במתמטיקה תרגיל מס` 12 המשך

‫תרגיל מס' ‪ 12‬במתמטיקה‬
‫חלק א'‪ :‬משוואת הישר ‪ -‬המשך‬
‫נקודות חיתוך‪ ,‬אורכי קטעים ושטחים‬
‫‪ .1‬בציור מתוארת הפונקציה ‪y=2x+4‬‬
‫‪y‬‬
‫חשב את שטח המשולש ‪AOB‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪O‬‬
‫‪ .2‬בציור מתוארים שני הישרים‪ y  12 x  2 :‬ו‪y  1 12 x  6 -‬‬
‫‪B‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫חשב את שטחי המשולשים ‪ BDE‬ו‪ACE-‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ .3‬בציור מתוארים שני הישרים‪ y  x  3 :‬ו‪y  4 x  6 -‬‬
‫חשב את המרחק של הנקודה ‪ C‬מכל אחד מהצירים‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ .4‬בציור מתוארים שני הישרים‪ y   12 x  2 :‬ו‪y  x  7 -‬‬
‫נתון שהקטע ‪ BF‬מאונך לציר ה‪x-‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫חשב את שטח הטרפז ‪ ABFC‬ואת שטח המשולש ‪BEF‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .5‬בציור מתוארים הגרפים של הישרים‪:‬‬
‫‪F‬‬
‫‪y-2x=4 ,x+y=7 ,x-3y=3‬‬
‫‪A‬‬
‫נתון ש‪ DE-‬מקביל לציר ה‪ y-‬ואורכו ‪ .2‬חשב את אורך ‪EF‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫אמצע קטע‪:‬‬
‫‪xA  xB y A  yB ‬‬
‫‪,‬‬
‫אמצע קטע שקצותיו הם ‪ A  xA , y A ‬ו‪ B  xB , yB  -‬הוא בנקודה‪ :‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ xm , ym   ‬‬
‫‪ .6‬מצא את אמצעי הקטעים הבאים‪:‬‬
‫א‪,(5,2) .‬‬
‫)‪(3,4‬‬
‫ג‪(-6k,4) ,(2k,-3) .‬‬
‫ב‪(4,-8) ,(1,5) .‬‬
‫‪ .7‬מצא את קצהו השני של קטע אם קצהו האחד הוא בנקודה )‪ (7,4‬ואמצע הקטע הוא בנקודה )‪.(2,-1‬‬
‫‪ .8‬מצא את משוואת האנך העובר דרך אמצע הקטע )‪( .B(2,-1) ,A(6,3‬אנך זה נקרא אנך אמצעי לקטע ‪)AB‬‬
‫‪ .9‬הישר ‪ 3y-x=12‬חותך את הצירים בנקודות ‪ A‬ו‪ .B-‬מצא את משוואת האנך האמצעי לקטע ‪.AB‬‬
‫המרחק בין שתי נקודות‪:‬‬
‫המרחק בין שתי נקודות ‪ A  xA , y A ‬ו‪ B  xB , yB  -‬נתון על ידי‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ xB  xA    yB  y A ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ .11‬מצא את המרחק בין הנקודות הבאות‪:‬‬
‫א‪(5,7) ,(1,4) .‬‬
‫ב‪,(2,-5) .‬‬
‫)‪(9,-6‬‬
‫‪ .11‬מצא את המרחק בין נקודות החיתוך של הישר ‪ y=3x+6‬עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .*12‬מצא את שטח המשולש שקודקודיו הם‪C(-2,-6) ,B(5,1) ,A(-1,3) :‬‬
‫‪ .**13‬משוואות שתיים מצלעותיו של משולש הן ‪ y=x+2‬ו‪ .y=-2x+8-‬אמצע הצלע השלישית הוא בנקודה )‪.(0,1‬‬
‫מצא את קודקודי המשולש‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫חלק ב'‪ :‬הפרבולה ‪y  ax 2  bx  c -‬‬
‫תכונות חשובות‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪ – a>0 .‬פרבולה ישרה (מחייכת)‬
‫‪ – a<0‬פרבולה הפוכה (עצובה)‬
‫ב‪ .‬שיעור ה‪ x-‬של קדקוד הפרבולה‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪( x ‬את שיעור ה‪ y-‬ניתן לקבל על‬
‫ידי הצבת ‪ x‬זה במשוואת הפרבולה)‬
‫‪b‬‬
‫ג‪ .‬הפרבולה סימטרית סביב הציר‬
‫‪2a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫נקודות חיתוך עם הצירים‪:‬‬
‫חיתוך עם ציר ה‪ :y-‬פרבולה תמיד תחתוך את ציר ה‪ y-‬בנקודה )‪(0,c‬‬
‫הסבר‪ :‬פונקצית הפרבולה תמיד מוגדרת ב‪ ,x=0-‬וערכה בנק' זו הוא ‪) f  0   a  02  b  0  c  c‬‬
‫חיתוך ציר ה‪:x-‬‬
‫‪b  b 2  4ac‬‬
‫נקודות החיתוך יהיו שורשי (פתרונות) המשוואה ‪ , 0  ax 2  bx  c‬כלומר ‪:‬‬
‫‪2a‬‬
‫למשוואה שני שורשים‪:‬‬
‫למשוואה שורש אחד‪:‬‬
‫אין שורשים למשוואה‪:‬‬
‫חיתוך בשתי נקודות‬
‫חיתוך בנק' אחת (השקה)‬
‫אין נקודות חיתוך‬
‫‪x‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x1 = x 2‬‬
‫ציור פרבולה‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪ .‬סמן את הקודקוד (שיעור ה‪ x-‬וה‪ )y-‬ואת ציר‬
‫הסימטריה של הפרבולה*‬
‫ב‪ .‬סמן את נקודת החיתוך עם ציר ה‪ y-‬ונקודה‬
‫ב‬
‫ב‬
‫נוספת אשר מצדו השני של ציר הסימטריה‪,‬‬
‫אשר נמצאת באותו גובה ומרחק מציר‬
‫‪x‬‬
‫הסימטריה כמו נק' החיתוך עם ציר ה‪y-‬‬
‫ג‪( .‬אופציונאלי) מצא את נקודות החיתוך עם ציר‬
‫ה‪ x-‬אם יש‪.‬‬
‫* אם ציר הסימטריה הוא ציר ה‪ y-‬יש לצייר באמצעות טבלה‬
‫‪3‬‬
‫ג‬
‫ג‬
‫א‬
‫‪x1,2 ‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪ .1‬צייר את הפרבולות הבאות‪:‬‬
‫‪a.) y  x 2  x  6‬‬
‫‪y‬‬
‫‪b.) y  2 x 2  4 x  2‬‬
‫‪c.) y  x 2  x  4‬‬
‫‪d.) y   x 2  4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e.) y    x  2 ‬‬
‫‪f.) y  2 x 2  5 x‬‬
‫‪g.) y    x  1 x  2 ‬‬
‫הערה‪ :‬את סעיפים ‪ d-g ,b‬ניתן לפתור באמצעות פירוק לגורמים‬
‫חלק ג'‪ :‬המעגל ‪ R 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  a   y  b‬‬
‫‪2‬‬
‫מעגל שמרכזו בנקודה ‪ o‬ורדיוסו ‪ R‬מוגדר להיות אוסף כל הנקודות שמרחקן מנקודה זו שווה ל‪.R-‬‬
‫מהגדרה זו וממשוואת המרחק נקבל שהמשוואה המתארת מעגל שמרכזו בנקודה ‪  a, b ‬ורדיוסו ‪ R‬הינה‬
‫‪ R2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  a   y  b‬‬
‫‪2‬‬
‫ניתן לרשום את משוואת המעגל גם בצורה הבאה‪x2  y 2  2ax  2 yb  R2  a2  b2 :‬‬
‫הסבר‪:‬‬
‫‪ R2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  a   y  b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x 2  2ax  a 2  y 2  2 yb  b 2  R 2‬‬
‫‪x 2  y 2  2ax  2 yb  R 2  a 2  b 2‬‬
‫‪4‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪ .15‬מצא את משוואת המעגל שרדיוסו ‪ R  30‬ומרכזו בנקודה‬
‫‪1, 2 ‬‬
‫‪ .16‬מצא את משוואת המעגל שרדיוסו ‪ R  5‬ומרכזו בראשית הצירים‬
‫‪ .17‬מצא את משוואת המעגל שמרכזו בנקודה ‪  1,5 ‬והוא עובר בנקודה ‪.  6, 4 ‬‬
‫‪ .18‬מצא את נקודות החיתוך של המעגל ‪  x  4    y  4   52‬עם הצירים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .19‬מצא את נקודות החיתוך של המעגל ‪  x  4    y  5  10‬עם הצירים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .21‬נתון המעגל ‪ .  x  4    y  1  25‬מצא עבור הנקודות הבאות אם הן נמצאות בתוך המעגל ‪ /‬על‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫המעגל ‪ /‬מחוץ למעגל‪.‬‬
‫‪ 6, 4  ,  1,5‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ 0, 4 ‬‬
‫‪ .21‬הנקודות ‪  5,3‬ו‪ 1, 1 -‬הן קצוות של קוטר במעגל‪ .‬מצא את משוואת המעגל‬
‫(הדרכה – מצא את הקוטר על פי המרחק בין שתי הנקודות‪ ,‬ואת מרכז המעגל על פי משוואת אמצע קטע)‬
‫‪ *.22‬מצא את מרכז המעגל ואת הרדיוס של מעגל שמשוואתו היא‪x2  y 2  6 x  4 y  12 :‬‬
‫‪.23‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המעגל שמרכזו בנקודה )‪ (-1,5‬והוא עובר בנקודה )‪.(6,4‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של המעגל עם הצירים‬
‫ג‪ .‬הראה שהנקודה )‪ (4,10‬נמצאת על המעגל ומצא את משוואת הקוטר שעובר דרכה‬
‫‪ .24‬מצא את משוואת המשיק למעגל ‪ x  4   y  1  25‬בנקודה ‪. 8,4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .25‬מצא את נקודות החיתוך של הישר ‪ y  2 x  5‬עם המעגל ‪ 20‬‬
‫הראה כי נקודות החיתוך הנ"ל הן קצות של קוטר במעגל‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  3   y  1‬‬
‫‪2‬‬