docפתרונות מלאים של משרד החינוך
download 
Report Transcription
פתרונות מלאים של משרד החינוך
בגרות לבתי ספר על־יסודיים סוג הבחינה: מועד הבחינה :חורף תשע"ד2014 , מספר השאלון035004 : מדינת ישראל משרד החינוך הצעת תשובות לשאלות בחינת הבגרות מתמטיקה שאלון ד' הוראות לנבחן א. משך הבחינה :שעה ושלושה רבעים. ב. מבנה השאלון ומפתח ההערכה :בשאלון זה שני פרקים. פרק ראשון טריגונומטריה במישור ובמרחב, — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של הפונקציות הטריגונומטריות — פרק שני — — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי 1 2 33 3 #2 — 66 3נקודות סה"כ — 100נקודות חומר עזר מותר בשימוש: ()1 מחשבון לא גרפי .אין להשתמש באפשרויות התכנות במחשבון הניתן לתכנות. שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות במחשבון עלול לגרום לפסילת הבחינה. ()2 ד. 33 3 #1 — 33 3נקודות חזקות ולוגריתמים, ג. 1 1 דפי נוסחאות (מצורפים). הוראות מיוחדות: ()1 אל תעתיק את השאלה; סמן את מספרה בלבד. ()2 התחל כל שאלה בעמוד חדש .רשום במחברת את שלבי הפתרון ,גם כאשר החישובים מתבצעים בעזרת מחשבון. הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה ומסודרת. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. ()3 לטיוטה יש להשתמש במחברת הבחינה או בדפים שקיבלת מהמשגיחים. שימוש בטיוטה אחרת עלול לגרום לפסילת הבחינה. ההנחיות בשאלון זה מנוסחות בלשון זכר ומכוונות לנבחנות ולנבחנים כאחד. בהצלחה! /המשך מעבר לדף/ ( )2סכום שלושת האיברים שבתת־סעיף ב( )1הוא . 133 מצא את הפרש הסדרה החשבונית הנתונה. ( )3סכום nהאיברים הראשונים בסדרה הנתונה מקיים . S n 211, 977 2אי־שוויון -זה. מצא את nהקטן ביותר המקיים שאלה 1 טריגונומטריה במרחב .2נתונה פירמידה ישרה SABCDשבסיסה ריבוע וגובהה . SO הנקודה Eהיא אמצע הצלע ( BCראה ציור). הזווית בין SEלבסיס הפירמידה היא . 75o אורך צלע הבסיס הוא . a א )1( .הבע באמצעות aאת האורך של . SE ( )2הבע באמצעות aאת שטח המעטפת B של הפירמידה . SABCD 1 ב .הנקודה Fנמצאת על הגובה SOכך ש־ . FO = 3 SO בפירמידה הישרה FABCDחשב את הזווית בין מקצוע צדדי לבסיס. מתמטיקה ,חורף תשע"ד ,מס' 035004 S F A O E D C /המשך בעמוד /3 תשובה לשאלה 1 א. B SEO = 75 o ( )1לפי ההגדרה של זווית בין ישר למישור נקבל: במשולש ישר־הזווית SOEמתקיים: OE cos (B SEO) = SE 0 a 2 o cos 75 = SE 0 ( )2שטח המעטפת הוא: SE = 1.93a = 4 $ S3SBCשטח מעטפת 1 1 S3SBC = 2 $ SE $ BC = 2 $1.93a $ a 0 1 = 4 $ 2 $1.93a $ aשטח מעטפת 0 3.86a2 = שטח מעטפת /המשך בעמוד /3 מתמטיקה ,חורף תשע"ד ,מס' 035004 -3המשך תשובה לשאלה .1 ב. לפי ההגדרה של זווית בין ישר למישור נקבל כי הזווית המבוקשת היא למשל: B FBO במשולש ישר־הזווית FOBמתקיים: FO tg BFBO = BO במשולש SOEמתקיים: SO )EO = tg (BSEO 0 a SO = 2 $ tg75 o 1 FO = 3 SO לפי הנתון: 0 a tg75 o FO = 6 1 BOהוא 2אלכסון הבסיס ,לכן: מהצבת FOו־ BOנקבל: 2a BO = 2 a tg75 o 6 = )tg (BFBO 2a 2 0 2 tg75 o 6 = )tg (BFBO 0 BFBO = 41.3 o /המשך בעמוד /4 מתמטיקה ,חורף תשע"ד ,מס' 035004 -4- תשע"ד ,מס' + 315 ,035805נספח מתמטיקה ,חורף שאלה 2 -4- 5r .4 נתונה הפונקציה f (x) = - 2 cos (2x) + aבתחום . 0 # x # 6 aהוא פרמטר המקיים . 0 1 a 1 2 מצא את השיעורים של נקודות המקסימום המוחלט והמינימום המוחלט של הפונקציה )f(x א. (הבע באמצעות aבמידת הצורך). נתון כי הישר y = 3משיק לגרף הפונקציה ) f(xבתחום הנתון. ב. מצא את הערך של . a הצב , a = 1וענה על הסעיפים ג ו־ ד. ג. בתחום הנתון סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ). f(x ד. בתחום הנתון מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ) , f(xעל ידי המשיק y = 3 ועל ידי ציר ה־ . y נתונה הפונקציה a , f (x) = (a - 3x) e3xהוא פרמטר. תשובה לשאלה 2 .5 א. א. ב. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? )f' (x) = 4 sin (2x הנגזרת של ): f(x ידוע כי שיעור ה־ xשל נקודת הקיצון של הפונקציה ) f(xהוא . 1 מצא את הערך של . a sin (2x) = 0 וענה על הסעיפים ג ו־ ד. הצב , a = 4 ג. & f' (x) = 0 0 r r ). f(x מצא5את ()1 #x# =x הפונקציה 0 , תחומי: 0העלייה והירידה של = x בתחום 2 6 ( )2מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ) f(xעם הצירים. ( )3סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ). f(x נתון הישר . k # 0 , y = k ד. 5r 6 a -1 r 2 a+2 0 x a-2 )f(x לישר זה עם גרף הפונקציה ) ? f(xנמק. כמה נקודות חיתוך יש 3 4 a - 2 1 a - 11 a + 2 בהצלחה! 0 זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל החינוךa + ברשות משרד 2 k בנקודה: מוחלט מקסימום יש לפרסם אלא להעתיק או אין לפונקציה )f(x לפונקציה ) f(xיש מינימום מוחלט בנקודה: r a2 , ^ 0 , a - 2h /המשך בעמוד /5 מתמטיקה ,חורף תשע"ד ,מס' 035004 -5המשך תשובה לשאלה .2 ב. שיפוע הישר y = 3הוא , 0 f' (x) = 0 כלומר הוא משיק לפונקציה בנקודה שבה: 0 r x= 2 y = 3בנקודה שבה: 0 r fa 2 k = 3 0 מצאנו כי , f a 2 k = a + 2לכן: r a+2=3 0 a =1 ג. y 3 x ד. 5r 6 -1 r 2 השטח המבוקש הוא השטח המקווקו בציור: y 3 x r 2 0 (2 + 2 cos (2x)) dx r 2 # 0 = (3 - f (x)) dx -1 r 2 # 0 =S 0 S=r r & S = 62x + sin (2x)@ 2 0 /המשך בעמוד /6 2 ( 66 3נקודות) 1 ענה על שתיים מהשאלות ( 5-3לכל שאלה — 33 3נקודות). -6שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. מתמטיקה ,חורף תשע"ד ,מס' 035004 שאלה 3 .3 x2 - 5 נתונה הפונקציה . f (x) = x + 3 א. ( )1מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. ( )2מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. ( )3מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים (אם יש כאלה). ( )4מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה ,וקבע את סוגן. ב. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ג. ( )1מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של פונקציית הנגזרת ). f'(x ( )2רשום את התחומים שבהם ) f'(xשלילית ואת התחומים שבהם היא חיובית. ( )3רק על פי תת־סעיפים ג( )1ו־ ג( ,)2סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת ). f'(x תשובה לשאלה 3 א )1( .המכנה של ) f(xצריך להיות שונה מ־ , 0לכן: תחום ההגדרה של ): f(x x + 3! 0 0 x !- 3 5 f (0) = - 3 ()2 x =! 5 & x2 - 5 = 0 & 5 b0 , - 3 l f (x) = 0 ^! 5 , 0h x =- 3 ()3 אסימפטוטה אנכית: ()4 הנגזרת של הפונקציה ) f(xהיא: 2x (x + 3) - (x2 - 5) x2 + 6x + 5 = (x + 3) 2 (x + 3) 2 x2 + 6x + 5 = 0 & = )f' (x f' (x) = 0 0 הסימן של הנגזרת השנייה )f''(x נקבע על פי הנגזרת של המונה של )f'(x כאשר המכנה חיובי ,לכן הסימן ייקבע על פי: לפונקציה ) f(xיש: & /המשך בעמוד /4 נקודות החיתוך עם הצירים: x=0 x =-1 , x =- 5 f'' (x) = 2x + 6 סימן 0 f'' (- 5) 1 0 , f'' (- 1) 2 0 סימן סימן 0 מינימום ב־ ) , (- 1 , - 2מקסימום ב־ )(- 5 , - 10 /המשך בעמוד /7 מתמטיקה ,חורף תשע"ד ,מס' 035004 -7המשך תשובה לשאלה .3 ב. y )f(x x -2 -5-3 -1 - 10 ג. ()1 אסימפטוטות של ): f'(x ()2 לפי הגרף של ) f(xנקבל: y =1 , x =- 3 0 -1 3 + ) f'(xשלילית עבור: ) f'(xחיובית עבור: 0 ()3 )f'(x x -2 -3 -4 4 4 - - -5 -6 3 0 + x )f(x )f'(x - 5 1 x 1- 3 , - 3 1 x 1- 1 x 1- 5 , x 2- 1 y -1 -3 -5 המשך בעמוד /8 של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות 2 ופונקציות חזקה ( 66 3נקודות) 1 ענה על שתיים מהשאלות ( 5-3לכל שאלה — 33 3 נקודות)-. 8- מתמטיקה ,חורף תשע"ד ,מס' 035004 שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. שאלה 4 .3 יובל פתח חשבון חדש בבנק והפקיד בו 10,000שקל. א. גדל בכל חודש ב־ . 2% הסכום שהפקיד ֵ כעבור שנה מרגע ההפקדה משך יובל מחשבונו 5000שקל. (הסכום שנשאר ממשיך לגדול בכל חודש ב־ ).2% כעבור כמה חודשים מרגע המשיכה ,שוב יהיו בחשבונו של יובל 10,000שקל? 3 2x נתונה הפונקציה f (x) = 2x + 3 ב. y בתחום . x 2 0 העבירו ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודת הקיצון שלה ,והעבירו את 1 הישר y = 2 6החותך את גרף הפונקציה בין היתר בנקודה שבה x = 1 (הנקודה הקרובה לציר ה־ .) y x מצא את השטח המוגבל על ידי שני הישרים ,על ידי גרף הפונקציה ) f(xועל ידי ציר ה־ , y השטח המקווקו בציור. הערה :אין קשר בין סעיף א לסעיף ב. תשובה לשאלה 4 א. הסכום בבנק כעבור 12חודשים: הסכום בבנק לאחר המשיכה: כעבור xחודשים כדי שיהיו בבנק שוב 10,000שקלים צריך להתקיים: על ידי הפעלת ,n על שני אגפי המשוואה נקבל: /המשך בעמוד /4 10, 000 #1.0212 0 10, 000 #1.0212 - 5000 ^10, 000 #1.0212 - 5000h 1.02 x = 10, 000 0 10, 000 m 10, 000 $1.0212 - 5000 ,n1.02 ,n c =x 0 13.3חודשים = x /המשך בעמוד /9 מתמטיקה ,חורף תשע"ד ,מס' 035004 -9המשך תשובה שאלה .4 ב. הנגזרת של ): f(x 2 3 + 2x2 3 3 3 ) x = - 2לא בתחום ( x = 2 & f' (x) = - x 2 0 , f' (x) = 0 3 fb 2 l = 2 שיעור ה־ yשל נקודת הקיצון: 0 משוואת הישר המשיק בנקודת הקיצון: השטח המבוקש מורכב משני שטחים: שטח מלבן הנוצר מהמשיק ,מהישר , y = 2 6 1 מהאנך x = 1ומציר ה־ : y שטח המוגבל על ידי הגרף של ), f(x על ידי המשיק ועל ידי האנך : x = 1 y=2 השטח המבוקש הוא: 1 1 S I = (2 6 - 2) $1 = 6 6f (x) - 2@ dx 3 2 3 2 # 1 = S II 0 3 x2 3 3 7 S II = ; 2 ,nx + 3 - 2xE = 2 ,n 2 - 12 = 0.02486 1 3 3 5 S I + S II = 2 ,n 2 - 12 = 0.1915 /המשך בעמוד /10 ג. בתחום הנתון סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ). f(x ד. בתחום הנתון מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ) , f(xעל ידי המשיק y = 3 ועל ידי ציר ה־ . y מתמטיקה ,חורף תשע"ד ,מס' 035004 - 10 - שאלה 5 נתונה הפונקציה a , f (x) = (a - 3x) e3xהוא פרמטר. .5 א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? ב. ידוע כי שיעור ה־ xשל נקודת הקיצון של הפונקציה ) f(xהוא . 1 מצא את הערך של . a הצב , a = 4וענה על הסעיפים ג ו־ ד. ( )1מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה ). f(x ג. ( )2מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ) f(xעם הצירים. ( )3סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ). f(x נתון הישר . k # 0 , y = k ד. כמה נקודות חיתוך יש לישר זה עם גרף הפונקציה ) ? f(xנמק. א. הפונקציה מוגדרת לכל x תשובה לשאלה 5 בהצלחה! ב. נגזרת הפונקציה ): f(x f' (x) = - 3e3x + (a - 3x) e3x $ 3 זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך יש קיצון ב־ , x = 1לכן: 0 )f' (x) = 3e3x (a - 3x - 1 0 )f' (1) = 3e3 (a - 3 - 1 f' (1) = 0 0 a - 3 - 1 = 0 , 3e3 2 0 0 a=4 /המשך בעמוד /11 מתמטיקה ,חורף תשע"ד ,מס' 035004 - 11המשך תשובה לשאלה .5 ג. ()1 )f' (x) = 3e3x (3 - 3x קיבלנו: 0 x 21 1 x 11 x - 0 + )f'(x 3 )f(x 4 הפונקציה ) f(xעולה עבור: x 11 הפונקציה ) f(xיורדת עבור: x 21 ()2 f (x) = (4 - 3x) e3x קיבלנו: f (0) = 4 & x=0 4 x= 3 & f (x) = 0 חיתוך עם ציר ה־ : x חיתוך עם ציר ה־ : y 4 b 3 , 0l ^ 0 , 4h ()3 y )f(x 4 x ד. 4 3 1 y )f(x x y=k לפי הסרטוט :הישר חותך את הגרף של ) f(xבנקודה אחת עבור k # 0 זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך
