פרק ראשון

‫מדריך למורה‬
‫לכיתה ה'‬
‫משתלם בשבר‬
‫העשרוני‬
‫לכיתה הטרוגנית‬
‫חנה מן חיה ברג‬
‫‪‬‬
‫כל הזכויות שמורות‬
‫להוצאת "חניה" ‪03-6742382 03-5708839‬‬
‫אין לשכפל‪ ,‬להעתיק‪ ,‬לצלם‪ ,‬להקליט‪ ,‬לתרגם‪ ,‬לאחסן במאגר מידע‪,‬‬
‫לשדר או לקלוט בכל אמצעי אלקטרוני‪ ,‬אופטי או מכני‪,‬‬
‫או אחר‪ ,‬כל חלק שהוא מהחומר‪ ,‬שבספר זה‪.‬‬
‫שמוש מסחרי מכל סוג שהוא בחומר הכלול בספר זה אסור בהחלט‪,‬‬
‫אלא ברשות מפורשת בכתב מהמו"ל‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫חובר ע"י‬
‫ח‪.‬מן‬
‫ח‪.‬ברג‬
‫הדרכה‬
‫ד"ר נעמי תעיזי‬
‫קריאה והערות‬
‫עטרה לבקוביץ‪-‬‬
‫מד"פית ומרכזת מרפ"ד‬
‫למתמטיקה‬
‫עיצוב גרפי‬
‫מירי ברג‬
‫בצוע גרפי‬
‫ג‪ .‬יהודה‬
‫מונטז' ולוחות‬
‫"סקלא" דוידוביץ‬
‫הדפסה וכריכה‬
‫דפוס רועי‬
‫הוצאה לאור‬
‫"חניה בע"מ"‬
‫הודפס בשנת‬
‫‪1999‬‬
‫‪3‬‬
‫פרקי הלימוד‬
‫פרק א' הכרות עם העשרוני‪10 ---------‬‬
‫פרק ב' השוואה בעשרוניים‪56 ---------‬‬
‫פרק ג' מפשוט לעשרוני‪84 ------------‬‬
‫פרק ד' חיבור וחיסור בעשרוני‪108 ------‬‬
‫פרק ה' הגדלות והקטנות‪156 ----------‬‬
‫פרק ו' ממוצע‪167 --- ----------------‬‬
‫פרק ז' פעולות במספרים גדולים‪194 ----‬‬
‫פרק ח' פעילויות בחקר נתונים‪228 -----‬‬
‫לכיתה הטרוגנית‬
‫חנה מן חיה ברג‬
‫הספר תואם את תוכנית משרד החינוך‬
‫בהוראת השבר העשרוני לכיתה ה'‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫רציונל לספר‬
‫לימודי המתמטיקה בבית הספר היסודי הם חוליה חשובה ברצף לימודי המתמטיקה המתחיל בגן‬
‫הילדים והמסתיים עם סיום התיכון‪.‬‬
‫גישת הוראת המתמטיקה בגן הילדים היא גישה סביבתית‪ ,‬שבסיסה – היכרות עם מושגים מתמטיים‬
‫מהסביבה הקרובה של הילד‪ ,‬ופיתוח מיומנויות זיהוי והבחנה בסיסיות‪.‬‬
‫בבית הספר העל יסודי אליו עתיד הילד להגיע לאחר סיום בית הספר היסודי‪ ,‬הגישה ללימוד‬
‫המתמטיקה היא מופשטת יותר‪ ,‬המבוססת על פיתוח מיומנויות העבודה עם אובייקטים מופשטים‬
‫וסימבולים‪ ,‬תוך שימוש בכללי היסק לוגיים פורמליים‪.‬‬
‫אי לכך‪ ,‬לימוד המתמטיקה בבית הספר היסודי מהווה חוליה מקשרת חשובה מאד בהתפתחות היכולת‬
‫המתמטית של הילד‪ .‬על העוסקים בחינוך המתמטי של תלמידי בית הספר היסודי לשלב בהוראתם גם‬
‫את הגישה הסביבתית וגם לתת הקדמה והגדרות מושגים אשר לא יסתרו את הנלמד בהמשך‪.‬‬
‫אחת המטרות המרכזיות של החינוך המתמטי היסודי היא רכישת מיומנויות חישוב‪ ,‬התפתחות והפשטה‬
‫הדרגתית של מושג המספר‪ ,‬פיתוח יכולת להתמודד עם מספרים שאינם טבעיים‪ ,‬ועם כללי חשבון‬
‫המבוססים על הפשטה זו‪.‬‬
‫בנוסף לכך‪ ,‬על תלמידי בית הספר היסודי ללמוד מושגים ומיומנויות גיאומטריות שיאפשרו להם מעבר‬
‫עתידי לגיאומטריה דדוקטיבית ולתחומים הסמוכים לגיאומטרית המישור כמו גיאומטריה אנליטית‪,‬‬
‫טריגונומטריה‪ ,‬הנדסת המרחב‪.‬‬
‫כבר בכיתות היסוד על המורים לעשות הרבה כדי ללמד את התלמידים להתבונן ולהשוות‪ ,‬למצוא את‬
‫הדומה והשונה‪ ,‬לנתח‪ ,‬לבצע הכללה‪ ,‬הפשטה וקונקרטיזציה‪.‬‬
‫בנוסף לכך‪ ,‬על תהליך ההוראה בבית הספר היסודי להיבנות מתוך התחשבות בשונות התלמידים בכיתה‪,‬‬
‫בקצב התפתחותם‪ ,‬בהתפתחותם הלשונית‪ ,‬הרגשית והשכלית‪ .‬פירוש הדבר שיש ללמד מתמטיקה במגוון‬
‫רמות ושיטות כך שניתן יהיה להתאים את ההוראה לצורכי התלמידים המגוונים‪ .‬בכך ניתן יהיה להימנע‬
‫מהתפתחות חרדת המתמטיקה‪ ,‬היחס השלילי אליה כאל מקצוע מעיק ומאיים‪.‬‬
‫הפסיכולוגים טוענים שרכישה מלאה של החומר הנלמד מתקיימת רק כאשר מתאפשרת לתלמיד פעילות‬
‫עצמית ויישום הנלמד בסיטואציות שונות )ראה למשל ‪ . ( Ausubel‬בנוסף לכך‪ ,‬התפתחות הידע המתמטי‬
‫היא בלתי נפרדת מהתפתחות השפה‪ ,‬הן השפה הדבורה וכתובה של הילד‪ ,‬והן השפה המתמטית‪ ,‬על‬
‫כלליה וסימניה‪ .‬תהליך זה צריך להשתקף בפעילות יומיומית בשיעורי המתמטיקה‪ :‬על הילדים לפתח‬
‫את יכולת הטיעון וההנמקה שלהם‪ ,‬את יכולת ההבעה המתמטית השקולה‪ ,‬וליישם אותם גם‬
‫במתמטיקה וגם מחוצה לה‪.‬‬
‫שיטת הוראה המוצעת בספר זה אמורה לענות על הדרישות האלה‪ .‬לצורך זה במהלך כל יחידה הנקראת‬
‫שיעור משולבות דרכי הוראה שונות המאפשרות לתלמידים עם סגנונות למידה שונים להתחבר לנעשה‬
‫בכיתה‪.‬מסגרת זו גם נוחה למורה ככלי לארגון הכיתה ללמידה‪ .‬כל יחידה‪ -‬שיעור‪ -‬בנויה לפי מטרה‬
‫מוגדרת הנגזרת ממקום החומר הנלמד ברצף הלמידה‪ .‬ללא תלות בתכני הלימוד של היחידות‪ ,‬לכולן‬
‫מבנה דידקטי אחיד‪.‬‬
‫‪5‬‬
:‫שלבי ההוראה המקובלים בספר‬
.‫ פעילות קצרה לאזכור ולרענון החומר הנלמד‬:‫פינג – פונג‬
.‫ סיטואציה חדשה קלה‬+ ‫ תרגול ישיר‬:‫עבודה בקבוצות‬
.‫ הקנייה שיטתית מורחבת‬,‫ קישור והעמקה של החומר הנלמד‬:‫פעילות המורה‬
‫ בשלב זה מוצעות משימות המיועדות לאוכלוסיות שונות של‬,‫ תרגול של החומר הנלמד‬:‫למידה יחידנית‬
.‫תלמידים‬
.‫שיעורי הבית‬
:‫ביבליוגרפיה‬
.‫ חיפה‬,‫ אח‬,‫ למידה שיתופית בכיתה‬.(1987) .‫ א‬,‫ פוקס‬,.‫ ר‬,'‫ לזרוביץ‬-‫ הרץ‬.1
.‫ יהודה‬-‫ אבן‬,‫ רכס‬,‫ שיטות הוראה לכיתה הטרוגנית‬.(1994) .‫ר‬,‫ ארי‬-‫ בן‬,.‫ י‬,'‫ ריץ‬.2
Routledge Dunne, E., Benett, S.N. (1995). Talking and learning in groups. London: .3
‫ הטכניון‬.‫ הילה והוראת הגיאומטריה‬-‫ תאורית ואן‬.‫(נ‬1996) ,(‫ נ' )עורכת‬,‫ דורמולן אברהמי‬-‫ ואן‬.4
.‫ חיפה‬,‫ התרבות והספורט‬,‫ומשרד החינוך‬
.(‫)דוח מחקר‬
TIMSS 1999 ‫ המחקר הבינלאומי במתמטיקה ובמדעים‬.(2000) .‫ ר‬,‫ זוזובסקי‬.5
Available: http://wwwl.education. Gov.il/scientist/times.htm .6
.‫ אביב‬-‫ תל‬,‫ מכון מופ"ת‬.‫ מתמטיקה – מחקר והוראה‬.(1996) ,.‫ ד‬,‫ תירוש‬.7
8. Ausubel, D.P. (1968). Educational Psychology: A cognitive view. New York:
Holt, Rinehart, and Winston.
9. Ball, D.L. & Bass, H. (2000a). Interweaving content and pedagogy in teaching and
learning to teach: Knowing and using mathematics. In J. Boaler
(Ed.), Multiple perspectives on the teaching and learning of mathematics (pp. 83 – 103)
Greenwich, CT: JAI/ Ablex.
10. Ball, D.L. & Bass, H. (2000B). Making believe: The collective construction of
public mathematical knowledge. In the elementry classroom. In D. Phillips
(Ed.), Yearbook of the National Society for the Study of Education.
constructivism in education (pp. 193 – 224). Chicago: University of Chicago Press.
6
‫הכרות עם הספר‬
‫בספר סמלים‪ ,‬המחלקים את השיעור ובונים אותו‪.‬‬
‫עבודה בקבוצות‬
‫עבודה בשיתוף עם המורה‬
‫עבודה יחידנית‪ ,‬פרטנית‬
‫"פינג – פונג" לאזכור ולרענון‬
‫משחק‬
‫שעורי בית‬
‫להלן הסמלים‪ ,‬המופיעים בעבודה היחידנית ובשעורי הבית‪.‬‬
‫משימה קלה‬
‫משימה קשה‬
‫משימה המיועדת לכולם‬
‫משימה לא קשה כל כך‬
‫משימה לא קלה כל כך‬
‫משימה בינונית‬
‫‪7‬‬
‫הקדמה‬
‫מאין באו המספרים העשרוניים?‬
‫החישובים עם שברים פשוטים הופכים להיות מאוד מורכבים ומסובכים ברגע שהמכנה של השבר קצת‬
‫גדל‪ .‬הבעיה העיקרית במקרה זה היא‪ ,‬כמובן‪ ,‬מציאת מכנה משותף‪ .‬בעיה זו נובעת מכך שהמכנים‬
‫יכולים להיות מספרים כלשהם אשר אין שום שיטתיות בבחירתם‪ .‬מכאן בא הניסיון לבחור את המכנים‬
‫לא באופן שרירותי אלא באופן שיטתי ומכוון‪.‬‬
‫לרעיון של המספרים העשרוניים הגיעו מתמטיקאים בזמנים שונים באסיה ובאירופה‪.‬‬
‫היווצרות והתפתחות השברים העשרוניים במספר מדינות באסיה הייתה קשורה עם מדע על המידות‬
‫והמדידות‪ .‬כבר במאה השנייה לפני הספירה עבדו האנשים עם מערכת עשרונית של מדידות אורך‪.‬‬
‫במאה השלישית לפני הספירה‪ ,‬בערך‪ ,‬התפשטה צורה זו של מדידות גם במדידות משקל ונפח‪ ,‬אז נוצר‬
‫המושג של השבר העשרוני‪ ,‬אך הוא היה צמוד רק לתורת המדידות‪ .‬כלומר‪ ,‬בהתחלה היו השברים‬
‫העשרוניים כשברים קונקרטיים‪ :‬כעשירית‪ ,‬מאית וכו' של מידות גדולות יותר‪ .‬רק בשלב מאוחר יותר‬
‫התחילו המספרים העשרוניים את החיים העצמאיים‪.‬‬
‫השימוש בנקודה העשרונית כסימן להפרדה בין החלק השלם לבין החלק השברי נוצר בעקבות‬
‫המתמטיקאים של סין העתיקה‪ .‬בסין הפרידו בין שני החלקים של המספר העשרוני באמצעות אחד‬
‫הסימנים בכתב החרטומים שמשמעותו "נקודה"‪ .‬אבל גם בסין העתיקה בימי קדם ובימי הביניים לא‬
‫הייתה עצמאות מתמטית למספרים העשרוניים‪ ,‬הם היו בדרך זו או אחרת קשורים לתורת המידות‬
‫והמדידות‪.‬‬
‫תוקף ומשמעות מתמטית טהורה מקבלים המספרים העשרוניים בשנות ה‪ 20 -‬של המאה ה‪15 -‬‬
‫בעבודותיו של מתמטיקאי מפרס אל‪ -‬קשי )‪(Jamshid Masud al- Kashi‬‬
‫ללא שום קשר לעבודותיו של אל‪ -‬קשי בשנות ה‪ 80 -‬של המאה ה‪" 16 -‬התגלו" המספרים העשרוניים‬
‫מחדש באירופה על ידי מתמטיקאי סימון סטבין )‪ ( Stevin Simon‬מנידרלנד‪.‬‬
‫גם באסיה וגם באירופה המתמטיקאים הגיעו למספרים העשרוניים לפי האנלוגיה עם השברים על בסיס‬
‫ספירה ‪ 60‬וכך פיתחו תיאוריה של מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫בספר זה יכירו התלמידים את המספרים העשרוניים‪.‬‬
‫הכרת המספרים העשרוניים‬
‫היכרות ראשונה עם מספרים עשרוניים על פי תוכנית הלימודים נעשית בכיתה ה'‪ .‬בכיתה זו על הילדים‬
‫להכיר את המספרים העשרוניים כמקרה פרטי של השברים הפשוטים כלומר כדרך לרישום שבר שמכנהו‬
‫‪ .10n‬על התלמידים להבין כי שני התנאים המאפיינים את השבר העשרוני הם‪:‬‬
‫‪ .1‬שבר שמכנהו ‪. 10n‬‬
‫‪ .2‬שבר שרשום בצורה מסוימת לדוגמה‪.0.234 :‬‬
‫‪8‬‬
‫היתרון הגדול של המספרים העשרוניים הוא הרישום שלהם באמצעות שיטת הפוזיציה‪ .‬רישום כזה‬
‫מאפשר להשתמש באלגוריתמים נוחים יותר לשימוש מאשר האלגוריתמים המיועדים לשברים פשוטים‪.‬‬
‫על פי תוכנית הלימודים החדשה על התלמידים בכיתה ה'‪:‬‬
‫‪ .1‬להבין את המשמעות של השבר העשרוני‪ .‬התלמידים ידעו לרשום שברים עשרוניים במילים‬
‫ובספרות ולזהות ערך של כל סיפרה‪.‬‬
‫‪ .2‬לדעת להפוך שבר עשרוני לשבר פשוט‪.‬‬
‫‪ .3‬לדעת להפוך שבר פשוט לשבר עשרוני‪ ,‬כאשר השבר העשרוני שמתקבל הוא שבר עשרוני סופי‪.‬‬
‫‪ .4‬לדעת לפעול עם סדרות של מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫‪ .5‬לדעת לחבר‪ ,‬לחסר ולהשוות שברים עשרוניים בכתב ובעל פה‪ ,‬וכן לאמוד תוצאות של פעולות‬
‫החיבור והחיסור‪.‬‬
‫בהוראת הנושא "שברים עשרוניים" נעשה במהלך הלימוד שימוש רחב באמצעי המחשה‪ .‬אמצעי המחשה‬
‫אילו מוכרים לילדים מהשלבים הראשונים של לימוד המבנה העשורי בשני אמצעים עיקריים‪:‬‬
‫א‪ .‬חשבוניה עשרונית שיש בה נקודה עשרונית‪.‬‬
‫ב‪ .‬משבצונים‬
‫אמצעים אילו מודגמים בספר במהלך הלימוד בספר ונמצאים בכרטיסים המוגדלים שבמארז למורה‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫הכרות עם העשרוני‬
‫תוכן הענינים‬
‫שיעור ‪ 1‬כל מיני ריבועים‪14--------------‬‬
‫שיעור ‪ 2‬מתחזקים בחזקות‪19 ------------‬‬
‫שיעור ‪ 3‬משבצונים עשוריים‪25-----------‬‬
‫שיעור ‪4‬‬
‫שיעור ‪5‬‬
‫שיעור ‪6‬‬
‫שיעור ‪7‬‬
‫שיעור ‪8‬‬
‫שיעור ‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫חשבוניות עשוריות‪30 -----------‬‬
‫ארבעוני בארץ הפלאות‪34 --------‬‬
‫ספורה של נקודה‪39-------------‬‬
‫מי אני ומה שמי‪43--------------‬‬
‫ועוד על שמי‪48-----------------‬‬
‫אחד אפס לטובת‪52 -------------‬‬
‫הכרות עם העשרוני‬
‫פרק א'‬
‫דרישת תוכנית הלימודים‪:‬‬
‫כתיבת מספרים עשרוניים בשיטת הפוזיציה‪ :‬ערכיה השונים של הסיפרה נקבעים לפי מקומה במספר‪.‬‬
‫תפקידה של הנקודה העשרונית בכתיבת מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫תפקידו של האפס בכתיבת מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫תיאור מספרים עשרוניים בצורות שונות‪ :‬בהצגה סימבולית‪ ,‬גרפית ומילולית‪.‬‬
‫זיהוי ערך הסיפרה במספר עשרוני‪.‬‬
‫קריאת מספרים עשרוניים כשברים שמכניהם‪ 1,000 ,100 ,10 :‬וכו'‪.‬‬
‫מעבר משבר עשרוני לשבר פשוט‪.‬‬
‫מטרות‪:‬‬
‫לחזור על פעולת העלאה בחזקה כהכנה לכתיבת מספרים לפי הסידרה היסודית בשיטת הפוזיציה‪.‬‬
‫לחזור על המבנה העשורי של המספרים הטבעיים‪.‬‬
‫להבין את המשמעות של המספרים העשרוניים‪.‬‬
‫לדעת לכתוב מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫לדעת להרכיב מספרים עשרוניים מספרות נתונות‪.‬‬
‫לפתח יכולת לזהות ערך של כל סיפרה במספר עשרוני‪.‬‬
‫לדעת להציג מספרים עשרוניים בדרכים שונות‪.‬‬
‫לדעת לכתוב מספרים עשרוניים כשברים פשוטים שמכניהם‪ 100 ,10 :‬או ‪.1,000‬‬
‫להתנסות בחיבור מספרים עשרוניים בדרך אינטואיטיבית ובעזרת עצמים מוחשיים‪.‬‬
‫להתנסות בביצוע משימות חקר ובהכללת חוקיות של תהליך‪.‬‬
‫בתום שיעורים אלה על התלמידים‪:‬‬
‫לדעת לקרוא ולכתוב מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫להשתמש בייצוגים שונים של מספר עשרוני‪.‬‬
‫להכיר מושגים‪ ,‬כמו‪ :‬מספר עשרוני‪ ,‬סיפרה‪ ,‬עשיריות‪ ,‬מאיות‪ ,‬סידרה יסודית ועוד‪.‬‬
‫לשלוט במעבר משבר עשרוני לשבר פשוט שמכנהו ‪ 10‬או חזקותיו‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫מהם המספרים העשרוניים?‬
‫מספרים עשרוניים אילו שברים שמכנה השבר שלהם הוא חזקה של המספר ‪ ,10‬לדוגמה‪:‬‬
‫‪32567‬‬
‫‪500‬‬
‫‪60‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪= 32+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪= 32 + +‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪1000 1000 1000‬‬
‫‪10 100 1000‬‬
‫= ‪32.567‬‬
‫מקובל לקרוא למספר הקטן מ‪ 1 -‬בשם שבר עשרוני ולמספר הגדול מ – ‪ 1‬בשם מספר עשרוני‪.‬‬
‫כיצד רושמים מספרים עשרוניים?‬
‫נדגים את המספר ‪. 23.5678‬במספר זה הערך של הסיפרה ‪ 2‬הוא עשרות‪ ,‬הערך של הסיפרה ‪ 3‬הוא‬
‫יחידות‪ ,‬ערך של מקום היחידות קטן פי ‪ 10‬ממקום שמשמאלו‪ .‬לפיכך‪ ,‬הערך של המקום הבא מימין יהיה‬
‫קטן פי ‪ 10‬מהערך של מקום היחידות‪ .‬כלומר‪ ,‬משמעותה של הסיפרה ‪ 5‬במספר זה היא עשיריות‪.‬‬
‫כדי לשיים את המקומות הבאים ימינה‪ ,‬נוסיף את הסיומת "‪-‬יות"‪ :‬עשיריות‪ ,‬מאיות‪ ,‬אלפיות‪.‬‬
‫כיצד קוראים נכון מספרים עשרוניים?‬
‫בעברית קימות מספר דרכים לקריאה נכונה של מספרים עשרוניים‪ ,‬נדגים אותן במספר העשרוני ‪.32.678‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪ 32.678‬אפשר לקרוא כ"שלוש שתיים נקודה שש שבע שמונה"‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ 32.678‬אפשר לקרוא כ"שלושים ושתיים נקודה שש מאות שבעים ושמונה"‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ 32.678‬אפשר לקרוא כ"שלושים ושניים שלמים ושש מאות שבעים ושמונה אלפיות"‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪ 32.678‬אפשר לקרוא כ"שלושים ושניים שלמים ‪ 6‬עשיריות‪ 7 ,‬מאיות ו‪ 8 -‬אלפיות"‪.‬‬
‫אנו ממליצים לחשוף את הילדים לכל השיטות‪ .‬אם כי‪ ,‬קריאת מספרים עשרוניים לפי שיטה ד' מקלה‬
‫יותר על הבנת משמעותם‪.‬‬
‫כפי שכבר נאמר‪ ,‬זו הפעם הראשונה שהילדים מכירים את המושג "שבר עשרוני"‪ .‬לימוד המושג נעשה‬
‫לאחר שהילדים למדו כבר היטב את השיטה העשרונית בכיתות א' – ה' והכירו את השברים הפשוטים‬
‫בכיתות ג' – ה'‪ .‬עקב זה אנו מדגישים במהלך הפרק את שתי המשמעויות של המספר העשרוני‪ :‬את‬
‫המשמעות לפי שיטת הפוזיציה ואת משמעותם כשברים‪.‬‬
‫הבנת מבנה זה של המספר העשרוני חשובה ביותר מכיוון שהיא מאפשרת התמודדות קלה יותר עם‬
‫פתרון בעיות הקשורות למספרים עשרוניים‪.‬‬
‫לאור זה רזניק‪ ,‬נשר ואח' ) ‪(Leonard, Magone, Omanson and Peled, 1989 Resnick, Nesher‬‬
‫מציעים להקפיד על קריאת מספרים עשרוניים בדרך ד'‪ .‬דרך קריאה זו תסייע לתלמידים בהשוואת‬
‫מספרים עשרוניים ובביצוע פעולות חשבון איתם‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫הרחבה וצמצום של מספרים עשרוניים‬
‫המספר העשרוני אינו משנה את גודלו כאשר מוסיפים לו אפסים בצידו הימני‪.‬‬
‫דוגמה‪12.7 = 12.70 = 12.700 =... :‬‬
‫וכן ההפך‪ ,‬מספר עשרוני אינו משנה את גודלו כאשר מוחקים ממנו אפסים בצידו הימני‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪0.0083000 = 0.008300 = 0.00830 = ...‬‬
‫המשמעות של שתי תכונות אלו היא הרחבה וצמצום המוכרים לתלמידים משברים פשוטים‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪7‬‬
‫‪70‬‬
‫‪700‬‬
‫‪= 12‬‬
‫‪= 12‬‬
‫‪=....‬‬
‫‪10‬‬
‫‪100‬‬
‫‪1000‬‬
‫וגם‬
‫‪12‬‬
‫‪83000‬‬
‫‪8300‬‬
‫‪830‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪=...‬‬
‫‪10000000 1000000 100000‬‬
‫‪13‬‬
‫כל מיני ריבועים ‪ -‬פרק א' שיעור ‪1‬‬
‫פעילות חקר לאזכור נושא החזקות‬
‫יעדים‪:‬‬
‫ליצור עניין וחוויה ע"י שילוב משימת חקר לאזכור פעולת העלאה בחזקה‪.‬‬
‫לחקור את הקשר שבין ריבוע של מספר נתון לבין מכפלת המספר הקודם לו במספר העוקב לו‪.‬‬
‫לבסס מושגים‪ ,‬כמו‪ :‬מספר קודם‪ ,‬מספר עוקב‪ ,‬מספר ריבועי‪.‬‬
‫לטפח יכולת לגלות חוקיות בעזרת שרטוטים‪.‬‬
‫לפתח יכולת הכללה‪.‬‬
‫לחקור את הקשר שבין העלאת מספר לחזקת ‪ 3‬לבין מכפלת מספר זה במספר הקודם לו ובמספר‬
‫העוקב לו‪.‬‬
‫מיני שיעור‪:‬‬
‫הפעילות‬
‫זמן משוער‬
‫פינג פונג‬
‫‪ 5‬דקות‬
‫פעילות קבוצתית‬
‫‪ 30‬דקות‬
‫פעילות מורה‬
‫‪ 10‬דקות‬
‫אביזרי השיעור‬
‫‪ 5‬כרטיסי משבצות להדגמה על הלוח‪.‬‬
‫‪ 5‬כרטיסי מספרים בידי הקבוצות‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫מחשבון‪.‬‬
‫‪ 3‬כרטיסי ריבועים )מבריסטול( ו‪3 -‬‬
‫כרטיסי מלבנים )משקף( להדגמה על‬
‫הלוח‪.‬‬
‫‪ 4‬כרטיסי משוואות להדגמה על הלוח‪.‬‬
‫הספר פותח את הוראת השבר העשרוני בחזרה על המבנה העשורי בשלמים‪ ,‬במטרה לבסס את קביעת‬
‫ערך הסיפרה על פי מקומה במספר‪.‬‬
‫הפוזיציה בשיטה העשורית בנויה על ה‪ 10 -‬וחזקותיו‪ ,‬כיון שבמהלך העיסוק בחומר זה נתקלים‬
‫התלמידים במושג החזקה ובחישובים בחזקות‪ ,‬יש צורך לרענן את הזיכרון בנושא החזקות‪.‬‬
‫שני השיעורים הראשונים‪ ,‬הפותחים את פרק א'‪ -‬הכרת השבר העשרוני‪ ,‬נותנים מענה לצורך זה‪ .‬בשני‬
‫שיעורים אלו עוסקים בנושא החזקות תוך כדי פעילות במשימות חקר מעניינות ומאתגרות‪.‬‬
‫על פעילות הפינג‪ -‬פונג‪:‬‬
‫‪ .1‬השיעור נפתח ב"פינג –פונג"‪ -‬פעילות קצרה עם המורה לאזכור ולרענון חומר ידוע‪ .‬המורה מציג על גבי‬
‫הלוח ‪ 5‬כרטיסים ריבועיים המחולקים למשבצות‪ .‬מספר המשבצות בכל ריבוע מציין את שטח הריבוע‪.‬‬
‫בידי כל קבוצה ‪ 5‬כרטיסי מספרים המתאימים לשטחי הריבועים המוצגים‪ .‬התלמידים ירימו כרטיס‬
‫מספר המתאים לשטח הריבוע המוצג בכל פעם‪.‬‬
‫לדוגמה‪ :‬לריבוע‬
‫המוצג על הלוח מתאים הכרטיס‬
‫‪9‬‬
‫סעיף א'‪ :‬התלמידים יציינו את מספר המשבצות שבאורך כל אחד מהריבועים המוצגים על הלוח‪.‬‬
‫סעיף ב'‪ :‬התלמידים ירימו כרטיס מספר המתאים לשטח הריבוע המוצג בכל פעם‪.‬‬
‫סעיף ג'‪ :‬המספר ‪ 64‬הוא מספר ריבועי המציין שטח של ריבוע שאורכו ‪8‬יחידות אורך‪ .‬לא כל המספרים‬
‫הם מספרים ריבועיים‪.‬‬
‫סעיף ד'‪ :‬המורה ישוחח במליאה על אודות המספרים הריבועיים ויבהיר לתלמידים‪ ,‬כי רק מספרים‬
‫שהם מכפלה של מספר בעצמו נקראים מספרים ריבועיים‪ .‬מומלץ לבדוק אם התלמידים‬
‫מזהים במהירות את המספרים הריבועיים בתחום ה‪.100 -‬‬
‫על הפעילות הקבוצתית‪:‬‬
‫‪ .2‬בפעילות הקבוצתית בשיעור זה חוקרים התלמידים את הקשר שבין ריבוע של מספר לבין מכפלת‬
‫המספר הקודם לו במספר העוקב לו‪ .‬במשימה מכוונים את התלמידים לבחור מספר כלשהו ולפעול לפי‬
‫ההוראות‪ .‬מותר להשתמש במחשבון‪.‬‬
‫סעיף א'‪ :‬יש לבחור מספר כלשהו‪ ,‬לכפול אותו בעצמו ולרשום את המכפלה שהתקבלה‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫סעיף ב'‪ :‬יש לרשום את המספר הקודם לספר שנבחר ואת המספר העוקב לו ולכפול ביניהם‪.‬‬
‫סעיף ג'‪ :‬יש לבחור מספר נוסף ולחזור על הפעולות שבצעו בסעיפים א' ו‪-‬ב' פעם נוספת‪.‬‬
‫סעיף ד'‪ :‬יש לנסות להצביע על קשר בין שתי המכפלות שהתקבלו בכל פעם‪ .‬התלמידים יגלו כי מכפלת‬
‫מספר בעצמו גדולה ב‪ 1 -‬ממכפלת המספר הקודם לו במספר העוקב לו‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬בבחירת המספר ‪ 9‬יש לפעול כך‪:‬‬
‫מכפלת המספר בעצמו‪9× 9=81 :‬‬
‫מכפלת המספר הקודם במספר העוקב ‪8 × 10=80 :‬‬
‫המספר ‪ 81‬גדול ב‪ 1 -‬מהמספר ‪.80‬‬
‫סעיף ה'‪ :‬בסעיף זה יסיקו התלמידים כי כאשר ידועה מכפלת מספר כלשהו בעצמו‪ ,‬ניתן לדעת ללא‬
‫חישוב‪ ,‬מהי מכפלת המספר הקודם לו במספר העוקב לו‪.‬‬
‫סעיף ו'‪ :‬סעיף זה מלווה בשרטוט הממחיש מדוע מתקבל הפרש ‪ 1‬בכל המקרים שנבדקו‪.‬‬
‫כאשר מכסים שטח של ריבוע ע"י מלבן שאורכו גדול ב‪ -1‬ס"מ מצלע הריבוע ורוחבו קטן‬
‫ב‪ 1 -‬ס"מ מצלע הריבוע‪ ,‬מתברר‪ ,‬כי מספר המשבצות בריבוע שלא כוסו ע"י המלבן גדול ב‪1 -‬‬
‫ממספר המשבצות במלבן שלא כוסו ע"י‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬נתון ריבוע שאורך צלעו ‪ 3‬ס"מ‪ ,‬ושטחו ‪ 9‬סמ"ר‪.‬‬
‫יש לכפול מספר הקטן ב‪ 1 -‬מ‪ 3 -‬במספר הגדול ממנו ב‪ .1 -‬ניתן להציג מכפלה זו במלבן‬
‫שאורכי צלעותיו הם‪ 2 :‬ס"מ ו‪ 4 -‬ס"מ ושטחו ‪ 8‬סמ"ר‪ .‬בהנחת המלבן על הריבוע רואים כי‬
‫מספר משבצות הריבוע שמחוץ למלבן גדול ב‪ 1 -‬ממספר משבצות המלבן שנמצאות מחוץ‬
‫לריבוע‪.‬‬
‫ובשרטוט‪:‬‬
‫הריבוע‬
‫המלבן‬
‫ובתרגיל‪2 × 4 = 3 × 3 - 1 :‬‬
‫הנחת המלבן על הריבוע‬
‫או‬
‫‪2 × 4= 32 - 1‬‬
‫סעיפים ז' וח'‪ :‬מיועדים לקבוצות הזריזות שהגיעו עד שלב זה בטרם החליט המורה על הפסקת‬
‫הפעילות הקבוצתית‪ .‬בסעיפים אלו יש לבדוק שרטוט נוסף וכן להגיע להכללה עפ"י‬
‫הדוגמאות‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ .3‬גם פעילות זו מיועדת לקבוצות הזריזות או לכיתות טובות במיוחד‪.‬‬
‫בפעילות זו יחקרו התלמידים את הקשר שבין העלאת מספר לחזקת ‪ 3‬לבין מכפלת אותו מספר במספר‬
‫הקודם לו ובמספר העוקב לו‪ .‬החקירה תוביל למסקנה כי ההפרש בין המכפלות שהתקבלו הוא המספר‬
‫בעצמו‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬נבחר את המספר ‪.4‬‬
‫‪4 × 4 × 4 = 64‬‬
‫המספר העוקב‬
‫‪× 5 = 60‬‬
‫או‬
‫‪43 = 64‬‬
‫המספר הקודם‬
‫‪3×4‬‬
‫ההפרש בין המכפלות הוא ‪.4‬‬
‫‪3 × 4 × 5 = 43 - 4‬‬
‫על פעילות המורה‪:‬‬
‫‪ .4‬בפעילות הקישור יש להציג על הלוח ‪ 3‬כרטיסים ריבועיים ועליהם שקפים של מלבנים כדוגמת‬
‫הכרטיסים שבספר‪.‬‬
‫סעיף א'‪ :‬המורה יכוון את התלמידים למצוא את שטח הריבוע המוצג בכל פעם ואת שטח המלבן‬
‫התואם לו‪ ,‬וידון בקשר בין התוצאות שהתקבלו‪.‬‬
‫מומלץ לשרטט את הכרטיסים הריבועיים על בריסטול צבעוני ולהדביקם על רקע לבן‪ .‬את‬
‫שקף המלבן יש לצבוע בצבע שונה מצבע הריבוע כדי שהמשבצות העודפות יבלטו‪.‬‬
‫סעיף ב'‪ :‬בדיקה נוספת המובילה למסקנות שהוסקו‪ .‬בסעיף זה יש לבדוק את המספר הריבועי ‪.49‬‬
‫שטח הריבוע‪ 49 :‬סמ"ר‬
‫שטח המלבן התואם‪ 48 :‬סמ"ר‬
‫צלע הריבוע‪ 7 :‬ס"מ‬
‫אורך המלבן‪ 8 :‬ס"מ‬
‫רוחב המלבן‪ 6 :‬ס"מ‬
‫סעיף ג'‪ :‬סעיף זה תואם למשימה מס' ‪ 3‬ויש להציגו במליאה רק אם התלמידים עסקו בה‪ .‬במשימה זו‬
‫יש להשלים את המספרים החסרים ולדון בקשר שבין העלאת מספר לחזקה שלישית לבין‬
‫הכפלתו במספר הקודם לו ובמספר העוקב לו‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫על שיעורי הבית‪:‬‬
‫רמת הפעילות‬
‫פרוט הפעילות‬
‫משימה ‪ – 1‬תרגול בהעלאה בחזקה ובקשר בין ריבוע המספר‬
‫לבין מכפלת המספר הקודם למספר העוקב‪.‬‬
‫דוגמה‪11 2 = 121 :‬‬
‫משימה המיועדת לכולם‬
‫מכפלת המספר הקודם לו במספר העוקב לו‪.‬‬
‫‪10 × 12 = 120‬‬
‫משימה ‪ – 2‬במשימה זו יש "הפיכות" למשימה מס' ‪ .1‬יש‬
‫למצוא את המספר החסר לפי הריבוע הנתון‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬נתון המספר הריבועי ‪.100‬‬
‫יש להשלים ‪10 2= 100‬‬
‫משימה בינונית‬
‫מכפלת המספר הקודם לו במספר העוקב לו היא‪:‬‬
‫‪9 × 11 =99‬‬
‫משימה ‪ - 3‬במשימה זו יש למצוא את המספר החסר לפי‬
‫הריבוע הנתון‪.‬‬
‫המספרים במשימה זו גדולים יותר מהמספרים שניתנו‬
‫במשימות הקודמות וע"כ המשימה מדורגת כקשה‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬נתון המספר הריבועי ‪ 196‬יש להשלים‪14 = 196 :‬‬
‫‪2‬‬
‫בעזרת ריבוע זה ניתן להשלים את גורמי המכפלה של ‪.195‬‬
‫‪13 × 15 = 195‬‬
‫‪18‬‬
‫משימה קשה‬
‫מתחזקים בחזקות ‪ -‬פרק א' שיעור ‪2‬‬
‫פעילות חקר בנושא החזקות‬
‫יעדים‪:‬‬
‫ליצור עניין וחוויה ע"י שילוב משימת חקר לאזכור פעולת העלאה בחזקה‪.‬‬
‫לחקור את הקשר בין ריבוע נתון לבין מספר המשבצות הקטן ביותר שיש להוסיף לו כדי לקבל ריבוע‬
‫גדול יותר‪.‬‬
‫לדעת לכתוב חזקות כמכפלה של גורמים שווים‪.‬‬
‫לדעת לכתוב מספרים ריבועיים בכתיב החזקות‪.‬‬
‫להבין כי פעולת העלאה בחזקה אינה מקיימת את חוק החילוף‪.‬‬
‫לפתח יכולת הכללה‪ ,‬הנמקה והצדקה‪.‬‬
‫מיני שיעור‪:‬‬
‫הערה‪ :‬שיעור זה עמוס בפעילויות‪ ,‬על כן כדאי ללמדו בשני שיעורים רצופים או לחלקו לשני שיעורים נפרדים‪.‬‬
‫הפעילות‬
‫זמן משוער‬
‫פעילות קבוצתית‬
‫‪ 25‬דקות‬
‫פעילות מורה‬
‫‪ 15‬דקות‬
‫פעילות קבוצתית‬
‫‪ 7 – 10‬דקות‬
‫משחק‬
‫‪ 15 – 20‬דקות‬
‫פעילות יחידנית‬
‫‪ 10 – 15‬דקות‬
‫אביזרי השיעור‬
‫‪ 8‬כרטיסי ריבועים כדוגמת הכרטיסים‬
‫שבספר בידי הקבוצות‪.‬‬
‫‪ 10‬כרטיסי תרגילים להדגמה על הלוח‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫‪ 12‬כרטיסי משחק דו צדדיים לגזירה‬
‫מסוף הספר‪.‬‬
‫בפעילות יחידנית מס' ‪ 8‬מומלץ להעזר‬
‫במחשבון‪.‬‬
‫על הפעילות הקבוצתית‪:‬‬
‫‪ .1‬בשיעור זה המטרה לבסס את נושא החזקות תוך כדי עיסוק במשימת חקר גדולה‪ .‬במהלך הפעילות‬
‫ירכשו התלמידים ידע חדש לצד התרגול בנושא החזקות‪.‬‬
‫מומלץ למורה לכוון את התלמידים בביצוע הסעיף הראשון של המשימה הקבוצתית‪ ,‬כדי להבטיח זרימה‬
‫טובה של המשך המשימה‪.‬‬
‫סעיף א'‪ :‬פעילות החקר במשימה זו פותחת בהכוונה לנסות להוסיף מספר קטן ביותר של משבצות‬
‫למשבצת אחת נתונה‪ ,‬כדי לקבל ריבוע גדול יותר‪ .‬כדאי להעזר בשרטוט שבספר או‬
‫במשבצות המחברת‪.‬‬
‫התלמידים יגלו כי יש להוסיף מינימום ‪ 3‬משבצות למשבצת הנתונה כדי לקבל ריבוע גדול‬
‫יותר‪ .‬שטחו של הריבוע החדש הוא ‪ 4‬משבצות‪.‬‬
‫סעיף ב'‪ :‬יש להוסיף עוד ‪ 5‬משבצות כדי לקבל את הריבוע הבא‪.‬‬
‫שטחו של הריבוע החדש ‪ 9‬משבצות‪.‬‬
‫סעיף ג'‪ :‬לריבוע שלו ‪ 9‬משבצות יש להוסיף עוד ‪ 7‬משבצות‪ ,‬כדי לקבל ריבוע גדול יותר‪ .‬לריבוע שלו ‪16‬‬
‫משבצות יש להוסיף ‪ 9‬משבצות כדי לקבל ריבוע גדול יותר‪.‬‬
‫סעיף ד'‪ :‬בשלב זה מפנים את תשומת ליבם של התלמידים לחוקיות שקיימת במספר המשבצות שיש‬
‫להוסיף לריבוע נתון כדי לקבל ריבוע גדול יותר‪.‬‬
‫בסעיף זה יש דיון בין איתמר לאסף במטרה לסייע לקבוצות שלא הגיעו לגילוי החוקיות‬
‫בכוחות עצמם‪.‬‬
‫סעיף ה'‪ :‬בסעיף זה מוצגים ‪ 4‬ריבועים ותרמילון מספרים‪.‬‬
‫יש לבחור מן התרמילון מספר שמציין את מספר הריבועים הקטן ביותר שיש להוסיף לכל‬
‫שירטוט כדי לקבל ריבוע גדול יותר‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫דוגמה‪ :‬לריבוע מספר ‪ 3‬יש להוסיף ‪ 7‬משבצות כדי לקבל ריבוע גדול יותר‪.‬‬
‫באופן כללי ניתן לתאר זאת כך‪:‬‬
‫‪– X‬מציין את מספר המשבצות לאורך צלע הריבוע‪.‬‬
‫תבנית המספר המתאימה לתאור מספר המשבצות שיש להוסיף כדי לקבל ריבוע גדול יותר היא‪:‬‬
‫‪2X+1‬‬
‫לדוגמה‪ :‬מספר המשבצות לאורך הצלע של הריבוע הנתון הוא ‪ .16‬מספר המשבצות שיש להוסיף הוא‪:‬‬
‫‪2×4+1=9‬‬
‫בשלב זה של השיעור ניתן להפסיק את הפעילות הקבוצתית ולעבור לפעילות הקישור שנערכת ע"י‬
‫המורה‪ .‬באופן כזה יש סיכוי שהזמן הנותר מהשיעור יספיק גם לביצוע המשחק וגם לתרגול היחידני‪.‬‬
‫סעיף ו'‪ :‬בסעיף זה יש לגלות את הקשר שבין סכום מספרים אי זוגיים עוקבים לבין מספר המשבצות‬
‫הקטן ביותר שיש להוסיף לריבוע נתון כדי לקבל ריבוע גדול יותר‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫מספר‬
‫המשבצות‬
‫‪1+3=4‬‬
‫מספר המשבצות מספר המשבצות‬
‫בריבוע הנתון‬
‫שהוספנו‬
‫בריבוע הגדול‬
‫וכן הלאה‪ 1 + 3 + 5 = 9 :‬כלומר‪ :‬לריבוע שלו ‪ 4‬משבצות )שהתקבל לאחר התוספת הראשונה (‬
‫יש להוסיף ‪ 5‬משבצות כדי לקבל ריבוע גדול יותר‪.‬‬
‫סעיף ז'‪ :‬הדיון בסעיף זה בא לבדוק האם גילו התלמידים את הקשר בין מספר המשבצות באורך צלע‬
‫של ריבוע נתון לבין מספר המשבצות שיש להוסיף כדי לקבל ריבוע גדול יותר‪.‬‬
‫טענתם של חגי ושל נחום צודקת‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫סעיף ח'‪ :‬תלמידים שהסיקו את המסקנה המתבקשת בסעיף הקודם יוכלו לבצע בקלות את הנתון‬
‫בסעיף זה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫דוגמה‪ :‬לריבוע ששטחו ‪ 100‬יש להוסיף‪ , 2 × 100 + 1 :‬כלומר ‪ 201‬משבצות‪.‬‬
‫על פעילות המורה‪:‬‬
‫בפעילות הקישור יחלק המורה לכל קבוצה אחד מכרטיסי הריבועים כדוגמת הכרטיסים שבספר‪ .‬כמו כן‪,‬‬
‫יש להצמיד ללוח ‪ 8‬כרטיסים ועליהם תרגילים‪.‬‬
‫בשלב הראשון יש לכתוב תרגיל שמבטא את שטח הריבוע הנתון בכל קבוצה‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬נתון הריבוע‬
‫לריבוע זה מתאים התרגיל‪3 2 = 9 :‬‬
‫ריבוע זה יש להצמיד לכרטיס‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3 +7‬‬
‫המתאר את מספר המשבצות בריבוע שיתקבל מהוספת מספר קטן ביותר של משבצות‪.‬‬
‫בפעילות המורה יש להדגיש את ההבדל בין הגדלת מספר פי ‪ 2‬לבין העלאת מספר לחזקת ‪.2‬‬
‫על הפעילות הקבוצתית‪:‬‬
‫‪ .3‬פעילות קצרה המדגישה כי העלאה בחזקה היא צורה מקוצרת של כפל גורמים שווים‪.‬‬
‫על המשחק‪:‬‬
‫‪ .4‬משחק "מלפנים ומאחור"‬
‫אביזרי המשחק‪ :‬כרטיסים דו צדדיים לגזירה מסוף הספר‪.‬‬
‫מומלץ לבקש מהתלמידים לגזור את הכרטיסים בבית‪ ,‬שאם לא כן יהיה צורך להקדיש ליחידת לימוד זו‬
‫שיעור נוסף‪.‬‬
‫המשחק מתנהל בין כל זוג תלמידים לפי ההוראות שבספר‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫על הפעילות היחידנית‪:‬‬
‫רמת הפעילות‬
‫פרוט הפעילות‬
‫משימה ‪ – 5‬במשימה זו תרגילי כפל שלהם גורמים‬
‫שווים‪ .‬יש לכתוב אותם בכתיב החזקות ולפתור‪.‬‬
‫משימה המיועדת לכולם‬
‫דוגמה‪2 × 2 × 2 × 2 =2 4= 16:‬‬
‫משימה ‪ – 6‬במשימה זו יש "הפיכות" למשימה‬
‫הקודמת‪ .‬יש לכתוב את החזקות הנתונות כמכפלה של‬
‫גורמים שווים ולפתור‪.‬‬
‫דוגמה‪10 = 10 × 10 × 10 = 1,000 :‬‬
‫משימה המיועדת לכולם‬
‫‪3‬‬
‫משימה ‪ – 7‬במשימה זו נתונים מספרים ריבועיים‬
‫בתחום המאה‪ .‬יש למצוא את שרשם בדרך‬
‫משימה לא כ"כ קשה‬
‫אינטואיטיבית‪.‬‬
‫דוגמה‪81 =9 2:‬‬
‫משימה ‪ – 8‬במשימה זו נתונים מספרים‪ .‬יש לכתוב‬
‫אותם בכתיב החזקות‪ .‬בחלק מהמקרים יש יותר‬
‫מאפשרות אחת נתונה‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬נתון המספר ‪16‬‬
‫‪16 = 4 2 , 2 4‬‬
‫משימה זו מיועדת לתלמידים טובים בלבד‪.‬‬
‫‪23‬‬
‫משימה קשה‬
‫על שיעורי הבית‪:‬‬
‫רמת הפעילות‬
‫פרוט הפעילות‬
‫משימה ‪ – 1‬פעילות המבססת את משמעות פעולת העלאה‬
‫בחזקה ככתיב מקוצר לכפל של גורמים שווים‪ .‬יש לצבוע את‬
‫המשבצות בהן כתובה טענה נכונה‪.‬‬
‫משימה המיועדת לכולם‬
‫בצביעה נכונה מתקבל השם‪ :‬דן‪.‬‬
‫משימה ‪– 2‬פתרון תרגילי כפל שלהם גורמים שווים‪ .‬יש‬
‫למתוח קו בין תרגיל לפתרונו‪.‬‬
‫משימה לא כ"כ קשה‬
‫משימה ‪ – 3‬משימה זו מבססת אצל הלומדים את הידיעה כי‬
‫פעולת העלאה בחזקה אינה מקימת את חוק החילוף‪.‬‬
‫משימה זו נחשבת כקשה כיון שתלמידים נוטים להכיל את‬
‫משימה קשה‬
‫החוקים המתקיימים בכפל על פעולת העלאה בחזקה‪.‬‬
‫משימות ‪ – 4,5,6‬משימות אלו נועדות לבסס את החקירה‬
‫שהייתה בפעילות הקבוצתית‪.‬‬
‫המשימות מיועדות לתלמידים טובים במיוחד‪ .‬יש לכוון את‬
‫משימות בינוניות עד קשות‬
‫התלמידים הטובים לפתור משימה אחת או שתים מבין‬
‫שלושת המשימות המוצעות‪.‬‬
‫הערה‪ :‬בשיעור מס' ‪ 3‬ישתמשו ב"משבצון עשר"‪ .‬מומלץ לבקש מהתלמידים להכין ערכה זו כמפורט‬
‫במדריך לשיעור ‪.3‬‬
‫‪24‬‬
‫משבצונים עשוריים ‪-‬פרק א' שיעור ‪3‬‬
‫המבנה העשורי של המספרים הטבעיים‬
‫הצגה גרפית של המספרים בעזרת מודל המשבצונים‬
‫יעדים‪:‬‬
‫להכיר את "משבצון עשר" כמודל להצגה גרפית של מספרים בשיטה העשורית‪.‬‬
‫לדעת לעבור מהצגה סימבולית להצגה גרפית של מספרים‪.‬‬
‫לדעת לעבור מהצגה גרפית ) מודל המשבצונים ( להצגה סימבולית של המספרים‪.‬‬
‫להבין את הערך הכמותי של מספרים בשיטה העשורית בעזרת מודל המשבצונים‪.‬‬
‫לגרות את הסקרנות והענין ע"י שימוש במשחק‪.‬‬
‫להעשיר את השימוש במושגים מתמטיים‪ ,‬כמו‪ :‬מספר חד ספרתי‪ ,‬מספר דו ספרתי‪ ,‬סכום ספרות‪.‬‬
‫מיני שיעור‪:‬‬
‫אביזרי השיעור‬
‫הפעילות‬
‫זמן משוער‬
‫פעילות מורה‬
‫‪10‬דקות‬
‫משחק‬
‫‪ 10‬דקות‬
‫‪ 24‬כרטיסי משבצונים להדגמה על הלוח‪.‬‬
‫פעילות קבוצתית‬
‫‪ 10‬דקות‬
‫משבצונים עשוריים‪.‬‬
‫פעילות מורה‬
‫‪ 10‬דקות‬
‫פעילות יחידנית‬
‫‪ 5‬דקות‬
‫כרטיס גדול של "משבצון עשר" להדגמה על הלוח‪.‬‬
‫מומלץ להשתמש גם באביזרים מוחשיים תואמים‪.‬‬
‫"משבצוני עשר"‪ 15 -‬משבצות‪ 19 ,‬שורות ו‪ 4 -‬שורות‬
‫בידי כל קבוצה‪.‬‬
‫‪ 7‬כרטיסי משבצונים בידי הקבוצות‪.‬‬
‫‪ 8‬כרטיסי משפטים להדגמה על הלוח‪.‬‬
‫‪25‬‬
‫על פעילות המורה‪:‬‬
‫המספרים העשרוניים הם הרחבה של עולם המספרים השלמים‪ .‬אי לכך הכרת המספרים העשרוניים‬
‫מתבססת על הבנת המבנה העשורי בשלמים ויש צורך לחזור ולבסס את הנושא‪.‬‬
‫שיעורים ‪ 3‬ו‪ 4 -‬נותנים מענה לצורך זה‪.‬‬
‫שיעור מס' ‪ 3‬פותח בפעילות עם המורה שמטרתה לאזכר חומר שנלמד בהכרת המספרים הטבעיים‪.‬‬
‫המורה מציג במליאה את "משבצון עשר" הכולל‪ :‬לוח‪ ,‬טור ומשבצת‪.‬‬
‫לוח ‪-‬ריבוע המחולק ל‪ 100 -‬משבצות ומייצג את המאות‪.‬‬
‫טור ) או שורה ( ‪ -‬עשר משבצות המייצגות את העשרות‪.‬‬
‫משבצת ‪ -‬משבצת אחת המייצגת את היחידה‪.‬‬
‫מומלץ להשתמש באביזרים מוכנים מחדר המתמטיקה‪ .‬אם אין אביזרים מוכנים‪ ,‬או בתוספת להם יש‬
‫להכין לתלמידים דפי בריסטול המחולקים למשבצות של ‪ 1‬סמ"ר ולבקש מהתלמידים לגזור ‪ 4‬לוחות‪19 ,‬‬
‫שורות ו‪ 19 -‬משבצות‪ .‬מורה שאין ברשותו אביזרים מתאימים מחדר המתמטיקה יכין לעצמו ערכת‬
‫משבצונים בגודל המתאים‪ ,‬להדגמה על גבי הלוח‪.‬‬
‫סעיף א'‪ :‬בפתיחת השיעור יש להציג את "משבצון עשר" ולרענן את זכרונם של התלמידים על אודותיו‪.‬‬
‫התלמידים נפגשו עם ערכה זו כאשר למדו על המספרים בתחום המאה‪ ,‬האלף ויותר‪ .‬המורה‬
‫ידגים מספר בעזרת המשבצונים‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬את המספר ‪ 135‬מציגים בעזרת לוח אחד‪ 3 ,‬שורות ו‪ 5 -‬משבצות‪.‬‬
‫את המספר ‪ 403‬מציגים בעזרת ‪ 4‬לוחות ו‪ 3 -‬משבצות‪.‬‬
‫מספר זה אפשר להדגים ללא טורים כיון שספרת העשרות שלו היא אפס‪.‬‬
‫התלמידים יציגו את המספרים הנוספים בעזרת המשבצונים‪.‬‬
‫סעיף ב'‪ :‬בסעיף זה יש הפיכות‪ .‬המורה יציג כרטיסי משבצונים כמודגם בספר‪ ,‬ויבקש מהתלמידים‬
‫לקבוע איזה מספר מודגם בכל פעם‪.‬‬
‫יש להדגיש לתלמידים כי בעזרת ‪ 9‬לוחות‪ 9 ,‬טורים ו‪ 9 -‬משבצות ניתן להדגים מספרים שלמים‬
‫עד ‪ .999‬כדי להדגים את ה ‪ 1,000‬משתמשים בקוביה‪ .‬רצוי להדגיש כי מודל המשבצונים מייצג‬
‫את הערך הכמותי של המספרים ולכן ניתן להשתמש גם ב‪ 10 -‬לוחות להדגמת האלף‪ ,‬או ב‪20 -‬‬
‫לוחות להדגמת אלפיים וכדו'‪ .‬כמו כן‪ ,‬חשוב לציין כי סדר הנחת המשבצונים אינו משנה את‬
‫ערך המספר וגם אם נניח ‪ 8‬טורים‪ 4 ,‬לוחות ו‪ 2 -‬משבצות יהיה זה יצוג למספר ‪ 482‬ולא ‪.842‬‬
‫‪26‬‬
‫על המשחק‪:‬‬
‫לאחר שהובן השימוש במודל המשבצונים יערך משחק כיתתי "בינגו משבצונים"‪.‬‬
‫הוראות המשחק‪:‬‬
‫‪ .I‬כל תלמיד יבחר ‪ 16‬מספרים כרצונו‪ ,‬ממאגר המספרים שבספר וישבץ אותם באקראי בלוח הריק‬
‫שבספר‪.‬‬
‫‪ .II‬המורה יציג בכל פעם את אחד מכרטיסי המשבצונים כדוגמת הכרטיסים שבספר‪ .‬תלמיד שבלוח‬
‫המספרים שלו מופיע מספר המתאים לכרטיס שהדגים המורה‪ ,‬ימחק את המספר מהלוח ) או יסמן‬
‫אותו (‪.‬‬
‫תלמיד שמחק ראשון טור‪ ,‬שורה או אלכסון יכריז "בינגו" והוא המנצח‪.‬‬
‫על הפעילות הקבוצתית‪:‬‬
‫בפעילות הקבוצתית יש להציג משבצונים עשוריים המתאימים להיגדים שבספר‪ .‬כיון‪ ,‬שבקריאת‬
‫ההיגדים יחשפו התלמידים למושגים הקשורים לשפת המתמטיקה כדוגמת‪ :‬מספר חד ספרתי‪ ,‬סכום‬
‫ספרות ועוד‪ ,‬מופיעה פעילות במסגרת קבוצתית ולא כפעילות יחידנית‪.‬‬
‫סעיף א'‪ :‬המספר החד ספרתי הגדול ביותר מודגם ע"י ‪ 9‬משבצות‪.‬‬
‫המספר הדו ספרתי הגדול ביותר מודגם ע"י ‪ 9‬טורים ו – ‪ 9‬משבצות‪.‬‬
‫המספר הדו ספרתי הקטן ביותר מודגם ע"י טור אחד‪.‬‬
‫המספר התלת ספרתי הקטן ביותר מודגם ע"י לוח אחד‪.‬‬
‫סעיף ב'‪ :‬להדגמת מספר דו ספרתי שסכום ספרותיו ‪ 3‬ניתן להציג משבצונים המתאימים ל‪ 21 ,12 -‬ו‪-‬‬
‫‪.30‬‬
‫סעיף ג'‪ :‬להדגמת מספר דו ספרתי שאחת מהספרות שלו היא ריבוע של הספרה האחרת ניתן להציג‬
‫משבצונים המתאימים ל‪ 39 ,42 ,24 -‬או ‪.93‬‬
‫‪27‬‬
‫על פעילות המורה‪:‬‬
‫בפעילות הקישור יחלק המורה לכל קבוצה כרטיס משבצונים ויבקש להתאים אותו ל‪ 1 -‬מתוך ‪ 8‬כרטיסי‬
‫ההיגדים שעל הלוח‪ .‬בפעילות זו יחשפו התלמידים למושגים מתמטיים חשובים‪,‬‬
‫כמו‪ :‬מספר קודם‪ ,‬מספר עוקב‪ ,‬מספר זוגי ועוד‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫להיגדים‪:‬‬
‫המספר העוקב ל‪29 -‬‬
‫המספר הגדול פי ‪ 3‬מ‪10 -‬‬
‫מתאים כרטיס המשבצונים‪:‬‬
‫על הפעילות היחידנית‪:‬‬
‫רמת הפעילות‬
‫פרוט הפעילות‬
‫משימה ‪ – 5‬במשימה זו יש לכתוב מספרים מתאימים לכל כרטיס‬
‫משבצונים‬
‫משימה ‪ – 6‬במשימה זו יש למצוא לכל כרטיס משבצונים את טווח‬
‫המספרים המתאים לו‪.‬‬
‫משימה לא כ"כ קשה‬
‫משימה לא כ"כ קלה‬
‫הערה‪ :‬אם נותר זמן מצומצם לפעילות היחידנית‪ ,‬כדאי לכוון את התלמידים לבחור אחת מבין שתי‬
‫המשימות‪.‬‬
‫‪28‬‬
‫על שיעורי הבית‪:‬‬
‫רמת הפעילות‬
‫פרוט הפעילות‬
‫משימה ‪ – 1‬יש לצייר משבצונים המתאימים למספרים הנתונים‪.‬‬
‫משימה ‪ – 2‬יש להתאים משבצונים למספרים‪.‬‬
‫משימה המיועדת‬
‫לכולם‬
‫משימה קלה‬
‫משימה ‪ – 3‬יש להתאים משבצונים להיגדים‪.‬‬
‫פתרונות למשימה‪:‬‬
‫להגד‪ :‬מספר הגדול פי ‪ 4‬מ ‪9‬‬
‫מתאים הכרטיס שמייצג ‪36‬‬
‫משימה קשה‬
‫להגד‪ :‬המספר העוקב ל‪99 -‬‬
‫מתאים הכרטיס שמייצג ‪100‬‬
‫להגד‪ :‬מספר הקודם ל‪231 -‬‬
‫מתאים הכרטיס שמייצג ‪230‬‬
‫להגד‪ :‬מספר דו ספרתי שספרת היחידות עוקבת לספרת העשרות‪.‬‬
‫מתאים הכרטיס שמייצג ‪23‬‬
‫להגד‪ :‬מספר שסכום ספרותיו ‪3‬‬
‫מתאים הכרטיס שמייצג ‪21‬‬
‫הערה‪ :‬יש לכוון את התלמידים לבצע משימה מס' ‪ 1‬ומשימה אחת נוספת מבין המשימות ‪. 2,3‬‬
‫‪29‬‬
‫חשבוניה עשורית ‪ -‬פרק א' שיעור ‪4‬‬
‫המבנה העשורי של המספרים הטבעיים‬
‫הצגה גרפית של המספרים בעזרת מודל החשבוניה‬
‫יעדים‪:‬‬
‫להכיר את החשבוניה כמודל להצגה גרפית של מספרים בשיטה העשרונית‪.‬‬
‫לדעת לכתוב מספרים בשיטת הפוזיציה ולהבין כי ערכיה השונים של הסיפרה נקבעים לפי מקומה‬
‫במספר‪.‬‬
‫לדעת לפרק מספרים לפי ערך הספרות שלהם‪.‬‬
‫להבין את משמעות האפס במספר‪.‬‬
‫להבין את הערך הכמותי של מספרים בשיטה העשרונית‪.‬‬
‫לבצע מטלות המעידות על הבנת המבנה העשורי‪.‬‬
‫לדעת לעבור מהצגה גרפית אחת להצגה גרפית אחרת של מספרים‪ ) .‬מעבר ממודל החשבוניה למודל‬
‫המשבצונים ולהפך‪( .‬‬
‫מיני שיעור‪:‬‬
‫הפעילות‬
‫זמן משוער‬
‫פעילות קבוצתית‬
‫‪ 25‬דקות‬
‫פעילות מורה‬
‫‪ 10 – 15‬דקות‬
‫פעילות יחידנית‬
‫‪ 5 – 10‬דקות‬
‫‪30‬‬
‫אביזרי השיעור‬
‫‪ 5‬כרטיסים להדגמה על הלוח‬
‫על הפעילות הקבוצתית‪:‬‬
‫‪ .1‬בשיעור זה יכירו התלמידים את החשבוניה כהצגה גרפית נוספת של מספרים בשיטה העשרונית‪ .‬קיים‬
‫הבדל מהותי בין הצגת מספרים במודל המשבצונים לעומת הצגתם במודל החשבוניה‪ .‬מודל המשבצונים‬
‫הינו מודל שמייצג את המספר מבחינה כמותית‪ .‬המשבצות מתארות יחידות‪ ,‬הטורים מתארים עשרות‬
‫והלוחות מתארים מאות‪ .‬במודל המשבצונים ניתן לפרוט טור ל‪ 10 -‬משבצות או לוח ל‪ 10 -‬טורים‪ ,‬וכן‬
‫סדר הנחת המשבצונים אינו משנה את ערך המספר המוצג‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬במודל החשבוניה מספר‬
‫החרוזים שעל כל יתד מציין את הספרה‪ ,‬וערך כל חרוז נקבע עפ"י מקומו‪ .‬לכל יתד יש ערך קבוע לפי‬
‫הפוזיציה בשיטה העשרונית‪.‬‬
‫סעיף א'‪ :‬הפעילות נפתחת בהתאמת מספרים לחשבוניות‪.‬‬
‫סעיף ב'‪ :‬מטרת סעיף זה היא להסב את תשומת ליבם של התלמידים למהות של הצגת מספרים במודל‬
‫החשבוניה‪ .‬הדיון בשאלות יוביל את התלמידים למסקנה כי ערך כל חרוז על היתד הימנית‬
‫הוא יחידה אחת‪ ,‬אם נעביר את החרוז יתד אחת שמאלה יגדל ערכה פי ‪ .10‬וכן‪ ,‬ערך ‪ 5‬חרוזים‬
‫על היתד השמאלית הוא ‪ . 5,000‬אם נעביר אותם ‪ 2‬מקומות ימינה יקטן ערכם פי ‪.100‬‬
‫העברת חרוז מהיתד הימנית ביותר ליתד השמאלית ביותר מגדילה את ערכו פי ‪. 1,000‬‬
‫סעיף ג'‪ :‬בסעיף זה ידונו התלמידים במספר החרוזים שניתן להניח על כל יתד‪ .‬התלמידים יגלו כי‬
‫בכל יתד יש מקום ל‪ 9 -‬חרוזים לכל היותר‪.‬‬
‫‪ .2‬במשימה זו יש לפרק את המספרים הנתונים לפי ערך הספרות שבכל מספר‪ .‬לכל מספר יש לכתוב שני‬
‫פרוקים‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬נתון המספר ‪1,789‬‬
‫פרוק א'‪1,789 = 1 × 1,000 + 7 × 100 + 9 × 10 + 8 × 1 :‬‬
‫פרוק ב'‪1,789 = 1 × 103 + 7 × 102 + 9 × 10 + 8 × 1 :‬‬
‫‪ .3‬במשימה זו יש טיפול בשגיאות אופייניות של תלמידים בפרוק מספרים‪.‬‬
‫סעיף א'‪ :‬בחשבוניה מוצג המספר ‪3,402‬‬
‫אורי כתב‪33 + 42 + 2 × 1 :‬‬
‫במקום‪ 3 × 103 + 4 × 102 + 2 × 1 :‬הטעות‪ :‬אורי העלה בחזקה את הסיפרה ‪ 3‬במקום את ה‬
‫– ‪ .10‬שוקי כתב נכון‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫יוסי כתב‪ 2 × 10 + 4 × 102 + 3 × 1 :‬הטעות‪ :‬יוסי קרא את המספר מימין לשמאל במקום‬
‫לקרוא אותו משמאל לימין‪.‬‬
‫סעיף ב'‪ :‬בסעיף זה יש להתאים בין החשבוניות הנתונות למחשבונים‪ .‬ליד כל מחשבון יש חלק מפרוק‬
‫המספר שבעזרתו ניתן לגלות את החשבוניה המתאימה‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬לפרוק ‪. 5 × 10 3+ 3 × 102 + 1 × 10‬‬
‫מתאימה החשבוניה )השנייה משמאל( המייצגת את המספר‪5,310 :‬‬
‫‪31‬‬
‫על פעילות המורה‪:‬‬
‫‪ .4‬בפעילות הקישור יש להציג במליאה חשבוניה עשורית גדולה וכן אביזרים של "משבצון עשר"‪ .‬המורה‬
‫ידגים כל מספר גם בחשבוניה וגם במשבצונים וידון בהבדל שבין הצגת מספרים במודל המשבצונים‬
‫לעומת הצגתם במודל החשבוניה‪.‬‬
‫סעיף א'‪ :‬המורה יציג ‪ 5‬כרטיסים ועליהם פרוקים של מספרים‪ .‬יש לכתוב בכל קבוצה את המספר‬
‫המתאים לכל פרוק‪.‬‬
‫סעיף ב'‪ :‬המורה יציג את המספר ‪ 139‬בחשבוניה ובמשבצונים וידון בהבדל בין שתי ההצגות‪ ,‬כפי‬
‫שהוסבר לעיל‪.‬‬
‫סעיף ג'‪ :‬סעיף זה מטפל בהצגת מספרים שאחת הספרות שלהם היא אפס‪ .‬כדי לתאר מספרים כאלו‬
‫בעזרת משבצונים‪ ,‬אין להשתמש בסוג המשבצונים המתאים למקום שבו נמצא האפס‪ ,‬וכאשר‬
‫מתארים מספרים כאלו בעזרת חשבוניה‪ ,‬אין לשים חרוזים על היתד המתאימה‪.‬‬
‫על הפעילות היחידנית‪:‬‬
‫רמת הפעילות‬
‫פרוט הפעילות‬
‫משימה ‪ – 5‬במשימה זו יש להתאים בין המשבצונים לחשבוניות‬
‫הנתונות‪.‬‬
‫משימה המיועדת לכולם‬
‫משימה ‪ – 6‬במשימה זו נתונים פרוקים של מספרים‪ .‬יש לקבוע‬
‫לכל פרוק את טווח המספרים המתאים לו‪.‬‬
‫כדאי לכוון את התלמידים לבדוק כל פרוק ולקבוע את הטווח‬
‫המתאים‪ ,‬ללא כתיבת המספר המדויק‪.‬‬
‫משימה לא כ"כ קלה‬
‫דוגמה‪ :‬לפרוק ‪7 × 102 + 8 × 1‬‬
‫מתאים טווח המספרים שבין ‪ 100‬ל‪.1,000 -‬‬
‫הקביעה נעשית ע"פ החלק הראשון של הפרוק‪7 × 102 :‬‬
‫‪32‬‬
‫על שיעורי הבית‪:‬‬
‫רמת הפעילות‬
‫פרוט הפעילות‬
‫משימה ‪ – 1‬יש להתאים בין מספרים לבין הפרוק שלהם‪.‬‬
‫משימה קלה‬
‫משימה ‪ – 2‬יש להתאים בין חשבוניות לבין הפרוקים הנתונים וכן‬
‫לכתוב מספר מתאים לכל פרוק‪.‬‬
‫משימה בינונית‬
‫משימה זו קשה יותר‪ ,‬כיון שנעשה בה שימוש בכתיב החזקות‪.‬‬
‫משימה ‪ – 3‬יש לתקן את המספרים שעל צגי הפלאפונים לפי‬
‫הפרוק הנתון‪ .‬איתור השגיאות מהווה קושי ועל כן משימה זו קשה‬
‫יותר‪.‬‬
‫הערה‪ :‬מומלץ לכוון את התלמידים לבצע ‪ 2‬מבין ‪ 3‬המשימות הנתונות‪.‬‬
‫‪33‬‬
‫משימה לא כ"כ קשה‬
‫ארבעוני בארץ הפלאות ‪ -‬פרק א' שיעור ‪5‬‬
‫יעדים‪:‬‬
‫לחזור על המבנה העשורי של המספרים השלמים‪.‬‬
‫לגרות את הסקרנות והעניין ע"י שימוש בסיטואציה הקרובה לעולמו של הילד‪.‬‬
‫להכיר את הנקודה העשרונית ואת תפקידה בכתיבת מספרים בשיטה העשרונית‪.‬‬
‫לדעת לקרוא ולכתוב מספרים עשרוניים‪.‬‬
‫לדעת להציג שברים עשרוניים במודל המשבצונים‪.‬‬
‫לבצע מעבר מהצגה גרפית להצגה מילולית של שברים עשרוניים‪.‬‬
‫לבצע מעבר מהצגה מילולית להצגה גרפית של שברים עשרוניים‪.‬‬
‫מיני שיעור‪:‬‬
‫הפעילות‬
‫זמן משוער‬
‫פעילות קבוצתית‬
‫‪ 25 – 30‬דקות‬
‫פעילות מורה‬
‫‪ 15 – 20‬דקות‬
‫פינג – פונג‬
‫‪ 10 – 15‬דקות‬
‫פעילות יחידנית‬
‫‪ 10 – 15‬דקות‬
‫אביזרי השיעור‬
‫מומלץ להכין דגם של "ארץ הפלאות"‬
‫להדגמה על הלוח‪.‬‬
‫דגם של המנורה העשורית להצגה על הלוח‪.‬‬
‫כרטיסי מנורות להדגמה על הלוח‪.‬‬
‫מחשבון‬
‫משבצונים עשוריים כדוגמת המשבצונים‬
‫של שיעור ‪.3‬‬
‫משבצונים עשוריים‬
‫הערה‪ :‬מומלץ ללמד יחידת לימוד זו בשני שיעורים רצופים‪.‬‬
‫‪34‬‬
‫על הפעילות הקבוצתית‪:‬‬
‫שיעור זה הינו השיעור הראשון בסדרת השיעורים העוסקים בהכרת השבר העשרוני‪ .‬לשיעור זה קדמו‬
‫שני שיעורים שעסקו בנושא החזקות ושני שיעורים נוספים שעסקו בחזרה על המבנה העשורי של‬
‫המספרים הטבעיים‪.‬‬
‫בפעילות הקבוצתית יחשפו הלומדים לסיטואציה שבאה לגרות את הסקרנות והעניין במטרה לצרף‬
‫לתהליך הלמידה תלמידים רבים‪.‬‬
‫בפעילות הקישור יערוך המורה פורמליזציה לסיטואציה‪ ,‬וידגיש את המהלך המתמטי הקשור לנלמד‬
‫בשיעור‪.‬‬
‫סעיף א'‪ :‬הסיטואציה מתארת את הטיול של "ארבעוני בארץ הפלאות"‪ .‬הסיפור מודגם בשרטוט‪.‬‬
‫"ארבעוני" מייצג את המספר ‪ 4‬ו"ארץ הפלאות" – זוהי ארץ דמיונית‪ .‬בכניסה לארץ הפלאות‬
‫עומדת מראה המשקפת את גודלו הטבעי של המסתכל בה‪ .‬משמאל לחדר הכניסה נמצאים‬
‫חדרי המראות המגדילות‪ ,‬בהן נראים גדולים יותר מהמראה הטבעי‪ .‬מימין לחדר הכניסה‬
‫נמצאים המראות המקטינות‪ ,‬בהן נראים קטנים יותר מהגודל הטבעי‪.‬‬
‫ארבעוני יוצא לטיול בחדרי המראות‪ .‬ארבעוני מגיע לביתן הכניסה ועובר משם לחדר‬
‫השמאלי‪ .‬בחדר זה נראה ארבעוני גדול פי ‪ 10‬ממראהו הטבעי‪ .‬בחדר "הענק" יראה ארבעוני‬
‫גדול פי ‪ 10‬ממראהו בחדר הגדול‪ ,‬כלומר הוא יראה גדול פי ‪ 100‬מהמראה הטבעי שלו‪.‬‬
‫תחילה מתואר מסלול ההליכה של ארבעוני באגף השמאלי‪.‬‬
‫התלמידים יתנו שמות לארבעוני בהתאם לחדרים שבהם הוא נמצא‪ .‬בחדר שמראהו "גדול"‬
‫יקרא ארבעוני – ‪ ,40‬בחדר שמראהו "ענק" יקרא ארבעוני – ‪ , 400‬ובחדר שמראהו "ענק‬
‫שבענקים" יקרא ארבעוני – ‪. 4,000‬‬
‫המשך הסעיף מתואר מסלול ההליכה באגף הימני‪ .‬החדרים שבאגף הימני מציינים הקטנה‪.‬‬
‫בחדר שמראהו "קטן" יקרא ארבעוני‬
‫‪4‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ -‬שהרי המשמעות של "להקטין פי ‪ "10‬היא‬
‫חילוק ב – ‪.10‬‬
‫סעיף ב'‪ :‬בסעיף זה מתואר מסלול ההליכה של "חומשי" שהוא כינוי למספר ‪ , 5‬במטרה להבהיר‬
‫לתלמידים כי בסיטואציה זו ניתן לתאר הגדלות והקטנות של מספרים טבעיים שונים‪.‬‬
‫סעיף ג'‪ :‬בשלב זה יש להסב את תשומת ליבם של התלמידים כי חדרי המראות שבציור הם חלק‬
‫ממערכת אינסופית של מראות‪ .‬בפורמליזציה של הדברים יבינו התלמידים כי ניתן להגדיל כל‬
‫מספר ב‪ 10 -‬ובחזקותיו ללא גבול‪ ,‬וכן ניתן להקטין כל מספר ב – ‪ 10‬ובחזקותיו ללא גבול‪.‬‬
‫סעיף ד'‪ :‬עתה יכירו התלמידים קבוצה של מטיילים המייצגים מספר תלת ספרתי‪ .‬שלושת הספרות‬
‫נכנסות לשלושה חדרים סמוכים בסדר קבוע‪:‬‬
‫ארבעוני רואה עצמו ענק שבענקים כלומר‪ ,‬ערכו ‪ 4,000‬ואז ערך הספרה ‪ 5‬הוא ‪ 500‬וערך‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫הספרה ‪ 3‬הוא ‪.30‬‬
‫בסיום הפעילות נשאלים התלמידים איזה מספר מתאים לשלושת המטיילים‪ ,‬אם ידוע‬
‫‪35‬‬
‫שארבעוני עומד בחדר הכניסה‪ .‬יתכן והתלמידים יתקלו בקושי להציג מספר אחד שמציין ‪4‬‬
‫שלמים‪ 5 ,‬עשיריות ו – ‪ 3‬מאיות‪.‬‬
‫הצעות אפשריות‪:‬‬
‫‪453‬‬
‫‪100‬‬
‫או‬
‫‪53‬‬
‫‪100‬‬
‫‪4‬‬
‫לצורך כתיבת מספר זה ללא מכנה נשתמש בנקודה העשרונית ונרשום ‪4.53‬‬
‫על פעילות המורה‪:‬‬
‫פעילות הקישור עוסקת בפורמליזציה לסיטואציה שהוצגה בפעילות הקבוצתית‪.‬‬
‫סעיף א'‪ :‬המורה יציג במליאה את ה"מנורה העשורית"‪.‬‬
‫המנורה כוללת קנה מרכזי‪ ,‬שלושה קנים משמאל לקנה המרכזי ושלושה קנים מימין לקנה‬
‫המרכזי‪ .‬מעל המנורה רשום המספר ‪ 2.53‬כך‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫המורה יעורר דיון על ההקבלה בין המנורה לחדרי המראות‪ .‬הקנה המרכזי משמש תחליף‬
‫למראה המשקפת את הגודל הטבעי‪ .‬הקנים מצד שמאל מחליפים את המראות המגדילות‪,‬‬
‫והקנים מצד ימין מחליפים את המראות המקטינות‪.‬‬
‫המורה ידגים את כתיבת המספר ‪ 253‬מעל לקנים המתאימים במנורה‪ .‬יש להדגים את הערך‬
‫של כל ספרה במספר ‪ . 253‬התלמידים יראו כי הקנה האמצעי מייצג את מקום היחידות‪,‬‬
‫הקנים שבצידו השמאלי מייצגים את העשרות‪ ,‬המאות והאלפים‪ ,‬והקנים שמימינו מייצגים‬
‫עשיריות‪ ,‬מאיות ואלפיות‪ .‬בהמשך מוצגת מנורה נוספת‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫התלמידים נשאלים מה יהיה שמו של המספר במנורה ומתבקשים להציע שם בלי להשתמש‬
‫בשברים פשוטים‪ .‬סביר להניח‪ ,‬שיהיו תלמידים שידעו לומר ‪25.3‬‬
‫גם אם נאמרה התשובה‪ ,‬יבקש המורה להקיש במחשבון את המספר ‪ 253‬ולחלק אותו ב – ‪.10‬‬
‫על הצג תתקבל המנה‪25.3 :‬‬
‫‪36‬‬
‫בשלב זה יש לדון בתפקידה של הנקודה העשרונית כסימן המפריד בין השלמים לבין השברים‬
‫במספרים הנכתבים בשיטה העשרונית‪.‬‬
‫סעיף ב'‪ :‬המורה ידגים על הלוח ‪ 4‬כרטיסי מנורות ויבקש מהתלמידים לרשום מספר מתאים לכל‬
‫כרטיס‪.‬‬
‫בכרטיס א' מיוצג המספר ‪5‬‬
‫בכרטיס ב' מיוצג המספר ‪55‬‬
‫בכרטיס ג' מיוצג המספר ‪500‬‬
‫בכרטיס ד' מיוצג המספר ‪505.5‬‬
‫סעיף ג'‪ :‬המורה יבקש להקיש במחשבון את המספר ‪ 500‬ולחלק אותו ב‪ .10 -‬המנה המתקבלת היא ‪.50‬‬
‫יש לחזור על הפעולה ולחלק ‪ 50‬ל– ‪ , 10‬המנה המתקבלת היא ‪.5‬‬
‫יש לחזור על הפעולה פעם נוספת ולחלק ‪ 5‬ל‪ ,10 -‬המנה המתקבלת היא ‪. 0.5‬‬
‫סעיף ד'‪ :‬המורה יציג על הלוח את המנורות הבאות‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2 4‬‬
‫התלמידים ירשמו מספרים מתאימים‪ 0.24 :‬ו‪ 0.04 -‬והמורה יבסס את משמעות הנקודה‬
‫העשרונית במספר וילמד כיצד יש לקרוא מספרים שיש בהם נקודה עשרונית‪.‬‬
‫חשוב להדגים מספרים עשרוניים שיש בהם אפס ולדבר על משמעותו במספר‪.‬‬
‫על פעילות הפינג‪ -‬פונג‪:‬‬
‫בפעילות זו יש אזכור לערכת "משבצון עשר" ששימשה דגם להצגה גרפית של המספרים הטבעיים‪.‬‬
‫בעבר הכירו התלמידים את המשבצת‪ ,‬הטור והלוח כמייצגים של היחידות‪ ,‬העשרות והמאות‪ ,‬עתה יכירו‬
‫התלמידים את "משבצון עשר" בייצוג אחר‪.‬‬
‫הלוח מייצג יחידה אחת‪ ,‬הטור מייצג עשירית והמשבצת מציינת מאית‪ .‬התלמידים ישתמשו בערכת‬
‫המשבצונים שהיתה ברשותם בשיעור ‪ ,3‬והמורה ידגים בערכה תואמת מחדר החשבון‪ ,‬או בעזרת‬
‫כרטיסים מוגדלים‪ .‬התלמידים יניחו משבצונים המתאימים למספרים שמוצגים בכל פעם‪.‬‬
‫בהדגמת המספרים ‪ 0.05‬ו‪ 0.5 -‬לא השתמשו בלוחות‪.‬‬
‫בהדגמת המספרים ‪ 0.05‬ו‪ 0.5 -‬השתמשו רק בסוג אחד של משבצונים‪.‬‬
‫בהדגמת המספרים ‪ 1.32‬ו‪ 1.23 -‬השתמשו בשלושת סוגי המשבצונים‪ :‬בלוח‪ ,‬בטור ובמשבצת‪.‬‬
‫‪37‬‬
‫על הפעילות היחידנית‪:‬‬
‫רמת הפעילות‬
‫פרוט הפעילות‬
‫משימה ‪ – 4‬יש לכתוב מספרים עשרוניים לפי כרטיסי‬
‫המשבצונים שבספר‪.‬‬
‫משימה ‪ – 5‬במשימה זו יש "הפיכות" למשימה הקודמת‪.‬‬
‫התלמידים יציגו משבצונים למספרים העשרוניים הנתונים‪.‬‬
‫משימה המיועדת לכולם‬
‫משימה לא כ"כ קשה‬
‫משימה ‪ – 6‬יש לכתוב מספרים לפי פרוט המשבצונים שכתוב‬
‫בכל פעם‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬בהצגת ‪ 2‬לוחות‪ 8 ,‬שורות ו‪ 5 -‬משבצות מתקבל‬
‫המספר ‪. 2.85‬‬
‫משימה לא כ"כ קלה‬
‫במשימה זו יש לתת את הדעת לסעיפים ה'‪ ,‬ו'‪.‬‬
‫סעיף ה‪.‬‬
‫‪ 4‬לוחות ו‪ 13 -‬משבצות‪ ,‬המספר התואם ‪ 4.13‬שכן ‪13‬‬
‫משבצות הן טור ‪ 3 +‬משבצות‪.‬‬
‫המספר התואם ל‪ 10 -‬שורות הינו ‪.100‬‬
‫על שיעורי הבית‪:‬‬
‫רמת הפעילות‬
‫פרוט הפעילות‬
‫משימה ‪ – 1‬יש לחבר קו בין הצגה סימבולית להצגה‬
‫גרפית של המספרים‪.‬‬
‫משימה לא כ"כ קלה‬
‫משימה ‪ – 2‬יש לחבר קו בין הצגה מילולית להצגה‬
‫גרפית של המספרים‪.‬‬
‫משימה לא כ"כ קלה‬
‫משימה ‪ – 3‬יש להתאים בין הצגה גרפית לבין הביטויים‬
‫החשבוניים שבעבודה‪.‬‬
‫משימה לא כ"כ קשה‬
‫משימה ‪ – 4‬יש לכתוב ביטוי חשבוני המתאים לכל‬
‫כרטיס משבצונים‪.‬‬
‫משימה לא כ"כ קשה‬
‫הערה‪ :‬מומלץ לכוון את התלמידים לבחור במשימה אחת מבין משימות ‪ 1,2‬ומשימה אחת נוספת מבין משימות ‪.3,4‬‬
‫‪38‬‬