פתרון

‫תרגילים — משיק למעגל )פתרונות(‬
‫‪ .1‬הוכיחו שהישר ‪ 3y + x = 10‬משיק למעגל ‪ x 2 + y 2 = 10‬ומצאו את נקודת ההשקה
‬
‫פתרון
‬
‫נראה שיש רק נקודת חיתוך אחת ולכן משיק‪
:‬‬
‫‪(10 − 3y )2 + y 2 = 10‬‬
‫‪100 − 60y + 9y 2 + y 2 = 10‬‬
‫‪10y 2 − 60y + 90 = 0‬‬
‫
‬
‫)‪y 2 − 6y + 9 = 0 → ( y − 3) = 0 → y = 3, x = 1 → A (1,3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .2‬נתון המעגל ‪ x + y = 13‬והנקודה )‪ A ( 2, 3‬שעליו‪.‬‬
‫א‪ .‬מצאו את משוואת הישר העובר דרך מרכז המעגל והנקודה ‪. A‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את משוואת הישר המשיק למעגל בנקודה ‪
. A‬‬
‫פתרון‬
‫א‪ .‬מרכז המעגל ) ‪
M ( 0,0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪m = ; M ( 0,0 ) → y = x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬המשוואה שמצאנו ב‪-‬א היא משוואת הרדיוס העובר ב‪ .A-‬לכן שיפוע המשיק הופכי נגדי לו‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪13‬‬
‫‪( x − 2) → y = − x +‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪
m = − ; A ( 2,3) → y − 3 = −‬‬
‫‪ .3‬מצאו את משוואת המשיק למעגל ‪ x 2 + y 2 + 4x − 10y + 4 = 0‬בנקודה ) ‪
( 2,2‬‬
‫פתרון
‬
‫משוואת המעגל המסודרת‪
:‬‬
‫‪( x + 2 )2 − 4 + ( y − 5 )2 − 25 + 4 = 0‬‬
‫
‬
‫‪( x + 2 )2 + ( y − 5 )2 = 25‬‬
‫נמצא כעת את משוואת הרדיוס לנק׳ ההשקה )יוצא מהמרכז וחותך את המעגל ב‪
:( ( 2,2 ) -‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2−5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪=−‬‬
‫= ‪ mR‬ולכן שיפוע המשיק הוא‬
‫‪3‬‬
‫‪2+2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( x − 2) → y = x −‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪
y−2‬‬
‫= ‪
: m‬‬
‫‪ .4‬מצאו את משוואת המשיק למעגל ‪ x 2 + y 2 = 50‬אם המשיק‬
‫א‪ .‬מקביל לישר ‪y + x = 3‬‬
‫ב‪ .‬מאונך לישר ‪
7x + y = 2‬‬
‫פתרון‬
‫א‪ .‬נמצא תחילה את נקודת ההשקה‪ .‬אנו יודעים ששיפוע המשיק הוא ‪ m = −1‬כי המשיק מקביל‬
‫לישר הנתון‪ .‬ניתן למצוא את משוואת הרדיוס המאונך למשיק זה ואז למצוא חיתוך של הרדיוס‬
‫עם המעגל — אלו הן נקודות ההשקה‪ .‬שיפוע הרדיוס ‪ mR = 1‬והנקודה ) ‪ M ( 0,0‬המשוואה היא‬
‫לכן‪
y = x :‬‬
‫חיתוך עם המעגל‪
:‬‬
‫‪x 2 + y 2 = 50‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪
y = x → x + x = 50 → x = 25 → x = ±5‬‬
‫) ‪( 5,5 ); ( −5,−5‬‬
‫‪
y − 5 = − ( x − 5 ) → y = −x + 10‬‬
‫או
‬
‫‪y + 5 = − ( x + 5 ) → y = −x − 10‬‬
‫ב‪ .‬במקרה זה שיפוע הרדיוס הוא כמו שיפוע הישר הנתון‪
mR = −7 :‬‬
‫משוואת הרדיוס‪:‬‬
‫‪y = −7x → x 2 + ( −7x ) = 50 → x 2 + 49x 2 = 50 → 50x 2 = 50 → x 2 = 1 → x = ±1‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪(1,−7 ); ( −1,7‬‬
‫‪50‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪
y + 7 = 7 ( x − 1) → y = 7 x − 7‬‬
‫או
‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪50‬‬
‫‪( x + 1) → y = x +‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫= ‪y−7‬‬
‫
‬
‫‪1‬‬
‫‪ .5‬הישר ‪x + 6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ y = −‬משיק למעגל שמרכזו על ציר ה‪ x -‬בנקודה ) ‪ . ( 4,4‬מצאו את משוואת המעגל‪
.‬‬
‫פתרון
‬
‫‪4−0‬‬
‫‪→4−a=2→a=2‬‬
‫‪4−a‬‬
‫= ‪
mR = 2‬‬
‫‪
( x − 2 ) + y2 = R2‬‬
‫‪2‬‬
‫נציב את הנקודה ) ‪
: ( 4,4‬‬
‫‪( 4 − 2 )2 + 4 2 = R 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪
R = 20‬‬
‫‪( x − 2 )2 + y 2 = 20‬‬
‫‪ .6‬משוואת אחת מצלעות ריבוע היא ‪ y = −2x − 5‬ומשוואת אחד האלכסונים היא ‪. y = 3x − 10‬‬
‫האלכסונים נפגשים בנקודה )‪. ( 3,−1‬‬
‫א‪ .‬מצאו את קודקודי הריבוע‪
.‬‬
‫קודקוד ‪
:A‬‬
‫‪iC‬‬
‫‪iB‬‬
‫‪−2x − 5 = 3x − 10‬‬
‫‪
5x = 5 → x = 1, y = −7‬‬
‫) ‪A (1,−7‬‬
‫‪iA‬‬
‫קודקוד ‪) :C‬קצה של האלכסון ‪
(AC‬‬
‫‪1+ xc‬‬
‫‪→ xc = 5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−7 + yc‬‬
‫‪→ yc = 5‬‬
‫= ‪
−1‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪C ( 5,5‬‬
‫=‪3‬‬
‫נמצא את משוואת ‪) CB‬שיפוע הופכי נגדי ל‪ AB-‬הנתונה( ונקודה ‪
: C‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪( x − 5‬‬
‫‪2‬‬
‫
‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪y= x+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪y−5‬‬
‫את קודקוד ‪ B‬נמצא מחיתוך ‪ BC‬עם ‪
:AB‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x + = −2x − 5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪5‬‬
‫=‬
‫‪−4x − 10‬‬
‫
‬
‫‪5x = −15‬‬
‫)‪x = −3, y = 1 → B ( −3,1‬‬
‫את קודקוד ‪ D‬נמצא לפי קצה אלכסון‪
:‬‬
‫‪−3 + x D‬‬
‫‪→ xD = 9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1+ yD‬‬
‫‪→ yD = −3‬‬
‫= ‪
−1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪D ( 9,−3‬‬
‫=‪3‬‬
‫
‬
‫ב‪ .‬מצאו את משוואת המעגל החוסם את הריבוע‪
.‬‬
‫המרכז של מעגל החוסם ריבוע הוא בנקודת מפגש האלכסונים ורדיוסו הוא חצי אלכסון‪
:‬‬
‫‪
( x − 3) + ( y + 1) = R 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫נציב נקודה שעל המעגל )אחד הקודקודים(‪
:‬‬
‫‪
(1− 3) + ( −7 + 1) = 4 + 36 = 40‬‬
‫‪2‬‬
‫המשוואה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( x − 3)2 + ( y + 1)2 = 40‬‬
‫)‪ 40‬שווה לחצי אלכסון בריבוע(‬
‫ג‪ .‬מצאו את משוואת המעגל החסום בריבוע‪
.‬‬
‫המעגל החסום הוא בעל אותו המרכז כמו החוסם‪ .‬אורך הרדיוס הוא חצי צלע‪
.‬‬
‫חצי הצלע שווה לחצי האלכסון חלקי ‪2‬‬
‫ולכן חצי הצלע בריבוע שווה לחצי האלכסון בריבוע‬
‫חלקי ‪
:2‬‬
‫‪( x − 3)2 + ( y + 1)2 = 20‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .7‬מצאו את אורך המשיק היוצא מהנקודה ) ‪ ( −1,2‬למעגל ‪) x − 22x + y − 14y = −145‬רמז‪ :‬השתמשו‬
‫במשפט פיתגורס‪ ,‬אין צורך למצוא נקודת השקה(‪
.‬‬
‫‪( x − 11)2 − 121+ ( y − 7 )2 − 49 = −145‬‬
‫
‬
‫‪( x − 11)2 + ( y − 7 )2 = 25‬‬
‫נמצא את המרחק בין הנקודה ממנה יוצא המשיק לנקודת מרכז המעגל — זה היתר במשולש ישר‬
‫זווית‪= 144 + 25 = 13 :‬‬
‫‪( −1− 11)2 + ( 2 − 7 )2‬‬
‫=‪
c‬‬
‫הרדיוס הוא אחד הניצבים‪
a = 5 :‬‬
‫ולכן אורך המשיק‪
:‬‬
‫‪b 2 = c 2 − a 2 = 169 − 25 = 144‬‬
‫‪b = 12‬‬
‫
‬
‫‪ .8‬מצאו את משוואת המעגל המשיק לציר ה‪ x -‬בנקודה ) ‪ ( 4 ,0‬והעובר בנקודה )‪
. ( 7,1‬‬
‫‪2‬‬
‫משוואת המעגל המשיק לציר ה‪
. ( x − a ) + ( y − b ) = b : x -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫במקרה הזה ברור ששיעור ה‪ x -‬של המרכז הוא ‪) a = 4‬זה בגלל שציר ה‪ x -‬הוא המשיק ולכן מאונך‬
‫‪2‬‬
‫לרדיוס(‪ .‬המשוואה כעת‪
( x − 4 ) + ( y − b ) = b :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫נשתמש בנקודה )‪ ( 7,1‬למציאת ‪
: b‬‬
‫‪( 7 − 4 )2 + (1− b )2 = b 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪
9 + 1− 2b + b = b‬‬
‫‪2b = 10‬‬
‫‪b=5‬‬
‫ולכן המעגל‪
( x − 4 ) + ( y − 5 ) = 25 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫* אפשר גם להציב את הנקודה ) ‪ ( 4,0‬במשוואה ‪ ( x − a ) + ( y − b ) = b 2‬ולקבל ש‪
: a = 4 -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪
( 4 − a) + (0 − b) = b → ( 4 − a) = 0 → a = 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫מצאו את משוואת המעגל המשיק לציר ה‪ y -‬והעובר בנקודות ) ‪ (1,−4‬ו‪
. (1,6 ) -‬‬
‫‪2‬‬
‫המעגל‪
( x − a ) + ( y − b ) = a :‬‬
‫‪2‬‬
‫נציב את הנקודות‪
:‬‬
‫‪2‬‬
⎧⎪(1− a )2 + ( −4 − b )2 = a 2
2
2
→ ( 4 + b) = (6 − b)
⎨
2
2
2
⎪⎩(1− a ) + ( 6 − b ) = a
16 + 8b + b 2 = 36 − 12b + b 2
20b = 20
b = 1 → (1− a ) + ( −4 − 1) = a 2
2
1− 2a + a 2 + 25 = a 2
2a = 26
a = 13
( x − 13)2 + ( y − 1)2 = 169
2