ניצבות של ישרים וקטעים

‫‪-142-‬‬
‫ניצבות של ישרים וקטעים‬
‫נתונה זווית ישרה ‪ , ]ABC‬שקודקודה בנקודה ‪ .B‬האריכו את השוק מתחת לנקודה ‪ .B‬לאחר מכן האריכו‬
‫את השוק משמאל לנקודה ‪.B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫הארכת‬
‫השוק ‪BC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫הארכת‬
‫השוק ‪AB‬‬
‫ישר ניצב )מאונך( לישר אחר‪ ,‬אם הוא יוצר אתו זוויות ישרות‪.‬‬
‫• הישר ‪ a‬ניצב )מאונך( לישר ‪.b‬‬
‫• הישר ‪ b‬ניצב )מאונך( לישר ‪.a‬‬
‫צורת הרישום היא‪ a = b :‬או ‪. b = a‬‬
‫‪b‬‬
‫תזכורת‪:‬‬
‫מקובל לסמן ישרים על‪-‬ידי אותיות לועזיות קטנות ‪ a,b,c,k‬וכו'‪.‬‬
‫‪ .4‬בסרטוט שלפניכם כמה ישרים‪.‬‬
‫א‪ .‬קבעו אילו זוגות של ישרים ניצבים זה לזה‪.‬‬
‫רשמו את תשובתכם בשפה מתמטית‪.‬‬
‫ב‪ .‬בדקו את תשובתכם על‪-‬ידי מדידת הזוויות‪.‬‬
‫ג‪ .‬ציינו בלי לנמק‪ ,‬אליו ישרים לא יחתכו זה את זה‪,‬‬
‫גם אם נמשיכם עד אינסוף‪.‬‬
‫תשובות‪ :‬בעמ' ‪193‬‬
‫© כל הזכויות שמורות ‪ -‬יצחק שלו & אתי עוזרי ‪ -‬מתמטיקה לכיתה ז' ‪ -‬אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a‬‬
‫‪k c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪m‬‬
‫‪www.mathstar.co.il‬‬
‫נוצרו כמתואר בסרטוט ארבע זוויות‪ ,‬שאחת מהן היא ‪. ]ABC‬‬
‫ידוע כי ‪ ]ABC‬היא זווית ישרה‪ .‬אם תבדקו את שלוש הזוויות האחרות‬
‫על‪-‬ידי משולש סרטוט‪ ,‬יתברר כי הן גם ישרות‪.‬‬
‫כלומר‪ :‬שני הישרים שבסרטוט חותכים זה את זה בנקודה ‪,B‬‬
‫ונוצרות ארבע זוויות ישרות‪. 1 , 2 , 3 , 4 :‬‬
‫במקרה זה אומרים ששני הישרים ניצבים זה לזה‪.‬‬
‫במקום המילה "ניצבים" משתמשים לפעמים במונח "מאונכים"‪,‬‬
‫כלומר שני הישרים מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫‪-143-‬‬
‫כיצד נבנה אנך לישר מנקודה שעליו )כלומר אם נתון ישר ‪ k‬ועליו נקודה ‪?(A‬‬
‫כיצד ניתן להעביר דרך נקודה זו ישר שניצב )מאונך( לישר הנתון?‬
‫•‬
‫בנייה בעזרת משולש סרטוט‬
‫שלב א'‪ :‬מצמידים את המשולש לישר כמתואר בסרטוט‪.‬‬
‫שלב ב'‪ :‬מסרטטים את הקרן החדשה‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪A‬‬
‫שלב ב'‬
‫שלב א'‬
‫‪ .5‬נתון ישר ועליו נתונה נקודה‪.‬‬
‫העתיקו את הסרטוטים למחברתכם‪ ,‬ובנו ישר המאונך לישר הנתון ועובר דרך הנקודה הנתונה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ג‪a .‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫‪A‬‬
‫‪c‬‬
‫‪k‬‬
‫תשובות‪ :‬בדקו עם המורה‪.‬‬
‫‪ .6‬נתון ישר ‪ k‬ועליו שתי נקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫א‪ .‬בנו ישרים המאונכים לישר ‪ k‬והעוברים דרך הנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫ב‪ .‬ציינו בלי לנמק‪ ,‬האם שני הישרים שבניתם ייפגשו בנקודה כלשהי?‬
‫תשובות‪ :‬בעמ' ‪193‬‬
‫‪k‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫כיצד נבנה אנך לישר מנקודה חיצונית )כלומר מנקודה שאינה על הישר(?‬
‫נתון ישר ‪ k‬ונקודה ‪ ,A‬הנמצאת מחוץ לישר‪.‬‬
‫כיצד ניתן לבנות ישר הניצב )מאונך( לישר הנתון דרך הנקודה ‪?A‬‬
‫בנייה בעזרת משולש סרטוט‬
‫שלב א'‪ :‬מצמידים את משולש הסרטוט לישר ומגלישים אותו לכיוון הנקודה ‪.A‬‬
‫שלב ב'‪ :‬עוצרים את משולש הסרטוט כאשר הוא מגיע לנקודה ‪ A‬ומסרטטים קרן‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫ג‬
‫לישה‬
‫נס‬
‫קרןרטט‬
‫שלב ב'‬
‫© כל הזכויות שמורות ‪ -‬יצחק שלו & אתי עוזרי ‪ -‬מתמטיקה לכיתה ז' ‪ -‬אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים‬
‫שלב א'‬
‫‪www.mathstar.co.il‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪-144-‬‬
‫‪ .7‬נתון ישר ונתונה נקודה מחוצה לו‪.‬‬
‫העתיקו את הסרטוטים למחברתכם‪ ,‬ובנו אנך לישר הנתון דרך הנקודה הנתונה‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪k‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪t‬‬
‫‪n‬‬
‫‪A‬‬
‫תשובות‪ :‬בדקו עם המורה‪.‬‬
‫שני קטעים מאונכים זה לזה‪ ,‬אם הם מונחים‬
‫על שני ישרים המאונכים זה לזה‪.‬‬
‫כלומר‪ :‬אם ‪ ,t k‬אזי ‪. AB = CD‬‬
‫‪B‬‬
‫‪m‬‬
‫‪D‬‬
‫‪k‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪t‬‬
‫תזכורת‪:‬‬
‫קטע ‪ -‬חלק של ישר המוגבל על‪-‬ידי שתי נקודות‪ .‬לשתי הנקודות‬
‫‪B‬‬
‫הללו קוראים "קצות הקטע"‪ ,‬ומקובל לסמן אותן באותיות לועזיות‬
‫גדולות‪.A ,B ,C ,D ,... :‬‬
‫‪A‬‬
‫אם קצות הקטע נקראים ‪ A‬ו‪ ,B-‬אזי מדובר בקטע ‪.AB‬‬
‫הערה חשובה‪:‬‬
‫כאשר מדובר בקטע ‪ ,AB‬חשוב לציין את המילה קטע‪ ,‬כלומר קטע ‪ ;AB‬מאחר שבאמצעות‬
‫שתי האותיות הללו קוראים גם לישר ‪ -‬למשל‪ ,‬ישר ‪ - AB‬כאשר הכוונה לישר העובר דרך‬
‫שתי הנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫כדי למנוע אי‪-‬בהירות‪ ,‬יש לציין תמיד אם מדובר בקטע ‪ AB‬או בישר ‪.AB‬‬
‫‪ .9‬לפניכם כמה מרובעים‪ .‬קבעו אילו קטעים בהם מאונכים זה לזה‪ ,‬ורשמו אותם בשפה מתמטית‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫‪N‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪K‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬
‫תשובות‪ :‬בעמ' ‪193‬‬
‫© כל הזכויות שמורות ‪ -‬יצחק שלו & אתי עוזרי ‪ -‬מתמטיקה לכיתה ז' ‪ -‬אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים‬
‫‪E‬‬
‫‪www.mathstar.co.il‬‬
‫‪ .8‬נתון ישר ‪ m‬ונתונות שתי נקודות ‪ A‬ו‪ B-‬מחוצה לו‪.‬‬
‫א‪ .‬בנו אנכים לישר ‪ m‬דרך הנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫ב‪ .‬ציינו בלי לנמק‪ ,‬האם שני הישרים שבניתם ייפגשו בנקודה כלשהי?‬
‫תשובות‪ :‬בדקו עם המורה‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪-145‬‬‫‪ .10‬נתונים שני קטעים ‪ AB‬ו‪.BC-‬‬
‫נתון‪.AB BC :‬‬
‫א‪ .‬העתיקו במדויק את הקטעים ‪ AB‬ו‪ BC-‬לדף משובץ במחברתכם‬
‫וסמנו את הנקודה ‪ D‬על הדף‪ ,‬כך ש‪ DA AB-‬ו‪.DC BC-‬‬
‫ב‪ .‬כמה נקודות כאלה ניתן לסמן לדעתכם?‬
‫ג‪ .‬מהו סוג הזווית ‪) ADC‬במידת הצורך היעזרו במשולש סרטוט(?‬
‫ד‪ .‬מה תוכלו לומר על הקטעים ‪ DA‬ו‪?DC-‬‬
‫ה‪ .‬מה תוכלו לומר על המרובע ‪ ?ABCD‬הסבירו‪.‬‬
‫תשובות‪ :‬בעמ' ‪193‬‬
‫•‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫נגדיר כעת אנך אמצעי לקטע‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫כיצד נבנה אנך אמצעי?‬
‫למה הכוונה כשאומרים "שני קטעים השווים באורכם"?‬
‫בנייה בעזרת קיפולי נייר‪.‬‬
‫שלב א'‪ :‬על הנייר מסרטטים קטע כלשהו ‪.AB‬‬
‫שלב ב'‪ :‬מקפלים את הנייר כך שהקצה ‪ A‬של הקטע יתלכד במדויק עם הקצה ‪ B‬של‬
‫הקטע‪.‬‬
‫שלב ג' ‪ :‬פותחים את הנייר ומסרטטים קו על קו הקיפול‪ ,‬הנקרא ישר ‪.m‬‬
‫נקודת החיתוך של הישר ‪ m‬עם הקטע תסומן ב‪.C-‬‬
‫שלב ד'‪ :‬התקבל ישר שניצב לקטע הנתון וחוצה אותו‪.‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪B‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪B‬‬
‫קו‬
‫הקיפ‬
‫ול‬
‫התל‬
‫קצו כדות‬
‫ות‬
‫ה‬
‫ק‬
‫טע‬
‫‪AC‬‬
‫קו ה‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫קיפול‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫שימו לב!‬
‫התקבלו שני קטעים ‪ AC‬ו‪ CB-‬המתלכדים כאשר מקפלים את הדף‪.‬‬
‫זו בדיוק הכוונה כאשר מדברים על שוויון של אורכי הקטעים ורושמים‪.AB = BC :‬‬
‫הקטע ‪ AB‬נחצה‪ ,‬לכן לנקודה ‪ C‬קוראים נקודה אמצעית‪.‬‬
‫זכרו!‬
‫לחצות קטע פירושו לחתוך אותו לשני קטעים שווים באורכם‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות ‪ -‬יצחק שלו & אתי עוזרי ‪ -‬מתמטיקה לכיתה ז' ‪ -‬אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים‬
‫‪www.mathstar.co.il‬‬
‫אנך אמצעי לקטע הוא ישר המאונך לקטע‬
‫וחוצה אותו‪.‬‬
‫)כלומר מחלק אותו לשני קטעים‬
‫שווים באורכם(‪.‬‬
‫‪m‬‬
‫‪-146‬‬‫‪ .11‬הישר ‪ a‬הוא אנך אמצעי לקטע ‪ PQ‬וחותך אותו בנקודה ‪.E‬‬
‫‪K‬‬
‫הנקודה ‪ K‬מונחת על הישר ‪.a‬‬
‫א‪.‬‬
‫מה תוכלו לומר על הקטעים ‪ PE‬ו‪ ?EQ -‬הסבירו‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מה תוכלו לומר על הזוויות ‪ KEQ‬ו‪ ?KEP -‬הסבירו‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪a‬‬
‫תשובות‪ :‬בעמ' ‪193‬‬
‫‪ .12‬נתונים שני קטעים ‪ AB‬ו‪ BC -‬כך ש‪.AB BC -‬‬
‫‪A‬‬
‫הישר ‪ m‬אנך אמצעי לקטע ‪ .AB‬הישר ‪ k‬אנך אמצעי לקטע ‪.CB‬‬
‫התבוננו בסרטוט וענו על השאלות הבאות‪:‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מהו סוג הזווית ‪ ?DFB‬הסבירו‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מהו סוג הזווית ‪ ?FDE‬העזרו בתשובתכם במשולש סרטוט‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מהו סוג המרובע ‪ ?BEDF‬הסבירו‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מה תוכלו לומר על הקטעים ‪ AE‬ו‪ ? EB-‬הסבירו‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫מה תוכלו לומר על הקטעים ‪ CF‬ו‪ ?FB -‬הסבירו‪.‬‬
‫‪m‬‬
‫תשובות‪ :‬בעמ' ‪193‬‬
‫© כל הזכויות שמורות ‪ -‬יצחק שלו & אתי עוזרי ‪ -‬מתמטיקה לכיתה ז' ‪ -‬אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪k‬‬
‫‪C‬‬
‫‪www.mathstar.co.il‬‬
‫א‪.‬‬
‫מהו סוג הזווית ‪ ?DEB‬הסבירו‪.‬‬
‫‪P‬‬