26 מבחן 806 - שאלון

‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫שאלון ‪ - 806‬מבחן ‪26‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫פרק ראשון ‪ -‬אלגברה והסתברות ) ‪ 33‬נק'(‬
‫‪2‬‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪) 1-3‬לכל שאלה‬
‫‪3‬‬
‫‪ 16‬נק'(‬
‫‪ .1‬בו זמנית‪ ,‬יוצאים קטנוע מהנקודה ‪ A‬לנקודה ‪ ,B‬ומכונית מהנקודה ‪B‬‬
‫לנקודה ‪) C‬בהתאם לשרטוט(‪ .‬כעבור שעה‪ ,‬יוצא רוכב אופניים מהנקודה ‪ A‬לנקודה ‪ .C‬השלושה הגיעו‬
‫ליעדם באותו רגע‪ .‬מהירות הקטנוע כפולה ממהירות האופניים ואורך הקטע ‪ BC‬הוא ‪ 100‬ק"מ‪.‬‬
‫כשהגיעה המכונית למחצית הדרך בין הנקודה ‪ A‬לנקודה ‪ ,B‬היה המרחק בינה לבין הקטנוע ‪ 8‬ק"מ והם‬
‫טרם חלפו זה על פני זו‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את מהירויות המכונית‪ ,‬הקטנוע ורוכב האופניים‪.‬‬
‫ב‪ .‬למחרת‪ ,‬כאשר יצאו מאותן נקודות לאותם יעדים באותה שעה כמו בתיאור הקודם‪ ,‬מהירות‬
‫האופניים פחתה ב‪ v-‬קמ"ש ומהירות הקטנוע גדלה ב‪ v-‬קמ"ש‪ .‬כאשר הקטנוע הגיע לנקודה ‪ ,B‬מרחק‬
‫האופניים מהנקודה ‪ C‬היה ‪ 14‬ק"מ‪ .‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪.v‬‬
‫‪ .2‬בסדרה הנדסית עולה שאיבריה חיוביים‪ ,‬מכפלת האיברים השני‪ ,‬השלישי והרביעי היא ‪ .729‬מחסרים‬
‫מהאיבר השני ‪ 2‬ומגדילים את האיבר הרביעי פי שלושה‪ .‬את האיבר השלישי לא משנים‪ .‬לאחר השינויים‪,‬‬
‫מהווים שלושת האיברים סדרה הנדסית חדשה‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את המנה של הסדרה המקורית לפני השינויים‪.‬‬
‫ב‪ .‬בסדרה המקורית יש מספר זוגי של איברים‪ .‬מכפילים פי ‪ k‬את האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים‬
‫ומחלקים ב‪ k-‬את האיברים הנמצאים במקומות האי זוגיים‪ .‬מצא עבור אילו ערכי ‪ ,k‬סכום הסדרה‬
‫אחרי שני שינויים אלו‪ ,‬קטן מסכום הסדרה המקורית‪.‬‬
‫‪ .3‬ביום שבו הגיעו המתיישבים למאדים רק ‪ 30%‬מהם רכשו בכספם דירה‪ .‬מי שלא יכול היה לרכוש דירה‪,‬‬
‫ניגש באותו יום להגרלה‪ ,‬בה היתה הסתברות של ‪ 0.4‬לזכות בדירה‪ .‬מי שהשתתף בהגרלה אך לא זכה‬
‫בדירה‪ ,‬הגיש באותו יום בקשה מיוחדת לקבלת דירה‪ .‬רק שליש ממגישי בקשה זו קיבלו דירה‪.‬‬
‫א‪ .‬יונתן הגיע למאדים באותו יום‪ .‬חשב את ההסתברות שבאותו לילה‪ ,‬היתה לו דירה‪.‬‬
‫ב‪ .‬למחרת יום ההתיישבות‪ ,‬נמצא ש‪ 32%-‬מהמתיישבים היו בעלי דירה עם חניה‪.‬‬
‫נסמן שני מאורעות‪ :‬המאורע ‪ A‬הוא‪" :‬להיות בעל דירה"‪ .‬המאורע ‪ B‬הוא‪" :‬להיות בעל חניה"‪.‬‬
‫‪ (1‬קבע באיזה תחום מספרים נמצאת ההסתברות ) ‪. P(B‬‬
‫‪ (2‬קבע באיזה תחום מספרים נמצאת ההסתברות ) ‪. P (B‬‬
‫‪ (3‬חשב את סכום ההסתברויות‪. P B + P A I B :‬‬
‫ג‪ .‬ידוע שההסתברות לבחור במאדים בעל דירה שאין לו חניה‪ ,‬גדולה פי שניים מההסתברות לבחור‬
‫במאדים בעל חניה שאין לו דירה‪ .‬חשב את ההסתברות לבחור במאדים אדם ללא דירה ולא חניה‪.‬‬
‫)‬
‫( )(‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪212‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫פרק שני ‪ -‬גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ) ‪ 33‬נק'(‬
‫‪2‬‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪) 4-6‬לכל שאלה‬
‫‪3‬‬
‫‪ 16‬נק'(‬
‫‪ .4‬בשרטוט מופיעים הריבועים ‪ ABCD‬ו‪ .EFGH-‬הנקודות ‪ F ,D‬ו‪M-‬‬
‫נמצאות על אותו ישר‪ .‬הנקודות ‪ G ,C‬ו‪ M-‬נמצאות על אותו ישר‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ME ⋅ BH = AE ⋅ MH :‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ :‬שטחי המשולשים ‪ ∆ MEF‬ו‪ ∆MHG -‬הם בהתאמה‬
‫‪ 24‬סמ"ר ו‪ 8-‬סמ"ר‪ .‬שטח הטרפז ‪ CDFG‬הוא ‪ 168‬סמ"ר‪.‬‬
‫חשב את שטח הטרפז ‪.BCGH‬‬
‫ג‪ .‬חשב את היקף הטרפז ‪.ADFE‬‬
‫‪ .5‬במעגל שמרכזו בנקודה ‪ O‬ושטחו ‪ 169π‬סמ"ר‪ ,‬המיתר ‪ EF‬חוסם‬
‫את המלבן ‪ ABCD‬ששטחו ‪ 70‬סמ"ר‪ .‬המרחק בין מרכז המעגל‬
‫לבין המיתר ‪ EF‬קטן פי שניים מאורך ‪ .AB‬אורכי צלעות המלבן‬
‫הם מספרים שלמים‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪. ∆ CEO‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים את המיתר ‪ .BE‬חשב את המרחק בין הנקודה ‪ O‬לבין‬
‫מרכזו של מעגל אחר‪ ,‬שקוטרו ‪.BE‬‬
‫ג‪ .‬הנקודה ‪ M‬נמצאת על הקשת ‪ EF‬בצד התחתון של הציור‪.‬‬
‫חשב את הזוית ‪. p BME‬‬
‫‪ .6‬במשולש ‪ ∆ABC‬נתון‪. AB + AC = 7a , p ACB = β , p ABC = α :‬‬
‫א‪ .‬נתון‪ . 3 sin β = 4 sin α :‬הבע באמצעות ‪ a‬את אורכי הצלעות ‪ AB‬ו‪.AC-‬‬
‫) ‪cos α 3 ⋅ (b 2 + 7a 2‬‬
‫ב‪ .‬נסמן‪ .BC = b :‬הוכח‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫=‬
‫) ‪cos β 4 ⋅ (b 2 − 7a 2‬‬
‫ג‪ .‬נתון‪ . 4 cos β = 3 cos α :‬חשב את גודל הזוית ‪. p BAC‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪213‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫פרק שלישי ‪ -‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪ ,‬פונקציות שורש‪ ,‬פונקציות רציונליות‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫ופונקציות טריגונומטריות ) ‪ 33‬נק'(‬
‫‪2‬‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪) 7-9‬לכל שאלה‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ .7‬נתונה הנגזרת השניה‪+ 5 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 16‬נק'(‬
‫‪ . f ' ' ( x) = −‬הישר ‪ x = 2‬חותך את גרף הפונקציה ) ‪ f (x‬בנקודת הפיתול‬
‫‪2‬‬
‫שלה ברביע הראשון‪ .‬שיפוע המשיק לגרף הפונקציה ) ‪ f (x‬בנקודה בה ‪ x = 0.5‬הוא ‪ .-27‬הישר‬
‫‪3‬‬
‫משיק לגרף הפונקציה ) ‪ f (x‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫=‪y‬‬
‫מצא את הפונקציה ) ‪. f (x‬‬
‫שרטט את גרף הפונקציה ) ‪ f (x‬בתחום ‪. 0 ≤ x‬‬
‫קבע האם הפונקציה ) ‪ f (x‬זוגית או אי זוגית‪ ,‬ושרטט בהתאם את הגרף המלא שלה‪.‬‬
‫שרטט את גרף הנגזרת ) ‪. f ' ( x‬‬
‫דרך נקודת הקיצון של גרף הנגזרת ) ‪ f ' ( x‬ברביע הראשון מורידים אנך לציר ה‪ .x-‬חשב את השטח‬
‫הכלוא בין אנך זה‪ ,‬לבין הישר ‪ x = 3‬לבין גרף הנגזרת ) ‪ f ' ( x‬והאסימפטוטה האופקית של הגרף‪.‬‬
‫)הנח שאין בתחום הכלוא נקודות קיצון נוספות או נקודות פיתול נוספות(‪.‬‬
‫‪2 + 2 tan x‬‬
‫‪ .8‬נתונה הנגזרת‪:‬‬
‫‪cos 2 x‬‬
‫= )‪ . f ' ( x‬מבין אינסוף נקודות הקיצון של גרף הפונקציה )‪ , f (x‬נקודת‬
‫הקיצון הקרובה ביותר לציר ה‪ ,y-‬נמצאת על הישר ‪. y = 1‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ב‪ .‬בתחום‪ 0 ≤ x ≤ π :‬מצא את‪:‬‬
‫‪ .1‬האסימפטוטות לגרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .2‬נקודות הקיצון של הפונקציה ואת סוגן‪.‬‬
‫‪ .3‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .4‬תחומי העליה והירידה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪ f (x‬בתחום הנתון‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את שיפועי הישרים המשיקים לגרף הפונקציה בקצות התחום הנתון‪.‬‬
‫ה‪ .‬נתון שגרף הפונקציה )‪ f (x‬חותך את גרף הנגזרת ) ‪ f ' ( x‬בנקודה אחת בתחום‪ . 0 < x < π :‬מצא כמה‬
‫פתרונות יש למשוואה )‪ f ( x) = f ' ( x‬בתחום הנתון‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪ .9‬הפירמידה ‪ SABCD‬היא ישרה ובסיסה ריבוע‪.‬‬
‫היקפו של המשולש ‪ ∆ASC‬הוא שישה ס"מ‪.‬‬
‫נסמן‪.BD = 2x :‬‬
‫חשב את הנפח המקסימלי של הפירמידה‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪214‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫‪ (1‬א‪ .‬קטנוע‪ 40 :‬קמ"ש‪ ,‬אופניים‪ 20 :‬קמ"ש‪ ,‬מכונית‪ 50 :‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 10 .‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ (2‬א‪ . q = 3 .‬ב‪< k < 1 .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ (3‬א‪ .0.72 .‬ב‪ .0.68 (3 . 0.4 ≤ P B ≤ 0.68 (2 . 0.32 ≤ P(B ) ≤ 0.6 (1 .‬ג‪.0.08 .‬‬
‫או ‪. k < 0‬‬
‫)(‬
‫‪ (4‬ב‪ 42 .‬סמ"ר‪ .‬ג‪ 52 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ (5‬א‪ 17.5 .‬סמ"ר‪ .‬ב‪ 12.02 .‬ס"מ‪ .‬ג‪. 22.38 .‬‬
‫‪ (6‬א‪ . AB = 4a, AC = 3a .‬ג‪. p BAC = 90 0 .‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ (7‬א‪+ x .‬‬
‫‪3x 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ . f ( x) = − +‬ב‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ג‪ .‬אי זוגית‪ .‬השרטוט‪:‬‬
‫ה‪ 0.108 .‬יח"ר‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ (8‬א‪ . f ( x) = tan 2 x + 2 tan x + 2 .‬ניתן גם להגיע לפונקציה השקולה‪+ 2 tan x + 1 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪3π‬‬
‫ב‪. (0,2) (3 . min(0,2) , min( ,1) , max(π ,2) (2 . x = π (1 .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪3π‬‬
‫ג‪.‬‬
‫<‪. <x‬‬
‫או < ‪ . 0 < x‬ירידה‪:‬‬
‫‪ (4‬עליה‪< x < π :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫ד‪ .‬בשניהם השיפוע ‪.2‬‬
‫= )‪. f ( x‬‬
‫ה‪ .‬שלושה פתרונות‪.‬‬
‫‪ (9‬הנפח‪ 1.288 :‬סמ"ק‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪215‬‬