docתלמידים יקרים, בספר שלפניכם מגוון מבחנים לתרגול במתכונת
download 
Report Transcription
תלמידים יקרים, בספר שלפניכם מגוון מבחנים לתרגול במתכונת
תלמידים יקרים, בספר שלפניכם מגוון מבחנים לתרגול במתכונת בחינת הבגרות בהתאם לתכנית ההיבחנות החדשה והמעודכנת של משרד החינוך. מבנה הספר: בפתחו של הספר תמצאו טיפים חשובים להצלחה בבחינת הבגרות ולהימנעות מאיבוד מיותר של נקודות במבחן .מומלץ מאוד לעיין בדפים אלו. חלק א 20 :מבחנים ( 180שאלות) במתכונת בחינת הבגרות לפי תכנית ההיבחנות החדשה ,עם פתרונות סופיים בסוף כל מבחן .פתרונות מלאים לכל המבחנים בחלק ב של הספר. כל השאלות מותאמות לתכנית של משרד החינוך החל משנת תשע"ב (קיץ .)2012 חלק ב :פתרון מלא ,מפורט ומוסבר לכל השאלות .הפתרונות בספר הם בגדר הצעה לדרך פתרון .הדרך שבה נכתבו הפתרונות היא בבחינת המלצה לדרך הפתרון ולדרך רישום התשובות ,כך שהפתרונות יהיו מלאים ,נוחים לכם כפותרים ונוחים לקריאה של הבודקים. מובן שייתכנו דרכים נוספות ,ואם מצאתם כאלה והגעתם לפתרון הנכון ,יישר כוחכם! חלק ג :נספחים הכוללים הסברים נוספים ,פירוט מורחב והעמקה במספר נושאים. נספח 4מכיל נוסחאות נוספות שלא רשומות בנוסחאון שתקבלו בבחינת הבגרות .מומלץ מאוד ללמוד בעל פה נוסחאות אלו .תוך כדי הלימוד לבחינה ,תוכלו להעשיר דפים אלו עם נוסחאות נוספות הדרושות לכם. דף נוסחאות לרמת 4יח"ל שיהיה ברשותכם בעת הבחינה. מבנה הבחינה (פרטים ניתן למצוא באתר של משרד החינוך .חפשו ערך“ :מפמ"ר מתמטיקה") משך הבחינה :שלוש שעות וחצי 2 הבחינה מורכבת משלושה פרקים .בכל פרק ,עליכם לפתור שתי שאלות .ערכה של כל שאלה 3 . 16 פוקוס במתמטיקה — שאלון — 804זיגרסון 7 פרק א — בחירה של 2מתוך 3 אלגברה ,בעיות מילוליות ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות פרק ב — בחירה של 2מתוך 3 גיאומטריה ,טריגונומטריה במישור פרק ג — בחירה של 2מתוך 3 חדו"א של פולינומים ,פונקציות רציונאליות ופונקציות עם שורש ריבועי .כולל ,בעיות ערך קיצון עם פונקציות אלו. פרק האינטגרלים כולל חישוב שטחים (לא כולל נפח גוף סיבוב) דרך מומלצת לעבודה עם הספר פתרו את כל השאלות בכל מבחן ללא בחירה. השאירו 3—2מבחנים לסיום העבודה לצורך בדיקה עצמית .מבחנים אלו פתרו על פי הכללים הנדרשים בבחינה (שמרו על מסגרת הזמן ואופן הבחירה). פתרו תחילה כל שאלה בכוחות עצמכם ובדקו את התוצאה מול התוצאה הסופית הרשומה בסוף המבחן. אחרי שניסיתם ,ואם התקשיתם בפתרון שאלה ,התבוננו בדרך הפתרון המוצעת .סמנו לעצמכם שאלה זו ,ולאחר זמן חזרו ונסו לפתור את השאלה שנית ,והפעם ללא עזרת הפתרון שבספר. גם אם הצלחתם לפתור שאלה בכוחות עצמכם ,מומלץ לעיין בפתרון המוצע .ייתכן שתקבלו רעיון חדש כלשהו. בהצלחה, ורדה 8 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי ,המהווה עברה פלילית. טיפים להצלחה בבחינת הבגרות חשוב לדעת: הערכת הבחינה נעשית באופן אוהד ומתוך רצון בהצלחת התלמידים .לכן לרוב אופן הניקוד הוא מתן נקודות לסעיפים שנפתרו נכון ולא קנס על שגיאות .עם זאת ,יש כמה שגיאות שגוררות הורדת נקודות (“קנס") .שגיאות אלו מפורטות בהמשך. מילון מונחים מקובלים לסוגי שגיאות שגיאת חישוב .לרוב שגיאה זו גוררת הורדת 10%—5%מערך השאלה ,וממשיכים לבדוק את השאלה בהתאם לשגיאה .שגיאה כזו נקראת “שגיאה נגררת". שגיאה נגררת — סעיף שגוי (או פרט שגוי) לא יזוכה בניקוד שהוקצה לו .עם זאת ,השאלה תמשיך להיבדק, ואם יתרת הדרך נכונה ,בהתאם לשגיאה ,יינתן כל הניקוד המוקצה להמשך במלואו. שגיאה קטלנית — שגיאה שאין אפשרות להגיע אחריה לפתרון נכון ומשמעותי ,ולכן יינתן ניקוד לשאלה עבור כל הסעיפים שנעשו נכון עד שגיאה זו ,ומשגיאה זו ואילך תיפסק הבדיקה. שימו לב ,לפעמים נעשית שגיאה הנראית לכם “קטנה" (למשל ,שגיאת חישוב ,שגיאה בקריאת הנתונים וכדומה) שמשנה את מהות השאלה או הופכת אותה לקלה בהרבה מהשאלה המקורית .במקרה כזה ייתכן שעבודתכם תמשיך להיבדק ,אבל הניקוד שיינתן להמשך יהיה מופחת ,לכן: הקפידו על קריאת הנתונים ועל בדיקת החישובים ,במיוחד בתחילת השאלה. טיפים להצלחה בבחינה קראו תחילה את כל השאלות במטרה להחליט אילו מבין השאלות נראות קלות מהאחרות. חובה להתחיל בשאלות הקלות יותר ולא להתעקש לפתור את הקשות קודם. בהתחלת פתרון של כל שאלה ,קראו פעמיים את הנתונים והקפידו להעתיקם נכון למחברת. בסיום הפתרון ,חזרו לשאלה ובדקו שלא שכחתם סעיף או פרט נוסף שנדרש מכם. יש לפתור כל שאלה בדף נפרד .באופן זה ,אם נתקלתם בקושי בפתרון סעיף כלשהו בשאלה ,תוכלו לעזוב את הסעיף הבעייתי ולחזור אליו מאוחר יותר .הקפידו לסמן לעצמכם לחזור לסעיף שהשארתם לסוף הבחינה ,כדי שלא תשכחו לעשות זאת .חשוב לא להקדיש זמן רב מדי לסעיף שבו נתקלתם בקושי. גורם הזמן חשוב. פוקוס במתמטיקה — שאלון — 804זיגרסון 9 אם פתרתם שאלה ואתם חושדים שיש לכם שגיאה שאינכם מצליחים לאתר ,אל תמהרו למחוק את כל השאלה .במקרה זה ,נסו את אחת הדרכים הבאות: — עזבו את השאלה ונסו שאלה אחרת .אם הצלחתם לפתור את השאלה האחרת בצורה טובה יותר, חזרו ומחקו את השאלה השגויה. — אם לא איתרתם את השגיאה ולא הצלחתם שאלה אחרת (או אם אין לכם זמן לשאלה אחרת) ,אל תפסיקו את הפתרון .המשיכו ככל האפשר עם השגיאה שלכם .ייתכן ששגיאתכם תיחשב לשגיאה נגררת. — אם פתרונכם השגוי מביא אתכם למסקנה שונה מהנדרשת בשאלה (למשל ,נדרשתם למצוא נקודת מקסימום וקיבלתם שהנקודה היא מינימום) ,רשמו את המסקנה שאליה הגעתם עם שגיאתכם ונמקו אותה בהתאם. — רצוי להוסיף הערה שתראה לבודקים שאתם מודעים לשגיאה אבל ממשיכים איתה בלית ברירה. לידיעתכם ,מחברת הבדיקה נבדקת לפי סדר הופעת השאלות במחברת .אם התחלתם שאלה ורשמתם בה שורה אחת שגויה ,ולאחר מכן פתרתם שאלה זו שנית והפעם באופן נכון במלואו ,הבודקים יתייחסו לגרסה הראשונה השגויה ולא לגרסה השנייה הנכונה .חובתכם למחוק את הגרסה השגויה! חובה למחוק שאלות מיותרות .אם פתרתם שאלות עודפות ,השאלות ייבדקו לפי סדר הופעתן במחברת, גם אם בשאלה הראשונה כתובה שורה אחת בלבד והשתיים האחרות נכונות במלואן .חובה עליכם להשאיר רק שתי שאלות בכל פרק! שאלות/סעיפים שפתרתם והחלטתם למחוק ,בטלו באמצעות העברת קו מחיקה שישאיר אפשרות לבודקים לעיין בהם במקרה הצורך .במקרים של היעדר חישובים ונימוקים בגוף הפתרון (דבר שעלול לגרום לאיבוד נקודות או לעורר חשד בהעתקה) ,הבודקים יעיינו בטיוטה שהשארתם .אם הפרטים החסרים מופיעים בטיוטה ,הבודקים יתחשבו בכך ויזכו אתכם בניקוד המתאים. הקפידו לנמק ולרשום את כל שלבי החישוב. מומלץ לסמן במרקר או למסגר תשובות סופיות. בסיום המבחן ,אם נשאר לכם זמן ,קראו שנית את עבודתכם .בדקו שלא שכחתם סעיפים ותת סעיפים. בדקו שחזרתם ותיקנתם פרטים שהשארתם לסוף המבחן. 10 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי ,המהווה עברה פלילית. הבחינה והמלצות בנושאי טיפים טיפים בנושא אלגברה :משוואות יש מספר כללים שחשוב לשים לב אליהם בפתרון .המשוואה האגפים של שני שצריך על פעולה לבצע כל יש,ידוע .אפס איננו לוודא יש פרמטרי בביטוי שני מחלקים אינו ערכו אם אגפים כאשר שהביטוי להתנות את .החילוק בכך שהביטוי איננו אפס :דוגמה שווה לבדוק את האפשרות שהגורם יש, כשיש במשוואה גורם המכיל את הנעלם והמשותף לשני אגפים .של פתרון חילוק לא זהיר עלול לגרום לאיבוד.לאפס לפני שמחלקים בו את שני האגפים כל האיברים באגף לכנס את הדרך המומלצת לפתרון משוואות שיש בהן גורם משותף לשני אגפים היא : לפרק לגורמים ולהשתמש בכלל,אחד כך שבאגף השני יישאר אפס :דוגמה בשני ( x − 2) קל להבחין שחילוק לא זהיר בגורם הפתרון האגפים (בשורה השנייה) היה מביא לאיבוד .למשוואה והיתה מתקבלת תשובה שגויה שאין פתרון ששייכים שעלולים להתווסף פתרונות כאשר משתמשים בהעלאה בריבוע של שני אגפים יש לשים לב משתמשים לכן.המקורית כאשר למשוואה שהתקבלה אחרי ביצוע הפעולה אך אינם שייכים למשוואה הפתרונות בפעולה זו לצורך פתרון המשוואה חובה לבדוק את נכונותם של כל באמצעות שהתקבלו .הצבתם במשוואה המקורית טיפים בנושא הסתברות 1 ראו נספח 11 — זיגרסון804 פוקוס במתמטיקה — שאלון טיפים בנושא גיאומטריה חובה לנמק ולהוכיח כל שלב בעזרת שימוש במשפטים מוכרים או בטענות שנומקו בשלבים קודמים. מומלץ לרשום הוכחות בטבלה שכותרותיה: מספר השלב טענה נימוק יתרונות הרישום בטבלה: — לכל טענה חובה לצרף נימוק .אם יישאר מקום ריק בטבלה ,הדבר יזכיר שחסר נימוק לטענה. — לכל טענה יש כתובת (מספרה הסידורי) .באופן זה ,אם מתבססים על טענה קודמת ,אפשר להפנות את הקורא לטענה זו בציון מספרה הסידורי .לדוגמה“ :ראו טענה .)"3 — צורת הכתיבה בטבלה מסייעת לרשום את הטענות בסדר הלוגי הנכון ,באופן שכל טענה מסתמכת על השלבים הקודמים לה. כשהטענה נשענת על משפט גיאומטרי ,חובה לצטט את המשפט במדויק .ההכרח לעשות זאת יזכיר לכם אם שכחתם שלב מקדים .לדוגמה ,הנימוק “זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות" מזכיר לשים לב אם מופיעה לפני כן הטענה המציינת את קיום הישרים המקבילים. מותר להשתמש בכלים טריגונומטריים ,אך יש לשמור על כללי ההנמקה כשמשתמשים בטיעונים גיאומטריים. אין חובה לרשום בסוף הוכחה את ראשי התיבות מ.ש.ל ,.אולם חובה להקפיד שההוכחה תתחיל בשורה שהנימוק לה הוא “נתון" (או ציטוט של משפט ידוע שכמוהו כנתון) ותסתיים בטענה שצריך להוכיחה. טיפים בנושא טריגונומטריה מרבית השאלות בטריגונומטריה מצריכות שימוש במשפטים גיאומטריים .תלמידים רבים מתלבטים בשאלה באיזו מידה עליהם להתעמק בנימוקים הגיאומטריים של הפתרון ,מתוך התחשבות במגבלות הזמן העומד לרשותם. המלצות: התחילו שאלות בטריגונומטריה בחישוב כל הזוויות שאפשר לחשב (חישוב מספרי אם יש נתונים מתאימים או ביטוי באמצעות פרמטרים β ,αוכדומה על פי מה שמתאים בשאלה) .לרוב ,הנימוקים לחישובי זוויות אלו חוזרים על עצמם ,כך שתוכלו לנמק קבוצת חישובים באמצעות משפט אחד. 12 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי ,המהווה עברה פלילית. טיפים בנושא טריגונומטריה מרבית התרגילים בטריגונומטריה מצריכים שימוש במשפטים גיאומטריים .תלמידים רבים מתלבטים בשאלה באיזו מידה להתעמק בנימוקים הגיאומטריים של הפתרון ,תוך התחשבות במגבלות הזמן על .פי המשפט סכום הזוויות במשולש "1800או “סכום הזוויות לדוגמה“ :חישוב כל הזוויות נעשה העומד לרשותם המלצות ."90:0בכך תחסכו חזרה על הנימוק מספר רב של פעמים. החדות במשולש ישר–זווית הוא התחילו תרגילים בטריגונומטריה בחישוב כל הזוויות ש מסוימים בין זוויות .לדוגמה: יתרון נוסף להתחלה כזו :במקרים רבים הדרך מתבהרת כשמגלים קשרים אפשר לחשב )חישוב מספר י אם יש נתונים מתאימים או ביטוי באמצעות פרמטרים ,β ,αוכדומה על פי מה שמתאים בתרגיל ( .לרוב, אם מגלים ששתי זוויות מידתן ,90–αאפשר להסיק שהמשולש שווה–שוקיים .הסקה כזו עשויה להוביל הנימוקים לחישובי זוויות אלו חוזרים על עצמם ,כך שתוכלו לנמק קבוצת חישובים באמצעות לדרך הפתרון. משפט אחד .לדוגמה" :חישוב כל הזוויות נעשה על פי המשפט סכום הזוויות במשולש "1800או המשפט. הוא משפט תחסכו חזרה על הנימוק מספר רב של של" .בכך ציטוט 900 זווית הוא הנימוקישר גיאומטרי .במשולש הזוויות החדות על"סכום חובה לנמק כל שלב שנשען פעמים. או במשפט הקוסינוס ,יש לציין באיזה משולש נעשה השימוש .אזכור כשמשתמשים במשפט הסינוסים -יתרון נוסף להתחלה כזו :במקרים רבים הדרך מתבהרת כשמגלים קשרים מסוימים בין זוויות . המשולש יסייע בידכם לבדוק שאכן השתמשתם במשפט באופן הנכון. לדוגמה :אם מגלים ששתי זוויות מידתן ,90-αאפשר להסיק שהמשולש שווה שוקיים .הסקה כזו עשויה להוביל לדרך הפתרון. שגיאות שכיחות (זהירות! חובה לנמק כל שלב שנשען על משפט גיאומטרי .הנימוק הוא ציטוט של המשפט . קטלניות!) כשמשתמשים במשפט הסינוסים או במשפט הקוסינוס ,יש לציין באיזה משולש נעשה השימוש . בשימוש במשפטי הסינוסים והקוסינוס יש להיזהר מהכנסת אורכי קטעים שאינם שייכים לאותו אזכור המשולש יסייע בידכם לבדוק שאכן השתמשתם במשפט באופן הנכון . משולש. שגיאות שכיחות )זהירות! קטלניות!( הסינוס ים והקוסינוס יש להיזהר מהכנסת אורכי קטעים שא ינם שייכים לאותו בשימוש במשפטי a בשימוש במשפט הסינוסים שנוסחתו= 2 R : משולש. המשולש שמכיל את a דוגמה: sin α יש לזכור כי Rהוא הרדיוס של המעגל החוסם את ו– αכחלקיו. a יש להיזהר משימוש שגוי במשפט הסינוסים שנוסחתו 2 R : sin . המשולש ABCשבסרטוט ,חסום במעגל שרדיוסו .R יש לזכור כי Rהוא הרדיוס של המעגל החוסם את המשולש שמכיל את aו α-כחלקיו. נתוןA=α ,DO=a : a יש לשים לב שלא מתקיים = 2 R ∡A=α ,DO=a נתוןsin α : דוגמה :המשולש ABCשבסרטוט ,חסום במעגל שרדיוסו .R .O a יש לשים לב שלא מתקיים 2 R sin R a A α D כי המעגל שרדיוסו Rאינו חוסם את Δ ADO כי המעגל שרדיוסו Rאינו חוסם את Δ ADO B C טיפים בנושא חשבון דיפרנציאלי יש לרכז את כל ממצאי החקירה לפני שניגשים לסרטוט הסקיצה .בסרטוט חובה להתייחס לכל הממצאים :לתחום הגדרה ,לנקודות חיתוך עם הצירים (ולא פחות חשוב — להיעדר נקודות חיתוך!), לתחומי עלייה ותחומי ירידה ,לאסימפטוטות אופקיות וכמובן לנקודות הקיצון. בסרטוט גרף של פונקציה שתחום ההגדרה שלה אינו רציף יש להקפיד לסרטט ענף של גרף הפונקציה בכל חלקי תחום ההגדרה .אי סרטוט ענף עלול להפחית 10%מערך התרגיל. פוקוס במתמטיקה — שאלון — 804זיגרסון 13 כדאי לרכז את כל ממצאי החקירה לפני שניגשים לסרטוט הסקיצה .בסרטוט חובה להתייחס לכל חיתוך!(, להיעדר נקודות פחות.חשוב - הצירים )ולא לנקודות חיתוך הגדרה , לתחום הממצאים להתייחס לכל בסרטוט חובה הסקיצה עםלסרטוט שניגשים החקירה לפני ממצאי את :כל כדאי לרכז לנקודות אופקיות לאסימפטוטות לתחוםוירידה , לתחומי :עלייה הקיצון -.להיעדר נקודות חיתוך!(, פחות חשוב וכמובן )ולא הצירים חיתוך עם הגדרה ,לנקודות הממצאים להקפיד לסרטט ענף של גרף הפונקציה לנקודות יש אינו רציף , אופקיותשלה שתחוםותההגדרה פונקציה גרף של בסרטוט הקיצון . וכמובן לאסימפטוט וירידה , עלייה לתחומי 10%מערך איבוד של לגרום עלול ההגדרהענף חסרונו של ההגדרה . תחום בכל התרגיל .גרף הפונקציה לסרטט ענף של להקפיד רציףל ,יש אינו שלה שתחום פונקציה חלקישל בסרטוט גרף דוגמה לשגיאה מסוג זה: ההגדרה .זה : לשגיאה מסוג חסרונו של ענף עלול לגרום לאיבוד של 10%מערך התרגיל. דוגמהתחום בכל חלקי דוגמה לשגיאה מסוג זה : בחלק ענף ענף סרטוט בחלק זה איחסר התחום של זה של התחום חסר ענף בחלק זה של התחום בסרטוט גרף יש להקפיד לסרטט גרף ש מהווה פונקציה .כלומר ,שלא יהיה ערך xעם יותר מערך yאחד. בסרטוט גרף יש להקפיד לסרטט גרף שהוא פונקציה .כלומר ,שלא יהיה ערך xעם יותר מערך yאחד. מסוג זה : לשגיאה דוגמה לסרטט גרף ש מהווה פונקציה .כלומר ,שלא יהיה ערך xעם יותר מערך yאחד. להקפיד גרף יש בסרטוט דוגמה לשגיאה כזו: דוגמה לשגיאה מסוג זה : יש להימנע מ רישום שגוי כשגוזרים את המונה של ) f '(xלצורך בדיקת סוג של נקודה "חשודה" נספח f '(x).2לצורך בדיקת סוג של נקודה "חשודה" המונה של כשגוזרים את יש להימנע מ והרחבה ב שגוי .ראו הסבר רישוםאלית בפונקציות רציונ "חשודה" בפונקציה נקודה בדיקת סוג את המונה כשגוזרים שגוי מרישום להימנע יש תחומי וסוגן ואת לצורךהקיצון )f '(xנקודות של את לרשום חובה פונקציה חקירת לצורך בטבלה נספח .2 והרחבה ב הסבר ראו כשמשתמשיםאלית. בפונקציות רציונ בנספח .2 והרחבה הסבר ראו רציונלית. 10%ועד ואתשל לאובדן עלול רישום כזה הבדיקה .אי לטבלת מחוץ מפורש באופן והירידה העלייה תחומי לגרוםוסוגן הקיצון נקודות לרשום את חובה פונקציה חקירת לצורך בטבלה כשמשתמשים השאלה. מערך ואת תחומי העלייה נקודותשלהקיצון לרשום פונקציה לצורך חקירת כשמשתמשים 25% 10%ועד אתלאובדן לגרום חובה עלול רישום כזה הבדיקה .אי בטבלהלטבלת מפורש מחוץ והירידה באופן העלייה לטבלתוירידה. בתחומי על ייה לציין זאת הגדרה, נקודת אי כשיש השאלה. מערך 25% הבדיקה .יש המסתפקים בכך שהדברים רשומים בטבלה מפורש מחוץ חובהבאופן הירידה ותחומי השאלה.ולה בתחום שבין x=2לבין x=6נרשום שהפונקציה ע ונניח ההגדרה, לצייןאי קודת היא נ איx = 4 נקודתאם דוגמה: מערךוירידה. על ייה בתחומי ביןזאת חובה הגדרה, כשיש ל–25% 10% בשל כך ומאבדים x=6 x=2 בתחום לרשוםולה שהפונקציה ע x = 4 את :אם דוגמה נרשום. אחרת: בדרך העלייה: תחום הירידה2 x. לבין 6 ובתחומיוגם שביןx חובה2 ההגדרה x, הגדרה, איאי 4או 4 קודת נקודתx היא6נ דוגמה :אם x = 4היא העלייה בתחומי אפשרזאת ונניח.לציין כשיש . 2וגם". המילה " תחוםזו יש את בדרך אפשר לרשום בדרך אחרת x :וגם . 2 x 6 את x 4 להוסיףאו להקפיד4 x העלייה6 : נקודת אי ההגדרה ונניח שהפונקציה עולה בין x = 2לבין ,x = 6נרשום :תחום העלייה הוא4 < x < 6 : לרשום גם את שיעור ה .y-נקודה(x , y) : אתיש ל נקודה, למצוא כשמבקשים הקפידוגם". המילה " להוסיף להקפיד בדרך זו יש או .2 < x < 4אפשר לרשום בדרך אחרת x ≠ 4 :וגם .2 < x < 6בדרך זו יש להקפיד להוסיף את המילה חובה לרשום א ותה כמועמדת ש אינה מתקבלת קיצון בחיפוש אם ההגדרה (x , y), בתחום נקודה: שיעור ה.y- נקודהאת לרשום גם הקפיד נקודותיש ל אחרנקודה, למצוא כשמבקשים "וגם". מתאים. קיצוןהערך א ולנמק מדוע אםלקיצון, ש אינה בתחום ההגדרה ,חובה לרשום א ותה כמועמדת ינו נקודה מתקבלת לפסולנקודות בחיפוש אחר נקודה(x , y) : שיעור ה–.y לרשוםשלגם את נקודה, כשמבקשים השאלה. 10%מערך להקפידלאיבוד יש.ה לגרום עלול שנפסלת המועמדת מרישום הימנעות מתאים למצואאינו הערך ולנמק מדוע לפסול לקיצון, בתחום ההגדרה ,חובה לרשום גם אותה מתקבלתשלנקודה עלולהקיצון נקודות המועמדת אחר אם בחיפוש הימנעות שאינההשאלה. 10%מערך לגרום לאיבוד שנפסלת מרישום כמועמדת לקיצון ,ולאחר מכן למחוק באמצעות קו מחיקה ולנמק מדוע הערך אינו מתאים. אי רישום המועמדת שנפסלת עלולה להפחית 10%מערך השאלה. 14 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי ,המהווה עברה פלילית. אינטגרלי בנושאחשבון טיפיםבנושא טיפים אינטגרלי חשבון אינטגרלי חשבון בנושא טיפים כמה שגיאות: בו כמה המכיל שגיאות: אינטגרלים שיש לרישוםאינטגרלים דוגמהלרישום לפניכםדוגמה לפניכם 4 לפניכם דוגמה לרישום אינטגרלים המכיל כמה שגיאות: אינטגרלי חשבון טיפים בנושא חשבון אינטגרלי בנושא טיפים 1) S x 24 5 x 4 לרישוםהמכיל כמה אינטגרלים לרישום שגיאות:כמה שגיאות: אינטגרלים המכיל דוגמה לפניכם דוגמהלפניכם 1) S 1 x 2 5 x 4 2 4 x3 x 4 1 2) S 4| 2 35 242 x 4 1 ) S 1) S 1 x3 x 5 x 24xx 5 x 4 2) S | 5 1 4x 1 41 3 1 3 4 2 2 3 13 2 12 4 3) S 4 x ) 4 ( x35 24 1 3 5 2 44x 3 2 x 1 4 | 4 x 5 3 1 42x 1 4 2) 3S) S |3 4 2)552S 4 4 ( 5 4 1 ) 3 2 1 3 2 1 2 1 3 5 2 31 2 3 2 S 32 1 2 4| 34 |4324 2 1 4 4 )4 33)24S6 5 25 1 2 4 114 (1 5 1 4 11 )3) S S 25 1 4 4| 4( | 54 4 1 3 3 2 63 223 להלן ניתוח השגיאות שנעשו בדוגמה הנ"ל והצעות2לתיקונן22 :3 21 5 1 1 1 2 5 והצעותלתיקונן: והצעות הנ"ל בדוגמה שנעשו ניתוח באינטגרל".ל הנ בדוגמה השגיאות ניתוח שנעשוdx רשום השגיאותלא השגיאה: להלן. להלן 1 לתיקונן S 2 1S | 24 |1 4 | 4 | 4: 32 6 2 2 2 3 6 באינטגרל. dx לא .1 .1 באינטגרל. רשוםdx רשום השגיאה:לא השגיאה: 4 לתיקונן : שנעשול בדוגמה הנ" שנעשו השגיאות להלן ניתוח והצעותהנ 2 והצעות לתיקונן : ל " בדוגמה השגיאות ניתוח להלן התיקון :צריך להיות S ( x4 5 x 4)dx באינטגרל. dx רשום .1השגיאה.1:לא רשום צריךלא השגיאה: להיות צריך התיקון: באינטגרלS 1 ( x.2 5 x 4dx )dx להיות התיקון: 1 תבנית4הפונקציה ,ולכן יש להוסיף סוגריים . שימו לב :הביטוי dxכופל 4את כל 2 2 ()xdx להיות 5 xdx צריך 4 )dx צריך התיקון: dx הביטוי לב: סוגריים. ולכןישישלהוסיף הפונקציה ,ולכן הפונקציה, את כופל תבנית S ( x תבנית כל5Sx כל את4 להיות: התיקון . סוגריים להוסיף כופל אילב: ימו שימוש קנס של 5%ואי רישום סו גריים עוד .5%סך הכול עלולים לאבד כאן 10% הביטוי גורר רישום dx 1 1 סוגרייםך .הכול עלולים לאבד כאן 10% להוסיף .5%ס גריים עוד רישום תבנית 5%ואי קנס של גורר dx dx רישום אי השאלה. מערך סויש ולכן הפונקציה , הביטוי כל את כופל הביטוי ולכן יש להוסיף סוגריים . הפונקציה , תבנית dxכופל את כל ימו לב: שימו לב :ש השאלה. .2מערך הביטוי. שמאל עלוליםבצד עלוליםנרשם שלב נוסף , לביצוע הוראה שמהווה הגבולות, ציון עם הקו השגיאה: 10% כאן לאבד הכול גרייםך עודס .5% עוד גריים רישום ואי קנס גורר מערך של10% כאן לאבד סך .5% סוגריים רישום 5%שלואי 5%של שלקנס dx רישום אי אי 10% כאן לאבד עלולים הכולך הכול .5%ס עוד סו רישום 5%סוואי קנס גורר גוררdx רישום רישום dxאי נרשם xבצד שמאל של הביטוי. נוסף , הוראה שמהווה , הגבולות ציון עם הקו : השגיאה .2 3 לביצוע שלב 2 4 x השאלה.. מערך השאלה השאלה. מערך לרשום את הקו עם הגבולות בצד התיקון :יש S ( 35 ימין | )2 4 x 4 נרשם2בצד x נוסף x , שמ3 1 הביטוי. של אל שלב לביצוע הוראה שמהווה הגבולות, השגיאה.2:הקו הוראהימין בצד הגבולות עם הקו את יש עם: התיקון הביטוי. של של אל שמ בצד לביצוע שמהווה הגבולות, ציון לרשוםעם עםהקו ציון: השגיאה נרשםS נרשם נוסף ( , נוסף, שלב5 שלב לביצוע 4 x הוראה| ) הביטוי. שמאל בצד שמהווה הגבולות, ציון הקו השגיאה: .2 .2 חייב 3 2 1 להיות חיובי ,נעשה תיקון ע ל ידי שהשטח כיוון . שלילי התקבל האינטגרל של ערכו : השגיאה . 3 3 32 24 4 ימיןx=3 ( x S−x25(⋅ xx +544xx) | בצד אתעם הקו לרשום התיקון :יש S בצד הגבולות אתעם הקו את לרשום התיקון :.יש 4 x ) ימין | תקין .נעשה תיקון ע ל ידי להיות שהשטח כיוון שלילי התקבל האינטגרל של ערכו השגיאה: 3 תיקון.בצד הגבולות לתוצאה .עם הקו לרשום יש התיקון: כפי הגבולותה אבל מוחלט ערך הוספת חיובי S, אינו( בדוגמה נעשהחייב 5 4 שהוא )x ימין | 1 3 3 2 32 1 21 חיובי .,נעשה תיקון באמצעות להיות חייב שהשטח כיוון האינטגרל של הוספתערכו .3השגיאה: אינו תקין בדוגמה שלילי.כפי התקבלה2תיקון אבל נעשה 1 שהוא1 לתוצאה 5 . מוחלט 1 ערך 1 שגיאה.ע ל חיובי .3השגיאה.3:ערכו של וזו ,כמובן שהשטח: משמעו הרישום שהשטח להיות4 חייב 4 שלילי2 . האינטגרל1 התקבל האינטגרל|של | 4 ערכו השגיאה4 : ידי תיקון ע ל ידי נעשה תיקון, נעשה חיובי להיות חייב כיוון כיוון שלילי. התקבל 1 נעשה2 1 שהוא 2 לתוצאה5 .אבל3 2 6 מוחלט 2 1 הוספת ערך 2 1 כמובןתקין. תקין .אינו בדוגמה כפי התיקון נעשה שהוא הוספת ערך שגיאה. אינו וזו משמעו: הרישום בדוגמה 4 כפי 4 אבל תיקון .כפי2 לתוצאה ה 1 אבל | לתוצאה 4 . ערך| מוחלט 4 תקין . בדוגמה אינו נעשה שהוא תיקון ה מוחלט הוספתב1 2 1 להוסיף 2 6 דרך א5 2: מוחלט לאורך1כל1 2 2 3 : התרגיל ערך תיקון משמעו − 4 = 41 :וזו כמובן שגיאה. הרישום 1 2 − 25 3 − 1 62 1= | 5−4 21 |= 41 2 1 וזו 1 כל12 4 2 . שגיאה כמובן : משמעו הרישום : התרגיל לאורך מוחלט ערך להוסיף : א דרך ב תיקון 4 2 1 | 4 | 4 4 3 2 כמובן שגיאה. משמעו 4x 4 4 :וזו x הרישום 2 2 5 1 |14 |14 2 2 | S | ( x4 2 5 x 4)dx | 35 2 2 4 x 2| | | 22 21 3 | 6| 4 3| 2 46 2 4 2 2 6 3 3 2 x x 1 1 1 5 2 2 כל |: התרגיל לאורך מוחלט להוסיף תיקון א: תיקון בדרך מוחלט דרך 4א | S 1 | ( x 5 x 4)dx | התרגיל 5 : התרגיל 4: כל | x לאורך 2 מוחלטכל 1 להוסיף | ערך: ערך | להוסיף| ערך4 לאורך| תיקון בא: בדרך 2 2 6 3 3 2 1 1 4 כאשר השטח3 2 האינטגרל יצא שערך מתחת לציר ,x 3צפוי תיקון בדרך ב )לטעמי פשוט ביותר:(4 4 x 4)dx | x2 | x 45 x 42 x | | 5 | 2 2 11 5 | |14 1 | 4 1 2 S | ( x 2 5x יצא S שערך 5 x לציר |4 ,x השטח| 4 x פשוט| | 4 | 4 האינטגרל| ( x צפוי| 4)dx מתחת 5 כאשר| | ביותר(2 1: 2 תיקון בדרך 2ב )2לטעמי3 2 6 32 2 3 1 2 3 1 6 1 1 שלילי .במקרה זה אני ממליצה לרשום מהתחלה S ( x4 5 x 4)dx : 2 יצא האינטגרל צפוי השטח כאשר ביותר(: פשוט לטעמי שלילי). תיקון בדרך ב האינטגרל יצא שערך צפוי השטח כאשר (: ביותר פשוט לטעמי בדרך ב שערך S,x1 צפוי ( x,x מתחת מתחת5,xx לציר4 מתחת )dx השטח: מהתחלה לרשום ממליצה זה במקרה שלילי. האינטגרל יצא שערך לציר כאשר ביותר): (לטעמי)אניפשוט תיקון ב בדרך תיקון לציר1 לרשום: 4 4 2 לרשום ממליצה אני שלילי.במקרה לרשוםx 4)dx מהתחלה:: מהתחלה לרשום ממליצה אני זה במקרה מהתחלה S (3x 2 5Sx24()xdx4 :5 זה: לרשום ממליצה זה אני במקרה שלילי. 4 2 5 1 x x 1 2 S ( x4 5 x 4)dx 1 35 24 x | 4 2 1 4 3 x 2x 1 3 26 5 2 1 לרשום: לרשום: S 1 ( x 2 5 x 4)dx 5 4x | 2 1 4 3 2 3 6 2 1 1 4 3 2 4 S 44 12 2 xx3 4)dxx 2 x 4 5 x 2 4 x |5 2 2 1 1 5 4 1 ( 5 S x 2 1 15 S S ( x4 5 x 4)dx 5 4x | 2 1 4 2 3 16 32 6 2 שאלון —1 804זיגרסון במתמטיקה — 3 פוקוס 2 3 1 1 2 . ראו דוגמה בפתרון שאלה 9במבחן 2 1 1 S 4 ראו דוגמה בפתרון שאלה 9במבחן .2 S 4 2 2 4 שלילי .במקרה זה אני ממליצה לרשום מהתחלה S ( x 2 5 x 4)dx : 1 לרשום: 4 2 5 1 x3 x2 5 4x | 2 1 4 3 2 3 6 2 1 לרשום: במבחן .)2 שאלה 9 בפתרון (ראו ראו במבחן .2 שאלה 9 בפתרון דוגמהדוגמה 4 S ( x 2 5 x 4)dx 1 1 2 S 4 טיפים בנושא בעיות ערך קיצון השלבים לפתרון בעיית ערך קיצון: .1בחירת הגודל שיהווה את משתנה הפונקציה (יסומן ב–.)x .2זיהוי כל הגדלים הרלוונטיים לבעיה וביטויים באמצעות .x .3הגדרת הפונקציה שאת ערכה הקיצוני (מינימום/מקסימום) מחפשים. .4הגדרת תחום ההגדרה של הפונקציה בהתאם לחוק ההתאמה שלה ובהתאם לתנאי הבעיה. .5גזירת הפונקציה ומציאת נקודות מועמדות לקיצון (דרישה .)f ‘(x)=0 .6בדיקת סוג נקודת הקיצון שנמצאה והוכחה שהיא אכן הסוג הנדרש (מינימום או מקסימום). .7חזרה לקריאת השאלה והשלמת התשובות המבוקשות. מומלץ מאוד לנסות להתמודד עם נושא זה .רוב התלמידים שאינם נרתעים מהנושא ופותרים את השאלה מקבלים ניקוד גבוה לשאלה. 16 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי ,המהווה עברה פלילית. מבחן מתכונת מס' 1 פרק ראשון :אלגברה (כולל בעיות מילוליות) ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות (סה"כ 33 1 :נקודות) 3 2 ענו על שתיים מבין השאלות ( .3—1כל תרגיל: 3 16נקודות) שאלה 1 חקלאי יצא מביתו כשפניו למושב שמרחקו 40ק"מ מביתו .הוא נסע ,בטרקטור ,במהירות קבועה20 . דקות אחרי צאתו ,יצא בעקבותיו בנו ,בטנדר ,במהירות 45קמ"ש .הבן הדביק את אביו ,וללא עיכוב יצא בדרכו חזרה לביתו באותה מהירות בה החל את נסיעתו .החקלאי ,בהמשך דרכו לכיוון מושב היעד הכפיל את מהירותו ההתחלתית .ברגע בו הגיע החקלאי למושב היעד ,הספיק הבן לעשות רבע מהדרך בין מקום המפגש וביתו. מצאו באיזו מהירות החל הטרקטור את דרכו ובאיזה מרחק מהבית הדביק הבן את אביו. שאלה 2 במלבן ABCDאחד האלכסונים נמצא על הישר8y – x = 20 : ושניים מקדקודיו נמצאים בנקודות.A (–4 , 2) , B (0 , 10) : א .מצאו את שני הקדקודים האחרים של המלבן. ב .דרך מפגש אלכסוני המלבן ,העבירו ישר שמקביל לצלע .ABישר זה חותך את ציר ה– yבנקודה Pואת הצלע BCבנקודה .Rחשבו את שטח המשולש .BRP פוקוס במתמטיקה — שאלון — 804זיגרסון 17 שאלה 3 בכד יש כדורים שחורים ,לבנים ואדומים .מספר הכדורים הלבנים גדול פי שניים ממספר הכדורים השחורים. מוציאים כדור באקראי .מחזירים את הכדור לכד ומוציאים כדור נוסף. ההסתברות ששני הכדורים שהוצאו יהיו שחורים או ששניהם יהיו אדומים היא .0.2 א .אם בכד יש 80כדורים ,כמה כדורים יש מכל צבע? ב .מוציאים מהכד כדור .אם הכדור אדום או לבן משאירים אותו בחוץ ,אם הוא שחור מחזירים לכד ומוציאים כדור שני .מה ההסתברות ששני הכדורים יהיו בצבעים שונים? פרק שני :גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (סה"כ: 2 ענו על שתיים מבין השאלות ( .6—4כל תרגיל: 3 1 3 33 נקודות) 16נקודות) שאלה 4 S נתון משולש שווה–שוקיים STKשבו .ST = SK= m E מורידים גובה SDלבסיס ,ודרך ,Pשהיא אמצע גובה זה, מעבירים ישר המקביל לשוק STכך ש– ST || EF P בטאו באמצעות mאת אורכי הקטעים EFו–.PE K 18 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי ,המהווה עברה פלילית. D F T שאלה 5 C CDהוא קוטר במעגל שמרכזו .O ABמיתר שמאונך לקוטר .CD E B א .הוכיחוS∆ AOD = S∆ OCB : ב .נתון 34 :ס"מ = 127.5 ; CDסמ"ר =SAOD A O חשבו את אורך הקטע .CE ג. חשבו את אורך הקטע .AD D שאלה 6 A נתון משולש שווה–שוקיים (AB =AC) ABC אורך בסיסוBC = 2a : התיכונים לשוקיים BN ,ו– CMנפגשים בנקודה ( Pראו סרטוט). N הזווית בין התיכוניםBPC = 2a : M א .בטאו באמצעות aו– αאת שטח המשולש .NPC P ב .בטאו באמצעות aו– αאת שטח הטרפז .MNCB C פוקוס במתמטיקה — שאלון — 804זיגרסון B 19 פרק שלישי :חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים ,פונקציות רציונאליות ופונקציות שורש (סה"כ 33 1 :נקודות) 3 2 ענו על שתיים מבין השאלות ( .9—7כל תרגיל: 3 16נקודות) שאלה 7 2 mx – 6 x + 1 f (x) = 2 נתונה הפונקציה: x – 2x + 1 בנקודה שבה x = –1עובר משיק ששיפועו )(–0.75 א .מצאו את ערכו של הפרמטר .m (תחום הגדרה ,נקודות חיתוך ב .הציבו בפונקציה את ערך ה– mשמצאתם בסעיף א וחקרו את הפונקציה עלייה ותחומי ירידה). עם הצירים ,אסימפטוטות מקבילות לצירים ,נקודות קיצון ,תחומי ג. הפונקציה. סרטטו סקיצה של גרף שאלה 8 גנןלשתול דשא בשטחים שצורתם ריבוע וטרפז נדרש 7מ', בגינה שצורתה מלבן שאורכו 15מ' ורוחבו (השטחים הכהים בציור). חייב להיות 2מ'. על פי התכנית ,הבסיס הקטן של הטרפז בגלל הצורך לחסוך במים ,על הגנן לשתול דשא ששטחו מינימלי. שאפשר לשתול? מהו שטח הדשא המינימלי 20 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי ,המהווה עברה פלילית. 9 שאלה f ( x ) = 2 x − 6 הפונקציה בסרטוט מתואר גרף . מעבירים משיק לגרף x= t שבהT בנקודה .A בנקודהx–ה הפונקציה החותך את ציר ידוע כי השטח הכלוא בין ,גרף הפונקציה 2 . 10 הואx–המשיק וציר ה 3 ?T מהם שיעורי נקודה 21 — זיגרסון804 פוקוס במתמטיקה — שאלון תשובות סופיות למבחן 1 30 .1ק"מ = 30 dקמ"ש = V .2אD (8 , –4) , C (12 , 4) . ב 45 .יח"ש .3א 16 .שחורים 32 ,לבנים 32 ,אדומים ב0.646 . 1 3 m , FE = m 4 4 .4 = PE .5א .הוכחה. ב 9 .ס"מ .6אa 2 cos α . ב9 a 2 cos α . 4 sin α 2 sin α .7אm = 4 . ב .תחום הגדרה ;x ≠ 1 :חיתוך צירים;(0 , 1) ; (0.19 ; 0) , (1.31 , 0) : נקודת קיצון (2 , 5) :מקסימום; תחומי ירידה x > 2 :או ,x < 1 תחומי עלייה ;1 < x < 2 :אסימפטוטותy = 4 , x = 1 : סקיצה — בפתרון המלא. 35.5 .8מ"ר. (11 , 4) .9 22 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי ,המהווה עברה פלילית. ג 29.15 .ס"מ
