2 אלגברה ליניארית Pivoting &a

‫‪1‬‬
‫כל הזכויות שמורות ל־‪ .www.studenteen.org‬קירוב שורשים ‪:‬‬
‫אם קיימים ‪ ,c > 0 ,p ≥ 1‬כך ש־ ‪≤ c‬‬
‫‪1.1‬‬
‫| ‪|z−xn+1‬‬
‫‪p‬‬
‫| ‪n→∞ |z−xn‬‬
‫‪ , lim‬אזי ‪ p‬סדר התכנסות‪ c ,‬שיעור התכנסות‪.‬‬
‫שיטת החצייה ורגולה פלסי‬
‫‪ .c = a+b‬נחלק את הקטע לשני קטעים ]‪ .[a, c], [c, b‬אם ‪ f (a)f (c) < 0‬נמשיך עם‬
‫עבור )‪ f (x‬רציפה בקטע ]‪[a, b‬כאשר ‪ ,f (a)f (b) < 0‬נסמן ‪2‬‬
‫הקטע ]‪ ,[a, c‬אחרת נמשיך עם ]‪ .[c, b‬תנאיי עצירה אפשריים‪ f (c) < or f (c) = 0 :‬או מספר הצעדים גדול מ־ ‪ ,N‬או < |‪ |a − c‬או < |‪.|c − b‬‬
‫)‪(b)−bf (a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ c = aff (b)−f‬כאיטרציה הבאה‪.‬‬
‫השגיאה )‪ .|α − xn | = 2n (b − a‬בשיטת רגולה פלסי‪,‬הדומה לשיטת החצייה‪ ,‬נסמן )‪(a‬‬
‫‪1.2‬‬
‫שיטת המיתר וניוטון רפסון‪.‬‬
‫) ‪xn−1 f (xn )−xn f (xn−1‬‬
‫) ‪n )(xn −xn−1‬‬
‫‪ .xn+1 = xn − ff(x‬לא תמיד מתכנסת‪ ,‬יותר מהירה מרגולה־פלסי‪ .‬עבור‬
‫שיטה איטראטיבית עם איטרציה‬
‫= ) ‪(xn )−f (xn−1‬‬
‫) ‪f (xn )−f (xn−1‬‬
‫) ‪u(xn )(xn −xn−1‬‬
‫)‪ ,u(x) = ff0(x‬והאיטרציה תהיה ) ‪ .xn+1 = xn − u(xn )−u(xn−1‬סדר התכנסות של השיטה ־ ‪ .1.6‬שיטת ניוטון ראפסון‪,‬‬
‫שורש כפול‪ ,‬מגדירים )‪(x‬‬
‫) ‪f (xn‬‬
‫שמהווה בעצם השאפה בין הנקודות בשיטת המיתר‪ .‬האיטרציה הינה ) ‪. xn+1 = xn − f 0 (xn‬השיטה לא מתכנסת כאשר הנגזרת בשורש שואפת‬
‫‪−−−‬‬
‫‪−‬‬
‫→‬
‫) ‪f (xn‬‬
‫‪−→ = −‬‬
‫→‬
‫‪−1 −‬‬
‫‪ .−‬תנאי להתכנסות הוא הפיכות‬
‫‪x−n+1‬‬
‫→‪x‬‬
‫→‪(x‬‬
‫‪n −J‬‬
‫לאפס‪ .‬אם השורש כפול‪ ,‬נציב ) ‪ .u(x) = f 0 (xn‬שיטת ניוטון רב מימדית היא ) ‪n ) · f (xn‬‬
‫היעקוביאן‪.‬‬
‫‪1.3‬‬
‫שיטת נקודת שבת‬
‫נבצע )‪ ,f (x) = 0 → x = G(x‬האיטרציה תהיה ) ‪.xn+1 = G(xn‬‬
‫‪kn‬‬
‫| ‪|x1 − x0‬‬
‫‪|α − xn | ≤ 1−k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫מתכנס כאשר ‪ |G (x)| ≤ k < 1‬בסביבת השורש‪.‬‬
‫השגיאה היא‬
‫אלגברה ליניארית‬
‫‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫‬
‫‬
‫‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪A∗ A ,||A||∞ = max‬‬
‫}| ‪|vi | ,||v||∞ = maxi {|vi‬‬
‫‪s‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪−1‬‬
‫= ‪ .||A||f ro‬מספר מצב || ‪ .cond(A) = ||A|| · ||A‬אם גדול מאוד מ־‪ ,1‬נקרא תנאי חולה‪.‬‬
‫‪|aij |2‬‬
‫= ‪,||v||1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫| ‪|aij‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪i=1‬‬
‫‪,||A||1 = max‬‬
‫‪j‬‬
‫| ‪|aij‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‪i‬‬
‫√‬
‫‪max eigenvalue of‬‬
‫= ‪,||A||2‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪2.1‬‬
‫שיטת ‪Pivoting & Scaling‬‬
‫ב־‪ Pivoting‬חלקי מוצאים מקס' של שורה ואיתו מדרגים‪ .‬ב־‪ Pivoting‬מלא מוצאים מקס' של המטריצה ומחליפים שורות ועמודות )לא לשכוח‬
‫להחליף משתנים(‪ .‬ב־‪ Scaling‬מתבצע בצעד ה־‪ :k‬מתבוננים בשורות ‪ ,k, ..., n‬מוצאים מקסימום בכל שורה }| ‪ ,si = max {|aij‬ואת השורה איתה‬
‫‪k≤i≤n‬‬
‫נחליף נמצא לפי } | ‪. max { |asiki‬‬
‫‪k≤i≤n‬‬
‫‪2.2‬‬
‫פירוק ‪ LU‬ו־‪QR‬‬
‫‪ ,A = LU‬פירוק זה בא מדירוג המטריצה‪ U ,‬משולשית עליונה‪ L ,‬משולשית תחתונה‪ ,‬ומתקיים כי ‪ L‬היא מטריצת כופלי השורות )עם אלכסון ‪.(1‬‬
‫אם החלפנו‪ ,‬אז נקבל כי כאשר ‪ P‬מטריצת פרמוטציות‪ .P A = LU ,‬פירוק צ'ולסקי נוצר גם הוא מפירוק ‪ ,LU‬כאשר ‪ A‬מטריצה סימטרית וחיובית‬
‫חיוביים‪ ,‬או ‪ xt Ax > 0‬לכל ‪ ,x‬או שהמינורים הריבועיים גדולים מאפס(‪ .‬הפירוק הוא ‪ ,A = RRt‬כאשר ‪ R‬משולשית‬
‫ממש )אם כל הע"ע שלה √‬
‫תחתונה‪ ,‬ו־‪ R‬מוגדרת ע"י ‪ ,R = L D‬כאשר ‪ D‬מטריצת האלכסון של ‪.U‬‬
‫אורתוגונלית‪ R ,‬משולשית עליונה‪ .‬האלגוריתם ‪ :‬עבור העמודה ה־‪ ,k‬מנרמלים אותה‬
‫פירוק ‪ QR‬הוא הפירוק הבא ‪ :‬נפרק ‪ A = QR‬כאשר ‪Q‬‬
‫‪p‬‬
‫בנורמה ‪ .2‬נניח הוקטור המנורמל ) ‪ .(d1 , ..., dn‬נגדיר ‪ ,D =q± d2k + ... + d2n‬כאשר בוחרים ‪ +‬אם ‪ ,dk ≤ 0‬אחרת ־‪ .‬כעת‪ ,‬נגדיר ‪ V‬וקטור‬
‫‪d‬‬
‫‪dk‬‬
‫‪j‬‬
‫‪ ,Vj = 12 − 2D‬וכאשר ‪ ,k + 1 ≤ j ≤ n‬מתקיים‬
‫עמודה ‪ ,‬כאשר ‪ ,1 ≤ j ≤ k − 1‬מתקיים ‪ ,Vj = 0‬כאשר ‪,j = k‬‬
‫‪ .Vj = −2DV‬כעת‪ ,‬מסמנים‬
‫‪k‬‬
‫‪ .Hk = I − 2V V t‬כעת‪ ,‬נמשיך את התהליך באופן זהה עבור העמודה הבאה )‪ (k + 1‬במטריצה ‪ .Hk · A‬לבסוף יתקיים כי ‪,Q = H1 · ... · Hn−1‬‬
‫ויתקיים ‪.R = Hn−1 · ... · H1 · A‬‬
‫‪2.3‬‬
‫שיטות איטרטיביות לפתרונות‬
‫כאשר ‪ ,A = L + D + U‬האיטרציות בנויות בצורה של ‪ H, b ,xn+1 = Hxn + b‬קבועים‪ .‬במערכת ‪ ,Ax = b‬הקירוב בשיטת יעקובי ‪:‬‬
‫‪ ,xn+1 = −D−1 (L + U )xn + D−1 b‬בשיטת גאוס זיידל ‪ .xn+1 = −(L + D)−1 U xn + (L + D)−1 b :‬השיטות מתכנסות כאשר הע"ע המקסימלי‬
‫של ‪ H‬קטן מ־‪ ,1‬או כאשר למטריצה יש אלכסון דומיננטי )האיברים באלכסון גדולים מסכום השורה והעמודה )לא כולל עצמם( בהם נמצאים(‪.‬‬
‫‪2.4‬‬
‫אלגוריתמים לערכים עצמיים‬
‫עבור מציאת ערכים עצמיים‪ ,‬קיימת שיטת ‪ , Power Method‬המוצאת את הו"ע של הע"ע המקסימלי של מטריצה ‪ ,A‬עם איטרציה ‪,x0 = Axk‬‬
‫‪0‬‬
‫∞|| ‪ ,xk+1 = ||xx0‬והע"ע המתאים הוא ∞|| ‪ .λk+1 = ||x0‬ניתן גם להזיז אחרי מציאת ע"ע מקסימלי ע"י ‪ ,B = A − λI‬ולהפעיל את אותה שיטה כדי‬
‫לקבל ע"ע חדש‪ .‬עבור ע"ע מינימלי‪ ,‬מפעילים את השיטה על ‪ A−1‬ואז משיגים את ההופכי של הע"ע המינימלי‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫אינטרפולציה‬
‫‪3‬‬
‫אם יש סדרה ) ‪ (x0 , y0 ), ..., (xn , yn‬של ‪ n + 1‬נקודות‪ ,‬נמצא פונקציה )בדר"כ פולינום( שעובר דרך כולן‪ .‬שגיאה באינטרפולציה פולינומית היא‬
‫) ‪− x0 )(x − x1 )...(x − xn‬‬
‫)‪f (n+1) (ξ‬‬
‫‪(n+1)! (x‬‬
‫= |)‪ |f (x) − p(x‬כאשר ‪ ξ‬מותאם עבור ‪ x‬ספציפי‪.‬‬
‫‪ .1‬פולינומי לג'ראנז' ‪ :‬נגדיר )‪yi Li (x‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫= )‪ ,p(x‬כאשר לכל ‪,i‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪x−xj‬‬
‫‪xi −xj‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Q‬‬
‫= )‪.Li (x‬‬
‫‪j=0‬‬
‫‪j6=i‬‬
‫‪ .2‬פולינומי ניוטון ‪ :‬נגדיר ) ‪ ,p(x) = y0 + y10 (x − x0 ) + y210 (x − x0 )(x − x1 ) + ... + yn(n−1)...0 (x − x0 )...(x − xn−1‬כאשר ניתן לחשב‬
‫את ‪ y0 , y10 , y210 ...‬באמצעות שיטת ההפרשים‪ .‬באותה שיטת הפרשים‪ ,‬ניתן להכניס גם נתונים על נגזרות בנקודות הדגימה‪ .‬מכניסים שורה‬
‫נוספת זהה של הנקודה‪ ,‬ובהפרש הראשון בין הנקודה לעצמה ההפרש לא מוגדר‪ ,‬שם נציב את הנגזרת‪.‬‬
‫בנוסחת הרקורסיה‬
‫‪ ,Tn (x) = cos(n‬או ‬
‫כדי לשפר את השגיאה ואת חישובה‪ ,‬נדגום בנקודות מיוחדות‪ .‬נשתמש בפולינומי צ'בישב‪ ,‬כאשר ))‪narcsin(x‬‬
‫‪ . ξk = cos 2k−1‬נקודות צ'בישב‬
‫‪π‬‬
‫)‪ ,Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x‬כאשר ‪ .T1 (x) = x ,T0 (x) = 1,‬שורשי פולינום צ'בישב ‪ Tn‬הם‬
‫‪2n‬‬
‫‪k=1‬‬
‫מהוות בחירה מוצלחת של נקודות מדגם ע"מ לחסום את השגיאה הפולינומיאלית בשגיאה לעיל‪ .‬הקירוב עובד בקטע ]‪ .[−1, 1‬אם מקרבים את‬
‫‪b−a‬‬
‫‪ ,t = a+b‬כאשר ]‪.x ∈ [−1, 1], t ∈ [a, b‬‬
‫הפונקציה בקטע ]‪ ,[a, b‬אזי נעבור מהקטע ]‪ [−1, 1‬בו נמצאות נק' צ'בישב ע"י הטרנספורמציה ‪2 + 2 x‬‬
‫‪n‬‬
‫‬
‫‪Q‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪. (t − ti ) ≤ 2 · b−a‬‬
‫לאחר מכן נדגום את הפונקציה בנקודות צ'בישב לאחר הטרנספורמציה‪ ,‬ונקבל חסם‬
‫‪4‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪3.1‬‬
‫קיוביק־ספליין‬
‫במקום לקרב את הנקודות ע"י פולינום ממעלה גבוהה‪ ,‬נקרב בכל קטע ע"י פולינום )בקיוביק‪ ,‬מקרבים ממעלה ‪ ,(3‬כך שאיחוד הפונקציות יהיה רציף‪,‬‬
‫שהפונקצייה תהיה גזירה ברציפות פעמיים(‪ .‬כאשר ‪ ,hi = xi+1 − xi‬הקיוביק ספליין הינו‬
‫איחוד הנגזרת‬
‫)בעצם‪ ,‬כך ‬
‫הראשונה והשנייה‪ .‬‬
‫‬
‫וכך גם ‬
‫‪ai ·(xi+1 −x)3‬‬
‫‪ai+1 ·(x−xi )3‬‬
‫‪ai+1 hi‬‬
‫‪yi+1‬‬
‫‪yi‬‬
‫‪ai hi‬‬
‫= )‪ ,si (x‬כאשר נחשב את ‪ a0 , ...an‬ע"י המערכת הבאה‪:‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+ hi − 6 (xi+1 − x) + hi − 6‬‬
‫) ‪(x − xi‬‬
‫‪6hi‬‬
‫‪6hi‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a0‬‬
‫) ‪(y2 −y1‬‬
‫‪0) ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ a1  ‬‬
‫) ‪ 1 h0 1 (h0 + h1‬‬
‫‪− (y1h−y‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪h1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6 h1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 6‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪  a2   (y3 −y2 ) − (y2 −y1 ) ‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪(h‬‬
‫‪+‬‬
‫‪h‬‬
‫)‬
‫‪h‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .‬זהו קיוביק ספליין טבעי‪ ,‬כאשר לא ידועות הנגזרות‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪=‬‬
‫‪h2‬‬
‫‪h1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪an‬‬
‫‪0‬‬
‫‪...‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫בקצוות‪.‬‬
‫‪3.2‬‬
‫אינטרפולציית קירוב‬
‫מאוד לערכים‪ ,‬אך לא במדויק תעבור בהם )למשל כשהנתונים באים עם שגיאה(‪ .‬בריבועים מינימלים‪,‬‬
‫לחשב פונקציית אינטרפולציה שתהיה קרובה‬
‫‪pP‬‬
‫‪∂s‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ .∀1 ≤ i ≤ n ∂a‬מקרה פרטי‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫נפתור‬
‫)‪p(x‬‬
‫=‬
‫‪a‬‬
‫‪+‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪...‬‬
‫‪+‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫אם‬
‫כלומר‪,‬‬
‫‪.s‬‬
‫=‬
‫בעצם נדרוש מינימליות על ‪(p(xi ) − yi )2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i‬‬
‫בו הפולינום הוא ישר‪ ,‬הקירוב ייקרא רגרסיה ליניארית‪ .‬כלומר‪ ,‬בסימון ‪ ,p(x) = a0 + a1 x‬המקדמים נתונים ע"י פתרון של מערכת המשוואות‬
‫‪ P‬‬
‫‪‬‬
‫‪ P‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪x4i‬‬
‫‪x3i‬‬
‫‪x2i‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪i‬‬
‫‪n‬‬
‫‪  i=0 i ‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P 2 P‬‬
‫‪ i=0‬‬
‫‪‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‬
‫‬
‫‪yi xi ‬‬
‫‪xi‬‬
‫‪xi ‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ P‬‬
‫‪‬‬
‫‪ P‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ n x3 P‬‬
‫‪ n yx ‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪ i=0n‬‬
‫‪‬‬
‫‪· a1‬‬
‫‪x2i‬‬
‫‪xi ‬‬
‫=‬
‫‪.‬‬
‫‪· a1  = ‬‬
‫‪ .‬באותו אופן עבור פולינום ריבועי ‪i i  :‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i‬‬
‫‪P ‬‬
‫‪ P‬‬
‫‪‬‬
‫‪ P‬‬
‫‪a0‬‬
‫‪ i=0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ i=0‬‬
‫‪‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪yi‬‬
‫‪xi‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ P‬‬
‫‪‬‬
‫‪ P‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪x2i‬‬
‫‪xi‬‬
‫‪1‬‬
‫‪yi‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪i=0‬‬
‫אדגיש כי קל להכליל את התוצאה לעיל‪ .‬כעת נעבור לקירוב עם פולינומים אורתוגונליים‪ .‬נניח ‪ ϕ0 , .., ϕn‬קבוצת פולינומים אורתוגונליים לפי‬
‫מכפלה פנימית כלשהי‪ ,‬מתוקנים‪ ,‬ולכל ‪ ϕi (x) ,i‬ממעלה ‪.i‬‬
‫‪ .1‬במקרה הבדיד‪ϕi (xk )ϕj (xk ) :‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫) ‪yi ϕj (xi‬‬
‫=> ‪ ,< ϕi , ϕj‬ועבור‬
‫‪k=0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫= ‪ ,αj‬הפולינום הוא )‪αj ϕj (x‬‬
‫‪(ϕj (xi ))2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫= )‪ .p(x‬בחישוב כזה‪ ,‬צריך למצוא‬
‫‪j=0‬‬
‫‪i=0‬‬
‫לבד קבוצה אורתוגונלית‪.‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪ .2‬במקרה הרציף‪ ,ֹ< ϕi , ϕj >= ϕi (x)ϕj (x)w(x)dx :‬ועבור‬
‫‪a‬‬
‫‪f (x)ϕj (x)w(x)dx‬‬
‫‪[ϕj (x)]2 w(x)dx‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪´b‬‬
‫= ‪ ,αj‬הפולינום הוא )‪αj ϕj (x‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫= )‪ .p(x‬הפונקציה )‪w(x‬‬
‫‪j=0‬‬
‫‪a‬‬
‫פונקציית משקל‪ ,‬נותנת חשיבות לקטע מסוים‪.‬‬
‫פולינומים אורתוגונליים ידועים הם)במקרה הרציף(‪:‬‬
‫‪ .1‬פולינומי לז'נדר‪ :‬מוגדרים בקטע ]‪ ,[−1, 1‬פונקציית משקל ‪ ,w(x) = 1‬כאשר ‪,ϕ1 = x ,ϕ0 = 1‬‬
‫רקורסיבית )‪.(n + 1) · ϕn+1 (x) = (2n + 1) · x · ϕn (x) − n · ϕn−1 (x‬‬
‫‪ .2‬פולינומי צ'בישב‪ :‬מוגדרים בקטע )‪ ,(−1, 1‬פונקציית משקל‬
‫נוסחא רקורסיבית לעיל‪.‬‬
‫‪√ 1‬‬
‫‪1−x2‬‬
‫ניתן לעבור מן הקטעים לעיל לקטע ]‪ [a, b‬ע"י הטרנספורמציה הפשוטה‬
‫‪3x −1‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪,ϕ2‬‬
‫‪5x −3x‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ .ϕ3‬נוסחא‬
‫= )‪ ,w(x‬כאשר ‪.T3 = 4x3 − 3x ,T2 = 2x2 − 1 ,T1 = x ,T0 = 1‬‬
‫‪b+a‬‬
‫‪b−a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b−a z‬‬
‫= ‪.x‬‬
‫נגזרות ואינטגרלים‬
‫‪4‬‬
‫)‪(x−h‬‬
‫)‪(x‬‬
‫‪,f 0 (x) = f (x+h)−f‬‬
‫‪ ,f 0 (x) = f (x+h)−f‬אחורית ‪ ,f 0 (x) = f (x)−fh(x−h) :‬דיוק שתיהן )‪ .O(h‬נגזרת מרכזית‬
‫נגזרת קידמית ‪:‬‬
‫‪2h‬‬
‫‪h‬‬
‫)‪f (x−h)−2f (x)+f (x+h‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(2‬‬
‫= )‪ ,f (x‬דיוק ) ‪ .O(h‬אקסטרפולציית ריצ'ארדסון ‪ :‬בהנחה שיש לנו קירוב = ) ‪f (x0‬‬
‫מדיוק ) ‪ .O(h2‬נגזרת שניה‬
‫‪h2‬‬
‫‬
‫‪k‬‬
‫)‪k−1 (2h‬‬
‫) ‪ ,Dk−1 (h) + O(h2k‬אזי קירוב טוב יותר הינו ‪+ O h2k+2‬‬
‫‪. f 0 (x0 ) = 4 Dk−1 (h)−D‬‬
‫‪4k −1‬‬
‫‪4.1‬‬
‫אינטגרציה נומרית‬
‫שיטת הטרפז המורכבת כאשר‬
‫‪b−a‬‬
‫‪n‬‬
‫= ‪(f (x0 ) + 2f (x1 ) + ... + 2f (xn−1 ) + f (xn )) ,h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪2‬‬
‫‪´b‬‬
‫≈ ‪ , f (x)dx‬השגיאה היא‬
‫‪a‬‬
‫‪00‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪h (b−a)f (η‬‬
‫‪12‬‬
‫סימפסון המורכבת‪ n ,‬חייב להיות זוגי! )כאשר יש ‪ n+1‬נקודות(‪ ,‬הקירוב הוא )) ‪(f (x0 ) + 4f (x1 ) + 2f (x2 )... + 4f (xn−1 ) + f (xn‬‬
‫שגיאה היא‬
‫)‪h4 (b−a)f (4) (ξ‬‬
‫‪180‬‬
‫‪h22‬‬
‫·‬
‫)‪I (2) −I (1‬‬
‫‪h21 −h22‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫√‬
‫‪dx‬‬
‫‪1−x2‬‬
‫‪+‬‬
‫)‪(2‬‬
‫)‪(new‬‬
‫‪=I‬‬
‫‪´1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫= ‪f (x)dx‬‬
‫‪ .I‬בהתאם‪ ,‬גם בשיטת סימפסון‬
‫‪i=1‬‬
‫‪ ,‬משתמשים בשיטת גאוס צ'בישב‪ ,‬כך ש־‬
‫‪−1‬‬
‫‪2‬‬
‫נועדה לחישוב ‪e−x f (x)dx‬‬
‫∞‬
‫´‬
‫‪ ,‬עם שגיאה‬
‫‪h42‬‬
‫‬
‫‪(2i−1)π‬‬
‫‪2n‬‬
‫‬
‫‪ ,‬נקרב ע"י ) ‪Wi f (xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪22n+1 (n!)4‬‬
‫)‪(2n‬‬
‫)‪(η‬‬
‫‪(2n+1)[(2n)!]3 f‬‬
‫‪ ,xi = cos‬ומתקיים ) ‪f (xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫= ‪ ,I‬כאשר‬
‫‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= ‪ ,I‬כאשר‬
‫‪i=1‬‬
‫‪0‬‬
‫∞‪−‬‬
‫‪´1‬‬
‫‪−1‬‬
‫∞‬
‫´‬
‫שיטת גאוס לגר נועדה לחישוב ‪ , e−x f (x)dx‬נקרב ע"י ) ‪Wi f (xi‬‬
‫‪5‬‬
‫‪a‬‬
‫·‬
‫)‪I (2) −I (1‬‬
‫‪h41 −h42‬‬
‫‪+‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪=I‬‬
‫)‪(new‬‬
‫‪.I‬‬
‫שיטות גאוס‬
‫בשיטת גאוס לז'נדר‪ ,‬ניתן לחשב אינטגרל ) ‪Wi f (xi‬‬
‫של‬
‫‪´b‬‬
‫≈ ‪. f (x)dx‬‬
‫≤ ‪ .E‬בעזרת אקסטרפולציה של ריצ'רדסון‪ ,‬בשיטת הטרפז עם קירובים )‪ ,I (1) , I (2‬וצעדים־ ‪ h1 , h2‬נקודות בהתאמה‪,‬‬
‫ניתן לתקן את החישוב של האינטרל ע"י‬
‫‪4.2‬‬
‫‪h‬‬
‫‪3‬‬
‫≤ ‪ .E‬בשיטת‬
‫)‪(n!)2 (2n‬‬
‫)‪(η‬‬
‫‪(2n)! f‬‬
‫√‬
‫‪n! π‬‬
‫)‪(2n‬‬
‫)‪(η‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2 (2n)! f‬‬
‫‪π‬‬
‫‪n‬‬
‫= ‪ ,En‬הנקודות באות מטבלה‪ .‬במקרה‬
‫≈ ‪ .I‬השגיאה היא‬
‫‪π‬‬
‫)‪(2n‬‬
‫)‪(η‬‬
‫‪(2n)!22n−1 f‬‬
‫= ‪.En‬‬
‫= ‪ ,En‬הנקודות באות מטבלה‪ .‬שיטת גאוס־הרמיט‬
‫= ‪ ,En‬הנקודות באות מטבלה‪.‬‬
‫משוואות דיפרנציאליות רגילות‬
‫בהינתן מד"ר )‪ ,y 0 = f (t, y‬עם תנאי התחלה ‪ ,y(t0 ) = y0‬שיטת אוילר מאפשרת לקרב סדרה של נקודות עם הפרשים קבועים ע"י האיטרציה‬
‫) ‪ .y(tk ) = y(tk−1 ) + hf (tk−1 , yk−1‬סדר גודל של שגיאה מצטברת )‪ .O(h‬שיפור של השיטה‪ ,‬הנקרא שיטת ‪ ,Heun‬כאשר מחשבים בתחילה‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪) yi+1 = yi+1‬וכך הלאה‪.(...‬‬
‫‪ ,yi+1‬כאשר נאמר ש־‬
‫‪= yi + h2 [f (xi , yi ) + f (xi+1 , yi+1‬‬
‫‪ ,yi+1‬ואז מכאן נחשב את ])‬
‫) ‪= yi + hf (xi , yi‬‬
‫‪5.1‬‬
‫שיטות רונגה־קוטה‬
‫‪h‬‬
‫‪6‬‬
‫‪h‬‬
‫) ‪2 k1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 h,‬‬
‫‪yi +‬‬
‫עבור ‪ ,R.K.4‬נקבל את השיטה האיטרטיבית ) ‪ ,yi+1 = yi + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4‬כאשר ) ‪,k1 = f (ti , yi‬‬
‫‪,k2 = f (ti +‬‬
‫) ‪ .k4 = f (ti + h, yi + hk3 ) ,k3 = f (ti + 21 h, yi + h2 k2‬שגיאת צעד היא ) ‪ .O(h5‬מוגדרת גם ‪ ,R.K.2‬וממנה נקבל את השיטה האיטרטיבית‬
‫) ‪ ,yi+1 = yi + h2 (k1 + k2‬כאשר ) ‪.k2 = f (xi + h, yi + hk1 ) ,k1 = f (xi , yi‬‬
‫‪6‬‬
‫שגיאות‬
‫|‪ .δx = |∆x‬שגיאה מתפשטת במשתנה אחד‪ .∆f (x) = |f 0 (x)| · ∆x :‬בפונקציה עם ‪n‬‬
‫שגיאה מוחלטת היא |‪ .∆x = |x − x‬שגיאה יחסית היא |‪|x‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫ ‪ f (x)·x‬‬
‫ ‪ ∂f‬‬
‫= )‪ .∆f (x‬מספר המצב של פונקציה )‪f (x‬מוגדר להיות )‪ . f (x‬נוסחאות שימושיות‪:‬‬
‫משתנים ‪ ∂xi · ∆xi‬‬
‫‪i=1‬‬
‫)‪.∆(x + y) = ∆(x) + ∆(y‬‬
‫)‪.∆(x − y) = ∆(x) + ∆(y‬‬
‫|‪.∆(x · y) = |y‬‬
‫‪ · ∆x + |x| · ∆y‬‬
‫ ‬
‫ ‬
‫‪x‬‬
‫‪.∆( y ) = y1 ∆x + yx2 ∆y‬‬
‫‪= δx + δy .δ(x · y) = δx + δy‬‬
‫ ‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪.δ‬‬
‫תקציר‬
‫כל הזכויות שמורות ל־‪ .Studenteen.org‬הנוסחאון אינו מכיל את כל החומר! ולשם כך‪ ,‬הצד השני של הדף השני נועד לכתיבה בכתב‬
‫יד כל תוכן נוסף אשר אתם רואים לנכון להוסיף‪ .‬אני ממליץ להוסיף טבלאות של משקלים ונקודות באינטגרציית גאוס‪ ,‬נורמות של‬
‫פולינומים אורתוגונליים ידועים‪ ,‬ושיטת מולר למציאת שורשים‪ .‬במידה ויש טעויות‪ ,‬הודיעו ואעדכן‪ .‬עודכן לאחרונה ‪.22:00 ,22.10.10 :‬‬
‫‪3‬‬