דף סיכום נוסחאות בוקטורים

Transcription

דף סיכום נוסחאות בוקטורים
‫סיכום נוסחאות ‪ -‬וקטורים ( ‪ 5‬יח"ל)‬
‫וקטור גיאומטרי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫מכפלה סקלרית בין שני וקטורים ‪ u‬ו‪. u  v  u  v  cos  : v -‬‬
‫כאשר‪ - u :‬האורך של הוקטור ‪ - v , u‬האורך של הוקטור ‪ -  , v‬הזווית בין שני הוקטורים‪.‬‬
‫משפט‪ :‬שני וקטורים מאונכים אחד לשני אם ורק אם המכפלה הסקלרית שלהם שווה ל‪. 0 -‬‬
‫‪‬‬
‫אורך של וקטור‪. u  u  u :‬‬
‫‪‬‬
‫‪uv‬‬
‫מציאת זווית בין שני וקטורים‪ u ,‬ו‪: v -‬‬
‫‪uv‬‬
‫‪. cos  ‬‬
‫וקטור אלגברי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫מציאת ווקטור לפי שתי נקודות‪ :‬הנקודות הנתונות‪, B  x 2 , y2 , z 2  , A  x1 , y1 , z1  :‬‬
‫הוקטור‪. AB  x 2  x1, y 2  y1, z 2  z1  :‬‬
‫‪‬‬
‫מכפלה סקלרית בין שני וקטורים ‪ u  u1 , u 2 , u 3 ‬ו‪. u  v  u1v1  u 2 v2  u 3v3 : v  v1 , v2 , v3  -‬‬
‫משפט‪ :‬שני וקטורים מאונכים אחד לשני אם ורק אם המכפלה הסקלרית שלהם שווה ל‪. 0 -‬‬
‫‪‬‬
‫אורך של וקטור‪. u  u12  u 22  u 32 :‬‬
‫‪‬‬
‫תלות לינארית‪ :‬שני וקטורים ‪ u‬ו‪ v -‬נקראים "תלויים לינארית" אם קיים סקלר ‪ ‬כך ש‪u    v :‬‬
‫לוקטורים שתלויים לינארית יש את אותו הכיוון‪.‬‬
‫‪‬‬
‫הצגה פרמטרית של ישר‪: x   x, y, z   t u 1, u 2, u 3  :‬‬
‫וקטו רכיוו‬
‫‪‬‬
‫ןנקוד‬
‫ה‬
‫הצגה פרמטרית של מישור‪ : x   x, y, z   t u 1, u 2, u 3  s v 1, v 2, v 3  :‬‬
‫וקטו רכיוו ן‬
‫‪0‬ווקטו רכיוו ן‬
‫‪1‬נקוד‬
‫ה‬
‫‪‬‬
‫משוואה אלגברית של מישור‪ , ax  by  cz  d  0 :‬כאשר הוקטור ‪  a, b, c ‬הוא הנורמל למישור‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מכפלה וקטורית‪ :‬נתונים הווקטורים ‪ a  a1 ,a 2 ,a 3 ‬ו‪. b  b1 , b2 , b3  -‬‬
‫נמצא וקטור ‪ c  c1 ,c2 ,c3 ‬שמאונך לווקטורים ‪ a‬ו‪ b -‬לפי הנוסחה‪:‬‬
‫מציאת ‪. c1  a 2  b3  a 3  b2 : c1‬‬
‫מציאת ‪. c2   a1  b3  a 3  b1  : c 2‬‬
‫מציאת ‪. c3  a1  b2  a 2  b1 : c3‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע ‪250-0884452‬‬
‫‪1‬‬
‫משפט‪ :‬שני וקטורים מקבילים אחד לשני אם ורק אם המכפלה הוקטורית שלהם שווה ל‪. 0 -‬‬
‫‪‬‬
‫מצב הדדי בין שני ישרים‪:‬‬
‫קיימת נקודה משותפת על שני הישרים‬
‫לא קיימת נקודה משותפת על שני‬
‫הישרים‬
‫‪‬‬
‫מתלכדים‬
‫נחתכים‬
‫מקבילים‬
‫מצטלבים‬
‫מצב הדדי בין ישר למישור ‪ -‬שלבים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫וקטורי כיוון תלויים ליניארית‬
‫וקטורי כיוון לא תלויים ליניארית‬
‫נעביר את המישור למשוואה אלגברית‪.‬‬
‫ניקח נקודה אופיינית על הישר (נקודה באמצעות ‪ ) t‬ונציב אותה במשוואת המישור‪.‬‬
‫ייתכנו שלושה מצבים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫אם נקבל פיתרון יחיד כמו ‪ t  4‬אז קיימת נקודה אחת על הישר שנמצאת על‬
‫המישור‪ ,‬ולכן הישר חותך את המישור‪.‬‬
‫‪‬‬
‫אם נקבל משוואה ללא פיתרון למשל‪ , 7  0 ,‬אז לא קיימת נקודה על הישר‬
‫שנמצאת על המישור ולכן הישר מקביל למישור‪.‬‬
‫‪‬‬
‫אם נקבל משוואה שנכונה תמיד‪ ,‬למשל ‪ , 0  0‬אז כל נקודה על הישר נמצאת גם על‬
‫המישור‪ ,‬ולכן הישר מוכל במישור‪.‬‬
‫מצב הדדי בין שני מישורים ‪ -‬שלבים‪:‬‬
‫אם נתונים המישורים ‪2 : a 2 x  b2 y  c2 z  d 2  0 , 1 : a1x  b1y  c1z  d1  0‬‬
‫נמצא את המצב ההדדי ביניהם לפי השלבים הבאים‪:‬‬
‫נמצא תלות ליניארית בין ארבעת מרכיבי המישורים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫אם קיימת תלות ליניארית בין כל ארבעת החלקים‪ ,‬כלומר מתקיים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪d1    d 2 , c1    c2 , b1    b2 , a1    a 2‬‬
‫אז המישורים מתלכדים וכל נקודה על מישור אחד נמצאת גם על המישור השני‪.‬‬
‫אם קיימת תלות ליניארית רק בין שלושת החלקים הראשונים אבל לא בין המספר החופשיים‪,‬‬
‫‪‬‬
‫כלומר‪ , c1    c2 , b1    b2 , a1    a 2 :‬אבל ‪ , d1    d 2‬נובע שהמישורים‬
‫מקבילים‪.‬‬
‫אם אין תלות ליניארית‪ ,‬אז המישורים לא מקבילים ולא מתלכדים‪ ,‬ולכן נובע שהם נחתכים‬
‫‪‬‬
‫וקיים ביניהם ישר חיתוך‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע ‪250-0884452‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫מציאת ישר חיתוך בין שני מישורים ‪ -‬שלבים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נעשה השוואת מקדמים בין שתי המשוואות של המישורים‪ ,‬וניפטר מאחד הנעלמים‪.‬‬
‫נקבל משוואה אחת עם שני נעלמים‪ .‬נציב מספר כלשהו עבור אחד הנעלמים שנותרו‬
‫במשוואה ונמצא את הנעלם השני‪ .‬כדי למצוא את הנעלם השלישי נחזור למשוואת אחד‬
‫המישורים נציב את שני הנעלמים שיש בידנו‪ ,‬ונמצא את הנעלם השלישי‪.‬‬
‫כעת יש בידנו נקודה אחת הנמצאת על ישר החיתוך‪ .‬נמצא עוד נקודה שנמצאת על ישר‬
‫החיתוך‪ :‬נחזור על אותו תהליך בדיוק‪ ,‬רק שהפעם נבחר מספר אחר עבור אחד הנעלמים‪,‬‬
‫ונמצא את שני הנעלמים האחרים‪.‬‬
‫נמצא הצגה פרמטרית של ישר החיתוך לפי שתי הנקודות שיש בידנו‪.‬‬
‫מציאת זוויות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪uv‬‬
‫מציאת זווית בין שני וקטורים‪ u ,‬ו‪: v -‬‬
‫‪uv‬‬
‫‪‬‬
‫‪uh‬‬
‫זווית בין ישר למישור‪:‬‬
‫‪uh‬‬
‫‪. cos  ‬‬
‫‪. sin  ‬‬
‫כאשר‪ - u :‬וקטור הכיוון של הישר‪ - h ,‬וקטור הנורמל של המישור‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪h1  h 2‬‬
‫זווית בין שני מישורים‪:‬‬
‫‪. cos  ‬‬
‫‪h1  h 2‬‬
‫כאשר‪ - h1 :‬וקטור הנורמל של מישור אחד‪ - h 2 ,‬וקטור הנורמל של המישור השני‪.‬‬
‫מציאת מרחקים‪:‬‬
‫‪ ‬מרחק בין שתי נקודות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ A  x1, y1, z1 ‬ו‪: B  x 2 , y2 , z 2  -‬‬
‫‪ x1  x 2    y1  y2    z1  z2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ ‬מרחק נקודה מישר ‪ -‬שלבים‪:‬‬
‫‪ ‬נוריד אנך מהנקודה אל הישר‪.‬‬
‫‪ ‬נסמן את מפגש האנך עם הישר כנקודה אופיינית על הישר הנתון‪.‬‬
‫‪ ‬נביע את וקטור הכיוון של האנך באמצעות הנקודה הנתונה והנקודה האופיינית‪.‬‬
‫‪ ‬נשתמש במכפלה סקלרית בין וקטור הכיוון של הישר הנתון לווקטור הכיוון של האנך שיצרנו‪.‬‬
‫‪ ‬נשווה את המכפלה הסקלרית ל‪ , 0 -‬כי הישרים מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫‪ ‬נפתור את המשוואה ונקבל את ‪ , t‬נציב בווקטור הכיוון שמובע באמצעות ‪ , t‬ונמצא את אורך‬
‫הווקטור‪.‬‬
‫‪ ‬מרחק בין ישרים מקבילים ‪ -‬שלבים‪:‬‬
‫‪ ‬נבחר נקודה כלשהי על הישר ‪. 1‬‬
‫‪ ‬נחשב את מרחק הנקודה מהישר‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫(בדיוק לפי אותם שלבים כמו במרחק נקודה מישר)‪.‬‬
‫מרחק בין נקודה למישור‪:‬‬
‫מרחק הנקודה ‪  x1 , y1 , z1 ‬מהמישור ‪: ax  by  cz  d  0‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע ‪250-0884452‬‬
‫‪ax1  by1  cz1  d‬‬
‫‪a 2  b2  c2‬‬
‫‪D ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ ‬מרחק בין ישר למישור ‪ -‬שלבים‪:‬‬
‫‪ ‬כאשר הישר מוכל במישור – המרחק בין הישר למישור הוא ‪. 0‬‬
‫‪ ‬כאשר הישר חותך את המישור – המרחק לא מוגדר‪.‬‬
‫‪ ‬כאשר הישר מקביל למישור – המרחק מוגדר ונמצא אותו בצורה הבאה‪:‬‬
‫‪ ‬מוודאים שהישר מקביל למישור‪ ,‬בוחרים נקודה סתמית על הישר ומחשבים מרחק נקודה‬
‫ממישור באמצעות הנוסחה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ax1  by1  cz1  d‬‬
‫‪a 2  b 2  c2‬‬
‫‪.D ‬‬
‫מרחק בין מישורים מקבילים‪:‬‬
‫המרחק בין המישורים המקבילים‪ 1 : ax  by  cz  d1  0 :‬ו‪, 2 : ax  by  cz  d 2  0 -‬‬
‫הוא‪:‬‬
‫‪d1  d 2‬‬
‫‪a  b2  c2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.D ‬‬
‫‪ ‬מרחק בין ישרים מצטלבים ‪ -‬שלבים‪:‬‬
‫‪ ‬נמצא משוואה אלגברית של מישור שמקביל לישר‬
‫‪ ‬ניקח נקודה מ‪-‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ומכיל את הישר‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫ונמצא את המרחק שלה מהמישור שמצאנו‪ ,‬לפי נוסחת מרחק נקודה ממישור‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע ‪250-0884452‬‬
‫‪4‬‬

Similar documents