וקטורים

Transcription

וקטורים
‫פרק ‪2‬‬
‫כל‬
‫וקטורים‬
‫הזכ‬
‫נניח שיש לנו שני סוגי דגנים‪ ,‬נקרא להם דגן ‪ U‬ודגן ‪ .V‬לכל אחד מהם יש פירוט ויטמינים‪ ,‬נגיד‬
‫‪B1,B2,B6,B12‬‬
‫‪V‬‬
‫‪U‬‬
‫‪1.7‬‬
‫‪1.3‬‬
‫‪B1‬‬
‫‪1.4‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪B2‬‬
‫ות‬
‫וי‬
‫‪1.6‬‬
‫‪1.8‬‬
‫‪B6‬‬
‫‪4.9‬‬
‫‪5.2‬‬
‫‪B12‬‬
‫במ״ג עבור ‪ 100‬גרם של דגן‪ .‬נניח שאנחנו הולכים להכין תערובת של ‪ 70‬גרם של דגן ‪ U‬ו־‪ 80‬גרם של דגן‬
‫‪ .V‬כמובן שאנחנו רוצים לדעת כמה ויטמינים מכל סוג נקבל בתערובת הזאת‪ .‬נוח לערוך חישוב באופן‬
‫הבא‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫שמ‬
‫‪1:77 60:7 1:3 + 0:8 1:77 62:277‬‬
‫‪1:37‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪61:47‬‬
‫‪60:7 1:5 + 0:8 1:47‬‬
‫‪62:177‬‬
‫‪61:57‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪0:7 6 7 + 0:8 6 7 = 6‬‬
‫‪7=6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪61:67‬‬
‫‪60:7 1:8 + 0:8 1:67‬‬
‫‪62:547‬‬
‫‪61:87‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4:9‬‬
‫‪0:7 5:2 + 0:8 4:9‬‬
‫‪7:56‬‬
‫‪5:2‬‬
‫נקרא לקבוצה סדורה של ארבעה מספרים וקטור עם ארבעה רכיבים )ארבע קואורדינטות(‪ .‬לפעולה‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫נקרא מכפלה של וקטור במספר )סקלר( ולפעולה‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x + y1 7‬‬
‫‪x‬‬
‫‪6 17 6 17‬‬
‫‪6 1‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6 7 6 7‬‬
‫‪6x + y2 7‬‬
‫‪6x2 7 6y2 7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6 7+6 7=6 2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6 7 6 7‬‬
‫‪6x3 + y3 7‬‬
‫‪6x3 7 6y3 7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4 5 4 5‬‬
‫‪y4‬‬
‫‪x4 + y4‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪18‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫‪x‬‬
‫‪kx‬‬
‫‪6 17‬‬
‫‪6 17‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6x2 7‬‬
‫‪6kx2 7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪k 6 7 = 6 77‬‬
‫‪6x3 7‬‬
‫‪6kx3 7‬‬
‫‪4 5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪kx4‬‬
‫‪.2.1‬‬
‫פרק ‪ .2‬וקטורים‬
‫משמעות גיאומטרית של וקטורים עם שני רכיבים‬
‫נקרא חיבור של שני וקטורים‪.‬‬
‫ניתן להגדיר בדיוק באותו אופן חיבור של שני וקטורים ומכפלה של וקטור בסקלר עבור וקטורים‬
‫עם ‪ n‬רכיבים כאשר ‪ n‬מספר טבעי כלשהו‪ .‬בהמשך אנחנו נעשה את זה אבל בינתיים נדון במשמעות‬
‫גיואמטרית של וקטורים עם שניים ושלושה רכיבים‪.‬‬
‫בחישוב שערכנו קודם כתבנו רכיבים של וקטור בעמודה‪ .‬כמובן שאפשר לכתוב אתם רכיבים בשורה‪,‬‬
‫העיקר הוא לכתוב אותם באותו סדר‪ .‬אז החישוב הקודם יראה כך‬
‫כל‬
‫]‪0:7 [1:3; 1:5; 1:8; 5:2] + 0:8 [1:7; 1:4; 1:6; 4:9] = [2:27; 2:17; 2:54; 7:56‬‬
‫כמו כן ניתן לסמן וקטור ע״י סוגים שונים של סוגריים‪ .‬אנחנו נסמן וקטור בעזרת סוגריים מרובעות‪.‬‬
‫הזכ‬
‫‪2.1‬‬
‫משמעות גיאומטרית של וקטורים עם שני רכיבים‬
‫נתון קטע עם קצוות בנקודות ‪ A‬ו־ ‪ .B‬אנו יכולים לרשום את הקטע הזה כ־ ‪ AB‬או ‪ .BA‬קטע נקרא‬
‫!‬
‫מכוון אם נבחר עליו כיוון‪ .‬למשל‪ ,‬אם על קטע ‪ AB‬נבחר כיוון מ־ ‪ B‬ל־‪ A‬אז נרשום את זה כך‪BA :‬‬
‫!‬
‫ואם נבחר כיוון מ־‪ A‬ל־ ‪ B‬אז נרשום את זה כ־ ‪ .AB‬נקרא לשני קטעים מכוונים שווים אם יש להם אותו‬
‫כיוון ואותו אורך‪.‬‬
‫ות‬
‫וי‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪u2‬‬
‫וקואורדינאטות של נקודה ‪ B‬הן ) ‪ (xB ; yB‬אז‬
‫!‬
‫אם קואורדינאטות של נקודה ‪ A‬הן ) ‪(xA ; yA‬‬
‫‪8‬‬
‫<‬
‫‪:‬‬
‫!‬
‫מעכשיו והלאה נקרא לקטע מכוון ‪ AB‬וקטור ‪.AB‬‬
‫אם ) ‪ A(xA ; yA‬ו־ ) ‪ B (xB ; yB‬אז‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪! = 4xB xA5‬‬
‫‪u = AB‬‬
‫‪yB yA‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫‪xB xA = u1‬‬
‫‪yB yA = u2‬‬
‫שמ‬
‫‪2‬‬
‫‪u‬‬
‫!‬
‫נתאים לכל וקטור ‪ u = 4 5‬קטע מכוון ‪ AB‬באופן הבא‪:‬‬
‫לנקודה ‪ A‬נקרא נקודת התחלה )מוצא של וקטור( ולנקודה ‪ B‬נקרא נקודת סוף שלו‪ .‬ההתמאמה של‬
‫וקטור לקטע מכוון לא חד–חד ערכית‪ ,‬לכל וקטור ניתן להתאים אין סוף קטעים מכוונים‪.‬‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ‬
‫‪19‬‬
‫פרק ‪ .2‬וקטורים‬
‫משמעות גיאומטרית של וקטורים עם שני רכיבים‬
‫‪.2.1‬‬
‫‪u1‬‬
‫‪u2‬‬
‫‪u1‬‬
‫‪u2‬‬
‫‪u‬‬
‫‪u1‬‬
‫‪u2‬‬
‫כל‬
‫‪u1‬‬
‫‪u2‬‬
‫‪u‬‬
‫‪u‬‬
‫‪u1‬‬
‫‪u‬‬
‫‪u2‬‬
‫‪u‬‬
‫לכל הקטעים האלה יש אותו הפרש בין קואורדינטות מתאימות של קצה הקטע והתחלה שלו‪ .‬לעתים‬
‫הזכ‬
‫קרובות נוח להתחיל קטע מכוון שמתאים לווקטור הנתון בראשית הצירם‪ .‬אז קואורדינטות של נקודת‬
‫סוף שוות לקואורדינטות של הווקטור עצמו‪.‬‬
‫‪2.1.1‬‬
‫שוויון של וקטורים‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫=‬
‫‪u‬‬
‫נקראים שווים אם ‪= v ; u = v‬‬
‫ות‬
‫וי‬
‫‪v‬‬
‫‪u1 5‬‬
‫שני וקטורים ‪; v = 4 1 5‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪u2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.u1‬‬
‫גיאומטרית זה אומר‬
‫שלווקטורים שווים יש אותו אורך ואותו כיוון‪.‬‬
‫‪2.1.2‬‬
‫גודל של וקטור‬
‫נגדיר גודל של וקטור‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪u‬‬
‫‪u2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪u=4 5‬‬
‫‪juj = u + u‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫!‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫אם ‪ u = AB‬אז ‪ juj‬שווה לאורך של קטע ‪.AB‬‬
‫‪" #‬‬
‫‪3‬‬
‫‪p‬‬
‫= ‪ u‬אז ‪.juj = 9 + 16 = 5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ (2‬נוכיח ש־ ‪ juj = 0‬אם ורק אם ‪.u = ~0‬‬
‫‪#‬‬
‫‪u1‬‬
‫‪; juj2 = u21 + u22 = 0 , u1 = u2 = 0 , u = ~0‬‬
‫‪u2‬‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ‬
‫‪20‬‬
‫"‬
‫ות‬
‫ור‬
‫דוגמה ‪ (1 2.1.1‬אם‬
‫שמ‬
‫ע״י נוסחה‬
‫‪p‬‬
‫=‬
‫‪u‬‬
‫‪.2.1‬‬
‫פרק ‪ .2‬וקטורים‬
‫‪3‬‬
‫משמעות גיאומטרית של וקטורים עם שני רכיבים‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫וקטור שאורכו שווה ‪ 1‬נקרא וקטור יחידה‪ .‬למשל‪ ,‬וקטור ‪ u = 4 p3 5‬הוא וקטור יחידה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫מעכשיו והלאה נסמן את וקטורי יחידה באופן הבא‪ ,‬אם וקטור ‪ u‬הוא וקטור יחידה אז נרשום את זה‬
‫‪u‬‬
‫כך‪^ :‬‬
‫‪2.1.3‬‬
‫כל‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫משמעות גיאומטרית של חיבור וקטורי‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪u‬‬
‫‪v‬‬
‫!‬
‫!‬
‫אם ‪ u = 4 5‬ו־ ‪ .v = 4 5‬נצייר את וקטור ‪ u‬כ־ ‪ AB‬כאשר ) ‪ A(xA ; yA ); B (xB ; yB‬ווקטור ‪ v‬כ־ ‪BC‬‬
‫‪u‬‬
‫‪v‬‬
‫!‬
‫כאשר ) ‪ .C (x ; y‬מיד רואים שוקטור ‪ w = u + v‬הוא וקטור ‪ AC‬כי‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫ולכן‬
‫‪C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪u1‬‬
‫‪! xB‬‬
‫‪u = 4 5 = AB = 4‬‬
‫‪xA 5‬‬
‫‪yA‬‬
‫‪yB‬‬
‫‪3‬‬
‫‪u2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪! xC xB 5‬‬
‫‪v = 4 5 = BC = 4‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪yC yB‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪u 1 + v1 5 4xC xA 5‬‬
‫=‬
‫‪u 2 + v2‬‬
‫‪yC yA‬‬
‫‪w =u+v =4‬‬
‫ות‬
‫וי‬
‫נסכם‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫הזכ‬
‫ו־‬
‫‪1‬‬
‫‪! = AC‬‬
‫;‪ v = BC‬אז !‬
‫‪! u = AB‬‬
‫אם !‬
‫!‬
‫‪ .w = u + v = AB + BC‬לכלל הזה קוראים כלל המשולש‪.‬‬
‫שמ‬
‫יש עוד כלל לחיבור של שני וקטורים והוא מתקבל משוויון ‪ .u + v = v + u‬אם לשני וקטורים יש מוצא‬
‫ות‬
‫ור‬
‫משותף אז סכום שלהם הוא אלכסון מכוון במקבילית‪ .‬לכלל הזה קוראים כלל המקבילית‪.‬‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ‬
‫‪21‬‬
‫‪.2.1‬‬
‫פרק ‪ .2‬וקטורים‬
‫משמעות גיאומטרית של וקטורים עם שני רכיבים‬
‫‪ 2.1.4‬גודל של סכום‬
‫‪2 3‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪u‬‬
‫‪u‬‬
‫‪v‬‬
‫‪1 + v1‬‬
‫‪1‬‬
‫אם ‪ u = 4 5 ; v = 4 1 5‬אז ‪5‬‬
‫‪ u + v = 4‬ולכן‬
‫‪u 2 + v2‬‬
‫‪u2‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫) ‪ju + vj = (u + v ) + (u + v‬‬
‫= ‪(juj + jvj) = juj + jvj + 2jujjvj‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫כל‬
‫‪q‬‬
‫) ‪u21 + u22 + v12 + v22 + 2 (u21 + u22 ) (v12 + v22‬‬
‫בעזרת חישוב הנ״ל ניתן להוכיח )הקורא מוזמן לנסות( ש־ ‪ .juj + jvj ju + vj‬קיימת אפשרות פשוטה‬
‫יותר להוכיח את אי השוויון הנ״ל והיא לפנות לאי שוויון המשולש כי ‪ juj + jvj‬שווה לסכום של שתי‬
‫צלעות במשולש ו־ ‪ ju + vj‬שווה לצלע השלישית‪ .‬נסכם את הדיון בטענה‪.‬‬
‫הזכ‬
‫משפט ‪ 2.1.1‬לכל שני וקטורים ‪ u; v‬מתקיים אי שוויון‬
‫‪ju + vj juj + jvj‬‬
‫‪2.1.5‬‬
‫ות‬
‫וי‬
‫בהמשך נברר עבור איזה וקטורים מתקיים שוויון במקום אי שוויון‪.‬‬
‫וקטור אפס ווקטור נגדי‬
‫‪2 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪u1 5‬‬
‫‪0‬‬
‫ניקח וקטור ‪ ~0 = 4 5‬לכל וקטור‬
‫‪u2‬‬
‫‪0‬‬
‫!‬
‫לווקטור אפס מתאים קטע מכוון ‪ AA‬כאשר ‪ A‬נקודה כלשהי במערכת צירים‪ .‬לכן אורך של וקטור אפס‬
‫‪ u = 4‬מתקיים השוויון ‪ .u + ~0 = u‬הווקטור ‪ ~0‬נקרא וקטור אפס‪.‬‬
‫ולווקטור‪ 2‬אפס אין כיוון‪.‬‬
‫שווה אפס‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪u=4‬‬
‫שמקיים את השוויון‬
‫‪u + ( u) = ~0‬‬
‫וקטור ‪u‬‬
‫!‬
‫!‬
‫נקרה וקטור נגדי של וקטור ‪ .u‬גיאומטרית‪ ,‬אם ‪= AB‬‬
‫מעכשיו והלאה נכתוב את הסכום )‪ u + ( v‬כ־ ‪v‬‬
‫‪u‬‬
‫!‬
‫אז ‪= BA‬‬
‫‪u‬‬
‫‪ u‬ונקרא לפעולה הזאת חיסור של שני וקטורים‪.‬‬
‫בעזרת וקטור אפס וחיסור של וקטורים ניתן לעשות העברת אגפים בשוויון וקטורי‪:‬‬
‫‪v = ~0‬‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ‬
‫‪u=v,u‬‬
‫‪22‬‬
‫!‬
‫!‬
‫ו־ = ‪AB + BA‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫‪.AA = ~0‬‬
‫שמ‬
‫‪u1‬‬
‫‪u1 5‬‬
‫לכל וקטור ‪ u = 4 5‬קיים וקטור‬
‫‪u2‬‬
‫‪u2‬‬
‫‪2‬‬
‫פרק ‪ .2‬וקטורים‬
‫‪2.1.6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.2.1‬‬
‫משמעות גיאומטרית של וקטורים עם שני רכיבים‬
‫משמעות גיאומטרית של כפל של וקטור בסקלר‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪u1‬‬
‫‪ u1 5‬‬
‫אם ‪ u = 4 5‬אז‬
‫‪ .w = u = 4‬לכן‪,‬‬
‫‪ u2‬‬
‫‪u2‬‬
‫‪q‬‬
‫‪:jwj = ( u1 )2 + ( u2 )2 = jj jwj‬‬
‫כל‬
‫כיוון של ‪ w‬חופף לכיוון של ‪ u‬כאשר ‪ , > 0‬נגדי לכיוון של ‪ u‬כאשר ‪ . < 0‬מדיון הנ״ל משתמע משפט‬
‫הבא‪:‬‬
‫!‬
‫!‬
‫משפט ‪ 2.1.2‬קטע ‪ AB‬מקביל לקטע ‪ CD‬אם ורק אם קיים מספר כך ש־ ‪.CD = AB‬‬
‫נחזור שוב לתנאי הקבלה של שני וקטורים‬
‫‪3‬‬
‫הזכ‬
‫‪v = u‬‬
‫מתנאי הזה נובע ש־‬
‫‪2‬‬
‫‪y1‬‬
‫;‪v = 4 5‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x1‬‬
‫;‪u = 4 5‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x1 y2 x2 y1 = 0‬‬
‫ננסח את הקשר הזה כך‪ :‬הווקטורים ‪ u; v‬לא מקבילים אם ורק אם‬
‫ות‬
‫וי‬
‫‪x1 y2 x2 y1 6= 0‬‬
‫משפט הבא חושף משמעות גיאומטרית של הביטוי ‪x2 y1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫משפט ‪ 2.1.3‬אם ‪= 4 1 5 ; v = 4 1 5‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪y2‬‬
‫הווקטורים ‪.u; v‬‬
‫‪ jx1 y2‬שווה לשטח של מקבלית שנוצרת ע״י‬
‫נכניס את המקבילית שלנו למערכת צירים כך שהמוצא משוטף של הווקטורים ‪ u; v‬יהיה‬
‫שמ‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫‪u‬‬
‫אז המספר ‪x2 y1 j‬‬
‫‪.x1 y2‬‬
‫בראשית הצירים‪.‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ‬
‫‪23‬‬
‫‪.2.1‬‬
‫פרק ‪ .2‬וקטורים‬
‫משמעות גיאומטרית של וקטורים עם שני רכיבים‬
‫אז‪,‬‬
‫כל‬
‫) ‪SOABD = SOEBF 2(SOEA + SAEB‬‬
‫‪= (x1 + y1 ) (x2 + y2 ) = x1 x2 + x1 y2 + x2 y1 + y1 y2‬‬
‫‪2SOEA = x2 (x1 + y1 ) = x1 x2 + x2 y1‬‬
‫‪2SAEB = y1 (x2 + y2 ) = x2 y1 + y1 y2‬‬
‫‪SOABD = x1 y2 x2 y1‬‬
‫‪SOEBF‬‬
‫כמובן‪ ,‬מה שנעשה נכון רק לגבי המצב המצוייר ועל מנת להשלים את ההוכחה יש לעבור על כל המצבים‬
‫‬
‫האפשריים‪.‬‬
‫הזכ‬
‫‪2.1.7‬‬
‫‪3‬‬
‫דטרמיננטה של שני וקטורים‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫יהיו ‪= 4 5‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪u = 4 5;v‬‬
‫‪2‬‬
‫המספר הזה כך‬
‫שני וקטורים‪ .‬המספר ‪x2 y1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ x1 y2‬נקרא דטרמיננטה שלהם‪ .‬נהוג לסמן את‬
‫‪det[u; v] = det 4‬‬
‫ות‬
‫וי‬
‫‪x1 y1 5‬‬
‫‪= x1 y 2 x2 y 1‬‬
‫‪x2 y2‬‬
‫‪2‬‬
‫בפרק הקודם ראינו שערך מוחלט של דטרמיננטה של שני וקטורים שווה לשטח של מקבילית שנוצרת על‬
‫ידם‪.‬‬
‫‪2.1.8‬‬
‫וקטורי יחידה‬
‫‪1‬‬
‫נציין שלכל וקטור ‪ u‬הוקטור ‪juj u‬‬
‫‪ w‬הוא וקטור יחידה‪ .‬קל לראות שהווקטורים‬
‫=^‬
‫‪2 3‬‬
‫‪2 3‬‬
‫שמ‬
‫‪^i = 415 ; ^j = 405‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫הם וקטורי יחידה‪ .‬ניתן לתאר את וקטור ‪ ^i‬כקטע מכוון שמתחיל בראשית של מערכת צירים ומשתרע‬
‫לאורך ציר ‪ X‬ואורכו ‪ .1‬וקטור ‪ ^j‬ניתן לתאר כקטע מכוון שמתחיל בראשית של מערכת צירים ומשתרע‬
‫‪u1 5‬‬
‫החשיבות של וקטורים ‪ ^i; ^j‬מתבטא בזה שכל וקטור‬
‫‪u2‬‬
‫‪2 3‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫לאורך ציר ‪ Y‬ואורכו ‪.1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ u = 4‬ניתן לכתוב כך‪:‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪u1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪u = 4 5 = u1 4 5 + u2 4 5 = u1 ^i + u2 ^j‬‬
‫‪u2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫לוקטור ‪ w = u + v‬קוראים צירוף לינארי של וקטורים ‪ u‬ו־ ‪ .v‬אז‪ ,‬ראינו שכל וקטור ‪ u 2 R2‬ניתן‬
‫לכתוב כצירוף לינארי של ‪ ^i‬ו־ ‪.^j‬‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ‬
‫‪24‬‬
‫פרק ‪ .2‬וקטורים‬
‫‪2.2‬‬
‫‪.2.2‬‬
‫משמעות גיאומטרית של וקטורים עם שלושה רכיבים‬
‫משמעות גיאומטרית של וקטורים עם שלושה רכיבים‬
‫כדי להעניק משמעות גיאומטרית לווקטור עם שלוש קואורדינאטות אנחנו צריכים מערכת עם שלושה‬
‫צירים‪.‬‬
‫כל‬
‫הזכ‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫ות‬
‫וי‬
‫‪u‬‬
‫‪6 17‬‬
‫‪6 7‬‬
‫נעניק משמעות גיאומטרית לוקטור ‪ u = 6u2 7‬בדיוק באותו אופן כמו לווקטור עם שני רכיבים‪ .‬נתאים‬
‫‪4 5‬‬
‫‪u3‬‬
‫!‬
‫ל־‪ u‬קטע מכוון ‪ AB‬כאשר קואורדינאטות של נקודה ‪ A‬הן ) ‪ (xA ; yA ; zA‬וקואורדינאטות של נקודה ‪ B‬הן‬
‫) ‪ (xB ; yB ; zB‬ומתקיימים שלושה שיוויונים‬
‫‪xB xA = u1‬‬
‫‪yB yA = u2‬‬
‫‪zB zA = u3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫>‬
‫>‬
‫>‬
‫<‬
‫>‬
‫>‬
‫>‬
‫‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫שמ‬
‫‪u‬‬
‫‪6 17‬‬
‫‪p‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪u‬‬
‫אורך של וקטור ‪ u = 64u2 775‬ניתן לחשב כ־ ‪ .juj = u21 + u22 + u23‬קל לראות שגודל של וקטור ‪^ = u‬‬
‫‪juj‬‬
‫‪u3‬‬
‫שווה ‪.1‬‬
‫ניתן לחבר שני וקטורים עם שלושה רכיבים לפי כלל המשולש או לפי כלל המקבילית בדיוק באותו‬
‫ות‬
‫ור‬
‫אופן כמו וקטורים עם שני רכיבים‪ .‬לכפל של וקטור עם שלושה רכיבים בסקלר יש אותה משמעות‬
‫גיאומטרית כמו לכפל של וקטור עם שני רכיבים בסקלר‪ .‬גם משפט על קטעים מקבילים מתקיים במרחב‪.‬‬
‫‪2.2.1‬‬
‫וקטורי יחידה במרחב‬
‫‪2 3‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫^ ‪6 7‬‬
‫^ ‪6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫^‬
‫ניקח שלושה וקטורים ‪ .i = 607 ; j = 617 ; k = 607‬קל לראות שכל אחד מהם הוא וקטור יחידה‪ .‬ניתן‬
‫‪4 5‬‬
‫‪4 5‬‬
‫‪4 5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫^‬
‫לתאר את ‪ ^i‬כקטע מכוון שמתחיל בראשית של מערכת צירים ומשתרע לאורך ציר ‪ X‬ואורכו ‪ j .1‬ניתן‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ‬
‫‪25‬‬
‫‪ .2.3‬מכפלה סקלרית ב־ ‪R2 ; R3‬‬
‫פרק ‪ .2‬וקטורים‬
‫לתאר כקטע מכוון שמתחיל בראשית של מערכת צירים ומשתרע לאורך ציר ‪ Y‬ואורכו ‪ 1‬ווקטור ^‬
‫‪ k‬ניתן‬
‫כקטע מכוון שמתחיל בראשית של מערכת צירים ומשתרע לאורך ציר ‪ Z‬ואורכו ‪ .1‬קל לראות שכל‬
‫לתאר ‪2 3‬‬
‫‪u‬‬
‫וקטור‬
‫‪6 17‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6u2 7‬‬
‫‪4 5‬‬
‫= ‪ u‬ניתן לכתוב כך‬
‫‪u3‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫כל‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪u‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 17‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫^‬
‫‪u = 6u2 7 = u1 607 + u2 617 + u3 607 = u1 ^i + u2 ^j + u3 k‬‬
‫‪4 5‬‬
‫‪4 5‬‬
‫‪4 5‬‬
‫‪4 5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪u3‬‬
‫לוקטור ‪ d = u + v + w‬קוראים צירוף לינארי של וקטורים ‪ .w; v; u‬אז‪ ,‬ראינו שכל וקטור עם‬
‫שלושה רכיבים ניתן לכתוב כצירוף לינארי של ‪ ^j; ^i‬ו־ ^‬
‫‪.k‬‬
‫הזכ‬
‫על מנת לקצר בניסוחים נסמן אושף של כל הווקטורים עם שני רכיבים ממשיים ב–‬
‫הווקטורים עם שלושה רכיבים ממשיים ב– ‪.R3‬‬
‫‪2.3‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2‬‬
‫ואוסף של כל‬
‫מכפלה סקלרית ב־ ‪R2 R3‬‬
‫;‬
‫ות‬
‫וי‬
‫נתחיל ממשמעות פיזיקאלית של פעולה שנקראת מכפלה סקלרית‪ .‬אם וקטור ‪ F‬מייצג כוח שפועל על‬
‫הגוף ווקטור ‪ x‬מייצג העתק של הגוף )קטע מכוון שמחבר מיקום התחלתי של גוף עם מיקום סופי של‬
‫הגוף( ו־ היא זווית בין הווקטורים ‪ F‬ו־‪ s‬אז המספר ‪ jFj jxj cos‬שווה לעבודה שמבצע כוח ‪ F‬על‬
‫הגוף‪.‬‬
‫שמ‬
‫הגדרה ‪ 2.3.1‬אם ‪ v; u‬שני וקטורים ב־ ‪ R‬או ‪ R‬ו־ היא זווית ביניהם ) ‪(0 180‬‬
‫ ‪ juj jvj cos‬נקרא מכפלה סקלרית של הוקטורים ‪ u‬ו־ ‪ v‬נסמן אותה כך ‪.u v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ u v > 0 .1‬אם ורק אם ‪0 < < 90‬‬
‫‪ u v < 0 .2‬אם ורק אם ‪90 < < 180‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫תכונות של מכפלה סקלרית )הקורא מתבקש להוכיח אותן(‪:‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ u 6= 0; v 6= 0‬אז ‪ u v = 0‬אם ורק אם וקטור ‪ u‬מאונך לוקטור ‪.v‬‬
‫‪ u v = v u .4‬לכל ‪ u; v‬מ־‬
‫‪R‬‬
‫‪2‬‬
‫או‬
‫‪R‬‬
‫‪3‬‬
‫‪u u = juj2 .5‬‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ‬
‫‪26‬‬
‫אז המספר‬
‫‪ .2.3‬מכפלה סקלרית ב־ ‪R2 ; R3‬‬
‫פרק ‪ .2‬וקטורים‬
‫‪ u (v) = (u v) .6‬לכל ‪ u; v‬מ־‬
‫‪R‬‬
‫‪2‬‬
‫או‬
‫‪R‬‬
‫‪3‬‬
‫ולכל ‪. 2 R‬‬
‫תרגיל ‪ (1 2.3.1‬יהיה ‪ .u 2 R3‬נוכיח שאם לכל וקטור ‪ x 2 R3‬מתקיים ‪ u x = 0‬אז ‪.u = ~0‬‬
‫פתרון‪ :‬השוויון הנתון מתקיים לכל וקטור ‪ .x‬אז נציב בו ‪ u = x‬ונקבל ש־ ‪ .u u = juj2 = 0‬לכן ‪.u = ~0‬‬
‫נגדיר עכשיו מושג של היטל של וקטור על וקטור אחר‪.‬‬
‫כל‬
‫הגדרה ‪ 2.3.2‬וקטור ‪ w‬נקרא היטל של וקטור ‪ v‬על ‪ u‬אם וקטורים ‪ w = t u‬ו־ ‪ w + h = v‬כאשר וקטור‬
‫‪ h‬מאונך לוקטור ‪ .u‬סימון של היטל‪.w = Pru v :‬‬
‫הזכ‬
‫ות‬
‫וי‬
‫קל לראות ש־ ‪ j Pru vj = jvj cos‬כאשר ‪0 < < 90‬‬
‫ו־ ‪ j Pru vj = jvj cos‬כאשר ‪ .90 < < 180‬לכן‪,‬‬
‫‪u v = u Pr v‬‬
‫‪u‬‬
‫נציין תכונה חשובה של היטל‪:‬‬
‫‪Pr‬‬
‫‪(u + v) = Pr‬‬
‫‪u + Pr v‬‬
‫‪w‬‬
‫‪w‬‬
‫‪w‬‬
‫ציור הבא מוכיח את הטענה הזאת עבור מקרה אחד של מצב הדדי של הוקטורים‪.‬‬
‫שמ‬
‫ות‬
‫ור‬
‫הוכחה מלאה נמצאת בנספח לפרק הזה‪.‬‬
‫מתכונה הזאת נובעת תכונה הבאה של מכפלה סקלרית )ראה הוכחה מפורטת בנספח לפרק הזה(‪:‬‬
‫‪u (v1 + v2 ) = u v1 + u v2‬‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ‬
‫‪27‬‬
‫)‪(2.1‬‬
‫‪ .2.3‬מכפלה סקלרית ב־ ‪R2 ; R3‬‬
‫פרק ‪ .2‬וקטורים‬
‫תרגיל ‪ 2.3.2‬יהיו ‪ .u; v 2 R3‬נוכיח שאם ‪ u x = v x‬לכל ‪ x 2 R3‬אז ‪.u = v‬‬
‫פתרון‪ :‬משוויון הנתון נובע ש־ ‪ .u x v x = ~0‬לפי נוסחה )‪ .(u v) x = 0 (2.1‬השוויון האחרון מתקיים לכל וקטור‬
‫‪ .x‬אז נציב בו ‪ x = u v‬ונקבל ש־ ‪ .ju vj2 = 0‬לכן ‪ u v = ~0‬ומה נובע ש־ ‪.u = v‬‬
‫קואורדינאטות של וקטורים‪ .‬נעשה את זה ב־ ‪.R2‬‬
‫לחישוב מכפלה סקלרית לפי ‪2 3‬‬
‫נפתח עכשיו נוסחה‪2 3‬‬
‫‪u‬‬
‫ניקח ‪= 4 5 = u ^i + u ^j‬‬
‫‪u‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪u‬‬
‫כל‬
‫‪2‬‬
‫הכרנו‬
‫‪v1 5‬‬
‫ו־ ‪= v1 ^i + v2 ^j‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪=4‬‬
‫‪ .v‬לפי תכונות של מכפלה סקלרית שכבר‬
‫)‪u v = (u1 ^i + u2 ^j) (v1 ^i + v2 ^j‬‬
‫בדיוק באותה דרך מתקבלת נוסחה עבור וקטורים ב־ ‪ .R3‬נסכם את מה שנעשה במשפט הבא‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫הזכ‬
‫‪v‬‬
‫‪u‬‬
‫‪6 17‬‬
‫‪6 17‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫משפט ‪ u = 6u2 7 ; v = 6v2 7 2.3.1‬אז‬
‫‪4 5‬‬
‫‪4 5‬‬
‫‪v3‬‬
‫‪u3‬‬
‫‪u v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3‬‬
‫‪v‬‬
‫‪6 17‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6v2 7‬‬
‫‪4 5‬‬
‫=‬
‫‪u‬‬
‫‪6 17‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6u 2 7 ; v‬‬
‫‪4 5‬‬
‫= ‪ .u‬מהגדרה של מכפלה סקלרית נובע ש־‬
‫‪v3‬‬
‫‪u3‬‬
‫‪ u21 + u22 + u23‬ו־‬
‫‪p‬‬
‫ות‬
‫וי‬
‫בעזרת משפט אחרון ניתן לחשב זווית בין שני וקטורים‬
‫‪2 3‬‬
‫נראה איך ‪2 3‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪.jvj = v v = v + v + v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ cos = juuj vjvj‬כמו כן‪juj = pu u = ,‬‬
‫אז‬
‫‪u v + u v2 + u3 v3‬‬
‫‪: cos = p 2 1 21 22 p‬‬
‫‪u1 + u2 + u3 v12 + v22 + v32‬‬
‫בעזרת מכפלה סקלרית אפשר לחשב היטל של וקטור‪ .‬ניקח שוויון שמגדיר היטל של וקטור ‪ v‬על וקטור‬
‫‪tu+h=v‬‬
‫ונכפיל שני אגפים שלו בוקטור ‪ .u‬מתקבל שוויון‬
‫= ‪ t‬מפה מתקבלת נוסחה למציאת היטל והיא‬
‫‪uv‬‬
‫‪Pr‬‬
‫=‪v‬‬
‫‪u‬‬
‫‪u‬‬
‫‪juj‬‬
‫‪2‬‬
‫אפשר לחשב קצת אחרת‪ .‬נגיד שזווית בין הוקטורים ‪ u; v‬שווה ‪ .‬אז‬
‫ות‬
‫ור‬
‫‪(u h = 0) t juj = u v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪uv‬‬
‫אז ‪juj2‬‬
‫שמ‬
‫‪u‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪Pr‬‬
‫‪v = jvj cos ; Pr v = Pr v u‬‬
‫‪^ ; u^ = 1‬‬
‫‪u‬‬
‫‪u‬‬
‫‪u‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪juj u‬‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ‬
‫‪28‬‬
‫‪ .2.3‬מכפלה סקלרית ב־ ‪R2 ; R3‬‬
‫פרק ‪ .2‬וקטורים‬
‫גם בדרך הזאת ננגיע לאותה נוסחה כי‬
‫‪uv 1‬‬
‫‪uv‬‬
‫‪uv‬‬
‫‪jujjvj ; Pr v = jvj jujjvj juj u = juj u‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪u‬‬
‫= ‪cos‬‬
‫מכפלה סקלרית נוכל לתת הוכחה אחרת לטענה ששטח של מקבילית שנוצרת ע״י וקטורים‬
‫בעזרת ‪2 3‬‬
‫‪2‬‬
‫כל‬
‫‪x1‬‬
‫‪y1‬‬
‫‪ u = 4 5 ; v = 4 5‬שווה ‪ .jx1 y2 x2 y1 j‬נסמן זויית בין הווקטורים ב־ ‪ .‬נשתמש במכפלה סקלרית‬
‫‪x2‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪ u v = jujjvj cos = x1 y1 + x2 y2‬ובנוסחה לשטח של מקבילית ‪.S = jujjvj sin‬‬
‫ות‬
‫וי‬
‫הזכ‬
‫= ‪S 2 = juj2 jvj2 sin2 = juj2 jvj2 (1 cos2 ) = juj2 jvj2 (jujjvj cos )2‬‬
‫= ‪(x21 + x22 ) (y12 + y22 ) (x1 y1 + x2 y2 )2‬‬
‫= ‪x21 y12 + x21 y22 + x22 y12 + x22 y22 x21 y12 2x1 y1 x2 y2 x22 y22‬‬
‫‪x21 y22 + x22 y12 2x1 y1 x2 y2 = (x1 y2 x2 y1 )2‬‬
‫שמ‬
‫ות‬
‫ור‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ‬
‫‪29‬‬
‫פרק ‪ .2‬וקטורים‬
‫‪2.4‬‬
‫‪ .2.4‬נספח‬
‫נספח‬
‫‪R‬‬
‫משפט ‪ 2.4.1‬לכל שני וקטורים ‪ v1 ; v2‬ממרחב‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪3‬‬
‫או מממרחב‬
‫מתקיים השוויון‬
‫‪Pr‬‬
‫‪(v + v ) = Pr‬‬
‫‪v + Pr v‬‬
‫‪u‬‬
‫‪u‬‬
‫‪u‬‬
‫‪1‬‬
‫כל‬
‫הוכחה‪ .‬נעשה הוכחה עבור וקטורים במרחב‬
‫‪2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫)במרחב‬
‫‪R‬‬
‫‪3‬‬
‫היא לא משתנה(‪ .‬השוויון שאנחנו רוצים‬
‫להוכיח מבטא עובדה גיאומטרית ולכן נחשוב על‬
‫הוקטורים ‪ u; v1 ; v2‬כעל קטעים מכוונים‪ .‬נשים אותם במערכת צירים כך שקטע מכוון ‪ u‬ישתרע לאורך‬
‫ציר ‪ .X‬נגיד ש־‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x1 5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪; v2 = 4 2 5‬‬
‫‪y1‬‬
‫‪y2‬‬
‫הזכ‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪=4‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x1 + x2 5‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪.Pru v1 + Pru v2 = 4‬‬
‫אז‪ Pru v1 = 4 5 ; Pru v2 = 4 5 ,‬ו־‬
‫‪0‬‬
‫‪0 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x1 + x2 5‬‬
‫‪x1 + x2 5‬‬
‫‪.Pru v1 + v2 = 4‬‬
‫‪ v1 + v2 = 4‬ולכן‬
‫כמו כן‪,‬‬
‫‪0‬‬
‫‪y1 + y2‬‬
‫‪2‬‬
‫ות‬
‫וי‬
‫משפט ‪ 2.4.2‬לכל שלושה וקטורים ‪ u; v1 ; v2‬ממרחב‬
‫‪R‬‬
‫או מממרחב‬
‫‪R‬‬
‫‪3‬‬
‫‬
‫מתקיים השוויון‬
‫‪u ( v1 + v2 ) = u v 1 + u v2‬‬
‫הוכחה‪ .‬נציין שאם ‪ v1 = t1 u; v2 = t2 u‬אזי‬
‫= ‪u (v1 + v2 ) = u (t1 u + t2 u) = u (t1 + t2 )u = (t1 + t2 )u u‬‬
‫נעבור עכשיו למקרה כללי‪:‬‬
‫שמ‬
‫‪t 1 u u + t 2 u u = u t 1 u + u t 2 u = u v1 + u v2‬‬
‫= ) ‪u (v1 + v2 ) = u Pru (v1 + v2 ) = u (Pru v1 + Pru v2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪=uv +uv‬‬
‫‪1‬‬
‫‪u Pru v1 + u Pru v2‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ‬
‫‪30‬‬
‫פרק ‪ .2‬וקטורים‬
‫‪2.5‬‬
‫‪ .2.5‬מכפלה וקטורית‬
‫מכפלה וקטורית‬
‫מכפלה וקטורית היא פעולה בין שני וקטורים ב־‬
‫‪R‬‬
‫‪3‬‬
‫שתוצאה שלה היא וקטור אשר מאונך לשניהם‪ .‬לפני‬
‫שנעבור להגדרה מדויקת נביא דוגמה לשימוש בפעלה הזאת בפיזיקה‪ .‬על מטען חשמלי שנע בשדה מגנטי‬
‫פעול כוח‪ .‬הכוח הזה תלוי בשלושה גורמים‪ :‬גודל של מטען חשמלי‪ ,‬מהירות של מטען חשמלי ווקטור‬
‫של שדה מגנטי‪ .‬אם גודל של מטען חשמלי שווה יחידה אחת ומהירות של המטען היא וקטור ‪ v‬אז גודל‬
‫כל‬
‫של כוח ‪ F‬שפועל על המטען הזה מתקבל לפי נוסחה ‪ jFj = jvj jBj sin‬כאשר וקטור ‪ B‬מבטא כיוון‬
‫ועוצמה של שדה מגנטי‪.‬‬
‫הזכ‬
‫ות‬
‫וי‬
‫כמו כן‪ ,‬וקטור ‪ F‬מאונך‬
‫לווקטורים ‪ v‬ו־ ‪ B‬וכיוון של ‪ F‬נקבע לפי הכלל הבא‪ :‬נצייר וקטורים ‪ v‬ו־ ‪ B‬כך שיהיה להם מוצא משותף‬
‫ונעביר דרכו ציר אנכי ל־ ‪ v‬ול־ ‪ .B‬אם נאחז בציר הזה ביד ימין כך שארבע אצבעות )חוץ מאגודל(‬
‫יצביעו על כיוון סיבוב מוקטור ‪ v‬לוקטור ‪ B‬ונשים את האגודל לאורך הציר אז האגודל יצביע על כיוון‬
‫של וקטור ‪ .F‬לכלל קביעת כיוון של וקטור ‪ F‬קוראים כלל יד ימין‪.‬‬
‫שמ‬
‫ות‬
‫ור‬
‫נעבור עכשיו להגדרה פורמאלית של מכפלה וקטורית‪.‬‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ‬
‫‪31‬‬
‫‪ .2.5‬מכפלה וקטורית‬
‫פרק ‪ .2‬וקטורים‬
‫הגדרה ‪ 2.5.1‬מכפלה וקטורית של שני וקטורים‬
‫‪2R‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ u; v‬הוא וקטור‬
‫‪2R‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ w‬המקיים שלושה תנאים‬
‫הבאים‪:‬‬
‫‪ w .1‬מאונך גם ל־ ‪ u‬וגם ל־ ‪.v‬‬
‫‪ .2‬כיוון של וקטור ‪ w‬נקבע לפי כלל יד ימין כאשר ארבע אצבעות מצביעות על סיבוב מוקטור ‪ u‬לוקטור‬
‫‪.v‬‬
‫כל‬
‫‪ jwj = juj jvj sin .3‬כאשר היא זווית בין ‪ u‬ל־ ‪.v‬‬
‫הערה ‪ 2.5.1‬המספר ‪ juj jvj sin‬שווה למשטח של מקבילית שבוניה על הוקטורים‬
‫‪ u‬ו־ ‪.v‬‬
‫לפי הגדרה הנ״ל קל לחשב מכפלה וקטורית של וקטורי יחידה ^‬
‫‪ .^i; ^j; k‬נרשום את כל המכפלות שלהם‪.‬‬
‫הזכ‬
‫‪^i ^i = 0; ^i ^j = k^ ; ^i k^ = ^j‬‬
‫‪^j ^i = k^ ; ^j ^j = 0; ^j k^ = ^i‬‬
‫‪^ ^i = ^j; k^ ^j = ^i; k^ k^ = 0‬‬
‫‪k‬‬
‫מהגדרה של מכפלה וקטורית מיד מתקבל משפט הבא‪.‬‬
‫ות‬
‫וי‬
‫משפט ‪ u v = 0 2.5.1‬אם ורק אם קיים מספר ‪ t‬כך ש־ ‪ v = t u‬או ‪.u = t v‬‬
‫אנחנו משאירים הוכחה של המשפט הזה כתרגיל לקורא‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.5.2‬יהיו ‪ u; v; w‬שלושה וקטורים‪ .‬מספר ‪ (u v) w‬נקרא מכפלה מעורבת של וקטורים ‪.u; v; w‬‬
‫במשפט הבא אנחנו נראה משמעות גיאומטרית של מכפלה מעורבת‪.‬‬
‫משפט ‪ 2.5.2‬נמסן נפח של מקבילון שבנוי על שלושה וקטורים ‪ u; v; w‬ב־ ‪.V‬‬
‫‪(u v) w = V‬‬
‫שמ‬
‫הוכחה‪ .‬אם אחד מהוקטורים הנתונים הוא וקטור אפס אז שוויון שרוצים להוכיח ברור מאליו‪ .‬כמו כן‪,‬‬
‫אם וקטורים ‪ u; v‬מקבילים אז גם ‪ (u v) w = 0‬ו־ ‪= 0‬‬
‫אם וקטור ‪ w‬ניתן להעתיק למישור שנקבע ע״י ‪ u; v‬אז שוב ‪(u v) w = 0‬‬
‫ו־ ‪ .V = 0‬לכן‪ ,‬נותר להתייחס למקרה כאשר וקטורים ‪ u; v; w‬לא קומפלאנאריים‪.‬‬
‫‪.V‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ‬
‫‪32‬‬
‫‪ .2.5‬מכפלה וקטורית‬
‫פרק ‪ .2‬וקטורים‬
‫נזכיר שנפח של מקבילון שווה לגובה של מקבילון כפול שטח הבסיס‪ .‬לפי הגדרה‪ ,‬המספר ‪jaj = ju vj‬‬
‫שווה לשטח של מקבילית הנוצרת ע״י וקטורים ‪ u; v‬כמו כן‪ a w = jaj jwj cos ,‬והמספר ‪jwj cos‬‬
‫שווה לאורך גובה של המקבילון‪ .‬לכן‪ ,‬במצב המצויר )וקטור ‪ u‬יותר קרוב אלינו מאשר וקטור ‪(v‬‬
‫‪ .(u v) w = V‬כדי לסיים את ההוכחה נציין שמספר ‪ (u v) w‬יכול להיות שלילי )כאשר ‪.( > 90‬‬
‫‬
‫כל‬
‫משפט ‪ 2.5.3‬לכל שלושה וקטורים ‪ u; v; w‬מתקיים השוויון‬
‫)‪(u v) w = u (v w‬‬
‫הוכחה‪ .‬מובן ש־ ‪ j(u v) wj = j(v w) uj‬כי מדובר על נפח של אותו מקבילון שיוצרים הווקטורים‬
‫‪ .u; v; w‬כמו כן‪ ,‬המספרים ‪ (u v) w‬ו־ ‪ (v w) u‬הם בעלי אותו סימן )מומלץ לדמיין שלושה‬
‫‬
‫‪2.5.1‬‬
‫הזכ‬
‫וקטורים במרחב על מנת להשתכנע בזה(‪.‬‬
‫תכונות של מכפלה וקטורית‬
‫‪ u v = v u .1‬לכל ‪) .u; v 2 R3‬אנו משאירים הוכחה לקורא כתרגיל(‪.‬‬
‫‪ (t u) v = t (u v) .2‬לכל ‪ u; v 2 R3‬ולכל ‪) t 2 R3‬אנו משאירים הוכחה לקורא כתרגיל(‪.‬‬
‫ות‬
‫וי‬
‫‪ u u = 0 .3‬לכל ‪) u 2 R3‬אנו משאירים הוכחה לקורא כתרגיל(‪.‬‬
‫‪ (u + v) w = u w + v w .4‬לכל ‪.u; v; w 2 R3‬‬
‫הוכחה‪) .‬של תכונה ‪ .(4‬ניקח וקטור כלשהו ‪.d 2 R3‬‬
‫= )‪((u + v) w) d = (u + v) (w d) = u (w d) + v (w d‬‬
‫‪(u w) d + (v w) d = (u w + v w) d‬‬
‫משום שהשוויון ‪ ((u + v) w) d = (u w + v w) d‬מתקיים לכל ‪ d 2 R‬נובע ש־ = ‪(u + v) w‬‬
‫‬
‫‪uw+vw‬‬
‫‪3‬‬
‫שמ‬
‫‪2.5.2‬‬
‫חישוב מכפלה וקטורית לפי קואורדינאטות של וקטורים‬
‫‪v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6 17‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6v2 7‬‬
‫‪4 5‬‬
‫=‬
‫‪u‬‬
‫‪6 17‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6u2 7 ; v‬‬
‫‪4 5‬‬
‫‪v3‬‬
‫^‪u2 v1 ) k‬‬
‫= ‪ u‬אז‬
‫‪u3‬‬
‫‪u3 v2 ) ^i (u1 v3 u3 v1 ) ^j + (u1 v2‬‬
‫הוכחה‪ .‬נציין ש־ ^‬
‫‪v = v1 ^i + v2 ^j + v3 k‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫משפט ‪ 2.5.4‬אם‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪u v = (u2 v3‬‬
‫;^‬
‫‪.u = u1 ^i + u2 ^j + u3 k‬‬
‫לפי תכונות של מכפלה וקטורית ‪ 2‬ו־ ‪ 4‬ומכפלות וקטוריות של ^‬
‫‪ ^i; ^j; k‬אנו מקבלים‬
‫ש־ ^‪u3 v2 ) ^i (u1 v3 u3 v1 ) ^j + (u1 v2 u2 v1 ) k‬‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ‬
‫‪33‬‬
‫‪.u v = (u2 v3‬‬
‫‬
‫פרק ‪ .2‬וקטורים‬
‫‪2.5.3‬‬
‫‪ .2.5‬מכפלה וקטורית‬
‫חישוב של נפח מקבילון‬
‫מקבילון שנוצר ע״י שלושה וקטורים לפי קואורדינאטות שלהם‪.‬‬
‫נראה‪ 3‬איך‪ 2‬לחשב ‪3‬נפח‪2‬של‬
‫‪2 3‬‬
‫‪w‬‬
‫יהיו‬
‫‪6 17‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6w2 7‬‬
‫‪4 5‬‬
‫‪w3‬‬
‫=‬
‫‪v‬‬
‫‪6 17‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6v2 7 ; w‬‬
‫‪4 5‬‬
‫=‬
‫‪v3‬‬
‫‪u‬‬
‫‪6 17‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6u2 7 ; v‬‬
‫‪4 5‬‬
‫= ‪ .u‬לפי משפט ‪2.5.4‬‬
‫‪u3‬‬
‫כל‬
‫^‪u3 v2 ) ^i (u1 v3 u3 v1 ) ^j + (u1 v2 u2 v1 ) k‬‬
‫‪u v = (u2 v3‬‬
‫לפי משפט ‪ 2.5.2‬נפח של מקבילון )נסמן אותו כ־ ‪ (V‬מתקבל כ־ ‪= j(u v) wj‬‬
‫יהיו‬
‫‪V = j(u2 v3 u3 v2 )w1 (u1 v3 u3 v1 )w2 + (u1 v2 u2 v1 )w3 j‬‬
‫הזכ‬
‫‪2.5.4‬‬
‫‪ .V‬לכן‬
‫דטרמיננטה של שלושה וקטורים‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫ות‬
‫וי‬
‫‪v‬‬
‫‪u‬‬
‫‪w‬‬
‫‪6 17‬‬
‫‪6 17‬‬
‫‪6 17‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪w = 6w2 7 ; u = 6u2 7 ; v = 6v2 7‬‬
‫‪4 5‬‬
‫‪4 5‬‬
‫‪4 5‬‬
‫‪v3‬‬
‫‪u3‬‬
‫‪w3‬‬
‫שלושה וקטורים‪ .‬המספר‬
‫) ‪w1 (u2 v3 u3 v2 ) w2 (u1 v3 u3 v1 ) + w3 (u1 v2 u2 v1‬‬
‫נקרא דטרמיננטה שלהם‪ .‬נהוג לסמן אותו כך‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫שמ‬
‫‪w u1 v1 7‬‬
‫‪6 1‬‬
‫‪6‬‬
‫= ‪det[w; u; v] = det 64w2 u2 v2 775‬‬
‫‪w3 u3 v3‬‬
‫= ) ‪w1 (u2 v3 u3 v2 ) w2 (u1 v3 u3 v1 ) + w3 (u1 v2 u2 v1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫‪u v‬‬
‫‪u v‬‬
‫‪u v‬‬
‫‪w1 det 4 2 2 5 w2 det 4 1 1 5 + w3 det 4 1 1 5‬‬
‫‪u3 v3‬‬
‫‪u 3 v3‬‬
‫‪u2 v2‬‬
‫נציב במקום רכיבים של וקטור ‪ w‬וקטורי יחידה ^‬
‫‪ .^i; ^j; k‬אם עכשיו נשתמש בנוסחה הנ״ל נקבל במקום‬
‫מספר וקטור והוא מכפלה וקטורית של וקטורים ‪u; v‬‬
‫‪3‬‬
‫) ‪u3 v2 ) ^j(u1 v3 u3 v1 ) + k^ (u1 v2 u2 v1‬‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ‬
‫‪34‬‬
‫‪2‬‬
‫‪^i u v‬‬
‫‪7‬‬
‫‪det ^ u v 775 = ^i(u v‬‬
‫‪^ u v‬‬
‫‪k‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6j‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.2.6‬‬
‫פרק ‪ .2‬וקטורים‬
‫מרחב וקטורי ‪.Rn‬‬
‫מרחב וקטורי ‪.Rn‬‬
‫‪2.6‬‬
‫בפרק הזה נגדיר חיבור וכפל בסקלר של וקטורים עם מספר כלשהו של רכיבים ונוכיח תכונות של‬
‫הפעולות האלה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.6.1‬יהיו‬
‫‪3‬‬
‫‪y1‬‬
‫‪2‬‬
‫כל‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 y2 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 .. 7‬‬
‫‪6 . 7‬‬
‫‪4 5‬‬
‫‪yn‬‬
‫‪3‬‬
‫=‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 x2 7‬‬
‫‪6 7; y‬‬
‫‪6 .. 7‬‬
‫‪6 . 7‬‬
‫‪4 5‬‬
‫שני וקטורים עם רכיבים ממשיים ויהיה מספר ממשי‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫הזכ‬
‫‪x1 7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6 x2 7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x = 6 .‬‬
‫‪6 .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪xn‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪x‬‬
‫‪xn‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x1 + y1 7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6 x2 + y2 7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫;‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x+y =6‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪xn + yn‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫קבוצה של כל הווקטורים עם ‪ n‬רכיבים ממשיים כאשר חיבור בין שני וקטורים ומכפלה של וקטור בסקלר‬
‫ות‬
‫וי‬
‫מתבצעים לפי שתי נוסחאות שהגדרנו למעלה נקראת מרחב וקטורי ‪.Rn‬‬
‫נציין ‪ 8‬תכונות בסיסיות של הפעולות הנ״ל‪.‬‬
‫‪ .1‬לכל ‪ x; y 2 Rn‬מתקיים ‪.x + y = y + x‬‬
‫‪ .2‬לכל ‪ x; y; z 2 Rn‬מתקיים )‪.(x + y) + z = x + (y + z‬‬
‫‪ .3‬קיים וקטור‪ ,‬נקרא לא וקטור אפס ונסמן אותו ב־ ‪ ~0‬כך שלכל ‪ x 2 Rn‬מתקיים ‪ .x + ~0 = x‬הוכחה‬
‫של הטענה הזאת פשוטה‪ .‬ניקח‬
‫‪2 3‬‬
‫= ‪~0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 x2 7‬‬
‫;‪6 7‬‬
‫‪6 .. 7‬‬
‫‪6 . 7‬‬
‫‪4 5‬‬
‫=‪x‬‬
‫‪xn‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫‪ .4‬לכל‬
‫‪2 Rn‬‬
‫‪x1‬‬
‫שמ‬
‫‪x + ~0 = x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫;‪6 7‬‬
‫‪6 .. 7‬‬
‫‪6.7‬‬
‫‪4 5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x‬קיים וקטור שנקרא וקטור נגדי של וקטור ‪ ,x‬נסמן אותו ב־ ‪x‬‬
‫‪ .x + ( x) = ~0‬הוכחה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x + ( x) = ~0‬‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ‬
‫‪x1 7‬‬
‫‪x2 777‬‬
‫;‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪xn‬‬
‫‪35‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 x2 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫;‪x = 6 . 7‬‬
‫‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪.‬‬
‫‪xn‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫כך שמתקיים‬
‫‪.2.6‬‬
‫פרק ‪ .2‬וקטורים‬
‫מרחב וקטורי ‪.Rn‬‬
‫‪ .5‬לכל ‪ x; y 2 Rn‬ולכל ‪ 2 R‬מתקיים ‪.(x + y) = x + y‬‬
‫‪ .6‬לכל ‪ x 2 Rn‬ולכל ‪2 R‬‬
‫‪ .7‬לכל ‪2 R‬‬
‫ ; מתקיים ‪.( + )x = x + x‬‬
‫ ; ולכל ‪ x 2 Rn‬מתקיים ‪.( x) = ( )x‬‬
‫‪ .8‬לכל ‪ x 2 Rn‬מתקיים ‪.1x = x‬‬
‫כל‬
‫לרשימה הנ״ל )שלפני עצמה די משעממת( יש שני תפקידים חשובים‪ .‬ראשית כל אנחנו נשתמש בתכונות‬
‫האלה כאשר נדבר על מטריצות ועל מערכת משוואות‪ .‬השימוש השני יבוא כאשר נגדיר מושג של מרחב‬
‫וקטורי כללי‪ .‬אז נראה שאותן תכונות יש לא רק לחיבור וכפל בסקלר של וקטורים עם מספר רכיבים‬
‫אלא גם לחיבור וכפל בסקלר של עצמים מתמטיים אחרים כגון פולינומים‪ ,‬פונקציות‪ ,‬סדרות‪ .‬העובדה‬
‫הזאת תאפשר לנו להפוך ‪ 8‬תכונות הנ״ל לאקסיומות של מרחב וקטורי‪.‬‬
‫הזכ‬
‫ות‬
‫וי‬
‫שמ‬
‫ות‬
‫ור‬
‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ‬
‫‪36‬‬