מועד חורף פתור

‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"א‪ ,‬שאלון ‪35003‬‬
‫השאלות עם פתרונות מלאים ‪ -‬כתב עפר ילין‪ ,‬ערך עזריאל לוי‬
‫שאלה‬
‫‪ .1‬קוסמטיקאית קנתה ‪ 60‬קופסאות קרם במחיר ‪ x‬שקלים לקופסה אחת‪.‬‬
‫הקוסמטיקאית מכרה ‪ 30‬מהקופסאות באותו מחיר‪ x ,‬שקלים לקופסה‪.‬‬
‫‪ 25‬קופסאות היא מכרה ברווח של ‪. 18%‬‬
‫את יתר הקופסאות היא מכרה ברווח של ‪. 6%‬‬
‫הקוסמטיקאית מכרה את כל הקופסאות בסכום כולל של ‪ 6480‬שקל‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את המחיר ‪ x‬ששילמה הקוסמטיקאית תמורת קופסת קרם אחת‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה היה הרווח הכולל של הקוסמטיקאית ?‬
‫פתרון‪ .‬נכניס את הנתונים לטבלה מתאימה‪.‬‬
‫‪ - x‬מחיר קופסת קרם אחת בשקלים‪.‬‬
‫המחיר עם רווח של ‪ 18%‬הוא ‪ , 1.18x‬והמחיר עם רווח של ‪ 6%‬הוא ‪1.06x‬‬
‫כמות‬
‫עלות ותקבול ‪₪‬‬
‫מחיר ליחידה ‪₪‬‬
‫הקנייה‬
‫‪60‬‬
‫‪x‬‬
‫‪60x‬‬
‫מכירה )‪(1‬‬
‫‪30‬‬
‫‪x‬‬
‫‪30x‬‬
‫מכירה )‪(2‬‬
‫‪25‬‬
‫‪1.18x‬‬
‫‪25 ⋅1.18 x = 29.5 x‬‬
‫מכירה )‪(3‬‬
‫‪60 − (30 + 25) = 5‬‬
‫‪1.06x‬‬
‫‪5 ⋅1.06 x = 5.3 x‬‬
‫לפי הטבלה‪ ,‬התקבול הכולל של הקוסמטיקאית היה ‪. 30 x + 29.5 x + 5.3 x = 64.8 x‬‬
‫נתון כי הקוסמטיקאית מכרה את כל הקופסאות בסכום כולל של ‪.₪ 6, 480‬‬
‫השוואת שני הביטויים לתקבול נותנת ‪ , 64.8 x = 6, 480‬ומכאן ‪. x = 100‬‬
‫תשובה המחיר לקוסמטיקאית של קופסת קרם אחת היה ‪.₪ 100‬‬
‫ב‪ .‬עלות כל הקופסאות לקוסמטיקאית ‪ ,₪ 60 ⋅100 = 6, 000‬ולכן הרווח הכולל שלה היה‬
‫‪.₪ 6, 480 − 6, 000 = 480‬‬
‫שאלה ‪ .2‬הנקודה ‪ M‬היא מרכז המעגל ‪. ( x + 1) 2 + ( y − 3) 2 = 25‬‬
‫הנקודה ‪ A‬היא נקודת החיתוך של הישר ‪y = 7‬‬
‫עם המעגל )ראה ציור(‪.‬‬
‫ידוע שהנקודה ‪ A‬נמצאת ברביע הראשון‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את השיעורים של הנקודה ‪. A‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיפוע הישר ‪. MA‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה ‪. A‬‬
‫ד‪ .‬המשיק שאת משוואתו מצאת בסעיף ג‪ ,‬חותך את ציר ה‪y -‬‬
‫בנקודה ‪. B‬‬
‫מצא את שטח המשולש ‪ - O ) ABO‬ראשית הצירים(‪.‬‬
‫פתרון‪ .‬א‪ .‬הנקודה ‪ M‬היא מרכז המעגל ‪. ( x + 1) 2 + ( y − 3) 2 = 25‬‬
‫מכאן ששיעורי מרכז המעגל )‪ M(−1, 3‬ורדיוסו ‪. 5‬‬
‫‪ A‬היא נקודת חיתוך של הישר ‪ y = 7‬עם המעגל‪.‬‬
‫נציב את שעור ה‪ y -‬של ‪ , A‬שהוא ‪ , 7‬עבור ‪y‬‬
‫במשוואת המעגל ונקבל את המשוואה‬
‫‪ ( x + 1)2 + (7 − 3) 2 = 25‬עבור שעורי ה‪ x -‬של נקודות‬
‫החיתוך‪ .‬משיוויון זה נובע ‪ , (x + 1)2 = 9‬ולכן‬
‫‪ , x + 1 = ±3‬ו‪ x -‬הוא ‪ 2‬או ‪ . −4‬מכיוון ש‪ A -‬נמצאת ברביע הראשון‬
‫ברביע הראשון שעור ה‪ x -‬שלה הוא ‪ 2‬והיא הנקודה‬
‫)‪. (2, 7‬‬
‫ב‪ .‬נמצא את שיפוע הישר ‪. MA‬‬
‫‪3 − 7 −4 4‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪−1 − 2 −3 3‬‬
‫= ‪mMA‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫ג‪ .‬המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה‪ ,‬ולכן שיפועו הוא ‪= − = −‬‬
‫‪4‬‬
‫‪mMA‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫משוואת המשיק דרך הנקודה ‪ , A‬ששיפועו ‪ , −‬היא )‪ , y − 7 = − ( x − 2‬והעברתו לצורה התקנית‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪17‬‬
‫‪. y =− x+‬‬
‫נותנת‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪ .‬הנקודה ‪ B‬נמצאת על ציר ה‪ y -‬ולכן שיעור ה‪ y -‬שלה מתקבל ע"י הצבת ‪ 0‬ל‪ x -‬במשוואת המשיק‬
‫‪m=−‬‬
‫‪17‬‬
‫‪ 17 ‬‬
‫ולכן היא הנקודה ‪ .  0, ‬במשולש ‪ AOB‬אורך הצלע ‪ OB‬הוא‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫והגובה של ‪ A‬מעל צלע זאת הוא ‪ , 2‬כי זהו‬
‫‪17‬‬
‫שיעור ה‪ x-‬שלה‪ .‬שטח המשולש ‪ AOB‬הוא חצי המכפלה שלהם‪ ,‬ולכן הוא‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫שאלה‬
‫‪.3‬‬
‫‪1‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪3x + a‬‬
‫= )‪ a , f ( x‬הוא פרמטר‪ .‬הפונקציה אינה מוגדרת עבור ‪ x = −4‬בלבד‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את הערך של ‪. a‬‬
‫הצב ‪ a = 12‬וענה על הסעיפים ב‪-‬ד ‪:‬‬
‫ב‪ (1) .‬מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫)‪ (2‬האם לגרף הפונקציה יש נקודת חיתוך עם ציר ה‪? x -‬‬
‫אם כן – מצא אותה‪ ,‬אם לא – נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬הראה כי הפונקציה יורדת בכל תחום שהיא מוגדרת בו‪.‬‬
‫ד‪ .‬לפניך שלושה גרפים‪. III , II , I ,‬‬
‫איזה מבין הגרפים ‪ III , II , I‬הוא הגרף של הפונקציה הנתונה )‪ ? f ( x‬נמק‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫פתרון‪ .‬א‪ .‬נתונה הפונקציה‬
‫‪3x + a‬‬
‫כלומר ‪ x = −4‬מאפס את המכנה‪.‬‬
‫= )‪ , f ( x‬שאינה מוגדרת עבור ‪ x = −4‬בלבד‪.‬‬
‫‪3 ⋅ (−4) + a = 0‬‬
‫‪a = 12‬‬
‫תשובה‪a = 12 :‬‬
‫‪1‬‬
‫נציב ‪ a = 12‬ונקבל‪:‬‬
‫‪3x + 12‬‬
‫ב‪ (1) .‬בנקודת החיתוך עם ציר ה‪ y -‬מתקיים ‪x = 0‬‬
‫= )‪f ( x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫) ‪→ (0,‬‬
‫‪3 ⋅ 0 + 12 12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫תשובה‪) :‬‬
‫‪12‬‬
‫= )‪f (0‬‬
‫‪(0,‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪ (2‬בנקודת החיתוך עם ציר ה‪ , x -‬אם היא קיימת‪ ,‬מתקיים ‪ y = 0‬ולכן ‪= 0‬‬
‫‪3x + 12‬‬
‫אולם חילוק של מספר שאינו ‪ 0‬במספר כלשהו אינו ‪ 0‬ולכן אין לגרף נקודת חיתוך עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬נראה שהפונקציה יורדת בכל תחום שהיא מוגדרת בו‬
‫‪−3‬‬
‫‪(3 x + 12) 2‬‬
‫= )‪f '( x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3 x + 12‬‬
‫= )‪f ( x‬‬
‫כיוון שמכנה הנגזרת חיובי‪ ,‬והמונה שלילי לכל ‪ x‬עבורו הפונקציה מוגדרת‪ ,‬לכן הנגזרת שלילית בכל תחום‬
‫ההגדרה של הפונקציה‪ ,‬והפונקציה יורדת בכל התחום‪.‬‬
‫דרך שניה )ללא גזירה(‪ .‬בתחום ‪ x > −4‬הפונקציה ‪ 3x + 12‬היא פונקציה חיובית עולה‪ ,‬ולכן מספר חיובי מחולק‬
‫‪1‬‬
‫בפונקציה זאת‪ ,‬כמו‬
‫‪3x + 12‬‬
‫‪ ,‬נותן פונקציה חיובית יורדת‪ .‬בתחום ‪ x < −4‬הפונקציה ‪ 3x + 12‬היא פונקציה‬
‫‪1‬‬
‫שלילית עולה‪ ,‬ולכן מספר חיובי מחולק בפונקציה זאת‪ ,‬כמו‬
‫‪3 x + 12‬‬
‫ד‪ 3x + 12 .‬חיובי עבור ‪ x > −4‬ושלילי עבור ‪ x < −4‬ולכן גם‬
‫‪1‬‬
‫‪3 x + 12‬‬
‫= )‪ f ( x‬חיובי עבור ‪ x > −4‬ושלילי עבור ‪. x < −4‬‬
‫הגרף היחיד מבין שלושת הגרפים המקיים תנאי זה הוא הגרף ‪.II‬‬
‫‪ ,‬נותן פונקציה שלילית יורדת‪.‬‬
‫שאלה‬
‫‪.4‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪, f ( x) = − x 2 − 6 x + a‬‬
‫‪ a‬הוא פרמטר‪.‬‬
‫א‪ (1) .‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של נקודת המקסימום של הפונקציה‪.‬‬
‫)‪ (2‬נתון כי בנקודת המקסימום של הפונקציה ‪. y = 4‬‬
‫מצא את הערך של ‪. a‬‬
‫הצב ‪ a = −5‬וענה על סעיף ב'‪.‬‬
‫ב‪ .‬דרך נקודת המקסימום של הפונקציה העבירו אנך לציר ה‪x -‬‬
‫)ראה ציור(‪.‬‬
‫חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה‪ ,‬על ידי הצירים‬
‫ועל ידי האנך )השטח המקווקו בציור(‪.‬‬
‫פתרון‪ .‬א‪ (1) .‬נתונה הפונקציה ‪. y = − x 2 − 6 x + a‬‬
‫בנקודת המקסימום שווה ערך הנגזרת ל‪0 -‬‬
‫‪y ' = −2 x − 6‬‬
‫‪0 = −2 x − 6‬‬
‫‪2 x = −6 / : 2‬‬
‫‪x = −3‬‬
‫תשובה‪x = −3 :‬‬
‫)‪ (2‬בנקודת המקסימום של הפונקציה ‪ , y = 4‬לכן‪:‬‬
‫‪4 = −(−3) 2 − 6 ⋅ (−3) + a‬‬
‫‪a = −5‬‬
‫נציב ‪ a = −5‬ונקבל שהפונקציה היא‬
‫‪y = − x2 − 6x − 5‬‬
‫ב‪ .‬נחשב שני שטחים‪:‬‬
‫בנקודות החיתוך עם ציר ה‪ x -‬מתקיים ‪y = 0‬‬
‫‪6±4‬‬
‫‪→ x1,2 = −5, −1‬‬
‫‪−2‬‬
‫= ‪0 = − x 2 − 6 x − 5 → x1,2‬‬
‫פונקציה‬
‫ולכן ‪ x = −1‬מפריד בין שני השטחים‬
‫‪0‬‬
‫‪+ 6 x + 5) dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∫ (x‬‬
‫‪−1‬‬
‫פונקציה‬
‫‪0‬‬
‫= ‪− 6 x − 5)) dx‬‬
‫‪y=0‬‬
‫‪y = − x2 − 6x − 5‬‬
‫‪y = −x − 6x − 5‬‬
‫‪y=0‬‬
‫עליונה‬
‫אפשר להשתמש‪ ,‬אוטומטית‪ ,‬בטבלה שמשמאל ולכתוב‬
‫‪2‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪∫ (0 − (− x‬‬
‫‪−1‬‬
‫= ‪S1‬‬
‫תחתונה‬
‫‪2‬‬
‫‪ x‬גדול‬
‫‪x=0‬‬
‫‪x = −1‬‬
‫‪ x‬קטן‬
‫‪x = −1‬‬
‫‪x = −3‬‬
‫ואפשר גם לשים לב שהשטח בין ציר ה‪ x -‬לבין גרף פונקציה הנמצא מתחת לציר ה‪ x -‬הוא מינוס האינטגרל‪,‬‬
‫‪0‬‬
‫ואז ‪+ 6 x + 5) dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∫ (x‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪S1 = − ∫ (− x 2 − 6 x − 5) dx‬‬
‫‪−1‬‬
‫לכן‪ ,‬בכל אחת משתי דרכים אלו‬
‫‪0‬‬
‫‪x3 6 x 2‬‬
‫‪S1 = +‬‬
‫] ‪+ 5x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0 6⋅0‬‬
‫‪(−1)3 6 ⋅ (−1) 2‬‬
‫( ‪+ 5 ⋅ 0) −‬‬
‫‪+‬‬
‫))‪+ 5 ⋅ (−1‬‬
‫‪S1 = ( +‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪S1 = 0 − (−2 ) → S1 = 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫ברור כי‬
‫‪−1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x 6x‬‬
‫‪−‬‬
‫] ‪− 5x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪− 6 x − 5) dx = −‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∫ (− x‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪(−1)3 6 ⋅ (−1)2‬‬
‫‪(−3)3 6 ⋅ (−3) 2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪− 5 ⋅ (−1)) − (−‬‬
‫‪−‬‬
‫))‪− 5 ⋅ (−3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪S2‬‬
‫‪S2 = (−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪S 2 = −2 − (−3) → S 2 = 5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫והשטח המבוקש הוא‪S = S1 + S 2 = 2 + 5 = 7 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫שאלה ‪.5‬‬
‫א‪ .‬מבין כל המספרים החיוביים ‪ x‬ו‪ y -‬המקיימים ‪ y ( x + 2) = 9‬מצא את‬
‫שני המספרים שעבורם הסכום ‪ x + y‬הוא מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הערך המינימלי של הסכום ‪. x + y‬‬
‫‪9‬‬
‫פתרון‪ .‬נתון כי ‪ x, y > 0‬וגם ‪ , y ( x + 2) = 9‬כלומר‬
‫‪x+2‬‬
‫הפונקציה שיש להביא למינימום היא הסכום ‪. x + y‬‬
‫=‪.y‬‬
‫‪9‬‬
‫‪x+2‬‬
‫‪f ( x) = x +‬‬
‫‪9‬‬
‫‪( x + 2)2 − 9 x 2 + 4 x − 5‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪( x + 2) 2‬‬
‫‪( x + 2) 2‬‬
‫‪( x + 2) 2‬‬
‫‪f '( x) = 1 −‬‬
‫הנגזרת מתאפסת כאשר ‪ . x 2 + 4 x − 5 = 0‬פתרונות משוואה זאת הם ‪ , −5,1‬והפתרון החיובי הוא ‪. x = 1‬‬
‫נבדוק את האופי של הנקודה ‪ x = 1‬האמורה להיות נקודת קיצון בשתי דרכים‪.‬‬
‫דרך א'‪ :‬נבנה טבלה לערכי הפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4.25‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4.1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪Min‬‬
‫מסקנה‬
‫דרך ב'‪ :‬נבנה טבלה לזיהוי סימן הנגזרת )המכנה חיובי(‬
‫‪f '(2) = 22 + 4 ⋅ 2 − 5 > 0‬‬
‫‪f '(0.5) = 0.52 + 4 ⋅ 0.5 − 5 < 0,‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.5‬‬
‫'‪y‬‬
‫‪+‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-‬‬
‫מסקנה‬
‫‪0‬‬
‫‪Min‬‬
‫תשובה‪ , x = 1, y = 3 :‬עבורם הסכום ‪ x + y‬הוא מינימלי‪ ,‬הסכום המינימלי הוא ‪. 4‬‬
‫שאלה ‪.6‬‬
‫)למבחן מותאם בלבד(‬
‫‪4‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫‪. f ( x) = 16 x 2 +‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. x = 1‬‬
‫ד‪ .‬מצא אם הפונקציה עולה או יורדת בנקודות שבהן‪:‬‬
‫)‪ . x = −1 (2) , x = 2 (1‬נמק‪.‬‬
‫פתרון‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫א‪ .‬נתונה הפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫‪. f ( x) = 16 x 2 +‬‬
‫תחום ההגדרה של הפונקציה ‪ , x ≠ 0‬כי ‪ x = 0‬מאפס את המכנה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נמצא את שיעורי נקודות הקיצון‪:‬‬
‫‪4 32 x3 − 4‬‬
‫=‬
‫‪x2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪f '( x) = 32 x −‬‬
‫‪4 31‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫המונה מתאפס כאשר = ‪= 3‬‬
‫‪ , x = 3‬ומתקיים ‪f   = 12‬‬
‫‪32‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫כדי לקבל את סוג נקודת הקיצון נבחד מספרים‬
‫< < ‪ 0‬ו‪1 > -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪32 ⋅13 − 4‬‬
‫‪= 28 > 0‬‬
‫‪12‬‬
‫= )‪f '(1‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪f '( x‬‬
‫אופי ‪f‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪32 ⋅   − 4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪f ' ‬‬
‫‪= −56 < 0,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1/ 2‬‬
‫‪1/ 4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-‬‬
‫‪Min‬‬
‫‬
‫דרך חלופית לבדיקת הקיצון‪ :‬הפונקציה ‪ x 3‬היא פונקציה עולה ולכן גם ‪ 32 x3 − 4‬פונקציה עולה‪ ,‬ולכן בנקודת האפס‬
‫‪32 x 3 − 4‬‬
‫שלה היא עוברת מערכים שליליים לחיוביים‪ .‬מכיוון שהמכנה של‬
‫‪x2‬‬
‫= )‪ f '( x‬חיובי הנגזרת ) ‪ f '( x‬עוברת‬
‫בנקודת האפס מערכים שליליים לחיוביים והפונקציה עוברת מירידה לעליה‪ ,‬ולכן הנקודה היא נקודת מינימום‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫תשובה‪  ,12  :‬מינימום‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫ג‪ .‬נמצא את נקודת ההשקה‪= 20 → (1, 20) :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f (1) = 16 ⋅12 +‬‬
‫שיפוע המשיק הוא )‪ , f '(1‬וחישבנו לעיל שהוא ‪ . 28‬לכן משוואת המשיק היא )‪, y − 20 = 28( x − 1‬‬
‫ובצורה התיקנית ‪. y = 28 x − 8‬‬
‫‪1‬‬
‫ד‪ .‬ע"י חישוב ישיר של הנגזרת בנקודות ‪ x = 2‬ו‪ x = −1 -‬או ע"י שימוש בנאמר לעיל שבנקודה‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ x‬עוברים‬
‫ערכי הנגזרת משליליים לחיוביים אנו מקבלים שהנגזרת חיובית ב‪ x = 2 -‬ושלילית ב‪ , x = −1 -‬ולכן הפונקציה‬
‫עולה ב‪ x = 2 -‬ויורדת ב‪. x = −1 -‬‬