01 yashar analitit 1

‫גיאומטריה אנליטית‬
‫בפ רק זה‪ ,‬העוסק בגיאומטריה אנליטית‪ ,‬נכיר כלים המאפשרים‬
‫לפתור בעיות גיאומטריות באמצעות אלגברה‪.‬‬
‫נדון בנקודות על מערכת צירים‪ ,‬במשוואות של ישרים ו במשוואות‬
‫של מעגלים‪ ,‬אליפסות ופרבולות‪ .‬נדון תחילה בקו הישר‪.‬‬
‫הישר‬
‫פרק זה העוסק בקו הישר נכתב בהנחה שהתלמיד יודע לסמן נקודות‬
‫במערכת הצירים ולמד על ישרים ומשוואותיהם‪.‬‬
‫המשוואה הכללית של הישר‬
‫בלימודים קודמים שעסקו בישרים ראינו כי הישר הוא ה תיאור הגרפי‬
‫של משוואה ממעלה ראשונה ‪.‬‬
‫כל ישר ניתן לייצג על ידי המשוואה ‪. ax  by  c  0‬‬
‫משוואה זו נקראת ה משוואה הכללית של הישר‪.‬‬
‫כמו כן‪ ,‬הגרף של המשוואה ‪ ax  by  c  0‬הוא קו ישר )מלבד המקרה‬
‫שבו ‪ .( a  b  0‬למשל‪ ,‬המשוואה ‪ 2x  3y  6  0‬מייצגת ישר‪.‬‬
‫נשים לב כי אם ניקח את המשוואה הכללית של ישר ו נכפול אות ה‬
‫במספר )השונה מאפס(‪ ,‬נקבל מ שוואה אחרת המתארת את אותו ישר‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬המשוואות ‪ x  3y  2  0‬ו‪ 4x  12y  8  0 -‬מתארות את אותו ישר‪.‬‬
‫המשוואה המפורשת של הישר‬
‫כאשר משווא ה הישר רשומה בצורה ‪ , y  mx  b‬המשוו אה נקראת‬
‫המשוואה המפורשת של הישר ‪.‬‬
‫במשוואה כזו ‪ m‬ו‪ b -‬הם פרמטרים‪.‬‬
‫הפרמטר ‪ m‬נקרא השיפוע של הישר והפרמטר ‪ b‬נקרא המספר החופשי‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬אם המשוואה המפורש ת היא ‪ , y  3x  8‬אז השיפוע של הישר‬
‫הוא ‪ m  3‬והמספר החופשי הוא ‪. b  8‬‬
‫הערה‪ :‬המשוואה המפורשת ‪ y  mx  b‬מתאימה לכל ישר‪ ,‬פרט לישר‬
‫המאונך לציר ה‪) x -‬ר אה הסבר בהמשך( ‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪1‬‬
‫ת כונות השיפוע ‪m‬‬
‫ראינו כי המשוואה המפורשת של הישר היא ‪. y  mx  b‬‬
‫ערכו של הפרמטר ‪ m‬קובע את כיוון הישר‪:‬‬
‫כאשר ‪ m‬חיובי )‪ (m  0‬צורת הגרף היא ישר שעולה‬
‫‪y‬‬
‫‪m0‬‬
‫משמאל לימין‪ .‬במקר ה זה הישר יוצר זווית )‪(‬‬
‫חדה עם הכיוון החיובי של ציר ה‪. x -‬‬
‫ככל שהשיפוע גדול יותר‪ ,‬הזווית ‪ ‬גדולה יותר‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫כאשר ‪ m‬שלילי )‪ (m  0‬צורת הגרף היא ישר שיורד‬
‫‪y‬‬
‫משמאל לימין‪ .‬במקרה זה הישר יוצר זווית )‪(‬‬
‫‪m0‬‬
‫קהה עם הכיוון ה חיובי של ציר ה‪. x -‬‬
‫ככל שהשיפוע קטן יותר‪ ,‬הזווית ‪ ‬קטנה יותר‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫כאשר ‪ m  0‬הישר מקביל לציר ה‪x -‬‬
‫‪m0‬‬
‫)או מתלכד איתו(‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫תכונת המספר החופשי ‪b‬‬
‫כאשר נציב ‪ x  0‬במשווא ה ‪ , y  mx  b‬נקבל‪ , y  m  0  b :‬כלומר ‪y  b‬‬
‫ומכאן שהישר ‪ y  mx  b‬חותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה )‪. (0;b‬‬
‫למעשה‪ ,‬על סמך הערך של ‪ b‬ניתן לומר באי זו נקודה הישר חותך את‬
‫ציר ה‪ . y -‬למשל‪ :‬הישר ‪ y  2x  5‬חותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה )‪. (0;5‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫) ‪ ( 1‬מהמשוואה ה מפורשת של הישר רואים מיד את שיפועו של הישר‬
‫ואת נק ודת החיתוך שלו עם ציר ה‪. y -‬‬
‫אם נתונה משוואה כללית של ישר ורוצים למצוא את שיפוע ו‬
‫של הישר‪ ,‬צריך לבודד את ‪ . y‬למשל‪ ,‬נמצא את שיפועו של ישר‬
‫שמשוואתו הכללית היא ‪ . 2x  3y  6  0‬נבודד את ‪. y‬‬
‫נקבל ‪ 3y  2x  6 :‬ומכאן ‪. y   2 x  2‬‬
‫‪3‬‬
‫כעת ניתן לראות ששיפוע הישר הוא ‪  2‬ונקודת החיתוך של הישר‬
‫‪3‬‬
‫עם ציר ה‪ y -‬היא )‪. (0;2‬‬
‫) ‪ ( 2‬לכל ישר יש משוואה מפורשת יחידה‪ ,‬כלומר אם המשווא ות‬
‫‪ y  m1x  b1‬ו‪ y  m 2 x  b 2 -‬הן של אותו ישר‪ ,‬אז מתקיים‪:‬‬
‫‪ m1  m 2‬ו‪. b1  b 2 -‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪2‬‬
‫ישר המאונך לציר ה‪x -‬‬
‫ראינו כי המשוואה ‪ y  mx  b‬מתאימה לכל ישר שיש לו שיפוע‪.‬‬
‫כאשר ישר מאונך לציר ה‪ ) x -‬מקביל לציר ה‪ ( y -‬השיפוע שלו אינו‬
‫מוגדר‪ ,‬לכן לא ניתן להציגו בצורה ‪. y  mx  b‬‬
‫המשוואה של ישר כזה היא מהצורה ‪, x  k‬‬
‫‪y‬‬
‫כאשר )‪ (k;0‬היא נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה‪. x -‬‬
‫למשל‪ ,‬משוואתו של ישר העובר בנקודה )‪(3;0‬‬
‫‪x  3‬‬
‫ומאונך לציר ה‪ x -‬היא ‪. x  3‬‬
‫הגרף של ישר זה מתואר משמאל‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪(3;0‬‬
‫מציאת משוואת ישר על פי שיפועו ונקודה שעליו‬
‫נזכיר כעת כיצד למצוא משוואה של ישר כאשר ידוע שיפוע הישר‬
‫ונתונה נקודה הנמצאת על הישר‪.‬‬
‫משוואת ישר העובר דרך הנקודה ) ‪ (x1;y1‬ושיפועו ‪ m‬היא‪:‬‬
‫) ‪y  y1  m(x  x1‬‬
‫נוכיח את הנוסחה‪.‬‬
‫נ רשום את הישר בצורה ‪. y  mx  b‬‬
‫הנקודה ) ‪ (x1; y1‬נמצאת על הישר‪ ,‬לכן מקיימת את משוואתו‪.‬‬
‫נציב ונקבל‪ , y1  mx1  b :‬כלומר ‪. b  y1  mx1‬‬
‫במשוואה ‪ , y  mx  b‬נציב ‪ y1  mx1‬במקום ‪. b‬‬
‫נקבל‪ , y  mx  y1  mx1 :‬כלומר ‪ y  y1  mx  mx1‬ומכאן ) ‪. y  y1  m(x  x1‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫מצא משוואת ישר העובר דרך הנקודה )‪ (1;6‬ושיפועו ‪. 5‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נציב ‪ . m  5 , y1  6 , x1  1‬נקבל‪. y  6  5(x  1) :‬‬
‫נפתח סוגריים‪.‬‬
‫נקבל‪ y  6  5x  5 :‬ומכאן ‪ y  5x  1‬וזו משוואת הישר ‪.‬‬
‫הער ות ‪:‬‬
‫) ‪ ( 1‬כ אשר נתון ישר העובר בנקודה ) ‪ (x1 ; y1‬ו מקביל לציר ה‪ , x -‬אפשר‬
‫למצוא את משוואתו על ידי הצבת ‪ m  0‬בנוסחה ) ‪. y  y1  m(x  x1‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪3‬‬
‫נקבל ש משוואתו של ישר המקביל לציר ה‪x -‬‬
‫‪y‬‬
‫ועובר בנקודה ) ‪ (x1 ; y1‬היא ‪. y = y1‬‬
‫למשל‪ ,‬הישר שבציור מקביל לציר ה‪x -‬‬
‫‪y3‬‬
‫ועובר בנקודה )‪ (2;3‬ולכן משוואתו ‪. y  3‬‬
‫נדגיש כי ל כל הנקודות הנמצאות‬
‫)‪(1;3) (2;3) (4;3‬‬
‫‪x‬‬
‫על ישר כזה יש אותו שיעור ‪. y‬‬
‫למשל‪ ,‬שיעור ה‪ y -‬של כל הנקודות הנמצאות על הישר ‪ y  3‬הוא ‪3‬‬
‫)ראה ציור(‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬הנוסחה ) ‪ y  y1  m(x  x1‬למציאת משוואת ישר‪ ,‬טובה בתנאי‬
‫ששיפוע הישר מוגדר‪ .‬אם ישר מאונך לציר ה‪, x -‬‬
‫אז שיפועו אינו מוגדר‪ ,‬לכן הנוסחה אינה טובה‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫משוואתו של ישר המקביל לציר ה‪y -‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪(2;5‬‬
‫)‪(2;3‬‬
‫)מאונך לציר ה‪ ( x -‬ועובר בנקודה ) ‪(x1 ; y1‬‬
‫היא ‪. x = x1‬‬
‫‪x‬‬
‫למשל‪ ,‬הישר שבציור מקביל לציר ה‪y -‬‬
‫)‪(2; 1‬‬
‫ועובר בנקודה )‪ (2;3‬ולכן משוואתו ‪. x  2‬‬
‫נדגיש כי לכל הנקודות הנמצאות על ישר כזה יש אותו שיעור ‪. x‬‬
‫למשל‪ ,‬שיעור ה‪ x -‬של כל הנקודות הנמצאות על הישר ‪ x  2‬הוא ‪2‬‬
‫)ראה ציור(‪.‬‬
‫מציאת משוואת ישר על פי שת י נקודות שעליו‬
‫נזכיר כעת כיצד למצוא שיפוע של ישר על‪ -‬פי שתי נקודות שעליו‪.‬‬
‫השיפוע ‪ m‬של ישר העובר בנקודות ) ‪ (x1;y1‬ו‪ (x2 ;y 2 ) -‬הוא‪:‬‬
‫‪y 2  y1‬‬
‫‪x2  x1‬‬
‫‪(x1  x 2 ) m ‬‬
‫נוכיח את הנוסחה‪:‬‬
‫נרשום את משוואת הישר בצורה ‪. y  mx  b‬‬
‫הנקודה ) ‪ (x1; y1‬מקיימת את המשוואה‪ ,‬לכן ‪. y1  mx1  b‬‬
‫הנקודה ) ‪ (x 2 ; y 2‬מקיימת את המשוואה‪ ,‬לכן ‪. y 2  mx 2  b‬‬
‫נחסר את המשוואה הראשונה מהמשוואה השנייה‪.‬‬
‫נקבל‪ y 2  y1  mx 2  mx1 :‬ומכאן ) ‪. y 2  y1  m(x 2  x1‬‬
‫‪y 2  y1‬‬
‫נבודד את ‪) m‬בתנאי ש‪ ( x1  x 2 -‬ונקבל‪:‬‬
‫‪x 2  x1‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪4‬‬
‫‪.m‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫נתון ישר העובר דרך הנקוד ות )‪ A(3;6‬ו‪. B(7; 2) -‬‬
‫מצא את משוואת הישר‪.‬‬
‫)‪A(3; 6‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)‪B(7; 2‬‬
‫כדי למצוא את משוואת הישר נחשב תחילה‬
‫את שיפוע הישר‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫נסמן )‪ (x1 ; y1 )  (3;6‬ו‪. (x 2 ; y 2 )  (7; 2) -‬‬
‫נציב בנוסחה‬
‫‪ . m  y 2  y1‬נקבל‪2  6  4  1 :‬‬
‫‪73 4‬‬
‫‪x 2  x1‬‬
‫‪.m‬‬
‫שיפוע הישר הוא ‪. m  1‬‬
‫נמצא את משוואת הישר לפי ה נקודה )‪ A(3;6‬ושיפועו ‪. m  1‬‬
‫נציב בנוסחה ) ‪. y  y1  m(x  x1‬‬
‫נקבל‪ , y  6  1(x  3) :‬כלומר ‪ y  6  x  3‬ומכאן ‪. y   x  9‬‬
‫הערה‪ :‬הנוסחה למציאת שיפוע ‪ m‬של ישר העובר דרך הנקודות ) ‪(x1; y1‬‬
‫ו‪ (x 2 ; y 2 ) -‬טובה כאשר ‪. x1  x 2‬‬
‫אם ‪ , x1  x 2‬אז שיפוע הישר אינו מוגדר והנוסחה אינה טובה‪.‬‬
‫כפי שראינו‪ ,‬במקרה כזה משוואת הישר היא ‪) x  x1‬או ‪.( x  x 2‬‬
‫ישרים מקבילים‬
‫כאשר בודקים מצב הדדי בין שני ישרים הנמצאים באותו מישור‪,‬‬
‫הישרים יכולים להיות נחתכים‪ ,‬מקבילים או מתלכדים‪.‬‬
‫נזכיר כעת את הקשר שבין השיפועים של שני ישרים המקבילים זה לזה‪.‬‬
‫א‪ .‬אם שני ישרים )שאינם מאונכים לציר‬
‫אז הם בעלי‬
‫ה‪ ( x -‬מקבילים‬
‫זה לזה ‪,‬‬
‫שיפועים שווים‪.‬‬
‫ב‪ .‬כדי להוכיח ששני ישרים בעלי שיפוע מקבילים זה לזה ‪ ,‬יש להראות‬
‫שהשיפועים שלהם שווים אך שהישרים‬
‫שונים‬
‫זה מזה‪,‬‬
‫שכן אחרת ייתכן שהישרים מתלכדים זה עם זה‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬בציור מתוארים שני ישרים שונים‬
‫בעלי שיפועים שווים )שיפוע כל אחד מהישרים‬
‫הוא ‪ ( 5‬ולכן הם מקבילים זה לזה‪.‬‬
‫הערה‪:‬‬
‫כל שני ישרים שונים ה מאונכים לציר ה‪ x -‬מקבילים זה לזה‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬הישר ים ‪ x  6‬ו‪ x  2 -‬מקבילים זה לזה‪.‬‬
‫כמו כן‪ ,‬כל שני ישרים שונים ה מאונכים לציר ה‪ y -‬מקבילים זה לזה‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬הישר ים ‪ y  7‬ו‪ y  3 -‬מקבילים זה לזה‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪5‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫מצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודה )‪(8; 1‬‬
‫ומקביל לישר ‪. 4x  3y  10  0‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נמצא תחילה את שיפועו של הישר הנתון ‪. 4x  3y  10  0‬‬
‫נבודד את ‪ y‬ונקבל‪ . 3y  4x  10 :‬נחלק את המשוואה ב‪. 3 -‬‬
‫נקבל‪ , y   4 x  10 :‬לכן שיפועו של הישר הנתון הוא ‪. m   4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫הישר המבוקש מקביל לישר הנתון ולכן שיפועו גם הוא ‪. ‬‬
‫‪3‬‬
‫נמצא את משוואת הישר המבוקש לפי השיפוע ‪ m   4‬והנקודה )‪. (8; 1‬‬
‫‪3‬‬
‫נקבל‪ , y  (1)   4 (x  8) :‬כלומר ‪ y  1   4 x  10 2‬ומכאן ‪. y  1 1 x  9 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫תרגילים‬
‫‪.1‬‬
‫מצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודה ‪ A‬ושיפ ועו ‪. m‬‬
‫‪. A(6; 19) , m   2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪. A(3;15) , m  2‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.2‬‬
‫מצא את משוואת הישר ששיפועו ‪ 1 1‬והוא עובר בנקודת החיתוך‬
‫‪3‬‬
‫של הישר ‪ y  2x  5‬עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪.3‬‬
‫מצא את משוואת הישר המקביל לישר ‪ x  3y  6‬ועובר דרך הנקודה )‪. (0;0‬‬
‫‪.4‬‬
‫מצא את שיפוע הישר העובר דרך הנקודות )‪ (2;4‬ו‪. (6;1) -‬‬
‫‪.5‬‬
‫מצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודות )‪ (3; 1‬ו‪. (5; 7) -‬‬
‫‪.6‬‬
‫מצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודה )‪ (7;11‬ומקביל לישר העובר‬
‫דרך הנקודות )‪ (3;1‬ו‪. (5;5) -‬‬
‫‪.7‬‬
‫הישרים ‪ AB‬ו‪ CD -‬הם התיאור הגרפי של המשוואות‪:‬‬
‫) ‪ y  2x  4 ( 1‬ו‪. y  1 x  2 ( 2 ) -‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬מצא איזה משני הישרים הנ"ל‬
‫הוא גרף הפונקציה ) ‪( 1‬‬
‫‪x‬‬
‫ואיזה הוא גרף הפונקציה ) ‪.( 2‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. AC  BD :‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪6‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪.8‬‬
‫מצא את משוואת הישר‪:‬‬
‫א‪ .‬העובר בנקודה )‪ (3; 7‬ומקביל לציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬העובר בנקודה )‪ (12; 21‬ומקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫‪.9‬‬
‫מצא את משוואת הישר העובר דרך שתי הנקודות הנתונות‪:‬‬
‫ב ‪. ( 5; 8) , (5; 12) .‬‬
‫א‪. (1;3) , (7;3) .‬‬
‫‪. 10‬‬
‫מצא את משוואת הישר‪:‬‬
‫א‪ .‬העובר בנקודה )‪ (1; 3‬ומקביל לישר ‪. y  5‬‬
‫ב‪ .‬העובר בנקודה )‪ (2;0‬ומקביל לישר ‪. x  1‬‬
‫‪. 11‬‬
‫מצא את ערכו של ‪ m‬שעבורו זוגות הישרים הבאים יהיו מקבילים‪:‬‬
‫א ‪y  2mx  7 , y  (m  3)x  1 .‬‬
‫ב ‪(m  1)x  9y  7 , 4x  (m  1)y  8 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. 12‬‬
‫נתונים שני ישרים‪3x  (k  2)y  6 :‬‬
‫‪kx  y  k  3‬‬
‫מצא לאילו ערכים של ‪ k‬הישרים מקבילים זה לזה ‪.‬‬
‫‪. 13‬‬
‫א‪ .‬הישר ‪ (m  1)x  3y  12‬מקביל לציר ה‪ . x -‬מצא את ‪. m‬‬
‫ב‪ .‬הישר ‪ (2m  1)y  5x  10‬מקביל לציר ה‪ . y -‬מצא את ‪. m‬‬
‫‪. 14‬‬
‫א‪ .‬הישר ‪ Ax  By  30  0‬מקבי ל לציר ה‪ x -‬ועובר דרך הנקודה )‪. (6;10‬‬
‫חשב את ‪ A‬ו‪. B -‬‬
‫ב‪ .‬הישר ‪ Ax  By  24  0‬מקביל לציר ה‪ y -‬ועובר דרך הנקודה )‪. ( 8;3‬‬
‫חשב את ‪ A‬ו‪. B -‬‬
‫‪. 15‬‬
‫נתון משולש ‪ ABC‬שקדקודיו הם‪. C(4; 4) , B(12;0) , A(6; 2) :‬‬
‫מצא את משוואות צלעותיו‪.‬‬
‫‪. 16‬‬
‫הישרים ‪ AD‬ו‪ BC -‬הם התיאור הגרפי של המשוואות‬
‫‪y‬‬
‫) ‪ y  4  x ( 1‬ו‪. y  14  2x ( 2 ) -‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬מצא איזה מהישרים הנ"ל הוא גרף הפונקציה ) ‪( 1‬‬
‫ואיזה הוא גרף הפונקציה ) ‪.( 2‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪ A ) ABP‬ו‪ B -‬נמצא ו ת‬
‫על ציר ה‪ – P , y -‬נקודת החיתוך שבין שני הישרים(‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪7‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x‬‬
‫‪P‬‬
‫‪y‬‬
‫‪. 17‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬נתון‪. A(8;3) :‬‬
‫הצלע ‪ BC‬מונחת על הישר ‪, y  2x  1‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫הצלע ‪ AB‬מקבילה לציר ה‪x -‬‬
‫והקדקוד ‪ C‬נמצא על ציר ה‪. x -‬‬
‫‪x‬‬
‫חשב את שטח המשולש ‪. ABC‬‬
‫‪. 18‬‬
‫‪C‬‬
‫קדקודי משולש ‪ ABC‬הם )‪ B(3;6) , A(0;0‬ו‪. C(6; 4) -‬‬
‫דרך הקדקוד ‪ B‬עובר ישר המקביל לציר ה‪y -‬‬
‫וחותך את הצ לע ‪ AC‬בנקודה ‪. E‬‬
‫א‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪. ABE‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪. BCE‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪. ABC‬‬
‫‪. 19‬‬
‫‪. 20‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫נתונות הנקודות )‪. A(8;6) , O(0;0‬‬
‫הישר ‪ ( 0  k  8 ) x  k‬חותך את הישר ‪OA‬‬
‫בנקודה ‪ B‬ואת הישר ‪ y  6‬בנקודה ‪. C‬‬
‫הישר ‪ y  2‬עובר דרך נקודה ‪ B‬וחותך‬
‫את הקטע ‪ OC‬בנקודה ‪. D‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪. D‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪O‬‬
‫בציור מתוארים שני ישרים‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫ישר אחד חותך את ה צירים בנקודות ‪ A‬ו‪B -‬‬
‫‪A‬‬
‫וישר שני חותך את הצירים בנקודות ‪ C‬ו‪. D -‬‬
‫משוואת הישר ‪ CD‬היא ‪. y  x  3‬‬
‫‪M‬‬
‫שני הישרים נחתכים בנקודה )‪. M(5;2‬‬
‫נתון כי שטח המשולש ‪ AMC‬הוא ‪ 37.5‬יח"ר‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪. A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח ה מרובע ‪. AODM‬‬
‫‪. 21‬‬
‫במקבילית ‪ ABCD‬הצלע ‪ AB‬מונחת על הישר ‪ y  x  6‬והאלכסון ‪BD‬‬
‫מונח על הישר ‪ . y  3x  4‬שיעורי הקדקוד ‪ C‬הם )‪. ( 3; 3‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקוד ‪. A‬‬
‫‪. 22‬‬
‫הוכח שמרובע שצלעותיו נמצאות על הישרים ‪, 2x  3y  21  0 , y  3x  5‬‬
‫‪ y  3x  19‬ו‪ , 2x  3y  81  0 -‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪8‬‬
‫‪. 23‬‬
‫שני קדקודים סמוכים של מקבילית הם בנק ודות )‪ (8;17‬ו‪. (20; 20) -‬‬
‫משוואת אחת הצלעות במקבילית היא ‪ . y  2x  1‬מצא את משוואות‬
‫הצלעות האחרות אם ידוע שאחת מהן עוברת דרך הנקודה )‪. (4; 2‬‬
‫‪. 24‬‬
‫‪ ABCD‬הוא טרפז )‪ . (AB  DC‬נתון‪. C(14; 3) , B(9; 4) , A(6; 3) :‬‬
‫הקדקוד ‪ D‬נמצא על ציר ה‪. x -‬‬
‫מצא את נקודת מפגש האלכסונים בטרפז‪.‬‬
‫‪. 25‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על הישר ‪y  2x  5‬‬
‫‪y‬‬
‫ברביע הראשון‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫הנקודה ‪ B‬נמצאת על הישר ‪, y   1 x  5‬‬
‫‪2‬‬
‫כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫‪B‬‬
‫אורך הקטע ‪ AB‬הוא ‪. 10‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪. B -‬‬
‫‪. 26‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על הישר ‪y  2x  1‬‬
‫ברביע הראשון‪ .‬הנקודה ‪ B‬נמצאת‬
‫על הישר ‪ , y   12 x  1‬כך שהקטע ‪AB‬‬
‫מקביל לציר ה‪. x -‬‬
‫אורך הקטע ‪ AB‬הוא ‪ 6‬יחידות‪.‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪. B -‬‬
‫‪. 27‬‬
‫הישר ‪ (b  0) y   12 x  b‬חותך את ציר ה‪x -‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪B‬‬
‫בנקודה ‪ A‬ואת ציר ה‪ y -‬בנקודה ‪. B‬‬
‫מצא את הערך של ‪ , b‬אם שטח המשולש‬
‫שיוצר הישר עם הצירים )ראה ציור(‬
‫הוא ‪. 16‬‬
‫‪. 28‬‬
‫‪x‬‬
‫‪O‬‬
‫‪A‬‬
‫מצא את משוואת הישר‪ ,‬המקביל לישר ‪, y  3x  500‬‬
‫ויוצר עם החלקים השליליים של שני הצירים משולש ששטחו ‪. 24‬‬
‫‪. 29‬‬
‫‪y‬‬
‫ישר ששיפועו ‪ (m  0) m‬עובר דרך הנקודה )‪. A(1;8‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬את משוואת הישר‪.‬‬
‫)‪A(1;8‬‬
‫ב ‪ .‬שטח המשולש שיוצר הישר‬
‫עם הצירים הוא ‪. 16‬‬
‫מצא את הערך של ‪. m‬‬
‫‪x‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪9‬‬
‫‪. 30‬‬
‫ישר ששיפועו חיובי ‪ ,‬העובר דרך הנקודה )‪ , (1;1‬יוצר משולש ישר‪ -‬זווית‬
‫עם צירי השיעורים‪.‬‬
‫הוכח כי סכום הניצבים של המשולש שווה למכפלתם‪.‬‬
‫‪. 31‬‬
‫מצא את משווא ו ת הישרים‪ ,‬העוברים דרך הנקודה )‪, (2;6‬‬
‫ויוצרים עם שני הצירים משולש ששטחו ‪. 25‬‬
‫‪. 32‬‬
‫ישר העובר דרך הנקודה )‪ (6;6‬חותך את הישר ‪ y  2x‬בנקודה ‪, A‬‬
‫ואת ציר ה‪ x -‬בנקודה ‪) B‬שיעור ה‪ x -‬של ‪ B‬הוא חיובי(‪.‬‬
‫מצא את משוואת הישר‪ ,‬אם שטח המשולש ‪ ABO‬הוא ‪48‬‬
‫) ‪  O‬ראשית הצירים(‪.‬‬
‫תשו בות‪ . 1 :‬א‪ . y  2x  9 .‬ב‪. y  1 x . 3 . y  1 1 x  3 1 . 2 . y   2 x  23 .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ . 7 . y  2x  3 . 6 . y  3x  8 . 5 . 83 . 4‬א‪. AB - ( 2 ) . CD - ( 1 ) .‬‬
‫‪ . 8‬א‪ . y  7 .‬ב‪ . 9 . x  12 .‬א‪ . y  3 .‬ב‪. x  5 .‬‬
‫‪ . 11‬א‪ 3 .‬או ‪ . 1‬ב‪ 7 .‬או ‪. k  1 . 12 . 5‬‬
‫‪ . 10‬א‪ . y  3 .‬ב‪. x  2 .‬‬
‫‪ . 13‬א‪ . 1 .‬ב‪. 0.5 .‬‬
‫‪ . 14‬א‪ . B  3 , A  0 .‬ב‪, y   1 x  6 , y  1 x  4 . 15 . B  0 , A  3 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ . 16 . y   3x  16‬א‪ . AD - ( 2 ) , BC - ( 1 ) .‬ב‪ 50 .‬יח"ר‪ 15 . 17 .‬יח"ר‪.‬‬
‫‪ . 18‬א‪ 6 .‬יח"ר‪ .‬ב‪ 6 .‬יח"ר‪ .‬ג‪ 12 .‬יח"ר‪. 19 .‬‬
‫ב‪ 33 .‬יח"ר‪. (4; 2) . 21 .‬‬
‫)‪. D( 89 ;2‬‬
‫‪ . 20‬א‪. (0;12) .‬‬
‫‪. y  14 x  1 , y  2x  20 , y  14 x  15 . 23‬‬
‫‪. 4 . 27 . B( 5.6;1.8) , A(0.4;1.8) . 26 . B(4;3) , A(4;13) . 25 . (8;3) . 24‬‬
‫‪ . 29 . y  3x  12 . 28‬א‪ . y  mx  8  m .‬ב‪, y  2x  10 . 31 . 8 .‬‬
‫‪. y  3x  12 , y   x  12 . 32 . y  18x  30 , y  1 x  5 , y  4.5x  15‬‬
‫‪2‬‬
‫הקשר בין שיפוע של ישר לפונקציית הטנגנס‬
‫כאשר ישר אינו מקביל לציר ה‪ , y -‬קיים קשר בין שיפוע הישר )‪(m‬‬
‫לבין הזווית ‪ ‬שהישר יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה‪. x -‬‬
‫הקשר הוא‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪m‬‬
‫‪. tan ‬‬
‫א‪ .‬אם ‪ , m  0‬הישר עולה והזווית ‪ ‬היא חדה‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם ‪ , m  0‬הישר יורד והזווית ‪ ‬היא קהה‪.‬‬
‫ג‪ .‬אם ‪ , m  0‬הישר מקביל לציר ה‪) x -‬או מתלכד איתו(‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪10‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫בציור מתואר ישר היוצר זווית בת ‪40‬‬
‫עם הכיוון החיובי של ציר ה‪. x -‬‬
‫מהו שיפוע הישר?‬
‫פתר ון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫הזווית החדה ‪ ,‬לכן שיפוע הישר הוא חיובי‪.‬‬
‫‪40‬‬
‫‪x‬‬
‫ראינו כי מתקיים‪ . tan   m :‬נציב ‪.   40‬‬
‫נקבל‪ , tan 40  m :‬כלומר ‪ m  0.839‬וזהו שיפועו של הישר‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫בציור מתואר הישר ‪. y   5 x  10‬‬
‫‪6‬‬
‫חשב את הזווית ‪ ‬שיוצר הישר‬
‫‪y‬‬
‫עם הכיוון החיובי של ציר ה‪. x -‬‬
‫‪‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫השיפוע שלילי‪ ,‬לכן הזווית היא קהה‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫ראינו כי מתקיים ‪ . tan   m‬שיפוע הישר היא ‪ , ‬לכן ‪. tan   ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫בעזרת מחשבון נקבל‪ .   39.81 :‬מאחר ו‪  -‬זווית קהה נוסיף ‪. 180‬‬
‫נקבל‪   140.19 :‬וזו הזווית שהישר יוצר עם הכיוון ה חיובי של ציר ה‪. x -‬‬
‫‪. 33‬‬
‫בכל אח ד מהסעיפים הבאים נתונה משוואת ישר‪.‬‬
‫חשב את הזווית הנוצרת בין הישר לבין הכיוון החיובי של ציר ה‪: x -‬‬
‫א‪y  x .‬‬
‫ד‪y   x  8 .‬‬
‫ב‪y  13 x  10 .‬‬
‫ג‪y  2x  20 .‬‬
‫ה‪y  3 .‬‬
‫ו‪x  5 .‬‬
‫‪. 34‬‬
‫מצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודה )‪ , (0;7‬ויוצר זווית בת ‪60‬‬
‫עם הכיוון הח יובי של ציר ה‪. x -‬‬
‫‪. 35‬‬
‫מצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודה )‪ , ( 5;8‬ויוצר זווית‬
‫בת‬
‫‪. 36‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 45‬עם הכיוון ה שלילי‬
‫של ציר ה‪. x -‬‬
‫מצא משוואת ישר העובר דרך הנקודה )‪ , ( 4; 6‬ויוצר עם הכיוון החיובי‬
‫של ציר ה‪ x -‬זווית הגדולה ב‪ 45 -‬מהזווית שיוצר הישר ‪y  2x  15‬‬
‫עם הכיוון החיובי של ציר ה‪. x -‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪11‬‬
‫נתונים שני ישרים‪. 2x  y  1  0 , x  2y  5  0 :‬‬
‫‪. 37‬‬
‫הישרים נפגשים בנקודה ‪. A‬‬
‫דרך נקודה ‪ A‬עובר הישר ‪‬‬
‫מהי הזווית שיוצר הישר ‪‬‬
‫שמשוואתו ‪. (k  1)x  y  k‬‬
‫עם הכיוון החיובי של ציר ה‪? x -‬‬
‫מצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודה )‪ , ( 3;5‬ומקביל לישר‬
‫‪. 38‬‬
‫החוצה את הזווית בין הצירים‪.‬‬
‫מצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודה )‪ , (4; 7‬שי פועו שלילי‬
‫‪. 39‬‬
‫והוא חותך קטעים שווים משני הצירים‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪. 40‬‬
‫בציור שלפניך משוואת היש ר ‪AD‬‬
‫היא ‪, y  2x  18‬‬
‫ומשוואת הישר ‪ BC‬היא ‪. y  x  6‬‬
‫חשב את זוויותיו של ה משולש ‪. PCD‬‬
‫‪. 41‬‬
‫הישר ‪ y  x  6‬חותך את ציר ה‪x -‬‬
‫‪A‬‬
‫‪P‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪C‬‬
‫בנקודה ‪ A‬ואת ציר ה‪ y -‬בנקודה ‪. B‬‬
‫הנקודה ‪ C‬נמצאת על חלקו החיובי‬
‫‪x‬‬
‫של ציר ה‪ . y -‬נתון‪. BC  10 :‬‬
‫‪A‬‬
‫חשב את זוויותיו של ה משולש ‪. ABC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ . 33‬א‪ . 45 .‬ב‪ . 18.43 .‬ג‪ . 116.57 .‬ד‪ . 135 .‬ה‪. 0 .‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫ו‪. 90 .‬‬
‫‪‬‬
‫‪. 108.43 . 37 . y  3x  6 . 36 . y   x  3 . 35 . y  3  x  7 . 34‬‬
‫‪ y  x  8 . 38‬או ‪. 39 . y   x  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. 71.57 , 63.43 , 45 . 40 . y   x  11‬‬
‫‪‬‬
‫‪. 56.31 , 78.69 , 45 . 41‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪12‬‬
‫אזורי המישור ביח ס לישר‬
‫כל ישר )שאינו מאונך לציר ה‪ ( x -‬מחלק את המישור לשלוש קבוצות‬
‫של נקודות‪:‬‬
‫) ‪ ( 1‬נקודות הנמצאות מעל הישר‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬נקודות הנמצאות על הישר‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬נקודות הנמצאות מתחת לישר‪.‬‬
‫נתון ישר שמשוואתו ‪ y  mx  b‬ונתונה נקודה ) ‪. (x1; y1‬‬
‫כדי לדעת את מיקומ ה של הנקודה ביחס לישר‪ ,‬נציב את שיעוריה‬
‫במשוואות הישר‪.‬‬
‫) ‪ ( 1‬אם מתקיים ‪ , y1  mx1  b‬אז הנקודה נמצאת מעל הישר‪,‬‬
‫ולהיפך – אם הנקודה נמצאת מעל הישר‪ ,‬אז ‪. y1  mx1  b‬‬
‫) ‪ ( 2‬אם מתקיים ‪ , y1  mx1  b‬אז הנקודה נמצאת על הישר‪,‬‬
‫ולהיפך – אם הנקודה נמצאת על הישר‪ ,‬אז ‪. y1  mx1  b‬‬
‫) ‪ ( 3‬אם מתקיים ‪ , y1  mx1  b‬אז הנקודה נמצאת מתחת לישר‪,‬‬
‫ולהיפך – אם הנקודה נמצאת מתחת לישר‪ ,‬אז ‪. y1  mx1  b‬‬
‫הערה‪ :‬אם הישר מאונך לציר ה‪ , x -‬כלומר משוואתו ‪, x  a‬‬
‫אז הנקודות במישור מחולקות לשלוש הקבוצות הבאות‪:‬‬
‫נקודות שעל הישר‪ ,‬נקודות ש מימין לישר ונקודות שמשמאל לישר‪.‬‬
‫‪. 42‬‬
‫נתון הישר ‪ , y   3 x  5‬ונתונות הנקודות הבאות‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪. (7; 2) , (4; 2) , ( 2;10) , (5; 1) , (0;5‬‬
‫מצא היכן נמצאת כל נקודה‪:‬‬
‫א‪ .‬על הישר‪.‬‬
‫‪. 43‬‬
‫ב‪ .‬מתחת לישר‪.‬‬
‫ג‪ .‬מעל הישר‪.‬‬
‫נתון הישר ‪ , 5x  2y  5  0‬ונתונות הנקודות הבאות‪:‬‬
‫)‪ . (8; 7) , (6; 4) , (0;0) , (3;5) , (3;8‬מצא היכן נמצאת כל נקודה‪:‬‬
‫א‪ .‬על הישר‪.‬‬
‫‪. 44‬‬
‫ב‪ .‬מתחת לישר‪.‬‬
‫ג‪ .‬מעל הישר‪.‬‬
‫המשוואות של צלעות משולש הן‪. y  3x  11 , x  2y  6 , x  3y  12  0 :‬‬
‫מצא אילו מהנקודות הבאות נמצאות בתוך המשולש‪:‬‬
‫א‪. (5; 2) .‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫ב‪. (9;3) .‬‬
‫ג‪. (11; 1) .‬‬
‫ד‪. (5;1) .‬‬
‫‪ . 42‬א‪ ,‬ב‪ ,‬ג‪ ,‬א‪ ,‬ג‪ . 43 .‬ג‪ ,‬א‪ ,‬ג‪ ,‬ב‪ ,‬ב‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪13‬‬
‫ה‪. (7; 1) .‬‬
‫‪ . 44‬א‪ ,‬ה‪.‬‬
‫ו‪. (0;0) .‬‬
‫ניצבות של ישרים‬
‫נזכיר את הקשר בין השיפועים של שני ישר ים המאונכים זה לזה‪:‬‬
‫מכפלת השיפועים של שני ישרים המאונכים זה לזה שווה ‪1‬‬
‫)בתנאי שהישרים אינם מקבילים לצירים(‪.‬‬
‫במילים אחרות‪ ,‬אם הישרים ‪ y  m1x  b1‬ו‪y  m 2 x  b 2 -‬‬
‫מאונכים זה לזה‪ ,‬אז מתקיים‪.( m 2  0 , m1  0 ) m1  m 2  1 :‬‬
‫‪y‬‬
‫נוכיח את הנוסחה ‪. m1  m 2  1‬‬
‫נתבונן בציור בו מתואר‬
‫‪m2‬‬
‫הישר ‪(m1  0) y  m1x  n1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫היוצר זווית ‪ 1‬עם הכיוון החיובי‬
‫‪m1‬‬
‫‪x‬‬
‫של ציר ה‪ x -‬ומתואר הישר ‪, (m 2  0) y  m 2 x  n 2‬‬
‫היוצר זווית ‪  2‬עם הכיוון החיובי של ציר ה‪) x -‬ראה ציור(‪.‬‬
‫ידוע כי קיים קשר בין הש יפוע ‪ m‬של ישר לזווית ‪ ‬שיוצר הישר‬
‫עם הכיוון החיובי של ציר ה‪ , x -‬לכן ‪. tan  2  m 2 , tan 1  m1 :‬‬
‫הישרים מאונכים זה לזה‪ ,‬לכן הזווית ביניהם היא בת ‪. 90‬‬
‫הזווית ‪  2‬ה יא זווית חיצונית למשולש שבציור‪ ,‬לכן ‪,  2  90  1‬‬
‫‪‬‬
‫כלומר ‪ . 1   2  90‬נביע את ‪: m1‬‬
‫‪1  1‬‬
‫‪tan  2‬‬
‫‪m2‬‬
‫קיב לנו ‪1‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪m1  tan 1  tan( 2  90 )   tan(90   2 )  ‬‬
‫‪ m1  ‬ולכן ‪. m1  m 2  1‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫א‪ .‬מתקיים גם המשפט ההפוך‪:‬‬
‫אם ‪ , m1  m 2  1‬אז הישרים מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫ב‪ .‬לא ניתן להסתמך על הכלל ‪ m1  m 2  1‬כאשר הישרים מקבילים‬
‫לצירים או מתלכ דים עם הצירים‪.‬‬
‫במקרים אלה נוכל לפעול באופן הבא‪ :‬אם נתון ישר המקביל לציר ה‪, x -‬‬
‫אז ישר המאונך לו הוא ישר המקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫‪y‬‬
‫אם נתון ישר המקביל לציר ה‪ , y -‬אז ישר‬
‫המאונך לו הוא ישר המקביל לציר ה‪. x -‬‬
‫למשל‪ :‬הישר ‪ y  2‬מקביל לציר ה‪. x -‬‬
‫אם הישר המקווקו עובר בנקודה )‪A(3;5‬‬
‫ומאונך לישר ‪ , y  2‬אז הוא מקביל‬
‫לציר ה‪ y -‬ומשוואתו היא ‪. x  3‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪14‬‬
‫)‪A(3;5‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪x‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫נתון ישר ששיפועו ‪ . 2‬מצא שיפועו של ישר המאונך לו‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נסמן ב‪ m1 -‬את שיפוע הישר הנתון‪ ,‬כלומר ‪. m1  2‬‬
‫‪3‬‬
‫נסמן ב‪ m 2 -‬את שיפוע הישר המבוקש‪.‬‬
‫הישרים מאונכים זה לזה‪ ,‬לכ ן ‪. m1m 2  1‬‬
‫נציב ונקבל ‪ , 2 m 2  1‬כלומר ‪ m 2   3‬וזהו שיפוע של הישר המאונך‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫הערה‪ :‬אפשר לראות ששיפוע הישר ה נתון הוא ‪ 2‬ושיפוע הישר המאונך‬
‫‪3‬‬
‫הוא ‪ ,  3‬כלומר שיפוע של ישר אחד הוא הנגדי להופכי של שיפוע הישר‬
‫‪2‬‬
‫השני )הפוך בגודל ונגדי בסימן(‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫הישר ‪ y  12 x  3‬חותך את ציר ה‪y -‬‬
‫בנקודה ‪ , A‬ואת ציר ה‪ x -‬בנקודה ‪. B‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫בנקודה ‪ A‬מעבירים ישר המאונך לישר‬
‫הנתון‪ .‬מצא את משוואת הישר המאונך‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫הנקודה ‪ A‬הי א נקודת החיתוך של הישר ‪ y  1 x  3‬עם ציר ה‪, y -‬‬
‫‪2‬‬
‫לכן )‪ . A(0;3‬משוואת הישר ‪ AB‬היא ‪ y  1 x  3‬לכן שיפועו ‪. 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫הישר המבוקש מאונך לישר ‪ AB‬ולכן שיפועו ‪. 2‬‬
‫נמצא את משוואת הישר המבוקש על פי השיפוע ‪ m  2‬והנקודה )‪. A(0;3‬‬
‫נקבל‪ y  3  2(x  0) :‬ומכאן ‪. y  2x  3‬‬
‫תרגילים‬
‫‪.1‬‬
‫מצא את שיפועי הישרים המאונכים לישרים הבאים‪:‬‬
‫א‪y  13 x  5 .‬‬
‫‪.2‬‬
‫ב‪y  4x  7 .‬‬
‫ג ‪8y  5x  13 .‬‬
‫א‪ .‬מצא משוואת ישר העובר בנקודה )‪( 5; 4‬‬
‫ומאונך לישר ‪. 9x  8y  5  0‬‬
‫ב ‪ .‬מצא משוואת ישר העובר בנקודה )‪ (8;5‬ומאונך לישר ‪. x  6‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪15‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪y‬‬
‫ישר שמשוואתו ‪ y   34 x  6‬חותך את ציר ה‪y -‬‬
‫‪A‬‬
‫בנקודה ‪ A‬ואת ציר ה‪ x -‬בנקודה ‪. B‬‬
‫בנקודה ‪ A‬מעבירים ישר המאונך‬
‫לישר הנתון‪ .‬הישר המאונך חותך‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫את ציר ה‪ x -‬בנקודה ‪. C‬‬
‫חשב את שטח המשולש ‪. ABC‬‬
‫‪.4‬‬
‫בכל אחד מהסעיפים הבאים נתונים שני ישרים‪.‬‬
‫מצא מה צריך להיות ערכו של הפרמטר ‪ m‬כדי שהישרים יהיו מאונכים‬
‫זה לזה‪.‬‬
‫א‪y  1 mx .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.5‬‬
‫ב‪5y  mx  3 .‬‬
‫‪. y  (m  3)x  2‬‬
‫‪. (m  2)y  3x  1‬‬
‫נתון משולש שקדקודיו הם‪. C(5; 3) , B(0; 8) , A( 1; 0) :‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הגובה לצלע ‪. BC‬‬
‫ב‪ .‬מצא את מש וואת הגובה לצלע ‪. AC‬‬
‫ג‪ .‬הראה ששלושת הגבהים נפגשים בנקודה אחת ומצא את שיעוריה‪.‬‬
‫‪.6‬‬
‫שניים מקדקודי משולש ‪ ABC‬הם )‪ A(10; 11‬ו‪. B( 14;1) -‬‬
‫משוואת הגובה לצלע ‪ BC‬היא ‪ y  3x  19‬ומשוואת הגובה לצלע ‪AC‬‬
‫היא ‪ . 7y  x  7‬מצא את שיעורי הקדקוד ‪. C‬‬
‫‪.7‬‬
‫במשולש ‪ , ABC‬משוואות הצלעות ‪ AB‬ו‪ AC -‬הן ‪y   4x  27‬‬
‫ו‪ , y  1 x  4.5 -‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫הגבהים של המשולש נפגשים בנקודה )‪. (9;3‬‬
‫מצא את משוואות הגבהים של המשולש‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬משוואת הגובה לצלע ‪ AB‬היא ‪ y  2x  5‬ומשוואת‬
‫הגובה לצלע ‪ AC‬היא ‪. 3y  x  0‬‬
‫אחד מקדקודי המשולש הוא בנקודה )‪. (13; 9‬‬
‫א‪ .‬מצא את שני הקדקודים האחרים של המשולש‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת הגובה השלישי‪.‬‬
‫‪.9‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬נתון‪ A(9;11) :‬ו‪. B(5;3) -‬‬
‫נקודת החיתוך של הגבהים במשולש היא )‪. (9;7‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקוד ‪. C‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪16‬‬
‫‪. 10‬‬
‫במשולש ‪ , ABC‬משוואת הצלע ‪ AC‬היא ‪ , y  3x  23‬מפגש הגבהים‬
‫הוא בנקודה )‪ , (5;3‬והגובה לצלע ‪ AB‬חותך אותה בנקודה )‪. (3;4‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקודי ם של המשולש‪.‬‬
‫‪. 11‬‬
‫‪‬‬
‫ה משולש ‪ ABC‬הוא ישר‪ -‬זווית ) ‪. ( ABC  90‬‬
‫נתון‪ , B(8; 7) , A(2; 4) :‬והקודקוד ‪ C‬נמצא על ציר ה‪. x -‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקו ד ‪. C‬‬
‫‪. 12‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬הוא ישר‪ -‬זווית‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫משוואת היתר ‪ AC‬היא ‪ y   3 x  7‬ומשוואת הניצב ‪ BC‬היא ‪. y  2x‬‬
‫הנקודה )‪ D( 2;1‬נמצאת על הניצב ‪. AB‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הקדקוד ‪. A‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת הגובה ליתר ‪. AC‬‬
‫‪. 13‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬הוא ישר‪ -‬זווית ) ‪ . (C  90‬נתון‪. B(5; 1) , A(4;6) :‬‬
‫הקדקוד ‪ C‬נמצא על הישר ‪. y  2x‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקוד ‪) C‬שתי אפשרויות(‪.‬‬
‫‪. 14‬‬
‫קודקוד הזווית הישרה של משולש ישר‪ -‬זו וית נמצא על הישר ‪. y  7x  37‬‬
‫שני הקדקודים האחרים הם בנקודות )‪. ( 7; 6) , (3; 4‬‬
‫מצא את השיעורים של קדקוד הזווית הישרה‪.‬‬
‫‪. 15‬‬
‫נתון קטע ‪ AB‬שקצותיו הם )‪ A(3;12‬ו‪. B(2;7) -‬‬
‫מצא נקודה על ציר ה‪ y -‬שממנה רואים את הקטע ‪ AB‬בזווית ישרה‪.‬‬
‫‪. 16‬‬
‫‪y‬‬
‫נתונות הנקודות )‪. O(0;0) , C(0; t) , B(9;0) , A(3;0‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ D‬היא נקודה על הקטע ‪ BC‬כך ש‪. OD  AC -‬‬
‫‪ AC‬ו‪ OD -‬נפגשים בנקודה ‪. E‬‬
‫‪D‬‬
‫נת ון‪. x D  6 :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את שיעורי הנקודה ‪. D‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪. E‬‬
‫‪. 17‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫שתיים מצלעותיו של מלבן מונחות על שני הישרים ‪y  2x  3‬‬
‫ו‪ . y  2x  17 -‬ידוע ששניים מקדקודיו של המלבן הם‪ (2; 7) :‬ו‪. ( 1;1) -‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקודים האחרים של המלבן‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪17‬‬
‫‪. 18‬‬
‫‪ ABCD‬הוא מלבן ששניים מקדקודיו הם )‪ A(1; 2‬ו‪. B( 1; 2) -‬‬
‫האלכסון ‪ AC‬נמצא על הישר ‪. 7x  ky  15‬‬
‫א‪ .‬מצא את הערך של ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שני הקדקודים האחרים של המלבן‪.‬‬
‫‪. 19‬‬
‫במקבילית ‪ ABCD‬הגובה ‪ AE‬לצלע ‪ DC‬מונח על הישר ‪y  2x  10‬‬
‫והגובה ‪ AF‬לצלע ‪ BC‬מונח על הישר ‪ . x  5y  14‬נתון‪. C(7; 8) :‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואות הצלעות ‪ BC‬ו‪. CD -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הקדקודים ‪ B‬ו‪. D -‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪ . 1‬א‪ . 3 .‬ב‪ .  1 .‬ג‪ . 2 . 85 .‬א‪ . y   8 x  8 4 .‬ב‪. y  5 .‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 37 1 . 3‬יח"ר‪ . 4 .‬א‪ 1 .‬או ‪ . 2‬ב‪ . 5 . 5 .‬א‪ . y  x  1 .‬ב‪. y  2x  8 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ג‪. y  x  , y  2x  21 , y  2x  15 . 7 . (13;10) . 6 . (2 ;3 ) .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪ . 8‬א‪ . C(7;9) , B( 3; 1) .‬ב‪. C(7;2) , B(2;2) , A(5;8) . 10 . (17;3) . 9 . y   x  4 .‬‬
‫‪ . 12 . (0; 23) . 11‬א‪ . ( 42; 21) .‬ב ‪ (1; 2) . 13 . y  3x .‬או )‪. (5; 2) . 14 . (2.8;5.6‬‬
‫‪ (0;10) . 15‬או )‪ . 16 . (0;9‬א‪.‬‬
‫) ‪ . D(6; 3t‬ב‪. E(2 74 ; 73 6) .‬‬
‫‪. (10; 3) , (7; 3) . 17‬‬
‫‪ . 18‬א‪ . 4 .‬ב‪ . 19 . D(7; 1) , C(5; 5) .‬א‪. y  12 x  4 12 , y  5x  27 .‬‬
‫ב‪. D(5;7) , B(6;3) .‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪18‬‬