דף סיכום נגזרות ואינטגרלים - שאלון 804

‫דף נגזרות ואינטגרלים לשאלון ‪408‬‬
‫כללים למציאת נגזרת של פונקציה‪:‬‬
‫‪ , y  x n .1‬הנגזרת ‪. y '  n  x n 1‬‬
‫א‪ .‬נכפול בחזקה (נרשום אותה משמאל ל‪.) x -‬‬
‫ב‪ .‬נחסר אחד מהחזקה‪.‬‬
‫דוגמה‪. y  x 7 :‬‬
‫כאשר גוזרים כופלים בחזקה ‪ , 7‬כלומר נרשום אותה משמאל ל‪ , x -‬ובחזקה של ה‪ x -‬נוריד אחד‬
‫מהחזקה‪ .‬בחזקה הופיע ‪ , 7‬ולכן לאחר ההורדה נקבל בחזקה ‪ . 6‬נקבל שהנגזרת היא‪. y'  7  x 6 :‬‬
‫‪ .0‬אם נקבל חיבור או חיסור בין ביטויים נגזור כל ביטוי בנפרד ונשאיר את סימני החיבור והחיסור‪.‬‬
‫דוגמה‪ . y  x 8  x 3  x 6 :‬הנגזרת‪. y'  8x 7  3x 2  6x 5 :‬‬
‫‪ .3‬אם נקבל מספר כפול ביטוי‪ ,‬נכפול את המספר ונעשה נגזרת לביטוי‪ ,‬כלומר נכפול את המספר בחזקה‬
‫ונוריד אחד מהחזקה‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪8‬‬
‫דוגמה‪ . y  3x  4x 3  5x 6 :‬הנגזרת‪. y'  24x 12x  30x :‬‬
‫‪ .8‬אם נקבל ‪  x‬מספר ‪ ,‬אז בנגזרת יישאר רק המספר‪.‬‬
‫דוגמה‪ , y  12x :‬הנגזרת ‪. y '  12‬‬
‫‪ .5‬נגזרת של מספר שווה ל‪.2-‬‬
‫דוגמה‪ , y  4 :‬הנגזרת ‪. y '  0‬‬
‫ביטוי‬
‫נעשה נגזרת לביטוי ונשאיר את המספר (כמו בסעיף מספר ‪.)3‬‬
‫‪ .6‬אם נקבל‬
‫מספר‬
‫‪5x 4 9x 8‬‬
‫‪x5 x9‬‬
‫‪. y' ‬‬
‫‪ . y ‬הנגזרת‪:‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .7‬במידה ויש סוגריים בתרגיל נבצע פתיחת סוגריים לפני הגזירה‪.‬‬
‫דוגמה‪. y  (x 2  1)(3x  4) :‬‬
‫כאשר יש סוגריים בתרגיל נפתח סוגריים בשלב ראשון ונקבל‪. y  3x 3  4x 2  3x  4 :‬‬
‫נגזור לפי הכללים הקודמים‪ .‬נקבל‪. y  9x 2  8x  3 :‬‬
‫נגזרת של מכפלה‬
‫הגדרה של מכפלה‪ :‬ביטוי עם ‪ x‬ביטוי עם ‪  x‬מכפלה‬
‫נוסחה לנגזרת של מכפלה‪:‬‬
‫‪y  uv‬‬
‫'‪v‬‬
‫'‪u‬‬
‫הנוסחה‪y '  u ' v  v ' u :‬‬
‫הנוסחה מילולית‪ :‬ראשון ‪' ‬שני ‪ ‬שני ‪ ' ‬ראשון ‪y' ‬‬
‫דוגמה‪ :‬גזור את הפונקציה‪. y  (x 2  1)(3x  4) :‬‬
‫)‪y  (x 2  1)(3x  4‬‬
‫‪ .‬נציב בנוסחה של נגזרת מכפלה‬
‫נעשה עבודת הכנה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2x‬‬
‫ראשון ‪' ‬שני ‪ ‬שני ‪ ' ‬ראשון ‪ . y' ‬נקבל‪ , y '  2x(3x  4)  3(x  1) :‬נפתח סוגריים‬
‫‪ , y '  6x 2  8x  3x 2  3‬נכנס איברים דומים ונקבל‪. y '  9x 2  8x  3 :‬‬
‫‪2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע ‪250-0884452‬‬
‫‪1‬‬
‫נגזרת של מנה‬
‫הגדרה של מנה‪ :‬ביטוי שיש בו ‪- x‬ים במכנה‪.‬‬
‫נוסחה לנגזרת של מנה‪:‬‬
‫'‪u‬‬
‫'‪v‬‬
‫‪u‬‬
‫‪y‬‬
‫‪v‬‬
‫‪u ' v  v ' u‬‬
‫הנוסחה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ v‬‬
‫‪y' ‬‬
‫מונה ‪' ‬מכנה ‪ ‬מכנה ‪' ‬מונה‬
‫הנוסחה מילולית‪:‬‬
‫‪2‬מכנה‪‬‬
‫‪y' ‬‬
‫‪2x  1‬‬
‫דוגמה‪ :‬גזור את הפונקציה‪:‬‬
‫‪3x 2  4x‬‬
‫‪2x  1‬‬
‫‪ . y  2‬בפונקציה יש ‪- x‬ים במכנה ולכן נגזור לפי נגזרת מנה‪.‬‬
‫נסתכל על הפונקציה‬
‫‪3x  4x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2x  1‬‬
‫‪ . y  2‬נציב בנוסחת נגזרת של מנה‪:‬‬
‫נעשה עבודת הכנה‪:‬‬
‫‪3x  4x 6x  4‬‬
‫‪.y ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 3x 2  4x   6x  4  2x  1‬‬
‫‪2‬‬
‫במונה‪ :‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 4x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪ , y ' ‬נשאיר את המכנה בצורת‬
‫‪‬‬
‫‪6x 2  8x  12x 2  6x  8x  4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 4x‬‬
‫המתקדמת ביותר בתרגיל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 3x‬‬
‫‪6x 2  6x  4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 4x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 3x‬‬
‫‪, y' ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫ונתחיל לפתוח סוגריים‬
‫‪6x 2  8x  12x 2  6x  8x  4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 4x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪ ,‬זוהי הנגזרת‬
‫‪. y' ‬‬
‫נגזרת של פונקציה מורכבת‪:‬‬
‫שלבים בגזירת הפונקציה המורכבת‪:‬‬
‫‪ ‬נגזור כרגיל‪:‬‬
‫‪ ‬נכפול את הסוגריים בחזקה כמו שהיא‪.‬‬
‫‪ ‬נרשום את הסוגריים‪.‬‬
‫‪ ‬החזקה שתופיע מימין לסוגריים תהיה קטנה באחד מהחזקה המקורית‪.‬‬
‫‪ ‬נכפול את הסוגריים בנגזרת של הביטוי שנמצא בתוך הסוגריים‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬גזור את הפונקציה‪:‬‬
‫נגזור את‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪‬‬
‫‪. y  x 2  6x  8‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y  x 2  6x  8‬כמו שגוזרים ‪( y  x 9‬כי לשניהם יש חזקת ‪ .)2‬בשלב ראשון נעתיק את‬
‫ה‪ 2-‬משמאל לסוגריים‪ ,‬נרשום את הסוגריים ונוריד אחד מהחזקה‪ ,‬כלומר החזקה תהיה ‪ .4‬נקבל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . y '  9 x 2  6x  8‬כעת יש לכפול בנגזרת של הביטוי שרשום בתוך הסוגריים‪ ,‬כלומר נכפול ב‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .  2x  6 ‬נקבל‪. y '  9 x 2  6x  8   2x  6  :‬‬
‫‪8‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע ‪250-0884452‬‬
‫‪0‬‬
‫נגזרת של פונקצית שורש ריבועי‪:‬‬
‫פונקציה‪:‬‬
‫ביטוי ‪y ‬‬
‫נגזרת‪:‬‬
‫נגזרת הביטוי‬
‫‪y' ‬‬
‫ביטוי ‪2‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪y  2x 2  3x  9‬‬
‫‪4x  3‬‬
‫‪2 2x 2  3x  9‬‬
‫‪y' ‬‬
‫נגזרות של פונקציות טריגונומטריות‪:‬‬
‫הפונקציה ‪ ‬ביטוי‪y  sin‬‬
‫‪ ‬ביטוי‪y  cos‬‬
‫הנגזרת‬
‫‪ ‬נגזרת הביטוי‪  ‬ביטוי‪y'  cos‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪y  sin 3x‬‬
‫‪y  cos 6x‬‬
‫‪y '  cos3x   3‬‬
‫‪y '  3cos3x‬‬
‫‪y '   sin 6x   6 ‬‬
‫‪y '  6sin 6x‬‬
‫ביטוי‬
‫‪‬‬
‫‪y  tan ‬‬
‫‪ ‬נגזרת הביטוי‪  ‬ביטוי‪y'   sin‬נגזרת הביטוי‬
‫‪cos ‬‬
‫ביטוי‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע ‪250-0884452‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y  tan 2x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y' ‬‬
‫‪cos2 2x‬‬
‫‪3‬‬
‫כללים לפעולת האינטגרל‪:‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪x‬‬
‫אינטגרל רגיל‪ x dx  n  1  c :‬‬
‫דוגמה‪ .  x dx :‬לפנינו אינטגרל רגיל‪ .‬יש להוסיף אחד לחזקה (החזקה תהפוך להיות מ‪5-‬‬
‫‪n‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x6‬‬
‫ל‪ ,)6-‬יש לחלק בחזקה החדשה ‪ ,6‬ולרשום מימין ‪ . c‬כלומר‪ c :‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ .0‬אם נקבל מספר מחוברים וביניהם חיבור או חיסור נעשה אינטגרל לכל מחובר ונשמור על סימני‬
‫החיבור והחיסור‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫דוגמה‪.   x 3  x 2  x 5  x  x 2  x 3  dx :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ x dx ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x 2‬‬
‫‪.    ‬‬
‫‪‬‬
‫תוצאת האינטגרל‪ c :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3 6‬‬
‫‪2 2 1 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .3‬אם נקבל מספר כפול ביטוי נשמור את המספר ונעשה אינטגרל לביטוי‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫דוגמה‪ 6  x dx :‬‬
‫‪x3‬‬
‫תוצאת האינטגרל‪ c :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪  x .8‬מספר ‪ dx ‬מספר ‪. ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ , 6 ‬ניתן לצמצם ולקבל ‪. 2x 3  c‬‬
‫דוגמה‪.  8dx :‬‬
‫לפנינו אינטגרל של מספר‪ ,‬ולכן נרשום את המספר ולידו ‪ , x‬כלומר‪. 8x  c :‬‬
‫‪ .5‬אם נקבל‬
‫ביטוי‬
‫מספר ‪‬‬
‫(שבר שבמכנה יש מספר)‪ ,‬נעשה אינטגרל לביטוי שבמונה ואת המספר‬
‫שבמכנה נשאיר אותו דבר‪.‬‬
‫‪x3‬‬
‫דוגמה‪.  dx :‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪.‬‬
‫תוצאת האינטגרל‪ c , 4  c , 4  c :‬‬
‫‪c ,‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪45‬‬
‫‪20‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .6‬אם נקבל קו שבר שבמונה מספר מחוברים ובמכנה מספר אחד בלבד‪ ,‬נפצל את המונה‪ ,‬נקבל‬
‫מספר שברים שלכל אחד מהם נעשה אינטגרל לחוד‪.‬‬
‫‪ x 3  4x 2  9 ‬‬
‫‪. ‬‬
‫דוגמה‪ dx :‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x 3 4x 2 9 ‬‬
‫בשלב ראשון נפצל למספר קווי שבר‪  dx :‬‬
‫‪ ,   ‬וכעת נבצע את פעולת‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 5‬‬
‫‪4x 3‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪x 4 4x 3 9‬‬
‫‪9‬‬
‫האינטגרל רגיל‪ , 4  3  x  c :‬ונקבל‪ x  c :‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪20 15 5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע ‪250-0884452‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ .7‬אינטגרל זו פעולה מוגבלת ביותר‪ .‬בעוד שאפשר לגזור כל פונקציה בעולם‪ ,‬אי אפשר לעשות‬
‫‪x2 1‬‬
‫‪ ‬או למכפלה‪ :‬אי אפשר ‪.  x 2  13x  7dx ‬‬
‫אינטגרל למנה‪ :‬אי אפשר ‪dx ‬‬
‫‪x6‬‬
‫לכן כאשר נקבל אינטגרל של מכפלה‪ ,‬נפתח סוגריים ורק אז נעשה אינטגרל‪.‬‬
‫דוגמה‪.   x 2  1 3x  7  dx :‬‬
‫לפנינו אינטגרל של מכפלת סוגריים‪ .‬נפתח סוגריים‪.   3x 3  7x 2  3x  7  dx :‬‬
‫‪3x 4 7x 3 3x 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כעת נעשה אינטגרל לכל ביטוי בנפרד‪ 7x  c :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫מספר‬
‫‪ .4‬אינטגרל של‬
‫חזקה‬
‫‪x‬‬
‫מספר‬
‫‪ ,‬לכאורה אי אפשר לעשות‬
‫כאשר נקבל אינטגרל של מנה ( ‪- x‬ים במכנה) מהצורה של‬
‫חזקה‬
‫‪x‬‬
‫אינטגרל למנה לפי כלל מספר ‪ .6‬לכן נתחכם לתרגיל ונעלה את החזקה השלילית שנמצאת‬
‫מספר‬
‫‪1‬‬
‫במכנה למונה באמצעות חוק החזקות‪ n  x  n :‬או בצורתו המורחבת‪  x n :‬מספר ‪. n ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫בשלב זה כל החזקות נמצאות במונה (על אף שחלקן שליליות)‪ ,‬נעשה אינטגרל רגיל ובסוף‬
‫התרגיל ניתן להשתעשע ולשאיר תשובה סופית באמצעות חזקות חיוביות בלבד‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫דוגמה‪.  5 dx :‬‬
‫‪x‬‬
‫מספר‬
‫לפנינו מצב של ‪ . n‬יש להיעזר בחוק החזקות כדי להיפטר מהמכנה בתרגיל‪ .‬נקבל‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪ .‬ניתן להשתעשע אלגברית ובמקום להשאיר‬
‫‪ .  2  x 5dx‬כעת נבצע אינטגרל רגיל‪ c :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫חזקה שלילית‪ ,‬להוריד אותה למכנה ולהפוך אותה להיות חזקה חיובית‪ .‬נקבל‪ c :‬‬
‫‪4x 4‬‬
‫מספר‬
‫‪.‬‬
‫‪ .9‬אינטגרל של‬
‫‪x‬‬
‫מספר‬
‫הנוסחה‪:‬‬
‫מספר ‪ 2 x  x ‬‬
‫‪.‬‬
‫מספר ‪‬‬
‫עבור פונקציה מורכבת‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫דוגמה ‪dx :1‬‬
‫‪x‬‬
‫מספר‬
‫לפנינו מצב של‬
‫‪ ‬מספר ‪b x a‬‬
‫‪dx ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ax  b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .‬כדי להשתמש בנוסחה אנחנו צריכים שיהיה ‪ 2‬במכנה‪ ,‬ולכן נכפול גם‬
‫גם את המונה וגם את המכנה של הביטוי שבתוך האינטגרל ב‪ , 2 -‬נקבל‪dx :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2 x‬‬
‫‪.‬‬
‫כעת נציב ישירות בנוסחה ונקבל‪4 x  c :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. ‬‬
‫דוגמה ‪dx :0‬‬
‫‪3x  3‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע ‪250-0884452‬‬
‫‪5‬‬
‫מספר‬
‫לפנינו מצב של‬
‫‪ax  b‬‬
‫‪ .‬כדי להשתמש בנוסחה אנחנו צריכים שיהיה ‪ 2‬במכנה‪ ,‬ולכן נכפול‬
‫‪2‬‬
‫גם גם את המונה וגם את המכנה של הביטוי שבתוך האינטגרל ב‪ , 2 -‬נקבל‪dx :‬‬
‫‪2 3x  3‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2 3x  3‬‬
‫כעת נציב ישירות בנוסחה ונקבל‪ c :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .00‬אינטגרל של פונקציה מורכבת‪:‬‬
‫קיימת נוסחה לאינטגרל של פונקציה מורכבת בתנאי שהביטוי בתוך הסוגריים הוא ממעלה‬
‫‪ ax  b ‬‬
‫‪.   ax  b  dx ‬‬
‫‪ n  1  a‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪n‬‬
‫ראשונה‪:‬‬
‫הסבר של הנוסחה‪ :‬עושים אינטגרל רגיל‪ ,‬כלומר מוסיפים אחד לחזקה ומחלקים בחזקה החדשה‪.‬‬
‫בנוסף נרשום במכנה את הנגזרת הפנימית של הביטוי שהופיע בתוך סוגריים‪.‬‬
‫דוגמה‪.   5x  2  dx :‬‬
‫‪2‬‬
‫לפנינו אינטגרל של פונקציה מורכבת כאשר הביטוי שבתוך הסוגריים הוא ממעלה ראשונה‪ .‬נוסיף אחד‬
‫לחזקה‪ ,‬כך שבחזקה יהיה רשום ‪ , 3‬נחלק בחזקה החדשה ‪ 3‬ובמכנה נרשום את הנגזרת של הביטוי‬
‫‪3‬‬
‫‪ 5x  2‬שהופיע בתוך הסוגריים‪ ,‬כלומר ‪ . 5‬נקבל‪ c :‬‬
‫דוגמה‪dx :‬‬
‫‪ 5x  2 ‬‬
‫‪ ,‬נסדר‪ c :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪35‬‬
‫‪ 5x  2 ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 5x  7 ‬‬
‫לפנינו אינטגרל של פונקציה מורכבת כאשר הביטוי שבתוך הסוגריים הוא ממעלה ראשונה‪ .‬צריך לשים‬
‫לב שהסוגריים עם החזקה נמצאים במכנה ולכן בשלב ראשון נעלה אותם למונה כאשר נשנה את סימן‬
‫החזקה‪ .‬נקבל‪ .   5x  7  dx :‬כעת נעשה אינטגרל לפונקציה מורכבת‪ :‬נוסיף אחד לחזקה‪ ,‬כך‬
‫‪2‬‬
‫שבחזקה יהיה רשום ‪ , 1‬נחלק בחזקה החדשה ‪ 1‬ובמכנה נרשום את הנגזרת של הביטוי‬
‫‪1‬‬
‫‪ 5x  7‬שהופיע בתוך הסוגריים‪ ,‬כלומר ‪ . 5‬נקבל‪ c :‬‬
‫‪ 5x  7 ‬‬
‫‪ ,‬נסדר‪:‬‬
‫‪1  5‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע ‪250-0884452‬‬
‫‪1‬‬
‫‪c‬‬
‫‪ 5x  7 ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ .00‬אינטגרל של פונקציה טריגונומטרית‪:‬‬
‫הפונקציה‬
‫נוסחת הנגזרת‬
‫אינטגרל‪:‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪ ‬ביטוי‪y  sin‬‬
‫‪ ‬נגזרת הביטוי‪  ‬ביטוי‪y'  cos‬‬
‫‪ ‬ביטוי‪ cos‬‬
‫‪ ‬נגזרת הביטוי‪  dx  ‬ביטוי‪ sin‬‬
‫‪ cos 5x‬‬
‫‪ sin 5x dx  5  c‬‬
‫‪ ‬ביטוי‪y  cos‬‬
‫‪ ‬נגזרת הביטוי‪  ‬ביטוי‪y'   sin‬‬
‫‪ ‬ביטוי‪sin ‬‬
‫‪ ‬נגזרת הביטוי‪  dx  ‬ביטוי‪ cos‬‬
‫‪sin 3x‬‬
‫‪3‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע ‪250-0884452‬‬
‫‪ cos 3x dx ‬‬
‫‪7‬‬