1 - 26 םידומע ציר המספרים : עולם המספרים .א

‫עמודים ‪26 - 1‬‬
‫א‪ .‬עולם המספרים‪ :‬ציר המספרים‬
‫רקע‬
‫הפרק "עולם המספרים" פותח את תכנית הלימודים של כיתה ו'‪ .‬פרק זה מיועד לחזרה ולהבנת‬
‫הקשר בין מערכות המספרים השונות שנלמדו בשנים הקודמות‪ :‬המספרים הטבעיים‪ ,‬השברים‬
‫הפשוטים‪ ,‬המספרים העשרוניים והמספרים המכוונים‪ .‬נחזור בפרק על השיטה העשרונית ונדגיש‬
‫כי במבנה העשרוני ערך של ספרה במספר תלוי במיקום שלה‪.‬‬
‫נחזור בפרק על השוואה בין מספרים טבעיים‪ ,‬נתחום את המספרים ונעגל אותם‪.‬‬
‫ציר המספרים הוא אחת הדמויות המנטליות היעילות ביותר לייצוג מספרים‪ .‬אפשר לייצג בו את‬
‫כל סוגי המספרים )כולל המספרים שהתלמידים עדיין לא הכירו( ואת הסדר שביניהם‪ .‬כמו‪-‬כן‬
‫באמצעותו אפשר לייצג את פעולות החיבור‪ ,‬החיסור והכפל בשלם‪ .‬במקרים רבים הוא גם מהווה‬
‫כלי להצגת נתונים והכנה לשימוש מושכל במערכת צירים‪.‬‬
‫ציר המספרים מוגדר על‪-‬ידי קטע יחידה‪ ,‬נקודה וכיוון חיובי‪ .‬הגדרה כזו מקלה את תפיסת‬
‫המושג הראשונית‪ .‬עם זאת גם קביעת שתי נקודות מספיקה להגדרתו של ציר מספרים‪ .‬יש‬
‫הסכמות מסוימות לגבי ציר המספרים‪ :‬א( החץ נמצא בצד של המספר הגדול יותר‪ ,‬ב( את קטע‬
‫היחידה מוצאים על‪-‬ידי חלוקת הקטע שקצותיו הם שני מספרים נתונים במספר השווה לאורך‬
‫קטע זה‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬בציר שלפניכם מחלקים את הקטע שקצותיו הם המספרים ‪ 5‬ו‪ ,8 -‬באורכו‪ ,‬כלומר‬
‫מחלקים אותו לשלושה חלקים שווים‪ .‬כל אחד משלושת החלקים שהתקבלו מייצג קטע יחידה‪,‬‬
‫ואורכו הוא אורך קטע היחידה‪.‬‬
‫קטע היחידה קטע היחידה קטע היחידה‬
‫ציר נתון‬
‫‪5‬‬
‫‪8‬‬
‫חשוב שהתלמידים יבינו מספר עקרונות בסיסיים המובאים להלן‪.‬‬
‫• ציר המספרים הוא ישר‪ ,‬ולכן הוא אין‪-‬סופי‪ ,‬אף‪-‬על‪-‬פי שבפועל מסרטטים רק חלק ממנו‪.‬‬
‫• קביעת שתי נקודות מובילה לקביעת קטע היחידה והכיוון‪.‬‬
‫• סימון המספר ‪ 0‬אינו הכרחי‪ .‬קיים הבדל בין אורך קטע היחידה לבין החלוקה "בפועל" של‬
‫‪1‬‬
‫הציר‪ .‬אפשר לייצג שברים קטנים מ‪ -‬על חלק של הציר‪ ,‬ולא תמיד נכתבת הנקודה‬
‫‪2‬‬
‫המייצגת את כל המספרים‪ .‬לדוגמה‪ ,‬בקטע שאורכו ‪ 20‬סנטימטר‪ ,‬המחולק ל‪ 20 -‬חלקים‪,‬‬
‫אורך קטע היחידה יכול להיות ‪ 40‬ס"מ גם אם בפועל לא "רואים" את הנקודה המייצגת את‬
‫המספר ‪.1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫• קביעת המאפיינים של הציר וחלוקתו משפיעים על מידת התאמתו למצב שהוא מתאר‪.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬אפשר לחלק קטע קצר למאות )על הציר יירשמו הנקודות ‪ 200 ,100 ,0‬וכן הלאה(‪.‬‬
‫במקרה זה הקטע ייצג הרבה מספרים‪ ,‬למשל ‪ 2 ,58 ,290 ,453‬אבל הוא לא "יעביר את‬
‫התחושה" של המרחק בין המספרים‪ .‬לעומת זאת חלוקת הציר לעשרות שלמות אפשר להציג‬
‫מספרים רבים וגם "לחוש" טוב יותר את המרחק בין המספרים‪.‬‬
‫הערה‪ :‬על מנת לחסוך זמן‪ ,‬עבור כמה מהמשימות העוסקות בציר המספרים הצירים ניתנו צירי‬
‫מספרים בנספח‪ .‬לחיסכון בזמן אפשר לבצע בעל‪-‬פה משימות מהסוג "מהם המספרים החסרים"‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬לזהות ציר מספרים;‬
‫‪1‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫לבנות ציר מספרים;‬
‫למקם מספר על ציר המספרים כאשר נתונים שני מספרים;‬
‫לזהות את אורך קטע היחידה;‬
‫למקם מספר על ציר המספרים כאשר נתונים נקודה ואורך קטע היחידה;‬
‫לבנות ציר מספרים בהתאם לנתונים‪.‬‬
‫מושגים‬
‫ציר מספרים‪ ,‬קטע יחידה‪ ,‬כיוון חיובי‪ ,‬נקודה‪ ,‬שיעורי הנקודה‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫סרט מידה שבחומרי ההמחשה של כיתות ד' ו‪ -‬ה'‪ ,‬חוט‪ ,‬סיכות משרד או אטבי כביסה‪ ,‬כרטיסיות‬
‫או דפים מסוג ‪ A4‬מחולקים לארבעה חלקים‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על ספירה בעשרות ובמאות שלמות‪.‬‬
‫אחד התלמידים )או המורה( אומר כפולה של ‪ ,10‬תלמיד אחר אומר כפולה גדולה יותר של ‪ .10‬כך‬
‫נקבּע ההפרש הקבוע בסדרה‪ .‬עשרה תלמידים אחרים ממשיכים את הסדרה בזה אחר זה‪.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬המספר הראשון הוא ‪ ,30‬והמספר השני הוא ‪ ,50‬לפיכך ההפרש הוא ‪ ,20‬לכן המספר‬
‫השלישי יהיה ‪ 70‬וכן הלאה‪ .‬ממשיכים בפעילות דומה בכפולות של ‪ 100‬ושל ‪.1,000‬‬
‫ב‪ .‬חזרה בעל‪-‬פה על חילוק במסגרת ה‪.100 -‬‬
‫‪16 8 27 81 81 38 100‬‬
‫‪, , , , , ,‬‬
‫התלמידים מתבקשים לפתור תרגילים כמו‪:‬‬
‫‪2 2 3 9 3 2 5‬‬
‫רמת הכיתה‪ .‬חשוב לחזור על חילוק בתחום לוח הכפל וגם מעבר לו‪.‬‬
‫‪ .‬התרגילים נבחרים לפי‬
‫ג‪ .‬חזרה על חלק משלם‪.‬‬
‫שאלה‪ :‬אורך הקטע ‪10‬הוא עשרה סנטימטרים‪ .‬מהו האורך של עשירית מהקטע בסנטימטרים?‬
‫שאלה‪ :‬שישית ממספר המכוניות היא ‪ 2‬מכוניות‪ .‬כמה מכוניות הם שתי שישיות? שלוש שישיות?‬
‫כמה מכוניות יש בסך הכול?‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫שאלה‪ :‬כמה הם תפוחים‪ ,‬אם ידוע ש‪ -‬תפוחים הם ‪ 20‬תפוחים?‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫יש להתאים את השאלות לרמת התלמידים‪.‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬בקבוצות או במליאה‪.‬‬
‫‪4 1 3 1‬‬
‫כותבים מספרים על הלוח‪ ,‬לדוגמה‪.8 ,37 ,0.42 ,5.80 , − , , ,3 ,-3,000 ,-9 ,1,000 ,7 :‬‬
‫‪5 2 4 2‬‬
‫מבקשים מהתלמידים שיתנו דוגמאות של שימוש בחיי היום‪-‬יום במספרים אלה‪ .‬אחר‪-‬כך‬
‫שואלים "למה טוב שיש שברים‪ ,‬מספרים עשרוניים?" או "מה אפשר לעשות בשברים ובמספרים‬
‫שליליים שאי‪-‬אפשר לעשות במספרים טבעיים?"‬
‫אם הרעיון ש"אי‪-‬אפשר לחשב כל חיסור וכל חילוק" אינו עולה בדיון‪ ,‬המורה תשאל את‬
‫התלמידים‪" :‬כמה זה ‪" ,"?8-6‬כמה זה ‪"?12:5‬‬
‫פעילות ב‪ :‬מטרת הפעילות היא להעלות למודעות של התלמידים את מרכיבי הציר‪ :‬נקודה‪ ,‬כיוון‪,‬‬
‫יחידה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫המורה תולה חוט בין שני כיסאות או על הלוח )בגובה של הילדים( ומודיעה שזהו ציר המספרים‪.‬‬
‫היא מחלקת כרטיסיות )או רבעים מנייר ‪ (A4‬לכל אחד מהתלמידים ומבקשת מהם לכתוב על‬
‫הכרטיס מספר שלם קטן מ‪ .100 -‬אפשר לנהל את הפעילות באופן שסידור התלמידים עצמם‬
‫בשורה יוצר את הציר או כאשר הם תולים את המספרים על החוט‪.‬‬
‫בוחרים שלושה תלמידים‪ .‬התלמיד הראשון עומד מול הכיתה‪ .‬הוא מציג את המספר שלו ותולה‬
‫אותו על החוט‪ .‬כעת המורה מבקשת מהתלמיד השני למקם את הכרטיס שלו על החוט ביחס‬
‫למספר הראשון‪ ,‬וכך היא מבקשת גם מהתלמיד השלישי‪ .‬לדוגמה‪ ,‬התלמיד הראשון ממקם את‬
‫המספר ‪ ,17‬והתלמיד השני ממקם את המספר ‪ 60‬מימין לכרטיס הראשון במרחק של מטר בערך‪:‬‬
‫השלישי צריך למקם את המספר ‪ .70‬עליו לקחת בחשבון שני נתונים‪:‬‬
‫הכיוון‪ 70 :‬הוא מימין ל‪ ,60 -‬כי שני התלמידים הראשונים קבעו שהמספרים גדלים ימינה‪.‬‬
‫המרחק בין המספרים‪ :‬שני התלמידים הראשונים קבעו גם את אורך קטע היחידה‪ ,‬לכן המרחק‬
‫בין המספר ‪ 70‬לבין המספר ‪ 60‬הוא בערך ‪ 25‬ס"מ‪.‬‬
‫בשלב הזה חשוב לדון בשאלה‪" :‬מה היה קורה אילו התלמיד השני היה תולה את המספר ‪60‬‬
‫משמאל ל‪"?17 -‬‬
‫פעילות ג‪ :‬התלמידים עובדים בצירים ממוספרים‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪20‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-10‬‬
‫‪200‬‬
‫‪100‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2000‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪0‬‬
‫‪20,000‬‬
‫‪10,000‬‬
‫‪0‬‬
‫בכל אחד מהצירים‪ .‬מומלץ לדון‬
‫לפני ההפעלה מבררים בדיון קצר מה מייצג אורך הקטע‬
‫בזה בסוף הפעילות‪.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים למקם על כל אחד מהצירים את המספרים )או מספרים מסוג זה(‪;-2 ;-15 :‬‬
‫‪4 1‬‬
‫; ; ‪.31,000 ;15,000 ;7,300 ;3,100 ;1,500 ;730 ;310 ;170 ;73 ;31 ;15 ;9‬‬
‫‪5 4‬‬
‫בדיון מעלים את הקשיים‪:‬‬
‫• אי‪-‬אפשר למקם את כל המספרים על אותו ציר‪ .‬מדוע?‬
‫• מה "רואים"? מה "לא רואים"?‬
‫• מהו ההבדל בין הצירים?‬
‫• באיזה ציר אורך קטע היחידה הוא הגדול ביותר? הקטן ביותר? איך יודעים?‬
‫• מהם היתרונות והחסרונות של כל אחד מהצירים?‬
‫פעילות ד‪ :‬כמו פעילות ג'‪ ,‬אך הפעם התלמידים מתבקשים למקם את המספרים על הציר‬
‫המתאים ביותר‪.‬‬
‫פעילות ה‪ :‬התלמידים עובדים בצירים לא‪-‬ממוספרים‪.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים לבנות צירים מתאימים לכל סדרה וסדרה )בכל ציר צריך להציג את כל‬
‫המספרים שבסדרה(‪.‬‬
‫‪140 ,130 ,100 ,20 ,15 ,5‬‬
‫‪750 ,600 ,130 ,100 ,20 ,15 ,5‬‬
‫‪8,500 ,750,6,000 ,600 ,130 ,100 ,20 ,15 ,5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪280 ,261 ,258 ,272 ,274 ,268 ,263‬‬
‫פעילות ו‪ :‬מציגים את שקף הנתונים שבנספח )שנות גילוי של כמה המצאות חשובות‪ ,‬אוכלוסיית‬
‫ארצות שונות ב‪) 2002 -‬עיגול לאלף הקרוב(‪.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים להציג את הנתונים על ציר המספרים‪ .‬דנים בדרך לקביעת נקודות הייחוס‪,‬‬
‫אורך היחידה‪ ,‬מיקום בערך או בדיוק ובשיטות מיקום‪.‬‬
‫הספר לתלמיד‬
‫"לעלות על הגל"‬
‫האם אנו מוכנים?‬
‫‪ (1‬א ;‬
‫‪ (2‬א; ‪ (3‬ג ; ‪ (4‬ב ; ‪ (5‬ב; ‪ (6‬א‪ ,‬ג‪ ,‬ה‪ (8 ; − 3,000 , + 4,050 (7 ; ,‬ד‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :2‬השיטה העשרונית‬
‫המספרים שאנו משתמשים בהם בחיי היום‪-‬יום‪ ,‬כתובים על‪-‬פי השיטה העשרונית‪ .‬בשיטה‪,‬‬
‫המקום של הספרה במספר קובע את הערך שלה‪.‬‬
‫טבלת המבנה העשרוני מייצגת היטב את השיטה העשרונית ומסייעת בקריאת המספר ובכתיבתו‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫מחלקת המיליונים‬
‫מחלקת האלפים‬
‫מחלקת היחידות‬
‫מאות‬
‫יחידות עשרות‬
‫מאות‬
‫יחידות עשרות‬
‫מאות‬
‫עשרות‬
‫יחידות‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫המספר הכתוב בטבלה בשורה העליונה הוא המספר תשעים ושמו ָנה מיליון‪ ,‬מאתיים שמונים‬
‫וארבעה אלף‪ ,‬חמש מאות ושבע‪.‬‬
‫אפשר לפלג מספר טבעי לפי המבנה העשרוני‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬נפלג את המספר ‪ 45,768‬לפי המבנה העשרוני‪:‬‬
‫‪45,768 = 4 × 10,000 + 5 × 1,000 + 7 × 100 + 6 × 10 + 8 × 1‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬במשימה זו התלמידים נדרשים לכתוב את המספרים במילים‪.‬‬
‫א( ארבעת אלפים חמש מאות שלושים ושמו ֶנה‪.‬‬
‫ב( שלושים אלף ושמו ֶנה‪.‬‬
‫ג( ארבע מאות ושמונים אלף‪ ,‬חמש מאות תשעים ושתיים‪.‬‬
‫ד( מיליון‪ ,‬חמש מאות שלושים וארבעה אלף‪ ,‬שמו ֶנה מאות תשעים וחמש‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬התלמידים נדרשים לכתוב את המספרים בספרות‪.‬‬
‫א( ‪ 2,005‬ב( ‪ 38,001‬ג( ‪ 1,000,000‬ד( ‪ 400,095‬ה( ‪ 1,000,000,008‬ו( ‪30,080,000‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬התלמידים למדו בשיעור כי בשיטה העשרונית‪ ,‬המקום של הספרה במספר קובע‬
‫את הערך שלה‪ .‬במשימה זו גם מתרגלים את הנושא‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימה זו מורכבת משני שלבים‪ .‬התלמידים צריכים לכתוב את ערכה של כל‬
‫ספרה במספר הנתון ולפלג אותו לפי המבנה העשרוני‪ ,‬הנה כך‪:‬‬
‫‪459,708 = 4 × 100,000 + 5 × 10,000 + 9 × 1,000 + 7 × 100 + 8 × 1‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :3‬השוואה בין מספרים טבעיים‬
‫כדי להשוות בין מספרים טבעיים מתבוננים בספרות של המספרים‪.‬‬
‫מספר טבעי גדול יותר ממספר טבעי אחר‪ ,‬אם יש לו יותר ספרות מאשר לאחר‪.‬‬
‫אם לשני מספרים טבעיים יש אותו מספר של ספרות‪ ,‬משווים בין הספרות שמיקומן זהה )בין‬
‫אלפים לאלפים‪ ,‬בין מאות למאות וכדומה(‪ .‬מתחילים את ההשוואה משמאל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬משימת יישום של השיעור‪ .‬השוואה בין מספרים טבעיים‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬סידור המספרים מהקטן לגדול הוא למעשה אחת המיומנויות של השוואה בין‬
‫מספרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬התלמידים נדרשים לכתוב בעזרת ארבע הספרות הנתונות את המספר בגדול‬
‫ביותר ואת המספר הקטן ביותר‪ .‬א( ‪ 9,783‬ב( ‪ 3,679‬ג(הנחו את התלמידים למצוא את כל‬
‫המספרים שאפשר לכתוב בעזרת ארבע ספרות‪ ,‬בעזרת כתיבה שיטתית של המספרים‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬נקבּע תחילה כי הספרה ‪ 3‬היא ספרת האלפים‪ .‬המספרים שאפשר לכתוב הם‬
‫‪ .3,976 ; 3,967 ; 3,796 ; 3,769 ; 3,679 ; 3,697‬אפשר לראות כי אפשר לכתוב שישה‬
‫מספרים שונים כאשר ‪ 3‬הוא ספרת האלפים‪ .‬באותו אופן הציב את הספרה ‪ 6‬או ‪ 7‬או ‪ 9‬במקום‬
‫ספרת האלפים ונכתוב שישה מספרים שונים נוספים‪ .‬וכן הלאה‪ .‬למעשה אפשר לכתוב ‪6 × 4‬‬
‫מספרים שונים‪ ,‬כלומר ‪ 24‬מספרים‪ .‬אפשר להראות את האפשרויות השונות בעזרת דיאגרמת‬
‫ענפים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :4‬תיחום ועיגול של מספר‬
‫תיחום ועיגול של מספרים הם כלים חשובים לביצוע אמדן‪ ,‬בעיקר כשמדובר במספרים גדולים‪.‬‬
‫בחיי היום‪-‬יום לעתים קרובות אין חשיבות גדולה למספר המדויק‪ .‬לדוגמה כאשר מדברים על‬
‫ייבוא מכוניות‪ ,‬אפשר לעגל את המספרים של המכוניות המיובאות או את מחירם לעשרות אלפים‬
‫או לאלפים‪.‬‬
‫מציאת מספר )כמות( האלפים‪ ,‬המאות‪ ,‬העשרות או היחידות במספר קשה לחלק מתלמידי‬
‫הכיתה‪.‬‬
‫התלמידים לומדים בקטע שיעור זה כי אפשר לתחום כל מספר בין מספרים שהם עשרות שלמות‪,‬‬
‫מאות שלמות‪ ,‬אלפים שלמים וכדומה‪.‬‬
‫כמו‪-‬כן אפשר לעגל כל מספר לעשרות‪ ,‬למאות‪ ,‬לאלפים וכדומה‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬נתון המספר ‪.45,821‬‬
‫נעגל את המספר לעשרות‪45,821 ≈ 45,820 :‬‬
‫נעגל את המספר לאלפים‪45,821 ≈ 46,000 :‬‬
‫הזכירו לתלמידים את אופן עיגול המספרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬משימת יישום של פילוג המספר לפי המבנה העשרוני‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬תרגול של כמות היחידות‪ ,‬העשרות‪ ,‬המאות והאלפים במספר‪ .‬א( ‪ 34,905‬יחידות‬
‫ב( ‪ 3,490‬עשרות ג( ‪ 349‬מאות במספר ד( ‪ 34‬אלפים במספר‬
‫משימה מס' ‪ :10‬משימת יישום של תיחום המספרים הנתונים בין אלפים שלמים עוקבים שאפשר‬
‫ב( ‪23,000 < 23,894 < 24,000‬‬
‫לבצע בעל‪-‬פה‪48,000 < 48.005 < 49,000 .‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬משימת יישום של עיגול המספרים למאות אלפים‪.‬‬
‫א( ‪ 345,059 ≈ 300,000‬ב( ‪141,309 ≈ 100,000‬‬
‫ג( ‪1,374,008 ≈ 1,400,000‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :5‬מספרים מכוונים‬
‫המספרים המכוונים הם המספרים החיוביים‪ ,‬השליליים ואפס‪ .‬המספרים החיוביים הם‬
‫המספרים הגדולים מאפס‪ ,‬ומסמנים אותם בפלוס )‪ ,(+‬לדוגמה‪ (+7) :‬פלוס שבע‪.‬‬
‫המספרים השליליים הם המספרים הקטנים מאפס‪ ,‬וּמסמנים אותם במינוס )‪ .(-‬לדוגמה‪(-5) :‬‬
‫מינוס ‪.5‬‬
‫משתמשים במספרים המכוונים בתחומים רבים בחיים‪ :‬טמפרטורה‪ ,‬גובה ביחס לפני הים‪ ,‬קומות‬
‫בבניין‪ ,‬יתרת חובה ויתרת זכות בבנק ועוד‪.‬‬
‫ציר המספרים הוא ישר המכיל את המספרים החיוביים‪ ,‬השליליים ואפס‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬משימת יישום להשלמת ציר המספרים במספרים החסרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬בסידור המספרים על התלמידים להשוות בין המספרים‪ .‬כדאי להדגיש כי כל‬
‫מספר חיובי גדול מכל מספר שלילי‪ .‬אם נעזרים בציר המספרים‪ ,‬אפשר לומר כי המספרים גדלים‬
‫בכיוון החץ המציין את הכיוון החיובי של הציר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬משימה פתוחה‪ .‬התלמידים נדרשים למצוא מספרים שונים‪ ,‬כך שיתקבלו אי‪-‬‬
‫שוויונות נכונים‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬תרגום ממילים למספרים מכוונים שאפשר גם לבצע בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫א( ‪ +588‬ב( ‪-400‬‬
‫שיעורי הקניה‬
‫אפשר לייצג את ציר המספרים )בחלק מהתרגילים( על‪-‬ידי חבל‪-‬כביסה‪ ,‬אטבים וכרטיסים‪) .‬ראו‬
‫הצעה לפעילות גילוי ב'(‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :6‬סוגי מספרים‬
‫בשיעור זה חוזרים על קבוצות המספרים שהתלמידים כבר הכירו בכיתות הקודמות‪ ,‬אך הפעם‬
‫הרמה גבוהה יותר‪ ,‬כלומר מכלילים את הידע הנרכש‪ .‬מדובר בקבוצת המספרים השלמים‪,‬‬
‫בשברים ובמספרים עשרוניים‪ .‬בשיעור מוסבר הצורך בכל אחת מקבוצות המספרים‪ .‬את עולם‬
‫המספרים הכירו התלמידים דרך המספרים הטבעיים )מספרי המנייה(‪ ,‬אחר‪-‬כך הכירו את קבוצת‬
‫המספרים השלמים )כלומר את המספר ‪ 0‬ואת המספרים הנגדיים לטבעיים(‪.‬‬
‫פעולת החיסור אינה "סגורה" לגבי המספרים הטבעיים )לדוגמה ‪ ,(16-12 ,8-8‬ולכן קל לראות דרך‬
‫פעולת החיסור את הרחבת עולם המספרים השלמים‪ .‬כמו‪-‬כן פעולת החילוק אינה "סגורה" לגבי‬
‫המספרים הטבעיים )לדוגמה ‪ .(5:6‬כך הורחב עולם המספרים הטבעיים למספרים הרציונליים‪.‬‬
‫בלי להשתמש במונח "המספרים הרציונליים" הכירו התלמידים את השברים‪ .‬המספרים‬
‫העשרוניים הם ייצוג נוסף לשברים שהמכנה שלהם הוא חזקה של ‪ .10‬בכתיבת המספרים האלה‬
‫פועלים עקרונות המבנה העשרוני של המספרים הטבעיים‪ ,‬ולכן לעתים אפשר להקל את‬
‫החישובים וגם לראות את המבנה העשרוני בשלמותו‪ .‬שימו לב‪ :‬איננו מחדשים לתלמידים את‬
‫קבוצות המספרים‪ ,‬אלא "מארגנים" את הידע שהם כבר רכשו‪ ,‬ובונים קשרים עמוקים יותר בין‬
‫קבוצות המספרים השונות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬א( חשוב לדון עם התלמידים במיונים שלהם‪ .‬דוגמה למיון‪ :‬מספרים שליליים‪,‬‬
‫מספרים חיוביים ו‪ .0 -‬דוגמה נוספת‪ :‬מספרים עשרוניים ומספרים לא עשרוניים‪.‬‬
‫ב( התלמידים נדרשים למצוא דוגמאות לשימושים במספרים‪ .‬דוגמה‪ :‬משתמשים במספר ‪0‬‬
‫ובמספרים שליליים בטמפרטורה‪ ,‬בייצוג של מצב חשבון בנק או בנתונים על גובה פני הים‪.‬‬
‫במספרים חיוביים משתמשים לכמויות‪ ,‬משקל‪ ,‬אורך‪ ,‬נפח וכדומה‪ .‬בשברים הקטנים מ‪,1-‬‬
‫משתמשים לכל הקשור לחלוקת היחידה‪ .‬במספרים עשרוניים משתמשים בעיקר למדידות‪,‬‬
‫גדלים‪ ,‬מחירים וכדומה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬הבחנה בין מספר חיובי למספר שלילי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬חשוב שהתלמידים יבינו שאפשר לכתוב מספר טבעי בשיטה העשרונית‪ ,‬למשל‬
‫‪0‬‬
‫כך‪ .3= 3.0 :‬א( ‪ 0 = = 0.0‬שימו לב‪ ,‬התלמידים יכולים לכתוב גם שבר שמכנהו שונה מ‪,1-‬‬
‫‪1‬‬
‫ובלבד שיהא שונה מאפס‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬המשימה עוסקת ביחסי הכללה‪ .‬אפשר לכתוב כל מספר טבעי כשבר וכל מספר‬
‫שלם כמספר עשרוני‪ .‬לדוגמה ‪.-2 = -2.0‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬השוואה בין מספרים שאפשר גם לבצע בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫‪2 > 0.2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪12‬‬
‫‪4‬‬
‫=‪3‬‬
‫‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫<‪0‬‬
‫‪,‬‬
‫‪− 2 < 0.2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪−3<0‬‬
‫‪,‬‬
‫‪1 1‬‬
‫< ‪−‬‬
‫‪2 2‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬המספרים בסעיפים א ו‪ -‬ב גדולים מאפס‪ ,‬ואילו המספרים בסעיפים ב ו‪ -‬ג קטנים‬
‫מאפס‪ .‬אפשר לבצע את המשימה בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬משימה פתוחה שאפשר גם לבצע בעל‪-‬פה‪ .‬התלמידים נדרשים לכתוב מספר‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫המתאים לתיאור שבכל סעיף‪ .‬דוגמאות‪ :‬א( ‪ 0.9‬ב( ‪ −‬ג( ‪ 98,000‬ד( ‪ − 0.6‬ה( ‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬המספר ‪ -2‬קטן מ‪ .0 -‬מספרים קטנים מ‪ 0 -‬נקראים "מספרים שליליים"‪ .‬כל‬
‫מספר חיובי גדול מכל מספר שלילי‪ .‬התשובות המתאימות לסעיפים א' עד ג' ‪ :‬א( נכון; ב( לא נכון;‬
‫ג( נכון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬מיון מספרים לפי אילוצים‪ .‬שימו לב מספר יכול להופיע בשני טורים‪ :‬מספרים‬
‫עשרוניים גדולים מ‪ -1 -‬וגם מספרים עשרוניים גדולים מ‪ .2 -‬דוגמאות למספרים כאלה הן‬
‫המספרים ‪ 3‬ו‪.5.7 -‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :9‬ציר המספרים‬
‫בשיעור זה מסכמים את הנלמד קודם לכן על ציר המספרים‪ .‬חשוב להדגיש שציר המספרים )או‬
‫ישר המספרים( יכול להיות מסורטט בכיוון כלשהו על המישור )כלומר על הדף(‪" .‬כיוון הישר"‬
‫הוא דבר שרירותי ונבחר על‪-‬ידי המסרטט‪ .‬לאחר סרטוט הישר בוחרים נקודת התייחסות )לאו‬
‫דווקא ‪ ,(0‬קטע יחידה וכיוון הגדלת המספרים )הכיוון החיובי(‪ .‬כך נקבע ציר המספרים‪ .‬לעתים‬
‫קרובות בוחרים לסרטט את הציר במקביל לשוליים העליונים והתחתונים של הדף‪ ,‬כלומר בכיוון‬
‫האופקי‪ ,‬ועליו בוחרים את הכיוון החיובי בצד ימין‪ ,‬כלומר המספרים גדלים משמאל לימין‪ .‬שימו‬
‫לב שכלל ההשוואה בין המספרים )"המספר הגדול יותר הוא זה שנמצא ימינה יותר על הציר"(‬
‫רלוונטי רק לציר המסורטט בכיוון האופקי כשהחץ בצד ימין‪ .‬מדי פעם מציירים את ציר‬
‫המספרים בכיוון "מאונך"‪ ,‬והמספרים גדלים מלמטה למעלה‪ .‬חשוב שהתלמידים יכירו צירים‬
‫שונים וידעו לסרטט ציר בהתאם למשימה‪ .‬הסבו את תשומת לב התלמידים לכך שציר המספרים‬
‫הוא ישר‪ ,‬וכמו כל ישר אין לו סוף ואין לו התחלה‪ ,‬ולכן הציר אינו נגמר בחץ‪ .‬גם למספרים אין‬
‫סוף ואין התחלה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬בכל אחד מהסרטוטים צריך לקבוע אם קיימים כל הנתונים לקביעת ציר‬
‫המספרים‪ .‬דוגמאות‪ :‬בסעיף א' חסרה נקודה‪ ,‬וחסר קטע יחידה‪ .‬בסעיף ג חסר החץ המציין את‬
‫הכיוון החיובי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬משימת יישום של סימון החץ במקום המתאים על הצירים‪ .‬החץ מציין את‬
‫הכיוון החיובי‪ ,‬כלומר את כיוון הגדילה של המספרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬התלמידים נדרשים למצוא את הטעות שבכל אחד מצירי המספרים‬
‫המסורטטים‪ .‬בסעיף א'‪ ,‬המרחק בין השנתות אינו קבוע וזוהי הטעות‪ ,‬שכן קטעי היחידה צריכים‬
‫להיות שווים באורכם‪ .‬בסעיף ב' הטעות היא במיקומו של החץ‪ .‬המספר ‪ -3‬קטן מהמספר ‪.-1‬‬
‫‪1‬‬
‫בסעיף ג' הטעות היא במיקומו של החץ‪ ,‬שכן ‪. > 0‬‬
‫‪2‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬במשימה זו התלמידים קובעים ארבעה צירים שונים‪ ,‬ולכן גם המספרים שצריך‬
‫לסמן אחרי קביעת הציר ייראו "במקומות שונים"‪ .‬נוסף על קטע היחידה התלמידים צריכים‬
‫לקבוע נקודת התייחסות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬כן‪ .‬קטע היחידה יכול להיות באורך כלשהו‪ .‬אך במקרה זה אי‪-‬אפשר לראות‬
‫‪1‬‬
‫אותו על הדף‪ .‬עם זאת אפשר לסמן שתי נקודות‪ ,‬למשל ‪ 0‬ו‪ -‬במרחק של ‪ 10‬ס"מ ‪ -‬ולראות אותן‬
‫‪4‬‬
‫על הדף‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬קטע יחידה יכול להימדד ביחידות שונות‪ :‬במשבצות‪ ,‬בסנטימטרים‪,‬‬
‫במילימטרים וכדומה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬על התלמידים למקם את המספרים הנתונים על ציר המספרים הנתון‪ .‬אורך‬
‫קטע היחידה הוא שלוש משבצות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬מציאת אורך היחידה כאשר נתונות שתי נקודות‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬סימון המספרים על ציר המספרים הנתון ייעשה בתוך כדי שימוש ברשת‬
‫המשבצות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬הצירים שונים זה מזה בטווח המספרים המופיעים עליהם‪ .‬קטע היחידה בציר ב'‬
‫גדול יותר מקטע היחידה בציר א'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬התלמידים נדרשים לסרטט ציר מספרים במחברתם‪ .‬הם מתבקשים לסמן עליו‬
‫את המספרים הזוגיים ולבדוק איזה מספר הוא הגדול ביותר שסומן במחברת‪.‬‬
‫ד( המספר הגדול ביותר שסימן כל תלמיד תלוי באורך הציר שבחר לצייר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬כל מספר נמצא על כל ציר‪ ,‬אך לעתים הוא אינו מסומן או אינו נמצא בטווח‬
‫הנתון‪ .‬מטרת המשימה היא להראות שהמספרים שאותם ניתן "לראות" על ציר מסורטט תלויים‬
‫באורך קטע היחידה א‪ .‬המספר ‪ 1‬קיים בשלושת הצירים‪ ,‬אך בציר הראשון הוא מסומן‪ ,‬ואילו‬
‫בשני הצירים האחרים הוא אינו מסומן בשל טווח המספרים שנבחר‪ .‬ב‪ .‬אפשר למקם את המספר‬
‫‪ 0.5‬רק בציר הראשון‪ ,‬שכן בשני הצירים האחרים המספר ‪ 0.5‬גדול מהמספר ‪ 0.1‬וכן גדול מ‪.0.01 -‬‬
‫חשוב לציין שוב שהמספר ‪ 0.5‬קיים בכל בצירים‪ ,‬אלא שלא תמיד ניתן לסמנו או לראותו בשל‬
‫טווח המספרים‪.‬‬
‫בסעיף ג' התלמידים נדרשים למקם כל אחד מהמספרים על ציר מספרים‪ .‬את המספרים ‪ 0.25‬ו‪-‬‬
‫‪ 1.05‬אפשר למקם בציר המספרים הראשון‪ .‬את המספר ‪ 0.08‬אפשר למקם בציר השני ואת‬
‫המספרים ‪ 0.003‬ו‪ 0.005 -‬אפשר למקם בציר השלישי‪ .‬את שני המספרים הללו אפשר למקם גם‬
‫בשני הצירים האחרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬יש דרכים שונות להסבר‪ .‬דוגמה‪ :‬כל מספר חיובי גדול מ‪ ,0 -‬וכל מספר שלילי‬
‫קטן מ‪ ,0 -‬לכן כל מספר חיובי גדול מכל מספר שלילי‪ .‬עוד אפשרות להסבר‪ :‬כל מספר חיובי נמצא‬
‫על ציר המספרים ימינה יותר מכל מספר שלילי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬התלמידים לומדים "לקרוא" את שיעור הנקודה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬המשימה בעניין המושג "קטע יחידה"‪ .‬הצעד הגדול ביותר הוא של קובי‪ .‬הצעד‬
‫הקטן ביותר הוא של חמוטל‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :13‬מיקום מספר על ציר המספרים‬
‫בשיעור זה התלמידים לומדים למקם את המספרים על ציר המספרים במצבים שונים‪ .‬מיקום‬
‫המספר תלוי בטווח המסומן על הציר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬המספר החסר בכל אחד מהצירים הוא מספר שנמצא באמצע הטווח הנתון‪.‬‬
‫א( ‪ 500‬ב( ‪ 0.5‬ג( ‪ 16‬ד( ‪ .222‬אפשר לבצע את המשימה בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬בכל אחד מהסעיפים שבשאלה התלמידים מתבקשים למקם מספר נתון על‬
‫הצירים הנתונים‪.‬‬
‫א‪ .‬בסעיף זה אפשר להנחות את התלמידים לחלק את הקטע הנתון על הציר לעשרה חלקים‬
‫שווים‪ ,‬כך שההפרש בין כל שתי נקודות יהיה ‪ .1,000‬המספר ‪ 7,200‬ימוקם בקלות‪ .‬להלן דוגמה‬
‫לחלוקה מתאימה‪.‬‬
‫‪10,000‬‬
‫‪0‬‬
‫‪7,200‬‬
‫ב‪ .‬אפשרויות לנימוקים‪ :‬בציר הראשון ‪ 5,900‬נמצא קרוב לאמצע הקטע המסומן‪ ,‬בין האמצע לבין‬
‫‪ .10,000‬בציר השני המספר הוא בערך חמישית של ‪ ,30,000‬ומיקומו בהתאם‪ .‬בציר השלישי‬
‫‪1‬‬
‫של ‪ ,100,000‬ומיקומו בהתאם‪ .‬אם מחלקים את הציר השלישי לעשרה‬
‫המספר הוא בערך‬
‫‪17‬‬
‫חלקים שווים‪ ,‬ההפרש בין כל שני מספרים סמוכים הוא ‪ .10,000‬המספר ‪ 5,900‬יופיע בין הנקודה‬
‫הראשונה לשנייה‪ ,‬קרוב יותר לשנייה‪ ,‬המייצגת את המספר ‪.10,000‬‬
‫‪8‬‬
‫ג‪ .‬משימה הפוכה לקודמת‪ .‬על התלמידים למצוא את המספר המסומן‪ .‬הטווח הנתון הוא מ‪ 0 -‬עד‬
‫‪ ,1,000‬לכן אי‪-‬אפשר לדעת את המספר בדיוק‪ ,‬ואפשר למצוא מספרים המתאימים למקום של‬
‫הנקודה המסומנת‪ .‬אחת הדרכים לפתרון‪ :‬מודדים את אורך הקטע )בערך ‪ 17‬ס"מ(‪ ,‬מסמנים את‬
‫אמצע הקטע )‪ 8.5‬ס"מ(‪ .‬נקודת האמצע היא ‪ .5,000‬לאחר מכן מוצאים שהמספר המתאים‬
‫לנקודה המסומנת גדול מעט מ‪ .7,000 -‬מספרים אפשריים‪.7,020 ,7,009 ,7,010 :‬‬
‫ד‪ .‬במשימה זו עוסקים במושג "טווח המסומן על ציר המספרים"‪.‬‬
‫הקטע ‪ AB‬מייצג את קבוצת המספרים מ‪ 14,000 -‬עד ‪.17,000‬‬
‫הקטע ‪ CD‬מייצג את קבוצת המספרים מ‪ 19,000 -‬עד ‪.22,000‬‬
‫המספר ‪ 17,560‬נמצא בקטע ‪.BC‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬א‪ .‬שני צירי המספרים הנתונים שונים באורך קטע היחידה‪ .‬טווח המספרים זהה‬
‫בשני הצירים‪ .‬ב‪ .‬אי‪-‬אפשר לומר‪ ,‬כי בשניהם אין‪-‬סוף נקודות‪ .‬ג‪ .‬כן‪ ,‬כי הטווח זהה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬במשימה זו נתונים שלושה צירי מספרים שונים שבכל אחד מהם טווח מספרים‬
‫שונה‪ .‬אי לכך המיקום של המספר ‪ 1,000‬על כל אחד מהצירים יהיה כדלקמן‪:‬‬
‫א‪ .‬הטווח הנתון הוא בין ‪ -0‬ל‪ 10,000 -‬נחלק את הקטע הזה לעשרה קטעים שווים‪ .‬ההפרש‬
‫בין כל שתי שנתות סמוכות הוא ‪.1,000‬‬
‫‪10,000‬‬
‫‪1,000‬‬
‫‪0‬‬
‫ב‪ .‬הטווח הנתון הוא בין ‪ -0‬ל‪ 5,000 -‬נחלק את הקטע הזה לעשרה קטעים שווים‪ .‬ההפרש בין‬
‫כל שתי שנתות סמוכות הוא ‪.500‬‬
‫‪5,000‬‬
‫‪1,000‬‬
‫‪0‬‬
‫ג‪ .‬הטווח הנתון הוא בין ‪ 0‬ל‪ 2,000 -‬נחלק את הקטע הזה לעשרה קטעים שווים‪ .‬ההפרש בין‬
‫כל שתי שנתות סמוכות הוא ‪.200‬‬
‫‪2,000‬‬
‫‪1,000‬‬
‫‪0‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬המספר המתאים ל‪ B -‬הוא ‪ ,4,700‬והמספר המתאים ל‪ C -‬הוא ‪.4,900‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬התלמידים נדרשים למתוח קו מכל מספר למקומו על ציר המספרים‪ .‬לשם כך‬
‫יעזרו התלמידים בנספח המצורף‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬אם הנקודה ‪ B‬מייצגת מספר גדול מ‪ 5,500 -‬וקטן מ‪ 6,000 -‬הנקודה ‪ A‬צריכה‬
‫להיות בין ‪ 5,000‬לבין הנקודה ‪ .B‬הנקודה ‪ C‬מייצגת את המספר ‪ .4,500‬אין אפשרויות אחרות‪,‬‬
‫שכן לפי התנאים הנתונים‪ ,‬הנקודה ‪ C‬מייצגת מספר הקטן מ‪ 5,000 -‬ב‪ ,500 -‬ויש רק מספר אחד‬
‫כזה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬א( אם הנקודה ‪ A‬מייצגת את המספר ‪ ,8‬והנקודה ‪ B‬מייצגת את המספר ‪20‬‬
‫הנקודה ‪ C‬מייצגת את המספר ‪) .12‬כל שתי משבצות מייצגות קטע יחידה( ב( אם הנקודה ‪A‬‬
‫מייצגת את המספר ‪ ,3‬והנקודה ‪ C‬מייצגת את המספר ‪ ,7‬הנקודה ‪ B‬מייצגת את המספר ‪.15‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :17‬התאמת ציר מספרים לנתונים‬
‫באמצעות ציר הזמן התלמידים לומדים לבנות את ציר המספרים בהתאם לנתונים‪ .‬הדוגמה‬
‫שבשיעור היא ציר הזמן של ההיסטוריה היהודית‪ .‬טווח הנתונים הוא ‪ 6,000‬שנה‪ ,‬וכל הנתונים הם‬
‫‪9‬‬
‫מספרים חיוביים‪ .‬הקטע בין שתי שנתות סמוכות מייצג ‪ 500‬שנה‪ .‬חלוקה זו מאפשרת אומדן‬
‫סביר של מיקום תאריכים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬במשימה זו חוזרים על המאורעות שצוינו בשיעור‪ ,‬אך הפעם נתונים התאריכים‬
‫לפי הלוח הלועזי‪ .‬הפעם חלק מהנתונים הם מספרים שליליים‪ .‬הצירים דומים‪ ,‬אך‪ ,‬בציר‬
‫שבמשימה‪ ,‬ראשית הציר נמצא באמצע הציר‪ .‬משימה זו מאפשרת להשוות בין שתי דרכי ביטויי‬
‫של הזמן‪ .‬בסעיף ב'‪ ,‬התלמידים צריכים לגלות איך עוברים מתאריך לועזי נתון‪ ,‬לתאריך עברי של‬
‫אותו המאורע )מוסיפים ‪ 3,760‬לתאריך הלועזי כדי לקבל את התאריך העברי(‪ .‬חשוב להבהיר‬
‫לתלמידים שסימון התאריכים נעשה על אותו ציר הזמן אף‪-‬על‪-‬פי שנראה שהצירים הם שונים‪.‬‬
‫שתי מערכות הזמנים האלה מקבילות‪ .‬הדבר דומה לסימון מספרים עשרוניים ושברים על אותו‬
‫הציר‪ :‬הנקודה משותפת‪ ,‬אך השמות שונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬משימת יישום של השיעור והתרגיל הקודם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬יישום השיעור‪ .‬במשימה זו הטווח הוא בערך ‪ 200‬שנה‪ .‬על התלמידים לקבוע את‬
‫חלוקת הציר ומה מייצג את הקטע בין שתי שנתות סמוכות‪ .‬שיטת ייצוג אורך חייהם של‬
‫המדענים מראה לתלמידים מיהם המדענים שחיו באותם שנים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬משימה פתוחה‪ .‬כל תלמיד ייצג על ציר המספרים את גילו של כל בן משפחה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬הרחבת עולם התרבות של הילדים על‪-‬ידי ציון שנים של מאורעות בנושא‬
‫התחבורה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :19‬חלק מציר מספרים‪ :‬תת‪-‬יחידה‬
‫לעתים צריך למקם כמה מספרים קרובים על ציר המספרים‪ ,‬אך טווח הנתונים אינו מאפשר‬
‫לעשות זאת‪ .‬לדוגמה‪ ,‬על הציר שבשיעור צריך למקם את המספרים ‪ .0.03 ,0.02 ,0.01‬לשם כך‬
‫אפשר להגדיל את הקטע ‪ ,1 – 0‬לחלק אותו ל‪ 100 -‬חלקים שווים ואחר‪-‬כך למקם את המספרים‪.‬‬
‫אפשר לכנות פעולה זו‪" :‬הגדלה בזכוכית מגדלת"‪ .‬חשוב להדגיש שכל הצירים שמציירים בזכוכית‬
‫מגדלת שייכים לאותו הציר הנתון במשימה‪ .‬בשיעור זה התלמידים לומדים איזה קטע להגדיל כדי‬
‫למקם את המספרים הנתונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬משימת יישום‪ :‬מיקום המספרים על צירי המספרים הנתונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :39‬אפשר למצוא את הנתונים באתר של הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה‪.‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪20‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד בפרק זה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬משימת תרגול‪ :‬מסרטטים ציר ספרים ומסמנים עליו את המספרים הנתונים‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמ' ‪22-21‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת תרגול‪ :‬מיון מספרים בטבלה לפי הקריטריון‪ :‬מספרים חיוביים‪ ,‬אפס‬
‫ומספרים שליליים‪ .‬ישנם שישה מספרים חיוביים‪ ,‬ארבעה מספרים שליליים ואפס אחד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬א( נכון ב( לא נכון‬
‫ג( נכון ד( נכון‪ .‬אפשר לבצע את המשימה בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬המספר המתאים לנקודה ‪ A‬הוא ‪ ,5‬המספר המתאים לנקודה ‪ B‬הוא ‪ 11‬או ‪,12‬‬
‫המספר המתאים לנקודה ‪ C‬הוא ‪ ,18‬המספר המתאים לנקודה ‪ D‬הוא ‪ .32‬אפשר לבצע את‬
‫המשימה בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימת תרגול‪ :‬סרטוט ציר מספרים וסימון נקודות על הציר‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬משימה פתוחה‪ .‬על התלמידים לקרוא תחילה את כל האילוצים ולאחר מכן‬
‫למקם את הנקודות על ציר המספרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬משימת חקר‪ .‬עודדו את התלמידים לחפש במקורות שונים את התאריכים‬
‫הנדרשים ולבנות ציר "כיתתי" מתאים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬א( משימת תרגול‪ :‬סרטוט ציר וסימון נקודות עליו‪.‬‬
‫ב( המספרים ‪ 942‬ו‪ 1,021 -‬יופיעו גם בטווח של ‪ 860‬עד ‪.1,100‬‬
‫שאלות מילוליות‪ ,‬עמוד ‪23‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬עפ"י אילוצים "מהחיים"‪ ,‬הנתונים במלל התלמידים צריכים לייצג על ציר‬
‫המספרים קשר בין מקומות שונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬סדר הבתים מימין לשמאל‪ :‬יובל‪ ,‬נורית‪ ,‬דן‪ ,‬מירה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬העיר הדרומית ביותר היא אילת‪ .‬העיר הצפונית ביותר היא קריית שמו ָנה‪.‬‬
‫המרחק מאילת לדימונה הוא ‪ 205‬ק"מ‪ ,‬המרחק מדימונה לבאר שבע הוא ‪ 34‬ק"מ‪ ,‬המרחק מבאר‪-‬‬
‫שבע לתל‪-‬אביב הוא ‪ 124‬ק"מ‪ ,‬המרחק מתל‪-‬אביב לחיפה הוא ‪ 87‬ק"מ‪ ,‬והמרחק מחיפה לקריית‬
‫שמו ָנה הוא ‪ 111‬ק"מ‪ .‬בעזרת הנתונים הללו אפשר לסמן על הציר את המסלול המתאים‪.‬‬
‫הנה דוגמה‪:‬‬
‫קריית‬
‫באר דימונה‬
‫תל‪-‬אביב‬
‫חיפה‬
‫שמונה‬
‫שבע‬
‫משימה מס' ‪ :4‬במשימה זו מופיעים הגילים של בני משפחה‪ .‬אם האם בת ‪ ,32‬בתה בת ‪ ,4‬בנה בן‬
‫‪ '8‬והאב בן ‪.36‬‬
‫אילת‬
‫היסטוריה‪ ,‬עמוד ‪24‬‬
‫בעמוד זה התלמידים לומדים שאפלטון סבר כי נוסף על משמעות הכמות‪ ,‬יש למספרים משמעות‬
‫אחרת‪.‬‬
‫התלמידים יכירו את המושג "מספר מושלם"‪ :‬מספר השווה לסכום המחלקים שלו )הקטנים‬
‫ממנוּ(‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬המספר ‪ 28‬הוא מספר מושלם‪ .‬המחלקים של המספר ‪ 28‬הם‪ 14 ,7 ,4 ,2 ,1 ,‬ו‪ .28 -‬אם‬
‫נחבר את המחלקים הקטנים מ‪ 28 -‬נקבל‪. 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 :‬‬
‫המספר ‪ 5,040‬הוא מספר מיוחד‪ .‬יש לו מחלקים רבים‪ .‬דוגמה למחלקים של המספר ‪:5,040‬‬
‫‪.30 ,28 ,24 ,21 ,20 ,18 ,16 ,15 ,14 ,12 ,10 ,9 ,8 ,7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪25‬‬
‫דרכי סימון של קטעים על ציר המספרים‪ .‬הסימון שונה לפי השייכות או אי‪-‬השייכות של הקצוות‬
‫לקטע‪ .‬הכנה לאלגברה‪.‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪26‬‬
‫בחזקות של ‪.10‬‬
‫חוזרים על כתיבת ֲחזקות ועל חישובים במספרים אשר כתובים ֲ‬
‫‪11‬‬
‫נספחים‬
‫שנות גילוי של כמה המצאות חשובות‪:‬‬
‫‪- 3500‬‬
‫‪- 3200‬‬
‫‪- 3000‬‬
‫‪- 2000‬‬
‫‪- 1900‬‬
‫‪- 70‬‬
‫‪100‬‬
‫‪110‬‬
‫‪770‬‬
‫‪1285‬‬
‫‪1438‬‬
‫‪1590‬‬
‫‪1605‬‬
‫‪1642‬‬
‫‪1698‬‬
‫‪1698‬‬
‫‪1742‬‬
‫‪1793‬‬
‫‪1799‬‬
‫הערים הגדולות במסופוטמיה‬
‫הכתב השומרי‬
‫הגלגל בסומר‬
‫אריגת בדים במצרים‬
‫חישול הברזל‬
‫תחנות רוח ברומי ובסין‬
‫המצפן בסין‬
‫הנייר בסין )צ'אי לון(‬
‫דפוס על עץ ביפן או בסין‬
‫משקפיים באיטליה‬
‫הדפוס גוטנברג )אותיות נפרדות(‬
‫המיקרוסקופ בהולנד‬
‫העיתון הראשון בבלגיה‬
‫מכונת החישוב של פסקל‬
‫מכונת קיטור בצרפת‬
‫הפסנתר באיטליה‬
‫מד חום )צלסיוס(‬
‫הטלגרף‬
‫הסוללה החשמלית )ולטה(‬
‫אוכלוסיית ארצות שונות ב‪) 2002 -‬עיגול לאלף הקרוב(‪:‬‬
‫‪26,813,000‬‬
‫‪37,385,000‬‬
‫‪10,259,000‬‬
‫‪174,469,000‬‬
‫‪1,273,110,000‬‬
‫‪5,353,000‬‬
‫‪69,537,000‬‬
‫‪59,551,000‬‬
‫‪5,938,000‬‬
‫‪5,153,000‬‬
‫‪135,000‬‬
‫‪66,494,000‬‬
‫אפגניסטן‬
‫ארגנטינה‬
‫בלגיה‬
‫ברזיל‬
‫סין‬
‫דנמרק‬
‫מצרים‬
‫צרפת‬
‫ישראל‬
‫ירדן‬
‫מיקרונזיה‬
‫תורכיה‬
‫‪12‬‬
‫עמודים ‪48 - 27‬‬
‫ב‪ .‬שברים‬
‫רקע‬
‫פרק זה עוסק בשברים‪ ,‬והוא‪ ,‬למעשה‪ ,‬חזרה על הנושאים שנלמדו כבר בשנים קודמות‪.‬‬
‫בשנים הקודמות הכירו התלמידים משמעויות שונות וייצוגים שונים של השבר‪ .‬הם למדו כל היבט‬
‫בנפרד וברוב המקרים לא קישרו בין ההיבטים השונים של השבר‪.‬‬
‫ההיבט הראשון של השבר הוא חלוקת היחידה או השבר כחלק משלם‪ .‬בהיבט זה חשוב להגדיר‬
‫את השלם‪),‬חצי תפוז אינו שווה לחצי אבטיח(‪.‬‬
‫מבחינה מתמטית אין הבחנה בין המושגים שבר כחלק משלם ושבר כחלק מכמות‪ .‬בשני המקרים‬
‫מחלקים את השלם למספר חלקים שווים )המכנה( ו"לוקחים" מספר חלקים )המונה( היכול‬
‫להיות קטן או גדול מהשלם או שווה לו‪ .‬השלם יכול להיות רציף )שטח‪ ,‬אורך‪ (...‬או קבוצה של‬
‫איברים‪ .‬כאשר השלם הוא רציף‪ ,‬אפשר לייצג אותו בעזרת עיגול‪ ,‬מלבן‪ ,‬רצועה‪ ,‬קטע או כל צורה‬
‫גיאומטרית אחרת אשר אפשר לחלק אותה לחלקים שווים‪ .‬כאשר השלם הוא קבוצה של איברים‪,‬‬
‫אפשר לייצג אותו בעצמים שונים )חפצים‪ ,‬אנשים‪ ,‬ציורים זהים(‪ .‬חשוב לציין את הצורך הדידקטי‬
‫בעצמים זהים כדי שרק מספר החפצים יאפיין את השבר‪ ,‬ולא פרט זה או אחר‪.‬‬
‫המושג הבסיסי ביותר שנלמד בנושא הוא השבר היסודי‪ ,‬והכוונה היא לחלק אחד מתוך החלקים‬
‫שחילקו את השלם‪ .‬מונה השבר הוא ‪.1‬‬
‫ההיבט השני של השבר הוא השבר כמנה‪ .‬השבר הוא תוצאה של פעולת חילוק‪ ,‬ולכן אפשר‬
‫להתייחס אליו כאל מספר‪ .‬היבט זה עונה על הצורך בהרחבת עולם המספרים על‪-‬ידי האפשרות‬
‫לחלק כל מספר במספר שונה מאפס‪ .‬לדוגמה‪ ,‬במספרים טבעיים אפשר לחלק ‪ 15‬ב‪ ,3 -‬אך אי‪-‬‬
‫אפשר לחלק ‪ 16‬ב‪.3 -‬‬
‫בשונה מההיבט "שבר כחלק משלם"‪ ,‬שבו הכינוי של השבר הוא הכינוי של השלם‪ ,‬אין כינוי לשבר‬
‫כמנה‪ .‬דוגמה‪ :‬שבר של שטח הוא שטח‪ ,‬חלק ממספר תלמידים הוא מספר תלמידים‪ .‬לעומת זאת‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ 2:3‬בלי כינוי‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫הקושי העיקרי של התלמידים הוא לאחד את שני ההיבטים של השבר‪ ,‬בעיקר כאשר המחלק גדול‬
‫‪2‬‬
‫מהמחולק‪ .‬דוגמה‪ :‬תוצאת החילוק של המספר ‪ 2‬ב‪ 3 -‬היא ‪ .‬אפשר להסביר עובדה זו בדרכים‬
‫‪3‬‬
‫שונות‪:‬‬
‫• לוקחים שני חלקים מתוך שני שלמים שחולקו לשלושה חלקים שווים‪,‬‬
‫• לוקחים חלק אחד מתוך שלם אחד שחולק לשלושה חלקים שווים‪ ,‬ואחר‪-‬כך לוקחים עוד‬
‫חלק מתוך השלם השני שחולק לשלושה חלקים שווים‪,‬‬
‫• לפי ההיבט הראשון של השבר‪ ,‬מחלקים את היחידה לשלושה חלקים שווים‪ ,‬ולוקחים שני‬
‫חלקים‪.‬‬
‫כל ההסברים הללו לא נראים זהים מבחינת הפעולה אף‪-‬על‪-‬פי שהתוצאה היא אחידה‪.‬‬
‫כדי לשמור על הידע שנרכש הוחלט לחזור בפרק זה גם על הרחבה ועל צמצום של שברים וכן על‬
‫חיבור וחיסור בשברים‪.‬‬
‫מטרות הפרק‪:‬‬
‫א‪ .‬להכין את היסודות לפרקים הבאים בשברים‪ :‬פעולות בשברים‪ ,‬מספרים עשרוניים‪ ,‬הרחבת‬
‫עולם המספרים;‬
‫ב‪ .‬להציג את הקשרים בין ההיבטים השונים של השבר דרך השבר היסודי;‬
‫ג‪ .‬להדגיש נושאים חשובים‪ ,‬כמו קביעת השלם‪ ,‬תפקידי המונה והמכנה בכל היבט של השבר;‬
‫ד‪ .‬להעלות למודעות בעיות נפוצות אצל תלמידים‪.‬‬
‫חלק מפרק זה הוא חזרה המומלצת בתכנית החדשה‪ .‬מומלץ להקדיש לנושא זה כ‪ 8-7 -‬שעות‬
‫לימוד‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬לקובע מהו השלם הקשור לשבר נתון;‬
‫ב‪ .‬לזהות ולבנות שבר יסודי;‬
‫ג‪ .‬לכתוב שבר כחלק של שלם;‬
‫ד‪ .‬לכתוב שבר כחלק של כמות;‬
‫ה‪ .‬לקבוע את הכינוי המתאים לשבר נתון;‬
‫ו‪ .‬להשתמש במודל הרצועה לחישוב חלק של כמות כאשר נתון חלק של שלם;‬
‫ז‪ .‬להשתמש במודל הרצועה לחישוב חלק של שלם כאשר נתון חלק של כמות;‬
‫ח‪ .‬לכתוב שבר כפעולת חילוק;‬
‫ט‪ .‬לפתור שאלות מילוליות פשוטות הקשורות לחילוק מספר טבעי במספר טבעי אחר;‬
‫י‪ .‬להעריך אם צורת התשובה שהתקבלה )שבר או מנה עם שארית( מתאימה לבעיה;‬
‫יא‪ .‬לקשור בין ההיבטים השונים של השבר‪.‬‬
‫מושגים‬
‫שבר‪ ,‬השבר כחלק משלם‪ ,‬השבר כחלק מכמות‪ ,‬השבר כמנה‪ ,‬השבר על ציר המספרים‪ ,‬מודל‬
‫הרצועה‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫ציר המספרים‪ ,‬עיגולים‪ ,‬מלבנים‪ ,‬ריבועים‪ ,‬קטעים‪ ,‬סרט מידה‪ ,‬סרט מידה של שברים‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על לוח הכפל‪.‬‬
‫עובדים בזוגות או במליאה בעזרת הלוח האישי במשך שתי דקות‪ .‬תלמיד אחד אומר תרגיל כפל‬
‫כגון ‪ ,7×3‬והתלמיד האחר פותר אותו‪.‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על חילוק ללא שארית‪.‬‬
‫על הלוח כותבים את המספרים‪.60 ,36 ,48 ,42 ,40 ,24 ,18 ,12 :‬‬
‫תלמידים בכל קבוצה או זוג תלמידים כותבים מתחת לכל מספר את כל המחלקים החיוביים שלו‪.‬‬
‫ג‪ .‬חזרה על שברים‪.‬‬
‫על הלוח ‪ 24‬צורות זהות‬
‫‪1‬‬
‫להקיף בצבעים שונים ‪,‬‬
‫‪6‬‬
‫)ריבועים‪ ,‬עיגולים או צורות אחרות כלשהן(‪ .‬התלמידים מתבקשים‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪ , ,‬מכמות הצורות‪.‬‬
‫‪2 3 4‬‬
‫ד‪ .‬חזרה על שברים גדולים מ‪.1 -‬‬
‫‪4 3 5 4 5 7 7 7‬‬
‫כותבים על הלוח את המספרים ‪ . , , , , , , ,‬על התלמידים לכתוב כל שבר כמספר‬
‫‪3 2 3 3 4 2 3 5‬‬
‫מעורב‪.‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬על הלוח מסורטטים ציורים כגון הציורים שמופיעים בקטע השיעור‪ ,‬וכן רשומים‬
‫‪1 1 1 1 1 1‬‬
‫שברים‪ , , , , , :‬וכדומה‪ .‬על התלמידים למצוא שבר מתאים לסרטוט ומה שהוא מייצג‬
‫‪4 10 3 8 7 6‬‬
‫בסרטוט‪ ,‬למצוא אפיון משותף לכל השברים ולהציע שם לאפיון‪ .‬התלמידים עשויים להציע שמות‬
‫‪14‬‬
‫שונים ‪ -‬שבר יחידה ‪ /‬שבר אחד ‪ /‬שבר בסיסי ‪ /‬שבר יסודי ועוד – ויש לברר בדיון מהו הרעיון‬
‫המרכזי שהשם מבטא‪.‬‬
‫פעילות ב‪ :‬כותבים על הלוח שבר יסודי שהמכנה שלו קטן מ‪ .10 -‬על התלמידים בקבוצות להציע‬
‫ייצוגים שונים של אותו שבר‪.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬על הלוח או על שקף מצוירים ציורים כמו אלה שבנספח ‪2‬א‪ .‬התלמידים מתבקשים‬
‫לבחור שבר יסודי‪ ,‬להצדיק את תשובתם ולנסות לנסח כלל המקשר בין שלם לבין שבר יסודי‪,‬‬
‫)מחלקים את השלם לחלקים שווים ו"לוקחים" חלק אחד(‪ .‬כשהחלק מהכמות נתון‪ ,‬כדאי לשים‬
‫דגש על הכינוי‪ .‬בפעילות רואים את הדמיון בין חלק משלם לבין חלק מכמות‪.‬‬
‫פעילות ד‪ :‬התלמידים מתבקשים להשלים את טבלה ‪ 2‬שבנספח ‪3‬א‪ .‬דנים בדרכים השונות‬
‫להשלמת הטבלה ובחשיבות של קביעת השלם למציאת הערך של הייצוג‪ .‬על‪-‬ידי פעילות זו היא‬
‫הכנה ללמידת המושג שיילמד בהמשך במסגרת רחבה יותר‪ :‬מציאת השלם על‪-‬פי החלק‪.‬‬
‫פעילות ה‪ :‬על שולחן המורה מונחים ‪ 24‬חפצים )עפרונות‪ ,‬מחקים‪ ,‬סיכות משרדיות וכדומה(‪.‬‬
‫‪1 1 1 1‬‬
‫מציגים את קבוצת החפצים כתכולת המגירה‪ ,‬ומבקשים מהתלמידים להצביע על ‪, , ,‬‬
‫‪2 3 4 6‬‬
‫מכמות החפצים‪ .‬תלמידים רבים נוטים לא להצביע על חפצים שונים ליצירת חלק מכמות‪ .‬בדיון‬
‫מדגישים שהשלם מוגדר רק על‪-‬ידי תכונה משותפת )כולם על השולחן(‪ ,‬ולא על‪-‬ידי סוג החפצים‪.‬‬
‫שואלים מהו הכינוי של השבר‪ .‬דוגמה‪ :‬שליש מהשלם הם ‪ 8‬חפצים‪.‬‬
‫פעילות ו‪ :‬מסבירים לתלמידים את מודל הרצועה‪ .‬מתחת לרצועה כותבים שברים המייצגים חלק‬
‫משלם‪) .‬בסוף כל רצועה כתוב השבר כשלם‪ (.‬מעל הרצועה כותבים מספרים שלמים המייצגים‬
‫חלק מהכמות‪.‬‬
‫‪60‬‬
‫‪30‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫מחלקים לתלמידים את נספח ‪4‬א‪ .‬מבקשים מהם להשלים את הרצועות ‪ A‬ו‪ .B -‬כדי להבין את‬
‫המודל בוחרים מספר שהוא כפולה של ‪ ,3‬ומשלימים את רצועה ‪ .C‬קובעים שהשלם הוא ‪,60‬‬
‫ומשלימים את רצועה ‪ .D‬בוחרים מספר שהוא כפולה של ‪ ,5‬ומשלימים את רצועה ‪ .E‬בשלב זה‬
‫מבקשים לכתוב בעיה מילולית המתאימה לאחד מהמצבים המתוארים ברצועות‪ C ,B ,A :‬ו‪.D -‬‬
‫כותבים בעיה מילולית שבה בא לידי ביטוי המושג "שבר כחלק משלם" או "כחלק מכמות"‪,‬‬
‫ומייצגים את השבר על רצועה ‪.F‬‬
‫מקור הפעילויות ז'‪ -‬טו' לקוחות מהמדריך למורה של כיתה ה'‪ .‬מומלץ לבצע לפחות אחת מהן‪.‬‬
‫פעילות ז‪ :‬על שולחן המורה כ‪ 100 -‬רצועות זהות )אורך כל אחת כ‪ 12 -‬ס"מ(‪ ,‬המייצגות חפיסות‬
‫שוקולד‪ .‬מחלקים את התלמידים לקבוצות של ‪ ,2‬של ‪ ,3‬של ‪ ,4‬של ‪ ,5‬של ‪ 6‬תלמידים‪ ,‬ונותנים לכל‬
‫קבוצה שתי רצועות‪.‬‬
‫המשימה היא לחלק את חפיסות השוקולד לחלקים שווים לכל ילדי הקבוצה‪ .‬מבקשים מכל‬
‫קבוצה לצייר על הרצועות בצבעים שונים את החלק של כל ילד‪) .‬בקבוצה של שני ילדים כל אחד‬
‫‪2‬‬
‫חפיסות וכן הלאה‪ (.‬דנים בדרך‬
‫יקבל חפיסה אחת; בקבוצה של שלושה ילדים כל אחד יקבל‬
‫‪3‬‬
‫החלוקה‪.‬‬
‫מציגים את החפיסות על הלוח‪ ,‬ומחפשים דרך לייצג אותן בצורה מתמטית‪.‬‬
‫פעילות ח‪ :‬חוזרים על פעילות ז'‪ ,‬אך הפעם נותנים שלוש רצועות לקבוצה‪.‬‬
‫פעילות ט‪ :‬חוזרים על פעילויות ז'‪ ,‬אך הפעם נותנים תשע רצועות לקבוצה‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫פעילות י‪ :‬משחק‪ :‬זוג תלמידים בוחר שבר )שאינו שלם( הנמצא בין ‪ 0‬ל‪ .100 -‬תלמידי הכיתה‬
‫מתבקשים למצוא את המספרים הטבעיים העוקבים שביניהם נמצא השבר‪ ,‬על‪-‬ידי שאלות‬
‫שעליהן יש להשיב רק ב‪-‬ק "כן" או "לא"‪ .‬אפשר להיעזר בציר המספרים‪ .‬בשלב זה אין הגבלה על‬
‫מספר השאלות‪.‬‬
‫פעילות יא‪ :‬כמו בפעילות י'‪ ,‬אבל הפעם מספר השאלות מוגבל לעשר‪.‬‬
‫פעילות יב‪ :‬כמו בפעילות י'‪ ,‬אך הפעם השבר נמצא בין ‪ 0‬ל‪.50 -‬‬
‫פעילות יג‪ :‬פעילות לקבוצות‪ .‬על שולחן המורה מניחים קלפים שרשומות בהם המילים‪:‬‬
‫אוטובוסים‪ ,‬פיצות‪ ,‬קמח‪ ,‬מים‪ ,‬בד‪ ,‬חפיסות שוקולד‪ ,‬כלבים‪ ,‬עוגות‪ ,‬תפוזים‪ .‬כל קבוצה מקבלת‬
‫חפיסת קלפים שרשומות עליהם הספרות ‪ .9-0‬כמו‪-‬כן כל קבוצה מקבלת קלף שרשומה עליו‬
‫מילה‪ .‬מבקשים מהתלמידים ליצור בעזרת הספרות מספר דו‪-‬ספרתי ומספר חד‪-‬ספרתי )בעזרת‬
‫הגרלה( ולרשום אותם על דף‪ .‬על חברי הקבוצות לכתוב שתי בעיות חילוק בעזרת הנתונים‬
‫)המספרים והמילה שקיבלו( ולרשום את שם הקבוצה על הדף‪.‬‬
‫כל קבוצה מעבירה את דף הבעיות לקבוצה הסמוכה‪ ,‬וחברי הקבוצה הסמוכה פותרים את‬
‫הבעיות‪ .‬דנים במקרים אפשר לכתוב את התשובות לבעיות בצורה של שבר‪.‬‬
‫פעילות יד‪ :‬מטרת הפעילות היא להבין את המושג השבר כמנה‪ .‬לשם כך נעזרים ברצועה שאורכה‬
‫מטר‪ .‬מבקשים מהתלמידים לחלק את הרצועה לשלושה חלקים שווים בגודלם על‪-‬ידי קיפול‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫אורך כל קטע שווה ל‪ -‬המטר‪ .‬בהנחה שהמטר מייצג את ציר המספרים‪ ,‬הקפל הראשון משמאל‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫הוא ‪ .‬כותבים על הלוח‪:‬‬
‫= ‪ .1:3‬באותו אופן מבקשים מהתלמידים לחלק את הרצועה‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫לארבעה‪ ,‬לחמישה ולשישה קטעים שווים בגודלם‪ .‬רושמים את התרגילים על הלוח‪.‬‬
‫פעילות טו‪ :‬בפעילות זו משתמשים ברצועה באורך שני מטרים‪ .‬כמו בפעילות י"ד מבקשים‬
‫מהתלמידים לחלק את הרצועה לשלושה חלקים שווים על‪-‬ידי קיפול‪ .‬שואלים את התלמידים‪:‬‬
‫"מהו אורכו של כל חלק?" וכן "מהו תרגיל החילוק המתאים לפעולה זו?"‪ .‬רושמים על הלוח את‬
‫‪2‬‬
‫התרגיל‪.2:3 = :‬‬
‫‪3‬‬
‫כדי להראות את הקשר בין ההיבטים השונים של השבר )השבר כמנה והשבר כחלק משלם על ציר‬
‫המספרים( מסרטטים על הלוח ציר מספרים שאורך קטע היחידה שלו שווה ל‪ 1-‬מטר‪ ,‬ומסמנים‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫על הציר את השברים ו‪ . -‬מתחת לציר מניחים רצועה שקופלה על‪-‬ידי אחד התלמידים‪,‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫ובודקים היכן בדיוק ממוקמים הקיפולים‪ .‬התלמידים רואים את הקשר בין התרגיל לבין מיקום‬
‫‪2‬‬
‫השבר על ציר המספרים‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫הספר לתלמיד‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :27‬השבר כחלק של שלם‬
‫בשיעור זה נלמד השבר המתקבל על‪-‬ידי חלוקה של שלם לחלקים שווים‪ .‬התלמידים הכירו היבט‬
‫זה בכיתה ג'‪ .‬בקטע השיעור הנוכחי מושם דגש על השבר היסודי‪ .‬זהו שבר שהמונה שלו הוא ‪.1‬‬
‫השבר היסודי מיוצג על‪-‬ידי שלמים שונים‪ :‬עיגול‪ ,‬קטע‪ ,‬מלבן ורצועה‪.‬‬
‫לאחר הכרת השבר היסודי התלמידים לומדים שאפשר לייצג כל שבר כסכום של שברים יסודיים‬
‫שווים ואף כסכום של שברים יסודיים לא‪-‬שווים‪ .‬מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי א' – ג' לפני‬
‫תחילת השיעור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬התלמידים נדרשים לזהות את השבר היסודי‪ .‬אפשר לבצע את המשימה בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬חזרה על זיהוי שבר יסודי בייצוגים‪ .‬אפשר לבצע את המשימה בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬חזרה על המשמעות של שבר יסודי בעזרת חלוקת קטע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬במשימה זו חלק אחד מייצג שברים שונים לשלמים שונים‪ .‬כדאי להסב את‬
‫‪1‬‬
‫תשומת לב התלמידים לכך ששבר נקבע לפי השלם‪ .‬בסעיף הראשון התשובה היא ‪ ,‬ובסעיף‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫השני התשובה היא ‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬מטרת המשימה היא לקשר בין ייצוגים שונים של אותו שבר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬בעיות מילוליות‪ .‬יש לעודד את התלמידים לייצג את הבעיה בציור או בתרשים‪.‬‬
‫‪4 1 1 1 1‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬במשימה זו יש אין‪-‬סוף פתרונות אפשריים‪ .‬דוגמה‪= + + + :‬‬
‫‪7 7 7 7 7‬‬
‫‪4 8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= = + + + + + + +‬‬
‫‪7 14 14 14 14 14 14 14 14 14‬‬
‫או‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :29‬מיון שברים‬
‫בשיעור זה חוזרים על מיון שברים לשלושה סוגים‪ :‬שברים קטנים מ‪ ,1 -‬שברים שווים ל‪1 -‬‬
‫ושברים גדולים מ‪.1 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬במשימה זו שני שלמים שונים‪ :‬משושה וקטע‪ .‬התלמידים נדרשים לצבוע חלקים‬
‫מכל אחד מהשלמים על‪-‬פי השבר הנתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימת יישום‪ .‬אפשר לבצע את המשימה בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬בסעיפים א' ו‪ -‬ב' המונה והמכנה נתונים‪ .‬בסעיפים ג'‪-‬ד' יש אין‪-‬סוף אפשרויות‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫בסעיף ה' יש רק אפשרות אחת‪ .‬השבר המבוקש הוא ‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫בכל סעיף התלמידים מתבקשים לייצג את השבר באיור‪ ,‬בקטע ועל ציר מספרים וכן לכתוב אותו‬
‫כסכום של שברים יסודיים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :30‬שמות שונים לאותו השבר‬
‫בשיעור זה השברים מיוצגים על‪-‬ידי רצועות‪ .‬הרצועות ממחישות את השוויון בין שברים בעלי‬
‫שמות שונים‪ .‬שיעור זה הוא הקדמה לשיעור החזרה על הרחבה וצמצום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬על התלמידים לכתוב שמות שונים לחצי‪ ,‬לפי החלק הצבוע בכל אחד מהסעיפים‪.‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪1 3‬‬
‫‪1 4‬‬
‫‪1 5‬‬
‫ד( =‬
‫ג( =‬
‫ב( =‬
‫=‬
‫א(‬
‫‪2 4‬‬
‫‪2 6‬‬
‫‪2 8‬‬
‫‪2 10‬‬
‫‪1 2 3 4 5‬‬
‫= = = =‬
‫‪2 4 6 8 10‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬א( על התלמידים לכתוב את השבר המתאים לחלק הצבוע של המלבן ולהגיע‬
‫‪2‬‬
‫למסקנה שאלה הם שמות שונים ל‪ ; -‬ב( מסקנה המובילה להרחבה ולצמצום‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬על התלמידים למצוא שברים שווים בין שברים נתונים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :31‬הרחבה וצמצום של שברים‬
‫בשיעור זה חוזרים על הרחבה של שבר בעזרת כפל המונה והמכנה בגורם ההרחבה‪ ,‬וכן על צמצום‬
‫שבר בעזרת חילוק המונה והמכנה בגורם הצמצום‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬התלמידים ימצאו את גורם ההרחבה בעזרת חילוק )מכנה במכנה או מונה‬
‫במונה(‪ .‬אפשר לבצע את המשימה בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬התלמידים ימצאו תחילה את גורם ההרחבה בעזרת חילוק ואחר‪-‬כך יחשבו את‬
‫המכנה החסר או את המונה החסר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬התלמידים יצמצמו את השברים בגורם הצמצום הנתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬התלמידים ימצאו את גורם הצמצום בעזרת חילוק‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :32‬כינוי לערך השבר‬
‫חשיבות הכינוי המתאים לערך השבר באה לידי ביטוי גם בקטע שיעור זה‪ .‬ברור כי שישה‬
‫סנטימטרים אינם שווים לשישה סנטימטרים רבועים‪ .‬חשוב להבהיר זאת לתלמידים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬התאמת כינויים לשברים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬להשלמת המשימה יידרש שימוש בידע קודם‪ .‬דקה היא‬
‫‪60‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫של‬
‫של קילומטר‪ ,‬גרם הוא‬
‫של המטר‪ ,‬מטר הוא‬
‫מהיממה‪ ,‬סנטימטר הוא‬
‫‪1000‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪100‬‬
‫‪24‬‬
‫‪1‬‬
‫של סנטימטר‪.‬‬
‫קילוגרם‪ ,‬מילימטר הוא‬
‫‪10‬‬
‫של שעה‪ ,‬שעה היא‬
‫משימה מס' ‪ :20‬במשימה זו יהודית צדקה‪ ,‬כי מחיר המשחק הוא חצי ממחיר הספר‪ ,‬ולא כפי‬
‫שטען דן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬העוגה שהכין אבא מורכבת מארבעה מוצרים‪ :‬קמח‪ ,‬סוכר‪ ,‬ביצים ושמן‪.‬‬
‫אפשרות לכמויות מתאימות לעוגה‪ 200 :‬גר' סוכר‪ 200 ,‬גר' קמח‪ 200 ,‬גר' שמן ו‪ 200 -‬גר' ביצים‬
‫‪1‬‬
‫)כארבע ביצים(‪ .‬אם המשקל הכולל של העוגה הוא ‪ 1‬ק"ג‪ ,‬הכמויות המתאימות לעוגה הן ק"ג‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫סוכר‪ ,‬ק"ג קמח‪ ,‬ק"ג ביצים )כחמש ביצים(‪ ,‬ק"ג שמן‪ .‬הכמויות של כל המרכיבים שוות‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :33‬השבר כחלק של כמות‬
‫כעת עוסקים בחלק של שלם שהוא קבוצת איברים‪ ,‬ומושם דגש על המילה "מתוך"‪ .‬את הביטוי‬
‫‪ 16‬מתוך ‪ 48‬אפשר לכתוב כשבר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬חזרה על משמעות שבר כחלק מכמות על‪-‬ידי ייצוג כמותי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬התלמידים ייצגו את הנתונים במלבנים ויכתבו את השבר המתאים‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬ו‪-‬‬
‫‪15‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬השברים מיוצגים בעיגולים‪ .‬התלמידים יוסיפו את הנתונים החסרים על‪-‬פי‬
‫העיגולים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬התלמידים יכתבו את השברים המתאימים וישלימו את ייצוגם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬משימת יישום‪ .‬הסבו את תשומת לבם של התלמידים לכך שהשלם משתנה‬
‫מסעיף לסעיף‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬מאחר והתלמידים טרם עסקו בכפל של שברים‪ ,‬אפשר להסביר להם כי כדי‬
‫‪1‬‬
‫לפתור משימה זו נמצא תחילה את הפתרון לתרגיל של ‪ 24‬בעזרת פעולת חילוק‪ 24 :‬לחלק ב‪.6 -‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫התשובה היא ‪ .₪ 4‬אחר‪-‬כך נמצא את הפתרון לתרגיל של ‪ 24‬בעזרת פעולת כפל‪. 2 × 4 = 8 :‬‬
‫‪6‬‬
‫כך ימשיכו התלמידים לכפול ב‪ 4 -‬בכל הסעיפים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬משימת יישום‪ .‬אפשר לבצע את המשימה בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬בעיות מילוליות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬משימת יישום‪ .‬אפשר לבצע את המשימה בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬בעיה מילולית‪ :‬מציאת החלק כשהשלם נתון‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :35 - 34‬בעיות מילוליות‪ :‬מציאת השלם כאשר נתון החלק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬שאלה מקדימה לתלמידים‪ :‬מהו השלם בסעיף א'? ומהו השלם ביתר הסעיפים?‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫(; ב‪; .‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬התשובות‪ :‬א‪) .‬אפשר לקבל גם את התשובה‬
‫‪5‬‬
‫‪10‬‬
‫‪5‬‬
‫;‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬אפשר להשתמש בחלק זה כפעילות גילוי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :39‬בעיה מילולית‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :37‬השבר כמנת חילוק‬
‫‪a‬‬
‫השבר כמנת חילוק הוא היבט נוסף להדגשה שהשבר הוא מספר‪ .‬הביטוי‬
‫‪b‬‬
‫פעולת חילוק של שני מספרים שלמים‪) a :‬מחולק( ו‪) b -‬מחלק‪ ,‬שונה מאפס(‪ .‬השבר הוצג כמנה של‬
‫מספרים שלמים באמצעות בעיות מילוליות מחיי היום‪-‬יום‪ ,‬שיש בהן שימוש בחילוק לחלקים‪,‬‬
‫כאשר המנה המתקבלת אינה מספר טבעי‪ .‬אפשר להציג את השבר כמנה של שני מספרים טבעיים‬
‫כצורך מתמטי בהקשר להרחבת קבוצת המספרים הטבעיים‪ :‬אי‪-‬אפשר לחלק כל שני מספרים‬
‫טבעיים אם מתייחסים לקבוצת המספרים הטבעיים בלבד‪ .‬בעזרת השברים כחלק מקבוצת‬
‫המספרים הטבעיים אפשר לבטא תוצאות של תרגילי חילוק כאשר מתקבלת מנה לא שלמה‪.‬‬
‫מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי י"ד וט"ו לפני השיעור‪.‬‬
‫מבטא תוצאה של‬
‫משימה מס' ‪ :40‬התלמידים נדרשים לייצג בעיה מילולית באיור מתאים ולפתור אותה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬פתרון בעיה מילולית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬התלמידים נדרשים לכתוב תרגילי חילוק מתאימים לשברים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :38‬השבר כנקודה על ישר המספרים‬
‫השבר הוא מספר‪ ,‬ולכן אפשר למקם אותו על ישר המספרים‪ .‬בקטע השיעור מוסבר לתלמידים‬
‫‪3‬‬
‫כיצד למקם את השבר על ישר המספרים בשתי דרכים שונות‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫דרך א‪ :‬מחלקים את קטע היחידה מ‪ 0 -‬עד ‪ 1‬לחמישה חלקים שווים‪ .‬מונים שלושה צעדים מאפס‬
‫ומסמנים את הנקודה במקום המתאים על ישר המספרים‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫‪3‬‬
‫דרך ב‪ :‬מחלקים שלושה קטעי יחידה לחמישה חלקים שווים‪ .‬החלק הראשון מייצג את השבר‬
‫‪5‬‬
‫‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬יישום השיעור‪ .‬סימון שברים על ציר המספרים יתבצע בשתי הדרכים שהוצגו‬
‫בשיעור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :44‬פעולה הפוכה למיקום מספר על ציר המספרים‪ .‬המיקום נתון‪ ,‬ועל התלמידים‬
‫לזהות את המספר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :45‬התלמידים ימקמו את המספר ‪ 1‬בכל ציר מספרים על‪-‬פי הנתונים בכל ציר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :46‬מיקום מספרים על ציר המספרים‪ .‬דונו עם התלמידים באורך היחידה שהם‬
‫בחרו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :47‬משימה הפוכה למשימה הקודמת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :48‬מיקום מספרים על שני צירי מספרים שונים‪ .‬התלמידים צריכים לשים לב‬
‫לאורך היחידה בכל ציר‪.‬‬
‫קטע שיעור עמוד ‪ :40‬חיבור וחיסור שברים‬
‫בשיעור זה יחזרו התלמידים על חיבור ועל חיסור של שברים‪ ,‬שלמדו בכיתה ה'‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :50‬המכנה המשותף הוא אחד המכנים בתרגיל‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :51‬חיסור שברים שמכניהם שייכים לאותה "משפחה"‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :52‬חיבור של שברים בביטוי של בעיה מילולית‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :53‬המכנה המשותף הוא אחד המכנים בתרגיל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :54‬המכנה המשותף של כל תרגיל הוא מכפלת המכנים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :55‬שאלה מילולית של חיבור שברים‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫משימה מס' ‪ :56‬תרגילי חיבור וחיסור של שברים ושל מספרים מעורבים‪ .‬א( ‪ 8‬ב(‬
‫‪10‬‬
‫‪8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫ג( ‪ 1 = 1‬ד(‬
‫ה( ‪ 2 = 2‬ו( ‪ 1‬ז( ‪ 3‬ח( ‪ 8‬ט(‬
‫‪12‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪3‬‬
‫משימה מס' ‪ :57‬השלמת הסדרות נעשית על‪-‬ידי מציאת חוקיות‪ .‬בסדרות אלה ההפרש בין כל שני‬
‫איברים הוא שבר יסודי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :58‬התלמידים נדרשים להשלים שוויונות ואי‪-‬שוויונות‪ .‬משימה זו עלולה להיות‬
‫קשה לחלק מתלמידי הכיתה‪ .‬בסעיפי השוויונות ישנו פתרון אחד בלבד ואילו באי‪-‬שוויונות ישנן‬
‫אפשרויות שונות לפתרון‪ .‬להלן דוגמאות לפתרונות המשימה‪:‬‬
‫‪1 4‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪3 4‬‬
‫‪4 1‬‬
‫ד( = ‪1 −‬‬
‫ג( = ‪1 −‬‬
‫ב( < ‪1 −‬‬
‫א( < ‪1 −‬‬
‫‪5 5‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪5 5‬‬
‫‪5 3‬‬
‫‪10 3‬‬
‫‪1 4‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪38‬‬
‫‪62‬‬
‫ו(‬
‫ה(‬
‫ח( > ‪1 −‬‬
‫ז( > ‪1 −‬‬
‫‪1−‬‬
‫=‬
‫= ‪1−‬‬
‫‪6 5‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪13 13‬‬
‫‪100 100‬‬
‫משימות מס' ‪ :60 - 59‬בעיות מילוליות בחיבור ובחיסור של שברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :61‬בסעיפים ב'‪ ,‬ג'‪ ,‬ה'‪ ,‬ו'‪ ,‬ז'‪ ,‬ו'‪ -‬ח' המכנה המשותף הוא אחד המכנים בתרגיל‪,‬‬
‫ואילו בסעיפים א' ו‪ -‬ד' המכנה המשותף אינו אחד המכנים‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫‪3 2 4 9 10 12 31‬‬
‫‪1‬‬
‫א(‬
‫‪+ + = + + = =1‬‬
‫‪10 6 10 30 30 30 30‬‬
‫‪30‬‬
‫משימה מס' ‪ :62‬משוואות של חיבור ושל חיסור בשברים‪ .‬התלמידים צריכים לזכור שחיבור‬
‫וחיסור הן פעולות הפוכות‪.‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪:43‬‬
‫סיכום ההיבטים שנלמדו במהלך הפרק‪ :‬השבר כחלק משלם‪ ,‬השבר כחלק מכמות‪ ,‬השבר כמנת‬
‫חילוק‪ .‬כמו‪-‬כן מוזכר שחשוב לציין את הכינוי המתאים לערך השבר‪ ,‬וחשוב לקבוע את השלם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :63‬במשימה זו מבחינים בין שתי צורות להגדרת השבר‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמוד ‪44‬‬
‫משימות מס' ‪ :3-1‬משימות יישום‪ .‬קשר בין שבר יסודי לבין ייצוגו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימה פתוחה‪ :‬יש לכתוב שאלה מילולית המתאימה לתרגיל הנתון‬
‫? = ‪.4:7‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬לפני ביצוע המשימה כדאי לקרוא בקול את הבעיה ולומר בעל‪-‬פה )כל תלמיד‬
‫בתורו( מה המשמעות של כל נתון‪ .‬דוגמה‪ 20 :‬דקות הוא הקדיש לשיעורי בית בחשבון – ‪ 20‬דקות‬
‫מתוך ‪ 80‬דקות‪.‬‬
‫שאלות מילוליות‪ ,‬עמוד ‪:45‬‬
‫בעמוד זה מובאות בעיות מילוליות הקשורות בחומר‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬לתפירת חולצה אחת דרוש‬
‫‪5‬‬
‫מהבד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬א( בשכבה לומדים ‪ 90‬תלמידים‪.‬‬
‫ב( חצי מתלמידי השכבה השתתפו בטקס‪.‬‬
‫ג( ‪ 30‬מתלמידי השכבה השתתפו בהצגה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬בכל בקבוק יש‬
‫‪5‬‬
‫ליטר של יין‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬כתבו דוגמה של בעיה מתאימה לתרגיל‪ .‬דוגמה‪ :‬שבעה חברים קנו ארבעה‬
‫"באגטים" להכנת כריכים‪ .‬איזה חלק מה"באגטים" יקבל כל חבר?‬
‫משימה מס' ‪ :6‬קשר בין יחידת זמן לבין שברים‪.‬‬
‫היסטוריה‪ ,‬עמוד ‪:46‬‬
‫בחלק זה של ההיסטוריה התלמידים לומדים לחלק קטע לחלקים שווים וכך להדגים כל שבר‬
‫בייצוג‪ ,‬כאשר השלם הוא הקטע הנתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬יש לבצע את השלבים א' – ד' על הציור שבנספח‪.‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪:47‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫; ה(‬
‫; ד(‬
‫משימה מס' ‪ :1‬א( ; ב( ; ג(‬
‫‪12‬‬
‫‪10‬‬
‫‪12‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪21‬‬
‫‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬תשובות‪:‬‬
‫‪D‬‬
‫‪8‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫א‬
‫ב‬
‫ג‬
‫ד‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪:48‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על כפל ועל חילוק ארוך‪ ,‬על עיגול מספרים‪ ,‬על כפל מספרים ב‪ 100 ,10 -‬וב‪-‬‬
‫‪ ,1,000‬סדר פעולות החשבון וכן על שיום משולשים לפי צלעות ולפי זוויות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬א( משולש ישר‪-‬זווית ושווה‪-‬שוקיים‪ .‬ב( משולש קהה‪-‬זווית ושווה שוקיים‪.‬‬
‫ג( משולש חד‪-‬זוויות ושווה‪-‬שוקיים‪ .‬ד( משולש חד‪-‬זוויות ושווה‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫נספחים‬
‫א‪1-‬‬
‫‬
‫א‪2-‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 4‬הם‬
‫‪2‬‬
‫של‬
‫‪1‬‬
‫‪ 4‬הם‬
‫‪4‬‬
‫של‬
‫‪1‬‬
‫‪ 4‬הם‬
‫‪3‬‬
‫של‬
‫‪1‬‬
‫‪ 4‬הם‬
‫‪5‬‬
‫של‬
‫‪22‬‬
3-‫א‬
pppppppppppppp
‫ מייצג‬pp ‫מספר ש‬
‫השלם‬
2
1
4
1
3
1
2
1
6
1
4-‫א‬
0
48
A
1
3
0
2
3
12
24
3
3
36
48
B
C
1
3
0
2
3
0
3
3
60
D
E
F
23
‫עמודים ‪69-49‬‬
‫ג‪ .‬המעגל והעיגול‬
‫רקע‬
‫הפרק מעגל ועיגול הוא הפרק הראשון בגאומטריה‪ .‬לכל מושג בגאומטריה יש שני היבטים‪ :‬היבט‬
‫"גאומטרי" הקשור להגדרות ולתכונות ומבוסס על אקסיומות אוקלידס‪ ,‬והיבט "מספרי" הקשור‬
‫למדידות‪ .‬התלמידים ירחיבו ויעמיקו את הידע שלהם בנושא מעגל ועיגול בשנים הבאות‪ .‬הבנה‬
‫והפנמה של התכונות של המעגל ושל העיגול חשובות להצלחה בגאומטריה בבית הספר העל‪-‬יסודי‪.‬‬
‫לפיכך הוחלט להקדיש לנושא זה שני פרקים בכיתה ו'‪.‬‬
‫הפרק הנוכחי עוסק בנושא מעגל ועיגול כצורות גאומטריות בלבד‪ .‬כלומר התלמידים לומדים‬
‫לראשונה את המושגים מעגל ועיגול‪ ,‬את הגדרותיהם המתמטיות‪ ,‬והם לומדים על הקטעים ועל‬
‫הקווים החשובים במעגל ובעיגול‪ ,‬כמו רדיוס‪ ,‬קוטר‪ ,‬מיתר וקשת‪ .‬התלמידים מסרטטים את‬
‫המעגל בעזרת המחוגה‪ ,‬ובעזרתה הם מסרטטים גם קישוטים שונים המורכבים ממעגלים‬
‫ומעיגולים‪ .‬חשוב להדגיש שבפרק זה הושם דגש על ההבנה העמוקה של המושגים הקשורים‬
‫לנושא ועל ההבדלים בין המעגל לבין העיגול‪ .‬כדי לוודא שהתלמידים מבינים את המושגים היטב‪,‬‬
‫מומלץ לדון ברוב השאלות שבפרק‪ ,‬לדוגמה‪ ,‬בשאלות "האם מרכז המעגל שייך לו?" או "האם‬
‫המעגל הוא חלק מהעיגול?" וכדומה‪ .‬שימו לב‪ :‬בגאומטריה מבחינים בין המעגל לבין העיגול‪.‬‬
‫ההבחנה היא חד‪-‬משמעית‪ :‬המעגל הוא הקו המקיף את העיגול‪ ,‬ואילו העיגול הוא השטח הכלוא‬
‫בתוך המעגל‪ .‬לצורות אחרות אין הבחנה בין הגבול )השפה של הצורה( לבין הפנים שלה‪ ,‬ואין‬
‫שמות שונים לשני המושגים‪ .‬עובדה זו מהווה מקור לבעיות במתמטיקה‪ ,‬כאשר מתחילים למדוד‬
‫שטח של צורה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬הגדרת המצולע "מצולע הוא קו שבור סגור" אינה כוללת את פנים‬
‫המצולע‪ ,‬ולכן כל המצולעים )למשל‪ ,‬מרובעים( הם הקו בלבד ואינם כוללים את הפנים‪ .‬מתעוררת‬
‫בעיה בחישוב השטח‪ ,‬מפני שהשטח של הקו שווה ל‪ .0 -‬במתמטיקה יש הגדרות שונות של מצולע‬
‫)גם הגדרות הכוללות את הפנים(‪ .‬בבית הספר היסודי אין דנים בכך עם התלמידים הצעירים‪,‬‬
‫ומחשבים את שטחי המצולעים כאילו הם כוללים גם את הפנים שלהם‪.‬‬
‫נתמקד בחישובים של היקף מעגל ושל שטח עיגול בפרק השני‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬להגדיר את המעגל ואת העיגול;‬
‫ב‪ .‬להבדיל בין המעגל לבין העיגול;‬
‫ג‪ .‬לסרטט את המעגל )או את העיגול( בעזרת המחוגה;‬
‫ד‪ .‬לסרטט את המעגל )או את העיגול( בעזרת המחוגה‪ ,‬כאשר נתונים מרכז המעגל )העיגול(‬
‫ורדיוסו;‬
‫ה‪ .‬לסרטט רדיוס‪ ,‬קוטר ומיתר של מעגל ושל עיגול;‬
‫ו‪ .‬לסרטט קשת במעגל;‬
‫ז‪ .‬למצוא )ללא מדידה( את קוטר המעגל אם נתון הרדיוס ולהפך‪ :‬למצוא את רדיוס המעגל‪,‬‬
‫אם נתון הקוטר;‬
‫ח‪ .‬להבחין בין הנקודות השייכות למעגל לבין הנקודות שאינן שייכות למעגל;‬
‫ט‪ .‬להבחין בין הנקודות השייכות לעיגול לבין הנקודות שאינן שייכות לעיגול;‬
‫י‪ .‬לסרטט קישוטים פשוטים בעזרת המחוגה‪.‬‬
‫מושגים‬
‫מעגל‪ ,‬עיגול‪ ,‬מרכז‪ ,‬רדיוס‪ ,‬קוטר‪ ,‬מיתר‪ ,‬קשת‪ ,‬שייך‪ ,‬לא שייך‪ ,‬נקודה‪ ,‬נקודות משותפות‪ ,‬ישר‪,‬‬
‫קטע‪ ,‬קרן‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫עיגולים מסורטטים‪ ,‬חוט‪ ,‬גיר‪ ,‬נעץ‪ ,‬חפצים וגופים שיש להם צורה של עיגול‪ ,‬מחוגה‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על קווים פתוחים ועל קווים סגורים‪.‬‬
‫על הלוח מצוירות צורות גיאומטריות שונות‪ .‬התלמידים‬
‫מתבקשים למצוא קווים פתוחים וקווים סגורים ולהסביר את‬
‫קביעתם‪ .‬דוגמאות לצורות‪:‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על קטעים‪ ,‬על קרניים ועל ישרים‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים לצייר על הלוח קטע ולסמנו‪ ,‬לצייר ישר ולסמנו‪ ,‬לצייר קרן ולסמנה‪ .‬דנים‬
‫בהבדלים בין השלושה‪ .‬מומלץ להשתמש בסימון המקובל בספר לתלמיד של "חשבון ‪."10‬‬
‫או כך‪:‬‬
‫את הקטע מציירים כך‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫את הקרן מציירים כך‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫ואת הישר מציירים כך‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫ג‪ .‬חזרה על משפחת מרובעים‪.‬‬
‫על הלוח מצוירים מרובעים מסוגים שונים‪) .‬אפשר לחלק לתלמידים דף שבו ציורים מתאימים(‬
‫התלמידים מתבקשים לשיים את המרובעים המצוירים ולהסביר את מסקנתם‪ .‬בתוך כדי שיום‬
‫חוזרים ִבקצרה על הגדרות המרובעים‪ .‬מומלץ שהמורה תסמן צלעות שוות וזוויות שוות )או‬
‫ישרות( בסימון המקובל ב"חשבון ‪ ."10‬רצוי לסמן רק צלעות וזוויות שהוזכרו בהגדרה‪ ,‬ולא את‬
‫יתר התכונות‪.‬‬
‫דוגמה לסרטוט המרובעים ולסימון )אין לכתוב את שמות המרובעים!(‪:‬‬
‫מלבן‬
‫טרפז‬
‫מקבילית‬
‫דלתון‬
‫מעוין‬
‫ריבוע‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬התלמידים מתבקשים להביא לכיתה כלי שיש לו צורה של מעגל ועיגול‪ :‬כוס‪ ,‬ספל‪,‬‬
‫סיר‪ ,‬גליל של נייר‪ ,‬פקק‪ ,‬בקבוק וכדומה‪ .‬דנים בשאלות‪:‬‬
‫האם יש הבדל בין החלק העליון לבין החלק התחתון של הכלי? במה זה מתבטא?‬
‫מדוע‪ ,‬לדעתכם‪ ,‬בסירים ובכוסות וכדומה רואים למעלה פתח בצורת מעגל והתחתית שלמטה היא‬
‫בצורת עיגול?‬
‫התלמידים יכולים להסביר את הבדלים בתיאורים משלהם‪ ,‬כמו "למעלה יש חור ולמטה אין‬
‫חור"‪ .‬אחרי שהתלמידים יתארו את ההבדלים בסגנון שלהם‪ ,‬חשוב להשתמש במושגים "מעגל"‬
‫ו"עיגול"‪.‬‬
‫יש לציין שמדובר בהמחשות של עיגול ושל מעגל‪) .‬למעגל אין רוחב‪ ,‬ולעיגול אין עובי(‬
‫פעילות ב‪ :‬תחרות בין קבוצות‪ .‬תלמידי הקבוצה מתבקשים לעמוד כל אחד במקום שלו כך שיהיו‬
‫מרוחקים מאחד התלמידים במרחק קבוע‪ .‬הקבוצה שמבצעת את הפעילות בצורה המהירה ביותר‬
‫מנצחת‪.‬‬
‫כדאי שהקבוצות יהיו גדולות יחסית )עד עשרה תלמידים(‪ ,‬ושמספר התלמידים בהן יהיה שווה‪.‬‬
‫אם בכיתה ‪ 30‬תלמידים‪ ,‬יהיו שלוש קבוצות‪ .‬אם בכיתה ‪ 40‬תלמידים‪ ,‬יהיו ארבע קבוצות‪ .‬אם‬
‫מספר התלמידים אינו מתחלק ב‪ ,10 -‬אפשר לחלק אחרת‪ :‬אם יש ‪ 37‬תלמידים‪ ,‬אפשר לחלק ‪36‬‬
‫לשלוש קבוצות או לארבע קבוצות‪ ,‬ומי שנשאר יהיה השופט‪.‬‬
‫המרחק נבחר על‪-‬ידי תלמידי הקבוצה‪ .‬הם בוחרים גם את מי שיעמוד במרכז‪.‬‬
‫אחת הדרכים לבחור מרחק היא לספור אותו מספר צעדים של תלמיד מסוים‪ .‬אם דרך זו לא עולה‬
‫בתוך כדי הדיון‪ ,‬כדאי להזכיר אותה לתלמידים‪.‬‬
‫‪25‬‬
‫בדיון המסכם דנים בשאלות‪ :‬מהי הצורה לארגון כל התלמידים בקבוצה )פרט למי שבמרכז(?‬
‫האם יכולה להיות צורה אחרת‪ ,‬לדוגמה‪ ,‬ריבוע שהוא גם מרובע משוכלל? מבקשים מתלמידי‬
‫קבוצה אחת להתארגן בצורת ריבוע ומותיר התלמידים להעריך את ההתארגנות הזו מבחינת‬
‫הדרישות של הפעילות‪.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬עבודה בחצר‪ .‬קבוצת תלמידים מקבלת מקל )או מסמר(‪ ,‬חוט )או‬
‫חבל( באורך מסוים ועשר אבנים‪ .‬התלמידים מתבקשים להכניס את המקל‬
‫תימצאנה במרחק שווה מבסיס‬
‫לתוך האדמה ולפזר את כל האבנים כך שהן ָ‬
‫המקל‪ .‬מרחק של אורך החוט‪ .‬דנים בדרכים לביצוע הפעילות‪ .‬דנים בשאלה‪:‬‬
‫"מהי הצורה שהאבנים נמצאות עליה?"‬
‫הערה‪ :‬אפשר לבצע את הפעילות בכיתה‪ :‬במקום המקל מציירים נקודה על‬
‫הרצפה )בעזרת הגיר או בהדבקת פלסטלינה(‪.‬‬
‫פעילות ד‪ :‬על הרצפה או בחצר מצויר מעגל‪ .‬התלמידים מקבלים עשרה חוטים )או חבלים(‬
‫בגדלים שונים )לפחות אחד מהם באורך של רדיוס המעגל(‪ .‬הם מתבקשים לשים אבנים כך שכל‬
‫אחת תהיה רחוקה מהנקודה המצוירת על הרצפה )או מבסיס המקל( במרחק השווה לאורך חוט‬
‫מסוים‪ .‬דנים בדרכים לביצוע הפעילות‪ .‬דנים בשאלות‪" :‬אילו אבנים שייכות לעיגול? אילו אבנים‬
‫אינן שייכות לעיגול? כיצד אפשר לתאר את כל הנקודות של העיגול?" )המרחק מהנקודה למרכז‬
‫אינו יותר מרדיוס העיגול‪(.‬‬
‫פעילות ה‪ :‬התלמידים מתבקשים ליצור כלי לסרטוט מעגלים‪.‬‬
‫מובן שיהיו תלמידים שמכירים את המחוגה‪ ,‬והם יעלו רעיון זה כיחיד‪ .‬במקרה זה צריך לבטל את‬
‫ממפתח המחוגה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬אפשר לבקש‬
‫האפשרות הזו ולבקש לסרטט את המעגל שרדיוסו גדול ִ‬
‫לסרטט את המעגל על הלוח‪ ,‬כך שמרכזו באמצע הלוח‪ ,‬ורדיוסו גדול יותר ממפתח המחוגה )כדי‬
‫שלא יתאפשר סרטוט בעזרת המחוגה(‪ .‬הכלי יכול להיראות כך‪ :‬חוט )חבל( באורך מסוים שבקצה‬
‫אחד שלו קשור גיר או עיפרון‪ ,‬את הקצה השני מחזיקים ביד או קושרים ל"מרכז" )באמצעות‬
‫מסמר‪ ,‬מקל‪ ,‬עץ וכדומה‪ ,‬תלוי במשימה(‪ ,‬מותחים את החבל )חוט( ככל שאפשר‪ ,‬ומציירים את‬
‫המעגל‪ .‬אורך החוט הוא רדיוס המעגל‪ .‬במקום חוט אפשר לקחת פס קרטון או מקל )לצורך‬
‫הרדיוס(‪.‬‬
‫פעילות ו‪ :‬תלמידים של קבוצה אחת מתבקשים לעמוד במעגל‪ .‬תלמידים של קבוצה אחרת‬
‫מתבקשים לעמוד בצורת ריבוע‪ .‬תלמידים בכל אחת מהקבוצות מתבקשים להסתובב סביב‬
‫המרכז‪) .‬אפשר להעמיד אחד מהתלמידים במרכז‪ (.‬מרכז הריבוע הוא נקודת החיתוך של‬
‫אלכסוניו‪ .‬חשוב שאחרי הסיבוב הצורה תישאר‪ ,‬כלומר הריבוע יישאר ריבוע‪ ,‬והמעגל יישאר‬
‫מעגל‪ .‬מבקשים מהתלמידים לחזור על הפעילות כמה פעמים ולשים לב אם הצורה )ריבוע או‬
‫מעגל( נשארת באותו המקום‪ .‬חשוב שהתלמידים‬
‫יגיעו למסקנה שהמעגל תמיד נשאר באותו מקום‬
‫אחרי סיבוב כלשהו‪ ,‬והריבוע לא נשאר באותו מקום‪,‬‬
‫אלא אם כן אם מסתובבים בזווית שמידתה היא‬
‫כפולה של ‪ ,900‬הריבוע נשאר באותו מקום‪ .‬אפשר‬
‫לבצע פעילות זו כאשר מחליפים את הריבוע במשושה‬
‫משוכלל )כל הצלעות שוות וכל הזוויות שוות(‪.‬‬
‫המסקנה‪ :‬רק למעגל )וגם לעיגול( יש התכונה שבסיבוב כלשהו סביב המרכז הוא נשאר באותו‬
‫מקום‪.‬‬
‫הספר לתלמיד‬
‫לפרק זה אין חלק "לעלות על הגל"‪ .‬מומלץ לבצע את פעילות ההטמעה בהתאם לשיעור הנלמד‪.‬‬
‫הערה‪ :‬בפרק זה מומלץ שהתלמידים יעבדו בזוגות וכך יבדקו את הסרטוטים זה של זה‪ .‬אחת‬
‫המטרות של הפרק היא ללמוד לקרוא ולבצע הוראות סרטוט‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :49‬המעגל‬
‫מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי ב' ו‪ -‬ג' לפני השיעור‪.‬‬
‫בשיעור זה התלמידים לומדים את המושג מעגל ואת המושגים הקשורים בו‪ ,‬כמו רדיוס )מחוג(‬
‫המעגל ומרכז המעגל‪ .‬הסבו את תשומת לבם של התלמידים לשני מושגים נוספים שכלולים‬
‫בהגדרת המעגל‪ :‬מרכז המעגל )הנקודה הקבועה( ורדיוס המעגל )המרחק הקבוע(‪ .‬הדריכו את‬
‫‪26‬‬
‫התלמידים לסמן את הנקודות באופן נכון‪ .‬לשם תזכורת כדאי לחזור בקצרה על סימון הנקודות‬
‫)ראו גם את פעילות ההטמעה ב'(‪ .‬חשוב גם להדגיש שלא מוכרחים לסמן את מרכז המעגל באות‬
‫‪ ,O‬אך לעתים קרובות עושים זאת‪ .‬את רדיוס המעגל מקובל לסמן באות מסוימת )‪ r‬או ‪ ,(R‬ואם‬
‫לא רוצים להשתמש באותיות אלו‪ ,‬מסמנים אותו לפי סימון הקטע )למשל‪ ,‬רדיוס ‪.(OA‬‬
‫במתמטיקה מקובל להשתמש במילה "רדיוס" בשני המובנים‪ :‬כקטע )הרדיוס המסורטט( וכאורך‬
‫הקטע )אורך הרדיוס שאותו מודדים בס"מ או במטרים וכדומה(‪ .‬בתוך כדי השיעור וביצוע‬
‫המשימות חשוב לדון עם התלמידים בכך שהנקודות השייכות למעגל נמצאות על ה"קו" בלבד‪,‬‬
‫וכל נקודה אחרת אינה שייכת למעגל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת יישום‪ .‬זיהוי מיקום הנקודות ביחס למעגל‪ .‬שלוש נקודות נמצאות בתוך‬
‫המעגל‪ ,‬שתי נקודות נמצאות על המעגל‪ ,‬ושתי נקודות נמצאות מחוץ למעגל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬התלמידים נדרשים לזהות את רדיוס המעגל‪ .‬הקטע ‪ OB‬הוא רדיוס המעגל‪.‬‬
‫מומלץ לדון עם התלמידים בשאלה מדוע שני הקטעים האחרים אינם רדיוס המעגל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימת יישום‪ .‬חשוב שהתלמידים ילמדו לסרטט את רדיוס המעגל וּלסמן אותו‪,‬‬
‫וכך הם יסיקו ששני הרדיוסים המסורטטים שווים באורכם‪ .‬בסעיף ה' דונו עם התלמידים בדרכי‬
‫ההשוואה שהם יציעו )לדוגמה‪ ,‬אפשר להשוות על‪-‬ידי מדידה או על‪-‬סמך ההגדרה‪ ,‬שזוהי רמה‬
‫גבוהה יותר‪ (.‬בסעיף ו' התלמידים יכולים לסמן את שתי הנקודות ‪ C‬ו‪ D -‬בתוך המעגל או במרחק‬
‫גדול יותר מהרדיוס‪ ,‬ולכן הם עשויים לקבל אי‪-‬שוויונות שונים‪ .‬אך לכולם יהיה אותו שוויון ‪BO‬‬
‫‪ .= AO‬סעיפים ח' ו‪ -‬ט' יכולים להיות קשים לתלמידים בכיתה עקב צורת הכתיבה‪ .‬הכוונה היא‬
‫לאורכי הקטעים‪ .‬בסעיף י' חשוב מאוד לדון ברעיונות של התלמידים ולהגיע אתם למסקנה‬
‫שהמרכז אינו שייך למעגל‪ ,‬מפני שהמעגל הוא קו בלבד‪ .‬מסקנה זו קשה‪ ,‬וייתכן שהתלמידים לא‬
‫יקבלו אותה בקלות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬התלמידים נדרשים לחקור את אורכי הקטעים שבמעגל‪ .‬א( הקטע הארוך ביותר‬
‫הוא הקטע ‪ .OD‬ב( הקטע ‪ OA‬הוא קטע קצר יותר מהרדיוס‪ .‬ג( הקטע ‪ OB‬הוא רדיוס המעגל‪.‬‬
‫ד( ‪OD > OC ; OC > OB ; OB > AO‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :51‬המחוגה והמעגל‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ה' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה לומדים לסרטט מעגל‪ .‬הדבר נעשה‬
‫בעזרת המחוגה‪ .‬המחוגה היא הכלי החשוב לביצוע משימות שונות‪ ,‬ולכן יש להדריך את‬
‫התלמידים להשתמש בה באופן נכון‪ .‬כדי למנוע בעיות מוטוריות על התלמידים לנעוץ היטב את‬
‫הסיכה כדי שלא תזוז ממקומה‪ .‬הסבירו לתלמידים ממה המחוגה מורכבת‪ .‬הסבו את תשומת‬
‫לבם של התלמידים‪ ,‬שיש לחדד את העיפרון שבמחוגה כדי שהציורים יהיו מדוייקים‪ .‬הדריכו את‬
‫התלמידים להשתמש במחוגה בזהירות‪ ,‬ולא להשאירה פתוחה שלא לצורך‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬פיתוח מיומנות של סרטוט בעזרת מחוגה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ִ :6‬מפתח המחוגה שווה לאורך הרדיוס‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬פיתוח מיומנות סרטוט‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬המרחק בין הנקודות שווה לאורך הרדיוס‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :10-9‬התלמידים רוכשים ביטחון בשימוש במחוגה בתוך כדי הסרטוטים‪.‬‬
‫הסרטוטים מאפשרים לתלמידים לרכוש ידע אינטואיטיבי שיעזור להוכחות פורמליות בשנים‬
‫הבאות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬התלמידים מיישמים את המושגים הקשורים למעגל‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :53‬מיתר וקוטר במעגל‬
‫בשיעור זה לומדים על שני קטעים מיוחדים במעגל‪ :‬מיתר המעגל וקוטר המעגל‪ .‬יש להדגיש‬
‫לתלמידים שהקוטר הוא המיתר הגדול ביותר בין כל מיתרי המעגל‪ ,‬כלומר גם הקוטר הוא מיתר‪.‬‬
‫גם לקוטר יש סימון מקובל‪ :‬האות ‪ .d‬גם במילה "קוטר" משתמשים בשני המובנים‪ :‬אורך וקטע‬
‫)תלוי בהקשר(‪.‬‬
‫‪27‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬זיהוי של קטעים במעגל‪ .‬במעגל המסורטט יש שני מיתרים בלבד‪ .‬הקטע ‪CD‬‬
‫הוא קוטר המעגל‪ .‬הקטע ‪ AB‬הוא מיתר המעגל ואינו קוטר‪ .‬הקטע ‪ OF‬הוא רדיוס המעגל‪ .‬שימו‬
‫לב‪ ,‬רדיוס אינו מיתר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬התלמידים נדרשים לסרטט מעגל כלשהו שמרכזו ‪.O‬‬
‫כמו‪-‬כן הם נדרשים לסרטט בתוך המעגל שני קטרים‪ .‬חשוב להדגיש כי הקטרים הם מיתרים‬
‫העוברים דרך מרכז המעגל‪.‬‬
‫ג( הקטע ‪ AC‬הוא מיתר‪.‬‬
‫ד( הקטע ‪ OB‬הוא רדיוס המעגל‪ .‬ה( הקטע ‪ DB‬הוא מיתר‪.‬‬
‫ו( אם נחבר את הנקודות ‪ A‬ו‪ ,D -‬נקבל מיתר שאינו קוטר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬זיהוי מושגים הקשורים למעגל; א( קוטר הוא מיתר‪ .‬רדיוס אינו מיתר‪ ,‬כיוון‬
‫שהוא אינו מחבר שתי נקודות על המעגל‪ .‬ב( קוטר תמיד מורכב משני רדיוסים‪ ,‬לכן הוא גדול‬
‫מהרדיוס פי שניים‪ .‬קוטר המעגל שווה לשני רדיוסים‪ .‬ג( המסקנה נכונה בכל מעגל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬שימו לב שהקטע ‪ FN‬הוא קוטר וגם מיתר‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪54‬‬
‫שיעור זה הוא בעצם סיכום של המסקנות של משימה ‪ .14‬אפשר להגיע למסקנה נוספת‪ :‬רדיוס‬
‫המעגל שווה למחצית קוטר המעגל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬א( ברדיוס של ‪ 13.87‬ס"מ; ב( במרחק קטן או גדול מהרדיוס‪ .‬הערה‪ :‬אין צורך‬
‫בסרטוט המעגל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬במשימה זו מחשבים את רדיוס המעגל כאשר אורך הקוטר נתון‪ ,‬וגם את קוטר‬
‫המעגל כאשר הרדיוס נתון‪ .‬חישובים אלו הם מיומנויות חשובות בנושא של מעגל ועיגול‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬ג( אי‪-‬אפשר לסרטט שני קטרים מקבילים זה לזה או שני רדיוסים מקבילים זה‬
‫לזה‪ ,‬כי לכל הרדיוסים ולכל הקטרים יש נקודה משותפת שהיא מרכז המעגל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬לפניכם אחת מאין‪-‬סוף האפשרויות לסרטוט‪.‬‬
‫מעגל ‪3‬‬
‫מעגל ‪2‬‬
‫מעגל ‪1‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :55‬קשת המעגל‬
‫בשיעור זה לומדים מושג נוסף‪ :‬קשת המעגל‪ .‬שימו לב‪ :‬הקשת מסומנת בשלוש אותיות אם יש‬
‫לס ֵפק באיזו קשת מדובר‪ .‬אם אין ספק‪ ,‬אפשר לסמן את הקשת בשתי אותיות המייצגות‬
‫מקום ָ‬
‫את קצותיה )לדוגמה‪ ,‬אם סוכם שמדובר בקשת הקטנה מבין השתיים(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬ב( שלוש נקודות מחלקות את המעגל לשש קשתות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬משימת יישום‪ .‬מתרגלים סרטוט וסימון של קשתות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬התלמידים יסמנו בעזרת המחוגה שלוש קשתות שוות )אותו ִמפתח מחוגה בכל‬
‫קשת(‪ .‬לאחר מכן יסרטטו מיתרים בעזרת סרגל‪ .‬רצוי לדון עם התלמידים באורכם של המיתרים‬
‫ולהגיע למסקנה שקשתות שוות נשענות על מיתרים שווים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬בשני המעגלים המסורטטים אורך הרדיוס שווה‪ .‬אפשר להשתמש בחוט כדי‬
‫לבדוק איזו קשת ארוכה יותר‪ ,‬וכן אפשר למדוד את המיתרים שהקשתות נשענות עליהם‪ ,‬ולפי‬
‫אורכם להגיע למסקנה איזו קשת גדולה יותר‪.‬‬
‫‪28‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :56‬העיגול‬
‫מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי א' ו‪ -‬ד' לפני השיעור‪ .‬בהמשך יידרש ידע בנושא של מרובעים‪,‬‬
‫ולכן מומלץ לבצע את פעילות ההטמעה ג'‪.‬‬
‫בשיעור זה לומדים מושג חדש‪ :‬עיגול‪ .‬עד כה הבינו התלמידים היטב‪ ,‬שהמעגל הוא הקו בלבד‪,‬‬
‫ומעכשיו הם יעסקו בשתי צורות‪ :‬מעגל )"הקו"(‪ ,‬ועיגול )"המעגל ‪ +‬חלק הפנימי שלו"(‪ .‬ייתכן‬
‫שהתלמידים יתבלבלו בין שני המושגים‪ ,‬וכדי למנוע זאת חשוב לברר מהם ההבדלים בין שתי‬
‫הצורות‪ .‬הסיפור הפותח את השיעור נותן רושם מהו העיגול )כל הנקודות שמרחקיהן מהמרכז‬
‫אינו גדול מהרדיוס(‪ .‬כל הקטעים ‪ -‬כגון רדיוס‪ ,‬קוטר‪ ,‬מיתר ‪ -‬מוגדרים כמו במעגל‪ .‬הערה‪ :‬כדי‬
‫להבחין בין המעגל לבין העיגול בסרטוט נצבע את הפנים של העיגול‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬אחת הדוגמאות לחפצים שאפשר לראות בהם עיגול היא תחתית של סיר עגול‪.‬‬
‫ישנם סירים שהתחתית שלהם והמכסה שלהם הם עיגול‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬משימת יישום‪ .‬שימו לב שהמעגל הוא חלק מהעיגול‪ ,‬לכן כל נקודה של המעגל‬
‫שייכת גם לעיגול‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬מרכז המעגל לא שייך למעגל‪ ,‬אלא שייך לעיגול‪ .‬עובדה זו קשה‬
‫להבנה של התלמידים הצעירים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬ההסבר על‪-‬ידי התלמידים מחזק את הבנת המושגים "מעגל" ו"עיגול"‪ .‬אפשר גם‬
‫לגלות אם התלמידים אכן מבינים את ההבדלים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬במשימה זו עוסקים במושגים שנלמדו עד כה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬למעגל ולישר שתי נקודות משותפות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬הנקודות ‪ K‬ו‪ M -‬מרוחקות בשני סנטימטרים מהמרכז‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬א( בציור שבעה עיגולים; ב( כן; ג( אורך צלע המשושה שווה‬
‫לקוטר המעגל‪ ,‬והיקף המשושה שווה לשש פעמים קוטר המעגל כי כל‬
‫צלע מחברת בין שני מרכזי מעגל‪ ,‬לכן‪ ,‬אורכו שווה לשני רדיוסים‪.‬‬
‫הערה‪ :‬צלע של משושה חסום במעגל שווה לרדיוס המעגל ולכן היקפו שווה ל‪6-‬‬
‫פעמים רדיוס המעגל החוסם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬א( המעגל השני יעבור דרך מרכז המעגל הראשון‬
‫מפני שלפי הגדרת המעגל‪ ,‬הוא מורכב מכל הנקודות שמרוחקות‬
‫ב‪ 4 -‬ס"מ ממרכזו‪ ,‬ומרכז המעגל הראשון הוא אחת הנקודות של‬
‫המעגל השני‪ .‬הסבר זה דורש רמה מסוימת בהבנת קשרים לוגיים‬
‫בין ההגדרה לבין הביצוע‪ ,‬ולכן סביר להניח שרק חלק מהתלמידים‬
‫יגיע למסקנה ברמה זו‪ .‬עם זאת כולם יכולים לבצע את המשימה‬
‫באופן מעשי‪ .‬בסעיפים ב' ו‪ -‬ג' המשולשים שיתקבלו הם משולשים‬
‫שווי‪-‬צלעות‪ .‬אורך כל צלע הוא ארבעה סנטימטרים‪,‬‬
‫כלומר שווה לרדיוס המעגל‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬א( הנקודות ‪ N‬ו‪ M -‬מרוחקות במידה שווה מהנקודות ‪ C‬ו‪ .D -‬למעשה‪ ,‬המרחק‬
‫הוא רדיוס המעגל‪ .‬ב( המרובע ‪ CMDN‬המתקבל מחיבור ארבע הנקודות הוא מעוין‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬אם התלמידים מתקשים בביצוע המשימה‪ ,‬הציעו להם לסרטט בעיפרון ישר‪,‬‬
‫ועליו לקבּוע את מרכזי העיגולים )לאחר שהחליטו על אורכי הרדיוסים(‪ .‬לאחר שיסרטטו את שני‬
‫חצאי העיגולים‪ ,‬ימחקו את הישר‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬דונו עם התלמידים בדרכי החשיבה‬
‫‪.‬‬
‫שלהם‪ .‬אם רדיוס הכפתור הוא ‪ 5‬ס"מ‪ ,‬קוטרו ‪ 10‬ס"מ‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫כלומר אורך כל אחת מהצלעות של המלבן )השלט(‬
‫צריך להיות לפחות ‪ 10‬ס"מ‪ .‬הדבר בלתי‪-‬אפשרי מפני‬
‫‪C‬‬
‫ששטח המלבן הוא ‪ 35‬סמ"ר‪ ,‬ולא ‪ 100‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪G D‬‬
‫‪29‬‬
‫‪H‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :59‬עיגול וקווים אחרים‬
‫בשיעור זה לומדים על קטעים נוספים שעשויים להימצא בעיגול‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬בכל סעיף‪ ,‬פרט לסעיף ה'‪ ,‬יש אין‪-‬סוף אפשרויות שונות לתשובה הנכונה‪ .‬ראו‬
‫דוגמאות של הקטעים‪ .‬בסעיף ה' אי‪-‬אפשר לסרטט קטע המתאים לדרישה‪ .‬שימו לב שהקטע ‪EF‬‬
‫יכול לנגוע במעגל )וכמובן‪ ,‬גם בעיגול( באחד הקצוות‪ ,‬כמו בנקודה ‪ E‬בלבד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬חקירת הקשרים בין קרן‪ ,‬מעגל ועיגול‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬כדאי לחזור על ההבדל בין מעגל לבין עיגול‪ .‬הקוטר נמצא כולו בעיגול‪ ,‬אך אינו‬
‫חלק מהמעגל‪ .‬יש לו שתי נקודות משותפות עם המעגל‪ .‬לרדיוס יש נקודה משותפת אחת עם‬
‫המעגל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬למעגל ולעיגול יש אין‪-‬סוף קווי סימטריה‪ .‬כל אחד מהם עובר דרך מרכז המעגל‪.‬‬
‫במעגל אפשר לסרטט "אין‪-‬סוף" קטרים ואין‪-‬סוף רדיוסים‪ .‬במעגל יש אין‪-‬סוף נקודות‪ .‬גם בעיגול‬
‫יש אין‪-‬סוף נקודות‪ .‬המושג אין‪-‬סוף קשה לתפיסה על‪-‬ידי כל התלמידים‪ ,‬ולכן חשוב מאוד לדון‬
‫בשאלות אלו בכיתה‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :40-39‬התלמידים מתבקשים לסרטט‬
‫קישוטים בעזרת המחוגה‪.‬‬
‫לפניכם סרטוטים אפשריים בהקטנה‪.‬‬
‫להלן סרטוט ש ל מעגלים המשיקים זה לזה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪:41‬‬
‫ד( אורך הקטע ‪ CD‬שווה לסכום של שני הקטרים )לפעמים הוא שווה לקוטר המעגל‪ ,‬כי הקטרים‬
‫שווים(‪ .‬אורך הקטע ‪ AD‬גדול יותר מקוטר המעגל )ואף מהסכום של שני הקטרים(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬חקירת קשרים בין מעגל‪ ,‬עיגול וקווים אחרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬במשימה זו יזהו התלמידים צורות שונות‪ ,‬ימדדו אורכים מתאימים ויחשבו‬
‫היקפים ושטחים נדרשים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :44‬כאן מראים לתלמידים כיצד אפשר לסרטט קישוטים בעזרת המחוגה‪ .‬אפשר גם‬
‫לבקש מהתלמידים ליצור קישוטים משלהם ולקשט את הכיתה בציורים אלו‪.‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪62‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד בפרק‪ :‬המושגים מעגל ועיגול וכן מושגים הקשורים בהם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :45‬א( מעגל הוא אוסף כל נקודות המישור‪ ,‬הנמצאות במרחק שווה מנקודה קבועה‬
‫של המישור‪ .‬לעומת זאת העיגול הוא שטח הכלוא בתוך המעגל‪.‬‬
‫ב( הקוטר גדול מהרדיוס פי שניים‪.‬‬
‫ג( מרכז המעגל שייך לעיגול המוגבל על‪-‬ידי מעגל זה‪ ,‬אך הוא אינו שייך למעגל עצמו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :46‬במשימה זו מסכמים את כל הנלמד בפרק‪ .‬סרטוט המעגל והקטעים השונים שבו‬
‫מחזקים את ההבנה ואת ההבחנה ביניהם‪.‬‬
‫‪30‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמ' ‪65-63‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬סרטוט מעגלים‪ .‬חשוב להדריך את התלמידים להשתמש נכון במחוגה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬חשוב שהתלמידים יסרטטו מיתרים שונים )לאו דווקא קטרים(‪ .‬ג( אי‪-‬אפשר‬
‫לסרטט מיתר גדול מקוטר המעגל‪ ,‬כי הקוטר הוא המיתר הגדול ביותר‪ .‬חשוב שהתלמידים יתנסו‬
‫בדבר‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :4-3‬משימות יישום‪ .‬חשוב שהתלמידים ישלטו בפתרון בעיות מסוג זה‪ .‬מומלץ‬
‫לתרגל משימות חישוב כאלה גם בעל‪-‬פה‪ .‬אפשר גם להוסיף שאלות כמו "תנו דוגמאות לאורך‬
‫מיתר השונה מקוטר המעגל‪ ,‬אם רדיוס המעגל שווה ל‪ 2 -‬ס"מ"‪ ,‬או "האם מיתר המעגל יכול‬
‫להיות באורך של ‪ 2‬ס"מ‪ ,‬אם רדיוס המעגל שווה ל‪ 1 -‬ס"מ? ל‪ 1.5 -‬ס"מ? ל‪ 0.5 -‬ס"מ?"‬
‫משימה מס' ‪ :5‬לפניכם סרטוט אפשרי אחד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬ד( אי‪-‬אפשר לסרטט מיתר גדול מקוטר המעגל‪ ,‬כלומר אי‪-‬אפשר לבצע את סעיף‬
‫ג'‪ .‬בסעיפים א' ו‪ -‬ב' עדיף להיעזר במחוגה כך‪ :‬מסמנים נקודה כלשהי על המעגל‪ ,‬פותחים את‬
‫במפתח של הרדיוס בסעיף ב'(‪ ,‬נועצים קלות את הסיכה של‬
‫במפתח של ‪ 5‬ס"מ )או ִ‬
‫המחוגה ִ‬
‫המחוגה בנקודה המסומנת‪ ,‬ועל המעגל מסמנים את הנקודה השנייה בעזרת העיפרון של המחוגה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬החפצים יכולים להיות כוס‪ ,‬צלחת‪ ,‬סיר‪ ,‬כפתור‪ ,‬שעון וכדומה‪ .‬ודאו שהתלמידים‬
‫ימדדו את הרדיוס בכל חפץ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬כדי למצוא את הנקודות המרוחקות מהנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬במרחק של שישה‬
‫סנטימטרים‪ ,‬צריך לסרטט שני מעגלים ברדיוס של ‪ 6‬ס"מ‪ ,‬שמרכזם בנקודות ‪ A‬ו‪ .B -‬שתי נקודות‬
‫החיתוך של המעגלים המסורטטים הן הנקודות המבוקשות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬הסבו את תשומת לב התלמידים כי אפשר לבצע משימה זו על‪-‬גבי הסרטוט‬
‫שבנספח‪ .‬שתי הנקודות הן מרכזי המעגלים‪ .‬המרחק בין שני המרכזים הוא ‪ 1‬ס"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬יישום של המושגים שנלמדו וסרטוט לפי הוראות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬לפני ביצוע המשימה רצוי להדגיש לתלמידים שיש לקרוא היטב את ההוראות‬
‫ולבצע את המשימה לפי סדר ההוראות‪.‬‬
‫שאלות מילוליות‪ ,‬עמוד ‪66‬‬
‫בעמוד זה מוצגים שלושה מצבים שונים של מיקום שני מעגלים במישור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬המעגלים ַמשיקים‪ ,‬כלומר יש להם רק נקודה אחת משותפת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬המעגלים חותכים זה את זה‪ ,‬כלומר‪ :‬למעגלים יש שתי נקודות משותפות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬למעגלים אין נקודות משותפות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬כדי לסרטט משושה משוכלל מסמנים נקודה ‪ A‬על המעגל‪,‬‬
‫ומהנקודה הזו מסמנים בעזרת המחוגה חמש נקודות נוספות‪ E ,D ,C ,B :‬ו‪F -‬‬
‫זו אחר זו‪ ,‬כאשר ִמפתח המחוגה פתוח באורך של הרדיוס‪ .‬הסרטוט ייראה בערך כך‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫•‬
‫•‪C‬‬
‫•‬
‫•‪F‬‬
‫‪•E‬‬
‫‪31‬‬
‫•‪B‬‬
‫•‬
‫‪D‬‬
‫היסטוריה ‪ ,‬עמוד ‪67‬‬
‫בחלק ההיסטוריה מוצג לתלמידים "מעגל תשע הנקודות"‪.‬‬
‫מעגל זה עובר דרך אמצעי הצלעות של המשולש‪ ,‬דרך נקודות מפגש הגבהים עם הצלעות ודרך‬
‫אמצעי הקטעים‪ .‬מחברים את נקודת המפגש ‪ H‬של הגבהים עם הקדקודים‪ ,‬סך‪-‬הכול תשע‬
‫נקודות‪ .‬מתמטיקאים נוספים מצאו עוד ‪ 43‬נקודות מיוחדות על מעגל זה‪) .‬באנגליה המעגל נקרא‬
‫מעגל ‪.(FEUERBACH‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪68‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬א( הרדיוס ‪ OA‬משותף לשני המעגלים ואורכו שני סנטימטרים‪.‬‬
‫ב( כן ג( משימת סרטוט של מעגלים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬מטרת המשימה היא סרטוט מורכב לפי הוראות‪.‬‬
‫יב( דרך שתי נקודות עוברים אין‪-‬סוף מעגלים‪ .‬המרכזים של המעגלים נמצאים כולם על האנך‬
‫האמצעי של הקטע המחבר בין שתי הנקודות‪.‬‬
‫יג( כאשר נתונות שתי נקודות ורוצים לבנות מעגל העובר דרכן‪ ,‬בונים את האנך האמצעי של‬
‫הקטע המחבר בין שתי הנקודות‪.‬אפשר גם למדוד את המרחק בין שתי הנקודות ולמצוא את‬
‫נקודת האמצע‪ .‬נקודה זו תשמש כמרכז המעגל‪.‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪:69‬‬
‫עמוד זה מיועד לחזרה על נושאים שנלמדו קודם לכן‪ַ :‬ה ָמ ָרה של יחידות אורך‪ ,‬חיבור וחיסור של‬
‫מספרים טבעיים‪ ,‬צמצום והרחבה של שברים‪ ,‬פעולות חשבון המתוארות כסכמות‪ ,‬וכן תכונות של‬
‫מרובעים‪.‬‬
‫‪32‬‬
‫עמודים ‪102-70‬‬
‫ד‪ .‬כפל שברים‬
‫רקע‬
‫פרק זה עוסק בכפל שברים "פשוטים"‪ .‬עד כה למדו התלמידים חיבור וחיסור של שברים‪ ,‬כפל‬
‫שלם בשבר‪ ,‬הפיכת שבר גדול מ‪ 1 -‬למספר מעורב ולהפך‪ ,‬צמצום שברים והרחבתם‪ ,‬שברים‬
‫יסודיים ומציאת שטח המלבן‪ .‬כלומר לתלמידים יש בסיס כדי להבין וללמוד כפל שברים‪ .‬הצורך‬
‫בפתרון תרגיל כפל שברים בא לידי ביטוי בבעיות מסוג מציאת שטח מלבן‪ .‬לדוגמה‪ ,‬כדי למצוא‬
‫‪2 5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫שטח המלבן שאורכי צלעותיו הם מ' ו‪ -‬מ'‪ ,‬צריך לפתור את התרגיל × ‪ .‬דוגמה אחרת‬
‫‪3 7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫היא מציאת חלק מכמות כמו בבעיה‪" :‬בכיתה ד' ‪ 30‬תלמידים‪.‬‬
‫מתלמידי הכיתה יודעים‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫לשחות‪ .‬כמה תלמידים בכיתה יודעים לשחות?" התרגיל שצריך לפתור הוא ×‪. 30‬‬
‫‪3‬‬
‫מטרת הפרק היא ללמד את התלמידים לכפול שבר כלשהו בשבר כלשהו ולפתור בעיות מילוליות‬
‫פשוטות הקשורות לנושא‪ ,‬כלומר להבין את משמעות המושג חלק של‪ .‬ההוראה של כפל שבר‬
‫בשבר נעשית בהדרגה‪ .‬תחילה התלמידים לומדים שכל שבר אפשר להציג כמכפלת שלם בשבר‬
‫יסודי‪ ,‬לאחר מכן כופלים שלם בשבר כלשהו‪ ,‬אחר‪-‬כך מבצעים כפל של שבר יסודי בשבר יסודי‬
‫ולבסוף מגיעים לכפל של שבר בשבר‪ .‬בדרך זו קל יותר להבין את האלגוריתם של כפל שברים‬
‫כלשהם‪ .‬כמובן‪ ,‬בפרק עוסקים גם בכפל מספרים מעורבים‪ ,‬במושג מספר הפוך ובבעיות של‬
‫מציאת חלק מכמות‪.‬‬
‫הקשיים המתעוררים אצל התלמידים קשורים פחות לפתרון תרגילי כפל שברים ויותר להבנת‬
‫המשמעות של המושג חלק של שלם )או חלק משלם(‪ .‬כלומר יש תלמידים המתקשים להבין את‬
‫השימוש בפעולת הכפל ב"ניסוח" של בעיה מילולית‪.‬‬
‫כדי למנוע קשיים חשוב שהתלמידים יפנימו את שתי העובדות העיקריות בנושא‪:‬‬
‫א‪ .‬אפשר להציג כל שבר כמכפלה של מספר טבעי בשבר יסודי‪ :‬בדרך כלל‪ ,‬התלמידים מבינים את‬
‫‪b a×b‬‬
‫‪1 3‬‬
‫השוויון‪:‬‬
‫= × ‪ . a‬דוגמה‪ 3 :‬כפול חצי שווה לשלושה חצאים ) = × ‪ .( 3‬אך הם אינם‬
‫‪2 2‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫יודעים את המשמעות של השוויון בכיוון הפוך‪ ,‬כלומר שלושה חצאים שווה לשלוש כפול חצי‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫×‪. = 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬המשמעות של המילים "של" ו‪" -‬מ" היא כפל‪ .‬כלומר כשמוציאים חלק של כמות או חלק‬
‫מכמות‪ ,‬כופלים את הכמות בשבר‪ .‬בפרק ט' יעסקו התלמידים בבעיות בשברים ויעמיקו בנושא‪.‬‬
‫קושי נוסף הוא שעד עכשיו המושג כפל היה קשור בעיקר לחיבור חוזר‪ .‬מספר הפעמים הוא מספר‬
‫‪1 1 1‬‬
‫שלם‪ .‬דוגמה‪ :‬שלוש כפול חצי פירושו שלוש פעמים חצי ‪ . + +‬קשה יותר להבין את החיבור‬
‫‪2 2 2‬‬
‫כאשר כופלים שבר בשבר כחיבור חוזר )למשל‪ ,‬חצי כפול שליש(‪.‬‬
‫עד כה עסקו התלמידים בכפל של מספרים טבעיים‪ .‬מכפלה של שני גורמים טבעיים שונים מ‪0 -‬‬
‫ומ‪ ,1 -‬גדולה מכל אחד מהגורמים‪ .‬אולם בכפל שברים המכפלה אינה גדולה מהגורמים‪ .‬לעתים‬
‫היא קטנה מאחד הגורמים‪ ,‬ולעתים היא קטנה אפילו משני הגורמים‪.‬‬
‫הנושא יוצג בדרכים שונות ובשלבים‪ .‬בכל שלב יפורטו שיטות שונות לחישוב‪.‬‬
‫הייצוגים‪ :‬ייצוגים בדידים )בקבוקים‪ ,‬כדורים( וייצוגים רציפים )ציר המספרים‪ ,‬שטח מלבן( ‪-‬‬
‫ייצוגים אלה אינם מודלים שקולים‪ .‬הייצוגים הבדידים קשורים לעובדות מהחיים‪ ,‬אך הם אינם‬
‫מדגימים את קיום חוק החילוף בכפל‪ ,‬ואילו כפל המוצג כשטח המלבן הוא ייצוג שבעזרתו אפשר‬
‫להדגים את כל תכונות הכפל בכל סוגי המספרים‪ .‬החיסרון של ייצוג זה טמון בקשר בין תוצאת‬
‫הכפל ליחידת השטח‪ .‬דוגמה‪ :‬כאשר ַמציגים מכפלת שלם בשבר על‪-‬ידי שטח המלבן‪ ,‬התלמידים‬
‫עשויים להתקשות בייצוג התרגיל‪ ,‬בעיקר משום שקשה להבין מהי יחידת השטח‪.‬‬
‫שימו לב‪ :‬לפי האקדמיה ללשון העברית‪ ,‬צריך לומר‪" :‬מספר הפוך" ולא "מספר הופכי"‪ .‬לדוגמה‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫צריך לומר " הוא המספר ההפוך ל‪."3 -‬‬
‫‪3‬‬
‫הפרק מתאים לתכנית הלימודים‪ .‬מומלץ להקדיש לו כ‪ 7 -‬שעות לימוד‪.‬‬
‫‪33‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬לייצג שבר "פשוט" כמכפלה של שבר יסודי בשלם;‬
‫ב‪ .‬לחשב מכפלה של מספר שלם בשבר יסודי;‬
‫ג‪ .‬לחשב מכפלה של מספר שלם בשבר "פשוט";‬
‫ד‪ .‬למצוא מספר הפוך למספר טבעי נתון;‬
‫ה‪ .‬למצוא מספר הפוך לשבר יסודי;‬
‫ו‪ .‬לחשב מכפלה של מספר שלם במספר מעורב;‬
‫ז‪ .‬למצוא חלק של כמות במקרים פשוטים;‬
‫ח‪ .‬לחשב מכפלה של שבר "פשוט" בשבר "פשוט";‬
‫ט‪ .‬לחשב מכפלה של שבר "פשוט" במספר מעורב;‬
‫י‪ .‬לחשב מכפלה של מספר מעורב במספר מעורב‪.‬‬
‫מושגים‬
‫שבר יסודי‪ ,‬שבר "פשוט"‪ ,‬שבר גדול מ‪ ,1 -‬מספר מעורב‪ ,‬כפל‪ ,‬מספר הפוך‪ ,‬שטח מלבן‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫דף משבצות‪ ,‬מלבנים‪ ,‬ציר המספרים‪ ,‬ריבועי מנייה‪" ,‬סרט מידה של שברים" )באביזרים של‬
‫כיתות ו'(‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על חיבור שברים בעלי אותו מכנה‪.‬‬
‫על הלוח כתובים תרגילי חיבור של שברים בעלי אותו מכנה‪ ,‬ביניהם גם תרגילי שרשרת‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים לפתור אותם בעל‪-‬פה‪ .‬דוגמאות לתרגילים‪:‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪4 2 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪. + =,‬‬
‫‪+ + =,‬‬
‫= ‪+ + + +‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪5 5 5‬‬
‫‪20 20 20 20 20‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על חיבור מספרים מעורבים ועל שברים בעלי אותו מכנה‪.‬‬
‫על הלוח כתובים תרגילים של חיבור של שברים בעלי אותו מכנה‪ ,‬ביניהם גם תרגילי שרשרת‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים לפתור אותם בעל‪-‬פה‪ .‬דוגמאות לתרגילים‪:‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9‬‬
‫= ‪. 5 + =, 1 + 1 + + 1 =, 1 + 2 + 3 + 4 +‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5 5‬‬
‫‪20‬‬
‫‪20‬‬
‫‪20‬‬
‫‪20 20‬‬
‫ג‪ .‬חזרה על הפיכת שבר גדול מ‪ 1 -‬למספר מעורב ועל הפיכת מספר מעורב לשבר‪.‬‬
‫על הלוח כתובים שברים‪ .‬על התלמידים להפוך אותם למספרים מעורבים‪.‬‬
‫אחר‪-‬כך כותבים על הלוח מספרים מעורבים‪ ,‬ומבקשים מהתלמידים להפוך אותם לשברים‪.‬‬
‫‪1 4 7 5 13 8‬‬
‫‪. 5 ,1 ,3‬‬
‫דוגמאות לשברים ולמספרים מעורבים‪, , , :‬‬
‫‪2 5 10 2 12 6‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬עבודה בקבוצות‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים לחפש דוגמאות לשימוש בשברים )חלוקת עוגה‪ ,‬חלוקת עבודה‪ ,‬חלוקת זמן‪,‬‬
‫ִמבצעים כמו "חצי חנות ב‪ ,"50% -‬בעיות דרך‪ ,‬גזירת בדים בתפירה וכדומה(‪.‬‬
‫החברים בכל קבוצה מתבקשים לבחור שבר באחד מהשימושים ולכתוב בעיה שבה מכפילים את‬
‫השבר ב‪ ,3 -‬ולפתור אותה‪ .‬דוגמאות‪" :‬להכנת עוגה נדרשת חצי חבילת שוקולד‪ .‬כמה חבילות‬
‫‪34‬‬
‫שוקולד נדרשות להכנת שלוש עוגות?"; "אורי אכל חמישית מהפשטידה‪ ,‬ליאורה אכלה פי שלושה‬
‫יותר מאורי‪ .‬איזה חלק מהפשטידה אכלה ליאורה?"‬
‫פעילות ב‪ :‬מציירים על הלוח ציר מספרים שבו קטע היחידה מחולק לשנים עשר חלקים‪ ,‬וציר‬
‫ריק‪ .‬אפשר לבצע את הפעילות גם על הלוח המחיק שבשקית האביזרים‪ .‬כל אחד מהתלמידים‬
‫כותב לעצמו שני שברים‪ :‬הראשון הוא שבר כלשהו‪ ,‬והשני הוא שבר יסודי בעל אותו מכנה לפי‬
‫בחירתו‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫מחליטים להציג על הציר תחרות קפיצות‪ .‬השבר הראשון מייצג את נקודת הסיום‪.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים לסמן על אחד הצירים את נקודת הסיום שלהם‪ ,‬את אורך הקפיצה ואת‬
‫מספר הקפיצות שהם קפצו‪ .‬מבקשים מהתלמידים להסביר את תשובותיהם‪.‬‬
‫לאחר מכן המורה אומרת שבר יסודי ושואלת לאן מגיעים אחרי ‪ 6 ,4 ,3‬קפיצות‪.‬‬
‫המסקנה היא שהשבר שווה לכפל של שלם )המונה( בשבר יסודי‪.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬עובדים בזוגות‪ :‬כל אחד מהתלמידים מצייר אותו מלבן על נייר משובץ‪ .‬תלמיד אחד‬
‫מתבקש לצבוע חצי של שליש‪ ,‬והתלמיד האחר יצבע שליש של חצי )אפשר לבחור שברים אחרים‬
‫שאינם מספרים טבעיים(‪ .‬בדיון משווים בין חלקים הצבועים‪.‬‬
‫פעילות ד‪ :‬כל קבוצה מקבלת ארבעה מלבנים חופפים‪ .‬כל מלבן מייצג את השלם‪.‬‬
‫‪1 1‬‬
‫באחד מהמלבנים התלמידים מתבקשים לצבוע ‪+‬‬
‫‪10 5‬‬
‫‪1‬‬
‫במלבן השני התלמידים מתבקשים לצבוע ‪. × 4‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1 1‬‬
‫במלבן השלישי התלמידים מתבקשים לצבוע ‪. +‬‬
‫‪2 5‬‬
‫‪1‬‬
‫במלבן הרביעי התלמידים מתבקשים לצבוע ‪. × 3‬‬
‫‪5‬‬
‫דנים בדרכי פתרון‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫שאלות לדיון כיתתי‪:‬‬
‫• האם חייבים לפתור את התרגילים כדי לבצע את הפעילות?‬
‫• איזו פעולה קלה יותר לביצוע בעזרת ציור?‬
‫• באיזו פעולה השתנו גם המונה וגם המכנה?‬
‫‪35‬‬
‫פעילות ה‪ :‬כל קבוצה מקבלת ‪) 60‬או ‪ 48‬או ‪ (24‬חפצים זהים )כפתורים‪ ,‬ריבועי מנייה‪ ,‬קיסמים‬
‫וכדומה(‪ .‬אפשר גם להשתמש במלבנים ‪.10×6‬‬
‫התלמידים מתבקשים‪...‬‬
‫א‪ .‬לכתוב את כל המחלקים החיוביים של ‪;(60 ,30 ,20 ,15 ,12 ,10 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1) 60‬‬
‫‪1 1‬‬
‫ב‪ .‬לכתוב את כל השברים היסודיים שמכניהם הם המחלקים של ‪ , ) 60‬וכד'(;‬
‫‪3 2‬‬
‫ג‪ .‬להציג את הכמות המתאימה לשבר היסודי )חצי של ‪ 60‬הוא ‪ 30‬וכד'(;‬
‫‪4 2‬‬
‫ד‪ .‬לכתוב ארבעה שברים בעלי מכנים שהם מחלקים של ‪ ,60‬כגון ‪; ,‬‬
‫‪5 3‬‬
‫ה‪ .‬להציג את הכמות המתאימה לשברים ולהסביר את דרך הפתרון‪.‬‬
‫פעילות ו‪ :‬חוזרים על פעילות ב'‪ ,‬והפעם אורך הקפיצה הוא מספר מעורב‪.‬‬
‫פעילות ז‪ :‬כל התלמידים מציירים שישה ריבועים חופפים‪ .‬מסבירים לתלמידים שכל ריבוע הוא‬
‫‪1 2‬‬
‫‪1‬‬
‫יחידת שטח‪ ,‬ושטחו ‪ ,1‬ומבקשים לייצג במלבנים מכפלות שונות כגון × ‪ . × , 2‬דנים‬
‫‪4 3‬‬
‫‪3‬‬
‫באפשרויות השונות ובדרכים לחישוב התוצאה‪.‬‬
‫ב‬
‫ג‬
‫רבע של שני שליש‬
‫‪1 2‬‬
‫×‬
‫‪4 3‬‬
‫שני שלישים‬
‫מחולקים‬
‫לארבעה‬
‫חלקים שווים‬
‫א‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫×‪2‬‬
‫אפשרות א‬
‫אפשרות ב‬
‫הספר לתלמיד‬
‫"לעלות על הגל"‬
‫האם אנו מוכנים? עמ' ‪70‬‬
‫‪ :1‬ב; ‪ :2‬ג; ‪ :3‬ב; ‪ :4‬ד; ‪ :5‬ד; ‪ :6‬ג; ‪ :7‬ב; ‪ :8‬ב‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :71‬שטח מלבן ופעולת כפל‬
‫בשיעור זה חוזרים על ייצוג פעולת כפל של מספרים טבעיים בעזרת שטח מלבן‪ .‬בהמשך נשתמש‬
‫בייצוג זה גם לכפל שברים‪ .‬הסבו את תשומת לבם של התלמידים שתרגיל כפל יכול להיות מיוצג‬
‫במלבן‪ ,‬רק אם המלבן מחולק לחלקים שווים )צורות חופפות(‪ .‬הדגישו לתלמידים שכדי לענות על‬
‫השאלה "מהו השטח?" צריך לבחור את יחידת השטח‪ .‬נוח יותר לבחור ריבוע כיחידת שטח ואחר‪-‬‬
‫כך את מספר ריבועי היחידה המכסים את הצורה‪ .‬אם הצורה היא מלבן‪ ,‬שטחו מחושב על‪-‬ידי‬
‫הכפלת אורכי צלעותיו‪ .‬חשוב להקפיד שמידות הצלעות יהיו באותן יחידות אורך‪ .‬כלומר אם‬
‫מודדים צלע אחת בסנטימטרים‪ ,‬גם את הצלע השנייה יש למדוד בסנטימטרים‪ ,‬ולא במידות‬
‫האחרות )לא במילימטרים‪ ,‬לא במטרים וכדומה(‪ .‬הדריכו את התלמידים לכתוב תשובה לשאלה‬
‫שלעיל‪ ,‬כך שתכלול את המספר ואת הכינוי‪ .‬לדוגמה‪ 24 :‬סמ"ר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת יישום‪ .‬התלמידים נדרשים לכתוב תרגיל כפל לכל אחד מהמלבנים‬
‫הנתונים‪ .‬שימו לב שלמלבן א' מתאים התרגיל ‪ 6 × 1‬או ‪. 1× 6‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬התלמידים נדרשים לסרטט מלבנים בהתאם לתרגילי הכפל הנתונים‪ .‬הנחו את‬
‫התלמידים להיעזר בדף המשבצות שבמחברת‪ .‬אפשר גם להשתמש בדף המשובץ שבנספח‪ .‬שימו‬
‫לב לחלוקה של המלבנים לצורות חופפות‪.‬‬
‫‪36‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימת יישום‪ .‬דונו עם התלמידים בשאלה‪" :‬מדוע מלבן ד' אינו יכול לייצג את‬
‫תרגיל הכפל?"‬
‫משימה מס' ‪ :4‬אפשר להשתמש בדף המשובץ שבנספח‪ .‬התלמידים יכולים לסרטט בכל סעיף‬
‫מלבן שונה ולחלק אותו לצורות חופפות שונות )לדוגמה‪ ,‬למלבנים חופפים או לריבועים חופפים(‪.‬‬
‫המשותף לכל המלבנים הוא ‪ 24‬חלקים כאלה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :72‬חיבור שברים בעלי אותו מכנה‬
‫כאשר מחברים שני שברים בעלי אותו מכנה‪ ,‬התוצאה היא שבר בעל אותו מכנה‪ ,‬והמונה הוא‬
‫סכום המונים‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ 5‬ו‪ :8 -‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬על התלמידים לקשור בין חיבור לבין כפל ולכתוב תרגיל חיבור חוזר של השבר‬
‫כתרגיל כפל של מספר הפעמים )מספר שלם( של השבר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬משימה הפוכה למשימה הקודמת‪ .‬על התלמידים לכתוב תרגיל כפל בשלם כתרגיל‬
‫חיבור חוזר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬על התלמידים לכתוב את המחובר החסר כאשר הסכום ואחד המחוברים ידועים‪.‬‬
‫בעצם התלמידים צריכים לפתור משוואות פשוטות בשברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬על התלמידים לפתור תרגילי כפל ותרגילי חיבור פשוטים ולהשוות בין‬
‫תוצאותיהם‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :73‬שבר יסודי‬
‫בשיעור זה חוזרים על שברים יסודיים‪ ,‬כלומר על השברים בעלי מונה ‪.1‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬מטרת המשימה היא להתאים שבר יסודי לייצוג הנתון ולהתאים את הייצוג‬
‫לשבר יסודי נתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬כדי להשוות בין שברים יסודיים אפשר להיעזר ברצועות השברים שבמארז‬
‫האביזרים של "חשבון ‪ "10‬או בכל ייצוג אחר של שברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬על התלמידים לייצג על‪-‬גבי מלבן או ריבוע‪ ,‬כל אחד מהשברים היסודיים‬
‫הנתונים ‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :74‬הפיכת מספר מעורב לשבר גדול מ‪ 1 -‬ולהפך‬
‫בשיעור זה חוזרים על הפיכת שבר למספר מעורב ועל הפיכת מספר מעורב לשבר‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :16-15‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬כל מספר מעורב הוא בעצם כתיבה מקוצרת של תרגיל חיבור של החלק השלם‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫ושל השבר‪ .‬לדוגמה‪ . 3 = 3 + ,‬על‪-‬סמך זה התלמידים רושמים את השבר החסר‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ 75‬צמצום שברים‬
‫כאשר מחלקים את המונה ואת המכנה באותו מספר )שונה מ‪ ,(0 -‬ערך השבר אינו משתנה‪ .‬חילוק‬
‫)ללא שארית( של מונה ושל מכנה באותו מספר טבעי גדול מ‪ 1 -‬נקרא צמצום השבר‪ .‬שבר שאי‪-‬‬
‫אפשר לצמצמו נקרא שבר מצומצם‪.‬‬
‫המספר שמצמצמים בו את השבר נקרא גורם הצמצום‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :19-18‬משימות יישום‪.‬‬
‫‪37‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬משימה זו מורכבת משני שלבים‪ .‬התלמידים צריכים לסרטט מלבן המחולק‬
‫לשנים עשר חלקים שווים‪ .‬הנחו את התלמידים להשתמש במשבצות שבמחברת‪.‬‬
‫‪4 1‬‬
‫‪3 1‬‬
‫מהמלבן צבוע בירוק‪.‬‬
‫מהמלבן צבוע באדום‪ .‬ב( =‬
‫=‬
‫א(‬
‫‪12 3‬‬
‫‪12 4‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬התלמידים נדרשים לסרטט שלושה קטעים ולייצג עליהם את השברים הנתונים‪.‬‬
‫השימוש במשבצות המחברת יכול לסייע בחלוקת הקטעים‪.‬‬
‫שיעורי הקניה‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :76‬השבר כמכפלת שלם בשבר יסודי‬
‫בשיעור זה לומדים להציג שבר כמכפלה של שלם בשבר יסודי‪ .‬הגורם שהוא השלם‪ ,‬הוא בדיוק‬
‫המונה של השבר הנתון; והגורם השני הוא שבר יסודי שמכנהו הוא המכנה של השבר הנתון‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :2-1‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימת יישום המורכבת משני שלבים‪ :‬הפיכת המספר המעורב לשבר גדול מ‪1 -‬‬
‫ואחר‪-‬כך ייצוג השבר כמכפלה של מספר שלם בשבר יסודי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימת יישום בצורה של בעיה מילולית‪ .‬ג( מספר שלם אפשר להציג כמכפלת‬
‫‪9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫שלם בשבר באין‪-‬סוף דרכים‪ ,‬לדוגמה‪. 3 = = 9 × , 3 = = 6 × ,‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬על התלמידים לכתוב תרגיל של חיבור חוזר כתרגיל כפל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬על התלמידים לייצג שבר נתון כתרגיל חיבור חוזר וכתרגיל כפל של שלם בשבר‬
‫יסודי‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :78‬כפל שלם בשבר יסודי‬
‫בשיעור זה התלמידים לומדים לכפול מספר שלם בשבר‪ .‬ההקניה נעשית דרך חיבור חוזר‪ .‬הכלל‬
‫לגבי הכפלת שלם בשבר נכון בשברים כלשהם‪ :‬קטנים מ‪ ,1 -‬שווים ל‪ 1 -‬וגדולים מ‪ .1 -‬אמנם הכלל‬
‫כתוב באותיות )כהכנה לחטיבת הביניים(‪ ,‬אך הדבר אינו חלק מתכנית הלימודים של כיתה ו'‪ .‬אנו‬
‫הוחלט להציג את הדבר לפני התלמידים‪ ,‬אך אין לדרוש מהם לדעת את הכלל באותיות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬חשוב שהלמידים יפרטו את דרך הפתרון‪ .‬הדריכו אותם להשתמש במחברת כדי‬
‫לפרט את דרך הפתרון ולכתוב בחוברת רק את התשובה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬רצוי לייצג את השאלות המילוליות באיור לפני פתרונן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬במשימה זו מחזקים את הקשר בין ייצוג תרגילים בעזרת ציור לבין תרגילים של‬
‫חיבור חוזר ושל כפל שלם בשבר‪ .‬חשוב שהתלמידים ידעו להתאים תרגיל לציור וגם לייצג בציור‬
‫תרגיל כפל של שלם בשבר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬במשימה זו עוסקים בכפל ב‪ .0 -‬הזכירו לתלמידים שאם לפחות גורם אחד הוא‬
‫‪ ,0‬המכפלה שווה ל‪ ,0 -‬ולא חשוב מהם הגורמים האחרים‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :13-13‬שאלות מילוליות‪ .‬מומלץ לעודד את התלמידים לייצג את הבעיה‪.‬‬
‫‪38‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :80‬חוק החילוף בפעולת הכפל‬
‫בפעולת כפל מתקיים חוק החילוף במספרים כלשהם‪ .‬התלמידים למדו את חוק החילוף שבכפל‬
‫במספרים הטבעיים‪ ,‬וכעת הם מתחילים להכיר אותו בעולם המורחב של המספרים‪ .‬ההיכרות‬
‫נעשית בהדרגה‪ :‬בשיעור זה מראים כיצד חוק חילוף חל בכפל של שלם בשבר‪ ,‬בשיעורים הבאים‬
‫ילמדו התלמידים את חוק החילוף בכפל של שברים‪ ,‬ובפרקים האחרים הם יראו את הפעלתו‬
‫במספרים עשרוניים‪ .‬בתום כיתה ו' ידעו התלמידים שחוק החילוף של הכפל וגם חוקים אחרים‬
‫חלים על כל המספרים שהם הכירו בשש השנים הראשונות של הלימודים בבית הספר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬בעצם אין צורך בפתרון התרגילים‪ .‬אם התלמידים אינם בטוחים בפתרון‪ ,‬אפשר‬
‫לבקש מהם לבדוק את השוויון על‪-‬ידי חישוב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬משימת יישום בצורה של שאלה מילולית‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :81‬מספרים הפוכים‬
‫בשיעור זה לומדים מושג חדש‪" :‬מספרים הפוכים"‪ .‬כל שני מספרים שמכפלתם היא ‪ ,1‬נקראים‬
‫מספרים הפוכים‪ .‬מספרים הפוכים אינם חייבים להיות שברים‪ ,‬אלא אחד מהם יכול להיות שלם‬
‫והאחר שבר‪ ,‬או שניהם יכולים להיות שלמים )אם שניהם שווים ל‪ ,(1 -‬או שניהם מספרים‬
‫עשרוניים וכדומה‪ .‬חשוב להבהיר לתלמידים שאם מספר גדול מ‪ ,1 -‬האחר יהיה תמיד קטן מ‪;1 -‬‬
‫ולהפך‪ :‬אם הראשון קטן מ‪ ,1 -‬האחר גדול מ‪ .1 -‬שימו לב‪ :‬בשיעור זה עוסקים במספרים הפוכים‬
‫כאשר אחד מהם הוא מספר שלם‪.‬‬
‫ישנם שני מספרים מיוחדים בקשר למושג מספר הפוך‪ .‬המספרים הם ‪ 0‬ו‪ .1 -‬ל‪ 0 -‬אין מספר הפוך‬
‫כלל‪ ,‬שכן כל מספר כפול ‪ 0‬שווה ל‪ .0 -‬המספר ההפוך ל‪ 1 -‬הוא ‪ 1‬עצמו מפני ש‪. 1 × 1 = 1 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬התרגילים במשימה זו הם בעצם משוואות כפל‪ .‬על התלמידים למצוא מספר‬
‫הפוך לשלם נתון‪ .‬הם יכולים לבצע זאת בדרך של ניסוי וטעייה‪ .‬דונו עם התלמידים בדרכי‬
‫הפתרון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬המשימה דומה לקודמת‪ ,‬אך הפעם בחלק מהמקרים צריך למצוא גם מספר‬
‫הפוך לשבר יסודי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬אפשר לבדוק את התשובות על‪-‬ידי כפל של שני המספרים‪ .‬אם המספרים אכן‬
‫הפוכים‪ ,‬המכפלה תהיה שווה ל‪.1 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬בעיה מילולית פשוטה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬התלמידים מתבקשים להשלים את המשפטים על‪-‬פי מה שלמדו עד כה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬שניים מתוך ארבעת התרגילים הם תרגילים "פתוחים"‪ .‬דונו עם התלמידים‬
‫באפשרויות שונות של תרגילים מתאימים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬עודדו את התלמידים לכתוב תרגילים של יותר משני גורמים‪ .‬הסבו את תשומת‬
‫לבם ששני מספרים שמכפלתם ‪ 1‬הם מספרים הפוכים‪ .‬אם בתרגיל כפל מספר הגורמים שונה‬
‫משניים‪ ,‬והמכפלה היא ‪ ,1‬המספרים אינם נקראים מספרים הפוכים‪ .‬לדוגמה‪ ,‬בתרגיל‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫אינם מספרים הפוכים‪ ,‬כי יש יותר משני גורמים‪ .‬לעומת‬
‫‪ 5 × 4 × = 1‬המספרים ‪ ,4 ,5‬ו‪-‬‬
‫‪20‬‬
‫‪20‬‬
‫‪1‬‬
‫זאת המספרים ‪ 2‬ו‪ -‬הם מספרים הפוכים‪ ,‬כי יש שני גורמים שמכפלתם היא ‪.1‬‬
‫‪2‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬דונו עם התלמידים בדרכי הפתרון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬המספר ‪ 1‬הוא המספר ההפוך של עצמו‪ .‬למספר אפס אין מספר הפוך‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :83‬דרכי חישוב של כפל שבר בשלם‬
‫בשיעור זה מראים שתי דרכים לפתור תרגיל של שלם בשבר‪ .‬אם למספר השלם ולמכנה של השבר‬
‫אין מחלקים משותפים‪ ,‬והשבר הנתון מצומצם‪ ,‬פותרים את התרגיל בדרך א' בלבד‪ .‬לדוגמה‪,‬‬
‫‪39‬‬
‫‪2 7 × 2 14‬‬
‫‪2‬‬
‫= × ‪ , 7‬כלומר ל‪ 7 -‬ול‪ 3 -‬אין מחלקים משותפים‪ ,‬והשבר‬
‫=‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫הוא שבר מצומצם‪ ,‬לכן‬
‫‪2‬‬
‫כופלים את המונה במספר השלם ומבצעים פעולת כפל במונה‪ .‬לעומת זאת את התרגיל ? = × ‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫אפשר לפתור באותה דרך‪ ,‬אך יש גם אפשרות להקל את החישובים אם שמים לב שלמספר השלם‬
‫ולמכנה יש מחלקים משותפים‪ 3 .‬הוא מחלק של ‪ 3‬ושל ‪ .6‬לפיכך ייראה הפתרון כך‪:‬‬
‫‪2 6× 2 2× 2‬‬
‫= × ‪ . 6‬אפשר גם להראות את הצמצום על‪-‬ידי מחיקה כמו בשיעור‪ .‬נסביר את‬
‫=‬
‫‪=4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫הפתרון‪ :‬כפל וחילוק הם פעולות הפוכות‪ ,‬לכן אם יש בתרגיל פעולות כפל וחילוק בלבד‪ ,‬אפשר‬
‫לכפול תחילה ולאחר מכן לחלק ואפשר לחלק תחילה ולאחר מכן לכפול‪ .‬במקרה זה סדר הפעולות‬
‫אינו משפיע על התוצאה‪ .‬השתמשנו בתכונה זו‪ ,‬ולפני פעולת כפל במונה צמצמנו את השבר‪ ,‬כלומר‬
‫חילקנו את המונה ואת המכנה באותו מספר ‪) 4‬ראו בשיעור‪ ,‬דרך ב'(‪ .‬חילקנו ב‪ 4 -‬גם את אחד‬
‫הגורמים )‪ (4‬שבמונה וגם את המכנה‪ .‬לפי התכונה הבסיסית של השבר‪ ,‬ערכו אינו משתנה‪ .‬עם‬
‫זאת חשוב להדגיש שהדבר נכון אך ורק כאשר במונה ובמכנה יש פעולת כפל )מספר הגורמים אינו‬
‫משפיע על התוצאה(‪ .‬אם התלמידים מתקשים‪ ,‬אפשר לוותר על דרך הפתרון השנייה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬דונו עם התלמידים בהצעות שלהם כיצד להשתמש בעובדה הנתונה כדי להשלים‬
‫את התרגילים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬משימת יישום של דרך ב' המוצגת בשיעור‪ .‬בתרגילים המובאים כאן למספר‬
‫השלם ולמכנה של השבר יש מחלקים משותפים‪ .‬כדאי לעודד את התלמידים לפתור את התרגילים‬
‫גם בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬על התלמידים לפתור משוואת כפל‪ ,‬כלומר למצוא את הגורם החסר‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ . 5 × = 12‬ידוע כי ‪ 5‬ו‪ -‬הם מספרים הפוכים‪ .‬ואם המכפלה היא ‪ ,12‬המונה צריך להיות ‪.12‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬על התלמידים לפתור משוואות כפל‪ ,‬כלומר למצוא את הגורם החסר‪ .‬דרך‬
‫‪1‬‬
‫אפשרית לפתרון של תרגיל א'‪ :‬ידוע כי ‪) 6 × = 1‬מספרים הפוכים(‪ ,‬המכפלה הנתונה היא ‪,4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 4‬גדול מ‪ 1 -‬פי ארבעה‪ .‬לכן הגורם השני צריך להיות גדול פי ארבעה מ‪ , -‬כלומר התשובה היא‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫או לאחר הצמצום )לא חייבים לצמצם(‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬המשימה דומה למשימה הקודמת‪ ,‬אך הפעם הגורם החסר הוא הגורם הראשון‪.‬‬
‫ההסבר יכול להיות דומה להסבר במשימה הקודמת‪ .‬אפשר גם למצוא את הגורם החסר בדרך של‬
‫ניסוי וטעייה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :84‬מציאת חלק מכמות‬
‫בשיעור זה לומדים למצוא חלק של כמות נתונה‪ .‬התלמידים כבר יודעים למצוא חלק של כמות‬
‫בדרך אחרת‪ :‬מחלקים את הכמות הנתונה למספר חלקים שווים )לפי המכנה של השבר(‪ ,‬מקבלים‬
‫‪5‬‬
‫מספר קבוצות‪ ,‬ולוקחים קבוצות במספר השווה למונה של השבר‪ .‬לדוגמה‪ ,‬כדי למצוא של ‪24‬‬
‫‪6‬‬
‫מחלקים את ‪ 24‬ל‪ 6 -‬קבוצות שוות ) ‪ ( 24 :6 = 4‬ולוקחים ‪ 5‬קבוצות‪ ,‬שהן ‪ 20‬פריטים‪ .‬אפשר לתאר‬
‫פתרון זה על‪-‬ידי התרגיל‪. 24 :6 × 5 = 4 × 5 = 20 :‬‬
‫‪40‬‬
‫הפעם התלמידים לומדים דרך נוספת לפתרון‪ :‬מספיק לכפול כמות נתונה בשבר ולפתור תרגיל‬
‫‪5 24 × 5 120‬‬
‫=‬
‫זה‪= 20 :‬‬
‫= × ‪ . 24‬הערה‪:‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫לא חשוב באיזו דרך התלמידים פותרים את‬
‫התרגיל‪ ,‬מה שחשוב הוא שיכתבו את תרגיל‬
‫הכפל המתאים ויפתרו אותו נכון‪.‬‬
‫התלמידים שעדיין מתקשים‪ ,‬יכולים לייצג‬
‫את התרגיל כך‪???:‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬במשימה זו מתרגלים את המושג "חלק של" שמשמעותו פתרון תרגיל כפל של‬
‫חלק )שבר( בכמות הנתונה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬שאלה מילולית חד‪-‬שלבית‪ :‬מציאת חלק מכמות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫בחוג לאמנות משתתפים ‪ 16‬תלמידים‪. × 24 = 16 .‬‬
‫‪3‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬שאלה מילולית חד‪-‬שלבית פשוטה‪ .‬הראל פתר ‪ 12‬תרגילים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬שאלה מילולית דו‪-‬שלבית‪ .‬ישנן דרכים שונות למציאת הפתרון‪ .‬אחת הדרכים‪:‬‬
‫תחילה מחשבים את מספר הגולות שהפסידה מורן‪ ,‬ואחר כך מחסירים את מספר הגולות‬
‫‪1‬‬
‫‪ ,‬שלב ב‪15 − 3 = 12 :‬‬
‫שהפסידה ממספר הגולות שהיו לה‪ .‬הנה כך‪ :‬שלב א‪× 15 = 3 :‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬א( ליוסי ‪ 25‬כדורים בצבע אדום‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫כדורים כחולים‪.‬‬
‫מהכדורים הם בצבע כחול‪ .‬ג( ליוסי יש ‪5‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬דונו עם התלמידים בדרכים השונות לחישוב חלק מכמות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬דרך א‪25 : 5 × 4 = 20 :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4 × 25 100‬‬
‫= ‪× 25‬‬
‫=‬
‫דרך ב‪= 20 :‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2 3‬‬
‫משימה מס' ‪ :39‬א( הכמויות הכתובות במשימה שוות‪ ,‬אבל השברים שונים‪< .‬‬
‫‪3 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫× ‪ ; 180 × < 180‬ב( בסעיף זה הכמויות הכתובות שונות‪ ,‬אבל השברים שווים‪ .‬הערך של אותו‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫חלק מכמות שהיא גדולה יותר‪ ,‬הוא גדול יותר; ג( בסעיף זה ‪ 200‬גדול מ‪ 100 -‬פי שניים‪ ,‬אבל‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫קטן מ‪ -‬פי שניים‪ ,‬לכן שני הערכים שווים; ד( בסעיף זה ‪ 810‬גדול פי שלושה מ‪ ,270 -‬אבל‬
‫‪9‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫קטן פי שלושה מ‪ , -‬לכן שני הערכים שווים‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫לכן‬
‫משימה מס' ‪ :40‬ישנן דרכים שונות לפתרון המשימה‪ .‬כל תלמיד יכול לבחור את הדרך הנוחה לו‪.‬‬
‫כדי למצוא איזה חלק מתלמידי הכיתה אינם משתתפים בחוגים אפשר למצוא תחילה את מספר‬
‫התלמידים שאינם משתתפים בחוגים‪.‬‬
‫א( בחוג למוסיקה משתתפים ‪ 15‬תלמידים‪ .‬ב( בחוג להתעמלות משתתפים ‪ 16‬תלמידים‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫מהתלמידים אינם משתתפים בחוגים‪ .‬ד( תשעה תלמידים אינם משתתפים בחוגים‪.‬‬
‫ג(‬
‫‪40‬‬
‫‪41‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :86‬כפל של שלם במספר מעורב‬
‫בשיעור מובאות שלוש דרכים לכפל של שלם במספר מעורב‪ :‬חיבור חוזר‪ ,‬הפיכת מספר מעורב‬
‫לשבר וחוק הפילוג‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬משימת יישום‪ :‬שאלה מילולית חד‪-‬שלבית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬התלמידים יכולים לפתור את השאלה הזו גם בחיבור‪ .‬תשובה‪ :‬שירן שילמה‬
‫תמורת שתי החוברות ‪.₪ 65‬‬
‫משימה מס' ‪ :44‬על התלמידים לזהות תרגיל כפל בעזרת חיבור חוזר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :45‬על התלמידים לזהות תרגיל כפל ולפרקו לפי חוק הפילוג‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :46‬במשימה זו התלמידים מתרגילים פתרון תרגיל של כפל מספר מעורב במספר‬
‫שלם על‪-‬ידי חוק הפילוג‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :47‬כאן פותרים תרגילי כפל של מספר מעורב במספר שלם על‪-‬ידי הפיכת המספר‬
‫המעורב לשבר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :48‬דונו עם התלמידים בקשר בין חצי לבין אחת וחצי )שלוש פעמים חצי( וגם בקשר‬
‫בין רבע לבין שלושה רבעים )שלושה רבעים הם שלוש פעמים רבע(‪ .‬בעזרת הבנת הקשר אפשר‬
‫לפתור את התרגילים ג' ו‪ -‬ד'‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :88‬כפל שבר יסודי בשבר יסודי‬
‫כפל של שבר יסודי בשבר יסודי הוא הבסיס לכפל של שבר בשבר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :49‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :51-50‬על התלמידים לפתור את משוואות הכפל‪ ,‬כלומר למצוא את הגורם השני‬
‫במכפלה‪ .‬חשוב לדון עם התלמידים בדרכי הפתרון שלהם ובמקרה הצורך להדריך אותם עד‬
‫שיבינו שמונה השבר שהם מחפשים הוא תמיד ‪ ,1‬ושאת המכנה מוצאים על‪-‬ידי חילוק המכנה של‬
‫השבר )שהוא המכפלה( במכנה השבר )שהוא הגורם הידוע(‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :89‬כפל של שבר בשבר‬
‫בשיעור מגיעים להכללה‪ :‬מכפלה של שבר בשבר היא שבר שהמונה שלו הוא מכפלת המונים של‬
‫השברים הנתונים‪ ,‬והמכנה שלו הוא מכפלת המכנים של השברים הנתונים‪ .‬באופן כללי‪:‬‬
‫‪a c a×c‬‬
‫= × )‪(a ≠ 0 ; b ≠ 0‬‬
‫‪b d b×d‬‬
‫משימה מס' ‪ :52‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :53‬את המשוואות שבמשימה זו פותרים לפי כלל הכפל של שבר בשבר‪ :‬מונה‬
‫המכפלה שווה למכפלת המונים‪ ,‬והמכנה של המכפלה שווה למכפלת המכנים‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :55-54‬במשימות אלה כופלים שבר במספר מעורב על‪-‬ידי הפיכת המספר המעורב‬
‫לשבר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :56‬בעיה מילולית חד‪-‬שלבית‪ .‬אם התלמידים מתקשים‪ ,‬אפשר לבקש מהם לייצג‬
‫את הבעיה בציור‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :90‬כפל של מספר מעורב במספר מעורב‬
‫כשכופלים מספר מעורב במספר מעורב‪ ,‬על‪-‬ידי הופכים את המספרים המעורבים לשברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :57‬משימת יישום‪.‬‬
‫‪42‬‬
‫משימות מס' ‪ 58‬ו‪ :60 -‬במשימות אלה מבצעים תרגילי שרשרת של כפל שברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :59‬דונו עם תלמידים בדרכים לחישוב של תרגילי כפל של שבר במספר מעורב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :61‬דונו עם תלמידים בדרכים לחישוב תרגילי כפל של מספר מעורב במספר מעורב‪.‬‬
‫שימו לב‪ :‬טעות נפוצה של כולנו בחישוב כזה‪ ,‬היא הכפלת שלמים בשלמים ושבר בשבר‪ .‬חשוב‬
‫שהתלמידים ידעו שחישוב כזה אינו נכון‪ .‬הדרך של נורית היא אוניברסלית ובסופה הפתרון הנכון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :62‬כאן מתרגלים כפל של מספרים מעורבים‪ .‬אם חסר מקום לפירוט דרך הפתרון‪,‬‬
‫דרשו מהתלמידים להשתמש במחברת‪ .‬שימו לב שבתרגיל שרשרת י"א יש כפל ב‪ ,0 -‬ולכן אין טעם‬
‫לחשב את תוצאת הביניים‪ ,‬כי אפשר להגיע לתוצאת התרגיל ‪ 0‬ללא חישוב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :63‬בעיה מילולית שבפתרון שלה משתמשים בכפל של שברים במספרים מעורבים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :92‬האם כפל תמיד מגדיל?‬
‫בשיעור זה חוקרים את פעולת הכפל‪ .‬עד הנושא "כפל שברים" עסקו התלמידים רק בכפל מספרים‬
‫טבעיים‪ .‬אם כופלים מספר טבעי במספר טבעי‪ ,‬התוצאה המתקבלת תמיד גדולה מכל אחד‬
‫מהגורמים )אם הגורמים גדולים מ‪ .(1 -‬התלמידים חושבים ש"כפל תמיד מגדיל" ו"חילוק תמיד‬
‫מקטין"‪ .‬בשיעור זה רואים שבכפל ייתכן שהתוצאה תהיה גדולה יותר מהגורם )אם כופלים‬
‫במספר גדול מ‪ ,(1 -‬ייתכן שהתוצאה תהיה שווה לגורם )אם כופלים ב‪ (1 -‬וייתכן שהתוצאה תהיה‬
‫קטנה מהגורם )אם כופלים אותו בשבר בין ‪ 0‬ל‪ .(1 -‬השיעור הזה והתרגילים המובאים אחריו הם‬
‫צד נוסף בפיתוח הבנה מספרית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :64‬הפתרון מבוסס על תוצאות החקירה שבשיעור‪ .‬התלמידים שמתקשים להגיע‬
‫לתשובה על‪-‬סמך ההכללות שבשיעור‪ ,‬יכולים להשוות על‪-‬ידי חישוב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :65‬דונו עם התלמידים בפתרונות שלהם‪ .‬יש אין‪-‬סוף פתרונות נכונים בכל אחד‬
‫מהסעיפים‪ .‬לדוגמה‪ ,‬בסעיפים א' ו‪ -‬ב' כל אחד מהשברים יכול להיות שווה לחצי‪ .‬בסעיף ג' כל‬
‫מספר יכול להיות שווה ל‪ .1 -‬המספרים אינם חייבים להיות שווים זה לזה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :66‬משימת יישום‪ :‬בעיה מילולית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :67‬בעיה מילולית בנושא מציאת חלק מכמות‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :69-68‬אלה שתי שאלות "פתוחות"‪ .‬דונו עם התלמידים בפתרונות שהם יציעו‪ ,‬וכך‬
‫תוכלו להראות לכל התלמידים את מגוון הפתרונות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :70‬מומלץ לעבוד בקבוצות ולהשוות בין הפתרונות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :71‬כאן התלמידים מתבקשים להשלים את ההכללות שלמדו בשיעור‪.‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪94‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד בפרק‪ :‬כפל שברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :72‬סיכום הנלמד‪ :‬תרגול של כפל שברים מסוגים שונים‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמ' ‪98-95‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬תרגילי הכפל המתאימים‪:‬‬
‫א( ‪3 × 5 = 15‬‬
‫ב( ‪ 4 × 4 = 16‬ג( ‪2 × 5 = 10‬‬
‫‪43‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬כדי למצוא מספר שלמים צריך לענות על השאלה‪" :‬כמה פעמים 'נכנס' המכנה‬
‫במונה?"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬התלמידים נדרשים למצוא כמה שלמים יש בכל אחד מהשברים‪ .‬למעשה‪,‬‬
‫המשימה קשורה לחילוק מספרים טבעיים עם שארית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬במשימה זו מצמצמים שברים שהמכנים והמונים שלהם הם מספרים דו‪-‬‬
‫ספרתיים ותלת‪-‬ספרתיים‪ .‬תלמידים המתקשים למצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר בשלב‬
‫אחד‪ ,‬יצמצמו את השברים בשלבים‪ .‬לדוגמה‪ ,‬בסעיף א' אפשר לצמצם תחילה ב‪ 5 -‬ולאחר מכן ב‪-‬‬
‫‪.5‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬כדאי לחזור על תכונות ה‪ 0 -‬וה‪ 1 -‬בפעולות חשבון לפני ביצוע המשימה‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬דוגמאות‪ . 5 × , 5 × :‬שימו לב‪ :‬אין איסור להשתמש באותה ספרה מספר‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫פעמים‪ .‬עודדו את התלמידים לגוון את דוגמאות שלהם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬הייצוג המופיע במשימה זו יכול לסייע בפתרון תרגילי הכפל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬במשימה זו מרכיבים תרגילים מהמספרים הנתונים בלבד‪ ,‬וחל איסור להשתמש‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫באותו מספר פעמיים‪ .‬להלן דוגמה של תרגיל מתאים בכל סעיף‪ .‬א( ‪ ; 6 × × 0‬ב( ‪; 6 + + 0‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ג( × ‪ ; 6‬ד( ‪. 6 + × 0‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬על התלמידים לפתור תרגילי שרשרת ולהשוות בין התוצאות‪ .‬המשימה יכולה‬
‫להיות קשה לתלמידים בכיתה‪ ,‬כיוון שאלה הם תרגילי שרשרת של פעולות מדרגות שונות‪ :‬כפל‬
‫וחיבור יחד או כפל וחיסור יחד‪ .‬מומלץ לחזור על סדר פעולות חשבון‪ :‬כפל קודם לחיבור ולחיסור‪.‬‬
‫בתום המשימה התלמידים אמורים לקבל את המשפט‪" :‬החתול חמוד"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬אם הגורמים אינם מספרים הפוכים‪ ,‬המכפלה של שני המספרים תהיה שונה מ‪-‬‬
‫‪.1‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬בתרגילים המובאים כאן למספר השלם ולמכנה השבר יש מחלקים משותפים‪.‬‬
‫אפשר לפתור את התרגילים באחת הדרכים שבשיעור‪ .‬אך כדאי לעודד את התלמידים לפתור את‬
‫התרגילים גם בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬גם כאן עודדו את התלמידים לנסות להשלים את החסר בדרך חישוב בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫דונו עם התלמידים בדרכי החישוב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬במשימה זו התלמידים פותרים את תרגילי הכפל בדרך הנוחה להם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬במשימה זו מתרגלים את המושג "חלק של"‪ ,‬שמשמעותו פתרון תרגיל כפל של‬
‫חלק )שבר( בכמות הנתונה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬דונו עם התלמידים בדרכים השונות לחישוב כפל של שבר בשלם‪ .‬עודדו את‬
‫התלמידים לפתח דרכי חישוב משלהם כדי לפתח את ההבנה המספרית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬התופרת השתמשה ב‪ 1 -‬מטר של בד ולתפירת חצאית‪ .‬ולתפירת החליפה היא‬
‫השתמשה בארבעה מטרים של בד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬כל שלושת התלמידים פתרו את התרגיל בדרך נכונה‪ .‬חשוב לדון עם התלמידים‬
‫בדרכים אלו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬אפשר לפתור בעיה מילולית זו בדרכים שונות‪ .‬התלמידים יכולים לכתוב תרגיל‬
‫שרשרת מתאים ולפתור אותו או לחשב תחילה כל שבר ולאחר מכן לחבר את התוצאות‪.‬‬
‫‪44‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬מספר הספרים ברוסית הוא ‪.5,130‬‬
‫מספר הספרים בעברית הוא ‪.12,825‬‬
‫מספר הספרים בצרפתית הוא ‪.2,565‬‬
‫מספר הספרים באנגלית הוא ‪.5,130‬‬
‫שאלות מילוליות ‪ ,‬עמוד ‪99‬‬
‫בעמוד זה מובאות בעיות מילוליות הקשורות לנושא הפרק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬בשאלה מילולית זו נדרש שלב אחד לפתרון‪ .‬מורן קנתה שבעה ליטרים וחצי של‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫קוקה‪-‬קולה‪5 × 1 = 7 .‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬התרגיל המתאים לפתרון השאלה הוא‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3 × 8 + 4 × 5 + 7 × 4 + 6 × 6 = 26 + 21 + 33 + 39 = 120‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪20‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ , 120‬שהם ‪ ₪ 120‬ו‪ 45 -‬אגורות‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬בני משפחת גורדון שילמו‬
‫‪20‬‬
‫משימות מס' ‪ :4-3‬הזכירו לתלמידים כיצד מחשבים שטחים של מלבן ושל מקבילית‪ ,‬וכיצד‬
‫מחשבים את היקף המלבן‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬כדי להכין את המנות כדרוש‪ ,‬צריך לכפול כל אחת מהכמויות ב‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬א( חלק א' מהווה‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫מהווה מהעוגה‪ .‬ד( משקלו של חלק ב' הוא ‪ 0.25‬ק"ג‪ .‬ה( חלק ד' מהווה מהעוגה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫מהעוגה‪ .‬ב( המשקל של חלק א' הוא ‪ 1‬קילוגרם‪ .‬ג( חלק ב'‬
‫ו( משקלו של חלק ד' הוא ‪ 0.5‬ק"ג‪.‬‬
‫היסטוריה ‪ ,‬עמוד ‪100‬‬
‫התלמידים לומדים את השיטה המצרית לכפל שברים‪.‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪101‬‬
‫בעמוד זה מובאות משימות העשרה בנושא הפרק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬הוצאות‪ ,( 300 × 0.25 = 75 ) ₪ 75 :‬הכנסות‪ ,₪ 663 :‬רווח‪ .₪ 588 :‬שלבי הפתרון‪:‬‬
‫ארגזים‬
‫‪60‬‬
‫התחלה‬
‫‪6‬‬
‫שלב א‬
‫‪18‬‬
‫שלב ב‬
‫‪18‬‬
‫שלב ג‬
‫‪18‬‬
‫שלב ד‬
‫משקל‬
‫‪ 300‬ק"ג‬
‫‪30‬‬
‫מחיר לק"ג‬
‫מחיר לארגז סכום‬
‫‪₪ 0.5‬‬
‫‪₪ 15‬‬
‫‪₪ 12‬‬
‫‪₪9‬‬
‫‪45‬‬
‫‪₪ 15‬‬
‫‪₪ 270‬‬
‫‪₪ 216‬‬
‫‪₪ 162‬‬
‫‪₪ 663‬‬
‫ארגזים נותרים‬
‫‪54‬‬
‫‪36‬‬
‫‪18‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬שטח בסיס התיבה ‪ . 8 × 1.5 = 12‬באדום‪ , 3 × 12 = 36 :‬תשובה‪ 36 :‬סמ"ק;‬
‫בצהוב‪ . 2 × 12 = 24 :‬תשובה‪ 24 :‬סמ"ק‪ ,‬בכחול‪ :‬תשובה ‪ 12‬סמ"ק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪.₪ 31,500 :3‬‬
‫הכנסות לעץ‬
‫מספר עצים‬
‫הכנסות‬
‫משמש‬
‫‪ 5‬שורות‬
‫‪₪ 150‬‬
‫‪5 × 21 = 105‬‬
‫‪₪ 15,750‬‬
‫תפוז מתוק‬
‫תפוז חמוץ‬
‫‪ 10‬שורות = ‪ 210‬עצים‬
‫‪₪ 100‬‬
‫‪₪ 75‬‬
‫‪140‬‬
‫‪70‬‬
‫‪₪ 14,000‬‬
‫‪₪ 5,250‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪102‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על נושאים שנלמדו בשנים קודמות‪ :‬חזקות‪ ,‬סדר פעולות החשבון כולל חזקות‪,‬‬
‫וכן שיום של צורות גאומטריות‪.‬‬
‫‪46‬‬
‫עמ' ‪128-103‬‬
‫ה‪ .‬חילוק שברים‬
‫רקע‬
‫הנושא חילוק שברים הוא אחד הנושאים הקשים בהוראתו ובלמידתו מבחינה דידקטית‪ .‬הכלל‬
‫לחילוק שברים נראה פשוט לכאורה‪ :‬כדי לחלק מספר בשבר כופלים את המספר במספר ההפוך‬
‫לשבר‪ .‬אך ידוע כי רוב הטעויות שהתלמידים עושים בפעולות בשברים הן טעויות בחילוק שברים‪,.‬‬
‫לכן הוראת הנושא על‪-‬ידי לימוד הכלל בלבד אינה יעילה ואינה מובילה לתוצאה הרצויה‪ .‬לפיכך‪,‬‬
‫לאחר בחינות וניסויים‪ ,‬הוחלט לחשוף כאן את התלמידים למשמעות חילוק שברים‪ ,‬כדי להוביל‬
‫להצלחה באלגברה בשנים הבאות‪ ,‬שנים שבהן לא תהיה לתלמידים הזדמנות לעסוק בהבנה כמו‬
‫כעת‪.‬‬
‫שימו לב‪ :‬גם בתכנית הלימודים החדשה הושם הדגש על הבנת העובדות‪ ,‬ולא על שינונן‪.‬‬
‫חילוק שברים מבוסס על מספר תכונות של השברים ושל החילוק‪.‬‬
‫• משמעות החילוק בשברים היא הרחבת המשמעות של חילוק מספרים טבעיים‪.‬‬
‫אומרים ש ‪ a : b = c‬אם ‪" b‬נכנס" ‪ c‬פעמים ב‪. ( b ≠ 0 ) a -‬‬
‫• כאשר המחולק קבוע‪ ,‬ככל שהמחלק גדול יותר‪ ,‬המנה קטנה יותר‪( a ≠ 0 ) a :6 > a :3 .‬‬
‫• כאשר כופלים את המחולק ואת המחלק באותו מספר השונה מאפס‪ ,‬המנה אינה משתנה‪.‬‬
‫ההסבר האינטואיטיבי לכך‪ :‬אם מחלקים עוגה שווה בשווה בין שלושה אנשים‪ ,‬המנה שיקבל‬
‫כל אחד תהיה גדולה פי שניים מהמנה שתתקבל אם יחלקו אותה עוגה בין שישה אנשים‪.‬‬
‫) ‪a :3 = 2 × ( a :6‬‬
‫• החילוק הוא פעולה הפוכה לכפל‪.‬‬
‫אם ‪ c : b = a , a × b = c‬ו‪( a ≠ 0 , b ≠ 0 ) c : a = b -‬‬
‫אם ‪ b ≠ 0‬ו ‪. b × c = a , a : b = c‬‬
‫• המשמעות המתמטית של המילים "של" או "מתוך" היא פעולת הכפל‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 × 20‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪; × 20‬‬
‫דוגמאות‪ :‬כדי לבטא של ‪ 20‬משתמשים בתרגיל ‪= 8‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫מתוך ‪ a‬משתמשים בתרגיל × ‪. a‬‬
‫וכדי לבטא‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6 15‬‬
‫= = ‪.3‬‬
‫• כל מספר טבעי אפשר לכתוב כשבר באופנים שונים‪ .‬דוגמה‪:‬‬
‫‪2 5‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫• לכל מספר‪ ,‬פרט לאפס‪ ,‬יש מספר הפוך‪ .‬ו ‪ -‬הם מספרים הפוכים‪ ,‬כי ‪. × = 1‬‬
‫‪3 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫• לא משנים את ערך המספר כאשר כופלים אותו ב‪. 1 -‬‬
‫‪1‬‬
‫הפרק הנוכחי נפתח בחילוק של מספר שלם בשבר יסודי‪ . 3 : = :‬כך אפשר "להראות" את‬
‫‪5‬‬
‫החילוק בשבר באמצעות השאלה‪" :‬כמה פעמים המחלק נכנס במחולק?" בשלב זה התלמידים‬
‫‪1‬‬
‫אינם רואים עדיין את החילוק ב‪ -‬ואת הכפל ב‪ 5 -‬כפעולות שקולות‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫בעזרת השלבים א' – ד' שלהלן יגיעו התלמידים להבנת המקרה הכללי של חילוק שברים‪:‬‬
‫א‪ .‬חילוק של שלם בשבר כלשהו;‬
‫ב‪ .‬חילוק של שבר בשלם;‬
‫ג‪ .‬חילוק של שבר בשבר יסודי;‬
‫ד‪ .‬חילוק של שבר בשבר‪.‬‬
‫חשוב ללמד את הנושא בהדרגה לפי השלבים הללו כיוון שדרך זו מובילה את‬
‫התלמידים להבנה עמוקה בנושא ונותנת להם ביטחון עצמי בלימודי המתמטיקה בשנים‬
‫הבאות‪.‬‬
‫הפרק מתאים לתכנית הלימודים‪ .‬מומלץ להקדיש לנושא כ‪ 6 -‬שעות לימוד‪.‬‬
‫‪47‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬למצוא מספר הפוך לשבר או למספר טבעי;‬
‫ב‪ .‬לחלק מספר טבעי בשבר יסודי;‬
‫ג‪ .‬לחלק מספר טבעי בשבר כלשהו;‬
‫ד‪ .‬לחלק שבר במספר טבעי;‬
‫ה‪ .‬לחלק שבר בשבר יסודי;‬
‫ו‪ .‬לחלק שבר יסודי בשבר יסודי;‬
‫ז‪ .‬חלק שבר כלשהו בשבר כלשהו;‬
‫ח‪ .‬לפתור שאלות מילוליות שנדרש בהן חילוק של שברים‪.‬‬
‫מושגים‬
‫חילוק‪ ,‬כפל‪ ,‬פעולות הפוכות‪ ,‬מחולק‪ ,‬מחלק‪ ,‬מנה‪ ,‬שלם‪ ,‬שבר‪ ,‬מונה‪ ,‬מכנה‪ ,‬שבר יסודי‪ ,‬מספר‬
‫מעורב‪ ,‬מספר הפוך‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫ייצוגים שונים של השברים‪ :‬שברים בעיגולים ובשלמים אחרים כמו ריבועים‪ ,‬מלבנים‪ ,‬רצועות‬
‫וכדומה‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על ייצוג מספר שלם כשבר‪.‬‬
‫שואלים את התלמידים‪:‬‬
‫כמה רבעים יש בשלם אחד?‬
‫כמה רבעים יש בשני שלמים?‬
‫כמה רבעים יש בחמישה שלמים?‬
‫כמה שביעיות יש בשלם אחד?‬
‫כמה שביעיות יש בשלושה שלמים? וכדומה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על מספרים הפוכים‪.‬‬
‫רושמים על הלוח את התרגילים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪×? = 1‬‬
‫‪2‬‬
‫? ‪2‬‬
‫‪× =1‬‬
‫? ‪3‬‬
‫?‬
‫‪4× = 1‬‬
‫?‬
‫? ‪1‬‬
‫‪× =1‬‬
‫? ‪2‬‬
‫התלמידים מעתיקים את התרגילים ללוח המחיק ומשלימים אותם במספרים החסרים‪.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים להסביר כיצד הגיעו לתשובה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חזרה על מציאת חלק משלם‪.‬‬
‫שואלים את התלמידים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫כמה הם של ‪ 20‬ילדים?‬
‫‪5‬‬
‫‪48‬‬
‫‪3‬‬
‫כמה הם‬
‫‪10‬‬
‫‪3‬‬
‫כמה הם של ‪ 100‬ילדים?‬
‫‪4‬‬
‫בקשו מהתלמידים מתבקשים לכתוב על הלוח המחיק לכל שאלה תרגיל מתאים‪.‬‬
‫של ‪ 50‬ילדים?‬
‫ד‪ .‬חזרה על כפל של שברים‪.‬‬
‫התלמידים מעתיקים ללוח המחיק את התרגילים שעל הלוח ופותרים אותם‪.‬‬
‫‪3 2‬‬
‫‪1 6‬‬
‫= ×‬
‫= × ‪2‬‬
‫‪8 9‬‬
‫‪3 7‬‬
‫בקשו מהתלמידים להסביר את דרך הפתרון‪.‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬חילוק שלם בשבר יסודי‪.‬‬
‫מספרים לתלמידים סיפור על גל‪ .‬לכבוד המסיבה קנה גל ‪ 3‬פיצות‪ .‬הוא התכוון לתת לכל ילד‬
‫‪1‬‬
‫מהפיצה‪ .‬עליו להחליט כמה ילדים יוכל להזמין למסיבה )בהנחה שכל ילד מקבל חתיכת פיצה(‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫התלמידים מתבקשים לעזור לגל לחשב לכמה ילדים יספיקו הפיצות שהזמין‪.‬‬
‫פעילות ב‪ :‬כל קבוצה מקבלת עשרה דפים זהים‪ .‬כל דף מייצג עוגה‪ .‬אחד מהתלמידים בקבוצה‬
‫מטיל קובייה‪ .‬המספר שמראה הקובייה מייצג מכנה של שבר יסודי‪ .‬מחליטים שכל תלמיד יקבל‬
‫חלק אחד מעוגה לפי השבר היסודי שהתקבל‪ .‬על התלמידים לחשב כמה מהם יקבלו חלק של‬
‫העוגה‪ .‬דנים בדרכי הפתרון‪.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬חילוק שלם בשבר כלשהו‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫אימא הכינה שלוש עוגות מלבניות למסיבת יום ההולדת של אור‪ .‬כל ילד יקבל‬
‫עוגה‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫התלמידים מתבקשים לחשב לכמה ילדים יספיקו העוגות‪.‬‬
‫פעילות ד‪ :‬חילוק שבר בשלם‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫לאחר מסיבת יום ההולדת נותרו‬
‫‪4‬‬
‫)כולל הוא עצמו(‪ .‬התלמידים מתבקשים לחשב איזה חלק מהעוגה קיבל כל ילד‪.‬‬
‫עוגה‪ .‬אור הזמין חמישה חברים וחילק את העוגה בין הילדים‬
‫פעילות ה‪ :‬חילוק שבר בשבר יסודי‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים לחשב כמה ילדים יש במשפחת ירון על‪-‬פי הנתונים האלה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫ילדי המשפחה חילקו ביניהם מחפיסת השוקולד שנותרה בארון‪ .‬כל ילד לקח החפיסה‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫פעילות ו‪ :‬חילוק שבר יסודי בשבר יסודי‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫מזכירת בית‪-‬הספר נתנה גיליון בריסטול להכנת כרזות‪ .‬כל כרזה צריכה להיות בגודל גיליון‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫התלמידים מתבקשים לחשב לכמה כרזות יספיק הבריסטול שנתנה המזכירה‪.‬‬
‫פעילות ז‪ :‬חילוק שבר כלשהו בשבר כלשהו‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫במפעל לתבלינים חילקו ק"ג של תבלין לפיצה בשקיות של‬
‫ק"ג‪ .‬התלמידים מתבקשים‬
‫‪20‬‬
‫‪5‬‬
‫לחשב בכמה שקיות ארזו את התבלין‪.‬‬
‫‪49‬‬
‫הספר לתלמיד‬
‫"לעלות על הגל"‬
‫האם אנו מוכנים? עמוד ‪:103‬‬
‫‪ :1‬ב; ‪ :2‬ג; ‪ :3‬ד; ‪ :4‬א;‬
‫‪ :5‬ג;‬
‫‪ :6‬ד;‬
‫‪ :7‬ג;‬
‫‪ :8‬ב;‬
‫‪ :9‬ד‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :104‬ייצוג מספר שלם כשבר‬
‫בשיעור זה חוזרים על ייצוג השלם כשבר‪ .‬אפשר להציג כל שלם כשבר‪ .‬המכנה של השבר שווה‬
‫למספר חלקי השלם השווים‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬כאשר מחלקים שלושה שלמים לחמישיות‪ ,‬כל שלם מתחלק לחמישה חלקים‪.‬‬
‫המספר במונה הוא הכפולה של המכנה במספר השלמים‪ .‬בדוגמה‪. 5 × 3 :‬‬
‫משימות מס' ‪ :2-1‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬אפשר לחשב את המונה על‪-‬ידי הכפלת המכנה במספר השלמים‪ .‬אם התלמידים‬
‫מתקשים במציאת המונה‪ ,‬אפשר להקל עליהם בעזרת שאלות מרמזות‪ .‬לדוגמה‪ ,‬בסעיף א' אפשר‬
‫לשאול‪ :‬איזה מספר צריך לחלק ב‪ 4 -‬כדי לקבל ‪ ?5‬וכך מגיעים בקלות לתוצאה ‪.20‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬אפשר לחשב את המכנה על‪-‬ידי חילוק המונה במספר השלמים‪ .‬אם התלמידים‬
‫מתקשים במציאת המכנה‪ ,‬אפשר להקל עליהם בעזרת שאלות מרמזות‪ .‬לדוגמה‪ ,‬בסעיף א' אפשר‬
‫לשאול‪ :‬באיזה מספר צריך לחלק את ‪ 35‬כדי לקבל ‪ ?5‬וכך מגיעים בקלות לתוצאה ‪.7‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬א( נכון; ב( לא‪-‬נכון; ג( לא נכון; ד( נכון; ה( לא‪-‬נכון; ו( נכון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬בעיה מילולית‪ .‬רצוי לייצג את הבעיה בעזרת אמצעי המחשה או בציור לפני‬
‫הפתרון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬משימה פתוחה‪ .‬על התלמידים להוסיף את המספרים החסרים‪ .‬דונו עם‬
‫התלמידים בדרכי הפתרון למציאת המספרים‪ :‬בעזרת הכללים‪ ,‬בדרך ניסוי וטעייה וכדומה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :106‬מספרים הפוכים‬
‫שיעור זה הוא חזרה על הנושא מספרים הפוכים‪ ,‬שנלמד בפרק של כפל שברים‪ .‬מספרים הפוכים‬
‫הם מספרים שמכפלתם ‪.1‬‬
‫שימו לב‪:‬‬
‫א( המושג מספרים הפוכים מוגדר לכל המספרים‪ ,‬פרט לאפס )כי לא מחלקים ב‪;(0 -‬‬
‫ב( מספרים תמיד הפוכים זה לזה‪ .‬כלומר אם מספר ‪ a‬הפוך למספר ‪ ,b‬המספר ‪ b‬הפוך למספר ‪.a‬‬
‫‪1‬‬
‫מספרים הפוכים הם תמיד זוג מספרים והם יכולים להיות שלם ושבר )‪ 3‬ו‪ ,( -‬שבר ושבר‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫) ו‪ ,( -‬מספר מעורב ושבר ) ו‪ ( 1 -‬או מספר עשרוני והמספר ההפוך לו )‪ 2.5‬ו‪.( -‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫זוג יוצא דופן הוא ‪ 1‬ו‪ :1 -‬המספרים ההפוכים לשניהם הם מספרים שלמים‪.‬‬
‫הערה‪ :‬הפירוט של סוגי המספרים ההפוכים מתייחס למספרים רציונליים‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :9-8‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬במשימה זו מושם דגש על הפיכת מספר מעורב לשבר‪ ,‬לפני שמוצאים את‬
‫המספר ההפוך למספר המעורב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬חשוב שהתלמידים יסבירו בתשובתם את התהליך למציאת מספר הפוך של‬
‫מספר נתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬במשימה זו נדרשת מהתלמידים רמת חשיבה גבוהה יותר‪.‬‬
‫‪50‬‬
‫עליהם למצוא דוגמאות מתאימות לכל אחד מההיגדים הנתונים‪ .‬למעט בסעיף א'‪ ,‬בכל הסעיפים‬
‫האחרים מתאימות תשובות רבות‪.‬‬
‫א‪ .‬אני שווה למספר ההפוך לי – המספר ‪ 1‬הוא ההפוך לעצמו‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫ב‪ .‬המספר ההפוך לי הוא שבר קטן מ‪ - 1 -‬כל מספר גדול מ‪ ) 1 -‬והמספר ההפוך (‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫ג‪ .‬המספר ההפוך לי הוא שבר יסודי ‪ -‬כל מספר טבעי שונה מ‪ 5) 1 -‬והמספר ההפוך הוא (‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪ .‬אני קטן מהמספר ההפוך לי ‪ -‬כל מספר קטן מ‪ ) 1 -‬והמספר ההפוך (‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫ה‪ .‬אין לי מספר הפוך ‪ -‬לאפס אין מספר הפוך‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫ו‪ .‬המספר ההפוך לי הוא מספר שלם ‪ -‬כל השברים היסודיים מתאימים לסעיף זה )‬
‫‪10‬‬
‫והמספר ההפוך הוא ‪.(10‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬משוואות אלו עלולות להיות קשות לחלק מתלמידי הכיתה‪ .‬חשוב להבהיר‬
‫לתלמידים שהסכום או ההפרש המתקבלים בסוגריים צריכים להיות המספר ההפוך של הגורם‬
‫בתרגיל‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ ,‬ו(‬
‫התשובות המתאימות הן א( ‪ ,1‬ב( ‪ ,3‬ג( ‪ , 2‬ד( ‪ ,‬ה(‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪8‬‬
‫הקניה‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :108‬חילוק שלם בשבר יסודי‬
‫‪1‬‬
‫חילוק של שלם בשבר יסודי הוא חילוק להכלה‪ :‬כמה פעמים "נכנס" בשלושה שלמים‪ ,‬או כמה‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫רבעים יש בשלושה שלמים‪ .‬ללא שאלות עזר אלו התרגיל ? = ‪ 3 :‬קשה להבנה‪ .‬הקושי נובע מכך‬
‫‪4‬‬
‫שהתלמידים רגילים שתוצאת תרגיל חילוק )במספרים טבעיים( היא קטנה מהמספר המחולק‪,‬‬
‫ואילו במקרה זה התוצאה גדולה מהמחולק‪ .‬בשיעור ניתנות שלוש דרכים לפתרון התרגיל‪ :‬בעזרת‬
‫המחשה‪ ,‬בעזרת ייצוג המספר הטבעי כשבר ובעזרת כפל ב‪.1 -‬‬
‫שימו לב שהוכחת האלגוריתם של חילוק שבר בשבר תבוסס בהמשך על הדרך של כפל ב‪.1 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת יישום‪ :‬בעיה מילולית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬התלמידים נדרשים למצוא תרגילים שקולים‪ .‬לשם כך עליהם להשתמש בכלל‬
‫שחילוק בשבר יסודי שקול לכפל במכנה של השבר‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :5-4‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬בכל אחד מהסעיפים התלמידים נדרשים לכתוב תרגיל ותשובה מתאימים‪ .‬חשוב‬
‫לעודד את התלמידים לכתוב תשובה מלאה‪ ,‬כי כך הם רוכשים שימוש בשפה המתמטית הנכונה‪.‬‬
‫התשובה המתקבלת בכל הסעיפים היא ‪ .24‬מספר זה הוא אחד המחלקים של ‪.48‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬משימה זו עוסקת בין היתר בייצוג מספר שלם כשבר‪ .‬יש אין‪-‬סוף אפשרויות‬
‫ברישום מספר שלם כשבר‪ .‬בחלק מהסעיפים ייתכנו אפשרויות שונות לפתרון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬אפשר למצוא את המחולק החסר על‪-‬ידי חילוק המנה )תוצאת התרגיל( במכנה‪.‬‬
‫אפשרות אחרת היא להיעזר בשאלה‪ :‬בכמה שלמים חמישית "נכנסת" ‪ 35‬פעמים? )לדוגמה‪,‬‬
‫בסעיף א'(‪.‬‬
‫‪51‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬כדאי לדרוש מהתלמידים לייצג את הבעיה בעזרת אמצעי המחשה או על‪-‬ידי ציור‬
‫ואחר‪-‬כך לחשב בדרך ב' )מהשיעור( או בדרך ג'‪ .‬בכיתה ‪ 32‬תלמידים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬משימה מילולית דו‪-‬שלבית‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :111‬חילוק של מספר טבעי בשבר כלשהו )פתרון בעזרת השבר היסודי(‬
‫בשיעור זה התלמידים לומדים לחלק מספר טבעי בשבר כלשהו‪ .‬ההסבר מבוסס על חילוק של‬
‫‪2‬‬
‫מספר טבעי בשבר יסודי‪ .‬כדי לפתור את התרגיל‪ 4 : = ? :‬נמצא תחילה כמה חמישיות יש‬
‫‪5‬‬
‫בארבעה שלמים‪ ,‬ולכן נכפול ‪ 4‬ב‪ .5 -‬מצאנו שיש ‪ 20‬חמישיות ב‪ .4 -‬אבל כל אחד מבני המשפחה‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫קיבל מהפשטידה‪ ,‬ולא ‪ .‬על כן עלינו לחלק את ‪ 20‬החלקים ב‪ ,2 -‬וכך נדע כמה בני משפחה‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫השתתפו בארוחת השבת של סבתא‪ .‬כדאי להסב את תשומת לב התלמידים שבפעולת החישוב‬
‫שאנו מבצעים‪ ,‬אנו כופלים את השלם במספר ההפוך למחלק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬משימת יישום‪ .‬על התלמידים לייצג חילוק של מספר שלם בשבר על‪-‬ידי ייצוג‬
‫השלם כמלבן וחילוקו לפי מכנה השבר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬התלמידים צריכים לייצג את התרגיל באיור מתאים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬משימת תרגול‪ :‬חילוק שלם בשבר‪ .‬אפשר להיעזר בתרגילים הכתובים במשימה‬
‫‪ .12‬להלן פתרון המשימה‪:‬‬
‫‪3 3×8‬‬
‫‪3 3× 4‬‬
‫= ‪3:‬‬
‫ב( ‪= 8‬‬
‫= ‪3:‬‬
‫א( ‪= 4‬‬
‫‪8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2 4 × 5 20‬‬
‫‪6 3 × 8 24‬‬
‫= ‪4:‬‬
‫ד( ‪= = 10‬‬
‫= ‪3:‬‬
‫=‬
‫ג( ‪= 4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬משימת תרגול דומה למשימה ‪.13‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬משימת תרגול‪ :‬שאלה מילולית‪ .‬התרגיל המתאים לפתרון השאלה הוא‬
‫‪3 5 × 6 30‬‬
‫= ‪ . 5 :‬התשובה‪ :‬בארוחת החג השתתפו עשרה אורחים‪.‬‬
‫‪= = 10‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬משימת תרגול‪ :‬שאלה מילולית‪ .‬התרגיל המתאים לפתרון הוא‬
‫‪4 20 × 5 100‬‬
‫= ‪ . 20 :‬התשובה‪ :‬הירקן סידר ‪ 25‬אריזות תותים‪.‬‬
‫=‬
‫‪= 25‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬דונו עם תלמידי הכיתה במשמעות הביטויים "פי כמה גדול" ו"פי כמה קטן"‪.‬‬
‫‪3 14 × 7 98‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3 7 × 4 28‬‬
‫‪1‬‬
‫ב( ‪= = 32‬‬
‫א( ‪= = 9‬‬
‫= ‪14 :‬‬
‫= ‪7:‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :113‬חילוק של שלם בשבר כלשהו )כפל במספר ההפוך(‬
‫בקטע שיעור זה מובהר מדוע כופלים במספר ההפוך כאשר מחלקים מספר טבעי בשבר כלשהו‪.‬‬
‫ההסבר המופיע בשיעור אינו כולל ייצוג מוחשי‪ ,‬אלא מבוסס על מסקנות הנובעות מחוקי‬
‫הפעולות‪ :‬א( כאשר כופלים את המחולק ואת המחלק באותו מספר השונה מאפס‪ ,‬המנה אינה‬
‫משתנה; ב( כאשר המחלק הוא ‪ ,1‬המנה שווה למחולק‪ .‬מגיעים למסקנה‪ :‬כדי לחלק מספר טבעי‬
‫בשבר יש לכפול את המספר הטבעי )המחולק( במספר ההפוך לשבר )ההפוך למחלק(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬מומלץ לאפשר לתלמידים לפתור את הבעיה בדרך הנוחה להם‪.‬‬
‫‪52‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬במשימה זו עוסקים בשאלה "האם חילוק תמיד 'מקטין'?" מומלץ לדון בדרכים‬
‫להתאמת התשובה לתרגיל בעזרת הפעלת כללים בלי לחשב את התרגילים‪ .‬בתום הדיון אפשר‬
‫לבדוק את התשובה על‪-‬ידי חישוב‪ .‬רצוי להדגיש שוב את ההכללה ולהדגים אותה בפתרון‬
‫המשימה הבאה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬דוגמה לתרגיל חילוק שבו המנה קטנה מהמחולק‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .‬דוגמה לתרגיל חילוק שבו המנה גדולה מהמחולק‪ . 2 : = 5 :‬נוסף על כך‪ ,‬אפשר לבקש דוגמאות‬
‫‪5‬‬
‫לחילוק שלם בשבר כאשר המנה שווה למחולק )כמובן‪ ,‬זהו חילוק בכל שבר השווה ל‪.(1 -‬‬
‫באופן כללי‪ ,‬אם המחלק קטן מ‪ ,1 -‬המנה המתקבלת גדולה מהמחולק; אם המחלק גדול מ‪,1 -‬‬
‫המנה המתקבלת קטנה מהמחולק; אם המחלק שווה ל‪ ,1 -‬המנה שווה למחולק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬גם משימה זו עוסקת בשאלות‪" :‬מתי חילוק 'מגדיל'‪ ,‬ומתי חילוק 'מקטין'‪ ,‬מתי‬
‫חילוק אינו משפיע על המחולק?" כשמחלקים שלם במספר הקטן מ‪ ,1 -‬התוצאה גדולה‬
‫מהמחולק; כשמחלקים שלם במספר הגדול מ‪ ,1 -‬התוצאה גדולה מהמחולק; כשמחלקים שלם ב‪-‬‬
‫‪ ,1‬התוצאה שווה לשלם‪ ,‬שהוא המחולק‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬התרגיל המתאים לאיור הוא ? = ‪ . 3 :‬במשימה זו התלמידים צריכים לכתוב‬
‫‪4‬‬
‫בעיה מתאימה לאיור‪ .‬שוחחו עם התלמידים על הבעיות שהם מציעים‪ .‬אם התלמידים מתקשים‬
‫בחיבור בעיה מילולית מתאימה‪ ,‬חשוב להדגים להם בעיות כאלה‪ .‬דוגמה‪ :‬להכנת עוגיות‪ ,‬יש‬
‫‪3‬‬
‫להכניס לתערובת כוס סוכר לכל כוס קמח‪ .‬יש לי שלוש כוסות של סוכר‪ .‬כמה כוסות של קמח‬
‫‪4‬‬
‫נדרשות להכנת אותן עוגיות?‬
‫‪3‬‬
‫דוגמה נוספת‪ :‬משתמשים ב מטר בד לכל קישוט ‪ .‬כמה קישוטים אפשר ליצור משלושה‬
‫‪4‬‬
‫מטרים של בד?‬
‫משימה מס' ‪ :24‬פיתוח הבנה מספרית‪ .‬התלמידים צריכים להבין שכאשר מחלקים אותו מספר‬
‫בשברים בעלי מכנה זהה ומונה שונה‪ ,‬ככל שהמונה גדל‪ ,‬המנה קטנה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫דוגמה‪ 4 : = 4 :‬ו‪. 4 : = 2 -‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬פיתוח הבנה מספרית‪ .‬התלמידים צריכים להשתמש במסקנות של התרגיל‬
‫הקודם כדי למצוא את המונה בכל שבר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬פיתוח הבנה מספרית‪ .‬לאחר שהתלמידים ממיינים את התוצאות‪ ,‬עליהם להבין‬
‫שחילוק "אינו תמיד מקטין"‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :115‬חילוק שבר בשלם‬
‫בשיעור מובאות שתי דרכים לפתרון התרגיל‪ .‬הדרך הראשונה לפתרון תרגיל חילוק של שבר‬
‫בשלם‪ ,‬היא דרך מוחשית בעזרת ציור‪ .‬המלבן מחולק לרבעים‪ ,‬ושלושה מהם צבועים בתכלת‪.‬‬
‫מחלקים את המלבן לחמישה חלקים )בעזרת הקווים האופקיים(‪ ,‬כך מתקבלים ‪ 20‬חלקים‪ ,‬שכל‬
‫‪1‬‬
‫של המלבן‪ .‬החלק המסומן בפסים הוא החלק שיקבל כל אחד מהילדים‪.‬‬
‫אחד מהם הוא‬
‫‪20‬‬
‫הדרך השנייה מופשטת יותר‪ .‬זוהי דרך חישוב בלבד ללא ציורי עזר‪ ,‬והיא מבוססת על המסקנות‬
‫הנובעות מחוקי הפעולות שכבר הוזכרו קודם לכן‪ :‬המנה אינה משתנה אם כופלים את המחלק‬
‫ואת המחולק באותו המספר‪ .‬אם נכפול את המחלק ואת המחולק במספר ההפוך של המחלק‬
‫‪1‬‬
‫)כלומר ב‪ ,( -‬נקבל תרגיל כפל‪ ,‬שאותו אנו יודעים לפתור‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫כאשר המחולק הוא מספר מעורב‪ ,‬הופכים תחילה את המספר המעורב לשבר הגדול מ‪.1 -‬‬
‫משימה מס' ‪ : 27‬משימת יישום‪ .‬התלמידים מתבקשים לפתור את התרגילים בדרך הראשונה‬
‫המובאת בשיעור‪.‬‬
‫‪53‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬חזרה על מספרים הפוכים‪ .‬משימה זו משמשת הכנה לביצוע תרגילי החילוק‬
‫בדרך השנייה המובאת בשיעור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬משימת יישום‪ .‬התלמידים מתבקשים לפתור את התרגילים בדרך השנייה‬
‫שבשיעור‪ ,‬על‪-‬ידי חישוב בלבד‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪13 1 13‬‬
‫= × = ‪. 3 :8‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬התרגיל המתאים הוא‬
‫‪4‬‬
‫‪4 8 32‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬במשימה זו מתרגלים גם שימוש במושגים‪ :‬מחלק‪ ,‬מחולק ומנה‪ .‬התרגיל‬
‫‪1‬‬
‫‪7 1 7‬‬
‫המתאים הוא‬
‫= × = ‪. 2 :5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3 5 15‬‬
‫‪13‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬א( מחיר כל מכונית‬
‫‪16‬‬
‫אפשר לדון בטענה ולהגיע למסקנה שמוכרים את המכוניות רק בחבילה‪ ,‬ושמחיר החבילה הוא‬
‫מציאותי‪(.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ב( על התלמידים לפתור תרגיל חיסור ? = ‪ . 14 − 3‬חשוב לוודא שהתלמידים זוכרים כיצד‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪13‬‬
‫‪1‬‬
‫מבצעים חיסור של מספרים מעורבים‪ .‬מחיר כל חבילה ‪ .₪ 11‬מחיר כל אחת מהמכוניות‬
‫‪1‬‬
‫‪32‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .₪‬ג( מחיר שלוש החבילות החדשות הוא ‪.₪ 33‬‬
‫‪4‬‬
‫‪) .₪ 1‬התלמידים עשויים לטעון שהמחיר אינו מציאותי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬כדאי לדון עם התלמידים בשאלה איך אפשר לדעת מהו הסימן המתאים‪ ,‬בלי‬
‫לפתור את התרגילים‪ .‬התרגילים מצד ימין בכל סעיף הם חילוק לחלקים‪ ,‬והמחולק הוא שבר קטן‬
‫מ‪ .1 -‬לכן גם התשובה תהיה שבר קטן מ‪ ,1 -‬כי המחלק הוא מספר טבעי‪ .‬לעומת זאת התרגילים‬
‫‪2‬‬
‫שבצד שמאל בכל סעיף הם חילוק להכלה )כמה פעמים "נכנסים"‬
‫ב‪ ,(?5 -‬והתשובה תהיה‬
‫‪3‬‬
‫גדולה יותר משלם )גדולה יותר ממספר השלמים במחולק(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬במשימה זו התלמידים מסיקים מסקנות‪ .‬אפשר להיעזר בדוגמאות ממשימות‬
‫‪ 24‬ו‪ .25 -‬התשובות‪ :‬א( גדולה מהמחולק; ב( שווה למחולק; ג( קטנה מהמחולק; ד( קטנה‬
‫מהמחולק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬חשוב להזכיר לתלמידים את הכללים של סדר פעולות החשבון‪ :‬פעולת החילוק‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫קודמת לפעולת החיבור‪ .‬א( ‪ ; 7‬ב( ‪. 18‬‬
‫‪4‬‬
‫‪18‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬מחיר ‪ 1‬ק"ג תפוחי אדמה הוא‬
‫‪2‬‬
‫אדמה הוא ‪ .₪ 12‬יש להקפיד על כתיבת הכינויים‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬בכל שמלה השתמשה שירה ב‪-‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ .₪ 1‬המחיר של שמונָה קילוגרמים תפוחי‬
‫מ' בד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬אם התלמידים מתקשים בכתיבת הבעיה‪ ,‬אפשר להפנות אותם לשיעור לשם‬
‫תזכורת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :39‬התלמידים להתבסס על כך שכפל וחילוק הם פעולות הפוכות‪.‬‬
‫‪.a = c × b‬‬
‫אם ‪a : b = c‬‬
‫‪54‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :118‬חילוק של שבר בשבר יסודי‬
‫ההסבר לחילוק של שבר בשבר יסודי בדרכים א' ו‪ -‬ב' הוא הסבר מוחשי‪ ,‬ואפשר גם לייצג אותו‬
‫באמצעי המחשה או בציור‪ .‬ההסבר בדרך ג' הוא מופשט יותר‪ :‬כופלים את המחולק ואת המחלק‬
‫במספר ההפוך למחלק )כידוע‪ ,‬המנה אינה משתנה(‪ ,‬והפירוט ייראה כך‪:‬‬
‫‪3 1 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ . : = ( × 8 ) :( × 8 ) = × 8 :1 = × 8 = 3‬הפירוט לא מובא בשיעור‪ ,‬אך אפשר להראות‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8 8 8‬‬
‫לתלמידים את שלבי הפתרון‪ .‬חשוב שהתלמידים ישתמשו במסקנה בהמשך ויפתרו את התרגילים‬
‫כמו בדוגמה שבשיעור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬אפשר לפתור את המשימה גם בעל‪-‬פה וגם בעזרת חישוב התרגילים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬כדאי לחזור בכיתה על המושג גדול פי‪ ,‬לפני שפותרים את המשימה‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :43-42‬אם התלמידים בוחרים לפתור את התרגילים בדרך השונה מהחישוב‬
‫שמובא בשיעור‪ ,‬יש לחזור אתם על כתיבה נכונה של פירוט התרגיל כפי שנעשה בשיעור‪.‬‬
‫‪5 1 31 1 31‬‬
‫פירוט תרגיל ‪ ,42‬סעיף ד'‪ . 2 : = : = × 13 = 31 :‬את השלב האחרון אפשר לחשב‬
‫‪13 13 13 13 13‬‬
‫בעל‪-‬פה‪ ,‬ולא "למחוק" את המספרים ‪ 13‬על‪-‬ידי קווים‪ .‬עודדו את התלמידים לבצע לפחות חלק‬
‫מהחישובים בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫חשוב להדגיש לתלמידים שלמחיקת המספרים על‪-‬ידי קו יש משמעות של צמצום השבר‪ .‬אין‬
‫משמעות למחיקה כאשר התרגיל כתוב ככפל שברים ולא כשבר אחד‪ ,‬לכן תחילה צריך לכתוב את‬
‫כפל השברים כשבר אחד ורק לאחר מכן לצמצם על‪-‬ידי מחיקה‪ .‬לאחר המחיקה כותבים בהקטנה‬
‫את המספר המתקבל אחרי צמצום השבר ליד כל מספר מחוק‪.‬‬
‫‪31‬‬
‫נדגים בעזרת התרגיל‪ . × 13 :‬בשלב זה אין למחוק את המספר ‪ ,13‬כי זהו תרגיל כפל‪ ,‬אלא יש‬
‫‪13‬‬
‫‪31‬‬
‫‪31 × 13‬‬
‫לכתוב את התרגיל כשבר‪:‬‬
‫= ‪ . × 13‬כעת אפשר לצמצם את השבר ולהראות את‬
‫‪13‬‬
‫‪13‬‬
‫‪31 × 13 1‬‬
‫‪31‬‬
‫×‬
‫=‬
‫‪13‬‬
‫הצמצום על‪-‬ידי מחיקה כך‪:‬‬
‫‪ .‬אם התלמידים בכל זאת מוחקים את המספר‬
‫‪13‬‬
‫‪1 13‬‬
‫בשלב הכפל‪ ,‬יש לשוחח אתם על משמעות המחיקה שהוסברה לעיל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :44‬ייצרו שמונָה בקבוקים‪ .‬התרגיל המתאים לפתרון הבעיה הוא‬
‫‪1 1 1 16 16‬‬
‫‪. : = × = =8‬‬
‫‪2 16 2 1‬‬
‫‪2‬‬
‫משימה מס' ‪ :45‬רוני גזרה חמש חתיכות בד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :46‬במשימה זו מתרגלים ניסוחים שונים של שאלות שפתרונן הוא תרגיל חילוק‬
‫מתאים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :47‬המשימה דומה למשימה ‪ 39‬אך הפעם המחלק הוא שבר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :48‬התלמידים צריכים להתבסס על כך שכפל וחילוק הם פעולות הפוכות‪.‬‬
‫אם ‪a : b = c‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ , b = a : c‬או‬
‫‪c‬‬
‫×‪.b=a‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :120‬חילוק של שבר כלשהו בשבר כלשהו‬
‫בשיעור זה ישנה הכללה של הנושא חילוק שברים‪ .‬המחלק והמחולק הם שברים כלשהם ללא‬
‫תכונות מסוימות‪ .‬בשיעור שתי דוגמאות‪ :‬האחת חילוק של שבר בשבר והשנייה חילוק של מספר‬
‫מעורב במספר מעורב‪ .‬דרך הפתרון המובאת בשיעור היא דרך החישוב ללא המחשה‪ ,‬והיא אותה‬
‫הדרך שהוסברה כבר בשיעורים הקודמים‪.‬‬
‫‪55‬‬
‫משימה מס' ‪ :49‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :51-50‬במשימות אלו מתרגלים ניסוחים שונים של שאלות שפתרונן הוא תרגיל‬
‫חילוק מתאים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :52‬במשימה זו התלמידים צריכים להשוות בין התוצאה של תרגיל חילוק לבין‬
‫התוצאה של תרגיל כפל‪ .‬חשוב לדון עם התלמידים בדרך הפתרון שהם מציעים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :53‬א(כפל; ב( חילוק; ג( חילוק; ד( כפל‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :54‬אורך הצלע השנייה‬
‫‪5‬‬
‫‪ 1‬מ'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :55‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :56‬התופרת יכולה לתפור ‪ 7‬חצאיות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪:57‬א‪ .‬הירקן מכר את התפוחים ב‪. 271.125 -‬‬
‫ב‪ .‬הרווח על כל הכמות הוא ‪.₪ 150.75‬‬
‫ג‪ .‬הירקן הרוויח על כל ק"ג ‪.₪ 2‬‬
‫יש תלמידים שיחשבו קודם את מחיר הקניה של כל ק"ג ויחשבו ישר את הרווח לכל ק"ג‪.‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪122‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :58‬נתונה שאלה מילולית שבה על התלמידים למצוא את המחיר של קילוגרם‬
‫שקדים‪ .‬על התלמידים להפוך כל מספר מעורב לשבר גדול מ‪ 1 -‬ולפתור את התרגיל‪.‬‬
‫‪1 1 1491 4 71 × 4‬‬
‫‪1491‬‬
‫‪1 21‬‬
‫= ‪:5‬‬
‫= ×‬
‫‪= 28.4‬‬
‫= ‪149.1‬‬
‫= ‪5‬‬
‫‪10 4‬‬
‫‪10 21‬‬
‫‪10‬‬
‫‪4 4‬‬
‫‪10‬‬
‫מחיר כל קילוגרם שקדים הוא ‪ ₪ 28‬ו‪ 40 -‬אגורות‪.‬‬
‫‪149‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמ' ‪124 -123‬‬
‫‪4‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬א( בשלם יש ארבעה רבעים‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪20‬‬
‫‪12‬‬
‫= ‪ 5‬ד( בארבעה שלמים יש שישה‪-‬עשר רבעים‪.‬‬
‫= ‪ 3‬ג( בחמישה שלמים יש ‪ 20‬רבעים‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪16‬‬
‫=‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬אם כל ילד קיבל שמינית פיצה‪ ,‬חולקו במסיבה שלוש פיצות‪24 × = 3 .‬‬
‫‪8‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימת תרגול של כתיבת המספר ההפוך למספרים הנתונים‪.‬‬
‫=‪1‬‬
‫ב( בשלושה שלמים יש שנים‪-‬עשר רבעים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימת תרגול של חילוק שלם בשבר יסודי‪ .‬דוגמה‪. 7 : = 7 × 6 = 42 :‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4 24‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬משימת תרגול של חילוק שלם בשבר‪ .‬דוגמה‪6 : = 6 × = = 8 :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3 3‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬משימת תרגול נוספת של חילוק שלם בשבר‪.‬‬
‫‪56‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬שאלה מילולית שהתלמידים יכולים להבין בעזרתה כי חילוק בחצי שקול לכפל ב‪-‬‬
‫‪ .2‬בשקל אחד כל ילדה יכולה לקנות שתי הפתעות‪ .‬התרגילים המתאימים לפתרון השאלה הם‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. 32 : = 32 × 2 = 64 , 42 : = 42 × 2 = 84‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫תשובה‪ :‬שושנה קנתה ‪ 84‬הפתעות‪ ,‬ודנה קנתה ‪ 64‬הפתעות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬התלמידים נדרשים להשלים את השבר במונה החסר‪ .‬משימה זו עלולה להיות‬
‫קשה לחלק מתלמידי הכיתה‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫א( ‪ 10 : = 12‬כדי למצוא את התשובה הנכונה אפשר להנחות את התלמידים לבצע את התהליך‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫?‬
‫‪60‬‬
‫סימן ? שווה ‪. 5‬‬
‫‪ 10 : = 12‬לכן ‪ 10 × = 12‬לכן ‪= 12‬‬
‫?‬
‫?‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫ג( ‪. 6 : = 9‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫א( ‪ . 10 : = 12‬ב( ‪. 5 : = 10‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫ד( ‪. 4 : = 10‬‬
‫‪5‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬התלמידים נדרשים למצוא את המחולק‪ .‬משימה זו עלולה להיות קשה לחלק‬
‫מתלמידי הכיתה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫דוגמה של תהליך‪? : = 7 :‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫א( ‪3 : = 7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪?× 7‬‬
‫‪=7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫ב( ‪2 : = 2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫חילוק וכפל הן פעולות הפוכות‪ ,‬לכן ‪?× 7 = 21‬‬
‫‪3‬‬
‫ג( ‪5 : = 10‬‬
‫‪6‬‬
‫‪?=3‬‬
‫‪6‬‬
‫ד( ‪4 : = 6‬‬
‫‪9‬‬
‫‪7 1‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬משימת תרגול של חילוק שברים‪ .‬דוגמה‪: = 7 :‬‬
‫‪10 10‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬משימת תרגול של חילוק מספר מעורב בשבר‪.‬‬
‫‪1 1 13 2 26‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫דוגמה‪3 : = × = = 6 = 6 :‬‬
‫‪4 2 4 1 4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3 1‬‬
‫‪3‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬ב‪ 2 -‬יש ‪ 11‬רבעים‪ .‬התרגיל המתאים הוא ‪2 : = 11‬‬
‫‪4 4‬‬
‫‪4‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬משימת תרגול של סדר פעולות החשבון בשברים‪ .‬במשימה זו חוזרים על סדר‬
‫פעולות החשבון‪ :‬בתרגיל שיש בו כפל וחילוק – פותרים לפי הסדר משמאל לימין‪ ,‬בתרגיל שיש בו‬
‫חיסור וחילוק פותרים תחילה את החילוק‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 20 1‬‬
‫א( ‪× 10 : = : = 4 × 2 = 8‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2 5 2‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬ב‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫ב( ‪5 − : = 5 − × = 5 − = 4‬‬
‫‪5 2‬‬
‫‪5 1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 3‬יש שבעה חצאים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬ב‪-‬‬
‫‪4‬‬
‫שלמים יש ‪ 16‬שמיניות‪ ,‬ברבע יש שתי שמיניות ובסך‪-‬הכל ‪ 18‬שמיניות‪.‬‬
‫עשרה שמיניות‪ .‬הסבר‪ :‬בכל שלם יש שמונֶה שמיניות‪ ,‬בשני‬
‫‪ 2‬יש שמונֶה‪ֵ -‬‬
‫‪57‬‬
‫שאלות מילוליות‪ ,‬עמוד ‪125‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬א( שטח השדה הוא השלם‪ .‬התרגיל המתאים לפתרון השאלה הוא ‪. 1 : 2 = 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫השדה גדול פי ‪ 1 12‬משטח עצי הפרי‪.‬‬
‫‪4 2 12 10 2‬‬
‫= ‪. − = −‬‬
‫ב( התרגיל המתאים לפתרון השאלה הוא‬
‫‪5 3 15 15 15‬‬
‫‪4 3 14 4 56‬‬
‫‪11‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬התרגיל המתאים לפתרון השאלה הוא ‪. 2 : = × = = 3‬‬
‫‪5 4 5 3 15‬‬
‫‪15‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬א( המחיר של קילוגרם תפוזים הוא‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫יעקב ‪.₪ 32‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .₪ 3‬ב( תמורת ‪ 10‬ק"ג תפוזים ישלם‬
‫‪1 1‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬התרגיל המתאים לפתרון השאלה הוא ‪. 2 : = 5‬‬
‫‪2 2‬‬
‫תשובה‪ :‬משקלה של חבילת ופלים גדול פי חמישה ממשקלה של חבילת סוכריות‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬התרגיל המתאים לפתרון השאלה הוא ‪ . 29 : 4 = 6‬המחיר של קילוגרם‬
‫‪4 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫תפוחים הוא ‪ .₪ 6‬יוליה קיבלה עודף ‪.₪ 35‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬א( ב‪ 5 -‬יש ‪ 44‬שמיניות‪ .‬ב( ב‪ 5 -‬יש ‪ 22‬רבעים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫היסטוריה‪ ,‬עמוד ‪126‬‬
‫התלמידים לומדים על אחד הפרדוקסים המפורסמים‪ :‬אכילס והצב‪ .‬המושג אינסוף הוא מושג‬
‫שיש לדון בו‪ ,‬ונדרשת לגביו חשיבה בלתי שגרתית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬התלמידים נדרשים להסביר בלשונם שיש אינסוף מספרים‪ ,‬ולכן אין מספר טבעי‬
‫שהוא הגדול ביותר‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬א( קטע א מייצג את השבר ‪ .‬ב( קטע ב מייצג את השבר‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫ג( קטע ג מייצג את השבר‬
‫‪8‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .‬ה( קטע ה מייצג את השבר‬
‫ד( קטע ד מייצג את השבר‬
‫‪32‬‬
‫‪16‬‬
‫‪1 1 1 1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+ + + + + +‬‬
‫ו( להלן הסדרה‪... :‬‬
‫‪2 4 8 16 32 64 128‬‬
‫‪1 1 1 1 1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1+ + + + + + +‬‬
‫ז( ‪... < 2‬‬
‫‪2 4 8 16 32 64 128‬‬
‫‪58‬‬
‫‪.‬‬
‫ח( שלוש הנקודות מציינות המשך סדרה אינסופית‪.‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪127‬‬
‫בעמוד זה מוסבר שבעצם‪ ,‬כשמבצעים חילוק בשבר‪ ,‬מחלקים במחלק גם את השארית של חילוק‬
‫שלם בשלם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬א( מחמישה מטרים בד אפשר לגזור שש מפות‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫ב( ייוותר בד‪ .‬אורך הבד הנותר הוא מטר בד‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ג( החלק המסומן‬
‫משימה מס' ‪ :2‬א( בחמישה שלמים יש ‪ 20‬רבעים‪ .‬ב( ‪20 = 6 × 3 + 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫בכוכביות מהווה מהמטר‪ .‬ד( החלק המסומן בכוכביות מהווה מהמפה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4 20‬‬
‫‪2‬‬
‫‪20‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫ ‪ 6‬פעמים‪ .‬ו( ‪5 : = 5 × = = 6‬‬‫ה( נכנס ב‪-‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪128‬‬
‫חזרה על נושאים שונים‪ :‬כפל וחילוק של מספרים עשרוניים בחזקות של ‪ ,10‬המרת מידות אורך‬
‫ומשקל‪ ,‬סרטוט קטעים לפי אילוצים‪ ,‬בניית מרובע כאשר נתונים אלכסוניו‪ ,‬סרטוט מלבן כאשר‬
‫נתונות מידותיו‪ ,‬סרטוט מעגל ומדידת זוויות‪.‬‬
‫‪59‬‬
‫עמ' ‪159-129‬‬
‫ו‪ .‬הכרת גופים‪ :‬פירמידה ומנסרה‬
‫רקע‬
‫הנושא גופים פותח בפני התלמידים את עולם הגאומטריה המרחבית‪ ,‬כלומר עולם התלת‪-‬ממד‬
‫שאנו חיים בו‪ .‬הנושא אינו חדש לתלמידי כיתה ו'‪ .‬ההיכרות הראשונית עם הנושא נעשתה בכיתות‬
‫ב' ו‪ -‬ד' שבהן ִהכירו התלמידים גופים כמו קובייה ותיבה‪ .‬בכיתה ו' מלמדים את התלמידים על‬
‫גופים אחרים‪ ,‬כגון מנסרה‪ ,‬פירמידה‪ ,‬גליל‪ ,‬חרוט וכדור‪ .‬כמו‪-‬כן מסכמים את מה שלמדנו בשנים‬
‫הקודמות )ברמה גבוהה יותר מאשר בעבר(‪ .‬חשוב להבחין בין שני היבטים הקשורים לנושא‪:‬‬
‫ההיבט הגיאומטרי וההיבט של המדידות‪ .‬אלה שני היבטים שונים‪ ,‬ולכן בספרים של "חשבון ‪"10‬‬
‫הנושא מחולק למספר פרקים‪ .‬הפרק הנוכחי עוסק בפאונים‪ ,‬בעיקר במנסרות ובפירמידות‪ .‬בפרק‬
‫זה לומדים על קובייה ועל תיבה כמקרים פרטיים של המנסרה‪ .‬הפרק הבא בנושא יעסוק בגופים‬
‫"עגולים"‪ ,‬כלומר בגליל‪ ,‬בחרוט ובכדור‪ .‬שני הפרקים הבאים מוקדשים לנושא נפחים‪ ,‬שהוא חלק‬
‫מהנושא מדידות‪ .‬תחילה חוזרים על מה שנלמד בכיתות הקודמות‪ -‬כלומר על העקרונות במדידת‬
‫הנפחים‪ ,‬על נפחים של תיבה ושל קובייה ועל יחידות נפח‪ -‬ולאחר מכן לומדים לחשב נפחים של‬
‫גופים שונים‪ ,‬כמו מנסרה‪ ,‬פירמידה‪ ,‬גליל‪ ,‬חרוט וכדור‪ .‬בפרק האחרון בנושא זה ימשיכו‬
‫התלמידים לעסוק בפאונים ויכירו את הגופים המשוכללים‪.‬‬
‫בפרק הנוכחי יכירו התלמידים פריסות של מנסרה ושל פירמידה‪ ,‬הם יבנו את הפאונים האלה‬
‫מהפריסות הנתונות ויזהו פריסות‪ .‬חשוב מאוד שכל התלמידים ייקחו את הגופים בידם וימחישו‬
‫אותם‪ .‬בפרק זה עוסקים גם בזיהו של מנסרה ושל פירמידה בציור‪ .‬ולומדים גם להבין סרטוט של‬
‫גוף תלת‪-‬ממד‪ .‬לקראת סוף הפרק חוקרים את המנסרה ואת הפירמידה מבחינת מספר המרכיבים‬
‫שלהן‪ :‬פאות‪ ,‬קדקודים ומקצועות‪.‬‬
‫אפשר לתאר את הקשרים העיקריים בין גופים שונים על‪-‬ידי תרשים זה‪:‬‬
‫גופים תלת‪-‬ממדיים‬
‫לא‪-‬פאונים‬
‫פאונים‬
‫גליל‪ ,‬חרוט‪ ,‬כדור‬
‫פאונים‬
‫מנסרות‬
‫אחרים‬
‫גופים אחרים‬
‫מנסרות ישרות‬
‫פירמידות‬
‫פירמידות‬
‫מנסרות ישרות אחרות‬
‫חמישה גופים‬
‫משוכללים‬
‫תיבות‬
‫קוביות‬
‫‪60‬‬
‫מנסרות‬
‫לא‪-‬ישרות‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬לגדיר את הפאון ולזהות אותו בסרטוט ובמציאות;‬
‫ב‪ .‬להבחין בין פירמידה לבין גופים אחרים בסביבה;‬
‫ג‪ .‬להבחין בין פירמידה לבין גופים אחרים בסרטוט;‬
‫ד‪ .‬להבחין בין מנסרה לבין גופים אחרים בסביבה;‬
‫ה‪ .‬להבחין בין מנסרה לבין גופים אחרים בסרטוט;‬
‫ו‪" .‬לקרוא" סרטוט של גוף‪ ,‬כלומר להבחין בסרטוט בין חלקי הגוף שנראים ממקום מסוים‪,‬‬
‫לבין חלקי גוף שלא נראים;‬
‫ז‪ .‬לזהות תיבה וקובייה בין מנסרות שונות ובין גופים אחרים;‬
‫ח‪ .‬לזהות קדקודים‪ ,‬פאות ומקצועות של פאון;‬
‫ט‪ .‬להבחין בין פאות המעטפת לבין פאות הבסיס של מנסרה ושל פירמידה;‬
‫י‪ .‬לזהות קדקודים‪ ,‬פאות ומקצועות במקרים הפרטיים של הפאון‪ ,‬כלומר בפירמידה‪,‬‬
‫במנסרה‪ ,‬בתיבה ובקובייה;‬
‫יא‪ .‬לזהו פריסות של פירמידה ושל מנסרה‪ ,‬של תיבה ושל קובייה;‬
‫יב‪ .‬לבנות פאון‪ ,‬פירמידה‪ ,‬מנסרה‪ ,‬תיבה וקובייה מפריסותיהם‪.‬‬
‫מושגים‬
‫גוף‪ ,‬פאון‪ ,‬פאות‪ ,‬מעטפת‪ ,‬קדקודי הפאון‪ ,‬מקצוע‪ ,‬פירמידה‪ ,‬פירמידה משולשת‪ ,‬פירמידה‬
‫מרובעת‪ ,‬ראש הפירמידה‪ ,‬בסיס‪ ,‬מנסרה‪ ,‬תיבה‪ ,‬קובייה‪ ,‬פריסה‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫ופרות )תפוז‪ ,‬תפוח עץ‪ ,‬תפוח‬
‫חפצים וגופים מהסביבה‪ :‬כלים חד‪-‬פעמיים )כוס‪ ,‬צלחת(‪ ,‬ירקות ֵ‬
‫אדמה‪ ,‬מלפפון(‪ ,‬צעצועים )קוביית משחק‪ ,‬כדור‪ ,‬תוף צעצוע(‪ ,‬קופסאות קטנות‪ ,‬גלילי נייר‪ ,‬כוסות‪,‬‬
‫קופסאות‪ ,‬אריזות‪ ,‬פלסטלינה‪ ,‬קרטון‪ ,‬פריסות מוכנות של גופים מתוך הנספח‪ ,‬קיסמים‪ ,‬גפרורים‪,‬‬
‫מחקים‪ ,‬משחקי הרכבה‪ ,‬גופים המורכבים באופנים שונים‪ ,‬גופים גאומטריים מוכנים‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על משפחת המרובעים‪.‬‬
‫על הלוח מסורטטים מקבילית‪ ,‬מלבן‪ ,‬ריבוע‪ ,‬מעוין‪ ,‬דלתון‪ ,‬טרפז‪ ,‬מרובע סתמי‪ .‬התלמידים‬
‫מתבקשים לתת לכל אחד מהמרובעים את כל השמות המתאימים לו מהכללי ביותר אל הפרטי‬
‫ביותר‪ .‬במקרה הצורך מאפשרים לתלמידים לגשת ללוח ולבדוק שוויון צלעות ושוויון זוויות‪.‬‬
‫דוגמאות לסרטוטים ולרשימת השמות מהכלל אל הפרט‪:‬‬
‫מרובע‬
‫מרובע‬
‫מרובע‪,‬‬
‫מקבילית‪,‬‬
‫דלתון‬
‫מעוין‬
‫מרובע‪,‬‬
‫מקבילית‬
‫מרובע‪,‬‬
‫מקבילית‪,‬‬
‫מלבן‬
‫מרובע‪,‬‬
‫דלתון‬
‫מרובע‪,‬‬
‫מקבילית‪,‬‬
‫דלתון‬
‫מעוין‪,‬‬
‫מלבן‪,‬‬
‫ריבוע‬
‫לריבוע יש שם נוסף‪" :‬מרובע משוכלל"‪ .‬למרובעים סתמיים ניתנים השמות "מרובע קמור" וּ‬
‫"מרובע קעור"‪) .‬ראו הרחבה בנושא מרובע קמור ומרובע לא‪-‬קמור בהערה לפעילות הטמעה א'‪,‬‬
‫פרק ח'‪(.‬‬
‫‪61‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על תכונות המקבילית‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים לענות על השאלות האלה‪:‬‬
‫האם ייתכן שבמקבילית אורכי הצלעות הם ‪ 2‬ס"מ‪ 3.4 ,‬ס"מ‪ 2 ,‬ס"מ‪ 3.5 ,‬ס"מ? מדוע?‬
‫האם ייתכן שמידתה של כל זווית במקבילית היא ‪ 30‬מעלות? ‪ 90‬מעלות?‬
‫האם ייתכן שמידתה של זווית אחת במקבילית היא ‪ ,300‬והמידות של שלוש הזוויות האחרות הן‬
‫‪?1500‬‬
‫האם במקבילית האלכסונים שווים זה לזה או שונים זה מזה?‬
‫האם ייתכן שבמקבילית הצלעות הסמוכות מאונכות זו לזו?‬
‫האם ייתכן שבמקבילית הצלעות הסמוכות מקבילות? הצלעות הנגדיות אינן מקבילות?‬
‫אפשר ללוות את השאלות בסרטוט המקבילית‪ .‬אפשר לבחור את השאלות לפי רמת הכיתה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חזרה על שברים ועל מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫על הלוח רשומים שברים‪ .‬התלמידים מתבקשים להפוך אותם למספרים עשרוניים ולקרוא את‬
‫השבר ואת המספר העשרוני שהתקבל‪.‬‬
‫‪1 5 33 3 777 77‬‬
‫‪7‬‬
‫דוגמאות לשברים‪:‬‬
‫‪. , ,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪10 10 100 100 1,000 1,000 1,000‬‬
‫לחילופין אפשר לרשום את המספרים העשרוניים ולבקש מהתלמידים להפוך אותם לשברים‪.‬‬
‫דוגמאות למספרים עשרוניים‪.0.008 ,0.088 ,0.888 ,0.55 ,0.05 ,0.12 ,0.3 :‬‬
‫ד‪ .‬חזרה על פעולות במספרים טבעיים‪.‬‬
‫על הלוח רשומים מספרים טבעיים‪ .16 ,84 ,1001 ,101 ,32 ,49 ,51 ,99 ,2 :‬התלמידים מתבקשים‬
‫לפתור תרגילים בעל‪-‬פה‪101 ;32 : 16 ;49+99 ; 1,001× 99 ; 1,001× 2 ;49+51 ;99+2 ; 16 + 84 :‬‬
‫ ‪ . 16 × 49 ; 16 × 51 ;1,001‬חשוב לדון עם התלמידים בדרכי הפתרון‪.‬‬‫התרגילים מורכבים מהמספרים הכתובים על הלוח )כדי שהפעילות תהיה מעניינת יותר(‪ .‬לפי‬
‫שיקול דעת המורה‪ ,‬אפשר לבחור מספרים אחרים ולהחליט על מספר של תרגילים‪ .‬אפשר גם‬
‫לבקש מהתלמידים להרכיב תרגילים משלהם ולפתור אותם‪.‬‬
‫הצעות לבניית גופים‪:‬‬
‫• בנייה מפלסטלינה )או מבצק או מכל חומר אחר מתאים לא רעיל(‪ :‬כדי לבנות את הגופים‬
‫מפלסטלינה צריכה להיות כמות מספקת של פלסטלינה‪ .‬כדאי להדריך את התלמידים לבנות‬
‫כדור ולאחר מכן "להפוך" אותו לגוף הנדרש‪ .‬בדרך כלל הבנייה אינה מדויקת‪ ,‬אך ייתכן‬
‫שתלמידים יבנו גופים באופן מדויק מאוד‪ .‬מומלץ לבקש מהתלמידים להשאיר את הגופים‬
‫בכיתה כדי להשתמש בהם להדגמה גם בשנים הבאות‪ .‬היתרון העיקרי של הפלסטלינה הוא‬
‫באפשרות לבנות גופים לא‪-‬חלולים שונים )פאונים ולא פאונים( ולראות את פאות הגוף‪ .‬נוסף על‬
‫כך‪ ,‬אפשר לחתוך את הגוף ולחקור את חתכיו‪.‬‬
‫• בניית גופים מחומרים אחרים‪ :‬אפשר לבנות פאונים מקיסמים או מגפרורים‪ ,‬כאשר מדביקים‬
‫את הקיסמים בעזרת פלסטלינה‪ .‬הקיסמים משמשים כמקצועות הפאון‪ ,‬והפלסטלינה משמשת‬
‫כקדקודי הפאון‪ .‬אפשר לבנות פאונים מקיסמים ומחלקי מחק‪ ,‬כאשר חלקי המחק משמשים‬
‫כקדקודים )כמו פלסטלינה(‪ .‬היתרון של בנייה זו הוא האפשרות לראות היטב את קדקודי הפאון‬
‫ואת מקצועותיו‪ .‬עם זאת לא רואים את הפאות‪ ,‬אלא את "שלד" הגוף‪ .‬אפשר להדגים את פנים‬
‫הפאה אם מכניסים את הפאון הבנוי מקיסמים‪ ,‬למי סבון‪ ,‬ומוציאים אותו‪ .‬הערה‪ :‬כדי למנוע‬
‫עיוותים חשוב לשוחח עם התלמידים על ההבדלים בין פאון הבנוי בדרך זו לבין פאון "אמתי‬
‫אידיאלי" )הקדקודים הם נקודות מפגש המקצועות‪ ,‬ולא חלקי המחק(‪.‬‬
‫אפשר לקחת כמות מספקת של פלסטלינה ולרדד אותה‪ ,‬כך שיתקבל מישור‪ .‬מציירים מצולע על‬
‫המישור )אפשר להיעזר בקיסמים(‪ ,‬ולאחר מכן בונים את הפאון הרצוי על הבסיס המצויר )כמו‬
‫קודם לכן(‪.‬‬
‫• בניית גופים מפריסות מוכנות‪ :‬התלמידים יבנו מנסרות ופירמידות מפריסות מוכנות שבנספחים‬
‫של הספר לתלמיד‪ .‬אפשר גם להכין פריסות להדגמה )גדולות מאוד(‪ .‬ישנם תלמידים שאוהבים‬
‫לבנות מנייר‪ .‬אפשר לבקש מהתלמידים לבנות פאונים אחרים )לפי פריסות מוכנות שהמורה‬
‫תיתן‪ ,‬או לפי המצאה שלהם(‪ ,‬להביע הערכה על בנייתם הנכונה ולשמור בבית הספר את הגופים‬
‫הבנויים‪.‬‬
‫‪62‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬מצולעים‪ ,‬מרובעים ומקביליות‪) .‬פעילות גילוי ל"חימום" הזיכרון(‪.‬‬
‫התלמידים בקבוצות מקבלים אוסף של מצולעים מוכנים או גזורים )כ‪ 20 -‬מצולעים לכל קבוצה(‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים למיין את המצולעים כרצונם‪ .‬דנים בשיקוליהם למיון‪ .‬לאחר מכן‬
‫התלמידים מתבקשים לבודד את כל המרובעים ולמיין אותם‪ .‬דנים בשיקוליהם למיון‪ .‬אחר‪-‬כך‬
‫הם מתבקשים לבודד את כל המקביליות ולמיין אותם‪ .‬דנים בשיקוליהם למיון‪ .‬לבסוף מבקשים‬
‫מהם לבנות את ההיררכיה של קבוצת המרובעים‪ .‬תחילה הם יניחו את המרובעים הסתמיים‬
‫וימשיכו להניח בזה אחר זה את יתר המרובעים לפי תכונותיהם‪ .‬בסוף התהליך הם יקבלו תרשים‬
‫כמו זה המופיע בספר לתלמיד בעמ' ‪.98‬‬
‫להלן דוגמה לאוסף המרובעים בהקטנה‪) .‬קל לצייר את המצולעים בעזרת תכנת המחשב‬
‫‪ (.WORD‬באוסף יש לפחות שני ריבועים‪ ,‬שני מלבנים‪ ,‬שני מעוינים‪ ,‬שני דלתונים‪ ,‬שני טרפזים‪,‬‬
‫שלושה מרובעים סתמיים‪ ,‬מחומשים‪ ,‬משושים‪ ,‬משובעים‪ ,‬מתומנים ועוד; מצולעים קמורים‬
‫ולא‪-‬קמורים‪ ,‬מצולעים משוכללים ולא‪-‬משוכללים‪.‬‬
‫פעילות ב‪ :‬לפני השיעור מבקשים מהתלמידים להביא מביתם חפצים שונים כמו כלים חד‪-‬פעמיים‬
‫)כוס‪ ,‬צלחת(; ירקות ופרות )תפוז‪ ,‬תפוח‪ ,‬מלפפון וכדומה(; צעצועים )קוביית משחק‪ ,‬כדור‪ ,‬תוף‬
‫צעצוע וכדומה(; קופסאות קטנות‪ ,‬גלילי נייר ועוד‪ .‬כדאי להוסיף לכל קבוצה גופים גאומטריים‬
‫מאוסף הגופים שבכיתה‪ .‬בשלב הראשון מבקשים מהתלמידים למיין את החפצים בדרך כלשהי‪.‬‬
‫דנים בשיקוליהם למיון‪ .‬דוגמאות לקריטריונים למיון‪ :‬לפי צבע )צלחת ירוקה וכוס ירוקה(‪,‬‬
‫צעצועים ולא‪-‬צעצועים וכדומה‪ .‬אפשר למיין את החפצים לפי הצורה )גופים עגולים וגופים לא‪-‬‬
‫עגולים(‪ .‬בשלב השני כל התלמידים מתבקשים למיין את החפצים לפי צורתם‪ ,‬כלומר כגופים‬
‫שונים‪ .‬דנים בדרך המיון של כל קבוצה‪ .‬חשוב שיהיו חפצים שהם גופים שונים‪ .‬מבקשים לשיים‬
‫את הגופים‪) .‬בשלב זה אין צורך לדרוש מהתלמידים הגדרות פורמאליות לגופים‪ (.‬מומלץ לתקן‬
‫את השפה המדוברת‪ .‬במקום לומר‪" :‬גליל נייר הוא גליל"‪ ,‬צריך לומר‪" :‬גליל נייר דומה לגליל"‪.‬‬
‫בשיעורים הבאים נלמד מהו הגליל‪ ,‬ונדון בצורתו של גליל הנייר‪ .‬אחת הסיבות לכך שגליל איננו‬
‫גליל‪ ,‬היא שלגליל נייר אין בסיסים‪ ,‬ולגליל כגוף גאומטרי יש בסיסים‪ .‬ספר דומה לתיבה מכיוון‬
‫שהכריכה גדולה יותר מהעמודים האחרים‪ ,‬או קיימות פינות עגולות וכדומה‪ .‬הספר "חשבון ‪"10‬‬
‫הוא תיבה )אם הספר אינו עקום(‪.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬נותנים לכל קבוצת תלמידים גופים שונים )פאונים ולא‪-‬פאונים(‪ .‬התלמידים מתבקשים‬
‫למיין את הגופים‪ .‬דנים בדרכי המיון שלהם‪ .‬המטרה היא להגיע למיון לגופים הבנויים ממצולעים‬
‫בלבד )פאונים( ולגופים אחרים )לא פאונים(‪ .‬בתום הפעילות מגדירים את הפאון ואת מרכיביו‬
‫)פאות‪ ,‬קדקודים‪ ,‬מקצועות(‪.‬‬
‫פעילות ד‪ :‬נותנים לכל קבוצת תלמידים אוסף פאונים ובתוכם פירמידות‪ .‬התלמידים מתבקשים‬
‫למיין את הפאונים‪ .‬דנים בדרכי המיון שלהם‪ .‬מטרת הפעילות היא להגיע למיון לפירמידות‬
‫ולפאונים אחרים‪ .‬בתום הפעילות מתארים את הפירמידה ואת מרכיביה )פאות‪ ,‬קדקודים‪,‬‬
‫מקצועות‪ ,‬ראש‪ ,‬בסיס‪ ,‬מעטפת(‪.‬‬
‫‪63‬‬
‫פעילות ה‪ :‬כל תלמיד מתבקש לצייר על דף משובץ פירמידה‪ ,‬כך שהתלמידים האחרים יבינו מה‬
‫צויר‪ .‬חשוב להעלות למודעות של התלמידים את הקושי בציור של גוף‪ ,‬שכן הציור הוא דו‪-‬ממדי‪,‬‬
‫ואילו הגוף הוא תלת‪-‬ממדי‪ .‬סביר להניח שרק מעט תלמידים יצליחו לצייר היטב את הפירמידה‬
‫מפני שהם אינם רגילים לסרטט גופים‪ .‬דנים בסרטוטים )ציורים( של תלמידים שונים‪ .‬אם יהיו‬
‫תלמידים שיציירו את הפירמידה באופן נכון או כמעט נכון‪ ,‬מומלץ להראות את הציור לכל‬
‫תלמידי הכיתה‪ .‬לחילופין אפשר לחלק לתלמידים דף שמצוירות בו פירמידות בדרכים שונות‬
‫)קצתן אינן נכונות(‪ ,‬ולדון עם התלמידים בציורים אלה‪ .‬בתום הפעילות חשוב להגיע למסקנות‬
‫לגבי סרטוט נכון כמו בשיעור בעמ' ‪ 108‬בספר לתלמיד‪.‬‬
‫פעילות ו‪ :‬התלמידים מקבלים פירמידה‪ .‬הם מתבקשים לשער כיצד תיראה פריסתה‪ .‬דנים במושג‬
‫פריסה‪ .‬אפשר להזכיר את פריסת הקובייה או את פריסת התיבה‪ ,‬שהתלמידים ַמכירים מכיתה ד'‪.‬‬
‫לאחר הדיון בפריסת הפירמידה מבקשים מהתלמידים לסרטט אותה ואחר‪-‬כך לגזור את הצורה‬
‫שבסרטוט בשלמותה ולנסות לבנות פירמידה מהפריסה שלה‪ .‬בודקים אם התקבלה פירמידה‪.‬‬
‫דנים בשגיאות ובצורות הנכונות‪ ,‬מנסים "לתקן" את הפריסות השגויות או לסרטט אותן מחדש‪.‬‬
‫פעילות ז‪ :‬נותנים לכל קבוצת תלמידים אוסף של פאונים‪ ,‬ובתוכם מנסרות‪ .‬התלמידים‬
‫מתבקשים למיין את הפאונים‪ .‬דנים במיונים שלהם‪ .‬מטרת הפעילות היא להגיע למיון למנסרות‬
‫ולפאונים אחרים‪ .‬בתום הפעילות מגדירים את המנסרה ואת מרכיביה )פאות‪ ,‬קדקודים‪,‬‬
‫מקצועות‪ ,‬בסיסים‪ ,‬מעטפת(‪ .‬אפשר לשאול את התלמידים במה נבדלות מנסרות מפירמידות‪.‬‬
‫באוסף של המנסרות צריכות להיות גם תיבות וקוביות‪ .‬אפשר לשאול את התלמידים מהם שמות‬
‫המנסרות המוכרות להם‪.‬‬
‫פעילות ח‪ :‬התלמידים מקבלים שתי מנסרות שונות‪ .‬הם מתבקשים לשער כיצד תיראה פריסתן‪.‬‬
‫פריסת הקובייה ופריסת התיבה מוכרות לתלמידים מכיתה ד'‪ ,‬לכן כדאי שאחת המנסרות תהיה‬
‫קובייה או תיבה‪ ,‬והשנייה תהיה מנסרה לא‪-‬מרובעת‪ .‬דנים עם התלמידים בהשערתם ואחר כך‬
‫מבקשים מהם לסרטט את הפריסות של שתי המנסרות שבידם‪ .‬אחרי שסרטטו הם מתבקשים‬
‫לגזור את הצורה שבסרטוט בשלמותה ולנסות לבנות מנסרה מהפריסה שלהם‪ .‬בודקים אם‬
‫התקבלה מנסרה‪ .‬דנים בשגיאות ובצורות הנכונות‪ ,‬מנסים "לתקן" את הפריסות השגויות או‬
‫לסרטט אותן מחדש‪.‬‬
‫הספר לתלמיד‬
‫"לעלות על הגל"‬
‫האם אנו מוכנים? עמוד ‪129‬‬
‫‪ :1‬ג; ‪ :2‬ב; ‪ :3‬ג; ‪ :4‬ה; ‪ :5‬ג; ‪ :6‬א‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :130‬משפחת המרובעים‬
‫מומלץ לבצע את פעילות ההטמעה א' בתוך כדי השיעור או בתחילתו וכן את פעילות הגילוי א'‪.‬‬
‫בשיעור זה מזכירים את משפחת המרובעים‪ .‬חשוב שהתלמידים יתבוננו בציורים ויזהו את‬
‫המרובעים השונים כמו מקבילית‪ ,‬מלבן או מרובע סתמי‪ .‬בשיעור זה חוזרים על שמות המרובעים‪,‬‬
‫מגדירים אותם ומבחינים בין מרובעים מיוחדים לבין מרובעים שאינם מיוחדים‪ .‬בעצם כל מרובע‬
‫שיש לו שני שמות לפחות )אחד השמות הוא "מרובע"(‪ ,‬הוא מרובע מיוחד‪ .‬לדוגמה‪ ,‬למקבילית‬
‫אפשר לתת שני שמות‪ :‬מרובע ומקבילית‪ .‬חשוב לדון עם התלמידים בתרשימים המובאים‬
‫בשיעור‪ :‬משפחת המרובעים ומשפחת המקביליות‪ .‬דונו עם התלמידים במשמעות החצים‪ .‬שאלו‬
‫את התלמידים מדוע החצים הם חד‪-‬כיווניים‪ .‬הגיעו עם התלמידים למסקנה שהתרשימים בנויים‬
‫מהכלל אל הפרט )מלמעלה למטה או לפי החצים(‪ .‬כל תכונה נוספת יוצרת מרובע מיוחד‪ ,‬וככל‬
‫שיש למרובע יותר תכונות מיוחדות‪ ,‬כך יש לו יותר שמות‪ ,‬וכך הוא "מיוחד יותר"‪ .‬לדוגמה‪ ,‬דלתון‬
‫הוא מרובע מיוחד‪ ,‬ומעוין הוא מקרה פרטי של דלתון )החץ מראה שנוספות תכונות לדלתון‪ ,‬והוא‬
‫"הופך" למעוין(‪ .‬החץ מראה גם שכל מעוין הוא דלתון‪ ,‬אך ההפך אינו נכון‪ ,‬ולכן החץ הוא רק‬
‫בכיוון אחד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬פיתוח מיומנות של סרטוט מצולעים‪ :‬משולש‪ ,‬משושה‪ ,‬מחומש מתושע ומעושר‪.‬‬
‫אפשר להנחות את התלמידים להיעזר ברשת המשבצות שבמחברת לצורך סרטוט‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬על התלמידים לסרטט שלושה מרובעים שונים‪ .‬אם כל המרובעים שסורטטו הם‬
‫מקביליות‪ ,‬מבקשים מהתלמידים לסרטט מרובע נוסף שאינו מקבילית‪ ,‬כמו טרפז או דלתון‪.‬‬
‫‪64‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬תכונות המרובעים‪ .‬א( בכל מרובע יש ארבע זוויות וארבע צלעות‪ .‬ב( במעוין כל‬
‫הצלעות שוות‪ .‬ג( במלבן כל הזוויות שוות‪ .‬ד( ריבוע הוא מלבן מיוחד וגם מעוין מיוחד‪.‬‬
‫ה( מקביליות מיוחדות הן מלבן‪ ,‬מעוין וריבוע‪ .‬ו( דלתונים מיוחדים הם מעוין וריבוע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬לרוב המרובעים המסורטטים במשימה מתאימים מספר שמות‪ .‬לדוגמה‪ ,‬הריבוע‬
‫הוא גם מקבילית‪ ,‬גם מלבן וגם מעוין‪ .‬לכן התלמידים יכולים למתוח קו לכל אחד מהשמות‬
‫שלעיל‪.‬‬
‫שוחחו עם התלמידים על התשובות שלהם‪ ,‬ודונו בתכונות המתוארות על ידי כל אחד משמות‬
‫המרובע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬ישנן הרבה אפשרויות להשלים כל אחת מהמקביליות‪ .‬אפשר לקבוע את הכיוון‬
‫ואת האורך של הצלע השנייה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬שאלות של הכללה‪ .‬כדי להראות שלא כל מקבילית היא מלבן‪ ,‬די לסרטט‬
‫מקבילית שאיננה מלבן‪ .‬קשה יותר להראות שכל מלבן הוא מקבילית‪ .‬כאן יש לפעול לפי בדיקת‬
‫ההכרחית והמספקת כדי שהמרובע יהיה מקבילית‪,‬‬
‫ֵ‬
‫התכונות של המקבילית‪ .‬לדוגמה‪ ,‬התכונה‬
‫היא "כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו"‪ .‬מוודאים שתכונה זו קיימת במלבן‪ ,‬ועל‪-‬סמך זה‬
‫התלמידים של כיתה ו' מגיעים למסקנה שכל מלבן הוא מקבילית‪ .‬בכיתות הבאות ההוכחה‬
‫תיעשה בדרך הפורמאלית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬א( נכון‪ .‬ב( נכון ג( נכון ד( לא‪-‬נכון ה( נכון ו( לא‪-‬נכון‬
‫משימה מס' ‪ :8‬במשימה זו חוזרים על תכונות המרובעים‪ .‬התלמידים מתבקשים לבדוק אם‬
‫תכונה קיימת במרובע מסוים‪ ,‬ולמלא את הטבלה‪ .‬בשאלה זו נדרש דיון עם התלמידים בכל תכונה‬
‫ותכונה‪ .‬שימו לב לקשיים שעשויים להתעורר אצל התלמידים בתזכורת של מושגים שונים‪ ,‬כמו‬
‫"אלכסונים חוצים זה את זה" או "שני זוגות נפרדים של צלעות סמוכות שוות"‪ .‬חשוב לחזור על‬
‫כל מושג שמעורר קושי‪ ,‬לדון בו ולהיעזר בציור מתאים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬א( כל מרובע השונה ממקבילית ומטרפז‪ .‬זה יכול להיות דלתון לא‪-‬מיוחד או‬
‫מרובע סתמי‪ .‬ב( טרפז‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬א( מקבילית או טרפז‪ .‬דונו עם התלמידים בשתי האפשרויות האלה‪ .‬חשוב‬
‫להיזכר בהגדרה של טרפז‪" :‬טרפז הוא מרובע שבו רק זוג אחד של צלעות מקבילות"‪ .‬במשימה זו‬
‫התיאור המופיע‪" :‬יש לי זוג צלעות מקבילות" יכול להתאים גם לטרפז וגם למקבילית‪ ,‬משום‬
‫שלא מצוינת המילה "רק"‪ .‬זאת אומרת‪ ,‬זוג הצלעות הנוסף יכול להיות מקביל או לא‪-‬מקביל‪.‬‬
‫במקרה זה המקבילית יכולה להיות גם מלבן‪ ,‬מעוין או ריבוע‪ .‬ב( מלבן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬פיתוח הבנה גיאומטרית‪ .‬הסבירו לתלמידים שריבוע נכלל בקבוצת המרובעים‪,‬‬
‫כי יש לו כל התכונות של המרובע‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :133‬תיבה וקובייה‬
‫בשיעור זה חוזרים על תיבות ועל קוביות‪ .‬גופים אלה מוכרים כבר לתלמידים מכיתות ב' ו‪ -‬ד'‪.‬‬
‫חשוב להזכיר לתלמידים את חלקי התיבה והקובייה‪ :‬פאות‪ ,‬מקצועות וקדקודים‪ .‬יש להדגיש‬
‫לתלמידים שלתיבה כלשהי ולקובייה יש אותו מספר קדקודים‪ ,‬אותו מספר מקצועות ואותו‬
‫מספר פאות‪ .‬השוני הוא בצורת הפאות‪ ,‬וכמובן‪ ,‬באורך המקצועות‪ .‬קובייה היא מקרה פרטי של‬
‫תיבה‪ ,‬מפני שפאות הקובייה הם מלבנים מיוחדים‪ .‬הערה‪ :‬אם התלמידים מתקשים בהבנת‬
‫המושג מקצוע‪ ,‬אפשר להחליפו במילה צלע ולהשתמש ב"צלעות התיבה" וב"צלעות הקובייה"‪.‬‬
‫הערה למורה‪ :‬פאות התיבה הן מלבנים בלבד‪ ,‬לכן איננו אומרים "תיבה ישרה"‪ ,‬אלא "תיבה"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬במשימה זו על התלמידים להתבונן בקובייה ולחקור אותה מבחינת מרכיביה‪.‬‬
‫המסקנה היא שלקובייה ‪ 12‬מקצועות‪ 8 ,‬קדקודים ו‪ 6 -‬פאות‪ ,‬כל הפאות הן ריבועים חופפים‪ ,‬לכן‬
‫כל המקצועות שווים באורכם‪ .‬כדי לבנות את הקובייה נדרשים שישה ריבועים חופפים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬במשימה זו על התלמידים להתבונן בתיבה שאינה קובייה‪ ,‬ולחקור אותה‬
‫מבחינת מרכיביה‪ .‬המסקנה היא שלתיבה ‪ 12‬מקצועות‪ 8 ,‬קדקודים ו‪ 6 -‬פאות‪ ,‬כל הפאות הן‬
‫מלבנים ולאו דווקא ריבועים חופפים‪ ,‬לכן מקצועות התיבה הלא‪-‬מיוחדת אינם שווים באורכם‪.‬‬
‫כדי לבנות תיבה כלשהי נדרשים שישה מלבנים שבהם שלושה זוגות של מלבנים חופפים‪.‬‬
‫‪65‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬לעתים קרובות התלמידים הצעירים מתבלבלים בין המושגים וקוראים לקובייה‬
‫"ריבוע"‪ .‬חשוב להבהיר להם שריבוע הוא צורה מישורית‪ ,‬ואילו קובייה היא גוף מרחבי‪ ,‬לכן‬
‫הקובייה אינה ריבוע וגם להפך‪ .‬אלה שני מושגים שונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬על התלמידים לכתוב במה שונות תיבה וקובייה זו מזו ובמה הן דומות זו לזו‪.‬‬
‫הקובייה היא תיבה מיוחדת‪ .‬התיבה והקובייה דומות במספר הפאות )‪ ,(6‬במספר המקצועות )‪(12‬‬
‫ובמספר הקדקודים )‪ .(8‬הזוויות בפאות ישרות‪ .‬ישנם שלושה זוגות של פאות המקבילות זו לזו‬
‫וחופפות זו לזו‪ .‬השוני בא לידי ביטוי בצורת הפאות‪ :‬פאות הקובייה הן בצורת‪ ,‬ריבוע ואילו פאות‬
‫התיבה הן בצורת מלבן‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :17-16‬בדיקת צורות של חפצים מהסביבה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :134‬ישרים מאונכים וישרים מקבילים‬
‫בשיעור זה חוזרים התלמידים על ישרים מקבילים ועל ישרים מאונכים‪ .‬הזכירו לתלמידים כיצד‬
‫מתבצעת בדיקה אם זווית בין שני ישרים נחתכים היא זווית ישרה )של ‪ .(900‬חשוב שהם יראו‬
‫זאת בפועל בעזרת זווית ישרה כלשהי‪ .‬הסבו את תשומת לבם של התלמידים‪ ,‬שבמשולש סרטוט‬
‫ישנה זווית ישרה אחת בלבד‪ .‬הדריכו אותם כיצד לזהות אותה וכיצד להניח את המשולש כדי‬
‫לבדוק את מידת הזווית שבין הישרים‪ .‬רק כאשר ניצבי המשולש "מתלכדים" עם הישרים‬
‫הנתונים‪ ,‬הזווית הנבדקת היא זווית ישרה‪ .‬לגבי ישרים מקבילים חשוב להדגיש שמדובר בישרים‬
‫הנמצאים באותו מישור‪) .‬במרחב ישנם ישרים שאין להם אף נקודה משותפת והם אינם‬
‫מקבילים‪ (.‬כדאי גם להזכיר את הסימנים למקבילוּת )⎢⎜ ( ולמאונכוּת )⊥(‪ .‬בספר קיימות דוגמאות‬
‫של ישרים לא‪-‬מקבילים ושל קטעים מקבילים כדי להשלים את התמונה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬התלמידים מסיקים שאם שני ישרים מאונכים לאותו ישר‪ ,‬הם מקבילים זה‬
‫לזה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :135‬העתקות איזומטריות‬
‫בשיעור זה חוזרים על ההעתקות האיזומטריות‪ .‬העניין חשוב להמשך‪ ,‬כאשר ילמדו התלמידים על‬
‫מנסרות )הבסיסים של המנסרה מקבילים וחופפים ומתקבלים זה מזה על‪-‬ידי הזזה(‪ .‬בעזרת‬
‫ההזזה אפשר גם לסרטט את המנסרות )גם תיבה וקובייה( במישור‪ ,‬וכך ייווצר רושם של תלת‪-‬‬
‫ממד‪ .‬חשוב שהתלמידים יזהו שיקוף‪ ,‬הזזה וסיבוב )האחרון הוא קשה יותר( באופן חזותי וידעו‬
‫לצייר בערך את קו השיקוף ואת כיוון ההזזה לפחות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬א( הזזה; ב( שיקוף; ג( סיבוב ב‪.1800 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬א'‪ ,‬י"ב ו‪ -‬ד'; ב ו‪ -‬י'; ג'‪ ,‬י"א ו‪ -‬ט'; ה' ו‪ -‬ח'; ו' ו‪ -‬ז'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬רק העיגולים החופפים מתקבלים זה מזה בהזזה‪ .‬מעניין שהדבר נכון לגבי כל‬
‫שני עיגולים חופפים‪ ,‬ולא חשוב מה מיקומם במישור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬המשימה דומה בחלקה למשימה ‪ .20‬תמונות ההזזה‪ :‬ד'‪ ,‬ה' ו‪ -‬ו'‪ .‬תמונות‬
‫השיקוף‪ :‬א' ו‪ -‬ז'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬גם למשולש שווה‪-‬שוקיים וגם לטרפז יש ציר סימטריה אחד‪ ,‬למלבן יש שני‬
‫צירי סימטריה‪ ,‬ולריבוע יש ארבעה צירי סימטריה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬המרובע שמתקבל הוא דלתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬על התלמידים לבצע הזזות של צורות שונות‪ .‬חשוב שלאחר מכן יקבלו‬
‫התלמידים תמונה שחופפת למקור‪.‬‬
‫‪66‬‬
‫הקניה‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :137‬גופים סביבנו‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ב' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה לומדים על גופים שונים בחיי היום‪-‬‬
‫יום‪ .‬המטרה היא להתבונן בסביבה ולראות גופים שונים‪ .‬ולהגדירם לא בהגדרות מתמטיות‬
‫מדויקות‪ ,‬אלא על‪-‬פי האינטואיציות ובעזרת הראייה המרחבית‪ .‬כולם ראו תפוז או כדורגל‪ ,‬וכולם‬
‫יודעים שאלה כדורים‪ .‬כמובן‪ ,‬רוב החפצים המציאותיים רק דומים לגופים מתמטיים‪ .‬לדוגמה‪,‬‬
‫הכוס איננה בדיוק גליל‪ ,‬מכיוון ש"חסר" לה בסיס אחד למעלה‪ .‬עם זאת חשובה ההמחשה של‬
‫הדברים ולאו דווקא הדיוק המתמטי‪ .‬בהמשך‪ ,‬כאשר ילמדו התלמידים הגדרות מדויקות‪ ,‬חשוב‬
‫להזכיר להם את החפצים שכבר הכירו כגופים‪ ,‬ולשאול אותם כיצד "לתקן" חפץ מסוים כדי‬
‫שיהפוך לגוף מתמטי לפי ההגדרה‪ .‬בדוגמה של כוס‪" :‬מוסיפים עיגול במכסה"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬א‪ .‬זיהוי גופים‪ .‬ב‪ .‬דונו עם התלמידים בקריטריון המיון שלהם‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :138‬פאון‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ג' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה מלמדים את התלמידים על פאונים‬
‫שונים‪ .‬כאן כבר משתמשים בהגדרה מתמטית מדויקת במילים ובדוגמאות‪ .‬חשוב להראות‬
‫לתלמידים באופן מוחשי פאונים ואת כל המרכיבים של הפאון‪ :‬פאות‪ ,‬קדקודים ומקצועות‪ .‬שימו‬
‫לב‪ ,‬ייתכן קושי בהבנת הציורים‪ .‬ככל שמתקדמים בעבודה בפרק‪ ,‬והתלמידים חוקרים יותר‬
‫ציורים של גופים‪ ,‬כך יובהרו הציורים לרוב התלמידים‪ .‬כדי לפתח ראייה מרחבית חשוב‬
‫שהתלמידים ימחישו את הגופים בפועל‪ ,‬כלומר ייקחו גופים מוכנים וגם יבנו כמה מהם‪ .‬לכן חשוב‬
‫להצטייד בגופים מוכנים להדגמה ולעבודה אישית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬זיהוי פאונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬המצולעים שבמסגרת מתאימים לפאון ד'‪ .‬אפשר להרחיב את התרגיל ולבקש‬
‫מהתלמידים לשער מהן הפאות של הפאונים א' ו‪ -‬ב'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬התלמידים חוקרים קוביית צעצוע‪ .‬הקובייה היא אכן פאון‪ .‬הקובייה בנויה‬
‫משישה ריבועים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :139‬פירמידה‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ד' לפני השיעור‪ .‬אחרי הכרת הפאונים ילמדו התלמידים להכיר‬
‫מקרים פרטיים של פאון‪ ,‬כלומר פירמידה ומנסרה‪ .‬הכרה זו מתחילה בפירמידה‪ .‬ניתן כאן תיאור‬
‫של פירמידה במילים‪ ,‬ולא ניתנת הגדרה מדויקת‪ .‬זכרו שהמטרה העיקרית של פרק זה היא‬
‫להבחין בין גופים שונים ולהמחיש אותם‪ .‬תנו לתלמידים פירמידות שונות‪ ,‬ובקשו מהם להחזיק‬
‫את הפירמידה שבידם בראשה‪ .‬כך ילמדו התלמידים מהו ראש הפירמידה‪ .‬חשוב שיצביעו על‬
‫בסיס הפירמידה וידונו בשאלה אם הבסיס הוא פאה ומדוע‪ .‬בקשו מהתלמידים להראות את פאות‬
‫המעטפת‪ .‬אפשר להתבונן בפירמידות ולמנות את פאות המעטפת ואת הקדקודים‪ .‬נושאים אלה‬
‫יטופלו גם בהמשך‪ .‬שימו לב שבשיעור מסורטטת פירמידה שבסיסה הוא משושה לא קמור‪ .‬חשוב‬
‫שהתלמידים יכירו גם פירמידות "מוזרות" אלה‪ .‬רצוי שבכיתה יהיו פירמידות ישרות ולא‪-‬ישרות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬א( פירמידה ישרה לפי ההגדרה‪ .‬ב( ו‪ -‬ג( פירמידה לא‪-‬ישרה‪ .‬בודקים לפי הגדרה‬
‫של פירמידה ישרה‪ .‬ד( אי‪-‬אפשר לבנות פירמידה לא‪-‬ישרה ממשולשים חופפים שוני‪-‬צלעות‪ .‬כאשר‬
‫יש שני משולשים חופפים‪ ,‬אפשר לבנות פירמידה לא‪-‬ישרה‪ ,‬כאשר המשולש השלישי שווה‪-‬‬
‫שוקיים‪ .‬אפשר לבקש מהתלמידים המתקדמים לגזור משולשים אלה )בהגדלה‪ ,‬כמובן( ולהיווכח‬
‫בכך‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬התלמידים מתבקשים לבנות פירמידה מרובעת מארבעה משולשים )מעטפת(‬
‫ומריבוע )בסיס(‪ .‬בפעם הראשונה‪ ,‬בבניית פריסות וגופים מהפריסות‪ ,‬חשוב להקדיש זמן‬
‫לפעילויות כאלה כדי להגיע להבנת הקשר בין פריסה לבין גוף‪ .‬ג( כן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬כמו בשאלה הקודמת התלמידים בונים פירמידה מרובעת‪ ,‬אך הפעם מפלסטלינה‪.‬‬
‫)ראו בתחילת הפרק "הצעות לבניית גופים"‪(.‬‬
‫‪67‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬ארבעה משולשים חופפים יוצרים פירמידה משולשת‪ .‬הסבו את תשומת לבם של‬
‫התלמידים לכך שכל פאה יכולה לשמש כבסיס‪ ,‬וכל קדקוד יכול לשמש כראש הפירמידה )בהתאם‬
‫לבסיס הנבחר(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬נורית רואה צורה א'‪ .‬בפירמידה זו הבסיס הוא משושה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬א( ‪ ;5‬ב( לא‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :141‬סרטוט פירמידה‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ה' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה עוסקים מעט בבעיות הקשורות‬
‫לסרטוט נכון של גופים תלת‪-‬ממדיים על המישור הדו‪-‬ממדי‪ .‬קיימים מספר כללים לסרטוט הנכון‪,‬‬
‫אך אנו מתמקדים בדבר אחד בלבד‪ :‬בקווים הנראים ובקווים הלא‪-‬נראים לעין‪ .‬חשוב להדגיש‬
‫לתלמידים שמה שמסומן בקווקוו לא נראה מהכיוון שצויר הציור‪ ,‬אולם החלקים האלה קיימים‬
‫במציאות‪ .‬בסרטוט פאונים מדגישים בקווקוו מקצועות שלא נראים לעין‪ ,‬ועל‪-‬סמך זה אפשר‬
‫להחליט חד‪-‬משמעית מה מספר הפאות‪ ,‬המקצועות והקדקודים של הפאון‪ .‬אם צריך לסרטט קו‬
‫נוסף‪ ,‬לדוגמה אלכסון של פאה‪ ,‬שלא רואים אותו‪ ,‬מקווקווים גם את הקו הזה‪ .‬בשלב זה אין‬
‫לדרוש מהתלמידים לסרטט את הפאונים‪ ,‬אלא לזהותם בלבד‪ ,‬ולכן אין עוסקים כאן בכללים‬
‫האחרים של הסרטוט‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬על התלמידים לזהות פירמידות בציור‪ .‬ג'‪ ,‬ד'‪ ,‬ו'‪ ,‬ז' ו‪ -‬ח' אלה הפירמידות‪ .‬אם‬
‫התלמידים טועים בזיהוי‪ ,‬שוחחו אתם על הנימוקים שלהם ועל הטעות‪ .‬כך אפשר לבצע הוראה‬
‫מתקנת מידית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬התלמידים מתבקשים "לקרוא את הסרטוט"‪ .‬כדי להקל את ביצוע המשימה הם‬
‫מתבקשים לצבוע את בסיס הפירמידה ואת הקדקוד‪ .‬לאחר הצביעה ברור מהו המצולע שבבסיס‪,‬‬
‫וקל למנות את הקדקודים‪ ,‬את הפאות ואת המקצועות‪ .‬להמחשת המשימה מומלץ גם להכין‬
‫מראש פירמידות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬פיתוח הבנה גיאומטרית על‪-‬ידי פיתוח מיומנות סרטוט‪ .‬על התלמידים לסרטט‬
‫בקווקוו את הקטעים שלא רואים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬משימת יישום‪ .‬הדגישו לתלמידים שכל הסרטוטים כאן עשויים באופן נכון‪.‬‬
‫התלמידים צריכים לצבּוע באדום רק קווים רציפים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬במקום לבנות פירמידה מפלסטלינה אפשר להתבונן בפירמידות מוכנות לא‬
‫שקופות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬התלמידים אמורים לקבל סרטוט הדומה לאחד מהסרטוטים של משימה ‪.15‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬התלמידים צריכים לזהות את בסיס הפירמידה ואחר‪-‬כך לקבוע את שמה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :143‬פריסה של פירמידה‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ו' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה לומדים על פריסת הפירמידה‪ .‬באופן‬
‫הג ְזרה על המישור )כמובן‪ ,‬אם הוא עשוי מחומר מתאים‬
‫כללי אפשר לגזור כל פאון ולפרוס את ִ‬
‫לגזירה(‪ .‬כך מתקבלת פריסת הפאון‪ .‬פריסה של פאון מורכבת מכל המצולעים שהם פאות הפאון‪.‬‬
‫אם כן‪ ,‬פריסת הפירמידה מורכבת מכל המשולשים שהם פאות המעטפת‪ ,‬וממצולע שהוא בסיס‬
‫הפירמידה‪ .‬חשוב שהתלמידים יבחינו בין צורה מישורית שאפשר לבנות ממנה פירמידה )פריסת‬
‫הפירמידה( לבין צורה מישורית שאי‪-‬אפשר לבנות‬
‫הכוונה‬
‫ממנה פירמידה )צורה זו אינה פריסה(‪.‬‬
‫ב‬
‫ב"לבנות" היא לגזור את הצורה בשלמותה ולקפלה א‬
‫לאורך צלעות המצולעים המרכיבים אותה‪ ,‬וכמובן‪,‬‬
‫להדביקה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬צורה א' היא פריסה של פירמידה‬
‫מרובעת‪ ,‬ואילו צורה ב' אינה פריסה של פירמידה‪ .‬עם‬
‫זאת שימו לב שאפשר לבנות פירמידה מהמצולעים‬
‫הנפרדים המרכיבים כל אחת מהצורות א' ו‪ -‬ב'‪.‬‬
‫‪68‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬משימת יישום‪ .‬פריסות הפירמידה הן בסעיפים א'‪ ,‬ד'‪ ,‬ו‪ -‬ז'‪.‬‬
‫הערה‪ :‬לעיתים ההדבקה יכולה להיות קשה טכנית‪ ,‬לכן‪ ,‬כדי לבדוק אם אמנם מתקבלת פירמידה‬
‫מהצורה‪ ,‬אפשר לקפל לאורך כל אחת מהצלעות המשותפות לכל שני משולשים או למשולש‬
‫ולמצולע הבסיס‪.‬‬
‫א‬
‫ב‬
‫א‬
‫משימה מס' ‪ :20‬בסעיף א' הבסיס הוא‬
‫משושה משוכלל‪ ,‬ובסעיף ב' הבסיס הוא‬
‫משולש שווה‪-‬צלעות‪ .‬הפריסות יכולות‬
‫להיראות כך‪:‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬המשימה הפוכה למשימה‬
‫הקודמת‪ .‬על‪-‬פי הבסיס התלמידים מחליטים כיצד תיראה פריסת הפירמידה‪ .‬שימו לב שבמשימה‬
‫הקודמת היה למצולע הבסיס פתרון אחד בלבד‪ ,‬ואילו כעת יש אין‪-‬סוף פתרונות‪ .‬כדי לקבל‬
‫פירמידה ישרה על המשולשים של המעטפת להיות משולשים שווי‪-‬שוקיים‪ ,‬והשוקיים של כל‬
‫המשולשים שווים באורכם‪ .‬הצלע השלישית מוגדרת על‪-‬ידי צלעות המצולע שבבסיס‪ .‬מספר‬
‫המשולשים במעטפת שווה למספר צלעות המצולע שבבסיס‪ .‬לפיכך בסעיף א' שלושה משולשים‬
‫במעטפת‪ ,‬בסעיף ב' ‪ -‬שמונָה משולשים במעטפת‪ ,‬ובסעיף ג' ‪ -‬שש צלעות במעטפת הפירמידה‪.‬‬
‫להלן שתי דוגמאות לפריסות של פירמידות משולשות שונות המתאימות לבסיס שבסעיף א'‪:‬‬
‫המשולשים צריכים להיות שווי‪-‬שוקיים‪ ,‬אורך השוקיים צריך להיות גדול מהמרחק בין קדקוד‬
‫הבסיס ל"מרכזו"‪ ,‬כדי שהמשולשים "ייסגרו" למעטפת הפירמידה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬בסרטוט א' כל צורה‬
‫היא פריסת פירמידה משולשת‪ ,‬ובסרטוט ב' הצורה אינה פריסה של פירמידה‪ .‬חשוב אפוא‬
‫שהתלמידים יתנסו בדבר בעזרת הוספת משולשים לצורה מתאימה בנספח ויבנו את הפירמידה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬גם כאן התלמידים יבדקו את השערתם על‪-‬ידי בנייה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬במשימה זו התלמידים חוקרים מה מספר הקדקודים של הפירמידה‪ ,‬וממלאים‬
‫את הטבלה‪ .‬קיימים שני סוגי קשרים בין מספר הפאות‪ ,‬המקצועות והקדקודים של הפירמידה‪.‬‬
‫סוג אחד הוא הקשר בין כל המרכיבים האלה לבין מספר צלעות המצולע של בסיס הפירמידה‪ .‬יש‬
‫קשר פנימי בין מספר פאות‪ ,‬מקצועות וקדקודים‪ .‬ההקשרים יוסברו בדוגמאות‪ ,‬ואחר‪-‬כך‬
‫בהכללה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬השורה האחרונה בטבלה שלהלן היא לשימוש המורה‪ ,‬אך אפשר להחליט על שימושה לפי‬
‫רמת התלמידים‪ .‬חשוב לעודד את התלמידים להגיע למסקנות שלהלן או לחלק מהן‪.‬‬
‫סוג הפירמידה‬
‫ומספר הצלעות של הבסיס‬
‫משולשת )‪ 3‬צלעות(‬
‫מרובעת )‪ 4‬צלעות(‬
‫מחומשת )‪ 5‬צלעות(‬
‫מספר הפאות‬
‫מספר הקדקודים‬
‫מספר המקצועות‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪10‬‬
‫‪69‬‬
‫‪7‬‬
‫‪...‬‬
‫‪N+1‬‬
‫‪7‬‬
‫‪...‬‬
‫‪N+1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪...‬‬
‫‪2N‬‬
‫משושה )‪ 6‬צלעות(‬
‫ָ‬
‫‪...‬‬
‫פירמידה שבסיסה מצולע‬
‫בעל ‪ N‬צלעות‬
‫על‪-‬פי הטבלה‪ ,‬מספר הפאות והקדקודים שווה למספר צלעות הבסיס ועוד ‪ .1‬מספר המקצועות‬
‫שווה לפעמיים מספר צלעות הבסיס‪ .‬הקשר הפנימי בין המרכיבים‪ :‬בכל פירמידה מספר הפאות‬
‫ועוד מספר הקדקודים פחות מספר המקצועות שווה ל‪.2 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬גופים אלה אינם פירמידות‪ ,‬אלא מנסרות‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :145‬מנסרה‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ז' לפני השיעור‪ .‬עד כה הכירו התלמידים פירמידות‪ ,‬ובשיעור זה‬
‫מראים להם סוג נוסף של פאונים‪ ,‬כלומר מנסרות‪ .‬אין מגדירים את המנסרה בדיוק‪ ,‬אלא‬
‫מתארים אותה‪ .‬למנסרה שני בסיסים )מצולעים( חופפים "מקבילים"‪ ,‬כלומר בסיסי המנסרה‬
‫נמצאים במישורים מקבילים‪ .‬כל פאות המעטפת של המנסרה הן מקביליות‪ ,‬ובמנסרה ישרה‬
‫פאות המעטפת הן מלבנים‪ .‬בזיהוי המנסרות בפועל או בסרטוט צריך לבדוק תחילה מהם‬
‫הבסיסים‪ .‬אם הבסיסים הם מצולעים חופפים ומקבילים‪ ,‬הגוף הוא מנסרה‪ .‬המנסרה אינה חייבת‬
‫"לעמוד" על אחד הבסיסים‪ .‬היא יכולה להישען על אחת המקביליות של המעטפת‪ .‬מסיבה זו‬
‫לעתים מתבלבלים בין מנסרה לבין לא‪-‬מנסרה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬גג הבית יכול להיות מנסרה ויכול להיות‬
‫לא‪-‬מנסרה‪ .‬להלן שני ציורים‪.‬‬
‫כך נראה גג כ"מנסרה"‪:‬‬
‫כך נראה גג כ "לא מנסרה"‪:‬‬
‫שימו לב‪ :‬בגג שהוא לא‪-‬מנסרה‪ ,‬הפאה הקדמית של המעטפת היא טרפז‪ ,‬ולא מקבילית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬דונו עם התלמידים בשוני ובדמיון בין שני הגופים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬התלמידים מתבקשים למיין גופים על‪-‬פי סרטוטם‪ .‬שוחחו עם התלמידים על‬
‫הדרכים לזהות את המנסרות בסרטוט‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬על התלמידים לזהות את המנסרות בציור‪ .‬חשוב גם שהתלמידים יתבוננו‬
‫במנסרות מוכנות או בנויות‪ .‬בסעיפים ג'‪ ,‬ד'‪ ,‬ו‪ -‬ט"ו‪ ,‬הגופים הם מנסרות‪ .‬דונו עם התלמידים‬
‫בנימוקים שלהם מדוע גוף מסוים הוא‬
‫מנסרה או לא‪-‬מנסרה‪ .‬שימו לב שבגוף ב'‬
‫בסיס המנסרה‬
‫ה"פינות" הן מעוגלות‪ ,‬לכן זהו לא פאון‬
‫בסיס המנסרה‬
‫כלל‪ .‬כמובן‪ ,‬הגוף בסעיף ו' אינו מנסרה‪.‬‬
‫צורה י"ג מעניינת‪ :‬זוהי מנסרה‪ .‬הבסיסים‬
‫הם מצולעים חופפים ומקבילים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬משימה מקדימה לשיעור הבא‪ .‬במשימה זו מבינים שהתיבה היא מנסרה‪,‬‬
‫ובסיסה יכול להיות מלבן או ריבוע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬מנסרה זו אינה ישרה‪ ,‬כי פאות המעטפת אינן מלבנים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬כן‪ .‬מנסרה זו ישרה‪ ,‬כי פאות המעטפת הן מלבנים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬שאלת סיכום להבנת המושגים הקשורים למנסרה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬א( לא; ב( כן‪ ,‬תיבה; ג( כן‪ ,‬המשולשים הם הבסיסים‪ ,‬והמלבנים הם המעטפת‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :147‬תיבה וקובייה‬
‫בשיעור זה חוזרים על תיבה ועל קובייה‪ ,‬שהן גופים המוכרים לתלמידים‪ ,‬אך לומדים אותן‬
‫כמקרים פרטיים של מנסרה‪ ,‬כלומר ברמה גבוהה יותר מאשר קודם לכן‪.‬‬
‫‪70‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬בסעיפים א'‪ ,‬ו'‪ ,‬ז'‪ ,‬ח'‪ ,‬ט' ו‪ -‬י' יש סרטוטים של תיבות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬במשימה זו מבינים שקובייה היא מנסרה‪ :‬בסיסה הוא ריבוע‪ ,‬וכל פאות‬
‫המעטפת הן ריבועים חופפים ביניהם וגם חופפים לבסיסים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬א( ‪ ;6‬ב( לא‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬התלמידים מתבקשים להתבונן במנסרה משולשת ולמנות את פאותיה‪ ,‬את‬
‫מקצועותיה ואת קדקודיה‪ .‬משאלה פשוטה זו מתחילים לחקור מנסרות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬במשימה זו ממשיכים בחקירה שהתחלנו במשימה הקודמת‪ .‬חשוב שלתלמידים‬
‫תהיה אפשרות לראות את המנסרות המבוקשות בפועל‪ ,‬ולא רק בציור‪ .‬כמו במשימה הקודמת‬
‫התלמידים מתבקשים למנות פאות‪ ,‬מקצועות וקדקודים של כל אחת מהמנסרות ולהגיע‬
‫להכללות‪ .‬בדומה לפירמידה ישנם שני סוגים של קשרים שאפשר לראות אותם במנסרה‪ .‬הסוג‬
‫הראשון הוא הקשר בין הצורה של בסיס המנסרה )כלומר מספר צלעות הצורה( לבין מספר‬
‫הפאות‪ ,‬המקצועות והקדקודים שלה‪ .‬על כך התלמידים מתבקשים לשער בסעיף א'‪ .‬בתוך כדי‬
‫מילוי הטבלה אפשר לראות בוודאות שהקשר הוא שמספר הקדקודים גדול פי שניים ממספר‬
‫צלעות הבסיס‪ ,‬מספר מקצועות המנסרה גדול פי שלושה ממספר צלעות הבסיס‪ ,‬ומספר הפאות‬
‫שווה למספר צלעות הבסיס ועוד ‪ .2‬הסוג השני הוא הקשר הפנימי בין מספר הפאות‪ ,‬מספר‬
‫המקצועות ומספר הקדקודים של המנסרה‪ .‬הקשר בא לידי ביטוי בנוסחה‪ :‬מספר הפאות ועוד‬
‫מספר הקדקודים פחות מספר המקצועות שווה ‪ .2‬מומלץ לשוחח עם התלמידים על הקשר השני‬
‫ולהראות להם כיצד הדבר מתבטא בטבלה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :39‬א( לא‪ .‬יכולה להיות תיבה שבסיסה ריבוע‪ ,‬והיא אינה קובייה; ב( כן; ג(‬
‫פירמידה מתומנת‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :149‬פריסת המנסרה‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ח' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה מכירים את פריסת המנסרה‪ .‬חשוב‬
‫שהתלמידים ידעו לזהות פריסות של מנסרה ויתנסו בבניית מנסרה מפריסתה‪ .‬פריסת מנסרה לא‪-‬‬
‫ישרה מורכבת משני מצולעים חופפים שהם הבסיסים‪ ,‬וממקביליות שהן המעטפת‪ .‬מספר‬
‫המקביליות שווה למספר הצלעות של מצולע הבסיס‪ .‬אם המנסרה היא ישרה‪ ,‬פריסתה מורכבת‬
‫משני מצולעים חופפים שהם הבסיסים‪ ,‬וממלבנים שהם המעטפת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬חשוב לגזור את הצורות בשלמותן ולקפל לאורך צלעות הבסיסים‪ .‬לאחר מכן יש‬
‫להדביק בעדינות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬התלמידים מכירים את פריסת הקובייה מכיתה ד'‪ ,‬לכן המשימה אינה קשה‬
‫להם‪ .‬דונו עם התלמידים במצולעים המרכיבים את פריסת הקובייה‪ ,‬שהם ריבועים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬א( שלושה מלבנים; ב( בסיס המנסרה הוא מצולע בעל ‪ 12‬צלעות‪ .‬כל צלעותיו‬
‫שוות באורכן‪ .‬המצולע לא חייב להיות מצולע משוכלל; ג( ‪ 8‬מלבנים‪.‬‬
‫א‬
‫משימה מס' ‪ :43‬הצורה בסעיף א' היא פריסה של מנסרה משולשת‪.‬‬
‫בסעיף ד' מסורטטות צורות נפרדות‪ ,‬ולכן הן אינן פריסה של מנסרה מחומשת‪.‬‬
‫אך אם קובעים את דרך ההדבקה של המצולעים המסורטטים‪,‬‬
‫אפשר לקבל פריסת מנסרה )ראו סרטוט א' להלן(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :44‬התלמידים מתבקשים לשער אילו מהצורות הן פריסות המנסרות ולאחר מכן‬
‫לבדוק את השערתם על‪-‬ידי בניית מנסרות‪ .‬שימו לב שבנספח ישנן כל הצורות ולאו דווקא פריסות‬
‫המנסרות‪ .‬התלמידים אינם חייבים לבנות גוף אם הם יודעים להסביר מדוע לא תתקבל מנסרה‪.‬‬
‫בין הפריסות כאן‪ :‬בסעיפים ג'‪ ,‬ד'‪ ,‬י"א ו‪ -‬י"ב מסורטטות פריסות המנסרות‪ .‬יתר הצורות אינן‬
‫פריסות המנסרות‪ .‬דונו עם התלמידים בהשערתם‪ .‬לדוגמה‪ ,‬בסעיף א' אין פריסת מנסרה כי‬
‫הצורה אינה מורכבת ממצולעים כלל )כלומר כל ה"מלבנים" הם "מעוגלים"(; בסעיף ח' אין‬
‫מנסרה‪ ,‬כי הבסיסים הם מתומנים ובמעטפת יש שישה מלבנים‪ ,‬ולא שמונָה‪ .‬וכן הלאה‪.‬‬
‫‪71‬‬
‫משימה מס' ‪ :45‬דונו עם התלמידים בשיקולים שלהם לגבי כל צורה וצורה‪ .‬בסעיפים ג' ו‪ -‬ד'‬
‫מסורטטות פריסות של מנסרה‪ .‬כל המנסרות האלה הן מנסרות ישרות‪.‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪151‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד בפרק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :46‬במגדל של נועם יש תשעה פאונים‪ ,‬כולן מנסרות‪ ,‬אך שמונֶה מהמנסרות הללו הן‬
‫תיבות‪ .‬במגדל יש ארבע קוביות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :47‬זיהוי פריסה של פירמידה‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמ' ‪155 -152‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬א( מקרר דומה לתיבה‪ .‬ב( ספר דומה לתיבה‪ .‬ג( קומקום דומה לגוף אחר‪.‬‬
‫ה( ארון דומה לתיבה‪ .‬ו( קוביית משחק דומה לקובייה‪.‬‬
‫ד( מכשיר ‪ DVD‬דומה לתיבה‪.‬‬
‫ח( ַמ ְחשב דומה לתיבה‪.‬‬
‫ז( טלוויזיה דומה לגוף אחר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬הפריסות בסעיפים ב' ו‪ -‬ג' אינן פריסות של תיבה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬ארבעה מלבנים ושני ריבועים היכולים לשמש כפאות התיבה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימת תרגול‪ :‬סרטוט ישרים לפי ההוראות הנתונות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬להלן שמות של חפצים שצורתם תיבה‪ :‬קופסת נעליים‪ ,‬ספר "חשבון ‪ ,"10‬דף נייר‪,‬‬
‫מדף‪.‬‬
‫להלן שמות של חפצים שצורתם גליל‪ :‬פחית משקה‪ ,‬קופסת שימורים‪.‬‬
‫להלן שמות של חפצים שצורתם כדור‪ :‬כדורגל‪ ,‬כדורסל‪ ,‬כדור טניס ועוד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬הפאונים הם קופסת נעליים‪ ,‬הספר "חשבון ‪ ,"10‬וקלטת וידאו‪ .‬יתר החפצים‬
‫דומים לגופים שאינם פאונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬הילדים מתבוננים בגוף ב'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬א( הפירמידה ישרה שכן כל המקצועות שלה שווים באורכם‪.‬‬
‫ב( פירמידה שארבעת המקצועות שלה באורכים שונים‪ ,‬אינה פירמידה ישרה‪.‬‬
‫משושה‪ ,‬שכן הוא השתמש במשושה משוכלל ובשישה‬
‫ָ‬
‫משימה מס' ‪ :9‬ניר יצליח לבנות פירמידה‬
‫משולשים שווי‪-‬צלעות חופפים‪.‬‬
‫המשושה מורכבת‬
‫ָ‬
‫משימה מס' ‪ :10‬מעטפת הפירמידה מורכבת ממשולשים‪ .‬ב( מעטפת הפירמידה‬
‫משישה משולשים‪ .‬ג( אם מעטפת הפירמידה בנויה משמונָה משולשים יש תשע פאות לפירמידה‬
‫)כולל בסיס הפירמידה(‪ .‬ד( אם בסיס הפירמידה הוא ריבוע‪ ,‬אזי לפירמידה יש חמש פאות )כולל‬
‫הבסיס(‪ .‬לפירמידה זו חמישה קדקודים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬כל פירמידה היא פאון‪ ,‬אולם לא כל פאון הוא פירמידה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬לפניכם סרטוטים אחרי ההשלמה‪.‬‬
‫א‬
‫ג‬
‫ב‬
‫‪72‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬לא‪ .‬אמנם כל הבסיסים )המלבנים( חופפים‪ ,‬אך ייתכן שפאות המעטפת הן‬
‫משולשים לא‪-‬חופפים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬גוף זה אינו פירמידה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬אחד הגופים )"הפינה"( הוא פירמידה משולשת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬המשך חקירת פירמידה‪ .‬להלן הטבלה המלאה‪:‬‬
‫מספר‬
‫מספר הפאות‬
‫מספר‬
‫שם הפירמידה‬
‫המקצועות‬
‫הקדקודים‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫פירמידה משולשת‬
‫‪8‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫פירמידה מרובעת‬
‫‪10‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫פירמידה מחומשת‬
‫‪12‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫משושה‬
‫ָ‬
‫פירמידה‬
‫מצולע הבסיס‬
‫של הפירמידה‬
‫משולש‬
‫מרובע‬
‫מחומש‬
‫משושה‬
‫משימה מס' ‪ :17‬המנסרה היא פאון‪ ,‬כי בסיסי המנסרה הם מצולעים חופפים‪ ,‬וכל אחת מפאות‬
‫המעטפת היא מקבילית‪.‬‬
‫לא כל פאון הוא מנסרה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬הפירמידה היא פאון‪ ,‬אך לא מנסרה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬קופסת גפרורים היא מנסרה ישרה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬לחפצים שונים יש צורה של מנסרה‪ ,‬כמו אריזה של טובלרון וקופסת נעליים‪ ,‬וכן‬
‫קופסת תכשיטים שבסיסה ריבוע או מצולע אחר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬על התלמידים לחקור כיצד אפשר לבנות מנסרה מפירמידות‪ .‬השימוש‬
‫בפלסטלינה יכול לסייע בעניין‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬להלן דוגמאות לשמות של חפצים שצורתם אינה תיבה‪ :‬בקבוק‪ ,‬נר‪ ,‬קופסת‬
‫שימורים ועוד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬א( כן‪ ,‬ייתכן שבסיס המנסרה הוא מצולע בעל שתים‪-‬עשרה צלעות‪.‬‬
‫ייתכן שלמנסרה יש חמישה קדקודים כי מספר הקדקודים בכל מנסרה חייב להיות זוגי‪.‬‬
‫ג( כן‪ ,‬לדוגמה תיבה היא מנסרה שיש בה שתים‪-‬עשרה מקצועות‪.‬‬
‫ד( כן‪ ,‬במנסרה שיש בה עשר פאות בסך הכול‪ ,‬בסיסה הוא מתומן‪.‬‬
‫ב( לא‬
‫משימה מס' ‪ :23‬הפאון בנוי מתשע קוביות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬על התלמידים לזהות אילו מבין הפריסות הן פריסות של מנסרות‪ ,‬ואילו אינן‬
‫מנסרות‪ .‬לדוגמה‪ ,‬צורה א' היא פריסה של מנסרה‪ ,‬ואילו צורה ב' אינה פריסה של מנסרה‪ ,‬שכן‬
‫בסיסי המנסרה צריכים להיות חופפים‪ ,‬ואילו באיור זה הריבוע אינו חופף למלבן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬לפירמידה יש ארבעה מקצועות במעטפת‪ .‬אורך כל מקצוע הוא ‪ 5.2‬ס"מ‪.‬‬
‫שאלות מילוליות‪ ,‬עמוד ‪156‬‬
‫בעמוד זה מובאות בעיות הקשורות לנושא הנלמד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימה זו מהווה הכנה לחקירה במשימה ‪ .5‬התלמידים צריכים לקחת בחשבון‬
‫שכל שכבה מונחת על השכבה שמתחתיה‪ ,‬ולשים לב לכל הקוביות שבכל השכבות‪.‬‬
‫יש ‪ 18‬קוביות‪ ,‬מהן ‪ 12‬נראות בציור ו‪ 6 -‬אינו נראות‪ ,‬אבל בלעדיהן המגדל לא יתקיים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬במשימה זו התלמידים נדרשים להשתמש ב‪ 24 -‬קוביות חופפות ולבנות מהן‬
‫תיבות‪ .‬דוגמאות לתיבות אפשריות‪ :‬תיבה שבה שתי שכבות ובכל שכבה ‪ 12‬קוביות‪ .‬אפשר לסדר‬
‫את ‪ 12‬הקוביות באופנים שונים‪ :‬שורה אחת בלבד של ‪ 12‬קוביות‪.‬‬
‫שתי שורות‪ ,‬בכל שורה ‪ 6‬קוביות וכן הלאה‪.‬‬
‫‪73‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬התלמידים נדרשים לבנות גוף אחד משלוש תיבות שונות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬א( שמות הגופים המרכיבים את הגוף הם תיבה‪ ,‬קובייה ופירמידה‪.‬‬
‫המורכב הוא אכן פאון‪ .‬ג( לפאון זה אחד‪-‬עשר קדקודים ועשרים וארבעה מקצועות‪.‬‬
‫ב( הגוף‬
‫משימה מס' ‪ :5‬פיתוח הבנה גיאומטרית על‪-‬ידי שילוב של ראייה במרחב ומציאת חוקיות של‬
‫סדרת קוביות במרחב‪ .‬אפשר לסדר את מספר הקומות בכל מדרגה בטבלה‪.‬‬
‫המדרגה השלישית‬
‫המדרגה הרביעית‬
‫המדרגה החמישית‬
‫המדרגה השישית‬
‫‪4‬‬
‫‪9‬‬
‫‪16‬‬
‫‪25‬‬
‫‪36‬‬
‫המדרגה השנייה‬
‫המדרגה העשירית‬
‫המדרגה האחת עשרה‬
‫המדרגה השתים‬
‫עשרה‬
‫המדרגה השלוש‬
‫עשרה‬
‫המדרגה הארבע עשרה‬
‫‪100‬‬
‫‪121‬‬
‫‪144‬‬
‫‪169‬‬
‫‪196‬‬
‫כאשר מחשבים את הסכום של כל הקוביות שצריך כדי לבנות מהן מדרגה אחרי מדרגה‪ ,‬מוצאים‬
‫שמ‪ 800 -‬קוביות אפשר לבנות ‪ 12‬מדרגות בלבד‪.‬‬
‫יישומים באמנות‪ ,‬עמוד ‪157‬‬
‫כיישום באמנות מלמדים את התלמידים על פרספקטיבה‪ .‬ישנה חשיבות רבה לשימוש‬
‫בפרספקטיבה בציורים שונים‪ ,‬כי הדבר נותן תחושה מרחבית לציור‪,‬‬
‫כלומר מה שרחוק יותר נראה קטן יותר‪ .‬לדוגמה‪ ,‬בציור שלפניכם‬
‫רואים איזה עץ קרוב יותר אלינו ואיזה עץ רחוק יותר‪.‬‬
‫כשמציירים בפרספקטיבה‪ ,‬הישרים המקבילים במציאות נראים כך‬
‫שיש להם נקודה משותפת‪ ,‬ובציור עצמו הם אינם נראים מקבילים‪.‬‬
‫שימו לב‪ ,‬איננו משתמשים בסרטוט הגופים בפרספקטיבה זו‪ ,‬אלא‬
‫ב"פרספקטיבה קבליארית"‪ ,‬כלומר "נקודת המפגש" של ישרים מקבילים נמצאת באין‪-‬סוף‪,‬‬
‫והישרים המקבילים גם בציור נראים מקבילים כמו במציאות‪ .‬שימוש בפרספקטיבה קבליארית‬
‫לסרטוט גופים מאפשר לראות חפיפה של פאות חופפות‪ ,‬מקבילוּת של צלעות מקבילות וכדומה‪.‬‬
‫יש חוקים נוספים לסרטוט גופים בצורה נכונה‪ ,‬אך איננו עוסקים בהם כאן‪ .‬חשוב שהתלמידים‬
‫ידעו לסרטט גופים פשוטים כמו קובייה ותיבה בפרספקטיבה קבליארית‪ .‬לצורך הבנת החומר‬
‫הקשור גם לקריאת הציור וגם לתשובות על שאלות מסוג‪ :‬כמה פאות‪ ,‬קדקודים‪ ,‬צלעות יש‬
‫למנסרה? וכדומה‪ .‬מסרטטים קובייה ותיבה בעזרת ההזזה‪ ,‬כי בהזזה מתקבלים ישרים מקבילים‪,‬‬
‫ודרך זו מקלה את ביצוע הסרטוט‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬בפרספקטיבה שהשתמשו בסרטוט‪ ,‬שני הריבועים הצדדיים והריבוע התחתון‬
‫מצוירים כמקביליות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬א‪ .‬יישום השיטה המתוארת בתחילת העמוד‪ .‬ב‪ .‬יישום השיטה וסרטוט תיבה‪.‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪158‬‬
‫בעמוד זה התלמידים מתנסים בציור בפרספקטיבה‪ .‬אפשר לבקש מהם לצייר ציור בפרספקטיבה‬
‫לאו דווקא של צורות גיאומטריות‪ ,‬לדוגמה‪ ,‬מסילת ברזל‪ ,‬עצים בדרך‪ ,‬שני כלבים כאשר אחד‬
‫קרוב אלינו והאחר מאחוריו וכדומה‪) .‬ראו גם הערות ליישומים באמנות בעמ' ‪(.157‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪159‬‬
‫חזרה על קריאת טבלה‪ ,‬על שברים שווים‪ ,‬על חיבור של שברים או של מספרים מעורבים וכן על‬
‫השוואה בין שברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬דוד צריך לשלם לסיטונאי ‪.₪ 2,100‬‬
‫‪80 × 18 + 30 × 17 + 10 × 15 = 1440 + 510 + 150 = 2,100‬‬
‫כדי להחזיר את הוצאת הקנייה דוד צריך למכור ‪ 56‬בקבוקים מסוג א'‪ 17 ,‬בקבוקים מסוג ב' ו‪6 -‬‬
‫בקבוקים מסוג ג'‪.‬‬
‫‪74‬‬
‫עמודים ‪176 - 160‬‬
‫ז‪ .‬שאלות מילוליות בשברים‬
‫רקע‬
‫פרק זה עוסק בכל המרכיבים הקשורים לכמות )או שלם( ולחלקים‪ -‬כגון‪ :‬הכמות היסודית‪ ,‬החלק‬
‫וערך החלק‪ ,‬ובמציאת כל אחד מהם כאשר נתונים השניים האחרים‪ .‬פרק זה הוא המשך של‬
‫הפרק "השבר הפשוט"‪.‬‬
‫אפשר להגדיר את הפרק הזה כפרק מרכזי‪ .‬הדרכים לחישוב כל אחד מהמרכיבים שהוזכרו לעיל‬
‫חוזרות על עצמן בנושאים המרכזיים כמו יחס‪ ,‬אחוזים ומאוחר יותר באלגברה‪ .‬לכן חשוב‬
‫להשקיע בהבנת התהליכים והדרכים לפתרון הבעיות שבפרק זה כדי שבהמשך יתמודדו‬
‫התלמידים עם בעיות היחס ובעיות האחוזים בביטחון עצמי‪ .‬גם בפרק זה‪ ,‬ההיכרות עם הנושא‬
‫נעשית בהדרגה‪ ,‬החישובים מתבצעים בשלבים‪ ,‬והכללים יוצגו גם בתבניות אלגבריות כדי להכין‬
‫את התלמידים ללימודים בחטיבת הביניים‪.‬‬
‫מומלץ להקדיש לנושא זה כ‪ 6 -‬שעות לימוד‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬לזהות כל מרכיב של בבעיה‪ -‬הכמות היסודית‪ ,‬חלק וערך החלק‪ ,‬ולקבוע את שמו‪.‬‬
‫ב‪ .‬למצוא את ערך החלק כאשר נתונים הכמות היסודית והחלק )החלק הוא שבר יסודי(;‬
‫ג‪ .‬למצוא את ערך החלק כאשר נתונים הכמות היסודית והחלק )החלק הוא שבר כלשהו‬
‫קטן מ‪;(1 -‬‬
‫ד‪ .‬למצוא את ערך החלק כאשר נתונים הכמות היסודית והחלק )החלק הוא שבר גדול מ‪-‬‬
‫‪;(1‬‬
‫ה‪ .‬למצוא את החלק כאשר נתונים הכמות היסודית וערך החלק;‬
‫ו‪ .‬למצוא את הכמות היסודית כאשר נתונים החלק וערך החלק‪.‬‬
‫מושגים‬
‫חלק של כמות‪ ,‬כפל שלם בשבר‪ ,‬כמות יסודית‪ ,‬חלק‪ ,‬ערך החלק "של"‪",‬מ‪."-‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫חפצים שונים‪ :‬פקקים‪ ,‬גפרורים‪ ,‬חרוזים‪ ,‬כדורים‪ ,‬קיסמים‪ ,‬צעצועים קטנים וכדומה‪ ,‬ריבועי‬
‫מנייה‪ ,‬כסף‪ ,‬דפי משבצות‪ ,‬עיגולי שברים )אביזרים(‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על פעולות הפוכות‪ :‬כפל וחילוק‪.‬‬
‫‪ (1‬מצאו את תוצאת התרגיל ללא חישוב המכפלה בסוגריים‪, (37 × 62) :62 , (2 × 5) :2 , (2 × 5) :5 :‬‬
‫‪. (2,375,826,701 × 53,268,084,315) :53,268,084,315‬‬
‫בהתחלה כדאי ללוות את כתיבת התרגילים בקריאתם ולהדגיש בקריאה את הכפל ואחר‪-‬כך את‬
‫החילוק באותו מספר‪.‬‬
‫‪ (2‬חידה‪ :‬חשבו על מספר ואל תגידו לי מהו‪ ,‬כפלו אותו ב‪ ,13 -‬אחר‪-‬כך חלקו את המכפלה למספר‬
‫שחשבתם עליו‪ ,‬הוסיפו ‪ 10‬לתוצאה‪ .‬כעת אגיד לכם את התשובה‪ :‬קיבלתם ‪) .23‬הערה‪ :‬התלמידים‬
‫יכולים להיעזר במחשבון‪(.‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על סימני התחלקות ב‪ ,2 -‬ב‪ ,3 -‬ב‪ ,9 -‬ב‪ ,5 -‬ב‪ 10 -‬וב‪.6 -‬‬
‫רושמים על הלוח מספרים ומבקשים מהתלמידים להגיד אילו מהם מתחלקים ב‪ ,2 -‬ואילו מהם‬
‫מתחלקים ב‪ .3 -‬מקיפים את המספרים הללו‪ .‬במה עוד מתחלקים המספרים שהוקפו פעמיים?‬
‫בדקו בעזרת חילוק )אפשר להשתמש במחשבון(‪.‬‬
‫‪75‬‬
‫ג‪ .‬חזרה על כפולות ועל כפולות משותפות‪.‬‬
‫מבקשים מ‪ 8-7 -‬תלמידים לגשת ללוח‪ .‬משחקים במשחק "שלוש בום" לפי הכללים האלה‪ :‬כל‬
‫אחד בתורו אומר מספר לפי סדר המספרים‪ ,‬אך מי שצריך להגיד כפולה של ‪ ,3‬אומר את שמו‪ .‬מי‬
‫שטועה‪ ,‬יוצא מהמשחק ויתר התלמידים ממשיכים לשחק מהתחלה‪ .‬התלמיד שלא טעה אף פעם‬
‫ונשאר לבדו )אחרון?(‪ ,‬הוא הזוכה‪.‬‬
‫שואלים את התלמידים‪ :‬מה הן הכפולות של ‪ ?2‬התלמידים עונים בעל פה‪) .‬בוחרים כמה‬
‫מהמספרים ‪ ,9 ,8 ,7 ,6 ,4 ,5‬ושואלים מה הכפולות שלהם‪(.‬‬
‫ד‪ .‬חזרה על ייצוגים שונים של שבר‪.‬‬
‫מסרטטים על הלוח או מחלקים לתלמידים דפים של הציורים מתאימים‪ ,‬ושואלים מהו השבר‬
‫המיוצג בכל ציור‪ .‬מסכמים עם התלמידים שהחלק הצבוע הוא שמייצג את השבר‪ ,‬ולא החלק‬
‫הלבן‪.‬‬
‫ציורים אפשריים‪:‬‬
‫שימו לב שכל ריבוע גדול חולק לריבועים חופפים‪.‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫ה‪ .‬חזרה על הרחבת שברים ושל צמצומם‪.‬‬
‫‪2 15 3 6‬‬
‫רושמים על הלוח שברים‪ , , , ,‬וכדומה‪ ,‬ועל התלמידים לצמצמם‪.‬‬
‫‪4 30 9 18‬‬
‫‪5 5 1‬‬
‫רושמים על הלוח שברים ‪ , , , :‬וכדומה‪ ,‬ועל התלמידים להרחיבם כך שמכנם המשותף‬
‫‪12 8 6‬‬
‫יהיה ‪.24‬‬
‫ו‪ .‬חזרה על המיומנות של מציאת גורם כך שיתקבל מספר מסוים‪.‬‬
‫על הלוח רשומים מספרים‪ 12 ,8 ,13 ,4 ,3 ,5 ,2 :‬וכדומה‪ .‬התלמידים מתבקשים למצוא מספר‬
‫שבהכפלתו באחד המספרים הנתונים יתקבל המספר ‪ 100 ,10‬או ‪ .1,000‬לדוגמה‪ . 8 × ? = 10 ,‬אין‬
‫מספר טבעי מתאים‪ . 8 × ? = 100 .‬אין מספר טבעי מתאים‪ . 8 × ? = 1000 .‬המספר המתאים הוא‬
‫‪) 125‬אפשר להיעזר במחשבון(‪ .‬לא תמיד הדבר אפשרי )לדוגמה‪ .(3 ,‬לפי רמתם של התלמידים‬
‫אפשר לדון בשאלה מתי הדבר אפשרי‪.‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬כל קבוצה מתבקשת לבחור קבוצה )השולחנות בכיתה‪ ,‬תכולה של קלמר‪ ,‬ספרים על‬
‫מדף( ולמנות את מספר החפצים שבקבוצה שנבחרה‪.‬‬
‫שואלים את השאלות‪ :‬איזה שם כללי אפשר לבחור כדי לאפיין את כל הקבוצות? איזה חלק‬
‫מהקבוצה מהווים חמישה חפצים? איזה שם כללי אפשר לבחור כדי לאפיין את כל חמשת‬
‫החפצים?‬
‫דוגמה‪ :‬יש ‪ 20‬שולחנות בכיתה‪ 5 .‬שולחנות מהווים רבע מהשולחנות‪ .‬אחרי דיון בהצעות‬
‫התלמידים מציגים את אוצר המילים הרשמי‪ :‬השולחנות הם הכמות היסודית‪ ,‬רבע הוא החלק‪5 ,‬‬
‫הוא ערך החלק‪.‬‬
‫פעילות ב‪ :‬כל קבוצה מציגה את קבוצת החפצים שהיא בחרה‪ ,‬וטבלה של דוגמאות‪,‬‬
‫כמות יסודית‬
‫חלק‬
‫ערך החלק‬
‫‪ 20‬שולחנות‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 20‬שולחנות‬
‫‪3‬‬
‫‪10‬‬
‫‪6‬‬
‫‪76‬‬
‫‪ 20‬שולחנות‬
‫‪1‬‬
‫‪20‬‬
‫‪1‬‬
‫פעילות ג‪ :‬כל קבוצה מקבלת חבילה של חפצים )כפתורים‪ ,‬דפים‪ ,‬עפרונות‪ ,‬ריבועי מנייה(‪ .‬חוזרים‬
‫על פעילות ב' בטבלה והפעם בכל שורה החלק הוא שבר יסודי‪.‬‬
‫אחרי דיון כותבים על הלוח את הטבלה‪.‬‬
‫כמות יסודית‬
‫חלק‬
‫‪60‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪60‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪60‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪60‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪60‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫ערך החלק‬
‫התלמידים מתבקשים למלא את הטבלה ולכתוב טבלה נוספת של מספרים אחרים‪ .‬בדיון‬
‫מחפשים תבנית כללית למציאת ערך החלק‪.‬‬
‫פעילות ד‪ :‬כל התלמידים מציירים בדף משובץ ארבעה מלבנים‪ -‬חופפים או לא חופפים‪ -‬ששטח כל‬
‫‪3 2‬‬
‫אחד מהם הוא ‪ 36‬יחידות שטח‪) .‬כל תלמיד בוחר את מידות המלבן‪ (.‬על התלמידים לצבוע ‪, ,‬‬
‫‪4 3‬‬
‫‪5 4‬‬
‫מהמלבן ולהציע דרך חישובית להגיע לאותה תוצאה‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪12 5‬‬
‫פעילות ה‪ :‬עובדים בזוגות‪ :‬כל תלמיד כותב על כרטיס סדרה של חמישה זוגות‪ :‬מספר )כמות‬
‫יסודית( ושבר )החלק(‪ .‬לפחות אחד מהשברים גדול מ‪ .1 -‬מחליפים בין הכרטיסיות ומבצעים את‬
‫החישובים בזמן קצוב‪ .‬התלמידים בודקים זה את תוצאותיו של זה‪.‬‬
‫דנים בשאלה‪" :‬מתי ערך החלק של כמות יסודית נתונה גדול מהכמות היסודית‪ ,‬ומתי הוא קטן‬
‫ממנה?"‬
‫פעילות ו‪ :‬מכינים מעטפה שבה ‪ 15‬שקלים )שטרות של משחק(‪ .‬מראים ‪ 10‬שקלים ואומרים שהם‬
‫מהווים ‪ 2/3‬מהסכום שבמעטפה‪ .‬על התלמידים לגלות כמה שקלים יש במעטפה‪ ,‬ולהסביר איך‬
‫הם מצאו את התשובה‪ .‬חוזרים על הפעולה במספרים אחרים‪) .‬אפשר להשתמש בחפצים קטנים‬
‫במקום כסף‪(.‬‬
‫פעילות ז‪ :‬עובדים בזוגות‪ :‬כל זוג מכין טבלה דומה )בלי השורה השלישית( ומעביר אותה לזוג‬
‫אחר‪ ,‬והזוג האחר משלים אותה‪.‬‬
‫הסכום המוצג‬
‫)ערך החלק(‬
‫החלק‬
‫הסכום במעטפה‬
‫)הכמות היסודית(‬
‫‪ 15‬שקלים‬
‫‪ 18‬שקלים‬
‫‪ 30‬שקלים‬
‫‪ 10‬שקלים‬
‫‪ 6‬שקלים‬
‫‪5‬‬
‫‪8‬‬
‫‪24‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪24‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪24‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫הספר לתלמיד‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪:160‬‬
‫בשיעור זה חוזרים על מושגים הקשורים לשבר כחלק מכמות‪ ,‬כלומר החלק )שבר(‪ ,‬הכמות‬
‫היסודית )השלם( וערך החלק‪ .‬החזרה מתבצעת בשלושה סוגים של בעיות הקשורות לשברים‪:‬‬
‫נתונים שנַיים מהמרכיבים‪ ,‬ויש לחשב את השלישי‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :4-1‬התלמידים מתבקשים לזהות את המושגים הנלמדים בשיעור בלי לפתור את‬
‫הבעיה‪ ,‬ולהתאים למושגים אלו את המספרים הנתונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬התלמידים מתבקשים להציע חלוקות שונות בייצוג כאשר הכמות היסודית‬
‫מצוירת ועל‪-‬סמך החלוקה עליהם להשלים את הטבלה‪ .‬הכוונה היא לחלוקה בשתי קבוצות‪,‬‬
‫בשלוש קבוצות‪ ,‬בארבע קבוצות‪ ,‬בשש או בשמונֶה קבוצות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬דרך מוחשית למציאת הכמות היסודית‪ .‬מומלץ לדון בדרכים למציאת סך כל‬
‫הלבבות‪.‬‬
‫‪77‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ 162‬מציאת ערך החלק‬
‫בשיעור זה לומדים למצוא את ערך החלק כאשר נתונים החלק )שבר( והכמות היסודית‪ .‬כאשר‬
‫מוצאים את ערך החלק‪ ,‬עונים על השאלות מהסוג‪" :‬כמה הם שני שלישים של ‪ "?21‬אפשר לענות‬
‫על השאלה בשתי דרכים‪ .‬דרך אחת היא לחלק את הכמות היסודית )לדוגמה‪ (21 ,‬לחלקים שווים‬
‫לפי המכנה של השבר )‪ (21:3‬ולקחת את מספר החלקים בהתאם למונה‪ ,‬כלומר לכפול את המנה‬
‫במונה )‪ .(7x2‬לפיכך ‪ 14‬הוא ערך החלק )שני שלישים(‪ .‬דרך זו התלמידים כבר מכירים‪ .‬דרך אחרת‬
‫למצוא את ערך החלק היא להיזכר במשמעות של המושג "של"‪ :‬הביטוי "שני שלישים של ‪"21‬‬
‫‪2‬‬
‫פירושו כפל שני שלישים ב‪ ,21 -‬כלומר פותרים את תרגיל הכפל ‪ , × 21‬לפיכך ‪ 14‬הוא ערך החלק‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫זוהי המשמעות של הכפל‪ ,‬השונה מ"פעמים"‪ .‬חשוב לתרגל את התרגום "של" לשפה מתמטית‪,‬‬
‫כלומר לתרגיל כפל מתאים‪ .‬אם התלמידים מתקשים למצוא את ערך החלק בדרך החדשה )תרגיל‬
‫כפל(‪ ,‬אך יודעים לעשות זאת בדרך אחרת‪ ,‬יש לאפשר להם שימוש בדרך זו‪ .‬בהמשך באותה דרך‪,‬‬
‫מציאת ערך החלק על‪-‬ידי כפל החלק בכמות יסודית‪ ,‬יחושב בהמשך גם הערך של האחוז על‪-‬ידי‬
‫כפל האחוז בכמות היסודית )ערך של ‪.(100%‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬על התלמידים לפתור תרגילי כפל של שבר בשלם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬התלמידים מתבקשים למצוא ערכים של חלקים שונים‪ ,‬כאשר סכום החלקים‬
‫הוא ‪ 1‬והכמות היסודית נתונה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬על התלמידים להשוות בין ערכים של חלקים שונים‪ ,‬כאשר גם הכמויות היסודיות‬
‫שונות‪ .‬עודדו את התלמידים לא לבצע את החישובים‪ ,‬אלא להתאים את הסימן על‪-‬ידי חשיבה‬
‫הגיונית‪ .‬לדוגמה‪ ,‬חצי של ‪ 20‬גדול מחצי של ‪ ,10‬מפני שהכמות היסודית ‪ 20‬גדולה מהכמות‬
‫היסודית ‪ ,10‬והחלק הוא אותו חלק‪ .‬בעזרת דרך זו אפשר לענות על הסעיפים ב' ו‪ -‬ג' )ב‪ -‬גדולה‬
‫יותר‪ ,‬ג‪ -‬כל מספר קטן מ‪ .(8 -‬בכל מקרה‪ ,‬אם מבצעים את החישובים‪ ,‬כדאי לבצע אותם בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬על תלמידים למצוא את ערך החלק על‪-‬ידי פתרון תרגיל כפל מתאים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬שני שלבים בשאלה מילולית זו‪ :‬א‪ .‬מציאת ערך ההנחה בשקלים‪) ,‬עשרה‬
‫שקלים‪ (.‬ו ב‪ .‬מציאת המחיר לאחר ההנחה‪) ,‬עשרים שקלים‪(.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬במשימה זו התלמידים מוסיפים את המספרים המתאימים לרצועה‪ .‬ברצועה זו‬
‫ישתמשו התלמידים בפתרון שאלות הקשורות ליחס ולאחוזים‪ ,‬לכן חשוב להבהיר להם כיצד היא‬
‫בנויה‪ .‬הרצועה מחולקת למשבצות‪ ,‬וכולה מייצגת את הכמות היסודית )בדוגמה‪ .(30 :‬הכמות‬
‫היסודית וערכי החלקים נכתבים מעל הרצועה )או מתחתיה‪ ,‬לפי הסכם(‪ .‬מתחת לרצועה כותבים‬
‫שברים )חלקים(‪ ,‬כך שתהיה התאמה בין החלק לבין ערכו לפי הכמות היסודית‪ .‬לכמות היסודית‬
‫מתאים תמיד המספר ‪) 1‬כי הכמות היסודית היא השלם(‪ .‬בדוגמה‪ :‬לחמישית מתאים ערך של‬
‫החמישית‪ ,‬שהוא ‪ ,6‬וכן הלאה‪ .‬הערות‪ :‬אין קשר בין הצביעה לבין המספרים הכתובים סביב‬
‫הרצועה‪ .‬השבר אינו חייב להיכתב כשבר מצומצם‪ ,‬אך רצוי לנסות לצמצם אותו‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ 164‬מציאת החלק )השבר(‬
‫בשיעור זה מוצאים את החלק בהתאם לערכו‪ ,‬כאשר נתונה הכמות היסודית‪ .‬חשוב שהתלמידים‬
‫ידעו שאת החלק מוציאים על‪-‬ידי פעולת חילוק של ערך השבר בכמות היסודית‪ ,‬וכותבים את‬
‫התוצאה כשבר‪ .‬בהתחלה אפשר לא לצמצם כלל את השברים המתקבלים‪ ,‬אלא לתרגל את‬
‫המהות של הדבר‪ .‬התלמידים שאינם מתקשים‪ ,‬יכולים לצמצם את השברים ולקבל את החלק‬
‫כשבר מצומצם‪.‬‬
‫‪200‬‬
‫‪2‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬אפשר לבטא את החלק כ‪-‬‬
‫‪ ,‬אך כדאי לצמצם ב‪ 100 -‬ולקבל‬
‫‪3‬‬
‫‪300‬‬
‫משימות מס' ‪ :15-14‬מציאת החלק מתוך הכמות היסודית‪.‬‬
‫‪78‬‬
‫‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬בשאלה מילולית זו מתבקשים התלמידים למצוא איזה חלק מהסכום שילמו בני‬
‫‪2000 1‬‬
‫מהסכום הכללי‪..‬‬
‫משפחת תמיר בתשלומים השונים‪ .‬בתשלום הראשון הם שילמו =‬
‫‪6000 3‬‬
‫‪2500 5‬‬
‫מהסכום הכללי‪.‬‬
‫בתשלום השני הם שילמו‬
‫=‬
‫‪6000 12‬‬
‫‪1500 1‬‬
‫מהסכום הכללי‪.‬‬
‫בתשלום השלישי הם שילמו =‬
‫‪6000 4‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬משימה פתוחה‪ .‬לכל אחד מתלמידי הכיתה יש סדר יום משלו‪ ,‬אך אפשר לדון‬
‫בכיתה במספר השעות ביממה‪ ,‬במספר השעות המוקדשות לשינה‪ ,‬ללימודים בבית הספר )אפשר‬
‫להתייחס למספר ממוצע של שעות לימודים ליום(‪ ,‬כמו‪-‬כן אפשר להתייחס למספר שעות הפנאי‪.‬‬
‫העזרה להורים יכולה לבוא לידי ביטוי בדרכים שונות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬כדי לפתור בעיה זו התלמידים נדרשים לחשב תחילה את מספר התלמידים‬
‫‪12‬‬
‫בכיתה‪ 27 :‬תלמידים בסך‪-‬הכל‪ .‬אם כך‪ ,‬הבנות מהוות‬
‫מתלמידי הכיתה‪ ,‬ואילו הבנים מהווים‬
‫‪27‬‬
‫‪15‬‬
‫מתלמידי הכיתה‪.‬‬
‫‪27‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :166‬מציאת הכמות היסודית‬
‫בשיעור זה לומדים למצוא את הכמות היסודית לפי החלק וערכו הנתונים‪ .‬הדבר נעשה בשני‬
‫שלבים‪ .‬בשלב הראשון מוצאים את הערך של השבר היסודי המתאים לחלק נתון כך‪ :‬מחלקים את‬
‫ערך החלק במונה של השבר‪ ,‬המהווה את החלק‪ .‬לדוגמה‪ ,‬לשתי חמישיות מתאים השבר היסודי‬
‫חמישית‪ ,‬לכן מחלקים את ערך השבר ב‪ .2 -‬אם ערך החלק )שתי חמישיות( הוא ‪ ,30‬ערך החלק‬
‫המתאים לשבר היסודי הוא ‪ .15‬בשלב השני מוצאים את הכמות היסודית )השלם( כך‪ :‬כופלים את‬
‫ערך השבר היסודי במכנה של השבר‪ .‬בדוגמה שלעיל כופלים ‪ 15‬ב‪ 5 -‬ומקבלים ‪ .75‬למעשה‪ ,‬זהו‬
‫הערך של חמש חמישיות‪ (.1) .‬בהמשך נלמד שאפשר למצוא את הכמות היסודית על‪-‬ידי חילוק‬
‫ערך החלק בחלק‪ ,‬אך בשלב זה התלמידים עדיין אינם יודעים לחלק מספר בשבר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬משימת יישום בדגש על השלבים‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :21-20‬משימות יישום‪ :‬בעיות מילוליות‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬שימו לב שהכמות היסודית שווה למכנה של השבר הנתון‪ .‬לדוגמה‪ 5 ,‬הם‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫ו‪ . = 12 -‬כדי להקל את פתרון המשימה מומלץ לקרוא כל תרגיל בקול רם‪.‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫לכן‬
‫משימה מס' ‪ :23‬התלמידים נדרשים למצוא את הכמות היסודית החסרה‪ .‬אחת הדרכים‬
‫‪5‬‬
‫הפשוטות היא שימוש בתרגיל שרשרת‪ .‬דוגמה‪:‬‬
‫של ? שווה ל‪ .20 -‬התרגיל המתאים הוא‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ . 20 :5 × 6 = 24‬למעשה‪ 20:5 ,‬הוא ערך השבר היסודי ‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬התלמידים נדרשים למצוא את הכמות היסודית המיוצגת על‪-‬ידי דמי הכיס של‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫הילדים‪ .‬לשיר יש ‪ ) ₪ 20‬של ‪ 20‬שווה ל‪ ,(10 -‬לאושרי יש ‪ ) ₪ 96‬של ‪ 96‬שווה ל‪ ,(24 -‬למיטל‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫יש ‪ ) ₪ 75‬של ‪ 75‬שווה ל‪ (30 -‬ולאורטל יש ‪ ) ₪ 120‬של ‪ 120‬שווה ל‪.(100 -‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪79‬‬
‫‪2‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬שאלה מילולית זו של מציאת השלם‪ .‬אם אלי קנה‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫מכמות הסוכריות‪ .‬בשאלה נתון כי אלי קנה ‪ 20‬סוכריות‪ .‬אפשר לומר כי מכמות‬
‫קנתה‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫הסוכריות היא ‪ .10‬כלומר אלי ותמר קנו יחד ‪ 50‬סוכריות‪ .‬תמר קנתה ‪ 30‬סוכריות‪.‬‬
‫מכמות הסוכריות‪ ,‬תמר‬
‫משימה מס' ‪ :26‬שאלה מילולית של מציאת השלם‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫א( ‪ 12‬טושים מהווים מכלל הטושים שבקלמר‪ .‬כלומר בקלמר של יובל יש ‪ 18‬טושים‪ .‬מציאת‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫כמות הטושים המהווה מכמות הטושים הכללית‪ ,‬מסייעת בפתרון‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫ב( יובל לא השתמשה בשישה טושים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬משימה פתוחה‪ :‬התלמידים יכתבו שאלה מילולית המתאימה לאיור‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :168‬מציאת ערך החלק )החלק הוא שבר גדול מ‪ 1 -‬או מספר מעורב(‬
‫שיעור זה הוא המשך של השיעורים הקודמים במציאת ערך החלק‪ ,‬אך הפעם החלק גדול מ‪.1 -‬‬
‫חלק כזה יכול להתבטא בשבר גדול מ‪ 1 -‬או במספר מעורב‪ .‬הדרכים למציאת ערך של חלק גדול‬
‫מ‪ 1 -‬הן כמו קודם לכן‪ ,‬כלומר פתרון תרגיל כפל מתאים‪ .‬אין הבדל במשמעות "חלק של" בשבר‬
‫כלשהו‪ ,‬כלומר דרך הפתרון אינה תלויה בשבר עצמו‪ .‬הקושי יכול להתעורר בהבנת הניסוחים כמו‬
‫"מספר הצעצועים שיש לי הוא ארבעה שלישים ממספר הצעצועים של אחותי" מכיוון שהחלק‬
‫הוא "לא חלק"‪ ,‬אלא גדול מ‪ ,1 -‬איננו רגילים לדבר בניסוחים אלו‪ .‬אך במתמטיקה פותרים גם‬
‫שאלות מסוג זה‪ .‬מה שחשוב הוא שהתלמידים יבינו שאם חלק קטן מ‪ ,1 -‬ערכו קטן מהכמות‬
‫היסודית; ואם חלק גדול מ‪ ,1 -‬ערכו גדול מהכמות היסודית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬מומלץ לקרוא כל תרגיל בקול רם‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬מספר התרגילים שפתר דור גדול מ‪ ,20 -‬כי השבר‬
‫‪4‬‬
‫תרגילים‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5 × 20 100‬‬
‫= ‪. × 20‬‬
‫=‬
‫אפשר לפתור תרגיל זה בדרכים שונות‪ 20 : 4 × 5 = 5 × 5 = 25 :‬או ‪= 25‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫גדול מ‪ .1 -‬דור פתר ‪25‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬בציור צריכות להיות ‪ 14‬תיבות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬תלמידים יפתרו תרגילי כפל של מספר מעורב במספר שלם בדרך הנוחה להם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬בעיה דו‪-‬שלבית‪ .‬המורה שילמה ‪.₪ 130‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬במשימה זו מוסיפים גורם חסר‪ ,‬כך שיתקבל אי‪-‬שוויון נכון‪ .‬בסעיפים א'‪ ,‬ב' ו‪ -‬ג'‬
‫מספיק לכפול בשבר קטן מ‪ 1 -‬או ב‪ .0 -‬בסעיפים ד' ו‪ -‬ו' צריך לכפול במספר מעורב או בשבר גדול‬
‫מ‪ .1 -‬בסעיף ה' ייתכן כל מספר גדול מ‪ .3.63... -‬דונו עם התלמידים בדרכים לפתרון המשימה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬התלמידים יכולים לחשב את התשובות בשתי דרכים‪ :‬לחשב מחיר לדקה בחברה‬
‫השנייה )‪ 54‬אגורות( ולכפול ב‪ (₪ 5.4) 10-‬או לחשב את העלות ל‪ 10-‬דקות בחברה הראשונה )‪3.6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ (₪‬ולכפול את התוצאה ב ‪. 1 -‬‬
‫‪2‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬התלמידים מתבקשים להשלים את הטבלה לפי הנתונים ולייצג את כל הנתונים‬
‫על‪-‬ידי איור‪.‬‬
‫‪80‬‬
‫משימות מס' ‪ :37-36‬משימות יישום‪ :‬בעיות מילוליות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬כאן מומחשת החשיבות של ציון הכמות היסודית‪ .‬מומלץ לדון בדרכי הפתרון‪.‬‬
‫א( לא‪-‬נכון‪ .‬ב( נכון ג( לא‪-‬נכון ד( נכון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :39‬שאלה פתוחה‪ .‬מומלץ לדון בפתרונות‪ .‬לדוגמה‪ ,‬בסעיף א'‪ -‬אפשר לומר שהשבר‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ,‬לכן תשובה אפשרית היא ‪ ,10‬או לפתור את התרגיל הראשון )‪ (4‬ולפעול דרך ניסוי‬
‫גדול מ‪-‬‬
‫‪8‬‬
‫‪5‬‬
‫וטעייה‪ .‬התשובה הכללית קשורה למציאת השלם‪ ,‬כשנתונים השבר וערך שבר )כל מספר קטן מ‪-‬‬
‫‪ 4 × 8 = 32‬מתאים(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬משימת חקירה קטנה של ניתוח שעות הלימוד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬משימת תרגול של תרגום ממילים לתרגילים‪.‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫ג(‬
‫א(‬
‫= ×‬
‫ב( = ×‬
‫= ×‬
‫‪2 5 10‬‬
‫‪2 4 8‬‬
‫‪2 3 6‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬בעיה מילולית רב‪-‬שלבית‪ .‬דונו עם התלמידים בהבדלים בין המושגים "פי כמה"‬
‫ו"בכמה"‪ .‬בשאלה "בכמה" משתמשים בחיסור או בחיבור‪ ,‬ובשאלה "פי כמה" משתמשים בחילוק‬
‫או בכפל‪.‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪171‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד בפרק‪ :‬מציאת ערך החלק‪ ,‬מציאת החלק ומציאת השלם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬סיכום הפרק העוסק בשברים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫א( ידוע כי ביום השני התלמידים עברו ‪ 16‬ק"מ שהם‬
‫‪5‬‬
‫‪ 80‬ק"מ‪ .‬כלומר‪ ,‬אורך המסלול הוא ‪ 160‬ק"מ‬
‫ב( ביום הראשון עברו התלמידים ‪ 80‬ק"מ‪ .‬ביום השני הם עברו ‪ 16‬ק"מ‪ ,‬וביום השלישי הם עברו‬
‫‪ 64‬ק"מ‪.‬‬
‫מהדרך‪ .‬לפיכך אורך המסלול שנותר הוא‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמ' ‪172‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬אפשר למצוא את כמות עצי האלון בעזרת חישובי כמויות )מציאת החלק( או‬
‫בעזרת השברים )השלמה ל‪.(1 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬אפשר למצוא את כמות החרוזים הלבנים ובהתאם לכך את כמות החרוזים‬
‫האדומים בעזרת חישובי כמויות )מציאת החלק( או בעזרת השברים )השלמה ל‪.(1 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬התלמידים נדרשים להשוות בין ערכי הביטויים‪ .‬ההשוואה יכולה להיעשות‬
‫בדרכים שונות‪ .‬למשל‪ ,‬אפשר לכתוב תרגיל מתאים לכל אחד מהביטויים ולפתור אותו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימת תרגול נוספת העוסקת בספרים‪ .‬בספרייה יש ‪ 8,000‬ספרים בעברית‪2,000 ,‬‬
‫ספרים בצרפתית‪ 2,500 ,‬ספרים ברוסית ו‪ 7,500 -‬ספרים באנגלית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬משימת תרגול נוספת העוסקת באורך מסלול של טיול‪ .‬התלמידים נסעו‬
‫באוטובוס ‪ 80‬ק"מ ‪ .‬התלמידים הלכו ברגל ‪ 20‬ק"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬התלמידים מתבקשים להציע אפשרויות שונות לחלק ולערך החלק כאשר הכמות‬
‫היסודית נתונה‪ .‬יש לשים לב שמספר הכדורים הצבועים הנבחר בכל סעיף הוא אחד מהמחלקים‬
‫של ‪.100‬‬
‫‪81‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬כאן נדרשת מהתלמידים התבוננות כללית על הכמות היסודית וייצוגה‪ ,‬על השבר‬
‫המיוצג ועל ערך השבר‪.‬‬
‫שאלות מילוליות ‪ ,‬עמוד ‪173‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬בקערת הפרות שתי בננות‪ ,‬שמונָה תפוחים ו‪ -‬חמישה תפוזים‪ .‬כלומר בקערת‬
‫‪5 1‬‬
‫הפרות חמישה אגסים‪ ,‬שהם = מכמות הפרות שבקערה‪.‬‬
‫‪20 4‬‬
‫‪37‬‬
‫‪23‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬ליטל נסעה‬
‫מהדרך‪ .‬כדי להגיע לתל‪-‬אביב נותרו לה‬
‫‪60‬‬
‫‪60‬‬
‫‪48 4‬‬
‫‪12 1‬‬
‫מהדרך‪.‬‬
‫מהדרך‪ .‬כלומר נותרו לה =‬
‫=‬
‫‪60 5‬‬
‫‪60 5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫משימה מס' ‪ :3‬א‪ .‬שני הנרות מהווים‬
‫‪44 22‬‬
‫מהדרך‪ .‬לירז נסעה‬
‫מהנרות‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬ביום השלישי מדליקים שלושה נרות ושמש‪ ,‬סך הכול ארבעה נרות‪ ,‬שהם‬
‫=‬
‫‪44 11‬‬
‫ג‪ .‬ביום השביעי מדליקים שבעה נרות ושמש‪ .‬כלומר‪ ,‬שמונָה נרות‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫ד‪ .‬ביום השמיני מדליקים‬
‫מהנרות )‪ 8‬נרות ‪+‬שמש(‪.‬‬
‫‪44‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬מציאת הכמות הכללית‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫שאלות‪.‬‬
‫מהנרות‪.‬‬
‫מסך כל השאלות הן ‪ 12‬שאלות‪ .‬בחוברת יש ‪36‬‬
‫היסטוריה‪ ,‬עמוד ‪174‬‬
‫הזמן הוא דבר מופשט שמחלקים אותו לחלקים )חצי‪ ,‬רבע(‪ ,‬בלי שרואים אותו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪:1‬‬
‫השאלות מתייחסות להיסטוריה שלעיל‪ ,‬שבה מוסבר שבבבל חלוקת היממה בשעות לא הייתה‬
‫שווה‪ ,‬אלא תלויה בעונה‪ .‬אפשר להסביר לתלמידים‪ ,‬כי בימינו כל השעות שוות‪ ,‬אך‪ ,‬מספר שעות‬
‫היום ומספר שעות הלילה משתנה לפי העונה‪.‬‬
‫א( לפי הבבלים בעונת החורף "שעות היום" קצרות מ"שעות הלילה"‪.‬‬
‫ב( לפי הבבלים בעונת הקיץ "שעות היום" ארוכות יותר מ"שעות הלילה"‪.‬‬
‫ג( לפי הבבלים ישנם יומיים בשנה שבהם משך היום שווה למשך הלילה‪ ,‬בתאריכים של‬
‫ימינו‪ ,‬ימים אלה הם‪) 21/3 :‬תחילת האביב( וכן ‪) 21/9‬תחילת הסתיו(‪) .‬מידע זה אפשר‬
‫למצוא באינטרנט או במקורות מידע אחרים(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬א( להלן הטבלה המלאה‪.‬‬
‫המחלק‬
‫השבר‬
‫היסודי‬
‫ערך‬
‫החלק‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪60‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪30‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪20‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪15‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪12‬‬
‫‪82‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪6‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪5‬‬
‫‪15‬‬
‫‪1‬‬
‫‪15‬‬
‫‪6‬‬
‫‪20‬‬
‫‪1‬‬
‫‪20‬‬
‫‪3‬‬
‫‪30‬‬
‫‪1‬‬
‫‪30‬‬
‫‪2‬‬
‫‪60‬‬
‫‪1‬‬
‫‪60‬‬
‫‪1‬‬
‫ב( ‪ 45‬דקות‪ .‬ג( בשעה יש ‪ 3,600‬שניות‪ .‬ביממה יש ‪ 1,440‬דקות‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ד( דקה אחת מהווה‬
‫שעה‪ 15 .‬דקות מהוות שעה‪ 10 .‬דקות מהוות השעה‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪60‬‬
‫‪1200 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫שנייה אחת מהווה‬
‫מהשעה ‪ 1,200‬שניות מהוות =‬
‫‪3600 3‬‬
‫‪3600‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬המשחק נמשך ‪ 150‬דקות‪ ,‬שהן שעתיים וחצי‪.‬‬
‫אם המשחק התחיל בשעה שתיים וחצי‪ ,‬הוא הסתיים בשעה חמש‪.‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪175‬‬
‫משימות ההעשרה עוסקות במספרים ובמציאת הכמות השלמה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬התלמידים נדרשים למצוא את המספרים שבחרו הילדים‪.‬‬
‫א( חני בחרה את המספר ‪ .75‬אחת הדרכים לחישוב היא ‪. 45 : 3 × 5 = 75‬‬
‫ב( ארז בחר את המספר ‪ .160‬רבע של ‪ 160‬הוא ‪ .40‬אם נוסיף ‪ 40‬למספר ‪ ,160‬נקבל ‪.200‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫לפי הנתונים בשאלה‪ ,‬הם ‪ .200‬אם נחלק ‪ 200‬ל‪ ,5 -‬נקבל ‪ .40‬הם השלם‪ ,‬ולמעשה‪ ,‬מייצגים‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫את המספר שבחר ארז שהוא ‪.160‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משקל הפקק הוא ‪ 150‬גרם‪ ,‬ומשקל הבקבוק הוא ‪ 1500‬גרם‪.‬‬
‫שימו לב‪ ,‬הנטייה הראשונית היא למצוא עשירית של ‪ ,1,650‬אולם זה אינו נכון‪ ,‬שכן המשקל‬
‫‪ 1,650‬גרם הוא המשקל הכולל של הפקק והבקבוק‪ .‬הנחו את התלמידים לחפש תחילה שני‬
‫מספרים שסכומם ‪ ,1,650‬ושהאחד מהווה עשירית מהאחר‪ .‬שני המספרים הם ‪ 1,500‬ו‪.150 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬א( המשקל של קפה "רובוסטה" הוא ‪ 30‬קילוגרם‪.‬‬
‫ב( המחיר של קילוגרם תערובת קפה יקר יותר ממחיר קפה "רובוסטה"‪ ,‬אך זול יותר ממחיר קפה‬
‫"קןלומביה"‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫ג( מחיר קילוגרם תערובת קפה הוא ‪× 24 + × 45 = 16 + 15 = 31 .₪ 31‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫ד( ‪ 24‬ק"ג מהווים ממשקל התערובת כולה‪ .‬לכן משקל התערובת הוא ‪ 36‬ק"ג‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימה זו עוסקת בתחום הכלכלי של משפחה‪ .‬א( בני המשפחה שילמו תמורת‬
‫החוגים ‪ .₪ 700‬ב( תמורת המזון הם הוציאו ‪ .₪ 2,800‬ג( נותרוּ ‪ ₪ 3,500‬לתשלומים השוטפים‬
‫ולמשכנתה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬ישנן דרכים שונות למציאת מחיר המתנה‪ .‬אחת הדרכים היא להשתמש בנתון של‬
‫‪3‬‬
‫אריאל‪ .‬אריאל שילם ‪ ,₪ 30‬שהם‬
‫ממחיר המתנה‪ .‬כלומר מחיר המתנה הוא ‪.₪ 70‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ . 30 : 3 × 7 = 70‬מירב שילמה תמורת המתנה ‪ .₪ 28‬אפשר לראות בנקל כי מחיר המתנה הוא אכן‬
‫‪30 + 28 + 12 = 70 .₪ 70‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪176‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד קודם לכן‪ :‬דיאגרמת עמודות‪ ,‬סדרות‪ ,‬כפולות של מספרים‪,‬‬
‫השוואה בין מספרים ופעולות החשבון‪.‬‬
‫‪83‬‬
‫עמודים ‪209-177‬‬
‫ח‪ .‬מספרים על ישר המספרים‬
‫רקע‬
‫בפרק זה ממשיכים לעסוק בנושא "ציר המספרים"‪ ,‬והפעם מתמקדים במיקומם של שברים‬
‫)"פשוטים"( ושל מספרים עשרוניים על ציר המספרים‪.‬‬
‫הרעיון העיקרי הוא צפיפות המספרים על ציר המספרים‪ ,‬והמטרה העיקרית היא שהתלמידים‬
‫יבינו‪ ,‬שעל הציר קיימים אין‪-‬סוף מספרים‪ ,‬ובין כל שני מספרים קיימים אין‪-‬סוף מספרים‪.‬‬
‫תחילה ילמדו התלמידים לסמן שברים על ציר המספרים באופנים שונים‪ .‬לאחר מכן ילמדו לסמן‬
‫מספרים עשרוניים על ציר המספרים‪ .‬כדי להראות לתלמידים שיש מקום על הציר לעוד ועוד‬
‫מספרים‪ ,‬ובין כל שני מספרים על הציר אפשר לכתוב עוד ועוד מספרים‪ ,‬ניעזר ב"הגדלת" הציר‬
‫באמצעות "זכוכית מגדלת"‪ .‬יש להסב את תשומת לבם של התלמידים‪ ,‬שזהו אותו ציר המספרים‪,‬‬
‫אך אנו מתייחסים אל קטע קטן ממנוּ ו"מגדילים" אותו כדי לסמן מספרים מסוימים‪.‬‬
‫חשוב להדגיש שהבנת סדר המספרים על הציר‪ ,‬השוואה בין שברים לבין מספרים עשרוניים וכן‬
‫מציאת מספרים בין שני מספרים נתונים מביאות לפיתוח הבנה מספרית‪ ,‬המסייעת לתלמידים‬
‫להתמודד עם מבחנים ועם קשיים בחיי היום‪-‬יום‪ .‬לפיכך חשוב מאוד ללמד כל תת‪-‬נושא בפרק‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬לסמנן שבר על ציר המספרים באופן מדויק;‬
‫ב‪ .‬לרשום מספר )מספר שלם‪ ,‬שבר או מספר עשרוני( המתאים לנקודה מסומנת על הציר;‬
‫ג‪ .‬להשוות בין שברים ולסדר אותם על ציר המספרים;‬
‫ד‪ .‬להשוות בין שברים כלשהם לבין שברים יסודיים בדרכים שונות;‬
‫ה‪ .‬למקם שברים בין שני שברים הממוקמים על הציר;‬
‫ו‪ .‬לזהות על ציר המספרים שברים שווים ושברים שאינם שווים;‬
‫ז‪ .‬ירשמו שברים שווים )שמות שונים לשבר( ולסמן אותם על ציר המספרים;‬
‫ח‪ .‬להשתמש ברעיון של "זכוכית מגדלת" כדי לסמן מספר עשרוני בין שני מספרים עשרוניים‬
‫נתונים או שבר בין שני שברים נתונים‪.‬‬
‫מושגים‬
‫ציר המספרים‪ ,‬קטע יחידה‪ ,‬נקודה‪ ,‬שיעורי הנקודה‪" ,‬זכוכית מגדלת"‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫סרט‪-‬מידה )שלושה סוגים הנמצאים בשקית האביזרים לכיתות ה'‪ -‬ו'(‪ ,‬חוט‪ ,‬אטבים משרדיים או‬
‫אטבי כביסה‪ ,‬כרטיסיות או דפים מסוג ‪ A4‬מחולקים לארבעה חלקים‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על מציאת מכנה משותף לשני שברים‪.‬‬
‫על הלוח רשומים שברים "פשוטים"‪ .‬התלמידים בוחרים זוג שברים מתוך הרשימה ומוצאים‬
‫מכנה משותף לשני השברים שבחרו‪ .‬תלמידים אחרים מתבקשים למצוא מכנה משותף אחר‬
‫לאותו זוג שברים‪ .‬לאחר מכן בוחרים זוג אחר של שברים ומחפשים את המכנה המשותף שלהם‪.‬‬
‫מומלץ לערוך דיון שמסקנתו‪" :‬מכנה משותף הוא כל כפולה משותפת של המכנים הנתונים"‪.‬‬
‫‪1 1 1 4 2 3 5‬‬
‫דוגמאות לשברים‪. , , , , , , :‬‬
‫‪2 3 5 7 9 4 6‬‬
‫‪84‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על השוואה בין שברים‪.‬‬
‫על הלוח רשומים שברים שונים‪ .‬על התלמידים לבחור זוג שברים ולהשוות ביניהם‪ .‬דנים בדרכי‬
‫ההשוואה‪ .‬אחר‪-‬כך התלמידים מתבקשים לסדר את כל השברים בסדר עולה או בסדר יורד לפי‬
‫בחירת המורה‪ .‬בין השברים כתובים שברים בעלי אותו מונה‪ ,‬בעלי אותו מכנה‪ ,‬שברים יסודיים‪,‬‬
‫שברים שקל להשוות ביניהם על‪-‬ידי השלמה ל‪ ,1 -‬שברים גדולים מ‪.1 -‬‬
‫נוסף לשברים אפשר לכתוב גם מספרים מעורבים‪ .‬דוגמאות לשברים ולמספרים מעורבים‪:‬‬
‫‪1 1 1 2 4 2 3 5 4 6 9 2 1‬‬
‫‪. , , , , , , , , , , ,1 ,3‬‬
‫‪2 3 5 3 7 9 4 6 9 9 6 5 2‬‬
‫ג‪ .‬חזרה על מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫על הלוח רשומים שברים בעלי מכנה שהוא חזקה של ‪ .10‬על התלמידים לרשום מספר עשרוני‬
‫השווה לשבר הנתון‪ ,‬ולקרוא אותו בקול רם‪ .‬דוגמאות לשברים‪:‬‬
‫‪15‬‬
‫‪5 8 25 25 25 365 365 365 1001 101 5‬‬
‫‪. ,‬‬
‫‪,3 ,10‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪, ,‬‬
‫‪100‬‬
‫‪10 100 10 100 1000 10 100 1000 1000 10 10‬‬
‫ד‪ .‬חזרה על השוואה בין מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫על הלוח רשומים מספרים עשרוניים‪ .‬על התלמידים לסדר אותם בסדר עולה או בסדר יורד לפי‬
‫בחירת המורה‪ .‬חשוב לדון בדרכי ההשוואה‪ .‬דוגמאות למספרים עשרוניים‪;0.125 ;0.02 ;0.01 :‬‬
‫‪.0.25 ;5.45 ;50.45 ;50.01 ;50.001‬‬
‫כדאי לבחור את המספרים לפי רמת התלמידים‪ .‬אם התלמידים עדיין מתקשים במספרים‬
‫עשרוניים של מאיות ושל אלפיות‪ ,‬אפשר להסתפק במספרים עשרוניים עד לעשיריות‪ .‬כדאי לבצע‬
‫את ההשוואה בעזרת טבלת המבנה העשרוני‪ .‬חשוב להזכיר לתלמידים שקודם כול משווים בין‬
‫החלקים השלמים של המספר‪ ,‬ולאחר מכן משווים בין הספרות בחלק השברי של המספר‪.‬‬
‫ה‪ .‬חזרה על השוואה בין מספרים טבעיים‪.‬‬
‫על הלוח כתובים מספרים טבעיים‪ .‬על התלמידים לסדר אותם בסדר עולה‪ .‬דנים בדרכי‬
‫ההשוואה‪ .‬דוגמאות למספרים טבעיים‪.844 ,804 ,4808 ,4800 ,8080 ,800 ,80 ,8 :‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬משחק "ציר מספרים חי"‪ .‬כל אחד מהתלמידים מקבל כרטיס )גדול יחסית(‪ ,‬שכתוב‬
‫עליו שבר יסודי‪ 1 ,‬או ‪ .0‬על התלמידים לעמוד בסדר שהמספרים יופיעו על הציר משמאל לימין‪.‬‬
‫התלמידים יעמדו לאורך קו ישר‪ ,‬משמאל יהיה ‪ 0‬ומימין יהיה ‪ 1,‬וכל יתר התלמידים יסודרו בין ‪0‬‬
‫ל‪ .1 -‬דנים בסידור זה‪ .‬המסקנות הן שהמרחקים בין השברים אינם שווים‪ ,‬ושהסידור אינו פשוט‪.‬‬
‫דנים בדרכים שונות לסידור השברים )כמו ‪ (1/4 ,1/3 ,1/2‬על ציר המספרים בדיוק האפשרי‪.‬‬
‫אפשר לבצע את המשימה בפרוזדור ארוך‪ ,‬כדי שכל התלמידים יוכלו להשתתף‪ .‬אם אין אפשרות‬
‫כזו‪ ,‬אפשר לבצע את המשימה בקבוצות קטנות בכיתה‪.‬‬
‫פעילות ב‪ :‬משחק "ציר מספרים חי" )המשך(‪ .‬המשחק דומה לקודם‪ ,‬אך הפעם מוסיפים גם‬
‫‪2 5 7‬‬
‫שברים אחרים ומספרים מעורבים )השלם קטן יחסית(‪ .‬דוגמאות למספרים‪:‬‬
‫‪. ,1 ,1‬‬
‫‪3 6 12‬‬
‫פעילות ג‪ :‬משחק "ציר מספרים חי" )המשך(‪ ,‬והפעם משחקים במספרים עשרוניים‪ .‬דוגמאות‬
‫למספרים‪.1.6 ,1.3 ,0.7 ,0.15 ,0.9 ,0.4 :‬‬
‫פעילות ד‪ :‬משחק "ציר מספרים חי" )המשך(‪ .‬שני תלמידים מקבלים כרטיסים שכתובים עליהם‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫השברים‪:‬‬
‫ו‪ . -‬יתר התלמידים מקבלים כרטיסים שכתובים עליהם מספרים אחרים‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫התלמידים מתבקשים למצוא מספר )או כמה מספרים‪ ,‬לפי רמת התלמידים( הנמצא בין שני‬
‫השברים הנתונים‪ .‬דנים בדרכים לביצוע המשימה ובשאלה‪" :‬לאיזה מהשברים הנתונים המספר‬
‫‪1 2 1 2‬‬
‫שמצאתם קרוב יותר?" דוגמאות למספרים אחרים‪ . 0 ,1 , , , , :‬אחר‪-‬כך משנים את‬
‫‪3 4 5 6‬‬
‫‪85‬‬
‫השברים הנתונים וגם את המספרים האחרים בהתאם למספרים אלו‪ .‬דוגמאות לשברים נתונים‪:‬‬
‫‪1 2 1 2 5 9 10 11 12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. 0 ,1 , , , , , , , , ,‬‬
‫ו‪ . -‬דוגמאות למספרים אחרים‪:‬‬
‫‪3 3 5 6 12 24 24 24 24‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫הספר לתלמיד‬
‫לעתים אפשר לייצג ציר‪-‬מספרים על‪-‬ידי חבל‪-‬כביסה‪ ,‬אטבים וכרטיסים‪.‬‬
‫"לעלות על הגל"‬
‫האם אנו מוכנים? עמוד ‪177‬‬
‫‪ :1‬ד; ‪ :2‬ג; ‪ :3‬ד; ‪ :4‬ג; ‪ :5‬ג; ‪ :6‬ב; ‪ :7‬ד; ‪ :8‬ד; ‪ :9‬ד; ‪ :10‬ג‪.‬‬
‫בפרק ב' התלמידים חזרו על המושגים החשובים בנושא שברים‪ .‬לכן רק תלמידים הזקוקים לכך‬
‫יבצעו את המשימות בעמודים הראשונים של ה"גל"‪ ,‬הנדרשות להבנת הפרק‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :178‬שברים שווים‬
‫בשיעור זה חוזרים על שברים שווים ועל הפעולות הרחבה וצמצום‪ .‬הדגישו לתלמידים שגורם‬
‫ההרחבה וגורם הצמצום אינם יכולים להיות שווים ל‪) .0 -‬באופן פורמלי גורם ההרחבה וגורם‬
‫הצמצום הם מספרים טבעיים‪ .‬בפועל משתמשים לעתים במספרים עשרוניים בחישובים בעל‪-‬‬
‫‪1 0.5‬‬
‫= ‪(.‬‬
‫פה‪:‬‬
‫‪20 10‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת יישום בנושא שברים שווים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬על התלמידים למצוא את גורם ההרחבה ולחשב את המונה של השבר המורחב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬א‪ .‬התלמידים נדרשים למצוא שבר השווה לשבר הנתון ) ( שהמונה שלו הוא‬
‫‪3‬‬
‫‪ .120‬כדי למצוא את השבר המתאים התלמידים צריכים למצוא תחילה את גורם ההרחבה‪.‬‬
‫‪120‬‬
‫במקרה זה גורם ההרחבה הוא ‪ ,60‬ולכן השבר המתאים הוא‬
‫‪.‬‬
‫‪180‬‬
‫ב‪ .‬שימו לב‪ ,‬השבר החסר שונה מהשבר בסעיף א'‪ .‬אם המכנה הוא ‪ ,120‬גורם ההרחבה הוא ‪,40‬‬
‫‪80‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫ולכן השבר השווה ל‪ -‬הוא‬
‫‪120‬‬
‫‪3‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬משימת יישום‪ :‬על התלמידים לחשב את גורם ההרחבה או הצמצום ולהשלים‬
‫את השברים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :179‬שברים מצומצמים‬
‫בשיעור זה חוזרים על המושג שבר מצומצם‪ .‬כדי לצמצם שברים ביעילות נדרשת שליטה בעובדות‬
‫היסוד של הכפל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬פעולה של צמצום עד הסוף אפשר לבצע בשלב אחד‪ ,‬אם מחלקים את המונה ואת‬
‫המכנה במחלק המשותף הגדול ביותר‪ .‬אפשר לצמצם גם בשלבים עד לקבלת שבר מצומצם‪.‬‬
‫אם התלמידים חזקים אפשר לבצע את המשימה בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬תרגיל זה הוא הזדמנות לחזור על המושגים "צמצום" ו"הרחבה" ועל משמעותם‪.‬‬
‫התלמידים צריכים להבין שצמצום והרחבה אינם משנים את ערך השבר‪ .‬בהרחבה כופלים מונה‬
‫ומכנה באותו מספר‪ ,‬אך הרחבה אינה פעולת כפל‪,‬בצמצום מחלקים מונה ומכנה באותו מספר‪ ,‬אך‬
‫צמצום אינו פעולת חילוק‪.‬‬
‫‪86‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬מיקום השברים על ציר המספרים מאפשר להשוות בין השברים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :180‬סוגים של שברים‬
‫בשיעור זה חוזרים על השוואה בין שבר ל‪ 1 -‬ועל שברים השווים ל‪ .0 -‬דונו עם התלמידים‬
‫בשאלה‪" :‬מדוע אין שברים שמכניהם שווה ל‪ "?0 -‬שבר שמכנהו אפס הוא ביטוי חסר משמעות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬התלמידים מתבקשים למיין את השברים לשברים הקטנים מ‪ ,1 -‬לשברים‬
‫השווים ל‪ ,1 -‬לשברים הגדולים מ‪ ,1 -‬ולשברים השווים ל‪.0 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬משימה הפוכה למשימה הקודמת‪ .‬התלמידים יכתבו דוגמאות לשברים בכל אחד‬
‫מהסעיפים‪ .‬אפשר גם לבצע את המשימה בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫‪18 9‬‬
‫=‬
‫משימה מס' ‪ :11‬ייצוג שברים במלבנים‪ .‬השבר המיוצג באיור א' הוא‬
‫‪40 20‬‬
‫התלמידים נדרשים לייצג שבר גדול יותר מהשבר המיוצג באיור א'‪ .‬צביעה של ‪ 19‬משבצות או‬
‫יותר תתאים לפתרון המשימה‪ .‬במשימה ג' התלמידים נדרשים לייצג שבר קטן יותר‪ .‬צביעה של‬
‫‪ 17‬משבצות או פחות תתאים לפתרון המשימה‪.‬‬
‫‪ .‬בסעיף ב'‬
‫משימה מס' ‪ :12‬משימת יישום הדומה למשימה ‪ ,10‬אך על התלמידים לזהות את האי‪-‬שוויון‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :181‬השוואה בין שברים‬
‫בשיעור זה חוזרים על דרכי השוואה בין שברים‪ :‬השוואה בין שברים בעלי מכנים שווים‪ ,‬השוואה‬
‫בין שברים בעלי מונים שווים‪ ,‬השוואה בין שברים בעזרת השלמה ל‪ 1 -‬או בעזרת השוואה ל‪ 1 -‬וכן‬
‫השוואה בין שברים בעזרת מציאת מכנה משותף לשני השברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬התלמידים מתבקשים לפרט את הדרך שבחרו להשוות בין זוגות השברים‬
‫הנתונים‪ .‬אפשר לעשות זאת במחברת‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬הדרך הפשוטה ביותר להשוות בין השברים‬
‫ו‪-‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫כדאי לדון עם התלמידים בהבדל בין שברים קטנים מ‪ 1 -‬לבין שברים גדולים מ‪.1 -‬‬
‫היא בעזרת השוואה ל‪.1 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬השלמת האי‪-‬שוויונות עלולה להיות קשה לתלמידים‪ ,‬מאחר שמדובר בשרשרת‬
‫של אי‪-‬שוויונות‪ ,‬בעיקר כאשר נתונים שברים בעלי מכנים שונים‪ .‬כדי להקל על התלמידים מומלץ‬
‫להשתמש בפעילות "ציר המספרים החי" )תלמידים מקבלים כרטיסיות של מספרים ומסתדרים‬
‫בשורה ( או – בחבל המשמש ציר ובאטבים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬משימה פתוחה‪ .‬מומלץ לדון בדרכים לבחירת המספרים המתאימים‪ .‬בסעיף ד'‬
‫‪8‬‬
‫אפשר לכתוב כל שבר קטן מ‪ 1 -‬או שווה ל‪ ,1 -‬שמכנהו ‪ ,5‬כי גדול מ‪.1 -‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫ו‪-‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬התלמידים יכולים להשתמש בציר המספרים או לחקור את השברים‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3 16 15‬‬
‫גדולים מ‪ -‬חצי משתמשים במכנה משותף להשוות ביניהם ) > (‪ .‬ו‪ -‬קטנים מ‪ -‬חצי‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7 24 24‬‬
‫‪1 3 5 2‬‬
‫‪15 7‬‬
‫לפיכך הסדר הוא כזה‪. < < < :‬‬
‫משתמשים במכנה משותף להשוות ביניהם ) >‬
‫‪5 7 8 3‬‬
‫‪21 21‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬הסבו את תשומת לבם של התלמידים שאין צורך לחשב את גורם ההרחבה‪ ,‬אלא‬
‫יש להשתמש בשוויון הנתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬מיקום שברים על ציר המספרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬שאלות מילוליות‪ .‬הילדים חילקו ביניהם את כל העוגה שווה בשווה‪.‬‬
‫‪87‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬שאלה מילולית‪ .‬חשוב להדגיש שהשוויון בין השברים מתייחס לשלם כל שהוא‪.‬‬
‫יש תלמידים שידרשו לדעת מהם דמי הכיס של הודיה‪ .‬השאלה האחרונה היא הזדמנות להראות‬
‫שכל סכום שהוא כפולה של ‪ ,12‬מתאים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :183‬מספרים עשרוניים‬
‫חשוב לחזור עם התלמידים על הקריאה הנכונה של המספרים העשרוניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬התלמידים נדרשים להפוך את המספרים העשרוניים הנתונים לשברים ולהפך‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :24-23‬משימות להבנת המבנה העשרוני של המספרים העשרוניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬הפיכת מספר עשרוני לשבר "פשוט"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬הפיכת שברים למספר מעורב או למספר עשרוני היא מיומנות חשובה להשוואה‬
‫בין מספרים ולחישוב סכום או הפרש של מספרים מעורבים ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬זיהוי החלק השלם והחלק השברי במספר עשרוני‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬הפיכת מספר עשרוני לשבר מצומצם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬מיקום מספרים עשרוניים על ציר המספרים ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬שאלה פתוחה‪ .‬מיקום מספר עשרוני בין שני מספרים‪:‬‬
‫מספרים טבעיים עוקבים )סעיפים א‪ ,‬ג(‪ ,‬בעלי אותו חלק שלם )סעיף ג'(‪ .‬בסעיף ד' אפשר לכתוב‬
‫מספר טבעי‪ .‬לא מופיע ב'‪ ,‬ג' מופיע פעמיים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬מומלץ להשתמש בחבל כביסה ואטבים ולפתור את התרגילים במליאה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬משימה זו אפשר לעשות בבית או בכיתה שיש בה עיתונים‪ .‬התלמידים נדרשים‬
‫לחפש בעיתונים שונים שברים או מספרים עשרוניים ולכתוב אותם במחברתם‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :185‬המבנה העשרוני‬
‫בשיעור זה חוזרים על המבנה העשרוני של המספרים העשרוניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬במשימה זו עוסקים במושג ערך הספרה במספר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬במשימה זו מפרקים את המספרים לפי המבנה העשרוני‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬משימה פתוחה‪ .‬דונו עם התלמידים בדרכי הפתרון שלהם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :39-37‬בדיקה של הבנת המבנה העשרוני במספרים עשרוניים‪ .‬אפשר לבצע את‬
‫המשימה בעל‪-‬פה במקום להעתיק את הטבלה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :186‬משבר למספר עשרוני‬
‫בשיעור זה חוזרים על הפיכת שבר למספר עשרוני במקרים פשוטים )המכנה הוא ‪ 5 ,4‬או ‪.(8‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬משימת יישום‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :187‬השוואה בין מספרים עשרוניים‬
‫בשיעור זה חוזרים על השוואה בין מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫‪88‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬השוואה בין מספרים עשרוניים בעזרת טבלה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬משימה פתוחה‪ .‬תיחום מספר עשרוני בין שני מספים עשרוניים‪ :‬דונו עם‬
‫התלמידים בדרכי הפתרון שלהם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬כאשר מספר הספרות מוגבל‪ ,‬קיים מספר קטן ביותר‪ ,‬וקיים מספר גדול ביותר‪.‬‬
‫על התלמידים להתמודד עם אילוצים‪ .‬מומלץ לדון באסטרטגיות שלהם לפתור את השאלות‪.‬‬
‫)ראו גם תרגיל ‪ 7‬ב "ממשיכים בתרגול"‪(.‬‬
‫הקניה‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :188‬מיקום שברים על ציר המספרים‬
‫אפשר לחלק את קטע היחידה למספר חלקים שווים לפי מכנה השבר ואחר‪-‬כך למקם את השבר‬
‫בדיוק‪ .‬אפשר גם לבחון את המספרים האחרים )אם ישנם(‪ ,‬הממוקמים כבר באופן נכון על הציר‪,‬‬
‫ואחר‪-‬כך למקם את השבר יחסית למספרים אלה‪ .‬אפשר שהמיקום לא יהיה מדויק‪ ,‬אלא בערך‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת יישום‪ .‬אחת הדרכים למקם שבר על ציר המספרים היא לסמן תחילה את‬
‫המספר ‪ 1‬בכל אחד מהצירים‪ ,‬לחלק את קטע היחידה מ‪ 0 -‬עד ‪ 1‬לשלושה חלקים שווים ולסמן את‬
‫מקום השבר‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :4-2‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬הסבו את תשומת לבם של התלמידים שאין צורך לחשב את גורם ההרחבה‪ ,‬אלא‬
‫יש להשתמש בעובדה הנתונה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬במשימה זו על התלמידים "לקרוא" את ציר המספרים ולרשום מספר המתאים‬
‫לנקודה המסומנת‪ .‬מומלץ לפתור את התרגילים במליאה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :190‬השוואה בין שברים לבין שברים יסודיים‬
‫בשיעור זה לומדים להשוות בין שברים בעזרת שברים יסודיים‪ .‬הכלל המתואר בשיעור זה מבוסס‬
‫על אחד מחוקי האי‪-‬שוויונות‪ :‬אם כופלים או מחלקים שני אגפים של אי‪-‬שוויון במספר חיובי‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫כלשהו‪ ,‬האי‪-‬שוויון לא ישתנה‪ .‬דוגמה‪ :‬אם ‪ ,5>4‬גם × ‪. 5 × > 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫כלומר אם מספר אחד גדול ממספר שני‪ ,‬גם חצי ממנוּ גדול מחצי המספר השני; ואם מספר אחד‬
‫קטן ממספר שני‪ ,‬שליש ממנוּ קטן משליש המספר השני וכן הלאה‪.‬‬
‫לכן כופלים את שני השברים במכנה של השבר היסודי על כדי לקבל השוואה ל‪ ,1-‬וההשוואה בין‬
‫‪ 1‬לבין שבר היא קלה‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1 4‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬א‪ .‬במקום להשוות בין‬
‫ל‪ -‬משווים בין‬
‫‪7‬‬
‫‪2 7‬‬
‫‪8‬‬
‫ואותו אי‪-‬שוויון יהיה בין השברים הנתונים‪ ,‬כלומר ‪ > 1‬לכן‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫משמאל לימין‪ ,‬לכן חשוב שהתלמידים יכתבו‬
‫משמאל ויענו‬
‫‪7‬‬
‫שביעיות גדול מחצי"‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫ב‪ .‬אפשר לכתוב כך‪:‬נכפול את שני השברים ב‪ 3-‬ונקבל ‪ > 1‬לכן‬
‫‪7‬‬
‫ל‪) 1 -‬הכפלה שני השברים ב‪,(2-‬‬
‫‪4 1‬‬
‫> ‪ .‬קוראים את האי‪-‬שוויון‬
‫‪7 2‬‬
‫על השאלה באופן נכון‪" :‬ארבע‬
‫‪3 1‬‬
‫> ‪.‬‬
‫‪7 3‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬על התלמידים לסדר את השברים הנתונים‪ .‬אפשר להתחיל מחצי ולהמשיך‪ .‬אפשר‬
‫לפעול גם בדרכים אחרות‪,‬כגון לחפש תחילה את השברים הגדולים מ‪ 1-‬או קטנים מחצי‪ ,‬להשוות‬
‫‪6 5‬‬
‫בין זוגות שברים בעזרת השלמה ל‪) 1 -‬דוגמה > ( ולהשוות שבר שלישי לאחד השברים‪ .‬דונו‬
‫‪7 6‬‬
‫עם התלמידים בדרכי הסידור שלהם‪.‬‬
‫‪89‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימה יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬השוואה בין שברים‪ .‬דונו עם התלמידים בדרכים שלהם להשוואה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬משימה פתוחה‪ .‬דונו עם התלמידים בדרכי הפתרון שלהם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬על התלמידים לסדר את השברים הנתונים על ציר המספרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬פיתוח הבנה מספרית על ידי משימה של הנמקה ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬משימת יישום פתוחה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :192‬מיקום שבר בין שני שברים יסודיים‬
‫בשיעור זה התלמידים לומדים שבין כל שני מספרים על ציר המספרים יש מספר‪ .‬למעשה‪ ,‬כאן‬
‫מתחילים להקנות לתלמידים את המושג צפיפות מספרים על ציר המספרים‪ .‬התחילו משאלות‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫קלות יותר כמו "האם יש מספר בין שני השברים ו‪ ? -‬אם כן‪ ,‬מהו המספר?" לאחר מכן עברו‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ו‪ ? -‬אם כן‪ ,‬מהו המספר?" )קל‬
‫לשאלה קשה יותר כמו "האם יש מספר בין שני השברים‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫למצוא שאחד המספרים הוא ‪ (.‬שאלה קשה יותר היא שאלה כמו בשיעור‪" :‬האם יש מספר בין‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫שני השברים ו‪ ? -‬אם כן‪ ,‬מהו המספר?" כדי לענות על שאלה כזו פועלים חלקית בדרך של‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫ניסוי וטעייה‪ ,‬כלומר מביאים את השברים למכנה משותף‪ .‬בדוגמה שלנו המכנה המשותף לשני‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫השברים הוא ‪ - 12‬מקבלים‬
‫‪ .‬כעת מנסים למצוא שבר בין השברים המורחבים האלה‪.‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫אחרי התבוננות קלה רואים שהמצב הוא כפי שהיה בהתחלה‪ .‬ללא ייאוש מרחיבים ב‪ 2 -‬את‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫השברים שהתקבלו‪ ,‬ומקבלים‬
‫נמצא בין‬
‫‪ .‬שוב מתבוננים בהם ורואים שהשבר‬
‫ו‪-‬‬
‫‪24‬‬
‫‪24‬‬
‫‪24‬‬
‫השברים המורחבים‪ ,‬וכמובן‪ ,‬בין השברים הנתונים‪ .‬פעלנו בשני שלבים‪.‬‬
‫אם צריך למצוא עוד שבר בין המספרים האלה ממשיכים בהרחבה‪ ,‬כלומר מרחיבים ב‪ 2 -‬את‬
‫השברים החדשים שהתקבלו‪ ,‬או מרחיבים ב‪ 3 -‬את השברים הקודמים )שמכניהם ‪ .(12‬הדבר יכול‬
‫להיות קשה לתלמידים‪ ,‬כיוון שהפעולה רב‪-‬שלבית‪ .‬תלמידים שיפנימו את דרך הפתרון‪ ,‬יַראו‬
‫הבנה מספרית במידה רבה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ : 15‬על התלמידים להרחיב חצי ושליש כמה פעמים או לבחור גורם הרחבה שווה ל‪-‬‬
‫‪10 10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪...‬‬
‫‪,‬‬
‫קיימים כמה שברים‬
‫לבין‪-‬‬
‫‪ 10‬או גדול ממנו‪ .‬לדוגמה‪ ,‬בין‬
‫‪22 21‬‬
‫‪20‬‬
‫‪30‬‬
‫משימה מס' ‪ 16‬מומלץ להשתמש בחבל כביסה ולפתור את המשימה במליאה ולהראות שתמיד‬
‫אפשר לחלק קטע ב‪ 2-‬ולמצוא את השבר המתאים לנקודה בעזרת הכפלת המכנה ב‪.2-‬‬
‫משימה מס' ‪ : 17‬על התלמידים להשתמש בתשובות למשימה ‪ .15‬דנו עם התלמידים בדרכי‬
‫הפתרון שלהם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬משימה זו עלולה להיות קשה לתלמידים‪ .‬התלמידים נדרשים לסרטט במחברתם‬
‫ציר מספרים ולסמן עליו את השברים חצי‪ ,‬שליש‪ ,‬רבע וחמישית‪ .‬המכנה משותף הוא ‪ ,60‬לכן‬
‫נדרשות ‪ 59‬משבצות לסמן את השברים במדויק! המרחק בין חמישית לבין רבע אינו שווה למרחק‬
‫בין שליש לבין חצי‪ .‬אחד הנימוקים האפשריים הוא בעזרת פעולת חיסור‪.‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1 3 2 1‬‬
‫‪1 1 5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫> ‪ ,‬המרחקים אינם‬
‫= ‪ − = −‬לעומת זאת = ‪ . − = −‬ומאחר ו‪-‬‬
‫‪6 20‬‬
‫‪2 3 6 6 6‬‬
‫‪4 5 20 20 20‬‬
‫שווים‪.‬‬
‫‪90‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬משימה זו עלולה להיות קשה לתלמידים‪ .‬חוזרים על התהליך שבשיעור‪ ,‬אך‬
‫הפעם השברים הם חמישית ושישית‪ .‬דרושות יותר הרחבות למציאת השברים בין השברים האלה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬על התלמידים למדוד את אורך היחידה ולמצוא את השברים המתאימים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬בסעיפים א' ו‪ -‬ב' התלמידים יכולים לשנות את המכנה של השברים‪ .‬דוגמה‪:‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫< < ‪ .‬בסעיפים ג' ו‪ -‬ד' חוזרים על התהליך שבשיעור‪ ,‬אך בשברים גדולים )מומלץ‬
‫‪10 6 5‬‬
‫לתלמידים חזקים(‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :194‬שברים שווים על ציר המספרים‬
‫אחת הדרכים המוחשיות למציאת שברים שווים היא "לשכפל" את ציר המספרים‪ ,‬כלומר לצייר‬
‫אותו מספר פעמים זה מתחת זה לפי הצורך‪ .‬על כל הצירים מסמנים אותו קטע יחידה‪ ,‬וכל אחד‬
‫מהמספרים השלמים נמצא זה מתחת לזה בדיוק )‪ 0‬מתחת ל‪ 1 ,0 -‬מתחת ל‪ 1 -‬וכדומה(‪ .‬התנאי‬
‫ההכרחי הוא לכתוב על צירים שונים‪ ,‬שהמכנים בהם שונים‪ .‬כלומר על אותו ציר מסמנים רק‬
‫שברים בעלי אותו מכנה‪ .‬אם מקפידים על תנאים אלו‪ ,‬מקבלים ציור כמו בשיעור‪ ,‬ו"קוראים"‬
‫שברים שווים )בעצם שברים מורחבים( ללא בעיה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬על התלמידים למקם על ציר המספרים שברים בעלי אותו מונה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬על התלמידים למקם על ציר המספרים שברים בעלי אותו מכנה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬פיתוח מיומנות של כתיבת מספרים על הציר‪ ,‬המותאמת לחלוקת הציר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬דונו עם התלמידים בדרכי הפתרון שלהם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬משימה פתוחה‪ .‬דונו עם התלמידים בדרכי הפתרון שלהם‬
‫משימה מס' ‪ :27‬הצירים דומים באורך קטעי היחידה ובשיעורי הנקודות הנתונים‪ .‬ההבדל בין‬
‫הקטעים הוא בחלוקתם‪ :‬ציר א' אינו מחולק‪ ,‬ציר ב' מחולק לשמיניות‪ ,‬וציר ג' מחולק לרבעים‪.‬‬
‫אפשר למקם גם שמינית וגם רבע בכל אחד מהצירים‪.‬‬
‫הערה‪ :‬בתאוריה אפשר למקם כל מספר על כל ציר‪ ,‬אולם בפועל "נוֹחוּת" המיקום תלויה באורך‬
‫היחידה ובחלוקה הנתונה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :196‬האם תמיד קיים שבר בין שני שברים?‬
‫בשיעור זה ממשיכים ללמוד על המושג צפיפות המספרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬אפשר לבצע משימה זו כהמשך להקניה ולהיעזר בציר המספרים המופיע‬
‫בשיעור‪ .‬כדי למקם את השברים על הציר אפשר להיעזר בהרחבה‪ ,‬כפי שנלמד בשיעור‪.‬‬
‫‪23‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪22‬‬
‫נמצא בנקודת‬
‫‪ ,‬והמספר‬
‫לבין‬
‫נמצא בנקודת השליש של המרחק שבין‬
‫המספר‬
‫‪72‬‬
‫‪24‬‬
‫‪24‬‬
‫‪72‬‬
‫‪15‬‬
‫נמצא בנקודת החצי שבין הנקודות‪ .‬המיקום על הציר‬
‫השני שלישים שבין הנקודות‪ .‬המספר‬
‫‪48‬‬
‫מראה שהמספרים שונים‪.‬‬
‫‪8 16 24‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪24 48 72‬‬
‫‪23‬‬
‫‪72‬‬
‫‪15‬‬
‫‪48‬‬
‫‪22‬‬
‫‪72‬‬
‫‪7 14 21‬‬
‫= =‬
‫‪24 48 72‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬חשוב שכל התלמידים יסבירו את הדבר‪ .‬לשם כך אפשר לעבוד בזוגות‪ :‬כל אחד‬
‫מבני הזוג מסביר לבן זוגו את השיעור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ : 28‬פיתוח הבנה מספרית על‪-‬ידי דיון המוביל למושג של צפיפות ‪.‬‬
‫‪91‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :31-30‬משימת יישום‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪" :197‬הגדלת" ציר המספרים‬
‫גם בשיעור זה ממשיכים ללמוד על צפיפות המספרים על ציר המספרים‪ .‬אם אפשר למקם עשרה‬
‫שברים בין שני השברים הנתונים‪ ,‬אפשר למקם על אותו הציר גם אחד‪-‬עשר שברים‪ .‬אם "חסר‬
‫מקום" )ברור שבשלב כלשהו בגלל העובי של חוד העיפרון לא יתאפשר לסמן מספר נוסף על‬
‫הציר(‪ ,‬אפשר להיעזר ב"זכוכית מגדלת"‪ ,‬כלומר לצייר אותו ציר‪ ,‬אך להגדיל את הקטע שבו צריך‬
‫לסמן את השברים‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :33-32‬מומלץ להשתמש בחבל כביסה ולבצע את המשימות במליאה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬התלמידים נדרשים למצוא שלושה שברים הנמצאים בין‬
‫ל‪-‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ .‬אפשר‬
‫‪3 12 2 8‬‬
‫= ‪ .‬השברים הנמצאים ביניהם הם‬
‫= ‪,‬‬
‫להרחיב את שני השברים הללו כך‪:‬‬
‫‪5 20 5 20‬‬
‫‪9 10 11‬‬
‫‪, ,‬‬
‫‪20 20 20‬‬
‫‪ 10‬או ‪"?15‬‬
‫‪ .‬כדאי לדון עם התלמידים בשאלה‪" :‬מדוע לא כדאי לנו להרחיב את השברים למכנה‬
‫משימה מס' ‪ :35‬רצוי לדון בסעיף ב' במליאה ולחזור על כך שבין כל שני שברים אפשר למקם‬
‫אין‪-‬סוף שברים אחרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬מומלץ להשתמש בחבל כביסה ולפתור את התרגילים במליאה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :198‬מספרים עשרוניים על ציר המספרים‬
‫בשיעור זה לומדים למקם על ציר המספרים את המספרים העשרוניים‪ .‬כדי להקל את סימון‬
‫המספרים העשרוניים כדאי להיעזר ב"זכוכית מגדלת" כמו קודם לכן‪" .‬זכוכית מגדלת" עוזרת גם‬
‫בהבנת המושג צפיפות המספרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬חזרה על השוואה בין שברים בעזרת סידור המספרים על ציר המספרים )מהקטן‬
‫לגדול(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬התלמידים בודקים אם מספר מסוים נמצא בין שני מספרים נתונים‪ ,‬ולאחר מכן‬
‫ממקמים אותו על ציר‪ .‬כדאי לדון עם התלמידים בשאלה‪" :‬היכן ימוקם המספר‪ :‬האם קרוב יותר‬
‫ל‪ 4.5 -‬או ל‪ ?4.6 -‬למה?"‪.‬‬
‫ומ ְתרגלים לייצוג שברים‬
‫משימות מס' ‪ :40-39‬במשימות אלו מפתחים מילוי הוראות באילוצים ִ‬
‫על‪-‬ידי אותיות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬שילוב ייצוגים‪ .‬במשימה זו השברים שנמצאים "בין לבין" מבוטאים באמצעות‬
‫אי‪-‬שוויונות ומיקומם על הציר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬אפשר לרשום כל מספר עשרוני כשבר‪ .‬התלמידים מוודאים שעל אותו ציר‬
‫המספרים יש גם מספרים עשרוניים וגם שברים‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :46-43‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :47‬שימוש בציר המספרים כייצוג של תוצאות חקירה קטנה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :48‬בניית ציר מספרים‪ .‬על התלמידים לבור יחידה באורך המתאים‪.‬‬
‫‪92‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :201‬האם תמיד קיים מספר עשרוני בין שני מספרים עשרוניים?‬
‫בשיעור זה ממשיכים להקנות את המושג "צפיפות המספרים"‪ .‬הפעם מדובר במספרים‬
‫העשרוניים‪ .‬גם ביניהם אפשר למצוא תמיד מספר עשרוני‪ ,‬כפי שראינו בשברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :49‬משימת יישום‪ .‬בסעיף ד' דונו עם התלמידים בשאלה‪" :‬באיזה ציר נוח יותר‬
‫למקם את הנקודות הנתונות?"‬
‫משימה מס' ‪ :50‬חשוב לדון עם התלמידים בכל שאלה שבמשימה זו‪ .‬כולן עוסקות באין‪-‬סופיות‬
‫של מספרים מסוגים שונים‪ .‬המושג מספר עוקב והמושג מספר קודם מוגדרים לקבוצת המספרים‬
‫הטבעיים בלבד‪ .‬המספר ‪ 0‬אינו מספר טבעי‪ ,‬לכן למספר ‪ 1‬אין מספר טבעי קודם‪ ,‬והמספר ‪ 1‬הוא‬
‫ההתחלה של המספרים הטבעיים‪ .‬לעומת זאת למספרים הטבעיים אין סוף‪ ,‬ולכל מספר טבעי יש‬
‫מספר עוקב )לכל ‪ n‬טבעי קיים מספר טבעי ‪.(n+1‬‬
‫אין שבר שהוא הגדול ביותר‪ ,‬ואין מספר עשרוני הגדול ביותר‪ ,‬אין מספר שלם שהוא הקטן ביותר‪,‬‬
‫וגם אין מספר שלם שהוא הגדול ביותר‪.‬‬
‫שימו לב‪ :‬כל הרעיון של אין‪-‬סופיות של המספרים הוא קשה לתלמידים צעירים‪ ,‬לכן אין לדרוש‬
‫הבנה מוחלטת של רעיון זה מכל התלמידים‪.‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪202‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :51‬התלמידים נדרשים למקם על הצירים מספרים שונים‪ .‬לדוגמה‪ ,‬את המספר‬
‫‪ 2.459‬יוכלו התלמידים למקם על הציר השני‪ ,‬ולא על הציר הראשון‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמ' ‪205-203‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬כל הקטעים המסומנים בוורוד שווים באורכם ומתייחסים לאותו שלם‪ ,‬לפיכך‬
‫‪2 4 6 8‬‬
‫כולם מייצגים שברים שווים‬
‫= = = ‪.‬‬
‫‪3 6 9 12‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬יש לנמק את התשובה‪.‬‬
‫‪1 5 3 13‬‬
‫< < <‬
‫משימה מס' ‪:3‬‬
‫‪4 7 4 7‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬כתיבת מספרים באופנים שונים‪ :‬מלל‪ ,‬שבר ומספר עשרוני‪ .‬יש לקבל צורות שונות‬
‫של מלל הנובעות מ"תרגום "השבר או המספר העשרוני‪ ,‬דוגמה‪ ,‬שלושים וחמש מאיות או אפס‬
‫נקודה שלושים וחמש‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬זיהוי ערך הספרה‪ :‬המספר קטן יותר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬דוגמה‪.9.785 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬כאשר מספר הספרות מוגבל‪ ,‬קיים מספר קטן ביותר וקיים מספר גדול ביותר‪ .‬על‬
‫התלמידים להתמודד עם אילוצים‪ .‬מומלץ לדון באסטרטגיות שלהם לפתור את השאלות‪.‬‬
‫‪5 7 3 4‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬השוואה בין שברים בעזרת הדרכים שנלמדו‪< < < .‬‬
‫‪8 10 4 5‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬על התלמידים לרשום את כל השברים המתקבלים מזוגות המספרים מ‪ 1 -‬עד ‪,6‬‬
‫ולמקם אותם על ציר המספרים‪ .‬התלמידים ממלאים את הטבלה‪ .‬הדגישו שאת מספר העמודה‬
‫רושמים במונה‪ ,‬ואת מספר השורה רושמים במכנה‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫משימה מס' ‪:10‬משימה פתוחה ‪ :‬דוגמה לתשובות ‪ :‬א(‬
‫ב(‬
‫‪8‬‬
‫‪12‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬מטרת התרגיל היא להתמודד עם מצבים שאותו קטע מייצג אורכים שונים‪.‬‬
‫‪93‬‬
‫‪10 10 10 10‬‬
‫<‬
‫< <‬
‫משימה מס' ‪ :12‬דוגמה‬
‫‪50 47 45 40‬‬
‫משימה מס' ‪ : 13‬באורך יחידה של שלושה סנטימטרים אפשר לייצג את המספרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬אין‪-‬סוף מספרים‪ .‬כל כתיבה של ספרות מימין לספרה ‪ 4‬יוצרת מספר מתאים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬משימה פתוחה‪ .‬ב( דוגמה לתשובה ‪.10.57 :‬‬
‫שאלות מילוליות‪ ,‬עמוד ‪206‬‬
‫בעמוד זה מובאות בעיות מילוליות הקשורות לחומר שנלמד בפרק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬קריאת משקל על מאזניים‪ .‬התלמידים צריכים לשים לב לכיוון הקריאה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬התלמידים יכולים למצוא את התשובה על‪-‬ידי הייצוג‪.‬‬
‫היסטוריה‪ ,‬עמוד ‪207‬‬
‫בעמוד זה התלמידים לומדים על מרכיבי האטמוספרה של כדור הארץ ומייצגים את הנתונים‬
‫שבמשימה ‪ 1‬על ציר המספרים שבמשימה ‪.2‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪208‬‬
‫עודדו את התלמידים להציע פתרונות לפני הסתכלות על הפתרון שבסוף העמוד‪.‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪209‬‬
‫חוזרים על תכונות המספרים‪ ,‬על חילוק עם שארית ועל סרטוט אנך‪.‬‬
‫‪94‬‬
‫עמודים ‪228-210‬‬
‫ט‪ .‬הכרת הגופים‪ :‬גליל‪ ,‬חרוט וכדור‬
‫רקע‬
‫בפרק זה ממשיכים התלמידים לעסוק בנושא גופים‪ .‬בחלק הקודם של הנושא הכירו התלמידים‬
‫את הפאונים‪ ,‬ובהם פירמידות ומנסרות‪ ,‬הם למדו לזהות אותן מבין גופים שונים‪ ,‬חקרו את‬
‫תכונותיהן וכן עסקו בשאלות שונות הקשורות לגופים אלו‪ .‬בפרק הנוכחי יכירו התלמידים את‬
‫הגופים חרוט‪ ,‬גליל וכדור‪ ,‬שהם אינם פאונים‪ ,‬אלא גופים "עגולים"‪ .‬אפשר לפרש זאת כך‪ :‬כל‬
‫אחד מהגופים‬
‫( אפשר לחתוך על‪-‬ידי מישור‪ ,‬כך שבחתך‬
‫ה"עגולים" )לאו דווקא חרוט‪ ,‬גליל וכדור כגון‪:‬‬
‫יתקבל עיגול או אליפסה‪ .‬כדי שהתלמידים יכירו מגוון של גלילים‪ ,‬חרוטים וכדורים‪ ,‬חשוב‬
‫שבכיתה יהיו גופים כאלה במהלך כל השיעורים בנושא‪.‬‬
‫בפרק זה יכירו התלמידים פריסות של גליל ישר ושל חרוט ישר‪ ,‬יעסקו בזיהוי הפריסות ויבנו את‬
‫הגופים האלה מהפריסות הנתונות‪ .‬חשוב מאוד שכל התלמידים ייקחו את הגופים בידם ויחושו‬
‫אותם‪ .‬בפרק זה עוסקים גם בזיהוי של גליל ושל חרוט בציור‪ .‬כמו בפרק הקודם גם כאן יש‬
‫להקפיד על סרטוט נכון של הגופים הנלמדים‪ ,‬כלומר מה שלא נראה‪ ,‬מסומן בקו מרוסק‪.‬‬
‫שימו לב לקשיים שעשויים להתעורר אצל התלמידים בלימוד הנושא‪.‬‬
‫• קושי אחד הוא הקושי המוטורי בבניית הגופים‪ .‬כאשר בונים חרוט ישר או גליל ישר‪ ,‬לא‬
‫מקפלים את הפריסה כמו בבניית הפאונים‪ ,‬אלא מדביקים חלקים מתאימים בלבד‪.‬‬
‫התלמידים עדיין אינם ַמכירים את הקשר המדויק בין פריסת המעטפת לבין עיגולי הבסיס‪,‬‬
‫אך הם מרגישים אותו באופן אינטואיטיבי‪ .‬מסיבה זו נעשית הבנייה מפריסות מוכנות‬
‫המופיעות בנספח‪.‬‬
‫• קושי ייחודי בלימוד החרוט נעוץ בכך שפריסת המעטפת של חרוט ישר היא ִגזרה של עיגול‪.‬‬
‫המושג גזרה חדש לתלמידי כיתה ו'‪.‬‬
‫בפרק זה יש הרבה עבודה מעשית כמו בפרק הקודם‪ .‬חשוב להרגיל את התלמידים קודם כול‬
‫לשער‪ ,‬ורק לאחר מכן לבדוק את השערתם‪.‬‬
‫הפרק עוסק גם בהכרת הכדור ‪ -‬גוף שאין לו פריסה‪.‬‬
‫הנושא גוף סיבוב אינו חלק מתכנית הלימודים‪ .‬כדאי לחשוף את התלמידים המתקדמים לנושא‬
‫זה‪ .‬מדובר בהעברה מצורה מישורית לגוף תלת‪-‬ממדי על‪-‬ידי סיבוב של הצורה סביב ישר מסוים‪.‬‬
‫אם יש אפשרות להדגים את הדבר‪ ,‬הנושא יתאים גם לתלמידים אחרים‪ .‬הכרת גופי סיבוב‬
‫מפתחת את הראייה המרחבית ואת הדמיון‪ ,‬והיא תתרום גם להבנת נושאים אחרים בגאומטריה‪.‬‬
‫הפרק מתאים לתכנית הלימודים‪ .‬מומלץ להקדיש לו כ‪ 6 -‬שעות לימוד‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬לתאר את הגליל באופן מילולי;‬
‫ב‪ .‬להבחין בין גליל לבין גופים אחרים בפועל;‬
‫ג‪ .‬להבחין בין גליל לבין גופים אחרים בסרטוט;‬
‫ד‪ .‬לתאר את החרוט באופן מילולי;‬
‫ה‪ .‬להבחין בין חרוט לבין גופים אחרים בפועל;‬
‫ו‪ .‬להבחין בין חרוט לבין גופים אחרים בסרטוט;‬
‫ז‪ .‬להבחין בין המעטפת לבין הבסיס של גליל ושל חרוט;‬
‫ח‪ .‬להבחין בין גליל ישר לבין גליל לא‪-‬ישר;‬
‫ט‪ .‬להבחין בין חרוט ישר לבין חרוט לא‪-‬ישר;‬
‫י‪ .‬לזהות קדקוד‪ ,‬קו יוצר וגובה של חרוט;‬
‫יא‪ .‬לזהות מרכז‪ ,‬רדיוס וקוטר של בסיס החרוט;‬
‫יב‪ .‬לזהות פריסות של גליל ישר ושל חרוט ישר;‬
‫יג‪ .‬לבנות גליל ישר וחרוט ישר מפריסותיהם;‬
‫יד‪ .‬לתאר כדור באופן מילולי;‬
‫טו‪ .‬לזהות כדור בציור ובפועל;‬
‫טז‪ .‬לזהות חתכים של גופים שונים במקרים פשוטים‪.‬‬
‫‪95‬‬
‫מושגים‬
‫גליל‪ ,‬חרוט‪ ,‬כדור‪ ,‬גליל ישר‪ ,‬גליל לא‪-‬ישר‪ ,‬חרוט ישר‪ ,‬חרוט לא‪-‬ישר‪ ,‬מרכז בסיס החרוט‪ ,‬גובה‬
‫החרוט‪ ,‬קדקוד החרוט‪ ,‬קו יוצר‪ ,‬מעטפת‪ ,‬בסיס‪ ,‬פריסה‪ִ ,‬ג ְזרה‪ ,‬חתך של גוף‪ ,‬גוף סיבוב‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫חפצים שונים מהסביבה‪ ,‬שצורתם גליל‪ ,‬חרוט או כדורים‪ .‬דוגמאות‪ :‬כובע של ליצן‪ ,‬קונוסים‬
‫שונים‪ ,‬גלילי נייר‪ ,‬פחיות‪ ,‬קופסאות שימורים‪ ,‬כדורים בצבעים שונים ובגדלים שונים‪ ,‬מטבעות‪,‬‬
‫כלים חד‪-‬פעמיים )כוס‪ ,‬צלחת(‪ ,‬ירקות ופרות )תפוז‪ ,‬תפוח עץ‪ ,‬מלפפון וכדומה(‪ ,‬צעצועים )קוביית‬
‫משחק‪ ,‬תוף צעצוע(‪ ,‬קופסאות קטנות )קופסה של קלטת וכדומה(‪ ,‬גולות‪ ,‬כדורי טניס‪ ,‬כדורגל‪,‬‬
‫גלובוס‪.‬‬
‫גופים להדגמה בכיתה )כל הגופים שברשותכם(‪ :‬גלילים ישרים‪ ,‬גלילים לא‪-‬ישרים‪ ,‬חרוטים‪,‬‬
‫כדורים‪ ,‬פאונים‪ ,‬פירמידות‪ ,‬תיבות‪ ,‬קוביות‪ ,‬מנסרות‪ ,‬גופים משוכללים‪ ,‬גופים אחרים‪.‬‬
‫פריסות גופים מקרטון או מבריסטול‪.‬‬
‫סרגל‪ ,‬מחוגה‪ ,‬מספריים‪ ,‬דבק‪ ,‬פלסטלינה‪ ,‬סלוטייפ‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על משפחת המרובעים‪.‬‬
‫במשימה זו הושם הדגש על משפחת המקביליות‪ .‬שואלים את התלמידים שאלות כאלה‪" :‬האם‬
‫דלתון הוא מקבילית? מדוע? האם טרפז הוא מלבן? האם טרפז הוא מקבילית? מדוע?"‬
‫על הלוח מסורטטים מקבילית‪ ,‬מלבן‪ ,‬ריבוע‪ ,‬מעוין‪ ,‬דלתון‪ ,‬טרפז‪ ,‬מרובע סתמי‪ .‬התלמידים‬
‫מתבקשים לתת לכל אחד מהמרובעים את כל השמות המתאימים לו מהכללי ביותר אל הפרטי‬
‫ביותר‪ .‬במקרה הצורך אפשר לתת לתלמידים אפשרות לגשת ללוח ולבדוק שוויון צלעות ושוויון‬
‫זוויות‪.‬‬
‫דוגמאות לסרטוטים ולרשימת השמות מהכלל אל הפרט‪:‬‬
‫מרובע‬
‫מרובע‪,‬‬
‫מקבילית‬
‫מרובע‬
‫מרובע‪,‬‬
‫מקבילית‪,‬‬
‫דלתון‪,‬‬
‫מעוין‬
‫מרובע‪,‬‬
‫מקבילית‪,‬‬
‫מלבן‬
‫מרובע‪,‬‬
‫מקבילית‪,‬‬
‫דלתון‪,‬‬
‫מעוין‪,‬‬
‫מלבן‪,‬‬
‫ריבוע‬
‫מרובע‪,‬‬
‫דלתון‬
‫לריבוע שם נוסף‪ :‬מרובע משוכלל‪ .‬אפשר למיין את המרובעים למרובעים קמורים ולמרובעים לא‪-‬‬
‫קמורים‪ .‬לעתים למרובע לא‪-‬קמור קוראים מרובע קעור‪.‬‬
‫הערה למורה‪ :‬קיימות הגדרות שונות שקולות של מצולע )וגם מרובע( קמור ושל מצולע )וגם‬
‫מרובע( לא‪-‬קמור‪.‬‬
‫מרובע לא‪-‬קמור‬
‫מרובע קמור‬
‫מרובע ששני אלכסוניו‬
‫מוּכלים בו‬
‫מרובע שאחד מאלכסוניו‬
‫אינו מוּכל בו‬
‫מרובע שכל אחת מזוויותיו‬
‫קטנה מ‪.1800 -‬‬
‫מרובע שאחת מזוויותיו‬
‫גדולה מ‪) 1800 -‬זווית‬
‫נישאה(‪.‬‬
‫מרובע שהקטע המחבר בין‬
‫שתי נקודותיו כלשהן‪ ,‬נמצא‬
‫כולו בתוכו או על שפתו‪.‬‬
‫מרובע שלפחות קטע‬
‫אחד המחבר בין שתי‬
‫נקודותיו אינו נמצא כולו‬
‫בתוכו או על שפתו‪.‬‬
‫‪96‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על תכונות המקבילית‪.‬‬
‫)פעילות לבחירת המורה‪ ,‬בדומה לפעילות של פרק ה'‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים לענות על השאלות האלה‪:‬‬
‫האם ייתכן שאורכי הצלעות במקבילית הם ‪ 2‬ס"מ‪ 3.4 ,‬ס"מ‪ 2 ,‬ס"מ‪ 3.5 ,‬ס"מ? מדוע?‬
‫האם ייתכן שבמקבילית המידה של כל זווית היא ‪ 30‬מעלות? ‪ 90‬מעלות?‬
‫האם ייתכן שבמקבילית המידה של זווית אחת היא ‪ 30‬מעלות‪ ,‬ומידתן של שלוש הזוויות האחרות‬
‫היא ‪ 150‬מעלות?‬
‫האם ייתכן שהאלכסונים במקבילית אינם שווים? שהאלכסונים שווים?‬
‫האם ייתכן שהצלעות הסמוכות במקבילית מאונכות זו לזו?‬
‫האם ייתכן שהצלעות הסמוכות במקבילית מקבילות? הצלעות הנגדיות אינן מקבילות?‬
‫אפשר ללוות את השאלות בסרטוט המקבילית‪ .‬אפשר לבחור בין השאלות לפי רמת הכיתה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חזרה על תכונות המעגל והעיגול‪.‬‬
‫על הלוח מסורטט עיגול ובו קוטר‪ .‬התלמידים מתבקשים לסמן את מרכז העיגול ולהסביר כיצד‬
‫עשו זאת‪ .‬אחר‪-‬כך הם מתבקשים לסרטט רדיוס ולהסביר כיצד עשו זאת‪ .‬לאחר מכן שואלים‬
‫כמה רדיוסים מסורטטים עכשיו בעיגול‪) .‬התשובה היא שלושה רדיוסים‪ :‬שני רדיוסים המרכיבים‬
‫את הקוטר המסורטט‪ ,‬והרדיוס שהם סרטטו(‪ .‬מסרטטים באותו עיגול מיתרים אחרים ושואלים‬
‫את התלמידים כיצד נקראים קטעים אלה‪ .‬התלמידים מתבקשים להשוות בין הקטעים האלה‬
‫לבין הקוטר‪ .‬שואלים שאלות נוספות על קשתות המעגל )או העיגול(‪ .‬אפשר לבקש מהתלמידים‬
‫לסמן את המעגל של העיגול הנתון‪.‬‬
‫אפשר לסרטט מספר עיגולים לפי הצורך‪ .‬מטרת הפעילות היא לחזור על כל מרכיבי המעגל‬
‫והעיגול ועל ההבדלים ביניהם‪.‬‬
‫ד‪ .‬חזרה על כפולות ועל מחלקים של מספר טבעי‪ ,‬על מספרים ראשוניים ופריקים‪.‬‬
‫על הלוח רשומים מספרים טבעיים‪ .‬התלמידים מתבקשים למצוא שלושה מחלקים ושלוש כפולות‬
‫לכל מספר‪ .‬אם אין למספר שלושה מחלקים‪ ,‬אלא שניים בלבד )המספר עצמו ו‪ ,(1 -‬המספר נקרא‬
‫מספר ראשוני‪ .‬כל יתר המספרים הם מספרים פריקים‪ ,‬פרט למספר ‪ ,1‬כי למספר ‪ 1‬מחלק אחד‬
‫בלבד )‪ 1‬עצמו(‪ 0 .‬אינו מספר טבעי‪ ,‬ולכן לא מדברים על כפולות ועל מחלקים של ‪ .0‬לכל מספר‬
‫טבעי יש אין‪-‬סוף כפולות‪.‬‬
‫דוגמה לרשימת מספרים טבעיים‪ 500,000 ;13 ;1,000 ;100 ;98 ;24 ;25 ;16 ;3 ;12 ;1 :‬וכדומה‪.‬‬
‫מטרת הפעילות היא להכין את התלמידים ללימוד הנושא הבא "שבר כחלק של כמות" שבו‬
‫צריכים לצמצם ולהרחיב שברים‪.‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬מיון חפצים שונים לגופים עגולים ולגופים לא עגולים‪ .‬לפני השיעור בקשו מהתלמידים‬
‫להביא מביתם חפצים שונים‪ :‬כלים חד‪-‬פעמיים )כוס‪ ,‬צלחת(‪ ,‬ירקות ופרות )תפוז‪ ,‬תפוח עץ‪,‬‬
‫מלפפון וכדומה(‪ ,‬צעצועים )קוביית משחק‪ ,‬כדור‪ ,‬תוף צעצוע וכדומה(‪ ,‬קופסאות קטנות )קופסה‬
‫של קלטת וכדומה(‪ ,‬גליל נייר וכדומה‪ .‬ודאו שבין מגוון החפצים שהתלמידים יביאו‪ ,‬יהיו גלילים‪,‬‬
‫חרוטים וכדורים רבים‪ .‬כדאי להוסיף לכל קבוצה גופים גאומטריים מאוסף הגופים שישנו‬
‫בכיתה‪.‬‬
‫תחילה התלמידים מתבקשים למיין את החפצים במיון כלשהו‪ .‬דנים בשיקוליהם למיון‪ .‬דוגמאות‬
‫לקריטריונים למיון‪ :‬לפי צבע )צלחת ירוקה וכוס ירוקה(; צעצועים ולא‪-‬צעצועים וכדומה‪ .‬ייתכן‬
‫שהתלמידים ימיינו חפצים לפי צורה )גופים עגולים וגופים לא‪-‬עגולים(‪ .‬אחר‪-‬כך כל התלמידים‬
‫מתבקשים למיין את החפצים לפי צורתם‪ ,‬כלומר כגופים שונים‪ .‬דנים במיון של כל קבוצה‪ .‬חשוב‬
‫שיהיו חפצים שהם גופים שונים‪ .‬נותנים שמות לכל גוף ללא הגדרות פורמליות‪ .‬מומלץ לתקן את‬
‫השפה המדוברת )"גליל נייר הוא גליל"( כך‪" :‬גליל נייר דומה לגליל‪" .‬בשיעורים הבאים נלמד מהו‬
‫הגליל‪ ,‬ונדון בצורתו של גליל הנייר"‪ .‬שימו לב‪ ,‬שבגליל נייר יש חור באמצע‪ ,‬ולגליל כגוף גאומטרי‬
‫אין חורים‪ .‬גם ספר דומה לתיבה‪ ,‬אך הוא אינו תיבה‪ ,‬מכיוון ש"הכריכה גדולה יותר מהעמודים‬
‫האחרים או שיש לכריכה פינות עגולות" וכדומה‪ .‬הספר "חשבון ‪ "10‬הוא תיבה‪.‬‬
‫חשוב לתת לתלמידים חופש בבחירת הקריטריון למיון‪ ,‬גם אם הוא רחוק מהנראה לנו‪ .‬דוגמאות‬
‫למיונים‪ :‬לפי הצבע‪ ,‬חפצים עם חורים ובלי חורים‪ ,‬חפצים עם שפיץ ובלי שפיץ‪ .‬בהדרגה מובילים‬
‫את התלמידים למיון הרצוי‪ ,‬לדוגמה על‪-‬ידי השאלות‪" :‬במה דומים שני החפצים האלה?" ואתם‬
‫תבחרו מהאוסף כוס וכובע של ליצן‪ .‬אפשר גם לחלק את הפעילות לכמה פעילויות‪ :‬תחילה – מיון‬
‫חופשי‪ ,‬לאחר מכן מיון מודרך‪.‬‬
‫‪97‬‬
‫פעילות ב‪ :‬מיון גופים לגלילים וללא‪-‬גלילים‪ .‬מטרת הפעילות היא להבהיר לתלמידים את השוני‬
‫בין גוף שהוא גליל לבין גוף שאינו גליל‪.‬‬
‫כל קבוצת תלמידים מקבלת גופים גאומטריים שונים‪ ,‬ובהם גלילים‪ ,‬חרוטים‪ ,‬כדורים‪ ,‬תיבות‪,‬‬
‫פאונים‪ ,‬מנסרות‪ ,‬קוביות ופירמידות‪ .‬לפעילות זו מתאים גם גליל נייר )שהוא בעצם לא גליל בגלל‬
‫החור(‪ .‬חשוב שבין כל הגופים יהיו גלילים אמתיים המתאימים בשלמותם להגדרה המתמטית‪.‬‬
‫דוגמה לגליל כזה הוא גליל צעצוע מעץ‪ .‬התלמידים מתבקשים למיין את הגופים לגלילים וללא‪-‬‬
‫גלילים ולתאר את הגליל‪ .‬שימו לב‪ :‬חשוב להגיע למסקנה שלגליל שני בסיסים שהם עיגולים‬
‫חופפים ומקבילים ומקיפה אותם מעטפת מתוחה‪ ,‬כלומר מעטפת לא רפויה‪.‬‬
‫אחר‪-‬כך אפשר לבקש מהתלמידים למיין את הגלילים לישרים וללא‪-‬ישרים )באופן אינטואיטיבי(‬
‫ולתאר גליל ישר וגליל לא‪-‬ישר‪) .‬בגליל ישר שני הבסיסים נמצאים זה מול זה בדיוק‪ (.‬כדי להשלים‬
‫את הפעילות הזו צריך שבין הגלילים יהיו גלילים לא‪-‬ישרים )אפשר לבנות אותם מפריסות(‪.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬פריסת הגליל‪ .‬קבוצת תלמידים מקבלת גליל ישר וגליל לא‪-‬ישר‪ .‬התלמידים מתבקשים‬
‫לשער כיצד תיראה פריסת הגליל‪ ,‬ולצייר אותה על דף בדיוק האפשרי‪ .‬חשוב להשתמש בכלים‬
‫גאומטריים כמו סרגל ומחוגה‪ .‬לאחר שהציור הושלם‪ ,‬התלמידים מתבקשים לגזור את הצורה )או‬
‫את הצורות( שהם סרטטו ולבנות את הגליל‪.‬‬
‫ייתכן שהתלמידים לא יסרטטו פריסה נכונה‪ ,‬לכן לא יוכלו לבנות גליל‪ .‬זה יכול להיות יעיל כדי‬
‫למנוע בהמשך טעויות נפוצות בזיהוי פריסת הגליל‪ .‬חשוב לדון בכל צורה וצורה שממנה אי‪-‬אפשר‬
‫לבנות גליל‪.‬‬
‫אם אף אחד לא סרטט פריסה נכונה של גליל‪ ,‬אפשר לבקש לסרטט מלבן )לדוגמה‪ ,‬אורכי צלעותיו‬
‫‪ 12‬ס"מ ו‪ 5 -‬ס"מ(‪ ,‬לגזור אותו ולהדביק את שתי הצלעות הנגדיות זו לזו‪ .‬יתקבל גוף כעין צינור‬
‫)מעטפת הגליל(‪ .‬שואלים מה חסר )העיגולים(‪ ,‬והתלמידים מנסים לצייר את העיגולים‪ .‬סביר‬
‫להניח שהעיגול לא יהיה מדויק‪ ,‬כי הם לא מכירים את נוסחת ההיקף ואת הקשר בין צלע המלבן‬
‫לבין ההיקף של בסיס הגליל )הלימוד ייעשה בהמשך(‪ .‬העיקר הוא שיבינו שחסרים שני עיגולים‬
‫להשלמת הגליל‪ .‬אפשר לבקש מהתלמידים לסרטט שני עיגולים שאורך הרדיוס כ‪ 2 -‬ס"מ או ‪0.8‬‬
‫ס"מ )תלוי במעטפת שיצרו(‪ ,‬ולבדוק אם הם מתאימים לבסיסים‪.‬‬
‫דרך אחרת היא לתת לתלמידים גלילים הבנויים מנייר )לשם כך על המורה להכין גלילים כאלה‬
‫מראש( ולבקש מהם לגזור אותם )כמו בשיעור(‪ ,‬לפרוס אותם על פני המישור ולהשוות בין מה‬
‫ששיערו לבין מה שהתקבל בפועל‪.‬‬
‫שימו לב‪ :‬ייתכן שתלמידים ירצו למדוד את היקף המעגל ולבנות על‪-‬סמך המדידה מלבן )פריסת‬
‫המעטפת(‪ .‬יש לעודד אותם לכך ולדון בדרכי המדידה )לדוגמה‪ ,‬בעזרת חוט(‪.‬‬
‫פעילות ד‪ :‬מיון גופים לחרוטים וללא‪-‬חרוטים; מיון חרוטים לחרוטים ישרים ולחרוטים לא‪-‬‬
‫ישרים‪.‬‬
‫כל קבוצת תלמידים מקבלת אוסף של גופים‪ ,‬וביניהם חרוטים שונים‪ :‬ישרים ולא‪-‬ישרים‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים לבחור מבין כל הגופים את החרוטים בלבד ולשים אותם בצד‪ .‬אחר כך‪ ,‬הם‬
‫מתבקשים לתאר את החרוט )יש לו שפיץ‪ ,‬עיגול‪ ,‬מעטפת לא רפויה המחברת בין שפיץ לבין היקף‬
‫העיגול(‪ .‬דנים בתיאורים של התלמידים ומגיעים לתיאור החרוט כמו בשיעור‪ .‬מראים לתלמידים‬
‫את המרכיבים של החרוט‪ :‬קדקוד‪ ,‬מעטפת‪ ,‬בסיס‪ .‬לאחר מכן אפשר להראות לתלמידים את‬
‫המרכיבים האלה על חרוט אחר‪.‬‬
‫כעת מבקשים מהתלמידים למיין את כל החרוטים לחרוטים ישרים ולחרוטים לא‪-‬ישרים )באופן‬
‫ומגיעים למסקנה‬
‫אינטואיטיבי( ולתאר את ההבדלים ביניהם‪ .‬בדיון מסכמים את הפעילות‪ַ ,‬‬
‫שבחרוט ישר הקדקוד נמצא מול המרכז של עיגול הבסיס בדיוק‪.‬‬
‫מראים לתלמידים מהו הקו היוצר של חרוט ישר‪ .‬אפשר גם להראות‬
‫לתלמידים כיצד מודדים גובה של חרוט )בחרוט ישר הקטע שהוא‬
‫הגובה נמצא בפנים(‪ .‬מעמידים את החרוט על הבסיס ומודדים גובה‬
‫כך‪:‬‬
‫פעילות ה‪ :‬פריסה של חרוט ישר‪.‬‬
‫סביר להניח שיהיו תלמידים שידעו כיצד נראית פריסה של חרוט כיוון‬
‫שכולם בנו כובע של ליצן‪ .‬נדגיש כי לכובע של ליצן צורה של חרוט‪ ,‬אך‬
‫הוא אינו חרוט‪ ,‬אלא מעטפת של חרוט‪.‬‬
‫כל קבוצת תלמידים מקבלת חרוט ישר בלבד‪ .‬התלמידים מתבקשים לצייר את פריסתו של החרוט‬
‫בדיוק האפשרי‪ .‬לאחר מכן הם מתבקשים לגזור את הצורות ולבנות את החרוט‪ .‬רבים חושבים‬
‫בטעות שפריסת המעטפת היא משולש‪ .‬פעילות זו מהווה הזדמנות טובה להיווכח שזה לא נכון‪.‬‬
‫כדי להגיע למסקנה על פריסת המעטפת )כנראה‪ ,‬כולם יבינו שפריסת הבסיס היא עיגול( אפשר‬
‫לתת לתלמידים מעטפת של חרוט ישר הבנויה מנייר )כמו כובע ליצן מוכן(‪ ,‬ולבקש מהם לגזור‬
‫אותה לאורך הקו היוצר‪ .‬אחרי שפורסים את המעטפת‪ ,‬מוודאים שפריסתה היא ִגזרת העיגול‪,‬‬
‫‪98‬‬
‫הגזרה ועל מרכיביה )זווית הגזרה‪ ,‬רדיוס שהוא הקו היוצר‪ ,‬קשת‬
‫ומשוחחים עם התלמידים על ִ‬
‫שאורכה הוא אורך המעגל של עיגול הבסיס(‪ .‬דנים בשאלה אם הגזרה היא חלק של עיגול הבסיס‪.‬‬
‫)אפשר למדוד את הרדיוס של עיגול הבסיס ואת רדיוס הגזרה ולראות שהם שונים באורכם‪(.‬‬
‫פעילות ו‪ :‬כדור‪ .‬התלמידים מקבלים גופים שונים‪ .‬הם מתבקשים למצוא כדורים בלבד‪.‬‬
‫משוחחים עם התלמידים על הכדור ועל חפצים שצורתם כדור )גלובוס‪ ,‬כדורגל‪ ,‬גולות‪ ,‬כדור‬
‫הארץ(‪ .‬מבקשים מהתלמידים לתאר את הכדור בדרך שלהם‪ .‬דנים בהבדלים בין כדור לעיגול )גוף‬
‫תלת‪-‬ממדי לעומת צורה מישורית(‪ .‬אם אפשר‪ ,‬כדאי לגזור כדור )לדוגמה‪ ,‬כדור שהתפוצץ(‬
‫ולהראות שאי‪-‬אפשר לפרוס אותו על המישור‪ ,‬כלומר‬
‫לכדור אין פריסה‪ .‬זה ישמח את התלמידים כי הם לא‬
‫יצטרכו לבנות את הכדור מפריסתו‪ .‬דנים עם התלמידים‬
‫במרכז הכדור‪ ,‬ברדיוס הכדור ובקוטרו‪) .‬כל המרכיבים‬
‫הללו נמצאים בתוך הכדור‪ ,‬ואי‪-‬אפשר לראותם‪ (.‬כמו‪-‬כן‬
‫שואלים‪" :‬כיצד אפשר למדוד את קוטר הכדור?"‬
‫אפשר למדוד את קוטר הכדור כך‪:‬‬
‫פעילות ז‪ :‬חתכים‪ .‬התלמידים מקבלים גופים מוכנים הבנויים מפלסטלינה )או מכל חומר אחר‬
‫שאפשר לחתוך(‪ .‬הם מתבקשים לחתוך את הגופים בעזרת סכין חד‪-‬פעמית ולראות איזו צורה‬
‫התקבלה בחתך‪.‬‬
‫החיתוך צריך להתבצע בעדינות רבה כדי לא לקלקל את הגוף‪.‬‬
‫הצעה נוספת‪ :‬אפשר ליצור גופים שונים מתפוח אדמה‪ .‬חשוב לעשות זאת בדיוק ככל האפשר‪.‬‬
‫התלמידים יחתכו את הגופים מתפוח האדמה וידונו בחתכים‪ .‬לעומת הפלסטלינה יש יותר‬
‫סיכויים שגוף מתפוח אדמה לא יתקלקל בחיתוך‪.‬‬
‫הספר לתלמיד‬
‫התלמידים עסקו השנה בנושאים "מעגל" ו"עיגול"‪ .‬אפשר לחזור על הצורות האלה בקצרה בעזרת‬
‫פעילויות הטמעה‪ ,‬לכן הוחלט לוותר על העמודים העוסקים בתזכורת מסוג "לעלות על הגל"‪.‬‬
‫הפרק מתחיל בהקניית החומר החדש‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :210‬הגליל‬
‫מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי א' ו‪ -‬ב' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה ילמדו התלמידים על הגליל‪.‬‬
‫התיאור של הגליל במילים‪ :‬גוף המוגבל על‪-‬ידי מעטפת ושני בסיסים שהם עיגולים חופפים‬
‫ומקבילים‪ .‬שימו לב‪ :‬תיאור זה אינו הגדרה מתמטית מדויקת של הגליל‪ .‬למעשה‪ ,‬הגליל כולל גם‬
‫את הפנים שלו‪ ,‬ולא רק את המעטפת ואת הבסיסים‪ .‬ההגדרה המדויקת אינה מופיעה בשיעור‪,‬‬
‫כיוון שהיא קשה להבנה לתלמידים‪ .‬למטרת ההיכרות עם הגליל יספיק התיאור שניתן בשיעור‪.‬‬
‫בשיעור זה "יחושו" התלמידים את הגליל‪ ,‬ידעו להראות את בסיסיו ואת המעטפת שלו ויבחינו‬
‫בין גלילים ישרים לבין גלילים לא‪-‬ישרים‪ .‬שימו לב‪ ,‬בסיסי הגליל אינו תלויים במיקום הגליל‬
‫במרחב‪ ,‬והם יהיו עיגולים תמיד‪.‬‬
‫בשיעור זה אין עוסקים בהגדרה של גליל ישר‪ ,‬אלא בהמחשתו בלבד‪ .‬התלמידים ילמדו את הגדרת‬
‫המושג בשיעור הבא‪ .‬לכן חשוב שבכיתה יהיה מגוון של גלילים‪ ,‬וביניהם גלילים לא‪-‬ישרים‪ .‬אפשר‬
‫להוביל את התלמידים למסקנה ששני הבסיסים של גליל ישר נמצאים זה מול זה בדיוק‪ .‬אם לא‬
‫מוצאים גליל לא‪-‬ישר‪ ,‬אפשר לבנות אותו מפריסה המורכבת ממקבילית שאיננה מלבן‪ ,‬ומשני‬
‫עיגולים שהיקפם שווה לאורך אחת הצלעות של המקבילית‪) .‬ראו דוגמה פריסה ב' במשימה ‪(.13‬‬
‫כדאי להראות לתלמידים כיצד הבסיסים מתקבלים זה מזה‬
‫בהזזה‪ .‬כיוון ההזזה מקביל לקטע המחבר בין שני מרכזי‬
‫קו יוצר‬
‫הבסיסים‪ .‬בגליל ישר זה הכיוון של הקו היוצר‪ .‬לא הוזכר הקו‬
‫היוצר של גליל ישר‪ ,‬אך הדבר אפשרי במידת הצורך‪.‬‬
‫שימו לב‪ ,‬המעטפת של גליל ישר נראית זקופה לבסיסים בסרטוט‪.‬‬
‫יש להבהיר לתלמידים שרוב החפצים שהביאו לכיתה אינם גופים מתמטיים מדויקים‪ .‬לדוגמה‪,‬‬
‫כוס שצורתה גליל איננה בדיוק גליל‪ ,‬כיוון שחסר לה בסיס אחד למעלה‪ .‬אך להשגת מטרת‬
‫השיעור המחשת המושגים היא הדבר החשוב‪ ,‬ולא הדיוק המתמטי‪ .‬אפשר לשאול את התלמידים‬
‫בהקשר זה כיצד אפשר "לתקן" את החפץ כדי שיהיה גליל אמתי‪) .‬במקרה של הכוס – יש להוסיף‬
‫עיגול כבסיס‪(.‬‬
‫‪99‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬על התלמידים לבחור סרטוטים שאינם גלילים‪ .‬ג'‪ ,‬ד'‪ ,‬י"א ו‪ -‬י"ב הם גלילים‪ .‬יתר‬
‫הגופים אינם גלילים‪ .‬חשוב לדון עם התלמידים בהסברים מדוע חלק מהסרטוטים אינם‬
‫סרטוטים של הגלילים‪ .‬לדוגמה‪ ,‬גוף ז' אינו גליל כי העיגולים אינם מקבילים‪ ,‬גוף י"ד אינו גליל כי‬
‫הבסיסים אינם עיגולים חופפים‪ ,‬גוף ו' הוא תיבה וכדומה‪ .‬אפשר לשוחח עם התלמידים על‬
‫הגופים שדומים לגליל‪ .‬את הגופים האלה אפשר "לתקן" כדי שיהיו לגלילים כך‪ :‬בסרטוט ה' –‬
‫למלא את החור‪ ,‬ב‪ -‬ח' – להסיר את ה"צ'ופצ'יק"‪ ,‬ב‪ -‬ט' – לסגור את הפס‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬במשימה זו מובאים איורים של חפצים שונים‪ ,‬ועל התלמידים לבחור מביניהם‬
‫את החפצים שצורתם גליל ישר‪ .‬כאן רואים את ההבדל בין מושג מתמטי לבין החפצים של חיי‬
‫היום‪-‬יום‪ .‬חשוב לדון עם התלמידים בנימוקים שלהם לגבי כל גוף‪ .‬על נורה אחת בציור ח' אפשר‬
‫לומר שהיא גליל‪ .‬כל ציור אחר הוא ציור של חפץ שאינו גליל במובן המתמטי‪ .‬לדוגמה‪ ,‬לנר ז' חסר‬
‫חלק עליון קטן מפנים הגליל‪ ,‬לתוף ו' יש הרבה בליטות‪ ,‬וכדומה‪ .‬שימו לב‪ :‬גם דיסק הוא גוף‪ ,‬ואם‬
‫"סוגרים" את החור‪ ,‬הוא יהפוך לגליל‪ ,‬כי יש לו עובי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימה דומה למשימה ‪.2‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬באיור יש חמישה גלילים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬התלמידים נדרשים להשלים את תכונות הגליל‪ :‬לגליל יש שני בסיסים‪ ,‬מעטפת‬
‫הגליל מחברת בין שני הבסיסיים העגולים‪ ,‬ישנם שני סוגים של גלילים‪ :‬גלילים ישרים וגלילים‬
‫לא‪-‬ישרים‪ ,‬הבסיסים של הגליל הם עיגולים חופפים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :212‬פריסה של גליל‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ג' לפני השיעור‪ .‬באופן כללי‪ ,‬אפשר לגזור כל גליל ולפרוס אותו על‬
‫המישור‪ .‬כך מתקבלת פריסת הגליל‪ .‬פריסה של גליל מורכבת משני בסיסיו )שני העיגולים(‬
‫ומפריסת המעטפת‪ .‬אם נגזור את מעטפת הגליל לאורך הישר המסומן באדום באיורים א' ו‪ -‬ב'‬
‫של השיעור )לגליל ישר הקטע האדום בין הבסיסים הוא קו יוצר(‪ ,‬נקבל את פריסת המעטפת‪.‬‬
‫מעטפת הגליל היא מלבן )גליל ישר( או מקבילית שאינה מלבן )גליל לא‪-‬ישר(‪ .‬כאשר מסרטטים‬
‫את פריסת הגליל‪ ,‬נהוג להצמיד את הבסיסים למלבן )או למקבילית(‪ .‬לאחר בניית המעטפת‬
‫מדביקים את העיגולים משני צדי הצינור‪ .‬שימו לב‪ :‬בשיעור מגדירים גליל ישר כגליל שפריסת‬
‫המעטפת שלו היא מלבן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬כן‪ ,‬כי ריבוע הוא מלבן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬מתקבל גליל‪ .‬חשוב להבהיר לתלמידים את ההבדלים בין בניית גלילים וחרוטים‬
‫)בשלב מאוחר יותר( לבין בניית הפאונים‪ .‬כשבונים פאונים‪ ,‬מקפלים את הפריסה בהתאם לגוף‬
‫שהיה אמור להתקבל‪ .‬לעומת זאת לא מקפלים נייר כשבונים מעטפת גליל או מעטפת חרוט‪ ,‬על כך‬
‫צריך להקפיד‪ ,‬והדבר יכול לעורר קושי מסוים‪ .‬מעטפת הגליל היא מעין צינור‪ ,‬אל הפתחים שלו‬
‫מדביקים את העיגולים שהם הבסיסים‪ .‬הוחלט שלא לבקש מהתלמידים לסרטט את המלבן כיוון‬
‫שהם עדיין לא למדו את הנושא "היקף המעגל"‪ ,‬לפיכך המלבן מסורטט‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬לא‪ ,‬כי טרפז אינו מקבילית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬הסבו את תשומת לבם של התלמידים שהתשובה "נכון" פירושה שבכל המצבים‬
‫ההיגד נכון‪ .‬לדוגמה‪ ,‬בסעיף א' ההיגד תמיד נכון‪ .‬התשובה "לא נכון" פירושה שההיגד אינו נכון‬
‫לפחות במצב אחד‪ .‬לדוגמה‪ ,‬בסעיף ג' מעטפת גליל ישר יכולה להיות ריבוע‪ ,‬אבל לא רק ריבוע‪.‬‬
‫היא יכולה להיות גם מלבן שאינו ריבוע‪ ,‬לכן ההיגד אינו תמיד נכון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬גם בגליל וגם בתיבה הבסיסים מקבילים‪ .‬גם בגליל וגם בתיבה יש פריסת‬
‫מעטפת של מלבנים‪ :‬בגליל מלבן אחד‪ ,‬ובתיבה ארבעה מלבנים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬שני הגלילים שונים‪ ,‬כיוון שיש שתי דרכים להדבקת המעטפת )ה"צינור"(‪:‬‬
‫לאורך או לרוחב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬א( כן‪ ,‬בגליל לא‪-‬ישר פריסת המעטפת יכולה להיות מעוין לא‪-‬מיוחד; ב( לא‪,‬‬
‫מעטפת הגליל תמיד מקבילית‪ ,‬כלומר לא יכולה להיות דלתון‪.‬‬
‫‪100‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬על התלמידים לבחור את פריסות הגליל מבין הצורות המסורטטות‪ .‬חשוב‬
‫שהתלמידים ישערו תחילה ורק לאחר מכן יבדקו אם השערתם הייתה נכונה‪ .‬מומלץ לשוחח עם‬
‫התלמידים על נימוקי הבחירה שלהם‪ .‬לדוגמה‪ ,‬סרטוט א' אינו פריסה של גליל כי שני העיגולים‬
‫אינם חופפים‪ .‬כמובן‪ ,‬צריך לקבל נימוקים נכונים גם אם התלמידים מסבירים אותם בסגנון‬
‫שלהם‪ ,‬ולא בשפה מתמטית מדויקת‪ .‬לא כל הצורות נמצאות בנספח בהגדלה‪ ,‬ולכן אם התלמידים‬
‫בוחרים בצורה שאינה מסורטטת בנספח‪ ,‬עליהם לצייר אותה על דף חלק )או משובץ( ולנסות‬
‫לבנות גליל‪ .‬סביר להניח שרוב התלמידים לא יצטרכו לצייר בעצמם‪ ,‬כיוון שכל פריסות הגלילים‬
‫נמצאות בנספח‪ .‬רק צורות שברור שאינן פריסות גליל לא הוכנסו לנספח‪ .‬הצורות שהן פריסות‬
‫הגליל‪ :‬ב'‪ ,‬ד'‪ ,‬ח'‪ .‬הצורות שאינן פריסות הגליל‪ :‬ג' ‪ -‬כי אין בה שני עיגולים חופפים; ה' –‬
‫העיגולים קטנים מדי; ו' – פריסת המעטפת היא טרפז והעיגולים אינם חופפים; ז' – אין עיגול שני‬
‫וגם המעטפת אינה מקבילית אלא משולש; ט' – העיגולים גדולים מדי; י'‪ ,‬יא' – פריסת המעטפת‬
‫אינה מקבילית‪ .‬אפשר גם לשאול את התלמידים אם אפשר לשנות צורה כלשהי כך שיהיה אפשר‬
‫ליצור ממנה גליל‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :214‬חרוט‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ד' לפני השיעור‪ .‬כמו קודם לכן אין מגדירים כאן את החרוט‬
‫בהגדרה מתמטית מדויקת‪ ,‬אלא מתארים אותו‪ .‬חשוב להבהיר לתלמידים את המושגים‬
‫הקשורים לחרוט כמו מעטפת‪ ,‬קדקוד )ראש החרוט(‪ ,‬בסיס וגובה‪ .‬מבחינים בין חרוטים ישרים‬
‫לבין חרוטים לא‪-‬ישרים‪ .‬בחרוט ישר הקדקוד נמצא מול מרכז המעגל בדיוק‪ ,‬כלומר גובה החרוט‬
‫הוא קו הסימטריה של החרוט‪ .‬לחרוט ישר מגדירים קו יוצר‪ .‬חשוב שהתלמידים יראו מגוון‬
‫חרוטים לאו דווקא ישרים‪ ,‬וכן חשוב שאוסף החרוטים יהיה בכיתה בכל השיעורים בנושא‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬התלמידים יכולים לתאר את ההבדלים ואת הדמיון בין שני הגופים במילים‬
‫שלהם‪ .‬לדוגמה‪ ,‬אחד ההבדלים הבולטים הוא שבסיס הפירמידה הוא משולש‪ ,‬ואילו בסיס החרוט‬
‫הוא עיגול; בניגוד לחרוט הישר‪ ,‬לפירמידה אין קו יוצר; לדוגמה‪ ,‬הגופים דומים בכך שלכל אחד‬
‫מהם יש קדקוד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ 15‬המשימה דומה למשימה הקודמת‪ ,‬אך הפעם שואלים על חרוט ועל גליל‪ .‬לדוגמה‪,‬‬
‫בשניהם הבסיסים הם עיגולים; לכל אחד מהם יש קו יוצר )לא הוזכר בגליל ישר‪ ,‬אך אפשר לומר‬
‫זאת לתלמידים(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬הסבר אפשרי‪ :‬הגליל והחרוט אינם פאונים‪ ,‬כיוון שבסיסיהם אינם מצולעים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬במשימה עוסקים במושגים הקשורים לחרוט‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬דוגמה לחפצים‪ :‬כובע ליצן‪ ,‬משפך‪ ,‬יש כוסיות שצורתן חרוט‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬בחרוט ישר הקדקוד נמצא בדיוק מול מרכז הבסיס‪ ,‬בחרוט לא‪-‬ישר הקדקוד‬
‫אינו נמצא מעל מרכז הבסיס‪ .‬לחרוט בסיס אחד וקדקוד אחד‪ ,‬לגליל שני בסיסים‪ ,‬ואין לו‬
‫קדקודים‪.‬‬
‫ב‬
‫א‬
‫משימה מס' ‪ :20‬רינה לא קבלה חרוט‪ .‬ב( גם רוני לא קיבל‬
‫חרוט‪ .‬באיורים סרטוטים של גופים שהתקבלו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬סיכום התכונות של כל אחד מהגופים שנלמדו עד כה‪.‬‬
‫שם הגוף‬
‫תיבה‬
‫גליל‬
‫חרוט‬
‫פירמידה משולשת‬
‫מספר הקדקודים‬
‫‪8‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫מספר הבסיסים‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪101‬‬
‫פאון או לא‪-‬פאון‬
‫פאון‬
‫לא‪-‬פאון‬
‫לא‪-‬פאון‬
‫פאון‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :216‬פריסה של חרוט ישר‬
‫מגזרה של עיגול‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ה' לפני השיעור‪ .‬הפריסה של חרוט ישר מורכבת ִ‬
‫)השונה מהבסיס( ומעיגול שהוא הבסיס‪ .‬שימו לב‪ :‬אין מלמדים את פריסת החרוט הלא‪-‬ישר‪ ,‬כי‬
‫הדבר חורג מתכנית הלימודים וגם קשה להבנתם של התלמידים הצעירים‪ .‬תחילה חשוב להקנות‬
‫לתלמידים את המושג " ִגזרה" וכיצד מקבלים אותה על‪-‬ידי גזירת חרוט ישר לאורך קו יוצר‪ .‬שימו‬
‫לב שהבחירה של הקו היוצר אינה חשובה )כולם שווים באורכם(‪ ,‬ומתקבלת תמיד אותה גזרה של‬
‫העיגול‪ .‬המיוחד בגזרה זו‪ :‬אורך של קשת המעגל של הגזרה שווה להיקף מעגל הבסיס‪ .‬התלמידים‬
‫עדיין לא למדו על היקף המעגל ואינם יודעים לחשב את אורך הקשת‪ ,‬אך הם יכולים לשער את‬
‫השוויון שהוזכר‪ .‬רדיוס הגזרה שווה לקו היוצר של החרוט‪ .‬לחרוט נתון מוגדרת באופן חד‪-‬משמעי‬
‫זווית הגזרה‪ .‬כלומר יש קשר בין רדיוס עיגול הבסיס‪ ,‬בין אורך הקו היוצר לבין זווית הגזרה‪.‬‬
‫‪α‬‬
‫‪R‬‬
‫שבו ‪ – R‬רדיוס הבסיס‪– L ,‬‬
‫=‬
‫הסבר למורה בלבד‪ :‬לכל חרוט ישר אפשר להוכיח כי‬
‫‪L 360‬‬
‫אורך הקו היוצר‪ - α ,‬מידת זווית הגזרה במעלות‪ .‬מהפרופורציה שלעיל אפשר לחשב כל אחד‬
‫מהאיברים הלא‪-‬ידועים על‪-‬סמך שני האחרים‪ .‬אין מלמדים את התלמידים את הפרופורציה ואת‬
‫החישובים‪ ,‬אלא נותנים להם פריסות מוכנות על‪-‬סמך החישובים המדויקים‪ ,‬כדי שיוכלו לבנות‬
‫את החרוטים‪ .‬המורים יכולים לבנות פריסות נוספות )לפי הצורך( על‪-‬סמך הנוסחה שלעיל‪ .‬חשוב‬
‫שהתלמידים יתנסו בגזירת חרוט מוכן מנייר )לדוגמה‪ ,‬כובע של ליצן( וייווכחו שמתקבלת הפריסה‬
‫הגזרה לבין הגובה של החרוט‬
‫המצוירת בשיעור‪ .‬אפשר להראות לתלמידים את הקשר בין זווית ִ‬
‫על‪-‬ידי בניית חרוטים שונים בעלי בסיסים חופפים )חרוט נמוך יותר או חרוט גבוה יותר(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬על התלמידים לזהות פריסות של חרוטים ישרים‪ .‬סרטוטים ג'‪ ,‬ט' ו‪ -‬י"ב הם‬
‫פריסות החרוטים‪ .‬סרטוטים א'‪ ,‬ב'‪ ,‬ה' ו‪ -‬י"א אינם פריסות של חרוטים‪ ,‬כי אין התאמה בין עיגול‬
‫לגזרה‪ .‬כל סרטוט מורכב מגזרה המתאימה להיות פריסת המעטפת‪ ,‬ומעיגול )בסרטוט י"א‬
‫במקום עיגול מסורטטת אליפסה(‪ .‬אם הופכים את העיגול או את האליפסה לעיגול המתאים‬
‫לגזרה‪ ,‬כלומר עיגול שהיקף המעגל שלו שווה לאורך הקשת‪ ,‬מקבלים פריסה של חרוט ישר‪.‬‬
‫מומלץ לשוחח עם התלמידים על עניין זה‪ .‬לסרטוטים האחרים אין ִגזרה‪ ,‬ולכן הם אינם יכולים‬
‫להיות פריסת חרוט‪ .‬חשוב שהתלמידים יבנו את החרוטים ויבדקו את השערותיהם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬במשימה זו התלמידים בונים מעטפת חרוט‪ .‬בנספח מסורטט עיגול‪ ,‬והתלמידים‬
‫מתבקשים לחלק אותו לשתי גזרות כמו באיור‪ .‬בעזרת סרט דביק מדביקים זה לזה שני רדיוסים‬
‫שהתקבלו בכל גזרה‪ ,‬ומקבלים מעטפת של שני חרוטים‪ .‬חשוב להתבונן במעטפות אלו ולדון‬
‫בשאלות בסעיפים ב' ו‪ -‬ג'‪ .‬הבסיסים של החרוטים יהיו עיגולים לא‪-‬חופפים‪ .‬הקווים היוצרים של‬
‫שני החרוטים שווים באורכם‪ .‬כי הם רדיוסים של אותו העיגול שממנוּ נגזרו ְגזָרות לבניית‬
‫המעטפת‪ .‬לעומת זאת הגבהים של החרוטים אינם שווים‪ .‬העיגול של הבסיס שונה מהעיגול‬
‫שממנוּ התקבלה גזרה למעטפת החרוט‪ .‬שימו לב‪ ,‬לכל השאלות שבמשימה התשובות ניתנות אחרי‬
‫הבנייה!‬
‫הגזרה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬מטרת המשימה היא לוודא שבחירה של קו יוצר אינה משפיעה על ִ‬
‫התלמידים בונים מעטפת חרוט מגזרה ומתבקשים לגזור את המעטפת לאורך קו יוצר אחר )לא‬
‫מפרקים את מקום ההדבקה(‪ .‬התלמידים נשאלים אם הגזרה תהיה זהה לקודמתה‪ .‬כדי להקל את‬
‫הגזרה‪ .‬על התלמידים להניח על הגזרה‬
‫הבדיקה מופיע אותו הציור של העיגול שממנוּ נגזרה ִ‬
‫המתאימה את פריסת המעטפת שהתקבלה ולהיווכח שהיא זהה לה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬א( לא‪-‬נכון; ב( לא‪-‬נכון; ג( נכון; ד( נכון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬חקירה קטנה של התאמת פריסה לחרוט‪ .‬למרות הניסיון להבליט את ההתאמה‬
‫על‪-‬ידי הציורים של החרוטים הנבדלים זה מזה במידות באופן ברור‪ ,‬הציור יכול להטעות את‬
‫התלמידים‪ .‬לכן חשוב שיבנו את החרוטים מהפריסות )בעזרת הפריסות המתאימות שבנספח(‬
‫ויראו את ההבדלים‪ .‬שימו לב‪ :‬כל הקשתות של הגזרות שוות באורכן‪ ,‬אך אורכי הרדיוסים שונים‪,‬‬
‫ולכן לגזרה בעלת הזווית הגדולה ביותר מתאים החרוט הנמוך יותר‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :218‬כדור‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ו' לפני השיעור‪ .‬הכדור הוא גוף עגול נוסף ואחרון בסדרת הגופים‬
‫של כיתה ו'‪ .‬הכדור נראה כגוף הפשוט ביותר‪ ,‬כיוון שמגיל צעיר משחקים בכדורים‪ :‬גולות‪,‬‬
‫כדורסל‪ ,‬כדורגל וכדומה‪ .‬אך בגאומטריה גוף זה אינו נחשב לפשוט ביותר‪ .‬ראשית‪ ,‬אין לו פריסה‪,‬‬
‫כלומר בשום גזירה אפשרות לפרוס את הכדור על פני המישור‪ .‬לפיכך לא קיימת צורה מישורית‬
‫‪102‬‬
‫שממנה אפשר לבנות כדור‪ .‬שנית‪ ,‬הכדור דומה מאוד לעיגול‪ ,‬וגם הגדרתם דומה‪ ,‬אך את הכדור‬
‫מגדירים במרחב‪ .‬לכדור ישנו מרכז‪ ,‬רדיוס וקוטר‪ .‬המיוחד בכדור הוא שכל חתך שלו הוא עיגול‪.‬‬
‫שימו לב שבעברית במילה כדור משתמשים כאשר מתכוונים למעטפת בלבד וגם למעטפת עם‬
‫הפנים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬בעולם שאנו גרים בו‪ ,‬להרבה חפצים צורת כדור‪ :‬גולות‪ ,‬כדור טניס‪ ,‬כדורגל‪,‬‬
‫כדורסל‪ ,‬גלובוס‪ ,‬גרגירי אפונה ועוד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬לכל הגופים שנלמדו עד כה היו בסיסים או קדקודים‪ .‬לכדור אין קדקודים‪ ,‬אין‬
‫בסיסים‪ ,‬אין גובה‪ ,‬והוא אינו פאון‪ .‬אך לכדור יש נפח‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬התלמידים מתבלבלים בין המושגים "כדור" ו"עיגול"‪ .‬מטרת השאלה היא‬
‫להבהיר את ההבדל העקרוני בין מושגים אלה‪ :‬כדור הוא גוף‪ ,‬כלומר יש לו שלושה ממדים‪ ,‬ואילו‬
‫העיגול הוא צורה מישורית‪ ,‬ויש לו שני ממדים בלבד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬לא ייתכן שרדיוס של כדורגל יהיה באורך של חמישה ס"מ‪ .‬אמנם אי‪-‬אפשר‬
‫להגיע למרכז הכדור כדי למדוד את רדיוסו‪ ,‬אך אפשר למדוד את קוטרו כפי שהוסבר בפעילות‬
‫הגילוי ו'‪ ,‬ולחלק את תוצאת המדידה ב‪ ,2 -‬שכן רדיוס הכדור שווה לחצי קוטרו‪ .‬דונו עם‬
‫התלמידים באפשרויות שהם יציעו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬אפשר לשוחח עם התלמידים על השוואה בין כדורים לפי הגודל‪ .‬בעצם כל‬
‫הכדורים נבדלים באורך הרדיוס )וכמובן‪ ,‬קוטר( בלבד‪ .‬לכדור הגדול ביותר הרדיוס הארוך ביותר‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :219‬גוף סיבוב‬
‫נושא של שיעור זה חורג מתכנית הלימודים‪ ,‬ולכן אפשר לוותר על לימודו‪ ,‬אך אם ישנם תלמידים‬
‫בכיתה המסוגלים להבין את העניין‪ ,‬חשוב שיכירו אותו‪ .‬הנושא "גוף סיבוב" מבהיר עיקרון אחר‬
‫לקבלת גופים עגולים ‪ -‬על‪-‬ידי סיבוב צורה מישורית מסוימת סביב קו סימטריה מסוים‪ .‬כאשר‬
‫לומדים בכיתות הגבוהות חישוב נפחים כאינטגרל של הפונקציה‪ ,‬נשענים על עיקרון זה של יצירת‬
‫שהכרנו קודם לכן‪ :‬גליל‪,‬‬
‫הגופים העגולים‪ .‬בשיעור נתונות רק שלוש דוגמאות לקבלת הגופים ִ‬
‫חרוט וכדור‪ .‬אם מסובבים מלבן סביב אחת הצלעות שלו או סביב ציר הסימטריה שלו‪ ,‬נקבל גליל‪.‬‬
‫אם מסובבים משולש ישר‪-‬זווית סביב אחד הניצבים או משולש שווה‪-‬שוקיים סביב ציר‬
‫הסימטריה שלו‪ ,‬מקבלים חרוט‪ .‬אם מסובבים חצי עיגול סביב קוטרו או עיגול סביב קוטרו‪,‬‬
‫מקבלים כדור‪ .‬אם מסובבים מעגל או חצי מעגל סביב קוטרו‪ ,‬מקבלים את מעטפת הכדור )שימו‬
‫לב שבמונחים שלנו גם למעטפת הכדור קוראים כדור(‪ .‬נעשה ניסיון לפשט את העניין על‪-‬ידי‬
‫ציורים‪ ,‬אך אם יש באפשרותכם להראות לתלמידים כיצד צורה מישורית הופכת לגוף‪ ,‬מומלץ‬
‫מאוד לעשות זאת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬הציורים ייראו בערך כפי שהוסבר בשיעור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬כאשר מסובבים צורה כלשהי סביב ישר‪ ,‬מתקבל גוף סיבוב‪ ,‬כלומר כל נקודה‬
‫מסתובבת במעגל המתאים‪ ,‬לכן בדרך זו אף פעם לא יתקבל פאון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪:34‬א‪ (1 .‬חרוט; ‪ (2‬גליל; ‪ (3‬כדור‬
‫ב‪ .‬אפשר לקבל כדור על‪-‬ידי סיבוב עיגול או חצי עיגול סביב קוטרו‪ .‬צורות ‪ 4‬ו‪.8-‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬בשימה זו על התלמידים לחזור לקטע השיעור ולקרוא את ההסבר‪.‬‬
‫א( גליל ישר מתקבל על‪-‬ידי סיבוב של מלבן סביב אחת מצלעותיו‪ .‬צלע מלבן שמול הציר‬
‫"יוצרת" את מעטפת הגליל‪ ,‬ולכן היא הקו היוצר של הגליל‪.‬‬
‫ב( חרוט ישר מתקבל על‪-‬ידי סיבוב של משולש ישר‪-‬זווית סביב אחד הניצבים‪ .‬יתר המשולש‬
‫המסתובב "יוצר" את מעטפת החרוט‪ ,‬ולכן הוא הקו היוצר של החרוט‪.‬‬
‫ג( כדור מתקבל על ידי סיבוב של חצי עיגול סביב קוטרו‪.‬‬
‫‪103‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :221‬חתכים‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ז' לפני השיעור‪ .‬נושא החתכים מומלץ בתכנית הלימודים‪ .‬כמובן‪,‬‬
‫התלמידים הצעירים לומדים רק מקרים פשוטים של חתכים‪ .‬חשוב להבהיר לתלמידים כיצד‬
‫מתקבל חתך‪ :‬בגזירה אחת בלבד‪ .‬כלומר אם בוחרים כיוון מסוים‪ ,‬ממשיכים )"באמצעות סכין"(‬
‫לחתוך עד הסוף‪ ,‬עד שהסכין יוצאת מהצד השני‪ ,‬ולא נעצרים באמצע הגוף‪ .‬דוגמאות של חתכים‬
‫מסורטטות בשיעור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬אפשר לקבל אליפסה‪ .‬יכול להיות שלצורה שתתקבל לא יהיה שם מקובל‪.‬‬
‫הפעילות חשובה להבנת המושג חתך כצורה מישורית‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :38 - 37‬התלמידים מתנסים בחתוכים שונים של הגופים‪ .‬התלמידים עדיין אינם‬
‫בשלים להבנת צורת החתך בתיאוריה או בציורים‪ ,‬לכן חייבים להתנסות בדבר‪.‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪222‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד בפרק‪ :‬גליל‪ ,‬חרוט‪ ,‬כדור‪ ,‬גוף סיבוב וחתך של גוף‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :39‬בבדיקה מוודאים שזוהי אינה פריסה של גליל‪ ,‬כלומר אי‪-‬אפשר לקבל גליל‬
‫מצורות אלו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬הדבר הוא בלתי‪-‬אפשרי‪ ,‬מפני שאי‪-‬אפשר לבנות את המעטפת מהעיגול שממנוּ‬
‫רוצים לבנות אותה‪ .‬זווית הגזרה תמיד קטנה מ‪ 360 -‬מעלות‪ .‬התלמידים מגיעים למסקנה על‪-‬‬
‫סמך ההתנסות‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמ' ‪223‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬הבחנה בין הגופים ושיום שלהם‪ .‬א( גליל ישר‪ .‬ב( חרוט ישר ג( גליל לא‪-‬ישר ד(‬
‫חרוט לא‪-‬ישר ה( כדור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬סרטוט ב' אינו מתאר פריסה של גליל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬במשימה זו חשוב שלתלמידים תהיה אפשרות לבדוק את השערותיהם על‪-‬ידי‬
‫בנייה‪ .‬אפשר להשתמש בגלילים מעץ )לדוגמה‪ ,‬צעצועים לילדים( או לבנות אותם ואת הגופים‬
‫האחרים הנדרשים כאן‪ ,‬מפלסטלינה )ייתכן קושי לחלק מהתלמידים(‪ .‬ייתכן שתלמידים יצליחו‬
‫לשכנע את האחרים בנימוקים נכונים ללא בנייה נוספת או על‪-‬ידי ציור מתאים‪ .‬בכל מקרה‪ ,‬אם‬
‫יש ספק קטן בנימוק או אי‪-‬בהירות בעניין‪ ,‬יש לבנות את המבוקש‪ .‬א( מתקבל גליל ישר‪:‬‬
‫וגובהו שווה‬
‫הבסיסים הם שני עיגולים חופפים כמו לכל אחד מהגלילים הנתונים‪,‬‬
‫לסכום הגבהים של הגלילים )ראו איור(‪.‬‬
‫ב( המגדל לא יהיה גליל וגם לא יהיה מנסרה‪.‬‬
‫ג( יונה לקח שני עיגולים לא‪-‬חופפים‪ ,‬לכן הוא לא יוכל לבנות גליל‪.‬‬
‫ד( כן‪ .‬אם המעוין אינו מיוחד‪ ,‬יתקבל גליל לא‪-‬ישר‪.‬‬
‫אם המעוין הוא ריבוע‪ ,‬יתקבל גליל ישר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬מטרת פעילות זו היא להגיע למסקנה )על‪-‬סמך ביצוע פעילות ‪ (13‬שהיקף המעגל‬
‫של עיגול הבסיס שווה בדיוק לאחת הצלעות של המלבן שהוא פריסת המעטפת‪ .‬אם התלמידים‬
‫מתקשים בהבנת המושג "היקף המעגל"‪ ,‬אפשר להשתמש במילים "אורך המעגל"‪ .‬בשלב זה אין‬
‫לדרוש מהתלמידים לגלות את הנוסחה להיקף המעגל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬כן‪ .‬אפשר לבנות גם שלושה חרוטים‪ ,‬אם גוזרים את העיגול לשלוש גזרות‪ .‬אפשר‬
‫לגזור את העיגול למספר כלשהו של ְגזָרות‪ ,‬אך טכנית המשימה הופכת בשלב מסוים למשימה לא‪-‬‬
‫מעשית‪ .‬מעניין להשוות בין החרוטים שמתקבלים‪.‬‬
‫דוגמה לגזרת העיגול‪:‬‬
‫‪104‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬עיגול אינו יכול להיות פריסת מעטפת של חרוט‪ .‬אילו ניסינו להכין חרוט ממעטפת‬
‫עיגול‪ ,‬היינו רואים שהמעטפת חופפת לעיגול הבסיס‪ .‬שני העיגולים של המעטפת ושל הבסיס היו‬
‫צמודים זה לזה‪ ,‬ולא היה נוצר גוף בעל נפח‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬דוגמאות לתשובות‪ :‬א( גליל‪ ,‬כדור או גופים אחרים שאין להם שמות מיוחדים‬
‫)במקרה שהתלמידים מציירים או מראים גוף כזה(; ב( חרוט; ג( חרוט; ד( גליל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬פריסה ב' היא הפריסה המתאימה לפי צורת חרוט )צר וגבוה(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬התאמת פריסה לגוף‪ - 1 :‬ג'‪ - 2 ,‬ד'‪ - 3 ,‬ה'‪ - 4 ,‬א'‪ - 5 ,‬ב'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬דונו עם התלמידים בנימוקים שלהם לגבי הגופים שאינם כדורים‪.‬‬
‫שאלות מילוליות‪ ,‬עמוד ‪225‬‬
‫בעמוד זה מובאות בעיות הקשורות לנושא גופים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימה זו מורכבת ממספר שלבים ועלולה להיות קשה לתלמידים בכיתה‪.‬‬
‫השלמת הטבלה בתוך כדי דיון יכולה לסייע למרבית התלמידים‪.‬‬
‫שם הגוף‬
‫צורת הבסיס‬
‫מספר‬
‫הקדקודים‬
‫מספר הפאות‬
‫מספר המקצועות‬
‫פירמידה משולשת‬
‫משולש‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫פירמידה מרובעת‬
‫מרובע‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪8‬‬
‫פירמידה מחומשת‬
‫מחומש‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪10‬‬
‫משושה‬
‫ָ‬
‫פירמידה‬
‫משושה‬
‫ֶ‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪12‬‬
‫פירמידה משובעת‬
‫משובע‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪14‬‬
‫פירמידה מתומנת‬
‫מתומן‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪16‬‬
‫מספר הפאות בכל גוף גדול ממספר הצלעות של בסיס הפירמידה ב‪.1-‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימה זו מיועדת לתלמידים מתקדמים בלבד‪ .‬נדרשת מיומנויות של הגדלת‬
‫איור‪ ,‬גזירה וניתוח תוצאות הבנייה‪.‬‬
‫היסטוריה ‪ ,‬עמוד ‪226‬‬
‫בחלק ההיסטורי התלמידים לומדים על החתכים של חרוט‪ .‬הנושא‬
‫מורכב מאוד‪ ,‬והסתפקנו בחרוט המוכר להם‪ .‬בגאומטריה מתכוונים‬
‫ל"חרוט כפול ואין‪-‬סופי"‪ ,‬כלומר החרוט נראה כך‪:‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬מבקשים מהתלמידים לבנות אליפסה בעזרת חוט‬
‫ועיפרון‪ .‬זוהי בעצם הגדרה אופרטיבית של אליפסה‪.‬‬
‫‪105‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪227‬‬
‫בעמוד זה עוסקים במשימות העשרה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬תשובה‪ :‬א' ו‪ -‬ב'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬א( שתי תיבות; ב( גלילים; ג( מלבן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משולש‪.‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪228‬‬
‫חזרה על נושאים שנלמדו בשנים קודמות‪ :‬סימני התחלקות‪ ,‬פירוק לגורמים‪ ,‬מספרים ראשוניים‬
‫ופריקים ושארית המתקבלת מחילוק‪.‬‬
‫‪106‬‬
‫עמודים ‪253-229‬‬
‫י‪ .‬כפל מספרים עשרוניים‬
‫רקע‬
‫הפרק עוסק בכפל של מספרים עשרוניים‪ .‬את הקניית הנושא מתחילים מכפל ומחילוק של‬
‫מספרים עשרוניים ושל מספרים טבעיים בחזקות של ‪ ,10‬כלומר ב‪ ,10 -‬ב‪ ,100 -‬ב‪ 1,000 -‬וכן‬
‫הלאה‪ .‬תחילה הופכים מספר עשרוני לשבר‪ ,‬אחר‪-‬כך כופלים את השבר בחזקה של ‪ ,10‬שכן‬
‫התלמידים יודעים לכפול שברים‪ .‬אולם מטרתו העיקרית של הפרק היא ללמד את הילדים לכפול‬
‫מספרים עשרוניים‪ .‬המעבר לשבר נועד להקל על התלמידים ולהתחיל מהידע הקודם שלהם‪.‬‬
‫השבר הוא כלי עזר בשלבים הראשונים בלבד‪ .‬המספרים העשרוניים נוחים משום שהם כתובים‬
‫לפי המבנה העשרוני‪ ,‬ולכן כפל ב‪ 10 -‬שקול להגדלת ערך כל ספרה במספר פי עשרה ולהזזת‬
‫המספר שמאלה בטבלה של המבנה העשרוני‪ .‬זה נראה כהזזת הנקודה העשרונית‪ :‬בפעולת הכפל‬
‫או החילוק של מספר עשרוני בחזקה של ‪ 10‬מזיזים את הנקודה ימינה )בכפל( או שמאלה )בחילוק(‬
‫במספר מקומות לפי מספר האפסים בחזקה של ‪.10‬‬
‫לאחר מכן עוסקים בכפל של מספרים עשרוניים במספר טבעי באותה דרך‪ ,‬ולבסוף לומדים את‬
‫המקרה הכללי ביותר‪ ,‬שהוא כפל של מספר עשרוני במספר עשרוני‪ .‬גם במקרה הכללי המטרה‬
‫היא לכפול מספרים עשרוניים ללא הפיכתם לשברים פשוטים‪ .‬אך תחילה מראים כפל מספרים‬
‫עשרוניים בעזרת כפל של שברים‪ .‬כדאי לעודד את התלמידים "להשתחרר" מדרך זו לפי יכולתם‪.‬‬
‫כדי להבין את פעולת הכפל בין מספרים עשרוניים ועל‪-‬סמך הבנה זו להבין גם את האלגוריתם של‬
‫כפל מספר עשרוני במספר עשרוני‪ ,‬צריך לדעת שני דברים‪ :‬לכפול מספרים עשרוניים וכן לדעת‬
‫למקם את הנקודה במכפלה בהתאם לגורמים‪ .‬לדרך זו אנו מובילים את התלמידים בהדרגה‬
‫בפרק זה‪.‬‬
‫יש לשים לב לקשיים ולטעויות נפוצות בכפל מספרים עשרוניים‪ .‬אחת הטעויות הנפוצות של‬
‫התלמידים היא מיקום הנקודה העשרונית במכפלה במקום לא‪-‬נכון‪ .‬כדי למנוע טעויות מסוג זה‬
‫חשוב לאמוד את התוצאה; בעיקר הם מתקשים לכפול מספרים עשרוניים שיש בהם "אפסים"‪.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬בתשובה לתרגיל ‪ 0.1 × 0.5‬כותבים ‪ 0.5‬כתוצאה במקום ‪ ;0.05‬בתרגיל ‪0.125 × 0.008‬‬
‫מקבלים ‪ 1,000‬במקום ‪ ;0.001‬ובתרגיל ‪ 0.400 × 5‬מקבלים ‪ 0.2‬במקום ‪.2‬‬
‫כדי לעזור לתלמידים להתמודד עם הקשיים הללו מומלץ להקדיש זמן לפעילויות הטמעה‬
‫ולחישובים בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫אפשר לבדוק את הפתרונות לתרגילים בעזרת מחשבון‪ .‬חשוב לשוחח עם התלמידים כיצד לכפול‬
‫מספרים עשרוניים בעזרת המחשבון )על מה להקיש(‪ .‬ביצוע ראשוני של התרגיל חייב להיות ללא‬
‫שימוש במחשבון‪.‬‬
‫מומלץ להקדיש לנושא זה ‪ 7‬שעות לימוד‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬לכפול מספר עשרוני ב‪ ,10 -‬ב‪ 100 -‬וב‪;1,000 -‬‬
‫ב‪ .‬להעריך מכפלת מספר עשרוני ב‪ ,10 -‬ב‪ 100 -‬וב‪;1,000 -‬‬
‫ג‪ .‬לחלק מספר טבעי ב‪ ,10 -‬ב‪ 100 -‬וב‪;1,000 -‬‬
‫ד‪ .‬לחלק מספר עשרוני ב‪ ,10 -‬ב‪ 100 -‬וב‪;1,000 -‬‬
‫ה‪ .‬לכפול מספר עשרוני במספר טבעי;‬
‫ו‪ .‬לכפול מספר עשרוני במספר עשרוני;‬
‫ז‪ .‬לבצע את האלגוריתם של כפל מספר עשרוני במספר עשרוני‪.‬‬
‫‪107‬‬
‫מושגים‬
‫מכפלה‪ ,‬גורמים‪ ,‬מספר טבעי‪ ,‬מספר עשרוני‪ ,‬הזזת הנקודה העשרונית‪ ,‬ערך הספרה‪ ,‬גדול פי‪ ,‬קטן‬
‫פי‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫צירי מספרים מוכנים‪ :‬מספרים עשרוניים‪ ,‬שברים "פשוטים"; לוח‪ ,‬גיר או טוש מחיק‪ ,‬רשת‬
‫משבצות ‪ , 10 × 10‬טבלאות )מוכנות( של תרגילי כפל )פעילות ה'(‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על כפל של מספרים טבעיים ב‪ ,10 -‬ב‪ 100 -‬וב‪.1,000 -‬‬
‫על הלוח כתובים מספרים טבעיים‪ .‬התלמידים מתבקשים לכפול כל מספר ב‪ .10 -‬אחר‪-‬כך‬
‫התלמידים מתבקשים לכפול ב‪ 100 -‬את המספר שהתקבל‪ .‬מבקשים לספור את מספר האפסים‬
‫בסוף כל מספר‪ ,‬ומדגישים את האפסים על הלוח‪ .‬חוזרים למספרים המקוריים‪ ,‬ומבקשים לכפול‬
‫אותם ב‪ .1,000 -‬משווים בין התוצאות של שתי הפעילויות‪ :‬בין כפל ב‪ 10 -‬וב‪ 100 -‬בשני שלבים‬
‫לבין כפל ב‪ 1,000 -‬בשלב אחד‪.‬‬
‫דוגמה לרשימת מספרים‪.1,000,0001 ;4,860 ;2,007 ;505 ;5 ;10 ;1 :‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על כפל של מספרים טבעיים ב‪ 10 -‬וב‪.100 -‬‬
‫כותבים על הלוח את המכפלות האלה‪:‬‬
‫‪18×10×10 100×18 10×6×30 100×60×3 60×30‬‬
‫‪100×6×3 10×9×2 10×3×60‬‬
‫‪8×200 6×300‬‬
‫התלמידים נשאלים באילו תרגילים התוצאה שווה ל‪.1,800 -‬‬
‫‪90×20‬‬
‫‪10×5×36‬‬
‫‪10×180‬‬
‫‪18×2×50‬‬
‫‪3×10×6‬‬
‫‪90×200‬‬
‫ג‪ .‬חזרה על חילוק ועל כפל כפעולות הפוכות‪.‬‬
‫א‪ .‬על הלוח רשום השוויון‪ . 25 × 8 = 200 :‬מבקשים מהתלמידים לכתוב את כל השוויונות‬
‫הנובעים מהשוויון הזה‪ .‬דוגמה‪. 200 :8 = 25 :‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי ‪ . 654 × 321 = 209,934‬מהי תוצאת החילוק של ‪ 209,934‬ב‪ ?321 -‬יש לענות ללא‬
‫חישוב‪.‬‬
‫ג‪ .‬ידוע כי = ‪ .☺X‬יש להשלים את המשוואות‪. =__:__ ; X☺=___ ;☺=__: :‬‬
‫אפשר להוסיף עוד שוויונות להשלמה‪.‬‬
‫ד‪ .‬חזרה על כפל ועל חילוק כפעולות הפוכות – פעילות נוספת‪.‬‬
‫על הלוח כתובים שני מספרים שלמים‪ ,‬והתלמידים מתבקשים למצוא את מכפלתם‪ .‬אחר‪-‬כך‬
‫התלמידים מתבקשים לכפול את אחד המספרים ב‪ 2 -‬ולשער מה תהיה מכפלת שני המספרים‬
‫החדשים‪ ,‬ופי כמה תגדל המכפלה‪ .‬התלמידים מתבקשים לחשב את המכפלה‪ .‬אחר‪-‬כך התלמידים‬
‫מתבקשים לכפול את אחד המספרים ב‪ 3 -‬ולכפול את המספר השני ב‪ .4 -‬בקשו מהתלמידים לשער‬
‫פי כמה תגדל המכפלה‪ ,‬ואחר‪-‬כך לבדוק את השערתם על‪-‬ידי הכפלת המספרים‪ .‬אפשר להמשיך‬
‫באותה הדרך‪ .‬לבסוף שואלים‪" :‬כיצד אפשר לשמור על המכפלה המקורית?" המכפלה גדלה פי‬
‫שניים‪ ,‬וכדי להגיע שוב למכפלה המקורית צריך לחלק את התוצאה ב‪ ,2 -‬וכשהמכפלה גדלה פי‬
‫שנים עשר‪ ,‬כדי להגיע למכפלה המקורית צריך לחלק אותה ב‪.12 -‬‬
‫שאלה נוספת‪ :‬מגדילים כל אחד מהמספרים פי עשרה‪ ,‬כיצד אפשר לשמור על המכפלה המקורית?‬
‫)לחלק ב‪.(100 -‬‬
‫דוגמאות למספרים טבעיים‪ 2 :‬ו‪ 5 ;4 -‬ו‪ 50 ;8 -‬ו‪.2 -‬‬
‫תרגילים מסוג זה חשובים ביותר להבנה של כפל מספרים עשרוניים בדרך המקובלת‪ ,‬כלומר‬
‫בעזרת האלגוריתם המקובל )כפל של מספרים טבעיים(‪.‬‬
‫‪108‬‬
‫ה‪ .‬חזרה על הרחבה ועל צמצום של שברים‪.‬‬
‫על הלוח רשומים שברים "פשוטים"‪ .‬על התלמידים להרחיב או לצמצם את השברים לפי‬
‫‪5600 56‬‬
‫‪500‬‬
‫‪180‬‬
‫‪2‬‬
‫‪,‬‬
‫= =‬
‫השוויונות שלפניהם‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫= =‬
‫‪,‬‬
‫=‬
‫= ‪,‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪100‬‬
‫‪100 10 1‬‬
‫‪1000 100‬‬
‫‪10 100‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3000 300‬‬
‫= = וכדומה‪.‬‬
‫=‬
‫‪1 10‬‬
‫ו‪ .‬חזרה על כתיבת מספרים עשרוניים ועל קריאתם‪.‬‬
‫המורה או אחד התלמידים אומרים בקול רם מספר עשרוני‪ ,‬ויתר התלמידים מתבקשים לכתוב‬
‫אותו במחברתם‪ .‬דוגמאות‪ :‬שלושה שלמים שש עשיריות ושתי מאיות‪ ;"3.62" :‬אפס נקודה‬
‫שלושים וארבע מאיות‪."0.34" :‬‬
‫ז‪ .‬חזרה על המרת יחידות אורך במספרים שלמים‪.‬‬
‫על הלוח כתוב שוויון‪ 10 :‬מ''מ = ‪ 1‬ס''מ‪ .‬על התלמידים לענות על השאלות‪ :‬כמה מ''מ‪ :‬ב‪ 2 -‬ס''מ?‬
‫ב‪ 5 -‬ס''מ? ב‪ 10 -‬ס''מ? ב‪ 100 -‬ס''מ? ב‪ 1,000,000 -‬ס''מ? כמה ס''מ הם ‪ 20‬מ''מ? ‪ 40‬מ''מ? ‪100‬‬
‫מ''מ? ‪ 1,000‬מ''מ?‬
‫פעילויות גילוי‬
‫בפעילויות א'‪ -‬ו' יש לעודד תלמידים מתקשים לכתוב מספרים עשרוניים כשברים‪.‬‬
‫פעילות א‪ :‬מציירים על הלוח עשר משבצות‪ ,‬ובכל אחת מהן רושמים ‪ .₪ 0.8‬כל משבצת מסמלת‬
‫דבּקות‪ ,‬כדור(‪ .‬מבקשים מהתלמידים לחשב את המחיר של עשרת המוצרים‪ .‬דנים‬
‫מוצר )פחיות‪ִ ,‬מ ָ‬
‫בדרכים השונות שהתלמידים מציעים לפתרון התרגיל )פעולת חיבור‪ ,‬פעולת כפל‪ ,‬הפיכת המספר‬
‫‪ 0.8‬לשבר ועוד(‪.‬‬
‫‪8 10 × 8 80‬‬
‫= × ‪ . 10‬חוזרים על אותה‬
‫את תוצאת התרגיל רושמים על הלוח‪= = 8 . 10 × 0.8 = 8 .‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫משימה במספרים ‪ 0.5‬ו‪.0.3 -‬‬
‫פעילות ב‪ :‬מציירים על הלוח רשת של ‪ 10×10‬משבצות‪ ,‬ובכל אחת רושמים ‪ .₪ 0.8‬כל משבצת‬
‫דבּקות‪ ,‬כדור(‪ .‬מבקשים מהתלמידים לחשב את המחיר של המוצרים‪) .‬יש‬
‫מסמלת מוצר )פחיות‪ִ ,‬מ ָ‬
‫לתת להם לראות שיש ‪ 100‬מוצרים‪ (.‬דנים בדרכים השונות שהתלמידים מציעים לפתרון התרגיל‬
‫)פעולת חיבור‪ ,‬פעולת כפל‪ ,‬הפיכת המספר ‪ 0.8‬לשבר ועוד( ובתרגיל המתאים לפתרון‪.‬‬
‫‪8 100 × 8 800‬‬
‫= × ‪ . 100‬חוזרים על אותה משימה במספרים ‪ 0.5‬ו‪.0.3 -‬‬
‫=‬
‫‪= 80 , 100 × 0.8 = 80‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫מבקשים מהתלמידים למצוא קשר בין מחיר המוצר לבין התוצאה‪.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬חוזרים על פעילות א' במספרים‪ .2.45 ,10.3 ,7.8 ,3.5 ,0.79 ,3 :‬בשלב הראשון‬
‫התלמידים קובעים באיזה מוצר מדובר‪ ,‬ואומדים את המחיר הכולל‪ .‬בשלב השני מחפשים דרכים‬
‫לחשב את המחיר הכולל המדויק‪ .‬ייתכן שהתלמידים יציעו להיעזר בחוק הפילוג‪ .‬דרך זו יעילה‬
‫מאוד לאומדן‪ ,‬אך מסובכת כאשר החלק השברי של המספר העשרוני גדול מ‪ .10 -‬במקרה זה‬
‫חוזרים אל הבעיה המקורית‪.‬‬
‫דוגמה‪ . 7.84 × 10 = ( 7 × 10 + 0.84 × 10 ) :‬כיצד פותרים ‪ ? 40.8 × 10‬בדיון משווים בין הדרכים‪.‬‬
‫שואלים מהי ספרת העשרות‪ ,‬מהי ספרת היחידות‪ ,‬מהי ספרת העשיריות ומהי ספרת המאיות‬
‫במחיר של מוצר אחד ובמחיר הכולל‪ .‬מציירים על הלוח את הטבלה שבשיעור בעמ' ‪ .162‬לוודא‪.‬‬
‫פעילות ד‪ :‬מסרטטים על הלוח טבלאות של המבנה העשרוני‪ ,‬ורשומים בהן מספרים עשרוניים‬
‫שונים )בכל טבלה מספר אחד(‪ .‬בטבלה שתי שורות‪ :‬בשורה אחת כתוב מספר נתון‪ ,‬והשורה‬
‫השנייה ריקה‪ .‬התלמידים מתבקשים לכפול את המספר שבטבלה ב‪) 10 -‬ב‪ 100 -‬וב‪ 1,000 -‬בהתאם‬
‫לשיעור( ולרשום את המכפלה בשורה הריקה‪.‬‬
‫חוקרים‪" :‬מה קורה למספר הנתון? כיצד הוא רשום בטבלה?" שואלים פי כמה המספר שהתקבל‬
‫גדול מהמספר הנתון‪ ,‬ופי כמה גדל ערך כל ספרה בתוצאה‪ .‬אם התלמידים מתקשים לכפול מספר‬
‫ב‪) 10 -‬ב‪ ,100 -‬ב‪ ,(1,000 -‬מבקשים מהם לכפול כל ספרה בנפרד ב‪ 10 -‬ולכתוב את התוצאה‬
‫‪109‬‬
‫במשבצת המתאימה‪ .‬בסוף הפעילות תיראה הטבלה כמו בשיעור שבעמ' ‪ .162‬בדיון חשוב‬
‫שהתלמידים יראו שמקום הנקודה השתנה‪ :‬היא זזה ימינה )בהגדלת המספר( או שמאלה‬
‫)בהקטנת המספר(‪.‬‬
‫דוגמה לטבלה‪:‬‬
‫החלק השברי‬
‫החלק השלם‬
‫אלפיות מאיות עשיריות יחידות עשרות‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪× 10‬‬
‫פעילות ה‪ :‬עבודה בקבוצות‪ .‬כל קבוצת תלמידים מקבלת דף שכתובה בו הטבלה שלפניכם‪:‬‬
‫= ‪4.35 × 10‬‬
‫= ‪4.35 × 100‬‬
‫= ‪4.35 × 1,000‬‬
‫= ‪43.5 × 10‬‬
‫= ‪43.5 × 100‬‬
‫= ‪43.5 × 1,000‬‬
‫= ‪2.306 × 10‬‬
‫= ‪2.306 × 100‬‬
‫= ‪2.306 × 1,000‬‬
‫= ‪60.415 × 10‬‬
‫= ‪60.415 × 100‬‬
‫= ‪60.415 × 1000‬‬
‫מבקשים מהתלמידים לפתור את התרגילים‪ .‬דנים בדרכי פתרון שונות‪ ,‬שהתלמידים מציעים‪.‬‬
‫בסיכום הדיון מנסים להגיע לדרך פתרון אחת או לנוסחה המתאימה לפתרון כל תרגיל כזה‪.‬‬
‫פעילות ו‪ :‬על הלוח כתובות הספרות ‪ 9 ,4‬ו‪ .6 -‬התלמידים מתבקשים לכתוב בעזרת הספרות‬
‫מספר עשרוני או טבעי‪ .‬אומרים שהמספר הוא המחיר של עשרה פריטים זהים‪ .‬על התלמידים‬
‫הפּריט היחיד‪ .‬דנים בדרכי הפתרון‪.‬‬
‫לכתוב שם של ְפּריט המתאים למספר שלהם‪ ,‬ואת מחיר ְ‬
‫פעילות ז‪ :‬על הלוח כתובות הספרות ‪ 9 ,4‬ו‪ .6 -‬התלמידים כותבים במחברת עוד מספר‪ .‬הפעם‬
‫המספר מייצג את העובי של ‪ 100‬עמודים של דפי נייר ושל קרטון או של ‪ 100‬לוחות זכוכית או‬
‫לוחות עץ‪ .‬התלמידים מחליטים איזה חומר מתאים למספר שלהם‪ ,‬ומהו העובי של כל דף או לוח‪.‬‬
‫חוזרים על הפעולה‪ .‬הפעם המספר הוא המשקל של ‪ 1,000‬סיכות בגרמים‪ ,‬של ‪ 1,000‬גרגרי חול או‬
‫של ‪ 1,000‬שערות‪ .‬התלמידים מחליטים איזה חומר מתאים למספר שלהם‪ ,‬ומהו המשקל של כל‬
‫ְפּריט‪.‬‬
‫פעילות ח‪ :‬מבקשים מכל התלמידים לכתוב במחברת מספר כלשהו‪ .‬תלמיד אחד בוחר מספר בעל‬
‫שתי ספרות‪ ,‬וכותבים אותו על הלוח‪ .‬דוגמה‪) 3.7 :‬רוב הסיכויים שהתלמיד יבחר מספר טבעי(‪.‬‬
‫המורה מבקשת מכל התלמידים לכפול ולחלק את המספר שלהם במספר שכתוב על הלוח‪ ,‬ולומר‬
‫את התוצאה בתוך עשר שניות‪ .‬דוגמה‪ :‬תלמיד כתב במחברתו את המספר ‪ .56.4‬אם התלמיד יבצע‬
‫את התרגיל ? = ‪ , 56.4 × 3.7 :3.7‬הוא יקבל את המספר שבחר‪ .‬סביר להניח כי יהיו תלמידים‬
‫שיאמרו כי אי‪-‬אפשר לפתור את התרגיל במהירות‪ .‬דנים בשאלה האם יש צורך בחישוב‪ .‬התשובה‬
‫לתרגיל מתבססת על כך שכפל וחילוק הם פעולות הפוכות‪ ,‬ולכן הם מבטלים זה את זה‪.‬‬
‫פעילות ט‪ :‬מבקשים מהתלמידים למדוד את אורכו ואת רוחבו של דף ‪ A4‬ולמצוא את שטח הדף‬
‫או למדוד את אורך המחברת שלהם ואת רוחבה ולמצוא את שטחה‪ .‬דנים בדרכים השונות‬
‫)שימוש בשברים‪ ,‬כתיבת המידות במ"מ‪ ,‬חוק הפילוג(‪.‬‬
‫הספר לתלמיד‬
‫שימו לב‪ ,‬פרק זה מתחיל בהקניה‪ ,‬ואין בו חלק של "לעלות על הגל"‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :229‬כפל עשיריות ב‪ 10 -‬וב‪100 -‬‬
‫מומלץ לבצע את פעילות ההטמעה א' ואת פעילויות הגילוי א' ו‪ -‬ב' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה‬
‫לומדים לכפול עשיריות ב‪ 10 -‬וב‪ 100 -‬על‪-‬ידי הפיכת המספר העשרוני לשבר פשוט וכן לכפול שבר‬
‫ב‪ 10 -‬או ב‪.100 -‬‬
‫משימות מס' ‪ :2-1‬משימת יישום‪.‬‬
‫‪110‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משוואות כפל‪ .‬בסעיף א' יש לחלק ב‪ ,10 -‬וביתר הסעיפים יבדקו התלמידים‬
‫בכמה מקומות "זזה" הנקודה העשרונית‪ ,‬וירשמו ‪ 10‬או ‪ 100‬בהתאם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬המושג "פי כמה גדול" שקול לכפל או לחילוק‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :230‬כפל מספרים עשרוניים ב‪ :10 -‬טבלת המבנה העשרוני‬
‫מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי ג' ו‪ -‬ד' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה לומדים לכפול מספרים‬
‫עשרוניים ב‪ .10 -‬חשוב שהתלמידים יגיעו למסקנה שכפל ב‪ 10 -‬שקול ל"הזזת" הנקודה העשרונית‬
‫מקום אחד ימינה‪ .‬ה"הוכחה" נעשית על‪-‬ידי הפיכת מספר עשרוני לשבר וכפל השבר ב‪ .10 -‬חשוב‬
‫שהתלמידים יעיינו בטבלה של המבנה העשרוני המובאת בשיעור‪ ,‬ויגיעו למסקנה זו גם על‪-‬ידי‬
‫"חקירת הטבלה"‪ :‬כאשר כופלים ב‪ ,10 -‬ערך כל ספרה במספר גדל פי עשרה‪ ,‬וכך כל המספר‬
‫בטבלה "זז שמאלה"‪ ,‬ונראה כאילו "הזזנו" את הנקודה העשרונית מקום אחד ימינה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬כאן פותרים משוואות של כפל מספר עשרוני ב‪ .10 -‬אפשר להקל על התלמידים‬
‫על‪-‬ידי השוואה בין המכפלה לבין הגורם הנתון ועל‪-‬ידי דיון ב"הזזת" הנקודה העשרונית מקום‬
‫אחד ימינה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬על התלמידים למצוא חוקיות ולהמשיך סדרות של מספרים‪.‬‬
‫בשלוש הסדרות המספרים גדלים פי עשרה‪ .‬דוגמות‪1.2 ; 12 ; 120 ; 1,200 ; 12,000 :‬‬
‫אפשר לבקש מהתלמידים לקרוא כל אחת מהסדרות בקול רם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬חשוב לדון עם התלמידים במושג "פי כמה"‪ :‬כשאומרים‪" :‬גדול‪/‬יקר פי ‪,"10‬‬
‫כופלים ב‪ .10 -‬אפשר לדון גם בהבדלים בין "גדול פי ‪ "10‬לבין "גדול ב‪ :"10 -‬מתי כופלים ומתי‬
‫מחברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬מספרים עשרוניים כתובים לפי המבנה העשרוני‪ ,‬כלומר הערך של כל ספרה גדול‬
‫מערך הספרה שמימין פי עשרה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬עשירית גדולה פי עשרה ממאית‪ ,‬מאית גדולה פי עשרה‬
‫מאלפית וכן הלאה‪.‬‬
‫במשימה זו מבוטא הקשר בין כתיבת המספרים במילים לבין הכתיבה בספרות )בתרגילי כפל ב‪-‬‬
‫‪.(10‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬בעיה מילולית חד‪-‬שלבית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬בעיה מילולית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬כפל וחילוק כפעולות הפוכות‪ .‬אפשר לקרוא למשימה זו "חידת המספרים"‪ .‬על‬
‫התלמידים לפתור את המשוואה כמו במשימה מס' ‪. ? × 10 = 38.49 .5‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬על התלמידים לפתור תרגילי כפל ב‪ ,10 -‬אך לפני זה יש לאמוד את המכפלות‪.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬אומדן‪ , 43 × 10 = 430 :‬פתרון‪. 42.643 × 10 = 426.43 :‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :232‬כפל מספרים ב‪ 100 -‬וב‪1,000 -‬‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ד' )כפל ב‪ 100 -‬וב‪ (1,000 -‬לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה לומדים לכפול‬
‫מספר עשרוני ב‪ 100 -‬וב‪ .1,000 -‬שימו לב‪ ,‬הוחלט לבצע פעולות כפל אלה בעזרת כפל של מספר‬
‫עשרוני ב‪) 10 -‬שכבר נלמד(‪ ,‬ולא על‪-‬ידי הפיכת המספר העשרוני לשבר‪ .‬חשוב שהתלמידים יבינו‬
‫שני דברים‪:‬‬
‫‪ .1‬מה קורה למספר מבחינת המבנה העשרוני )ולכן חשוב לחזור לטבלת המבנה העשרוני‬
‫כמו בשיעור הקודם(;‬
‫‪ .2‬מה קורה לנקודה העשרונית )הנקודה העשרונית "זזה" שני מקומות ימינה אם כופלים‬
‫את המספר ב‪ ,100 -‬ושלושה מקומות ימינה אם כופלים את המספר ב‪.(1,000 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬משימת יישום‪.‬‬
‫‪111‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬על התלמידים לפתור משוואות כפל של מספר עשרוני ב‪ ,10 -‬ב‪ 100 -‬או ב‪.1,000 -‬‬
‫אפשר להקל על התלמידים על‪-‬ידי השוואה בין המכפלה לבין הגורם הנתון ועל‪-‬ידי דיון בהזזת‬
‫הנקודה העשרונית ימינה בהתאם לתרגיל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬בעיה מילולית דו‪-‬שלבית‪ .‬אפשר לפתור אותה בדרכים שונות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬אפשר לבצע משימה זו על‪-‬ידי פתרון המשוואה‪ . 0.658 × ___ = 65.8 :‬התרגיל‬
‫הנדרש הוא תרגיל החילוק‪.65.8:0.658 =____ :‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬על התלמידים לכפול אותו המספר ב‪ ,10 -‬ב‪ 100 -‬וב‪ .1,000 -‬אפשר לדון בשאלות‬
‫נוספות כמו‪" :‬פי כמה גדולה מכפלת המספר ב‪ 1,000 -‬ממכפלת אותו המספר ב‪"?10 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬חשוב לדון עם התלמידים בשאלות שבמשימה‪ .‬התשובות לפי סדר ההיגדים‪:‬‬
‫מאות‪ ,‬עשרות‪ ,‬יחידות‪ ,‬מאות‪ ,‬עשרות‪ .‬אפשר לדון גם בשאלה‪" :‬בכמה צריך לכפול את המספר‬
‫העשרוני כדי שספרת העשיריות תהפוך לספרת העשרות?" ובשאלות נוספות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬בתום הדיון המסקנה היא שמספר המקומות בהזזת הנקודה ימינה שווה למספר‬
‫האפסים במספר‪ ,‬שהוא חזקה של ‪ .10‬במילים אחרות‪ ,‬מספר המקומות בהזזת הנקודה העשרונית‬
‫שווה למעריך החזקה של ‪ .10‬דוגמה‪32.45 × 1000 = 32.45 × 10 3 = 32,450 :‬‬
‫דוגמה נוספת‪ :‬אם כופלים מספר עשרוני כלשהו ב‪ ,1,000,000 -‬מזיזים את הנקודה העשרונית‬
‫שישה מקומות ימינה )כמספר האפסים(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬בעיה מילולית דו‪-‬שלבית‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :234‬אומדן‬
‫בשיעור זה ממשיכים ללמוד כפל של מספרים עשרוניים ב‪ .1,000 -‬כעת התלמידים לומדים כי‬
‫לעתים יש לכתוב אפסים נוספים במכפלה‪ .‬דוגמה‪. 4.5 × 1000 = 4,500 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬בכל המספרים אין מספיק ספרות להזזת הנקודה‪ ,‬לכן רושמים אפסים מימין‬
‫למספר לפי המספר שכופלים בו‪ .‬דוגמה‪ . 0.67 × 10,000 = 0.6700 × 10,000 = 6,700 :‬תלמידים‬
‫שמבינים את הכפל היטב‪ ,‬יכולים לא "להוסיף" את האפסים האלה בגורם‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :26-24‬פתרון משימות אלו נעשה בתוך כדי שימוש באומדן‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :235‬כפל מספר עשרוני במספר טבעי‬
‫כדי לכפול מספר עשרוני במספר טבעי אפשר לבחור באחת השלוש הדרכים‪ :‬א( חיבור חוזר; ב(‬
‫כפל של מספר טבעי במספר טבעי וחזרה למספר עשרוני; ג( הפיכת מספר עשרוני לשבר והכפלת‬
‫השבר במספר טבעי נתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬לפני החישוב חשוב לאמוד את התוצאה כדי לבדוק אם התוצאה המדויקת‬
‫נמצאת בגבולות הנכונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬התלמידים מתבקשים לבצע אומדן‪ ,‬ולא לפתור את התרגיל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬האומדן מאפשר בקרה על תוצאות התרגילים‪ ,‬וחשוב שהתלמידים יתרגלו‬
‫לאמוד לפני החישוב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬בעיה מילולית רב‪-‬שלבית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬שימו לב לסדר פעולות החשבון‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :32‬חזרה על המושג‪" :‬מכפלה"‪ .‬התלמידים יכולים לפתור את התרגיל בכל דרך‬
‫שיבחרו‪ .‬דוגמה‪8 × 65.7 = 8 × 65 + 8 × 0.7 = 520 + 5.6 = 525.6 :‬‬
‫משימות מס' ‪ :33‬משימת יישום‪.‬‬
‫‪112‬‬
‫משימות מס' ‪ :34‬חזרה על המושג‪" :‬הגדלה פי"‪.‬‬
‫התרגיל המתאים לפתרון המשימה הוא‪. 3 × 6.4 = 19.2 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬משימת יישום בצורה של שאלה מילולית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬א( התרגילים דומים זה לזה באחד הגורמים‪ .‬הגורם המשותף בכל ארבעת‬
‫התרגילים הוא המספר ‪ .1.2‬השוני הוא בגורם השני‪ .‬ב( בסעיף זה על התלמידים להציע דרכים‬
‫שונות לפתרון‪ .‬דוגמה‪ :‬נפתור את תרגיל א בשתי דרכים‪.‬‬
‫דרך א' – חיבור חוזר‪4 × 1.2 = 1.2 + 1.2 + 1.2 + 1.2 + 1.2 = 4.8 :‬‬
‫דרך ב'‪ :‬לפי חוק הפילוג ‪???. 4 × 1.2 = 4 × 1 + 4 × 0.2 = 4 + 0.8 = 4.8‬דרך ג'‪ :‬לאחר פתרון התרגיל‬
‫הראשון מוסיפים ‪ 1.2‬ל‪ 5 × 1.2 -‬ו‪ 2.4 -‬ל‪6 × 1.2 -‬‬
‫ג( להלן פתרונות התרגילים‪6 × 1.2 = 7.2 , 7 × 1.2 = 8.4 , 5 × 1.2 = 6 , 4 × 1.2 = 4.8 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬דונו עם התלמידים בשקילות בין תרגיל כפל לבין תרגיל של חיבור חוזר‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :237‬כפל מספר עשרוני במספר טבעי )המשך(‬
‫אפשר לכפול מספרים עשרוניים כאילו היו שני מספרים טבעיים‪ .‬את המכפלה מחלקים ב‪ 10 -‬או‬
‫בחזקות שלהם לפי מספר הספרות שמימין לנקודה העשרונית שבמספר העשרוני‪ .‬דוגמה‪:‬‬
‫‪1.7 × 10‬‬
‫‪17 × 26 442‬‬
‫= ‪. 1.7 × 26‬‬
‫= ‪× 26‬‬
‫=‬
‫‪= 44.2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬בעיה מילולית חד‪-‬שלבית‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :39‬משימת יישום‪ :‬פתרון תרגילי כפל בעזרת חוק הפילוג‪.‬‬
‫דוגמה‪4.3 × 5 = 4 × 5 + 0.3 × 5 = 20 + 1.5 = 21.5 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬משימת יישום‪ :‬שאלה מילולית‪ .‬המרחק שווה למכפלה של זמן הנסיעה‬
‫במהירות‪ .‬האוטובוס עבר מרחק של ‪ 120‬ק"מ‪. 80 × 1.5 = 120 .‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬התרגיל המתאים לפתרון השאלה המילולית הוא‪-‬‬
‫‪ . 25 × ( 56.8 − 5 ) = 25 × 51.8 = 1,295‬תשובה‪ :‬המנהל שילם תמורת הספרים ‪.₪ 1,295‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :238‬כפל מספר עשרוני במספר עשרוני‬
‫בשיעור זה לומדים לכפול מספר עשרוני במספר עשרוני באמצעות הפיכת המספרים העשרוניים‬
‫לשברים‪ .‬עודדו את התלמידים לאמוד את התוצאה לפני ביצוע החישוב המדויק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬כדי לפתור את התרגילים יש להפוך תחילה את המספרים העשרוניים לשברים‬
‫ואחר‪-‬כך לפתור את התרגילים‪ .‬אפשר גם להפוך את השברים למספרים עשרוניים ולפתור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬התלמידים נדרשים לחפש מוצרי חלב שונים במרכולים ובמכולת השכונתית‬
‫ולבדוק את מחיריהם‪ .‬כדאי לדעת שישנם מוצרי חלב‪ ,‬ומוצרים אחרים שנמצאים בפיקוח‪ ,‬ולכן‬
‫המחיר שלהם אחיד‪ ,‬לעיתים ישנה הוזלה‪ .‬רצוי לבקש מהתלמידים לחפש מוצרי חלב מיוחדים‬
‫שמחיריהם שונים‪ .‬את רשימת המוצרים שבפיקוח אפשר למצוא באינטרנט‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :44‬תרגילים מעורבים של שברים ומספרים עשרוניים בפעולות חשבון שונות‪ .‬יש‬
‫לשים לב לסדר פעולות החשבון‪ .‬התלמידים יכתבו במחברת את תהליך הפתרון של כל תרגיל‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :46-45‬בעיות הקשורות לחיי היום‪-‬יום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :47‬התלמידים ישלימו את המשוואות במספרים החסרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :48‬חזרה על הפיכת מספרים עשרוניים לשברים ועל כפל של שברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :49‬בעיה מילולית חד‪-‬שלבית‪.‬‬
‫‪113‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :240‬כפל מספר עשרוני במספר עשרוני )המשך(‬
‫מומלץ להקדיש זמן לפעילויות ההטמעה ג' ו‪ -‬ד'‪ .‬בשיעור זה לומדים לכפול מספרים עשרוניים‬
‫ללא הפיכתם לשברים‪ ,‬אלא כופלים מספרים טבעיים מתאימים ומקטינים את המכפלה בהתאם‪.‬‬
‫חשוב לדון עם התלמידים בהגדלת הגורמים פי מספר )לדוגמה‪ ,‬פי עשרה( ובשאלה מה לעשות כדי‬
‫שהמכפלה לא תשתנה )לדוגמה‪ ,‬צריך לחלק בחזקה מתאימה של ‪ .(10‬זוהי אחת התכונות של כפל‬
‫ושל חילוק‪ :‬אם כופלים ומחלקים מספר נתון באותו מספר שונה מ‪ ,0 -‬המספר הנתון אינו‬
‫משתנה‪ .‬לפיכך אם נכפול כל אחד משני הגורמים ב‪ 10 -‬ונחלק את המכפלה ב‪ ,100 -‬התוצאה לא‬
‫תשתנה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :50‬משימת יישום הכוללת הדרכה ושאלות מכוונות‪ .‬חישוב מכפלה של מספרים‬
‫עשרוניים בעזרת מכפלה של מספרים טבעיים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :51‬התלמידים נדרשים לצבוע באדום את הספרות הכתובות מימין לנקודה בכל‬
‫אחד מהגורמים‪ ,‬וכן לצבוע בכחול את הספרות שמימין לנקודה במכפלה‪ .‬התלמידים יראו כי‬
‫מספר הספרות הצבועות במכפלה שווה לסכום מספר הספרות הצבועות בגורמים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :241‬הקשר בין כפל מספרים עשרוניים לבין כפל מספרים טבעיים‬
‫בשיעור זה לומדים אלגוריתם של כפל מספרים עשרוניים‪ .‬האלגוריתם מבוסס על כפל של‬
‫מספרים טבעיים‪ .‬הנקודה במכפלה ממוקמת לפי הסכום של מספר הספרות שמימין לנקודה‬
‫העשרונית בכל אחד מהגורמים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :52‬משימה זו היא בסיס לפתרון המשימה הבאה‪ .‬כאן כופלים מספרים טבעיים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :53‬כעת כופלים מספרים עשרוניים על‪-‬סמך המכפלות של המספרים הטבעיים‬
‫שנתקבלו במשימה הקודמת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :54‬חשוב לעודד את התלמידים לפתור במחברת כל אחד מהתרגילים‪ ,‬וכך הם יראו‬
‫שכל אחת מהמכפלות היא מספר עשרוני המסתיים באפס אחד או במספר אפסים‪ .‬כידוע‪ ,‬ערך של‬
‫מספר עשרוני אינו משתנה אם משמיטים או מוסיפים אפסים מימין לחלק השברי של המספר‪.‬‬
‫דינה השמיטה את האפסים וכך קיבלה את התשובות שבתרגילים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :55‬שאלה מילולית חד‪-‬שלבית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :56‬בתרגיל זה כופלים מספרים עשרוניים‪ ,‬ובמכפלה "אין מספיק ספרות" כדי‬
‫לקבוע את מיקום הנקודה העשרונית‪ .‬חשוב להראות לתלמידים כיצד מגיעים למסקנה שיש‬
‫לכתוב אפסים נוספים משמאל לפי הצורך‪ .‬לדוגמה‪ ,‬אם קיבלנו מספר חד‪-‬ספרתי כמו ‪ ,1‬וצריך‬
‫למנות שתי ספרות מימין לשמאל‪ ,‬כותבים עוד ‪ 0‬משמאל ל‪ ,1 -‬ממקמים את הנקודה העשרונית‪,‬‬
‫ורושמים ‪ 0‬בשלמים‪ .‬ואמנם בדוגמה שבמשימה מגדילים כל אחד מהגורמים פי עשרה )מקבלים‬
‫‪ ,(1‬ולכן צריך לחלק את המכפלה ב‪ 100 -‬כדי לקבל את המכפלה הנכונה )מקבלים ‪ .(0.01‬כך צריך‬
‫לעשות בכל תרגיל‪ .‬תלמידים מתקשים יכולים לפוך את המספרים העשרוניים לשברים‪ ,‬ואחר‪-‬כך‬
‫להפוך את המכפלה למספר עשרוני‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :57‬שאלה מילולית חד‪-‬שלבית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :58‬בשלב הראשון של המשימה יהפכו התלמידים את השברים למספרים עשרוניים‪,‬‬
‫ובשלב השני הם יכתבו שלושה תרגילי כפל בעזרת המספרים העשרוניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :59‬בעיה מילולית דו‪-‬שלבית‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :61-60‬כדאי להזכיר לתלמידים את הנוסחה או את הדרך לחשב שטח של מלבן‬
‫ושטח של משולש‪ .‬לחישוב שטח המלבן יש לכפול את אורך צלע המלבן באורך הצלע הסמוכה לה‪,‬‬
‫ולחישוב שטח המשולש הנתון )משולש ישר‪-‬זווית( יש לכפול את אורכי ניצביו ולחלק ב‪.2 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :62‬יובל צודק‪ ,‬כיוון שלכל שלושה תרגילים יש ספרות דומות‪ ,‬אך מיקום הנקודה‬
‫העשרונית שונה‪ .‬אם הם יפתרו במאונך את התרגילים‪ 21 × 135 = :‬ו‪ , 51 × 34 = -‬בהם יוכלו‬
‫לפתור את כל התרגילים על‪-‬ידי הצבת הנקודה העשרונית במקום המתאים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :63‬חזרה על מושגים‪" :‬פי כמה גדול"‪" ,‬הגדילו פי"‪ ,‬מכפלה‪" ,‬סכום" ו"הפרש"‪.‬‬
‫‪114‬‬
‫משימה מס' ‪ :64‬בתוך כדי מילוי הטבלה משמאל לימין רואים כיצד הנקודה העשרונית "זזה"‬
‫מקום אחד שמאלה‪ ,‬כלומר המכפלה ָק ְטנָה פי עשרה‪ .‬הדבר חשוב להבנת המבנה העשרוני של‬
‫המספרים‪ .‬עודדו את התלמידים לבצע לפחות חלק מהחישובים הנדרשים גם בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :65‬שאלת חקירה‪ .‬האפסים שאינם משפיעים על התוצאה הם האפסים שבסוף‬
‫החלק השברי של המספר העשרוני‪ ,‬כלומר אין הבדל בתוצאה של כפל במספר ‪ 1.4‬או ‪ 1.40‬או‬
‫‪ .1.400‬בכל מקרה אחר האפסים משפיעים על המכפלה‪ ,‬ואי‪-‬אפשר להתעלם מהם‪ .‬בסעיפים ג'‬
‫)‪ ,(1.40‬ו' )‪ (6.40‬ו‪ -‬ב' )‪ (1.40‬אפשר להתעלם מהאפסים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :244‬כפל מספרים עשרוניים בטור‬
‫חשוב להדגיש לתלמידים שכאשר כופלים מספרים עשרוניים בטור‪ ,‬כופלים אותם כאילו היו‬
‫מספרים טבעיים )מתעלמים מהנקודה העשרונית(‪ ,‬ורק בסוף ממקמים את הנקודה לפי הכלל‬
‫שנלמד בשיעור הקודם‪ .‬כל תהליך הכפל בטור בשלבי הביניים מתבצע בלי נקודות‪ ,‬אלא במספרים‬
‫טבעיים‪ .‬כשכופלים מספרים עשרוניים בטור‪ ,‬הנקודה כתובה שלוש פעמים בלבד )או פחות(‪ :‬בשני‬
‫הגורמים ובמכפלה הסופית‪ .‬הבהירו לתלמידים שלא מבצעים את פעולת הכפל ב‪ 0 -‬במספרים כמו‬
‫‪ 0.000067 ,0.5 ,0.08‬וכדומה‪ ,‬אלא מתחשבים באפסים אלו כאשר ממקמים את הנקודה‬
‫העשרונית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :66‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :67‬התלמידים נדרשים להדגים בעזרת תרגיל כפל מתאים את חוק החילוף בכפל של‬
‫מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :68‬התלמידים יאמדו את התוצאה‪ ,‬יפתרו את התרגילים במאונך ויבדקו את‬
‫התוצאה לפי האומדן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :69‬התלמידים יקבעו את מיקום הנקודה העשרונית בכל תרגיל‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :71-70‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :72‬התלמידים נדרשים לבדוק לאילו תרגילים יש מכפלות שוות בכל אחד‬
‫מהסעיפים‪ .‬התרגילים בכל סעיף זהים בספרות‪ ,‬אך שונים במיקום הנקודה העשרונית‪.‬‬
‫התלמידים צריכים להחליט לפי מספר הספרות מימין לנקודה‪ ,‬אילו מספרים שווים‪.‬‬
‫לדוגמה‪ 56.1 = 10 × 5.61 :‬לכן ‪.56.1 × 2.65 = 5.61 × 26.5‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪246‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד בפרק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :73‬פיתוח הבנה מספרית‪ .‬כאן בודקים אם התלמידים הבינו כיצד ממקמים את‬
‫הנקודה העשרונית בהתאם למספר האפסים בגורמים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :74‬שאלה מילולית במספרים עשרוניים‪ .‬על התלמידים לעקוב בשיטתיות אחר‬
‫הנתונים שבשאלה‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמודים ‪249 - 247‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬התלמידים מתבקשים לכפול מספר עשרוני ב‪ 10 -‬או ב‪ 100 -‬בדרך שהוסברה‬
‫בשיעור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ : 3 -2‬השימוש בטבלת המבנה העשרוני מקל את ההשוואה בין המספרים‪ .‬בעזרת‬
‫הטבלה קל לראות בכמה גדול מספר אחד ממספר אחר‪ .‬דוגמה‪ :‬המספר ‪ 2.45‬גדול מהמספר ‪0.245‬‬
‫פי עשרה‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :6 - 4‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬בעיית השוואה דו‪-‬שלבית‪.‬‬
‫‪115‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬כדי לענות על השאלות שבמשימה זו על התלמידים למצוא מספר שצריך לכפול בו‬
‫את המספר הקטן מבין השניים כדי לקבל את המספר הגדול‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימה לבדיקת הבנה מספרית‪ .‬שימו לב לתרגיל ‪ . 4.83 × 1,000 = 4,830‬הנקודה‬
‫הושמה אחרי האפס‪ .‬הדבר יכול להיות קשה לתלמידים‪ ,‬כי הם אינם רגילים לראות מספרים‬
‫שלמים כמספרים עשרוניים ללא תוספות של האפסים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬הנושא "מידות עשרוניות" יילמד בפירוט בהמשך‪ .‬לפני ביצוע המשימה כדאי‬
‫להסביר לתלמידים בקצרה מהו "יארד"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬משימת תרגול‪ :‬כפל של מספר עשרוני במספר שלם ולהפך‪.‬‬
‫דוגמה‪. 0.2 × 12 = 2.4 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬התרגיל המתאים לפתרון השאלה המילולית הוא‬
‫‪32 × 1.75 + 32 × 0.6 = 56 + 19.2 = 75.2‬‬
‫תשובה‪ :‬חברי הוועד שילמו בקנייה סך של ‪.₪ 75.2‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬משימת תרגול‪ :‬כפל של מספרים עשרוניים‪ .‬דוגמה‪. 1.21 × 3.2 = 3.872 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬על התלמידים לחשב את היקף הריבוע על‪-‬ידי המרת מידות הצלעות בס"מ‬
‫למידות הצלעות במ"מ‪ .‬א( היקף של ריבוע שווה לארבע פעמים אורך הצלע שלו‪.‬‬
‫ב( היקף הריבוע הנתון הוא ‪ 29.6‬ס"מ‪4 × 7.4 = 29.6 .‬‬
‫ג( ‪ 1‬ס"מ = ‪ 10‬מ"מ‪ 7.4 .‬ס"מ = ‪ 74‬מ"מ‪.‬‬
‫ד( שטח הריבוע הוא ‪ 54.76‬סמ"ר‪7.4 × 7.4 = 54.76 .‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬דונו עם התלמידים בדרכי הפתרון‪ .‬שאלות לדיון‪" :‬היכן נמקם את הנקודה‬
‫העשרונית? כמה ספרות אחרי הנקודה? מה לעשות כאשר אין מספיק ספרות במכפלה )כמו בסעיף‬
‫ו'(? כמה אפסים עלינו להוסיף משמאל למספר הכתוב במכפלה?"‬
‫משימה מס' ‪ :16‬חשוב לדון בשאלה‪" :‬כיצד אפשר להשוות בין המכפלות ללא חישוב?"‪ .‬משווים‬
‫בין הגורמים המתאימים בשני צדי האי‪-‬שוויון בעזרת השאלה‪" :‬פי כמה‪ "?...‬לדוגמה‪ ,‬באי‪-‬שוויון‬
‫‪ 2.1>0.21‬המספר ‪ 2.1‬גדול מהמספר ‪ 0.21‬פי עשרה‪ .‬לעומת זאת באי‪-‬שוויון ‪ 0.03<0.3‬המספר ‪0.03‬‬
‫קטן מהמספר ‪ 0.3‬פי עשרה‪ ,‬לכן המכפלות שוות‪ . 2.1 × 0.03 = 0.21 × 0.3 :‬אם תלמידים מתקשים‬
‫בפתרון התרגיל‪ ,‬אפשרו להם לפתור את התרגילים ואחר‪-‬כך לבצע את המשימה‪ .‬אפשר לחשב את‬
‫התרגילים גם במחשבון‪.‬‬
‫שאלות מילוליות‪ ,‬עמוד ‪250‬‬
‫ארבע הבעיות המילוליות עוסקות בכפל של מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימה מחיי היום‪-‬יום‪ .‬התלמידים נחשפים לנתונים המופיעים על אריזות מזון‬
‫שונות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬א( השטח של הגן הוא ‪ 33.12‬מ"ר‪. 7.20 × 4.60 = 33.12 .‬‬
‫ב( שטח הגן המרוצף הוא‪ 7.29 :‬מ"ר‪2.7 × 2.7 = 7.29 .‬‬
‫ג( שטח הגן ששתלו בו דשא הוא ‪ 25.83‬מ"ר‪33.12 − 7.29 = 25.83 .‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬שלומית שילמה בסך הכול ‪.₪ 25.80‬‬
‫התרגיל המתאים לפתרון השאלה הוא ‪3.5 × 5.60 + 2 × 3.10 = 19.60 + 6.2 = 25.80‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬התלמידים נחשפים לעובדה שמחיר של פריט מסוים תלוי בכמות הקנייה‪ .‬עליהם‬
‫לנתח את הנתונים שבטבלה‪ .‬א( המחיר של ‪ 5‬חבילות הוא ‪ . 5 × 21.40 = 107 .₪ 107‬ב( המחיר של‬
‫‪ 20‬חבילות הוא ‪ 20 × 18.5 = 370 .₪ 370‬ג( המחיר של ‪ 150‬חבילות הוא ‪.₪ 2,400‬‬
‫‪ 150 × 16 = 2,400‬ד( המחיר של ‪ 100‬חבילות קטן יותר מהמחיר של ‪ 95‬חבילות‪.‬‬
‫‪95 × 18.5 > 100 × 16‬‬
‫‪116‬‬
‫יישומים בכלכלה‪ ,‬עמוד ‪251‬‬
‫בחלק זה מלמדים את התלמידים את שערי המטבעות כיישום של כפל מספרים עשרוניים בחיי‬
‫היום‪-‬יום‪.‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪252‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬חזרה על כתיבת מספרים טבעיים ועשרוניים כשברים‪ .‬התלמידים נדרשים לפתור‬
‫את התרגילים ואחר‪-‬כך למיין אותם לפי המכפלות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימה פתוחה‪ .‬משימות כאלה עלולות להיות קשות לתלמידים שונים‪ ,‬בעיקר‬
‫אם הם לא התנסו בעבר בכתיבת בעיות מילוליות לתרגיל נתון‪ .‬חשוב לתת משימה דומה במליאה‬
‫ולבקש מהתלמידים להציע בעיות מילוליות שונות‪ .‬מומלץ לכתוב מספר בעיות על הלוח ולהשוות‬
‫ביניהן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬שאלה מילולית זו עוסקת בתעריפים של חברת טלפונים ניידים‪ .‬כדאי לדון בנושא‬
‫חיסכון כלכלי‪.‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪253‬‬
‫חזרה על אומדן תוצאות של פעולות‪ ,‬על צמצום שברים‪ ,‬על תיחום שברים‪ ,‬על חישוב שטח‬
‫משולש ועל חישוב היקף ושטח‪.‬‬
‫‪117‬‬
‫עמודים ‪287-254‬‬
‫יא‪ .‬חילוק מספרים עשרוניים‬
‫רקע‬
‫פרק זה עוסק בנושא חילוק מספרים עשרוניים‪ .‬זהו הפרק האחרון העוסק בפעולות החשבון‬
‫במספרים עשרוניים‪ .‬התלמידים עסקו בחיבור ובחיסור של מספרים עשרוניים בכיתה ה'‪ ,‬ובכיתה‬
‫ו' הם למדו כיצד לכפול מספרים עשרוניים‪ .‬בתום לימוד פרק זה התלמידים אמורים לשלוט‬
‫בארבע פעולות החשבון במספרים עשרוניים‪.‬‬
‫המספרים העשרוניים קשורים למספרים הטבעיים ולשברים‪ ,‬אולם הם דומים יותר למספרים‬
‫הטבעיים באופן ביצוע הפעולות ביניהם‪ .‬דוגמה‪ :‬כדי לכפול את ‪ 2.5‬ב‪ 4.7 -‬כופלים את המספרים‬
‫הטבעיים ‪ 25‬ו‪ ,47 -‬ולאחר מכן מסמנים את הנקודה העשרונית במקום המתאים‪ .‬עם זאת אפשר‬
‫להציג כל מספר עשרוני כשבר‪ .‬לעתים משתמשים בכך כדי לפשט חישובים‪.‬‬
‫ישנם קשיים רבים בהבנת המושג חילוק‪ .‬לחילוק ישנם שני היבטים‪ .‬ההיבט הראשון הוא "חילוק‬
‫עם שארית"‪ :‬נשארים בתחום המספרים הטבעיים‪ ,‬ולא "יוצאים" ממנוּ‪ .‬כלומר המחולק‪,‬‬
‫המחלק‪ ,‬המנה והשארית כולם מספרים טבעיים‪ .‬המשמעות העיקרית בחילוק זה היא "כמה‬
‫פעמים 'נכנס' המחלק במחולק"‪ .‬אחד הקשיים בהיבט זה הוא שהשארית חייבת להיות קטנה‬
‫מהמחלק לאורך כל תהליך החילוק‪ .‬היבט זה בא לידי ביטוי בבעיות מחיי היום‪-‬יום‪ ,‬לדוגמה‪120 :‬‬
‫תלמידים יוצאים לטיול שנתי‪ .‬כמה אוטובוסים נדרשים‪ ,‬אם כל אוטובוס מכיל ‪ 50‬נוסעים?‬
‫ההיבט השני הוא "חילוק עד הסוף"‪ :‬המחולק‪ ,‬המחלק‪ ,‬והמנה יכולים להיות מספרים טבעיים או‬
‫לא טבעיים‪.‬‬
‫בכיתות א'‪-‬ה' ראו התלמידים את הכפל והחילוק כפעולות הפוכות רק בכפולות ובמחלקים‬
‫)שארית ‪ .(0‬ההיבט השני מוביל להבנת הקשר הזה בכל המספרים‪ :‬אם ‪, a × b = c b ≠ 0 a ≠ 0‬‬
‫יתקיים‪ b = c : a :‬ו ‪ . a = c : b -‬בהיבט זה באה לידי ביטוי גם כתיבת התוצאה כמספר עשרוני‪.‬‬
‫צריך לציין שמדובר בכתיבת התוצאה כמספר עשרוני או בהצגה עשרונית של התוצאה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫דוגמאות‪ :‬הוא תוצאת החילוק של ‪ 1‬ב‪ 0.333... .3 -‬הוא כתיבה עשרונית אין‪-‬סופית מחזורית‬
‫‪3‬‬
‫‪22‬‬
‫של התוצאה‪ .‬כתיבה עשרונית מחזורית של‬
‫‪7‬‬
‫היא המספר ‪ ,3.142857142857...‬לכן משתמשים‬
‫בשבר זה כקירוב של ‪ π) .π‬עצמו אינו מספר עשרוני‪(.‬‬
‫אחד היתרונות של כתיבת תוצאה של חילוק כמספר עשרוני ולא כשבר הוא שכתיבה זו מאפשרת‬
‫תפיסה של סדר גודל של התוצאה בצורה מידית‪.‬‬
‫מבנה הפרק‪ :‬בחלק "לעלות על הגל" חוזרים על השבר כמנת חילוק של מספרים טבעיים‪ ,‬וכן‬
‫חוזרים על טכניקה )אלגוריתם( של פתרון תרגיל חילוק‪ .‬נושאים אלה נדרשים לפני הנושא העיקרי‬
‫של הפרק‪.‬‬
‫בחלק של ההקניה עוסקים בדרכים שונות של חילוק מספרים טבעיים‪ ,‬המובילות להבנת‬
‫אלגוריתם החילוק הארוך‪ .‬אמנם בימינו מרבית פעולות החילוק נעשות במחשבונים‪ ,‬אולם הוחלט‬
‫לחשוף את התלמידים לפחות פעם אחת לטכניקה של פתרון תרגילי חילוק‪.‬‬
‫השימוש במחשבון הכרחי להבנת מספר עשרוני אין‪-‬סופי מחזורי‪.‬‬
‫חילוק במספר עשרוני מבוסס על חילוק במספר טבעי‪ .‬לכן מושם דגש על כך שכאשר מגדילים את‬
‫המחולק ואת המחלק פי אותו מספר )שונה מאפס(‪ ,‬המנה אינה משתנה‪ .‬כך מגיעים למחלק שהוא‬
‫מספר טבעי‪ .‬זהו אחד הקשיים הנפוצים בפתרון תרגילי חילוק‪.‬‬
‫כדי למנוע טעויות חשוב לתת את הדעת על אומדן של תוצאת החילוק המתקבלת‪.‬‬
‫הפרק מתאים לתכנית הלימודים‪ .‬מומלץ להקדיש לנושא זה כ‪ 6 -‬שעות לימוד‪.‬‬
‫‪118‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬לחלק מספר טבעי במספר טבעי בדרכים שונות‪ -‬בעזרת השבר הפשוט‪ ,‬המבנה העשרוני‪,‬‬
‫חילוק ארוך‪ -‬ולקבל תוצאה עם שארית‪.‬‬
‫ב‪ .‬לרשום את תוצאת החילוק ממספרים טבעיים למספר עשרוני;‬
‫ג‪ .‬לאמוד תוצאת חילוק של שני מספרים;‬
‫ד‪ .‬למצוא על ציר המספרים את מיקומם בערך של מספרים עשרוניים אין‪-‬סופיים;‬
‫ה‪ .‬לתחום מספר עשרוני אין‪-‬סופי בין מספרים;‬
‫ו‪ .‬לייצג מספר עשרוני אין‪-‬סופי כמנה של שני מספרים טבעיים;‬
‫ז‪ .‬יחלק מספר עשרוני במספר טבעי )כאשר המנה היא מספר עשרוני סופי או אין‪-‬סופי(;‬
‫ח‪ .‬למצאו תרגילי חילוק שקולים;‬
‫ט‪ .‬לחלק מספר טבעי במספר עשרוני;‬
‫י‪ .‬לחלק מספר עשרוני במספר עשרוני‪.‬‬
‫מושגים‬
‫מספר עשרוני סופי‪ ,‬מספר עשרוני אין‪-‬סופי‪ ,‬מספר עשרוני מחזורי‪ ,‬חילוק מספרים‪ ,‬מנה‪ ,‬שארית‪,‬‬
‫חילוק ארוך‪ ,‬מחולק‪ ,‬מחלק‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫טבלת המבנה העשרוני‪ ,‬מחשבון‪ ,‬ציר המספרים‪ ,‬חבל כביסה ואטבים‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על כפל ועל חילוק במספרים טבעיים‪.‬‬
‫כותבים על הלוח כעשרים מספרים טבעיים שונים‪.‬‬
‫דוגמאות‪.1,000 ,140 ,120 ,81 ,45 ,100 ,56 ,20 ,15 ,10 ,9 ,8 ,7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 :‬‬
‫אפשר לבצע פעילות זו בעל‪-‬פה במליאה‪ .‬כל תלמיד מתבקש לבחור שני מספרים כלשהם ולכתוב‬
‫תרגיל כפל ותרגיל חילוק‪ .‬ייתכן שהתלמידים ירכיבו תרגילי חילוק שתוצאתם אינה מספר שלם‪.‬‬
‫כדאי לדון אתם בשארית המתקבלת או בכתיבת המנה כשבר‪.‬‬
‫חשוב להדגיש שחילוק וכפל הם פעולות הפוכות‪ .‬בעזרת משוואות אפשר להדגיש רעיון זה‪.‬‬
‫דוגמאות‪. 120 :? = 4 , 24 × ? = 96 :‬‬
‫רמת הקושי של התרגילים תותאם לרמת התלמידים בכיתה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על כתיבת שבר "פשוט" כמספר עשרוני‪.‬‬
‫כותבים על הלוח כעשרה שברים שונים‪ .‬מבקשים מהתלמידים להפוך כל אחד מהשברים למספר‬
‫עשרוני‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1 3 5 8 10 5 1‬‬
‫דוגמה לשברים‪. , , , , , , ,4 ,10 ,100 :‬‬
‫‪2 3 4 5 6 8 6 5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫ג‪ .‬חזרה על כתיבת מספר עשרוני כשבר "פשוט"‪.‬‬
‫כותבים על הלוח כעשרה מספרים עשרוניים שונים‪ .‬מבקשים מהתלמידים להפוך כל אחד‬
‫מהמספרים העשרוניים לשבר‪.‬‬
‫דוגמאות למספרים עשרוניים‪.0.175 ,10.2 ,12.6 ,0.666... ,0.333... ,0.125 ,0.1 ,0.4 ,0.25 ,0.5 :‬‬
‫ד‪ .‬חזרה על פירוק מספר עשרוני לפי המבנה העשרוני‪.‬‬
‫כותבים על הלוח מספרים עשרוניים שונים‪ ,‬ומבקשים מהתלמידים לפרק את המספר כך‪:‬‬
‫‪. 37.125 = 3 × 10 + 7 × 1 + 1 × 0.1 + 2 × 0.01 + 5 × 0.001‬‬
‫‪119‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬מדידה ואומדן‪.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים למדוד גודל של אריח בכיתה‪ .‬אחר‪-‬כך מבקשים מהתלמידים להעריך כמה‬
‫אריחים באורך הקיר‪.‬‬
‫מספר תלמידים מונים את המרצפות לאורך הכיתה ומאמתים את ההשערות‪ .‬אם מספר‬
‫המרצפות הוא שלם‪ ,‬מבקשים לכתוב תרגיל המתאים לנתונים‪ ,‬ולא ‪ -‬שואלים‪" :‬כיצד אפשר‬
‫לחשב את החלק הנותר?" דנים במליאה בשאלה איזה סוג מספרים מתאים יותר למצב‪ :‬שברים‬
‫או מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫פעילות ב‪ :‬חילוק מספרים טבעיים )חלוקת קטע(‪.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים לסרטט במחברת קטע שאורכו שבעה סנטימטרים ולחלק אותו לארבעה‬
‫חלקים שווים‪ .‬שואלים את התלמידים‪" :‬מהו האורך של כל אחד מהחלקים שבקטע?"; "כיצד‬
‫אפשר לענות על שאלה זו?" דנים במליאה בדרכים השונות למציאת התשובה הנכונה‪) .‬דרכים‬
‫מגוונות אפשריות לפתרון‪ :‬חישוב‪ ,‬מדידה‪ ,‬אומדן‪(.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬החלק השברי של המספר העשרוני‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים למצוא דרך לגלות ללא חישוב‪ ,‬מהו מספר הספרות בחלק השברי של מספר‬
‫עשרוני סופי‪ ,‬השווה לשבר "פשוט"‪ ,‬שמכנהו חזקה של ‪ .10‬דנים בהשערותיהם של התלמידים‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪24‬‬
‫‪ :‬בחלק השברי של המספר העשרוני השווה לשבר הנתון‪ ,‬יהיו שתי ספרות‪.‬‬
‫‪100‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ :‬בחלק השברי של המספר העשרוני השווה לשבר הנתון‪ ,‬יהיו שתי ספרות‪.‬‬
‫‪100‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ :‬בחלק השברי של המספר העשרוני השווה לשבר הנתון‪ ,‬יהיו שלוש ספרות‪.‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪80‬‬
‫‪ :‬בחלק השברי של המספר העשרוני השווה לשבר הנתון‪ ,‬יהיו שלוש ספרות או שתי ספרות‬
‫‪1000‬‬
‫)אם מצמצמים את השבר(‪.‬‬
‫‪35‬‬
‫‪ :‬בחלק השברי של המספר העשרוני השווה לשבר הנתון‪ ,‬יהיו ארבע ספרות‪.‬‬
‫‪10000‬‬
‫אפשר לבקש מהתלמידים לתת דוגמאות שונות של שברים "פשוטים" )חזקת ‪ 10‬במכנה( ולבדוק‬
‫את השערתם‪.‬‬
‫פעילות ד‪ :‬חילוק מספר תלת‪-‬ספרתי במספר חד‪-‬ספרתי‪.‬‬
‫מבקשים מעשרה תלמידים להציע מספרים תלת‪-‬ספרתיים‪ .‬כותבים את המספרים על הלוח‪.‬‬
‫התלמידים צריכים לחפש דרך לחלק כל אחד מהמספרים ב‪) 4 -‬בלי מחשבון( ולומר את תוצאת‬
‫החילוק כמספר עשרוני‪.‬‬
‫פעילות ה‪ :‬הפיכת שבר "פשוט" למספר עשרוני סופי‪.‬‬
‫התלמידים מקבלים דף שרשומים בו שברים שונים‪ .‬על התלמידים לשער אילו שברים אפשר‬
‫להפוך למספרים עשרוניים סופיים‪ ,‬ואילו שברים אי‪-‬אפשר להפוך למספרים עשרוניים סופיים‪.‬‬
‫דנים בהצעות התלמידים‪ .‬מבקשים מהתלמידים לתת דוגמה לשבר שאפשר להפוך אותו למספר‬
‫עשרוני סופי‪.‬‬
‫‪1 1 1 1 1 1 1 1 1‬‬
‫‪. , , , , , , , ,‬‬
‫דוגמאות לשברים‪:‬‬
‫‪2 3 4 5 6 7 8 9 10‬‬
‫פעילות ו‪ :‬מספרים עשרוניים‪ :‬הצגה סופית‪ ,‬הצגה אין‪-‬סופית‪ ,‬מחזוריות‪.‬‬
‫לכל תלמיד יש מחשבון‪ .‬התלמידים מקבלים דף שרשומים עליו שברים שונים‪ .‬עליהם למצוא דרך‬
‫לרשום כל שבר כמספר עשרוני‪ .‬דנים בהצעות של התלמידים‪ .‬דנים בסוגי המספרים העשרוניים‬
‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9‬‬
‫‪. , , , , , , , ,‬‬
‫שהתקבלו )מספר סופי‪ ,‬אין‪-‬סופי‪ ,‬מחזורי(‪ .‬דוגמאות לשברים‪:‬‬
‫‪2 3 4 5 6 7 8 9 10‬‬
‫‪120‬‬
‫פעילות ז‪ :‬מספרים עשרוניים על ישר המספרים‪ :‬פעילות על "הציר החי"‪.‬‬
‫התלמידים מקבלים כרטיסיות שרשומים עליהן מספרים עשרוניים‪ ,‬שברים "פשוטים" ומספרים‬
‫מעורבים‪ .‬מבקשים מהתלמידים לסדר אותם על ישר המספרים )בעזרת חבל כביסה ואטבים(‪.‬‬
‫דוגמאות למספרים )אפשר להסתפק בחלק מהרשימה(‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪. 0 ,0.1 , ,0.2 , ,0.3 , ,0.4 , ,0.5 , ,0.6 , ,0.7 , ,0.8 , ,0.9 , ,1 ,2.5 ,2 ,2 ,2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2 3‬‬
‫פעילות ח‪ :‬התאמת בעיה מילולית לתרגיל חילוק )עבודה בקבוצות(‪.‬‬
‫רושמים על הלוח את השוויונות האלה‪) ,128:4=32 :‬שארית ‪,1,438:25 =57.52 ,1,438:25=57 (13‬‬
‫‪.126:55=2.29090909...‬‬
‫שוויונות אלה הם תרגילים המתאימים לבעיות מילוליות שונות‪.‬‬
‫מבקשים מכל אחת מקבוצות התלמידים לכתוב שתי בעיות מילוליות מתאימות לכל אחד‬
‫מהתרגילים‪ .‬דוגמה‪ :‬עובי של ‪ 55‬דפי בריסטול הוא ‪ 126‬מילימטר‪ .‬מהו העובי של כל דף?‬
‫פעילות ט‪ :‬מציאת תרגילי חילוק שקולים בתוך כדי פתרון בעיות מילוליות‪.‬‬
‫ַמציגים לתלמידים אחת מבעיות המצב האלה‪:‬‬
‫בעיה א'‪ :‬לפעילות אמנותית נגזרו סרטים אדומים באורך ‪ 16.3‬ס"מ‪ .‬למורה לאמנות יש בד‬
‫שאורכו ‪ 244.5‬ס"מ‪ .‬כמה סרטים נגזרו?‬
‫בעיה ב'‪ :‬רוצים לבנות גדר שאורכה ‪ 17.25‬מ' בעזרת חלקים מוכנים מראש‪ .‬אורך כל חלק הוא ‪0.6‬‬
‫מ'‪ .‬כמה חלקים נדרשים לבניית הגדר?‬
‫המטרה בדיון היא שהילדים יבינו שצריך להמיר את יחידות המידה למילימטרים )בבעיה א'(‬
‫ולסנטימטרים )בבעיה ב'( ולבצע את פעולת החילוק הנדרשת במספרים שלמים‪.‬‬
‫פעילות י‪ :‬תרגילי חילוק שקולים‪.‬‬
‫על הלוח רושמים את התרגילים האלה‪.340:5 ,3.4:0.5 ,3.4:5 ,34:50 ,0.34:0.5 ,3,4:0.05 ,34:5 :‬‬
‫התלמידים מתבקשים למצוא )ללא חישוב( תרגילים בעלי אותה תוצאה‪ .‬דנים בדרכים השונות‬
‫למציאת תרגילי חילוק שקולים‪ .‬כדאי לדון עם התלמידים בשאלות מהם תרגילי חילוק שקולים‪,‬‬
‫וכיצד מוצאים תרגילים אלו‪.‬‬
‫הספר לתלמיד‬
‫לעלות על הגל‬
‫האם אנו מוכנים? עמוד ‪254‬‬
‫‪ :1‬ב; ‪ :2‬ד; ‪ :3‬ב; ‪ :4‬ד; ‪ :5‬ד; ‪ :6‬ב; ‪ :7‬א; ‪ :8‬ג‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪:255‬השבר כמנת חילוק של מספרים טבעיים‬
‫בשיעור זה חוזרים על משמעות השבר כמנת חילוק של שני מספרים טבעיים ועל כתיבת שבר‬
‫בשיטה עשרונית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת יישום‪ .‬אפשר להרחיב את השברים כך שהמכנה הוא חזקה של ‪.10‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימת יישום בצורה של שאלה מילולית‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬כל מספר הגדול מ‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 6‬יכול לשמש כתשובה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬לבעיה זו אין‪-‬סוף אפשרויות לתשובה נכונה‪ .‬דוגמאות‪.14:4 ;7:2 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬יש לפתור את התרגיל ‪ .10:4‬התשובה היא ‪.2.5‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :256‬חילוק ארוך‬
‫בשיעור זה חוזרים על אלגוריתם חילוק ארוך של מספרים טבעיים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬משימת יישום‪ :‬פתרון תרגילי חילוק ארוך‪.‬‬
‫‪121‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬משימות יישום‪ :‬שאלה מילולית‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :9-8‬משימות יישום‪ .‬מומלץ לבקש מהתלמידים שיאמדו את התוצאות לפני ביצוע‬
‫החישובים‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :11-10‬משימות יישום‪ :‬שאלה מילולית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬שימוש בדרכי חישוב במקום האלגוריתם‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :14 - 13‬משימות יישום‪ .‬שאלות מילוליות‪.‬‬
‫הקניה‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :258‬חילוק מספרים עשרוניים ב‪ ,10 -‬ב‪ 100 -‬וב‪1,000 -‬‬
‫פעולת החילוק היא פעולה הפוכה לפעולת הכפל‪ .‬מומלץ לחזור על כפל מספר עשרוני ב‪ ,10 -‬ב‪100 -‬‬
‫וב‪ 1,000 -‬ואחר‪-‬כך לעסוק בחילוק‪ .‬כשמחלקים ב‪ 10 -‬מזיזים את הנקודה העשרונית מקום אחד‬
‫שמאלה‪.‬‬
‫כשמחלקים ב‪ 100 -‬מזיזים את הנקודה העשרונית שני מקומות שמאלה‪.‬‬
‫וכשמחלקים ב‪ ,1,000 -‬מזיזים את הנקודה העשרונית שלושה מקומות שמאלה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬חשוב לדון עם התלמידים במקור הטעות שנעשתה בתרגילים‪ .‬לדוגמה‪ ,‬בתרגיל‬
‫‪ 49.01:10=490‬יש שתי טעויות‪ :‬הנקודה הוזזה בכיוון הלא‪-‬נכון‪ ,‬ולכן המנה שהתקבלה גדולה‬
‫מהמחולק )לא ייתכן כאשר מחלקים ב‪ ;(10 -‬כמו‪-‬כן הושמטה הספרה ‪ 1‬מהמנה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬במשימה זו עוסקים בטעויות אפשריות בפתרון תרגילים של חילוק בחזקות של‬
‫‪ .10‬על‪-‬ידי השאלות המובאות כאן אפשר לטפל בטעויות כאלה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימת יישום‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :259‬חילוק מספר טבעי ב‪ ,10 -‬ב‪ 100 -‬וב‪1,000 -‬‬
‫כאשר מחלקים מספרים טבעיים ב‪ ,10 -‬ב‪ 100 -‬וב‪ ,1,000 -‬כותבים את המספר הטבעי כמספר‬
‫עשרוני‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ 5‬ו‪ :6 -‬שאלות מילוליות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬מומלץ לדון בדרכי החישוב של התלמידים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :260‬חילוק מספרים טבעיים בעזרת שבר והפיכת המנה למספר עשרוני‬
‫כל שבר אפשר לכתוב כמנת חילוק של מונה במכנה‪ ,‬וגם להיפך‪ :‬כל תרגיל חילוק אפשר לכתוב‬
‫כשבר שהמונה שלו הוא מחולק והמכנה שלו הוא המחלק‪ .‬ידוע שאפשר לבצע פעולות בשברים‪:‬‬
‫צמצום‪ ,‬הרחבה‪ ,‬כתיבה כמספר מעורב )אם אפשר( או כמספר עשרוני לפי הצורך‪ .‬גם בדרך זו‬
‫מגיעים למנת חילוק של המספרים הטבעיים הנתונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬משימת יישום‪ .‬יש לבקש מהתלמידים לאמוד את התוצאות לפני ביצוע‬
‫החישובים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬רצוי לבצע את התרגילים ללא חישוב‪ ,‬אך אם התלמידים מתקשים‪ ,‬אפשרו להם‬
‫לבצע את פעולת החילוק‪ .‬בכל מקרה אפשר לכתוב את התרגילים כשברים כדי להקל את דרך‬
‫הפתרון‪ .‬התוצאה קטנה מ‪ :1 -‬ב'‪ ,‬ג'‪ ,‬ח'‪ ,‬י"ב‪ .‬התוצאה בין ‪ 1‬ל‪ :2 -‬א'‪ ,‬ד'‪ ,‬ה'‪ ,‬ז'‪ ,‬י'‪ .‬התוצאה גדולה‬
‫מ‪ :2 -‬ו'‪ ,‬ט'‪ ,‬י"א‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬במפעל הראשון‪ 1.5 :‬ליטר מיץ בבקבוק‪ .‬גם במפעל השני ‪ 1.5‬ליטר מיץ בבקבוק‪.‬‬
‫‪122‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬התלמידים אינם חייבים לפתור את התרגילים כדי למיינם‪ .‬הם יבחנו כל תרגיל‪:‬‬
‫האם המחלק קטן מהמחולק או להפך‪ ,‬האם המחולק יכול להתחלק ללא שארית )נעזרים בסימני‬
‫התחלקות(‪ ,‬האם המחלק קטן מהמחולק פי שניים או פחות‪ ,‬וכדומה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬אפשר לכסות באריחים שלמים של ‪ 40 × 40‬רק שטח רצפה‪ ,‬שגם אורכו וגם‬
‫רוחבו הם כפולות שלמות של ‪ .40‬אם‪-‬כן האורך‪ ,‬יהיה ‪ 320‬ס"מ והרוחב ‪ 200‬ס"מ‪ .‬אפשר לראות‬
‫מדוגמת השיעור‪ ,‬שבאורך נכנסים ‪ 8‬אריחים שלמים וברוחב ‪ 5‬אריחים‪ ,‬ולכן אפשר לרצף עם‪40 -‬‬
‫אריחים שלמים‪ .‬צריך להשלים את הריצוף ב‪ 5 -‬מרצפות של ‪ , 40 × 26‬ב‪ 8 -‬מרצפות של ‪40 × 38‬‬
‫ובמרצפת אחת )בפינה( של ‪. 38 × 26‬‬
‫אפשר לשוחח עם התלמידים על פתרון בעיה כזו במציאות‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :262‬חילוק מספרים טבעיים בעזרת שבר והפיכת המנה למספר עשרוני‬
‫)המשך(‬
‫הפעם עוסקים גם בתוצאות שהן מספרים עשרוניים סופיים ואין‪-‬סופיים‪ .‬חשוב להזכיר‬
‫לתלמידים שכל שבר שאפשר להרחיב או לצמצם אותו למכנה שהוא חזקת ‪1,000 ,100 ,10) 10‬‬
‫וכדומה(‪ ,‬אפשר לרשום כמספר עשרוני סופי‪ .‬כל שבר אחר אי‪-‬אפשר להפוך למספר עשרוני סופי‪,‬‬
‫אלא למספר עשרוני אין‪-‬סופי בלבד‪ .‬כאשר אין שום אפשרות לצמצם או להרחיב שבר למכנים‬
‫‪1‬‬
‫הנ"ל‪ ,‬מבצעים חילוק של מונה במכנה ומגיעים לתוצאה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬את השבר אי‪-‬אפשר להרחיב‬
‫‪3‬‬
‫מכנה שהוא חזקת ‪ ,10‬אך אם נחלק ‪ 1‬ב‪) 3 -‬נבצע תרגיל‪ (1:3= :‬בדרך של חילוק ארוך או בעזרת‬
‫מחשבון‪ ,‬נקבל ‪ .0.333333...‬מספר זה הוא כתיבה של התוצאה כמספר עשרוני אין‪-‬סופי‪ .‬שימו לב‬
‫שדרך חילוק אפשרית תמיד‪ ,‬והיא דרך אוניברסלית להפיכת שבר למספר עשרוני סופי או אין‪-‬‬
‫סופי‪ .‬לעומת זאת דרך הרחבה וצמצום מוגבלת במכנה‪ .‬לספרות שחוזרות על עצמן אחרי הנקודה‬
‫העשרונית קוראים "מחזור"‪ ,‬ומספרים עשרוניים כאלה נקראים "מספרים עשרוניים מחזוריים"‪.‬‬
‫קיימים גם מספרים הכתובים כמספרים עשרוניים אין‪-‬סופיים לא‪-‬מחזוריים‪ ,‬כמו המספר‬
‫‪ .0.12345678910111213...‬איננו עוסקים כאן במספרים כאלו‪ .‬חשוב להדגיש שבחילוק שני‬
‫מספרים טבעיים או עשרוניים מתקבלים מספרים עשרוניים אין‪-‬סופיים מחזוריים בלבד‪ .‬הערה‪:‬‬
‫למספרים עשרוניים סופיים אפשר להתייחס כמו למספרים עשרוניים אין‪-‬סופיים‪ ,‬והמחזור‬
‫שלהם הוא ‪ .0‬לדוגמה‪ ,‬המספר ‪ 9.6‬הוא מספר עשרוני סופי‪ ,‬אולם אפשר לרשום אותו גם כך‪:‬‬
‫‪ ,9.6000...‬ולהתייחס אליו כמספר אין‪-‬סופי לפי הצורך‪ .‬איננו עוסקים עם התלמידים בהבחנה‬
‫כזו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬התלמידים פותרים תרגילי חילוק פשוטים בעזרת שבר או בעזרת חילוק‪ .‬אפשר‬
‫לכתוב את כל התרגילים בשורה הראשונה כמספרים עשרוניים סופיים‪ .‬אפשר לכתוב את כל‬
‫התרגילים בשורה השנייה כמספרים עשרוניים אין‪-‬סופיים‪ .‬לתרגילים הכתובים זה מתחת לזה‬
‫אותו מחולק‪ ,‬ובזה הם דומים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬התלמידים מחלקים את המספרים הנתונים לשתי קבוצות לפי ההוראות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬דונו עם התלמידים בדרכי הפתרון של המשימה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬דונו עם התלמידים בנימוקים שלהם לקביעת המספר היוצא דופן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬התלמידים מבצעים חקירה קטנה של השברים שמכניהם ‪ .9‬כפי שהוסבר לעיל‬
‫)ראו הערות למשימה ‪ (37‬שברים שמכניהם ‪ ,9‬אפשר לכתוב כמספרים עשרוניים אין‪-‬סופיים‬
‫מחזוריים‪ .‬אפשר להוכיח באמצעות אלגברה‪ ,‬שהמחזור של השברים האלה שווה למונה של‬
‫השבר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬את התוצאות של סעיפים ב'‪ ,‬ד' ו‪ -‬ח' אי‪-‬אפשר להפוך למספרים עשרוניים‬
‫בעזרת שברים‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :20-19‬התלמידים מתבקשים למצוא דוגמאות משלהם לתרגילים שאפשר לפתור‬
‫אותם בעזרת שברים‪.‬‬
‫‪123‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬שימו לב שצג המחשבון מוגבל ב‪ 8 -‬או ב‪ 10 -‬ספרות )תלוי בסוג המחשבון(‪ .‬לכן‬
‫‪1‬‬
‫התלמידים יכולים שלא להסכים שמספר מסוים הוא אין‪-‬סופי‪ .‬לדוגמה‪ . = 0.0769230... ,‬בצג‬
‫‪13‬‬
‫יראו התלמידים מספר ספרות סופי כמו ‪ .0.0769230‬אם לא רואים את המחזור‪ ,‬אפשר לשוחח על‬
‫תכונות המספר ‪) 13‬המכנה(‪ .‬מספר זה אי‪-‬אפשר להרחיב לחזקת ‪ 10‬על‪-‬ידי כפל במספר טבעי‬
‫כלשהו‪ ,‬לכן בחילוק ב‪ 13 -‬מתקבל מספר אין‪-‬סופי‪ .‬תלמידים מתקדמים עשויים לדעת כיצד‬
‫לבדוק אם אפשר להרחיב מספר לחזקת ‪ :10‬אם אפשר לפרק את המכנה לגורמים ‪ 2‬ו‪ 5 -‬בלבד‪,‬‬
‫אפשר להרחיב את השבר למכנה שהוא חזקת ‪ .10‬לדוגמה‪ - 25 = 5 × 5 ,‬בפירוק לגורמים מתקבל ‪5‬‬
‫בלבד‪ ,‬לכן אפשר להגיע ל‪) 100 -‬כופלים ב‪ .(4 -‬גם את המספר ‪ 80‬אפשר להרחיב למספר שחזקתו‬
‫‪ (10,000) 10‬על‪-‬ידי מכפלתו ב‪ ,125 -‬כי אפשר לפרק אותו כך‪ . 80 = 5 × 2 × 2 × 2 × 2 :‬לעומת זאת‬
‫אי‪-‬אפשר להרחיב את המספר ‪ 13‬למספר שהוא חזקת ‪ 10‬כי ‪ . 13 = 1 × 13‬גם המספר ‪ 30‬שייך‬
‫לאותה קבוצה כי ‪ , 30 = 2 × 5 × 3‬יש בו ‪ 2‬ו‪ ,5 -‬אך ‪" 3‬מפריע"‪ .‬לפיכך אפשר להפוך את השברים‬
‫בסעיפים‪ :‬ב'‪ ,‬ה'‪ ,‬ו'‪ ,‬ח‪ ,‬י'‪ ,‬י"א ו‪ -‬י"ב למספרים עשרוניים אין‪-‬סופיים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬במשימה זו צריך למקם את המספרים על ציר המספרים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :265‬מיקום מספרים עשרוניים אין‪-‬סופיים על ישר המספרים‪.‬‬
‫למרות האין‪-‬סופיות של הצגת המספרים אפשר למקם אותם בדיוק‪ ,‬אם הופכים אותם לשברים‬
‫"פשוטים"‪ .‬מאחר ולא תמיד יודעים איזה שבר מתאים למספר עשרוני אין‪-‬סופי נתון )אין לומדים‬
‫בשלב זה כיצד לבצע את ההעברה(‪ ,‬חשוב לדעת להעריך את המיקום של המספר על‪-‬ידי עיגול‬
‫המספר והצגתו כמספר בעל הצגה עשרונית סופית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬תיחום של מספר עשרוני אין‪-‬סופי בין שני מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬כדי להשוות בין שני המספרים מומלץ לוודא ששניהם יהיו מספרים עשרוניים‬
‫או שברים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :266‬חילוק של מספר טבעי במספר טבעי בשלבים על‪-‬פי המבנה העשרוני‬
‫בשיעור זה מוסבר האלגוריתם של החילוק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬משימת יישום‪ :‬שאלה מילולית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬עוררו את תשומת לבם של התלמידים לכך שאם נוטעים את העצים בשורה‪,‬‬
‫מספר המרחקים הוא ‪ 19‬ולא ‪ 20‬כפי שנוטים לחשוב‪ .‬אולם שתלו את העצים סביב החצר ולא‬
‫בשורה‪ ,‬ולכן מספר המרחקים הוא ‪) 20‬כמספר העצים(‪ ,‬כי במעגל יש מרחק בין העץ הראשון לבין‬
‫העץ האחרון‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :267‬חילוק מספרים טבעיים בשלבים )חילוק ארוך(‬
‫בשיעור זה ממשיכים ללמוד את החילוק בשלבים‪ ,‬על‪-‬פי המבנה העשרוני‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :29-28‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬כל התשובות נכונות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬כדי לקבל את המנה הגדולה ביותר יש לוודא שהמחולק הוא הגדול ביותר‬
‫והמחלק הוא הקטן ביותר )לא מחלקים ב‪ .(0-‬בספרות הנתונות המנה הגדולה ביותר היא ‪. 840 :2‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬א( המספר ‪ ;317‬ב( המספר ‪.164‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :269‬חילוק מספרים טבעיים בעזרת חילוק ארוך )התהליך הסופי של‬
‫החילוק(‬
‫בשיעור זה התלמידים לומדים חילוק ארוך של מספרים טבעיים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬משימת יישום‪.‬‬
‫‪124‬‬
‫משימות מס' ‪ :35-34‬משימות יישום בצורת שאלות מילוליות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬המסקנה‪ :‬כל התוצאות שוות‪ .‬כאשר כופלים או מחלקים מחולק ומחלק בו‪-‬‬
‫זמנית באותו מספר השונה מ‪ ,0 -‬התוצאה אינה משתנה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬שאלה מילולית‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :271‬חילוק של מספר עשרוני במספר טבעי )התהליך הסופי של החילוק(‬
‫תהליך החילוק המובא כאן הוא סופי‪ ,‬כלומר התוצאה היא מספר עשרוני סופי‪ .‬חשוב תמיד‬
‫לאמוד את התוצאה כדי למנוע טעויות רבות במיקום הנקודה העשרונית במנה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :39‬משימת יישום‪ :‬שאלה מילולית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬משימת‪ :‬שאלה מילולית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬אפשר למצוא את המחולק על‪-‬ידי כפל המחלק במנה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬גילוי טעויות נפוצות בחילוק ארוך‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :273‬חילוק מספר עשרוני במספר טבעי )המנה היא מספר עשרוני אין‪-‬סופי(‬
‫הדריכו את התלמידים שאין צורך להמשיך בתהליך החילוק עד קצה המחברת‪ ,‬אלא יש לסיים‬
‫את החילוק לפי הצורך או לפי הדרישות‪ .‬לדוגמה‪ ,‬אם גילינו את המחזור‪ ,‬אפשר לסיים את‬
‫החילוק‪ ,‬ואפשר לעגל את המספר; אם מבקשים מאתנו לעגל את התוצאה לעשיריות‪ ,‬אין צורך‬
‫לחלק מעבר למאיות גם אם לא גילינו את המחזור )כמובן אם אין הוראות אחרות(‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :45-44‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :46‬תרגיל זה חשוב מאוד לפיתוח הבנה מספרית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :47‬גם תרגילים אלה חשובים לפיתוח הבנה מספרית ולמניעת טעויות רבות בפתרון‬
‫תרגילי חילוק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :48‬יש לעגל את התוצאה לעשיריות‪ .‬כלומר אין שום צורך לחלק מעבר למאיות‬
‫במנה‪ .‬מעגלים את המספרים לפי כללי עיגול המספרים‪ :‬אם ספרת המאיות היא ‪ 3 ,2 ,1 ,0‬או ‪,4‬‬
‫ספרת העשיריות אינה משתנה‪ ,‬ו"מוותרים" על כל הספרות שאחריה‪ .‬אם ספרת המאיות היא ‪,5‬‬
‫‪ 8 ,7 ,6‬או ‪ ,9‬ספרת העשיריות תגדל ב‪ ,1 -‬וגם כאן "מוותרים" על כל הספרות שאחריה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :49‬שאלה מילולית‪ .‬אפשר לקבל תשובות שונות כאשר מעגלים באופן שונה‪ .‬כל‬
‫התלמידים צודקים‪ .‬טל חילקה בדיוק‪ .‬רן עיגל את המספר לשלמים וקיבל ‪ .9‬דן עיגל את המספר‬
‫לעשיריות וקיבל ‪.8.9‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :275‬תרגילי חילוק שקולים‬
‫שיעור זה חשוב מאוד לפיתוח הבנה מספרית ולשליטה משמעותית בנושא "חילוק מספרים‬
‫עשרוניים"‪ .‬אפשר להגיד ששיעור זה הוא השיעור המרכזי בנושא‪ .‬למעשה‪ ,‬חילוק של מספר‬
‫עשרוני במספר עשרוני מבוסס על המסקנה המתקבלת מתום שיעור זה‪ .‬כלומר אם כופלים או‬
‫מחלקים מחולק ומחלק בו‪-‬זמנית באותו מספר השונה מ‪ ,0 -‬המנה אינה משתנה‪ .‬בחילוק‬
‫מספרים עשרוניים נשתמש במסקנה זו כדי להגיע למחלק טבעי‪ ,‬כי איננו יודעים לחלק במספר‬
‫עשרוני‪ ,‬אלא במספר טבעי בלבד‪ .‬כך אפשר להבין מדוע הושקע זמן רב כל‪-‬כך בחילוק במספר‬
‫טבעי‪ .‬מסקנה זו גם מובילה את התלמידים לתרגילי חילוק שקולים זה לזה‪ .‬ההגדרה שהשתמשנו‬
‫בה היא דרך יחס‪ :‬תרגילי חילוק שמבטאים אותו יחס הם שקולים‪ .‬אפשר להגדיר תרגילים‬
‫שקולים גם על‪-‬ידי שוויון התוצאות‪ ,‬אך צריך להימנע ממקרים של חילוק עם השארית כאשר‬
‫אפשר לקבל אותה תוצאה‪ ,‬אך התרגילים לא יהיו שקולים כלל‪ .‬אם מגדירים בדרך השנייה‪ ,‬צריך‬
‫לחלק עד הסוף‪ ,‬כלומר עד לקבלת מספר עשרוני או שבר‪ .‬המסקנה כתובה גם באותיות‪ .‬כמובן‪,‬‬
‫‪125‬‬
‫אין לחייב את התלמידים ללמוד אותה‪ ,‬אבל התלמידים המסוגלים‪ ,‬לכך יוכלו להשתמש בכלל זה‬
‫גם בצורה האלגברית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :50‬שאלה מילולית‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :52-51‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :53‬הדגישו לתלמידים שכשכופלים או מחלקים מחולק ומחלק בו‪-‬זמנית באותו‬
‫מספר השונה מאפס‪ ,‬התוצאה אינה משתנה‪ ,‬ומתקבלים תרגילים שקולים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :54‬משלימים את השוויון במחולק בחלק הימני‪ .‬צריך לבדוק בכמה הגדילו )או‬
‫הקטינו( את המחלק‪ ,‬ולבצע אותה הפעולה למחולק הנתון בצד שמאל של השוויון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :55‬בסעיפים א' ו‪ -‬ב' המנה לא השתנתה‪ .‬בסעיף ג' המנה השתנתה‪ ,‬היא גדלה פי‬
‫ארבעה‪ .‬אפשר לבדוק זאת על‪-‬ידי חישוב‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :277‬חילוק מספר טבעי במספר עשרוני‬
‫כפי שהוסבר בהערות לשיעור הקודם‪ ,‬איננו יודעים לחלק במספר שונה ממספר טבעי‪ ,‬ולכן אנו‬
‫משתמשים בתרגיל שקול לתרגיל הנתון‪ .‬כופלים את המחולק ואת המחלק בחזקה של ‪) 10‬ב‪,10 -‬‬
‫‪ 1,000 ,100‬וכדומה( כדי לקבל מספר טבעי במחלק‪ .‬אם במחלק יש שתי ספרות אחרי הנקודה‬
‫העשרונית‪ ,‬כדאי לכפול את המחלק ואת המחולק ב‪ .100 -‬אם במחלק יש ספרה אחת אחרי‬
‫הנקודה העשרונית‪ ,‬כדאי לכפול את שניהם ב‪ 10 -‬וכדומה‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :57-56‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :58‬יש לפתור את התרגיל ‪) .12:0.12‬פי ‪(.100‬‬
‫משימה מס' ‪ :59‬יש לפתור את התרגיל ‪) .48:4.8‬פי ‪(.10‬‬
‫משימה מס' ‪ :60‬יש לפתור את התרגיל ‪) .60:0.06‬פי ‪(.1000‬‬
‫משימה מס' ‪ :61‬שימו לב שתרגילים שקולים אפשר לפתור בעל‪-‬פה‪ .‬חשוב גם לאמוד את‬
‫התוצאה‪ ,‬בעיקר בתרגילים כמו בסעיף ג'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :62‬את התרגילים פותרים בעזרת חילוק ארוך‪ ,‬אך חשוב לאמוד תחילה את‬
‫התוצאה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :63‬התרגיל המתאים לפתרון הוא ‪ . 125 :1 = 125 :1.25 = 100‬תשובה‪ :‬במפעל‬
‫‪4‬‬
‫הכינו ‪ 100‬בקבוקי מיץ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :64‬עודדו את התלמידים לבדוק אם מגדילים או מקטינים את המחולק ואת‬
‫המחלק פי אותו מספר בו‪-‬זמנית‪ .‬התרגיל חשוב לפיתוח הבנה מספרית‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :279‬חילוק של מספר עשרוני במספר עשרוני‬
‫שיעור זה הוא שיעור אחרון בנושא של חילוק מספרים עשרוניים‪ ,‬והפעם לומדים לחלק מספרים‬
‫עשרוניים כלשהם‪ .‬איננו יודעים לחלק במספר עשרוני‪ ,‬אלא במספר טבעי בלבד‪ ,‬לכן פותרים‬
‫תרגיל שקול לתרגיל הנתון כאשר המחלק הוא מספר טבעי‪ .‬חשוב לעודד את התלמידים לאמוד‬
‫תחילה את התוצאה‪ .‬הרגל זה ימנע חלק גדול של טעויות אופייניות‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ 65‬ו‪ :68-‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :66‬שאלה מילולית‪ .‬שימו לב שאין צורך בהעברה לתרגיל שקול‪ ,‬כי המחלק הוא‬
‫מספר טבעי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :67‬על התלמידים להרכיב את התרגילים מהספרות הנתונות‪.‬‬
‫‪126‬‬
‫משימה מס' ‪ :69‬אחרי פתרון תרגילי חילוק מתאימים משווים בין התוצאות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :70‬כמו במשימה הקודמת‪ .‬אפשר לבקש מתלמידים מתקדמים למצוא דרך לפתרון‬
‫בעל‪-‬פה‪ .‬חילוק ב‪ 0.05 -‬שקול לכפל ב‪ .20 -‬אפשר לבדוק זאת על‪-‬ידי חישוב‪.‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪281‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמודים ‪283 -282‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת תרגול‪ :‬חילוק של מספרים טבעיים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימת תרגול‪ :‬חילוק מספר ב‪ ,10 -‬ב‪ 100 -‬או ב‪ .1,000 -‬דוגמה‪, 145 :10 = 14.5 :‬‬
‫‪145 : 1,000 = 0.145 , 145 : 100 = 1.45‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬על התלמידים למקם את הנקודה במקום המתאים‪ ,‬כך שיתקבלו שוויונות‬
‫נכונים‪ .‬התלמידים צריכים לדעת כי אין משמעות לאפס משמאל למספר‪ .‬דוגמה‪:‬‬
‫א( ‪ 935.7 : 10 = 93.57‬ג( ‪ 935.7 : 100 = 9.357‬ה( ‪935.7 : 1,000 = 0.9357‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימת תרגול‪ :‬חילוק וכפל של מספר עשרוני ב‪ ,10 -‬ב‪ ,100 -‬ב‪ 1,000 -‬וב‪.10,000 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬תרגיל החילוק הוא ‪. 227 :4 = 56.75‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬מספר הפילים הוא ‪ .63‬עלינו למצוא מספר שבחילוק ב‪ ,4 -‬ב‪ 5 -‬וב‪ 6 -‬השארית‬
‫היא תמיד ‪ .3‬תחילה נמצא מספר שמתחלק בכל המספרים האלה‪ ,‬ונוסיף לו ‪ .3‬המספר המתחלק‬
‫ב‪ ,4 -‬ב‪ 5 -‬וב‪ 6 -‬הוא ‪ .60‬אם נוסיף עוד ‪ ,3‬השארית בחילוק במספרים שלעיל תהיה ‪.3‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬קל לראות שהסוכריות הן הזולות ביותר‪ ,‬כי המחיר של סוכרייה אחת הוא פחות‬
‫משקל אחד‪ .‬הוופלים הם היקרים ביותר‪ .‬אפשר להעריך שמחירו של ופל אחד הוא יותר משלושה‬
‫שקלים‪ .‬בעזרת בעיות כאלה מפתחים הבנה מספרית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬התלמידים נדרשים לכתוב תרגיל שקול לתרגיל הנתון‪ ,‬כך שהמחלק יהיה מספר‬
‫טבעי‪ .‬דוגמאות‪3.96 :0.03 = 396 :3 = 132 , 61.2 :0.4 = 612 : 4 = 153 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימת תרגול‪ :‬משמעות הביטוי "הקטינו פי"‪ .‬המנה המתקבלת היא ‪.17‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬שאלה מילולית‪ .‬סיכום הידע שנרכש בחילוק מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫להלן הפתרונות של השאלה המילולית‪:‬‬
‫א( המחיר של קילוגרם עגבניות בחנות הירקות הוא ‪.₪ 10.9‬‬
‫ב( המחיר של קילוגרם עגבניות בשוק העירוני הוא ‪ 5.45‬ש"ח‪ .‬ג( המחולק ‪ 21.8‬גדול פי שניים‬
‫מהמחולק ‪ .10.9‬המנה ‪ 10.9‬גדולה פי שניים מהמנה ‪ .5.45‬המחלק בשני התרגילים הוא ‪ .2‬ד(‬
‫שני התרגילים שקולים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬כפל וחילוק של מספרים עשרוניים וגם חוקי ‪ 0‬ו‪ .1 -‬התרגיל חשוב מאוד לפיתוח‬
‫הבנה מספרית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬דונו עם התלמידים במציאת המחולק או המחלק החסר בשוויונות או באי‪-‬‬
‫שוויונות הנתונים במשימה‪.‬‬
‫בסעיף א' המחולק ‪ 45‬גדול מהמחולק ‪ 4.5‬פי עשרה‪ .‬כדי לשמור על השוויון יש לבחור שני מספרים‬
‫שהאחד גדול מהשני פי עשרה‪ .‬דוגמה‪4.5 : 0.9 = 45 : 9 :‬‬
‫בסעיף ב' חסר מחולק באגף הימני של האי‪-‬שוויון‪ .‬המספר יכול להיות כל מספר גדול מ‪,113.6 -‬‬
‫שכן‪ ,‬המחלק ‪ 4‬גדול מהמחלק פי שניים‪ .‬דוגמה‪56.8 : 2 < 114 : 4 :‬‬
‫‪127‬‬
‫שאלות מילוליות‪ ,‬עמוד ‪284‬‬
‫שאלה מס' ‪ :1‬א( ‪ 2.7‬טונות הן ‪ 2,700‬ק"ג‪ .‬להובלת ‪ 2.7‬טונות של סחורה נדרשות ‪ 5‬נסיעות‪ .‬ב( אם‬
‫בכל ארבע הנסיעות הראשונות משקל הסחורה היה מרבּי )כלומר ‪ 600‬ק"ג(‪ ,‬בנסיעה האחרונה‬
‫משקל הסחורה היה ‪ 300‬ק"ג‪.‬‬
‫שאלה מס' ‪ :2‬כל חלוץ סלל בממוצע שישה מטרים בשעה‪.‬‬
‫החלוץ היעיל ביותר הוא החלוץ השלישי‪ ,‬שסלל שבעה מטרים של כביש בשעה‪.‬‬
‫שאלה מס' ‪ :3‬כשמחלקים ‪ ₪ 256‬ל‪ ₪ 32 -‬מתקבל ‪ ,8‬שזהו מספר חבילות השי שנמכרו‪ .‬אם כך‪,‬‬
‫נמכרו שמונֶה בובות‪ 16 ,‬משחקים ו‪ 24 -‬קופסאות צבע‪.‬‬
‫שאלה מס' ‪ַ :4‬עניינו את התלמידים בנושא ה"קראט"‪ .‬מדובר ביחידת משקל השווה ל‪ 0.2 -‬גרם‪.‬‬
‫המשקל של חצי קראט יהלום הוא ‪ 0.1‬גרם‪ .‬המשקל של יהלום שמשקלו שבעה גרמים הוא ‪35‬‬
‫קראט‪.‬‬
‫שאלה מס' ‪ :5‬א( בכיתה אפשר להרכיב ‪ 5‬קבוצות מלאות‪ .‬ב(שלושה תלמידים נותרו לצורך‬
‫החלפה‪.‬‬
‫שאלה מס' ‪ :6‬א( אפשר להרכיב ‪ 5‬קבוצות‪ .‬ב( תלמיד אחד לא ישתתף בתחרות‬
‫היסטוריה‪ ,‬עמוד ‪285‬‬
‫בחלק זה של היסטוריה מלמדים את התלמידים על מציאת ‪ 2‬על‪-‬ידי קירובים שלו‪ .‬גילוי‬
‫השורשים בזמן היוונים גרם זעזוע בעולם המתמטיקאים כשחשבו שקיימים רק מספרים שלמים‬
‫ושברים‪.‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪286‬‬
‫משימות מס' ‪ 4-1‬ההנחה היא שהשארית קטנה מהמחלק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬כאן השארית יכולה להיות ‪ ,1 ,2 ,3 ,4‬לכן המספרים המתאימים הם ‪,18 ,12 ,6‬‬
‫‪.24‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬כאשר מחלקים מספר ב‪ ,6 -‬השארית יכולה להיות ‪ 4 ,3 ,2 ,1‬או ‪ .5‬במקרה זה‬
‫המנה שווה לפעמיים השארית‪ .‬דוגמאות למספרים מתאימים‪ 52 ,39 ,26 ,13 :‬ו‪.65 -‬‬
‫)‪65 : 6 = 10( 5 ) 52 : 6 = 8( 4 ) 39 : 6 = 6( 3 ) 26 : 6 = 4( 2‬‬
‫)‪13 : 6 = 2( 1‬‬
‫הנחו את התלמידים לכתוב שוויון שבו חסר המחולק וחסרה המנה‪ ,‬ונתונים המחלק והשארית‪.‬‬
‫המנה שווה לפעמיים השארית ומכאן פשוט למצוא את המחולק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימה זו דומה למשימה הקודמת‪ ,‬אך הפעם התלמידים נדרשים למצוא שלושה‬
‫מספרים שכאשר מחלקים אותם ב‪ ,4 -‬המנה שווה לשלוש פעמים השארית‪.‬‬
‫כאשר מחלקים מספר ב‪ ,4 -‬השארית יכולה להיות ‪ 1‬או ‪ 2‬או ‪.3‬‬
‫המספרים המתאימים הם ‪ 18 ,9‬ו‪.27 -‬‬
‫)‪27 : 4 = 6( 3 ) 18 : 4 = 4( 2) 9 : 4 = 2( 1‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬התלמידים נדרשים למצוא שלושה מספרים בין ‪ 100‬ל‪ ,200 -‬שכאשר מחלקים‬
‫אותם ב‪ ,25 -‬השארית שווה למנה‪ .‬המספרים הם ‪ 156 ,130‬ו‪.182 -‬‬
‫) ‪182 : 25 = 7( 7‬‬
‫) ‪156 : 25 = 6( 6‬‬
‫) ‪130 : 25 = 5( 5‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬כאשר מחליפים נוצה בטבעת‪ ,‬המשקל עולה ב‪ 2.5-‬גר'‪ .‬לכן משקל טבעת גדול ב‪-‬‬
‫‪ 2.5‬גר' ממשקל נוצה‪ .‬אם מחליפים ‪ 4‬נוצות ב‪ 4 -‬טבעות‪ ,‬המשקל עולה ב‪ 10 -‬גר'‪ .‬לכן משקל ‪7‬‬
‫טבעות הוא ‪ 28‬גר'‪ ,‬ומשקל טבעת הוא ‪ 4‬גר'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬שאלה מילולית העוסקת במשקל‪.‬‬
‫‪128‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬המנה של ‪ 26‬ב‪ 11 -‬היא מספר עשרוני מחזורי‪26 : 11 = 2.3636... .‬‬
‫הספרות במקום האי‪-‬זוגי מימין לנקודה הן ‪ ,3‬והספרות במקום הזוגי מימין לנקודה הן ‪ .6‬כלומר‬
‫במקום החמישי ובמקום ה‪ 103 -‬תהיה הספרה ‪ ,3‬ובמקום השישי ובמקום ה‪ 30 -‬תהיה הספרה ‪.6‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪287‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על הנושאים‪ :‬פתרון שאלה מילולית רב‪-‬שלביות‪ ,‬סימטריה שיקופית‪ ,‬קשרי‬
‫הכלה במרובעים‪ ,‬השוואה בין שברים והשוואה בין מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫‪129‬‬
‫עמ' ‪307 - 288‬‬
‫יב‪ .‬אחוזים‬
‫רקע‬
‫פרק זה עוסק בנושא אחוזים‪ .‬לעתים קרובות אנו נתקלים בחיי היום‪-‬יום בשברים שהמכנה‬
‫שלהם הוא ‪ ,100‬כלומר במאיות‪ .‬המאית קיבלה שם מיוחד ‪ -‬אחוז‪ .‬את האחוז נוהגים לסמן‬
‫‪37‬‬
‫בסימן ‪ 37% .%‬הם‬
‫)שלושים ושבע מאיות(‪ ,123% .‬מאה עשרים ושלושה אחוז‪ ,‬הם מאה‬
‫‪100‬‬
‫‪123‬‬
‫‪23‬‬
‫‪.‬‬
‫עשרים ושלוש מאיות‪ ,‬כלומר שלם ועשרים ושלוש מאיות‪.‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪100‬‬
‫‪100‬‬
‫המושג "אחוז" הפך לאחד המושגים השימושיים ביותר בחיינו‪ ,‬בעיקר בנושאים כספיים )קניות‪,‬‬
‫מכירות‪ ,‬הנחות‪ ,‬בנקים וכדומה(‪ .‬משתמשים באחוזים בעיקר לתיאור חלק של כמות‪ .‬לכן נוהגים‬
‫לומר "‪ 50%‬מהכדורים"‪ ,‬אך אין נוהגים לומר "‪ 50%‬מהמטר"‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫×‪5‬‬
‫× "‪ .‬כלומר במקום לכתוב "‪ 5‬מאיות" כך‪:‬‬
‫הסימן ‪ %‬הוא קיצור ל‪ " × 0.01 " -‬או ל‪" -‬‬
‫‪100‬‬
‫‪100‬‬
‫או כך‪ 5 × 0.01 :‬אפשר לכתוב ‪ .5%‬למרות זאת המונחים "שבר שמכנהו ‪ "100‬ו"מספר עשרוני"‬
‫אינם זהים לגמרי למונח "אחוזים"‪" .‬שבר" או "מספר עשרוני" הם מספרים בפני עצמם‪ ,‬שאינם‬
‫חייבים להיות מלווים בכינוי‪ .‬לעומת זאת למונח "אחוזים" נדרשת תמיד הגדרה של שלם‪ .‬אפשר‬
‫לומר‪ ,‬כי השימוש באחוזים יכול לבוא במקום שבר פשוט או מספר עשרוני המבטאים חלק מתוך‬
‫כמות‪ .‬לדוגמה‪ ,‬במקום לכתוב ‪ 0.57‬מהתפוזים כותבים ‪ 57%‬מהתפוזים‪ .‬אפשר לכתוב כאחוז גם‬
‫מספרים עשרוניים שמופיעה בהם ספרה אחת בלבד מימין לנקודה העשרונית )‪,10%=0.1‬‬
‫‪ .(460%=4.6‬למעשה‪ ,‬אפשר לכתוב כל מספר עשרוני כאחוז )דוגמה‪ ,(1.854 = 185.4% :‬אך לא‬
‫תמיד יש טעם להשתמש בכתיבת האחוז‪ .‬חשוב שהתלמידים ידעו את כל ההשלכות הנובעות מכך‬
‫שאחוז הוא שם אחר למאית‪ .‬כך הם יוכלו להחליף אחוז בשבר או במספר עשרוני בצורה קלה‪ ,‬וכן‬
‫להחליף שבר באחוז או מספר עשרוני באחוז‪ .‬כך תהיה שליטתם בנושא אחוזים מרבית‪.‬‬
‫הנושא אחוזים מופיע בשני פרקים שונים‪ .‬בפרק זה עוסקים בעיקר בהקניית המושג "אחוז" וכן‬
‫בהיבטים השונים הקשורים אליו‪ ,‬כמו מציאת ערך האחוז מתוך כמות נתונה או מציאת אחוז‬
‫מכמות‪ .‬בפרק מתרגלים את המעבר מאחוז לשבר ולמספר עשרוני ולהפך‪ .‬הפרק השני בנושא‬
‫יעסוק בהיבט נוסף של האחוז ‪ -‬היחס ‪ -‬וכן בקשרים השונים בין האחוז‪ ,‬היחס‪ ,‬השבר והמספר‬
‫העשרוני‪ .‬כמו‪-‬כן יעסוק הפרק בפתרון בעיות באחוזים‪.‬‬
‫הערה‪ :‬לפי דרישה של תכנית הלימודים‪ ,‬יש לדעת בעל‪-‬פה את הערכים בשברים של האחוזים‬
‫‪1‬‬
‫האלה‪ 75% , 12 % ,25% ,50% :‬ו‪ .10% -‬לכן חשוב להקדיש חלק מהזמן לחישובים בעל‪-‬פה‬
‫‪2‬‬
‫ולחישובים בשלבים לאו דווקא רשמיים‪.‬‬
‫בתכנית הלימודים מומלץ ללמד את הנושא "אחוזים" במשך כ‪ 15 -‬שעות‪ .‬מומלץ להקדיש ללימוד‬
‫פרק זה כ‪ 8 -‬שעות לימוד‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬להגדיר את האחוז כשם אחר למאית;‬
‫ב‪ .‬לקרוא את האחוזים הכתובים במספרים;‬
‫ג‪ .‬לכתוב את האחוז כשבר שמכנהו ‪;100‬‬
‫ד‪ .‬לכתוב את האחוז כשבר מצומצם;‬
‫ה‪ .‬לכתוב את האחוז כמספר עשרוני;‬
‫ו‪ .‬לייצג אחוז מכמות נתונה על‪-‬ידי ייצוגים שונים;‬
‫ז‪ .‬לחשב את ערך האחוז;‬
‫ח‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫לחשב בעל‪-‬פה את הערכים בשברים של האחוזים‪, 12 % ,10% ,20% ,25% ,50% :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 33 %‬ו‪;100% -‬‬
‫‪3‬‬
‫‪130‬‬
‫ט‪.‬‬
‫י‪.‬‬
‫להשלים אחוז נתון ל‪;100% -‬‬
‫למצוא את ערך האחוז מכמות כלשהי‪.‬‬
‫מושגים‬
‫אחוז‪ ,‬מאית‪ ,‬מספר עשרוני‪ ,‬שבר‪ ,‬ייצוג האחוז‪ ,‬ערך האחוז‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫לוח משבצות ‪ , 10 × 10‬רצועה‪ ,‬עיגולים‪ ,‬ריבועים‪ ,‬מלבנים‪ ,‬דפים של ציורים של חפצים בכמויות‬
‫שונות‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על שברים שמכניהם ‪.100‬‬
‫על הלוח רשומים שברים שונים שמכניהם ‪ .100‬מבקשים מהתלמידים למצוא שבר השווה לשבר‬
‫הנתון על‪-‬ידי צמצום השבר‪) .‬כדאי לרשום על הלוח שברים השווים לשלם או למספרים מעורבים‪(.‬‬
‫‪300 100 20 108 5‬‬
‫‪54 24‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫דוגמאות לשברים‪:‬‬
‫‪100 100 100 100 100 100 100 100‬‬
‫מטרת הפעילות היא להכין את התלמידים לעבודה בנושא האחוז‪ .‬מאחר שהאחוז הוא שם אחר‬
‫למאית‪ ,‬כדאי לפתוח בשברים שמכניהם ‪.100‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על שברים שאפשר להרחיבם לשברים שמכניהם ‪.100‬‬
‫פעילות הפוכה לקודמת‪ .‬התלמידים מתבקשים להרחיב כל אחד מהשברים הנתונים לשבר‬
‫‪9 7 1 3 1 4‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫שמכנהו ‪ .100‬דוגמאות לשברים‪, , , , :‬‬
‫‪10 20 2 4 4 5‬‬
‫המכנים של השברים הנתונים הם מחלקים של ‪ .100‬המחלקים של ‪ 100‬הם ‪,25 ,20 ,10 ,5 ,4 ,2 ,1‬‬
‫‪ 50‬ו‪.100 -‬‬
‫ג‪ .‬חזרה על הפיכת שבר למספר עשרוני‪.‬‬
‫שמכניהם‬
‫שברים‬
‫רשומים‬
‫הלוח‬
‫על‬
‫‪25 9 57 31 8 230 230‬‬
‫‪ .‬מבקשים מהתלמידים להפוך אותם למספרים עשרוניים‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪, ,‬‬
‫‪, ,‬‬
‫‪100 10 100 10 1000 10 100‬‬
‫אפשר להרחיב פעילות זו ולרשום על הלוח שברים שונים שמכניהם הם מחלקים של ‪ 10‬או‬
‫חזקותיו ולבקש מהתלמידים להפוך אותם למספרים עשרוניים‪ .‬דוגמאות לשברים‪:‬‬
‫‪1 1 3 4 1 3 7 15 6‬‬
‫‪. , , , , , , , ,‬‬
‫‪2 4 4 5 8 8 20 25 50‬‬
‫‪,10‬‬
‫‪,100‬‬
‫או‬
‫‪,1,000‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫ד‪ .‬חזרה על הפיכת מספר עשרוני לשבר‪.‬‬
‫רושמים על הלוח מספרים עשרוניים‪ ,‬למשל‪.6.7 ,4.5 ,0.125 ,0.75 ,0.5 ,0.25 ,0.15 ,0.5 ,0.9 :‬‬
‫מבקשים מהתלמידים להפוך כל אחד מהמספרים העשרוניים לשבר‪ .‬הדגש בפעילות זו יושם על‬
‫שברים שהמכנה שלהם הוא ‪.100‬‬
‫ה‪ .‬חזרה על כפל ועל חילוק של מספרים טבעיים ושל מספרים עשרוניים ב‪.100 -‬‬
‫על הלוח רשומים מספרים שלמים ומספרים עשרוניים‪ ,‬והתלמידים מתבקשים לחלק ולכפול כל‬
‫אחד מהמספרים ב‪ .100 -‬דוגמאות למספרים‪.450 ,300 ,20.06 ,89.975 ,6.7 ,35 ,0.1 ,1 ,10 ,100 :‬‬
‫ו‪ .‬חזרה על מציאת חלק מכמות‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים למצוא חלק מכמות נתונה‪ .‬החישוב ייעשה בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫‪131‬‬
‫‪3‬‬
‫דוגמאות‪ :‬חצי מ‪ ,50 -‬רבע מ‪,24 -‬‬
‫‪10‬‬
‫וכדומה‪.‬‬
‫מ‪ ,100 -‬מאית מ‪ ,100 -‬מאית מ‪ ,200 -‬מאית מ‪250 -‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬אחוזים בחיי היום‪-‬יום‪.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים לחפש בעיתונים היומיים או השבועיים או במדורי הפרסום למיניהם‬
‫מודעות פרסום של הנחות הניתנות ברכישת מוצרים שונים‪ .‬התלמידים מתבקשים להעתיק את‬
‫המודעות או להביא אותן לכיתה‪ .‬דנים במה שכתוב במודעות‪ .‬דוגמה למודעה‪" :‬סוף עונה! הנחה‬
‫של ‪ 50%‬על כל פריט"‪ .‬מבקשים מהתלמידים לקרוא את המודעה בקול רם‪ .‬שואלים את‬
‫התלמידים‪" :‬מה משמעות הכתוב? מה פירוש '‪ 50%‬הנחה על כל ְפּריט'?"‬
‫מטרת הפעילות היא להראות את השימוש באחוזים בחיי היום‪-‬יום ולגלות את חשיבות הנושא‪.‬‬
‫בתום הדיון מגדירים את המושג אחוז‪.‬‬
‫פעילות ב‪ :‬ייצוג האחוז )‪ (1%‬כחלק משלם או כחלק של כמות‪.‬‬
‫התלמידים מקבלים דפים חלקים ומתבקשים לייצג אחוז אחד )‪ (1%‬בדרך כלשהי‪ .‬בשלב זה‬
‫הפעילות היא חופשית לגמרי‪ ,‬כלומר על התלמידים לבחור ייצוג לשלם‪ ,‬לחלק אותו ל‪ 100 -‬חלקים‬
‫שווים ולצבוע חלק אחד שהוא מאית )‪ .(1%‬בשלב הבא מחלקים לתלמידים דפים שמצוירים בהם‬
‫שלמים שונים‪ :‬עיגול‪ ,‬ריבוע‪ ,‬מלבן‪ ,‬מספר עיגולים‪ ,‬מספר חפצים‪ .‬התלמידים מתבקשים לסמן‬
‫בכל מקרה ‪ 1%‬ולאחר מכן כמות אחרת המיוצגת על‪-‬ידי אחוז אחר‪ ,‬לדוגמה ‪ 100% ,50% ,20%‬או‬
‫‪ .5%‬דנים בדרכי הפתרון‪.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬ייצוג אחוזים כחלק משלם או כחלק מכמות‪.‬‬
‫מחלקים לתלמידים דפים ובהם שלמים שונים‪ .‬השלם יכול להיות עיגול‪ ,‬מלבן‪ ,‬ריבוע‪ 10 ,‬כדורים‪,‬‬
‫‪ 100‬משבצות‪ .‬מבקשים מהילדים לסמן בכל אחד מהשלמים את החלק המבטא ‪ ,50%‬אח"כ ‪,25%‬‬
‫‪ .20%‬דנים בשאלות‪ :‬מה מייצג ‪ ?50% ,100%‬חשוב לקשר בין אחוז לבין שבר "פשוט"‪ ,‬כמו‪ :‬חצי‬
‫ורבע‪.‬‬
‫פעילות ד‪ :‬המעבר מאחוז לשבר‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים למצוא דרך לרשום את האחוזים‪,150% ,125% ,75% ,5% ,0.5% ,12.5% :‬‬
‫‪ 300%‬ו‪ 500% -‬כשבר )או כמספר שלם(‪ ,‬אם ידוע כי ‪ 25%‬הם רבע‪ 10% ,‬הם עשירית‪ 1% ,‬הוא‬
‫מאית ו‪ 100% -‬הם ‪.1‬‬
‫פעילות ה‪ :‬המעבר מאחוז למספר עשרוני‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים למצוא דרך לרשום את האחוזים‪,150% ,125% ,75% ,5% ,0.5% ,12.5% :‬‬
‫‪ 300%‬ו‪ 500% -‬כמספר עשרוני‪ ,‬אם ידוע כי ‪ 0.1=10% ,0.25=25%‬ו‪.1=100% -‬‬
‫פעילות ו‪ :‬השוואה בין אחוז לבין שלם‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים לכתוב שלוש דוגמאות לאחוזים קטנים משלם ושלוש דוגמאות לאחוזים‬
‫גדולים משלם‪.‬‬
‫אחר‪-‬כך התלמידים מתבקשים לדון בדרכים להשוואה בין אחוז לבין ‪) 1‬שלם(‪.‬‬
‫רושמים על הלוח אחוזים שונים‪ ,‬ומבקשים מהתלמידים להקיף בעיגול אחוזים המייצגים חלק‬
‫קטן משלם‪ ,‬ולמתוח קו מתחת לאחוזים המייצגים חלק גדול משלם‪.‬‬
‫דוגמאות לאחוזים‪.503% ,200% ,98% ,50% ,120% ,45% ,1% ,12% :‬‬
‫פעילות ז‪ :‬עבודה בקבוצות‪ .‬מחלקים את תלמידי הכיתה לקבוצות‪ .‬רצוי שבכל קבוצה יהיו ‪ 4‬עד ‪5‬‬
‫תלמידים‪ .‬כל תלמיד מספר על אירוע שקרה לו ברכישת ְפּריט כלשהו‪ ,‬שניתנה עליו הנחה‪ .‬התלמיד‬
‫הפּריט לפני ההנחה‪ ,‬את ההנחה שניתנה לו באחוזים‪ ,‬את ההנחה‬
‫צריך לכלול בסיפור את מחיר ְ‬
‫שניתנה לו בשקלים‪ ,‬ואת המחיר ששילם לאחר ההנחה‪.‬‬
‫התלמידים בכל קבוצה מתבקשים להציג בפני המליאה את אחד הסיפורים ולהדגיש את ההנחה‬
‫שניתנה הן באחוזים והן בשקלים‪ .‬הדוגמאות של התלמידים יהוו דוגמאות לערך האחוז‪.‬‬
‫‪132‬‬
‫הספר לתלמיד‬
‫שימו לב שפרק זה מתחיל ישר בהקניה‪ ,‬כלומר אין בו "לעלות על הגל"‪ ,‬ולא נעשית חזרה על‬
‫החומר שנלמד קודם לכן‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :288‬האחוז‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי א' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה התלמידים לומדים את המושג‬
‫"אחוז" ואת הגדרתו )ראו גם את הכתוב ברקע לפרק זה(‪ .‬הקשר בין האחוז לבין שתי צורות‬
‫הכתיבה של המאית כשבר וכמספר עשרוני נעשה באופן מידי‪ .‬חשוב שהתלמידים ידעו להפוך את‬
‫האחוזים גם לשברים וגם למספרים עשרוניים לפי הצורך‪ .‬הדגישו לתלמידים ששתי צורות‬
‫הקריאה של האחוזים ‪" -‬עשרים אחוז" או "עשרים אחוזים" ‪ -‬הן נכונות‪) .‬אבל כאשר סופרים‬
‫עד‪ ,10%‬יש לומר "אחוזים"‪ ,‬למשל "חמישה אחוזים"‪ ,‬ולא "חמישה אחוז"‪ (.‬הבהירו לתלמידים‬
‫שאפשר לקרוא כל שבר שמכנהו ‪ 100‬בשלוש צורות‪ :‬כשבר‪ ,‬כמספר עשרוני וכאחוז‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬המשימה קלה כיוון שכל השברים הם מאיות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימה הפוכה לקודמת‪ .‬התלמידים מתבקשים להפוך את האחוזים למאיות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬בשלב הראשון יהפכו התלמידים את האחוזים למאיות‪ ,‬ובשלב השני הם יצמצמו‬
‫את השברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬על התלמידים להרחיב את השבר הנתון לשבר שמכנהו ‪ ,100‬ולרשום אותו כאחוז‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬התלמידים נדרשים להתאים שבר לאחוז‪ .‬הזוגות הם א ו‪,1-‬‬
‫ג ו‪ 3-‬ו‪ -‬ד ו‪.2-‬‬
‫ב ו ‪,4 -‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬הערכים השווים‪= 0.75 = 75% , = 0.25 = 25% , = 0.5 = 50% :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬בשלב הראשון של המשימה מרחיבים למאיות‪ ,‬ובשלב השני הופכים לאחוזים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :290‬אחוז ומספר עשרוני‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ה' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה התלמידים לומדים להפוך אחוז‬
‫למספר עשרוני ולהפך‪ :‬להפוך מספר עשרוני לאחוז‪ .‬כשהופכים אחוז למספר עשרוני‪ ,‬מחליפים את‬
‫הסימן "‪ "%‬למכפלה‬
‫ב ‪ .0.01-‬דוגמה‪. 34 × 0.01 = 34% :‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬על התלמידים לרשום את האחוזים כמספרים עשרוניים‪ .‬במשימה הוחלט לוותר‬
‫על פירוט הדרך לפתרון‪ .‬בהתאם לרצונכם ולשיקול דעתכם‪ ,‬בקשו מהתלמידים לפרש את הדרך‪:‬‬
‫‪. 27% = 27 × 0.01 = 0.27‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬על התלמידים לרשום כל שבר כאחוז וכמספר עשרוני‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬על התלמידים לכתוב את המספרים העשרוניים כאחוזים‪.‬‬
‫ד( ‪0.97 = 97%‬‬
‫ג( ‪0.64 = 64%‬‬
‫ב( ‪0.04 = 4%‬‬
‫דוגמאות‪ :‬א( ‪0.7 = 70%‬‬
‫‪133‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬מומלץ להשלים את הטבלה במליאה‪ .‬כל תלמיד בכיתה ימצא את האחוז‪ ,‬את‬
‫המספר העשרוני או את השבר‪.‬‬
‫להלן הטבלה המלאה‪:‬‬
‫שבר‬
‫מספר עשרוני‬
‫אחוז‬
‫‪0.34‬‬
‫‪34%‬‬
‫א‬
‫‪34 17‬‬
‫=‬
‫‪100 50‬‬
‫‪0.27‬‬
‫‪27%‬‬
‫ב‬
‫‪27‬‬
‫ג‬
‫‪18%‬‬
‫‪0.18‬‬
‫ד‬
‫‪25%‬‬
‫‪0.25‬‬
‫ה‬
‫‪60%‬‬
‫‪0.6‬‬
‫ו‬
‫‪6%‬‬
‫‪0.06‬‬
‫ז‬
‫‪40%‬‬
‫‪0.4‬‬
‫ח‬
‫‪75%‬‬
‫‪0.75‬‬
‫‪100‬‬
‫‪18‬‬
‫‪9‬‬
‫=‬
‫‪100 50‬‬
‫‪1 25‬‬
‫=‬
‫‪4 100‬‬
‫‪60 3‬‬
‫=‬
‫‪100 5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫=‬
‫‪100 50‬‬
‫‪40 2‬‬
‫=‬
‫‪100 5‬‬
‫‪75 3‬‬
‫=‬
‫‪100 4‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬אפשר לפתח את המשימה כך‪ :‬אפשר לבחור מספר משפטים מהעיתון ולבדוק‬
‫אם משמעותם מובנת לתלמידים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬מטרת המשימה הזו היא לפתח מיומנויות של הפיכת מספר עשרוני או מספר‬
‫מעורב לאחוז‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪75‬‬
‫‪1 =1‬‬
‫דוגמה‪ :‬א( ‪ 1.06 = 106%‬ב( ‪ 1.23 = 123%‬ג( ‪= 175%‬‬
‫‪4‬‬
‫‪100‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬הפיכת מספר עשרוני לאחוז או הפיכת מספר מעורב לאחוז‪.‬‬
‫‪160‬‬
‫‪75‬‬
‫‪5‬‬
‫= ‪160%‬‬
‫= ‪ 75%‬ג( ‪= 1.6‬‬
‫= ‪ 5%‬ב( ‪= 0.75‬‬
‫דוגמאות‪ :‬א( ‪= 0.05‬‬
‫‪100‬‬
‫‪100‬‬
‫‪100‬‬
‫‪125‬‬
‫ה( ‪= 1.25‬‬
‫‪100‬‬
‫‪175‬‬
‫ו( ‪= 1.75‬‬
‫‪100‬‬
‫‪8‬‬
‫ד( ‪= 0.08‬‬
‫‪100‬‬
‫‪90‬‬
‫‪108‬‬
‫ז( ‪= 0.9‬‬
‫= ‪108%‬‬
‫= ‪ 90%‬ח( ‪= 1.08‬‬
‫‪100‬‬
‫‪100‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫= ‪3%‬‬
‫= ‪ 0.5%‬י( ‪= 0.03‬‬
‫ט( ‪ 0.5% = 0.5 :100 = 0.005‬או ‪= 0.005‬‬
‫‪100‬‬
‫‪1000‬‬
‫= ‪8%‬‬
‫‪245‬‬
‫יא( ‪= 2.45‬‬
‫‪100‬‬
‫= ‪245%‬‬
‫‪2‬‬
‫יד( ‪= 0.002‬‬
‫‪1000‬‬
‫= ‪0.2%‬‬
‫= ‪125%‬‬
‫‪205‬‬
‫יב( ‪= 2.05‬‬
‫‪100‬‬
‫= ‪205%‬‬
‫= ‪175%‬‬
‫‪220‬‬
‫יג( ‪= 2.20‬‬
‫‪100‬‬
‫= ‪220%‬‬
‫‪103‬‬
‫‪105‬‬
‫= ‪ 105%‬טז( ‪= 1.03‬‬
‫טו( ‪= 1.05‬‬
‫‪100‬‬
‫‪100‬‬
‫‪134‬‬
‫= ‪103%‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬א( לא‪-‬נכון‪ .‬ב( נכון ג( נכון ד( נכון ה( לא‪-‬נכון‬
‫ח( נכון‬
‫ו( לא‪-‬נכון‬
‫ז( לא‪-‬נכון‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :292‬ייצוג האחוז‬
‫ייצוג של אחוז אחד דומה לייצוג של השבר מאית )האחוז הוא שם אחר למאית(‪ ,‬לפיכך אפשר‬
‫לייצג אחוז ממשהו על‪-‬ידי ריבוע‪ ,‬עיגול‪ ,‬מלבן וכדומה‪ ,‬והצורה שנבחרה משמשת כשלם‪ ,‬כלומר‬
‫‪ .100%‬כמו בייצוג שברים על‪-‬ידי שטח שמשמש כשלם‪ ,‬יש להדגיש לתלמידים כי חלוקת השלם ל‪-‬‬
‫‪ 100‬חלקים שווים היא חשובה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬התלמידים מתבקשים תחילה לרשום את האחוז כשבר ולאחר מכן לצבוע מספר‬
‫משבצות בהתאם לאחוז הנתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬משימה הפוכה למשימה הקודמת‪ .‬בסעיפים ד'‪-‬ז' רצוי לכתוב תחילה את השבר‬
‫ואחר‪-‬כך להפכו לאחוז‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬התלמידים מתבקשים לצבוע מספר משבצות המתאים להוראות‪ .‬בכל אחד‬
‫מהסעיפים שבמשימה השלם מיוצג על‪-‬ידי ‪ 100‬משבצות‪ .‬אם צובעים את כל המשבצות‪ ,‬נקבל‬
‫‪ 100%‬של המשבצות צבועות‪ .‬כדי לצבוע פחות מ‪ 20% -‬מהמשבצות התלמידים יכולים לצבוע בין‬
‫‪ 0‬ל‪ 19 -‬משבצות‪ .‬כדי לצבוע ‪ 120%‬מהמשבצות צריך לצבוע את כל המשבצות במלבן אחד ו‪20 -‬‬
‫משבצות במלבן הסמוך לו‪.‬‬
‫תלמידים יכולים לצבוע מספר משבצות שונה‪ ,‬כי במשימה זו יכולות להיות תשובות ודרכים‬
‫שונות לפתרון‪ .‬חשוב לשוחח עם התלמידים על דרכי הפתרון שלהם‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :294‬ערך האחוז‬
‫בשיעור זה התלמידים לומדים למצוא את ערך האחוז )תמורת האחוז(‪ .‬הדרך המומלצת כאן היא‬
‫למצוא תחילה ערך של ‪) 1%‬מאית( ולאחר מכן לכפול במספר האחוזים הנתון‪ .‬לדוגמה‪ ,‬בחנות‬
‫ניתנה הנחה של ‪ 20%‬על כל פריט‪ ,‬וברצוננו לקנות חולצה שמחירה ‪ .₪ 100‬כדי שנדע כמה שקלים‬
‫נחסוך בקנייה זו‪ ,‬עלינו למצוא ערך של ‪ 20%‬מ‪ 1% .100 -‬מ‪ ₪ 100 -‬הוא ‪) ₪ 1‬מאית מ‪20% ,(100 -‬‬
‫מ‪ ₪ 100 -‬הם ‪) ₪ 20‬עשרים מאיות ממאה(‪.‬‬
‫באותה דרך אפשר לפעול כשמבקשים לדעת את ערך האחוז‪ .‬הסבו את תשומת לב התלמידים‬
‫שלערך של אחוז יש אותו כינוי כמו למספר הנתון‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :20 -19‬במשימות אלו ערכי האחוז הם מספרים שלמים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬הפעם ‪ 1%‬מ‪ 760 -‬מ' הוא ‪ 7.6‬מ' )מספר עשרוני(‪ 30% .‬מ‪ 760 -‬מ' הם ‪ 228‬מ'‬
‫)שימו לב לכינוי( כי ‪ . 7.6 × 30 = 228‬את הערך של ‪ 50%‬מהעבודה אפשר לחשב בשתי דרכים‪ :‬על‪-‬‬
‫ידי מציאת ערך אחוז אחד; או לפי הידיעה ש‪= 50% -‬חצי‪ ,‬ולכן מספיק לחלק את ‪ 760‬ב‪ ,2 -‬כלומר‬
‫מקבלים ‪ 380‬מ'‪) .‬אם מילאתם את הטבלה שהומלצה בהסבר לשיעור הראשון‪ ,‬ודאו ש‪50% -‬‬
‫נמצאים שם‪ 100% (.‬של העבודה הם כל העבודה‪ ,‬כלומר ‪ 760‬מ'‪ .‬חשוב לשוחח עם התלמידים על‬
‫דרכי הפתרון‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :295‬אחוזים נפוצים בחיי היום‪-‬יום‬
‫בשיעור זה לומדים דרכי חישוב של ערכי אחוזים שקל לחשב אותם בעל‪-‬פה‪ ,‬כגון‪,50% ,100% :‬‬
‫‪ 20% ,25%‬ו‪ .10%-‬המשיכו למלא את הטבלה בהתאם ללמידה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬משימת יישום‪ .‬רצוי שבשלב זה יידעו התלמידים בעל‪-‬פה ש‪ 10% -‬זה‬
‫‪10‬‬
‫‪.0.1‬‬
‫או‬
‫משימה מס' ‪ :23‬רצוי לבצע משימה זו בקבוצות‪ .‬דוגמאות לנושאים שיש בהם שימוש באחוזים‪:‬‬
‫מבצעי הנחות והוזלות‪ ,‬התייקרות של מוצרים או עליה ברמת החיים‪ ,‬אחוזי שומן במוצרי חלב‪,‬‬
‫שינויים במדדים שונים בבורסה‪ ,‬אחוזי הצלחה במבחנים או בקליעת כדור לסל‪ ,‬ועוד‪.‬‬
‫יש לעודד את התלמידים לחפש בעיתונים תחומים שנעשה בהם שימוש באחוזים‪.‬‬
‫‪135‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬אחד הנושאים הנפוצים בחיי היום‪-‬יום לשימוש באחוזים הוא הנחות‪ ,‬הוזלות‬
‫והתייקרויות‪ ,‬וחשוב שהתלמידים יבינו את המושגים הללו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬בשלב הראשון של פתרון הבעיה יהפכו התלמידים את האחוז לשבר‪ .‬בשלב השני‬
‫יחשבו את סכום ההוזלה או ההנחה‪ .‬בשלב השלישי יפחיתו את סכום ההוזלה או ההנחה מהמחיר‬
‫המקורי‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :296‬השוואה בין אחוז לבין שלם‬
‫מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי ו' לפני השיעור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬שימו לב לסעיף ג'‪ .‬התלמידים עלולים לחשוב בטעות שכיוון שבמספר יש שלם‬
‫ושבר‪ ,‬האחוזים גדולים משלם‪ .‬יש להסביר שהשבר במספר זה הוא "חלקי אחוז"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬על התלמידים לרשום את האחוזים כשברים מצומצמים ואחר‪-‬כך למיין אותם‬
‫ביחס ל‪.1 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬משימה הפוכה למשימה הקודמת‪ .‬חשוב להציג במליאה את הסעיפים ד'‪-‬ו'‬
‫ולבקש מהתלמידים להראות דוגמאות נוספות לכל סעיף‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬משימת יישום‪:‬השוואה בין אחוז לבין שלם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬בסעיף א' התלמידים צובעים חלק משלם המיוצג על‪-‬ידי עיגול לפי מספר האחוז‬
‫הנתון‪ .‬שימו לב‪ 12.5% :‬הם שמינית; ‪ 200%‬הם ‪ 100%‬ועוד ‪) .100%‬כלומר צריך לצבוע שני‬
‫שלמים(; ‪ 150%‬הם ‪ 100%‬ועוד ‪) .50%‬לכן צובעים שלם וחצי(‪ .‬בסעיף ב' השלם הוא קבוצה של‬
‫‪1‬‬
‫פריטים יחידים‪ 33 % .‬הם שליש מהשלם‪ ,‬כלומר צריך להקיף תפוח אחד‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬המחיר החדש מהווה ‪ 200%‬מהמחיר הקודם‪ ,‬וההגדלה היא של ‪.100%‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬פעילות זו מקדימה את השיעור הבא‪ 25% .‬וגם ‪ 75%‬הם ו‪-‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫מחלקים את העיגול לארבעה חלקים שווים‪ ,‬וצובעים בירוק רבע ממנוּ ובכחול שלושה רבעים‬
‫ממנוּ‪ .‬בסך הכול צובעים את כל העיגול‪ ,‬כי רבע ועוד שלושה רבעים הם השלם‪ ,‬כלומר ‪ 100%‬של‬
‫העיגול יהיה צבוע‪ .‬חשוב לדון עם התלמידים בדרכי הפתרון של הבעיה‪.‬‬
‫בהתאם לכן‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :298‬השלמה ל‪100% -‬‬
‫בשיעור זה לומדים התלמידים להשלים מספר אחוזים נתון ל‪ .100% -‬מיומנות זו חשובה לפתרון‬
‫בעיות הקשורות לאחוזים‪) .‬אפשר להשתמש בחוק הקיבוץ בחישובים באחוזים‪(.‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬בעיה מילולית זו אפשר לפתור בשתי דרכים‪ :‬א( מחברים את האחוזים‬
‫הנתונים‪ 8% + 64% + 12% = 84% :‬ולאחר מכן מחסרים מ‪ 100% -‬את ‪ .84%‬ההפרש המתקבל‬
‫הוא ‪) 16%‬ב‪ 16% -‬מהשדה זרעו תירס(‪ .‬יש לעודד את התלמידים לפתור את הבעיה באחוזים ולא‬
‫לעבור לשברים אף‪-‬על‪-‬פי שגם דרך זו אפשרית‪ .‬ב( בעזרת ציור‪ .‬השלם )השדה( הוא ריבוע המחולק‬
‫ל‪ 100 -‬חלקים שווים‪ .‬צובעים את מספר המשבצות המתאים לאחוזים הנתונים ומונים את‬
‫המשבצות הלא צבועות )יהיו ‪ 16‬משבצות כאלה(‪ .‬כלומר ב‪ 16% -‬מהשדה זרעו תירס‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :36- 35‬מצוין הקשר בין אחוז לשלם‪ ,‬ומודגש שאין צורך לדעת מהו ערך השלם כדי‬
‫לדעת כמה אחוזים נדרשים )שטח העיגול כדי לדעת איזה אחוז מהווה החלק הצבוע‪ ,‬או מספר‬
‫העמודים בספר כדי לדעת אם שירן קראה את כל הספר(‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :299‬השלמה ל‪) 100% -‬השלם הוא כמות נתונה(‬
‫הפעם השלם הוא כמות‪ .‬הוחלט להקדיש לנושא זה קטע שיעור נפרד‪ ,‬מכיוון שלתלמידים קשה‬
‫לתפוס את הכמות כשלם אחד‪ ,‬והם עשויים להתקשות בשאלות פשוטות אם השלם מיוצג על‪-‬ידי‬
‫‪136‬‬
‫כמות של פריטים‪ .‬בפתרון שאלות מסוג זה כל הכמות הנתונה היא ‪ ,100%‬וצריך להדגיש את זה‬
‫לתלמידים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬כל המוזמנים למסיבה הם ‪ ,100%‬ולכן התשובה היא ש‪ 11% -‬מהמוזמנים הם‬
‫אמהות‪ .‬הזכירו לתלמידים שתשובה צריכה להיות כתובה באופן מלא‪ ,‬כלומר יש לציין מספר‬
‫וכינוי מתאים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬בעיה זו מכילה נתון מיותר‪ :‬מספר הכדורים )‪ (30‬אינו רלוונטי לפתרון הבעיה‪.‬‬
‫בתוך כדי פתרון הבעיה דונו עם התלמידים בנתון זה‪ .‬כל הכדורים )‪ (30‬הם ‪30% ,100%‬‬
‫מהכדורים אדומים או כחולים‪ ,‬לכן ‪ 70%‬מהכדורים ירוקים‪ .‬וזוהי התשובה לשאלה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :39‬כל הכסף הוא ‪ .100%‬לגופים נותרו ‪ 35%‬מכספי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬משימת יישום העוסקת בהשלמה ל‪.100% -‬‬
‫‪15‬‬
‫‪3‬‬
‫=‬
‫תשובה‪ :‬על השולחן נותרו ‪ 15%‬מהסוכריות‪= 0.15 .‬‬
‫‪100 20‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :300‬מציאת ערך האחוז מכמות‬
‫בשיעור זה התלמידים לומדים למצוא את ערך האחוז כאשר השלם הוא הכמות‪ .‬כפי שהוסבר‬
‫בשיעור הקודם‪ ,‬דרך הפתרון אינה תלויה בהצגת השלם )כמות פריטים יחידים או שלם רציף(‪.‬‬
‫אחוז מכמות מוצאים באותן הדרכים למציאת ערך האחוז )אך בשיעור הרביעי לא תוארו כל דרכי‬
‫החישוב(‪.‬‬
‫ישנן ארבע דרכים עיקריות למציאת ערך האחוז‪:‬‬
‫דרך א'‪ :‬תחילה מוצאים את ערכו של אחוז אחד )‪ (1%‬מהכמות הנתונה‪ ,‬לאחר מכן כופלים את‬
‫הערך במספר האחוז הנתון‪.‬‬
‫דרך ב'‪ :‬הופכים את האחוז לשבר שמכנהו ‪ ,100‬וכופלים בשבר זה את הכמות הנתונה המייצגת‬
‫את השלם‪.‬‬
‫דרך ג'‪ :‬הופכים את מספר האחוז לשבר מצומצם שמכנהו שונה מ‪) 100 -‬לא תמיד אפשרי(‪ ,‬ואחר‪-‬‬
‫כך כופלים את הכמות הנתונה בשבר מצומצם זה‪.‬‬
‫דרך ד'‪ :‬הופכים את האחוז למספר עשרוני‪ ,‬וכופלים את הכמות הנתונה במספר עשרוני זה‪.‬‬
‫בכל אחת מהדרכים האלה צריך להבין מהי הכמות המתאימה ל‪ ,100% -‬ורק אחר‪-‬כך מוצאים‬
‫את ערך האחוז הנתון‪.‬‬
‫כדאי לחשוף את התלמידים לארבע הדרכים כדי לאפשר לכל אחד מהם לבחור את הדרך הנוחה‬
‫לו ביותר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :48‬משימת יישום‪.‬‬
‫‪60‬‬
‫‪60 × 100‬‬
‫= ‪× 100‬‬
‫א( ‪= 60‬‬
‫‪100‬‬
‫‪100‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10 × 30‬‬
‫= ‪× 30‬‬
‫ג( ‪= 3‬‬
‫‪100‬‬
‫‪100‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25 × 40‬‬
‫= ‪× 40‬‬
‫ב( ‪= 10‬‬
‫‪100‬‬
‫‪100‬‬
‫‪20‬‬
‫‪20 × 25‬‬
‫= ‪× 25‬‬
‫ד( ‪= 5‬‬
‫‪100‬‬
‫‪100‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬א( ‪ 300‬תלמידים הם ‪ 3 .100%‬תלמידים מייצגים ‪ 60% .1%‬הם ‪ 180‬תלמידים‪.‬‬
‫חשוב שהתלמידים יתחילו את הפתרון במשפט שמתאר ‪ .100%‬ב( ‪ 500‬תלמידים הם ‪50% .100%‬‬
‫הם חצי מכל התלמידים‪ ,‬כלומר ‪ 250‬תלמידים הצביעו‪ .‬ג( ההשתתפות גבוהה יותר בבית הספר‬
‫"הוורדים" כי שם אחוז המשתתפים גבוה יותר‪ .‬ד( לעומת זאת מספר המשתתפים בהצבעה גבוה‬
‫יותר בביה"ס "שושנים"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬התלמידים מתבקשים להציג את הבעיה בעזרת הרצועה‪ .‬בעזרת הרצועה אפשר‬
‫?‬
‫לפתור בעיות הקשורות לאחוזים ואחר‪-‬כך ‪300‬‬
‫‪ 0‬תלמידים‬
‫ליחס‪ .‬מבנה הרצועה‪ :‬מחלקים אותה למספר‬
‫חלקים בהתאם לבעיה‪ .‬במשימה זו הרצועה‬
‫מחולקת ל‪ -‬עשרה חלקים שווים‪ .‬קובעים את‬
‫‪0%‬‬
‫‪60%‬‬
‫האחוז מתחת לרצועה ואת ערכי האחוז מעל ‪100%‬‬
‫הרצועה‪ .‬כל הרצועה מהווה ‪ .100%‬קל למצוא‬
‫‪137‬‬
‫את המיקום של ‪) 50%‬חצי מהרצועה( וגם את מיקום האחוזים שהם כפולות של ‪ .10‬מעל‬
‫האחוזים הנתונים כותבים את ערכי האחוז‪ .‬ברצועה שמופיעה במשימה כל חלק מייצג ‪30‬‬
‫תלמידים )‪ .(10%‬הצביעה עוזרת בפתרון הבעיה בדרך חזותית‪.‬‬
‫בתוך כדי פתרון תיראה הרצועה כך‪:‬‬
‫כדי להקל את מציאת הפתרון אפשר לסמן על‬
‫הרצועה את האחוז ‪ 50%‬ואת ערכו בבעיה‪:‬‬
‫‪.150‬‬
‫‪300‬‬
‫‪100%‬‬
‫באופן דומה תיראה הרצועה השנייה כך‪:‬‬
‫‪500‬‬
‫‪100%‬‬
‫‪ 0 30‬תלמידים‬
‫?‬
‫‪60%‬‬
‫‪0% 10%‬‬
‫?‬
‫‪50%‬‬
‫‪ 0 50‬תלמידים‬
‫‪0% 10%‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪301‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד בפרק‪ :‬אחוז הוא שם אחר למאית; אפשר לרשום אחוז כשבר‬
‫שמכנהו ‪ 100‬ומונהו הוא מספר האחוזים; אפשר לרשום אחוז כמספר עשרוני; קיימות דרכים‬
‫שונות לחישוב ערך האחוז‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :44‬כדי למצוא את כמות המים שיש בגוף של אדם שמשקלו ‪ 72‬ק"ג‪ ,‬יש לבצע את‬
‫‪70‬‬
‫‪70 × 72‬‬
‫= ‪× 72‬‬
‫תרגיל הכפל הזה‪= 50.4 :‬‬
‫‪100‬‬
‫‪100‬‬
‫תשובה‪ :‬בגופו של אדם שמשקלו ‪ 72‬ק"ג‪ ,‬יש ‪ 50.4‬ליטרים של מים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :45‬כמו במשימה הקודמת נחשב את כמות המים בגוף של ילד שמשקלו ‪ 34‬ק"ג‪:‬‬
‫‪70‬‬
‫‪70 × 34‬‬
‫= ‪× 34‬‬
‫‪= 23.8‬‬
‫‪100‬‬
‫‪100‬‬
‫תשובה‪ :‬בגוף של ילד שמשקלו ‪ 34‬ק"ג‪ ,‬יש ‪ 23.8‬ליטרים של מים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :45‬כמו במשימה הקודמת נחשב את כמות המים בגוף של ילד שמשקלו ‪ 35‬ק"ג‪:‬‬
‫‪70‬‬
‫‪70 × 35‬‬
‫= ‪× 35‬‬
‫‪= 24.5‬‬
‫‪100‬‬
‫‪100‬‬
‫תשובה‪ :‬בגוף של ילד שמשקלו ‪ 35‬ק"ג יש ‪ 24.5‬ליטרים של מים‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמ' ‪302‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת תרגול‪ :‬הפיכת שברים לאחוזים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימת תרגול‪ :‬הפיכת אחוזים לשברים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימת תרגול‪ :‬הפיכת אחוזים למספר עשרוני‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬התלמידים נדרשים לכתוב בכל סעיף שבר‪ ,‬מספר מעורב‪ ,‬אחוז ומספר עשרוני‪.‬‬
‫מומלץ לבצע את המשימות במליאה ‪ -‬ולדון בדרכי הפתרון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬מומלץ לפרט את נתוני הבעיה לפני שניגשים לפתרונה‪ .‬מהו השלם? מה מבקשים‬
‫למצוא? )אחוז? ערך האחוז?(‬
‫‪138‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬בשאלה מוצג הקשר בין המושג המתמטי לבין מצבים בחיי היום‪-‬יום‪ .‬לעתים אין‬
‫משמעות לכל אחוז )סעיפים א' ו‪-‬ד'(‪ .‬בסעיף ב' אפשר לתת דוגמה )המחיר החדש של ספר שמחירו‬
‫היה ‪ ,₪ 100‬הוא ‪ (.₪ 230‬בסעיף ג' אפשר להסביר שיש שאלות בונוס‪ .‬מומלץ לשאול את‬
‫התלמידים איך מפרשים כל היגד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬הדרכים העיקריות בשלב זה לפתרון הבעיה‪ :‬א( ‪ 1%‬מ‪ 40 -‬דקות הוא ‪ 0.4‬דקות‪,‬‬
‫לכן ‪ 25%‬מ‪ 40 -‬דקות הם ‪ 10‬דקות ב( ‪ 25%‬הם רבע‪ ,‬לכן מחלקים את ‪ 40‬ל‪ ,4 -‬ומקבלים שהערך‬
‫‪25 × 40‬‬
‫של ‪ 25%‬מ‪ 40 -‬דקות הוא ‪ 10‬דקות‪ .‬ג( ‪= 10‬‬
‫‪100‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬שילוב של נושאים שונים לקראת בעיות תנועה ולעידוד ייצוג הנתונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬השאלה המילולית שמופיעה במשימה עוסקת בהנחה‪ .‬המקרר הוזל ב – ‪.₪ 1,800‬‬
‫מחירו החדש של המקרר הוא ‪.₪ 7,200‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬התלמידים מתבקשים לחבר בעיה המתאימה לנתונים על הרצועה‪.‬‬
‫עליהם להתייחס לחלק הצבוע ברצועה‪.‬‬
‫שאלות מילוליות ‪ ,‬עמוד ‪304‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬המוכר רכש את הספרים במחיר ‪ ₪ 30‬לספר‪ .‬כדי להרוויח ‪ 30%‬ממחיר הקנייה‪,‬‬
‫הוא צריך למכור כל ספר במחיר ‪ .₪ 39‬אפשר לחשב בדרכים שונות את המחיר של כל ספר לצרכן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימה זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה בשל המורכבות שלה‪.‬‬
‫מומלץ לבקש מתלמידים מתקשים לחשב בשלבים ולמלא את העמודה בטבלה לאחר כל שלב‪.‬‬
‫להלן הטבלה המלאה‪:‬‬
‫הוצאות‬
‫בש"ח‬
‫אוכל‬
‫לבוש‬
‫הוצאות‬
‫שונות‬
‫שכר‬
‫דירה‬
‫נסיעות‬
‫בילוי‬
‫חיסכון‬
‫‪2,100‬‬
‫ש"ח‬
‫‪ 600‬ש"ח‬
‫‪ 900‬ש"ח‬
‫‪1,500‬‬
‫ש"ח‬
‫‪ 300‬ש"ח‬
‫‪ 300‬ש"ח‬
‫‪ 300‬ש"ח‬
‫משימה מס' ‪ 16% :3‬מהחמאה הם מים‪ .‬משקל המים בקילוגרם חמאה הוא ‪ 160‬גרם‪ .‬אם מחיר‬
‫קילוגרם חמאה הוא ‪ ,₪ 15‬המחיר של המים בקילוגרם חמאה הוא ‪.₪ 2.40‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬א( אריזת מבצע של שוקו מכילה ‪ 250‬גרם שוקו‪ .‬המחיר של קילוגרם שוקו הנמכר‬
‫באריזות מבצע הוא ‪.( 22 × 5 = 110 ) .₪ 110‬‬
‫ב( מחיר האריזה לאחר ההנחה הוא ‪.₪ 16.5‬‬
‫ג( כדאי לקנות את האריזה הרגילה הנמכרת בהנחה של ‪ .25%‬כדי למצוא את התשובה נחשב מהו‬
‫המחיר של גרם שוקו בכל אחת מהאפשרויות‪.‬‬
‫‪139‬‬
‫יישומי מדע ‪ ,‬עמ' ‪305‬‬
‫בעמוד זה לומדים התלמידים את היישומים היום‪-‬יומיים של אחוזים בכלכלה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬התלמידים לומדים את המושג "מס ערך מוסף" )מע"ם( ומחשבים ערכים לפי‬
‫הנתונים‪.‬‬
‫המוצר‬
‫המחיר לפני‬
‫מע"ם‬
‫ערך המע"ם‬
‫המחיר הסופי‬
‫לחם‬
‫‪ 4‬ש"ח‬
‫כרטיס נסיעה‬
‫‪ 20‬ש"ח‬
‫ספר‬
‫‪₪ 30‬‬
‫מחשב‬
‫‪ 3,000‬ש"ח‬
‫מכונית‬
‫‪ 60,000‬ש"ח‬
‫בית‬
‫‪ 550,00‬ש"ח‬
‫‪0.68‬‬
‫‪₪ 4.68‬‬
‫‪3.4‬‬
‫‪ 23.4‬ש"ח‬
‫‪5.1‬‬
‫‪ 35.1‬ש"ח‬
‫‪510‬‬
‫‪ 3,510‬ש"ח‬
‫‪10,200‬‬
‫‪ 70,200‬ש"ח‬
‫‪93,500‬‬
‫‪ 643,500‬ש"ח‬
‫משימה מס' ‪ :2‬א( המוצר התייקר ב‪ .₪ 3.5 -‬מחירו החדש הוא ‪ .₪ 73.5‬ב( ההוצאות החודשיות‬
‫לאוכל יהיו ‪.₪ 1,050‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬התשובה לשאלה השלישית במשימה היא "לא"‪.‬‬
‫נבהיר בדוגמה‪ :‬מחיר המוצר היה ‪ .₪ 100‬אחרי התייקרותו של המחיר ב‪ ,10% -‬מחיר המוצר הוא‬
‫‪ .₪ 110‬בסוף העונה מפחיתים ב‪ 10% -‬את המחיר ‪ ,₪ 110‬לכן המחיר אחרי ההוזלה הוא ‪ 99‬ש"ח‬
‫) = ‪.( 110 − 11‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימה פתוחה‪ .‬התלמידים נדרשים לחפש מאמר או כתבה שבהם יש שימוש‬
‫באחוזים‪.‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪306‬‬
‫משימת ההעשרה של פרק זה עוסקת במחירים של כרטיסי נסיעה עירונית ובין‪-‬עירונית‪ .‬למעשה‪,‬‬
‫משימה זו קשורה לחיי היום‪-‬יום ומעסיקה אותנו לא פעם‪ ,‬כאשר אנו מתלבטים בחשיבה איזה‬
‫כרטיס כדאי לנו לרכוש‪.‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמ' ‪307‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על הנושאים שנלמדו קודם לכן‪ :‬מערכת צירים‪ ,‬גרפים ומדידת זוויות‪.‬‬
‫‪140‬‬
‫עמודים ‪330-308‬‬
‫יג‪ .‬חקר נתונים‬
‫רקע‬
‫פרק זה עוסק בחקר נתונים‪ .‬בעולם המודרני חשוב לתאר תופעות שונות‪ ,‬לחשב באיזו תדירות הן‬
‫חלות ומהי שכיחותם‪ ,‬לקבוע מהם הסיכויים לכך שהתופעות תקרינה‪ ,‬ולחקור אותן‪ .‬חקר‬
‫הנתונים הוא ענף הסטטיסטיקה במתמטיקה‪ ,‬והיא מדע לחקר תופעות‪ .‬בניתוח סטטיסטי של‬
‫תופעות משתמשים בכלים מתמטיים )כגון חישובים בעזרת נוסחאות(‪ ,‬וכן בכלים אחרים כמו‬
‫בניית דיאגרמות‪ .‬בכל מחקר אפשר להבחין במספר שלבים בניתוח התופעות שהן נושאי המחקר‪.‬‬
‫השלב הראשון בכל מחקר הוא איסוף הנתונים‪ .‬לשם כך מגדירים תחילה את משתני המחקר‪.‬‬
‫שלב זה חשוב מאוד‪ ,‬כי אם מגדירים את המשתנים באופן לא נכון‪ ,‬תוצאות המחקר יהיו חסרות‬
‫משמעות‪ .‬לדוגמה‪ ,‬אם נושא המחקר הוא התפלגות האוכלוסייה בירושלים לפי שנת העלייה‬
‫לירושלים‪ ,‬המשתנה יכול להיות "ארץ מוצא " או "גיל"‪.‬‬
‫בשלב השני מגדירים את ערכי המשתנה‪ .‬בדוגמה שלנו ערכי המשתנה הם הארצות השונות‬
‫)משתנה איכותי( או שכבות גיל העולים )משתנה כמותי(‪ .‬מונחים אלה‪ -‬משתנה‪ ,‬משתנה איכותי‬
‫או משתנה כמותי‪ -‬אינם בפירוש בתכנית הלימודים‪ ,‬אך חשוב לציין את ההבדל )גם אם לא‬
‫משתמשים במונחים(‪ ,‬כדי להראות באילו מיקרים קיימים ממוצע וחציון‪ .‬את כל הנתונים‬
‫מרכזים בטבלה‪ .‬אפשר גם לערוך רשימה של כל הפריטים שחוקרים ולאחר מכן לרכז את הנתונים‬
‫בטבלה לפי ערכי המשתנה‪ .‬סופרים כמה פעמים מופיע כל ערך של המשתנה‪ .‬מספר זה נקרא‬
‫שכיחות הערך‪.‬‬
‫כדי להציג את הנתונים באופן חזותי בונים דיאגרמה לפי הנתונים שבטבלה‪ ,‬וכך אפשר לראות את‬
‫ההבדלים בין השכיחויות של ערכי המשתנה באופן ברור יותר‪ .‬לעתים משתמשים בדיאגרמה‬
‫כפולה או בגרף‪ ,‬תלוי במחקר שנעשה‪ .‬התלמידים למדו את השלבים האלה בכיתות קודמות‬
‫במחקרים פשוטים הקשורים לעולמם‪ .‬בכיתה ו' הנושאים רחבים יותר‪.‬‬
‫כאשר מעבדים את הנתונים למסקנות מחקריות‪ ,‬משתמשים בשלושה מדדים מרכזיים‪ :‬השכיח‪,‬‬
‫הממוצע והחציון‪ .‬השכיח הוא הערך בעל השכיחות הגדולה ביותר‪ .‬ייתכן שנמצא יותר משכיח‬
‫אחד‪ ,‬כלומר ל‪ 2-‬או יותר ערכים יש השכיחות הגבוהה ביותר‪ .‬הממוצע הוא ערך מרכזי המתקבל‬
‫על‪-‬ידי חלוקת סכום כל הערכים במספר הערכים‪ ,‬לכן הממוצע הוא מספר‪) .‬לעתים הממוצע שווה‬
‫לאחד הנתונים‪ ,‬אך הממוצע אינו נתון‪ (.‬הממוצע הוא מדד שהתלמידים למדו לחשב בכיתה ה'‪.‬‬
‫בפרק זה ילמדו התלמידים לכפול כל ערך בשכיחות שלו‪ ,‬לפני שיחברו את כל הערכים‪ ,‬לשם‬
‫חישוב הממוצע‪ .‬חישוב זה מראה שהממוצע קיים רק במקרים שהמשתנה הוא כמותי‪ .‬החציון‬
‫הוא הנתון האמצעי ברשימה ומחלק אותה לשתי קבוצות שוות בכמות הנתונים‪ .‬גם החציון קיים‬
‫כאשר המשתנה הוא כמותי או כאשר אפשר לסדר את הנתונים בסדר עולה או יורד )אותיות‬
‫האל"ף בי"ת‪ ,‬סולם הדרגות‪ ,‬וכודומה(‪ .‬במקרים אחרים‪ -‬כמו ארצות או צבעים )כאשר לא מדובר‬
‫באורך הגל(‪ -‬אי‪-‬אפשר לסדר את הנתונים בסדר עולה או יורד‪ ,‬ולכן אין משמעות לחציון‪.‬‬
‫אחד הקשיים בלימוד הנושא הוא ריבוי מושגים חדשים שהתלמידים צריכים ללמוד ולהפנים‬
‫בתוך כדי הפעילויות הנלוות ללימוד‪.‬‬
‫מומלץ להקדיש לנושא זה כ‪ 5 -‬שעות לימוד‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬להגדיר נושא של מחקר;‬
‫ב‪ .‬לקבוע את משתנה המחקר )מה חוקרים(;‬
‫ג‪ .‬לקבוע את הערכים של המשתנה;‬
‫ד‪ .‬לאסוף נתונים;‬
‫ה‪ .‬לסדר את הנתונים בטבלה;‬
‫ו‪ .‬לחשב שכיחויות של ערכים;‬
‫‪141‬‬
‫ז‪ .‬לבנות דיאגרמת עמודות המייצגת את הנתונים;‬
‫ח‪" .‬לקרוא" דיאגרמה;‬
‫ט‪ .‬לבנות דיאגרמת עמודות כפולה;‬
‫י‪" .‬לקרוא" דיאגרמת עמודות כפולה;‬
‫יא‪ .‬לקבוע אם קיים שכיח‪ ,‬ומהו השכיח;‬
‫יב‪ .‬לקבוע אם קיים ממוצע‪ ,‬ולחשב אותו;‬
‫יג‪ .‬לקבוע אם קיים חציון‪ ,‬ולחשב אותו‪.‬‬
‫מושגים‬
‫עיבוד נתונים‪ ,‬מחקר‪ ,‬משתנה של המחקר‪ ,‬ערכי המשתנה‪ ,‬שכיחות‪ ,‬דיאגרמת עמודות‪ ,‬דיאגרמת‬
‫עמודות כפולה‪ ,‬שכיחות יחסית‪ ,‬מדדים מרכזיים‪ ,‬ממוצע‪ ,‬שכיח‪ ,‬חציון‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫דיאגרמות מתוך עיתונים יומיים או שבועיים‪ ,‬תמונות של דגלים‪ ,‬מחשבון‪ ,‬דפי משבצות‪,‬‬
‫דיאגרמות מסורטטות מוכנות )אביזרים(‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על חיבור בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫כותבים על הלוח תרגיל שרשרת של חיבור כגון ‪ .12+5+18+34+6+25‬על התלמידים לחשב את‬
‫הסכום "בראש" ולפרט את שיטת החישוב שלהם‪.‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על אומדן‪ :‬תרגילי חילוק של מספר דו‪-‬ספרתי בחד‪-‬ספרתי‪.‬‬
‫מבקשים מתלמיד אחד לומר מספר טבעי דו‪-‬ספרתי ומתלמיד אחר לומר מספר קטן מ‪ .10 -‬על‬
‫תלמיד נוסף לאמוד את תוצאת החילוק של שני המספרים‪.‬‬
‫ג‪ .‬חזרה על אומדן‪ :‬תרגילי חילוק של מספר תלת‪-‬ספרתי בחד‪-‬ספרתי‪.‬‬
‫מבקשים מתלמיד אחד לומר מספר טבעי תלת‪-‬ספרתי ומתלמיד אחר לומר מספר קטן מ‪ .10 -‬על‬
‫תלמיד נוסף לאמוד את תוצאת החילוק של שני המספרים‪.‬‬
‫ד‪ .‬חזרה על צמצום שברים‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ .‬התלמידים צריכים להגיע לשבר מצומצם‪.‬‬
‫כותבים על הלוח שבר לא‪-‬מצומצם כגון‬
‫‪60‬‬
‫ה‪ .‬חזרה על הממוצע‪.‬‬
‫כותבים על הלוח שלושה מספרים קטנים מ‪ .50 -‬על התלמידים לחשב את הממוצע בדיוק או‬
‫לאמוד את הממוצע של המספרים הנתונים‪ .‬חוזרים על הפעילות בחמישה מספרים טבעיים דו‪-‬‬
‫ספרתיים‪.‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬דיאגרמות מחיי היום‪-‬יום‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים להביא דיאגרמות המופיעות בעיתונים יומיים או שבועיים‪ .‬החברים בכל‬
‫קבוצה מנתחים דיאגרמה ומדווחים לכיתה על הממצאים שלהם‪ .‬הדיווח יכלול את הפרטים‬
‫האלה‪ :‬נושא הדיאגרמה‪ ,‬מהם הנתונים המיוצגים בדיאגרמה‪ ,‬עובדות מעניינות‪ ,‬דרך ייצוג‬
‫הנתונים‪ ,‬מסקנות‪.‬‬
‫פעילות ב‪ :‬דיאגרמת עמודות כפולה‪.‬‬
‫דוּח חשבון של חשמל או של מים‪ ,‬שנשלח‬
‫מבקשים מהתלמידים להביא לשיעור מתמטיקה ַ‬
‫לבתיהם לתשלום‪ .‬בדוּחות אלו מופיעה דיאגרמת עמודות כפולה המייצגת את נתוני הצריכה‬
‫‪142‬‬
‫האישיים בבית בשנה מסוימת לעומת השנה שעברה‪ .‬עליהם לנתח את הדיאגרמה ולהסביר מה‬
‫אפשר לראות בדיאגרמה זו‪ .‬דנים בנתונים שאספו התלמידים מתוך הדיאגרמה‪ .‬בתוך כדי דיון‬
‫שואלים את התלמידים שאלות כגון‪" :‬מהי הכותרת של הדיאגרמה?"‪" ,‬מהם שמות הצירים?"‪,‬‬
‫"מה מראה עמודה אחת של דיאגרמה?"‪" ,‬מה מראות שתי העמודות זו ליד זו?" וכן הלאה‪ .‬שאלה‬
‫נוספת שאפשר לדון בה‪" :‬באילו מקרים‪ ,‬לדעתכם‪ ,‬כדאי להציג את הנתונים בדיאגרמה אחת?"‬
‫בתום הדיון במליאה חשוב להגיע למסקנה שכדאי להשתמש בדיאגרמה כפולה כאשר רוצים‬
‫להשוות בין נתונים או בין תופעות וכדומה‪ ,‬למשל‪ :‬אם רוצים לראות התפתחות של תופעה לאורך‬
‫זמן )צריכת המים בכל חודש לאורך השנתיים האחרונות(; או רוצים להשוות בין נתונים‬
‫במקומות שונים )צבע העיניים של התלמידים בכיתות ו'‪ 1‬ו‪ -‬ו'‪ .(2‬למעשה‪ ,‬אפשר גם להשוות בין‬
‫תופעות שונות הקשורות לאותם האנשים )או לאותן ארצות(‪ .‬חשוב לבדוק אם יש טעם להשוות‬
‫בין שני הדברים ולהכניס את הנתונים לדיאגרמה כפולה‪.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬ביצוע מחקר ורישום נתונים בדיאגרמת עמודות‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים לערוך מחקר קטן בכיתה בנושא שיבחרו ולהציג את תוצאות המחקר‬
‫בדיאגרמה‪ .‬מטרת הפעילות היא להציג את תוצאות המחקר בדיאגרמה כפולה ולראות את הצורך‬
‫בהצגה כזו‪ .‬דנים בדרכי הפתרון‪ ,‬בשמות הצירים‪ ,‬בכותרת הדיאגרמה ובייצוג עצמו‪.‬‬
‫דוגמאות לנושאי המחקר‪ :‬סוגי החטיפים וסוגי המשקאות האהובים ביותר על תלמידי הכיתה;‬
‫מקצועות הלימוד האהובים ביותר על התלמידים וכדומה‪.‬‬
‫כדי שהחקירה תהיה יעילה ירכזו התלמידים התשובות לשאלות בטבלה‪ .‬ויכתבו בה את התפלגות‬
‫לפי הערכים‪ .‬כדאי לחלק לכל התלמידים דף שבו רשימת שמות תלמידי הכיתה ומקום לתשובות‬
‫לשאלות החקירה‪ .‬הדף יכול להיראות כך‪:‬‬
‫השאלה השנייה‪:‬‬
‫השאלה הראשונה‪:‬‬
‫מהו מקצוע הלימוד האהוב באיזה מקצוע תבחר בעתיד‬
‫עם סיום לימודיך?‬
‫עליך ביותר?‬
‫שם התלמיד‪/‬ה‬
‫לאחר מכן יבנו התלמידים את הדיאגרמה על‪-‬פי הטבלה שלהם‪.‬‬
‫פעילות ד‪ :‬ארגון נתונים בטבלה‪ ,‬חישוב ממוצע‪.‬‬
‫כל ילד מתבקש לכתוב על פתק את מספר האחים והאחיות במשפחה שלו‪ ,‬כולל הוא עצמו‪.‬‬
‫שאלות חקר אפשריות‪" :‬מהו מספר הילדים הממוצע במשפחות התלמידים של כיתה ו'?"‪" ,‬מה‬
‫יש יותר‪ :‬בנים או בנות במשפחות התלמידים של כיתה ו'?"‬
‫תלמיד אחד קורא את כל הפתקים‪ ,‬ותלמיד אחר רושם על הלוח‪ .‬בשלב זה דנים בשאלה אם צורת‬
‫הכתיבה מאפשרת ניתוח תוצאות‪ .‬מובילים את התלמידים לאפשרות של עיבוד הנתונים‬
‫(‪.‬‬
‫בטבלאות ובשיטת הקווים או קווים וריבועים )אפשרות אחרת ל‪ 5 -‬היא (‬
‫להלן דוגמה לטבלה כזו‪.‬‬
‫מספר בנות‬
‫מספר‬
‫הפעמים‬
‫שהנתון מופיע‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫סיכום‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪10‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫יותר מ‪7-‬‬
‫בונים אותה טבלה למספר הבנים ולמספר הילדים במשפחה‪.‬‬
‫בדיון במליאה שואלים‪" :‬מהו מספר הנתונים?" )‪" ,(32‬מהו מספר הבנות‪/‬בנים הנפוץ ביותר?" )‪,(2‬‬
‫‪5‬‬
‫"איזה חלק ממשפחות ילדי הכיתה מהוות המשפחות שיש בהן שלוש בנות?" ) (‪" ,‬איך אפשר‬
‫‪32‬‬
‫לייצג את כל הנתונים ביחד?"‪" ,‬איך אפשר לדעת מהו מספר הבנות ‪ /‬הבנים ‪ /‬הילדים הממוצע‬
‫בכל משפחה?"‬
‫‪143‬‬
‫פעילות ה‪ :‬מציאת חציון‪.‬‬
‫כותבים על הלוח סדרה של מספרים‪) .‬כמות המספרים תהיה מספר אי‪-‬זוגי‪(.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים לסדר את המספרים בסדר עולה ולמצוא את המספר שנמצא במקום‬
‫האמצעי‪ ,‬כלומר מספר שמימינו ומשמאלו אותה כמות מספרים‪.‬‬
‫לאחר מציאת המספר ציינו בפני התלמידים כי זהו החציון‪ .‬דוגמה‪.158 ,100 ,79 ,11 ,8 ,4 ,3 :‬‬
‫המספר ‪ 11‬הוא החציון‪ .‬לעומת זאת אם נחשב את ממוצע המספרים נראה כי הממוצע הוא‪ :‬כ‪-‬‬
‫‪ 51.8) .51.8‬אינו אחד מהנתונים(‪.‬‬
‫בסדרת המספרים ‪6 ,5 ,4 ,4 ,4 ,3 ,3 ,3 ,3 ,3 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0‬‬
‫המספר המסומן )‪ (2‬הוא החציון‪ .‬זהו אחד מהנתונים‪.‬‬
‫כאשר כמות הנתונים היא זוגית‪ ,‬אין נתון אמצעי‪ ,‬לכן החציון הוא ממוצע של שני ערכים‬
‫אמצעיים‪ .‬לדוגמה‪ ,‬בסדרה ‪ .170 ,158 ,100 ,79 ,11 ,8 ,4 ,3‬הערכים האמצעיים הם ‪ .79 ,11‬ולכן‬
‫החציון הוא ‪.45‬‬
‫הספר לתלמיד‬
‫בפרק זה מתחילים בהקניית המושגים הרלוונטיים לנושא‪ .‬החלק "לעלות על הגל" אינו מופיע‪,‬‬
‫כלומר אין חזרה על חומר קודם‪.‬‬
‫מומלץ לחלק את המשימות ה"ארוכות" בין קבוצות תלמידים ולארגן הצגת תוצאות במליאה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪:308‬‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי א' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה התלמידים לומדים כיצד להתחיל‬
‫מחקר של נתונים שנאספו‪ ,‬וכיצד לעבד אותם‪ .‬החקירה בשיעור היא בנושא דגלי אירופה‪,‬‬
‫ומדוגמה זו חושפים את התלמידים למושגים בסיסיים כמו נושא המחקר‪ ,‬משתנים‪ ,‬ערכי‬
‫המשתנה‪ ,‬שכיחות ושכיח‪ .‬מושגים אלה חדשים לתלמידים‪ ,‬לכן יש לחזור על משמעותם פעמים‬
‫רבות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬דונו עם התלמידים בדרכי חישוב של שכיחויות ערכי המשתנים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬ב( דונו עם התלמידים במושג "עשור"‪ .‬לדוגמה‪ ,‬העשור הראשון של המאה ה‪20 -‬‬
‫הוא ‪ ,1910 – 1901‬העשור השני הוא ‪ ,1920 – 1911‬וכן הלאה‪.‬‬
‫במישור ההיסטורי התפרקה ברית המועצות‪ ,‬והתפרקו מדינות אחרות‪ .‬עשור זה היה מרובה‬
‫במהפכות‪ .‬זהו עשור שכיח במהפכות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬התלמידים מתבקשים לחקור על דגלי יבשת אמריקה המובאים בתרגיל‪.‬‬
‫הנושאים לחקירה הם צבעי הדגלים והציורים על הדגלים‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :5-4‬אפשר לבקש מהתלמידים לבחור משתנה אחר )דוגמה‪ :‬האם יש או אין קו‬
‫עקום בציור( ולמיין לפי ערכיו‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪:311‬‬
‫בשיעור זה לומדים להציג את הנתונים בעזרת דיאגרמת עמודות‪ .‬הנושא מוכר לתלמידים משנים‬
‫קודמות‪ ,‬לכן סביר להניח שלא יתעוררו קשיים בנושא‪ .‬הסבו את תשומת לב התלמידים לכך‬
‫שחשוב לכתוב את כותרת הדיאגרמה ואת כותרות הצירים‪ :‬בדרך כלל הציר האנכי משמש מונה‪,‬‬
‫ובציר האופקי בדרך כלל לא מצויר חץ כי אין לו משמעות‪.‬‬
‫הערה‪ :‬הנושא "דיאגרמות" הוא נושא בין‪-‬תחומי ואינו נושא מתמטי טהור‪ ,‬לכן יכולים לצייר‬
‫דיאגרמה באופנים שונים לפי הכללים שנקבעו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬הזכירו לתלמידים שיתנו שם לדיאגרמה וכותרות לצירים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬הנתונים יוצגו בטבלה ובדיאגרמת עמודות‪ .‬יש להשוות בין הנתונים שנאספו‬
‫בהתאם לתכנים )סוג הטקסט( ולראות הבדלים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬דונו עם התלמידים בדיאגרמה שבמשימה‪ .‬בדרך כלל הציר האנכי הוא הציר‬
‫המונה‪ ,‬אך כאן יש שינוי בתפקידי הצירים‪ ,‬והדיאגרמה "אופקית" ולא "אנכית"‪ .‬הציר האופקי‬
‫הוא הציר המונה‪ ,‬ועל הציר האנכי מיוצגים ערכי המשתנה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬אפשר להטיל את המשימה הזו כעבודת בית בזוגות‪.‬‬
‫‪144‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪:313‬‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ב' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה התלמידים לומדים לייצג את תוצאות‬
‫החקירה בדיאגרמה כפולה‪ .‬בדיאגרמת עמודות רגילה על הציר האופקי מסמנים את ערכי‬
‫המשתנה‪ ,‬ובציר האנכי מסמנים את השכיחויות‪ .‬בדיאגרמה כפולה מסמנים בציר האנכי את‬
‫השכיחויות‪ ,‬אך בציר האופקי מסמנים ערכים של שני משתנים בו‪-‬זמנית‪ .‬העניין מובהר בעזרת‬
‫הדוגמה שבשיעור‪ .‬משתני המחקר ב"רכבת ישראל" הם הקווים השונים והשנים‪ .‬החוקרים מנו‬
‫את מספר הכרטיסים שמכרו בשנים ‪ 2002 ,2001‬ו‪ 2003 -‬בכל קו בנפרד‪ ,‬וכך חישבו את מספר‬
‫הנוסעים שהשתמשו בקווים שונים בשנים הנ"ל‪ .‬ערכי המשתנים הם ‪) 2003 ,2002 ,2001‬השנים(‬
‫ושמות הקווים‪ ,‬לדוגמה‪" :‬הראשונים"‪ .‬מספר הנוסעים מראה שכיחות של הערכים‪ .‬כדי להשוות‬
‫בין מספר הנוסעים בשנים אלו ולשכנע את הקהל הרחב שהשימוש ברכבת גובר‪ ,‬הציגו החוקרים‬
‫את תוצאות המחקר באותה דיאגרמה שנקראת דיאגרמה כפולה‪ .‬אפשר לראות שלכל שנה‬
‫מתאים צבע משלה ולכל קו מתאימות שלוש עמודות בצבעים שונים )לפי השנה(‪ .‬חשוב להדגיש‬
‫שדיאגרמה זו מסובכת יותר מדיאגרמה רגילה‪ ,‬ולכן חשוב לכתוב מקרא במקרה הצורך )כפי‬
‫שכתוב בשיעור מימין לדיאגרמה(‪.‬‬
‫דונו עם התלמידים בשאלה מתי כדאי להשתמש בדיאגרמה כפולה )ראו הסברים לפעילויות‬
‫הגילוי המתאימות(‪ .‬הערה‪ :‬בדוגמה מספר הנוסעים נקבע לפי מספר הכרטיסים שנמכרו )זהו‬
‫בעצם מספר הנסיעות(‪ ,‬ולכן מספר הנוסעים אינו זהה למספר האנשים השונים הנוסעים ברכבת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬התלמידים מתבקשים "לקרוא" את הדיאגרמה שבשיעור‪ .‬בזמננו זוהי אחת‬
‫המיומנויות החשובות ביותר להבנת התופעות החלות בעולם‪ .‬ד( ב‪ 2003 -‬מספר הנוסעים היה‬
‫בערך ‪ 3,170,000‬וב‪ 2001 -‬היה מספר הנוסעים בערך ‪ ;2,450,000‬מחסרים את המספר הקטן‬
‫מהמספר הגדול ומקבלים‪ . 3,170,000 − 2,450,000 = 720,000 :‬אפשר להיעזר במחשבון לביצוע‬
‫החישובים‪ .‬ה( בקו תל‪ -‬אביב‪ -‬נתניה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬א( ‪ 200‬פעם מתל אביב לנתניה ו‪ 200 -‬פעם בחזרה מנתניה לתל אביב; ב( מבחינת‬
‫רכבת ישראל‪ ,‬הנוסעת אלה מהווה שני נוסעים; ג( רכבת ישראל רואה כל אדם שרכש כרטיס‬
‫נסיעה‪ ,‬כנוסע‪ .‬מניית הנוסעים נעשית לפי מספר הכרטיסים‪ ,‬ולא לפי הנוסעים עצמם‪ ,‬שיכולים‬
‫לנסוע ברכבת בקווים שונים מספר פעמים ביום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬במשימה זו מובאת דיאגרמה כפולה‪ ,‬אך צורתה שונה מכל מה שראו התלמידים‬
‫עד עכשיו‪ .‬שימו לב שהמספרים בציר האנכי )השכיחויות( נתונים באלפים‪ ,‬ולכן ‪ 250‬מסמן ‪250‬‬
‫אלף‪ 150 ,‬מסמן ‪ 150‬אלף וכו'‪ .‬דונו עם התלמידים במשתנים )גיל ומין( ובשכיחויות )מספר‬
‫האנשים(‪ .‬הבהירו לתלמידים שכאן תפקידי הצירים השתנו )בציר האופקי מסומנות השכיחויות(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬כדאי לשלוח את התלמידים בזוגות לכיתות אחרות ולאסוף תאריכי לידה כדי‬
‫לקבל יותר נתונים‪ .‬ג( על הציר האופקי רושמים את חודשי השנה ועל הציר האנכי את מספר‬
‫התלמידים החוגגים באותו החודש‪ .‬ייתכן חודש שכיח אחד או יותר מחודש אחד‪ .‬לפי הדיאגרמה‬
‫אי‪-‬אפשר לדעת באיזה יום חוגג תלמיד מסוים יום הולדת‪ .‬כתוספת למשימה אפשר גם לערוך‬
‫רשימה של ימי הולדת של התלמידים ולבדוק אם לפחות לשני תלמידים יש באותו יום יום‪-‬‬
‫הולדת‪) .‬הסיכוי שהדבר יקרה הוא יותר מ ‪ 50%‬אם בכיתה יש יותר מ‪ 25 -‬תלמידים‪(.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬על התלמידים לבנות דיאגרמה כפולה לפי הנתונים המופיעים בדיאגרמה‬
‫במשימה הקודמת‪ .‬דונו עם התלמידים בתפקידי הצירים ובשם הדיאגרמה‪ .‬שימו לב שדיאגרמה‬
‫יכולה להיראות כמו במשימה ‪ 11‬או בצורה אחרת‪ ,‬אם הופכים את תפקידי הצירים )בציר האופקי‬
‫מסמנים גיל ומין‪ ,‬ובציר האנכי מסמנים את מספר האנשים(‪ .‬חשוב לציין שבציר המונה )ציר‬
‫השכיחויות( חשוב להקפיד על קנה מידה‪ :‬צריך לשמור על רווחים קבועים בהתאם למספרים‪,‬‬
‫כלומר המרחק בין השנתות בציר חייב להיות קבוע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬התלמידים בונים דיאגרמה כפולה להשוואה בין דגלי אירופה לבין דגלי יבשת‬
‫אמריקה לפי משתנים מסוימים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬חשוב לדון עם התלמידים ביתרונות ובחסרונות שבייצוג הנתונים בטבלה‪,‬‬
‫בדיאגרמת עמודות או בדיאגרמת עמודות כפולה‪ .‬החסרונות נובעים בעיקר מכך שיש תלמידים‬
‫שרגישים להצגה ויזואלית ותלמידים הרגישים לאנליזה‪ .‬לכן היתרונות והחסרונות תלויים‬
‫בתפיסתו של התלמיד‪ .‬יתרון בולט בטבלה הוא האפשרות להציג מספרים מדויקים‪ ,‬יתרון בולט‬
‫בדיאגרמת עמודות הוא תפיסה מידית של הפרטים בלי הצורך בחישוב‪ ,‬והיתרון החשוב‬
‫בדיאגרמת עמודות כפולה הוא האפשרות לנתח שני היבטים של אותה תופעה בו‪-‬זמנית‪.‬‬
‫‪145‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬אפשר להתחיל את העיסוק במשימה זו בהתחלת לימוד הפרק‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :316‬שכיחות יחסית‪.‬‬
‫מחשבים שכיחות יחסית על‪-‬ידי חילוק של השכיחות בסך כל השכיחויות )סכום של כל‬
‫השכיחויות(‪ .‬שכיחות יחסית מייצגת התפלגות של שכיחויות הערכים‪ ,‬כאשר כל השכיחויות‬
‫מהוות את השלם‪ .‬שכיחות יחסית אפשר לרשום כשבר‪ ,‬כמספר עשרוני וכאחוז‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬משימת יישום‪ .‬כאן נעשה הקשר בין שברים לבין אחוזים דרך השכיחות‬
‫היחסית‪ .‬הזכירו לתלמידים איך מחשבים את הממוצע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬הפעם הציונים ניתנים במספרים‪ ,‬ולא בשיטת האלף‪-‬בית‪ .‬א( הציון השכיח הוא‬
‫‪ .70‬ג( כדי לחשב שכיחות יחסית מחלקים את השכיחות של כל אחד מהציונים ב‪ .53 -‬כדי לדעת‬
‫כמה תלמידים קיבלו ציון גבוהה מציון מסוים‪ ,‬מחברים את השכיחויות של הציונים שמעל הציון‬
‫המסוים הזה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬משימת יישום‪ .‬חישוב שכיחות יחסית בשבר ובאחוזים ומילוי טבלה לשם חיזוק‬
‫הקשר בין עיבוד הנתונים לבין האחוזים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬למספר הכולל של הנתונים יכולה להיות משמעות‪ .‬כאן רואים שמדובר בחודש‬
‫פברואר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬מומלץ לעבוד בקבוצות‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :319‬הממוצע‪.‬‬
‫מושג זה מוכר לתלמידים מכיתה ה'‪ .‬הממוצע הוא אחד המדדים השימושיים בתיאור תופעות‬
‫בסטטיסטיקה‪ ,‬לדוגמה‪ :‬מהירות ממוצעת‪ ,‬ממוצע של ילדים במשפחה ישראלית‪ ,‬מספר נוסעים‬
‫בממוצע‪.‬‬
‫מחשבים ממוצע על‪-‬ידי חילוק של סכום כל הנתונים במספר הנתונים‪ .‬לדוגמה‪ ,‬כדי לחשב את‬
‫ממוצע המספרים‪ 101 ,40 ,20 :‬ו‪ 52 -‬צריך לחשב תחילה את סכום המספרים‪:‬‬
‫‪ , 52 + 101 + 40 + 20 = 213‬אחר‪-‬כך מחלקים את הסכום ל‪ 4 -‬כמניין המספרים‪ .‬המנה המתקבלת‬
‫היא ‪ , 213 : 4 = 53.25‬כלומר הממוצע שווה ל‪ .53.25 -‬צריך לדון עם התלמידים בכך שממוצע יכול‬
‫להיות מספר כלשהו ולאו דווקא מספר טבעי‪ .‬המספר הממוצע יכול להיות אפילו לא סביר‬
‫מבחינת התלמידים‪ .‬לדוגמה‪ ,‬בבית הספר יש חמש כיתות ו'‪ .‬בכיתה ו' יש בממוצע ‪ 34.6‬תלמידים‪.‬‬
‫המספר ‪ 34.6‬הוא לא טבעי‪ ,‬פירושו של המספר‪ :‬בכיתה ו'‪ 1‬לומדים ‪ 30‬תלמידים‪ ,‬בכיתה ו'‪2‬‬
‫לומדים ‪ 38‬תלמידים‪ ,‬בכיתה ו'‪ 3‬לומדים ‪ 32‬תלמידים‪ ,‬בכיתה ו'‪ 4‬לומדים ‪ 35‬תלמידים ובכיתה‬
‫ו'‪ 5‬לומדים ‪ 38‬תלמידים‪ .‬כמובן‪ ,‬התפלגות זו היא רק אפשרות אחת מהאפשרויות הקיימות‪.‬‬
‫אפשר לחשב את הממוצע רק כאשר ערכי המשתנה הם מספרים )ולא צבעים למשל(‪ .‬לעומת זאת‬
‫אפשר למצוא שכיח גם לנתונים לא‪-‬מספריים‪ .‬השכיח הוא ערך המשתנה שמופיע מרב הפעמים‪.‬‬
‫חשוב לדון עם התלמידים בכך שלעתים אין משמעות למדד מסוים‪ ,‬ומדד אחר "נחשב" יותר‪.‬‬
‫נבהיר את הדבר בשני מקרים‪ .‬מקרה א( הציונים של תלמיד מסוים בחשבון הם ‪,98 ,90 ,100 ,84‬‬
‫‪ .97‬אין טעם לדבר על השכיח‪ ,‬כי אין כאן שכיח‪ .‬לעומת זאת ממוצע הציונים הוא ‪ ,93.5‬והוא‬
‫בהחלט יכול להעיד על ההישגים של התלמיד‪ .‬מקרה ב( במפעל ‪ 25‬עובדים ושלושה אנשי הנהלה‪.‬‬
‫כל עובד מקבל משכורת חודשית של ‪ ₪ 4,500‬ברוטו‪ ,‬ואנשי ההנהלה מקבלים ‪40,000 ,₪ 30,000‬‬
‫‪ ₪‬ו‪ ₪ 50,000 -‬בהתאם לתפקידם‪ .‬אם נחשב את הממוצע של המשכורת‪ ,‬נקבל בערך ‪.₪ 8,303‬‬
‫מספר זה לא כל כך משמעותי‪ ,‬כי עלולים לחשוב בטעות שהשכר החודשי של העובדים הוא כ‪-‬‬
‫‪ ₪ 8,000‬והדבר אינו נכון‪ .‬במקרה זה דווקא השכיח יעיד על ההתפלגות של המשכורות באופן נכון‬
‫יותר‪ .‬הממוצע גבוה עקב הפער הגדול בין השכר הנמוך ביותר לשכר הגבוה ביותר‪ ,‬שכן הממוצע‬
‫מושפע מהקצוות‪ .‬לעתים לא לוקחים בחשבון את הנתונים הקיצוניים בחישובי ממוצע‪.‬‬
‫כדי שהתלמידים יפנימו את המושגים האלה מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ה'‪ .‬ולהביא‬
‫לתלמידים את הדוגמאות הנ"ל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬התלמידים מתבקשים לבנות את הדיאגרמה על‪-‬סמך הנתונים שבשיעור‪.‬‬
‫‪146‬‬
‫משימות מס' ‪ 27‬ו‪ :28 -‬שימוש בדרכי חישוב‪ .‬מומלץ לדון בכך‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :321‬החציון‪.‬‬
‫החציון הוא מספר שמחלק לשני חצאים את כל הערכים הכתובים בסדרה מהקטן לגדול‪ .‬לדוגמה‪,‬‬
‫נכתוב את המשכורות שבהסבר לשיעור הקודם בסדרה כך‪:‬‬
‫‪;4,500 ;4,500 ;4,500 ;4,500 ;4,500 ;4,500 ;4,500 ;4,500 ;4,500 ;4,500 ;4,500 ;4,500 ;4,500‬‬
‫‪;4,500 ;4,500 ;4,500 ;4,500 ;4,500 ;4,500 ;4,500 ;4,500 ;4,500 ;4,500 ;4,500 ][ 4,500‬‬
‫‪.50,000 ;40,000 ;30,000‬‬
‫הקו מראה את שני החצאים של הסדרה )‪ 14‬מספרים מימין לו ו‪ 14 -‬מספרים משמאלו(‪ .‬החציון‬
‫במקרה הזה הוא ‪ ,4,500‬שהוא הממוצע של שני המספרים משני צדי הקו הזה )האמצע(‪ .‬ברור‬
‫שהחציון כאן מתאר את המצב במפעל הרבה יותר קרוב למציאות מאשר הממוצע‪ .‬בדוגמה של‬
‫השיעור מספר האיברים בסדרה הוא אי‪-‬זוגי‪ ,‬ולכן החציון הוא אחד המספרים )החציון הוא‬
‫האיבר הנמצא במקום ‪ .(27‬כמו הממוצע גם החציון קיים רק כאשר ערכי המשתנה הם מספרים‪,‬‬
‫או כאשר אפשר לסדר את הנתונים בסדר עולה או יורד )אותיות האל"ף בי"ת‪ ,‬סולם הדרגות‪,‬‬
‫וכדומה(‪ ,‬ולא במקרים האחרים‪ .‬חשוב שהתלמידים יבינו שבידם עכשיו שלושה מדדים ‪ -‬החציון‪,‬‬
‫הממוצע והשכיח ‪ -‬ובעזרתם הם יכולים לתאר תופעות ולחקור עליהן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬א‪ .‬הטבלה שבמשימה צריכה להיראות כך‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫מס'‬
‫האחים‪/‬יות‬
‫‪3‬‬
‫השכיחות‬
‫‪0.12‬‬
‫שכיחות‬
‫)=‪(12%‬‬
‫יחסית‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0.12‬‬
‫)=‪(12%‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0.08‬‬
‫)=‪(8%‬‬
‫‪8‬‬
‫‪0.32‬‬
‫)=‪(32%‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0.12‬‬
‫)=‪(12%‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0.08‬‬
‫)=‪(8%‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0.12‬‬
‫)=‪(12%‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.04‬‬
‫)=‪(4%‬‬
‫ב‪ .‬התלמידים מתבקשים לבנות דיאגרמת עמודות לפי הנתונים‪.‬‬
‫בציר האופקי יופיע מספר האחים‪/‬יות‪.7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 ,0 :‬‬
‫בציר האנכי יופיע מספר הילדים בכיתה שיש להם אחים‪/‬יות כערך המשתנה‪ .‬המספר הגדול ביותר‬
‫הוא ‪.8‬‬
‫דונו עם הילדים בדרכים למציאת התשובות לשאלות‪" :‬מהו ממוצע האחים‪/‬יות של כל הילדים?"‪,‬‬
‫"מהו השכיח?"‪" ,‬מהו החציון?"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬במשימה זו התלמידים חוזרים על הגדרת המדדים במילים‪ :‬שכיח‪ ,‬חציון‬
‫וממוצע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬במשימה זו מוסברת הדרך למציאת החציון כשמספר הנתונים זוגי‪ .‬במצב זה‬
‫החציון הוא הממוצע של שני הנתונים האמצעיים‪ .‬לדוגמה‪ ,‬אם מספר הנתונים הוא ‪ ,20‬החציון‬
‫הוא ממוצע המספרים של הנתון העשירי והנתון האחד עשר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :34-33‬משימות סיכום המובעות באופנים שונים‪ :‬באופן מוחשי ובאופן מופשט‪.‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪324‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬חזרה ל מושגים‪ .‬המשתנה הוא התוצאה של זריקת הקובייה‪ .‬הערכים הם ‪,6-1‬‬
‫מספר הנתונים הוא ‪ ,18‬השכיח הוא ‪ ,3‬הממוצע הוא ‪ ,3.5‬והחציון הוא ‪) 3.5‬מספר הנתונים הוא‬
‫זוגי(‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמודים ‪326-325‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬מציאת משתני מחקר המתאימים ביותר לנושא המחקר‪.‬‬
‫א( המשתנה‪ :‬סוגי החוגים‪ .‬הערכים של המשתנה‪ :‬חוג מחשבים‪ ,‬חוג התעמלות‪ ,‬חוג מוזיקה‪.‬‬
‫ב( המשתנה‪ :‬חודשי השנה‪ .‬הערכים‪ :‬ינואר‪ ,‬פברואר‪ ,‬מרס )או חשוון‪ ,‬כסלו‪ ,‬טבת‪ ,‬שבט(‪.‬‬
‫‪147‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬התלמידים צריכים לחבר את הנתונים הרשומים בציר האנכי )‪ 30‬נתונים(‪ .‬ב(‬
‫השכיח הוא גלידת וניל‪ .‬ד( רק שלושה ילדים אוהבים גלידת תות או גלידת משמש‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬מומלץ לפתור את המשימה במליאה או בקבוצות‪ .‬במשימה בוחנים את‬
‫המשמעות של כל אחד מהמדדים המרכזיים‪ .‬א( הציון שקיבל מיכאל נמוך מהממוצע‪ .‬הממוצע‬
‫הוא ‪ .44.1‬ב( הציון שקיבל שווה לחציון )‪ . (40‬ג( צדק‪ .‬הציון גבוה מהשכיח‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬כאשר המספרים גדולים‪ ,‬אפשר לחשב ממוצע כך‪:‬‬
‫• לחסר מכל המספרים מספר מסוים;‬
‫• לחשב את הממוצע של הסדרה החדשה;‬
‫• להוסיף לממוצע את המספר שחיסרנו בהתחלה‪.‬‬
‫דוגמה‪ – 474 ,450 ,492 :‬מחסירים מכולם ‪ 400‬ומתקבלת סדרה חדשה‪ ,74 ,50 ,92 :‬והממוצע‪:‬‬
‫‪74 + 50 + 92‬‬
‫מוסיפים ‪ .400+72= 472 .400‬לפי‪-‬כך ‪ 472‬הוא הממוצע המבוקש‪.‬‬
‫‪= 72‬‬
‫‪3‬‬
‫שאלות מילוליות‪ ,‬עמוד ‪327‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬שאלה מילולית המסוגננת בצורת חידה‪ .‬התשובה היא מימין לשמאל‪ -‬מירב‪,‬‬
‫חמוטל‪ ,‬שוש וענת‪.‬‬
‫יישומי מדע‪ ,‬עמוד ‪328‬‬
‫בעמוד זה התלמידים לומדים על המחקר שנעשה בעולם על השוקולד‪ .‬התלמידים מתבקשים‬
‫לבנות דיאגרמות המתאימות לנתונים שהתגלו במחקר זה‪.‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪329‬‬
‫הצגת ייצוג נוסף של נתונים‪ :‬דיאגרמת עיגול או דיאגרמת עוגה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬על התלמידים לצייר מעגל ולהשתמש במד‪-‬זווית ולחלק את המעגל לחלקים לפי‬
‫הנתונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬אפשר לבצע משימה כזו במפגשים בין רוב תלמידי ביתי הספר‪ ,‬כלומר לערוך‬
‫סקרים בימי מתמטיקה או בכל הזדמנות של כינוס כל תלמידי בית הספר‪.‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪330‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד קודם לכן‪ :‬שאלות מילוליות‪ ,‬סדרות מספרים‪ ,‬שיקוף‪,‬‬
‫קשרים בין מרובעים שונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬חזרה על השבר כחלק מכמות‪.‬‬
‫‪148‬‬
‫‪A‬‬
‫יד ‪ .‬יחס‬
‫עמ' ‪361-331‬‬
‫רקע‬
‫היחס הוא אחד המושגים הבסיסיים ביותר במתמטיקה‪ .‬על המושג יחס מבוססים‪ ,‬בין היתר‪,‬‬
‫השברים‪ ,‬האחוזים‪ ,‬המידות העשרוניות‪ ,‬מהירות‪ ,‬הספק‪ ,‬קנה‪-‬מידה‪ ,‬הסתברות ועוד‪ .‬כמו‪-‬כן‬
‫במושג יחס משתמשים בגאומטריה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬היחס בין היקף המעגל לרדיוס המעגל הוא ‪.π‬‬
‫בכיתות גבוהות יותר יעסקו התלמידים בנושאים כמו פונקציות‪ ,‬דמיון משולשים ועוד‪ ,‬שאף הם‬
‫קשורים ליחס‪ .‬יחס הוא גם כלי שימושי בחיי היום‪-‬יום‪ ,‬בפיסיקה‪ ,‬בכימיה ובגאוגרפיה‪.‬‬
‫אם כך‪ ,‬הנושא "יחס" מקשר בין נושאים רבים שנלמדו בעבר‪ ,‬ובלימודו עולה ההזדמנות לחזור על‬
‫הנושאים הללו ולהעמיק בהם‪ .‬כמו‪-‬כן הוא מהווה בסיס להבנת המושג "פרופורציה" ולפיתוח‬
‫חשיבה פרופורציונית‪ .‬באמצעות יחס אפשר להשוות בין מספרים חיוביים‪ .‬כלומר יחס בין שני‬
‫מספרים חיוביים מאפשר לענות בצורה חד‪-‬משמעית על שאלות מסוג "איזה מספר גדול יותר?"‪,‬‬
‫"האם שני המספרים שווים?" ההשוואה מתבצעת על‪-‬פי מנתם של המספרים הנתונים‪.‬‬
‫אם היחס בין שני מספרים חיוביים גדול מ‪ ,1 -‬המספר הראשון גדול מהמספר השני; אם היחס‬
‫בין שני מספרים קטן מ‪ ,1 -‬המספר הראשון קטן מהמספר השני; ואם היחס שווה ל‪ ,1 -‬המספרים‬
‫שווים‪ .‬לעתים קל יותר להשוות בין המספרים על‪-‬פי מנתם )בעזרת יחס(‪ ,‬ולא על‪-‬פי הפרשם )דרך‬
‫ההשוואה שהתלמידים הכירו עד עכשיו(‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ .‬את ההשוואה נבצע בשתי הדרכים המקובלות‪:‬‬
‫ו‪-‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬נשווה בין המספרים‬
‫‪55‬‬
‫‪25‬‬
‫א( בעזרת חיסור )את ההפרש המתקבל משווים ל‪;(0 -‬‬
‫ב( בעזרת חילוק )את המנה המתקבלת משווים ל‪.(1 -‬‬
‫‪9 18 99 90‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9 18‬‬
‫‪9‬‬
‫דרך א'‪:‬‬
‫= ‪, −‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫> ‪.‬‬
‫לכן‬
‫‪>0‬‬
‫‪25 55‬‬
‫‪25 55 625 625 625‬‬
‫‪625‬‬
‫‪9 18‬‬
‫‪9 18 9 × 55 1 × 11 11‬‬
‫‪11‬‬
‫> ‪.‬‬
‫=‬
‫=‬
‫לכן‬
‫= ‪>1 , :‬‬
‫דרך ב'‪:‬‬
‫‪25 55‬‬
‫‪25 55 25 × 18 5 × 2 10‬‬
‫‪10‬‬
‫אפשר לראות שבמקרה זה דרך ב' יעילה יותר‪ .‬בדרך החילוק מצאנו יחס בין שני המספרים‬
‫‪18‬‬
‫‪9‬‬
‫הנתונים )היחס הוא ‪ 11:10‬יחס זה גדול מ‪ .(1 -‬על‪-‬פי היחס רואים כי השבר‬
‫‪.‬‬
‫גדול מהשבר‬
‫‪55‬‬
‫‪25‬‬
‫בשנים הבאות ייתקלו התלמידים במקרים אלגבריים שבהם רק דרך ב' אפשרית‪ ,‬כי דרך א' אינה‬
‫מובילה לפתרון‪.‬‬
‫הערה‪ :‬אמנם המשך הפרק לא נעסוק בהשוואה דרך החיסור‪ ,‬אך חשוב להדגיש את שתי הדרכים‬
‫כדי למנוע טעויות ולפתח הבנה מספרית‪.‬‬
‫חשוב להדגיש שעל‪-‬פי יחס נתון אפשר להשוות בין גדלים )כמויות או מספרים( בלי לדעת את‬
‫ערכם וגם למצוא אין‪-‬סוף גדלים שהיחס ביניהם הוא היחס הנתון‪ .‬לדוגמה‪ ,‬אם נתון היחס בין‬
‫רוחב המלבן לאורכו )‪ ,(1:2‬אפשר להסיק שאורך אחת הצלעות קטן פי שניים מאורך הצלע‬
‫השנייה‪ .‬אפשר לסרטט אין‪-‬סוף מלבנים העונים על דרישה זו‪ ,‬לדוגמה‪ 3 :‬ס"מ ו‪ 6 -‬ס"מ; ‪ 4.5‬מ' ו‪-‬‬
‫‪ 9‬מ'; ‪ 1.3‬ק"מ ו‪ 2.6 -‬ק"מ‪.‬‬
‫אחת המטרות בלימוד הנושא היא פיתוח חשיבה פרופורציונית אצל התלמידים הצעירים‪.‬‬
‫מחקרים שונים מצביעים על כך שגם מבוגרים רבים מתקשים בחשיבה פרופורציונית‪ .‬מדובר‬
‫ביכולת להשתמש במושג יחס באופן נכון‪ .‬לדוגמה‪ ,‬רוצים לדעת באיזה משקה יש יותר חלב‪:‬‬
‫במשקה א' או במשקה ב'? משקה א' מכיל ‪ 170‬גר' מים ו‪ 120 -‬גר' חלב‪ .‬משקה ב' מכיל ‪ 70‬גר' מים‬
‫ו‪ 20 -‬גר' חלב‪ .‬צריך להבין שעל השאלה עונים באמצעות השוואה בין היחסים המתאימים‪ ,‬ולא‬
‫על‪-‬ידי השוואה בין ההפרשים‪.‬‬
‫המושג יחס קשור למושג פרופורציה‪ ,‬כי פרופורציה היא שוויון של שני יחסים‪ .‬ברוב הבעיות‬
‫הקשורות ליחס עוסקים גם בפרופורציות באופן סמוי‪ ,‬אך בכיתה ו' עדיין אין קוראים למושג‬
‫בשמו )הדבר ייעשה רק בחטיבת הביניים(‪ ,‬משום שעל‪-‬פי מחקרים‪ ,‬אם מתחילים לעסוק‬
‫בפרופורציות מוקדם מדי‪ ,‬התלמידים עלולים שלא להפנים את מהות היחס‪.‬‬
‫ישנם קשיים שונים בהבנת המושג יחס‪.‬‬
‫• ראשית‪ ,‬כתיבת היחס‪ :‬בעברית כותבים מימין לשמאל‪ ,‬ובמתמטיקה כותבים משמאל לימין‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬היחס בין מספר הבנים למספר הבנות הוא ‪ .2:3‬התלמידים צריכים להבין כי המספר ‪2‬‬
‫מתייחס למספר הבנים‪ ,‬ואילו המספר ‪ 3‬מתייחס למספר הבנות‪ .‬לעתים תלמידים מתקשים להבין‬
‫שהמספר הכתוב משמאל קשור למילה הכתובה מימין‪ .‬הדבר אינו פשוט‪ ,‬ולכן צריך להרגיל את‬
‫התלמידים לכתיבה ולקריאה של יחסים‪.‬‬
‫‪149‬‬
‫אפשר לכתוב את היחס בצורת שבר‪ .‬ייתכן שלתלמידים מסוימים הכתיבה בצורת שבר תעזור‬
‫להתגבר על הבעיה‪ ,‬אך חשוב לעזור לתלמידים להבין את שתי צורות הכתיבה כי הם ייתקלו‬
‫בשתיהן במבחנים ובספרי הלימוד‪.‬‬
‫• שנית‪ ,‬ילדים בגיל זה מבינים את היחס ‪ ,1:2‬אך מתקשים בהבנת יחסים מסובכים יותר‪ ,‬כגון‬
‫‪.5:7‬‬
‫• שלישית‪ ,‬קשה להפנים את הבנת המושג פרופורציה‪.‬‬
‫• רביעית‪ ,‬ישנו קושי מסוים בהבנת שני היבטי היחס‪ :‬מצד אחד היחס הוא גודל מתמטי אחד‪,‬‬
‫ומהצד האחר הוא מחושב בעזרת שני גדלים מסוימים‪.‬‬
‫שני הפרקים העוסקים ביחס )פרק זה ופרק י"ז( מותאמים לתכנית הלימודים‪.‬‬
‫מומלץ להקדיש לנושא כ‪ 10 -‬שעות לימוד‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬לקבּוע מהו היחס בין הגדלים של שתי קבוצות נתונות;‬
‫ב‪ .‬לתאר קבוצות המתאימות ליחס נתון;‬
‫ג‪ .‬לכתוב יחס בין קבוצות בצורה המקובלת בהתאם לתיאור מילולי;‬
‫ד‪ .‬לכתוב יחס בין קבוצות נתונות בצורות שונות )לדוגמה‪ 2 : 3 ,‬או ‪ 4 : 6‬או ‪;( 12 : 18‬‬
‫ה‪ .‬לצמצם ולהרחיב יחסים;‬
‫ו‪ .‬לקבּוע על‪-‬פי יחס נתון איזו קבוצה גדולה יותר;‬
‫ז‪ .‬לתאר יחס נתון כמנה ולתאר מנה כיחס;‬
‫ח‪ .‬לקבּוע על‪-‬פי יחס נתון איזה חלק מהווה קבוצה אחת מקבוצה אחרת;‬
‫ט‪ .‬למצוא אפשרויות שונות לקבוצות המתאימות ליחס נתון;‬
‫י‪ .‬לקבּוע גודל של קבוצה אחת על‪-‬פי גודל נתון של קבוצה אחרת ועל‪-‬פי היחס בין גודלי‬
‫הקבוצות;‬
‫יא‪ .‬לקבּוע אם יחסים הם שווים;‬
‫יב‪ .‬למצוא יחס שווה ליחס נתון בעזרת טבלה;‬
‫יג‪ .‬למצוא יחסים שווים בעזרת הרחבה וצמצום;‬
‫יד‪ .‬לפתור בעיות מילוליות הקשורות ליחס‪.‬‬
‫מושגים‬
‫הפרש‪ ,‬מנה‪ ,‬שבר‪ ,‬כפולות‪ ,‬מחלקים‪ ,‬השוואה‪ ,‬מכפלה‪ ,‬סכום‪ ,‬הצבה‪ ,‬יחס‪ ,‬גדול ב‪ , -‬קטן ב‪ , -‬גדול‬
‫פי‪ ,‬קטן פי‪ ,‬יחסים שווים‪ ,‬יחסים לא‪-‬שווים‪ ,‬הרחבה‪ ,‬צמצום‪ ,‬גורם ההרחבה‪ ,‬גורם הצמצום‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫דבּקות צבעוניות; רצועות בריסטול דקות; דסקיות בצבעים שונים; קופסאות‬
‫חרוזים צבעוניים; ִמ ָ‬
‫בגדלים שונים )לפעילויות הגילוי(; מודעות פרסומות שונות מהעיתונות; טבלאות למציאת יחסים‬
‫שווים‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על כפולות ועל מחלקים של מספר‪.‬‬
‫כותבים על הלוח מספר חד‪-‬ספרתי‪ ,‬ומבקשים מהתלמידים לומר כפולות של המספר הנתון‪.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬המספר הנתון הוא ‪ .8‬התלמידים אומרים‪ 800 ,80 ,24 ,16 :‬ועוד‪ .‬מדגישים ש‪ 8 -‬הוא‬
‫מחלק של כל אחת מהכפולות שלו‪ .‬בוחרים אחת מהכפולות הדו‪-‬ספרתיות שהתלמידים הציעו‪,‬‬
‫ומוצאים מחלקים נוספים של המספר‪ .‬אחר‪-‬כך מוצאים את כל המחלקים של אותו מספר‪.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬כל המחלקים של ‪ 48‬הם ‪.48 ,24 ,16 ,12 ,8 ,6 ,4 ,3 ,2 ,1‬‬
‫‪150‬‬
‫חשוב לעודד את התלמידים להשתמש בסימני ההתחלקות שנלמדו בכיתה ד'‪ .‬לדוגמה‪ 48 ,‬מתחלק‬
‫ב‪ 3 -‬כי סכום ספרותיו ) ‪ ( 4 + 8 = 12‬מתחלק ב‪.3 -‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על המושגים "גדול ב‪ " ,"-‬קטן ב‪" ,"-‬גדול פי"‪" ,‬קטן פי"‪.‬‬
‫כותבים על הלוח שני מספרים )לדוגמה‪ 80 ,‬ו‪ ,(20 -‬ומבקשים מהתלמידים להשוות ביניהם‪ .‬לאחר‬
‫שהתלמידים אומרים ש‪ 80 -‬גדול מ‪ ,20 -‬שואלים "בכמה ‪ 80‬גדול מ‪ "?20 -‬או "בכמה ‪ 20‬קטן מ‪-‬‬
‫‪" ,"?80‬פי כמה ‪ 80‬גדול מ‪ "?20 -‬או "פי כמה ‪ 20‬קטן מ‪ "?80 -‬התשובות האפשריות‪ 80" :‬גדול מ‪-‬‬
‫‪ 20‬ב‪ "60 -‬או "‪ 20‬קטן מ‪ 80 -‬ב‪ "60 -‬וכן "‪ 80‬גדול מ‪ 20 -‬פי ארבעה" או "‪ 20‬קטן מ‪ 80 -‬פי‬
‫ארבעה"‪ .‬חזרו על הפעילות בזוגות נוספים של מספרים‪ ,‬וביניהם שברים‪ .‬זוגות לדוגמה‪;0.2 ,1 :‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪.3 ,4.5 ; 1 ,‬‬
‫‪2 2‬‬
‫ג‪ .‬חזרה על שברים גדולים מ‪ ,1 -‬שווים ל‪ 1 -‬וקטנים מ‪.1 -‬‬
‫כותבים על הלוח עשרה שברים‪ ,‬קצתם גדולים מ‪ ,1 -‬קצתם שווים ל‪ 1 -‬וקצתם קטנים מ‪.1 -‬‬
‫מזמינים תלמיד שיקיף במעגל את כל השברים השווים ל‪ ,1 -‬מבקשים מתלמיד אחר לסמן קו‬
‫מתחת לשברים הקטנים מ‪ ,1 -‬מבקשים מתלמיד נוסף לצייר מלבן סביב כל השברים הגדולים מ‪-‬‬
‫‪) 1‬התלמידים יכולים גם למיין את השברים בטבלה‪ (.‬דנים עם התלמידים בקשר בין המונה למכנה‬
‫בכל אחד מהמקרים‪ :‬כאשר השבר שווה ל‪ ,1 -‬המונה שווה למכנה; כאשר השבר קטן מ‪ ,1 -‬המונה‬
‫קטן מהמכנה; כאשר השבר גדול מ‪ ,1 -‬המונה גדול מהמכנה‪.‬‬
‫פעילות נוספת‪ :‬כותבים על הלוח מונה של שבר‪ ,‬ומבקשים הצעות למכנה כך שהשבר יהיה גדול מ‪-‬‬
‫‪ ,1‬קטן מ‪ 1 -‬או שווה ל‪ .1 -‬באותו אופן מבקשים להתאים מונה למכנה נתון‪.‬‬
‫ד‪ .‬חזרה על הקשר בין שבר לבין חילוק )השבר כמנה(‪.‬‬
‫על הלוח כתובה מנת חילוק של שני מספרים‪ ,‬ועל התלמידים להציג אותה כשבר‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫דוגמאות‪ . 2 :5 = , 1 :2 = :‬ולהפך‪ :‬מבקשים מהתלמידים להציג שבר נתון כמנה‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫ה‪ .‬חזרה על תרגילי חילוק שתוצאתם היא שבר או ‪.1‬‬
‫כותבים על הלוח עשרה תרגילי חילוק של מספר טבעי במספר טבעי‪ .‬מבקשים מתלמיד אחד‬
‫להקיף במעגל את תרגילי החילוק שהתוצאה שלהם קטנה מ‪ ,1 -‬מבקשים מתלמיד אחר לסמן קו‬
‫מתחת לתרגילי החילוק שתוצאתם שווה ‪ ,1‬ומתלמיד נוסף מבקשים לצייר מלבן סביב התרגילים‬
‫שתוצאתם גדולה מ‪.1 -‬‬
‫דוגמאות לתרגילים‪ . 99 :102 ; 9 :2 ; 3 :8 ; 5 :5 ; 6 :4 ; 2 :5 :‬דנים עם התלמידים במיון‬
‫התרגילים‪ ,‬ומנסים להגיע למסקנות‪:‬‬
‫א( כאשר המחולק קטן מהמחלק‪ ,‬המנה קטנה מ‪ ;1 -‬ב( כאשר המחולק גדול מהמחלק‪ ,‬המנה‬
‫גדולה מ‪ ;1 -‬ג( כאשר המחולק שווה למחלק‪ ,‬המנה שווה ל‪.1 -‬‬
‫חוזרים על אותה פעילות גם במספרים עשרוניים‪ .‬דוגמאות לתרגילים‪; 3.5 : 4.5 :‬‬
‫‪ . 3.2 :1.6 ; 6.4 :2.5 ; 5.5 :5.5‬חשוב לעודד את התלמידים לבצע את הפעילות ללא חישוב‪ .‬דנים‬
‫עם התלמידים במיון אפשרי של התרגילים‪ .‬המסקנות שחשוב להגיע אליהן בתום הדיון‪ :‬א( כאשר‬
‫מחלקים מספר במספר הקטן ממנו‪ ,‬התוצאה גדולה מ‪) 1 -‬כמו הקשר בין המונה למכנה בשבר‬
‫הגדול מ‪ ;(1 -‬ב( כאשר מחלקים מספר בעצמו‪ ,‬התוצאה שווה ל‪ ;1 -‬ג( וכאשר מחלקים מספר‬
‫במספר הגדול ממנו‪ ,‬התוצאה קטנה מ‪.1 -‬‬
‫בהמשך הפעילות כותבים על הלוח תרגיל חילוק שחסר בו המחלק או המחולק‪ ,‬ומבקשים‬
‫מהתלמידים להוסיף מספר מתאים‪ ,‬כך שהתוצאה תהיה גדולה מ‪ ,1 -‬קטנה מ‪ 1 -‬או שווה ל‪.1 -‬‬
‫אי‪-‬שוויון כזה ייראה על הלוח כך‪ 3.5 :? < 1 :‬או ‪ ? :4 > 1‬וכדומה‪.‬‬
‫ו‪ .‬חזרה על שמות שונים לשבר )יושם דגש על שברים יסודיים(‪.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים לכתוב שמות שונים לחצי‪ .‬בודקים מה הקשר בין המונה למכנה של השבר‪.‬‬
‫רואים שבכל השברים השווים לחצי‪ ,‬המונה הוא חצי מהמכנה‪ .‬באותו אופן דנים בשמות השונים‬
‫לשליש )המונה הוא שליש מהמכנה(‪ ,‬לרבע )המונה הוא רבע מהמכנה( וכן הלאה‪.‬‬
‫‪151‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬לימוד המושג יחס‪.‬‬
‫נותנים לכל זוג תלמידים שרוך ארוך וחרוזים בשני צבעים )לדוגמה‪ ,‬אדום וכחול(‪ .‬מבקשים מהם‬
‫להשחיל את החרוזים כך‪ :‬משחילים תחילה שני חרוזים אדומים ולאחר מכן שלושה חרוזים‬
‫כחולים לסירוגין‪ .‬משחילים כ‪ 20-‬חרוזים‪ .‬התלמידים מציגים את השרשרות שלהם‪ .‬מוודאים‬
‫שכולם השחילו נכון את החרוזים‪ .‬דנים בשאלה‪" :‬מה משותף לכל השרשרות?" אחת התשובות‬
‫האפשריות‪" :‬כל השרשרות הוכנו באותו אופן‪ :‬כנגד שני חרוזים אדומים יש שלושה כחולים"‪.‬‬
‫מסכמים את הפעילות‪" :‬אנו אומרים כי היחס בין מספר החרוזים האדומים למספר חרוזים‬
‫הכחולים הוא ‪ 2‬ל‪ 3 -‬וכותבים ‪ ." 2 : 3‬חשוב להדגיש את סדר כתיבת היחס במילים ובמספרים‪.‬‬
‫אפשר להסביר לתלמידים את סדר הכתיבה כך‪ :‬החרוזים האדומים מוזכרים לפני החרוזים‬
‫הכחולים‪ ,‬לכן נכתוב את המספר ‪ 2‬משמאל לנקודתיים‪ ,‬ואילו את המספר ‪ 3‬נכתוב מימין‬
‫לנקודתיים‪.‬‬
‫שימו לב‪ ,‬השרשרות יכולות להיות שונות באורכן‪ ,‬אך בכל אחת מהן היחס בין מספר החרוזים‬
‫האדומים למספר חרוזים הכחולים הוא ‪. 2 : 3‬‬
‫כעת מוציאים את החרוזים מהשרוך ומפזרים אותם על השולחן‪ .‬מבקשים מהתלמידים למנות‬
‫את החרוזים האדומים ואת החרוזים הכחולים‪ .‬שואלים‪" :‬מהו היחס בין מספר החרוזים‬
‫האדומים למספר החרוזים הכחולים עכשיו?"‪ .‬מגיעים למסקנה שהיחס זהה‪ .‬כלומר כנגד שני‬
‫חרוזים אדומים יש שלושה חרוזים כחולים‪.‬‬
‫מּדבּקות צבעוניות על רצועת בריסטול‪.‬‬
‫אפשר לבצע אותה פעילות בעזרת הדבקת ָ‬
‫פעילות ב‪ :‬התאמת כמויות שונות ליחס נתון‪.‬‬
‫כל קבוצה מקבלת ‪ 4‬דסקיות בצבע אחד ו‪ 12 -‬דסקיות בצבע אחר )לדוגמה‪ ,‬דסקיות צהובות‬
‫ואדומות(‪ .‬על השולחן מונחות מספר קופסאות )בין ‪ 6‬ל‪ .(10 -‬על חברי הקבוצה לסדר את כל ‪16‬‬
‫הדסקיות בקופסאות לפי התנאים האלה‪ :‬א( בכל קופסה תהיינה גם דסקיות צהובות וגם דסקיות‬
‫אדומות‪ .‬ב( מספר הדסקיות הכולל בכל קופסה יהיה זהה באותה חלוקה‪.‬‬
‫כל קבוצה מציעה פתרון אחד ומציגה אותו בעזרת דסקיות צהובות ואדומות המוצמדות לשטיח‬
‫קיר בעזרת צמדן )סקוץ'(‪ .‬התשובות האפשריות מוצגות בטבלה )לשימושכם בלבד(‪.‬‬
‫מספר הקופסאות‬
‫פתרון א'‬
‫פתרון ב'‬
‫פתרון ג'‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫מספר הדסקיות‬
‫הצהובות בכל קופסה‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫מספר הדסקיות‬
‫האדומות בכל קופסה‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪12‬‬
‫שואלים את התלמידים‪" :‬מהו היחס בין הדסקיות הצהובות לדסקיות האדומות בכל אחד‬
‫מהמקרים?" רושמים על הלוח זה מתחת זה את היחסים‪ , 4 :12 ; 2 :6 ; 1 :3 :‬ודנים בקשרים‬
‫ביניהם‪ .‬חשוב שהתלמידים יגלו את פעולת הצמצום ואת פעולת ההרחבה‪ .‬שימו לב‪ :‬בשלב זה אין‬
‫כותבים את היחס בצורת שבר‪.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬היחס כמנה‪.‬‬
‫על השולחן מונחות דסקיות משני צבעים )לדוגמה‪ ,‬כחולות וירוקות(‪ .‬מבקשים מכל קבוצה לקחת‬
‫דסקיות כחולות וירוקות כך שמספר הדסקיות הכחולות יהווה רבע ממספר הדסקיות הירוקות‪.‬‬
‫דוגמאות לכמויות אפשרויות של דסקיות‪ :‬דסקית אחת כחולה ו‪ 4 -‬דסקיות ירוקות‪ 2 ,‬דסקיות‬
‫כחולות ו‪ 8 -‬ירוקות‪ 5 ,‬דסקיות כחולות ו‪ 20 -‬דסקיות ירוקות וכן הלאה‪ .‬משאירים על השולחן רק‬
‫את הדסקיות שנבחרו‪ ,‬ויש לסדר אותן בקופסאות כמו בפעילות ב'‪ .‬כאשר התלמידים מציגים את‬
‫הסידור שלהם‪ ,‬שואלים‪" :‬מהו היחס בין מספר הדסקיות הכחולות למספר הדסקיות הירוקות?"‪.‬‬
‫רושמים את היחסים על הלוח‪ . 5 : 20 , 2 : 8 :‬אפשר גם לרשום יחס מצומצם ‪ . 1 : 4‬דנים בקשר‬
‫בין תנאי הבחירה של הדסקיות )מספר הדסקיות הכחולות הוא רבע ממספר הדסקיות הירוקות(‬
‫לבין היחסים שהתקבלו‪ .‬את אופן הבחירה של הדסקיות אפשר לתאר במילים גם כך‪ :‬מספר‬
‫הדסקיות הירוקות גדול פי ארבעה ממספר הדסקיות הכחולות‪ .‬שואלים את התלמידים‪" :‬מה‬
‫אפשר להסיק מהיחס ‪ "? 5 : 20‬חשוב להגיע עם התלמידים למסקנות כאלה‪ :‬א( כנגד כל ‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫ממספר הדסקיות‬
‫דסקיות כחולות יש ‪ 20‬דסקיות ירוקות; ב( מספר הדסקיות הכחולות הוא‬
‫‪20‬‬
‫‪152‬‬
‫‪1‬‬
‫הירוקות‪ ,‬כלומר‬
‫‪4‬‬
‫הכחולות‪.‬‬
‫מהן; ג( מספר הדסקיות הירוקות גדול פי ארבעה ממספר הדסקיות‬
‫פעילות ד‪ :‬יחסים שווים )מציאה בעזרת טבלה(‪.‬‬
‫בפעילות זו נעזרים בטבלה כמו בעמוד ‪ .321‬מתכננים הכנת כדורי שוקולד לפי המתכון הזה‪ :‬לכל‬
‫שתי כוסות ביסקוויטים מרוסקים צריך להכין שלוש כוסות רוטב שוקולד‪ .‬כדי שהכדורים‬
‫יספיקו לכל תלמידי הכיתה נדרשות ‪ 8‬כוסות של ביסקוויטים מרוסקים‪ .‬כמה כוסות של רוטב‬
‫שוקולד צריך להכין? המורה רושמת על הלוח בטבלה את הנתונים כך‪:‬‬
‫מספר כוסות רוטב השוקולד‬
‫‪3‬‬
‫?‬
‫מספר כוסות הביסקוויטים‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫דנים בקשר בין השורות‪ :‬השורה השנייה מתקבלת מהשורה הראשונה על‪-‬ידי כפל ב‪ .4 -‬כשם‬
‫שהגדלנו את מספר כוסות הביסקוויטים פי ארבעה‪ ,‬כך עלינו להגדיל את מספר כוסות רוטב‬
‫השוקולד פי ארבעה‪ ,‬ולכן נזדקק ל‪ 12 -‬כוסות רוטב שוקולד‪.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים להציע אפשרויות לכמויות השונות מהרשומות בטבלה‪ ,‬ולפיהן מוסיפים‬
‫שורות בטבלה‪ ,‬כגון‪ :‬כמה כוסות רוטב שוקולד נצטרך ל‪ 10 -‬כוסות ביסקוויטים? וכן הלאה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬אפשר לייצג על לוח שטיח את כוסות הביסקוויטים ואת כוסות רוטב השוקולד בעזרת‬
‫חפצים מודבקים משני צבעים שונים בתוך טבלה‪.‬‬
‫פעילות ה‪ :‬יחסים שווים )פעילות נוספת(‪.‬‬
‫גם בפעילות זו אפשר להיעזר בטבלה‪ .‬מביאים לתלמידים מודעות פרסומת שונות על מבצעים‬
‫כגון‪ 4" :‬חפיסות שוקולד ב‪ 3" ,"₪ 10 -‬ארטיקים ב‪ 5" ,"₪ 10 -‬ופלים ב‪ ."₪ 11 -‬בכל אחת‬
‫מהקבוצות ממנים מוכר‪ ,‬ויתר חברי הקבוצה צריכים לקנות ממנוּ כרצונם‪ .‬את הקניות שנעשו על‪-‬‬
‫ידי התלמידים‪ ,‬מרכזים בטבלה שעל הלוח‪ .‬דנים בשאלות‪" :‬מה המחיר של ‪ 8‬חפיסות שוקולד?"‪,‬‬
‫"מה המחיר של ‪ 12‬ארטיקים?"‪" ,‬מה המחיר של ‪ 30‬ופלים?" וכן הלאה‪ .‬חשוב לדון גם בשאלות‬
‫הפוכות כאלה‪" :‬ברשותכם ‪ ,₪ 60‬כמה חפיסות שוקולד תוכלו לקנות?"‪" ,‬כמה ארטיקים אפשר‬
‫לקנות ב‪" ,"?₪ 60 -‬כמה ופלים אפשר לקנות במאה ועשרה שקלים?"‬
‫ישנה חשיבות רבה לשאלות של צמצום יחס‪ .‬דוגמה‪" :‬אם המחיר של ‪ 10‬מסטיקים הוא ‪ ,₪ 25‬מה‬
‫המחיר של ‪ 5‬מסטיקים?"‪ ,‬את הנתונים שבשאלה מציגים בטבלה כך‪:‬‬
‫מספר המסטיקים‬
‫‪10‬‬
‫‪5‬‬
‫מחיר‬
‫‪25‬‬
‫?‬
‫המסקנה היא שמספר המסטיקים קטן פי שניים‪ ,‬לכן גם המחיר קטן פי שניים‪.‬‬
‫הערה‪ :‬יש להסב את תשומת לב התלמידים‪ ,‬לכך שבמציאות קיימים מבצעים שונים של רכישות‬
‫כמותיות‪ ,‬ולכן היחס אינו נשמר בכמויות שונות‪.‬‬
‫בתרגילי השוואה התנאים אינם משתנים בין הכמויות השונות‪ ,‬אלא אם כן מצוין אחרת‪.‬‬
‫‪ .1‬אחת הדרכים להגיע למסקנה זו היא לחשב את המחיר ליחידה אחת )‪ 1‬ופל‪ 1 ,‬שוקולד‪1 ,‬‬
‫מסטיק( ולהכפיל את מחיר היחידה במספר היחידות‪ .‬לעתים אפשר לוותר על חישוב המחיר‬
‫ליחידה ולבצע חישוב קצר יותר‪ .‬דוגמה‪ :‬אם המחיר של שלושה ארטיקים הוא עשרה ‪ ,₪‬ואנו‬
‫מעוניינים לדעת מה המחיר של שנים עשר ארטיקים‪ ,‬אין צורך לחשב את מחירו של ארטיק‬
‫אחד‪ ,‬אלא אפשר להסיק מהנתונים שהמחיר יגדל פי ארבעה‪ ,‬כי מספר הארטיקים גדל פי‬
‫ארבעה‪ .‬במילים אחרות‪ ,‬אפשר להרחיב את היחס בין מספר הארטיקים למחירם )במקרה זה‬
‫פי ארבעה( ולהסיק שהמחיר הוא ‪.₪ 40‬‬
‫‪ .2‬אפשר להציג לתלמידים תמונות של ארטיקים‪ ,‬והם יתאימו להם מטבעות כסף על‪-‬פי‬
‫הנתונים‪ .‬דוגמה‪ :‬אם המחיר של שלושה ארטיקים הוא עשרה שקלים‪ ,‬מה יהיה המחיר של‬
‫שנים עשר ארטיקים?‬
‫‪ .3‬חשוב להציג את הנתונים גם בטבלאות הכתובות לרוחב‪ .‬דוגמה‪:‬‬
‫מספר חפיסות שוקולד‬
‫מחיר בשקלים‬
‫‪4‬‬
‫‪10‬‬
‫‪153‬‬
‫‪8‬‬
‫?‬
‫‪36‬‬
‫?‬
‫?‬
‫‪100‬‬
‫הספר לתלמיד‬
‫"לעלות על הגל"‬
‫האם אנו מוכנים? עמ' ‪:331‬‬
‫‪ .1‬ג; ‪ .2‬א; ‪ .3‬ג; ‪ .4‬א; ‪ .5‬ב; ‪ .6‬ב; ‪ .7‬ד; ‪ .8‬ג; ‪ .9‬ב‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:332‬‬
‫בעמוד זה ובעמוד הבא התלמידים חוזרים על הנושא כפולות ומחלקים שנלמד בכיתה ד'‪ .‬חשוב‬
‫להדגיש שהמושגים כפולות ומחלקים בפרק זה מוגדרים בתחום של המספרים הטבעיים‪ ,‬ולא‬
‫בתחום של המספרים השלמים‪ .‬באופן כללי‪ ,‬אם מספר מסוים ‪ c‬הוא כפולה של המספרים ‪ a‬ו‪,b -‬‬
‫אומרים כי ‪ a‬ו‪ b -‬הם המחלקים של ‪ .c‬כאשר מחפשים את כל המחלקים של מספר‪ ,‬חשוב לשים‬
‫לב לדברים האלה‪ :‬א( לא לשכוח כי גם ‪ 1‬והמספר עצמו הם מחלקים של המספר הנתון; ב( את‬
‫החיפוש של המחלקים כדאי להתחיל מ‪ 1 -‬ולבדוק כל מספר עד למספר הנתון; ג( כאשר מוצאים‬
‫מחלק אחד‪ ,‬מוצאים‪ ,‬למעשה‪ ,‬מחלק נוסף‪ .‬למשל‪ :‬אם מצאנו כי ‪ 24‬מתחלק ב‪ ,2 -‬כלומר ‪ 2‬הוא‬
‫מחלק של ‪ ,24‬גם ‪ 12‬הוא מחלק של ‪ ,24‬כי ‪ . 24 = 2 × 12‬ד( יש לעודד שימוש בסימני ההתחלקות‪.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬כדי לדעת אם ‪ 45‬מתחלק ב‪ ,3 -‬מחברים את הספרות‪ .‬סכום הספרות הוא ‪ , 4 + 5 = 9‬ו‪9 -‬‬
‫מתחלק ב‪ ,3 -‬לכן ‪ 45‬מתחלק ב‪ .3 -‬לפיכך ‪ 3‬הוא מחלק של ‪ .45‬שימו לב שלמספר יש אין‪-‬סוף‬
‫כפולות ומספר סופי של מחלקים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬התלמידים נדרשים למצוא את המחלקים החיוביים של כל מספר וכן לרשום את‬
‫תרגילי החילוק של כל מספר בכל אחד מהמחלקים‪ .‬יש לשים לב כי מספר התרגילים שווה למספר‬
‫המחלקים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬כל מספר המתחלק ב‪ 2 -‬וב‪ 3 -‬מתחלק גם ב‪ ,6 -‬ולכן כל מספר שמתחלק ל‪6 -‬‬
‫מתאים כתשובה לשאלה זו‪ 36 ,30 ,24 ,18 ,12 ,6 :‬וכן הלאה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬ירון צודק‪ .‬אפשר לבדוק את טענתו על‪-‬ידי חילוק המספר ‪ 24‬בכל אחד‬
‫מהמספרים המובאים במשימה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬התרשים הימני‪ :‬למסלול זה פתרון אחד‪ .‬כדאי להתחיל במשוואה שיש בה מספר‬
‫חסר אחד‪ ,‬ולא בזו שיש בה שני מספרים חסרים‪.‬‬
‫התרשים השמאלי‪ :‬לכל אחת מהמשוואות ‪ 6 × ? = 60‬ו‪ 6 × ? = 18 -‬פתרון אחד‪ 10 :‬ו‪ .3 -‬לעומת‬
‫זאת לכל אחת מהמשוואות ? = ? × ‪ 60‬ו‪ 18 × ? = ? -‬פתרונות רבים‪ .‬לדוגמה‪; 60 × 3 = 180 :‬‬
‫‪ . 18 × 10 = 180‬דוגמה נוספת‪ . 18 × 20 = 360 ; 60 × 6 = 360 :‬אם מגבילים את הפתרונות לכפל‬
‫במספרים הטבעיים‪ ,‬המספר שבריבוע התחתון הימני יכול להיות רק מספר שמתחלק ב‪ 60 -‬וב‪-‬‬
‫‪ ,18‬כלומר כפולה של המספרים האלה‪ .‬אך אם מאפשרים כפל במספרים עשרוניים או בשברים‪,‬‬
‫יתקבלו גם פתרונות שאינם מספרים טבעיים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬המחלקים החיוביים של המספר ‪ 36‬הם ‪ .36 ,18 ,12 ,9 ,6 ,4 ,3 ,2 ,1‬ל‪ 36 -‬יש‬
‫תשעה מחלקים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬שניהם צודקים‪ 1,890 .‬הוא כפולה משותפת ל‪ 35 -‬ול‪ ,54 -‬לכן ‪ 35‬ו‪ 54 -‬הם‬
‫מחלקים של ‪ 35 .1,890‬הוא כפולה של ‪ 7‬ושל ‪ ,5‬כי ‪ 54 . 5 × 7 = 35‬הוא כפולה של ‪ 9‬ו‪ 6 -‬כי‬
‫‪ ( 6 × 9 ) × ( 5 × 7 ) = 1,890 . 54 = 6 × 9‬לכן ‪ 1890‬הוא כפולה של ‪ 9‬ושל ‪ .7‬דרך אחרת לבדוק אם ‪ 7‬ו‪-‬‬
‫‪ 9‬הם מחלקים של ‪ 1,890‬היא חילוק של ‪ 1,890‬בכל אחד מהמספרים‪ .‬אם ‪ 1,890‬מתחלק במספרים‬
‫אלה ללא שארית‪ ,‬הם מחלקים של ‪ .1,890‬דרך זו נכונה‪ ,‬אך אינה מסתמכת על העובדה הנתונה‬
‫במשימה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬כמו במשימה הקודמת‪ 42 .‬הוא כפולה של ‪ 6‬ושל ‪.7‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬המספר ‪ 28‬הוא כפולה משותפת של ‪ 4‬ושל ‪ . 7‬כל כפולה של ‪ 28‬יכולה לשמש‬
‫ככפולה משותפת של ‪ 7‬ושל ‪) 4‬המספר ‪ 28‬הוא הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של ‪ 4‬ו‪.(7 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬כאן עוסקים רק במחלקים של המספר‪.‬‬
‫‪154‬‬
‫כותבים את המחלקים של ‪ ,(64 ,32 ,16 ,8 ,4 ,2 ,1) 64‬את המחלקים של ‪ (10 ,5 ,2 ,1) 10‬ואת כל‬
‫המכפלות האפשריות של המחלקים של ‪ 64‬עם המחלקים של ‪ .10‬מקבלים את המחלקים של ‪:640‬‬
‫‪ 15) 640 ,320 ,160 ,80 ,64 ,40 ,32 ,20 ,16 ,10, 8, 5, 4, 2, 1‬מחלקים בסך הכול(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬נורית בת ‪ 10‬וניר בן ‪ .5‬אין אפשרויות נוספות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬אפשר למצוא את המחלקים של ‪ 45‬בנפרד ואת המחלקים של ‪ 6‬בנפרד ולהקיף‬
‫את המחלקים המשותפים‪ .‬דרך אחרת‪ 45 = 15 × 3 :‬ו‪ . 6 = 2 × 3 -‬לכן ברור שישנו מחלק משותף‬
‫יחיד‪.3 :‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:334‬‬
‫בעמוד זה ובעמוד הבא התלמידים חוזרים על דרכי השוואה שכבר למדו בכיתות קודמות‪.‬‬
‫כאמור‪ ,‬אפשר להשוות בין מספרים בעזרת פעולת החיסור ובעזרת פעולת החילוק‪ .‬בחלק זה‬
‫עוסקים בהשוואה באמצעות החיסור‪ .‬כאשר תוצאת החיסור )ההפרש( שווה ל‪ ,0 -‬המספרים‬
‫שווים זה לזה; כאשר ההפרש גדול מ‪ ,0 -‬המחוסר גדול מהמחסר; כאשר ההפרש קטן מ‪0 -‬‬
‫)כלומר שלילי(‪ ,‬המחוסר קטן מהמחסר‪.‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫כאמור‪ ,‬מטרת החזרה בעמוד זה ובעמוד הבא היא מניעת טעויות ופיתוח הבנה מספרית‪.‬‬
‫אם התלמידים לא נחשפו בעבר לנושא המספרים השליליים‪ ,‬אפשר לתאר זאת בפניהם‬
‫כך‪" :‬אם מספר א' פחות מספר ב' שווה למספר גדול מ‪ ,0 -‬מסיקים שמספר א' גדול ממספר ב' או‬
‫שמספר ב' קטן ממספר א' "‪.‬‬
‫יכול להתעורר קושי אצל התלמידים בהבנת הניסוחים באותיות‪ .‬אפשר לנסח את כל האמור‬
‫לעיל במושגים‪ :‬הפרש‪ ,‬מחוסר ומחסר )כמוסבר לעיל(‪ .‬בעזרת פעולת החיסור אפשר להשוות בין‬
‫כל שני מספרים ללא הגבלות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬לשאלה זו יש אין‪-‬סוף פתרונות‪ .‬דוגמאות‪ :‬מחיר ק"ג בננות הוא ‪ ,₪ 1‬ומחיר ק"ג‬
‫תותים הוא ‪ ;₪ 3.1‬מחיר ק"ג בננות הוא ‪ ,₪ 5.6‬ומחיר ק"ג תותים הוא ‪.₪ 7.7‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬כדי למלא את המשבצות בטבלה על התלמידים לפתור "משוואות" חיסור או‬
‫חילוק‪ .‬מומלץ לבצע את הפעילות בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬משימת יישום‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:335‬‬
‫בשיעור זה ממשיכים ללמוד דרכים להשוואה בין מספרים‪ .‬הפעם משווים בין מספרים בעזרת‬
‫פעולת החילוק‪ .‬בסיפור שבשיעור משווים בין מספר העוגות לבין מספר הנכדים‪ .‬אם בשיעור‬
‫הקודם מצאנו הפרש בין המספרים‪ ,‬והשווינו בין המספרים על‪-‬ידי השוואה בין ההפרש ל‪ ,0 -‬כעת‬
‫מחפשים את תוצאת החילוק של המספרים‪ ,‬הנקראת "מנה"‪ ,‬ומשווים בינה לבין ‪ .1‬אם המנה‬
‫שווה ל‪ ,1 -‬המספרים שווים; אם המנה גדולה מ‪ ,1 -‬המחולק גדול מהמחלק והמחלק קטן‬
‫מהמחולק; אם המנה קטנה מ‪ ,1 -‬המחולק קטן מהמחלק והמחלק גדול מהמחולק‪ .‬אפשר לדבר‬
‫במושגים של שבר )כי שבר הוא מנה(‪ :‬אם מקבלים שבר שווה ל‪ ,1 -‬המונה שווה למכנה; אם‬
‫מקבלים שבר קטן מ‪ ,1 -‬המונה קטן מהמכנה; ואם מקבלים שבר גדול מ‪ ,1 -‬המונה גדול‬
‫מהמכנה‪.‬‬
‫הערה ‪ :‬התלמידים עדיין לא למדו פעולות במספרים שליליים‪ ,‬לכן בכל הפרק מתייחסים רק‬
‫למספרים חיוביים‪ .‬צריך לציין שבעזרת חיסור אפשר להשוות בין מספרים כלשהם‪ ,‬אך בעזרת‬
‫חילוק אפשר להשוות רק בין מספרים בעלי אותו סימן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬על התלמידים לפתור משוואות חילוק ולבחור מספרים מתאימים לשוויונות‬
‫ולאי‪ -‬שוויונות‪ .‬משימה פתוחה הנוגעת לאי‪-‬שוויונות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬א‪ .‬רונית צודקת‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫של ‪ 8‬זה פחות מ‪ .8 -‬כפל מספר במספר קטן מ‪ ,1 -‬מקטין‬
‫את המספר‪.‬‬
‫‪155‬‬
‫ב‪ .‬יונה לא צודק‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫של ‪ 8‬פירושו יותר מפעם אחת ‪ ,8‬מכיוון ש‪-‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫גדול מ‪ .1 -‬כפל מספר במספר‬
‫גדול מ‪ ,1-‬מגדיל את המספר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ : :18‬משימת יישום להשוואה בעזרת חילוק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬במשימה זו פותרים משוואות חיבור וכפל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬במשימה זו משווים בין תוצאות תרגילי כפל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬משימה מורכבת‪ .‬בכל שורה התלמידים מתבקשים למלא שתי משבצות‪ .‬אפשר‬
‫לעשות זאת בשני שלבים בהדרגה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬בשורה הראשונה מוצאים תחילה את המספר ‪a‬‬
‫ולאחר מכן מוצאים את סכום המספרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬המטרה היא לבדוק אם התלמידים מבינים את משמעות השבר כמנה‪ ,‬כלומר‬
‫‪45‬‬
‫יש אותה משמעות‪.‬‬
‫האם התלמידים מבינים שלביטויים ‪ 45:23‬ו‪-‬‬
‫‪23‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬כדאי לבקש מהתלמידים להמשיך את הסדרה עוד קצת כדי ש"יחושו" שכל‬
‫חמישה פריטים מהווים יחידה החוזרת על עצמה‪ .‬סעיף א'‪ :‬צריך לשאול‪" :‬כמה פעמים ‪' 5‬נכנס'‬
‫ב‪ ."?20 -‬התשובה היא ‪ 4‬פעמים בדיוק‪ .‬כלומר הצורה ה‪ 20 -‬נמצאת בסוף היחידה של חמש‬
‫הצורות‪ ,‬כלומר היא משולש‪ .‬סעיף ב'‪ :‬בחילוק ‪ 27‬ב‪ 5 -‬מתקבלת שארית ‪ .2‬הצורה השנייה ברצף‬
‫של ‪ 5‬הצורות היא ריבוע‪ ,‬לכן הצורה ה‪ 27 -‬היא ריבוע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬על התלמידים לפתור משוואות ולמצוא מספרים מתאימים לאי‪-‬שוויונות‪ .‬שימו‬
‫לב שלמשוואות יש פתרון אחד‪ ,‬ואילו לאי‪-‬שוויונות יש אין‪-‬סוף פתרונות‪.‬‬
‫הקניה‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:337‬‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי א' לפני שיעור זה‪ .‬כאן מוסברת משמעות המושג "יחס"‪ .‬מדגישים‬
‫בעיקר את דרך הכתיבה הנכונה של היחס‪ .‬מומלץ לבקש מהתלמידים )בעיקר בתחילת לימוד‬
‫הנושא( לכתוב מתחת לכל אחד מהמספרים‪ ,‬שהם איברי היחס‪ ,‬למה מתייחס כל מספר‪ ,‬כפי‬
‫שמודגם בשיעור‪ .‬אפשר לעשות זאת בעזרת חצים ולפי הצורך לרווח בין המספרים לבין‬
‫הנקודתיים‪ ,‬כדי שיהיה מספיק מקום לכתיבה‪ .‬בדוגמה שבשיעור כתוב היחס בין ‪ 2‬ל‪.( 2 : 3 ) 3 -‬‬
‫מתחת ל‪ 2 -‬כתוב "פרחים סגולים"‪ ,‬ומתחת ל‪ 3 -‬כתוב "פרחים אדומים"‪ .‬בדרך זו מפנימים טוב‬
‫יותר את המושג יחס‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬גם כאן כדאי להסב את תשומת לבם של התלמידים לכך שכל אחד צייר שרשרת‬
‫באורך אחר‪ ,‬ולמרות זאת בכל השרשראות יש אותו יחס בין מספר החרוזים הוורודים למספר‬
‫החרוזים הכחולים‪ .‬יש לוודא שהתלמידים כותבים את היחס בצורה הנכונה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :4-3‬משימות לתרגול הכתיבה הנכונה של היחס‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :8-5‬במשימות אלו על התלמידים לרשום את היחס בצורה המקובלת לפי הציורים‬
‫או לפי הנתון בבעיה המילולית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימת יישום‪.‬‬
‫‪156‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:340‬‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ב' לפני שיעור זה‪.‬בשיעור זה התלמידים לומדים כי אותו יחס‬
‫אפשר לבטא בביטויים שונים‪ .‬מוצגות כאן אותן כמויות של משמשים ושל תותים‪ ,‬המאורגנות‬
‫בקבוצות שוות בצורות שונות‪ .‬כך התלמידים רואים‪ ,‬כי היחס בין אותן שתי קבוצות )קבוצת‬
‫המשמשים וקבוצת התותים( מוצג בדרכים שונות‪ .‬אם את כל היחסים המתקבלים כותבים זה‬
‫מתחת זה‪ ,‬רואים קשרים של הרחבה ושל צמצום ביניהם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬כתיבת יחס מתאים לקבוצות פריטים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬משימת יישום‪ .‬תחילה מבקשים לכתוב את היחס ‪ 2 :3‬בצורות שונות‪ .‬אחר‪-‬כך‬
‫מבקשים להדגים את היחס בציור בשלוש דוגמאות שונות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬בכל אחד מהמקרים היחס המצומצם הוא ‪. 1 : 1‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬אפשר לצמצם את היחס ישירות מתוך המשפט הכתוב במילים‪ ,‬ואפשר תחילה‬
‫להפוך את היחס לכתיבה בצורה ‪ , a : b‬לצמצמו ואחר‪-‬כך להשלים את המשפטים‪ .‬לאחר הצמצום‬
‫יש אפשרות לקבל צורות שונות של כתיבת אותו היחס‪ .‬לדוגמה‪ ,‬את היחס ‪ 4 :12‬אפשר לצמצם‬
‫ליחס ‪ 2 : 6‬או ליחס ‪. 1 :3‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬גם כאן התלמידים צריכים למצוא גודל של קבוצה אחת בהינתן גודל של קבוצה‬
‫אחרת והיחס ביניהן‪ .‬התשובות‪ :‬ב( ‪ ; 1 : 2‬ג( ‪ ;6‬ד( ‪ ;10‬ה( ‪.16‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:342‬‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ג' לפני שיעור זה‪ .‬בשיעור זה התלמידים לומדים על היחס כמנה‪.‬‬
‫ההבנה שהיחס הוא גם מנה היא הצעד החשוב בהפנמת המושג "יחס"‪ .‬מאחר שיחס הוא מנה‪,‬‬
‫אפשר לכתוב יחס בצורת חילוק או בצורת שבר ולהשתמש בכל אחת מהצורות האלה על‪-‬פי‬
‫הנוחות‪ .‬השימוש החופשי בשתי דרכים אלו לכתיבת היחס מוביל להבנה מספרית ולפיתוח חשיבה‬
‫פרופורציונית‪ .‬בדוגמה בשיעור מוסברים לתלמידים שכאשר היחס בין קבוצה א' לקבוצה ב'‬
‫‪5‬‬
‫מקבוצה ב'‪ .‬עניין זה מובן יותר לתלמידים‬
‫הוא ‪ , 5 : 15‬אפשר לומר כי קבוצה א' מהווה‬
‫‪15‬‬
‫כשהיחס מוצג בצורה המצומצמת שלו‪ .‬במקרה זה‪ ,‬כשנצמצם את היחס ‪ 5 : 15‬ליחס ‪ , 1 :3‬ברור‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫יותר כי קבוצה א' מהווה מקבוצה ב'‪ ,‬כלומר היחס ‪ 1 : 3‬מוצג כמנה ‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬כאן מראים לתלמידים שצמצום היחס שקול לצמצום שבר שהוא היחס‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬כדי להקל על התלמידים אפשר להציג את היחס ‪ 4 :1‬בצורת שבר‬
‫‪1‬‬
‫כי ‪ a‬הוא ‪ 4‬פעמים ‪ .b‬ייתכן שתלמידים יגיעו לתשובה הנכונה בלי לכתוב את היחס כשבר‪.‬‬
‫‪ ,‬ולהסיק‬
‫משימה מס' ‪ :18‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬מציאת קבוצות שונות בעלות אותו יחס בין האיברים‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :20‬על התלמידים להסיק מסקנות על היחס בין קבוצות שונות על סמך היחס הנתון‬
‫בין קבוצות מסוימות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬שאלה פתוחה‪ .‬יש אין‪-‬סוף אפשרויות‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:344‬‬
‫בשיעור זה התלמידים לומדים על יחסים שווים‪ .‬היחסים שווים אם הם מתקבלים זה מזה על‪-‬ידי‬
‫הרחבה או על‪-‬ידי צמצום או על‪-‬ידי צירוף פעולות אלו‪ .‬אחת הדרכים המובילה למסקנה הנכונה‬
‫‪157‬‬
‫בהשוואת היחסים היא מציאת יחס מצומצם )כלומר צמצום היחס הנתון עד הסוף( לכל אחד‬
‫מהיחסים הנתונים‪ :‬אם מתקבל אותו יחס מצומצם‪ ,‬היחסים הנתונים שווים‪ .‬דרך נוספת להשוות‬
‫בין יחסים היא לכתוב כל יחס בצורת שבר ולבדוק אם השברים שווים‪ .‬בשיעור מוצגות שלוש‬
‫דרכים להשוואה בין שברים‪ :‬על‪-‬ידי צמצום השברים‪ ,‬על‪-‬ידי מציאת מכנה משותף ועל‪-‬ידי חישוב‬
‫המנה‪ .‬את שלוש הדרכים הללו התלמידים מכירים מכיתה ה' ומפרקים קודמים בכיתה ו'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬משימת יישום מחיי היום‪-‬יום‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :24‬משימת יישום‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:345‬‬
‫עד כה עסקו התלמידים ביחסים שווים‪ .‬בשיעור זה התלמידים לומדים על יחסים לא‪-‬שווים‪ .‬אם‬
‫נצמצם את כל אחד מהיחסים הנתונים עד לקבלת יחס מצומצם )יחס כזה יירשם כשבר‬
‫מצומצם(‪ ,‬נוכל להשוות בין היחסים בקלות‪ :‬אם היחסים המצומצמים שווים‪ ,‬גם היחסים‬
‫הנתונים שווים‪ .‬אם היחסים המצומצמים אינם שווים‪ ,‬גם היחסים הנתונים אינם שווים‪ .‬הסבר‬
‫זה הוא הסבר רשמי‪ ,‬אך אפשר להמחיש יחסים שאינם שווים‪ .‬בשיעור מובאת דוגמה של ערבוב‬
‫צבעים כאשר היחסים שונים‪ ,‬וכך מתקבלים גוונים שונים‪ .‬אם נבצע את הערבוב שבדוגמה בפועל‪,‬‬
‫ניווכח שהיחסים ‪ 3 :5‬ו‪ 5 :3 -‬אינם שווים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬לאחר שהתלמידים למדו על יחסים שאינם שווים‪ ,‬הם מבינים יותר שחשוב‬
‫לקרוא ולכתוב נכון את היחס‪ .‬במשימה זו מתרגלים את כתיבת היחסים במילים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬משימה פתוחה‪ .‬ייתכנו תשובות רבות‪ ,‬אך הסבו את תשומת לבם של התלמידים‬
‫לכך שהתשובות צריכות להיות בטווח הגיוני של מספרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬משימת יישום בהקשר לחיי היום‪-‬יום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬משימת יישום‪ .‬התלמידים מתבקשים למצוא את היחסים המתאימים לציורים‬
‫ולהשוות ביניהם‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:347‬‬
‫מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי ד' ו‪ -‬ה' לפני שיעור זה‪.‬‬
‫בשיעורים הבאים ילמדו התלמידים דרכים למציאת יחסים שווים ליחס נתון‪ .‬בשיעור זה מציגים‬
‫את היחס הנתון בטבלה בעזרת ציורים כדי להמחיש את מציאת היחסים השווים‪ .‬עם זאת ליד‬
‫כל ציור כותבים את הכמות המתאימה‪ ,‬כך שבשורה העליונה של הטבלה מוצג יחס בכמויות‬
‫הנתונות‪ ,‬בשורה השנייה מוצגות הכמויות המוכפלות מהכמויות הנתונות‪ ,‬בשורה השלישית‬
‫הכמויות גדולות פי שלושה מהכמויות הנתונות וכן הלאה‪ .‬בכל שורה נשמר היחס המוצג על‪-‬ידי‬
‫הכמויות הנתונות‪ ,‬כלומר היחסים בכל שורה הם שווים‪ .‬ממלאים את הטבלה עד שמגיעים לכמות‬
‫נתונה נוספת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬דונו עם התלמידים במשמעות הבקשה "לפי המתכון שבשיעור"‪ ,‬שמשמעותה‬
‫היא שמירה על היחס בין מרכיבי המתכון‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :32-31‬מרב ויוני הכינו את המרציפן לא "לפי המתכון שבשיעור"‪ .‬עודדו את‬
‫התלמידים לרשום את הסבריהם‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :35-33‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬יישום יחס בבעיית תנועה‪ .‬התלמידים עדיין לא למדו על המושגים מהירות‪ ,‬זמן‬
‫ודרך באופן מסודר‪ ,‬אך הם מכירים את המושגים מחיי היום‪-‬יום ומסוגלים להבין את המשמעות‬
‫באופן אינטואיטיבי‪ .‬מדובר במהירות קבועה ובתנועה ללא הפרעה )רמזורים‪ ,‬פקקים‪ ,‬וכדומה(‪.‬‬
‫בכל שעה )דקה‪ ,‬שנייה וכדומה( עוברים מרחק )דרך( מסוים‪ .‬כך מגדירים את המושג מהירות‪:‬‬
‫מהירות היא דרך ביחידת זמן‪ .‬המהירות נשמרת לאורך כל הנסיעה‪ ,‬ולכן גם במשך השעה השנייה‬
‫עוברים אותו מרחק; בחצי שעה עוברים חצי מהמרחק שעוברים בשעה; בשלוש שעות עוברים‬
‫‪158‬‬
‫מרחק הגדול פי שלושה מהמרחק שעוברים בשעה‪ .‬מהירות היא היחס בין המרחק לבין הזמן‬
‫שעוברים מרחק זה‪ .‬עונים על השאלות בתוך כדי מילוי הטבלה‪ ,‬ושומרים על היחס הנתון‬
‫)המהירות(‪ .‬עודדו את התלמידים לענות על השאלות בעל‪-‬פה לפי יכולתם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬משימת יישום‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:349‬‬
‫בשיעור זה ממשיכים להשתמש בטבלה לפתרון שאלות מילוליות‪ ,‬כאשר נתון יחס ונתונה אחת‬
‫מהכמויות‪ ,‬וצריך למצוא את הכמות המבוקשת בתוך כדי שמירה על היחס הנתון‪ .‬הפעם לא‬
‫כותבים בכל שורה את היחסים המוכפלים‪ ,‬אלא משתמשים בתכונות היחסים השווים‪ .‬כדי לקבל‬
‫יחס שווה ליחס הנתון צריך להרחיב או לצמצם את היחס הנתון‪ .‬אם נתונה כמות מסוימת‪ ,‬הגורם‬
‫של ההרחבה )או של הצמצום( מוגדר חד‪-‬משמעית‪ .‬נסביר לפי הדוגמה שבשיעור‪) 12 :‬מספר‬
‫הכוסות שמילאה אסנת בפירות( גדול פי ‪ 3‬מ‪) 4 -‬שזה מספר כוסות הפרות הנתון ביחס(‪ 3 .‬הוא‬
‫גורם ההרחבה‪ ,‬ולכן יש לכפול ב‪ 3 -‬גם את מספר כוסות החלב כדי לדעת כמה כוסות חלב יהיה על‬
‫אסנת למלא‪ .‬מקבלים ‪ 30‬כוסות חלב‪ .‬היחסים שווים ) ‪ ,( 4 :10 = 12 :30‬והשתמשנו בכמות‬
‫הנתונה‪ ,‬לכן הפתרון נכון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :40-39‬חזרה על צמצום ועל הרחבה של יחסים בגורם נתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬הדריכו את התלמידים לפתור את המשימה כפי שהוסבר בשיעור‪ .‬המספרים‬
‫במשימה זו גדולים יותר‪ ,‬ויש בה גם מספרים עשרוניים‪ ,‬אך אין חשיבות לגודל המספרים אלא‬
‫לשמירת היחס ביניהם‪ .‬כל המספרים שמשמאל ל‪ 1,000 -‬הם מחלקים של ‪ ,1,000‬לפיכך גורם‬
‫הצמצום או ההרחבה נמצא בקלות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬יישום ההשוואה בין יחסים ללא שימוש בטבלה‪ ,‬בעזרת מציאת גורמי ההרחבה‬
‫או הצמצום‪ .‬שימו לב‪ :‬לסעיפים א' ו‪ -‬ג' יש אין‪-‬סוף תשובות‪ .‬רצוי לדון בכך עם התלמידים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬משימת יישום מורחבת‪ .‬למילוי הטבלה התלמידים נדרשים לבצע פעולות כפל‬
‫וחילוק במספרים עשרוניים‪ .‬נוסף על כך‪ ,‬התלמידים מתבקשים לייצג את נתוני הטבלה במערכת‬
‫צירים‪ .‬הגרף ישר‪ ,‬כיוון שהקשר בין כמויות המים והקמח הוא פרופורציוני‪ .‬הישר עובר דרך‬
‫הנקודה )‪ (0,0‬ודרך הנקודה )‪ .(0.25,1‬המשימה של הצגת הנתונים במערכת צירים מיועדת‬
‫לתלמידים מתקדמים‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:351‬‬
‫בשיעור זה התלמידים לומדים למצוא כמות שהיחס בינה לבין הכמות הנתונה שווה ליחס הנתון‪.‬‬
‫בשיעור הקודם היחס הנתון שהיה מצומצם והכמות הנתונה אפשרו שפתרון המשימה יבוצע בשלב‬
‫אחד‪ .‬כעת הפתרון מבוצע בשני שלבים‪ :‬בשלב הראשון מצמצמים את היחס הנתון ליחס מצומצם‪,‬‬
‫ובשלב השני מוצאים את הכמות המבוקשת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :44‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :45‬יישום יחס בבעיית תנועה‪ .‬ברור שדני אטי מעידו‪ ,‬כיוון שהוא עובר פחות מטרים‬
‫משעובר עידו באותו זמן‪ .‬ברור גם שהוא רץ לאט יותר מרפי‪ ,‬כיוון שדני ירוץ ‪ 100‬מ' ב‪ 20-‬שניות‪,‬‬
‫ואילו רפי עובר אותה דרך ב‪ 15 -‬שניות בלבד‪ .‬כדי להחליט מיהו הרץ המהיר ביותר מבין עידו‬
‫ורפי‪ ,‬יש להשוות בין היחסים ‪ 60 :10‬ו‪ . 100 :15 -‬לדוגמה‪ ,‬אפשר להשוות ביניהם כשברים‬
‫באמצעות מכנה משותף‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :46‬משימת יישום‪ .‬הכמויות הדרושות להכנת עוגה ל‪ 8 -‬אנשים גדולות פי שניים‬
‫מהכמויות הדרושות ל‪ 4 -‬אנשים‪ .‬כדי למצוא את הכמויות הדרושות ל‪ 10 -‬אנשים‪ ,‬כדאי תחילה‬
‫למצוא את הכמויות הדרושות ל‪ 2 -‬אנשים ולכפול אותן ב‪.5 -‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:352‬‬
‫בשיעור זה ממשיכים ללמוד על מציאת יחסים שווים‪ .‬הדרך הנלמדת היא רישום היחס כשבר‬
‫ולאחר מכן הרחבתו או צמצומו בהתאם לצורך‪ .‬דרך זו מופשטת יותר מאשר הדרכים הקודמות‪.‬‬
‫‪159‬‬
‫משימות מס' ‪ :48-47‬התלמידים יפתרו את המשימות בדרך הנוחה להם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :49‬הבעיה מורכבת משתי שאלות‪ .‬כדי לענות על השאלה הראשונה אפשר למצוא‬
‫כמה זמן נדרש כדי להרכיב חלון אחד‪ ,‬ואחר‪-‬כך למצוא כמה זמן דרוש להרכבת ארבעה חלונות‬
‫)לכפול ב‪ .(4-‬מאחר שהמספרים פשוטים‪ ,‬אין צורך אפילו בתרגיל‪ .‬התלמידים ילמדו שאלות מסוג‬
‫זה בנושא בעיות הספק‪ .‬השאלה השנייה דומה מבחינת תהליך החישוב‪ ,‬וכאן אפשר להשוות בין‬
‫יחסים באמצעות צמצום והרחבה‪ .‬יש לאפשר לתלמידים לפתור את הבעיה בדרכים הנוחות להם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :50‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :51‬התלמידים יפתרו את המשימה בדרך הנוחה להם‪.‬‬
‫מה למדנו? עמ' ‪:353‬‬
‫משימות מס' ‪ :53-52‬משימות יישום בצורת בעיות מילוליות‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול עמ' ‪:354‬‬
‫משימות מס' ‪ :5-4‬השוואה בין מספרים בדרך החיסור או החילוק‪ .‬חשוב שהתלמידים ישלטו‬
‫במיומנויות אלו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬עיסוק בעמדות שגויות נפוצות על‪-‬ידי שאלות "נכון או לא‪-‬נכון"‪ .‬דונו עם‬
‫התלמידים בתשובותיהם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬היחס בין מספרים קטנים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬ידועים היחס בין שני מספרים ואחד מהמספרים‪ ,‬ויש לחשב את המספר השני‪.‬‬
‫ירון בן‪ .9 -‬ההפרש בין הגילים אינו משתנה עם הזמן‪ ,‬אך היחס בין הגילים משתנה עם הזמן‪.‬‬
‫בעיות‪ ,‬עמ' ‪:358‬‬
‫בעמוד זה מובאות בעיות נוספות בנושא היחס‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬כדי לענות על השאלות‪ ,‬תלמידים נוטים להתייחס להפרש של המספרים‪ ,‬ולא‬
‫למנה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬יש כמה דרכים לפתור את המשימה‪ .‬אחת מהן היא לחשב שמחיר של שלוש‬
‫עוגיות הוא‪ 3.6 -‬שקלים‪ ,‬ולכן מחיר של ‪ 12‬עוגיות הוא‪ 14.4 -‬שקלים‪.‬‬
‫היסטוריה‪ ,‬עמ' ‪:359‬‬
‫בחלק זה התלמידים לומדים על תגליתו של תאלס‪ ,‬שחי במאה השישית לפנה"ס‪ :‬כיצד אפשר‬
‫לחשב גובה של עצם גבוה בעזרת השוואה בין היחס בינו לבין אורך צלו לבין היחס בין עצם אחר‬
‫)נמוך( לבין צלו‪ .‬אפשר לעשות את הניסוי של תאלס למדידת פירמידה‪ :‬חפשו עמוד חשמל‪ ,‬מגדל‬
‫מים וכדומה‪ ,‬המטילים צל באופן ברור‪ ,‬ובצעו את הניסוי‪.‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמ' ‪:360‬‬
‫בעמוד זה יש משימות העשרה בנושא היחס‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬התלמידים נחשפים לעובדה שכדי להשוות בין היחסים חשוב להתייחס למנה של‬
‫המספרים‪ ,‬ולא למספרים עצמם‪.‬יחסים שווים בכיתות ו'‪ 4‬ו‪-‬ו'‪ ,5‬היחס בכיתה ו'‪ 3‬גדול מהיחס‬
‫בכיתה ו'‪ ,1‬היחס בכיתה ו'‪ 2‬גדול מהיחס בכיתה ו'‪.3‬‬
‫‪160‬‬
‫משימה מס' ‪ 1.6 :2‬ק"מ בשתי דקות הם ‪ 48‬ק"מ לשעה ) ‪ 0.8 × 60‬או ‪( 1.6 × 30‬לכן אפרים עובר‬
‫על המהירות המותרת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬הרחבה של הידע הכללי‪ :‬הגדרת "מיל ימי"‪ .‬עודדו את התלמידים לחפש עוד‬
‫חומר בנושא‪ . 111.11: 60 = 1.851 40, 000 : 360 = 111.11 .‬מיל ימי שווה בקירוב ל‪1.851 -‬‬
‫ק"מ‪.‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמ' ‪:361‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על הנושאים‪ :‬צמצום והרחבה של שברים‪ ,‬השוואה בין שברים‪ ,‬מספרים‬
‫מעורבים ושברים "פשוטים"‪ ,‬פעולות בשברים "פשוטים"‪ ,‬חלק של כמות‪.‬‬
‫‪161‬‬
‫עמ' ‪389-362‬‬
‫טו‪ .‬היקף מעגל ושטח עיגול‬
‫רקע‬
‫פרק זה עוסק בנושא של היקף מעגל ושטח עיגול‪ .‬עד כה הכירו התלמידים את המושגים הקשורים‬
‫למעגל ולעיגול‪ ,‬למדו להבחין בין שני מושגים אלו‪ ,‬עסקו בבניות בעזרת מחוגה וכן במדידות‬
‫ובחישובים של רדיוס ושל קוטר‪ .‬כעת‪ ,‬לאחר שלמדו התלמידים לבצע פעולות בשברים ובמספרים‬
‫עשרוניים‪ ,‬והם שולטים גם בנושא היחס‪ ,‬הם מסוגלים להבין את הנושאים הקשורים להיקף‬
‫המעגל ולשטח העיגול‪ .‬חשוב שבתום לימוד הפרק יבינו התלמידים שהיקף המעגל ושטח העיגול‬
‫תלויים ברדיוס המעגל )או העיגול( בלבד‪ .‬לאורך כל הפרק מובילים את התלמידים להבנת הקשר‬
‫בין רדיוס המעגל )או הקוטר( לבין היקף המעגל ושטח העיגול‪ .‬חישוב היקף המעגל ושטח העיגול‬
‫נעשה באמצעות נוסחאות מתאימות‪.‬‬
‫הנושא הראשון שילמדו התלמידים הוא מדידת היקף )אורך( המעגל‪ .‬הדבר אינו פשוט‪ ,‬כיוון‬
‫שהמעגל הוא קו עקום‪ ,‬ועד כה לא עסקנו במדידות העקומים‪ .‬פותרים את הבעיה על‪-‬ידי "יישור"‬
‫הקו לקטע‪ ,‬כי את הקטע התלמידים יודעים למדוד בעזרת סרגל )לדוגמה(‪ .‬בפועל‪ ,‬לוקחים חוט‬
‫ו"מקיפים" בו את העקומה פעם אחת )במקרה שלנו‪ :‬המעגל(‪ ,‬מסמנים את נקודת ההתחלה ואת‬
‫נקודת הסוף של ההקפה על החוט‪ ,‬מיישרים את החוט ומודדים‪ .‬תהליך זה מובא בשיעור על היקף‬
‫המעגל )עמ' ‪ .(385‬אם לוקחים כמה מעגלים שונים‪ ,‬מבצעים את תהליך המדידה של היקפם‬
‫ומשווים בין ההיקף של כל מעגל לבין אורך הקוטר שלו‪ ,‬אפשר לראות שבהיקף המעגל "נכנסים"‬
‫קצת יותר משלושה קטרים‪ .‬חשוב שהתלמידים יבינו בתוך כדי תהליך מדידת ההיקף‪ ,‬שהיחס בין‬
‫היקף המעגל לקוטרו גדול משלוש‪ ,‬וכך יגיעו למושג המספר ‪ַ ) π‬פּאי(‪.‬‬
‫מקובל להגדיר ‪ π‬כיחס בין היקף המעגל לקוטרו‪ .‬למספר זה היסטוריה ארוכה‪ .‬זהו אחד הנושאים‬
‫המרתקים במתמטיקה‪ ,‬וזוהי הזדמנות טובה לפתח סקרנות אצל התלמידים בנושאים מתמטיים‪.‬‬
‫)אפשר לבקש מהם לחפש במאגרי מידע חומר על הנושא ולהציגו בפני הכיתה‪ (.‬שימו לב‪,‬‬
‫‪ π = 3.1415926...‬הוא מספר אין‪-‬סופי לא‪-‬מחזורי‪ .‬אמנם אנו אומרים שהוא מספר עשרוני‪ ,‬אך‬
‫‪22‬‬
‫‪22‬‬
‫כי ‪ , = 3.14285714..‬אך בניגוד לשבר‪ π ,‬הוא מספר אי‪-‬‬
‫הדבר אינו מדויק‪ π .‬קרוב לשבר‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫רציונלי‪ .‬כאשר פותרים בעיות מסוג כלשהו‪ ,‬שכלולים בהן חישובים בעזרת ‪ ,π‬משתמשים‬
‫בקירובים של ‪ π‬לפי הצורך‪ .‬בחישובים שנעשים בפרק זה מסתפקים בעיגול ‪ π‬למאיות ) ‪(π ≈ 3.14‬‬
‫או לעשיריות ) ‪ (π ≈ 3.1‬או לשלמים ) ‪.(π ≈ 3‬‬
‫דרך המספר ‪ π‬מקשרים גם בין שטח העיגול לרדיוסו‪ .‬קשר זה קשה יותר להבנה לעומת הקשר בין‬
‫היקף לקוטר‪ .‬כמו בכל הפרקים האחרים גם בפרק זה בונים תחילה הבנה של המושגים ושל‬
‫הקשרים‪ ,‬ורק לאחר מכן מגיעים לנוסחאות ולחישובים‪.‬‬
‫אחד הקשיים של פרק זה‪ ,‬השונה מכל פרק אחר‪ ,‬בא לידי ביטוי בשימוש בנוסחאות שכתובות‬
‫באותיות לועזיות כפי שמקובל במתמטיקה‪ .‬התלמידים של כיתה ו' עדיין אינם שולטים בכתיבה‬
‫אלגברית )באותיות(‪ ,‬והדבר עשוי להקשות עליהם‪ .‬במקרים כאלה מומלץ להרשות להם לכתוב‬
‫את הנוסחאות במילים‪ .‬חשוב לנסות להרגיל את התלמידים לכתוב את הנוסחאות בצורה‬
‫מקובלת‪ ,‬כיוון שזה הרגל חשוב להמשך הלימודים בשנים הבאות‪ .‬נוסף על המשימות העוסקות‬
‫בחישובים‪ ,‬ישנן בפרק שאלות חקירה רבות‪ .‬שימו לב‪ ,‬בפרק יש כ‪ 70 -‬משימות‪ .‬הדבר מאפשר‬
‫לכם לבחור בין התרגילים ללא צורך בתרגול נוסף‪.‬‬
‫יש לשים לב לשימוש במילים "מעגל" ו"עיגול"‪ .‬חשוב להקפיד מלכתחילה על שימוש במונחים‬
‫"היקף המעגל" ו"שטח העיגול"‪ .‬הבעיה מתעוררת כאשר התלמידים חושבים בטעות שאפשר‬
‫להגיד "שטח המעגל"‪ ,‬כאשר למעשה הם מתכוונים ל"שטח העיגול"‪ .‬לעומת זאת אפשר להגיד‬
‫"רדיוס העיגול" או "רדיוס המעגל"‪ .‬הדבר נכון גם לגבי הקוטר‪.‬‬
‫הפרק מתאים לתכנית הלימודים ‪ .‬מומלץ להקדיש לו כ‪ 6 -‬שעות ללימוד ‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬למדוד את היקף המעגל בעזרת חוט;‬
‫ב‪ .‬להגדיר ‪ π‬כיחס בין היקף המעגל לקוטר המעגל;‬
‫ג‪ .‬לעגל את ‪ π‬לפי הצורך;‬
‫‪162‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫ח‪.‬‬
‫ט‪.‬‬
‫י‪.‬‬
‫לבטא את הקשר בין היקף המעגל לרדיוס המעגל במילים;‬
‫לכתוב נוסחאות לחישוב היקף המעגל )באמצעות קוטר ובאמצעות רדיוס(;‬
‫לחשב את היקף המעגל בקירוב על‪-‬סמך רדיוס נתון או על‪-‬סמך קוטר נתון;‬
‫לתחום את שטח )‪ (S‬העיגול בין שני ריבועים מתאימים ) ‪;( 2 × r 2 < S < 4 × r 2‬‬
‫לכתוב נוסחה לחישוב שטח העיגול;‬
‫לחשב את שטח העיגול בקירוב‪ ,‬כאשר רדיוס העיגול או קוטר העיגול נתונים;‬
‫להסביר את ההשפעה של שינוי רדיוס העיגול על שטחו‪.‬‬
‫מושגים‬
‫מעגל‪ ,‬עיגול‪ ,‬רדיוס‪ ,‬קוטר‪ ,‬היקף‪ ,‬שטח‪ ,‬נוסחה‪ ,‬יחס‪ ,π ,‬היקף המעגל‪ ,‬שטח העיגול‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫גופים או כלי קיבול "עגולים"‪ ,‬ריבועים גזורים‪ ,‬עיגולים מחולקים לגזרות זהות‪ ,‬דפים של ציורים‬
‫של ריבועים ושבהם עיגול או ריבוע )שלושה דפים שבנספח לפרק זה(‪ ,‬מחוגה‪ ,‬כלי סרטוט וכלי‬
‫מדידה‪ ,‬חוט‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על עיגול מספרים‪.‬‬
‫על הלוח רשומים מספרים שונים‪ .‬על התלמידים לעגל כל מספר למאיות‪ ,‬לעשיריות ולשלמים‪.‬‬
‫דוגמאות למספרים‪.314.0106 ,300.906 ,6.282 ,0.009 ,25.789 ,3.1415 :‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על חישוב של שטח ושל היקף של מלבן ושל ריבוע‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים לחשב שטח והיקף של מלבן כאשר אורכי צלעותיו ידועים‪ ,‬ושטח והיקף של‬
‫ריבוע כאשר אורך צלעו נתון‪.‬‬
‫דוגמאות לנתונים‪ :‬אורך המלבן הוא ‪ 3‬ס"מ‪ ,‬רוחב המלבן ‪ 5‬ס"מ; אורך המלבן ‪ 2.5‬מ"מ‪ ,‬רוחבו ‪4‬‬
‫מ"מ; אורך צלע הריבוע ‪ 9‬ק"מ או ‪ 0.5‬ס"מ‪.‬‬
‫ג‪ .‬חזרה על חישוב שטח המשולש‪.‬‬
‫על הלוח מסורטט משולש‪ ,‬ונתונים אורך צלע ואורך הגובה היורד לצלע זו‪ .‬התלמידים מתבקשים‬
‫לחשב את שטח המשולש‪ .‬מטרת הפעילות היא להיזכר בנוסחאות לחישוב שטח המשולש‪ .‬דוגמה‪:‬‬
‫‪ 2‬ס"מ‬
‫‪ 3‬ס"מ‬
‫ד‪ .‬חזרה על כפל ועל חילוק של מספרים טבעיים ושל מספרים עשרוניים ב‪.100 -‬‬
‫פעילות זו דומה לאחת מפעילויות ההטמעה של הפרק הקודם‪ .‬על הלוח רשומים מספרים שלמים‬
‫ומספרים עשרוניים‪ .‬התלמידים מתבקשים לחלק ולכפול כל אחד מהמספרים ב‪.100 -‬‬
‫דוגמאות‪.1.7 ,0.012 ,0.55 ,33.3... ,33.3333 ,90.777 ,90 ,12 ,25 ,125 :‬‬
‫ה‪ .‬חזרה על פתרון של משוואות כפל פשוטות‪.‬‬
‫על הלוח רשומים שוויונות שחסר בהם מספר‪ .‬על התלמידים למצוא את המספר החסר‪ .‬דוגמאות‪:‬‬
‫‪. 6.28 × 1 = ? , 3.14 × ? = 6.28 , 1 × ? = 1 , 0 × ? = 0 , ?× 2.5 = 5 , 14 × ? = 42 , 3 × ? = 6‬‬
‫‪163‬‬
‫ו‪ .‬חזרה על חזקת ‪.2‬‬
‫נתונים מספרים שונים‪ ,‬והתלמידים מתבקשים להעלות כל מספר בחזקת ‪) 2‬לכפול את המספר‬
‫בעצמו(‪ .‬אפשר להיעזר בטבלה כזו‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫מספר )‪(a‬‬
‫מספר בריבוע ) ‪(a‬‬
‫‪2‬‬
‫התלמידים ימלאו את הטבלה על הלוח‪ .‬כדאי גם להעתיק אותה למחברת כדי להשתמש בה‬
‫בהמשך‪ .‬אפשר גם להמשיך את הטבלה עד ‪) 20‬לאו דווקא בשיעור אחד( ולבקש מהתלמידים‬
‫ללמוד את הטבלה בעל‪-‬פה בהדרגה‪ .‬הדבר יקל על התלמידים בחישובי שטח עיגול וגם בהמשך‬
‫לימודי אלגברה‪ .‬כפעילות נוספת אפשר לשאול את התלמידים שאלות כגון‪ 25" :‬הוא ריבוע של‬
‫איזה מספר?" או במילים אחרות‪" :‬איזה מספר צריך לכפול בעצמו כדי לקבל ‪"?25‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬היקף המעגל‪ ,‬המספר ‪.π‬‬
‫בשלב הראשון התלמידים מקבלים כלים או גופים "עגולים"‪ .‬הם מתבקשים לבחור במעגל‬
‫)לדוגמה‪ ,‬המעגל העליון של כוס(‪ ,‬למדוד את קוטרו ולרשום את תוצאת המדידה‪ .‬בשלב השני‬
‫עליהם להקיף בחוט את המעגל הנבחר ולסמן על החוט )אפשר בעט או בטוש( את נקודת ההתחלה‬
‫ואת נקודת הסוף של ההקפה‪ .‬אפשר גם לגזור את החוט כך שאורכו יהיה שווה להיקף המעגל‪.‬‬
‫לאחר מכן מיישרים את החוט‪ ,‬מודדים את אורכו בעזרת סרגל‪ ,‬ורושמים את תוצאת המדידה‪.‬‬
‫בשלב השלישי התלמידים מתבקשים לחלק את אורך החוט הנמדד באורך הקוטר של המעגל‪.‬‬
‫רושמים את המנה‪ ,‬ודנים במנות שהתקבלו‪ .‬האם רובם )או כולם( קיבלו בערך ‪ 3‬במנה? אם לא‪,‬‬
‫צריך לבצע את המדידות מהתחלה‪.‬‬
‫היחס בין היקף המעגל לקוטרו שווה ל‪ ,π -‬אך התלמידים עדיין אינם יודעים זאת‪ .‬תוצאת‬
‫החילוק שהתלמידים מבצעים צריכה להיות בערך ‪) 3‬קצת יותר(‪.‬‬
‫יש קושי מסוים בהקפה מדויקת של המעגל‪ ,‬וצריך להקפיד על הדיוק האפשרי‪.‬‬
‫חשוב להכין כלים מתאימים בכמות מספקת לכל אחד מהתלמידים‪ .‬חשוב שכל אחד יעשה את‬
‫הפעילות‪ ,‬כיוון שכך מגלים את היחס בין היקף המעגל לקוטרו‪.‬‬
‫פעילות ב‪ :‬שטח העיגול‪.‬‬
‫התלמידים מקבלים ריבועים קטנים )כעשרה( שישמשו ריבועי יחידה‪ ,‬כמו אלה שבנספח למשימה‬
‫‪ .34‬הם מקבלים גם דף שמצויר בו עיגול שהרדיוס שלו שווה לאורך צלעו של ריבוע היחידה‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים לכסות את העיגול בריבועי יחידה‪ .‬השאלה שנשאלת‪" :‬מהו שטח העיגול‬
‫בערך?" בדיון חשוב להגיע למסקנות‪ :‬א( שני ריבועי היחידה אינם מכסים את העיגול‪ ,‬ולכן שטחו‬
‫של העיגול גדול משתי יחידות השטח‪ .‬ב( העיגול מכוסה כולו על‪-‬ידי ארבעה ריבועי היחידה‪ ,‬ולכן‬
‫שטח העיגול קטן מארבע יחידות שטח‪ .‬ג( שלושה ריבועי יחידה כמעט מכסים את העיגול‪ ,‬ולכן‬
‫שטחו של העיגול קרוב לשלוש יחידות השטח‪ .‬הערה‪ :‬כדי להגיע למסקנה שבסעיף ג' גוזרים את‬
‫הריבועים לפי הצורך‪ .‬ראו איור‪:‬‬
‫אפשר לגזור גם את ה"פינות" של שלושת הריבועים כדי לכסות את העיגול ככל האפשר‪.‬‬
‫‪164‬‬
‫פעילות ג‪ :‬שטח העיגול‪.‬‬
‫התלמידים מקבלים ריבוע )עדיף שאורך צלעו יהיה חמישה סנטימטרים או יותר( שמצויר בו‬
‫ריבוע שקדקודיו הם אמצעי הצלעות של הריבוע המקורי‪ .‬הציור דומה לזה שבנספח למשימה ‪.33‬‬
‫התלמידים מתבקשים להשוות בין שטחי הריבועים‪ :‬פי כמה גדול שטח הריבוע המקורי משטח‬
‫הריבוע הקטן? מטרת הפעילות היא להגיע למסקנה ששטח הריבוע הגדול גדול פי שניים משטח‬
‫הריבוע הקטן‪.‬‬
‫סביר להניח שהתלמידים יבצעו את ההשוואה על‪-‬ידי חישוב‪ :‬ימדדו צלע של כל ריבוע‪ ,‬יחשבו את‬
‫שטחם וישוו ביניהם‪ .‬לכן רצוי להורות לתלמידים לנסות ולבצע את ההשוואה ללא חישוב‪ ,‬אלא‬
‫בעזרת קיפולי נייר‪ .‬הקיפול נעשה כמו באיור‪ :‬מקפלים למרכז הריבוע את ארבע הפינות שלו‪.‬‬
‫מקבלים שני ריבועים קטנים‪ :‬ריבוע אחד מורכב מארבעה משולשים‪ ,‬ואת הריבוע השני אפשר‬
‫לראות אם הופכים את הדף‪.‬‬
‫משני ריבועים אלו אפשר להרכיב את הריבוע הגדול )כי הם חלקיו(‪,‬‬
‫ולכן שטח הריבוע הגדול שווה לפעמיים שטח הריבוע הקטן‪.‬‬
‫פעילות ד‪ :‬שטח העיגול‪.‬‬
‫פעילות זו היא ההמשך של הפעילות הקודמת‪ .‬התלמידים מקבלים ריבוע שמצויר בו עיגול חסום‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים למקם את העיגול בין שני שטחים ידועים )לתחום את שטח העיגול(‪ .‬מטרת‬
‫הפעילות היא להגיע למסקנה ששטח העיגול קטן משטח הריבוע החוסם את העיגול‪ ,‬אך גדול‬
‫משטח הריבוע הקטן שחסום בתוך העיגול )ראו איורים(‪ .‬לאחר שהגיעו התלמידים למסקנה זו‪,‬‬
‫אומרים שלעיגול יש רדיוס ‪ ,r‬ומבקשים לכתוב את האי‪-‬שוויון המתאים‪) .‬אם התלמידים‬
‫מתקשים‪ ,‬אפשר לכתוב זאת במספרים במקום ‪ ,r‬לדוגמה ‪ 2‬ס"מ‪ (.‬בתום הדיונים מצפים‬
‫התלמידים אמורים להגיע למסקנה הכתובה בשפה מתמטית כך‪ – S . 2 × r 2 < S < 4 × r 2 :‬שטח‬
‫העיגול‪ – 2 × r 2 ,‬שטח הריבוע הקטן )החסום בעיגול(‪ – 4 × r 2 ,‬שטח הריבוע הגדול )שהעיגול חסום‬
‫על‪-‬ידיו(‪ .‬המסקנה בפעילות זו זהה למסקנה של פעילות ג'‪.‬‬
‫פעילות ה‪ :‬נוסחת שטח העיגול‪.‬‬
‫התלמידים גוזרים שני עיגולים מנספח ג' )לשיעור שבעמ' ‪ .(311‬מתחילים מהעיגול המחולק לעשר‬
‫ְגזָרוֹת חופפות‪ .‬התלמידים מתבקשים לגזור את העיגול לגזרות ולהרכיב מהגזרות צורה דומה‬
‫למקבילית‪) .‬ראו איור בשיעור בעמ' ‪ (.394‬הם מתבקשים למצוא את גובה ה"מקבילית" ואת אורך‬
‫ה"צלע" יורד שהגובה אליה‪ .‬חשוב לעודד את התלמידים לסרטט "גובה" על אחת הגזרות‪ .‬כך‬
‫יוכלו לראות שה"גובה" שווה לרדיוס העיגול‪ .‬דנים בדרכי החישוב למציאת אורך הצלע של‬
‫ה"מקבילית"‪ .‬בתום הדיון מגיעים למסקנה שאורך הצלע שווה לחצי מהיקף המעגל‪ .‬לאחר מכן‬
‫גוזרים את העיגול המחולק ל‪ 24 -‬גזרות חופפות‪ ,‬ומבצעים אותן הפעילויות כמו קודם לכן‪ .‬בתום‬
‫הפעילות מגיעים לנוסחת שטח העיגול‪.‬‬
‫הערה‪ :‬הפעילות עשויה להיות קשה לתלמידים עקב המורכבות‪ ,‬אך חשוב לבצע אותה בפועל‪ ,‬ולא‬
‫להסתפק בשיעור תאורטי‪ ,‬מכיוון שרק בעזרת פעילות זו )ולא בעזרת הפעילויות הקודמות( מגלים‬
‫את הנוסחה‪.‬‬
‫‪165‬‬
‫הספר לתלמיד‬
‫"לעלות על הגל"‬
‫האם אנו מוכנים? עמ' ‪:362‬‬
‫‪ :1‬ג; ‪ :2‬ב; ‪ :3‬א; ‪ :4‬ד; ‪ :5‬ד; ‪ :6‬ד; ‪ :7‬ד; ‪ :8‬ג‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:363‬‬
‫בשיעור זה חוזרים על ההגדרות של מעגל ושל עיגול‪ .‬נושא זה נלמד בתחילת השנה‪ ,‬ולכן התזכורת‬
‫נעשית בקצרה‪ .‬חשוב להדגיש לתלמידים שמעגל הוא חלק מהעיגול‪ ,‬אך ההפך אינו נכון‪ .‬מרכז‬
‫המעגל אינו שייך למעגל‪ ,‬כי הוא לא נמצא עליו‪ .‬לעומת זאת מרכז העיגול כן שייך לעיגול‪ .‬חשוב‬
‫להשקיע זמן בסרטוטים‪ ,‬בסימוני קטעים לפי הוראות ובביצוע פעולות בפועל‪ ,‬גם אם התלמידים‬
‫מתקשים בהגדרת המושגים במילים‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :2-1‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬זיהוי מרכיבי המעגל‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:364‬‬
‫בשיעור זה חוזרים על המושגים מיתר‪ ,‬קוטר ורדיוס ועל הקשר בין רדיוס המעגל לקוטר המעגל‪.‬‬
‫שימו לב שכשמגדירים מיתר‪ ,‬קוטר ורדיוס בעיגול‪ ,‬מספיק להחליף את המילה "מעגל" במילה‬
‫"עיגול" בהגדרה המתאימה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬קוטר העיגול הוא מיתר העובר דרך מרכז העיגול‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬בציור יש קוטר אחד ‪ ;BC‬שני מיתרים שאינם קוטר הם ‪ ,AD‬ו‪ ;AB -‬שלושה‬
‫רדיוסים הם ‪ OB ,OD‬ו‪.OC -‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬לפניכם דוגמה לסרטוט‪ .‬אורך הרדיוס של המעגל הגדול הוא שני סנטימטרים‪,‬‬
‫והוא שווה לקוטר של המעגל הקטן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪:6‬‬
‫הקטע‬
‫המעגל שמרכזו ‪O‬‬
‫קוטר‬
‫‪CD‬‬
‫רדיוס‬
‫‪OD, OC‬‬
‫מיתר‬
‫‪CD ,AB‬‬
‫המעגל שמרכזו ‪M‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪MB, MA‬‬
‫‪AB ,BE‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬התלמידים חוזרים על הקשר בין רדיוס המעגל לבין קוטרו‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:365‬‬
‫בשיעור זה חוזרים על המושגים "היקף" ו"שטח"‪ .‬חשוב להדגיש שהיקף הוא אורך הקו‪ .‬במונח‬
‫היקף משתמשים כאשר מדובר בצורה המוגבלת על‪-‬ידי קו סגור‪ .‬בכל מקרה אחר‪ ,‬כאשר הקו‬
‫פתוח‪ ,‬משתמשים במונח "אורך הקו"‪ .‬התלמידים למדו בעבר על היקף המלבן‪ ,‬על היקף המצולע‬
‫וכדומה‪ .‬היקף המעגל הוא אורך הקו‪ ,‬שהוא המעגל‪ .‬חשוב שהתלמידים יבינו את המושג שטח‬
‫באופן אינטואיטיבי‪ ,‬כלומר לצורה המוגבלת על‪-‬ידי קו סגור יש שטח שהוא מדיד‪ ,‬ולקו פתוח אין‬
‫שטח‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :9-8‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬הזכירו לתלמידים שהיקף המצולע שווה לסכום אורכי כל צלעותיו‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :12-11‬משימות יישום‪.‬‬
‫‪166‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬משימה פתוחה‪ .‬דונו עם התלמידים בפתרונותיהם‪ .‬לדוגמה‪ ,‬אורכי הקטעים של‬
‫קו שבור א'‪ 2 :‬ס"מ‪ 3 ,‬ס"מ‪ 1 ,‬ס"מ ו‪ 2.5 -‬ס"מ‪ ,‬כלומר אורך קו א' שווה ל‪ 8.5 -‬ס"מ‪ .‬אורכי‬
‫הקטעים של קו שבור ב'‪ 8 :‬ס"מ ו‪ 5 -‬ס"מ‪ ,‬כלומר אורך קו ב' שווה ל‪ 13 -‬ס"מ‪ .‬כל התנאים‬
‫מתקיימים‪ .‬הערה‪ :‬הקטעים אינם חייבים להיות באותו אורך‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:366‬‬
‫בשיעור זה חוזרים על מדידת שטחים ועל חישובי שטחים של המצולעים שנלמדו בכיתה ה'‪ .‬לפי‬
‫רמת הכיתה אפשר להקדיש זמן מתאים לחזרה בנושא זה ובעיקר לנוסחאות לחישוב שטחים של‬
‫משולש ושל מקבילית‪ ,‬נושאים שלעתים קרובות התלמידים אינם זוכרים‪ .‬כדאי גם לחזור על‬
‫המושג "גובה"‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :15-14‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬אם נחשב את הסכום של כל שטחי פאותיה של התיבה‪ ,‬נמצא את שטח פני‬
‫התיבה‪ .‬המלבנים הם זוג מלבנים במידות ‪ 12‬ס"מ ו‪ 3 -‬ס"מ‪ ,‬זוג מלבנים במידות ‪ 12‬ס"מ ו‪ 4 -‬ס"מ‬
‫וזוג מלבנים במידות ‪ 3‬ס"מ ו‪ 4 -‬ס"מ‪ .‬בסך הכול יש שישה מלבנים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬כל פאותיה של הקובייה הן ריבועים‪ .‬אורך צלעו של כל ריבוע שווה ל‪ 5 -‬מ'‪ .‬שטח‬
‫ריבוע אחד הוא ‪ 25‬מ"ר; שטח כל ששת הריבועים שווה ל‪ 150 -‬מ"ר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬אחד הפירוקים האפשריים של הצורה הוא פירוק לריבוע‪ ,‬למלבן ולשני‬
‫משולשים‪ .‬חשוב להדריך את התלמידים לסרטט גובה במשולש‪ .‬החישובים נעשים לפי הנוסחאות‬
‫המתאימות‪ .‬התשובה‪ 35.5 :‬סמ"ר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬משימה פתוחה הדומה למשימה הקודמת ויכולה לשמש כשיעורי בית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬שטח המשולש שווה ל‪ 81 -‬סמ"ר‪ .‬כדי לחשב את שטח המשולש אפשר לחסר‬
‫מהסכום של שטח כל שלושת הריבועים השווה ל‪ 108 -‬סמ"ר‪ ,‬את‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫מהשטח של ריבוע אחד‪,‬‬
‫השווה ל‪ 27 -‬סמ"ר‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:368‬‬
‫בשיעור זה חוזרים על עיגול המספרים‪ .‬מומלץ לבצע את פעילות ההטמעה א' בתוך כדי החזרה‬
‫בנושא זה‪ .‬חשוב לתרגל את עיגול המספרים למאיות‪ ,‬לעשיריות ולשלמים‪ ,‬כי בעיגול המספרים‬
‫יש בהמשך שימוש רב בחישובים של שטח העיגול ושל היקף המעגל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬משימת יישום‪.‬‬
‫הקניה‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:369‬‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי א' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה לומדים לחשב את היקף המעגל על‪-‬‬
‫סמך קוטרו‪ .‬כדי לבצע חישוב זה צריך להבין שיש קשר חד‪-‬משמעי בין קוטר המעגל לבין היקפו‪.‬‬
‫התלמידים יבצעו את פעילות הגילוי וידונו במסקנותיה‪ .‬מטרת הפעילות היא להגיע להבנת הקשר‬
‫בין קוטר המעגל להיקפו‪ :‬היקף המעגל גדול בערך פי שלושה מקוטרו‪ .‬יחס זה נקרא ‪) π‬פאי(‪.‬‬
‫ההיסטוריה של המספר ‪ π‬כתובה בעמ' ‪ .387‬לאחר הבנת המשמעות של חישוב היקף המעגל‬
‫מלמדים את התלמידים להשתמש בנוסחה‪ .‬חשוב לעזור לתלמידים המתקשים בהבנת האותיות‪,‬‬
‫ולהסביר להם שוב ושוב מהו התפקיד של כל אות בנוסחה ‪ - C) .C = π x d‬היקף המעגל‪ (.‬כלומר‬
‫כאשר מחשבים במספרים הנתונים‪ ,‬במקום האות ‪ C‬מקבלים מספר השווה להיקף )אורך( המעגל‪.‬‬
‫‪ - π‬מספר קבוע ללא כינוי‪ ,‬איננו מחשבים אותו‪ ,‬הוא תמיד נתון‪ ,‬אך בחישובים מעגלים אותו לפי‬
‫הצורך‪ :‬למאיות או לעשיריות או לשלמים‪) .‬מומלץ לבצע את פעילות ההטמעה א' בתוך כדי לימוד‬
‫שיעור זה‪ - d (.‬קוטר המעגל‪ ,‬בדרך כלל הוא נתון כמספר‪ ,‬או צריך לחשב אותו‪ .‬בחישובים כותבים‬
‫במקום האות ‪ d‬את המספר שהקוטר שווה לו‪ .‬הסבו את תשומת לבם של התלמידים שהיקף‬
‫וקוטר הם אורכים‪ ,‬לכן התשובה המתקבלת היא מספר בציון יחידות אורך‪ ,‬ולא מספר גולמי‪.‬‬
‫בספרות אפשר למצוא את האות ‪) l‬אל( המסמלת את היקף המעגל‪.‬‬
‫‪167‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬חשוב לשים לב לכך שבמנה מתקבל מספר קרוב ל‪ .3-‬עודדו את התלמידים‬
‫להשתמש במחשבון כדי להקל את החישובים ולקצר את זמן ביצועם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬הסבו את תשומת לבם של התלמידים ליחידות האורך השונות מסעיף לסעיף‪.‬‬
‫עודדו אותם לכתוב תשובה כך‪ 75.36 :‬ס"מ ≈ ‪ ,C‬ולא לשכוח לציין את יחידת האורך‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬בעיה מילולית‪ .‬א( היקף המעגל החיצוני שווה בערך ל‪ 37.2 -‬ס"מ‪ .‬ב( היקף המעגל‬
‫הפנימי שווה בערך ל‪ 4.7 -‬ס"מ‪ .‬ג( קוטר המעגל החיצוני גדול פי שמונָה מקוטר המעגל הפנימי‪ .‬ד(‬
‫היקף המעגל החיצוני גדול פי ‪) 7.9‬בערך( מהיקף המעגל הפנימי‪ .‬המספר האחרון אינו מדויק‪ ,‬כי‬
‫כל החישובים נעשו בקירוב‪ .‬אבל אפשר לראות שהוא קרוב מאוד ל‪ .8 -‬למעשה‪ ,‬התשובה‬
‫המדויקת היא "פי שמונָה"‪ ,‬כי ההיקף והקוטר הם ביחס ישר‪ .‬אם המושג יחס ישר טרם נלמד‪,‬‬
‫אפשר לשוחח עליו עם התלמידים המתקדמים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬אורך צלע המעטפה צריך להיות יותר מ‪ 12 -‬ס"מ‪ָ ,‬ולֹא‪ -‬המעטפה תיקרע‪ .‬ריבוע‬
‫שאורך צלעו שווה בדיוק לקוטר המעגל )סעיף ג'(‪ ,‬נקרא ריבוע חוסם‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:371‬‬
‫בשיעור זה לומדים לחשב את היקף המעגל על‪-‬פי רדיוס נתון‪ .‬בשיעור הקודם הכירו התלמידים‬
‫את הנוסחה לחישוב היקף המעגל דרך הקוטר‪ ,‬והפעם מקשרים בנוסחה בין רדיוס להיקף‪ .‬קשר‬
‫זה נובע מהקשר בין קוטר המעגל לרדיוסו‪ . d = 2 × r :‬מעניין לחזור לשיעור הראשון בנושא‪ ,‬שבו‬
‫ראו התלמידים שהיקף המעגל גדול בערך פי שלושה מקוטרו‪ ,‬ולשאול את התלמידים‪" :‬פי כמה‬
‫גדול היקף המעגל מרדיוסו בערך?" התשובה‪" :‬קצת יותר מפי שישה"‪ ,‬כי רדיוס המעגל שווה‬
‫לחצי קוטרו‪ .‬נזכיר שהתלמידים עדיין אינם שולטים בנוסחאות כמו באלגברה‪ ,‬ולכן הם מבצעים‬
‫כל חישוב בקירוב‪ .‬חשוב להדגיש לתלמידים שהמספר ‪ π‬הוא מספר נתון‪ ,‬הוא מספר אין‪-‬סופי‪,‬‬
‫ואנו מעגלים אותו לפי צורכנו‪ ,‬לכן משתמשים בסימן של שוויון מקורב )≈(‪ ,‬ולא בשוויון מדויק‪.‬‬
‫הנתון המדויק בנוסחה הוא קוטר או רדיוס‪ ,‬הנתון הלא מדויק הוא קירוב של המספר ‪ ,π‬ולכן‬
‫כאשר מציבים את כל המספרים בנוסחה‪ ,‬מקבלים את היקף המעגל בקירוב ולא בדיוק‪ ,‬ועלינו‬
‫להשתמש בסימן ≈ אחרי האות ‪ .C‬נוסחאות ההיקף המקורבות הן ‪ C ≈ 6.28 × r‬או ‪. C ≈ 3.14 × d‬‬
‫הערה חשובה‪ :‬כאמור לעיל‪ π ,‬אינו מספר מדויק‪ .‬אנחנו מעגלים אותו לצורך חישוב ההיקף‪ ,‬ולכן‬
‫היקף המעגל אף פעם לא יהיה מספר מדויק‪ .‬בבעיות מילוליות‪ ,‬שבהן צריך לחשב מחיר של קניית‬
‫גדר‪ ,‬למשל‪ ,‬אנו מעגלים את תוצאות המדידות‪ ,‬מקבלים מספר מקורב‪ ,‬אך בסופו של דבר‬
‫משלמים סכום מדויק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬התלמידים מתבקשים לא רק לבצע את החישובים‪ ,‬אלא גם לסרטט סרטוט עזר‬
‫על‪-‬פי הנתונים‪ .‬סימון הנתונים על הסרטוט באופן נכון הוא חלק מההבנה הגאומטרית‪ ,‬שפיתוחה‬
‫הוא אחת המטרות בהוראת הגאומטריה‪ .‬מומלץ לדרוש מהתלמידים לסרטט ולסמן נכון את‬
‫הנתונים כחלק מפתרון הבעיה‪.‬‬
‫שימו לב שבביצוע החישובים בדוגמה משתמשים בשני סימני השוויון‪ :‬בשוויון המדויק ובשוויון‬
‫המקורב‪ .‬כתוב‪ . C ≈ 3.14 × 4 = 12.56 :‬כלומר ‪ , C ≈ 3.14 × 4‬כי עיגלנו את ‪ π‬למאיות‪ ,‬ובהמשך‬
‫השתמשנו בשוויון המדויק ‪ , 3.14 × 4 = 12.56‬כי מכפלה של מספרים אלה היא מדויקת‪ .‬התשובה‬
‫תירשם בקירוב )‪ 12.56‬ס"מ ≈ ‪ .(C‬עדיף לכתוב את התשובה במילים ולא לשכוח את המילה‬
‫"בערך"‪ .‬באופן כללי‪ ,‬אם לפחות חישוב אחד במהלך החישובים הוא מקורב‪ ,‬התשובה מקורבת‪,‬‬
‫ולא חשוב כמה פעולות נעשו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬על התלמידים לחשב היקף של מעגל שרדיוסו שלושה מטרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬מחשבים את היקף המעגל שרדיוסו ‪ 20‬מ'‪ ,‬ולאחר מכן כופלים ב‪ ₪ 20 -‬את‬
‫המספר שהתקבל‪ .‬התשובה המתמטית הנכונה היא ‪ ₪ 2,512‬בערך‪ ,‬כיוון שהיקף מעגל יהיה תמיד‬
‫בערך‪ .‬אך מאחר שהבעיה מעשית ועוסקת בחישוב כסף‪ ,‬התשובה תהיה ‪ ,₪ 2,512‬ומשמעותה היא‬
‫הסכום שצריכים לשלם תמורת הגדר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬א( היקף הצורה שווה להיקף חצי המעגל )בערך ‪ 4.71‬מ'( ועוד אורך הקטע של‬
‫שלושה מטרים‪ .‬התשובה‪ :‬בערך ‪ 7.71‬מ'‪) .‬כמובן‪ ,‬אפשר לעגל אחרת‪ (.‬ב( היקף הצורה שווה להיקף‬
‫‪168‬‬
‫חצי המעגל )בערך ‪ 3.14‬ס"מ( ועוד הסכום של שלוש צלעות הריבוע )‪ 6‬ס"מ(‪ .‬הצלע הרביעית אינה‬
‫חלק מהיקף הצורה‪ .‬התשובה‪ :‬היקף הצורה בערך ‪ 9.14‬ס"מ‪ .‬ג( שני החצאים של המעגל הם‬
‫חופפים‪ ,‬כי קוטרם שווה לצלע הריבוע )‪ 4‬מ"מ(‪ .‬היקף הצורה שווה להיקף המעגל )סכום שני‬
‫החצאים שהוא בערך ‪ 12.56‬מ"מ( ועוד סכום האורכים של שתי צלעות הריבוע )‪ 8‬מ"מ(‪ .‬התשובה‪:‬‬
‫היקף הצורה שווה ל‪ 20.56 -‬מ"מ בערך‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬על התלמידים לחשב את היקף המעגלים על‪-‬סמך הקטרים הנתונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬א( צריך לחלק את אורך קו‪-‬המשווה )היקף המעגל( במספר ‪.π‬‬
‫מקבלים‪ . 40 ,000 : 3.14 ≈ 12 ,739 :‬קוטר כדור הארץ הוא ‪ 12,740‬ק"מ בערך‪ .‬ב( צריך לחלק את‬
‫הקוטר ב‪ .2 -‬התשובה‪ 6,370 :‬ק"מ בערך‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬א( יש לחשב את היקף המעגל שרדיוסו ‪ 5‬ס"מ‪ .‬ב( יש לחלק ב‪ 2 -‬את התוצאה‬
‫שהתקבלה בסעיף א'‪ .‬ג( את התוצאה של סעיף א' יש לכפול ב‪.12 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬הנקודה "זזה" במעגל‪ ,‬ואורך דרכה שווה להיקף המעגל )בתום סיבוב אחד(‪.‬‬
‫המטבע ישלים סיבוב אחד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬משימה דומה למשימה ‪ 13‬ג'‪ ,‬אך הפעם הצורה מורכבת משני חצאי עיגול‬
‫וממלבן‪ .‬הצלע הקטנה של המלבן )רוחב המלבן( היא קוטר המעגלים‪ .‬התלמידים מתבקשים‬
‫למצוא את הנתונים בעצמם בעזרת מדידה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬מחלקים את היקף המעגל )התבנית( במספר ‪ ,π‬ומקבלים את קוטר התבנית‬
‫)בערך(‪ .‬תשובה‪ :‬קוטר התבנית הוא ‪ 30‬ס"מ בערך‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬זוהי שאלת חקירה‪ :‬חוקרים את הקשר בין הגדלת הקוטר של המעגל פי מספר‬
‫מסוים לבין היקף המעגל‪ .‬חשוב לדון עם התלמידים בתוצאות שמתקבלות‪ .‬המסקנה שמגיעים‬
‫אליה בתום הפעילות‪ :‬אם מגדילים קוטר פי מספר מסוים‪ ,‬לדוגמה פי ‪ ,a‬גם היקף המעגל גדל פי‬
‫אותו מספר‪ ,‬בדוגמה שלנו פי ‪.a‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬מוצאים את היקף הכיכר לפי הקוטר הנתון וכופלים את אורך הקוטר ב‪.3 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬א( ‪ 6,350‬ק"מ בערך או ‪ 6.35‬אלפי קילומטרים‪ .‬ב( אורך קו‪-‬המשווה )היקף(‬
‫שווה ל‪ 40,000 -‬ק"מ בערך ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬היקף המצולע קטן מהיקף המעגל‪ .‬הנימוק‪ ,‬מבוסס על כך שבין שתי נקודות‪,‬‬
‫הקטע הוא האורך הקצר מבין שניהם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬ההיקף הגדול ביותר הוא היקף הצורה השמאלית‪ .‬שני ההיקפים מורכבים‬
‫מהיקף חצי המעגל )שווה בשני המקרים( ומאורך שלוש הצלעות של המלבן‪ .‬בצורה השמאלית‬
‫המלבן חוסם את חצי המעגל‪ ,‬ואילו בצורה הימנית המלבן חסום בחצי המעגל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬המספר ‪ π‬אינו מספר טבעי‪) .‬ראו גם הסבר שב"רקע" לפרק זה‪(.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬תשובה‪ :‬ג'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬תשובה‪ :‬ב'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬ההיקפים של המעגלים שווים‪ ,‬כי יש להם אותו רדיוס )הקטע האדום(‪ .‬הסבר‬
‫אחר‪ :‬הקטרים שלהם שווים לצלע הריבוע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬המרכז של כל מעגל הוא נקודת מפגש של אלכסוני המצולע המתאים‪.‬‬
‫רדיוס המעגל ) ִמפתח המחוגה( שווה לחצי אלכסון של המצולע‪ .‬לפניכם הדוגמה‪.‬‬
‫‪169‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:375‬‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ב' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה ובשיעורים הבאים לומדים לחשב את‬
‫שטח העיגול‪ .‬בשיעור זה מגדירים את הבעיה של חישוב זה‪ .‬עד כה עסקו התלמידים בחישובי‬
‫שטחים של משולשים ושל מרובעים מסוימים‪ :‬מלבן‪ ,‬ריבוע‪ ,‬מקבילית‪ ,‬טרפז‪ .‬כל אלה הם‬
‫מצולעים‪ ,‬ויש להם זוויות‪ .‬עיגול שונה מכל מצולע בכך שאין לו זוויות‪ ,‬ולכן אין שום אפשרות‬
‫"לכסות" אותו בריבועי יחידה או בחלקיהם כדי לחשב את שטחו‪ .‬לפיכך דרך החישוב של שטח‬
‫העיגול שונה מהדרכים שהכרנו עד כה‪ .‬חישוב שטח העיגול נעשה בשלבים‪ .‬תחילה מנסים לתחום‬
‫את שטח העיגול‪ .‬התיחום נעשה בעזרת כיסוי העיגול בריבועי יחידה‪ .‬בתום שיעור זה מגיעים‬
‫למסקנה ששטח העיגול שרדיוסו ‪ ,r‬קטן מ‪ ,4 x r2 -‬כלומר ארבעה ריבועים חופפים שאורך צלעם‬
‫הוא ‪ ,r‬מכסים את העיגול‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬שטח הריבוע שנבנה הוא ‪ 8‬סמ"ר‪ .‬לפי תכונת השטח‪ ,‬שטח הצורה שווה לסכום‬
‫של שטחי חלקיה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬שאלה זו חוזרת על עצמה גם בפעילות גילוי‪ .‬שאלה זו חשובה להמשך העבודה‬
‫בפרק זה‪ .‬שטח הריבוע הכחול גדול משטח הריבוע הצהוב פי שניים‪ .‬אפשר להגיע למסקנה על‪-‬ידי‬
‫קיפול בלבד‪) .‬ראו הסברים ואיורים לפעילות הגילוי ג'‪(.‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬באיור שלפניכם מראים כיצד לגזור את‬
‫הריבועים הנתונים למשולשים ולהרכיב מארבעת המשולשים‬
‫ריבוע חדש‪ .‬זווית ישרה סומנה כדי להקל את התאמת‬
‫המשולשים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬בעצם זוהי אותה שאלה כמו במשימה הקודמת‪ ,‬אך מבצעים את הפעילות בדרך‬
‫אחרת‪ :‬על‪-‬ידי קיפולי נייר‪ .‬המסקנה היא ששטח העיגול תחום בין שני ריבועי יחידה לבין ארבעה‬
‫ריבועי היחידה‪) .‬אורך צלעו של ריבוע היחידה שווה לרדיוס העיגול‪(.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬הכנה לקראת השימוש במעגל בייצוג נתונים בדיאגרמת עוגה‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:377‬‬
‫מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי ב' )אם טרם בוצעה(‪ ,‬ד' ו‪ -‬ה' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה קודם כול‬
‫מסכמים את החקירות שנעשו בתרגילים לפני השיעור בנושא תיחום שטח העיגול‪ .‬אחר‪-‬כך‬
‫מגיעים למסקנה ששלושה ריבועים שאורך צלעם שווה לרדיוס העיגול‪ ,‬מכסים כמעט את כל‬
‫העיגול‪ ,‬ולכן אפשר להגיד ששטח העיגול שווה בערך לשלוש פעמים שטח הריבוע שתואר לעיל‪.‬‬
‫בשלב זה מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ד'‪ .‬פעילות זו חשובה כי בעזרתה מגלים את נוסחת שטח‬
‫העיגול‪ .‬שימו לב! בכיתה ו' כותבים את נוסחת שטח העיגול בקירוב כמו את נוסחת היקף המעגל‪,‬‬
‫כי התלמידים אינם שולטים עדיין בכתיבה ובקריאה של נוסחאות באותיות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬חשוב שהתלמידים יבצעו את המשימה בדרך מפורטת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬הסבו את תשומת לבם של התלמידים לכמה דברים‪:‬‬
‫ראשית‪ ,‬את המספר ‪ π‬מעגלים‪ ,‬לכן משתמשים בסימן ≈‪ ,‬ולא בסימן של השוויון מדויק )=(‪π ≈ .‬‬
‫‪.3.14‬‬
‫שנית‪ ,‬כאשר מחשבים את שטח העיגול‪ ,‬חייבים לברר תחילה מהו רדיוסו‪ ,‬כי נוסחת שטח העיגול‬
‫היא ‪ .S = π x r2‬התלמידים עשויים להציב בטעות את הקוטר הנתון במקום ‪ r‬ולחלק את‬
‫התוצאה ב‪ 2 -‬כשם שחישבו את היקף המעגל‪ .‬אמנם אפשר לכתוב את נוסחת שטח העיגול בעזרת‬
‫הקוטר‪ ,‬אך הדבר מסורבל ואינו מקובל‪ .‬את שטח העיגול מחשבים לפי רדיוסוׂ בלבד‪ ,‬כלומר אם‬
‫ידוע קוטר העיגול‪ ,‬מחלקים אותו ב‪ ,2 -‬וכך יודעים את אורך הרדיוס‪ .‬לאחר מכן מציבים את‬
‫אורך הרדיוס בנוסחה ומחשבים את שטח העיגול‪.‬‬
‫שלישית‪ ,‬יחידת השטח תלויה ביחידת האורך‪ ,‬כלומר אם הרדיוס נתון במטרים‪ ,‬השטח יחושב‬
‫במטרים רבועים; אם הרדיוס נתון בס"מ‪ ,‬השטח יהיה בסמ"רים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ 180 :33‬ממ"ר‪ 90 ,‬ממ"ר‪ 1 ,‬ממ"ר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬את היקף המעגל אפשר לחשב על‪-‬פי הקוטר‪ ,‬אך לחישוב שטח העיגול צריך‬
‫לחשב תחילה את רדיוס העיגול‪.‬‬
‫‪170‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬שטח המלבן )המפית( שווה למכפלת האורך ברוחב‪ ,‬כלומר שווה ל‪ 758.5 -‬ממ"ר;‬
‫שטח העיגול )החור( בערך ‪ 78.5‬ממ"ר‪ .‬מחסרים משטח המלבן את שטח העיגול‪ ,‬ומקבלים את‬
‫השטח הנדרש שהוא ‪ 680‬ממ"ר בערך‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬יש למדוד את רדיוס העיגול ואת צלע הריבוע‪ ,‬לחשב את השטח של כל אחת‬
‫מהצורות ולחסר את שטח העיגול משטח הריבוע‪ .‬התשובה מתקבלת בקירוב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬באיור הראשון‪ :‬לשתי הצורות אותן מידות‪ ,‬כלומר קוטר העיגול שווה לאורך‬
‫צלע הריבוע‪ .‬לפיכך אפשר לחסום את העיגול על‪-‬ידי הריבוע‪ .‬כך מסיקים ששטח הריבוע גדול‬
‫משטח העיגול‪ ,‬והיקף הריבוע גדול מהיקף המעגל‪ .‬קל לבדוק זאת על‪-‬ידי החישוב‪ .‬במקרה השני‬
‫שטח הריבוע קטן משטח העיגול‪ ,‬והיקף הריבוע קטן מהיקף המעגל‪ .‬גם כאן הדבר קל לבדיקה‬
‫על‪-‬ידי החישוב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬שטח המלבן שווה ל‪ 15 -‬מ"ר‪ .‬רדיוס העיגול שווה ל‪ 2.5 -‬מ"ר‪ .‬שטח העיגול שווה‬
‫ל‪ 19.625 -‬מ"ר בערך‪ ,‬חצי משטח העיגול הוא בערך ‪ ,9.81‬ולכן שטח המלבן הוא ‪.24.81‬‬
‫משימה מס' ‪ :39‬קוטר העיגולים שווה לאורך צלע הריבוע‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬שטח הטבעת שווה להפרש בין שטח העיגול שרדיוסו ‪ 4‬ס"מ לבין שטח העיגול‬
‫שרדיוסו ‪ 3‬ס"מ‪ .‬תשובה‪ 22 :‬סמ"ר בערך‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬את שטח העיגול מחלקים ב‪ ,6 -‬והתשובה היא בערך ‪.6.41‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬שימו לב שכל החלקים של העיגולים הם רבעים של אותו עיגול‪ ,‬ולכן די לחשב‬
‫את שטח העיגול‪ .‬אפשר לגזור מהנספח את הצורה המתאימה ולהצמיד את החלקים בצורת עיגול‪.‬‬
‫צריך למדוד את צלע הריבוע בלבד‪ .‬חצי מצלע הריבוע שווה לרדיוס העיגול‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬שטח העיגול החיצוני שווה ל‪ 1,256 -‬סמ"ר בערך‪ .‬שטח העיגול הפנימי שווה ל‪-‬‬
‫‪ 1,231‬סמ"ר בערך‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :44‬אורך צלע הריבוע שווה לקוטר העיגול‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :45‬הדריכו את התלמידים לעגל את המספר ‪ π‬כמו במשימה הקודמת‪ ,‬כדי‬
‫ההשוואה תהיה מדויקת‪ .‬בתום החישובים חשוב להגיע למסקנה ששטח העיגול ממשימה ‪ 44‬שווה‬
‫הנוכחית‪) .‬שימו לב שאורך הצלע של הריבועים‬
‫ְ‬
‫לסכום השטחים של ארבעת העיגולים שבמשימה‬
‫בשתי המשימות שווה‪ (.‬זה אומר שגם השטחים הצהובים שווים‪ .‬נוסף על כך‪ ,‬אפשר להגיע‬
‫הסגול( גדול פי ארבעה משטח כל עיגול ירוק‪.‬‬
‫למסקנה מעניינת‪ :‬שטח העיגול הגדול ) ָ‬
‫משימה מס' ‪ :46‬שטח העיגול הוא ‪ 9‬סמ"ר‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:381‬‬
‫בשיעור זה לומדים על הקשר בין הגדלה או הקטנה של רדיוס העיגול לבין שטח העיגול‪.‬‬
‫התלמידים חוקרים על השטח כאשר מגדילים רדיוס פי מספר פעמים‪ .‬אם מגדילים רדיוס פי ‪,a‬‬
‫השטח גדל פי ‪ .a2‬לדוגמה‪ ,‬אם מגדילים רדיוס פי שניים‪ ,‬השטח גדל פי ארבעה; ואם מגדילים‬
‫רדיוס פי חמישה‪ ,‬השטח גדל פי ‪ ;25‬אם מקטינים רדיוס פי שלושה‪ ,‬השטח קטן פי תשעה‪.‬‬
‫באיורים שבשיעור ממחישים את הקשר‪ .‬הריבוע שבאיור ב' מכיל עיגול אחד שרדיוסו שווה לחצי‬
‫צלע של הריבוע‪ ,‬או ארבעה עיגולים שרדיוסם קטן פי שניים מרדיוס העיגול הגדול )איור ג'(‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :48-47‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :49‬משימת חקר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :50‬המשימה מסומנת כקשה בגלל המורכבות‪ .‬התלמידים צריכים לבחור את‬
‫הנתונים בעצמם‪ .‬לדוגמה‪ ,‬רדיוס העיגול הוא ‪ 1‬מ'‪ .‬בהגדלה פי שניים‪ :‬רדיוס עיגול הוא שני‬
‫מטרים‪ .‬שטח העיגול הראשון הוא ‪ 3.14‬מ"ר בערך‪ .‬שטח העיגול השני הוא ‪ 12.56‬מ"ר בערך‪.‬‬
‫‪ ,12.56 : 3.14 = 4‬כלומר השטח גדל פי ארבעה‪.‬‬
‫‪171‬‬
‫משימה מס' ‪ :51‬א( שטח העיגול קטן פי ארבעה‪ .‬ב( השטח קטן פי שישה עשר‪ .‬ג( השטח גדל פי‬
‫‪ .100‬ד( הקשר בין קוטר לשטח הוא כמו הקשר בין רדיוס לשטח‪ ,‬כי הקוטר שווה לפעמיים רדיוס‪.‬‬
‫השטח גדל פי ארבעה‪ .‬ה( השטח קטן פי ארבעה‪ .‬ו( השטח גדל פי שניים ורבע‪ .‬חשוב לעודד את‬
‫התלמידים להדגים בדוגמה אחת לפחות כל אחד מהסעיפים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :52‬הקשר שתואר לעיל נכון במקרה שמגדילים או מקטינים את רדיוס העיגול "פ"י‬
‫מספר פעמים‪ ,‬ולא "ב‪ ."...‬ד( אין אף משפט נכון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :53‬שאלת חקירה‪ .‬בסדרה המובאת במשימה מסורטטים ארבעה סרטוטים של‬
‫ריבוע ועיגולים בתוכו‪ .‬התלמידים הכירו את סרטוט ‪ 1‬ואת סרטוט ‪ 2‬מתרגילים קודמים‪ .‬את‬
‫הסדרה אפשר להמשיך עד אין‪-‬סוף )באופן תאורטי(‪ ,‬אך למעשה‪ ,‬אנו מוגבלים אפילו בסרטוט‬
‫השישי‪ .‬חשוב לנתח עם התלמידים את הציורים בסדר הנתון כדי להבין כיצד בנויה הסדרה‪.‬‬
‫בסרטוט ‪) 1‬האיבר הראשון של הסדרה( עיגול אחד חסום בריבוע שאורך צלעו ‪ 16‬ס"מ‪ .‬קוטר‬
‫העיגול שווה ל‪ 16 -‬ס"מ‪ .‬בסרטוט ‪ 2‬ישנם ארבעה עיגולים החסומים באותו ריבוע‪ .‬קל לראות‬
‫שקוטר כל עיגול כזה שווה לחצי אורך צלעו של הריבוע ולכן שווה ל‪ 8 -‬ס"מ )בכל שורה יש ‪2‬‬
‫עיגולים(‪ .‬בסרטוט ‪ 3‬ישנם ‪ 16‬עיגולים החסומים באותו ריבוע‪ .‬קוטר כל עיגול כזה שווה לרבע של‬
‫אורך צלע הריבוע‪ ,‬כלומר שווה ל‪ 4 -‬ס"מ )בכל שורה יש ‪ 4‬עיגולים(‪ .‬בסרטוט ‪ 4‬ישנם ‪ 64‬עיגולים )‪8‬‬
‫עיגולים בכל שורה(‪ ,‬והקוטר של כל עיגול שווה ל‪ 2 -‬ס"מ‪ ,‬כלומר לשמינית מאורך הצלע של‬
‫הריבוע‪ .‬תיאור הסרטוט החמישי יכול להיות כזה‪ :‬בריבוע שאורך צלעו ‪ 16‬ס"מ חסומים ‪256‬‬
‫‪1‬‬
‫מאורך צלע הריבוע‪ ,‬כלומר שווה ל‪1 -‬‬
‫עיגולים )‪ 16‬עיגולים בכל שורה(‪ .‬קוטר של כל עיגול הוא‬
‫‪16‬‬
‫ס"מ‪ .‬כמובן‪ ,‬אי‪-‬אפשר לסרטט את הסרטוט ביד‪ ,‬אלא בעזרת מחשב‪.‬‬
‫להלן תשובות לטבלה ) ‪.(π ≈ 3.14‬‬
‫קוטר העיגול )בס"מ(‬
‫רדיוס העיגול )בס"מ(‬
‫שטח העיגול )בסמ"ר(‬
‫סרטוט ‪1‬‬
‫‪16‬‬
‫‪8‬‬
‫‪≈ 200.96‬‬
‫סרטוט ‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪≈ 50.24‬‬
‫סרטוט ‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪≈ 12.56‬‬
‫סרטוט ‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪≈ 3.14‬‬
‫סרטוט ‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪≈ 0.785‬‬
‫קטן פי שניים מסרטוט לסרטוט‪ .‬בו‪-‬זמנית שטח העיגול‬
‫אפשר לראות שכמו הקוטר גם הרדיוס ֶ‬
‫קטן פי ארבעה מסרטוט לסרטוט‪ .‬לדוגמה‪ ,‬נשווה בין סרטוט ‪ 1‬לבין סרטוט ‪ :3‬הרדיוס )וגם‬
‫ֵ‬
‫הקוטר( של העיגול קטן פי ארבעה‪ ,‬שטח העיגול קטן פי שישה עשר וכן הלאה‪ .‬לבסוף‪ ,‬דונו עם‬
‫התלמידים בהשוואה בין השטחים הצהובים בסרטוטים‪ .‬תחילה יש לשים לב לכך שבכל סרטוט‬
‫העיגולים "תופסים" אותו השטח כמו העיגול בסרטוט ‪ .1‬לדוגמה‪ ,‬בסרטוט ‪ 3‬יש ‪ 16‬עיגולים‪,‬‬
‫והשטח של כל עיגול קטן פי ‪ 16‬מהשטח של העיגול בסרטוט ‪ ,1‬לפיכך השטח של כל ‪ 16‬העיגולים‬
‫שווה לשטח העיגול הגדול‪ .‬שטח הריבוע בכל סרטוט שווה ל‪ 256 -‬סמ"ר‪ ,‬כי אורך צלע הריבוע הוא‬
‫‪ 16‬ס"מ‪ .‬כדי לחשב את השטח הצבוע בצהוב צריך לחסר את שטח העיגולים משטח הריבוע‪ .‬אך‬
‫שטח העיגולים בכל אחד מהציורים שווה‪ ,‬לכן גם השטחים הצהובים שווים בכל הסרטוטים‪.‬‬
‫התוצאה שמגיעים אליה בדרך כלל מפליאה את התלמידים‪.‬‬
‫מה למדנו? עמ' ‪:383‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד בפרק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :54‬חישוב שטח הטבעת על‪-‬ידי חישוב הפרש בין שטחים של עיגולים‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמ' ‪: 384‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬היקף תקליט של העבר שווה בערך ל‪ 93 -‬ס"מ )המעגל החיצוני(‪ .‬היקף התקליטור‬
‫קטן פי שניים וחצי מהיקף התקליט‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬אפשר לחבר את קצות הקשת על‪-‬ידי קטע ולמדוד את הקטע הזה‪.‬‬
‫קטע זה הוא קוטר המעגל‪) .‬ראו איור‪(.‬‬
‫ייתכן שתלמידים יסמנו את מרכז המעגל או יסרטטו את המעגל ואחר‪-‬כך ימדדו את אורכו‪ .‬חשוב‬
‫לדון עם התלמידים בדרכים שהם מציעים‪ .‬חשוב גם לדון בשאלה כיצד אפשר למצוא היקף של‬
‫חצי מעגל )על‪-‬ידי חילוק של היקף המעגל ב‪.(2 -‬‬
‫‪172‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬פותרים את הבעיה בהנחה שגלגל הוא עיגול‪ .‬בסיבוב אחד הגלגל עובר את הדרך‬
‫השווה להיקף המעגל‪ ,‬כלומר ‪ 190‬ס"מ בערך‪ .‬לפיכך בחמישה סיבובים שלמים הדרך שיעבור‬
‫הגלגל )וגם המכונית( היא ‪ 950‬ס"מ בערך ) ‪ ( 5 × 190 = 950‬שהם ‪ 9.5‬מ'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬א( היקף המעגל הוא בערך ‪ 12.56‬ס"מ‪ .‬שטח המעגל הוא בערך ‪ 12.56‬סמ"ר‪ .‬ב(‬
‫היקף המעגל הוא בערך ‪ 18.84‬ס"מ‪ .‬שטח המעגל הוא בערך ‪ 28.26‬סמ"ר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬א( אורך המלבן הוא ‪ 25.12‬ס"מ‪ .‬ב( שטח המלבן הוא ‪ 251.2‬סמ"ר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬היקף המלבן הוא ‪ 80‬ס"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬תחילה מחשבים את רדיוסם של העיגולים‪ .‬רדיוס העיגול הקטן שווה ל‪ 1.5 -‬מ'‪.‬‬
‫קוטר המעגל הגדול שווה ל‪ 6 -‬מ'‪ ,‬לכן רדיוסו ‪ 3‬מ'‪) .‬יש דרכים נוספות להגיע למסקנה זו‪ (.‬שטח‬
‫העיגול הגדול שווה ל‪ 28.26 -‬מ"ר בערך‪ ,‬שטח העיגול הקטן שווה ל‪ 7.065 -‬מ"ר בערך‪ .‬שטח החלק‬
‫הצבוע בצהוב שווה להפרש בין שטחים אלו‪ ,‬והוא ‪ 21.2‬מ"ר בערך‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬שטח העיגול הוא ‪.19,895.54‬‬
‫‪3‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬א( ‪ .∏ 48=1S‬ב( ‪ .∏36 =2S‬ג( היחס הוא‬
‫‪7‬‬
‫‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬א( ‪ 9‬סמ"ר‪ .‬ב(‪ .∏ 1.125‬ג( ‪ 14.13‬סמ"ר‪.‬‬
‫בעיות‪ ,‬עמ' ‪:386‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬א( מידות המלבן הן ‪ 2‬ס"מ ו‪ 4 -‬ס"מ‪ .‬ב( ‪ 6.28‬סמ"ר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ AD :4‬הוא רדיוס המעגל הקטן‪ ,‬והוא שווה לחצי הרדיוס של העיגול הגדול‪AB .‬‬
‫הוא הקוטר של העיגול הגדול‪ ,‬והוא שווה לשני רדיוסים של העיגול הגדול או לארבעה רדיוסים‬
‫של המעגל הקטן )ארבע פעמים ‪ .(AD‬לפיכך היחס בין ‪ AD‬ל‪ AB -‬הוא ‪ .1:4‬אם התלמידים‬
‫מתקשים‪,‬יש לאפשר להם להשתמש במספרים‪ :‬לדוגמה‪ ,‬הרדיוס של העיגול הגדול יהיה שווה ל‪4 -‬‬
‫ס"מ‪.‬‬
‫היסטוריה‪ ,‬עמ' ‪:387‬‬
‫בעמוד זה מלמדים את התלמידים על ההיסטוריה של המספר ‪ .π‬בתוך כדי המשימה מרחיבים את‬
‫הידע של התלמידים בהיסטוריית העמים‪.‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמ' ‪:388‬‬
‫בעמוד זה מובאות בעיות אתגר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬שטח הפרח הוא ‪ 4.71‬סמ"ר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬בסרטוט רואים שלאורך קוטר העיגול הצהוב "נכנסים" שלושה עיגולים קטנים‬
‫)סגולים(‪ ,‬לכן אורך הקוטר של כל עיגול ָסגול קטן פי שלושה מאורך הקוטר של העיגול הצהוב‪.‬‬
‫המסקנה היא ששטח כל עיגול סגול קטן פי תשעה משטח העיגול הצהוב‪ ,‬כלומר שטח העיגול‬
‫הצהוב שווה לתשע פעמים השטח של העיגול הקטן‪ .‬אנו רואים בסרטוט שבעיגול הצהוב‬
‫"נכנסים" שבעה עיגולים סגולים‪ ,‬ולא תשעה עיגולים‪ .‬לכן השטח הצהוב שנותר שווה לשטח של‬
‫שני עיגולים סגולים‪ ,‬כלומר לעשר יחידות שטח‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬היחס בין הרדיוסים הוא ‪ , 1 : 2‬לכן היחס בין שטחי העיגולים הוא ‪. 1 : 4‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמ' ‪:389‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על נושאים שנלמדו קודם לכן‪ :‬קריאת השעון‪ ,‬ממוצע וקריאת גרפים‪.‬‬
‫‪173‬‬
‫עמ' ‪413-390‬‬
‫טז‪ .‬אחוזים )המשך(‬
‫רקע‬
‫פרק זה הוא הפרק השני בנושא אחוזים‪ .‬בפרק הקודם הכירו התלמידים את המושג אחוז‪ .‬הם‬
‫עסקו בהגדרת אחוז כמאית‪ ,‬בייצוג האחוז‪ ,‬בקשרים בין אחוז לבין שבר ומספר עשרוני‪ ,‬במעבר‬
‫מאחוז לשבר ולמספר עשרוני ולהפך‪ .‬כמו‪-‬כן פתרו התלמידים בעיות פשוטות באחוזים‪.‬‬
‫הנוכחי מקנים לתלמידים היבט נוסף של המושג אחוז‪ :‬האחוז כיחס‪ .‬הבנת הקשר בין אחוז‬
‫ְ‬
‫בפרק‬
‫לבין יחס )כלומר כתיבת האחוז כיחס או יחס כאחוז( פותחת בפני התלמידים את הראייה‬
‫הכוללת על המושגים‪ :‬יחס‪ ,‬אחוז‪ ,‬שבר ומספר עשרוני‪ ,‬ומקלה עליהם לפתור בעיות באחוזים‪.‬‬
‫קשר זה פותח גם דרך נוספת להשוות בין יחסים בעזרת האחוזים‪ ,‬וכך מונעים שגיאות אופייניות‬
‫אצל תלמידים רבים‪ ,‬המשווים בטעות בין יחסים שונים על‪-‬ידי ביצוע פעולת החיסור במקום‬
‫הנוכחי הושם דגש על העברה מיחס לאחוז ולהפך‬
‫ְ‬
‫פעולת החילוק‪ .‬לפיכך בחלק הראשון של הפרק‬
‫ועל מתן ביטויים שונים לאותה בעיה‪ .‬כלומר אפשר לנסח את הבעיה בדרכים שונות ולקבל‬
‫תשובות בצורות שונות‪ ,‬שכולן מבטאות את היחס‪ :‬כיחס עצמו‪ ,‬כאחוז‪ ,‬כשבר או כמספר עשרוני‪.‬‬
‫כשמבינים היבטים שונים אלה‪ ,‬רוכשים "מבט על" על מבנה הבעיות הקשורות לנושאים קשים‬
‫כמו שברים‪ ,‬מספרים עשרוניים‪ ,‬יחס ואחוזים‪.‬‬
‫בהמשך הפרק עוסקים בפתרון שלושה סוגים של בעיות באחוזים‪ :‬מציאת אחוז‪ ,‬מציאת ערך‬
‫האחוז )תמורת האחוז‪ ,(1‬ומציאת הכמות היסודית )ערך של ‪ .(100%‬הקשר לחיי היום‪-‬יום מובא‬
‫באמצעות שני הנושאים התייקרות והנחה; הגדלה והקטנה‪.‬‬
‫נציין שהדגשים בהצגת הקשר בין אחוז ליחס אינם מוסכמים בהוראה בכיתה ו'‪ ,‬אך נראה‬
‫שהפנמת קשרים אלו חשובה ואפשרית לתלמידים בגיל זה‪ ,‬שכן בעזרתם התלמידים מבינים את‬
‫הדמיון בין שאלות הקשורות לשברים‪ ,‬לאחוזים וליחס‪ ,‬וכן מקנים להם כלים רבים לפתרון בעיות‬
‫ולהמשך הלימודים באלגברה בכיתות גבוהות יותר‪.‬‬
‫הערה‪ :‬בחיי היום‪-‬יום מקובל להשתמש במושג "שיעור" במקום במושג "אחוז"‪.‬‬
‫דוגמה‪" :‬שיעור דורשי העבודה פחת בחודשים האחרונים‪ ,‬כלומר אחוז האבטלה פחת‪".‬‬
‫מומלץ להקדיש לפרק זה כ‪ 8 -‬שעות לימוד‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬לכתוב את האחוז כיחס;‬
‫ב‪ .‬לכתוב את היחס כאחוז )בדיוק או בקירוב(;‬
‫ג‪ .‬לקשר בין אחוז לבין שבר‪ ,‬מספר עשרוני ויחס;‬
‫ד‪ .‬למצוא אחוז כאשר נתונים כמות יסודית וערך האחוז )תמורת האחוז(;‬
‫ה‪ .‬למצוא את ערך האחוז כאשר נתונים כמות יסודית ואחוז;‬
‫ו‪ .‬לתרגם משפטים כמו "חלב ‪ 3%‬שומן" למונחים של כמות יסודית‪ ,‬אחוז‪ ,‬ערך האחוז;‬
‫ז‪ .‬למצוא כמות יסודית )ערך של ‪ (100%‬כאשר נתונים האחוז וערכו;‬
‫ח‪ .‬לחשב הגדלה והקטנה של מספר באחוז מסוים )התייקרות והנחה; צילום בהקטנה‬
‫ובהגדלה(;‬
‫ט‪ .‬לפתור בעיות מילוליות הקשורות לאחוזים‪.‬‬
‫מושגים‬
‫אחוז‪ ,‬יחס‪ ,‬מספר עשרוני‪ ,‬שבר‪ ,‬ייצוג האחוז‪ ,‬ערך האחוז )תמורת האחוז(‪ ,‬כמות יסודית )ערך של‬
‫‪ ,(100%‬הקטנה והגדלה‪ ,‬הנחה והתייקרות‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫לפי תכנית הלימודים אין משתמשים בבית ספר יסודי במושג תמורת האחוז‪ ,‬אלא במושג השקול לו‪ :‬ערך האחוז‪.‬‬
‫‪174‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫לוח משבצות ‪ , 10 × 10‬רצועה‪ ,‬עיגולים‪ ,‬ריבועים‪ ,‬מלבנים‪ ,‬חפצים שונים לפי הצורך‪ ,‬דפים של‬
‫ציורים של חפצים בכמויות שונות‪ ,‬מידע הקשור לנושא מתוך מאגרי מידע שונים )עיתונים יומיים‬
‫או שבועיים‪ ,‬אינטרנט וכדומה(‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על העברה מאחוז לשבר ולמספר עשרוני‪.‬‬
‫על הלוח רשומים אחוזים‪ .‬מבקשים מהתלמידים להפוך כל אחוז לשבר ולמספר עשרוני‪.‬‬
‫דוגמאות‪.1,000% ,500% ,300% ,150% ,100% ,79% ,25% ,19% ,5% :‬‬
‫המטרה היא להזכיר לתלמידים את המושג אחוז ואת הקשרים בין אחוז לבין שבר ומספר עשרוני‪.‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על הפיכת שברים לאחוזים )מכנה השבר שונה מ‪.(100 -‬‬
‫התלמידים מתבקשים להפוך את השברים לאחוזים‪ .‬חשוב לתרגל את ביצוע הפעילות בעל‪-‬פה כדי‬
‫להקל על התלמידים בפתרון בעיות בפרק זה‪ .‬דוגמאות לשברים‪:‬‬
‫‪1 1 1 1 1 1 1 3 2 3 7 9‬‬
‫‪. , , , , , , , , , , ,‬‬
‫‪2 4 5 10 20 25 50 4 5 5 10 25‬‬
‫ג‪ .‬חזרה על עיגול מספרים‪.‬‬
‫על הלוח רשומים מספרים שונים‪ .‬התלמידים מתבקשים לעגל אותם לפי ההוראות‪) .‬אפשר לעגל‬
‫את המספרים לשלמים‪ ,‬לעשיריות‪ ,‬למאיות וכדומה‪ (.‬שימו לב‪ :‬בתשובה הסופית למשימה‬
‫באחוזים אין טעם לעגל את האחוז ליותר משתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית )פרט למקרים‬
‫יחידים(‪ ,‬לכן חשוב כעת לתרגל עיגול מספרים לשלמים‪ ,‬לעשיריות ולמאיות‪.‬‬
‫דוגמאות למספרים‪.27.875 ,33.33... ,95.888 ,36.8 :‬‬
‫ד‪ .‬חזרה על כפל ועל חילוק של מספרים טבעיים ושל מספרים עשרוניים ב‪.100 -‬‬
‫פעילות זו דומה לאחת מפעילויות ההטמעה של הפרק הקודם באחוזים‪ .‬על הלוח רשומים‬
‫מספרים שלמים ומספרים עשרוניים‪ .‬התלמידים מתבקשים לחלק ולכפול את כל אחד‬
‫מהמספרים ב‪.100 -‬‬
‫דוגמאות‪.1.7 ,0.012 ,0.55 ,33.3... ,33.3333 ,90.777 ,90 ,12 ,25 ,125 :‬‬
‫ה‪ .‬חזרה על מציאת חלק מכמות‪.‬‬
‫זוהי אותה פעילות כמו פעילות הטמעה ו' בפרק י'‪ ,‬הפרק הקודם בנושא האחוזים‪ .‬התלמידים‬
‫מתבקשים למצוא חלק מכמות נתונה‪ .‬החישוב ייעשה בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫דוגמאות‪ :‬חצי מ‪ ,50 -‬רבע מ‪ ,24 -‬שלוש עשיריות מ‪ ,100 -‬מאית מ‪ ,100 -‬מאית מ‪ ,200 -‬מאית מ‪-‬‬
‫‪ ,250‬עשירית מ‪ ,25 -‬חמישית מ‪.5 -‬‬
‫ו‪ .‬חזרה על חוקי פעולות במספרים טבעיים‪.‬‬
‫מטרת הפעילות היא לחזור על פעולות במספרים טבעיים ולהיזכר בחומר שנלמד בכיתות קודמות‪.‬‬
‫על הלוח כתובים תרגילים שונים‪ .‬לאחר שהתלמידים פותרים אותם‪ ,‬דנים בדרכי הפתרון‪ ,‬ושמים‬
‫דגש על דרכים לפתרון מהיר יותר ועל שימוש בחוקי הפעולות ובכללים‪ .‬דוגמאות לתרגילים‪:‬‬
‫‪. 45 :5 × 3 :3 , 99 − 99 × 1 + 1 , 95 − 37 + 5 , 2 × 3 × 5 × 87 × 0 , 37 + 458 + 67 , 25 × 3 × 4‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬הקשר בין אחוז לבין יחס‪ ,‬שבר ומספר עשרוני‪.‬‬
‫בשלב הראשון התלמידים מקבלים דף שמצויר עליו ריבוע ששטחו ‪ 100‬משבצות‪ ,‬קצתן צבועות‪.‬‬
‫התלמידים בקבוצה אחת מתבקשים לכתוב מהו החלק הצבוע של המשבצות באחוזים‪ ,‬תלמידים‬
‫בקבוצה שנייה רושמים אותו החלק הצבוע כשבר‪ ,‬תלמידי קבוצה שלישית מתאימים לחלק‬
‫הצבוע מספר עשרוני ותלמידי קבוצה רביעית כותבים את תשובתם כיחס‪ .‬אם בכיתה יש קבוצות‬
‫נוספות‪ ,‬הן יקבלו אחת מההוראות שלעיל‪ .‬דנים בתשובות שהתקבלו‪ .‬בשלב השני התלמידים‬
‫מקבלים דף שמצויר עליו שלם אחר )מלבן או עיגול(‪ .‬חלק מהשלם צבוע )כמו קודם לכן‪ ,‬אותו‬
‫חלק לכל קבוצה(‪ .‬מחליפים תפקידים‪ .‬דוגמה‪ :‬הקבוצה שכתבה את האחוז‪ ,‬כותבת שבר וכדומה‪.‬‬
‫‪175‬‬
‫מטרת הפעילות היא להגיע לקשר בין יחס לבין אחוז‪ ,‬שבר ומספר עשרוני‪ ,‬המתאימים לאותו חלק‬
‫מאותו שלם‪.‬‬
‫פעילות ב‪ :‬הקשר בין אחוז לבין יחס‪ ,‬שבר ומספר עשרוני‪.‬‬
‫פעילות הפוכה לפעילות הקודמת‪ .‬על הלוח רשום מספר האחוזים )למשל‪ .(40% ,‬התלמידים‬
‫בקבוצה אחת מתבקשים לייצג את מספר האחוזים בציור‪ .‬תלמידי קבוצה שנייה כותבים שבר‬
‫השווה למספר האחוזים‪ ,‬תלמידי קבוצה שלישית רושמים מספר עשרוני השווה למספר האחוזים‪,‬‬
‫ותלמידי הקבוצה הרביעית מתאימים את היחס השווה לאחוז‪ .‬כמו בפעילות הקודמת גם כאן‬
‫המטרה היא להגיע לקשר )שוויון( בין שבר‪ ,‬מספר עשרוני‪ ,‬יחס ואחוז‪ ,‬המבטאים אותו חלק‬
‫מהשלם‪.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬הקשר בין אחוז לבין יחס‪ ,‬שבר ומספר עשרוני )חיבור בעיות מילוליות(‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים לחבר בעיה מילולית שיהיה בה שימוש באחוז מסוים )בשבר‪ ,‬במספר‬
‫‪1‬‬
‫עשרוני או ביחס(‪ .‬דוגמה‪) 25% :‬או או ‪ 0.25‬או ‪ .( 1 :4‬לאחר כתיבת הבעיה המילולית מבקשים‬
‫‪4‬‬
‫מהתלמידים לכתוב אותה בעיה‪ ,‬אך במקום אחוז להשתמש במספר עשרוני או בשבר או ביחס‪.‬‬
‫ברור שניסוח הבעיה משתנה בהתאם‪ ,‬אך קיים קשר בין הבעיה החדשה לבעיה הקודמת‪ .‬דנים‬
‫בקשר זה‪.‬‬
‫פעילות ד'‪ :‬התלמידים מתבקשים לחקור מידע על מוצרי חלב בחנות הקרובה ֲאליהם‪ .‬עליהם‬
‫להעתיק את המידע הכתוב על גבי המוצרים כמו "חלב ‪ "1%‬או "שמנת ‪ "15%‬וכדומה ולהביא את‬
‫הנתונים לכיתה‪ .‬בקבוצה דנים במשמעות האפשרית של האמירות‪ .‬בדיון המסכם מפרשים‬
‫לתלמידים את המשמעויות של האמירות באופן נכון‪ ,‬ונציג מכל קבוצה מסביר על המוצרים שלה‪.‬‬
‫אפשר לדון גם באוכל בריא ובאחוזי השומן במוצרי החלב וכדומה‪.‬‬
‫פעילות ה‪ :‬הנחה והתייקרות‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים לחפש הנחות הניתנות למוצרים בחנויות הקרובות ֲאליהם )או בפרסומים‬
‫בעיתון(‪ ,‬ולציין את שני המחירים‪ :‬המחיר לפני ההנחה והמחיר לאחר ההנחה‪ .‬באופן דומה‬
‫מבקשים מהתלמידים לבדוק התייקרויות של מוצרים‪.‬‬
‫פעילות ו‪ :‬הגדלה והקטנה‪.‬‬
‫אם אפשר‪ ,‬מבקשים ממזכירת בית הספר להסביר על הפעלת מכונת הצילום )איך מגדילים‬
‫ומקטינים מסמך( ולהציג דוגמאות‪ .‬אם אי‪-‬אפשר‪ ,‬כדאי לעשות זאת בשיעור ַמ ְחשבים‪ .‬בתכנת‬
‫‪ Word‬אפשר ליצור אובייקט ציור ולבחור בתפריט "עיצוב צורה" את האפשרויות "גודל וסיבוב"‬
‫ו"קנה‪-‬מידה"‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫פעילות ז‪ :‬בשיעור ַמ ְחשבים בוחרים ציור‪ ,‬ומכפילים את מידותיו בעזרת "גודל וסיבוב" בתוך כדי‬
‫שמירה על קנה‪-‬המידה‪ .‬שואלים את התלמידים אם לדעתם‪ ,‬שטח הציור הוכפל ב‪.2 -‬‬
‫הספר לתלמיד‬
‫שימו לב‪ :‬פרק זה הוא המשך לפרק י'‪ ,‬לכן הוא מתחיל בהקניה של חומר חדש‪ ,‬ואין בו חזרה על‬
‫חומר קודם )"לעלות על הגל"(‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:390‬‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי א' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה עוסקים בקשר שבין היחס לאחוזים‪:‬‬
‫"חלק של כמות מתוך כמות יסודית" הוא יחס‪ .‬כמו‪-‬כן משווים בין יחסים בעזרת אחוזים‪.‬‬
‫‪176‬‬
‫בדוגמה המובאת בשיעור צריך להחליט מי מבין השחקנים הוא קלע טוב יותר‪ :‬זה שקלע ‪ 18‬מתוך‬
‫‪ 25‬זריקות או זה שקלע ‪ 15‬מתוך ‪ 20‬זריקות‪.‬‬
‫מטרת התרגיל היא ללמד את התלמידים שמדובר בהשוואה בין היחסים‪ .‬התלמידים נוטים‬
‫לחשוב בטעות שאפשר להשוות על‪-‬ידי חיסור‪ ,25-18 > 20-15 :‬ולכן יסיקו שהשחקן שקלע ‪18‬‬
‫מתוך ‪ 25‬טוב יותר‪.‬‬
‫הדבר אינו נכון‪ ,‬כיוון שמספר הזריקות של כל שחקן שונה‪ .‬אחת הדרכים להוכיח להם את הטעות‬
‫היא להניח שכל שחקן ממשיך לזרוק את הכדור עד שהם מגיעים לאותו מספר זריקות‪ .‬לדוגמה‪,‬‬
‫כל אחד יזרוק מאה פעמים )כי החישובים במקרה זה קלים יותר(‪ ,‬ואחוזי הקליעה יהיו כמו קודם‬
‫לכן‪ :‬כנגד כל ‪ 25‬כדורים שערן זורק‪ ,‬הוא קולע ‪ 18‬כדורים‪ ,‬ואילו מאיר ממשיך לקלוע ‪ 15‬כדורים‬
‫כנגד כל ‪ 20‬כדורים שהוא זורק‪ .‬בדרך זו של "כאילו" אפשר לראות בקלות שערן היה קולע ‪72‬‬
‫כדורים מתוך ‪ ,100‬ואילו מאיר היה קולע ‪ 75‬כדורים מתוך ‪ .100‬ההשוואה דרך החיסור נכונה‪ ,‬רק‬
‫כאשר מתייחסים לאותו מספר זריקות‪ .‬יש להדגיש לתלמידים שהשתמשנו במושג יחס‪ ,‬ולכן כדי‬
‫להשוות באופן מידי מספיק להשתמש בהשוואה בין היחסים שבין מספר הקליעות למספר‬
‫הכדורים הכולל של כל שחקן‪ .‬כלומר בהשוואה בין היחסים ‪ 18 : 25‬ו‪ 15 : 20 -‬מגיעים לתשובה‬
‫הנכונה‪ .‬לאחר שמגיעים למסקנה שיש להשוות בין היחסים‪ ,‬דנים בדרך הנוחה להשוואה‪ .‬דנים‬
‫בשאלה מהי המשמעות של "‪ 72‬מתוך ‪ "100‬או "‪ 75‬מתוך ‪ ,"100‬ומגיעים למסקנה שאלה‬
‫האחוזים‪ 72% :‬ו‪ .75% -‬כעת קל לראות מיהו השחקן הטוב יותר‪ .‬השוואה בין יחסים באמצעות‬
‫אחוזים היא דרך מוסכמת וקלה )יחסית(‪ .‬כך לומדים התלמידים על הקשר בין יחס לאחוז ‪-‬‬
‫אפשר לרשום כל אחוז כיחס‪ ,‬ואפשר לרשום כל יחס כאחוז‪ -‬וכך הם רוכשים את החשיבה‬
‫הפרופורציונית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬מתרגלים כתיבת יחס ל‪ 100 -‬כאחוז‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימה הפוכה‪ .‬התלמידים מתבקשים לרשום אחוזים כיחס‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬הפותרים בעיה דומה לזו שבשיעור‪ .‬שיעור הקליעה של רן‪75% :‬‬
‫‪12 3 75‬‬
‫= = (‪ .‬גם שיעור הקליעה של דן הוא ‪ .75%‬לפיכך הם שחקנים טובים באותה‬
‫) ‪= 75%‬‬
‫‪16 4 100‬‬
‫מידה‪ .‬במשימה מומחש השימוש באחוזים או ביחס לצורך השוואה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬התלמידים מתבקשים להתאים יחס ואחוזים לייצוג‪ .‬יש לשים לב‪ ,‬שבכל רצועה‬
‫)סעיפים ה'‪ ,‬ו'( יש ‪ 10‬משבצות‪ ,‬לכן כדי לרשום את האחוז המתאים יש להרחיב את היחס ב‪.10 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬על התלמידים לרשום יחסים כאחוזים כמו במשימה מס' ‪ .1‬משימה זו משמשת‬
‫תרגול נוסף לפי הצורך‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬הסבו את תשומת לבם של התלמידים לכך שכל התלמידים )‪ (40‬של הכיתה‬
‫מהווים ‪ .100%‬הכמות היסודית מהווה תמיד ‪.100%‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬משימה זו דומה למשימה ‪ 4‬ויכולה לשמש תרגול נוסף לפי הצורך‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימת יישום‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:393‬‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ב' ואת פעילויות ההטמעה ב' ו‪ -‬ג' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה‬
‫לומדים התלמידים לבטא יחס כאחוז ולהפך‪ .‬הדרך הראשונה המוסברת בשיעור היא דרך‬
‫ההרחבה ל‪ .100 -‬כאשר האיבר הימני ביחס הוא מחלק של ‪ ,100‬אפשר להרחיב את היחס הנתון‬
‫ליחס ‪ . a :100‬לדוגמה‪ ,‬את היחס ‪ 1 :5‬נרחיב ל‪ , 20 :100 -‬ונקבל ‪ .20%‬דרך נוספת היא לבצע‬
‫פעולת חילוק בין איברי היחס ולכפול את התוצאה ב‪ .100 -‬לעתים צריך לעגל את המספר‬
‫המתקבל‪ .‬לדוגמה‪ ,‬ביחס ‪ 1 :3‬מחלקים ‪ 1‬ב‪ ,3 -‬את התוצאה ‪ 0.333...‬כופלים ב‪ 100 -‬ומקבלים‬
‫‪ .33.33...%‬מספר עשרוני מחזורי לא יכול להיכתב כמספר מדויק‪ ,‬לכן מעגלים את מספר‬
‫האחוזים‪) .33.3% :‬לעתים קרובות מעגלים לשלמים‪ ,‬לעשיריות או למאיות‪(.‬‬
‫‪177‬‬
‫דוגמה נוספת המופיעה בשיעור‪ :‬את היחס ‪ 1 : 8‬אפשר להרחיב ב‪ 12.5 -‬ולקבל ‪ , 12.5 :100‬שזה‬
‫‪ .12.5%‬תלמידים עשויים להתקשות בהרחבה כזו‪ ,‬כיוון שהם רגילים להרחיב יחס במספר טבעי‬
‫בלבד‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪12.5% = 0.125 = = 1 :8 :10‬‬
‫‪8‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬כדי לרשום אחוז כמספר עשרוני יש לחלק את מספר האחוזים ב‪ .100 -‬כדאי‬
‫לתרגל בעל‪-‬פה חילוק מספרים עשרוניים ומספרים שלמים ב‪ 100 -‬כדי להקל על התלמידים‬
‫בפתרון שאלות מסוג זה‪.0.3% = 0.003 ,0.0002% = 0.000002 .‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪. 37.5% = 37.5 :100 = 375 :1,000 = 3 :8 :13‬‬
‫משימות מס' ‪ 14‬ו‪ :16 -‬משימות יישום‪ .‬על התלמידים לרשום יחס כאחוז‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬יחסים בסעיפים א'‪ ,‬ב'‪ ,‬ג'‪ ,‬ז' ו‪-‬ח'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬שילוב בין מושגים של אחוזים ויחס‪ .‬לפי היחס הנתון‪ 40% ,‬של העצים הם עצי‬
‫תפוזים‪ ,‬ו‪ 60% -‬הם עצי אשכוליות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬משימה דומה למשימה הקודמת‪ .‬אחוז התפוחים בקערה הוא ‪.40%‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:395‬‬
‫בשיעור זה התלמידים לומדים על היבטים שונים של אותה בעיה מילולית‪ .‬כלומר נתוני הבעיה‬
‫וייצוגה אינם משתנים‪ ,‬אך הניסוחים של השאלה שונים‪ .‬לפי ניסוח השאלה אפשר לקבל תשובה‬
‫כאחוז‪ ,‬כיחס‪ ,‬כשבר או כמספר עשרוני‪ ,‬וכל אלה משקפים את הבעיה‪ .‬הבנת הקשר בין ההיבטים‬
‫השונים מעידה על הבנה מספרית עמוקה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬משימת יישום‪ .‬צורות כתיבה שונות של אותו מספר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ .12.5 ,100 ,5 :20‬מספרים אלה מופיעים בסדר זה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬על התלמידים להחליט על‪-‬ידי היגיון בלבד‪ ,‬אם מספר נתון יכול לשמש תשובה‬
‫לבעיה מילולית נתונה‪ .‬המספר הנתון הוא מספר לא‪-‬שלם‪ ,‬לכן הוא אינו יכול להיות תשובה‬
‫לשאלות א' ו‪ -‬ד'‪ .‬בשאלה ג' זמן הריצה של כל משתתף לחוד וזמן הריצה של כל המשתתפים יחד‬
‫שווה‪ ,‬והוא ‪ 6‬שעות‪ .‬המספר ‪ 4.5‬יכול להיות תשובה רק לשאלה ב'‪ .‬חשוב לדון בדרכי הפתרון‬
‫ולנצל הזדמנות זו כדי לחזור על תשובה מתאימה ועל תשובה לא‪-‬מתאימה לבעיה מילוליות‪ .‬יש‬
‫לעודד את התלמידים לבדוק תמיד את התשובה לבעיה מילולית לפי ההקשר )לדוגמה‪ 4.5 ,‬לא‬
‫יכול להיות מספר המציין כמות של כלבים(‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬אף‪-‬על‪-‬פי ש ‪ , = 0.4 = 40% = 2 : 5‬משתמשים בכל אחד מהביטויים במצבים‬
‫‪5‬‬
‫שונים בחיי היום‪-‬יום ‪ .‬שימוש באחוזים נפוץ יותר‪ ,‬ואילו השימוש במספר עשרוני נדיר יותר‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫א( ב( ג ( ‪ 40%‬או‬
‫‪5‬‬
‫ד( ‪.2:5‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬כדאי לעודד את התלמידים לגוון בדוגמאות‪ ,‬כלומר לבחור גם מספרים גדולים‬
‫מ‪.1 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬משימה זו דומה למשימה ‪ .19‬זיהוי צורות כתיבה שונות של אותו מספר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬בעיה מילולית שנתונים מופעים בה בצורות שונות‪ :‬כאחוז‪ ,‬כשבר וכיחס‪.‬‬
‫‪178‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬להלן אחת מדרכי הפתרון‪ :‬היחס הנתון הוא בין כמויות חלקיות של הכמות‬
‫היסודית‪ .‬הכמות היסודית מחולקת ל‪ 5 -‬חלקים שווים‪ ,‬לכן היחס בין מספר הבנים לכל תלמידי‬
‫הכיתה הוא ‪ 40% .2:5‬מתלמידי הכיתה הם בנים‪ ,‬ו‪ 60% -‬הם בנות‪ .‬בדרך זו של פתרון הבעיה‬
‫רואים שהנתון "‪ 25‬תלמידים בכיתה" הוא נתון מיותר‪ .‬בדרך אחרת אפשר לחשב תחילה את‬
‫מספר הבנים ואת מספר הבנות בכיתה ואחר‪-‬כך להגיע לאחוזים‪ .‬בדרך זו של פתרון כן משתמשים‬
‫בנתון "‪ 25‬תלמידים בכיתה"‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:397‬‬
‫בשיעור זה ובשלושת השיעורים הבאים התלמידים לומדים לפתור בעיות מילוליות באחוזים‪.‬‬
‫מקובל למיין בעיות באחוזים לשלושה סוגים לפי הנתונים והשאלה שנשאלת‪ :‬בעיות של מציאת‬
‫האחוז‪ ,‬בעיות של מציאת ערך האחוז ובעיות של מציאת הכמות היסודית )ערך של ‪.(100%‬‬
‫בשיעור זה לומדים למצוא אחוז על‪-‬פי שני הנתונים‪ :‬כמות יסודית )‪ (100%‬וערך האחוז‪.‬‬
‫חשוב מאוד ללמד את התלמידים לזהות תחילה את הכמות היסודית‪ ,‬כלומר איזו כמות מהווה‬
‫‪ .100%‬כדי למצוא איזה אחוז מהווה הכמות החלקית מהכמות היסודית‪ ,‬רושמים תחילה את‬
‫היחס בין שתי הכמויות‪ ,‬ואת היחס הופכים לאחוז‪ .‬דוגמה‪ :‬הכמות היסודית היא ‪ ,65‬ערך האחוז‬
‫הוא ‪ .13‬היחס ביניהם הוא ‪ 13 :65‬ולאחר צמצום היחס הוא ‪ . 1 : 5‬נרשום אותו כאחוז )באחת‬
‫הדרכים שנלמדו(‪ ,‬ונקבל ‪ .20%‬התשובה‪ 13 :‬מהווים ‪ 20%‬מ‪.65 -‬‬
‫דרך נוספת היא שימוש ברצועה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬ייתכן שתלמידים יפתרו את הבעיה בעל‪-‬פה כך‪ 15 :‬ק"ג הם רבע מ‪ 60 -‬ק"ג‪ ,‬לכן‬
‫‪ 15‬ק"ג הם ‪ 25%‬מ‪ .60 -‬פתרון זה נכון ומעיד על הבנה מספרית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ ; 0.51 × 100 = 51 ; 357 :700 = 0.51 :28‬התשובה‪.51% :‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬השימוש ברצועה מאפשר לפתח דרכי חישוב ‪ ₪ 40 .‬הם ‪ ₪ 10 ,50%‬הם ‪12.5%‬‬
‫כי ‪. 50 : 4 = 12.5‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬תחילה צריך להבין איזה מספר מהווה ‪ .100%‬א( ‪ 25‬הוא ‪ .100%‬ב( ‪ 20‬הוא‬
‫‪ .100%‬כעת אפשר למצוא א( איזה אחוז מהווה ‪ 20‬מ‪ ;80% :( 20 :25 × 100 = 80 ) 25 -‬לכן ‪ 20‬קטן‬
‫מ‪ 25 -‬ב‪ .20% -‬ב( איזה אחוז מהווה ‪ 25‬מ‪ ;125% :( 25 :20 × 100 = 125 ) 20 -‬לכן ‪ 25‬גדול מ‪ 20 -‬ב‪-‬‬
‫‪ .25%‬ג( התשובות הן שונות כי הכמות היסודית )ערך של ‪ (100%‬שונה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪.60% ; 15 :25 × 100 = 60 :31‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬במילים אחרות‪ :‬איזה אחוז מ‪ 7 -‬מהווה ‪ ?1‬תשובה‪ :‬בערך ‪.14.3%‬‬
‫משימה מס' ‪.20% :33‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬בשתי החנויות ניתנת אותה הנחה של עשרה שקלים‪ .‬אחוזי ההנחה הם ‪20%‬‬
‫ובערך ‪.22.2%‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬סכום הקנייה הוא ‪ 50% .₪ 4,000‬מהסכום )כלומר חצי מהסכום( שולם במזומן‪.‬‬
‫‪ 12.5%‬מהווה כל תשלום מסכום הקנייה‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:399‬‬
‫בשיעור זה לומדים למצוא את ערך האחוז על‪-‬סמך הנתונים‪ :‬הכמות היסודית והאחוז‪ .‬אחת‬
‫הדרכים למצוא את ערך האחוז היא למצוא ערך של ‪ 1%‬ולכפול ערך זה במספר האחוזים הנתון‪.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬הכמות היסודית היא ‪ ,357‬והאחוז הנתון הוא ‪ .15%‬ערך של ‪ 1%‬הוא ‪.(357 : 100) 3.57‬‬
‫ערך של ‪ 15%‬גדול פי חמישה עשר מערך של ‪ ,1%‬כלומר ‪ . 3.57 × 15 = 53.55‬שימו לב‪ :‬גם בשאלות‬
‫מסוג זה צריך לזהות את הכמות היסודית‪ ,‬כלומר את הנתון המהווה ‪ .100%‬גם הדרכים האחרות‬
‫שמובאות בשיעור עוזרות בפתרון הבעיה‪ ,‬אך יש לזכור שהנושא "פרופורציות" אינו בתכנית‬
‫הלימודים של כיתה ו'‪ ,‬ולכן השימוש בטבלה מוגבל ל"מספרים נוחים" )לדוגמה‪ 100 ,‬ו‪ 25 -‬או ‪100‬‬
‫ו‪ 50 -‬וכדומה(‪ .‬בעזרת הרצועה אפשר לאמוד ולבדוק את התשובה במספרים )בין אילו מספרים‬
‫נמצאת התשובה(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬שאלה מילולית‪.‬‬
‫‪179‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬התלמידים אמורים לפתור את הבעיות באחת מהדרכים המוסברות בשיעור‪.‬‬
‫אפשר ללמד את התלמידים )המסוגלים לכך( דרך נוספת לפתרון הבעיות‪ :‬על‪-‬ידי כפל של מספר‬
‫עשרוני השווה לאחוז‪ ,‬בכמות היסודית‪ .‬הפתרון ייראה כך‪ :‬א( ‪) 0.03 × 405 = 12.15‬בדרך רגילה‪:‬‬
‫‪ 4.05‬הוא ערך ‪ .( 3 × 4.05 = 12.15 ;1%‬ב( ‪ . 0.35 × 600 = 210‬ג( ‪. 0.024 × 0.428 = 0.010272‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬שאלה מילולית‪ .‬התיירים טסו ‪ 245‬ק"מ ‪,‬שטו ‪ 1,470‬ק"מ והלכו ברגל ‪ 735‬ק"מ‪.‬‬
‫קיימות כמה דרכים להגיע לתשובה‪ .‬אחת מהן היא לחשב‪ 30% -‬של ‪ 2,450‬ק"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :39‬כדאי לדון עם התלמידים בכך שמחיר החליפה לאחר ההנחה הוא ‪ 75%‬ממחיר‬
‫החליפה לפני ההנחה‪ ,‬ולכן אפשר לחשב את המחיר על‪-‬ידי התרגיל‪ . 0.75 × 500 = 375 :‬אפשר גם‬
‫אחרת‪ :‬תחילה מחשבים את ערך ההנחה של ‪ ,25%‬ולאחר מכן מחסרים את סכום ההנחה‬
‫מהמחיר המקורי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬חשוב לדון בכיתה בבעיות שהתלמידים יציגו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬שאלה מילולית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬שאלה מילולית‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬ג( ערך של ‪ 1%‬שווה ל‪. 0.5 × = 0.1 ;0.5 -‬‬
‫‪5‬‬
‫משימה מס' ‪ :44‬תחילה מחשבים ערך של כל חלק‪ ,‬ואחר‪-‬כך משווים ביניהם‪ .‬ד( ‪ 50%‬של ‪ 100‬הם‬
‫‪ 20% .50‬של ‪ 250‬הם ‪ ,50‬לכן הערכים שווים‪ .‬חלק מהחישובים אפשר לבצע בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:401‬‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ד' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה ממשיכים לחשב את ערך האחוז‪ ,‬אך‬
‫הפעם הבעיות לקוחות מחיי היום‪-‬יום‪ .‬התלמידים לומדים לפרש את האמירות הרשומות על‬
‫בקבוקי חלב‪ ,‬על קופסאות יוגורט וכדומה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬מהו הפירוש של "יוגורט ‪ 1.5%‬שומן"? דוגמה‬
‫נוספת של אמירה שיכולה להופיע בבעיה היא‪" :‬בעופרת של ברזל ‪ 70%‬של ברזל טהור"‪ .‬כל‬
‫ההיגדים מאופיינים בכך שפרט למספר האחוזים אין בהם שום נתון אחר‪ .‬למרות זאת פירוש של‬
‫היגד כזה הוא חד‪-‬משמעי‪ 1.5% :‬מכמות כלשהי של יוגורט מסוג זה הם שומן‪ ,‬או ‪ 70%‬מכמות‬
‫כלשהי של עופרת ברזל הם ברזל טהור‪ .‬מפרשים גם כך‪" :‬בכל ‪ 100‬גרם של יוגורט יש ‪ 1.5‬גרם של‬
‫שומן"‪" ,‬בכל ‪ 100‬ק"ג של עופרת ברזל יש ‪ 70‬ק"ג של ברזל טהור"‪ .‬פירושים אלה מקלים לעתים‬
‫את פתרון הבעיות‪ .‬חשוב לתרגל את הפירושים בדוגמאות שונות שיינתנו על‪-‬ידיכם או על‪-‬ידי‬
‫התלמידים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :45‬א( בכל ‪ 100‬גר' של קצפת יש ‪ 25‬גר' של שומן‪ .‬ב( בכל ‪ 100‬גר' של סלק יש ‪ 20‬גר'‬
‫של סוכר‪ .‬ג( מכל ‪ 100‬ל' של נפט מקבלים ‪ 30‬ל' של קרוסין‪ .‬ד( מכל ‪ 100‬ק"ג של עופרת אפשר‬
‫לקבל ‪ 6.5‬ק"ג של נחושת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :46‬מכל כמות של נפט אפשר לקבל ‪ 30%‬של קרוסין‪ ,‬כלומר מ‪ 100 -‬גר' מקבלים ‪30‬‬
‫גר' קרוסין‪ ,‬משתים עשרה טונות מקבלים ‪ 3.6‬טונות קרוסין )‪ 30%‬מ‪ 12 -‬הם ‪ .(0.3 x 12 = 3.6‬מ‪-‬‬
‫‪ 28‬טונות נפט מקבלים ‪ 8.4‬טונות קרוסין‪ ,‬מ‪ 36.5 -‬טונות נפט מקבלים ‪ 10.95‬טונות קרוסין‪ .‬הסבו‬
‫את תשומת לבם של התלמידים ליחידות‪ :‬בבעיה זו היחידות הן טונות‪ ,‬וגם התשובה צריכה‬
‫להינתן בטונות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :47‬הכמות היסודית‪ 450 :‬ק"ג‪ .‬האחוז‪ .4.2% :‬עלינו לחשב את ערך האחוז‪:‬‬
‫‪. 450 × 0.042 = 18.9‬‬
‫משימה מס' ‪ :48‬חשוב לדון עם התלמידים בדוגמאות המובאות על‪-‬ידיהם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :49‬עודדו את התלמידים לבחור במגוון תחומים‪.‬‬
‫‪180‬‬
‫משימה מס' ‪ :50‬משימה פתוחה‪ .‬אפשר לעבוד בזוגות או בקבוצות‪ .‬עודדו את התלמידים להביא‬
‫נתונים מכיתות שונות‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:402‬‬
‫בשיעור זה לומדים להתמודד עם בעיות באחוזים‪ ,‬כאשר נתונים האחוז וערכו‪ ,‬וצריך למצוא את‬
‫הכמות היסודית )ערך של ‪ .(100%‬דרך א' מעידה על הבנה מספרית‪ :‬מחשבים ערך של ‪ 1%‬על‪-‬ידי‬
‫חילוק ערך האחוז במספר האחוזים‪ .‬לאחר מכן כופלים את התוצאה ב‪ ,100 -‬כי רוצים למצוא את‬
‫הערך של ‪ .100%‬אפשר להיעזר ברצועה )בעיקר לאומדן( או בטבלה‪ .‬פתרון בעזרת טבלה דומה‬
‫לדרך א'‪ ,‬אך את הנתונים כותבים בטבלה‪ .‬חשוב לתרגל מציאת ערך של ‪ 100%‬על‪-‬סמך הערך‬
‫הידוע של ‪ 1%‬על‪-‬ידי כפל ערך זה ב‪ .100 -‬שלוש המשימות הראשונות אחרי השיעור עוסקות‬
‫בעניין זה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :51‬כדאי לשאול את התלמידים למה מתכוונים בביטוי "‪ 100%‬של השדה" )זהו‬
‫שטח כל השדה(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :52‬התשובה‪ 320 :‬ק"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :53‬אפשר לפתור את הבעיה בדרך שתוארה בשיעור )מתחילים במציאת ערך של‬
‫‪ .(1%‬יש גם דרך אחרת‪ :‬אפשר לראות שערך של ‪ 100%‬גדול פי ‪ 25‬מערך של ‪ ,4%‬כי ‪ 100‬גדול מ‪4 -‬‬
‫פי ‪ .25‬כופלים ‪ 38.4‬ב‪ ,25 -‬ומקבלים ערך של ‪) 100%‬הכמות היסודית(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :54‬עשרה שקלים הם ערך של ‪ .25%‬עלינו למצוא ערך של ‪ .100%‬קל לראות שערך‬
‫של ‪ 100%‬גדול פי ארבעה מערך של ‪ ,25%‬כלומר ערך של ‪ 100%‬הוא ‪ .₪ 40‬זהו מחיר הכדור‪.‬‬
‫)אפשר לראות זאת גם בדרך שגרתית‪ :‬תחילה מחשבים ערך ‪ (.1%‬אחת הדרכים לחשב כמה שילם‬
‫צבי‪ :‬מחיר הכדור מהווה ‪ ,100%‬דניאל ואריה שילמו יחד ‪ ,65%‬לפיכך צבי שילם ‪ 35%‬מהמחיר‪.‬‬
‫עלינו למצוא את הערך של ‪.35%‬‬
‫‪ . 0.35 × 40 = 14‬תשובה‪ :‬צבי שילם ‪.₪ 14‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:403‬‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ה' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה לומדים ליישם את הידע שנרכש קודם‬
‫לכן‪ ,‬בבעיות של ההנחה והתייקרות מחיי היום‪-‬יום‪ .‬לעתים קרובות אנו נתקלים בפרסומים‬
‫למבצעים על הנחות למוצרים מסוימים או בהודעות על התייקרויות של מוצרים אחרים‪ .‬היכולת‬
‫"להסתדר" בחישובים כאלה היא ביטוי של השכלה בסיסית ושל תרבות אנושית‪ 15%" .‬הנחה על‬
‫כל ְפּריט שבחנות!" כיצד נחשב? כמה נחסוך? כדאי או לא כדאי? אלו שאלות שדורשות תשובה‬
‫מהירה ונכונה כדי שלא נפסיד‪ .‬חשוב להדגיש לתלמידים שהמחיר שנשלם לאחר ההנחה שווה‬
‫למחיר הישן פחות ההנחה בשקלים‪ .‬המחיר שנשלם לאחר ההתייקרות שווה למחיר הישן‬
‫בתוספת ההתייקרות בשקלים‪ .‬חשוב גם לתרגל חישובים בעל‪-‬פה )בדיוק ובערך( כדי לרכוש‬
‫רהיטות בחישובים כאלה‪ ,‬המשפיעים על קבלת החלטות במציאות‪ .‬לדוגמה‪ ,‬כדי לחשב ערך של‬
‫‪ 15%‬אפשר לחשב ערך של ‪ 10%‬על‪-‬ידי חילוק ב‪ ,10 -‬וערך של ‪ 5%‬על‪-‬ידי חילוק ערך של ‪ 10%‬ב‪,2 -‬‬
‫ולאחר מכן לחבר את הערכים שהתקבלו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪.110% :55‬‬
‫משימה מס' ‪ :56‬להלן דוגמאות להסברים אפשריים‪ :‬א( המחיר החדש של כל מוצר מהווה ערך‬
‫של ‪ 70%‬מהמחיר הישן‪ .‬ג( המחיר החדש של הדלק מהווה ‪ 103%‬מהמחיר הישן‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:404‬‬
‫בשיעור זה ממשיכים לעסוק בהנחה ובהתייקרות‪ .‬הפעם עוסקים בהם יחד‪ .‬רוב התלמידים‬
‫חושבים )לפחות בהתחלה( שהנחה של ‪ 10%‬ולאחריה התייקרות ב‪ 10% -‬מובילות למחיר שהיה‬
‫לפני ההנחה‪ .‬תפיסה זו היא שגויה‪ .‬לאחר שמבצעים את החישובים מגיעים למסקנה שהמחיר‬
‫הישן השתנה‪ .‬ההסבר הוא פשוט‪ :‬בשני החישובים הכמות היסודית שונה‪ ,‬ולכן גם הערך של אותו‬
‫האחוז שונה‪ .‬בחישוב ההנחה הכמות היסודית היא המחיר הישן‪ ,‬ואילו בחישוב ההתייקרות‬
‫הכמות היסודית שווה למחיר שלאחר ההנחה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :57‬א( ‪ ₪ 190‬הם ערך של ‪ .100%‬המילון הוזל ל‪ ,₪ 130 -‬כלומר ההנחה היא ‪,₪ 60‬‬
‫וזהו ערך של אחוז שעלינו למצוא‪ .‬נרשום את היחס ‪ , 60 :190‬ונכתוב אותו כאחוז‪.‬‬
‫‪ ; 60 :190 = 6 :19 ≈ 0.3158‬נכפול את התוצאה ב‪ ,100 -‬ונקבל‪ .31.58% :‬זהו בערך אחוז ההנחה‪.‬‬
‫‪181‬‬
‫ב( הפעם מדובר בהתייקרות‪ ₪ 130 .‬הם ‪ ,100%‬והמילון התייקר ב‪ .₪ 60 -‬זהו ערך האחוז שעלינו‬
‫למצוא‪ .‬נרשום יחס‪ , 60 :130 :‬ונבטא אותו באחוזים‪ 60 :130 = 6 :13 ≈ 0.4615 .‬נכפול ב‪,100 -‬‬
‫ונקבל ‪ 46.15%‬בערך‪ .‬ד( אחוז ההנחה ואחוז ההתייקרות שונים‪ ,‬כי הכמות היסודית שונה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :58‬לא‪ ,‬כי הכמות היסודית שונה‪ .‬חשוב לדון בשאלה זו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :59‬א( כן‪ ,‬ב"הנחה עד ‪ "70%‬אחוז ההנחה קטן מ‪ 70% -‬או שווה ל‪ .70% -‬ב( לא‪ ,‬כי‬
‫אחרי ההנחה המחיר פוחת‪ .‬ג( ‪ .50%‬המחיר הישן גבוה מהמחיר החדש ב‪) 200% -‬הכמות היסודית‬
‫היא ‪.(₪ 100‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:405‬‬
‫מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי ו' ו‪ -‬ז' לפני השיעור‪ .‬בשיעור הקודם דנו בהגדלה ובהקטנה‬
‫מתחום המכירות )הנחה והתייקרות(‪ .‬בשיעור זה נדון בהגדלה ובהקטנה של צורות‪ .‬הדוגמה מחיי‬
‫היום‪-‬יום היא שימוש במכונת צילום‪ .‬עקרון הפעולה של מכונת צילום הוא שכל האורכים גדלים‬
‫או קטנים פי אותו מספר‪ .‬חשוב שהתלמידים יפרשו באופן נכון פעולות שמבצעים במכונת צילום‪.‬‬
‫ראשית‪ ,‬מידות האורך של הדף המקורי מהוות תמיד ערך של ‪ .100%‬שנית‪" ,‬הגדלה ב‪"30% -‬‬
‫פירושה שבמכונת צילום בוחרים את האפשרות‪ .130% :‬כלומר מידות האורך של כל צורה )גם של‬
‫אות( שמתקבלת הן ערך של ‪" .130%‬הגדלה של ‪ "200%‬פירושה שכל מידות האורך של כל צורה‬
‫גדלות פי שניים‪ ,‬וּבמילים אחרות זוהי הגדלה ב‪ .100% -‬חשוב להדגיש את ההבדל בין "הגדלה ב‪-‬‬
‫‪ "150%‬לבין "הגדלה של ‪ ."150%‬במקרה הראשון מידות הצורה המוגדלת מהוות ערך של ‪250%‬‬
‫מהגודל המקורי‪ ,‬ובמקרה השני הערך הוא של ‪ 150%‬מהגודל המקורי‪ .‬בדומה להגדלה נעשית גם‬
‫הקטנה‪ .‬לדוגמה‪" ,‬הקטנה ב‪ "30% -‬פירושה שמידות האורך של כל צורה בדף יהוו ערך של ‪70%‬‬
‫מהמידות המקוריות‪" .‬הקטנה של ‪ "30%‬פירושה שמידות האורך של כל צורה בדף יהוו ערך של‬
‫‪ 30%‬מהמידות המקוריות‪ .‬אפשר לעשות הקבלה של הגדלה להתייקרות ושל הקטנה להנחה‪.‬‬
‫דוגמה להקבלה כזו מובאה בטבלה שלהלן‪.‬‬
‫היגד‬
‫פירוש‬
‫הגדלה ב‪15% -‬‬
‫מידות האורך‬
‫החדשות של הדף‬
‫ושל כל צורה‬
‫)כולל אותיות( על‬
‫הדף הן ‪1.15‬‬
‫)‪ (115%‬ממידות‬
‫האורך‬
‫המקוריות‪.‬‬
‫התייקרות ב‪15% -‬‬
‫ערכו של המחיר‬
‫החדש הוא‬
‫‪(115%) 1.15‬‬
‫מהמחיר הישן‪.‬‬
‫הנחה ב‪70% -‬‬
‫ערכו של‬
‫המחיר החדש‬
‫הוא‬
‫‪(30%) 0.3‬‬
‫מהמחיר הישן‪.‬‬
‫הקטנה ב‪70% -‬‬
‫מידות האורך‬
‫החדשות של הדף‬
‫ושל כל צורה )כולל‬
‫אותיות( על הדף‬
‫הן ‪(30%) 0.3‬‬
‫ממידות האורך‬
‫המקוריות‪.‬‬
‫מומלץ לנהל חקירה בעזרת השאלות‪" :‬כיצד משתנה שטח הצורה? האם בהגדלה פי שניים )‪(200%‬‬
‫השטח גדל פי שניים?"‪" ,‬כיצד משתנה המראה של הצורה" האם הוא יהיה דומה לצורה המקורית‬
‫או שונה ממנה? למשל‪ ,‬איך תיראה הגדלה פי שניים של האות‪:‬‬
‫?"‬
‫אפשר לחפש דרכים לוודא ששטח הצורה גדל פי ארבעה‪ .‬לפי מראה הצורה‪ :‬כל הצורה תגדל‬
‫באופן פרופורציוני‪ ,‬לכן התמונה השמאלית ביותר היא מראה חדש של התמונה המקורית )צבוע‬
‫באפור כהה(‪ .‬בהזדמנות זו מומלץ לבצע "חקירה קטנה" על הפעולה של מכונת צילום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :60‬א( מחשבים את ערך ה‪ 10% -‬של כל צלע‪ .‬ב( ‪ 4.5‬ס"מ ו‪ 9 -‬ס"מ‪ .‬תרגילים‬
‫מתאימים )אחת האפשרויות(‪. 5 − 0.1 × 5 = 5 − 0.5 = 4.5 :‬‬
‫‪182‬‬
‫‪ . 10 − 0.1 × 10 = 10 − 1 = 9‬ג( שטח המלבן המקורי ‪ 50‬סמ"ר‪ ,‬שטח המלבן המוקטן ‪ 40.5‬סמ"ר‪.‬‬
‫ההקטנה ב‪ 9.5 -‬סמ"ר‪ .‬עלינו למצוא אחוז שערכו שווה ל‪ 9.5 -‬סמ"ר‪ .‬אחת הדרכים‪:‬‬
‫‪ . 9.5 :50 × 100 = 0.19 × 100 = 19‬השטח הוקטן ב‪ .19% -‬ד( במכונה צריך לבחור ‪ 90%‬הקטנה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :61‬פירוש ההגדלה‪ :‬כל מידות האורך גדלות פי שניים או ב‪ .100% -‬צריך לבחור‬
‫אופציה של ‪ .200%‬שטח המלבן יגדל פי ארבעה‪ ,‬כלומר ב‪.300% -‬‬
‫משימה מס' ‪ :62‬א( ריבוע ב'‪ :‬אורך צלעו ‪ 4.5‬ס"מ‪ .‬ב( ריבוע ג'‪ :‬אורך צלעו ‪ 6.75‬ס"מ‪ .‬אורך צלעו‬
‫של ריבוע ב' הוגדל ב‪ .50% -‬ג( לא‪ .‬ד( לא‪ ,‬כי הכמות היסודית )‪ (100%‬שונה בכל הגדלה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :63‬מידות התמונה המוקטנת הן ‪.12.5/25‬‬
‫מה למדנו? עמ' ‪:406‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד בפרק‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמ' ‪:407‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימה זו דומה למשימה ‪ 2‬ויכולה לשמש תרגול נוסף לפי הצורך‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬תרגול נוסף בדומה למשימה מס' ‪.19‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬א( שטח הבית‪ 150 ; 0.75 × 200 = 150 :‬מ"ר‪ .‬שטח המחסן הוא ‪ 20‬מ"ר; היחס בין‬
‫שטח המחסן לשטח הבית‪) . 20 :150 :‬עודדו את התלמידים לצמצם את היחס‪ (.‬ב( שטח הגינה‬
‫הוא ‪ 30‬מ"ר‪ .‬היחס בין שטח הגינה לשטח המגרש הוא ‪) . 30 :200‬עודדו את התלמידים לצמצם‬
‫את היחס‪ (.‬ג( אפשר לנסח את השאלה כך‪ :‬איזה אחוז מהווה ‪ 30‬מ‪ ?20 -‬אפשר לרשום תשובה‬
‫כיחס ולהגיע לאחוז‪ ,‬ואפשר לפעול בכל דרך אחרת‪ 30 :20 .‬נרשום כאחוז‪ ,‬ונקבל ‪ .150%‬דרך‬
‫נוספת‪ 40 :‬הם ‪ 200%‬מ‪ ,(100%) 20 -‬לכן ‪ 30‬הם ‪ 150%‬מ‪.20 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬בשבוע שבעה ימים‪ ,‬לכן עלינו למצוא איזה אחוז מהווה ‪ 5‬מ‪.7 -‬‬
‫‪ 0.714 × 100 = 74.1 ;5 :7 = 0.71428... ≈ 0.714‬תשובה‪ :‬בערך ‪.74.1%‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬הקושי בבעיה זו הוא בתחום המספרים‪ .‬התלמידים פותרים לראשונה בעיה‬
‫באחוזים‪ ,‬שהנתונים בה הם מספרים גדולים‪ .‬דרך הפתרון אינה משתנה‪ ,‬אבל כדאי להיעזר‬
‫במחשבון‪ .‬התשובה‪ :‬א( ‪ .90%‬ב( ‪.10%‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬בסך הכול מוטי יצר ‪ 49‬פריטים‪ .‬עלינו לענות על השאלה‪ :‬איזה אחוז מהווה ‪ 49‬מ‪-‬‬
‫‪ ?35‬כלומר יש לרשום את היחס‪ 49:35 :‬כאחוז‪ .‬מקבלים‪ .140% :‬דונו עם התלמידים בשאלה‪:‬‬
‫"מהי הכמות המהווה ‪"?100%‬‬
‫משימה מס' ‪. 15 :35 ; 30% ; 15 :50 :9‬‬
‫משימה מס' ‪.20% :10‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬א( ‪ .1 : 2‬ב( ‪ .1 : 5‬ג( ‪ .1 : 10‬ד( ‪.20%‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬משימה זו דומה למשימה הקודמת‪ .‬שימו לב שתרגיל ד' יכול לעורר קושי בגלל‬
‫המספרים‪ .‬ערך של ‪ 1%‬שווה ל‪ .24 -‬כופלים ‪ 24‬באחוז הנתון‪ ,‬ומקבלים‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3 24 × 39‬‬
‫= ‪ . 24 × 9‬הדרך השנייה יכולה להיראות כך‪. 9 % = 9.75% = 0.0975 :‬‬
‫‪= 6 × 39 = 234‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫כופלים את המספר העשרוני ב‪ 2,400 -‬ומקבלים ‪ . 2.400 × 0.0975 = 234‬מומלץ לדון עם‬
‫התלמידים בשתי הדרכים שהם ַמציעים לפתרון כל משימה‪ ,‬ובשאלה איזו דרך נוחה להם יותר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬כנגד כל ‪ 20‬חוברות מקבלים ‪ 10%‬הנחה‪ ,‬כלומר כנגד ‪ 40‬חוברות מקבלים ‪10%‬‬
‫הנחה‪ .‬מחיר רגיל של ‪ 40‬חוברות הוא ‪ ;₪ 1,200‬סכום ההנחה הוא ‪ ;₪ 120‬התשלום הוא ‪.₪ 1,080‬‬
‫משימה מס' ‪" :16‬שבעה אנשים" הם ערך של ‪ .1%‬ערך של ‪ 100%‬הוא ‪ 700‬אנשים‪.‬‬
‫‪183‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬תשובה‪ 600 :‬עמודים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬מכל כמות של תפוחים טריים )ערך של ‪ (100%‬אפשר לקבל ‪ 16%‬תפוחים‬
‫מיובשים )מכל ‪ 100‬ק"ג של תפוחים טריים מקבלים ‪ 16‬ק"ג של תפוחים מיובשים(‪ .‬אפשר לשוחח‬
‫עם התלמידים על ‪ 84%‬מהנוזלים שיש בתפוחים טריים‪ .‬א( ‪ 40‬ק"ג הם ערך של ‪ ,16%‬עלינו למצוא‬
‫ערך של ‪) 100%‬הכמות היסודית(‪ . 40 :16 × 100 = 250 .‬תשובה‪ :‬צריכים ‪ 250‬ק"ג תפוחים טריים‪.‬‬
‫ב( ‪ 4.5‬ק"ג הם ערך של ‪ ,100%‬עלינו למצוא ערך של ‪ . 0.16 × 4.5 = 0.72 .16%‬תשובה‪ :‬מ‪4.5 -‬‬
‫תפוחים טריים מקבלים ‪ 0.72‬ק"ג )‪ 720‬גר'( של תפוחים מיובשים‪ .‬הערה‪ :‬מעניין גם לבדוק‬
‫מחירים של תפוחים טריים לעומת תפוחים מיובשים‪ ,‬ועל‪-‬סמך הנתונים והפתרון של הבעיה לנתח‬
‫את המחירים של שני מוצרים אלו‪ .‬כדי להקל את הפתרון אפשר למלא את הטבלאות‪.‬‬
‫ב(‬
‫א(‬
‫‪1% 16%‬‬
‫אחוז‬
‫‪100% 1% 16%‬‬
‫אחוז‬
‫‪4.5‬‬
‫משקל בק"ג‬
‫משקל בק"ג‬
‫בעיות‪ ,‬עמ' ‪:410‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬מכל ‪ 100‬ק"ג ענבים מתקבלים ‪ 20‬ק"ג צימוקים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬בחנות השנייה‪.‬‬
‫יישומי מדע‪ ,‬עמ' ‪:411‬‬
‫בעמוד זה מלמדים את התלמידים את השימוש באחוזים בחיי היום‪-‬יום בתחומי הבנקאות וגודל‬
‫האוכלוסייה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬חשוב להדגיש שבכל שנה הריבית מחושבת מכמות יסודית שונה‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :3-2‬אפשר להשתמש במחשבון‪.‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמ' ‪:412‬‬
‫בעמוד זה מובאות בעיות העשרה הקשורות לייצוג נתונים בחצי עיגול‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬ייצוג נתונים הקשורים לאוכלוסיית מחוזות בישראל‪ ,‬בדיאגראמות "חצי עיגול"‪.‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמ' ‪:413‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על הנושאים שנלמדו קודם לכן‪ :‬שטח והיקף‪ ,‬כפל וחילוק בחזקות של ‪,10‬‬
‫סדרות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬שטח המשולש ‪ 144‬סמ"ר‪ .‬לפיכך אורך צלע הריבוע הוא ‪ 12‬ס"מ‪ ,‬היקף הריבוע ‪48‬‬
‫ס"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬שטח כל אחד מהמשולשים שווה לרבע משטח המלבן או לחצי של המרובע‬
‫‪ ,ABCD‬כלומר ‪ 16‬סמ"ר‪ .‬היחס בין שטח המרובע לבין שטח המלבן הוא ‪.1:2‬‬
‫‪184‬‬
‫עמודים ‪433 - 414‬‬
‫יז‪ .‬נפחים‬
‫רקע‬
‫שני פרקים עוסקים בנושא נפחים‪ .‬פרק זה הוא הראשון בין השניים‪ ,‬והוא עוסק בהשוואה בין‬
‫הנפחים‪ ,‬במדידת הנפחים ביחידות מידה ובחישוב נפחים של תיבה ושל קובייה‪ .‬הנושא נפחים‬
‫הוא אחד הנושאים העוסקים במדידות‪ .‬הנושא אינו חדש לתלמידים של כיתה ו'‪ ,‬שכן הם למדו‬
‫את המושג נפח בכיתה ג'‪ ,‬כאשר עסקו בהשוואה בין נפחים‪ ,‬במדידת נפחים של גופים פשוטים‬
‫ובאומדן‪ .‬בכיתה ד' הם למדו על נפח תיבה‪ ,‬וכעת הם חוזרים לנושא של נפחים‪ ,‬אך ברמה גבוהה‬
‫יותר ומסכמת‪ .‬העקרונות של המדידה בפרק זה הם אותם עקרונות של כל מדידה אחרת‪.‬‬
‫הנוכחי יחזרו התלמידים על דרכים שונות להשוואה בין הנפחים )השוואה ישירה‪ ,‬השוואה‬
‫ְ‬
‫בפרק‬
‫בעזרת מתווך והשוואה בעזרת מדידה ביחידות מידה( ועל מדידת נפחים ביחידות מידה‬
‫שרירותיות ומוסכמות וילמדו לחשב נפח של תיבה בשתי דרכים‪.‬‬
‫אמנם בפרק ישנה חזרה על מה שכבר נלמד בשנים הקודמות‪ ,‬אך הוחלט לחזור על החומר כחלק‬
‫של ההקניה‪ ,‬ולא כ"לעלות על הגל" עקב חשיבות הנושא‪ .‬כדי לבצע פעילויות הקשורות להשוואה‬
‫בין נפחים של גופים שונים צריך להצטייד באוסף של גופים ובכלי קיבול להשוואה‪ ,‬כגון כלים חד‪-‬‬
‫פעמיים‪ ,‬גביעי יוגורט‪ ,‬בקבוקים בגדלים שונים‪ ,‬תיבות‪ ,‬מנסרות‪ ,‬גלילים‪ ,‬חרוטים‪ ,‬פירמידות‪,‬‬
‫כדורים מכל מיני סוגים וכדומה‪ .‬נוסף על כך‪ ,‬כדאי שיהיה בכיתה חומר שישמש "מתווך"‬
‫להשוואה בין נפחים ולמדידת הנפחים ביחידות מידה שרירותיות‪ .‬המתווך יכול להיות חול‪ ,‬אורז‬
‫או כל חומר אחר הדומה לשניים אלו‪ .‬אפשר להשתמש גם במים‪ ,‬אך יש לקחת בחשבון את‬
‫הבעיות שעשויות להתעורר בכיתה עקב השימוש בהם‪ .‬חשוב שהתלמידים יבצעו את פעילויות‬
‫ההשוואה בפועל כדי להפנים את עקרונות ההשוואה והמדידה‪ .‬מומלץ להצטייד גם במשורות‬
‫שונות מוכנות‪ -‬כמו בקבוקי אוכל לתינוקות‪ -‬או במשורות למדידת סוכר‪ ,‬קמח וכדומה‪ .‬אפשר גם‬
‫לבקש מהתלמידים להביא מהבית את הפריטים הללו‪.‬‬
‫חשוב להדגיש שקיים הבדל בין גופים לבין כלי קיבול ובין נפח לבין קיבולת‪ ,‬והבדל זה מוסבר‬
‫לתלמידים כבר בשיעור הראשון‪ .‬עם זאת כדי להקל את הפנמת הנושא נשתמש לעתים במושג‬
‫נפח‪ ,‬גם כאשר נתכוון לקיבולת של כלי קיבול‪ .‬בסוף הפרק עוסקים בשטח הפנים של תיבה )נושא‬
‫זה כלול בתכנית הלימודים של כיתה ו'(‪.‬‬
‫הקשיים שעלולים להתעורר במשך הוראת הנושא‪ ,‬קשורים לדברים מעשיים‪ -‬כגון ביצוע פעילויות‬
‫בפועל‪ -‬או להבנת המהות המתמטית של הנושא‪ -‬כמו הבנת הנוסחאות )שכן התלמידים של כיתה‬
‫ו' עדיין אינם שולטים בשימוש באותיות באופן מלא(‪.‬‬
‫הפרק מתאים לתכנית הלימודים‪ .‬לפי תכנית הלימודים‪ ,‬מומלץ להקדיש לנושא נפחים כ‪10 -‬‬
‫שעות לימוד‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬להבדיל בין גוף לבין כלי קיבול ובין נפח הגוף לבין הקיבולת של כלי הקיבול;‬
‫ב‪ .‬להשוות בין נפחים של גופים ושל כלי קיבול בדרכים שונות )בעזרת השוואה ישירה‪,‬‬
‫בעזרת מתווך‪ ,‬בעזרת מדידה ביחידות מידה(;‬
‫ג‪ .‬להשתמש בתכונות הנפחים לצורך חישוב הנפח;‬
‫ד‪ .‬למדוד נפח של גוף ביחידות נפח שרירותיות;‬
‫ה‪ .‬למדוד נפח של גוף ביחידות נפח מוסכמות;‬
‫ו‪ .‬להתאים יחידת אורך ויחידת שטח ליחידת נפח ולהפך;‬
‫ז‪ .‬לחשב נפחים של תיבה ושל קובייה בעזרת נוסחאות מתאימות;‬
‫ח‪ .‬לחשב שטח פנים של תיבה ושל קובייה‪.‬‬
‫‪185‬‬
‫מושגים‬
‫גוף‪ ,‬נפח‪ ,‬כלי קיבול‪ ,‬קיבולת‪ ,‬מדידה‪ ,‬מידה‪ ,‬השוואה ישירה‪ ,‬השוואה בעזרת מתווך‪ ,‬השוואה‬
‫בעזרת מדידה ביחידות מידה‪ ,‬יחידות נפח שרירותיות‪ ,‬יחידות נפח מוסכמות ומקובלות‪ ,‬ממ"ק‪,‬‬
‫סמ"ק‪ ,‬דצמ"ק‪ ,‬מ"ק‪ ,‬קמ"ק‪ ,‬ליטר‪ ,‬תיבה‪ ,‬קובייה‪ ,‬שטח‪ ,‬בסיס של תיבה‪ ,‬גובה‪ ,‬נוסחה‪ ,‬יחידות‬
‫שטח‪ ,‬יחידות אורך‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫אוסף גופים וכלי קיבול להשוואה בין נפחים‪ ,‬משורות‪ ,‬מתווכים‪ ,‬ציורים‪ ,‬ריבועי מנייה‪ ,‬קוביות‬
‫קטנות‪ ,‬תיבות וקוביות במידות שונות‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על דרכי ההשוואה בין אורכים‪.‬‬
‫על הלוח או על דף חלק )או משובץ( מסורטטים קטעים וקווים עקומים‪ .‬התלמידים מתבקשים‬
‫להשוות בין אורכי שני הקטעים או הקווים ולהסביר את דרך ההשוואה‪ .‬דנים בעקרונות‬
‫ההשוואה של האורכים‪ .‬דוגמאות לקטעים ולקווים‪:‬‬
‫ב‬
‫ג‬
‫ד‬
‫א‬
‫הסברים‪:‬‬
‫א( את אורכי הקטעים אפשר להשוות בהשוואה ישירה או בעזרת מתווך )חוט( או בעזרת מדידה‪.‬‬
‫ב( קווים עקומים אפשר "ליישר" ולהשוות ביניהם בעזרת כל דרך שתוארה בסעיף א'‪ ,‬אך אפשר‬
‫גם על‪-‬ידי טביעת העין‪) .‬ברור ש"ספירלה" ארוכה יותר‪ (.‬ג( מבקשים להשוות בין אלכסונים של‬
‫מלבן‪ .‬כל דרך שהיא )כמו בסעיפים הקודמים( תתאים‪ ,‬אך אפשר להיעזר גם בתכונות המלבן‬
‫ולהשוות בדרך עקיפה על‪-‬סמך הידיעה שאלכסוני המלבן שווים‪ .‬ד( אם משווים בין קוטר המעגל‬
‫להיקפו או לחצי מהיקפו‪ ,‬מוצאים שהקוטר קצר יותר‪) .‬קטע הוא המרחק הקצר ביותר בין שתי‬
‫נקודות‪ (.‬אפשר להשוות גם בדרכים שתוארו לעיל‪.‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על דרכי ההשוואה בין שטחי הצורות‪.‬‬
‫על הלוח או על דף חלק )או משובץ( מסורטטות צורות שונות‪ :‬מצולעים‪ ,‬עיגולים‪ ,‬צורות סתמיות‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים להשוות בין שטחי הצורות ולהסביר את דרך ההשוואה‪ .‬דנים בעקרונות‬
‫ההשוואה של השטחים‪) .‬העקרונות והדרכים הם כמו בהשוואה בין האורכים‪(.‬‬
‫דוגמאות לצורות‪:‬‬
‫ד‬
‫ב‬
‫ה‬
‫א‬
‫ג‬
‫שטח המקבילית גדול משטח המשולש כי המשולש בתוך המקבילית )השוואה ישירה(‪ .‬ב( אפשר‬
‫לבדוק למי שטח גדול יותר בהשוואה ישירה )אפשר להיעזר בשקף( או על‪-‬ידי טביעת עין‪ .‬ג( כמו‬
‫בסעיפים הקודמים אפשר‪ ,‬למשל‪ ,‬לקפל את הדף כך שהעיגול הקטן ייכנס בשלמותו לעיגול הגדול‪,‬‬
‫ואפשר בדרך עקיפה‪ :‬לעיגול שרדיוסו גדול יותר יש שטח גדול יותר‪ .‬ד( שטחי שני הריבועים‬
‫שווים‪ ,‬כי אורך צלעם שווה )בעזרת חישוב(‪ .‬אפשר להשוות כמו בסעיפים הקודמים‪ .‬ה( המשולש‬
‫מורכב משני משולשים ישרי‪-‬זווית‪ ,‬והמעוין מורכב מארבעה משולשים כאלה‪ .‬זוהי השוואה בדרך‬
‫של מדידה ביחידות שטח שרירותיות‪.‬‬
‫‪186‬‬
‫ג‪ .‬חזרה על צמצום ועל הרחבה של יחסים‪.‬‬
‫על הלוח כתובים יחסים שונים‪ .‬התלמידים מתבקשים לצמצם או להרחיב את היחסים כך‬
‫‪4‬‬
‫שאיברי היחס יהיו מספרים טבעיים‪ .‬דוגמאות ליחסים‪. : 8 ; 2.5 :1 ; 1000 :2000 ; 1 :250 :‬‬
‫‪5‬‬
‫פעילות זו יכולה לשמש כהכנה ללימוד הנושא קנה‪-‬מידה‪.‬‬
‫ד‪ .‬חזרה על המושג "יחס"‪.‬‬
‫על הלוח כתובים יחסים שונים‪ ,‬ועל התלמידים למצוא שני אורכים‪ ,‬כך שהיחס בין האורכים יהיה‬
‫אחד מהיחסים הרשומים על הלוח‪ .‬אפשר להשתמש באותם היחסים מהפעילות הקודמת‪ .‬גם‬
‫פעילות זו יכולה לשמש כהכנה ללימוד הנושא קנה‪-‬מידה‪ .‬דוגמה‪ :‬ליחס ‪ 1 :250‬האורכים‬
‫המתאימים הם ‪ 1‬ס"מ ו‪ 250 -‬ס"מ או ‪ 20‬מ' ו‪ 5,000 -‬מ' וכדומה‪.‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫מומלץ להשתמש במחשבון לביצוע חישובים‪.‬‬
‫פעילות א‪ :‬התלמידים מתבקשים להתבונן בכלי קיבול ובגוף כרצונם ולתאר את ההבדלים‬
‫ביניהם‪) .‬ראו גם בשיעור הראשון של הפרק‪(.‬‬
‫פעילות ב‪ :‬לפעילות זו צריך להכין לכל קבוצת תלמידים אוסף של כעשרה פריטים ‪ -‬גופים וכלי‬
‫קיבול‪ -‬או לבקש מהתלמידים להביא פריטים מביתם‪ .‬חשוב גם שברשותה של כל קבוצה יהיה‬
‫"מתווך" )אורז‪ ,‬חול וכדומה(‪ .‬דוגמאות לגופים ולכלי קיבול‪ :‬כוס‪ ,‬כוסית‪ ,‬כף‪ ,‬כפית‪ ,‬סיר‪ ,‬צלחת‪,‬‬
‫דלי‪ ,‬פח אשפה‪ ,‬בקבוק מים גדול‪ ,‬בקבוק מים קטן‪ ,‬גביע של לבן או של יוגורט‪ ,‬מחקים‪ ,‬פחית‪,‬‬
‫קופסת שימורים‪ ,‬סוכרייה‪ .‬התלמידים מתבקשים לסדר את הכלים באוסף שלהם לפי נפחם‬
‫מהקטן לגדול‪ .‬תחילה חשוב לסדר את הפריטים בעזרת אומדן ולאחר מכן לבדוק את ההשערה‬
‫על‪-‬ידי השוואה )ישירה‪ ,‬בעזרת מתווך‪ ,‬בעזרת מדידה או אחרת(‪ .‬כל אחת מדרכי ההשוואה‬
‫מפורטת בשיעור השני של הפרק‪ .‬בדיון מסכמים את דרכי ההשוואה שהוצגו‪.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬בניית משורה‪ .‬לביצוע הפעילות יצטרכו התלמידים כוס או כוסית )אפשר חד‪-‬פעמית(‬
‫שתשמש יחידת נפח‪ ,‬ובקבוק או כלי גדול אחר שישמש משורה‪ .‬נוסף על כך‪ ,‬יזדקקו התלמידים‬
‫לחומר מילוי )חול‪ ,‬אורז‪ ,‬מים או כדומה(‪ .‬אם מכינים משורה מבקבוק‪ ,‬עדיף לחתוך את החלק‬
‫העליון‪ ,‬שהוא צר‪ ,‬כדי שיהיה נוח לרוקן את החול )או כל חומר שייבחר( מהכוסית לבקבוק‪.‬‬
‫הפעילות מתבצעת כך‪ :‬ממלאים את הכוסית בחול כך ששכבת החול תהיה "שטוחה" )לכן עדיף‬
‫להשתמש במים(‪ ,‬ומרוקנים את החול לתוך הבקבוק‪ .‬מסמנים בטוש על הבקבוק את גובה שכבת‬
‫החול‪ .‬ממלאים שוב את הכוסית בחול‪ ,‬ושוב מרוקנים אותה לתוך הבקבוק‪ .‬מסמנים את גובה‬
‫השכבה השנייה‪ .‬חוזרים על הפעילות עד שהבקבוק מתמלא‪ .‬מרוקנים את כל החול‪ ,‬והבקבוק‬
‫המסומן יכול לשמש כמשורה‪ .‬אם ידועה הקיבולת של הכוסית‪ ,‬אפשר לכתוב את המספר‬
‫המתאים ליד כל שנת שסומנה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬קיבולת הכוסית היא ‪ 70‬מ"ל‪ .‬גובה השכבה הראשונה‬
‫יסומן ב‪ 70 -‬מ"ל‪ ,‬גובה השכבה השנייה יסומן ב‪ 140 -‬מ"ל וכך הלאה‪ .‬בעזרת משורה זו אפשר‬
‫למדוד נפחים של כלים שונים‪.‬‬
‫פעילות ד‪ :‬התלמידים מקבלים ריבועי מנייה או קוביות‪ ,‬שישמשו יחידת נפח‪ .‬התלמידים‬
‫מתבקשים לבנות מגדלים או גופים אחרים מריבועי המנייה או מהקוביות ולהשוות בין נפחי‬
‫הגופים שבנו חברי הקבוצה‪ .‬דנים בדרך ההשוואה )בעזרת מדידה ביחידת נפח שרירותית(‪ .‬דנים‬
‫בעקרונות המדידה ביחידות מידה )ראו גם בשיעור השלישי בפרק(‪.‬‬
‫פעילות ה‪ :‬התלמידים מתבקשים למצוא מידת נפח שיש לה מידת אורך ומידת שטח מתאימות‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬אורך מקצוע של קובייה נמדד בסנטימטרים‪ .‬באיזו יחידת מידה יימדד שטח הפאה?‬
‫באיזו יחידת מידה יימדד נפח הפאה? ממשיכים בשאלות דומות‪ .‬ישנן יחידות נפח המוכרות‬
‫לתלמידים‪ ,‬וישנן יחידות נפח שהתלמידים מגלים בתוך כדי ביצוע פעילות זו‪ ,‬כמו דצמ"ק‪.‬‬
‫‪187‬‬
‫פעילות ו‪ :‬התלמידים מתבקשים למצוא דרך לענות על השאלה‪" :‬מהו הנפח של קובייה‬
‫בסנטימטרים מעוקבים" אם אורך מקצועה הוא ‪ 1‬מ'?" דנים בדרכי הפתרון‪.‬‬
‫פעילות ז‪ :‬כל קבוצת תלמידים מקבלת קופסה בצורת תיבה )כדאי שיהיה לה מכסה( וקוביות‬
‫יחידה‪ .‬התלמידים מתבקשים למצוא דרך לחישוב נפח התיבה‪ .‬דנים בדרכי הפתרון‪ .‬התלמידים‬
‫יבצעו בפועל את הריצוף של בסיס התיבה על‪-‬ידי ריבועי יחידה ויבינו שמספר הקוביות שווה‬
‫לשטח הבסיס‪.‬‬
‫הערות למורה‪ :‬א( רצוי שהאורך‪ ,‬הרוחב והגובה של התיבה יהיו מספרים שלמים של יחידות‬
‫אורך‪ .‬לדוגמה‪ ,‬מידות התיבה‪ 3 :‬ס"מ ‪ 4 x‬ס"מ ‪ 5 x‬ס"מ‪ .‬ב( צריך שלתלמידים תהיה כמות מספקת‬
‫של קוביות‪.‬‬
‫פעילות ח‪ :‬כל קבוצת תלמידים מקבלת דף ‪) A4‬אפשר להשתמש בטיוטות(‪ .‬התלמידים מתבקשים‬
‫למצוא מהו הנפח של דף ‪ .A4‬דנים בהצעות התלמידים‪.‬‬
‫השיעור בספר לתלמיד‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :414‬נפח‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי א' לפני השיעור‪ .‬המושג נפח נלמד כבר בעבר‪ ,‬ובשיעור זה חוזרים‬
‫על המושג ברמה גבוהה יותר‪ ,‬ומוסיפים את המושג קיבולת‪ .‬חשוב לשוחח עם התלמידים על‬
‫ההבדל בין גוף לבין כלי קיבול‪ .‬עם זאת בהמשך נשתמש לעתים במילה נפח גם כאשר נדבר על כלי‬
‫קיבול‪ ,‬לדוגמה‪" :‬נפח הסיר"‪ .‬הדגישו לתלמידים שנפח הוא מידה כמו אורך‪ ,‬שטח‪ ,‬משקל‪ ,‬כסף‪,‬‬
‫זמן וכדומה‪ ,‬לכן התכונות של מידת הנפח דומות לתכונות של מידות אחרות )ראו תכונות הנפח‬
‫בשיעור(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימה פתוחה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬אפשר למלא את אחד הכלים במים ולשפוך לכלי השני‪.‬‬
‫התמלא בדיוק‪ ,‬הנפחים של הכלים שווים‪.‬‬
‫ֵ‬
‫אם גם הכלי השני‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬לפי תכונות הנפחים‪ ,‬לכל הגופים הבנויים משש קוביות זהות יש אותו נפח )גם‬
‫הקוביות של הגופים השונים הן זהות‪(.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬לא מחייב‪ .‬לדוגמה‪ ,‬פקקים מבקבוקים שונים יכולים להיות שונים בנפחם‪ .‬אפשר‬
‫לבדוק זאת על‪-‬ידי מילוי במים‪ .‬מומלץ לתת את המשימה כשיעורי בית‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :415‬השוואה בין נפחים‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ב' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה לומדים להשוות בין הנפחים בדרכים‬
‫שונות‪ .‬דרכים אלו מוכרות לתלמידים מכיתות קודמות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬המים ימלאו את הכלי הקטן וימשיכו להישפך‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬משימת יישום פתוחה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :416‬מדידת נפחים ביחידות מידה‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ג' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה לומדים לבצע מדידת נפחים בעזרת‬
‫יחידות מידה‪ .‬חשוב לשוחח עם התלמידים על עקרונות המדידה בעזרת יחידות מידה‪ .‬לדוגמה‪,‬‬
‫מדוע לא בוחרים כדור בתור יחידת נפח? במה עדיף יותר להשתמש כיחידת נפח‪ :‬בקובייה‪ ,‬בתיבה‬
‫או בפירמידה משולשת שכל פאותיה הן משולשים שווי‪-‬צלעות? כאשר משוחחים על התוצאה של‬
‫מדידה של הנפח‪ ,‬כדאי לשאול‪ :‬האם נכון להגיד שנפח הסיר הוא ‪ ?5‬האם יש הבדל בין נפחי‬
‫הגופים אם נפח אחד מהם "‪ 5‬כוסות" והנפח של השני הוא "‪ 5‬כפות"?‬
‫משימה מס' ‪ :8‬לשלושת הגופים אותו הנפח‪ .‬כאן באה לידי ביטוי תכונת הנפח‪ :‬הנפח של הגוף‬
‫שווה לסכום הנפחים של חלקיו‪ ,‬אם אין להם חלק במשותף‪ .‬כלומר אין שום חשיבות לסידור‬
‫החלקים‪ ,‬אלא לכמות שלהם‪.‬‬
‫‪188‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬משימה פתוחה‪ .‬דונו עם התלמידים בהצעות שלהם‪ .‬לדוגמה‪ ,‬מאחורי מגדל א'‬
‫יכולות להיות קוביות שלא נראות לעין‪ .‬כך גם במגדל ב'‪ .‬גם במגדל ג' לא רואים כמה קוביות יש‬
‫באמצע‪ .‬חשוב שמספר הקוביות שיציעו התלמידים לא יהיה קטן ממספר הקוביות הנראות לעין‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬משימה פתוחה‪ .‬המשימה יכולה לשמש תרגול נוסף‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ : 418‬מדידת נפחים ביחידות מידה מוסכמות‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ד' לפני השיעור‪ .‬חשוב לעודד את התלמידים לחזור על ההגדרות‬
‫של מטר מעוקב‪ ,‬סנטימטר מעוקב וכדומה‪ .‬אם התלמידים יפנימו שכל יחידה מוסכמת מוגדרת‬
‫כקובייה‪ ,‬יהיה להם קל יותר בהמשך להבין ולבצע המרות מיחידה ליחידה וכן להבין את הדרכים‬
‫לחישוב הנפחים של גופים שונים‪ .‬חשוב גם להדגיש את ההתאמה בין יחידות נפח‪ ,‬שטח ואורך‬
‫בתוך כדי החישובים‪ .‬כלומר אם אורך נתון בס"מ‪ ,‬ויש לחשב נפח במ"ק‪ ,‬נצטרך להמיר את הס"מ‬
‫למטרים ולחשב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬בדומה לכתוּב בשיעור‪ :‬דצימטר מעוקב הוא נפח קובייה שאורך מקצועה הוא ‪1‬‬
‫דצימטר‪ .‬קילומטר מעוקב הוא נפח קובייה שאורך מקצועה הוא ‪ 1‬קילומטר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬אחד‪ ,‬כי ‪ 1‬ל' שווה ל‪ 1 -‬דצמ"ק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬א( דוגמאות לנימוקים‪ :‬אין מתחשבים באופן הכנסת הקובייה לגוף נתון‪ ,‬כיוון‬
‫שהיא סימטרית‪ .‬כשמכניסים תיבה‪ ,‬יש להתחשב בכך שהאורך‪ ,‬הרוחב והגובה של התיבה יכולים‬
‫להיות באורכים שונים‪ .‬קשה לראות כיצד מצמידים פירמידות משולשות זו לזו‪ .‬ב( שניהם‬
‫סימטריים‪ .‬הכדור הוא גוף "טוב" מאחר שהוא סימטרי‪ ,‬ולא משנה איך מכניסים אותו‪ ,‬אך אי‪-‬‬
‫אפשר להצמיד כדורים זה לזה בלי רווחים‪ .‬ג( כמו ההסבר בסעיף הקודם‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :18-17‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬אמנם אי‪-‬אפשר להכניס קובייה של ‪ 1‬דצמ"ק‪ ,‬אך הנפח אינו משתנה‪ ,‬והוא ‪1‬‬
‫דצמ"ק‪ ,‬שהוא ‪ 1‬ל'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬שאלה פתוחה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬התלמידים כבר יודעים כיצד אפשר לחשב נפח תיבה‪,‬‬
‫ולכן הם יכולים להציע למדוד את שלוש מידות התיבה ולכפול אותן זו בזו‪ .‬התוצאה המתקבלת‬
‫היא נפח התיבה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬שאלה פתוחה‪ :‬מדידות נפחים בעזרת משורה‪ .‬אם לא בניתם משורה לפני‬
‫משימה זו‪ ,‬אפשר לבנות אותה כעת או להשתמש במשורה מוכנה‪ .‬אפשר לבצע משימה זו בבית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬משימת יישום‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ : 421‬חישוב נפח התיבה‬
‫בשיעור זה לומדים דרך לחישוב נפח תיבה‪ ,‬אם אין אפשרות למלא את התיבה בקוביות יחידה‪.‬‬
‫החישוב נעשה בדרך עקיפה‪ :‬מדידת אורכים בלבד‪ .‬כדי לחשב נפח תיבה מספיק לדעת את שלוש‬
‫מידותיה‪ :‬אורך‪ ,‬רוחב )עומק( וגובה‪ .‬בתום השיעור מגיעים לנוסחה של חישוב נפח התיבה לפי‬
‫שלוש מידותיה‪.V = a x b x c :‬‬
‫אמנם בשיעור עוסקים במידות התיבה שמיוצגות על‪-‬ידי מספרים שלמים בלבד‪ ,‬ולא במספרים‬
‫מתחומים אחרים כמו שברים ומספרים עשרוניים‪ ,‬אך אפשר להכליל את הנוסחה על כל‬
‫המספרים הידועים לתלמידים ואף על מספרים ממשיים חיוביים אחרים‪ .‬כמובן‪ ,‬עם תלמידי‬
‫כיתה ו' אין להתעכב על ההוכחות הפורמליות‪ ,‬אלא להראות להם את הדרך ולאחר מכן לחשב לפי‬
‫הנוסחה‪ .‬את ההצדקות הנחוצות לעניין ילמדו התלמידים בכיתות גבוהות יותר‪.‬‬
‫‪189‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬כעת התלמידים מתבקשים לחשב את נפח התיבה של טל בשתי דרכים‪ :‬על‪-‬ידי‬
‫מניית הקוביות שהתיבה מורכבת מהן‪ ,‬ועל‪-‬ידי חישוב לפי הנוסחה‪ .‬דונו עם התלמידים בשאלה‪:‬‬
‫כיצד אפשר לדעת את מידות התיבה‪ ,‬אם נפח כל קובייה הוא ‪ 1‬סמ"ק? לפי הנלמד קודם לכן‪,‬‬
‫אורך כל אחת מצלעות הקובייה הוא ‪ 1‬ס"מ‪ ,‬ולכן אורך התיבה הוא ‪ 4‬ס"מ‪ ,‬רוחבה ‪ 1‬ס"מ וגובהה‬
‫‪ 3‬ס"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬בעיה מחיי היום‪-‬יום‪ .‬דונו עם התלמידים בשאלה מהי צורתו של ארון‪ .‬אם יהיו‬
‫הצעות שונות‪ ,‬הגיעו עם התלמידים למסקנה שצורת הארון בשאלה זו היא תיבה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬אין צורך בהעתקת הטבלה‪ .‬דונו עם התלמידים ביחידות נפח שמתקבלות‬
‫בתשובה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬אם כל המידות הן במטרים‪ ,‬הנפח יחושב במ"ק‪ ,‬ולא בסמ"ק‪ .‬התיבה בסעיף ד'‬
‫היא קובייה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬לקופסת גפרורים צורת תיבה‪ .‬חשוב לחזור עם התלמידים על תכונת שימור‬
‫הנפח‪ .‬אין השפעה של יחידות הנפח על נפח הגוף עצמו )וגם על הקיבולת של כלי קיבול(‪ .‬התשובות‬
‫נראות שונות‪ :‬אם יחידת נפח קטנה יותר‪ ,‬מספר היחידות גדול יותר‪ .‬לדוגמה‪ 1,000 ,‬סמ"ק הם ‪1‬‬
‫דצמ"ק‪ .‬קשר זה יילמד בהמשך הפרק‪ .‬את ההשוואה בין נפח החלק החיצוני של קופסת הגפרורים‬
‫לבין נפח החלק הפנימי שלה אפשר לעשות בצורה ישירה‪ ,‬ואין צורך במדידות‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ : 422‬חישוב נפח של קובייה‬
‫דונו עם התלמידים בהבדלים בין קובייה לתיבה שאינה קובייה‪ ,‬ובכך שקובייה היא מקרה פרטי‬
‫של תיבה‪ ,‬ולכן גם נוסחת נפח הקובייה נובעת מנוסחת נפח התיבה‪ .‬גם נושא זה מוכר לתלמידים‬
‫מלימודים קודמים‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :29 - 28‬בשאלות אלו מתרגלים ניסוחים שונים של משימות בעלות אותו אופי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬השטח של פאת הקובייה ‪ 36‬סמ"ר‪ ,‬לכן אורך מקצועה ‪ 6‬ס"מ‪ .‬כעת אפשר‬
‫למצוא את נפח הקובייה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬תחילה נחשב את נפח הקובייה‪ 27 :‬סמ"ק‪ .‬הגוף מורכב מעשר קוביות כאלה‪ ,‬לכן‬
‫נפחו ‪ 270‬סמ"ק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬נפח קובייה א' הוא ‪ 8‬דצמ"ק‪ .‬נפח קובייה ב' הוא ‪ 216‬דצמ"ק‪ .‬א( נזכיר ש‪1 -‬‬
‫דצמ"ק הוא ‪ 1‬ל'‪ .‬לכן ‪ 8‬ל' של מים ימלאו את קובייה א'‪ ,‬ו‪ 216 -‬ל' מים ימלאו את קובייה ב'‪ .‬ב(‬
‫ההפרש בין הנפחים הוא ‪ 208‬דצמ"ק‪ ,‬שהם ‪ 208‬ל'‪ .‬ג( נפח קובייה ב' גדול פי ‪ 64‬מנפח קובייה א'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬א( לפי תכונות הנפחים )ראו בשיעור הראשון( נפח הקובייה הוא ‪ 12‬סמ"ק‪ .‬ב(‬
‫הבסיס של כל מנסרה הוא משולש ישר‪-‬זווית שווה‪-‬שוקיים‪ ,‬כי פאת הקובייה היא ריבוע‪ .‬ב( אורך‬
‫הגובה של המנסרה שווה לאורך מקצוע הקובייה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ : 423‬חישוב נפח תיבה )המשך(‬
‫בשיעור זה לומדים דרך נוספת לחישוב נפח תיבה על‪-‬ידי כפל של שטח הבסיס בגובה התיבה‪ .‬כל‬
‫פאה בתיבה היא מלבן‪ .‬כל פאה של התיבה יכולה לשמש בסיס התיבה‪ .‬עד כה ביצענו חישובים לפי‬
‫הנוסחה‪ .V = a x b x c :‬את המכפלה אפשר לחשב בשלוש דרכים שונות‪:‬‬
‫‪ .(a x b) x c = (b x c) x a = (a x c) x b‬בכל פעם שטח הבסיס הוא מכפלת שני האורכים‬
‫שבסוגריים‪ .‬לאחר מכן כופלים את שטח הבסיס באורך הגובה‪ ,‬שהוא המקצוע המאונך לבסיס‪.‬‬
‫לעתים קרובות כותבים את הנוסחה כך‪ – V .V = S x h :‬נפח התיבה‪ – S ,‬שטח הבסיס‪- h ,‬‬
‫גובה התיבה )מקצוע מאונך לבסיס ששטחו ‪.(S‬‬
‫משימות מס' ‪ :35-34‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬משימה פתוחה‪ .‬א( דוגמאות לאורכים‪ 6 :‬ס"מ ו‪ 4 -‬ס"מ‪ 1 ,‬ס"מ ו‪ 24 -‬ס"מ‪0.5 ,‬‬
‫ס"מ ו‪ 48 -‬ס"מ‪ .‬ב( ‪ 1‬ס"מ‪ 2 ,‬ס"מ‪ 0.5 ,‬ס"מ‪.‬‬
‫‪190‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬שאלה פתוחה‪ .‬למשימה זו צריך להצטייד בחבילת דפי ‪ .A4‬מחשבים את שטח‬
‫הדף‪ 623.7 :‬סמ"ר‪ .‬מודדים בסרגל את גובה החבילה‪ .‬מחלקים ב‪ 500 -‬את אורך הגובה שהתקבל‪.‬‬
‫זהו גובה של דף אחד‪ .‬את שטח הדף כופלים באורך גובהו‪ ,‬ומקבלים את נפח הדף‪.‬‬
‫הערה‪ :‬דף נייר ‪ A4‬רגיל הוא דק מאוד‪ ,‬ולכן חושבים בטעות שאין לו נפח‪.‬‬
‫ליתר ביטחון מומלץ לחשב את ממוצע הגבהים ואת ממוצע הנפחים שקיבלו התלמידים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :39‬משימת יישום בהקשר יום‪-‬יומי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬משימה פתוחה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬שאלה מחיי היום‪-‬יום‪ .‬תחילה מחשבים את הנפח של כל תיבה ולאחר מכן‬
‫מחברים את הנפחים של ארבע התיבות‪ .‬הדריכו את התלמידים לרשום את האורכים באותן‬
‫יחידות אורך )לדוגמה‪ ,‬כולן במטרים(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬השאלות בטבלה הן לסיכום הנושא "חישובי נפחים של תיבות ושל קוביות"‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :425‬שטח הפנים של התיבה‬
‫בעיקרון‪ ,‬חישוב שטח הפנים של תיבה קשור ללימוד השטחים‪ ,‬אך יש לחישוב זה משמעות רק‬
‫בחישוב של נפח‪ ,‬לכן הוא מופיע בפרק לפי תכנית הלימודים‪ .‬יש לציין ששטח הפנים אינו תלוי‬
‫בצורה של הפריסה‪ ,‬ולשלושת הממדים של התיבה יש אותו "מעמד"‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :44 -43‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :45‬מטרת התרגיל היא להראות שכאשר לקובייה ולתיבה יש נפח שווה‪ ,‬שטחי‬
‫הפנים שונים‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ 47-46‬חשוב לציין ששטח הפנים של התיבה שונה מהסכום של שטחי הפנים של כל‬
‫הקוביות המרכיבות אותה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :48‬כמו במשימות הקודמות גם במשימה זו מוודאים התלמידים שנפח התיבה נשמר‬
‫אם מחלקים אותו לחלקים‪ :‬נפח הגוף שווה לסכום הנפחים של חלקיו‪ .‬לעומת זאת לשטח הפנים‬
‫של התיבה אין התכונה הזו‪ :‬שטח הפנים של התיבה שונה מסכום שטחי הפנים של חלקיה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :49‬לתיבה ולקובייה הנתונות נפח שווה‪ ,‬אך שטחי הפנים שונים‪.‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪427‬‬
‫עמוד זה מהווה סיכום של כל המושגים שנלמדו בפרק‪ :‬לכל גוף יש נפח‪ ,‬מבחינים בין גופים לבין‬
‫כלי קיבול‪ ,‬נפח הוא מידה‪ ,‬מודדים נפחים ביחידות מידה שרירותיות או ביחידות מידה מוסכמות‪,‬‬
‫מגדירים יחידת נפח כקובייה שאורך מקצועה הוא יחידת אורך מתאימה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :50‬משימת סיכום‪ .‬על התלמידים לחשב את הנפח ואת שטח הפנים של התיבה ואת‬
‫שטח הפנים של הקובייה‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמ' ‪428‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת יישום פתוחה‪ .‬ב( כן‪ .‬ג( נפח השפופרת גדול יותר‪ ,‬כי היא מכילה את‬
‫המשחה )השוואה ישירה(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימת בנייה מ‪ 16 -‬קוביות זהות‪ .‬התלמידים יכולים לבנות גופים שונים ממספר‬
‫קוביות שונה‪.‬‬
‫‪191‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬התלמידים נדרשים למצוא את הנפח של כל תיבה‪ .‬גם כאשר התיבות מוסתרות‬
‫חלקית‪ ,‬אפשר לחשב בדיוק את מספר הקוביות המרכיבות אותן‪.‬‬
‫נפח תיבה א' הוא ‪ 5‬סמ"ק‪ ,‬נפח תיבה ב' הוא ‪ 8‬סמ"ק‪ ,‬נפח תיבה ג' הוא ‪ 8‬סמ"ק‪ ,‬נפח תיבה ד הוא‬
‫‪ 30‬סמ"ק‪ ,‬נפח תיבה ה הוא ‪ 32‬סמ"ק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬חישוב של נפח קובייה‪.‬‬
‫א( נפח הקובייה שאורך מקצועה ‪ 4‬ס"מ‪ ,‬הוא ‪ 64‬סמ"ק‪.‬‬
‫ב( נפח קובייה שאורך מקצועה הוא ‪ 2.5‬ס"מ‪ ,‬הוא ‪ 15.625‬סמ"ק‪.‬‬
‫ג( נפח של קובייה שאורך מקצועה הוא ‪ 1.6‬ס"מ‪ ,‬הוא ‪ 4.096‬סמ"ק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬נפח הקובייה שאורך צלעה )מקצועה( ‪ 2‬ס"מ‪ ,‬הוא ‪ 8‬סמ"ק‪ ,‬לכן נפח ‪ 15‬קוביות‬
‫כאלה הוא ‪ 120‬סמ"ק‪ .‬כמובן‪ ,‬כל הקוביות לא ייכנסו לתוך התיבה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬אורך כפול רוחב שווה לשטח בסיס התיבה )שטח הרצפה(‪ ,‬שהוא ‪ 24‬מ"ר‪ .‬גובה‬
‫החדר )מהרצפה לתקרה( שווה לשלושה מטרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬צריך למצוא מספר שמכפלתו בעצמו שלוש פעמים היא ‪ .64‬אפשר לבצע ניסוי‬
‫וטעייה‪ .‬התשובה‪ :‬ארבעה מטרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬א( שטח הבסיס הוא ‪ 5‬סמ"ר‪ .‬ב ( שטח הבסיס הוא ‪ 4‬מ"ק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימה זו עוסקת בתכונה חשובה של הנפחים‪ :‬שימור הנפח‪ .‬מאותה "כמות" של‬
‫החומר מתקבלים גופים שונים‪ ,‬ולכולם אותו נפח‪ .‬כלומר החומר אינו "נעלם" בדרך העשייה ולא‬
‫מתווסף‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬התלמידים נדרשים לחשב את נפח התיבה הנתונה ואת שטח הפנים שלה‪ .‬א(‬
‫נפח התיבה הוא ‪ 24‬סמ"ק‪4 × 3 × 2 = 24 :‬‬
‫ב( שטח הפנים של התיבה הוא סכום שטחי הפאות של התיבה‪ .‬בתיבה יש שלושה זוגות של‬
‫שטחים חופפים‪ .‬שטח הפנים של התיבה הוא ‪ 52‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪2 × 4 × 3 + 2 × 3 × 2 + 2 × 4 × 2 = 24 + 12 + 16 = 52‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬א( נפח התיבה הוא ‪ 8‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪2 × 1 × 4 + 2 × 2 × 4 + 2 × 1 × 2 = 8 + 16 + 4 = 28‬‬
‫ב( שטח הפנים של התיבה הוא ‪ 28‬סמ"ר‪.‬‬
‫שאלות מילוליות ‪ ,‬עמוד ‪430‬‬
‫בעמוד זה מובאות שאלות מילוליות הקשורות לנושא הנלמד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬דוגמאות למידות התיבה‪ 10 (1 :‬ס"מ × ‪ 10‬ס"מ × ‪ 10‬ס"מ‪ ,‬ולכן זוהי קובייה;‬
‫‪ 25 (2‬ס"מ × ‪ 20‬ס"מ × ‪ 2‬ס"מ‪ .‬מעניין לשוחח עם התלמידים על כך שבעצם נפח התיבה הוא ‪1‬‬
‫ליטר‪ ,‬וזוהי קופסה רגילה של מיץ קרטון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬נפח הגוף‪ 1,125 :‬ממ"ק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬א( דוגמאות‪ :‬באמצע‪ ,‬במקביל לפאות הנגדיות‪ ,‬או לפי האלכסון של פאה אחת‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫ב( דוגמה מובאת בסרטוט‪:‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬נפח לבנה הוא ‪ 1,950,000‬ממ"ק או ‪ 1,950‬סמ"ק‪ .‬נפח כל הלבנים ‪ 3.9‬ממ"ק או‬
‫‪ 3,900,000‬סמ"ק‪ .‬משאית הביאה ‪ 2,000‬לבנים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬נפח התעלה ‪ 324‬מ"ק )בהנחה שצורתה תיבה(‪ .‬תשובה‪ 810 :‬פעמים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬אורך צלע של קובייה שנפחה ‪ 8‬סמ"ק הוא שני סנטימטרים‪.‬‬
‫‪192‬‬
‫משימה מס' ‪ 3 :7‬מ"ק הם ‪ 3,000‬ליטר‪.‬‬
‫יישומי אמנות‪ ,‬עמוד ‪431‬‬
‫התלמידים לומדים על יצירות של הצייר המפורסם מהמאה ה‪ ,20 -‬ויקטור וסרלי‪.‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪432‬‬
‫בעמוד זה מובאות משימות אתגר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬בקופסה יש ‪ 31‬תיבות‪.‬‬
‫דרך חישוב התיבות‪4 × 3 + 2 × 3 + 3 × 2 + 3 + 2 × 2 = 12 + 6 + 6 + 3 + 4 = 31 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬הדגם מורכב מ‪ 23 -‬תיבות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬נפח בול העץ הנתון הוא ‪ 6,000‬סמ"ק‪.( 10 × 30 × 20 = 6000 ) .‬‬
‫איתן חתך קובייה שנפחה הוא ‪ 500‬סמ"ק‪( 5 × 10 × 10 = 500 ) .‬‬
‫נפח בול העץ שנותר הוא ‪ 5,500‬סמ"ק‪.( 6000 − 500 = 5500 ) .‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬אורך התיבה ‪ 12‬דצ"מ‪ ,‬רוחבה ‪ 7‬דצ"מ וגובהה ‪ 3‬דצ"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬נפח הקובייה שווה ל‪ 343 -‬סמ"ק‪ .‬אורך המקצוע של הקובייה ‪ 7‬ס"מ‪.‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪433‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על נושאים שנלמדו בשנים הקודמות‪ :‬כתיבת מספרים גדולים במילים‬
‫ובספרות‪ ,‬המרת שבר למספר עשרוני ולהפך‪ ,‬השוואה בין מספרים עשרוניים‪ ,‬מספרים על ציר‬
‫המספרים‪ ,‬ארבע פעולות חשבון בתחום המספרים הטבעיים‪.‬‬
‫‪193‬‬
‫עמודים ‪455 - 434‬‬
‫יח‪ .‬יחס )המשך(‬
‫רקע‬
‫פרק זה הוא הפרק השני העוסק בנושא יחס‪ .‬בפרק הקודם )י"ג( למדו התלמידים על המושג יחס‪,‬‬
‫אחד המושגים הבסיסיים במתמטיקה‪ .‬עד כה התלמידים הכירו את היחס כדרך להשוואה בין שני‬
‫גדלים )מספרים או כמויות( על‪-‬פי מנתם‪ ,‬הם למדו להתאים יחס לגדלים הנתונים‪ ,‬לכתוב אותו‬
‫בצורות שונות )כשבר או בעזרת נקודתיים(‪ ,‬להשוות בין הגדלים )מספרים או כמויות( בלי לדעת‬
‫את ערכם‪ ,‬להתאים גדלים שונים ליחס נתון‪ ,‬להבדיל בין יחסים שווים לבין יחסים לא‪-‬שווים ואף‬
‫הנוכחי הוא יישומי‪ ,‬ובו‬
‫ְ‬
‫למדו להשתמש בטבלה ככלי עזר למציאת יחסים שווים‪ .‬הפרק‬
‫התלמידים לומדים לחלק כמויות לחלקים לאו דווקא שווים לפי יחס נתון ולמצוא על‪-‬פי יחס נתון‬
‫יחסים אחרים‪ .‬לדוגמה‪ ,‬כשנתון יחס ‪ 5 :7‬בין גודל אחד לגודל אחר‪ ,‬אפשר להסיק שהיחס בין‬
‫הגודל השני לגודל הראשון הוא ‪ , 7 :5‬והיחס בין כל אחד מהגדלים לכמות כוללת הוא ‪ 5 : 12‬ו‪-‬‬
‫‪. 7 : 12‬‬
‫כמו בפרק הקודם על היחס‪ ,‬בפרק הנוכחי מיישמים נושאים שנלמדו בעבר‪ :‬צמצום והרחבה של‬
‫שברים‪ ,‬כפל וחילוק של מספרים שלמים ושל שברים ומציאת חלק של כמות‪ .‬לאורך כל הפרק‬
‫מקשרים בין נושאים אלה באמצעות המושג יחס‪ ,‬וכך התלמידים מעמיקים את הידע שלהם‬
‫ומגיעים להבנה מספרית עמוקה‪.‬‬
‫בפרק זה מוצג לתלמידים מגוון עשיר של שאלות מילוליות‪:‬‬
‫• שאלות שבהן היחס נתון‪ ,‬ועל‪-‬פיו יש לחלק את הכמות הנתונה;‬
‫• שאלות פתוחות שבהן על התלמידים להציע הצעות שונות לכמויות אפשריות על‪-‬פי יחס נתון‬
‫ולהפך;‬
‫מבוטא בפירוש‪ ,‬ועל התלמידים לחשב תחילה את‬
‫ָ‬
‫• בעיות מורכבות יותר שבהן היחס אינו‬
‫היחס על‪-‬פי הגדלים הנתונים ולאחר מכן לחלק באמצעותו את הכמות;‬
‫• שאלות שבהן היחס בין הכמויות שיש למצוא הוא יחס ישר‪.‬‬
‫התלמידים עשויים להיתקל בבעיות אורייניות של זיהוי הכמויות שביניהן מחושב היחס‪ ,‬ושל‬
‫זיהוי הכמות הכוללת שעליהם לחלק לפי היחס הנתון או המחושב‪.‬‬
‫בעיות הקשורות ליחס מתאפיינות בריבוי דרכים לפתור אותן‪ ,‬החל במוחשי ביותר‬
‫והאינטואיטיבי ביותר בעזרת אמצעי המחשה )לדוגמה‪ ,‬בעזרת חפצים בצבעים שונים( וכלה‬
‫במופשט ביותר כמו שימוש בנוסחאות‪ ,‬בטבלאות ובשלבים‪.‬‬
‫כדי לעזור לתלמידים להתמודד עם הסוגים השונים של בעיות יחס מוצגות להם דרכים שונות‬
‫לחלוקת כמות נתונה לפי יחס נתון‪:‬‬
‫• באמצעות טבלה ‪ -‬בכל שלב )בכל שורה( רושמים את המספרים המתאימים ליחס נתון‪ ,‬עד‬
‫אשר מגיעים לחלוקה הרצויה‪.‬‬
‫• באמצעות חלוקה לקבוצות שוות כשבכל קבוצה היחס בין המרכיבים שווה ליחס הנתון ‪-‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬היחס בין בנים לבנות בכיתה הוא ‪ , 2 :3‬פירושו שאפשר לחלק את כל תלמידי הכיתה‬
‫לקבוצות‪ ,‬כך שבכל קבוצה ‪ 5‬תלמידים )שני בנים ושלוש בנות(‪ .‬אם בכיתה יש ‪ 30‬תלמידים‪,‬‬
‫יהיו ‪ 6‬קבוצות כאלו‪.‬‬
‫• באמצעות חלוקה לקבוצות שוות כאשר מספר הקבוצות הוא לפי היחס הנתון ‪ -‬לדוגמה‪ ,‬אם‬
‫בכיתה יש ‪ 30‬תלמידים והיחס בין מספר הבנים למספר הבנות הוא ‪ , 2 :3‬אפשר לפרש את‬
‫הנתונים כך‪ :‬נוכל לחלק את כל תלמידי הכיתה ל‪ 5 -‬קבוצות שוות של ‪ 6‬תלמידים בכל אחת‪,‬‬
‫‪ 2‬קבוצות כאלו הן של בנים בלבד‪ ,‬ו‪ 3 -‬קבוצות הן של בנות בלבד )היחס בין מספר הקבוצות‬
‫הוא ‪.( 2 :3‬‬
‫• באמצעות מציאת ערך החלק ‪ -‬דרך זו שונה משלוש הדרכים שלעיל כיוון שכעת נעזרים ביחס‬
‫שבין הכמות החלקית לכמות הכוללת‪ ,‬ומגיעים ליחס זה מהיחס הנתון בין הכמויות‬
‫החלקיות‪ ,‬ואחר‪-‬כך מחשבים את ערך החלק‪ .‬לדוגמה‪ ,‬בכיתה ‪ 30‬תלמידים‪ ,‬והיחס בין מספר‬
‫הבנים למספר הבנות הוא ‪ . 2 :3‬מהיחס הנתון מסיקים כמה עובדות חשובות‪ :‬א( ‪ 2 :3‬הוא‬
‫היחס בין הכמויות החלקיות‪ .‬ב( הכמות הכוללת חולקה ל‪ 5 -‬חלקים שווים‪ .‬ג( היחס בין כל‬
‫אחת מהכמויות החלקיות לכמות הכוללת הוא ‪) 2 :5‬בנים לכל התלמידים( ו‪) 3 :5 -‬בנות לכל‬
‫התלמידים(‪ .‬על‪-‬סמך המסקנות הללו מסיקים שמספר הבנים הוא שתי חמישיות מ‪,(12) 30 -‬‬
‫ומספר הבנות הוא שלוש חמישיות מ‪.(18) 30 -‬‬
‫‪194‬‬
‫כמו‪-‬כן לומדים לחלק את הכמות הנתונה לשלושה חלקים בלתי‪-‬שווים )ואף יותר( לפי היחס‬
‫הנתון‪ .‬בדרך כלל במקרה כזה היחס נתון בצורה של ‪ , a : b :c‬לדוגמה ‪. 1 :2 :3‬‬
‫נוסף על חלוקת כמות לפי יחס נתון‪ ,‬התלמידים לומדים את המושג יחס ישר‪ .‬אומרים ששני‬
‫גדל פי אותו מספר‪.‬‬
‫גדלים הם ביחס ישר אם כאשר מגדילים אחד מהם פי מספר‪ ,‬גם השני ֵ‬
‫במילים אחרות‪ ,‬היחס בין הערכים המתאימים של שני הגדלים הוא יחס קבוע‪ .‬דוגמאות קלסיות‬
‫לגדלים שהם ביחס ישר‪ :‬דרך וזמן כאשר המהירות קבועה; משקל ומחיר כאשר המחיר ליחידת‬
‫המשקל קבוע; עבודה וזמן כאשר ההספק הוא קבוּע‪ ,‬וכדומה‪.‬‬
‫כפי שנאמר ברקע לפרק י"ג‪ ,‬פרק זה מתאים לתכנית הלימודים‪.‬‬
‫מומלץ להקדיש לפרק ‪ 6‬שעות לימוד‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬לחלק כמות נתונה לחלקים בלתי‪-‬שווים לפי יחס נתון בדרכים שונות )בעזרת טבלה‪,‬‬
‫בעזרת חלוקה לקבוצות ובעזרת מציאת החלק(;‬
‫ב‪ .‬לזהות את הגדלים )כמויות( שהיחס מחושב ביניהם;‬
‫ג‪ .‬לזהות את הכמות הכוללת )הכמות היסודית( שמחלקים לפי היחס;‬
‫ד‪ .‬לזהות יחס ישר במקרים פשוטים כאשר נתונים ערכים שונים של שני גדלים;‬
‫ה‪ .‬לחלק כמות נתונה לשלושה חלקים לפי יחס נתון בין שלושה גדלים‪.‬‬
‫מושגים‬
‫יחס‪ ,‬חילוק‪ ,‬שבר "פשוט"‪ ,‬צמצום שברים‪ ,‬הרחבת שברים‪ ,‬קבוצות שוות‪ ,‬קבוצות בלתי שוות‪,‬‬
‫כפל שברים‪ ,‬יחס מצומצם‪ ,‬חלוקה לחלקים לאו דווקא שווים‪ ,‬ערך החלק )ערך השבר(‪ ,‬כמות‬
‫יסודית‪ ,‬יחס ישר‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫עיגולי מנייה או ריבועי מנייה‪ ,‬צורות פלא‪ ,‬לוח מחיק‪ ,‬עיגולים צבעוניים )או דסקיות(‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על כללי הכתיבה והקריאה של יחס‪.‬‬
‫מציירים על הלוח שני עיגולים אדומים ושלושה עיגולים כחולים‪ .‬שואלים את התלמידים מה‬
‫היחס בין העיגולים האדומים לעיגולים הכחולים‪ .‬התלמידים כותבים את היחס על הלוח המחיק‪.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים לחזור ולומר את היחס בקול רם‪" :‬היחס בין מספר העיגולים האדומים‬
‫למספר העיגולים הכחולים הוא ‪ 2‬ל‪ ".3 -‬חוזרים על הפעילות במספרים אחרים‪.‬‬
‫מטרת הפעילות היא לחזור עם התלמידים על כתיבה ועל קריאה נכונות של יחס‪.‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על צמצום ועל הרחבה של יחסים )יחסים שווים(‪.‬‬
‫רושמים על הלוח יחס‪ ,‬לדוגמה ‪ . 12 :36‬מבקשים מהתלמידים לבטא את היחס בדרכים שונות‪.‬‬
‫התלמידים אמורים להציג את היחסים בעזרת צמצום והרחבה של היחס הנתון‪.‬‬
‫אם התלמידים מצמצמים בלבד‪ ,‬חשוב לעודד אותם להשתמש גם בהרחבה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חזרה על מציאת יחסים שווים בעזרת טבלה‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים לפתור בעיה בעזרת טבלה‪ :‬כאשר מכינים פודינג שוקולד‪ ,‬מוסיפים לכל‬
‫כוס חלב ‪ 4‬כפות אבקת פודינג‪ .‬כמה כפות אבקה יש להוסיף ל‪ 2 -‬כוסות חלב כדי לקבל אותו טעם‬
‫של פודינג? ל‪ 3 -‬כוסות חלב? ל‪ 4 -‬כוסות חלב?‬
‫התלמידים יכולים למלא את הטבלה בעזרת ציורים מתאימים )לדוגמה‪ ,‬עיגולים אדומים מייצגים‬
‫את כוסות החלב‪ ,‬ועיגולים כחולים מייצגים את כוסות האבקה(‪ .‬אפשרות אחרת למילוי הטבלה‬
‫היא לכתוב בה מספרים מתאימים‪.‬‬
‫‪195‬‬
‫דנים במשמעות יחס קבוע בבעיות מסוג זה )מתכון(‪ :‬אם שומרים על יחס קבוע בין מרכיבי‬
‫המתכון‪ ,‬יישמרו גם הטעם‪ ,‬המתיקות וכדומה‪ .‬אם לא שומרים על היחס בין המרכיבים‪ ,‬לא‬
‫יתקבל הפודינג המתואר במתכון‪.‬‬
‫דנים בייצוגים שהתלמידים מציעים‪.‬‬
‫ד‪ .‬חזרה על מציאת ערך החלק‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים לענות על השאלה‪ :‬בכיתה ‪ 30‬תלמידים‪ ,‬שליש מהתלמידים הם בנות‪ .‬כמה‬
‫בנות בכיתה? כמה בנים בכיתה? מה היחס בין הבנות לבנים? דנים עם התלמידים בדרכי פתרון‪.‬‬
‫ה‪ .‬חזרה על כפל שבר בשלם‪.‬‬
‫על הלוח כתובים שברים ומספר שלם‪ .‬התלמידים מתבקשים לכפול כל שבר בשלם הנתון‪.‬‬
‫‪4 3 2 1‬‬
‫דוגמאות‪ :‬שברים‪ ; , , , :‬מספר שלם‪.45 :‬‬
‫‪5 5 5 5‬‬
‫כדאי לבחור כמספר שלם את הכפולה של מכנה השבר‪ ,‬כי כפל כזה מבצעים כאשר מוצאים חלק‬
‫של כמות‪.‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬חלוקה לפי יחס נתון‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים למצוא בעזרת דסקיות מנייה כמה בנים וכמה בנות יש בכיתה‪ ,‬כאשר נתון‬
‫המספר הכולל של התלמידים‪ ,‬והיחס בין מספר הבנים למספר הבנות הוא ‪ . 2 :3‬מבצעים משימה‬
‫זו עם מספר תלמידים שונה‪ .‬דוגמאות למספר הכולל של התלמידים בכיתה‪ 5 :‬תלמידים‪,15 ,10 ,‬‬
‫‪ 25 ,20‬או ‪) 30‬המספר הכולל הוא כפולה של סכום מרכיבי היחס(‪.‬‬
‫מציגים על הלוח את דרכי הפתרון של התלמידים‪ ,‬ודנים בהן‪.‬‬
‫פעילות ב‪ :‬שימוש בטבלה לחלוקה לפי יחס נתון‪ .‬התלמידים מתבקשים לסרטט טבלה על הלוח‬
‫המחיק ולייצג את פעילות א' בטבלה‪.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬סידור שני סוגים של חפצים בקבוצות באופנים שונים‪ ,‬כאשר ביניהם יחס נתון‪.‬‬
‫עובדים בקבוצות‪ :‬על כל שולחן ‪ 5‬משושים ו‪ 15 -‬מעוינים או ‪ 10‬משולשים ו‪ 30-‬טרפזים או כל‬
‫סידור אחר של שני סוגי חפצים )השונים בצבע או בצורה(‪ .‬לפני כל פעולה נציג של כל קבוצה‬
‫מתבקש לתאר את החפצים ואת כמותם‪ .‬רושמים את התיאורים על הלוח‪ .‬התלמידים מתבקשים‬
‫לגלות מה משותף לקבוצות החפצים המונחים על כל שולחן )היחס(‪ .‬מבקשים מהתלמידים לסדר‬
‫את החפצים בקבוצות כרצונם‪ ,‬כך שיישמר היחס‪ .‬על התלמידים לתאר בדיון את הקבוצות‬
‫)מספר קבוצות‪ ,‬הרכב כל קבוצה(‪.‬‬
‫רושמים על הלוח את הדרכים להרכבת הקבוצות ואת הכללים‪.‬‬
‫פעילות ד‪ :‬דרכים שונות לחלוקה לפי יחס נתון‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים לחשב בעזרת עיגולי מנייה את מספר הבנים ואת מספר הבנות בכיתה לפי‬
‫הנתונים האלה‪ :‬היחס בין הבנים לבנות הוא ‪ , 4 :3‬ובכיתה ‪ 35‬תלמידים‪ .‬דנים במליאה בדרכים‬
‫שונות לפתרון‪ .‬הערה‪ :‬אם אף אחד מהתלמידים אינו מציע חלוקה למספר קבוצות שוות לפי‬
‫היחס הנתון )במקרה שלנו יש ‪ 7‬קבוצות(‪ ,‬מעודדים את התלמידים לפתור את הבעיה בדרך זו‬
‫בתוספת אילוץ‪ :‬בכל קבוצה יש רק בנים או רק בנות‪.‬‬
‫פעילות זו חשובה כהכנה לדרך של חלוקת כמות בעזרת מציאת ערך החלק‪.‬‬
‫פעילות ה‪ :‬חלוקה לפי יחס נתון בעזרת מציאת ערך החלק‪ .‬התלמידים מתבקשים להציע דרך‬
‫לחישוב הפעילות הקודמת ללא ייצוג‪.‬‬
‫פעילות ו‪ :‬חלוקה לחלקים לא שווים כאשר היחס אינו נתון בפירוש‪.‬‬
‫סבא רוצה לחלק ‪ 60‬בולים בין נכדיו יוני ועידן‪ ,‬בהתאם לגיל שלהם‪ .‬התלמידים מתבקשים להציע‬
‫לסבא דרך הוגנת לחלק את הבולים )בעזרת עיגולי מנייה(‪.‬‬
‫יוני בן ‪ 5‬ועידן בן ‪.10‬‬
‫פעילות ז‪ :‬חלוקה ליותר משני חלקים‪.‬‬
‫מציירים על הלוח סדרה של חרוזים אדומים‪ ,‬כחולים וירוקים על‪-‬פי היחס ‪. 1 : 2 : 3‬‬
‫מבקשים מהתלמידים לחשב כמה חרוזים מכל צבע צריך להכין למחרוזת שיש בה ‪ 48‬חרוזים‪.‬‬
‫‪196‬‬
‫דנים בדרכים שהציעו התלמידים‪.‬‬
‫פעילות ח‪ :‬יחס ישר‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים לעזור לאופה להכין מצרכים לעוגה‪:‬‬
‫היחס בין מספר כוסות הקמח למספר הביצים צריך להיות ‪. 2 :3‬‬
‫התלמידים ינסו למצוא כמה ביצים צריך האופה כדי להכין עוגה שיש בה ‪ 6‬כוסות קמח‪.‬‬
‫התלמידים ייצגו את תשובותיהם בעזרת טבלה או בעזרת חומרי המחשה‪.‬‬
‫הספר לתלמיד‬
‫הערה כללית‪ :‬פרק זה הוא המשך לפרק י"ג‪ ,‬לכן לא מופיעים בו דפי "לעלות על הגל"‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ : 434‬חלוקה לפי יחס נתון‪ :‬שימוש בטבלה‬
‫בשיעור זה התלמידים לומדים לחלק כמות לפי יחס נתון באמצעות שלבים הרשומים בשורות‬
‫הטבלה‪ .‬בכל שלב רושמים את מספר הבנים‪ ,‬את מספר הבנות ואת סכום המספרים‪ ,‬עד שבשלב‬
‫האחרון של הטבלה מגיעים לכמות הנתונה ולחלוקה הרצויה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת יישום‪ 21 .‬תינוקות ו‪ 6-‬אנשי צוות‪.‬‬
‫מבוטא בפירוש‪ ,‬ולכן בהתחלה יש לכתוב את הנתונים‬
‫ָ‬
‫משימה מס' ‪ :2‬במשימה זו היחס אינו‬
‫כיחס )‪ 16 .(4:2‬תמרים ו‪ 8-‬אגוזים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימת יישום בעזרת "צורות פלא"‪ .‬מומלץ שאמצעי המחשה זה יימצא בכיתה‪.‬‬
‫התלמידים יכולים לפתור את הבעיה בעזרתו ולרשום את התוצאה בטבלה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימה פתוחה‪ .‬היחס נתון‪ ,‬אך הכמות אינה נתונה‪.‬‬
‫א(דוגמה‪ 6 :‬בנים ‪ 10 ,‬בנות‪.‬‬
‫ב( לא‪ .‬המספר הכולל צריך להיות כפולה של ‪.8‬‬
‫ג( כן‪ .‬מספר הבנים ‪.3‬‬
‫ד( כן‪ .‬מספר הבנות ‪.5‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬משימה פתוחה‪ .‬הכמות נתונה‪ ,‬אך היחס אינו נתון‪.‬‬
‫א( דוגמאות‪ 1 :‬פרה‪ 13 ,‬סוסים; ‪ 7‬פרות‪ 7 ,‬סוסים‪.‬‬
‫ב( דוגמה‪ 2 :‬פרות‪ 12 ,‬סוסים‪.‬‬
‫ג( לא‪ .‬במקרה זה המספר הכולל היה צריך להיות כפולה של ‪.8‬‬
‫מבוטא בפירוש‪ ,‬ועל התלמידים לזהותו תחילה‪.‬‬
‫ָ‬
‫משימה מס' ‪ 6‬במשימה זו היחס אינו‬
‫ב( השלמת הטבלה בשלבים )‪ (... 3-6 ; 2-4 ; 1-2‬ג( ‪ 14‬עפרונות‪ 7 ,‬עטים‬
‫א( ‪2:1‬‬
‫חבילות‬
‫ד( ‪7‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬הכנה לשיעור הבא‪ .‬על התלמידים לזהות את נתוני הבעיה מתוך הטבלה‪.‬‬
‫מבוטא‬
‫ָ‬
‫משימה מס' ‪ :8‬משימה מורכבת‪ .‬היחס ‪ 3:10‬בין מספר הכבשים למספר התרנגולות אינו‬
‫בפירוש‪ .‬כמו‪-‬כן יש להיעזר בטבלה כדי לחשב את כמות הכבשים ואת כמות התרנגולים‪ .‬א(‬
‫תשובה‪ 9 :‬כבשים ו‪ 30 -‬תרנגולות‪ .‬ב( היחס בין מספר התרנגולות למספר הכבשים הוא ‪.10:3‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ : 437‬חלוקה לפי יחס נתון‪ :‬חלוקה לקבוצות‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ג'‪ .‬התלמידים לומדים לחלק כמות בעזרת חלוקה לקבוצות‪,‬‬
‫כאשר הרכב כל קבוצה הוא על‪-‬פי היחס הנתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימת יישום‪.‬‬
‫א( ‪ 8‬תלמידים בכל קבוצה ‪ .‬בכל קבוצה ‪ 5‬בנות ו‪ 3 -‬בנים‪ 4 .‬קבוצות‪.‬‬
‫ב( ‪ 20‬בנות ו‪ 12-‬בנים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬משימת יישום‪ .‬תשובה‪ 24 :‬כוכבים ו‪ 18 -‬לבבות‪.‬‬
‫‪197‬‬
‫מבוטא בפירוש‪ ,‬ועל התלמידים לזהותו בציור‪ .‬היחס בין מספר‬
‫ָ‬
‫משימה מס' ‪ :11‬היחס אינו‬
‫החתולים למספר הכלבים הוא ‪ . 5 :4‬ב( ‪ 3‬קבוצות‪.‬‬
‫מבוטא בפירוש‪ ,‬ועל התלמידים לזהותו בבעיה‪.‬‬
‫ָ‬
‫משימה מס' ‪ :12‬היחס אינו‬
‫היחס בין מספר הכובעים למספר הפריטים הוא ‪.1:3‬‬
‫היחס בין מספר הכובעים למספר הצעיפים הוא ‪ .1:2‬יש ‪ 6‬כובעים ו‪ 12-‬צעיפים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬התלמידים יכולים לפתור את הבעיה בכל דרך שהיא‪ .‬תשובה‪ 10 :‬בנות ו‪15-‬‬
‫בנים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬במשימה זו התלמידים יכולים למצוא את הפתרון בכל דרך אפשרית‪ .‬אם היחס‬
‫בין מספר הטושים האדומים למספר הטושים הירוקים הוא ‪ ,2:1‬אפשר לחלק את ‪ 24‬הטושים ל‪-‬‬
‫‪ 3‬קבוצות‪ .‬בקלמר יש ‪ 16‬טושים אדומים ו‪ 8 -‬טושים ירוקים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ : 439‬חלוקה לפי יחס נתון )המשך(‬
‫בשיעור זה התלמידים לומדים לחלק כמות בעזרת חלוקה לקבוצות‪ ,‬שבהן כל האיברים מאותו‬
‫הסוג‪ .‬מספר הקבוצות וסכום מרכיבי היחס נקבעים לפי היחס הנתון‪ .‬אם היחס בין מספר הבנים‬
‫למספר הבנות הוא ‪ ,2:3‬מספר הקבוצות הוא ‪ ,5‬ויש ‪ 2‬קבוצות של בנים ו‪ 3-‬קבוצות של בנות‪.‬‬
‫כדי לדעת מה גודלה של כל קבוצה‪ ,‬יש לחלק את הכמות במספר הקבוצות )סך כל מרכיבי היחס(‪.‬‬
‫בדוגמה יש שתי קבוצות ובכל קבוצה ‪ 6‬איברים מאותו סוג‪.‬‬
‫הערה ‪ :‬בשלב זה של הלמידה מסתפקים בחלוקה לפי יחס נתון כאשר היחס הוא יחס מצומצם‪.‬‬
‫אך אם יש תלמידים הטוענים כי ייתכנו ‪ 10‬קבוצות )‪ 4‬קבוצות של בנים ו‪ 6 -‬קבוצות של בנות(‪,‬‬
‫ובכל קבוצה ‪ 3‬איברים‪ ,‬יש לעודד אותם לתת הסבר )היחס ‪ 4:6‬שווה ליחס ‪. (2:3‬‬
‫הסבר זה הוא הסבר אינטואיטיבי לדרך המתמטית שתוצג בהמשך‪ :‬חלוקה באמצעות מציאת ערך‬
‫הכמות‪.‬‬
‫משימת מס' ‪ :15‬משימת יישום‪ .‬היחס בין מספר הבנות למספר הבנים הוא ‪ .3:5‬כלומר כנגד ‪5‬‬
‫בנים יש ‪ 3‬בנות‪ .‬אפשר לחלק את הכיתה ל‪ 3 -‬קבוצות של בנות בלבד ול‪ 5-‬קבוצות של בנים בלבד‬
‫)‪ 8‬קבוצות של ‪ 5‬תלמידים בכל קבוצה(‪ .‬תשובה‪ 25 :‬בנים ו‪ 15-‬בנות‪.‬‬
‫מּדבּקות ירוקות‪.‬‬
‫דבּקות ורודות ו‪ָ 16-‬‬
‫משימת מס' ‪ :16‬משימת יישום‪ .‬תשובה‪ִ 12 :‬מ ָ‬
‫משימה מס' ‪ :17‬אם היחס בין מספר המכוניות הקטנות לבין מספר המכוניות הגדולות הוא ‪,3:2‬‬
‫בארגז יש יותר מכוניות קטנות‪ .‬בארגז יש ‪ 18‬מכוניות קטנות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬משווים בין דרך פתרון ב' לבין דרך פתרון ג'‪ ,‬ומפרטים את השלבים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬התלמידים ישלימו את הנתונים החסרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬התלמידים מתבקשים לפתור את הבעיה בדרך ב' )חלוקה לקבוצות בעלות‬
‫תכולה זהה‪ ,‬בכל קבוצה שני סוגים של ממתקים ביחס נתון( ומתבקשים לפרט את השלבים כאשר‬
‫נתונים השלבים של דרך ג' )חלוקה לקבוצות כשבכל קבוצה אותו סוג של ממתק(‪ .‬היחס הנתון‬
‫הוא היחס בין מספרי הקבוצות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬יישום לדרך פתרון ג'‪.‬‬
‫א( תשובה‪ 18 :‬בנות ו‪ 6-‬בנים‪.‬‬
‫ב( דוגמאות‬
‫‪ 6‬קבוצות של בנות ו‪ 2-‬קבוצות של בנים; ‪3‬תלמידים בכל קבוצה‪.‬‬
‫‪ 3‬קבוצות של בנות וקבוצה אחת של בנים; ‪ 6‬תלמידים בכל קבוצה‪.‬‬
‫‪ 9‬קבוצות של בנות ו‪ 3-‬קבוצות של בנים; ‪ 2‬תלמידים בכל קבוצה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ : 442‬חלוקה לפי יחס נתון‪ :‬מציאת ערך החלק בעזרת יחס‬
‫עד עתה למדו התלמידים לחלק על‪-‬פי יחס נתון בדרכים מוחשיות בעזרת ציורים וטבלאות‪.‬‬
‫ההסברים לשלוש הדרכים היו הסברים אינטואיטיביים‪ .‬הדרך הרביעית היא דרך מתמטית‪ ,‬ולכן‬
‫היא מופשטת‪.‬‬
‫התלמידים למדו בעבר על מציאת חלק של כמות‪ ,‬והם יישמו זאת בשיעור זה‪.‬‬
‫‪198‬‬
‫משימה מס' ‪ 16 :22‬בנות לבושות בלבן‪ ,‬ו‪ 20 -‬בנות לבושות בכחול‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬משימת יישום‪ 5 .‬בננות ו‪ 15 -‬אגסים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬משימת יישום‪ 12 .‬מכוניות מרוץ ו‪ 30-‬משאיות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬התלמידים יפתרו את הבעיה בדרך הנוחה להם‪.‬‬
‫א( היחס בין מספר הבקבוקים למספר הכוסות הוא ‪ . 3:7‬ב( ‪ 14‬כוסות‪ .‬ג( ‪ 27‬בקבוקים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬משימה מתפתחת‪ .‬התלמידים יכולים לפתור את הבעיה בעזרת "צורות פלא"‬
‫ולרשום את התוצאה בטבלה‪.‬‬
‫שאלות א'‪-‬ד' הן שאלות הבנה של המושג יחס‪ ,‬שאלות ה'‪-‬ו' הן הרחבה של הבעיה המקורית‪.‬‬
‫מספר צורות‬
‫החלק‬
‫משולשים‬
‫‪48‬‬
‫מעוינים‬
‫‪24‬‬
‫טרפזים‬
‫‪16‬‬
‫משושים‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫סך הכול‬
‫‪96‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬התלמידים יכולים לבחור בדרך הנוחה להם‪ .‬ענת קראה ‪ 36‬עמודים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬התלמידים מונחים לפתור את הבעיה בדרך הנוחה להם‪ :‬בעזרת איור‪ ,‬בעזרת‬
‫טבלה או בעזרת מחשבון‪.‬‬
‫נדגים להלן את השימוש בטבלה‪:‬‬
‫מספר ספרי קריאה‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫‪16‬‬
‫מספר ספרים‬
‫‪10‬‬
‫‪20‬‬
‫‪40‬‬
‫מספר ספרי לימוד‬
‫‪6‬‬
‫‪12‬‬
‫‪24‬‬
‫תשובה‪ :‬בספרייה יש ‪ 16‬ספרי קריאה ו‪ 24 -‬ספרי לימוד‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :444‬חלוקה לפי יחס נתון )המשך(‬
‫בשיעור זה התלמידים לומדים כיצד לחלק כמות על‪-‬פי נתונים קודמים‪ .‬היחס נקבע באמצעות‬
‫השוואה בין הנתונים הקודמים )הדוגמה בשיעור עוסקת בהשתתפות בקניית כרטיס הגרלה(‬
‫ובאמצעות צמצום היחס‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬חלקם בתשלום ביחס של ‪ .2:3‬ביחס זה יחלקו הילדים את ‪ 30‬העוגיות‪ .‬אריאל‬
‫יקבל ‪ 18‬עוגיות‪ ,‬ואשר יקבל ‪ 12‬עוגיות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬משימת יישום ליחס בין ארבעה גדלים‪.‬‬
‫רבין‬
‫בגין‬
‫שם בית הספר ורדים‬
‫‪5‬‬
‫‪20‬‬
‫‪15‬‬
‫מספר‬
‫התלמידים‬
‫חלק‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 100‬מ"ר‬
‫‪ 400‬מ"ר‬
‫‪ 300‬מ"ר‬
‫שטח‬
‫נרקיס‬
‫‪20‬‬
‫סך הכול‬
‫‪60‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 400‬מ"ר‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1,200‬מ"ר‬
‫‪2‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬יש לזהות את היחס בעזרת החלקים )השברים(‪ .‬אוריה ביצע‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫ושלומי ביצע של העבודה; לכן אוריה יקבל מהשכר )‪ ,( ₪ 800‬ושלומי את היתר )‪.( ₪1200‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫של העבודה‪,‬‬
‫‪199‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬כדי למצוא את מספר המשבצות שצבעה ליטל או את מספר המשבצות שצבעה‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪120‬‬
‫= ‪. × 40‬‬
‫לירז‪ ,‬אפשר לכפול את השבר במספר ‪ ,0‬כך‪= 30 :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫ליטל צבעה ‪ 30‬משבצות‪ ,‬ולירז צבעה ‪ 10‬משבצות‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ : 445‬יחס ישר‬
‫בשיעור זה התלמידים לומדים לחשב כמויות בעזרת יחס ישר‪ .‬לדוגמה‪ ,‬אם מחיר ק"ג עוף הוא ‪13‬‬
‫‪ ,₪‬המחיר של ‪ 2‬ק"ג עוף הוא ‪ ,₪ 26‬המחיר של ‪ 3‬ק"ג עוף הוא ‪ ₪ 39‬וכן הלאה‪ .‬כלומר מתקבל‬
‫יחס ישר בין שתי סדרות המספרים – זו של משקל העוף וזו של מחירו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬יישום יחס ישר בין שתי סדרות מספרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬משימת יישום‪ .‬א( כן; ב( ‪ 48‬עיניים‪ 80 ,‬עיניים‪ 96 ,‬עיניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬יישום יחס ישר בגיאומטריה‪ .‬אורך המלבן ‪ 10‬ס"מ‪ ,‬רוחבו ‪ 8‬ס"מ‪. 9 : 20 ,‬‬
‫הערה‪ :‬הניסוח המדויק לשאלה האחרונה הוא‪" :‬מהו היחס בין מספר יחידות ההיקף למספר‬
‫יחידות השטח"‪ ,‬אך בשל הסרבול הוחלט להשתמש בניסוח הרשום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬יישום יחס ישר בגיאומטריה‪ .‬היקף הריבוע ואורך צלעו הם ביחס ישר ‪. 4 :1‬‬
‫שטח הריבוע ואורך צלעו אינם ביחס ישר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬יישום יחס ישר בגיאומטריה‪.‬‬
‫ב( כן‪ ,‬היחס הוא ‪ .2:1‬ג( כן‪ ,‬היקף המעגל ורדיוס העיגול הם ביחס ישר של ‪ . 3.14:1‬ד(שטח‬
‫העיגול וקוטרו אינם ביחס ישר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬יישום יחס ישר בגיאומטריה‪ -‬מדידת זוויות על‪-‬ידי מד‪-‬זווית )אורך הקשת הוא‬
‫ביחס לזווית (‪ -‬וּבסטטיסטיקה )דיאגרמות חצי‪-‬עוגה(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪:39‬‬
‫סעיף א‪ :‬קיימות דרכי פתרון שונות‪.‬‬
‫‪ .1‬אפשר לחשב את המחיר של קופסה אחת ) ‪ ( 15 :6 = 2.5‬ולכפול את התוצאה ב‪.9-‬‬
‫‪ .2‬אפשר לחשב את המחיר של ‪ 3‬קופסאות ) ‪ ( 15 : 2‬ולכפול את התוצאה ב‪.3-‬‬
‫יש לדון בכך ולהראות ש‪. ( 15 :6 ) × 9 = ( 15 :2) × 3 -‬‬
‫סעיף ב‪ :‬קיימות דרכי פתרון שונות‪.‬‬
‫‪ .1‬אפשר לחלק ‪ ₪ 35‬במחיר של קופסה‪.‬‬
‫‪ .2‬אפשר למצוא שהמחיר של שתי קופסאות הוא ‪ ,₪ 5‬לכן ב‪ ₪ 35 -‬אפשר לקנות ‪14‬‬
‫קופסאות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬קיימות דרכי פתרון שונות‪.‬‬
‫‪ .1‬אפשר לחשב את המחיר של גביע אחד בכל מקרה ולהשוות בין המקרים )שימוש בחילוק(‪.‬‬
‫‪ .2‬אפשר לחשב את המחיר של ‪) 24‬או ‪ (48‬גביעים בכל מקרה ולהשוות )שימוש בכפל(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬כדאי לדון עם התלמידים בשאלה אם מדובר כאן ביחס ישר‪ .‬התשובות בסעיפים‬
‫ג' ו‪ -‬ד' יעוררו‪ ,‬מן הסתם‪ ,‬גיחוך בעיני התלמידים וימחישו להם מדוע לא ייתכן כאן יחס ישר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬בעיית תנועה‪ .‬מהירות המכונית היא ‪ 80‬ק"מ בשעה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ : 448‬חלוקה ליותר משני חלקים‪ :‬יחס בין שלושה גדלים‬
‫בשיעור זה התלמידים לומדים שביחס ייתכנו יותר משני איברים‪ .‬חלוקת הכמות תיעשה בדרך של‬
‫מציאת ערך החלק‪ .‬כדאי לדון עם התלמידים בדרכי בדיקה‪ :‬בחיבור החלקים יתקבל השלם‪,‬‬
‫ובחיבור ערך החלקים תתקבל הכמות היסודית‪ .‬ידע זו אינו כלול בתכנית הלימודים בפירוש‪ ,‬והוא‬
‫מובא כהעשרה‪.‬‬
‫‪200‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬משימת יישום בנושא יחס ישר‪ .‬לרפאל דרושות ‪ 9‬שפופרות של צבע אדום‪ .‬אפשר‬
‫לדון בשאלה מה יקרה אם בעלי המקצוע יתבלבלו ויערבבו אדום וצהוב ביחס של ‪. 5 : 3‬‬
‫משימה מס' ‪ :44‬משימת יישום‪ .‬אוריאן‪ ;₪ 3,000 -‬אנאל‪ ;₪ 2,000 -‬הודיה‪.₪ 1,000 -‬‬
‫משימה מס' ‪ :45‬היחס בין המשולשים הירוקים למשולשים הסגולים הוא ‪.5:3‬‬
‫תשובה ‪ 60 :‬ירוקים‪ 36 ,‬סגולים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :46‬צביעה לפי יחס נתון‪.‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪449‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד בפרק‪ :‬אפשר לחלק כמות נתונה לחלקים לא‪-‬שווים לפי יחס‬
‫נתון; קיימות דרכים שונות לפתרון שאלות מילוליות העוסקות ביחס‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמ' ‪450‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת יישום בעזרת טבלה‪ .‬תשובה‪ִ 16 :‬מדבקות ירוקות‪ִ 12 ,‬מדבקות אדומות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬תרגול לחלוקה לפי יחס נתון‪ :‬חלוקה לקבוצות‪ .‬מחלקים את הכיתה לקבוצות של‬
‫תשעה תלמידים בכל קבוצה‪ .‬בכל קבוצה יהיו חמישה בנים וארבע בנות‪ .‬בכיתה יש ‪ 36‬תלמידים‪,‬‬
‫בכל קבוצה יהיו ‪ 9‬תלמידים‪ .‬לכן מספר הקבוצות הוא ‪.4‬‬
‫מספר הבנים בכיתה הוא ‪ ,20‬ומספר הבנות בכיתה הוא ‪.16‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬היחס בין מספר הבולים מישראל למספר הבולים מארצות אחרות הוא ‪.2:3‬‬
‫מספר הבולים שיש לניר הוא ‪ .50‬כלומר לניר יש ‪ 20‬בולים מישראל ו‪ 30 -‬בולים מארצות אחרות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬יחס בבעיית תנועה‪ .‬יש למצוא באיזו מהירות נוסעת המכונית בשעה אחת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬בעיית תנועה‪ .‬פותרים את הבעיה בעזרת יחס בדרך של מציאת ערך החלק‪.‬‬
‫א( ‪ 50‬ק"מ ב( ‪ 100‬ק"מ ג( כעבור שלוש שעות‪ ,‬קרוב יותר ל‪ A-‬ד( קובי יעבור ‪ 60‬ק"מ‪,‬‬
‫רוני יעבור ‪ 90‬ק"מ ה( ‪. 2 : 3‬‬
‫‪3‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬התלמידים ישלימו את הסדרות לאחר שימצאו את היחס ) (‪ .‬יש לשים לב‬
‫‪4‬‬
‫שכמה זוגות מורכבים ממספרים עשרוניים‪ ,‬וזה אחד ההבדלים בין יחס לבין שבר‪ .‬איברי היחס‬
‫יכולים להיות מספרים עשרוניים‪ ,‬לעומת זאת מקובל שהמונה והמכנה בשבר הם מספרים‬
‫‪3.5 1‬‬
‫‪ .‬צורה זו יעילה בעיקר‬
‫טבעיים בלבד‪ .‬עם זאת יש הסבורים שאפשר לכתוב ביטוי כמו =‬
‫‪7 2‬‬
‫להשוואה בין שברים לבין חצי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬משימה מתמטית שנדרשת בה "הברקה"‪ .‬השושנה תכסה את האגם באחד עשר‬
‫ימים‪.‬‬
‫אפשר להשתמש בטבלה כדי להוכיח זאת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬יישום יחס במשימת הספק‪ .‬יש למצוא כמה מייצר פועל אחד בשעה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬בדומה למשימה מס' ‪ ,42‬כדאי לדון בנושא עם התלמידים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬היחס בין המשולשים הכחולים‪ ,‬הוורודים והצהובים הוא ‪. 2 : 11 : 3‬‬
‫תשובה ‪ 12 :‬כחולים‪ 66 ,‬ורודים ו‪ 18-‬צהובים‪.‬‬
‫‪201‬‬
‫שאלות מילוליות ‪ ,‬עמוד ‪452‬‬
‫עמוד זה מכיל שאלות מילוליות נוספות העוסקות ביחס‪ .‬התלמידים רואים כי היחס בא לידי‬
‫ביטוי בתחומים שונים בחיי היום‪-‬יום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬א( גד השתמש בחמאה בכמות הגדולה פי שישה מזו הכתובה במתכון‪ .‬לכן נכפיל‬
‫את הכמויות של הבננות והסוכר ב‪ 6 -‬ונקבל‪ 24 :‬בננות ו‪ 60 -‬גר' סוכר‪.‬‬
‫ב( מתכון המכיל ‪ 50‬גר' חמאה מתאים לעשרה אנשים‪ .‬לשם כך יש להשתמש בעשר בננות‬
‫ובעשרים וחמישה גר' סוכר‪.‬‬
‫ג( התשובה בסעיף ב' מתאימה לתשובה בסעיף זה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬על התלמידים לבנות טבלה הכוללת את מספר האנשים ואת מספר התפוזים‬
‫הקיווי והאננס הנדרשים להכנת סלט ֵפרות‪.‬‬
‫להלן דוגמה לטבלה‪.‬‬
‫מספר האנשים‬
‫מספר התפוזים‬
‫מספר הקיווי‬
‫מספר האננסים‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪15‬‬
‫‪1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪20‬‬
‫‪1 31‬‬
‫‪10‬‬
‫‪5‬‬
‫‪25‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪16‬‬
‫‪8‬‬
‫‪40‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬אורי צודק‪ .‬הסירופּ בבקבוק ב' מתוק יותר‪ ,‬כי היחס בין מספר כפיות הסוכר‬
‫‪10 2‬‬
‫למספר הכוסות הוא גדול יותר‪. > .‬‬
‫‪12 4‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬א( זאב ממלא ‪ 25‬מכלים של שלושה ליטרים ו‪ 25 -‬מכלים של שמונה ליטרים‪.‬‬
‫ב( הרווח של זאב הוא ההפרש בין מחיר המכירה לבין הסכום שזאב משלם‪.‬‬
‫‪25 × ( 18 − 12) + 25 × ( 27 − 20 ) = 25 × 6 + 25 × 7 = 150 + 175 = 325‬‬
‫שימו לב‪ ,‬זאב משלם ארבעה ‪ ₪‬תמורת כל ליטר‪ .‬כלומר תמורת מכל של שלושה ליטרים זאב‬
‫משלם ‪ ,₪ 12‬ותמורת מכל של חמישה ליטרים הוא משלם ‪.₪ 20‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬כדי למצוא את מספר הקבוצות בכל ענף ספורט אפשר לחבר את מספר השחקנים‬
‫בכל הקבוצות‪ . 5 + 6 + 7 = 18 :‬נחלק את מספר השחקנים הכללי ב‪ 18 -‬ונקבל‪. 108 : 18 = 6 :‬‬
‫בכל ענף ספורט יש ‪ 6‬קבוצות‪.‬‬
‫יישומי מדע ‪ ,‬עמוד ‪453‬‬
‫בחלק זה מלמדים את התלמידים על תחום הכּימיה‪ ,‬שבו משתמשים בחישובי יחס‪.‬‬
‫‪202‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪454‬‬
‫בעמוד זה מובאות בעיות העשרה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬יחס כפול‪ .‬בדקה הוא עובר ‪ 120‬מטר ובשעה ‪ 7,200‬מטר שהם ‪ 7.2‬ק"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬אם מספר הפרחים הוכפל ב‪ ,20-‬וגם הזמן הוכפל ב‪ ,20 -‬מספר הילדים אינו‬
‫משתנה‪.‬‬
‫ילדים זמן בדקות‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪100‬‬
‫‪1‬‬
‫‪100‬‬
‫‪5‬‬
‫פרחים‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪20‬‬
‫‪100‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬תיאור גרפי של היחס‪ :‬קרן שתחילתה בראשית הצירים‪.‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪455‬‬
‫חזרה על הנושאים שנלמדו בשנים קודמות‪ :‬סדר פעולות החשבון‪ ,‬מספרים עשרוניים‪ ,‬שאלות‬
‫מילוליות כלליות‪ ,‬חישוב שטח של מלבן‪ ,‬מקבילית‪ ,‬ריבוע ומשולש ישר‪-‬זווית‪.‬‬
‫‪203‬‬
‫עמ' ‪487 - 456‬‬
‫יט‪ .‬מידות עשרוניות‬
‫רקע‬
‫פרק זה עוסק בנושא מידות עשרוניות הכוללות את המידות האלו‪ :‬אורך‪ ,‬שטח‪ ,‬משקל וכסף‪ .‬על‬
‫מידת הנפח ילמדו התלמידים בנושא נפחים‪ .‬יחידות האורך הראשונות היו מבוססות על איברי‬
‫גוף האדם )זרת‪ ,‬אמה‪ ,‬רגל ועוד(‪ .‬בדרך כלל המידות הרשמיות היו של מידות גוף המלך או השליט‬
‫)יד‪ ,‬רגל‪ ,‬אינץ(‪ .‬יחידות המשקל והנפח התפתחו ממכלים נפוצים או מכמויות שאדם או בעל‪-‬חיים‬
‫היו יכולים להזיז‪ .‬מאוחר יותר השתמשו ביחידות לא‪-‬עשרוניות‪ ,‬אך הקשרים בין היחידות‬
‫הגדולות והקטנות אינם פועלים לפי דפוס קבוע )למשל‪ ,‬כפולות של ‪ 12‬או של ‪ ,(20‬ולכן הן קשות‬
‫לשימוש‪.‬‬
‫מידות עשרוניות מבוססות על המבנה העשרוני‪ .‬השיטה המטרית )העשרונית( הוצעה לראשונה‬
‫בצרפת בשנת ‪ .1670‬היא תוכננה כדי למלא שתי דרישות‪ :‬כל יחידה בשיטה נגזרת ממערכת קטנה‬
‫של יחידות סטנדרטיות; היחידות הגדולות יוכלו להיווצר על‪-‬ידי הכפלת היחידות הקטנות ב‪,10 -‬‬
‫ב‪ 100 -‬וב‪ .1,000 -‬שיטה זו הוכנסה לשימוש בצרפת רק בשנת ‪ ,1799‬ובשנת ‪ 1875‬אומצה באופן‬
‫רשמי בארצות רבות אחרות‪ .‬היחידה הראשונה שנקבעה היא המטר‪.‬‬
‫ב‪ 1960 -‬התפרסמה השיטה הבין‪-‬לאומית ליחידות ‪ ,(SI) System International Unity‬שהיא‬
‫שכלול של השיטה המטרית‪ .‬לפי שיטה זו‪ ,‬נקבעות המידות בכל תחום‪.‬‬
‫אנו מבחינים בין "מדידה" לבין "מידה"‪ .‬מדידה היא הפעולה‪ ,‬ומידה היא תוצאת הפעולה‪ .‬מידה‬
‫היא גם שם כולל ליחידות שמשתמשים בהן כדי לתאר את תוצאת המדידה‪.‬‬
‫לכל המידות העשרוניות יש מבנה משותף‪ :‬המידה מורכבת ממספר ומיחידת המידה )הכינוי(‪.‬‬
‫יש הבדל בין המידות העשרוניות לבין המבנה העשרוני )ולכן מתייחסים אליהן באופן מיוחד(‪:‬‬
‫במבנה העשרוני ‪ -‬למספר יש ערך קבוע‪ .‬לדוגמה‪ ,‬במספר ‪ 12.5‬המספר ‪ 12‬מציין תמיד שלמים‪,‬‬
‫והמספר ‪ 5‬במקום הראשון מימין לנקודה העשרונית מציין ‪ 5‬עשיריות שהן חצי‪.‬‬
‫לעומת זאת במידות עשרוניות אפשר לתאר אותה מציאות במספרים שונים‪ .‬לדוגמה‪ 5 ,‬מטרים‬
‫הם ‪ 500‬סנטימטרים או ‪ 5,000‬מילימטרים או ‪ 0.005‬קילומטרים‪ .‬כלומר המידה תלויה גם במספר‬
‫וגם ביחידה‪ .‬היחס בין גודל היחידה לבין המספר הוא יחס הפוך‪ :‬ככל שהיחידה גדולה יותר‪,‬‬
‫המספר קטן יותר‪.‬‬
‫בפרק זה מתייחסים באופן מפורט מאוד למידות אורך‪ .‬למידות האחרות )משקל‪ ,‬כסף ושטח(‬
‫מוקדש זמן מצומצם יותר‪.‬‬
‫התלמידים לומדים שתי דרכים להמרת היחידות‪ :‬בעזרת טבלת יחס ובעזרת כפל או חילוק ב‪-‬‬
‫‪ ,10‬ב‪ 100 -‬וב‪.1,000 -‬‬
‫בתוך כדי הלמידה עשויים להתעורר קשיים אצל התלמידים בהבנת המידות העשרוניות‪:‬‬
‫• תיאור אותה מציאות במספרים שונים‪ .‬דוגמה‪ :‬אורך עיפרון הוא ‪ 20‬ס"מ או ‪0.20‬‬
‫מטר‪ .‬אורך העיפרון אינו משתנה‪ ,‬אך אפשר לכתוב את המידה שלו באופנים שונים‪.‬‬
‫• התאמת המידה הנכונה לנמדד‪ .‬דוגמה‪ :‬מרחק )דרך( בין ערים מודדים בקילומטרים‪,‬‬
‫ולא בסנטימטרים‪.‬‬
‫• המרת יחידות מידה זו לזו‪ .‬הקושי בא לידי ביטוי ביישום של המושג יחס הפוך‪ :‬אם‬
‫ממירים למידה קטנה יותר‪ ,‬מכפילים בחזקה מתאימה של ‪ ;10‬ואם ממירים למידה‬
‫גדולה יותר‪ ,‬מחלקים בחזקה מתאימה של ‪.10‬‬
‫• קושי הנובע מהשפה‪ .‬בשפה העברית חסרים שמות של מידות הגדולות פי ‪ 10‬או פי‬
‫‪ 100‬מהיחידה הבסיסית‪ .‬לדוגמה‪ ,‬אין שם ל‪ 10 -‬מטר או ל‪ 100 -‬מטר )דקהמטר‬
‫ואקטומטר בלועזית(‪ ,‬ויש מידות שאינן בשימוש‪ ,‬כגון דציליטר או דצימטר‪ .‬טעויות‬
‫רבות בחישובים נובעות מכך‪.‬‬
‫• כל מידה תלויה בכלי מדידה‪ .‬כלי המדידה שונים ומגוונים‪ .‬לעתים תלמידים נתקלים‬
‫בקשיים בשימוש בכלי המדידה‪ ,‬ועליהם ללמוד את הטכניקה בשימוש בכלי‬
‫המתאים‪ .‬כמו‪-‬כן המידה המתקבלת אינה מדויקת לגמרי‪ .‬המידה המתקבלת אמנם‬
‫קרובה במידה רבה למידה במציאות‪ ,‬אך אינה מדויקת לגמרי‪.‬‬
‫מומלץ להקדיש לנושא כ‪ 6 -‬שעות לימוד‪.‬‬
‫‪204‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬להדגים מידות עשרוניות ומידות לא‪-‬עשרוניות ולהסביר מה ההבדל בין מידה עשרונית‬
‫לבין מידה שאינה עשרונית;‬
‫ב‪ .‬להתאים בין חפץ שנמדד לבין מידת האורך;‬
‫ג‪ .‬להמיר מידות אורך בעזרת טבלה או בעזרת כפל או חילוק ב‪ ,10 -‬ב‪ 100 -‬וב‪;1,000 -‬‬
‫ד‪ .‬להשוות בין אורכים‪ ,‬כשהם מבוטאים באותן יחידות מידה;‬
‫ה‪ .‬לעגל מידות אורך;‬
‫ו‪ .‬לבחור יחידת משקל המתאימה למשקל הנמדד;‬
‫ז‪ .‬להמיר מידות משקל בעזרת טבלה או בעזרת כפל או חילוק ב‪ ,10 -‬ב‪ 100 -‬וב‪;1,000 -‬‬
‫ח‪ .‬להשוות בין משקלים כשהם מבוטאים באותן יחידות מידה;‬
‫ט‪ .‬להמיר כסף בעזרת כפל או חילוק ב‪;100 -‬‬
‫י‪ .‬לבטא שטח ביחידות שטח המתאימות ליחידות האורך;‬
‫יא‪ .‬להמיר יחידות שטח;‬
‫יב‪ .‬להשוות בין שטחים כשהם מבוטאים באותן יחידות מידה‪.‬‬
‫מושגים‬
‫מבנה עשרוני; מידה; אורך; משקל; מחיר; יחידת‪-‬מידה; יחידות מידה עשרוניות‪ :‬קילומטר‪,‬‬
‫מטר‪ ,‬דצימטר‪ ,‬סנטימטר ומילימטר; יחידות אורך שאינן מבוססות על המבנה העשרוני‪ :‬רגל‪,‬‬
‫אמה‪ ,‬טפח; יחידות משקל‪ :‬טונה‪ ,‬קילוגרם וגרם‪ ,‬פאונד‪ ,‬אונקיה; יחידות זמן‪ :‬שעה‪ ,‬דקה‪ ,‬שנייה;‬
‫כלי מדידה‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫סרגל; סרט מידה; מאזני משקל; משקולות; מטבעות כסף )אגורה‪ 5 ,‬אגורות‪ 10 ,‬אגורות‪ ,‬שקל‪5 ,‬‬
‫שקלים ו‪ 10 -‬שקלים(; חפצים שונים למדידת אורך ולמדידת משקל; אריזות מזון שונות;‬
‫מקורות מידע שונים )אנציקלופדיה‪ ,‬קונקורדנציה‪ ,‬אינטרנט(‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על מידות אורך‪.‬‬
‫רושמים על הלוח )או על כרזה( את הקשר בין מידות אורך שונות‪:‬‬
‫‪ 1‬ס"מ = ‪ 10‬מ"מ; ‪ 1‬מ' = ‪ 10‬דצ"מ; ‪ 1‬מ' = ‪ 100‬ס"מ; ‪ 1‬ק"מ = ‪ 1,000‬מ'‪.‬‬
‫שואלים את התלמידים‪:‬‬
‫כמה מילימטרים יש ב‪ 3 -‬ס"מ ) ִבּשלושה סנטימטרים(?‬
‫כמה מילימטרים יש ב‪ 12 -‬ס"מ )בשנים עשר סנטימטרים(?‬
‫כמה מילימטרים יש ב‪ 2.5 -‬ס"מ )בשני סנטימטרים וחצי(?‬
‫כמה סנטימטרים יש ב‪ 9 -‬מ' )בתשעה מטרים(?‬
‫כמה דצימטרים יש ב‪ 0.5 -‬מ' )בחצי מטר(?‬
‫כמה סנטימטרים יש ב‪ 20 -‬מ'?‬
‫כמה מטרים יש ב‪ 5 -‬ק"מ )בחמישה קילומטרים(?‬
‫כמה מטרים יש ב‪ 3.25 -‬ק"מ )בשלושה קילומטרים ורבע(? וכדומה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על מידות משקל‪.‬‬
‫רושמים על הלוח )או על כרזה( את היחס בין המידות השונות‪:‬‬
‫‪ 1‬גרם = ‪ 10‬מיליגרם; ‪ 1‬ק"ג = ‪ 1,000‬גרם; ‪ 1‬טונה = ‪ 1,000‬ק"ג‪.‬‬
‫שואלים את התלמידים‪:‬‬
‫כמה מיליגרם יש ב‪ 6 -‬גר' )בשישה גרמים(?‬
‫כמה גרם יש ב‪ 10 -‬ק"ג ) ַבעֲשרה קילוגרמים(?‬
‫כמה גרם יש ב‪ 1.5 -‬ק"ג )קילוגרם וחצי(?‬
‫‪205‬‬
‫כמה קילוגרם יש ב‪ 4 -‬טונות )בארבע טונות(?‬
‫כמה קילוגרם יש ב‪ 3.75 -‬טונות )בשלוש טונות ושלושה רבעים(?‬
‫וכדומה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חזרה על מידות כסף‪.‬‬
‫רושמים על הלוח‪ 1 :‬שקל = ‪ 100‬אג'‪.‬‬
‫שואלים את התלמידים‪:‬‬
‫כמה אגורות יש ב‪ 17 -‬שקלים?‬
‫כמה אגורות יש ב‪ 10.5 -‬שקלים )בעשרה שקלים וחצי(?‬
‫כמה אגורות יש ב‪ 7.2 -‬שקלים?‬
‫וכדומה‪.‬‬
‫את פעילויות ההטמעה המוצעות כאן אפשר לבצע בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬מידות‪.‬‬
‫מחלקים את התלמידים לקבוצות‪ .‬כל תלמידי הכיתה יקבלו משימה אחת זהה‪.‬‬
‫המשימה‪ :‬יש למדוד בצעדים שלושה מקומות בחצר בית הספר )אורך שביל‪ ,‬אורך גדר וכד'(‪.‬‬
‫)הקצו למשימה זו כ‪ 10 -‬דקות‪ (.‬בתום הפעילות בקבוצות חוזרים למליאה ודנים בהבדלים‬
‫בתוצאות המדידה‪ .‬כמו‪-‬כן אפשר להעלות הצעות למדידות מדויקות יותר‪.‬‬
‫פעילות ב‪ :‬חיפוש מידע על מידות לא‪-‬עשרוניות במקורות שונים‪.‬‬
‫פעילות זו אפשר לבצע בבית‪-‬הספר או בבית‪ .‬בקשו מהתלמידים לחפש מידע על המידות האלה‪:‬‬
‫אינץ'‪ ,‬פאונד‪ ,‬מייל‪ ,‬יארד‪ ,‬רגל‪ ,‬אמה‪ .‬בכיתה דנים בשאלות‪ :‬במה נבדלות המידות השונות? מהו‬
‫ההבדל בין מידות אלו לבין מידות אחרות המוכרות לתלמידים )כמו סנטימטר וקילוגרם(? מידות‬
‫אלה מבוססות על שיטות מספור בבסיס ‪ 12‬או ‪ ,20‬ואין קביעות במעברים בין יחידה ליחידה‪.‬‬
‫התלמידים יציגו את ממצאיהם במליאה‪.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬הקשר בין יחידת המידה לבין החפץ הנמדד‪.‬‬
‫התלמידים ימדדו את אורכם של שלושה חפצים )כגון ספר חשבון( ויכתבו את המידה‬
‫במילימטרים‪ ,‬בסנטימטרים ובדצימטרים‪ .‬מומלץ לערוך טבלה של התוצאות‪ ,‬שתהיה בסיס לדיון‪.‬‬
‫פעילות ד‪ :‬הקשר בין יחידות האורך‪.‬‬
‫התלמידים ידונו בקשר שבין תוצאות המדידה של פעילות ג'‪.‬‬
‫פעילות ה‪ :‬התאמת יחידת אורך לגודל החפץ‪.‬‬
‫עבודה בקבוצות‪ :‬התלמידים ירשמו שמות של חפצים הנמדדים במילימטרים‪ ,‬של חפצים‬
‫הנמדדים בסנטימטרים‪ ,‬של חפצים הנמדדים במטרים ושל חפצים הנמדדים בקילומטרים‪.‬‬
‫פעילות ו‪ :‬המרת מידות אורך‪.‬‬
‫התלמידים ימדדו את גובהם בעזרת סרט המידה )מהאביזרים(‪ ,‬יכתבו את גובהם בסנטימטרים‬
‫ואחר‪-‬כך יחשבו כיצד אפשר להמיר את הגובה למטרים‪ .‬התלמידים יציגו במליאה את דרכי‬
‫ההמרה‪.‬‬
‫פעילות ז‪ :‬השוואה בין אורכים‪.‬‬
‫התלמידים בקבוצה ישוו בין הגבהים שלהם ויכתבו את הגבהים מהקטן לגדול‪ .‬התלמידים ידונו‬
‫במליאה בשאלה מהם התנאים להשוואה‪.‬‬
‫פעילות ח‪ :‬עיגול מידות אורך‪.‬‬
‫התלמידים יבחרו שלושה פריטים הנמצאים בכיתה‪ ,‬ויכתבו את אורכם בערך‪.‬‬
‫פעילות ט‪ :‬מידות משקל‪.‬‬
‫עבודה בקבוצות‪ :‬התלמידים ירשמו שמות של חפצים שמתאימה להם יחידת המשקל מיליגרם‪,‬‬
‫של חפצים שמתאימה להם יחידת המשקל גרם‪ ,‬של חפצים שמתאימה להם יחידת המשקל‬
‫קילוגרם‪ ,‬ושל חפצים שמתאימה להם יחידת המשקל טונה‪.‬‬
‫‪206‬‬
‫פעילות י‪ :‬מידות משקל‪.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים לבדוק בבית מה המשקל הכתוב על אריזות שונות )כגון אריזות מזון‬
‫ותרופות(‪ ,‬לבדוק במקורות מידע מה המשקל של בעלי חיים שונים )כגון פיל‪ ,‬זבוב‪ ,‬סוס(‪ ,‬וכן‬
‫לבדוק מה המשקל של כלי תחבורה )כגון מכונית‪ ,‬מטוס‪ ,‬אנייה(‪ .‬התלמידים יערכו רשימה של‬
‫ממצאיהם ויביאו אותה לכיתה‪ .‬ייערך דיון בהתאמת המידה לנשקל‪ :‬האם נכון לשקול זבוב‬
‫בקילוגרמים? או לשקול מטוס בגרמים?‬
‫פעילות יא‪ :‬המרה של מידות משקל‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים לבחור שני פריטים מהרשימה של פעילות י' ולנסות להמיר את המידה‬
‫ליחידת מידה אחרת‪ .‬התלמידים יציגו במליאה את הדרך להמרת המידות‪.‬‬
‫פעילות יב‪ :‬כסף‪.‬‬
‫התלמידים ירשמו מחירים של שני מוצרים הידועים להם‪ ,‬בשקלים וכן באגורות‪.‬‬
‫פעילות יג‪ :‬יחידות שטח‪.‬‬
‫התלמידים ימדדו בסנטימטרים את אורכו ואת רוחבו של דף מחברת חשבון ויחשבו את שטחו‪.‬‬
‫לאחר מכן יחשבו כמה משבצות היו בדף‪ ,‬אילו היו מכסים אותו במילימטרים רבועים‪.‬‬
‫אחר‪-‬כך יחשבו התלמידים את מספר המשבצות בדף בלי למנות אותן‪.‬‬
‫פעילות יד‪ :‬יחידות שטח‪.‬‬
‫התלמידים יכינו בבית רשימת נתונים‪ :‬שטח החדר שלהם‪ ,‬שטח הדירה‪ ,‬שטח המגרש‬
‫שהבית‪/‬הבניין עומד עליו‪.‬‬
‫פעילות טו‪ :‬יחידות שטח‪.‬‬
‫בעזרת מקורות מידע שונים יחקרו התלמידים ויאספו נתונים‪ :‬שטח העיר שהם גרים בה‪ ,‬שטח‬
‫מדינת ישראל‪ ,‬שטח של מדינות אחרות לפי בחירתם‪ .‬נוסף על כך‪ ,‬יאספו התלמידים מודעות או‬
‫כתבות מהעיתונים‪ ,‬שיש בהן מידע על שטח מגרשים‪ ,‬על שטח דירות וכדומה‪ .‬התלמידים ידונו‬
‫במליאה בממצאיהם‪ ,‬ביחידות המידה של הנתונים ובהשוואה בין הנתונים‪.‬‬
‫הספר לתלמיד‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:456‬‬
‫בשיעור זה נעשה הקשר בין הנושא החדש מידות עשרוניות לבין הידע הקודם בנושא מידות‪.‬‬
‫התלמידים למדו בעבר למדוד אורכים‪ ,‬הם מכירים את המושג משקל וגם השתמשו ב"כסף"‪.‬‬
‫בשיעור זה נעשית הבחנה בין מידות עשרוניות )כמו מטר‪ ,‬סנטימטר‪ ,‬קילוגרם‪ ,‬שקלים וכדומה(‬
‫לבין מידות שאינן עשרוניות )רגל‪ ,‬פאונד‪ ,‬שעה‪ ,‬דקה וכדומה(‪.‬‬
‫כמו‪-‬כן התלמידים נחשפים למושגים‪ :‬מדידה‪ ,‬כלי מדידה ומידה‪ .‬כל המושגים קשורים זה לזה‪.‬‬
‫חשוב להבחין בין מידה לבין מדידה‪ :‬מדידה היא פעולה‪ ,‬ומידה היא תוצאת המדידה‪ .‬את פעולת‬
‫המדידה מבצעים בעזרת כלי מדידה ייחודי ַל ְפריט הנמדד‪ .‬יחידות המידה מותאמות למדידה‬
‫שהתבצעה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬אורך נמדד ביחידת מידה המתאימה לאורך‪ ,‬כגון סנטימטרים‪ .‬אחד הכלים‬
‫המתאימים למדידת אורך הוא סרגל‪.‬‬
‫המידה מורכבת ממספר ומכינוי )הכינוי הוא יחידת המידה המתאימה(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬בכל אחד מהסעיפים התלמידים נדרשים לכתוב לפחות שלוש יחידות מידה‬
‫מתאימות‪ .‬התלמידים יכולים להיעזר בקטע השיעור‪ .‬כדאי להבחין בין יחידות אורך לבין יחידות‬
‫שטח‪ .‬דוגמה‪ :‬סנטימטר )ס"מ( לעומת סנטימטר ָרבוע )סמ"ר(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬במשימה זו התלמידים צריכים לקשר בין מידה לבין יחידת המידה‪ .‬יחידת‬
‫המשקל המתאימה ביותר למשקלו של אדם היא הקילוגרם‪ .‬יחידת המשקל המתאימה ביותר‬
‫למשקלו של פיל היא הטונה‪ .‬ייתכן שתלמידים שונים יתאימו יחידות מידה שונות לפריט שנמדד‪.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬תלמיד אחד יכתוב שאורך שולחן מודדים בסנטימטרים‪ ,‬ואילו תלמיד אחר יכתוב שאורך‬
‫שולחן מודדים במטרים‪ .‬שתי התשובות מתאימות למידת האורך‪ ,‬אך יש לבחור איזו מהן‬
‫מתאימה יותר למדידת אורך שולחן‪ .‬שוחחו עם התלמידים על הדומה ועל השונה בין יחידות‬
‫המידה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימת חקירה‪ .‬מומלץ לעודד את התלמידים לפנות למקורות מידע שונים‪ ,‬כמו‬
‫אנציקלופדיות או אינטרנט‪ ,‬כדי לחקור על יחידות הטמפרטורה‪ :‬צלזיוס‪ ,‬פרנהייט וקלווין‪.‬‬
‫‪207‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬מומלץ לבצע את המשימה לאחר ביצוע פעילות הגילוי ב'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬במשימה זו התלמידים נדרשים לבחור את המידה המתאימה מבין המידות‬
‫הנתונות‪ .‬א( תכולת בקבוק קוקה‪-‬קולה נמדדת בליטרים; ב( זווית נמדדת במעלות; ג( משקל‬
‫גבינה צהובה נמדד בגרמים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬כתיבת משפטים בתוך כדי שימוש במידות עשרוניות עוזרת לקשור את המושגים‬
‫הנלמדים לחיי היום‪-‬יום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬משימת העשרה‪ .‬על התלמידים לחפש במקורות מידע שונים מידע על היחידות‬
‫המוזכרות‪ .‬שימו לב‪ :‬למילים משמעויות שונות‪ .‬התלמידים צריכים לבחור את המשמעות‬
‫המתאימה לנושא‪ .‬לדוגמה‪ ,‬למילה "אמה" מספר משמעויות‪ :‬א‪ .‬שם האצבע האמצעית של היד;‬
‫ב‪ .‬המוט האמצעי שבין שתי ידות המסור; ג‪.‬תעלה להעברת מים; ד‪ .‬מידת אורך קדומה ששיעורה‬
‫הוא בערך המרחק מן המרפק לשורש כף היד של אדם מבוגר; ה‪ .‬מידת אורך בימינו‪ ,‬ששיעורה כ‪-‬‬
‫‪ 68‬ס"מ‪ .‬הגדרות ד' ו‪ -‬ה' מתאימות לנושא‪.‬‬
‫להלן הגדרות לחלק מיחידות המידה המוזכרות בפרק‪:‬‬
‫אינץ' – מידת אורך אנגלית‪ :‬בערך ‪ 2.54‬ס"מ‪ .‬אינץ' מעוקב – יחידת נפח לנוזלים‪ ,‬השווה כ –‬
‫‪ 16.39‬מ"ל‪.‬‬
‫הין ‪ -‬מידת נפח לנוזלים בימי קדם )כ‪ 6 -‬ליטרים(‪.‬‬
‫טפח – מידת אורך כרוחב כף היד‪.‬‬
‫לוג – מידת נוזלים קדומה )כחצי ליטר(‪.‬‬
‫יארד – יחידת אורך השווה ל‪ 0.944 -‬מ' בערך; יארד מעוקב – יחידת נפח השווה ל‪764,554.858 -‬‬
‫סמ"ק בערך; יארד מרובע – יחידת שטח השווה ל‪ 8361.2736 -‬סמ"ר בערך‪.‬‬
‫מיל – למילה "מיל" משמעויות שונות הקשורות לנושא מידות‪ .1 :‬מידת אורך אנגלית )כ‪1,609 -‬‬
‫מ'(; ‪ .2‬מידת אורך קדומה‪ 2,000 ,‬אמה; ‪ .3‬מידת אורך ימית )‪ 1,853‬מ' בערך(‪.‬‬
‫סאה – מידת נפח קדומה )כ‪ 13 -‬ליטר(‪.‬‬
‫רגל – מידת אורך )כ‪ 30 -‬ס"מ(; רגל מעוקב – יחידת נפח נוזלים השווה לכ‪ 28,316 -‬סמ"ק; רגל‬
‫מרובע – מידת שטח השווה ל‪ 0.09 -‬מ"ר בערך‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬משימת יישום‪ .‬התלמידים נדרשים למצוא מה מודדים בכלים המאוירים‪ ,‬ואילו‬
‫יחידות מידה מתאימות למדידה‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:458‬‬
‫בשיעור זה התלמידים לומדים לבטא אותה מידה ביחידות מידה שונות‪ .‬למשל‪ ,‬אורך נמלה אפשר‬
‫לבטא ביחידות אורך שונות כמו מטר‪ ,‬סנטימטר‪ ,‬דצימטר ועוד‪ ,‬אך חשוב לזכור שככל שנשתמש‬
‫ביחידת מידה גדולה יותר‪ ,‬המספר שנקבל יהיה קטן יותר‪ .‬האיורים ממחישים את הקשר בין‬
‫המידה ליחידה‪ .‬הנמלה נראית קטנה ליד המטר וגדולה ליד המילימטר‪ .‬אורך הנמלה הוא ‪0.016‬‬
‫‪.0.016 < 1.6 < 16‬‬
‫מטר או ‪ 1.6‬ס"מ או ‪ 16‬מ"מ‪.‬‬
‫יחס זה נקרא יחס הפוך‪ :‬כאשר יחידת מידה גדלה פי חזקה של ‪ ,10‬מספר יחידות המידה קטן פי‬
‫אותה חזקה של ‪.10‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימת יישום ליחס הפוך‪ .‬אורך הקיר הוא ‪ 2.65‬מ' או ‪ 265‬ס"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬יחידות המידה המתאימות‪ :‬אורך הארון ‪ 245‬ס"מ; רוחב הארון ‪ 50‬ס"מ ; גובה‬
‫הארון ‪ 1.6‬מ'‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :13-11‬שימוש באומדן‪ .‬אפשר להוסיף שאלה ‪ :‬באילו יחידות מידה השתמשתם?‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:459‬‬
‫בשיעור זה התלמידים לומדים על הקשר בין יחידות האורך העשרוניות השונות‪ .‬הקשר בין מידות‬
‫האורך העשרוניות השונות מבוסס על המבנה העשרוני‪ ,‬ולכן נעזרים בטבלה של המבנה העשרוני‬
‫להמרת יחידה ליחידה אחרת‪ .‬נזכיר כי לפי המבנה העשרוני‪ ,‬ערך של ספרה נקבע על‪-‬פי מיקומה‬
‫במספר‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :15-14‬ביטוי אותו אורך ביחידות אורך שונות‪.‬‬
‫‪208‬‬
‫משימות מס' ‪ :17-16‬משימות הפוכות‪ .‬מציאת היחידה המתאימה על‪-‬ידי כפל או חילוק‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:460‬‬
‫בשיעור זה‪ ,‬שהוא ההמשך של השיעור הקודם‪ ,‬התלמידים לומדים להמיר מידות אורך בעזרת‬
‫טבלה‪ .‬היחידות כתובות בשורה העליונה ומסודרות על‪-‬פי המבנה העשרוני‪ ,‬כך שכל עמודה קטנה‬
‫פי עשרה מהעמודה שמשמאלה‪" .‬מזיזים" את הנקודה העשרונית בהתאם ליחידה‪ .‬כך אפשר‬
‫להמיר יחידות מידה זו לזו בעזרת הזזת הנקודה העשרונית בלבד‪ .‬דוגמה‪ :‬רוצים להמיר ‪ 2.150‬מ'‬
‫לסנטימטרים‪ .‬הנקודה העשרונית "תזוז" ימינה בשני צעדים ותירשם מימין לעמודת‬
‫הסנטימטרים‪ .‬המספר שיתקבל‪ 215.0 -‬ס"מ‪ .‬מוקד השיעור הוא המרה מיחידה גדולה ליחידה‬
‫קטנה יותר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬א( פי מיליון‪ .‬ב( פי עשרה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬התלמידים נדרשים למדוד את האורך ואת הרוחב של הספר שהם משתמשים‬
‫בו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬משימת יישום‪ .‬המרת מידות אורך בעזרת טבלה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬א( ‪ 2.5‬ס"מ; ב( ‪ 4,650‬ס"מ; ג( ‪ 1,531.2‬ס"מ; ד( ‪ 70,000‬ס"מ; ה( ‪ 345,000‬ס"מ;‬
‫ו( ‪ 200,000‬ס"מ; ז( ‪ 300,000‬ס"מ; ח( ‪ 5,690‬ס"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬משימת יישום‪ .‬על התלמידים למדוד אורכי קטעים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬התלמידים ייעזרו בטבלה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬א( ‪ 40‬מ"מ; ב( ‪ 0.32‬מ'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬התלמידים ייעזרו בטבלה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬אורך כל חבל ‪ 350‬ס"מ‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:462‬‬
‫בשיעור זה ממשיכים ללמוד על המרת יחידות אורך בעזרת טבלה‪ ,‬והפעם ממירים את היחידה‬
‫הקטנה יותר ליחידה גדולה יותר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬כדאי לבצע את סעיף א' בעל‪-‬פה במליאה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬א( ‪ 0.07984‬ק"מ; ב( ‪ 0.078645‬ק"מ; ג( ‪ 1.978‬ק"מ; ד( ‪ 136.978300‬ק"מ; ה(‬
‫‪ 0.1425251‬ק"מ; ו( ‪ 0.4503‬ק"מ; ז( ‪ 0.0007‬ק"מ; ח( ‪ 40.538‬ק"מ; ט( ‪ 2‬ק"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬משימת יישום‪ 2.3 .‬ק"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬א( ‪ 0.0025‬מ'; ב( ‪ 4.65‬מ'; ג( ‪ 15.312‬מ'; ד( ‪ 0.007‬מ'; ה( ‪ 46.78‬מ'; ו( ‪ 1000.3‬מ';‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:463‬‬
‫בשיעור זה מוסברת לתלמידים דרך נוספת להמרת מידות‪ :‬כפל וחילוק ב‪ ,10 -‬ב‪ ,100 -‬ב‪ 1,000 -‬או‬
‫בחזקה אחרת של ‪ 10‬בהתאם לנדרש‪.‬‬
‫כדי להבין בכמה לכפול או לחלק‪ ,‬על התלמידים לדעת את היחס בין המידות השונות‬
‫‪1‬‬
‫מטר(‪ .‬כדאי לחזור פעמים רבות על היחס בין המידות‬
‫)לדוגמה‪ 1 ,‬מטר = ‪ 100‬ס"מ‪ 1 ,‬ס"מ =‬
‫‪100‬‬
‫השונות )פעילות ההטמעה א'( ולעודד את התלמידים ללמוד חלק מהיחסים בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬א( ‪ 800‬ס"מ; ב( ‪ 5.4‬ס"מ; ג( ‪ 20‬ס"מ; ד( ‪ 120‬ס"מ; ה( ‪ 12‬ס"מ; ו( ‪ 50,000‬ס"מ;‬
‫ז( ‪ 45.7‬ס"מ; ח( ‪ 700‬ס"מ‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :34-32‬משימות יישום‪.‬‬
‫‪209‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬משימת יישום בצורה מילולית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬תרגום יחידות אורך בטבלה‪ .‬מומלץ לבצע את המשימה בעל‪-‬פה‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:465‬‬
‫שיעור זה הוא שיעור מעשי‪ .‬לעתים קרובות מציינים בשפה המדוברת אורך של חפץ כלשהו בעזרת‬
‫שתי מידות‪ .‬לדוגמה‪ ,‬אורך הבד הוא ‪ 2‬מטרים ו‪ 45 -‬סנטימטרים‪ .‬מותר לציין את האורך כך‪ ,‬אם‬
‫מסתפקים במדידת אורכו בלבד‪ .‬אבל אם צריך לחשב גם את מחירו של הבד‪ ,‬והמחיר הוא ‪₪ 16‬‬
‫למטר‪ ,‬יש להמיר את שתי המידות למידה אחת‪ ,‬במקרה זה למטרים ‪ 2.45 -‬מ'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬אי‪-‬אפשר לבצע את פעולת החיבור כפי שהיא‪ .‬יש להמיר מידות לפני ביצוע‬
‫הפעולה‪ .‬בסעיף הראשון יש להפוך מטרים לדצימטרים )‪ 9.8‬מ' = ‪ 98‬דצ"מ( או להפוך את‬
‫הדצימטרים למטרים )‪ 3‬מ' = ‪ 30‬דצ"מ(‪ ,‬ורק אחר‪-‬כך אפשר לחבר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :39‬במשימה זו אין צורך להמיר מידות‪ ,‬אלא לחבר בלבד‪ ,‬ולאחר‪-‬מכן לכפול במחיר‬
‫למטר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬משימת יישום בצורה מילולית‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:466‬‬
‫כדי להשוות בין אורכים יש לבטא אותם באותה יחידת מידה‪ .‬אם אחת המידות היא‬
‫בסנטימטרים והאחרת במטרים‪ ,‬יש להמיר את המטרים לסנטימטרים או את הסנטימטרים‬
‫למטרים‪ .‬אחרי ההמרה משווים בין האורכים‪ .‬שימו לב שלעתים אין צורך בהמרה כזו‪ .‬לדוגמה‪,‬‬
‫ברור ש‪ 5' -‬ס"מ' קטן מ‪ 1.5' -‬מ' '‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬הגובה של חנן הוא ‪ 130‬ס"מ‪ .‬הוא גבוה מאחותו ב‪ 32-‬ס"מ )ב‪ 0.32-‬מ'(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬צילה היא הגבוהה ביותר‪ ,‬שולי הנמוכה ביותר‪.‬‬
‫‪ 1.42‬מ' < ‪ 1.40‬מ' < ‪ 1.38‬מ' < ‪ 1.35‬מ' < ‪ 1.29‬מ' < ‪ 1.25‬מ'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :44‬אורך השולחן שמדדה נורית זהה לאורך השולחן שמדד ניר‪ ,‬שכן ‪ 1.5‬מ' = ‪150‬‬
‫ס"מ‪ .‬ייתכן שנורית וניר מדדו שולחנות שונים בעלי אורך שווה )לאו דווקא בעלי אותו רוחב(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :45‬ההשוואה בין האורכים נעשית לאחר שמבטאים אותם באותה יחידת מידה‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:467‬‬
‫הדיוק במדידה תלוי בחפץ הנמדד ובמטרת המדידה‪ .‬אם מודדים אורך קורת עץ לשם בניית‬
‫רהיטים‪ ,‬ברור שיש צורך לדייק מאוד‪ .‬אך אם מודדים אורך גדר כדי לדעת כמה צבע יש לקנות‬
‫כדי לצבוע אותה‪ ,‬אין צורך לדייק‪ ,‬ואפשר לעגל את המדידה‪ .‬שימו לב‪ :‬כתיבה וקריאה של‬
‫שוויונות מקורבים נעשות משמאל לימין‪ .‬הקפידו על כך עם התלמידים‪ .‬שוויונות מדויקים אפשר‬
‫לקרוא ולכתוב גם מימין לשמאל‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :47-46‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :48‬אורך הבניין כעשרה מטרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :49‬המרחק כשישה קילומטרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :50‬מרחק בין שתי ערים יש לעגל לקילומטרים‪ ,‬אורך מחברת יש לעגל‬
‫לסנטימטרים‪ ,‬וגם גובה של בן אדם מעגלים לסנטימטרים‪.‬‬
‫‪210‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:468‬‬
‫כאמור‪ ,‬הנושא "מידות אורך" נידון בהרחבה‪ .‬מידות המשקל העשרוניות מבוססות בדיוק על‬
‫אותם העקרונות‪ .‬התלמידים למדו בעבר על יחידות המשקל הנפוצות‪ ,‬וכאן הם נחשפים גם‬
‫ליחידות משקל הנפוצות פחות‪ .‬את יחידות משקל ממירים בעזרת טבלה או בעזרת חילוק או כפל‬
‫בחזקה מתאימה של ‪.10‬‬
‫משימה מס' ‪ :51‬המשימה תהיה קלה לביצוע לאחר פעילויות הגילוי ט' ו‪ -‬י'‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :53-52‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :54‬משקלה המדויק של נירה הוא ‪ 32.4‬ק"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :55‬משקל המכונית ‪ 3.124‬טונות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :56‬שאלה פתוחה‪ .‬דוגמאות‪ 24.1 :‬ק"ג; ‪ 23.9‬ק"ג; ‪ 24.45‬ק"ג‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :57‬כדאי לבצע את המשימה לאחר ביצוע פעילות הגילוי י'‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :58‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :59‬משקל התינוק ‪ 3.250‬ק"ג‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :60‬תחילה יש להמיר את משקל הסוכריות לגרמים ) ‪ ( 3 × 1,000 = 3,000‬ולאחר מכן‬
‫לחלק ב‪ .50 -‬ארזו ‪ 60‬שקיות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :61‬נעמה קנתה ‪ 0.250‬ק"ג חמאה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :62‬המרת מידות משקל מק"ג לגרם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :63‬א( בקילוגרם אחד יש כעשר קלמנטינות‪ .‬ב( בקילוגרם אחד יש כשישה תפוזים‪.‬‬
‫ג( בקילוגרם אחד יש כשתי פומלות‪ .‬ד( דונו עם התלמידים באפשרויות שהם ַמציעים‪ .‬דוגמה‬
‫לאפשרות‪ :‬תפוז אחד‪ ,‬פומלה אחת וארבע קלמנטינות‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :65-64‬במשימות אלו יש להמיר תחילה את יחידות המשקל הנתונות לאותה יחידת‬
‫משקל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :66‬לפי המידות הנתונות אי‪-‬אפשר לאפות שלוש עוגות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :67‬על התלמידים לעקוב אחר הנתונים‪ .‬אפשר לבצע את החישובים בדרכים שונות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :68‬גילוי טעויות בהמרת יחידות משקל‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:471‬‬
‫בשיעור זה התלמידים לומדים להשוות בין משקלים‪ .‬ההחלטה לאיזו יחידת משקל יש להמיר את‬
‫היחידות הנתונות‪ ,‬נובעת משיקולי צורך )אם המחיר נקבע ביחס לקילוגרמים‪ ,‬יש להמיר את‬
‫הגרמים לקילוגרמים( או משיקולי נוחות )באיזו יחידת מידה נוח יותר לחשב(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :69‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :70‬לפני ביצוע המשימה יבדקו התלמידים מה משקלו של ילד בגילים שונים )יש‬
‫לזכור שהכניסה למעלית לילדים מתחת לגיל ‪ 14‬ללא מבוגר ‪ -‬אסורה(‪ ,‬ומה משקלו הממוצע של‬
‫אדם מבוגר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :71‬שימוש באומדן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :72‬משימת יישום‪.‬‬
‫‪211‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:472‬‬
‫בשיעור זה התלמידים לומדים על מידת הכסף‪ .‬גם מידת הכסף הישראלי מבוססת על המבנה‬
‫העשרוני‪ .‬נושא זה קל ביותר ללימוד‪ ,‬כיוון שיש בו שתי יחידות בלבד‪ :‬השקל והאגורה‪ .‬לכן‬
‫ההמרה נעשית בעזרת חילוק וכפל ב‪ 100 -‬בלבד‪ .‬התלמידים משתמשים בכסף ויודעים להמיר כסף‬
‫באופן אינטואיטיבי‪ .‬בשיעור הם ילמדו להמיר כסף בעזרת חישובים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :73‬התלמידים יחפשו במקורות מידע‪ ,‬מה המקור של המילה "שקל"‪ ,‬וכן ימירו‬
‫אגורות לשקלים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :74‬המרת שקלים לאגורות‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :76-75‬התשובות יינתנו בשקלים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :77‬במשימה זו ממירים את הכסף לשקלים או לאגורות ולאחר מכן משווים בין‬
‫הסכומים‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :79-78‬משימות יישום בהשוואת כספים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :80‬א( החישוב באגורות‪ . 30 × 6 + 150 = 330 :‬כעבור שבוע יש ללילך שלושה שקלים‬
‫ו‪ 30 -‬אגורות‪ .‬ב( כעבור שלושה ָשבועות יש לה תשעה שקלים ותשעים אגורות‪ .‬ג( כעבור חמישה‬
‫ָשבועות יש לה ‪ 16.5‬שקלים‪ .‬ד( כעבור עשרה ָשבועות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :81‬תחילה יש למלא את הטבלה‪ ,‬כשבכל יום מוכפל הסכום פי שניים‪ .‬לאחר מכן יש‬
‫לחבר את כל הסכומים‪ .‬ביום העשירי יקבל ירון ‪ 5,120‬אג'‪ ,‬ויהיו לו בסה"כ ‪ 10,230‬אג' שהן ‪102.3‬‬
‫שקלים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :82‬משימת יישום פתוחה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :83‬משימה פתוחה‪ .‬דונו עם התלמידים בפתרונותיהם‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:474‬‬
‫בשיעור זה לומדים על יחידות שטח עשרוניות ועל המרתן זו לזו‪ .‬שטח נמדד בעזרת ריבועי יחידה‪.‬‬
‫הסבו את תשומת לב התלמידים שקיים קשר בין יחידת שטח לבין יחידת האורך שמודדים בה את‬
‫צלעות ריבוע היחידה‪ .‬קשר זה בא לידי ביטוי בשמות של יחידות השטח שמורכבות משתי מילים‪.‬‬
‫המילה הראשונה מציינת את יחידת האורך המתאימה והמילה השנייה היא " ָרבוע"‪ ,‬המציינת‬
‫שטח‪ .‬שוחחו עם התלמידים על היחס בין יחידות השטח השונות‪ ,‬השונה מהיחס בין יחידות‬
‫האורך השונות‪ .‬בעצם כדי לדעת את היחס בין שתי יחידות שטח עלינו לכפול את יחידת האורך‬
‫המתאימה בעצמה )או להעלות אותה בריבוע(‪ .‬לדוגמה‪ ,‬היחס בין ‪ 1‬מילימטר לבין ‪ 1‬סנטימטר‬
‫הוא ‪ , 1 : 10‬היחס בין ‪ 1‬מילימטר ָרבוע לבין ‪ 1‬סנטימטר ָרבוע הוא ‪. 1 :100‬‬
‫הסיבה לכך היא שב‪ 1 -‬סמ"ר יש ‪ 100‬ממ"ר ) ‪.( 10 × 10‬‬
‫כאשר מחשבים שטח כלשהו בדרך עקיפה באמצאות האורכים‪ ,‬משתמשים ביחידת אורך אחידה‪.‬‬
‫אם הנתונים אינם אחידים‪ ,‬ממירים את היחידות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ 1 :84‬קמ"ר הוא שטח של ריבוע שאורך צלעו ‪ 1‬ק"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ 1 :85‬סמ"ר גדול מ‪ 1 -‬ממ"ר פי ‪ .100‬שטח המלבן הוא ‪ 12‬סמ"ר או ‪ 1,200‬ממ"ר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :86‬תחילה מאחדים את יחידות האורך על‪-‬ידי המרה‪ .‬שטח המקבילית‪ 70 :‬סמ"ר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :87‬תחילה מאחדים את יחידות השטח על‪-‬ידי המרה‪ .‬שטח הריבוע גדול יותר‪ ,‬כיוון‬
‫ששטחו ‪ 70‬ממ"ר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :88‬תחילה דונו עם התלמידים בדרכים לחישוב השטחים של המצולעים הנתונים‪.‬‬
‫לאחר מכן ימדדו התלמידים את הצלעות הרלוונטיות לחישוב השטח‪ :‬שתי צלעות סמוכות של‬
‫המלבן; צלע אחת של הריבוע; שני הניצבים של המשולש ישר‪-‬הזווית‪ .‬הסבו את תשומת לב‬
‫התלמידים לכך שלמרות ההוראה לחשב את השטח בשלוש יחידות שטח שונות‪ ,‬מספיק לבצע את‬
‫המדידות פעם אחת בלבד ולחשב את השטח של כל צורה פעם אחת בלבד‪ ,‬ולאחר מכן להמיר את‬
‫‪212‬‬
‫התוצאה ליחידות האחרות הנדרשות‪ .‬בתום הפעילות משווים בין שטחי הצורות‪ .‬בוחרים את‬
‫השטחים שהם באותה יחידת שטח‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:475‬‬
‫בשיעור זה לומדים על יחידת השטח דצימטר ָרבוע )דצמ"ר(‪ .‬יחידה זו שימושית פחות מאשר‬
‫היחידות האחרות‪ ,‬כמו סמ"ר ומ"ר‪ .‬בכל מטר יש ‪ 10‬דצימטרים‪ .‬לכן מטר רבוע גדול מדצימטר‬
‫רבוע פי ‪ .100‬אפשר לומר שהיחס בין ‪ 1‬דצמ"ר ל‪ 1 -‬מ"ר הוא ‪. 1 :100‬‬
‫משימה מס' ‪ :89‬א( ‪ 1‬מ"ר גדול פי ‪ 100‬מ‪ 1 -‬דצמ"ר‪ 1 .‬דצמ"ר קטן פי ‪ 100‬מ‪ 1 -‬מ"ר‪ .‬ב( שטח‬
‫המלבן‪ 6 :‬מ"ר‪ .‬בציור יהיו ‪ 600‬ריבועים ששטחם ‪ 1‬דצמ"ר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :90‬חשוב להשוות כאשר יחידות מידה אחידות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :91‬משימה זו היא הכנה לשיעור הבא‪ .‬א( שטח הריבוע ‪ 1‬דצמ"ר‪ .‬ב( האורך של צלע‬
‫הריבוע ‪ 10‬ס"מ‪ .‬ג( עשרה חלקים‪ .‬ד( ‪ 100‬ריבועים‪ .‬שטח הריבוע הוא ‪ 100‬סמ"ר‪ .‬ה( ‪ 100‬ריבועים‪.‬‬
‫דצמ"ר = ‪ 100‬סמ"ר‪.‬‬
‫ו( ‪ 1‬דצמ"ר גדול פי ‪ 100‬מ‪ 1 -‬סמ"ר‪ ,‬ו‪ 1 -‬סמ"ר קטן פי ‪ 100‬מ‪ 1 -‬דצמ"ר‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:476‬‬
‫בשיעור זה ממשיכים להשוות בין ‪ 1‬דצמ"ר לבין יחידות השטח האחרות‪ .‬הפעם מחפשים את‬
‫היחס בין ‪ 1‬דצמ"ר ל‪ 1 -‬סמ"ר‪ .‬בכל דצימטר יש עשרה סנטימטרים‪ ,‬לכן דצימטר ָרבוע גדול‬
‫מסנטימטר ָרבוע פי ‪ .100‬אפשר לומר שהיחס בין ‪ 1‬סמ"ר לבין ‪ 1‬דצמ"ר הוא ‪. 1 :100‬‬
‫משימה מס' ‪ :92‬א( שטח הריבוע של בר הוא ‪ 4‬דצמ"ר )‪ 400‬סמ"ר(‪ .‬ב( ב‪ 400 -‬ריבועים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :93‬בסמ"ר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :94‬מומלץ להשתמש בטבלת המבנה העשרוני כדי להמיר את היחידות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :95‬גילוי טעויות בהמרת יחידות אורך ושטח‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :96‬משימה פתוחה‪ .‬דונו עם התלמידים בפתרונותיהם‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:477‬‬
‫בשיעור זה התלמידים לומדים להמיר יחידות שטח מוסכמות בעזרת טבלה‪ .‬מאחר שהיחידות‬
‫גדלות פי ‪ ,100‬בכל עמודה בטבלה כותבים שני אפסים‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :99-97‬המרת יחידות שטח בעזרת טבלת המבנה העשרוני‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :100‬א( שטח השיש ‪ 1.5‬מ"ר‪ .‬ב( המחיר ‪.₪ 675‬‬
‫משימה מס' ‪ :101‬יש לשים לב שמספר יחידות השטח בכל עמודה גדול פי ‪ 100‬ממספר יחידות‬
‫השטח שבעמודה שמימינה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :102‬א( שטח החדר ‪ 28‬מ"ר‪ .‬ב( ב‪ 1 -‬מ' יש ‪ 100‬ס"מ‪ ,‬לכן ב‪ 1 -‬מ"ר יש ‪ 10,000‬סמ"ר‬
‫) ‪ .( 100 × 100‬שטח החדר הוא ‪ 280,000‬סמ"ר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :103‬ב‪ 1-‬מ"ר יש ‪ 10,000‬סמ"ר‪ .‬שטח השולחן ‪ 6.4257‬מ"ר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :104‬שטח המגרש ‪ 420‬מ"ר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :105‬א( ‪ 12‬דצמ"ר; ב( ‪ 8‬מ'; ג( ‪ 1,250‬סמ"ר )‪ 0.125‬מ"ר(; ד( ‪ 2‬דצ"מ )‪ 20‬ס"מ(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :106‬חישוב שטח המלבן‪ .‬ודאו שתשובות התלמידים מכילות יחידות שטח‪.‬‬
‫‪213‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:479‬‬
‫בשיעור זה מלמדים את התלמידים על יחידת השטח "דונם"‪ .‬דונם הוא יחידת שטח למדידת‬
‫חלקות אדמה‪ .‬זוהי מידה שנוהגים להשתמש בה בארץ בחיי היום‪-‬יום לציון שטח של מגרשים‪,‬‬
‫של חצרות‪ ,‬של שדות וכדומה‪ .‬ב‪ 1 -‬דונם יש ‪ 1,000‬מ"ר‪ .‬הדונם מוגדר כמלבן של ‪ 10‬מ' על ‪ 100‬מ'‪,‬‬
‫כיוון שאין הוא יכול להיות ריבוע כיתר יחידות השטח‪ .‬אין מספר רציונלי )שלם או שבר(‬
‫שהמכפלה שלו בעצמו היא ‪.1,000‬‬
‫יחידה נוספת שלא הוזכרה בשיעור היא קילומטר ָרבוע )קמ"ר(‪ .‬קמ"ר הוא יחידה למדידת‬
‫שטחים גדולים מאוד‪ .‬ב‪ 1 -‬קמ"ר יש ‪ 1,000,000‬מ"ר‪ 1 .‬קמ"ר גדול מ‪ 1 -‬דונם פי ‪.1,000‬‬
‫משימה מס' ‪ :107‬א( ‪ 1‬דונם גדול מ‪ 1 -‬מ"ר פי ‪ .1,000‬ב( ‪ 1‬מ"ר קטן מדונם פי ‪ .1,000‬ג( ב‪ 1-‬מ"ר‬
‫יש ‪ 100‬דצמ"ר‪ ,‬לכן בדונם יש ‪ 100,000‬דצמ"ר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :108‬אפשר לעסוק במשימה בקבוצות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :109‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :110‬המגרש של מירה גדול יותר‪ .‬שטחו ‪ 8,000‬מ"ר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :111‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :112‬שטח הבית ‪ 750‬מ"ר‪ ,‬שהם ‪ 0.75‬דונם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :113‬שטח ביתו של ירון ‪ 640‬מ"ר‪ ,‬לכן הוא גדול יותר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :114‬אפשר לעסוק במשימה בקבוצות‪.‬‬
‫מה למדנו? עמ' ‪:481‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫משימה מס' ‪ . 1.1 × + 0.9 × = 0.22 + 0.72 = 0.94 :115‬משקלוֹ של ליטר רוטב הוא ‪ 0.94‬ק"ג‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫ממשיכים בתרגול עמ' ‪482‬‬
‫ד( יש כמה מידות לתיבה‪ ,‬לכן אפשר לנהל דיון‪:‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬א( ס"מ ב( ק"ג ג( סמ"ק‬
‫ליטרים או סמ"ק‪ .‬ה( מעלות צלסיוס ו(ק"מ‬
‫משימה מס' ‪ :3‬א( פי ‪ 100‬ב( פי ‪ 100,000‬ג( פי ‪ 10‬ד( פי ‪100‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬א( ‪ 4‬מ' ב( ‪ 9.8‬מ' ג( ‪ 0.75‬מ' ד( ‪ 0.08‬מ' ה( ‪ 4‬מ' ו( ‪0.5‬מ' ז( ‪ 0.06‬מ' ח( ‪ 0.334‬מ'‬
‫משימה מס' ‪ :5‬תחילה מחשבים כמה מדרגות יש בסולם‪ :‬נמיר את אורך הסולם ממטרים‬
‫לסנטימטרים ) ‪ .( 3.5 × 100 = 350‬אורך הסולם ‪ 350‬סנטימטרים‪ .‬נחסר מאורך הסולם את‬
‫ה"רגליים" )‪ 15‬ס"מ מכל צד‪ .( 350 − 30 = 320 :‬נחלק את התוצאה למרחק שבין כל שתי מדרגות‬
‫‪ . 320 : 16 = 20‬יש ‪ 20‬מרחקים‪ ,‬ולכן יש בסולם ‪ 21‬מדרגות‪ .‬כעת נחשב מהו אורך העץ הנדרש כדי‬
‫לבנות את הסולם‪ :‬אורך שני העמודים משני הצדדים יחד הוא שבעה מטרים‪ ,‬שהם ‪ 700‬ס"מ‪.‬‬
‫נחבר אותם עם אורך כל ‪ 21‬מדרגות הסולם‪ . 48 × 21 + 700 = 1,708 :‬אורך העץ הנדרש הוא ‪1,708‬‬
‫ס"מ‪ .‬את האורך שהתקבל בסנטימטרים‪ ,‬אפשר להמיר למטרים‪ 1,708 :‬ס"מ = ‪ 17.08‬מ'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬משימת יישום‪ 2.8 .‬ס"מ = ‪AB‬‬
‫‪ 4‬ס"מ = ‪CD‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬שניהם צדקו‪ ,‬כי כל ‪ 1‬סמ"ר שווה ל‪ 100 -‬ממ"ר‪.‬‬
‫בעיות עמ' ‪484‬‬
‫בעמוד זה מובאות בעיות מילוליות נוספות בנושא מידות עשרוניות‪.‬‬
‫‪214‬‬
‫‪0.5‬ס"מ = ‪EF‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬משימה מילולית שיש בה נתון מיותר‪.‬‬
‫היסטוריה עמ' ‪485‬‬
‫בחלק זה מלמדים את התלמידים את סיפורו של ארכימדס‪ ,‬שגילה את הקשר בין משקל לנפח‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬כאן מתוארת הבעיה שארכימדס גילה דרכה את הקשר בין המשקל לנפח‪.‬‬
‫העשרה ‪486‬‬
‫בבעיה שבעמוד זה משלבים גיאומטריה ומדידות שונות דרך חלקי ה"טנגרם"‪.‬‬
‫אנו שולטים בחומר עמ' ‪486‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על החומר בנושאים‪ :‬ציר המספרים‪ ,‬כפל וחילוק של מספרים טבעיים‪ ,‬כפל‬
‫וחילוק של שברים וגופים‪.‬‬
‫‪215‬‬
‫עמודים ‪507-488‬‬
‫כ‪ .‬קנה–מידה‬
‫רקע‬
‫פרק זה עוסק בנושא קנה‪-‬מידה‪ ,‬והוא יישום ישיר של הנושא יחס‪ .‬במושג קנה‪-‬מידה משתמשים‬
‫במדעים שונים כמו קרטוגרפיה )סרטוט מפות(‪ ,‬גאוגרפיה )שימוש במפות(‪ ,‬אדריכלות )עיצוב‬
‫דגמים של מבנים וסרטוט תרשימים(‪ .‬שימוש רב בקנה‪-‬מידה נעשה באמנות )לדוגמה‪ ,‬בפיסול( וגם‬
‫בתעשיית הצעצועים )לדוגמה‪ ,‬בדגמים של מכוניות(‪ .‬אם נתבונן במפה‪ ,‬בתרשים או בדגם נראה‬
‫שהם נעשו באופן פרופורציוני‪ .‬במילים אחרות‪ ,‬רובם עותקים מוקטנים )או מוגדלים( של מה‬
‫שקיים במציאות‪ .‬כלומר אם נבחר קטע כלשהו בתרשים )במפה או בדגם( ונתאים לו קטע‬
‫במציאות‪ ,‬היחס בין אורכי קטעים אלו יישמר‪ .‬ליחס קבוע זה קוראים קנה‪-‬מידה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬בדגם‬
‫של מכונית העשוי בקנה‪-‬מידה ‪ , 1 : 24‬כל האורכים של המכונית האמיתית הוקטנו פי ‪ 24‬והיחס‬
‫בין האורכים בדגם לבין האורכים המתאימים במציאות הוא קבוע ושווה ל‪ . 1 : 24 -‬גם בין מידות‬
‫החלון והדלת בדגם ובמציאות מתקיים יחס זה בלבד‪ .‬דוגמה נוספת ושימושית ביותר היא קנה‪-‬‬
‫מידה של מפה‪ .‬קנה‪-‬מידה נפוץ במפות הוא ‪ 1 :100,000‬ומשמעותו היא שכל סנטימטר אחד במפה‬
‫מייצג ‪ 100,000‬ס"מ )‪ 1‬ק"מ( במציאות‪ .‬בפרק זה יכירו התלמידים דוגמאות מגוונות לשימוש‬
‫בקנה‪-‬מידה‪.‬‬
‫בתוך כדי הוראת הנושא יש לשים לב לכמה דברים‪:‬‬
‫• מוסכם לרשום קנה‪-‬מידה כיחס כך שאחד מאיבריו הוא ‪;1‬‬
‫• בהקטנה רושמים יחס כך‪ ;( a > 1 ) 1 :a :‬ובהגדלה רושמים את היחס כך‪;( a > 1 ) a :1 :‬‬
‫• את קנה‪-‬המידה קוראים משמאל לימין כמו בקריאת היחס;‬
‫• ישנן צורות שונות לרישום קנה‪-‬מידה )ראו הסברים לקטע שיעור בעמוד ‪;(502‬‬
‫• קנה‪-‬מידה הוא מספר ללא ציון יחידה‪ ,‬ולכן יש להשתמש באותה יחידת אורך לשני המספרים‬
‫– לאורך בתרשים ולאורך במציאות;‬
‫• כדי למצוא את המרחק במציאות מודדים את המרחק בין שתי נקודות מתאימות בתרשים‪,‬‬
‫ומחלקים בקנה‪-‬המידה של התרשים;‬
‫• חשוב ביותר‪ :‬לא כל ציור או סרטוט עשוי בקנה‪-‬מידה‪ .‬אפשר לדבר על קנה‪-‬מידה אך ורק‬
‫כאשר בין אורך כל קטע בתרשים לבין אורך הקטע המתאים לו במציאות יש יחסים שווים‪.‬‬
‫עשויים להתעורר קשיים בהבנת המושג על‪-‬ידי התלמידים הצעירים עקב סיבות שונות‪:‬‬
‫א( המושג קנה‪-‬מידה קשור ליחס‪ ,‬והיחס הוא הנושא הקשה ביותר להבנה על‪-‬ידי תלמידי בית‪-‬‬
‫הספר היסודי;‬
‫ב( לעתים קרובות בקנה‪-‬מידה מופיעים מספרים גדולים‪ ,‬לדוגמה ‪ , 1 :200,000‬ושימוש במספרים‬
‫גדולים מעורר קושי אצל התלמידים;‬
‫ג( תהליך חיפוש מרחק במציאות לפי מפה מעורר קושי נוסף בהפנמת המושג;‬
‫ד( משווים בין קני‪-‬מידה כשם שמשווים בין שברים‪ .‬קנה‪-‬המידה ‪ 1 :100‬גדול מקנה‪-‬המידה‬
‫‪ . 1 :1,000‬משמעות הדבר היא שקטע של ‪ 20‬מטר במציאות מיוצג על‪-‬ידי קטע של ‪20‬‬
‫סנטימטרים )‪ 0.2‬מטר( בקנה‪-‬מידה של ‪ 1:100‬ועל‪-‬ידי קטע של ‪ 2‬סנטימטרים )‪ 0.02‬מטר( בקנה‪-‬‬
‫מידה של ‪. 1 :1,000‬‬
‫כדי לעזור לתלמידים להתמודד עם הקשיים שלעיל ועם כל קושי אחר מומלץ לבצע פעילויות גילוי‬
‫רבות‪ ,‬לסרטט תרשימים של הכיתה‪ ,‬של חדרי השינה של התלמידים וכדומה‪ .‬המלצה נוספת היא‬
‫לשלב את שיעורי המתמטיקה עם שיעורים במקצועות אחרים‪ .‬לדוגמה‪ ,‬בשיעורי גאוגרפיה אפשר‬
‫ללמד קריאת מפות ושימוש בקנה‪-‬מידה‪.‬‬
‫הפרק מתאים לתכנית הלימודים‪ .‬מומלץ להקדיש לו כ‪ 6 -‬שעות לימוד‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬לרשום קנה‪-‬מידה כיחס שאחד האיברים שלו הוא ‪;1‬‬
‫ב‪ .‬לחשב אורך קטע במציאות כאשר נתונים אורך קטע בתרשים וקנה‪-‬מידה;‬
‫ג‪ .‬למצוא קנה‪-‬מידה של תרשים כאשר נתונים האורכים במציאות‪ ,‬ויש אפשרות למדוד‬
‫את האורכים המתאימים בתרשים;‬
‫‪216‬‬
‫ד‪ .‬להבחין בין הקטנה להגדלה לפי הרישום של קנה‪-‬המידה;‬
‫ה‪ .‬לחשב שטח במציאות לפי קנה‪-‬מידה נתון;‬
‫ו‪ .‬לסרטט תרשים פשוט לפי קנה‪-‬מידה נתון;‬
‫ז‪ .‬לסרטט ציור פשוט בקנה‪-‬מידה‪ ,‬כלומר בתוך כדי שמירה על אותו היחס;‬
‫ח‪ .‬להשתמש במפה‪ ,‬לפי הצורך‪ ,‬בפתרון בעיות הקשורות לקנה‪-‬מידה‪.‬‬
‫מושגים‬
‫יחס‪ ,‬יחסים שווים‪ ,‬קנה‪-‬מידה‪ ,‬הקטנה‪ ,‬הגדלה‪ ,‬תרשים‪ ,‬מפה‪ ,‬מציאות‪ ,‬מרחק אווירי‪ ,‬אורך‪,‬‬
‫רוחב‪ ,‬שטח‪ ,‬שמירה על אותו היחס‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫סרגל‪ ,‬עיפרון‪ ,‬מחשבון‪ ,‬מפת ארץ ישראל‪ ,‬מפת הגליל‪ ,‬תרשימים‪ ,‬חוט תפירה‪ ,‬תמונות‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על יחס‪.‬‬
‫רושמים על הלוח את היחסים האלה‪, 1 :100,000 , 10 :2,000 , 5 :1,000 , 2 :20 , 1 : 10 :‬‬
‫‪ . 200 :6 , 20 : 1 , 100 :1 , 1 :10,000‬מבקשים מהתלמידים למיין את היחסים לפי קריטריון‬
‫כלשהו‪ .‬דנים בהצעותיהם למיון‪ .‬דוגמאות למיון‪ :‬א( קבוצה ראשונה‪ :‬המחולק גדול מהמחלק‪,‬‬
‫קבוצה שנייה‪ :‬המחלק גדול מהמחולק; ב( יחסים שווים ולא‪-‬שווים; ג( אחד מאיברי היחס הוא ‪1‬‬
‫וכדומה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על כפל ועל חילוק של מספרים טבעיים גדולים‪.‬‬
‫מבקשים מאחד התלמידים לומר בעל‪-‬פה כמה מספרים טבעיים גדולים‪ .‬רושמים את המספרים‬
‫על הלוח‪.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים לחלק מספרים אלה ב‪,10 -‬ב‪ 100 -‬וב‪ 10,000 -‬ולבדוק את התשובות בעזרת‬
‫מחשבון‪.‬‬
‫פתרון תרגילים אלה יקל על התלמידים בחישובים שיבצעו בבעיות העוסקות בקנה‪-‬מידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חזרה על מידות עשרוניות‪.‬‬
‫רושמים על הלוח יחידת מידה‪ ,‬ומבקשים מהתלמידים להמיר אותה ליחידה אחרת‪ .‬אפשר לבצע‬
‫משימה זו בעל‪-‬פה או במחברת‪ ,‬לפי שיקולכם‪.‬‬
‫המרת מידות האורך‪:‬‬
‫‪ 1‬ס"מ = _____ מ"מ; ‪ 1‬מ' = ____ ס"מ = ____ מ"מ;‬
‫‪ 1‬ק"מ = ___ מ' = ____ ס"מ =____ מ"מ‪.‬‬
‫המרת מידות השטח‪:‬‬
‫‪ 1‬סמ"ר = ____ ממ"ר; ‪ 1‬מ"ר = ___ סמ"ר = _____ ממ"ר;‬
‫‪ 1‬קמ"ר = _____ מ"ר = ____ סמ"ר = ___ ממ"ר‪.‬‬
‫דונו עם התלמידים בשוני בין מידות האורך למידות השטח ובהבדלים בין ההמרה ממידת אורך‬
‫למידת אורך אחרת לבין ההמרה ממידת שטח למידת שטח אחרת‪ .‬לדוגמה‪ ,‬כאשר ממירים‬
‫סנטימטרים למילימטרים‪ ,‬כופלים ב‪ ;10 -‬ואילו בהמרת סנטימטרים ְרבוּעים למילימטרים‬
‫ְרבוּעים כופלים ב‪.(102) 100 -‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬סרטוט תרשים של חדר הכיתה‪.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים למדוד את הרוחב ואת האורך של הכיתה ואת הרוחב ואת האורך של‬
‫השולחנות בכיתה ולרשום את תוצאות המדידה במחברת‪) .‬אורך הכיתה הוא ____ ס"מ; רוחב‬
‫הכיתה הוא _____ ס"מ; אורך השולחן הוא ___ ס"מ; רוחב השולחן הוא ___ ס"מ‪ ,‬רוחב הדלת‬
‫הוא ______ ס"מ וכדומה‪(.‬‬
‫‪217‬‬
‫שואלים את התלמידים‪" :‬האם אפשר לסרטט תרשים של הכיתה במחברת בגודל הטבעי שלה?‬
‫כיצד נסרטט את תרשים הכיתה?" עודדו את התלמידים לחשוב על הקטנת מידות הכיתה לצורך‬
‫סרטוטה‪ .‬שוחחו עם התלמידים על הצעותיהם להקטנת המידות‪ .‬דונו עם התלמידים בשאלה אם‬
‫צריך להקפיד על שמירת היחס בין האורכים בתרשים ובמציאות‪ .‬שאלה נוספת לדיון‪:‬‬
‫האם הקטנת מידות חדר הכיתה והקטנת מידות השולחנות צריכה להיעשות באותו היחס?‬
‫מבקשים מהתלמידים לסרטט את תרשים הכיתה‪ ,‬כולל את כל השולחנות שבכיתה‪.‬‬
‫המסקנות שחשוב להגיע אליהן‪:‬‬
‫‪ (1‬תרשים העשוי בהסתכלות מלמעלה מתאר בצורה הטובה ביותר את החדר;‬
‫‪ (2‬יש לשמור על אותו היחס בין האורכים לאורך כל התרשים‪.‬‬
‫בתום הפעילות ַמגיעים למושג קנה‪-‬מידה ולמושג תרשים העשוי בקנה‪-‬מידה‪.‬‬
‫פעילות ב‪ :‬תרשים של חדר בבית‪.‬‬
‫לקראת השיעור מבקשים מהתלמידים לסרטט תרשים של חדרם ולהביא אותו לכיתה‪.‬‬
‫תולים על הלוח תרשימים אחדים‪) .‬אפשר לתלות על הלוח ארבעה תרשימים‪(.‬‬
‫הערה למורה‪ :‬אם התרשים קטן‪ ,‬מומלץ לצלם מספר עותקים ולחלק בין התלמידים‪.‬‬
‫כדאי לעבוד בקבוצות במקום במליאה ולדון בתרשימים של חברי הקבוצה‪.‬‬
‫דנים עם התלמידים בשאלות האלה‪:‬‬
‫במה דומים ובמה שונים התרשימים שהוצגו?‬
‫האם לפי התרשים אפשר לדמיין את החדר?‬
‫האם יש קשר בין גודל החדר בתרשים לגודל החדר במציאות? אם כן‪ ,‬מהו הקשר?‬
‫האם יש קשר בין גודל המיטה בתרשים לגודל החדר בתרשים? אם כן‪ ,‬מהו הקשר?‬
‫האם התרשים מאפשר לדעת אם אפשר להעביר את המיטה דרך הדלת?‬
‫האם אורכים שווים במציאות מצוירים כאורכים שווים בתרשים?‬
‫איזה תרשים מתאר את החדר בצורה טובה ביותר?‬
‫מאיזה כיוון מציירים תרשים?‬
‫פעילות ג‪ :‬סרטוט תרשים של חדר הכיתה לפי קנה‪-‬מידה נתון‪.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים לסרטט את חדר הכיתה )כולל שולחנות התלמידים ושולחן המורה( על דף‬
‫שגודלו ‪ ,A4‬בקנה‪-‬מידה ‪) 1 : 40‬כל ס"מ בתרשים מייצג ‪ 40‬ס"מ במציאות(‪.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים להציג את התרשימים שסרטטו‪ .‬תולים על הלוח שניים או שלושה‬
‫תרשימים‪ .‬דנים בשאלה‪" :‬במה דומים התרשימים ובמה הם שונים זה מזה?"‬
‫דנים עם התלמידים בצורת הכתיבה ‪ 1 : 40‬של קנה‪-‬המידה‪ :‬מה מייצג המספר ‪ ?1‬מה מייצג‬
‫המספר ‪?40‬‬
‫פעילות ד‪ :‬חקירת מפות שונות והכרת המושג קו אווירי‪.‬‬
‫מומלץ לבצע פעילות זו בקבוצות‪ ,‬כך שלכל תלמיד תהיה גישה למפה‪.‬‬
‫מביאים לכיתה מפות שונות‪ .‬אפשר להביא את מפת ארץ ישראל ומפות של יישובים שונים‪.‬‬
‫מתבוננים במפות ודנים עם התלמידים בדומה ובשונה בין המפות‪ .‬חוקרים את קני‪-‬המידה במפות‬
‫שהוצגו‪ .‬לדוגמה‪ ,‬קנה‪-‬המידה הנפוץ במפות הוא ‪ 1 :100,000‬כלומר כל סנטימטר במפה מייצג‬
‫‪ 100,000‬ס"מ במציאות או כל ‪ 1‬ס"מ במפה מייצג ‪ 1‬ק"מ במציאות‪.‬‬
‫בוחרים שני יישובים במפה‪ ,‬ומודדים את המרחק ביניהם בעזרת סרגל‪ .‬מבקשים מהתלמידים‬
‫למצוא מרחק זה במציאות לפי קנה‪-‬המידה של המפה ודנים בשאלה‪" :‬האם זהו אורך הדרך‬
‫שאוטובוס עובר כאשר הוא נוסע בין היישובים?" מגיעים למסקנה שבפועל אורך הדרך שונה‬
‫מהאורך שחושב‪ ,‬ומבקשים מהתלמידים לחשב את אורך הדרך בין היישובים בעזרת מספר‬
‫הקילומטרים שמצוינים במפה ליד הכבישים )אם במפה מצוין מרחק זה(‪ .‬דנים במושג קו אווירי‬
‫ובמושג אורך הדרך בכביש ובהבדלים ביניהם‪ .‬מגיעים למסקנה שחישוב מרחקים במציאות לפי‬
‫קנה‪-‬מידה של המפה נעשה בקירוב‪ ,‬כי מחשבים את המרחק בקו אווירי‪.‬‬
‫פעילות ה‪ :‬פעילות יחידנית במפת היישוב‪.‬‬
‫לפעילות זו חשוב להצטייד בעותקים של מפת היישוב שמצוין בה קנה‪-‬המידה )לדוגמה‪ ,‬אפשר‬
‫לצלם את המפה ממדריך הטלפון(‪ .‬שימו לב‪ :‬ישנן מפות )סכמות( שחסר בהן קנה‪-‬מידה‪.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים למצוא במפה את הרחוב שהם גרים בו‪ ,‬ולסמן בעיפרון מחודד את הנקודה‬
‫שהיא ביתם‪ .‬מבקשים מהם למצוא גם את בית הספר‪ .‬שואלים‪" :‬מהו המרחק בין בית הספר לבין‬
‫הבית שלכם במפה? מהו המרחק במציאות? האם המרחק בקו האווירי בין שני המקומות זהה‬
‫למרחק שאתם הולכים או נוסעים בפועל?"‬
‫אפשר לבחור מקומות שונים בעיר כרצונכם ולשאול שאלות מתאימות‪.‬‬
‫‪218‬‬
‫פעילות ו‪ :‬בוחרים קנה‪-‬מידה כלשהו‪ ,‬ומבקשים מהתלמידים לצייר במחברתם את גובהם‪ ,‬את‬
‫המרחק בין כתפיהם ואת אורכי הרגליים והזרועות שלהם בקנה‪-‬המידה שנבחר‪ .‬הדגישו כי‬
‫השינוי של ממדי הגוף )האורכים( צריך להיות פרופורציוני‪ .‬אפשר לבקש להביא תמונה מהבית‬
‫ולמדוד את הגובה בתמונה ואת רוחב הכתפיים‪ .‬מטרת הפעילות בתמונה היא למצוא את קנה‪-‬‬
‫המידה של התמונה‪.‬‬
‫הספר לתלמיד‬
‫המלצה כללית‪ :‬כדי להקל על התלמידים את הפנמת המושגים הקשורים לפרק ואת החישובים‬
‫כדאי להכין כרזה שיהיו כתובים בה שוויונות בין מידות אורך שונות‪ .‬לדוגמה‪ 1 ,‬ק"מ = ‪1,000‬‬
‫מ'; ‪ 1‬מ' = ‪ 100‬ס"מ‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :488‬קנה מידה‬
‫בשיעור זה התלמידים לומדים שקנה‪-‬מידה של תרשים הוא היחס הקבוע בין אורך כל קטע‬
‫בתרשים לבין אורך קטע תואם במציאות‪.‬‬
‫קנה‪-‬המידה המודגם בשיעור הוא ‪ , 1 : 50‬כלומר כל סנטימטר בתרשים מייצג ‪ 50‬ס"מ במציאות‪.‬‬
‫חשוב להדגיש שממדי הפיל בתרשים ובמציאות "שומרים" על אותו יחס‪ .‬כלומר אם נחשב את‬
‫היחס בין אורך קטע כלשהו בתרשים לאורך הקטע המתאים לו במציאות‪ ,‬נקבל תמיד אותו‬
‫היחס‪.‬‬
‫בשיעור זה התלמידים לומדים כיצד לחשב אורך בתרשים כאשר נתונים קנה‪-‬המידה והאורך‬
‫המתאים במציאות‪ :‬כופלים את האורך במציאות בקנה‪-‬המידה )שאפשר לכתוב אותו כשבר(‪.‬‬
‫כדי למצוא את קנה‪-‬המידה של התרשים מחלקים את האורך שבתרשים באורך המתאים‬
‫במציאות‪ .‬את היחס המתקבל מצמצמים כך שאחד הגורמים יהיה ‪.1‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬מציאת קנה‪-‬המידה והחישוב של ממדי הבניין במציאות‪.‬‬
‫בסעיף א' קנה‪-‬המידה שהאדריכל השתמש בו הוא ‪. 1 : 50‬‬
‫בסעיף ב' כדי למצוא את מידות הבסיס במציאות יש לחלק את אורכי הדגם הנתונים בקנה‪-‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ,‬וזה שקול לכפל המידות‬
‫מידה ‪ . 1 : 50‬כדי להקל את החישובים אפשר לחלק את המידות ב‪-‬‬
‫‪50‬‬
‫ב‪ .50 -‬מידות הבסיס‪ :‬רוחבו ‪ 10‬מ' או ‪ 1,000‬ס"מ )כי ‪ ( 20 × 50 = 1,000‬ואורכו ‪ 12.5‬מ' או ‪12,500‬‬
‫ס"מ )כי ‪ .( 25 × 50 = 12,500‬חשוב להמיר סנטימטרים למטרים בסוף החישובים או בהתחלה‪ ,‬כי‬
‫מידות הבניין במציאות הן במטרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬א( אורך המברשת שבסרטוט הוא ‪ 6‬ס"מ‪ .‬ב( המברשת הוקטנה פי שלושה‪ .‬ג( כל‬
‫סנטימטר בסרטוט מייצג שלושה סנטימטרים במציאות‪ .‬ד( המברשת מצוירת בקנה‪-‬המידה‬
‫‪ .1 : 3.‬שימו לב שהמדידות בעזרת סרגל אינן מדויקות‪ ,‬ולכן התלמידים יכולים לקבל תוצאות‬
‫מדידה שונות של המברשת‪ .‬עם זאת תוצאות אלו צריכות להיות קרובות ל‪ 6 -‬ס"מ‪ .‬לדוגמה‪5.9 ,‬‬
‫ס"מ או ‪ 6.1‬ס"מ ולא ‪ 6.5‬ס"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬חישוב אורכים בתרשים או במציאות כאשר נתון קנה‪-‬המידה‪ .‬דונו עם התלמידים‬
‫בשאלה כיצד אפשר להשלים את הטבלה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬כדי לחשב אורך במציאות על התלמידים לחלק‬
‫את האורך שבתרשים בקנה‪-‬המידה‪ .‬אפשר לבצע את החישובים באחת משתי הדרכים‪ :‬א( אפשר‬
‫לכתוב את קנה‪-‬המידה בצורת שבר ואחר‪-‬כך לבצע חילוק בשבר פשוט; ב( לכפול את האורך הנתון‬
‫באיבר השני של היחס‪ ,‬כלומר במכנה של השבר‪) .‬דרך זו נובעת מחילוק שברים‪(.‬‬
‫דוגמה לחישוב של האורך בשורה הראשונה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪8 × 25,000‬‬
‫א( ‪= 200,000‬‬
‫=‬
‫‪ 8 :‬ב( ‪. 8 × 25,000 = 200,000‬‬
‫‪25,000‬‬
‫‪1‬‬
‫כעת על התלמידים להמיר את האורך שהתקבל מסנטימטרים לקילומטרים‪ ,‬והדבר עלול להיות‬
‫קשה לתלמידים‪ .‬ההמרה נעשית על‪-‬סמך השוויון ‪ 1‬ק"מ = ‪ 1,000‬מ' = ‪ 100,000‬ס"מ‪ .‬התשובה‬
‫שכותבים בטבלה היא ‪ 2‬ק"מ‪.‬‬
‫‪219‬‬
‫להלן התשובות‪:‬‬
‫האורך בתרשים‬
‫‪ 8‬ס"מ‬
‫‪ 30‬ס"מ‬
‫‪ 1.5‬מ'‬
‫‪ 45‬ס"מ‬
‫‪ 2.6‬ס"מ‬
‫‪ 30‬ס"מ‬
‫‪ 15‬ס"מ‬
‫‪ 19‬ס"מ‬
‫האורך במציאות‬
‫‪ 2‬ק"מ‬
‫‪ 1.5‬ק"מ‬
‫‪ 45‬ק"מ‬
‫‪ 0.45‬ק"מ‬
‫‪ 0.000052‬ק"מ‬
‫‪ 9‬ק"מ‬
‫‪ 150‬מטר‬
‫‪ 38‬ס"מ‬
‫קנה‪-‬המידה‬
‫‪1 : 25 ,000‬‬
‫‪1 : 5 ,000‬‬
‫‪1 : 30 ,000‬‬
‫‪1 : 1 ,000‬‬
‫‪1:2‬‬
‫‪1 : 30 ,000‬‬
‫‪1 : 1 ,000‬‬
‫‪1:2‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬התלמידים נדרשים למדוד את אורך המעטפה ואת רוחבה‪ .‬חשוב לעודד אותם‬
‫למדוד בדיוק האפשרי‪ .‬דונו עם התלמידים בתשובותיהם לסעיפים א'‪ -‬ג'‪ .‬הסבו את תשומת לבם‬
‫לכך שרוחב המעטפה אינו מספר שלם‪.‬‬
‫גם אם קשה למדוד בדיוק את רוחב המעטפה‪ ,‬אפשר להשתמש בתיחום בין‪ ...‬לבין‪...‬‬
‫א‪ .‬אורך המעטפה הוא ‪ 4‬ס"מ ורוחב המעטפה הוא ‪ 2.75‬ס"מ‪.‬‬
‫ב‪ .‬המעטפה שבאיור הוקטנה פי ארבעה‪.‬‬
‫ג‪ .‬כל ‪ 1‬ס"מ באיור מייצג ‪ 4‬ס"מ במציאות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪:5‬‬
‫אורך קטע באיור )בס"מ(‬
‫אורך קטע במציאות )בס"מ(‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9‬‬
‫‪4‬‬
‫‪12‬‬
‫קנה‪-‬המידה של האיור הוא ‪. 1 :3‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬משימת יישום בצורת בעיה מילולית‪ .‬א( אם גובה המבנה של בית הספר הוא‬
‫עשרה מטרים‪ ,‬וקנה‪-‬המידה של הדגם הוא ‪ , 1 :100‬גובה הדגם הוא ‪ 0.1‬מ' )‪ 10‬ס"מ(‪ .‬אפשר להקל‬
‫על התלמידים אם מנחים אותם להמיר תחילה את גובה המבנה לסנטימטרים ולאחר מכן לבצע‬
‫את החישוב הנדרש‪ 10 .‬מ' = ‪ 1,000‬ס"מ‪ . 1,000 :100 = 10 .‬התשובה‪ 10 :‬ס"מ‪.‬‬
‫ב( הגובה של מבנה בית הספר הוקטן פי מאה לפי קנה‪-‬המידה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬במשימה זו עולה הקשר בין קנה‪-‬המידה לגודל הסרטוט‪ .‬ככל שהמחלק בקנה‪-‬‬
‫המידה )המכנה‪ ,‬אם רושמים את קנה‪-‬המידה כשבר( גדול יותר‪ ,‬הסרטוט קטן יותר‪ .‬כדאי לשוחח‬
‫עם התלמידים על קשר זה‪.‬‬
‫א( גובה הבניין בסנטימטרים הוא ‪ 2,400‬ס"מ ) ‪.( 24 × 100 = 2,400‬‬
‫ב( אם קנה‪-‬המידה של סרטוט הבניין הוא ‪ , 1 :800‬אורך הבניין בסרטוט הוא ‪ 3‬ס"מ‪.‬‬
‫אם קנה‪-‬המידה של סרטוט הבניין הוא ‪ , 1 :600‬אורך הבניין בסרטוט הוא ‪ 4‬ס"מ‪.‬‬
‫אם קנה‪-‬המידה של סרטוט הבניין הוא ‪ , 1 :1,600‬אורך הבניין בסרטוט הוא ‪ 1.5‬ס"מ‪.‬‬
‫רצוי לשאול את התלמידים‪" :‬האם קיים קנה‪-‬מידה לסרטוט בניין? האם ייתכנו תשובות שונות?‬
‫אם כן‪ ,‬באילו מצבים שונים נדרש לסרטט אותו בניין בקנה‪-‬מידה שונה?"‬
‫משימה מס' ‪ :8‬התלמידים נדרשים לבדוק תחילה מה ממדי התרשים )אף‪-‬על‪-‬פי שהם אינם‬
‫מתבקשים לעשות זאת במפורש( כדי למצוא את אורך המיטה ואת רוחבה וכן את אורכי הארון‬
‫והשולחן‪.‬‬
‫א( ‪ 190‬ס"מ‪ .‬ב( ‪ 90‬ס"מ‪ .‬ג( ‪ 350‬ס"מ‪ .‬או ‪ 3.5‬מטר‪ .‬ד( ‪ 120‬ס"מ‪.‬‬
‫‪220‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ : 490‬צורות כתיבה של קנה‪-‬מידה‬
‫קנה‪-‬מידה הוא יחס‪ .‬בחיי היום‪-‬יום מקובל לכתוב קנה‪-‬מידה כך‪ . a :b :‬דוגמה‪. 1 :200,000 :‬‬
‫אולם ישנן צורות כתיבה שונות לקנה‪-‬מידה זה‪ .‬במילים‪ :‬כל ‪ 1‬ס"מ מייצג במציאות ‪200,000‬‬
‫‪1‬‬
‫‪,‬‬
‫ס"מ‪ ,‬כלומר ‪ 2‬ק"מ‪ .‬אפשר להציג קנה‪-‬מידה בצורת שבר כך‪:‬‬
‫‪200,000‬‬
‫או בעזרת קטע כך‪:‬‬
‫‪ 0‬ק"מ‬
‫‪4‬‬
‫אורך הקטע המודגש הוא ‪ 1‬ס"מ‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫במציאות‬
‫מ‬
‫"‬
‫ק‬
‫‪2‬‬
‫מייצג‬
‫במפה‬
‫משמעות הדבר היא שכל ‪ 1‬ס"מ‬
‫‪ 0‬ק"מ‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫במפות ובתרשימים שונים אפשר למצוא גם קנה‪-‬מידה המיוצג כך‪:‬‬
‫כלומר כל ‪ 1‬ס"מ במפה מייצג ‪ 2‬ק"מ במציאות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬הקושי העיקרי בביצוע משימה זו הוא המרת יחידות המידה לסנטימטרים‪.‬‬
‫הזכירו לתלמידים את המידות האלה‪ 1 :‬מ' = ‪ 100‬ס"מ‪ 1 ,‬ק"מ =‪ 100,000‬ס"מ‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫; ב( ‪ 1 :500‬או‬
‫דוגמאות לכתיבת קנה‪-‬מידה‪ :‬א( ‪ 1 :100,000‬או‬
‫‪100,000‬‬
‫‪500‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬משימת יישום לצורת כתיבה של קנה‪-‬מידה כקטע‪.‬‬
‫‪ 0‬מ'‬
‫‪6‬‬
‫א‪1 :300 .‬‬
‫‪ 0‬ק"מ‬
‫‪20‬‬
‫ב‪1 :1,000,000 .‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬קנה‪-‬המידה של המפה הוא ‪ , 1 :500,000‬כלומר כל ‪ 1‬ס"מ במפה מייצג במציאות‬
‫‪ 500,000‬ס"מ או ‪ 5‬ק"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬א( כל ‪ 1‬ס"מ במפה מייצג ‪ 4‬ק"מ במציאות‪ .‬ב( כל ‪ 1‬ס"מ במפה מייצג ‪ 10‬ק"מ‬
‫במציאות‪ .‬ג( כל ‪ 1‬ס"מ במפה מייצג ‪ 10‬ק"מ במציאות‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :491‬מפת הגליל‬
‫בקטע שיעור זה מוצגת מפת הגליל‪ .‬התלמידים לומדים כי מפה היא תרשים של מקום‪ .‬במפה זו‬
‫מופיע קנה‪-‬מידה בצורת קטע‪ 1 .‬ס"מ במפה מייצג ‪ 4‬ק"מ במציאות‪ .‬כדי לחשב את המרחק‬
‫במציאות מיישוב ליישוב כופלים את המרחק בין היישובים שבמפה במכנה של השבר המייצג את‬
‫קנה‪-‬המידה‪ .‬המרחקים במפות נמדדים בדרך‪-‬כלל בקו ישר העובר בין נקודה לנקודה )נקודה‬
‫מציינת מקום יישוב(‪ .‬מרחק זה נקרא "קו אווירי"‪ .‬לכן כדאי לדון עם התלמידים בהבדל בין‬
‫"מרחק בקו אווירי" לבין מרחק בין ישובים הלכה למעשה‪ ,‬כלומר המרחק שהולכים או נוסעים‪.‬‬
‫רוב הכבישים אינם ישרים‪ ,‬ולכן בחישוב המרחקים בין יישובים יש להתחשב באילוצים‬
‫גיאוגרפיים הקיימים בשטח‪ .‬כדי לקבל את המרחק הקרוב יותר לזה שבמציאות אפשר להשתמש‬
‫בחוט תפירה‪ .‬מניחים את חוט התפירה על הכבישים המפותלים‪ ,‬לאחר מכן מיישרים אותו‬
‫ומודדים את אורכו‪ .‬מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי ד' ו‪ -‬ה' לפני השיעור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬התלמידים נדרשים לחשב את המרחק במציאות לפי הנתונים‪ .‬המרחק בין‬
‫עפולה לנצרת עלית במפה הוא כ‪ 3 -‬ס"מ‪ .‬קנה‪-‬המידה של המפה הוא ‪ . 1 : 400,000‬אם כך‪ ,‬המרחק‬
‫במציאות הוא ‪ 1,200,000‬ס"מ‪ ,‬כלומר ‪ 12‬ק"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬התלמידים נדרשים למדוד את המרחק בין שני יישובים במפה ולחשב את‬
‫המרחק ביניהם במציאות‪.‬‬
‫א( המרחק במפה בין נחשולים לחיפה הוא כ‪ 6 -‬ס"מ‪ ,‬והם מייצגים ‪ 24‬ק"מ במציאות‪.‬‬
‫ב( המרחק בין יקנעם עלית לחיפה במפה הוא כ‪ 5.5 -‬ס"מ‪ ,‬והם מייצגים ‪ 22‬ק"מ במציאות‪.‬‬
‫ג( המרחק בין כרמיאל לקריית‪-‬אתא במפה הוא כ‪ 6 -‬ס"מ‪ ,‬והם מייצגים ‪ 24‬ק"מ במציאות‪.‬‬
‫‪221‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬א( המרחק בין חיפה לכרמיאל במפה הוא כ‪ 9 -‬ס"מ‪ .‬ב( המרחק בין היישובים‬
‫במציאות הוא כ‪ 36 -‬ק"מ‪ .‬ג(המרחק במציאות הוא אורך הכביש העובר בין יישובים‪ ,‬כולל‬
‫פיתולים שונים‪ .‬הכבישים אינם קוויים ישרים‪ .‬לכן המרחק במציאות גדול מהמרחק בקו אוויר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬משימה פתוחה‪ .‬התלמידים יכולים לבחור שני יישובים ולחשב את המרחק‬
‫ביניהם במציאות על‪-‬פי המרחק ביניהם במפה ולפי קנה‪-‬המידה הנתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬משימה פתוחה‪ .‬התלמידים נדרשים למצוא שני יישובים המרוחקים מכרמיאל‬
‫במרחק שהוא קטן מ‪ 10 -‬ק"מ‪ .‬פירושו של דבר הוא שהתלמידים צריכים לחפש שני יישובים‬
‫שהמרחק מכל אחד מהם לכרמיאל במפה קטן מ‪ 2.5 -‬ס"מ‪ .‬דונו עם התלמידים במיקום היישובים‬
‫המתאימים למשימה‪ .‬במפה יישובים אלו ממוקמים בשטח העיגול שרדיוסו קטן מ‪ 2.5 -‬ס"מ‪.‬‬
‫מרכז העיגול הוא כרמיאל‪ .‬דוגמאות ליישובים‪ :‬סחנין‪ ,‬יובלים‪ ,‬מכמנים‪ ,‬שגב‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬התלמידים נדרשים למצוא שני יישובים המרוחקים מהיישוב קריית‪-‬טבעון‬
‫במרחק הגדול מ‪ 10 -‬ק"מ במציאות‪ ,‬כלומר יותר מ‪ 2.5 -‬ס"מ במפה‪.‬‬
‫דוגמאות ליישובים‪ :‬חיפה‪ ,‬כרמיאל‪ ,‬עתלית‪ ,‬זיכרון יעקב‪ ,‬עפולה‪ ,‬נצרת וכדומה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬משימה פתוחה‪ .‬התלמידים נדרשים לבדוק במפת עירם את המרחק מביתם‬
‫לבית הספר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬כאן מומחש ההבדל בין המרחק בקו אווירי לבין המרחק בין יישובים‪ ,‬המחושב‬
‫בדרך‪-‬כלל לפי כבישי ישראל‪ .‬הדריכו את התלמידים להשתמש בחוט תפירה כדי להניח אותו על‬
‫הכבישים שבין שפרעם לעכו‪.‬‬
‫א( המרחק במפה בין שפרעם לעכו הוא קצת יותר מ‪ 4.6 -‬ס"מ‪.‬‬
‫ב( המרחק במפה בכבישים הוא כ‪ 5.5 -‬ס"מ‪ ,‬שהם ‪ 22‬ק"מ במציאות‪.‬‬
‫ג( בקו אווירי המרחק הוא בערך ‪ 19‬ק"מ‪.‬‬
‫אפשר לבקש מהתלמידים להשוות בין שתי אפשרויות של דרך‪ .‬דרך קריית מוצקין או דרך‬
‫יהוד‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :493‬מפת ישראל‬
‫קנה‪-‬המידה של מפת ארץ ישראל הוא ‪ , 1 :2,000,000‬כלומר ‪ 1‬ס"מ במפה מייצג ‪ 20‬ק"מ במציאות‪.‬‬
‫אם משווים בין קני‪-‬המידה של מפת הגליל ושל מפת ארץ ישראל‪ ,‬רואים שבמפת ארץ ישראל ‪1‬‬
‫ס"מ מייצג מרחק גדול יותר במציאות מאשר במפת הגליל‪ ,‬כי אזור ארץ ישראל גדול יותר מאזור‬
‫הגליל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬כל סנטימטר במפת ישראל מייצג ‪ 20‬ק"מ שהם ‪ 2,000,000‬ס"מ במציאות‪ .‬קנה‪-‬‬
‫המידה של מפת ישראל הוא ‪. 1 :2,000,000‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬התלמידים נדרשים לחשב מרחק בין שני יישובים‪ .‬המרחק במציאות בין ראש‬
‫הנקרה לאילת הוא ‪ 44,000,000‬ס"מ‪ ,‬שהם ‪ 440‬ק"מ במציאות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬משימה הכוללת שני שלבים‪ :‬מציאת המרחק בין ירושלים לתל‪-‬אביב במפה‬
‫וחישוב המרחק במציאות על‪-‬פי קנה‪-‬המידה‪ .‬המרחק בין ירושלים לתל‪-‬אביב במפה הוא ‪2.9‬‬
‫ס"מ‪ ,‬שהם כ‪ 60 -‬ק"מ במציאות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬המרחק בין באר שבע לאילת במפה הוא ‪ 10.5‬ס"מ‪ ,‬שהם ‪ 210‬ק"מ במציאות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬במשימה זו מודגש הקשר בין המפות השונות‪ ,‬ומוסבר שהמרחקים במציאות‬
‫אינם משתנים‪ .‬כשקנה‪-‬המידה שונה‪ ,‬המרחק בין שני יישובים במציאות אינו משתנה‪ .‬המרחק בין‬
‫כרמיאל לחיפה במפת ישראל הוא ‪ 1.5‬ס"מ שהם ‪ 30‬ק"מ במציאות‪ .‬תשובה זו זהה לתשובה‬
‫במשימה ‪ .15‬שימו לב‪ :‬התלמידים עשויים לקבל תשובות שונות עקב המדידה בסרגל‪ ,‬כי כל‬
‫המדידות נעשות בקירוב‪ ,‬אך ההבדלים במדידות לא צריכים להיות יותר מ‪ 1 -‬מ"מ‪ .‬הדריכו את‬
‫התלמידים לבצע מדידה מחדש אם ההבדל הוא יותר ממילימטר אחד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬משימה פתוחה‪ .‬התלמידים יכולים לבחור שני יישובים ולחשב את המרחק‬
‫ביניהם במציאות על‪-‬פי המרחק ביניהם במפה ולפי קנה‪-‬המידה הנתון‪.‬‬
‫‪222‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬השוואה בין מרחקים במפות השונות‪ .‬כדאי לסרטט על הלוח את הטבלה‬
‫שלפניכם ולהשלים אותה לפי הסעיפים שבמשימה‪.‬‬
‫מפת ארץ ישראל‬
‫קנה‪-‬המידה של המפה‬
‫תיאור מילולי של‬
‫קנה‪-‬המידה‬
‫המרחק בין עפולה‬
‫לנצרת‪-‬עלית במפה‬
‫המרחק בין עפולה‬
‫לנצרת‪-‬עלית במציאות‬
‫מפת הגליל‬
‫‪1 : 2 ,000 ,000‬‬
‫‪1 : 400 ,000‬‬
‫‪ 1‬ס"מ מייצג ‪ 20‬ק"מ‬
‫‪ 1‬ס"מ מייצג ‪ 4‬ק"מ‬
‫‪ 0.5‬ס"מ‬
‫‪ 2.5‬ס"מ‬
‫‪ 10‬ק"מ‬
‫‪ 10‬ק"מ‬
‫משימה מס' ‪ :28‬במשימה זו מושם דגש על ההבדלים בין המפות השונות‪ .‬מפה של אזור קטן יותר‬
‫מכילה יישובים רבים יותר מאשר מפה של אזור גדול יותר‪ .‬ישנם יישובים המופיעים במפת הגליל‬
‫ואינם מופיעים במפת ארץ ישראל‪ .‬להלן חלק מהיישובים‪ :‬אורן‪ ,‬מגדים‪ ,‬נווה‪-‬ים‪ ,‬ניר‪-‬עציון‪,‬‬
‫החותרים‪ ,‬יגור‪ ,‬רכסים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬השימוש במפות שונות בא לידי ביטוי בנסיעה מיישוב ליישוב‪ .‬כדי לנסוע‬
‫מאשדוד לבאר שבע כדאי להשתמש במפה שקנה‪-‬המידה שלה הוא ‪) . 1 : 500 ,000‬מפה כזו בוודאי‬
‫תהיה מפורטת יותר‪ (.‬כדי לנסוע מאשדוד לכרמיאל כדאי להשתמש במפה שקנה‪-‬המידה שלה הוא‬
‫‪. 1 :2,000,000‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬במציאות המרחק בין ערד לנתיבות הוא ‪ 60‬ק"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬משימת חקר‪ .‬כדי לבצע את המשימה הזו התלמידים נדרשים לבחור חמישה‬
‫יישובים שונים ולמצוא את המרחקים ביניהם‪ .‬נדגים את פתרון המשימה בעזרת שלושה‬
‫יישובים‪ :‬תל‪-‬אביב‪ ,‬ירושלים וטבריה‪ .‬המרחק בין ירושלים לתל‪-‬אביב במפת ארץ ישראל הוא‬
‫‪ 3‬ס"מ והם מייצגים ‪ 60‬ק"מ‪ .‬בטבלת המרחקים בין הערים המרחק בין ירושלים לתל‪ -‬אביב הוא‬
‫‪ 62‬ק"מ‪ .‬הנתון בטבלה גדול יותר מהחישוב‪ .‬ההפרש הוא ‪ 2‬ק"מ‪.‬‬
‫המרחק בין תל‪-‬אביב לטבריה במפה הוא ‪ 6‬ס"מ שהם ‪ 120‬ק"מ במציאות‪ .‬המרחק בין תל‪-‬אביב‬
‫לטבריה בטבלת המרחקים הוא ‪ 132‬ק"מ‪ .‬גם בדוגמה זו הנתונים בטבלה גדולים יותר מהחישוב‪.‬‬
‫ההפרש הוא ‪ 12‬ק"מ‪ .‬כפי שצוין קודם לכן‪ ,‬ההפרש במרחקים נובע מההבדל בין מרחק המחושב‬
‫בקו אווירי לבין המרחק שהמכונית עוברת בפועל כאשר היא נוסעת בכבישים שאינם ישרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬א( המרחק בין באר‪-‬שבע למצפה רמון הוא ‪ 3.5‬ס"מ‪ .‬במציאות המרחק בין‬
‫היישובים הוא כ‪ 70 -‬ק"מ‪ .‬כלומר קנה‪-‬המידה של התרשים הוא ‪ ,1 : 2,000 ,000‬כלומר ‪ 1‬ס"מ‬
‫מייצג ‪ 20‬ק"מ במציאות‪.‬‬
‫ב( המרחק בין ערד לבאר שבע במפה הוא כ‪ 2 -‬ס"מ ‪ ,‬כלומר ‪ 40‬ק"מ במציאות‪.‬‬
‫המרחק בין מודיעין לבית שמש הוא ‪ 1‬ס"מ כלומר ‪ 20‬ק"מ במציאות‪.‬‬
‫ג( המרחק במציאות בין דימונה לבאר‪-‬שבע הוא כ‪ 30 -‬ק"מ‪.‬‬
‫ד( המרחק במציאות בין מודיעין לירושלים הוא כ‪ 30 -‬ק"מ‪.‬‬
‫ה( משימה פתוחה‪ .‬התלמידים לבחור שני יישובים שונים ולמצוא את המרחק ביניהם‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :496‬בחירת קנה‪-‬מידה‬
‫שיעור זה עוסק בגורמים המשפיעים על הבחירה של קנה‪-‬מידה‪ :‬גודל הדף שהתרשים סורטט בו‪,‬‬
‫גודל האזור או החפץ וכן רמת הפירוט הנדרשת‪ .‬קנה‪-‬המידה של מפת כבישים הוא ‪, 1 :250,000‬‬
‫ואילו קנה‪-‬המידה של מפות תיירות )שבדרך כלל מייצגות אזור קטן ומכילות פירוט על כל אתר‬
‫הנמצא בשטח( הוא ‪. 1 :100,000‬‬
‫ככל שהמכנה של השבר המייצג את קנה‪-‬המידה קטן יותר‪ ,‬כך כל ס"מ במפה מייצג מרחק קטן‬
‫יותר ולכן רואים יותר פרטים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬במשימה זו נדרש שיקול דעת בבחירת קנה‪-‬המידה המתאים‪ .‬ככל שהאזור או‬
‫החפץ קטן יותר‪ ,‬המכנה של השבר המייצג את קנה‪-‬המידה קטן יותר‪ .‬אפשר גם להגיד שבאותו‬
‫גודל של תרשים )לדוגמה‪ ,‬דף ‪ ,(A4‬ככל שהמכנה קטן יותר‪ ,‬רואים יותר פרטים‪ ,‬אך האזור המיוצג‬
‫‪223‬‬
‫קטן יותר‪ .‬לדוגמה‪ ,‬ואילו בקנה‪-‬מידה של ‪ , 1 :2,000,000‬אי ביוון מיוצג על‪-‬ידי נקודה‪ ,‬רואים את‬
‫כל יוון ואת הים התיכון‪ ,‬בקנה‪-‬מידה של ‪ 1 :20,000‬רואים רק חלקים מהאי‪.‬‬
‫דוגמאות‪ :‬קנה‪-‬המידה המתאים לתרשים של מכונית הוא ‪ . 1 :40‬לעומת זאת קנה‪-‬המידה‬
‫המתאים למפה באטלס הוא ‪ .1:2,000,000‬קנה‪-‬המידה המתאים למפות צבאיות‪ ,‬שהן מפות‬
‫אזוריות‪ ,‬הוא ‪ 1:10,000‬או ‪1:25,000‬‬
‫אפשר לייצג אותה מציאות בקני‪-‬מידה שונים לפי רמת הדיוק הנדרשת )דוגמה‪ :‬אתרי תיירות(‪.‬‬
‫תשובות ‪ :‬א( ‪ ;9‬ב( ‪ ;8‬ג( ‪ ;7‬ד( ‪ ;2‬ה( ‪ ; 3-5‬ו( ‪ ; 3-5‬ז( ‪ ;4‬ח( ‪ ;1‬ט( ‪.6‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬א( קנה‪-‬המידה המתאים לתרשים האצטדיון הוא ‪ . 1 :2,500‬אורך האצטדיון‬
‫בתרשים הוא ‪ 4‬ס"מ‪ .‬אורך האצטדיון במציאות הוא ‪ 100‬מ' = ‪ 10,000‬ס"מ‪.‬‬
‫ב( רוחב החלק המלבני הוא ‪ 1.5‬ס"מ בתרשים‪ ,‬כלומר ‪ 3,750‬ס"מ במציאות‪ ,‬כלומר ‪ 37.5‬מ'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬כדי לענות על שאלה זו צריך לדעת מהו גודלה של מחברת רגילה‪ .‬אורך המחברת‬
‫הוא כ‪ 21 -‬ס"מ ורוחבה כ‪ 15 -‬ס"מ‪.‬‬
‫אם קנה‪-‬המידה הוא ‪ , 1 :1,000‬רוחב מגרש המשחקים הוא ‪ 30‬ס"מ ואורכו ‪ 50‬ס"מ‪ .‬מידות אלו‬
‫גדולות יותר ממידות המחברת‪ ,‬לכן אי‪-‬אפשר להשתמש בקנה‪-‬מידה זה כדי לצייר את הנדרש‬
‫במחברת‪.‬‬
‫אם קנה‪-‬המידה הוא ‪ , 1 : 4,000‬רוחב מגרש המשחקים הוא ‪ 7.5‬ס"מ ואורכו ‪ 12.5‬ס"מ‪ .‬מידות אלו‬
‫מתאימות למידות המחברת‪ ,‬לכן קנה‪-‬מידה זה מתאים לציור במחברת‪.‬‬
‫אם קנה‪-‬המידה הוא ‪ , 1 : 5 ,000‬רוחב מגרש המשחקים הוא ‪ 6‬ס"מ ואורכו ‪ 10‬ס"מ‪ .‬גם מידות אלו‬
‫מתאימות למידות המחברת‪ ,‬לכן קנה‪-‬מידה זה מתאים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬כדאי לעודד את התלמידים להמיר את מידות המכונית לסנטימטרים כדי להקל‬
‫את החישוב‪ .‬מידותיה של המכונית בסנטימטרים‪ :‬אורך המכונית ‪ 420‬ס"מ ורוחבה ‪ 160‬ס"מ‪.‬‬
‫אם קנה‪-‬המידה הוא ‪ , 1 :100‬מידות המכונית בתרשים בקנה‪-‬מידה זה הן ‪ 4.2‬ס"מ ו‪ 1.6 -‬ס"מ‪,‬‬
‫ולכן מלבן מתאים לחניית המכונית הוא‪ ,‬לדוגמה‪ ,‬מלבן שמידותיו גדולות יותר ממידות תרשים‬
‫המכונית עצמה‪ ,‬לדוגמה מלבן שאורכו ‪ 4.5‬ס"מ ורוחבו ‪ 2.0‬ס"מ )כי צריך להיות רווח בין המכונית‬
‫לבין מכוניות הסמוכות אליה בחניה(‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :497‬קנה‪-‬מידה‪ :‬הגדלה‬
‫בשיעור זה התלמידים לומדים כי לא תמיד מקטינים אזור או חפץ‪ ,‬אלא לעתים מגדילים אותו‪.‬‬
‫כאשר רוצים לראות יותר פרטים‪ ,‬מגדילים את החפץ‪ .‬בשיעור רואים הגדלה של נמלה פי עשרה‪.‬‬
‫קנה‪-‬המידה המתאים להגדלה הוא ‪ 1 . 10 : 1‬ס"מ בציור מייצג ‪ 1‬מ"מ במציאות‪ .‬אפשר גם לומר‬
‫כי כל סנטימטר במציאות מיוצג על‪-‬ידי ‪ 10‬ס"מ בציור‪ .‬היחס המתאר הגדלה מיוצג על‪-‬ידי שבר‬
‫גדול מ‪) 1 -‬המונה גדול מהמכנה(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬טקסט שבמשימה קצר‪ ,‬אך חשוב לדון במשימה בכיתה‪ .‬במשימה זו מוצגים‬
‫שלושה ציורים המייצגים את שלושת המצבים האפשריים בשימוש בקנה‪-‬מידה‪ :‬ציור הפרח‬
‫בקנה‪-‬המידה ‪ 1 : 1‬המייצג את הפרח בגודל המקורי‪ ,‬ציור הפרח בקנה‪-‬המידה ‪ 1 :2‬המייצג אותו‬
‫הפרח בהקטנה פי שניים‪ ,‬וציור הפרח בקנה‪-‬המידה ‪ 2 :1‬המייצג אותו פרח בהגדלה פי שניים‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים לצייר פרח קטן מהמקורי‪ ,‬ולמעשה‪ ,‬קטן מכל אחד מהפרחים‬
‫המסורטטים‪ ,‬כיוון שקנה‪-‬המידה המבוקש הוא ‪ . 1 :3‬על התלמידים להקטין פי שלושה את הציור‬
‫העשוי בקנה‪-‬המידה ‪. 1 : 1‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬אם אורך העגיל במציאות הוא ‪ 1‬ס"מ‪ ,‬אורכו בציור הוא ‪ 9‬ס"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :39‬אורך המחק בציור הוא ‪ 8‬ס"מ ורוחבו בציור הוא ‪ 3.2‬ס"מ‪ 32) ,‬מ"מ(‪ .‬המחק‬
‫צויר בקנה‪-‬מידה ‪ . 2 : 1‬לכן מידות המחק במציאות קטנות פי שניים‪ :‬אורכו ‪ 4‬ס"מ ורוחבו ‪1.6‬‬
‫ס"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬כדי לענות על שאלה זו התלמידים נדרשים למדוד את אורך האטב שבציור )כ‪8 -‬‬
‫ס"מ(‪ .‬א( האטב שבסרטוט הוגדל פי ‪ .(8:3.2) 2.5‬ב( קנה‪-‬המידה של הסרטוט הוא ‪. 2.5 : 1‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬מאחר שתרשים התא עשוי בהגדלה‪ ,‬השבר המבטא את קנה‪-‬המידה גדול מ‪,1 -‬‬
‫והמונה בו גדול מהמכנה‪.‬‬
‫‪224‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬משימת יישום‪ .‬חישוב אורך החיפושית במציאות מתבצע כך‪ . 5 :10 = 0.5 :‬אורך‬
‫החיפושית במציאות הוא ‪ 0.5‬ס"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬גודל החיידק הוא ‪ 0.05‬ס"מ =‪ 0.5‬מ"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :44‬מידות המחק בקנה‪-‬מידה ‪ : 3 :1‬אורכו ‪ 9‬ס"מ ורוחבו ‪ 4.5‬ס"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :45‬במשימה זו מצוירות שלוש חיפושיות בגדלים שונים‪ .‬התלמידים נדרשים‬
‫להתאים בין גודל החיפושית לקנה‪-‬המידה המצוין משמאל‪ .‬חיפושית ‪ 1‬מתאימה לקנה‪-‬המידה‬
‫‪ ; 1 : 2‬חיפושית ‪ 2‬מתאימה לקנה‪-‬המידה ‪ ; 1 : 1‬וחיפושית ‪ 3‬מתאימה לקנה‪-‬המידה ‪. 1.5 :1‬‬
‫משימה מס' ‪ :46‬משימה פתוחה‪ .‬התלמידים נדרשים למצוא דוגמאות לכל אחד מקני‪-‬המידה‬
‫המצוינים‪ .‬משימה זו עשויה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה‪ ,‬לכן מומלץ להראות בכיתה‬
‫דוגמאות‪ .‬דונו עם התלמידים בהקטנה ובהגדלה‪ .‬קנה‪-‬המידה המופיע בסעיפים א'‪ ,‬ב' ו‪ -‬ג' מציין‬
‫הגדלה‪ ,‬ואילו קנה‪-‬המידה המופיע בסעיפים ה' ו‪ -‬ו' מציין הקטנה‪.‬‬
‫דוגמאות של תשובות‪ :‬א( חיידק ‪ ,‬ב( גרגר אבק‪ ,‬ג( שערה אחת‪ ,‬ד( מחק‪ ,‬ה( תיק‪ ,‬ו( כביש עירוני‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :47‬בסעיף א' התלמידים נדרשים להתאים בין קנה‪-‬המידה המופיע על ציר‬
‫המספרים לבין תחום העיסוק שהשימוש בקנה‪-‬המידה נהוג בו‪ .‬דוגמאות‪:‬‬
‫קנה‪-‬המידה ‪ 1 :2,000,000‬מתאים לאסטרונומיה; קנה‪-‬המידה ‪ 1 :500,000‬מתאים לגאוגרפיה‬
‫)מפות(; קנה‪-‬המידה ‪ 400 :1‬מתאים לביולוגיה )חיידקים( או לרפואה; קנה‪-‬המידה ‪1 :10,000‬‬
‫מתאים לתכנון ערים; קנה‪-‬המידה ‪ 1 :200‬מתאים לעיצוב רהיטים; קנה‪-‬המידה ‪ 1 : 2‬מתאים‬
‫לעיצוב אופנה ‪ .‬בציור משתמשים בקני‪-‬מידה המתאימים לאובייקט הציור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :48‬א( כדי לצייר את כף היד במחברת דליה יכולה להשתמש בקנה‪-‬מידה ‪. 1 : 1‬‬
‫כדי לצייר את החדר במחברת רונית יכולה להשתמש בקנה‪-‬מידה ‪ . 1 : 15‬ג( כדי לצייר גרגר חול‬
‫דניאלה יכולה להשתמש בקנה‪-‬מידה ‪ . 10 : 1‬קנה‪-‬המידה שדניאלה תשתמש בו‪ ,‬תלוי בגודל הדף‬
‫שברשותה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :499‬קנה‪-‬מידה‪ :‬אורך ושטח‬
‫בקטע שיעור זה התלמידים לומדים כיצד משתנים אורכי צלעות של מלבן וכיצד משתנה שטחו‪,‬‬
‫כאשר מגדילים את המלבן בקנה‪-‬מידה‪ .‬כאשר מכפילים את מידות האורך של תרשים מלבני פי‬
‫גדל פי ארבעה משטח התרשים המקורי‪ .‬כאשר מכפילים את מידות‬
‫שניים‪ ,‬שטח התרשים המוגדל ֵ‬
‫גדל פי תשעה משטח התרשים‬
‫האורך של תרשים מלבני פי שלושה‪ ,‬שטח התרשים המוגדל ֵ‬
‫המקורי‪ .‬באופן כללי‪ ,‬כאשר מכפילים אורך ורוחב של תרשים מלבני באותו מספר ‪ ,n‬השטח של‬
‫התרשים החדש גדול פי ‪ n 2‬משטח התרשים המקורי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :49‬משימה זו עוסקת בקשר שבין אורך צלע של ריבוע להיקפו כאשר מציירים אותו‬
‫בקנה‪-‬מידה‪.‬‬
‫אורך צלע הריבוע שבסרטוט הוא ‪ 2‬ס"מ‪ .‬היקף הריבוע הוא ‪ 8‬ס"מ‪.‬‬
‫אם מסרטטים את הריבוע בקנה‪-‬מידה ‪ , 2 :1‬אורך צלע הריבוע החדש הוא ‪ 4‬ס"מ‪.‬‬
‫היקף הריבוע החדש הוא ‪ 16‬ס"מ‪ .‬היקף זה גדול פי שניים מהיקף הריבוע הנתון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :50‬א( המלבן המקורי קטן מהמלבן המסורטט‪ ,‬כי הנתון מצביע על קנה‪-‬מידה ‪. 3 :1‬‬
‫פירושו של דבר הוא שכל ‪ 1‬ס"מ במציאות מיוצג על‪-‬ידי ‪ 3‬ס"מ בציור‪.‬‬
‫ב( מידות המלבן המסורטט‪ :‬אורכו ‪ 3‬ס"מ ורוחבו ‪ 1.5‬ס"מ;‬
‫אורך המלבן המקורי הוא ‪ 1‬ס"מ ורוחבו ‪ 0.5‬ס"מ‪.‬‬
‫ג( היקף המלבן המקורי הוא ‪ 3‬ס"מ‪ . 2 × ( 1 + 0.5 ) = 3 .‬היקף המלבן המסורטט הוא ‪ 9‬ס"מ‪.‬‬
‫‪. 2 × ( 3 + 1.5 ) = 9‬‬
‫ד(היחס בין היקף המלבן המקורי להיקף המלבן המסורטט הוא ‪ 3 :9‬או ‪. 1 :3‬‬
‫ה( שטח המלבן המקורי הוא ‪ 0.5‬סמ"ר‪ .( 1 × 0.5 = 0.5 ) .‬שטח המלבן המסורטט הוא ‪ 4.5‬סמ"ר‬
‫) ‪ .( 3 × 1.5 = 4.5‬היחס בין שטח המלבן המקורי לשטח המלבן המסורטט הוא ‪ 0.5 : 4.5‬או ‪. 1 : 9‬‬
‫‪225‬‬
‫משימה מס' ‪ :51‬במשימה זו כדאי להדריך את התלמידים למדוד תחילה את התרשים ולאחר‪-‬‬
‫מכן לבצע את החישובים המתאימים על‪-‬פי קנה‪-‬המידה הנתון‪.‬‬
‫אפשר לערוך את הנתונים ואת תוצאות החישובים בטבלה כמו זו שכאן‪.‬‬
‫חדר ילדים‬
‫חדר הורים‬
‫הדירה‬
‫הנתונים במציאות‬
‫אורך‪ 440 :‬ס"מ )‪ 4.4‬מ'(‬
‫רוחב‪ 300 :‬ס"מ )‪ 3‬מ(‬
‫שטח החדר‪ 132,000 :‬סמ"ר )‪ 13.2‬מ"ר(‬
‫אורך‪ 400 :‬ס"מ )‪ 4‬מ'(‬
‫רוחב‪ 300 :‬ס"מ )‪ 3‬מ'(‬
‫שטח החדר‪ 12,000 :‬סמ"ר )‪ 12‬מ"ר(‬
‫אורך‪ 1,340 :‬ס"מ )‪ 13.4‬מ'(‬
‫רוחב‪ 620 :‬ס"מ )‪ 6.2‬מ'(‬
‫שטח הדירה‪ 830,800 :‬סמ"ר )‪ 83.08‬מ"ר(‬
‫הנתונים בתרשים‬
‫אורך‪ 2.2 :‬ס"מ‬
‫רוחב‪ 1.5 :‬ס"מ‬
‫שטח החדר‪ 3.3 :‬סמ"ר‬
‫אורך‪ 2 :‬ס"מ‬
‫רוחב‪ 1.5 :‬ס"מ‬
‫שטח החדר‪ 3 :‬סמ"ר‬
‫אורך‪ 6.7 :‬ס"מ‬
‫רוחב‪ 3.1 :‬ס"מ‬
‫שטח הדירה‪ 20.77 :‬סמ"ר‬
‫עודדו את התלמידים לבדוק את שטחי המקלחת והמרפסת )בנפרד או ביחד( כדי לבדוק את סכום‬
‫השטחים‪.‬‬
‫במשימה זו אפשר להשתמש במחשבון‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :500‬קנה‪-‬מידה‪ :‬שמירת יחס‬
‫כאשר משנים תרשים או ציור בקנה‪-‬מידה‪ ,‬שומרים על פרופורציות מתאימות‪ .‬התלמידים מגלים‬
‫כי כשמשתמשים בקנה‪-‬מידה‪ ,‬שומרים על היחס בין מידות התמונה למידות המתאימות במציאות‬
‫וכן בין כל מידות התמונה עצמה‪ .‬האורך והרוחב משתנים באותו היחס‪ .‬בדגמים תלת‪-‬ממדיים‬
‫נשמר היחס בין האורך‪ ,‬הרוחב והגובה של הדגם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :52‬בתרשימים ב' ו‪ -‬ג' נשמר היחס בין מידות המסך כמו במציאות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :53‬גיל הקטין את הפרפר בקנה‪-‬מידה מסוים‪ .‬ההקטנה שביצע ניר אינה עשויה‬
‫בקנה‪-‬מידה‪ .‬בין ממדי הפרפר לא נשמר אותו יחס‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :54‬א( כאשר מקטינים את אורך הגינה פי ‪ 100‬ואת רוחב הגינה פי ‪ ,80‬לא‬
‫משתמשים בקנה‪-‬מידה‪ .‬ב( אורך הגינה המסורטטת הוא ‪ 8‬ס"מ ורוחב הגינה הוא ‪ 7.5‬ס"מ‪ .‬שטח‬
‫הגינה המקורית הוא ‪ 48‬מ"ר )‪ 480,000‬סמ"ר(‪ ,‬שטח הגינה המסורטטת הוא ‪ 60‬סמ"ר‪ .‬שטח הגינה‬
‫בתרשים קטן פי ‪ 8,000‬משטח הגינה המקורית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :55‬אורך המלבן המסורטט הוא ‪ 12‬ס"מ ורוחבו ‪ 8‬ס"מ‪ .‬שטח המלבן המסורטט הוא‬
‫‪ 96‬סמ"ר‪ .‬אם שטח המלבן קטן פי ארבעה‪ ,‬כלומר שטח המלבן החדש הוא ‪ 24‬סמ"ר‪ ,‬המלבן‬
‫החדש יהיה באורך ‪ 6‬ס"מ וברוחב ‪ 4‬ס"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :56‬משימה פתוחה‪ .‬התלמידים נדרשים למדוד את גובהם בתמונה עכשווית‬
‫ובמציאות ולגלות את היחס בין הגבהים ואת היחס בין רוחב הכתפיים‪ .‬היו ערניים וגלו רגישות‬
‫כלפי תלמידים שאינם מעוניינים להראות את תמונתם‪ .‬במקרה זה בקשו מהתלמידים לצייר את‬
‫עצמם בצורה פרופורציונית כמו בפעילות הגילוי ו'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :57‬א( שטח המלבן המסורטט הוא ‪ 6‬סמ"ר‪.‬‬
‫ב( אם שטח המלבן גדל פי ארבעה‪ ,‬שטח המלבן החדש הוא ‪ 24‬סמ"ר‪ .‬רוחב המלבן החדש הוא ‪4‬‬
‫ס"מ‪ .‬אפשר למצוא בקלות שאורך המלבן החדש הוא ‪ 6‬ס"מ‪ .‬לפיכך אורך המלבן הוגדל באותו‬
‫קנה‪-‬מידה בו הוגדל רוחב המלבן‪ .‬את אורך המלבן הגדילו ב‪ 3 -‬ס"מ‪.‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪502‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד בפרק‪ :‬הגדרה של המושג קנה‪-‬מידה‪ ,‬צורות כתיבה שונות של‬
‫קנה‪-‬מידה‪ ,‬מציאת אורך קטע במציאות או במפה‪ ,‬בחירת קנה‪-‬מידה‪ ,‬שימושים לקנה‪-‬מידה ועוד‪.‬‬
‫‪226‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמוד ‪503‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימת חישוב‪ .‬התלמידים נדרשים להמיר יחידות מידה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ,‬המרחק בין‬
‫א( אם המרחק בין שני יישובים במפה הוא ‪ 2‬ס"מ‪ ,‬וקנה‪-‬המידה הוא‬
‫‪20,000‬‬
‫היישובים במציאות הוא ‪ 40,000‬ס"מ = ‪ 400‬מ' = ‪ 0.4‬ק"מ‪.‬‬
‫ב( אם המרחק בין שני יישובים במציאות הוא ‪ 8‬ק"מ )‪ 800,000‬ס"מ(‪ ,‬המרחק בין היישובים במפה‬
‫הוא ‪ 40‬ס"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬במשימה זו מודגש ההבדל בקנה‪-‬המידה בין מטרים לקילומטרים‪ .‬אם יחידת‬
‫האורך היא ק"מ‪ ,‬המספר שיש לכתוב במקום המשולש הוא ‪ .20‬אם יחידת האורך היא מטר‪,‬‬
‫המספר שיש לכתוב במקום המשולש הוא ‪.20,000‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬התלמידים נדרשים למצוא את התשובה הנכונה מבין שלוש התשובות הנתונות‪.‬‬
‫הציעו לתלמידים למדוד תחילה את אורך המחברת ואת רוחבה ואחר‪-‬כך להחליט איזו תשובה‬
‫היא המתאימה ביותר‪ .‬שימו לב‪ ,‬ישנן מחברות מסוגים שונים ובגדלים שונים לכן‪ ,‬ייתכנו תשובות‬
‫שונות ויותר מתשובה אחת נכונה‪ 1 : 4000 .‬או ‪.1 : 5000‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬א( אם גובה העץ במציאות הוא חמישה מטרים )‪ 500‬ס"מ( וגובה העץ בצילום‬
‫הוא ארבעה סנטימטרים‪ ,‬קנה‪-‬המידה הוא ‪ . 1 : 125‬מומלץ להיעזר בטבלת היחס למציאת‬
‫התשובה‪.‬‬
‫בצילום‬
‫במציאות‬
‫נתון‬
‫‪ 4‬ס"מ‬
‫‪ 500‬ס"מ‬
‫קנה‪-‬מידה‬
‫‪1‬‬
‫‪ 125‬ס"מ‬
‫ב( דוגמה לקנה‪-‬מידה המתאים לציור העץ על דף ריבועי שאורך צלעו ‪ 22‬ס"מ‪ ,‬היא ‪. 1 : 125‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬התלמידים מסרטטים מלבן בקנה‪-‬מידה נתון לפי המידות הנתונות‪ .‬היחס בין‬
‫שטח המלבן המקורי לשטח המלבן בתרשים הוא ‪. 1 : 9‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬התלמידים נדרשים לסרטט במחברתם מלבן שאורכו ‪ 20‬ס"מ ורוחבו ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫שטח המלבן המסורטט הוא ‪ 240‬סמ"ר‪ .‬לאחר‪-‬מכן התלמידים נדרשים לסרטט מלבן חדש בקנה‪-‬‬
‫מידה ‪ . 1 : 4‬כלומר מידות המלבן החדש‪ 5 :‬ס"מ ו‪ 3 -‬ס"מ‪ .‬שטח המלבן החדש הוא ‪ 15‬סמ"ר‪.‬‬
‫היחס בין השטח החדש לשטח הישן הוא ‪ 15 :240‬או ‪ . 1 : 16‬קיים קשר בין קנה‪-‬המידה לבין יחס‬
‫בין השטחים‪ :‬אם קנה‪-‬המידה הוא ‪ , 1 : n‬היחס בין השטחים הוא ‪. 1 :n 2‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬א( שטח המלבן המסורטט הוא ‪ 12‬סמ"ר‪ .‬ב( אם יסורטט מלבן חדש בקנה‪-‬מידה‬
‫‪ , 1 : 5‬שטח המלבן החדש יהיה ‪ 0.48‬סמ"ר‪ .‬אפשר למצוא שטח זה בשתי דרכים שונות‪ :‬א(‬
‫‪ ; 12 :5 2 = 12 :25 = 0.48‬ב( ‪. 3 :5 = 0.6 , 4 :5 = 0.8‬‬
‫הציעו לתלמידים למדוד את אורך הכיתה ואת רוחבה ולסרטט אותה על דף‪ .‬עזרו לתלמידים‬
‫לקבוע מהו קנה‪-‬המידה המתאים‪ .‬דונו עם התלמידים בשאלה אם מתאים למשימה זו קנה‪-‬מידה‬
‫אחד או יותר‪.‬‬
‫שאלות מילוליות ‪ ,‬עמוד ‪504‬‬
‫בעמוד זה מופיעות ארבע שאלות מילוליות בנושא קנה‪-‬מידה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬א( גובהם של מגדלי עזריאלי במציאות הוא ‪ 169‬מ' שהם ‪ 16,900‬ס"מ‪.‬‬
‫ב( אם מסרטטים את המגדלים בקנה‪-‬מידה ‪ , 1 : 1 ,300‬גובה המגדלים בסרטוט הוא ‪ 13‬ס"מ‪.‬‬
‫‪227‬‬
‫ג( אם רוצים לנצל את כל המקום במסגרת המלבנית‪ ,‬קנה‪-‬המידה המתאים הוא ‪ . 1 :2,112‬ברור‬
‫אחר‪ ,‬כך שיהיו קטנים יותר‪ ,‬למשל‪. 1 :3,000 ,‬‬
‫שאפשר לסרטט את המגדלים בקנה‪-‬מידה ֵ‬
‫משימה מס' ‪ :2‬את המרחקים בתרשים מודדים בין הנקודות המסומנות‪ .‬התלמידים נדרשים‬
‫לאמוד מרחקים שונים בתרשים במציאות‪.‬‬
‫א( המרחק בין הספרייה לבית הספר במפה הוא ‪ 2.5‬ס"מ‪.‬‬
‫ב( המרחק במציאות על‪-‬סמך מדידה וחישוב לפי קנה‪-‬המידה הנתון הוא ‪ 375‬מ'‪.‬‬
‫ג( המרחק בין בית הספר למרכז הקניות במפה‪ 2 :‬ס"מ‪.‬‬
‫ד( המרחק במציאות על‪-‬פי קנה‪-‬המידה הנתון הוא ‪ 300‬מ'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬א( קנה‪-‬המידה של הדגמים הוא ‪) . 1 : 25‬קנה‪-‬מידה זה מתקבל מצמצום היחס‬
‫‪(. 4 :100‬‬
‫ב( אם גובה בניין במציאות הוא עשרה מטרים‪ ,‬גובה הבניין באתר הוא ‪ 40‬ס"מ‪.‬‬
‫ג( אורך הרחוב במציאות הוא ‪ 212.5‬ס"מ‪ ,‬כלומר ‪ 2.125‬מ'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬רובע "שבטי ישראל" כולל ‪ 12‬שכונות‪ .‬הנקודות המסומנות במפה מציינות את‬
‫מרכזי השכונות‪ .‬הנחו את התלמידים למדוד את המרחקים בין מרכזי השכונות‪.‬‬
‫א( קנה‪-‬המידה של המפה הוא ‪. 1 :200,000‬‬
‫ב( ‪ 5.5‬ס"מ ; ‪ 11‬ק"מ‪.‬‬
‫ג( לא נכון ; נכון ; לא נכון )‪ 8.6‬ק"מ(‪.‬‬
‫ד( בנימין ולוי‪ 6 :‬ס"מ ; ‪ 12‬ק"מ‪.‬‬
‫היסטוריה ‪ ,‬עמוד ‪505‬‬
‫חלק זה עוסק בציור מערכת השמש בקנה‪-‬מידה‪ .‬כדי לצייר את מערכת השמש בקנה‪-‬מידה‬
‫מתאים דרוש מגרש כדורגל‪ .‬הגודל של מגרש כדורגל מאפשר לצייר את מערכת השמש בצורה‬
‫הטובה ביותר‪.‬‬
‫א( כוכב חמה‪ ,‬נוגה‪ ,‬כדור הארץ‪ ,‬מאדים‪.‬‬
‫ב( צדק‪.‬‬
‫ג( התלמידים נדרשים למצוא דוגמאות של חפצים‪ ,‬שאורכם ‪ /‬עוביים ‪ /‬רוחבם מתאים‬
‫לקוטר של כל כוכב‪ .‬להלן מס' הצעות לממדים‪ :‬שמש‪ :‬כדור קטן בקוטר של כ‪ 20-‬ס"מ‪.‬‬
‫כוכב חמה‪ :‬חוד של "עט חודים" שקוטר החוד הוא ‪ 0.7‬מ"מ‪ .‬נוגה וכדור הארץ‪ :‬עובי‬
‫מטבע של שקל או עובי של גפרור‪ .‬מאדים‪ :‬עובי של סרגל שטוח‪ .‬צדק‪ :‬קוטר של מטבע‬
‫של "שנקל" )שני שקלים(‪ .‬שבתאי‪ :‬קוטר של מטבע של שקל‪ .‬אורנוס ונפטון‪ :‬ראש של‬
‫נעץ ‪ .‬פלוטו‪ :‬עובי של ‪ 10‬דפי נייר רגילים‪.‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪506‬‬
‫בעמוד זה מוצגת לתלמידים בעיית אתגר מחיי היום‪-‬יום‪ .‬התלמידים נחשפים למדידות שטח של‬
‫חדר ולביצוע חישובים למציאת ההצעה הכספית הטובה ביותר‪.‬‬
‫כדי למצוא את ממדי החדר של עינת יש לבצע את השלבים א' – ב'‪.‬‬
‫א‪ .‬מודדים את אורך החדר ואת רוחבו‪ .‬אורך החדר בתרשים הוא ‪ 16‬ס"מ‪.‬‬
‫רוחב החדר הוא ‪ 9‬ס"מ‪.‬‬
‫ב‪ .‬מחשבים את אורך החדר ואת רוחב החדר במציאות‪ .‬אורך ‪ 480) 16 × 30 = 480‬ס"מ = ‪ 4.8‬מ'(‬
‫רוחב‪ 270) 9 × 30 = 270 :‬ס"מ = ‪ 2.7‬מ'(‪.‬‬
‫עינת יכולה לקנות שלושה מטרים מהשטיח שרוחבו חמישה מטרים‪ ,‬ולשלם תמורתו ‪₪ 60‬‬
‫) ‪;( 3 × 20 = 60‬‬
‫או לקנות חמישה מטרים מהשטיח שרוחבו שלושה מטרים‪ ,‬ולשלם תמורתו ‪.( 5 × 15 = 75 ) .₪ 75‬‬
‫לפיכך ההצעה הטובה ביותר היא השטיח שרוחבו ‪ 5‬מ'‪ ,‬במחיר ‪ ₪ 20‬ל‪ 1 -‬מ'‪.‬‬
‫המיטה בתרשים לפי קנה‪-‬המידה היא באורך של ‪ 6‬ס"מ וברוחב של ‪ 3‬ס"מ‪.‬‬
‫כדי לדעת אם ייכנס ארון במקום המתאים‪ ,‬צריך להנחות את התלמידים למדוד את המלבן‬
‫המתאים בתרשים‪ .‬אורך המלבן הוא ‪ 8.3‬ס"מ ורוחבו ‪ 2.8‬ס"מ‪ .‬לפי קנה‪-‬המידה‪ ,‬האורך במציאות‬
‫‪228‬‬
‫הוא ‪ 249‬ס"מ ורוחב המקום במציאות הוא ‪ 84‬ס"מ‪ .‬לכן הארון הראשון לא ייכנס‪ ,‬ואילו הארון‬
‫השני ייכנס‪.‬‬
‫אורך השולחן בתרשים הוא ‪ 4‬ס"מ‪ .‬אורכו במציאות הוא ‪ 120‬ס"מ‪.‬‬
‫רוחב השולחן בתרשים הוא ‪ 2‬ס"מ‪ .‬רוחבו במציאות הוא ‪ 60‬ס"מ‪.‬‬
‫רוחב הדלת במציאות הוא ‪ 90‬ס"מ‪( 3 × 30 = 90 ) .‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪507‬‬
‫חלק זה מיועד לחזרה על נושאים שנלמדו בשנים קודמות או בתחילת השנה‪ :‬חילוק מספרים‬
‫טבעיים וכן כפל וחילוק של מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫‪229‬‬
‫עמודים ‪525-508‬‬
‫כא‪ .‬נפחים )המשך(‬
‫רקע‬
‫בפרק זה התלמידים ממשיכים לעסוק בנושא נפחים‪ .‬בפרק הקודם למדו התלמידים להשוות בין‬
‫הנפחים‪ ,‬למדוד הנפחים ביחידות מידה ולחשב נפחים של תיבה ושל קובייה בדרכים עקיפות‪.‬‬
‫הנוכחי‪ ,‬נחשפו התלמידים‬
‫ְ‬
‫בפרק זה מחשבים נפחים בעזרת נוסחאות‪ .‬מפרק י"ז ועד הפרק‬
‫ליחידות נפח במבנה העשרוני‪ .‬בין היתר הם למדו את הקשרים בין יחידות הנפח הקשורות‬
‫ליחידות אורך )סמ"ק‪ ,‬מ"ק ודצמ"ק(‪ ,‬וכמו‪-‬כן את הקשר בין ליטר וסמ"ק‪ .‬בתחילת הפרק‬
‫חוזרים על הקשרים אלו‪ .‬הנוסחאות יוצגו בדרך מוחשית ככל האפשר )לפחות על‪-‬ידי הציורים(‪,‬‬
‫לאחר מכן יובא הסבר כיצד התקבלה הנוסחה‪ ,‬ורק לבסוף ישתמשו התלמידים בנוסחה לצורך‬
‫החישוב‪ .‬נוסף על הדרכים השגרתיות של פיתוח הנוסחאות )כמו בחישוב נפח גליל ומנסרה( יובאו‬
‫בפני התלמידים גם דרכים שגרתיות פחות‪ ,‬כמו שימוש במתווך )נוסחאות של נפח חרוט‬
‫ופירמידה( והשקעת גוף במים )נפח כדור(‪ .‬נוסף על כל הנושאים הללו חלק ניכר של הפרק עוסק‬
‫בהמרת יחידות מוסכמות של מידת הנפח‪ .‬החלק האחרון של הפרק עוסק בשטח הפנים של גליל‬
‫)נושא זה כלול בתכנית הלימודים של כיתה ו'(‪ .‬הקשיים שעשויים להתעורר במשך הוראת הנושא‬
‫הם אלה הקשורים לדברים מעשיים‪ ,‬כגון ביצוע פעילויות בפועל‪ ,‬וכן קשיים בהבנת המהות‬
‫המתמטית של הנושא‪ ,‬כמו הבנת הנוסחאות )התלמידים של כיתה ו' עדיין אינם שולטים בשימוש‬
‫באותיות באופן מלא(‪.‬‬
‫הפרק מתאים לתכנית הלימודים‪ .‬מומלץ להקדיש לו כ‪ 6 -‬שעות לימוד‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬להשתמש בתכונות הנפחים לצורך חישוב הנפח;‬
‫ב‪ .‬להמיר יחידות נפח מוסכמות זו לזו;‬
‫ג‪ .‬להתאים יחידת אורך ויחידת שטח ליחידת נפח ולהפך;‬
‫ד‪ .‬לחשב נפחים של מנסרה‪ ,‬של פירמידה‪ ,‬של גליל ושל חרוט בעזרת נוסחאות‬
‫מתאימות;‬
‫ה‪ .‬להסביר את העיקרון של מדידת נפח של גוף על‪-‬ידי השקעתו במים;‬
‫ו‪ .‬לחשב שטח פנים של גליל‪.‬‬
‫מושגים‬
‫גוף‪ ,‬נפח‪ ,‬מדידה‪ ,‬מידה‪ ,‬יחידות נפח מוסכמות ומקובלות‪ ,‬ממ"ק‪ ,‬סמ"ק‪ ,‬דצמ"ק‪ ,‬מ"ק‪ ,‬קמ"ק‪,‬‬
‫ליטר‪ ,‬תיבה‪ ,‬קובייה‪ ,‬מנסרה‪ ,‬פירמידה‪ ,‬גליל‪ ,‬חרוט‪ ,‬כדור‪ ,‬שטח‪ ,‬בסיס )של מנסרה‪ ,‬של פירמידה‪,‬‬
‫של גליל ושל חרוט(‪ ,‬גובה‪ ,‬נוסחה‪ ,‬יחידות שטח מוסכמות‪ ,‬יחידות אורך מוסכמות‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫אוסף כלי קיבול וגופים )תיבות‪ ,‬מנסרות‪ ,‬כדורים‪ ,‬גלילים‪ ,‬פירמידות‪ ,‬חרוטים(‪ ,‬משורות‪,‬‬
‫מתווכים‪ ,‬ציורים‪ ,‬ריבועי מנייה‪ ,‬קוביות קטנות‪.‬‬
‫‪230‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על דרכי ההשוואה בין אורכים‪.‬‬
‫על הלוח או על דף חלק )או משובץ( מסורטטים קטעים וקווים עקומים‪ .‬התלמידים מתבקשים‬
‫להשוות בין אורכי שני הקטעים או הקווים העקומים ולהסביר את דרך ההשוואה‪ .‬דנים‬
‫בעקרונות ההשוואה של האורכים‪ .‬דוגמאות לקטעים ולקווים‪:‬‬
‫ב‬
‫ג‬
‫ד‬
‫א‬
‫א( בין אורכי הקטעים אפשר להשוות בהשוואה ישירה או בעזרת מתווך )חוט( או בעזרת מדידה‪.‬‬
‫ב( קווים עקומים אפשר "ליישר" ולהשוות ביניהם בעזרת כל דרך שתוארה בסעיף א'‪ ,‬אך אפשר‬
‫גם על‪-‬ידי טביעת העין )ברור ש"ספירלה" ארוכה יותר(‪ .‬ג( מבקשים להשוות בין האלכסונים של‬
‫המלבן‪ .‬כל דרך שהיא )כמו בסעיפים הקודמים( תתאים‪ ,‬אך אפשר להיעזר גם בידע על תכונות‬
‫המלבן ולהשוות בדרך עקיפה על‪-‬סמך הידיעה שאלכסוני המלבן שווים‪ .‬כפעילות נוספת אפשר‬
‫לבקש מהתלמידים להשוות בין קו שבור המורכב משתי צלעות המלבן לבין האלכסון המחבר בין‬
‫קצות הקו השבור‪) .‬קטע הוא המרחק הקצר ביותר בין שתי נקודות‪ (.‬ד( אם משווים בין קוטר‬
‫המעגל להיקפו או לחצי מההיקף‪ ,‬מוצאים שהקוטר קצר יותר‪ .‬אפשר להשוות גם בדרכים‬
‫שתוארו לעיל‪.‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על דרכי ההשוואה בין שטחי הצורות‪.‬‬
‫על הלוח או על דף חלק )או משובץ( מסורטטות צורות שונות‪ :‬מצולעים‪ ,‬עיגולים‪ ,‬צורות סתמיות‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים להשוות בין שטחי הצורות ולהסביר את דרך ההשוואה‪ .‬דנים בעקרונות‬
‫ההשוואה של השטחים )העקרונות והדרכים הם כמו בהשוואה בין אורכים(‪.‬‬
‫דוגמאות לצורות‪:‬‬
‫ג‬
‫ה‬
‫ד‬
‫ב‬
‫א‬
‫א(‬
‫ב(‬
‫ג(‬
‫ד(‬
‫ה(‬
‫שטח המקבילית גדול משטח המשולש כי המשולש כלול במקבילית )השוואה ישירה(‪.‬‬
‫אפשר לבדוק למי השטח הגדול יותר בהשוואה ישירה )אפשר להיעזר בשקף( או על‪-‬ידי‬
‫טביעת עין‪.‬‬
‫כמו קודם לכן או בדרך עקיפה‪ :‬לעיגול שרדיוסו גדול יותר יש שטח גדול יותר‪.‬‬
‫שטחי שני הריבועים שווים‪ ,‬כי אורך צלעם שווה‪.‬‬
‫המשולש מורכב משני משולשים ישרי‪-‬זווית‪ ,‬והמעוין מורכב מארבעה משולשים כאלה‬
‫)השוואה בדרך מדידה ביחידות שטח שרירותיות(‪.‬‬
‫ג‪ .‬חזרה על צמצום ועל הרחבה של יחסים‪.‬‬
‫על הלוח כתובים יחסים שונים‪ .‬התלמידים מתבקשים לצמצם או להרחיב את היחסים כך‬
‫‪4‬‬
‫שאיברי היחס יהיו מספרים טבעיים‪ .‬דוגמאות ליחסים‪. : 8 , 2.5 :1 , 1,000 :2,000 , 1 :250 :‬‬
‫‪5‬‬
‫פעילות זו יכולה לשמש הכנה ללימוד הנושא קנה‪-‬מידה‪.‬‬
‫ד‪ .‬חזרה על המושג "יחס"‪.‬‬
‫על הלוח כתובים יחסים שונים‪ ,‬ועל התלמידים למצוא שני אורכים‪ ,‬כך שהיחס ביניהם יהיה אחד‬
‫מהיחסים הרשומים על הלוח‪ .‬אפשר להשתמש באותם היחסים מהפעילות הקודמת‪ .‬גם פעילות זו‬
‫‪231‬‬
‫יכולה לשמש הכנה ללימוד הנושא קנה‪-‬מידה‪ .‬דוגמה‪ :‬ביחס ‪ 1 :250‬האורכים המתאימים הם ‪1‬‬
‫ס"מ ו‪ 250 -‬ס"מ או ‪ 20‬מ' ו‪ 5,000 -‬מ' וכדומה‪.‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫מומלץ להשתמש במחשבון לביצוע החישובים בפרק זה‪.‬‬
‫פעילות א‪ :‬התלמידים מתבקשים למצוא מידת נפח מתאימה למידת אורך ולמידת שטח נתונות‪.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬אורך מקצוע של קובייה נמדד בסנטימטרים‪ .‬באיזו יחידת מידה יימדד שטח הפאה?‬
‫באיזו יחידת מידה יימדד נפח הפאה? ממשיכים בשאלות דומות‪ .‬ישנן יחידות נפח המוכרות‬
‫לתלמידים‪ ,‬וישנן יחידות נפח שהתלמידים מגלים בתוך כדי ביצוע פעילות זו‪ ,‬לדוגמה דצמ"ק‪.‬‬
‫פעילות ב‪ :‬לביצוע פעילות זו צריך שבכיתה יהיו פירמידה ישרה ומנסרה ישרה בעלות אותו בסיס‬
‫ואותו אורך גובה )זוג אחד לפחות(‪ .‬נוסף על כך‪ ,‬צריך להיות חומר למילוי הפירמידה בכמות‬
‫מספקת )אורז או חול וכדומה(‪ .‬בהתחלה מבקשים מהתלמידים להעריך למי נפח גדול יותר ופי‬
‫כמה‪ .‬לאחר מכן התלמידים מתבקשים למצוא את היחס בין נפח הפירמידה לבין נפח המנסרה‪.‬‬
‫דנים בהצעות התלמידים לפתרון‪ .‬פעילות מודרכת‪ :‬ממלאים את הפירמידה בחול ומרוקנים אותה‬
‫לתוך המנסרה‪ .‬חוזרים על הפעילות מספר פעמים עד שהמנסרה תתמלא‪ .‬אם הפעילות נעשית‬
‫באופן מדויק‪ ,‬התלמידים יראו שמרוקנים את הפירמידה שלוש פעמים‪ ,‬כלומר היחס בין נפח‬
‫הפירמידה לנפח המנסרה הוא ‪. 1 :3‬‬
‫פעילות ג‪ :‬כמו הפעילות הקודמת‪ ,‬אך הפעם מחליפים את הפירמידה בחרוט ואת המנסרה בגליל‪.‬‬
‫העיגולים שבבסיסי הצורות חופפים‪ ,‬וגובהי הצורות שווים באורכם‪ַ .‬מגיעים לאותה מסקנה‪:‬‬
‫היחס בין נפח חרוט לנפח גליל‪ ,‬שבסיסיהם בעלי אותו שטח וגובהיהם שווים באורכם‪ ,‬הוא ‪. 1 :3‬‬
‫פעילות ד‪ :‬התלמידים מקבלים תיבה וגליל‪ .‬הם מתבקשים למצוא את שטח הפנים של כל אחד‬
‫מהגופים‪ .‬דנים בדרכי הפתרון‪.‬‬
‫השיעור בספר לתלמיד‬
‫שימו לב‪ ,‬בפרק זה אין עמוד חזרה על החומר הנלמד לקראת ההקניה‪ ,‬כלומר אין "לעלות על‬
‫הגל"‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :508‬קשר בין יחידות נפח מוסכמות‬
‫בפרק הקודם למדו התלמידים את הקשר בין יחידות מוסכמות שונות המבוססות על המבנה‬
‫העשרוני‪ ,‬כלומר קשר בין יחידות שטח‪ ,‬קשר בין יחידות אורך‪ ,‬קשר בין יחידות משקל וכדומה‪.‬‬
‫גם יחידות נפח מוסכמות מבוססות על המבנה העשרוני‪ ,‬ולכן העברה מיחידה ליחידה אחרת של‬
‫הנפח דומה להעברות שכבר נלמדו‪ .‬ביצוע החישובים קשה יותר‪ ,‬כיוון שיש להעלות את מספר‬
‫יחידות האורך המתאים בחזקה שלישית‪ .‬לדוגמה‪ ,‬אורך צלע הקובייה נמדד בדצ"מ‪ 4 :‬דצ"מ‪ .‬מהו‬
‫נפח הקובייה בסמ"ק? כל דצ"מ הוא ‪ 10‬ס"מ‪ ,‬לכן נפח הקובייה הוא ‪ 43‬דצמ"ק או ‪4 3 × 10 3‬‬
‫סמ"ק )‪ 64,000‬סמ"ק(‪ .‬התלמידים לא מחשבים חזקות‪ ,‬אלא בדרכים כך‪4 × 4 × 4 × 10 × 10 × 10 :‬‬
‫או כך‪ . 40 × 40 × 40 :‬בדרך הראשונה מחשבים תחילה את הנפח בדצמ"ק ) ‪ ( 4 × 4 × 4‬ולאחר מכן‬
‫ממירים לסמ"ק‪ ,‬ובדרך השנייה תחילה ממירים את האורך הנתון בדצ"מ )‪ (40‬לס"מ ולאחר מכן‬
‫מחשבים את הנפח בסמ"ק‪ .‬שתי הדרכים מקובלות‪ ,‬וצריך לתרגל אותן כדי שהתלמידים יבינו את‬
‫הנושא‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :3-1‬משימות יישום העוסקות בהמרה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :509‬קשר בין יחידות נפח מוסכמות )המשך(‬
‫שיעור זה הוא המשך של השיעור הקודם‪ ,‬וכאן מובאים שוויונות המקשרים בין יחידות נפח‬
‫מוסכמות שונות‪ .‬חשוב מאוד לתרגל את ההעברות מיחידה ליחידה‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :5-4‬משימות יישום‪.‬‬
‫‪232‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬נפח האוויר בחדר שווה לנפח החדר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬מספר הדצמ"ק שווה למספר הליטרים‪ ,‬כי ‪ 1‬ל' = ‪ 1‬דצמ"ק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬השאלה עשויה להיות קשה לכל תלמידי הכיתה‪ .‬מיליון קוביות של סמ"ק‬
‫ממלאות את כל הקובייה של ‪ 1‬מ"ק‪ 500,000 .‬קוביות כאלה ממלאות את חצי הקובייה‪500 .‬‬
‫‪1‬‬
‫קוביות של סמ"ק מהוות‬
‫מ‪ 1 -‬מ"ק‪.‬‬
‫‪2,000‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימה מחיי היום‪-‬יום‪ .‬נפח המתבן‪ 240 :‬מ"ק‪ .‬משקל החציר‪ 14,400 :‬ק"ג‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬א( ‪ 1.5‬ל'‪ .‬ב( ‪ 500‬סמ"ק‪ .‬ג( ‪ 1‬ל'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬שימו לב‪ :‬לעתים קרובות )בעיקר ברוקחות( משתמשים בסימון ‪ cc‬במקום‬
‫מיליליטר‪ .‬הסימון בא מלועזית ‪ centimeter cube‬ופירושו סנטימטר קוּבי )מעוקב(‪.‬‬
‫להלן התשובות לפי סדר השאלות‪ :‬א( ‪ ;1,000‬ב( ‪ 1‬סמ"ק‪ 5 ,‬סמ"ק;‬
‫ג( משקל של ‪ 5‬מ"ל מים הוא ‪ 5‬גר'‪ ,‬משקל של ‪ 1.5‬ליטר מים הוא ‪ 1,500‬גר'‪ ,‬כלומר ‪ 1.5‬ק"ג‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬התלמידים מתבקשים להמיר את מידות הנפח הנתונות למטרים מעוקבים‪ .‬א( ‪4‬‬
‫קמ"ק הם ‪ 4,000,000,000‬מטרים מעוקבים‪ .‬ב( ‪ .1,000,000,008‬ג( ‪ .2,080,000,000‬ד(‬
‫‪.31,000,000,004‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬משימה זו מורכבת משלושה שלבים‪ .‬תחילה נדרשים התלמידים לחשב את נפח‬
‫התיבה ואחר‪-‬כך להמיר את המידות לממ"ק ולדצמ"ק‪ .‬המרת המידות יכולה להיעשות באמצעות‬
‫המחשבון‪ .‬א( ‪ 60,000‬סמ"ק‪ .‬ב( ‪ 60,000,000‬ממ"ק‪ .‬ג( ‪ 60‬דצמ"ק‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :511‬נפח הגליל‬
‫הדרך לקבלת הנוסחה של נפח גליל דומה לדרך לקבלת הנוסחה של נפח תיבה‪ .‬בדרך זו נשתמש‬
‫בעתיד לקבלת הנוסחה של נפח מנסרה‪ .‬מחלקים את הגליל לשכבות "המקבילות" לבסיסים‪:‬‬
‫גובה כל שכבה הוא יחידת אורך‪ ,‬ובסיסי השכבות חופפים לבסיסי הגליל‪ .‬הקושי העיקרי בדרך זו‬
‫הוא להבין ששטח הבסיס שווה למספר קוביות היחידה שאפשר לסדר בשכבה אחת‪ .‬לרוב‬
‫התלמידים קשה להבין שאפשר למדוד שטח של עיגול בעזרת ריבועים‪ .‬אמנם המטרה היא‬
‫שהתלמידים ידעו לחשב את נפח הגליל‪ ,‬אך חשוב שהם יראו לפחות פעם אחת כיצד ַמגיעים‬
‫לנוסחה זו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬התלמידים יכולים להשתמש במחשבון‪ .‬חשוב להקפיד לכתוב את התשובה‬
‫כמספר בציון יחידת הנפח המתאימה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬לדוגמה‪ ,‬גלילים חדשים זה על גבי זה מורכבים מהגלילים שגובהם‪,5 ,7 ;2 ,7 :‬‬
‫‪ 2 ,5 ,5 ;2‬וכדומה‪ .‬מחשבים את הנפח של כל חלק‪ ,‬ומחברים את הנפחים )לפי התכונות של‬
‫הנפחים(‪ .‬אפשר גם לחשב את גובה הגליל שיתקבל בהרכבת שני הגלילים‪ ,‬ולאחר מכן לחשב את‬
‫נפח גליל זה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬בהרכבת ‪ 2‬גלילים שגובהם ‪ 2‬ו‪ 7 -‬ס"מ בהתאמה‪ ,‬נקבל גליל שגובהו‪ 9 -‬ס"מ‬
‫ונפחו‪ 54 -‬סמ"ק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬אם מקטינים או מגדילים את גובה הגליל פי מספר מסוים‪ ,‬ושטח הבסיס אינו‬
‫משתנה‪ ,‬נפח הגליל קטן או גדל פי אותו המספר )בהתאמה(‪ .‬לדוגמה‪ ,‬הקטנו גובה פי עשרה‪ ,‬לא‬
‫קטן פי עשרה‪.‬‬
‫שינינו את שטח הבסיס‪ ,‬הנפח ֵ‬
‫משימה מס' ‪ :17‬חישוב נפח הגליל נעשה באמצעות הנוסחה "שטח הבסיס כפול הגובה"‪ .‬לפני‬
‫החישוב מתבקשים התלמידים לשער‪ ,‬לאיזה גליל הנפח הגדול ביותר‪ .‬גליל ג' הוא בעל הנפח‬
‫הגדול ביותר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬משימה זו מובאת כאן כהכנה לשיעור הבא‪ .‬רצוי להיזכר במרכיבים של חרוט‬
‫ושל גליל לפני השיעור הבא‪.‬‬
‫‪233‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :513‬נפח החרוט‬
‫מומלץ לבצע את פעילות גילוי ג' לפני השיעור‪ .‬לתלמידי כיתה ו' אין מספיק ידע כדי להגיע‬
‫לנוסחה לחישוב נפח החרוט בדרך שונה מזו המוחשית שהוסברה בשיעור‪ .‬בדרך זו נחשב בהמשך‬
‫גם את נפח הפירמידה‪ .‬חשוב שהתלמידים יתנסו במילוי גליל בחול )או מים( בעזרת חרוט מתאים‬
‫ויוודאו שהנוסחה נכונה‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :21-19‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬ב( שטח בסיס החרוט אינו משתנה‪ ,‬לכן נפחו יגדל פי שניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬משימת יישום‪ .‬ג( היחס הוא ‪. 1 :3‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬מומלץ להשתמש במחשבון‪ .‬תחילה נחשב את שטח הבסיס )העיגול(‪:‬‬
‫‪ . S = π × 3 × 3 ≈ 3.14 × 3 × 3 = 28.26‬שטח הבסיס הוא ‪ 28.26‬מ"ר‪ .‬כעת כופלים את השטח‬
‫‪1‬‬
‫שהתקבל ב‪ 2 -‬וב‪ . -‬מתקבל‪ 18.84 :‬מ"ק‪ .‬דרך אחרת היא לכתוב את הנוסחה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ V = × π × r × r × h‬ולהציב בה את המספרים‪ . V ≈ × 3.14 × 3 × 3 × 2 = 18.84 :‬כמובן‪ ,‬היחידות‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫הן מ"ק‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :514‬נפח מנסרה ישרה‬
‫בשיעור זה לומדים לחשב נפח של מנסרה ישרה‪ַ .‬מגיעים לנוסחה בדרך הדומה לדרך חישוב נפח‬
‫הגליל‪ .‬גם הנוסחה דומה לנוסחת נפח הגליל‪ :‬נפח מנסרה ישרה שווה למכפלה של שטח בסיסה‬
‫באורך הגובה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬משימת יישום‪ 28 .‬סמ"ק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪:26‬‬
‫סוג מנסרה‬
‫מנסרה מחומשת‬
‫מנסרה משולשת‬
‫מנסרה משולשת‬
‫מנסרה מרובעת‬
‫מנסרה כלשהי‬
‫)משלכם(‬
‫מנסרה משולשת‬
‫משלכם‬
‫משימת יישום‪.‬‬
‫שטח הבסיס‬
‫‪ 6‬מ"ר‬
‫‪ 6‬סמ"ר‬
‫‪ 2‬מ"ר‬
‫‪ 12‬סמ"ר‬
‫דוגמה‪ 5 -‬מ'‬
‫דוגמה‪ 10 -‬ס"מ‬
‫גובה המנסרה‬
‫‪ 9‬מ'‬
‫‪ 10‬ס"מ‬
‫‪ 6‬מ'‬
‫‪ 5‬ס"מ‬
‫דוגמה‪ 6 -‬מ'‬
‫נפח המנסרה‬
‫‪ 54‬מ"ק‬
‫‪ 60‬סמ"ק‬
‫‪ 12‬מ"ק‬
‫‪ 60‬סמ"ק‬
‫‪ 30‬מ"ק‬
‫דוגמה‪ 5 -‬ס"מ‬
‫‪ 50‬סמ"ק‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :515‬נפח פירמידה ישרה‬
‫חישוב נפח של פירמידה ישרה דומה לחישוב נפח חרוט‪ .‬לכל פירמידה ישרה אפשר למצוא מנסרה‬
‫ישרה מתאימה‪ ,‬כלומר שבסיסיהן של הפירמידה ושל המנסרה הם מצולעים חופפים‪ ,‬וגובה‬
‫הפירמידה שווה לגובה המנסרה‪ .‬במקרה כזה נפח הפירמידה הוא שליש מנפח המנסרה‪ .‬גם כאן‬
‫חשוב לבצע את הניסוי שמובא בפעילות הגילוי ב' ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬משימת יישום‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬שטח הריבוע הוא ‪ 4‬סמ"ר‪ .‬נפח הפירמידה הוא‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬משימת יישום‪ 3 .‬מ"ק‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬משימת יישום‪ 24 .‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪234‬‬
‫סמ"ק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬נפח הגוף שווה לסכום הנפחים של הפירמידה ושל התיבה‪ .‬בסיס הפירמידה‬
‫‪2‬‬
‫חופף לבסיס התיבה‪ .‬התשובה היא ‪ 46‬מ"ק‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬נפח הגוף שווה לסכום הנפחים של שתי הפירמידות‪ .‬בסיסי הפירמידות הם‬
‫ריבועים חופפים‪ .‬מחברים את נפחי הפירמידות או כופלים נפח אחת מהן ב‪ .2 -‬התשובה‪50 :‬‬
‫סמ"ק‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :516‬מדידת נפחים של גופים על‪-‬ידי השקעתם במים‬
‫בשיעור זה מראים לתלמידים דרך נוספת לחישובי הנפחים‪ :‬השקעת הגוף במים‪ .‬ארכימדס גילה‬
‫את הדרך הזו‪ ,‬והיא קיבלה את השם "חוק ארכימדס" )ראו גם את החלק ההיסטורי של הפרק‬
‫הקודם(‪ .‬נפח המים שעולים לאחר שמשקיעים בהם גוף כלשהו‪ ,‬שווה לנפח הגוף המושקע‪ .‬כדאי‬
‫מאוד לערוך עם התלמידים את הניסוי המתואר בשיעור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬יש שתי אפשרויות‪ .‬אם נורית תיכנס למים כולה )כולל ראשה(‪ ,‬נפח המים‬
‫שיישפכו יהיה שווה לנפח הגוף של נורית‪ .‬אם ראשה של נורית יישאר מעל פני המים‪ ,‬נפח המים‬
‫שיישפכו יהיה קטן מנפח הגוף של נורית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬נפחה של קובייה נוספת שווה לנפח הקובייה שהייתה כבר במים‪ ,‬ולכן המים‬
‫עולים שוב באותו גובה של קובייה‪ ,‬כלומר פי שניים מתחילת הניסוי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬ניר בודק תחילה לאיזה קו סימון מגיעים המים‪ ,‬לאחר מכן הוא זורק גולה למים‬
‫ובודק לאיזה קו סימון עלו המים‪ .‬הוא מחסר את מספר הקו ההתחלתי ממספר הקו הסופי‪.‬‬
‫ההפרש בין המספרים יהיה נפח הגולה במיליליטר או בסמ"ק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬בערך ‪ 6‬סמ"ק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬משימה פתוחה שבה עורכים ניסוי‪ .‬יהיו תלמידים שיגיעו למסקנה הנכונה‬
‫שעליית המים בכוס תלויה במספר הגולות שהושקעו במים‪ .‬השקעת גולה שנייה מעלה את המים‬
‫כמו בפעם הראשונה‪ ,‬והשקעת גולה שלישית מעלה את המים כמו בפעם הראשונה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :517‬נפח כדור‬
‫בשיעור זה התלמידים לומדים לחשב את נפח הכדור על‪-‬ידי השקעתו במים‪ ,‬ומראים לתלמידים‬
‫את הנוסחה‪ .‬נושא זה שבתכנית הלימודים קשה למרבית התלמידים בגיל צעיר‪ ,‬כיוון שאין להם‬
‫ידע מספיק כדי להבין את הדרך לנוסחה‪ .‬אמנם מובא תרגול בנושא זה‪ ,‬אך הוא אינו חובה לכל‬
‫תלמידי הכיתה‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :39 - 38‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬נפח הקובייה ‪ 512‬סמ"ק; נפח הכדור בערך ‪ 523.3‬סמ"ק; כן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬נפח הכדור בערך‪ :‬בשורה השנייה ‪ 4.186‬מ"ק; בשורה השלישית ‪ 113.04‬ממ"ק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :42‬א( ‪ 6.5‬ס"מ; ב( ‪ 26‬ס"מ; ג( אם ‪ ,π ≈ 3.14‬נפח הכדור בערך ‪ 143.7‬סמ"ק;‬
‫ד( בערך ‪ 862.32‬סמ"ק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :43‬את החישובים מבצעים בעזרת מחשבון‪ .‬התשובה‪ :‬בערך ‪ 14,130‬סמ"ק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :44‬את החישובים מבצעים בעזרת מחשבון‪ .‬שטח בסיס הגליל הוא בערך ‪12.56‬‬
‫סמ"ר‪ .‬נפח הגליל שגובהו ‪ 1‬ס"מ‪ ,‬הוא בערך ‪ 12.56‬סמ"ק‪ ,‬זהו נפח המים שעלו וגם נפחה של‬
‫הגולה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :45‬את החישובים מבצעים בעזרת מחשבון‪ .‬נפח הגליל בערך ‪ 98.1‬סמ"ק‪ .‬נפח חצי‬
‫כדור הוא בערך ‪ 32.7‬סמ"ק‪ .‬נפח הגוף בערך ‪ 130.8‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪235‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :519‬שטח פנים של גליל‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ד' לפני השיעור וגם לפתור את הבעיה המתוארת בשיעור כפעילות‬
‫גילוי‪ ,‬כיוון שהתלמידים מתקשים לראות ששטח הפנים של הגליל מורכב ממלבן ומעיגולים‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :48 - 46‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :49‬שטח כל עיגול הוא בערך ‪ 50.24‬סמ"ר; היקף העיגול הוא בערך ‪ 25.16‬ס"מ‪ ,‬שטח‬
‫המעטפת )המלבן( הוא בערך ‪ 251.2‬סמ"ר‪ .‬לפיכך שטח המתכת הוא בערך ‪ 351.68‬סמ"ר‪ .‬כמובן‪,‬‬
‫צריך לקחת בפועל קצת יותר מתכת‪.‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪520‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד בפרק‪ :‬הקשר בין יחידות נפח מוסכמות שונות מבוסס על‬
‫המבנה העשרוני‪ ,‬נוסחאות לחישוב נפח של גליל ישר‪ ,‬נפח של חרוט ישר‪ ,‬נפח של מנסרה ישרה‪,‬‬
‫נפח של פירמידה ישרה ונפח של כדור‪ .‬כמו‪-‬כן מופיע סיכום של מציאת שטח פנים של תיבה‪ ,‬של‬
‫קובייה ושל גליל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :50‬חישוב הנפח של כל אחד מהגופים המרכיבים את המגדל שבאיור‪ .‬כדאי להנחות‬
‫את התלמידים לסמן באיור את הנתונים ואחר‪-‬כך לחשב‪.‬‬
‫נפח הגליל יחושב כך‪ . 3.14 × 5 2 × 10 = 785 :‬נפח הגליל הוא ‪ 785‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪150‬‬
‫= ‪ . × 5 × 5 × 6‬נפח הפירמידה הוא ‪ 50‬סמ"ק‪.‬‬
‫נפח הפירמידה יחושב כך‪= 50 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫נפח המנסרה יחושב כך‪ . 5 × 5 × 2 = 50 :‬נפח המנסרה הוא ‪ 50‬סמ"ק‪ .‬גובה המנסרה הוא ‪ 2‬ס"מ‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמוד ‪521‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬א( ‪ 2‬ק"מ או ‪ 2,000‬מ'‪ .‬ב( ‪ 4‬קמ"ר או ‪ 4,000,000‬מ"ר‪ .‬שטח הריבוע גדול מדונם‪ .‬ג(‬
‫ד( ‪ 8‬קמ"ק או ‪ 8,000,000,000‬מ"ק‪ .‬ה( ‪ 1‬דצמ"ק = ‪ 1‬ל'‪ .‬נחשב נפח‬
‫‪ 2‬ק"מ או ‪ 2,000‬מ'‪.‬‬
‫בדצמ"ק‪ 1 :‬ק"מ = ‪ 10,000‬דצ"מ‪ .‬לכן נפח הקובייה שווה ל‪ 8,000,000,000,000 -‬דצמ"ק או ל‪-‬‬
‫יליוֹן ליטר(‪.‬‬
‫‪ 8,000,000,000,000‬ל' ) ָשמונה ְט ִר ְ‬
‫משימה מס' ‪ :2‬נפח החרוט הוא ‪ 30‬סמ"ק‪ .‬לפי תנאי השאלה נפח הגליל צריך להיות ‪ 30‬סמ"ק‪.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬אורך גובה הגליל ‪ 10‬ס"מ ושטח הבסיס שווה ל‪ 3 -‬סמ"ר‪ .‬קיימות אפשרויות נוספות‬
‫לתשובה נכונה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬הגוף מורכב משלושה גלילים ומחרוט‪ ,‬לכן נפח הגוף שווה לסכום הנפחים של‬
‫הגלילים ושל החרוט‪ .‬לחרוט ולגליל העליון יש אותו בסיס‪ .‬שטחי הבסיסים וגובהי הגלילים‬
‫והחרוט ידועים‪ ,‬לכן אפשר לחשב את נפח הגוף‪ ; 30 + 24 + 18 + 6 = 78 .‬נפח הגוף שווה ל‪ 78 -‬מ"ק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬מחלקים את נפח החרוט בשטח הנתון‪ ,‬וכופלים את התוצאה ב‪.3 -‬‬
‫התשובה‪ 6 :‬מ'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬חישוב בנפח של פירמידה מרובעת‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪80‬‬
‫‪2‬‬
‫נפח הפירמידה יחושב כך‪. × 4 × 4 × 5 = = 26 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4308.08‬‬
‫= ‪. × 3.14 × 7 3‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬חישוב הנפח של כדור‪≈ 1436.03 .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬חישוב שטח הפנים של גליל‪ 150.72 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬חישוב שטח הפנים של תיבה‪ 6,000 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪236‬‬
‫שאלות מילוליות ‪ ,‬עמוד ‪522‬‬
‫בעמוד זה מובאות בעיות מילוליות הקשורות לנושא שנלמד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬במשימה זו לומדים התלמידים מושג נוסף הקשור ביחידות מידה של נפח‪ .‬מכל‬
‫מכונית מכיל כ‪ 12 -‬גלונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬כאן נדרשת המרה של יחידות ממ"ק לליטרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬א( ההיקף של המעגל שווה לאורך המלבן‪ .‬ב( אורך הצלע של המלבן יחושב כך‪:‬‬
‫‪ . 3.14 × 1 = 3.14‬כלומר אורך צלע המלבן הוא ‪ 3.14‬ס"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬חישוב שטח של מלבן ושל עיגול‪ .‬להלן דרך הפתרון‪ :‬שטח העיגול הוא ‪38.465‬‬
‫סמ"ר‪. 3.14 × 3.5 2 = 38.465 .‬‬
‫שטח המלבן הוא ‪. 20 × 3.14 × 7 = 439.6‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬העיגולים המתאימים הם העיגולים בעלי רדיוס של ‪ 2.5‬ס"מ‪ .‬יש לחשב את היקף‬
‫המעגל‪.‬‬
‫יישומי מדע‪ ,‬עמוד ‪523‬‬
‫בחלק זה מלמדים את התלמידים את המושג משקל סגולי‪ .‬המשקל הסגולי מאפיין כל חומר‪.‬‬
‫המשקל הסגולי של חומר הוא משקל החומר ביחידת נפח‪ .‬לחומרים שונים יש משקל סגולי שונה‪,‬‬
‫ולכן לאותו הנפח של חומרים שונים יש משקל שונה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬משקלן של ‪ 2‬מ"ק של נוצות הוא‬
‫פחות מ‪ 2 -‬מ"ק של ברזל‪ .‬כמו‪-‬כן לחומרים שונים בעלי אותו משקל יש נפח שונה‪ ,‬כי המשקל‬
‫הסגולי של החומרים שונה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬נפח של ‪ 1‬ק"ג של נוצות גדול מנפח של ‪ 1‬ק"ג של ברזל‪.‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪524‬‬
‫‪4‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬התשובה‪ 3 :‬יחידות אורך‪ ,‬כי ‪. × π × 3 × 3 × 3 = 36 × 3.14‬‬
‫‪3‬‬
‫משימה מס' ‪ 56.52 :2‬סמ"ק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬קיבולת הספל שווה לנפח חצי כדור שרדיוסו ‪ 8‬ס"מ‪ .‬נפחו שווה בערך ל‪1,071.8 -‬‬
‫סמ"ק‪ .‬מחלקים את נפח הספל בשטח בסיס הגליל )הסיר(‪ ,‬ומקבלים את גובה החלב בסיר‪ ,‬שהוא‬
‫בערך ‪ 9‬ס"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬גוף הסיבוב שהתקבל הוא חרוט ישר‪ .‬רדיוס עיגול הבסיס שווה ל‪ 3 -‬מ'‪ ,‬וגובה‬
‫החרוט הוא ‪ 2‬מ'‪ .‬נפח החרוט הוא ‪ 37.68‬מ"ק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬גוף הסיבוב שהתקבל הוא גליל ישר‪ .‬רדיוס עיגול הבסיס שווה ל‪ 3 -‬מ'‪ ,‬וגובה‬
‫הגליל הוא ‪ 4‬מ'‪ .‬נפח הגליל הוא ‪ 113.04‬מ"ק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬א( כן‪ ,‬אפשר לסדר את הכוסות על המגש‪ .‬ב( אפשר לסדר במגש ‪ 48‬כוסות‬
‫‪40‬‬
‫‪30‬‬
‫ונחשב כך‪ . 6 × 8 = 48 :‬לפיכך אפשר להכניס על המגש ‪48‬‬
‫ו‪= 8.88 -‬‬
‫בוודאות‪= 6.66 .‬‬
‫‪4.5‬‬
‫‪4.5‬‬
‫כוסות בוודאות‪ .‬ג( השטח הפנוי יהיה ‪ 363.7‬סמ"ר‪ .‬ד( קיבולת ‪ 40‬כוסות היא ‪ 3,637‬סמ"ק‪.‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪525‬‬
‫חלק זה מיועד לחזרה על נושאים שנלמדו בשנים קודמות או בתחילת השנה‪ :‬ארבע פעולות‬
‫החשבון‪ ,‬כולל שברים‪ ,‬השוואה בין שברים ובעיות אתגר העוסקות בתכונות המספרים‪.‬‬
‫‪237‬‬
‫עמ' ‪551-526‬‬
‫כב‪ .‬מספרים ופעולות‬
‫רקע‬
‫הפרק "מספרים ופעולות" הוא פרק לסיכום החוקים והכללים‪ ,‬החלים בפעולות החשבון‬
‫במספרים השונים‪ .‬פרק זה הוא גם הכנה מסודרת לקראת לימודי האלגברה בחטיבת הביניים‪.‬‬
‫התלמידים למדו בעבר את סדר פעולות החשבון‪ ,‬את השימוש בסוגריים‪ ,‬את חוק החילוף בחיבור‬
‫ובכפל‪ ,‬את חוק הקיבוץ בחיבור ובכפל‪ ,‬את חוק הפילוג‪ ,‬את תכונות ה‪ 0 -‬וה‪ 1 -‬ואת תכונות‬
‫השוויון והאי‪-‬שוויון‪.‬‬
‫הם יודעים להשתמש בכל החוקים במספרים הטבעיים‪.‬‬
‫מטרת הפרק הנוכחי היא להעלות את החוקים למודעות‪ ,‬ליישם אותם בקבוצות מספרים נוספות‬
‫כמו שברים ומספרים עשרוניים ולפתח בעזרתם הבנה מספרית ודרכי חישוב‪.‬‬
‫כל התכונות של המספרים ושל הפעולות נובעות מאקסיומות ֶפאָנוֹ )‪ (PEANO‬שמסבירות מהו‬
‫מספר‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬לפתור תרגילי שרשרת בתוך כדי שמירה על סדר פעולות החשבון והתחשבות‬
‫בסוגריים;‬
‫ב‪ .‬לפתור תרגילים שיש בהם סוגריים‪ ,‬ולהשתמש בסוגריים ליצירת תרגילים‬
‫שונים;‬
‫ג‪ .‬להשתמש בחוק החילוף של החיבור ולהחליף את סדר המחוברים בתרגיל חיבור‬
‫לפי הצורך;‬
‫ד‪ .‬להשתמש בחוק החילוף של כפל ולהחליף את סדר הגורמים בתרגיל כפל לפי‬
‫הצורך;‬
‫ה‪ .‬להשתמש בחוק הקיבוץ ולפתור תרגילי שרשרת שבהם פעולות חיבור בלבד או‬
‫פעולות כפל בלבד‪ ,‬כדי להקל את החישובים;‬
‫ו‪ .‬להיעזר בחוק הפילוג של הכפל מעל חיבור או מעל חיסור כדי להקל את‬
‫החישובים;‬
‫ז‪ .‬להשתמש בחוקים של ‪ 0‬ושל ‪ 1‬בפתרון תרגילים מתאימים;‬
‫ח‪ .‬להשתמש בתכונות השוויון בפתרון תרגילים;‬
‫ט‪ .‬להשתמש בתכונות האי‪-‬שוויון;‬
‫י‪ .‬לייצג את פעולת החיבור בעזרת ציר המספרים‪.‬‬
‫מושגים‬
‫פעולות החשבון )חיבור‪ ,‬חיסור‪ ,‬כפל‪ ,‬חילוק‪ ,‬העלאה בחזקה( סדר פעולות החשבון‪ ,‬סוגריים‪ ,‬חוק‬
‫החילוף‪ ,‬חוק הקיבוץ‪ ,‬חוק הפילוג‪ ,‬איבר ניטרלי‪ ,‬שוויון‪ ,‬אי‪-‬שוויון‪ ,‬ציר המספרים‪ ,‬מספרים‬
‫חיוביים‪ ,‬מספרים שליליים‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫ריבועי מנייה‪ ,‬עיגולי שברים‪ ,‬מלבני שברים‪ ,‬ציר המספרים‪.‬‬
‫‪238‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על פעולות החשבון במספרים טבעיים‪ ,‬בשברים ובמספרים עשרוניים‪.‬‬
‫לאורך כל הלימוד בפרק זה חשוב לחזור עם התלמידים על תרגילים מהסוג המופיע להלן‪ .‬תוכלו‬
‫לבחור את התרגילים )כמובן‪ ,‬אפשר להוסיף( ‪ ,‬והתלמידים יענו על השאלות שכתובות על הלוח‪,‬‬
‫על הכרטיסים או הנשאלות בעל‪-‬פה‪ .‬את פעילות הטמעה זו )האורכת כ‪ 7– 5 -‬דקות( אפשר לבצע‬
‫בתחילת שיעור‪ ,‬באמצע שיעור ואף בסוף שיעור‪ ,‬לפי בחירתכם‪.‬‬
‫מה ההפרש בין המספר ‪ 2.5‬למספר ‪?0.5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫ו‪? -‬‬
‫מהו סכום המספרים‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫מהו סכום המספרים ‪ 1.5‬ו‪?2.5 -‬‬
‫מהי המכפלה של המספרים ‪ 12‬ו‪?20 -‬‬
‫מה ההפרש בין המספר ‪ 29‬למספר ‪?28.8‬‬
‫מהי המנה של המספרים ‪ 5‬ו‪?5 -‬‬
‫מהי המנה של המספרים ‪ 100‬ו‪?25 -‬‬
‫‪1‬‬
‫פי כמה גדול ‪ 1‬מ‪? -‬‬
‫‪5‬‬
‫פי כמה קטן ‪ 0.25‬מ‪?2 -‬‬
‫פי כמה קטן ‪ 10,000‬מ‪?100,000 -‬‬
‫פי כמה גדול ‪ 1,000,000‬מ‪?1,000 -‬‬
‫‪3‬‬
‫איזה מספר יש להוסיף ל‪ 0.5 -‬כדי לקבל‬
‫‪4‬‬
‫בכמה גדול ‪ 2‬מ‪?0.25 -‬‬
‫‪1‬‬
‫בכמה גדול ‪ 0.25‬מ‪? -‬‬
‫‪8‬‬
‫בכמה גדול ‪ 1,000,000‬מ‪?200,000 -‬‬
‫בכמה קטן שתיים בחזקת שתיים )‪ (22‬משלוש בחזקת שתיים )‪?(32‬‬
‫‪1‬‬
‫בכמה קטן מ‪?3 -‬‬
‫‪9‬‬
‫מצאו מספר שאם תוסיפו לו ‪ ,0.75‬תקבלו ‪.3‬‬
‫‪1‬‬
‫מאיזה מספר הפחיתו וקיבלו ‪?1.8‬‬
‫‪5‬‬
‫איזה מספר יש להוסיף ל‪ 1.8 -‬כדי לקבל ‪?2‬‬
‫מצאו מספר שאם תוסיפו לו ‪ ,1.2‬תקבלו ‪.3‬‬
‫‪1‬‬
‫מצאו מספר שאם תוסיפו לו ‪ ,‬תקבלו ‪.1.5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫מאיזה מספר הפחיתו וקיבלו ?‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫כמה צריך להוסיף ל‪ 31.15 -‬כדי לקבל ‪?32‬‬
‫פי כמה גדול ‪ 1,500‬מ‪?15 -‬‬
‫ֶהעלו אותי בחזקת שתיים וקיבלו ‪ .81‬מי אני?‬
‫ֶהעלו אותי בחזקת שתיים וקיבלו ‪ .64‬מי אני?‬
‫החסירו ממני ‪ 2.6‬וקיבלו ‪ .2.4‬מי אני?‬
‫אני קטן מ‪ 1 -‬פי ‪ .100‬מי אני?‬
‫אני קטן מ‪ 5 -‬פי ‪ .10‬מי אני?‬
‫אני גדול מ‪ 0.02 -‬פי ‪ .100‬מי אני?‬
‫‪1‬‬
‫אני גדול מ‪ -‬פי שניים‪ .‬מי אני?‬
‫‪6‬‬
‫בכמה גדול ‪ 8.1‬מ‪?0 -‬‬
‫פי כמה גדול ‪ 8‬מ‪?1 -‬‬
‫בכמה גדול ‪ 4.6‬מ‪?3.6 -‬‬
‫?‬
‫‪239‬‬
‫חילקו אותי לארבע‪ ,‬וקיבלו‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .‬מי אני?‬
‫אם תכפלו אותי ב‪ ,4 -‬תקבלו ‪ .1‬מי אני?‬
‫מהו ההפרש בין המספר ‪ 5‬למספר ‪?5‬‬
‫כמה עשיריות יש ב‪?8 -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫אם תחסירו ממני ‪ ,‬תקבלו ‪ .‬מי אני?‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫פי כמה גדול ‪ 5‬מ‪? -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫בכמה גדול ‪ 5‬מ‪? -‬‬
‫‪2‬‬
‫פי כמה קטן ‪ 0.25‬מ‪?4-‬‬
‫בכמה קטן ‪ 0.25‬מ‪?4-‬‬
‫מה ההפרש בין ‪ 1.5‬ו‪?1.25-‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬סדר פעולות החשבון‪.‬‬
‫התלמידים למדו בעבר את סדר פעולות החשבון‪ .‬פעילות זו תרענן את זיכרונם‪.‬‬
‫על הלוח רשומים ארבעה תרגילים‪:‬‬
‫‪7 + 3 × 5 - 2 = 48 (1‬‬
‫‪7 + 3 × 5 - 2 = 20 (2‬‬
‫‪7 + 3 × 5 - 2 = 16 (3‬‬
‫‪7 + 3 × 5 - 2 = 30 (4‬‬
‫התלמידים יבדקו איך הגיעו לתוצאה בכל תרגיל‪ ,‬מהי התוצאה הנכונה )תרגיל ‪ ,(2‬ומהן הטעויות‬
‫בתרגילים שתוצאותיהם שגויות‪.‬‬
‫פעילות ב‪ :‬סדר הפעולות בחשבון ‪ -‬שימוש בסוגריים‪.‬‬
‫התלמידים ידונו ביניהם בשאלה מה צריך להוסיף לתרגילים ‪ 3 ,1‬ו‪ 4 -‬מפעילות גילוי א' כדי‬
‫שהתוצאות הרשומות תהיינה נכונות‪.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬תחרות חישובים‪.‬‬
‫גוזרים את הכרטיסיות שבנספח )בסוף הפרק בספר למורה(‪ ,‬ומדביקים אותן על בריסטול‪.‬‬
‫מוציאים באקראי חמש כרטיסיות‪ ,‬ורושמים את המספרים על הלוח‪.‬‬
‫מבין הספרות ‪ 9-0‬מוציאים באקראי שלוש ספרות המרכיבות מספר תלת‪-‬ספרתי )אם ‪ 0‬יוצא‬
‫ראשון‪ ,‬מקבלים מספר דו‪-‬ספרתי‪ (.‬רושמים את המספר על הלוח‪.‬‬
‫על התלמידים להרכיב את המספר התלת‪-‬ספרתי הרשום על הלוח )או קרוב לו( בעזרת חמשת‬
‫המספרים הרשומים על הכרטיסיות‪ .‬מותר להשתמש בכל מספר פעם אחת בלבד ובארבע פעולות‬
‫חשבון ובסוגריים בלי הגבלה‪.‬‬
‫המנצח הוא התלמיד שההפרש בין המספר שהרכיב למספר שעל הלוח הוא הקטן ביותר‪ .‬חוזרים‬
‫על הפעילות חמש פעמים‪.‬‬
‫פעילות ד‪ :‬חוק החילוף בחיבור ובכפל‪.‬‬
‫התלמידים ייצגו בעזרת ריבועי מנייה )או פקקים( את התרגילים האלה‪:‬‬
‫‪3 + 4 = ? , 4 + 3 = ? (1‬‬
‫‪2 × 5 = ? , 5 × 2 = ? (2‬‬
‫וְ ידונו במליאה במסקנות הפעילות‪.‬‬
‫פעילות ה‪ :‬שימוש בחוק הקיבוץ ובחוק החילוף של החיבור בחישובים‪.‬‬
‫התלמידים יפתרו בדרך הנוחה להם את התרגיל‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2 4‬‬
‫? = ‪1.5 + 5 + 2 + + 2.25 + 0.2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4 5‬‬
‫וְ ידונו במליאה במסקנות הפעילות‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪240‬‬
‫‪4.5‬‬
‫‪8‬‬
‫פעילות ו‪ :‬חוק הפילוג‪.‬‬
‫התלמידים יחשבו את שטח המלבן ואת היקפו בדרכים שונות‪.‬‬
‫מטרת הפעילות היא להמחיש את חוק הפילוג של הכפל מעל החיבור‪.‬‬
‫הספר לתלמיד‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪ :526‬סדר פעולות החשבון‬
‫סדר פעולות החשבון נקבע על‪-‬ידי מתמטיקאים כדי לאחד את פתרון תרגילי החשבון‪ .‬ללא‬
‫הסכמים אלו כל אחד היה פותר תרגילי שרשרת לפי רצונו‪ ,‬והיו מתקבלים פתרונות שונים‪ .‬את‬
‫הצורך בפתרון אחיד בתרגילי שרשרת אפשר לראות בדוגמה הזו‪:‬‬
‫היו לי ‪ ,₪ 10‬שילמתי ‪ ₪ 5‬תמורת מחברת‪ ,‬ובערב נתנה לי אימא ‪ .₪ 2‬כמה כסף יש לי כעת?‬
‫התרגיל המתאים לפתרון השאלה הוא‪ . 10 − 5 + 2 :‬נניח שכללי סדר הפעולות לא קיימים‪ ,‬מה‬
‫תהיה התשובה? ‪ ₪ 3‬או ‪ ?₪ 7‬אפשר לבקש מהתלמידים לחבר שאלות דומות שעולה מהן הצורך‬
‫בהסכמים חד‪-‬משמעיים‪.‬‬
‫הכללים של סדר פעולות החשבון בתרגילים שאין בהם סוגריים‪ :‬פעולת העלאה בחזקה קודמת‬
‫לכל הפעולות; פעולות כפל וחילוק קודמות לפעולות חיבור וחיסור; בתרגיל שיש בו פעולות חיבור‬
‫וחיסור בלבד‪ ,‬מבצעים את הפעולות לפי הסדר משמאל לימין; בתרגיל שיש בו פעולות כפל וחילוק‬
‫בלבד‪ ,‬מבצעים את הפעולות לפי הסדר משמאל לימין‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :5-1‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬א( ‪ 64‬ב(‪ 2‬ג( ‪ 9‬ד( ‪0‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬א( ‪ 19‬ב( ‪ 30‬ג( ‪ 8.5‬ד( ‪ 1‬ה( ‪ 8‬ו( ‪33‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬א( ‪ 79‬ב( ‪ 125 25‬ג( ‪ 95‬ד( ‪5‬‬
‫‪84‬‬
‫‪8‬‬
‫=‬
‫‪40‬‬
‫‪18‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬א( ‪ 2.2‬ב( ‪ 14.6‬ג( ‪7.91‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬א( ‪ 14.6‬ב( ‪2.5‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬התלמידים פותרים משוואות‪ .‬משוואות אלה קלות‪ ,‬כי המספרים קטנים‪ .‬חשוב‬
‫לדון עם התלמידים בהצעותיהם למציאת המספר החסר‪.‬‬
‫א( ‪ 10‬ב( ‪5‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬התלמידים יוסיפו את סימני הפעולות החסרים בהתחשב בסדר פעולות החשבון‪.‬‬
‫א( ‪ + ,+‬ב( ‪ -‬ג ( × ד ( ‪:‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪ :528‬סוגריים‬
‫בשיעור זה התלמידים חוזרים על השימוש בסוגריים‪ .‬על‪-‬פי רוב‪ ,‬משתמשים בסוגריים כאשר‬
‫צריך לבצע פעולות לא לפי כללי סדר הפעולות המקובל‪ .‬מוסכם שהסוגריים קודמים לכל פעולה‬
‫אחרת‪ .‬הסבו את תשומת לבם של התלמידים כי אם בתוך הסוגריים יש שרשרת פעולות חשבון‪,‬‬
‫מבצעים אותן לפי סדר הפעולות המוסכם‪ .‬אפשר לשים סוגריים גם כאשר לא צריכים אותם‪ ,‬כי‬
‫הם לא משפיעים על התוצאה‪ ,‬זו אינה טעות‪ .‬לדוגמה‪ ,‬יש אותה תוצאה לשני התרגילים האלה‪:‬‬
‫‪. (15 − 5) + 8 = 18 ; 15 − 5 + 8 = 18‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬משימת יישום‪.‬‬
‫‪241‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬דוגמאות לביטויים נכונים )בסעיפים א' ו‪ -‬ב' אפשר להשתמש או לא להשתמש‬
‫בסוגריים‪ ,‬בסעיף ג' השימוש בסוגריים הוא חובה(‪ :‬א( ‪ ; 40 − 5 + 21 = 56‬ב( ‪; 1 − 3 × 0.5 = −0.5‬‬
‫‪1‬‬
‫ג( ‪. ( 13 + 5 ) × 10 = 185‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬א( ‪ ; 30 × × 3 = 45‬ב( ‪ ; ( 10 + 6 ) × ( 15 − 7 ) = 128‬ג( ‪; ( 25 + 3 ) × 2 = 56‬‬
‫‪2‬‬
‫ד( ‪. 7 × 3 − ( 9 + 4 ) = 8‬‬
‫משימה מס' ‪ . 54 − 46 = 8 :11‬אלי ואור קיבלו ‪ ₪ 8‬כל אחד‪ .‬לכן לאור יש כעת ‪ .₪ 18‬אפשר‬
‫לכתוב ביטוי מספרי אחד לפתרון הבעיה‪. 54 − 46 + 10 :‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬א( בעיה מס' ‪ .3‬ב( בעיה מס' ‪ .2‬ג( בעיה מס' ‪.1‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬יש להתחיל את ביצוע הפעולות מהמשבצת "התחלה" ולהמשיך לפי החצים‪ .‬אם‬
‫לא טועים בחישובים‪ ,‬חוזרים לאותו מספר שהחישובים התחילו ממנו‪ .‬הערה למורה‪ :‬אפשר‬
‫להוכיח שבסוף החישוב מגיעים למספר ההתחלתי‪ ,‬אם רושמים את כל תהליך החישוב באופן‬
‫כללי‪ ,‬כאשר המספר הנבחר הוא ‪ . (( a × 3 − 3 ) × 2 − 6 ) :6 + 2 :a‬את הביטוי אפשר לפשט כך‪:‬‬
‫‪ . (( 3a − 3 ) × 2 − 6 ) :6 + 2 = ( 6a − 6 − 6 ) :6 + 2 = ( 6a − 12 ) :6 + 2 = a − 2 + 2 = a‬הגענו למספר ‪a‬‬
‫שהתחלנו בו את החישוב‪ .‬כמובן‪ ,‬התלמידים אינם יכולים לנמק את החישוב במספר כלשהו‬
‫בצורה מופשטת זו )ההסבר מיועד למורים בלבד(‪ ,‬והם מבצעים את החישוב במספרים הנבחרים‬
‫על‪-‬ידיהם‪ .‬חשוב אפוא לדון עם התלמידים בתוצאותיהם ולוודא שכולם מחשבים נכון‪ .‬עם זאת‬
‫יש לבקש הסבר משלהם למשימה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬דוגמה לשאלה ‪ :‬דן קנה ‪ 2‬מחברות במחיר של ‪ ₪ 4‬כל אחת ‪ ,‬ו‪ 3-‬חבילות‬
‫טושים במחיר ‪ ₪ 4.5‬כל אחת‪ .‬מהו העדף שקיבל דן משטר של ‪?₪ 50‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬משימת יישום‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪ :530‬חוק החילוף בחיבור ובכפל‬
‫בשיעור זה התלמידים ירעננו את זיכרונם בחוק החילוף בחיבור ובכפל‪ .‬כעת מרחיבים את‬
‫השימוש בחוקים אלו לתחומים שונים של המספרים ולא רק לתחום המספרים הטבעיים‪ .‬חוק‬
‫החילוף חל במספרים ממשיים כלשהם‪ .‬תחום המספרים שתלמידי כיתה ו' עוסקים בו כולל‬
‫מספרים טבעיים ואפס‪ ,‬מספרים עשרוניים ושברים‪ .‬על‪-‬פי החוק‪ ,‬בתרגילי חיבור אפשר להחליף‬
‫את סדר המחוברים‪ ,‬והסכום אינו משתנה; ובתרגילי כפל אפשר להחליף את סדר הגורמים‪,‬‬
‫והמכפלה אינה משתנה‪ .‬חשוב לתרגל את חוק החילוף בעל‪-‬פה בתרגילים מתאימים כמו‬
‫‪1‬‬
‫? = ‪ , × 500 = ? ; 2 × 125 = ? ; 0.9 + 10.1 = ? ; 2 + 98‬וכך להראות את חשיבותו בהקלת‬
‫‪2‬‬
‫החישובים‪ .‬חשוב להסב את תשומת לבם של התלמידים לכך שבחוק החילוף משתתפים שני‬
‫גורמים או שני מחוברים ולא יותר‪ .‬אם מספר המחוברים או מספר הגורמים גדול משניים‪ ,‬חלים‬
‫בתרגיל גם חוקים אחרים כמו חוק הקיבוץ שיילמד בהמשך‪ .‬אם התלמידים מתקשים לקרוא‬
‫לחוקים בשמותיהם‪ ,‬אין להקפיד ִאתם על כך‪ ,‬אלא חשוב יותר שהם ישתמשו בחוקים באופן נכון‪.‬‬
‫חשוב להזכיר לתלמידים ולוודא שהם יודעים שחוק החילוף אינו חל בחיסור ובחילוק‪ .‬לדוגמה‪,‬‬
‫‪. 3 :2 ≠ 2 :3 , 3 − 2 ≠ 2 − 3‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬משימת יישום לחוק החילוף בחיבור‪AB+ BC= BC+ AB = 18 65 .‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬משימת יישום‪ .‬א( = ב( = ג( ≠ ד( ≠‬
‫משימות מס' ‪ :18-19‬משימות חקירה העוסקות בחוק החילוף בחיבור ובכפל‪ .‬בכל אחת‬
‫מהטבלאות חוק החילוף בא לידי ביטוי בסימטריה של הטבלה ביחס לאלכסון שבקצה אחד שלו‬
‫מופיע סימן הפעולה‪ .‬דנו עם התלמידים בהסברים שלהם‪.‬‬
‫‪242‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6 3‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬ב( ‪ 8‬ה( משימה פתוחה ‪ .‬דוגמה‪7 + + 0.9 + 1 = 5 + 3 + 0.9 + 1 :‬‬
‫‪5‬‬
‫‪9 9‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬משימת יישום‬
‫משימה מס' ‪ :22‬משימת יישום‪ :‬ו( "שתיים בחזקה שלוש" שונה מ"שלוש בחזקת שתיים"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬אפשר לבצע את המשימה בעל‪-‬פה א( נכון ב( לא‪-‬נכון ג( לא‪-‬נכון ד( נכון ה( לא‪-‬‬
‫נכון ו( נכון ז( נכון ח( לא‪-‬נכון‬
‫משימה מס' ‪ :24‬ההסבר של התלמידים יכול להסתמך על חוק החילוף בכפל‪ .‬חיבור‪:‬כל התשובות‬
‫‪1 1 1‬‬
‫מופיעות בטבלה חוץ מ‪ . 1 + 1 = 2 -‬כפל‪ :‬כל התשובות מופיעות בטבלה חוץ מ‪-‬‬
‫= ×‬
‫‪6 6 36‬‬
‫‪6 6 6‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬ייצוג חוקים על‪-‬ידי גאומטריה ‪ :‬לשני המלבנים אותו שטח‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬להלן אחת הדרכים האפשריות לפתרון השאלה‪ .‬מהמשפט השני נובע ששליש‬
‫מהעצים הם עצי התפוז ושני שלישים גם הם עצי הלימון‪ .‬א( לפיכך במטע ‪ 110‬עצי התפוז ו‪ 220 -‬עצי‬
‫הלימון‪ .‬ב( אפשר לסדר את כל העצים כך‪ 10 :‬שורות של עצי הלימון בלבד ו‪ 5 -‬שורות של עצי התפוז‬
‫בלבד או ב‪ 14 -‬שורות יהיו ‪ 15‬עצי תפוז ו‪ 7-‬עצי לימון‪ ,‬ובשורה האחרונה יהיו ‪ 12‬עצי לימון ו‪ 10 -‬עצי‬
‫תפוז‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪ :534‬חוק הקיבוץ בחיבור ובחיסור‬
‫גם כאן תחום המספרים שהתלמידים יעסקו בו הוא רחב יותר‪ ,‬והוא כולל את המספרים‬
‫הטבעיים‪ ,‬את האפס‪ ,‬את המספרים העשרוניים ואת השברים‪ .‬חוק הקיבוץ חל על שלושה‬
‫מחוברים או על שלושה גורמים ובאופן כללי נראה כך‪ :‬חוק הקיבוץ בחיבור‪:‬‬
‫) ‪ ; ( a + b ) + c = a + ( b + c‬חוק הקיבוץ בכפל‪ . ( a × b ) × c = a × ( b × c ) :‬חשוב לתרגל את חוק‬
‫הקיבוץ בצורה הזו בדוגמאות שונות שאפשר לראות בהן את חשיבותו וכיצד הוא מקל את‬
‫החישובים‪ .‬דוגמאות‪ . 2.5 × ( 4 × 0.09 ) = ( 2.5 × 4 ) × 0.09 ; ( 15 + 3 ) + 7 = 15 + ( 3 + 7 ) :‬שימו לב‪:‬‬
‫צורת הכתיבה של חוק הקיבוץ שלעיל היא הצורה המקובלת‪ .‬עם זאת הוסכם בין המתמטיקאים‬
‫שאפשר למחוק את הסוגריים בתרגיל אם הם אינם משפיעים על סדר הפעולות‪ ,‬כלומר התרגיל‬
‫‪ 15 + 3 + 7‬שווה לתרגיל = ‪ . ( 15 + 3 ) + 7‬לעתים קרובות משמיטים את שלב הביניים וכותבים‬
‫כך‪ , 15 + 3 + 7 = 15 + ( 3 + 7 ) :‬והשוויון עדיין נכון‪ .‬אם התלמידים יחשבו את התרגיל בעל‪-‬פה‪,‬‬
‫הם יפתרו נכון אם יגידו שתחילה מחברים את ‪ 3‬ו‪ 7 -‬ולאחר מכן מוסיפים את ‪ .15‬בהסבר זה הם‬
‫משתמשים נכון בשני החוקים‪ :‬בחוק הקיבוץ )החיבור של ‪ 3‬ו‪ (7 -‬ובחוק החילוף )הוסיפו ‪15‬‬
‫לתוצאה במקום להוסיף ל‪ 15 -‬את התוצאה(‪ .‬אין לדרוש מהתלמידים להבין את כל הדקויות‬
‫הקשורות לחוקי הפעולות‪ ,‬אלא רק להשתמש בהם באופן נכון‪ .‬אם התלמידים מנסים להסביר‬
‫באילו חוקים הם השתמשו וכיצד‪ ,‬יש להקפיד שההסברים המילוליים יהיו נכונים‪ .‬אפשר לוותר‬
‫על ההסברים כאשר הם מתקשים בהסבר‪ ,‬אך יודעים לפתור את התרגיל בפועל בעזרת החוקים‪.‬‬
‫באמצעות חוק הקיבוץ וחוק החילוף אפשר לשנות את סדר האיברים ולקבץ אותם בתרגילי‬
‫שרשרת‪ ,‬שיש בהם פעולות חיבור בלבד או פעולות כפל בלבד‪ ,‬ולפתור את התרגילים בדרך נוחה‪.‬‬
‫שימו לב‪ :‬גם חוק הקיבוץ אינו חל בפעולות חיסור וחילוק‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :30-27‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬בדוגמה נראה פירוק של מחוברים לצורך קיבוצם בדרך נוחה יותר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬במשימה מומחש בדרך ויזואלית הכפל של סכום של שני מחוברים בעצמו‪ .‬זו‬
‫המחשה של הנוסחה הידועה מאלגברה‪, ( a + b ) 2 :‬‬
‫שפתרונה‪ . ( a + b )2 = ( a + b ) × ( a + b ) = a × a + a × b + b × a + b × b :‬הצורה המקוצרת לפתרון‪,‬‬
‫שהתלמידים יכירו בשנים הבאות‪ ,‬היא ‪ . ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2‬אין מלמדים את התלמידים‬
‫נוסחה זו‪ ,‬אלא את השוויון שבתרגיל‪ .‬את השוויון הם ממלאים על‪-‬פי הציור‪ ,‬כלומר השטח של‬
‫הריבוע הגדול שאורך צלעו ) ‪ ( a + b‬שווה לכפל אורך הצלע בעצמו ושווה לסכום השטחים של שני‬
‫הריבועים הקטנים ושל שטחי שני המלבנים החופפים‪.‬‬
‫‪243‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:536‬‬
‫בשיעור זה חוזרים התלמידים על חוק פילוג של כפל מעל חיבור וחיסור‪ .‬כמו חוק החילוף )של כפל‬
‫ושל חיבור( וחוק הקיבוץ )של כפל ושל חיבור( גם חוק הפילוג מתקיים במספרים הממשיים‪.‬‬
‫התלמידים הכירו את חוק הפילוג בשנים קודמות‪ ,‬אך עסקו בו בתחום של המספרים הטבעיים‪.‬‬
‫הפעם קבוצת המספרים הורחבה למספרים טבעיים ולאפס‪ ,‬לשברים‪ ,‬ולמספרים עשרוניים‪.‬‬
‫חשוב שהתלמידים יתרגלו שימוש בחוק הפילוג‪ .‬חוק זה הוא הקשה ביותר מבין שלושת החוקים‬
‫שהתלמידים למדו‪ ,‬כי הוא מתייחס לשתי פעולות בו‪-‬זמנית‪ .‬רצוי לפתור עם התלמידים את‬
‫התרגילים המובאים בשיעור כדוגמאות‪ .‬דיון בדרכי פתרון של תרגילים אלו יכול להקל על‬
‫התלמידים בהבנת השימוש בחוק הפילוג‪ .‬הסבו את תשומת לבם של התלמידים שאפשר לקרוא‬
‫את חוק הפילוג משמאל לימין ומימין לשמאל‪ :‬לדוגמה‪ ,‬מחשבים )‪ 15 × ( 100 + 1‬וגם‬
‫‪. 15 × 1 + 15 × 99‬‬
‫שימו לב שאין חוק פילוג של חילוק מעל חיבור או מעל חיסור כלומר ‪. a : (b + c) ≠ a : b + a : c‬‬
‫דוגמה‪100 :( 2 + 3 ) ≠ 100 :2 + 100 :3 ,‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬משימת יישום להמחשת חוק הפילוג כמו בשיעור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬התלמידים יכולים להיעזר בדוגמאות או לבחור דרך אחרת הנוחה להם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬במשימה זו מובא שימוש בחוק הפילוג בשתי צורות נוחות‪ .‬בדוגמה הראשונה‬
‫מפרקים את הגורם שבצורת שבר לשני מחוברים‪ ,‬ומפעילים את חוק הפילוג של הכפל מעל‬
‫החיבור; ובדוגמה השנייה מתארים את הגורם שבצורת שבר כהפרש בין המחוסר והמחסר‪,‬‬
‫ומפעילים את חוק הפילוג של הכפל מעל החיסור‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :37-36‬התלמידים יפתרו את המשימות בדרך הנוחה להם‪ ,‬אך חשוב שישתמשו‬
‫בחוק הפילוג ולא רק יפתרו את תרגילי הכפל במאונך‪ ,‬אף על פי שגם בדרך זו משתמשים בחוק‬
‫הפילוג‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :38‬משימת יישום בשברים‪ .‬על התלמידים לשים לב לפעולה הנדרשת‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :39‬פיתוח הבנה מספרית‪ .‬את המשימה יש לבצע בעל‪-‬פה על‪-‬ידי שימוש בחוק‬
‫החילוף במשימה א' ו‪ -‬ד'‪ ,‬בחוק הקיבוץ במשימה ב' ובחוק הפילוג במשימה ג'‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪ :538‬תכונות ‪ 0‬ו‪1-‬‬
‫בשיעור זה התלמידים חוזרים על תכונות ה‪ 0 -‬וה‪ 1 -‬בפעולות חשבון‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :41- 40‬משימות יישום שאפשר לבצע בעל‪-‬פה ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪:42‬‬
‫א( ‪ +,+‬או ‪ +,-‬ב( ×‪ ×,‬ג( × או ‪ :‬ד( ×‪ ×,‬ה(‪ -,+‬או ‪ -,-‬או ×‪ ×,‬ו( ×‪+,‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:539‬‬
‫בשיעור זה התלמידים לומדים שכאשר מוסיפים אותו מספר לשני חלקי השוויון הנכון‪ ,‬השוויון‬
‫נשמר‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :44‬משימות יישום‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:540‬‬
‫בשיעור זה התלמידים לומדים שכאשר מוסיפים או מחסרים אותו מספר משני חלקי האי‪-‬שוויון‪,‬‬
‫האי‪-‬שוויון נשמר‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :46-45‬משימות יישום‪.‬‬
‫‪244‬‬
‫משימה מס' ‪ :47‬משימה פתוחה‪ ,‬אין צורך בחישובים‪ .‬התלמידים יכולים לכתוב מספרים‬
‫"קלים" כדי לפתור את התרגילים‪ .‬דוגמאות‪ :‬א( ‪ 1250-250>600‬ג( ‪5000 – 320 > 1420‬‬
‫ה( ‪700 -0 > 520‬‬
‫משימה מס' ‪ :48‬משימה פתוחה‪ ,‬אין צורך בחישובים‪ .‬התלמידים יכולים לכתוב מספרים‬
‫‪3‬‬
‫‪3 1‬‬
‫"קלים" כדי לפתור את התרגילים‪ .‬דוגמאות‪ :‬א( ‪ + 2 > +‬ד( ‪3.45 – 1 >3.45 – 1.4‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7 2‬‬
‫משימה מס' ‪ :49‬הכנה לאלגברה‪ ,‬הצגת שתי דרכים לפתירת משוואות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :50‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :51‬אין תשובה אחידה‪ .‬לכל אחד דרך הנוחה לו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :52‬התלמידים יפתרו את התרגילים בעזרת הוספת מספר זהה למחסר ולמחוסר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :53‬ענת הוסיפה למחסר ולמחוסר אותו מספר‪ ,‬כדי שיהיה לה נוח יותר לחסר‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪ :542‬ייצוג פעולת חיבור על ציר המספרים‬
‫עד כה ייצגו התלמידים על הציר פעולות במספרים טבעיים‪ ,‬בשברים ובמספרים עשרוניים‪.‬‬
‫בשיעור זה נוספים גם המספרים השליליים‪ .‬ההסבר לחיבור של מספרים שליליים בשלב זה הוא‬
‫מוחשי בלבד וללא הרחבה‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :56 – 55‬משימות יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :57‬א( קומה ‪ .8‬ב( קומה ‪ .10‬ג( מרתף ‪ , -5‬מרתף ‪ .- 3‬ד( מרתף ‪ -1‬ה( משפחת שרון‪.‬‬
‫ו(‪ 12‬קומות‪ .‬ז( קומה ‪.2‬‬
‫משימה מס' ‪ :58‬הכנה לחטיבת הבניים‪ :‬חיבור מספרים מכוונים בעזרת ציר המספרים‪.‬‬
‫מה למדנו? עמ' ‪:544‬‬
‫בעמוד זה התלמידים חוזרים על החומר שנלמד בפרק‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול עמ' ‪:545‬‬
‫‪7‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬יונתן צודק‪ .‬הביטוי לפני הסימן "פחות" צריך להיות שווה ל‪ . -‬לשם כך הוא‬
‫‪3‬‬
‫צריך לחפש דרך להקטין את ‪ .11‬כל המספרים גדולים מ‪ .1-‬הדרך היחידה היא חילוק ב‪ .6-‬לכן‬
‫‪1‬‬
‫הסוגריים מופיעים כדלקמן‪( 11 + 3 ) :6 − ( 2 + ) ≠ 0 ,‬‬
‫‪3‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬המליצו לתלמידים לייצג את הנתונים בקטעים‪ .‬צליל ‪ 8.5 :‬מ'; סיגל ‪ 12.75‬מ'‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬דוגמה של חישובים ב"ראש"‪ .‬כדאי לדון בדרך לחישוב פעולות שונות במספרים‬
‫שונים כדוגמת אלה שבמשימה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס'‪ :8‬ישום חוק הפילוג דוגמה ‪. 5 × 9 = 9 × 5 + 9 × = 45 + 3 = 48 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬משימה פתוחה‪ .‬מעבר מתרגיל לשאלה מילולית‪.‬‬
‫‪245‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬ה(< ו( =‬
‫משימה מס' ‪ :14‬על התלמידים לעקוב אחרי דרך החישוב של יובל‪ ,‬המתבסס על כפל וחילוק‬
‫כפעולות הפוכות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬תשובה א ‪ .‬שימוש באומדן ‪ .‬מעגלים את המספרים למאות ומאזנים‪.‬‬
‫בעיות‪ ,‬עמ' ‪:548‬‬
‫משימה מס'‪: 1‬חשיבה "לאחור"‪ .‬מחיר של ‪ 3‬עוגות על‪-‬ידי חיסור‪ ,‬מחיר עוגה על‪-‬ידי חילוק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬על התלמידים לעבוד בשיטתיות ולסדר את הנתונים‪ .‬מומלץ לייצג אותם‬
‫בסקיצה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬שילוב של מיומנויות שונות‪ :‬קריאת נתונים בסרטוט‪ ,‬חישוב של היקפים ושל‬
‫שטחים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬שימוש בחוק הפילוג‪.‬‬
‫היסטוריה‪ ,‬עמ' ‪:549‬‬
‫בחלק זה מלמדים את התלמידים חישובים בגימטרייה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬חלק גדול מפירושי הגימטרייה מבוססים על מילים בעלות אותו ערך גימטרי‪.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬למילים "יין" ו"סוד" יש אותו ערך‪ :‬לכן נאמר‪" :‬נכנס יין יצא סוד"‪.‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמ' ‪:550‬‬
‫בעמוד זה מובאות בעיות העשרה‪ :‬ייצוג של בסיס ‪ 5‬בלי ספרות כדי להראות לתלמידים את‬
‫קיומם של חוק החילוף ושל חוק הקיבוץ במסגרת שונה מהמבנה העשרוני‪ .‬כאן נעשה שימוש‬
‫בצורות במקום בספרות כדי למנוע מהתלמידים חשיבה בספרות עשרוניות‪.‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמ' ‪:551‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על החומר בנושאים‪ :‬יחס‪ ,‬אחוזים וייצוגים גרפיים שונים‪.‬‬
‫‪246‬‬
50
100
25
75
0.5
0.25
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
200
02
247
‫עמ' ‪580-552‬‬
‫כג‪ .‬בעיות תנועה והספק‬
‫רקע‬
‫בפרק זה יפתרו התלמידים לראשונה בעיות תנועה ובעיות הספק וילמדו את המושגים הקשורים‬
‫לנושאים אלו‪ .‬בעיות תנועה הן בעיות מילוליות העוסקות במושגים מהירות‪ ,‬זמן ומרחק )דרך(‪ .‬גם‬
‫בעיות הספק הן בעיות מילוליות‪ ,‬והן עוסקות במושגים הספק‪ ,‬זמן ועבודה‪ .‬בפרק זה ההספק‬
‫בבעיות הוא קבוע‪.‬‬
‫אפשר לחלק את הפרק לשלושה חלקים‪ :‬בחלק הראשון ילמדו התלמידים את המושג מהירות‬
‫ויפתרו בעיות תנועה שיש בהן רק גורם אחד המשתתף בתנועה‪ .‬בבעיות התנועה שבחלק השני‬
‫יהיו שניים או יותר גורמים המשתתפים בתנועה‪ :‬משתתפי תנועה שנעים זה לקראת זה‪,‬‬
‫מתרחקים זה מזה או נעים לאותו כיוון‪ .‬הבעיות בחלק השלישי יהיו בנושא הספק‪ ,‬והתלמידים‬
‫יראו את הקשר בין בעיות תנועה לבין בעיות הספק‪.‬‬
‫בפרק זה לומדים את הבסיס של הנושא כהכנה לקראת לימודים מתקדמים בשנים הבאות‪ .‬אחת‬
‫המטרות העיקריות של הפרק היא להכיר את המושגים החדשים‪ :‬המושג מהירות‪ ,‬וקשריו עם‬
‫המושגים דרך וזמן והמושג הספק וקשריו עם המושגים עבודה וזמן‪ .‬פרק זה מופיע אחרי למידת‬
‫המושג יחס‪ ,‬ולכן אפשר לקשור אליו את המושגים הנלמדים בפרק זה‪ .‬הבנת קשר זה חשובה‬
‫ותקל על התלמידים בשנים הבאות בלימודי אלגברה ובפתרון בעיות גם בנושאים אלו‪.‬‬
‫במושג מהירות מבחינים בין סוגי מהירויות שונות‪ :‬מהירות קבועה‪ ,‬מהירות ממוצעת‪ ,‬מהירות‬
‫לא‪-‬קבועה‪ ,‬מהירות רגעית ועוד‪ .‬בפרק זה נעסוק במהירות קבועה‪ ,‬שמשמעותה נסיעה ללא‬
‫הפרעה כלשהי בדרך מסוימת )מרחק מסוים( ביחידת זמן‪ .‬לעתים קוראים למהירות קבועה גם‬
‫מהירות ממוצעת‪ .‬אחד הקשיים העומדים בפני התלמידים בנושא הוא להבין את המושג מהירות‬
‫כמרחק שעוברים ביחידת זמן‪ .‬הסיבה לקושי היא שהתלמידים נוטים לתפוס אינטואיטיבית את‬
‫המהירות כפרק הזמן שלוקח לעבור מרחק קבוע )כמו בתחרויות ספורט(‪.‬‬
‫אם המהירות היא קבועה‪ ,‬הקשר בין זמן‪ ,‬מהירות ומרחק הוא קשר "פרופורציוני"‪ ,‬והמהירות‬
‫היא היחס בין הדרך לזמן‪ .‬כאשר המהירות קבועה‪ ,‬הזמן והמרחק הם ביחס ישר‪ ,‬כלומר אם הזמן‬
‫גדל או קטן פי שניים‪ ,‬גם המרחק גדל או קטן פי שניים בהתאמה‪.‬‬
‫בדומה למהירות מגדירים את ההספק כיחס בין העבודה לזמן ביצועה‪ .‬גם כאן הקשר בין זמן‪,‬‬
‫הספק ועבודה הוא קשר "פרופורציוני"‪ .‬כאשר ההספק הוא קבוע‪ ,‬העבודה והזמן הם ביחס ישר‪.‬‬
‫אחד הקשיים בפתרון בעיות הספק נובע מכך שהעבודה אינה מיוצגת על‪-‬ידי מספר‪ .‬במקרים‬
‫כאלה מקובל להתייחס לעבודה כאל שלם ולסמן אותה ב‪ .1 -‬תלמידים עלולים להתקשות בעניין‬
‫הזה‪ ,‬ולכן יש להקדיש זמן להסברים נוספים‪.‬‬
‫כמו בבעיות מילוליות אחרות גם בבעיות תנועה והספק מתקשים התלמידים בהבנת הנקרא‬
‫ובמציאת הקשר בין הנתונים השונים‪ .‬בפרק הנוכחי נעשה נסיון לבנות את נושא הלימוד בצורה‬
‫שתפחית את הקשיים‪ .‬נוסף על כך‪ ,‬לאורך כל הפרק ייעזרו התלמידים באיור )סקיצה( כדי להבין‬
‫את משמעות הנתונים בבעיית תנועה ולפתור אותה‪ .‬באיור מוצגים נתונים באופן גרפי‪ ,‬דבר המקל‬
‫את ההבנה‪) .‬בהמשך לימודיהם באלגברה ייעזרו התלמידים בטבלאות ככלי נוסף לפתרון בעיות‬
‫מסוגים אלו‪(.‬‬
‫בפרק מגוון רב ועשיר של בעיות מילוליות‪ ,‬קצתן מיועדות לתלמידים מתקדמים‪ ,‬אך ייתכן שגם‬
‫תלמידים אחרים יצליחו לפתור אותן‪.‬‬
‫לפי תכנית הלימודים‪ ,‬מומלץ להקדיש לנושא כ‪ 4 -‬שעות לימוד‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬לתאר תהליכים המתרחשים בבעיית התנועה )מי הנוסע‪ ,‬מהם הזמן‪ ,‬הדרך‪,‬‬
‫המהירות וכדומה(;‬
‫ב‪ .‬להתאים את היחידות של המרחק )דרך(‪ ,‬של הזמן ושל המהירות זה לזה;‬
‫ג‪ .‬להגדיר את המהירות כמרחק שעוברים ביחידת זמן;‬
‫ד‪ .‬לרשום את יחידות המהירות בקיצוריהן )קמ"ש או ק"מ‪/‬שעה‪ ,‬מ'‪/‬שנייה‬
‫וכדומה(;‬
‫ה‪ .‬לתאר בעיית תנועה באיור;‬
‫ו‪ .‬לחשב את המהירות כאשר הזמן והדרך ידועים;‬
‫‪248‬‬
‫ז‪.‬‬
‫ח‪.‬‬
‫ט‪.‬‬
‫י‪.‬‬
‫יא‪.‬‬
‫יב‪.‬‬
‫יג‪.‬‬
‫יד‪.‬‬
‫טו‪.‬‬
‫טז‪.‬‬
‫יז‪.‬‬
‫לחשב את הזמן כאשר המהירות והדרך ידועות;‬
‫לחשב את הדרך כאשר המהירות והזמן ידועים;‬
‫להתאים בין סדרי גודל של מהירות לכלי תחבורה )לדוגמה‪ ,‬מהירות אפשרית של‬
‫הולך רגל היא ‪ 5‬קמ"ש‪ ,‬ולא ‪ 5‬ק"מ‪/‬שנייה(;‬
‫להתאים זמן בבעיה מסוימת;‬
‫לפתור בעזרת איור ובשלבים בעיות תנועה פשוטות שיש בהן משתתף אחד או שני‬
‫משתתפים;‬
‫לתאר את הקשרים בין זמן‪ ,‬דרך ומהירות בעזרת המושג יחס;‬
‫לתאר את התהליכים החלים בבעיות הספק;‬
‫להגדיר את ההספק כעבודה המתבצעת ביחידת זמן;‬
‫להגדיר את ההספק כיחס בין עבודה לזמן ביצועה;‬
‫לפתור בעיות הספק פשוטות;‬
‫לתאר את הקשרים בין זמן‪ ,‬עבודה והספק בעזרת המושג יחס‪.‬‬
‫מושגים‬
‫בעיית תנועה‪ ,‬משתתפי התנועה‪ ,‬דרך )מרחק(‪ ,‬יחידות הדרך‪ ,‬זמן‪ ,‬יחידות הזמן‪ ,‬מהירות‪ ,‬יחידות‬
‫המהירות‪ ,‬ק"מ‪/‬שעה‪ ,‬קמ"ש‪ ,‬מ'‪/‬שנייה‪ ,‬כלי תחבורה‪ ,‬בעיית הספק‪ ,‬הספק‪ ,‬עבודה‪ ,‬זמן ביצוע‬
‫עבודה‪ ,‬יחס‪ ,‬יחס ישר‪ ,‬יחס הפוך‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫איורים )סקיצות(‪ ,‬צעצועים שהם כלי תחבורה שונים‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על כפל ועל חילוק כפעולות הפוכות‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫מצאו את החסר‪?× 0.01 = 10 , × ? = 1 , 8 × ? = 16 , 2 × 2 = ? , × 5 = ? , 3 × 5 = ? :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫וכדומה‪.‬‬
‫התרגילים יינתנו לפי רמת התלמידים )מספרים טבעיים‪ ,‬שברים או מספרים עשרוניים(‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫ידוע כי ‪ . × 8 = 6‬מהי תוצאת החילוק‪. 6 : = ? , 6 :8 = ? :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על הגדלה או על הקטנה של מספר‪ :‬פי‪ ...‬או ב‪...‬‬
‫‪ (1‬מהו המספר שקטן מהמספר ‪ 13‬ב‪?12 -‬‬
‫‪ (2‬אימא קנתה חמישה קילוגרמים תפוחים ושני קילוגרמים פחות לימונים‪ .‬כמה ק"ג לימונים‬
‫קנתה אימא? כמה ק"ג פרות היא קנתה בסך הכול?‬
‫‪ (3‬המרחק בין חיפה לבין ירושלים הוא ‪ 151‬ק"מ‪ .‬המרחק בין תל‪-‬אביב לבין חיפה קטן ב‪66 -‬‬
‫ק"מ‪.‬‬
‫מהו המרחק בין חיפה לתל אביב?‬
‫‪ (4‬ביום ראשון עבר סייר ‪ 12‬ק"מ‪ ,‬וביום שני הוא עבר מרחק הגדול פי שניים מאשר ביום‬
‫הראשון‪ .‬כמה ק"מ הוא עבר ביום השני?‬
‫ג‪ .‬חזרה על המושגים‪ :‬יחס‪ ,‬יחס ישר‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים לענות על השאלות שלהלן ולהסביר את דרך הפתרון‪.‬‬
‫‪ (1‬בחנייה ‪ 30‬מכוניות‪ 10 .‬מהן הן מכוניות אדומות‪ ,‬והיתר בצבע לבן‪ .‬מהו היחס בין מספר‬
‫המכוניות האדומות למספר המכוניות הלבנות? מהו היחס בין מספר המכוניות הלבנות לכלל‬
‫המכוניות בחנייה? מהו יחס בין מספר המכוניות האדומות לכלל המכוניות בחנייה?‬
‫‪ (2‬אתמול קניתי ‪ 2‬ק"ג תפוחים ב‪ ₪ 5.5 -‬לקילוגרם‪ .‬היום קניתי ‪ 4‬ק"ג של תפוחים באותו מחיר‪.‬‬
‫פי כמה יותר שילמתי היום תמורת התפוחים מאשר אתמול?‬
‫‪249‬‬
‫הערה‪ :‬מחיר ל‪ 1 -‬ק"ג היא קבוע )‪ ,(₪ 5.5‬לכן מחיר כולל ומשקל הם ביחס ישר‪ .‬לפיכך אפשר‬
‫לפתור את הבעיה ללא חישוב התשלום בכל יום‪ :‬היום התשלום גבוה פי שניים מאשר אתמול‪.‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות הכנה‪ :‬התלמידים מתבקשים לשים לב לכל תנועה שהם רואים בדרך לבית הספר או בדרך‬
‫הביתה )כלומר מחוץ לכיתה(‪ .‬המטרה היא לערוך תצפית ולאחר מכן לדון בכיתה או בקבוצה‬
‫בנושאים האלה‪:‬‬
‫א‪ .‬מי משתתף בתנועה‪ :‬מכוניות‪ ,‬הולכי רגל‪ ,‬רוכבי אופניים וכדומה;‬
‫ב‪ .‬כמה משתתפים בתנועה מסוימת‪ :‬אחד )הולך רגל הולך(‪ ,‬שניים )זזים זה לקראת זה‪,‬‬
‫מתרחקים זה מזה‪ ,‬זזים באותו כיוון(;‬
‫ג‪ .‬מהו אופי התנועה של גוף מסוים‪ :‬מהר‪ ,‬לאט‪ ,‬עוצר מדי פעם‪ ,‬זז ישר‪ ,‬עקום וכדומה‪.‬‬
‫אחרי הדיון מבקשים מהתלמידים לבצע בכיתה פעילויות דומות למה שהם צפו בחוץ‪ .‬התלמידים‬
‫מתבקשים לייצג בעזרת איור את התנועה שלהם או של מה שהם ראו בחוץ‪ .‬דנים בהצעות‬
‫לייצוגים השונים‪ .‬חשוב לדון עם התלמידים בהצעתם לייצוג‪ ,‬ורצוי שהתלמידים יגיעו למסקנה‬
‫שנוח לייצג דרך על‪-‬ידי קטע שמסמנים עליו בנקודות שונות מקומות מוצא וסיום‪ ,‬מקום פגישה‬
‫וכדומה‪ .‬אפשר לסמן גם בדגל או בקו קטן וכדומה‪ .‬נוח לרשום ליד הקטע גם את המרחק הנתון‬
‫או סימן שאלה‪ ,‬כאשר הוא אינו נתון‪ ,‬וכדומה‪ .‬את כיוון התנועה מייצגים על‪-‬ידי חץ המסמל את‬
‫המהירות של משתתף מסוים ‪ .‬אפשר להסכים‪ ,‬שמי שנוסע או הולך מהר יותר‪ ,‬מיוצג על‪-‬ידי חץ‬
‫ארוך יותר‪.‬‬
‫פעילות א‪ :‬הצגת התנועה‪ .‬קבוצת התלמידים מקבלת דף שמצויר בו איור המייצג את התנועה‪ .‬על‬
‫התלמידים לבצע בפועל את התנועה המיוצגת ולתאר אותה במילים‪.‬‬
‫בוחרים בכיתה מקום המייצג את הקטע )אפשר גם לצייר קטע על הרצפה(‪ ,‬והתלמידים )אחד או‬
‫יותר‪ ,‬לפי האיור( נעמדים בקצות הקטע ומתחילים לנוע לאורך הקטע‪ .‬לדוגמה‪ ,‬על‪-‬פי איור )‪(2‬‬
‫שלהלן הם הולכים זה לקראת זה ונפגשים בנקודת הפגישה‪ .‬אפשר להמשיך את התנועה ולראות‬
‫שאחרי הפגישה הם מתחילים להתרחק זה מזה‪ .‬דנים בהצגה ובתיאורים המילוליים שהתלמידים‬
‫נותנים‪.‬‬
‫דוגמאות לאיורים‪:‬‬
‫איור)‪(1‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫איור)‪(2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫איור)‪(3‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫איור)‪(4‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫איור)‪(5‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫איור)‪(6‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫דוגמה לתיאור המתאים לאיור )‪ :(6‬רמי וקרן יצאו מהעיר ‪ A‬לעיר ‪ .B‬רמי יצא לדרך כאשר קרן‬
‫כבר עברה חלק מהדרך‪ .‬המהירות של רמי גבוהה יותר )לפי אורך החץ(‪ ,‬ולכן רמי מתקרב לקרן‪.‬‬
‫‪250‬‬
‫דוגמה לשאלה‪ :‬האם רמי ישיג את קרן בדרכו? אם ידועות המהירויות של קרן ושל רמי )לדוגמה‪,‬‬
‫‪ 3‬קמ"ש ו‪ 4 -‬קמ"ש(‪ ,‬אפשר לשאול‪ :‬בכמה ק"מ הם מתקרבים זה לזה כל שעה?‬
‫פעילות ב‪ :‬חישוב מהירות‪ .‬הפעילות מתבצעת בחצר או במקום מתאים אחר‪ .‬מסרטטים על‬
‫האספלט או על הרצפה את "הדרך הסגורה" )ראו איור(‪ .‬על הדרך מסמנים שנתות כך שהמרחק‬
‫בין כל שתי שנתות סמוכות הוא עשרה מטרים‪ .‬התלמידים מתבקשים ללכת רגיל בדרך זו במשך ‪5‬‬
‫דקות )אפשר גם ‪ 3‬או ‪ 4‬דקות וכדומה(‪ .‬התלמידים צריכים לזכור איזה מרחק הם עברו )קל‬
‫לעשות זאת כי בכל עשרה מטרים מסומנת שנת(‪ .‬כל אחד מהתלמידים מתבקש לחשב כמה‬
‫מטרים הוא עבר בדקה אחת‪ .‬כך מגיעים למהירות של התלמיד‪ ,‬כלומר המרחק שהתלמיד עבר‬
‫ביחידת זמן )מטרים בדקה(‪ .‬דנים במהירויות השונות של התלמידים ומשווים ביניהן‪ :‬מי הלך‬
‫מהר יותר‪ ,‬לאט יותר‪ ,‬האם היו תלמידים שהלכו באותה המהירות‪.‬‬
‫דוגמה למסלול‪:‬‬
‫התחלה‬
‫‪ 10‬מ'‬
‫פעילות ג‪ :‬קשר בין מהירות זמן ודרך‪ .‬משתמשים במסלול של הפעילות הקודמת או במסלול בקו‬
‫ישר שאורכו כ‪ 100 -‬מטר‪ .‬שלושה תלמידים נמצאים בקו ההתחלה‪ :‬אחד רץ‪ ,‬אחד הולך רגיל‪,‬‬
‫ואחד "הולך לאט כמו צב"‪ .‬שלושה תלמידים אחרים מודדים את הזמן הדרוש לכל אחד‬
‫מההולכים כדי לעבור את המסלול‪) .‬הם מודדים בשעון‪-‬עצר )סטופר( או בספירת שניות‪ (.‬בדיון‬
‫בודקים מהו הקשר בין קצב ההליכה לבין הזמן הדרוש‪ :‬מבקשים להשלים משפט כגון "ככול‬
‫שהקצב _____ )מהיר‪/‬אטי יותר(‪ ,‬הזמן _____ ) קצר‪/‬ארוך יותר(‪ .‬בתום הפעילות מראים את‬
‫הקשר בין המושגים "קצב" ו"מהירות" ומבהירים כי בהקשר שלנו המילים האלו הן מילים‬
‫נרדפות‪.‬‬
‫פעילות ד‪ :‬בעיות תנועה בחיי היום‪-‬יום‪ .‬כדאי לחשוף את התלמידים לסוג הבעיות שיינתנו‬
‫ביחידת לימוד זו‪ .‬סביר להניח כי יהיו תלמידים שיוכלו לפתור את הבעיות מידיעותיהם האישיות‪.‬‬
‫להלן דוגמאות לבעיות כאלה‪.‬‬
‫‪ .1‬מכונית נוסעת במהירות של ‪ 50‬קילומטר בשעה‪ .‬כמה קילומטרים היא תעבור ב‪ 4 -‬שעות?‬
‫)אפשר לשאול‪ :‬איזה מרחק תעבור המכונית כעבור ‪ 4‬שעות?(‬
‫פתרון‪ :‬אם המכונית נוסעת במהירות של ‪ 50‬קילומטר בשעה‪ ,‬בשעה היא עוברת ‪50‬‬
‫קילומטר‪ ,‬וב‪ 4 -‬שעות היא תעבור פי ארבעה קילומטרים‪ . 4 × 50 = 200 .‬תשובה‪ :‬ב‪4 -‬‬
‫שעות תעבור המכונית ‪ 200‬קילומטר‪.‬‬
‫‪ .2‬ספינה שטה בנהר במהירות קבועה ועוברת ‪ 300‬קילומטר ב‪ 6 -‬שעות‪ .‬מהי מהירות‬
‫הספינה?‬
‫פתרון‪ :‬אם ב‪ 6 -‬שעות הספינה עוברת ‪ 300‬קילומטר‪ ,‬בשעה אחת היא עוברת שישית מזה‪,‬‬
‫כלומר ‪ .300 : 6 = 50‬תשובה‪ :‬הספינה שטה במהירות של ‪ 50‬קילומטר בשעה‪.‬‬
‫‪ .3‬ילד רוכב על אופניים במהירות של ‪ 20‬קילומטר בשעה‪ .‬במשך כמה זמן הוא יעבור דרך‬
‫של ‪ 60‬קילומטר )בהנחה שהוא לא מפסיק וממשיך במהירות קבועה(?‬
‫פתרון‪ :‬הילד עובר ‪ 20‬קילומטר בשעה‪ .‬צריך לבדוק כמה פעמים "נכנסים" ‪ 20‬קילומטר‬
‫בדרך שהוא עבר‪ ,‬כלומר ב‪ 60 -‬קילומטר‪ .‬לשם כך נחלק את הדרך )‪ 60‬קילומטר( ב‪.20 -‬‬
‫‪ . 60 :20 = 3‬תשובה‪ :‬הילד רכב ‪ 3‬שעות‪.‬‬
‫פעילות ה‪ :‬המושג הספק ובעיות הספק‪ .‬מבצעים את הפעילות על הרצפה )צריכים שני מלבנים‬
‫ששטחם ‪ 2‬מ"ר(‪ .‬מזמינים שני ילדים לרצף אחד מהמלבנים על‪-‬ידי דפים ‪) A4‬אפשר להשתמש‬
‫בטיוטות(‪ .‬למלבן השני מזמינים ילד שלישי לבצע אותה הפעילות‪ .‬לפני שהילדים שהוזמנו‬
‫מתחילים לרצף‪ ,‬שואלים את התלמידים‪" :‬מי יסיים את הריצוף מהר יותר‪ :‬ילד אחד או שני‬
‫ילדים שיעבדו יחד?" מטרת הפעילות היא להראות שאם יש יותר משתתפים‪ ,‬העבודה נעשית מהר‬
‫יותר‪) .‬אמנם איננו יודעים אם יש לכולם אותו הספק‪ ,‬אך אינטואיטיבית השאלה ברורה‪ (.‬אפשר‬
‫לבדוק בשעון כמה זמן )דקות או שניות( ביצע הילד השלישי את המשימה‪ ,‬ועל‪-‬סמך זה לשאול‬
‫איזה חלק של העבודה הוא עשה ביחידת זמן‪ .‬לדוגמה‪ ,‬בתוך ‪ 3‬דקות סיים הילד את הריצוף‪ .‬בכל‬
‫‪251‬‬
‫‪1‬‬
‫דקה )יחידת זמן( הוא ביצע‬
‫‪3‬‬
‫של שני התלמידים יחד‪) .‬כמובן‪ ,‬צריך למדוד גם את זמן פעילותם‪ (.‬אפשר לחזור על הפעילות עם‬
‫התלמידים האחרים‪.‬‬
‫של העבודה‪ .‬כעת אפשר לדון במושג הספק ולראות מהו ההספק‬
‫פעילות ו‪ :‬המושג הספק והקשר בין הספק‪ ,‬עבודה וזמן‪ .‬התלמידים מתבקשים למצוא דרך‬
‫לפתרון בעיות הספק כאלה‪ (1 :‬מי יצבע קיר מהר יותר‪ :‬שלושה תלמידים או תלמיד אחד? ופי‬
‫כמה מהר אם יעבדו באותו הספק? )אפשר להשתמש במילה "מהירות" במקום "הספק"‪ ,‬אם‬
‫המושג הספק עדיין לא הופנם‪ (2 (.‬תלמידי כיתה ו' שותלים פרחים‪ .‬מי ישתול יותר פרחים ופי‬
‫כמה‪ :‬קבוצה שבה חמישה תלמידים או קבוצה שבה עשרה תלמידים?‬
‫חשוב שהתלמידים ישימו לב שלא מזכירים כאן כמה זמן עובדים‪ ,‬ולכן יש אפשרויות שונות‬
‫לתשובה‪ .‬אם מוסיפים שני תנאים‪ -‬לכל התלמידים אותו הספק וכולם עובדים במשך שעתיים‪-‬‬
‫התשובה תהיה חד‪-‬משמעית‪.‬‬
‫כדאי לשוחח עם התלמידים על היחסים שבין זמן‪ ,‬עבודה והספק‪ .‬לדוגמה‪ ,‬אם ההספק הוא קבוע‪,‬‬
‫העבודה וזמן ביצוע העבודה הם ביחס ישר‪ .‬אם העבודה קבועה‪ ,‬ככל שיהיו יותר פועלים‪ ,‬זמן‬
‫ביצוע העבודה יקטן‪.‬‬
‫הספר לתלמיד‬
‫נושא זה חדש לתלמידי כיתה ו' ואינו קשור לנושאים שנלמדו קודם לכן באופן כללי‪ ,‬לכן הוחלט‬
‫לוותר על העמודים שבהם חוזרים על החומר הנלמד‪") ,‬לעלות על הגל"(‪ ,‬והפרק מתחיל בהקניית‬
‫החומר החדש‪ .‬כמו‪-‬כן בפרק זה אין עמוד של "בעיות"‪ ,‬כיוון שכל הפרק הזה עוסק בבעיות‬
‫מילוליות‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪ :552‬המהירות‬
‫בבעיות תנועה משתמשים במושגים "מהירות"‪" ,‬זמן" ו"דרך"‪ ,‬ופתרונן מבוסס על הקשר בין‬
‫מושגים אלו המתבטא בנוסחה‪ :‬זמן ‪ x‬מהירות = דרך‪ .‬בשיעור זה התלמידים לומדים את המושג‬
‫מהירות‪ .‬אפשר להגדיר מהירות כאורך הדרך )המרחק( שעוברים ביחידת זמן‪ .‬קשה לתלמידים‬
‫להבין את המושג‪ ,‬אף‪-‬על‪-‬פי שמשתמשים בו בחיי היום‪-‬יום‪ .‬הילדים נוטים לחשוב בטעות על‬
‫מהירות לפי מרחק קבוע )כמו בתחרויות ספורט(‪ .‬לכן בשיעור הם יראו את הצורך בחישוב‬
‫המהירות כדי לענות על השאלה "מי מהיר יותר?" במושג "מהירות" משתמשים בתחומים שונים‪,‬‬
‫כמו מהירות של אוטובוס‪ ,‬מהירות גידולו של צמח‪ ,‬מהירות התרבות של ארנבים וכדומה‪ .‬בפרק‬
‫זה המושג קשור לבעיות תנועה בלבד‪.‬‬
‫בשתי השאלות הראשונות בשיעור רואים שלעתים אין צורך לחשב את המהירות כדי לענות על‬
‫השאלה "מי מהיר יותר?"‪ ,‬ואילו בשאלה השלישית נתקלים בצורך בחישוב‪ .‬הדרך הנוחה ביותר‬
‫היא לחשב מהירות‪ ,‬כלומר כמה ק"מ עובר כל אחד בשעה‪ .‬אין פותרים את שאלה ג' כעת‪ ,‬אלא‬
‫חוזרים לפתרונה בשלב מאוחר יותר‪.‬‬
‫כדי שהתלמידים יבינו מהי המהירות‪ ,‬צריך לבקש מהם להסביר‪" :‬למה מתכוונים כשאומרים‬
‫שהמהירות של הולך רגל היא ‪ 5‬ק''מ בשעה?"‪ .‬כמו‪-‬כן קיימות צורות שונות לקיצור של קילומטר‬
‫ק "מ‬
‫בשעה‪ :‬קמ"ש‪ ,‬ק"מ‪/‬שעה‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫שעה‬
‫לאורך כל הפרק יעשה שימוש במילים כמו‪ :‬אורך הדרך‪ ,‬הדרך‪ ,‬המרחק‪ .‬כל המילים האלה‬
‫מציינות את הדרך‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬במשימה זו משווים בין שתי מהירויות‪ .‬יש לוודא שהמהירויות נמדדות באותה‬
‫היחידה )ק"מ‪/‬שעה‪ ,‬מ'‪/‬שנייה(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬כדאי לחזור לפעילויות מסוג זה לאורך כל יחידת הלימוד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬אין צורך בחישוב המהירות‪ ,‬כי מדובר באותו פרק זמן‪.‬‬
‫‪252‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬חשוב לשוחח עם התלמידים על מד‪-‬המהירות ועל חוקי התנועה‪ .‬אפשר להרחיב‬
‫בנושא לפי רצון התלמידים ו‪/‬או רצונכם ולעסוק בנושא "זהירות בדרכים"‪ ,‬לדוגמה‪ :‬סוגי כבישים‬
‫ואופן חצייתם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬גם במשימה זו חשוב לשוחח עם התלמידים על מהירויות של "משתתפי תנועה"‬
‫שונים )כלי תחבורה‪ ,‬אנשים‪ ,‬בעלי חיים(‪ .‬אפשר לבקש מהתלמידים המתעניינים בכך‪ ,‬להכין‬
‫הרצאה קצרה בנושא ולהדגים בהתאם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬מהירותו של רוכב האופניים היא ‪ 21‬ק"מ‪/‬שעה‪ .‬כדאי לשוחח עם התלמידים על‬
‫מהירויות אפשריות של הולך רגל ושל רוכב אופניים‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪ :554‬יחידות המהירות‬
‫בשיעור זה יכירו התלמידים יחידות שונות של מהירות וילמדו להתאימן ליחידות דרך וליחידות‬
‫זמן‪ .‬כדאי להמשיך לשוחח עם התלמידים על מהירויות שונות ועל יחידות המהירות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬במשימה זו אין צורך בחישוב‪ .‬התלמידים ישוו בין מהירות המטוס לבין מהירות‬
‫הקול ומהירות האור המצוינות בשיעור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬כמו בשאלה הקודמת צריך לברר מהי יחידת המהירות‪ .‬בסעיף א' ‪ -‬ק"מ‪/‬שנייה‪,‬‬
‫בסעיף ב' ‪ -‬מ'‪/‬דקה‪ ,‬בסעיף ג' – ק"מ‪/‬שעה‪ ,‬בסעיף ד' – מ'‪/‬שנייה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬על התלמידים להשלים את הטבלה ביחידות החסרות בלבד‪ .‬לא צריך להוסיף‬
‫מספרים‪ .‬שימו לב שעל‪-‬סמך יחידות המהירות בלבד אפשר לדעת באיזו יחידה מדדו זמן ומרחק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ 60 :11‬מיל הם ‪ 96‬ק"מ‪ .‬באנגליה המהירות גבוהה יותר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬משימה פתוחה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬פיתוח ההבנה המספרית באמצעות שאלה מילולית‪ .‬המכונית תגיע לירושלים‬
‫בחצי שעה‪ ,‬והמשאית תגיע בפחות מחצי שעה‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪ :556‬בעיות תנועה‪ :‬ייצוג בעזרת איור‬
‫בשיעור זה לומדים לייצג בעיית תנועה בעזרת איור‪ .‬האיור עוזר מאוד להבין מה "מתרחש"‬
‫בבעיה‪ ,‬ולזכור את הנתונים‪ .‬חשוב להרגיל את התלמידים להשתמש באיור ולבקש מדי פעם לחבר‬
‫בעיה לפי האיור הנתון‪ .‬אפשר גם להראות דוגמאות של איורים שחסרים בהם נתונים‪ ,‬ולבקש‬
‫מהתלמידים להשלים אותם‪ .‬בהמשך מובאות שאלות מסוג זה‪ .‬בכל בעיית תנועה המהירות היא‬
‫קבועה לאורך כל הדרך‪ ,‬אלא אם כן צוין אחרת‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :15-14‬תרגול לאיור של בעיית תנועה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬הנתון הוא במטר לדקה‪ ,‬חצי שעה שווה ל‪ 30 -‬דקות‪ ,‬לכן צריך לכפול ‪ 1800‬ב‪-‬‬
‫‪ .30‬מקבלים ‪ 54,000‬מ' או ‪ 54‬ק"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬בחצי שעה יעבור בז ‪ 180‬ק"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬אמנם יש כאן משתתף תנועה אחד )האוטובוס(‪ ,‬אך כל הדרך מחולקת לשני‬
‫חלקים לפי המהירות של האוטובוס‪ .‬אורך החלק הראשון )כביש ‪ (6‬הוא ‪60‬ק"מ‪ ,‬ואורך החלק‬
‫השני הוא ‪ 45‬ק"מ‪ .‬בסך הכול אורך הדרך הוא ‪ 105‬ק"מ‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪ :558‬פתרון בעיות תנועה‪ :‬משתתף אחד‬
‫בשיעור זה לומדים לפתור בעיות תנועה שיש בהן משתתף אחד‪ .‬התלמידים ימצאו את אחד‬
‫המרכיבים‪ -‬דרך‪ ,‬מהירות או זמן‪ -‬על‪-‬סמך שני נתונים אחרים ידועים‪ .‬הקשר בין דרך‪ ,‬זמן‬
‫‪253‬‬
‫ומהירות‪ :‬זמן ‪ x‬מהירות = דרך‪ .‬בשלב זה התלמידים אינם נדרשים לפעול בעזרת נוסחאות כמו‬
‫באלגברה‪ ,‬אלא חשוב להמחיש את הבעיה ולהבין את התהליכים החלים בה‪ .‬כדי להצליח בפתרון‬
‫בעיות כאלה חשוב מאוד לעודד את התלמידים "לאייר" את הבעיה כפי שזה נעשה בשיעור‪ .‬שימו‬
‫לב‪ :‬הצגת הנתונים בעזרת איור תלויה בנתוני הבעיה ובשאלה‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :22-20‬בעיות מילוליות חד‪-‬שלביות‪ .‬על התלמידים לחשב את הדרך על‪-‬סמך‬
‫המהירות והזמן הנתונים‪ .‬עודדו את התלמידים "לאייר" את הבעיה‪ ,‬כלומר לצייר את הבעיה‬
‫באיור‪ ,‬לפחות בשלבים ראשוניים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬צריך להתחשב בזמן המנוחה של אילנה‪.‬‬
‫אילנה הלכה שעה ונחה ‪ 5‬דקות‪ ,‬אחרי שעה עברה ‪ 5.5‬ק"מ‪.‬‬
‫אילנה הלכה עוד שעה‪ ,‬ונחה ‪ 5‬דקות‪ :‬אחרי שעתיים וחמש דקות‪ ,‬היא עברה ‪ 11‬ק"מ‪,‬‬
‫אילנה הלכה עוד שעה‪ ,‬ונחה ‪ 5‬דקות‪.‬‬
‫סה"כ הייתה בדרך ‪ 3‬ורבע שעות‪ .‬אחרי שלוש שעות ועשר דקות היא עברה ‪ 16.5‬ק"מ‪.‬‬
‫אם התלמידים מתקשים בהבנת הנקרא‪ ,‬עודדו אותם לקרוא את הבעיה בקול רם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬בדקה אחת ‪ 60‬שניות‪ .‬יחידות זמן ויחידות מהירות צריכות להתאים זו לזו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬א( ‪ 4,455‬מ'‪ .‬ב( ‪ 4‬ק"מ ו‪ 455 -‬מ'‪ .‬ג( בשיעור על יחידות המהירות מובאת דוגמה‬
‫של מהירות הקול באוויר )‪ 330‬מ'‪/‬שנייה בערך(‪ .‬במים מהירות הקול גבוהה יותר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬דונו עם התלמידים בבעיות שהם חיברו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬על התלמידים למצוא את המהירות כאשר הדרך והזמן נתונים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬את הקטע שמייצג את הדרך )‪ 2,000‬מ'( מחלקים ל‪ 20 -‬חלקים שווים‪ .‬כל חלק‬
‫מייצג מרחק שעוברים בדקה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬דוגמה לבעיה לפי האיור‪ .‬הולך רגל יצא מיישוב ‪ B‬לעיר ‪ A .A‬ו‪ B -‬מרוחקים זה‬
‫מזה ב‪ 25 -‬ק"מ‪ .‬אחרי ‪ 5‬שעות הוא הגיע העירה‪ .‬מה הייתה מהירותו של הולך הרגל? דונו עם‬
‫התלמידים בבעיות שלהם‪ .‬לתלמידים יכולות להיות הערות‪ ,‬למשל‪ ,‬שהאיור אינו מציאותי‪ .‬אם‬
‫כך‪ ,‬אפשר לבקש מהם "לתקן" את האיור‪ ,‬כך שיהיה "מציאותי"‪ ,‬לדעתם‪ ,‬ולבדוק אתם אם הם‬
‫צודקים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬משימת יישום שיכולה לשמש תרגול נוסף‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬שאלה פתוחה‪ .‬דונו עם התלמידים בהצעותיהם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬על התלמידים לפתור את הבעיה שהוצגה בשיעור הראשון‪ .‬אפשר לשוחח עם‬
‫התלמידים על המהירויות של חיות ים ושל דגים שונים )כדאי שהתלמידים יחפשו מידע‬
‫באינטרנט או באנציקלופדיה(‪ .‬בכל איור הקטע ‪ AB‬מציין דרך‪ .‬לווייתן‪ :‬קטע היחידה מציין‬
‫מרחק שלווייתן שוחה בשעה אחת )כלומר ‪ 24‬ק"מ(‪ .‬כריש‪ :‬קטע היחידה מציין מרחק שכריש‬
‫שוחה בשעה אחת )כלומר ‪ 25‬ק"מ(‪ .‬דולפין‪ :‬קטע היחידה מציין מרחק שהוא שוחה בשעה )כלומר‬
‫‪ 36‬ק"מ(‪ .‬אחרי שמחשבים את המהירות של כל אחד‪ ,‬התשובה היא שהדולפין הוא המהיר ביותר‬
‫מבין שלושתם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬התלמידים יחברו בעיה שהנתונים בה יהיו אלה‪ 3 :‬שעות במהירות של ‪ 3‬קמ"ש‪,‬‬
‫שעתיים במהירות של ‪ 4‬קמ"ש‪ .‬השאלה בבעיה תתייחס לדרך‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬על התלמידים לחשב את הזמן כאשר המרחק והמהירות )כמה ק"מ עוברים‬
‫ביחידת זמן( ידועים‪ .‬האיור יכול להיראות כך‪:‬‬
‫‪ 10‬קמ"ש‬
‫אחרי שעה‬
‫אחרי שעתיים‬
‫אחרי ‪ 3‬שעות‬
‫לוד‬
‫נתניה‬
‫‪ 5‬ק"מ‬
‫‪ 40‬ק"מ‬
‫‪254‬‬
‫לפי האיור קל למלא את הטבלה‪ ,‬מפני שרואים מיד את המרחק מלוד ואת המרחק מנתניה‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:561‬‬
‫בשיעור זה חושפים את התלמידים לטעויות הנפוצות בפתרון בעיות תנועה‪ :‬הבנת המושג "זמן"‬
‫)וגם בבעיות מילוליות אחרות‪ ,‬לדוגמה כאשר שני פועלים עובדים יחד(‪.‬‬
‫נתונה הבעיה‪" :‬שני אנשים לובשים את המעיל בשתי דקות‪ .‬כמה זמן יידרש לבן אדם אחד כדי‬
‫ללבוש את המעיל?" יש תלמידים )ואפילו אנשים מבוגרים( שחושבים אינטואיטיבית שלבן אדם‬
‫אחד תידרש דקה אחת לאותה המטרה‪ .‬זוהי אינטואיציה שגויה‪ .‬אחרי שחושבים היטב‪ ,‬מתחילים‬
‫להבין שגם לאדם אחד יידרש זמן של שתי דקות‪.‬‬
‫בעיה נוספת‪" :‬הולך רגל ורוכב אופנוע יצאו בו‪-‬זמנית זה לקראת זה‪ .‬רוכב האופנוע רכב במשך ‪30‬‬
‫דקות עד למקום הפגישה‪ .‬כמה זמן הלך הולך הרגל כדי להגיע למקום הפגישה?" גם כאן חושבים‬
‫בטעות שהולך רגל צריך זמן רב יותר כדי להגיע למקום הפגישה‪ ,‬וההפתעה היא שלשניהם נדרש‬
‫אותו הזמן כדי להגיע למקום הפגישה‪ .‬יש גם הרבה שאלות לוגיות ו"שאלות‪-‬בדיחה" בנוסח כזה‪.‬‬
‫לנוכח האמור לעיל הוכנסו השאלות מסוג זה בשיעור נפרד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬כל אחד שר ‪ 7‬דקות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :36‬שמואל הלך ‪ 5‬דקות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬שני המיניבוסים היו בדרך ‪ 3‬שעות )מ‪ 7 -‬עד ‪ 10‬בבוקר ‪ -‬זהו הרמז(‪ .‬המיניבוס‬
‫שעצר בתחנת הדלק‪ ,‬הגביר‪ ,‬כנראה‪ ,‬את מהירותו כדי להגיע בזמן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬השאלה היא מהסוג שתואר לעיל‪ .‬רוכב החמור היה בדרך ‪ 15‬דקות עד מקום‬
‫הפגישה‪ .‬השונה כאן הוא המרחק שכל אחד עבר‪ ,‬כי כמובן‪ ,‬המהירויות שלהם שונות‪ .‬מקום‬
‫הפגישה קרוב יותר לנקודת המוצא של רוכב החמור‪ ,‬והוא לא יכול להיות באמצע הדרך!‬
‫משימה מס' ‪ :39‬אחרי שמחברים את כל הזמנים‪ ,‬מקבלים ‪ 7‬שעות ו‪ 20 -‬דקות‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪ :562‬בעיות תנועה של שני משתתפים‪.‬‬
‫משיעור זה מתחילים התלמידים ללמוד כיצד פותרים בעיות תנועה של שני משתתפים‪ .‬אפשר‬
‫למיין את הבעיות האלו לשתי קבוצות עיקריות לפי תנועת המשתתפים‪ :‬תנועה בכיוונים מנוגדים‪,‬‬
‫כלומר זה לקראת זה )בשלב זה המשתתפים יוצאים בו‪-‬זמנית ומתקרבים זה לזה‪ ,‬או יוצאים‬
‫מאותו מקום או ממקומות שונים ומתרחקים זה מזה(; תנועה באותו כיוון‪ ,‬כלומר יוצאים מאותו‬
‫מקום או ממקומות שונים ומתרחקים זה מזה )המהירויות שונות(‪ ,‬או יוצאים ממקומות שונים‬
‫)או בזמן שונה( ומתקרבים זה לזה‪ .‬בשיעור זה לומדים לפתור בעיות פשוטות יחסית שבהן שני‬
‫משתתפי התנועה נעים זה לקראת זה או מתרחקים זה מזה לכיוונם מנוגדים‪ .‬בשלב זה עוסקים‬
‫במציאת הדרך בלבד‪ .‬חשוב מאוד לייצג באיור כל בעיה כזו‪ .‬כי האיור הנכון ממחיש את הבעיה‪,‬‬
‫והוא צעד גדול בדרך להצלחה בפתרון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :40‬התלמידים לומדים "לקרוא" את האיור המייצג את הבעיה‪ .‬כמובן‪ ,‬לפי אותו‬
‫איור אפשר לנסח אין‪-‬סוף בעיות מילוליות בהקשר שונה‪ ,‬אך לכולן יהיה אותו אופן פתרון‪.‬‬
‫הדגישו שוב לתלמידים שכל משתתף תנועה היה בדרך שעתיים עד מקום הפגישה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :41‬משימת יישום‪ .‬ג( נקודת המפגש קרובה יותר לנקודת המוצא של האוטובוס‪ ,‬כי‬
‫מהירותו קטנה יותר‪ ,‬לכן רק איילת צדקה באיור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ 90 :42‬ק"מ‪ .‬נתון הזמן מיותר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ 66 :43‬ק"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :44‬חשוב לייצג את הבעיה באיור‪ 387 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ 187‬ק"מ‬
‫‪ 200‬ק"מ‬
‫‪255‬‬
‫‪ 150‬ק"מ‬
‫משימה מס' ‪ 65 :45‬ק"מ‪ .‬חשוב לייצג את הבעיה באיור‪ .‬להלן דוגמה לאיור‪.‬‬
‫‪ 85‬ק"מ‬
‫‪ 65‬ק"מ‬
‫‪ 130‬ק"מ‬
‫‪ 150‬ק"מ‬
‫משימה מס' ‪ :46‬משימת יישום‪ .‬בכל שעה מתרחקים ב‪ 34 -‬ק"מ‪ .‬בשעתיים וחצי המרחק הוא ‪85‬‬
‫ק"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :47‬פיתוח ההבנה המספרית‪ .‬בעשרים דקות מכונית א עוברת ‪ 20‬ק"מ ומכונית ב ‪15‬‬
‫ק"מ‪ ,‬לכן המרחק ביניהן הוא ‪ 40‬ק"מ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :48‬משימה פתוחה‪ .‬דונו עם התלמידים בבעיות שהם חיברו‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪ :565‬זמן ומהירות בבעיות תנועה של שני משתתפים )כיוונים מנוגדים(‬
‫בשיעור זה ממשיכים לפתור בעיות תנועה שבהן שני המשתתפים נעים לכיוונים מנוגדים‪ .‬אך‬
‫הפעם עוסקים במציאת זמן או מהירות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :49‬בכל שעה הבנות מתקרבות זו לזו ב‪ 180 -‬ק"מ וצריכות לעבור ‪ 240‬ק"מ‪ ,‬לכן‬
‫המרחק ביניהן היא ‪ 60‬ק"מ כעבור שעה‪ .‬ביחד הן עוברות מרחק זה ב‪ 20-‬דקות‪ ,‬לכן הן נפגשות‬
‫לאחר שעה ועשרים דקות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :50‬א( בכל שעה המרחק בין המכוניות מתקצר ב‪ 140 -‬ק"מ‪ .‬ב( כעבור ‪ 4.5‬שעות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :51‬א( כעבור שעה‪ .‬ב( כעבור עד שעה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :52‬על התלמידים למצוא את מהירותו של הולך הרגל השני‪ .‬בכל שעה הם התקרבו‬
‫זה לזה ב‪ 9 -‬ק"מ‪ .‬לכן המהירות של הולך הרגל השני היא ‪ 5‬קמ"ש‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :53‬משימה פתוחה‪ .‬דונו עם התלמידים בבעיות שהם חיברו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :54‬משימה פתוחה‪ .‬דונו עם התלמידים בבעיות שהם חיברו‪ .‬דוגמה לבעיה‬
‫המתאימה לביטוי בסעיף א'‪ :‬שני רוכבי אופנוע יוצאים בו‪-‬זמנית זה לקראת זה משני יישובים‪.‬‬
‫מהירות אחד מהם ‪ 45‬קמ"ש‪ ,‬מהירות האחר היא ‪ 52‬קמ"ש‪ .‬הם נפגשים כעבור ‪ 4‬שעות‪ .‬מהו‬
‫המרחק בין היישובים?‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪ :567‬בעיות תנועה של שני משתתפים )אותו כיוון(‬
‫בשיעור זה לומדים לפתור בעיות שבהן שני משתתפי התנועה נעים באותו הכיוון‪ .‬בעיות אלו‬
‫נחשבות לקשות יותר מבעית תנועה בכיוונים מנוגדים‪ ,‬לכן שימו לב לאילו תלמידים הן מתאימות‪.‬‬
‫גם כאן חשוב לייצג באיור כל בעיה ובעיה שפותרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :55‬המרחק בין כלב לחתול מתקצר ב‪ 0.6 -‬מ' כל שנייה‪ .‬לכן הכלב ישיג את החתול‬
‫כעבור ‪ 50‬שניות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :56‬בחצי שעה יעבור האוטובוס ‪ 40‬ק"מ‪ ,‬ואחר‪-‬כך תתחיל המונית את תנועתה‪ .‬בכל‬
‫שעה המרחק ביניהם מתקצר ב‪ 10 -‬ק"מ‪ .‬לכן המונית תשיג את האוטובוס כעבור ‪ 4‬שעות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :57‬א( ‪ 825‬ק"מ‪ .‬ב( ‪ 82.5‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ 6‬ס"מ‪/‬שנייה‬
‫משימה מס' ‪ :58‬בכל שנייה הן מתרחקות זו מזו ב‪ 4 -‬ס"מ‪.‬‬
‫אחרי עוד ‪ 40‬ס"מ יהיה המרחק ביניהן ‪ 100‬ס"מ‪ .‬זה יקרה כעבור ‪ 10‬שניות‪.‬‬
‫האיור יכול להיראות כך‪:‬‬
‫‪ 2‬ס"מ‪/‬שנייה‬
‫‪256‬‬
‫‪ 60‬ס"מ‬
‫משימות מס' ‪ :60-59‬משימות פתוחות‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪ :569‬בעיות תנועה של שני משתתפים הנעים באותו כיוון‬
‫בשיעור זה מקנים לתלמידים את המושג הספק )עבודה ביחידת זמן(‪ .‬מושג זה קשה לתפיסת‬
‫התלמידים כי הוא מבטא יחס הפוך‪ .‬לדוגמה‪ ,‬שלושה פועלים יבצעו את העבודה בזמן קצר יותר‬
‫מאשר פועל אחד‪ .‬אנו מתחילים מבעיות פשוטות שבהן העבודה היא כמות מסוימת‪ .‬חשוב גם‬
‫להשוות בין הספק למהירות ובין בעיות תנועה לבעיות הספק‪ .‬כשם שהמהירות בבעיות התנועה‬
‫היא קבועה‪ ,‬כך גם ההספק הוא קבוע בכל בעיה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ 500 :61‬דובונים מייצגים עבודה‪ 10 .‬ימים – זמן‪ .‬מחשבים את ההספק – ‪ 50‬דובונים‬
‫ביום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :62‬אין צורך בהעתקת הטבלה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪16‬‬
‫או‬
‫משימה מס' ‪:63‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪24‬‬
‫כלומר ‪ 1‬רכיבים בשעה‪.‬‬
‫הוא‬
‫‪5‬‬
‫‪15‬‬
‫‪ 2‬רכיבים בשעה‪ ,‬זהו ההספק של הפועל הראשון‪ .‬ההספק של השני‬
‫‪345‬‬
‫משימה מס' ‪ :64‬א(‬
‫‪30‬‬
‫כלומר ‪ 11.5‬עמודים ביום ב(‪ 23 .‬עמודים ביום‪ .‬ג(‪ .‬ב‪ 15 -‬יום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :65‬א( ‪ 8‬מ"ר ביום‪ .‬ב( שליש‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :66‬א( ‪ 8‬מ"ר ביום‪.‬ב( ‪ 4‬מ"ר ביום ג( שליש‪ .‬ד( שישית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :67‬משימת יישום‪ .‬ג( ‪ 15‬שעות‪ .‬ד( ‪ 8‬ימים )ביום האחרון הוא מסיים את הספר‬
‫כעבור שעה‪(.‬‬
‫משימה מס' ‪ :68‬שאלה מילולית‪ .‬תחילה על הילדים לקרוא את כל השאלה בעיון‪ .‬מדובר בנתונים‬
‫בשעות‪ ,‬והשאלה מתייחסת לימים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :69‬שאלה מילולית‪ .‬קשר בין שברים לבין יחידות זמן‪.‬א( ‪ 41‬ב( ‪164‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪ :571‬הקשר בין בעיית הספק לבין בעיית תנועה‬
‫בשיעור זה חוקרים במה דומות בעיות הספק ובעיות תנועה‪ .‬חשוב לשוחח עם התלמידים על יחס‬
‫ישר ועל יחס הפוך‪ ,‬וכיצד הם מתבטאים בבעיות אלה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :70‬משימת יישום‪ .‬א( ‪ 4‬שעות‪ .‬ב( שעתיים‪ .‬ג( שעה‪ .‬ד( ‪ 4‬שעות ו‪ 48-‬דקות‪ .‬ה( כאשר‬
‫מספר התלמידות מוכפל במספר‪ ,‬זמן העבודה מחולק באותו מספר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :71‬נראה שזה מצב לא מציאותי‪ .‬במציאות שני תלמידים ישוחחו‪ ,‬ידונו בבעיות‪,‬‬
‫וייתכן שיפתרו את המבחן מהר יותר‪ ,‬וייתכן שלא‪ .‬אין זו בעיית יחס‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪ :572‬בעיית הספק‬
‫בשיעור זה לומדים לפתור בעיות הספק כאשר כמות העבודה אינה ידועה‪ .‬במקרים כאלה‬
‫מתייחסים לעבודה כאל השלם‪ ,‬מסמנים אותה ב‪ ,1 -‬וההספק הוא תמיד שבר קטן מ‪ 1-‬השווה ל‪-‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .‬כלומר הספק הוא חלק של כל העבודה שמבצעים ביחידת זמן‪ .‬כשמתחילים לפתור בעיות‬
‫זמן‬
‫הספק מסוג זה‪ ,‬תחילה‪" :‬מסמנים את כל העבודה כ‪ ."1 -‬חשוב להדגיש שאת ההספקים‬
‫שמקבלים בבעיה אפשר לחבר‪ ,‬וכך מקבלים הספק של שניים ביחד‪ .‬אך צריך לשים לב ליחידות‬
‫‪257‬‬
‫של ההספקים‪ .‬שימו לב שלתלמידים יש נטייה לחבר את הזמנים הנתונים בבעיית הספק‪ ,‬ולא‬
‫להתחשב בהספקים‪ ,‬וזה לא נכון‪ .‬חשוב למנוע טעויות מסוג זה על‪-‬ידי חשיפת התלמידים אליהן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :72‬משימת יישום‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫מהעבודה בשעה‪ ,‬ההספק של השני הוא‬
‫משימה מס' ‪ :73‬הספק הטרקטור הראשון הוא‬
‫‪14‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪7 1‬‬
‫מהעבודה‪.‬‬
‫מהעבודה בשעה‪ .‬הראשון יבצע בשבע שעות פי שבעה יותר‪ ,‬כלומר = = ‪× 7‬‬
‫‪14‬‬
‫‪14 2‬‬
‫‪5‬‬
‫השני יבצע ב‪ 5 -‬שעות של העבודה‪ ,‬כלומר יותר מהראשון‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1 1 7‬‬
‫משימה מס' ‪ :74‬יחד הם יבצעו‬
‫= ‪+‬‬
‫‪6 8 24‬‬
‫מהעבודה בשעה‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1 1 5‬‬
‫של הברכה‪( + = ) .‬‬
‫משימה מס' ‪ :75‬שני הצינורות ימלאו בשעה‬
‫‪6 4 12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪7‬‬
‫‪12‬‬
‫של הברכה נותרו ריקות‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :76‬ההספק של דחפור חדש הוא ‪ ,‬וההספק של הישן הוא‬
‫‪12‬‬
‫‪8‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3 5 19‬‬
‫של התעלה‪.‬‬
‫= ‪ +‬של העבודה‪ ,‬ויהיה לחפור‬
‫ישלימו‬
‫‪24‬‬
‫‪8 12 24‬‬
‫‪1‬‬
‫ַפּחים יחד הוא‬
‫משימה מס' ‪ :77‬ההספק של שני נ ָ‬
‫‪8‬‬
‫‪ .‬בזמן נתון הם‬
‫של העבודה ביום‪ ,‬והוא שווה לסכום‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫' לכן ההספק של השני הוא‬
‫ההספקים של שני הנפחים‪ .‬ההספק של אחד מהם הוא‬
‫‪12‬‬
‫‪24‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫העבודה ביום )‬
‫= ‪ .( −‬לבד‪ ,‬הוא יסיים את העבודה ב‪ 24 -‬ימים ‪.‬‬
‫‪8 12 24‬‬
‫של‬
‫משימה מס' ‪ :78‬שני פועלים יסיימו את העבודה ב‪ 4 -‬שעות‪ .‬שלושה פועלים יסיימו את העבודה‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ 2 -‬שעות‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :79‬המהירות של פו הדוב באכילת הדבש היא‬
‫‪3‬‬
‫‪15‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫שלו הוא‬
‫שעות‬
‫מהדבש בשעה‪ .‬לכן יסיימו את הצנצנת ב‪-‬‬
‫בשעה‪ .‬יחד הם אוכלים‬
‫‪8‬‬
‫‪15‬‬
‫‪5‬‬
‫)בשעה ושבע שמיניות של שעה(‪.‬‬
‫בשעה‪ .‬הדובון אטי יותר‪ ,‬ההספק‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :80‬כיפה אדומה מהירה יותר‪ :‬היא מכינה‬
‫‪2.5‬‬
‫‪2 2 24‬‬
‫‪2 1‬‬
‫מכינה רק‬
‫) ( מהעוגיות בשעה‪ .‬יחד הן מכינות = ‪ +‬מהעוגיות בשעה‪ ,‬לכן הן יסיימו‬
‫‪5 7 35‬‬
‫‪7 3.5‬‬
‫‪11‬‬
‫‪35‬‬
‫שעה(‪.‬‬
‫שעות )שעה ו‪-‬‬
‫את העבודה ב‪-‬‬
‫‪24‬‬
‫‪24‬‬
‫)‪ (0.4‬מהעוגיות בשעה‪ ,‬ואילו זהבה‬
‫‪258‬‬
‫ממשיכים בתרגול בעמ' ‪:577-576‬‬
‫משימות מס' ‪ :3-1‬דונו עם התלמידים במשמעות המושגים "פי כמה גדול‪/‬קטן"‪" ,‬בכמה‬
‫גדול‪/‬קטן"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ 50 :1‬קמ"ש‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ 25 :2‬קמ"ש‪ .‬פי שלושה‬
‫משימה מס' ‪ :3‬ב‪ 0.175 -‬קמ"ש‪ .‬פי שלושים ושישה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬א( ‪ 45‬ק"מ ג( ‪ 180‬ד( לא‬
‫משימה מס' ‪ 5 :5‬קמ"ש‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :7-6‬על התלמידים למצוא מהירות כאשר ידועים הדרך והזמן‪ .‬חשוב לתרגל נתונים‬
‫ביחידות שונות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ 60 :6‬קמ"ש‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ 60 :7‬קמ"ש‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬המהירות של יונתן ביום הראשון הייתה ‪ 100‬מ' ב‪ 40 -‬שניות‪ .‬לכן ביום השני רץ‬
‫יונתן מהר יותר‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬משימת יישום‪ 5 .‬שעות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬חצי שעה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬בעיה רב‪-‬שלבית‪ .‬מחשבים את הזמן הלוך‪ ,‬לאחר מכאן את זמן החזרה ולאחר‬
‫מכן משווים בין הזמנים בעזרת חיסור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬א( של הולך הרגל‪ .‬ב( ‪ 40‬דקות ‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬א( ‪ 5‬שעות ב( ‪ 300‬בלוקים בשעה‪.‬‬
‫היסטוריה‪ ,‬עמ' ‪:578‬‬
‫בחלק ההיסטורי התלמידים לומדים על חישובי מהירות האור בניסויים של מדענים שונים‪ .‬נוסף‬
‫על כך מוצגת כאן שיטה למציאת המרחק מלב הסערה עד למקום שבו אדם עומד‪.‬‬
‫המושג "מהירות אור" אינו ברור מאליו‪ ,‬מכיוון שבחיי היום‪-‬יום איננו מבחינים בכך שדרוש לאור‬
‫זמן לעבור ממקום למקום‪ ,‬שהרי גם אם מדליקים גפרור בנקודה רחוקה אנו רואים את האור‬
‫מיד‪ .‬לעומת זאת אנו יודעים שאת הקול איננו שומעים מיד‪ ,‬אלא נדרש לכך זמן‪ .‬הדוגמה הטובה‬
‫ביותר לכך היא הברק והרעם‪ .‬דוגמאות נוספות לכך אפשר לראות גם בטלוויזיה‪ :‬כאשר מראיינים‬
‫אדם בניו‪-‬יורק )לדוגמה( עובר זמן מה עד שהוא קולט את השאלה‪ .‬אפשר לראות גם שתנועות‬
‫הפה מהירות יותר מהקול שמושמע‪ .‬למעשה‪ ,‬זהו הזמן שדרוש לגלי השידור‪ ,‬הנעים במהירות‬
‫האור‪ ,‬להגיע מהארץ ללוויין וממנו לניו‪-‬יורק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬כופלים את מהירות האור ב‪ 2 -‬שניות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬כופלים את מהירות האור ב‪ 480 -‬שניות )‪ 8‬דקות(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬מחלקים את מהירות האור במהירות הקול‪ .‬פי ‪ 1,000,000‬בערך‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ 57 :4‬שניות‪.‬‬
‫‪259‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמ' ‪:579‬‬
‫בעמוד זה מובאות בעיות מילוליות שאפשר לקרוא להן "שעשועי חשבון"‪ .‬בעיות אלו שונות‬
‫ממשימות אחרות של העשרה‪ .‬שימו לב שיהיו תלמידים‪ ,‬לאו דווקא מתקדמים‪ ,‬שיוכלו להתמודד‬
‫עם בעיות אתגר אחדות‪.‬‬
‫משימה ‪.609 :1‬‬
‫עמודים‬
‫‪500-599‬‬
‫‪400-499‬‬
‫‪300-399‬‬
‫‪200-299‬‬
‫‪100-199‬‬
‫‪10-99‬‬
‫‪1-9‬‬
‫‪300‬‬
‫‪300‬‬
‫‪300‬‬
‫‪300‬‬
‫‪300‬‬
‫‪180‬‬
‫‪9‬‬
‫‪300+1,089=1,689‬‬
‫‪300+1,089=1,389‬‬
‫‪300+789=1,089‬‬
‫‪300+489=789‬‬
‫‪300+189=489‬‬
‫‪180+9=189‬‬
‫ספרות‬
‫סך ספרות‬
‫עד עמוד ‪ 599‬משתמשים ב‪ 1,689-‬ספרות‪ .1,719-1,689=30 .‬בעזרת ‪ 30‬ספרות כותבים ‪ 10‬עמודים‬
‫שהמספור שלהם תלת‪-‬ספרתי ‪599+10 = 609‬‬
‫משימה ‪ :2‬ב‪.11 -‬‬
‫משימה ‪.5 :3‬‬
‫משימה ‪.2 :4‬‬
‫משימה ‪ 6 :5‬ק"ג‪.‬‬
‫משימה ‪ 9 :6‬ק"ג‪.‬‬
‫משימה ‪ :7‬כעבור שעה וחצי‪.‬‬
‫משימה ‪ :8‬ביום התשיעי‪.‬‬
‫משימה ‪ .10 :9‬מכל עיר יוצאים ארבעה מסלולים ‪ .‬יש חמש ערים‪ ,‬וכל מסלול הוא דו‪-‬כיווני‪ ,‬לכן‬
‫‪4×5‬‬
‫קווים‪.‬‬
‫יש לתכנן‬
‫‪2‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמ' ‪:580‬‬
‫בעמוד זה חוזרים התלמידים על הנושאים שנלמדו קודם לכן‪ :‬עיבוד נתונים וייצוג‬
‫הנתונים‪ ,‬מדידת שטחים‪.‬‬
‫‪260‬‬
‫כד‪ .‬ניתוח סיכויים‬
‫עמ' ‪606 – 581‬‬
‫רקע‬
‫בפרק זה דנים בנושא ניתוח סיכויים‪ ,‬שהוא חלק מנושא ההסתברויות‬
‫הסתברות היא הסיכוי שמאורע יתרחש‪.‬‬
‫תורת ההסתברות היא הבסיס התאורטי לסטטיסטיקה‪ ,‬ומשתמשים בה במדעי הטבע ובמדעי‬
‫החברה‪.‬‬
‫הנושא ניתוח סיכויים מופיע בתכנית הלימודים החדשה עם הנושא עיבוד נתונים‪ .‬בעיבוד נתונים‬
‫למדו התלמידים לאסוף‪ ,‬לארגן ולייצג נתונים בדרכים שונות‪ .‬הם ייצגו את הנתונים בדיאגרמות‬
‫שונות והשוו בין קבוצות נתונים בטבלאות )כולל טבלת שכיחות יחסית(‪.‬‬
‫התלמידים התחילו ללמוד את הנושא ניתוח סיכויים בכיתה ד' וימשיכו ללמוד אותו בכיתות‬
‫הגבוהות‪ .‬בכיתה ד' הושם דגש על זיהוי של מצבים שיש בהם אי‪-‬ודאות לעומת מצבים ודאיים‪,‬‬
‫ונעשה שימוש במונחים "בלתי‪-‬אפשרי"‪" ,‬אפשרי" )ייתכן( וכן "ודאי" )בטוח(‪ .‬התלמידים גם השוו‬
‫בין מצבים סבירים יותר לבין מצבים שהם סבירים פחות‪.‬‬
‫בכיתה ה' למדו התלמידים את המושג "ממוצע"‪ ,‬שהוא אחד המושגים הבסיסיים בסטטיסטיקה‪.‬‬
‫בכיתה ו' ילמדו התלמידים את המושגים שכיח וחציון ויבחינו בין מושגים אלה לבין המושג‬
‫"ממוצע"‪.‬‬
‫השימוש בביטוי "סביר יותר" יישען על ניתוח תנאים של מצבים ידועים‪ -‬כמו הטלת מטבע‬
‫וזריקת קובייה‪ -‬או על ידי שכיחות יחסית )כאשר אי‪-‬אפשר לחשב אה‪-‬פריורי כמו הסתברות‬
‫ללידת בן‪ ,‬בת או הסתברות שתעבור משאית בצומת(‪.‬‬
‫כמו‪-‬כן יילמד הביטוי "הסיכוי הוא‪ ,"...‬בתוך כדי שימוש במצבים מחיי היום‪-‬יום כמו הטלת‬
‫מטבע‪ ,‬קובייה או סביבון‪.‬‬
‫הפרק ניתוח סיכויים מתחיל בחלק "לעלות על הגל"‪ .‬חלק זה הוא חזרה על המושגים שנלמדו‬
‫בשנים הקודמות‪ :‬מאורע‪ ,‬אפשרויות‪ ,‬ודאות‪ ,‬אי‪-‬ודאות‪ ,‬אפשרי‪ ,‬לא‪-‬ודאי‪ ,‬סביר‪ ,‬לא‪-‬סביר‪.‬‬
‫במהלך לימוד הפרק עלולים להיווצר קשיים בקרב התלמידים‪ .‬הקשיים בלימוד ההסתברות‬
‫נובעים בחלקם מהאופי המיוחד של הנושא‪ .‬להלן דוגמאות לקצת מהקשיים‪.‬‬
‫א‪ .‬הנושא "הסתברות" מצריך שימוש באוצר מילים מיוחד‪ ,‬שהוא מחד גיסא מוכר מחיי היום‪-‬‬
‫יום‪ ,‬ומאידך גיסא בעל משמעות ייחודית המותאמת לנושא‪ .‬דוגמאות למילים‪ :‬מאורע‪,‬‬
‫תוצאה‪ ,‬סיכוי וכדומה‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬מאורע יכול להיות אפשרי או לא‪-‬ודאי‪ .‬לביטויים "מאורע אפשרי" ו"מאורע לא‪-‬‬
‫ודאי" יש אותה משמעות‪ :‬אם אפשר לחזות מראש שמאורע יקרה‪ ,‬המאורע הוא ודאי; אם‬
‫אפשר לחזות מראש שמאורע לא יקרה‪ ,‬המאורע הוא בלתי‪-‬אפשרי; בכל המקרים האחרים‬
‫המאורע אפשרי או לא‪-‬ודאי‪.‬בדרך כלל אין משתמשים בביטוי "לא‪-‬ודאי"‪ ,‬לכן היה רצוי‬
‫להשתמש רק במילה "אפשרי"‪ .‬בכל זאת הוחלט לציין גם את השימוש בביטוי "לא‪-‬ודאי"‬
‫משום שהוא הצורה ההפוכה למילה "ודאי"‪ .‬נוסף על כך‪ ,‬קיים הבדל דק בין "אפשרי" לבין‬
‫לא‪-‬ודאי‪ :‬ההפך של "אפשרי" הוא "בלתי‪-‬אפשרי" )הסתברות ‪ ,(0‬וההיפך של "לא‪-‬ודאי"‬
‫הוא "ודאי"‪) ,‬הסתברות ‪ (1‬לכן הביטויים אינם שקולים לגמרי‪.‬‬
‫באריתמטיקה או באלגברה אפשר לקבוע אם חישובים שנעשו הם נכונים או לא‪-‬נכונים‪.‬‬
‫לעומת זאת החישובים בהסתברות קשורים למושגים‪" :‬ודאות" או "אי‪-‬ודאות" וכן למושג‬
‫"סיכוי"‪ .‬מושגים אלה קשים לתפיסה ולהבנה גם למבוגרים‪.‬‬
‫ב‪ .‬בהסתברות חוקרים תופעות "עתידיות" על‪-‬סמך סקר‪ ,‬ניסוי וחישובים תאורטיים‪ .‬הבנת‬
‫הפער בין החישובים התאורטיים האלה לבין המציאות או האינטואיציה מאפיינת הבנה‬
‫הסתברותית‪ .‬דוגמה‪ :‬יש תלמידים החושבים שבהטלת מטבע ‪ 1,000‬פעם יופיע צד אחד של‬
‫המטבע מספר פעמים רב יותר מהצד האחר‪.‬‬
‫ג‪ .‬החישובים בהסתברות מבוססים על מושגים רבים שנלמדו קודם לכן‪ ,‬והקשרים בין‬
‫המושגים לא תמיד מובנים‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬יש קשר הדוק בין שכיחות יחסית להסתברות‪ :‬השכיחות היחסית של הופעת מאורע‬
‫מסוים בניסוי מחושבת לפי תוצאות הניסוי בפועל‪ .‬השכיחות היחסית מחושבת כך‪ :‬מספר‬
‫הפעמים שמאורע התרחש חלקי מספר הניסויים בסך הכל‪ .‬לעומת זאת ההסתברות של‬
‫מאורע היא חישוב תאורטי לפי התנאים של הניסוי‪ .‬הסתברות מחושבת כך‪ :‬מספר הפעמים‬
‫שמאורע יתרחש חלקי מספר התוצאות האפשריות בסך הכל‪.‬‬
‫‪261‬‬
‫להלן הגדרות פורמליות הקשורות להסתברות‪:‬‬
‫ניסוי ‪ -‬פעולה ממשית או תאורטית שתוצאותיה שונות )תצפית‪ ,‬תופעה בטבע‪ ,‬זריקת מטבע‪.(...‬‬
‫קבוצת התוצאות האפשריות היא "מרחב המדגם"‪ .‬לכל תוצאה יש אותו סיכוי להופיע‪.‬‬
‫כל תוצאה בנפרד היא "נקודה במדגם"‪.‬‬
‫לכל תוצאה בניסוי יש סיכוי לקרות או לא לקרות‪.‬‬
‫בהסתברות מתייחסים רק לתופעות שלכל תוצאה אותו סיכוי להופיע‪.‬‬
‫מאורע ‪ -‬קבוצה חלקית של תוצאות או של "מרחב המדגם"‪.‬‬
‫חשוב‪ :‬חייבים להגדיר את התוצאות בצורה ברורה שלא תשתמע לשתי פנים )כשם שמגדירים‬
‫קבוצות(‪ .‬דוגמאות ‪:‬‬
‫הביטוי "יצא מספר מ‪ 12-‬עד ‪ " 20‬אינו ברור צריך להוסיף "כולל" ‪ 12‬ו‪.20-‬‬
‫"מעונן חלקית" כאפיון מזג אוויר אינו הגדרה חד‪-‬משמעית‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫ניסוי‬
‫זריקת קובייה‬
‫רגילה‬
‫תוצאות אפשריות‬
‫‪6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1‬‬
‫הטלת סביבון‬
‫נ‪ ,‬ג‪ ,‬ה‪ ,‬פ‬
‫דוגמה למאורע‬
‫‪ -‬מספר זוגי‬
‫תוצאות אפשריות‬
‫‪6 ,4 ,2‬‬
‫)‪ 3‬אפשרויות מתוך ‪(6‬‬
‫אין‬
‫‪ -‬האות "נ"‬
‫האות נ‬
‫)אפשרות אחת מתוך ‪(4‬‬
‫התלמיד הראשון שהשתתף בשיעור‬
‫הוא בן ששערו ג'ינג'י ועיניו שחורות‬
‫בן ‪+‬ג'ינג'י ‪+‬‬
‫עיניים שחורות‬
‫לתלמיד או לתלמידה יש חולצה לבנה‬
‫חולצה לבנה‬
‫‪ -‬המספר ‪7‬‬
‫תצפית בכיתה צבע ֵשיער‪ :‬שחור‪ ,‬ג'ינג'י‪ ,‬בלונדיני‬
‫צבע עיניים‪ :‬שחור‪ ,‬כחול‪ ,‬חום‪ ,‬ירוק‬
‫שיש בה‬
‫מין‪ :‬בן או בת‬
‫‪ 30‬תלמידים‬
‫צבע חולצה‬
‫)ההסתברות תלויה במספר‬
‫תלמידים המתאימים למאורע(‬
‫מאפיינים של מאורע‪:‬‬
‫מאורע ודאי‪ :‬מאורע שמתרחש תמיד‪ .‬דוגמה‪ :‬יתקבל מספר זוגי או אי‪-‬זוגי בזריקת קובייה‬
‫רגילה‪.‬‬
‫מאורע בלתי‪-‬אפשרי‪ :‬מאורע שאף פעם לא יתרחש‪ .‬דוגמה‪ :‬יתקבל המספר ‪ 7‬בזריקת קובייה‪.‬‬
‫מאורע אפשרי או לא‪-‬ודאי‪ :‬אי‪-‬אפשר לקבוע בוודאות אם מאורע כלשהו יקרה או לא יקרה‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬יתקבל המספר ‪ 3‬בזריקת קובייה‪.‬‬
‫מאורע פשוט‪ :‬מאורע המכיל תוצאה אחת בלבד‪ .‬דוגמאות‪ :‬יתקבל המספר ‪ 5‬בהטלת קובייה;‬
‫יתקבל סכום מספרים השווה ל‪ 12 -‬בהטלת שתי קוביות‪.‬‬
‫מאורע מורכב‪ :‬מאורע המכיל מספר תוצאות‪ .‬יכולים להיות שני מצבים‪:‬‬
‫א‪ .‬למאורע שני אילוצים שצריכים להתקיים יחד )חיתוך(;‬
‫ב‪ .‬למאורע שני אילוצים שלפחות אחד מהם צריך להתקיים )איחוד(‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬בשקית פתקים כחולים ולבנים ממוספרים מ‪ 1 -‬עד ‪. 20‬‬
‫מאורע א‪ .‬הוצאת פתק כחול שכתוב בו מספר זוגי‪.‬‬
‫מאורע ב‪ .‬הוצאת פתק כחול או הוצאת פתק שכתוב בו מספר זוגי‪.‬‬
‫מאורע משלים‪ :‬למאורע ‪ A‬אפשר להגדיר מאורע "לא ‪ ,"A‬שהוא המשלים של ‪ ,A‬כך‪ :‬חייב‬
‫להתגשם ‪ A‬או "לא ‪."A‬‬
‫אם מאורע ‪ A‬מתקיים‪ ,‬המשלים שלו "לא ‪ "A‬אינו מתקיים‪ .‬ואם המאורע "לא ‪ "A‬מתקיים‪,‬‬
‫המאורע "‪ "A‬אינו מתקיים‪ .‬דוגמה ‪ :A :‬מספר זוגי בהטלת קובייה‪" .‬לא ‪ "A‬המאורע המשלים‪:‬‬
‫מספר אי‪-‬זוגי‪.‬‬
‫ההסתברות של מאורע ‪ A‬היא המנה המתקבלת מחלוקת מספר התוצאות שיכולות להתקיים‬
‫במספר כל התוצאות האפשריות‪.‬‬
‫נוהגים לסמן הסתברות של מאורע כך‪.P (A) :‬‬
‫‪262‬‬
‫ערך ההסתברות של מאורע כלשהו הוא מספר בין מ ‪ 0‬ל ‪) 1 -‬כולל(‪ .‬כלומר ‪. 0 ≤ P( A) ≤ 1‬‬
‫ההסתברות של מאורע ודאי היא ‪ .1‬ההסתברות של מאורע בלתי‪-‬אפשרי היא ‪.0‬‬
‫ההסתברות של מאורע אפשרי היא מספר הגדול מ‪ 0 -‬וקטן מ‪.1 -‬‬
‫הערה‪ :‬אפשר לחשב הסתברות של מאורע‪ ,‬רק אם לכל התוצאות של המאורע יש אותו סיכוי‬
‫להתקיים‪ .‬ילדים מבינים עובדה זו בדרך אינטואיטיבית‪ ,‬לכן היא לא צוינה בפירוש כדי לא לגרום‬
‫ל"רעשים" מיותרים בדרכי החשיבה של התלמידים ובנימוקים שלהם‪.‬‬
‫מומלץ להקדיש לנושא כ‪ 6 -‬שעות‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬לזהות מאורע ודאי‪ ,‬מאורע אפשרי ומאורע בלתי‪-‬אפשרי;‬
‫ב‪ .‬לחשב הסתברות במקרים פשוטים;‬
‫ג‪ .‬שהסתברות של מאורע ודאי או בטוח היא ‪;1‬‬
‫ד‪ .‬שהסתברות של מאורע בלתי‪-‬אפשרי היא ‪;0‬‬
‫ה‪ .‬שהסתברות של מאורע היא תמיד מספר קטן מ‪ 1 -‬או שווה ל‪;1 -‬‬
‫ו‪ .‬לחשב שכיחות יחסית של מאורע;‬
‫ז‪ .‬להגדיר מאורע משלים של מאורע‪.‬‬
‫מושגים‬
‫תוצאה‪ ,‬מאורע‪ ,‬סיכוי‪ ,‬מאורע ודאי‪ ,‬מאורע לא‪-‬ודאי‪ ,‬מאורע אפשרי ומאורע בלתי‪-‬אפשרי‪,‬‬
‫הסתברות )הסתברות של מאורע(‪ ,‬תוצאה של מאורע‪ ,‬שכיחות יחסית‪ ,‬מאורע משלים‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫עיגולים צבעוניים‪ ,‬ריבועים צבעוניים‪ ,‬קוביית משחק‪ ,‬סביבון‪ ,‬כדורי מספרים‪ ,‬מטבעות‪ ,‬חבילת‬
‫כרטיסי מספרים‪ ,‬גולות צבעוניות‪ .‬מומלץ להשתמש בלוח מחיק לבניית טבלאות‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על ייצוג שברים‪.‬‬
‫מסרטטים על הלוח או על דפים ציורים כמו להלן‪ ,‬ושואלים‪" :‬מהו השבר שמיוצג בציורים?"‬
‫)החלק הצבוע מייצג את השבר‪(.‬‬
‫ציורים אפשריים‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫ב‪ .‬חזרה על הרחבת שברים ועל צמצום שברים‪.‬‬
‫‪2 15 3 6‬‬
‫‪. , , ,‬‬
‫כותבים על הלוח שברים‪ ,‬ומבקשים מהתלמידים לצמצמם‪ .‬דוגמאות לשברים‪:‬‬
‫‪4 30 9 18‬‬
‫כותבים על הלוח שברים‪ ,‬ועל התלמידים להרחיבם כך שהמכנה המשותף שלהם יהיה ‪.24‬‬
‫‪5 5 1‬‬
‫‪.‬‬
‫דוגמאות לשברים‪, , :‬‬
‫‪12 8 6‬‬
‫‪263‬‬
‫ג‪ .‬אחוזים‪ ,‬שברים "פשוטים"‪ ,‬מספרים עשרוניים ויחס ‪ -‬התאמה של כרטיסיות‪.‬‬
‫כותבים על הלוח מספר באחוזים‪ .‬התלמידים כותבים את המספר כשבר‪ ,‬כמספר עשרוני וכיחס‪,‬‬
‫וכן מתארים אותו במילים ובדרך של ייצוג‪ .‬אפשר לעשות זאת בטבלה כזו‪:‬‬
‫יחס‬
‫מספר‬
‫עשרוני‬
‫‪3 :5‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪1 :4‬‬
‫‪0.25‬‬
‫‪2 :5‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪1 :3‬‬
‫‪0.333...‬‬
‫שבר‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫תיאור‬
‫מילולי‬
‫ייצוג‬
‫אחוז‬
‫‪ 3‬מתוך ‪5‬‬
‫‪60%‬‬
‫‪ 1‬מתוך ‪4‬‬
‫‪25%‬‬
‫‪ 2‬מתוך ‪5‬‬
‫‪40%‬‬
‫‪ 1‬מתוך ‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪33 %‬‬
‫‪3‬‬
‫ד‪ .‬חזרה על סימני התחלקות ב‪ ,2 -‬ב‪ 5 -‬וב‪ ,10 -‬ב‪ ,3 -‬ב‪ 6 -‬וב‪.9 -‬‬
‫רושמים על הלוח כעשרים מספרים שונים‪,345 ,944 ,678 ,687 ,436 ,1,000 ,300 ,45 ,50 ,607 ,26 :‬‬
‫‪.879 ,231 ,768 ,546 ,780 ,81 ,99 ,90 ,423‬‬
‫מזמינים אל הלוח תלמיד‪ ,‬ומבקשים ממנוּ להקיף את כל המספרים המתחלקים ב‪) 2-‬כלומר ללא‬
‫שארית(‪ .‬שואלים‪" :‬מהו סימן ההתחלקות של ‪) "?2‬ספרת היחידות היא זוגית‪(.‬‬
‫מזמינים אל הלוח תלמיד נוסף‪ ,‬ומבקשים ממנוּ לסמן בדרך אחרת את כל המספרים המתחלקים‬
‫ב‪ .5 -‬שואלים‪" :‬מהו סימן ההתחלקות של המספר ‪) "?5‬ספרת היחידות היא ‪ 5‬או ‪(.0‬‬
‫באותו אופן ממשיכים ביתר המספרים‪ .‬אפשר להעמיק את הדיון ולדבר על מספרים משותפים‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬מספרים המתחלקים גם ב‪ ,2 -‬גם ב‪ 5 -‬וגם ב‪.10 -‬‬
‫ה‪ .‬חזרה על כפולות ועל מחלקים‪.‬‬
‫כותבים על הלוח עשרה מספרים קטנים מ‪ .100 -‬כל תלמיד אומר מחלק או כפולה של המספר‪.‬‬
‫דוגמאות למספרים‪ .31 ,15 ,24 ,80 ,90 ,17 ,6 ,48 ,60 ,8 :‬אפשר להגביל את תחום הכפולות‪.‬‬
‫פעילויות גילוי‬
‫חשוב לציין שרוב המשימות בספר יכולות לשמש כפעילויות גילוי‪.‬‬
‫פעילות א‪ :‬ריבועים בשקית‪.‬‬
‫מכניסים לשקית לא שקופה שלושה ריבועים אדומים וארבעה ריבועים צהובים באותו הגודל‪.‬‬
‫שואלים את התלמידים‪" :‬האם אפשר להוציא מהשקית ריבוע אדום?"‪" ,‬האם אפשר להוציא‬
‫מהשקית ריבוע צהוב?"‬
‫מבקשים מאחד התלמידים להוציא ריבוע אחד ושואלים מה צבעו‪.‬‬
‫מבקשים מתלמיד אחר להוציא עוד ריבוע‪.‬‬
‫כך ממשיכים מספר פעמים כדי להראות שאפשר להוציא גם ריבוע אדום וגם צהוב‪.‬‬
‫שואלים‪" :‬האם אפשר להוציא ריבוע כחול?" ומבקשים לנמק את התשובה‪.‬‬
‫פעילות ב‪ :‬פעילות במליאה‪.‬‬
‫מוציאים מהכיתה שלושה תלמידים‪ :‬שני בנים ובת או שתי בנות ובן‪.‬‬
‫שואלים את התלמידים שנותרו בכיתה‪" :‬האם אפשרי שהתלמיד שייכנס ראשון יהיה בן? יהיה‬
‫בת?"‬
‫מבקשים מהילדים שנמצאים מחוץ לכיתה להיכנס‪ ,‬ורואים מי נכנס ראשון‪ :‬בן או בת‪.‬‬
‫חוזרים על הפעילות‪ ,‬אך הפעם מוציאים מהכיתה בנות בלבד‪ .‬שואלים את התלמידים‪" :‬האם‬
‫ייתכן שהתלמיד הראשון שייכנס יהיה בן? מדוע? יהיה בת? מדוע?"‬
‫אפשר לבצע אותה פעולה גם כך‪ :‬מוציאים תלמידים שמרכיבים משקפיים ואחר‪-‬כך רק תלמידים‬
‫שאינם מרכיבים משקפים או להפך‪.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬כרטיסי מספרים‬
‫מכינים חבילת כרטיסי מספרים שמופיעים בה המספרים מ‪ 1 -‬עד ‪.10‬‬
‫‪264‬‬
‫שואלים את התלמידים‪" :‬האם אפשר להוציא מהחבילה מספר קטן מ‪ ?10 -‬מספר קטן מ‪?5 -‬‬
‫מספר גדול מ‪ ?10 -‬מספר גדול מ‪ ? 5 -‬מספר זוגי?"‬
‫מבקשים מאחד התלמידים להוציא מספר ושואלים אם הוא גדול או קטן מ‪.5 -‬‬
‫מבקשים מתלמיד אחר להוציא עוד כרטיס‪.‬‬
‫כך ממשיכים מספר פעמים כדי להראות שאפשר להוציא גם מספר קטן מ‪ 5 -‬וגם מספר גדול מ‪.5 -‬‬
‫פעילות ד‪ :‬כמו בפעילות ג‪ ,‬אך הפעם בחבילה נמצאים רק כרטיסי המספרים ‪ 7‬ו‪) 9 -‬חמישה‬
‫כרטיסים מכל סוג(‪.‬‬
‫שואלים את התלמידים‪" :‬האם אפשר להוציא מהחבילה מספר קטן מ‪ ?10 -‬מספר קטן מ‪?5 -‬‬
‫מספר גדול מ‪ ?10-‬מספר גדול מ‪ ?5-‬מספר זוגי?" וכדומה‪.‬‬
‫מבקשים מאחד התלמידים להוציא מספר ושואלים אם הוא ‪ 7‬או ‪.9‬‬
‫מבקשים מתלמיד אחר להוציא עוד כרטיס‪.‬‬
‫כך ממשיכים מספר פעמים כדי להראות שאפשר להוציא גם את המספר ‪ 7‬וגם את המספר ‪.9‬‬
‫פעילות ה‪ :‬קוביית משחק‪.‬‬
‫כל התלמידים מקבלים קוביית משחק‪ .‬שואלים‪" :‬האם ייתכן שבזריקת הקובייה נקבל מספר‬
‫זוגי?"‬
‫כל התלמידים מתבקשים לזרוק את הקובייה‪ .‬תלמידים שקיבלו מספר זוגי בהטלת הקובייה‬
‫שלהם‪ ,‬מתבקשים להצביע‪ .‬אפשר לחזור על הפעילות במשימות אחרות‪ :‬מספר גדול מ‪ ,4 -‬מספר‬
‫קטן מ‪ ,3 -‬מספר בין ‪ 2‬ל‪ ,5 -‬מספר דו‪-‬ספרתי וכדומה‪.‬‬
‫פעילות ו‪ :‬פעילות בקבוצות‪.‬‬
‫מניחים לפני תלמידי הכיתה או בכל קבוצה שלוש מעטפות‪ .‬במעטפה הראשונה שלושה ריבועים‬
‫אדומים ושני ריבועים לא אדומים‪.‬‬
‫במעטפה השנייה שני ריבועים אדומים ושלושה ריבועים לא אדומים‪.‬‬
‫במעטפה השלישית שלושה ריבועים אדומים וארבעה ריבועים לא אדומים‪.‬‬
‫מבקשים מהתלמידים להתבונן בתוכן המעטפות‪.‬‬
‫שואלים את התלמידים‪" :‬מאיזו מעטפה יש יותר סיכוי להוציא באקראי ריבוע אדום?"‬
‫דנים בדרכי ההשוואה בין השקיות השונות‪.‬‬
‫פעילות ז‪ :‬גולות צבעוניות‪.‬‬
‫מכניסים לתוך שקית ‪ 3‬גולות ירוקות‪ 5 ,‬גולות צהובות ו‪ 2 -‬גולות כחולות‪.‬‬
‫שואלים את התלמידים‪" :‬איזה חלק מכל הגולות מהוות הגולות הירוקות? והצהובות?‬
‫והכחולות?"‬
‫מבקשים מאחד התלמידים להוציא גולה אחת‪ .‬שואלים‪" :‬לאיזה צבע יש סיכוי גדול יותר‬
‫להופיע? מדוע?"‬
‫פעילות ח‪ :‬קוביית משחק‪.‬‬
‫כל התלמידים מקבלים קובייה‪ .‬שואלים את התלמידים‪" :‬איזה חלק מהמספרים שבקובייה‬
‫מהווים המספרים הזוגיים? איזה חלק מהמספרים שבקובייה מהווה המספר ‪?1‬‬
‫לאיזה מספר יש סיכוי גדול יותר להופיע‪ :‬למספר ‪ 1‬או למספר זוגי?"‬
‫כל הילדים זורקים את הקובייה‪ .‬תחילה מצביעים התלמידים שקיבלו מספר זוגי בהטלת‬
‫הקובייה שלהם‪ ,‬ואחר‪-‬כך מצביעים התלמידים שקיבלו את המספר ‪ 1‬בהטלת הקובייה שלהם‪.‬‬
‫בכל פעם מונים את מספר התלמידים‪ .‬דנים בהבדל בין מספר התלמידים שהצביעו בכל פעם‪.‬‬
‫פעילות ט‪ :‬מכניסים לשקית כרטיסיות שרשומים עליהן מספרים מ‪ 1 -‬עד ‪ .30‬מבקשים מכל ילד‬
‫להוציא מספר אחד‪.‬‬
‫שואלים‪" :‬לאיזה מקרה יש סיכוי גדול יותר‪ :‬הוצאת מספר חד‪-‬ספרתי או הוצאת מספר דו‪-‬‬
‫ספרתי‪ ,‬ולמה?"‬
‫כל התלמידים שקיבלו מספר דו‪-‬ספרתי מתבקשים להצביע‪ .‬מהו היחס בין כמות המספרים החד‪-‬‬
‫ספרתיים לכמות המספרים הדו‪-‬ספרתיים? איזה חלק מהווים המספרים הדו‪-‬ספרתיים מכל‬
‫המספרים?‬
‫‪265‬‬
‫הספר לתלמיד‬
‫"לעלות על הגל"‬
‫לתשומת לבכם‪ ,‬בלתי‪-‬אפשרי לבצע את כל המשימות שבחלק זה‪ .‬יש משימות חזרה על מיומנויות‬
‫חישוב ועל הקשרים בין שברים‪ ,‬מספרים עשרוניים‪ ,‬אחוזים ויחס‪ .‬תוכלו לדלג על משימות‬
‫מסוימות לפי שיקולכם ולפי רמת התלמידים בכיתה‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :581‬ודאות ואי‪-‬ודאות‬
‫בשיעור זה התלמידים נחשפים לאוצר המילים הרלוונטי לנושא‪ :‬חיזוי‪ ,‬ניסוי‪ ,‬תצפית‪ ,‬סיכוי‪,‬‬
‫ודאי‪ ,‬לא‪-‬ודאי‪ ,‬תוצאה‪ ,‬מאורע‪ ,‬אפשרי או בלתי‪-‬אפשרי‪ .‬המילה "תחזית" מוכרת מחיי היום‪-‬יום‬
‫בהקשר למזג‪-‬האוויר‪ .‬אפשר לשוחח עם התלמידים על משמעות המילה "תחזית"‪ .‬לעתים תחזית‬
‫מזג‪-‬האוויר אינה מדויקת‪ .‬החזאים יכולים לחזות שירד גשם‪ ,‬אולם הלכה למעשה לא יורד גשם‪.‬‬
‫כדאי לדון עם התלמידים בזמן הנקשר ל"תחזית" – זמן עתיד‪ .‬כלומר מאורעות שעדיין לא‬
‫התרחשו ואנו חוזים אותם‪ ,‬משערים אם הם יתקיימו או לא‪.‬‬
‫צריך להעלות למודעות של התלמידים שאם אי‪-‬אפשר לחזות מראש קיום של תופעה מסוימת‪,‬‬
‫היא יכולה להתקיים או לא להתקיים‪ ,‬זאת אומרת שהיא אפשרית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬במשימה מבחינים בין תופעה ודאית‪ ,‬תופעה לא‪-‬ודאית ותופעה בלתי‪-‬אפשרית‪.‬‬
‫רצוי לדון עם התלמידים בתופעות מחיי היום‪-‬יום הקשורות לעולמם‪.‬‬
‫דיון בתופעות הוא הזדמנות טובה להרחבת הידע האישי של התלמידים‪ .‬במשימה זו ובמשימות‬
‫הבאות אחריה מומלץ לבקש מהילדים הסברים ונימוקים לבחירתם‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬בשקית תשעה כדורים משלושה צבעים‪ :‬כחול‪ ,‬אדום וצהוב‪.‬‬
‫א( הוצאת כדור כחול היא אפשרית‪ ,‬כלומר לא‪-‬ודאית‪.‬‬
‫ב( הוצאת כדור ירוק היא בלתי‪-‬אפשרית‪.‬‬
‫ג( הוצאת כדור אדום היא אפשרית‪ ,‬כלומר לא‪-‬ודאית )בדומה להוצאת כדור כחול(‪ .‬ד( סעיף זה‬
‫עלול להיות קשה לתלמידים בגלל השימוש במילה "או"‪ .‬הוצאת כדור אדום‪ ,‬כחול או צהוב היא‬
‫ודאית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬משימה פתוחה‪ .‬התלמידים נדרשים לכתוב דוגמאות של מאורעות ודאיים‪ ,‬לא‪-‬‬
‫ודאיים‪ ,‬אפשריים ובלתי‪-‬אפשריים‪ .‬הדוגמאות יכולות להיות הוצאת גולות מתוך שקית‪ ,‬זריקת‬
‫קובייה‪ ,‬מטבע או סביבון‪.‬‬
‫מומלץ לכתוב את ההצעות של התלמידים על הלוח‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬שימוש במושג "תוצאה"‪ .‬בזריקת קובייה רגילה אפשר לקבל את התוצאות‪:‬‬
‫‪ ,5 ,4 ,3 ,2 ,1‬או ‪.6‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬במשימה זו נעשה שימוש במילים‪ :‬ודאי‪ ,‬ייתכן‪ ,‬לא ייתכן‪ ,‬יכול להיות‪ ,‬לא יכול‬
‫להיות‪ ,‬אפשרי ובלתי‪-‬אפשרי‪.‬‬
‫למילים "ייתכן"‪" ,‬אפשרי"‪ ,‬ו"יכול להיות" יש אותה משמעות מבחינה הסתברותית‪.‬‬
‫א( ייתכן‪ ,‬אפשרי ויכול להיות; ב( ודאי; ג( יכול להיות‪ ,‬ייתכן;אפשרי ד( בלתי‪-‬אפשרי‪ ,‬לא‬
‫ייתכן‪ ,‬לא יכול להיות; ה( בלתי‪-‬אפשרי‪ ,‬לא ייתכן‪ ,‬לא יכול להיות; ו( ודאי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬במשימה זו הכוונה למאורעות שגרתיים‪ ,‬ולא למאורעות לא שגרתיים‪.‬‬
‫בחלק מהסעיפים ייתכן שתלמידים שישיבו על הסעיפים "אפשרי" במקום "ודאי שלא יקרה"‪.‬‬
‫ישנם בתי ספר שקיים בהם יום לימודים שכולו מתמטיקה )כמו "יום המאה"(‪ .‬במקרה זה‬
‫התלמידים יכולים להשיב על סעיף ב( "אפשרי"‪ .‬אם התלמידים מעלים את האפשרות שזה ייתכן‪,‬‬
‫קבלו את תשובתם בנימוק מתאים‪.‬‬
‫א( אפשרי; ב(דיון‪ :‬עקרונית‪ ,‬התשובה היא "ודאי שלא יקרה"‪ ,‬אך אולי חזרה למבחן? ג( דיון‬
‫בכיתה רגילה ודאי שלא יקרה‪ ,‬אך באופן תאורטי זה אפשרי בניגוד למאורע לקבל בקובייה רגילה‬
‫‪7‬‬
‫ד( ודאי שלא יקרה ה(אפשרי‪.‬‬
‫‪266‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬מומלץ לבקש מהתלמידים לתת דוגמה למספרים על כל אחת מהפתקיות‪ ,‬לפני‬
‫שהם עונים על השאלות‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫דוגמאות‪ :‬שבר קטן מ‪ ; :1 -‬מספר עשרוני קטן מ‪;0.5 :1 -‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫מספר מעורב‪ ; 2 :‬מספר טבעי זוגי חד‪-‬ספרתי‪.8 :‬‬
‫‪4‬‬
‫א( כל מספר שיתקבל ממכפלת שני מספרים אפשר להציגו כמספר עשרוני‪ .‬ב( סכום‬
‫המספרים לא יכול להיות מספר שלילי‪ .‬ג( ההפרש בין שני מספרים יכול להיות מספר‬
‫טבעי‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :583‬מה סביר יותר?‬
‫בשיעור זה מומחש ההבדל בין סיכויים שונים‪ .‬השאלה העיקרית המוצגת בשיעור היא‪" :‬מה סביר‬
‫יותר?"‪ .‬משחק גלגל המזל הוא אחד המשחקים הפשוטים ביותר‪ ,‬בעזרתו אפשר להסביר לילדים‬
‫למי יש יותר סיכוי לנצח‪ .‬לשי יש סיכוי גדול יותר לנצח‪ ,‬כי מספר הגזָרות הסגולות גדול ממספר‬
‫הגזָרות הירוקות‪ .‬לעומת זאת לשלושת הילדים יש אותו סיכוי לנצח‪ ,‬כי שלוש הגזָרות חופפות זו‬
‫לזו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬במשימה זו בודקים לאיזה מאורע מבין זוגות המאורעות יש סיכוי גדול יותר‬
‫להתקיים‪ .‬המאורעות קשורים להטלת קוביית משחק רגילה‪ .‬בקשו מהתלמידים לציין תחילה‬
‫את התוצאות האפשריות בהטלת קובייה‪ .‬האפשרויות הן ‪ 5 ,4 ,3 ,2 ,1‬ו‪.6-‬‬
‫א( המספר שיתקבל הוא מספר אי‪-‬זוגי‪) .‬למאורע זה יש יותר סיכוי להתממש‪(.‬‬
‫ב( לשני המאורעות אותו סיכוי להתממש‪ .‬כמות המספרים הזוגיים שווה לכמות המספרים‬
‫האי‪-‬זוגיים בקובייה‪.‬‬
‫ג( המספר שיתקבל יהיה ‪ .6‬נימוק‪ :‬המספר ‪ 7‬לא יכול להתקיים‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :10 -9‬מומלץ לבצע את המשימות במליאה או בקבוצות ולדון בנימוקי התלמידים‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ 584‬קשרים בין שברים‪ ,‬מספרים עשרוניים‪ ,‬אחוזים ויחס‬
‫חזרה על הקשרים בין שברים פשוטים‪ ,‬מספרים עשרוניים‪ ,‬אחוזים ויחס כהכנה לחישובים‬
‫בהסתברות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬חזרה על מציאת יחס ואחוזים בהקשר למספר תלמידים בכיתה‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :13 -12‬משימת יישום‪ .‬אפשר לבצע את המשימה בקבוצות או במליאה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬חזרה על יחס‪ ,‬על אחוזים ועל שברים בהקשר לצורות גאומטריות‪.‬‬
‫היחס בין מספר המשולשים למספר כל הצורות הוא ‪ ;4:10‬המשולשים מהווים ‪ 40%‬מכלל‬
‫‪6 3‬‬
‫מכלל הצורות; היחס בין מספר המקביליות למספר כל‬
‫הצורות; המרובעים מהווים =‬
‫‪10 5‬‬
‫הצורות הוא ‪ ; 5 : 10‬המקביליות מהוות ‪ 50%‬מכלל הצורות‪.‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪5‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬א( ; ב( = ; ג( ‪ ;37.5%‬ד( ‪ ;12.5%‬ה( ‪ ; 3:8‬ו( ‪ ;2:8‬ז( ‪ ;25%‬ח( ‪37.5%‬‬
‫‪8 4‬‬
‫‪8‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬משימת יישום הקשורה גם לחישובי אחוזים‪.‬‬
‫א( המאורע אפשרי‪ .‬נימוק‪ :‬ייתכן שמחיר המוצר יהיה זול יותר ממחיר אותו מוצר שניתנה עליו‬
‫הנחה‪.‬‬
‫ב( ערך ההנחה הוא ‪ .₪ 12‬ג( מחיר המוצר לאחר ההנחה הוא ‪ .₪ 108‬ד( היחס בין ערך ההנחה לבין‬
‫מחיר המוצר לפני ההנחה הוא ‪ .12:120‬ה( אפשרות מתאימה למחיר המוצר בחנות ב' היא ‪.₪ 100‬‬
‫ו( היחס בין מחיר המוצר לאחר ההנחה בחנות א' לבין מחיר המוצר בחנות ב' הוא ‪.108:100‬‬
‫‪267‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬בפרק ‪ 26‬עמודים ובספר ‪ 288‬עמודים‪ .‬בערך ‪. 9%‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :586‬שכיחות ושכיחות יחסית‬
‫חזרה על המושג "שכיחות יחסית"‪ ,‬שהוא בסיס לניתוח סיכויים על‪-‬פי תצפית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬אפשר להשתמש בשאלות החקר שערכו התלמידים בפרק י"א "עיבוד נתונים"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬משימת יישום בהקשר לשכיחות יחסית‪ .‬כדי לחשב את השכיחות היחסית יש‬
‫לחשב תחילה את מספר הפריטים בסך‪-‬הכול‪ .‬מספר הפריטים הוא ‪.60‬‬
‫צבע‬
‫מספר‬
‫פריטים‬
‫שכיחות‬
‫יחסית‬
‫כחול‬
‫ורוד‬
‫אדום‬
‫שחור‬
‫צהוב‬
‫ירוק‬
‫‪15‬‬
‫‪20‬‬
‫‪6‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪15 1‬‬
‫=‬
‫‪60 4‬‬
‫‪20 1‬‬
‫=‬
‫‪60 3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪60 10‬‬
‫‪10 1‬‬
‫=‬
‫‪60 6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪60 20‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪60 10‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬חזרה על מיומנויות חישוב‪ .‬חשוב לוודא שהחישוב הראשון )סך כל הפריטים(‬
‫נכון‪.‬‬
‫שיעורי הקניה‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪587‬תוצאה‪ ,‬מאורע וסיכוי‬
‫מוקד השיעור הוא המושג "מאורע"‪ .‬אחד הקשיים בניתוח סיכויים הוא ההבחנה בין "תוצאה"‬
‫לבין "מאורע"‪.‬‬
‫לעתים המונחים חופפים‪ ,‬כאשר בתוצאה מתקיים מאורע אחד )לדוגמה "לקבל ‪ "6‬בזריקת‬
‫קובייה רגילה(; לעתים כמה תוצאות מתקיימות במאורע אחד )כמו בזכיית גלידה בשיעור(;‬
‫ולפעמים אין תוצאה לאורע )"לקבל ‪ "8‬בזריקת קובייה רגילה(‪.‬‬
‫המשימות ‪ 5-1‬מבוססות על הדוגמה שבשיעור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬עיסוק במושג מספר אפשרויות‪ .‬א( האפשרויות הן קבלת עיפרון בלבד; עוגה‬
‫וספר; משחק מחשב ועוגה; עוגה בלבד; תקליטור וגלידה; תקליטור ועוגה; ספר וגלידה )הסדר‬
‫הוא בכיוון השעון‪ ,‬ומתחילים בחלק הכתום(‪ .‬ב( ישנה אפשרות אחת לזכייה במשחק מחשב‬
‫ובעוגה‪ .‬ג( קיימות שתי אפשרויות לזכייה בתקליטור ובגלידה‪ .‬ד( קיימות ארבע אפשרויות לזכייה‬
‫בעוגה‪ .‬ה( קיימת אפשרות אחת לזכייה בעיפרון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬מיומנות ראשונה של ניתוח סיכויים‪ .‬א( הגזרה הצהובה המקווקוות‪ .‬ב( המחוג‬
‫הצביע על אחת הגזרות הירוקות‪ ,‬יעל זכתה גם בגלידה או בעוגה‪ .‬ג( גאולה זכתה בספר ובעוגה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬מטרת המשימה היא להבחין בין ההיבט הערכי של סיכוי )אפשרי‪ ,‬בלתי‪-‬אפשרי‪,‬‬
‫ודאי( לבין ההיבט הכמותי שבמשימה ‪ .1‬א( אפשרי‪ .‬ב( אפשרי‪ .‬ג( אפשרי‪ .‬ד( אפשרי‪ .‬ה( ודאי‪ .‬ו(‬
‫בלתי‪-‬אפשרי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬כדאי לדון במשימה זו‪ .‬אפשר לארגן מוקד המורכב מהצעות התלמידים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬משימה להעמקת ההבנה של ההבדל בין תוצאה לבין מאורע )זכייה בפרס(‪ .‬אלונה‬
‫צודקת‪ ,‬יש שתי אפשרויות לזכייה בתקליטור ובגלידה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬א( בלתי‪-‬אפשרי‪ .‬ב( אפשרי‪ .‬ג( ודאי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬א( אפשרי‪ .‬ב( אפשרי‪ .‬ג( אפשרי‪ .‬ד( בלתי‪-‬אפשרי‪ .‬ה( אפשרי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬שתי אפשרויות‪ .‬יש תלמידים שיגידו שקיימת גם האפשרות שהמטבע יעמוד על‬
‫הצד‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬מצב קלסי של ניתוח סיכויים‪ .‬מומלץ להשתמש בלוח מחיק ולספור את‬
‫האפשרויות‪ .‬ענבל )‪ 13‬סכומים זוגיים(‪.‬‬
‫‪268‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :589‬הסתברות‬
‫מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ה' לפני השיעור‪.‬‬
‫בשיעור מרכזי זה מוסבר מהם המרכיבים של חישובי הסתברות‪" -‬מספר התוצאות הטובות" של‬
‫קיום המאורע )הוצאת כדור אדום( ו"מספר סך כל התוצאות" )מספר כדורים(‪ -‬דרך השוואה בין‬
‫הסתברויות‪.‬‬
‫המצב פשוט ואינו דורש חישובים מסובכים‪ .‬נראה שהגדרת "הסתברות" כ"יחס" מתאימה יותר‬
‫מהגדרתה כשבר‪.‬‬
‫הערה‪ :‬אף‪-‬על‪-‬פי שבתכנית הלימודים משתמשים במונח "סיכוי"‪ ,‬הוחלט להשתמש כאן במונח‬
‫הנפוץ יותר בחיי היום‪-‬יום‪" :‬הסתברות"‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫משימה מס' ‪:10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪. :11‬‬
‫‪6‬‬
‫או ‪ 0.3‬או ‪.30%‬‬
‫‪12‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬ההסתברות שהתלמיד התורן יהיה בן היא‬
‫‪25‬‬
‫‪6‬‬
‫משימה מס' ‪:13‬‬
‫‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫כלומר ‪.48%‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬משימת יישום שמשולבים בה מושגים מתמטיים בסיסיים‪ .‬יש לחזור עם‬
‫התלמידים על המושגים‪ :‬מספר מתחלק ב‪ ,3 -‬מספר ראשוני‪ ,‬מספר פריק‪ ,‬מספר זוגי ואי‪-‬זוגי‪.‬‬
‫מומלץ להשתמש בטבלה שבלוח המחיק‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬משימת חקירה‪ .‬יש לחזור על מספר תלת‪-‬ספרתי ועל סימני התחלקות של ‪ 3‬ושל‬
‫‪2‬‬
‫‪ .6‬א( ‪ ,6‬לא‪ .‬יש שני מספרים זוגיים‪ ,‬לכן יש יותר מספרים שספרת היחידות שלהם זוגית‪ .‬ב( ‪ .‬ג(‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .‬ד( ‪ .1‬ה( ‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬חשוב לכתוב את הנתונים בצורה מסודרת לפני שמתחילים לענות על השאלות‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫א( ‪ .‬ב( ‪ .‬ג( ‪ .‬ד( ‪ .15‬ה( ‪ .‬ו( ‪ .16‬ז( ‪ .‬ח(‬
‫‪12‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬דיאגרמת עץ היא אחד מהייצוגים הנוחים ביותר בחישובי הסתברויות‪ .‬העיקרון‬
‫הגרפי הוא פשוט‪ :‬בכל שלב מפרטים את האפשריות השונות על‪-‬ידי קטעים בכיוונים שונים‪,‬‬
‫ובסוף כל ענף כותבים את התוצאה הסופית‪ .‬אפשר לסמן את התוצאה הסופית בצורה גרפית‬
‫מיוחדת )למשל במעגל כפי שמופיע בעץ שלפניכם(‪.‬‬
‫סופרים את מספר התוצאות לפי השאלות‪ .‬לדוגמה‪ ,‬המספר המתקבל הוא מספר ראשוני בארבע‬
‫תוצאות‪.‬‬
‫לאחר שהתלמידים עבדו בקבוצות‪ ,‬מומלץ לבנות את העץ על הלוח ולבדוק במליאה את ההצעות‬
‫של התלמידים בסעיף ט‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪9‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪10‬‬
‫‪7‬‬
‫‪269‬‬
‫‪8‬‬
‫‪10‬‬
‫‪12‬‬
‫‪9‬‬
‫‪12 10‬‬
‫‪14‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :592‬ערך ההסתברות בין ‪ 0‬ל‪1 -‬‬
‫המאפיין העיקרי של הסתברות של מאורע הוא שלפי הגדרתו‪ ,‬הוא מספר‬
‫• שווה ל‪ 0 -‬אם המאורע הוא בלתי‪-‬אפשרי;‬
‫• או חיובי קטן מ‪ 1 -‬אם המאורע הוא אפשרי;‬
‫• או שווה ל‪ 1 -‬אם המאורע הוא בטוח‪.‬‬
‫כשמכירים את הערך של הסתברות של מאורע‪ ,‬יודעים אם הוא בלתי‪-‬אפשרי‪ ,‬אפשרי או ודאי‪.‬‬
‫הערה‪ :‬משמעות המילה "סביר" בשפה המדוברת דומה למשמעות המילה "אפשרי" וכן‬
‫המשמעויות של המילים הגיוני‪ ,‬מתקבל על הדעת‪ ,‬ייתכן‪ ,‬אפשרי‪ ,‬אולי‪ ,‬עשוי‪ ,‬מתאים‪ ,‬יאה‪ ,‬נאות‪,‬‬
‫הוגן‪ ,‬בסדר‪.‬‬
‫לכן אם הסיכוי של מאורע הוא ‪ ,0.1‬אומרים שהוא אפשרי‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :18‬ניתוח הקשר בין שפה מדוברת לבין מונחים מתמטיים‪ .‬תשובה‪ :‬משפט ‪.2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫משימה מס' ‪ :19‬א( ‪ .‬ב( ‪ .‬ג( ‪ .‬ד( ‪ .0‬ה( ‪ .1‬ו(‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫)שואלים על מספר אי‪-‬זוגי‪(.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬הסיכויים ודאיים‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬א(‬
‫‪5‬‬
‫כלומר ‪ .18%‬ב( אפשרי‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬א(‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪:23‬‬
‫‪100‬‬
‫או ‪ .10%‬ב( סיכויים נמוכים ‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :594‬הסתברות ושכיחות יחסית‬
‫מוקד השיעור הוא הפער בין חישובים תיאורטיים של הסתברות לבין המציאות‪ .‬זהו אחד‬
‫הקשיים בהוראת הנושא‪ .‬החישובים התיאורטיים מתבססים על עובדות מתמטיות‬
‫אובייקטיביות‪) .‬לקובייה שש פאות‪ ,‬לכל אחת מהפאות אותו סיכוי להופיע‪ ,‬לכן ההסתברות‬
‫‪1‬‬
‫התיאורטית לקבל את המספר ‪ 4‬היא ‪ (.‬לעומת זאת החישובים במציאות מתבססים על שכיחות‬
‫‪6‬‬
‫יחסית של תוצאה ועל מספר קטן של ניסויים‪ .‬החישובים אינם זהים‪ .‬ככל שמספר הניסויים גדול‪,‬‬
‫הפער בין שני סוגי החישובים קטן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬שישית של ‪ 300‬הם ‪ ,50‬לכן התוצאה ‪ 48‬קרובה להסתברות התיאורטית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬כדאי לערוך את הניסוי בכיתה )כל זוג תלמידים זורק את הקובייה ‪ 20‬פעם‪,‬‬
‫ומחברים את התוצאות(‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬כדאי להביא סביבון כדי להמחיש את הבעיה‪ .‬א( ‪ .‬ב( ‪ .‬ד( ייתכן‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬משימת יישום‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬בכל שפה קיימות אותיות ששכיחותן בטקסטים גבוהה יותר מהשכיחות של‬
‫אותיות אחרות‪ .‬השכיחות משתנה מעט לפי סוג הטקסט‪ .‬אם נותר זמן‪ ,‬כדאי לבצע את התרגיל‬
‫בטקסטים מסוגים שונים כדי לראות אם אכן השכיחות משתנה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫≈ ‪ .0.0833‬ב( כן‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬חקירה בעזרת המושגים שבשיעור‪ .‬א(‬
‫‪12‬‬
‫‪270‬‬
‫קטע שיעור‪ ,‬עמוד ‪ :597‬מאורע משלים‬
‫הקושי בהבנת המושג "מאורע משלים למאורע" נובע משימוש בשלילה של אילוץ אחד ובקיום של‬
‫אחר‪:‬‬
‫‪ .1‬אם מאורע מתקיים‪ ,‬המאורע המשלים אינו מתקיים;‬
‫‪ .2‬שני מאורעות ביחד "מכסים" את כלל האפשרויות‪.‬‬
‫ההסברים על חוקי פעולות בהסתברות אינם בתכנית הלימודים‪ ,‬לכן ציינו רק שסכום הסתברויות‬
‫של מאורעות משלימים שווה ל‪.1-‬‬
‫המשימות ‪ 31 – 30‬הן משימות יישום לסיכום הנלמד בשילוב שימוש בתכונות המספרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬א( ‪ 6‬אפשרויות שונות‪.‬‬
‫ב(‬
‫התוצאות‬
‫המאורע‬
‫האפשריות‬
‫‪2‬‬
‫‪ A‬מתקבל המספר ‪2‬‬
‫מספר התוצאות‬
‫האפשריות‬
‫‪1‬‬
‫‪6 ,5 ,4 ,3 ,1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ C‬מתקבל מספר זוגי‬
‫‪6 ,4 ,2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ D‬לא מתקבל מספר זוגי‬
‫‪5 ,3 ,1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6 ,3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ B‬המספר ‪ 2‬אינו מתקבל‬
‫‪ E‬מתקבל מספר המתחלק ב‪3 -‬‬
‫הסתברות‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫ג( לא‪ ,‬כן‪ ,‬כן‪ .‬ד( לא‪ ,‬כן‪ ,‬כן‪ .‬ה( כן‪ ,‬לא‪ ,‬לא‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬משימה דומה למשימה הקודמת‪ ,‬אך המצב ההתחלתי שונה‪ .‬א( עשר אפשרויות‬
‫שונות‪ .‬ב(‬
‫המאורע‬
‫התוצאות‬
‫האפשריות‬
‫‪7,8,9,10‬‬
‫מספר התוצאות‬
‫האפשריות‬
‫‪4‬‬
‫מתקבל מספר שאינו גדול מ‪6-‬‬
‫‪6 ,5 ,4 ,3 ,1,2‬‬
‫‪6‬‬
‫מתקבל מספר המתחלק ב‪3 -‬‬
‫‪9 ,6 ,3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪10‬‬
‫‪7,8,10 ,5 ,4 ,1,2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪10‬‬
‫מתקבל מספר גדול מ‪6-‬‬
‫מתקבל מספר שאינו מתחלק ב‪3 -‬‬
‫‪186‬‬
‫‪44‬‬
‫≈ ‪ .0.19‬ב(‬
‫משימה מס' ‪ :32‬א(‬
‫‪230‬‬
‫‪230‬‬
‫הסתברות‬
‫‪4‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3‬‬
‫‪10‬‬
‫≈ ‪ . 0.81‬ג( אישה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :33‬יש להמחיש שההסתברות משתנה בכל פעם שיוצא תלמיד מהכיתה‪ .‬יש לשמוע‬
‫‪15‬‬
‫‪14‬‬
‫‪ .‬ג( סביר יותר שבת תצא‪.‬‬
‫‪ .‬ב(‬
‫את הנימוקים השונים של התלמידים‪ .‬א(‬
‫‪29‬‬
‫‪29‬‬
‫‪271‬‬
‫‪18‬‬
‫‪80‬‬
‫‪100‬‬
‫‪-D,‬‬
‫‪-C,‬‬
‫משימה מס' ‪ :34‬משימת גילוי‪ .‬מאורעות משלימים ‪ ,E-B ,C-A‬ב( ‪- A‬‬
‫‪180‬‬
‫‪180‬‬
‫‪180‬‬
‫‪36‬‬
‫‪144‬‬
‫‪.‬‬
‫‪-E ,‬‬
‫ג( ‪- B‬‬
‫‪180‬‬
‫‪180‬‬
‫משימה מס' ‪ :35‬לא‪ .‬תלוי בחוקי המשחק‪) :‬ראו דוגמה במשימה ‪.(9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫משימה מס' ‪ .0 (4 . (3 . (2 . (1 :36‬אין אות כזו‪ .‬ב( דוגמה אפשרית‪ :‬הוצאת האות י'‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫משימה מס' ‪ :37‬לא‪ .‬האירוע המשלים הוא "אסנת לא קיבלה ‪ "84‬או "אסנת קיבלה ציון השונה‬
‫מ‪."84 -‬‬
‫מה למדנו? עמוד ‪600‬‬
‫בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד בפרק‪ :‬הגדרת המאורע‪ ,‬הסתברות של מאורע ודאי‪ ,‬הסתברות‬
‫של מאורע בלתי‪-‬אפשרי‪ ,‬מאורע משלים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :38‬משימת סיכום שמשולבת בה חזרה על תכונות המספרים‪.‬‬
‫א( קבלת המספרים ‪ 1‬עד‪611-‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ב( ‪. 3 . 2 , . 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪) 1 .4‬כל המספרים קטנים מ‪ .5 (7-‬הסתברות ‪. 0‬‬
‫ממשיכים בתרגול‪ ,‬עמ' ‪601‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬פיתוח של הבנה מספרית‪ .‬בקשו מהתלמידים לנמק את תשובותיהם בעזרת‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫א( ודאי שלא יקרה‪ .‬נימוק‪ :‬מכפלה של מספר זוגי במספר כלשהו היא תמיד זוגית‪) .‬למעט המספר‬
‫‪ ,2‬שהוא זוגי וראשוני‪ ,‬כל המספרים הזוגיים הם מספרים פריקים‪(.‬‬
‫ב( אפשרי‪ .‬מכפלה של שני מספרים ראשוניים יכולה להיות זוגית או אי‪-‬זוגית‪.‬‬
‫המספרים הראשוניים הראשונים הם ‪... 19 ,17 ,13 ,11 ,7 ,5 ,3 ,2‬‬
‫אם נכפול חלק מהמספרים‪ ,‬ניווכח כי המכפלות המתקבלות יכולות להיות זוגיות או אי‪-‬זוגיות‪.‬‬
‫דוגמאות‪3 × 5 = 15 , 2 × 3 = 6 :‬‬
‫ג( ודאי שיקרה‪ .‬נימוק‪ :‬מכפלה של שני מספרים זוגיים היא תמיד זוגית‪.‬‬
‫ד( אפשרי‪ .‬נימוק‪ :‬בהנחה שהמספרים על הקובייה הראשונה הם המספרים הזוגיים הראשונים )‪,0‬‬
‫‪ ,(10 ,8 ,6 ,4 ,2‬והמספרים על הקובייה השנייה הם המספרים הראשוניים הראשונים )‪,7 ,5 ,3 ,2‬‬
‫‪ 11‬ו‪ ,(13 -‬אפשר לראות כי המספר המתקבל מכפל של שני מספרים יכול להיות חד‪-‬ספרתי‪ ,‬דו‪-‬‬
‫ספרתי או תלת‪-‬ספרתי‪ .‬דוגמאות‪. 10 × 11 = 110 , 6 × 5 = 30 , 2 × 3 = 6 :‬‬
‫ה( אפשרי‪ .‬נימוק‪ :‬על הקובייה שיש בה מספרים זוגיים‪ ,‬יכול להופיע המספר ‪ 0‬שהוא כידוע מספר‬
‫זוגי‪ .‬ומכפלת מספר כלשהו ב‪ 0 -‬היא תמיד אפס‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬א( נכון; ב( נכון; ג( לא נכון; אפשרי ששני המספרים המתקבלים יהיו זוגיים‪ .‬ד(‬
‫לא נכון;לאחר קבלת מספר בקובייה הראשונה‪ ,‬הסיכוי לקבל אותו המספר בזריקה השנייה הוא‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫לעומת זאת הסיכוי לא לקבל אותו המספר הוא ‪ .‬ה( נכון;יש שישה מספרים שונים ו( נכון;‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2 1‬‬
‫בקובייה יש שני מספרים קטנים מ‪ 1) 3 -‬ו‪ .(2 -‬שני מספרים אלו מהווים = מכלל המספרים‬
‫‪6 3‬‬
‫שבקובייה‪ .‬ז( לא נכון; בקובייה יש שני מספרים הגדולים מ‪ 5) 4 -‬ו‪ .(6 -‬היחס בין מספרים אלו‬
‫לבין כלל המספרים בקובייה הוא ‪. 2 :6‬‬
‫‪272‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬יש לציין שבמשחק לוטו כל המספרים שונים זה מזה‪ .‬לכן היחס בין הכדורים‬
‫המאוירים לכלל הכדורים במשחק הוא ‪) 5 :49‬תשובה ל‪ -‬א ול‪ -‬ב( ‪ .‬ג( בערך ‪ 10%‬ד( לא‪ .‬אין‬
‫מספר כזה בלוטו‪ .‬ה( כן‪ ,‬הוצאת מספר גדול מ‪. 39-‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬משימת תרגול של חישוב הסתברויות‪.‬‬
‫‪5 1‬‬
‫א( ההסתברות להוציא מכונית כחולה היא = ‪.‬‬
‫‪10 2‬‬
‫‪2 1‬‬
‫ב( ההסתברות להוציא מכונית אדומה היא = ‪.‬‬
‫‪10 5‬‬
‫‪9‬‬
‫ג( ההסתברות להוציא מכונית שאינה צהובה היא‬
‫‪10‬‬
‫התלמידים לכך שהמאורע הוא מאורע משלים להוצאת מכונית צהובה‪.‬‬
‫‪ .‬כדאי להסב את תשומת לב‬
‫משימה מס' ‪ :5‬חזרה על המושגים "מספר ראשוני" ו"מספר פריק"‪.‬‬
‫א( בהטלת קובייה הוגנת המספרים הראשוניים הם ‪ 3 ,2‬ו‪ .5 -‬לפיכך ההסתברות לקבל מספר‬
‫‪3 1‬‬
‫ראשוני היא = ‪ .‬מומלץ להזכיר לתלמידים כי המספר ‪ 1‬אינו פריק ואינו ראשוני‪.‬‬
‫‪6 2‬‬
‫‪2 1‬‬
‫ב( ההסתברות לקבל מספר פריק היא = ‪.‬‬
‫‪6 3‬‬
‫‪3 1‬‬
‫ג( ההסתברות לקבל מספר קטן מ‪ 4 -‬היא = ‪.‬‬
‫‪6 2‬‬
‫‪6‬‬
‫ד( ההסתברות לקבל מספר קטן מ‪ 7 -‬היא ‪) . = 1‬כל המספרים בקובייה קטנים מ‪(.7 -‬‬
‫‪6‬‬
‫‪0‬‬
‫ה( ההסתברות לקבל מספר גדול מ‪ 6 -‬היא ‪. = 0‬‬
‫‪6‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬שתי המילים "ניתוח סיכויים" מכילות ‪ 12‬אותיות בסך הכול‪.‬‬
‫‪4 1‬‬
‫א( ההסתברות לבחור באות י' היא = ‪.‬‬
‫‪12 3‬‬
‫‪8 2‬‬
‫ב( ההסתברות לבחור באות שאיננה י' היא = ‪.‬‬
‫‪12 3‬‬
‫ג( מאורעות א' ו‪-‬ב' משלימים זה את זה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫ד( ההסתברות לבחור את האות נ' היא‬
‫‪12‬‬
‫ה( לאותיות המופיעות פעם אחת בלבד‪ ,‬יש אותה ההסתברות כמו זו של האות נ'‪ .‬האותיות הן‬
‫ת ‪ ,‬ח ‪ ,‬ס ‪ ,‬כ ‪ ,‬ם‪.‬‬
‫‪2 1‬‬
‫ו( ההסתברות לבחור את האות ו' היא = ‪.‬‬
‫‪12 6‬‬
‫שאלות מילוליות ‪ ,‬עמוד ‪603‬‬
‫‪1‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬א( ההסתברות שאלי הוציא כדור ירוק היא‬
‫‪10‬‬
‫‪4‬‬
‫ב( ההסתברות שאלי הוציא כדור אדום היא‬
‫‪10‬‬
‫‪.‬‬
‫‪273‬‬
‫‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .‬ד( ההסתברות שהכדור אינו ירוק היא‬
‫ג( ההסתברות שהכדור כחול היא‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪.‬‬
‫ה( ההסתברות שהכדור ורוד היא ‪ 0‬כי לא קיים כדור בצבע זה באוהל הכדורים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬חישוב הסתברויות של משחק הסביבון‪ .‬א( ההסתברות שהסביבון יראה את האות‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫פ היא ‪ .‬ב( מאורע זה משלים את מאורע א'‪ ,‬ולכן ההסתברות היא ‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫ד( בשם יערה נמצאת האות "ה"‪ ,‬זו האות היחידה הנמצאת על הסביבון‪ .‬לכן ההסתברות היא‬
‫‪4‬‬
‫‪.‬‬
‫ה( בשם תמר אין אף אות הנמצאת על הסביבון‪ ,‬ולכן ההסתברות היא ‪.0‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬במשימה זו התלמידים צריכים להבין כי אם הוציאו שבעה פתקים‪ ,‬נותרו רק ‪23‬‬
‫פתקים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬א( למייקל ולאביה אותו הסיכוי לזכות‪ .‬ב( להראל ההסתברות לקלוע למטרה‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫היא הנמוכה ביותר‪ .‬ג( ההסתברות שהחץ יפגע במשבצת אדומה היא‬
‫‪25‬‬
‫ד( המשחק לא הוגן‪ ,‬כי הסיכוי לזכות אינו שווה‪.‬‬
‫היסטוריה ‪ ,‬עמוד ‪604‬‬
‫חקירה על זריקת מטבעות‪ .‬המטרה היא לעודד את התלמידים להשתמש בעץ האפשרויות ולהוביל‬
‫אותם לבנות את משולש פסקל‪.‬‬
‫העשרה‪ ,‬עמוד ‪605‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬חקירה של תופעות המתקיימות בו‪-‬זמנית‪ ,‬המובילה ל"חוק הכפל"‪ .‬מספר‬
‫האפשרויות הכולל הוא מכפלת מספר האפשריות הכולל של כל תופעה‪.‬‬
‫התשובה בסעיף א' היא ‪.220‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬כדי למצוא את התשובה הנכונה‪ ,‬על התלמידים לחשב את ההסתברות של כל‬
‫‪3 1‬‬
‫אחד מהילדים לנצח ההסתברות של יוסי לנצח היא = )כפולות ‪ 3‬הן‪ 6 ,3 :‬ו‪.(9 -‬‬
‫‪9 3‬‬
‫‪4‬‬
‫ההסתברות של תומר לנצח היא )המספרים האי‪-‬זוגיים הגדולים מ‪ 1 -‬הם‪ 7 ,5 ,3 :‬ו‪.(9 -‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3 1‬‬
‫ההסתברות של אילן לנצח היא = )המספרים הזוגיים הקטנים מ‪ 8 -‬הם ‪ ,4 ,2‬ו‪.(6 -‬‬
‫‪9 3‬‬
‫לפיכך לתומר יש הסיכוי הגדול ביותר לנצח‪.‬‬
‫אנו שולטים בחומר‪ ,‬עמוד ‪606‬‬
‫חזרה על הנושאים‪ :‬היקף ושטח של עיגול‪ ,‬היקף ושטח של מלבן‪ ,‬מיקום מספרים על ציר‬
‫המספרים‪ ,‬מציאת חלק של כמות‪ ,‬שברים ואחוזים‪.‬‬
‫‪274‬‬
‫עמ' ‪618-607‬‬
‫כה‪ .‬גופים משוכללים‬
‫רקע‬
‫פרק זה‪ ,‬הפרק האחרון בספר‪ ,‬סוגר את השנה בנושא מרתק ‪ -‬הכרת הנושא גופים משוכללים ‪-‬‬
‫שהוא אחד הנושאים היפים ביותר בגיאומטריה בבית הספר היסודי‪ .‬בפרק יש בניות רבות של‬
‫גופים וחקירות שונות‪ .‬עד כה הכירו התלמידים פאונים‪ ,‬והם התמקדו במנסרות ובפירמידות‬
‫ובגופים עגולים כמו גלילים‪ ,‬חרוטים וכדורים‪ .‬בין כל הפאונים ישנה קבוצה מיוחדת של גופים‬
‫משוכללים‪ .‬בגופים משוכללים נתקלים לעתים קרובות במדעים )כמו כּימיה ופיזיקה( ובתכשיטים‬
‫)כמו יהלומים ואבני חן( וגם באמנות ובארכיטקטורה‪ .‬לתכונות של גופים משוכללים יש גם‬
‫חשיבות רבה בגבישים ועוד‪ .‬אפשר להגדיר גוף משוכלל כך‪:‬‬
‫א( הוא פאון קמור;‬
‫ב( כל פאותיו הן מצולעים משוכללים חופפים;‬
‫ג( מספר הפאות הנפגשות בקדקוד שווה בכל הקדקודים‪.‬‬
‫לתלמידים בגיל צעיר קשה להבין את ההגדרה המתמטית‪ .‬על התלמידים להבין מהו גוף משוכלל‪,‬‬
‫כיצד נראים גופים משוכללים‪ ,‬כמה גופים כאלה קיימים‪ ,‬וכיצד לבנות אותם הוחלט ללמד את‬
‫הנושאים הללו בסדר שאינו שגרתי‪ .‬הפרק בנוי כסדרה של פעולות חקירה המובילות להבנת‬
‫המושג גוף משוכלל באופן מלא‪ .‬הוחלט שלא להתחיל את ההיכרות עם גופים משוכללים בהגדרה‬
‫פורמלית‪ ,‬אלא בהגדרה על‪-‬ידי דוגמאות ודוגמאות נגדיות שהתלמידים ימצאו במשך תהליך‬
‫ביצוע המשימות‪.‬‬
‫במהלך הפרק מוצגים לתלמידים גופים משוכללים‪ ,‬כולל שמותיהם והסבר מאילו מצולעים הם‬
‫מורכבים‪ .‬לאחר מכן חוקרים בהדרגה )בכל שיעור נלמדת תכונה אחת בלבד( על הגופים‬
‫המשוכללים ומשווים ביניהם לבין גופים אחרים כדי להגיע להגדרה של גוף משוכלל‪ .‬בסוף הפרק‬
‫יעסקו התלמידים בחקירה של מספר גופים משוכללים ויוודאו שקיימים בסך הכול חמישה סוגים‬
‫של גופים משוכללים‪ :‬ארבעון‪ ,‬קובייה‪ ,‬עשרימון‪ ,‬תמניון ותריסרון‪.‬‬
‫יש להדגיש שני עקרונות חשובים בהוראת פרק זה‪:‬‬
‫ ראשית‪ ,‬חשוב שיהיה בכיתה מגוון של גופים להצגה‪ ,‬וביניהם כל הסוגים של הגופים‬‫המשוכללים‪ .‬אם אין בבית הספר גופים משוכללים‪ ,‬יש לבנות גופים כאלה מקרטון‪ ,‬מבריסטול‬
‫וכדומה או לרכוש אותם‪ .‬הדבר חשוב כיוון שקשה להבין מהציורים בלבד כיצד נראים גופים‬
‫משוכללים‪.‬‬
‫ שנית‪ ,‬חשוב שהתלמידים יבנו בעצמם כל אחד מחמשת הגופים המשוכללים כדי שיכירו את‬‫פריסתם ויחקרו את תכונותיהם‪ .‬קיימות שתי דרכים לבניית גוף משוכלל‪ :‬מפריסת הגוף או‬
‫ממצולעים משוכללים חופפים "בודדים" המשמשים כפאות הגוף‪ .‬כאן נבחרה הדרך השנייה‪,‬‬
‫כלומר התלמידים יחברו מצולעים משוכללים מתאימים ויקבלו פריסה‪ ,‬ומהפריסה הם יבנו את‬
‫הגוף‪ .‬בפרק זה פעילויות רבות של בנייה‪ .‬התלמידים יוכלו להיעזר בצורות המובאות בנספח לפרק‬
‫זה‪ .‬מומלץ מאוד להפנות את התלמידים למאגרי מידע שונים )כמו אינטרנט( כדי לאסוף מידע על‬
‫גופים משוכללים ועל גופים אחרים הדומים להם‪ .‬לאחר מכן אפשר לבקש מתלמידים אחדים‬
‫להציג בפני תלמידי הכיתה את מה שמצאו‪ .‬בניית גופים משוכללים עשויה להיות קשה‬
‫לתלמידים‪ ,‬אך אפשר לבקש מתלמידים המסוגלים לכך‪ ,‬לבנות גופים אלה )וגם גופים אחרים‬
‫שימצאו במאגרי מידע( ולקשט בהם את הכיתה‪.‬‬
‫גופים משוכללים נקראים גם "גופי אפלטון" על‪-‬שם הפילוסוף היווני‪ ,‬אף‪-‬על‪-‬פי שהם היו ידועים‬
‫עוד לפניו‪.‬‬
‫הפרק מתאים לתכנית הלימודים כפעילות נוספת‪.‬‬
‫לפי תכנית הלימודים‪ ,‬מומלץ להקדיש לנושא ‪ 4 - 3‬שעות‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫א‪ .‬להבחין בין גופים משוכללים לבין גופים שאינם משוכללים;‬
‫ב‪ .‬להתנות שם לגופים משוכללים;‬
‫ג‪ .‬לבנות פריסה של גוף משוכלל ממצולעים משוכללים מתאימים;‬
‫ד‪ .‬לבנות גוף משוכלל מפריסה מוכנה;‬
‫ה‪ .‬לחשב כמה פאות נפגשות בכל קדקוד של פאון;‬
‫‪275‬‬
‫ו‪ .‬להבחין בין פאון קמור לבין פאון לא‪-‬קמור;‬
‫ז‪ .‬להגדיר גוף משוכלל;‬
‫ח‪ .‬לבדוק אם גוף הוא גוף משוכלל לפי ההגדרה;‬
‫ט‪ .‬לנמק על‪-‬ידי בנייה או בדרך אחרת מדוע קיימים בסך הכול חמישה סוגים של‬
‫גופים משוכללים‪.‬‬
‫מושגים‬
‫גוף‪ ,‬פאון‪ ,‬פאה‪ ,‬מצולע‪ ,‬מצולע משוכלל‪ ,‬קדקוד‪ ,‬מקצוע‪ ,‬פאון קמור‪ ,‬פאון לא קמור‪ ,‬גוף משוכלל‪,‬‬
‫ארבעון‪ ,‬קובייה‪ ,‬תמניון‪ ,‬תריסרון‪ ,‬עשרימון‪.‬‬
‫אביזרים ואמצעי המחשה‬
‫גופים משוכללים מוכנים‪ ,‬גופים שאינם משוכללים‪ ,‬מצולעים משוכללים לבניית פריסות הגופים‬
‫שבנספח לפרק‪ ,‬פריסות מוכנות לבניית גופים משוכללים שישנן ברשות המורה‪ ,‬מצולעים‬
‫משוכללים מוכנים‪.‬‬
‫הטמעה‬
‫א‪ .‬חזרה על מצולעים משוכללים‪.‬‬
‫התלמידים מקבלים דף שמסורטטים בו מצולעים שונים‪ .‬הם מתבקשים לבחור מבין כל‬
‫המצולעים מצולעים משוכללים בלבד‪ .‬דנים בדרכי הפתרון ובודקים כיצד להשוות בין הצלעות‬
‫לבין הזוויות‪ .‬מטרת הפעילות היא להיזכר בהגדרת מצולע משוכלל )כל הצלעות שוות וכל הזוויות‬
‫שוות( ובשמות המיוחדים של שניים מהם‪ ,‬כלומר משולש שווה‪-‬צלעות וריבוע‪ .‬אפשר גם לסרטט‬
‫על הלוח מצולעים בדיוק האפשרי‪ .‬דוגמאות למצולעים המסורטטים‪:‬‬
‫ב‪ .‬חזרה על מספרים ועל פעולות‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים לפתור תרגילים בדרך הנוחה להם‪ .‬דנים בדרכי הפתרון‪ .‬התרגילים‪:‬‬
‫‪91 17‬‬
‫‪2 2 10‬‬
‫? = ‪100 × ( 0.01 − 0.001) = ? ; × = ? ; − + = ? ; 335 + 78 + 65 = ? ; 0.5 × 13 × 3 × 2‬‬
‫‪17 91‬‬
‫‪7 5 14‬‬
‫וכדומה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חזרה על מציאת אחוז‪ ,‬על מציאת ערך האחוז ועל מציאת כמות יסודית‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים לפתור בעיות כמו )‪) (3) – (1‬לבחירת המורה(‪ .‬אפשר לכתוב את הבעיה על‬
‫הלוח או להקריא אותה בקול רם‪.‬‬
‫‪ (1‬טל ענתה על ‪ 80%‬מכל השאלות שהיו במבחן‪ .‬במבחן היו ‪ 25‬שאלות‪ .‬על כמה שאלות ענתה טל?‬
‫‪ (2‬נתן צבע ‪ 50%‬של הציורים‪ .‬כמה ציורים היה צריך לצבוע‪ ,‬אם נתן צבע ‪ 35‬ציורים?‬
‫‪ (3‬לעמנואל היו ‪ .₪ 90‬הוא שילם ‪ ₪ 45‬תמורת ירקות‪ .‬איזה אחוז מכספו שילם עמנואל?‬
‫פעילויות גילוי‬
‫פעילות א‪ :‬התלמידים מקבלים גופים משוכללים מוכנים‪ ,‬מתבוננים בהם וחוקרים אותם לפי‬
‫קריטריונים משלהם )חקירה "חופשית" לגמרי(‪ .‬דנים בתכונות שהתלמידים ימצאו לגופים אלו‪.‬‬
‫שואלים מה משותף לכל הגופים ובמה הם שונים‪ .‬בתום הדיון צריך לשיים את הגופים‪ ,‬לתאר‬
‫אותם על‪-‬ידי שימוש במושג מצולע משוכלל )אחת התכונות המשותפות של הגופים היא שהם‬
‫בנויים ממצולעים משוכללים(‪.‬‬
‫הערה‪ :‬למשולש משוכלל ולמרובע משוכלל שמות נוספים‪ :‬משולש שווה‪-‬צלעות וריבוע‪.‬‬
‫‪276‬‬
‫למצולעים משוכללים אחרים אין שמות נוספים‪ ,‬פרט ל"מצולע משוכלל"‪ ,‬לדוגמה‪ ,‬מחומש‬
‫משוכלל‪ ,‬משושה משוכלל וכדומה‪.‬‬
‫פעילות ב‪ :‬התלמידים מתבוננים בגוף משוכלל ומנסים להבין כיצד תיראה פריסתוׂ‪ .‬הם‬
‫מתבקשים לסרטט פריסה שנראית להם‪ ,‬ולבנות ממנה גוף‪ .‬מטרות הפעילות‪ :‬א( לחשב את מספר‬
‫הפאות בכל גוף משוכלל; ב( לחקור מהם מצולעים משוכללים‪ ,‬שהם פאות הגוף; ג( להבין כיצד יש‬
‫לחבר את המצולעים כדי לקבל את הפריסה של הגוף‪ .‬דנים בהצעות התלמידים‪ .‬הערות למורה‪:‬‬
‫בין כל הגופים המשוכללים שניים מוכרים לתלמידים‪ :‬ארבעון )פירמידה מרובעת( וקובייה‪ .‬כדאי‬
‫שכל קבוצה תקבל שני גופים משוכללים‪ :‬אחד מהם ארבעון או קובייה והשני אחד משלושת‬
‫הגופים שנותרו‪ .‬כך מבטיחים הצלחה לפחות באחת משתי הפריסות‪.‬‬
‫לקראת פעילויות ג' ‪ -‬ד' מומלץ לחפש באינטרנט או במאגרי מידע אחרים סרטוטים של פאונים‬
‫שהם "חצי‪-‬משוכללים" )גופי כוכב וכדומה‪ ,‬כמו ציור ה' בתרגיל ‪ .(15‬אפשר גם להשתמש בגופים‬
‫כאלה מוכנים‪) .‬אפשר לצלם את הסרטוטים שבנספח שבמדריך לפרק זה‪(.‬‬
‫פעילות ג‪ :‬מבקשים מהתלמידים להתבונן בפאונים קמורים ולא‪-‬קמורים )בלי לומר את המילה‬
‫"קמור"( ולתאר את ההבדלים ביניהם‪ .‬בין הפאונים גם גופים משוכללים‪ .‬דנים בהצעות של‬
‫התלמידים‪ .‬בתום הפעילות מגדירים פאון קמור ופאון לא‪-‬קמור כמו בשיעור‪ .‬מטרת הפעילות‪:‬‬
‫להגיע למסקנה שגופים משוכללים הם פאונים קמורים‪.‬‬
‫הערה‪ :‬לעתים קוראים ל"מצולע לא‪-‬קמור" "מצולע קעור"‪.‬‬
‫פעילות ד‪ :‬התלמידים מתבוננים בגופים משוכללים מוכנים או באלה שבנו בעצמם וכן בפאונים‬
‫האחרים ומנסים להגדיר בדיוק מהו גוף משוכלל‪ ,‬על‪-‬ידי חיפוש תכונות שבלעדיהן הגוף לא יהיה‬
‫משוכלל‪.‬‬
‫השיעור בספר לתלמיד‬
‫שימו לב‪ ,‬בפרק זה אין צורך בעמודים "לעלות על הגל" לחזרה על החומר הנלמד לקראת ההקניה‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:607‬‬
‫מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי א' ו‪ -‬ב' לפני השיעור‪ .‬בשיעור זה מלמדים את התלמידים על‬
‫חמישה סוגים של גופים משוכללים‪ .‬אין מגדירים כעת מה זה גוף משוכלל בהגדרה פורמלית‪ ,‬אלא‬
‫בעזרת דוגמאות בלבד‪ .‬חשוב להצטייד בגופים מוכנים או לבקש מההורים לבנות אותם מחומר‬
‫קשה )כמו בריסטול‪ ,‬קרטון‪ ,‬פלסטיק וכדומה(‪ .‬לבניית הגופים אפשר להיעזר בפריסות שבהמשך‬
‫הפרק או במאגרי מידע‪ .‬חשוב לשיים את הגופים ולכתוב את שמותיהם על הלוח‪ ,‬כי שמות אלו‬
‫חדשים לתלמידים‪ ,‬פרט לשם "קובייה"‪.‬‬
‫שימו לב‪ ,‬שבכל המשימות אחרי שיעור זה נעזרים בגזירת מצולעים מהנספח‪ .‬הדריכו את‬
‫התלמידים שלא יפרקו את הגופים שיבנו‪ ,‬עד תום הלמידה בפרק זה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :1‬משימה זו היא שלב הכנה לבניית קובייה‪ ,‬אחד הגופים המשוכללים‪ .‬התלמידים‬
‫מתבקשים לבדוק אם הריבוע מתאים להגדרת מצולע משוכלל‪ .‬גם פעילות ההטמעה א' עוסקת‬
‫בנושא זה‪ .‬ההסבר האפשרי של התלמידים‪ :‬ריבוע הוא מרובע משוכלל כי כל צלעותיו שוות‬
‫באורכן וכל זוויותיו שוות במידתן )‪ .(900‬למשולש משוכלל שם המוכר לתלמידים‪ :‬משולש שווה‪-‬‬
‫צלעות‪ .‬שימו לב‪ ,‬התלמידים יכולים להגיע למסקנה שמשולש משוכלל )כל צלעותיו שוות באורכן‬
‫וכל זוויותיו שוות במידתן( הוא משולש שווה‪-‬צלעות )כל הצלעות שוות(‪ ,‬אך אין להם ידע מספיק‬
‫כדי לנמק את ההפך‪ ,‬שמשולש שווה‪-‬צלעות הוא משולש משוכלל‪ ,‬כי הם אינם יודעים )לפי תכנית‬
‫הלימודים( שבמשולש שווה‪-‬צלעות כל הזוויות שוות )‪ .(600‬די בכך שיבינו שמשולש משוכלל הוא‬
‫משולש שווה‪-‬צלעות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬משימה זו מוכרת לתלמידים מכיתות קודמות‪ ,‬כאשר הם בנו קובייה‪ ,‬וגם‬
‫מלימודיהם על המנסרות ועל הפירמידות סביר שכולם יתמודדו עם המשימה‪ .‬ההבדל העיקרי בין‬
‫משימה זו לבין משימות דומות שנעשו בעבר‪ ,‬בא לידי ביטוי בשימוש במונחים של גופים‬
‫משוכללים ובבניית הפריסה ממצולעים יחידים‪ .‬התלמידים "מגלים" קובייה בתום הבנייה‪ .‬אפשר‬
‫לצרף ריבועים בעזרת סרט דביק‪ .‬חשוב לעודד את התלמידים להתגבר על הבעיות המוטוריות‬
‫שעשויות להתעורר‪.‬‬
‫‪277‬‬
‫משימה מס' ‪ :3‬כמו במשימה הקודמת התלמידים בונים גוף משוכלל שבעצם מוכר להם‬
‫כפירמידה משולשת‪ .‬חשוב לדון עם התלמידים בשאלה מהו משולש משוכלל‪ ,‬ולבדוק אם‬
‫המשולשים שבנספח הם משולשים משוכללים‪ .‬שם הגוף המתקבל בתום הבנייה הוא "ארבעון"‪.‬‬
‫התלמידים יכולים להשוות בין הגוף שהם בנו‪ ,‬לבין הארבעון המוכן שהם חקרו )שישנו בכיתה(‪,‬‬
‫במשך פעילות הגילוי‪ ,‬וגם להתבונן בסרטוט שבשיעור ועל‪-‬סמך זה להגיע לשם הגוף‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :4‬בניית תמניון משמונָה משולשים משוכללים‪ .‬התלמידים כבר וידאו שהמשולשים‬
‫שבנספח הם משולשים משוכללים‪ .‬כמו במשימה הקודמת הם משווים בין הגוף שהם בנו‪ ,‬לגוף‬
‫דומה וגם לסרטוט שבשיעור‪ ,‬ועל‪-‬סמך ההשוואה הם קוראים לגוף בשמו‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :5‬כאן בונים עשרימון באופן דומה לבניות הקודמות‪ .‬גם במשימה זו יינתן שם הגוף‬
‫בעקבות ההשוואה המתאימה )ראו הערות למשימות קודמות(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :6‬הכנה לבניית תריסרון‪ .‬תריסרון ייבנה במשימה הבאה ממחומשים משוכללים‪,‬‬
‫וכאן על התלמידים לוודא שהמחומשים החופפים שבנספח הם אמנם משוכללים‪ .‬נאמר‬
‫לתלמידים מראש‪ ,‬שכל המחומשים הם מחומשים חופפים‪ ,‬וכך אם הם מוודאים שמחומש אחד‬
‫הוא מחומש משוכלל‪ ,‬כל המחומשים שבנספח משוכללים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :7‬התלמידים בונים תריסרון בדומה לבניות גופים משוכללים אחרים )ראו הערות‬
‫למשימות ‪ .(5 - 2‬שם הגוף יינתן לאחר ההשוואה בינו לבין גוף דומה מוכן ולבין הסרטוט‬
‫שבשיעור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :8‬התלמידים בנו דוגמה לכל אחד מחמשת הגופים המשוכללים‪ .‬כעת עליהם‬
‫להתבונן בגופים שהם בנו‪ ,‬ולהתחיל לחקור את התכונות של הגופים האלו‪ .‬קודם כול‪ ,‬בודקים אם‬
‫כל גוף הוא פאון‪ .‬כך הם מתחילים לציין את התכונות כדי להגדיר גוף משוכלל‪" :‬גוף משוכלל הוא‬
‫פאון ‪ ."...‬על התלמידים למלא את הטבלה שבנספח )הכותרות מובאות במשימה(‪ .‬אין צורך‬
‫בהעתקתה‪ ,‬אלא אפשר להשלימה בנספח‪ .‬בהמשך נצטרך לאסוף מידע מכל הטבלאות‪ ,‬ולכן יש‬
‫לשמור את הטבלאות הממולאות‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:609‬‬
‫בשיעור זה לומדים למנות את מספר פאות הפאון ה"נפגשות" בקדקוד‪ .‬בהמשך נראה שהדבר‬
‫חשוב לקבלת גוף משוכלל‪ .‬מומלץ לחלק לתלמידים פאונים שונים ולבקש מהם למנות את מספר‬
‫הפאות תחילה בקדקוד אחד ובהמשך בכל הקדקודים‪ .‬בין הפאונים יכולים להיות גם גופים‬
‫משוכללים‪ .‬חשוב לראות שלעתים מספר הפאות ה"נפגשות" בקדקוד‪ ,‬שווה בכל הקדקודים‬
‫)לדוגמה‪ ,‬בכל גוף משוכלל אך גם תיבה שהיא אינה קובייה(‪ ,‬ולעתים מספר זה שונה מקדקוד‬
‫לקדקוד )או שונה מקדקוד אחד ושווה בקדקודים האחרים‪ ,‬לדוגמה‪ ,‬פירמידה מרובעת(‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :9‬שימו לב שאין צורך בהעתקת הטבלה‪ ,‬כיוון שהיא מובאת בנספח למילוי על‪-‬ידי‬
‫התלמידים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :10‬משימה פתוחה‪ .‬נדרש עיון במאגרי מידע‪ .‬המקור של כל אחד משמות הגופים‬
‫המשוכללים )פרט לקובייה( הוא במספר פאות הגוף‪ .‬ארבעון – ‪ 4‬פאות‪ ,‬תמניון – ‪ 8‬פאות )כמו‬
‫מתומן בין המצולעים(‪ ,‬עשרימון – ‪ 20‬פאות‪ ,‬תריסרון – ‪ 12‬פאות )מקור המילה תריסר בארמית(‪.‬‬
‫מעניין שמקור השם קובייה הוא בתנ"ך )אבן משחק(‪ .‬הכוונה בסעיף ב' לתת לקובייה שם בדומה‬
‫לגופים משוכללים אחרים‪ ,‬כלומר להתייחס למספר פאותיה‪ ,‬שהן שש‪ .‬חשוב לאפשר לתלמידים‬
‫לבחור מילה מתאימה‪ ,‬גם אם היא אינה קיימת במציאות‪ ,‬לדוגמה "ששימון"‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :11‬במשימה זו מובאת דוגמה של פאון )תיבה( שהוא אינו גוף משוכלל‪ ,‬אך גם בו‬
‫מספר שווה של פאות הנפגשות בכל קדקוד‪ .‬כפי שראינו קודם לכן‪ ,‬תכונה זו היא הכרחית כדי‬
‫שפאון יהיה גוף משוכלל‪ .‬אך כעת אפשר לראות שהיא אינה מספקת לקיומו של גוף משוכלל‪ ,‬ויש‬
‫למצוא תכונות נוספות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :12‬מטרת הפעילות היא כמטרת המשימה הקודמת )ראו הערות למשימה הקודמת(‪.‬‬
‫פריסת התיבה מובאת בנספח‪ .‬אם לתלמידים יש תיבה מוכנה‪ ,‬אפשר לוותר על הבנייה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :13‬משימה זו וגם המשימה הבאה עוסקות בחיפוש תכונות הכרחיות לגוף משוכלל‪.‬‬
‫חשוב שהתלמידים יבנו את שני הגופים שפריסותיהם מובאות במשימה )גוזרים משולשים‬
‫מהנספח ומדביקים אותם זה לזה כך שתתקבל הפריסה(‪ .‬התכונה שנחקרת כאן היא‪" :‬פאות של‬
‫‪278‬‬
‫גוף משוכלל הן מצולעים משוכללים חופפים"‪ .‬כל הפאות של שני פאונים אלו הן מצולעים‬
‫משוכללים חופפים )משולשים(‪ ,‬אך הפאונים אינם גופים משוכללים‪ .‬חשוב לדון עם התלמידים‬
‫בשאלה מדוע הפאונים אינם גופים משוכללים )כיוון שמספר הפאות הנפגשות בכל קדקוד אינו‬
‫שווה(‪ .‬על‪-‬פי דוגמאות אלה‪ ,‬גם התכונה‪" :‬פאות של גוף משוכלל הן מצולעים משוכללים‬
‫חופפים"‪ ,‬היא הכרחית‪ ,‬אך אינה מספקת כדי להגדיר גוף משוכלל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :14‬התלמידים יראו תיאור של אותם פאונים כמו במשימה הקודמת‪ .‬אך הפעם‬
‫הפאונים מתקבלים בעזרת בניית שני פאונים אחרים )פירמידות(‪ .‬נוסף על המטרה שהוזכרה‬
‫במשימה הקודמת‪,‬מטרה נוספת במשימה זו היא לגוון את הדרכים ליצירת גופים‪ ,‬כלומר לא‬
‫ליצור גופים רק בעזרת בנייה מפריסה‪ ,‬אלא גם בעזרת בנייה מגופים מוכנים אחרים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :15‬במשימה זו מתרגלים מנייה של פאות ה"נפגשות" בקדקוד של פאון בסרטוט‪,‬‬
‫ולא בגוף בנוי‪ .‬דונו עם התלמידים בקריאת הסרטוטים‪ .‬בסרטוט ב' – ‪ 3‬פאות נפגשות בנקודה ‪,A‬‬
‫בסרטוט ה' – ‪ 5‬פאות נפגשות בנקודה ‪.A‬‬
‫משימה מס' ‪ :16‬סרטוטים ג'‪ ,‬ה'‪ ,‬ו'‪ .‬כדאי לבקש מתלמידים שטעו‪ ,‬לנמק את תשובותיהם‪ .‬אם‬
‫תלמידים טוענים שהפירמידה בנויה ממשולשים לא משוכללים‪ ,‬יש לקבל נימוק זה כנכון‪ ,‬כי‬
‫מהסרטוט אי‪-‬אפשר לדעת בוודאות שכל המשולשים הם משולשים משוכללים חופפים‪ .‬בדיון‬
‫אפשר להוסיף שגופים א'‪ ,‬ב' ו‪ -‬ד' בנויים ממצולעים משוכללים חופפים‪ ,‬ולשאול את התלמידים‬
‫על הגופים האלה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :17‬משימה זו היא סיכום של כל השיעורים שנלמדו עד כה‪ .‬התלמידים ראו‬
‫דוגמאות של גופים משוכללים‪ ,‬בנו אותם מפריסותיהם וחקרו את תכונותיהם‪ .‬התלמידים ראו‬
‫שגוף משוכלל הוא פאון שחייב להיבנות ממצולעים משוכללים חופפים‪ ,‬ומספר המצולעים האלה‬
‫)הפאות( הנפגשים בקדקוד‪ ,‬צריך להיות שווה בכל הקדקודים‪ .‬במשימה זו עונים על השאלה‪:‬‬
‫"האם כל התנאים האלה מספיקים כדי לקבל גוף משוכלל?" מהתמונה המובאת בתרגיל אפשר‬
‫לראות שהתשובה לשאלה זו היא שלילית‪ ,‬וצריך להמשיך לחפש תכונות נוספות‪ .‬הערה‪ :‬הגופים‬
‫המסורטטים בשיעור הם שתי דוגמאות ממגוון גופים שאינם משוכללים‪ ,‬הידועים בשם "גופי‬
‫כוכב"‪ .‬בניית גופים אלה תעשיר את הידע של התלמידים בנושא גופים‪ .‬אפשר גם להפנות את‬
‫התלמידים למאגרי מידע שונים לחיפוש גופים נוספים כאלה‪ .‬אם התלמידים מסוגלים ומביעים‬
‫רצון לבנות גופים שונים‪ ,‬מומלץ לעודד אותם לכך‪ ,‬ולמשל‪ ,‬לומר להם כי יקבלו ציון ‪ 100‬תמורת‬
‫כל גוף שיבנו‪) .‬אפשר לשמור את הגופים בכיתה ולהשתמש בהם גם בשנים הבאות‪ (.‬כמובן‪ ,‬מדובר‬
‫בבנייה מחומרים המחזיקים מעמד לאורך שנים‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪ :612‬פאונים קמורים ופאונים לא‪-‬קמורים‪.‬‬
‫שימו לב שבכל פאון מתקיימת אחת מהתכונות שכבר הוזכרו‪ .‬את כל הפאונים אפשר למיין לשתי‬
‫קבוצות‪ :‬פאונים קמורים ופאונים שאינם קמורים‪ .‬גוף משוכלל חייב להיות פאון קמור‪ .‬זו‬
‫התכונה האחרונה של גוף משוכלל‪ ,‬שהתלמידים מגלים‪ .‬קיימות הגדרות שונות לפאון קמור‪ .‬כאן‬
‫נבחרה הגדרה הפשוטה ביותר ליישום על‪-‬ידי התלמידים‪.‬‬
‫משימות מס' ‪ :19-18‬חוקרים אם קובייה ותיבה הן פאונים קמורים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :20‬גליל אינו פאון‪ ,‬לכן אין טעם לשאול אם הוא פאון קמור‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :21‬כל פירמידה משולשת היא פאון קמור לפי ההגדרה‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :22‬פאונים קמורים‪ :‬ב'‪ ,‬ג'‪ ,‬ד'‪ ,‬ז'‪ ,‬ח'‪ .‬פאונים לא‪-‬קמורים‪ :‬א' ו‪ -‬ו'‪.‬‬
‫קטע השיעור בעמ' ‪:613‬‬
‫בשיעור זה מובאת ההגדרה המילולית של גוף משוכלל‪ .‬בכל השיעורים ובכל המשימות הוכנו את‬
‫התלמידים להבנת הגדרה זו ללא קשיים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :23‬כעת על התלמידים לחקור כל גוף משוכלל שהם בנו עד כה‪ ,‬לפי ההגדרה‬
‫שבשיעור‪ .‬כמו קודם לכן אין צורך בהעתקת הטבלה‪ ,‬כיוון שאפשר למלא אותה בספר‪.‬‬
‫‪279‬‬
‫משימה מס' ‪ :24‬א( התלמידים כבר ראו שפירמידה מרובעת איננה גוף משוכלל‪ .‬כעת עליהם‬
‫לנמק זאת על‪-‬סמך ההגדרה של גוף משוכלל‪ .‬ב( תיבה שהיא לא קובייה אינה גוף משוכלל‪ ,‬כי היא‬
‫אינה מורכבת ממצולעים משוכללים‪ .‬ג( כדור נראה משוכלל מאוד‪ ,‬אך גם הוא אינו גוף משוכלל‬
‫כי הוא אינו פאון‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :25‬שני גופים אלה כבר נחקרו על‪-‬ידי התלמידים‪ ,‬אך הפעם מבקשים לחקור אותם‬
‫לפי ההגדרה הפורמלית‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :26‬גוף משוכלל הוא פאון קמור‪ .‬כאמור‪ ,‬זוהי התכונה האחרונה המספיקה להגדרה‬
‫חד‪-‬משמעית של גוף משוכלל‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :27‬משימה פתוחה ומרתקת‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :28‬משימה זו וגם ארבע המשימות הבאות עוסקות בחקירה האחרונה של הפרק‪:‬‬
‫"כמה סוגים של גופים משוכללים קיימים?" אפשר להוכיח שקיימים בסך הכול חמישה סוגים של‬
‫גופים משוכללים‪ ,‬שהם הגופים המובאים בשיעור הראשון של הפרק‪ .‬ההוכחה הפורמלית אינה‬
‫קשה ביותר‪ ,‬אך לתלמידים של כיתה ו' עדיין אין ידע מספיק כדי לבצע אותה‪ .‬הוחלט להוביל את‬
‫התלמידים למסקנה חשובה זו על‪-‬ידי ההמחשה‪ .‬התלמידים מתבקשים לגזור מהנספח את‬
‫המצולעים המתאימים ולבצע את החקירה שלב אחר שלב‪ .‬מומלץ לעבוד בקבוצות או בזוגות כדי‬
‫למנוע שעמום וייאוש מגזירות רבות ומסידור המצולעים‪ .‬הדריכו את התלמידים שלא יפרקו את‬
‫הסידורים‪ ,‬כדי שיוכלו לרשום מסקנות אחר‪-‬כך‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :29‬אפשר להפסיק את החקירה‪ ,‬כי אי‪-‬אפשר לסדר משושים סביב קדקוד אחד כדי‬
‫לקבל קדקוד של פאון‪) .‬סכום כל הזוויות סביב קדקוד צריך להיות פחות מ‪ ,3600 -‬וסביב הקדקוד‬
‫צריכים להיות לפחות שלושה מצולעים כדי שיהיה קדקוד של פאון‪(.‬‬
‫משימה מס' ‪ :30‬בשלב זה מרכזים את כל תוצאות החקירה שיכולות להתקבל מסידורים שבנו‬
‫התלמידים במשימה ‪.30‬‬
‫משימה מס' ‪ :31‬כעת מעתיקים לטבלה את המקרים מהטבלה במשימה ‪ ,32‬שבהם התקבלה‬
‫התשובה "כן" )מסומנת ב‪ (3-‬לשאלה‪" :‬האם אפשר לסדר מצולעים משוכללים חופפים סביב‬
‫קדקוד משותף?"‪.‬‬
‫המצולעים הם משולשים משוכללים )‪ 4 ,3‬או ‪ ,(5‬מרובעים משוכללים שהם ריבועים )‪,(3‬‬
‫ומחומשים משוכללים )‪ .(3‬בסך הכול יש חמש אפשרויות‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :32‬המסקנה היא שקיימים חמישה סוגים של גופים משוכללים‪.‬‬
‫מה למדנו? עמ' ‪:615‬‬
‫משימה ‪ :33‬על התלמידים להתבונן באיורים כדי לזהות את הגופים‪.‬‬
‫היסטוריה‪ ,‬עמ' ‪:617‬‬
‫בחלק ההיסטורי מלמדים את התלמידים על היבטים שונים של גופים משוכללים ומראים להם‬
‫את הקשר בין גופים משוכללים דואליים‪.‬‬
‫משימה מס' ‪ :2‬בנספח שלהלן מובאים סרטוטים של גופי ארכימדס שונים שהם לא משוכללים‪.‬‬
‫אנו שולטים בחומר עמ' ‪:618‬‬
‫חזרה על חיבור שברים ועל תכונות של גופים )לא מרובעים(‬
‫‪280‬‬
281
282