גרדיאנט ונגזרת מכוונת – 7 פרק - אלון באומן – שיעורים פרטיים ומרתונים

‫פרק ‪ – 7‬גרדיאנט ונגזרת מכוונת‬
‫הגדרה – נגזרת מכוונת‬
‫תהי פונקציה‬
‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬המוגדרת בסביבה של נקודה‬
‫הנגזרת המכוונת של‬
‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬בנקודה‬
‫𝑏 ‪𝑎,‬‬
‫𝑏 ‪ , 𝑎,‬ויהי וקטור יחידה‬
‫‪.𝑣 = 𝑣1 , 𝑣2‬‬
‫בכיוון 𝑣 היא תוצאת הגבול הבא (בתנאי שהוא‬
‫קיים)‪:‬‬
‫𝑓𝜕‬
‫𝑏 ‪𝑓 𝑎 + 𝑣1 ℎ, 𝑏 + 𝑣2 ℎ − 𝑓 𝑎,‬‬
‫‪𝑎, 𝑏 = lim‬‬
‫‪ℎ →0‬‬
‫𝑣𝜕‬
‫‪ℎ‬‬
‫עבור וןקטור יחידה‬
‫‪ 𝑣 = 1,0‬הנגזרת המכוונת היא בדיוק הנגזרת החלקית לפי 𝑥‪.‬‬
‫עבור וןקטור יחידה‬
‫‪ 𝑣 = 0,1‬הנגזרת המכוונת היא בדיוק הנגזרת החלקית לפי 𝑦‪.‬‬
‫משפט‬
‫אם פונקציה‬
‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬דיפרנציאבילית בנקודה‬
‫𝑏 ‪𝑎,‬‬
‫אז מתקיים‪:‬‬
‫𝑓𝜕‬
‫𝑓𝜕‬
‫𝑓𝜕‬
‫= 𝑏 ‪𝑎,‬‬
‫‪𝑎, 𝑏 ∙ 𝑣1 +‬‬
‫‪𝑎, 𝑏 ∙ 𝑣2‬‬
‫𝑣𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫כאשר ויהי‬
‫‪ 𝑣 = 𝑣1 , 𝑣2‬וקטור יחידה‬
‫דוגמא‬
‫נתונה הפונקציה 𝑦‪𝑥 + 3‬‬
‫בכיוון וקטור ‪.𝑣 = 2,2‬‬
‫𝑦‪2‬‬
‫𝑥 𝑒 = 𝑦 ‪ .𝑓 𝑥,‬נחשב את הנגזרת המכוונת של 𝑓 בנקודה‬
‫‪1, −2‬‬
‫לצורך חישוב הנגזרת המכוונת‪ ,‬נשתמש בתוצאת המשפט הנ"ל לפיו‪:‬‬
‫𝑓𝜕‬
‫𝑓𝜕‬
‫𝑓𝜕‬
‫= 𝑏 ‪𝑎,‬‬
‫‪𝑎, 𝑏 ∙ 𝑣1 +‬‬
‫‪𝑎, 𝑏 ∙ 𝑣2‬‬
‫𝑣𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫נחשב את ערכי הנגזרות החלקיות של 𝑓 בנקודה‬
‫‪: 1, −2‬‬
‫𝑓𝜕‬
‫‪21‬‬
‫‪1, −2 = 2‬‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑒‬
‫⇒‬
‫𝑓𝜕‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑦 𝑥 𝑒 ‪= 𝑒 𝑥 𝑦 2𝑥𝑦 𝑥 + 3𝑦 +‬‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑓𝜕‬
‫‪2‬‬
‫‪1, −2 = − 2‬‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑒‬
‫⇒‬
‫𝑓𝜕‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑦 𝑥 𝑒‪= 𝑒 𝑥 𝑦 𝑥 2 𝑥 + 3𝑦 + 3‬‬
‫𝑦𝜕‬
‫נחשב את הנורמה של הוקטור 𝑣‪:‬‬
‫‪22 + 22 = 8‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫= 𝑣 ‪𝑣,‬‬
‫= 𝑣‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪1‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫הנורמה של 𝑣 שונה מ‪ ,1 -‬ולכן אינו וקטור יחידה‪ .‬כדי להפוך את וקטור 𝑣 לוקטור‬
‫יחידה נבצע נירמול‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪,‬‬
‫𝑣‬
‫‪2,2‬‬
‫=‬
‫=‬
‫𝑣‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1, −2‬‬
‫נחשב את הנגזרות המכוונת של 𝑓 בנקודה‬
‫=𝑣‬
‫בכיוון וקטור‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫= 𝑣‪:‬‬
‫𝑓𝜕‬
‫𝑓𝜕‬
‫𝑓𝜕‬
‫‪21 1‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪19‬‬
‫= ‪1, −2‬‬
‫‪1, −2 ∙ 𝑣1 +‬‬
‫∙ ‪1, −2 ∙ 𝑣2 = 2‬‬
‫∙‪− 2‬‬
‫=‬
‫𝑣𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑒‬
‫𝑒‬
‫‪2‬‬
‫‪2 𝑒2 2‬‬
‫תרגילים‬
‫עבור הפונקציה‬
‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬בדוגמא הנ"ל חשב‪:‬‬
‫‪ .1‬נגזרת מכוונת של‬
‫‪ .2‬נגזרת מכוונת של‬
‫‪ .3‬נגזרת מכוונת של‬
‫‪ 𝑣 = 1,0‬בנקודה‬
‫‪ 𝑣 = 0,1‬בנקודה‬
‫‪ 𝑣 = 1,1‬בנקודה‬
‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬בכיוון וקטור‬
‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬בכיוון וקטור‬
‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬בכיוון וקטור‬
‫‪0,0‬‬
‫‪0,0‬‬
‫‪0,0‬‬
‫פתרונות‬
‫‪1 .1‬‬
‫‪3 .2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫הגדרה – גרדיאנט‬
‫הגרדיאנט של פונקציה‬
‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬בנקודה‬
‫𝑏 ‪𝑎,‬‬
‫𝑏 ‪ ∇𝑓 𝑎,‬והוא וקטור הנגזרת החלקיות‬
‫מסומן‬
‫של 𝑓 המוגדר ע"י‪:‬‬
‫𝑓𝜕‬
‫𝑓𝜕‬
‫‪𝑎, 𝑏 ,‬‬
‫𝑏 ‪𝑎,‬‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫מתקיים ‪𝑎, 𝑏 ∙ 𝑣2‬‬
‫𝑓𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫‪𝑎, 𝑏 ∙ 𝑣1 +‬‬
‫𝑓𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫= 𝑏 ‪𝑎,‬‬
‫𝑓𝜕‬
‫𝑣𝜕‬
‫= 𝑏 ‪∇𝑓 𝑎,‬‬
‫‪ .‬נרשום משוואה זו כמכפלה סקלרית ונקבל‪:‬‬
‫𝑓𝜕‬
‫𝑣 ∙ 𝑏 ‪𝑎, 𝑏 = ∇𝑓 𝑎,‬‬
‫𝑣𝜕‬
‫הזווית בין שני וקטורים 𝑢‪ 𝑣 ,‬מוגדרת ע"י‪:‬‬
‫𝜃 ‪cos‬‬
‫𝑏 ‪∙ 𝑣 cos 𝜃 = ∇𝑓 𝑎,‬‬
‫𝑣∙‪u‬‬
‫𝑣 ∙ 𝑢‬
‫= 𝜃 ‪ .cos‬ולכן‪:‬‬
‫𝑓𝜕‬
‫𝑏 ‪𝑎, 𝑏 = ∇𝑓 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑣 = ∇𝑓 𝑎,‬‬
‫𝑣𝜕‬
‫מהמשוואה האחרונה ניתן לראות כי הנגזרת המכוונת המקסימאלית מתקבלת כאשר ‪cos 𝜃 = 1‬‬
‫בכיוון‬
‫𝑏‪∇𝑓 𝑎,‬‬
‫𝑏‪∇𝑓 𝑎,‬‬
‫= 𝑢 והערך המקסימאלי הוא‬
‫𝑏 ‪. ∇𝑓 𝑎,‬‬
‫הנגזרת המכוונת המינימאלית מתקבלת כאשר ‪ cos 𝜃 = −1‬בכיוון‬
‫המקסימאלי הוא‬
‫𝑏‪∇𝑓 𝑎,‬‬
‫𝑏‪∇𝑓 𝑎,‬‬
‫‪ 𝑢 = −‬והערך‬
‫𝑏 ‪.− ∇𝑓 𝑎,‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪2‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫דוגמא‬
‫נתונה הפונקציה 𝑥‪ .𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 3 𝑦 + 2‬נמצא וקטור יחידה בכיוון שבו 𝑓 גדלה במהירות‬
‫המירבית בנקודה ‪ . 0,2‬ונחשב את קצב השינוי של 𝑓 בנקודה זו‪.‬‬
‫הכיוון שבו 𝑓 גדלה במהירות המירבית הוא‪:‬‬
‫‪∇𝑓 0,2‬‬
‫‪∇𝑓 0,2‬‬
‫=‬
‫𝑏 ‪∇𝑓 𝑎,‬‬
‫𝑏 ‪∇𝑓 𝑎,‬‬
‫נחשב את הגרדיאנט של 𝑓 ואת הנורמה שלו בנקודה‬
‫‪= 3𝑥 2 𝑦 + 2, 𝑥 3‬‬
‫בנקודה‬
‫‪0,2‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫=𝑢‬
‫‪: 0,2‬‬
‫𝑓𝜕‬
‫𝑓𝜕‬
‫‪𝑎, 𝑏 ,‬‬
‫𝑏 ‪𝑎,‬‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫‪ .∇𝑓 0,2 = 2,0‬מתקיים‪= 2 :‬‬
‫= 𝑏 ‪∇𝑓 𝑎,‬‬
‫‪ , ∇𝑓 0,2‬ולכן‬
‫קיבלנו כי וקטור היחידה שבו 𝑓 גדלה במהירות המירבית בנקודה‬
‫השינוי המירבי בנקודה זו הוא‪. ∇𝑓 0,2 = 2 :‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪3‬‬
‫‪= 1,0‬‬
‫‪0,2‬‬
‫‪2,0‬‬
‫‪2‬‬
‫הוא‬
‫=‬
‫‪∇𝑓 0,2‬‬
‫‪∇𝑓 0,2‬‬
‫= 𝑢‪.‬‬
‫‪ 𝑢 = 1,0‬וקצב‬
‫‪[email protected]‬‬