7 חלק ℝ מרחבים וקטוריים מעל

Transcription

7 חלק ℝ מרחבים וקטוריים מעל
‫חלק ‪7‬‬
‫מרחבים וקטוריים מעל ‪ℝ‬‬
‫נסתכל בשלוש הקבוצות הבאות ‪:‬‬
‫קבוצה של כל ‪-n‬יות סדורות של מספרים ממשיים‪.‬‬
‫קבוצה של כל מטריצות מסדר‬
‫עם איברים ממשיים‪.‬‬
‫קבוצה של כל הפולינומים ממעלה ‪ n‬ומטה עם מקדמים ממשיים‪.‬‬
‫עם כל ההבדל בין איברים של קבוצות השונות (למשל בין פולינומים למטריצות)‪,‬יש משהו‬
‫משותף לשלושת הקבוצות והוא‪:‬בכל קבוצה אפשר לחבר שני איברים ולקבל איבר של אותה‬
‫קבוצה‪,‬ואיבר מכל קבוצה אפשר להכפיל במספר ממשי(סקלר) והתוצאה גם תהיה איבר של‬
‫אותה קבוצה‪.‬ז"א‪,‬בכל קבוצה משלושת הקבוצות האלה ‪,‬מוגדרות פעולות חיבור וכפל בסקלר‬
‫עם תכונות מסוימות‪.‬‬
‫הגדרה‪ .‬קבוצה לא ריקה ‪ V‬נקראת מרחב וקטורי מעל ‪ ℝ‬ואיברים שלה נקראים‬
‫‪ ,‬ולכל‬
‫מוגדר סכום‬
‫וכו') אם לכל‬
‫וקטורים(סימון‬
‫מוגדר ‪   u  V‬כך שמתקיים ‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬קיים וקטור אפס‬
‫‪.4‬לכל‬
‫כך שלכל‬
‫קיים וקטור נגדי‬
‫מתקיים‬
‫‪,‬כך ש‪:‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪ 1  u  u .8‬לכל‬
‫‪1‬‬
‫‪,‬מקיימות את התנאים ולכן‬
‫קל לראות ‪,‬כי כל אחת מהקבוצות‬
‫מרחבים וקטוריים מעל ‪.ℝ‬‬
‫דוגמאות נוספות‬
‫‪ .1‬נסמן ב – ]‪ C[a,b‬קבוצת פונקציות )‪ f(x‬רציפות על קטע ]‪.[a,b‬ידוע ‪,‬כי סכום של שתי‬
‫פונקציות רציפות גם פונקציה רציפה וכפל פונקציה רציפה במספר – גם פונקציה‬
‫רציפה על ]‪.[a,b‬קל לראות גם‪ ,‬כי התנאים ‪ 1-8‬של הגדרת מרחב וקטורי‬
‫‪,‬מתקיימים‪.‬לכן ]‪ C[a,b‬מרחב וקטורי מעל ‪.ℝ‬‬
‫קבוצת פולינומים ממעלה ‪ 1‬עם פעולות‬
‫‪ .2‬נסמן ב –‬
‫חיבור וכפל בסקלר רגילות‪ V.‬היא תת קבוצה של‬
‫וקטורי מעל ‪?ℝ‬‬
‫אם ניקח שני וקטורים מ – ‪: V‬‬
‫‪ .‬האם ‪ V‬מרחב‬
‫‪,‬אז נקבל‬
‫(הקבוצה ‪ V‬לא סגורה כלפי חיבור)‪ .‬לכן ‪ V‬לא מרחב וקטורי‪.‬‬
‫קבוצת מספרים ממשיים חיוביים‪.‬נגדיר ב‪ V-‬פעולות‬
‫‪ .3‬נסמן ב‪-‬‬
‫חיבור וכפל בסקלר באופן הבא ‪:‬‬
‫נגדיר‬
‫א‪.‬לכל‬
‫ב‪.‬לכל‬
‫‪.‬‬
‫נגדיר‬
‫הוכח‪ ,‬כי ‪ V‬עם פעולות חיבור וקטורים וכפל בסקלר כאלה‪,‬מרחב וקטורי מעל‬
‫‪(ℝ‬בדיוק תנאי ההגדרה)‪.‬‬
‫דוגמה ‪ 2‬מעלה שאלה חושבה ‪ :‬מתי תת‪-‬קבוצה של מרחב וקטורי תהיה גם מרחב וקטורי?‬
‫הגדרה‪ .‬אם ‪ U‬תת‪-‬קבוצה לא ריקה של מרחב וקטורי ‪V‬‬
‫ו‪ U -‬מרחב וקטורי‬
‫מעל ‪ ℝ‬ביחס לאותם פעולות חיבור וקטורים וכפל וקטור בסקלר הקיימים ב – ‪, V‬אז ‪ U‬נקרא‬
‫תת‪-‬מרחב של ‪.V‬‬
‫משפט (בוחן תת‪-‬מרחב)‪.‬‬
‫תת‪-‬קבוצה לא ריקה ‪ U‬של מרחב וקטורי ‪ V‬תהיה תת‪-‬מרחב אם ורק אם יתקיימו שני‬
‫התנאים ‪:‬‬
‫‪.1‬לכל‬
‫גם‬
‫‪.2‬לכל‬
‫(סגירות כלפי חיבור)‬
‫גם‬
‫(סגירות כלפי כפל בסקלר)‪.‬‬
‫דוגמאות‬
‫‪.1‬מרחב וקטורי‬
‫הוא תת‪-‬מרחב של‬
‫‪.2‬לכל מרחב וקטורי ‪ V‬תת‪-‬קבוצות‬
‫‪.‬‬
‫ו ‪ V -‬הן תתי‪-‬מרחבים של ‪.V‬תתי‪-‬מרחבים אלו‬
‫נקראים טריוויאלים‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫תת מרחב של‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬נבדוק זאת לפי משפט בוחן תת מרחב‪.‬‬
‫אם‬
‫‪,‬אז‬
‫ו‪-‬‬
‫ולכן‬
‫א‪.‬‬
‫‪,‬כי‬
‫ב‪.‬‬
‫(סגירות כלפי חיבור)‪.‬‬
‫‪,‬כי‬
‫אם להסתכל על‬
‫(סגירות כלפי כפל בסקלר)‪.‬‬
‫כעל מרחב וקטורים גיאומטרים של מישור עם מערכת צירים ‪,‬אז ‪– U‬‬
‫‪,‬העובר בראשית הצירים‪.‬אולם ‪,‬במרחב וקטורי‬
‫תת קבוצה של נקודות בישר‬
‫כל תת מרחב לא טריוויאלי הוא קבוצת נקודות של ישר‪,‬העובר דרך ראשית ‪,‬ובמרחב וקטורי‬
‫משמעות גיאומטרי של תתי‪-‬מרחבים הלא טריוויאלים –ישרים‪,‬העוברים בראשית וגם‬
‫מישורים העוברים בראשית‪.‬הסבר מדויק נקבל בהמשך‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫תת קבוצה של מטריצות סימטריות במרחב וקטורי‬
‫מטריצות ריבועיות מסדר ‪ n‬היא תת מרחב ‪,‬כי אם‬
‫א‪.‬‬
‫‪,‬אז‬
‫(סגירות כלפי חיבור)‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫(סגירות כלפי כפל בסקלר)‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫כי למשל ל –‬
‫לא תת מרחב של‬
‫נקבל‬
‫‪.‬‬
‫משפט‪ .‬קבוצת פיתרונות של ממ"ל הומוגנית‬
‫תת מרחב של‬
‫‪,‬כאשר ‪ A‬מטריצה מסדר ‪, mxn‬היא‬
‫‪.‬‬
‫הוכחה‪.‬נוכיח לפי משפט בוחן תת מרחב‪ .‬אם‬
‫‪ ,‬אז מתקיים‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫של‬
‫‪ ,‬לכן‬
‫ולכן ‪-‬‬
‫ולכן ‪-‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫לפי המשפט מקבלים ‪,‬כי ‪ U‬תת מרחב של‬
‫‪.‬‬
‫בסיס ומימד‬
‫צירוף ליניארי‪.‬פרישה‪.‬קבוצה יוצרת‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הגדרה‪ .‬וקטור ‪ u‬נקרא צירוף ליניארי של וקטורים ‪ u1 ,, u n  V‬אם קיימים מספרים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1 ,,  n  R‬כך ש‪. u  1u1     n u n :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫דוגמה‪.‬בדוק‪ ,‬האם וקטורים )‪ v  (1,0,1‬ו ‪ u  (2,3,4) -‬הם צירופים ליניארית של‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. u 2  (0,1,2), u1  (1,1,3)  R 3‬‬
‫‪‬‬
‫פתרון‪ .‬נבדוק האם קיימים ‪ .  ,   R‬כך ש ‪u  (2,3,4)   (1,1,3)   (0,1,2) :‬‬
‫מקבלים מערכת משוואות כלפי נעלמים ‪ , ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪     3‬‬
‫‪3  2  4‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫ופתרון של מערכת משוואת קיימת ‪ .   1,   2 :‬לכן ‪ u ,‬צירוף ליניארי של ‪. u1 ,u 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר ננסה למצוא מספרים ‪  , ‬כך ש ‪ v  u1  u 2 :‬נגיע למערכת ‪:‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪    0‬‬
‫‪3  2   1‬‬
‫‪ ‬‬
‫שאין לה פתרונות ולכן ‪ V‬לא צירוף ליניארי של ‪. u1 ,u 2‬‬
‫בדוגמה הזאת ראינו‪,‬כי במרחב וקטורי ‪ V‬לא בהכרח כל הוקטורים הם צירופים ליניאריים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫של וקטורים נתונים ‪ . u1 ,, u n  V‬קבוצת וקטורים שהם כן צירופים ליניאריים של‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ u1 ,, u n  V‬מסמנים ‪Sp{u1 ,u n } :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫משפט‪.‬אם } ‪ S  {u1 ,u n‬קבוצה סופית לא ריקה של וקטורים מ – ‪, V‬אז‬
‫} ‪un‬‬
‫‪ Sp(S )  Sp{u1 ,‬תת מרחב של מרחב וקטורי ‪. V‬‬
‫הוכחה‪.‬לפי המשפט "בוחן תת מרחב" מספיק לבדוק כי )‪ Sp(S‬סגורה כלפי חיבור וכפל‬
‫‪ ‬‬
‫בסקלר‪.‬נניח‪,‬כי ) ‪ u , v  Sp(S‬ו – ‪ ,   R‬אז קיימים ‪ 1 ,,  n  R‬ו ‪1 ,,  n  R -‬‬
‫כך ש ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪u  1u1     n u n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪v  1u1     n u n‬‬
‫לכן‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫} ‪u  v  (1  1 )u1    ( n   n )u n  Sp{u1 ,u n‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫} ‪u  (1 )u1    ( n )u n  Sp{u1 ,u n‬‬
‫‪ U  Sp{u1 ,‬מרחב(תת מרחב) וקטורי‪,‬אז אומרים כי ‪ U‬נפרש ע"י קבוצה‬
‫הגדרה‪.‬אם } ‪un‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫} ‪ S  {u1 ,u n‬או קבוצה ‪ S‬פורשת(יוצרת) את ‪.U‬במקרה כזה אומרים גם‪ ,‬כי ‪ U‬נוצר סופית‬
‫(סיבה ‪ S :‬קבוצה סופית של וקטורים)‪.‬‬
‫דוגמאות‬
‫‪.1‬האם מרחבים וקטורים ‪ M mn , Pn [x] , R n‬נוצרו סופית? אם כן‪,‬תן דוגמה לקבוצה‬
‫יוצרת(פורשת)‪.‬‬
‫פתרון‬
‫נסתכל על קבוצת וקטורים‬
‫‪‬‬
‫)‪e1  (1,0,  ,0‬‬
‫‪‬‬
‫)‪e2  (0,1,  ,0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪en  (0,0,  ,1‬‬
‫מ ‪. R n -‬קל לראות כי‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x  ( x1 , x2 ,, xn )  x1e1  x2 e2    xn en‬‬
‫לכן‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫} ‪R n  Sp{e1 ,en‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ R n‬נוצר סופית ו – } ‪ {e1 ,en‬קבוצה פורשת‪.‬‬
‫למרחב פולינומים ]‪ Pn [x‬גם קל לראות ‪,‬כי ‪Pn [ x]  Sp{x n , x n1 ,,1) :‬‬
‫ז"א ]‪ Pn [x‬נוצר סופית ו – )‪,1‬‬
‫‪ ( x n , x n1 ,‬קבוצה פורשת‪.‬‬
‫כדי לבדוק מרחב וקטורי ‪ M mn‬מטריצות מסדר ‪, m  n‬ניקח למשל ‪. M 22‬‬
‫‪ 1 0   0 1   0 0   0 0‬‬
‫‪, u 2  ‬‬
‫‪, u3  ‬‬
‫‪, u 4  ‬‬
‫קל לראות ‪,‬כי מטריצות ‪‬‬
‫‪u1  ‬‬
‫‪ 0 0‬‬
‫‪ 0 0‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪‬‬
‫הם קבוצה פורשת את מרחב ‪. M 22‬באמת לכל ‪  M 22‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  u1  u 2  u 3  u 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬נקבל‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪   ‬‬
‫לכן } ‪M 22  Sp{u1 , u 2 , u3 , u 4‬‬
‫באותה הדרך למרחב וקטורי ‪ M mn‬אפשר למצוא קבוצה סופית של מטריצות‪,‬פורשות את‬
‫המרחב‪.‬לכן גם ‪ M mn‬מרחב נוצר סופית‪.‬‬
‫‪ .2‬נסמן ב‪ P[x] -‬מרחב וקטורי של כל הפולינומים ממעלה טבעית כלשהי או אפס‪.‬‬
‫האם ]‪ P[x‬מרחב נוצר סופית?‬
‫פיתרון‪ .‬נניח ‪,‬כי ]‪ P[x‬מרחב נוצר סופית‪.‬לפי הגדרה ‪,‬ז"א כי קיימים פולינומים‬
‫)‪ p1 ( x),, pn ( x‬כך ש – })‪P[ x]  Sp{ p1 ( x),, pn ( x‬‬
‫נסמן ב – ‪ m‬מעלה מקסימאלית של פולינומים האלה‪.‬אז מעלה של פולינום‬
‫)‪p( x)  1 p1 ( x)     n pn ( x‬‬
‫לא יכולה להיות גדולה מ – ‪.m‬לכן לא קיימים מספרים ‪ 1 ,,  n  R‬כך ש‪-‬למשל‬
‫)‪  n pn ( x‬‬
‫‪xm1  1 p1 ( x) ‬‬
‫אבל ]‪ , x m1  P[ x‬לכן ההנחה כי })‪ P[ x]  Sp{ p1 ( x),, pn ( x‬לא נכונה ו ‪ P[x] -‬לא נוצר‬
‫סופית‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫שים לב‪ .‬למרחב וקטורי נוצר סופית } ‪ V  Sp{u1 ,u n‬הקבוצה הפורשת } ‪ {u1 ,u n‬מכילה‬
‫‪‬‬
‫מספר סופי וקטורים‪,‬ומרחב הנפרש ‪ V‬מכיל (חוץ ממקרא טריביאלי }‪ ) V  {0‬אינסוף‬
‫וקטורים‪.‬למשל })‪ . R 2  Sp{(1,0), (0,1‬בקבוצה הפורשת יש ‪ 2‬וקטורים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ u1  (1,0), u 2  (0,1‬בלבד‪ ,‬ובקבוצה הנפרשת נמצאים כל וקטורי המישור‪.‬‬
‫לסיום של הפרק‪,‬נגדיר שני מרחבים וקטורים הקשורים למטריצה נתונה ‪ A‬מסדר ‪. m n‬אם‬
‫‪:‬‬
‫‪ a11  a1n   R1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪A             A1  An ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ m1  a mn   Rm ‬‬
‫כאשר כרגיל ‪ R1 ,, Rm‬מסמן שורות ו ‪ A1 ,, An -‬מסמן עמודות של ‪ , A‬אז שורות הן‬
‫וקטורים מ‪ R n -‬ועמודות הן וקטורים מ‪. R m -‬מרחב וקטורי } ‪( Sp{R1 ,, Rm‬תת מרחב של‬
‫‪ ) R n‬נקרא מרחב שורות של מטריצה ‪ A‬ומרחב וקטורי } ‪( Sp{ A1 ,, An‬תת מרחב של ‪) R m‬‬
‫נקרא מרחב עמודות של ‪.A‬שני המרחבים האלה‪,‬לפי הגדרה‪,‬נוצרים סופית‪.‬משמעות ותכונות‬
‫של מרחב שורות ומרחב עמודות של מטריצה יתבררו בהמשך‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫תלות ואי תלות ליניארי‪.‬בסיס של מרחב וקטורי‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נניח‪,‬כי ‪ V‬מרחב וקטורי הנוצר ע"י קבוצה פורשת של ‪ n‬וקטורים } ‪: {u1 ,u n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫} ‪V  Sp{u1 ,u n‬‬
‫קבוצה הזאת היא כמובן לא קבוצה יחידה שפורשת את ‪.V‬השאלות שנתרכז בהן בפרק זה הן ‪:‬‬
‫מהו מספר המינימאלי של וקטורים בקבוצה פורשת את ‪,V‬מה התנאי ‪,‬שקבוצה פורשת את ‪V‬‬
‫עם מספר מינימאלי של וקטורים צריכה לקיים ואיך לבנות קבוצה כזאת‪.‬‬
‫נתחיל בדוגמה‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫ניקח שני וקטורים ‪ , u 2 , u1  V‬כאשר ‪ V‬מרחב וקטורי‪ .‬וקטור השלישי ניקח בכוונה צירוף‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫ליניארי של ‪ u 2 ,u1‬למשל ‪. u3  u 2  u1‬נסמן ב‪ U-‬מרחב וקטורי הנפרש ע"י הקבוצה‬
‫‪  ‬‬
‫} ‪{u1 , u 2 , u3‬‬
‫‪  ‬‬
‫} ‪U  Sp{u1 , u 2 , u3‬‬
‫‪ ‬‬
‫ונבדוק כי בעצם ‪ U‬נפרש ע"י ‪ u 2 ,u1‬בלבד ‪ ,‬כלומר‬
‫‪ ‬‬
‫‪  ‬‬
‫} ‪Sp{u1 , u 2 }  Sp{u1 , u 2 , u3‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  ‬‬
‫כל צירוף ליניארי של וקטורים } ‪ {u1 , u 2‬הוא גם צירוף ליניארי של } ‪ , {u1 , u 2 , u3‬כי‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. u1  u 2  u1  u 2  0  u3‬לכן‬
‫‪ ‬‬
‫‪  ‬‬
‫} ‪Sp{u1 , u 2 }  Sp{u1 , u 2 , u3‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫כדי להראות את ההפך ניקח } ‪ u  Sp{u1 , u 2 , u3‬נקבל כי קיימים ‪  ,  ,   R‬כך ש ‪:‬‬
‫‪u   u1   u2   u3   u1   u2    (u1  u2 )  (   )u1  (   )u2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫לכן } ‪. u  Sp{u1 , u 2‬ז"א } ‪. Sp{u1 , u 2 }  Sp{u1 , u 2 , u3‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫וסופית } ‪. Sp{u1 , u 2 }  Sp{u1 , u 2 , u3‬‬
‫אפשרות לקצר קבוצה יוצרת של ‪ U‬מ‪ 3-‬וקטורים ל‪ 2-‬וקטורים קיבלנו בגלל שווקטור‬
‫השלישי הוא צירוף ליניארי של שניים הראשונים‪.‬אותו הדבר היינו מקבלים גם במקרה‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫שווקטור ‪ u 2‬הוא צירוף ליניארי של ‪ u 3 ,u1‬ובמקרה ש ‪ u1 -‬צירוף ליניארי של ‪. u 3 ,u 2‬בכל‬
‫מקרה ‪,‬וקטור מקבוצה יוצרת שהוא צירוף ליניארי של וקטורים אחרים בקבוצה‪,‬אפשר להוריד‬
‫מהקבוצה היוצרת מבלי לשנות את המרחב הנפרש‪.‬‬
‫איך ניתן לכתוב בצורה מתמטית תנאי שווקטור אחד מהקבוצה הוא צירוף ליניארי של‬
‫אחרים ?‬
‫‪7‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הגדרה‪.‬קבוצה לא ריקה של וקטורים } ‪ {u1 ,u n‬נקראת תלויה ליניארית(ת"ל) אם קיימים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מספרים ‪ 1 ,,  n  R‬לא כולם שווים לאפס כך ש ‪. 1u1     n u n  0 -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫טענה‪ .‬וקטור אחד מהקבוצה } ‪ {u1 ,u n‬הוא צירוף ליניארי של אחרים אם ורק אם הקבוצה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫} ‪ {u1 ,u n‬ת"ל‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח‪ ,‬כי אחד מהוקטורים של הקבוצה } ‪ , {u1 ,u n‬למשל ‪ - u1‬צירוף ליניארי של‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫אחרים‪.‬ז"א כי קיימים מספרים ‪  2 , ,  n  R‬כך ש ‪ u1   2 u 2     n u n :‬אבל מכאן‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נובע‪ ,‬כי ‪ (1)  u1     n u n  0‬ולא כל המקדמים שווים ל‪( 0-‬למשל‪ ,‬מקדם של ‪ u1‬שווה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ל‪ .)-1 -‬לכן קבוצה } ‪ {u1 ,u n‬ת''ל‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫אם‪ ,‬להפך‪ ,‬הקבוצה } ‪ {u1 ,u n‬ת''ל‪ ,‬אז ‪,‬לפי הגדרה‪ ,‬קיימים מספרים ‪ 1 ,,  n  R‬לא‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כולם שווים ל‪ , 0-‬כך ש‪. 1u1     n u n  0 -‬‬
‫‪n‬‬
‫אם למשל ‪, 1  0‬אז נקבל ‪u‬‬
‫‪1 n‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪u ‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪u1  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫או ‪ u1   2 u 2     n u n‬כאשר ‪. i  2,, n,  i   i‬ז"א ‪ u1 ,‬צירוף ליניארי של‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. u 2 ,, u n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫אנחנו רואים כי אם מרחב וקטורי נוצר סופית ו ‪V  Sp{u1 ,u n } -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫אז אפשר לקצר מספר וקטורים בקבוצה יוצרת } ‪ {u1 ,u n‬מבלי לשנות את המרחב שנפרש‬
‫אם הקבוצה ת"ל ואי אפשר אם היא לא ת"ל(בלתי תלויה ליניארית)‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הגדרה‪.‬קבוצה לא ריקה של וקטורים } ‪ {u1 ,u n‬נקראת בלתי תלויה ליניארית(בת"ל)‪,‬אם‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מ‪ 1u1     n u n  0 -‬נובע‪ ,‬כי ‪. 1   2     n  0‬‬
‫‪ 1 0    1 1  0 2 ‬‬
‫‪, ‬‬
‫‪, ‬‬
‫דוגמה‪.‬הוכח כי קבוצה }‪‬‬
‫‪ 3 2   0 1   1 0 ‬‬
‫‪ {‬בת"ל‪.‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪  1 1  0 2    0 0 ‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪  0  ‬‬
‫הוכחה‪.‬נניח ‪ ,‬כי ‪‬‬
‫‪3 2‬‬
‫‪ 0 1   1 0 ‬‬
‫‪ 0 0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  2   0 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫אז ‪‬‬
‫‪2     0 0 ‬‬
‫או‬
‫‪8‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3  ‬‬
‫‪  0‬‬
‫‪  2  0‬‬
‫‪3    0‬‬
‫‪2    0‬‬
‫לממ"ל הזאת יש פתרון יחיד ‪ ,       0‬לכן ‪ ,‬לפי הגדרה ‪ ,‬הקבוצה‬
‫‪ 1 0    1 1  0 2 ‬‬
‫‪, ‬‬
‫‪, ‬‬
‫}‪‬‬
‫‪ {‬בת"ל‪.‬‬
‫‪ 3 2   0 1   1 0 ‬‬
‫אם ‪ V‬מרחב של וקטורים גיאומטריים ‪ R 2‬או ‪ , R 3‬אז לתלות ואי תלות של קבוצות וקטורים‬
‫יש משמעות גיאומטרית‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪     ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪.1‬אם ‪ u  0, v  0 , u , v  V‬ו ‪ {u , v} -‬ת"ל‪,‬אז‪ ,‬לפי הטענה ‪,‬אחד מהוקטורים ‪ u , v‬צירוף‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ליניארי של הווקטור השני‪ .‬ז"א‪,‬קיים מספר ‪ ‬כך ש ‪. u  v‬במקרה של וקטורים‬
‫‪ ‬‬
‫גיאומטריים מקבלים כי ‪ u , v‬מקבלים‪ .‬לכן ‪,‬זוג של וקטורים גיאומטריים תלוי ליניארית אם‬
‫הוקטורים מקבילים ובת"ל אם הם לא מקבילים‪.‬‬
‫‪  ‬‬
‫במקרה של שלושה וקטורים ‪ u , v , w  V‬השונים מווקטור האפס‪,‬מאותה הטענה נובע‪,‬כי‬
‫‪ ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪‬‬
‫קבוצה }‪ {u , v , w‬ת"ל אם ורק אם אחד מהווקטורים למשל ‪ , u‬צירוף ליניארי של ‪. v , w‬ז"א‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .  ,   R , u  v  w‬מהגדרה גיאומטרית של חיבור וקטורים וכפל בסקלר נובע‪,‬כי ‪u‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נמצא במישור של ‪ v‬ו ‪( w -‬וקטורים ‪ u , v , w‬קומפלנאריים )‪ .‬לכן‪,‬קבוצה של שלושה וקטורים‬
‫גיאומטריים ת"ל אם ורק אם הוקטורים קומפלנאריים ‪.‬‬
‫דוגמה‪ .‬בדוק האם קבוצות })‪ S1  {(1,1,0), (0,2,1‬ו ‪S 2  {(1,1,0), (0,2,1), (1,3,2)} -‬‬
‫תלויות ליניאריות‪.‬‬
‫פתרון‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪‬‬
‫בקבוצה ‪ S1‬וקטורים )‪ u  (1,1,0‬ו‪ v  (0,2,1) -‬לא מקבילים ‪,‬כי ‪‬‬
‫‪1 1 0‬‬
‫בת"ל‪.‬‬
‫ולכן ‪S1‬‬
‫כדי לבדוק את ‪ S 2‬נחשב דטרמיננטה‬
‫‪1 1 0‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪0 2 1  1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ 1  (4  3)  1  (0  1)  0‬‬
‫‪3 2‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪1 3 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ז"א הווקטורים )‪ u  (1,1,0), v  (0,2,1), w  (1,3,2‬קומפלנאריים ולכן קבוצה ‪ S 2‬ת"ל‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הגדרה‪(.‬בסיס של מרחב וקטורי)‪.‬קבוצת וקטורים } ‪ B  {u1 ,u n‬של מרחב וקטורי ‪V‬‬
‫נקראת בסיס של המרחב אם ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬קבוצה ‪ B‬פורשת את ‪. V  Sp{u1 ,u n } : V‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬קבוצה } ‪ B  {u1 ,u n‬בת"ל‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫תנאי "א" בהגדרה אומר ‪,‬כי כל וקטור מ – ‪ V‬הוא צירוף ליניארי של וקטורים ‪. u1 ,u n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫תנאי "ב" אומר כי בקבוצה יוצרת } ‪ {u1 ,u n‬אין וקטורים מיותרים (אם נוציא וקטור‬
‫מהקבוצה אז שאר הווקטורים לא יפרשו את ‪.) V‬‬
‫דוגמאות‬
‫‪.1‬מרחב וקטורי ‪. R n‬‬
‫כבר ראינו קודם ‪,‬כי אם נסמן‬
‫‪‬‬
‫)‪e1  (1,0,  ,0‬‬
‫‪‬‬
‫)‪e2  (0,1,  ,0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪en  (0,0,  ,1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫אז } ‪. R n  Sp{e1 ,, en‬קל לראות גם ‪,‬כי קבוצה } ‪ {e1 ,, en‬בת"ל‪.‬לכן קבוצה זאת – בסיס‬
‫של מרחב ‪. R n‬הבסיס הזה נקרא בסיס סטנדרטי של ‪ R n‬ויש בו ‪ n‬וקטורים‪.‬‬
‫‪.2‬מרחב ]‪ - Pn [x‬פולינומים ממעלה ‪ n‬ומטה‪.‬‬
‫ראינו ‪,‬כי )‪. Pn [ x]  Sp{x n , x n1 ,,1‬נוכיח ‪,‬כי הקבוצה )‪ {x n , x n1 ,,1‬בת"ל‪.‬‬
‫אם ‪ 0  1  0‬‬
‫‪  n xn   n1 xn1 ‬אז ‪ p( x)   n x n  ...  0  0‬עבור כל מספר ‪.x‬אבל‬
‫לפולינום )‪ p(x‬יכול להיות יותר מ – ‪ n‬שורשים רק אם כל המקדמים שוום ל – ‪ .0‬לכן‬
‫‪  n   n1     0  0‬וקבוצה )‪ {x n , x n1 ,,1‬בת"ל‪.‬ז"א )‪ {x n , x n1 ,,1‬בסיס של‬
‫]‪ . Pn [x‬הוא גם נקרא בסיס סטנדרטי של ]‪ Pn [x‬ויש בו ‪ n+1‬וקטורים‪.‬‬
‫‪.3‬מרחב ‪ M mn‬מטריצות מסדר ‪. m n‬במרחב הזה קבוצת וקטורים(מטריצות)‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 , i  1,, m. j  1,, n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪eij   0 0 0 1 0 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪11‬‬
‫כאשר רק בחיתוך של שורה ‪ i‬עם עמודה ‪ j‬עומד מספר ‪ 1‬וכל שאר האיברים של המטריצה‬
‫אפסים‪,‬היא גם קבוצה יוצרת וגם בת"ל ולכן בסיס של ‪. M mn‬הבסיס נקרא בסיס סטנדרטי‬
‫של ‪ M mn‬ומכיל ‪ m  n‬וקטורים‪.‬‬
‫שתי שאלות הבאות שאנחנו נתרכז הן‪ :‬לאיזה מרחבים וקטורים קיים בסיס (סופי) והאם‬
‫בשני בסיסים שונים של אותו מרחב וקטורי יתכן מספר שונה של וקטורים‪.‬‬
‫תשובות לשאלות אלה נקבל מהמשפטים הבאים‪.‬‬
‫משפט‪.‬יהיה ‪ V‬מרחב וקטורי נוצר סופית‪,‬אז ל – ‪ V‬יש בסיס‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הוכחה‪ .‬אם ‪ V‬מרחב וקטורי נוצר סופית‪ ,‬אז קיימת קבוצה סופית של וקטורים } ‪{u1 ,u n‬‬
‫כך ש‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫} ‪V  Sp{u1 ,u n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫אם הקבוצה בת"ל אז זה הבסיס‪.‬אם הקבוצה } ‪ {u1 ,u n‬ת"ל אז ‪,‬לפי הטענה‪ ,‬אחד‬
‫‪‬‬
‫מהוקטורים של הקבוצה הוא צירוף ליניארי של אחרים‪ .‬נניח למשל כי ‪ u n‬צירוף ליניארי של‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫}‪1‬מ ‪ , {u1 ,u‬אז ‪,‬כמו שהוכחנו קודם ‪,‬נקבל‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫}‪1‬מ ‪V  Sp{u1 ,u n }  Sp{u1 ,u‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ועכשיו ‪,‬אם }‪1‬מ‪ {u1 ,u‬בת"ל ‪,‬אז זה בסיס ואם לא‪ ,‬נחזור ונוציא עוד וקטור אחד‬
‫מהקבוצה‪.‬נמשיך בתהליך עד שנגיע לקבוצה שהיא יוצרת את ‪ V‬וגם בת"ל‪.‬היא הבסיס של ‪.V‬‬
‫משפט‪.‬‬
‫יהיה ‪ V‬מרחב וקטורי ו – ‪ B‬בסיס של ‪ V‬המכיל ‪ m‬וקטורים‪ .‬אז‪:‬‬
‫א‪ .‬כל קבוצת וקטורים ב – ‪ V‬בה יש יותר מ – ‪ m‬וקטורים תלויה ליניארית‪.‬‬
‫ב‪ .‬כל קבוצת וקטורים ב – ‪ V‬בה יש פחות מ – ‪ m‬וקטורים איננה פורשת את ‪.V‬‬
‫ג‪ .‬כל קבוצה בת"ל בעלת ‪ m‬וקטורים פורשת את ‪( V‬בסיס)‪.‬‬
‫ד‪ .‬כל קבוצה בעלת ‪ m‬וקטורים שפורשת את ‪ V‬היא בת"ל(בסיס)‪.‬‬
‫ה‪ .‬בכל בסיס של ‪ V‬יש בדיוק ‪ m‬וקטורים‪.‬‬
‫נוכיח למשל את סעיף "א" ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫אם } ‪ B  {u1 ,u m‬בסיס נתון של ‪ V‬ו ‪ S  {v1 ,vn } -‬קבוצת וקטורים ב – ‪, n>m , V‬אז כל‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫וקטור מ ‪ S -‬הוא צירוף ליניארי של וקטורים מ – ‪) V  Sp{u1 ,u m } ( B‬‬
‫‪11‬‬
‫ז"א קיימים ‪ aij  R‬כך ש ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪v1  a11u1    a1m u m‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪v 2  a 21u1    a 2 m u m‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪v n  a n1u1    a nmu m‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נחפש מספרים ‪ x1 , xn‬כדי לקיים ‪ . x1v1    xn vn  0‬נקבל ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x1v1   xn vn  x1 (a11u1    a1m u m )    xn (an1u1    anmu m ) ‬‬
‫‪ anm xn )um  0‬‬
‫‪ an1 xn )u1 ‬‬
‫‪ (a1m x1 ‬‬
‫‪ (a11 x1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫קבוצה } ‪ {u1 ,u m‬בת"ל (בסיס)‪ ,‬לכן צריך להתקיים ‪:‬‬
‫‪ an1 xn  0‬‬
‫‪a11 x1 ‬‬
‫‪ anm xn  0‬‬
‫‪a1m x1 ‬‬
‫מערכת המשוואות הזאת היא ממ"ל הומוגנית של ‪ n‬נעלמים ‪ x1 , xn‬ו – ‪ m‬משוואות‪.‬נתון כי‬
‫‪, n>m‬לכן ‪,‬לפי משפט ‪,‬למערכת יש פתרון לא טריביאלי‪.‬ז"א ‪,‬קיימים מספרים לא כולם שווים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ל – ‪ x1 , xn , 0‬שהם פתרון של המערכת ולכן מתקיים ‪. x1v1    xn vn  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫קיבלנו כי } ‪ {v1 ,vn‬ת"ל‪.‬‬
‫המשפט אומר כי לכל בסיס של מרחב וקטורי ‪ V‬יש אותו מספר וקטורים ‪.‬‬
‫הגדרה‪ .‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי‪.‬מספר וקטורים בבסיס של ‪ V‬נקרא מימד של מרחב ‪ .V‬נסמן‬
‫המימד‪.dimV -‬‬
‫דוגמאות ‪:‬‬
‫‪ .1‬מהדוגמאות הקודמות נובע ‪,‬כי‬
‫‪dim R n  n‬‬
‫‪dim Pn [ x]  n  1‬‬
‫‪dim M mn  m  n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.2‬נתונים שלשוה וקטורים )‪ u1  (1,1), u 2  (1,1), u3  (4,7‬של ‪: R 2‬‬
‫‪  ‬‬
‫א‪ .‬האם הקבוצה } ‪ {u1 , u 2 , u3‬ת"ל?‬
‫‪ ‬‬
‫ב‪.‬האם הקבוצה } ‪ {u1 , u 2‬בסיס של מרחב ‪? R 2‬‬
‫‪12‬‬
‫פתרון‪.‬‬
‫א‪ .‬מימד של ‪ R 2‬שווה ל‪, 2-‬לכן ‪,‬לפי משפט ‪,‬כל קבוצת וקטורים ב ‪ R 2 -‬שיש בה יותר‬
‫‪  ‬‬
‫מ‪ 2 -‬וקטורים היא ת"ל ‪.‬מכאן } ‪ {u1 , u 2 , u3‬ת"ל‪.‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬וקטורים ‪ u1‬ו ‪ u 2 -‬לא מקבלים ‪ ,‬כי ‪‬‬
‫‪.‬לכן הקבוצה } ‪ {u1 , u 2‬בת"ל‪.‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪, dim R 2  2‬ז"א ‪,‬לפי משפט ‪,‬כל קבוצה שיש בה ‪ 2‬וקטורים ובת"ל היא בסיס‪.‬לכן‬
‫‪ ‬‬
‫} ‪ {u1 , u 2‬בסיס של ‪. R 2‬‬
‫מסקנות נוספות מהמשפט‪.‬‬
‫‪.1‬אם ‪ U‬תת מרחב של מרחב וקטור ‪, V‬אז‪:‬‬
‫א‪dim U  dim V .‬‬
‫ב‪ dim U  dim V .‬אם ורק אם ‪.U=V‬‬
‫‪.2‬אם ‪ , dim V  n‬אז מספר איברים בכל קבוצה בת"ל קטן או שווה ל – ‪ ,n‬ומספר‬
‫האיברים בכל קבוצה הפורשת את ‪ V‬גדול או שווה ל – ‪.n‬‬
‫‪13‬‬
‫דף עבודה ‪7‬‬
‫‪.‬הוכח או הפרך את הטענות הבאות ‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫תת מרחב של‬
‫תת מרחב של‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫תת מרחב של‬
‫תת מרחב של‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫תת מרחב של‬
‫ה‪.‬‬
‫תת מרחב של‬
‫ו‪.‬‬
‫‪.2‬נסמן ב – ‪ V‬מרחב וקטורי‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫מטריצות ריבועיות מסדר ‪.3‬הוכח או הפרך את הטענות‬
‫הבאות ‪:‬‬
‫תת מרחב של ‪.V‬‬
‫א‪.‬‬
‫תת מרחב של ‪.V‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫תת מרחב של ‪.V‬‬
‫ד‪.‬‬
‫תת מרחב של ‪.V‬‬
‫תת מרחב של ‪.V‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪.3‬הראה‪,‬כי קבוצת כל הפתרונות(פתרון כללי) של מערכת‬
‫‪ , mxn‬תת מרחב של‬
‫אם ורק אם‬
‫‪ ,‬כאשר ‪ A‬מטריצה מסדר‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬הראה ‪,‬כי )‪ Im(A‬תת מרחב‬
‫‪.4‬למטריצה ‪ A‬מסדר ‪ mxn‬נסמן‬
‫של‬
‫‪‬‬
‫‪.5‬הסבר למה אם מרחב וקטורי }‪, V  {0‬אז ב – ‪ V‬יש אינסוף וקטורים שונים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.6‬נתון ‪ v1  (1,0,1), v2  (2,1,3), v3  (4,2,6) :‬ו‪. w  (3,1,2) -‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫א‪ .‬האם } ‪ ? w  {v1 , v2 , v3‬כמה וקטורים בקבוצה } ‪? {v1 , v2 , v3‬‬
‫‪  ‬‬
‫ב‪ .‬כמה וקטורים בקבוצה } ‪? Sp{v1 , v2 , v3‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫ג‪ .‬האם } ‪? w  Sp{v1 , v2 , v3‬‬
‫‪14‬‬
‫‪ .7‬שרטט ב ‪ R 3 -‬תת מרחבים הנפרשים ע"י הקבוצות הבאות ‪:‬‬
‫א‪{(1,3,2), (2,6,4), (3,9,6)} .‬‬
‫ב‪{(4,0,0), (0,5,0), (1,1,0)} .‬‬
‫ג‪{(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)} .‬‬
‫‪.8‬נתון כי‬
‫‪ 4 ‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪7‬‬
‫‪        ‬‬
‫‪v1    3 , v 2   9 , v3  11‬‬
‫‪ 7 ‬‬
‫‪  2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  ‬‬
‫ו ‪ . H  Sp{v1 , v2 , v3 } -‬ניתן לבדוק כי ‪ . 4v1  5v2  3v3  0‬מצא את הבסיס של ‪(.H‬יש‬
‫יותר מתשובה אחת)‪.‬‬
‫‪.9‬הוכח או הפרך את הטענות ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬אם } ‪ {v1 ,vn‬ו ‪ {v1 ,vn , w} -‬שתי תת קבוצות של מרחב וקטורי ‪, V‬אז‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫}‪ Sp{v1 ,vn }  Sp{v1 ,vn , w‬אם ורק אם וקטור ‪ w‬הוא צירוף ליניארי של‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫} ‪. {v1 ,vn‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪.‬קבוצה }‪ {v‬בת"ל עבור כל וקטור ‪. v‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪.‬אם } ‪, H  Sp{u1 ,u m‬אז } ‪ {u1 ,u m‬בסיס של ‪.H‬‬
‫ד‪.‬אם ‪ A‬מטריצה מסדר ‪ m n‬ו – ‪ H‬מרחב שורות של ‪, A‬אז ‪dim H  n‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.11‬נתון כי )‪ v1  (1,2,3), v2  (2,7,9‬האם } ‪ {v1 , v2‬בסיס של ‪? R 3‬‬
‫‪ ‬‬
‫האם } ‪ {v1 , v2‬בסיס של ‪? R 2‬‬
‫‪ S ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪      ‬‬
‫‪.11‬נסמן ‪ H   S  | S  R , v1   0 , v 2   1 ‬כל וקטור מ – ‪ H‬הוא צירוף‬
‫‪ 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪S ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫ליניארי של } ‪ , {v1 , v2‬כי ‪  S   S  0   S  1  :‬האם } ‪ {v1 , v2‬בסיס של ‪? H‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪15‬‬
‫‪.12‬נסמן ‪ M‬מרחב וקטורי של כל מטריצות ריבועיות מסדר ‪.n‬מצא בסיס ומימד של‬
‫תתי מרחבים הבאים ‪:‬‬
‫א‪.‬תת מרחב של מטריצות סקלריות‪.‬‬
‫ב‪.‬תת מרחב של מטריצות אלכסוניות‪.‬‬
‫ג‪.‬תת מרחב של מטריצות סימטריות‪.‬‬
‫ד‪.‬תת מרחב של מטריצות אנטי‪-‬סימטריות‪.‬‬
‫‪.13‬קבוצת וקטורים הנמצאים במישור ‪ x  2 y  z  0‬היא תת מרחב ‪ H‬של‬
‫‪. R 3‬מצא את הבסיס של ‪.H‬‬
‫‪16‬‬

Similar documents