מכניקה אנליטית ־ תרגול 3

‫מכניקה אנליטית ־ תרגול ‪3‬‬
‫סכמה כללית לפתרון בעיות במכניקה אנליטית‬
‫‪ .1‬ספירת דרגות חופש ומציאת האילוצים‬
‫‪ .2‬חישוב מספר ד"ח בלתי תלויות‬
‫‪ .3‬מציאת קואורדינטות מוכללות וכתיבת משוואות הטרנספורמציה‬
‫‪ .4‬כתיבת האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית בקואורדינטות מוכללות‪ ,‬וכתיבת הלגראנז'יאן‬
‫‪L=T −V‬‬
‫‪ .5‬כתיבת משוואת תנועה )‪ ( Euler - Lagrange‬לכל קואורדינטה מוכללת‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪d ∂L‬‬
‫‪∂L‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪−‬‬
‫‪dt ∂ q̇i‬‬
‫‪∂qi‬‬
‫חשוב לציין שהלגראנז'יאן אינו בעל משמעות פיסיקלית ברורה‪ .‬בפרט‪ ,‬לגראנז'יאנים‬
‫רבים עשויים לתאר את אותה הדינמיקה‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫מתנד הרמוני‪:‬‬
‫מסה מחוברת לקפיץ בעל קבוע ‪ k‬ואורך מנוחה ‪ ,l‬מונחת על מישור חסר חיכוך‪ .‬כתוב את‬
‫משוואות התנועה‪.‬‬
‫פתרון‪ :‬המסה נעה על קו ישר כך שיש דרגת חופש יחידה‪ .‬נבחר כקואורדינטה מוכללת‬
‫את המיקום ביחס לנקודת שיווי המשקל‪.‬‬
‫‪T = 0.5mẋ2‬‬
‫‪U = 0.5kx2‬‬
‫‪L = 0.5mẋ2 − 0.5kx2‬‬
‫משוואת התנועה‪:‬‬
‫‪mẍ + kx = 0 → ẍ = −ω 2 x‬‬
‫כאשר ‪ ,ω 2 = k/m‬המשוואה המוכרת של החוק השני של ניוטון‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫נוסיף כבידה‪:‬‬
‫כעת הקפיץ תלוי אנכית‪ ,‬ויש כבידה‪.‬עדיין דרגת חופש יחידה‪ ,‬ונבחר אותה להימדד מהנקודה‬
‫בה הקפיץ לא מפעיל כח )מרחק ‪l‬מהתלייה(‪.‬‬
‫‪U = 0.5kx2 + mgx‬‬
‫‪T = 0.5mẋ2‬‬
‫ע"י השלמה לריבוע‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫)‪(mg‬‬
‫‪mg 2‬‬
‫‪L = 0.5mẋ2 − 0.5k x +‬‬
‫‪+ 0.5‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫האיבר האחרון הינו קבוע ולא משפיע על הדינמיקה‪ .‬משוואת התנועה‪:‬‬
‫‬
‫ ‪mg‬‬
‫‪= 0 → ẍ = −ω 2 x − g‬‬
‫‪mẍ + k x +‬‬
‫‪k‬‬
‫ע"י מעבר‬
‫‪mg‬‬
‫ל־ ‪k‬‬
‫‪ x̃ = x +‬חוזרים למשוואה בדיוק כמו במקרה חסר התאוצה החיצונית‪.‬‬
‫בדו מימד‪:‬‬
‫נניח כעת שחרוז מושחל על מוט המחובר בקצהו לציר‪ ,‬וכן קפיץ בעל קבוע ‪ k‬ואורך מנוחה ‪l‬‬
‫מחבר את החרוז אל הציר‪ .‬המוט חופשי להסתובב סביב הציר‪ .‬הכל קורה על שולחן מישורי‬
‫ללא חיכוך‪.‬‬
‫בבעיה שתי דרגות חופש )אילוץ יחיד ־ התנועה היא על שולחן מישורי(‪ .‬נעבוד‬
‫בקואורדינטות פולריות )למרות שאפשר להשאר בקרטזיות‪ ,‬אבל קצת פחות נוח(‪:‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪ m 2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k p 2‬‬
‫‪m 2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ẋ + ẏ 2‬‬
‫‪ṙ + r2 θ̇2‬‬
‫=‪U‬‬
‫)‪x + y 2 − l = (r − l‬‬
‫= ‪T‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ k‬‬
‫‪m 2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ṙ + r2 θ̇2 − (r − l‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪L‬‬
‫משוואת התנועה ל ‪:r‬‬
‫‬
‫‪mr̈ − mθ̇2 r + k (r − l) = 0 → r̈ = θ̇2 − ω 2 r + ω 2 l‬‬
‫‬
‫משוואת התנועה ל־‪:θ‬‬
‫ ‪d 2‬‬
‫‪mr θ̇ = 0‬‬
‫‪dt‬‬
‫המשוואה השנייה אומרת לנו שהגודל ̇‪ L = r2 θ‬הוא קבוע בזמן‪ .‬נשים לב שמדובר בתנע‬
‫הזוויתי‪ ,‬אשר נשמר בתנועה בהשפעת כח מרכזי‪ .‬ע"י שימוש בעובדה זו נוכל לפשט את‬
‫המשוואה הרדיאלית‪:‬‬
‫!‬
‫‪ 2‬‬
‫‪L‬‬
‫= ̈‪r‬‬
‫‪− ω2 r + ω2 l‬‬
‫‪r2‬‬
‫כעת יש לנו משוואה דיפפרציאלית עבור פונקציה בודדה של הזמן שעלינו לפתור‪ .‬כדי‬
‫להתקדם יש צורך בשימוש בעוד חוק שימור ־ שימור האנרגיה‪ .‬נדבר על זה בקרוב בקורס‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫גלגלת )המשך משעור שעבר(‪:‬‬
‫נזכיר שבשעור שעבר הסתכלנו על גלגלת אידיאלית בעלת רדיוס ‪ R‬עם שתי מסות תלויות‬
‫עליה‪ ,‬מחוברות בחוט בעל אורך ‪ .l‬עקב האילוצים של תנועה אנכית ואורך החוט נותרנו‬
‫עם דרגת חופש ב"ת יחידה‪ ,‬ובחרנו את ה־‪ y‬של אחת המסות ) ‪ (m1‬כקואורדינטה מוכללת‪.‬‬
‫האנרגיות היו‪:‬‬
‫‪U = g(m1 − m2 )q + C‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(m1 + m2 ) q̇ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪T‬‬
‫הלגראנז'יאן‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(m1 + m2 ) q̇ 2 − g(m1 − m2 )q‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪L‬‬
‫כאן אנחנו מרשים לעצמנו להתעלם מהקבוע‪ ,‬שלא משפיע על הדינמיקה כלל‪ .‬משוואת‬
‫התנועה‪:‬‬
‫‪(m1 + m2 ) q̈ = − (m1 − m2 ) g‬‬
‫נזכיר‪ ,‬שבשעור ראיתם שמשוואות התנועה יכולות להיכתב כ־‬
‫‪∂T‬‬
‫‪d ∂T‬‬
‫‪−‬‬
‫‪= Qi‬‬
‫‪dt ∂ q̇i‬‬
‫‪∂qi‬‬
‫‪∂U‬‬
‫‪ Qi = − ∂q‬הוא הכח המוכלל של הקואורדינטה ה־‪ .i‬אצלנו הכח המוכלל של‬
‫כאשר‬
‫‪i‬‬
‫הקואורדינטה ‪ q‬הינו ‪ ,− (m1 − m2 ) g‬ואנחנו רואים שמשוואת התנועה שקיבלנו היא בדיוק‬
‫בצורה הזאת‪.‬‬
‫פתרון הבעיה ע"י שימוש בתרשים כוחות לכל מסה וכתיבת החוק השני של ניוטון עבור‬
‫כל אחת מהמסות היה מביא אותנו למשוואה זהה‪ .‬נראה זאת‪:‬‬
‫‪m1 ÿ1 = −m1 g + T‬‬
‫‪m2 ÿ2 = −m2 g + T‬‬
‫מכיוון שאורך החוט קבוע‪ ,‬התאוצות חייבות להיות זהות בגודלן והפוכות בכיוונן‪ .‬מחיסור‬
‫המשוואות מתקבלת משוואת התנועה שכתבנו לעיל‪.‬‬
‫‪3‬‬