m) + (k + n) − k = k + m + n- ∈ u1 , . . . , um כל אחד מהוקטורים u1 , . . . , umבלתי-תלוי ב .d1 , . . . , dk -לכן מתקיים / ∈ .u1 , . . . , umבאותו .span {d1 , . . . , dk } = U ∩ Wעם זאת ,u1 , . . . , um ∈ U ,ולכן / W ∈ .w1 , . . . , wnבפרט ,כל אחד מהוקטורים (i = 1 . . . m) uiשונה מכל אחד מהוקטורים אופן/ U , .(j = 1 . . . n) wjלכן בקבוצה } B = {d1 , . . . , dk , u1 , . . . , um , w1 , . . . , wnיש n + m + k וקטורים .נותר להוכיח כי Bבסיס של .U + W נוכיח תחילה כי Bפורשת .U +Wיהי .x = u+w ∈ U +Wכיוון ש{d1 , . . . , dk , u1 , . . . , um }- פורשת את ,Uהרי יש מקדמים (j = 1 . . . m ,i = 1 . . . k) βj ,αiכך שניתן לכתוב .u = α1 d1 + . . . + αk dk + β1 u1 + . . . + βn unבאופן דומה ,יש מקדמים ,t = 1 . . . k) εr ,δt (r = 1 . . . nכך שניתן לכתוב .w = δ1 d1 +. . .+δk dk +ε1 w1 +. . .+εn wnלכן = x = u+w = ) = (α1 d1 +. . .+αk dk +β1 u1 +. . .+βn un )+(δ1 d1 +. . .+δk dk +ε1 w1 +. . .+εn wn = (α1 + δ1 )d1 + . . . + (αk + δk )dk + β1 u1 + . . . + βn un + ε1 w1 + . . . + εn wnצירוף לינארי של איברי ,Bולכן Bפורשת. 10.12.2006 כעת נוכיח אי-תלות לינארית .נניח שα1 d1 + . . . + αk dk + β1 u1 + . . . + βm um +- .γ1 w1 + . . . + γn wn = 0אז U 3 α1 d1 + . . . + αk dk + β1 u1 + . . . + βm um = −γ1 w1 − . . . − γn wn ∈ W כיוון שאגף שמאל הוא וקטור ב U -ואגף ימין הוא וקטור ב ,W -לפנינו וקטור ב.U ∩ W - נסמנו ב .v-כיוון ש {d1 , . . . , dk }-בסיס של ,U ∩ Wהרי קיימים סקלרים δ1 , . . . , δk ∈ Fכך ש.v = δ1 d1 + . . . + δk dk - נשווה הצגה זו לאגף ימיןδ1 d1 + . . . + δk dk = −γ1 w1 − . . . − γn wn ⇐⇒ δ1 d1 + : .. . . + δk dk + γ1 w1 + . . . − γn wn = 0זהו צ"ל מתאפס של איברי הבסיס של ,Wשכבסיס היא קבוצה בלתי-תלויה – לכן כל המקדמים מתאפסים ,ובפרט .γ1 = . . . = γn = 0כעת ,אם נתבונן ב- W 3 α1 d1 + . . . + αk dk + γ1 w1 + . . . + γn wn = −β1 u1 − . . . − βm um ∈ U נקבל באותו אופן ש .β1 = . . . = βm = 0-נציב ונקבל .α1 d1 + . . . + αk dk = 0זהו צ"ל מתאפס של איברי הבסיס של ,U ∩ Wולכן .α1 = . . . = αk = 0 אם } ,U ∩ W = {0ההוכחה פועלת באותו אופן אחרי שמוציאים את d1 , . . . , dkמהתמונה. 27 3 3 העתקות לינאריות 3.1 העתקה לינארית העתקות לינאריות הגדרת העתקה לינארית הגדרה .יהיו Vו W -מ"ו מעל אותו שדה .Fפונקציה T : V → Wתיקרא העתקה לינארית אם Tמקיימת – א∀v1 , v2 ∈ V T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ) . ב∀v ∈ V, λ ∈ F T (λv) = λT (v) . דוגמה T : R3 → R2 .מוגדרת על-ידי ) .T (x, y, z) = (x+y, y −zלדוגמהT (1, 2, 4) = , ) .(1 + 2, 2 − 4) = (3, −2נבדוק שזו אכן העתקה לינארית: ) = T (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 )) (x1 + x2 + y1 + y2 , y1 + y2 − (z1 + z2 = ) (x1 + y1 , y1 − z1 ) + (x2 + y2 , y2 − z2 = )) T ((x1 , y1 , z1 ) + (x2 , y2 , z2 ) = T (x1 , y1 , z1 ) + T (x2 , y2 , z2 )= T (λx, λy, λz )(λx + λy, λy − λz ))T (λ(x, y, z = )= λ(x + y, y − z )= λT (x, y, z דוגמה T (x + y) = sin(x + y) .T (x) = sin x ,T : R → R .לא תמיד שווה לsin x +- T ;sin yאינה העתקה לינארית. 13.12.2006 דוגמה )העתקה ששומרת רק על חיבור( V = C .כמ"ו מעל עצמו T : V → V .מוגדרת על-ידי .T (α + βi) = α חיבורT ((α1 + β1 i) + (α2 + β2 i)) = T ((α1 + α2 ) + (β1 + β2 )i) = α1 + α2 = : )T (α1 + β1 i) + T (α2 + β2 i λ { |} z כפל בסקלרT ((a + bi)(α + βi)) = T ((aα − bβ) + (aβ + bα)i) = aα − bβ 6= : (a + bi)T (α + βi) = aα + bαi משפט :37תהי T : V → Wהעתקה לינארית .אז – אT (0V ) = 0W . ב∀v ∈ V T (−v) = −T (v) . א T (0V ) = T (0V + 0V ) = T (0V ) + T (0V ) .נוסיף לשני האגפים ) −T (0V הוכחה. ונקבל .T (0V ) = T (0V ) + (−T (0V )) = 0W 28 3 העתקות לינאריות קריטריון ללינאריות העתקה 3.2 ב .יהי .v ∈ Vאז .v + (−v) = 0Vמכיוון ש T -העתקה לינארית ,נקבל = )T (v) + T (−v .T (v + (−v)) = T (0V ) = 0Wבשל יחידות האיבר הנגדי ,כיוון ש T (−v)-מתפקד כנגדי של ) ,T (vהרי הוא הנגדי של ) ,T (vולכן נוכל לכתוב ).T (−v) = −T (v קריטריון ללינאריות העתקה 3.2 משפט W ,V :38מ"ו מעל .Fאז T : V → Wהעתקה לינארית אם"ם ∈ ∀v1 , v2 ∈ V, λ1 , λ2 קריטריון ללינאריות העתקה ) .F T (λ1 v1 + λ2 v2 ) = λ1 T (v1 ) + λ2 T (v2 הוכחה .אם Tהעתקה לינארית ,אז T (λ1 v1 + λ2 v2 ) = T (λ1 v1 ) + T (λ2 v2 ) = λ1 T (v1 ) + ) .λ2 T (v2 להיפך ,נניח שהקריטריון מתקיים .יהיו .v1 , v2 ∈ Vאז נקבל שמתקיים = ) T (v1 + v2 ) .T (1F v1 + 1F v2 ) = 1F T (v1 ) + 1F T (v2 ) = T (v1 ) + T (v2כעת ,יהיו .λ ∈ F ,v ∈ Vאז ).T (λv) = T (λv + 0F v) = λT (v) + 0F T (v) = λT (v מסקנה :39יהיו T : V → W ,λ1 , . . . , λn ∈ F ,v1 , . . . , vn ∈ Vהעתקה לינארית .אז Pn Pn ) .T ( i=1 λi vi ) = i=1 λi T (vi הוכחה .כתרגיל) .באינדוקציה(. העתקות מיוחדות 3.3 3.3.1 העתקת האפס W ,Vמ"ו מעל .Fנגדיר 0 : V → Wעל-ידי .∀v ∈ V 0(v) = 0W העתקת האפס למה זו ה"ל? ) .0(λ1 v1 + λ2 v2 ) = 0W = λ1 0(v1 ) + λ2 0(v2 3.3.2 העתקת הזהות Vמ"ו מעל .Fנגדיר I : V → Vעל-ידי .∀v ∈ V I(v) = v העתקת הזהות למה זו ה"ל? ) .I(λ1 v1 + λ2 v2 ) = λ1 v1 + λ2 v2 = λ1 I(v1 ) + λ2 I(v2 3.4 מציאת העתקות לינאריות משפט :40יהיו W ,Vמ"ו מעל .Fיהי } B = {v1 , . . . , vnבסיס של .Vאם S, T : V → W כך שלכל S(vi ) = T (vi ) i = 1 . . . nאז ) S(v) = T (vלכל ;v ∈ Vכלומר.S = T , הוכחה .יהי .v ∈ Vצ"ל ) .S(v) = T (vכיוון ש B-בסיס ,יש ) α1 , . . . , αn ∈ Fהנקבעים באופן יחיד( כך ש .v = α1 v1 + . . . + αn vn -אז נקבל 29 יחידות העתקה לינארית 3.5 3 גרעין של העתקה לינארית ) = S(α1 v1 + . . . + αn vn העתקות לינאריות )S(v ) = α1 S(v1 ) + . . . + αn S(vn ) = α1 T (v1 ) + . . . + αn T (vn ) = T (α1 v1 + . . . + αn vn )= T (v משפט :41יהיו W ,Vמ"ו מעל .Fיהי } B = {v1 , . . . , vnבסיס של .Vיהיו .w1 , . . . , wn ∈ W אז יש Tאחת ויחידה שהיא העתקה לינארית מ V -ל W -ומקיימת .(i = 1 . . . n) T (vi ) = wi דוגמה .כדי למצוא ה"ל T : R3 → R3שמקיימת ) ,T (1, 3, 5) = (1, 0, 1ניקח בסיס של R3 שמכיל את ) – (1, 3, 5למשל }) – {(1, 3, 5), (0, 1, 0), (0, 0, 1ונגדיר ),T (1, 3, 5) = (1, 0, 1 ) .T (0, 0, 1) = (0, 0, 0) ,T (0, 1, 0) = (0, 0, 0כעת נוכל להסתמך על לינאריות Tלשם חישוב ):T (1, 4, 6 ).T (1, 4, 6) = T ((1, 3, 5)+(0, 1, 0)+(0, 0, 1)) = T (1, 3, 5)+T (0, 1, 0)+T (0, 0, 1 Pn הוכחה .לכל v ∈ Vיש הצגה יחידה כצירוף לינארי של איברי αi vi – B Pn .T (v) = i=1 αi wiכיוון שמקדמי הצירוף הלינארי נקבעים באופן יחיד ,הרי הנוסחה לT (v)- i=1 = .vנגדיר מתאימה לכל T (v) vיחיד ,T (vi ) = wi .כנדרש ,כי ניתן לכתוב vi = 0v1 + . . . + 0vi−1 + ,vi + 0vi+1 + . . . + 0vnואז ,על-פי ההגדרהT (vi ) = 0w1 + . . . + 0wi−1 + wi + 0wi+1 + , .. . . + 0wn = wi נותר להראות ש T -לינארית .יהיו ;u1 , u2 ∈ Vצ"ל ) .T (u1 + u2 ) = T (u1 ) + T (u2 נכתוב .u2 = β1 v1 + . . . + βn vn ,u1 = α1 v1 + . . . + αn vn ) T ((α1 v1 + . . . + αn vn ) + (β1 v1 + . . . + βn vn = ) T ((α1 + β1 )v1 + . . . + (αn + βn )vn = ) T (u1 + u2 הגדרת T (α1 + β1 )w1 + . . . + (αn + βn )wn = α1 w1 + . . . + αn wn + β1 w1 + . . . + βn wn = ) T (α1 v1 + . . . + αn vn ) + T (β1 v1 + . . . + βn vn = ) T (u1 ) + T (u2 = הוכחת שמירה על כפל בסקלר – כתרגיל. יחידות Tנובעת ממשפט .40 לסיכום ,אם T : V → Wהעתקה לינארית ו B-בסיס של ,Vמתוך הכרת ערכי Tעל וקטורי Bנוכל לקבוע חד-משמעית מהו ערכה של Tעל כל .v ∈ V 3.5 גרעין גרעין של העתקה לינארית הגדרה .תהי T : V → Wה"ל .נסמן } ker T .ker T = {v ∈ V | T (v) = 0Wהוא הגרעין של .T 30 20.12.2006 3 3.6 העתקות לינאריות W תמונה של העתקה לינארית V T ker 0 דוגמה T : R3 → R3 .מוגדרת על-ידי ).T (x, y, z) = (x, y, 0 )(x, y, z) ∈ R3 | T (x, y, z) = (0, 0, 0 )(x, y, z) ∈ R3 | (x, y, 0) = (0, 0, 0 (x, y, z) ∈ R3 | x = y = 0 })(0, 0, z) ∈ R3 = z(0, 0, 1) | z ∈ R3 = span {(0, 0, 1 = ker T = = = משפט :42תהי T : V → Wה"ל .אז .ker T ≤ V הוכחה .תחילה ,0v ∈ ker T ,כי .T (0V ) = 0Wיהיו ,T (v1 ) = 0W .v1 , v2 ∈ ker T ,T (v2 ) = 0Wולכן T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ) = 0Wו .v1 + v2 ∈ ker T -כעת ,יהיו .λ ∈ F ,v ∈ ker Tאז T (λv) = λT (v) = λ0W = 0Wו.λv ∈ ker T - 3.6תמונה של העתקה לינארית הגדרה .תהי T : V → Wה"ל .תהי .K ⊆ Vנסמן }T (K) .T (K) = {T (v) | v ∈ K תמונה של קבוצה נקראת התמונה של .K דוגמה T : R2 → R2 .מוגדרת על-ידי ) .T (x, y) = xהוכחה שזו ה"ל – כתרגיל(22 . }) .K = {(1, 2), (1, 3), (2, 4אז }.T (K) = {1, 2 משפט :43תהי T : V → Wהעתקה לינארית .אם .T (K) ≤ W ,K ≤ V הוכחה .תחילה .(0V ∈ K) T (K) 3 0W = T (0V ) ,לכן ∅ = .T (K) 6יהיו );w1 , w2 ∈ T (K צ"ל ).w1 + w2 ∈ T (K )∃v1 ∈ KT (v1 ) = w1 ⇐= w1 ∈ T (K ) ∃v2 ∈ KT (v2 ) = w2 ⇐= w2 ∈ T (Kולכן .T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ) = w1 + w2 אבל ,v1 + v2 ∈ Kשהרי .K ≤ Vקיבלנו ) .w1 + w2 ∈ T (Kהוכחת סגירות לכפל בסקלר – כתרגיל. הגדרה .תהי T : V → Wה"ל im T = {T (v) | v ∈ V } .נקראת התמונה של .T תמונה על-פי המשפט הקודם.im T ≤ W , דוגמה .נחשב את im Tעבור Tמהדוגמה הקודמת. 3 T (x, y, z) | (x, y, z) ∈ R = }= {(x, y, 0) | x, y ∈ R }= {x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) | x, y ∈ R })span {(1, 0, 0), (0, 1, 0 22בכל מקרה ,זה לא משנה להגדרת התמונה. 31 = im T 3.7 3 כמה מילים על פונקציות העתקות לינאריות נשים לב ש.1 + 2 = 3 ⇐⇒ dim ker T + dim im T = dim V - איך מחשבים את ?im T משפט :44תהי T : V → Wה"ל .יהי } B = {v1 , . . . , vnבסיס של .Vאז = im T }) .span {T (v1 ), . . . , T (vn דוגמה .נחזור לדוגמה הקודמת .ניקח }) B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1בסיס של .V = R3ואכן, = })span {T (1, 0, 0), T (0, 1, 0), T (0, 0, 1 .= span {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 0)} = span {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} = im T הוכחה .נראה הכלה הדדית .יהי }) .x ∈ span {T (v1 ), . . . , T (vnאז n X ( T (λi vi ) = T λi vi ) ∈ im T n X i=1 i=1 = ) λi T (vi n X =x i=1 כעת ,יהי .x ∈ im Tאז יש v ∈ Vכך ש .x = T (v)-כיוון ש B-בסיס ,ניתן לכתוב Pn ,v = i=1 αi viואז n n X X ( x = T (v) = T = ) αi vi }) αi T (vi ) ∈ span {T (v1 ), . . . , T (vn i=1 i=1 3.7 כמה מילים על פונקציות נניח ש .f2 : A2 → B2 ,f1 : A1 → B1 -רוצים להגדיר את הפונקציה המורכבת .f2 ◦ f1אם התמונה של f1מוכלת בתחום של ,f2נוכל להגדיר את f2 ◦ f1כ.(f2 ◦ f1 )(x) = f2 (f1 (x))- A2 B2 פונקציה חד-חד ערכית B1 A1 הגדרה .פונקציה f : A → Bנקראת חד-חד ערכית אם לכל ⇐= a1 6= a2 a1 , a2 ∈ A ) f (a1 ) 6= f (a2או ,באופן שקול ,אם ) .a1 = a2 ⇐= f (a1 ) = f (a2 פונקציה על פונקציית הזהות הגדרה .פונקציה f : A → Bנקראת על אם לכל b ∈ Bיש a ∈ Aכך ש.f (a) = b- הגדרה .פונקציית הזהות IA : A → Aמוגדרת כך ש.∀a ∈ A IA (a) = a- פונקציה הפיכה הגדרה .תהי f : A → Bפונקציה .אם קיימת g : B → Aכך ש f ◦ g = IA -וg ◦ f = IB - פונקציה הופכית נאמר ש f -הפיכה; gנקראת הפונקציה ההופכית של .fניתן להראות שאם קיימת gכזו היא יחידה ,ולכן ניתן לסמן .g = f −1 32 24.12.2006 3 3.8 העתקות לינאריות הרכבת העתקות לינאריות משפט f : A → B :45הפיכה ⇒⇐ fחח"ע ועל. הגדרה W ,V .מ"ו מעל T : V → W .Fה"ל נקראת מונומורפיזם אם היא חח"ע; אפימורפיזם אם היא על; איזומורפיזם אם היא חח"ע ועל. משפט W ,V :46מ"ו מעל T : V → W .Fה"ל T .חח"ע ⇔ } .ker T = {0V הוכחה (⇐=) .נניח Tחח"ע .נניח בשלילה ש .ker T 6= {0V }-אז יש .0V 6= v ∈ ker Tלכן ,T (v) = T (0V ) = 0Wומכאן Tאינה חח"ע ,בסתירה להנחה. )⇒=( נניח } ker T = {0Vונוכיח ש T -חח"ע .נניח ש .T (v1 ) = T (v2 )-מכאןT (v1 −v2 ) = , ,T (v1 ) − T (v2 ) = 0Wולכן .v1 − v2 ∈ ker Tאבל } ,ker T = {0Vולכן .v1 − v2 = 0V מכאן.v1 = v2 , ) T : V → Wעל ⇒⇐ (.im T = W הרכבת העתקות לינאריות 3.8 דוגמהS(x, y) = ,S : R2 → R2 ;T (x, y) = (x − y, 2x + y) ,T : R2 → R2 . ) .(x + 2y, x + yההעתקה T ◦ S : R2 → R2מוגדרת כך .(T ◦ S)(v) = T (S(v)) :עבור = )(T ◦ S)(v) = T (S(x, y)) = T (x + 2y, x + y ),v = (x, y ).= ((x + 2y) − (x + y), 2(x + 2y) + (x + y) = (y, 3x + 5y – S ◦ T 6= T ◦ Sכתרגיל. משפט :47יהיו W1 ,V1ו W2 ,V2 -מ"ו מעל שדה .Fיהיו T : V2 → W2 ,S : V1 → W1 העתקות לינאריות .אז אם T ◦ S : V1 → W2 ,im S ⊆ V2מוגדרת והיא העתקה לינארית. הוכחה .נסמן .T ◦ S = Lצ"ל כי לכל L(λ1 v1 + λ2 v2 ) = ,λ1 , λ2 ∈ F ,v1 , v2 ∈ V1 ) .λ1 L(v1 ) + λ2 L(v2ואכן: ) (T ◦ S)(λ1 v1 + λ2 v2 = ) L(λ1 v1 + λ2 v2 )) = T (S(λ1 v1 + λ2 v2 )) = T (λ1 S(v1 ) + λ2 S(v2 ) = λ1 T (S(v1 )) + λ2 T (S(v2 )) = λ1 L(v1 ) + λ2 L(v2 כפי שראינו ,אם T : V → Wה"ל חח"ע ועל ,יש S : W → Vכך ש,T ◦ S = IV - .S ◦ T = IWכלומר S = T −1 ,היא ההופכית של .T משפט W ,V :48מ"ו מעל .Fאם T : V → Wה"ל חח"ע ועל ,אז T −1 : W → Vאף היא ה"ל. הוכחה .יהיו .λ1 , λ2 ∈ F ,w1 , w2 ∈ Wצריך להוכיח כי ) T −1 (λ1 w1 + λ2 w2 ) = λ1 T −1 (w1 ) + λ2 T −1 (w2 33 )מונו|אפי|איזו(מורפיזם 3.8 3 הרכבת העתקות לינאריות העתקות לינאריות נבחר v1 , v2 ∈ Vכך ש) T (v2 ) = w2 ,T (v1 ) = w1 -נוכל לעשות זאת ,כי Tעל( .אז .T −1 (w2 ) = v2 ,T −1 (w1 ) = v1כעתT (λ1 v1 + λ2 v2 ) = λ1 T (v1 ) + λ2 T (v2 ) = , ,λ1 w1 + λ2 w2ולכן ) T −1 (λ1 w1 + λ2 w2 ) = λ1 v1 + λ2 v2 = λ1 T −1 (w1 ) + λ2 T −1 (w2 27.12.2006 משפט W ,V :49מ"ו מעל T : V → W .Fהעתקה לינארית K ⊆ V .קבוצת וקטורים בת"ל. אם Tחח"ע ,אז ) T (Kבת"ל. הוכחה) .לשם הפשטות ,נניח } K = {v1 , . . . , vnסופית (.ניקח צ"ל מתאפס של איברי )T (K ונוכיח שהוא טריוויאלי .נניח .α1 T (v1 ) + . . . + αn T (vn ) = 0אז T (α1 v1 ) + . . . + T (αn vn ) = 0ולכן .T (α1 v1 + . . . + αn vn ) = 0כיוון ש T -חח"ע ,הרי }.ker T = {0 מכאן .α1 v1 + . . . + αn vn = 0 ,מכיוון שזהו צ"ל מתאפס של איברי הקבוצה הבת"ל ,K .α1 = . . . = αn = 0 משפט המימדים :הקאמבק משפט ) 50משפט המימדים W ,V :(2מ"ו מעל שדה T : V → W .dim ker T = n ,Fה"ל. אז .dim ker T + dim im T = dim V דוגמה .כבר ראינו אחת כזאת )ב ,(21.02-כשדנו בגרעין ובתמונה. הוכחה .נפריד לשלושה מקרים: א .ker T = V .כלומר T ,העתקת האפס .∀v ∈ V T (v) = 0W :לכן } ⇐= im T = {0W .dim ker T = n ⇐= ker T = V .dim im T = 0כעתdim ker T + dim im T = , .n + 0 = n ב .{0} ( ker T ( V .נסמן .dim ker T = kניקח בסיס ל.{u1 , . . . , uk } :ker T - נשלים בסיס זה לבסיס של .{u1 , . . . , uk , v1 , . . . , vn−k } :Vראינו כבר כי im T נפרשת על-ידי }) .{T (u1 ), . . . , T (uk ), T (v1 ), . . . , T (vn−kאבל כיוון שu1 , . . . , uk ∈- ,T (u1 ) = . . . = T (uk ) = 0 ,ker Tולכן מספיק לכתוב }) .im T = span {T (v1 ), . . . , T (vn−k אם נראה ש {T (v1 ), . . . , T (vn−k )}-בת"ל ,נקבל ,dim im T = n−kואז dim ker T + dim im T = k + (n − k) = nוגמרנו .אם כן ,נוכיח אי-תלות .נניח α1 T (v1 ) + .. . . + αn−k T (vn−k ) = 0לכן T (α1 v1 + . . . + αn−k vn−k ) = 0וα1 v1 + . . . +- .αn−k vn−k ∈ ker Tלכן יש β1 , . . . , βk ∈ Fכך שα1 v1 + . . . + αn−k vn−k =- .β1 u1 + . . . + βk ukלכן .−β1 u1 − . . . − βk uk + α1 v1 + . . . + αn−k vn−k = 0 זהו צ"ל מתאפס של איברי בסיס של ,Vולכן α1 = . . . = αn−k = 0וגמרנו. ג .ker T = {0} .יהי } {v1 , . . . , vnבסיס של .Vראינו כבר ש.im T = span {T (v1 ), . . . , T (vn )}- כיוון ש T -חח"ע ו {v1 , . . . , vn }-בת"ל ,הרי גם }) {T (v1 ), . . . , T (vnבת"ל .לכן זהו בסיס 34 3 3.9 העתקות לינאריות עוד אודות איזומורפיזמים עבור ,im Tו .dim im T = n-בנוסף ,dim ker T = 0 ,ולכן = dim ker T + dim im T .0 + n = n 31.12.2006 מסקנה :51יהיו W ,Vמ"ו נ"ס מעל שדה .Fאם T : V → Wה"ל ואם ,dim V = dim W הבאים שקולים: א T .איזומורפיזם )כלומר T ,חח"ע ועל(; ב) ker T = {0} .כלומר T ,חח"ע(; ג) im T = W .כלומר T ,על(. הוכחה) .א’⇐ב’( טריוויאלי :אם Tאיזומורפיזם ,בפרט Tחח"ע ו.ker T = {0}- )ב’⇐ג’( אם } ker T = {0אז ,dim ker T = 0ולכן ,על-פי משפט המימדיםdim im T = , .dim Vעל-פי הנתון ,dim V = dim W ,ולכן .dim im T = dim Wכיוון ש ,im T ≤ W -הרי .im T = W )ג’⇐א’( נניח .im T = Wאז ,dim im T = dim W = dim Vושוב ,על-פי משפט המימדים dim ker T = 0 ,ולכן } ker T = {0ו T -חח"ע; כיוון ש T -על ,הרי Tאיזומורפיזם. 3.9 עוד אודות איזומורפיזמים הגדרה .אם יש T : V → Wאיזומורפיזם ,אזי Vאיזומורפי ל .W -מסמנים .V ≈ W מרחבים איזומורפיים משפט :52אם V ≈ Wאזי .W ≈ V הוכחה .אם V ≈ Wאז יש איזומורפיזם ) T : V → Wה"ל חח"ע ועל( .לכן קיימת .T −1 : W → Vהוכחנו ש T −1 -לינארית .מדוע T −1הפיכה? )כלומר ,מדוע T −1אף היא איזומורפיזם?( כיוון ש T -הפיכה ,הרי ,T ◦ T −1 = IW ,T −1 ◦ T = IVולכן T −1הפיכה. משפט :53יהיו W ,V ,Uמ"ו מעל .Fאם V ≈ Wו U ≈ V -אז .U ≈ W הוכחה U ≈ V .פירושו שיש T : U → Vאיזומורפיזם V ≈ W .פירושו יש S : V → W איזומורפיזם S ◦T : U → W .היא ה"ל .כדי להראות שהיא איזומורפיזם ,מספיק להראות שהיא הפיכה .ואכן S ,הפיכה =⇐ S −1קיימת; Tהפיכה =⇐ T −1קיימת .נתבונן בT −1 ◦S −1 : W →- .Uכעת,(T −1 ◦S −1 )◦(S ◦T ) = T −1 ◦(S −1 ◦S)◦T = T −1 ◦IV ◦T = T −1 ◦T = IV , ובאותו אופן ;(S ◦ T ) ◦ (T −1 ◦ S −1 ) = IW ,לכן .(S ◦ T )−1 = T −1 ◦ S −1 3.10וקטור הקואורדינטות α1 )הוכיחו ,כתרגיל ,כי Fn = ... | α1 , . . . , αn ∈ Fמ"ו ממימד nמעל (.F αn 23יש לשים לב שהשתמשנו באסוציאטיביות העתקות לינאריות בלי להוכיח. 35 23 3.11 וקטור הקואורדינטות 3 מרחב ההעתקות העתקות לינאריות הגדרה .יהי Vמ"ו מעל .dim V = n ,Fיהי } B = {v1 , . . . , vnבסיס של 24 .Vאז לכל v ∈ V Pn יש הצגה יחידה .v = i=1 αi viוקטור הקואורדינטות של vלפי הבסיס Bהוא הוקטור ∈ Fn α1 ... αn = [v]B דוגמה V = R2 .מעל ⇐= v = (2, 3) = 2(1, 0) + 3(0, 1) .E = {(1, 0), (0, 1)} .R 2 .[v]E = 3 משפט :54יהי Vמ"ו מעל .dim V = n ,Fיהי } B = {v1 , . . . , vnבסיס של .Vנגדיר T : V → Fnעל-ידי .T (v) = [v]Bאז Tאיזומורפיזם מ V -ל.F n - Pn Pn = .u2 הוכחה .מדוע Tה"ל? ניקח .u1 , u2 ∈ Vנכתוב i=1 αi vi = i=1 βi vi ,u1 Pn Pn Pn .u1 + u2 כעתT (u1 + u2 ) = , = לכן i = i=1 (αi + βi )vi i=1 α i vi + i=1 βi v ) = T (u1 ) + T (u2 β1 .. . βn + α1 .. . αn = α1 + β1 .. . αn + βn .[u1 + u2 ]B = הוכחת הסגירות לכפל בסקלר – כתרגיל. n איזומורפיזם מספיק להוכיח שהיא כיוון ש V -ו F - בעלי מימד זהה ,הרי כדי להוכיח ש T - על .ניקח ∈ Fn α1 .. . αn .נגדיר .v = α1 v1 + . . . + αn vnאז α1 .. . αn ,T (v) = ולכן Tעל. משפט :55יהיו W ,Vמ"ו מעל .Fאם .V ≈ W ,dim V = dim W = n הוכחה .על-פי המשפט הקודם V ≈ Fn ,ו .Fn ≈ W ⇐= W ≈ Fn -מכך שV ≈ Fn - ו Fn ≈ W -נובע ,על-פי משפט ,53ש.V ≈ W - 3.11 מרחב ההעתקות 7.1.2007 מרחב ההעתקות חיבור העתקות הגדרה .יהיו W ,Vמ"ו מעל .Fנגדיר } Tה"ל | .hom(V, W ) = {T : V → W הגדרה .אם ) ,T, S ∈ hom(V, Wנגדיר את סכומן T + S : V → Wעל-ידי = )(T + S)(v ).T (v) + S(v משפט :56אם ) T, S ∈ hom(V, Wאז ) T + S) T + S ∈ hom(V + Wה"ל(. הוכחה .נסמן .K = T + Sיהיו .α1 , α2 ∈ F ,u1 , u2 ∈ V 24נתייחס לבסיס כאל קבוצה סדורה .כלומר ,הבסיס }) {(1, 0), (0, 1של R2שונה מהבסיס }) {(0, 1), (1, 0של .R2 36 3 3.12 העתקות לינאריות ) (T + S)(α1 v1 + α2 v2 = מרחב המטריצות ) K(α1 v1 + α2 v2 ) = T (α1 v1 + α2 v2 ) + S(α1 v1 + α2 v2 ) = α1 T (v1 ) + α2 T (v2 ) + α1 S(v1 ) + α2 S(v2 )) = α1 (T (v1 ) + S(v1 )) + α2 (T (v2 ) + S(v2 ) = α1 (T + S)(v1 ) + α2 (T + S)(v2 ) = α1 K(v1 ) + α2 K(v2 הגדרה .λ ∈ F ,T ∈ hom(V, W ) .נגדיר λT : V → Wעל-ידי ).(λT )(v) = λT (v כפל העתקות בסקלר משפט :57אם ) λ ∈ F ,T ∈ hom(V, Wאז ) .λT ∈ hom(V, W ) (λT )(α1 v1 + α2 v2 הוכחה .נסמן .K = λT = ) K(α1 v1 + α2 v2 ) = λT (α1 v1 + α2 v2 )) = λ (α1 T (v1 ) + α2 T (v2 ) = α1 λT (v1 ) + α2 λT (v2 ) = α1 (λT )(v1 ) + α2 (λT )(v2 ) = α1 K(v1 ) + α2 K(v2 משפט W ,V :58מ"ו מעל ) Fלא בהכרח נ"ס( .אז ) hom(V, Wהוא מ"ו מעל .F הוכחה .כתרגיל .רק נעיר שאיבר האפס ב hom(V, W )-הוא העתקת האפס ואיבר נגדי לT - ב hom(V, W )-הוא העתקה המוגדרת ).(−T )(v) = −T (v 3.12 3.12.1 מרחב המטריצות פעולות על מטריצות יהיו W ,Vמ"ו מעל B = {v1 , . . . , vn } ,Fבסיס של C = {w1 , . . . , wm } ,Vבסיס של ,W T, S : V → Wהעתקות לינאריות. b1n .. . bmn ... ... a1n b11 .. B . . [S]C = .. amn bm1 ... ... a11 .. [T ]B C = . am1 B .[T + S]Bנסמן נמצא את .[T + S]Cכדי לעשות זאת ,נחשב את העמודה הראשונה של C Pm Pm ⇐= S(v1 ) = k=1 bk1 wk ,T (v1 ) = k=1 ak1 wk (ak1 bk1 )wk m X = ) (T + S)(v1 ) = T (v1 ) + S(v1 k=1 37 חיבור מטריצות 3.12 מרחב המטריצות כלומר , 3 העתקות לינאריות a11 + b11 .. . am1 + bm1 [T + S]Bהיא = .[(T + S)(v1 )]Cלכן העמודה הראשונה של C B ,[S]Bועבור העמודה ה i-נקבל אותו דבר באמצעות אותו סכום העמודות הראשונות של [T ]CוC - B B [S]Bרכיב-רכיב .נוכל להגדיר ,לכל חישוב .לכן המטריצה [T + S]Cמתקבלת כסכום של [T ]CוC - מטריצות כלשהן: ! a11 +b11 ... a1n +b1n .. .. . . am1 +bm1 ... amn +bmn ! = A+B b11 ... b1n .. .. . . bm1 ... bmn =B a11 ... a1n .. .. . . am1 ... amn =A יהיו W ,Vמ"ו מעל .Fתהי T : V → Wה"ל .הגדרנו עבור λT : V → W λ ∈ Fעל-ידי )) .(λT )(v) = λ(T (vאם כפל מטריצה בסקלר a11 ... a1n .. .. . . am1 ... amn [T ]B = C מטריצת הייצוג של ,Tאז מטריצת הייצוג של λTהיא ! λa11 ... λa1n .. .. . . λam1 ... λamn = [λT ]B C מכאן ,מגדירים עבור מטריצה כלשהי כפל בסקלר רכיב-רכיב. 3.12.2 מרחב המטריצות הגדרת מרחב המטריצות נסמן ב Mm×n (F)-את קבוצת המטריצות בעלות mשורות ו n-עמודות עם רכיבים מהשדה .F משפט Mm×n (F) :59מ"ו ביחס לפעולות חיבור מטריצות וכפל מטריצה בסקלר. משפט ,hom(V, W ) ≈ Mm×n (F) :60כאשר W ,Vמ"ו מעל .dim W = m ,dim V = n ,F הוכחה .נבחר בסיסים B = {v1 , . . . , vn } :עבור C = {w1 , . . . , wm } ,Vעבור .Wנגדיר .ϕ(T ) = [T ]B ) ϕ : hom(V, W ) → Mm×n (Fעל-ידי C מדוע ϕלינארית? יהיו ) ;T, S ∈ hom(V, Wלפי הגדרת חיבור מטריצותϕ(T + S) = , B B .[T + S]Bיהיו ) ;α ∈ F ,T ∈ hom(V, Wלפי הגדרת )C = [T ]C + [S]C = ϕ(T ) + ϕ(S B .ϕ(αT ) = [αT ]B כפל מטריצה בסקלרC = α[T ]C , B .[T1 ]Bלכל jהעמודה הj- C = [T אז 2 ]C .ϕ(T מדוע ϕחח"ע? נניח ש1 ) = ϕ(T2 )- a1j b1j Pm B ... = ... :[T2 ]B = ) ,T1 (vj של [T1 ]Cשווה לעמודה ה j-של C i=1 aij wi . bmj Pm i=1 bij wi amj = ) .T2 (vjמכיוון ש T1 ,(j = 1 . . . n ,i = 1 . . . m) aij = bij -ו T2 -משתוות על הבסיס ,ולכן ,לפי משפט .T1 = T2 ,40 38 10.1.2007 3 3.12 העתקות לינאריות a11 ... a1n .. .. . . am1 ... amn מרחב המטריצות .נגדיר בעזרתה .T : V → Wלכל ,j מדוע ϕעל? ניקח )= A ∈ Mm×n (F Pm .T (vj ) = i=1 aij wiזו הגדרת Tעל הבסיס .נרחיב אותה לה"ל על כל המרחב ,ולפי ההגדרה, .ϕ(T ) = A 3.12.3 מטריצות ייצוג של הרכבת העתקות יהיו W ,V ,Uמ"ו מעל B = {u1 , . . . , un } ,Fבסיס של C = {v1 , . . . , vm } ,Uבסיס של ,V של .T : V → W ,S : U → V ,W } D = {w1 , . . . , wkבסיס ! b11 ... b1n .. .. . . bm1 ... bmn ל S-יש מטריצת ייצוג: .(n ל T -יש מטריצת ייצוג: c11 ... c1n .. .. = נסמן . . ck1 ... ckn ... a1m .. . ... akm Pm B = .[S]Cלכל l=1 blj vl ,j a11 .. . = ak1 Pk C .[T ]Dלכל i=1 ail wi ,l = ) 1 ≤ j ≤) S(uj = ) .(1 ≤ l ≤ k) T (vl .[T ◦ S]Bניקח .1 ≤ j ≤ nנחשב: D m k m m X X X X blj = ail wi = ) blj T (vl = ) blj vl ( (T ◦ S)(uj ) = T (S(uj )) = T i1 l=1 l=1 l=1 k X m X ( ail blj )wi = ail blj wi i=1 l=1 קיבלנו ,לכל1 . . . n [T ◦ S]Bהיא D ail blj Pm l=1 m X k X = l=1 i=1 Pm = i ,j l=1 (ail blj )w P Pk i=1 = ) .(T ◦ S)(ujלכן העמודה ה j-של m l=1 a1l blj ... Pm l=1 akl blj [T ◦ S]Bהוא = .[(T ◦ S)(uj )]Dמכאן ,המקום ה (i, j)-בD - = .cij כעת ,בהינתן שתי מטריצות כלשהן ,Bm×n ,Ak×mנגדיר AB = Cכאשר האיבר ה(i, j)- Pm C B (.[T ◦ S]B ב C-מוגדר על-ידי ail blj = ) .cijובפרט ,נקבל שמתקיים D = [T ]D [S]C 5 1 l=1 4 00 ,AB = ( 11לפי החישובים = c11 דוגמה,A = ( 24 32 10 ) . = .Bנקבל ) 20 4 12 P3 l=1 a1l bl1 = a11 b11 + a12 b21 + a13 b31וכו’. בהינתן שורה an ... a1 = aועמודה b1 ... bn = ,bנגדיר פעולה חדשה = a · b .a1 b1 + . . . + an bnכעת ,אם Aו B-מטריצות ,איברי AB = Cיהיו עמודה jשל · Bשורה iשל .cij = A נשים לב שמכפלת המטריצות Am×p ,Bn×kמוגדרת רק כאשר ,p = nואז המכפלה תהיה מסדר .m × k 14.1.2007 39 כפל מטריצות 3.13 3 תכונות של כפל מטריצות העתקות לינאריות משפט W ,V :61מ"ו מעל B = {v1 , . . . , vn } ,T : V → W ,Fבסיס של C = ,V .[T (v)]C = [T ]B } {w1 , . . . , wmבסיס של .Wאז C [v]B דוגמה .C = {1, x} ,W = R1 [x] ,B = 1, x, x2 ,V = R2 [x] .נגדיר העתקה 0 .[D]B ] D : R2 [x] → R1 [xעל-ידי ) .D (P (x)) = P (xקל לראות ש D-ה"ל .נמצא את C ! [D(1)]C = 00 D(1) = 0ולכן 0 1 0 1 [D]B = =⇐ [D(x)]C = 0 D(x) = 1 C 0 0 2 0 2 [D(x )]C = 2 D(x2 ) = 2x 2 ! לפני שנזרוק את הסיכומים באינפי ,נבדוק שזה אכן עובד :נבחר ,P (x) = 3 + x + 7x 3 0 1 .[P 0 (x)]B = 14ואכן: .[P (x)]B = 1אזי ,P (x) = 1 + 14x 7 הוכחה .נסמן נסמן γ1 1 .. . γn 1 1 14 ! = a11 ... a1n .. .. . . am1 ... amn 3 1 7 ! 0 1 0 2 0 0 = [D(P (x))]C = [D]B = C [P (x)]B .[T ]Bאז לכל C Pn = ;[v]Bאז j=1 γj1 vj jמתקיים aij wi Pm i=1 = ) .T (vjיהי .v ∈ V = .v n n n m m X n X X X X X ( T (v) = T = ) γj1 vj = ) γj1 T (vj γj1 = aij wi ( aij γj1 )wi i=1 j=1 j=1 i=1 לכן וקטור הקואורדינטות של ) T (vהוא j=1 Pn a1j γj1 .. . Pn j=1 amj γj1 j=1 j=1 ,[T (v)]C = והאיבר בשורה ה i-של Pn .[T ]Bעל-פי הנוסחה של .כעת נחשב את האיבר בשורה ה i-של C [v]B [T (v)]Cהוא j=1 aij γj1 Pn [T ]Bוקטור עמודה; האיבר במיקום ה (i, 1)-הוא . j=1 aij γj1 כפל מטריצותC [v]B , 3.13 תכונות של כפל מטריצות תכונות כפל מטריצות אסוציאטיביות טענה :62כפל מטריצות אסוציאטיבי .כלומר ,אם )C ∈ ,B ∈ Mn×p (F) ,A ∈ Mm×n (F ).(AB)C = A(BC) ,Mp×q (F הוכחה .נבחר בסיסים סטנדרטיים Em , En , Ep , Eqלמרחבים .Fm , Fn , Fp , Fqנגדיר TC : Fq → Fpעל-ידי E עמודה jשל C ,TA : Fn → Fmו= B- = ) .T (ejנקבל .[TC ]Eqp = cבאופן דומה ,נגדיר ,TB : Fp → Fn E ,[TB ]Epn n .[TA ]Eמכאן,[TB ◦ TC ] = [TB ][TC ] = BC , Em = A .[TA ◦ TB ] = [TA ][TB ] = ABכעת, )[TA ◦ (TB ◦ TC )] = [TA ][TB ◦ TC ] = A(BC 40 3 3.14 העתקות לינאריות מטריצות מעבר [(TA ◦ TB ) ◦ TC ] = [TA ◦ TB ][TC ] = (AB)C ובשל אסוציאטיביות הרכבת העתקות נקבל שוויון. למה :63אם T, S : V → Wה"ל ו K : W → U -ה"ל ,אז .K ◦ (T + S) = K ◦ T + K ◦ S דיסטריבוטיביות הוכחה .כתרגיל. התכונה נובעת מיידית מהלמה. נניח Vמ"ו מעל B = {v1 , . . . , vn } ,Fבסיס של IV : V → V .Vהעתקת הזהות: מטריצת היחידה ∀v ∈ V IV (v) = v 1 0 .[IV (v1 )]B = .. ⇐= IV (v1 ) = v1 = 1v1 + 0v2 + . . . + 0vnלכן המטריצה . 0 ! 0 0 .. . 1 0 1 .. . 0 ... ... .. . ... B [T ]B 1 0 .. . 0 In = [IV ]Bהיא מטריצת היחידה. = B מטריצת הייצוג של .T = T ◦ IV : V → V ,T = IV ◦ T : V → V .Tלכן B B B B B .[T ]Bבהינתן מטריצה n × n B = [T ◦ IV ]B = [T ]B In ,[T ]B = [IV ◦ T ]B = In [T ]B כלשהי ,Aנוכל לראותה כמטריצת ייצוג של העתקה כלשהי TA : Fn → Fnהמוגדרת על-ידי עמודה iשל ,TA (ei ) · Aונקבל .AIV = IV A = A תהי Aמטריצה מסדר .n × nנגדיר העתקה TA : Fn → Fnעל-ידי עמודה iשל A = ) .TA (ei מטריצות הפיכות אם TAהעתקה הפיכה – כלומר ,אם קיימת העתקה TA−1 : V → Vכך ש,TA ◦ TA−1 = IV - – TA−1 ◦ TA = IVאז מתקיימים התנאים .[TA−1 ][TA ] = In ,[TA ][TA−1 ] = Inלמטריצה ] [TA−1קוראים המטריצה ההופכית של ;Aמסמנים ,A−1ו.[TA−1 ] = A−1 = [TA ]−1 - 2 −1 21 :A−1 = 31 −1 דוגמה .תהי ) .A = ( 1 2נראה ש2 - ! ! ! 2 1 2 −1 3 0 1 1 = AA−1 = = I2 3 1 2 3 0 3 −1 2 כמו-כן.A−1 A = I2 , לא כל מטריצה היא הפיכה .מכאן ,המטריצות הן חוג ,לא שדה. 3.14 מטריצות מעבר הגדרה .יהי Vמ"ו מעל ,Fויהיו } C = {v10 , . . . , vn0 } ,B = {v1 , . . . , vnשני בסיסים עבור .V [IV ]Bשל העתקת הזהות .IV : V → Vיהי .v ∈ Vאז על-פי משפט נתבונן במטריצת הייצוג C B [IV ]Bנקראת מטריצת המעבר מהבסיס Bלבסיס .C C .[v]C = [IV (v)]C = [IV ]C [v]B ,61 העמודה ה j-של מטריצת המעבר.[I(vj )]C = [vj ]C : 41 מטריצת מעבר 3.14 מטריצות מעבר דוגמה} ,V = R2 . .[I]B את C 1 3 −1 −1 = , v2 o 3 5 = } ,B = {v1 1 1 1 −1 = [v1 ]C 2 3 ⇒ = , v20 v20 v20 + 1 2 v10 v10 העתקות לינאריות = .C = {v10נמצא = v1 = 35 v2 = −1 −1 1 =⇒ [I]B C = 1 −1 − = ⇒ [v2 ]C ניקח .v = 35 = 1v1 + 0v2אז .[v]B = 10כדי למצוא את ,[v]Cצריך לפתור 3 1 2 1 – [ 35 ]C = αאו ,בעזרת מטריצת המעבר ,ניתן פשוט 5 = α1 2 + α2 3ולקבל α2 1 1 1 1 .[v]C = [I]B C [v]B = 1 −1 לחשב 0 = 1 42 = 4 מערכות משוואות לינאריות 4 4.1 17.1.2007 מערכות משוואות לינאריות מערכות משוואות נתבונן במערכת המשוואות הבאה: b1 = a1n xn + ... + a12 x2 + a11 x1 b2 .. . = a2n xn .. . + ... + .. . a22 x2 .. . + a21 x1 .. . + an2 x2 + . . . + ann xn = bn או ,בכתיב אחר :עלינו לפתור ,Ax = bכאשר . . . a1n b1 x1 .. .. .. b = x = . . . bm xn . . . amn an1 x1 וקטור המקדמים החופשיים וקטור הנעלמים a11 . A = .. am1 aij ∈ F 1≤i≤m 1≤j≤n מטריצת המקדמים הגדרה .אם b = 0Fmהמערכת נקראת הומוגנית .אחרת ,המערכת נקראת אי-הומוגנית. מערכת )אי(-הומוגנית הגדרה .וקטור c ∈ Fnשאם נציב אותו במקום xישמור על השוויון נקרא וקטור פתרון .מתקיים וקטור פתרון .Ac = b מקרה פרטיm = n : אם – m = nכלומר A ,ריבועית – ו A-הפיכה ,נקבל c = A−1 bפתרון: A−1 (AX) = A−1 b ⇐⇒ (A−1 A)x = A−1 b ⇐⇒ x = A−1 b בהינתן המערכת ,Ax = bנתאים למטריצה Aהעתקה Ta : Fn → Fmהמוגדרת על-ידי TA .TA (x) = Axהיא העתקה לינארית :היא שומרת על חיבור – = )TA (x + y) = A(x + y ) – Ax + Ay = TA (x) + TA (yועל כפל בסקלר – ).TA (λx) = A(λx) = λ(Ax) = λTA (x אם cפתרון של המערכת ,מתקיים .TA (c) = Ac = b m Aei = TA (ei ) = [TA (ei )]Em :[TA ]Eזו העמודה ה i-של .A נעיר שEn = A- עבור כל פונקציה b ∈ L ,f : K → Lנגדיר את קבובצת המקור של }f −1 ({b}) = :{b } .{a ∈ K | f (a) = bאם T : V → Wהעתקה לינארית .ker T = T −1 ({0}) ,מכאן נוכל לומר ש TA−1 {b}-היא קבוצת הפתרונות של המערכת .Ax = b למה :64למערכת Ax = bיש פתרון אם"ם .b ∈ im TA הוכחה .יש פתרון cלמערכת ⇒⇐ b ∈ im TA ⇐⇒ TA (c) = b ⇐⇒ Ac = b 43 4.1 מערכות משוואות מערכות משוואות לינאריות 4 נניח ש A-מערכת הומוגנית .כלומר .Ax = 0 ,קבוצת הפתרונות של המערכת היא .ker TA במקרה זה 0 ,תמיד פתרון; זהו פתרון יחיד אם"ם TAחח"ע )}.(ker TA = {0 1 +3x2 A = ( 24 36 ) TA xx12 = A xx12 = 2x דוגמה. 4x1 +6x2 n o 2x + 3x = 0 ker TA = xx12 | TA xx12 = 00 = xx12 | 4x1 + 6x2 = 0 2x1 + 3x2 = 0 4x1 + 6x2 = 0 2 לכן o 1 −3x2 ונקבל נסמן x2 = t נפתור את המערכתo .2x1 + 3x2 = 0 =⇒ x1 = 2 3t: n 3 −2 −2 וקטור מהצורה tפותר את המערכת .ואכןt 1 | t ∈ R = , − 32 1 n −3t 2 = .x1 = ker TA .span קבוצת הפתרונות של מערכת הומוגנית Ax = 0היא מ"ו 25 .מצד שני ,קבוצת הפתרונות של מערכת אי-הומוגנית אינה מרחב וקטורי :אם קבוצת הפתרונות היא מרחב וקטורי 0 ,נמצא בה – אולם אז נקבל ,A0 = b 6= 0בסתירה לאי-הומוגניות המערכת. x1 + x2 = 1 1 .נפתור ונקבל .x1 = x2 = 12 A = 11 −1 דוגמה. x −x =0 2 ישרייה 1 הגדרה .יהיו W ≤ Vו .v ∈ V -אז } v + W = {v + w | w ∈ Wנקראת ישרייה W .נקרא תת-המרחב המכוון של הישרייה .מימד הישרייה v + Wמוגדר להיות המימד של .W משפט :65תהי Ax = bמערכת משוואות לינאריות .נניח כי ) b ∈ im TAכלומר ,ישנו פתרון למערכת( .יהי s ∈ Fnפתרון .קבוצת כל הפתרונות תהיה הישרייה .TA−1 (b) = s + ker TA מערכת הומוגנית 2x1 + x2 = 0 דוגמה. מערכת אי-הומוגנית 2x1 + x2 = 2 4x1 + 2x2 = 0 2x1 + x2 = 0 0+0=0 4x1 + 2x2 = 4 2x1 + x2 = 2 0+0=0 x2 = t x2 = t 2x1 = −t =⇒ x1 = − 2t o |t∈R − 2t t n t 2 o = }TA−1 {b = ker TA =1− |t∈R 1 0 2−t 2 1− 2t t n = x1 = }TA−1 {b = ker TA + הוכחה .יהי .v ∈ ker TAצ"ל ש .s + v ∈ TA−1 {b}-ואכןTA (s + v) = TA (s) + TA (v) = , b + 0 = bו s + v ∈ TA−1 {b}-פתרון. מצד שני ,נניח כי } .c ∈ TA−1 {bנתבונן בוקטור TA (c − s) = TA (c) − TA (s) = :c − s ,b − b = 0ולכן .c − s ∈ ker TAנסמן ,v = c − sואז 25ניזכר שהגרעין הוא מ"ו. 44 ∈ ker TA v פתרון .c = s + 4 21.1.2007 4.2 מערכות משוואות לינאריות דירוג מטריצות – פתרון משוואות משפט :66למערכת Ax + bיש פתרון )יחיד( אם"ם b ∈ im TAו.ker TA = {0}- הוכחה .נניח שהתנאים מתקיימים .כיוון ש ,b ∈ im TA -קיים v ∈ Fnכך ש.Av = TA (v) = b- מכאן v ,פתרון .כעת ,יהיו v2 ,v1שני פתרונות .אז ) .TA (v1 ) = TA (v2לכן ,TA (v1 − v2 ) = 0 ומכאן } .v1 − v2 = ker TA = {0מכאן.v1 − v2 = 0 ⇐⇒ v1 = v2 , מצד שני ,נניח שיש פתרון יחיד ,Av = TA (v) = b .vולכן .b ∈ im TAכעת ניקח .u ∈ ker TAאז .TA (u + v) = TA (u) + TA (v) = 0 + b = bלכן ,TA (u + v) = bומכאן u + vאף הוא פתרון של המערכת .אולם הנחנו שהפתרון יחיד ,ולכן .u + v = v ⇐⇒ u = 0 מכאן } .ker TA ⊆ {0ודאי מתקיים ,{0} ⊆ ker TAולכן }.ker TA = {0 אם Ax = bמערכת משוואות )) ,(A ∈ Mm×n (Fמוגדרת העתקה לינארית → TA : Fn .Fmעל-פי משפט המימדים .n = dim ker TA + dim im TA ,כלומרn − dim im TA = , מרחב הפתרונות .dimאך מהו ?dim imTAאיךמחשבים את ?im TA נסמן ,עבור מטריצה אז ) ↓ = ( a1↓ ... an a~1 .. . a~n a11 ... a1n .. .. . . am1 ... amn = a~i ,Aהשורה ה i-של Aו ai ↓-העמודה ה i-של .A .A = טענה im TA = span {a1 ↓, . . . , an ↓} :67 הוכחה .נשים לב ש A-היא מטריצת הייצוג של ההעתקה TAלפי הבסיסים הסטנדרטיים של ,Fn 1 מEn - 0 = TA ( e1 ) = [TA (e1 )]Em = TA .. – Fmכלומר, ↓ = a1 a11 .. . am1 . 0 1 1 0 = .. . 0 a11 ... a1n . . . . . . am1 ... amn 0 = .= A .. זה נכון לכל ;i = 1 . . . nכלומר, . 0 ↓ .∀i = 1 . . . nTA (ei ) = ai מכאן.im TA = span {TA (e1 ), . . . , TA (en )} = span {a1 ↓, . . . , an ↓} , הגדרה span {a1 ↓, . . . , an ↓} .נקרא מרחב העמודות של .Aהמימד שלו ,דרגת העמודות של ,Aמסומן ).rc (A 4.2 דירוג מטריצות – פתרון משוואות דוגמה. 2 = 2x5 + 5x4 + 2x3 4 = 4x5 + 2x4 + 2x3 2 = x5 − x4 + 6 = 6x5 + 7x4 + 45 4x3 + + 3x2 + 3x1 x2 + x1 3x2 + 3x1 דרגת העמודות ,מרחב העמודות 4.2 4 דירוג מטריצות – פתרון משוואות מערכות משוואות לינאריות נכתוב את המערכת כמטריצת מקדמים: 2 2 5 2 3 3 4 4 2 2 0 0 2 1 −1 0 1 1 6 7 4 3 3 6 בשלב א’ ,נרצה לחלץ את x1מכל המשוואות פרט לראשונה .לשם כך ,נחליף בין שורה 1 וR1 ↔ R3 :3- 2 1 −1 0 1 1 4 4 2 2 0 0 2 2 5 2 3 3 6 6 7 4 3 3 R4 → R4 − 3R1 ,R3 → R3 − 3R1 2 1 −1 0 1 1 4 4 2 2 0 0 5 5 2 2 0 0 9 9 4 4 0 0 בשלב ב’ ,נרצה לחלץ את x2מכל המשוואות פרט לשנייה .לא נוכל לעשות זאת מבלי לפגוע בהישגים הקודמים ,לכן נעבור לשלב ג’. בשלב ג’ ,נרצה לחלץ את x3מכל המשוואות פרט לשנייה )כי שלב ב’ נכשל(. R4 → R4 − 3R1 ,R3 → R3 − 3R1 2 1 −1 0 1 1 2 2 1 1 0 0 5 5 2 2 0 0 9 9 4 4 0 0 R4 → R4 − 4R2 ,R3 → R3 − 2R2 2 1 −1 0 1 1 2 2 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 46 1 2 R2 → R2 4 4.3 מערכות משוואות לינאריות מטריצת מדרגות קנונית בשלב ד’ ,נרצה לחלץ את x3מכל המשוואות פרט לשלישית .לא נוכל לעשות זאת מבלי לפגוע בהישגים הקודמים ,לכן נעבור לשלב ה’. בשלב ה’ ,נרצה לחלץ את x4מכל המשוואות פרט לשלישית )כי שלב ד’ נכשל(R1 → . R4 → R4 − R3 ,R2 → R2 − 2R3 ,R1 + R3 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 כעת נפתור ;x5 = 1 :לגבי x4אין מספיק נתונים ,וכל בחירה שלו תשפיע על המשתנים האחרים .לכן נסמן .x4 = tכנ"ל לגבי .x2 = sבסוף נקבל שפתרון המערכת הוא ) .(−t − s, s, −t, t, 1כלומר ,קבוצת הפתרונות היא הישרייה 0 −1 −1 −t − s 0 0 1 s −t | t, s ∈ R = span −1 , 0 + 0 0 0 t 1 1 0 0 1 x4 ,x2נקראים משתנים חופשיים x5 ,x3 ,x1 .נקראים משתנים מובילים )פותחים( .מימד מרחב הפתרונות זהה למספר המשתנים החופשיים; כזכור ,מרחב הפתרונות ,n − rc = dimוכיוון שמספר המשתנים בסך-הכל הוא ,nהרי מספר המשתנים המובילים = מספר המשתנים החופשיים .rc = n − 4.3 מטריצת מדרגות קנונית 24.1.2007 הגדרה .מטריצה Bמסדר m × nנקראת מטריצת מדרגות קנונית אם B = 0או k ≤ nכך ש- א .העמודות הסטנדרטיות e1 , . . . , ekמופיעות לפי הסדר ,אך לא בהכרח ברצף ,כעמודות ;B ב .אם ניצור קו מדרגות – כלומר ,קו שמתחיל מעל האיבר הראשון של Bומתקדם ימינה עד שפוגש את האיבר 1של העמודה הסטנדרטית הראשונה ,אז הוא יורד שורה למטה ,וכן הלאה עד שעבר על כל העמודות. בניסוח אחר :מטריצה Bנקראת מטריצת מדרגות קנונית אם – א .כל שורות האפס נמצאות מתחת לשורות שאינן אפס; ב .האיבר הפותח של כל שורה נמצא מימין לאיבר הפותח של השורה שלפניה; ג .האיבר הפותח של כל שורה שאינה אפס הוא ,1ויתר האיברים בעמודתו הם אפסים. 47 מטריצת מדרגות קנונית מטריצות אלמנטריות 4.4 מערכות משוואות לינאריות 4 כל איבר פותח מתאים למשתנה פותח )משתנה שנקבע על-ידי משתנים אחרים(. משפט :68נתבונן במערכת .Ax = bניתן לדרג את Aכך שבסיום הדירוג נקבל מטריצת מדרגות קנונית במקום c .Aפתרון של c ⇐⇒ Ax = bפתרון של המערכת המדורגת. 4.4 מטריצות אלמנטריות .1נסמן ב (α 6= 0 ,i 6= j) Eij (α)-את המטריצה מסדר m × mשבאלכסון שלה -1ים, במקום ה (i, j)-מופיע αוכל השאר אפסים. המטריצה Eij (α)Aמתקבלת מ A-על-ידי הפעולת .Ri → Ri + αRj 1 0 0 a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a21 +αa31 a22 +αa32 a23 +αa33 01α דוגמה. = a a a a a a 32 33 33 31 32 00 1 31 .2נסמן ב (α 6= 0) Ei (α)-את המטריצה מסדר m × mשבאלכסון שלה -1ים פרט למקום ה (i, i)-בו מופיע αוכל השאר אפסים. המטריצה ) Ei (αמתקבלת מ A-על-ידי הפעולה .Ri → αRi 1 0 0 a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 a22 a23 21 αa22 αa23 0α0 = αa דוגמה. a a a a a a 32 33 31 32 33 0 0 1 31 .3נסמן ב (i 6= j) Pij -את מטריצת היחידה מסדר m × mשהפכו בה שורה iעם שורה .j המטריצה Pij Aמתקבלת מ A-על-ידי הפעולה .Ri ↔ Rj 0 1 0 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a21 a22 a23 100 דוגמה= aa11 aa12 aa13 . a a a 33 32 31 33 31 32 001 כעת ,אם במקום לדרג את המטריצה Aנכפיל בכל פעם במטריצה אלמנטרית ,נקבל K = Et . . . E1 Aכאשר Kמטריצת מדרגות E1 , . . . , Etמטריצות אלמנטריות מהסוגים שהוגדרו לעיל. נשים לב כי ) −1 = Eij (α −1 ,Eij )(α ) −1 = Ei (α )Pij ,Ei−1 (α = .Pij−1 )הוכחה – כתרגיל(. ניתן להוכיח כי מכפלה של מטריצות הפיכות היא מטריצה הפיכה ) −1 A −1 =B −1 ).((AB לכן Et . . . E1 = Cהיא מטריצה הפיכה .כדי להגיע מ A-למטריצת המדרגות ,Kהכפלנו את A במטריצה ההפיכה .K = CA :C משפט :69תהי Ax = bמערכת לינארית .A ∈ Mm×n (F) ,תהי Cמטריצה הפיכה מסדר .m אז למערכת (CA)x = Cbולמערכת Ax = bאותם פתרונות. הוכחה .יהי dפתרון של המערכת .Ax = bאז .Ad = bלכן = C(Ad) = Cb ⇐⇒ (CA)d ,Cbומכאן dפתרון של המערכת .(CA)x = Cb כעת ,נניח ש d-הוא פתרון של המערכת .(CA)x = Cbאז dמקיים .(CA)d = Cb לכן ,C −1 ((CA)d) = C −1 (Cb) ⇐⇒ ((C −1 C)A)d = (C −1 C)bומכאן dפתרון של .Ax = b 48 4 4.5 מערכות משוואות לינאריות טיפ לחיים מסקנה :70אם Ax = bו K-מטריצה שהתקבלה מ A-על-ידי פעולות דירוג ,אז ל A-ולK- אותם פתרונות. 4.5 טיפ לחיים נעיר כי דירוג שומר על מרחב השורות .לכן ,אם רוצים למצוא בסיס למרחב וקטורי כלשהו, מסדרים וקטורים מקבוצה פורשת ,כותבים כשורות מטריצה ומדרגים .מרחב השורות האלו זהה למרחב הוקטורים המקוריים ,ושורות אלו בת"ל .הקץ לבדיקות מייגעות! בהצלחה במבחן! 49
