.3 תרגיל מס - שת" ע (- 77606 ) תורת הרצף פתרון

‫תורת הרצף )‪ - 77606‬תש"ע ( ‪ -‬פתרון תרגיל מס‪.3 .‬‬
‫‪ .1‬כוכב נמצא בשיווי משקל הידרוסטטי של גז פוליטרופי‬
‫‪ . p = K ρ γ‬הראו שמשוואת שווי המשקל‬
‫ההידרוסטטי ניתנת לכתיבה בצורה‬
‫)*(‬
‫‪dp‬‬
‫) ‪M (r‬‬
‫‪= −G 2‬‬
‫‪dm‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫) ‪, (4π r 2‬‬
‫‪. dm = 4π r ρ dr , M (r ) = ∫ dm‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫נתונה הפרעה הומולוגית מהצורה ) ‪ , α << 1 , r ′ = r ⋅ (1 + α‬כאשר הרדיוס כאן מתייחס למסה‬
‫לגרנז'ית קבועה ‪dm′ = dm‬‬
‫‪. M (r ′) = M (r ),‬‬
‫א‪ .‬הראו שתחת הפרעה זו‪ ,‬והנחת אדיאבטיות‪ ,‬הקרוב מסדר ראשון לגדלים המופרעים הוא‬
‫) ‪ , ρ ′ = ρ (1 − 3α‬ולכן ) ‪. p′ = p (1 − 3αγ‬‬
‫תשובה ‪ :‬עבור אלמנט מסה לגרנזי קיים )בקרוב מסדר ראשון( ‪:‬‬
‫‪dm‬‬
‫‪dm‬‬
‫‪dm‬‬
‫=‬
‫) ‪ (1 − 3α‬‬
‫‪= (1 − 3α ) ρ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3 2‬‬
‫‪4π r ′ dr ′ 4π (1 + α ) r dr‬‬
‫‪4π r 2 dr‬‬
‫= ‪ρ′‬‬
‫הקרוב ללחץ מתקבל מיידית מפיתוח טיילור בסדר ראשון של משוואת המצב ‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתבו משוואת תנועה לגרנז'ית במשתנים המופרעים ) בצורה דומה ל )*( (‪.‬‬
‫‪Du‬‬
‫‪∂p′‬‬
‫‪M‬‬
‫) ‪= −(4π r ′2‬‬
‫‪−G 2‬‬
‫‪Dt‬‬
‫‪∂m‬‬
‫‪r′‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫ג‪ .‬בעזרת א‪, .‬ומשוואת שיווי המשקל ההידרוסטטי‪ ,‬הראו כי מתקיים בסדר ראשון‬
‫‪Du‬‬
‫‪M‬‬
‫) ‪= G 2 ⋅ α (4 − 3γ‬‬
‫‪Dt‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ .‬מה זה אומר על יציבות הכוכב ?‬
‫‪Du‬‬
‫‪∂p′‬‬
‫‪M‬‬
‫‪∂p‬‬
‫‪M‬‬
‫‪= −4π r ′2‬‬
‫) ‪− G 2 −(1 + 2α )4π r 2 (1 − 3αγ‬‬
‫תשובה ‪− (1 − 2α )G 2 :‬‬
‫‪Dt‬‬
‫‪∂m‬‬
‫‪r′‬‬
‫‪∂m‬‬
‫‪r‬‬
‫ע"י שימוש במשוואת שווי המשקל ההידרוסטטי ולקיחת רק איברים שתלויים לכל היותר‬
‫ליניארית ב ‪ α‬נקבל באגף ימין‬
‫‪∂p‬‬
‫‪M‬‬
‫‪M‬‬
‫‪− (1 − 2α )G 2 = (1 + 2α − 3αγ − 1 + 2α )G 2‬‬
‫‪∂m‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪−(1 + 2α − 3αγ )4π r 2‬‬
‫הכוכב יציב אם תנועה קטנה החוצה )‪ (α > 0‬תגרום לתאוצה שלילית )פנימה(‪.‬‬
‫זה קורה כאשר ‪ , γ > 4 / 3‬ולהפך ‪ ,‬אם ‪ γ < 4 / 3‬הכוכב אינו יציב ויכול למשל לקרוס‪.‬‬
‫‪ .2‬ענן גז נמצא בשיווי משקל הידרוסטטי עם פוטנציאל הגרביטציה העצמית ‪:‬‬
‫‪∇p0 = −∇Φ 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ρ0‬‬
‫‪∆Φ 0 = 4π G ρ 0‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬כתבו קרוב ליניארי למשוואות תלויות בזמן עבור הפרעות קטנות בצפיפות‬
‫‪ , ( ρ1 << ρ 0 ), ρ = ρ0 + ρ1‬ובמהירות ‪. v1‬‬
‫תשובה ‪ :‬המשוואות לסטיות משיווי המשקל )עם ליניאריזציה( הן ‪:‬‬
‫משוואת רציפות ‪:‬‬
‫‪∂ρ1‬‬
‫‪+ ρ 0 div( v1 ) = 0‬‬
‫‪∂t‬‬
‫)‪( 1‬‬
‫משוואת תנועה ‪:‬‬
‫‪c02‬‬
‫‪∂v1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= − ∇p1 − ∇Φ1 = − ∇ρ1 − ∇Φ1‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪ρ0‬‬
‫‪ρ0‬‬
‫)‪(2‬‬
‫משוואת פואסון ‪:‬‬
‫‪∆Φ1 = 4π G ρ1‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪∂ 2 ρ1‬‬
‫ב‪ .‬הראו שההפרעה בצפיפות מקיימת את המשוואה ‪. 2 − ( c0 2 ∆ρ1 + 4π G ρ 0 ρ1 ) = 0 :‬‬
‫‪∂t‬‬
‫תשובה ‪ :‬גוזרים את )‪ (1‬לפי הזמן פעם נוספת‪ ,‬מפעילים דיברגנס על )‪ (2‬ומציבים עם )‪.(3‬‬
‫ג‪ .‬קבלו יחס דיספרסיה עבור הפרעה )חד ממדית( מהצורה ]) ‪. ρ1 ( x, t ) = b ⋅ exp[i (kx + ωt‬‬
‫תשובה ‪ :‬הצבת האקספוננט במשוואה של הסעיף הקודם נותנת ‪−ω 2 − c0 k 2 + 4π G ρ 0 = 0‬‬
‫או בסידור שונה‬
‫‪ω 2 = c02 (k 2 − k J2 ), k J2 = 4π G ρ 0 / c02‬‬
‫ד‪ .‬מצאו מתי הענן איננו יציב ) קריטריון ג'ינס ‪.( Jeans Instability‬‬
‫תשובה ‪ :‬הענן אינו יציב כאשר ל ‪ ω‬יש ענף מדומה ‪ ,‬כלומר כאשר ‪ . k < k J‬מכיוון ש‬
‫מספר הגל נמצא ביחס הפוך לאורך הגל האי יציבות תופיע כשאר גודלו של הענן יעבור סף‬
‫מסוים‪ ,‬שתלוי בצפיפות ובטמפרטורה‪.‬‬