16 מבחן בגרות מספר

‫מבחן בגרות מספר ‪16‬‬
‫קיץ תשע"ד‪ ,2014 ,‬מועד א‬
‫פרק ראשון – אלגברה ‪ ,‬גאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 3-1‬‬
‫‪.1‬‬
‫כל אחת משתי חברות תיירות‪ ,‬חברה א' וחברה ב'‪ ,‬פרסמה באינטרנט‬
‫הצעה לטיול בחו"ל‪ .‬לכל הצעה יש אותו מחיר‪.‬‬
‫המחיר של כל אחת מההצעות כולל את מחיר הטיסה ואת מחיר האירוח‬
‫במלון‪ .‬מחיר הטיסה בחברה א' קטן ב‪ 10% -‬ממחיר הטיסה בחברה ב'‪.‬‬
‫מחיר האירוח במלון בחברה א' גדול ב‪ 20% -‬ממחיר האירוח במלון‬
‫בחברה ב'‪ .‬סמן ב‪ x -‬את מחיר הטיסה ב חברה ב'‪ ,‬וב‪ y -‬את מחיר האירוח‬
‫במלון בחברה ב'‪.‬‬
‫א‪ .‬הראה כי ‪. x  2y‬‬
‫ב‪ .‬יוסי הזמין את הטיסה בחברה א' ואת האירוח במלון בחברה ב'‪,‬‬
‫ושילם סך הכול ‪ 5040‬שקלים‪.‬‬
‫מצא את מחיר הטיסה בחברה ב'‪ ,‬ואת מחיר האירוח במלון בחברה ב'‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪ ABCD‬הוא מרובע שבו ‪. BC  AD‬‬
‫‪y‬‬
‫הצלע ‪ AB‬מונחת על הישר ‪, x  y  10‬‬
‫והצלע ‪ CD‬מונחת על ציר ה‪. x -‬‬
‫נתון‪, D(8;0) , C(2;0) :‬‬
‫שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬הוא ‪. 6‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעור ה‪ y -‬של הנקודה ‪. A‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת הישר ‪. AD‬‬
‫‪A‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪. B‬‬
‫ד‪ .‬הישר ‪ BC‬חותך את ציר ה‪y -‬‬
‫בנקודה ‪. E‬‬
‫) ‪ ( 1‬הראה כי הישר ‪ AE‬מקביל לציר ה‪. x -‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את שטח המשולש ‪. AEB‬‬
‫‪61‬‬
‫‪x‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪.3‬‬
‫ערכו סקר בקרב מספר גדול של תלמידים‪ .‬הסקר בדק כמה תלמידים‬
‫רוצים להמשיך ללימודים אקדמיים‪.‬‬
‫על פי ממצאי הסקר‪ 60% ,‬מהמשתתפים בסקר )בנים‪/‬בנות( רוצים‬
‫להמשיך ללימודים אקדמיים‪ .‬מספר הבנים שהשתתפו בסקר קטן פי ‪3‬‬
‫ממספר הבנות שהשתתפו בסקר‪ .‬ידוע כי ‪ 80%‬מן הבנים שהשתתפו‬
‫בסקר רוצים להמשיך ללימודים אקדמיים‪.‬‬
‫א‪ .‬בוחרים באקראי תלמ יד )בן‪/‬בת( שהשתת ף בסקר‪.‬‬
‫) ‪ ( 1‬מהי ההסתברות שנבחרה בת הרוצה להמשיך ללימודיים אקדמיים?‬
‫) ‪ ( 2‬ידוע שנבחרה בת‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שהיא רוצה להמשיך ללימודים אקדמיים?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 5‬תלמידים )בנים‪/‬בנות( מבין המשתתפים בסקר‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שלפחות ‪ 4‬מהם רוצים להמשיך ללימודים אקדמיים?‬
‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬
‫ענה על אחת מבין השאלות ‪. 5-4‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪ F‬היא נקודת החיתוך של האלכסונים במרובע ‪. ABCD‬‬
‫הנקו דה ‪ E‬נמצאת על ‪, FC‬‬
‫והנקודה ‪ G‬נמצאת על ‪, FB‬‬
‫‪B‬‬
‫באופן שהמרובע ‪BCEG‬‬
‫הוא בר‪ -‬חסימה במעגל )ראה ציור(‪.‬‬
‫‪G‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. FEG  FBC :‬‬
‫‪F‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪AF  DF :‬‬
‫‪FG FE‬‬
‫הוכח‪. FDA  FEG :‬‬
‫ג‪ .‬הוכח‪. AD  BC :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ ABC‬הוא משולש שווה‪ -‬שוקיים )‪, (AC  AB‬‬
‫החסום במעגל שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪R‬‬
‫)ראה ציור(‪ .‬נתון‪. BAC  80 :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את אורך הצלע ‪. AB‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ . COB‬נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬המשך ‪ OB‬חותך את השוק ‪ AC‬בנקודה ‪D‬‬
‫)ראה ציור(‪ .‬נתון‪ 5 :‬ס"מ ‪. BD ‬‬
‫) ‪ ( 1‬מצא את ‪. ABD‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את ‪. R‬‬
‫‪62‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪O‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬
‫של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 8-6‬‬
‫‪.6‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪x 2  4x  3‬‬
‫‪. f (x) ‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f (x‬עם הצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ה‪ .‬האם הישר ‪ y  x  2‬חותך את גרף הפונקציה )‪ ? f (x‬נמק‪.‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪ f (x‬היא פונקציה שמוגדרת לכל ‪. x‬‬
‫בציור שלפניך מוצג הגרף של פונקציית‬
‫הנגזרת )‪ . f '(x‬הגרף של פונקציית הנגזרת )‪f '(x‬‬
‫עובר דרך הנקודות )‪. (1;0) , ( 2;0‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬על פי הגרף של פונקציית הנגזרת )‪f '(x‬‬
‫)‪f '(x‬‬
‫מצא את תחומי העלייה והירידה‬
‫של הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫) ‪ ( 2‬מהו שיעור ה‪ x -‬של נקודת הקיצון‬
‫של הפונקציה )‪ , f (x‬ומהו סוג הקיצון?‬
‫‪x‬‬
‫נמק‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫) ‪ ( 3‬נתון כי פונקציית הנגזרת היא ‪. f '(x)  4x  12x  8‬‬
‫שיעור ה‪ y -‬של נקודת הקיצון של הפונקציה )‪ f (x‬הוא ‪. 10‬‬
‫מצא את הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השיעורים של הנקודות שבהן שיפוע המשיק לגרף‬
‫הפונקציה )‪ f (x‬הוא ‪. 0‬‬
‫‪63‬‬
‫‪.8‬‬
‫ה אורך של קיר בצורת מלבן הוא ‪ 16‬מטר‪,‬‬
‫והגובה של הקיר הוא ‪ 10‬מטר‪.‬‬
‫רוצים לצפות בקרמיקה חלק מהקיר‪.‬‬
‫החלק שרוצים לצפות כולל‪:‬‬
‫‪ ‬שני ריבועים זהים בפינות המלבן‪.‬‬
‫‪ ‬משולש שווה‪ -‬שוקיים שבסיסו מקביל‬
‫לצלע המלבן )השטחים האפורים בציור(‪.‬‬
‫סמן ב‪ x -‬את ה אורך של צלע הריבוע‪ ,‬וענה על הסעיפים א‪ -‬ג‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את הגובה לבסיס במשולש שווה‪ -‬השוקיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה צריך להיות ‪ , x‬כדי שסכום השטחים שרוצים לצפות בקרמיקה‬
‫יהיה מינימלי?‬
‫ג‪ .‬עבור ה‪ x -‬שמצאת בסעיף ב‪ ,‬חשב כמה אחוזים משטח הקיר מהווה‬
‫החלק שרוצים לצפות בקרמיקה‪.‬‬
‫תשובות ל מב חן בגרות מספר ‪ – 16‬קיץ תשע"ד‪ , 2014 ,‬מועד א‪:‬‬
‫‪ . 1‬ב‪ .‬מחיר הטיסה בחברה ב' הוא ‪ 3600‬שקלים‪.‬‬
‫מחיר האירוח במלון בחברה ב' הוא ‪ 1800‬שקלים‪.‬‬
‫‪ . 2‬א‪. y A  4 .‬‬
‫ב‪. y  2x  16 .‬‬
‫ג‪ . ( 6;16) .‬ד‪ 36 ( 2 ) .‬יח"ר‪.‬‬
‫‪ . 3‬א‪ . 8 . ( 2 ) . 0.4 ( 1 ) .‬ב‪. 0.33696 .‬‬
‫‪15‬‬
‫‪ . 5‬א‪ . 1.532R .‬ב‪ . 160 .‬ג‪. 40 ( 1 ) .‬‬
‫) ‪ 2.87 ( 2‬ס"מ ‪. R ‬‬
‫‪ . 6‬א‪ x  3 .‬או ‪. x  1‬‬
‫‪y‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ב‪. (0; 3) , (3;0) , (1;0) .‬‬
‫ג‪ .‬עלייה‪ ; x  3 :‬ירידה‪. x  1 :‬‬
‫ה‪ .‬לא‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ . 7‬א‪ ( 1 ) .‬עלייה‪ ; x  2 :‬ירידה‪. x  2 :‬‬
‫) ‪. f (x)  x 4  6x 2  8x  14 ( 3‬‬
‫ב‪. ( 2; 10) , (1;17) .‬‬
‫‪ . 8‬א‪ . 10  x .‬ב‪. x  3 .‬‬
‫ג‪. 33.125% .‬‬
‫‪64‬‬
‫) ‪ x  2 ( 2‬מינימום‪.‬‬