להורדת שאלון הבחינה

‫מבחן בגרות מספר ‪8‬‬
‫קיץ תשע"א‪ ,2011 ,‬מועד ב‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 3-1‬‬
‫‪.1‬‬
‫רוכב אופניים יצא ממושב ‪ A‬אל מושב ‪ , B‬ולאחר ‪ 1‬שעה יצא רוכב‬
‫‪2‬‬
‫אופניים ש ני ממושב ‪ B‬אל מושב ‪. A‬‬
‫הרוכבים נפגשו לאחר שהרוכב השני עבר ‪ 1‬מהמרחק שבין ‪ B‬ל‪. A -‬‬
‫‪4‬‬
‫ביום אחר יצא רוכב האופניים הראשון ממושב ‪ A‬למושב ‪ 1 B‬שעה‬
‫‪2‬‬
‫אחרי שרוכב האופניים השני יצא ממושב ‪ B‬אל מושב ‪ . A‬הרוכבים‬
‫נפגשו באמצע הדרך שבין ‪ A‬ל‪ . B -‬מהירויות הרוכבים לא השתנו‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את היחס בין מהירות הרוכב הראשון ובין מהירות הרוכב השני‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע שאם שני הרוכבים יוצאים באותו רגע זה לקראת זה‪,‬‬
‫הם נפגשים במרחק ‪ b‬ק"מ מאמצע הדרך שבין ‪ A‬ל‪. B -‬‬
‫הבע באמצעות ‪ b‬את הדרך שבין ‪ A‬ל‪. B -‬‬
‫‪.2‬‬
‫א‪ .‬סכום כל האיברים בסדרה הנדסית אינסופית הוא ‪, 112‬‬
‫וסכום האיברים במקומות ה ראשון‪ ,‬הרביעי‪ ,‬השביעי וכו' של סדרה‬
‫זו הוא ‪ . 64‬מצא את ‪ a1‬ואת ‪. q‬‬
‫ב‪ .‬בסדרה נתון‪ . a n 1  a n  4n  6 :‬בסדרה ישנם ‪ K‬איברים ) ‪ K‬זוגי(‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ K‬את ההפרש בין סכום האיברים במקומות הזוגיים‬
‫לבין סכום האיברים במקומות האי‪ -‬זוגיים‪.‬‬
‫הערה‪ :‬אין קשר בין סעיף א לסעיף ב‪.‬‬
‫‪30‬‬
‫‪.3‬‬
‫בקבוצה של ‪ 40‬אנשים יש ‪ 16‬גברים והשאר נשים‪ .‬ל‪ 12 -‬גברים בקבוצה‬
‫יש רישיון נהיגה‪ ,‬ול‪ 16 -‬נשים בקבוצה יש רישיון נהיגה‪.‬‬
‫א‪ .‬בוחרים באקראי אדם מהקבוצה‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שייבחר אדם שיש לו רישיון נהיגה?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי אדם מהקבוצה‪ .‬לא חר שהאדם חוזר לקבוצה‪,‬‬
‫שוב בוחרים באקראי אדם מהקבוצה‪ .‬מהי ההסתברות שלפחות פעם‬
‫אחת ייבחר אדם שיש לו רישיון נהיגה?‬
‫ג‪ .‬האם המאורע "לבחור מהקבוצה גבר" והמאורע "לבחור מהקבוצה‬
‫אדם שיש לו רישיון נהיגה" הם מאורעות בלתי תלויים? נ מק‪.‬‬
‫ד‪ .‬לכמה נשים בקבוצה צריך שיהיה רישיון נהיגה כדי לקבוע שבקבוצה‬
‫הנתונה של ‪ 40‬האנשים אין תלות בין מין האדם לכך שיש לו רישיון‬
‫נהיגה? )מספר הגברים והנשים בקבוצה אינו משתנה‪ ,‬ומספר הגברים‬
‫בעלי רישיון אינו משתנה(‪.‬‬
‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬
‫ענה על אחת מבין השאלות ‪. 5-4‬‬
‫‪.4‬‬
‫במשולש ישר‪ -‬זווית ‪(CAB  90 ) CAB‬‬
‫הניצב ‪ AB‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫היתר ‪ BC‬חותך את המעגל גם בנקודה ‪. P‬‬
‫המשיק למעגל בנקודה ‪ P‬חותך את הניצב‬
‫‪ CA‬בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. CE  EA‬‬
‫ב‪ .‬אם נתון כי ‪ , CP  23‬וכי שטח המשולש ‪CPE‬‬
‫‪EA‬‬
‫הוא ‪ 2‬סמ"ר‪ ,‬מצא את שטח המשולש ‪ . PAB‬נמק‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫נתון טרפז שווה‪ -‬שוקיים ‪(AB  DC) ABCD‬‬
‫החוסם מעגל שמרכזו ‪ AB . O‬ו‪ DC -‬משיקים‬
‫למעגל בנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬בהתאמה‪ EF .‬הוא קוטר‬
‫במעגל )ראה ציור( ‪ .‬האורך של שוק הטרפז הוא ‪. b‬‬
‫נתון כי )‪ . (sin C) 2  sin(90  C‬הבע באמצעות ‪: b‬‬
‫א‪ .‬את רדיוס המעגל החסום בטרפז‪.‬‬
‫ב‪ .‬את אורך הבסיס הקטן ‪. AB‬‬
‫‪C‬‬
‫‪P‬‬
‫‪E‬‬
‫‪O‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫בתשובותיך השאר שלוש ספרות אחרי הנקודה הע שרונית‪.‬‬
‫‪31‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬
‫של פונקציות רציונליות‪ ,‬של פונקציות שורש ושל פונקציות‬
‫טריגונומטריות‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 8-6‬‬
‫‪.6‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪1‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪. f (x) ‬‬
‫א‪ .‬מצא אם הפונקציה )‪ f (x‬הי א זוגית או אי‪ -‬זוגית או לא זוגית ולא‬
‫אי‪ -‬זוגית‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬בתחום ‪: 0  x  2‬‬
‫) ‪ ( 1‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪ ,‬ואת האסימפטוטות‬
‫של הפונקציה המקבילות לצירים )אם יש כאלה(‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את השיעורים של נק ודות הקיצון של הפונקציה‪,‬‬
‫וקבע את סוגן‪ .‬נמק‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬לשרטוט ששרטטת בתת‪ -‬סעיף ב) ‪ ( 3‬הוסף סקיצה של גרף‬
‫הפונקציה )‪ f (x‬בתחום ‪. 2  x  0‬‬
‫ד‪ .‬השטח ברביע הראשון המוגב ל על ידי הגרף של )‪, f (x‬‬
‫על ידי הישר ‪y  2‬‬
‫‪ , x  ‬על ידי ציר ה‪x -‬‬
‫‪ ,‬על ידי הישר ‪2‬‬
‫ועל ידי ציר ה‪ , y -‬מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬
‫מצא את הנפח של גוף הסיבוב שנוצר‪.‬‬
‫ה‪ .‬בתחום שבין ‪ ‬ל‪ ,  -‬רשום בצורה כללית את השיעורים‪:‬‬
‫) ‪ ( 1‬של נקודות המינימום של הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫) ‪ ( 2‬של נקודות המקסימום של הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫‪32‬‬
‫נתונה הנגזרת השנייה של הפונקציה )‪6x 2  3x  3 : f (x‬‬
‫‪(1  x 2 )5‬‬
‫הפונקציה )‪ f (x‬מוגדרת לכל ‪. x‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪. f ''(x) ‬‬
‫א‪ .‬מבי ן הגרפים ‪ IV , III , II , I‬שלפניך‪ ,‬איזה גרף מתאר את פונקציית‬
‫הנגזרת )‪ ? f '(x‬נמק‪.‬‬
‫‪I‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪II‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪III‬‬
‫‪IV‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬מצא תחומי קעירות כלפי מטה ‪ ‬ותחומי קעירות כלפי מעלה ‪‬‬
‫של הפונקציה )‪ . f (x‬נמק‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬ה יעזר בגרף של )‪ f '(x‬שבסעיף א'‪ ,‬ומצא בין אילו שני מספרים‬
‫שלמים עוקבים נמצא שיעור ה‪ x -‬של נקודת הקיצון של )‪ . f (x‬נמק‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪ , f (x‬אם ידוע כי הגרף חותך‬
‫את ציר ה‪ x -‬רק בנקודה אחת שבה ‪. x  3‬‬
‫‪y‬‬
‫לפניך סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת‬
‫השלישית )‪. f '''(x‬‬
‫)‪f '''(x‬‬
‫ג‪ .‬מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף‬
‫של )‪ , f '''(x‬על ידי ציר ה‪ x -‬וציר ה‪y -‬‬
‫ועל ידי הישר ‪ x  2‬בתחום ‪. x  0‬‬
‫ד‪ .‬על פי הגרף של )‪ f '(x‬שבסעיף א'‪,‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪1.5‬‬
‫הסבר מדוע הגרף של פונקציית הנגזרת‬
‫השלישית )‪ f '''(x‬חותך את ציר ה‪ x -‬בשלוש נקודות‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫נתונות המשוואות של שתי פרבולות‪. g(x)  x 2  x , f (x)  a 2 x 2 :‬‬
‫‪ a‬הוא פרמטר שונה מ‪. 0 -‬‬
‫הפרבול ות נפגשות בנקודות ‪ O‬ו‪ – O ) A -‬ראשית הצירים(‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את השיעורים של הנקודה ‪. A‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השיעורים של הנקודה ‪ A‬שעבורה השטח‪ ,‬המוגבל על ידי‬
‫הגרף של )‪ , f (x‬על ידי ציר ה‪ x -‬ועל ידי האנך לציר ה‪ x -‬העוב ר דרך‬
‫הנקודה ‪ , A‬הוא מקסימלי‪.‬‬
‫‪33‬‬
‫תשובות ל מבחן בגרות מספר ‪ – 8‬קיץ תשע"א‪ , 2011 ,‬מועד ב ‪:‬‬
‫‪ . 1‬א‪ . 5 .‬ב‪ 8b .‬ק"מ ‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ . 2‬א‪ . q  0.5 , a1  56 .‬ב‪. K 2  3K .‬‬
‫‪ . 3‬א‪ . 0.7 .‬ב‪ . 0.91 .‬ג‪ .‬לא‪ .‬המאורעות תלויים‪ .‬ד‪. 18 .‬‬
‫‪ . 4‬ב‪ 32 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ . 5‬א‪ . 0.393b .‬ב‪. 0.382b .‬‬
‫‪ . 6‬א‪ .‬הפונקציה )‪ f (x‬היא זוגית‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪.x‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬תחום הגדר ה‪, x  2 , 0  x  2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. x  3 , x  ‬‬
‫אסימפטוטות מקבילות לצירים‪2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪ (0;1) ( 2‬מינימום‪ ( ; 1) ,‬מקסימו ם‪ (2;1) ,‬מינימום‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪y‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪. 2   3  12.02 .‬‬
‫‪3‬‬
‫ה‪ (2k;1) ( 1 ) .‬מינימום‪ (   2k; 1) ( 2 ) .‬מקסימום‪ .‬הערה‪ k :‬מספר שלם‪.‬‬
‫‪ . 7‬א‪. IV .‬‬
‫‪y‬‬
‫ב‪ x  1 :  ( 1 ) .‬או ‪; x  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. 1  x  1 : ‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪ ( 2‬בין ‪ 1‬ל‪. 0 -‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪. 4.638 .‬‬
‫ד‪ .‬הפונקציה )‪ f '''(x‬היא למעשה הנגזרת השנייה של )‪. f '(x‬‬
‫בגרף של )‪ f '(x‬שבסעיף א'‪ ,‬יש ‪ 3‬נקודות פיתול ולכן הנגזרת השנייה‬
‫של )‪ f '(x‬מתאפסת ב‪ 3 -‬נקודות ומכאן שבגרף של )‪ f '''(x‬יש ‪ 3‬נקודות‬
‫חיתוך עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪‬‬
‫‪a 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫;‬
‫‪ . A ‬ב‪. A( 2 ;  2 ) .‬‬
‫‪ . 8‬א‪ .‬‬
‫‪3 9‬‬
‫‪1  a 2 (1  a 2 ) 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪34‬‬