`1 - 33 עמ מספרים טבעיים גדולים .א

‫עמ' ‪33 - 1‬‬
‫א‪ .‬מספרים טבעיים גדולים‬
‫רקע‬
‫פרק זה והפרק הבא אחריו עוסקים במספרים הטבעיים הגדולים ממיליון‪ .‬נוסף על כך עוסקים‬
‫כאן בקצרה בספרות הרומיות‪ .‬תלמידי כיתה ה' עוסקים בפעם האחרונה במספרים הטבעיים‬
‫באופן מרוכז‪ ,‬ולכן חשוב להבהיר לתלמידים שעל כל המספרים הטבעיים – על הקטנים ועל‬
‫הגדולים ‪ -‬חלים אותם החוקים ואותם הכללים‪ .‬המונח "מספר גדול" מתייחס למספר הספרות‬
‫שבמספר )יותר מ‪ 6 -‬ספרות( ולא להקשר שבו משתמשים במספר‪ ,‬לדוגמה‪ 40 :‬הוא מספר גדול‬
‫כאשר מדובר במספר ילדים בכיתה והוא מספר קטן כאשר מדובר באגורות‪ ,‬אוכלוסייה של‬
‫מיליון תושבים בארץ אינה אוכלוסייה גדולה‪ ,‬אך ביחס‪ ,‬לעיר בארץ זו אוכלוסייה גדולה‪.‬‬
‫מבחינה מתמטית‪ 40 ,‬נחשב מספר קטן‪ ,‬ומיליון נחשב מספר גדול‪.‬‬
‫קבוצת המספרים הטבעיים היא קבוצה בסיסית לבניית ה"עולם המספרי"‪ ,‬לכן חשוב לתרגל‬
‫שוב ושוב את החוקים ואת הכללים בעיקר במספרים הטבעיים הגדולים ממיליון‪.‬‬
‫בפרק זה חוזרים‬
‫על פילוג מספר לפי המבנה העשרוני;‬
‫על כתיבה ועל קריאה של מספרים גדולים ועל השוואה ביניהם;‬
‫על הסדר של מספרים על ציר המספרים ועל עיגול של מספרים גדולים‪.‬‬
‫חשוב להבין שתמיד יש מספר עוקב למספר טבעי‪ ,‬כלומר יש אין‪-‬סוף מספרים טבעיים‪ .‬חשוב‬
‫להבין גם שהמושג "מספר עוקב" חל רק על המספרים הטבעיים‪ .‬אין שבר "עוקב" לשבר!‬
‫אף‪-‬על‪-‬פי שהתלמידים עסקו מכיתה א' במספרים הטבעיים עד מיליון‪ ,‬הם עשויים להתקשות‬
‫בנושא זה מכמה סיבות‪:‬‬
‫קשה לקרוא ולכתוב מספר שמורכב מהרבה ספרות ותופס הרבה מקום בכתיבה;‬
‫קשה להפעיל את חוקי הפעולות על המספרים הגדולים;‬
‫מבחינה טכנית‪ ,‬קשה "לנהל מקום" לכתיבת תרגיל שיש בו מספרים גדולים‪.‬‬
‫במהלך העבודה בפרק מנסים להתגבר על הקשיים האלו‪.‬‬
‫במספרים גדולים יש שימוש רב בסטטיסטיקה‪ ,‬בכלכלה ובאסטרונומיה‪.‬‬
‫אפשר לבקש מהתלמידים לחפש בעיתונים מספרים גדולים ולחבר שאלות מתאימות‪.‬‬
‫"ספרות רומיות"‬
‫הנושא "ספרות רומיות" הוא נושא חדש והוחל ללמדו בתכנית הלימודים לשנת תשס"ו‪ .‬לפי‬
‫התכנית‪ ,‬מומלץ ללמד את הנושא בכיתות מתקדמות‪.‬‬
‫אחד היתרונות של הוראת ספרות שונות הוא שהתלמידים מבינים טוב יותר את מבנה המספר‪,‬‬
‫כאשר הם נחשפים לאפשרויות שונות של כתיבת מספר‪ .‬הם יכולים להבין שכתיבה וקריאה של‬
‫מספר מבוססות על הסכמים‪ ,‬והן אינן "טבעיות"‪ .‬נוסף על כך‪ ,‬באמצעות לימוד זה אפשר‬
‫להבין את ההבדלים בין ספרה לבין ערך של ספרה ולבין מספר‪.‬‬
‫הקושי העיקרי של תלמידים הוא שהשיטה אינה מוכרת‪ .‬הם צריכים להכיר את הספרות ואת‬
‫ערכן ולהבין את דרכי החישוב של ערך המספר‪ .‬עם זאת לימוד הנושא נתפס כ"משחק" הודות‬
‫לחידוש שיש בו‪.‬‬
‫אין לדרוש שליטה בקריאה ובכתיבה של מספרים רומיים‪.‬‬
‫כל שיטה של כתיבת מספרים מבוססת על שימוש בפעולות ובמספר מוגבל של סימנים בסיסיים‬
‫)הספרות(‪ ,‬שקובעים באמצעותם את ערך המספר הכתוב‪.‬‬
‫השיטה העשרונית היא שיטה של 'פוזיציה' )מקום(‪ .‬היא מבוססת על שימוש בספרות ‪,2 , 1, 0‬‬
‫‪ 9........‬ועל פעולות כפל וחיבור‪ ,‬וערך של ספרה תלוי במקומה במספר‪ .‬כדי לחשב ערך של מספר‬
‫בשיטת 'פוזיציה' כופלים כל ספרה בחזקה המתאימה של הבסיס ומחברים את התוצאות‪.‬‬
‫דוגמה‪3054 = 3 × 1000 + 0 × 100 + 5 × 10 + 5 × 1 268 = 2 × 100 + 6 × 10 + 8 × 1 :‬‬
‫השיטה הרומית לכתיבת מספרים אינה שיטה של 'פוזיציה'‪ .‬לכל ספרה יש ערך מסוים קבוע‪.‬‬
‫הספרה הרומית‬
‫ערך הספרה לפי השיטה העשרונית‬
‫‪I‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪V‬‬
‫‪5‬‬
‫‪X‬‬
‫‪10‬‬
‫‪L‬‬
‫‪50‬‬
‫‪C‬‬
‫‪100‬‬
‫‪D‬‬
‫‪500‬‬
‫‪M‬‬
‫‪1,000‬‬
‫השיטה הרומית מבוססת על פעולות חיבור וחיסור לפי החוקים המפורטים להלן‪:‬‬
‫א‪ .‬כאשר כתובות שתי ספרות סמוכות שערכן שונה‪:‬‬
‫ אם הספרה שערכה קטן יותר כתובה מימין לספרה שערכה גדול יותר‪,‬‬‫‪L X = 60‬‬
‫מחברים את ערך הספרות‪ .‬דוגמאות‪X I=10+1= 11 :‬‬
‫ אם הספרה שערכה קטן יותר כתובה משמאל לספרה שערכה גדול יותר‪,‬‬‫‪X L = 40‬‬
‫מחסרים את ערך הספרות‪ .‬דוגמאות‪I X = 9 :‬‬
‫ב‪ .‬לא כותבים אותה ספרה יותר משלוש פעמים‪ .‬דוגמה‪ :‬כותבים ‪ 40‬כך‪ ,XL :‬ולא כך‪:‬‬
‫‪.XXXX‬‬
‫ג‪ .‬כותבים לכל היותר ספרה אחת בלבד שערכה קטן יותר מהספרה שמימין לה‪.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬כותבים ‪ 300‬כך‪ ,C C C :‬ולא כך ‪.C C D‬‬
‫ד‪ .‬כדי לכפול מספר ב‪ 1,000-‬מסמנים קו מעל המספר‪ .‬דוגמה‪X :‬‬
‫ה‪ .‬כדי לכפול מספר ב‪ 10,000-‬מסמנים שני קווים מעליו‪ .‬דוגמה‪X :‬‬
‫ו‪ .‬מותר לחסר ‪ I‬רק מ‪ V -‬או מ‪ . X -‬מותר לחסר ‪ X‬רק מ‪ C -‬או מ – ‪.M‬‬
‫מומלץ להקדיש כשעתיים לנושא של ספרות רומיות‪.‬‬
‫מושגים‬
‫השיטה העשרונית‪ ,‬פוזיציה )ערך המקום(‪ַ ,‬מ ְח ָלקות‪ ,‬יחידות‪ ,‬אלפים‪ ,‬מיליונים‪ ,‬מיליארדים‪,‬‬
‫עשרות‪ ,‬מאות‪ ,‬מספר טבעי‪ ,‬ספרה‪ ,‬מיליון‪ ,‬מיליארד‪ ,‬סדר‪ ,‬סדרה‪ ,‬מספר עוקב‪ ,‬השוואה‪ ,‬גדול‪,‬‬
‫קטן‪ ,‬עיגול מספרים‪ ,‬חזקה‪ ,‬בסיס‪ ,‬מעריך‪ ,‬סימן‪ ,‬ספרה‪ ,‬ערך של ספרה‪ ,‬ערך של מספר‪ ,‬כתיבת‬
‫מספר‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬לכתוב מספר בספרות לפי תיאורו המילולי;‬
‫ב‪ .‬לקרוא מספר כתוב;‬
‫ג‪ .‬לפלג מספר לפי המבנה העשרוני;‬
‫ד‪ .‬לרשום את הפילוג בעזרת ֲח ָזקות של עשר;‬
‫ה‪ .‬להרכיב מספר אם נתון פילוגו לפי המבנה העשרוני;‬
‫ו‪ .‬לציין את ערך הספרה במספר;‬
‫ז‪ .‬להשוות בין מספרים;‬
‫ח‪ .‬לסדר מספרים לפי סדר עולה או יורד;‬
‫ט‪ .‬לעגל מספר לפי הוראות או לפי צורך בפתרון הבעיה או להשתמש בסדר גודל של מספר‬
‫מתאים לנתונים;‬
‫י‪ .‬לכתוב את הספרות הרומיות;‬
‫יא‪ .‬לחשב את הערך של כל ספרה רומית לפי השיטה העשרונית;‬
‫יב‪ .‬לקרוא מספר הכתוב בשיטה רומית;‬
‫יג‪ .‬לכתוב בשיטה הרומית מספר הנתון בשיטה העשרונית;‬
‫יד‪ .‬לכתוב בשיטה העשרונית מספר הנתון בשיטה הרומית‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫טבלאות המבנה העשרוני לפי מחלקות‪ :‬יחידות‪ ,‬אלפים‪ ,‬מיליונים ומיליארדים; כרטיסי מספרים‬
‫במילים ובספרות; תמונות של מבנים שמופיעים בהם מספרים בשיטה הרומית; תמונות של‬
‫שעונים עתיקים; שעונים‬
‫הטמעה‬
‫פעילויות ההטמעה הראשונות משמשות לבדיקת ידע קודם של מושגים הנדרשים בלימוד הפרק‪.‬‬
‫פעילות הטמעה ד' נועדה לשמירת הידע בגאומטריה‪.‬‬
‫א‪ .‬חזרה על מספרים טבעיים ועל אפס‪ ,‬קריאה וכתיבה של המספרים‪.‬‬
‫המורה כותבת על הלוח את הספרות ‪ 0 ,8 ,5 ,4 ,2‬ומבקשת מהתלמידים לכתוב בעזרתן את‬
‫המספר הגדול ביותר‪ ,‬את המספר הקטן ביותר‪ ,‬מספר המתחלק ב‪ ,5 -‬מספר זוגי‪ ,‬מספר‬
‫המתחלק ב‪) .10 -‬בכל ספרה משתמשים פעם אחת בלבד‪(.‬‬
‫המורה מבקשת מהתלמידים לקרוא את המספר הכתוב ולענות על השאלות‪" :‬כמה אלפים‬
‫במספר הגדול ביותר? ובקטן ביותר? כמה עשרות? כמה יחידות? איך קוראים מספר המורכב‬
‫מהספרה ‪ 2‬ומשישה אפסים? מהספרה ‪ 7‬ומחמישה אפסים?" וכן הלאה‪.‬‬
‫המורה רושמת מספר שבו ‪ 5‬מאות ו‪ 3 -‬יחידות; ‪ 7‬אלפים ו‪ 2 -‬יחידות‪.‬‬
‫המורה שואלת‪" :‬כמה עשרות במאה? כמה מאות באלף? כמה יחידות באלף? כמה עשרות‬
‫באלף?" וכדומה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על השוואה בין המספרים הטבעיים‪.‬‬
‫המורה כותבת על הלוח זוגות של מספרים ‪ -‬כמו ‪ 3,782‬ו‪ 5,166 ;3,702 -‬ו‪ - 5,666 -‬ושואלת את‬
‫התלמידים‪" :‬מי גדול יותר? מי נמצא ימינה יותר על ציר המספרים?"‬
‫התלמידים מתבקשים לספור בעשרות שלמות מ‪ 350 -‬עד ‪ ; 440‬מ‪ 1,000 -‬עד ‪.1,100‬‬
‫ג‪ .‬חזרה על מספר עוקב ועל מספר קודם‪.‬‬
‫אחד התלמידים אומר מספר גדול מ‪ .1,000 -‬על התלמיד הבא לומר מהו המספר העוקב שלו או‬
‫המספר הקודם לו‪.‬‬
‫ד‪ .‬חזרה על משולשים ועל מרובעים‪.‬‬
‫התלמידים מקבלים דף שמצוירות עליו הצורות‪ :‬משולש שווה‪-‬צלעות‪ ,‬משולש ישר‪-‬זווית‪,‬‬
‫טרפז שווה‪-‬שוקיים‪ ,‬טרפז ישר‪-‬זווית‪ ,‬מלבן‪ .‬הם רושמים את האותיות של המשולשים ושל‬
‫המרובעים ועונים על שאלות כגון‪" :‬לאילו מהצורות יש זווית ישרה? באיזה מרובע כל הזוויות‬
‫ישרות? מה שמו?"‬
‫פעילויות גילוי‬
‫לעלות על הגל‬
‫מבצעים את פעילויות הגילוי המותאמות לחלק "לעלות על הגל"‪ ,‬רק אם יש צורך בכך לאחר‬
‫בדיקת הידע ב"מבדק" "האם אנו מוכנים"‪.‬‬
‫מספרים גדולים‬
‫פעילות א‪ :‬המורה מבקשת שכל תלמיד יכתוב על הלוח המחיק או במחברת את המספר‬
‫הגדול ביותר שהוא מכיר‪ .‬כדאי לדון עם התלמידים בשאלה כיצד אפשר להגיע למספר גדול‬
‫יותר‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫פעילות ב‪ :‬המורה כותבת על הלוח את המספרים ‪ 995 ,95‬או ‪ .9,995‬על התלמידים למצוא‬
‫מספר בעל מספר ספרות גדול יותר על‪-‬ידי הוספת ‪ 1‬מספר פעמים‪ .‬לדוגמה‪ ,‬אם כתוב המספר‬
‫‪ ,95‬על התלמידים להגיע למספר ‪.100‬‬
‫דנים עם התלמידים בשאלות‪:‬‬
‫כמה צעדים נדרשו כדי להגיע למספר שהתקבל?‬
‫איך נקרא המספר החדש שהתקבל?‬
‫האם קיימים מספרים טבעיים עוקבים שהם בעלי מספר ספרות שונה?‬
‫האם קיים מספר טבעי העוקב למספר כלשהו הגדול ביותר?‬
‫האם לכל מספר טבעי קיים מספר עוקב?‬
‫האם לכל מספר טבעי קיים מספר קודם?‬
‫האם לקבוצת המספרים הטבעיים יש התחלה וסוף?‬
‫השוואה‬
‫פעילות ג‪ :‬בשלב הראשון שואלים את התלמידים איזה מספר גדול יותר‪ 8 :‬או ‪ 3 ;2‬או ‪22 ;13‬‬
‫או ‪ 909 ;19‬או ‪ 99999 ;1011‬או ‪) .100000‬רושמים את המספרים ללא הפסיק המפריד בין‬
‫המחלקות‪(.‬‬
‫בשלב השני מבקשים למצוא דרך להשוות בין המספרים האלו‪:‬‬
‫‪ 8888888888‬ו‪; 88888888 -‬‬
‫‪ 11110111111‬ו‪; 7777707777 -‬‬
‫‪ 8501349728998106457‬ו‪; 850134972869106457 -‬‬
‫‪ 31415926898305‬ו‪.314154268398305 -‬‬
‫דנים בהצעות התלמידים ומגיעים לפתרונות הנפוצים‪ :‬פסיק או רווח בין מחלקות‪ .‬זו‬
‫הזדמנות להבחין במבנה הקבוע של המחלקות‪ :‬יחידות‪ ,‬עשרות‪ ,‬מאות‪ .‬דוגמה‪ :‬מיליון‪,‬‬
‫עשרות מיליון‪ ,‬מאות מיליון‪ .‬לאלף מיליון יש שם חדש‪ ,‬ולכן נפתחת מחלקה חדשה‪.‬‬
‫חזקה‬
‫פעילות ד‪ :‬המורה רושמת על הלוח את המספרים ‪ .100 ,25 ,125 ,64 ,27 ,16 ,9‬התלמידים‬
‫מתבקשים להציג כל מספר כמכפלה של גורמים שווים‪ .‬אחרי שהתלמידים הציגו דרך אחת‪,‬‬
‫שואלים אם יש דרכים נוספות להצגה לפי התנאי שהוזכר‪,‬‬
‫לדוגמה‪. 64 = 8 × 8 ; 64 = 4 × 4 × 4 ; 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 :‬‬
‫שואלים את התלמידים אם הם יודעים לכתוב בדרך מקוצרת את הכפל של מספר בעצמו‪.‬‬
‫פעילות ה‪ :‬אחרי שהתלמידים ייזכרו בחזקות‪ ,‬מבקשים מהם להציג את המספרים ‪,100‬‬
‫‪ 100,000 ,10,000 ,1,000‬וכן הלאה כחזקה של ‪ .10‬דנים בקשר בין מספר האפסים במספר נתון‬
‫לבין מעריך החזקה‪) .‬ראו גם את ההערות לקטע השיעור בעמוד ‪ 26‬למטה‪(.‬‬
‫יחידת הלימוד ‪ -‬הקניה‬
‫פעילות א‪ :‬מכינים מראש )או כפעילות מקדימה( כרטיסים של אוצר המילים הדרוש כדי‬
‫לכתוב מספרים גדולים )נספח ‪ .(1‬אפשר להכין כמה ערכות לעבודה בקבוצות‪.‬‬
‫המורה תוציא באקראי חמישה כרטיסים )לדוגמה‪ ,‬מיליון‪ ,‬עשר‪/‬ה‪ ,‬שתיים‪/‬שניים‪ ,‬מאות‪,‬‬
‫שלוש‪/‬ה(‪ .‬על התלמידים להציע מספרים שאפשר לכתוב במילים האלה )לא חייבים להשתמש‬
‫בכל הכרטיסים( )לדוגמה‪ ,‬מיליון שלוש מאות ועשר‪ ,‬עשרה מיליון שלוש מאות ושתיים‪,‬‬
‫שלושה עשר מיליון‪ .(...‬התלמידים יכתבו גם בספרות את המספרים הנכתבים במילים‪.‬‬
‫תלמידי כל קבוצה יציגו את הפתרונות שלהם בפני המליאה‪ .‬משווים בין הפתרונות השונים‪.‬‬
‫פעילות ב‪ :‬משחק המיליונים‪ .‬מטרת המשחק היא לכתוב את המספר הגדול ביותר‪ .‬כל תלמיד‬
‫)או קבוצת תלמידים( מסרטט שורה של שבע משבצות‪ .‬מגרילים ספרה‪ ,‬כותבים אותה על‬
‫הלוח‪ ,‬ועל התלמידים לשבץ אותה באחת המשבצות‪ .‬חוזרים על הפעולה שש פעמים‪ .‬משווים‬
‫‪4‬‬
‫בין המספרים שהתקבלו ונותנים נקודה לתלמיד )או לקבוצה( שיש לו המספר הגדול ביותר‪.‬‬
‫חוזרים על המשחק‪ .‬דנים באסטרטגיות אפשריות להרכבת המספר הגדול ביותר‪.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬מגרילים חמש ספרות‪ ,‬וכותבים בעזרתן שני מספרים‪) .‬דוגמה‪ :‬אם הוגרלו הספרות‬
‫‪ 7 ,8 ,9 ,0‬ו‪ ,3 -‬אפשר לכתוב את המספרים ‪ 37,089‬ו‪ (.78,903 -‬על התלמידים לכתוב‬
‫מהספרות מספרים הממוקמים בין שני המספרים )לדוגמה‪ .(39,087 ,‬מספר האפשרויות תלוי‬
‫במספרים‪.‬‬
‫ספרות רומיות‬
‫פעילות ד‪ :‬המורה מציגה תמונה של שעון )כמו באיור א( ושואלת‪:‬‬
‫"איך נראָה השעון בישראל לפני המצאת הספרות שאנו משתמשים בהן עכשיו?"‬
‫סביר להניח שהתלמידים יציעו את השימוש באותיות עבריות כמו באיור ב'‪.‬‬
‫יש לדון במרכיבים המשותפים לשעונים ובהבדלים ביניהם‪.‬‬
‫חשוב להבליט את ההיבט הסידורי של המספרים‪.‬‬
‫איור א‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫איור ב‬
‫‪11‬‬
‫‪2‬‬
‫א‬
‫ב‬
‫‪10‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪12‬‬
‫‪11‬‬
‫י‬
‫ט‬
‫ח‬
‫ג‬
‫ד‬
‫‪7‬‬
‫ה‬
‫ו‬
‫ז‬
‫פעילות ה‪ :‬המורה מציגה תמונה או ציור של שעון עתיק כמו באיור ג ושואלת את התלמידים‬
‫אם הם כבר ראו שעון כזה‪.‬‬
‫איור ג‬
‫המורה מסבירה שהספרות המופיעות בשעון נקראות "ספרות רומיות"‬
‫‪X II‬‬
‫על התלמידים לגלות מה היו החוקים של כתיבת המספרים ברומא‪,‬‬
‫‪I‬‬
‫‪XI‬‬
‫ובמה דומים ובמה שונים הסימנים המייצגים את הספרות‪.‬‬
‫‪II‬‬
‫‪X‬‬
‫על‪-‬בסיס הדיונים בפעילות ט' המורה שואלת‪:‬‬
‫"באיזה כיוון קוראים את השעון?‬
‫‪IX‬‬
‫‪III‬‬
‫מהו הערך של כל ספרה? "‬
‫סביר להניח שאין קושי לקבוע את ערך הספרות‪,‬‬
‫‪VIII‬‬
‫אך קשה לקבוע את שיטת הכתיבה‪.‬‬
‫‪IV‬‬
‫‪.‬‬
‫שלו‬
‫הכתיבה‬
‫צורת‬
‫לבין‬
‫המספר‬
‫בפעילות זו אפשר להבחין בין ערך‬
‫‪VII‬‬
‫‪VI V‬‬
‫איך אפשר "לפענח" את הסימנים?‬
‫אם התלמידים מתקשים‪ ,‬אפשר לכוון אותם על‪-‬ידי רמזים‪.‬‬
‫את הערך של אילו מבין הספרות אפשר לגלות בקלות? ) ‪( X , V, III ,II ,I‬‬
‫לפי אילו מספרים אפשר להבין אחד מהסכמי הכתיבה? )‪(XII , XI ,VIII ,VII ,VI‬‬
‫המספרים ‪ IV‬ו‪ IX -‬כתובים לפי כלל מסוים‪ .‬מהו הכלל?‬
‫מהו ההבדל בין דרך הכתיבה של המספר ‪ 3‬לבין דרך הכתיבה של המספר ‪? 4‬‬
‫בשלב זה אפשר לנסח את כללי החיבור והחיסור‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫פעילות ו‪ :‬המורה מציגה את הסימנים שלהלן ואומרת את ערכם‪.‬‬
‫‪L = 50‬‬
‫‪D = 500‬‬
‫‪C = 100‬‬
‫‪M =1000‬‬
‫המורה נותנת לכל קבוצת תלמידים טבלה‪ ,‬ובה הספרות הרומיות וערכן לפי השיטה‬
‫העשרונית‪.‬‬
‫רושמים על הלוח רשימת מספרים לפי השיטה העשרונית )בשלבים(‪ .‬המורה שואלת‪" :‬איך‬
‫אפשר לכתוב את המספרים בשיטה הרומית?"‬
‫שלב א( ‪. 1320,2235 ,1,100 ,1,000 ,632 ,531 ,130 , 110 , 30 ,24 , 23 , 15 , 13‬‬
‫שלב ב( ‪.3,090 ,642 ,590 , 140 , 40 , 19 ,14‬‬
‫שלב ג( ‪.1449 ,9,999 ,4,949‬‬
‫בדיון המורה מציגה את הכלל האחרון‪" :‬מותר לחסר ‪ I‬רק מ‪ V -‬או מ‪ ,X-‬מותר לחסר ‪ X‬רק‬
‫מ‪ C -‬או מ‪ .M-‬לא מחסרים ‪ ".V ,D ,L‬ומבקשת מהתלמידים לכתוב שוב את המספרים שלא‬
‫היו כתובים לפי כלל זה‪.‬‬
‫פעילות ז‪ :‬איך כותבים מספרים גדולים מ‪ 9,999 -‬בשיטה הרומית )כאשר ברשות הרומאים‬
‫רק הסימנים הנתונים(? אחרי הצעות התלמידים המורה מציגה את כלל המכפלה ב‪1,000 -‬‬
‫)שימוש בקו מעל המספר(‪.‬‬
‫התלמידים עובדים בזוגות‪.‬‬
‫א( תלמיד כותב מספר בשיטה עשרונית‪ ,‬ובן‪-‬זוגו כותב אותו מספר בשיטה הרומית‪.‬‬
‫ב( תלמיד כותב מספר בשיטה הרומית‪ ,‬ובן‪-‬זוגו כותב אותו מספר בשיטה העשרונית‪.‬‬
‫השיעור בספר הלימוד‬
‫האם אנו מוכנים? – תשובות‪:‬‬
‫‪ .1‬ג; ‪ .2‬ד; ‪ .3‬ג; ‪ .4‬ד; ‪ .5‬ב; ‪ .6‬ג; ‪ .7‬ג; ‪ .8‬א; ‪ .9‬ד; ‪ .10‬ג‪.‬‬
‫בשאלות במבדק "האם אנו מוכנים" נבדק הידע בחומר הנדרש בטרם לימוד הפרק‪.‬‬
‫בשאלה ‪ 4‬נבדקת את הבנת המשמעות של מבנה המספר‪ ,‬אם התלמידים לא למדו את הנושא‪,‬‬
‫צריך להקדיש זמן להקניה שבעמוד ‪ 3‬בחלק "לעלות על הגל"‪.‬‬
‫לעלות על הגל‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :2‬המבנה העשרוני עד ‪999,999‬‬
‫בעמוד זה התלמידים חוזרים על החומר שנלמד בכיתה ד'‪ :‬המספרים עד מיליון‪ .‬בשלב זה‬
‫עוסקים במבנה העשרוני של המספר‪ ,‬בפילוג המספר לפי השיטה העשרונית ובערכה של כל‬
‫ספרה במספר‪ .‬התלמידים נעזרים בטבלה‪ :‬הם רושמים בה את הפילוג של המספר למחלקות‪.‬‬
‫המחלקות נרשמות מימין לשמאל‪ ,‬המחלקה הנמוכה ביותר של היחידות היא המחלקה‬
‫הראשונה‪ ,‬אחריה מחלקת האלפים‪ ,‬מחלקת המיליונים וכן הלאה‪ .‬בכל מחלקה שלוש עמודות‪:‬‬
‫יחידות‪ ,‬עשרות‪ ,‬מאות‪ .‬יש להקפיד על הקריאה הנכונה של העמודות‪ :‬במחלקה הראשונה של‬
‫היחידות קוראים "יחידות‪ ,‬עשרות‪ ,‬מאות" כפי שכתוב‪ ,‬אך במחלקת האלפים יש לקרוא‬
‫"אלפים‪ ,‬עשרות אלפים‪ ,‬מאות אלפים"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬במשימה זו התלמידים נדרשים לכתוב את המספרים בספרות‪.‬‬
‫ד( ‪ 900,009‬ה( ‪.800,642‬‬
‫א( ‪ 200,450‬ב( ‪ 300,879‬ג( ‪854,009‬‬
‫אחת הטעויות הנפוצות בקרב תלמידים היא כתיבת את המספר לפי שמיעה‪ ,‬למשל‪20040050 ,‬‬
‫במקום המספר ‪.200,450‬‬
‫ו ‪ 8005409‬במקום המספר‪ .854,009 :‬השלמת טבלת המבנה העשרוני עשויה לתרום למניעת‬
‫טעיות מסוג זה‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫משימה מס' ‪:2‬התלמידים נדרשים לכתוב את המספרים במילים‪.‬‬
‫א( שלושים ושבעה אלף‪ ,‬חמש מאות תשעים ושמונה‪.‬‬
‫ב( שמונים ותשעה אלף ושתיים‪.‬‬
‫ג( שבעים ותשעה אלף ושמונה‪.‬‬
‫ד( שלוש מאות חמישים וארבעה אלף‪ ,‬תשע מאות שמונים ואחת‪.‬‬
‫ה( ארבע מאות חמישים ושלושה אלף‪ ,‬מאה ועשרים‪.‬‬
‫ו( שמונֶה מאות ארבעים וחמישה אלף‪ ,‬שש מאות שבעים ושתיים‪.‬‬
‫במשימה זו אפשר להקל על התלמידים המתקשים בעזרת קריאת המספר בקול‪ .‬מומלץ לבקש‬
‫מתלמיד אחד לקרוא את המספר ומתלמיד אחר לכתוב אותו על הלוח‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬התלמידים נדרשים לפלג את המספרים לפי המבנה העשרוני‪ .‬הדוגמה המופיעה‬
‫במשימה יכולה להקל על התלמידים‪.‬‬
‫א( ‪28,606 = 2 × 10,000 + 8 × 1,000 + 6 × 100 + 0 × 10 + 6 × 1‬‬
‫ב( ‪12,860 = 1 × 10,000 + 2 × 1,000 + 8 × 100 + 6 × 10 + 0 × 1‬‬
‫ג(‬
‫‪134,985 = 1 × 100,000 + 3 × 10,000 + 4 × 1,000 + 9 × 100 + 8 × 10 + 5 × 1‬‬
‫ד( ‪394,005 = 3 × 100,000 + 9 × 10,000 + 4 × 1,000 + 5 × 1‬‬
‫במספרים שמופיעה בהם הספרה אפס‪ ,‬אפשר לקצר את אופן הכתיבה כמודגם בסעיף ד‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :3‬המבנה העשרוני )המשך(‬
‫קטע שיעור זה חשוב מאוד לפיתוח הבנה מספרית של התלמידים‪ .‬אמנם זוהי גם חזרה על מה‬
‫שנלמד בכיתות קודמות‪ ,‬אך תלמידים עדיין מתקשים בכך‪ .‬בקטע שיעור זה לומדים לענות על‬
‫שאלות שמתחילות במילה "כמה"‪" :‬כמה יחידות במספר מסוים? כמה מאות במספר מסוים?‬
‫כמה אלפים במספר מסוים? כמה עשרות אלפים במספר מסוים?" וכן הלאה‪ .‬יש להבדיל בין‬
‫ספרת המאות במספר לבין מספר )כמות( המאות במספר כולו‪ .‬בדוגמה שבשיעור הספרה ‪ 7‬היא‬
‫ספרת המאות‪ ,‬אך מספר המאות הוא ‪.127‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימת יישום‪ .‬משימה הפוכה למשימה מס' ‪ .1‬יש לכתוב במילים את המספר‬
‫הרשום‪ .‬כתיבת מספר בטבלת המבנה העשרוני מסייעת לענות על השאלות‪.‬‬
‫א( במספר יש ‪ 4,000‬עשרות‪.‬‬
‫ב( במספר יש ‪ 40‬אלפים‪.‬‬
‫ג( במספר יש ‪ 400‬מאות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬בחידה "מי אני?" על התלמידים לזהות את המספר המתאים לדרישות‪.‬‬
‫משימה זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה‪ .‬אפשר לפענח כל רמז בעזרת מילוי‬
‫מיקום הספרות במבנה _ ‪._ _ _ 0‬‬
‫המספר הוא ‪.29,709‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬במשימה זו נדרש ניתוח של הנתונים ברמה גבוהה‪ .‬ייתכנו מספר אפשרויות‬
‫לתשובה‪ .‬הדרך הקלה ביותר לפתרון המשימה היא בניית טבלת המבנה העשרוני והצבת‬
‫הספרות במקום המתאים‪.‬‬
‫דוגמה למספר המתאים לדרישות הוא ‪ .800,420‬במספר זה ספרת העשרות היא הקטנה‬
‫ביותר‪ ,‬ספרת המאות גדולה ב‪ 2 -‬מספרת העשרות‪ ,‬וספרת מאות האלפים גדולה ב‪ 4 -‬מספרת‬
‫המאות‪ .‬במקום הספרה ‪ 0‬המופיעה במספר אפשר לכתוב ספרות אחרות‪.‬‬
‫חשוב להנחות את התלמידים לבחור מספר מתאים ולהשיב על השאלות המופיעות בסעיפים ב'‬
‫ו ‪ -‬ג בהתאם למספר שבחרו‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬אפשר לכתוב מספרים רבים שיש בהם ‪ 25‬עשרות אלפים‪ .‬דוגמאות‪;250,456 :‬‬
‫‪.250,879‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :4‬השוואה בין מספרים טבעיים גדולים‬
‫משווים בין מספרים בעלי אותו מספר ספרות‪ .‬אחת הדרכים להשוואה היא להשוות בין‬
‫המחלקות‪ :‬מחלקת האלפים‪ ,‬מחלקת היחידות‪ .‬יש להסביר לתלמידים שמשווים משמאל‬
‫לימין‪ :‬תחילה משווים בין מחלקות האלפים ולאחר מכך )לפי הצורך( בין מחלקות היחידות‪.‬‬
‫כדאי לבצע את פעילות הגילוי ד' לפני שיעור זה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬משימת יישום ‪ -‬השוואה בין מספרים טבעיים‪ .‬הדריכו את התלמידים לפעול‬
‫בשלבים‪ :‬תחילה לבדוק מהו ערך הספרה השמאלית ביותר‪ ,‬אם הערכים זהים בשני המספרים‬
‫עוברים לספרה הבאה מימין‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימת יישום – סדר המספרים‪ .‬פעלו כמו במשימה ‪.8‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬במשימה זו נדרשים התלמידים להשלים מספרים בספרות מתאימות‪ ,‬כך‬
‫שיתקבלו אי‪-‬שוויונות נכונים‪ .‬מומלץ לדון בכיתה באפשרויות המתאימות‪.‬‬
‫ב( ‪15,998 > 15,996‬‬
‫דוגמאות‪ :‬א( ‪2,345 < 2,387‬‬
‫ד( ‪219,390 > 209,000‬‬
‫ג( ‪12,451 > 12,450‬‬
‫אפשר להעמיק במשימה ולשאול‪ :‬כמה תשובות נכונות אפשריות לכל סעיף?‬
‫משימה מס' ‪ :11‬בסדרה א' ההפרש בין כל שני איברים סמוכים בסדרה הוא ‪ .100‬ואילו‬
‫בסדרה ב' ההפרש בין כל שני איברים סמוכים הוא ‪ .1,000‬עודדו את התלמידים לבדוק מה‬
‫קבוע ומה משתנה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬משימה זו מורכבת ממספר שלבים‪ .‬התלמידים נדרשים לבחור מספר ארבע‬
‫ספרתי וכן לכתוב שלוש סדרות עולות‪ ,‬כך שהמספר שבחרו יהיה האיבר הראשון בסדרה‪.‬‬
‫בסעיף א' ההפרש בין המספרים הוא ‪ ,10‬בסדרה השנייה ההפרש בין המספרים הוא ‪,100‬‬
‫ובסדרה השלישית ההפרש בין המספרים הוא ‪.1,000‬‬
‫דוגמה לסדרה‪4,564 ; 4,574 ; 4,584 ; 4,594 ; 4,604 ; 4,614 ; 4,624... :‬‬
‫המעבר מהמאה החמישית לשישית עלול להיות קשה לחלק מהתלמידים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ 5‬למעלה‪ :‬החזקה‬
‫חזרה על המושג " ֶחזקה"‪ .‬כדאי לבצע את פעילות הגילוי ה' לפני שיעור זה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬משימת יישום ‪ -‬כתיבת תרגילי כפל לחזקות הנתונות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬משימת יישום ‪ -‬כתיבת תרגילי הכפל בצורת חזקה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬חישוב ֲחזקות‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ 5‬למטה‪ :‬חזקות של ‪10‬‬
‫בקטע שיעור זה רושמים כחזקות של ‪ 10‬את המספרים המורכבים משתי הספרות ‪ 1‬ו‪) 0 -‬כמו‬
‫‪ 100‬ו‪ .(1,000 -‬אחר כך מקצרים את פילוגו של המספר לפי המבנה העשרוני בעזרת חזקות של‬
‫‪ .10‬כדאי לבצע את פעילות הגילוי ו' לפני שיעור זה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬השלמת השוויונות במספרים החסרים היא יישום של פילוג המספר לפי‬
‫המבנה העשרוני וכתיבת הפילוג בחזקות של ‪.10‬‬
‫דוגמה‪25,894 = 2 × 10 4 + 5 × 10 3 + 8 × 10 2 + 9 × 10 1 + 4 :‬‬
‫‪8‬‬
‫יחידת הלימוד ‪ -‬הקניה‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :6‬מיליון‬
‫מקטע שיעור זה ואילך מתחילים להקנות את הנושא החדש‪ :‬המספרים הטבעיים הגדולים‪.‬‬
‫כעת מסבירים את הנחיצות של המספר ‪ .1,000,000‬לטבלת המחלקות נוספה מחלקת‬
‫המיליונים‪ ,‬והיחידות‪ ,‬העשרות והמאות שלה נקראות כך‪" :‬מיליונים"‪" ,‬עשרות מיליונים"‬
‫ו"מאות מיליונים"‪ .‬מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי א' ו‪ -‬ב' לפני השיעור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬על התלמידים לרשום בספרות מספר הכתוב במילים‪ .‬אחת הטעויות הנפוצות‬
‫של התלמידים היא כתיבת מספר לפי השמיעה‪ .‬בהתחלה מומלץ להשתמש בטבלת המבנה‬
‫העשרוני‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימת יישום‪ .‬על התלמידים לכתוב את המספרים במילים‪.‬מומלץ לבקש‬
‫מתלמיד אחד לקרוא את המספר בקול ומתלמיד אחר לכתוב אותו על הלוח‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬השלמת הסדרות בקפיצות של ‪ .1,000,000‬עודדו את התלמידים לחפש מה‬
‫קבוע ומה משתנה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬הקביעה "נכון" או "לא‪-‬נכון" תסתמך על ההכרה כי בכתיבת מיליון יש שישה‬
‫אפסים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬התלמידים נדרשים לכתוב את מספר הספרות שבמספר‪ ,‬בלי לכתוב אותו‪ .‬א( ‪7‬‬
‫ספרות ב( ‪ 8‬ספרות ג( ‪ 8‬ספרות‬
‫משימה מס' ‪ :6‬כדאי לעודד את התלמידים לבטא את התרגיל ואת התוצאה ולהדגיש את‬
‫המילה "מיליון" כדי "להרגיש" את הדמיון למספרים הקטנים גם בשמיעה‪ .‬לדוגמה‪" ,‬שני‬
‫מיליונים ועוד שבעה מיליונים שווה לתשעה מיליונים"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬במשימה זו נדרש תרגום ממילים לספרות כדי לפתור את התרגיל‪.‬‬
‫א( ‪2,000,000 + 4,000,000 = 6,000,000‬‬
‫ב( ‪10,000,000 + 20,000,000 = 30,000,000‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬משימה זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה‪ .‬אחת הדרכים למצוא‬
‫את המספר הדרוש היא לסמן תשעה קווים המסמנים את מספר הספרות במספר ולהציב את‬
‫הספרות ‪ 0‬או ‪ 1‬כמתבקש‪ .‬הנה כך‪ 100,100,100 :‬המספר הוא מאה מיליון‪ ,‬מאה אלף ומאה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :8‬פילוג מספרים גדולים לפי המבנה העשרוני‬
‫המטרה בקטע שיעור זה הוא לחזק את פילוג המספרים הגדולים מ‪ 1,000,000 -‬לפי המבנה‬
‫העשרוני‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬בעזרת משימה זו אפשר לבדוק באיזו מידה הבינו התלמידים את עקרונות‬
‫המבנה העשרוני‪ .‬אם התלמידים מבינים היטב מה מייצגת ספרה מסוימת במספר ומה ערכה‪,‬‬
‫לא יתעוררו להם בעיות גם בפילוג מספר לפי המבנה העשרוני שלו‪ .‬לדוגמה‪ ,‬במספר ‪2,345,689‬‬
‫הספרה ‪ 5‬מייצגת את ספרת האלפים‪ ,‬כלומר ערכה ‪.5,000‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬פילוג מספר לפי המחלקות‪ ,‬כלומר למיליונים‪ ,‬לאלפים וליחידות‪.‬‬
‫בפילוג המספר לפי מחלקות צריך לכפול את המספר שבמחלקה בכפולת ‪ 10‬המתאימה‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫דוגמאות‪7,489,501 = 7 × 1,000,000 + 489 × 1,000 + 501 :‬‬
‫‪18,598,743 = 18 × 1,000,000 + 598 × 1,000 + 743‬‬
‫‪205,413,378 = 205 × 1,000,000 + 413 × 1,000 + 378‬‬
‫‪213,714,509 = 213 × 1,000,000 + 714 × 1,000 + 509‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬השלב הבא לפילוג מספר לפי המבנה העשרוני‪ :‬הפילוג נעשה לפי הערך של כל‬
‫ספרה וספרה במספר‪ .‬את המשימה הזו יפתרו התלמידים במחברת‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :9‬אפס במבנה העשרוני‬
‫בשיעור זה עוסקים במספרים שיש בהם לפחות ספרה אחת שהיא ‪ .0‬לספרה אפס תפקיד חשוב‬
‫בכתיבת מספרים בשיטת ה"פוזיציה"‪ ,‬מפני שבלעדיה אי‪-‬אפשר להבדיל בין המספרים‪,‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬בין ‪ 65‬לבין ‪ .605‬יש קושי מסוים להבין מה מייצגת הספרה ‪ 0‬במספר‪ ,‬מהו ערכה‬
‫וכמה‪ ,‬למשל‪ ,‬עשרות אלפים במספר‪ .‬לכן יש לוודא שהתלמידים מבינים את העניין‪ .‬בדוגמה‬
‫שבשיעור‪ :‬הספרה ‪ 0‬המודגשת מייצגת את ספרת עשרות האלפים‪ ,‬וערכה הוא ‪ 0‬עשרות אלפים‪,‬‬
‫אבל במספר זה יש ‪ 650‬עשרות אלפים‪.‬‬
‫כמו‪-‬כן‪ ,‬מושם דגש על כתיבת הפילוג המקובל של המספר‪ :‬אם במספר יש אפסים‪ ,‬לא כותבים‬
‫מכפלות של הספרה ‪ 0‬בערך שלה‪ ,‬מפני שהמכפלה היא ‪ .0‬כדאי שהתלמידים יפלגו את המספר‬
‫הנתון בקטע השיעור‪ ,‬לפי ערכן של ספרותיו‪ ,‬כדי שייווכחו שאין צורך בכתיבת המכפלות‬
‫שהוזכרו לעיל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬הפילוג של המספר נעשה לפי ערכן של הספרות‪ ,‬שאחת מהן היא ‪.0‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬התלמידים נדרשים למצוא את המספר לפי הפילוג הנתון‪.‬‬
‫מומלץ לבצע את המשימה בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫ד( ‪50,703,070‬‬
‫ג( ‪8,506,200‬‬
‫ב( ‪79,854‬‬
‫א( ‪7,985‬‬
‫ז( ‪1,992,406,300‬‬
‫ו( ‪789,235,782‬‬
‫ה( ‪575,345‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :10‬מספר עוקב‬
‫קטע שיעור זה חשוב מאוד כדי להבין שיש אין‪-‬סוף מספרים טבעיים‪ .‬כל מספר טבעי‪ ,‬פרט ל‪-‬‬
‫‪ ,1‬מתקבל מהמספר הקודם לו על‪-‬ידי הוספה של ‪ .1‬לכן אם התלמידים רושמים מספר טבעי‬
‫כלשהו שהוא "הגדול ביותר" שהם מכירים‪ ,‬יש להסביר להם שלכל מספר אפשר להוסיף ‪ ,1‬וכך‬
‫יהיה מספר גדול יותר‪ :‬המספר העוקב לו‪ .‬כל המספרים הטבעיים מתקבלים מהוספה של ‪1‬‬
‫כמספר הפעמים הנדרש‪ .‬הדוגמאות המובאות כאן הן מספרים עוקבים בעלי מספר ספרות‬
‫אַחד המספרים האלה מורכב מהספרה ‪ 9‬בלבד‪ ,‬והאחר הוא המספר העוקב שלו‪ .‬המספר‬
‫שונה‪ַ .‬‬
‫השני תמיד יהיה מורכב מהספרות ‪ 1‬ו‪ 0 -‬בלבד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬משימת יישום – כתיבת המספר העוקב למספר הנתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬משימת יישום – כתיבת המספר הקודם למספר הנתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬משימת יישום‪ .‬משלימים סדרות עולות ויורדות של מספרים עוקבים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :11‬מיליון ומיליארד‬
‫בקטע השיעור מובאת בעיה שבפתרונה מגיעים למספר מיליארד‪ .‬כמובן‪ ,‬אפשר להגיע למספר‬
‫מיליארד בדרכים אחרות‪ ,‬למשל‪ ,‬מיליארד הוא המספר העוקב ל‪ .999,999,999 -‬במספר‬
‫מיליארד יש ‪ 10‬ספרות‪ ,‬לפיכך נוספה לטבלה מחלקת המיליארדים‪ ,‬ובה יש מיליארדים‪,‬‬
‫עשרות מיליארדים ומאות מיליארדים‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬תרגול נוסף של כתיבת המספרים בספרות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬התלמידים ייווכחו לדעת כי במספר מיליון יש שבע ספרות ואילו במספר‬
‫מיליארד יש עשר ספרות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬תרגול נוסף של כתיבת המספרים במילים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬אם ממשיכים את סדרת המספרים‪ ,‬מגיעים למיליארד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬תרגול של כתיבת מספרים שונים בעלי עשר ספרות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬על התלמידים לענות על השאלה‪ :‬כמה מיליונים יש בכל מספר? א( ‪ 1‬מיליון‬
‫ב( ‪ 10‬מיליונים ג( ‪ 72‬מיליון ד( ‪ 3749‬מיליון‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :12‬מיליארדים‬
‫קטע שיעור זה דומה לקטע השיעור של "לעלות על הגל" בעמוד ‪ ,3‬אך הפעם עוסקים בשאלה‬
‫"כמה" במספרים שיש בהם גם מחלקת מיליארדים‪ .‬גם כאן חשוב להבחין בין ערך הספרה‬
‫לבין מספר )כמות( יחידות מסוימות‪ .‬בדוגמה שבשיעור הספרה ‪ 8‬מייצגת את ספרת המיליונים‪,‬‬
‫וערכה ‪ ;8,000,000‬ובמספר זה יש ‪ 21,508‬מיליונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬משימת יישום‪ .‬כתיבת המספרים במילים‪ ,‬כולל מיליארדים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬תרגום ממילים לספרות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬ישנן אפשרויות שונות לכתיבת מספר לפי תנאי המשימה‪ .‬רצוי לדון בדרכי‬
‫הפתרון ובתשובות שהתקבלו‪ .‬אפשר גם לבקש למצוא מספר אחר באותם האילוצים‪.‬‬
‫מתלמידים מתקדמים אפשר לבקש גם למצוא את כל הפתרונות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬השלמת סדרות המספרים מחזקת את הכרת המספרים הגדולים ואת הבנת‬
‫הסדר שלהם‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :13‬השוואה בין מספרים‬
‫השוואה בין מספרים טבעיים גדולים בעלי מספר ספרות זהה ושונה‪ .‬מומלץ לבצע את פעילויות‬
‫הגילוי ג' ו‪ -‬ד' לפני השיעור‪ .‬אחת הדרכים להשוות בין מספרים במספר ספרות שונה היא‬
‫להיעזר במחלקות‪ :‬מחלקת האלפים‪ ,‬מחלקת היחידות‪ .‬יש להסב את תשומת לב התלמידים‬
‫לכך שמשווים משמאל לימין‪ ,‬כלומר תחילה משווים בין המחלקות השמאליות ביותר‪ ,‬כמו‬
‫המיליארדים‪ ,‬אחר‪-‬כך )לפי הצורך( בין מחלקות המיליונים‪ ,‬האלפים והיחידות‪ .‬אפשר גם‬
‫להיעזר בטבלה כדי להשוות בין המספרים‪ .‬לצורך זה רושמים באותה טבלה את המספרים לפי‬
‫המבנה העשרוני זה מתחת זה ומשווים‪ .‬יש להזכיר לתלמידים איך קוראים וכותבים נכון את‬
‫סימן האי‪-‬שוויון "גדול"‪" ,‬קטן"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬משימת יישום – סדר המספרים בסדר יורד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬כתיבת מספר גדול מהמספר הנתון בכל אחד מהאי‪-‬שוויונות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬השלמת מספרים בספרות המתאימות מעודדת דיון‪ .‬מומלץ לדון עם‬
‫התלמידים בפתרונות‪ ,‬באסטרטגיה למציאת הפתרונות בשני הסעיפים האחרונים )קביעת‬
‫המספר הגדול או קביעת המספר הקטן ( ובמספר הפתרונות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬ההשוואה בין המספרים מהווה יישום נוסף של הכרת המספרים הגדולים‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬משימה זו מורכבת משני חלקים‪ .‬בחלק הימני נדרשים התלמידים להשלים‬
‫מספר כך שיתקבל אי‪-‬שוויון נכון‪ .‬בחלק השמאלי התלמידים נדרשים להמציא את הספרה‬
‫החסרה‪ .‬החלק הימני קל יותר לתלמידים ‪ .‬דונו בחלק השני כמו במשימה ‪.31‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬א( משימת יישום של סדר מספרים גדולים מהגדול לקטן‪.‬‬
‫ב( במספרי התושבים במדינות שלוש הספרות האחרונות הן ‪ .000‬הסיבה לכך היא שהנתונים‬
‫הם מספרים המעוגלים עד לאלפים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬מומלץ לדון עם תלמידי הכיתה במשימה הזו‪ .‬משימה זו עלולה להיות קשה‬
‫לחלק מתלמידי הכיתה בעיקר באי‪-‬שוויונות שבהם אי‪-‬אפשר להוסיף מספר כך שיתקבל אי‪-‬‬
‫שוויון נכון )כמו בסעיף א'(‪ .‬שימו לב שבסעיף ד' אין חשיבות למספרים החסרים ‪.‬האי‪-‬שוויון‬
‫מתקיים תמיד‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :15‬עיגול מספרים‬
‫עיגול מספרים גדולים‪ .‬כאשר עוסקים במספרים גדולים‪ ,‬לעתים קרובות נחוץ "לעגל" אותם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬מומלץ לדון עם התלמידים באופן בו מעגלים מספרים‪ :‬עיגול המספרים‬
‫למיליונים או למאות אלפים‪ .‬דוגמה‪ :‬נעגל את ‪ 125,374,395‬למיליונים ונקבל‪;125,000,000 :‬‬
‫אם נעגל אותו המספר למאות אלפים‪ ,‬נקבל‪.125,400,000 :‬‬
‫כדאי לחזור עם התלמידים על הדרך שבה מעגלים מספרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬משימת יישום של עיגול אותו המספר לרבבות‪ ,‬למיליונים ולאלפים‪.‬‬
‫א( ‪ 13,895,741 ≈ 14,000,000‬עיגול לרבבות‬
‫ב( ‪ 13,895,741 ≈ 13,900,000‬עיגול למיליונים‬
‫ג( ‪ 13,895,741 ≈ 13,896,000‬עיגול לאלפים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬אחד המושגים הנקשר עם עיגול מספרים הוא סדר גודל של מספר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :39‬משימת יישום‪ .‬מבחינים בין עיגול לאלפים‪ ,‬עיגול למאות אלפים‪ ,‬עיגול‬
‫למיליונים ועיגול למיליארדים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬משימת יישום הכוללת עיגול המספרים הנתונים לאלפים וכן קביעת מיקום‬
‫המספר לפי סדר הגודל שלו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬התלמידים נדרשים לעגל את המספרים לעשרות אלפים ולמחלקה הגדולה‬
‫ביותר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬משימת יישום – עיגול המספרים למיליארדים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :17‬כתיבת מספר בעזרת חזקות של ‪10‬‬
‫שימוש בחזקות של ‪ 10‬לצורך פילוג המספרים הגדולים‪ .‬מומלץ לבצע לפני השיעור את פעילות‬
‫הגילוי ה'‪ .‬יש להדגיש את הקשר בין מספר האפסים במספר לבין מעריך החזקה שבסיסה ‪.10‬‬
‫ייתכן שתלמידים יכתבו בבסיס החזקה ‪ 1‬במקום ‪ .10‬במקרה זה יש לבקש מהתלמידים‬
‫להעלות בחזקה את המספר שהם כתבו‪ .‬לדוגמה‪ ,‬תלמיד רשם ‪ 1,000,000‬כ‪ .16 -‬מבקשים ממנוּ‬
‫לחשב‪ .‬חשוב שהוא ירשום כך‪ .16= 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 :‬קל לראות שהתוצאה שונה ממיליון‪.‬‬
‫חשוב גם שהתלמידים ידונו בדרך לתקן את הטעות‪ ,‬וכך הם יגיעו לתשובה הנכונה‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬משימת יישום‪ .‬בסעיפים ג'‪-‬ה' התלמידים יכתבו תחילה את המספרים‬
‫באמצעות ספרות מתאימות ואחר כך באמצעות כתיב חזקות‪.‬‬
‫סעיף ב‪ :‬אם בכיתה כבר דנו בשאלה זו‪ ,‬התלמידים לא ייתקלו בקשיים במשימה‪ .‬אם הדיון לא‬
‫נערך בעבר‪ ,‬זהו הזמן לדון בשאלה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :44‬פילוג המספר לפי המבנה העשרוני נעשה באמצעות חזקות‪ .‬הקושי העיקרי‬
‫הוא בהתאמה בין מיקום הספרה לבין ערכה כשמדובר במספרים גדולים‪ .‬מומלץ להרגיל את‬
‫התלמידים לזכור כעובדת‪-‬יסוד‪ ,‬שמיליון הוא ‪ .106‬כך פילוג המספר יהיה קל יותר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :45‬מעבר מפילוג המספר לפי חזקות של ‪ 10‬לכתיבת מספר ללא חזקות‪.‬‬
‫התלמידים צריכים לשים לב שבפילוג הראשון )‪ (7,230,140‬אין ‪ 103‬ושספרת היחידות היא ‪.0‬‬
‫פענוח המספר השני ‪ 25,465,789‬קשה יותר‪ .‬עובדת‪-‬יסוד נוספת‪ :‬מיליארד הוא ‪.109‬‬
‫משימה מס' ‪ :46‬פילוג המספר נעשה בהתאם להוראות בטבלה‪.‬‬
‫במשימה מסוכמות הדרכים לפילוג מספר לפי מבנה עשרוני‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :18‬ספרות רומיות‬
‫השיטה הרומית לכתיבת מספרים הייתה בשימוש יותר מאלפיים שנה‪.‬‬
‫כדי להחיות את הנושא אפשר לבקש מהתלמידים לחפש בבית שעונים שיש בהם ספרות‬
‫רומיות‪ ,‬להתבונן בסביבה הקרובה להם או לחפש במחשב בניינים שכתובות בהם ספרות‬
‫רומיות‪ ,‬ליצור ספרות בעזרת קיסמים וכן לענות על חידות או לבנות אותם‪.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬איך אפשר לחלק ‪ 12‬ל‪ 2 -‬ולקבל ‪) 7‬אם כותבים את המספר ‪ 12‬בספרות רומיות ‪XII‬‬
‫ומחלקים את המספר בקו אופקי באמצע‪ ,‬מקבלים במונה ‪(VII‬‬
‫פעילות נוספת עם קסמים‪ :‬איך אפשר להפוך את ‪ 8‬ל‪ 13 -‬בעזרת שינוי מקומו של קיסם אחד‬
‫בלבד? או אפשר לעבור מ‪ 6= 5+1 -‬ל‪ 11= 10+ 1 -‬בעזרת שינוי מקום של שני קיסמים בלבד?‬
‫משימה מס' ‪ :47‬כתיבה של עשרת המספרים הראשונים ושל הכפולות של ‪. 10‬‬
‫משימה מס' ‪ :48‬כתיבה של מספרים שונים וחישוב ערך המספר בעזרת פירוט השימוש‬
‫בפעולות‪ .‬דוגמה‪XLIX =50-10+10-1 = 49 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :49‬כותבים בשיטה העשרונית מספרים שונים הכתובים בשיטה הרומית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :50‬כותבים בשיטה הרומית מספרים שונים הכתובים בשיטה העשרונית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :51‬אחד ההסברים של השימוש בכפולות של חמש הוא שלאדם חמש אצבעות‪ .‬יש‬
‫מקורות הטוענים שהשיטה נוצרה מתוך סימנים מוסכמים באמצעות הידיים כדי להעביר‬
‫מסרים בין לגיונות של הצבא‪ .‬אצבע‪,‬שתיים‪ ,‬שלוש ‪ ,,,,‬ארבע אצבעות צמודות ואגודל מפוסקת‬
‫יוצרים ‪ ,V‬שתי זרועות מוצלבות יוצרות ‪.X‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪:20‬‬
‫משימה מס' ‪ :52‬כתיבת מספר גדול במילים ובחזקות‪ .1,080,000,000=1 × 109+8 × 107 .‬העיגול‬
‫למיליארדים הוא ‪ 1‬מיליארד קילומטר ‪ .‬אפשר להרחיב את הנושא ולשאול מהו המרחק‬
‫שעובר האור ביום‪ ,‬בשבוע‪ ,‬בחודש‪ ,‬בשנה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :53‬מיקום מספרים גדולים על הציר‪.‬אפשר לבצע את המשימה על‪-‬ידי "ציר‬
‫המספרים חי"‪ :‬שני תלמידים מייצגים את ‪ 10,000,000‬ואת ‪ ,11,000,000‬ותלמידים אחרים‬
‫‪13‬‬
‫בעלי כרטיסי מספרים נתונים או אחרים ממקמים את עצמם על הציר‪ .‬התלמידים האחרים‬
‫בודקים את המיקום הנכון‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמודים ‪:29 – 21‬‬
‫התרגול המופיע בחלק זה מיועד לשיעורי ‪-‬בית וכן לתרגול נוסף לאחר לימוד הפרק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת תרגול של כתיבת המספרים בספרות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימת תרגול של סדר מספרים‪ .‬האיור המתקבל הוא איור של דג‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬המספר המתקבל לאחר הוספת שני אפסים הוא ‪ .145,000‬המספר במילים‪:‬‬
‫מאה ארבעים וחמש אלף‪ .‬ספרת המאות אלפים של המספר היא ‪.1‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימת יישום של פילוג המספר לפי המבנה העשרוני‪ .‬התלמידים נדרשים‬
‫להשלים את פילוג המספר או את המספר לפי הפילוג הנתון‪ .‬בשורה השלישית הפילוג הוא לפי‬
‫המחלקות‪ ,‬ובשורה הרביעית יש להוסיף גם את המספר עצמו לפי הפילוג הנבחר ‪.‬יש עשרה‬
‫מספרים אפשריים‪ ,‬לכן מומלץ לדון בכך‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬משימת תרגול של חיבור‪. 15,600 + 1,000 = 16,600 .‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬משימת תרגול של סדר המספרים הנתונים מהקטן לגדול וההיפך‪.‬אפשר‬
‫להנחות את התלמידים להתבונן תחילה במחלקה הגדולה ביותר במספרים הנתונים‪ .‬במקרה‬
‫זה היא מחלקת האלפים‪ .‬ההשוואה בין המספרים תיעשה כעת לפי המספר התלת ספרתי‪.‬‬
‫דוגמה‪ 202,020 :‬קטן מ‪ 210,210 -‬כי ‪.202 < 210‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬פנקסי חשבוניות מתחילים בדרך כלל ב‪ 001 -‬ומסתיימים בכפולה של ‪ ,25‬של‬
‫‪ 50‬או של ‪.100‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬משימת תרגול של כתיבת מספרים לפי הוראות נתונות‪ .‬ערך הספרה ‪ 4‬שונה‬
‫ממספר למספר‪ .‬א( במספר ‪ 4,000‬יש שלושה אפסים‪ .‬ב( במספר ‪ 40,000‬יש ארבעה אפסים‪.‬‬
‫ד( במספר ‪ 400,000‬יש חמישה אפסים‪ .‬ה( במספר ‪ 4,000,000‬יש שישה אפסים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימת תרגול של חזקות‪ .‬חזקה היא כתיב מקוצר של כפל של אותו גורם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬השלמת השוויונות היא למעשה השלמה המעריכים בחזקות של ‪ 10‬לפי‬
‫המבנה העשרוני‪ .‬משימה זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה‪ .‬הנחו את התלמידים‬
‫להיעזר בטבלת המבנה העשרוני‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫א( ‪74,539 = 7 × 10 + 4 × 10 + 5 × 10 2 + 3 × 10 1 + 9 × 10 0‬‬
‫ב( ‪134,002 = 1 × 10 5 + 3 × 10 4 + 4 × 10 3 + 2 × 10 0‬‬
‫ג(‬
‫‪3,080 = 3 × 10 3 + 8 × 10 1‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬משימת תרגול של כתיבת מספרים גדולים בספרות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬משימת תרגול של כתיבת מספרים גדולים במילים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬משימת תרגול של מציאת מיקום המספר על ציר המספרים‪ .‬ההפרש בין כל‬
‫שתי שנתות מייצג מיליון‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬השאלות מהסוג‪ :‬כמה אלפים במספר או כמה מיליונים במספר עלולה ליצור‬
‫קושי אצל התלמידים‪ .‬כדאי לחזור על ההבדל בין השאלה‪" :‬מהי ספרת המיליונים במספר?"‬
‫לעומת "כמה מיליונים במספר?"‬
‫המספר הנתון הוא‪75,495,306 :‬‬
‫ב( במספר יש ‪ 754‬מאות אלפים‪.‬‬
‫א( במספר הנתון יש ‪ 75‬מיליונים‪.‬‬
‫ד( במספר יש ‪ 7,549‬רבבות‪.‬‬
‫ג( במספר יש ‪ 754,953‬מאות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬את הסדרה הראשונה ה"יורדת" משלימים בקפיצות של ‪ .10,000,000‬את‬
‫הסדרה השנייה ה"עולה" משלימים בקפיצות של ‪ .100,000‬תלמידים אחדים עלולים להתקשות‬
‫בקפיצה מ‪ 900,000 -‬ל‪.1,000,000 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬אפשר לפענח כל רמז בעזרת מילוי מיקום הספרות במבנה‪34,__3__,__3__ :‬‬
‫התנאי הנוסף במשימה זו הוא שספרת המיליונים קטנה מספרת היחידות‪ .‬ישנן אפשרויות‬
‫שונות למספר המתאים לפתרון החידה‪.‬‬
‫אפשרות ב‪34 ,138 ,139 -‬‬
‫דוגמאות‪ :‬אפשרות א ‪.34 ,135 ,135 -‬‬
‫ב( במספר יש ‪ 7‬מאות מיליונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬א( במספר הנתון יש ‪ 797‬מיליונים‪.‬‬
‫ג( ‪ 797,476‬אלפים במספר‪ .‬ד( ‪797,476 × 1,000 + 758‬‬
‫ה( אם נעגל את המספר הנתון למאות מיליונים נקבל‪.800,000,000 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬א( לא נכון; ב( נכון;‬
‫ג( לא נכון; ד( נכון; ה( לא נכון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬במשימה זו נדרשים התלמידים להשלים את המספר הקטן ביותר‪ ,‬את‬
‫המספר הגדול ביותר ואת כמות המספרים בעלי אותו מספר ספרות‪.‬‬
‫כדי למצוא את הכמות המתאימה מחשבים את ההפרש בין המספר הגדול ביותר למספר הקטן‬
‫ביותר‪ ,‬ומוסיפים ‪ 1‬להפרש‪.‬‬
‫להלן הטבלה המלאה‪:‬‬
‫המספר הקטן ביותר המספר הגדול ביותר כמות המספרים בעלי‬
‫מספר הספרות‬
‫אותו מספר ספרות‬
‫במספר‬
‫‪90‬‬
‫‪99‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪900‬‬
‫‪999‬‬
‫‪100‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9,000‬‬
‫‪9,999‬‬
‫‪1,000‬‬
‫‪4‬‬
‫‪90,000‬‬
‫‪99,999‬‬
‫‪10,000‬‬
‫‪5‬‬
‫‪900,000‬‬
‫‪999,999‬‬
‫‪100,000‬‬
‫‪6‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬משימת תרגול של השלמת הספרות של המספר הנתון בטבלת המבנה‬
‫העשרוני‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬משימת תרגול של מה מייצגת הספרה ‪ 3‬בכל אחד מהמספרים‪ .‬דוגמה‪:‬‬
‫במספר ‪ 53,059,471‬הספרה ‪ 3‬מייצגת את ספרת העשרות מיליונים‪ ,‬כלומר ‪.30,000,000‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬משימת תרגול של פילוג המספרים הנתונים לפי המבנה העשרוני‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪7,489,501 = 7 × 1,000,000 + 4 × 100,000 + 8 × 10,000 + 9 × 1,000 + 5 × 100 + 0 × 10 + 1‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬משימת תרגול של פילוג המספרים הנתונים למחלקות‪.‬‬
‫דוגמה‪5,123,456 = 5 × 1,000,000 + 123 × 1,000 + 456 :‬‬
‫‪15‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬משימת תרגול פתוחה של פילוג המספר בדרך כלשהי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬משימת תרגול של מציאת המספר הקודם והמספר העוקב של מספר נתון‪.‬‬
‫דוגמה‪.98,998 ; 98,999 ; 99,000 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬משימת תרגול של השלמת סדרות של מספרים טבעיים גדולים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬משימת תרגול נוספת של השלמת סדרות נתונות‪.‬‬
‫דוגמה‪.40,000,000 ; 42,000,000 ; 44,000,000 ; 46,000,000 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬משימה זו מזמנת דיון‪ .‬שני התלמידים עיגלו את המספר ‪ 2,592,000‬נכון‪.‬‬
‫יעקב עיגל למיליונים ואילו דוד עיגל למאות אלפים‪ .‬צריך לשים לב לעיגול המספרים‪ .‬יש‬
‫עיגולים מוצדקים יותר בעיקר כאשר מדובר בערכים מדעיים‪ .‬העיגול ל‪ 3,000,000 -‬בקירוב‬
‫יוצר טעות של כ‪ ,15% -‬יחסית זה הרבה לעומת העיגול למאות אלפים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬משימת תרגול של חזקות של ‪.10‬‬
‫דוגמה‪10 × 10 × 10 = 10 3 = 1,000 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬משימה זו משלבת בין עיגול המספרים לעשרות אלפים ולכתיבת המספרים‬
‫כחזקות של ‪.10‬‬
‫‪4‬‬
‫דוגמה‪ :‬בלגיה – המספר‪10,259,000 ≈ 10,260,000 = 1,026 × 10 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬משימת תרגול של כתיבת המספרים בשיטה הרומית‪.‬‬
‫דוגמאות‪ :‬נכתוב את המספר ‪ 69‬כך‪.LXIX :‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬משימת תרגול של חישוב ערך המספרים‪.‬‬
‫חישוב ערך המספר בשיטה‬
‫המספר בשיטה הרומית‬
‫העשרונית‬
‫‪2 × 10 + 5 + 1‬‬
‫‪XXVI‬‬
‫‪50 − 10 + 1‬‬
‫‪XLI‬‬
‫) ‪100 + ( 50 − 10‬‬
‫‪CXL‬‬
‫‪2 × 100 + ( 50 − 10 ) + 3‬‬
‫‪CCXLIII‬‬
‫) ‪500 + 2 × 100 + ( 100 − 10‬‬
‫‪DCCXC‬‬
‫‪( 1,000 + 100 + 10 ) × 1,000‬‬
‫‪MCX‬‬
‫ערך המספר בשיטה‬
‫העשרונית‬
‫‪26‬‬
‫‪41‬‬
‫‪140‬‬
‫‪243‬‬
‫‪790‬‬
‫‪1,110,000‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬משימת תרגול של חיבור וחיסור מספרים טבעיים וכתיבת התוצאה בשיטה‬
‫הרומית‪.‬‬
‫דוגמאות‪ :‬א( ‪ 100 + 30 + 5 = 135‬בשיטה הרומית‪.CXXXV :‬‬
‫ב( ‪ 200 − 10 + 3 = 193‬בשיטה הרומית‪.CXCIII :‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬משימת תרגול של השלמת ספרות רומיות כך שיתקבלו שוויונות נכונים‪.‬‬
‫‪.CCC = 300 XL = 40 XCV = 95‬‬
‫להלן הפתרונות‪IX = 9 LX = 60 XI =11 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬משימת שעשוע עם קיסמים או עם גפרורים‪.‬‬
‫את התרגיל‪ 7 + 1 = 8 :‬נכתוב בשיטה הרומית כך‪.VII + I = VIII :‬‬
‫‪16‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬משימת תרגול של כתיבת המספר ‪ 300,000‬בשיטה הרומית בשתי דרכים‪.‬‬
‫דרך ב'‪CCC :‬‬
‫‪CCD‬‬
‫דרך א'‪:‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬נתון המספר‪ .MDCLVI :‬ערך המספר הנתון הוא ‪ .1,656‬כדי לקבל מספר‬
‫הקטן ב‪ 200 -‬מהמספר המקורי יש לשנות את מיקומה של האות ‪ D‬במספר‪ .‬המיקום החדש‬
‫יהיה בין האות ‪ C‬לאות ‪ L‬הנה כך‪.MCDLVI :‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬נתון המספר‪ .CXLVIII :‬ערך המספר הנתון הוא‪ .148 :‬כדי לקבל מספר‬
‫הגדול יותר ב‪ 20 -‬מהמספר הנתון יש לשנות את מיקומה של האות ‪ X‬במספר‪ .‬המיקום החדש‬
‫יהיה בין האות ‪ L‬לאות ‪ ,V‬הנה כך‪.CLXVIII :‬‬
‫משימה מס' ‪ :39‬משימת תרגול של פתרון תרגילי חיבור הכתובים בספרות רומיות‪.‬‬
‫התרגילים הנתונים במשימה הם‪:‬‬
‫א( ‪3,294 + 1,797 = 5,091‬‬
‫ב( ‪2,394 + 897 = 3,291‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬משימת תרגול של החוקים והכללים לכתיבת ספרות רומיות‪.‬‬
‫התלמידים נדרשים לגלות את הטעות ולתקן אותה‪ .‬כדאי להפנות את התלמידים לחוקים‬
‫ולכללים הכתובים בקטע השיעור שבעמוד ‪.18‬‬
‫דוגמה‪ :‬הטעות בסעיף א' מוסברת בחוק ג'‪ :‬כותבים לכל היותר ספרה אחת בלבד שערכה קטן‬
‫יותר מהספרה שמימין לה‪ .‬בסעיף א' הספרה ‪ X‬המייצגת ‪ 10‬מופיעה פעמיים לפני הספרה ‪C‬‬
‫המייצגת ‪ .100‬כותבים את המספר ‪ 86‬כך‪.LXXXVI :‬‬
‫שאלות מילוליות‪ ,‬עמוד ‪30‬‬
‫השאלות המילוליות המופיעות בפרק עוסקות במספרים הגדולים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬אם מספר הצ'ק הראשון מסתיים ב‪ ,940 -‬אז מספר הצ'ק השני מסתיים ב‪-‬‬
‫‪ .941‬כדי להגיע מהצ'ק השני לשמיני צריך להוסיף ‪ 6‬ומקבלים ‪.947‬‬
‫‪ 949‬הוא טעות טיפוסית של תלמידים שמוסיפים ‪ 8‬ל‪.1-‬‬
‫הצ'ק העשירי יסתיים ב‪ 949 -‬כי מתחילים ב‪ .940 -‬שגיאה אופיינית של תלמידים היא להוסיף‬
‫‪ .10‬זו הסיבה שמספרי פנקסי הקבלות והצ'קים מתחילים במספרים שספרת היחידות היא ‪1‬‬
‫כדי שתהיה התאמה בין ספרת היחידות ומיקומו של הצ'ק בפנקס‪.‬‬
‫ד( ‪5,755,349‬‬
‫א( ‪ 1,375,941‬ב( ‪ 1,375,946‬ג( ‪1,375,949‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימה זו עוסקת בכתיבת מספרים לפי תנאים נתונים ולפי דרישות נתונות‪.‬‬
‫א( ‪ .7,540‬ב( ‪ 75 × 10 4 = 750,000‬ג( ‪57 × 10 4 = 570,000‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימה זו דומה למשימה הקודמת‪ .‬הדרישות אחרות‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬לסעיף ב' יתאים המספר‪36 × 10 5 = 3,600,000 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימה זו דומה לשתי המשימות הקודמות‪ .‬הדרישות הן אחרות לבניית‬
‫המספרים‪ .‬דוגמה‪ :‬לסעיף א' יתאים המספר‪. 7 × 10 6 = 7,000,000 :‬‬
‫‪17‬‬
‫יישומי מדע‪ ,‬עמוד ‪31‬‬
‫במדע האסטרונומיה יש צורך בשימוש במספרים הגדולים‪ .‬החלק המדעי של הפרק עוסק‬
‫במספרים גדולים ביקום‪.‬‬
‫כוכב הוא כדור פלזמה גדול מאוד‪ ,‬אשר בניגוד לכוכב לכת‪ ,‬מפיק קרינה משל עצמו ופולט‬
‫אותה לחלל‪ .‬מקורה של האנרגיה הנוצרת בכוכבים הוא בהיתוך גרעיני‪ ,‬והיא נפלטת לחלל‬
‫בצורת קרינה אלקטרומגנטית וחלקיקי נייטרינו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬במשימה זו נדרשים התלמידים לכתוב את המרחק מהשמש בחזקות של ‪.10‬‬
‫דוגמה‪57,900,000 = 579 × 10 5 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬במשימה זו נדרשים התלמידים לכתוב את שמות הכוכבים לפי מרחקם‬
‫מהשמש‪ .‬להלן סדר הכוכבים‪ :‬חמה‪ ,‬נוגה‪ ,‬הארץ‪ ,‬מאדים‪ ,‬צדק‪ ,‬שבתאי‪ ,‬אורנוס‪ ,‬נפטון ופלוטו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬במשימה זו נדרשים התלמידים לסדר את שמות הכוכבים לפי הקוטר שלהם‪.‬‬
‫להלן סדר הכוכבים מהקוטר הקטן ביותר ועד הגדול ביותר‪:‬‬
‫פלוטו‪ ,‬חמה‪ ,‬מאדים‪ ,‬נוגה‪ ,‬הארץ‪ ,‬נפטון‪ ,‬אורנוס‪ ,‬שבתאי‪ ,‬צדק‪.‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪32‬‬
‫משימות ההעשרה המופיעות בעמוד זה מיועדות לתלמידים מתקדמים‪ .‬אם כי‪ ,‬כל אחד‬
‫מתלמידי הכיתה יכול לנסות לפתור את המשימות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪:1‬‬
‫במשימה זו נדרשים התלמידים לכתוב בעזרת הספרות הנתונות מספרים בעלי חמש ספרות שש‬
‫ספרות שבע ספרות וכדומה‪.‬‬
‫אפשר לבנות מספרים ללא פעולות חשבון ואפשר לבנות מספרים עם פעולות חשבון‪.‬‬
‫שתי הדרכים יוצגו להלן‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫דוגמה למספר בעל שבע ספרות‪42×50 = 3,150,000 :‬‬
‫‪2‬‬
‫דוגמה למספר בעל שמונה ספרות‪30 ×503 = 67,500,000 :‬‬
‫דוגמה למספר בעל עשר ספרות‪32×504× 25= 3,000,000,000 :‬‬
‫מספר הספרות במספר‬
‫‪ 5‬ספרות‬
‫‪ 6‬ספרות‬
‫‪ 7‬ספרות‬
‫‪ 8‬ספרות‬
‫‪ 9‬ספרות‬
‫‪ 10‬ספרות‬
‫המספר הקטן ביותר‬
‫‪20,345‬‬
‫‪200,345‬‬
‫‪2,002,345‬‬
‫‪20,023,345‬‬
‫‪200,233,445‬‬
‫‪2,002,334,455‬‬
‫המספר הגדול ביותר‬
‫‪54,320‬‬
‫‪554,320‬‬
‫‪5,544,320‬‬
‫‪55,443,320‬‬
‫‪554,433,220‬‬
‫‪5,544,332,200‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימת תרגול של פילוג המספר לפי מחלקות‪ .‬הרישום הוא בעזרת חזקות של‬
‫‪.10‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימת תרגול של כתיבת מספר גדול במילים וכן עיגול המספר למיליונים‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪33‬‬
‫חזרה על הנושאים‪ :‬פעולות חשבון וסדר פעולות חשבון‪ ,‬סימני התחלקות ובעיות מילוליות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת תרגול של סדר פעולות החשבון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬מספר מתחלק ב‪ 3 -‬אם סכום ספרותיו מתחלק ב‪ .3 -‬הספרה החסרה היא ‪ 2‬או‬
‫‪ 5‬או ‪.8‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬מספר מתחלק ב‪ 5 -‬אם ספרת היחידות שלו היא ‪ 0‬או ‪.5‬‬
‫הספרה החסרה היא ‪ 0‬או ‪.5‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬א( המספר ‪ 12,345‬מתחלק ב‪ 3 -‬וב‪.5 -‬‬
‫ב( המספר ‪ 7,890‬מתחלק ב‪ ,2 -‬ב‪ ,3 -‬ב‪ ,5 -‬ב‪ 6 -‬וב‪.10 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬מספר זוגי יכול להתחלק ב‪ .3 -‬לדוגמה המספר ‪ .12‬מספר זה מתחלק גם ב‪.6 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬א( ספרת היחידות של המכפלה הנתונה היא ‪.4‬‬
‫ב( מספרת היחידות של המכפלה הנתונה היא ‪.8‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬התרגיל המתאים לפתרון השאלה הוא‪. ( 5 + 4 ) × 6 = 9 × 6 = 54 :‬‬
‫יואל קנה ‪ 54‬בקבוקי משקה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬התרגיל המתאים לפתרון השאלה המילולית הוא‪:‬‬
‫‪( 6,000 − 1,500 ) :9 = 4,500 :9 = 500‬‬
‫תשובה‪ :‬אריאל שילם בכל אחד מהתשלומים ‪.₪ 500‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימת תרגול של ארבע פעולות החשבון‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫נספח לפעילות גילוי א' להקניה‬
‫אַחת‬
‫ָ‬
‫ארבע‬
‫שלוש‬
‫ארבעה‬
‫)ארבעת(‬
‫תשע‬
‫שלושה‬
‫)שלושת(‬
‫שמונֶה‬
‫שתיים‬
‫)שתי(‬
‫שניים‬
‫) ְשנֵי(‬
‫שבע‬
‫ֶא ַחד‬
‫אַחד(‬
‫) ַ‬
‫שש‬
‫תשעה‬
‫) ִת ְש ַעת(‬
‫שמונָה‬
‫)שמונַת(‬
‫שבעה‬
‫) ִש ְב ַעת(‬
‫שישה‬
‫) ֵש ֶשת(‬
‫חמישים‬
‫ארבעים‬
‫שלושים‬
‫עשרים‬
‫מאות‬
‫תשעים‬
‫שמונים‬
‫שבעים‬
‫שישים‬
‫אלפים‬
‫אלפיים‬
‫אלף‬
‫מאתיים‬
‫מאה‬
‫ו‬
‫מיליארדים‬
‫מיליארד‬
‫מיליונים‬
‫מיליון‬
‫ו‬
‫ו‬
‫ו‬
‫ו‬
‫ו‬
‫אפס‬
‫חמש‬
‫חמישה‬
‫) ֲח ֵמ ֶשת(‬
‫עשר‬
‫עשרה‬
‫)עשרת(‬
‫‪20‬‬
‫ז' להקניה‬-'‫נספח לפעילויות גילוי ד‬
I
I
I
I
I
II
II
II
II
II
III
III
III
III
III
V
V
V
V
V
X
X
X
X
X
L
L
L
L
L
C
C
C
C
C
M
M
M
M
M
I
I
I
I
I
21
11
12
1
10
2
9
L = 50
3
4
8
7
‫יא‬
6
‫יב‬
5
C = 100
‫א‬
‫י‬
‫ב‬
‫ט‬
‫ג‬
‫ד‬
‫ח‬
‫ז‬
‫ו‬
‫ה‬
D = 500
XI
X II
I
II
X
IX
III
VIII
VII
M = 1000
IV
VI
V
I
V
X
C
D
M
22
L
‫ב‪ .‬חיבור‪ ,‬חיסור וכפל במספרים טבעיים גדולים‬
‫עמ' ‪67 - 34‬‬
‫רקע‬
‫פרק זה עוסק בפעולות חשבון במספרים הטבעיים‪ ,‬פרט לחילוק‪ .‬הדגש הוא על פעולות‬
‫במספרים הטבעיים הגדולים‪ .‬למעשה‪ ,‬התלמידים חוזרים על חיבור‪ ,‬על חיסור ועל כפל של‬
‫מספרים טבעיים ומעמיקים את הידע שלהם במספרים בעלי מספר ספרות גדול‪ .‬יש להסב את‬
‫תשומת לב התלמידים לכך שאותם הכללים ואותם החוקים חלים על כל המספרים הטבעיים‪,‬‬
‫גם אם המספר הוא גדול‪.‬‬
‫השוני המשמעותי בביצוע פעולות במספרים הגדולים בא לידי ביטוי בכך שלעתים קרובות‬
‫מעגלים את המספרים הגדולים לפני הפעולה‪ ,‬ולעתים מעגלים את תוצאה‪ .‬הסיבה לכך היא‬
‫שברוב המקרים אין משמעות לתוצאה מדויקת‪ ,‬אלא לקירוב של התוצאה‪ ,‬לדוגמה‪ ,‬בשאלות‬
‫הקשורות לסטטיסטיקה‪.‬‬
‫העיסוק במספרים הטבעיים באופן מרוכז מסתיים בפרק זה ובפרק ד' – חילוק מספרים‬
‫טבעיים‪ .‬ולכן חשוב לחזור על חוקי הפעולות‪ :‬חוקים הקשורים לאפס ולאחת‪ ,‬חוק החילוף של‬
‫כפל וחיבור‪ ,‬חוק הקיבוץ של כפל וחיבור וחוק הפילוג של כפל לפני חיבור או חיסור‪ .‬מומלץ‬
‫לחזור על חוקים אלה בתרגול בעל‪-‬פה או בכתב גם במשך שנת הלימודים )דרך פעילויות‬
‫הטמעה‪ ,‬לדוגמה(‪ ,‬כדי שהתלמידים לא ישכחו אותם‪ .‬בכל נושא אחר הקשור למספרים ‪ -‬לאו‬
‫דווקא הטבעיים ‪ -‬נשענים על ידע של חוקי הפעולות ושל כללי הפעולות )סוגריים קודמים לכול‪,‬‬
‫כפל וחילוק קודמים לחיבור ולחיסור וכדומה(‪.‬‬
‫הטעות הנפוצה ביותר בחיבור ובחיסור של מספרים גדולים בטור נובע מכתיבה לא נכונה של‬
‫הספרות המתאימות זו מתחת זו‪.‬‬
‫שימוש באומדן מאפשר לקבל סדר גודל של התוצאה ובכך למנוע טעות זו‪.‬‬
‫כמו כן‪ ,‬שיטות שונות לחישוב מאפשרות בדיקה של החישוב באחת מהשיטות‪.‬‬
‫כאשר מופיע ‪ 0‬בגורם של מכפלה‪ ,‬נפוצות טעויות חישוב רבים‪ .‬שימוש באומדן התוצאה‬
‫ובשיטות בדיקה מאפשרים לתקן חלק גדול מהטעויות‪.‬‬
‫לכן מומלץ לעודד את התלמידים לבצע בדיקות לפני קביעת התוצאה הסופית של תרגיל‪.‬‬
‫מושגים‬
‫אומדן‪ ,‬קירוב התוצאה‪ ,‬חוק החילוף‪ ,‬חוק הקיבוץ‪ ,‬חוק הפילוג‪ ,‬חיבור‪ ,‬חיסור‪ ,‬כפל‪ ,‬פילוג‬
‫המספר‪ ,‬דרכי חישוב‪ ,‬חישוב בטור‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬לבצע פעולות חיבור‪ ,‬חיסור וכפל במספרים מקורבים;‬
‫ב‪ .‬לבצע פעולות חיבור‪ ,‬חיסור וכפל במספרים מדויקים;‬
‫ג‪ .‬לבצע פעולות בדרך הנדרשת או בדרך הנוחה להם;‬
‫ד‪ .‬לבצע פעולות באלפים‪ ,‬במיליונים וכדומה;‬
‫ה‪ .‬לבצע פעולות חיבור‪ ,‬חיסור וכפל בטור במספרים גדולים;‬
‫ו‪ .‬להשתמש בחוקי הפעולות להקלת החישובים‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫טבלאות המבנה העשרוני‪ ,‬ציר המספרים‪.‬‬
‫‪23‬‬
‫הטמעה‬
‫לנוכח החשיבות הרבה של המיומנויות הנדרשות‪ ,‬פעילויות הטמעה המוצעות בפרק מהוות‬
‫הכנה לפרק‪.‬‬
‫א‪ .‬חזרה על כפל מספרים טבעיים‪ ,‬עלחוקים של ‪ 0‬ושל ‪ 1‬ועל חוקי הפעולות‪.‬‬
‫פתרו את התרגילים בדרך הנוחה לכם‪50 × 121 × 4 ,50 × 121 × 2 ,25 × 1,237 × 4 .‬‬
‫המכפלה של המספרים ‪ 25‬ו‪ 248 -‬שווה ל‪ .6,200 -‬מהי המכפלה של המספרים ‪ 248‬ו‪?25 -‬‬
‫מהו הסכום של ‪ 2,435‬ו‪ ?0 -‬מהו ההפרש ביניהם? מהי מכפלתם?‬
‫מהי תוצאת החילוק של ‪ 0‬ב‪468:1=? 468:468=? ?24 -‬‬
‫רשמו ‪) 0‬או שני אפסים או שלושה אפסים( בצד ימין של המספר ‪ .2,598‬פי כמה גדל המספר?‬
‫יוסי מחק ‪) 0‬או שני אפסים‪ ,‬שלושה אפסים( מהמספר ‪ .256,000‬פי כמה קטן המספר?‬
‫ב‪ .‬חזרה על חיבור "חכם" )או השלמה למספר "עגול"(‪.‬‬
‫פתרו את התרגילים בדרך הנוחה לכם‪ ,‬והסבירו כיצד כדאי לחשב את הסכום בדרך המהירה‬
‫ביותר‪.‬‬
‫‪5+9,999+9,999+9,999‬‬
‫‪6+997+998+999‬‬
‫‪9+998+998+998‬‬
‫‪12+99,999+99,999‬‬
‫ג‪ .‬חזרה על חיסור "חכם" )או השלמה למספר "עגול"(‪.‬‬
‫פתרו את התרגילים בדרך הנוחה לכם‪ ,‬והסבירו כיצד כדאי לחסר בדרך המהירה ביותר‪.‬‬
‫‪2,984-5,632‬‬
‫‪88-777‬‬
‫‪289-2,341‬‬
‫‪98-555‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬משחק קבוצתי‪ .‬חברי הקבוצה מתבקשים למצוא שני מספרים )בעלי מספר ספרות‬
‫זהה( המשלימים זה את זה ל‪) 100 -‬כלומר שסכומם שווה ל‪ ,(100 -‬ל‪ ,1,000 -‬ל‪.10,000 -‬‬
‫פעילות ב‪ :‬כמו בפעילות א'‪ ,‬אבל הפעם למספרים יש מספר ספרות שונה‪.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬משחק קבוצה מול קבוצה‪ .‬אחד התלמידים מקבוצה אחת מגריל מספר עד ‪,10,000‬‬
‫ועל תלמידי הקבוצה השנייה למצוא את המספר המשלים אותו ל‪.10,000 -‬‬
‫פעילות ד‪ :‬משחק קבוצה מול קבוצה‪ .‬אחד התלמידים מקבוצה אחת מגריל מספר עד ‪.10,000‬‬
‫על חברי הקבוצה השנייה למצוא מספר בעל מספר ספרות שונה‪ ,‬שאם יחברו אותו למספר‬
‫הראשון‪ ,‬יתקבל מספר שווה ל‪ 10,000 -‬או קרוב ל‪ 10,000 -‬במידת האפשר‪ .‬אם אפשר להוסיף‬
‫מספר נוסף בעל מספר ספרות שונה מהמספר הקודם‪ ,‬חברי הקבוצה הבאה ממשיכים להוסיף‪,‬‬
‫וכך ממשיכים‪ ,‬עד שלמספר שצריך להוסיפו יש אותו מספר ספרות כמו המספר הקודם‪.‬‬
‫‪ .45 (6‬דוגמה נוספת‪(2 ;9,000 (1 :‬‬
‫דוגמה‪;1,000 (5 ;999 (4 ;5,000 (3 ;999 (2 ;1,957 (1 :‬‬
‫‪.81 (5 ;9 (4 ;10 (3 ;900‬‬
‫פעילות ה‪ :‬הילדים יושבים בקבוצות של שישה במעגל‪ .‬ראש הקבוצה מקבל שני דפים כמו אלו‬
‫המוצגים כאן בנספח‪) .‬המספרים הצבועים באפור הם לשם הדגמה‪(.‬‬
‫‪24‬‬
‫דף א'‬
‫דף ב'‬
‫מספר דו‪-‬ספרתי התחלתי‪25 :‬‬
‫מספר דו‪-‬ספרתי התחלתי‪25 :‬‬
‫הציבו בתרגילים את המספר‬
‫ההתחלתי‪ ,‬ופתרו את התרגילים‪.‬‬
‫הציבו בתרגילים מספרים לפי ההוראות‪,‬‬
‫ופתרו את התרגילים‪.‬‬
‫התרגיל‬
‫התוצאה‬
‫הציבו בשורה הראשונה‬
‫את המספר ההתחלתי‪.‬‬
‫הציבו בכל שורה מספר הגדול פי ‪10‬‬
‫מהמספר שהוצב בשורה הקודמת‪ ,‬ופתרו‬
‫את התרגיל‪.‬‬
‫התרגיל‬
‫=‪25‬‬
‫=‪25‬‬
‫=‪25‬‬
‫=‪25‬‬
‫=‪25‬‬
‫התוצאה‬
‫‪10 x‬‬
‫‪100 x‬‬
‫‪1,000 x‬‬
‫‪10,000 x‬‬
‫‪100,000 x‬‬
‫‪250‬‬
‫‪2,500‬‬
‫‪25,000‬‬
‫‪250,000‬‬
‫‪2,500,000‬‬
‫‪250‬‬
‫‪2,500‬‬
‫‪25,000‬‬
‫‪250,000‬‬
‫‪2,500,000‬‬
‫= ‪25 x 10‬‬
‫= ‪250 x 10‬‬
‫= ‪2,500 x 10‬‬
‫= ‪25,000 x 10‬‬
‫= ‪250,000 x 10‬‬
‫ראש הקבוצה בוחר מספר דו‪-‬ספרתי כלשהו וכותב אותו על כל אחד מהדפים במשבצת‪:‬‬
‫"מספר דו‪-‬ספרתי התחלתי"‪ .‬דף אחד הוא מוסר לתלמיד היושב מימינו‪ ,‬ודף שני הוא מוסר‬
‫לתלמיד היושב משמאלו‪ .‬כל אחד מהתלמידים שקיבל דף מבצע פעילות אחת )כפל ב‪ 10 -‬או‬
‫כפל בחזקות של ‪ (10‬ומעביר את הדף הלאה‪ .‬תלמידי הקבוצות האחרות ממלאים את הטור‬
‫השמאלי של דף ב'‪ .‬בטור זה יתקבלו הכפולות ב‪ 10 -‬ובחזקותיו )בדומה לטור הימני בדף א'(‪.‬‬
‫במליאה דנים במסקנות ומנסחים דרך להכפלת מספר טבעי בחזקות של ‪.10‬‬
‫שאלות אפשריות לפני הדיון ולאחריו על‪-‬בסיס דוגמה כיתתית‪:‬‬
‫פי כמה גדל המספר אחרי הוספת אפסים מימינו?‬
‫פי כמה קטן המספר הנתון מהמספר המתקבל?‬
‫באיזה מספר כפלנו את המספר הנתון כדי לקבל את המספר החדש?‬
‫מהו הקשר בין מספר האפסים שנוספו למספר המתקבל‪ ,‬לבין מספר האפסים במספר שכפלנו‬
‫בו?‬
‫לדוגמה‪ ,‬אם המספר הנתון הוא ‪ ,25‬ורשמנו בצדו הימני שני אפסים‪ ,‬התקבל המספר ‪.2,500‬‬
‫תשובות צפויות לשאלות שלעיל‪:‬‬
‫המספר ‪ 25‬גדל פי ‪.100‬‬
‫המספר ‪ 25‬קטן פי ‪ 100‬מהמספר שהתקבל‪.‬‬
‫את המספר הנתון כפלנו ב‪.100 -‬‬
‫מספר האפסים ב‪ 100 -‬שווה למספר האפסים שהוספנו ל‪ 25 -‬בצדו הימני‪.‬‬
‫חשוב לבצע כמה תרגילים ולהגיע למסקנה חד‪-‬משמעית‪ ,‬הקשורה לשאלה האחרונה‪.‬‬
‫פעילות ו‪ :‬משחק המכשולים במחשב‪ .‬בכל קבוצה בוחרים שני מספרים בין ‪ 10,000‬לבין‬
‫‪ ,100,000‬שהם כפולות של ‪ .10‬לאחר מכן המורה מסבירה את המשחק‪:‬‬
‫המספר הקטן שנבחר בקבוצה הוא הניקוד ההתחלתי של המשחק‪ ,‬והמספר הגדול הוא‬
‫המספר הסופי‪ .‬על הקבוצה לתאר על שקף או על בריסטול תהליך משחק המתאים לניקוד לפי‬
‫כללי המשחק‪ :‬כל קפיצה מעל מכשול מזכה את הקבוצה ב‪ 1,000 -‬נקודות; הצלת בעל‪-‬חיים‬
‫מזכה ב‪ 10,000 -‬נקודות; וקטיפת פרח מפחיתה ‪ 10‬נקודות‪.‬‬
‫בדיון ַמציגים את המשחקים‪ ,‬ודנים באפשרויות השונות לחישוב‪.‬‬
‫פעילות ז‪ :‬על הלוח כתובים תרגילים‪ .‬על התלמידים לפתור אותם בעל‪-‬פה בדרך הנוחה ביותר‪.‬‬
‫‪36 × 25‬‬
‫‪168 × 25‬‬
‫‪308 × 3‬‬
‫‪203 × 7‬‬
‫‪25‬‬
‫‪524 × 4‬‬
‫‪97 × 13‬‬
‫‪198 × 17‬‬
‫משתמשים בחוק הפילוג‪:‬‬
‫‪308 × 3 = ( 300 + 8 ) × 3 = 300 × 3 + 8 × 3 = 900 + 24 = 924‬‬
‫‪97 × 13 = ( 100 − 3 ) × 13 = 100 × 13 − 3 × 13 = 1300 − 39 = 1261‬‬
‫)אפשר לבחור חלק מהתרגילים או להוסיף תרגילים דומים‪ .‬יש לדון בדרכים להקלת‬
‫החישובים בעזרת העובדות‪ . 5 × 2 = 10;25 × 4 = 100;125 × 8 = 1000 :‬כלומר כדי לכפול ב‪25 -‬‬
‫כדאי לכפול ב‪ 100 -‬ואת התוצאה לחלק ב‪ .4 -‬כמובן רצוי שהתלמידים "ימציאו" עובדות אלו‬
‫בעצמם‪ .‬יש לעודד אותם להשתמש בחוקי הכפל ‪ -‬חילוף‪ ,‬קיבוץ ופילוג ‪ -‬לפי הצורך‪(.‬‬
‫השיעור בספר הלימוד‬
‫האם אנו מוכנים? – תשובות‪:‬‬
‫‪ .1‬ב; ‪ .2‬א; ‪ .3‬ג; ‪ .4‬ד; ‪ .5‬ב; ‪ .6‬ב; ‪ .7‬ג; ‪ .8‬ד; ‪ .9‬א; ‪ .10‬א‪.‬‬
‫)ראו טעויות נפוצות ברקע‪(.‬‬
‫לעלות על הגל‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :35‬דרכים שונות לחיבור‬
‫בקטע שיעור זה חוזרים על דרכים שונות לחיבור מספרים שנלמדו בשנים הקודמות‪ .‬רוב הזמן‬
‫בחירת דרך יעילה של חישוב היא אחת ההוכחות להבנה מספרית‪.‬‬
‫הדרך היעילה ביותר נבחרת על‪-‬פי המחוברים‪ ,‬לכן יש לעודד את התלמידים לנמק את בחירתם‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ : 1-3‬התלמידים מתבקשים לפתור תרגילים דרך פילוג המחוברים או דרך עיגול‬
‫אחד מהם‪ .‬עם זאת אין לפסול שימוש בדרכים אחרות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬חזרה על חיבור במאונך‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬משימה זו דורשת מהתלמידים השלמה של ספרות חסרות במחוברים‪ .‬אפשר‬
‫להנחות את התלמידים למצוא את הספרה החסרה על ידי שאילת שאלות מהסוג‪" :‬כמה חסר‬
‫כדי להגיע ל‪"?13 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬ייצוג של תרגיל אותו מתבקשים התלמידים לגלות על‪-‬ידי סימני הפעולה‬
‫המלווים כל חץ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬שאלה מילולית פשוטה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬הצגת סכום על ציר המספרים‪.‬התלמידים יכולים לייצג את התרגיל כמו‬
‫במשימה ‪ .6‬בייצוג זה אין צורך לשמור על קנה‪-‬מידה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימת יישום על‪-‬ידי שאלה מילולית‪ .‬התלמידים יכולים להשתמש בשיטת‬
‫חישוב הנראית להם אך במקרה זה שימוש בעיגול מספרים יעיל יותר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬שאלה מילולית פשוטה‪ .‬דונו עם התלמידים בדרך שהם ַמציעים‪.‬‬
‫במקרה זה שימוש בעיגול מספרים יעיל יותר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬שאלה מילולית שנדרש בה ייצוג‪ .‬המילה "חזרה" עלולה להוביל כמה‬
‫תלמידים לבצע פעולת חיסור במקום פעולת חיבור‪.‬‬
‫התלמידים נדרשים לייצג את הנתונים שבשאלה על ישר המספרים‪ .‬להלן דוגמה לייצוג‪:‬‬
‫‪ 153‬ק"מ‬
‫‪ 75‬ק"מ‬
‫חיפה‬
‫רחובות‬
‫‪ 15326‬ק"מ‬
‫באר‪-‬שבע‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :38‬חיבור של עשרות שלמות‪ ,‬של מאות שלמות ושל אלפים שלמים‬
‫אַחד המחוברים הוא ‪ 1,000 ,100 ,10‬או ‪ .10,000‬במקרים כאלה קל‬
‫חזרה על חיבור‪ ,‬כאשר ַ‬
‫לחשב את התוצאה‪ ,‬וכדאי לעודד את התלמידים לבצע את החישובים בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :13-12‬כדאי לבצע את המשימה בעל‪-‬פה‪ .‬יש לזהות את הספרה המתאימה‬
‫לחיבור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬ניתוח טעות נפוצה‪ :‬קריאה שגויה של מאות ושל אלפים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬משימת יישום‪ .‬דונו עם התלמידים בדרך שלהם‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :39‬דרכים שונות לחיסור‬
‫בקטע שיעור זה חוזרים על שתי דרכים שונות לחיסור מספרים שנלמדו בשנים הקודמות‪ .‬ברוב‬
‫המקרים בחירת דרך יעילה של חישוב היא אחת ההוכחות להבנה מספרית‪.‬‬
‫קטע שיעור זה שם דגש על הדרך של עיגול המחסר‪ .‬אם העיגול נעשה כלפי מעלה ברור כי‬
‫החסרנו מהמחוסר יותר מידי ועלינו להוסיף להפרש את החסר‪.‬‬
‫בחירת הדרך היעילה לפתרון תלויה במספרים הנתונים בתרגיל‪ .‬דוגמה‪ :‬כאשר המחסר קרוב‬
‫למספר "עגול"‪ ,‬כדאי לעגל אותו‪.‬‬
‫מומלץ לעודד את התלמידים לנמק את דרך בחירתם‪ .‬רוב התלמידים נוטים לבחור בחיסור‬
‫בטור‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :18-16‬משימות יישום‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :40‬חיסור של עשרות שלמות‪ ,‬של מאות שלמות ושל אלפים שלמים‬
‫חזרה על חיסור כאשר המחסר הוא כפולה של ‪ ,10‬של ‪ ,100‬של ‪ 1,000‬או של ‪ .10,000‬במקרים‬
‫כאלה קל לחשב את התוצאה‪ ,‬וכדאי לעודד את התלמידים לבצע את החישובים בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :20-19‬משימות יישום‪ .‬כדאי לבצע את המשימות בעל‪-‬פה‪ .‬יש לזהות את הספרה‬
‫המתאימה לחיסור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬משימת יישום על‪-‬ידי שאלה מילולית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬משימה הפוכה למשימה הקודמת‪ .‬דונו עם התלמידים ב"סיפור" שלהם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬על התלמידים לשים לב לסימן הפעולה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬טעות נפוצה נובעת מהזזת של ספרה במבנה העשרוני‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬שאלה פתוחה לפיתוח הבנה מספרית עלי‪-‬ידי זהויות חיבור וחיסור‪.‬‬
‫בשני התרגילים הראשונים על התלמידים לגלות מהו ההפרש של שני מספרים שאינם ידועים‬
‫ובשני התרגילים האחרונים עליהם לגלות מהו סדר הגודל של תוצאות הפעולות הנדרשות‪.‬‬
‫דוגמאות‪ :‬כדי לקבל בתרגיל השני תוצאה השווה ל‪ ,2,509 -‬יש צורך להוסיף ‪) 9‬למשל ‪.(11-2‬‬
‫כדי לקבל בתרגיל השלישי מספר גדול מ‪ ,4,000 -‬אפשר לבחור כל מספר הקטן מ‪) 680 -‬כולל‬
‫המספר ‪ .(0‬דונו עם התלמידים על המספרים שבחרו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬פיתוח הבנה מספרית עלי‪-‬ידי מתן ייצוג של תרגיל‪ .‬על התלמידים לכתוב את‬
‫התרגיל‪.‬‬
‫‪27‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬שאלה מילולית מלווה בקריאת טבלה ובהשלמתה‪.‬‬
‫כדי למלא את הטור האחרון על התלמידים לחשב את ההפרש בין המספרים הנמצאים באותה‬
‫שורה בין הטורים ‪ 2000‬ו‪ .1998 -‬וכדי למלא את השורה האחרונה יש לסכם את המספרים‬
‫שבכל טור‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :42‬דרכים לחישוב כפל‪:‬‬
‫בקטע שיעור זה מוצגות ארבע דרכי חישוב של כפל‪ .‬בחירת הדרך היעילה לחישוב היא אחת‬
‫ההוכחות להבנה מספרית‪.‬‬
‫הדרך היעילה ביותר תלויה במספרים שבתרגיל‪ ,‬לכן יש לעודד את התלמידים לנמק את‬
‫בחירתם‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :31-29‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬פיתוח הבנה מספרית על‪-‬ידי משוואות כפל‪ .‬ברוב התרגילים אחד מהגורמים‬
‫הוא כפולה של ‪.10‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬משימת יישום על‪-‬ידי שאלה מילולית‪ .‬כל סעיף מהווה שאלה חד שלבית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬משימת יישום‪ .‬דוגמה לחישוב‪:‬‬
‫‪30 × 99 = 30 × 100 – 30 = 3000–30= 2970‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬משימת יישום‪ .‬דונו עם התלמידים בדרך שלהם‪.‬‬
‫דוגמה לחישוב‪781 × 11 = 781 × 10 + 781 = 7,810 + 700 + 81 = 8500 + 91 = 8591 :‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :44‬דרכים לחישוב כפל‪ :‬חוקים‬
‫בקטע שיעור זה מוצגות דרכי חישוב של תרגילי כפל על‪-‬ידי שימוש ישיר בחוקי הפעולות‪.‬‬
‫באחת הדרכים המבוססת על חוק הפילוג‪ ,‬מפלגים את שני הגורמים‪ .‬דרך זו חשובה באלגברה‬
‫בחטיבת הביניים‪ .‬פעולה זו מסובכת כאשר כותבים את השלבים במאוזן‪ ,‬אך הכתיבה בטבלה‬
‫הופכת אותה לנוחה מאוד‪ ,‬כי אין צורך לזכור העברות של מכפלות שבאלגוריתם המקובל‪.‬‬
‫תלמידים שנחשפו לדרך זו מעדיפים להשתמש בה‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ : 38-36‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :42-39‬משימות יישום של שימוש בטבלה‪ .‬בדרך זו לא נדרשות העברות של‬
‫מכפלות‪ ,‬לכן היא מונעת טעויות חישוב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬משימת יישום‪.‬‬
‫יחידת הלימוד ‪ -‬הקניה‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :46‬כפולות של ‪ 10‬בחיבור ובחיסור‬
‫קטע שיעור זה דומה לקטע השיעור של "לעלות על הגל" בעמ' ‪ .42‬גם כאן לומדים על פעולות‬
‫חיבור וחיסור של מספרים טבעיים גדולים‪ ,‬כאשר הספרות האחרונות של אחד המחוברים או‬
‫של המחסר הן אפסים‪ .‬ההבדל בין השיעורים הוא בסדר הגודל של המספרים‪ :‬כאן המספרים‬
‫הם גדולים יותר‪ .‬יש להדגיש לתלמידים את שינוי הספרה המתאימה )בהתאם לחיבור או‬
‫לחיסור( גם באופן המילולי‪ .‬דוגמה‪ :‬מחסרים ‪ ,400,000‬אומרים במילים‪" :‬ארבע מאות אלף"‬
‫ומדגישים את ספרת מאות האלפים‪ .‬אפשר גם להקיף את הספרה הנדרשת‪ ,‬וכך להקל על‬
‫התלמידים את פתרון התרגיל‪.‬‬
‫‪28‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת יישום‪ .‬יש להדריך את התלמידים להדגיש במספר הראשון של כל‬
‫תרגיל את הספרה ש"מחסרים ממנה" או "מוסיפים לה"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬ב( יואל מצא שני אוצרות‪ ,‬כלומר הרוויח ‪ 20,000‬נקודות‪ ,‬והוא עבר שלושה‬
‫מכשולים‪ ,‬כלומר הרוויח ‪ 3,000‬נקודות‪ .‬על ציר המספרים צריך לצייר שני צעדים )בעזרת‬
‫חצים(‪ ,‬שכל אחד מייצג ‪ ,10,000‬ושלושה צעדים שכל אחד מייצג ‪.1,000‬‬
‫ג( רצוי לדון במשימה זו‪ .‬התשובות האפשריות‪ 9 :‬מכשולים ו‪ 2 -‬אוצרות‪ 19 ,‬מכשולים ואוצר‬
‫אחד‪ 29 ,‬מכשולים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬פיתוח הבנה מספרית על‪-‬ידי משוואת חיבור בצורה של חידה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪:47‬‬
‫בקטע שיעור זה לומדים להקל את החישובים על‪-‬ידי חיבור או חיסור במחלקות‪ .‬במקרה זה‬
‫שני המספרים מסתיימים במספר מסוים של אפסים‪ .‬המחלקה שהחישוב נעשה בה‪ ,‬נבחרת לפי‬
‫המספר שיש לו פחות אפסים בסוף‪ .‬דוגמה‪ :‬אם צריך לחבר ‪ 1,250,000‬ו‪ 23,000 -‬מחברים‬
‫באלפים‪ ,‬כלומר די לחבר ‪ 23‬אלף ועוד ‪ 1,250‬אלף‪ .‬מקבלים ‪ 1,273‬אלף שהם ‪.1,273,000‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬שאלה מילולית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬א( החישוב במיליונים‪ ;453+1,786=2,239 :‬ב( תוצאת החיבור‪.2,239,000 :‬‬
‫משימה מס' ‪" :7‬תרגום מספר כתוב במלל למספר כתוב בספרות"‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :48‬אומדן תוצאה של פעולת חיבור‬
‫הנושא שבקטע זה חשוב מאוד כאשר עוסקים במספרים גדולים‪ .‬במציאות ‪ -‬בעיתון‪,‬‬
‫בסטטיסטיקה וכדומה – כאשר המספרים גדולים‪ ,‬לא משתמשים במספרים המדויקים‪ ,‬אלא‬
‫במספרים מעוגלים‪ .‬את המספרים מעגלים לאלפים‪ ,‬למיליונים‪ ,‬למיליארדים‪ ,‬לעשרות‬
‫מיליארדים וכדומה‪ ,‬לפי הנתונים‪ .‬למשל בערב ראש השנה פורסם הנתון הבא‪ :‬יש ‪7,465,500‬‬
‫תושבים בישראל‪ .‬במקרה הצורך יש לחזור על עיגול המספרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬התאמת מספר למספר המעוגל למיליונים‪ .‬בחקר נתונים התלמידים יידרשו‬
‫לעגל נתונים כדי להציגם בדיאגראמות עמודות‪ .‬משימה זו מכינה אותם לכך‪ .‬הפתרון‪" :‬כל‬
‫הכבוד"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימת יישום‪ .‬התשובה‪ :‬ג(‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :11-10‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬שאלה מילולית זו מסייעת לפיתוח הבנה מספרית על‪-‬ידי מציאת אפשרויות‬
‫לפילוג המספר ‪. 40,000,000‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :50‬סכום של מספרים גדולים‬
‫ישנן שתי דרכים עיקריות לחישובים הנעשים במספרים גדולים‪ .‬דרך אחת היא חישוב מדויק‬
‫)לדוגמה‪ ,‬חיבור בטור או במחשבון(‪ ,‬דרך שנייה היא עיגול המחוברים‪ ,‬והסכום המתקבל הוא‬
‫קירוב של התוצאה המדויקת‪ .‬דרכים אלו משלימות זו את זו‪ ,‬כי אפשר לבדוק תוצאת חישוב‬
‫מדויק על‪-‬ידי אומדן‪ .‬בדיקה זו נותנת‪ ,‬כמובן‪ ,‬סדר גודל בלבד‪ ,‬וחשוב גם לא לטעות בה‪ ,‬אך‬
‫באמצעותה התלמידים רוכשים ביטחון בפתרון התרגיל‪ .‬שימו לב‪ ,‬שלא כל חישוב אפשר לבצע‬
‫‪29‬‬
‫במחשבון‪ ,‬בעיקר אם המספרים גדולים‪ ,‬מפני שמסך המחשבון מוגבל ל‪ 8 -‬ספרות )במחשבון‬
‫פשוט( או ל‪ 10 -‬ספרות בלבד )במחשבון מדעי(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬תרגיל ב' הוא תרגיל פתוח‪ ,‬ויש לו אין‪-‬סוף פתרונות‪ .‬תרגיל א' הוא‪ ,‬למעשה‪,‬‬
‫משוואת חיסור שיש למצוא בה מחוסר‪ ,‬והדבר עשוי להיות קשה לתלמידים‪ .‬רצוי לדון‬
‫במשימה זו ולשוחח עם התלמידים על דרכים שונות לפתרון התרגילים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :51‬הפרש של מספרים גדולים‬
‫כמו בתרגילי חיבור גם בפתרון תרגילי חיסור מדובר בשתי דרכים עיקריות – חישוב מדויק‬
‫וחישוב באומדן‪ .‬ראו גם הערות לקטע השיעור הקודם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬שאלה מילולית דו‪-‬שלבית‪ .‬אפשר לחסר כל תשלום בנפרד או לחבר את‬
‫התשלומים הראשונים ולחסר את התוצאה ממחיר הדירה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬משימה זו לקוחה מחיי היום‪-‬יום‪ ,‬ואפשר לראות בעזרתה עד כמה חשוב‬
‫לדעת לבצע פעולות במספרים גדולים‪ .‬את כל החישובים במשימה יש לבצע בדיוק‪.‬‬
‫עקב הפסקת חשמל נותרו מיליוני לקוחות ללא חשמל‪ .‬מספרם מופיע בעמודה הראשונה‪.‬‬
‫בעמודה השנייה מדובר על מספר הלקוחות שנותרו עדיין ללא חשמל ביום ראשון‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :52‬כפל בכפולות של ‪10‬‬
‫בקטע שיעור זה לומדים פעולת כפל בעשרות שלמות במספרים גדולים‪ .‬מומלץ לבצע את‬
‫פעילות הגילוי ג' לפני שיעור זה‪ .‬להלן הפעילות‪ :‬משחק קבוצה מול קבוצה‪ .‬אחד התלמידים‬
‫מקבוצה אחת מגריל מספר עד ‪ ,10,000‬ועל תלמידי הקבוצה השנייה למצוא את המספר‬
‫המשלים אותו ל‪.10,000 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ 9,000,000 :19‬עלי ורד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬שאלה מילולית‪ 116,000 :‬מטר‪ .‬כדי להבהיר מהו מספר גדול של מטרים‪,‬‬
‫כדאי לבקש מהתלמידים להמיר אותו לערכים של קילומטרים‪ 116 :‬ק''מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬משימת יישום על‪-‬ידי שאלה מילולית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ : 22‬פיתוח הבנה מספרית על‪-‬ידי משוואות כפל‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :53‬חוק הפילוג של כפל מעל חיבור וחיסור‬
‫בקטע שיעור זה לומדים דרכים לביצוע פעולת כפל של מספרים גדולים‪ .‬בכל אחת מהדרכים‬
‫מפלגים את אחד הגורמים או את שניהם לפי מחלקות או לפי נוחות‪ ,‬ומשתמשים בחוקי הכפל‬
‫כגון‪ :‬חוק החילוף‪ ,‬חוק הקיבוץ וחוק הפילוג‪ .‬חשוב לאמוד את התוצאה‪ .‬כדי שתלמידים יבינו‬
‫כיצד משתמשים בחוק הפילוג של הכפל‪ ,‬מומלץ להרחיב בהסברים מילוליים שיקלו להבין את‬
‫הרעיון הפשוט‪ :‬הכפל הוא חיבור חוזר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬התלמידים יכולים לבצע חישובים בדרך הנוחה להם‪ .‬מומלץ לדון בקצרה‬
‫בסיבות לבחירת הדרך‪.‬‬
‫‪30‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬שאלה מילולית דו‪-‬שלבית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬שימוש בטבלה לחישוב מכפלה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :54‬כפל בטור‪ :‬מספרים תלת‪-‬ספרתיים‬
‫בקטע שיעור זה מוצג האלגוריתם של כפל בטור של מספר תלת‪-‬ספרתי במספר תלת‪-‬ספרתי‪.‬‬
‫במסגרות מפורטים החישובים‪ .‬בשלב זה הוחלט לרשום את האפסים של העשרות ושל המאות‬
‫כדי לחזק את הבנת האלגוריתם‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :28-26‬משימות יישום‪.‬‬
‫על מנת לבדוק את סבירות התוצאה מומלץ לבקש מהתלמידים לעגל את שני הגורמים לעשרות‬
‫או למאות שלמות‪ ,‬כאשר עיגול אחד "מאזן" את האחר‪ .‬דוגמה‪37 × 273 ≅ 40× 250 :‬‬
‫‪451×344≅ 500×300‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :55‬כפל בטור‪ :‬מספרים תלת‪-‬ספרתיים )המשך(‬
‫בקטע שיעור זה מוצג האלגוריתם של כפל בטור של מספר תלת‪-‬ספרתי במספר תלת‪-‬ספרתי‪,‬‬
‫והפעם ה‪ 0 -‬הוא ספרת העשרות של הגורם המכפיל‪ .‬נותרו "עקבות" של האפסים של העשרות‬
‫ושל המאות כדי לחזק את הבנת האלגוריתם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ : 29‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬פיתוח הבנה מספרית על‪-‬ידי כפל בספרות חסרות‪.‬‬
‫תרגילי הכפל המתאימים הם‪ :‬א( ‪ 315 × 72 = 22,680‬ב( ‪439 × 125 = 54,875‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬השאלה המילולית נותנת תחושה שלמספרים גדולים יש משמעות‪ .‬הפעם‬
‫הקישור הוא לילד עצמו דרך גילו‪.‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪ :56‬סיכום הנלמד בפרק‪.‬‬
‫התלמידים למדו דרכים שונות לחיבור‪ ,‬חיסור וכפל של מספרים גדולים וכן שימוש בעיגול‬
‫מספרים הן כדי לבצע חישובים והן כדי לבדוק חישובים‪ .‬אומדן תוצאה הוא אחד הכלים‬
‫הטובים לבדיקת תוצאה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬שאלה מילולית שהנתונים בה מוצגים בטבלה‪.‬‬
‫במשימה מסכמים את הנלמד‪ :‬כפל מספרים גדולים‪ ,‬עיגול מספרים וחישוב סכומם‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמודים ‪63 – 57‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת תרגול של חיבור בטור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימה זו מזמנת שיח על המושגים‪ :‬מחובר‪ ,‬סכום‪ ,‬מחוסר‪ ,‬מחסר והפרש‪.‬‬
‫א( המספר החסר מתקבל בעזרת תרגיל חיסור‪. 1,000 − 235 = 765 :‬‬
‫ב( כדי למצוא את המחסר יש לבצע את תרגיל החיסור‪2,000 − 225 = 1,775 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימת תרגול של השלמת מחובר או מחסר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימה פתוחה בה נדרשים התלמידים לכתוב ביטויים נכונים בעזרת‬
‫המספרים הנתונים‪.‬‬
‫דוגמאות‪ :‬א( ‪1000 + 500 > 480 + 120‬‬
‫ב( ‪2900 − 1000 > 500 − 480‬‬
‫ג( ‪2900 − 120 > 500 + 480‬‬
‫ד( ‪2900 + 1000 − 120 > 480 + 500‬‬
‫‪31‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬משימה פתוחה בה התלמידים קובעים את מחיר הרהיט‪ .‬אפשר לעודד את‬
‫התלמידים לעשות סקר מחירים ולבדוק עלויות של רהיטים במקומות שונים‪.‬‬
‫הרעיון להגיע לסכום של ‪.₪ 16,000‬‬
‫להלן דוגמה‪ :‬שולחן לסלון ‪ 2,500 -‬ש"ח‪ ,‬ארון ילדים‪ 5,000 -‬ש"ח‪ ,‬כורסה‪ 3,000 -‬ש"ח‪ ,‬מיטה‬
‫זוגית‪ ,‬שידות וקומודה – ‪ ₪ 5,500‬מגיעים ל‪ 16,000-‬ש"ח‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬משימת תרגול של הצגת התרגילים על צירי המספרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬במשימה זו שני חלקים‪ .‬תחילה מתבקשים התלמידים לפתור את תרגיל‬
‫החיבור בדרך הנוחה להם וכן למצוא שני תרגילי חיבור בעלי אותו הסכום‪.‬‬
‫סכום המחוברים הוא ‪.10,000‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬משימת תרגול של חיבור בטור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימת תרגול של חיסור בטור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬משימת תרגול של גדול ב‪ -‬או קטן ב‪ .-‬א( ‪.5,015‬‬
‫ב( ‪ .50,050‬ג( ‪4,995‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬אפשר לשאול שאלות נוספות כגון‪" :‬מהו הערך של הספרה ‪ ?5‬בכמה הגדילו‬
‫את ספרת עשרות האלפים? בכמה גדל המספר הנתון?"‬
‫משימה מס' ‪ :12‬במשימה זו נדרשים התלמידים לכתוב את המספרים החסרים בפילוג‬
‫המחוברים‪.‬‬
‫‪4,000 + 500 + 70 + 3 + 5,000 + 400 + 20 + 7 = 10,000‬‬
‫התרגיל הוא‪4,573 + 5,427 = 10,000 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬פירוק כל אחד מהמחוברים ייעשה מתחת לכל אחד מהמחוברים‪.‬‬
‫‪12,370 + 6,208 = 18,578‬‬
‫= ‪12,000 + 6000‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫= ‪300 + 200‬‬
‫‪70 + 8‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬תרגילי חיבור וחיסור מוצגים בטבלה‪ .‬התלמידים צריכים לשים לב לסימן‬
‫שבעמודה השמאלית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬דיירי הבניין יצטרכו לשלם ‪.₪ 22,850‬‬
‫א(‬
‫התרגיל‬
‫המתאים‬
‫לפתרון‬
‫השאלה‬
‫המילולית‬
‫הוא‪:‬‬
‫משימה מס' ‪:16‬‬
‫‪63,900 − 58,900 = 5,000‬‬
‫ב( ההפרש בין המחירים בסוף העונה נותר ‪.₪ 5,000‬‬
‫ג( ההפרש בין שני מספרים אינו משתנה אם מחסרים אותו המספרים מהמחוסר ומהמחסר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬משימת תרגול של כפל ב‪ 1000 ,100 ,10‬וכדומה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬שאלה מילולית רב שלבית‪ .‬א( בבית הספר "נרקיסים" ‪ 420‬תלמידים‪ .‬ב( בבית‬
‫הספר "אירוסים" ‪ 540‬תלמידים‪ .‬ג( בבית הספר אירוסים יש יותר תלמידים‪ .‬ד( בשני בתי‬
‫הספר יחד יש ‪ 960‬תלמידים‪.‬‬
‫‪32‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬משימה זו מעודדת שיח ותובנה מספרית‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬ב( אם מגדילים את אחד הגורמים פי ‪ ,10‬המכפלה גדולה פי ‪30 × 37 = 1110 .10‬‬
‫ד( אם אחד הגורמים קטן ב‪ ,1 -‬המכפלה קטנה בהתאם לגורם השני‪ 3 × 36 = 108 .‬המכפלה‬
‫קנה ב‪.3 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬שאלה מילולית מחיי היום –היום המפתחת צרכנות נבונה ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬שאלה מילולית רב שלבית‪ .‬לאסף יש ‪ 2,401‬אריזות בשמים‪.‬‬
‫התרגיל המתאים לפתרון השאלה הוא‪7 × 7 × 7 × 7 = 2,401 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬משימת תרגול של חישובים בעל‪-‬פה‪ .‬אחת דרכים היעילות לחישובים בעל‪-‬פה‬
‫היא שימוש בחוק החילוף ובחוק הקיבוץ ליצירת מכפלות "עגולות"‪.‬‬
‫דוגמאות‪5 × 23 × 4 = 5 × 4 × 23 = 20 × 23 = 460 :‬‬
‫‪2 × 672 × 5 = 2 × 5 × 672 = 10 × 672 = 6720‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬שאלה מילולית‪ .‬א( בבית הספר "ויצמן" ‪ 420‬תלמידים‪.‬‬
‫ב( בבית הספר "רבין" ‪ 525‬תלמידים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬משימת תרגול של כפל מספרים גדולים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬שאלה מילולית פתוחה‪ .‬ייתכנו מספר אפשרויות לתשובה‪ .‬התלמידים‬
‫צריכים להבין מנתוני השאלה שמספר התשלומים צריך להיות גדול מ‪ 7 -‬וקטן מ‪24 -‬‬
‫תשלומים‪.‬‬
‫להלן שתי אפשרויות לפתרון‪:‬‬
‫דרך תשלומים א'‪ 10 :‬תשלומים‪ .‬כל תשלום ‪.₪ 700‬‬
‫דרך תשלומים ב'‪ 20 :‬תשלומים‪ .‬כל תשלום ‪.₪ 350‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬משימת תרגול בצורת תשבץ‪ .‬משימה זו ניתן לתת לתלמידים במסגרת של‬
‫תחרות קבוצתית‪.‬‬
‫שאלות מילוליות‪ ,‬עמוד ‪64‬‬
‫משימות מס' ‪ :2-1‬בשאלות אלה יש לתכנן מראש את דרך הפתרון ולעבוד בשיטתיות‪.‬‬
‫היסטוריה‪ ,‬עמוד ‪65‬‬
‫תרבות המאיה‪ ,‬שהייתה מפותחת מאוד‪ ,‬התקיימה עד המאה ה‪ 16 -‬ונעלמה‪ .‬מבנה המספר‬
‫בתרבות זו דומה למבנה העשרוני )כולל ה‪ ,(0 -‬אך הבסיס היה ‪) 20‬מסיבות הקשורות ללוח‬
‫השנה‪ ,20×20=400 :‬שזהו קירוב של מספר ימי השנה(‪ ,‬וכן הכתיבה התבצעה במאונך‪ ,‬מלמטה‬
‫למעלה‪ .‬כדי לחשב ערך של מספר כזה כופלים כל ספרה בערכה )‪.( ...8,000 ,400 ,20 ,1‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬כתיבת הספרות היא המשך של הטבלה שבקטע השיעור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬המספר הכתוב בשיטת המאיה הוא‪.2,882,383 :‬‬
‫‪3 + 11 × 20 + 6 × 360 + 3 × 144,000 + 1 × 2,880,000 = 3 + 220 + 2,160 + 2,880,000 = 2,882,383‬‬
‫‪33‬‬
‫העשרה ‪,‬עמוד ‪66‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬הצגת שיטת החיסור הצרפתית המבוססת על תכונת החיסור‪" :‬אם מוסיפים‬
‫אותו מספר למחוסר ולמחסר‪ ,‬ההפרש אינו משתנה ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬יישום השיטה ‪.‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪67‬‬
‫חזרה על קריאת נתונים בטבלה ועל הזזה‪.‬‬
‫נספח לפעילות גילוי ה'‬
‫מספר דו‪-‬ספרתי התחלתי‪_______:‬‬
‫הציבו בתרגילים את המספר‬
‫ההתחלתי‪ ,‬ופתרו את התרגילים‪.‬‬
‫התרגיל‬
‫מספר דו‪-‬ספרתי התחלתי‪______ :‬‬
‫הציבו בתרגילים מספרים לפי ההוראות‪,‬‬
‫ופתרו את התרגילים‪.‬‬
‫התרגיל‬
‫התוצאה‬
‫הציבו בשורה הראשונה‬
‫את המספר ההתחלתי‪.‬‬
‫הציבו בכל שורה מספר הגדול פי‬
‫עשרה מהמספר שהוצב בשורה‬
‫הקודמת‪ ,‬ופתרו את התרגילים‪.‬‬
‫= ‪___ x 10‬‬
‫= ‪___ x 10‬‬
‫= ‪___ x 10‬‬
‫= ‪___ x 10‬‬
‫= ‪___ x 10‬‬
‫התוצאה‬
‫=___ ‪10 x‬‬
‫=___ ‪100 x‬‬
‫=___ ‪1,000 x‬‬
‫=___‪10,000 x‬‬
‫=___ ‪100,000 x‬‬
‫מספר דו‪-‬ספרתי התחלתי‪___:‬‬
‫הציבו בתרגילים את המספר‬
‫ההתחלתי‪ ,‬ופתרו את התרגילים‪.‬‬
‫התרגיל‬
‫מספר דו‪-‬ספרתי התחלתי‪___ :‬‬
‫הציבו בתרגילים מספרים לפי ההוראות‪,‬‬
‫ופתרו את התרגילים‪.‬‬
‫התרגיל‬
‫התוצאה‬
‫הציבו בשורה הראשונה‬
‫את המספר ההתחלתי‪.‬‬
‫הציבו בכל שורה מספר הגדול פי‬
‫‪ 10‬מהמספר שהוצב בשורה‬
‫הקודמת‪ ,‬ופתרו את התרגילים‪.‬‬
‫= ‪___ x 10‬‬
‫= ‪___ x 10‬‬
‫= ‪___ x 10‬‬
‫= ‪___ x 10‬‬
‫= ‪___ x 10‬‬
‫התוצאה‬
‫=___ ‪10 x‬‬
‫=___ ‪100 x‬‬
‫=___ ‪1,000 x‬‬
‫=___‪10,000 x‬‬
‫=___ ‪100,000 x‬‬
‫‪34‬‬
‫עמ' ‪109 - 68‬‬
‫ג‪ .‬זוויות‬
‫רקע‬
‫התלמידים הכירו את המושג "זווית" בכיתה ג'‪ ,‬כאשר השוו בין זוויות‪ ,‬מיינו זוויות לסוגים‬
‫שונים ‪ -‬חדה‪ ,‬ישרה‪ ,‬קהה ושטוחה ‪ -‬וראו גם זוויות במצולע‪ .‬המטרות הלימודיות העיקריות‬
‫של הפרק הנוכחי הן להכיר זוויות גדולות מ‪ 1800 -‬וללמד את התלמידים למדוד זוויות מסוגים‬
‫שונים‪ .‬חשוב לציין שעד כה התלמידים לא עסקו במדידת זוויות‪ ,‬וכעת הם יכירו לראשונה מד‪-‬‬
‫זווית וימדדו את הזוויות‪ .‬כמו‪-‬כן יודגם אחד היישומים של המושג "זווית" במקצוע גאוגרפיה‬
‫)שושנת הרוחות(‪ .‬המושג "זווית" יורחב בפרק זה ל"זווית בין ישרים"‪ ,‬ל"זווית בין קטעים"‪,‬‬
‫ל"זווית בין קרן לבין קטע" וכדומה‪ ,‬וכן לסוגים נוספים של זוויות‪" :‬זווית נישאה"‪" ,‬זווית של‬
‫סיבוב שלם"‪" ,‬זווית של ‪ ."00‬בפרק זה מסכמים את הנושא "זוויות"‪ ,‬לפי תכנית הלימודים‪.‬‬
‫אַחד המושגים הגאומטריים הקשים ביותר להוראה מסיבות‬
‫יש לציין שהמושג "זווית" הוא ַ‬
‫שונות‪ .‬להלן כמה מהן‪:‬‬
‫באופן רשמי יש למושג "זווית" כמה הגדרות‪ ,‬ביניהן "זווית בין קרניים"‪" ,‬זווית מפתח"‬
‫ו"זווית סיבוב"‪ .‬התלמידים למדו את התיאור‪" :‬זווית נוצרת על‪-‬ידי שתי קרניים שיש להן‬
‫התחלה משותפת‪ ".‬מתיאור זה קשה להבין מהי זווית‪ ,‬לכן יש להסביר לתלמידים שזווית היא‬
‫ה" ִמ ְפ ָתח" בין שתי הקרניים ‪.‬‬
‫שתי קרניים יוצרות שתי זוויות )שסכומן ‪ .(3600‬אם כל אחת משתי הזוויות אינה שווה ל‪-‬‬
‫‪ ,1800‬אחת מהן היא זווית הקטנה מזווית שטוחה‪ ,‬והשנייה היא זווית נישאה )גדולה מזווית‬
‫שטוחה וקטנה מזווית של סיבוב שלם(‪ .‬לכן מתעוררת בעיה נוספת‪ :‬מסבירים לתלמידים‬
‫שזווית היא " ִמ ְפ ָתח" בין הקרניים‪ .‬קשה להסביר מה זה "בין הקרניים" כשהזווית נישאה‪.‬‬
‫התלמידים לומדים שזווית נוצרת בין קרניים‪ .‬לכן לא ברור לתלמידים אם זווית שנוצרת בין‬
‫קווים אחרים היא אכן זווית‪ .‬לכן מומלץ שימוש במונח הכללי "שוק של זווית"‪.‬‬
‫אחת מההשלכות של הקושי הקודם היא הבנת המושג "זווית במצולע"‪.‬‬
‫אם נשאל‪" :‬בשעה ‪ 11‬מחוג הדקות מצביע על המספר ‪ .12‬באיזו זווית יסתובב מחוג הדקות‬
‫כעבור ‪ 10‬דקות?"‪ ,‬נראה שיש כאן מושג חדש‪" :‬זווית הסיבוב"‪ .‬במושג זה אין שתי שוקיים‪,‬‬
‫אלא שוק אחת קבועה‪ ,‬והשוק השנייה מסתובבת סביב הנקודה המשותפת‪ .‬השוק יכולה‬
‫להסתובב עד אין‪-‬סוף פעמים וליצור זוויות גדולות מ‪ ,3600 -‬אם תעשה יותר מסיבוב אחד‪.‬‬
‫מדידת זווית ובניית זווית במידה נתונה הן מקור נוסף של קשיים‪ .‬אם אחת מהשוקיים קטנה‬
‫מרדיוס מד‪-‬הזווית‪ ,‬התלמידים אינם יודעים למקם את מד‪-‬הזווית ולמדוד את הזווית‪.‬‬
‫קושי נוסף הקשור למדידת זווית‪ :‬תלמידים חושבים שזוויות שקטנות ממעלה אחת אינן‬
‫קיימות‪.‬‬
‫יש תלמידים שסבורים שזווית קיימת רק במצולעים‪ ,‬ואין לה קיום עצמאי‪ ,‬מה שיוצר קשיים‬
‫בהגדרת חוצה זווית מאוחר יותר‪.‬‬
‫הפרק כתוב ובנוי בהתחשבות בבעיות שהועלו‪ .‬תחילה מתוארת הזווית‪ :‬הזווית נוצרת על‪-‬ידי‬
‫שתי קרניים שיש להן התחלה משותפת‪ .‬מיד לאחר ההגדרה מובאים תרגילים של זיהוי זוויות‬
‫בסרטוטים לחיזוק הבנת ההגדרה‪ .‬בשלב זה יש להקפיד שהתלמידים יזהו זוויות על‪-‬פי‬
‫ההגדרה‪ ,‬כלומר אם אין שתי קרניים שיש להן התחלה משותפת‪ ,‬אין זווית‪ .‬כאשר התלמידים‬
‫מסרטטים זוויות‪ ,‬הדריכו אותם ששוקי הזוויות יהיו קרניים‪ .‬אחר‪-‬כך מתחילים להרחיב את‬
‫המושג "הזווית"‪ :‬מגדירים את הזווית בין שני קטעים‪ ,‬ומראים בסרטוטים זווית בין קטע לבין‬
‫קרן‪ ,‬בין שני ישרים וכדומה‪ .‬מרגע זה מסתמכים על האינטואיציות של התלמידים בהבנת‬
‫המושג "זווית"‪ .‬כעת אפשר גם לזהות את הזווית במצולע‪.‬‬
‫טעויות נפוצות‪:‬‬
‫התלמידים אינם מקבלים כזווית זווית "קטנה מדי"‪ .‬דוגמה‪:‬‬
‫התלמידים מקבלים כזווית צורה שאחת ה"שוקיים" שלה איננה חלק מישר )קטע או קרן(‪.‬‬
‫דוגמה ‪:‬‬
‫)במתמטיקה מגדירים זווית גם בין קווים עקומים‪ ,‬אך אין עוסקים בכך בבית הספר היסודי‪(.‬‬
‫‪35‬‬
‫לאחר שהתלמידים עסקו בזיהוי ובבנייה‪ 1‬של זוויות בצורה מספקת‪ ,‬עוברים למיון זוויות‪.‬‬
‫בשלב זה לומדים על זווית נישאה‪ ,‬על זווית שטוחה ועל זווית של סיבוב שלם‪ .‬נעזרים במושג‬
‫"זווית סיבוב" )השעון מייצג בצורה טובה מאוד את המושג( בלי להגדיר אותו‪ ,‬אלא נשענים על‬
‫האינטואיציות של התלמידים‪ .‬לפי הצורך אפשר לתאר את המושג בעל‪-‬פה ולהשתמש בו‪ ,‬ולא‬
‫כדאי להקשות בהגדרה הרשמית‪ .‬בשיעורים על מדידת זוויות מסבירים לתלמידים מהי מעלה‪,‬‬
‫כיצד בנוי מד‪-‬זווית‪ ,‬וכיצד למדוד זוויות גדולות מ‪ ,1800 -‬ומקשרים בין מידת הזווית לבין שמה‬
‫לפי המיון‪ .‬לדוגמה‪ ,‬מידתה של זווית קהה היא יותר מ‪ 900 -‬ופחות מ‪.1800 -‬‬
‫הפרק מתאים לתכנית הלימודים‪ .‬מומלץ להקדיש לפרק כ‪ 7 -‬שעות לימוד‪.‬‬
‫מושגים‬
‫זווית‪ ,‬זווית בין קטעים‪ ,‬זווית המצולע‪ ,‬מיון‪ ,‬סוגי הזוויות‪ ,‬זווית ישרה‪ ,‬זווית שטוחה‪ ,‬זווית‬
‫חדה‪ ,‬זווית קהה‪ ,‬זווית נישאה‪ ,‬זווית של סיבוב שלם‪ ,‬מידת זווית‪ ,‬מדידת זווית‪ ,‬מעלה‪ ,‬מד‪-‬‬
‫זווית רגיל‪ ,‬מד‪-‬זווית עגול‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬לזהות זווית בין שתי קרניים;‬
‫ב‪ .‬לסרטט זוויות שונות ללא אילוצים;‬
‫ג‪ .‬לזהות זוויות בסרטוט מורכב;‬
‫ד‪ .‬לסרטט זווית בהתחשבות באילוצים‪ ,‬לדוגמה לסרטט זווית כאשר אחת משוקיה נתונה;‬
‫ה‪ .‬למיין זוויות לסוגים שונים בהשוואה לזווית ישרה ובהשוואה לזווית שטוחה;‬
‫ו‪ .‬למדוד זווית בעזרת מד‪-‬זווית במעלות שלמות;‬
‫ז‪ .‬לאמור את מידתה של זווית נתונה;‬
‫ח‪ .‬למיין זוויות לסוגים שונים לפי מידתן במעלות;‬
‫ט‪ .‬לזהות ולמדוד זוויות במצולע;‬
‫י‪ .‬לחשב מידה של זווית נישאה במעלות;‬
‫יא‪ .‬לזהות זווית ישרה בעזרת זווית ישרה אחרת או בעזרת משולש סרטוט;‬
‫יב‪ .‬לסרטט זווית בעזרת מד‪-‬זווית לפי מידתה הנתונה במעלות;‬
‫יג‪ .‬לסרטט בערך זווית שמידתה היא מספר נתון של מעלות )ללא שימוש במד‪-‬זווית(‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫מד‪-‬זווית רגיל‪ ,‬סרגל‪ ,‬עיפרון‪ ,‬סרטוטים של זוויות שונות‪.‬‬
‫אביזרי "חשבון ‪ :"10‬מד‪-‬זווית עגול‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על קווים שונים‬
‫על הלוח מצוירים קווים מסוגים שונים‪ :‬ישרים‪ ,‬קרניים‪ ,‬קטעים‪ ,‬קווים שבורים‪ ,‬קווים‬
‫לא שבורים וקווים מעורבים )מורכבים מחלקי קווים ישרים ולא‪-‬ישרים יחד(‪ .‬התלמידים‬
‫מתבקשים למיין את הקווים לשני סוגים‪ .‬דוגמה למיון לשתי קבוצות‪ :‬קבוצה של קווים‬
‫ישרים‪ ,‬קטעים או קווים שבורים; וקבוצה של קווים שאין בהם אף חלק של ישר )אפשר‬
‫לקרוא להם עקומים( ושל קווים מעורבים )מורכבים מחלקי ישר ועקומים יחד(‪ .‬משימה‬
‫‪1‬במילה בנייה )לבנות( משתמשים כמילה נרדפת למילה סרטוט )לסרטט(‪.‬‬
‫‪36‬‬
‫נוספת‪ :‬למצוא בין הקווים המסורטטים קרניים‪ ,‬קטעים וישרים‪ .‬חשוב לחזור עם‬
‫התלמידים על שמות הקווים ועל ההסכמים לסרטוטם‪ .‬שימו לב‪ :‬קיימים ייצוגים שונים‬
‫של קווים שאפשר להיתקל בהם בספרים שונים‪ .‬בספר הלימוד "חשבון ‪ "10‬מקובלים‬
‫ההסכמים האלה‪:‬‬
‫ישר‪:‬‬
‫קרן ‪:‬‬
‫קטע ‪:‬‬
‫או ‪:‬‬
‫דוגמאות לקווים‪:‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על זווית ישרה‬
‫התלמידים מתבקשים לזהות זווית ישרה בציור מורכב ולהסביר כיצד אפשר לוודא‬
‫שהזווית ישרה‪ .‬הבדיקה נעשית על‪-‬ידי משולש סרטוט או על‪-‬ידי כל זווית ישרה אחרת כמו‬
‫זווית של ספר או של דף או זווית שהתקבלה מקיפולי הנייר‪ .‬להלן דוגמה לסרטוט מורכב‪.‬‬
‫זהו קדקוד של‬
‫זווית ישרה‬
‫ג‪ .‬חזרה על חיבור ועל חיסור של מספרים‪.‬‬
‫על הלוח כתובים תרגילי חיבור ותרגילי חיסור שונים‪ ,‬ועל התלמידים לפתור אותם בעל‪-‬‬
‫פה‪.‬‬
‫דוגמאות‪, 75 + 75 = ? , 30 + 45 + 60 = ? , 180 − 46 = ? , 150 + 35 = ? , 58 + 42 = ? :‬‬
‫? = ‪ . 150 − 70‬מטרת התרגול היא הכנה לחישוב מידות של זוויות‪.‬‬
‫‪37‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬השוואה בין זוויות‪.‬‬
‫התלמידים מקבלים דף שמסורטטים בו זוויות שונות‪ .‬כמו‪-‬כן הם מקבלים אוסף של זוויות‬
‫גזורות‪ ,‬החופפות לזוויות המסורטטות‪ ,‬או דף נוסף‪ ,‬הזהה לדף של הזוויות לגזירה‪ .‬עליהם‬
‫לפתח שיטה להשוואה בין זוויות‪ .‬בהשוואה עונים על השאלות‪" :‬איזו זווית גדולה יותר?"‪,‬‬
‫"איזו זווית קטנה יותר?"‪" ,‬האם הזוויות שוות?"‪ .‬דרכי ההשוואה בין הזוויות‪ :‬השוואה ישירה‬
‫כאשר מניחים זוויות זו על‪-‬גבי זו‪ ,‬כך שהזוויות מתלכדות בשוק אחת‪ ,‬וחוקרים את המיקום‬
‫היחסי לשוק השנייה של הזוויות; השוואה בעזרת מתווך כמו זווית ישרה )משווים בין זווית‬
‫חדה או זווית קהה לבין זווית ישרה(; השוואה בעזרת מדידה )משתמשים במד‪-‬זווית(; השוואה‬
‫בעזרת חישוב של מידות הזוויות‪ .‬סביר להניח שבפעילות זו יפתחו התלמידים דרך להשוואה‬
‫ישירה בין זוויות על‪-‬ידי הנחה‪ .‬להלן דוגמאות לזוויות שעל הדף‪:‬‬
‫פעילות ב‪ :‬בניית זווית ישרה על‪-‬ידי קיפולי נייר‬
‫התלמידים מקבלים פיסת נייר ומתבקשים לבנות זווית ישרה על‪-‬ידי קיפולי נייר בלבד‪.‬‬
‫הפעילות נעשית אם תלמידי הכיתה לא עסקו בה בכיתות הקודמות‪ .‬חשוב שלדפים‬
‫שהתלמידים מקבלים לא יהיו פינות ישרות‪ .‬מומלץ לשמור את הזווית לבדיקות של זוויות‬
‫בהמשך‪ .‬דוגמאות לקיפול‪:‬‬
‫קיפול ‪I‬‬
‫קיפול ‪II‬‬
‫פעילות ג‪ :‬חקירת מד‪-‬זווית רגיל‪.‬‬
‫התלמידים מקבלים מד‪-‬זווית רגיל ומתבקשים להסביר כיצד מודדים בעזרתו זוויות‪.‬‬
‫פעילות ד‪ :‬חקירת מד‪-‬זווית עגול‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים להסביר כיצד מודדים זוויות בעזרת מד‪-‬זווית עגול‪ .‬דנים ביתרונות‬
‫ובחסרונות של מד‪-‬זווית עגול )עד ‪ (3600‬לעומת מד‪-‬זווית רגיל )עד ‪.(1800‬‬
‫פעילות ה‪ :‬התלמידים מקבלים דף שמסורטטות בו זוויות שמידותיהן ‪ 00‬עד ‪ ,3600‬ומתבקשים‬
‫למיין אותן לסוגים שונים‪ .‬דנים בדרכי המיון‪ .‬מטרת הפעילות‪ :‬למיין את הזוויות לזוויות‬
‫חדות‪ ,‬קהות‪ ,‬ישרות‪ ,‬נישאות‪ ,‬שטוחות‪ ,‬זוויות של סיבוב שלם )‪ (3600‬וזוויות של ‪ .00‬שימו לב‪:‬‬
‫בציור אי‪-‬אפשר להבדיל בין זווית של ‪ 3600‬לבין זווית של ‪ .00‬אם לא צוין אחרת‪ ,‬מקובל‬
‫להתאים לזווית מידה קטנה יותר‪ ,‬כלומר ‪.00‬‬
‫‪38‬‬
‫השיעור בספר הלימוד‬
‫האם אנו מוכנים? – תשובות‪:‬‬
‫‪ .1‬ב; ‪ .2‬ג; ‪ .3‬ד; ‪ . 4‬ב; ‪ .5‬א; ‪ .6‬ד‪.‬‬
‫לעלות על הגל‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :69‬זוויות‬
‫בשיעור זה מזכירים לתלמידים את המושג "זווית"‪ .‬כפי שהוסבר ברקע לפרק זה‪ ,‬המושג‬
‫"זווית" קשה לתפיסה ולהפנמה על‪-‬ידי התלמידים‪ .‬התלמידים מכירים את המושג באופן‬
‫אינטואיטיבי ועסקו בו בכיתות קודמות‪ :‬בכיתה ב' הם הכירו זווית ישרה‪ ,‬ובכיתה ג' הם עסקו‬
‫בזוויות שונות‪ ,‬ובין היתר בזווית במצולע‪ .‬כעת ילמדו התלמידים על המושג באופן שיטתי‬
‫יותר‪ .‬בשיעור זה מתוארת זווית כפי שמקובל בבית הספר היסודי‪ .‬שימו לב שבהגדרה זו‬
‫משתמשים במילה קרניים‪ ,‬ולא במילה קטעים‪ ,‬לכן חשוב שהתלמידים יזהו זווית כשתי‬
‫קרניים שיש להן התחלה משותפת‪ .‬בהמשך‪ ,‬כאשר המושג "זווית" מורחב‪ ,‬רואים שזווית‬
‫נוצרת גם על‪-‬ידי שני קטעים )כמו זווית במצולע(‪ .‬בשיעור זה יראו התלמידים גם כיצד מסמנים‬
‫זווית בסרטוט‪ .‬כעת הזוויות קטנות מזווית שטוחה או שוות לה‪ ,‬אך חשוב להרגיל את‬
‫התלמידים לסמן זווית בקשת‪ ,‬כדי שבשלב הלמידה על זווית נישאה ידעו באיזו זווית מדובר‪.‬‬
‫הקפידו על סימון זוויות לא‪-‬שוות במספר קשתות שונה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬א( בכל הזוויות יש שתי קרניים )שוקיים( וקדקוד‪ .‬ב( דונו עם התלמידים‬
‫בנימוקים שלהם לגבי הסרטוטים שאינם זוויות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬א'‪ ,‬ד' ו‪ -‬ז' הם איורים של זוויות‪ .‬באיור ו' מסורטט משולש‪ ,‬ולא זווית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬בדיקה של הבנת המושגים‪ .‬קדקודים ושוקי זווית‪ .‬חשוב להסביר את האבחנה‬
‫הזהה שבין קרניים לבין שוקי זווית‪ ,‬מאחר ששוקיים במשולש אינן קרניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימה פתוחה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬כל שתי קרניים שבסרטוט יוצרות זווית‪ .‬בסרטוט שלוש קרניים‪ ,‬והן יוצרות‬
‫שלוש זוויות‪) .‬בשלב זה מדובר רק בזוויות קטנות מזווית שטוחה‪(.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬התלמידים יסרטטו זוויות כרצונם‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :71‬זוויות שוות‬
‫בשיעור זה עוסקים בזוויות שוות‪ .‬חשוב שהתלמידים יעבדו בנייר שקוף‪ ,‬יעתיקו אליו את‬
‫הזווית הנבדקת ויניחו אותו על הזווית השנייה‪ .‬הדריכו את התלמידים כיצד להניח זוויות זו‬
‫על‪-‬גבי זו באופן נכון‪ ,‬כי תלמידים רבים טועים בהנחה‪ .‬נוסף על‪-‬כך‪ ,‬חשוב לדון בעניין "אורך‬
‫הקרניים"‪ ,‬כי תלמידים נוטים לחשוב בטעות ש"אורך הקרניים" משפיע על מידת הזווית‪.‬‬
‫במקרה הצורך רצוי לחזור על הדגמת הזווית כ" ִמ ְפ ָתח"‪ .‬אפשר להראות ִמ ְפ ָתח בין שתי רגליים‬
‫של מחוגה‪ ,‬בין שני עפרונות או בין שני מחוגים של שעון מחוגים‪ .‬הסבו את תשומת לבם של‬
‫התלמידים שאין משמעות למושג "אורך הקרניים"‪ ,‬כי אורך הקרניים אינו מוגבל )הן אין‪-‬‬
‫סופיות(‪ .‬אמנם יש אורכים שונים של קטעי קרניים בציור שנעשה‪ ,‬אך תמיד אפשר להמשיך את‬
‫הקטעים האלה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬הדריכו את התלמידים להעתיק את הזווית שבמסגרת על דף שקוף‪ .‬עודדו את‬
‫התלמידים למצוא את הזווית השווה לזווית א'‪ ,‬תחילה על‪-‬סמך ראייה בלבד‪ ,‬כי חשוב שהם‬
‫יפתחו את הראייה החזותית וכן ישתמשו בהיגיון )שלילת זוויות( ‪ .‬זוויות ג' ו‪ -‬ה' שוות לזווית‬
‫הנתונה‪.‬‬
‫‪39‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬הזווית הנדרשת בין המחוגים היא ‪ .1200‬על התלמידים לקבוע את מיקום מחוג‬
‫השעות ולאחר מכן את מיקום מחוג הדקות )‪ 4‬קפיצות של ‪ 5‬דקות( ולאחר מכן את מיקום‬
‫מחוג השניות‪ .‬לא נדרש פה דיוק של מיקום המחוגים‪) .‬לדוגמה‪ ,‬בשעה ‪ 1220‬ו‪ 40 -‬שניות מחוג‬
‫השעות אינו בדיוק מול ‪(.12‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬דונו עם התלמידים בדרכי ההשוואה‪ ,‬ובקשו מהם להדגים כיצד השוו‪ .‬זוויות‬
‫ג' ו‪ -‬ו' שוות‪ .‬זוויות א' ו‪ -‬ד' שוות‪ .‬זוויות ה' ו‪ -‬ח' שוות‪ .‬זוויות ב' ו‪ -‬ז' שוות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬שימו לב שמחוגי השעון אינם קרניים‪ ,‬ובכל זאת אפשר לומר שהם יוצרים‬
‫זווית‪ .‬אם התלמידים יעירו על העניין או יתקשו בו‪ ,‬הציעו להם להמשיך את הקטעים‬
‫)המחוגים( לקרניים או לתאר את זה בדמיון‪ .‬זווית יכולה להימצא גם בין שני קטעים בעלי‬
‫קדקוד משותף כמו במצולעים‪ .‬בשעות ‪ 4:00‬ו‪ 8:00 -‬הזוויות בין המחוגים שוות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬השוואה חזותית בין זוויות‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :73‬זווית שטוחה‪ ,‬זווית ישרה‬
‫בשיעור זה עוסקים במושגים "זווית שטוחה" ו"זווית ישרה"‪ .‬בכיתות ב' ו‪ -‬ג' התלמידים בנו‬
‫זווית ישרה על‪-‬ידי קיפולי נייר‪ .‬אם התלמידים אינם יודעים לבנות זווית ישרה על‪-‬ידי קיפול‪,‬‬
‫נכון לעשות זאת כעת‪ .‬שוחחו עם התלמידים גם על משולש סרטוט ועל הזווית הישרה שיש בו‪.‬‬
‫גם את הזווית השטוחה התלמידים הכירו בכיתה ג'‪ ,‬אך ייתכן שהיא מוכרת להם פחות‪ .‬מושג‬
‫זה אינו קשה להבנה‪ .‬מחוגי השעון בשעה ‪ 6:00‬ממחישים את הזווית השטוחה‪ .‬דונו עם‬
‫התלמידים בשאלה אם ישר הוא זווית שטוחה‪ .‬התשובה היא "לא"‪ ,‬כי זווית שטוחה היא‬
‫קודם כול זווית‪ ,‬ולכן חייבות להיות בה שתי קרניים בעלות התחלה משותפת‪ .‬כאשר נסמן‬
‫נקודה על הישר‪ ,‬תיווצר זווית שטוחה‪ .‬שימו לב שאפשר לדבר על שתי זוויות שטוחות משני צדי‬
‫הישר‪ ,‬ולכן מסמנים אחת מהן בקשת‪ .‬אך גם אם הזווית אינה מסומנת בקשת‪ ,‬היא קיימת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬עודדו את תלמידים לסרטט זוויות שטוחות במצבים שונים במישור‪ .‬כל‬
‫הזוויות השטוחות שוות זו לזו‪ .‬אפשר לבדוק זאת על‪-‬ידי העתקה של אחת מהן על שקף והנחתן‬
‫זו על‪-‬גבי זו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬עודדו את התלמידים לסרטט זוויות ישרות במצבים שונים על המישור‪ ,‬ולא‬
‫רק במצב אופקי או אנכי ביחס לשולי דפים‪.‬‬
‫אפשר לדון בשאלה אם הזוויות הישרות שהתלמידים סרטטו שוות זו לזו‪ .‬אפשר לוודא זאת‬
‫על‪-‬ידי הנחת זוויות זו על‪-‬גבי זו‪ .‬התלמידים יוכלו לנמק זאת כאשר ידעו את מידת הזווית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬זוויות א'‪ ,‬ב' ו‪ -‬ד' הן זוויות ישרות‪ .‬אפשר לבדוק זאת בעזרת זווית ישרה של‬
‫משולש סרטוט או בכל זווית ישרה אחרת כמו פינה של דף מלבני‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬השעה ‪ 3:00‬או ‪.9:00‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬מיומנות זו של בניית זווית ישרה חשובה מאוד‪ .‬אמנם אין חשיבות לכלי‬
‫שבונים בעזרתו את הזווית הישרה )חשוב שבכלי תהיה הזווית הישרה(‪ ,‬אך לעתים קרובות‬
‫מבצעים את הבנייה בעזרת משולש סרטוט‪ ,‬לכן מובאת כאן גם דוגמה לשימוש בו‪ .‬כאשר שוק‬
‫אחת נתונה‪ ,‬אפשר לבנות שתי זוויות ישרות )משני צדי השוק הנתונה(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬זיהוי חזותי של זוויות ישרות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬זיהוי חזותי של זוויות שטוחות‪ .‬שימו לב שכל שתי קרניים היוצרות ישר‪,‬‬
‫יוצרות שתי זוויות שטוחות‪.‬‬
‫‪40‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬סרטוט זוויות ישרות בעלות אותו קדקוד‪ .‬עודדו שימוש במשולש סרטוט‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬זיהוי חזותי של זוויות ישרות ושל זוויות שטוחות‪ .‬כל אחת מהנקודות‬
‫המסומנות היא קדקוד של ארבע הזוויות השטוחות‪ .‬לכן יש בסרטוט ‪ 20‬זוויות שטוחות‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :22-21‬פיתוח מיומנות סרטוט‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬זיהוי חזותי של זווית ישרה ושל זוויות שוות‪.‬התלמידים יכולים להשתמש‬
‫בנייר שקוף כדי להשוות בין הזוויות )אין צורך למדוד אותן(‪ .‬שימו לב שגם הזוויות המסומנות‬
‫בסרטוט שוות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪:24‬‬
‫העיגול מתחלק לארבעה חלקים שווים על‪-‬ידי שני ישרים )או קטעים שהם רדיוסים( המאונכים‬
‫זה לזה‪ .‬בין שני הישרים נוצרת זווית ישרה‪ .‬לכן מספיק להעביר ישר אחד העובר דרך מרכז‬
‫העיגול )הקוטר( ולבנות את הזווית הישרה בעזרת משולש סרטוט‪ ,‬כך שמרכז העיגול יהיה‬
‫קדקוד הזווית‪ ,‬ולהמשיך את הישר לצד השני‪ .‬דרך אחרת היא קיפול נייר כפי שבנינו זווית‬
‫ישרה קודם לכן‪ .‬קווי הקיפול הם קווי החלוקה‪ ,‬והם נחתכים בזווית ישרה‪ .‬פורסים את הדף‬
‫ומדגישים את הקווים בעיפרון‪ .‬שימו לב‪ :‬את המושג "עיגול" התלמידים הכירו בכיתה ב'‪ ,‬אך‬
‫הם עדיין אינם מכירים את המושגים "רדיוס" ו"קוטר"‪ .‬יש אין‪-‬סוף דרכים לחלוקה לאו‬
‫דווקא בכיוון "מאונך‪-‬מאוזן"‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :76‬מציאת הזווית הגדולה או הקטנה בין שתי זוויות‬
‫בשיעור זה חוזרים על זוויות קהות וחדות ועל השוואה בין זוויות‪ .‬זווית קהה וזווית חדה‬
‫מוגדרות ביחס לזווית ישרה ולזווית שטוחה‪ .‬קיימים שני שלבים להשוואה בין זוויות‪ ,‬כמו בכל‬
‫השוואה‪:‬‬
‫שלב א( האם הזוויות שוות או שונות? שלב ב( מהי הזווית הגדולה ביותר?‬
‫עד כה למדו התלמידים להבחין בין זוויות שוות ושאינן שוות‪ .‬כעת הם יוכלו לדעת איזו זווית‬
‫מבין הזוויות שאינן שוות‪ ,‬קטנה יותר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬הזווית השטוחה גדולה יותר‪ ,‬כי הזווית המסומנת היא חלק מהזווית‬
‫השטוחה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬משימת יישום של זיהוי זוויות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬במשימה זו מודגשת החשיבות של המילים "תמיד" ו"לפעמים" ‪ .‬זווית חדה‬
‫תמיד קטנה מזווית קהה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬יש בציורים הרבה זוויות‪ .‬על התלמידים לעבוד בשיטתיות‪ .‬מובאת דוגמה‬
‫לסימון הזוויות שבמצולעים הלבנים בצד ימין של גג הבית‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :30-29‬משימות יישום‪ :‬זיהוי זוויות‪.‬‬
‫‪41‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :78‬זווית בין קטעים‪ ,‬זווית במצולע‬
‫בשיעור זה מרחיבים את המושג "זווית"‪ .‬עד כה הוגדרה זווית בין קרניים בלבד‪ ,‬וכעת היא‬
‫מוגדרת גם בין שני קטעים‪ ,‬בין קטע לקרן ובין שני ישרים‪) .‬אפשר לתאר את הקרניים‬
‫המתאימות בדמיון או בפועל‪ (.‬הרחבת המושג בצורה זו תעזור בהבנת המושג "זווית במצולע"‪,‬‬
‫כי זווית במצולע נוצרת על‪-‬ידי צלעות המצולע‪ ,‬שהן קטעים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬ארבע הזוויות של הריבוע וארבע הזוויות המתקבלות בחיתוך של שני‬
‫האלכסונים הן כולן זוויות ישרות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬ישנן שש עשרה זוויות ישרות בסרטוט זה‪ ,‬קצתן זוויות של המצולע וקצתן‬
‫זוויות הנמצאות מחוץ למצולע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬זיהוי זוויות‪.‬‬
‫יחידת הלימוד ‪ -‬הקניה‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :79‬סימון זוויות באותיות לועזיות‬
‫בשיעור זה עוסקים בסימון זוויות על‪-‬ידי אותיות לועזיות‪ .‬אמנם התלמידים של כיתה ה' עדיין‬
‫לומדים בבית הספר היסודי ואינם חייבים להשתמש באותיות לועזיות לסימון כלשהו‪ ,‬אך‬
‫כהכנה לחטיבת הביניים וכרכישת שפה משותפת בין התלמידים הוחלט להקדיש זמן לנושא של‬
‫סימון זוויות‪ .‬הנושא אינו קל לתלמידים הצעירים‪ ,‬אך שליטה בסימון והבנתו יקלו על‬
‫התלמידים בהמשך לימודיהם‪ .‬בשיעור מוסברות שלוש דרכים לסימון‪ ,‬המקובלות בבית‪-‬הספר‪,‬‬
‫והתלמידים יוכלו להשתמש בדרך הנוחה להם והמתאימה למשימה מסוימת‪ .‬אם התלמידים‬
‫מתקשים בסימון זוויות או בקריאה ובכתיבה של האותיות‪ ,‬אין להתעכב על לימוד הנושא‪ ,‬הם‬
‫יבינו עם הזמן‪ .‬אפשר גם לא לדרוש מתלמידים מתקשים לסמן כמקובל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימת יישום‪ .‬יש שמונֶה זוויות חדות‪ .‬עלול להתעורר קושי בכתיבת הזוויות‬
‫בעזרת אותיות לועזיות‪ .‬נדגיש כי האות האמצעית מייצגת את קדקוד הזווית‪.‬‬
‫דוגמה‪ ∠BAO :‬היא זווית חדה‪.‬‬
‫ישנן זוויות שניתן לכתוב אותן בשתי דרכים שונות‪ .‬דוגמה‪ :‬אפשר לכתוב את הזווית ‪∠OCD‬‬
‫גם כך‪. ∠ACD :‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬ההשוואה נעשית על‪-‬ידי הנחת הזוויות זו על‪-‬גבי זו‪ .‬בציור האמצעי אפשר‬
‫להגיע למסקנה כי זווית קהה גדולה מזווית ישרה לפי הגדרה וללא השוואה בפועל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימת יישום לכתיבת הזווית בשתי דרכים‪ :‬בעזרת אות אחת או בעזרת שלוש‬
‫אותיות‪ .‬דוגמה לשני סימונים‪ ∠NMK :‬או ‪. ∠M‬‬
‫‪ ∠TSY‬או ‪ ∠EOF , ∠S‬או ‪ . ∠O‬אין חשיבות לכיוון הזווית ‪∠NMK = ∠KMN‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬תרגול בקריאת זווית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬במשימה זו מקנים לתלמידים את המושג "חוצה זווית" בהגדרה אופרטיבית‪.‬‬
‫כלומר התלמידים בונים את חוצה הזווית בעזרת קיפול נייר‪ .‬הדגישו לתלמידים שחוצה זווית‬
‫הוא קרן‪ .‬קרן זו יוצאת מקדקוד הזווית ומחלקת את הזווית לשתי זוויות שוות‪ .‬חוצה זווית‬
‫הוא למעשה קו סימטריה של הזווית‪ .‬שוחחו עם התלמידים על כך שבמתמטיקה משמעות‬
‫המושג "חוצה" היא "חלוקה לשני חלקים שווים"‪ ,‬ולכן היא שונה ממשמעות המילה בחיי‬
‫היום‪-‬יום‪.‬‬
‫‪42‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬הזווית ‪ ABC‬היא זווית שטוחה‪ .‬אפשר לקרוא לזווית זו גם ‪ .CBA‬כדאי‬
‫להדגיש לתלמידים את שתי האפשרויות לסימון אותה זווית‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :81‬מדידת זווית‬
‫עד כה התלמידים לא עסקו במדידת זוויות‪ .‬בבית הספר היסודי מודדים את הזוויות ביחידות‬
‫מידה הנקראות מעלות‪ .‬בשיעור זה מוסבר מה מקורה של מעלה אחת‪ .‬כמו בכל מדידה אחרת‬
‫מדידת זווית במעלות פירושה לקבוע כמה פעמים זווית של מעלה אחת "נכנסת" בזווית‬
‫הנמדדת‪ .‬חשוב ללמד את התלמידים את הסימון של המעלות ולהדגיש להם שכאשר כותבים‬
‫את תוצאת המדידה של זווית‪ ,‬חייבים לציין "מעלות"‪ ,‬כפי שבמדידת אורכים מציינים‬
‫"סנטימטרים"‪ .‬יש לציין שזווית אינה חייבת להימדד במעלות שלמות‪ ,‬אלא במעלות ובחלקי‬
‫מעלות או בפחות ממעלה‪ ,‬לכן בשיעור זה התלמידים יכירו את היחידות למדידת זוויות‬
‫הקטנות ממעלה‪ ,‬כמו דקה ושנייה‪ .‬במעלה ‪ 60‬דקות ובדקה ‪ 60‬שניות‪ .‬השמות דומים לשמות‬
‫של הזמן‪ ,‬כי יש להן מקור משותף באסטרונומיה‪ .‬התלמידים אינם צריכים לדעת את סימון‬
‫היחידות האלה‪ .‬שימו לב‪ :‬מידות אלו למדידת זוויות אינן מידות עשרוניות‪ ,‬כלומר אינן‬
‫מבוססות על המבנה העשרוני‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬כעת התלמידים יכולים למיין את הזוויות לארבעה סוגים‪ :‬חדות‪ ,‬קהות‪,‬‬
‫ישרות ושטוחות‪ .‬לכן המידות הנתונות במשימה מתאימות למיון זה‪ .‬כל זווית שמידתה קטנה‬
‫מ‪ 900 -‬היא זווית חדה‪ ,‬זווית שמידתה ‪ 900‬היא זווית ישרה‪ ,‬זווית שמידתה בין ‪ 900‬לבין ‪1800‬‬
‫היא זווית קהה‪ ,‬וזווית שמידתה ‪ 1800‬היא זווית שטוחה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬סרטוט ב'‪ ,‬כי רק בו מסורטטת זווית חדה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬במשימה זו מקשרים בין הנושא הנלמד לבין ידע קודם על שברים‪ .‬על‬
‫התלמידים למצוא שבר ממספר מעלות נתון‪ .‬לדוגמה‪ ,‬חצי מזווית שטוחה הוא זווית של ‪ ,900‬כי‬
‫מידתה של זווית שטוחה היא ‪ 1800‬וחצי מ‪ 180 -‬שווה ל‪ .90 -‬חשוב לדון עם התלמידים בפתרון‬
‫של כל סעיף‪ .‬אפשר לעבוד במשימה זו על שני רבדים‪ :‬ברובד של מידות הזוויות‪ ,‬שישית של ‪180‬‬
‫היא ‪ 30‬או ברובד השברים כמו בדוגמה המופיעה בקטע השיעור‪ .‬השאלות המתאימות לכל הן‬
‫מהו גורם ההרחבה? באיזה מספר כופלים את ‪ 6‬כדי לקבל ‪?180‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫של זווית ישרה היא זווית שמידתה ‪ 10‬מעלות‪ .‬מקבלים את התוצאה כך‪ 90:9 :‬או כך ‪9‬‬
‫× ‪90‬‬
‫‪9‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬משימה הפוכה למשימה הקודמת וקשה יותר‪ .‬אפשר להקל את פתרונה על‪-‬‬
‫ידי שאלות מרמזות כמו "כמה פעמים ‪' 30‬נכנס' ב‪ ."?180 -‬התשובה היא ‪ ,6‬ולכן זווית שמידתה‬
‫‪ 300‬היא שישית מזווית שמידתה ‪ ,1800‬כלומר זווית של ‪ 300‬מהווה שישית מזווית שטוחה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬המשימה דומה למשימה הקודמת‪ ,‬אך הפעם השלם הוא זווית ישרה )‪.(900‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬שילוב של קריאה וסימון של זוויות ומדידת זוויות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬אין צורך לחשב את סכום הזוויות‪ ,‬כי הוא שווה ל‪.1800 -‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :83‬מד‪-‬זווית‬
‫בשיעור זה לומדים להשתמש במד‪-‬זווית למדידת זוויות‪ .‬חשוב שכל התלמידים יצטיידו במדי‪-‬‬
‫זווית‪ .‬חשוב גם שבכיתה יהיה מד‪-‬זווית להדגמה ולעבודה על הלוח‪ .‬התלמידים צריכים‬
‫להתבונן במד‪-‬הזווית שלהם ולהבין כיצד הוא בנוי‪ .‬מד‪-‬הזווית שמוצג בשיעור הוא מד‪-‬זווית‬
‫רגיל‪ ,‬והוא השימושי ביותר‪ .‬הוא מאפשר למדוד כל זווית שמידתה בין ‪ 00‬לבין ‪ .1800‬מיומנות זו‬
‫‪43‬‬
‫של מדידה בעזרת מד‪-‬זווית חשובה לתלמידים‪ ,‬אך נדרש זמן להפנמתה‪ .‬חשוב להדריך את‬
‫התלמידים להניח את מד‪-‬הזווית בצורה נכונה כפי שהוסבר בשיעור‪ ,‬כך ששוק אחת של הזווית‬
‫הנמדדת תעבור דרך ה‪ 00 -‬במד‪-‬הזווית‪ ,‬וקדקוד הזווית יתלכד עם מרכז מד‪-‬הזווית‪ .‬בדרך כלל‬
‫לא מתעוררות בעיות בשלב זה‪ ,‬אך בשלב הבא כבר יכולה להתעורר בעיה כי צריך להקפיד שגם‬
‫השוק השנייה של הזווית תהיה מתחת למד‪-‬הזווית‪ ,‬ולא מחוצה לו‪ .‬לכן צריך ללמד את‬
‫התלמידים לסובב את מד‪-‬הזווית בהתאם להימצאות הזווית במישור‪ .‬לעתים קרובות על מד‪-‬‬
‫הזווית מסומנות במקביל שתי סקלות של מעלות מ‪ 0 -‬עד ‪ :180‬אחת מהן מתחילה משמאל‬
‫והשנייה מתחילה מימין‪ .‬הדבר נעשה כדי להקל את מדידת הזוויות במצבים שונים במישור‪.‬‬
‫נוסף על מד‪-‬הזווית המוצג בשיעור יש גם מד‪-‬זווית עגול המאפשר למדוד את הזוויות מ‪ 00 -‬עד‬
‫‪ .3600‬את מד‪-‬הזווית הזה יכירו התלמידים בהמשך‪ ,‬כאשר ילמדו על זוויות גדולות מזווית‬
‫שטוחה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬חשוב שהתלמידים יפתחו ראייה חזותית ויכולת לזהות קודם כול את סוג‬
‫הזווית ולהסיק מסקנות לגבי מידתה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬אם הזווית המסורטטת חדה‪ ,‬מידתה לא יכולה‬
‫להיות ‪) 950‬הפעלת היגיון(‪ .‬חשוב גם לדעת שצריך להתאים מידה גדולה יותר לזווית גדולה‬
‫יותר )שיפוט לפי ראייה ובדיקת ההשערה(‪ .‬מיומנות נוספת חשובה מאוד היא לאמוד את מידת‬
‫הזווית‪ .‬לאחר ההערכה של סוג הזווית )קהה או חדה( נעזרים בנקודות ייחוס‪ :‬זווית ישרה‬
‫)האם זווית נתונה קרובה לזווית ישרה או רחוקה ממנה?(‪ ,‬זווית שטוחה )האם הזווית הקהה‬
‫הנתונה קרובה לזווית שטוחה או רחוקה ממנה?(‪ .‬נקודות ייחוס נוספות‪ :‬זווית של ‪ 450‬היא‬
‫חצי מזווית ישרה‪ ,‬זווית של ‪ 1350‬היא באמצע בין זווית ישרה לבין זווית שטוחה וכדומה‪ .‬אם‬
‫הייתה טעות באומדן‪ ,‬יש לבדוק את הסיבה לטעות‪ :‬הבדיקה תאפשר לפתח את המיומנויות‬
‫שהוזכרו לעיל‪ ,‬החשובות ללימודים בהמשך וכן בחיי היום‪-‬יום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬על התלמידים למדוד את הזוויות הנתונות בעזרת מד‪-‬זווית‪ .‬בסעיפים א'‪ ,‬ה'‪,‬‬
‫ו' ו‪ -‬ז' המדידה היא קלה יחסית‪ ,‬כי "כיוון" הזוויות הוא נוח להנחה נכונה של מד‪-‬הזווית‪.‬‬
‫לעומת זאת בסעיפים ב'‪ ,‬ג'‪ ,‬ד' ו‪ -‬ח' כיוון הזוויות מקשה את הנחת מד‪-‬הזווית‪ ,‬ולכן כדאי‬
‫להציע לתלמידים לסובב את מד‪-‬הזווית ולאחר מכן לוודא שהם מניחים נכון‪ .‬אם אין במד‪-‬‬
‫הזווית שתי סקאלות של מעלות )ראו הסבר לקטע השיעור לעיל(‪ ,‬יש לדון עם התלמידים‬
‫בשאלה‪" :‬מה לעשות?" אחד הפתרונות הוא להתחיל את החישוב ב‪ ,1800 -‬כאילו זה האפס‪,‬‬
‫ולמנות את השנתות עד שמגיעים לשנת שמעל השוק השנייה של הזווית‪ .‬המספר שיתקבל‬
‫במנייה הוא מידת הזווית במעלות )ולא מה שכתוב על מד‪-‬הזווית!(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬קריאה ישירה במד‪-‬זווית‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :20‬ציון טעות נפוצה של הנחת מד‪-‬זווית על הזווית הנמדדת‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :21‬בשלב הראשון אומדים את גודל הזוויות ומסדרים אותן‪ .‬בשלב השני מודדים‬
‫אותן ומוודאים שהן בסדר הנכון‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :86‬בניית זווית שמידתה נתונה‬
‫לאחר שהתלמידים למדו למדוד זוויות בעזרת מד‪-‬הזווית‪ ,‬הם לומדים לבנות זווית לפי מידתה‬
‫הנתונה‪ .‬בשיעור זה בונים זוויות שמידתן עד ‪ .1800‬הבנייה נעשית לפי השלבים המתוארים‬
‫בקטע השיעור‪ .‬הקשיים שיכולים להתעורר נובעים בעיקר מהימצאות הזווית במישור‪ ,‬כי בה‬
‫תלויה הנחתו של מד‪-‬הזווית )ראו הערות לקטע השיעור הקודם(‪ .‬כמו במיומנות של מדידת‬
‫הזווית גם במיומנות זו נדרש זמן להפנמה‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :22‬סרטוט זווית שמידתה נתונה‪.‬‬
‫‪44‬‬
‫משימות מס' ‪ :23‬מדידה וסרטוט של זווית‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :25 - 24‬על התלמידים לבנות זוויות לפי מידתן הנתונה בהתחשבות באילוץ‬
‫הנתון‪ ,‬כלומר שוק אחת של הזווית נתונה‪ ,‬ואין להזיז אותה למקום אחר‪ .‬דונו עם התלמידים‬
‫בדרכי הפתרון‪ ,‬וחזרו אתם על הנחתו של מד‪-‬הזווית במידת הצורך‪ .‬שימו לב‪ :‬אם שוק אחת‬
‫של הזווית נתונה‪ ,‬יש שתי אפשרויות לבניית הזווית משני צדי השוק הנתונה )פרט לזווית‬
‫שטוחה שלבנייתה יש אפשרות אחת בלבד(‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :27 - 26‬במשימות אלו עוסקים בסכום ובהפרש של זוויות‪ .‬את המשימות אפשר‬
‫לפתור ללא מדידה‪ ,‬אך חשוב לבדוק את התשובות על‪-‬ידי מדידה‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :28‬מומלץ לתת משימה זו כשיעורי בית‪ .‬התלמידים יכירו מד‪-‬זווית עגול על‪-‬ידי‬
‫בנייתו‪ .‬כמו במד‪-‬זווית רגיל גם במד‪-‬זווית זה יש למקם שוק אחת של זווית מול שנת ה‪00 -‬‬
‫ומידת הזווית תהיה מול השנת השנייה‪ .‬בבניית זווית מסרטטים תחילה שוק אחת‪ ,‬מניחים‬
‫עליה את מד‪-‬הזווית החל משנת ה‪ ,00 -‬מסמנים את המידה הרצויה‪ ,‬ומסרטטים את השוק‬
‫השנייה‪.‬‬
‫משימות מס' ‪:29‬התלמידים יכולים לחשב את הזווית בלי מדידה ולבדוק את תשובתם על‪-‬ידי‬
‫מדידות‪ .‬כל זווית בת ‪. 36 0‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :89‬מיון זויות‬
‫בשיעור זה ממיינים את כל הזוויות שמידותיהן מ‪ 00 -‬עד ‪ .3600‬כדי להמחיש את העניין נעזרים‬
‫בשעון מחוגים‪ .‬להמחשת זוויות מ‪ 00 -‬עד ‪ 1800‬אפשר להסתפק בשעון הרגיל שיש בו שני‬
‫מחוגים‪ ,‬ולדבר על הזווית בין שני המחוגים‪ .‬אבל זווית בין שני המחוגים תמיד קטנה מזווית‬
‫שטוחה או שווה לה‪ ,‬ולכן הוחלט "לקלקל" את השעון ולהותיר בו מחוג אחד בלבד )שהוא‬
‫ממשיך להסתובב( כדי לייצג זוויות גדולות מזווית שטוחה‪ .‬למעשה‪ ,‬עד כה דובר ב"זווית‬
‫סיבוב" בלי לקרוא למושג בשמו‪ .‬לדעת המחברים‪ ,‬זוהי דרך טבעית ומוחשית להבנת המושגים‬
‫"זווית נישאה" ו"זווית של סיבוב שלם"‪ .‬בהמשך תהיה ההתייחסות לזווית נישאה בדרך רגילה‬
‫כאל זווית שמידתה גדולה מ‪ 1800 -‬וקטנה מ‪ .3600 -‬שימו לב גם לזווית של ‪ .00‬היא מוזכרת כדי‬
‫למיין את כל הזוויות הקיימות‪ .‬אמנם התלמידים כבר נתקלו בה כאשר עסקו במדידת הזוויות‪,‬‬
‫אך עדיין ייתכן קושי בהבנת זווית זו‪ .‬שתי הקרניים מתלכדות‪ ,‬ובפועל רואים קרן אחת‪ .‬אי‪-‬‬
‫אפשר להבחין בין זווית של סיבוב שלם לבין זווית של ‪ 00‬בסרטוט שבו לא סומנה בקשת הזווית‬
‫בת ‪ ,3600‬ולכן כשמסרטטים שתי קרניים מתלכדות‪ ,‬הזווית היא תמיד ‪ .00‬בנוסף על‪-‬כך‪ ,‬הזווית‬
‫הזו אינה זווית חדה‪ ,‬ולכן זווית חדה היא זווית הגדולה מ‪ 00 -‬וקטנה מ‪.900 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬מדידת זווית נישאה‪ .‬אי‪-‬אפשר למדוד אותה במד‪-‬זווית רגיל‪ ,‬כי בו אפשר‬
‫למדוד זוויות שמידתן מ‪ 00 -‬עד ‪ 1800‬בלבד‪ .‬לכן צריך למצוא דרכים אחרות לפתרון המשימה‪.‬‬
‫אחת הדרכים היא לחשב זווית נישאה דרך זווית של סיבוב שלם‪ .‬שתי קרניים בעלות התחלה‬
‫משותפת יוצרות שתי זוויות‪ :‬אחת מהן זווית נישאה )כמובן‪ ,‬אם השנייה אינה זווית שטוחה(‪.‬‬
‫הסכום של הזווית הנישאות והזווית השנייה הוא ‪ .3600‬התלמידים יוכלו למדוד את הזוויות‬
‫השונות מהזוויות הנישאות‪ ,‬ולחסר את תוצאת המדידה מ‪ .3600 -‬כך יקבלו את מידת הזווית‬
‫הנישאה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬אין צורך במדידה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬סרטוט זווית לפי ציון סוג הזווית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬זיהוי חזותי של סוגי זוויות‪.‬‬
‫‪45‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬אומדן זוויות כאשר נתונות זוויות "ייחוס" ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬פיתוח הבנה גאומטרית על‪-‬ידי דרישה של הסקת מסקנות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬הבנת ההבדל בין שימוש במד‪-‬זווית עגול לבין שימוש במד‪-‬זווית רגיל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬מדידת זוויות‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :92‬מידות הזויות במצולע‬
‫בשיעור זה לומדים על זוויות במצולע‪ .‬הנושא מוכר לתלמידים מכיתה ג'‪ ,‬והחידוש הוא מדידת‬
‫הזוויות במצולע‪ ,‬כולל זווית נישאה )אם יש(‪ .‬הדגישו לתלמידים‪ ,‬שמסמנים זוויות שוות‬
‫במידתן באותו מספר קשתות )או בסימון זהה אחר כלשהו(‪ ,‬ואילו זוויות השונות במידתן‬
‫מסמנים במספר קשתות שונה )או בסימונים שונים אחרים(‪ .‬שימו לב‪ :‬סכום הזוויות בכל‬
‫מרובע הוא ‪ .3600‬יש להתחשב בכך אם מחברים שאלות להשלמת זוויות במרובע‪ ,‬אך‬
‫התלמידים לא חייבים לדעת זאת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :39‬סכום הזוויות במשולש הוא ‪ .1800‬התלמידים לא חייבים לזכור זאת‪ ,‬והם‬
‫מגיעים למסקנות רק דרך פעילות מעשית )מדידה(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬למשימה זו אין‪-‬סוף פתרונות נכונים‪ .‬כדאי לדון עם התלמידים בדוגמאות‬
‫שלהם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬דונו עם התלמידים בדרכים למציאת המידה של הזווית הנישאה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬התלמידים מודדים את הזוויות‪ ,‬וייתכנו סטיות בין תוצאות המדידה‪ ,‬כי‬
‫מדידות אינן מדויקות תמיד‪ .‬אפשר לקבל כל תשובה כנכונה‪ ,‬אם ההבדלים סבירים )עד ‪.(50‬‬
‫המורה יכולה לבדוק בצורה עקיפה‪ :‬סכום הזוויות במשולש שווה ל‪ ,1800 -‬וסכום הזוויות‬
‫במרובע שווה ל‪.3600 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬משימה זהה למשימה הקודמת בשינוי מצולעים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :94‬שושנת הרוחות‬
‫בשיעור זה נעשית היכרות עם שושנת הרוחות ושימושיה‪ .‬שושנת הרוחות היא אחד היישומים‬
‫הרבים של המושג "זווית" במדע ובחיי היום‪-‬יום‪ .‬ידיעת שושנת הרוחות היא חלק מהתרבות‬
‫האנושית‪ ,‬והשימוש בה נחוץ לכל אדם‪ .‬תחילה התלמידים מכירים את ארבעת הכיוונים‬
‫הראשיים‪ :‬צפון‪ ,‬דרום‪ ,‬מזרח ומערב‪ .‬חשוב לציין שמקובל לסרטט מפות‪ ,‬כך שהכיוון צפון‬
‫כלפי מעלה )אלא אם כן צוין אחרת(‪ .‬אפשר לשלב לימוד על המצפן‪ .‬אפשר גם לבקש‬
‫מתלמידים המתעניינים בנושא או מתלמידים מתקדמים למצוא מידע על שושנת הרוחות‬
‫במקורות מידע שונים ולהרצות על כך בשיעור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :44‬א( ‪ ;900‬ב( ‪ ;900‬ג( ‪ ;900‬ד( ‪ ;1800‬ה( ‪ ;1350‬ו( ‪.450‬‬
‫משימה מס' ‪ :45‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :46‬מיועדת לתרום לתחום ידיעת הארץ על‪-‬ידי הסתכלות במפה וזיהוי מיקום‬
‫יחסי של יישובים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :47‬שימוש בכיוונים‪ ,‬צפון‪-‬דרום ומזרח‪-‬מערב למציאת יחסי כיוון בין יבשות ובין‬
‫ירושלים ליבשות‪.‬במקרה של אי‪-‬ודאות המליצו לתלמידים לקבוע את הכיוון היחסי בין‬
‫‪46‬‬
‫היבשות על‪-‬ידי סימון של ערים מרכזיות ביבשת או סימון של מדינות ביבשת‪ .‬כדוגמת‪ :‬קהיר‬
‫בצפון אפריקה‪ ,‬ניו‪-‬יורק בצפון אמריקה‪ ,‬אסיה נמצה בצפון‪-‬מזרח אפריקה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :48‬משימת יישום‪.‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪ :96‬סיכום הנלמד בפרק‪.‬‬
‫בפרק זה למדו התלמידים על הזוויות‪ :‬סוגי זוויות‪ ,‬מדידה‪ ,‬זוויות במצולע‪ ,‬סימון זוויות ואף‬
‫יישום בחיי היום יום לזוויות‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמודים ‪106 - 97‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת תרגול של זיהוי זווית מבין צורות מסורטטות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימת תרגול של סרטוט שלוש זוויות בעלות קדקוד משותף‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬אם מונים את הזוויות בכיוון ההפוך של השעון‪ ,‬כל קרן היא שוק של שש‬
‫זוויות )כל סיבוב שלם(‪.‬‬
‫אפשר להפוך את המשימה הזו למשימת חקר כמו "כמה זוויות חדות יש באיור?"‪" ,‬כמה זוויות‬
‫קהות יש באיור?" "וכמה זוויות נישאות יש באיור?"‪.‬‬
‫אם נסמן כל קרן באות אפשר לבנות טבלה כמו זה‪.‬‬
‫הקרן השניה‬
‫הקרן‬
‫הראשונה‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫סיבוב שלם‬
‫נ‬
‫נ‬
‫נ‬
‫ק‬
‫ח‬
‫‪B‬‬
‫חדה‬
‫סיבוב שלם‬
‫נ‬
‫נ‬
‫שטוחה‬
‫ק‬
‫‪C‬‬
‫קהה‬
‫ח‬
‫סיבוב שלם‬
‫נ‬
‫נ‬
‫ק‬
‫‪D‬‬
‫ק‬
‫ק‬
‫ח‬
‫סיבוב שלם‬
‫נ‬
‫נ‬
‫‪E‬‬
‫שטוחה‬
‫ש‬
‫ק‬
‫ח‬
‫סיבוב שלם‬
‫נ‬
‫‪F‬‬
‫נ‬
‫נ‬
‫נ‬
‫ק‬
‫ח‬
‫סיבוב שלם‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימה זו צריך לבצע בעזרת סרגל‪ .‬נקודת החיתוך של הישרים היא קדקוד‬
‫הזווית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬משימה זו דורשת מהתלמידים להמשיך את הסרטוט כך שבסעיף א' תתקבל‬
‫זווית ובסעיף ב' לא תתקבל זווית‪ .‬דוגמה לזווית וללא זווית‪:‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬באיור שמונה זוויות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬משימת תרגול של זיהוי זווית בתוך איור‪.‬‬
‫להלן הטבלה המלאה‪:‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9 10 11 12 13 14 15‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪47‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬במשימה זו נדרשים התלמידים לבדוק אילו זוויות שוות לזווית א'‪ .‬הנחו את‬
‫התלמידים להשתמש בדף שקוף כדי להעתיק את זווית א' על גבי הדף ולהשוות בין הזויות‪.‬‬
‫זווית ב' וזווית ז' שוות לזווית א'‪ .‬זווית ג' קטנה במעט מזווית א'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימת השוואה‪ .‬סימון של כל זוג זוויות שוות יעשה בצבע אחר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬א( משימת סרטוט של מחוגים לפי השעה הנתונה‪.‬‬
‫ב( הזוויות בין המחוגים שוות בשעון א' ובשעון ב'‪ .‬הזווית בת ‪. 90 0‬‬
‫ג( הזוויות בין המחוגים זונות בשעון ג' ובשעון ד'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬משימת זיהוי של שלוש זוויות ישרות וזווית שטוחה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬משימה זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה‪ .‬משימה זו מומלץ‬
‫לעשות במליאה‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫זווית ‪ AOB‬היא זווית שטוחה‪ .‬זווית זו בת ‪ . 180‬זווית ‪ KOM‬בת ‪ . 80‬נמצא את ההפרש בין‬
‫הזוויות ונקבל ‪ . 100 0‬כעת נחלק את ההפרש לשניים ונקבל שכל אחת מהזוויות המסומנות בת‬
‫‪. 50 0‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬משימה זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה‪ .‬אחת הדרכים לפתרון‬
‫משימה מסוג זה היא לסמן את הנתונים על הסרטוט‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫זווית ‪ AOB‬שווה לסכום הזוויות הנתונות‪∠AOB = ∠AOC + ∠COB = 75 + 6 0 = 810 .‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬משימה זו עוסקת בדרך לא‪-‬פורמלית בזוויות קדקודיות ובזוויות צמודות‪.‬‬
‫שני ישרים נחתכים יוצרים ארבע זוויות‪ .‬שני זוגות של זוויות קדקודיות וארבעה זוגות של‬
‫זוויות צמודות‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫זוויות קדקודיות שוות זו לזו וסכום זוויות צמודות הוא ‪. 180‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪∠2 = ∠4‬‬
‫‪, ∠1 = ∠3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∠1 + ∠2 = 180 0‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬משימת סרטוט זו תעשה ללא מד‪-‬זווית‪ .‬סרטוט הזוויות יעשה בקירוב תוך‬
‫שימוש בידע הקודם לגבי סוג הזווית‪ ,‬מידתה וצורתה )גודל המפתח בין הקרניים(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬משימה זו עוסקת במושג חוצה‪-‬זווית‪ .‬חוצה‪-‬זווית היא קרן המחלקת זווית‬
‫לשתי זוויות שוות‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬נתון‪ ∠ABC = 120 0 :‬הקרן ‪ Bd‬היא חוצה‪ -‬זווית‪.‬‬
‫‪∠ABD = 60 0 ; ∠DBC = 60 0‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬משימה זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה‪ .‬חישוב הזוויות ייעשה‬
‫על סמך העובדה שסכום זוויות צמודות הוא ‪. 180 0‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬הסכום של כל שש הזוויות הוא ‪. 360 0‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬משימת יישום של שימוש בכיווני שושנת הרוחות להתמצאות במרחב‪ .‬יעקב‬
‫הגיע לנקודת ההתחלה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬במרובע סכום הזוויות הוא ‪ . 360 0‬לכן מידת הזווית החסרה היא ‪. 40 0‬‬
‫‪48‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬משימה זו עוסקת בחקירת הזווית בין מחוגי השעון בשעות מסוימות‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫או‬
‫משימה מס' ‪ :22‬א( חמש דקות מהוות‬
‫‪12‬‬
‫‪60‬‬
‫ב( מחוג הדקות מסתובב בחמש דקות בזווית של ‪.300‬‬
‫ג( מחוג הדקות מסתובב ב‪ 25 -‬דקות בזווית של ‪.1500‬‬
‫ד( בחצי שעה מחוג הדקות מסתובב בזווית של ‪. 180 0‬‬
‫מהשעה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬א( שעה אחת מהווה‬
‫‪12‬‬
‫ב( במשך שעה מחוג השעות יסתובב ‪. 30 0‬‬
‫ג( בחצי שעה מחוג השעות יסתובב ‪. 180 0‬‬
‫‪1‬‬
‫ד( דקה אחת מהווה‬
‫משעה אחת‪.‬‬
‫‪60‬‬
‫ה( מחוג הדקות מסתובב בדקה אחת בזווית של ‪.60‬‬
‫מ‪ 12 -‬שעות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬א( ‪ 10‬דקות‪ .‬ב( שעתיים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬חוצה‪ -‬זווית של זווית שטוחה יוצר שתי זוויות ישרות שוות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬כל הזוויות הישרות שוות בגודלן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬משימת תרגול של מידות של זוויות חדות וזוויות קהות‪.‬‬
‫כדאי להזכיר לתלמידים‪ :‬זווית חדה קטנה מ‪ . 90 0 -‬זווית קהה גדולה מ‪ 90 -‬וקטנה מ‪-‬‬
‫‪. 180 0‬‬
‫‪0‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬כל הזוויות השטוחות שוות בגודלן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬אמדן זוויות‪ .‬מבין חמש הזוויות המסורטטות רק זווית אחת יכולה להיות בת‬
‫‪. 130 0‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬משימת סרטוט של זווית קהה וזווית חדה בעלות קדקוד משותף‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬משימת סרטוט זו דורשת סרטוט של זווית שווה לזווית הנתונה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬הזוויות מסורטטות כך שחוצה‪ -‬הזווית של זווית ‪ O 1‬בכיוון מאוזן וחוצה‪-‬‬
‫הזווית של זווית ‪ O 2‬בכיוון מאונך‪ ,‬כך שהסרטוטים אינם מורכבים‪ .‬הזווית הנוצרת בין חוצי‪-‬‬
‫הזוויות היא זווית ישרה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬חלוקת הזווית הנתונה לשתי זוויות שוות יכולה להיעשות בעזרת סרטוט של‬
‫חוצה‪-‬זווית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬כאשר מחלקים זווית שטוחה לשש זוויות‪ .‬כל זווית בת ‪. 30 0‬‬
‫‪49‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬משימת תרגול של מיון זוויות לפי סוגים וכן תרגול של כתיבת זוויות בעזרת‬
‫אותיות לועזיות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬משימת תרגול של זיהוי סוג הזווית וסימון האותיות במקום המתאים‪.‬‬
‫הדגישו לתלמידים שהאות האמצעית מציינת את קדקוד הזווית‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬להלן סימון הקדקודים המתאים למשימה‪.‬‬
‫ב( זווית ‪ ONM‬היא זווית קהה‪.‬‬
‫זווית ‪ OPN‬היא זווית קהה‪.‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪O‬‬
‫יישומים באמנות‪ ,‬עמוד ‪107‬‬
‫התלמידים לומדים שבהגדלה או בהקטנה של צורה )או ציור( באופן פרופורציוני אורכי‬
‫הקטעים משתנים‪ ,‬אך מידות הזוויות אינן משתנות‪ .‬זו תכונה של דמיון צורות )שתילמד‬
‫בחטיבת הביניים(‪.‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪108‬‬
‫מומלץ להציע לכל התלמידים לסרטט את הציור לפי ההוראות ולצבוע אותו‪.‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪109‬‬
‫חזרה על יחידות מידה בעזרת שאלות מילוליות‪ ,‬חזרה על פתרון תרגילי חיבור וכפל בטור‪ ,‬וכן‬
‫חזרה על הקשר בין פעולות הפוכות‪.‬‬
‫‪50‬‬
‫עמ' ‪136 -110‬‬
‫ד‪ .‬חילוק מספרים טבעיים‬
‫רקע‬
‫פרק זה מסיים את הנושא פעולות במספרים טבעיים גדולים‪ .‬בפעולות חיבור‪ ,‬חיסור וכפל‬
‫במספרים טבעיים גדולים עסקו התלמידים בפרק ג'‪ ,‬וכאן נוספת פעולת החילוק‪ .‬אין הבדל בין‬
‫ביצוע פעולת החילוק במספרים טבעיים גדולים לבין ביצועה במספרים טבעיים קטנים יותר‪.‬‬
‫הקושי הוא בעיקר בגודל המספרים ובאורך אלגוריתם החילוק ‪.‬‬
‫קיימים שני סוגי חילוק‪:‬החילוק האוקלידי והחילוק הכללי‪.‬‬
‫א‪ .‬החילוק האוקלידי הוא בתחום המספרים הטבעיים‪ ,‬הוא חילוק עם שארית )השארית‬
‫יכולה להיות ‪ .(0‬אלה הם מרכיביו‪:‬‬
‫• המחולק )המספר שמחלקים אותו( הוא מספר טבעי;‬
‫• המחלק )המספר שמחלקים בו( הוא מספר טבעי )לא מחלקים ב‪ ,0 -‬אך ‪ 0‬אינו מספר‬
‫טבעי‪ ,‬לכן אין צורך לציין "שונה מ‪;("0 -‬‬
‫• מספר הפעמים שהמחלק "נכנס" במחולק )מספר טבעי או ‪" ,(0‬המנה השלמה"‪) .‬לא‬
‫נרחיב בשימוש במונח זה אך נשתמש בו בהתחלת הפרק כדי לקבוע את סדר הגודל של‬
‫התוצאה‪;(.‬‬
‫• השארית‪ ,‬שהיא מספר קטנה מהמחלק‪) .‬כאשר השארית היא ‪ 0‬המחולק הוא כפולה של‬
‫המחלק(‪.‬‬
‫הערה‪ :‬הביטוי "ללא שארית" אינו מדויק לגמרי‪ .‬הכוונה היא שהשארית היא ‪.0‬‬
‫)שארית ‪ a . a : b = c (r‬היא המחולק‪ b ,‬היא המחלק‪ c ,‬היא המנה השלמה ו‪ r -‬היא‬
‫השארית השוויון המבטא את החילוק הזה הוא ‪. a = b × c + r‬‬
‫)כמובן‪ ,‬התלמידים אינם עוסקים בשוויונות באותיות‪(.‬‬
‫ב‪ .‬החילוק הכללי הוא בתחום המספרים הממשיים‪ .‬אלה הם מרכיביו‪:‬‬
‫• המחולק )המספר שמחלקים אותו( הוא מספר ממשי;‬
‫• המחלק )המספר שמחלקים בו( הוא מספר ממשי שונה מ‪;0 -‬‬
‫• תוצאת החילוק‪ ,‬כלומר המנה‪ ,‬היא מספר ממשי‪.‬‬
‫‪ a :b = c‬אם ‪ a‬היא המחולק‪ b ,‬היא המחלק ו‪ c -‬היא המנה‪ .‬השוויון המתאים לחלק זה הוא‬
‫‪.a = b×c‬‬
‫לפי שוויונות אלה אפשר לראות שחילוק הוא פעולה הפוכה לכפל‪.‬‬
‫ההבדל בין שני סוגי החילוק הוא סוג התוצאה‪ :‬בחילוק האוקלידי התוצאה היא ביטוי שאיננו‬
‫מספר‪ ,‬לדוגמה‪ 26" ,‬לחלק ל‪ 8 -‬הם ‪ 3‬ושארית ‪ ;"2‬ואילו בחילוק הכללי התוצאה היא מספר‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫לדוגמה‪ 26" ,‬לחלק ל‪ 8 -‬הם שלוש ורבע ) ‪."( 3‬‬
‫‪4‬‬
‫כשמדובר בחילוק "ללא שארית" ) או כאשר השארית היא ‪ ,(0‬שני סוגי החילוק מתלכדים‪ ,‬אך‬
‫המושג "חילוק עם שארית" קיים רק במספרים טבעיים‪ .‬בדוגמה ‪ 26:8‬התוצאה היא הביטוי ‪3‬‬
‫ושארית ‪ .2‬המספר ‪ 3‬מציין את מספר הפעמים שהמחלק "נכנס" במחולק‪ .‬מאחר שאין שם‬
‫מתאים בעברית‪ ,‬בעברית המספר נקרא כאן "מנה שלמה" )אחרי התייעצות עם פרופסור‬
‫עזריאל לוי( כדי לשמור על עקביות עם החילוק הכללי‪ ,‬שבו התוצאה נקראת "מנה"‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫בחילוק "‪ 26‬לחלק ל‪ "8 -‬הקשר בין התוצאה ‪ 3‬ושארית ‪ 2‬לבין התוצאה שלוש ורבע ) ‪ ( 3‬הוא‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫שבחילוק הכללי מחלקים גם את השארית במחלק )‪ 2‬הוא של ‪.(8‬‬
‫‪4‬‬
‫ההבחנה בין שני סוגי החילוק חשובה‪ ,‬כי מלמדים את שניהם בכיתה ה'‪ :‬החילוק האוקלידי‬
‫בפרק הנוכחי והחילוק הכללי במסגרת השבר כמנה‪.‬‬
‫‪51‬‬
‫בחילוק עם שארית חשוב להדגיש שהשארית חייבת להיות קטנה מהמחלק‪.‬‬
‫הפרק בנוי מכמה חלקים‪ .‬בחלק "לעלות על הגל" חוזרים על הערכת סדר גודל של התוצאות‬
‫ועל כמה דרכי חישוב )חילוק באמצעות חיסור חוזר‪ ,‬באמצעות חוק הפילוג ובאמצעות חילוק‬
‫ארוך(‪.‬‬
‫ביחידת הלימוד )הקניה( מוצגות דרכי חישוב במספרים מסוימים‪ ,‬ומוצג חילוק ארוך כאשר‬
‫המחלק הוא מספר טבעי דו‪-‬ספרתי שספרת היחידות שלו קטנה מ‪ ,6 -‬בהתאם לתכנית‬
‫הלימודים‪.‬‬
‫לפיתוח הבנה בספרים חשוב מאוד לדון בכיתה ב"כפל חכם" וב"חילוק חכם"‪ ,‬כאשר אחד‬
‫הגורמים או המחלק הוא אחד מהמספרים ‪) 4 ,(100:4=) 25 ,(10:2=) 5‬אפשר לחלק ב‪ 2 -‬ועוד‬
‫פעם ב‪ (2 -‬וכדומה‪ .‬רצוי לבצע כמה מהחישובים בעל‪-‬פה‪ ,‬ועל המורה לעודד את התלמידים‬
‫לחפש דרכים משלהם בחישובים אלה )למשל על‪-‬ידי פעילויות גילוי(‪ ,‬ולא להכריח אותם לחשב‬
‫רק בדרך אחת‪ .‬באופן דומה לעתים ב"חישוב" השארית לא נדרש חילוק‪ ,‬ולכן יכולה להתחזק‬
‫ההבנה המספרית )חילוק ב‪ ,2 -‬ב‪ 10 -‬ואפילו ב‪.(5 -‬‬
‫לפי תכנית הלימודים‪ ,‬לנושא חילוק מומלץ להקדיש חמש שעות לימוד‪.‬‬
‫מושגים‬
‫חילוק‪ ,‬תוצאה של חילוק‪ ,‬שארית‪ ,‬מחולק‪ ,‬מחלק‪ ,‬מנה‪,‬מנה שלמה‪ ,‬כפולה ‪ ,‬אומדן התוצאה‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬לחשב "בראש" חילוק של כפולות של ‪ ,10‬של ‪ 100‬ושל ‪ ,1,000‬ב‪ ,10 -‬ב‪ 100 -‬וב‪;1,000 -‬‬
‫ב‪ .‬לחלק כפולות של ‪ 10‬בעשרות שלמות כשיש שארית וכשאין שארית;‬
‫ג‪ .‬לחלק כל מספר בעשרות שלמות כשיש שארית;‬
‫ד‪ .‬לחשב אומדן של תוצאת חילוק במספר דו‪-‬ספרתי )סדר גודל של המנה(;‬
‫ה‪ .‬לבצע חילוק ארוך כשהמחלק הוא מספר חד‪-‬ספרתי או דו‪-‬ספרתי‪ ,‬כשאין ‪ 0‬בתוצאה וכשיש‬
‫‪ 0‬בתוצאה‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫כרטיסים שכתובות עליהם המילים‪ :‬מחולק‪ ,‬מחלק‪ ,‬תוצאה‪ ,‬שארית‪ ,‬כרטיסי מספרים‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על משולשים ועל מרובעים‪.‬‬
‫מסרטטים על הלוח ריבוע ומלבן‪ .‬מבקשים מהתלמידים לסיים את המשפט‪:‬‬
‫"משולש שווה‪-‬שוקיים הוא משולש שבו…" )הגדרה(‪,‬‬
‫"משולש שווה‪-‬צלעות הוא משולש שבו…" ‪,‬‬
‫"משולש ישר‪-‬זווית הוא משולש שבו…"‪,‬‬
‫"משולש חד‪-‬זוויות הוא משולש שבו…"‪,‬‬
‫"לריבוע יש … זוויות …"‪,‬‬
‫"למלבן יש … זוויות …"‪,‬‬
‫"הריבוע והמלבן נבדלים זה מזה ב…" )לציין תכונות שונות של המלבן ושל הריבוע(‪,‬‬
‫" התכונות המשותפות לריבוע ולמלבן הן…"‪.‬‬
‫‪52‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על ייצוגים שונים של שבר‪.‬‬
‫מהו השבר שמיוצג בכל ציור? )אפשר לסרטט את הציורים על הלוח או לחלק דפים שהציורים‬
‫מופיעים בהם‪ (.‬יש לסכם עם התלמידים שהחלק הצבוע הוא שמייצג את השבר‪ ,‬ולא החלק‬
‫הלבן‪.‬‬
‫ציורים אפשריים‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫ג‪ .‬חזרה על סדר פעולות ועל חוקי פעולות‪.‬‬
‫חשבו בדרך הנוחה לכם‪. 12 × 3 + 2 , 47 × 11 , 355 + 406 − 55 , 5 × 34 × 2 , 10,001 × 9 :‬‬
‫ד‪ .‬חזרה על חילוק עם שארית )במספרים טבעיים קטנים(‪.‬‬
‫ידוע ש‪ . 12 × 3 + 2 = 38 -‬מהי תוצאת החילוק של ‪ 38‬ב‪ 38 ?12 -‬ב‪ ?3 -‬מהי השארית בכל אחד‬
‫מהמקרים האלה? )חישובים לו יבוצעו ללא פתרון של תרגיל‪(.‬‬
‫ה‪ .‬חזרה על הכפלה ב‪ 10 -‬וב‪.100 -‬‬
‫כותבים על הלוח את תרגילי הכפל שלהלן‪ .‬כל תלמיד מציין בתורו אם המכפלה שווה ל‪1,800 -‬‬
‫או לא‪.‬‬
‫‪60×30‬‬
‫‪6×300‬‬
‫‪18×10×10‬‬
‫‪100×6×3‬‬
‫‪10×6×30‬‬
‫‪10×3×60‬‬
‫‪10×180‬‬
‫‪18×2×50‬‬
‫‪100×60×3‬‬
‫‪8×200‬‬
‫‪90×20‬‬
‫‪10×5×36‬‬
‫‪100×18‬‬
‫‪10×9×2‬‬
‫‪3×10×6‬‬
‫‪90×200‬‬
‫ו‪ .‬חזרה על חילוק וכפל כפעולות הפוכות‪.‬‬
‫‪ .1‬על הלוח רשום השוויון‪ . 25 × 8 = 200 :‬מבקשים מהתלמידים לכתוב את כל השוויונות‬
‫הנובעים מהשוויון שלעיל‪ .‬דוגמה‪. 200 :8 = 25 :‬‬
‫‪ .2‬ידוע כי ‪ . 654 × 321 = 209,934‬מהי תוצאת החילוק של ‪ 209,934‬ב‪) ?321 -‬על התלמידים‬
‫לענות ללא חישוב‪(.‬‬
‫‪ .3‬ידוע כי = ×☺‪ .‬השלימו את השוויונות‪. =__:__ ; ×☺=___ ;☺=__: :‬‬
‫אפשר להוסיף עוד שוויונות להשלמה‪.‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬מספרים סיפור )בעיה(‪ .‬התלמידים יבצעו את החישובים בראש‪") .‬כל כלי הכתיבה‬
‫נעלמו מהעולם!"(‪ .‬רוצים לסדר ‪ 84‬ספרים שווה בשווה בארבע קופסאות‪ .‬כמה ספרים בכל‬
‫קופסה? רוצים לסדר את הספרים בשבע קופסאות שווה בשווה‪ .‬כמה ספרים בכל קופסה?‬
‫רוצים לסדר את הספרים בשלוש קופסאות שווה בשווה‪ .‬כמה ספרים בכל קופסה? רוצים לסדר‬
‫את הספרים בשש קופסאות שווה בשווה‪ .‬כמה ספרים בכל קופסה?"‪ 84 .‬הוא מספר המתחלק‬
‫ב‪ ,3 -‬ב‪ ,4 -‬ב‪ 6 -‬וב‪ .7 -‬בפעילות התלמידים אמורים לפלג את המספר המתאים למחלק )‪,80+4‬‬
‫‪.(60+24 ,70+14‬‬
‫פעילות ב‪ :‬חוזרים על פעילות א' במספרים גדולים יותר‪ ,‬כגון ‪...840 ,600 ,540‬‬
‫‪53‬‬
‫פעילות ג‪ :‬התלמידים כבר למדו את משמעות החילוק‪ ,‬לכן הפעם מטרת הפעילות היא לגלות‬
‫דרכים שונות לביצוע הפעולה‪ .‬כדאי לעבוד בצורה של תחרות בין קבוצות‪ .‬מתחילים בדוגמה‬
‫במליאה‪ ,‬כדי שהתלמידים יבינו את השאלה‪ ,‬לאחר מכן זוגות או קבוצות מציעים זה לזה‬
‫אתגרים מהסוג שהוצג במליאה‪ .‬דוגמה לשאלה למליאה‪ :‬הקנגורו קופץ בקפיצות של עשרה‬
‫מטרים‪ .‬כמה קפיצות נדרשות לו כדי לעבור בדיוק ‪ 100‬מ'‪ 500 ,‬מ'‪ 340 ,‬מ'‪ 3,790 ,‬מ'‪17,670 ,‬‬
‫מ'? )אילוץ‪ :‬המרחק הוא כפולה של ‪ .(10‬כשעובדים בזוגות או בקבוצות‪ ,‬עובדים באותם‬
‫אילוצים‪ :‬צוות אחד קובע את המרחק‪ ,‬והאחר אומר את התשובה‪ ,‬ומחליפים תפקידים‪.‬‬
‫פעילות ד‪ :‬חוזרים על סיפור הקנגורו‪ ,‬אך הפעם הקפיצות של הקנגורו הן כפולות של עשרה‬
‫מטרים‪.‬‬
‫פעילות ה‪ :‬מספרים לתלמידים סיפור )בעיית מצב(‪ :‬רונית אמרה שללא חישוב היא יודעת‬
‫להגיד מה התוצאה ומה השארית‪ ,‬כאשר מחלקים מספר טבעי כלשהו ב‪ .10 -‬חוה אמרה‪:‬‬
‫"בבקשה‪ ,‬מהי השארית בחילוק של ‪ 10,021‬ב‪ ."?10 -‬להפתעתה‪ ,‬רונית השיבה מיד‪1,002" :‬‬
‫ושארית ‪ ."1‬חוה בדקה במחשבון‪ ,‬וגילתה שרונית צדקה‪ .‬חוה נתנה לרונית עוד כמה תרגילים‪,‬‬
‫ורונית אף פעם לא טעתה‪.‬‬
‫נסו לגלות כיצד יכלה רונית לומר תשובה נכונה‪ .‬נסו לחלק ב‪ 10 -‬כמה מספרים דו‪-‬ספרתיים‪,‬‬
‫תלת‪-‬ספרתיים או גדולים יותר‪ ,‬ושערו מהי הדרך לחישוב מהיר של המנה והשארית‪.‬‬
‫פעילות ו‪ :‬חוזרים על סיפור הקנגורו )הקנגורו קופץ בקפיצות של עשרה מטרים(‪ ,‬אך הפעם הוא‬
‫צריך להגיע קרוב ביותר למטרה בלי לעבור אותה‪ ,‬והמרחק למטרה הוא במספר טבעי כלשהו‪.‬‬
‫פעילות ז‪ :‬המשך לפעילות ד'‪ :‬על הקנגורו להגיע קרוב ביותר למטרה בלי לעבור אותה‪ ,‬אך‬
‫הפעם הוא קופץ בקפיצות של ‪ 20‬מטר‪ .‬המרחק למטרה הוא מספר טבעי‪ ,‬בתחילה כפולה של ‪20‬‬
‫ואחר‪-‬כך מספר כלשהו‪.‬‬
‫פעילות ח‪ :‬בעיות מצב לחילוק ב‪ :50 -‬מסלול המרוץ לשבלולים הוא מעגל שהיקפו ‪ 50‬ס"מ‪.‬‬
‫השבלול צריך לעבור מרחק שהוא כפולה של ‪ .(..1,500 ,700 ,300) 100‬בכל פעם שהשבלול עובר‬
‫את קו ההתחלה‪ ,‬מצלצל פעמון‪ .‬כמה פעמים מצלצל הפעמון? במליאה דנים בדרכים לבצע‬
‫חילוק "חכם"‪.‬‬
‫בוחרים אחת מהפעילויות ד' ו‪ -‬ה'‪ ,‬ומשנים את המרחק ואת גודל הקפיצות או את היקף‬
‫המסלול ואת המרחק כדי להגיע לאפיון של מצבי חילוק‪.‬‬
‫פעילות ט‪ :‬הצעות לתחרות חידות‪:‬‬
‫הציעו דרכים שונות כיצד לכפול ב‪ ,5 -‬ב‪ ,25 -‬ב‪ ,125 -‬ב‪ ,20 -‬ב‪ 50 -‬וב‪ .16 -‬הביאו דוגמאות )בכל‬
‫מספר דנים בנפרד(‪.‬‬
‫מרים חילקה מספר ב‪ 4 -‬וקיבלה שארית ‪ .1‬הציעו כמה דוגמאות של מספרים אפשריים‪ .‬מה‬
‫מספר האפשרויות? מה יכולה להיות השארית כאשר מחלקים מספר טבעי ב‪ ?4 -‬יוסי חילק‬
‫מספר ב‪ 4 -‬וקיבל שארית ‪ .5‬האם הדבר אפשרי?‬
‫הקטינו פי שמונָה את המכפלה של המספרים ‪ 24‬ו‪ .32 -‬הציעו דרכים שונות למציאת התוצאה‪.‬‬
‫הקטינו פי תשעה את המכפלה של המספרים ‪ 63‬ו‪ .45 -‬הציעו דרכים שונות למציאת התוצאה‪.‬‬
‫השיעור בספר הלימוד‬
‫האם אנו מוכנים? – תשובות‪:‬‬
‫‪ .1‬א; ‪ .2‬ג; ‪ .3‬ד; ‪ .4‬ב; ‪ .5‬ד;‬
‫‪ .6‬ד;‬
‫‪54‬‬
‫‪ .7‬ג;‬
‫‪ .8‬ב;‬
‫‪ .9‬א;‬
‫‪ .10‬ג‪.‬‬
‫בדיקת ידע קודם בנושאים האלה‪ :‬חילוק בתחום לוח הכפל )שאלות ‪ ,(4-1‬משמעות החילוק‬
‫)שאלות ‪ ,(6-5‬חילוק ב‪) ,10 -‬שאלה ‪ ,(7‬כפולות של ‪ 10‬ושל ‪)100‬שאלות ‪ ,(9-8‬פירוק מספר‬
‫לגורמים )שאלה ‪(.10‬‬
‫לעלות על הגל‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמ' ‪:111‬חילוק בתחום לוח הכפל‬
‫בשיעור זה חוזרים על המהות של פעולת החילוק בתחום לוח הכפל )השארית היא ‪ 0‬או שונה‬
‫מ‪.(0-‬‬
‫חשוב לציין שמדובר בחילוק אוקלידי של מספרים טבעיים כי בהמשך יכירו התלמידים את‬
‫השבר כמנה במובן הכללי ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת יישום‪ .‬מומלץ לבצע את המשימה בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬חילוק בתחום לוח הכפל )השארית שונה מ‪ .(0-‬אפשר לבצע אותה בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬יש תלמידים שלא יבינו את המשמעות של "שארית ‪ "0‬בסעיף ג'‪ .‬אפשר‬
‫להסביר שהשארית היא מספר קטן מהמחלק‪ ,‬ובמקרה זה ‪ 0‬אינו שונה ממספרים אחרים‪.‬‬
‫אפשר לומר גם שבדרך כלל לא יודעים מראש מהי השארית‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :112‬אומדן בחילוק‬
‫מזכירים כיצד לבצע אומדן של תוצאת החילוק‪ ,‬כלומר באילו גבולות תימצא התוצאה‪.‬‬
‫תוחמים את התוצאה על‪-‬ידי מציאת שתי כפולות ידועות של המחלק‪ ,‬הקרובות למחולק )בדרך‬
‫כלל עשרות שלמות‪ ,‬שהן כפולות של המחלק(‪ .‬כאן המספרים התוחמים הם ‪ 420‬ו‪ .480 -‬פעולה‬
‫זו מובילה לסדר גודל בתוצאה‪ .‬התיחום מבוסס על תכונה אינטואיטיבית של החילוק‪ :‬במחולק‬
‫קבוע‪ ,‬ככל שהמחלק גדול יותר התוצאה גדולה יותר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬הערכת סדר גודל של התוצאה‪ .‬המחולק ‪ 3,240‬נמצא בין ‪ 750‬לבין ‪ ,7,500‬לכן‬
‫תוצאת החילוק היא מספר דו‪-‬ספרתי )בין ‪ 10‬ל‪.(100 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬אין צורך לחשב את התוצאה‪ ,‬אלא למצוא סדר גודל "גס" )מספר דו‪-‬ספרתי‪,‬‬
‫תלת‪-‬ספרתי‪.(...‬קובעים אומדן גס בעזרת כפולות של ‪ 10‬ומספר ספרות במחולק‪ :‬כופלים את‬
‫המחלק ב‪ ,10 -‬אחר‪-‬כך ב‪ 100 -‬וכן הלאה לפי הצורך‪ .‬כאשר המחולק "נופל" בין שתי הכפולות‬
‫של ‪ ,10‬נקבע האומדן הגס‪ .‬למשל אומדן גס של תוצאת החילוק‪573:3 :‬‬
‫‪ 3×100 = 300‬ו‪ 3×1,000 = 3,000 -‬לכן התוצאה נמצאת בין ‪ 100‬לבין ‪ 1,000‬כלומר התוצאה‬
‫תהיה תלת‪-‬ספרתי‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :7-6‬תיחום של תוצאת חילוק על‪-‬ידי שימוש בעובדות יסוד )לוח הכפל וכפל ב‪-‬‬
‫‪.(10‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬משימה הדומה למשימה ‪ 4‬אך הפעם מובאת שאלה מילולית‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :114‬חילוק דרך חיסור חוזר‬
‫יש לקבוע את סדר הגודל של התוצאה בשלבים‪ :‬תחילה בודקים מה יהיה מספר הספרות‬
‫שבמנה‪ ,‬ואחר‪-‬כך תוחמים את התוצאה בתיחום גס פחות‪ .‬כעת מוצגת אחת מדרכי החילוק‪:‬‬
‫חיסור חוזר‪ .‬ילדים קטנים משתמשים בשיטה זו כדי לחלק כמויות שווה בשווה‪ .‬מפלגים‬
‫בשלבים את המחולק כסכום של כפולות "עגולות" של המחלק‪ ,‬ובכל שלב מחלקים כל מחולק‬
‫במחלק התוצאה היא סכום פעולות אלה‪.‬‬
‫‪55‬‬
‫בדוגמה שבשיעור מחפשים תחילה מספר "עגול" שהוא כפולה של המחלק‪ ,‬קרוב למחולק וקטן‬
‫ממנוּ )המספר ‪ ( 400< 529 ) 400‬ומחלקים אותו ב‪ .(4 -‬לכן יש ‪ 100‬תפוזים בכל ארגז‪ .‬מחסרים‬
‫‪ 400‬מהמחולק‪ ,‬וחוזרים על התהליך עד שמתקבלת שארית קטנה מהמחלק‪) .‬בשיעור השארית‬
‫היא ‪(.1‬‬
‫משימות מס' ‪ :10 - 9‬שאלות מילוליות הדומות לשאלה שבשיעור‪ .‬מומלץ לדון בדרכי החישוב‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :115‬חיסור בעזרת פילוג המחולק‬
‫מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי א' ו‪ -‬ב' לפני השיעור‪.‬‬
‫בשיעור זה חוזרים על חילוק בעזרת פילוג המחולק‪ .‬כמו בכל חישוב מומלץ להשתמש באומדן‬
‫כדי להעריך את התוצאה‪ .‬הפעם הפילוג אינו בשלבים‪ ,‬אך מההתחלה‪ .‬חילוק בעזרת פילוג‬
‫המחולק נוח מאוד לחישוב "בראש"‪ .‬נדרשת כאן ראיית המחולק כמספר שאפשר לפלג בצורה‬
‫"נוחה" בהתאם למחולק‪ ,‬וכך מתפתחת הבנה מספרית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬משימת יישום‪ .‬מומלץ לבקש מהתלמידים לבצע את החישובים "בראש" לפני‬
‫הכתיבה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬יישום של השיעור בשאלה מילולית והכנה לחילוק ארוך‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬דונו עם התלמידים בדרך החישוב שלהם‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :116‬חילוק ארוך‬
‫בשיעור זה חוזרים על ביצוע חילוק ארוך‪ .‬כמו בשיעור הקודם רצוי תחילה לאמוד את התוצאה‬
‫ולהגדיר כמה ספרות במנה‪ ,‬כדי למנוע שגיאות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16-14‬משימות יישום )בחלקם שיעורי בית(‬
‫יחידת הלימוד ‪ -‬הקניה‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :118‬חילוק ב‪10 -‬‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ג' לפני השיעור‪.‬‬
‫בקטע שיעור זה מרחיבים את החילוק של כפולות של ‪ 10‬ב‪ ,10 -‬המוכר לתלמידים מהכיתות‬
‫הקודמות‪ ,‬למספרים גדולים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת יישום‪ .‬מומלץ לבצע את המשימה בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬במשימה זו מוודאים שהתלמידים הבינו את הכלל "להשמיט ‪ "0‬בצורה הנכונה‬
‫)זהו ‪ 0‬בספרת היחידות(‪ :‬במספר שבתרגיל יש שני אפסים במקומות שונים במספר‪ ,‬כלומר‬
‫הערך שלהם שונה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬יישום חילוק ב‪ 10 -‬במספרים גדולים ובמשוואות של חילוק‪ .‬במשימה‬
‫מעודדים את התלמידים להשתמש בכפל ובחילוק כפעולות הפוכות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬שאלה מילולית‪ .‬שימוש חוזר בחילוק ב‪.10-‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :119‬חילוק בעשרות שלמות‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ד' לפני השיעור‪.‬‬
‫בשיעור זה מוצגת עוד שיטת חישוב "בראש"‪ :‬חילוק בכפולות של ‪ .10‬בדוגמה שבשיעור‬
‫מחלקים ב‪ .30 -‬הערה‪ :‬אומרים "מחלקים במספר" ו"מחלקים לקבוצות"‪.‬‬
‫‪56‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬משימת יישום‪ .‬מומלץ לבצע את המשימה בעל פה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬משימת יישום בצורה של שאלה מילולית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬התלמידים יכולים להשתמש בהוספה חוזרת של ‪ ,30‬למלא את השורה‬
‫הראשונה‪ ,‬להעלות את הגורם השני ב‪ 1-‬ולמלא את השורה השנייה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ : 8‬שאלה מילולית‪ .‬יש לקרוא את השאלה "עד הסוף"‪) .‬התנאי מופיע בסוף‬
‫השאלה‪(.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬שאלה מילולית ברמה גבוה יותר‪ .‬השארית )‪ (10‬נובעת מכך ש‪ 27-‬אינו מספר‬
‫זוגי‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :120‬חילוק ב‪ 10-‬עם שארית‬
‫לפני השיעור מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ה'‪ .‬בקטע שיעור זה לומדים חילוק של מספרים‬
‫טבעיים ב‪ 10 -‬עם שארית )המחולק הוא מספר שיסתיים בכל ספרה פרט ל‪ .(0 -‬בעזרת פעילות‬
‫הגילוי אפשר להניח שהשארית שווה בדיוק לספרת היחידות‪ .‬כמו קודם לכן גם בשיעור זה‬
‫הלמידה נעשית על‪-‬ידי פתרון שאלה מילולית‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :11 - 10‬משימות יישום‪ .‬מומלץ לבקש מהתלמידים לבצע את החישובים‬
‫"בראש" לפני הכתיבה‪ .‬אפשר לבצע את המשימות גם בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬משוואות חילוק‪ .‬המשימה יכולה להיות קשה לתלמידים בכיתה‪ ,‬מפני‬
‫שהשאלה היא הפוכה‪ :‬יש לחשב את המחולק‪ ,‬אם ידועים המחלק‪ ,‬התוצאה והשארית‪.‬‬
‫התלמידים צריכים להשתמש בתוצאות של השורה הראשונה ולהוסיף את השארית‪.‬‬
‫דוגמה ‪ ,420 : 10 = 42 :‬לכן )שארית ‪426 : 10 = 42 ( 6‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬הכללה של המשימה הקודמת‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :121‬חילוק בעשרות שלמות עם שארית‬
‫לפני השיעור מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ז'‪.‬‬
‫בשיעור זה מוצג פתרון לחילוק של מספר שלם בכפולות של ‪ 10‬באמצעות תיחום בין כפולות של‬
‫המחלק‪ .‬בשיטה זו נדרשת שליטה בכמה עובדות יסוד של כפל במספרים גדולים )הטמעה ה'(‪,‬‬
‫ונדרשת מיומנות הכפלה בכפולות של ‪ .10‬בדוגמה שבשיעור מחלקים ‪ 535‬ב‪.20 -‬‬
‫עובדות היסוד הנדרשות הן ‪.25×20=500 ; 30×20=600‬‬
‫ספרת היחידות של ‪ 535‬שונה מ‪ ,0 -‬לכן המספר אינו מתחלק ב‪ 20-‬בלי שארית‪ .‬חשוב להדגיש‬
‫שוב את החשיבות של האומדן‪ ,‬שאפשר לדעת בעזרתו את מספר הספרות במנה‪ ,‬וכך פתרון‬
‫הבעיה קל יותר‪.‬‬
‫לפי רמת הכיתה אפשר להציע שיטה "מתוחכמת" יותר )שאינה מוצגת בשיעור(‪ ,‬המבוססת על‬
‫מיומנות חילוק בעשרות שלמות‪:‬‬
‫א( כותבים ‪ 0‬במקום ספרת היחידות במחולק;‬
‫ב( בודקים אם מספר זה מתחלק במחלק‪ .‬אם כן‪ ,‬מבצעים את החילוק‪ ,‬אם לא‪ ,‬מחפשים את‬
‫הכפולה של המחלק הקרובה ביותר למחולק וקטנה ממנוּ‪ ,‬מבצעים את החילוק ומחשבים‬
‫את השארית‪ .‬דוגמה ? = ‪ .529:30‬המספר ‪ 520‬אינו כפולה של ‪ ,30‬כי הוא אינו מתחלק ב‪;3 -‬‬
‫‪ 510‬מתחלק ב‪ ,(510 :30=17) 30 -‬והתשובה היא ‪ 17‬ושארית ‪.26‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬חוזרים על השיטה שבשיעור‪ ,‬אך מאחר שכותבים סדרת כפולה של ‪ ,20‬אין‬
‫צורך להיזכר בעובדות יסוד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬משימת יישום‪ .‬הפעם יש צורך בידיעת עובדות יסוד‪.‬‬
‫‪57‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬משימת יישום‪ .‬לפני החילוק מומלץ לשאול‪" :‬מה יכולה להיות השארית?"‬
‫משימה מס' ‪ :17‬בניית סדרה של כפולות המחלק בסדר גודל המחולק‪ ,‬תיחום המחולק בין שני‬
‫איברי הסדרה ומציאת המנה השלמה והשארית‪ .‬בשונה ממשימה ‪ ,14‬מבקשים להשלים את‬
‫השוויונות המתאימים לחילוק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬הפעלת השיטה של המשימה הקודמת על ציר המספרים‪ .‬התלמידים מפרטים‬
‫את דרכי החישוב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬אפשר לבצע את המשימות גם בעל‪-‬פה בעזרת ציר המספרים שבמשימה ‪.18‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬בכל התרגילים השארית היא ספרת היחידות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬משוואות חילוק‪ .‬המשימה דומה למשימה ‪.12‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :123‬איך מחלקים ב‪?50-‬‬
‫לפני השיעור מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ח'‪ .‬בשיעור זה מוצגת אחת הדרכים לחלק ב‪50 -‬‬
‫ללא שארית‪ :‬מחלקים ב‪ 100 -‬וכופלים ב‪ .2 -‬הדרך הזו טובה אם המחולק הוא כפולה של ‪.100‬‬
‫אם המחולק אינו מסתיים בשני אפסים‪ ,‬לא מוכרחים לשמור על הסדר‪ :‬אפשר לכפול ב‪2 -‬‬
‫ואחר‪-‬כך לחלק ב‪ .100 -‬לדוגמה‪.250 : 50 = 250 × 2 : 100 ,‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬חזרה על חילוק ב‪ ,10 -‬ב‪ 100 -‬ו‪-‬ב‪.1,000 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬במשימה מודגש הקשר בין חילוק לבין כפל כפעולות הפוכות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬מומלץ לדון בדרכי הפתרונות‪ .‬בפתרון המשוואות מפעילים "חשיבה הפוכה"‪.‬‬
‫א‪ .‬מחשבים את המכפלה ‪) 30×20=600‬כפל וחילוק הם פעולות הפוכות‪ ,‬לכן ‪.(600:20=30‬‬
‫נדרשת תוצאה )מנה( גדולה מ‪ ,30 -‬לכן צריך לבחור מספר הגדול מהמחולק ‪.600‬‬
‫ב‪ .‬כל מספר קטן מ‪ 600-‬הוא פתרון נכון‪.‬‬
‫ג‪ .‬איזה מספר כפול ‪ 100‬שווה ‪ ?2,400‬תשובה‪ .(2,400:24=100) 24 :‬נדרשת תוצאה )מנה(‬
‫קטנה מ‪ ,100 -‬צריך להגדיל את המחלק ‪ .24‬כל מספר גדול מ‪ 24-‬הוא פתרון נכון‪.‬‬
‫ד‪ .3,000:300=10 .‬נדרשת תוצאה )מנה( קטנה מ‪ ,10 -‬צריך להקטין את המחלק ‪.300‬‬
‫כל מספר קטן מ‪ 300 -‬הוא פתרון נכון‪.‬‬
‫ה‪ .‬כל מספר קטן מ‪ 42,530 -‬הוא פתרון נכון‪.‬‬
‫ו‪ .‬כל מספר גדול מ‪ 680 -‬הוא פתרון נכון‪.‬‬
‫ז‪ .‬כל מספר גדול מ‪ 2,000 -‬הוא פתרון נכון‪.‬‬
‫ח‪.1,800 .‬‬
‫ט‪ .‬כל מספר גדול מ‪ 120 -‬הוא פתרון נכון‪.‬‬
‫י‪ .‬כל מספר קטן מ‪ 1,159 -‬הוא פתרון נכון‪.‬‬
‫יא‪ .‬כל מספר קטן מ‪ 700 -‬הוא פתרון נכון‪.‬‬
‫יב‪ .‬כל מספר קטן מ‪ 2,300 -‬הוא פתרון נכון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬יישום השיטה של החילוק ב‪ 50-‬לחילוק ב‪. 25 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬יישום השיטה שבמשימה הקודמת‪.‬‬
‫‪58‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬משימת יישום‪ ,‬מוצגת דרך לבדיקת התוצאה על‪-‬ידי תכונות החילוק‪ :‬קשר‬
‫בין מנות של מספרים שונים כאשר המחלק קבוע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬משימת יישום‪ .‬מומלץ לבצע את המשימה בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :125‬חילוק במספר דו‪-‬ספרתי‬
‫בקטע שיעור זה לומדים לבצע חילוק ארוך במספר דו‪-‬ספרתי‪ .‬חשוב להסביר לתלמידים שלפני‬
‫ביצוע חילוק ארוך יש להגדיר על‪-‬ידי אומדן כמה ספרות יהיו במנה‪ ,‬מפני שזה מונע שגיאות‬
‫רבות‪ .‬יש לציין שברוב המקרים שימוש במחשבון אינו עוזר בחילוק אוקלידי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬משימת יישום‪.‬‬
‫ב‬
‫א‬
‫‪343‬‬
‫‪257‬‬
‫המנה‬
‫ד‬
‫‪253‬‬
‫ג‬
‫‪167‬‬
‫ה‬
‫‪156‬‬
‫ו‬
‫‪131‬‬
‫ז‬
‫‪121‬‬
‫משימות מס' ‪ :31‬משימת יישום על‪-‬ידי שאלה מילולית‪ 112).‬ספרים בכל ספרייה(‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :126‬חילוק ארוך במספר דו‪-‬ספרתי‬
‫בשיעור זה מחלקים מספר במספר דו‪-‬ספרתי‪ ,‬ויש שארית‪ ,‬ואחת הספרות בתוצאה היא ‪.0‬‬
‫השאלה המילולית היא דוגמה לצורך בחילוק מספר במספר דו‪-‬ספרתי עם שארית‪ .‬את החילוק‬
‫מבצעים באותה דרך של חילוק ארוך‪ .‬חשוב לוודא שהתלמידים מבינים את החשיבות של ה‪0 -‬‬
‫בתוצאה‪ .‬האומדן עוזר מאוד שלא "לפספס" את ה‪ .0 -‬התלמידים צריכים גם לדעת "לקרוא"‬
‫את התוצאה של חילוק ארוך‪ :‬איפה כתובה התוצאה ואיפה כתובה השארית‪ .‬חשוב גם להדריך‬
‫את התלמידים לבדוק את הפתרון על‪-‬ידי כתיבת השוויון‪ :‬שארית ‪ +‬מחלק × תוצאה =‬
‫מחולק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬משימת יישום בצורת שאלה מילולית‪.‬‬
‫א( דורון ימלא ‪ 204‬קופסאות ביצים‪.‬‬
‫ב( נותרות שתי ביצים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪:33‬‬
‫המנה השלמה‬
‫השארית‬
‫א‬
‫‪209‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‬
‫‪305‬‬
‫‪4‬‬
‫ג‬
‫‪102‬‬
‫‪15‬‬
‫ד‬
‫‪107‬‬
‫‪35‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :127‬חילוק ארוך‪ :‬סיכום‬
‫שיעור זה הוא סיכום הנושא חילוק ארוך‪ .‬חוזרים על חשיבות האומדן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬כאמור‪ ,‬חשוב מאוד שהתלמידים ידעו "לשבץ" את התוצאה ‪ -‬את המחלק‪,‬‬
‫את המחולק ואת השארית ‪ -‬במקומות הנכונים של השוויון‪ .‬במשימה זו מוודאים שהתלמידים‬
‫מבינים זאת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬במשימה זו אפשר לראות שלעתים אותו תרגיל בדיקה מתאים לשני תרגילי‬
‫חילוק‪ .‬הדבר נכון כאשר השארית קטנה משתי התוצאות האפשריות‪.‬‬
‫בתרגיל הנתון ‪ 22‬קטן מ‪ 27 -‬וקטן מ‪.39 -‬‬
‫דוגמה של חילוק כשהדבר אינו מתקיים‪:‬‬
‫)שארית ‪ .265:35=7 (20‬הבדיקה המתאימה היא ‪ . 265 = 35 × 7 + 20‬תרגיל זה אינו מתאים‬
‫לחילוק ‪ ,265:7‬כי השארית ‪ 20‬גדולה מ‪.7 -‬‬
‫‪59‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪ :128‬סיכום הנלמד בפרק‪:‬‬
‫אומדן תוצאת חילוק‪ ,‬דרכי חילוק בחזקות של ‪ ,10‬בכפולות של ‪ ,10‬ב‪ ,25-‬דרכי חילוק‬
‫ואלגוריתם החילוק הארוך‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬מחיר כרית הוא ‪ ,₪ 134‬מחיר שמיכת נוצות הוא ‪ ₪ 510‬ומחיר מערכת‬
‫מצעים הוא ‪.₪ 150‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמודים ‪132 - 129‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משקל הרסק בכל צנצנת הוא ‪ 200‬גרם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ 43 :2‬אנשים הוזמנו למסיבה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימת תרגול של חילוק )לוח הכפל(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימת תרגול של חילוק עם שארית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬מחירה של כל סלסילה במכולת הוא ‪ .₪ 14‬מחירה של כל סלסילה בחנות הוא‬
‫‪ .₪ 15‬במכולת מוכרים את הסלסילות הזולות ביותר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬התלמידים יכולים לפלג את המספרים באופנים שונים‪.‬‬
‫דוגמה ‪ 342 : 3 = 330 : 3 + 12:3 = 110 + 4 =114‬או‬
‫‪342 : 3 = 300 : 3 + 30 : 3 + 12 :3 = 100+10+4‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬להלן הטבלה המלאה‪:‬‬
‫שארית‬
‫בדיקת‬
‫תרגיל‬
‫השארית‬
‫‪1‬‬
‫‪1<9‬‬
‫)‪82:9 = 9(1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1<5‬‬
‫)‪156:5 = 31(1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0<10‬‬
‫‪1080:10 = 108‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3<10‬‬
‫)‪903:10 = 90(3‬‬
‫מנה שלמה‬
‫מחלק‬
‫מחולק‬
‫‪9‬‬
‫‪31‬‬
‫‪108‬‬
‫‪90‬‬
‫‪9‬‬
‫‪5‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪82‬‬
‫‪156‬‬
‫‪1080‬‬
‫‪903‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬תרגילי החילוק המתאימים לתרגיל הנתון הם‪:‬‬
‫תרגיל ‪) :1‬שארית ‪600:85 = 7 (5‬‬
‫תרגיל ‪) :2‬שארית ‪600:7 = 85 (5‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬המספר שלי הוא ‪) .31‬שארית ‪31:7 = 4 (3‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬מיקום הכפולות של ‪ 7‬על ציר המספרים יכול לסייע במציאת המנה של תרגילי‬
‫החילוק שבהמשך‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬משימת תרגול של חילוק ארוך‪.‬‬
‫ב‬
‫א‬
‫‪90‬‬
‫המנה השלמה ‪186‬‬
‫ג‬
‫‪99‬‬
‫ד‬
‫‪195‬‬
‫ה‬
‫‪1637‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬משימת תרגול של חילוק ב‪ .10 -‬השארית היא ספרת היחידות של המחולק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬התלמידים יכולים להשתמש בתכונת החילוק ב‪ :10-‬השארית היא ספרת‬
‫היחידות‪.‬‬
‫‪60‬‬
‫משימות ‪ 16-14‬מהוות דוגמה לתהליך הקניית הבנה מתמטית‪:‬‬
‫א( גילוי תכונה על‪-‬ידי סיפור או דוגמה; ב( הפעלת התכונה "בכיוון ההפוך"; ג( ניסוח כלל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬משימת יישום של חילוק ב‪ 10 -‬בצורת שאלה מילולית‪.‬‬
‫יאיר מילא ‪ 17‬שקיות מלאות ושקית נוספת שיש בה שתי סוכריות‪ .‬צריך לדבר עם התלמידים‬
‫על השארית‪ .‬מה עושים איתה?‬
‫משימה מס' ‪ :15‬המספר הוא ‪ .1,233‬אפשר לבקש מהתלמידים לנסח שאלות דומות משלהם‬
‫ולבדוק זה את זה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬דוגמה למספר‪ .234 :‬המנה השלמה המתקבלת מחלוקת המספר ב‪ 10 -‬היא‬
‫‪ .23‬השארית היא ‪ .4‬התרגיל המתאים לתבנית הוא‪234 = 23 × 10 + 4 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬כשמחלקים כפולה של ‪ 10‬ב‪ ,20 -‬אפשר לחלק את המחלק ב‪ 10 -‬ואת התוצאה‬
‫ב ‪.2 -‬‬
‫דוגמה‪500 : 20 = ( 500 : 10 ) : 2 = 50 : 2 = 25 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬משימת תרגול של השלמת ביטויים לפי הדוגמה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬פיתוח הבנה מספרית‪ .‬קיימים ‪ 15‬מספרים שכאשר מחלקים אותם ב‪15 -‬‬
‫מקבלים אותה מנה שלמה ושארית שונה‪ .‬דוגמה‪ :‬מנה שלמה של חילוק כל המספרים מ‪ 15-‬עד‬
‫‪ 29‬היא ‪ ,1‬והשארית היא מ‪ 0 -‬עד ‪ ) .14‬שארית ‪ 15 :15 = 1( 0‬עד ‪ ) 14‬שארית ‪.29 :15 = 1( 14‬‬
‫ב( =‪15×8 + 14‬‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫‪13‬‬
‫‪14‬‬
‫‪15‬‬
‫‪16‬‬
‫‪17‬‬
‫‪18‬‬
‫‪19‬‬
‫‪20‬‬
‫×‬
‫‪15‬‬
‫‪150‬‬
‫‪165‬‬
‫‪180‬‬
‫‪195‬‬
‫‪210‬‬
‫‪225‬‬
‫‪240‬‬
‫‪255‬‬
‫‪270‬‬
‫‪285‬‬
‫‪300‬‬
‫דוגמאות לשימוש בטבלה‬
‫‪232 = 15×15 + 7‬‬
‫‪170 = 15×11 + 5‬‬
‫‪214 = 15×14 + 4‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬א( להלן הטבלה המלאה‪:‬‬
‫‪20‬‬
‫‪300‬‬
‫‪19‬‬
‫‪285‬‬
‫‪18‬‬
‫‪270‬‬
‫‪17‬‬
‫‪255‬‬
‫‪16‬‬
‫‪240‬‬
‫‪15‬‬
‫‪225‬‬
‫‪14‬‬
‫‪210‬‬
‫‪13‬‬
‫‪195‬‬
‫‪12‬‬
‫‪180‬‬
‫‪11‬‬
‫‪165‬‬
‫‪10‬‬
‫‪150‬‬
‫ב( בסעיף זה ניתן להיעזר בטבלה שהושלמה בסעיף א'‪.‬‬
‫דוגמאות‪) 214 = 15 × 14 + 4 :‬שארית ‪.214:15 = 14 (4‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬שאלה מילולית‪ .‬להלן התרגיל המתאים לפתרון‪52 × 10 + 5 = 525 :‬‬
‫שאלות מילוליות‪ ,‬עמוד ‪133‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬יובל יצרה ‪ 9‬שרשרות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬הראל קרא בכם יום ‪ 48‬עמודים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬המחיר של כל דף הוא ‪ 9‬אגורות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬המספר שבחרתי הוא ‪.104‬‬
‫‪61‬‬
‫×‬
‫‪15‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬בכל חודש נולדים בישראל בין ‪ 11,000‬ילדים ל‪ 12,000 -‬ילדים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬להדס יש ‪3 × 15 + 10 = 45 + 10 = 55 .₪ 55‬‬
‫היסטוריה‪ ,‬עמוד ‪134‬‬
‫שיטת החילוק במצרים העתיקה‪ .‬כמו הכפל המצרי‪ ,‬גם בחילוק מתבססים על שימוש במכפלה‬
‫של המחלק בחזקות של ‪.2‬‬
‫דוגמה נוספת לחילוק בשיטת מצרים העתיקה‪1,235 : 34 = ? :‬‬
‫כופלים את המחלק בחזקות של ‪ 2‬עד שמגיעים למספר גדול מהמחולק‪.‬‬
‫מכפלה‬
‫‪< 1235‬‬
‫‪34‬‬
‫‪68‬‬
‫‪136‬‬
‫‪272‬‬
‫‪544‬‬
‫‪1,088‬‬
‫‪2,176‬‬
‫המחלק‬
‫‪34‬‬
‫‪34‬‬
‫‪34‬‬
‫‪34‬‬
‫‪34‬‬
‫‪34‬‬
‫‪34‬‬
‫×‬
‫×‬
‫×‬
‫×‬
‫×‬
‫×‬
‫×‬
‫כופלים את‬
‫המחלק ב‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫‪16‬‬
‫‪32‬‬
‫‪64‬‬
‫התוצאה גדולה מ‪ 32-‬וקטנה מ‪.64 -‬‬
‫‪ 147 .1,235-1,088 = 147‬גדול מ‪ .34 -‬בעזרת הטבלה רואים ש‪ , 147 = 4 × 34 + 11 -‬לכן‬
‫התוצאה היא )שארית ‪ 1,235 : 34 = 36 (11‬כי ‪.36= 32+4‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪135‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬יישום של משימה ‪ 19‬שב"ממשיכים בתרגול" למספרים גדולים יותר‪.‬‬
‫א( אפשר להגדיל את המספר מ‪ 1-‬עד ‪.(130 - 70) .60‬‬
‫ב( לדוגמה‪.24:5 , 18:5 ,‬‬
‫ג( ‪48 , 40 , 32 ,24 , 16 ,8‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬הכנה למשימה הבאה‪ .‬המזון יספיק ל‪ 15 -‬ימים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬שימוש חוזר בדרכי חילוק‪ .‬הכמות היומית ל‪ 5-‬פילים היא ‪ 1,500‬ק"ג‪.‬‬
‫)שארית ‪45,300 : 1500 = 30 (300‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬היבט נוסף של החילוק‪ .‬התשובה היא מספר שלם ללא שארית )כל התלמידים‬
‫נוסעים(‪ .‬התשובה‪ 21 :‬אוטובוסים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ 125 :5‬טונות‪.‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪136‬‬
‫התלמידים חוזרים על פעולת הכפל‪ ,‬על העתקות איזומטריות )העתקות שוות‪-‬אורך( ‪ -‬שיקוף‪,‬‬
‫סיבוב והזזה ‪ -‬ועל צורות סימטריות‪.‬‬
‫‪62‬‬
‫עמ' ‪183 - 137‬‬
‫ה‪ .‬משמעויות השבר‬
‫רקע‬
‫בחלק של "לעלות על הגל" מובא סיכום של מה שלמדו התלמידים בכיתות הקודמות בנושא‬
‫שברים‪ .‬התלמידים הכירו בעבר משמעויות שונות וייצוגים שונים של השבר וביצעו פעולות‬
‫שונות בשברים‪ ,‬כגון השלם כשבר‪ ,‬חיבור וחיסור של שברים בעלי אותו מכנה‪ ,‬כפל של שבר‬
‫בשלם ועוד‪.‬‬
‫הם למדו גם על משמעות השברים הגדולים מ‪ ,1 -‬הכתובים בצורת שבר או בצורת מספר‬
‫מעורב‪.‬‬
‫החזרה ארוכה במיוחד כדי לבסס את הנלמד‪ .‬לכן אם התלמידים שולטים בחומר‪ ,‬אפשר לעבור‬
‫ישירות לחלק "הקניה"‪.‬‬
‫ב"הקניה" נלמד הנושא השבר כמנה‪ ,‬שהוא הקשר בין פעולת החילוק לבין השבר כתוצאה של‬
‫פעולת חילוק‪ .‬דרך המושג חלק של כמות‪ ,‬שהוא למעשה ביטוי של כפל‪ ,‬יובן גם הקשר בין‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫שברים לבין פעולת הכפל‪ .‬דוגמה‪ :‬של ‪ 15‬הם ‪ × 15‬או × ‪. 15‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫בהצגת ה"שרשרת" ‪ = × 15 = 15 × -‬של ‪ – 15‬ידעו התלמידים לחשב את התוצאה של‬
‫‪3 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫התרגיל ‪ , × 15‬שהם אינם ַמכירים עדיין‪ .‬יש לציין שחוק החילוף חל בכפל שברים על‪-‬פי‬
‫‪3‬‬
‫הסכם‪.‬‬
‫נוסף על‪-‬כך‪ ,‬מובאות בפרק שאלות מילוליות פשוטות בנושא זה‪ ,‬הכוללות את כל סוגי‬
‫השברים‪ :‬שברים "אמתיים" )בין ‪ 0‬ל‪ ,(1 -‬שברים גדולים מ‪ 1 -‬ומספרים מעורבים‪ .‬בפתרון‬
‫שאלות מילוליות מודגשת חשיבות הקשר בין הבעיה לבין התשובה‪.‬‬
‫לאורך כל הפרק התלמידים עוסקים בשלושה היבטים הקשורים זה לזה‪ :‬ייצוג של שבר‪ ,‬תרגיל‬
‫מספרי והסבר מילולי לביצוע פעולה‪.‬‬
‫לפי תכנית הלימודים‪ ,‬מומלץ להקדיש לנושא שברים כ‪ 6 -‬שעות לימוד‪.‬‬
‫מושגים‬
‫שבר‪ ,‬שבר גדול מ‪ ,1-‬מספר מעורב‪ ,‬מנה‪ ,‬שארית‪ ,‬השבר כמנה‪ ,‬שברים על ציר המספרים‪ ,‬חלק‬
‫של שלם‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬לכתוב תוצאה של פעולת חילוק בצורת שבר;‬
‫ב‪ .‬לכתוב שבר כפעולת חילוק;‬
‫ג‪ .‬לפתור שאלות מילוליות פשוטות הקשורות לחילוק של מספר טבעי במספר טבעי אחר;‬
‫ד‪ .‬לשער אם צורת התשובה )שבר או מנה עם שארית( שהתקבלה מתאימה לבעיה;‬
‫ה‪ .‬להפוך שבר גדול מ‪ 1 -‬למספר מעורב ולהפך;‬
‫ו‪ .‬לכתוב מספר טבעי בצורת שבר בעל מכנה נדרש;‬
‫ז‪ .‬לסדר שברים על ישר המספרים‪.‬‬
‫‪63‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫רצועות מלבניות‪ ,‬עיגולים מחולקים לחלקים שווים‪ ,‬קלפים‪.‬‬
‫אביזרי "חשבון ‪ :"10‬עיגולים נשלפים של שברים‪ ,‬שברים במלבנים )שקף צבעוני(‪ ,‬תצרפים‬
‫)פאזלים(‪ ,‬מד‪-‬מטר שברים‪ ,‬שקף משבצות‪ ,‬רצועות‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על השלמת שבר לשלם‪.‬‬
‫‪1 4 6 2 2 1‬‬
‫רושמים על הלוח שברים‪ , , , , , :‬וכדומה‪ .‬מבקשים מהתלמידים למצוא את זוגות‬
‫‪3 6 7 3 6 7‬‬
‫השברים המשלימים זה את זה ל‪.1 -‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על מצולעים‪.‬‬
‫התלמידים מקבלים דפים שמצוירים עליהם מצולעים שונים‪ .‬על התלמידים למצוא‬
‫‪ .1‬מצולעים שונים )לא חופפים( שיש להם צלעות שוות;‬
‫‪ .2‬מצולעים שצלעותיהם שוות וזוויותיהם שוות‪.‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילויות לחלק "לעלות על הגל"‬
‫פעילות א‪ :‬שבר יסודי‬
‫כל תלמיד שולף באקראי אחד מהעיגולים הנשלפים וכותב על הלוח המחיק את השבר היסודי‬
‫המתאים‪ .‬חברי הקבוצה בודקים זה את שבריו של זה‪.‬‬
‫פעילות ב‪ :‬התלמידים מציירים על שקף המשבצות צורה בעלת שטח של ‪ 24‬משבצות‪) .‬אפשר‬
‫לבקש מכולם לצייר מלבן‪ (.‬על כל אחד מחברי הקבוצה לצבוע בצורה שצייר שבר יסודי אחד‪,‬‬
‫כך שכל השברים היסודיים יהיו שונים‪.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬חיבור שברים בעלי אותו מכנה‪.‬‬
‫כל תלמיד שולף באקראי אחד מהעיגולים הנשלפים ומסמן או צובע בשני צבעים מספר חלקים‪.‬‬
‫הוא כותב על הלוח המחיק תרגיל המתאים לסימון או צביעה שלו‪ .‬חברי הקבוצה בודקים זה‬
‫את תרגיליו של זה‪.‬‬
‫פעילות ד‪ :‬שבר כחלק של כמות‪.‬‬
‫בא"ב העברי ‪ 27‬אותיות‪ ,‬כולל האותיות הסופיות‪ .‬כל תלמיד כותב איזה חלק מהא"ב העברי‬
‫מהווה השם שלו‪ .‬חברי הקבוצה בודקים זה את תשובתו של זה‪.‬‬
‫‪64‬‬
‫פעילות ה‪ :‬הפיכת מספר טבעי לשלם‬
‫המורה כותבת על הלוח מספר שלם הקטן מ‪ .10 -‬התלמידים כותבים על הלוח המחיק שבר‬
‫השווה לשלם‪ .‬דנים בתשובות השונות‪.‬‬
‫פעילות ו‪ :‬כפל שלם בשבר‬
‫‪12‬‬
‫המורה כותבת על הלוח את השבר‬
‫‪7‬‬
‫שאחד מהגורמים הוא מספר שלם‪ .‬דנים בתשובות השונות‪.‬‬
‫‪ .‬התלמידים כותבים על הלוח המחיק תרגיל כפל‪ ,‬כך‬
‫פעילויות ליחידת הלימוד ‪ -‬הקניה‬
‫פעילות א‪ :‬מתחלקים לקבוצות‪ ,‬בכל קבוצה ‪ 5 ,4 ,3 ,2‬או ‪ 6‬תלמידים‪ .‬המורה מחלקת לכל‬
‫קבוצה שתי רצועות באורך זהה )כ‪ 12 -‬ס"מ(‪ ,‬המייצגות חפיסות שוקולד‪ .‬המשימה‪ :‬לחלק את‬
‫"חפיסות השוקולד" לחלקים שווים לכל ילדי הקבוצה‪ .‬חברי כל קבוצה מציירים על הרצועות‬
‫בצבעים שונים את החלק שקיבל כל ילד )בקבוצה של שני ילדים כל אחד יקבל חפיסה אחת‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫בקבוצה של שלושה ילדים כל אחד יקבל של חפיסה וכן הלאה(‪ .‬דנים בדרכי החלוקה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫פעילות ב‪ :‬נציג מכל קבוצה מציג לכיתה את החפיסות מפעילות א'‪ ,‬התלמידים מציעים דרכים‬
‫לכתוב את החלוקות בצורה מתמטית‪ ,‬וכותבים את הצעותיהם על הלוח‪.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬חוזרים על פעילויות א' ו‪ -‬ב'‪ ,‬אך הפעם מחלקים שלוש רצועות לכל קבוצה‪.‬‬
‫פעילות ד‪ :‬חוזרים על פעילויות א ו‪ -‬ב‪ .‬הפעם מחלקים תשע רצועות לכל קבוצה‪.‬‬
‫פעילות ה‪ :‬זוג תלמידים בוחר שבר )לא שלם( הנמצא בין ‪ 0‬לבין ‪ .50‬על תלמידי הכיתה לומר‬
‫מהם המספרים הטבעיים העוקבים שהשבר נמצא ביניהם‪ .‬השיטה‪ :‬שואלים שאלות שמותר‬
‫לענות עליהן "כן" או "לא"‪ .‬אפשר להיעזר בציר המספרים‪ .‬בשלב זה אין הגבלה במספר‬
‫השאלות‪.‬‬
‫פעילות ו‪ :‬כמו בפעילות ה'‪ ,‬אבל הפעם מספר השאלות מוגבל לעשר‪.‬‬
‫פעילות ז‪ :‬כמו פעילות ה'‪ ,‬אך הפעם השבר נמצא בין ‪ 0‬ל‪.100 -‬‬
‫פעילות ח‪ :‬המורה מחלקת לכל קבוצה חבילת כרטיסים הממוספרים מ‪ 0 -‬עד ‪ ,9‬ומחלקת‬
‫כרטיס של מילה שונה לכל קבוצה‪ :‬אוטובוסים‪ ,‬פיצות‪ ,‬קמח‪ ,‬מים‪ ,‬בד‪ ,‬חפיסות שוקולד‪,‬‬
‫כלבים‪ ,‬עוגות‪ ,‬תפוזים‪ .‬בכל קבוצה מגרילים ספרות‪ ,‬מרכיבים מהן מספר דו‪-‬ספרתי ומספר‬
‫חד‪-‬ספרתי ורושמים אותם על דף‪ .‬חברי הקבוצה יכתבו שתי בעיות חילוק בעזרת הנתונים‬
‫)המספרים והמילה שקיבלו( וירשמו את שם הקבוצה על הדף‪.‬‬
‫פעילות ט‪ :‬כל קבוצה מקבלת עשרים חפצים זהים מסוג אחד )מקלות‪ ,‬ריבועי מנייה וכדומה(‪,‬‬
‫שנים עשר חפצים זהים מסוג אחר )עיגולים‪ ,‬קלפים וכדומה( ושתי קוביות משחק‪ .‬זורקים את‬
‫הקוביות ומגדירים בעזרתן שבר קטן מאחת או שווה לאחת‪ .‬על הקבוצה לייצג את השבר‬
‫בעזרת קבוצת החפצים המתאימה‪ .‬רושמים על דף תוצאות של חמש זריקות של הקוביות‪.‬‬
‫רושמים על הלוח את התרגילים‪.‬‬
‫‪65‬‬
‫פעילות י‪ :‬כל קבוצה מקבלת עשר רצועות זהות מנייר ‪ -‬כל רצועה מורכבת משלושה חלקים‬
‫שווים ‪ -‬וכן דף שמצוירות בו עשר רצועות מחוברות‪ ,‬כמו בציור להלן‪ .‬כל רצועה מייצגת יחידה‬
‫‪2‬‬
‫או חפיסת שוקולד‪ .‬על חברי הקבוצה לחשב בשתי דרכים שונות מ‪.10 -‬‬
‫‪3‬‬
‫כל רצועה מייצגת יחידה‬
‫פעילות יא‪ :‬כל קבוצה מקבלת עשר רצועות זהות מנייר ‪ -‬כל רצועה מורכבת מארבעה חלקים‬
‫שווים ‪ -‬וכן דף שמצוירות עליו עשר רצועות מחוברות‪ .‬כל רצועה מייצגת יחידה או חפיסת‬
‫‪3‬‬
‫שוקולד‪ .‬על חברי הקבוצה לחשב בשתי דרכים שונות מ‪ .10 -‬בדיון מסכם מדגישים שהביטוי‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫"שבר כחלק מכמות" ) של ‪ (5‬שקול לביטוי "הכפלת הכמות בשבר" )‪.( × 5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫השיעור בספר הלימוד‬
‫האם אנו מוכנים? – תשובות‪:‬‬
‫‪ .4‬ד;‬
‫‪ .3‬ב;‬
‫‪ .1‬ג; ‪ .2‬ד;‬
‫‪ .5‬א;‬
‫‪ .6‬ד;‬
‫‪ .7‬א;‬
‫‪ .8‬ג;‬
‫‪ . 9‬ד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬השלם הוא האליפסה‪ .‬הצורה הזו עלולה ליצור קושי אצל התלמידים‪ .‬החלקים‬
‫אינם שווים בגודלם‪ ,‬ולכן אי‪-‬אפשר לדעת מהו השבר המתאים לחלק הצבוע‪.‬‬
‫לעלות על הגל‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמ' ‪ :138‬השבר‬
‫חזרה על ייצוג השבר ‪ -‬כתיבתו וקריאתו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימה הפוכה‪ .‬התלמידים נדרשים לייצג שבר נתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימה מחיי היום יום‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :5-4‬הדגשת המקור של השם מונה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬שאלה פתוחה‪ .‬דונו עם התלמידים בפתרונותיהם‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמ' ‪ :140‬השבר היסודי‬
‫חשוב להראות לתלמידים שלכל שלם מתאימים אין‪-‬סוף שברים יסודיים‪.‬‬
‫כתיבת השבר כסכום של שברים יסודיים היא הכנה לכפל שלם בשבר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬משימת יישום‪ .‬אפשר לחלק אותה רצועה לחלקים שונים באין‪-‬סוף אופנים‪.‬‬
‫‪66‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬על התלמידים למתוח קו מהשבר לאיור המייצג אותו‪ .‬מטרת המשימה היא‬
‫‪1‬‬
‫להבחין בין ייצוג מתאים לבין ייצוג לא‪-‬מתאים לשבר‪ .‬דוגמה‪ :‬המשולש מתאים לשבר ‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫ואילו העיגול שצבוע בו חלק קטן מחצי אינו מתאים לשבר ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬שאלה פתוחה הכוללת ייצוג גרפי‪ .‬דונו עם התלמידים בפתרונותיהם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬משימה זו מכילה מס' שלבים שיסייעו לתלמידים להבין את משמעות השבר‪,‬‬
‫את אופן ייצוגו ואת חלוקתו‪ .‬במשימה זו החשיבה היצירתית‪ .‬חלוקת השלם לחלקים שווים‬
‫יכולה להיעשות בדרכים שונות‪ .‬דוגמה‪ :‬אפשר לחלק את המשושה לשני חלקים שווים מקדקוד‬
‫לקדקוד או מאמצע צלע לאמצע צלע‪.‬‬
‫באותו אופן אפשר לחלק את המלבן לארבעה חלקים שווים באופנים שונים‪ .‬להלן דוגמאות‬
‫לחלוקת המלבן לארבעה חלקים שווים ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬משימה פתוחה‪ .‬על התלמידים לייצג שבר יסודי ושבר שאינו יסודי באמצעות‬
‫חלוקת המשושה‪ .‬התלמידים רשאים לחלק את המשושים למספר חלקים כרצונם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬התלמידים נדרשים לייצג כל אחד מהשברים כסכום של שברים יסודיים‪.‬‬
‫עודדו את התלמידים לייצג שבר נתון כסכום של שברים יסודיים בעלי מכנים שונים מזה של‬
‫השבר הנתון‪.‬‬
‫‪3 1 1 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3 1 1‬‬
‫‪= +‬‬
‫או כך‪:‬‬
‫דוגמאות‪ :‬אפשר לייצג את השבר כך‪= + + :‬‬
‫‪5 2 10‬‬
‫‪5 5 5 5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4 1 1‬‬
‫‪4 1 1 1 1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪= +‬‬
‫או כך‪:‬‬
‫אפשר לייצג את השבר כך‪= + + + :‬‬
‫‪7 2 14‬‬
‫‪7 7 7 7 7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6 2 1 1‬‬
‫‪6 1 1 1 1 1 1‬‬
‫או כך‪= = + :‬‬
‫אפשר לייצג את השבר כך‪= + + + + + :‬‬
‫‪9 3 2 6‬‬
‫‪9 9 9 9 9 9 9‬‬
‫‪9‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמ' ‪ :142‬השוואה בין שברים בעלי אותו מכנה‬
‫בשיעור זה חוזרים על השוואה בין שברים בעלי אותו מכנה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬משימה פתוחה‪ .‬בכל אחד מהסעיפים על התלמידים לייצג את השבר הנתון‬
‫באמצעות צביעת חלקים בשלם‪ ,‬לבחור שבר אחר ולסמן את כיוון האי‪-‬שוויון בהתאם לשבר‬
‫המשלים שיבחרו‪ .‬דוגמה‪ :‬בסעיף א' התלמידים נדרשים לצבוע בריבוע השמאלי שבעה חלקים‬
‫בהתאם לשבר הנתון‪ ,‬ובריבוע הימני לצבוע יותר משבעה חלקים או פחות משבעה חלקים‬
‫כרצונם‪ .‬דונו בפתרונות האפשריים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬משימה פתוחה‪ .‬התלמידים נדרשים לבחור שני שברים בעלי מכנים שווים‪,‬‬
‫לכתוב את סימן האי‪-‬שוויון המתאים ביניהם ולייצג אותם בעזרת איור מתאים‪.‬‬
‫‪67‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬שאלה מילולית‪ .‬דרשו מהתלמידים לכתוב תשובה מילולית ואי שוויון‬
‫‪4 3‬‬
‫המתאים לתשובה כמודגם בזאת‪ :‬מתן קיבל חלק גדול יותר‪> .‬‬
‫‪7 7‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬משימה פתוחה‪ .‬דונו עם התלמידים בפתרונותיהם‪ .‬בסעיף א' התלמידים‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫ו‪. -‬‬
‫נדרשים לכתוב שברים הקטנים מ‪ , -‬בעלי אותו מכנה‪, :‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪4‬‬
‫בסעיף ב' עליהם למצוא שברים אחרים הקטנים מ‪. -‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3 1‬‬
‫‪4‬‬
‫ועוד‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫דוגמאות לשברים‪:‬‬
‫‪11 7 10‬‬
‫‪4‬‬
‫דונו עם התלמידים בשאלה‪ :‬כמה שברים קטנים מ‪? -‬‬
‫‪9‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמ' ‪ :143‬חיבור שברים בעלי אותו מכנה‬
‫כאן חוזרים על חיבור שברים בעלי אותו מכנה‪ .‬כדאי שהתלמידים יפתרו תחילה כל תרגיל‬
‫בעזרת ייצוג גרפי‪ ,‬אחר‪-‬כך הם יכתבו את ההסבר המילולי ואת השבר המתאים‪.‬‬
‫‪2 6 4 12 2‬‬
‫‪+ +‬‬
‫=‬
‫משימה מס' ‪ :18‬משימת יישום‪ .‬א( =‬
‫‪18 18 18 18 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪7 1‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫ב( =‬
‫‪14 14 14 2‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬משימת יישום של חיבור שברים בעלי מכנים שווים‪ .‬תלמידים מתקשים‪,‬‬
‫יכולים להיעזר בצביעת המשבצות ולייצג את התרגילים בצורה גרפית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬שאלה מילולית‪ .‬כדאי לייצג אותה בייצוגים שונים‪ .‬התרגיל המתאים לפתרון‬
‫‪6‬‬
‫‪2 4 6‬‬
‫השאלה המילולית הוא = ‪ +‬תשובה‪ :‬קובי ויוני אכלו מחפיסת השוקולד‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7 7 7‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬חיבור של שברים בעלי אותו מכנה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬התאמת ייצוג לביטוי‪ .‬הייצוג המתאים הוא הייצוג בסעיף א'‪ .‬הייצוג לא‬
‫שגרתי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬חיבור של שלושה שברים בעלי מכנה זהה‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8 2‬‬
‫‪6 2‬‬
‫‪4‬‬
‫ה(‬
‫ג(‬
‫ד( =‬
‫ב( =‬
‫א( ‪= 1‬‬
‫‪18‬‬
‫‪12 3‬‬
‫‪9 3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫ו(‬
‫‪13‬‬
‫‪10‬‬
‫ז( ‪= 1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫ח(‬
‫‪14‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬תרגול של התאמת שבר לייצוג נתון מחיי היום‪-‬יום וכן תרגול של חיבור‬
‫שברים בעלי מכנים שווים‪.‬‬
‫‪1 3 4 1‬‬
‫‪1 1 2 1‬‬
‫‪2 5 7‬‬
‫א(‬
‫ג( = = ‪+‬‬
‫ב( = = ‪+‬‬
‫= ‪+‬‬
‫‪8 8 8 2‬‬
‫‪8 8 8 4‬‬
‫‪8 8 8‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬התלמידים נדרשים לפתור תרגיל חיבור של שברים בעלי מכנים שווים ולייצג‬
‫את המחוברים בעיגולים המסורטטים‪.‬‬
‫‪68‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמ' ‪ :145‬שבר כחלק מכמות‬
‫לפני השיעור מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ד' של "לעלות על הגל" ואת פעילות הגילוי ט' של‬
‫ההקניה‪ .‬בשיעור זה חוזרים על המושג שבר כחלק מכמות‪ .‬מושג זה מבוסס על המשמעות של‬
‫השבר שהתלמידים כבר הכירו‪ :‬המכנה מציין לכמה חלקים שווים חולק השלם‪ ,‬והמונה מציין‬
‫כמה חלקים יש לקחת‪ .‬כלומר אפשר לפתור כל שאלה הקשורה למציאת חלק מכמות‪ ,‬בעזרת‬
‫חילוק במכנה וכפל במונה‪ ,‬וכך אפשר להגיע לתשובה הנכונה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬את פתרון השאלה‬
‫שבקטע השיעור אפשר להסביר כך‪ :‬מחלקים את השלם )שהוא שבע קוביות( לשבעה חלקים‬
‫‪1‬‬
‫שווים‪ ,‬ולוקחים מהם שלושה חלקים‪ .‬כל חלק ) ( הוא קובייה אחת‪ ,‬לכן בשלושה חלקים יש‬
‫‪7‬‬
‫שלוש קוביות‪ .‬בכל השאלות בנושא זה יש לוודא שהתלמידים מבינים נכון מהו השלם‪ .‬אפשר‬
‫לעשות זאת על‪-‬ידי שאלה מכוונת‪.‬‬
‫חשוב להראות לתלמידים ששבר של שלם ושבר של כמות הם אותו מושג‪ .‬במקרה הראשון‬
‫השלם הוא רציף‪ ,‬ובשני הוא בדיד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬משימת יישום‪ .‬חשוב לציין כי השלם הוא מספר כל הצורות המסורטטות בכל‬
‫מסגרת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬משימת יישום‪ .‬על התלמידים לכתוב את השבר המתאים למספר הפריטים‬
‫הצבועים‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪4‬‬
‫ב(‬
‫משימה מס' ‪ :28‬התשובה היא‪ ,‬למעשה‪ ,‬הנתון בשינוי ניסוח‪ .‬א(‬
‫‪12‬‬
‫‪5‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬משימה זו לחיזוק הקשר בין מספרים לבין ייצוגים ולבין השימוש בהם בחיי‬
‫היום‪-‬יום‪.‬‬
‫דוגמה לשאלה מילולית‪ :‬בארגז המשחקים ‪ 12‬כדורים צבעוניים‪ ,‬מהם שלושה כדורים‬
‫אדומים‪ ,‬חמישה כדורים צהובים וארבעה כדורים כחולים‪ .‬איזה חלק מהכדורים הם בצבע‬
‫אדום?‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמ' ‪ :146‬שבר כחלק מכמות )המשך(‬
‫השיעור מבוסס על השיעור הקודם‪ .‬כאשר ידוע איזו כמות מייצג שבר יסודי‪ ,‬אפשר לדעת את‬
‫הערך של כל שבר בעל אותו מכנה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬משימת יישום‪ .‬החלוקה לחלקים שווים )קבוצות( כבר נעשתה‪ ,‬והתלמידים‬
‫נדרשים לצבוע את מספר הקבוצות לפי המונה‪ ,‬לספור כמה צורות הם צבעו‪ ,‬ולכתוב את‬
‫המספר במקום המתאים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬כדי לענות על כל שאלה המובאת בתרגיל‪ ,‬על התלמידים לחלק מספר שלם‬
‫נתון במכנה ולכפול את התוצאה במונה‪ .‬תלמידים שעדיין מתקשים בפתרון כזה‪ ,‬יכולים‬
‫להיעזר בציור מתאים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬חישוב של הכמות המתאימה לשבר יסודי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬שאלה מילולית‪ .‬הנתונים בשאלה זו הם השבר וערכו‪ .‬חסרה הכמות השלמה‪.‬‬
‫אם שלוש גולות מהוות רבע מהכמות‪ ,‬הכמות הכללית היא ‪ 12‬גולות‪ .‬הייצוג מסייע לתלמידים‬
‫לראות את הכמות השלמה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬מציאת חלק של כמות נעשית באמצעות ייצוג של חלוקת הכמות לקבוצות‬
‫שוות‪.‬‬
‫‪69‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬דונו בכיתה בשאלה אם משקל המלפפון שווה למשקל הדלעת‪ .‬כמובן‪,‬‬
‫התשובה שלילית אם כך‪ ,‬חמישית ממשקל המלפפון אינה שווה לחמישית ממשקל הדלעת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬שאלה מילולית‪ .‬בשאלה זו נדרשים שלושה תרגילים שונים למציאת הפתרון‬
‫המלא‪ .‬תשובה‪ :‬בסל יש חמישה כדורים אדומים‪ 12 ,‬כדורים כחולים ו‪ 13 -‬כדורים כחולים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמ' ‪ :148‬השלם כשבר‬
‫בשיעור זה חוזרים על השלם ועל ייצוגיו השונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬בעזרת משימה זו יוכלו התלמידים להבין את משמעות השלם כשבר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :39‬משימת יישום‪ :‬השלמה של שוויונות‪ .‬כאן מתחזקת ההבנה של ייצוג השלם‬
‫‪1 1 1 1 1 1 1‬‬
‫כשבר‪6 × = + + + + + = 1 .‬‬
‫‪6 6 6 6 6 6 6‬‬
‫‪1 1 1 1‬‬
‫‪3× = + + = 1‬‬
‫‪3 3 3 3‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬ייצוג השלם כאשר נתון חלק ממנוּ ‪ -‬השבר היסודי‪ .‬השלם הוא כמות‪ .‬משימה‬
‫זו עלולה להיות קשה לתלמידים בכיתה‪ .‬הסבירו לתלמידים כי אם מצויר רבע מהכמות‬
‫הכללית‪ ,‬הכמות השלמה גדולה פי ארבעה מזו המצוירת‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬בסעיף א' מצוירים שני דובדבנים‪ .‬השלם הוא שמונה דובדבנים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬בסעיף א' ניתנת שאלה פתוחה לסיכום נושא השלם כשבר‪ .‬בסעיף ב' מתחזקת‬
‫ההבנה של הכפלת השבר במספר החלקים המתאים ליצירת השלם‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמ' ‪ : 149‬השלמה ל‪1 -‬‬
‫בקטע שיעור זה חוזרים על השלמת שלם בשבר מתאים‪ .‬למעשה‪ ,‬פותרים את המשוואה‪:‬‬
‫‪ + ? = 1‬שבר נתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬על התלמידים למצוא את המחובר‪ .‬אפשר להיעזר באיורים מתאימים לפי‬
‫הצורך‪ .‬אם מתעורר קושי‪ ,‬יש להדריך את התלמידים לרשום את המספר ‪ 1‬כשבר שהמכנה שלו‬
‫‪4 3 1‬‬
‫הוא המכנה של השבר שמשלימים לשלם‪ ,‬והמונה שלו שווה למכנה‪ .‬דוגמה‪. 1 = = + :‬‬
‫‪4 4 4‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬סעיפים ב' ‪ ,‬ג'‪ ,‬ה' ו‪ -‬ו' הם סגורים‪ .‬קיים מחובר אחד המתאים לשוויון‪.‬‬
‫בסעיפים א' ו‪ -‬ד' יש אפשרויות שונות לפתרון‪ .‬לדוגמה בסעיף א'‬
‫‪1 3 6 10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 7 10‬‬
‫ואפשרות כזו‪ , + + = = 1 :‬וקיימות‬
‫יש אפשרות כזו‪+ + = = 1 :‬‬
‫‪10 10 10 10‬‬
‫‪10 10 10 10‬‬
‫אפשרויות נוספות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :44‬במשימה זו קיים שימוש בצביעת חלקים מתוך השלם כאמצעי לייצוג חיבור‬
‫של שני שברים‪ ,‬כאשר מחובר אחד מייצג את החלקים הצבועים‪ ,‬והמחובר האחר מייצג את‬
‫החלקים שאינם צבועים‪ .‬בסעיף א' עוברים מייצוג לתרגיל‪ .‬ובסעיף ב' עוברים מתרגיל לייצוג‪.‬‬
‫‪70‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמ' ‪ :150‬הפיכת מספר טבעי לשבר‬
‫בשיעור מוזכר שאפשר לכתוב כשבר כל מספר טבעי‪ :‬המכנה יכול להיות כל מספר טבעי‪,‬‬
‫והמונה של השבר הוא המכפלה של המספר הטבעי במכנה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :45‬משימת יישום‪ .‬הכנה להפיכת מספר טבעי כלשהו לשבר‪ .‬מציאת מספר‬
‫השישיות בשלם אחד מכינה את התלמידים למציאת מספר השישיות בשני שלמים או בשלושה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :46‬משימת תרגול‪ .‬הפיכת מספר טבעי לשבר‪ .‬על התלמידים למצוא את המונה‪.‬‬
‫‪18 24 30 36‬‬
‫= = = =‪6‬‬
‫דוגמה‪ :‬א(‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫במשימה זו יתרגלו התלמידים את לוח הכפל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :47‬משימת תרגול‪ .‬הפיכת מספר טבעי לשבר‪ .‬על התלמידים למצוא את המכנה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :48‬התלמידים נדרשים לגלות מתוך מס' שברים איזה שבר הוא שלם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :49‬משימה פתוחה‪ .‬מומלץ לדון בה בכיתה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :151‬כפל שלם בשבר‬
‫בשיעור זה חוזרים על כפל שבר בשלם בשיטה של חיבור חוזר‪ .‬גם כאן התלמידים יסבירו את‬
‫הפתרון בייצוג ובמלל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :50‬משימת יישום‪ .‬כפל שלם בשבר‪ ,‬המוגדר על‪-‬ידי חיבור חוזר‪ .‬אפשרו‬
‫לתלמידים לפתור את התרגילים כרצונם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :51‬משימת יישום‪ .‬כפל שלם בשבר‪ .‬אפשרו לתלמידים לפתור את התרגילים‬
‫כרצונם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :52‬ייצוג וכתיבה של כפל שלם בשבר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :53‬משימת יישום בצורת שאלה מילולית‪ .‬יש לכתוב תרגיל כפל של שלם בשבר‪,‬‬
‫אך לפתור את השאלה בעזרת תרגיל כפל או חיבור כך‪:‬‬
‫‪2 2 4‬‬
‫‪2 2× 2 4‬‬
‫= × ‪ ; 2‬תרגיל חיבור‪. + = :‬‬
‫תרגיל כפל‪= :‬‬
‫‪5 5 5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫משימה מס' ‪ :54‬משימת יישום בצורת שאלה מילולית‪ .‬התרגיל המתאים לפתרון הוא‬
‫‪3 4 × 3 12‬‬
‫= ×‪.4‬‬
‫‪= =3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫משימה מס' ‪ :55‬מומלץ לדון בבעיות של התלמידים ולוודא שהן מתאימות לנושא‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :152‬שברים גדולים מ‪ :1 -‬מספרים מעורבים‬
‫יש להדגיש לתלמידים שכל שבר גדול מ‪ 1 -‬אפשר להפוך למספר מעורב‪ ,‬ולהפך‪ :‬כל מספר‬
‫מעורב אפשר לרשום בצורת שבר‪.‬‬
‫כאן חוזרים על חיבור שברים בעלי אותו מכנה‪ .‬כדאי שהתלמידים יפתרו תחילה כל תרגיל‬
‫בעזרת ייצוג גרפי‪ ,‬אחר‪-‬כך יכתבו את ההסבר המילולי ואת השבר המתאים‪.‬‬
‫יש להסב את תשומת לב התלמידים לכך שמספר מעורב הוא בעצם כתיבה מקוצרת של‬
‫הסכום‪ :‬שלם ‪ +‬השבר עצמו‪.‬‬
‫‪71‬‬
‫משימה מס' ‪ :56‬זיהוי שברים גדולים מ‪.1 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :57‬משימת יישום‪ :‬הפיכת מספר מעורב לשבר גדול מ‪.1 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :58‬משימת יישום‪ :‬הפיכת שבר גדול מ‪ 1 -‬למספר מעורב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :59‬מומלץ לחלק את הכיתה לארבע קבוצות‪ ,‬כל קבוצה תכתוב שברים לכל אחד‬
‫מהסעיפים ולאחר מכן נציג מכל קבוצה יפרט את הדוגמאות שקבוצתו הציעה‪ .‬אחר כך ישוו‬
‫התלמידים בין תשובותיהם לבין התשובות שנתקבלו בקבוצות האחרות‪.‬‬
‫יחידת הלימוד ‪ -‬הקניה‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :153‬השבר כמנה‬
‫בשיעור זה לומדים שאפשר להציג כל שבר כתוצאת פעולת חילוק‪ ,‬כלומר כמנה‪ .‬בשיטה זו‬
‫למונה יש תפקיד של מחולק‪ ,‬למכנה יש תפקיד של מחלק‪ ,‬וקו השבר מייצג את סימן החילוק )‪.(:‬‬
‫משימות מס' ‪ :2 - 1‬משימות יישום הפוכות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬התלמידים לייצג כל אחד מהתרגילים בצורה גרפית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬התלמידים נדרשים לכתוב תרגיל מתאים ולצבוע חלק לפי הנתונים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :154‬השבר כמנה )המשך(‬
‫בקטע שיעור זה לומדים את אחת הדרכים לחלק כמה שלמים ‪ -‬ולא רק שלם אחד ‪ -‬במספר‬
‫‪2‬‬
‫טבעי אחר‪ .‬בדוגמה שבשיעור מחלקים ‪ 2‬ל‪ ,3 -‬ומקבלים ‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬התלמידים נדרשים לחלק את העוגות בעזרת תרגיל מתאים כמו בדוגמה‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :7 - 6‬חיזוק ההבנה של השוויון המספרי בין שבר לבין חילוק‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :155‬השבר כמנה )המשך(‬
‫גם כאן לומדים שיטה לחלק כמה שלמים במספר טבעי אחר‪ ,‬אך הפעם התוצאה היא מספר‬
‫מעורב‪ ,‬כלומר מספר גדול משלם‪ .‬לפחות בהתחלה חשוב לייצג את הפתרון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬א( חשוב לדון באופן קבלת התשובה‪ .‬ידיעת סדר הגודל של התשובה )יותר‬
‫מפיתה כי יש יותר פיתות מחברים( היא מרכיב חשוב בפתרון בעיות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬התאמה בין ייצוגים שונים של אותו מספר‪ :‬כשבר‪ ,‬כמנה של תרגיל חילוק‬
‫‪12‬‬
‫‪2‬‬
‫וכמספר מעורב‪.( = 12 : 5 = 2 ) .‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬התאמת תרגיל חילוק ושבר לייצוג גרפי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬פתרון תרגילי חילוק שתוצאתם שבר או מספר מעורב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬שאלה מילולית‪ .‬על התלמידים לכתוב תרגיל חילוק שמנתו שווה למספר‬
‫מעורב‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫התרגיל המתאים לפתרון הוא ‪ 5 :2 = = 2‬התשובה‪:‬כל ילדה קיבלה ‪ 2‬שקלים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪72‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬במשימה זו נדרשת כתיבה של שאלה מילולית המתאימה לתרגיל הנתון‪.‬‬
‫פעילות זו מעודדת יצירתיות ומקוריות‪ .‬רצוי לעודד את התלמידים לכתוב כמה שאלות‬
‫מילוליות המתאימות לתרגיל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬דונו באופן חלוקת שתי העוגות לשלושת החברים‪ .‬מומלץ לשאול את‬
‫התלמידים איך הם היו ממליצים לחלק את העוגות‪ .‬לאחר מכן הראו להם את הדרך המוצעת‬
‫‪1‬‬
‫בספר‪ .‬כל ילד קיבל עוגה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬על התלמידים לחלק שלוש עוגות לארבעה תלמידים בשתי דרכים שונות‪ .‬כל‬
‫‪3‬‬
‫ילד יקבל מהעוגה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫להלן הצעות שונות לחלוקה‪:‬‬
‫דרך א'‪ :‬מחלקים כל עוגה לארבעה חלקים שווים‪ .‬כל ילד יקבל חתיכה מכל עוגה‪.‬‬
‫ד‬
‫ג‬
‫ב‬
‫א‬
‫ב‬
‫א‬
‫ד‬
‫ג‬
‫ד‬
‫ג‬
‫ב‬
‫א‬
‫דרך ב'‪ :‬מחלקים כל עוגה לארבעה חלקים שווים‪ .‬סה"כ יש ‪ 12‬חלקים‪ .‬כל ילד יקבל שלושה‬
‫חלקים כמודגם להלן‪:‬‬
‫א‬
‫א‬
‫ב‬
‫א‬
‫ב‬
‫ג‬
‫ב‬
‫ג‬
‫ד‬
‫ג‬
‫ד‬
‫ד‬
‫משימה מס' ‪ :16‬התלמידים נדרשים לייצג על ציר המספרים כל אחד מהשברים הגדולים מ‪.1 -‬‬
‫זוהי דרך נוספת להראות את הפיכת השבר הגדול מ‪ 1 -‬למספר מעורב‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :157‬שבר ומספר שלם‬
‫גם מספר שלם כלשהו אפשר להציג כשבר וכתוצאה של פעולת חילוק‪ .‬כעת לומדים לעשות‬
‫זאת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬משימת יישום‪ .‬מומלץ לבקש מהתלמידים לבטא בעל‪-‬פה את השוויון‪" :‬חמש‬
‫עשרה חלקי שלוש שווה לחמישה עשר שלישים ושווה לחמש"‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :18‬התלמידים נדרשים למצוא את המונה בשבר‪ ,‬כך שהשבר יהיה שווה למספר‬
‫הנתון‪ .‬כדי לעשות זאת צריך לכפול את המכנה הנתון במספר השלם‪.‬‬
‫‪20 28 32 400‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫= = = =‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4 100‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬התלמידים נדרשים למצוא את המכנה בשבר‪ ,‬כך שהשבר יהיה שווה למספר‬
‫הנתון‪ .‬כדי לעשות זאת צריך לחלק את המונה הנתון במספר השלם‪.‬‬
‫‪9 12 15 21‬‬
‫= = = = ‪.3‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪3 4 5 7‬‬
‫‪73‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬על התלמידים למצוא את המונה או את המכנה בשבר בהתאם למספרים‬
‫‪24 16 40 48‬‬
‫= = =‪8‬‬
‫=‬
‫הנדרשים‪ .‬דוגמה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬במשימה נדרש חשיבה הפוכה‪ .‬בשתים עשרה עוגות יש ‪ 48‬רבעים‪ ,‬לכן‬
‫השתתפו במסיבה ‪ 48‬אנשים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :158‬השבר כמנה )הפיכת שבר גדול מ‪ 1 -‬למספר מעורב(‬
‫גם כאן לומדים לפתור שאלות מילוליות בחילוק‪ ,‬והתוצאה היא מספר מעורב‪ ,‬אך המספרים‬
‫גדלים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬התלמידים יציגו את הנתונים בצורה גרפית ויכתבו תרגיל מתאים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬משימת יישום הדומה למשימה ‪.11‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬במשימה זו הופכים שבר גדול מ‪ 1 -‬למספר מעורב‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :159‬הפיכת מספר מעורב לשבר‬
‫בשיעור זה לומדים להפוך מספר מעורב לשבר גדול מ‪ .1 -‬אפשר ללוות את ההסבר בציורים‬
‫מתאימים כמו בקטע השיעור הקודם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬משימת יישום‪ .‬התלמידים יכולים לצייר לפי צורך‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬דונו בכיתה בייצוג של שני הילדים‪ .‬שני הייצוגים נכונים‪ .‬בייצוג של יובל‬
‫‪9‬‬
‫‪1‬‬
‫רואים את הקשר בין השבר הגדול מ‪ 1 -‬לבין המספר המעורב השווה לו‪. = 2 .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬התלמידים נדרשים לסרטט שני קטעים שאורכם ‪ 4‬ס"מ‪ .‬על קטע אחד יש‬
‫‪2‬‬
‫לייצג את המספר המעורב ‪ , 3‬ואילו על הקטע האחר יש לייצג את השבר השווה למספר‬
‫‪5‬‬
‫‪17‬‬
‫‪.‬‬
‫המעורב הנתון‪ ,‬כלומר לייצג את השבר‬
‫‪5‬‬
‫‪2 17‬‬
‫= ‪.3‬‬
‫השוויון המתאים למשימה זו הוא‬
‫‪5 5‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬משימת ישום‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :160‬שאלות מילוליות בשברים‬
‫שיעור זה חשוב בעיקר לפיתוח ההבנה המספרית‪ .‬על‪-‬פי המחקר‪ ,‬רבים מתלמידי כיתה ה' אינם‬
‫שמים לב למשמעות התשובה בשאלות מילוליות‪ .‬הם מבצעים פעולות נכונות הנדרשות לפתרון‬
‫הבעיה‪ ,‬אך רושמים את התשובה ללא שום תלות בהקשר‪ .‬לדוגמה‪ ,‬הם יכולים לקבל כתשובה‬
‫נכונה שני אוטובוסים וחצי או שליש תלמיד וכדומה‪ .‬בשיעור זה לומדים להתייחס להקשר‬
‫להגיע לפיו לתשובה הנכונה‪ .‬ההתייחסות למשמעות התוצאה חשובה בכל בעיה מילולית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬משימה שנדרש בה היגיון‪ .‬נדרשות ארבע תבניות‪ .‬התבנית האחרונה אינה‬
‫מלאה‪.‬‬
‫‪74‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬מומלץ לעודד את התלמידים לחבר בעיה משלהם‪ ,‬המתאימה לכל סוגי‬
‫השאלות המובאות במשימה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪:31‬דונו במקרים שבהם החלוקה אפשרית מבחינה מעשית ומציאותית‪ ,‬ובמקרים‬
‫שאין אפשרות חלוקה‪ .‬בשאלה זו מדובר בחלוקת ‪ 33‬שקים של קמח בין ארבעה ָלקוחות‪.‬‬
‫מבחינה מעשית‪ ,‬אפשר לחלק שק של קמח לארבעה חלקים‪ ,‬וכל אחד יקבל רבע שק‪ ,‬נוסף‬
‫שמונת השקים שקיבל‪ .‬יש לזה גם פתרון מעשי – נותנים לכל לקוח אריזה לרבע מכמות הקמח‪.‬‬
‫במקרה של תקליטורים‪ ,‬לדוגמה‪ ,‬אי‪-‬אפשר לחלק תקליטור לארבעה חלקים‪ .‬לכן אילו היו‬
‫מחלקים תקליטורים‪ ,‬התשובה הייתה‪ :‬כל אחד יקבל שמונה תקליטורים וייוותר תקליטור‬
‫אחד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :34 - 32‬שאלות מילוליות‪ .‬התלמידים נדרשים להסיק מסקנות מספריות מתוך‬
‫הנתונים‪.‬‬
‫דוגמה"‪ :‬משימה מס' ‪32‬‬
‫ב( המכנה של השבר הוא ‪ ,4‬ולכן השלם מחולק ל‪ 4 -‬קבוצות‪.‬‬
‫א( השלם הוא ‪ 12‬ילדים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫ג( כל קבוצה היא מהשלם‪ ,‬והיא מכילה ‪ 3‬ילדים‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫ד( המונה של השבר המייצג את הבנים הוא ‪ .3‬בסך הכול יש ‪ 9‬בנים‪3 × 3 = 9 .‬‬
‫‪3‬‬
‫לכן מ‪ 12 -‬ילדים הם ‪ 9‬בנים‪ .‬תשובה‪ :‬בכיתה יש ‪ 9‬בנים‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :162‬השוואת שברים ל‪1 -‬‬
‫אפשר לחלק כל מספר טבעי בכל מספר טבעי אחר‪ .‬שבר היא תוצאה של מנה‪ .‬בשיעור מראים‬
‫שאפשר לדעת אם המנה גדולה מ‪ 1-‬או קטנה מ‪ 1-‬או שווה ל‪ ,1-‬על‪-‬ידי השוואת ערכי המונה‬
‫וערכי המכנה‪ .‬כאשר מרחיבים את תחום המספרים‪ ,‬יש להסביר כי אפשר לחלק ‪ 0‬במספר‬
‫כלשהו‪ ,‬פרט לעצמו‪ ,‬אך אי‪-‬אפשר לחלק מספר ב‪.0 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬במשימה זו מחפשים שני מספרים עוקבים שהשבר הנתון נמצא ביניהם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬התלמידים נדרשים לסדר את השברים בסדר עולה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬התלמידים נדרשים למצוא את הטבלה ולהוסיף שלושה שברים שונים בכל‬
‫עמודה‪ .‬כך תחודד ההבחנה בין סוגי השברים השונים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :163‬שברים על ציר המספרים‬
‫בשיעור זה לומדים לסדר את השברים על ציר המספרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :39‬במשימה זו שני צירי מספרים‪ .‬בציר המספרים הראשון כל קטע יחידה‬
‫מחולק לשני חלקים שווים‪ .‬השברים המיוצגים בציר זה הם בעלי המכנה ‪.2‬‬
‫בציר השני כל קטע יחידה מחולק לחמישה חלקים שווים‪ .‬השברים המיוצגים בציר זה הם‬
‫חמישיות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬מיקום השברים על ציר המספרים מאפשר לקבוע בנקל איזה מבין השברים‬
‫גדול יותר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬משימת יישום לחיזוק ההבנה של מיקום השברים על ציר המספרים‪.‬‬
‫‪75‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬על תלמידים למקם את האותיות על ציר המספרים‪ .‬אם התלמידים‬
‫מתקשים‪ ,‬מומלץ שהם יהפכו תחילה לשברים ורק אח"כ ימקמו את האותיות על ציר‬
‫המספרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬משימה מחיי היום‪-‬יום‪ .‬הסרגל כאן מדומה לציר המספרים‪ .‬בסעיף הרביעי‬
‫כל תלמידים נדרשים לבחור שבר כרצונם ולסמנו על הסרגל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :44‬על התלמידים לסרטט ציר מספרים‪ ,‬ועליו לסמן את השברים הנתונים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :165‬כפל וחלק של כמות‬
‫כפי שמוסבר ברקע‪ ,‬הזהות בין "חלק של כמות" לבין פעולת כפל של שבר בכמות היא אחת‬
‫מהעובדות החשובות בהבנת השברים‪ .‬בשיעור זה מוצגת עובדה זו בצורת חזותית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :45‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :46‬משימת יישום‪ .‬בדוגמה מפורטים כל השלבים של התהליך המתואר ברקע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :47‬שאלה מילולית העוסקת במציאת חלק של כמות‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3 × 90 270‬‬
‫= ‪× 90‬‬
‫=‬
‫א( ביום א' השתמשה טלי ב‪ 54 -‬ברגים‪= 54 .‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪90‬‬
‫ב( ביום ב' היא השתמשה ב‪ 15 -‬ברגים‪× 90 = = 15 .‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫ג( בקופסה נותרו ‪ 21‬ברגים‪90 − ( 54 + 15 ) = 90 − 69 = 21 .‬‬
‫משימה מס' ‪ :48‬שאלה מילולית העוסקת במציאת חלק של כמות‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬נותרו ‪ 34‬עוגות‪120 − ( 36 + 50 ) = 120 − 86 = 34 .‬‬
‫משימות מס' ‪ :50 - 49‬משימות תרגול‪ :‬כפל שלם בשבר‪ .‬אפשרו לתלמידים לפתור את‬
‫התרגילים בדרך שיבחרו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :51‬שאלה מילולית‪ .‬בשאלה זו מוצג השבר במילים‪ ,‬והתלמידים נדרשים לגלות‬
‫את השבר מתוכן השאלה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :52‬במשימה זו ישנן שלוש משימות בדרגות קושי שונות‪ ,‬מהקל אל הקשה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫הכוונה היא שבכל מלבן התלמידים יצבעו מסך כל המשבצות שבמלבן‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫במלבן המחולק ל‪ 9 -‬משבצות‪ ,‬על התלמידים לצבוע ‪ 4‬משבצות‪.‬‬
‫במלבן המחולק ל‪ 18 -‬משבצות‪ ,‬על התלמידים לצבוע ‪ 8‬משבצות‪.‬‬
‫במלבן המחולק ל‪ 27 -‬משבצות‪ ,‬על התלמידים לצבוע ‪ 12‬משבצות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :53‬התלמידים נדרשים לקבוע מהו הסימון המתאים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :54‬שאלה מילולית זו עוסקת במציאת חלק מכמות‪.‬‬
‫מירב פתרה ביום הראשון ‪ 12‬משימות‪ .‬ביום השני היא פתרה ‪ 24‬משימות‪ .‬נותרו לה לפתור עוד‬
‫‪ 12‬משימות‪ ,‬שהן רבע מסך כל המשימות‪.‬‬
‫‪76‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪ :167‬סיכום הנלמד‬
‫משימה מס' ‪ :55‬משימת סיכום‪ .‬התלמידים נדרשים לשים לב לאופנים שונים של כתיבת‬
‫השבר ולהשוות בניהם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :56‬שימו לב‪ ,‬הציורים הנתונים הם החלק מהשלם כלומר הם מייצגים שבר‪.‬‬
‫התלמידים צריכים להמשיך את הציור כדי שיהיה שלם‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמודים ‪179 - 168‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬העברה בין שני ייצוגים‪ ,‬משבר לציור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬בסעיף א'‪ -‬יש לצבוע בהתאם לשבר‪ .‬בסעיף ב'‪ -‬יש לכתוב את השבר בהתאם‬
‫לחלק הצבוע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬על התלמידים לשים לב שהשלם יכול להיות בכל צורה‪ ,‬ולחלק את השלם לפי‬
‫השברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬חזרה על שברים יסודיים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬התלמידים נדרשים למצוא לאותו שלם ארבעה שברים יסודיים שונים ולכתוב‬
‫בכל מלבן שבר יסודי שונה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬על התלמידים לחלק כל שבר לשברים יסודיים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬שילוב בין גאומטריה לשברים‪ .‬השברים הנתונים מיוצגים בריבוע המסורטט‬
‫על‪-‬ידי התלמידים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬במשימה זו מוצגים לתלמידים קטעים באורכים שונים‪ ,‬ועליהם לשים לב‬
‫לגודל של כל קטע ולחלק שקטע מסוים מהווה מקטע אחר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬התלמידים נדרשים לבחור כרצונם ארבעה שברים יסודיים שונים המתאימים‬
‫למלבנים המוצגים‪ ,‬ולכתוב את השבר היסודי המתאים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬על התלמידים למלא את הטבלה לפי הנתונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬התלמידים נדרשים לחשב חלק מכמות נתונה‪ .‬הציורים יכולים לעזור להם‬
‫להגיע לחישוב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬משימה פתוחה‪ .‬כל שבר שהמונה שלו גדול מ‪ 1 -‬אפשר לייצג על‪-‬ידי סכום של‬
‫שברים יסודיים‪ .‬יש אין‪-‬סוף אפשרויות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬בשני הסעיפים הראשונים התלמידים נדרשים לצבוע חלקים‪ ,‬אך בסעיף ג'‬
‫עליהם לגלות איזה שטח בסה"כ הם צבעו‪ .‬בסעיף ד' עליהם לכתוב תרגיל מתאים לשלושת‬
‫הסעיפים יחד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬התלמידים נדרשים לבצע תרגילי חיבור וחיסור של שברים ולהגיע לשברים‬
‫הנתונים‪ .‬אפשר לחלק את התלמידים לקבוצות ולבקש מכל קבוצה להגיע לתוצאה מסויימת‬
‫על‪-‬ידי חיבור וחיסור של שברים‪.‬‬
‫‪77‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬על התלמידים לפתור תרגילים בעלי מכנה זהה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬על התלמידים לצבוע מספר צורות שהן‬
‫‪3‬‬
‫מכלל הצורות שבכל סעיף‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬על התלמידים לצייר שישה עשר עיגולים ולצבוע ארבעה עיגולים שהם רבע‬
‫מכלל העיגולים‪.‬‬
‫כמו‪-‬כן עליהם לצייר במחברת שמונה עשר משולשים ולצבוע שלושה משולשים‪ ,‬שהם שישית‬
‫מכלל המשולשים‪ .‬מספר העיגולים הצבועים גדול ממספר המשולשים הצבועים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫אפשר לדרוש מהתלמידים לכתוב אי‪-‬שוויון מתאים‪× 16 > × 18 :‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬חזרה על השבר כשלם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬על התלמידים למצוא את המספר החסר‪ .‬אפשר לבצע זאת על‪-‬ידי הכפלה או‬
‫להיעזר בציור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬התלמידים נדרשים לקבוע אם המשפט נכון או לא‪-‬נכון‪ .‬המליצו לתלמידים‬
‫מתקשים להשתמש בציור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬בסעיף א' על התלמידים לרשום את השבר המתאים לחלק המלא במבחנות‪,‬‬
‫ואילו בסעיף ב' עליהם למלא את המבחנות לפי השברים הנתונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬התלמידים מתבקשים לכתוב את התרגיל כשבר ולבצע פעולת חיבור‬
‫שתוצאתו תהיה השבר הנתון כשבר מעורב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬התלמידים נדרשים לכתוב את התרגיל כשבר ולבצע בו פעולת חיבור‬
‫שתוצאתו תהיה שווה לשבר‪ .‬את השבר יש לפרק ולכתוב כתרגיל שלחיבור מספר השלמים‬
‫והשבר הפשוט‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬חזרה על אופן כתיבת השבר‪ ,‬וכתיבת תרגיל מתאים לשבר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬התלמידים נדרשים להציג את השברים על ציר המספרים ולסמן את השבר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬בסעיף א' התלמידים נדרשים למלא את כל שבעת המכלים באופן שווה‪.‬‬
‫בסעיף ב' עליהם לכתוב את הנתונים מהפנקס כשבר מעורב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬על התלמידים למצוא את המנה ואת השארית ולכתוב את מספר הבגטים‬
‫הדרושים להכנת הכריכים‪.‬‬
‫‪25 24 1‬‬
‫‪1‬‬
‫דוגמה‪) :‬שארית‪25 :6 = 4( 1‬‬
‫‪= + =4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6 6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫תשובה‪ :‬להכנת כריכים של טונה נדרשים ‪ 4‬בגטים‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬משימה זו הפוכה מהמשימה הקודמת‪ .‬כעת על התלמידים למצוא את מספר‬
‫הכריכים‪ ,‬כאשר נתון בכמה בגטים משתמשים לכל סוג כריך‪ .‬כדי למצוא את מספר הכריכים‬
‫יש לכפול ב‪.6 -‬‬
‫להלן הפתרון המלא של הטבלה‪:‬‬
‫‪78‬‬
‫סוג הכריך‬
‫גבינה צהובה‬
‫טונה‬
‫חביתה‬
‫ירקות‬
‫ריבה‬
‫מספר הבגטים‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫חישוב‬
‫‪2 × 6 + 3 = 15‬‬
‫תשובה‬
‫‪ 15‬כריכים‬
‫‪4 × 6 + 1 = 25‬‬
‫‪ 25‬כריכים‬
‫‪3 × 6 + 5 = 23‬‬
‫‪ 23‬כריכים‬
‫‪2 × 6 + 4 = 16‬‬
‫‪ 16‬כריכים‬
‫‪5 × 6 + 2 = 32‬‬
‫‪ 32‬כריכים‬
‫משימה מס' ‪ :29‬משימה מילולית מחיי היום‪-‬יום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬התלמידים נדרשים למצוא את המונה או המכנה החסר בשבר בהתאם לנדרש‬
‫מהם‪ .‬שימו לב‪ ,‬כי ייתכנו מספר אפשרויות בכל סעיף‪ .‬עודדו את התלמידים למצוא את רובן‪.‬‬
‫‪20 20 20 20‬‬
‫דוגמאות למספרים שלמים‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪10 5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪20 20 20 20‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫דוגמאות למספרים לא‪-‬שלמים‪:‬‬
‫‪35 40‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬כעת על התלמידים לשים לב להבדלים הקטנים‪ :‬האם השבר מיצג מספר גדול‬
‫או קטן מ‪.1-‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬על התלמידים להחליט אם השבר גדול מ‪ ,1 -‬קטן מ‪ 1 -‬או שווה ל‪.1 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬משימת יישום‪ .‬התלמידים נדרשים למצוא את החסר כך שהאי‪-‬שוויון יהיה‬
‫נכון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬משימת יישום‪ .‬התלמידים צריכים להשלים את ציר המספרים‪ .‬במשבצות‬
‫העליונות יש למלא שברים מעורבים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬חידוד ההבחנה בין שבר קטן מ‪ ,1 -‬שבר השווה ל‪ 1 -‬ושבר גדול מ‪.1 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬התלמידים צריכים למלא את המשורה לפי השבר הנתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬התלמידים נדרשים לבצע פעולות כפל בשבר הנדרש‪ .‬בסוף התרגיל עליהם‬
‫להסיק מסקנות של שארית בעזרת חישוב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬שאלה מילולית העוסקת במציאת חלק מכמות‪ .‬להלן פתרון השאלה‪:‬‬
‫למיכל ‪ 60‬בולים מאמריקה‪ 105 ,‬בולים מאירופה ו‪ 45 -‬בולים מישראל‪ .‬למיכל יש ‪ 165‬בולים‬
‫מחוץ לארץ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :39‬שאלה מילולית העוסקת במציאת חלק של כמות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 × 9 18‬‬
‫= ‪×9‬‬
‫א( אלונה מכרה ‪ 6‬עוגות‪= = 6 .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪79‬‬
‫‪1‬‬
‫ב( נותרה לאלונה‬
‫‪3‬‬
‫מעוגת השוקולד‪.‬‬
‫שאלות מילוליות‪ ,‬עמוד ‪180‬‬
‫משימות מס' ‪ :4-1‬במשימות אלו התלמידים מתרגלים כתיבה נכונה של התוצאה במילים‪.‬‬
‫חשוב שהתלמידים יכתבו את כל הדרך לפתרון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬שאלה מילולית זו עוסקת בחילוק עם שארית‪ .‬א( בכל שורה עשרה ריבועי‬
‫שוקולד‪.‬‬
‫הודיה אכלה ארבעה ריבועי שוקולד‪ .‬זוהי השארית המתקבלת מביצוע תרגיל החילוק‪:‬‬
‫)שארית ‪54 :5 = 10 ( 4‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬משימה מחיי היום‪-‬יום העוסקת בזמן‪ :‬מספר דקות בשעה או בחלקיה‪.‬‬
‫בחצי שעה יש ‪ 30‬דקות ובשעה וחצי יש ‪ 90‬דקות‪.‬‬
‫השבועות בחודש מרס שבו ‪ 31‬ימים‪ ,‬לעומת‬
‫משימה מס' ‪ :7‬משימה זו עוסקת בחישוב מספר ָ‬
‫חודש פברואר שבו ‪ 28‬ימים או ‪ 29‬ימים אחת לארבע שנים‪.‬‬
‫היסטוריה‪ ,‬עמוד ‪181‬‬
‫הקשר בין מוזיקה לבין מתמטיקה הוא קשר עתיק יומין‪ .‬לפי האגדה‪ ,‬הפילוסוף היווני אפלטון‬
‫גילה אותו כשהוא שמע כמה פטישים מכים ביחד ורק במצבים מסוימים הייתה הרמוניה‪ ,‬אז‬
‫הוא גילה כי במצבים אלה יחסי המשקל בין הפטישים מובעים במספרים שלמים‪ .‬כמעט כל‬
‫הצלילים המוזיקליים מבוססים על שברים‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :2-1‬התלמידים נדרשים למקם את השברים במקום המתאים בקטע‪.‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪182‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬התלמידים צריכים לשים לב לחלקים‪ .‬אפשר לחלק את כל השטח לריבועים‬
‫שווים וכך להסיק מהו גודל השטח בשברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימה זו משלבת בין גאומטריה ושברים‪.‬‬
‫להלן הדגם של הגן‪:‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪183‬‬
‫חזרה על הנושאים‪ :‬ארבע פעולות חשבון‪ ,‬השוואה בין ביטויים מספריים‪ ,‬סדר המספרים‪,‬‬
‫שאלות מילוליות‪ ,‬ישרים מאונכים וישרים מקבילים‪.‬‬
‫‪80‬‬
‫עמ' ‪239 - 184‬‬
‫ו‪ .‬מרובעים‬
‫רקע‬
‫הפרק הנוכחי הוא הפרק הראשון מבין שני הפרקים העוסקים בנושא מרובעים‪ .‬בפרק זה‬
‫חוזרים על מושגים בסיסיים‪ ,‬כמו "מאוּנכוּת"‪" ,‬מקבילוּת"‪" ,‬זוויות" ו"סימטריה"‪ ,‬ומתמקדים‬
‫בתכונות של כל אחד מהמרובעים האלה‪ :‬מקבילית‪ ,‬מלבן‪ ,‬מעוין וריבוע‪ .‬הפרק השני עוסק‬
‫בקשרי ההכלה של משפחת המקביליות‪ ,‬במרובעים נוספים ‪ -‬הטרפז והדלתון ‪ -‬וכן בקשרי‬
‫ההכלה במשפחת המרובעים כולה‪.‬‬
‫לאורך כל שנות הלימוד בבית הספר עסקו התלמידים במרובעים שונים‪ .‬בכיתה ד' הם הכירו‬
‫את קשרי ההכלה בין הריבוע למלבן‪ ,‬והם למדו על סוגים נוספים של מרובעים‪ .‬הדגש הושם על‬
‫פיתוח הזיכרון החזותי שלהם‪ ,‬על המראה החזותי של המרובעים‪ ,‬על זיהוים‪ ,‬על בנייתם‬
‫מחומרים מוחשיים ועל הכרת שמותיהם )לא זכירת השמות(‪ .‬התלמידים לא חקרו את‬
‫תכונותיהם של המרובעים באופן שיטתי ולא עסקו בקשרי ההכלה בין מרובעים שונים )פרט‬
‫לקשר בין ריבוע לבין מלבן(‪.‬‬
‫הנוכחי היא לחקור בעיון את כל המרובעים השייכים למשפחת‬
‫ְ‬
‫המטרה העיקרית של הפרק‬
‫המקביליות ‪ -‬המקבילית עצמה וכן המקביליות המיוחדות ‪ -‬לנתח את התכונות של הצלעות‪,‬‬
‫של הזוויות ושל האלכסונים במרובעים הללו‪ ,‬לחקור את סוגי הסימטריה שיש לכל סוג מרובע‬
‫וכך ולהכין את התלמידים להפנמה של קשרי ההכלה בין המרובעים השונים‪.‬‬
‫אמנם הדעה הרווחת היא שהנושא קל ללימוד‪ ,‬אך הדבר אינו כך‪ .‬תלמידים מתקשים בנושא‬
‫בעיקר בגלל ריבוי המושגים הנלמדים וכמות המידע שעליהם ללמוד ולהבין‪.‬‬
‫ישנם תלמידים שעדיין אינם "בשלים" לנימוקים פורמליים‪ ,‬ולכן חשוב להצטייד באביזרים‬
‫מסוגים שונים‪ ,‬המתאימים לנושא‪.‬‬
‫כידוע‪ ,‬אפשר לבחור באחת מהתכונות של כל אחד מהמרובעים כהגדרה‪ ,‬והתכונות האחרות‬
‫נובעות מההגדרה והופכות להיות מאפיינים של המרובע‪ ,‬ואת המאפיינים האלה יש להוכיח‬
‫)בהוכחות פורמליות יעסקו התלמידים בכיתות גבוהות יותר‪ (.‬בכיתה ה' רוב הנימוקים הם‬
‫עדיין ברמה קונקרטית ומוחשית‪.‬‬
‫הוחלט להשתמש במערכת ההגדרות שבספר מהשיקולים האלה‪:‬‬
‫א‪ .‬כידוע‪ ,‬אפשר להגדיר כל סוג של מרובעים בהגדרות שונות הקשורות זו בזו‪ .‬דוגמה‪" :‬מלבן‬
‫הוא מקבילית בעלת זווית ישרה"‪ .‬כאן נבחרה מערכת של הגדרות שאינן קשורות זו בזו‪.‬‬
‫כלומר בהגדרה של מרובע מסוים לא מוזכרים קשרי ההכלה בינו לבין מרובעים אחרים‪.‬‬
‫דוגמה‪" :‬מלבן הוא מרובע שכל זוויותיו ישרות"‪.‬‬
‫ב‪ .‬ההגדרות שנבחרו קלות להבנה בקרב התלמידים הצעירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬אפשר להדגים את כל ההגדרות ולבדוק אם התכונה שצוינה בהגדרה מתקיימת במרובע‪.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬המקבילית מוגדרת כך‪" :‬מרובע שכל שתי צלעות נגדיות שלו שוות זו לזו"‪ .‬קל‬
‫לבנות מקבילית לפי הגדרה זו‪ ,‬לדוגמה‪ ,‬בעזרת ארבע רצועות או ארבעה קשים בשני גדלים‬
‫שונים‪ .‬כמו‪-‬כן אפשר לבדוק בקלות אם מרובע הוא מקבילית‪ ,‬על‪-‬ידי השוואה בין אורכי‬
‫הצלעות הנגדיות של המרובע‪ .‬מיומנות זו נרכשה כבר בכיתות הקודמות‪ .‬לו נבחרה‬
‫ההגדרה של המקבילית‪" :‬מרובע שיש בו שני זוגות של צלעות מקבילות"‪ ,‬היה קשה יותר‬
‫לבנות אותה )כיצד לבנות שני קטעים מקבילים?(‪.‬‬
‫ראוי לציין‪ ,‬שפרק זה בנוי בצורה של חקירה‪ .‬תחילה התלמידים חוקרים בעצמם את התכונות‬
‫של המרובע‪ ,‬ובשיעור ההקניה הם נחשפים לתכונות המרובע‪ .‬לאחר השיעור התלמידים‬
‫מתרגלים ומיישמים את תכונות המרובע שהכירו‪.‬‬
‫הפרק מתאים לתכנית הלימודים‪ .‬מומלץ להקדיש לו כ‪ 6 -‬שעות לימוד‪.‬‬
‫מושגים‬
‫מצולע‪ ,‬מרובע‪ ,‬קדקוד‪ ,‬צלע‪ ,‬זווית במצולע‪ ,‬אלכסון‪ ,‬מאונכוּת‪ ,‬מקבילוּת‪ ,‬שוויון צלעות‪ ,‬צלעות‬
‫סמוכות‪ ,‬צלעות נגדיות‪ ,‬שוויון זוויות‪ ,‬זווית ישרה‪ ,‬זוויות נגדיות‪ ,‬זוויות סמוכות‪ ,‬קדקודים‬
‫סמוכים‪ ,‬קדקודים נגדיים‪ ,‬מיון‪ ,‬תכונה‪ ,‬הגדרה‪ ,‬מרובע מיוחד‪ ,‬מרובע כלשהו‪ ,‬מקבילית‪,‬‬
‫‪81‬‬
‫דלתון‪ ,‬טרפז‪ ,‬מלבן‪ ,‬מעוין‪ ,‬ריבוע‪ ,‬סימטריה שיקופית‪ ,‬קו סימטריה‪ ,‬סימטריה סיבובית‪ ,‬מרכז‬
‫סימטריה‪ ,‬זווית הסיבוב‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬לזהות את הקדקודים‪ ,‬את הצלעות‪ ,‬את הזוויות ואת האלכסונים של מרובע נתון;‬
‫ב‪ .‬לסמן מרובע על‪-‬ידי אותיות לועזיות ולקרוא את שמו באותיות;‬
‫ג‪ .‬לזהות מרובעים מיוחדים ומרובעים לא‪-‬מיוחדים ולשיים אותם;‬
‫ד‪ .‬למיין מרובעים לסוגים שונים לפי תכונה מסוימת;‬
‫ה‪ .‬להגדיר בהגדרה מילולית את המרובעים האלה‪ :‬מקבילית‪ ,‬מלבן‪ ,‬מעוין וריבוע;‬
‫ו‪ .‬לסרטט מרובעים ללא אילוצים ולפי אילוצים נתונים;‬
‫ז‪ .‬לזהות מרובעים בסרטוט מורכב;‬
‫ח‪ .‬לתאר תכונות של צלעות‪ ,‬של זוויות ושל אלכסונים במרובע;‬
‫ט‪ .‬לבדוק אם מרובע הוא סימטרי ואיזה סוג סימטריה יש לו;‬
‫י‪ .‬למצוא את קווי הסימטריה ואת מרכז הסיבוב של מרובעים שיש בהם סימטריה מתאימה‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫גפרורים‪ ,‬קיסמים‪ ,‬מרובעים מסורטטים גזורים‪ ,‬מרובעים מוכנים‪ ,‬מד‪-‬זווית רגיל‪ ,‬סרגל‪,‬‬
‫עיפרון‪ ,‬סרטוטים של מרובעים שונים‪ ,‬סרטוטים בנספח לפרק‪ ,‬משולשים חופפים מוכנים או‬
‫גזורים מסוגים שונים‪ ,‬דף פרגמנט )או דף שקוף אחר(‪.‬‬
‫אביזרי "חשבון ‪ :"10‬רצועות‪ ,‬מד‪-‬זווית עגול‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על המצולעים ועל המושגים הקשורים בהם‪ ,‬כגון "קדקוד"‪" ,‬צלע"‪" ,‬זווית"‪,‬‬
‫"אלכסון"‪.‬‬
‫מומלץ לעבוד בקבוצות או בזוגות‪ .‬אפשר לבצע את הפעילות בשלבים בשיעורים השונים‪.‬‬
‫מסרטטים על הלוח סרטוטים שונים‪ ,‬וביניהם קווים פתוחים וסגורים‪) .‬אפשר לחלק‬
‫לתלמידים דפים שבהם הסרטוטים‪ (.‬בשלב הראשון התלמידים מתבקשים לזהות את‬
‫המצולעים מבין הסרטוטים ולנמק מדוע כל סרטוט הוא מצולע או אינו מצולע‪.‬‬
‫לפניכם דוגמאות לצורות שונות‪) .‬שימו לב שאחת ה"צורות" איננה מצולע‪ ,‬אלא סרטוט של‬
‫קובייה‪(.‬‬
‫הציורים המוגדלים נמצאים בנספח למדריך זה‪.‬‬
‫בשלב השני על התלמידים לבחור מצולע אחד ולסמן בו את הקדקודים‪ ,‬לתת לו שם )מרובע‪,‬‬
‫מחומש וכדומה(‪ ,‬לזהות בו צלעות וזוויות ולסרטט אלכסון אחד לפחות לפי בחירתם‪.‬‬
‫‪82‬‬
‫דנים עם התלמידים במיקום האלכסונים במצולע‪ .‬מבקשים לצייר אלכסון במצולע לא‪-‬קמור‬
‫)לא מזכירים את המושג‪ ,‬כי התלמידים אינם מכירים אותו(‪.‬‬
‫להלן דוגמה לשני מצולעים שאחד מאלכסוניהם נמצא מחוץ למצולע‪.‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על מאונכוּת ועל מקבילוּת‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים לזהות זוג ישרים שיש ביניהם זווית ישרה‪ ,‬ולהסביר כיצד מוודאים‬
‫שהזווית ישרה‪ .‬הבדיקה נעשית על‪-‬ידי משולש סרטוט או על‪-‬ידי כל זווית ישרה אחרת כמו‬
‫זווית של דף או זווית שמתקבלת מקיפולי נייר‪ .‬שואלים את התלמידים כיצד נקראים ישרים‬
‫אלו‪ .‬אם לא מתקבלת התשובה "ישרים מאונכים"‪ ,‬מזכירים לתלמידים מושג זה ומשוחחים‬
‫ִאתם על משמעותו‪ .‬לאחר מכן מבקשים מהתלמידים למצוא ישרים מקבילים מבין ישרים‬
‫מסורטטים‪ .‬דנים בדרכים לבדיקת המקבילוּת של הישרים‪ :‬אפשר להיעזר בהזזה‪ ,‬אפשר‬
‫לקחת שני סרגלים גדולים ולהניח אותם לאורך הישרים הנבדקים ולראות בעין אם הם‬
‫מקבילים‪ ,‬או לראות אם הם מאונכים לישר אחד אחר )דרך זו היא ברמה גבוהה יותר(‪ .‬להלן‬
‫דוגמה לסרטוט‪.‬‬
‫ציור מוגדל נמצא בנספח למדריך זה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬את הישרים אפשר לסמן באות לועזית קטנה או לצבוע בצבעים שונים‪.‬‬
‫ג‪ .‬חזרה על שיקוף‪ ,‬על סיבוב‪ ,‬על סימטריה שיקופית ועל סימטריה סיבובית‪.‬‬
‫על התלמידים לסרטט שיקוף של צורות נתונות ביחס לישר נתון; לסובב צורה נתונה בסיבוב‬
‫של ‪ 1800‬או של ‪ 900‬סביב נקודת סיבוב נתונה; למצוא קווי סימטריה לצורה נתונה )סימטריה‬
‫שיקופית( ולמצוא את נקודת הסיבוב )מרכז הסיבוב( של צורה נתונה‪ ,‬כך שבסיבוב הקטן‬
‫מסיבוב שלם הצורה מתלכדת עם עצמה‪ .‬מטרת התרגיל היא להתכונן לחקירת סימטריה‬
‫במרובעים‪ .‬רצוי לעבוד בדפים‪ ,‬אך אפשר גם לבצע מספר משימות על הלוח‪.‬‬
‫דוגמאות לצורות שצריך לסרטט שיקוף שלהן או לסובב אותן‪:‬‬
‫קו השיקוף‬
‫נקודת‬
‫הסיבוב‬
‫תשובות‪:‬‬
‫סיבוב ב‪1800 -‬‬
‫סיבוב ב‪900 -‬‬
‫לפי כיוון השעון‬
‫דוגמאות לצורות‬
‫סימטריות‪:‬‬
‫‪83‬‬
‫שיקוף‬
‫סימטריה סיבובית‪,‬‬
‫‪ – O‬מרכז הסימטריה‬
‫סימטריה שיקופית‪,‬‬
‫שני קווי סימטריה‬
‫סימטריה שיקופית‪,‬‬
‫קו סימטריה אחד‬
‫‪O‬‬
‫סימטריה שיקופית‪,‬‬
‫חמישה קווי סימטריה‪.‬‬
‫סימטריה סיבובית‪ ,‬נקודת חיתוך של‬
‫קווי הסימטריה היא מרכז הסימטריה‪.‬‬
‫סימטריה שיקופית‪,‬‬
‫אין‪-‬סוף קווי סימטריה‪.‬‬
‫סימטריה סיבובית‪ ,‬נקודת חיתוך של‬
‫קווי הסימטריה היא מרכז הסימטריה‪.‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬מיון מרובעים‪) .‬פעילות קבוצתית(‬
‫התלמידים מקבלים כחמישה עשר מרובעים שונים )לפחות שניים מכל סוג(‪ :‬מרובעים סתמיים‬
‫)קמורים ולא‪-‬קמורים(‪ ,‬מקביליות‪ ,‬ריבועים‪ ,‬מלבנים‪ ,‬מעוינים‪ ,‬טרפזים‪ ,‬דלתונים )קמורים‬
‫ולא‪-‬קמורים(‪ .‬אין אומרים את שמות המרובעים בתחילת הפעילות‪ .‬התלמידים מתבקשים‬
‫למיין את המרובעים לשתי קבוצות ולתאר את הקריטריון )תכונה( למיון‪.‬‬
‫מטרת הפעילות היא להגיע למיון מרובעים לסוגים שונים ולהתכונן להבנת קשרי ההכלה בין‬
‫סוגים שונים של מרובעים‪.‬‬
‫תחילה ייעשה המיון באופן חופשי‪ .‬סביר להניח שיהיו תלמידים שיחלקו את המרובעים לפי סוג‬
‫מיוחד של מרובעים לעומת כל יתר המרובעים‪ .‬דוגמה לתכונה זו היא "שני זוגות של צלעות‬
‫נגדיות שוות"‪ .‬חשוב לציין שבקבוצת המקביליות יהיו גם מעוינים‪ ,‬מלבנים וריבועים‪ ,‬כך שכבר‬
‫בשלב זה יוכלו התלמידים לראות את כל משפחת המקביליות ולקבל מושג ראשוני על קשרי‬
‫ההכלה בין המרובעים‪.‬‬
‫לפיכך חשוב להקפיד שכל המרובעים ימוינו באופן נכון‪ ,‬משום שאם למשל‪ ,‬מלבן לא יושם‬
‫בקבוצת המקביליות‪ ,‬התלמידים לא יקשרו אותו לתכונה שהוזכרה‪ .‬אם התלמידים לא בוחרים‬
‫אף תכונה שמביאה למיון הרצוי‪ ,‬יש לעזור להם על‪-‬ידי שאלות מהסוג‪" :‬האם תוכלו למצוא‬
‫תכונה אחרת למיון?"‪" ,‬האם תוכלו למצוא תכונה של צלעות למיון של המרובעים?"‪" ,‬אילו‬
‫תכונות של צלעות אתם מכירים?"‪" ,‬אילו תכונות של זוויות אתם מכירים?"‪ .‬אם התלמידים‬
‫עדיין אינם מגיעים למיון הרצוי‪ ,‬אפשר להדגים להם תכונה ולבקש למיין את המרובעים לפי‬
‫תכונה זו‪.‬‬
‫שימו לב לתלמידים צריכים להיות כלים לבדיקת התכונה‪ .‬כלומר צלעות משווים בעזרת רצועה‬
‫)לא חייבים למדוד בדיוק( או בעזרת סרגל )אם רוצים למדוד(‪ .‬צריך לבדוק כל מרובע )אם יש‬
‫ספק(‪ ,‬אך לעתים אפשר להסתפק בטביעת עין )לדוגמה‪ ,‬ברור שהצלעות אינן שוות(‪ .‬זווית ישרה‬
‫בודקים על‪-‬ידי זווית ישרה כלשהי‪ .‬שוויון זוויות אפשר לבדוק על‪-‬ידי העתקת זווית אחת על דף‬
‫שקוף או על‪-‬ידי מדידה במד‪-‬זווית‪.‬‬
‫להלן דוגמאות למרובעים ולקריטריונים למיון לקבוצות מרובעים מיוחדים‪.‬‬
‫הציורים המוגדלים נמצאים בנספח למדריך זה‪.‬‬
‫‪84‬‬
‫קריטריונים )תכונות( למיון‪:‬‬
‫א‪" .‬שתי צלעות מקבילות"‪ :‬בקבוצה ללא שם מיוחד יהיו טרפזים‪ ,‬מקביליות‪ ,‬מלבנים‪,‬‬
‫ריבועים‪ ,‬מעוינים; בקבוצה השנייה יהיו מרובעים סתמיים ודלתונים לא‪-‬מיוחדים‪.‬‬
‫ב‪" .‬שני זוגות של צלעות מקבילות"‪ :‬בקבוצה אחת יהיו מקביליות‪ ,‬כולל מלבנים‪ ,‬ריבועים‬
‫ומעוינים; בקבוצה השנייה יהיו מרובעים סתמיים‪ ,‬דלתונים לא‪-‬מיוחדים וטרפזים‪.‬‬
‫ג‪" .‬שני זוגות של צלעות נגדיות שוות"‪ :‬בקבוצה אחת יהיו מקביליות‪ ,‬כולל מלבנים‪ ,‬ריבועים‬
‫ומעוינים; בקבוצה השנייה יהיו מרובעים סתמיים‪ ,‬דלתונים לא‪-‬מיוחדים וטרפזים‪ .‬מעניין‬
‫שבמיון לפי קריטריונים שונים בסעיפים ב' ו‪ -‬ג' מקבלים אותן הקבוצות‪.‬‬
‫ד‪" .‬כל הצלעות שוות זו לזו"‪ :‬בקבוצה אחת יהיו מעוינים‪ ,‬כולל ריבועים; בקבוצה השנייה‬
‫יהיו מרובעים סתמיים‪ ,‬דלתונים לא‪-‬מיוחדים‪ ,‬טרפזים‪ ,‬מקביליות לא‪-‬מיוחדות ומלבנים‬
‫לא‪-‬מיוחדים‪.‬‬
‫ה‪" .‬כל הזוויות ישרות"‪ :‬בקבוצה אחת יהיו מלבנים‪ ,‬כולל ריבועים; בקבוצה השנייה יהיו‬
‫מרובעים סתמיים‪ ,‬דלתונים לא‪-‬מיוחדים‪ ,‬טרפזים‪ ,‬מקביליות לא‪-‬מיוחדות ומעוינים לא‪-‬‬
‫מיוחדים‪.‬‬
‫ו‪" .‬למרובע יש רק קו סימטריה אחד"‪ :‬בקבוצה אחת יהיו דלתונים לא‪-‬מיוחדים וטרפזים‬
‫שווי‪-‬שוקיים; בקבוצה השנייה יהיו מרובעים סתמיים‪ ,‬מקביליות‪ ,‬טרפזים שאינם שווי‪-‬‬
‫שוקיים‪ ,‬מעוינים‪ ,‬מלבנים וריבועים‪.‬‬
‫ז‪" .‬למרובע יש סימטריה סיבובית"‪ :‬בקבוצה אחת יהיו מקביליות‪ ,‬כולל מלבנים‪ ,‬מעוינים‬
‫וריבועים; בקבוצה השנייה יהיו מרובעים סתמיים‪ ,‬דלתונים לא‪-‬מיוחדים וטרפזים‪ .‬כדאי‬
‫להשוות בין הקבוצות ב' ו‪ -‬ג'(‪.‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫• סביר להניח שרוב התלמידים לא יבחרו בתכונות ו' ו‪-‬ז' למיון‪.‬‬
‫• אפשר להסתפק בחלק מהמיונים‪ .‬מה שחשוב הוא שהתלמידים יבינו שבחירת תכונה‬
‫מייחדת חלק מהמרובעים‪ ,‬וכך מתקבלים מרובעים מיוחדים‪ .‬פעילות זו תעזור גם בהבנת‬
‫קשרי ההכלה בהמשך‪.‬‬
‫פעילות ב‪ :‬חקירת סימטריה במרובעים‪.‬‬
‫התלמידים מקבלים מרובעים גזורים ומתבקשים לבדוק אם כל מרובע הוא סימטרי‪ .‬בודקים‬
‫סימטריה שיקופית על‪-‬ידי קיפול‪ .‬אם שני חלקי המרובע שהתקבלו בקיפול מתלכדים‪ ,‬למרובע‬
‫יש סימטריה שיקופית‪ ,‬וקו הקיפול הוא קו הסימטריה‪.‬‬
‫להלן המרובעים שיש להם סימטריה שיקופית‪ ,‬ומספר קווי הסימטריה שלהם‪.‬‬
‫הערה‪ :‬קו סימטריה הוא ישר‪.‬‬
‫דלתון‪ -‬קו‬
‫סימטריה אחד‬
‫מעוין‪ -‬שני‬
‫קווי סימטריה‬
‫ריבוע ‪ -‬ארבעה‬
‫קווי סימטריה‬
‫טרפז שווה‪-‬שוקיים ‪-‬‬
‫קו סימטריה אחד‬
‫‪85‬‬
‫מלבן ‪ -‬שני‬
‫קווי סימטריה‬
‫כדי לבדוק אם קימת סימטריה סיבובית‪ ,‬מעתיקים את המרובע הנבדק על דף שקוף ומסובבים‬
‫את ההעתק סביב נקודת )מרכז( הסיבוב‪ .‬לצורה יש סימטריה סיבובית אם במהלך סיבוב שלם‬
‫ההעתק מתלכד עם המקור לפחות פעם אחת‪ ,‬פרט לסיבוב שלם ופרט לסיבוב של ‪.00‬‬
‫להלן המרובעים שיש להם סימטריה סיבובית‪ ,‬וזוויות הסיבוב האפשריות‪ ,‬פרט לסיבוב שלם‪.‬‬
‫מקבילית‬
‫)סיבוב של ‪(1800‬‬
‫מעוין‬
‫)סיבוב של ‪(1800‬‬
‫מלבן‬
‫)סיבוב של ‪(1800‬‬
‫ריבוע )סיבובים של ‪,900‬‬
‫של ‪ 1800‬ושל ‪(2700‬‬
‫שימו לב‪ :‬מרכז הסימטריה של המרובע הוא נקודת החיתוך של אלכסוניו‪ .‬אם לצורה יש‬
‫סימטריה שיקופית‪ ,‬מרכז הסימטריה הסיבובית הוא נקודת החיתוך של קווי הסימטריה‪.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬מרובעים ואלכסוניהם‪.‬‬
‫התלמידים מקבלים דף שמצוירים בו מרובעים שונים‪ .‬התלמידים מתבקשים לסרטט ולתאר‬
‫את האלכסונים של כל מרובע‪ :‬שווים או אינם שווים באורכם‪ ,‬מאונכים או אינם מאונכים זה‬
‫לזה‪ ,‬חוצים זה את זה‪ ,‬רק אחד חוצה את האחר‪ ,‬חוצים את זוויות המרובע‪.‬‬
‫מותר להשתמש בכלים שונים להשוואה בין האורכים או בין הזוויות‪ ,‬כגון במשולש סרטוט‬
‫)לבדיקת זווית ישרה( או בכל זווית ישרה אחרת‪ ,‬בסרגל או ברצועה וכן במד‪-‬זווית‪.‬‬
‫בתום הפעילות דנים בדרכי ההשוואה ובמסקנות של התלמידים‪ .‬דיון נוסף הוא במושג‬
‫המתמטי "חוצה" ובשימושו בחיי היום‪-‬יום‪ .‬יש להדגיש שבמתמטיקה )בניגוד לחיי היום‪-‬יום(‬
‫המילה "חוצים" מתייחסת לשני חלקים שווים‪.‬‬
‫לפניכם דוגמאות למרובעים‪.‬‬
‫הציורים מוגדלים נמצאים בנספח למדריך זה‪.‬‬
‫שימו לב שהאלכסונים במרובע זה‬
‫מאונכים זה לזה ושווים זה לזה‪ ,‬והוא‬
‫אינו מרובע מיוחד‪ .‬חשוב להראות‬
‫לתלמידים את הדוגמה‪.‬‬
‫פעילות ד‪ :‬מרובעים ואלכסוניהם )פעילות הפוכה לפעילות הקודמת(‪.‬‬
‫התלמידים מקבלים דף שמסורטטים בו זוגות של קטעים שהם אלכסונים של מרובע‪ .‬עליהם‬
‫לתאר את זוגות הקטעים הנתונים )האלכסונים(‪ :‬שווים או אינם שווים באורכם‪ ,‬מאונכים או‬
‫אינם מאונכים זה לזה‪ ,‬חוצים זה את זה או רק אחד חוצה את האחר‪ .‬כמו‪-‬כן עליהם לסרטט‬
‫מרובע מתאים ולתאר את סוגו )מקבילית‪ ,‬דלתון וכדומה(‪.‬‬
‫להלן דוגמאות לזוגות של קטעים‪) .‬חשוב להקפיד על מיקום הקטעים במישור‪ ,‬וחשוב לסרטט‬
‫אפשרויות שונות ככל האפשר‪(.‬‬
‫הציורים נמצאים בהגדלה‬
‫בנספח למדריך זה‪.‬‬
‫‪86‬‬
‫השיעור בספר הלימוד‬
‫האם אנו מוכנים? – תשובות‪:‬‬
‫‪ .4‬ג;‬
‫‪ .3‬ג;‬
‫‪ .1‬א; ‪ .2‬ג;‬
‫‪ .6‬ב‪.‬‬
‫‪ .5‬ב;‬
‫לעלות על הגל‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :185‬ישרים מאונכים‬
‫בשיעור זה חוזרים על המושג "ישרים מאונכים"‪" :‬ישרים הנחתכים בזווית של ‪ ."900‬חשוב‬
‫לחזור על סימון המאונכות בסרטוט ובכתיבה ולהראות לתלמידים שימושים נוספים למושג‬
‫ֶכת לקרן‪.‬‬
‫"מאונכוּת"‪ :‬קטע מאונך לקטע‪ ,‬קטע מאונך לישר‪ ,‬קטע מאונך לקרן‪ ,‬קרן מאונ ֶ‬
‫בספרות מוגדרים קטעים מאונכים באופנים שונים‪ .‬ב"חשבון ‪ "10‬קטעים מאונכים הם כל שני‬
‫קטעים הנמצאים על ישרים מאונכים‪ ,‬גם אם הקטעים אינם נחתכים‪ .‬כך יימנעו בעיות‬
‫בהגדרת המושג "גובה במשולש קהה‪-‬זווית"‪ .‬באופן דומה מגדירים גם קרן וקטע מאונכים‬
‫וכדומה‪ .‬הזכירו לתלמידים כיצד בודקים מאונכוּת )בעזרת זווית ישרה(‪ .‬בעזרת משולש סרטוט‬
‫בונים גם ישרים מאונכים‪ .‬הקפידו על סרטוט נכון של ישרים ושל קרניים‪ .‬ב"חשבון ‪ "10‬מקובל‬
‫לסרטט ישר בקווקו בשני קצותיו וקרן בקווקו בקצה אחד כדי להדגיש את האין‪-‬סופיות של‬
‫הישר משני צדדיו ושל הקרן בצד אחד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬בסעיפים א' ו‪ -‬ד' הישרים מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימת יישום‪ .‬הישרים המאונכים לישר הנתון מופיעים מימין לשמאל בסדר‬
‫הבא‪ :‬הראשון‪ ,‬השלישי‪ ,‬החמישי‪ ,‬השמיני והעשירי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬עודדו את התלמידים להשתמש בכלי סרטוט‪ ,‬לדוגמה במשולש סרטוט‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬זוגות של קטעים מאונכים‪ :‬א' ו‪ -‬ג'‪ ,‬ה' ו‪ -‬ו'‪ ,‬ו' ו‪ -‬ז'‪ ,‬ח' ו‪ -‬ה' )נוסף על הדוגמה(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬משימת יישום‪ .‬גם כאן הקפידו על שימוש בכלי סרטוט לסרטוט קטעים‪ ,‬כי‬
‫קטע הוא חלק של ישר‪ ,‬ולא של קו אחר כלשהו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬יש לעודד את התלמידים להשתמש במשולש סרטוט‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬במשימה הקודמת קיימות אין‪-‬סוף אפשרויות‪ .‬כאשר קובעים נקודה מחוץ‬
‫לישר‪ ,‬נותרת רק אפשרות אחת‪ .‬תכונה זו נובעת מאקסיומת אוקלידס‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬זיהוי זוויות ישרות‪ .‬התלמידים צריכים להבין שהסימון הוא תוספת לזווית‪,‬‬
‫ולא חלק ממנה‪ .‬יש שני זוגות של צלעות מאונכות‪ DC ⊥CB :‬ו‪.AB ⊥CB -‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬הרחבה של השיעור‪ .‬גם קרן יכולה להיות מאונכות גם לקרן אחרת ‪ .‬יש אין‪-‬‬
‫סוף קרניים מאונכות לקרן נתונה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :187‬ישרים מקבילים‬
‫בשיעור זה חוזרים על המושג "ישרים מקבילים"‪ .‬הזכירו לתלמידים דרכים לבדיקת מקבילוּת‬
‫של ישרים‪ :‬בעזרת הזזה‪ ,‬בעזרת קטע המאונך לשני הישרים וגם בטביעת עין‪ .‬כמו במאונכוּת‬
‫גם במקבילוּת מרחיבים את התחום‪ :‬ישר מקביל לקטע‪ ,‬קטע מקביל לקטע‪ ,‬קטע מקביל לקרן‪,‬‬
‫קרן מקבילה לקרן‪ .‬די שקווים אלו יהיו על ישרים מקבילים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬בסעיפים ב' ו‪ -‬ד' הישרים הם מקבילים‪.‬‬
‫‪87‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬לסרטוט ישרים מקבילים אפשר להיעזר ברשתות הנתונות ובהזזה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬אפשר לציין מקבילוּת בעזרת הסימן ||‪ .‬שימו לב‪ :‬מאונכוּת יכולה להתקיים‬
‫בין שני ישרים בלבד או בין שני קטעים בלבד וכדומה‪ .‬לעומת זאת מקבילוּת יכולה להתקיים‬
‫בין יותר משני ישרים או קטעים וכדומה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬בתרגיל זה שתי קבוצות של קטעים‬
‫המקבילים זה לזה‪ :‬ב || ג || ה || ז; א || ד || ו || ח‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :14-13‬פיתוח מיומנות סרטוט‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :189‬מרובע‬
‫בשיעור זה חוזרים על המושג "מרובע" ועל המושגים הקשורים לו‪" :‬קדקודים"‪" ,‬זוויות"‬
‫ו"צלעות"‪ .‬התלמידים נוטים לחשוב בטעות שקדקודים הקרובים זה לזה הם קדקודים‬
‫סמוכים‪ ,‬ואלה שרחוקים זה מזה הם נגדיים‪ .‬הדבר אינו תמיד נכון‪ ,‬כי רק קדקודים שהם‬
‫הקצוות של אותה צלע‪ ,‬הם קדקודים סמוכים‪ .‬דוגמה‪ :‬קדקודים ‪ B‬ו‪ D -‬הם קדקודים נגדיים‪,‬‬
‫‪B‬‬
‫ואילו ‪ B‬ו‪ C -‬הם קדקודים סמוכים‪C .‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫משימות מס' ‪ :17 - 15‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬משימת יישום‪ .‬ב( במרובע כל קדקוד סמוך לשני קדקודים‪ ,‬וכל זווית סמוכה‬
‫לשתי זוויות‪ ,‬לכן יש שני פתרונות לכל שאלה‪ :‬הזוויות ‪ A‬ו‪ C -‬סמוכות לזווית ‪ ,B‬והצלעות‬
‫‪ BC‬ו‪ AD-‬סמוכות לצלע ‪ AB‬ד( במרובע קיימים ארבעה זוגות של צלעות סמוכות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬אפשר לסרטט אין‪-‬סוף מרובעים כאשר צלע אחת נתונה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬זיהוי קדקודים סמוכים ונגדיים‪ ,‬זוויות סמוכות ונגדיות וצלעות סמוכות‬
‫ונגדיות‪ .‬יש להזכיר ש"נגדיות" קיימת רק במרובעים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬הטעות הנפוצה היא לומר שיש רק שני זוגות של זוויות סמוכות או של צלעות‬
‫סמוכות‪ ,‬בשעה שיש ארבעה זוגות כאלה לזוויות‪ ,‬לקדקודים ולצלעות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬פיתוח מיומנות סרטוט לפי תנאים‪.‬‬
‫ב( לפי התנאים יש שתי אפשרויות לכל אחת מהנקודות ‪ C, F, A‬ו‪.D -‬‬
‫‪C D‬‬
‫‪FA‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪DC‬‬
‫‪B‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :192‬זוויות במרובע‬
‫בשיעור זה חוזרים על המושג "זווית במרובע"‪ ,‬שהוא מקרה פרטי של המושג "זווית במצולע"‪,‬‬
‫ועל סוגיהן האפשריים של הזוויות במרובע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬בסעיף א' יכול להיות מרובע שיש לו שתיים או ארבע זוויות ישרות‪ ,‬כי אם‬
‫במרובע יש שלוש זוויות ישרות‪ ,‬גם הזווית הרביעית היא ישרה‪ ,‬ולכן המרובע הוא מלבן או‬
‫‪88‬‬
‫ריבוע‪ .‬בסעיף ב' ייתכן מרובע שיש בו שתי זוויות ישרות בלבד‪ ,‬ובזה סעיף זה שונה מהסעיף‬
‫הקודם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬משימת יישום‪ .‬התלמידים יכתבו במשבצות את שמות הזוויות המתאימות‬
‫לכותרת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬פיתוח מיומנות סרטוט באילוץ אחד‪ .‬יש אין‪-‬סוף אפשרויות‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :193‬אלכסונים במרובע‬
‫בשיעור זה חוזרים על המושג "אלכסון"‪ .‬הראו לתלמידים שהאלכסון של מרובע יכול להיות‬
‫בתוך המרובע או מחוצה לו‪ .‬הדגישו והדגימו גם מקרים של אלכסון בכיוון שאינו מתאים‬
‫לאינטואיציות‪ :‬מאוזן או מאונך ביחס לשולי הדף‪ .‬הזכירו לתלמידים שהמושג "אלכסון"‬
‫במתמטיקה שונה מהמושג "אלכסון" בחיי היום‪-‬יום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬משימת יישום‪ .‬חשוב לוודא שבכל מרובע יסורטטו שני אלכסונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬משימת יישום‪ .‬דונו עם התלמידים באלכסון במישור‪ :‬הוא קטע המחבר בין‬
‫שני הקדקודים הנגדיים של המרובע‪ ,‬והוא יכול להיות בכיוון "מאונך"‪" ,‬מאוזן" או "נטוי"‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :194‬סימטריה‬
‫בשיעור זה חוזרים על המושגים "סימטריה שיקופית" ו"סימטריה סיבובית" של צורה‪.‬‬
‫במתמטיקה מבחינים גם ב"סימטריית הזזה"‪ ,‬אך לא בבית הספר היסודי‪ .‬התלמידים הכירו‬
‫את המושגים בשנים קודמות‪ ,‬וחשוב לחזור עליהם‪ ,‬כי בהמשך הפרק הם יצטרכו לחקור את‬
‫הסימטריות של המרובעים‪ .‬הזכירו לתלמידים כיצד בודקים אם לצורה יש "סימטריה‬
‫שיקופית" או "סימטריה סיבובית"‪ .‬התלמידים הצעירים מבצעים בדיקה אופרטיבית שאינה‬
‫פורמלית‪ .‬את ה"סימטריה השיקופית" אפשר לבדוק על‪-‬ידי קיפול הצורה לאורך ישר הנבחר‬
‫כקו סימטריה )כשם שבודקים שיקוף בקיפול לאורך קו השיקוף(‪ .‬אם שני חלקי הצורה‬
‫המקופלת מתלכדים זה עם זה )מכסים בדיוק זה את זה(‪ ,‬לצורה יש סימטריה שיקופית‪ ,‬וקו‬
‫הקיפול הוא קו הסימטריה‪ .‬יש צורות שאין להן סימטריה שיקופית‪ ,‬יש צורות שיש להן קו‬
‫סימטריה אחד או יותר‪ ,‬וקיימות צורות )לדוגמה‪ ,‬עיגול( שיש להן אין‪-‬סוף קווי סימטריה‪.‬‬
‫שימו לב שגם אם ישר מחלק צורה לשני חלקים חופפים )זהים(‪ ,‬הישר אינו בהכרח קו‬
‫סימטריה )לדוגמה‪ ,‬הישר העובר דרך האלכסון במקבילית לא‪-‬מיוחדת אינו קו סימטריה‪ ,‬אף‪-‬‬
‫על‪-‬פי שהוא מחלק את המקבילית לשני משולשים חופפים(‪ .‬את ה"סימטריה הסיבובית"‬
‫בודקים אופרטיבית על‪-‬ידי העתקת הצורה הנתונה לדף שקוף וסיבובו של ההעתק סביב‬
‫הנקודה שנבחרה להיות נקודת )מרכז( הסיבוב‪ .‬כדי לבצע את הסיבוב מניחים את ההעתק על‬
‫הצורה הנתונה כך שהמקור וההעתק יתלכדו‪ ,‬ונועצים קלות )בעזרת עיפרון או סיכה( את שתי‬
‫הצורות יחד במרכז הסיבוב‪ .‬לאחר מכן מסובבים את ההעתק‪ .‬אם במהלך סיבוב שלם )‪(3600‬‬
‫ההעתק התלכד עם הצורה הנתונה לפחות פעם אחת )פרט לסיבוב השלם(‪ ,‬לצורה יש סימטריה‬
‫סיבובית‪ ,‬והנקודה שהסיבוב נעשה סביבה היא נקודת )מרכז( הסימטריה‪ .‬הסבו את תשומת‬
‫לבם של התלמידים‪ ,‬שאם הם הגיעו למסקנה שלצורה אין סימטריה‪ ,‬על‪-‬סמך קיפול או סיבוב‬
‫שהם עשו‪ ,‬ייתכן שהם אינם צודקים‪ .‬ייתכן שהישר הנבחר על‪-‬ידי התלמידים כקו סימטריה‪,‬‬
‫אינו קו סימטריה‪ ,‬וקיים ישר אחר שהוא קו סימטריה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬התלמידים סוברים בטעות‬
‫שאלכסון של מלבן הוא קו סימטריה‪ .‬בקיפול הם מגלים שזה לא נכון‪ ,‬ומגיעים למסקנה שגויה‬
‫שלמלבן אין סימטריה שיקופית‪ .‬הדבר אינו נכון‪ ,‬כי קווי הסימטריה של המלבן הם הישרים‬
‫העוברים דרך אמצעי הצלעות הנגדיות שלו‪ .‬דבר דומה יכול לקרות גם בסימטריה הסיבובית‪.‬‬
‫כאן יש להקפיד גם על הדיוק האפשרי בהעתקה ובביצוע של הסיבוב‪ .‬לפני ביצוע פעילויות‬
‫מעשיות חשוב להתבונן בצורה ולשער אם היא סימטרית‪ .‬התבוננות כזו מפתחת לתלמידים‬
‫כושר ראייה מרחבית‪ ,‬שהוא אחת המטרות בלימודי הגאומטריה בבית הספר היסודי‪.‬‬
‫‪89‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬משימת יישום‪ .‬את התשובות בודקים על‪-‬ידי קיפול הצורות המוגדלות‬
‫שגוזרים מהנספח‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬לתלמידים הזקוקים לכך יש לאפשר לבדוק את השערתם על‪-‬ידי קיפול‪ .‬הם‬
‫יוכלו לגזור את הצורות מהנספח שבסוף הספר ולקפל אותן‪ .‬דוגמאות לתשובות‪ :‬למשולש‬
‫שווה‪-‬צלעות שלושה קווי סימטריה‪ ,‬למשושה משוכלל שישה קווי סימטריה‪ ,‬למשושה לא‪-‬‬
‫משוכלל שני קווי סימטריה‪ .‬התלמידים יוכלו לבדוק את שוויון הצלעות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬התלמידים יגזרו את הצורות מהדף השקוף שבמארז האביזרים ויבדקו את‬
‫הסימטריה הסיבובית על‪-‬ידי סיבוב ההעתק סביב הנקודה המסומנת‪ .‬אם התלמידים לא רכשו‬
‫את מארז האביזרים‪ ,‬עליהם להעתיק את הצורות לדף שקוף ולגזור אותן‪ .‬מיומנות של בדיקה‬
‫כזו חשובה לתלמידים‪ ,‬אך הם עשויים להיתקל בבעיות מוטוריות‪ ,‬ולכן יידרש זמן לביצוע‬
‫המשימה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬חשוב שהתלמידים ישערו תחילה מה התשובה‪ ,‬ולאחר מכן הם יבדקו את‬
‫השערתם בעזרת דף שקוף‪ .‬אם התלמידים מתקשים במציאת נקודה שיכולה לשמש כמרכז‬
‫הסיבוב‪ ,‬עודדו אותם לחפש את מרכז הסיבוב ב"אמצע" הצורה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬אם למרובע יש סימטריה סיבובית‪ ,‬מרכז הסימטריה הוא נקודת החיתוך של‬
‫האלכסונים‪.‬‬
‫יחידת הלימוד ‪ -‬הקניה‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :196‬מיון מרובעים‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי א' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה עוסקים במיון מרובעים‪ .‬זוהי‬
‫תחילת הדרך להבנת הקשרים בין המרובעים השונים במשפחת המרובעים‪ .‬אם התלמידים‬
‫יבינו את העקרונות של מיון המרובעים לקבוצות שונות‪ ,‬הם יפנימו בקלות את קשרי ההכלה‬
‫במשפחת המרובעים‪ .‬במיונים שנעשים לפי תכונה אחת )או שתי תכונות יחד(‪ ,‬מתקבלות‬
‫קבוצות הכוללות מרובעים מסוגים שונים‪ ,‬שמתקיימת בהם התכונה הנבחרת‪ .‬בדרך זו אפשר‬
‫להבין כבר בשיעור זה שמלבן הוא מקבילית‪ ,‬כי לדוגמה‪ ,‬מלבן יהיה בקבוצה של המרובעים‬
‫שמתקיימת בהם התכונה "שני זוגות של צלעות נגדיות שוות"‪ ,‬והמרובעים שמתקיימת בהם‬
‫התכונה הזו הם מקביליות‪ .‬חשוב להדגיש שאי‪-‬אפשר להשיג את מטרת השיעור ללא ביצוע‬
‫פעילות הגילוי א' או כל פעילות אחרת הדומה להם‪ .‬התלמידים חייבים "לחוות" התלבטויות‬
‫משלהם בעניין ולהשתתף בתהליך של גילויים מסוגים שונים‪) .‬ראו גם הסבר לפעילות הגילוי‬
‫א'‪(.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬שימו לב שאין מגדירים את הקבוצה בשם‪ .‬אם יהיו תלמידים שיקראו לקבוצה‬
‫מעוינים‪ ,‬יש לקבל זאת‪ ,‬כי הדבר נכון‪ ,‬אך מטרת המשימה היא לראות את כל המרובעים‬
‫השייכים לקבוצה גם ללא השם המיוחד שלהם‪ ,‬כגון מעוינים וריבועים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬התכונה הנתונה למיון במשימה זו מובילה לחלוקת המרובעים לשתי קבוצות‪:‬‬
‫קבוצת המקביליות ויתר המרובעים‪ .‬בשלב זה מותר לא לתת שם למרובעים בקבוצה‪ ,‬אלא רק‬
‫לשייך לקבוצה את המרובעים המתאימים‪ .‬אם המיון נעשה נכון‪ ,‬בקבוצה שמתקיימת בה‬
‫התכונה יהיו מקביליות‪ ,‬מעוינים‪ ,‬מלבנים וריבועים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬התכונה‪ :‬למרובע יש צלעות מקבילות )אפשר גם לנסח אחרת(‪ .‬דונו עם‬
‫התלמידים בתכונה זו‪ .‬יש תלמידים שיגידו "בקבוצה שבימין לכל מרובע שתי זוויות שוות" ‪,‬‬
‫אך קיים מרובע כזה גם בקבוצה שבשמאל‪.‬‬
‫‪90‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬התכונה‪ :‬כל הצלעות במרובע שוות באורכן‪ ,‬וכל הזוויות ישרות )כל הזוויות‬
‫שוות(‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :198‬מרובעים מיוחדים‬
‫בשיעור זה מוצגות דרכים למיון מרובעים לשתי קבוצות‪ :‬מרובעים מיוחדים ומרובעים שאינם‬
‫מיוחדים‪ .‬לכל מרובע מיוחד יש תכונות מיוחדות ושם מיוחד‪ .‬שימו לב‪ :‬גם למרובעים הלא‪-‬‬
‫מיוחדים יכולות להיות תכונות מיוחדות‪ ,‬אך עדיין לא נותנים להם שם מיוחד‪ .‬לדוגמה‪,‬‬
‫למרובע שאין לו שם מיוחד יכולים להיות שני אלכסונים שווים ומאונכים זה לזה‪ .‬במקרים‬
‫כאלה יעסקו התלמידים בהמשך הפרק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬במשימה זו ממשיכים למיין את המרובעים‪ ,‬אך הפעם על התלמידים לציין את‬
‫שמות כל המרובעים שיש להם התכונה הנבדקת‪ .‬א( מעוין וריבוע; ב( מקבילית‪ ,‬מעוין‪ ,‬מלבן‬
‫וריבוע; ג( מקבילית‪ ,‬מעוין‪ ,‬מלבן וריבוע; ד( דלתון‪ ,‬מעוין וריבוע‪ .‬הערות‪ :‬תכונות שונות‬
‫שמוצגות בסעיפים ב' ו‪ -‬ג' הן הגדרות לאותה קבוצה של מרובעים‪ :‬מקביליות‪ .‬כלומר כל אחת‬
‫מהתכונות הללו יכולה להיות הגדרה של מקבילית‪ .‬תכונות כאלה נקראות "הגדרות שקולות"‬
‫)אין מגדירים לתלמידים את המושג הזה(‪ .‬בסעיף ד' הסבירו לתלמידים את המושג "זוגות‬
‫נפרדים"‪ :‬בכל זוג הצלעות לא חוזרות על עצמן‪ .‬לדוגמה‪ ,‬במרובע שבסרטוט שני זוגות של‬
‫צלעות סמוכות שוות זו לזו )‪ ,(AB = BC, BC = CD‬אך הזוגות אינם נפרדים‪ .‬בדלתון ובמעוין‬
‫יש זוגות כאלה‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫משימה מס' ‪ : 7‬א( הכנה למשימה הבאה‪.‬‬
‫ב( ו‪ -‬ג( זיהוי שם של מצולע לפי תכונה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ 8‬א( המרובעים שמתקיימת בהן תכונה זו הם מקבילית‪ ,‬מעוין‪ ,‬מלבן וריבוע‪.‬‬
‫ב( יש תלמידים המתקשים לסרטט מרובע לא מיוחד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬פיתוח מיומנות סרטוט‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬משימה דומה לקודמת‪ ,‬אך הפעם יש לזהות את המשולשים שנוצרו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬חקירת התכונות של צלעות מקבילית‪ .‬התלמידים בודקים שוויון של צלעות‬
‫נגדיות במקבילית על‪-‬ידי מדידה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬בדיקת מקבילוּת של צלעות נגדיות במקבילית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬חקירת תכונות הזוויות במקבילית‪ :‬הזוויות הנגדיות בה שוות במידתן‪,‬‬
‫וסכום כל שתי זוויות סמוכות הוא ‪ .1800‬התלמידים בודקים את התכונות על‪-‬ידי מדידה‬
‫וחישוב‪ .‬אם התלמידים אינם מגיעים ל‪) 1800 -‬לא תמיד המדידה מדויקת(‪ ,‬יש לבקש מהם‬
‫לחזור על המדידה ולוודא שמדדו נכון‪ .‬דונו עם התלמידים בתוצאות המדידה שלהם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬פיתוח מיומנות סרטוט של אלכסונים במקבילית‪.‬‬
‫‪91‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬חקירת תכונות האלכסונים של מקבילית שאינה מיוחדת‪ .‬התלמידים אמורים‬
‫להגיע למסקנה שהאלכסונים חוצים זה את זה‪ .‬אם התלמידים אינם מגיעים למסקנה זו‪ ,‬בקשו‬
‫מהם למדוד שוב את הקטעים‪ .‬דונו עם התלמידים בתוצאות המדידה שלהם‪ .‬דונו עם‬
‫התלמידים במשמעות המושג "חוצה" ובהבדלים בין משמעות המושג במתמטיקה ולבין‬
‫משמעותו בחיי היום‪-‬יום‪ .‬במתמטיקה "חוצה" פירושו "מחלק לחלקים שווים"‪ .‬בחיי היום‪-‬יום‬
‫יש למילה "לחצות" שימושים שונים שאינם קשורים לאמצע‪ ,‬לדוגמה‪ ,‬לחצות כביש‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬למקבילית אין סימטריה שיקופית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬למקבילית יש סימטריה סיבובית‪ .‬מרכז הסימטריה הוא נקודת חיתוך‬
‫האלכסונים‪ .‬המקבילית "מתלכדת עם עצמה" פעמיים במהלך סיבוב שלם‪ :‬בסיבוב ב‪1800 -‬‬
‫ובסיבוב ב‪.3600 -‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :202‬תכונות המקבילית‬
‫בשיעור זה מסכמים את תכונות המקבילית‪ ,‬שנחקרו קודם לכן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬תכונות המקבילית‪ .‬אין מודדים את הקטעים או את הזוויות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬אי‪-‬אפשר לבנות מקבילית‪ ,‬כי במקבילית יש שני זוגות של צלעות נגדיות‬
‫השוות זו לזו באורכן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬יש אין‪-‬סוף אפשרויות לתשובה נכונה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬שתי צלעות נגדיות באורך ‪1‬‬
‫ס"מ ושתי הצלעות הנגדיות האחרות באורך ‪ 2‬ס"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ 4 :23‬ס"מ ו‪ 3 -‬ס"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬פיתוח מיומנות סרטוט‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬מתקבל מעוין‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬הכוונה היא למקבילית שאינה מיוחדת‪ .‬התשובה בסעיפים א'‪ ,‬ב'‪ ,‬ד' ו‪ -‬ה'‬
‫היא "לא נכון"‪ .‬בסעיף ג' התשובה היא "נכון"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬א( מקבילית שכל זוויותיה שוות זו לזו היא מלבן או ריבוע )כמקרה פרטי(;‬
‫ב( מקבילית שכל צלעותיה שוות זו לזו היא מעוין או ריבוע )כמקרה פרטי(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬קיימות אין‪-‬סוף אפשרויות להשלמה‪ .‬אם התלמידים מתקשים‪ ,‬הציעו להם‬
‫להיעזר במשבצות המסורטטות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬פיתוח הבנה גאומטרית‪ .‬יש לעודד את התלמידים לנסח את הנימוק למשל כך‬
‫"לכל מרובע ארבע צלעות ‪,‬לכל מקבילית ארבע צלעות‪ ,‬לכן כל מקבילית הוא מרובע"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬לא‪ ,‬כי במידות הנתונות אין שני זוגות של צלעות שוות‪.‬‬
‫‪92‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬יש אין‪-‬סוף אפשרויות נכונות‪ .‬אחת האפשרויות‪ 1 :‬ס"מ ו‪ 3 -‬ס"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה‪ ,‬לכן המידות הן ‪ 4‬ס"מ ו‪ 5 -‬ס"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬משימת סרטוט המבוססת על התרגיל הקודם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬פיתוח כתיבה מדעית של תכונות‪ .‬השימוש באותיות לטיניות עלול להיות‬
‫קשה לכמה תלמידים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬פיתוח מיומנות מדידה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬מעוין או ריבוע‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :43 - 38‬במשימות אלו חוקרים את תכונות המעוין‪ .‬החקירה נעשית בדומה‬
‫לחקירת המקבילית )משימות מס' ‪.(17 - 11‬‬
‫במשימה מס' ‪ 38‬בודקים שוויון צלעות;‬
‫במשימה מס' ‪ 39‬בודקים שוויון זוויות נגדיות ומחשבים את הסכום של כל שתי זוויות‬
‫סמוכות; במשימה מס' ‪ 40‬מוודאים שהאלכסונים חוצים זה את זה ומאונכים זה לזה;‬
‫במשימה מס' ‪ 41‬מגיעים למסקנה שלמעוין יש סימטריה שיקופית ושני קווי הסימטריה עוברים‬
‫דרך אלכסוניו;‬
‫במשימה מס' ‪ 42‬בודקים סימטריה סיבובית‪ ,‬מרכז הסימטריה הוא נקודת חיתוך האלכסונים;‬
‫במשימה מס' ‪ 43‬מגלים שכל אלכסון במעוין הוא חוצה‪-‬הזוויות הנגדיות שהוא עובר דרכן‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :208‬תכונות המעוין‬
‫בשיעור זה מסכמים את תכונות המעוין‪ ,‬שנחקרו קודם לכן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :44‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :45‬דונו עם התלמידים בשאלה כיצד לסרטט מעוין על דף משבצות לפי התכונות‬
‫שנלמדו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :46‬פיתוח הבנה גאומטרית‪ .‬יש לעודד את התלמידים לנסח את הנימוק למשל‬
‫כך‪" :‬לכל מרובע ארבע צלעות ‪ ,‬כל מעוין הוא בעל ארבע צלעות‪ ,‬לכן כל מקבילית הוא מרובע"‪.‬‬
‫לכל מעוין ארבע צלעות שוות‪ ,‬יש מרובעים שאין להם ארבע צלעות שוות‪ ,‬לכן לא כל מרובע‬
‫הוא מעוין‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :47‬משימת יישום‪ .‬בסעיפים א' ‪ -‬ב' התשובה היא "לא"‪ .‬בסעיף ג' התשובה היא‬
‫"כן"‪ .‬בסעיף ד' יש טעות במידת הזוויות הנגדיות‪ :‬הן צריכות להיות שוות‪ .‬בסעיפים ה' ו‪ -‬ו'‬
‫אי‪-‬אפשר לבנות מעוינים‪ ,‬כי סכום כל שתי זוויות סמוכות צריך להיות ‪ .1800‬לפיכך אם הזוויות‬
‫חדות‪ ,‬הסכום קטן מ‪ ;1800 -‬ואם הזוויות קהות‪ ,‬הסכום גדול מ‪ .1800 -‬בסעיף ז' מתקבל ריבוע‬
‫שהוא מקרה פרטי של מעוין‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :48‬אפשר להיעזר בתכונת האלכסונים של מעוין‪ :‬הם חוצים זה את זה ומאונכים‬
‫זה לזה‪ .‬תחילה אפשר לסרטט אלכסון אחד ולמצוא את אמצעו )על‪-‬ידי סרגל או קיפול(‪ ,‬לאחר‬
‫מכן לסרטט אלכסון שני שיחצה את הראשון ויהיה מאונך לו‪ .‬האלכסונים אינם שווים )אם הם‬
‫יהיו שווים‪ ,‬נקבל רק ריבוע(‪ .‬בסוף מחברים את קצותיהם של האלכסונים בקטעים שהם‬
‫צלעות המעוין‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :49‬אלכסוני המעוין חוצים זה את זה ומאונכים זה לזה‪ .‬בעזרת תכונות אלו‬
‫מסרטטים את המעוינים שבמשימה‪.‬‬
‫‪93‬‬
‫משימה מס' ‪ :50‬פיתוח מיומנות סרטוט‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :51‬א( השוואה בין תכונות המעוין לבין תכונות המקבילית‪ .‬למעוין יש כל תכונות‬
‫המקבילית‪ ,‬אך לא כל תכונות המעוין קיימות במקבילית‪ .‬התכונות המשותפות הן תכונות‬
‫המקבילית‪ .‬ב( סיכום תכונות המקבילית והמעוין בעזרת טבלה‪ .‬על‪-‬סמך ההשוואה בין‬
‫התכונות מגיעים למסקנה שכל מעוין הוא מקבילית‪ ,‬אך לא כל מקבילית היא מעוין‪ .‬כלומר‬
‫מעוין הוא מקבילית מיוחדת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :52‬אפשר לבנות מעוין משני משולשים שווי‪-‬שוקיים זהים )חופפים( או מארבעה‬
‫משולשים ישרי‪-‬זווית חופפים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :53‬פיתוח מיומנות סרטוט‪ .‬התשובות במשימה זו ניתנות על‪-‬סמך המשימה‬
‫הקודמת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :54‬פיתוח מיומנות סרטוט‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :55‬פיתוח מיומנות לסרטוט מעוין בעזרת הדרכה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :56‬פיתוח מיומנות סרטוט‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :57‬אם גוזרים את המעוין לפי אחד האלכסונים מקבלים שני משולשים שווי‪-‬‬
‫שוקיים‪ .‬אם מחלקים את המעוין לארבעה משולשים חופפים‪ ,‬מתקבלים ארבעה משולשים‬
‫ישרי‪-‬זווית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :58‬פיתוח כתיבה מדעית של תכונות‪ .‬השימוש באותיות לטיניות עלול להיות‬
‫קשה לכמה תלמידים‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :63 - 59‬חקירת תכונות המלבן‪ .‬החקירה נעשית בדומה לחקירות של מקבילית‬
‫)משימות ‪ (17 - 11‬ושל מעוין )משימות ‪(.43 -38‬‬
‫משימה מס' ‪ 59‬בודקים שוויון של צלעות נגדיות;‬
‫במשימה מס' ‪ 60‬בודקים את זוויות המלבן;‬
‫במשימה מס' ‪ 61‬מוודאים שהאלכסונים חוצים זה את זה ושווים זה לזה;‬
‫במשימה מס' ‪ 62‬מגיעים למסקנה שלמלבן יש סימטריה שיקופית ושני קווי הסימטריה שלו‬
‫עוברים דרך אמצעי הצלעות הנגדיות;‬
‫במשימה מס' ‪ 63‬בודקים סימטריה סיבובית‪ ,‬מרכז הסימטריה הוא נקודת חיתוך האלכסונים‪.‬‬
‫אפשר לוותר על כמה מהתרגילים ולבקש מהתלמידים לכתוב את כל תכונות המלבן שהם‬
‫מכירים‪ ,‬כי הם למדו על המלבן בעיון בכיתה ד'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :64‬פיתוח הבנה גאומטרית‪ .‬רק ההיגדים א' ו‪-‬ג נכונים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :214‬תכונות המלבן‬
‫סיכום תכונות המלבן‪ ,‬שנחקרו קודם לכן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :65‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :66‬הבנייה מבוססת על הגדרת המלבן‪ :‬כל הזוויות ישרות‪ .‬יש אין‪-‬סוף פתרונות‬
‫נכונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :67‬בסעיפים א' ו‪ -‬ב' אפשר לבנות מלבן‪ ,‬ובסעיף ג' אי‪-‬אפשר לבנות מלבן‪ ,‬כי‬
‫האלכסונים במלבן שווים באורכם‪.‬‬
‫‪94‬‬
‫משימה מס' ‪ :68‬השוואה בין תכונות המקבילית לבין תכונות המלבן‪ .‬מגיעים למסקנה שכל‬
‫מלבן הוא מקבילית‪ ,‬אך לא כל מקבילית היא מלבן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :69‬מתחילים את הסרטוט באלכסון השני שאורכו שווה לאורך האלכסון הנתון‪.‬‬
‫האלכסונים חוצים זה את זה‪ .‬יש אין‪-‬סוף פתרונות נכונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :70‬פיתוח מיומנות סרטוט וניתוח הסרטוט‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :71‬פיתוח מיומנות סרטוט וניתוח הסרטוט‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :72‬לא‪ ,‬כי למשולש שווה צלעות זוויות של ‪ ,600‬ואי‪-‬אפשר לקבל זווית ישרה‬
‫בשום הצמדה של המשולשים‪ .‬אפשר לבנות מעוין‪ ,‬שמידות הזוויות בו יהיו ‪ 600‬ו‪.1200 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :73‬מתקבל ריבוע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :74‬דוגמה למלבן‪ ,‬ארבע זוויותיו שוות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :75‬פיתוח מיומנות סרטוט‬
‫משימה מס' ‪ :76‬התלמידים מכירים היטב את הריבוע ומסוגלים להיזכר בכל התכונות שלו‪,‬‬
‫שנלמדו בשנים קודמות‪ .‬לכן פעילות זו שונה מאופן החקירות הקודמות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :77‬תכונה נוספת של אלכסוני הריבוע‪ :‬האלכסונים מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :78‬לריבוע יש סימטריה שיקופית‪ .‬יש לו ארבעה קווי סימטריה‪ :‬שני קווי‬
‫סימטריה עוברים דרך האלכסונים‪ ,‬ושני קווי סימטריה עוברים דרך אמצעי הצלעות הנגדיות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :79‬לריבוע יש סימטריה סיבובית‪ .‬מרכז הסימטריה הוא נקודת מפגש‬
‫האלכסונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :80‬בדיקת תכונה נוספת של אלכסוני הריבוע – הם חוצים את זוויותיו הנגדיות‪,‬‬
‫שהאלכסונים עוברים דרכן‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :218‬תכונות הריבוע‬
‫סיכום תכונות הריבוע‪ ,‬שנחקרו קודם לכן‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :82 - 81‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :83‬סרטוט ריבוע על‪-‬סמך תכונות הצלעות והזוויות‪ :‬כל הצלעות שוות‪ ,‬וכל‬
‫הזוויות ישרות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :84‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :85‬חקירת סימטריוּת בריבוע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :86‬פיתוח מיומנות סרטוט‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :87‬פיתוח מיומנות מדידה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :88‬פיתוח הבנה גאומטרית‪ .‬דונו עם התלמידים בהסברים שלהם‪.‬‬
‫‪95‬‬
‫ומגיעים למסקנה שכל ריבוע‬
‫משימה מס' ‪ :89‬משווים בין תכונות הריבוע לבין תכונות המלבן ַ‬
‫הוא מלבן‪ ,‬אך לא כל מלבן הוא ריבוע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :90‬פיתוח הבנה גאומטרית‪ .‬התלמידים נדרשים לנתח מה משותף לריבוע‬
‫ולמלבן‪ ,‬אך לא לכל מקבילית‪ .‬למקבילית לא‪-‬מיוחדת אין זוויות ישרות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :91‬משווים בין תכונות הריבוע לבין תכונות המעוין ומגיעים למסקנה שכל ריבוע‬
‫הוא מעוין‪ ,‬אך לא כל מעוין הוא ריבוע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :92‬פיתוח הבנה גאומטרית‪ .‬למקבילית לא‪-‬מיוחדת ולמלבן לא‪-‬מיוחד אין‬
‫צלעות שוות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :93‬התשובה לשאלות א'‪ ,‬ג'‪ ,‬ד'‪ ,‬ט' ו‪ -‬י' היא "נכון"‪ .‬התשובה ליתר השאלות היא‬
‫"לא‪-‬נכון"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :94‬פיתוח מיומנות סרטוט‪ .‬מתקבל ריבוע‪.‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪222‬‬
‫סיכום מה שנלמד בפרק‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמודים ‪235 - 223‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת תרגול של זיהוי זוויות ישרות‪ .‬למעשה זיהוי הזוויות הישרות מוביל‬
‫לזיהויים של הישרים המאונכים זה לזה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימת תרגול של זיהוי ישר המאונך לישר הנתון‪ .‬הישר הראשון משמאל‬
‫מאונך לישר השחור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימת תרגול של סרטוט ישר המאונך לישר הנתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימת תרגול של סרטוט ישר המאונך לישר הנתון ועובר דרך נקודה נתונה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬משימת תרגול של סרטוט שלושה קטעים המאונכים לקטע הנתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬פיתוח מיומנות סרטוט של מחומש שבו יש שלושה זוגות של לצלעות‬
‫המאונכות זו לזו‪ .‬להלן דוגמה למחומש‪:‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬משימת בנייה זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה‪ .‬הנחו את‬
‫התלמידים להשתמש במשולש סרטוט‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬קטעים א' ג' ה' ו‪ -‬ז' מקבילים זה לזה‪.‬‬
‫כמו כן גם קטעים ב'‪ ,‬ד'‪ ,‬ו' ו‪ -‬ח' מקבילים זה לזה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬שני ישרים המאונכים לאותו הישר מקבילים זה לזה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬משימת תרגול של זיהוי ישרים מקבילים וכתיבתם בצורה פורמלית‪.‬‬
‫דוגמה‪d f :‬‬
‫‪96‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬אפשר לסרטט אינסוף ישרים מקבילים לישר הנתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬פיתוח מיומנות סרטוט במחברת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬אם מבצעים את הבנייה בדיוק‪ ,‬הקטעים ‪ CE‬ו‪ DF -‬יהיו מקבילים זה לזה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬התלמידים לומדים בצורה אינטואיטיבית את אחד מהיישומים של משפט תאלס‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬במרובעים א ו‪ -‬ב הצלעות ‪ AB‬ו‪ CD -‬הן צלעות נגדיות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬משימת תרגול של סימון אותיות במקום המתאים לפי התנאים המבוקשים‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬א( בסרטוט חמישה מרובעים שונים‪ :‬מרובע ‪ ,ABCD‬מרובע ‪ ,BCEF‬מרובע‬
‫‪ ,FEDC‬מרובע ‪ EDAC‬ומרובע ‪.AFED‬‬
‫ב( משימת תרגול של הבחנה בין קדקודים נגדיים לקדקודים סמוכים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬א( הצלע הנגדית לצלע ‪ EF‬היא ‪.HG‬‬
‫ב( הצלעות הסמוכות לצלע ‪ EF‬הן ‪ EH‬ו‪.FG -‬‬
‫ג( הזווית הנגדית ל‪ ∠E -‬היא ‪. ∠G‬‬
‫ד( הזוויות הסמוכות ל‪ ∠F -‬הן ‪ ∠E‬ו‪. ∠G -‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬פיתוח מיומנות סרטוט במחברת לפי תנאים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬משימת תרגול בנושר סוגי זוויות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬משימת תרגול של סרטוט אלכסונים במרובע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬א( כן‪ ,‬ב( לא‬
‫ג( כן‬
‫ד( לא ה( לא‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬קו סימטריה במרובע לא חייב להיות אלכסון‪ .‬דוגמה לכך ניתן לראות במלבן‪.‬‬
‫שני קווי הסימטריה שלו אינם אלכסונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬התלמידים יכולים למיין את המצולעים כראות עיניהם‪ .‬אחת הדרכים למיון‬
‫היא לפי מספר הצלעות של המצולעים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬משימת תרגול של זיהוי שמות המרובעים המיוחדים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬המשימה קשה עקב האילוצים‪ .‬א( יכולים להתקבל מלבן‪ ,‬ריבוע ‪,‬טרפז שווה‪-‬‬
‫שוקיים או מרובע כלשהו שהאלכסונים בו שווים‪ .‬מלבן או ריבוע מתקבלים רק כאשר‬
‫האלכסונים השווים חוצים זה את זה‪ .‬הצעה להשלמה‪ :‬תחילה מסרטטים את האלכסונים‬
‫ולאחר מכן מחברים בין קצותיהם ב( מלבן או ריבוע ג( מקבילית‪ ,‬מלבן‪ ,‬מעוין או ריבוע‪ .‬הצעה‬
‫‪97‬‬
‫לסרטוט‪ :‬תחילה בונים קטע מקביל ושווה לקטע הנתון‪ ,‬לדוגמה בעזרת הזזה של שתי משבצות‬
‫למטה ואחת ימינה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪:26‬הזדמנות לחזור על קשרי ההכלה של המרובעים‪ .‬המילה המתקבלת היא‬
‫"יפה"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬בסרטוט ‪ 7‬מקביליות )שני הקירות של הבית הם מלבן וריבוע‬
‫הגג הוא מקבילית‪ ,‬הדלת ‪ -‬ריבוע ושלושת החלונות ‪ -‬ריבועים(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬משימה זו מזמנת חזרה על תכונות הזוויות במקבילית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬משימה זו מזמנת חזרה על תכונות הזוויות והצלעות במקבילית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬מקבילית שאחת מזוויותיה היא ישרה היא מלבן‪ .‬שכן שאר הזוויות גם הן‬
‫ישרות )נובע מתכונות הזוויות במקבילית(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬מקבילית ששתי צלעות סמוכות שלה שוות היא מעוין‪) .‬נובע מתכונות הצלעות‬
‫של המקבילית(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬משימת סרטוט של מקבילית לפי נתונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬משימת סרטוט של מקבילית‪ ,‬כאשר אחת מצלעותיה מסורטט‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬המרובע שהתקבל הוא אכן מקבילית‪ .‬למקבילית יש שם נוסף והוא מעוין‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬משימת תרגול של תכונות הזוויות במקבילית‪ .‬הזוויות הנגדיות שוות זו לזו‪.‬‬
‫סכום כל שתי זוויות נגדיות במקבילית הוא ‪. 180 0‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬משימה זו מזמנת דיון למציאת שיטה לחישוב מספר המקביליות באיור‪.‬‬
‫ממספרים את הצורות "הקטנות" על ידי מספרים או אותיות ורושמים בצורה שיטתית את‬
‫המקביליות המורכבות מאחת‪ ,‬שתיים או שלוש מקביליות‪.‬‬
‫‪A B C‬‬
‫במקרה זה ‪ABC , BC , AB ,C ,B , A :‬‬
‫במקרה של ארבע מקביליות‪.ABCD,BCD,ABC ,CD ,BC ,AB ,D ,C ,B ,A :‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬פיתוח מיומנות סרטוט של מקבילית כאשר נתונים אורכי צלעותיה ומידות‬
‫זוויותיה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬בקשו מהתלמידים לסמן תחילה את הצורות ולאחר‪-‬מכן לצבוע אותן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :39‬משימת יישום של תכונות צלעות המעוין‪ .‬הצלעות במעוין שוות זו לזו‬
‫באורכן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬משימת תרגול של סרטוט מעוין‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬א( נכון ב( לא נכון‬
‫ג( נכון‬
‫ד( לא נכון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬אם מחברים את אמצעי הצלעות של המעוין בזה אחר זה‪ ,‬מתקבל מלבן‪.‬‬
‫‪98‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬ארבעת קדקודי המעוין נמצאים ביחס לדף בכיוון צפון‪ ,‬דרום‪ ,‬מזרח ומערב‪.‬‬
‫התלמידים יכולים לעבוד בשיטה שבה מוחקים נקודות שבוודאות לא יכולות לשמש כקדקודי‬
‫המעוין‪) .‬למשל שלוש נקודות הסמוכות מאוד זו לזו(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :44‬המשולש המסורטט הוא משולש ישר‪-‬זווית ושווה‪-‬שוקיים‪ .‬המשולש מהווה‬
‫רבע מהמעוין‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :45‬משימת תרגול של תכונות צלעות המלבן‪ .‬הצלעות הנגדיות במלבן שוות‬
‫באורכן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :46‬אלכסון במלבן מחלק את המלבן לשני משולשים ישרי‪-‬זווית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :47‬משימת סרטוט של מלבנים כאשר נתון אחד אלכסוניו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :48‬א( מקבילית; ב( מעוין; ג( מלבן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :49‬המרובע לא יכול להיות מלבן‪ ,‬מקבילית או מעוין‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :50‬יש שתי אפשרויות‪ :‬א( האלכסונים באורכים של ‪ 6‬ס"מ ו‪ 4 -‬ס"מ‪ ,‬וכל אלכסון‬
‫מתחלק לשני קטעים שווים באורכם על‪-‬ידי נקודת מפגש האלכסונים‪ .‬האלכסונים חוצים זה‬
‫את זה אך אינם שווים זה לזה‪ ,‬לכן מתקבלת מקבילית‪ .‬אם האלכסונים גם מאונכים זה לזה‪,‬‬
‫מתקבל מעוין‪.‬‬
‫ב( אורכי האלכסונים הם ‪ 5‬ס"מ ו‪ 5 -‬ס"מ‪ ,‬וכל אלכסון מתחלק לשני קטעים שאורכם ‪ 3‬ס"מ ו‪-‬‬
‫‪ 2‬ס"מ‪ .‬במקרה זה המרובע הוא טרפז שווה‪-‬שוקיים‪) .‬האלכסונים שווים באורכם ומתחלקים‬
‫ביחס שווה על‪-‬ידי נקודת המפגש‪ (.‬התלמידים עדיין לא למדו על הטרפז בעיון‪ ,‬אך הם יוכלו‬
‫לסרטט את המרובע ולראות שהוא טרפז‪ .‬חשוב שהתלמידים ימצאו גם את מקרה ב'‪.‬‬
‫ג( אורכי האלכסונים הם ‪ 6‬ס"מ ו‪ 4 -‬ס"מ או ‪ 5‬ס"מ ו‪ 5 -‬ס"מ‪ .‬ד( אי‪-‬אפשר לקבל מלבן‪ ,‬כי אם‬
‫האלכסונים שווים‪ ,‬הם אינם חוצים זה את זה; ואם הם חוצים זה את זה‪ ,‬הם אינם שווים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :51‬א( אם במרובע האלכסונים חוצים זה את זה‪ ,‬המרובע הוא מקבילית‪.‬‬
‫ב( אם במרובע האלכסונים מאונכים זה לזה וחוצים זה את זה‪ ,‬המרובע הוא מעוין‪.‬‬
‫ג( אם במרובע האלכסונים שווים זה לזה וחוצים זה את זה‪ ,‬המרובע הוא מלבן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :52‬הקטע ‪ DB‬הוא אלכסון במלבן‪ .‬האלכסון אינו חוצה את זוויות המלבן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :53‬משימת תרגול של סרטוט ריבוע כאשר נתון אחד מצלעותיו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :54‬למלבן‪ ,‬למעוין למקבילית ולריבוע יש סימטריה סיבובית‪.‬‬
‫המרובעים שבסרטוט מתלכדים עם המרובעים המקוריים בסיבוב שלם כדלהלן‪:‬‬
‫למלבן‪ ,‬למקבילית ולמעוין‪ :‬פעמיים ולריבוע ארבע פעמים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :55‬משימת תרגול של סרטוט ריבוע‪ ,‬כאשר נתון אלכסון הריבוע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :56‬משימה הקושרת בין אמנות )שימוש בצבעים שונים( לגאומטריה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :57‬דוגמה לשלבי הבנייה‪ .‬כדי לסרטט את המקבילית‪ ,‬מסרטטים אנך עזר לצלע‬
‫המלבן באורך כלשהו ומעבירים קטע שאורכו כאורך צלע המלבן והוא מאונך לאנך העזר‪.‬‬
‫מחברים בין הקדקודים‪ .‬כדי לבנות את המעוין‪ ,‬משני הקדקודים ה"פנויים" של המקבילית‬
‫מסרטטים שני קטעים המאונכים זה לזה באורך כלשהו )חצי של כל אלכסון(‪ ,‬ממשיכים כל‬
‫קטע באורך שווה ומחברים בין הנקודות‪ .‬מציירים ריבוע כך שהצורות האחרות יהיו זו‪.‬‬
‫‪99‬‬
‫משימה מס' ‪ :58‬משימה זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה‪ .‬במשימה נדרש סרטוט‬
‫של ריבוע ומעוין ומלבן שונים כך שהקטע המסורטט הוא אלכסון המשותף לשלושת‬
‫המרובעים‪.‬‬
‫שאלות מילוליות‪ ,‬עמוד ‪236‬‬
‫מומלץ לבצע את הפעילות בכיתה‪.‬‬
‫א( אורך הצלע של הריבוע הוא ‪ 9‬ס"מ‪.‬‬
‫ב( אורך הצלע של המעוין הוא ‪ 9‬ס"מ‪.‬‬
‫ג( המידות האפשריות של המלבנים הם‪:‬‬
‫מלבן א' – צלע א‪ 12 :‬ס"מ צלע ב'‪ 6 :‬ס"מ‪.‬‬
‫מלבן ב'‪ :‬צלע א‪ 10 :‬ס"מ צלע ב'‪ 8 :‬ס"מ‪.‬‬
‫ד( המידות האפשריות של הטרפז הן‪ 4 :‬ס"מ‪ 4 ,‬ס"מ‪ 4 ,‬ס"מ ו‪ 6 -‬ס"מ‪.‬‬
‫ה( המידות האפשריות לצלעות המקבילית דומות למידות האפשריות של המלבן‪.‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪237‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה ‪ :1‬א( משולש ‪ ECG‬מהווה‬
‫‪16‬‬
‫‪1‬‬
‫של הריבוע )החלק הצבוע(‪.‬‬
‫דוגמה ל‪-‬‬
‫‪32‬‬
‫מהריבוע‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫דוגמה ל‪-‬‬
‫‪64‬‬
‫של הריבוע )החלק הצבוע(‪.‬‬
‫יישומי מדע‪ ,‬עמוד ‪238‬‬
‫הרחבה והעמקה של הידע בנושא שנלמד‪ ,‬עיסוק בדיאגרמת וֶון‪ ,‬שאפשר לתאר בעזרתה קשרי‬
‫הכלה בין קבוצות שונות‪.‬‬
‫‪100‬‬
‫משימה מס' ‪:1‬‬
‫המכוניות של טל‬
‫מכוניות‬
‫מרוץ‬
‫משימה מס' ‪:2‬‬
‫מרובעים‬
‫מקביליות‬
‫משימה מס' ‪:3‬‬
‫מלבנים‬
‫ריבועים‬
‫משימה מס' ‪:4‬‬
‫הספרייה של שרה‬
‫ספרי לימוד‬
‫ספרי‬
‫הרפתקאות‬
‫ספרים‬
‫אחרים‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪239‬‬
‫חזרה על חומר שנלמד קודם‪ :‬חזקות‪ ,‬ארבע פעולות החשבון‪ ,‬חיבור של עשרות שלמות למספר‬
‫ועוד‪.‬‬
‫‪101‬‬
‫עמ' ‪265 - 240‬‬
‫ז‪ .‬שברים שווים‪ ,‬הרחבה וצמצום‬
‫רקע‬
‫הפרק עוסק בשברים שווים‪ ,‬בהרחבת שברים ובצמצום שברים‪ .‬נושאים אלה הם החשובים‬
‫מכל הנושאים הקשורים לשברים‪ .‬יש להם חשיבות רבה להבנה ולפעולה נכונה בשברים‬
‫ובמספרים עשרוניים וגם השפעה על לימוד אלגברה בשנים הבאות‪ .‬הדבר החשוב ביותר‬
‫שהתלמידים אמורים להבין הוא שעל‪-‬ידי צמצום שבר או הרחבתו מתקבל שבר הכתוב‬
‫במספרים אחרים )מונה ומכנה(‪ ,‬אך השבר החדש שווה לשבר המקורי‪ .‬במילים אחרות‪ ,‬לכל‬
‫שבר יש אין‪-‬סוף ייצוגים שונים‪.‬‬
‫תלמידי כיתה ה' אינם נדרשים לדעת לצמצם שבר בשלב אחד‪ ,‬אלא בכמה צעדים לפי יכולתם‪.‬‬
‫כדאי שהתלמידים המתקדמים יתנסו בצמצום בשלב אחד בלבד ויגיעו למחלק המשותף הגדול‬
‫ביותר למונה ולמכנה‪.‬‬
‫תלמידים )בעיקר הצעירים( נוטים לחשוב בטעות שפעולות צמצום והרחבה הן פעולות של כפל‬
‫שבר בשלם‪ ,‬אך אלה שני דברים שונים לגמרי‪ .‬למניעת טעות זו יש להדגיש לאורך כל‬
‫הפעילויות והמשימות‪ ,‬שכופלים )או מחלקים( את המונה ואת המכנה באותו מספר שלם )פרט‬
‫ל‪ .(0 -‬לעומת זאת בכפל שבר בשלם כופלים רק את המונה במספר השלם‪.‬‬
‫מושגים‬
‫שברים שווים‪ ,‬ייצוגים שונים של שברים‪ ,‬הרחבה‪ ,‬צמצום‪ ,‬גורם ההרחבה‪ ,‬גורם הצמצום‪,‬‬
‫מחלקים‪ ,‬כפולות‪ ,‬מחלק משותף‪ ,‬המחלק המשותף הגדול ביותר‪ ,‬מספר פריק‪ ,‬מספר ראשוני‪,‬‬
‫שבר מצומצם‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬להרחיב שבר;‬
‫ב‪ .‬לכתוב את גורם ההרחבה;‬
‫ג‪ .‬לצמצם שבר;‬
‫ד‪ .‬לכתוב את גורם הצמצום;‬
‫ה‪ .‬לכתוב ייצוגים שונים לשבר;‬
‫ו‪ .‬להשוות בין שברים בעזרת צמצום או הרחבה;‬
‫ז‪ .‬לייצג שבר ושבר מורחב;‬
‫ח‪ .‬לייצג שבר ושבר מצומצם;‬
‫ט‪ .‬לרשום שבר מצומצם כשלם;‬
‫י‪ .‬לחבר ולחסר שברים ולצמצם את התוצאה‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫"קיר שברים"‪ ,‬שברים על צירי המספרים‪ ,‬ריבועים לחלוקה‪.‬‬
‫אביזרי "חשבון ‪ :"10‬עיגולים נשלפים של שברים‪ ,‬עיגולים בפרגמנט‪ ,‬שברים בעיגולים‬
‫)שקף צבעוני(‪ ,‬שברים במלבנים )שקף צבעוני(‪.‬‬
‫מומלץ לבקש מהתלמידים לשמור את החלקים הנשלפים במעטפות נפרדות‪.‬‬
‫‪102‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על מספר ומחלקיו‪.‬‬
‫על הלוח רשומים מספרים פריקים וראשוניים‪ 19 ,5 ,75 ,39 ,48 ,25 ,16 :‬וכדומה‪ .‬מבקשים‬
‫מהתלמידים למצוא מחלקים לכל מספר‪ .‬אפשר לבקש מהתלמידים לחלק את המחלקים של‬
‫כל מספר לזוגות‪ ,‬שהמכפלה שלהם היא המספר‪ .‬לדוגמה‪ ,‬הזוגות של המספר ‪ 75‬יהיו ‪ 3‬ו‪,25 -‬‬
‫‪ 5‬ו‪ 1 ,15 -‬ו‪ .75 -‬לפעמים נקבל מספר שבאחד מן הפירוקים שלו נקבל שני גורמים שווים‬
‫)לדוגמה‪ .(16=4 × 4 ,‬במקרה זה המספר המקורי הוא הריבוע של הגורם הכפול‪.‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על מחלקים משותפים‪.‬‬
‫על הלוח רשומים זוגות של מספרים שונים‪ .‬המורה מבקשת מהתלמידים למצוא מחלקים‬
‫משותפים‪ .‬דוגמה לזוג מספרים‪ 35 :‬ו‪.49 -‬‬
‫ג‪ .‬חזרה על שטח המלבן‪.‬‬
‫על הלוח מצוירים שני מלבנים המרוצפים בריבועי יחידה‪ .‬המורה שואלת את התלמידים מהו‬
‫שטחו של כל אחד ממלבנים אלה ומה היקפו‪.‬‬
‫א‬
‫ב‬
‫חשוב להזכיר שיחידת השטח בכל אחד מהסרטוטים היא הריבוע המתאים‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ ,‬ובמלבן ב' זהו הריבוע‪:‬‬
‫במלבן א' זהו הריבוע‪:‬‬
‫את ההיקף מודדים ביחידות אורך‪ ,‬ובמקרה שלנו היחידה היא צלע של ריבוע‪.‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬מציירים על לוח מחיק עיגול אחד‪ .‬על התלמידים לחלק את העיגול לשלושה חלקים‬
‫שווים )תחילה עליהם לסמן את קווי החלוקה(‪ ,‬לצבוע שני חלקים מתוך השלושה ולרשום את‬
‫השבר שהתקבל בעקבות חלוקת העיגול וצביעת החלקים‪ .‬אחר‪-‬כך עליהם לחלק שוב את‬
‫העיגול בחלוקה אחרת במספר שונה‪ ,‬כך שיוכלו לייצג בצורה אחרת את השבר‪) .‬חלק מקווי‬
‫החלוקה החדשה יתלכדו עם קווי החלוקה הראשונה‪ (.‬שוב עליהם לרשום לכמה חלקים חילקו‬
‫את העיגול הפעם‪ ,‬כמה חלקים צבועים בחלוקה זו‪ ,‬ומהו השבר המתאים‪) .‬לדוגמה‪ ,‬אם‬
‫החלוקה היא לחמישה חלקים‪ ,‬קווי החלוקה אינם מתלכדים‪ .‬פירושו של דבר שהמשימה לא‬
‫בוצעה כראוי‪ (.‬החלוקה יכולה להיות ל‪ 6 -‬או ל‪ 9 -‬או ל‪ 12 -‬או ל‪ 15 -‬וכן הלאה )כלומר בכפולות‬
‫של ‪ .(3‬בדיון במליאה יעלו השאלות האלה‪" :‬האם השברים שרשמתם שווים או שונים? מדוע?‬
‫כיצד אפשר ליצור שברים שווים בעזרת חלוקת העיגול? כמה שברים כאלה נוכל ליצור?" אפשר‬
‫לארגן תחרות בין קבוצות )לפי יכולת התלמידים‪ ,‬אפשר להתחיל בשליש(‪.‬‬
‫חוזרים על הפעילות במלבן על‪-‬גבי דף משבצות‪.‬‬
‫‪103‬‬
‫פעילות ב‪ :‬משתמשים בעיגולים שבשקף הצבעוני‪ .‬כל עיגול מצויר בריבוע שקוף‪ .‬גוזרים את‬
‫הריבועים‪ .‬על התלמידים למצוא עיגולים שחלק מקווי החלוקה בהם מתלכדים )יותר מקו‬
‫אחד(‪.‬‬
‫התלמידים יכתבו מספר מסקנות על התלכדות העיגולים‪.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬התלמידים מתבקשים לחלק ריבוע ל‪ 16 -‬חלקים שווים‪ .‬דנים בדרכים שונות‬
‫לחלוקה‪) .‬לפי יכולת התלמידים‪ ,‬אפשר לתת ריבוע מחולק ל‪ 16 -‬ריבועים או ל‪ 16 -‬מלבנים‪(.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים לצבוע ארבעה חלקים שווים ולרשום שבר מתאים‪ .‬על התלמידים למצוא‬
‫חלוקה לפחות חלקים‪ ,‬כך שאפשר יהיה לתת שם לחלק הצבוע )כך שכל קווי החלוקה החדשה‬
‫יתלכדו עם חלק מקווי החלוקה הראשונה(‪ .‬התלמידים רושמים לכמה חלקים חילקו את‬
‫הריבוע‪ ,‬כמה חלקים צבועים בחלוקה זו‪ ,‬ומהו השבר המתאים‪) .‬לדוגמה‪ ,‬אם החלוקה היא‬
‫לחמישה חלקים‪ ,‬קווי החלוקה אינם מתלכדים‪ ,‬וזה אומר שהחלוקה לא בוצעה נכון‪(.‬‬
‫החלוקה יכולה להיות ל‪ 8 -‬או ל‪ 4 -‬חלקים שווים‪.‬‬
‫שואלים את התלמידים אם השברים הרשומים שווים‪ ,‬ומדוע‪.‬‬
‫מבקשים לגלות כיצד אפשר ליצור שברים שווים לשבר נתון בעזרת חלוקת הריבוע‪) .‬אפשר‬
‫להשתמש בשבר ארבע חלקי שש עשרה‪ (.‬מבקשים לגלות כמה שברים כאלה אפשר ליצור‪.‬‬
‫פעילות ד‪ :‬תלמיד ראשון בוחר שני מספרים קטנים מ‪) 20 -‬לדוגמה ‪ 7‬ו‪ (12 -‬תלמיד שני כותב‬
‫‪7‬‬
‫בעזרתם שבר קטן מ‪) 1 -‬לדוגמה‪,‬‬
‫(‪ .‬תלמיד שלישי כותב תבנית של שבר שהמונה שלו אינו‬
‫‪12‬‬
‫?‬
‫( תלמיד רביעי צריך‬
‫ידוע‪ ,‬והמכנה הוא כפולה של המכנה של השבר הראשון )לדוגמה‪,‬‬
‫‪24‬‬
‫לגלות את המונה‪ ,‬כך ששני השברים יהיו שווים‪ .‬חוזרים על הפעילות ארבע פעמים‪ ,‬ומחליפים‬
‫תפקידים‪.‬‬
‫אפשר לנהל פעילות זו במליאה‪.‬‬
‫פעילות ה‪ :‬כמו פעילות ד'‪ ,‬אבל הפעם התלמיד השלישי כותב תבנית של שבר שהמכנה שלו אינו‬
‫‪14‬‬
‫ידוע‪ ,‬והמונה הוא כפולה של המונה של השבר הראשון )לדוגמה‪,‬‬
‫(‪ .‬התלמיד הרביעי צריך‬
‫?‬
‫לגלות את המכנה‪ ,‬כך ששני השברים יהיו שווים‪ .‬חוזרים על הפעילות ארבע פעמים‪ ,‬ומחליפים‬
‫תפקידים‪.‬‬
‫פעילות ו‪ :‬כמו פעילות ד'‪ ,‬אבל הפעם התלמיד השני כותב שבר שווה ל‪.1 -‬‬
‫פעילות ז‪ :‬כמו פעילות ה'‪ ,‬אבל הפעם התלמיד השני כותב שבר גדול מ‪.1 -‬‬
‫פעילות ח‪ :‬תלמיד ראשון בוחר שני מספרים כך שאחד המספרים הוא כפולה של האחר‬
‫‪6‬‬
‫)לדוגמה‪ 18 ,‬ו‪ .(6 -‬תלמיד שני כותב בעזרתם שבר "אמתי" )קטן מ‪) (1 -‬לדוגמה‪,‬‬
‫(‪ .‬תלמיד‬
‫‪18‬‬
‫שלישי כותב תבנית של שבר שהמונה שלו אינו ידוע‪ ,‬והמכנה שלו הוא מחלק של המכנה של‬
‫?‬
‫השבר הראשון )לדוגמה‪ .( ,‬התלמיד הרביעי צריך לגלות את המונה‪ ,‬כך ששני השברים יהיו‬
‫‪9‬‬
‫שווים‪ .‬חוזרים על הפעילות ארבע פעמים‪ ,‬ומחליפים תפקידים‪.‬‬
‫אפשר לנהל פעילות זו במליאה‪.‬‬
‫פעילות ט‪ :‬כמו פעילות ח'‪ ,‬אבל הפעם לשני המספרים יהיו שני מחלקים משותפים )לדוגמה‪12 ,‬‬
‫ו‪.(18 -‬‬
‫‪104‬‬
‫פעילות י‪ :‬כמו פעילות ח'‪ ,‬אבל הפעם יהיו שני מספרים כלשהם‪) .‬לעתים לתלמיד השלישי‬
‫ולתלמיד הרביעי לא יהיה פתרון מלבד השבר עצמו‪ ,‬לדוגמה‪ 5 ,‬ו‪(.7 -‬‬
‫‪5 6 4 15‬‬
‫וכדומה‪ .‬התלמידים מתבקשים‬
‫‪,‬‬
‫‪, ,‬‬
‫פעילות יא‪ :‬על הלוח רשומים שברים‪:‬‬
‫‪20 18 6 10‬‬
‫למצוא את המחלקים של המונה ושל המכנה ומתוכם למצוא את המחלקים המשותפים של‬
‫המונה ושל המכנה‪.‬‬
‫השיעור בספר הלימוד‬
‫האם אנו מוכנים? – תשובות‪:‬‬
‫‪ .1‬ג; ‪ .2‬ד; ‪ .3‬א; ‪ .4‬ג; ‪ .5‬ד; ‪ .6‬ג; ‪ .7‬ב; ‪ .8‬ד‪.‬‬
‫לעלות על הגל‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :241‬סימני התחלקות‬
‫חזרה על סימני התחלקות במספרים ‪ ,9 ,5 ,3 ,2‬ו‪ ,10 -‬שהתלמידים כבר מכירים מכיתה ד'‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :2 - 1‬התלמידים מתבקשים להבחין במספרים שמתחלקים ב‪ ,2 -‬ב‪ ,3 -‬ב‪ ,5 -‬ב‪-‬‬
‫‪ ,9‬ב‪.10 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬מומלץ לעבוד בקבוצות‪ ,‬כך שכל קבוצה תפתור את סעיף א' או ב' בלבד ולאחר‬
‫דיון משותף יענו כולם על סעיף ג'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימה הפוכה‪ .‬התלמידים מתבקשים למצוא את המספרים שמתחלקים ב‪.10-‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬חזרה על השיעור‪ .‬התלמיד מיישם את נושא השיעור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬חזרה על השיעור‪ .‬התלמידים יפנימו את הכללים של המספרים המתחלקים ב‪-‬‬
‫‪.3‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬אפשר לחלק את הכיתה לקבוצות‪ .‬תחילה התלמידים צריכים לזהות וליישם‬
‫את הכללים של המספרים המתחלקים ב‪ 2-‬ושל המספרים המתחלקים ב‪ ,3-‬ובסעיף האחרון‪-‬ב‪-‬‬
‫‪.9‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :243‬מספר ראשוני ומספר פריק‬
‫חזרה על המושגים "מספר ראשוני" ו"מספר פריק"‪ .‬מדובר רק במספרים הטבעיים‪ .‬חשוב‬
‫להדגיש את הייחודיות של המספר ‪ :1‬הוא אינו פריק ואינו ראשוני‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬התלמידים מתבקשים לזהות את המספרים הראשונים שבטבלה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬במשימה הזו אפשר להיעזר מלוח המאה שבמשימה ‪.8‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬התלמידים נדרשים לבדוק את הכללים ‪ :‬אם המספר מתחלק ב‪ ,2 -‬ב‪ ,3 -‬ב‪5 -‬‬
‫או במספרים הראשוניים הקטנים מ‪.119 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬מציאת כל המספרים הראשוניים‪.‬‬
‫‪105‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :244‬פירוק לגורמים‬
‫בקטע זה חוזרים על פירוק לגורמים של מספרים שונים ועל המושגים הקשורים לכך‪ .‬יש‬
‫להדגיש בפני התלמידים שלכל מספר טבעי יש בוודאות שני גורמים‪ :‬הוא עצמו ו‪.1 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬מציאת כל הגורמים של המספר הנתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬מציאת כל הגורמים של המספר ‪.60‬‬
‫באמצעות מציאת כל הגורמים של המספר ‪ 36‬התלמיד לומד את המילה " ְמ ַח ֵלק"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬התלמידים נדרשים לפרק כל אחד מהמספרים הנתונים לשני גורמים שווים‪.‬‬
‫המספרים הנתונים נקראים מספרים ריבועיים‪ .‬אלו מספרים המתקבלים ממכפלת מספר‬
‫בעצמו‪ .‬זהו למעשה המשותף לכל המספרים האלה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬במשימה זו נדרשים התלמידים לרשום את כל הגורמים של המספר ‪.48‬‬
‫‪. 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬פעילות הפוכה לבדיקה אם מספר הוא מספר ראשוני או פריק‪ .‬אפשר לבנות‬
‫מספר מאותו גורם‪ ,‬לדוגמה ‪ .7x7=49‬סך הכול יש ‪ 15‬אפשרויות לבניית מספרים שונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬מציאת כל הגורמים של מספר‪ .‬משימה זו היא הכנה לצמצום שברים‬
‫ולמציאת מכנה משותף‪ .‬יש לשים לב שלמילוי משימה זו נדרש יותר זמן ממשימות אחרות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬יישום של משימה מס' ‪.18‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬התלמידים נדרשים למצוא את המחלקים של מספר נתון ואת התכונות של‬
‫המספרים הזוגיים והאי‪-‬זוגיים‪.‬‬
‫המספר הנתון‬
‫‪12‬‬
‫‪15‬‬
‫‪21‬‬
‫‪16‬‬
‫‪25‬‬
‫‪36‬‬
‫‪54‬‬
‫‪64‬‬
‫‪81‬‬
‫המחלקים של המספר הנתון‬
‫‪12 ,6 ,4 ,3 ,2 ,1‬‬
‫‪15 ,5 ,3 ,1‬‬
‫‪21 ,7 ,3 ,1‬‬
‫‪16 ,8 ,4 ,2 ,1‬‬
‫‪25 ,5 ,1‬‬
‫‪36 ,18 ,12 ,9 ,6 ,4 ,3 ,2 ,1‬‬
‫‪54 ,27 ,18 ,3 ,2 ,1‬‬
‫‪64 ,32 ,16 ,8 ,4 ,2 ,1‬‬
‫‪81 ,27 ,9 ,3 ,1‬‬
‫מספר המחלקים‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫ב( מספר המחלקים זוגי במספרים ‪ 21 ,15 ,12‬ו‪.54 -‬‬
‫ג( מספר המחלקים אי‪-‬זוגי במספרים‪ 64 ,36 ,25 ,16 :‬ו‪.81 -‬‬
‫ד( התכונה המשותפת למספרים שיש להם מספר מחלקים אי‪-‬זוגי היא שאלו מספרים ריבועיים‬
‫המתקבלים ממכפלת מספר בעצמו‪ .‬במילים אחרות‪ ,‬השורש הריבועי שלהם הוא מספר שלם‪.‬‬
‫ה( דוגמה למספר ריבועי נוסף שיש לו מספר מחלקים אי‪-‬זוגי‪ :‬המספר ‪ .49‬המחלקים שלו הם‪:‬‬
‫‪ 7 ,1‬ו‪ .49 -‬סה"כ שלושה מחלקים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬מציאה של כל הגורמים של מספר נתון‪.‬‬
‫‪120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5‬‬
‫‪72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3‬‬
‫‪106‬‬
‫יחידת הלימוד ‪ -‬הקניה‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :247‬שברים שווים‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי א' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה לומדים מהם "שברים שווים"‪.‬‬
‫המושג מוצג בייצוג של מלבן‪ .‬הבנה זו הכרחית למושגים "הרחבה וצמצום של השבר"‪ .‬הדגישו‬
‫לתלמידים שאפשר להציג כל שבר באין‪-‬סוף ייצוגים שונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬התלמידים מתבקשים למצוא מס' שמות שונים של אותו ייצוג שטח‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימה דומה למשימה הקודמת‪ ,‬אבל השבר שונה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬מציאת שמות שונים של שבר נתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬מציאת שמות שונים של שבר בייצוג קטעים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬מומלץ לבצע משימה זו בקבוצות ולראות בייצוג את האפשרויות השונות של‬
‫ייצוג אותו שבר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬התלמידים לומדים להבין את המושג "שבר" באמצעות ייצוג שטחים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬במשימה זו אפשר כבר להניח שהתלמידים מבינים מהו השבר‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :249‬הרחבה של שברים‬
‫חשוב להדגיש לתלמידים שהרחבה של שבר איננה כפל שבר בשלם‪ .‬כאשר כופלים שבר בשלם‪,‬‬
‫כופלים את המונה בלבד‪ ,‬והמכנה אינו משתנה‪ .‬כאשר מרחיבים שבר‪ ,‬כופלים באותו מספר‬
‫שלם )פרט ל‪ 0 -‬ול‪ (1 -‬גם את המונה וגם את המכנה‪ ,‬ושניהם משתנים )גדלים פי גורם הרחבה(‪.‬‬
‫הרחבת שבר היא דרך אחת להציג שבר בייצוגים שונים‪ ,‬ויש אין‪-‬סוף אפשרויות להרחבת‬
‫השבר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬משימת יישום‪ .‬מחפשים שבר מורחב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימת יישום‪ .‬מחפשים גורם הרחבה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬תחילה על התלמיד למצוא את גורם ההרחבה ולאחר מכן להשלים את השבר‬
‫המורחב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬קשר בין ייצוגים שונים של השבר לצורך השוואה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :250‬צמצום של שברים‬
‫בשיעור זה לומדים פעולה הפוכה להרחבת שבר ‪ -‬צמצום שבר‪ .‬גם כאשר מצמצמים את השבר‪,‬‬
‫מקבלים שבר השווה לשבר נתון‪ ,‬והפעם מחלקים את המונה ואת המכנה באותו מספר שלם‬
‫)פרט ל‪ 0 -‬ול‪ .(1 -‬בניגוד להרחבת שבר‪ ,‬שתמיד אפשר לבצע‪ ,‬הצמצום לא תמיד אפשרי‪ .‬שבר‬
‫שאי‪-‬אפשר לצמצמו נקרא "שבר מצומצם"‪ .‬יש להדגיש שפעולת צמצום אינה פעולת חילוק של‬
‫השבר במספר שלם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬משימת יישום‪ .‬מחפשים שבר מצומצם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬משימת יישום‪ .‬מחפשים את גורם הצמצום‪.‬‬
‫‪107‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬תחילה על התלמידים למצוא את גורם הצמצום ולאחר מכן להשלים את‬
‫החסר בשבר המצומצם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬ייצוג של צמצום השבר בקטעים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬על התלמידים להגיע לשבר המצומצם‪.‬‬
‫‪12 3‬‬
‫‪5 1‬‬
‫‪4 2‬‬
‫ג( =‬
‫ב( =‬
‫=‬
‫א(‬
‫‪20 5‬‬
‫‪15 3‬‬
‫‪6 3‬‬
‫‪16 8‬‬
‫=‬
‫ד(‬
‫‪30 15‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :251‬שבר מצומצם‬
‫בשיעור זה לומדים את המושג "שבר מצומצם"‪ ,‬כלומר שבר שאי‪-‬אפשר לצמצמו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬משימה זו מורכבת משולשה שלבים‪ :‬בשלב הראשון התלמידים נדרשים‬
‫למיין את השברים לשלוש קבוצות‪ .‬מיון השברים נעשה כך שבכל קבוצה יהיו שברים שווי‪-‬ערך‪.‬‬
‫בשלב השני התלמידים נדרשים למצוא שם לכל קבוצה‪ .‬השם הזה הוא למעשה השבר‬
‫המצומצם‪.‬‬
‫ובשלב השלישי התלמידים נדרשים לייצג את השבר המצומצם בעזרת חלוקת המלבן לחלקים‬
‫שווים וצביעת אחד החלקים כנדרש‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫קבוצה א'‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪25‬‬
‫‪2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪20 100 8‬‬
‫‪,‬‬
‫‪12 17‬‬
‫‪,‬‬
‫‪48 68‬‬
‫‪2‬‬
‫קבוצה ב'‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪40‬‬
‫‪60‬‬
‫‪,‬‬
‫‪20 12‬‬
‫‪,‬‬
‫‪30 18‬‬
‫ייצוג א'‬
‫‪,‬‬
‫ייצוג ב'‬
‫‪5‬‬
‫קבוצה ג'‪:‬‬
‫‪7‬‬
‫‪66‬‬
‫‪99‬‬
‫‪15 40‬‬
‫‪,‬‬
‫‪21 56‬‬
‫‪,‬‬
‫‪20 100‬‬
‫‪,‬‬
‫‪28 140‬‬
‫ייצוג ג'‬
‫משימה מס' ‪ :18‬התלמידים מתבקשים לחלק את השברים לשתי קבוצות זרות לפי השבר‬
‫המצומצם‪ ,‬ולפיו יינתן שם הקבוצה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :252‬צמצום בשלבים‬
‫בקטע שיעור זה לומדים לצמצם שבר בשלבים‪ .‬צמצום השבר עד הסוף אפשרי בצעד אחד בלבד‬
‫)בעזרת חילוק המונה והמכנה במחלק המשותף הגדול ביותר( או בכמה צעדים‪ ,‬זה אחר זה‪,‬‬
‫כאשר בכל פעם מצמצמים במחלק המשותף שמוצאים באותו רגע‪.‬‬
‫בדוגמה השנייה מצמצמים בשלבים שברים הבנויים ממספרים גדולים יותר‪ ,‬כאשר קשה‬
‫למצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר למונה ולמכנה‪ ,‬ולכן מומלץ לצמצם עד הסוף‬
‫בשלבים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬משימת יישום‪ ,‬שלבי הצמצום מפורטים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬התלמידים נדרשים לצמצם את השברים הנתונים‪ .‬בסעיף א' הצמצום נעשה‬
‫בשלבים‪ ,‬ואילו בסעיף ב' הצמצום נעשה בשלב אחד בלבד‪.‬‬
‫‪108‬‬
‫‪130 65 13‬‬
‫‪1‬‬
‫דוגמה לצמצום במספר שלבים‪= = = 3 :‬‬
‫‪40 20 4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪12 2‬‬
‫דוגמה לצמצום בשלב אחד‪= :‬‬
‫‪30 5‬‬
‫‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬על התלמידים לצמצם את השברים כך שיוכלו לחלק לקבוצות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬מייצגים את השבר בייצוג קטעים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬מציאת הגורם החסר בסעיף א' מסייעת בצמצום השברים הנתונים בסעיף ב'‪.‬‬
‫‪280 28 14‬‬
‫= =‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪500 50 25‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬המטרה של משימה זו היא לצמצם את השברים הנתונים בסעיף ה'‪.‬‬
‫סעיפים א'‪-‬ד' מסייעים במציאת המחלקים המשותפים לשני המספרים ‪ 24‬ו‪.36 -‬‬
‫א( המחלקים של ‪ 24‬הם ‪.24 ,12 ,8 ,6 ,4 ,3 ,2 ,1‬‬
‫ב( המחלקים של ‪ 36‬הם ‪.36 ,18 ,12 ,6 ,3 ,2 ,1‬‬
‫ג( המחלקים המשותפים ל‪ 24 -‬ול‪ 36 -‬הם ‪ ,6 ,3 ,2 ,1‬ו‪.12 -‬‬
‫ד( המחלק המשותף הגדול ביותר של ‪ 24‬ושל ‪ 36‬הוא ‪.12‬‬
‫ה( צמצום השברים ייעשה על‪-‬ידי חלוקת המונה והמכנה ב‪.12 -‬‬
‫‪36 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪24 24 : 12 2‬‬
‫‪= =1‬‬
‫באותו אופן‪:‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪24 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪36 36 : 12 3‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :254‬צמצום תוצאה של תרגיל‬
‫כאן לומדים להגיע לשבר מצומצם כאשר השבר הוא תוצאה של פעולות חיבור וחיסור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬משימת יישום‪ .‬מצמצמים תוצאה של תרגיל דרך פעולת חיבור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬יישום השיעור בשאלה מילולית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬משימת יישום של פעולת חיסור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬משימת יישום של צמצום תוצאת התרגיל דרך פעולת חיבור וחיסור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬משימת יישום‪ .‬צמצום תוצאה של תרגיל מורכב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬משימת יישום בצורה של שאלה מילולית‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :255‬צמצום שבר הגדול מ‪1 -‬‬
‫לומדים לצמצם שבר גדול מ‪ 1 -‬או את החלק שהוא שבר במספר מעורב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬משימת יישום בצורה של שאלה מילולית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬משימת יישום‪ .‬חיפוש שתי דרכים שונות‪.‬‬
‫‪109‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :256‬השלם כשבר‬
‫‪1‬‬
‫השלם כשבר‪ .‬לעתים כאשר שבר מצטמצם עד הסוף‪ ,‬מתקבל שבר מצומצם‬
‫‪1‬‬
‫שבר שבו המכנה שווה ל‪ ,1 -‬ואז השבר הוא שלם השווה למונה‪ .‬ייתכן שלתלמידים יהיה קשה‬
‫‪1‬‬
‫להבין את השוויון ‪ , = 1‬והם ישכחו לרשום ‪ 1‬בסוף התרגיל‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬משימת יישום של מציאת השלם בשבר‪.‬‬
‫שהוא ‪ ;1‬או‬
‫משימה מס' ‪ :35‬משימת יישום של ייצוג השלם כשבר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬על התלמידים למצוא את המונה החסר‪ .‬למעשה‪ ,‬הם אמורים לפתור משוואה‬
‫פשוטה‪ .‬אפשר להיעזר בכתיבת התוצאה ‪ -‬השלם )‪ 3‬או ‪ - (8‬כשבר שהמכנה שלו נתון )‪ 5‬או ‪.(10‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬תחילה על התלמידים לצמצם את השבר ולאחר מכן לייצוג את השברים על‬
‫ציר המספרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :39‬משימת יישום בצורה של שאלה מילולית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬משימת יישום בצורה של שאלה מילולית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬חיפוש של שבר שלם במספר שלם נתון‪ .‬התלמידים יכולים להיעזר בדוגמה‬
‫שמיוצגת בתרגיל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬חיפוש של שבר שלם במספר שלם נתון‪ .‬התלמיד יכול להיעזר בדוגמה של‬
‫ייצוג שטח של השבר‪.‬‬
‫מה למדנו‪ ,‬עמוד ‪ :258‬סיכום הנלמד‬
‫משימה מס' ‪ :43‬חזרה על תרגול של צמצום תוצאה של תרגיל דרך פעולת חיבור וחיסור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :44‬שאלה מילולית שנדרש בה ייצוג )בציור או על ציר המספרים(‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמודים ‪261 - 259‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬חזרה על הנושא "סימני התחלקות"‪.‬‬
‫להלן פתרון המשימה‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫מתחלק ב‪...‬‬
‫‪57‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪30‬‬
‫‪24‬‬
‫‪2‬‬
‫‪16‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪27‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪60‬‬
‫‪110‬‬
‫‪9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימת יישום למציאת המספרים הראשוניים בין ‪ 0‬ל‪ .40 -‬ישנם שנים עשר‬
‫מספרים ראשוניים בין ‪ 0‬ל‪.37 ,31 ,29 ,23 ,19 ,17 ,13 ,11 ,7 ,5 ,3 ,2 :40 -‬‬
‫כדאי להזכיר לתלמידים שהמספר ‪ 1‬אינו ראשוני ואינו פריק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬המספרים ‪ 36‬ו‪ 60 -‬הם מספרים פריקים שיש להם מספר מחלקים גדול‪.‬‬
‫‪36 = 1 × 36 = 2 × 18 = 3 × 12 = 4 × 9 = 6 × 6‬‬
‫‪60 = 1 × 60 = 2 × 30 = 3 × 20 = 4 × 15 = 5 × 12 = 6 × 10‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימת יישום‪ .‬יש להסב את תשומת לב התלמידים לכך שאפשר לפרק מספר‬
‫לגורמים בכמה צורות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬השלמת סדרות מספרים מסייעת לתרגול כפולות של מספר נתון‪ .‬הכפולות של‬
‫המספרים ‪ 17 ,13‬ו‪ 19 -‬אינן מוכרות לתלמידים‪.‬‬
‫דוגמה‪.13 ,26 ,39 ,53 ,65 ,78 ,91 ,104 ,117 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬משימה זו מורכבת משני שלבים‪ .‬תחילה נדרש לזהות אם המספר ראשוני או‬
‫פריק ואח"כ לפרק את המספר לגורמים‪ .‬המספר ‪ 187‬אינו ראשוני‪. 187 = 11 × 17 .‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬הייצוג המובא מקל את ההבנה כי לשבר יש שמות שונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬משימת יישום של הרחבת שברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬התלמידים נדרשים למצוא את גורם ההרחבה ואת השבר המורחב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬לכל אחד מהשברים הנתונים יש לכתוב שלושה שברים שווים‪.‬‬
‫‪2 4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫= = = ‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪9 18 27 36‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬משימת יישום נוספת של הרחבה או של צמצום שברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬כדי לפתור את המשימה הזו יצטרכו התלמידים תחילה לצמצם כל שבר נתון‬
‫"עד הסוף" ולוודא שמתקבל אותו שבר מצומצם‪ .‬כלומר כל שבר נתון הוא שבר מורחב של‬
‫השבר המצומצם שיירשם בעיגול‪ .‬לאחר מכן מחפשים שברים אחרים השווים לשבר‬
‫המצומצם‪ .‬המשימה מורכבת‪ ,‬ולכן היא עלולה להיות קשה לחלק מהתלמידים בכיתה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬משימת תרגול של חיסור שברים בעלי אותו מכנה וכן צמצום שברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬במשימה זו נעשה קשר בין תחום המתמטיקה לבין תחום המוסיקה‪ .‬צורת‬
‫התו מגדירה את משך הזמן שיש לנגן את הצליל‪.‬‬
‫התו השלם שנראה כאליפסה נטויה נקרא "ארבעה רבעים"‪.‬‬
‫התו המייצג חצי או שני רבעים נראה כישר המשיק לאפילסה ריקה‪.‬‬
‫הרבע מיוצג על‪-‬ידי ישר המשיק לאליפסה מלאה‪.‬‬
‫השמינית מיוצגת על‪-‬ידי אליפסה מלאה ודגלון על הישר האנכי‪ .‬וכן הלאה‪.‬‬
‫התלמידים נדרשים לסרטט את התווים המתאימים לתרגילי החיבור שיכתבו‪.‬‬
‫שאלות מילוליות‪ ,‬עמוד ‪262‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬השאלה המילולית מורכבת ממספר סעיפים‪ .‬הציעו לתלמידים לסמן את‬
‫הנתונים בשלושה צבעים שונים כמספר העוגות‪.‬‬
‫‪111‬‬
‫א(‬
‫ב(‬
‫ג(‬
‫ד(‬
‫‪1‬‬
‫‪9 3‬‬
‫מעוגת התפוחים אכלו = ‪ .‬נותר‬
‫‪4‬‬
‫‪12 4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6 3‬‬
‫מעוגת השוקולד אכלו = ‪ .‬נותר מעוגת השוקולד‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪8 4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪18 3‬‬
‫מעוגת הגבינה אכלו = ‪ .‬נותר מעוגת הגבינה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪24 4‬‬
‫‪3‬‬
‫משלוש העוגות נאכל אותו החלק ‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫מעוגת התפוחים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬בשאלה מילולית זו נדרש צמצום של הסכום כדי למצוא את הפתרון של סעיף‬
‫‪3 5 8 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫מהמסלול‪.‬‬
‫ב'‪ .‬התלמידים עברו במשך יומיים‬
‫= = ‪+‬‬
‫‪12 12 12 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫אהרון צדק‪ .‬אכן נותר להם לעבור מהמסלול‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2 1‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬שאלה מילולית זו עוסקת בהשוואה בין שברים‪= .‬‬
‫‪8 4‬‬
‫אותה הכמות‪.‬‬
‫לכן מיכל ושי שתו‬
‫יישומי מדע‪ ,‬עמוד ‪263‬‬
‫התלמידים לומדים את השיטה שפותחה על‪-‬ידי הבבלים לקביעת מועד החודש‪ .‬במשימות‬
‫הקשורות לתחום זה התלמידים נדרשים לכתוב את המחלקים של ‪ 60‬את המחלקים של ‪240‬‬
‫וכן לכתוב את החלק מהירח המלא המיוצג על‪-‬ידי שבר‪ ,‬ולצמצמו‪.‬‬
‫יום‬
‫מספר‬
‫החלקים‬
‫חלק‬
‫מהירח‬
‫המלא‬
‫שבר‬
‫מצומצם‬
‫יום‬
‫מספר‬
‫החלקים‬
‫חלק‬
‫מהירח‬
‫המלא‬
‫שבר‬
‫מצומצם‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3‬‬
‫‪20‬‬
‫‪4‬‬
‫‪40‬‬
‫‪5‬‬
‫‪80‬‬
‫‪6‬‬
‫‪96‬‬
‫‪15 14 13 12 11 10‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪240 224 208 192 176 160 144 128 112‬‬
‫‪5‬‬
‫‪240‬‬
‫‪10‬‬
‫‪240‬‬
‫‪20‬‬
‫‪240‬‬
‫‪40‬‬
‫‪240‬‬
‫‪80‬‬
‫‪240‬‬
‫‪96‬‬
‫‪240‬‬
‫‪112‬‬
‫‪240‬‬
‫‪128‬‬
‫‪240‬‬
‫‪144‬‬
‫‪240‬‬
‫‪160‬‬
‫‪240‬‬
‫‪176‬‬
‫‪240‬‬
‫‪192‬‬
‫‪240‬‬
‫‪208‬‬
‫‪240‬‬
‫‪224‬‬
‫‪240‬‬
‫‪240‬‬
‫‪240‬‬
‫‪1‬‬
‫‪48‬‬
‫‪1‬‬
‫‪24‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪15‬‬
‫‪8‬‬
‫‪15‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪11‬‬
‫‪15‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪13‬‬
‫‪15‬‬
‫‪14‬‬
‫‪15‬‬
‫‪1‬‬
‫‪16‬‬
‫‪224‬‬
‫‪17‬‬
‫‪208‬‬
‫‪22 21 20 19 18‬‬
‫‪128 144 160 176 192‬‬
‫‪23‬‬
‫‪112‬‬
‫‪24‬‬
‫‪96‬‬
‫‪25‬‬
‫‪80‬‬
‫‪26‬‬
‫‪40‬‬
‫‪27‬‬
‫‪20‬‬
‫‪28‬‬
‫‪10‬‬
‫‪29‬‬
‫‪5‬‬
‫‪30‬‬
‫‪0‬‬
‫‪224‬‬
‫‪240‬‬
‫‪208‬‬
‫‪240‬‬
‫‪192‬‬
‫‪240‬‬
‫‪176‬‬
‫‪240‬‬
‫‪160‬‬
‫‪240‬‬
‫‪144‬‬
‫‪240‬‬
‫‪128‬‬
‫‪240‬‬
‫‪112‬‬
‫‪240‬‬
‫‪96‬‬
‫‪240‬‬
‫‪80‬‬
‫‪240‬‬
‫‪40‬‬
‫‪240‬‬
‫‪20‬‬
‫‪240‬‬
‫‪10‬‬
‫‪240‬‬
‫‪5‬‬
‫‪240‬‬
‫‪0‬‬
‫‪240‬‬
‫‪14‬‬
‫‪15‬‬
‫‪13‬‬
‫‪15‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪11‬‬
‫‪15‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪8‬‬
‫‪15‬‬
‫‪7‬‬
‫‪15‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪24‬‬
‫‪1‬‬
‫‪48‬‬
‫‪0‬‬
‫‪112‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪264‬‬
‫צמצום שברים על‪-‬ידי פירוק לגורמים ראשוניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת יישום של פירוק המונה והמכנה לגורמים ראשוניים לצורך צמצום‬
‫שברים‪.‬‬
‫השבר‬
‫המונה‬
‫פירוק המונה‬
‫המכנה‬
‫פירוק המכנה‬
‫‪15‬‬
‫‪25‬‬
‫‪24‬‬
‫‪32‬‬
‫‪24‬‬
‫‪60‬‬
‫‪55‬‬
‫‪99‬‬
‫‪15‬‬
‫‪5× 3‬‬
‫‪25‬‬
‫‪5× 3‬‬
‫המחלק‬
‫המשותף‬
‫הגדול‬
‫ביותר‬
‫‪5‬‬
‫‪32‬‬
‫‪2× 2× 2× 2× 2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪24‬‬
‫‪2× 2× 2× 3‬‬
‫‪60‬‬
‫‪2× 2× 3× 5‬‬
‫‪12‬‬
‫‪55‬‬
‫‪11× 5‬‬
‫‪99‬‬
‫‪11 × 3 × 3‬‬
‫‪11‬‬
‫‪24‬‬
‫‪2× 2× 2× 3‬‬
‫השבר‬
‫המצומצם‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪9‬‬
‫משימה מס' ‪:2‬‬
‫הפתרון המתאים לשאלה המילולית הוא ריבועים שאורך צלעם ‪ 11‬מ'‪ .‬שימו לב‪ ,‬במציאות אין‬
‫ריבועים בגודל זה‪.‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪265‬‬
‫חזרה על פעולות החשבון כפל וחילוק וכן על חישוב של שטח מלבן‪.‬‬
‫‪113‬‬
‫עמ' ‪285 - 266‬‬
‫ח‪ .‬השוואה בין שברים‬
‫רקע‬
‫עד כה למדו התלמידים להשוות בין שברים בעלי אותו מכנה‪ ,‬וכעת הם ילמדו להשוות בין‬
‫שברים כלשהם‪ .‬יש דרכים שונות להשוות בין שברים‪ .‬הדרך הכללית ה"עובדת" בכל מצבי‬
‫ההשוואה בין שברים בעלי מכנים שונים היא הרחבה או צמצום של השברים לפי הצורך עד‬
‫לקבלת מכנה משותף‪ .‬אמנם בדרך זו מגיעים תמיד לפתרון נכון בהשוואה בין שברים‪ ,‬אולם לא‬
‫תמיד היא "חסכונית"‪ ,‬לכן חשוב שלתלמידים יהיו אינטואיציות להשתמש גם בדרכים‬
‫אחרות‪ :‬השוואה לחצי או השלמה לשלם‪ ,‬השוואה בין שברים בעלי אותו מונה ועוד‪ .‬דרכים‬
‫אלו נלמדות בפרק הנוכחי‪ .‬לפחות בהתחלה חשוב לייצג את השברים המיועדים להשוואה כדי‬
‫לבחור את דרך ההשוואה‪.‬‬
‫לפי תכנית הלימודים‪ ,‬מומלץ להקדיש לנושא זה ‪ 6‬שעות‪.‬‬
‫מושגים‬
‫השוואה‪ ,‬מונה‪ ,‬מכנה‪ ,‬מכנה משותף‪ ,‬השלמה לשלם‪ ,‬הרחבה וצמצום‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬להשוות בין שברים בעלי אותו מכנה;‬
‫ב‪ .‬להשוות בין שברים בעלי אותו מונה;‬
‫ג‪ .‬להשוות בין שברים בעזרת השוואה לחצי;‬
‫ד‪ .‬להשוות בין שברים בעזרת השלמה ל‪;1-‬‬
‫ה‪ .‬להשוות בין שברים ביחס לשלם;‬
‫ו‪ .‬להשוות בין שברים על‪-‬ידי הבאתם למכנה משותף‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫"קיר השברים"‪ ,‬שברים על צירי המספרים‪ ,‬קלפים שמופיעים עליהם המספרים מ‪ 0 -‬עד ‪.9‬‬
‫אביזרי "חשבון ‪ :"10‬עיגולים נשלפים של שברים‪ ,‬עיגולים בפרגמנט‪ ,‬שברים במלבנים )שקף‬
‫צבעוני(‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על הרחבת שברים ועל צמצום שברים‪.‬‬
‫המורה רושמת על הלוח שברים ומבקשת מהתלמידים לצמצם אותם‪ .‬דוגמאות לשברים‪:‬‬
‫‪2 15 3 6‬‬
‫‪. , , ,‬‬
‫‪4 30 9 18‬‬
‫‪5 5 1‬‬
‫וכדומה ומבקשת מהתלמידים להרחיבם‪ ,‬כך‬
‫המורה רושמת על הלוח שברים ‪, ,‬‬
‫‪12 8 6‬‬
‫שהמכנה המשותף שלהם יהיה ‪.24‬‬
‫‪114‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על כפולות משותפות‪.‬‬
‫המורה רושמת על הלוח קבוצות מספרים‪ .‬התלמידים נדרשים למצוא להם כפולות משותפות‪.‬‬
‫‪ 6 ,4 ;8 ,4 ;4 ,3 ,2 ;20 ,5 ,4 ;5 ,4 ;6 ,3 ,2 ;3 ,2‬וכדומה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חזרה על המחלק הגדול ביותר של המספרים‪.‬‬
‫המורה רושמת על הלוח קבוצות מספרים ומבקשת מהתלמידים למצוא את המחלק הגדול‬
‫ביותר של המספרים בכל קבוצה‪ 25 ,15 ;6 ,4 ;8 ,4 ;20 ,5 ;5 ,4 ;3 ,2 :‬וכדומה‪.‬‬
‫ד‪ .‬חזרה על היקף המצולע‪.‬‬
‫המורה מציירת על הלוח מצולעים שונים וכותבת לידם את אורכי צלעותיהם‪ .‬לחילופין אפשר‬
‫לחלק לתלמידים דף שמצוירים עליו מצולעים כאלה‪ .‬על התלמידים לחשב את היקף‬
‫המצולעים‪ .‬המורה אומרת לתלמידים את שם המצולע‪ .‬אם יש לו שם מיוחד‪ ,‬היא כותבת לצדו‬
‫את שמו וחוזרת על תכונות המרובעים המיוחדים )דוגמה‪ :‬כל צלעות הריבוע שוות באורכן(‪.‬‬
‫מצולעים לדוגמה‪:‬‬
‫מלבן‬
‫ריבוע‬
‫‪ 5‬ס''מ‬
‫‪ 4‬מ'‬
‫‪ 3‬ס''מ‬
‫‪ 3‬ס''מ‬
‫‪ 5‬ס''מ‬
‫‪ 3‬ס''מ‬
‫‪ 1‬ס''מ‬
‫‪ 3‬ס''מ‬
‫טרפז‬
‫‪ 1‬ס''מ‬
‫‪ 1‬ס''מ‬
‫‪ 7‬ס''מ‬
‫‪ 4‬ס''מ‬
‫‪ 5‬ס''מ‬
‫‪ 1‬ס''מ‬
‫‪ 1‬ס''מ‬
‫‪ 4‬ס''מ‬
‫מקבילית‬
‫‪ 8‬ס''מ‬
‫‪ 7‬ס''מ‬
‫‪ 4‬ס''מ‬
‫פעילויות גילוי‬
‫‪1‬‬
‫פעילות א‪ :‬המורה מבקשת מהתלמידים לכתוב שמות שונים ל‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫המונה לבין המכנה של השבר‪ .‬רואים שבכל השברים השווים ל‪ , -‬המונה הוא חצי מהמכנה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫אחר‪-‬כך דנים בשמות השונים של )המונה הוא שליש של המכנה( ‪ ,‬של וכן הלאה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .‬בודקים מה הקשר בין‬
‫‪115‬‬
‫פעילות ב‪ :‬המורה מבקשת מהתלמידים לומר עשרה מספרים קטנים מ‪ 20 -‬ורושמת אותם על‬
‫הלוח‪ .‬על הקבוצות להרכיב בעזרת המספרים זוגות של שברים שווים‪.‬‬
‫דנים בדרך להרכבת הזוגות ובהצדקת התוצאות‪.‬‬
‫שברים על הציר‬
‫פעילות ג‪ :‬מכינים מראש חבל בין שני כיסאות‪ ,‬החבל ייצג את ציר המספרים‪ ,‬בעזרת אטבי‬
‫כביסה ייתלו קלפים של מספרים‪ .‬בקצה השמאלי תולים את הקלף "‪ "0‬ובקצה הימני את‬
‫הקלף ‪ .1‬בכל קבוצה עשרה תלמידים‪ .‬הם מקבלים שלוש חבילות קלפים‪ ,‬ובכל חבילה קלפים‬
‫ממוספרים מ‪ 1 -‬עד ‪ .9‬כל תלמיד בקבוצה שולף שני קלפים‪ ,‬יוצר מהם שבר קטן מ‪ 1 -‬וכותב‬
‫אותו על קלף‪ .‬כל תלמידי הקבוצה ממקמים את הקלפים שלהם על הציר‪ ,‬ויתר תלמידי הכיתה‬
‫בודקים אם המיקום נכון‪ .‬כותבים על הלוח את דרך ההשוואה של התלמיד ועוברים לתלמיד‬
‫הבא‪ .‬אם התלמידים לא מיקמו את השברים נכון‪ ,‬משאירים בצד את הקלפים ועוברים‬
‫לתלמידים אחרים‪) .‬כל השברים קטנים מ‪ ,1 -‬לכמה מהם יש אותו מונה או מכנה‪ ,‬לפיכך‬
‫לתלמידים יש כלים להשוות‪ .‬נותרים בצד המקרים הבעייתיים‪ :‬שברים שהמונים והמכנים‬
‫שלהם שונים‪(.‬‬
‫פעילות ד‪ :‬בודקים שוב אם אפשר למקם על הציר את הקלפים שנותרו בצד‪ ,‬בעזרת הדרכים‬
‫הרשומות על הלוח‪.‬‬
‫פעילות ה‪ :‬אם נותרו קלפים‪ ,‬כל קבוצה תקבל קלף ותחפש דרך למקם אותו‪ .‬דנים בנושא‪.‬‬
‫פעילות ו‪ :‬אם כל הקלפים מוקמו בפעילות ב'‪ ,‬המורה תציע שבר "בעייתי" לכל הקבוצות‪ .‬דנים‬
‫ומסכמים‪.‬‬
‫פעילות ז‪ :‬חוזרים על פעילות א'‪ ,‬אך הפעם התלמידים יוצרים שברים גדולים מ‪.1 -‬‬
‫פעילות ח‪ :‬עבודה בזוגות‪" :‬מלחמת שברים"‪ .‬כל תלמיד כותב חמישה שברים על חמישה‬
‫פתקים‪ ,‬בלי שבן‪-‬זוגו יראה מה כתב‪ .‬מהלך המשחק‪ :‬התלמידים מגלים ביחד פתק אחד‪ ,‬ובעל‬
‫השבר הגדול לוקח את שני הפתקים‪ .‬אפשר גם שבעל השבר הקטן ייקח את שני הפתקים‪ ,‬או‬
‫שתלמיד א' יניח קלף ותלמיד ב' יבחר מבין הפתקים שלו שבר גדול‪/‬קטן יותר‪.‬‬
‫פעילות ט‪ :‬דיון סופי‪ .‬התלמידים נשאלים על דרכי ההשוואה בין שברים שונים בעלי אותו מכנה‬
‫‪4‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫)‬
‫(‪ ,‬בעלי אותו המונה ) ו‪-‬‬
‫(‪ ,‬בעלי מכנים קרובים )אחד כפולה של האחר‪ :‬ו‪-‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪7‬‬
‫‪18‬‬
‫‪9‬‬
‫‪15‬‬
‫‪15‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫( ובעלי מכנים זרים ) ו‪ .( -‬הם מתבקשים לייצג את הפתרון שלהם בשיטה משלהם‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪9‬‬
‫ולהראות אותו לתלמידים אחרים‪ .‬על התלמידים האחרים לבדוק את נכונות הייצוג‪ .‬דנים‬
‫בדרכי ההשוואה‪.‬‬
‫‪7 8 6 2 1‬‬
‫פעילות י‪ :‬המורה רושמת על הלוח שברים ומספרים מעורבים‪, , , 5 , 4 :‬‬
‫‪8 5 7 3 3‬‬
‫מהתלמידים למצוא דרך לסדר אותם מהקטן ביותר לגדול‪ .‬דנים בדרכי ההשוואה בין השברים‪.‬‬
‫‪ ,‬ומבקשת‬
‫‪116‬‬
‫השיעור בספר הלימוד‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמ' ‪ :266‬השוואה בין שברים‪ :‬הרחבת אחד השברים‬
‫לפני השיעור מומלץ לבצע את פעילות הגילוי א'‪ .‬בשיעור זה לומדים להשוות בין שברים‪ ,‬כאשר‬
‫מכנה של שבר אחד הוא כפולה של מכנה השבר האחר‪ .‬לשם כך מוציאים לשני השברים את‬
‫המכנה משותף‪ ,‬ובמקרה זה המכנה המשותף הוא המכנה הגדול מבין השניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת יישום‪ .‬השוואה בין שברים בעלי אותו מכנה‪ .‬וכן מציאת מונה חסר‬
‫בשבר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימת יישום‪.‬מציאת גורם ההרחבה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימת יישום‪ .‬השוואה בשלבים‪ :‬המכנים מאותה משפחה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמ' ‪ :267‬השוואה בין שברים‪ ,‬הרחבת שני השברים‬
‫התלמידים לומדים להשוות בין שברים בעלי מכנים זרים‪ ,‬כלומר כאשר הם אינם כפולה זה של‬
‫זה‪ .‬במקרה זה צריך להרחיב כל שבר עד לקבלת מכנה משותף לכל השברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬השוואה בשלבים‪ .‬המכנים של השברים זרים זה לזה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬משימת יישום‪ .‬במשימה זו מפורטים שלבים לפתרון משימות של השוואה בין‬
‫שברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬משימה פתוחה‪ .‬בסעיפים א' ו‪ -‬ג' דונו עם התלמידים בפתרונם‪ .‬שימו לב‪,‬‬
‫‪1 9‬‬
‫<‬
‫בסעיף ב' ישנו פתרון אחד בלבד‪.‬‬
‫‪3 15‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬התלמידים רואים שהמכנה המשותף בין שברים אינו יחיד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬שאלה מילולית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימת יישום‪ .‬המשימה כוללת תרגילים של השוואה בין סוגים שונים של‬
‫שברים )בעלי מכנים מ"אותה משפחה" ובעלי מכנים זרים(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬דונו עם התלמידים בעמדתם‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמ' ‪ :269‬השוואה בין שברים בעלי אותו מונה‬
‫אפשר להשוות בין כל שני שברים על‪-‬ידי הבאה למכנה משותף‪ .‬עם זאת חשוב להדגיש שלעתים‬
‫אפשר להקל את ההשוואה‪ ,‬למשל‪ ,‬להשוות בין שברים בעלי אותו מונה‪ .‬חשוב להדגיש‬
‫לתלמידים שבשברים בעלי אותו מונה‪ ,‬ככל שהמכנה גדול יותר‪ ,‬כך השבר קטן יותר‪ .‬מאחר‬
‫שהיחס הפוך‪ ,‬עלול להתעורר קושי אצל תלמידים‪ ,‬ולכן יש לאפשר להם להשוות בדרך השוואה‬
‫הנוחה להם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬התלמידים פותרים את התרגילים לפי ייצוגם של השברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬משימת יישום‪ :‬השוואה בין שברים בעלי מונים שווים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬על התלמידים למצוא את המכנה באחד מהשברים‪ .‬במקרה של אי‪-‬שוויון ישנן‬
‫אפשרויות שונות למציאת המכנה‪.‬‬
‫‪117‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬סידור שישה שברים בעלי אותו מונה‪ ,‬מהקטן ביותר עד לגדול ביותר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬משימה שיש בה כתיבה והשוואה של שברים לפי ייצוג והשלמת ייצוג לפי‬
‫שברים נתונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬משימת יישום‪ :‬השוואה בין שברים יסודיים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬על התלמידים למצוא מכנה מתאים‪ ,‬כך שהאי‪-‬שוויון יתקיים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬ייתכן שהמשימה תהיה קשה לתלמידים בגלל מורכבותה‪ :‬התלמידים צריכים‬
‫למצוא שבר הנמצא בין השברים הנתונים‪ .‬במשימה כלולים שברים בעלי אותו מונה או בעלי‬
‫אותו מכנה‪ ,‬בסעיף ב' מופיעים שברים בעלי מונים שונים ומכנים שונים‪.‬‬
‫בכל הסעיפים יש מספר רב של תשובות נכונות‪ ,‬מפני שבין כל שני שברים יש אין‪-‬סוף שברים‬
‫אחרים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :271‬השוואה בין שברים בעזרת השוואתם לחצי‬
‫דרך נוספת להשוות בין שברים היא שימוש בחצי‪ .‬שוב מדובר בזוגות שברים שקל להשוות בינם‬
‫לבין חצי‪ ,‬כלומר שבר אחד גדול מחצי ושבר אחר קטן מחצי‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬משימת יישום‪ :‬משווים בין השברים הנתונים לבין‬
‫‪2‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬משימת יישום‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬מציאת שברים השווים לחצי והכנה למשימה הבאה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬משימת יישום‪ .‬תוצאות המשימה הקודמת יכולות לסייע לתלמידים בפתרון‬
‫משימה זו‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :272‬השוואה בין שברים בעזרת השלמה לשלם‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ב' לפני השיעור‪ .‬דרך נוספת להשוות בין השברים היא לבדוק מי‬
‫קרוב יותר לשלם‪ .‬מובן שדרך זו טובה כאשר קל להשוות בין השברים לבין שלם‪ .‬משלימים את‬
‫השברים הנתונים לשלם‪ ,‬ומשווים בין ההשלמות‪ .‬השבר הקרוב יותר לשלם הוא גם הגדול‬
‫יותר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬משימת יישום וגם דרך מפורטת להשוואה בעזרת השלמה לשלם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬ההפרש בין שלם לבין שברים שמשווים ביניהם על‪-‬ידי השוואה לשלם‪ ,‬אינו‬
‫תמיד שבר יסודי‪ ,‬אלא עשויים להיות הפרשים בעלי אותו מונה‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪11‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪11‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬בהשוואה בין‬
‫< ‪.‬‬
‫ו‪ , -‬לכן‬
‫לבין ההפרשים הם‬
‫‪9‬‬
‫‪13‬‬
‫‪9‬‬
‫‪13‬‬
‫‪9‬‬
‫‪13‬‬
‫משימות מס' ‪ :26-25‬השוואה בעזרת פעולת השלמה לשלם‪ ,‬בדרך של ייצוג‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :273‬השוואה בין שברים בעזרת השוואה לשלם‬
‫משווים בין כל שבר לבין שלם )ה‪ ;(1 -‬ואם שבר אחד גדול מ‪ ,1 -‬והשבר האחר קטן מ‪ ,1 -‬קל‬
‫להשוות בין השברים‪ .‬גם כאשר נתונים שברים גדולים מ‪ ,1 -‬אפשר לחשב את מספר השלמים‬
‫שבהם וכך להשוות‪.‬‬
‫‪118‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬זיהוי שברים גדולים מ‪.1 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬משימה פתוחה‪ .‬על התלמידים לכתוב שני שברים גדולים מ‪ 1 -‬ושני שברים‬
‫קטנים מ‪ .1 -‬דונו עם התלמידים בפתרונם‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :274‬השוואה בין שברים גדולים מ‪1 -‬‬
‫השוואה בין מספרים גדולים מ‪ .1 -‬חשוב לעודד את התלמידים לבדוק תחילה את מספר‬
‫השלמים שבכל שבר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬משימה פתוחה‪ :‬בכל שלב על התלמידים למצוא שבר גדול מהקודם וקטן‬
‫מהבא ‪ .‬דונו עם התלמידים בפתרונם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬משימת יישום‪ .‬מומלץ לבצע אותה בעל פה‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬סידור שברים במספרים "קשים" יותר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬בכל שלב על התלמידים למצוא שבר גדול מהקודם וקטן מהבא אחריו‪ .‬דונו‬
‫עם התלמידים בפתרונם‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :275‬השוואה בין מספרים מעורבים‬
‫בהשוואה בין מספרים מעורבים המקרה היחיד הדורש תשומת לב הוא כאשר החלק השלם‬
‫זהה בכל שבר‪ .‬ההשוואה נעשית בין החלק השברי של כל שבר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬משימת יישום‪ .‬השוואה בין מספרים מעורבים או בין שבר לבין מספר מעורב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬מומלץ לבקש מתלמידים שיסבירו מדוע כתבו את הסימן שכתבו‪ .‬זו הזדמנות‬
‫לחשוף סיבות לא‪-‬נכונות לתשובה נכונה‪ .‬דוגמה לסיבה לא‪-‬נכונה בסעיף ג'‪" :‬השברים מורכבים‬
‫מאותן ספרות‪ ,‬לכן הם שווים‪".‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬משימה להעמקת ההבנה המספרית ‪ .‬על התלמידים לשלב כללי השוואה בין‬
‫שברים בעלי אותו מונה ולהשלים אי‪-‬שוויונות‪ .‬דונו עם התלמידים בפתרונם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬השוואה בין שברים בדרך גאומטרית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :39‬סיכום כל הדרכים שנלמדו עד כה להשוואה בין שברים‪ .‬התלמידים פותרים‬
‫כל תרגיל בדרך הנוחה להם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬התלמידים נדרשים לעבור משבר אחד לשבר גדול יותר‪ .‬התלמידים יכולים‬
‫להשתמש בכל דרכי ההשוואה שלמדו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬משימה פתוחה‪ .‬דונו עם התלמידים בפתרונם‪.‬‬
‫‪119‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬סיכום כל הדרכים שנלמדו עד כה להשוואה בין שברים‪ ,‬כדי לסדר בסדר יורד‬
‫שישה שברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬שאלה מילולית‪ ,‬משימה פתוחה‪ .‬דונו עם התלמידים בפתרונם‪.‬‬
‫מה למדנו‪ ,‬עמוד ‪ :277‬סיכום הנלמד‬
‫משימה מס' ‪ :44‬משימת יישום‪ :‬השוואה בין שברים מסוגים שונים‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמודים ‪281 - 278‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬מוצאים את גורם ההרחבה בעזרת המכנים הנתונים בשני השברים‪ ,‬ולאחר מכן‬
‫מוצאים את המונה החסר באחד השברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימת יישום של השוואה בין שברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬ההשוואה בין השברים הנתונים נעשית בשלבים‪ .‬המכנה המשותף הקטן ביותר‬
‫של ‪ 4‬ושל ‪ 7‬הוא ‪ .28‬נרחיב את שני השברים לפי המכנה המשותף שמצאנו‪:‬‬
‫‪3 21‬‬
‫‪4 16‬‬
‫‪21 16‬‬
‫> ‪.‬‬
‫נשווה בין השברים המורחבים‪:‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪28 28‬‬
‫‪4 28‬‬
‫‪7 28‬‬
‫‪3 4‬‬
‫כעת נשווה בין השברים הנתונים‪. > :‬‬
‫‪4 7‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬השוואה בין שני שברים הנתונים בתוך שאלה מילולית‪.‬‬
‫‪3 15‬‬
‫‪3 12‬‬
‫=‬
‫ו‪-‬‬
‫=‬
‫המכנה המשותף הקטן ביותר ל‪ 4 -‬ול‪ 5 -‬הוא ‪.20‬‬
‫‪4 20‬‬
‫‪5 20‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫השבר גדול מהשבר ‪ .‬ההשוואה בין השברים יכולה להיעשות גם בדרכים אחרות‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬שאלה מילולית העוסקת במרחק‪ .‬ההשוואה בין השברים יכולה להיעשות‬
‫בשלבים‪ ,‬כמודגם במשימות הקודמות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ .:6‬בסעיפים השונים יש להשוות בין סוגים שונים של שברים )בעלי מכנים‬
‫מ"אותה משפחה" ובעלי מכנים זרים(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬כדי לסדר את השברים מהקטן לגדול‪ ,‬יש להשוות בין השברים‪.‬‬
‫בשלושת הסעיפים מופיעים שברים בעלי אותו המונה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬משימת תרגול להשוואה בין שברים שונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימה פתוחה‪ .‬בכל אחד מהאי‪-‬שוויונות יש להוסיף שבר מתאים או מספר‬
‫שברים‪.‬‬
‫‪2 3 4 5 2‬‬
‫‪4 6 8‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫< < < <‬
‫< <‬
‫להלן פתרונות אפשריים‪< < :‬‬
‫‪10 10 10 10 3‬‬
‫‪10 10 10‬‬
‫‪5 4 3‬‬
‫‪120‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬ישר המספרים הוא אחד מהכלים החשובים להשוואה בין שברים‪ .‬על‪-‬פי‬
‫המיקום של המספר על ישר המספרים אפשר להבחין איזה שבר גדול יותר‪ .‬ככל שהמספר נמצא‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫ימינה על ישר המספרים‪ ,‬הוא גדול יותר‪ .‬השבר נמצא ימינה ביחס לשבר ‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬משימת תרגול‪ :‬השוואה בין שברים בעלי מונים שווים או בעלי מכנים שווים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬ההשוואה בין השברים הנתונים בכל סעיף נעשית בעזרת ההשוואה לחצי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬משימת תרגול‪ :‬השוואה בין שברים מסוגים שונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬משימת תרגול של השוואה בין מספרים מעורבים‪ .‬בכל הסעיפים מופיעים‬
‫מספרים מעורבים המורכבים ממספרים שלמים שווים‪ .‬ההשוואה אם כך נעשית בין השברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬שילוב בין שברים לגאומטריה בעזרת הטנגרם‪ .‬על התלמידים "לפרק" את‬
‫הטנגרם למשולשים קטנים )חצי מהיחידה(‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫שטח ג‪ 1 :‬שטח‪:‬‬
‫שטח ב‪2 :‬‬
‫שטח א‪2 :‬‬
‫שטח ז‪1 :‬‬
‫שטח ו‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬משימת תרגול נוספת של השוואה בין שברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬שילוב בין הגאומטריה לשברים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫הפתרונות של המשימה הזו‪ :‬א( החלק הצבוע הוא‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫מהשלם‪.‬‬
‫ב( החלק הצבוע הוא מהשלם‪ .‬ג( החלק הצבוע הוא‬
‫‪12‬‬
‫‪8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫ד( החלק הצבוע הוא מהשלם‪ .‬ה( החלק הצבוע הוא מהשלם‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫ו( השבר הוא השבר הגדול ביותר מבין כל השברים המתאימים לפתרונות בסעיפים א'‪-‬ה'‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫מהשלם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬ההשוואה בין האגפים תיעשה רק לאחר חישוב התרגילים‪ .‬במשימה זו‬
‫חוזרים על חיבור‪ ,‬על חיסור ועל כפל בשברים‪.‬‬
‫‪1 3 8‬‬
‫‪7 5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 3 2‬‬
‫‪1× < +‬‬
‫‪,‬‬
‫×‪− > 2‬‬
‫דוגמאות לפתרונות‪, 5 × = + :‬‬
‫‪7 7 7‬‬
‫‪8 8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10 5 5‬‬
‫שאלות מילוליות‪ ,‬עמוד ‪282‬‬
‫התלמידים נחשפו בעבר לשאלות מילוליות דומות‪ ,‬אולם עמוד זה כולל שאלות מילוליות‬
‫שהנתונים המספריים בהם אינם מופיעים בספרות‪ ,‬אלא במילים‪ .‬תלמידים עלולים להתקשות‬
‫בזיהוי הנתונים המספריים‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫שאלה מס' ‪ :1‬א( יפה אכלה חתיכה גדולה יותר מעוגת השוקולד‪ .‬ב( נותרו‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫מעוגת הגבינה‪.‬‬
‫ג( נותרו‬
‫‪10‬‬
‫‪121‬‬
‫מעוגת השוקולד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬רישום הנתונים יכול לסייע בפתרון השאלה ביתר קלות‪.‬‬
‫‪3 2‬‬
‫> לכן אילנה עברה חלק ארוך יותר מהמסלול‪.‬‬
‫א(‬
‫‪4 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ב( נותר לאילנה מהמסלול‪ .‬ג( נותר ליונה מהמסלול‪ .‬ד( ליונה נותר חלק ארוך יותר‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫מהמסלול‪ ,‬כי גדול מ‪. -‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬א( יוסי צבע חלק גדול יותר של הקיר‪ ,‬שכן גדול מ‪-‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ד( נותר ליוסי מהקיר‪.‬‬
‫נותר ליגאל מהקיר‪.‬‬
‫ג(‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1 1‬‬
‫ה( ליגאל נותר חלק גדול יותר לצביעה‪. > .‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪.‬‬
‫היסטוריה‪ ,‬עמוד ‪283‬‬
‫בחלק זה מובאת דרך למציאת המכנה המשותף הקטן ביותר‪ .‬לפי תכנית הלימודים‪ ,‬התלמידים‬
‫אינם צריכים לדעת למצוא אותו‪ ,‬אך רצוי שתלמידים מתקדמים ידעו כיצד לפעול בדרך‬
‫"חסכונית"‪ .‬אחת הדרכים למציאת המכנה המשותף הקטן ביותר היא למצוא את הכפולה‬
‫המשותפת הקטנה ביותר של שני המכנים‪ .‬את הכפולה המשותפת המינימלית )כמ"מ( אפשר‬
‫למצוא כך‪:‬‬
‫‪ .1‬רושמים כל אחד מן המכנים כמכפלה של גורמים ראשוניים‪.‬‬
‫‪ .2‬מקיפים את כל הגורמים המשותפים לשני המכנים‪.‬‬
‫‪ .3‬יוצרים את המכפלה של כל הגורמים המשותפים‪ ,‬כשכל אחד מהם מופיע במכפלה פעם‬
‫אחת‪ ,‬כפול כל הגורמים שאינם משותפים‪.‬‬
‫יש לשים לב שאם יש גורם ראשוני שמופיע באחד המכנים יותר מפעם אחת – יש להתחשב בו‬
‫לפי מספר הפעמים שהוא מופיע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של ‪ 15‬ושל ‪ 65‬היא ‪.195‬‬
‫‪ 65 = 13 × 5‬ו‪ 15 = 3 × 5 -‬היא ‪. 13 × 3 × 5 = 195‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של ‪ 12‬ושל ‪ 18‬היא ‪.36‬‬
‫‪7‬‬
‫‪13‬‬
‫גדול יותר מהשבר‬
‫משימה מס' ‪ :3‬השבר‬
‫‪12‬‬
‫‪18‬‬
‫‪13 26‬‬
‫‪,‬‬
‫=‬
‫השברים לשברים בעלי מכנים שווים‪.‬‬
‫‪18 36‬‬
‫‪ .‬אחת הדרכים להסבר היא להרחיב את שני‬
‫‪7 21‬‬
‫=‬
‫‪12 36‬‬
‫‪,‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של ‪ 24‬ושל ‪ 6‬היא ‪ ,24‬ולא ‪.48‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪284‬‬
‫ההסברים של המשימה הראשונה מובילים לפתרון המשימה השנייה‪(420) .‬‬
‫‪122‬‬
‫‪26 21‬‬
‫>‬
‫‪36 36‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪285‬‬
‫חזרה על מיומנויות חישוב‪ :‬כתיבת מספרים בספרות ובמילים;‬
‫משוואות בחיבור )הסכום הוא מספר באלפים שלמים(;‬
‫כפל וחילוק ב‪) 2 -‬בלי שימוש במונח "חוק הפילוג לחילוק" כדי למנוע הכללה לא נכונה כמו‬
‫‪ 158:2=100:2+50:2+8:2‬אבל ‪ 65:12‬אינו שווה ל‪.(65:4+ 65:3 -‬‬
‫‪123‬‬
‫עמ' ‪307 - 286‬‬
‫ט‪ .‬חיבור וחיסור שברים‬
‫רקע‬
‫בפרק זה ממשיכים התלמידים להעמיק את ידיעותיהם בנושא "חיבור וחיסור שברים"‪ .‬תחילה‬
‫הם לומדים חיבור וחיסור של שברים מ"אותה המשפחה" ‪ -‬מכנה של שבר אחד הוא כפולה של‬
‫המכנה של שבר אחר ‪ -‬אחר‪-‬כך לומדים חיבור וחיסור של שברים באופן כללי‪.‬‬
‫אפשר לחבר ולחסר שברים באופנים שונים‪ .‬קודם כול‪ ,‬יש לזהות את השברים ואת מכניהם‪.‬‬
‫המכנים יכולים להיות מ"אותה משפחה" )כמו ‪ 4‬ו‪ ,(8 -‬קרובים )כמו ‪ 8‬ו‪ (12 -‬או זרים )כמו ‪ 4‬ו‪-‬‬
‫‪ .(17‬הדרך המקובלת למציאת מכנה משותף כדי לחבר ולחסר שברים היא להכפיל את המכנים‪.‬‬
‫בהכר ַח המכנה המשותף הקטן ביותר‪ .‬קשה למצוא את המכנה המשותף‬
‫ֵ‬
‫מכנה משותף אינו‬
‫הקטן ביותר‪ ,‬לכן בתכנית הלימודים התלמידים אינם נדרשים למצוא את המכנה המשותף‬
‫הקטן ביותר‪ ,‬אלא הם יכולים למצוא מכנה משותף בדרך פשוטה ובטוחה‪ :‬הכפלת המכנים‪.‬‬
‫הדבר נעשה כדי למנוע תסכול בלימודי המתמטיקה‪.‬‬
‫לעתים מכפלת המכנים אינה כדאית למציאת המכנה המשותף הקטן ביותר‪ ,‬לכן משתמשים‬
‫בדרכים אחרות למציאתו‪ .‬תלמידים הלומדים למצוא מכנה משותף רק על‪-‬ידי מכפלת‬
‫המכנים‪ ,‬עלולים להיתקל בקושי בלימוד אלגברה בחטיבות העליונות‪.‬‬
‫אחת הדרכים היעילות למציאת מכנה משותף לשברים נתונים היא לפרק כל אחד מהמכנים‬
‫לגורמים‪.‬‬
‫לפי תכנית הלימודים‪ ,‬יש להקדיש לנושא כ‪ 5 -‬שעות‪.‬‬
‫מושגים‬
‫מכנה משותף‪ ,‬חיבור שברים‪ ,‬חיסור שברים‪ ,‬שברים מ"אותה משפחה"‪ ,‬שברים "קרובים"‪,‬‬
‫שברים זרים‪ ,‬מכפלת מכנים‪ ,‬פירוק לגורמים‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬למצוא מכנה משותף לשברים על‪-‬ידי הכפלת המכנים;‬
‫ב‪ .‬למצוא מכנה משותף כאשר אחד המכנים הוא כפולה של מכנה אחר )או של מכנים‬
‫אחרים(;‬
‫ג‪ .‬לחבר ולחסר שברים;‬
‫ד‪ .‬למצוא כמות המתאימה לשבר נתון;‬
‫ה‪ .‬לפתור בעיות מילוליות פשוטות הקשורות לנושא‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫קיר השברים‪ ,‬מלבנים חופפים מסורטטים על דף‪ ,‬כרטיסים ממוספרים מ‪ 1 -‬עד ‪ ,9‬עיגולים‬
‫ריקים‪ ,‬דף משובץ‪.‬‬
‫אביזרי "חשבון ‪ :"10‬שברים בעיגולים )עיגולים מחולקים לחלקים שווים(‪ ,‬שברים במלבנים‪,‬‬
‫מד‪-‬מטר‪ ,‬מד‪-‬מטר שברים‪ ,‬מד‪-‬מטר מספרים עשרוניים‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על ייצוגים שונים של השבר‪.‬‬
‫כל אחד מהתלמידים מקבל דף משבצות שמסורטטים עליו ריבועים‪ :‬ריבוע שאורך צלעו ‪10‬‬
‫משבצות‪ ,‬ריבוע שאורך צלעו ‪ 20‬משבצות‪ ,‬וריבוע שאורך צלעו ‪ 5‬משבצות‪ .‬התלמידים נדרשים‬
‫להציג עשירית מכל ריבוע ולתאר את תהליך הבנייה‪ .‬בריבוע של ‪ 5 × 5‬הייצוג של עשירית אינו‬
‫מספר שלם של משבצות‪ .‬דנים בדרכי הפתרון‪.‬‬
‫‪124‬‬
‫שאלות לדיון‪ :‬האם יש כמה פתרונות?‬
‫חשוב להזכיר שהתשובה שלהם צריכה להיות מספר של משבצות או של שטח מתאים‪ ,‬ולא‬
‫המיקום‪.‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על ייצוגים שונים של השבר‪.‬‬
‫התלמידים מקבלים דף משבצות שמסורטטים עליו ריבועים‪ :‬ריבוע שאורך צלעו ‪ 10‬משבצות‪,‬‬
‫ריבוע שאורך צלעו ‪ 20‬משבצות‪ ,‬וריבוע שאורך צלעו ‪ 5‬משבצות‪ .‬התלמידים נדרשים להציג חצי‬
‫מכל ריבוע‪ ,‬רבע ממנו או חמישית ממנו ולתאר את תהליך הבנייה‪.‬‬
‫בריבוע של ‪ 5×5‬הייצוג של חצי ושל רבע ממנוּ אינו מספר שלם של משבצות‪ .‬דנים בדרכי‬
‫הפתרון‪.‬‬
‫שאלה נוספת לדיון‪ :‬האם יש כמה פתרונות?‬
‫ג‪ .‬חזרה על חיבור ועל חיסור של שברים בעלי אותו המכנה‪.‬‬
‫על הלוח כתובים תרגילים של חיבור שברים ושל חיסור שברים‪ ,‬ועל התלמידים לפתור אותם‪.‬‬
‫הפתרון( חוזרים על הכללים לחיבור ולחיסור של שברים בעלי אותו המכנה‪.‬‬
‫במהלך הדיון )או ְ‬
‫‪12 5 4 4 12 1 2 1 4 5 15 1 5 2‬‬
‫‪. − , − , −‬‬
‫‪, − , + , +‬‬
‫דוגמאות לתרגילים‪, + :‬‬
‫‪6 6 6 6 13 13 3 3 7 7 16 16 8 8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4 3‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪+‬‬
‫דוגמאות לתרגילים שיש בהם מספרים מעורבים‪, 3 − :‬‬
‫‪100 100 5 5‬‬
‫ד‪ .‬חזרה על מיומנויות‪ :‬הפיכת שבר גדול מ‪ 1-‬למספר מעורב ולהפך‪.‬‬
‫על הלוח כתובים מספרים מעורבים ושלמים‪ ,‬ועל התלמידים למצוא שבר גדול מ‪ 1 -‬השווה‬
‫הפתרון( חוזרים על הכלל‪.‬‬
‫למספר הנתון‪ .‬במהלך הדיון )או ְ‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫דוגמאות לשברים‪.1 , 1 , 4 , 12 , 5 ,8 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫על הלוח כתובים שברים גדולים מ‪ , 1-‬ועל התלמידים למצוא מספר מעורב השווה לשבר הנתון‪.‬‬
‫הפתרון( חוזרים על הכלל‪.‬‬
‫במהלך הדיון )או ְ‬
‫‪3 6 8 15 101‬‬
‫‪. , , , ,‬‬
‫דוגמאות לשברים‪:‬‬
‫‪2 6 3 5 100‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬על הלוח או על דף המחולק לכל קבוצה או לזוג תלמידים‪ ,‬מצוירים ציורים של‬
‫פיצות‪/‬עוגות‪/‬קירות‪ .‬מספרים לתלמידים את הסיפור שלהלן בהתאם לנושא הציורים‪" :‬משה‬
‫אוכל‪/‬צובע שני שלישים מעוגה‪/‬מקיר‪ ,‬ודני אוכל‪/‬צובע שישית מעוגה‪/‬מקיר"‪ .‬על התלמידים‬
‫לייצג מה אכלו‪/‬צבעו משה ודני ביחד‪ .‬חשוב לחזור על כך שהמכנה הוא כינוי‪ ,‬ושמחברים רק‬
‫דברים בעלי אותו כינוי‪.‬‬
‫פעילות ב‪ :‬כל קבוצה מקבלת מספר דפים לבנים או שקפים‪ ,‬המייצגים עוגה‪ .‬על חברי הקבוצה‬
‫לייצג מצב דומה על‪-‬פי בחירתם‪ .‬עורכים דיון מסכם‪.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬מרוץ שליחים‪ .‬על הרצפה מציירים בגיר "מסלול ריצה" שאורכו שמונֶה משבצות‪.‬‬
‫דבּקות "התחלה" ו"סוף" מציינות את כיוון המסלול‪ .‬במשבצת השלישית מההתחלה‬
‫ִמ ָ‬
‫ממקמים שני חפצים או שני ציורים המייצגים רצים ב"מרוץ שליחים"‪ ,‬אחד כבר רץ והשני‬
‫מקבל את ה"מקל" כדי להמשיך‪ .‬שואלים את התלמידים‪" :‬איזה חלק מהמסלול עברו‬
‫‪1‬‬
‫הרצים?"‪" ,‬הרץ השני צריך לעבור‬
‫מהמסלול‪ .‬לאיזו נקודה הוא יגיע?" דנים בפתרונות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪125‬‬
‫‪3 1‬‬
‫כותבים על הלוח את התרגיל‪ . + = ? :‬משאירים את "מסלול הריצה" לפעילות ה'‪) .‬בכל‬
‫‪8 2‬‬
‫הפעילויות עד פעילות ז' כותבים על הלוח את התרגילים המתאימים‪(.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2‬‬
‫פעילות ד‪ :‬חוזרים על פעילות ג' במסלול של עשר משבצות ובמספרים ‪ ,‬ו‪-‬‬
‫‪10‬‬
‫‪5‬‬
‫ה"מסלול" לפעילות ה'‪.‬‬
‫‪ .‬משאירים את‬
‫פעילות ה‪ :‬שואלים את התלמידים‪" :‬בפעילות ב' ו‪ -‬ג' רץ שלישי היה צריך לסיים את המסלול‪.‬‬
‫איזה חלק של המסלול נותר לו לעבור?" כותבים על הלוח את התרגיל המתאים‪.‬‬
‫פעילות ו‪ :‬מבקשים מהקבוצות לתכנן "מרוץ" אחר )אורך מסלול אחר‪ ,‬שברים שונים( ולכתוב‬
‫על דף או על שקף את התרגילים המתאימים ולהציג אותם בפני המליאה‪ .‬דנים בדרכים לפתרון‬
‫הבעיות‪.‬‬
‫פעילויות ז‪ :‬תלמיד אחד קובע את אורך המסלול‪ ,‬ושני תלמידים אחרים קובעים את החלק של‬
‫כל אחד מה"רצים"‪ .‬הפעם כל רץ ממוקם במשבצת שונה‪ ,‬ויש אילוץ אחד‪ :‬מכנה של שבר אחד‬
‫אינו הכפולה של המכנה האחר‪ .‬חוזרים על פעילות ג' במספרים שבחרו הילדים‪.‬‬
‫הערה‪ :‬לעתים יעבור ה"רץ" השני את קו הסיום של המסלול‪ .‬יש לכתוב את התרגילים על הלוח‬
‫בצד‪ ,‬או לשאול כמה הוא רץ מעבר לקו הסיום‪ .‬חוזרים על פעילות ה' במספרים שהילדים‬
‫בוחרים‪.‬‬
‫פעילות ח‪ :‬הפעילות מיועדת לעבודה בקבוצות של שלושה תלמידים‪ .‬עובדים במלבנים‬
‫החופפים שנמצאים בנספח שבספר לתלמיד‪.‬‬
‫לפני תחילת הפעילות כל התלמידים כותבים על קלף שבר קטן מ‪ ,1 -‬בלי שהאחרים יראו אותו‪.‬‬
‫מספרים סיפור מסגרת‪ :‬כל מלבן הוא שדה אבטיחים‪ .‬התלמידים קוטפים ביחד את‬
‫האבטיחים‪ .‬השבר שכתב כל תלמיד על הקלף‪ ,‬הוא החלק של כל תלמיד מתוך השדה‪ .‬חברי‬
‫הקבוצה כותבים תרגיל לחישוב החלק שהם קטפו בו בסך הכול‪ .‬החישוב ייבדק על‪-‬ידי תלמידי‬
‫קבוצה אחרת או במליאה‪.‬‬
‫‪1 1 1 2 1 4 7‬‬
‫עורכים דיון מסכם בכתיבת שרשרת תרגילים‪ .‬דוגמה‪+ + = + + = :‬‬
‫‪4 8 2 8 8 8 8‬‬
‫פעילות ט‪ :‬בכל קבוצה שולפים באקראי ארבעה כרטיסי ספרות )מחבילת הספרות ‪(9 - 1‬‬
‫ומרכיבים בעזרתם שני שברים קטנים מ‪ .1 -‬על חברי הקבוצה לחבר את השברים‪.‬‬
‫בכל קבוצה שולפים באקראי ארבעה כרטיסי ספרות )מחבילת הספרות ‪ (9 - 1‬ומרכיבים‬
‫בעזרתם שני שברים גדולים מ‪ .1 -‬על חברי הקבוצה לחבר את השברים‪.‬‬
‫בכל קבוצה שולפים באקראי ארבעה כרטיסי ספרות )מחבילת הספרות ‪ (9 - 1‬ומרכיבים‬
‫בעזרתם שני שברים גדולים מ‪ .1 -‬על חברי הקבוצה לכתוב את השברים כמספרים מעורבים‬
‫ולחבר אותם‪.‬‬
‫פעילות י‪ :‬התלמידים עובדים בדף שמסורטטים בו עיגולים חופפים‪) .‬הדף מופיע בנספח שבספר‬
‫‪1‬‬
‫‪7‬‬
‫לתלמיד‪ (.‬כל קבוצת התלמידים מקבלת תרגיל חיבור‪. 2 + 4 :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫על התלמידים לחשב את הסכום בעזרת ייצוג העיגולים בלבד‪ .‬דנים בתשובות ובדרכי הפתרון‪.‬‬
‫פעילות יא‪ :‬בכל קבוצה שולפים באקראי ארבעה כרטיסי ספרות )מחבילת הספרות ‪(9 - 1‬‬
‫ומרכיבים בעזרתם שני שברים קטנים מ‪ .1 -‬על חברי הקבוצה להשוות בין השברים‪ ,‬לכתוב‬
‫תרגיל חיסור מתאים ולחשב את התוצאה‪.‬‬
‫‪126‬‬
‫בכל קבוצה שולפים באקראי ארבעה כרטיסי ספרות )מחבילת הספרות ‪ (9 - 1‬ומרכיבים‬
‫בעזרתם שני שברים גדולים מ‪ .1 -‬על חברי הקבוצה להשוות בין השברים‪ ,‬לכתוב תרגיל חיסור‬
‫מתאים ולחשב את התוצאה‪.‬‬
‫בכל קבוצה שולפים באקראי ארבעה כרטיסי ספרות )מחבילת הספרות ‪ (9 - 1‬ומרכיבים‬
‫בעזרתם שני שברים גדולים מ‪ .1 -‬על חברי הקבוצה לכתוב את השברים כמספרים מעורבים‪,‬‬
‫להשוות בין השברים‪ ,‬לכתוב תרגיל חיסור מתאים ולחשב את התוצאה‪.‬‬
‫פעילות יב‪ :‬התלמידים עובדים בדף שמסורטטים בו עיגולים חופפים‪) .‬אפשר להשתמש בדף של‬
‫פעילות י'‪(.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪7‬‬
‫כל קבוצה מקבלת תרגיל חיסור‪ . 4 − 2 :‬על התלמידים לחשב את ההפרש בעזרת ייצוג‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫העיגולים בלבד‪ .‬דנים בתשובות ובדרכי הפתרון‪.‬‬
‫השיעור בספר הלימוד‬
‫הערה‪ :‬בפרק הזה אין חלק "לעלות על הגל"‪ ,‬כלומר הפרק מתחיל בהקניית החומר החדש‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :286‬חיבור שברים מ"אותה משפחה"‬
‫שברים נקראים מ"אותה משפחה" כאשר מכנה אחד הוא כפולה של המכנה האחר‪ .‬במקרה זה‬
‫המכנה הגדול ביותר יכול לשמש מכנה משותף‪ .‬התלמידים נדרשים למצוא את המכנה שהוא‬
‫כפולה של המכנים האחרים‪ ,‬ולבחור אותו כמכנה משותף‪ .‬לאחר מכן יש להרחיב את השברים‬
‫האחרים למכנה זה ולבצע את החיבור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :2‬משימת יישום בצורה של בעיה מילולית‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :3‬משימת יישום בצורה של שאלה מילולית בלי ייצוג‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :4‬סדרה של משימות מדורגות‪ .‬בהתחלה נתון ייצוג ובהמשך על התלמידים‬
‫לייצג את הנתונים‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :5‬שאלה מילולית‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :288‬חיסור שברים מ"אותה משפחה"‬
‫יש להדגיש לתלמידים שכמו בחיבור אפשר לחסר רק שברים בעלי אותו מכנה‪ ,‬ולכן יש למצוא‬
‫מכנה משותף לשני שברים נתונים‪ .‬במקרה זה המכנה המשותף לשני השברים הוא המכנה‬
‫הגדול ביניהם‪ ,‬והוא גם המכנה המשותף הקטן ביותר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬משימת יישום בצורה של שאלה מילולית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬שאלה מילולית מדורגת‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :289‬חיבור שברים‬
‫בשיעור זה מחברים שברים בעלי מכנים "זרים"‪ ,‬כלומר אין להם מחלקים משותפים פרט ל‪.1 -‬‬
‫את המכנה המשותף מוצאים על‪-‬ידי הכפלת המכנים‪ .‬במקרה זה המכנה המשותף שמתקבל‬
‫הוא גם המכנה המשותף הקטן ביותר‪.‬‬
‫‪127‬‬
‫אם למכנים יש מחלקים משותפים‪ ,‬המכנה המשותף שמתקבל על‪-‬ידי כפל‪ ,‬לא יהיה המכנה‬
‫הקטן ביותר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬משימת יישום‪ :‬שאלה מילולית עם ייצוג‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :13 - 11‬שאלות מילוליות חד‪-‬שלביות‪ .‬מומלץ לבקש מהתלמידים לייצג אותם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬שאלה מילולית דו‪-‬שלבית‪ .‬תחילה נדרשים לחבר את שני השברים הנתונים‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫ו‪ -‬ואחר כך לבצע פעולת חיסור כמודגם להלן‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2 1 8 3 11‬‬
‫= ‪+ = +‬‬
‫‪3 4 12 12 12‬‬
‫‪11 1‬‬
‫= ‪1−‬‬
‫‪12 12‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪:291‬חיסור שברים‬
‫בשיעור זה לומדים חיסור שברים במקרה כללי‪ .‬המכנים הם זרים‪ ,‬ואת המכנה המשותף‬
‫מוצאים על‪-‬ידי הכפלת המכנים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬משימת יישום‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪:291‬‬
‫כעת לומדים להציג את התוצאה בצורה של שבר מצומצם או בצורת מספר מעורב‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :17‬התלמידים רואים כי קיימות אפשרויות שונות למכנה משותף‪ .‬במקרה זה ‪12‬‬
‫הוא המכנה המשותף הקטן ביותר‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :19 - 18‬שאלות מילוליות‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :292‬תרגילי שרשרת‪ :‬לחיבור וחיסור של שברים‬
‫בשיעור זה לומדים חיבור וחיסור של שברים כאשר יש יותר משני שברים‪ ,‬כלומר פותרים‬
‫תרגילי שרשרת בשברים‪ .‬השיטה למצוא מכנה משותף היא להכפיל את המכנים‪ .‬כדאי להסב‬
‫את תשומת לב התלמידים לדרך למציאת גורם הרחבה לכל שבר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬יש להסב את תשומת לב התלמידים לסדר פעולות חשבון‪ :‬כאשר בתרגיל‬
‫שרשרת הפעולות הן חיבור וחיסור בלבד‪ ,‬ואין בתרגיל זה סוגריים‪ ,‬מבצעים את הפעולות‬
‫משמאל לימין בזו אחר זו‪ .‬ישנם תלמידים החושבים בטעות שחיבור קודם לחיסור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬שאלות מילוליות‪.‬סעיף א' מהווה דוגמה לסעיף ב'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬שאלה מילולית דו‪-‬שלבית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬דונו עם התלמידים ב"סיפור" שלהם‪.‬‬
‫‪128‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :293‬מכנה משותף קטן יותר בתרגילי שרשרת‬
‫ממשיכים ללמוד כיצד פותרים תרגילי שרשרת בשברים‪ ,‬אך הפעם השברים הם מ"אותה‬
‫משפחה"‪ .‬כדאי שהמכנה המשותף יהיה המכנה המשותף הקטן ביותר‪ ,‬שהוא כפולה של מכנים‬
‫אחרים בשרשרת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬על התלמידים לבדוק את נכונות פתרון התרגיל שבשיעור‪ ,‬בדרך שלמדו‬
‫בשיעור הקודם‪ :‬מציאת מכנה משותף על‪-‬ידי הכפלת המכנים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬משימת יישום‪ .‬כל השברים מ"אותה משפחה"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬משימה זו מורכבת משני סעיפים‪ .‬נדרשת כאן מיומנות של הבנת הנקרא‪,‬‬
‫והתלמידים צריכים לזהות אילו פעולות נדרשות לפתרון השאלה המילולית‪.‬‬
‫בשני הסעיפים נדרשות שתי פעולות‪ :‬חיבור וחיסור‪.‬‬
‫בסעיף א' אפשר למצוא את החלק מילדי הכיתה שנותרו בחוג הקרטה‪ ,‬באמצעות שני תרגילים‬
‫)חיבור וחיסור( או באמצעות תרגיל שרשרת אחד כמודגם להלן‪:‬‬
‫‪1 1 1 3 2 1 5 1 4 2‬‬
‫= = ‪+ − = + − = −‬‬
‫‪2 3 6 6 6 6 6 6 6 3‬‬
‫‪2‬‬
‫תשובה‪ :‬בחוג הקרטה נותרו מילדי הכיתה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫בסעיף ב' אפשר למצוא את החלק מילדי הכיתה שנותרו בחוג הסקסופון‪ ,‬באמצעות תרגילים‬
‫)חיבור וחיסור‪ ,‬או באמצעות תרגיל שרשרת אחד‪ ,‬כמודגם להלן‪:‬‬
‫‪10 2 1 10 6 7 16 7 9 3‬‬
‫= = ‪+ − = + − = −‬‬
‫‪21 7 3 21 21 21 21 21 21 7‬‬
‫‪3‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪7‬‬
‫מילדי הכיתה נותרו בחוג הסקסופון‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :294‬חיבור מספרים מעורבים‬
‫בשיעור זה לומדים חיבור של מספרים מעורבים‪ .‬ישנן שתי דרכים עיקריות לחיבור מספרים‬
‫מעורבים‪ (1 :‬כתיבת מספרים מעורבים כשברים בעלי אותו מכנה וחישוב הסכום; ‪ (2‬חישוב של‬
‫סכום השלמים בנפרד ושל סכום החלקים השבריים של המחוברים‪ .‬יש להדגיש לתלמידים‬
‫שבסוף פתרון התרגיל יש לרשום את התוצאה כמספר מעורב‪ ,‬ולא כשבר‪ .‬בחיבור החלקים‬
‫השבריים מתקבל שבר קטן מ‪ ,1 -‬כלומר זהו חיבור ללא המרה‪ .‬בחירת דרך החישוב תלויה‬
‫בעיקר במספרים שבתרגילים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬משימת יישום‪ .‬התרגיל המתאים לפתרון השאלה המילולית מופיע במשימה‪.‬‬
‫התלמידים נדרשים לפתור את התרגיל בשתי הדרכים שנלמדו בקטע השיעור‪.‬‬
‫דרך א'‪ :‬חיבור שלמים בנפרד ושברים בנפרד‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3 2‬‬
‫‪9 10‬‬
‫‪19‬‬
‫‪1 +2 =1+2+ + =3+ + =3+ =4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5 3‬‬
‫‪15 15‬‬
‫‪15‬‬
‫‪15‬‬
‫דרך ב‪ :‬חיבור שברים‬
‫‪3‬‬
‫‪2 8 8 24 40 64‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪1 +2 = + = +‬‬
‫‪=4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3 5 3 15 15 15‬‬
‫‪15‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬משימת יישום‪ .‬על התלמידים לצמצם את החלק של השבר‪.‬‬
‫‪129‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬משימת יישום בצורה של בעיה מילולית‪ .‬התלמידים נדרשים לחבר שני‬
‫מספרים מעורבים פשוטים‪ .‬את המספרים הנתונים בבעיה אפשר לחבר גם בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬נועם וקרן קטפו ‪ 8‬שורות של תפוזים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬שאלה מילולית זו עוסקת בחיבור‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪3‬‬
‫התרגיל המתאים לפתרון השאלה המילולית הוא ‪. 2 + 1 = 3 + + = 3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4 4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫סינדרלה ניקתה את הבית במשך ‪ 3‬שעות‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :295‬חיסור שבר משלם‬
‫זהו שלב מקדים לחיסור מספרים מעורבים‪ .‬יש להרגיל את התלמידים לכתוב את השלם כשבר‬
‫שהמונה והמכנה שלו שווים למכנה של המחסר‪ .‬המטרה היא שבשלב מאוחר יותר יוכלו‬
‫התלמידים לחשב בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬משימת יישום‪ .‬כבר בשלב זה יהיו תלמידים שלא ירשמו את ה‪ 1 -‬בצורת שבר‬
‫שהמונה שלו שווה למכנה שלו‪ ,‬אלא יבצעו את פעולת החיסור בעל‪-‬פה‪ .‬יש לעודד דרך זו ומדי‬
‫פעם לבקש מהתלמידים הסבר לתשובה‪ .‬אם תלמידים מתקשים בביצוע החיסור בעל‪-‬פה‪ ,‬כדאי‬
‫לעודד אותם לפתור בדרך מפורטת‪ ,‬כדי לוודא שהם אמנם מבינים את התהליך‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬תרגיל זה מורכב יותר ועלול להיות קשה לתלמידים בכיתה‪ .‬למעשה‪ ,‬על‬
‫פתרון אחד לפחות לאי‪-‬שוויון‪ .‬כדי להקל על‬
‫התלמידים לפתור את המשוואה או למצוא ְ‬
‫התלמידים )במידת הצורך( אפשר להציע להם לייצג את התרגיל‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.‬‬
‫כדי לקבל בחיסור מספר גדול מ‪ -‬צריך לחסר מ‪ 1 -‬מספר הקטן מ‪ , -‬לדוגמה‬
‫‪10‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫כדי שיתקבל מספר קטן מ‪ -‬צריך לחסר מספר הגדול מ‪ , -‬לדוגמה ‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬משימת יישום בצורה של שאל מילולית‪ .‬שלבי הפתרון מפורטים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬משימת יישום בצורה של שאלה מילולית בלי פירוט של שלבי הפתרון‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :296‬חיסור שבר ממספר שלם‬
‫שתי דרכים לחיסור שבר ממספר שלם מובאות בשיעור‪ .‬שימו לב שבדרך ב' מפרקים את ‪ 3‬ל‪2 -‬‬
‫ול‪ ,1 -‬ומ‪ 1 -‬מחסרים את השבר הנתון‪.‬‬
‫‪5−3‬‬
‫‪5 3‬‬
‫התרגיל הוא‬
‫‪.2+ − = 2+‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5 5‬‬
‫מבחינת סדר הפעולות יש לבצע פעולות משמאל לימין‪ ,‬וכאן הן בוצעו מימין לשמאל‪ .‬כלומר‬
‫פעולת החיסור קדמה לפעולת החיבור‪ .‬אין בכך בעיה‪ ,‬מפני שמבחינה אלגברית‪:‬‬
‫)‪ . a + b − c = a + (b − c‬אם תתעורר שאלה‪ ,‬יש לדון בה עם התלמידים ‪ -‬לא בשפה אלגברית‪,‬‬
‫כמובן‪ ,‬אלא אפשר להסביר את הדבר בעזרת ייצוג )לדוגמה‪ ,‬בעיגולים(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬פתרון משוואות כאשר יש למצוא מחסר‪ .‬המשימה עלולה להיות קשה‬
‫לתלמידים בכיתה‪ .‬כדאי לדון בדרכים לפתרון המשוואה‪ .‬במקרה הצורך אפשר להיעזר‬
‫בייצוגים‪.‬‬
‫‪130‬‬
‫‪1 1‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬בשאלה מילולית זו על התלמידים לפתור את התרגיל ‪ . 3 − 1 −‬חשוב‬
‫‪3 2‬‬
‫להסב את תשומת לב התלמידים לכך שסדר הפעולות הוא משמאל לימין בלבד‪ .‬יהיו תלמידים‬
‫‪1 1‬‬
‫שיחשבו תחילה בכמה קופסאות השתמשו‪ ,‬כלומר יפתרו את התרגיל = ‪ 1 +‬ולאחר מכן‬
‫‪3 2‬‬
‫‪5‬‬
‫יבצעו את החיסור = ‪ . 3 − 1‬גם זו דרך נכונה‪ .‬דרכים אלו שקולות‪ ,‬מפני ששתיהן מבוססות על‬
‫‪6‬‬
‫הנוסחה האלגברית‪. a − b − c = a − (b + c) :‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬בשאלה מילולית זו על התלמידים לפתור את התרגיל = ‪. 4 − 2‬‬
‫‪4‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :297‬חיסור מספרים מעורבים‬
‫בשיעור זה לומדים חיסור מספרים מעורבים ללא המרה‪ .‬בשיעור מובאות שתי דרכים לביצוע‬
‫חיסור זה‪ .‬גם כעת כותבים את התשובה בצורה של מספר מעורב‪.‬‬
‫ישנם שני מקרים מיוחדים שאינם מופיעים בשיעור בספר‪ ,‬אך הם מופיעים בתרגילים‪(1 :‬‬
‫תוצאה שהיא מספר שלם; ‪ (2‬אחד האיברים הוא שבר קטן מ‪.1 -‬‬
‫משימות מס' ‪ :39‬משימות יישום‪ .‬עודדו את התלמידים לכתוב את שלבי החישוב‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :40‬שאלות מילוליות‪ .‬שני הסעיפים הראשונים מהווים יישום השיעור‪ .‬התרגיל‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫המתאים לסעיף השלישי הוא המשוואה ‪ , __ − 2 = 1‬כלומר התלמידים צריכים לחשב‬
‫‪4‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ . 1 + 2‬הקשר עם חיי היום‪-‬יום עוזר להבין את המשימה‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :298‬חיסור מספרים מעורבים )המשך(‬
‫בשיעור זה לומדים חיסור מספרים מעורבים בהמרה‪ .‬דרך א' היא המשך הדרך הנלמדת בלי‬
‫המרה‪ ,‬אך היא עשויה להיות קשה לתלמידים בכיתה‪ .‬דרך ב' אינטואיטיבית פחות וקלה יותר‪.‬‬
‫יש לאפשר פתרון תרגילים מסוג זה בדרך הנוחה לתלמידים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬משימת יישום‪ .‬מומלץ לציון בדרכי הפתרון‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬התרגיל שמתאים לבעיה מילולית זו הוא = ) ‪. 20 − (2 + 3 + 4 + 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬דרך א'‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪11‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9‬‬
‫בבוקר השני‬
‫= ‪−1 = 1+ −1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪5‬‬
‫‪10 10 10‬‬
‫‪9‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪16‬‬
‫‪2‬‬
‫‪14‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+5 −2 =5 −2 =3 = 4‬‬
‫בבוקר השלישי‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪5‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 11 22‬‬
‫דרך ב'‬
‫= = ‪2‬‬
‫‪5 5 10‬‬
‫‪7 57‬‬
‫=‬
‫‪10 10‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1 6 12‬‬
‫= = ‪1‬‬
‫‪5 5 10‬‬
‫‪1 21‬‬
‫=‬
‫‪10 10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9 57 22 44‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪21 12 9‬‬
‫בבוקר השלישי‬
‫בבוקר השני‬
‫‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪=4 =4‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪10 10 10 10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪5‬‬
‫‪10 10 10‬‬
‫‪131‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪ :299‬סיכום הנלמד‬
‫משימה מס' ‪ :44‬שלם אחד צבוע באדום‪ ,‬חצי מהשלם צבוע בירוק‪ ,‬חצי נוסף צבוע בכחול‪ ,‬רבע‬
‫צבוע בכתום‪ ,‬ורבע נוסף צבוע בסגול‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמודים ‪303 -300‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬חיבור שברים שמכניהם מאותה "משפחה"‪ .‬מכנה אחד הוא כפולה של המכנה‬
‫‪4 2 8‬‬
‫‪2 10 5‬‬
‫האחר‪ .‬דוגמה‪ :‬א( = = ‪+ = +‬‬
‫‪9 18 18 18 18 9‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬חיסור שברים שמכניהם מאותה "משפחה"‪ .‬דוגמה‪:‬‬
‫‪11 2 11 4 7 1‬‬
‫= = ‪− = −‬‬
‫‪14 7 14 14 14 2‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬חיבור שברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬שאלה מילולית‪.‬‬
‫‪7 1 14 9 5‬‬
‫= ‪− = −‬‬
‫התרגיל המתאים לפתרון הוא תרגיל חיסור‪:‬‬
‫‪9 2 18 18 18‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬שאלה מילולית דו‪-‬שלבית‪ .‬אפשר לפתור את השאלה המילולית בעזרת שני‬
‫להלן‪:‬‬
‫כמודגם‬
‫אחד‬
‫שרשרת‬
‫תרגיל‬
‫בעזרת‬
‫או‬
‫נפרדים‬
‫תרגילים‬
‫‪1 1‬‬
‫‪3 4‬‬
‫‪5‬‬
‫= ) ‪.1−( + ) = 1− ( +‬‬
‫‪4 3‬‬
‫‪12 12 12‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬תרגילי שרשרת של חיבור וחיסור‪.‬‬
‫‪1 1 4 10 5 24 29‬‬
‫= ‪. − + = − +‬‬
‫דוגמה לפתרון תרגיל‪:‬‬
‫‪3 6 5 30 30 30 30‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬חיבור מספרים מעורבים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬בשאלה מילולית זו קושרים את עולם האגדות לחיבור מספרים מעורבים‪.‬‬
‫הפתרון לשאלה זו‪ :‬היפהפייה הנרדמת ישנה ‪ 100‬שנה‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪10 9 5‬‬
‫‪24‬‬
‫‪42 + 56 + = 98 + + + = 98 + = 98 + 2 = 100‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4 12‬‬
‫‪12 12 12‬‬
‫‪12‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬בשאלה מילולית זו קושרים שוב את עולם האגדות לחיבור שברים‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫התשובה לשאלה המילולית‪ :‬כיפה אדומה מגיעה מביתה לבית סבתה במשך ‪ 50‬דקות שהן‬
‫‪6‬‬
‫‪1 1 2 3 5‬‬
‫השעה‪ .‬התרגיל המתאים לפתרון הוא = ‪. + = +‬‬
‫‪3 2 6 6 6‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬שאלה מילולית זו מורכבת ממספר שלבים‪ .‬התרגילים הנדרשים לפתרון‬
‫שאלה זו הם תרגילי חיסור של שבר מ‪.1 -‬‬
‫‪132‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬חיסור שבר ממספר שלם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬חיבור וחיסור של מספרים מעורבים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬חיבור וחיסור של שברים‪.‬‬
‫להלן הפתרון‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬שאלה מילולית המורכבת ממספר סעיפים‪ .‬ארבעה תרגילים מתאימים‬
‫לפתרון השאלה‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪21‬‬
‫‪16‬‬
‫‪5‬‬
‫א(‬
‫‪ 4‬בקבוקים של צבע אדום‪.‬‬
‫‪ 5 − 1 = 5 − 1 = 4‬ייוותרו לתמיר‬
‫‪24‬‬
‫‪8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪24‬‬
‫‪24‬‬
‫‪24‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪12‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 4 − 1 = 4 − 1 = 3‬ייוותרו לתמיר ‪ 3‬בקבוקים של צבע צהוב‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪15‬‬
‫‪15‬‬
‫‪15‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 3 − 1 = 3 − 1 = 2‬ייוותרו לתמיר‬
‫‪24‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫ב( שימו לב‪ ,‬בשונה מהסעיף הקודם התרגיל המתאים לפתרון הוא תרגיל חיבור‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ . 1 + 1 = 1 + 1 = 2 + = 3‬תשובה‪ :‬היו לו ‪ 3‬בקבוקים של צבע ירוק‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ 4‬בקבוקים של צבע כחול‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬חיבור וחיסור של שברים ומספרים מעורבים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬בריבוע הקסם סכום המספרים בכל טור‪ ,‬בכל שורה ובכל אלכסון הוא‬
‫‪4‬‬
‫‪2 5 1 8 5 2 15‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. + + = + + = =1 =1‬‬
‫‪3 12 6 12 12 12 12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪4‬‬
‫להלן הריבוע המלא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪7‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪133‬‬
‫‪.1‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬השבר בכל מלבן הוא סכום השברים הרשומים במלבנים שמתחתיו‪ .‬להלן‬
‫התשובות המתאימות למשימה זו‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪9‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫שאלות מילוליות‪ ,‬עמוד ‪304‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימה זו מתייחסת למשולש של לייבניץ המתואר בקטע השיעור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬שאלה מילולית‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫אימא הכינה ‪ 1‬ליטרים של מיץ‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫‪7‬‬
‫ליטרים של מים כדי להפחית את המתיקות של המיץ‪.‬‬
‫היא הוסיפה‬
‫‪12‬‬
‫הפתרון‪ .‬אורן סידר ‪45‬‬
‫ְ‬
‫משימה מס' ‪ :3‬המשימה מורכבת‪ ,‬וכדאי לדון עם התלמידים בשלבּי‬
‫‪2‬‬
‫קופסאות )נותרו ‪ 540‬ביצים‪ ,‬כי ‪ 60‬ביצים נשברו(‪ .‬ביום ראשון הוא מכר ‪ 30‬קופסאות ) (‪,‬‬
‫‪3‬‬
‫וסכום המכירות היה ‪ 270‬ש''ח ) ‪ .( 9 × 30‬ביום שני הוא מכר ‪ 15‬קופסאות )יתר הקופסאות(‪,‬‬
‫וסכום המכירות היה ‪ 120‬ש''ח ) ‪ .( 8 × 15‬בסך הכול הרוויחו בחנות ‪ 90‬ש''ח ביומיים‬
‫) )‪.( 300 − (270 + 120‬אם צריך‪ ,‬יש להסב את תשומת לב התלמידים לכך שעליהם לחזור‬
‫לתחילת הבעיה כאשר הם עונים על השאלה האחרונה‪.‬‬
‫‪134‬‬
‫היסטוריה‪ ,‬עמוד ‪305‬‬
‫בקטע ההיסטורי התלמידים לומדים על השברים המצריים‪ ,‬כלומר שברים שהמונה שלהם הוא‬
‫‪ .1‬למצרים היו כללים שונים‪ .‬למשל‪ ,‬הם העדיפו לכתוב שבר באמצעות שני שברים יסודיים‬
‫מאשר בשלושה‪.‬‬
‫‪2 1 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. = +‬‬
‫דוגמה‪ :‬את השבר הם כתבו כך‪:‬‬
‫‪5 3 15‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫קיימות דרכים שונות לייצוג שבר כסכום של שברים יסודיים‪ .‬לדוגמה‪ ,‬נייצג את השבר בשתי‬
‫‪5‬‬
‫דרכים‪.‬‬
‫‪3 1 1 1 2‬‬
‫‪3 1 1‬‬
‫דרך א'‪:‬‬
‫דרך ב' )המבוססת על ( ‪= + +‬‬
‫‪= +‬‬
‫‪5 3 15 5 5‬‬
‫‪5 2 10‬‬
‫‪2 1 1‬‬
‫‪7 1 1 1‬‬
‫‪5 1 1‬‬
‫‪, = +‬‬
‫‪, = + +‬‬
‫‪, = +‬‬
‫משימה מס' ‪:1‬‬
‫‪5 15 3‬‬
‫‪9 2 9 6‬‬
‫‪8 2 8‬‬
‫‪4 1 1 3 1 1‬‬
‫‪3 1 1‬‬
‫‪. = + , = +‬‬
‫‪, = +‬‬
‫‪9 3 9 8 8 4‬‬
‫‪5 2 10‬‬
‫‪4 1 1 1‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬א( ‪. = + +‬‬
‫‪5 2 5 10‬‬
‫‪7 1 1‬‬
‫ב( ‪= +‬‬
‫‪12 2 12‬‬
‫משימה מס' ‪ : 3‬חיסור שברים בתוך כדי שימוש בשברים מצריים‪ .‬התלמידים נדרשים לייצג‬
‫את המחוסר כסכום של שברים יסודיים‪.‬‬
‫‪3 1 1 1 1 1‬‬
‫‪4 1 1 1 1 1 1 1‬‬
‫= ‪− = + −‬‬
‫‪− = + + − = +‬‬
‫‪10 5 5 10 5 10‬‬
‫‪5 2 2 5 10 2 5 10‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪306‬‬
‫משימת ההעשרה עוסקת בסדרה של שברים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫א( המספר הקבוע הוא ‪ .‬כדי למצוא את המספר הקבוע מספיק לחשב את ההפרש בין שני‬
‫‪6‬‬
‫שברים סמוכים‪.‬‬
‫ב( השלמת הסדרה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 11‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7 13 31 6‬‬
‫‪.‬‬
‫‪30 5 30 15 10 15 30 5‬‬
‫‪37‬‬
‫כסכום של כל זוג שברים‪.‬‬
‫ג( אם נחבר את השברים כמתבקש‪ ,‬נקבל את השבר‬
‫‪30‬‬
‫ד( משימה פתוחה‪ .‬על התלמידים לכתוב סדרת שברים הבנויה על‪-‬פי אותו הכלל‪.‬‬
‫ה( התלמידים נדרשים לבדוק את סכום זוגות השברים לגבי סדרת השברים שבנו‪.‬‬
‫ו( אם נחבר את השבר הראשון עם השבר החמישי או את השבר השני עם השבר הרביעי‪,‬‬
‫‪11‬‬
‫‪ .‬מספר זה גדול פי שניים מהשבר השלישי‪.‬‬
‫נקבל את הסכום‬
‫‪15‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪307‬‬
‫חזרה על הנושאים שנלמדו בעבר‪ :‬חזקות‪ ,‬חישוב שטח ריבוע וחישוב נפח של קובייה‪.‬‬
‫‪135‬‬
‫עמ' ‪334 - 308‬‬
‫י‪ .‬מרובעים )המשך(‬
‫רקע‬
‫בפרק זה ממשיכים לחקור את משפחת המרובעים‪ .‬בפרק ז' התחילו התלמידים להכיר את‬
‫הנושא‪ ,‬חזרו על המושגים הבסיסיים ‪ -‬כמו "מאוּנכוּת"‪" ,‬מקבילוּת"‪" ,‬זוויות" ו"סימטריה" ‪-‬‬
‫והתמקדו בחקירת התכונות של מקבילית‪ ,‬של מלבן‪ ,‬של מעוין ושל ריבוע‪.‬‬
‫הנוכחי עוסקים בקשרי ההכלה במשפחת המקביליות ובמרובעים נוספים ‪ -‬הטרפז‬
‫ְ‬
‫בפרק‬
‫והדלתון ‪ -‬וכן בקשרי ההכלה במשפחת המרובעים כולה‪ .‬סדר הצגת הנושאים בפרק זה‪:‬‬
‫תחילה חוקרים את קשרי ההכלה במשפחת המקביליות עד להגעה לתרשים המקובל‪ ,‬לאחר‬
‫מכן לומדים על הדלתון ועל הטרפז כדי להשלים את הידע על משפחת המרובעים‪ ,‬ולבסוף‬
‫חוקרים את קשרי ההכלה בין סוגים שונים של מרובעים במשפחת המרובעים‪ .‬הלימוד בכל‬
‫חלק נעשה בצורה שיטתית ומבוסס על חקירות רבות הנעשות על‪-‬ידי התלמידים‪ .‬כדי להבין‬
‫את קשרי ההכלה דרושות יכולות של חשיבה לוגית‪ ,‬ראיית כל הצורות העומדות בתנאי נתון‬
‫)לדוגמה‪ ,‬בין המקביליות יש גם מלבנים(‪ ,‬הסקת מסקנות‪ ,‬הבנת המושג "הגדרה" ועוד‪ .‬בפרק‬
‫זה התלמידים מפתחים את כל היכולות הללו וגם כישורים נוספים‪.‬‬
‫תלמידים עלולים להיתקל בקשיים רבים במהלך הלימוד בפרק זה‪ .‬מומלץ לעודד אותם לעבוד‬
‫בחומרי המחשה‪ ,‬לדוגמה לבנות מרובעים וגם משפחות של מרובעים בעזרת רצועות‪ .‬ההמחשה‬
‫יכולה לסייע להשגת מטרה לימודית‪ .‬בפרק זה התלמידים יצטרכו להפעיל את שיקול דעתם‬
‫במקרים רבים‪ ,‬לדון בהם ולנמק את מסקנותיהם‪ .‬מודגש כי אין לדרוש מהתלמידים של כיתה‬
‫ה' את הנימוקים הפורמליים‪ ,‬אלא אפשר להיות גמישים בנושא ההסברים המתקבלים על‪-‬‬
‫ידיהם‪ .‬יש תלמידים שינמקו בעזרת חומרי המחשה‪ ,‬יש שיפעילו את ההיגיון‪ ,‬ויש שישלבו בין‬
‫שתי הדרכים‪ .‬חשוב לקבל את הנימוקים לפי רמת התלמידים‪ ,‬אם הם אינם שגויים‪.‬‬
‫הפרק מתאים לתכנית הלימודים‪ .‬מומלץ להקדיש לו כ‪ 5 -‬שעות לימוד‪.‬‬
‫מושגים‬
‫מצולע‪ ,‬מרובע‪ ,‬קדקוד‪ ,‬צלע‪ ,‬זווית במצולע‪ ,‬אלכסון‪ ,‬מאונכוּת‪ ,‬מקבילוּת‪ ,‬שוויון צלעות‪ ,‬צלעות‬
‫סמוכות‪ ,‬צלעות נגדיות‪ ,‬שוויון זוויות‪ ,‬זווית ישרה‪ ,‬זוויות נגדיות‪ ,‬זוויות סמוכות‪ ,‬קדקודים‬
‫סמוכים‪ ,‬קדקודים נגדיים; סימטריה שיקופית‪ ,‬קו סימטריה‪ ,‬סימטריה סיבובית‪ ,‬מרכז‬
‫סימטריה‪ ,‬זווית הסיבוב; מיון‪ ,‬תכונה‪ ,‬הגדרה‪ ,‬מרובע כלשהו‪ ,‬מרובע מיוחד‪ ,‬מקבילית‪ ,‬דלתון‪,‬‬
‫טרפז‪ ,‬מלבן‪ ,‬מעוין‪ ,‬ריבוע‪ ,‬קשרי הכלה‪ ,‬משפחת המקביליות‪ ,‬משפחת המרובעים‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬לזהות את הקדקודים‪ ,‬את הצלעות‪ ,‬את הזוויות ואת האלכסונים של מרובע נתון;‬
‫ב‪ .‬לסמן מרובע על‪-‬ידי אותיות לועזיות ולקרוא את שמו באותיות;‬
‫ג‪ .‬לזהות מרובעים מיוחדים ומרובעים לא‪-‬מיוחדים ולשיים אותם;‬
‫ד‪ .‬למיין מרובעים לסוגים שונים לפי תכונה מסוימת;‬
‫ה‪ .‬להגדיר בהגדרה מילולית את המרובעים האלה‪ :‬מקבילית‪ ,‬מלבן‪ ,‬מעוין‪ ,‬ריבוע‪ ,‬דלתון‬
‫וטרפז;‬
‫ו‪ .‬לסרטט מרובעים ללא אילוצים ובאילוצים נתונים;‬
‫ז‪ .‬לזהות מרובעים בסרטוט מורכב;‬
‫ח‪ .‬לתאר תכונות של צלעות‪ ,‬של זוויות ושל אלכסונים במרובע;‬
‫ט‪ .‬לבדוק אם מרובע הוא סימטרי‪ ,‬ומה סוג הסימטריה שלו;‬
‫י‪ .‬למצוא את קווי הסימטריה ואת מרכז הסיבוב במרובעים שיש בהם סימטריה‬
‫מתאימה;‬
‫יא‪ .‬למיין מרובעים למקביליות וללא‪-‬מקביליות ולנמק את המיון;‬
‫יב‪ .‬לציין את סוגי המרובעים השייכים למשפחת המקביליות;‬
‫‪136‬‬
‫יג‪.‬‬
‫יד‪.‬‬
‫טו‪.‬‬
‫טז‪.‬‬
‫יז‪.‬‬
‫לייצג את קשרי ההכלה במשפחת המקביליות בעזרת תרשים;‬
‫לציין את סוגי המרובעים השייכים למשפחת הדלתונים;‬
‫למיין טרפזים למיוחדים וללא‪-‬מיוחדים;‬
‫להסביר את קשרי ההכלה במשפחת המרובעים;‬
‫לייצג את קשרי ההכלה בעזרת תרשים‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫גפרורים‪ ,‬קיסמים‪ ,‬רצועות‪ ,‬מרובעים מסורטטים גזורים‪ ,‬מרובעים מוכנים‪ ,‬מד‪-‬זווית רגיל‪,‬‬
‫סרגל‪ ,‬עיפרון‪ ,‬סרטוטים של מרובעים שונים‪ ,‬משולשים חופפים מוכנים או גזורים מסוגים‬
‫שונים‪ ,‬דף פרגמנט )או דף שקוף אחר(‪.‬‬
‫אביזרי "חשבון ‪ :"10‬רצועות‪ ,‬מד‪-‬זווית עגול‪ ,‬לוח מחיק‪ ,‬שקף משבצות‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫חזרה על מקבילית‪ ,‬על מעוין‪ ,‬על מלבן ועל ריבוע‪.‬‬
‫על הלוח מצוירים )בדיוק האפשרי( ארבעה מרובעים‪ :‬מלבן לא‪-‬מיוחד‪ ,‬ריבוע‪ ,‬מעוין לא‪-‬מיוחד‬
‫ומקבילית לא‪-‬מיוחדת‪ .‬המרובעים מסומנים באותיות מ‪ -‬א' עד ד'‪ .‬התלמידים מתבקשים לתת‬
‫שם לכל מרובע כך שהשם יכלול את כל התכונות של המרובע‪ .‬לדוגמה‪ ,‬למלבן אפשר לקרוא גם‬
‫ְ‬
‫מקבילית )את זה ילמדו בפרק‬
‫הנוכחי‪ ,‬אך ייתכן שחלק מהתלמידים כבר יודעים זאת(‪ ,‬אבל‬
‫השם "מקבילית" לא מתאר את התכונה הייחודית של המלבן )כל הזוויות ישרות(‪ ,‬ולכן השם‬
‫שצריך לתת הוא "מלבן"‪.‬‬
‫אפשר לבקש מהתלמידים לכתוב את רשימת השמות על הלוח המחיק‪ ,‬וכך תוכלו לבדוק את‬
‫תשובות כל התלמידים בו‪-‬זמנית‪ .‬חשוב גם לבקש מהתלמידים לנמק בעל‪-‬פה את בחירת השם‪.‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬מיון מרובעים למקביליות וללא‪-‬מקביליות‪) .‬פעילות קבוצתית‪(.‬‬
‫התלמידים מקבלים כחמישה‪-‬עשר מרובעים שונים )לפחות שניים מכל סוג(‪ :‬מרובעים סתמיים‬
‫)קמורים ולא‪-‬קמורים(‪ ,‬מקביליות‪ ,‬ריבועים‪ ,‬מלבנים‪ ,‬מעוינים‪ ,‬טרפזים‪ ,‬דלתונים )קמורים‬
‫ולא‪-‬קמורים(‪ .‬אין אומרים להם את שמות המרובעים‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים למיין את המרובעים לשתי קבוצות ‪ -‬למקביליות וללא‪-‬מקביליות ‪-‬‬
‫ולתאר לפי איזו תכונה הם בחרו מקביליות‪ .‬מטרת הפעילות היא הכנה להבנת קשרי ההכלה‬
‫בין המרובעים במשפחת המקביליות‪.‬‬
‫שימו לב שלתלמידים צריכים להיות כלים לבדיקת התכונה‪ .‬משווים בין צלעות בעזרת רצועה‬
‫)לא חייבים למדוד בדיוק( או בעזרת סרגל )אם רוצים למדוד(‪ .‬צריך לבדוק כל מרובע )אם יש‬
‫ספק(‪ ,‬אך לעתים אפשר להסתפק בטביעת עין )לדוגמה‪ ,‬ברור שהצלעות אינן שוות(‪ .‬כדי לדעת‬
‫את זווית היא ישרה‪ ,‬נעזרים בזווית ישרה כלשהי‪ .‬שוויון זוויות אפשר לבדוק על‪-‬ידי העתקת‬
‫זווית אחת על דף שקוף או על‪-‬ידי מדידה במד‪-‬זווית‪.‬‬
‫להלן דוגמאות לאוסף המרובעים‪.‬‬
‫הציורים המוגדלים נמצאים בנספח לפרק במדריך זה‪.‬‬
‫‪137‬‬
‫פעילות ב‪ :‬חקירת התכונות המשותפות למרובעים במשפחת המקביליות‪.‬‬
‫התלמידים מתבוננים בסוגי מקביליות‪ ,‬כגון מקבילית לא‪-‬מיוחדת‪ ,‬מלבן לא‪-‬מיוחד‪ ,‬מעוין לא‪-‬‬
‫מיוחד וריבוע‪ .‬אפשר להיעזר באוסף מרובעים מוכנים‪ ,‬גזורים או מסורטטים על דף‪ .‬על‬
‫התלמידים למצוא את מרב התכונות המשותפות של כל המרובעים שלעיל‪ .‬התכונות הן תכונות‬
‫הצלעות‪ ,‬תכונות של זוויות‪ ,‬תכונות של אלכסונים‪ ,‬תכונות של סימטריה‪.‬‬
‫בפעילות זו יראו התלמידים שכל התכונות המשותפות לכל המרובעים ממשפחת המקביליות‪,‬‬
‫הן תכונות של מקבילית‪.‬‬
‫דוגמאות לתכונות המשותפות להמרובעים ממשפחת המקביליות‪ :‬שני זוגות של צלעות נגדיות‬
‫שוות זו לזו‪ ,‬שני זוגות של צלעות מקבילות זו לזו; שני זוגות של זוויות נגדיות שוות זו לזו;‬
‫סכום כל שתי זוויות סמוכות שווה ל‪) 1800 -‬סביר שהתלמידים לא יכירו תכונה זו‪ ,‬ואין צורך‬
‫ללמדה(; האלכסונים חוצים זה את זה; לכולם יש סימטריה סיבובית‪.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬חקירת תכונות ייחודיות של מרובעים במשפחת המקביליות‪.‬‬
‫התלמידים מתבוננים באוסף המרובעים מפעילות הגילוי ב' ומתבקשים לכתוב לפחות תכונה‬
‫אחת ייחודית לכל מרובע‪ ,‬כלומר שאינה קיימת בסוגים אחרים של מרובעים )מקבילית לא‪-‬‬
‫מיוחדת‪ ,‬מלבן לא‪-‬מיוחד‪ ,‬מעוין לא‪-‬מיוחד וריבוע(‪ .‬דנים בהצעות התלמידים‪ .‬מטרת הפעילות‬
‫היא להצדיק את השם המיוחד לכל המרובעים שלעיל‪.‬‬
‫דוגמאות לתכונות‪ :‬מלבן – כל הזוויות ישרות )או רק שני קווי סימטריה העוברים דרך אמצעי‬
‫הצלעות הנגדיות(; מעוין – כל הצלעות שוות )או רק שני קווי סימטריה העוברים דרך‬
‫הקדקודים הנגדיים(; ריבוע – ארבעה קווי סימטריה; מקבילית – אין לה קווי סימטריה כלל‪.‬‬
‫פעילות ד‪ :‬בניית תרשימים לתיאור קשרי ההכלה במשפחת המקביליות‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים לתאר את קשרי ההכלה במשפחת המקביליות בעזרת עץ‪ .‬כותרתו של‬
‫העץ היא שם המרובע המאחד את כל הסוגים האחרים‪ ,‬ותחתיתו היא שם המרובע "המיוחד‬
‫ביותר" ביניהם‪ .‬את העבודה אפשר לגוון בציור אמתי של עץ ובעזרת מרובעים גזורים או‬
‫מוכנים )או בנויים מרצועות(‪ .‬דנים בתרשימים המוצעים‪ .‬מטרת הפעילות היא להגיע לתרשים‬
‫כמו בעמ' ‪ .174‬להלן דוגמה ל"עץ המקביליות"‪:‬‬
‫לאחר שהתלמידים בונים את העץ‪ ,‬הם מתבקשים‬
‫להוסיף חצים מלמעלה למטה ולהסביר מה הם מציינים‪.‬‬
‫פעילות ה‪ :‬חקירת תכונות הדלתון‪.‬‬
‫בשלב הראשון התלמידים מתבקשים לקחת שתי רצועות בשני גדלים שונים‪ :‬שתי רצועות‬
‫השוות באורכן ושתי רצועות אחרות שוות באורכן‪ .‬עליהם לבנות מרובעים שונים בעזרת‬
‫רצועות אלה ולצייר אותם על דף‪ .‬דנים במרובעים שנבנו‪.‬‬
‫מהרצועות שתוארו לעיל אפשר לבנות מקבילית )רצועות שוות מייצגות צלעות נגדיות( ודלתון‬
‫)רצועות שוות מייצגות צלעות סמוכות(‪ .‬הדלתון יכול להיות קמור ולא‪-‬קמור )את המושגים‬
‫"קמור" ו"לא‪-‬קמור" אין מלמדים את תלמידים(‪.‬‬
‫שואלים את התלמידים אם הם ַמכירים חפצים‬
‫שצורתם דלתון )לדוגמה‪ ,‬עפיפון(‪.‬‬
‫‪138‬‬
‫בשלב השני מבקשים מהתלמידים להתבונן בדלתונים מצוירים או מוכנים ולחקור את תכונות‬
‫הדלתון‪ :‬צלעות )שוות‪ ,‬מקבילות(‪ ,‬זוויות )שוות(‪ ,‬אלכסונים )נחצים‪ ,‬שווים‪ ,‬מאונכים(‪,‬‬
‫סימטריה )סיבובית‪ ,‬שיקופית(‪ .‬התלמידים בודקים את התכונות בעזרת כלים מתאימים )סרגל‬
‫או פס נייר‪ ,‬מד‪-‬זווית או דף שקוף‪ ,‬זווית ישרה‪ ,‬מראה או קיפול(‪.‬‬
‫דנים בתכונות שנמצאות‪.‬‬
‫כך מציירים בעזרת רצועות‪:‬‬
‫פעילות ו‪ :‬דלתונים מיוחדים‪.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים לבנות מרובעים שונים מארבע רצועות זהות‪ .‬דנים בסוגי המרובעים‬
‫שנבנו )ריבוע או מעוין(‪ .‬דנים בשאלה אם ריבוע ומעוין הם דלתונים‪) .‬כן‪ ,‬כי הם מתאימים‬
‫להגדרה של דלתון‪ (.‬מטרת הפעילות היא להגיע לקשרי הכלה בין דלתונים שונים‪.‬‬
‫פעילות ז‪ :‬טרפז‪.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים לבנות מרובע מארבע רצועות שונות באורכן‪) .‬רוב התלמידים יבנו מרובע‬
‫לא‪-‬מיוחד‪ (.‬לאחר מכן מבקשים מהם להזיז את הרצועות בלי לפרק אותן‪ ,‬כך שיהיו במרובע‬
‫שתי צלעות מקבילות‪ .‬שואלים‪" :‬מהו שם המרובע?" )טרפז‪ (.‬התלמידים מכירים את הצורה‬
‫מהגיל הרך‪ .‬מבקשים מהתלמידים לסרטט את הטרפז בעזרת הרצועות ולהגדיר במילים מהו‬
‫הטרפז‪ .‬דנים בהצעות‪ .‬מגדירים את השוקיים ואת הבסיסים של הטרפז‪ .‬בקשו מהתלמידים לא‬
‫לפרק את הרצועות‪ .‬אחר‪-‬כך יבנו התלמידים טרפז מארבע רצועות בשלושה גדלים‪ ,‬כך ששתי‬
‫רצועות יהיו באורך שווה‪ .‬הטרפז שמתקבל הוא טרפז שווה‪-‬שוקיים‪ .‬גם את הטרפז הזה‬
‫מציירים‪ ,‬ולא מפרקים את הרצועות‪ .‬בהמשך התלמידים מתבקשים לבחור רצועות מתאימות‬
‫ולבנות טרפז ישר‪-‬זווית )בטרפז כזה יש שתי זוויות ישרות(‪ .‬מציירים גם טרפז זה‪ ,‬ולא מפרקים‬
‫את הרצועות‪ .‬מתבוננים בכל שלושת הטרפזים ודנים בשאלה אם טרפז הוא מקבילית מיוחדת‪.‬‬
‫)לא‪ ,‬כי למקבילית שני זוגות של צלעות מקבילות‪ ,‬ולטרפז זוג אחד בלבד‪ (.‬שואלים אם טרפז‬
‫הוא דלתון‪) .‬לא‪ (.‬שואלים אם טרפז הוא מלבן‪ ,‬מעוין‪ ,‬ריבוע‪ .‬ולהפך‪ :‬האם מעוין יכול להיות‬
‫טרפז? האם דלתון יכול להיות טרפז? וכדומה‪ .‬מטרת הפעילות היא להגיע למסקנה כי טרפז‬
‫הוא סוג נוסף של מרובע מיוחד‪ ,‬והוא אינו שייך לשום סוג שהכרנו עד כה‪.‬‬
‫פעילות ח‪ :‬בניית תרשימים לתיאור קשרי ההכלה במשפחת המרובעים‪.‬‬
‫פעילות זו מתבצעת בדומה לפעילות הגילוי ג'‪ ,‬אך הפעם מדובר בכל סוגי המרובעים‪.‬‬
‫מטרת הפעילות היא לתאר את קשרי ההכלה בין המרובעים על‪-‬ידי תרשים‪) .‬ראו תרשימים‬
‫מתאימים בעמ' ‪ 181‬ובעמ' ‪ 182‬בספר הלימוד‪ (.‬חשוב לדון בהצעות התלמידים‪.‬‬
‫השיעור בספר הלימוד‬
‫הערה‪ :‬פרק זה הוא המשך של פרק ז'‪ ,‬ולכן אין בו עמודים של "לעלות על הגל"‪.‬‬
‫יחידת הלימוד ‪ -‬הקניה‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪:308‬מקביליות ולא‪-‬מקביליות‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי א' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה עוסקים במיון המרובעים‬
‫למקביליות וללא‪-‬מקביליות‪ .‬השיעור הוא הכנה להבנה של קשרי ההכלה במשפחת‬
‫המקביליות‪ .‬חשוב לדון עם התלמידים בתכונה שממיינים לפיה‪ .‬חשוב גם למיין בפועל כדי‬
‫לאפשר לתלמידים להתלבט‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬א( שמות המרובעים בקבוצת המקביליות הם‪ :‬מקבילית‪ ,‬מלבן‪ ,‬מעוין וריבוע‪.‬‬
‫ב‪-‬ד( המלבן‪ ,‬המעוין והריבוע הם מקביליות כי יש להם שני זוגות של צלעות נגדיות שוות‬
‫באורכן‪.‬‬
‫‪139‬‬
‫ה( בקבוצה השנייה המרובעים אינם מקביליות כי לכל המרובעים בקבוצה זו אין שני זוגות של‬
‫צלעות נגדיות שוות באורכן‪ .‬יש לצפות שהתלמידים ישיבו על השאלות הללו לפי רמתם ובשפה‬
‫שלהם‪ .‬יש לקבל כל הסבר נכון שיינתן על ידי התלמידים ועונה על קריטריון המיון‪") ,‬שני זוגות‬
‫של צלעות נגדיות שוות(‪ .‬כאמור‪ ,‬אפשר לבחור באחת מהתכונות של המקבילית כהגדרה‪,‬‬
‫והתכונות האחרות הנובעות מההגדרה ישמשו כמאפיינים של המקבילית‪ .‬תכונות המקבילית‬
‫הן‪ :‬שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות‪ ,‬שני זוגות של זוויות נגדיות שוות‪ ,‬אלכסונים חוצים‬
‫זה את זה וסכום כל זוג זוויות סמוכות הוא ‪ . 180 0‬התכונות דורשות הוכחה‪.‬‬
‫התלמידים יוכיחו משפטים באופן פורמאלי בכיתות הגבוהות יותר‪ .‬בכיתה ה' הנימוקים יהיו‬
‫ברמה קונקרטית מוחשית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬פיתוח מיומנות סרטוט‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬מיון לפי הגדרת המעוין‪ ,‬בדומה למיון לפי הגדרת המקבילית בקטע השיעור‬
‫בעמוד בנוגע למקבילית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬התלמידים מתבקשים להצדיק את המיון שלהם כמו במשימה ‪.1‬‬
‫משימות מס' ‪ :8-5‬פיתוח ההבנה גאומטריה על‪-‬ידי שימוש בתכונות‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :310‬משפחת המקביליות‬
‫מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי ב' ו‪ -‬ג' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה מסכמים את התכונות‬
‫המשותפות למקבילית‪ ,‬למלבן‪ ,‬למעוין ולריבוע‪ .‬כל התכונות האלה מייחדות את משפחת‬
‫המקביליות‪ .‬עם זאת לכל אחד מהמרובעים שלעיל יש תכונות מיוחדות שונות ממרובעים‬
‫אחרים בקבוצה‪ .‬חשוב לדון עם התלמידים בקשרים בין המקביליות ולהקדיש זמן להפנמת‬
‫קשרים אלה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬סרטוט מקביליות ולא‪-‬מקביליות ללא אילוצים נוספים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬הסבר אפשרי‪ :‬לריבוע יש כל תכונות המקבילית‪ ,‬לכן הוא מקבילית‪ .‬עם זאת‬
‫יש לו תכונות מיוחדות משלו‪ ,‬לכן הוא מקבילית מיוחדת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬חשוב לדון בתכונות המובאות על‪-‬ידי התלמידים‪ ,‬ולערוך רשימה של תכונות‬
‫מיוחדות של מעוין‪ .‬דוגמאות לתכונות‪ :‬האלכסונים מאונכים זה לזה‪ ,‬כל הצלעות שוות‬
‫באורכן‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :13-12‬פיתוח מיומנות סרטוט וכן זיהוי תכונות של מרובעים מיוחדים‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :16-14‬פיתוח מיומנות סרטוט ופיתוח ההבנה בגאומטריה על‪-‬ידי ניתוח תכונות‬
‫האלכסונים של המלבן ושל המקבילית ושל המעוין )מה דומה? ומה שונה?(‬
‫משימה מס' ‪ :17‬פיתוח מיומנות סרטוט‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19-18‬פיתוח מיומנות סרטוט ופיתוח ההבנה בגאומטריה על‪-‬ידי שימוש‬
‫בתכונות המקביליות השונות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪:20‬ייתכן שיהיה צורך להזכיר לתלמידים )למשל על‪-‬ידי מראה(‪ .‬מהו קו סימטריה‬
‫של צורה סימטרית‪ :‬אם נקפל את הצורה לאורך הקו‪ ,‬שני חלקי הצורה הנמצאים משני צדי‬
‫הישר יתלכדו‪ .‬לכן לריבוע ארבעה קווי סימטריה‪ ,‬למלבן ולמעוין שני קווי סימטריה‪.‬‬
‫למקבילית אין קווי סימטריה‪.‬‬
‫‪140‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬במשימה זו נדרשים התלמידים לחשב את זוויות המקבילית‪.‬‬
‫חישוב הזויות ייעשה תוך הסתמכות על תכונות המקבילית‪ :‬זוויות נגדיות שוות זו לזו וכן‬
‫סכום כל זוג זוויות סמוכות הוא ‪. 180 0‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :313‬משפחת המקביליות )המשך(‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ד' לפני השיעור‪ .‬בשיעור בונים תרשים לתיאור קשרי ההכלה‬
‫בין המקביליות‪ .‬תלמידים בכיתה ה' מתקשים להבין את התרשים המקובל‪ ,‬ונדרשים הסברים‬
‫פוּתח כדי להקל את הבנת הקשרים‪ .‬התרשים מפורט יותר‬
‫רבים‪ .‬ה"תרשים המיוחד" ַ‬
‫מהתרשים המקובל‪ .‬המטרה של בניית התרשים היא להבין את מיון המרובעים שבו למרובעים‬
‫מיוחדים ולא‪-‬מיוחדים‪ .‬את כל המקביליות אפשר למיין למקביליות מיוחדות )יש להן שם‬
‫מיוחד( ולמקביליות שאינן מיוחדות‪ .‬ממיון זה מגיעים למלבנים ולמעוינים‪ .‬את כל המלבנים‬
‫אפשר למיין למלבנים מיוחדים )יש להם שם מיוחד( ולמלבנים שאינם מיוחדים‪ .‬את כל‬
‫המעוינים אפשר למיין למעוינים מיוחדים )יש להם שם מיוחד( ולמעוינים שאינם מיוחדים‪ .‬כך‬
‫מגיעים לריבוע‪ .‬כאשר התלמידים מבינים את עקרון החלוקה שתוארה לעיל‪ ,‬הם יסתדרו גם‬
‫בתרשים הרגיל שאינו מפורט כמו העץ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬עדיין ייתכן שתלמידים אינם מבינים את משמעות החצים בתרשים‪ ,‬כי‬
‫הנושא הוא קשה‪ .‬לכן המשימה מסומנת כמשימת אתגר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬משימה חווייתית‪ .‬יש לדון עם התלמידים במספר המרובעים מכל סוג ולהגיע‬
‫למסקנה שאם לא מציינים שמדובר במרובע שאינו מיוחד‪ ,‬יש למצוא את כל המרובעים‪ ,‬כולל‬
‫את המיוחדים‪ .‬לדוגמה‪ ,‬סביר להניח שיהיו תלמידים שיכתבו שצבעו מלבן אחד בלבד‪ .‬אבל‬
‫למעשה‪ ,‬יש בציור שישה מלבנים )חמישה ריבועים ומלבן שאינו מיוחד(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬למעשה‪ ,‬בונים כאן דיאגרמות וֶון שבהן מקובל לתאר את קשרי ההכלה‪.‬‬
‫)דיאגרמות וון הן כלי לפיתוח לוגיקה‪ ,‬אך הנושא אינו בתכנית הלימודים(‪ .‬דיאגרמות אלה‬
‫עוזרות בלהבנה עמוקה יותר של קשרי ההכלה‪ .‬יש לדון עם התלמידים בהצעות שיינתנו‪ .‬חשוב‬
‫שכל התלמידים יתנסו בבניית דיאגרמות וון פשוטות אלה‪ .‬להלן התשובות‪.‬‬
‫מקביליות‬
‫מקביליות‬
‫מעוינים‬
‫מלבנים‬
‫מלבנים‬
‫מעוינים‬
‫ריבועים‬
‫ריבועים‬
‫תשובה אפשרית לסעיף ב'‪.‬‬
‫מקביליות‬
‫מעוינים‬
‫ריבועים‬
‫משימה מס' ‪ :25‬א( נכון‪ .‬ב' ו‪ -‬ג' אינם נכונים‪ .‬צריך להחליף את המילים בכל סעיף‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :315‬הדלתון‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ה' לפני השיעור‪ .‬בשיעור מלמדים את התלמידים על מרובע‬
‫נוסף‪ :‬דלתון‪ .‬התלמידים מכירים את הדלתון בצורה חזותית‪ ,‬והם יכולים לקרוא לו בשמו‪.‬‬
‫חשוב להציג בפני התלמידים גם דלתון שאינו קמור‪) .‬המושג "קמור" אינו מוכר לתלמידים‪,‬‬
‫ואין ללמדו‪ (.‬החידוש בשיעור הוא חקירת התכונות של דלתון‪ .‬שימו לב שאין כוונה ללמד את‬
‫כל תכונות הדלתון )הם ילמדו אותן בחטיבת הביניים(‪ ,‬אלא להכיר את הדלתון כדי לקבל‬
‫תמונה שלמה של כל סוגי המרובעים ולעסוק בהמשך בקשרי ההכלה ביניהם‪.‬‬
‫‪141‬‬
‫הערה נוספת‪ :‬ההגדרה המילולית של דלתון קשה במיוחד‪ ,‬ואין לדרוש מהתלמידים את‬
‫ניסוחה‪ ,‬אלא להסביר בסגנון שלהם‪ ,‬לזהות אותו ולבנות דלתונים שונים‪ .‬יש להסביר‬
‫לתלמידים את המילה "נפרדים" בהגדרה‪ .‬הכוונה היא שאין מתייחסים לזוגות של צלעות‪ ,‬אם‬
‫יש לזוגות האלה צלע משותפת‪ .‬לדוגמה‪ ,‬אם למרובע יש שלוש צלעות שוות והרביעית שונה‬
‫באורכה‪ ,‬המרובע אינו דלתון‪ ,‬כי שני זוגות )א' ו‪ -‬ב'‪ ,‬א' ו‪ -‬ג'( של צלעות שוות אינם נפרדים‪.‬‬
‫א‬
‫ב‬
‫ג‬
‫משימה מס' ‪ :26‬המשימה דומה לפעילות הגילוי ה'‪ .‬אם התלמידים ביצעו את הפעילות‪ ,‬אין‬
‫צורך בבנייה חוזרת‪ .‬חשוב לדון בדמיון ובשוני בין מקבילית לבין דלתון שאינו מעוין ואינו‬
‫ריבוע‪ .‬בדלתון כזה הצלעות הנגדיות אינן שוות ואינן מקבילות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬חקירת תכונות הצלעות והזוויות של הדלתונים‪ .‬חשוב להצטייד במד‪-‬זווית‪.‬‬
‫שימו לב לשני הדלתונים המובאים במשימה‪ :‬קמור ולא‪-‬קמור‪ .‬חשוב שהתלמידים יבדקו את‬
‫התכונות בשני הסוגים של הדלתון‪.‬‬
‫כדי שלא יהיה עומס של למידת מושגים‪ ,‬לא מומלץ להקנות לתלמידים מושגים כמו "זוויות‬
‫ראשיות" או "זוויות משניות"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬פיתוח מיומנות סרטוט‪ .‬התלמידים מגלים שבדלתון יש שני אלכסונים‪ ,‬ורק‬
‫אחד מהם חוצה את האחר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬פיתוח מיומנות סרטוט ופיתוח הבנה בגאומטריה על‪-‬ידי שימוש בתכונות‬
‫הדלתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬יישום תכונות המרובעים למידות זוויות וצלעות‪ .‬התלמידים צריכים לכתוב‬
‫את המידות החסרות על‪-‬סמך התכונות שהם למדו על הדלתון )שוויון זוויות‪ ,‬שוויון צלעות‬
‫וכדומה(‪ .‬לתלמידים בגיל זה עדיין קשה להסתפק בנתונים הכתובים‪ ,‬והם מרגישים צורך‬
‫למדוד‪ .‬אין כאן כוונה למדידה‪ ,‬אך הנתונים הם אמיתיים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬במשימה זו חוקרים סימטריה בדלתון ומפתחים הבנה בגאומטריה‪.‬‬
‫התלמידים יכולים לבדוק אם בדלתון יש סימטריה שיקופית או סיבובית בכל דרך שיחפצו בה‪.‬‬
‫מומלץ לגזור דלתון מנייר ולקפלו בכיוונים שונים כדי לבדוק את הסימטריה השיקופית‪.‬‬
‫המסקנה‪ :‬לדלתון יש סימטריה שקופית‪ ,‬קו הסימטריה הוא ישר העובר דרך הקדקודים של‬
‫הזוויות שאינן שוות בגודלן )או דרך האלכסון הראשי(‪ .‬לדלתון שאינו מיוחד אין סימטריה‬
‫סיבובית‪ .‬אפשר לבדוק זאת בעזרת דף שקוף‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬משימה זו היא יישום של המשימה הקודמת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪:33‬פיתוח מיומנות סרטוט באילוץ‪ .‬הסרטוט מבוסס על תכונות האלכסונים של‬
‫דלתון )הם מאונכים זה לזה‪ ,‬ואחד מהם חוצה את האחר(‪ .‬דונו עם התלמידים בהצעות שלהם‬
‫להשלים את הדלתון‪ .‬יש אין‪-‬סוף אפשרויות לסרטט דלתון נכון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬פיתוח הבנה גאומטרית על‪-‬ידי בניית דלתון ממשולשים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :318‬דלתונים מיוחדים‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ו' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה עוסקים בקשרי ההכלה בין דלתון‪,‬‬
‫ומגיעים למסקנה שמעוין וריבוע הם דלתונים מיוחדים‪ .‬הציור בצבעים שבקטע‬
‫מעוין וריבוע‪ַ ,‬‬
‫השיעור מקל את מציאת "שני זוגות נפרדים של צלעות שוות" במעוין ובריבוע‪.‬‬
‫‪142‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬משימת יישום בעניין הגדרת הדלתון‪ .‬גם אם התלמידים מזהים את‬
‫הדלתונים בעין‪ ,‬חשוב שינמקו את בחירתם לפי הגדרת הדלתון )כמובן‪ ,‬אם רמת התלמידים‬
‫מאפשרת זאת(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬סרטוט דלתונים ולא‪-‬דלתונים ללא אילוצים נוספים‪ .‬הדריכו את התלמידים‬
‫לסרטט‪ ,‬כך שקדקודי הדלתונים יהיו בנקודות הרשת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬מטרת השאלות במשימה זו היא להגיע למסקנה כי דלתון לא‪-‬מיוחד אינו‬
‫מקבילית‪ ,‬וגם ההפך הוא נכון‪ :‬מקבילית שאינה מיוחדת‪ ,‬אינה דלתון‪ .‬חשוב לדון בעניין‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬מקבלים מעוין או ריבוע‬
‫משימות מס' ‪ :40-39‬פיתוח הבנה גאומטרית על‪-‬ידי נימוקים המבוססים על בנייה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬משימה הדומה למשימה ‪ ,24‬אך הפעם בונים את דיאגרמת וון המייצגת‬
‫דלתונים‪.‬‬
‫דלתונים‬
‫מעוינים‬
‫ריבועים‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :320‬הטרפז‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ז' לפני השיעור‪ .‬בשיעור עוסקים בסוג נוסף של מרובע‪ :‬הטרפז‪.‬‬
‫גם את הטרפז התלמידים מכירים מהגיל הרך ויודעים לשיים אותו‪ .‬יש להציג את הטרפזים‬
‫השונים במצבים שונים במישור‪ ,‬לאו דווקאכ‪-‬טיפוס‪ .‬התלמידים לומדים גם לזהות בסיסים‬
‫ושוקיים בטרפז‪ .‬התלמידים יכירו שני טרפזים מיוחדים‪ :‬טרפז שווה‪-‬שוקיים וטרפז ישר‪-‬‬
‫זווית‪ .‬לפי תכנית הלימודים‪ ,‬אין ללמד טרפז באופן שיטתי‪ ,‬זהו נושא של חטיבת הביניים )גם‬
‫טרפז שווה‪-‬שוקיים ותכונותיו(‪ .‬עם זאת אפשר להראות לתלמידים את התכונות של טרפז‬
‫שווה‪-‬שוקיים ‪ -‬כמו סימטריה‪ ,‬שוויון של השוקיים ושוויון של זוויות הבסיס ‪ -‬אך אין לדרוש‬
‫מהם לדעת את תכונות אלה ותכונות נוספות‪ .‬טרפז הוא מרובע מיוחד‪ ,‬והוא אינו שייך לקבוצה‬
‫של המרובעים המיוחדים שהכרנו עד כה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬על התלמידים לסרטט טרפזים לפי האילוצים‪ .‬יש אין‪-‬סוף דרכים נכונות‬
‫להשלמת הטרפזים‪ .‬שימו לב‪ ,‬אפשר גם להמשיך את הצלעות המסורטטות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :44‬השוואה בין דלתון לבין טרפז‪ .‬שני המרובעים האלה אינם מקביליות‪.‬‬
‫המסקנה שהתלמידים מגיעים אליה היא שהטרפז אינו דלתון ושהדלתון אינו טרפז‪ .‬הדמיון‬
‫ביניהם מתבטא בכך ששניהם מרובעים‪ ,‬כלומר לכל אחד יש ארבעה קדקודים‪ ,‬ארבע צלעות‬
‫וארבע זוויות‪ .‬לכל אחד יש שני אלכסונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :45‬דונו עם התלמידים‪ .‬במשמעות של "דומה" ושל "שונה"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :46‬פיתוח מיומנות סרטוט‪.‬‬
‫‪143‬‬
‫משימה מס' ‪ :47‬חקירת הטרפז שווה‪-‬השוקיים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :322‬משפחת המרובעים‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ח' לפני השיעור‪ .‬בשיעור מתוארים קשרי ההכלה בין כל סוגי‬
‫המרובעים על‪-‬ידי "עץ המרובעים" בדומה לעץ המקביליות שתואר קודם לכן‪ .‬תרשים ייחודי‬
‫זה נעשה כדי שהתלמידים יבינו כי אפשר למיין מרובעים מכל סוג למרובעים מיוחדים ושאינם‬
‫מיוחדים ו"לרדת" בעץ עד הריבוע שהוא המרובע "המיוחד ביותר"‪ .‬כאשר התלמידים יבינו את‬
‫הרעיון הזה‪ ,‬הם יוכלו לבנות עץ כזה בעצמם‪ .‬המושג החדש בשיעור זה הוא "מרובע כלשהו"‬
‫)מרובע שאינו מיוחד‪ ,‬ואין לו שם נוסף(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :48‬בהתבוננות בעץ המרובעים התלמידים ימלאו את הפריטים האלה‪ :‬א(‬
‫מרובעים מיוחדים ומרובעים שאינם מיוחדים; ב( מקביליות‪ ,‬דלתונים וטרפזים )סדר ההופעה‬
‫אינו חשוב(; ג( ריבועים הם מרובעים מיוחדים וגם דלתונים מיוחדים וגם מקביליות מיוחדות‬
‫וגם מלבנים מיוחדים וגם מעוינים מיוחדים; ד( ‪ ...‬יותר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :49‬פיתוח הבנה גאומטרית על‪-‬ידי חקירה יחסי הכללה‪ .‬א( נכון ב( לא נכון‬
‫ג( נכון ד( נכון‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :323‬משפחת המרובעים )המשך(‬
‫בניית התרשים המקובל לתיאור קשרי ההכלה בין כל סוגי המרובעים‪ .‬תרשים זה ייקלט טוב‬
‫יותר אחרי שהתלמידים יבינו את הרעיון של עץ המרובעים מהשיעור הקודם‪ .‬תרשים זה קצר‬
‫יותר‪ ,‬כי אין בו פירוט כמו בעץ‪ ,‬לכן חשוב לדון בעץ המרובעים הקודם‪ .‬שימו לב‪ :‬טרפז‪ ,‬דלתון‬
‫ומקבילית נמצאים באותו גובה )באותו קו מאוזן( כדי להראות שמעמדם שווה‪ .‬מלבן ומעוין‬
‫נמצאים באותו הגובה‪ ,‬אך מתחת למלבן ולדלתון‪ .‬באותו הגובה של המלבן ושל המעוין‬
‫נמצאים גם טרפזים מיוחדים‪ ,‬אך אין לכך ערך מיוחד‪ .‬ריבוע הוא המרובע הנמוך ביותר‪ ,‬כי‬
‫הוא המיוחד ביותר‪.‬‬
‫הערה‪ :‬יש הבונים את התרשים בכיוון ההפוך מן המוצע בפרק זה‪ .‬כלומר הריבוע למעלה‪,‬‬
‫המקבילית למטה‪ ,‬והחצים בכיוון ההפוך‪ .‬לא כדאי לסבך את התלמידים בתרשימים שונים‪,‬‬
‫שכן גם כך יש להם עומס מושגים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :50‬סיכום ניתוח התרשים שבקטע השיעור‪ .‬התשובות האפשריות הנכונות‪:‬‬
‫א( לריבוע יש מרב התכונות המיוחדות; ב( אין חץ המקשר בין הטרפזים לבין המקביליות;‬
‫ג( מלבן‪ ,‬ריבוע ומעוין; ד( כן‪ ,‬רואים את זה בתרשים אם יורדים לפי החיצים מהמרובע לריבוע;‬
‫ה( לא‪ ,‬לפי התרשים יש מעל לריבוע הרבה מרובעים שאינם ריבוע‪ ,‬החצים החד‪-‬כיווניים‬
‫מראים את זה ‪.‬‬
‫ו( לא‪ ,‬לדוגמה‪ ,‬למקבילית יש תכונה מיוחדת שאין למרובע כלשהו‪ :‬שני זוגות של צלעות‬
‫מקבילות זו לזו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :51‬פיתוח מיומנות סרטוט ופיתוח הבנה גאומטרית על‪-‬ידי שימוש בתכונות של‬
‫מרובעים מיוחדים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :52‬פיתוח מיומנות סרטוט ופיתוח הבנה גאומטרית על‪-‬ידי סרטוט וזיהוי של‬
‫מרובעים מיוחדים דרך תכנותם ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :53‬הטענות בסעיפים א'‪ ,‬ב'‪ ,‬ד'‪ ,‬ח' ו‪-‬ט' – נכונות‪ .‬הטענות בסעיפים ג'‪ ,‬ה'‪ ,‬ו' ו‪-‬ז'‬
‫אינן נכונות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :54‬סיכום קשרי הכללה בטבלה מפתח דרכי היגיון ‪ :‬כל ‪ A‬הוא ‪ B‬כי ל‪ A -‬יש כל‬
‫התכונות של ‪.B‬‬
‫‪144‬‬
‫סוג המרובע‬
‫ריבועים‬
‫מעוינים‬
‫מלבנים‬
‫מקבליות‬
‫דלתונים‬
‫שם המרובע‬
‫ריבוע‬
‫מלבן‬
‫מעוין‬
‫מקבילית‬
‫דלתון‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫משימה מס' ‪ :55‬בכל אחד מהמרובעים המיוחדים יש קשר בין אחד האלכסונים שלו וסוג‬
‫המשולשים הנוצרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :56‬יישום המשימה הקודמת דרך עשייה בפועל‪.‬‬
‫א( משני משולשים ישרי‪-‬זווית חופפים אפשר לבנות מקבילית ומלבן‪ .‬אם המשולשים הם גם‬
‫שווי‪-‬שוקיים אזי אפשר לבנות גם ריבוע‪.‬‬
‫ב( משני משולשים שווי‪-‬שוקיים אפשר לבנות מקבילית ומעוין‪ .‬אם המשולשים הם גם ישרי‪-‬‬
‫זווית אזי אפשר לבנות גם ריבוע‪.‬‬
‫ג( משני משולשים שווי‪-‬שוקיים וקהי‪-‬זווית אפשר לבנות מקבילית ומעוין‪.‬‬
‫ד( משני משולשים שווי‪-‬צלעות אפשר לבנות מעוין‪.‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪:326‬‬
‫סיכום הנלמד בפרק‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמודים ‪330 - 327‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת תרגול של סרטוט דלתון כך שהקטע הנתון הוא אחת מצלעות הדלתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימת תרגול של השלמת סרטוט של דלתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬האלכסון המחבר את קדקודי הזוויות השוות בדלתון מחלק את הדלתון לשני‬
‫משולשים שווי‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬אחת הדרכים לסרטט אלכסון על דף חלק היא לסרטט שני קטעים המאונכים‬
‫זה לזה כך שאחד הקטעים חוצה את האחר‪ .‬הדלתון ייווצר מחיבור קצות הקטעים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬הטענה של דקלה מזמנת שיח עם התלמידים על קשרי הכלה נוספים בין‬
‫הדלתון למקבילית‪ .‬המעוין והריבוע הם גם מקביליות וגם דלתונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬א( דלתון שכל צלעותיו שוות נקרא מעוין‪.‬‬
‫ב( דלתון ששתי זוויות סמוכות שלו הן ישרות‪ ,‬נקרא ריבוע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬משימת תרגול של זיהוי דלתונים מבין מרובעים מסורטטים‪ .‬ישנם ארבעה‬
‫דלתונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬בסרטוט שבעה דלתונים‪ :‬ריבוע במרכז‪ ,‬שני מעוינים‪ ,‬שני דלתונים שאינם‬
‫מעוינים ושני דלתונים שאינם קמורים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימת תרגול של סרטוט ריבוע‪ .‬הריבוע הוא דלתון מיוחד‪.‬‬
‫‪145‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬השלמת הנתונים החסרים בכל אחד מהאיורים תסתמך על תכונות הדלתון‪.‬‬
‫בדלתון שני זוגות נפרדים של צלעות סמוכות שוות זו לזו‪ .‬בדלתון זוג זוויות נגדיות שוות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬מספיק להוסיף את המילה "דלתון" מעל המילה "מעוין" בתרשים השמאלי‬
‫ולחבר בחץ בין המילים‪ .‬דלתון מעוין‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬הטענות בסעיפים א'‪ ,‬ב'‪ ,‬ד'‪ ,‬ה'‪ ,‬ז'‪ ,‬ח' ו‪-‬י' – נכונות‪ .‬הטענות בסעיפים ג'‪ ,‬ו' ו‪-‬‬
‫ט' אינן נכונות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬להלן דוגמה למרובע שאינו מיוחד ואלכסוניו מאונכים זה לזה‪:‬‬
‫מתחילים בסרטוט האלכסונים‪ .‬במרובע זה שני האלכסונים שונים באורכם ומאונכים זה לזה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬בריבוע‪ ,‬במעוין ובדלתון האלכסונים מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬להלן דוגמה למרובע שאינו מיוחד ואלכסוניו שווים זה לזה‪:‬‬
‫משימה ‪ :16‬בריבוע ובמלבן האלכסונים שווים זה לזה‪ .‬כמו כן בטרפז שווה‪-‬שוקיים )שאינו קל‬
‫לתפיסה(‪ .‬התלמידים יכולים לצייר קטעים שווים נחתכים לאו דווקא חוצים זה את זה ולחקור‬
‫את האפשרויות השונות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬משימת תרגול של יצירת תרשים של משפחת המרובעים‪.‬‬
‫שאלות מילוליות‪ ,‬עמוד ‪331‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬א( טרפז ישר‪-‬זווית‪ .‬ב( מעוין או ריבוע‪.‬‬
‫ג( מלבן או דלתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬א( כן‪ ,‬מלבן שכל צלעותיו שוות נקרא ריבוע‪.‬‬
‫ב( כן‪ ,‬מקבילית שכל צלעותיה שוות נקראת מעוין‪.‬‬
‫ג( כן‪ ,‬טרפז שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫ד( כן‪ ,‬טרפז שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬א( כל מקבילית היא מרובע‪ .‬ב( כל מלבן הוא מקבילית‪.‬‬
‫ג( כל ריבוע הוא גם מלבן וגם מעוין‪ .‬ד( כל טרפז הוא מרובע‪.‬‬
‫ה( כל דלתון הוא מרובע‪ .‬ו( כל מעוין הוא מקבילית‪.‬‬
‫יישומי מדע‪ ,‬עמוד ‪332‬‬
‫הרחבה והעמקה של הידע בנושא שנלמד‪ ,‬עיסוק בדיאגרמת וֶון‪ ,‬שאפשר לתאר בעזרתה קשרי‬
‫הכלה בין קבוצות שונות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪:1‬‬
‫מרובעים‬
‫טרפזים‬
‫משימה מס' ‪:2‬‬
‫מקביליות‬
‫מקביליות‬
‫מעוינים‬
‫ריבועים‬
‫‪146‬‬
‫משימה מס' ‪:3‬‬
‫מכוניות מכוניות מכוניות‬
‫מרוץ ירוקות‬
‫מרוץ‬
‫ירוקות‬
‫משימה ‪ :4‬להלן תאור הקשרים במשפחת המרובעים על‪-‬ידי דיאגרמת וון‪.‬‬
‫מרובעים‬
‫דלתונים‬
‫מקביליות‬
‫מעוינים‬
‫ריבועים‬
‫מלבנים‬
‫טרפזים‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪333‬‬
‫על התלמידים לנתח מבנה של ציור ולסרטט אותו מחדש בשלבים‪ .‬כל המשימה מבוססות על‬
‫העובדה ששתי נקודות מגדירות ישר‪ .‬בסרטוט ב( נקודת החיתוך של ‪ DG‬ו‪ AB -‬היא הנקודה‬
‫‪ .H‬נקודת החיתוך של ‪ BG‬ו‪ CD -‬היא הנקודה ‪. E‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪334‬‬
‫חזרה על סימני התחלקות ועל מספרים ראשוניים ופריקים ועל מחלקים של מספר‪.‬‬
‫‪147‬‬
‫עמ' ‪381 - 335‬‬
‫יא‪ .‬מספרים עשרוניים‬
‫רקע‬
‫בפרק זה מתחילים להקנות לתלמידים את הנושא "מספרים עשרוניים"‪ ,‬אחד הנושאים‬
‫המרכזיים החשובים להבנת נושאים רבים אחרים במתמטיקה ובמדעים אחרים‪ .‬משתמשים‬
‫במספרים עשרוניים גם בחיי היום‪-‬יום בתחומים רבים כגון מסחר )מחירים‪ ,‬משקל‪ ,‬רישום‬
‫מרכיבי מזון ל‪ 100 -‬גרם וכדומה(‪ ,‬כלכלה )מדד(‪ ,‬ספורט )למשל ממוצע קליעות(‪.‬‬
‫אנו משתמשים במונח "מספרים עשרוניים"‪ ,‬ולא במונח "שברים עשרוניים"‪ ,‬כי הכוונה‬
‫בכתיבה העשרונית היא לאפשר את ביצוע כל הפעולות במספרים אלה באותן דרכים שמבצעים‬
‫את הפעולות במספרים טבעיים‪ ,‬בניגוד לדרכי החישוב בשברים‪ ,‬שהן מסובכות הרבה יותר‪.‬‬
‫קיימות שתי גישות להוראת המספרים העשרוניים‪:‬‬
‫החזקות השליליות של ‪- 10‬‬
‫ב‪ .‬הרחבת המבנה העשרוני "מימין" ליחידה ) ֲ‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .( 100 = 102 , 10 = 101 , 1 = 100 , 0.1 = = 10 −1 ,‬מובן ששיטה זו אינה‬
‫‪= 10 −2......‬‬
‫‪10‬‬
‫‪100‬‬
‫מתאימה לרמה של התלמידים‪ ,‬לכן מלמדים את התלמידים בעזרת שברים יסודיים בעלי‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫מכנה שהוא ֶחזקה של ‪...... ) :10‬‬
‫= ‪.( 0.1 = , 0.01‬‬
‫‪10‬‬
‫‪100‬‬
‫ב‪ .‬שימוש במדידות אורך ומשקל וכן במטבעות כסף‪ .‬גישה זו נראית "ידידותית" יותר‪ ,‬אך‬
‫בגלל מיעוט השימוש ביחידות מסוימות )דצימטר‪ ,‬דציליטר‪ ,‬דציגרם‪ (...‬נגרמות טעויות‬
‫רבות‪ ,‬בעיקר בהמרה מיחידה ליחידה‪ ,‬לכן נבחרה גישה משולבת‪.‬‬
‫לאורך כל הפרקים העוסקים במספרים העשרוניים‪ ,‬הידע שהתלמידים רכשו מהסביבה‪ ,‬מוצג‬
‫בדרך‪-‬כלל כיישום של ההיבט המתמטי‪ .‬בעזרת דוגמה מחיי היום‪-‬יום )מעלות חום שמראה‬
‫מדחום ספרתי( מראים לתלמידים בפעם הראשונה את המספר העשרוני בליווי ההסבר כיצד‬
‫נבנה המספר )חלק שלם‪ ,‬חלק שברי ונקודה עשרונית(‪ .‬לאחר מכן מלמדים אותם בהדרגה על‬
‫עשירית ועל המספרים העשרוניים המורכבים מהחלק השלם ומעשיריות בלבד )החלק השברי(‪.‬‬
‫מדגימים את העשירית בייצוגים שונים; אחר‪-‬כך מדגימים את המאית ואת המספרים‬
‫העשרוניים המורכבים מהחלק השלם‪ ,‬מעשיריות וממאיות בלבד )החלק השברי(‪.‬‬
‫בפרק זה מתייחסים גם למספרים עשרוניים שווים )עד מאיות‪ ,‬לדוגמה ‪ ,(0.30=0.3‬לתיחום‬
‫ולסידור של מספרים על ציר המספרים‪ .‬התלמידים נחשפים לכתיבה ולקריאה של המספרים‬
‫העשרוניים )בשמות שונים(‪ .‬בחלק של הפרק העוסק במספרים עשרוניים בחיי היום‪-‬יום‪,‬‬
‫מובאות דוגמאות של כסף )שקלים ואגורות( ושל מדידות אורך )מ' – ס"מ – מ"מ(‪.‬‬
‫חשוב שהתלמידים יבינו שהמספרים העשרוניים הם צורת כתיבה של המספרים השלמים‬
‫)לדוגמה‪ (3.00=3 ,‬ושל השברים שהם למדו עד כה‪.‬‬
‫הכתיבה של סכומי הכספים בעזרת נקודה עשרונית )לדוגמה‪ (₪ 25.99 ,‬אינה מקרית‪ ,‬אלא‬
‫מבוססת על כך שבשקל אחד יש ‪ 100‬אגורות‪ ₪ 25.99 .‬פירושו "‪ 25‬שלמים ו‪ 99 -‬מאיות"‪.‬‬
‫בלשון היום‪-‬יום אומרים‪ 25" :‬שקלים ו‪ 99 -‬אגורות"‪ .‬באופן דומה עוסקים גם במדידות‪:‬‬
‫מילימטר הוא עשירית של סנטימטר‪ ,‬וסנטימטר הוא מאית של המטר‪.‬‬
‫בעיות שעלולות להתעורר בנושא זה מפורטות ברקע לפרק י"ד‪.‬‬
‫מומלץ להקדיש ללימוד פרק זה כ‪ 6 -‬שעות‪.‬‬
‫מושגים‬
‫מספר עשרוני‪ ,‬עשירית‪ ,‬מאית‪ ,‬החלק השלם של המספר‪ ,‬החלק השברי‪ ,‬נקודה עשרונית‪.‬‬
‫‪148‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬לכתוב מספרים עשרוניים עד מאיות;‬
‫ב‪ .‬לבטא ולכתוב במילים את המספרים העשרוניים עד מאיות )צורות שונות(;‬
‫ג‪ .‬לתרגם את המספר העשרוני הכתוב במילים‪ ,‬לשפה המתמטית )כתיבה בספרות(;‬
‫ד‪ .‬לייצג מספרים עשרוניים בייצוגים שונים;‬
‫ה‪ .‬למקם מספרים עשרוניים על ציר המספרים;‬
‫ו‪ .‬לזות מספרים עשרוניים שווים ולכתוב מספר עשרוני השווה למספר עשרוני נתון;‬
‫ז‪ .‬לכתוב סכומי כסף שונים בעזרת מספרים עשרוניים;‬
‫ח‪ .‬לכתוב אורכים בסנטימטרים בעזרת מספרים עשרוניים ולבטא אותם במילים;‬
‫ט‪ .‬לכתוב אורכים במטרים בעזרת מספרים עשרוניים ולבטא אותם במילים‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫שטרות ומטבעות של כסף‪ ,‬מודעות מעיתונים‪ ,‬פרסומות מעיתונים‪ ,‬דף חשבון של קנייה‪.‬‬
‫משבּצות‪.‬‬
‫ְ‬
‫אביזרי "חשבון ‪ :"10‬מד‪-‬מטר שברים‪ ,‬מד‪-‬מטר מספרים עשרוניים‪ ,‬שקף‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על המרת יחידות אורך )המספרים הטבעיים(‪.‬‬
‫על הלוח כתוב השוויון‪ 10 :‬מ''מ = ‪ 1‬ס''מ‪ 100 ,‬ס"מ = ‪ 1‬מ'‪ .‬על התלמידים לענות על השאלות‪:‬‬
‫כמה מילימטרים ב‪ 2 -‬ס''מ? ב‪ 5 -‬ס''מ? ב‪ 10 -‬ס''מ? ב‪ 100 -‬ס''מ? ב‪ 1,000,000 -‬ס''מ?;‬
‫כמה סנטימטרים הם ‪ 20‬מ''מ? ‪ 40‬מ''מ? ‪ 100‬מ''מ? ‪ 1,000‬מ''מ?; כמה ס"מ ב‪ 2 -‬מ'? ב‪ 20 -‬מ'?‬
‫ב‪ 100 -‬מ'?; כמה מ' הם ‪ 10,000‬ס"מ?‬
‫הערה‪ :‬חשוב לקרוא כל שאלה בקול רם‪ ,‬ולא להסתפק בכתיבתה על הלוח‪ .‬דוגמה‪" :‬כמה‬
‫סנטימטרים הם ‪ 20‬מילימטר?"‬
‫ב‪ .‬חזרה על המחלקים של מספרים‪ ,‬שהם ֲחזקות של ‪.10‬‬
‫על הלוח רשומים המספרים ‪ .10,000 ,1,000 ,100 ,10‬התלמידים מתבקשים למצוא את‬
‫המחלקים של כל אחד מהמספרים הללו‪.‬‬
‫ג‪ .‬חזרה על כפולות משותפות‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים למצוא מספרים שהכפולות המשותפות שלהם הן ‪.1,000 ,100 ,10‬‬
‫ד‪ .‬חזרה על הרחבה ועל צמצום של שברים‪.‬‬
‫על הלוח רשומים שברים )"פשוטים"(‪ ,‬ועל התלמידים להרחיב או לצמצם אותם לפי ההוראות‪.‬‬
‫‪5600 56‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3000 300 500‬‬
‫‪180‬‬
‫‪2‬‬
‫= = ‪,‬‬
‫=‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫= =‬
‫‪= = ,‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪100 10 1 1000 100 10 100‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪100 1 10‬‬
‫ה‪ .‬חזרה על מבנה עשרוני של מספרים שלמים‪.‬‬
‫על הלוח כתוב המספר ‪ .2,005,489‬התלמידים מתבקשים לקרוא את המספר ולענות על‬
‫השאלות‪ :‬מהי ספרת היחידות במספר? מהי ספרת האלפים במספר? מהי ספרת מאות‬
‫האלפים? כמה מיליונים במספר זה? כמה אלפים במספר זה? כמה עשרות במספר זה? כמה‬
‫מאות אלפים במספר זה? וכדומה‪.‬‬
‫‪149‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬פעילות הכנה ל"מספרים עשרוניים על ציר המספרים"‪ .‬הכיני מראש רצועה באורך‬
‫של כ‪ 50 -‬ס"מ‪ .‬רצועה זו תשמש קטע היחידה‪.‬‬
‫לאורך כל הלוח מסורטט ציר המספרים‪ ,‬ומסומנים בו שלושה מספרים‪ 1 ,0 :‬ו‪.2 -‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫מראים את קטע היחידה )הרצועה(‪ ,‬ומבקשים מהתלמידים מתבקשים למצוא דרך לסמן את‬
‫המספרים ‪ 3‬ו‪ 4 -‬באופן מדויק על ציר המספרים‪.‬‬
‫המטרה היא לעורר את הצורך בשימוש בקטע היחידה‪) .‬התלמידים לוקחים את הרצועה‪,‬‬
‫מניחים אותה על הציר ומסמנים את המספרים‪(.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫פעילות ב‪ :‬מומלץ לעבוד בזוגות‪ .‬חשוב שכל סימון ייעשה בעיפרון‪ ,‬ולא בעט‪.‬‬
‫כל זוג מקבל רצועה שאורכה כשני מטרים )אפשר להשתמש בגלילים של מכונת חישוב או בצד‬
‫הלא‪-‬כתוב של שני מדי המטר שבמארז האביזרים(‪ ,‬ורצועה קטנה שאורכה כחמישה‬
‫סנטימטרים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫מטרות הפעילות היא לקשר בין עשירית לבין ‪ ,1‬בין‬
‫לבין ‪ 0.1‬על ציר המספרים‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0‬‬
‫הפעם הרצועה הקטנה היא עשירית של היחידה‪ .‬התלמידים מתבקשים לסמן את המספר ‪ 1‬על‬
‫הרצועה הגדולה‪ ,‬כאשר מותר להשתמש ברצועה הקטנה בלבד‪.‬‬
‫טעות נפוצה של התלמידים בביצוע פעילות זו היא לסמן ֶשנֶת אחת בלבד על הרצועה הגדולה‬
‫ולטעון שהם כבר הגיעו ל‪ .1 -‬חשוב לדון בעניין השנתות ולציין שכדי לקבוע יחידה על ציר‬
‫המספרים דרושות שתי נקודות‪.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים לסמן גם את שלבּי הביניים )אם היו להם(‪.‬‬
‫בתום ביצוע פעילות זו יהיה לתלמידים ציר מספרים‪ ,‬ובו יחולקו קטע היחידה מ‪ 0 -‬עד ‪1‬‬
‫לעשרה חלקים שווים‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫מציינים לתלמידים שמוסכם ש‪= 0.1 -‬‬
‫‪10‬‬
‫פעילות ג‪ :‬דנים בשאלות כיצד אפשר לסמן על הציר את נקודות הביניים‪ ,‬ומה אפשר לכתוב על‬
‫הרצועה‪ .‬סביר להניח שהתלמידים יעלו את הרעיון לסמן שברים )"פשוטים"(‪ ,‬ולא יציעו את‬
‫האפשרות לכתוב מספרים עשרוניים‪ 0.3 ,0.2 ,0.1 :‬וכן הלאה‪ .‬דנים בשתי האפשרויות לסימון‪,‬‬
‫שהוזכרו לעיל‪ :‬שברים )"פשוטים"( ומספרים עשרוניים‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪150‬‬
‫פעילות ד‪ :‬פעילות זו נעשית בעזרת אחת הרצועות הגדולות )כמו בפעילויות הקודמות(‪ .‬כל‬
‫קבוצה מתבקשת לבחור מספר טבעי מ‪ 1 -‬עד ‪) 9‬כולל( ולכתוב אותו במקום המספר ‪ 0‬על‬
‫הרצועה‪ .‬במקום המספר ‪ 1‬שהיה כתוב על הרצועה‪ ,‬יכתבו התלמידים את המספר העוקב‬
‫למספר הנבחר‪ .‬בין שני השלמים האלה מסומנת נקודה‪ ,‬והתלמידים מתבקשים לשיים אותה‪.‬‬
‫דנים עם התלמידים באפשרויות שונות לסימון הנקודה ובנוחות של הסימון על‪-‬ידי מספרים‬
‫עשרוניים לעומת המספרים המעורבים‪ .‬לדוגמה‪ ,‬אם התלמידים בחרו את המספר ‪ 3‬וכתבו‬
‫אותו במקום ‪ ,0‬במקום ‪ 1‬יהיה כתוב המספר ‪ .4‬הנקודה שהייתה מסומנת באחת הפעילויות כ‪-‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ 0.7‬תהיה ‪ 3.7‬או ‪ . 3‬בדיון מקשרים בין החלק השברי במספר מעורב לבין החלק הקטן מ‪1 -‬‬
‫‪10‬‬
‫במספר העשרוני‪.‬‬
‫פעילות ה‪ :‬לאחר סימון אחת עשרה שנתות על הרצועה הגדולה יתבקשו התלמידים לסמן על‬
‫הרצועה הגדולה את המספר ‪.0.7‬‬
‫שאלות נוספות שנשאלות‪ :‬כיצד אפשר לסמן את המספר ‪ ?2.1 ?1.3‬וכדומה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫דנים עם התלמידים בכך ש‪-‬‬
‫‪ 1.3 = 1 +‬וש‪2.1 = 2 + -‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫פעילות ו‪ :‬כל תלמיד מצייר בדף משובץ )בשקף המשבצות( שני ריבועים שכל אחד מהם מחולק‬
‫לעשרה חלקים שווים‪ ,‬וצובע מספר חלקים כרצונו‪ .‬לאחר הצביעה אומרים שכל ריבוע הוא‬
‫השלם‪ ,‬ומבקשים לכתוב כשבר וכמספר עשרוני איזה חלק מהריבוע מהווים החלקים הצבועים‪.‬‬
‫פעילות ז‪ :‬כל תלמיד מצייר בדף משובץ )בשקף המשבצות( ריבוע המחולק למאה חלקים‬
‫שווים‪ ,‬וצובע חלק אחד‪ .‬שואלים‪" :‬איזה חלק מהשלם מהווה המשבצת הצבועה? איך אפשר‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫לכתוב את החלק כמספר עשרוני?" מציינים לתלמידים שמוסכם ש‪= 0.01 -‬‬
‫‪100‬‬
‫פעילות ח‪ :‬מומלץ לבצע את הפעילות בזוגות‪ .‬כל זוג מצייר בדף משובץ )בשקף המשבצות(‬
‫ריבוע המחולק למאה חלקים שווים‪ ,‬וצובע מספר חלקים כרצונו‪ .‬לאחר הצביעה מבקשים‬
‫לכתוב כשבר וכמספר עשרוני איזה חלק מהריבוע מהווים החלקים הצבועים‪ .‬סביר להניח‬
‫‪43‬‬
‫שהתלמידים לא יתקשו לכתוב שבר‪ ,‬לדוגמה‪,‬‬
‫‪ .‬חוזרים על הסכם הכתיבה‪ ,‬וכותבים‬
‫‪100‬‬
‫‪43‬‬
‫‪.‬‬
‫‪= 0.43‬‬
‫‪100‬‬
‫פעילות ט‪ :‬על התלמידים לבחור שבר קטן מ‪ ,1-‬שמכנהו ‪ ,100‬לפרוס את מד‪-‬מטר השברים‪,‬‬
‫לחפש את השבר ולכתוב בלוח מחיק את המספר העשרוני השווה לו‪ .‬בודקים את התשובה על‪-‬‬
‫ידי פריסת מד‪-‬מטר המספרים העשרוניים והצמדת שני הצירים זה מתחת זה )‪ 0‬מתחת ל‪,0 -‬‬
‫‪ 10‬מתחת ל‪ 10 -‬וכן הלאה(‪.‬‬
‫פעילות י‪ :‬כל תלמיד מצייר בדף משובץ )בשקף המשבצות( שני ריבועים שכל אחד מהם מחולק‬
‫למאה חלקים שווים‪ ,‬וצובע מספר חלקים כרצונו‪ .‬לאחר הצביעה אומרים שכל ריבוע הוא‬
‫השלם‪ ,‬ומבקשים לכתוב כשבר וכמספר עשרוני איזה חלק מהריבוע מהווים החלקים הצבועים‪.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים שצבעו יותר משלם אחד‪ ,‬להציע צורת כתיבה בשיטה העשרונית לתיאור‬
‫החלק שצבעו‪.‬‬
‫פעילות יא‪ :‬משתמשים בטבלה של המבנה העשרוני‪ .‬חמישה תלמידים אומרים מספרים‬
‫עשרוניים‪ ,‬המורה כותבת את המספרים על הלוח‪ .‬מבקשים מהתלמידים לכתוב אותם בטבלת‬
‫‪151‬‬
‫המבנה העשרוני‪ .‬בדיון שואלים‪" :‬מהי ספרת היחידות‪ ,‬העשיריות‪ ,‬המאיות בכל מספר? מהו‬
‫מיקומן של ספרות אלה בטבלת המבנה העשרוני? מהו ערכה של כל ספרה במספר ‪"?23.45‬‬
‫פעילות יב‪ :‬מבקשים מהתלמידים לכתוב מחירים של פריטים שהם קנו השבוע )לחמנייה‪,‬‬
‫שוקו‪ ,‬מסטיק וכדומה(‪ .‬דנים במשמעות של המספרים האלה‪.‬‬
‫פעילות יג‪ :‬התלמידים מקבלים מודעת פרסומת מהעיתון או עלון פרסום שרשומים בו מחירים‬
‫של מוצרי מזון שונים‪ .‬עליהם להקיף בעיגול את החלק השברי של כל מספר עשרוני בדף‪.‬‬
‫פעילות יד‪ :‬מטרת הפעילות היא שהתלמידים יבינו את הקשר בין המושג "שלם" במבנה‬
‫העשרוני לבין המושג "יחידה" במדידות‪ .‬מבקשים מהתלמידים למדוד את האורך ואת הרוחב‬
‫של הספר "חשבון ‪ "10‬ולכתוב את תוצאת המדידה כשבר וכמספר עשרוני‪ .‬בדיון שואלים‪:‬‬
‫"מהו השלם? מהי היחידה?"‪.‬‬
‫לאחר מכן מודדים בעזרת מד‪-‬המטר חפצים שונים בכיתה )שולחנות‪ ,‬ארון‪ ,‬אורך הלוח‪(...‬‬
‫וכותבים את המידות כמספרים עשרוניים‪ .‬בכל פעם מציינים מהי היחידה‪ ,‬מהו החלק השלם‬
‫ומהו החלק השברי‪.‬‬
‫פעילות טו‪ :‬כל תלמיד מצייר בדף משובץ )בשקף המשבצות( ריבוע המחולק למאה חלקים‬
‫שווים‪ ,‬וצובע מספר שורות או עמודות שלמות‪ ,‬לדוגמה‪ ,‬ארבע שורות‪ .‬לאחר הצביעה אומרים‬
‫שכל ריבוע הוא השלם‪ ,‬ומבקשים לכתוב כמספר עשרוני איזה חלק מהריבוע מהווים החלקים‬
‫הצבועים‪ .‬התלמידים יתווכחו אם צריך לכתוב ‪ 0.4‬או ‪ .0.40‬אם התלמידים אינם מעלים אחת‬
‫‪4‬‬
‫‪40‬‬
‫מהאפשרויות‪ ,‬המורה מציגה אותה‪ .‬מגיעים למסקנה שמאחר ש‪-‬‬
‫= ‪ ,‬אפשר להגיד ש‪-‬‬
‫‪10 100‬‬
‫‪.0.4=0.40‬‬
‫פעילות טז‪ :‬התלמידים מתבקשים לגזור פרסומות של מוצרים או קטלוגים של מוצרים‪.‬‬
‫בוחרים מוצר ומשווים בין המחירים בפרסומים שונים‪ .‬דנים בדרכי ההשוואה‪.‬‬
‫השיעור בספר הלימוד‬
‫בדיקת ידע קודם בנושאים האלה‪ :‬ערך של ספרה )שאלות ‪ ,(1 ,2 ,5‬הבחנה בין ערך הספרה‬
‫ומספר עשרות‪ ,‬מאות‪ ...‬במספר‪) ,‬שאלות ‪ , (4-3‬שברים בעלי מכנה של חזקות של ‪.10‬‬
‫האם אנו מוכנים? – תשובות‪:‬‬
‫‪ .1‬ב; ‪ .2‬ג; ‪ .3‬ג; ‪ .4‬ב;‬
‫‪ .5‬ב;‬
‫‪ .6‬ב;‬
‫‪ .7‬ב;‬
‫‪ .8‬ב;‬
‫‪ .9‬ד;‬
‫‪ .10‬ד‪.‬‬
‫לעלות על הגל‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :336‬המבנה העשרוני‬
‫חזרה על משמעות כתיבת מספרים טבעיים לפי המבנה העשרוני‪ ,‬ובעיקר חזרה על ערך הספרה‬
‫לפי מיקומה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת יישום‪ .‬כתיבת מספרים נתונים מספרות למילים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימת יישום‪ .‬כתיבת מספרים נתונים ממילים לספרות‪ .‬פעולה הפוכה‬
‫מהמשימה הקודמת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימת יישום‪ .‬על התלמידים לייצג את מיקומה של הספרה ‪ 3‬במספר ולקבוע‬
‫את ערכה במספר‪.‬‬
‫‪152‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימת יישום‪ .‬ייצוג מספר בטבלה של המבנה העשרוני‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬מומלץ להיעזר בחשבונייה או בטבלה של המבנה העשרוני‪ .‬בתחילת המשימה‬
‫על התלמידים לייצג את המספר בחשבונייה או בטבלה ולאחר מכן לחפש את הערך של המספר‬
‫‪.105‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬משימת אתגר‪ .‬מומלץ לדון בתרגיל בכיתה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :338‬פילוג המספר על‪-‬פי המבנה העשרוני‬
‫בשיעור זה חוזרים על פילוג המספר לפי המבנה העשרוני‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬על התלמידים לפלג מספר לפי המבנה העשרוני או להרכיב מספר לפי התיאור‬
‫שלו‪ .‬יש לדון עם התלמידים בפתרון של סעיף ו'‪ ,‬מפני שריבוי האפסים במספר זה עשוי‬
‫להקשות על התלמידים בכתיבת המספר הנכון‪.400,508 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬על התלמידים להרכיב מספרים מהספרות הנתונות לפי האילוצים הנתונים‪.‬‬
‫דונו עם התלמידים בדרכי הפתרון ובאפשרויות השונות של הרכבת המספרים‪.‬‬
‫א( מספר המאות הגדול ביותר )לפי תנאי המשימה( הוא ‪ .87‬ספרת העשרות וספרת היחידות‬
‫אינן משפיעות על נכונות התשובה‪ ,‬לכן ישנן אפשרויות שונות‪ ,‬לדוגמה‪ 8,765 ,‬או ‪ 8,712‬וכדומה‪.‬‬
‫ב( מספר העשרות הקטן ביותר )לפי תנאי המשימה( הוא ‪ ,10‬מפני שהמספר אינו יכול להתחיל‬
‫ב‪ .0 -‬ספרת היחידות היא לפי בחירת התלמידים‪ .‬דוגמאות‪.104 ,103 :‬‬
‫ג( התשובה‪.864 :‬‬
‫ד( התשובה‪.1,357 :‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :339‬עשירית‪ ,‬מאית ואלפית‬
‫מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי א' ו‪ -‬ב' לפני השיעור‪.‬‬
‫בשיעור זה חוזרים על השברים עשירית‪ ,‬מאית ואלפית ועל הקשרים ביניהם‪ .‬מטרת התזכורת‬
‫של השברים שמכניהם ‪ 1,000 ,100 ,10‬בלבד‪ ,‬היא הכנה להקניית המספרים העשרוניים‪.‬‬
‫הוחלט לכלול חזרה זו ביחידת ההקניה כ"פתיח" טבעי להמשך הפרק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימת יישום‪ .‬בסעיפים ב'‪ ,‬ד' ו‪-‬ו' על התלמידים להכפיל את מספר העשיריות‬
‫ב‪.3-‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬על התלמידים להשלים את החסר על‪-‬פי הקשרים בין יחידות‪ ,‬עשיריות‪,‬‬
‫מאיות ואלפיות‪ .‬התרגיל עשוי להיות קשה לתלמידים‪ ,‬לכן מומלץ לדון בדרכי הפתרון‪ .‬לדוגמה‪,‬‬
‫‪8,100‬‬
‫‪ ,‬וכך קל לראות שמספר זה‬
‫אפשר לרשום את המספר ‪ 8,100‬מאיות בצורת שבר כך‪:‬‬
‫‪100‬‬
‫שווה ל‪ 81 -‬שלמים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬על התלמידים להשוות בין השברים השונים )מכני השברים תמיד ‪ 100 ,10‬או‬
‫‪ .(1,000‬ההשוואה נעשית בעזרת צמצום שברים או הרחבתם למכנה משותף‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬על התלמידים להרחיב את השבר ולמצוא שמות המתאימים לו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬על התלמידים לכתוב בספרות את השברים המיוצגים על‪-‬ידי חלק של שטח‬
‫ריבוע המחולק ל‪ 100 -‬חלקים שווים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬שאלה מילולית זו משלבת הבנת הנקרא‪ ,‬ייצוג שברים כמו במשימה ‪13‬‬
‫)פעולה הפוכה( והשוואה בין שברים‪.‬‬
‫‪153‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬שאלה מילולית על השבר כחלק של כמות‪ .‬על התלמידים "לתרגם" לצורת‬
‫שבר את החלק מהכדורים שהם בצבע מסוים‪ .‬למשל החלק של הכדורים שהם בצבע כחול הוא‬
‫‪40‬‬
‫‪ .‬בסעיף ד' עליהם למצוא את השבר המצומצם של כל אחד מהצבעים‪.‬‬
‫‪100‬‬
‫יחידת הלימוד ‪ -‬הקניה‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :341‬מספרים עשרוניים‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ג' לפני השיעור‪.‬‬
‫בשיעור זה מלמדים את המבנה של המספר העשרוני בעזרת דוגמה מחיי הים‪-‬יום‪ :‬מידות‬
‫החום שמראים שני מדחומים‪ .‬חשוב להדגיש שהמשותף למספרים העשרוניים הוא המבנה‬
‫שלהם‪ :‬החלק השלם‪ ,‬החלק השברי והנקודה העשרונית המבדילה בין חלקים אלו‪ .‬שימו לב‬
‫שבהתחלה המספרים העשרוניים מכילים עשיריות בלבד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת יישום‪ .‬יש לכתוב את המספר המתאים בכל מדחום )כמו בשיעור(‪:‬‬
‫מספר עשרוני )למדחום הדיגיטלי( ומספר מעורב )למדחום הכספית(‪ .‬במדחום הכספית אפשר‬
‫לראות גם שבר וגם מספר עשרוני‪ ,‬אבל במדחום דיגיטלי רואים רק מספר עשרוני‪.‬‬
‫אמנם התלמידים יכולים לכתוב מספר באותה צורה‪ ,‬ויש לקבל את התשובה כנכונה‪ .‬לדוגמה‪,‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫בסעיף א' אפשר לכתוב פעמיים ‪ 36.6‬או פעמיים‬
‫‪ . 36‬כדאי לעודד את‬
‫‪ 36‬או ‪ 36.6‬ו‪-‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫התלמידים לכתוב את המספר בשתי צורות שונות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬שימוש במונחים החדשים‪" :‬החלק השלם" ו"החלק השברי"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימה שצריך לדון בה בכיתה‪ .‬יש תלמידים הרואים במספר העשרוני שני‬
‫מספרים שונים‪ .‬טעות זו מובילה לטעויות נוספות בהשוואה בין מספרים ובפעולות החשבון‬
‫במספרים עשרוניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימת יישום‪ .‬התלמידים לומדים להבחין בין החלק השלם לבין החלק‬
‫השברי במספר העשרוני‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬מציאת מספרים טבעיים ועשרוניים על פי שלוש ספרות נתונות‪ .‬מומלץ להזכיר‬
‫לתלמידים שהספרה ‪ 0‬אינה יכולה להיות הראשונה משמאל במספר טבעי או בחלק השלם של‬
‫מספר עשרוני )למשל‪ 01.2 :‬או ‪ 012‬אינן תשובות מקובלות‪ (.‬הספרה ‪ 0‬יכולה להופיע בכל מקום‬
‫אחר במספרים העשרוניים‪ .‬בין המספרים האפשריים‪.1.20 , 0.12 , 2.01 ,1.02 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬במשימה מוצעות כמה אפשרויות‪ ,‬לכן מומלץ לחלק את הכיתה לקבוצות‪ ,‬כך‬
‫שכל קבוצה תעבוד לפי אחד מהסעיפים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :343‬עשיריות‬
‫מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי ד' ‪ -‬ו' לפני השיעור‪.‬‬
‫בשיעור זה לומדים את הקשר בין השברים )ה"פשוטים"( לבין המספרים העשרוניים‪ .‬בשלב זה‬
‫עוסקים בשברים שמכניהם ‪ 10‬בלבד‪ ,‬כלומר כל השברים הם עשיריות‪ .‬כל שבר שמכנהו ‪,10‬‬
‫אפשר לרשום כמספר עשרוני‪ ,‬ואחרי הנקודה ספרה אחת בלבד‪ .‬הסבו את תשומת לבם של‬
‫התלמידים לעיקרון של המבנה העשרוני‪ :‬אפשר לרשום "בשורה אחת" גם את המספרים הלא‪-‬‬
‫טבעיים כך‪ :‬כשם שעוברים מיחידות לעשרות על‪-‬ידי הכפלת היחידה ב‪) 10 -‬וכך "זזים"‬
‫‪1‬‬
‫שמאלה(‪ ,‬אפשר לעבור מיחידות לעשיריות על‪-‬ידי חילוק ב‪) 10 -‬או כפל ב‪-‬‬
‫(‪ ,‬וכך "זזים"‬
‫‪10‬‬
‫ימינה‪ .‬בהמשך רואים שאפשר "ללכת" עד אין‪-‬סוף מקומות שמאלה וגם ימינה ביחס לנקודה‬
‫‪154‬‬
‫העשרונית‪ .‬כלומר במבנה של מספרים עשרוניים יש "סימטריה" מסוימת בין החלק השלם לבין‬
‫החלק השברי ביחס ליחידות‪.‬‬
‫בציר המספרים מומחש ששבר ומספר עשרוני הם דרכי כתיבה של אותו מספר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬על התלמידים להתאים את השבר ואת המספר העשרוני השווה לו‪ ,‬לייצוג נתון‪,‬‬
‫כאשר השלם הוא העיגול‪ .‬הזכירו לתלמידים שמתייחסים לחלק הצבוע‪ .‬מעגל הוא ייצוג‬
‫שברים המוכר לתלמידים מכיתה ג'‪ ,‬אך בתרגיל זה ‪ -‬כמו בתרגיל הבא ‪ -‬משתמשים באותו‬
‫ייצוג לתיאור מונחים שונים )"שבר" ו"מספר עשרוני"(‪ .‬כך מתחזק הקשר בין המונחים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬הצגת מספר עשרוני כאשר השלם הוא מלבן המחולק לחלקים שווים‪ .‬בייצוג‬
‫זה מתחילים להבין )בעזרת מספרים עשרוניים גדולים מ‪ ,(1 -‬ש"שבר כחלק משלם" ו"שבר‬
‫כחלק מכמות" הם מושג אחד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬כתיבת מספר מעורב כמספר עשרוני ולהפך‪ .‬החלק השברי שבמספר העשרוני‬
‫שווה למונה של השבר שמכנהו ‪.10‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬המספר כתוב במילים‪ ,‬ויש לכתוב אותו בספרות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬משימה הפוכה למשימה הקודמת‪ :‬כאן כותבים במילים את המספר הנתון‪.‬‬
‫הערה‪ :‬לפי האקדמיה ללשון‪ ,‬כאשר המספר אינו מיוחס לשם עצם מסוים מותר לומר "שלוש‬
‫עשרה נקודה שמונֶה" או "שלוש עשרה ושמונֶה עשיריות"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬יש להציב את הספרות של המספרים הנתונים בטבלה של המבנה העשרוני‬
‫המורחב )נוספה עמודת העשיריות(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬על התלמידים למקם מספר עשרוני על הציר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬המשימה דומה למשימה ‪ .13‬שימו לב שאורך היחידה שונה בכל ציר‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :345‬מאיות‬
‫מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי ז' – י' לפני השיעור‪.‬‬
‫בשיעור זה לומדים על מספרים עשרוניים המכילים עשיריות ומאיות בלבד‪ ,‬ועל הקשר בין‬
‫מספרים עשרוניים אלה לבין שברים )המכנה ‪ 100‬בלבד(‪ .‬לפי אותו העיקרון של המבנה‬
‫העשרוני‪" ,‬זזים" עוד מקום ימינה )שני מקומות מהיחידות( בעזרת חילוק היחידה ב‪.100 -‬‬
‫המקום של המאיות סימטרי למקום המאות ביחס ליחידות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬התלמידים רושמים בספרות מספר עשרוני הכתוב במילים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬משימה הפוכה‪ :‬התלמידים רושמים במילים מספר עשרוני הכתוב בספרות‪.‬‬
‫)ראו הערה למשימה ‪(.11‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬יש להציב את הספרות של המספרים הנתונים בטבלה של המבנה העשרוני‬
‫המורחב )נוספה עמודת המאיות(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬יש להסב את תשומת לב התלמידים שבכל סעיף נתון שלם אחר )מלבן‪ ,‬ריבוע‪,‬‬
‫מאה כדורים(‪ ,‬וכל שלם מחולק למאה חלקים שווים‪ .‬ייתכן שהתלמידים ירצו להיווכח במספר‬
‫החלקים ויספרו אותם‪ .‬המטרה של התרגיל היא שהתלמידים יקשרו בין ייצוג‪ ,‬שבר‪ ,‬מספר‬
‫עשרוני וכתיבתו במילים‪ .‬גם כאן מתייחסים לחלק הצבוע של השלם‪.‬‬
‫‪155‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬סדר המספרים על ציר המספרים‪ .‬בכל הזדמנות חשוב להדגיש לתלמידים‬
‫שמספרים טבעיים‪ ,‬שברים וגם מספרים עשרוניים הם כולם מספרים‪ ,‬וכל אחד מהם נמצא על‬
‫ציר המספרים‪ .‬יש לדון עם התלמידים בשמות שונים של אותה הנקודה על ציר המספרים‪ ,‬כמו‬
‫‪ 0.2‬ו‪.0.20 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬מציגים לתלמידים מהו מספר עשרוני ומהו מספר עשירי של החלק השברי‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :347‬אלפיות‬
‫מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי ה'‪ ,‬ו' ו‪ -‬ז' לפני השיעור‪.‬‬
‫בשיעור זה לומדים על אלפיות במספר העשרוני‪ .‬כמו במספרים הטבעיים הגדולים גם‬
‫במספרים עשרוניים‪ ,‬ככל שיש יותר ספרות במספר‪ ,‬כך מתרבים הקשיים של התלמידים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬משימה זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה בשל המלל הרב שבה‪.‬‬
‫ייתכן גם שתלמידים יתקשו לתאר בדיוק כיצד מורכבת הקובייה הגדולה מהקוביות הקטנות‪.‬‬
‫לכן חשוב לדון בפתרון המשימה ובמקרה הצורך להדגים לתלמידים את הקובייה )לדוגמה‪,‬‬
‫בקוביית דינס(‪ .‬כדי לבצע את המשימה התלמידים צריכים להבין שלמעטפת הקובייה ארבע‬
‫פאות‪ ,‬לכן ‪ 120‬קוביות קטנות צבועות‪.‬‬
‫לאחר שהתלמידים הבינו שכל קובייה קטנה היא אלפית של הקובייה הגדולה‪ ,‬התשובה לסעיף‬
‫ד' קלה )‪ 120‬אלפיות או ‪ 12‬מאיות(‬
‫משימה מס' ‪ :22‬במשימה זו עוסקים בשמות שונים למספר העשרוני )כלומר באופנים שונים‬
‫של פילוג מספרים עשרוניים לפי המבנה העשרוני(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬התלמידים מתבקשים לפלג את המספרים העשרוניים הנתונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪" :24‬תרגום" של השבר למספר עשרוני‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬במשימה זו עוסקים בסדר המספרים על ציר המספרים‪ ,‬כאשר המספרים‬
‫החסרים הם מספרים עשרוניים הכוללים גם אלפיות‪ .‬משימה זו דומה למשימה ‪ ,13‬אך קשה‬
‫יותר‪ ,‬כי מנייה באלפיות איננה טבעית‪ .‬לדוגמה‪ ,‬המספר שאחרי ‪ 0.099‬הוא המספר ‪.0.100‬‬
‫אפשר להסביר לתלמידים‪ ,‬המספר שבא אחרי ‪ 99‬אלפיות הוא ‪ 100‬אלפיות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬חזרה להבנת המושגים מאיות ועשיריות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬ייצוג מספר נתון על ציר המספרים שמיוצגות בו עשיריות‪ ,‬מאיות וגם‬
‫אלפיות‪.‬בכל שלב מדמיינים זכוכית מגדלת על קטע של הציר‪ .‬כל קטע מוגדל מחולק לעשרה‬
‫קטעים שווים‪ .‬ההגדלה מאפשרת "לראות" את מיקום המספרים הנמצאים בין קצות הקטע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬משימה זו דומה למשימה ‪ ,27‬אך במשימה זו קטע היחידה מחולק לעשר‬
‫עשיריות‪ .‬התלמידים צריכים למקם את רוב המספרים הנתונים בין שתי שנתות‪ .‬לדוגמה‪,‬‬
‫המספר ‪ 10.57‬נמצא בין ‪ 10.5‬לבין‪ .10.6-‬בציר המסורטט אי אפשר לייצג את המספר ‪.9.02‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :350‬פילוג מספר עשרוני‬
‫מומלץ לבצע לפני השיעור את פעילויות הגילוי א' ו‪ -‬ב'‪.‬‬
‫בשיעור זה לומדים לפלג מספר עשרוני המורכב מעשיריות וממאיות‪ ,‬לפי המבנה העשרוני‪.‬‬
‫חשוב להדגיש לתלמידים שלאותו מספר עשרוני ישנם שמות שונים בדומה לשמות שונים של‬
‫שברים‪ .‬לדוגמה‪ ,‬את המספר ‪ 0.24‬אפשר לקרוא כך‪ 24" :‬מאיות" או כך‪ 2" :‬עשיריות ו‪4 -‬‬
‫מאיות"‪ .‬שמות אלו מתאימים למבנה העשרוני‪.‬‬
‫‪156‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬במשימה זו על התלמידים לכתוב מספר עשרוני ושבר לפי הייצוג הנתון‬
‫ולכתוב את המספר במילים לפי בחירתם )בעזרת מאיות בלבד או בעזרת עשיריות ומאיות(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬על התלמידים לייצג את המספר העשרוני בריבוע‪ ,‬כאשר הריבוע מייצג את‬
‫השלם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬משימת יישום‪ .‬במשימה זו יש לפלג מספר עשרוני נתון לפי המבנה העשרוני‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬משימה זו מבוססת על הקשר בין המאית לבין העשירית‪ .‬על התלמידים‬
‫לכתוב את מספר העשיריות או את מספר המאיות החסרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬במשימה זו כותבים במילים את המספר העשרוני הרשום בספרות‪ .‬דוגמה‪:‬‬
‫א( ‪ - 4.538‬ארבעה שלמים‪ ,‬חמש עשיריות‪ ,‬שלוש מאיות ושמונה אלפיות‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :352‬מספרים עשרוניים במבנה העשרוני‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי י"א לפני השיעור‪.‬‬
‫הבנת קטע שיעור זה חשובה להבנת המבנה העשרוני כולו‪ .‬בקטע השיעור מוסברים הסיבה‬
‫והעיקרון בכתיבת מספרים‪ ,‬ובעיקר בכתיבת שברים כמספרים עשרוניים‪ .‬הסיבה‪ :‬הרחבת‬
‫המבנה העשרוני מימין ליחידה‪ .‬העיקרון‪ :‬ערך כל ספרה מוכפל ב‪ ,10 -‬ב‪ ,100 -‬ב‪ ...1,000 -‬לפי‬
‫מיקומה משמאל ליחידות‪ ,‬וערך כל ספרה מחולק ב‪ ,10 -‬ב‪ ,100 -‬ב‪ ...1,000 -‬לפי מיקומה מימין‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ליחידות‪ .‬לפיכך משתמשים בחוק ההעברה‪:‬‬
‫קטנה מ‪ 1 -‬פי עשרה‪ , = 0.1 ,‬לכן ‪ 0.1‬קטן‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫מ‪ 1 -‬פי עשרה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬משימת יישום‪ :‬על התלמידים לזהות את ערך הספרה ‪ 4‬בכל מספר נתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬משימה דומה למשימה הקודמת‪ ,‬אך הפעם מדובר במספר עשרוני ללא החלק‬
‫השברי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬משימה מורכבת‪ .‬התלמידים צריכים לייצג את המספרים העשרוניים בטבלה‬
‫של המבנה העשרוני המורחב וכן לכתוב את המספר העשרוני המתאים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬משימת יישום‪ .‬יש לשים לב לדמיון בין המונחים "ספרת העשרות" ו"ספרת‬
‫העשיריות"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :39‬משימה פתוחה‪ .‬מבחינים בין הספרות השונות במספר‪ ,‬ומבחינים בין החלק‬
‫השלם של המספר לחלק השברי שלו‪ .‬דוגמה למספר המתאים למשימה‪:‬‬
‫במספר ‪ 450.54‬ספרת היחידות היא ‪ ,0‬ספרת העשרות שווה לספרת העשיריות‪ ,‬וספרת המאות‬
‫שווה לספרת המאיות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬במשימה זו אפשר להיעזר בטבלה של המבנה העשרוני המורחב הנמצאת‬
‫בשקית האביזרים‪ .‬צריך למקם את הנקודה לפי ההנחיה שבכל סעיף‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬משימה פתוחה‪ .‬דונו במשימה זו עם התלמידים‪ .‬על התלמידים לכתוב שלושה‬
‫מספרים שונים שהספרה ‪ 5‬מופיע בהם בכל פעם במקום אחר‪.‬‬
‫דוגמאות למספרים מתאימים‪.1.045 ,1.054 , 1.53 :‬‬
‫‪157‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬על התלמידים לפלג את המספרים הנתונים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫× ‪370.428 = 3 × 100 + 7 × 10 + 4 × + 2‬‬
‫×‪+ 8‬‬
‫א(‬
‫‪10‬‬
‫‪100‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ב(‬
‫× ‪41.052 = 4 × 10 + 1 × 1 + 0 × + 5‬‬
‫×‪+ 2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪100‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫× ‪0.478 = 0 × 1 + 4 × + 7‬‬
‫×‪+ 8‬‬
‫ג(‬
‫‪10‬‬
‫‪100‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫× ‪140.278 = 1 × 100 + 4 × 10 + 2 × + 7‬‬
‫×‪+ 8‬‬
‫ד(‬
‫‪10‬‬
‫‪100‬‬
‫‪1000‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬יש למצוא את המספר העשרוני בכל סעיף‪ .‬בכל סעיף מוצג המספר באופן‬
‫שונה )שבר בסעיף ז'‪ ,‬פילוג בסעיף י' וכדומה(‬
‫משימה מס' ‪ :44‬על התלמידים לכתוב את ארבעת המספרים הנתונים לפי הדרכים הנתונות‪.‬‬
‫‪53‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4.53 = 4 + 0.53 = 4 +‬‬
‫‪=4+ +‬‬
‫דוגמה‪= 4 × 1 + 5 × 0.1 + 3 × 0.01 :‬‬
‫‪100‬‬
‫‪10 100‬‬
‫משימה מס' ‪ :45‬משימה זו דומה למשימה ‪ .40‬סימון הנקודה במקום המתאים מחזק את‬
‫הבנת המבנה העשרוני של המספר‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :355‬מספרים עשרוניים שווים‬
‫אם רושמים או מוחקים את האפסים בסוף של החלק השברי‪ ,‬ערך המספר העשרוני אינו‬
‫משתנה‪ .‬שימו לב‪ ,‬זה בניגוד למספרים הטבעיים‪ ,‬שבהם כתיבה או מחיקה של אפסים בסוף‬
‫מספר מגדילה את ערך המספר או מקטינה אותו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :46‬משימת יישום‪ .‬יש למצוא את המספרים העשרוניים השווים לייצוג השטח‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :47‬השוואה בין מספרים עשרוניים נתונים‪ .‬אפשר להיעזר בחשבונייה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :48‬התלמידים נדרשים למצוא מספרים עשרוניים שווים בכל אחת מהשורות‪.‬‬
‫דוגמה‪0.7 = 0.70 = 0.700 :‬‬
‫כדי לסייע לתלמידים למצוא את המספרים העשרוניים השווים‪ ,‬אפשר לשאול אותם מה‬
‫מייצגות הספרות השונות מ‪ ,0 -‬בכל אחד מהמספרים הנתונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :49‬התלמידים מתבקשים למצוא איזה מספר יוצא‪-‬דופן בין המספרים הנתונים‪.‬‬
‫המספר שהוא יוצא דופן‪ ,‬אינו שווה למספרים האחרים‪ .‬אם התלמידים מעלים כמה אפשרויות‬
‫שונות לתשובה‪ ,‬יש לדון אתם בהן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :50‬משימת יישום‪ .‬בכל סעיף כותבים מספר עשרוני השווה למספר נתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :51‬כדי להשלים את הביטויים מומלץ להשתמש בטבלה של המבנה העשרוני‬
‫שנמצאת בשקית האביזרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :52‬משימה לחיזוק ההבנה המספרית‪ .‬יש למקם את המספרים בציר מספרים‬
‫המחולק לעשיריות‪.‬‬
‫‪158‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :357‬השוואה בין מספרים עשרוניים )סיכום(‬
‫מומלץ לבצע לפני השיעור את פעילות הגילוי ח'‪.‬‬
‫בשיעור מסכמים את דרכי ההשוואה בין שני מספרים עשרוניים כלשהם‪ .‬כדי להקל את‬
‫ההשוואה מומלץ להשתמש בטבלה של המבנה העשרוני‪ ,‬לרשום בהתאם מספרים שצריך‬
‫להשוות ביניהם‪ ,‬ולבצע את תהליך ההשוואה‪ .‬אין צורך בפירוט של החלק השלם מסיבות‬
‫שהוזכרו קודם לכן‪ .‬חשוב להדגיש שהתהליך הוא סופי‪ ,‬וצריך להפסיקו בשלב מסוים )אחרי‬
‫שמוצאים שוני בשלמים או בעשיריות או במאיות(‪ ,‬ואין משווים בין יתר הספרות של החלק‬
‫השברי כלל‪ .‬חשוב להרשות לתלמידים שימוש בטבלה באופן חופשי )לפי הצורך(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :53‬השוואה בין מספרים עשרוניים על ידי ציר המספרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :54‬לביצוע המשימה נדרשים כמה שלבים‪ :‬א( חישוב מספר השנתות )‪ (12‬שיש‬
‫לסרטט על הציר; ב( חלוקת הציר וסרטוט השנתות; ג( כתיבת המספרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :55‬זיהוי וסידור של מספרים עשרוניים על הציר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :56‬התלמידים נדרשים לסדר מספרים עשרוניים‪ .‬ציר המספרים יכול להיות כלי‬
‫עזר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :57‬התלמידים מתבקשים לנמק מדוע הם כתבו את סימן ההשוואה גדול‪ ,‬קטן או‬
‫שווה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :58‬השוואה בין מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :59‬משימה יישומית מחיי היום‪-‬יום‪ .‬נדרש ניתוח השוואתי בין מחירים הכתובים‬
‫כמספר עשרוני‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :60‬משימת יישום‪ .‬הדריכו את התלמידים לסמן את המקום שבו הם עוצרים את‬
‫תהליך ההשוואה‪ .‬שימו לב שאין צורך להשוות בין כל הספרות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :61‬התלמידים מתבקשים למצוא מספר בין שני מספרים עשרוניים נתונים‪.‬‬
‫אפשר להיעזר בציר המספרים‪ .‬חשוב שהתלמידים יגיעו למסקנה שבין כל שני מספרים‬
‫עשרוניים תמיד אפשר למצוא מספר השונה מהמספרים האלו‪ .‬התרגיל עלול להיות קשה‬
‫לתלמידים בכיתה‪ ,‬מפני שיש בו שני אילוצים לקביעת המספר‪ .‬ישנן אפשרויות שונות לתשובה‬
‫הנכונה‪ ,‬וחשוב לדון עם התלמידים באפשרויות השונות‪ .‬בשני הסעיפים המסומנים בנורה‪,‬‬
‫התלמידים יכולים לכתוב את שני המספרים הנתונים באלפיות‪ ,‬כלומר להוסיף ‪ 0‬בסוף החלק‬
‫השברי של המספר העשרוני‪ ,‬וזה עוזר למצוא את התשובה‪.3.420 < ____< 3.430 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :62‬כדי לסדר את המספרים מהקטן לגדול‪ ,‬יש לזהות מהי הספרה הזהה ומה‬
‫מיקומה במספר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :63‬על התלמידים למצוא את המספר הקטן ביותר ואת המספר הגדול ביותר‬
‫מבין המספרים הנתונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :64‬א( התלמידים נדרשים להקיף את המספר הקרוב ביותר ל‪.1 -‬‬
‫ב( יש למקם מספר עשרוני בין מספרים טבעיים עוקבים ללא עזר בציר המספרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪:65‬התלמידים נדרשים להשוות בין השברים העשרוניים בהתאם לכללים‬
‫ולכתוב את הסימון המתאים‪.‬‬
‫‪159‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :361‬מספרים עשרוניים בחיי היום‪-‬יום‪ :‬כסף )שקלים‪ ,‬אגורות(‬
‫מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי י"ב ו‪ -‬י"ג לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה לומדים התלמידים לכתוב‬
‫בשיטה העשרונית מספרים שהם סכומי כסף בשקלים חדשים‪ ,‬לדוגמה‪ 30.40 ,‬ש''ח‪ .‬התלמידים‬
‫נתקלים ברישום מחירים בצורה זו יום‪-‬יום‪.‬‬
‫כמו בכל מספר עשרוני גם במספרים עשרוניים‪ ,‬שהם סכומי כסף‪ ,‬הנקודה העשרונית מבדילה‬
‫בין החלק השלם לבין החלק השברי של המספר‪ ,‬אך במקרה זה יש לנקודה משמעות נוספת‪:‬‬
‫היא מפרידה בין השקלים לבין האגורות‪ ,‬השקלים כתובים משמאל לנקודה )החלק השלם(‪,‬‬
‫והאגורות מימין לה )החלק השברי(‪.‬‬
‫בקטע השיעור נלמד גם הקשר בין שקלים לבין אגורות‪ ,‬ומוצגים הקיצורים בכתיבה‪) ₪ :‬ש''ח(‬
‫ואג'‪ .‬מומלץ לדון עם התלמידים בקשר בין הכתיבה בשיטה העשרונית לבין כתיבת סכומי כסף‬
‫בשיטה עשרונית‪ :‬אגורה היא מאית של שקל‪ ,‬לכן יש בכל מספר חלק שלם )השקלים( ועשיריות‬
‫ומאיות‪ ,‬כלומר בשיטה העשרונית יש התאמה מלאה בין המתמטיקה לבין הכסף‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :66‬משימת יישום‪ .‬התלמידים מתרגלים כתיבת מחירים במילים‪ .‬יש להדגיש את‬
‫השימוש הנכון בכתיבת המספרים במילים‪ :‬כתיבה בצורת זכר כאשר מדובר בשקלים‪ ,‬וכתיבה‬
‫בצורת נקבה כאשר מדובר באגורות‪ .‬חשוב גם שהתלמידים יבטאו נכון את המילים‪ .‬אם מספר‬
‫השקלים הוא ‪ ,0‬אפשר לכתוב רק את מספר האגורות‪ .‬דוגמה‪ 0.80 :‬ש''ח ‪ -‬שמונים אגורות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :67‬משימה הפוכה למשימה הקודמת‪ :‬התלמידים רושמים בספרות מספר הכתוב‬
‫במילים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :68‬זיהוי הסכומים לפי ייצוג הכסף‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :69‬המרה מייצוג מספרי לייצוג מטבעות ושטרות‪ .‬יש לסעיף א כמה פתרונות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :70‬השוואה בין מספרים עשרוניים בשאלה מחיי היום‪ -‬יום‪.‬‬
‫התלמידים נדרשים להעריך אילו מוצרים הם יכולים לקנות בסכום הכסף הנתון‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :72 - 71‬תרגול בכתיבת מס' נתון במילים בצ'ק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :73‬השוואה בין שני סכומי כסף‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :74‬ישנן דרכים שונות האפשריות לתשלום במטבעות‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :364‬מספרים עשרוניים בחיי היום‪-‬יום‪ :‬אורך‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי י"ד לפני השיעור‪.‬‬
‫בשיעור הקודם למדו התלמידים שמספרים עשרוניים מייצגים כסף בשקלים ובאגורות‪ .‬כעת‬
‫הם ילמדו שהמספרים העשרוניים מייצגים מידות שונות בסנטימטרים ובמילימטרים או‬
‫במטרים ובסנטימטרים‪ .‬בשיעור לומדים את הקשר בין ס''מ למ''מ )מילימטר הוא עשירית של‬
‫הסנטימטר( וגם בין מ' לס"מ )סנטימטר הוא מאית של המטר(‪.‬‬
‫כאשר מספר עשרוני מבטא את האורך בסנטימטרים‪ ,‬הנקודה העשרונית מבדילה בין ס"מ‬
‫)בחלק השלם של המספר העשרוני( למ"מ )בחלק השברי של המספר העשרוני(‪ .‬כאן מקובל‬
‫שאחרי הנקודה ישנה ספרה אחת בלבד )בשל הקשר בין ס''מ למ''מ(‪.‬‬
‫כאשר מספר עשרוני מבטא את האורך במטרים‪ ,‬הנקודה העשרונית מבדילה בין מ' )בחלק‬
‫השלם של המספר העשרוני( לס"מ )בחלק השברי של המספר העשרוני(‪ .‬כאן מקובל שאחרי‬
‫הנקודה ישנן שתי ספרות בלבד )בשל הקשר בין מ' לס''מ(‪.‬‬
‫שימו לב‪ :‬המבנה העשרוני של המספר העשרוני הוא תמיד אותו מבנה‪ ,‬כלומר יש בו החלק‬
‫השלם והחלק השברי‪ .‬אך כאשר מדובר באורכים‪ ,‬לחלקים הללו יכולים להיות תפקידים‬
‫שונים‪ :‬לעתים החלק השלם יכול להיות סנטימטרים‪ ,‬ולעתים הסנטימטרים הם בחלק השברי‬
‫‪160‬‬
‫של המספר‪) .‬בכסף יש לחלקים תמיד אותו תפקיד‪ :‬השקלים הם החלק השלם‪ ,‬והאגורות הן‬
‫החלק השברי‪ (.‬כדי למנוע טעויות בעניין מובאות בשיעור זה מידות שונות אלה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :75‬משימת יישום‪ .‬התלמידים מתרגלים כתיבת אורכים במילים‪ .‬יש להדגיש את‬
‫השימוש הנכון בכתיבת המספרים במילים‪ :‬כתיבה בצורת זכר לכל האורכים‪ .‬חשוב גם‬
‫שהתלמידים יבטאו נכון את המילים‪ .‬אם החלק השלם הוא ‪ ,0‬אפשר לכתוב רק את המספר‬
‫המתאים לחלק השברי‪ ,‬ואת הכינוי‪ .‬דוגמה‪ 0.17 :‬מ' – שבעה עשר סנטימטר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :76‬משימה הפוכה למשימה הקודמת‪ :‬התלמידים רושמים בספרות מספר הכתוב‬
‫במילים‪ ,‬המבטא את האורך‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :79 - 77‬השוואה בין הגבהים הנתונים ביחידות אורך )סנטימטרים‬
‫ומילימטרים(‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמ' ‪ :366‬מספרים עשרוניים בחיי היום‪-‬יום‪ :‬משקל‬
‫בשיעור זה מראים לתלמידים שימוש נוסף במספרים עשרוניים בחיי היום‪-‬יום‪ :‬כתיבת משקל‬
‫של חפצים שונים‪ .‬המספר העשרוני במקרה זה מורכב מהחלק השלם בקילוגרמים ומהחלק‬
‫השברי בגרמים‪ .‬בקילוגרם אחד ‪ 1,000‬גרם‪ ,‬לכן ‪ 1‬גרם הוא אלפית של הקילוגרם‪ .‬כל המספרים‬
‫בקילוגרמים‪ ,‬המבטאים משקל‪ ,‬חייבים להיכתב )בשלב זה(‪ ,‬כך שאחרי הנקודה )בצד ימין(‬
‫שלוש ספרות בדיוק )גרמים(‪ .‬הנושא יכול לעורר קושי מסוים‪ ,‬כי התלמידים מכירים פחות‬
‫יחידות משקל מאשר יחידות כסף ויחידות אורך‪ ,‬וכי השימוש באלפיות קשה יותר משימוש‬
‫במאיות או בעשיריות‪ .‬בעיה נוספת באה לידי ביטוי בכתיבה של המספר‪ ,‬כאשר צריך לכתוב ‪0‬‬
‫באחד המקומות של החלק השברי )אחרי הנקודה(‪ .‬לדוגמה‪ 3.025 ,‬ק"ג פירושו ‪ 3‬ק''ג ו‪ 25 -‬גר';‬
‫‪ 50‬ק"ג ו‪ 99 -‬גר' רושמים‪ 50.099 :‬ק"ג‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :82 - 80‬משימות יישום‪ :‬ביטוי מספרים עשרוניים ביחידות משקל )ק"ג‬
‫וגרמים(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :83‬דירוג משקלים מהקל אל הכבד בק"ג‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :84‬דירוג משקלים מהקל אל הכבד בגרמים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :85‬השוואה בין משקלים של אביזרים שונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :86‬יש להשוות בין משקלים )באותה יחידה או ביחידות שונות( ולקבוע את‬
‫הסימן המתאים‪.‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪368‬‬
‫חזרה על הנושאים שנלמדו בפרק זה‪ :‬מהות המספרים העשרוניים‪ ,‬מספרים עשרוניים שווים‪,‬‬
‫השימוש במספרים עשרוניים בחיי היום‪-‬יום‪ :‬כסף ואורכים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :87‬דרכים שונות לנמק השוואה בין גדלים של מספר עשרוני‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמודים ‪377 – 369‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת תרגול‪ :‬השלמת טבלה של המבנה העשרוני לפי המספרים הנתונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬המספר ‪ 75‬יגדל ב‪ 630 -‬אם נכתוב את הספרה ‪ 0‬בין הספרות ‪ 5‬ו‪.7 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימת תרגול‪ :‬מיקום מספרים על ציר המספרים‪.‬‬
‫‪161‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימת תרגול‪:‬‬
‫‪. 9,054 = 9000 + 50 + 4 = 9,000 + 54‬‬
‫פילוג‬
‫המספר‬
‫באופנים‬
‫שונים‪.‬‬
‫לדוגמה‪,‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬משימת תרגול‪ :‬כתיבת מספר תלת‪-‬ספרתי שכל ספרותיו שוות‪ .‬המספרים‬
‫המתאימים הם ‪.999 ,888 ,777 ,666 ,555 ,444 ,333 ,222 ,111‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬א( ישנם תשעה מספרים שונים בעלי חמש ספרות‪ ,‬המסתיימים ב‪ .3456 -‬הנה‬
‫הם‪.9,3456 ; 8,3456 ; 7,3456 ; 6,3456 ; 5,3456 ; 4,3456 ; 3,3456 ; 2,3456 ; 1,3456 :‬‬
‫ב( ישנם עשרה מספרים שונים בעלי חמש ספרות‪ ,‬המתחילים ב‪ .3456 -‬שימו לב‪ :‬אפשר לכתוב‬
‫את הספרה ‪ 0‬במקום של היחידות‪) .‬זאת בניגוד לסעיף א'‪ ,‬שבו אין משמעות לספרה ‪ 0‬משמאל‬
‫למספר‪(.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬משימת תרגול‪ :‬השלמת משפטים‪ .‬דוגמה‪ 6 :‬שלמים שווים ל‪ 60 -‬עשיריות‪.‬‬
‫‪37 30‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫‪= +‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬פילוג השבר‪ .‬דוגמה‪:‬‬
‫‪100 100 100 10 100‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימת תרגול‪ :‬פילוג המספרים העשרוניים הנתונים‪.‬‬
‫דוגמה‪. 0.31 = 0.3 + 0.01 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬ב‪ 38 -‬מאיות יש ‪ 3‬עשיריות‪ .‬לפי הפילוג‪. 0.38 = 0.3 + 0.08 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬משימת תרגול‪ :‬כתיבת המספר העשרוני המתאים לייצוג בספרות ובמילים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬משימת תרגול‪ :‬כתיבת מספר עשרוני במילים‪ .‬דוגמה‪ – 3.48 :‬שלושה שלמים‬
‫וארבעים ושמונה מאיות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬משימת תרגול‪ :‬כתיבת מספרים עשרוניים בספרות‪.‬‬
‫א( ‪ 4.2‬ב( ‪ 0.08‬ג( ‪ 1.17‬ד( ‪ 11.1‬ה( ‪ 3.8‬ו( ‪0.4‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬א( ‪ 50‬מאיות הן ‪ 0.5‬ב( ‪ 7‬עשיריות הן ‪ 70‬מאיות‪.‬‬
‫ג( ‪ 3‬מאיות הן ‪ 0‬עשיריות ושלוש מאיות‪ .‬ד( ‪ 2‬מאיות הן ‪ 0‬עשיריות ו‪ 2 -‬מאיות‪.‬‬
‫ה( ‪ 72‬מאיות הן ‪ 7‬עשיריות ו‪ 2 -‬מאיות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬משימת תרגול‪ :‬השלמת הטבלה של המבנה העשרוני המורחב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬משימת תרגול‪ :‬כתיבת מספר עשרוני מתאים‪.‬‬
‫א( ‪ 0.25‬ב( ‪ 0.28‬ג( ‪ 0.98 0.39‬ה( ‪ 0.55‬ו( ‪0.52‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬משימת תרגול‪ :‬משמעות ערך הספרה במספר‪ .‬לדוגמה‪ ,‬ערך הספרה ‪ 9‬במספר‬
‫‪ 20.91‬הוא ‪ ,0.9‬כלומר עשיריות ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬משימת תרגול‪ :‬סדר המספרים‪.‬‬
‫‪0.0315 , 0.034 , 0.043 , 0.104 , 0.24 , 0.243 , 0.3 , 0.43‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬משימת תרגול‪ :‬מספר עשרוני ושבר המתאימים לייצוג‪.‬‬
‫‪162‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬משימה זו הפוכה למשימה הקודמת‪ .‬צביעת החלק מתוך השלם תיעשה‬
‫בהתאם לשבר הנתון או בהתאם למספר העשרוני‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬משימת תרגול‪ :‬השוואה בין מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬משימת תרגול‪ :‬התאמה בין מספר עשרוני לשבר השווה לו‪.‬‬
‫‪45‬‬
‫‪28‬‬
‫= ‪0.045‬‬
‫= ‪, 0.28‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪100‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬משימת תרגול‪ :‬השוואה בין מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫דוגמאות‪0.80 > 0.08 ; 0.08 < 0.9 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬על התלמידים למצוא מספרים שלמים עוקבים שהמספר העשרוני הנתון‬
‫נמצא ביניהם‪ .‬דוגמאות‪. 109 < 109.61 < 110 , 1 < 0.09 < 2 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬התיחום של המספר העשרוני הנתון מסייע במציאת מיקומו על ציר‬
‫המספרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬המספר ‪ 6.5‬נמצא בין ‪ 6‬ל‪.7 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬המספרים ‪ 23.8 , 23.1‬ו‪ 23.9 -‬נמצאים בין ‪ 23‬ל‪.24 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬רק המספר ‪ 50.5‬נמצא בין ‪ 50‬ל‪.55 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬התלמידים נדרשים למצוא את המספר שאינו שווה למספרים האחרים‪ .‬א(‬
‫‪ 5.03‬ב( ‪ 7.540‬ג‪.1.680 9‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬באיור המסורטט ‪ 100‬עיגולים המסורטטים בעשר שורות‪ .‬בכל שורה עשרה‬
‫עיגולים‪ .‬התלמידים צריכים להשתמש בשלושה צבעים שונים‪ 20 :‬עיגולים בצבע אחד‪2 ,‬‬
‫עיגולים בצבע שני ועוד ‪ 20‬עיגולים בצבע שלישי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬משימת תרגול נוספת של מיקום מספרים עשרוניים על ציר המספרים‪ .‬ישנם‬
‫ארבעה מספרים שאי‪-‬אפשר למקם אותם על החלק המסומן על הציר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬מיקום הנקודה העשרונית ייעשה לפי ערך הספרה‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬במספר ‪ 3.459‬ערך הספרה ‪ 4‬הוא עשיריות‪.‬‬
‫במספר ‪ 3,459‬ערך הספרה ‪ 4‬הוא מאות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬משימת תרגול נוספת של ערך הספרה במספר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬משימה פתוחה‪ .‬על התלמידים לכתוב שלושה מספרים המתאימים לדרישות‪.‬‬
‫דוגמה‪.57.86 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬משימת תרגול‪ :‬כתיבת מספר בדרכים שונות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬שאלה מילולית זו עוסקת בקליעה למטרה‪.‬‬
‫שימו לב‪ :‬הניקוד נקבע לפי מיקום החץ בלוח המטרה‪.‬‬
‫על התלמידים לזהות את המיקום של פגיעת החץ‪ ,‬ובהתאם למיקום לקבוע את הניקוד‪.‬‬
‫משימה זו קשורה לנושא "תיחום של המספרים עשרוניים"‪ .‬דוגמה‪ 0.25 :‬נמצא בין ‪ 0.2‬לבין‬
‫‪.0.3‬‬
‫‪163‬‬
‫תוצאות הקליעה במרחק‬
‫שם‬
‫במטרים‬
‫שלב ג‬
‫שלב ב‬
‫שלב א‬
‫‪0.18‬‬
‫‪0.15‬‬
‫‪0.28‬‬
‫דניאל‬
‫‪0.32‬‬
‫‪0.25‬‬
‫‪0.10‬‬
‫אסתר‬
‫‪0.17‬‬
‫‪0.12‬‬
‫‪0.43‬‬
‫יוני‬
‫דניאל ניצח במשחק‪.‬‬
‫ניקוד‬
‫שלב א‬
‫‪10‬‬
‫‪20‬‬
‫‪0‬‬
‫שלב ב‬
‫‪20‬‬
‫‪10‬‬
‫‪20‬‬
‫סה"כ‬
‫נקודות‬
‫שלב ג‬
‫‪20‬‬
‫‪5‬‬
‫‪20‬‬
‫דירוג‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪50‬‬
‫‪35‬‬
‫‪40‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬שאלה מילולית העוסקת בתחרות קפיצה לגובה‪ .‬להלן הטבלה המלאה‪:‬‬
‫שם הקופץ‬
‫אהרון‬
‫נועם‬
‫יואל‬
‫רון‬
‫רמי‬
‫הקפיצה‬
‫הראשונה‬
‫‪ 1.60‬מ'‬
‫‪ 1.69‬מ'‬
‫‪ 1.70‬מ'‬
‫‪ 1.80‬מ'‬
‫‪ 1.68‬מ'‬
‫הקפיצה‬
‫השנייה‬
‫‪ 1.75‬מ'‬
‫‪ 1.60‬מ'‬
‫‪ 1.82‬מ'‬
‫‪ 1.74‬מ'‬
‫‪ 1.72‬מ'‬
‫הקפיצה‬
‫השלישית‬
‫‪ 1.72‬מ'‬
‫‪ 1.68‬מ'‬
‫‪ 1.74‬מ'‬
‫‪ 1.79‬מ'‬
‫‪ 1.77‬מ'‬
‫הקפיצה‬
‫הטובה ביותר‬
‫‪1.75‬‬
‫‪1.69‬‬
‫‪1.82‬‬
‫‪1.80‬‬
‫‪1.77‬‬
‫דירוג‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫שאלות מילוליות‪ ,‬עמוד ‪378‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬שאלה מילולית זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה‪ ,‬כי היא מכילה‬
‫מספר רב של נתונים‪ .‬חתיכת הבשר שמשקלה ‪ 3.050‬ק"ג היא הכבדה ביותר‪ ,‬אולם זו אינה חתיכת‬
‫הבשר הדרושה לה‪ ,‬אלא חתיכת הבשר שמשקלה ‪ 2.500‬ק"ג‪.‬‬
‫אריזת הזיתים במשקל ‪ 0.800‬ק"ג היא המתאימה יותר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬יורם קיבל את הפנקס שמחירו ‪ ,₪ 3.70‬אור קיבלה את קופסת התכשיטים‬
‫שמחירה ‪ ,₪ 8.10‬רבקה קיבלה את הבובה שמחירה ‪ ,₪ 6.30‬דינה קיבלה את העיפרון הצבעוני‬
‫שמחירו ‪ ,₪ 5.80‬וראובן קיבל את המכונית שמחירה ‪.₪ 4.40‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬להדס יש ‪ .₪ 8.10‬המטבעות שיש לה הם אלה‪ :‬שני מטבעות של ‪ ,₪ 2‬ארבעה‬
‫מטבעות של ‪ ₪ 1‬ומטבע נוסף של ‪ 10‬אגורות‪ ,‬סה"כ שבעה מטבעות‪.‬‬
‫ישנן אפשרויות נוספות לקבלת ‪ ₪ 8.10‬בשבעה מטבעות‪.‬‬
‫‪ 5‬שקלים‬
‫‪ 2‬שקלים‬
‫שקל‬
‫חצי שקל‬
‫‪ 10‬אגורות‬
‫ערך המטבע‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬מידות הדף במילימטרים הן ‪ 210‬מ"מ ו‪ 297 -‬מ"מ‪.‬‬
‫היסטוריה‪ ,‬עמוד ‪379‬‬
‫בחלק ההיסטורי מיוצגות הכמויות הקטנות בעזרת הוויטמינים‪ .‬במספרים העשרוניים‬
‫הרשומים כאן יש בחלק השברי של המספר עד חמש ספרות‪.‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪380‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬א( להלן שמות הילדים מימין לשמאל בטבלה‪ :‬אילן‪ ,‬בועז‪ ,‬גדעון‪ ,‬דבורה‬
‫ויהודית‪.‬‬
‫‪164‬‬
‫ב(‬
‫ג(‬
‫ד(‬
‫ה(‬
‫הקפיצה הטובה ביותר של גדעון היא בשלב הראשון‪.‬‬
‫התוצאה הנמוכה ביותר של אילן הושגה בשלב השלישי‪ .‬הוא קפץ למרחק של ‪ 5.12‬מ'‪.‬‬
‫ההישגים של דבורה השתפרו משלב לשלב‪.‬‬
‫ההישגים של בועז הלכו ופחתו מהשלב הראשון ועד השלב השלישי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬אפשר לכתוב אפשרויות שונות של סכומים בעזרת המטבעות‪.‬‬
‫הסכומים האפשריים הם בין ‪ 10‬אג' ל‪.₪ 2 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬במשימה זו על מהתלמידים לחפש מספר אפשרויות המתאימות לדרישות‪.‬‬
‫דוגמה למספר מתאים‪ .46.714 :‬סכום הספרות הוא ‪.22‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪381‬‬
‫חזרה על הנושאים‪ :‬השוואה בין מספרים טבעיים גדולים‪ ,‬כתיבתם בעזרת ֲחזקות של ‪ ,10‬דרכי‬
‫כפל של מספרים טבעיים וחילוק ב‪ 3 -‬ובכפולות של עשר‪.‬‬
‫‪165‬‬
‫עמ' ‪404 - 382‬‬
‫יב‪ .‬גבהים‬
‫רקע‬
‫הפרק עוסק בנושא גבהים במשולש‪ ,‬במקבילית ובגובה בטרפז‪ .‬המושג "גובה" הוא אחד‬
‫המושגים החשובים ביותר בגאומטריה‪" .‬גובה במשולש" הוא אחד מארבעת הקטעים המוכרים‬
‫במשולש‪ .‬הקטעים האחרים הם תיכון‪ ,‬חוצה זווית ואנך אמצעי לצלע‪ .‬המושגים "גובה‬
‫במשולש" ו"גובה במקבילית" הם המושגים הבסיסיים לחישובי שטחים של מצולעים‪.‬‬
‫לתלמידי כיתה ה' "גובה" הוא מושג חדש‪ ,‬ולכן בראש ובראשונה‪ ,‬עליהם להפנים את משמעותו‬
‫על‪-‬ידי זיהויו ובנייתו במשולשים ובמקביליות שונים‪.‬‬
‫הפרק בנוי כך שתחילה מלמדים את המושג "גובה במשולש"‪ .‬הפעם אין הפרדה בין סוגי‬
‫המשולשים‪ ,‬אלא מדגימים גבהים במשולשים מסוג כלשהו )כלומר במשולש חד‪-‬זוויות‪ ,‬ישר‪-‬‬
‫זווית וקהה‪-‬זווית(‪ .‬היתרון בכך הוא שמראים כי דרך הבנייה והזיהוי של גובה זהה בכל‬
‫המשולשים‪ .‬עדיין יש קושי מסוים בבניית גובה במשולש ישר‪-‬זווית ובמשולש קהה‪-‬זווית‪ ,‬ועל‬
‫המורה להדריך את התלמידים כיצד להתגבר על קושי זה‪ .‬אחת הדרכים היא לבצע את‬
‫התהליך של הבנייה בהדרגה‪ .‬כמו‪-‬כן תלמידים עשויים לחשוב בטעות‪ ,‬שבמשולש או במקבילית‬
‫קיים רק גובה אחד‪ ,‬ולא שלושה גבהים‪.‬‬
‫דרכים למניעת הטעויות‪:‬‬
‫‪ .1‬חשוב ללמד את התלמידים לראות יחד את קדקוד המשולש ואת הצלע שמול הקדקוד‬
‫הזה במשולשים מסוגים שונים‪ .‬בהתחלה אפשר להיעזר בצביעה של הקדקוד ושל הצלע‬
‫שממולו באותו צבע‪ .‬תלמידים מתקשים יכולים להיעזר בצביעה במהלך כל הפרק‪" .‬צלע‬
‫שמול הקדקוד" היא צלע במשולש‪ ,‬שהקדקוד הנבחר אינו שייך אליה‪.‬‬
‫‪ .2‬רצוי ללמד את התלמידים לסרטט את הגובה כאנך מנקודה )מהקדקוד( לישר שהצלע‬
‫מונחת עליו‪ .‬שימו לב‪ :‬שני קטעים מאונכים זה לזה אם הם מונחים על ישרים מאונכים‪.‬‬
‫קטעים מאונכים לא בהכרח נפגשים‪ .‬לכן ברור מדוע גובה שנמצא מחוץ למשולש קהה‪-‬‬
‫זווית מאונך לצלע‪ ,‬אף‪-‬על‪-‬פי שבפועל הגובה והצלע אינם נפגשים‪.‬‬
‫‪ .3‬יש לתרגל הרבה זיהוי ובנייה של גבהים במשולשים מסוגים שונים‪ .‬ככל שהתלמידים‬
‫מתאמנים יותר‪ ,‬כך הם מצליחים יותר‪ .‬במקרה של גובה הטענה רלוונטית מאוד‪.‬‬
‫בבניית גובה במקבילית ישנם אותם קשיים כמו במשולש וגם קשיים נוספים‪:‬‬
‫‪ .1‬מול כל קדקוד של מקבילית נמצאות שתי צלעות‪ ,‬מפני שהקדקוד אינו שייך לשתי הצלעות‬
‫הסמוכות‪ .‬לכן כאשר מסרטטים גובה‪ ,‬יש לציין לאיזו צלע צריך לסרטט אותו‪ ,‬או לסרטט‬
‫שני גבהים שונים לשתי הצלעות שמול הקדקוד הנבחר‪.‬‬
‫‪ .2‬ישנם קשיים מסוימים בסרטוט גבהים במקביליות המיוחדות ‪ -‬כמו במלבן ובריבוע ‪ -‬בהן‬
‫הגבהים מתלכדים עם הצלעות‪.‬‬
‫במעוין הסרטוט הוא כמו במקבילית לא‪-‬מיוחדת‪ ,‬אך כל הגבהים בו שווים באורכם‪ .‬לימוד‬
‫הגובה בטרפז מיועד לתלמידים מתקדמים‪ ,‬מפני שעומס המושגים בפרק עלול להפריע‬
‫בהפנמתם‪.‬‬
‫שימו לב! גובה קיים במשולש‪ ,‬במקבילית ובטרפז בלבד‪ ,‬ולא במרובע או בכל מצולע אחר‪.‬‬
‫לפי תכנית הלימודים‪ ,‬מומלץ להקדיש לנושא זה כ‪ 4 -‬שעות לימוד‪.‬‬
‫מושגים‬
‫משולש‪ ,‬מקבילית‪ ,‬ישרים מאונכים‪ ,‬קטעים מאונכים‪ ,‬קדקוד‪ ,‬צלע מול קדקוד‪ ,‬המשך של‬
‫הצלע‪ ,‬גובה במשולש‪ ,‬גובה במקבילית‪ ,‬טרפז‪ ,‬גובה בטרפז )לתלמידים מתקדמים(‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬לזהות במשולש את הצלע שמול הקדקוד הנבחר או להפך‪ :‬את הקדקוד שמול הצלע‬
‫הנבחרת;‬
‫ב‪ .‬לקבוע אם קטע נתון במשולש הוא גובה;‬
‫‪166‬‬
‫ג‪ .‬לסרטט גבהים מכל קדקוד במשולש חד‪-‬זוויות;‬
‫ד‪ .‬לסרטט גבהים מכל קדקוד במשולש ישר‪-‬זווית ובמשולש קהה‪-‬זווית;‬
‫ה‪ .‬לזהות במשולש את הגובה על‪-‬פי הקדקוד שהוא יוצא ממנו ועל‪-‬פי מיקומו במשולש‪ :‬בתוך‬
‫המשולש‪ ,‬מחוץ למשולש או או מתלכד עם הצלע;‬
‫ו‪ .‬לסמן את נקודת המפגש של הגבהים ולקבוע את מיקומה ביחס למשולש;‬
‫ז‪ .‬לבנות את נקודת המפגש של כל שלושת הגבהים במשולש;‬
‫ח‪ .‬לזהות במקבילית את הצלעות שמול הקדקוד הנבחר או להפך‪ :‬את הקדקודים שמול הצלע‬
‫הנבחרת;‬
‫ט‪ .‬לקבוע אם קטע נתון במקבילית הוא גובה;‬
‫י‪ .‬לסרטט גבהים במקבילית מכל קדקוד;‬
‫יא‪ .‬כי במקבילית ישנם שמו ָנה גבהים שונים בשני גדלים שונים;‬
‫יב‪ .‬כי ארבעה גבהים נמצאים בתוך המקבילית וארבעת האחרים נמצאים מחוצה לה;‬
‫יג‪ .‬לסרטט גבהים במקביליות מיוחדות כמו מעוין‪ ,‬מלבן וריבוע;‬
‫יד‪ .‬להבדיל בין אורכי הגבהים במקביליות המיוחדות‪ :‬במעוין ובריבוע כל הגבהים הם באותו‬
‫אורך‪ ,‬ובמקבילית ובמלבן הגבהים הם בשני אורכים שונים;‬
‫טו‪ .‬לסרטט גובה בטרפז )לתלמידים מתקדמים(‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫משולש סרטוט‪ ,‬סרגל‪ ,‬סרטוטים מוגדלים של משולשים מסוגים שונים‪.‬‬
‫אביזרי "חשבון ‪ :"10‬לוח מחיק‪ ,‬שקף משבצות‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על חיבור ועל חיסור שברים בעלי אותו מכנה‪.‬‬
‫על הלוח רשומים תרגילים כאלה‪:‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪4 2‬‬
‫‪51 11‬‬
‫= ‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫= ‪, −‬‬
‫= ‪, +‬‬
‫‪,‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪7 7‬‬
‫‪100 100‬‬
‫על התלמידים לפתור את התרגילים בעל‪-‬פה‪ .‬מומלץ להיעזר בלוח המחיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על שבר כמנה‪.‬‬
‫מספרים סיפור‪-‬מסגרת שבו יצטרכו התלמידים לחלק מספר טבעי במספר טבעי‪ ,‬ותוצאה‬
‫תהיה שבר‪ .‬דוגמאות‪:‬‬
‫א( יעל חילקה שווה בשווה שתי נקניקיות בין ארבעת חתוליה‪ .‬כמה נקניקיות קיבל כל חתול?‬
‫ב( אימא חילקה שווה בשווה שלושה תפוזים בין שתי בנותיה‪ .‬איזה חלק קיבלה כל בת?‬
‫ג‪ .‬חזרה על מאונכוּת של ישרים ושל קטעים‪.‬‬
‫התלמידים מקבלים דף שמסורטטים בו ישרים שונים‪ .‬על התלמידים לזהות‬
‫את הישרים המאונכים לישר מודגש‪.‬‬
‫‪167‬‬
‫התלמידים מקבלים דף שמסורטטים בו קטעים שונים‪.‬‬
‫על התלמידים למצוא את כל הזוגות של הקטעים המאונכים זה לזה‪.‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬התלמידים מקבלים דף שמסורטט בו משולש חד‪-‬זוויות )או שהתלמידים מסרטטים‬
‫אותו בעצמם(‪ .‬חשוב שהמשולש המסורטט יהיה גדול יחסית לדף‪ .‬על התלמידים לבחור צלע‬
‫ולבנות אליה אנך מהקדקוד שמולה על‪-‬ידי קיפולי נייר בלבד‪ .‬לאחר מכן עליהם לחזור על‬
‫התהליך בקדקודים אחרים‪ .‬אם מקפלים נכון‪ ,‬שלושת האנכים יעברו דרך נקודה משותפת‪.‬‬
‫פעילות ב‪ :‬כל קבוצה מקבלת דף שמסורטטים בו משולשים‪ ,‬שניים מכל סוג‪ :‬חד‪-‬זוויות‪ ,‬קהה‪-‬‬
‫זווית וישר‪-‬זווית‪ .‬תלמידי הקבוצה צובעים צלע וקדקוד )לאו דווקא זה מול זה( באחד‬
‫המשולשים‪ ,‬ועל תלמידי הקבוצה האחרת לשער אם אפשר להעביר את הגובה מקדקוד זה‬
‫לצלע זו‪ .‬אם כן‪ ,‬עליהם לצייר אותו בערך‪.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬כל קבוצה מקבלת דף שמסורטטים בו משולשים‪ ,‬שניים מכל סוג‪ :‬חד‪-‬זוויות‪ ,‬קהה‪-‬‬
‫זווית וישר‪-‬זווית‪ .‬על תלמידי הקבוצה לבחור ולצבוע קדקוד אחד‪ .‬על תלמידי הקבוצה האחרת‬
‫לשער כיצד יעבור גובה מקדקוד זה‪ :‬בתוך המשולש‪ ,‬מחוצה לו או על הצלע עצמה‪ .‬אפשר לבקש‬
‫מהתלמידים לבחור צלע במשולש ולצבוע אותה‪.‬‬
‫פעילות ד‪ :‬קבוצת תלמידים מקבלת דף שמסורטט בו הסרטוט הזה‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫•‬
‫‪B‬‬
‫על התלמידים לסרטט שני משולשים‪ ,‬שהקטע ‪ AB‬יהיה גובה שלהם‪.‬‬
‫פעילות ה‪ :‬קבוצת תלמידים מקבלת דף שמסורטט בו הסרטוט הזה‪:‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫על התלמידים לסרטט שני משולשים‪ ,‬שהקטע ‪ BD‬יהיה צלע שלהם‪ ,‬ואחד הקדקודים יהיה על‬
‫הישר המסורטט‪ .‬מה אפשר להגיד על הגבהים לצלע ‪ BD‬בכל משולש?‬
‫‪168‬‬
‫פעילות ו‪ :‬מחלקים את תלמידי הכיתה לקבוצות‪ .‬כל קבוצה מקבלת דף שמסורטט בו הסרטוט‬
‫הזה‪:‬‬
‫מבקשים מתלמידי קבוצה אחת לסרטט משולש שאחד הקדקודים שלו נמצא על ישר אחד ושני‬
‫הקדקודים האחרים על ישר אחר‪ .‬תלמידי קבוצה שנייה יתבקשו לסרטט משולש אחר‪ ,‬שאחד‬
‫הגבהים שלו שווה באורכו לאחד הגבהים של המשולש הנתון‪ .‬תלמידי קבוצה שלישית יסרטטו‬
‫משולש קהה‪-‬זווית שאחד הגבהים שלו שווה באורכו לאחד הגבהים של שני המשולשים‬
‫המסורטטים‪ .‬תלמידי קבוצה רביעית יסרטטו משולש ישר‪-‬זווית באותם האילוצים‪.‬‬
‫אפשר להרחיב את השאלה ולבקש לסרטט משולש באותם אילוצים ולהוסיף אילוץ‪ :‬אחד‬
‫הקדקודים יתלכד עם אחד הקדקודים של אחד המשולשים המסורטטים‪.‬‬
‫בדיון כל הקבוצות מציגות את התוצאות‪.‬‬
‫פעילות ז‪ :‬כל קבוצה מקבלת דף שמסורטטים בו מקבילית‪ ,‬מעוין‪ ,‬מלבן וריבוע )גדולים‬
‫יחסית(‪ .‬על חברי הקבוצה לשער כמה גבהים יש בכל אחד מהמרובעים הנ''ל‪ ,‬וכמה מהם שונים‬
‫באורכם‪ .‬השאלה נשאלת לפי סדר הלימוד של המרובעים )קודם כול מקבילית ואחר‪-‬כך יתר‬
‫המרובעים בהדרגה(‪.‬‬
‫פעילות ח‪ :‬התלמידים מקבלים דף שמסורטט בו משולש קהה‪-‬זווית )או שהתלמידים‬
‫מסרטטים אותו בעצמם(‪ .‬המשולש המסורטט יהיה גדול יחסית לדף‪ .‬על התלמידים לבנות‬
‫במשולש גובה אחד על‪-‬ידי קיפולי נייר בלבד‪ .‬לאחר שהגובה בנוי‪ ,‬על התלמידים לבנות באותו‬
‫סרטוט שני גבהים נוספים בעזרת קיפולי נייר בלבד‪ .‬אם מקפלים נכון‪ ,‬מתקבלים שלושה‬
‫גבהים שיש להמשכם נקודה משותפת מחוץ למשולש‪.‬‬
‫פעילות ט‪ :‬כמו פעילות ח'‪ ,‬אך הפעם מסורטט משולש ישר‪-‬זווית‪.‬‬
‫השיעור בספר הלימוד‬
‫הערה‪ :‬בפרק הזה אין חלק "לעלות על הגל"‪ ,‬כלומר הפרק מתחיל בהקניית החומר החדש‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :382‬גובה במשולש‬
‫בקטע שיעור זה נלמד לראשונה המושג "גובה במשולש"‪ .‬בדרך כלל את הגדרת הגובה מנסחים‬
‫במשפט אחד‪ ,‬אך עקב המורכבות של המושג נדרש פירוש מסוים‪ .‬כדי להקל על התלמידים‬
‫בהבנת המושג וכדי לתת כלים לבנייה ולבדיקה מידיים‪ ,‬נוסחה ההגדרה בצורה אחרת בעזרת‬
‫הסעיפים א' – ג'‪ .‬עדיין חשוב להסביר לתלמידים את ההגדרה ולעבוד בה בשלבים‪ .‬קודם כול‪,‬‬
‫על התלמידים להבין כי גובה במשולש הוא קטע‪ .‬יש תלמידים שאינם שמים לב לכך ומזהים כל‬
‫ישר העובר דרך קדקוד ומאונך לצלע שמולו‪ ,‬כגובה במשולש‪.‬‬
‫אחר‪-‬כך מתארים את הקטע‪ ,‬כלומר יש לציין היכן נמצאים קצות הקטע‪ .‬קטע זה יוצא מאחד‬
‫הקדקודים של המשולש‪ ,‬והקצה השני שלו נמצא על הצלע שמול הקדקוד הזה או על המשכה‪.‬‬
‫שימו לב שעדיין לא ברור באיזה מקום בדיוק נמצא הקצה השני‪ .‬לכן יש לציין היכן נמצא קטע‬
‫זה ביחס לצלע שמעבירים אליה את הגובה‪ .‬קטע זה מאונך לצלע זו‪ .‬כך מתקבל קטע אחד‬
‫ויחיד שקוראים לו גובה במשולש‪.‬‬
‫להלן כמה מושגים שיש לפרשם ולתרגל אותם במיוחד‪.‬‬
‫א( צלע מול קדקוד או קדקוד מול צלע‪.‬‬
‫‪169‬‬
‫"צלע מול קדקוד" היא צלע שהקדקוד הזה אינו שייך אליה‪ .‬בדרך כלל‪ ,‬התלמידים מוצאים‬
‫בקלות צלע מול קדקוד במשולש חד‪-‬זוויות‪ ,‬אך במשולשים מסוגים אחרים יש תלמידים‬
‫שמתקשים‪ .‬לדוגמה‪ ,‬קשה להבחין בכך שהצלע ‪ CB‬היא מול הקדקוד ‪.A‬‬
‫לכן מומלץ לצבוע את הקדקוד ואת הצלע שמולו בצבע זהה‪ ,‬כל עוד התלמידים זקוקים לכך ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫ב( קטעים מאונכים‪.‬‬
‫קטעים מאונכים הם שני קטעים שמונחים על ישרים מאונכים‪ .‬הקטעים אינם חייבים להיפגש‪.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬הקטעים שכאן מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫קשה להבחין בכך‪ ,‬כי הדבר מנוגד לאינטואיציה‪ .‬בניגוד לקטעים‪ ,‬ישרים מאונכים תמיד‬
‫נחתכים‪.‬‬
‫ג( המשך של צלע‪.‬‬
‫הצלע היא קטע‪ ,‬כלומר היא חלק מישר‪ .‬אפשר להמשיך את הקטע ולצייר את הישר שהקטע‬
‫הוא חלק ממנוּ‪ .‬בפועל ממשיכים את הקטע "קצת"‪ ,‬כך שהגובה יגיע אל הישר‪ ,‬ואין צורך‬
‫לסרטט ישר עד לשולי הדף‪ .‬בספר הלימוד מודגם משולש קהה‪-‬זווית‪ ,‬כאשר הגובה מהקדקוד‬
‫של הזווית החדה מגיע אל המשכה של הצלע‪.‬‬
‫חשוב להדריך את התלמידים ולאמן אותם בסרטוט אנך לישר מנקודה הנתונה מחוץ לישר‪.‬‬
‫שימו לב‪ ,‬בשלב זה אין מבחינים בין סוגי המשולשים )חד‪-‬זוויות‪ ,‬קהה‪-‬זווית או ישר‪-‬זווית(‪,‬‬
‫אלא מלמדים את התלמידים את המושג "גובה" במשולש‪ ,‬ולכן יש לגוון בדוגמאות של‬
‫משולשים מכל שלושת הסוגים‪ .‬סביר להניח שהפעילות בכל המשולשים בו‪-‬זמנית תוביל‬
‫להבנת עמוקה יותר של המושג‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬הקניית המושג "צלע מול קדוקוד"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬המשימה עוסקת בהפנמת הקשר בין קדקוד לבין הצלע שמולו‪ .‬חשוב שלפחות‬
‫בתחילת הלמידה כל התלמידים ידגישו את הקדקוד ואת הצלע שמולו‪ ,‬לפני שהם מסרטטים‬
‫את הגובה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬על התלמידים לזהות את הקטעים המאונכים לצלע ‪ .AC‬הם צבועים בכחול‪.‬‬
‫הבדיקה נעשית על‪-‬ידי זווית ישרה של משולש סרטוט )או בעזרת זווית שהתקבלה בקיפולי‬
‫נייר(‪ .‬חשוב לוודא שכל התלמידים רכשו את המיומנות של בדיקת מאונכות‪ ,‬כי זה חשוב‬
‫להפנמת המושג "גובה"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬התלמידים נדרשים לסמן את הקצוות של כל קטע באותיות לועזיות ולקבוע‬
‫אילו מבין הקטעים אינם גבהים‪ .‬הנימוק יתבסס על שלושת התנאים של גובה במשולש‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬א( בכל משולש שלושה קדקודים‪ .‬ב( השימוש בצבעים מסייע להתאים כל‬
‫קדקוד במשולש לצלע שמולו‪.‬‬
‫ג( בכל משולש יש שלושה זוגות של "קדקוד וצלע שמולו"‪.‬‬
‫ד( התלמידים נדרשים לזהות את הזוגות ולרשום אותם בעזרת אותיות לועזיות כמודגם להלן‪.:‬‬
‫במשולש ‪ :ABC‬מול הקדקוד ‪ B‬נמצאת הצלע ‪;AC‬‬
‫‪170‬‬
‫מול הקדקוד ‪ A‬נמצאת הצלע ‪;BC‬‬
‫מול הקדקוד ‪ C‬נמצאת הצלע ‪.AB‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬על התלמידים לזהות את הצלע שגובה נתון יורד אליה‪ .‬במשולש קהה‪-‬זווית‬
‫חשוב לצבוע רק את הצלע‪ ,‬ולא את המשכה‪ .‬במשולש ישר‪-‬זווית צריך לצבוע את הניצב השני‪.‬‬
‫שני מקרים אלה קשים לתלמידים‪ .‬זיהוי כזה הוא שלב חשוב להפנמת המושג "גובה במשולש"‪.‬‬
‫שימו לב לשימוש במילים הנכונות‪" :‬הצלע שהגובה יורד אליה"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬זיהוי גובה במשולש‪ .‬על התלמידים לבדוק היכן נמצאים שני הקצוות של‬
‫הקטע )בקדקוד ובצלע שמולו או בהמשכה(‪ ,‬ואם הקטע מאונך לצלע זו )בודקים בעזרת זווית‬
‫ישרה כלשהי‪ ,‬למשל בעזרת משולש סרטוט(‪ .‬בסעיפים א'‪ ,‬ב'‪ ,‬ג' ו‪ -‬ח' הקטע המודגש הוא‬
‫הגובה‪ .‬ביתר הסרטוטים הקטע המודגש אינו גובה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬זיהוי גובה במשולש‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬זיהוי וסרטוט שלגבהים במשולשים השונים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :385‬כיצד מסרטטים גובה במשולש?‬
‫לאחר שהתלמידים זיהו גובה במשולש‪ ,‬הם לומדים לסרטט את הגובה בעזרת משולש סרטוט‪.‬‬
‫להפנמת המושג חשוב לדעת גם לזהות את הגובה וגם לבנות אותו‪ ,‬לכן חשוב מאוד שכל‬
‫התלמידים יבצעו את הבנייה‪ .‬תחילה בוחרים את הקדקוד ומדגישים אותו‪ .‬ייתכן שהתלמידים‬
‫יצטרכו להדגיש את הצלע ועל‪-‬פיה לבחור את הקדקוד שמולה ‪ -‬הכול תלוי בניסוח המשימה‪.‬‬
‫בשלב זה אין מבחינים בין סוגי המשולשים‪ ,‬אלא מלמדים להחזיק את המשולש בצורה הנכונה‬
‫ולסרטט במשולש כלשהו את הקטע הנדרש בצורה הנכונה‪ .‬סביר להניח כי בדרך זו התלמידים‬
‫יקלטו טוב יותר את המושג‪ ,‬ולא תהיה להם הפתעה בהמשך‪ ,‬כי גובה יכול להימצא במקומות‬
‫שונים ביחס למשולש )בתוכו‪ ,‬על היקפו או מחוצה לו(‪.‬‬
‫הערה‪ :‬בשלב זה של הלמידה אין מסמנים את הגובה באות ‪ h‬קטנה )‪ (high‬כפי שנהוג‪ ,‬כדי לא‬
‫להעמיס על התלמידים‪.‬‬
‫מומלץ להרבות בתרגול מדפי התרגול לפרק זה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬במשימה זו חושפים את התלמידים לטעויות אופייניות בסרטוט גובה‪ .‬חשוב‬
‫לדון עם התלמידים בכל סרטוט‪ ,‬לשאול אותם מדוע הם חושבים כי הנחת המשולש נכונה או‬
‫לא‪ ,‬ולבקש מהם להניח את המשולש בצורה הנכונה‪ .‬חשוב לוודא כי כל התלמידים הבינו כיצד‬
‫מניחים את משולש הסרטוט‪) .‬הפנו אותם לסרטוט הנכון בקטע השיעור‪(.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬במשימה זו התלמידים מסרטטים גובה בפעם הראשונה‪ .‬בדרך כלל סרטוט‬
‫גובה בתוך המשולש קל יותר מסרטוט של המקרים האחרים‪ .‬כלומר קל לסרטט כל גובה‬
‫במשולש חד‪-‬זוויות ואת הגובה היוצא מקדקוד של זווית קהה )משולש קהה‪-‬זווית( או מקדקוד‬
‫של זווית ישרה )משולש ישר‪-‬זווית(‪ .‬במשולש קהה‪-‬הזווית המסומן בנורה יש להמשיך את‬
‫הצלע הכחולה‪ ,‬כי הגובה מגיע אל המשכה של הצלע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬זהו מקרה קל‪ ,‬כי הגובה נמצא בתוך המשולש‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬המשבצות מקלות את הסרטוטים‪ .‬כל המשולשים הם קהי‪-‬זווית‪ .‬במשולש‬
‫הימני הגובה עובר בתוך המשולש‪ ,‬ביתר המשולשים יש להמשיך את הצלע שמול הקדקוד‪ ,‬כי‬
‫הגובה עובר מחוץ למשולש‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬דיון בדרכי ביצוע המשימה יקל על התלמידים‪ ,‬ובזכותו עשויה לגדול כמות‬
‫התלמידים שיוכלו להתמודד עם המשימה‪.‬‬
‫‪171‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬בסרטוט המופיע במשימה‪ ,‬הקטע ‪ BD‬הוא גובה במשולש ‪ .ABC‬במשימה יש‬
‫לסרטט משולש אחר‪ ,‬כך שהקטע ‪ BD‬יהיה גובה במשולש האחר‪ .‬אפשר לסרטט משולש‬
‫שהגובה שלו יוצא מהקדקוד ‪ B‬ומגיע לקטע אחר המייצג את הצלע ‪ ,AC‬כמודגם באיור א'‪.‬‬
‫כמו‪-‬כן אפשר שהגובה יצא מהקדקוד ‪ D‬לעבר צלע שאחד מקדקודיה הוא ‪ ,B‬כמודגם באיור‬
‫ב'‪.‬‬
‫איור ב'‬
‫איור א'‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬התלמידים כבר עסקו בזיהוי הגובה ובבנייתו‪ .‬כעת הם בשלים לפן נוסף של‬
‫המושג‪ .‬בשלושת התרגילים הבאים יעסקו התלמידים בחקירת גבהים בסוגים שונים של‬
‫משולשים‪ .‬החקירה מתחילה במשולש חד‪-‬זוויות )קל יותר מבחינת המושג "גובה"(‪ .‬קודם כול‪,‬‬
‫חוקרים כמה גבהים יש במשולש‪ .‬המסקנה‪ :‬יש שלושה גבהים‪ ,‬כי יש שלושה קדקודים‪ ,‬ומכל‬
‫קדקוד יורד גובה לצלע מתאימה‪) .‬ראו גם משימה ‪ (.3‬חשוב לסרטט את כל שלושת הגבהים‬
‫בדיוק האפשרי כדי לראות את הנקודה המשותפת של כל הגבהים )בתוך המשולש(‪ .‬אפשר‬
‫לחלק בין התלמידים דפים של סרטוט משולש חד‪-‬זוויות בהגדלה וכך להגיע לדיוק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬המשך החקירה‪ .‬כעת חוקרים גבהים במשולש קהה‪-‬זווית‪ .‬מקרה זה עלול‬
‫לעורר קושי אצל התלמידים‪ .‬אפשר להגדיל את המשולש ולסרטט אותו על דף נפרד‪ ,‬אך יש‬
‫לוודא שהנקודה המשותפת של הישרים שהגבהים מונחים עליהם‪ ,‬נמצאת על הדף‪ ,‬ולא מחוצה‬
‫לו‪ .‬גם כאן יש שלושה גבהים‪ ,‬וצריך להמשיך את שתי הצלעות המתאימות כדי לבנות את‬
‫הגבהים שיורדים ֲאליהן‪ .‬שני גבהים נמצאים מחוץ למשולש‪ ,‬והשלישי נמצא בתוכו‪ ,‬לכן יש‬
‫נקודה משותפת להמשכם של הגבהים מחוץ למשולש‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬המשך החקירה‪ .‬כעת חוקרים גבהים במשולש ישר‪-‬זווית‪ .‬גם מקרה זה עלול‬
‫לעורר קושי אצל התלמידים‪ .‬אפשר להגדיל את המשולש ולסרטט אותו על דף נפרד‪ .‬גם כאן יש‬
‫שלושה גבהים‪ .‬שני גבהים מתלכדים עם הניצבים‪ ,‬והשלישי עובר בתוך המשולש )הגובה ליתר(‪.‬‬
‫הנקודה המשותפת היא קדקוד הזווית הישרה של המשולש‪ .‬הזכירו לתלמידים את המושגים‬
‫"ניצב" ו"יתר"‪ ,‬כי הם מקלים את ההסברים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :388‬סיכום חקירת גבהים במשולש‬
‫שיעור זה הוא סיכום החקירה שהתלמידים ביצעו במשימות ‪ .13 - 11‬חשוב לשוחח עם‬
‫התלמידים על הממצאים המובאים בשיעור‪ ,‬ולהתבונן יחד בסרטוטים הנכונים שמדגימים את‬
‫המסקנות‪ .‬ייתכן שהתלמידים עדיין אינם מדייקים בבנייה‪ ,‬ולכן לא יבינו מהי הנקודה‬
‫המשותפת של שלושת הגבהים במשולש‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬על התלמידים לסרטט את שלושת הגבהים של המשולש‪ .‬יש כאן חזרה על‬
‫סוגי המשולשים‪ :‬משולש חד‪-‬זוויות‪ ,‬משולש ישר‪-‬זווית ומשולש קהה‪-‬זווית‪ .‬הנקודה‬
‫המשותפת לשלושת הגבהים עשויה להיות אמצעי לבדיקת הסרטוט של הגבהים‪ .‬אם הגבהים‬
‫סורטטו כנדרש‪ ,‬התלמידים יוכלו לראות כי הנקודה המשותפת לשלושת הגבים במשולש חד‪-‬‬
‫זוויות נמצאת בתוך המשולש; במשולש ישר‪ -‬זווית היא נמצאת על המשולש; ובמשולש קהה‪-‬‬
‫זווית היא נמצאת מחוצה לו‪.‬‬
‫‪172‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬משימה זו עוסקת במשולש מיוחד‪ :‬משולש שווה‪-‬צלעות‪ .‬במשולש זה שלושת‬
‫הגבהים שווים באורכם‪ ,‬והם נמצאים בתוך המשולש‪.‬‬
‫א( על התלמידים לזהות את נקודת המפגש של הגבהים במשולש‪.‬‬
‫ב( על התלמידים להתאים את הגבהים לצלעות המתאימות‪.‬‬
‫ג( התלמידים נדרשים לבדוק אם הגבהים שווים או שונים באורכם‪ .‬אפשר לדון בנושא זה‬
‫בכיתה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬פיתוח מיומנות סרטוט‪ :‬סרטוט משולש בעל גובה נתון‪ .‬אפשר להנחות את‬
‫התלמידים לסרטט קטע באורך כלשהו‪ ,‬המאונך לקטע הנתון ויוצא מאחד מקצותיו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬פיתוח של מיומנות סרטוט של משולשים לפי התנאי הנתון‪ .‬סרטוט שלושה‬
‫משולשים ביחס לקטע נתון עלול להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה‪.‬‬
‫באיור שלפניכם מודגם פתרון אפשרי למשימה‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫אפשר לבקש מאחד התלמידים לסרטט את המשולשים על הלוח‪ ,‬לסמן את הקדקודים‬
‫באותיות לועזיות ולכתוב לגבי כל משולש את ההיגדים האלה‪:‬‬
‫במשולש ‪ ADE‬הקטע ‪ AB‬הוא גובה לצלע ‪;ED‬‬
‫במשולש ‪ AEC‬הקטע ‪ AB‬הוא גובה לצלע ‪; EC‬‬
‫במשולש ‪ ABD‬הקטע ‪ AB‬הוא גובה לצלע ‪..BD‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬גבהים בטרפז‪ .‬הטרפז שכאן מחולק לשני משולשים‪ .‬התלמידים נדרשים‬
‫לסרטט שני גבהים לצלע המשותפת – האלכסון של הטרפז‪ .‬התלמידים רואים לראשונ‪ ,‬כי‬
‫לצלע אחת ייתכנו שני גבהים‪ ,‬בשני כיוונים‪ .‬למעשה נוצרים שני גבהים מקבילים‪ ,‬מאחר‬
‫ששניהם ניצבים לאותה הצלע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬מיומנויות של גזירה וקיפולי נייר‪ .‬הנחו את התלמידים לסרטט את המשולש‬
‫בעזרת סרגל‪ .‬הדגישו את חשיבות הדיוק בגזירה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :390‬גובה במקבילית‬
‫בשיעור זה לומדים על גובה במקבילית‪ .‬גם את המושג הזה יש ללמד בשלבים‪ ,‬כלומר לצבוע‬
‫את הקדקוד ואת הצלע שמולו ואחר‪-‬כך להעביר את הקטע המאונך לצלע זו‪ .‬יש לשים לב‬
‫שקצות הקטע יהיו במקומות הנכונים‪ ,‬כלומר אחד מתלכד עם הקדקוד ואחד על הצלע‬
‫המתאימה או על המשכה‪ .‬יש להסב את תשומת לבם של התלמידים לכך שלקדקוד אחד‬
‫במקבילית מתאימות שתי הצלעות שמולו‪ ,‬ושלכל צלע אפשר לסרטט גובה אחר; ולהפך‪ :‬לכל‬
‫צלע מתאימים שני הקדקודים שמולה‪ ,‬ולצלע זו אפשר לסרטט גובה מכל אחד מהקדקודים‬
‫הללו‪ .‬במקבילית שמו ָנה גבהים בשני אורכים שונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬תרגול של דרכי הסימון במקבילית ושל זיהוי צלעות וקדקודים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬על התלמידים לזהות גובה במקבילית לפי השלבים בהגדרה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬זיהוי צלעות "מול" קדקודים במקבילית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬הבנה שבמקבילית שני גבהים שונים באורכם‪.‬‬
‫‪173‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬סימון הגבהים במקבילית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬כדאי לדון בשאלה אם אחד מאלכסוני המקבילית יכול להיות גובה‬
‫במקבילית‪ .‬התשובה היא כן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬סרטוט מקבילית כאשר נתון גובה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :392‬כיצד מסרטטים גובה במקבילית?‬
‫בשיעור זה לומדים לבנות גובה במקבילית בעזרת כלים גאומטריים‪ ,‬לדוגמה בעזרת משולש‬
‫סרטוט‪ .‬חשוב להדריך ולהרגיל את התלמידים להדגיש תחילה את הקדקוד ואת הצלע שמולו‬
‫ולאחר מכן להניח את המשולש כמו בציור בקטע השיעור‪ .‬מניחים ניצב אחד של משולש‬
‫הסרטוט על הצלע שהגובה יורד אליה‪ ,‬כך שהניצב השני עובר דרך הקדקוד שהגובה יורד ממנוּ‪.‬‬
‫מסרטטים את הגובה לאורך ניצב זה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬רשת משבצות עוזרת בסרטוטים‪ ,‬לכן אם מוסיפים תרגול בנושא‪ ,‬מומלץ‬
‫לבצע את הסרטוטים על דף משבצות‪ .‬קל יותר לסרטט את הגובה לצלע ‪ .EK‬סרטוט הגובה‬
‫השני לצלע ‪ PK‬עלול להיות קשה לתלמידים עקב אי‪-‬שליטה בהנחה נכונה של משולש הסרטוט‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬סרטוט שני גבהים שונים במקבילית‪.‬‬
‫אַחד הגבהים מחוץ למקבילית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬סרטוט שני גבהים במקבילית‪ ,‬כאשר ַ‬
‫משימה מס' ‪ :35‬במקבילית ארבעה קדקודים‪ .‬מול כל קדקוד נמצאות שתי צלעות‪ .‬מכל‬
‫קדקוד אפשר לסרטט שני גבהים‪ .‬בכל מקבילית אפשר לסרטט שמונה גבהים בסך הכול‪ .‬אפשר‬
‫למיין את הגבהים לשתי קבוצות המייצגות שני גבהים שונים באורכם במקבילית‪ .‬אם‬
‫התלמידים מתקשים בסרטוט של כל הגבהים‪ ,‬אפשר לבקש מהם לסרטט רק ארבעה )במקרה‬
‫זה יש ארבעה גבהים בכיוון ה"אנכי"‪(.‬‬
‫מטרת המשימה הזו היא להדגיש שבמקבילית יש שני גבהים שונים ויש לעיתים גבהים שאינם‬
‫עוברים בתוך המקבילית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬יש אין‪-‬סוף פתרונות נכונים‪ .‬הקטעים אינם חייבים לצאת מהקדקודים של‬
‫המקבילית‪ .‬להלן דוגמה לקטע כזה )בצבע אפור(‪.‬‬
‫במשימה זו תוכלו להזכיר לתלמידים כי כל קטע כזה מראה את המרחק בין שני ישרים‬
‫מקבילים‪.‬‬
‫כל הקטעים שווים באורכם‪ .‬כידוע‪ ,‬המרחק בין שני ישרים מקבילים הוא קבוע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬סרטוט מקבילית כאשר נתונים שני גבהים הקשורים לצלעות מקבילות‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :394‬גובה במעוין‬
‫בשיעור זה לומדים על גובה במעוין‪ .‬גבהים במעוין נבדלים מהגבהים במקבילית לא‪-‬מיוחדת‪,‬‬
‫בכך שבמעוין כל שמונת הגבהים הם שווי‪-‬אורך‪ .‬בתוך כדי פתרון המשימות אפשר לבקש‬
‫מהתלמידים המתקדמים לנמק זאת‪ .‬אחת הדרכים היא להשתמש בסימטריה שיקופית שיש‬
‫במעוין‪ .‬התלמידים יכולים גם להגיע למסקנה זו על‪-‬ידי קיפולי נייר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬אפשר להשוות בין האורכים בעזרת רצועת נייר או על‪-‬ידי מדידה בסרגל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :39‬זיהוי גבהים במעוין‪.‬‬
‫‪174‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬על התלמידים לסרטט גבהים במעוין ולהשוות ביניהם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬תלמידים שיתקשו בסרטוט של כל הגבהים במעוין‪ ,‬יוכלו להסתפק בסרטוט‬
‫פחות גבהים‪ .‬אבל חשוב שכל התלמידים יתרגלו בניית גובה מקדקוד של זווית קהה ומקדקוד‬
‫של זווית חדה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :395‬גובה במלבן ובריבוע‬
‫השיעור עוסק במושגים "גובה במלבן" ו"גובה בריבוע"‪ .‬ייתכן קושי בהבנת המושגים‪ ,‬מפני‬
‫שכל הגבהים במרובעים אלו מתלכדים עם הצלעות‪ .‬אם הקושי מתעורר‪ ,‬כדאי להזכיר‬
‫לתלמידים שגם במשולש ישר‪-‬זווית שני גבהים מתלכדים עם צלעותיו‪ .‬חשוב גם להדגיש‬
‫שחייבים להתקיים כל התנאים של הגובה‪ .‬במרובעים אלו יש רק ארבעה גבהים שונים‪ ,‬כי כמה‬
‫מהגבהים מתלכדים זה עם זה‪ .‬כמובן‪ ,‬אורכי הגבהים שווים לאורכי הצלעות שהגבהים‬
‫מתלכדים אתן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬הייחודיות היא הזוויות הישרות במלבן ובריבוע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬אין באמת צורך בסרטוט‪ ,‬כי הגובה הוא הצלע השנייה‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :46 – 44‬משימות יישום‪.‬‬
‫מה למדנו‪ ,‬עמוד ‪ :396‬סיכום הנלמד‬
‫בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד‪ :‬במשימה הראשונה סיכום על הגבהים במשולש‪ ,‬במשימה‬
‫השנייה חוזרים על סרטוט הגבהים במקבילית ובמעוין‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :47‬משימה זו עוסקת בגבהים במשולש‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :48‬תרגול וחזרה על סרטוט של גבהים במעוין ובמקבילית‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמודים ‪400 - 397‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬זיהוי של קדקוד במשולש והצלע שמול הקדקוד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬זיהוי של גובה במשולש מתוך מספר קטעים מסורטטים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬סרטוט גובה במשולשים מסוגים שונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬סרטוט גובה במשולש מקדקוד נתון‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :6 -5‬סרטוט משולשים‪ .‬מספיק לסרטט קטע המאונך לקטע הנתון וחותך אותו‪,‬‬
‫ולבחור עליו שתי נקודות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬במשולש ישר זווית כל ניצב הוא גובה לניצב השני‪ ,‬לכן כדי לסרטט את‬
‫המשולשים הנדרשים‪ ,‬די לחבר את קצות הקטעים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬דוגמאות לתשובות‪.‬‬
‫ב‬
‫ג‬
‫‪175‬‬
‫ד‬
‫משימה מס' ‪ :9‬א( על התלמידים לסרטט את שלושת הגבהים בכל משולש‪.‬‬
‫ב( משולש א'‪ :‬משולש ישר‪-‬זווית – הגבהים נפגשים על היקף המשולש‪.‬‬
‫משולש ב'‪ :‬משולש חד‪-‬זוויות – הגבהים נפגשים בתוך המשולש‪.‬‬
‫משולש ג'‪ :‬משולש קהה‪ -‬זווית – הגבהים נפגשים מחוץ למשולש‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬סרטוט גבהים במקבילית נתונה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬סרטוט גבהים במקבילית‪ .‬התלמידים מגלים כי הגובה היוצא מקדקוד ‪K‬‬
‫לצלע ‪ MP‬שווה באורכו לאחד הגבהים שסרטטו קודם לכן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬הקטע ‪ EF‬שווה באורכו לארבעה גבהים במקבילית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬כדאי לדון בשאלה כמה מקביליות אפשר לסרטט כך שהקטע הנתון יהיה‬
‫גובה של כל אחת מהן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬משימה מורכבת‪ ,‬לכן היא יכולה להיות קשה לתלמידים בכיתה‪ .‬בסרטוט יש‬
‫תשעה מלבנים‪ .‬הקטע ‪ EO‬הוא גובה לצלע ‪ GO‬במלבן ‪ ,AEOG‬והוא גובה לצלע ‪ OH‬במלבן‬
‫‪ .EOHB‬הקטע ‪ GH‬הוא גובה לצלע ‪ BH‬במלבן ‪ ,GHBA‬והוא גובה לצלע ‪ HC‬במלבן ‪.GHCD‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬משימה זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫להלן סרטוט מתאים לפתרון המשימה‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫שימו לב‪ :‬הקטע היוצא מהקדקוד ‪ D‬הוא גובה במשולש ‪ AOD‬וכן גובה במשולש ‪ .COD‬מדובר‬
‫בגובה אחד המשותף לשני המשולשים ויוצא מהקדקוד ‪.D‬‬
‫שאלות מילוליות‪ ,‬עמוד ‪401‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬הקדקוד ‪ C‬הוא נקודת המפגש של הישר המאונך ל‪ H -‬ב‪ H -‬ו‪ -‬הישר המאונך‬
‫ל‪ MB -‬ב‪ .B -‬שימו לב‪ ,‬אפשר גם לסרטט את הגובה השלישי דרך נקודת המפגש של שני‬
‫הגבהים ואליו תתחברנה שתי הצלעות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬זיהוי קטע המהווה מרחק בין שני ישרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬פיתוח מיומנות סרטוט של מקבילית‪ ,‬של מעוין‪ ,‬של מלבן ושל ריבוע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬הריבוע הוא מקבילית שבה כל הגבהים שווים באורכם‪.‬‬
‫המלבן הוא מקבילית שיש לה שני גבהים בשני אורכים שונים‪ ,‬וכל הגבהים הם צלעותיה‪.‬‬
‫יישומים באמנות‪ ,‬עמוד ‪402‬‬
‫התלמידים ילמדו כיצד משתמשים באמנות בגבהים של מעוין ושל מקבילית כדי לקבל‬
‫אפקטים חזותיים מיוחדים‪.‬‬
‫‪176‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪ :403‬גובה בטרפז‬
‫השיעור עוסק במושג "גובה בטרפז"‪ .‬נושא זה מיועד לתלמידים המתקדמים אך אין מניעה‬
‫שכל תלמידי הכיתה ילמדו את הנושא‪ ,‬שכן קל לזהות גבהים בטרפז‪ ,‬מאחר שיש רק ארבעה‬
‫גבהים מקבילים ושווים באורכם‪.‬‬
‫לימוד הנושא "גובה בטרפז" מסיים‪ ,‬למעשה‪ ,‬את ההיכרות עם המושג "גובה" )במובן של‬
‫צורות מישוריות(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת יישום של סרטוט גבהים בטרפז‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬בסרטוט הטרפזים אפשר להיעזר במשבצות המסומנות כרקע‪ .‬למשימה אין‪-‬‬
‫סוף פתרונות שונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬במשימה זו נתונים שני קטעים המאונכים זה לזה‪ .‬התלמידים נדרשים לסרטט‬
‫טרפז כך שקטע אחד יהיה גובה בטרפז‪ ,‬והקטע האחר יהיה בסיס הטרפז‪ .‬כל אין‪-‬סוף‬
‫הטרפזים המתקבלים הם ישרי‪-‬זווית‪.‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪404‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על חוק הפילוג של הכפל מעל החיבור ושל הכפל מעל החיסור וכן על דרכי‬
‫חישוב של כפל וחילוק‪.‬‬
‫‪177‬‬
‫יג‪ .‬שברים‪ ,‬מספרים עשרוניים ואחוזים‬
‫עמ' ‪446 - 405‬‬
‫רקע‬
‫בפרקים ט' ו‪ -‬י"א למדו התלמידים על המבנה העשרוני של המספרים העשרוניים וראו‬
‫דוגמאות לשימוש בהם בחיי היום‪-‬יום‪ ,‬הם למדו כיצד להשוות בין מספרים עשרוניים וכן‬
‫לסדר אותם על ישר המספרים‪.‬‬
‫בפרק הנוכחי עוסקים בקשר שבין השבר‪ ,‬המספר העשרוני והאחוז‪ .‬העיסוק העיקרי בפרק זה‬
‫הוא במעבר משבר למספר עשרוני ולהפך ובסידור של כל השברים והמספרים העשרוניים על‬
‫ציר המספרים‪.‬‬
‫התלמידים עלולים להתקשות ולשגות במעבר משבר למספר עשרוני‪ ,‬לדוגמה יש הכותבים נכון‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫וכותבים לפי היקש שגוי ‪. = 0.6‬‬
‫‪= 0.1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪10‬‬
‫הנושא "אחוזים" הוא נושא חדש בתכנית הלימודים‪ .‬לפי עקרון הספירליות‪ ,‬התלמידים‬
‫נחשפים לנושא בכיתה ה'‪ ,‬ובכיתה ו' הם יעמיקו וירחיבו את ההבנה בנושא‪ .‬תוספת זו‬
‫מאפשרת לקשר בין שלוש צורות הכתיבה של המספרים‪ :‬שברים‪ ,‬מספרים עשרוניים ואחוזים‪.‬‬
‫לעתים קרובות נתקלים בחיי היום‪-‬יום בשברים שהמכנה שלהם הוא ‪ ,100‬כלומר במאיות‪.‬‬
‫‪37‬‬
‫המאית קיבלה שם מיוחד ‪ -‬אחוז‪ .‬את האחוז נוהגים לסמן בסימן ‪ 37% .%‬הם‬
‫)שלושים‬
‫‪100‬‬
‫ושבע מאיות(‪.‬‬
‫‪) 123%‬מאה עשרים ושלושה אחוז( הם מאה עשרים ושלוש מאיות שהן שלם ועשרים ושלוש‬
‫‪123‬‬
‫‪23‬‬
‫מאיות‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪100‬‬
‫‪100‬‬
‫המושג "אחוז" הפך לאחד המושגים השימושיים ביותר בחיינו‪ ,‬בעיקר בנושאים כספיים‬
‫)קניות‪ ,‬מכירות‪ ,‬הנחות‪ ,‬בנקים וכדומה(‪ .‬משתמשים באחוזים בעיקר לתיאור חלק של כמות‪.‬‬
‫לכן נוהגים לומר "‪ 50%‬מהכדורים"‪ ,‬אך אין נוהגים לומר "‪ 50%‬של המטר"‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫הסימן ‪ %‬הוא קיצור ל‪ " × 0.01 " -‬ול‪" -‬‬
‫× "‪ .‬כלומר במקום לכתוב "‪ 5‬מאיות" כך‪:‬‬
‫‪100‬‬
‫‪5‬‬
‫או כך‪ ,0.05 :‬אפשר לכתוב ‪ .5%‬למרות זאת המונחים "שבר שמכנהו ‪ "100‬ו"מספר‬
‫‪100‬‬
‫עשרוני" אינם זהים לגמרי למונח "אחוזים"‪ .‬שבר או מספר עשרוני הם מספרים שאינם חייבים‬
‫להיות מלווים בכינוי‪ ,‬ואילו כשמשתמשים במונח "אחוז"‪ ,‬נדרשת תמיד הגדרה של שלם‪.‬‬
‫אפשר לומר‪ ,‬כי השימוש ב"אחוזים" יכול לבוא במקום "שבר" או "מספר עשרוני" המבטאים‬
‫"חלק מתוך כמות"‪ .‬לדוגמה‪ ,‬במקום לכתוב ‪ 0.57‬מהתפוזים כותבים ‪ 57%‬מהתפוזים‪ .‬למעשה‪,‬‬
‫אפשר לכתוב כל מספר עשרוני כאחוז‪ ,‬לדוגמה‪ ,1.854 = 185.4% ,‬אך לא תמיד יש בכך טעם‪.‬‬
‫חשוב שהתלמידים ידעו את כל ההשלכות הנובעות מכך שאחוז הוא שם אחר למאית‪ .‬כך הם‬
‫יוכלו לעבור מאחוז לשבר או מאחוז למספר עשרוני בצורה קלה‪ ,‬וכן לעבור משבר לאחוז או‬
‫ממספר עשרוני לאחוז‪ .‬שליטתם בנושא אחוזים תהיה מרבית‪.‬‬
‫מומלץ להקדיש לנושא "אחוזים" כשלוש שעות‪.‬‬
‫לפי תכנית הלימודים במתמטיקה‪ ,‬מומלץ להקדיש לפרק זה כ‪ 7 -‬שעות לימוד‪.‬‬
‫מושגים‬
‫מספר עשרוני‪ ,‬שבר‪ ,‬חזקה של ‪ ,10‬מספר עשרוני סופי‪ ,‬מחזורי‪ ,‬לא‪-‬מחזורי‪ ,‬מחלקים‪ ,‬כפולות‪,‬‬
‫אחוז‪ ,‬מאית‪ ,‬שבר‪ ,‬ייצוג האחוז‪ ,‬ערך האחוז‪.‬‬
‫‪178‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬לכתוב כל שבר כמספר עשרוני;‬
‫ב‪ .‬לכתוב כל שבר שמכנהו חזקת ‪ ,10‬כמספר עשרוני )בעזרת מבנה עשרוני(;‬
‫ג‪ .‬לכתוב מספר שלם כמספר עשרוני;‬
‫ד‪ .‬לכתוב מספר מעורב‪ ,‬שהמכנה של החלק השברי שלו הוא חזקת ‪ ,10‬כמספר עשרוני;‬
‫ה‪ .‬להפוך שבר למספר עשרוני כאשר המכנה של השבר הוא מכפלת גורמים שהם חזקות של ‪2‬‬
‫וחזקות של ‪ 5‬בלבד;‬
‫ו‪ .‬להפוך למספר עשרוני שבר שמכנהו שונה ממכפלת הגורמים שהם חזקות של ‪ 2‬או של ‪,5‬‬
‫בעזרת חילוק המונה במכנה;‬
‫ז‪ .‬להפוך כל שבר למספר עשרוני על‪-‬ידי חילוק מונה במכנה;‬
‫ח‪ .‬להשוות בין שבר לבין מספר עשרוני;‬
‫ט‪ .‬לסדר את השברים ואת המספרים העשרוניים על ציר המספרים‪.‬‬
‫י‪ .‬להגדיר שהאחוז הוא שם אחר למאית;‬
‫יא‪ .‬לקרוא את האחוזים הכתובים בספרות;‬
‫יב‪ .‬לכתוב את האחוז כשבר שמכנהו ‪;100‬‬
‫יג‪ .‬לכתוב את האחוז כשבר מצומצם;‬
‫יד‪ .‬לכתוב את האחוז כמספר עשרוני;‬
‫טו‪ .‬לייצג אחוז מכמות נתונה על‪-‬ידי ייצוגים שונים‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫נייר מילימטרי‪ ,‬כרטיסיות שכתובים עליהן מספרים עשרוניים‪ ,‬טבלת המבנה העשרוני‪ ,‬דפים‬
‫שרשומים עליהם שברים ומספרים עשרוניים‪ ,‬עיגולים‪ ,‬ריבועים‪ ,‬מלבנים‪ ,‬דפים שמצוירים‬
‫עליהם ציורים של חפצים בכמויות שונות‪.‬‬
‫אביזרי "חשבון ‪ :"10‬רצועות‪ ,‬מד‪-‬מטר מספרים עשרוניים‪ ,‬מד‪-‬מטר שברים‪ ,‬שקף משבצות‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על המיומנויות‪ :‬פירוק של מספר טבעי לגורמים‪.‬‬
‫על הלוח רשומים מספרים‪ 120 ,100 ,45 ,17 ,15 ,12 ,10 :‬וכדומה‪ .‬על התלמידים לפרק את‬
‫המספרים לגורמים‪ ,‬כלומר לכתוב אותם בצורת מכפלה כך‪. 120 = 12× 10 :‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על המיומנויות‪ :‬פירוק מספר טבעי לגורמים ראשוניים‪.‬‬
‫על הלוח רשומים אותם המספרים מסעיף א'‪ 120 ,100 ,45 ,17 ,15 ,12 ,10 :‬וכדומה‪ .‬על‬
‫התלמידים לפרק את המספרים לגורמים ראשוניים‪ ,‬כלומר לכתוב אותם בצורת מכפלה כך‪:‬‬
‫‪ . 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5‬אפשר לבקש מהתלמידים )בהתאם לרמתם( לכתוב את המכפלה‬
‫בעזרת חזקות‪. 120 = 2 3 × 3 × 5 :‬‬
‫ג‪ .‬חזרה על המיומנויות‪ :‬פירוק מספר טבעי לגורמים הראשוניים ‪ 2‬ו‪.5 -‬‬
‫בין אותם המספרים שרשומים על הלוח ‪ - 120 ,100 ,45 ,17 ,15 ,12 ,10 -‬התלמידים צריכים‬
‫למצוא מספרים שהפירוק שלהם הוא מכפלת ֲחזקות של המספרים הראשוניים ‪ 2‬ו‪ 5 -‬בלבד‪.‬‬
‫‪179‬‬
‫ד‪ .‬חזרה על המיומנויות‪ :‬מציאת גורם כך שיתקבל מספר שהוא חזקה של ‪.10‬‬
‫על הלוח רשומים מספרים‪ ,‬לדוגמה‪ . 12 ,8 ,13 ,4 ,3 ,5 ,2 :‬התלמידים מתבקשים למצוא מספר‬
‫טבעי‪ ,‬שתוצאת הכפלתו באחד המספרים הנתונים תהיה ‪ 100 ,10‬או ‪ .1,000‬לדוגמה‪. 8 × ? = 10 ,‬‬
‫אין מספר טבעי מתאים‪ . 8 × ? = 100 .‬אין מספר טבעי מתאים‪ . 8 × ? = 1000 .‬המספר המתאים‬
‫הוא ‪) 125‬אפשר להיעזר במחשבון(‪ .‬ישנם מספרים שאם נכפיל אותם בגורם אחר‪ ,‬לעולם לא‬
‫יתקבל מספר שהוא חזקה של ‪) .10‬לדוגמה‪ .(3 :‬בהתאם לרמת התלמידים אפשר לדון בשאלה‬
‫מתי הדבר אפשרי‪.‬‬
‫ה‪ .‬חזרה על המיומנויות‪ :‬מספרים עשרוניים על ציר המספרים‪.‬‬
‫על הלוח רשומים המספרים ‪ 0.2‬ו ‪ .0.3-‬התלמידים מתבקשים למצוא מספר כלשהו ביניהם‪.‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬התלמידים מתבקשים למצוא דרך לגלות ללא חישוב מהו מספר הספרות בחלק‬
‫השברי של מספר עשרוני סופי‪ ,‬השווה לשבר שמכנהו חזקה של ‪ .10‬דנים בהשערותיהם של‬
‫התלמידים‪ .‬דוגמאות‪:‬‬
‫‪24‬‬
‫‪ :‬בחלק השברי של מספר עשרוני סופי מתאים יהיו שתי ספרות‪.‬‬
‫‪100‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ :‬בחלק השברי של מספר עשרוני סופי מתאים יהיו שתי ספרות‪.‬‬
‫‪100‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ :‬בחלק השברי של מספר עשרוני סופי מתאים יהיו שלוש ספרות‪.‬‬
‫‪1,000‬‬
‫‪80‬‬
‫‪ :‬בחלק השברי של מספר עשרוני סופי מתאים יהיו שלוש ספרות או שתיים )אם‬
‫‪1,000‬‬
‫מצמצמים(‪.‬‬
‫‪35‬‬
‫‪ :‬בחלק השברי של מספר עשרוני סופי מתאים יהיו ארבע ספרות‪.‬‬
‫‪10,000‬‬
‫אפשר לבקש מהתלמידים לתת דוגמאות שונות של שברים )חזקת ‪ 10‬במכנה( ולבדוק את‬
‫השערתם‪.‬‬
‫פעילות ב‪ :‬התלמידים מקבלים דף שרשומים בו שברים שונים‪ .‬מבקשים מהם לשער אילו‬
‫שברים אפשר להפוך למספרים עשרוניים סופיים‪ ,‬ואילו שברים אי אפשר להפוך למספרים‬
‫עשרוניים סופיים‪ .‬דנים בהצעות התלמידים‪ .‬מבקשים מהתלמידים לתת דוגמה לשבר שאפשר‬
‫להפוך אותו למספר עשרוני סופי‪.‬‬
‫‪1 1 1 1 1 1 1 1 1‬‬
‫דוגמאות לשברים‪:‬‬
‫‪. , , , , , , , ,‬‬
‫‪2 3 4 5 6 7 8 9 10‬‬
‫פעילות ג‪ :‬בפעילות זו משתמשים במחשבון‪ .‬התלמידים מקבלים דף שרשומים עליו שברים‬
‫שונים‪ .‬עליהם למצוא דרך לרשום כל שבר כמספר עשרוני‪ .‬דנים בהצעות של התלמידים‪ .‬דנים‬
‫בסוגים של המספרים העשרוניים שהתקבלו )סופיים‪ ,‬אין‪-‬סופיים‪ ,‬מחזוריים(‪ .‬דוגמאות‬
‫‪1 1 1 1 1 1 1 1 1‬‬
‫לשברים‪. , , , , , , , , :‬‬
‫‪2 3 4 5 6 7 8 9 10‬‬
‫פעילות ד‪ :‬התלמידים מקבלים דף שרשומים עליו מספרים עשרוניים‪ ,‬שברים ומספרים‬
‫מעורבים‪ .‬מבקשים מהתלמידים לסדר אותם על ישר המספרים‪.‬‬
‫דוגמאות למספרים )אפשר להסתפק בחלק מהרשימה(‪:‬‬
‫‪180‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪,1 , 2.5 , 2 , 2 ,2‬‬
‫‪0 , 0.1 , , 0.2 , , 0.3 , , 0.4 , , 0.6 , , 0.7 , , 0.8 , , 0.9 ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2 3‬‬
‫פעילות ה‪ :‬אחוזים בחיי היום‪-‬יום‪.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים לחפש בעיתונים היומיים או השבועיים או במדורי הפרסום למיניהם‬
‫מודעות פרסום של הנחות הניתנות ברכישת מוצרים שונים‪ .‬התלמידים מתבקשים להעתיק את‬
‫המודעות או להביא אותן לכיתה‪ .‬דנים במה שכתוב במודעות‪ .‬דוגמאות למודעות‪" :‬סוף עונה!‬
‫הנחה של ‪ 50%‬על כל ְפּריט"‪ .‬מבקשים מהתלמידים לקרוא את המודעה בקול רם‪ .‬שואלים את‬
‫התלמידים‪ :‬מה משמעות הכתוב? מה פירוש "‪ 50%‬הנחה על כל ְפּריט"?‬
‫מטרת הפעילות היא להראות את השימוש באחוזים בחיי היום‪-‬יום ולגלות את חשיבות הנושא‪.‬‬
‫בתום הדיון מגיעים למושג "אחוז" ולהגדרתו‪.‬‬
‫פעילות ו‪ :‬ייצוג האחוז )‪ (1%‬כחלק משלם או כחלק של כמות‪.‬‬
‫התלמידים מקבלים דפים חלקים ומתבקשים לייצג אחוז אחד )‪ (1%‬בדרך כלשהי‪ .‬בשלב זה‬
‫הפעילות היא חופשית לגמרי‪ ,‬כלומר על התלמידים לבחור ייצוג לשלם‪ ,‬לחלק אותו ל‪100 -‬‬
‫חלקים שווים ולצבוע חלק אחד שהוא מאית )‪ .(1%‬בשלב הבא מחלקים לתלמידים דפים‬
‫שמצוירים בהם שלמים שונים‪ :‬עיגול‪ ,‬ריבוע‪ ,‬מלבן‪ ,‬מספר עיגולים‪ ,‬מספר חפצים‪ .‬התלמידים‬
‫מתבקשים לסמן בכל מקרה ‪ 1%‬מהצורה ולאחר מכן כמות אחרת המיוצגת על‪-‬ידי אחוז אחר‪,‬‬
‫לדוגמה‪ 100% ,50% ,20% ,‬או ‪ 5%‬וכדומה‪ .‬דנים בדרכי הפתרון‪.‬‬
‫פעילות ז‪ :‬ייצוג אחוזים כחלק משלם או כחלק מכמות‪.‬‬
‫מחלקים לתלמידים דפים שמצוירים בהם שלמים שונים‪ .‬השלם יכול להיות עיגול‪ ,‬מלבן‪,‬‬
‫ריבוע‪ 10 ,‬כדורים‪ 100 ,‬משבצות‪ .‬מבקשים מהילדים לסמן בכל אחד מהשלמים את החלק‬
‫המייצג ‪ ,50%‬אחר‪-‬כך ‪ .20% ,25%‬דנים בשאלה‪" :‬מה מייצג ‪ "?50% ,100%‬חשוב לקשר בין‬
‫אחוז לשבר כמו חצי ורבע‪.‬‬
‫פעילות ח‪ :‬המעבר מאחוז לשבר‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים למצוא דרך לרשום את האחוזים‪,125% ,75% ,5% ,0.5% ,12.5% :‬‬
‫‪ 500% ,300% ,150%‬כשבר )או כמספר שלם(‪ ,‬אם ידוע כי ‪ 25%‬הם רבע‪ 10% ,‬הם עשירית‪1% ,‬‬
‫הוא מאית‪ 100% ,‬הם ‪.1‬‬
‫פעילות ט‪ :‬המעבר מאחוז למספר עשרוני‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים למצוא דרך לרשום את האחוזים‪,125% ,75% ,5% ,0.5% ,12.5% :‬‬
‫‪ 500% ,300% ,150%‬כמספר עשרוני‪ ,‬אם ידוע כי ‪.1=100% ,0.1=10% ,0.25=25%‬‬
‫השיעור בספר הלימוד‬
‫האם אנו מוכנים? – תשובות‪:‬‬
‫‪ .1‬ד; ‪ .2‬ג; ‪ .3‬ג; ‪ .4‬ג; ‪ .5‬ג; ‪ .6‬א( נכון‪ ,‬ב( נכון‪ ,‬ג( לא נכון‪ ,‬ד( לא נכון; ‪ .7‬א; ‪ .8‬ד‪.‬‬
‫לעלות על הגל‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :406‬המחלקים של ‪ ,10‬של ‪ 100‬ושל ‪1,000‬‬
‫בשיעור זה חוזרים על המושג "מחלק" של מספר טבעי‪ ,‬ומתמקדים במחלקים של ‪ ,10‬של ‪,100‬‬
‫ושל ‪ .1,000‬השיעור חשוב מפני שמספרים עשרוניים מבוססים על ֲחזקות של ‪ .10‬כאשר עוברים‬
‫משבר למספר עשרוני וצריך להרחיב את השבר כך שמכנהו יהיה ‪ 100 ,10‬או ‪ ,1,000‬משתמשים‬
‫בפירוק לגורמים‪ ,‬ולכן על התלמידים לדעת להשתמש במושגים "מחלקים" ו"כפולות"‪.‬‬
‫המילים "מחלקים" ו"כפולות" שמורות למספרים שלמים‪ ,‬ואילו במילה "גורם" אפשר‬
‫להשתמש בכל כפל‪ .‬לדוגמה‪ ,‬בתרגיל ‪ 3.4 × 5.8 = 19.72‬המספרים ‪ 3.4‬ו‪ 5.8 -‬הם גורמים ואינם‬
‫‪181‬‬
‫מחלקים של ‪ .19.72‬טעות רווחת היא השימוש במילה "גורמים" כשהכוונה היא למושג‬
‫"מחלקים"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת יישום‪ .‬בסעיף ב' המספרים המוקפים בשלושה צבעים הם ‪ ,2 ,5 ,1‬ו‪-‬‬
‫‪ .10‬יש להדגיש לתלמידים שרק מספרים אלו הם המחלקים גם של ‪ ,10‬גם של ‪ 100‬וגם של‬
‫‪ .1,000‬בסעיף ג' ישנן דרכים שונות לפירוק לגורמים של ‪. 1,000‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬זיהוי כפולות של ‪.10‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬שימוש במושג "מחלק" במצבים פשוטים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬התלמידים נדרשים לחבר בין המספרים שמכפלתם היא ‪.100‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬התלמידים נדרשים למצוא את המחלקים של ‪ 1,000‬על‪-‬ידי כתיבת התרגיל‬
‫המתאים של המכפלות‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :408‬הקשר בין כפל לבין חילוק‬
‫בשיעור זה חוזרים על הפעולות כפל וחילוק כפעולות הפוכות‪ .‬בדוגמאות מתמקדים במספרים‬
‫‪ 100 ,10‬ו‪ 1,000 -‬ובמחלקים שלהם‪ .‬כדאי להוסיף שאלות ודוגמאות במספרים אחרים‪ .‬חשוב‬
‫לא רק לתת דוגמאות באופן ישיר כמו בשיעור‪ ,‬אלא גם לשאול את התלמידים‪" :‬באיזה מספר‬
‫צריך לכפול את ‪ 40‬כדי לקבל ‪ "?1,000‬בתשובה התלמידים יכולים להיעזר במחלקים של ‪,1,000‬‬
‫שלמדו בשיעור הראשון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬משימת יישום‪ .‬אם התלמידים מתקשים במציאת הפתרון בעמודה הימנית‬
‫ביותר )התרגילים הם משוואות(‪ ,‬אפשר להדריך אותם בעזרת שאלות כמו השאלות שהודגמו‬
‫לעיל‪" :‬במה צריך לחלק את ‪ 100‬כדי לקבל ‪."?25‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬חקירת מחלקים של ‪ .100‬אפשר לדון במשימה זו בכיתה ולהציע דרכים‬
‫לפתרון‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :409‬צמצום והרחבה של שברים‬
‫בשיעור זה חוזרים על שמות שונים של שברים‪ ,‬על צמצום שברים ועל הרחבתם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימת יישום‪ :‬פעולות צמצום והרחבה של שברים‪ .‬מתרגלים שברים‬
‫שמכניהם ‪ 100 ,10‬או ‪.1,000‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬משימת יישום‪ :‬מציאת שברים שווים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬משימת יישום‪ :‬השלמת שבר במונה או במכנה‪ ,‬כאשר יש שני שברים שווים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬התלמידים נדרשים למצוא שברים ששווים לשבר הנתון‪ ,‬ולכתוב את גורם‬
‫הצמצום או ההרחבה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬משימה מילולית‪ .‬על התלמידים למצוא את המספרים החסרים בהתאם‬
‫לנתונים בשאלה‪.‬‬
‫‪182‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :411‬סכום שברים בעלי אותו מכנה‬
‫בשיעור זה חוזרים על פירוק השבר למחוברים שונים‪ .‬תחילה מציגים את השבר הנתון )שוב‬
‫מדובר במכנים ‪ 100 ,10‬ו‪ (1,000 -‬כסכום של שברים בעלי אותו מכנה‪ .‬את המונה מפרקים לפי‬
‫המבנה העשרוני‪ .‬דוגמה‪ .524=500+20+4 :‬לאחר מכן אם אפשר‪ ,‬מצמצמים כל שבר שהתקבל‪,‬‬
‫ומגיעים לסכום המחוברים‪ :‬מספר שלם )יכול להיות שווה ל‪ ,(0 -‬שבר שמכנהו ‪ ,10‬שבר‬
‫אַחד המכנים לא נמצא בסכום הסופי )לדוגמה‪,‬‬
‫שמכנהו ‪ ,100‬שבר שמכנהו ‪ ,1,000‬וכדומה‪ .‬אם ַ‬
‫אין שבר שמכנהו ‪ ,(100‬זה משום שהמונה שלו הוא ‪ ,0‬ואין כותבים אותו בסכום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬משימת יישום‪ .‬כדי לחבר מספר שברים לשבר אחד יש לכתוב את כל‬
‫המחוברים כשברים בעלי אותו מכנה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1000 200‬‬
‫‪30‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1234‬‬
‫דוגמה‪ :‬ח(‬
‫‪1+ +‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪10 100 1000 1000 1000 1000 1000 1000‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬במשימה זו מופיעים שברים גדולים מ‪ .1 -‬על התלמידים לכתוב את השברים‬
‫הנתונים כסכום של שברים בעלי אותו מכנה ואחר‪-‬כך לצמצם אותם‪.‬‬
‫‪56 50 6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫דוגמאות‪= + = 5 + = 5 :‬‬
‫‪10 10 10‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪505 500 5‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫‪= 5+‬‬
‫‪100 100 100‬‬
‫‪20‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :412‬מספרים עשרוניים‬
‫חזרה על המבנה העשרוני של מספרים עשרונים‪ .‬ההסברים נובעים בטבלת מבנה העשרוני‪.‬‬
‫משימה מס' ‪:16‬חזרה על ערך הספרה במספר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬מציאת ערך של ספרה במספר נתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬התלמידים צריכים להשוות בין מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫יחידת הלימוד ‪ -‬הקניה‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :413‬מעבר משבר למספר עשרוני‬
‫בשיעור זה לומדים לעבור משבר למספר עשרוני‪ ,‬כאשר המכנה של השבר הוא ‪1,000 ,100 ,10‬‬
‫וכדומה‪ .‬התלמידים יודעים לכתוב כמספר עשרוני שבר בעל מכנה ‪ .10‬הם גם יודעים לכתוב‬
‫כמספר עשרוני שבר שהמונה שלו הוא מספר חד‪-‬ספרתי ומכנהו ‪ .100‬מציגים שבר נתון כסכום‬
‫שברים בעלי אותו מכנה‪ ,‬מצמצמים )אם אפשר(‪ ,‬ומקבלים פילוג של השבר הנתון לפי המבנה‬
‫העשרוני‪) .‬נכון יותר לומר שמפלגים את המונה לפי המבנה העשרוני‪ (.‬חשוב שהתלמידים יגיעו‬
‫למסקנה שכל שבר בעל מכנה ‪ 100 ,10‬או ‪ 1,000‬וכדומה אפשר לרשום כמספר עשרוני‪ .‬אם אי‪-‬‬
‫אפשר לצמצם שבר ב‪ ,10 -‬ב‪ 100 -‬ב‪ 1,000 -‬וכדומה‪ ,‬מספר הספרות אחרי הנקודה העשרונית‬
‫)בחלק השברי( יהיה כמספר האפסים שבמכנה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת יישום‪ .‬חשוב לחזור על הקריאה הנכונה של המספרים העשרוניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימת יישום‪ .‬בשברים אחדים מספר הספרות במונה קטן ממספר האפסים‬
‫‪99‬‬
‫במכנה‪ ,‬כמו‬
‫‪ .‬כאשר כותבים מספר כזה כמספר עשרוני‪ ,‬יש לזכור שמספר הספרות‬
‫‪1,000‬‬
‫בחלק השברי שווה למספר האפסים שבמכנה‪ ,‬ולכן רושמים את האפסים לפני הספרות השונות‬
‫מ‪ ,0 -‬כמו ‪) 0.099‬אפס אחד אחרי הנקודה העשרונית(‪ .‬כדי למנוע טעויות מסוג זה כדאי להגיד‬
‫‪183‬‬
‫בקול רם את המספר במילים )אלפית(‪ ,‬וכך יהיה ברור כמה ספרות לכתוב‪ .‬אם תלמידים טעו‬
‫וכתבו ‪ ,0.1‬כדאי שהם יקראו את המספר בקול רם )אפס שלמים ועשירית(‪ ,‬ומיד הם יבינו‬
‫שטעו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימת יישום‪ .‬בסעיף ב' על התלמידים לענות על השאלות הנוספות המצביעות‬
‫על ההבנה במספרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪" :4‬תרגום" השבר לשבר עשרוני‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬על התלמידים "להתאים" שבר למספר עשרוני השווה לו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬משימה הקשורה לחיי היום‪-‬יום‪ .‬על התלמידים לכתוב מחירים בעזרת‬
‫מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬דרכים שונות להבחין בין מספר עשרוני לבין שבר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬במשימה זו משווים בין מספרים‪ :‬מספר עשרוני ושבר‪ .‬התלמידים רושמים את‬
‫השבר כמספר עשרוני ואחר‪-‬כך משווים בינו לבין המספר העשרוני‪ .‬ייתכן שתלמידים ישוו בין‬
‫המספרים ללא ההעברה )לדוגמה‪ ,‬על‪-‬סמך קריאה(‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :416‬מספרים שלמים כמספרים עשרוניים‬
‫בשיעור זה לומדים לכתוב מספרים שלמים כמספרים עשרוניים בעזרת השימוש באחד‬
‫התחומים שבו למספרים שלמים ולמספרים עשרוניים יש אותו מעמד‪ :‬הכסף‪ .‬יש אין‪-‬סוף‬
‫מספרים עשרוניים השווים למספר שלם נתון‪ .‬כולם מתקבלים על‪-‬ידי כתיבת אפסים מימין‬
‫לנקודה העשרונית‪ .‬אפשר לבקש מהתלמידים לגשת למרכול השכונתי כדי לערוך רשימה של‬
‫מוצרים שונים ומחיריהם‪ ,‬ולהביא את הרשימה לכיתה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימת יישום‪ :‬השוואה בין מספרים הכתובים באותן ספרות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬משימת יישום‪ .‬מספרים שווים ל‪ 0.6 -‬מתקבלים על‪-‬ידי כתיבת אפסים אחרי‬
‫הספרה ‪.6‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬משימת יישום‪ .‬המספרים השווים ל‪ 0.8 -‬מתקבלים על‪-‬ידי כתיבת אפסים‬
‫אחרי הספרה ‪ .8‬המספרים השווים ל‪ 5.55 -‬מתקבלים על‪-‬ידי כתיבת אפסים אחרי חמש מאיות‬
‫)בצד ימין של המספר(‪ .‬דוגמאות למספרים‪.5.55000 ,5.5500 ,5.550 ;0.8000 ,0.800 ,0.80 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬סדר מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬משימה בצורת שאלת מילולית‪ .‬השוואה בין מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬התלמידים נדרשים להקיף בצבעים שונים את המספרים בהתאם לגודל‬
‫המספר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬על התלמידים למצוא את המספר הגדול ביותר בכל סדרה‪ ,‬אודות הספרות‬
‫הזהות‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :418‬מעבר משבר גדול מ‪ 1 -‬למספר עשרוני )המשך(‬
‫בשיעור זה לומדים לרשום כמספר עשרוני שבר גדול מ‪ ,1 -‬שמכנהו ‪ 10‬או ‪ .100‬ההעברה‬
‫מבוססת על אותם עקרונות העברה משבר קטן מ‪ 1 -‬למספר עשרוני‪ .‬וכמו‪-‬כן ממשיכים ללמוד‬
‫על כתית שבר גדול מ‪ 1 -‬כמספר עשרוני‪ .‬גם הפעם מדובר בשברים שמכניהם ‪1,000 ,100 ,10‬‬
‫‪184‬‬
‫וכדומה‪ ,‬אך כאן מראים את הקשר בין שבר‪ ,‬מספר עשרוני‪ ,‬וערך הספרות במבנה העשרוני‪.‬‬
‫למניעת טעויות כדאי להשתמש בטבלת פילוג המספר לפי המבנה העשרוני ולקרוא את השברים‬
‫בקול רם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬כתיבת שברים כמספרים עשרוניים על‪-‬ידי פילוג המונה לפי המבנה העשרוני‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ 16‬ו‪ :18 -‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬כאן על התלמידים למצוא את החסר בהתאם‪ :‬מספר עשרוני‪ ,‬שבר או מונה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬משימה פתוחה‪ .‬כדאי לדון בה עם תלמידי הכיתה‪ .‬על התלמידים לבחור שני‬
‫שברים כרצונם‪ ,‬בעלי מכנה ‪ 10‬או חזקות של ‪ 10‬ולהפוך כל אחד מהשברים למספר עשרוני‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪15‬‬
‫‪= 0.003 ,‬‬
‫דוגמאות‪= 0.15 :‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪100‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬במשימה זו מחפשים מספרים שווים בין שברים ומספרים מעורבים לבין‬
‫מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬השלמת שוויונות‪ .‬מטרת המשימה היא לתרגל הפיכת שבר למספר עשרוני‪.‬‬
‫‪45 40 5‬‬
‫‪5‬‬
‫דוגמה‪= + = 4 + = 4.5 :‬‬
‫‪10 10 10‬‬
‫‪10‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬על התלמידים להפוך את המספרים העשרוניים הנתונים לסכום של שלם‬
‫‪82‬‬
‫‪91.82 = 91 +‬‬
‫ושבר‪ .‬דוגמה‪ ,‬בסעיף ג'‪:‬‬
‫‪100‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬יש לכתוב לכל שבר את השבר העשרוני המתאים ולהקיף את השבר הגדול‬
‫ביותר‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :421‬מעבר משבר למספר עשרוני‬
‫בשיעור זה לומדים להפוך שברים מסוימים למספרים עשרוניים‪ .‬ההעברה נעשית על‪-‬ידי‬
‫הרחבה או צמצום של השבר הנתון לשבר שמכנהו ‪ 1,000 ,100 ,10‬או כל חזקה אחרת של ‪.10‬‬
‫לתלמידים מראים דוגמאות של השברים שמכניהם הם ‪ ,50 ,40 ,25 ,20 ,16 ,8 ,5 ,4 ,2‬וכדומה‪.‬‬
‫אפשר לדון עם התלמידים המתקדמים בשאלה מתי הדבר אפשרי‪ ,‬ולהגיע למסקנה‪ :‬כאשר‬
‫אפשר לפרק את המכנה לגורמים שהם חזקות של ‪ 2‬ושל ‪ 5‬בלבד‪ ,‬אפשר להרחיב את השבר‬
‫לשבר שהמכנה שלו הוא חזקה של ‪ ,10‬ולהפוך אותו למספר עשרוני סופי‪ .‬כדאי להראות‬
‫‪1 125‬‬
‫=‬
‫לתלמידים הפיכת שבר שמכנהו ‪ 8‬למספר עשרוני‪ .‬דוגמה‪= 0.125 :‬‬
‫‪8 1000‬‬
‫‪3 6‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬משימת יישום‪ .‬דוגמה להשלמה‪. = = 0.6 :‬‬
‫‪5 10‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬כתיבת שברים ומספרים עשרוניים שווים על ציר המספרים‪ .‬אפשר להשתמש‬
‫במד‪-‬מטר השברים ובמד‪-‬מטר המספרים העשרוניים שבאביזרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬השוואה בין שברים בעזרת כתיבתם כמספרים עשרוניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬אפשר להציע לתלמידים להפוך את כל השברים לשברים עשרוניים וכדי‬
‫שיוכלו למצוא את השונה‪.‬‬
‫‪185‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬סידור שברים שהם מספרים עשרוניים‪ ,‬מהקטן לגדול‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬השלמת שמות שונים של שבר‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :423‬מעבר ממספר עשרוני לשבר‬
‫השיטה לכתיבת מספר כשבר הונהגה כ‪ 3000 -‬שנה לפני השיטה לכתיבת מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫לפי פפירוס ריינד )אחמס( שנכתב ב‪ 1600 -‬לפנה"ס המצרים השתמשו בשברים כבר ב‪2000 -‬‬
‫לפני הספירה‪ .‬השיטה העשרונית הומצאה רק במאה השישית על‪-‬ידי ההודים והופצה על ידי‬
‫הערבים במאה ה‪ .9 -‬אפשר למצוא בכתבים מוסלמיים מספרים עשרוניים אף‪-‬על‪-‬פי שהשיטה‬
‫העשרונית הפכה לנחלת הכלל רק במאה ה‪.15 -‬‬
‫חשוב לדעת להפוך שבר למספר עשרוני וגם להפוך מספר עשרוני לשבר‪ .‬את ההעברה משבר‬
‫למספר עשרוני למדו התלמידים בשיעורים הקודמים‪ .‬בשיעור זה לומדים לבצע את ההעברה‬
‫ממספר עשרוני לשבר‪ .‬אם תלמידים מתקשים בכתיבת מספר עשרוני כשבר‪ ,‬יש לבקש מהם‬
‫‪2‬‬
‫‪ .‬למעשה‪ ,‬ההעברה‬
‫לומר את המספר במילים‪ .‬לדוגמה‪" ,‬אפס שלמים ושתי עשיריות" הם‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫כבר נעשתה‪ .‬אמנם רצוי לצמצם את השבר )אם אפשר(‪ ,‬ובמקרה שלנו מתקבל ‪ ,‬אך די‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫שהתלמידים המתקשים יגיעו ל‪-‬‬
‫‪ .‬כדאי שהתלמידים המתקדמים ידעו בעל‪-‬פה מקרים‬
‫‪10‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪ 0.125‬וכדומה‪ .‬ידע זה מקל עליהם לפתור שאלות‬
‫= ‪,0.75‬‬
‫שכיחים כגון = ‪,0.5‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫מורכבות ויקל עליהם בנושא אחוזים‪ .‬בכל מקרה‪ ,‬התלמידים יזכרו את המקרים האלה אם‬
‫יתרגלו הרבה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬תרגול וחזרה על העברה ממספר עשרוני לשבר ומשבר למספר עשרוני בתוך‬
‫כדי כתיבת המספר העשרוני במילים‪.‬‬
‫דוגמאות מתוך הטבלה‪:‬‬
‫שבר מצומצם‬
‫שבר‬
‫המספר העשרוני במילים‬
‫המספר העשרוני‬
‫שלושים שלמים ועשירית‬
‫‪30.1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪30‬‬
‫‪30‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫ארבע עשיריות‬
‫‪0.4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪10‬‬
‫עשרים וחמש מאיות‬
‫‪0.25‬‬
‫‪1‬‬
‫‪25‬‬
‫‪0.250‬‬
‫מאתיים וחמישים אלפיות‬
‫‪2.8‬‬
‫שני שלמים ושמונֶה עשיריות‬
‫‪305.01‬‬
‫שלוש מאות וחמישה שלמים ומאית‬
‫‪1.4‬‬
‫שלם וארבע עשיריות‬
‫‪6.055‬‬
‫שישה שלמים וחמישים וחמש אלפיות‬
‫‪186‬‬
‫‪100‬‬
‫‪250‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪305‬‬
‫‪100‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪55‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪305‬‬
‫‪100‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫‪6‬‬
‫‪200‬‬
‫‪0.025‬‬
‫עשרים וחמש אלפיות‬
‫‪25‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪1‬‬
‫‪40‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬על התלמידים למצוא מספרים שווים הכתובים גם כשבר וגם כמספר עשרוני‪.‬‬
‫‪1 4 5‬‬
‫דוגמה למספרים שווים‪= = = 0.5 = 0.50 :‬‬
‫‪2 8 10‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬במשימה זו חושפים את התלמידים לטעויות נפוצות הקורות בהפיכת מספר‬
‫עשרוני לשבר‪ ,‬כגון‪ :‬התייחסות למונה בלבד או חשיבה שהמכנה של כל שבר הוא ‪ 10‬וכדומה‪.‬‬
‫יש לדון עם התלמידים בשגיאות שבמשימה ובתיקוניהן‪.‬‬
‫משימה ‪" :35‬תרגום" של שברים למספרים עשרונים ולהפך על ציר המספרים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :425‬האחוז‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי א' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה לומדים את המושג "אחוז"‪,‬‬
‫מגדירים אותו )ראו גם ברקע לפרק זה( ומקשרים בינו לבין שבר‪ .‬חשוב שהתלמידים ידעו‬
‫להפוך את האחוזים לשברים‪ .‬הדגישו לתלמידים ששתי צורות הקריאה של האחוזים ‪" -‬עשרים‬
‫אחוז" או "עשרים אחוזים" ‪ -‬הן נכונות‪.‬אבל כאשר מספר האחוזים הוא ‪ 10‬או קטן מ‪ ,10-‬יש‬
‫לומר אחוזים‪ .‬לשל‪ ,‬יש לומר "חמישה אחוזים"‪ ,‬ולא "חמישה אחוז"‪ .‬הבהירו לתלמידים‬
‫שאפשר לקרוא כל שבר שמכנהו ‪ ,100‬כשבר או כאחוז‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬משימה לחידוד הקשר בין השפה המדוברת לבין משמעות האחוז‬
‫במתמטיקה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬המשימה פשוטה כיוון שכל השברים הם מאיות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬משימה הפוכה לקודמת‪ .‬התלמידים מתבקשים להפוך את האחוזים למאיות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :39‬על התלמידים להרחיב את השבר הנתון למכנה ‪ 100‬ולרשום אותו כאחוז‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬שימוש במונח "שיעור" במקום במונח "אחוז" בשפה המדוברת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬התלמידים נדרשים להפוך את האחוזים לשברים עשרוניים מצומצמים ככל‬
‫האפשר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬במשימה זו על התלמידים להשלים את החסר בבעיות המילוליות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬שאלה מילולית‪ :‬חישוב כמות מתאימה לאחוז נתון‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :427‬ייצוג האחוז‬
‫בשיעור מובא הייצוג הראשון של האחוז‪ .‬האחוז הוא שבר שמכנהו ‪ ,100‬לכן הייצוג הטבעי‬
‫ביותר הוא הצגת השלם כריבוע או כמלבן המחולק ל‪ 100 -‬חלקים שווים‪ ,‬וצביעת מספר‬
‫חלקים כערך האחוז‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :44‬התלמידים מתבקשים לצבוע מספר משבצות המתאים לנתון‪ .‬בכל אחד‬
‫מהסעיפים שבמשימה השלם מיוצג על‪-‬ידי ‪ 100‬משבצות‪ .‬אם נצבע את כל המשבצות‪ ,‬נקבל‬
‫‪ 100%‬של המשבצות‪.‬‬
‫‪187‬‬
‫משימה מס' ‪ :45‬משימה הפוכה למשימה הקודמת‪ :‬קריאת ייצוג‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :46‬חיזוק הקשר בין אחוז לבין שבר דרך הייצוג המשותף‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :47‬הדגשת הקשר בין שברים לבין האחוזים‪ 75% ,25% ,50% , 100% :‬ו‪.60 % -‬‬
‫משימה מס' ‪" :48‬תרגום" מייצוג לשבר ולאחוז‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :429‬אחוז ומספר עשרוני‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ה' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה התלמידים לומדים להפוך אחוז‬
‫למספר עשרוני דרך החלפת הסימן "‪ "%‬במכפלה‬
‫‪1‬‬
‫‪34‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪-‬‬
‫× ‪.34‬‬
‫=‬
‫‪ .‬דוגמה‪= 34% :‬‬
‫‪100 100‬‬
‫‪100‬‬
‫משימה מס' ‪ :49‬התלמידים מתבקשים לחזור על דרך ההעברה מאחוז למספר עשרוני‬
‫שבשיעור‪ .‬לפי רמת הכיתה אפשר לדלג על שלבּים‪.‬‬
‫מומלץ לפתור את משימות מס' ‪ 52-50‬במליאה‪ .‬כל תלמיד פותר תרגיל‪ ,‬ודנים בדרכי הפתרון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :50‬על התלמידים לרשום כל שבר כאחוז וכמספר עשרוני‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :51‬על התלמידים לרשום את המספרים העשרוניים כאחוזים ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :52‬הרחבה של משימה ‪ 49‬למספרים עשרוניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :53‬חיזוק הקשר בין אחוז‪ ,‬שבר ומספר עשרוני באמצעות ייצוג‪ .‬הפעם הצורה‬
‫אינה מחולקת ל‪ 100 -‬חלקים זהים‪ .‬הייצוג קרוב יותר לייצוג של שברים שהתלמידים מכירים‬
‫מכיתה ד'‪.‬‬
‫המלבן הוא השלם‪ .‬כל מלבן מחולק ל‪ 12 -‬חלקים חופפים‪ .‬התלמידים יצבעו בסעיף א'‬
‫שמשבצות ובסעיף ב' שלוש משבצות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :54‬חיזוק הקשר בין שבר לבין אחוז דרך ייצוג וחישוב של אחוז כחלק משלם‪,‬‬
‫כאשר השלם הוא כמות של חפצים‪ .‬עשרים הכדורים הם השלם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :55‬על התלמידים לכתוב את השברים כמספרים עשרוניים ולסדר אותם על ציר‬
‫המספרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :56‬חיזוק הקשר בין השבר‪ ,‬האחוז והמספר העשרוני‪ .‬התלמידים נדרשים‬
‫להשלים את הטבלה במספרים מתאימים‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫שבר‬
‫מספר עשרוני‬
‫אחוז‬
‫‪0.32‬‬
‫‪32%‬‬
‫‪32‬‬
‫‪8‬‬
‫=‬
‫‪100 25‬‬
‫‪0.48‬‬
‫‪48%‬‬
‫‪32‬‬
‫‪8‬‬
‫=‬
‫‪100 25‬‬
‫‪0.38‬‬
‫‪38%‬‬
‫‪38 19‬‬
‫=‬
‫‪100 50‬‬
‫‪188‬‬
‫משימה מס' ‪ :57‬חישוב כמות המתאימה לאחוז נתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :58‬שאלה מילולית‪ .‬שבה התלמידים נדרשים לבצע העברה למספר עשרוני‬
‫ולאחוזים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :59‬התלמידים נדרשים לצבוע באותו הצבע חלקים של ציור‪ ,‬שערכם שווה‪.‬‬
‫מה למדנו? עמ' ‪ :432‬סיכום הנלמד‬
‫משימה מס' ‪ :60‬משימת סיכום‪ .‬התלמידים נדרשים לצייר ציור המורכב מ‪ 100 -‬משבצות‪,‬‬
‫לצבוע כל חלק בצבע שונה לפי הנתונים בטבלה‪ ,‬ולהשלים את הטבלה‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמודים ‪442 - 433‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬תרגילי חילוק ש המחולק בהם הוא ‪ 100 ,10‬או ‪.1,000‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימה פתוחה‪ .‬בקשו מהתלמידים למצוא מחלקים שאינם מופיעים במשימה‬
‫‪.1‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬על התלמידים לכתוב את המספרים שבמנורה‪ ,‬אלו הם המחלקים של ‪.1,000‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימת שעשוע‪ .‬התלמידים נדרשים למצוא דרך על‪-‬ידי חישוב המכפלות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬על התלמידים למצוא את כל המחלקים של מספר נתון לפי מספר הגורמים‬
‫הראשוניים‪ .‬למעשה‪ ,‬יש למצוא את כל הצירופים האפשריים השונים של שני גורמים‪ ,‬שלושה‬
‫גורמים ‪ ,‬ארבעה גורמים וכן הלאה‪.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬נמצא את המחלקים של המספר ‪.100‬‬
‫המחלקים של המספר ‪100‬‬
‫הגורמים הראשוניים‬
‫מספר הגורמים‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫גורם ‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫שני גורמים‬
‫‪2× 2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2× 5‬‬
‫‪25‬‬
‫‪5× 5‬‬
‫‪20‬‬
‫שלושה גורמים‬
‫‪2× 2× 5‬‬
‫‪50‬‬
‫‪2× 5× 5‬‬
‫‪100‬‬
‫ארבעה גורמים‬
‫‪2× 2× 5× 5‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬הרחבת שבר וייצוגו בעזרת צביעת חלקים מתוך השלם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬הרחבת שברים בגורם ההרחבה ‪.3‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬הרחבת שברים בגורם ההרחבה ‪.4‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬צמצום שברים בגורם הצמצום ‪.2‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬צמצום שברים בגורם הצמצום ‪.3‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬כאן נדרשת מהתלמידים מספר מיומנויות‪ .‬תחילה עליהם לכתוב את המספר‬
‫העשרוני הנתון כשבר או להפך‪ .‬כמו‪-‬כן הם נדרשים לכתוב את השבר במילים ולכתוב את‬
‫הספרות המתאימות בטבלת המבנה העשרוני‪.‬‬
‫‪189‬‬
‫להלן הטבלה המלאה‪:‬‬
‫השבר במילים‬
‫השבר‬
‫‪572‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪48‬‬
‫‪100‬‬
‫‪52‬‬
‫‪100‬‬
‫‪415‬‬
‫‪23‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪88‬‬
‫‪100‬‬
‫‪403‬‬
‫‪23‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫חמש מאות שבעים‬
‫ושתיים אלפיות‬
‫המספר‬
‫העשרוני‬
‫‪0.572‬‬
‫אלפיות‬
‫מאיות‬
‫‪2‬‬
‫עשיריות יחידות‬
‫עשרות‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫ארבעים ושמונֶה‬
‫מאיות‬
‫‪0.48‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫חמישים ושתיים‬
‫מאיות‬
‫‪0.52‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫שלושה שלמים‬
‫וארבע מאות וחמש‬
‫עשרה אלפיות‬
‫‪ 88‬מאיות או ‪8‬‬
‫עשיריות ו‪ 8 -‬מאיות‬
‫‪3.415‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫עשרים ושלושה‬
‫שלמים וארבע‬
‫מאות ושלוש‬
‫אלפיות‬
‫עשרה שלמים ושתי‬
‫עשיריות‬
‫‪5‬‬
‫‪0.88‬‬
‫‪23.403‬‬
‫‪3‬‬
‫‪10.2‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬השימוש במספרים עשרוניים בחיי היום‪-‬יום‪ :‬כסף‪ .‬התלמידים נדרשים‬
‫למצוא תחילה את מספר המטבעות שקיבל כל ילד‪ .‬הנחו את התלמידים לפתור את המשימה‬
‫בעזרת טבלה כמודגם כאן‪.‬‬
‫מס' מטבעות‬
‫מס' מטבעות‬
‫מס' מטבעות‬
‫הסכום‬
‫שם הילד‪/‬ה‬
‫של אגורה‬
‫של ‪ 10‬אג'‬
‫של שקל ‪1‬‬
‫שקיבל‪/‬ה‬
‫‪5‬‬
‫‪9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪₪ 1.95‬‬
‫רינת‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪₪ 4.50‬‬
‫יובל‬
‫‪0‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪₪ 1.6‬‬
‫חגית‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2.03‬ש"ח‬
‫אורי‬
‫יובל קיבל את המספר הגדול ביותר של מטבעות של שקל ‪.1‬‬
‫רינת קיבלה את המספר הגדול ביותר של מטבעות של ‪ 10‬אג'‪.‬‬
‫רינת קיבלה את המספר הגדול ביותר של מטבעות של אגורה ‪.1‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬כתיבת השברים הנתונים כמספרים עשרוניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬כתיבת המספרים העשרוניים הנתונים כשברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬מציאת מספרים הכתובים כמספר עשרוני‪ ,‬כמספר מעורב וכשבר גדול מ‪.1 -‬‬
‫פתרון נכון יוביל את התלמידים למציאת הביטוי‪" :‬כל הכבוד"‪ .‬כל אחת מהאותיות תופיע על‬
‫נקודת ההצטלבות של שני ישרים‪ .‬הנחו את התלמידים להשתמש בסרגל לסימון הישרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬על התלמידים לכתוב את השברים כמספרים עשרוניים‪ .‬צמצום או הרחבה‬
‫של השבר יסייעו לתלמידים במשימה‪.‬‬
‫‪7 35‬‬
‫‪12 2‬‬
‫‪28 4‬‬
‫‪= = 3.5 ,‬‬
‫‪= = 0.2‬‬
‫‪,‬‬
‫דוגמאות‪= = 0.4 :‬‬
‫‪2 10‬‬
‫‪60 10‬‬
‫‪70 10‬‬
‫‪190‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬התלמידים נדרשים למצוא את המספר היוצא דופן‪ .‬התשובות הנכונות‪ :‬א(‬
‫‪74‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫ד(‬
‫ג(‬
‫ב(‬
‫‪0.3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪100‬‬
‫‪6‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬כתיבת מספר עשרוני במילים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬מציאת מספרים שווים‪ .‬לארבעה מספרים עשרוניים מתאימים שני שברים‪:‬‬
‫‪ 0.20 ,0.50 ,0.250‬ו‪ .0.40 -‬למספר העשרוני ‪ 0.750‬מתאים שבר אחד בלבד‪ .‬וכן למספר העשרוני‬
‫‪ 0.1250‬מתאים שבר אחד בלבד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬על התלמידים להקיף באותו הצבע שמות שונים לאותו המספר‪ .‬הפתרונות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪125‬‬
‫=‬
‫אפס שלמים ומאה עשרים וחמש אלפיות = ‪= 0.125‬‬
‫‪8 1000‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫שנים עשר שלמים וחמש עשיריות = ‪. 12 = 12 = 12.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪25‬‬
‫‪1 =1‬‬
‫שלם אחד ועשרים וחמש מאיות = ‪= 1.25‬‬
‫‪4‬‬
‫‪100‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬כתיבת מספר עשרוני במילים ובספרות והפיכתו למספר מעורב ולהפך‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪75‬‬
‫דוגמה‪ = 1.75 :‬שלם אחד ושבעים וחמש מאיות =‬
‫‪1 =1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪100‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬התאמת מספר עשרוני לשבר השווה לו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬על התלמידים לפלג כל אחד מהמספרים העשרוניים לסכום של מספר שלם‬
‫‪51‬‬
‫‪9.51 = 9 +‬‬
‫ושבר שמכנהו ‪ 10‬או ‪ .100‬דוגמה‪:‬‬
‫‪100‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬הפיכת אחוז לשבר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬הפיכת שבר לאחוז‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬כתיבת שבר ואחוז המתאימים לייצוג‪.‬‬
‫הפתרונות‪:‬‬
‫סעיף‬
‫השבר‬
‫האחוז‬
‫א‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪50%‬‬
‫ב‬
‫‪30 3‬‬
‫=‬
‫‪100 10‬‬
‫‪30%‬‬
‫ג‬
‫‪43‬‬
‫‪100‬‬
‫‪43%‬‬
‫ד‬
‫‪3‬‬
‫‪10‬‬
‫‪30%‬‬
‫ה‬
‫ו‬
‫ז‬
‫‪4 2‬‬
‫=‬
‫‪10 5‬‬
‫‪40%‬‬
‫‪4 2‬‬
‫=‬
‫‪10 5‬‬
‫‪40%‬‬
‫‪6 3‬‬
‫=‬
‫‪10 5‬‬
‫‪60%‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬הפיכת שבר לאחוז‪ .‬התלמידים יכולים להסתייע בהרחבת השברים הנתונים‬
‫‪3 60‬‬
‫= ‪.‬‬
‫לשברים שהמכנה שלהם הוא ‪ .‬דוגמה‪= 60% :‬‬
‫‪5 100‬‬
‫‪191‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬משימה פתוחה‪ .‬התלמידים יצבעו חלק מהשלם כרצונם ויכתבו את השבר‬
‫ואת האחוז המתאימים‪ .‬האיור מורכב מ‪ 25 -‬מלבנים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬האיור מורכב משלושה סוגים של מלבנים‪ .‬באיור יש ‪ 20‬מלבנים עם עיגולים‪,‬‬
‫‪ 40‬מלבנים עם פסים ו‪ 40 -‬מלבנים עם משבצות‪.‬‬
‫להלן הטבלה המלאה‪:‬‬
‫אחוז‬
‫מספר עשרוני‬
‫שבר‬
‫הדגם‬
‫‪40%‬‬
‫‪0.4‬‬
‫פסים‬
‫‪40 2‬‬
‫=‬
‫‪100 5‬‬
‫‪20%‬‬
‫‪0.2‬‬
‫עיגולים‬
‫‪20 1‬‬
‫=‬
‫‪100 5‬‬
‫‪40%‬‬
‫‪0.4‬‬
‫משבצות שחור לבן‬
‫‪40 2‬‬
‫=‬
‫‪100 5‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬כתיבת שמות שונים לאותו המספר כשבר‪ ,‬כמספר עשרוני וכאחוז‪ .‬משולב‬
‫כאן ייצוג‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬על התלמידים לרשום מספרים עשרוניים שונים באמצעות הספרות ‪ 0 ,1‬ו‪,2 -‬‬
‫כאשר כל ספרה מופיעה פעם אחת בלבד‪.‬‬
‫קיימות שש אפשרויות בסך הכול‪2.10 ,2.01 ,0.21 ,0.12 ,1.20 ,1.02 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬כתיבת מספר עשרוני כאחוז‪.‬‬
‫שאלות מילוליות‪ ,‬עמוד ‪443‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬א( הסכום שייתרם בקנייה של חנה הוא ‪.₪ 15‬‬
‫ב( הסכום שייתרם בקנייה של חנה ויובל יחד הוא ‪.₪ 38‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬בשעה הראשונה הם עברו חמישה קילומטרים המהווים שליש מאורך המסלול‪,‬‬
‫בשעה השנייה הם עברו חמישה קילומטרים המהווים חצי מהדרך שנותרה להם )שימו לב‬
‫לנתון‪ 0.5 :‬מהדרך שנותרה – כלומר עשרה קילומטרים(‪ .‬נותרו להם עוד חמישה קילומטרים עד‬
‫סיום המסלול‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬א( ‪ 0.25‬מ‪ 240 -‬הם ‪ .60‬ביום הראשון הקלדנית הקלידה ‪ 60‬עמודים‪.‬‬
‫ב( נותר לה להקליד ‪ 0.75‬מהספר‪.‬‬
‫‪2 40‬‬
‫= ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬השטח הצבוע בדף שווה ‪= 0.4‬‬
‫‪5 100‬‬
‫משימה מס' ‪ 25% :5‬מהסוכריות הו בצבע אדום‪ 50% ,‬מהסוכריות הן בצבע ירוק‪10% ,‬‬
‫מהסוכריות הן בצבע צהוב‪ ,‬ו‪ 15% -‬מהסוכריות הן בצבע תכלת‪.‬‬
‫היסטוריה‪ ,‬עמוד ‪444‬‬
‫בקטע ההיסטורי לומדים על סדרת פיבונצ'י ועל "יחס הזהב" הנקרא גם "חתך הזהב"‪.‬‬
‫כדאי לדעת‪ :‬פיבונצ'י גילה את הסדרה כפתרון לחידה על התרבות ארנבים‪.‬‬
‫‪192‬‬
‫אם זוג ארנבים מתחילים להמליט זוג חדש כל חודש‪ ,‬אבל צריכים לחכות חודש אחרי הלידה‬
‫עד לתחילת ההמלטות‪ ,‬כמה ארנבים יהיו אחרי ‪ 12‬חודשים? אפשר להציג לתלמידים את‬
‫הבעיה ואת פתרונה באמצעות טבלה‪ ,‬דיאגרמה‪ ,‬סרטוט או רישום‪.‬‬
‫בחודש הראשון יש זוג אחד חדש‪ ,‬בחודש השני יש עדיין זוג אחד שממתין חודש‪ .‬בחודש‬
‫השלישי הזוג ממליט ולכן יש כעת יש שני זוגות‪ .‬בחודש הרביעי‪ -‬זוג זה ממליט והזוג שנולד‪,‬‬
‫ממתין חודש ויש סה"כ שלושה זוגות‪ ,‬וכך ממשיכים ומגיעים לחמישה‪ ,‬לשמונה וכך הלאה‪.‬‬
‫להלן הטבלה המתאימה‪:‬‬
‫מס'‬
‫החודשים‬
‫מס'‬
‫הזוגות‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪8‬‬
‫‪13‬‬
‫‪21‬‬
‫‪34‬‬
‫‪55‬‬
‫‪89‬‬
‫‪144‬‬
‫אפשר לבקש מהתלמידים לחפש באינטרנט דוגמאות ל"חתך הזהב" בטבע‪ .‬מומלץ להראות‬
‫דוגמאות של בניינים‪ ,‬של ציורים‪ ,‬של צמחים ושל פרחים המתנהגים בהתאם לסדרה‪.‬‬
‫במשימה המופיעה בעמוד זה התלמידים נדרשים להשלים את מספר הגולות לכל ילד וכן‬
‫למצוא את תוצאת החילוק של מספר במספר הקודם לו‪ .‬אפשר לדון עם התלמידים בתוצאת‬
‫החילוק‪ .‬מספר זה מצוין כ"יחס הזהב"‪.‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪445‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬כתיבת מספרים עשרונים על‪-‬ידי שימוש במילים‪.‬‬
‫‪53‬‬
‫דוגמה‪ :‬שמונָה שלמים‪ ,‬חמש עשיריות ושלוש מאיות‪ 8.53 .‬והשבר‪:‬‬
‫‪100‬‬
‫‪.8‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬על התלמידים לצבוע את מערך המשבצות שלפניהם לפי הנתונים שבשאלה‪.‬‬
‫הלוח מכיל ‪ 120‬משבצות הצבועות כדלקמן‪:‬‬
‫‪ 40‬משבצות אדומות המהוות שליש מסך כל המשבצות;‬
‫‪ 30‬משבצות כחולות המהוות ‪ 0.25‬מסך כל המשבצות;‬
‫‪ 24‬משבצות צהובות המהוות ‪ 0.2‬מסך כל המשבצות;‬
‫‪ 26‬משבצות ירוקות‪.‬‬
‫להלן פתרון מתאים לנתוני השאלה‪:‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬כאן קושרים בין החלק השברי במספר המעורב לבין החלק השברי במספר‬
‫‪12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪12 24‬‬
‫ג( השארית של חלוקת ‪ 12‬ב‪ 5 -‬היא ‪.2‬‬
‫העשרוני‪ .‬א( ‪= 2 +‬‬
‫ב( ‪= = 2.4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5 10‬‬
‫ד( התוצאה של חלוקת ‪ 12‬ב‪ 5 -‬בעזרת המחשבון היא ‪.2.4‬‬
‫‪12 = 2 × 5 + 2‬‬
‫ה( תוצאת החילוק של התרגיל ‪ 12:5‬שווה למספר העשרוני ‪.2.4‬‬
‫‪2 4‬‬
‫ו( החלק השברי במספר המעורב שווה לחלק השברי במספר העשרוני‪. = = 0.4 .‬‬
‫‪5 10‬‬
‫‪193‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪446‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד בפרקים הקודמים‪ ,‬כגון פתרון שאלות מילוליות‪ ,‬הרחבה‬
‫וצמצום של שברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬א( התרגיל המתאים לפתרון השאלה הוא‬
‫‪30 × 70 + 25 × 50 + 12 × 30 = 2100 + 1250 + 360 = 3710‬‬
‫תשובה‪ :‬ביום א' הסכום שהיה בקופה הוא ‪.₪ 3,710‬‬
‫ב( התרגיל המתאים לפתרון השאלה הוא‬
‫‪[3630 − ( 32 × 70 + 18 × 30 )] : 50 = [3630 − ( 2240 + 540 )] : 50 = 850 : 50 = 17‬‬
‫ביום ב' נמכרו ‪ 17‬כרטיסים לאזור ב'‪.‬‬
‫ג( בשאלה זו ישנם מספר פתרונות אפשריים‪ .‬להלן שלושה פתרונות אפשריים‪:‬‬
‫מס' אפשרות‬
‫א‬
‫ב‬
‫ג‬
‫אזור א ‪₪ 70 -‬‬
‫‪ 25‬כרטיסים‬
‫‪ 25‬כרטיסים‬
‫‪ 25‬כרטיסים‬
‫אזור ב' ‪₪ 50 -‬‬
‫‪ 19‬כרטיסים‬
‫‪ 16‬כרטיסים‬
‫‪ 13‬כרטיסים‬
‫אזור ג' ‪₪ 30-‬‬
‫‪ 5‬כרטיסים‬
‫‪ 10‬כרטיסים‬
‫‪ 15‬כרטיסים‬
‫משימה מס' ‪ :2‬כאן נעשה קשר בין גאומטריה לבין שאלות כדאיוּת‪.‬‬
‫א( כדי לחשב את מחיר החוט יש לפעול לפי השלבים האלה‪:‬‬
‫נמצא את אורך החוט הנחוץ לגידור‪ 96 :‬מ'‪4 × ( 5 + 8 + 5 + 6 ) = 4 × 24 = 96 .‬‬
‫נכפול את אורך החוט במחירו למטר‪3 × 96 = 288 .₪ 288 :‬‬
‫ב( כדי למצוא איזו אפשרות זולה יותר‪ ,‬נחשב את עלות החוט מהסוג החלש יותר‪.‬‬
‫‪5 × ( 5 + 8 + 5 + 6 ) = 5 × 24 = 120‬‬
‫‪1‬‬
‫נכפול את אורך החוט במחיר החדש‪ ,‬ונחשב את העלות של החוט‪2 × 120 = 300 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . 300 > 288‬לכן‪ ,‬אפשרות א' זולה יותר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬הרחבת שברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬צמצום שברים‪.‬‬
‫‪194‬‬
‫יד‪ .‬חיבור וחיסור של מספרים עשרוניים‬
‫עמ' ‪478 - 447‬‬
‫רקע‬
‫פרק זה מוקדש ללימוד חיבור וחיסור של מספרים עשרוניים‪ .‬מומלץ לעודד את התלמידים‬
‫לחבר או לחסר מספרים עשרוניים במקרים פשוטים בעל‪-‬פה‪ .‬דוגמאות‪, 2 − 0.7 = ? :‬‬
‫? = ‪. 0.43 + 0.2‬‬
‫התלמידים ילמדו בפרק זה לחבר או לחסר במאונך‪ .‬יש להקפיד על כתיבת יחידות מתחת‬
‫ליחידות‪ ,‬עשיריות מתחת לעשיריות וכדומה‪ .‬נהוג לומר בקיצור כך "יש לכתוב את הנקודה‬
‫העשרונית מתחת לנקודה העשרונית"‪ .‬אמנם אפשר לבסס את כללי החיבור והחיסור על מעבר‬
‫לשבר‪ ,‬אך אפשר להתבסס ישירות על שיטת הכתיבה העשרונית‪.‬‬
‫מבחינה אלגוריתמית חיבור וחיסור של מספרים עשרוניים הם כמו חיבור וחיסור של מספרים‬
‫טבעיים‪ .‬לפיכך החלק "לעלות על הגל" עוסק בחיבור ובחיסור של מספרים טבעיים‪.‬‬
‫הדמיון וההבדלים בין מספרים טבעיים לבין מספרים עשרוניים הם מקור לטעויות רבות‪.‬‬
‫• ההבדל המשמעותי ביותר בין מספרים טבעיים לבין מספרים עשרוניים הוא שבניגוד‬
‫למספר טבעי‪ ,‬למספר עשרוני שאינו טבעי‪ ,‬אין מספר עוקב‪ .‬כאשר לא מבינים את‬
‫ההבדל הזה יש טעויות בחישוב ובכתיבה‪.‬‬
‫• קשה להבין שבין שני מספרים עשרוניים יש אין‪-‬סוף מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫• תלמידים רבים חושבים שמספר עשרוני מורכב משני מספרים שונים והוא אינו מספר‬
‫אחד המורכב משני חלקים‪ .‬בפעולות הם מתייחסים לכל "מספר" בנפרד ומחברים את‬
‫החלקים השלמים מצד אחד ואת החלקים של השברים מהצד השני‪ .‬לדוגמה‪ ,‬הם כותבים‬
‫ש‪ .(8+35=43 ,4+2=6) 2.35 + 4.8 = 6.43 :‬כשמפרטים את דרכי החישוב אפשר לחזור‬
‫מספר פעמים על מהות הפעולות ועל המספרים העשרוניים ולהקטין את הסיכוי לטעויות‪.‬‬
‫• בניגוד לחיבור של מספרים שלמים ‪ -‬שברוב המקרים אפשר לבדוק את החישוב בעזרת‬
‫קירוב התוצאה ‪ -‬ההפרש בין חישוב מדויק של סכום שני מספרים עשרוניים לבין הקירוב‬
‫ליחידות תמיד קטן מ‪ 1 -‬או שווה ל‪) 1 -‬אף ‪ ,2‬אם מעגלים בטעות את שני המספרים‬
‫באותה צורה(‪ ,‬ולכן האומדן אינו כלי יעיל לבדיקת החישוב‪ .‬לדוגמה‪1.49 + 2.98 = 3.47 ,‬‬
‫אך ‪ . 1.49 + 2.98 ≈ 1 + 3‬תלמידים שיכתבו ‪ 1.49 + 2.98 = 3.147‬לא יגלו את הטעות‪.‬‬
‫בדיקה במחשבון יעילה יותר‪ ,‬ויש לעודד את התלמידים לבצעה‪.‬‬
‫• בחיסור מספרים עשרוניים מתעוררים קשיים דומים לקשיים של חיסור מספרים שלמים‬
‫וכן קשיים נוספים‪ .‬דוגמאות‪) 3.2 − 1.9 = ? :‬חיסור עם המרה(; = ‪) 3.02 − 1.9‬חיסור עם‬
‫המרה ומ‪) 2.5 − 1.78 = ? ;(0 -‬חיסור ממקום "ריק"(‪ .‬תרגילי החיסור יוצגו בפני‬
‫התלמידים בהדרגה‪ ,‬כפי שנעשה במספרים הטבעיים‪.‬‬
‫מומלץ להרגיל את התלמידים לבדוק את פתרונותיהם על‪ -‬ידי פתירת תרגיל חיבור‬
‫"הפוך"‪.‬‬
‫מומלץ להקדיש לנושא כ‪ 8 -‬שעות לימוד‪.‬‬
‫מושגים‬
‫מספר עשרוני‪ ,‬פעולות חיבור וחיסור של מספרים עשרוניים‪ ,‬המרה‪ ,‬עיגול מספר עשרוני‪ ,‬נקודה‬
‫עשרונית מתחת לנקודה עשרונית‪ ,‬הנחה‪ ,‬התייקרות‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬לעגל מספרים עשרוניים לשלם הקרוב לפי המוסכמות של עיגול מספרים;‬
‫ב‪ .‬לעגל מספרים עשרוניים לעשירית הקרובה לפי המוסכמות של עיגול מספרים;‬
‫ג‪ .‬לחבר שני מספרים עשרוניים;‬
‫‪195‬‬
‫ד‪ .‬להשתמש באלגוריתם של חיבור מספרים עשרוניים כדי למצוא סכום של עד ארבעה‬
‫מחוברים;‬
‫ה‪ .‬לחסר מספרים עשרוניים;‬
‫ו‪ .‬לחסר מספר עשרוני ממספר שלם;‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫טבלת המבנה העשרוני‪ ,‬קבלה לאחר קנייה במרכול‪.‬‬
‫אביזרי "חשבון ‪ :"10‬מד‪-‬מטר של מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על חיבור של ‪ ,10‬של ‪ 100‬ושל ‪1,000‬‬
‫מבקשים מאחד התלמידים לומר מספר תלת‪-‬ספרתי‪ ,‬והתלמידים בשורה או בקבוצה מוסיפים‬
‫בתורם ‪ 100 ,10‬או ‪ ,1,000‬לפי החלטת המורה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על חיסור של ‪ ,10‬של ‪ 100‬ושל ‪.1,000‬‬
‫כמו בפעילות א'‪ ,‬אך בפעולת חיסור‪.‬‬
‫ג‪ .‬חזרה על "חישובים בראש"‪.‬‬
‫המורה בוחרת מספר )כפולות של ‪ ,5‬של ‪ 10‬או של ‪ (25‬ומציעה סדרה של כחמש פעולות‪.‬‬
‫התלמידים אינם כותבים‪ ,‬אלא מבצעים את החישובים "בראש"‪ .‬לדוגמה‪ ,‬מתחילים ב‪75 -‬‬
‫"ועוד ‪" ,"100‬פחות ‪" ,"25‬ועוד ‪" ,"200‬ועוד ‪" ,"120‬פחות ‪ ."20‬בסוף התרגיל חוזרים אחורה‪,‬‬
‫ושואלים אילו פעולות נדרשו‪.‬‬
‫ד‪ .‬חזרה על "חצי של"‪.‬‬
‫אחד מהתלמידים אומר מספר‪ .‬השכן שלו מחשב את החצי של המספר‪ ,‬גם אם המספר אינו‬
‫זוגי‪.‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬פעילות לקבוצות‪ .‬מספר ימים לפני השיעור מתבקשים התלמידים לבדוק בחנות‬
‫כלשהי מחירים של מוצרים )לחם‪ ,‬חלב‪ ,‬סוכרייה‪ (...‬על‪-‬פי רשימה שאפשר להכין בקבוצה‪.‬‬
‫בשיעור תהיה רשימה לכל קבוצה או רשימה אחידה לכל הכיתה‪ .‬המורה אומרת מספר שלם‬
‫)אחרי בדיקה של סדר גודל המספרים הרשומים( ושואלת‪" :‬לפי הרשימות‪ ,‬מחירו של איזה‬
‫מוצר הוא בערך שלושה שקלים? ארבעה שקלים?" בדיון בודקים מתי מעגלים ל‪ 3 -‬ומתי ל‪.4 -‬‬
‫פעילות ב‪ :‬בכל קבוצה תלוש קנייה של ‪ 10‬שקלים או של ‪ 50‬שקלים לפי סדר גודל המחירים‬
‫שברשימה‪ .‬על התלמידים להעריך בתוך זמן קצר )למשל‪ ,‬שלוש דקות( אילו מוצרים הם יכולים‬
‫לקנות‪ ,‬ולהצדיק את ההערכה‪.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬כותבים על הלוח תרגילים‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪3 1‬‬
‫?= ‪+‬‬
‫‪4 2‬‬
‫? = ‪0.75 + 0.5‬‬
‫התלמידים מתבקשים להעריך את סדר הגודל של התוצאה‪.‬‬
‫בדיון שואלים‪" :‬באילו מספרים ההערכה קלה יותר? למה?"‬
‫‪196‬‬
‫‪4‬‬
‫‪25‬‬
‫‪+‬‬
‫?=‬
‫‪10 100‬‬
‫? = ‪0.4 + 0.25‬‬
‫פעילות ד‪ :‬התלמידים מתבקשים להציע שיטות לחיבור מספרים עשרוניים )לפי מה שהם‬
‫זוכרים משנים קודמות או לפי דעתם(‪ .‬בודקים את השיטות בעזרת התרגילים שבפעילויות‬
‫א'‪-‬ג' או בעזרת תרגילים אחרים‪ .‬אחרי הדיון רושמים את השיטות על הלוח‪.‬‬
‫פעילות ה‪ :‬התלמידים בכל קבוצה מכינים "רשימת קניות" )או משתמשים בבחירה של‬
‫פעילות ב'( ומחשבים בדיוק את הסכום שעליהם לשלם‪ .‬רושמים את ההצעות על הלוח‪ ,‬ואם‬
‫אלגוריתם הסכום אינו מופיע‪ ,‬מציעים אותו‪.‬‬
‫פעילות ו‪ :‬התלמידים בכל קבוצה משלמים אחד מהסכומים באמצעות שטר כסף מסוים‪,‬‬
‫ועליהם להציע דרך לחישוב העודף‪ .‬רושמים את ההצעות על הלוח‪ ,‬ואם אלגוריתם ההפרש‬
‫אינו מופיע‪ ,‬מציעים אותו‪.‬‬
‫פעילות ז‪ :‬מספר ימים לפני השיעור התלמידים מתבקשים להיכנס לחנות כלשהי שיש בה‬
‫מוצרים במבצע‪ ,‬ולערוך רשימה של הנתונים האלה‪ :‬מחיר המוצר לפני ההנחה )בשקלים(‪,‬‬
‫ההנחה שניתנה למוצר זה )בשקלים(‪ ,‬או המחיר אחרי ההנחה‪ .‬על התלמידים לחשב את‬
‫המחיר הסופי של המוצר או את סכום ההנחה שניתנה‪ ,‬בהתאם לנתונים‪ .‬שאלת דיון‪ (1 :‬כיצד‬
‫אפשר לענות על השאלות האלה? ‪ (2‬האם אפשר לדעת מה היה מחיר המוצר לפני ההנחה‪,‬‬
‫ואילו נתונים דרושים כדי לענות על שאלה זו?‪.‬‬
‫פעילות ח‪ :‬התלמידים מתבקשים לאסוף נתונים על ההתייקרות של המוצרים בחנויות שונות‪.‬‬
‫יש להדריך את התלמידים שאם בחנות כתובה ההנחה באחוזים‪ ,‬עליהם לשאול את המוכר‬
‫מהי ההנחה בשקלים‪ .‬אם אין מוצרים שהתייקרו‪ ,‬התלמידים מתבקשים לחבר משימה‬
‫כלשהי בנושא זה ולהגיש אותה לקבוצה‪ .‬הדיון כמו בפעילות הגילוי הקודמת‪.‬‬
‫פעילות ט‪ :‬רושמים על הלוח מספר עשרוני )לדוגמה‪ .(45.67 ,‬תחילה על התלמידים להעריך‬
‫כמה שלבּים נדרשים כדי להגיע למספר הקטן מ‪ 48 -‬אבל הקרוב לו ביותר‪ ,‬כאשר בכל שלב‬
‫מוסיפים ‪ .0.1‬אחר‪-‬כך כל אחד מהתלמידים מוסיף בתורו ‪ .0.1‬זו הזדמנות לחזור על סדר‬
‫המספרים העשרוניים‪.‬‬
‫פעילות י‪ :‬שאלה מילולית‪ :‬בשנת ‪ 1980‬החליטוּ שרי הממשלה להחליף את עשר לירות בשקל‬
‫אחד‪ .‬על התלמידים להציע מחירים בלירות ומחירים מתאימים בשקלים ולהפך‪.‬‬
‫פעילות יא‪ :‬שאלה מילולית‪ :‬בשנת ‪ .1985‬החליטוּ שרי הממשלה להחליף את ‪ 100‬השקלים‬
‫בשקל חדש אחד‪ .‬על התלמידים להציע מחירים בשקלים ישנים ומחירים מתאימים בשקלים‬
‫החדשים ולהפך‪.‬‬
‫השיעור בספר הלימוד‬
‫האם אנו מוכנים? תשובות‪:‬‬
‫‪ .1‬ד; ‪ .2‬ג; ‪ .3‬א; ‪ . 4‬ב;‬
‫‪ .5‬א;‬
‫‪ .6‬ג;‬
‫‪ .7‬ב;‬
‫‪ .8‬ד;‬
‫‪ .9‬ד;‬
‫‪ .10‬א‪.‬‬
‫לעלות על הגל‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :448‬חיבור בטור‬
‫בשיעור זה חוזרים על החיבור בטור‪ .‬יש להזכיר לתלמידים את הכללים לכתיבת מספרים בטור‬
‫בחיבור‪ .‬חשוב להזכיר לתלמידים גם כיצד לבדוק את תוצאת החיבור על‪-‬ידי קירוב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת יישום‪.‬‬
‫‪197‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬אומדן של סכום‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :449‬חיסור בטור‬
‫בשיעור זה חוזרים על חיסור בטור‪ .‬יש להזכיר לתלמידים את הכללים לכתיבת מספרים בטור‬
‫בחיסור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משוואות חיבור וחיסור‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :450‬עיגול מספרים‬
‫בשיעור זה חוזרים על עקרונות של עיגול מספרים גדולים‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :6 - 5‬חזרה על משמעות הספרה במספרים גדולים דרך שינוי אחת מהספרות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬עיגול המספרים ועיגול סכום המספרים‪.‬‬
‫המטרה היא לחלק ההבנה שסכום העיגולים של מספרים שווה לעיגול הסכום‪.‬‬
‫א( סכום המספרים הוא ‪ .29,326‬אם נעגל את התוצאה לאלפים‪ ,‬נקבל ‪.29,000‬‬
‫ב( נעגל כל אחד מהמספרים לאלף הקרוב‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫עיגול המספר לאלפים‬
‫המספר‬
‫‪6,000‬‬
‫‪6,463‬‬
‫‪3,000‬‬
‫‪3,009‬‬
‫‪2,000‬‬
‫‪1,986‬‬
‫‪4,000‬‬
‫‪4,274‬‬
‫‪6,000‬‬
‫‪5,730‬‬
‫‪8,000‬‬
‫‪7,864‬‬
‫‪29,000‬‬
‫הסכום‬
‫יחידת הלימוד ‪ -‬הקניה‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :451‬עיגול מספרים עשרוניים למספרים שלמים‬
‫בשיעור זה לומדים לעגל מספרים עשרוניים‪ ,‬שבחלק השברי שלהם יש רק עשיריות‪ ,‬למספרים‬
‫שלמים‪ .‬הכלל הוא כמו במספרים שלמים‪ ,‬כלומר אם ספרת העשיריות קטנה מ‪ ,5 -‬מעגלים‬
‫כלפי מטה )השלם הקודם(‪ ,‬ואם ספרת העשיריות גדולה מ‪ 5 -‬או שווה ל‪ ,5 -‬מעגלים כלפי מעלה‬
‫)השלם הבא(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬התלמידים נדרשים לתחום כל מספר עשרוני בין שני מספרים שלמים‪ .‬לאחר‬
‫מכן הם נדרשים לעגל את המספר העשרוני למספר שלם לפי הכלל שלמדו בשיעור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ : :2‬עיגול מספרים עשרוניים למספרים שלמים בנושא של מידות של אורכי‬
‫צלעות במצולע‪ .‬זו הזדמנות טובה לחזור על סימון של צלעות בדרך המקובלת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬זיהוי מספר עשרוני על ציר המספרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬תיחום מספרים עשרוניים בין מספרים שלמים עוקבים וכן עיגול המספרים‬
‫למספרים שלמים‪.‬‬
‫‪ 5.3‬קרוב יותר ל‪ 5 -‬וגדול מ‪.5 -‬‬
‫דוגמה‪5 < 5.3 < 6 :‬‬
‫‪198‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬חיבור מספרים עשרוניים על‪-‬ידי עיגולם לשלמים‪.‬‬
‫דוגמה‪8.99 + 2.99 ≈ 9 + 3 ≈ 12 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬שאלה מילולית ליישום עיגול מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :453‬עיגול לעשיריות‬
‫בשיעור זה לומדים לעגל מספרים עשרוניים לעשיריות‪ .‬עיגול מספרים עשרוניים לעשיריות‬
‫נעשה לפי אותם הכללים של עיגול מספרים )ביחס לספרה ‪ 5‬של המאיות(‪ .‬ההבדל בין עיגול‬
‫מספרים שלמים לבין עיגול מספרים עשרוניים בא לידי ביטוי בכך שבעיגול מספרים עשרוניים‬
‫מספר הספרות ֵ‬
‫קטן‪ ,‬ואילו בעיגול מספרים שלמים מספר הספרות במספר אינו משתנה בהכרח‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬נעגל לעשיריות את המספר ‪ 5.37‬ונקבל‪.5.4 :‬‬
‫באותו אופן‪ ,‬אם נעגל לעשיריות כל אחד מהמספרים‪ 5.35 :‬או ‪ 5.36‬או ‪ 5.38‬או ‪ ,5.59‬נקבל‬
‫‪.5.4‬‬
‫כמו‪-‬כן אם נעגל לעשיריות את המספרים‪ 5.41 :‬או ‪ 5.42‬או ‪ 5.43‬או ‪ ,5.44‬נקבל ‪.5.4‬‬
‫התלמידים עלולים להתקשות בעיגול של מספרים עשרוניים לעשיריות לדוגמה‪ ,‬את המספרים‬
‫‪ 5.03 ,5.02 ,5.01 ,4.99 ,4.98 ,4.97 ,4.96‬או ‪ 5.04‬מעגלים לעשיריות כך‪ .5.0 :‬במספרים ‪,4.95‬‬
‫‪ 4.99 ,4.98 ,4.97 ,4.96‬ספרת המאיות גדולה מ‪ 5 -‬או שווה ל‪ ,5 -‬ולכן יש לעגל כלפי מעלה‪ ,‬ולכן‬
‫המספר שמתקבל הוא ‪ .5.0‬אין לרשום את המספר השלם ‪ ,5‬מפני שהעיגול הוא לעשיריות‪,‬‬
‫כלומר ספרת העשיריות צריכה להופיע‪ .‬כך נעשה במספרים ‪ ,5.04 ,5.03 ,5.02 ,5.01‬אך הפעם‬
‫מעגלים כלפי מטה‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :8 - 7‬תרגול בעיגול מספרים עשרוניים לעשיריות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימת יישום‪ .‬לפי האמור לעיל‪. 21.01 ≈ 21.0 , 25.99 ≈ 26.0 , 3.02 ≈ 3.0 ,‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :454‬שקלים ואגורות‬
‫בשיעור זה התלמידים מעגלים סכומים של כסף בקניות ובתשלומים‪ .‬כדאי לשוחח עם‬
‫התלמידים על אגורה אחת )ולהראות להם אותה‪ ,‬אם יש אפשרות( ועל ביטול מטבע זה‪) .‬לפי‬
‫רמת הכיתה אפשר לספר על הסיבות לביטול‪ (.‬בגלל ביטול המטבע של אגורה אחת מעגלים ל‪5 -‬‬
‫אגורות‪ .‬אפשר לייצג זאת כך‪:‬‬
‫‪ 9‬אג' ‪ 8‬אג' ‪ 7‬אג' ‪ 6‬אג'‬
‫‪ 10‬אג'‬
‫‪ 4‬אג' ‪ 3‬אג' ‪ 2‬אג' ‪ 1‬אג'‬
‫‪ 5‬אג'‬
‫מעגלים ל‪ 10 -‬אג'‬
‫‪ 0‬אג'‬
‫מעגלים ל‪ 0 -‬אג'‬
‫מעגלים ל‪ 5 -‬אג'‬
‫משימה מס' ‪ :10‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :12 - 11‬במשימות אלה על התלמידים לעגל את המחיר לשלמים )לשקלים(‪,‬‬
‫לעשירית השקל ול‪ 5 -‬אגורות )מאיות שקל(‪ .‬לעיגול המחירים לעשיריות יש משמעות בחיי‬
‫היום‪-‬יום‪ ,‬כי לעתים קרובות המוכרים אינם דורשים תשלום ‪ 5‬אגורות‪ ,‬אלא מעגלים את‬
‫המחיר לעשירית השקל‪.‬‬
‫‪199‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :455‬חיבור מספרים עשרוניים )בלי המרה(‬
‫קטע שיעור זה מוקדש ללימוד של חיבור מספרים עשרוניים ללא המרה‪ .‬ישנן דרכים שונות‬
‫לפתרון תרגילי חיבור‪ :‬דרך אחת מבוססת על מעבר לשבר "פשוט"; ודרך אחרת מבוססת על‬
‫שיטת הכתיבה העשרונית‪ .‬כלומר אפשר לחבר את המספרים העשרוניים באלגוריתם של חיבור‬
‫בטור‪ ,‬שהוא דומה לאלגוריתם של חיבור מספרים שלמים‪ .‬הסיבה לכך היא שתמיד אפשר‬
‫לכתוב מספר עשרוני )שאינו שלם( כמספר שלם שיחידתו היא היחידה הימנית במספר המקורי‪.‬‬
‫לדוגמה‪ 7.12 ,‬שווה ל‪ 712 -‬מאיות‪ .‬כאשר רוצים לחבר שני מספרים עשרוניים‪ ,‬מבטאים אותם‬
‫באותה היחידה )רושמים אפסים מימין למספר לפי הצורך‪ .‬לדוגמה‪ 21.8 ,‬שווה ל‪ 218 -‬עשיריות‬
‫או ל‪ 2180 -‬מאיות‪ .‬חיבור המספרים ‪ 7.12‬ו‪ 21.8 -‬זהה לחיבור המספרים ‪ 712‬ו‪.2180 -‬‬
‫בשיעור זה לומדים התלמידים גם לאמוד את התוצאה על‪-‬ידי עיגול המחוברים למספרים‬
‫שלמים‪ .‬חישוב בקירוב נותן סדר גודל של הסכום המדויק‪ .‬אם התלמידים טועים בהערכה‪ ,‬הם‬
‫יכולים לדעת שצריך לתקן את החישוב‪ .‬יש להדריך את התלמידים לכתוב סימן "שוויון‬
‫בקירוב" כאשר הם רושמים את עיגול המספר‪ ,‬וסימן שוויון מדויק כאשר הם מחברים את‬
‫התוצאות בדיוק‪ .‬דוגמאות‪3.4 + 4.3 ≈ 3 + 4 = 7 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬משימת יישום‪ .‬התלמידים נדרשים לפתור תרגילי חיבור בשתי השיטות‬
‫שנלמדו בשיעור‪ :‬על‪-‬ידי מעבר לשבר ה"פשוט" ועל‪-‬ידי חיבור בטור המבוסס על שיטת הכתיבה‬
‫העשרונית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬תרגול של הפיכת מספרים עשרוניים לשברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬משימה הפוכה‪" :‬תרגום" משברים למספרים עשרוניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬קירוב לסכום מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬התלמידים נדרשים לאמוד תחילה את התוצאה ואחר‪-‬כך לחשב בטור את‬
‫תרגילי החיבור שלפניהם‪ .‬אומדן התוצאה נעשה על‪-‬ידי עיגול המספרים העשרוניים למספרים‬
‫שלמים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬משימת יישום‪ .‬התלמידים יפתרו את תרגילי החיבור בדרך הנוחה להם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬במשימה זו משולבות מספר מיומנויות‪ :‬מילוי טבלה‪ ,‬עיגול מספרים‬
‫עשרוניים למספרים שלמים‪ ,‬חישוב תוצאת החיבור בקירוב וכן חישוב מדויק‪ .‬הטבלה המלאה‬
‫תיראה כך‪:‬‬
‫המחובר‬
‫הראשון‬
‫‪8.12‬‬
‫‪18.01‬‬
‫‪5.1‬‬
‫‪0.2‬‬
‫המחובר עיגול המחובר‬
‫הראשון לשלמים‬
‫השני‬
‫‪8‬‬
‫‪5.72‬‬
‫‪18‬‬
‫‪2.09‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7.85‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0.42‬‬
‫עיגול המחובר‬
‫השני לשלמים‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪0‬‬
‫הסכום‬
‫בקירוב‬
‫‪14‬‬
‫‪20‬‬
‫‪13‬‬
‫‪0‬‬
‫הסכום‬
‫המדויק‬
‫‪13.84‬‬
‫‪20.1‬‬
‫‪12.95‬‬
‫‪0.62‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬במשימה זו נדרשת רמת הפשטה גבוהה‪ ,‬ולכן משימה זו עלולה להיות קשה‬
‫לחלק מתלמידי הכיתה‪ .‬כדי להבין את המשימה מומלץ לרשום על‪-‬גבי הלוח מספר דוגמאות‬
‫ולהראות שההפרש בין הסכום בקירוב לבין הסכום המדויק אינו גדול מ‪ .1 -‬אפשר להיעזר גם‬
‫בטבלה שבמשימה הקודמת‪ .‬בטבלה רואים שההפרש אינו גדול מ‪ .1 -‬עיגול של מספר עשרוני‬
‫למספר שלם )ליחידות( לא יכול להיות גדול ביותר מ‪ 0.5 -‬או קטן ביותר מ‪ 0.5 -‬מהמספר‬
‫המקורי‪ .‬לפיכך אם מחברים שני מספרים עשרוניים‪ ,‬ההפרש בין סכום המספרים המעוגלים‬
‫לבין הסכום המדויק לא יהיה יותר מ‪ ,1 -‬שכן ‪.1=0.5+0.5‬‬
‫‪200‬‬
‫‪ ; 1.49 + 2.98 ≈ 1 + 3 = 4‬ההפרש בין הסכום‬
‫דוגמה‪ ; 1.49 + 2.98 = 3.47 :‬קירוב התרגיל‪:‬‬
‫המקורב לסכום המדויק קטן מ‪ .1-‬אם מעגלים את שני המספרים )בטעות( לשלם הקרוב‬
‫העליון )‪ 2‬ו‪ ,(3 -‬ההפרש קטן מ‪.2 -‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :458‬חיסור מספרים עשרוניים )בלי המרה(‬
‫קטע שיעור זה מוקדש ללימוד של חיסור מספרים עשרוניים ללא המרה‪ .‬בדומה לחיבור‪ ,‬גם‬
‫חיסור מספרים עשרוניים דומה לחיסור של מספרים טבעיים‪.‬‬
‫יש להדגיש לתלמידים את המיקום של הנקודות העשרוניות בכתיבת תרגיל חיסור בטור‪:‬‬
‫נקודה מתחת לנקודה‪ .‬בחיסור של המספרים השלמים "מיישרים לימין"‪ ,‬ואילו בחיסור‬
‫המספרים העשרוניים שיטה זו אינה מתאימה‪ .‬לכן חשוב מאוד לוודא כל הזמן שהיחידות‬
‫המתאימות רשומת זו מתחת זו‪ ,‬והנקודות העשרוניות זו מתחת זו‪ ,‬ורק אחר‪-‬כך מחסרים כמו‬
‫מספרים שלמים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬משימת יישום‪ .‬התלמידים נדרשים לכתוב תחילה כל תרגיל חיסור במאונך‬
‫ואחר‪ -‬כך לפתור אותו‪ .‬תרגול כתיבת התרגילים במאונך חשוב מאוד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬פתרון של שאלה מילולית שנדרש בה תרגיל חיסור של מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫התרגיל המתאים לפתרון הוא ? = ‪ . 3.78 − 2.05‬התלמידים יוכלו לפתור את התרגיל בכל דרך‬
‫הנוחה להם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬פיתוח הבנה מספרית‪ .‬פותרים תרגילים בטור‪ ,‬וצריך להשלים את המספרים‬
‫בספרות חסרות בהתאם לתנאים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬שאלה מילולית‪.‬‬
‫התרגיל המתאים לפתרון השאלה הוא ‪2.875 − 1.725 = 1.15‬‬
‫התשובה המתאימה משקל המים הוא ‪ 1.15‬ק"ג‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :459‬חיבור בטור של מספרים עשרוניים הקטנים מ‪1 -‬‬
‫קטע שיעור זה מוקדש ללימוד חיבור של מספרים עשרוניים הקטנים מ‪ .1 -‬עד כה פתרו‬
‫התלמידים תרגילי חיבור של שני מספרים עשרוניים‪ .‬כעת הם יחברו יותר משני מחוברים‪ .‬נוסף‬
‫על כך‪ ,‬תתבצע המרה‪ .‬מומלץ לחזור על המרה בחיבור של מספרים טבעיים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬משימת יישום של חיבור שני מספרים עשרוניים קטנים מ‪ ,1 -‬למעט בסעיף ד'‬
‫שיש בו שלושה מחוברים‪0.4 + 0.31 + 0.9 = 1.61 .‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬סכום של שני מספרים קטנים מ‪ 1 -‬הוא תמיד קטן מ‪ .2 -‬באותו אופן סכום‬
‫של שלושה מספרים קטנים מ‪ 1 -‬הוא תמיד קטן מ‪.3 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬פיתוח הבנה מספרית‪ .‬משוואות חיבור‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :460‬חיבור מספרים עשרוניים )עם המרה(‬
‫שיעור זה מוקדש ללימוד של חיבור מספרים עשרוניים עם המרה‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :29 - 28‬משימות יישום של חיבור מספרים עשרוניים עם המרה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬על התלמידים לעלות בפירמידה מהבסיס לפסגה‪ .‬המספר בעיגול העליון הוא‬
‫‪.10‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬התלמידים נדרשים למצוא את הספרות החסרות בתרגילי החיבור הנתונים‪.‬‬
‫‪201‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬בכל סעיף על התלמידים לחבר שלושה מספרים עשרוניים ולבדוק את‬
‫התשובה בעזרת קירוב התוצאה‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :35 - 33‬תרגול חיבור של מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :463‬חיסור מספר עשרוני ממספר טבעי‬
‫בשיעור זה לומדים לחסר בטור מספר עשרוני ממספר טבעי‪ .‬חשוב להבהיר לתלמידים את אופן‬
‫הכתיבה של המספרים זה מתחת זה‪ :‬החלקים השלמים זה מתחת זה‪ ,‬הנקודות העשרוניות זו‬
‫מתחת זו‪ .‬להקלת החישובים כדאי לכתוב עוד אפסים אחרי הנקודה העשרונית כדי לאזן את‬
‫מספר הספרות של החלקים של השברים‪ .‬לדוגמה‪ . 10 − 5.3 = 10.0 − 5.3 = ,‬רק עכשיו כדאי‬
‫לרשום את השברים זה מתחת זה )עשיריות מתחת לעשיריות וכדומה(‪ .‬כך יפחתו הטעויות‬
‫הנפוצות אצל התלמידים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬משימת יישום‪ .‬התרגילים כבר רשומים בטור‪ ,‬לכן יש להדריך את התלמידים‬
‫לכתוב במספר השלם נקודה עשרונית ואפס ולאחר מכן לחסר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬שאלה מילולית שנדרש בה תרגיל חיסור‪ .‬התרגיל המתאים לפתרון השאלה‬
‫הוא ‪. 1 − 0.92 = 0.08‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬תרגול פעולות חיסור של מספרים עשרוניים ממספרים שלמים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :39‬משוואות חיבור‪ .‬הסכום הוא מספר "עגול"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬פיתוח הבנה מספרית‪ .‬משוואות חיבור באופן מילולי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬פעולות חיסור של מספר עשרוני ממספר שלם בשלבים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :465‬חיסור מספרים עשרוניים בטור )עם המרה(‬
‫שיעור זה מוקדש לחיסור של שני מספרים עשרוניים עם המרה‪.‬‬
‫מחסרים מספרים עשרוניים כשם שמחסרים מספרים טבעיים עם המרה‪ .‬כתיבת המספרים‬
‫העשרוניים במאונך בצורה הנכונה משמעותית מאוד בפתרון התרגילים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬משימת יישום של חיסור מספר עשרוני ממספר טבעי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬תרגילי חיסור של מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :44‬במשימה זו מיוצג תרגיל חיסור על ציר המספרים‪ .‬התרגיל המוצג על ישר‬
‫המספרים הוא ‪. 32 − 10.7 = 21.3‬‬
‫משימה מס' ‪ :45‬במשימה זו עוסקים בסדרות עולות ויורדות של המספרים העשרוניים‪ .‬כאשר‬
‫משלימים את הסדרה‪ ,‬מתבוננים היטב במספרים הנתונים בסדרה ומנתחים את המצב‪.‬‬
‫בסדרות במשימה זו קיימים כללים מסוימים המתבטאים בהוספה )או בהפחתה( של מספר‬
‫קבוע לאיברים של הסדרה‪ ,‬כלומר כדי לקבל את האיבר הבא מוסיפים )או מפחיתים( מספר‬
‫עשרוני קבוע למספר הקודם‪ .‬בסעיף א' תמיד מוסיפים ‪ .0.3‬כאשר יודעים את המספר הקבוע‪,‬‬
‫קל להשלים את הסדרה‪ ,‬לכן חשוב לדון עם התלמידים במציאת הכלל )או החוקיות(‪ .‬אפשר גם‬
‫לדון בכך בקבוצה ואחר‪-‬כך לרשום את הכלל ולהמשיך בחיפוש האיברים החסרים‪ .‬את כל‬
‫החישובים יבצעו התלמידים במחברתם בדרך הנוחה להם‪ .‬יש לעודד את התלמידים לחשב‬
‫בעל‪-‬פה ומדי פעם לשאול אותם כיצד הם חישבו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :46‬שתי שאלות מילוליות ליישום העיקרון של חיסור מספר עשרוני ממספר שלם‪.‬‬
‫‪202‬‬
‫משימה מס' ‪ :47‬קירוב הפרש מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :467‬הנחה והתייקרות‬
‫מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי א' ו‪ -‬ב' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה עוסקים במספרים עשרוניים‬
‫בחיי היום‪-‬יום‪ ,‬והפעם‪ :‬הנחות והתייקרויות של מוצרים שונים‪ .‬יש לדון עם התלמידים באוצר‬
‫המילים השייך להנחות )"פחת"‪" ,‬להפחית"‪" ,‬בהנחה של" "המחיר ירד" וכדומה( ולהתייקרות‬
‫)"להעלות"‪" ,‬עלה"‪" ,‬להתייקר"‪" ,‬התייקרות" וכדומה(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :48‬פתרון של שאלה מילולית מחיי היום‪ -‬יום שנדרשת בה פעולת חיסור‪ .‬התרגיל‬
‫המתאים לפתרון הוא ‪ . 16.50 − 4.99 = 11.51‬כדאי לדון עם התלמידים בכך שאין משתמשים‬
‫באגורה אחת‪ ,‬ולכן המחיר לאחר ההנחה הוא ‪.₪ 11.5‬‬
‫משימות מס' ‪ :51 - 49‬משימות יישום‪ .‬שאלות מילוליות העוסקות בהנחה ובהתייקרות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :52‬עיגול של מספרים עשרוניים‪ .‬כל אחת מהבנות עיגלה בצורה שונה‪ .‬שוש עיגלה‬
‫את המספרים העשרוניים למספרים שלמים‪ ,‬ואילו שרונה עיגלה את המספרים העשרוניים‬
‫לעשיריות‪ .‬לכן נוצר פער בין החישובים של הבנות‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :55 - 53‬שאלות מילוליות מחיי היום‪-‬יום‪ .‬יש לחבר או לחסר מספרים עשרוניים‬
‫ולעגל אותם‪.‬‬
‫מה למדנו‪ ,‬עמוד ‪:469‬‬
‫משימה מס' ‪ :56‬במשימה זו מופיע ריבוע קסם‪ .‬בריבוע הקסם סכום המספרים בכל שורה‪,‬‬
‫בכל טור ובכל אלכסון זהה‪ .‬סכום המספרים בכל שורה הוא ‪ .1.5‬סכום המספרים בכל ריבוע‬
‫הקסם הוא ‪.4.5‬‬
‫הריבוע המלא‪:‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.7‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.9‬‬
‫‪0.8‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪0.4‬‬
‫משימה מס' ‪ :57‬משימה זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה‪ .‬השלמת הסדרה‬
‫שבסעיף ב' מצריכה מעבר משבר למספר עשרוני‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמודים ‪474 – 470‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת תרגול של חיבור מספרים שלמים בתוך כדי שימוש באומדן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימת תרגול של חיבור וחיסור של מספרים שלמים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימת תרגול של חיסור בטור של מספרים שלמים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימה זו אינה משימת חיבור פשוטה של מספרים עשרוניים‪ .‬במשימה זו יש‬
‫להפוך מספר עשרוני למספרים מעורבים‪ ,‬לחבר מספרים מעורבים בעלי מכנים שונים‪ ,‬ולהפוך‬
‫את התוצאה למספר עשרוני‪.‬‬
‫‪81‬‬
‫‪1‬‬
‫‪81‬‬
‫‪10‬‬
‫‪91‬‬
‫‪5.81 + 14.1 = 5‬‬
‫‪+ 14 = 5 + 14 +‬‬
‫‪+‬‬
‫‪= 19‬‬
‫דוגמה‪= 19.91 :‬‬
‫‪100‬‬
‫‪10‬‬
‫‪100 100‬‬
‫‪100‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬משימת תרגול של חיבור מספרים עשרוניים בטור‪.‬‬
‫‪203‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬שאלה מילולית זו עלולה ליצור קושי אצל התלמידים‪ .‬המילים המופיעות‬
‫בשאלה כמו "מכר" ובעיקר "הפסיד" עלולות להוביל את התלמידים לחשוב שהפתרון המתאים‬
‫לשאלה זו הוא תרגיל חיסור‪ .‬התרגיל המתאים לפתרון השאלה הוא ‪. 50 + 4.40 = 54.4‬‬
‫תשובה‪ :‬עודד קנה את התקליטור ב‪.₪ 54.4 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬משימת תרגול של חיסור מספרים עשרוניים בטור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬משקל הבקבוק הוא ‪ 0.1‬ק"ג‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימת תרגול של חיבור מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬תוצאת התרגיל היא ‪.4.5‬‬
‫‪0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.5 + 0.6 + 0.7 + 0.8 + 0.9 = 4.5‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬משימת תרגול של חיבור מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬שימוש בחוק החילוף ובחוק הקיבוץ‪ .‬ההשלמה לשלמים יכולה לסייע בפתרון‬
‫התרגיל ביתר קלות‪ .‬כדאי לדון בדרכי הפתרון‪ .‬דוגמאות‪:‬‬
‫‪10.3 + 5.7 + 2.2 = ( 10.3 + 5.7 ) + 2.2 = 16 + 2.2 = 18.2‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬משימת תרגול של חיבור מספרים עשרוניים בטור )שלושה מחוברים(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬משימת תרגול של חיסור מספר עשרוני ממספר שלם‪.‬‬
‫דוגמאות‪453 − 0.4 = 452.6 , 8 − 0.2 = 7.8 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬במשימה זו מפתחים דרכי פתרון של תרגילי חיסור‪ .‬הדרך המוצגת במשימה‬
‫זו היא חיסור של החלק השלם של המחסר ואחר‪-‬כך חיסור של החלק השברי שלו‪.‬‬
‫דוגמאות‪19 − 3.8 = 19 − 3 − 0.8 = 16 − 0.8 = 15.2 :‬‬
‫‪100 − 5.8 = 100 − 5 − 0.8 = 95 − 0.8 = 94.2‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬שאלה מילולית בנושא גבהים לשם תרגול בהשוואה בין מספרים עשרוניים‪,‬‬
‫וכן חיבור וחיסור של מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫א( שמות הילדים מהגבוה לנמוך‪ :‬ליאור‪ ,‬עידן‪ ,‬דור ולירז‬
‫ב( ליאור גבוה מעידן ב‪ 0.13 -‬מ'‪.‬‬
‫ג( ליאור גבוה מדור ב‪ 0.27 -‬מ'‪.‬‬
‫ד( עידן גבוה מדור ב‪ 0.14 -‬מ'‪.‬‬
‫ה( סכום הגבהים של הילדים הוא ‪ 5.83‬מ'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬השלמת סדרות עולות או יורדות לפי הפרש נתון‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬ההפרש הוא ‪0.05‬‬
‫סדרה עולה‪3.45 , 3.5 , 3.55 , 3.6 , 3.65 , 3.7 :‬‬
‫סדרה יורדת‪3.45 , 3.4 , 3.35 , 3.3 , 3.25 , 3.2 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬משימה פתוחה‪ .‬השלמת התרגילים במחוברים מתאימים תיעשה כרצון‬
‫התלמידים‪ .‬דוגמה‪3.8 + 1.9 + 4.3 = 10 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬שאלה מילולית לתרגול דרכי פתרון שונות‪ .‬אפשר לפתור אותה בעזרת תרגילי‬
‫חילוק ) ‪ 57.2 : 11 = 5.2‬או ‪ ,( 62.4 :12 = 5.2‬ואפשר בעזרת תרגיל חיסור‪. 62.4 − 57.2 = 5.2 :‬‬
‫‪204‬‬
‫שימו לב‪ :‬התלמידים יכולים להציע לפתור את השאלה בעזרת תרגיל חילוק‪ ,‬אף‪-‬על‪-‬פי שטרם‬
‫למדו זאת‪ .‬הנחו את התלמידים לחפש דרך אחרת המוכרת להם‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬מחירה של עוגה יחידה הוא ‪.₪ 5.2‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬שאלה מילולית זו עלולה להטעות את התלמידים‪ .‬המילה "הנחה" עלולה‬
‫להוביל את התלמידים לתרגיל חיסור‪ .‬כדי למצוא את המחיר של המברשת לפני ההנחה יש‬
‫לבצע חיבור‪ 9.60 + 2.39 = 11.99 :‬מחיר המברשת לפני ההנחה היה ‪.₪ 11.99‬‬
‫משימה ‪ :21‬חזרה על הנושא היקף של משולש שווה‪-‬שוקיים באמצעות שימוש בחיבור‬
‫ובחיסור של מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫כדי למצוא את אורך הצלע ‪ AC‬נחשב‪32 − ( 4.8 + 13.6 ) = 32 − 18.4 = 13.6 :‬‬
‫אורך הצלע ‪ AC‬שווה לאורך הצלע ‪ .BC‬לכן המשולש הוא משולש שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫שאלות מילוליות‪ ,‬עמוד ‪475‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬התרגיל המתאים לפתרון הוא ‪43.2 + 47.9 = 91.1‬‬
‫מילא ‪ 91.1‬ליטר דלק בסך הכול‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬יוחאי ֵ‬
‫משימה מס' ‪ :2‬התרגיל המתאים לפתרון הוא ‪53.5 + 30 − 12 = 71.5‬‬
‫תשובה‪ :‬לרונית יש ‪.₪ 71.5‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬התרגיל המתאים לפתרון הוא ‪49.40 + 99.99 + 14.79 = 164.18‬‬
‫תשובה‪ :‬אסתר שילמה ‪ ₪ 164.18‬תמורת הבגדים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬התרגיל המתאים לפתרון הוא ‪50.40 − 31.90 = 18.50‬‬
‫תשובה‪ :‬מחיר המחברת הוא ‪.₪ 18.50‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬שימוש באומדן ובעיגול מספרים עשרוניים ליחידות או לעשיריות‪.‬‬
‫נועם חישב את האומדן של ההיקף לפי עיגול המספרים ליחידות‪ ,‬כלומר הוא חישב כך‪:‬‬
‫‪4 × 2.5 + 2 × 3.7 + 2 × 3.4 ≈ 4 × 3 + 2 × 4 + 2 × 3 = 12 + 8 + 6 = 26‬‬
‫אוהד חישב את האומדן של ההיקף לפי עיגול לחמש עשיריות‪ ,‬כלומר הוא חישב כך‪:‬‬
‫‪4 × 2.5 + 2 × 3.7 + 2 × 3.4 ≈ 4 × 2.5 + 2 × 4 + 2 × 3.5 = 10 + 8 + 7 = 25‬‬
‫התוצאה של אוהד קרובה יותר להיקף המדויק‪ ,‬שהוא ‪ 24.2‬ס"מ‪.‬‬
‫היסטוריה‪ ,‬עמוד ‪476‬‬
‫חלק זה מוקדש להיסטוריה של המבנה העשרוני‪ .‬התלמידים לומדים שיטה נוספת של כתיבת‬
‫מספר עשרוני‪ ,‬השיטה של סימון סטבין‪.‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪477‬‬
‫השיעור עוסק בעיגול מספרים למיליונים‪ .‬בחיי היום‪-‬יום נוהגים להשתמש בעיגול מספרים‬
‫כאשר מציגים נתונים סטטיסטיים‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬אם אומרים שיש ‪ 292,807,745‬תושבים‪,‬כותבים שיש ‪ 292.8‬מיליון תושבים‪.‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪478‬‬
‫חזרה על המיומנויות‪ :‬שבר כחלק מכמות‪ ,‬חיבור וחיסור בשברים‪ ,‬ישרים מאונכים וגבהים‬
‫במשולש‪.‬‬
‫‪205‬‬
‫עמ' ‪517 - 479‬‬
‫טו‪ .‬שטחים‬
‫רקע‬
‫הנושא שטחים שייך לתחום המדידות‪ .‬התלמידים עסקו במדידת שטחים בכיתה ב'‪ ,‬כאשר‬
‫למדו על דרכי ההשוואה בין שטחים‪ ,‬ובכיתה ד' כאשר למדו למדוד שטח ביחידות שטח‬
‫מוסכמות ומקובלות וחישבו שטח מלבן‪.‬‬
‫בפרק זה חוזרים על המושגים "שטח" ו"היקף"‪ ,‬על דרכי ההשוואה בין שטחי צורות ועל‬
‫מדידת שטח ביחידות מידה שרירותיות וביחידות מידה מקובלות‪ .‬אך בכך ימשיכו התלמידים‬
‫להכיר פנים נוספים של המושג ולעסוק במדידות שטחים ביחידות שטח מוסכמות‪ ,‬יכירו את‬
‫נוסחאות השטח של מלבן ושל ריבוע‪ ,‬הכתובות באותיות לועזיות‪ ,‬ויחשבו שטחי מקביליות‬
‫בעזרת נוסחה מתאימה‪ .‬כמו‪-‬כן הם ילמדו לחשב שטחים של משולשים כלשהם )ישרי‪-‬זווית‪,‬‬
‫חדי‪-‬זוויות וקהי‪-‬זווית( וימשיכו בחישובי שטחים ביחידות שטח מוסכמות שונות ובחישובים‬
‫של שטחי צורות מורכבות‪ .‬את שטח המשולש מחשבים תחילה בעזרת השלמתו למלבן‪,‬‬
‫ובהמשך ַמגיעים לנוסחת שטח המשולש‪ .‬בפרק עוסקים בשלוש דרכים לחישוב שטח המשולש‬
‫לפי צלע והגובה לצלע זו‪ ,‬כאשר אורכיהם נתונים‪.‬‬
‫זו הפעם הראשונה שהתלמידים מתבקשים להשתמש בנוסחאות‪ ,‬לכן ייתכן שהם יתקשו‬
‫בהבנתן‪.‬‬
‫הקושי העיקרי נובע מכלליות הנוסחה‪ ,‬כי בשימוש בנוסחה יש להבין את המושג "הצבה"‪,‬‬
‫שהתלמידים עדיין אינם מכירים‪ .‬לכן חשוב שהתלמידים ידעו לומר במילים את הכלל לחישוב‬
‫השטח של מלבן‪ ,‬של ריבוע ושל מקבילית‪.‬‬
‫רישום הנוסחה בעזרת אותיות לועזיות מהווה קושי נוסף‪.‬‬
‫בנושא שטח ומדידתו‪ :‬כמו ביתר נושאי המדידות‪ :‬יש להבחין בין השוואה בין שטחים לבין‬
‫מדידת שטח‪ .‬קיימות דרכים שונות להשוואה בין שטחים‪ ,‬כגון‪ :‬השוואה ישירה‪ ,‬השוואה דרך‬
‫מתווך‪ ,‬השוואה בעזרת פירוק והרכבה והשוואה בעזרת מדידה‪ .‬אפשר למדוד שטחים ביחידות‬
‫שרירותיות )כמו משולש המשמש כיחידת שטח( או ביחידות מוסכמות )סמ''ר‪ ,‬מ''ר‪ ,‬ממ"ר‪,‬‬
‫דצמ"ר‪ ,‬קמ"ר(‪ .‬לעתים קרובות אין אפשרות למדוד שטח בדרך ישירה‪ ,‬ולכן מודדים שטח‬
‫בדרך עקיפה‪ ,‬כלומר מחשבים אותו בעזרת נוסחאות‪.‬‬
‫חשוב לדעת לחשב שטחים של צורות שונות ‪ -‬כמו מלבן‪ ,‬ריבוע‪ ,‬משולש‪ ,‬מקבילית‪ ,‬טרפז ועיגול‬
‫ לפתרון בעיות שונות במתמטיקה וכן לפתרון בעיות בחיי היום‪-‬יום )לדוגמה‪ ,‬לחשב שטח של‬‫דירה כדי לרצף אותה(‪.‬‬
‫הערה‪ :‬למילה "שטח" שתי משמעויות‪:‬‬
‫א( שטח פיזי‪ ,‬שהוא חלק של משטח המוגבל על‪-‬ידי קו סגור;‬
‫ב( "מידת שטח"‪ -‬מספר יחידות שטח הכלולות בשטח‪.‬‬
‫לפי תכנית הלימודים‪ ,‬מומלץ להקדיש לנושא מדידות שטחים כ‪ 9 -‬שעות לימוד‪ .‬בתכנית‬
‫הלימודים מומלץ לעסוק בחישוב שטח טרפז בכיתות מתקדמות‪ ,‬לכן מובא הנושא של שטח‬
‫טרפז כהעשרה‪.‬‬
‫מושגים‬
‫שטח‪ ,‬היקף‪ ,‬אורך‪ ,‬השוואה ישירה‪ ,‬השוואה בעזרת מתווך‪ ,‬מדידה‪ ,‬יחידת מידה‪ ,‬מלבן‪ ,‬ריבוע‪,‬‬
‫יחידת שטח שרירותית‪ ,‬יחידת שטח מוסכמת‪ ,‬סמ"ר‪ ,‬מ"ר‪ ,‬ממ"ר‪ ,‬דצמ"ר‪ ,‬קמ"ר‪ ,‬דונם‪,‬‬
‫נוסחה‪ ,‬שטח מקבילית‪ ,‬שטח משולש‪ ,‬שטח מלבן‪ ,‬שטח ריבוע‪ ,‬שטח טרפז‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬להשוות בין שטחים של צורות שונות בהשוואה ישירה‪ ,‬בעזרת פירוק והרכבה ובעזרת‬
‫מדידה;‬
‫ב‪ .‬לבחור את הדרך המתאימה להשוואה בין שטחים של צורות;‬
‫ג‪ .‬למדוד שטח בעזרת יחידות שטח שונות )שרירותיות( בדיוק או בקירוב;‬
‫‪206‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫ח‪.‬‬
‫ט‪.‬‬
‫י‪.‬‬
‫יא‪.‬‬
‫יב‪.‬‬
‫למדוד שטח ביחידות שטח מקובלות ומוסכמות כמו סמ''ר‪ ,‬מ"ר‪ ,‬ממ"ר‪ ,‬דצמ"ר‪ ,‬קמ"ר;‬
‫להגדיר יחידת שטח מקובלת כשטח הריבוע המתאים )לדוגמה‪ 1 ,‬סמ"ר הוא שטח של‬
‫ריבוע שאורך צלעו ‪ 1‬ס"מ(;‬
‫לחשב שטח מלבן שידועים אורכי צלעותיו‪ ,‬בעזרת הנוסחה )בהתאם לתחום המספרים(;‬
‫לחשב שטח ריבוע שידוע אורך צלעו;‬
‫לחשב שטח מקבילית כאשר ידועים אורכי הצלע שלה והגובה לצלע זו;‬
‫לבנות מלבן ששטחו שווה לשטח מקבילית נתונה;‬
‫לחשב שטחים של צורות מורכבות בעזרת פירוק לצורות שקל לחשב את שטחיהן;‬
‫לחשב שטחים של מלבן ושל מקבילית ביחידות שטח מקובלות שונות ) ממ"ר‪ ,‬סמ''ר‪ ,‬מ"ר‪,‬‬
‫דצמ"ר‪ ,‬קמ"ר(;‬
‫לחשב שטח משולש ישר‪-‬זווית כאשר נתונים אורכי ניצביו;‬
‫יג‪ .‬לחשב שטח משולש לפי הנוסחה‪ - S) S = a × h :‬מידת השטח‪ - a ,‬אורך צלע המשולש‪- h ,‬‬
‫‪2‬‬
‫אורך הגובה לצלע ‪;(a‬‬
‫יד‪ .‬לבנות מלבן עזר לחישוב שטח המשולש‪ ,‬כלומר לבנות מלבן ששטחו גדול פי שניים משטח‬
‫המשולש הנתון;‬
‫טו‪ .‬לחשב שטח משולש בשלוש דרכים‪ ,‬כאשר נתונים אורכי שלוש צלעותיו ואורכי שלושת‬
‫הגבהים של המשולש;‬
‫טז‪ .‬לחשב שטח של צורה מורכבת על‪-‬ידי חיבור השטחים של הצורות שהתקבלו בפירוק הצורה‬
‫לצורות שקל לחשב את שטחן‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫סרטוטים של מקביליות‪ ,‬נייר מילימטרי‪ ,‬דף משובץ‪ ,‬טנגרם‪ ,‬רצועת קרטון‪ ,‬סרגל מסומן‪,‬‬
‫ריבועים למנייה בכמות מספקת‪ ,‬מספריים‪ ,‬משולש סרטוט‪ ,‬משולשים שונים מסורטטים על דף‬
‫)נמצא בנספח שבספר הלימוד(‪.‬‬
‫אביזרי "חשבון ‪ :"10‬לוח מחיק‪ ,‬שקף משבצות של ‪ 1‬סמ"ר‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על השוואה בין אורכים‪.‬‬
‫התלמידים מקבלים דף שמסורטטים עליו ‪ 5 - 4‬קטעים בגדלים שונים‪ .‬הקטעים מסומנים‬
‫באותיות א‪ ,‬ב‪ ,‬ג‪ ,‬ד‪ ,‬ה‪ .‬על התלמידים להשוות בין אורכי הקטעים ולמצוא את הגדול ביותר‬
‫ואת הקטן ביותר‪ .‬דנים בדרכי ההשוואה‪.‬‬
‫הפתרון האפשריות‪ .‬דוגמאות לדרכי השוואה בין‬
‫ְ‬
‫בתום הפעילות חשוב לסכם את דרכי‬
‫אורכים‪ :‬ראייה‪ ,‬השוואה ישירה‪ ,‬מתווך כמו פס קרטון או חבל‪ ,‬סרגל מדידה‪.‬‬
‫דוגמאות לקטעים‪:‬‬
‫ה‬
‫ג‬
‫ד‬
‫א‬
‫ב‬
‫ב‪ .‬חזרה על יחידות אורך‪.‬‬
‫על התלמידים להשלים שוויונות הרשומים על הלוח‪ ,‬לדוגמה‪:‬‬
‫‪ 10‬ס''מ = ‪ 100 ,_____ 1‬ס''מ = ‪ ____ ,_____ 1‬מ"מ = ‪ 1‬ס''מ‬
‫‪207‬‬
‫‪ 1‬ק"מ = _____ מ'‪ 1 ,‬מ' = _____ ‪.‬‬
‫אפשר גם לשאול שאלות מתאימות‪ ,‬לדוגמה‪" :‬כמה מילימטרים בסנטימטר אחד?"‬
‫ג‪ .‬חזרה על ריבוע של מספר שלם‪.‬‬
‫‪ .1‬על הלוח רשומים מספרים שלמים‪) 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 :‬כותבים את כל המספרים או‬
‫את חלקם‪ ,‬אך לא לפי הסדר(‪ .‬על התלמידים לומר מהו הריבוע של כל מספר‪ .‬דוגמה‪:‬‬
‫"שלוש בריבוע שווה ל‪ "9 -‬או ‪ .32 = 9‬הערה‪ :‬אם התלמידים אינם מכירים את המושג‬
‫"מספר בריבוע" יש לומר "מספר בחזקת שתיים" או "מספר כפול עצמו"‪.‬‬
‫‪ .2‬על הלוח רשומים המספרים‪) 49 ,36 ,64 ,81 ,1 ,25 ,100 ,16 ,9 ,4 :‬או חלק מהם(‪ .‬על‬
‫התלמידים למצוא מספר‪ ,‬שכשכופלים אותו בעצמו‪ ,‬התוצאה היא מספר מהרשימה‪.‬‬
‫לדוגמה‪ 8 ,‬כפול ‪ 8‬שווה ל‪ .64-‬התלמידים יכולים להיעזר במחשבון או בלוח הכפל‪.‬‬
‫ד‪ .‬חזרה על לוח הכפל‪.‬‬
‫חשוב לחזור על לוח הכפל בדרך כלשהי כדי להקל את חישובי השטחים של מלבן ושל ריבוע‪.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬תרגילים ישירים‪ , 8 × 7 = ? :‬וגם חילוק במסגרת לוח הכפל‪. 72 : 9 = ? :‬‬
‫ה‪ .‬חזרה על "פי כמה גדול? פי כמה קטן?"‬
‫התלמידים מתבקשים לענות על שאלות כאלה‪:‬‬
‫• אורך קטע ‪ 2‬ס"מ‪ .‬הגדילו את הקטע פי שלושה‪ .‬מהו אורך הקטע החדש?‬
‫• לאהרון שבעה שקלים‪ .‬לדוד פי חמישה שקלים יותר מאהרון‪ .‬כמה שקלים יש לדוד?‬
‫• גובהו של ילד בן ‪ 3.5‬שנים הוא בערך ‪ 100‬ס"מ‪ .‬גובהו של תינוק שרק נולד הוא בערך ‪50‬‬
‫ס"מ‪ .‬פי כמה קטן גובהו של תינוק מגובה של ילד?‬
‫• פי כמה גדול המספר ‪ 56‬מהמספר ‪ ?8‬פי כמה קטן המספר ‪ 8‬מהמספר ‪?56‬‬
‫• הקטינו את המספר ‪ 81‬פי תשעה‪ .‬מהו המספר שהתקבל?‬
‫• חילקו את מכפלת המספרים ‪ 6‬ו‪ 4 -‬ב‪ .8 -‬מהו המספר שהתקבל? פי כמה קטן המספר‬
‫שהתקבל מ‪?24 -‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫לכל הפעילויות דרושים מספריים וכלי סרטוט כמו סרגל ועיפרון מחודד‪.‬‬
‫דרכי השוואה בין שטחים‬
‫פעילות א‪ :‬התלמידים מקבלים אוסף של צורות גזורות )מבריסטול או מקרטון(‪ .‬על‬
‫התלמידים למצוא דרכים להשוואה בין שטחי הצורות‪ ,‬כלומר למצוא תשובה לאחת‬
‫השאלות‪" :‬למי יש שטח גדול יותר? למי יש שטח קטן יותר? האם לשתי הצורות יש אותו‬
‫שטח?"‬
‫אפשר להשוות בין השטחים בדרכים שונות‪ .‬ראשית‪ ,‬מנסים להשוות בין שטחי הצורות‬
‫בהשוואה ישירה‪ ,‬כלומר על‪-‬ידי הנחת צורה אחת על צורה אחרת‪ .‬רק אם שתי הצורות‬
‫מכסות זו את זו בדיוק‪ ,‬השטחים הם שווים‪ .‬בכל מקרה אחר השטחים אינם שווים‪ .‬אם אי‪-‬‬
‫אפשר או קשה להשוות בין שטחי הצורות‪ ,‬משתמשים בדרכים אחרות‪ ,‬כמו פירוק הצורות‬
‫והרכבתן מחדש‪ ,‬או על‪-‬ידי מדידה ביחידות שטח שרירותיות או מוסכמות‪ .‬רצוי שבאוסף‬
‫הצורות יהיו גם צורות שאי‪-‬אפשר להשוות ביניהן על‪-‬ידי השוואה ישירה‪.‬‬
‫דוגמה לאוסף צורות‪:‬‬
‫‪208‬‬
‫פעילות ב‪ :‬התלמידים משתמשים באוסף הצורות של המשחק "טנגרם" שמופיע בנספח‬
‫שבספר לתלמיד‪ .‬על התלמידים למדוד כל אחד מהחלקים על‪-‬ידי היחידה הקטנה ביותר של‬
‫הטנגרם )המשולש הקטן(‪ .‬התלמידים מקבלים גם דף שמצוירים עליו ציורים שונים‬
‫המורכבים מחלקי הטנגרם )כדאי שהציורים יהיו בגודל אמתי בהתאם לגודל החלקים(‪ .‬על‬
‫התלמידים להשוות בין שטחי הציורים‪.‬‬
‫דוגמאות לצורות מחלקי טנגרם‪:‬‬
‫טנגרם‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫הצורות מורכבות מחלקים אלו‪:‬‬
‫מאפיינים של מלבן‬
‫פעילות ג‪ :‬התלמידים עובדים בקבוצות‪ .‬כל קבוצה מקבלת כ‪ 70 -‬ריבועי מנייה‪ .‬בכל קבוצה‬
‫בונים ארבעה מלבנים בעלי שטח שונה וכותבים תיאור של כל מלבן בלי לצייר אותו‪ .‬מבקשים‬
‫מיתר התלמידים לצייר על הלוח המחיק שלהם את המלבנים לפי התיאורים שמקריאים‬
‫נציגי הקבוצות‪.‬‬
‫בדיון מתמקדים בניתוח של התיאורים‪ .‬חשוב שהתלמידים יסיקו כי מלבן מאופיין על‪-‬ידי‬
‫צלעותיו‪.‬‬
‫הבהרת הקשר בין היקף המלבן לבין שטחו‬
‫פעילות ד‪ :‬בכל קבוצה בונים שני מלבנים שונים‪ ,‬וכל מלבן בנוי מ‪ 24 -‬ריבועי מנייה‪.‬‬
‫התלמידים כותבים תיאור של כל מלבן בלי לצייר אותו‪.‬‬
‫מבקשים מיתר התלמידים לצייר על הלוח המחיק שלהם את המלבנים לפי התיאורים‬
‫שמקריאים נציגי הקבוצות‪ .‬אפשר להזמין תלמיד לצייר גם על לוח הכיתה‪.‬‬
‫בדיון מתמקדים בשלוש שאלות‪ :‬מה משותף לכל המלבנים ובמה הם שונים? האם יש‬
‫אפשרויות נוספות לבניית מלבנים לפי התנאים הנתונים? כיצד תוארו המלבנים?‬
‫חשוב שהתלמידים יגיעו למסקנה כי למלבנים בעלי אותו שטח יכול להיות מראה שונה‪,‬‬
‫כלומר אורכי הצלעות שלהם שונים‪ .‬מומלץ גם לשוחח עם התלמידים על היקפיהם של‬
‫המלבנים ששטחם ‪ 24‬ריבועי מנייה‪ .‬התלמידים יגיעו למסקנה כי היקפיהם שונים‪ ,‬אף‪-‬על‪-‬פי‬
‫ששטחיהם שונים‪.‬‬
‫פעילות ה‪ :‬בפעילות זו עובדים בשקף משבצות או בדף משובץ‪ .‬התלמידים מתבקשים לבנות‬
‫)או לסרטט( מלבנים שונים שהיקפם ‪ 24‬ס"מ‪ .‬שואלים את התלמידים‪" :‬מהו השטח של כל‬
‫אחד מהמלבנים?" חשוב שהם יבנו גם ריבוע‪ .‬שואלים‪" :‬לאיזה מלבן מבין כל המלבנים שנבנו‬
‫יש השטח הגדול ביותר?" חשוב להגיע למסקנה שמבין כל המלבנים שהיקפם ‪ 24‬סמ"ר‪,‬‬
‫‪209‬‬
‫הריבוע הוא המלבן ששטחו הגדול ביותר‪ .‬במקרה זה אורך צלע הריבוע הוא ‪ 6‬ס"מ‪ ,‬ושטחו‬
‫‪ 36‬סמ"ר‪.‬‬
‫פעילות ו‪ :‬בפעילות זו עובדים בשקף משבצות או בדף משובץ‪ .‬התלמידים מתבקשים לבנות‬
‫)לסרטט( מלבנים שונים ששטחם ‪ 36‬סמ"ר‪ .‬דנים באפשרויות שונות לבניית מלבנים‪ .‬האם‬
‫אפשר לבנות גם ריבוע? מהן האפשרויות לבניית מלבנים? סביר להניח שהתלמידים ישתמשו‬
‫במספרים הטבעיים בלבד‪ .‬שימו לב‪ ,‬שקיימות אין‪-‬סוף אפשרויות לבניית מלבנים‪ ,‬אך מספר‬
‫האפשרויות מוגבל אם אורכי הצלעות הם מספרים טבעיים‪.‬‬
‫דנים בשאלה‪" :‬לאיזה מלבן יש ההיקף הקטן ביותר?" חשוב להגיע למסקנה )שחלקה‬
‫מבוססת על תוצאות הבנייה וחלקה על אינטואיציה( כי בין כל המלבנים בעלי שטח של ‪36‬‬
‫סמ"ר לריבוע יש ההיקף הקטן ביותר‪.‬‬
‫במקרה זה אורך הצלע של ריבוע ששטחו ‪ 36‬סמ"ר‪ ,‬הוא ‪ 6‬ס"מ‪ ,‬והיקפו ‪ 24‬ס"מ‪( 4 × 6 = 24 ) .‬‬
‫שטח מקבילית‬
‫פעילות ז‪ :‬לכל קבוצה סרגל‪ ,‬מספריים ודף משבצות )דף א'( שמצוירות עליו מקביליות שונות‪,‬‬
‫כל מקבילית מצוירת פעמיים‪ .‬חברי הקבוצות יציעו דרכים לחישוב שטח המקביליות‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים לעבוד במקבילית אחת בין שתי המקביליות הזהות ולשמור את‬
‫הפתרון‪.‬‬
‫השנייה לבדיקת ְ‬
‫אם הפתרון של שימוש במלבן אינו עולה‪ ,‬מחלקים דף עזר )דף ב'( שמצוירים עליו מלבנים‬
‫העוזרים בחישוב‪.‬‬
‫דנים בשאלה‪ :‬כיצד בונים מלבן שיעזור בחישוב השטח של המקבילית?‬
‫דוגמאות לדפים‪:‬‬
‫דף א'‬
‫‪210‬‬
‫דף ב'‬
‫פעילות ח‪ :‬שואלים את התלמידים כיצד יסבירו בטלפון לחבריהם איך מחשבים שטח של‬
‫מקבילית‪.‬‬
‫יש להניח שיהיו תלמידים שיחזרו על השימוש במלבן‪ ,‬ויהיו כאלה שישתמשו במכפלה של‬
‫צלע המקבילית בגובה לצלע הזו‪ .‬דנים בהצעות של התלמידים ומבררים איזו דרך הם הבינו‬
‫טוב יותר‪.‬‬
‫פעילות ט‪ :‬על הדף ציור של מקבילית‪ .‬אורך אחת הצלעות שמונָה סנטימטרים ואורך הגובה‬
‫לצלע זו שלושה סנטימטרים‪ ,‬אורך הצלע השנייה ארבעה סנטימטרים‪ .‬התלמידים מתבקשים‬
‫לחפש דרך לחשב את אורך הגובה לצלע השנייה של המקבילית‪ .‬בדיון המסכם חוזרים על שתי‬
‫הדרכים לחישוב שטח מקבילית‪.‬‬
‫פעילות י‪ :‬מבקשים מכל קבוצה לצייר על דף משבצות מקביליות שונות בעלות צלע משותפת‪,‬‬
‫ואורך הגובה לצלע זו שווה בכולן‪ .‬אחת המקביליות צריכה להיות מלבן‪.‬‬
‫לאחר הצגת הפתרונות שואלים‪ :‬האם לכל המקביליות יש שטח שווה? תלמידי כל קבוצה‬
‫מתבקשים להצדיק את תשובתם‪.‬‬
‫שטח של משולש ישר‪-‬זווית‬
‫פעילות יא‪ :‬כל אחד מהתלמידים מקבל מלבן חלק כלשהו )דף‪ ,‬דפים של פנקס וכדומה(‪.‬‬
‫המלבנים אינם חייבים להיות חופפים‪ .‬מבקשים מהתלמידים לבנות משולש ישר‪-‬זווית‬
‫ששט חו שווה למחצית שטח המלבן הנתון‪.‬‬
‫סביר להניח כי יהיו תלמידים שיקפלו את המלבן לאורך האלכסון )איור ‪ .(1‬שואלים‪ :‬כיצד‬
‫יודעים כי שטח המשולש הוא חצי משטח המלבן? תשובה אפשרית‪ :‬אלכסון מחלק את המלבן‬
‫לשני משולשים חופפים )זהים(‪ ,‬לכן שטח משולש אחד הוא מחצית משטח המלבן‪ .‬אפשר גם‬
‫לנמק על‪-‬ידי גזירת המשולשים והנחתם זה על‪-‬גבי זה‪ ,‬כך שיתלכדו‪.‬‬
‫איור ‪1‬‬
‫‪211‬‬
‫פעילות יב‪ :‬התלמידים מקבלים דף שמסורטט בו משולש ישר‪-‬זווית )מופיע בנספח שבספר‬
‫הלימוד(‪ .‬מבקשים מהתלמידים למצוא את שטחו ולהגדיר אילו אורכים צריך לדעת כדי‬
‫למצוא את שטחו‪ .‬אם התלמידים מתקשים‪ ,‬אפשר להציע להם שתי אפשרויות‪:‬‬
‫א( לסרטט בדף משובץ את המשולש וכך למצוא את שטחו;‬
‫ב( להיעזר בתוצאות הפעילות הקודמת )פעילות הגילוי א'(‪ ,‬ובעזרת הקשר בין שטח המשולש‬
‫ישר‪-‬הזווית לבין המלבן למצוא את שטח המשולש הנתון‪.‬‬
‫העבודה כאן צריכה להיות הפוכה‪ :‬מתחילים במשולש הנתון‪ ,‬ולכן משלימים אותו למלבן‬
‫)הסרטוט כמו באיור ‪ .(1‬פעילות הגילוי א' יכולה לסייע בפיתוח חשיבה כזו‪ .‬מההשלמה עולה‬
‫שצריך לדעת את אורכי הניצבים של המשולש )אורכי צלעות המלבן שיושלם(‪.‬‬
‫שטח של משולש כלשהו‬
‫פעילות יג‪ :‬התלמידים מתבקשים לחלק מלבן נתון לשני מצולעים שווי‪-‬שטח )דוגמה באיור‬
‫‪ .(1‬לאחר מכן מוסיפים אילוץ‪ :‬אחד מהמצולעים יהיה משולש )דוגמה באיור ‪ .(2‬לאחר מכן‬
‫מוסיפים אילוץ‪ :‬אחד מהמצולעים יהיה משולש שאינו משולש ישר‪-‬זווית )דוגמאות באיורים‬
‫‪ 3‬ו‪ .(4 -‬אם התלמידים אינם מגיעים ְ‬
‫לפתרון הדומה לאיורים ‪ 3‬או ‪ , 4‬מראים להם ציור כזה‬
‫ללא גובה של המשולש‪ ,‬ושואלים מה הם חושבים על שטח המשולש לעומת שטח המלבן‪ .‬רצוי‬
‫להגיע למסקנה כי גם שטחם של משולשים אלו הוא מחצית של שטח המלבן‪ .‬הנימוק ייעשה‬
‫על‪-‬ידי התבוננות בשני המשולשים ישרי‪-‬הזווית‪ ,‬ששטח של כל אחד מהם הוא מחצית משטח‬
‫המלבן המתאים‪ .‬אם התלמידים עדיין אינם מבינים זאת‪ ,‬יש לעבור לפעילות אחרת‪.‬‬
‫איור ‪1‬‬
‫איור ‪3‬‬
‫איור ‪2‬‬
‫איור ‪4‬‬
‫פעילות יד‪ :‬התלמידים משתמשים בדף שמסורטט בו משולש חד‪-‬זוויות )מופיע בנספח‬
‫שבספר הלימוד(‪ .‬על התלמידים למצוא דרך לחישוב שטחו‪.‬‬
‫אם התלמידים מתקשים במציאת השטח‪ ,‬רומזים להם כי אפשר לחלק את המשולש לצורות‬
‫שהם יודעים לחשב את שטחיהן )שני משולשים ישרי‪-‬זווית(‪ .‬אפשר גם להשלים את המשולש‬
‫למלבן‪ ,‬וכאן אפשר לחזור על הפעילות הקודמת‪.‬‬
‫פעילות טו‪ :‬התלמידים משתמשים בדף שמסורטטים בו שני משולשים שונים מכל סוג‪:‬‬
‫משולשים חדי‪-‬זוויות‪ ,‬קהי‪-‬זווית וישרי‪-‬זווית )מופיעים בנספח שבספר הלימוד(‪ .‬על‬
‫התלמידים לבנות מלבנים העוזרים לחשב את שטחי המשולשים‪ ,‬ולציין מהו הקשר בין צלעות‬
‫המלבן לבין קטעים מסוימים במשולש )צלע וגובה(‪.‬‬
‫פעילות טז‪ :‬על הלוח מצויר משולש גדול שמסורטט בו אחד מהגבהים‪ .‬התלמידים מתבקשים‬
‫לצייר משולש שווה‪-‬שטח למשולש הנתון‪) .‬הבעיה מוצגת על‪-‬גבי הלוח כדי למנוע מדידות וכדי‬
‫להתרכז בכך שמספיק לצייר משולש בעל צלע משותפת שהגובה לצלע זו הוא באותו אורך‪(.‬‬
‫דנים במספר הפתרונות האפשרי )אין‪-‬סוף פתרונות(‪ .‬הפעילות היא הקדמה לתרגילים שבעמ'‬
‫‪.300‬‬
‫שטח של טרפז‬
‫פעילות יז‪ :‬הפעילות מיועדת לתלמידים מתקדמים‪ .‬התלמידים מקבלים סרטוט של טרפז‬
‫ומתבקשים למצוא דרך לחישוב שטחו‪ .‬עליהם גם לקבוע אילו אורכים נדרשים כדי לחשב את‬
‫שטח הטרפז‪.‬‬
‫‪212‬‬
‫השיעור בספר הלימוד‬
‫האם אנו מוכנים? – תשובות‪:‬‬
‫‪ .1‬א; ‪ .2‬ב; ‪ .3‬ב; ‪ .4‬ג;‬
‫‪ .5‬א;‬
‫‪ .6‬ד‪.‬‬
‫לעלות על הגל‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :480‬שטח והיקף‬
‫חזרה על המושגים "שטח" ו"היקף"‪ .‬למושגים אלו שתי משמעויות‪ .‬היקף הוא הקו עצמו וגם‬
‫אורך הקו‪ .‬שטח הוא המקום המוגבל על‪-‬ידי קו סגור שאפשר לצבוע אותו‪ ,‬וגם מידה‪ .‬בשיעור‬
‫חוזרים על המשמעות הראשונה של המושגים‪ .‬בדרך כלל ברור מההקשר באיזו משמעות של‬
‫המושגים מדובר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת יישום‪ .‬שטח יש לצורות א'‪ ,‬ג'‪ ,‬ד'‪ ,‬ה'‪ ,‬ז'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימה זו מורכבת ממספר שלבים‪ :‬מדידת אורכי צלעות המצולע וחישוב‬
‫היקף המצולע‪ .‬משימה זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה בשל מורכבותה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬התלמידים נדרשים לבנות מחוט צורה שהיא קו סגור וקו פתוח‪ .‬בדיון במליאה‬
‫מומלץ לדבר על כך שלצורה פתוחה אין שטח‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :481‬השוואה ישירה בין שטחי הצורות‬
‫חזרה על השוואה ישירה בין שטחי הצורות‪ .‬בדרך השוואה זו התלמידים עסקו בכיתות ב' ו‪ -‬ד'‪.‬‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי א' לפני השיעור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימת יישום‪ .‬אפשר להשוות בין השטחים של הצורות המובאות בתרגיל‬
‫בדרך ישירה‪ .‬חשוב גם להעריך את הסדר בטביעת עין וכן להשוות בין השטחים על‪-‬ידי העתקת‬
‫הצורות על‪ -‬גבי דף שקוף‪ .‬להלן שטחי הצורות בסדר עולה‪ :‬ד‪ ,‬ג'‪ ,‬ה'‪ ,‬א'‪ ,‬ב'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬משימה זו מתבצעת בעל‪-‬פה‪ .‬התלמידים נדרשים להשיב על השאלה כיצד‬
‫משווים בין שטחי צורות בהשוואה ישירה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬במשימה זו נדרשת מיומנות של גזירה‪ ,‬ותתבצע השוואה בין שטחי הצורות על‪-‬‬
‫ידי השוואה ישירה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬מומלץ להשתמש במשימה זו בחלקי הטנגרם המופיעים בנספח‪ .‬ביצירה של‬
‫צורות שונות מאותם חלקים מתקבלות צורות בעלות אותו השטח‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :482‬השוואה בין שטחי צורות על‪-‬ידי פירוק והרכבה‬
‫לפני השיעור מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ב'‪ .‬בשיעור זה חוזרים על השוואה בין שטחים‬
‫בעזרת פירוק והרכבה מחדש‪ .‬דרך זו מבוססת על העיקרון‪ :‬צורות המורכבות מאותם‬
‫החלקים‪ ,‬הן שוות‪-‬שטח‪ .‬התלמידים עסקו בנושא שטחים בכיתות ב' ו ד'‪ ,‬ולכן סביר להניח‬
‫שהם זוכרים את דרכי ההשוואה בין שטחים שונים‪ .‬בכל זאת רצוי לחזור )בפעילות הגילוי( על‬
‫דרכי ההשוואה בין השטחים כדי לוודא כי התלמידים מגיעים למסקנה שלא תמיד אפשר‬
‫להשוות בין שטחים בהשוואה ישירה‪ ,‬ולכן יש לפתח דרכי השוואה אחרות ובכל פעם לבחור‬
‫את הדרך המתאימה ביותר להשוואה‪ .‬ההרכבות מחלקי טנגרם כמו בפעילות הגילוי ב' יעזרו‬
‫בהבנת דרך השוואה זו‪ .‬שימו לב כי בהמשך משתמשים בדרך זו לקבלת נוסחאות לחישוב שטח‬
‫של מקבילית‪ ,‬של משולש ושל טרפז‪.‬‬
‫‪213‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬בטנגרם יש שבע צורות שונות‪ ,‬קצתן שוות‪-‬שטח‪ .‬חשוב שהתלמידים יסבירו‬
‫מדוע שטחי הצורות שהם הרכיבו‪ ,‬שונים זה מזה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬לצורה ב' יש השטח הקטן ביותר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬התלמידים נדרשים לסדר את הצורות לפי שטחן בסדר יורד‪ .‬לשם כך הם‬
‫יכולים להיעזר בדף שקוף כדי להעתיק את הצורות ולהשוות ביניהן‪.‬‬
‫סדר הצורות לפי שטחן מהגדול ביותר לקטן ביותר‪ :‬ב‪ ,‬א‪ ,‬ד‪+‬ו‪ ,‬ה‪ ,‬ג‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬משימה זו מורכבת ממספר שלבים ועלולה להיות קשה לחלק מתלמידי‬
‫הכיתה‪ .‬קיימות דרכים שונות לפתרון המשימה‪ .‬אחת הדרכים היא סרטוט הצורות על‪-‬גבי דף‬
‫שקוף מספר פעמים ויצירת הצורות בפועל‪ .‬דרך נוספת לפתרון המשימה היא למצוא את שטח‬
‫הצורות המסורטטות‪ ,‬כאשר יחידת השטח היא משבצת )כהכנה לשיעור הבא(‪.‬‬
‫שטח המעוין הוא ‪ 12‬משבצות‪ .‬שטח המשולש הוא ‪ 8‬משבצות‪ .‬שטח המלבן הוא ‪ 8‬משבצות‪.‬‬
‫שטח הריבוע הוא ‪ 16‬משבצות‪ .‬שטח הטרפז הוא ‪ 25‬משבצות‪.‬‬
‫שטח המקבילית הוא ‪ 15‬משבצות‪.‬‬
‫איתי בנה צורה ששטחה ‪ 105‬משבצות‪ .‬סלע בנה צורה ששטחה ‪ 108‬משבצות‪ .‬שאול בנה צורה‬
‫ששטחה ‪ 96‬משבצות‪ .‬עמנואל בנה צורה ששטחה ‪ 84‬משבצות‪ .‬דוד בנה צורה ששטחה ‪96‬‬
‫משבצות‪.‬‬
‫א( סלע בנה את הצורה ששטחה הגדול ביותר‪ 108 :‬משבצות‪5 × 16 + 2 × 8 + 12 = 108 .‬‬
‫ב( עמנואל בנה צורה ששטחה הקטן ביותר‪ 84 :‬משבצות‪12 + 8 + 8 + 16 + 25 + 15 = 84 .‬‬
‫ג( שאול ודוד בנו צורות ששטחן שווה‪ 96 :‬משבצות‪.‬‬
‫ד( משימה פתוחה‪ .‬כל תלמיד צריך לבנות צורה בהתאם לדרישות‪.‬‬
‫ה( אפשר לבנות את הצורה המתבקשת מהצורות משולש ומלבן או מהצורות ריבוע ומלבן או‬
‫מהצורות ריבוע ומשולש‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :484‬מדידת שטחים‬
‫חזרה על מדידת שטחים ביחידות מידה‪ .‬בעזרת יחידת השטח שנבחרה מרצפים כל צורה‬
‫שמודדים את שטחה‪ ,‬וסופרים כמה יחידות שטח מכסות אותה‪ .‬חשוב לבחור ביחידת שטח‪ ,‬כך‬
‫שלא יהיה "חלל" בצורות המכוסות על‪-‬ידיה‪ .‬שוחחו עם התלמידים על תכונות השטח וכללי‬
‫המדידה ביחידות מידה שבשיעור‪ .‬מומלץ להדגים את הכללים בדוגמאות נגדיות כדי‬
‫שהתלמידים יבינו את המושג "מדידת שטח ביחידות מידה"‪ .‬לדוגמה‪ ,‬מציירים על הלוח‬
‫משולש ומכסים אותו בעזרת שישה עיגולים חופפים המשמשים יחידות שטח‪ .‬האם ייתכן‬
‫ששטח הצורה שווה ל‪ 6 -‬עיגולים? )לא‪ ,‬כי יש חלל בין העיגולים‪ ,‬עיגול לא יכול לשמש יחידת‬
‫שטח במקרה זה‪(.‬‬
‫שימו לב כי בשלב זה יחידות השטח הן יחידות שרירותיות‪) .‬כל אחד יכול לבחור ביחידה‬
‫שבעיניו מתאימה‪(.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬משימת יישום‪ .‬חשוב לדון עם התלמידים בדרכי מניית המשבצות‪.‬‬
‫א( ‪ 11‬משבצות‪ .‬קל לחשב את השטח כי הצורה מכוסה על‪-‬ידי משבצות שלמות‪ .‬ב( ‪ 12‬משבצות‬
‫שלמות ושני חצאי משבצת‪ ,‬בסך הכול ‪ 13‬משבצות; ג( תחילה מונים משבצות שלמות )‪ ,(9‬לאחר‬
‫מכן מונים חצאי משבצות )ארבעה חצאים‪ ,‬כלומר ‪ 2‬משבצות(‪ ,‬ולבסוף מחשבים את השטח‬
‫הנותר‪ .‬אם התלמידים מתקשים בחישוב שטח זה‪ ,‬הדריכו אותם להתבונן במלבנים‬
‫שהמשולשים שנותרו בהם הם חצאים של המלבנים האלו‪ .‬שטח המשולש שמשמאל הוא‬
‫מחצית של שתי משבצות‪ ,‬כלומר משבצת אחת‪ .‬שטח המשולש שלמטה הוא מחצית של שלוש‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫משבצות‪ ,‬כלומר ‪ 1‬משבצות‪ .‬התשובה‪ :‬שטח הצורה ‪ 13‬משבצות‪ .‬ד( את הצורה הזו אי‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪214‬‬
‫אפשר לכסות על‪-‬ידי משבצות שלמות‪ .‬אפשר לחלק את הצורה למשולשים ישרי‪-‬זווית‪ ,‬כאשר‬
‫‪1‬‬
‫כל משולש כזה הוא חצי ממלבן המורכב ממשבצות שלמות‪ .‬התשובה‪ 6 :‬משבצות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬משימה פתוחה‪ .‬ייתכנו צורות שונות‪ ,‬אך כדאי לעודד את התלמידים לצייר‬
‫גם צורות שאינן מכוסות על‪-‬ידי משבצות שלמות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬במשימה רואים את המוגבלות של יחידות שטח שרירותיות‪ ,‬ועולה הצורך‬
‫ביחידות שטח מוסכמות‪ .‬אי‪-‬אפשר להשוות בין השטחים‪ ,‬כי לא ידוע אם בשני המקרים מדובר‬
‫באותה יחידת שטח או ביחידות שטח שונות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬במשימת יישום זו יש לחשב את היקף שולחן העבודה של התלמיד וכן את‬
‫שטח השולחן בעזרת דף ‪ A4‬המשמש במקרה זה כיחידת שטח‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬מומלץ להעתיק את הריבוע על גבי דף שקוף‪ ,‬לגזור אותו ולהניח אותו בכל‬
‫פעם על הצורה הנתונה בכל אחד מהסעיפים‪ .‬בחישוב יחידות השטח של הטבעת אפשר להנחות‬
‫את התלמידים למצוא את שטח העיגול ולחסר את "החור" של הטבעת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬כאן נדרשת מיומנות של סרטוט מצולעים לפי שטח נתון‪ .‬יחידת השטח היא‬
‫משבצת של מחברת‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :486‬מדידת שטחים ביחידות שטח מוסכמות‬
‫בוּע‪.‬‬
‫בוּע ומטר ָר ַ‬
‫חזרה על מדידת שטחים ביחידות שטח מוסכמות‪ :‬סנטימטר ָר ַ‬
‫יחידות אלו ‪ -‬כמו רוב היחידות המוסכמות האחרות ‪ -‬מוגדרות כשטח ריבוע שאורך צלעו הוא‬
‫יחידת אורך מתאימה )סנטימטר לסמ"ר‪ ,‬מטר למ"ר(‪ .‬יש לעודד את התלמידים לבטא את‬
‫ההגדרות של סמ"ר ושל מ"ר במילים‪ ,‬כדי להקל עליהם בהתמודדות עם יחידות מוסכמות‬
‫נוספות שילמדו בהמשך‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬במשימה זו תתחזק אצל התלמידים ההבחנה בין יחידות המידה השונות‪.‬‬
‫יחידות האורך הן מ"מ‪ ,‬ס"מ‪ ,‬מ'‪ ,‬ק"מ‪.‬‬
‫יחידות השטח הן סמ"ר‪ ,‬מ"ר‪.‬‬
‫היחידות הלא‪-‬מוקפות בצבע הן יחידות משקל ויחידות נפח‪.‬‬
‫התלמידים לומדים כי היקף צורה נמדד ביחידות אורך‪ ,‬ואילו שטח של צורה נמדד ביחידות‬
‫שטח‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬משימת יישום‪ .‬א( ‪ 24‬סמ"ר‪ .‬ב( ‪ 25‬מ"ר‪ .‬חשוב להקפיד על ציון יחידת שטח‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬משימת יישום‪ .‬המשימה דומה למשימה ‪ ,6‬אך הפעם הצורות הן לאו דווקא‬
‫מצולעים‪ ,‬ולכן יש חשיבות לאומדן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬מומלץ לדון בכיתה בדוגמאות לשטחים הנמדדים במטרים ְרבועים‪ ,‬כמו שטח‬
‫של חדר או שטח של בית מגורים‪ .‬דוגמאות לשטחים הנמדדים בסנטימטרים ְרבועים הם‬
‫שטחים של תמונות‪ ,‬של מפות‪ ,‬של תצלומים ועוד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬שטח צורה א' שווה ל‪ 12 -‬סמ"ר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬זה המקום להזכיר לתלמידים כיצד מחשבים שטח פנים של תיבה‪ .‬שטח‬
‫הפנים של תיבה הוא סכום שטחי פאות התיבה‪ .‬נדגיש כי לתיבה שלושה זוגות של פאות‬
‫מקבילות וחופפות‪.‬‬
‫לכן שטח פנים התיבה הוא ‪ 94‬סמ"ר‪2 × 12 + 2 × 20 + 2 × 15 = 24 + 40 + 30 = 94 .‬‬
‫‪215‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬מומלץ לבצע את המשימה בכיתה‪ .‬יש להכין מראש בריסטול ששטחו ‪ 1‬מ"ר‪.‬‬
‫אפשר לדון עם התלמידים בדרכים השונות למדידת שטחים של מקומות גדולים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬במשימה זו נדרש חישוב פשוט‪. 40 − 20 − 7 = 13 .‬‬
‫שטח חדר השינה הוא ‪ 13‬מ"ר‪.‬‬
‫יחידת הלימוד ‪ -‬הקניה‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :488‬נוסחאות שטח של מלבן ושל ריבוע‬
‫התלמידים יודעים לחשב שטח של מלבן ושל ריבוע משנים קודמות‪ .‬החידוש בשיעור זה הוא‬
‫כתיבת נוסחאות לחישוב שטח על‪-‬ידי אותיות לועזיות‪ .‬השימוש בנוסחאות עלול להוות קושי‬
‫לתלמידים‪ ,‬כי עליהם להבין את המושג "הצבה"‪ ,‬כלומר להבין כי האות היא סמל‪ ,‬ובמקומה‬
‫אפשר להציב מספר‪ .‬בכל חישוב שטח יש להציב מספר לפי נתוני המשימה‪ .‬כדי להתגבר על‬
‫הקושי יש להסביר את הנוסחאות באופן מילולי‪ .‬אם יש תלמידים שמתקשים בכתיבת‬
‫נוסחאות ובהבנתן‪ ,‬כדאי לאפשר להם להשתמש בהסברים המילוליים בלבד‪ .‬המטרה העיקרית‬
‫היא לדעת לחשב את השטחים‪ ,‬ולא לכתוב נוסחאות‪ .‬יש להסב את תשומת לבם של התלמידים‬
‫לכיוון הנכון של קריאת הנוסחאות והשוויונות‪ :‬משמאל לימין‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת יישום פשוטה‪ .‬חישוב שטחי המלבנים ייעשה בשלב הראשון על‪-‬ידי‬
‫מניית המשבצות ואח"כ על‪-‬ידי חישוב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימת יישום‪ .‬חשוב מאוד לצייר מלבנים לפי הנתונים‪ .‬כתיבת הנוסחה‬
‫חשובה פחות‪ .‬שימו לב שכאשר מבצעים את החישוב בעזרת תרגיל‪ ,‬אין כותבים את יחידות‬
‫המידה‪ ,‬אלא עוסקים במספרים בלבד‪ .‬חשוב לבדוק אם האורכים נתונים באותה יחידת אורך‪.‬‬
‫יש לציין בתשובה את יחידות השטח‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימה זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה‪ ,‬כי היא כוללת מספר‬
‫שלבים עד לפתרון‪ :‬תחילה יש לחשב את שטח הפאות ואחר‪-‬כך למצוא את שטח הפנים של‬
‫התיבה‪.‬‬
‫שטחי הפאות של התיבה הנתונה הם ‪ 20‬סמ"ר‪ 15 ,‬סמ"ר ו‪ 12 -‬סמ"ר‪.‬‬
‫שטח הפנים של התיבה יחושב כך‪2 × 20 + 2 × 15 + 2 × 12 = 40 + 30 + 24 = 94 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬גם משימה זו מורכבת ולכן עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה‪ .‬שטח‬
‫הפנים של קובייה שאורך צלעה שווה ל‪ 8 -‬מ'‪ ,‬הוא ‪ 384‬מ"ר‪.‬‬
‫כדאי להזכיר לתלמידים כי בקובייה יש שש פאות ריבועיות שוות שטח‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬משימת יישום של שימוש בנוסחה לחישוב שטח המלבן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬כאן נדרשת מהתלמידים חשיבה הפוכה‪ .‬נתון שטח המלבן‪ ,‬ועליהם למצוא את‬
‫אורכי צלעות המלבן‪ .‬קיימות מספר אפשרויות למלבנים ששטחם ‪ 24‬סמ"ר‪ .‬להלן האפשרויות‬
‫לאורכי צלעות המלבן‪ :‬א( ‪ 6‬ס"מ ו‪ 4 -‬ס"מ‪ ,‬ב( ‪ 8‬ס"מ ו‪ 3 -‬ס"מ‪ ,‬ג( ‪ 12‬ס"מ ו‪ 2 -‬ס"מ‪ ,‬ד( ‪24‬‬
‫ס"מ ו‪ 1 -‬ס"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬אפשר לבצע את החישובים בעל‪-‬פה ולוודא שהאורכים נתונים באותה יחידת‬
‫אורך‪ .‬אין לכתוב יחידות מידה בעמודת ביצוע תרגיל כפל‪ .‬יש לכתוב את יחידת השטח בעמודת‬
‫שטח המלבן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬הטבלה תושלם בתוך כדי חישוב של שטח המלבנים לפי הנתונים‪.‬‬
‫‪216‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :490‬יחידות שטח מוסכמות )המשך(‬
‫בשיעור לומדים על יחידות שטח מוסכמות נוסף למטר ָרבוע ועל סנטימטר ָרבוע‪ .‬כמו קודם לכן‬
‫גם כעת יש לעודד את התלמידים לבטא את ההגדרה של כל יחידה במילים‪ ,‬כדי להקל עליהם‬
‫את ההתמודדות עם מושגים רבים שנלמדים בשיעור‪ .‬כמו‪-‬כן חשוב שהתלמידים יבינו כי חייבת‬
‫להיות התאמה בין יחידות האורך של שתי הצלעות‪ ,‬בינן לבין עצמן ובינן לבין יחידת השטח‪.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬אם אורכי הצלעות הם בס"מ‪ ,‬השטח יהיה בסמ"ר‪ .‬אין לחשב שטח מלבן ללא המרה‬
‫מתאימה‪ ,‬אם אורך צלע אחת נתון במטרים ואורך הצלע האחרת נתון בסנטימטרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬אפשר להיעזר בהגדרות שבשיעור כדי להשלים את המשפטים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬נדרש חישוב לפי הגדרה של ‪ 1‬מ'‪ 1 .‬מ"ר הוא שטח ריבוע שאורך צלעו ‪ 1‬מ'‪.‬‬
‫מחשבים שטח ריבוע על‪-‬ידי הכפלת אורך צלע בעצמו‪ .‬ידוע כי אורך הצלע ‪ 100‬ס"מ )‪ 1‬מ'(‪ ,‬ולכן‬
‫יש לכפול ‪ 100‬כפול ‪ 100‬ומקבלים ‪ 10,000‬סמ"ר‪ .‬כלומר ב‪ 1 -‬מ"ר יש ‪ 10,000‬סמ"ר‪10,000 .‬‬
‫סמ"ר = ‪ 1‬מ"ר‪ .‬הערה‪ :‬אפשר לכתוב את נוסחת שטח הריבוע באותיות‪ ,‬אך הדבר אינו חשוב‬
‫במשימה זו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬מומלץ לדון עם התלמידים ביחידת השטח המתאימה לכל אחד מהגדלים‬
‫הנמדדים‪ .‬דוגמאות‪ :‬בול יכול להימדד גם בסמ"ר וגם בממ"ר‪ .‬וילון יכול להימדד גם במ"ר וגם‬
‫בסמ"ר‪ .‬היחידה דצמ"ר היא יחידת שטח שיכולה להתאים לשטיח בחדר מגורים‪ ,‬אבל לא‬
‫נוהגים להשתמש ביחידה זו בחיי היום‪-‬יום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬א( ‪ 100‬ממ"ר; ב( יש להמיר את אחת מיחידות האורך‪ ,‬כך שהיחידות יהיו‬
‫זהות‪ .‬לדוגמה‪ 5 ,‬דצ"מ הם ‪ 50‬ס"מ‪ ,‬לכן שטח המלבן שווה ל‪ 250 -‬סמ"ר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬תרגול של כתיבה מקוצרת של יחידות השטח‪ :‬קמ"ר‪ ,‬מ"ר‪ ,‬דצמ"ר‪ ,‬סמ"ר‬
‫וממ"ר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬משימה זו מורכבת ממספר שלבים‪ :‬סרטוט ריבוע שאורך צלעו ‪ 1‬דצ"מ‪.‬‬
‫חישוב שטח הריבוע‪ ,‬המרה של יחידת האורך הנתונה לסנטימטרים וחישוב של שטח הריבוע‬
‫ביחידת השטח סמ"ר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬רוחב השולחן הוא ‪ 5‬דצ"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬שטח השדה הוא ‪ 10,000‬מ"ר‪ ,‬שהם ‪ 10‬דונם‪ .‬זה המקום להזכיר לתלמידים‬
‫שדונם שווה ל‪ 1,000 -‬מ"ר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬קיימות אפשרויות שונות לאורכי צלעות מלבן ששטחו ‪ 1,000‬קמ"ר‪.‬‬
‫או ‪ 250‬ק"מ ו‪ 4 -‬ק"מ‪.‬‬
‫דוגמאות‪ 20 :‬ק"מ ו‪ 50 -‬ק"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬ב‪ 1 -‬קמ"ר יש ‪ 1,000,000‬מ"ר‪.‬‬
‫הסבר‪ 1 :‬קמ"ר = ‪ 1‬ק"מ × ‪ 1‬ק"מ ‪ 1 .‬ק"מ = ‪ 1,000‬מ'‪. 1,000 × 1,000 = 1,000,000 .‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬משימה זו מהווה הכנה להבנת הדרך לחישוב שטח המקבילית‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :492‬שטח המקבילית‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ז' לפני ההקניה‪ .‬לפני שמלמדים את נוסחת שטח המקבילית‪,‬‬
‫מראים בשיעור דרך לחישוב שטח המקבילית‪ .‬חשוב שהתלמידים יפנימו את המושג "מלבן‪-‬‬
‫עזר" וידעו כיצד מתקבל "מלבן‪-‬עזר" ממקבילית כלשהי‪ .‬אם התלמידים השלימו את משימה‬
‫‪ ,7‬יהיה להם קל יותר להבין את השיעור‪.‬‬
‫שימו לב‪" ,‬מלבן‪-‬עזר" אינו מושג מתמטי‪ ,‬והשימוש בו הוא למטרות לימודיות בלבד‪.‬‬
‫‪217‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬משימת יישום של השיעור והכנה להבנת הנוסחה של שטח המקבילית‪.‬‬
‫התלמידים מודדים גובה וצלע של מקבילית ומשווים ביניהם לבין אורכי צלעות המלבן‪ .‬ייתכן‬
‫שהתלמידים יקבלו תוצאות שונות )אך קרובות( עקב שימוש בכלי מדידה שונים‪ .‬יש לשוחח על‬
‫כך עם התלמידים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬שטח המלבן שבסרטוט הוא ‪ 35‬משבצות‪ .‬שטח המקבילית שבסרטוט הוא ‪25‬‬
‫משבצות‪ .‬את שטח המקבילית אפשר למצוא בעזרת "מלבן העזר"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬התלמידים נדרשים למצוא מקביליות שוות שטח‪ .‬להלן זוגות המקביליות‬
‫שהן שוות‪-‬שטח‪ :‬מקביליות ג ‪ +‬י )‪ 6‬משבצות(‪ .‬מקבילית ב‪ +‬א )‪ 12‬משבצות(‬
‫מקבילית ז‪ +‬ט )‪ 30‬משבצות( מקבילית ד‪+‬ו )‪ 40‬משבצות(‪ .‬מקבילית ח‪+‬ה )‪ 8‬משבצות(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬במשימה זו נדרשת מיומנות של סרטוט מקביליות‪ ,‬כאשר הקטע המסורטט‬
‫הוא הגובה של המקבילית‪ .‬יש להסביר לתלמידים שהקטע המסורטט אינו אחת מצלעות‬
‫הכר ַח ששטחי המקביליות יהיו שווים‪.‬‬
‫המקבילית‪ .‬אין ֵ‬
‫משימה מס' ‪ :24‬משימה זו שונה מקודמתה בכך שבמשימה זו נתונים הגובה של המקבילית‬
‫ואחת מצלעותיה‪ .‬המקביליות שיסרטטו התלמידים יהיו שוות‪-‬שטח‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬שטח המלבן הנתון הוא ‪ 12‬משבצות‪ .‬הנחו את התלמידים לסרטט מקביליות‬
‫שונות ששטח כל אחת מהן הוא ‪ 12‬משבצות‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :494‬חישוב שטח המקבילית‬
‫כעת מחשבים את שטח מקבילית לפי נוסחה‪ .‬כדי להגיע לנוסחה נעזרים במלבן‪ .‬אם התלמידים‬
‫טרם ביצעו את פעילות הגילוי ז'‪ ,‬חשוב לבצע אותה לפני ההקניה‪ .‬יש לדרוש מהתלמידים לומר‬
‫את הדרך לחישוב שטח המקבילית לפי הנוסחה במילים )"אורך הצלע כפול אורך הגובה לצלע‬
‫זו" או "צלע כפול גובה לצלע זו"(‪ .‬יש להסביר לתלמידים שבגאומטריה האות ‪ h‬היא האות‬
‫המקובלת לסימון גובה )במקבילית‪ ,‬במשולש‪ ,‬בטרפז(‪ .‬חשוב להרבות בתרגול כדי שהתלמידים‬
‫יוכלו להשתמש בנוסחה בצורה אוטומטית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬משימת יישום‪ .‬יש להדריך את התלמידים לבדוק כמה דברים כאשר מחפשים‬
‫שטח של מקבילית‪ .‬קודם כול‪ ,‬יש לבדוק אם הנתונים הם אורך צלע ואורך הגובה לצלע זו‪ .‬אם‬
‫נתון גובה לצלע אחרת‪ ,‬ואין נתונים נוספים‪ ,‬אי‪-‬אפשר לחשב את שטח המקבילית‪ .‬שנית‪ ,‬יש‬
‫לוודא ששני האורכים נתונים באותה יחידת אורך‪ .‬אם לא‪ ,‬יש לבצע המרה מתאימה‪ .‬ולבסוף‪,‬‬
‫אם נתונים יותר משני אורכים )כמו בסעיף ד'(‪ ,‬יש לבחור את שני האורכים המתאימים לחישוב‬
‫שטח המקבילית‪ .‬בסעיף ד' נתונים אורך הצלע )‪ 6‬ס"מ( ואורך הגובה )‪ 4‬ס"מ(‪ .‬חשוב גם להזכיר‬
‫לתלמידים את תכונות הצלעות של המקבילית‪ :‬הצלעות הנגדיות של המקבילית שוות באורכן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬משימת יישום חישובית‪ .‬התלמידים נדרשים לחשב את שטח המקבילית‬
‫בהתאם לנתונים‪ .‬חשוב לשוחח עם התלמידים על בחירת יחידת השטח המתאימה לנתונים‪.‬‬
‫ד( ‪ 13.5‬ממ"ר‬
‫א( ‪ 60‬מ"ר ב( ‪ 21‬דצמ"ר ג( ‪ 60‬מ"ר‬
‫משימה מס' ‪ :28‬בסרטוט המקבילית‪ ,‬התלמידים צריכים להבין כי אם נתון שאורך אחת‬
‫מצלעות המקבילית הוא ‪ 4‬ס"מ‪ ,‬הגובה של המקבילית צריך להיות ‪ 6‬ס"מ‪ ,‬ולא אורך צלע‬
‫המקבילית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬חשוב לבנות מקבילית לפי שטחה‪ .‬יש דרכים שונות לביצוע המשימה‪ ,‬וגם‬
‫קיימות אין‪-‬סוף אפשרויות למקביליות שונות שוות‪-‬שטח‪ .‬אפשר לסרטט תחילה מלבן ששטחו‬
‫שווה לשטח המקבילית‪ ,‬וממנו להגיע למקבילית‪ .‬אפשר לסרטט גובה וצלע שהגובה יורד אליה‪,‬‬
‫‪218‬‬
‫המתאימים לשטח הנתון‪ .‬כמובן‪ ,‬אם האורכים הם מספרים שלמים‪ ,‬יש ארבע אפשרויות‬
‫לגובה ולצלע‪ 1 :‬ס"מ ו‪ 10 -‬ס"מ; ‪ 10‬ס"מ ו‪ 1 -‬ס"מ; ‪ 5‬ס"מ ו‪ 2 -‬ס"מ; ‪ 2‬ס"מ ו‪ 5 -‬ס"מ‪ .‬בסעיף‬
‫ב' נוסף על השטח יש אילוץ של אורך הצלע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬במשימה זו מתחזקת את ההבנה כי אפשר לחשב את שטח המקבילית בשני‬
‫אופנים‪ .‬במקרה זה שטח המקבילית הוא ‪ 18‬סמ"ר‪( 9 × 2 = 6 × 3 = 18 ) .‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬אם שטח המקבילית הוא ‪ 15‬סמ"ר ואורך אחת מצלעותיה הוא ‪ 5‬ס"מ‪ ,‬אורך‬
‫הגובה לצלע זו הוא ‪ 3‬ס"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬אם אורך אחד הגבהים של המקבילית הוא ‪ 4‬דצ"מ ושטח המקבילית הוא ‪28‬‬
‫דצמ"ר‪ ,‬אורך צלע המקבילית הוא ‪ 7‬ס"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬לפי הנתונים שבסרטוט‪ ,‬אורך הגובה במקבילית הוא ‪ 3‬ס"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬כדי למצוא את אורך הגדר התלמידים צריכים לחשוב על מספר כפול עצמו‪,‬‬
‫שהמכפלה היא ‪ .49‬במילים אחרות‪ ,‬נחפש את השורש הריבועי של ‪ 49‬ונקבל ‪.7‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬שתי הדרכים הנכונות הן א' ו‪ -‬ד'‪ .‬דונו עם התלמידים בכל ההצעות שבתרגיל‪.‬‬
‫תלמידים נוטים לכפול מספרים ללא ביקורת‪ ,‬וכאן מובאות כל האפשרויות‪ .‬בזכות התלבטויות‬
‫בעניין יבינו התלמידים טוב יותר את הנושא‪ .‬הסבירו לתלמידים שאת הסימון ‪ h ′‬קוראים‬
‫" ֵאיץ' ָתג"‪ .‬זהו אחד הסימונים המקובלים לגובה השני של המקבילית‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :496‬שטח משולש ישר‪-‬זווית‬
‫לפני השיעור מומלץ לבצע את פעילות הגילוי י"א‪ .‬בשיעור זה לומדים לחשב שטח של משולש‬
‫ישר‪-‬זווית‪ ,‬כאשר מידות הניצבים ידועות‪ .‬חישוב השטח אינו קשה‪ ,‬והוא מתאים לרמת‬
‫התלמידים של כיתה ה'‪ .‬באופן כללי‪ ,‬כדי למצוא נוסחאות לחישובי שטחים של משולשים‬
‫שונים מתבססים על השלמת המשולש לצורה ששטחה ידוע‪ .‬כדי לחשב שטח של משולש ישר‪-‬‬
‫זווית‪ ,‬משתמשים בשטח של מלבן‪ .‬חשוב שהתלמידים ידעו לומר את הנוסחה במילים‪ ,‬ולא רק‬
‫לכתוב אותה‪ .‬גם כאן תלמידים עלולים להתקשות בשימוש באותיות שבנוסחה‪ ,‬אך הם יכולים‬
‫לפתור משימות על‪-‬ידי חישוב של מספרים בלי להיעזר בנוסחה הכללית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬משימת יישום‪ .‬על התלמידים לבנות את המלבן כפי שהוא בנוי בשיעור‪ .‬שימו‬
‫לב כי בכל סעיף יש רק מלבן‪-‬עזר יחיד‪ ,‬כי שתי צלעותיו הן הניצבים של המשולש‪ .‬יש להדריך‬
‫את התלמידים להשתמש במשולש סרטוט כדי לבנות את הזווית הישרה של המלבן‪ .‬אפשר גם‬
‫להיעזר ברשת משבצות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬משימת יישום‪ .‬התלמידים יבחרו את הדרך לחישוב השטח )בעזרת מלבן או‬
‫בעזרת הנוסחה(‪ ,‬אך בכל מקרה עליהם לסרטט מלבן‪-‬עזר‪ .‬חשוב לשים לב ליחידות השטח‬
‫בתשובות של התלמידים‪) .‬שטח המשולש מימין ‪ 324‬ממ"ר; שטח המשולש משמאל ‪ 3‬סמ"ר‪(.‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬משימת יישום‪ .‬התלמידים יכולים להשתמש בנוסחה באופן ישיר או לבנות‬
‫תחילה את המלבן ואחר‪-‬כך לחשב את שטח המשולש כמו בשיעור‪ .‬את שתי הדרכים יש לקבל‬
‫כנכונות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :39‬במשימה זו ידועים שטח המשולש ישר‪-‬הזווית ואורך ניצב אחד שלו‪ .‬על‬
‫התלמידים לחשב את אורך הניצב השני‪ .‬אם כופלים את השטח ב‪ ,2 -‬מקבלים את שטח מלבן‪-‬‬
‫העזר שמידותיו הן האורכים של ניצבי המשולש ישר‪-‬הזווית‪ ,‬לכן כופלים את השטח ב‪2 -‬‬
‫ומחלקים את התוצאה באורך הניצב הנתון‪ .‬דונו עם התלמידים בשאלה מדוע צריך לכפול את‬
‫‪219‬‬
‫השטח הנתון ב‪ .2 -‬כדי למנוע את הקשיים העשויים להתעורר בפתרון השאלה מומלץ לבצע את‬
‫פעילות ההטמעה א'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬שטח כל אחד מהמשולשים הוא חצי משטח הריבוע‪ ,‬מפני שאלכסון הריבוע‬
‫מחלק אותו לשני משולשים ישרי‪-‬זווית חופפים‪ .‬לכן שטחם שווה ל‪ 18 -‬סמ"ר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬לכל שלוש הצורות שהתקבלו כתוצאה מחלוקת המלבן לשני חלקים חופפים‪,‬‬
‫יש אותו שטח‪ .‬יש לדון בכך עם התלמידים‪ .‬אפשר להרחיב את השאלה ולבקש מהתלמידים‬
‫למצוא חלוקות נוספות של המלבן לשני חלקים חופפים ולהגיע למסקנה ששטח המשולש ישר‪-‬‬
‫הזווית שווה לשטח כל אחת מהצורות האלה‪ .‬דוגמה לחלוקה נוספת‪:‬‬
‫)ראו גם איור ‪ 1‬לעיל והסברים בפעילות הגילוי ג'‪(.‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬משימה זו משמשת כהכנה לחישוב שטח של משולש כלשהו‪ .‬גם בשיעור הבא‬
‫תהיה הדרך לחישוב השטח כמו בשלבים שבסעיפים א' ‪ -‬ד'‪.‬‬
‫א( שטח המשולש ‪ ABC‬שווה לסכום של שטחי המשולשים ישרי‪-‬הזווית‪ .‬אפשר לכתוב את‬
‫‪3× 4‬‬
‫‪4×5‬‬
‫( ‪ .‬שטח המשולש ‪ ABC‬הוא ‪ 16‬סמ"ר‪.‬‬
‫(‪)+‬‬
‫התרגיל‪) = 16 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫התלמידים יכולים‪ ,‬כמובן‪ ,‬לכתוב את אופן החישוב בצורה שונה מהכתוב כאן‪ .‬אין לדרוש מהם‬
‫לכתוב תרגיל זה‪.‬‬
‫ב( שטח המלבן הגדול שווה לסכום של שטחי המלבנים הקטנים‪ ,‬כלומר ‪ 12‬סמ"ר ועוד ‪20‬‬
‫סמ"ר שווה ל‪ 32 -‬סמ"ר‪.‬‬
‫ג( כאן נוצר המשולש ‪ ABC‬שהוא חלק מהמלבן הגדול‪ .‬את שטח המשולש ‪ 16) ABC‬סמ"ר(‬
‫אפשר לחשב כסכום השטחים של שני המשולשים ישרי‪-‬הזווית או כחצי משטח המלבן‪.‬‬
‫ד( שטח המשולש ‪ ABC‬קטן פי שניים משטח המלבן הגדול‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :498‬שטח המשולש‬
‫לפני השיעור מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי י"ב ו‪ -‬י"ג‪ .‬בשיעור זה לומדים לחשב שטח של‬
‫משולש כלשהו‪ .‬בחישוב זה מסתמכים על השטחים הידועים של מלבן ושל משולש ישר‪-‬זווית‪.‬‬
‫כדי לא לסרבל את ה"הוכחה" הוחלט לוותר על שימוש פורמלי בסימון )האותיות(‪.‬‬
‫השימוש בצבעים בסרטוטים מאפשר לתלמידים להתבסס על ראייתם המרחבית‪.‬‬
‫כמו תמיד‪ ,‬חשוב שהתלמידים יאמרו במילים את הפעולות שהם מבצעים‪ ,‬ולא רק יכתבו‬
‫מספרים ונוסחאות‪ .‬חשוב לתרגל שימוש בנוסחה באופן ישיר במשולשים שונים‪ ,‬כדי‬
‫שהתלמידים יפנימו את הנושא‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬משימת יישום‪ .‬בכל אחד מהמשולשים נתונים צלע וגובה לצלע זו‪ .‬הקטע‬
‫והמספר שהוא המידה הנתונה‪ ,‬צבועים באותו הצבע‪ .‬המקרים המורכבים יותר הם במשולש‬
‫ישר‪-‬זווית ובמשולש קהה‪-‬זווית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :44‬משימת יישום‪ .‬על התלמידים להשלים כל משולש למלבן כמו בשיעור‪ .‬ישנן‬
‫דרכים שונות להשלמה‪ ,‬וחשוב לדון עם התלמידים בכך שכל מלבני‪-‬העזר לאותו משולש הם‬
‫שווי‪-‬שטח‪ ,‬כיוון שהשטח של כל מלבן כזה שווה לפעמיים שטח המשולש‪ .‬דוגמה להשלמת‬
‫משולש בסעיף ג'‪ ,‬שאינו אב‪-‬טיפוס במישור‪:‬‬
‫משימה מס' ‪ :45‬משימת יישום‪ .‬הגובה לצלע ‪ AB‬הוא‪ ,‬למעשה‪ ,‬אחת מצלעות המלבן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :46‬על התלמידים לבנות גובה‪ ,‬לבצע מדידות נחוצות ולחשב את שטח המשולש‪.‬‬
‫‪220‬‬
‫משימה מס' ‪ :47‬במשימה זו יש אין‪-‬סוף אפשרויות לפתרון‪ .‬כל המלבנים הנתונים הם חופפים‪,‬‬
‫ושטחי כל המשולשים שהתלמידים יבנו יהיו שווים לחצי משטח המלבן‪ ,‬לכן גם הם יהיו‬
‫שווים‪ .‬חשוב לדון עם התלמידים באפשרות לבניית משולשים נוספים כאלה‪ .‬כדי לסרטט את‬
‫המשולש לפי האילוצים שבמשימה בוחרים צלע אחת של המלבן‪ ,‬והיא תהיה צלע של המשולש;‬
‫הקדקוד שמול צלע זו יהיה על צלע המלבן הנגדית‪ .‬דוגמאות‪:‬‬
‫משימה מס' ‪ :48‬שטחי המלבנים שווים‪ ,‬מפני ששטחו של כל מלבן שווה לפעמיים שטח‬
‫המשולש; ושטחי המשולשים שווים‪ ,‬כי המשולשים חופפים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :49‬על התלמידים לסרטט גובה לצלע מסוימת‪ .‬התלמידים למדו לסרטט גבהים‬
‫בפרק י"ג "גבהים"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :50‬על התלמידים להתאים נוסחה כללית של שטח משולש למקרה פרטי של‬
‫משולש ישר זוית‪ .‬במשולש ישר‪-‬זווית כל ניצב הוא גובה לניצב השני‪ ,‬לכן שני הניסוחים‬
‫לחישוב שטחו של המשולש הם נכונים‪ .‬כלומר גם את המשולש ישר‪-‬הזווית אפשר לראות‬
‫כמתאים למקרה הכללי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :51‬משימה חישובית‪ .‬על התלמידים למנות את מספר המשבצות‪ .‬שטחי‬
‫המשולשים המסורטטים הם כדלקמן‪ :‬א( ‪ 28‬יחידות שטח‪ .‬ב( ‪ 24‬יחידות שטח‪.‬‬
‫ו( ‪ 30‬יחידות שטח‪.‬‬
‫ה( ‪ 30‬יחידות שטח‪.‬‬
‫ג( ‪ 32‬יחידות שטח ד( ‪ 12‬יחידות שטח‬
‫משימה מס' ‪ :52‬במשימה זו התלמידים מוודאים שאם הם בנו מלבן בעל שטח מסוים‪ ,‬הם‬
‫יכולים לבנות משולש ששטחו שווה לחצי משטח המלבן או קטן משטח זה או גדול משטח זה‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ :B‬משולש ששטחו ‪ 9‬משבצות‬
‫‪ :D‬משולש ששטחו יותר מ‪ 9-‬משבצות‬
‫‪ : A‬מלבן ששטחו ‪ 18‬משבצות‬
‫‪ :C‬משולש ששטחו פחות מ‪ 9-‬משבצות‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :501‬חישוב שטח משולש‬
‫בשיעור זה התלמידים לומדים לחשב שטח של משולש בשלוש דרכים‪ .‬בכל משולש שלוש‬
‫צלעות‪ ,‬ולכל צלע יש גובה מתאים‪ .‬לפיכך יש שלוש דרכים לחישוב שטח של משולש‪.‬‬
‫התלמידים יכולים לראות זאת בעזרת בניית שלושה מלבנים שונים )על כל צלע בונים מלבן‬
‫אחר(‪ ,‬העוזרים לחשב את שטח המשולש‪ .‬אין מסבירים כאן מדוע כל דרך מתאימה לחישוב‬
‫השטח‪ ,‬מפני שקשה לבנות מלבן מתאים למשולש קהה‪-‬זווית על צלע הסמוכה לזווית הקהה‪.‬‬
‫עם זאת כדאי לשוחח על כך עם התלמידים המתקדמים ולבקש מהם לבנות שלושה מלבנים על‬
‫צלעות של משולש קהה‪-‬זווית כמו המשולש ‪ ABC‬שבסרטוט וגם להסביר מדוע שטח המשולש‬
‫‪C‬‬
‫‪K‬‬
‫‪D‬‬
‫‪221‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫הוא חצי משטח המלבן ‪ .ADKB‬במקרה זה מחסרים בין שטחים‪ ,‬ולא מחברים אותם כמו‬
‫קודם לכן‪.‬‬
‫להלן הסבר אפשרי‪ :‬מעבירים גובה ‪ CF‬לצלע ‪ AB‬של המשולש ‪.ABC‬‬
‫מציבים את הנקודה ‪ ,K‬כך שאורך הקטע ‪ BK‬שווה לגובה ‪ ,CF‬והוא מאונך לקטע ‪.AB‬‬
‫לכן ‪ KCFB‬הוא מלבן ‪.‬‬
‫• שטח המשולש ‪ ABC‬שווה לשטח המשולש ‪ ACF‬פחות שטח המשולש ‪;BCF‬‬
‫• שטח המשולש ‪ ACF‬שווה לחצי משטח המלבן ‪;ADCF‬‬
‫• שטח המשולש ‪ CBF‬שווה לחצי משטח המלבן ‪;KCFB‬‬
‫• שטח המלבן ‪ ADKB‬שווה לשטח המלבן ‪ ADCF‬פחות שטח המלבן ‪;KCFB‬‬
‫לכן שטח המשולש ‪ ACB‬שווה לחצי שטח המלבן ‪.ADKB‬‬
‫משימה מס' ‪ :53‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :54‬על התלמידים לזהות את הגובה של כל צלע‪ .‬יש להדריך אותם לבחור בגובה‬
‫ובצלע מתאימים לחישוב שטח המשולש‪ .‬כמובן‪ ,‬כאן התשובה הראשונה היא הנכונה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :55‬משימה מורכבת‪ .‬על התלמידים לחשב את שטח המשולש הצהוב ואת אורך‬
‫הצלע האדומה‪.‬‬
‫גובה × צלע‬
‫‪.‬‬
‫נמצא את שטח המשולש לפי הנוסחה‪ .‬שטח =‬
‫‪2‬‬
‫‪2 × 20‬‬
‫בסעיף א' שטח המשולש הצהוב הוא ‪ 20‬סמ"ר ‪= 20‬‬
‫‪2‬‬
‫נמצא כעת את אורך הצלע האדומה בעזרת הנוסחה לחישוב שטח המשולש‪.‬‬
‫? × ‪10‬‬
‫‪= 20‬‬
‫‪2‬‬
‫שווה ל‪ "?40 -‬התשובה ברורה‪.4 :‬‬
‫לפיכך אורך הצלע האדומה הוא ‪ 4‬ס"מ‪.‬‬
‫אפשר לשוחח עם התלמידים על דרך החישוב הזו‪ :‬מכפלת אורך הגובה בצלע שהגובה יורד‬
‫אליה אינו משתנה בחישוב השטח בדרכים שונות‪ ,‬לכן ‪ 20× 2 = 40‬כעת מחלקים ‪ 40‬ב‪.10 -‬‬
‫כלומר אין צורך בחישוב השטח בפועל‪.‬‬
‫בסעיף ב' החישובים דומים‪ .‬התשובה היא ‪ 4‬ס"מ‪.‬‬
‫אפשר לדון עם התלמידים בכך שכאשר כופלים אורך של צלע באורך הגובה לצלע זו‪ ,‬המכפלות‬
‫שוות‪ ,‬כלומר ‪ h) a × h a = b × h b = c × h c‬הוא גובה לצלע מסוימת(‪) .‬כמובן‪ ,‬אין צורך לכתוב‬
‫הפתרון יהיה קל יותר‪ .‬בסעיף א'‪(2 . 20× 2 = 40 ( 1 :‬‬
‫ְ‬
‫לתלמידים את השוויונות האלה‪ (.‬כעת‬
‫‪ . 40 :10 = 4‬בסעיף ב'‪ , 6 × 8 = 12 × ? :‬כלומר ? × ‪. ? = 4 , 48 = 12‬‬
‫‪ .‬אם מחצית המכפלה שווה ל‪ ,20 -‬המכפלה שווה ל‪ .40 -‬כעת נשאל‪" :‬מה כפול ‪10‬‬
‫משימה מס' ‪ :56‬אפשר לבצע את החישוב בעזרת המשבצות‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :58-57‬השטחים שווים‪ ,‬כיוון שלמשולשים אלה אותה הצלע‪ ,‬ואורך הגובה לצלע‬
‫זו זהה‪ .‬לתלמידים יהיה קל יותר לבצע את המשימות‪ ,‬אם הם ביצעו את פעילות הגילוי ו'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :59‬כדי ששטח המשולש יהיה גדול פי שניים משטח המשולש הנתון‪ ,‬מספיק‬
‫להגדיל את אחת מצלעותיו פי שניים בלי לשנות את אורך הגובה לצלע זו‪ .‬דרך אחרת היא‬
‫‪222‬‬
‫להגדיל את אחד הגבהים של המשולש הנתון פי שניים בלי לשנות את אורך הצלע שהגובה יורד‬
‫אליה‪.‬‬
‫במשימה אפשר‪...‬‬
‫א( להגדיל את הצלע האופקית פי שניים‪ ,‬היא תהיה באורך ‪ 10‬משבצות‪ ,‬והגובה אליה יוסיף‬
‫להיות באורך שתי משבצות;‬
‫ב( להגדיל את הגובה לצלע האופקית פי שניים‪ ,‬והוא יהיה באורך ארבע משבצות‪ ,‬ואורך הצלע‬
‫סרטוט ב' ‪F‬‬
‫האופקית יוסיף להיות חמש משבצות‪.‬‬
‫סרטוט א' ‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪G‬‬
‫כמובן‪ ,‬יש דרכים נוספות לפתרון המשימה‪ .‬בסרטוט א' למשולש ‪ ABC‬שטח כפול משטח‬
‫המשולש האפור‪ .‬המשולש התקבל על‪-‬ידי הגדלת הצלע פי שניים‪ .‬בסרטוט ב' המשולש ‪EFG‬‬
‫התקבל על‪-‬ידי הגדלת הגובה פי ‪ ,2‬שטחו גדול פי ‪ 2‬משטח המשולש האפור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :60‬השלמת הנוסחאות לחישוב שטח המשולש מהווה חזרה נוספת על השיעור‬
‫וחיזוק הנלמד‪ .‬השימוש באותיות לועזיות יכול להקשות על חלק מתלמידי הכיתה‪ .‬אין צורך‬
‫לדרוש מהם את הרישום הפורמלי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :61‬למשולש השמאלי שטח גדול יותר כי אורך הצלע הוא ‪ 4‬משבצות לעומת‬
‫הגובה של המשולש הימני‪ ,‬שאורכו ‪ 3‬משבצות בלבד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :62‬ב( אלכסונים של מעוין מחלקים אותו לארבעה משולשים ישרי‪-‬זווית חופפים‪,‬‬
‫שאורכי ניצביהם ‪ 3‬ס''מ ו‪ 4 -‬ס''מ‪ .‬לכן שטח המעוין )‪ 24‬סמ''ר( גדול פי ארבעה משטח‬
‫המשולש‪ .‬יש לדון עם התלמידים בתכונות המעוין‪ ,‬הנחוצות לפתרון המשימה‪ ,‬כגון‪:‬‬
‫האלכסונים חוצים זה את זה‪ ,‬האלכסונים מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :63‬למשולש ולמקבילית גובה באורך ‪ 4‬ס"מ‪ .‬שטח הטרפז )‪ 52‬סמ"ר( שווה‬
‫לסכום של שטח המשולש )‪ 16‬סמ"ר( וְ המקבילית )‪ 36‬סמ"ר(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :64‬התלמידים נדרשים לסרטט משולש ששטחו קטן פי שניים משטח המשולש‬
‫המסורטט‪ .‬התלמידים יכולים לסרטט משולש בעל אותו גובה נתון )‪ 7‬משבצות( ולקטין את‬
‫אורך הצלע ל‪ 2 -‬משבצות בלבד‪.‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪504‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד בפרק‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמודים ‪513 - 505‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת תרגול של הבחנה בין היקף לבין שטח‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימת תרגול של סרטוט צורה בעלת היקף נתון וחישוב שטח הצורה‪ .‬אפשר‬
‫לדון עם התלמידים בכך שצורות בעלות אותו היקף יכולות להיות צורות בעלות שטחים שונים‪.‬‬
‫להלן דוגמה לשתי צורות שהיקפן ‪ 16‬יחידות אורך‪ ,‬ושטחן שונה‪.‬‬
‫צורה א'‪:‬‬
‫צורה ב'‪:‬‬
‫שטח צורה א' הוא ‪ 7‬יחידות שטח‪ ,‬ושטח צורה ב' הוא ‪ 9‬יחידות שטח‪.‬‬
‫‪223‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬יחידת השטח הנתונה היא המשולש ישר‪-‬הזוית הנתון‪.‬‬
‫שטח צורה א' הוא כ‪ 30 -‬יחידות שטח‪ .‬שטח צורה ב' הוא ‪ 36‬יחידות שטח‪.‬‬
‫שטח צורה ג' הוא כ‪ 24 -‬יחידות שטח‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימת תרגול של סרטוט צורות שונות בעלות אותו השטח‪.‬‬
‫דוגמה לשתי צורות שונות‬
‫ששטחן ‪ 24‬יחידות‪-‬שטח‪.‬‬
‫המשבצת היא יחידת השטח‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬משימת תרגול לבית‪ .‬התלמידים נדרשים לאמוד את שטח התקרה של החדר‬
‫שלהם ולחשב את השטח‪ .‬כדאי לדון בכיתה בכל דרכי החישוב השונות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬אם מגדילים את אחת מצלעות המלבן פי שניים‪ ,‬ואורך הצלע השנייה לא שונה‪,‬‬
‫שטח המלבן גדל פי שניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬א( שטח המלבן המקורי הוא ‪ 8‬סמ"ר‪2 × 4 = 6 .‬‬
‫שטח המלבן החדש שסרטטה לאה הוא ‪ 14‬סמ"ר‪ 2 × 7 = 14 .‬לפיכך שטח המלבן גדל ב‪6 -‬‬
‫סמ"ר‪.‬‬
‫ב( אורכי הצלעות של המלבן של רותי הם ‪ 12‬ס"מ ו‪ 2 -‬ס"מ‪ .‬אם כך‪ ,‬שטח המלבן של רותי הוא‬
‫‪ 24‬סמ"ר‪2 × 12 = 24 .‬‬
‫ג( שטח המלבן של רותי גדול ב‪ 16 -‬סמ"ר משטח המלבן המקורי וגדול פי שלושה משטח המלבן‬
‫המקורי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬התלמידים נדרשים לחשב את שטח הסמלים המוצעים‪.‬‬
‫‪3 × 6 18‬‬
‫=‬
‫השטח של המשולש ישר הזווית הוא ‪ 9‬סמ"ר‪= 9 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫השטח של הסמל המוצע בהצעה א' הוא ‪ 54‬סמ"ר‪ .‬הסמל מכיל שישה משולשים ישרי זווית‪.‬‬
‫השטח של הסמל בהצעה ב' הוא ‪ 36‬סמ"ר‪ .‬הסמל מכיל ארבעה משולשים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬כל המידות נתונות בסנטימטרים‪ ,‬לכן השטח יתקבל בסנטימטרים רבועים‪.‬‬
‫אפשר להמיר את המידות למטרים רבועים‪ ,‬אך התשובה תהיה מספר שאינו שלם‪ .‬שטח הקיר‬
‫פחות שטח הארון הוא ‪ 22,000‬סמ"ר‪ .‬שטח הקיר פחות השטח המיועד לציור על קיר בצורת‬
‫מקבילית הוא ‪ 62,000‬סמ"ר‪ .‬שטח הקיר פחות שטח הדלת הוא ‪ 73,500‬סמ"ר‪ .‬שטח הקיר‬
‫פחות שטח החלון המלבני הוא ‪ 77,000‬סמ"ר‪ .‬שטח הקירות לצביעה הוא ‪ 234,500‬סמ"ר‪ ,‬שהם‬
‫בערך ‪ 23‬מ"ר‪ .‬מומלץ לאפשר לתלמידים להשתמש במחשבון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬משימת תרגול של חישוב שטח פנים של קובייה‪ .‬בקובייה שש פאות‪ ,‬ולכן‬
‫שטח הפנים של הקובייה הוא ‪ 384‬מ"ר‪6 × 64 = 384 .‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬על התלמידים לחשב את אורכי הגבהים של המקבילית כאשר נתונים שטח‬
‫המקבילית ואורכי צלעותיה‪.‬‬
‫ניעזר בנוסחה למציאת שטח המקבילית‪ .‬שטח המקבילית שווה למכפלת הצלע בגובה היורד‬
‫אליה‪.‬‬
‫א( אורך הגובה היורד אל הצלע שאורכה ‪ 5‬ס"מ הוא ‪ 8‬ס"מ‪5 × ? = 40 .‬‬
‫אורך הגובה היורד אל הצלע שאורכה ‪ 10‬ס"מ הוא ‪ 4‬ס"מ‪10 × ? = 40 .‬‬
‫ב( המרחק בין הצלעות הוא הגובה היורד אל הצלע שאורכה ‪ 6‬ס"מ‪ .‬כלומר המרחק הוא ‪4‬‬
‫ס"מ‪6 × ? = 24 .‬‬
‫‪224‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬א( אורכו של כל מלבן הוא ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫ב( רוחב המלבן הוא ‪ 3‬ס"מ‪ .‬זהו‪ ,‬למעשה‪ ,‬גם אורך הצלע של הריבוע הקטן‪ .‬שטח הריבוע‬
‫‪ OHCF‬הוא ‪ 9‬סמ"ר‪.‬‬
‫ג( השטח של כל מלבן הוא ‪ 18‬סמ"ר‪.‬‬
‫ד( הקטע ‪ AB‬מורכב מאורך צלע הריבוע הגדול ומרוחב המלבן‪ .‬אורך הצלע ‪ AB‬הוא ‪ 9‬ס"מ‪.‬‬
‫ה( אורך הקטע ‪ BC‬מורכב מאורך המלבן ומאורך הצלע של הריבוע הקטן‪ .‬אורך הצלע ‪BC‬‬
‫הוא ‪ 9‬ס"מ‪.‬‬
‫ו( המרובע ‪ ABCD‬הוא ריבוע‪ ,‬כי כל צלעותיו שוות באורכן‪.‬‬
‫ז( אפשר לחשב את השטח של הריבוע ‪ ABCD‬במספר דרכים‪.‬‬
‫דרך ‪ :1‬שטח הריבוע שווה למכפלת אורכי צלעות הריבוע‪9 × 9 = 81 .‬‬
‫דרך ‪ :2‬שטח הריבוע שווה לסכום השטחים של שני הריבועים ושני המלבנים‪.‬‬
‫‪36 + 18 + 18 + 9 = 81‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬משימת תרגול של חישוב שטח המשולש על‪-‬ידי השלמתו למלבן‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪12‬‬
‫שטח מלבן ב הוא ‪ 12‬יחידות שטח‪ ( 2 × 6 ) .‬שטח משולש א הוא ‪ 6‬יחידות שטח‪= 6 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪20‬‬
‫שטח מלבן ד הוא ‪ 20‬יחידות שטח‪ ( 4 × 5 ) .‬שטח משולש א הוא ‪ 10‬יחידות שטח‪= 10 .‬‬
‫‪2‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬שטח המשולש שווה למחצית שטח הריבוע‪ .‬המשולש ששטחו הגדול ביותר‬
‫הוא זה שאורך כל אחד מניצביו הוא ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬אפשר להבין משימה זו בשני אופנים‪ (1 :‬אילנית יכולה לצבוע גגות ששטחם‬
‫פחות מ‪ 15 -‬מ'‪ ,‬כלומר היא יכולה לבחור גג אחד מבין ארבעת הגגות‪ ,‬שכן שטח כל אחד‬
‫מארבעת הגגות הוא פחות מ‪ 15 -‬מ"ר;‬
‫‪ (2‬אילנית תצבע גגות שסכום שטחיהם הוא ‪ 15‬מ"ר‪ ,‬ואם כך‪ ,‬גגות א' ו‪ -‬ב' מתאימים לכך‪.‬‬
‫כל אחת מדרכי הפתרון אפשרית‪ ,‬ובלבד שהתלמידים יסבירו את דרך חשיבתם‪ .‬המטרה‬
‫במשימה זו היא לתרגל חישוב של שטח משולש‪ .‬התרגול מתבצע בשני האופנים שהוצגו לעיל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬משימת תרגול של חישוב שטחי משולשים והשוואה ביניהם‪.‬‬
‫‪3 × 7 21‬‬
‫‪3 × 9 27‬‬
‫= ‪s2‬‬
‫= ‪s1‬‬
‫חישוב‪= = 10.5 :‬‬
‫א( חישוב‪= = 13.5 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 × 6 12‬‬
‫‪3 × 4 12‬‬
‫= ‪s2‬‬
‫= ‪s1‬‬
‫חישוב‪= = 6 :‬‬
‫ב( חישוב‪= = 6 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3 × 12 36‬‬
‫‪4 × 8 32‬‬
‫= ‪s2‬‬
‫חישוב‪= = 18 :‬‬
‫= ‪s1‬‬
‫ג( חישוב‪= = 8 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6 × 5 30‬‬
‫‪4 × 7 28‬‬
‫= ‪s2‬‬
‫= ‪s1‬‬
‫חישוב‪= = 15 :‬‬
‫ד( חישוב‪= = 14 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪s 2 < s1‬‬
‫‪s 2 = s1‬‬
‫‪s 2 > s1‬‬
‫‪s 2 > s1‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬התלמידים נדרשים לסרטט מלבן עזר‪ ,‬כך שהצלע המודגשת תהיה אחת‬
‫מצלעות המלבן‪ .‬הנחו את התלמידים להשתמש במשולש סרטוט‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬הגג בעל השטח הקטן הוא זה שאורך בסיסו הוא הקטן ביותר‪ ,‬כלומר גג ג'‪.‬‬
‫‪225‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬משימת תרגול נוספת של חישוב שטחי משולשים‪ .‬יחידת השטח היא משבצת‪.‬‬
‫שטח משולש א' הוא ‪ 6‬יחידות שטח‪ .‬שטח משולש ב' הוא ‪ 12‬יחידות שטח‪ .‬שטח משולש ג' הוא‬
‫‪ 5‬יחידות שטח‪ .‬שטח משולש ד' הוא ‪ 6‬יחידות שטח‪ .‬שטח משולש ה' הוא ‪ 10‬יחידות שטח‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬משימת תרגול של חישוב שטחי משולשים והשוואה ביניהם‪.‬‬
‫‪2 × 5 10‬‬
‫‪2 × 5 10‬‬
‫= ‪s1‬‬
‫= ‪s2‬‬
‫חישוב‪= = 5 :‬‬
‫א( חישוב‪= = 5 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3 × 5 15‬‬
‫ב( חישוב‪= = 7.5 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3 × 6 18‬‬
‫ג( חישוב‪= = 9 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ד( חישוב‪:‬‬
‫= ‪s2‬‬
‫= ‪s2‬‬
‫‪3 × 6 18‬‬
‫=‬
‫‪=9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪s2‬‬
‫‪s1 = s 2‬‬
‫חישוב‪:‬‬
‫‪4 × 4 16‬‬
‫‪= =8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪s1‬‬
‫‪s1 > s 2‬‬
‫חישוב‪:‬‬
‫‪2 × 7 14‬‬
‫‪= =7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪s1‬‬
‫‪s1 < s 2‬‬
‫חישוב‪:‬‬
‫‪3 × 4 12‬‬
‫‪= =6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪s1‬‬
‫‪s1 < s 2‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬משימת תרגול‪ :‬זיהוי משולשים שווי‪-‬שוקיים ומשולשים ישרי‪-‬זווית‪ .‬וכן‬
‫חישוב שטחי המשולשים‪.‬יש להסב את תשומת לבם של התלמידים לנתונים המסומנים בציור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬על התלמידים לסרטט גגות‪ ,‬כך ששטח הגגות יהיה בסדר עולה‪ .‬גג מס' ‪4‬‬
‫יהיה הגבוה ביותר מבין הגגות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬משימת תרגול של חישוב שטחים של מלבן‪ ,‬של משולש‪ ,‬של ריבוע ושל‬
‫מקבילית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬עיסוק באמנות‪ .‬מומלץ לדון עם התלמידים בשאלה‪ :‬האם לכל המשולשים יש‬
‫אותו שטח? הכיצד?‬
‫משימה מס' ‪ :25‬על התלמידים להסביר מדוע לשני המשולשים יש אותו השטח‪ .‬משולש ‪ 2‬הוא‬
‫משולש ישר‪-‬זווית‪ ,‬ומשולש ‪ 1‬הוא משולש קהה‪-‬זווית‪ .‬הניצב המאוזן של המשולש ישר‪-‬הזווית‬
‫הוא הגובה של משולש ‪ 2‬וגם את הגובה של משולש ‪.1‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬משימת תרגול של חישוב שטחי משולשים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬משימת סרטוט של ריבוע וחישוב שטחים של משולשים‪.‬‬
‫שאלות מילוליות‪ ,‬עמוד ‪514‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬כדי למצוא את שטח נייר הדבק הדרוש לערן‪ ,‬צריך לחשב‪ ,‬למעשה‪ ,‬את שטח‬
‫הפנים של התיבה‪ .‬שטחי פאות התיבה הם ‪ 32‬סמ"ר‪ 40 ,‬סמ"ר ו‪ 80 -‬סמ"ר‪.‬‬
‫שטח הפנים של התיבה הוא ‪ 304‬סמ"ר‪.‬‬
‫מאחר שערן אינו רוצה להדביק את המכסה‪ ,‬נחסר מהתוצאה שקיבלנו את השטח ‪ 80‬סמ"ר‪,‬‬
‫ונקבל‪ 224 :‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪226‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬שטח השדה הוא ‪ 144‬מ"ר ) ‪ .( 18 × 8‬השטח ששתול בו דשא הוא ‪ 72‬מ"ר‬
‫) ‪ .( 144 :2‬השטח ששתולים בו פרחים הוא ‪ 48‬מ"ר‪.‬‬
‫המידות האפשריות של ארגז החול‪ :‬אורכי הניצבים של המשולש הם ‪ 3‬מ' ו‪ 8-‬מ'‪ ,‬כי שטח‬
‫הארגז הוא ‪ 12‬מ"ר‪.‬‬
‫חלוקה אפשרית של השדה‪:‬‬
‫אתר‬
‫משחקים‬
‫פרחים‬
‫דשא‬
‫‪ 8‬מ'‬
‫חול‬
‫‪ 6‬מ'‬
‫‪ 3‬מ'‬
‫‪ 9‬מ'‬
‫אורך חוט הברזל הנדרש הוא ‪ 147‬מ'‪ .‬אפשר לחשב את היקף המלבן‪ ,‬לחסר ‪ 3‬ולכפול ב‪ ,3 -‬כי‬
‫מקיפים שלוש פעמים‪ .‬אפשר לכתוב את החישוב על‪-‬ידי תרגיל אחד כך‪:‬‬
‫‪. (18 × 2 + 8 × 2 − 3) × 3 = 49 × 3 = 147‬‬
‫משימה ‪ :3‬אורך הצלע של הריבוע הוא ‪ 8‬מ'‪ .‬שטח הריבוע הפנימי הוא ‪ 32‬מ"ר‪.‬‬
‫משימה ‪ :4‬שטח נייר הכסף הוא‪ ,‬למעשה‪ ,‬המעטפת של המנסרה המשולשת‪ .‬במילים אחרות‪,‬‬
‫יש לחשב את שטח הפנים של המנסרה המשולשת‪ ,‬שהוא סכום השטחים של שלושה מלבנים‬
‫חופפים ושל שני משולשים חופפים )שהם בסיסי המנסרה(‪.‬‬
‫שטח כל מלבן הוא ‪ 60‬סמ"ר ) ‪ ; ( 12 × 5‬שטח שלושה מלבנים כאלה הוא ‪ 180‬סמ"ר;‬
‫‪6× 4‬‬
‫שטח כל משולש הוא ‪ 12‬סמ"ר )‬
‫(; שטח שני משולשים כאלה הוא ‪ 24‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫שטח הפנים של המנסרה הוא ‪ 204‬סמ"ר‪ ,‬וזה שטח נייר הכסף הנדרש‪.‬‬
‫היסטוריה‪ ,‬עמוד ‪515‬‬
‫החלק ההיסטורי בפרק זה עוסק בסוקרטס‪ ,‬אשר לימד כיצד לבנות ריבוע ששטחו גדול פי‬
‫שניים משטחו של ריבוע נתון‪.‬‬
‫הכפלת שטח ריבוע על‪-‬ידי בנייה בלבד‪ ,‬ללא חישוב של אורך צלע הריבוע החדש‪ .‬הבנייה נעשית‬
‫על‪-‬ידי גזירה והרכבה ובעזרת הסיפור ההיסטורי הידוע‪ .‬נוסף על המושגים שהתלמידים הכירו‬
‫בפרק‪ ,‬הם עוסקים כאן במושגים "גדול פי‪ "...‬ו‪"-‬צלע – אלכסון"‪ .‬כדי לצייר בשיטה זו ריבוע‬
‫ששטחו ‪ 18‬סמ''ר‪ ,‬יש לבנות שני ריבועים ששטח כל אחד מהם הוא ‪ 9‬סמ''ר‪ ,‬לחלק כל אחד‬
‫לשני משולשים בעזרת האלכסון ולפעול כמו בסיפור‪.‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪516‬‬
‫כאן עוסקים בחישוב שטח טרפז‪ ,‬ומודגמת דרך אחת )פחות שגרתית( לחישוב שטח הטרפז‪.‬‬
‫אפשר לחלק את הטרפז לשני משולשים ישרי‪-‬זווית ומלבן או למקבילית ומשולש ולמצוא את‬
‫שטח הטרפז גם בדרכים אלו‪ .‬מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ז' לפני השיעור‪.‬‬
‫תלמידים מתקדמים יכולים לפעול על‪-‬פי ההוכחה המתוארת בחלק העליון של העמוד‪.‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪517‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על מספרים עשרוניים‪ ,‬על אומדן תוצאות של פעולות חיבור וחיסור‪ ,‬על ציר‬
‫המספרים‪ ,‬על השוואה בין שברים ועל היקף המלבן‪.‬‬
‫‪227‬‬
‫עמ' ‪545 - 518‬‬
‫טז‪ .‬חקר נתונים‬
‫רקע‬
‫אפשר לייצג נתונים בצורות גרפיות שונות כמו מערכת צירים )גרף(‪ ,‬דיאגרמות‪ ,‬דיאגרמות‬
‫עמודות כפולות‪ ,‬טבלאות‪ .‬על פי רוב‪ ,‬כלים אלה מאפשרים להציג מספר רב של נתונים ולעבד‬
‫אותם‪ ,‬ולכן אפשר לחקור באמצעותם תופעות רבות‪ .‬סטטיסטיקה היא המדע של חקירות אלה‪,‬‬
‫ועיבוד נתונים הוא נושא מרכזי בסטטיסטיקה‪ .‬נושא המחקר הוא המשתנה שמכיל ערכים‬
‫שונים‪ .‬דוגמה‪ :‬בחקירת מזג האוויר נושא המחקר הוא כמות הגשמים בזמנים שונים‪ .‬הערכים‬
‫של המשתנה יכולים להיות שנים‪ ,‬חודשים או ימים‪ .‬הנתונים הם כמויות הגשמים היורדים‬
‫בשנה‪ ,‬בחודש וביום‪) .‬המושגים המופיעים כאן‪ ,‬אינם מיועדים לתלמידים בכיתה ה'‪(.‬‬
‫הוראת עיבוד נתונים אינה תלויה כל‪-‬כך בגיל הלומד‪ ,‬אלא דורשת הקניה של מיומנויות‪ ,‬ולפי‬
‫הניסיון והמחקרים‪ ,‬אי‪-‬אפשר לדלג על שלבּים בלימוד‪ .‬בכיתה א' מלמדים את השימוש בטבלה‬
‫דו‪-‬ממדית וברשתות )המוביל לדיאגרמות ולגרפים( כבסיס לנושא עיבוד נתונים‪ ,‬שהוא חלק‬
‫מהנושא הכללי "חקר נתונים"‪ .‬הפרק מתחיל בהרחבת הידע הקודם )אוצר המילים המדעי‬
‫הנוגע למערכת צירים‪ ,‬לשיעורים של נקודות ולצורת הכתיבה של זוגות סדורים(‪.‬‬
‫ההמשך מוקדש לבניית גרפים ודיאגרמות ולקריאת כל מרכיביהם‪ :‬טווח הנתונים‪ ,‬בחירת‬
‫היחידה‪ ,‬ייצוג תופעות שהמספרים בהן גדולים במיוחד‪.‬‬
‫בתהליך של איסוף נתונים )הקודם לתהליך של הצגת הנתונים( דרוש ידע של מושגים וכן‪ ,‬יש‬
‫לשלוט במיומנויות ‪ -‬כגון מיון‪ ,‬תכונות‪ ,‬קריאה וכתיבה של רשימות ושל טבלאות ‪ -‬שנלמדו‬
‫בכיתות א'‪-‬ד'‪.‬‬
‫להלן פירוט חלקי של התכנים ושל המיומנויות‪ ,‬הקשורים לטבלאות ולמערכת צירים‪.‬‬
‫דרך‬
‫טבלאות‬
‫תכנים‬
‫תכונות‬
‫מיון‬
‫נתונים מספריים‬
‫קשר לבעיות מילוליות‬
‫מיקום‬
‫סדר מספרים‬
‫רשתות‬
‫מערכות‬
‫צירים‬
‫דיאגרמות הבנת הסכמה‬
‫חקר תופעות שסידור הנתונים שלהן אינו חשוב‪,‬‬
‫הסקת מסקנות‬
‫דיאגרמות קריאה בו‪-‬זמנית של שתי סדרות של נתונים‬
‫הקשורים במרכיב אחד )שטח ואוכלוסייה של‬
‫עמודות‬
‫ארצות‪ ,‬סדרות נתונים בזמנים שונים‪(...‬‬
‫כפולות‬
‫העברת נתונים מטבלה למערכת‪-‬צירים ולהפך‬
‫גרפים‬
‫חקר תופעות שסידור הנתונים שלהן חשוב‬
‫הסקת מסקנות‬
‫מיומנויות‬
‫הבנת הנקרא‬
‫קריאה בהצלבה‬
‫קריאה מימין לשמאל ומשמאל‬
‫לימין‬
‫ארגון נתונים‬
‫מוטוריקה‬
‫איסוף נתונים‬
‫השוואה בין נתונים‬
‫הסקת מסקנות‬
‫הכנה למיקום‬
‫קריאה בהצלבה‬
‫כתיבה בהצלבה‬
‫הכנה לבניית דיאגרמות וגרפים‬
‫בנייה וקריאה של דיאגרמות‬
‫ייצוג של יותר מתופעה אחת על‬
‫אותוֹ אמצעי ייצוג‬
‫הכנה לבנייה ולקריאה של גרפים‬
‫מוטוריקה‬
‫הבנת הנקרא‬
‫נוסף על פירוט המאפיינים המתמטיים הנ"ל‪ ,‬מקור הנתונים ואיסוף הנתונים משתנים‬
‫ו"מתרחקים" מהילד עם הגיל‪) .‬כלומר מקור הנתונים עובר מהסביבה הקרובה שלֹ הילד‬
‫לסביבה הרחוקה שלו‪ (.‬למשל‪ ,‬בכיתה ב' מקור הנתונים היה בילד עצמו )שמות‪ ,‬צבע עיניים‪,‬‬
‫‪228‬‬
‫שיער‪ ,‬משקפיים‪ ,‬לבוש(; בכיתות ג'‪-‬ד' מקור הנתונים היה בעיסוקים שונים של הילד‪ ,‬בכושר‬
‫שכלו )טעמים ותחביבים( ובסביבה הקרובה )משפחות‪ ,‬בעלי חיים‪ ,‬שכונה(; ובכיתות ה'‪-‬ו'‬
‫עוברים לנתונים תקשורתיים הקשורים לעיר‪ ,‬לארץ או לעולם )מזג האוויר‪ ,‬אוכלוסייה‪,‬‬
‫כלכלה(‪.‬‬
‫לפי תכנית הלימודים‪ ,‬הוראת עיבוד נתונים מורכבת משני חלקים‪ :‬ייצוג נתונים שהוא הנושא‬
‫של פרק זה‪ ,‬וחישובים הקשורים לנתונים )הממדים שכיח‪ ,‬ממוצע‪ ,‬חציון( שהם הנושא של פרק‬
‫י"ט שבו משלבים ייצוגים וחישובים‪.‬‬
‫מומלץ להקדיש לנושא כ‪ 6 -‬שעות‪.‬‬
‫הערה‪ :‬כדי לא להבהיל את התלמידים משתמשים כאן במונחים "שיעור אופקי" ו"שיעור‬
‫אנכי" במקום שיעור ה‪ x -‬ושיעור ה‪.y -‬‬
‫מושגים‬
‫מערכת צירים‪ ,‬ראשית הצירים‪ ,‬הציר האופקי והציר האנכי‪ ,‬שיעורי נקודות‪ ,‬זוג ָסדור‪ ,‬טבלה‪,‬‬
‫נתונים‪ ,‬יחידה‪ ,‬גרף‪ ,‬רשתות‪ ,‬דיאגרמת עמודות‪ ,‬דיאגרמת עמודות כפולות‪ ,‬טווח הנתונים‪,‬‬
‫איסוף נתונים וארגון נתונים‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬לקרוא שיעורים של נקודה על מערכת צירים‪ ,‬כולל שיעורים שליליים;‬
‫ב‪ .‬למקם נקודות על מערכת צירים לפי שיעורים נתונים;‬
‫ג‪ .‬לבנות גרף לפי נתונים בטבלה;‬
‫ד‪ .‬לבחור יחידה על מערכת צירים‪ ,‬שתתאים לנתונים;‬
‫ה‪ .‬להציג נתונים על מערכת צירים;‬
‫ו‪ .‬לבנות דיאגרמת עמודות המייצגת את הנתונים;‬
‫ז‪ .‬לקרוא דיאגרמה;‬
‫ח‪ .‬לבנות דיאגרמת עמודות כפולות;‬
‫ט‪ .‬לקרוא דיאגרמת עמודות כפולות;‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫מערכת צירים‪ ,‬נייר מילימטרי‪ ,‬דף משובץ‬
‫אביזרי "חשבון ‪ :"10‬שקף משבצות‪ ,‬רצועות‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על סדר פעולות החשבון כשיש כפל‪.‬‬
‫הפתרון‪.‬‬
‫‪ .1‬רושמים על הלוח תרגיל מהסוג ‪ .5 × 4+3 :‬דנים בדרכי ְ‬
‫הפתרון ובחשיבות הסוגריים‪.‬‬
‫‪ .2‬רושמים על הלוח תרגיל מהסוג‪ .5 × (4+3) :‬דנים בדרכי ְ‬
‫הפתרון ומדגישים שהכפל קודם‬
‫‪ .3‬רושמים על הלוח תרגיל מהסוג‪ .5+4 × 3 :‬דנים בדרכי ְ‬
‫לחיבור ולחיסור‪.‬‬
‫הפתרון ובקדימות הסוגריים‪.‬‬
‫‪ .4‬רושמים על הלוח תרגיל מהסוג‪ .(5+4) × 3 :‬דנים בדרכי ְ‬
‫ב‪ .‬חזרה על סדר פעולות החשבון כשיש חילוק‪.‬‬
‫הפתרון‪.‬‬
‫‪ .1‬רושמים על הלוח תרגיל מהסוג‪ .20:4+1 :‬דנים בדרכי ְ‬
‫‪229‬‬
‫הפתרון ובחשיבות הסוגריים‪.‬‬
‫‪ .2‬רושמים על הלוח תרגיל מהסוג‪ .20:(4+1) :‬דנים בדרכי ְ‬
‫הפתרון ובקדימות החילוק קודם‬
‫ְ‬
‫‪ .3‬רושמים על הלוח תרגיל מהסוג‪ .5+20:5 :‬דנים בדרכי‬
‫לחיבור ולחיסור‪.‬‬
‫הפתרון ובקדימות הסוגריים‪.‬‬
‫‪ .4‬רושמים על הלוח תרגיל מהסוג‪ .20:(5+5) :‬דנים בדרכי ְ‬
‫ג‪ .‬חזרה על סדר פעולות החשבון‪.‬‬
‫רושמים על הלוח תרגילים‪ ,‬מבקשים מהתלמידים להעתיק את התרגילים למחברת ולפתור‬
‫אותם‪.‬‬
‫‪4 × 2+4 × 5 3 × 4-10:2‬‬
‫‪24:6-2 15-5:5+1‬‬
‫‪24:(6-2) 3 × 4-10:2‬‬
‫)‪12-(3+5‬‬
‫‪12-3+5‬‬
‫)‪5 × (3+2‬‬
‫‪5 × 3+2‬‬
‫‪4+6 × 3-2‬‬
‫‪15-5:5+1‬‬
‫‪4+6 × 3-2‬‬
‫)‪10-(4 × 2‬‬
‫‪22+5 × 2‬‬
‫‪40-4 × 4+5‬‬
‫‪2+24:4+5‬‬
‫‪40-4 × 4+5‬‬
‫‪10-4 × 2‬‬
‫)‪22+(5 × 2‬‬
‫‪15-5:…+1=15‬‬
‫‪2+…:4+5=13‬‬
‫‪2+24:4+5‬‬
‫‪2 × 2+4 × 5‬‬
‫‪3 × 4-…:2=7‬‬
‫‪…-4 × 4+5=29‬‬
‫‪4 × 2+ … × 5=28‬‬
‫‪4+6 × …-2=20‬‬
‫הפתרון ומדגישים שהכפל והחילוק קודמים לחיבור ולחיסור‪.‬‬
‫דנים בדרכי ְ‬
‫ד‪ .‬חזרה על חיבור ועל חיסור של אלפים שלמים‪ ,‬של מאות שלמות ושל עשרות שלמות‪.‬‬
‫בוחרים מספר בין ‪ 0‬ל‪ .100 -‬כל תלמיד בתורו מוסיף לו ‪ .100‬לדוגמה‪ ,‬התלמיד הראשון אומר‬
‫‪ ,56‬השני ‪ ,156‬השלישי ‪ ,256‬וכן הלאה‪ ,‬עד למחצית מתלמידי הכתה‪ .‬המחצית השנייה של‬
‫תלמידי הכיתה יבנו סדרה יורדת )מהמספר שהגיעה אליו המחצית הראשונה( בקפיצות של ‪.10‬‬
‫אחר‪-‬כך בוחרים מספר בין ‪ 100‬ל‪ ,999 -‬ומוסיפים בכל פעם ‪ 1,000‬עד למחצית מתלמידי‬
‫הכיתה‪ ,‬המחצית השנייה של הכיתה תבנה סדרה יורדת בקפיצות של ‪.100‬‬
‫ה‪ .‬חזרה על התכונות של משפחת המרובעים‪.‬‬
‫‪ .1‬מציירים מעוין ושואלים על התכונות של הצלעות הנגדיות‪ ,‬של הזוויות הנגדיות ושל‬
‫האלכסונים‪ .‬רושמים את מידת אחת הזוויות ומבקשים מהתלמידים לחשב את המידות של‬
‫יתר הזוויות של המעוין‪.‬‬
‫‪ .2‬מציירים ריבוע ושואלים על התכונות של הצלעות הנגדיות‪ ,‬של הזוויות הנגדיות ושל‬
‫האלכסונים‪ .‬רושמים מידה של חצי אלכסון ומבקשים מהתלמידים לחשב את מידת‬
‫האלכסון‪ .‬מראים שריבוע הוא מלבן מיוחד או מעוין מיוחד‪.‬‬
‫‪ .3‬מציירים דלתון וטרפז ושואלים על התכונות של הצלעות הנגדיות‪ ,‬של הזוויות הנגדיות ושל‬
‫האלכסונים‪.‬‬
‫‪ .4‬מציירים את אילן היוחסין של משפחת המרובעים‪ ,‬ומבקשים מהתלמידים למלא אותו‪.‬‬
‫דנים בתשובות‪.‬‬
‫‪ .5‬משחק "מה יש לי בראש"‪ :‬המורה או אחד התלמידים אומרים שם של מרובע כלשהו‪,‬‬
‫תלמידי הכיתה מתבקשים לגלות אותו על‪-‬ידי סדרת שאלות שהתשובות עליהן הן רק "כן"‬
‫או "לא"‪.‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫מערכת צירים‬
‫פעילויות הגילוי הראשונות מיועדות לכיתות שהתלמידים בהן למדו על מערכת הצירים בעבר‪.‬‬
‫עובדים בדפי משבצות‪.‬‬
‫‪230‬‬
‫פעילות א‪ :‬מציירים על הלוח רשת נקודות‪) .‬הרשת כוללת את הצירים‪ (.‬מציינים שלוש‬
‫נקודות‪ A :‬באמצע הרשת )כגון ‪ B ,(4,5‬על ציר ה‪) x -‬כגון ‪ (0,3‬ו‪ C -‬על ציר ה‪) y -‬כגון ‪.(4,0‬‬
‫מבקשים מהתלמידים לרשום את המיקום של שלוש הנקודות‪ .‬דנים בתשובות‪ .‬מומלץ לרשום‬
‫על הלוח את התשובות הנכונות‪.‬‬
‫מציירים על הרשת נקודה נוספת ‪ D‬ב‪ ,(6,2) -‬ושואלים‪" :‬איזו נקודה גבוהה יותר?" אחר‪-‬כך‬
‫שואלים‪" :‬האם יכולנו לדעת את התשובה בלי הציור?" דנים בהצעות התלמידים‪ .‬חוזרים על‬
‫התהליך בנקודה הנמוכה‪ ,‬בנקודה הימנית ובנקודה השמאלית ביותר‪.‬‬
‫פעילות ב‪ :‬מספרים את הסיפור על מנהטן שבקטע השיעור הראשון‪ .‬המרצפות שבכיתה‬
‫יכולות לשמש כמערכת צירים‪) .‬מציירים את הצירים בגיר‪ (.‬התלמידים עובדים בזוגות‪ :‬אחד‬
‫כותב על פתק את מקום הפגישה על‪-‬פי שני מספרים‪ ,‬נותן את הפתק לבן זוגו‪ ,‬ובן הזוג ניגש‬
‫למקום המתאים‪ .‬רק לאחר מכן התלמיד ניגש לנקודה שהוא עצמו רשם בפתק ‪ .‬בודקים אם‬
‫הם ייפגשו או לא‪ .‬הטעות הנפוצה היא שלא לוקחים בחשבון את סדר המספרים הרשומים‪.‬‬
‫חשוב לציין את המושג "זוג ָסדור" להדגשת החשיבות של סדר המספרים בשיעורי נקודה‬
‫מסוימת‪.‬‬
‫שימוש במערכת צירים בחקר נתונים‬
‫אחד החידושים לתלמידים שלמדו את הנושא‪ ,‬הוא העיסוק ביחידות של הצירים והערכת‬
‫אמתיים"‪,‬‬
‫המידה של הדיוק‪ ,‬הנחוצה לפי טיב הנתונים‪ .‬חידוש אחר הוא הצגת נתונים " ִ‬
‫המאפשרים לתלמידים ליישם את השלמתו בשיעורים‪ ,‬בנושאים קרובים ללבם‪.‬‬
‫בשיעור זה מומלץ להשתמש בנייר מילימטרי‪ .‬רוב הנתונים בפרק הם מספרים גדולים‪.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬פעילות הגילוי הראשונה‪ ,‬שמקורה בספר של כיתה ד'‪ ,‬מיועדת לכיתות שבהן לא‬
‫נלמד בעבר הנושא "מערכת צירים"‪ .‬עובדים בדפי משבצות‪ .‬מחלקים לתלמידים גרף "לבן" –‬
‫ללא הטבלאות‪ .‬שואלים‪" :‬מה מייצג הגרף?"‪" ,‬מה חסר כדי לדעת?" כאשר מגיעים למסקנה‬
‫שחסרות הכותרות והגדרת הנתונים של הצירים‪ ,‬מחלקים לכל קבוצה טבלה אחת‪) .‬אפשר‬
‫לחלק את תלמידי הכיתה לארבע קבוצות‪ (.‬על כל קבוצה למלא א‪ .‬את הכותרת של הגרף; ב‪.‬‬
‫את כותרות הצירים; ו‪ -‬ג‪ .‬את המספרים על הצירים בהתאם לטבלה‪.‬‬
‫בכל שלב כדאי להראות על הלוח את המקום של כתיבת הכותרות ולהתחיל לכתוב את‬
‫המספרים הראשונים על הצירים‪.‬‬
‫שעה‬
‫מס' מבקרים‬
‫שנה‬
‫מס' עולים‬
‫‪8‬‬
‫‪20‬‬
‫‪9‬‬
‫‪30‬‬
‫‪10‬‬
‫‪30‬‬
‫‪11‬‬
‫‪10‬‬
‫‪12‬‬
‫‪20‬‬
‫‪13‬‬
‫‪40‬‬
‫‪14‬‬
‫‪45‬‬
‫‪15‬‬
‫‪45‬‬
‫‪16‬‬
‫‪35‬‬
‫‪17‬‬
‫‪30‬‬
‫‪1,995 1,990 1,985 1,980 1,975 1,970 1,965 1,960 1,955 1,950‬‬
‫‪600 700 1,900 900 800 400 200 600 600 400‬‬
‫‪231‬‬
‫פעילות ד‪ :‬מציגים לתלמידים את הנתונים שבקטע השיעור שבעמ' ‪ 284‬או ‪ .286‬חלק‬
‫מהקבוצות מקבלות דף ‪ A4‬משובץ )או שקף המשבצות שבמארז האביזרים(‪ ,‬וחלק אחר‬
‫מקבל חצי מדף ‪ A4‬משובץ‪ .‬מבקשים לתכנן את הגרף המתאים )בלי לבנות אותו(‪ .‬דנים‬
‫במרכיבים של התכנון‪ :‬טווח הנתונים‪ ,‬גובה הדף‪ ,‬המרחק בין העמודות‪ ,‬ובעיקר בשאלה‪" :‬מהי‬
‫היחידה על הציר האנכי?"‪ ,‬ומגיעים למסקנה שאורך היחידה נקבע לפי דף הייצוג‪.‬‬
‫פעילות ה‪ :‬בניית גרף‪ .‬לפני השיעור מבקשים מהתלמידים לחפש נתונים על משקלים‪ ,‬על‬
‫שיאים ספורטיביים‪ ,‬על בחירות‪ ,‬על משקל או על מאפיינים שונים של חיות לפי בחירתם‪.‬‬
‫התלמידים בכל קבוצה בוחרים נושא ומתבקשים להציג אותו במערכת צירים‪ .‬אם לא בוצעה‬
‫פעילות א'‪ ,‬אפשר להשתמש באחת מהטבלאות כחומר בסיסי‪.‬‬
‫פעילות ו‪ :‬קריאת גרף‪ .‬מבקשים מהתלמידים להביא קטעי עיתונים שיש בהם גרפים‪.‬‬
‫התלמידים בכל קבוצה בוחרים גרף‪" ,‬חוקרים" אותו כמה דקות ומספרים לחברי המליאה‬
‫מה תמצית הגרף‪ :‬במה מדובר‪ ,‬מהם הנתונים‪ ,‬מהם הנתונים הקיצוניים וכדומה‪.‬‬
‫פעילות ז‪ :‬בניית דיאגרמה‪ .‬מוצעת טבלה המייצגת את מספר שעות השמש ב‪ 18 -‬הימים‬
‫הראשונים של חודש חורפי מסוים בשנה מסוימת‪ .‬מבקשים מכל זוג תלמידים להציג את‬
‫הנתונים במערכת צירים‪ .‬דנים בתשובות‪ .‬יש להקפיד על הכותרת של הטבלה ועל הכותרות‬
‫של הצירים‪.‬‬
‫‪18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1‬‬
‫יום‬
‫מס' שעות השמש ‪6 5 0 0 3 4 9 8 6 5 2 1 1 0 3 3 4 3‬‬
‫גרף או דיאגרמה?‬
‫פעילות ח‪ :‬כל קבוצה מקבלת את הטבלה שלהלן‪ ,‬המייצגת את המחיר של כדורי טניס כתלות‬
‫במספר הכדורים הנקנים‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫לפי‬
‫על התלמידים לבנות‬
‫כדורים‬
‫כדור‬
‫כדורים‬
‫כדורים‬
‫כדורים‬
‫בחירתם גרף או דיאגרמה‬
‫‪18‬‬
‫‪6‬‬
‫‪25‬‬
‫‪12‬‬
‫‪20‬‬
‫כדי לייצג את הנתונים‬
‫שבטבלה‪.‬‬
‫דנים ביתרונות של כל ייצוג‪ ,‬ובפרט בחשיבות של סדר הערכים בציר האופקי בגרף‪ ,‬במשמעות‬
‫החיבור בין הנקודות בגרף‪ ,‬ובקושי בפירוש הנתונים בדיאגרמה לעומת הגרף‪.‬‬
‫פעילות ט‪ :‬על חברי הקבוצה לבנות טבלה דמיונית שתתאים לייצג את נתוניה בדיאגרמה‪,‬‬
‫וטבלה דמיונית שתתאים לייצג את נתוניה בגרף‪ .‬על חברי הקבוצה לנמק את קביעותיהם‪.‬‬
‫פעילות י‪ :‬דיאגרמת עמודות כפולות‪.‬‬
‫דוּח של חשבון חשמל או של חשבון מים‪,‬‬
‫מבקשים מהתלמידים להביא לשיעור מתמטיקה ַ‬
‫שנשלח לבתיהם לתשלום‪ .‬בדוחות אלו מופיעה דיאגרמת עמודות כפולות המייצגת את נתוני‬
‫הצריכה האישיים בבית בשנה מסוימת לעומת השנה שעברה‪ .‬עליהם לנתח את הדיאגרמה‬
‫ולהסביר מה רואים בה‪ .‬דנים בנתונים שאספו התלמידים מתוך הדיאגרמה‪ .‬בתוך כדי דיון‬
‫מתבקשים התלמידים לענות על שאלות כגון‪" :‬מהי הכותרת של הדיאגרמה?"‪" ,‬מהם שמות‬
‫הצירים?"‪" ,‬מה מראה עמודה אחת של דיאגרמה?"‪" ,‬מה מראות שתי העמודות זו ליד זו?"‬
‫וכן הלאה‪ .‬שאלה נוספת שאפשר לדון בה‪" :‬באילו מקרים‪ ,‬לדעתכם‪ ,‬כדאי להציג את הנתונים‬
‫בדיאגרמה אחת?" בתום הדיון במליאה חשוב להגיע למסקנה שכדאי להשתמש בדיאגרמת‬
‫עמודות כפולות‪ ,‬כאשר רוצים להשוות בין נתונים מקבילים‪.‬‬
‫דוגמאות לשימוש בדיאגרמת עמודות כפולות‪ :‬אם רוצים לראות התפתחות של תופעה לאורך‬
‫זמן )צריכת המים בכל חודש לאורך השנתיים האחרונות(; או רוצים להשוות בין נתונים‬
‫במקומות שונים )צבע העיניים של התלמידים בכיתות ה'‪ 1‬ו‪ -‬ה'‪ .(2‬למעשה‪ ,‬אפשר גם להשוות‬
‫‪232‬‬
‫בין תופעות שונות שקשורות לאותם האנשים )או לאותן ארצות(‪ .‬צריך רק לבדוק אם יש טעם‬
‫להשוות בין שני הדברים ולהכניס את הנתונים לדיאגרמת עמודות כפולות‪.‬‬
‫פעילות יא‪ :‬ביצוע מחקר ורישום נתונים בדיאגרמת עמודות‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים לערוך מחקר קטן בכיתות מקבילות בנושא שיבחרו‪ ,‬ולהציג את תוצאות‬
‫המחקר בדיאגרמה‪ .‬שואלים במחקר שתי שאלות כדי להשתמש בנתונים בשתי דרכים‪:‬‬
‫דרך א‪ :‬השוואה בין מספר התשובות לאותה שאלה בכיתות שונות ;‬
‫דרך ב‪ :‬בדיקת הקשר בין מספר תשובות לשתי השאלות באותה כיתה‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬כל תלמיד עונה על שתי השאלות‪" :‬מהו מקצוע הלימוד האהוב עליך ביותר?"; "האם‬
‫אתה קורא יותר מספר בחודש?"‬
‫דוגמה לנושא המחקר‪ :‬הקשר בין מקצועות הלימוד האהובים ביותר על התלמידים; או‬
‫המקצוע שהם מתכוונים לבחור בעתיד כאשר יסיימו את לימודיהם בבית הספר‪ ,‬לבין מספר‬
‫הספרים וכדומה‪.‬‬
‫כדאי לחלק לכל התלמידים דף שבו רשימת השמות של תלמידי הכיתה ומקום לתשובות‬
‫לשאלות החקירה‪.‬‬
‫אחת מהשיטות לאיסוף נתונים היא שימוש בטבלה מסוג זה‪:‬‬
‫עברית‬
‫תנ"ך‬
‫מתמטיקה היסטוריה‬
‫ספורט‬
‫גאוגרפיה‬
‫המקצוע‬
‫מספר‬
‫הפעמים‬
‫שהנתון‬
‫מופיע‬
‫סיכום‬
‫‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪10‬‬
‫‪8‬‬
‫מרכזים את מספר התשובות בטבלה‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬בכיתה ה‪ 1‬שמונָה תלמידים אוהבים עברית‪ ,‬מתוכם ‪ 5‬קוראים יותר מספר‬
‫בחודש‪.‬‬
‫השאלה הראשונה‪ :‬מהו מקצוע הלימוד האהוב עליך ביותר?‬
‫מתמטיקה היסטוריה גאוגרפיה‬
‫תנ"ך‬
‫עברית‬
‫המקצוע‬
‫מספר‬
‫‪8‬‬
‫התשובות‬
‫בכיתה ה‪1‬‬
‫מספר‬
‫‪11‬‬
‫התשובות‬
‫בכיתה ה‪2‬‬
‫השאלה השנייה ‪ :‬האם אתה קורא יותר מספר כל חודש?‬
‫כן לא כן לא כן לא כן לא‬
‫מספר‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫התשובות‬
‫בכיתה ה‪1‬‬
‫מספר‬
‫‪4‬‬
‫‪7‬‬
‫התשובות‬
‫בכיתה ה‪2‬‬
‫כן‬
‫לא‬
‫ספורט‬
‫כן‬
‫לא‬
‫מטרת הפעילות היא להציג את תוצאות המחקר בדיאגרמת עמודות כפולות ולראות‬
‫הפתרון‪ ,‬בשמות הצירים‪ ,‬בחשיבות המקרא‪,‬‬
‫ְ‬
‫את הצורך בהצגה כזו‪ .‬דנים בדרכי‬
‫בכותרת הדיאגרמה ובייצוג עצמו‪.‬‬
‫‪233‬‬
‫ה‪1‬‬
‫‪18‬‬
‫ה‪2‬‬
‫‪16‬‬
‫‪14‬‬
‫‪12‬‬
‫‪10‬‬
‫‪8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫ספורט‬
‫גאוגרפיה‬
‫היסטוריה‬
‫מתמטיקה‬
‫תנ"ך‬
‫עברית‬
‫השיעור בספר הלימוד‬
‫לעלות על הגל‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :518‬מערכת צירים‬
‫הדוגמה של מנהטן מבהירה את החשיבות של הסדר בזוג ָסדור‪ .‬אחר‪-‬כך מובא אוצר המילים‬
‫המתמטי הקשור למערכת צירים‪ .‬הדבר נראה קשה בהתחלה‪ ,‬אבל מקל את התקשורת‬
‫בהמשך‪.‬‬
‫קיימות מערכות צירים שהצירים בהן אינם מאונכים זה לזה‪ ,‬ואפילו מערכות בעלות יותר‬
‫משני צירים‪ .‬בפרק זה עוסקים רק במערכת צירים הנקראת "מערכת צירים קרטזית" על‪-‬שמו‬
‫הלטיני של דקארט )רנאטוס קרטזיוס( שהמציא אותה‪.‬‬
‫רנה דקרט )‪ (1596 - 1650‬היה פילוסוף ומתמטיקאי צרפתי‪.‬‬
‫בספרו "הגאומטריה" העלה דקרט את הרעיון‪ ,‬שכל זוג מספרים יכול לקבוע נקודה מסוימת‬
‫במישור‪ ,‬ולהיפך‪ ,‬אפשר לאפיין כל נקודה במשור על ידי שני מספרים‪ .‬ברמה הבסיסית מורכבת‬
‫מערכת צירים קרטזית במישור מורכבת משני ישרים מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫בספרו "השיח על שיטה")‪ (1637‬הוא מציע שיטה המאפשרת למנוע שגיאות חשיבה ולבנות‬
‫מחדש את יסודות הידע – בספר זה מופיע המשפט המפורסם‪" ,‬אני חושב משמע אני קיים"‬
‫והוא העיקרון הראשון עליו התבסס כדי לבנות את שיטתו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת יישום‪ .‬כתיבת שיעורי נקודה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימת יישום‪ .‬קריאת שיעורים של נקודות נתונות‪ ,‬כתיבת שיעורים‪ ,‬שימוש‬
‫באוצר המילים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימה לקישור בין גאומטריה )תכונות המלבן( לבין מערכת צירים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬א( במערכת הצירים המסורטטת ישנה נקודה אחת בלבד שהשיעור האופקי‬
‫שלה הוא ‪ .6‬נקודה זו היא הנקודה ‪.D‬‬
‫‪234‬‬
‫ב( במערכת הצירים המסורטטת ישנן שלוש נקודות שהשיעור האופקי שלהן הוא ‪ :6‬הנקודה ‪,C‬‬
‫הנקודה ‪ D‬והנקודה ‪.I‬‬
‫ג( בנקודות ‪ D ,G‬ו‪ B -‬השיעור האופקי שווה לשיעור האנכי‪.‬‬
‫ד( ‪ 9‬הוא השיעור האופקי של הנקודה ‪ 3 .F‬הוא השיעור האנכי של הנקודה ‪.H‬‬
‫ה( הנקודות שהשיעור האופקי שלהן קטן מ‪ 6 -‬הן ‪.C ,H ,B ,A‬‬
‫הנקודות שהשיעור האנכי שלהן גדול מ‪ 5 -‬הן ‪ I ,D ,C‬ו‪.G -‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬על התלמידים לסמן את הנקודות ששיעוריהן נתונים‪ .‬כל ארבע נקודות יוצרות‬
‫מלבן‪ .‬לאחר סרטוט המלבנים אפשר לראות בנקל את טווח השיעורים האופקיים והאנכיים‬
‫של המלבנים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :520‬בניית גרף‬
‫חזרה על השלבּים למיקום הנקודות לפי נתונים בטבלה‪ ,‬כולל ציון של קביעת היחידות‪ .‬ההבדל‬
‫בין הנלמד בכיתות הקודמות לבין הנלמד עכשיו הוא שהנתונים הם מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬משימת יישום של כל שלב‪ :‬בניית גרף לפי נתונים בטבלה‪ ,‬קריאת נתון בטבלה‪,‬‬
‫פירוט בנייה בפועל‪ ,‬כתיבת שיעורים של נקודה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬במשימה זו נדרשת מיומנות של קריאת נתונים והצבתם בתוך מערכת הצירים‪.‬‬
‫התלמידים נדרשים לקשר בין הגיל של כל אחת מהדמויות במשפחה לבין גובהה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬הגרף מתאר את מרחק הבלימה ביחס למהירות הנסיעה‪ .‬ככל שמהירות‬
‫הנסיעה גדולה יותר כך מרחק הבלימה גדול יותר‪.‬‬
‫שיעורי הנקודה ‪ M‬הם‪.(100,100) :‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמ' ‪ :522‬קריאת גרף‬
‫חזרה על מיומנות של קריאת גרף‪ .‬תלמידים מתקשים להבין מה מייצגת נקודה על הגרף על‪-‬פי‬
‫השיעורים שלה‪ .‬בשלב הראשון הם לומדים לקשר בין נקודה לבין השיעורים שלה‪ ,‬ובשלב השני‬
‫אומרים מה המשמעות של כל שיעור‪ .‬כדאי לחזור על הדוגמה שבשיעור בנקודות נוספות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימת יישום‪ .‬א( הטמפרטורה בשעה ‪ 12:00‬הייתה ‪. 7 0 c‬‬
‫ב( בשעה ‪ 6:00‬בבוקר הטמפרטורה הייתה ‪ , 2 0 c‬ובשעה ‪ 18:00‬הייתה הטמפרטורה ‪. 30 c‬‬
‫ג( הזוג הסדור מייצג‪ :‬בשעה ‪ 24:00‬הייתה הטמפרטורה ‪. 0 0 c‬‬
‫ד( הזוג הסדור )‪ (0,6‬מייצג‪ :‬בשעה ‪ 12‬בלילה הייתה הטמפרטורה ‪. 6 0 c‬‬
‫ה( בשעה ‪ 20:00‬ובשעה ‪ 24:00‬הייתה הטמפרטורה ‪ 0‬מעלות צלזיוס‪ .‬בשעה ‪ 8:00 ,4:00‬ו‪-‬‬
‫‪ 18:00‬הייתה הטמפרטורה ‪ 3‬מעלות צלזיוס‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬משימת יישום נוספת של קריאת גרף‪.‬‬
‫א( לפני ההפסקה הראשונה עברה הרכבת מרחק של ‪ 150‬ק"מ במשך חצי שעה‪.‬‬
‫ב( הרכבת עברה ‪ 250‬ק"מ במשך שעה‪.‬‬
‫ג( אחרי ההפסקה השנייה עברה הרכבת ‪ 150‬ק"מ במשך חצי שעה‪.‬‬
‫ד( ההפסקה הראשונה הייתה בין ‪ 8:30‬ל‪ ,8:45 -‬וההפסקה השנייה הייתה בין ‪ 9:45‬ל‪.10:00 -‬‬
‫ה( בסעיף זה נדרשים התלמידים לסרטט גרף ישר המתאר את נסיעתה של רכבת המשא‪.‬‬
‫הרכבות תיפגשנה בשעה ‪.9:00‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :524‬גרף ודיאגרמה‬
‫שיעור זה זהה לשיעור האחרון של הספר של כיתה ג'‪ .‬בינתיים התלמידים מכירים טוב יותר‬
‫את הנושא‪ ,‬לכן אפשר לנהל דיונים מנומקים יותר‪.‬‬
‫‪235‬‬
‫השאלה מתי להשתמש בדיאגרמה ומתי להשתמש בגרף‪ ,‬אינה נהירה גם למבוגרים רבים‪.‬‬
‫בשיעור מובאות שתי טבלאות‪ ,‬שתיהן קשורות לנתונים אודות אותו ילד‪ .‬במקרה אחד נוח‬
‫לייצג את הנתונים בגרף‪ ,‬ובמקרה השני ‪ -‬בדיאגרמה‪ .‬השיעור יובן הרבה יותר לאחר ביצוע‬
‫פעילויות הגילוי‪.‬‬
‫אפשר לנסח כלל‪ :‬משתמשים בגרף אם יש חשיבות לסדר הנתונים המיוצגים על הציר האופקי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬בזמן שחוזרים על קריאת הנתונים בטבלה או בגרף שבשיעור‪ ,‬מבקשים‬
‫מהתלמידים לחפש נתון נוסף שאינו מופיע בפירוש )עליית המשקל של אדיר(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬יישום של השיעור‪ .‬אפשר להסביר שיש חשיבות לסדר הימים בשבוע‪ ,‬וכן‬
‫שהטמפרטורה היום קשורה לטמפרטורה אתמול‪ ,‬לכן הייצוג המתאים הוא גרף‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬כדאי להאריך את הדיון בתשובות התלמידים‪ .‬הייצוג המתאים ביותר הוא‬
‫הגרף‪ ,‬מהסיבות שהוסברו לעיל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬במשימה זו הייצוג המתאים הוא דיאגרמת מקלות‪ ,‬שכן אין כל חשיבות‬
‫לסדר המאכלים האהובים‪ ,‬ולכן לא תהיה כל משמעות לחיבור בין נקודות בגרף‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬חזרה על קריאה ועל הבנה של גרף ושל דיאגרמה‪ .‬מטרת השאלה "כמה‬
‫ילדים אוכלים לחם בארוחת בוקר?" היא להרחיב את מרחב השאלות שאפשר לענות עליהן‬
‫ובעיקר להשתמש בהכללה )לחם הוא מרכיב משותף לכמה סוגי מאכלים(‪.‬‬
‫יחידת הלימוד ‪ -‬הקניה‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :526‬הצגת נתונים‪ :‬בחירת יחידה‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ב' לפני השיעור‪.‬‬
‫בכיתה ד' למדו התלמידים לבנות דיאגרמות‪ .‬בשיעור הזה מודגשת בחירת היחידה‪ ,‬ומובע‬
‫באופן מילולי הקשר בין אורך היחידה לבין מה שהיא מייצגת )סנטימטר אחד מייצג ‪10‬‬
‫מילימטרים(‪ .‬התלמידים לומדים גם שלעתים בהעברת נתונים לדיאגרמה "אובד" הדיוק של‬
‫הנתונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימה שהיא "חקירה" של הדוגמה שבשיעור‪ .‬הנתונים של השנה הבאה‬
‫מאפשרים לחקור אם יש קשר קבוע בין משקעים בשנה גשומה מאוד לבין המשקעים בשנה‬
‫שאחריה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬הנתונים הם מספרים גדולים‪ .‬על התלמידים לבחור אורך של יחידה מתאימה‬
‫על‪-‬סמך טווח הנתונים והמקום שברשותם במערכת‪ .‬אין חשיבות למיקום של כל ארץ על הציר‬
‫האופקי‪ ,‬התלמידים יכולים למקם את העמודות במקום כלשהו על הציר האופקי וברווחים‬
‫לאו דווקא שווים בין העמודות‪ .‬הרווחים השווים הם עניין של אסתטיקה‪.‬‬
‫אין חשיבות לסדר של כל ארץ על הציר האופקי‪ ,‬אך רצוי לבחור סדר כלשהו )סדר א"ב‪ ,‬סדר‬
‫גודל השטחים(‪ .‬בבחירה השנייה מובא מידע נוסף על הנתונים שבטבלה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬א( כל משבצת על הציר האופקי מייצגת זמן על ‪ 10‬דקות‪.‬‬
‫ב( כל משבצות על הציר האנכי מייצגת ‪ 2‬ק"מ‪.‬‬
‫ג( נוסע העולה לרכבת בנתניה מגיע לחיפה – מרכז בתוך ‪ 53‬דקות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימה פתוחה‪ .‬מומלץ לבצע את הסקר במהלך השיעור בכיתה ולהציג את‬
‫תוצאות הסקר על‪-‬גבי הדיאגראמות‪.‬‬
‫‪236‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :529‬ייצוג של סדרות שונות של נתונים בדיאגרמה אחת‪ :‬דיאגרמת עמודות‬
‫כפולות‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ו' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה התלמידים לומדים לייצג את‬
‫תוצאות החקירה בדיאגרמת עמודות כפולות‪ .‬בדיאגרמת עמודות רגילה על הציר האופקי‬
‫מסמנים את ערכי המשתנה )הארצות(‪ ,‬ובציר האנכי מסמנים את ערך הנתונים‪ .‬בדיאגרמת‬
‫עמודות כפולות הציר האנכי משותף לייצוג נתונים הקשורים לשתי תופעות דומות )אוכלוסייה‬
‫בשנת ‪ 1991‬ואוכלוסייה בשנת ‪ 2001‬באותן ארצות(‪ .‬אפשר לראות שלכל ארץ מתאימות שתי‬
‫עמודות )אחת לכל שנה(‪ ,‬ושהייצוג מאפשר לבצע בו‪-‬זמנית הצגת נתונים והשוואה בין תופעות‪.‬‬
‫לכל שנה מתאים צבע משלה‪ ,‬ובמקרא רואים את ההתאמה‪ .‬חשוב להדגיש שדיאגרמה זו‬
‫מסובכת יותר מדיאגרמה רגילה‪ ,‬ולכן חשוב לכתוב מקרא במקרה הצורך )כפי שכתוב בשיעור‬
‫מימין לדיאגרמה(‪.‬‬
‫דונו עם התלמידים בשאלה מתי כדאי להשתמש בדיאגרמת עמודות כפולות )ההסברים‬
‫בפעילויות הגילוי המתאימות(‪.‬‬
‫אמתיים‪ ,‬והמספרים גדולים‪ .‬הוחלט לחשוף את התלמידים‬
‫הערה‪ :‬במשימות הבאות הנתונים ִ‬
‫לחקירות אלה‪ ,‬כי בחיי היום‪-‬יום קיימים הרבה מצבים כאלה‪ ,‬אך לתלמידים אין הזדמנויות‬
‫להיחשף אליהם ולחקור אותם‪ .‬בתקשורת מופיעות טבלאות ודיאגרמות שהמספרים בהן‬
‫מעוגלים או כתובים ביחידות‪ ,‬כגון אלפי תושבים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬בדיקת מיומנות של קריאת טבלה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬סדרת שאלות הקשורות לקריאת הנתונים שבשיעור‪ .‬שאלות אלה הן דוגמה של‬
‫שימוש הייצוגים הגרפיים‪ .‬מומלץ לציין כתשובה לסעיף ח'‪ ,‬שידיעת ההפרש בין מספר‬
‫התושבים בין השנים הנתונות אינה מספיקה כדי לדעת את השינוי‪ .‬בהפרש אין מידה על סדר‬
‫גודל השינוי‪ .‬כמו‪-‬כן צריך לציין באיזה כיוון חושב ההפרש‪) .‬בהונגריה מספר התושבים פחת‬
‫בשנת ‪(.2000‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬חזרה על עיגול מספרים לאלפים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪" :8‬מיני חקירה" בנושא הגעת תיירים לארץ‪ .‬התלמידים מתבקשים לסרטט‬
‫במחברת דיאגרמת עמודות כפולות המתאימה לטבלת הנתונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬מספר הילדים במשפחה מוצג בדיאגרמת עמודות כפולות‪ .‬משווים בין שני בתי‬
‫ספר‪.‬‬
‫‪ 7‬יותר מ‪ 7 -‬סה"כ‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪66‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪22‬‬
‫‪15‬‬
‫‪8‬‬
‫‪11‬‬
‫בגין‬
‫‪66‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫‪20‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫רבין‬
‫א( מספר המשפחות בכל אחד מבתי הספר הוא ‪.66‬‬
‫ב( אפשר להשוות בין הנתונים בשני בתי הספר‪.‬‬
‫ג( בביה"ס בגין יש ‪ 22‬משפחות של ארבעה ילדים‪ ,‬ואילו בביה"ס רבין יש ‪ 11‬משפחות שלהן‬
‫ארבעה ילדים‪.‬‬
‫ד( בביה"ס רבין יש יותר משפחות של שני ילדים‪.‬‬
‫ה( ‪ 9‬משפחות מתוך ‪ 66‬משפחות בבית הספר "רבין" יש להן ילד אחד במשפחה‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫מכלל המשפחות שהשתתפו בסקר בבית הספר "רבין"‪.‬‬
‫=‬
‫הן מהוות ‪:‬‬
‫‪66 22‬‬
‫ו( בביה"ס "בגין" יש ‪ 32‬משפחות שלהן יותר משולשה ילדים‪.‬‬
‫ז( בביה"ס "בגין" יש ‪ 19‬משפחות שלהן פחות משלושה ילדים‪.‬‬
‫‪237‬‬
‫ח( כאשר עורכים סקר בבית ספר‪ ,‬ברור כי בכל משפחה יש לפחות ילד אחד‪) .‬הרי הוא עונה על‬
‫הסקר(‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :532‬דיאגרמת עמודות כפולות – ייצוג מספרים גדולים‬
‫השיעור בנוי בדגם של השיעורים הקודמים לו‪ ,‬אך הפעם מודגש איבוד המידע הנובע מסדר‬
‫גודל המספרים‪ ,‬ומוסבר שבייצוג גרפי אפשר להתרשם מהתופעות ולהבינן‪ ,‬גם אם הוא אינו‬
‫מדויק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬משימה לעידוד חשיבה על הגורמים המשפיעים על ההחלטות השונות לגבי‬
‫עיבוד נתונים )אורך היחידה‪ ,‬מה מייצגים‪ ,‬גודל הדיאגרמה(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬שאלות הקשורות לקריאת הנתונים שבשיעור‪ .‬מהשאלות רואים שלמרות‬
‫האי‪-‬דיוק אפשר לחקור תופעות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬הסעיפים במשימה זהים לאלה של המשימות הקודמות‪ ,‬אך עלול להיווצר‬
‫קושי משום שהנתונים הם כמויות המיוצגות על‪-‬ידי מספרים עשרוניים שהיחידה בהם היא‬
‫אלפים )‪ 10.4‬אלפי נוסעים הם ‪ 10,400‬נוסעים(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬במשימה זו משלבים בין דמוגרפיה לבין סטטיסטיקה – חקר נתונים‪.‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪535‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד בפרק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬סימון הנקודות במערכת הצירים הנתונה יתבצע על‪-‬פי רוחב הבניינים‬
‫וגובהם‪ .‬השיעור האופקי מייצג את רוחב הבניין‪ ,‬ואילו השיעור האנכי מייצג את גובה הבניין‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמודים ‪541 - 536‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬סימון נקודות על מערכת צירים וכתיבת שיעורי הנקודות הנתונות‪.‬‬
‫שיעורי הנקודות‪.C (4 ,1) D (5 ,8) E (9 ,3 ) :‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬בנייה של טבלת ערכים היא בעצם אחד השלבים החשובים לפני סרטוט גרף‬
‫מתאים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬סרטוט של ארבעה גרפים על אותה מערכת צירים יכול לשמש אותנו בהשוואה‬
‫בין נתונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬על התלמידים לבנות דיאגרמות שונות‪ .‬בכל אחת מהן עליהם לבחור את‬
‫היחידות המתאימות‪ .‬זו הזדמנות טובה לחזור על יחידות מידה וכן לדבר על טווח מספרים‬
‫המתאים לנתונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬משימת תרגול נוספת לבניית דיאגרמת עמודות כפולות‪ .‬הנתונים ייאספו‬
‫מתלמידי הכיתה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬קריאת נתונים מתוך טבלה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬משימה זו מורכבת ממספר שלבים‪ :‬התלמידים מתבקשים להשלים את‬
‫הטבלה‪ ,‬לחשב את סך כל התלמידים בכל אחת מהעמודות בטבלה‪ ,‬להציג את תוצאות הסקר‬
‫‪238‬‬
‫בדיאגרמת עמודות כפולות‪ ,‬לציין מה מייצג כל אחד מהצירים ולשאול שאלות העוסקות‬
‫בסקר‪.‬‬
‫אמתיים‪ .‬זו הזדמנות טובה לשוחח‬
‫משימה מס' ‪ :8‬הנתונים המובאים במשימה זו הם נתונים ִ‬
‫עם התלמידים על המצבים ועל המקומות שבהם אנו נתקלים בדיאגראמות ובגרפים‪ .‬ולשאול‬
‫לשם מה הם נחוצים בחיי היום‪-‬יום‪.‬‬
‫שאלות מילוליות ‪ ,‬עמוד ‪542‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬דיאגרמת המקלות מייצגת את מספר הילדים לפי חודשי הלידה שלהם‪.‬‬
‫א( ‪ 20‬תלמידים נולדו בחודש כסלו‪.‬‬
‫ב( בחודשים תשרי ואייר נולדו ‪ 15‬תלמידים‪.‬‬
‫ג( בחודש סיוון מספר התלמידים הוא הגדול ביותר‪.‬‬
‫ד( בחודש תמוז לא נולדו ילדים‪.‬‬
‫ה( בשכבה יש ‪ 125‬תלמידים‪.‬‬
‫ו( בחודשים ניסן וחשוון נולדו אותו מספר ילדים‪ ,‬כמו‪-‬כן בחודשים אייר ותשרי נולדו אותו‬
‫מספר ילדים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימה נוספת לחיזוק המיומנות של קריאת נתונים במערכת צירים‪ .‬בשונה‬
‫מגרפים מופיעות כאן נקודות במערכת צירים‪.‬‬
‫יישומי מדע‪ ,‬עמוד ‪543‬‬
‫בשיעור מוסבר הקשר בין מערכת צירים לבין שיעורים של מקומות על כדור הארץ‪.‬‬
‫קווי האורך וקווי הרוחב מסייעים לאתר מקום על‪-‬פני כדור הארץ בעזרת שיעורים בדומה‬
‫לזוגות סדורים של מספרים על מערכת צירים‪.‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪544‬‬
‫בחלק זה מופיעה מפת ארץ ישראל על גבי מערכת צירים‪ .‬איתור מיקומן של הערים במפה‬
‫מהווה תרגול נוסף של מציאת שיעורי נקודות במערכת צירים‪.‬‬
‫א( העיר ירושלים מיוצגת במפה על‪-‬ידי נקודה ששיעוריה הם )‪.(16 ,28‬‬
‫ב( העיר תל‪-‬אביב מיוצגת במפה על‪-‬ידי נקודה ששיעוריה הם )‪.(11.5 ,32.5‬‬
‫ג( העיר אילת מיוצגת במפה על‪-‬ידי נקודה ששיעוריה הם )‪.(13 ,0.5‬‬
‫ד( קרוב לנקודה )‪ (13 ,37‬נמצאת העיר חדרה‪.‬‬
‫ה( העיר שנמצאת בנקודה )‪ (10 ,29‬היא אשדוד‪.‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪545‬‬
‫חלק זה מוקדש לתרגול בנושא יחידות זמן‪ -‬שניות‪ ,‬דקות ושעות – וכן בהמרה של יחידות זמן‬
‫ובהשוואה ביניהן‪.‬‬
‫‪239‬‬
‫עמ' ‪579 - 546‬‬
‫יז‪ .‬ממוצע‬
‫רקע‬
‫במושג "ממוצע" משתמשים בתחומים רבים של החיים )כלכלה‪ ,‬תחבורה‪ ,‬סטטיסטיקה(‪.‬‬
‫הממוצע הוא אחד מהמדדים המרכזיים לאפיון קבוצת נתונים‪ .‬מדדים מרכזיים נוספים הם‬
‫השכיח והחציון‪ ,‬וכולם הם חלק מהנושא "חקר נתונים"‪ .‬המדדים המרכזיים נלמדים אחרי‬
‫הפרק "חקר נתונים"‪ ,‬שמוצגות בו הדרכים לייצוג הנתונים‪ ,‬נושא המוכר יותר לתלמידים‪ .‬לכן‬
‫בכמה תרגילים בפרק נדרש ייצוג של הנתונים נוסף על מציאת המדדים המרכזיים‪.‬‬
‫המשתנים הנחקרים יכולים להיות כמותיים או איכותיים‪ .‬משתנים כמותיים הם משתנים‬
‫בעלי ערכים מספריים כמו גיל‪ ,‬מספר ילדים וציונים‪ ,‬ומשתנים איכותיים הם משתנים כגון‬
‫צבע העיניים‪ ,‬ארץ לידה‪ ,‬סוגי ֵפרות ועוד‪.‬‬
‫בכיתה ד' למדו התלמידים על הממוצע במספרים הטבעיים‪ ,‬ורובם יודעים בצורה‬
‫אינטואיטיבית מהו ממוצע של ציונים ומהו נתון שכיח‪ ,‬גם אם הם אינם מכירים את המונחים‬
‫עצמם‪.‬‬
‫לפי תכנית הלימודים של כיתה ה'‪ ,‬יש ללמד את המושגים "שכיח" ו"ממוצע" ואת המושג‬
‫"שכיחות יחסית" הקשור לשכיח‪ .‬את ה"חציון" מומלץ ללמד בכיתות מתקדמות‪.‬‬
‫שכיחות יחסית של נתון היא מספר המבטא "משקל" של נתון בסדרת נתונים ‪ .‬כדי לחשב את‬
‫השכיחות היחסית של נתון מחלקים את מספר הפעמים שהנתון מופיע )השכיחות של הנתון(‬
‫במספר הכולל של הנתונים‪ .‬לכן השכיחות היחסית היא מספר הקטן מ‪ 1-‬או שווה ל‪) 1-‬אם כל‬
‫הנתונים זהים(‪ .‬גם אם הנתונים הם איכותיים‪ ,‬אפשר לחשב את השכיחות היחסית של נתון‪.‬‬
‫להלן כמה הערות לגבי הממוצע‪:‬‬
‫• הממוצע הוא מספר‪ ,‬לכן הוא קיים רק כאשר ערכי הנתונים הם מספרים‪.‬‬
‫• הממוצע שווה לסכום של ערכי הנתונים חלקי מספר הנתונים‪.‬‬
‫• כאשר מחליפים כל נתון בממוצע‪ ,‬סכום הנתונים אינו משתנה‪.‬‬
‫• הממוצע אינו תמיד מספר "מציאותי"‪ ,‬ולעתים הוא מספר ה"מתנגש" עם ה"שכל הישר"‪.‬‬
‫הדוגמה המפורסמת ביותר לכך היא שהממוצע של מספר הילדים במשפחה הוא מספר לא‬
‫שלם‪.‬‬
‫• הממוצע הוא מדד מרכזי‪ :‬ממוצע של ערכים שונים יהיה תמיד גדול מהערך הקטן ביותר‬
‫שבנתונים וקטן מהערך הגדול ביותר שבהם‪.‬‬
‫עם זאת כאשר קיימים נתונים קיצוניים מאוד‪ ,‬הממוצע אינו מאפיין את קבוצת הנתונים‬
‫בצורה טובה‪ ,‬ולכן הוא אינו מתקבל בקלות כמדד מרכזי‪ .‬לדוגמה‪ ,‬כאשר קיימות מעט‬
‫משכורות גבוהות מאוד לעומת הרבה משכורות נמוכות‪ ,‬הממוצע של עלות השכר מעוות את‬
‫המציאות‪ .‬במקרים אלה השכיח הוא מדד מרכזי טוב יותר‪ .‬מקור המילה "שכיח" הוא ארמית‪.‬‬
‫שכיח = מצוי‪.‬‬
‫חישוב הממוצע על‪-‬פי ההגדרה )סכום ערכי הנתונים לחלק במספר הנתונים( אינו תמיד היעיל‬
‫והמהיר ביותר‪ .‬ישנן דרכים נוספות למציאת ממוצע שלא בדרך נוסחה‪ ,‬למשל כאשר מוצגים‬
‫נתונים מספריים שאפשר לראות בהם "סימטריה" ביחס לערך מסוים‪.‬‬
‫ערך הממוצע משתנה אם מוסיפים לנתונים ערך השונה מהממוצע‪.‬‬
‫גם החציון הוא מדד מרכזי ‪ .‬הוא הנתון ה"אמצעי"‪ .‬מספר הנתונים הגדולים ממנוּ שווה‬
‫למספר הנתונים הקטנים ממנוּ‪ .‬כאשר מספר הנתונים הוא זוגי‪ ,‬מחשבים את הממוצע של שני‬
‫הנתונים ה"אמצעיים" )אם הם מספרים(‪.‬‬
‫חשוב לדון עם התלמידים בהבדלים שבין הממוצע‪ ,‬השכיח והחציון‪.‬‬
‫א‪ .‬השכיח‪ ,‬אם הוא קיים‪ ,‬הוא תמיד אחד מהנתונים‪.‬‬
‫ב‪ .‬המשתנה יכול להיות כמותי או איכותי‪ .‬לעומת זאת הממוצע קיים רק כאשר הנתונים הם‬
‫כמותיים‪.‬‬
‫ג‪ .‬השכיח הוא אחד הנתונים בהתפלגות‪.‬‬
‫ד‪ .‬החציון הוא אחד הנתונים‪ ,‬כאשר מספר נתונים אי‪-‬זוגיים‪ ,‬או אם מספר הנתונים זוגי‬
‫החציון "נופל" בין שני נתונים שווים‪.‬‬
‫‪240‬‬
‫ה‪ .‬תמיד אפשר לחשב את הממוצע של ערכים מספריים‪ .‬לעתים יש בהתפלגות נתונים יותר‬
‫משכיח אחד‪ .‬אם יש מספר גדול יותר של משתנים בעלי אותה שכיחות‪ ,‬אין שכיח‪.‬‬
‫ו‪ .‬החציון קיים רק אם יש אפשרות לסדר את הנתונים בסדר עולה או יורד‪,‬‬
‫לדוגמה‪ :‬מספרים‪ ,‬רשימה של ילדים או ארצות לפי שמות‪.‬‬
‫ז‪ .‬בכל התפלגות נתונים חשוב להציג את שלושת המדדים‪ ,‬שכן לכל אחד מהם יש ייחודיות‬
‫וחשיבות במצבים שונים של התפלגות הנתונים‪.‬‬
‫לפי תכנית הלימודים‪ ,‬מומלץ להקדיש לנושא ה"ממוצע" כ‪ 5-4 -‬שעות לימוד‪.‬‬
‫הערה‪ :‬הנושא "חציון" מופיע בתכנית של כיתה ו' לכל התלמידים‪.‬‬
‫מושגים‬
‫שכיח‪ ,‬שכיחות‪ ,‬שכיחות יחסית‪ ,‬ממוצע‪ ,‬מדד מרכזי‪ ,‬סטיות‪ ,‬נתונים‬
‫ַ‬
‫נתון‪ ,‬מספר נתונים‪,‬‬
‫קיצוניים‪ ,‬סדרה‪ ,‬חציון‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬להגדיר את המושג "שכיח";‬
‫ב‪ .‬לחשב שכיחות יחסית של נתון;‬
‫ג‪ .‬למצוא את השכיח של סדרת מספרים;‬
‫ד‪" .‬לאזן" ערכים של נתונים כדי לחשב את הממוצע;‬
‫ה‪ .‬לחשב ממוצע של נתונים שלמים ועשרוניים בעזרת מחשבון;‬
‫ו‪ .‬שהממוצע אינו חייב להיות ערך "מציאותי";‬
‫ז‪ .‬להסביר למה הממוצע גדול מהערך הקטן ביותר וקטן מהערך הגדול ביותר של הנתונים;‬
‫ח‪ .‬להבחין בין שכיח לבין ממוצע;‬
‫ט‪ .‬להשוות בין שכיח לבין ממוצע‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫רצועות באורכים שונים‪ ,‬חפצים בצבעים שונים‪ ,‬צורות פלא‪ ,‬כרטיסי מספרים‪ ,‬דיאגרמת‬
‫מלבנים‪.‬‬
‫אביזרי "חשבון ‪ :"10‬שקף מצולעים משוכללים‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על כפל ב‪.5 -‬‬
‫על הלוח סדרת מספרים‪ ...400 ,2,000 ,200 ,10.4 ,6.4 ,2.8 ,0.8 ,1.2 ,13 ,21 ,42 ,26 ,18 :‬כל‬
‫אחד מהתלמידים צריך לכפול במהירות את המספר ב‪) 5 -‬להכפיל ב‪ 10-‬ולחלק ב‪ 2-‬או לחלק ב‪-‬‬
‫‪ 2‬ולהכפיל ב ‪ 10‬או בכל שיטה אחרת(‪.‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על כפל ב‪.25 -‬‬
‫על הלוח סדרת מספרים‪ ... 400 ,2,000 ,200 ,120 ,3.6 ,2.8 ,1.2 ,0.80 ,0.20 ,40 ,20 ,16 :‬כל אחד‬
‫מהתלמידים צריך לכפול את המספר ב‪) 25 -‬להכפיל ב‪ 100 -‬ולחלק ב‪ 4 -‬או לחלק ב‪ 4 -‬ולהכפיל‬
‫ב‪ 100 -‬או בכל שיטה אחרת(‪.‬‬
‫‪241‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬השכיח‬
‫כותבים על הלוח את שמות התלמידים‪.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים לחקור סדרה זו‪ .‬כמה פעמים כל שם מופיע? מהו השם השכיח? איזה‬
‫חלק מהרשימה "תופס" כל שם? מהי האות הראשונה של כל שם? כמה פעמים מופיעה כל‬
‫אות? האם יש אות שכיחה יותר? זאת הזדמנות להסביר את המילים שכיח‪ ,‬שכיחה ושכיחות‪.‬‬
‫תלמידים נוטים לחשוב ש"שכיח" הוא "לא נפוץ"‪ ,‬משום שהם מקשרים את המילה למילה‬
‫"נשכח"‪ .‬חשוב להדגיש שפירוש המילה "שכיח" הוא "נפוץ"‪.‬‬
‫פעילות ב‪ :‬השכיח‬
‫כל אחד מהתלמידים בודק את רשימת הציונים שקיבל במחצית הראשונה‪ ,‬ומציין איזה ציון‬
‫הוא קיבל מרב הפעמים‪ .‬מומלץ לבצע את הפעילות כפעילות יחידנית כדי לא להעליב תלמידים‬
‫שקיבלו ציון נמוך‪ .‬מבקשים מהתלמידים להציע שם לציון זה‪) .‬התלמידים שכבר למדו על‬
‫השכיח בחקר נתונים בכיתות ג'‪-‬ד'‪ ,‬עשויים לזכור את המושג המקובל "שכיח"‪ (.‬מציגים את‬
‫המונח המקובל‪" :‬שכיח"‪ .‬שואלים‪" :‬האם הוגן לתת את השכיח כציון מחצית?" מבקשים‬
‫לנמק )אפשר על‪-‬ידי דוגמה‪ :‬תלמיד קיבל שלוש פעמים ‪ ,5‬פעמיים ‪ ,6‬פעם אחת ‪ 7‬ופעמיים ‪:10‬‬
‫ברור שלא הוגן לתת לו כציון מחצית את הציון ‪ ,5‬שהוא השכיח‪(.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬הכנה לשכיחות היחסית‬
‫מחלקים בצורה אקראית לכל קבוצה ‪ 24‬צורות פלא או ‪ 24‬צורות שונות )ריבועים‪ ,‬משולשים‪,‬‬
‫עיגולים ‪ -‬ראו נספח(‪ .‬מבקשים מהילדים לבנות טבלה כמו זו המובנית כאן‪.‬‬
‫הצורה‬
‫מספר הפעמים‬
‫‪a‬‬
‫שהצורה מופיעה‬
‫החלק של השורה‬
‫‪a‬‬
‫הצורות‬
‫ביחס לסך כל‬
‫‪N‬‬
‫)‪(N‬‬
‫פעילות ד‪ :‬הכנה לשכיחות היחסית‬
‫כל תלמיד בוחר ספר ומתוכו טקסט של חמש שורות‪ ,‬ממלא את טבלת השכיחויות של האותיות‬
‫שבנספח ומשווה בין התוצאות לבין סדר האותיות במקלדת מחשב‪.‬‬
‫זו הזדמנות לתת שם לחלק ש"תופסת כל אות"‪ :‬השכיחות היחסית שלה‪.‬‬
‫אפשר גם להסביר ששכיחויות אלה מאפיינות שפה‪.‬‬
‫פעילות ה‪ :‬מציגים לתלמידים שאלה‪" :‬אחד התלמידים קיבל במבחנים בחשבון את הציונים‪:‬‬
‫‪ 90 ,70 ,70‬ו‪ .90 -‬איזה ציון כדאי לתת לו?" דנים בהצעות‪ .‬מבקשים לנמק את ההצעות‪ .‬אם אף‬
‫אחד לא העלה את הנימוק שבספר בעמ' ‪ ,307‬מציגים אותו‪.‬‬
‫פעילות ו‪ :‬פעילות זו תבוצע לאחר הצגת נושא הממוצע‪ .‬מבקשים מכל תלמיד לחשב את‬
‫הממוצע שלו במחצית הראשונה‪) .‬אפשר להיעזר במחשבון‪ ,‬ויהיה צורך "לעגל" תוצאות כאשר‬
‫מתקבל מספר מהסוג‪ 75.333...:‬או‪ (.88.666...‬מוודאים שהתלמידים קיבלו מספרים סבירים‪.‬‬
‫)לדוגמה‪ ,‬לא ייתכן ממוצע גדול מ‪ (!100 -‬מבקשים מכל תלמיד לציין אם הציון שהתקבל גדול‬
‫יותר או קטן יותר מהשכיח‪ ,‬וכן אם לדעתו‪ ,‬הוגן יותר לתת כציון מחצית את ציון הממוצע‪.‬‬
‫דנים בצורך לתת "ציון אחד" כמייצג הישגים‪.‬‬
‫פעילות ז‪ :‬סיפור המעשה הוא שסער ערך מסע רגלי והלך בסך הכול ‪ 350‬ק"מ בעשרה ימים‪.‬‬
‫השאלה היא כמה ק"מ הלך סער בממוצע בכל יום‪ .‬דנים בתשובות‪ .‬דנים במשמעות של‬
‫הממוצע במקרה זה‪ .‬האם ייתכן שסער לא הלך כלל ביום מסוים? האם ייתכן שהלך יותר מ‪70 -‬‬
‫ק"מ ביום מסוים?‬
‫‪242‬‬
‫פעילות ח‪ :‬בכל קבוצה רושמים כמה אחים ואחיות יש לכל אחד מחברי הקבוצה‪ ,‬ומחשבים את‬
‫ממוצע הילדים במשפחה בקבוצה‪ .‬מן הסתם בקבוצות רבות הממוצע של מספר הילדים‬
‫במשפחה אינו מספר שלם‪ .‬דנים במשמעות של התוצאה ובחשיבותה אף‪-‬על‪-‬פי שהיא נראית‬
‫חסרת משמעות‪ .‬קשה לילדים להבין את המשמעות של "רבע ילד" או "חצי ילד"‪ ,‬לכן כדאי‬
‫לומר שהממוצע אינו חייב להיות אחד הערכים שבהם חישבו את הממוצע‪ .‬חשוב להסביר‬
‫לילדים שאינם מבינים את פשר התשובה‪ ,‬שמספר זה אינו מציין את המציאות אלא "כאילו"‪.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים לרשום את הנתונים לקראת פעילות ח‪.‬‬
‫פעילות ט‪ :‬רושמים על הלוח סדרת מספרים כגון‪ .7 ,2.9 ,8.3 ,6 ,5.8 ,4 :‬על התלמידים להסביר‬
‫בלי לחשב‪ ,‬למה לא ייתכן שהממוצע יהיה ‪ 2.9‬או ‪ .8.3‬שואלים‪ :‬האם הממוצע יכול להיות קטן‬
‫מ‪ ?2.9 -‬גדול מ‪ ?8.3 -‬בדיון מגיעים לכלל שערך הממוצע נמצא בין הערכים הקיצוניים של‬
‫הנתונים‪ .‬מבקשים מהתלמידים בכל קבוצה לבדוק את הכלל על‪-‬ידי הנתונים של פעילות ה'‪.‬‬
‫פעילות י‪ :‬מציאת חציון‪.‬‬
‫בוחרים תשעה תלמידים בכיתה ומבקשים מהם לעמוד בשורה לפי הגובה שלהם‪.‬‬
‫מיהו הילד שב"אמצע" השורה? שואלים באיזוֹ מידה גובה הילד מאפיין את השורה‪.‬‬
‫אפשר גם להציג מספר זוגי של ערכים ולהדגים שהחציון הוא שני הערכים באמצע או הממוצע‬
‫שלהם‪.‬‬
‫פעילות יא‪ :‬כותבים על הלוח סדרה של מספרים‪) .‬בשלב זה כמות המספרים תהיה מספר אי‪-‬‬
‫זוגי‪(.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים לסדר את המספרים בסדר עולה ולמצוא את המספר שנמצא במקום‬
‫האמצעי‪ ,‬כלומר מספר שמימינו ומשמאלו אותה כמות מספרים‪.‬‬
‫לאחר מציאת המספר אמרו כי זהו החציון‪ .‬דוגמה‪ .158 ,100 ,79 ,11 ,8 ,4 ,3 :‬המספר ‪ 11‬הוא‬
‫החציון‪ .‬לעומת זאת אם נחשב את ממוצע המספרים נראה כי הממוצע הוא כ‪ 51.8) .51.8 -‬אינו‬
‫אחד מהנתונים‪(.‬‬
‫בסדרת המספרים ‪,4 ,4 ,4 ,3 ,3 ,3 ,3 ,3 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0‬‬
‫‪ 6 ,5‬המספר המסומן )‪ (2‬הוא החציון‪ .‬זהו אחד מהנתונים‪.‬‬
‫השיעור בספר הלימוד‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :546‬השכיח‬
‫בשיעור מוצג אוצר המילים המקובל בחקר נתונים‪ :‬נתונים‪ ,‬שכיחות‪ ,‬שכיח‪ .‬חשוב שהתלמידים‬
‫יבינו מהם הנתונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬קריאת הנתונים שבשיעור‪ :‬מציאת השכיח‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימת יישום‪.‬‬
‫סעיף ב‪ :‬בשבוע השני שני נתונים הם השכיח )‪ 84‬ו‪.(98-‬‬
‫בסעיף ג' התלמידים נשאלים האם "חכם" שהשכיח יהיה הזמנת עיתונים יומית‪ .‬מומלץ לדון‬
‫בנושא בכיתה ולבקש נימוקים‪ .‬אם רוני מזמין יותר מדי‪ ,‬ייוותרו לו עיתונים‪ ,‬ואם הוא מזמין‬
‫פחות מדי הוא מפסיד מכירות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימת יישום למציאת השכיח‪ .‬מספר ה"שלשות" השכיח הוא ‪.3‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימת יישום למציאת השכיח מתוך טבלת נתונים‪ .‬מספר הצלחות השבורות‬
‫השכיח הוא ‪.2‬‬
‫‪243‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬התלמידים נדרשים למצוא את השכיח בכל אחת משלוש הקטגוריות מתוך‬
‫האיורים‪ .‬מספר העיניים השכיח הוא ‪ .3‬מספר הרגליים השכיח הוא ‪ ,4‬ומספר הידיים השכיח‬
‫הוא ‪.2‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬התלמידים נדרשים תחילה לערוך טבלה של השכיחות של הנתונים וכן למצוא‬
‫את צבע העיניים השכיח‪.‬‬
‫להלן דוגמה לטבלה המתאימה לנתונים‪.‬‬
‫צבע עיניים‬
‫מספר הילדים‬
‫ירוק‬
‫‪2‬‬
‫כחול‬
‫‪4‬‬
‫חום‬
‫‪6‬‬
‫צבע העיניים השכיח הוא חום‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :548‬שכיחות יחסית‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ג'‪ ,‬לפני השיעור‪.‬‬
‫בשיעור מוסבר מהי שכיחות יחסית‪ .‬חשוב שהתלמידים יבינו ששכיחות יחסית היא מספר‬
‫המראה את ה"משקל" של כל נתון ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬חזרה על מיומנויות של קריאת טבלת נתונים והמרת שברים למספרים‬
‫עשרוניים‪ .‬מומלץ לדון עם התלמידים בשאלה מה "מדבר" ֲאליהם יותר‪ :‬השכיחות היחסית‬
‫הנתונה בשברים או השכיחות היחסית הנתונה במספרים עשרוניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬תשובה א‪ :‬לפי ההגדרה‪ ,‬השכיחות היחסית של נתון אינה יכולה להיות מספר‬
‫גדול מ‪.1 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬קריאת טבלה‪ ,‬חישוב שכיחות יחסית ובניית דיאגרמה‪ .‬כך התלמידים נחשפים‬
‫לדרכים שונות של ייצוג נתונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬משימה הדומה לפעילות גילוי ג'‪ .‬הטקסט הוא "התקווה"‪.‬‬
‫‪46 23‬‬
‫=‬
‫משימה מס' ‪ :11‬א( השכיחות היחסית של ילודת הבנים היא‬
‫‪100 50‬‬
‫‪54 27‬‬
‫ב( השכיחות היחסית של ילודת הבנות היא‬
‫‪.‬‬
‫=‬
‫‪100 50‬‬
‫‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬כדאי לדון בנושאים‪ :‬שכיח‪ ,‬שכיחות ושכיחות יחסית‪.‬‬
‫נתונים במחקר אינם חייבים להיות מספרים‪ .‬גם השכיח לא חייב להיות מספר‪ ,‬אולם‬
‫השכיחות חייבת להיות מספר‪ .‬שכיחות של נתון היא מספר הפעמים שהנתון מופיע ‪ .‬שכיחות‬
‫יחסית היא המנה המתקבלת מחלוקת שכיחות הנתון במספר הנתונים הכללי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬התלמידים נדרשים לאמוד תחילה את השכיחות היחסית של התיירים‬
‫שהגיעו דרך אילת‪ .‬אם נעגל ‪ 15,500‬ל‪ ,16,000 -‬נמצא כי ‪ 8000‬מתוך ‪ 16,000‬הם חצי‪.‬‬
‫‪8000 16‬‬
‫‪.‬‬
‫=‬
‫ב( השכיחות היחסית של התיירים שהגיעו דרך אילת היא‬
‫‪15500 31‬‬
‫‪7500 15‬‬
‫‪.‬‬
‫=‬
‫השכיחות היחסית של התיירים שהגיעו דרך ירדן היא‬
‫‪15500 31‬‬
‫‪244‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬על מהתלמידים לאמוד את השכיחות היחסית של כל אחד מהנתונים‪ .‬כדאי‬
‫לדון בנושא השוואה בין שברים‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪11‬‬
‫דרך היבשה מתאימה ל‪-‬‬
‫ודרך שדות התעופה מתאימה ל‪-‬‬
‫‪ ,‬דרך הים מתאימה ל‪-‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪100‬‬
‫‪88‬‬
‫‪.‬‬
‫‪100‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :551‬הממוצע‬
‫בעזרת הדרך המוצגת אפשר להבין אינטואיטיבית מהו ממוצע‪ :‬מעבירים נקודות מציון לציון‪,‬‬
‫כך שהתלמיד "כאילו" קיבל אותו ציון בכל אחד מהמבחנים‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :16-15‬משימות יישום‪ .‬מבקשים מהתלמידים לפעול לפי הדרך המוצגת בשיעור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬התלמידים מתבקשים לבנות את הדיאגרמה במחברת ולפעול לפי הדרך‬
‫המוצגת בשיעור‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :552‬הממוצע )המשך(‬
‫מוצגת דרך החישוב של הממוצע כאשר יש בסך הכול שלושה ציונים‪ .‬בהמשך יובאו דוגמאות‬
‫במספר שונה של נתונים בסדרה‪ .‬ההסבר הניתן הוא כללי ואינו ייחודי למקרה המוצג‪ .‬בשיעור‬
‫מראים את שלבּי החישוב של הממוצע‪ .‬חשוב לציין שהממוצע הוא מספר‪ ,‬ולעתים ערך‬
‫הממוצע שווה לערך אחד הנתונים‪ .‬תוצאה של חישוב קיימת רק אם לנתונים יש ערכים‬
‫מספריים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬משימת יישום‪ .‬שגיאה נפוצה היא חלוקה לשתיים‪ .‬מומלץ לדון בכך בכיתה‪,‬‬
‫להראות שמקבלים ציון גדול מכל אחד מהציונים ולשאול אם הדבר הגיוני‪.‬‬
‫משימת מס' ‪ :19‬משימת יישום נוספת‪ .‬אפשר לדון בשאלה באיזו מידה הממוצע משקף את‬
‫הישגיו של כל תלמיד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬משימה זו נועדה גם לחזק את מיומנות הקריאה של טבלה וגם להדגיש את‬
‫שני סוגי הנתונים‪ :‬הציונים של כל תלמיד בשורות‪ ,‬והציונים לכל מבחן בטורים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬התלמידים יכולים לחשב את הממוצע בעזרת איזון או חישוב‪.‬‬
‫קטע שיעור‪,‬עמוד ‪ :553‬תכונות הממוצע‬
‫שיעור ראשון בסדרת שיעורים על תכונות הממוצע‪.‬‬
‫בשיעור זה מציגים את משמעות הממוצע‪ :‬אם מחליפים כל נתון בממוצע‪ ,‬סכום הנתונים אינוֹ‬
‫משתנה‪ .‬על תכונה זו מבוססות כמה דרכים לחישוב הממוצע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬במשימה הנתונים אינם מופעים בטבלה‪ ,‬ונדרשים מאמצים ומיומנויות של‬
‫הבנת הנקרא יותר מאשר בתרגילים שהנתונים בהם מופעים בדיאגרמה או בטבלה‪ .‬כמו‪-‬כן‬
‫משווים בין שכיח לבין ממוצע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬משימת יישום להשוואה בין שכיח לבין ממוצע‪.‬‬
‫סעיף א‪ :‬הממוצע ‪.108‬‬
‫סעיף ג‪ :‬השכיח אינו משתנה‪ ,‬אך הממוצע משתנה‪.‬‬
‫סעיף ד‪ :‬הממוצע החדש קטן יותר‪.‬‬
‫‪245‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬א( כדי לאמוד את הממוצע של מספר הפטריות שקטף כל ילד‪ ,‬התלמידים‬
‫צריכים לדעת כי הממוצע יהיה מספר גדול מ‪ 12 -‬וקטן מ‪ .20 -‬הם יכולים לשער שהממוצע‬
‫הוא ‪ 15‬או ‪ .16‬ממוצע הפטריות שקטף כל ילד הוא ‪. ( 15 + 12 + 20 + 13 ) :4 = 60 :4 = 15 .15‬‬
‫ג( אם מחליפים כל נתון בממוצע‪ ,‬המספר הכולל של הפטריות אינו משתנה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬משימה זו מורכבת ממספר שלבים‪ :‬התלמידים מתבקשים למלא את הטבלה‬
‫לפי הדיאגרמה‪ ,‬לחשב את סכום הגבהים כדי למצוא את הממוצע ולהשיב על שאלה‪.‬‬
‫הג'ירפה‬
‫הגובה‬
‫א‬
‫‪ 5.1‬מ'‬
‫ג‬
‫‪ 4.2‬מ'‬
‫ב‬
‫‪ 2.8‬מ'‬
‫ד‬
‫‪ 3.6‬מ'‬
‫ה‬
‫‪ 4.3‬מ'‬
‫סכום הגבהים הוא ‪ 20‬מ'‪ .‬ממוצע הגבהים הוא ‪ 4‬מ'‪.‬‬
‫אם מחליפים כל נתון בממוצע‪ ,‬סכום הנתונים החדשים שווה לסכום הגבהים שמצאנו בסעיף‬
‫ב'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬השיטה של שירה מבוססת על חוק הקיבוץ בחיבור‪ ,‬המאפשר לקבץ נתונים‬
‫זהים‪ .‬כאשר משתמשים בחוק זה‪ ,‬מבליטים את "המשקל של כל נתון" ומונעים טעויות חישוב‬
‫כאשר מחשבים סכומים חלקיים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪,‬עמוד ‪ :555‬תכונות הממוצע‪ :‬ייצוג וחישוב‬
‫השיעור קשה במיוחד‪ ,‬ומומלץ לוותר עליו בכיתות חלשות‪ .‬עם זאת לפי תכנית הלימודים‪,‬‬
‫נדרש ללמד אותו‪ .‬התכונה המוצגת היא הביסוס המתמטי לכך ששיטת ה"איזון" מאפשרת‬
‫לייצג את הממוצע‪ .‬חשוב לציין שאין חשיבות לאורך של בסיסי המלבנים‪ ,‬אלא רק למספר‬
‫הבסיסים‪.‬‬
‫כדי להקל את ההבנה הוחלט להשתמש במלבנים בעלי אותו בסיס‪ ,‬כך שמספר יחידות האורך‬
‫של מלבן האיזון הוא כפול ממספר הנתונים או שווה לו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬התלמידים מתבקשים לבצע את השלבּים המוצגים בשיעור‪ ,‬כאשר המלבנים‬
‫המקוריים נתונים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :556‬תכונות הממוצע‪ :‬הממוצע אינו תמיד מספר שלם‬
‫גם אם הנתונים הם מספרים שלמים‪ ,‬הממוצע אינו חייב להיות מספר שלם‪ .‬התלמידים עדיין‬
‫לא למדו את החילוק הארוך שבו המנה היא מספר עשרוני‪ ,‬לכן נעשה שימוש בשברים‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :28-20‬שימוש בחישוב הממוצע בחיי היום‪-‬יום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬משימת יישום פשוטה לחישוב הממוצע‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ( 2 + 3 + 0 + 5 + 1 + 2) :6 = 13 :6 = 2‬שוקי אוכל בממוצע ‪ 2‬חטיפי שוקולד ביום‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬א( בכל קומה ‪ 64.2‬חנויות בממוצע‪ .‬ב( בכל חנות יש ‪ 1.5‬עובדים בממוצע‪.‬‬
‫שימו לב התשובות מעוגלות לעשיריות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬אם נחשב את ממוצע החלונות בכל דירה‪ ,‬נגלה כי הממוצע הוא מספר לא‪-‬‬
‫שלם‪ .‬זו דוגמה נוספת לכך שהממוצע אינו תמיד מספר שלם‪ .‬חישוב הממוצע של מספר‬
‫‪2‬‬
‫החלונות בכל דירה יתבצע כך‪. ( 10 + 18 + 7 ) : 3 = 35 : 3 = 11 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪246‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬מומלץ להנחות את התלמידים להשתמש במחשבון לחישובים‪ .‬כדי לחשב את‬
‫ממוצע התפוחים שקטף כל ילד בכל כיתה‪ ,‬נחלק את מספר התפוחים שנקטפו בכל כיתה‬
‫במספר התלמידים בכיתה‪.‬‬
‫הכיתה‬
‫מס'‬
‫הילדים‬
‫מס'‬
‫התפוחים‬
‫ממוצע‬
‫התפוחים‬
‫שקטף כל‬
‫ילד‬
‫א‬
‫‪30‬‬
‫ב‬
‫‪35‬‬
‫ג‬
‫‪25‬‬
‫ד‬
‫‪30‬‬
‫ה‬
‫‪24‬‬
‫ו‬
‫‪32‬‬
‫סה"כ‬
‫‪176‬‬
‫‪618‬‬
‫‪521‬‬
‫‪750‬‬
‫‪492‬‬
‫‪600‬‬
‫‪654‬‬
‫‪3,635‬‬
‫‪20.6‬‬
‫‪14.9‬‬
‫‪30‬‬
‫‪16.4‬‬
‫‪25‬‬
‫‪20.4‬‬
‫‪20.7‬‬
‫ממוצע התפוחים שקטף כל ילד מבית הספר הוא ‪.20.7‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :558‬חישוב הממוצע "ללא נתונים"‬
‫מומלץ לבצע תחילה את פעילות הגילוי ו'‪ .‬מפתיע שאפשר לחשב ממוצע גם כאשר אין בידינו כל‬
‫הנתונים‪ .‬במקרה שבשיעור די לדעת כמה קילומטרים עברו המטיילים בסך הכול ובמשך כמה‬
‫ימים‪ ,‬כדי לחשב כמה הם עברו בממוצע ביום‪ .‬כדי להקל על התלמידים אפשר להביא מספר‬
‫דוגמאות המתאימות לנתונים המובאים‪ .‬דוגמאות‪:‬‬
‫• ‪60 ,20 ,30 ,80 ,20 ,90 ,40 ,60‬‬
‫• ‪35,10 ,105 ,0 ,100 ,50 ,50 ,50‬‬
‫• ‪.50 ,50 ,50 ,50 ,50 ,50 ,50 ,50‬‬
‫אפשר לבקש מהם להמציא סדרות אחרות לאותו סכום ולאותו ממוצע‪ .‬חשוב לציין שאם אחד‬
‫מהנתונים הוא ‪ ,0‬הוא נחשב כנתון במספר הנתונים‪ ,‬לכן בדוגמה שלעיל יש לחלק את הסכום‬
‫ב‪ ,8 -‬ולא ב‪ .7 -‬בדוגמה השלישית לממוצע ולשכיח אותו ערך‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :36 -35‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬הממוצע שווה לסכום הנתונים לחלק במספר הנתונים‪ .‬כפל וחילוק הם‬
‫פעולות הפוכות‪ ,‬לכן סכום הנתונים הוא המכפלה של הממוצע במספר הנתונים‪.‬‬
‫ממוצע = ‪ ,5‬מספר הנתונים = ‪ ,8‬לכן מספר העוגות הוא ‪.40‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬הילל צודק‪.‬כל ילד מכיתה ה' הרוויח בממוצע ‪ 8‬גולות‪ ,‬ואילו כל ילד מכיתה‬
‫אחרת הרוויח בממוצע ‪ 9‬גולות‪.‬‬
‫הכר ַח שבכל מדף יהיה אותו מספר ספרים‪ .‬ממוצע‬
‫משימה מס' ‪ :39‬לפי נתוני השאלה‪ ,‬אין ֵ‬
‫הספרים שהיא סידרה על כל מדף הוא ‪ 60‬ספרים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :559‬תכונות הממוצע – הממוצע אינו תמיד מספר "מציאותי"‬
‫מומלץ לבצע תחילה את פעילות הגילוי ז'‪ .‬מפתיע שממוצע יכול להיות מספר חסר משמעות‬
‫ממשית‪ .‬בדוגמה שבשיעור הממוצע של מספר הילדים במשפחה הוא ‪ ,3.25‬והרי ברור שאין‬
‫"רבע ילד"‪ .‬למרות זאת יש לממוצע חשיבות רבה‪ ,‬ואי‪-‬אפשר לוותר על "החלק שאחרי‬
‫הנקודה" בנתון הקשור לגידול באוכלוסייה‪ .‬יש הבדל גדול בין מדינה שממוצע הילדים בה הוא‬
‫‪ 2.2‬למשפחה‪ ,‬לבין מדינה שבה הממוצע הוא ‪ 2.8‬או יותר‪.‬‬
‫‪247‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬הסעיפים א‪-‬ו הם יישום של השיעור בשני אופנים שונים )ממוצע ילדים‬
‫למשפחה בבניין וממוצע ילדים לבניין או לשכונה(‪ .‬הממוצע השכונתי או ממוצע בבניין הוא‬
‫ממוצע ילדים למשפחה‪ ,‬אבל אפשר לחשב אותו ברמה של כל בניין או ברמה של כל הבניינים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬שילוב הנושאים "עיגול מספרים גדולים" ו"ממוצע"‪ .‬במשימה נעשה שימוש‬
‫באותם הנתונים למטרות שונות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬הקושי הוא להבין שלא כל הילדים משחקים באותו מספר חיות‪ ,‬אך אפשר‬
‫לדעת את מספר החיות הממוצע שיש לכל ילד‪ .‬במשימה רואים שהממוצע תלוי בשני נתונים‪:‬‬
‫גודל כל קבוצה ומספר החיות של כל קבוצה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬א( ארבעה ילדים בממוצע לכל אחד מהילדים של יהושע ובת‪-‬שבע‪.‬‬
‫) ‪ . ( 28 :7 = 4‬ב( ‪ 2.9‬ילידים בממוצע לכל אחד מהנכדים‪(86 : 28 ≈ 2.9) .‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :561‬תכונות הממוצע – ערך ביניים‬
‫מומלץ לבצע תחילה את פעילות הגילוי ח'‪ .‬בשיעור מוסבר למה הממוצע של ערכים שונים‬
‫תמיד גדול מהערך הקטן ביותר של הנתונים וקטן מהערך הגדול ביותר שלהם‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :45-44‬משימות יישום לחיזוק ההסבר שבשיעור‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :562‬אומדן הממוצע‬
‫הממוצע מתקבל על‪-‬ידי חישוב‪ ,‬לכן כמו בכל חישוב אפשר לאמוד אותוֹ‪ .‬בשיעור מובאות‬
‫דרכים לקביעת אומדן של ממוצע‪ ,‬הקשורות לתכונות הממוצע ולמשמעותו‪ .‬מובן שקיימות‬
‫דרכים אחרות‪ ,‬כמו עיגול הנתונים ועוד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :46‬על התלמידים להציג בדיאגרמה את הנתונים המופיעים בקטע השיעור‬
‫ולסרטט קו שייצג אמדן של ממוצע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :47‬הממוצע הוא בין ‪ 30‬ל‪ ,41 -‬קרוב יותר ל‪.30 -‬התלמידים יאמדו כרצונם את‬
‫הממוצע ויחשבו אותו כך‪(3 + 12 + 21 + 30 + 41 + 50 + 60) : 7 = 31 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :48‬התלמידים מתבקשים לבצע את האומדנים שבשיעור‪.‬‬
‫א( הנתונים לפי סדר‪.24 ,31 ,37 ,38 ,40 :‬‬
‫ב( לפי השיטה של עמית‪ ,‬מחשבים את הממוצע של המשקל המועט ביותר והמשקל הרב‬
‫‪24 + 40 64‬‬
‫ביותר‪ .‬כלומר אמדן הממוצע הוא ‪= = 32 .32‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ג( תחום הממוצע לפי השיטות של רועי ואריאל הוא כזה‪ :‬הממוצע גדול מ‪ 31 -‬וקטן מ‪.37 -‬‬
‫ד( הממוצע המדויק הוא ‪ 34‬ק"ג אפרסקים‪.‬‬
‫‪24 + 31 + 37 + 38 + 40‬‬
‫‪.‬‬
‫ה( החישוב המתאים הוא‪= 34 :‬‬
‫‪5‬‬
‫ו( ההישג של דוד )‪ 35‬ק"ג( גדול מהממוצע‪ ,‬לכן הוא מעלה את הממוצע של הקבוצה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :49‬המשימה דומה למשימה ‪ ,29‬אך הפעם התלמידים למדו שיטות אחרות של‬
‫אומדן הממוצע ויכולים להשתמש בהן‪.‬‬
‫‪248‬‬
‫משימה מס' ‪ :50‬כדאי לדון בכיתה במרכיבי המשימה‪ .‬התלמידים נדרשים לקרוא ולאתר‬
‫נתונים מתוך הטקסט‪ .‬התלמידים המתקשים עלולים להתקשות באיתור הנתונים‪ .‬א(בסך הכול‬
‫יש שישה זרים‪.‬‬
‫ב( בסך הכול יש ‪ 48‬פרחים‪3 × 7 + 2 × 5 + 17 = 48 .‬‬
‫ג( ממוצע הפרחים בכל זר הוא ‪ 8‬פרחים‪.‬‬
‫ה( המספר הכולל של הפרחים גדל ב‪.8 -‬‬
‫ד( המספר הכולל של הזרים גדל ב‪.1 -‬‬
‫ו( במקרה זה הממוצע לא השתנה‪ ,‬כי נוסף זר של שמונה פרחים‪ ,‬שזה הממוצע‪.‬‬
‫ז( במקרה זה השתנה הממוצע וגדל‪ ,‬כי נוסף זר של מספר פרחים גדול יותר מהממוצע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :51‬משימה זו מורכבת ועלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה‪ .‬עודדו דיון‬
‫בקבוצה או במליאה‪ .‬א( ממוצע הנקודות של חברי קבוצה א' הוא ‪ 46‬נקודות‪.‬‬
‫ב( לאחר ההוספה הממוצע גדל ב‪ 56) .10 -‬נקודות(‪.‬‬
‫ג( ממוצע הנקודות של חברי קבוצה ב' הוא ‪ 25‬נקודות‪.‬‬
‫ד( ממוצע הנקודות של חברי הקבוצה לאחר ההוספה הוא ‪ 55‬נקודות‪ .‬ה( קבוצה א' ניצחה‪.‬‬
‫מומלץ לנסח את התכונה של הממוצע עם כל תלמידי הכיתה‪ :‬הממוצע גדל באותו מספר שנוסף‬
‫לכל אחד מהנתונים‪ ,‬או קטן באותו מספר שבו החסירו כל אחד מהנתונים‪.‬‬
‫ח( ממוצע הנקודות יקטן ב‪ ,10 -‬אם מפחיתים לכל חבר ‪ 10‬נקודות‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :565‬החציון‬
‫בתכנית הלימודים מומלץ ללמד את נושא החציון בכיתות המתקדמות‪ .‬ה"חציון" הוא מושג‬
‫אינטואיטיבי הרבה יותר מה"ממוצע"‪ .‬בעיני התלמידים‪ ,‬זהו האמצע‪ .‬חשוב לציין שהחציון‬
‫הוא נתון‪ ,‬ואפשר למצוא אותו בכל פעם שמסדרים את הנתונים בסדר עולה או יורד )מספרים‪,‬‬
‫א‪-‬ב(‪ .‬לעומת זאת הממוצע הוא מספר‪ ,‬תוצאה של חישוב‪ .‬כאשר מספר הנתונים הוא אי‪-‬זוגי‪,‬‬
‫אין כל קושי למצוא את החציון‪ .‬הבעיה מתעוררת כאשר מספר הנתונים הוא זוגי‪ .‬במקרה זה‬
‫יש לחשב את הממוצע של הנתונים ה"אמצעיים"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪" :52‬מיני חקירה" על הממוצע ועל החציון‪.‬‬
‫א( הממוצע של מספר הסלים בסדרה הראשונה הוא בערך ‪.6.2‬‬
‫ב( הממוצע גדול מהחציון של הסדרה‪6.2 > 6 .‬‬
‫ג( הממוצע של מספר הסלים בסדרה השנייה הוא ‪.6.4‬‬
‫ד( החציון בסדרה השנייה הוא ממוצע המספרים ‪ 6‬ו‪ ,7 -‬כלומר ‪ .6.5‬אם כך‪ ,‬הממוצע קטן‬
‫מהחציון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :53‬חזרה על מה שנלמד עד כה )שכיחות‪ ,‬שכיחות יחסית‪ ,‬ממוצע‪ ,‬חציון(‬
‫על‪-‬ידי "מיני חקירה" של סדרת נתונים גדולה במיוחד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :54‬חישוב שכיח‪ ,‬ממוצע וחציון בסדרות של מספרים נטולי כל "סיפור"‪.‬‬
‫משימות מס' ‪" :57-55‬חידוד" התכונות של המדדים המרכזיים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :55‬לא‪ .‬יש לעודד את התלמידים למצוא סדרה של ציונים מתאימים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :56‬כן‪ .‬יש לעודד את התלמידים למצוא סדרה של ציונים מתאימים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :57‬לא‪ .‬יש לעודד את התלמידים למצוא סדרה של ציונים מתאימים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :58‬תשובה ד‪ .‬כאשר מוסיפים נתון אחד לסדרת נתונים‪ ,‬הממוצע‪ ,‬השכיח‬
‫בהכר ַח‪.‬‬
‫ֵ‬
‫והחציון אינם משתנים‬
‫דוגמה‪ :‬נתונים ‪ 11‬הציונים האלה‪.,5 ,6 ,7 ,7 ,7 ,7 ,7 ,8 ,9 ,9 ,10 :‬‬
‫‪249‬‬
‫השכיח הוא ‪ ,7‬החציון הוא ‪ ,7‬הממוצע הוא ‪.7.5‬‬
‫אם נוסיף את הציון ‪ ,7.5‬אף אחד מהמדדים לא ישתנה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :59‬תשובה ג‪ .‬אם מספר הנתונים הוא אי‪-‬זוגי‪ ,‬החציון הוא אחד מהנתונים‪.‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪567‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד בפרק‪.‬‬
‫ג( מספר הפעימות בממוצע הוא ‪ .54‬ד( על התלמידים‬
‫משימה מס' ‪ :60‬א( ‪ 53‬ב( ד‬
‫למדוד את מספר פעימות הלב שלהם בדקה ולהשוות אותו עם זה של חבריהם‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמודים ‪575 - 568‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת תרגול אינטגרטיבית הכוללת את המושגים‪ :‬שכיחות‪ ,‬שכיח‪ ,‬שכיחות‬
‫יחסית ודיאגרמת עמודות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימת תרגול נוספת לשכיחות ולשכיחות יחסית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימה זו עוסקת בחישוב ממוצע ובהשוואה בין נתונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬בניית דיאגרמת עמדות על סמך הנתונים וחישוב ממוצע הציונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬משימה זו דומה למשימה ‪ 5‬שבעמ' ‪ ,540‬אולם כעת התלמידים נדרשים לחשב‬
‫את ממוצע התכונות של החייזרים‪.‬‬
‫התכונה‬
‫הממוצע‬
‫מספר עיניים‬
‫‪3‬‬
‫מספר רגליים‬
‫‪3‬‬
‫מספר ידיים‬
‫‪2.3‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬א( הזמן הממוצע באימון הראשון הוא ‪ 10‬דקות‪ .‬הזמן הממוצע באימון השני‬
‫הוא ‪ 10‬דקות‪ .‬התלמידים לא השתפרו‪ .‬ב( כדאי לבחור בשרית‪ ,‬שהיא המהירה ביותר‪ ,‬והיא‬
‫האטי ביותר הוא אסף‪.‬‬
‫אף שיפרה את זמן הריצה שלה‪ .‬ג( הילד ִ‬
‫משימה מס' ‪ :7‬תרגול נוסף של בניית דיאגרמת עמודות וחישוב ממוצע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬השיטה של דניאלה מבוססת על תכונת נוספת של הממוצע‪ :‬אם מחסרים אותו‬
‫מספר מכל נתון‪ ,‬הממוצע מוקטן במספר זה‪.‬‬
‫התלמידים מכירים תכונה דומה‪ :‬אם מוסיפים אותו מספר לכל נתון‪ ,‬הממוצע מוגדל במספר‬
‫זה‪ .‬לכן אפשר לחשב את הממוצע של המספרים המוקטנים ולהוסיף בסוף את המספר‬
‫לממוצע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬במשימה זו עולה השאלה‪" :‬האם הממוצע משקף את הציונים של‬
‫התלמידים?" דונו בכך עם התלמידים‪.‬‬
‫א( ממוצע הציונים של עינב הוא ‪ ,73‬ממוצע הציונים של ענת הוא ‪ ,72‬ממוצע הציונים של גלית‬
‫הוא ‪.73‬‬
‫ב( הציון הממוצע לעתים משקף את העבודה של התלמידים ולעתים אינו עושה זאת כראוי‪.‬‬
‫ממוצע הציונים של שלוש הבנות זהה כמעט לחלוטין‪ .‬אולם אפשר לראות בטבלת הציונים‬
‫‪250‬‬
‫את ההתקדמות של עינב במהלך השנה‪ ,‬לעומת זאת רואים את ההידרדרות של ענת במהלך‬
‫השנה ואת ציוניה הקבועים של גלית‪.‬‬
‫ג( ישנם שיקולים רבים במתן ציון לתלמיד בסוף השנה‪ .‬מומלץ לדון עם התלמידים‬
‫בשיקולים ולומר להם שהשיקולים אינם חד משמעיים כי חסר מידע על התלמידים‪ .‬ישנם‬
‫מורים המתייחסים רק לציונים האחרונים‪ ,‬ישנם מורים המתייחסים אף לנסיבות‬
‫האישיות של התלמידים בעת מתן הציון הסופי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬חישוב הממוצע נעשה על‪-‬ידי חלוקת מספר הצעצועים במספר‬
‫הילדים‪ 135 : 30 = 4.5 .‬כל ילד אסף בממוצע ‪ 4.5‬צעצועים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬המחיר הממוצע חייב להיות בין ‪ ₪ 5.20‬לבין ‪.₪ 9.15‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬תכונות הממוצע כמדד ביניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬ג( אחד מהציונים גדול מ‪ ,90 -‬אחד קטן מ‪ 90 -‬או שניהם שווים ל‪.90 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬משימה זו עוסקת באומדן של ממוצע‪ ,‬בתכונות הממוצע ובחישוב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬משימת תרגול נוספת לחישוב הממוצע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬משימה זו כוללת את המושגים‪ :‬שכיח‪ ,‬ממוצע וחציון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬משימה זו כוללת את המושגים‪ :‬שכיח‪ ,‬ממוצע וחציון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬משימה פתוחה‪ ,‬שנדרשים בה חשיבה והבנה של הממוצע‪ ,‬החציון והשכיח‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬א( מספר השתילים השכיח הוא ‪ .40‬ב( ממוצע השתילים ביום הוא ‪.40‬‬
‫החציון של הנתונים הוא ‪.40‬‬
‫ד( אם הגנן יכין ביום נוסף ‪ 40‬שתילים‪ ,‬אף אחד מהנתונים לא ישתנה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬א( הממוצע של אורך האצבעות של ורד הוא ‪ 6.4‬ס"מ‪.‬‬
‫ב( האורך השכיח הוא ‪ 7‬ס"מ‪.‬‬
‫ג( החציון הוא ‪ 7‬ס"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬התלמידים צריכים לדעת שהממוצע צריך להיות גדול מ‪ 107 -‬ס"מ וקטן מ‪-‬‬
‫‪ 154‬ס"מ‪ .‬ממוצע הגבהים הוא ‪ 127‬ס"מ‪.‬‬
‫החציון של הגבהים הוא ‪ 120‬ס"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬א( השם הפרטי השכיח הוא רון )מופיע פעמיים(‪ .‬ב( החציון של שמות‬
‫המשפחה הוא ויצמן‪ .‬ג( אין ממוצע לנתונים שאינם כמותיים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬הממוצע של המספרים הוא ‪ .20‬הנתון השכיח הוא ‪.12‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬א( זמן ההגעה של יואל מהבית לבית הספר הוא ‪ 11‬דקות‪.‬‬
‫ב( יואל יעבור מרחק של קילומטר במשך ‪ 22‬דקות‪ ,‬וזאת בתנאי שמהירותו קבועה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬משימה פתוחה‪ .‬התלמידים יחשבו את מספר החפצים הממוצע בקלמר של‬
‫שלושה חברים‪.‬‬
‫‪251‬‬
‫שאלות מילוליות ‪ ,‬עמוד ‪576‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬דוגמה‪ 148 :‬ס"מ ‪ 145 ,‬ס"מ ‪ 151 ,‬ס"מ‬
‫משימה מס' ‪ :2‬דוגמה‪ 200 :‬גרם ‪ 200 ,‬גרם‪ 300 ,‬גרם‪ 300 ,‬גרם‬
‫משימה מס' ‪ :3‬אם הממוצע של אביה הוא ‪ ,90‬צריך להיות לפחות עוד ציון מעל ‪ 90‬כדי לאזן‬
‫את ‪.85‬‬
‫סכום הציונים הוא ‪ .450‬אם מחסרים את סכום שני הציונים הראשונים‪ ,‬מקבלים‬
‫‪ . 450 − 185 = 265‬זהו הסכום שהיא צריכה לקבל בשלושת המבחנים האחרים‪.‬‬
‫קיימות אפשרויות רבות‪ ,‬כמו‪ .95 ,85 ,85 :‬או ‪ 90 ,90‬ו‪.85 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬א( ‪ 51.5‬קילוגרם‪ .‬ב( ‪ 1.5‬קילוגרם‪.‬‬
‫היסטוריה‪ ,‬עמוד ‪577‬‬
‫ממוצע של נתונים בסטטיסטיקה נקרא "מדד מרכזי"‪ ,‬כי בעזרתו אפשר להעריך סדר גודל של‬
‫נתונים‪.‬‬
‫המילה "סטטיסטיקה" באיטלקית פירושה "מדע של מדינה"‪ ,‬כלומר מדע של קבלת החלטות‪.‬‬
‫התלמידים לומדים כי כבר בתקופת התנ"ך נערכו מפקדים לבני ישראל מספר פעמים לצורך‬
‫ארגון‪.‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪578‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬א( ממוצע הציונים בכיתה ה' הוא ‪ .85‬ב( ממוצע הציונים בכיתה ה‪ 2‬הוא ‪.79‬‬
‫ג( הציון השכיח בכיתה ה‪ 1‬הוא ‪ .100‬ד( הציון השכיח בכיתה ה‪ 2‬הוא ‪ 75‬ו‪.80 -‬‬
‫ו( אם מידת הצלחתה של כיתה נקבעת לפי ממוצע הציונים שלה‪ ,‬כיתה ה‪ 1‬טובה יותר‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :3-2‬במשימות אלו רואים שכאשר קיימים נתונים קיצוניים בסדרה‪ ,‬הממוצע‬
‫אינו מדד מרכזי מייצג‪.‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪579‬‬
‫חזרה על מספרים עשרוניים‪ -‬המבנה העשרוני‪ ,‬מיקום המספר על ציר המספרים‪ ,‬השוואה בין‬
‫מספרים עשרוניים‪ -‬וכן על היקף ועל שטח של מלבן‪.‬‬
‫‪252‬‬
‫נספח לפעילות הגילוי ג'‬
‫‪253‬‬
‫נספח לפעילות הגילוי ד'‬
‫טבלת שכיחות האותיות‬
‫ב‬
‫א‬
‫ד‬
‫ג‬
‫ו‬
‫ה‬
‫ח‬
‫ז‬
‫ט‬
‫י‬
‫כ‬
‫השכיחות‬
‫השכיחות היחסית בשברים‬
‫מ‬
‫ל‬
‫ס‬
‫נ‬
‫פ‬
‫ע‬
‫ק‬
‫צ‬
‫השכיחות‬
‫השכיחות היחסית בשברים‬
‫סדר אותיות העבריות במקלדת המחשב‬
‫ם‬
‫פ‬
‫ף‬
‫ך‬
‫ץ‬
‫ו‬
‫ן‬
‫ל‬
‫ת‬
‫ט‬
‫ח‬
‫צ‬
‫א‬
‫י‬
‫מ‬
‫ע‬
‫נ‬
‫ק‬
‫ר‬
‫כ‬
‫ה‬
‫‪254‬‬
‫ג‬
‫ב‬
‫ד ש‬
‫ס‬
‫ז‬
‫ר‬
‫ש‬
‫ת‬
‫עמ' ‪603 - 580‬‬
‫יח‪ .‬פעילויות חקירה‬
‫רקע‬
‫במסגרת פעילויות נוספות ושאלות אינטגרטיביות נדרש בתכנית הלימודים לעודד הבנת כללים‬
‫על‪-‬ידי יצירה ועל‪-‬ידי חקר של סדרות ולוחות מספרים והכללה של מבנה או חוקיות של תהליך‪.‬‬
‫זו ההזדמנות לחשוף את התלמידים לכמה שיטות חקירה של נושאים מתמטיים מעניינים‬
‫שרוב הזמן אינם כלולים בתכניות לימודים‪ .‬בפרק מובאות חקירות מפורסמות ובעיות לא‪-‬‬
‫שגרתיות‪.‬‬
‫הפרק אינו שגרתי‪ ,‬לכן מבנה הפרק שונה מהפרקים האחרים‪ .‬בהתחלה התלמידים מתבקשים‬
‫להתמודד עם חמש משימות חקירה של סדרות בעלות מאפיינים דומים‪.‬‬
‫הפעם בשיעור מסכמים את התהליכים שהתלמידים עברו בחקירות אלה‪ .‬בהמשך מובאים‬
‫סוגי בעיות לא‪-‬שגרתיות ודרכי ייצוג שונות‪.‬‬
‫המטרה היא שהתלמידים יוכלו להתמודד עם בעיות לא‪-‬שגרתיות ועם בעיות אתגר במהלך‬
‫לימודי ההמשך במתמטיקה וכן עם בעיות בכלל‪ .‬כמו‪-‬כן‪ ,‬הם יוכלו להתמודד בעתיד עם בעיות‬
‫מסוג זה במבחנים או בתחרויות‪ .‬נוסף על כך‪ ,‬בחלק מהמשימות אפשר לפתח מרכיבים של‬
‫חשיבה אלגברית‪.‬‬
‫הפרק בנוי לפי הרעיונות של ג'ורג פויה )‪ (POLYA‬בספרו "כיצד פותרים?" ) ‪HOW TO‬‬
‫‪ ,(SOLVE IT‬ובו ארבעה שלבים לפתרון בעיות‪.‬‬
‫הפרק כולו מכיל פעילויות גילוי‪ .‬מומלץ להימנע מ"ללמד" את הפרק‪ ,‬אלא להשתמש‬
‫במשימות כפעילויות אתגר או כמשימות ל"מוקד מתמטי כיתתי"‪.‬‬
‫מושגים‬
‫נתונים ‪ ,‬סדרת נתונים ‪ ,‬מקום בסדרה ‪ ,‬שיטות חקר‪ ,‬ייצוג ‪ ,‬שיטתיות‪ ,‬מסקנה ‪ ,‬הוכחה‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬לבצע חקירה בשלבּים בשאלות של חיפוש חוקיות;‬
‫ב‪ .‬לייצג את הבעיה;‬
‫ג‪ .‬לבצע סדרה של דוגמאות;‬
‫ד‪ .‬להעלות השערה הנוגעת לחוקיות;‬
‫ה‪ .‬לבדוק את ההשערות;‬
‫ו‪ .‬לפתור בעיות שרשרת פשוטות;‬
‫ז‪ .‬למצוא דגם של ריצוף‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫טבלאות‪ ,‬ריבועי מנייה‪ ,‬חפצים בצבעים שונים‪ ,‬צורות פלא‪.‬‬
‫השיעור בספר הלימוד‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪:580‬‬
‫פתרון כדי‬
‫שלוש המשימות הראשונות קשורות זו לזו‪ .‬לתשע המשימות הראשונות יש אותו ְ‬
‫להראות שבעזרת שינוי בהצגת בעיה אפשר ליצור מצב הנראה כבעיה חדשה לגמרי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬התלמידים חוקרים את הסדרה המפורסמת‪ :‬סכום מספרים טבעיים עוקבים‪.‬‬
‫כל מספר מיוצג כגוף המורכב מקוביות‪ .‬בשלב זה התלמידים מתבקשים לגלות מספר קוביות‬
‫בגוף‪ ,‬כאשר ידוע מספר הקוביות בגוף הקודם לוֹ בסדרה‪ .‬בסעיף ה' מובאת טבלה כדי לעזור‬
‫לתלמידים לקבל מושג מה יכול להיות הכלל‪.‬‬
‫‪255‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬הפעם הסדרה החדשה נתונה בתוך טבלה‪ ,‬והתלמידים מגלים בעזרתה מהם‬
‫המרכיבים החשובים בבעיה‪ .‬בסעיפים השונים מכוונים את התלמידים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬במשימה זו מקשרים בין המשימות הקודמות ‪ .‬איבר בסדרה ‪ B‬גדול פי שניים‬
‫מהאיבר בסדרה ‪ A‬בעל אותו מספר סידורי‪ .‬בסדרה ‪ B‬התלמידים גילו קשר מתמטי בין מספר‬
‫הגוף בסדרה )סדרו( לבין מספר הקוביות שבגוף‪ :‬המספר הסידורי הוא גובה התיבה‪ ,‬אורך‬
‫התיבה הוא המספר הבא‪ ,‬ומספר הקוביות הוא המכפלה של שני המספרים ‪ .‬לדוגמה‪ ,‬מספר‬
‫הקוביות בגוף מספר ‪ 10‬בסדרה ‪ B‬הוא ‪ 10 ) 10 × 11 = 110‬הוא המספר הסידורי או הגובה של‬
‫)‪n × (n + 1‬‬
‫‪.‬‬
‫הגוף ‪ 11 ,‬הוא המספר הבא בסדרה או האורך של הגוף( ‪ .‬הכלל של סדרה ‪ A‬הוא‬
‫‪2‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬חקירת מספר נקודות באבנים של משחק דומינו‪ .‬במשימה זו יש לתלמידים‬
‫אפשרות לבדוק את תשובתם על‪-‬ידי מניית האבנים במשחק דומינו רגיל‪ .‬הייצוג הוא מוחשי‪,‬‬
‫ומומלץ לכוון את התלמידים לכתוב את זוגות המספרים המופעים על האבנים בלי לצייר את‬
‫האבנים‪ .‬הכלל הוא הכלל של סדרה ‪.A‬‬
‫‪20 × 21‬‬
‫‪12 × 13‬‬
‫ב( ‪= 210‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬הרחבה של משימה מס' ‪ . 4‬א ( ‪= 78‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫משימות מס' ‪ :7-6‬חקירת מספרים זוגיים או אי‪-‬זוגיים מסודרים בטבלה בעלת שמונה‬
‫טורים‪ .‬מטרת החקירה היא לאפיין את המספרים שבכל טור‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :584‬בעיות חקירה‬
‫השלבּים המובאים בשיעור הם השלבּים שבספרו של פויה )‪ ,(POLYA‬והם מנוסחים בפשטות‪.‬‬
‫קיימות דרכים אחרות לחקירה מתמטית‪ ,‬אך היתרונות של דרך זו הם בעבודה השיטתית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬התלמידים יגיעו לפתּרון בדרך של פרדריק גאוס )‪ .(GAUSS‬בטבלה מוצגת‬
‫דרך החשיבה של גאוס‪ .‬בשיטה של גאוס פותרים את הסדרה ‪ – A‬סכום המספרים הטבעיים‪.‬‬
‫סדרה ‪ B‬היא סכום המספרים הזוגיים‪ ,‬והיא מתקבלת על‪-‬ידי השלמת המשולשים של סדרה ‪A‬‬
‫למלבנים על‪-‬ידי הנחת הקוביות הפוך‪ .‬שוב מתקבל לפי גאוס איבר ראשון ‪ +‬איבר אחרון כפול‬
‫מחצית מספר האיברים‪ .‬הסכום המתקבל גדול פי שניים מסכום המספרים הטבעיים‪.‬‬
‫מדוע? כי מחברים מספרים הגדולים פי שניים מהמספרים ‪ A‬הסמוכים‪ 2 :‬במקום ‪ 4 ,1‬במקום‬
‫‪ 2‬וכך הלאה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬הדלקת נרות חנוכה היא דוגמה נוספת של אותה בעיה‪ .‬שימו לב‪ ,‬כי בהדלקת‬
‫הנרות משתמשים בשמש‪ .‬ביום הראשון‪ ,‬ומדליקים‪ ,‬למעשה‪ ,‬שני נרות‪ .‬ביום השני מדליקים‬
‫שלושה נרות וכן הלאה‪ .‬ביום המאה מדליקים ‪ 101‬נרות‪ .‬כלומר מס' הנרות הוא ‪ 100‬יותר מ‪-‬‬
‫‪.5,050‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬גם הבעיה של "לחיצת הידיים" היא דוגמה נוספת של אותה בעיה‪ .‬מומלץ‬
‫להציע לתלמידים להמחיש את הבעיה‪.‬‬
‫פתרון‪ :‬הפעם הבעיה היא של מספר האלכסונים במצולע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬שוב אותו ְ‬
‫משימה מס' ‪ :12‬הסדרה מייצגת את סכום ‪ N‬מספרים האי‪-‬זוגיים העוקבים כשמתחילים מ‪-‬‬
‫‪ .1‬כמו במשימה מס' ‪ 1‬כל מספר אי‪-‬זוגי חדש מיוצג על‪-‬ידי הוספת מספר קוביות מתאים לגוף‬
‫המורכב מקוביות‪ .‬התהליך דומה לתהליך של החקירות הקודמות ‪.‬‬
‫הסכום של ‪ N‬המספרים האי‪-‬זוגיים העוקבים שווה ל‪.N2 -‬‬
‫‪256‬‬
‫הקושי בסדרה זו הוא להבחין בכל שלב בין מספר הגוף או מקומו בסדר )‪ (N‬המראה מספר‬
‫מספרים אי‪-‬זוגיים עוקבים‪ ,‬לבין המספר האי‪-‬זוגי האחרון בסדרה ‪ .‬לדוגמה‪ ,‬כאשר ‪,N=4‬‬
‫הסכום הוא ‪. 1+3+5+7 = 16 = 42‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬חקירה של מלבנים והקשר ביניהם‪ .‬התלמידים יכולים לצייר סדרה של‬
‫מלבנים ששטחם ‪ 4‬סמ"ר‪ 8 ,‬סמ"ר‪ 12 ,‬סמ"ר‪ 16 ,‬סמ"ר וכן הלאה‪.‬‬
‫במקרה זה הקשר בין מספר הציור לבין שטח המלבן הוא ששטח המלבן שווה למכפלת מספר‬
‫הציור ב‪.4 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬חקירת שברים מסודרים בטבלה בעלת ארבע עמודות‪ .‬מטרת החקירה היא‬
‫לאפיין את השברים המופיעים בכל עמודה‪.‬‬
‫להלן הטבלה המלאה‬
‫טור ד'‬
‫טור ג'‬
‫טור ב'‬
‫טור א'‬
‫שורה ‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫שורה ‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫שורה ‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫שורה ‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫א( ההפרש בין כל שני איברים סמוכים בשורה הוא ‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫ב( ההפרש בין כל שני איברים סמוכים בטור הוא ‪.1‬‬
‫‪3‬‬
‫ג( בשורה ‪ 20‬בטור ג' יהיה המספר ‪. 19‬‬
‫‪4‬‬
‫ד( בשורה ‪ 78‬בטור ד' יהיה המספר ‪.78‬‬
‫ה( המספר המתאים בטור ד' מתאים למספר השורה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫ו( המספר המתאים בטור ב' קטן ב‪ -‬ממספר השורה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫ז( המספר המעורב ‪ 9‬לא יופיע בטבלה‪ .‬מדובר במספרים שלמים בלבד או במספרים‬
‫‪9‬‬
‫מעורבים‪ ,‬שהמכנה שלהם הוא ‪ 4‬או ‪.2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫ח( המספר ‪ 12‬שווה למספר ‪ , 12‬וזה מופיע בשורה ‪ 13‬בטור ב'‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫ט( המספר ‪ 32‬שווה למספר ‪ , 32‬וזה מופיע בשורה ‪ 33‬בטור א'‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫‪4‬‬
‫י( בטור ב' לא יכול להופיע מספר טבעי‪.‬‬
‫יא( בטור ד' יופיעו מספרי השורות שהם מספרים שלמים חיוביים בלבד‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :588‬בעיות שרשרת‬
‫כפתרון אריתמטי של משוואות באלגברה‪.‬‬
‫בשיעור מוצגת השיטה הידועה ְ‬
‫א( מציגים את הנעלמים בצורה גרפית או ציורית ומוצאים את ה"מפתח"‪ .‬בבעיה שבשיעור‬
‫ה"מפתח" הוא הסוכרייה‪.‬‬
‫ב( מחליפים במשוואות את ה"מפתח" בערכו‪.‬‬
‫‪257‬‬
‫ג( פותרים את המשוואות הפשוטות שהתקבלו בעזרת פעולות הפוכות )חיבור‪-‬חיסור‪ ,‬כפל‪-‬‬
‫חילוק(‪ .‬התרגום המילולי של הפעולה יכול להיות‪" :‬היו לי ‪ 23‬שקלים‪ ,‬וכעת יש לי מוצרים‬
‫ו‪ 2-‬שקלים‪ ,‬מהו מחיר המוצרים?"‪ .‬התלמידים למדו לפתור בעיות מסוג זה כבר בכיתה‬
‫ב'‪.‬‬
‫ד( שלב זה הוא השלב החדש‪ .‬התרגום המילולי של הפרשי השורות יכול להיות "שילמתי ‪21‬‬
‫שקלים תמורת קבוצת מוצרים ובקבוק‪ .‬מחיר המוצרים הוא ‪ 16‬שקל‪ .‬מהו מחיר‬
‫הבקבוק?"‬
‫ה( ההמשך הוא הפעלה מחדש של השלבּים ב' ו‪-‬ג'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬בעיית שרשרת הדומה לבעיה שבשיעור‪ .‬מחירו של משחק הוא ‪ ₪ 26‬ומחירו‬
‫של ספר הוא ‪.₪ 24‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬בעיית שרשרת שבה ה"מפתח" הוא הגובה של המגדל השלישי )תיבה אדומה‬
‫אחת ותיבה כחולה אחת(‪ .‬מומלץ לעודד את התלמידים להחליף בכל שלב את הייצוגים בערכם‪.‬‬
‫גובה התיבה הכחולה הוא ‪ 10‬ס"מ; גובה התיבה הירוקה הוא ‪ 4‬ס"מ; גובה התיבה האדומה‬
‫הוא ‪ 5‬ס"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬בעיית שרשרת מסוג חדש‪ .‬הבעיה מוכרת בגרסאות שונות‪ :‬אכילת תפוחים‪,‬‬
‫חלוקת אוצר וכדומה ‪ .‬בסוג זה של בעיות על התלמידים להתחיל מהסוף להתחלה‪ .‬גם כאן‬
‫נעשה שימוש בכפל ובחילוק כפעולות הפוכות‪ .‬כשמיכל הגיעה‪ ,‬נותרו ‪ 2‬מגשים לסדר‪ ,‬כי מיכל‬
‫סידרה חצי מהמגשים‪ ,‬ולנועה נותר בסוף מגש אחד‪ .‬התשובה‪ :‬סידרו ביחד ‪ 32‬מגשים‪.‬‬
‫מיכל‪1:‬‬
‫יהודית‪4 :‬‬
‫שיראל‪16 :‬‬
‫נועה‪1 :‬‬
‫אודיה‪2 :‬‬
‫אנאל‪8 :‬‬
‫משימות מס' ‪ :19-18‬משימות יישום בצורת בעיות מילוליות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬חקירה קלסית של קשר בין סידור שולחנות לבין מספר אנשים היושבים‬
‫סביבם‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪:591‬‬
‫אפשר לבצע חקירות גם בגאומטריה‪ .‬התנאי ליצירת דגם )סכום הזוויות סביב קדקוד הוא‬
‫‪ (3600‬יכול להיות נושא לחקירה בפני עצמו‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬בניית ריצוף‪ .‬דוגמה של ְ‬
‫משימה מס' ‪ :22‬לא‪ ,‬כי סכום הזוויות אינו ‪.3600‬‬
‫משימות מס' ‪ :24 - 23‬מציאת דגמים‪ .‬הדגמים במשימה ‪:16‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :592‬בעיות הוכחה‬
‫בשיעור מובאת דוגמה של הוכחה ראשונית קצרה המתאימה לידע של תלמידים בכיתה ה'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬את כל הכפולות של ‪ 5‬אפשר לכתוב כסכום )כל המחוברים שווים ל‪,(5-‬‬
‫את כל הכפולות של ‪) 2‬כל המספרים הזוגיים( אפשר לכתוב כסכום )כל המחוברים שווים ל‪,(2-‬‬
‫וְ אפשר לכתוב כל מספר אי‪-‬זוגי ככפולה של ‪ 5‬ועוד ‪ 2‬או ככפולה של ‪ 5‬ועוד ‪.4‬‬
‫‪258‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬כדי לפתור את התרגיל על התלמידים‬
‫• לחקור את לוח הכפל ולהשתמש במאפיינים של לוחות של מספרים שונים )לדוגמה‪ ,‬בלוחות‬
‫של ‪ 5 ,0‬ו‪ 6-‬מופיעות מכפלות של גורמים זהים‪ ,‬כך שספרת היחידות של המכפלה שווה‬
‫לגורם‪) .‬דוגמה‪.( 6 × 6 = 36 :‬‬
‫• להשתמש בהיגיון "מה יקרה אם ‪;"...‬‬
‫• להשתמש בניסוי וטעייה בצורה שיטתית‪ ,‬לדוגמה‪ ,‬לבדוק מכפלות בסדר קבוע‪.‬‬
‫התשובה‪. 36 × 76 = 2,736 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬הפעלת היגיון ושיטתיות‪.‬‬
‫אחת השיטות לפתרון משימות מסוג זה היא בעזרת טבלה‪.‬‬
‫תנ"ך‬
‫פיזיקה‬
‫מתמטיקה‬
‫שם המורה‬
‫גד‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫דן‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫נתן‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫עברית‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫אנגלית‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫היסטוריה‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫הסבר‪:‬‬
‫המורה לפיזיקה אינו דן או גד‪ ,‬לכן המורה לפיזיקה הוא נתן; המורה המבוגר הוא דן‪ ,‬שאינו‬
‫מלמד תנ"ך‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬פיזיקה או עברית‪ ,‬לכן הוא מלמד אנגלית והיסטוריה; גד‪ ,‬המורה‬
‫למתמטיקה‪ ,‬הוא הצעיר ביותר שמלמד גם עברית‪.‬‬
‫נתן מלמד תנ"ך ופיזיקה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬הוכחה מוחשית לכך שסכום הזוויות במשולש הוא ‪.1800‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬חקירה המובילה את התלמידים למציאת הנוסחה של סכום הזוויות במרובע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬חקירת "ריבועים" בלוח הכפל‪ .‬גילוי העובדה המעניינת שמכפלות המספרים‬
‫באלכסון שוות‪.‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪ :595‬סיכום הנלמד בפרק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬תחילה נחשב את מספר המשחקים שיורם ויתר עליהם‪ .‬יורם ויתר על ‪,6 ,4 ,2‬‬
‫‪ 8‬משחקים שהם ‪ 20‬משחקים בסך הכול‪ .‬אילו יורם שיחק בכל יום אותו מספר משחקים כמו‬
‫ביום ראשון‪ ,‬הוא היה משחק ‪ 60‬משחקים‪.‬‬
‫לכן ביום ראשון הוא שיחק ‪ 12‬משחקים‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמודים ‪601 - 596‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬א( הציור השמיני יהיה מגן‪-‬דוד‪ .‬ב( הציור התשיעי יהיה תפוח‪ .‬הציור ה‪12 -‬‬
‫יהיה מגן‪-‬דוד ולא לב‪ .‬לפי החוקיות של הסדרה‪ .‬ד( הציור ה‪ 15 -‬לא יהיה תפוח‪ ,‬אלא לב‪ .‬ה(‬
‫יניב צודק ה‪-‬מגן‪-‬דוד נמצא בציור שמספרו הוא כפולות של ‪ .4‬ו( ציור ‪ 80‬יהיה מגן‪-‬דוד )כי ‪80‬‬
‫הוא כפולה של ‪ .4‬כל אחד מהציורים מופיע כל ארבעה ציורים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימה פתוחה‪ .‬התלמידים רשאים לצייר סדרת ציורים שבה שלושה ציורים‬
‫שונים ברצף‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬א( הציור החמישי מורכב משבעה ריבועים‪ .‬ב( הציור השמיני יהיה מלבן‪.‬‬
‫המלבן נמצא בכל מקום בו מספר האיור הוא מספר זוגי‪ .‬ג( עומר צודק‪ .‬ד( מספר הריבועים‬
‫שבמלבן גדול ב‪ 2 -‬ממספר הציור‪ .‬ה( שטח הצורה ‪ 5‬יחידות שטח‪ .‬ו( שטח הצורה בציור ‪5‬‬
‫הוא ‪ 7‬יחידות שטח‪ .‬ז( ‪ 12‬יחידות שטח‪ .‬ח( כן‪ ,‬שטח הציור יהיה ‪ 82‬יחידות שטח‪ .‬ט( שטח‬
‫הציור גדול ב‪ 2 -‬ממספר הציור‪ .‬י( אם מספר הציור זוגי‪ ,‬השטח המתקבל הוא שטח של מלבן‪.‬‬
‫‪259‬‬
‫יב( אם מספר הציור הוא אי‪-‬זוגי‪ ,‬וגם השטח הוא אי‪-‬זוגי‪ .‬יג( לא יכול להיות מלבן ששטחו‬
‫מספר אי‪-‬זוגי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימה זו עוסקת בחוקיות‪ .‬כל מדרגה נבנית בעזרת שלושה גפרורים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬משימה זו עוסקת בחוקיות‪ .‬סכום הכסף שאבא נותן לנועם גדול פי שניים‬
‫מהסכום שניתן לו יום קודם לכן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬כל אחד מהילדים קיבל סכום כסף בהתאם לגילו‪ .‬אימא נתנה לילדיה סכום‬
‫כסף הגדול פי שניים מגילם‪ .‬אבא נתן לילדיו סכום כסף הגדול פי שלושה מגילם‪ .‬סבא נתן‬
‫לנכדיו סכום כסף הגדול פי ארבעה מגילם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬התלמידים נדרשים למצוא את מספר הספרים של שרה‪.‬‬
‫לשרה יש ‪ 32‬ספרי בישול‪ 64 ,‬ספרי הרפתקאות ו‪ 128 -‬ספרי היסטוריה‪ .‬בסך הכול יש לה ‪224‬‬
‫ספרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬התלמידים נדרשים לחשב את שטח המצולע לפי נוסחה נתונה‪.‬‬
‫התלמידים צריכים למנות את מספר נקודות השריג על היקף המצולע וכן את מספר נקודות‬
‫השריג בתוך הרשת‪ ,‬להציב את הנתונים בנוסחה ולמצוא את השטח‪.‬‬
‫‪ a = 13‬ו‪ b = 53 -‬נציב בנוסחה ונקבל‪13 :2 + 53 − 1 = 6.5 + 53 − 1 = 58.1 :‬‬
‫משימות מס' ‪ 9‬ו‪ :10 -‬משימות אלו עוסקות בחוקיות בסדרות של מספרים‪.‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪602‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬התלמידים נדרשים לפענח את תרגיל הכפל המיוצג על ידי צורות‪.‬‬
‫תרגיל הכפל המתאים הוא ‪. 102 × 16 = 1632‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬אחת הטענות של המתמטיקאי לגראנז' היא‪ :‬שכל מספר טבעי אפשר לרשום‬
‫כסכום של ארבעה ריבועים‪ .‬סכום של שניים או שלושה אינו אפשר בכל המספרים‪ ,‬אלא לסוג‬
‫מסוים‪ 17 .‬אפשר לרשום כ‪ ,1 + 16 -‬אבל ‪ 16‬אי‪-‬אפשר לרשום כסכום של שני ריבועים‪ .‬אפשר‬
‫להציג את השערת גולדבך שלא ההוכחה‪ ,‬שכל מספר זוגי גדול מ‪ .2 -‬אפשר לכתוב כסכום של‬
‫שני מספרים ראשוניים‪.‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪603‬‬
‫חזרה על הנושאים‪ :‬גובה במקבילית‪ ,‬היקף ושטח של מקבילית‪ ,‬פעולות חיבור וחיסור‬
‫במספרים עשרוניים ובשברים‪.‬‬
‫‪260‬‬
‫עמ' ‪629 - 604‬‬
‫יט‪ .‬מצולעים וריצופים‬
‫רקע‬
‫בפרק זה מקנים לתלמידים שלושה נושאים הקשורים זה לזה‪ :‬חפיפה‪ ,‬מצולעים משוכללים‬
‫וריצוף‪.‬‬
‫בחלק הראשון של הפרק יכירו התלמידים את המושג "צורות חופפות"‪ .‬מושג זה הכרחי לבנייה‬
‫ולחקירה של ריצופים‪ .‬גם הנושא חפיפה מרכזי בגאומטריה בחטיבת הביניים‪ ,‬אך המושגים‬
‫נלמדים בצורה פורמלית‪ .‬בפרק הנוכחי ניתנת לתלמידים הזדמנות יחידה להפנים את המושג‬
‫באופן אינטואיטיבי‪ ,‬לעבוד באביזרים מוחשיים ובכך ליצור בסיס ללימודים בחטיבת הביניים‪.‬‬
‫המטרות העיקריות של חלק זה‪:‬‬
‫‪ y‬פיתוח של אינטואיציות ושל ראייה מרחבית;‬
‫‪ y‬פיתוח כושר הבחנה בין צורות חופפות לבין צורות שאינן חופפות;‬
‫‪ y‬הבנת הקשר בין המושגים "חפיפה" ו"העתקות איזומטריות" )שיקוף‪ ,‬סיבוב‪ ,‬הזזה או‬
‫צירופיהם(‪.‬‬
‫התלמידים למדו על צורות חופפות בשנים קודמות‪ ,‬אך קראו להן "צורות זהות"‪ .‬גם כעת אין‬
‫מגדירים בדיוק את המושג "חפיפה"‪ ,‬אלא מתארים אותו בהגדרה אופרטיבית‪" :‬מניחים‬
‫צורות זו על‪-‬גבי זו ובודקים אם הן מכסות זו את זו בדיוק"‪ .‬מובן שמילים כמו "לכסות"‪,‬‬
‫"לכסות בדיוק"‪" ,‬לשים" ו‪"-‬להניח" אינן מילים מדויקות במובן המתמטי‪ .‬בגאומטריה‬
‫אוקלידית הייתה בעיה להגדיר את המושג "חפיפה" בצורה מדויקת‪ ,‬והמתמטיקאים הצליחו‬
‫לפתור אותה רק במאה ה‪ ,17 -‬כאשר קישרו בין גאומטריה אוקלידית לבין הטרנספורמציות‬
‫האיזומטריות )הפונקציות(‪ ,‬והגדירו את החפיפה )כפי שמגדירים אותה גם היום במתמטיקה(‬
‫כך‪" :‬שתי צורות במישור נקראות חופפות אם קיימת טרנספורמציה איזומטרית שבה צורה‬
‫אחת מועתקת לצורה אחרת"‪ .‬כמובן‪ ,‬הגדרה זו היא ברמה גבוהה מדי‪ ,‬והיא אינה מיועדת‬
‫לתלמידי כיתה ה'‪ .‬המושג "צורות חופפות" קשור לשיקוף‪ ,‬לסיבוב ולהזזה‪ ,‬שבעזרתם אפשר‬
‫להניח צורות זו על‪-‬גבי זו‪ ,‬כך שמרכיבים מתאימים בצורות יתלכדו זה עם זה‪ .‬גם הנושא ריצוף‬
‫בנוי על קשר זה‪ ,‬ולכן לומדים על "חפיפה" ועל "טרנספורמציות איזומטריות" בתחילת הפרק‪.‬‬
‫חשוב שלאורך כל השיעורים בנושא יצטיידו התלמידים בדפים שקופים )כמו נייר פרגמנט(‪ ,‬כדי‬
‫שיוכלו להעתיק צורות ולהניח את ההעתק על הצורה הנבדקת‪ .‬חשוב לשוחח עם התלמידים על‬
‫השוני בין המושג המתמטי "חפיפה" לבין המושג "חפיפה" בחיי היום‪-‬יום )כמו לחפוף את‬
‫הראש(‪ .‬זה יעזור להם בהפנמת המושג המתמטי‪.‬‬
‫בחלק השני של הפרק עוסקים ב"מצולעים משוכללים"‪ ,‬כיוון שבהמשך לומדים על ריצופים‬
‫במצולעים משוכללים‪ .‬כדי שהתלמידים יבינו את המושג "מצולע משוכלל"‪ ,‬צריך להרבות‬
‫בשאלות כאלה‪" :‬מדוע מלבן אינו מצולע משוכלל? האם מתומן שכל צלעותיו שוות באורכן‬
‫בהכר ַח מצולע משוכלל? מדוע ריבוע הוא מצולע משוכלל?"‪ .‬מומלץ גם לבנות מצולעים‬
‫ֵ‬
‫הוא‬
‫משוכללים מגפרורים‪ ,‬מקיסמים‪ ,‬מרצועות או מחפצים אחרים מתאימים‪ .‬חשוב שהתלמידים‬
‫יפתחו את האינטואיציות לגבי המראה של מצולע משוכלל‪.‬‬
‫בחלק השלישי והאחרון של הפרק מלמדים את התלמידים על המושג "ריצוף"‪ .‬לאחר למידת‬
‫המושג יעסקו התלמידים בריצופים שונים ממצולעים משוכללים ויחקרו אילו ריצופים‬
‫אפשריים‪ ,‬ומהם התנאים הדרושים כדי שריצוף יתקיים‪ .‬הנושא הוא יישום של המושג "חפיפת‬
‫מצולעים"‪ .‬התלמידים לומדים לבנות ריצופים על‪-‬בסיס מצולעים משוכללים ובונים ריצופים‬
‫פשוטים בעצמם‪ .‬אפשר לקשט את הכיתה בריצופים שהתלמידים יבנו‪.‬‬
‫לפי תכנית הלימודים‪ ,‬מומלץ להקדיש לנושא כ‪ 6 -‬שעות לימוד‪.‬‬
‫מושגים‬
‫חפיפה‪ ,‬צורות חופפות‪ ,‬מצולעים חופפים‪ ,‬צלעות מתאימות‪ ,‬זוויות מתאימות‪ ,‬קדקודים‬
‫מתאימים‪ ,‬מצולע משוכלל‪ ,‬מצולעים משוכללים חופפים‪ ,‬ריצוף‪ ,‬ריצוף במצולע משוכלל אחד‪,‬‬
‫ריצוף בשני מצולעים משוכללים‪.‬‬
‫‪261‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬לבדוק אם שתי צורות הן חופפות‪ ,‬על‪-‬ידי הנחת צורה אחת על האחרת בפועל;‬
‫ב‪ .‬לזהות צלעות מתאימות וזוויות מתאימות במצולעים חופפים;‬
‫ג‪ .‬לזהות צלעות שוות וזוויות שוות במצולעים חופפים;‬
‫ד‪ .‬להבחין בין צורות חופפות לבין צורות שאינן חופפות;‬
‫ה‪ .‬להגדיר מצולע משוכלל;‬
‫ו‪ .‬לזהות מצולעים משוכללים מבין מצולעים נתונים על‪-‬ידי בדיקה של שוויון צלעות ושל‬
‫שוויון זוויות;‬
‫ז‪ .‬להסביר מדוע מצולע נתון הוא משוכלל או מדוע הוא אינו משוכלל;‬
‫ח‪ .‬להבחין בין ריצוף לבין לא‪-‬ריצוף;‬
‫ט‪ .‬למצוא דגם של ריצוף נתון;‬
‫י‪ .‬להגדיר את התנאים לרצף שטח ע"י מצולעים משוכללים;‬
‫יא‪ .‬לבנות ריצופים פשוטים על‪-‬בסיס מצולע משוכלל‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫דפים שבהם סרטוטים של מצולעים ושל צורות אחרות )ראו פעילויות הטמעה וגילוי(‪ ,‬נייר‬
‫מילימטרי‪ ,‬שקף‪ ,‬נייר משבצות‪ ,‬צורות פלא‪ ,‬צורות גזורות מבריסטול‪.‬‬
‫אביזרי "חשבון ‪ :"10‬מצולעים משוכללים בשקף‪ ,‬רצועות‪ ,‬שקף משבצות‪ ,‬לוח מחיק‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על מצולעים‪.‬‬
‫התלמידים מקבלים דף שבו סרטוט המופיע ארבע פעמים‪ .‬על התלמידים לצבוע בסרטוט א'‬
‫שני משולשים ושני מרובעים‪ ,‬בסרטוט ב' מחומש ומשושה‪ ,‬בסרטוט ג' משובע ובסרטוט ד'‬
‫מתומן‪) .‬הסרטוט בנספח לפרק זה‪(.‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על חיבור שברים בעלי אותו מכנה‪.‬‬
‫כותבים על הלוח שברים בעלי אותו מכנה‪ .‬מבקשים מהתלמידים לחשב את הסכום של שני‬
‫‪7 2 1 3 4 5‬‬
‫שברים‪ ,‬של שלושה שברים או של כל השברים‪ .‬שברים לדוגמה‪. , , , , , :‬‬
‫‪5 5 5 5 5 5‬‬
‫ג‪ .‬חזרה על כפל שבר בשלם‪.‬‬
‫כותבים על הלוח שברים ומספר שלם‪ .‬מבקשים מהתלמידים לכפול כל שבר במספר השלם‪.‬‬
‫‪1 3 4‬‬
‫דוגמאות‪ , , :‬והמספר השלם ‪.2‬‬
‫‪2 7 9‬‬
‫ד‪ .‬חזרה על שטח הריבוע‪.‬‬
‫מחלקים לתלמידים דף או מסרטטים על הלוח ריבועים המחולקים לריבועים חופפים קטנים‬
‫יותר‪ .‬מבקשים מהתלמידים לחשב את שטחו של כל ריבוע גדול‪ .‬באחד הריבועים הקטנים נתון‬
‫אורך הצלע )לדוגמה‪ 5 ,‬יחידות אורך(‪ .‬דוגמאות לריבועים‪:‬‬
‫‪262‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬התלמידים מקבלים אוסף של צורות גזורות שביניהן גם מצולעים‪ .‬בין הצורות ישנן‬
‫צורות חופפות‪ .‬רצוי שבין הצורות יהיו צורות "כמעט זהות"‪ .‬מבקשים מהתלמידים למצוא‬
‫צורות זהות )כלומר חופפות‪ ,‬אף‪-‬על‪-‬פי שהמושג "חפיפה" עדיין אינו מוכר לתלמידים(‪ .‬דנים‬
‫בדרכי החיפוש )לדוגמה‪ ,‬על‪-‬ידי ראייה או על‪-‬ידי הנחת צורה אחת על‪-‬גבי צורה אחרת(‪ .‬את‬
‫אוסף הצורות אפשר להרכיב מצורות פלא‪ ,‬לגזור אותן מבריסטול או מקרטון וכדומה‪.‬‬
‫אפשר להיעזר באוסף הצורות המופיע בנספח לפרק זה‪.‬‬
‫פעילות ב‪ :‬התלמידים מקבלים דף שמצוירות בו צורות חופפות ולא‪-‬חופפות‪ ,‬ודף שקוף‪.‬‬
‫התלמידים בוחרים שתי צורות לפי רצונם ומנסים לשכנע את התלמידים האחרים ששתי‬
‫הצורות הנבחרות הן חופפות או לא חופפות‪ .‬אין לגזור את הצורות‪) .‬דרך אפשרית לבדיקה היא‬
‫העתקה על דף שקוף והנחת ההעתק על הצורה השנייה‪(.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬התלמידים מקבלים אותו אוסף צורות כמו בפעילות הקודמת או חלק ממנוּ‪ :‬הם‬
‫מתבקשים לבחור זוג מצולעים חופפים ולבדוק אם במצולעים אלה ישנן צלעות שוות וזוויות‬
‫הפתרון‪.‬‬
‫שוות‪ .‬דנים בדרכי ְ‬
‫פעילות ד‪ :‬במארז האביזרים ישנו שקף של מצולעים משוכללים )לגזירה( בכמות מספקת‬
‫לפעילות זו‪.‬‬
‫התלמידים מקבלים אוסף מצולעים משוכללים )או גוזרים אותם מהדף(‪ :‬ריבועים‪ ,‬משושים‪,‬‬
‫משולשים‪ ,‬מחומשים‪ ,‬מתומנים‪ .‬כל מצולע מופיע לפחות שבע פעמים‪ .‬רצוי לצבוע מצולעים‬
‫מסוגים שונים בצבעים שונים‪ .‬לכל המצולעים צלעות שוות באורכן‪ .‬בשלב הראשון על‬
‫התלמידים ליצור ריצוף מעניין כרצונם‪ .‬דנים במספר המצולעים המשוכללים שבדגם הריצוף‪.‬‬
‫בשלב השני מבקשים מהתלמידים ליצור ריצוף‪ ,‬כאשר בדגם יש מצולע משוכלל אחד בלבד‪,‬‬
‫ולשער באילו מצולעים אפשר לרצף כך ובאילו מצולעים אי‪-‬אפשר לרצף‪ ,‬ומדוע‪ .‬דנים בריצופים‬
‫שהתקבלו‪ ,‬בהשערות שהועלו ובנימוקים של התלמידים‪.‬‬
‫השיעור בספר הלימוד‬
‫בפרק זה אין "לעלות על הגל"‪ ,‬אלא מתחילים בהקניית נושא חדש‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :604‬צורות חופפות‬
‫מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי א' ו‪ -‬ב' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה לומדים את המושג "צורות‬
‫חופפות"‪ .‬חשוב להרגיל את התלמידים לבדוק חפיפה על‪-‬ידי העתקה של צורה אחת והנחת‬
‫הצורה המועתקת על הצורה המקורית )אם אין אפשרות להניח שתי צורות זו על זו בפועל(‪.‬‬
‫הדריכו את התלמידים כיצד לסובב את ההעתק )הזכירו את המושג "סיבוב"(‪ ,‬כיצד להפוך‬
‫אותו )הופכים לצד השני כמו בשיקוף(‪ ,‬וכיצד להזיז אותו )לפי הגדרת ההזזה(‪ ,‬כך ששתי‬
‫‪263‬‬
‫הצורות יתלכדו‪ ,‬כלומר יכסו זו את זו בדיוק‪ .‬חשוב גם לעודד את התלמידים לשער אם צורות‬
‫נתונות הן חופפות‪ ,‬ורק אחר‪-‬כך לבדוק את השערתם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת יישום‪ .‬בדיקה אם הצורות שבשיעור חופפות‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימת יישום‪ .‬חשוב להשתמש בדף שקוף‪ .‬אם תלמידים מוותרים על הבדיקה‬
‫וטוענים שהם רואים ששתי הצורות הנבדקות אינן חופפות‪ ,‬בקשו מהם להסביר מדוע הצורות‬
‫אינן חופפות‪ .‬דוגמה להסבר בסעיף א' – משושה אינו יכול להיות חופף למתומן‪ ,‬כי מספר‬
‫הצלעות שלהם שונה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬על התלמידים לזהות את הצורות החופפות לריבוע הנתון )יש תשעה ריבועים‬
‫כאלה(‪ ,‬וגם צורות אחרות החופפות זו לזו‪) .‬העשן מורכב משלוש אליפסות החופפות זו לזו; שני‬
‫החלונות הגדולים‪ ,‬שהם גם ריבועים‪ ,‬חופפים זה לזה; הדלת מורכבת משני מלבנים חופפים;‬
‫בגג הבית ארבעה ריבועים קטנים חופפים; וגם שני העיגולים הקטנים המשמשים ידיות של‬
‫הדלת הם חופפים‪ (.‬חשוב שהתלמידים יבדקו את השערותיהם על‪-‬ידי העתקה של צורה אחת‬
‫מהצורות הנבדקות על דף שקוף והנחתה על הצורות האחרות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬התלמידים בודקים את חוק ההעברה )הטרנזיטיביות( של החפיפה‪ .‬כלומר אם‬
‫צורה אחת חופפת לצורה שנייה והצורה השנייה חופפת לצורה שלישית‪ ,‬הצורה הראשונה‬
‫חופפת לצורה השלישית‪ .‬במשימה הזו צורה א' חופפת לצורה ב'‪ ,‬והצורה של גד חופפת לצורה‬
‫ב'‪ ,‬לפיכך צורה א' והצורה של גד חופפות‪ .‬אכן מנסחים את החוק לתלמידים‪ ,‬אלא התלמידים‬
‫בודקים אותו בדרך מוחשית בלבד‪ ,‬כלומר בעזרת העתקה לדף שקוף‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬צורות א ו‪ -‬ג חופפות לצורה הממוסגרת‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :7 - 6‬פיתוח מיומנות ההעתקה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬זיהוי צורות חופפות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬פיתוח מיומנות העתקה בדרגה גבוהה יותר‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :607‬מצולעים חופפים‪ :‬צלעות מתאימות וזוויות מתאימות‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ג' לפני השיעור‪ .‬בקטע זה התלמידים לומדים על הצלעות‬
‫המתאימות‪ ,‬על הזוויות המתאימות ועל הקדקודים המתאימים במצולעים חופפים‪ .‬מרכיבים‬
‫מתאימים במצולעים חופפים הם מרכיבים שמתלכדים כאשר המצולעים החופפים מכסים זה‬
‫את זה‪ .‬צלעות מתאימות במצולעים חופפים שוות באורכן‪ ,‬וזוויות מתאימות במצולעים‬
‫חופפים שוות בגודלן‪ ,‬כי הן מתלכדות‪ .‬ישנן שתי מטרות בשיעור זה‪ (1 :‬ללמד את התלמידים‬
‫כיצד בודקים אילו צלעות ואילו זוויות מתאימות במצולעים חופפים )על‪-‬ידי הנחה של צורה‬
‫על‪-‬גבי צורה(; ‪ (2‬וגם לפתח ראייה מרחבית‪ ,‬כלומר להתבונן ולהבין מהם המרכיבים‬
‫המתאימים‪.‬‬
‫כדאי להרגיל את התלמידים לצבוע באותו צבע צלעות מתאימות‪ ,‬זוויות מתאימות או‬
‫קדקודים מתאימים‪ ,‬כדי שיוכלו לזהות בקלות את מרכיבי המצולעים החופפים‪ .‬הרגל זה יקנה‬
‫לתלמידים מיומנות חשובה לקראת לימוד משפטי החפיפה בחטיבת הביניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬במשימה זו מראים שאם צורה מסוימת אינה חופפת לאחת משתי צורות‬
‫חופפות‪ ,‬היא אינה חופפת גם לצורה השנייה מהצורות החופפות‪ .‬התלמידים בודקים זאת‬
‫בעזרת העתקה לדף שקוף‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬המעוין שסרטט דניאל זהה לריבוע שבסרטוט‪ .‬כלומר אם צורות הן חופפות‪,‬‬
‫הן זהות בכל מרכיביהן‪ .‬דבר זה בא לידי ביטוי במצולעים בשוויון של צלעות מתאימות‪ ,‬של‬
‫‪264‬‬
‫זוויות מתאימות ושל קטעים אחרים‪ ,‬כמו גבהים מתאימים במשולשים או אלכסונים‬
‫מתאימים במרובעים‪ .‬לכן במעוין שסרטט דניאל מידתה של כל זווית היא ‪ ,900‬כלומר הוא‬
‫סרטט ריבוע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬משימת יישום‪ .‬כדי לבצע את המשימה ללא שגיאות מומלץ להעתיק את אחד‬
‫המצולעים הנבדקים לדף שקוף‪ ,‬לסמן אותיות ולהניח את המצולע הנבדק על המצולע המקורי‪.‬‬
‫כך התלמידים יראו את ההתאמה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :608‬צלעות‪ ,‬זוויות וחפיפה של מצולעים‬
‫בקטע השיעור הקודם ובמשימות שבוצעו למדו התלמידים שבמצולעים חופפים הצלעות‬
‫המתאימות שוות זו לזו באורכן‪ ,‬והזוויות המתאימות שוות זו לזו במידתן‪ .‬כעת לומדים‬
‫שההפך אינו נכון‪ :‬במלבן ובמקבילית הצלעות אמנם שוות זו לזו בהתאמה‪ ,‬אולם המרובעים‬
‫אינם חופפים‪ .‬כמו‪-‬כן בשני המחומשים שבסרטוט הזוויות שוות במידתן‪ ,‬אך המחומשים אינם‬
‫חופפים‪ .‬יש לציין אפוא כי במשולשים מספיק שוויון של שלוש צלעות בהתאמה כדי שהם יהיו‬
‫חופפים‪ ,‬אך הדבר אינו כך במצולעים האחרים שאינם משוכללים‪.‬‬
‫במצולעים משוכללים כמו ריבוע‪ ,‬מחומש משוכלל ועוד‪ -‬שוויון הצלעות מספיק כדי לקבוע‬
‫חפיפה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬חזרה על תכונות המלבן‪ ,‬המעוין והריבוע כדי להשתמש בהן בהמשך‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬התלמידים יכולים לסרטט ריבוע ומלבן שאינו ריבוע‪ .‬אפשר לסרטט גם שני‬
‫מלבנים בגדלים שונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬בשני ריבועים שאינם חופפים אורכי הצלעות שונים‪ .‬אפשר לסרטט במחברת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬אפשר ששתי הצורות יהיו ריבועים חופפים‪ ,‬כי ריבוע הוא מעוין מיוחד‪.‬‬
‫אפשרות אחרת היא שהצורות לא יהיו חופפות‪ ,‬וזאת אם מציירים מעוין לא‪-‬מיוחד שצלעותיו‬
‫שוות לצלעות הריבוע‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :609‬שיקוף‪ ,‬סיבוב‪ ,‬הזזה וחפיפה‬
‫בשיעור זה מראים את הקשר בין ההעתקות האיזומטריות לבין החפיפה‪ :‬כלומר אם שתי‬
‫צורות מתקבלות זו מזו על‪-‬ידי שיקוף או סיבוב או הזזה או צירופיהם‪ ,‬הצורות חופפות‪ .‬גם‬
‫ההפך הוא נכון‪ :‬אם שתי צורות חופפות‪ ,‬קיימת העתקה איזומטרית שמעתיקים בעזרתה את‬
‫אחת הצורות על הצורה האחרת )בכיתה ה' לא עוסקים בדבר(‪ .‬לא צוינה בספר האפשרות של‬
‫צירופי העתקות איזומטריות כדי לא להעמיס על התלמידים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬בדיקה של חפיפת הצורות שבשיעור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬הצורה שהיא האות מועתקת בשיקוף ברצף שש‪-‬עשרה פעמים‪ .‬אפשר‬
‫לראות ששימוש בשיקוף בלבד מוביל להעתקה נוספת שהיא הזזה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬האות הראשונה‬
‫משמאל והאות השלישית משמאל באותה שורה מתקבלות זו מזו על‪-‬ידי ההזזה‪ .‬אפשר להגיע‬
‫למסקנה המעניינת‪ ,‬שתוצאת הצירוף של שני שיקופים יכולה להיות הזזה‪ .‬אם נתבונן בצורה‬
‫הראשונה משמאל למעלה ובצורה ה"נוגעת" בה למטה "באלכסון" )הצורה השנייה משמאל‬
‫למטה(‪ ,‬נראה ששתי הצורות האלו התקבלו זו מזו על‪-‬ידי סיבוב בזווית שטוחה )‪ .(1800‬גם כאן‬
‫היה צירוף של שני השיקופים‪ ,‬אך הפעם הוא הוביל לסיבוב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬זיהוי הזזה‪ ,‬סיבוב ושיקוף‪.‬‬
‫‪265‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :610‬מצולעים משוכללים‬
‫בשיעור זה התלמידים לומדים על מצולעים משוכללים‪ .‬שימו לב‪ :‬כדי שהמצולע יהיה משוכלל‪,‬‬
‫שני התנאים )שוויון צלעות ושוויון זוויות( צריכים להתקיים בו‪-‬זמנית‪ .‬בתרגילים שבחלק זה‬
‫של הפרק חשוב לשאול שאלות כאלה‪" :‬מדוע מצולע זה משוכלל ‪ /‬אינו משוכלל?"‪ ,‬ולא‬
‫להסתפק רק בתשובות "כן" או "לא"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬משימת יישום‪ .‬במשימה זו ובהמשך יש שימוש רב בסימון של צלעות שוות‪,‬‬
‫של צלעות לא‪-‬שוות‪ ,‬של זוויות שוות ושל זוויות לא שוות‪ .‬יש להזכיר לתלמידים את משמעות‬
‫הסימנים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬לצורך חקירת ריצופים בהמשך‪ ,‬עוסקים במשימה זו במידה של זוויות‬
‫במצולעים משוכללים‪ .‬התלמידים אינם מכירים את הנוסחאות לחישוב סכום הזוויות במצולע‪,‬‬
‫ולכן הסכומים של הזוויות במצולעים משוכללים נתונים‪ .‬כדי לחשב את המידה של כל אחת‬
‫מהזוויות במצולע משוכלל צריך לחלק את הסכום של כל הזוויות במספר זוויות המצולע )כי כל‬
‫הזוויות שוות במידתן(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬על התלמידים לנמק מדוע כל אחד מהמצולעים הנתונים אינו משוכלל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬אפשר להשתמש בארבע רצועות או בכמות אחרת‪ .‬לדוגמה‪ ,‬אפשר לבנות‬
‫מרובע משוכלל )ריבוע( בעזרת ‪ 8‬רצועות‪ .‬אפשר להשתמש בגפרורים‪ ,‬בקיסמים או בכל אביזר‬
‫אחר המתאים לבנייה‪ .‬אפשר לבנות ריבוע גם משני גפרורים )כל צלע היא חצי גפרור(‪ .‬דונו עם‬
‫התלמידים בהצעותיהם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬רונית אינה צודקת‪ .‬ישנם אלכסונים מסוגים שונים‪.‬‬
‫אמנם בריבוע שני האלכסונים שווים באורכם‪ ,‬אך אם נתבונן באלכסונים במחומש‪ ,‬נראה כי יש‬
‫הבדל בין אלכסונים היוצאים מאותו קדקוד ומתחברים לקדקודים נגדיים שונים‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫הדבר בולט יותר במשושה משוכלל )כמודגם בציור(‪ .‬האלכסונים ‪ AB‬ו‪CD -‬‬
‫של המשושה יוצרים שתי צלעות נגדיות של מלבן ‪.ABCD‬‬
‫בתוך המלבן יש שני אלכסונים נוספים של המשושה‪ ,‬שהם גם אלכסוני המלבן‪.‬‬
‫אלכסונים אלה שונים באורכם מצלעות המלבן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬פאות הקובייה הן ריבועים‪ ,‬כלומר מרובעים משוכללים‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬המרובע הוא ריבוע שאורך צלעו ‪ 2‬ס"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬בבית‪-‬הספר היסודי התלמידים אינם עוסקים בבניות באופן מסודר‪ ,‬אך הם‬
‫בונים לעתים לפי אילוצים נתונים‪ .‬כדי לבנות משולש שווה‪-‬צלעות )משולש משוכלל( שאורך‬
‫צלעו ‪ 2‬ס"מ‪ ,‬מסרטטים קטע שאורכו ‪ 2‬ס"מ‪ ,‬לוקחים מד‪-‬זווית ובונים זווית של ‪ ,600‬כך‬
‫שהקטע המסורטט יהיה על אחת משוקי הזווית‪ .‬על השוק השנייה מקצים קטע באורך ‪ 2‬ס"מ‬
‫)קדקוד הזווית הוא הקצה של הקטע השני(‪ .‬מחברים בקטע את קצות הקטעים המסורטטים‬
‫שעדיין אינם מחוברים‪ .‬מתקבל משולש משוכלל‪ .‬הבדיקה‪ :‬מודדים את כל הזוויות )המידה של‬
‫כל זווית היא ‪ (600‬ומודדים את כל הצלעות )הן צריכות להיות באורך ‪ 2‬ס"מ(‪.‬‬
‫אפשר לבנות גם בעזרת מחוגה‪ :‬מסרטטים צלע שאורכה ‪ 2‬ס"מ‪ ,‬ובכל קצה של הקטע מניחים‬
‫מחוגה ומעבירים שתי קשתות בפתיחה של ‪ 2‬ס"מ‪ .‬נקודת המפגש של הקשתות היא הקדקוד‬
‫השלישי של המשולש‪.‬‬
‫‪266‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬במשימה זו משולבות מספר מיומנויות ונראה גיוון בדרך ההוראה‪ .‬זוהי‬
‫עבודה עצמית הכוללת גזירה ובנייה של משולשים‪ ,‬עבודה בקבוצות או במליאה לדיון ולהסקת‬
‫מסקנות‪.‬‬
‫התלמידים נדרשים לגזור מהנספח את המשולשים השונים ולבנות בעזרתם מצולעים‬
‫משוכללים‪.‬‬
‫להלן דוגמאות למצולעים משוכללים שאפשר לבנות מהמשולשים הנתונים‪.‬‬
‫אפשר לבנות ריבוע בעזרת שני משולשים ישרי‪-‬זווית ושווי‪-‬שוקיים או בעזרת ארבעה משולשים‬
‫או כך‪:‬‬
‫כאלה כך‪:‬‬
‫אפשר לבנות משולש שווה‪-‬צלעות בעזרת ארבעה משולשים שווי‪-‬צלעות‪ .‬כך‪:‬‬
‫כמו‪-‬כן אפשר לבנות מחומשים ומתומנים‪ .‬להלן הדוגמאות‪:‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :613‬ריצוף‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ד' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה מתחילים ללמוד את הנושא ריצוף‪.‬‬
‫המושג "ריצוף" מבוסס על המושג "חפיפה"‪ .‬יש להדגיש לתלמידים שלושה עקרונות של‬
‫ריצופים‪ :‬א( כל ריצוף מורכב מדגם מסוים החוזר על עצמו )דגם זה יכול להיות צורה אחת או‬
‫כמה צורות(; ב( כל ריצוף בנוי מהדגם על‪-‬ידי סיבוב או על‪-‬ידי הזזה או על‪-‬ידי שיקוף; ג(‬
‫בריצוף אין מרווחים בין הדגמים‪ ,‬ואין כיסוי חלקי של הדגמים‪.‬‬
‫בנושא זה שני סוגים עיקריים של משימות‪ (1 :‬בניית ריצוף לפי דגם נתון; ‪ (2‬ומציאת דגם‬
‫בריצוף נתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬הריצוף הפשוט ביותר הוא בדף משבצות‪ .‬הדגם הוא ריבוע )המשבצת(‪ .‬לכל‬
‫דגם צמודים שמונָה דגמים‪ .‬ג( כן‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :33 - 31‬על בסיס רשת משבצות אפשר ליצור מגוון דגמים‪ .‬חמישה מהם נתונים‬
‫במשימות אלו‪ .‬הציעו לתלמידים לצבוע את הריצופים כרצונם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬אפשר לקבל ריצוף בריבועים או במלבנים על‪-‬ידי כל אחת משלוש ההעתקות‬
‫האיזומטריות‪ .‬ריצוף במקביליות או במעוינים יכול להתקבל על‪-‬ידי שיקוף )סרטוט ‪ (1‬או על‪-‬‬
‫ידי הזזה )סרטוט ‪ .(2‬בריצוף במעוינים אפשר למצוא גם סיבוב וגם הזזה‪ .‬בריצוף במקביליות‬
‫יש גם דגמים שהתקבלו זה מזה בהזזה‪ ,‬אך אין בו סיבוב )סרטוט ‪ .(1‬ריצוף במשולשים או‬
‫באחת מהצורות שבמשימה ‪ 31‬מתקבל על‪-‬ידי שיקוף‪ ,‬ויש דגמים המתקבלים זה מזה על‪-‬ידי‬
‫הזזה או על‪-‬ידי סיבוב‪.‬‬
‫שימו לב‪ :‬הריצוף במעוינים‪ ,‬כמו בסרטוט ‪ 1‬באמצע‪ ,‬יכול להתקבל אם המידות של זוויות‬
‫המעוין הן ‪ 1200‬ו‪.600 -‬‬
‫סרטוט ‪2‬‬
‫סרטוט ‪1‬‬
‫‪267‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬זיהוי ריצוף‪ .‬א‪ .‬נכון‪ .‬ב‪ .‬לא‪-‬נכון‪ .‬ג‪ .‬נכון‪ .‬ד‪ .‬נכון‪ .‬ה‪ .‬לא‪-‬נכון ו‪ .‬נכון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬פיתוח מיומנות ציור‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :616‬ריצוף במצולעים משוכללים‬
‫בשיעור זה לומדים ריצוף במצולעים משוכללים‪ .‬אפשר לרצף שטח כאשר הדגם בנוי ממצולע‬
‫משוכלל אחד או מכמה מצולעים משוכללים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬כן‪ .‬במשימה זו ובמשימות הבאות התלמידים מתנסים תחילה בבניית ריצוף‬
‫)בעזרת מצולעים משוכללים גזורים או מוכנים( ולאחר מכן מציירים אותו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬התלמידים מתחילים לחקור את האפשרויות לבניית ריצופים‪ ,‬וכעת הם בונים‬
‫את ששת הריצופים הנחקרים‪ .‬בתום בנייה וציור מגיעים למסקנה שאפשר לרצף שטח‬
‫במשולשים משוכללים חופפים‪ ,‬במרובעים משוכללים חופפים או במשושים משוכללים‬
‫חופפים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :39‬ממשיכים בחקירה‪ .‬א( אפשר להשתמש בתוצאות ממשימה ‪ .16‬ג( סכום‬
‫הזוויות סביב כל קדקוד הוא ‪) 3600‬סיבוב שלם(‪ .‬ד( מספר הדגמים סביב אותו קדקוד שווה ל‪-‬‬
‫‪ 3600‬חלקי מידת הזווית של המצולע המשוכלל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬התלמידים סיימו את החקירה במשימות הקודמות‪ ,‬וכעת עליהם לענות על‬
‫השאלות לפי מסקנותיהם‪ .‬ז( ריצוף השטח אפשרי במשולשים משוכללים חופפים‪ ,‬במרובעים‬
‫משוכללים חופפים או במשושים משוכללים חופפים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :618‬יצירת ריצוף‬
‫בשיעור זה מלמדים את התלמידים לבנות דגם לריצוף על בסיס מצולע משוכלל )בשיעור זה‬
‫ריבוע( ולרצף את השטח בעזרתו‪ .‬בניית הדגם נעשית בשלבּים המפורטים בשיעור‪ .‬זוהי עבודה‬
‫יצירתית‪ ,‬ולתלמידים ניתנת אפשרות לפתח כישורים ולהראות את כשרונם ביצירת דגמים‬
‫לריצוף‪ .‬תוכלו לקשט את הכיתה בעבודות התלמידים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬אפשרות לדגם‪:‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬פעילות "חופשית"‪.‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪:619‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד בפרק‪ .‬שימו לב כי התנאי של שוויון צלעות של מצולעים‬
‫אינו מספיק לחפיפת המצולעים‪ ,‬פרט למשולשים‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמודים ‪625 - 620‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת תרגול של זיהוי של זוגות צורות חופפות‪.‬‬
‫א( חופפות‪ ,‬ב( לא חופפות‪ .‬ג( חופפות ד( לא חופפות‪ .‬ה( חופפות ו( חופפות‪.‬‬
‫הנחו את התלמידים להיעזר בהעתקת אחת הצורות על דף שקוף‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימת תרגול של ציור צורה חופפת לזו הנתונה‪ .‬אפשר להנחות את התלמידים‬
‫להיעזר בדף שקוף להעתקה או בנייר העתקה מיוחד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימת תרגול של זיהוי צלעות מתאימות במרובעים חופפים‪.‬‬
‫‪268‬‬
‫הצלעות ‪ AD‬ו‪ EH -‬הן צלעות מתאימות‪.‬‬
‫הצלע ‪ BC‬והצלע ‪ FG‬הן צלעות מתאימות‪.‬‬
‫הצלע ‪ AB‬מתאימה לצלע ‪.EF‬‬
‫הצלע ‪ CD‬מתאימה לצלע ‪.HG‬‬
‫הצלעות ‪ AD‬ו‪ HE -‬מתאימות‪ ,‬ולכן הן שוות באורכן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬א( הפעלת הזזה‪ ,‬שיקוף וסיבוב על הספרה ‪ 9‬הכתובה בשתי צורות שונות‪.‬‬
‫ב( אפשר לקבל את הספרה ‪ 6‬על‪-‬ידי סיבוב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬אי אפשר לבנות מעושר משוכלל שהמידה של אחת מזוויותיו היא ‪1550‬‬
‫ומידתן של יתר תשע הזוויות היא ‪ . 1350‬הדגישו במשימה זו‪ ,‬שבמצולע משוכלל כל הזוויות‬
‫שוות בגודלן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬אי‪-‬אפשר לבנות מתומן משוכלל שאורך אחת מצלעותיו הוא ‪ 2‬מ' ויתר הצלעות‬
‫אורכן ‪ 2‬ס"מ‪ .‬הדגישו במשימה זו‪ ,‬שבמצולע משוכלל כל הצלעות שוות באורכן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬רוני אינו צודק‪ .‬אלכסונים שווים אינם מהווים תנאי לקיומו של מצולע‬
‫משוכלל‪.‬‬
‫אכן במלבן האלכסונים שווים באורכם‪ ,‬אולם לא כל צלעות המלבן שוות באורכן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬משימת סרטוט של משושה משוכלל שאורך צלעו ‪ 2‬ס"מ‪ .‬הנחו את התלמידים‬
‫להיעזר בסרגל ובמד‪-‬זווית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימה זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה‪ .‬התלמידים נדרשים‬
‫לסרטט משולש משוכלל בעזרת המשושה המשוכלל הנתון‪.‬‬
‫אם נסרטט במשושה המשוכלל שני אלכסונים‪ ,‬נקבל שני משולשים משוכללים‪.‬‬
‫הנה כך‪:‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬משימת סרטוט של מגן‪-‬דוד הבנוי משני משולשים שווי‪-‬צלעות חופפים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬בריצוף על‪-‬ידי ריבועים ומשושים משוכללים חסרים משולשים שווי‪-‬צלעות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬משימת תרגול של השלמת ריצוף לפי דגם נתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬אפשר ליצור אין‪-‬סוף דגמים לריצוף‪ .‬אחת הדרכים ליצירת דגם היא לצייר‬
‫מלבן‪ ,‬לגזור ממנו חלק בצד אחד ולהעביר את החלק הגזור לצד השני‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬משימת תרגול נוספת לריצוף בעזרת ריבועים המחולקים לשני משולשים‬
‫ישרי‪-‬זווית ושווי‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫‪269‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬כדי לרצף שטח במשושים משוכללים נדרשים שלושה משושים סביב כל‬
‫קדקוד‪ .‬בכל קדקוד סכום הזוויות הוא ‪. 3600‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬המשושה מאפשר שימוש במעט דונג ליצירת מרחב אחסון מרבי‪ .‬הדבורים‬
‫מחפשות את הצורה החסכונית ביותר‪ ,‬שתהיה בעלת הנפח הגדול ביותר האפשרי‪ ,‬ותתאים‬
‫לאחסון הזחלים‪.‬‬
‫גוף הכוורת מורכב מפאונים הדבוקים זה לזה‪ .‬בסיס כל פאון הוא משושה משוכלל‪ ,‬כך שכל‬
‫הפאונים יחד מרכיבים גוף שהוא "ריצוף מרחבי"‪.‬‬
‫הצד השני של כל פאון נסגר על‪-‬ידי שלושה מעוינים היוצרים "גג"‪ .‬המידות של הזוויות בכל‬
‫מעוין הן ‪ 10928‬ו‪. 70 32 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬משימת תרגול של ריצוף משטח בעזרת שלושה מצולעים שונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬משימת תרגול נוספת של ריצוף לפי דגם נתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬משימת תרגול נוספת של ריצוף על רשת של נקודות לפי דגם נתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬התלמידים נדרשים למצוא את הדגם ולהשלים בעזרתו את הריצוף על רשת‬
‫נקודות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬א( אם משושה משוכלל נבנֶה בעזרת שישה משולשים משוכללים שאורך הצלע‬
‫של המשולש הוא שני ס"מ' היקף המשושה הוא ‪ 12‬ס"מ‪6 × 2 = 12 .‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬התלמידים נדרשים לצייר צורות לפי ההוראות‪.‬‬
‫בסעיף א' הצורה המתקבלת היא תמונת השיקוף של הספרה ‪.5‬‬
‫בסעיף ב' הצורה המתקבלת היא תמונת הזזה של הספרה ‪ ,5‬ארבעה צעדים ימינה וצעד אחד‬
‫למטה‪.‬‬
‫סעיף א'‬
‫סעיף ב'‬
‫בסעיף ד' הצורה היא תמונת הסיבוב סביב הנקודה ‪ O‬בזווית של ‪. 180 0‬‬
‫כמו בסעיף ב' אין שינוי כיוון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬א( בריצוף מצולעים סכום הזוויות בכל קדקוד הוא ‪. 360 0‬‬
‫בריצוף א' סכום הזוויות הוא ‪. 2 × 90 + 3 × 60 = 180 + 180 = 360 . 3600‬‬
‫‪270‬‬
‫סעיף ג'‬
‫שאלות מילוליות‪ ,‬עמוד ‪626‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬הקישוט של מיכל מורכב כולו מלבבות חופפים זה לזה‪ .‬כל הצורות שבקישוט‬
‫חופפות לצורה שבשבלונה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימה פתוחה‪ .‬התלמידים נדרשים לבחור שבלונה של אות כלשהי ולצייר‬
‫אותה ארבע פעמים‪ .‬האותיות המתקבלות זו מזו בהעתקה חופפות זו לזו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬לאחר העתקת הציור על גבי דף שקוף והעתקתו מחדש נוצרת צורות חופפות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימה פתוחה‪ .‬על התלמידים לפתח בעצמם שיטה לסרטוט צורות חופפות‪.‬‬
‫קיימות שיטות שונות לסרטוט צורות חופפות‪ ,‬חלקן מוכרות יותר וחלקן פחות‪ .‬דוגמה‪ :‬שימוש‬
‫בעזרת חותמות‪ ,‬שימוש בנייר העתקה וכדומה‪.‬‬
‫יישומים באמנות‪ ,‬עמוד ‪627‬‬
‫הריצוף נפוץ מאוד באמנות‪ ,‬וכאן מוזכרים ריצופים של ֶא ֶשר וגם ריצופים בארכיטקטורה‪.‬‬
‫אפשר לבקש מתלמידים שיביעו עניין בנושא‪ ,‬להכין הרצאה קצרה על אשר )‪ ,(ESHER‬אמן‬
‫שיצר ריצופים מקוריים מיוחדים‪ ,‬ולהדגים את יצירותיו בהרצאה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬ריצוף זה נעשה בדגם המורכב מארבעה מצולעים משוכללים‪ :‬משושה‪ ,‬משולש‬
‫ושני ריבועים חופפים‪) .‬שימו לב שצלעות כל המצולעים שוות באורכן‪ (.‬אם התלמידים‬
‫מתקשים‪ ,‬יש להדריך אותם להכין את הצורות )משושה משוכלל‪ ,‬משולש משוכלל וריבוע(‬
‫מקרטון או מבריסטול ולהיעזר בהן לסרטוט הריצוף‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬הדגם במשימה זו בנוי על בסיס משושה‪ .‬התלמידים צריכים לזהות את הדגם‬
‫ואת שלבּי הבנייה שלוֹ‪.‬‬
‫‪271‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪628‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬פירוט הדרכים ליצירת ריצוף על‪-‬ידי גזירת חלק מציור בצד אחד של מקבילית‬
‫והעברתו לצד השני‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימת ישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימת ישום‪.‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪629‬‬
‫התלמידים חוזרים על הנושאים‪ :‬הפיכת שבר למספר עשרוני‪ ,‬תיחום‪ ,‬שטח והיקף של משולש‪.‬‬
‫נספח להטמעה א'‬
‫ב‬
‫א‬
‫ד‬
‫ג‬
‫‪272‬‬
‫נספח לפעילות הגילוי א'‬
‫‪273‬‬