docפיזיקה 2 – פיתרון חוברת תרגילים
download 
Report Transcription
פיזיקה 2 – פיתרון חוברת תרגילים
פיסיקה 2ב' -פתרון שאלות מחוברת הקורס פרק 2 שאלה ) :2.6לא ברשימה( על מוט מבודד באורך Lמפוזר מטען חשמלי -Qבצפיפות אחידה. א .חשב את צפיפות המטען האורכית. ב .חשב את השדה החשמלי בנקודה Pהנמצאת במרחק aמקצה מוט כמופיע באיור. ג .הראה כי במרחקים גדולים , a >> L ,תשובתך לסעיף ב' תצטמצם לשדה של מטען נקודתי. -Q P a פתרון: L א .צפיפות המטען האורכית במוט: Q L λ=− ב .נקבע ציר xאופקי שכיוונו שמאלה ,וראשיתו בנקודה .Pנחלק את המוט לאלמנטים דיפרנציאליים )נקודתיים( ,ונחשב את השדה החשמלי שיוצר כל אלמנט בנקודה :P Q dx L dq = λ ⋅ dL = − Q L λ=− r=x ˆrˆ = −i r kdq ˆ kQdx = ˆdF = 2 r ⋅i r Lx 2 נסכום על כל הכוחות )ע"י אינטגרל(: L+a = dx kQ ˆ 1 = ⋅ i ⋅ − L x2 xa L+ a ∫ a ˆ kQ kQ ˆ ⋅i = − 2 ⋅ i dx L Lx L+a ∫ a r r = F = ∫ dF kQ ˆ 1 1 kQ 1 1 ˆ ) kQ − a + (L + a ⋅ i ⋅ − =+ = ˆ+ ⋅ i ⋅ = ⋅i − L L L+a a L ) a(L + a L + a a kQ = ˆ⋅ i ) a (L + a = ג .עבור מרחקים גדולים מהמוט ,כלומר , a >> L ,מתקיים בקירוב: L+a ≈a כך שניתן לקרב את בכוח לביטוי הבא: kQ kQ ˆ⋅ iˆ ≈ 2 ⋅ i ) a (L + a a שאלה :2.7 r =F שאלה ) :2.12לא ברשימה( מוט מבודד דק שאורכו Lנושא בחציו העליון מטען בצפיפות אחידה + λובחציו התחתון מטען בצפיפות z .− λ א .השתמש בשיקולי סימטריה על מנת למצוא את כיוונו של + + + + + + - השדה החשמלי בנקודה .P ב .חשב את השדה החשמלי בנקודה .P P ג .קח את הגבול בו y >> Lומצא את השתנות השדה החשמלי y y במרחקים גדולים .איזה סוג של שדה הוא מזכיר ?. פתרון: א .ציירו שני אלמנטים במרחק שווים ותראו שהרכיבים בציר yמתבטלים .כך שמשיקולי סימטריה ניתן להניח בכיוון השדה יהיה הכיוון השלילי של ציר . z L 2 dz ב. r y P z θ r dE =z z=0 y L 2 z=− נחלק את המוט לאלמנטים ונחשב את השדה הדיפרנציאלי שיוצר אלמנט ,ואת השדה החשמלי נקבל ע"י אינטגרל על כל השדות שיוצרים האלמנטים .המשתנה שלפיו נבצע את האינטגרציה יהיה הזוית שבין השדה הדיפרנציאלי לאנך .המשמעות היא שבבניית האינטגרל עליי לבטא את כל המשתנים באמצעות הזוית: ydθ cos 2 θ ) r kdq ˆdE = 2 r r y y z =⇒ r = cosθ = tanθ r cosθ y dq = λdz ˆrˆ = cosθ ⋅ ˆj − sinθ ⋅ k = ⇒ dz ( ) ( ydθ kλ dθ = ˆcosθ ⋅ ˆj − sinθ ⋅ k ˆcosθ ⋅ ˆj − sinθ ⋅ k 2 y cos θ ⋅ kλ 2 y cosθ r = dE + λ -λ :(נגדיר את הזווית הקיצונית ביותר )לצורכי גבולות איטגרציה y cosθ 0 = y2 + L sin θ 0 = L2 4 2 y2 + L2 4 :(נבצע את האינטגרל )שימו לב לגבולות 0 r θ 0 kλ dθ k (- λ )dθ E=∫ cosθ ⋅ ˆj − sinθ ⋅ kˆ + ∫ cosθ ⋅ ˆj − sinθ ⋅ kˆ = y y −θ 0 0 ( ) [ ] ( ) [ ] θ0 0 kλ kλ sinθ ⋅ ˆj + cosθ ⋅ kˆ 0 − sinθ ⋅ ˆj + cosθ ⋅ kˆ −θ 0 = y y θ kλ (sinθ 0 − 0) ⋅ ˆj + (cosθ 0 − 1) ⋅ kˆ 00 − kλ (0 + sinθ 0 ) ⋅ ˆj + (1 − cosθ 0 ) ⋅ kˆ y y [ ] [ ] 0 −θ 0 = L2 2 2kλ y − y + 4 2kλ 2kλ y ˆ (cosθ 0 − 1) ⋅ kˆ = − 1 ⋅ k = ⋅ kˆ 2 y y 2 L2 L y + y y2 + 4 4 : נבצע את הקירוב ונמצא את השדה.ג y >> L ⇒ a2 y +a ≈ y+ y 2 2 2 ⇒ L L2 y + ≈ y+ 4 4y 2 L2 L2 2kλ y - y + 2kλ y - y − r 4y 4y ˆ 2k λ L2 ˆ ⋅ kˆ = E≈ ⋅ k = ⋅k y2 4y 3 y y2 k λ L2 . זהו שדה של דיפול חשמלי. E = :השדה הוא 4y 3 :2.14 שאלה שאלה :2.15 z מדיסקה שרדיוסה 2 Rהטעונה בצפיפות מטען שטחית ) A(0,0,z אחידה +σהוצאה דיסקה שרדיוסה Rכך שנוצרה דיסקה עם חור במרכזה )ראה איור( .הדיסקה מונחת במישור . x − yחשב את השדה החשמלי בנקודה . A + + + + + + + ++ 2R ++ ++ ++ ++ R + + + + + + + + y x פתרון: שדה חשמלי של טבעת דקה על ציר הסימטריה: ˆ⋅ k ) kQz 2 32 +z 2 (R r = E Ring ע"י ביטוי זה ,נחשב שדה חשמלי של טבעת בעל עובי דיפרנציאלי drבעלת רדיוס rכלשהו ,ואז נסכום ע"י אינטגרל לפי הרדיוסים: ˆ⋅ k ) dq = σ ⋅ dS = σ ⋅ 2π rdr r ˆ k ⋅ σ ⋅ 2π rdr ⋅ z k ⋅ dq ⋅ z rdr = ˆ⋅ k ⋅ ⋅ k = 2π k σ z = dE 2 2 32 2 2 32 2 r +z r +z r + z2 ( ) 1 = 2π k σ z ⋅ kˆ ⋅ − = r2 + z2 R ) 32 ( 2R 32 rdr + z2 ˆ ⋅k 2 2 R +z 1 2 (r ) ( 2R r r ˆ ∫ ⋅ E = ∫ d E = 2π k σ z ⋅ k R 1 = 2π k σ z ⋅ − + 2 4R + z 2 שאלה ) 2.17לא ברשימה( חשבו את השדה החשמלי בגובה zמעל למרכזה של דסקה מעגלית שרדיוסה Rהטעונה במטען q בצפיפות לא אחידה . σ (r ) = α ⋅ r 2הביעו את תשובתכם באמצעות . q יש צורך להשתמש באינטגרל הבא: x 2 + 2a 2 = x2 + a2 a2 x2 + a2 = x2 + a2 + ) 32 x 3 dx + a2 2 ∫ (x פתרון: תחילה נחשב את המטען הכולל על הדסקה: dq = σ ⋅ dS = α ⋅ r 2 ⋅ 2π rdr = 2πα ⋅ r 3 dr πα ⋅ R 4 = q = ∫ dq = 2πα ∫ r dr 2 0 R 3 2q πR4 =α שדה חשמלי של טבעת דקה על ציר הסימטריה: ˆ⋅ k ) kQz 2 32 +z 2 (R r = E Ring ע"י ביטוי זה ,נחשב שדה חשמלי של טבעת בעל עובי דיפרנציאלי drבעלת רדיוס rכלשהו ,ואז נסכום ע"י אינטגרל לפי הרדיוסים: ˆ⋅ k ) 32 dq = σ ⋅ dS = α ⋅ r 2 ⋅ 2π rdr = 2πα ⋅ r 3 dr r ˆ k ⋅ dq ⋅ z ˆ k ⋅ 2πα ⋅ r 3 dr ⋅ z r 3dr α = dE ⋅ k = ⋅ k = π ⋅ kz ⋅ 2 32 32 r2 + z2 r2 + z2 r2 + z2 ( ) R r 2 + 2z 2 = 2πα ⋅ kz ⋅ kˆ ⋅ = 2 2 r + z 0 ) 32 ( r 3dr + z2 2 (r ( ) R r r ∫ ⋅ ˆE = ∫ dE = 2πα ⋅ kz ⋅ k 0 ˆ R2 + 2z 2 2z 2 = 2πα ⋅ kz ⋅ − ⋅k 2 2 z2 R +z ניתן לפשט את הביטוי שקיבלנו באופן הבא: ) ˆ + z2 + z2 = ⋅k R 2 + 2z 2 R 2 + 2z 2 ˆ ˆ 2z 2 2q 2 2πα ⋅ kz ⋅ − ⋅ ⋅ k = 2π ⋅ kz ⋅ − 2 z = ⋅k 2 2 2 2 πR4 z2 R +z R +z 2 ( )( R ) ⋅ + z2 − 2 z2 R2 + z 2 2 ) ⋅ kˆ = 4kqz ⋅ (R 4 R () ( 4kqz R 2 + 2 z 2 − 2 z 2 ⋅ R 2 + z 2 ⋅ R 4 R2 + z2 ˆ) ⋅ k 2 + z2 − z2 R2 + z 2 2 (R = 4kqz ⋅ = 4 R שאלה ) 2.18לא ברשימה( פתרון: לשם כך נשתמש בביטוי של שדה של טבעת: ˆi kQx ) 2 32 +R 2 (x r =E נחלק את הגליל לטבעות בעל עובי דיפרנציאלי )מבט מהצד(: dx x d x=0 המטען הדיפרנציאלי של טבעת: Q 2 π Rh Q Qdx = ⋅ 2 π Rdx 2 π Rh h =σ = dq = σ dS עבור טבעת דיפרנציאלית ועפ"י מערכת הצירים שבחרתי ,השדה הדיפרנציאלי המתאים: ˆi ) 32 r ˆ k ⋅ dq ⋅ x kQxdx dE = − i=− 3 2 x2 + R2 2 π Rh x 2 + R 2 ( ( ) שימו לב שהציר חיובי ימינה והגדרתי את האפס בנקודה .כך שהמשתנה xהוא שלילי .כדי "לתקן" ולהחזיר את השדה להיות חיובי הוספתי מינוס לפני הביטוי. נחשב את השדה הכולל ע"י אינטגרל )שימו לגבולות(: d = 12 d + h ) ⋅ ˆi 2 +R שאלה 2.32 1 ˆi = kQ h x 2 + R 2 1 (d + h )2 ( d ) 32 xdx ˆi = − kQ ∫ h d +h x 2 + R 2 ( 1 ˆi = kQ ⋅ − 1 2 2 h d + R2 + R 2 ] 1 2 ) 32 ) [(d + h kQxdx d ∫ h (x r E=− + R2 2 − kQ 1 2 h d + R2 ] 12 d +h [ שאלה :2.33 קליפה כדורית עבה שרדיוסיה הפנימי והחיצוני הם aו bנושאת מטען בצפיפות נפחית לא אחידה, A r = ) , ρ (rכאשר Aהינו קבוע מספרי .במרכזו של החלל הכדורי ) ( r = 0מצוי מטען נקודתי . + q מה צריך להיות הקבוע המספרי Aעל מנת שהשדה בתחום aיהיה קבוע ,כלומר בלתי תלוי במרחק. פתרון: נחשב את השדה החשמלי ברדיוס מסוים בתוך הכדור ונדרוש שיהיה קבוע: r q in 0 r ∫ E ⋅ dS = ε r r 2 E ∫ ⋅ dS = E ⋅ 4π r r r r 2 A = q in = q + ∫ ρ (r )dV = q + ∫ ⋅ 4π r 2 dr = q + 4πA ⋅ ∫ rdr = q + 4πA ⋅ r 2 a 0 a a r r r 2 a2 = q + 2πAr 2 + 2πAa 2 = q + 4πA ⋅ − 2 2 r r q in ⇒ E ⋅ 4π r 2 = q + 2πAr 2 + 2πAa 2 = ∫ E ⋅ dS ε0 כדי שנוכל לצמצם את r 2בשני הצדדים של מהשואה וכך השה לא יהיה תלוי ב , rצריך שהקבועים בצד ימין של המשוואה יצטמצמו ,כלומר: q 2π a 2 =A ⇒ q + 2πAa 2 = 0 שאלה :2.34 כדור מלא שרדיוסו Rנושא מטען חשמלי בצפיפות מטען אחידה. ρ , r r ρ r = , Eכאשר rהוא הוקטור ממרכז א .הראו כי השדה החשמלי בתוך הכדור נתון בביטוי r 3ε 0 הכדור לנקודה כלשהי בתוך הכדור. ב .קודחים חלל כדורי שרדיוסו aבתוך הכדור .הראו כי השדה החשמלי בכל נקודות החלל הכדורי r r ρ r = , Eכאשר aהוא הוקטור המחבר את מרכז הכדור למרכז הוא אחיד ונתון בביטוי a 3ε 0 החלל. r a פתרון: א .ניצור מעטפת גאוס כדורית בתוך הכדור בעלת מרכז משותף עם הכדור )כך שרדיוסה rקטן מרדיוס הכדור .( Rע"י חוק גאוס נמצא את השדה החשמלי בתוך הכדור: 2 r r ∫ E ⋅ dS = E ⋅ 4π r q in ρV ρ 4π r 3 = ⋅ = ε0 ε0 ε0 3 r r q in ρ 4π r 3 2 ⋅ = ⇒ ⋅ = ⋅ E d S E 4 r π ∫ ε0 ε0 3 r ρ r =E ⋅r 3ε 0 ב .נשתמש בסופרפוזיציה של כדור מלא עם "חור" )צפיפות שלילית(. נתייחס למקרה ככדור שלם ומלא )רדיוס ( Rבעל צפיפות מטען , ρ וכדור קטן )רדיוס ( bבעל צפיפות מטען . − ρנחשב את השדה שגורם כל אחד מהכדורים "הדמיוניים" ,וסכום של שני השדות ייתן לנו את השדה אותו אנו מחפשים .באופן כללי ,שדה חשמלי בתוך כדור מלא • r a • r r וטעון בעל צפיפות מטען אחידה ρניתן ע"י: r r r +a r 4πkρ r =E r 3 וכעת ניתן לחשב: r r r 4πkρ r 4πkρ r Eb = − = r ⇒ ER + Eb a 3 3 r 4πkρ r r = ER ) (a + r 3 שאלה ) 2.42לא ברשימה( מישור אינסופי טעון בצפיפות משטחית אחידה . σשכבה מישורית אינסופית של מטען בעל רוחב d 0וצפיפות אחידה , ρ ,צמודה למישור .כל המטענים קבועים למקומותיהם. חשבו את השדה החשמלי בכל אזורי המרחב .קחו את ראשית הצירים במרכז השכבה המישורית. פתרון: d נחשב לחוד את השדה החשמלי שיצור המישור ואת השדה החשמלי שיוצרת השכבה .אחר כך נוכל לחבר )סופרפוזיציה( את השדות בכל אחד מהאזורים. שדה חשמלי שיוצר מישור אינסופי בעל צפיפות משטחית אחידה ) σמתקבל ע"י חוק גאוס ,בד"כ מתבצע בהרצאה(: σ 2ε 0 =E כיוון השדה ,עבור צפיפות חיובית הוא בניצב למישור ,כלפי חוץ. שדה חשמלי שיוצרת השכבה העבה בעלת צפיפות אחידה , ρמחושב בנספח המצורף בהמשך ע"י חוק גאוס .החישוב הוא עבור ציר zמאונך לשכבה כך שראשיתו במרכז השכבה. השדה מבחוץ: ˆ d 0 ρd 0 k = 2 2ε 0 d0 ρd ˆ = − 0 k 2 2ε 0 > E z < E z השדה מבפנים: d d0 >z>− 0 2 2 ˆ ρz k ε0 =E לאחר סופרפוזיציה ,מקבלים את השדה במרחב שיוצרים המישור והשכבה ביחד )זו התשובה לשאלה(: d z < − 0 2 , σ ρd E = − ˆ− 0 ⋅ k 2ε 0 2ε 0 d0 < z < 0 − 2 σ ˆ ρz ⋅ k , E = + 2ε 0 ε 0 d 0 > z > 0 2 σ ˆ ρz ⋅ k , E = + ε 2 ε 0 0 d0 < z 2 σ ρd E = + 0 ⋅ kˆ , 2ε 0 2ε 0 נספח לחישוב שדה של שכבה מישורית טעונה אחיד: נבחר את הראשית במרכז השכבה .מבט מהצד: z מישור xy ρ d0 משיקולים של סימטריה )זהים לאלה של לוח מישורי ללא עובי( מסיקים שכיוון השדה החשמלי ניצב ללוח בכיוון החוצה מהלוח .ניצור מעטפת גאוס קובייתית כך ששטח הפאה העליונה ושטח הפאה התחתונה הוא . Aמרחק הפאה העליונה ומרחק הפאה התחתונה ממישור XYשווה .נכתוב את חוק גאוס ונחשב בנפרד כל אחד מצידי המשוואה: q in ε0 r r = ∫ E ⋅ dS r r E ∫ ⋅ dS = 2EA q in ρV ρd 0 A = = ε0 ε0 ε0 r שימו לב שבחישוב האינטגרל ,רק דרך הפאות העליונה והתחתונה יש שטף מכיוון שבפאות האלהE , r r r מקביל ל Sואילו בשאר הפאות Eניצב ל . Sנשווה בין הצדדים: ˆ d 0 ρd 0 k = 2 2ε 0 d0 ρd ˆ = − 0 k 2 2ε 0 > E z ⇒ < E z ρd 0 A ε0 = 2EA כעת ניצור מעטפת גאוס קובייתית כך שהגובה שלה קטן מעובי הלוח ,ושוב מרחק הפאות העליונה z והתחתונה ממישור יהיה שווה ל : z מישור xy ρ d0 r r q נחשב את השדה מתוך חוק גאוס ) :( ∫ E ⋅ dS = in ε0 q in ρV ρ 2zA = = ε0 ε0 ε0 d d0 >z>− 0 2 2 ˆ ρz k ε0 =E r r E ∫ ⋅ dS = 2EA , ⇒ ρ 2zA ε0 = 2EA פרק 3 שאלה :3.8חסר שרטוט בשאלה!!! מערכת מורכבת משלשוה מוליכים קונצנטריים :קליפה כדורית פנימית דקה ברדיוס , Rקליפה עבה בעלת רדיוס פנימי 2 Rוחיצוני 3Rוקליפה חיצונית דקה בעלת רדיוס . 4 Rהקליפה הדקה החיצונית הטעונה במטען , Q0ואילו הקליפה המרכזית טעונה במטען . − Q0 א .מהי התפלגות המטענים על שפות הקליפה העבה המרכזית ? ב .מהו השדה החשמלי כפונקציה של המרחק rממרכז המערכת בכל המרחב ? כעת מחברים את הקליפה הפנימית והחיצונית ע"י תיל מוליך שעובר דרך חור קטן בקליפה העבה. ג .מהי התפלגות המטענים על הקליפות המרכיבות את המערכת ? ד .מהו השדה החשמלי כפונקציה של המרחק rממרכז המערכת בכל המרחב ? ה .כמה מטען עבר בין הקליפה החיצונית והפנימית ? פתרון: א .המטענים בקליפה העבה יסתדרו כך שהשדה החשמלי בקליפה הזו מתאפס ,כלומר ,הרדיוס הפנימי, , 2 Rלא יהיה מטען ,וברדיוס החיצוני 3Rיהיה . − Q0לפיכך המטענים הם, q 2 = 0 , q1 = 0 : . q 4 = Q 0 , q 3 = −Q 0 ב .קליפה כדורית יוצרת בתוכה שדה חשמלי אפס ,ואילו מחוצה לה נתין להתייחס אליה כמטען נקודתי. בסה"כ ישנם חמישה אזורים שונים .נחבר ,לכל אזור בנפרד ,את השדות החשמליים שיוצרות הקליפות: ) (r < R ) (R < r < 2 R ) (2 R < r < 3R ) (3R < r < 4 R ) (r > 4 R E1 = 0 E2 = 0 E3 = 0 kQ0 r2 E4 = − E5 = 0 ג .כאשר מחברים את הקליפה הפנימית לחיצונית ,מטען יכול לעבור בין הקליפות .המטען יעבור כך שהפוטנציאל של שתי הקליפות יהיה שווה .ניתן לרשון שתי משוואות ,אחת לשימור מטען ואחת לשוויון הפוטנציאלים: q1 + q 4 = Q0 V1 = V4 נמצא את השדה במרחב )לאחר שהמטענים עברו( וממנו נוכל למצוא את הפוטנציאל על כל אחת מהקליפות: ) (r < R E1 = 0 kq1 r2 E3 = 0 ) (R < r < 2 R = E2 ) (2 R < r < 3R ) k (q1 − Q0 ) (3R < r < 4 R r2 ) (r > 4 R E5 = 0 = E4 ⇓ r V4 = − ∫ E 5 dr = 0 ∞ R ) k (q1 − Q0 kq ∫ V1 = − ∫ E5 dr − ∫ E 4 dr − ∫ E 3 dr − ∫ E 2 dr = − = dr − ∫ 21 dr 2 r ∞ 4R 3R 2R 4R 2R r 3R R 2R 4R 3R k k (q − Q0 ) kq = + 1 ] [7q1 − Q0 = 1 r 4 R r 2 R 12 R 3R R ⇓ k [7q1 − Q0 ] = 0 ⇒ 7q1 − Q0 = 0 12 R V1 = V4 ⇒ Q0 7 6Q0 7 = q1 = q 4 = Q0 − q1 וניתן לחשב את המטענים בקליפה העבה )מסתדרים כך שהשדה הוא אפס במוליך(: Q0 7 6Q q4 = − 0 7 q3 = − ד .השדה החשמלי: ) (r < R ) (R < r < 2 R ) (2 R < r < 3R ) (3R < r < 4 R ) (r > 4 R Q0 ה .כמות המטען שעברה מקליפה החיצונית לפנימית היא: 7 E1 = 0 kQ0 7r 2 E3 = 0 = E2 6kQ0 7r 2 E4 = − E5 = 0 שאלה ) 3.9לא ברשימה( r כדור שרדיוסו Rטעון בצפיפות מטען לא אחידה , ρ (r ) = ρ 0 כאשר ρ 0קבוע. R א .הביעו את מטענו הכללי של הכדור באמצעות. ρ 0 , R : ב .מצאו את השדה החשמלי בכל המרחב. ג .מצאו את הפוטנציאל החשמלי בכל המרחב. ד .כדור קטן שמסתו mומטענו − qמשוחרר ממנוחה במרחק 4 Rממרכז הכדור .מה תהיה מהירותו של הכדור בהגיעו למרחק של 2 Rממרכז הכדור ? פתרון: א .חישוב המטען הכולל על הכדור: R 4π ρ 0 R 3 4π ρ 0 r 4 r 2 3 = Q = ∫ ρ ⋅ dV = ∫ ρ 0 ⋅ 4π r dr r dr = = π ρ0 R ∫ R R R 4 0 0 0 R ב .נשתמש בחוק גאוס עם מעטפת גאוס כדורית .עבור סימטריה כדורית מתקיים: 2 r r ∫ E ⋅ dS = E ⋅ 4π r עבור האזור החיצוני: Q ε0 kQ r2 = Q 2 4π ε 0 r =E = ⇒ q in (r > R ) : ε0 Q ε0 = E ⋅ 4π r 2 עבור האזור הפנימי: r 4π ρ 0 r 3 4π ρ 0 r 4 π ρ0r 4 r 2 = = r dr = = ρ 0 ⋅ 4π r dr ε 0 R ∫0 ε 0 R 4 0 ε0R ε 0 ∫0 R r ρ0r 2 π ρ0 R3r 2 Qr 2 kQr 2 = = = ε0R 4π ε 0 R 4 4π ε 0 R 4 R4 =E 1 q in ε0 (0 < r < R ) : π ρ0r 4 ε0R ⇒ = E ⋅ 4π r 2 ג .את הפוטנציאל מחשבים ע"י אינטגרל על השדה החשמלי: r kQ kQ = dr 2 r ∞ r ∫V = − r (r > R ) : R 2 3 = (0 < r < R ) : V = − ∫ kQ2 dr − ∫ kQr4 dr = kQ − kQ4 r R R 3 R ∞ r ∞ R R ] [ kQ kQ 3 kQ kQr 3 kQ 4kQ kQr 3 3 = − = r −R − + = − R 3R 4 R 3R 3R 3R 4 3R 4 ד .נקרא לנקודת השחרור Aולנקודה הסופית נקרא .Bמתקיים שימור אנרגיה: UB = UA mv B2 − qV B = − qV A 2 mv B2 ) = q (VB − V A 2 kQ kQ kQ = VB − V A − = 2R 4R 4R mv B2 kQq kQq = = ⇒ vB 2 4R 2mR שאלה ) 3.12לא ברשימה( תיל שאורכו 2l + π Rהעשוי חומר מבודד ,כופף לצורה המורכבת משני קטעים ישרים שאורכם , lכל אחד ,המחוברים ביניהם ע"י קשת חצי מעגלית שרדיוסה Rומרכזה בנקודה . Oהתיל נושא מטען חשמלי כללי + Qהמפוזר בצורה לא אחידה על פני מקטעי התיל השונים .המקטע הישר השמאלי נושא מטען חשמלי חיובי המפוזר עליו בצורה אחידה בצפיפות + λואליו הקטע הישר הימני נושא מטען חשמלי שלילי המפוזר עליו בצורה אחידה . − λהקשת המעגלית נושאת מטען בצפיפות אחידה . + λ א .הביעו את λבאמצעות ) Q , l , Rלא בהכרח כולם(. ב .חשבו את השדה החשמלי השקול בנקודה ) Oגודל וכיוון(. ג .חשבו את הפוטנציאל החשמלי בנקודה . O +λ −λ R +λ O l l פתרון: א .נסכום את כל המטען על כל חלקי התיל ונשווהל . Qנוכל לבודד מהמשוואה שנקבל את : λ Q = q1 + q 2 + q 3 = λ ⋅ l + λ ⋅ π R − λ ⋅ l = λ ⋅ π R Q πR =λ ב .נחשב את השדה החשמלי שיוצר כל קטע בתיל ולבסוף נחבר את השדות וקטורית .נגדיר ציר x חיובי ימינה וציר yחיובי כלפי מעלה .ראשית הצירים בנקודה . O נחשב את השדה שיוצר המוט השמאלי )צפיפות חיובית(: −R −R ˆ k λ dx ˆ 1 1 1 ⋅ i = k λ − ⋅ iˆ = k λ ⋅ − + = ⋅i ∫ 2 x −l − R −R −l−R −l− R x r r = E1 = ∫ dE1 ˆ l + R − R ˆ k λ⋅ l ˆ k λ⋅ l ˆ 1 1 = k λ⋅ − = ⋅i = ⋅i ⋅i ⋅ i = k λ⋅ ) R(l + R ) R(l + R R l+ R R(l + R ) המוט השלילי יוצר את אותו שדה וגם באותו כיוון: ˆ k λ⋅ l ⋅i ) R(l + R r = E3 נחשב את השדה שיוצר החלק הקשתי של התיל .משיקולי סימטריה ניתן להבין שלאחר סכימה על כל חלקי התיל הקשתי יישאר רק רכיב אנכי ,כלומר בציר : y π π r r k λ Rd θ = ˆ − sinθ ⋅ ˆj = − k λ sinθ dθ ⋅ ˆj ∫ = E 2 = ∫ dE 2 ⋅ − cos ⋅ i θ R ∫0 R2 0 ) ( kλ kλ π = ⋅ [− cosθ ]0 ⋅ ˆj [cos(π ) − cos(0)] ⋅ ˆj = k λ [− 1 − 1] ⋅ ˆj = − 2k λ ⋅ ˆj R R R R =− נסכום את כל השדות: ˆ k λ ⋅ l ˆ 2k λ ˆ k λ⋅ l ⋅i − ⋅ j+ = ⋅i ) R(l + R R ) R(l + R r r r r = E O = E1 + E 2 + E 3 2 k λ ⋅ l ˆ 2 k λ ˆ 2k λ l ⋅i − =⋅j ⋅ iˆ − ⋅ ˆj ) R(l + R R R l+ R = ג .הפוטנציאל שיוצר המוט השמאלי יהיה חיובי )צפיפות חיובית( הפוטנציאל שיוצר המוט הימני יהיה שווה לפוטנציאל שיוצר המוט השמאלי ,אך הפוך בסימן )צפיפות שלילית( ,כך כשנחבר הם יאפסו אחד את השני ,כלומר ,אין צורך לחשב אותם .נשאר לחשב את הפוטנציאל שיוצר החלק הקשתי של התיל: π k λ Rdθ = −k λ ∫ dθ = −π k λ R 0 π ∫ = V = ∫ dV2 0 שאלה ) 3.13לא ברשימה( יריעה אינסופית טעונה במטען חיובי בצפיפות אחידה . σ א .חשב את העבודה המבוצעת ע"י השדה החשמלי של היריעה כאשר מטען נקודתי q 0נע מפני היריעה עד למרחק zכמתואר בציור. ב .השתמש בתוצאות של הסעיף הקודם והראה כי הפוטנציאל החשמלי של יריעה אינסופית שווה σz ל: 2ε 0 . V =V 0−כאשר V 0הוא הפוטנציאל החשמלי על פני היריעה. פתרון: א .השדה החשמלי בנוצר ע"י היריעה במרחב )בחרתי ציר zניצב למישור היריעה(: r ˆ σ =E k 2ε 0 נחשב את הכוח שמפעיל השדה על המטען: r r qσ = F = qE ˆk 2ε 0 נחשב את עבודת השדה: r r z qσ qσ z ∫ = W = ∫ F ⋅ dr = dz 2ε 0 2ε 0 0 ב .נחשב את הפוטנציאל במרחק zמהיריעה: ) W = − q∆V = −q (V − V0 qσ z ) = −q (V − V0 2ε 0 σz 2ε 0 V = V0 − שאלה ) 3.14לא ברשימה( מטען Qמפוזר על פני טבעת שטוחה בעלת רדיוס פנימי aורדיוס חיצוני . bצפיפות המטען נתונה ע"י , σ = k r 3כאשר rהוא מרחק ממרכז הטבעת לנקודה כלשהי עליה .הראו כי הפוטנציאל במרכז Q a+b הטבעת שווה ל : 8π ε 0 ab = V b a פתרון: נחלק את הטבעת הנתונה לטבעות דקות בעלות עובי דיפרנציאלי . drשטח כל טבעת דקה: dS = 2π rdr המטען של כל טבעת דקה: k0 2π k 0 dr = ⋅ 2π rdr 3 r r2 = dq = σ ⋅ dS נסכום על כל המטן של כל הטבעות ונשווה ל , Q -כך נוכל להביע את הקבוע k 0ע"י הפרמטרים של השאלה: 2π k 0 dr 1 ) 1 1 2π k 0 (b − a ∫ = Q = ∫ dq = = 2π k 0 ⋅ − = 2π k 0 ⋅ − + 2 ab r r a b a a abQ = k0 ) 2π (b − a b b כל טבעת יוצרת במרכזה את הפוטנציאל הבא: kdq k 2π k 0 dr 2π kk 0 dr ⋅ = = r r r2 r3 = dV נסכום את הפוטנציאלים של כל הטבעות הדקות: 2π kk 0 dr 1 1 1 ∫ = V = ∫ dV = = 2π kk 0 ⋅ − 2 = π kk 0 ⋅ − 2 + 2 3 r a 2r a b a b b ) π kk 0 (b − a )(b + a a 2b 2 = ) π kk 0 (b 2 − a 2 2 2 a b = נציב את הביטוי שקיבלנו לקבוע : k 0 abQ ) kQ(b + a ) Q(b + a = = ) 2π (b − a 2ab 8π ε 0 ab שאלה :3.16 ⋅ ) π k (b − a )(b + a 2 2 a b = V שאלה מאד דומה לשאלה 3.17 פתרון: א .נחשב את צפיפות המטען על המקל ,כאשר הצפיפות אחידה החישוב מבצע ע"י סה"כ המטען חלקי סה"כ האורך. λ = − q L : ב .נגדיר את ראשית הצירים בנקודה השמאלית של המקל ואת כיוון הציר ימינה .נחלק את המקל לאלמנטים דיפרנציאליים ,נחשב את השדה החשמלי שיוצר כל אלמנט בנקודה ,Pונסכום ע"י אינטגרל כדי לקבל את השדה החשמלי: r kdq ˆdE = 2 r r ˆi kλ dx (L + a − x )2 r = dq = λdx ⇒ dE L ˆ 1 ˆ1 1 ˆi = kλ = (L + a − x ) i = kλ a − L + a i 0 r = L+a−x kλ dx (L + a − x )2 rˆ = ˆi r r L ∫ = E = ∫ dE 0 ˆ kq L + a − a ˆ kq i=− i L a (L + a ) ) a (L + a − ג .נרשום את השדה כפונקציה של המרחק מהקצה הימני ,לצורך העניין נגדיר את הראשית מחדש ,בקצה הימני של המוט: r kq 1 ˆ1 E (x ) = − − i L x L+x a r r kq 1 1 kq V = −∫ E ⋅ dr = −∫ − = ∞[ln(x ) − ln(L + x )]a − = dx L x L+x L ∞ kq [ln(a ) − ln(L + a ) − ln(∞ ) + ln(L + ∞ )] = kq ln a L L L+a הערה :כאשר מציבים את גבולות אינסוף ,מקבלים ) ∞( lnו ) ∞ , ln(L +בביטוי השני ניתן להזניח את , Lואז שני הביטויים מצטמצמים. ד .עבור שני הביטיים שקיבלנו נראה מה קורה עבור : a >> L kq L kq = L a a שאלה :3.20 kq L ⇒ ln + 1 L a V=− kq kq ⇒ E≈ 2 ) a (L + a a =E שאלה ) 3.23לא ברשימה( התייחסו לגליל מלא בעל רדיוס Rוגובה hהנושא מטען כללי + Qבצפיפות אחידה. א .חשבו את הפוטנציאל החשמלי על ציר הסימטריה ,במרחק xמאחד מבסיסיו. ב .חשבו את השדה החשמלי על ציר הסימטריה במרחק xמאחד מבסיסיו. פתרון: התייחסו לגליל מלא בעל רדיוס , Rוגובה , hהנושא נטען כללי + Qבצפיפות אחידה .השתמשו בביטוי לפוטנציאל של דסקה על ציר הסימטריה )שכבר חושב בעבר( ,וחשבו: א .את הפוטנציאל החשמלי במרחק xמאחד מבסיסיו. ב .חשבו את השדה החשמלי מתוך הפוטנציאל. ) ( ⋅ )dz = z z 2 + R 2 R 2 ⋅ ln z + z 2 + R 2 + לשימושכם: 2 2 2 (∫ z +R 2 פתרון :צריך שרטוט גם לפתרון!!!! א .נשתמש בפוטנציאל חשמלי של דסקה .נבצע אינטגרל על דסקות כדי לחשב את הפוטנציאל החשמלי שיוצר הגליל .הגדרתי את הראשית בנקודה בה אנו מחשבים את הפוטנציאל: ) + z2 − z 2 (R kdQ R2 = ⇒ dϕ ) + z2 − z 2 (R Q Qdz = ⋅ π R 2 dz 2 h πR h = , dV = π R 2 dz ⇒ dq = ρ dV ) Qdz kQ (R ⋅) + z − z = h ∫ R h R ⋅ ln (z + z + R ) z + − h+ x = + z 2 − z dz 2 2 2 2 x h+ x = 2 2 2 x 2 2 2 (R k R2 h+ x ∫ x kQ R2 =ϕ Q π R2h =ρ = ϕ = ∫ dϕ kQ z ⋅ z 2 + R 2 = 2 2 R h − = 2 2 2 2 2 2 ) kQ (h + x ) (h + x ) + R + R ln h + x + (h + x ) + R − (h + x = 2R 2 h 2 2 2 2 2 2 x x + R − R ln x + x + R + x − h 2 + 2hx h + x + (h + x )2 + R 2 kQ 2 2 2 2 2 (h + x ) (h + x ) + R − x x + R + R ln 2 2R h x + x2 + R2 ) ( :( חישוב השדה מתוך הפוטנציאל )גזירה מייגעת.ב E= dϕ = dx (h + x ) (h + x )2 + R 2 − x x 2 + R 2 + kQ d 2 = 2 = ⋅ 2 R 2h dx + R 2 ln h + x + (h + x ) + R − h 2 + 2hx x + x2 + R2 (h + x )2 − x 2 + R 2 − x 2 + 2h + R 2 ⋅ x + x 2 + R 2 (h + x )2 + R 2 + h + x + (h + x )2 + R 2 x2 + R2 (h + x )2 + R 2 kQ = ⋅ (h + x ) ⋅ x + x 2 + R 2 − 1 + x ⋅ h + x + (h + x )2 + R 2 2 R 2 h 1 + 2 2 2 2 + x R + + ( h x ) R ⋅ 2 x + x2 + R 2 ) ( ) ( ⋅ = (h + x )2 + R 2 + (h + x )2 x 2 + R 2 + x 2 1 − ⋅ + 2h + R 2 ⋅ h + x + (h + x )2 + R 2 (h + x )2 + R 2 x 2 + R 2 kQ = ⋅ (h + x )2 + R 2 + (h + x ) 2 2 = 2 2R h ⋅ x + x 2 + R 2 − x + R + x ⋅ h + x + (h + x )2 + R 2 x 2 + R 2 (h + x )2 + R 2 ⋅ x + x2 + R2 ) ( ( = 2 kQ 2(h + x ) + R 2 ⋅ 2 2 R h (h + x )2 + R 2 = 2 kQ 2(h + x ) + 2 R 2 2 x 2 + 2 R 2 = ⋅ − + 2 h 2 R 2h (h + x )2 + R 2 x 2 + R 2 = 2 kQ (h + x ) + R 2 ⋅ 2 R h (h + x )2 + R 2 = kQ 2 ⋅ (h + x ) + R 2 − x 2 + R 2 + h R 2h 2 x2 + R 2 − x 2 + R 2 x2 + R2 − x 2 + R 2 + 2h + R 2 ⋅ ) 1 (h + x )2 + R 2 − = x 2 + R 2 1 + h = !!! לא צריך לחפש טעויות, יצא נכון במכה ראשונה,יופי לי פרק 4 שאלה ) 4.3לא ברשימה( שתי טבלות מקבילות מוליכות וניטרליות שהמרווח ביניהן הוא 3d d ושטחן Aמחוברות ביניהן ע"י תיל מוליך .טבלת מתכת שלישית ששטחה Aגם כן ,הטעונה במטען + Qמוכנסת אל בין שתי הטבלות 2d הראשונות ,מקבילה לשתיהן ,ונמצאת במרחק dמהטבלה העליונה. א .כיצד מתחלק המטען בין המשטחים העליון והתחתון של הטבלה האמצעית ? ב .מהו הפרש הפוטנציאלים בין כל זוג לוחות ? ג .מהו השדה החשמלי בין זוג הטבלות העליון וזוג הטבלות התחתון ? ד .מהי האנרגיה של המערכת ? פתרון: א .נקבע כיול ,כלומר נקבע היכן הפוטנציאל שווה לאפס .בחרתי שהפוטנציאל שווה לאפס על הלוח התחתון .הנעלמים הם המטענים על הלוח העליון והלוח התחתון ,ידועים שני דברים ,המובלים אותנו לשתי משוואות: סכום המטענים של הלוח התחתון ) ( q1והלוח העליון ) ( q3שווה לאפס )נתון שהם ניטרליים לפני הכנסת הלוח האמצעי(: )(1 q1 + q3 = 0 הפוטנציאלים על שני הלוחות שווים זה לזה )הם מחוברים במוליך( .נחשב את השדה החשמלי בכל אזור וע"י אינטגרל על השדה נחשב את הפוטנציאל על הלוח העליון )להזכירכם:( q 2 = +Q : σ q q σ σ Q E1 (0 < z < 2d ) = 1 − 2 − 3 ⋅ kˆ = 1 − = ˆ− 3 ⋅ k 2ε 0 2ε 0 2ε 0 2ε 0 A 2ε 0 A 2ε 0 A 1 ˆ(q1 − Q − q3 ) ⋅ k = 2ε 0 A ˆ q1 q Q ⋅ k = + = ˆ− 3 ⋅ k 2ε 0 A 2ε 0 A 2ε 0 A σ σ σ E 2 (2d < z < 3d ) = 1 + 2 − 3 2ε 0 2ε 0 2ε 0 1 = ˆ(q1 + Q − q3 ) ⋅ k 2ε 0 A חישוב הפוטנציאל על הלוח העליון: 3d 1 = (q1 − Q − q3 ) dz − ∫ 1 (q1 + Q − q3 ) dz ϕ 3 = − ∫ E1dz − ∫ E 2 dz = − ∫ 2ε 0 A 2ε 0 A 0 2d 0 2d 1 ) (q1 − Q − q3 ) ⋅ 2d − 1 (q1 + Q − q3 ) ⋅ d = d (− 3q1 + Q + 3q3 =− 2ε 0 A 2ε 0 A 2ε 0 A 2d 3d 2d נשווה את הפוטנציאל של הלוח עליון לפוטנציאל של הלוח התחתון )להזכירכם:( ϕ1 = 0 : )(2 ⇒ − 3q1 + Q + 3q3 = 0 (− 3q1 + Q + 3q3 ) = 0 d 2ε 0 A ויש לנו שתי משוואות ) (1ו ) (2עם שני משתנים q1ו . q3נפתור: Q 6 , q3 = − Q 6 = ⇒ q1 )(2 )q1 + q3 = 0 (1 − 3q1 + Q + 3q3 = 0 ג .ניתן לרשום את השדות בשני האזורים המרכזיים: 1 Q Q ˆ Q ⋅k − Q + ⋅ kˆ = − 2ε 0 A 2ε 0 A 6 6 3ε 0 A 1 Q Q ˆ 2Q = ) E 2 (2d < z < 3d ⋅k = ˆ + Q + ⋅ k 2ε 0 A 6 6 3ε 0 A = ˆ(q1 − Q − q3 ) ⋅ k 1 = ) E1 (0 < z < 2d ב .הפרש הפוטנציאלים בין הלוח האמצעי לתחתון: Q Q 2Qd = ⋅ 2d = dz 3ε 0 A 3ε 0 A 3ε 0 A 0 2d 2d ϕ 2 = − ∫ E1dz = − ∫ − הפרש הפוטנציאלים בין הלוח העליון ללוח האמצעי: 3d 3d 2Q 2Qd ∆ϕ 23 = − ∫ E 2 dz = − ∫ dz = − 3ε 0 A 3ε 0 A 2d 2d 0 שאלה ) 4.5לא ברשימה( שני כדורים מוליכים בעלי רדיוסים aו b -טעונים במטענים שווים ומנוגדים , ± qבהתאמה .מרכזי הכדורים מונחים על ציר ה x -כאשר המרחק בין מרכזיהם הוא , dכמתואר באיור. נתונים . k , q , a , bהניחו כי המרחק בין הכדורים גדול כך שכדור אחד לא משפיע על משנהו. א .מהו השדה החשמלי בנקודה ) p( x,0הנמצאת על קו המחבר בין מרכזי הכדורים ? ב .מהו הפרש הפוטנציאלים בין משטחי הכדורים ? 4π ε 0 הראו כי הקיבול של המערכת נתון בביטוי 1 1 2 + − a b d ג. )p( x,0 b x ≈ , Cובתנאי ש . d >> a, b a d פתרון: א .שדה חשמלי של כדור מוליך טעון מחוץ לכדור הוא כמו של מטען נקודתי: q −q = ˆ⋅ i ˆ⋅ i 2 2 ) 4π ε 0 (d − x ) 4π ε 0 (d − x 1 ˆ 1 ⋅i 2+ 2 x ( d − x ) r E2 = − ˆ⋅ i , q 2 4π ε 0 x r = E1 r r r q q q E p = E1 + E 2 = + = ˆ⋅ i 2 2 4π ε 0 4π ε 0 (d − x ) 4π ε 0 x ב .את הפרש הפוטנציאלים נמצא ע"י אינטגרל על השדה: d −b 1 1 q = dx 2+ 2 4π ε 0 x 4π ε 0 (d − x ) d −b r r ∫ ∆ϕ = − ∫ E ⋅ dr = − 1 1 x − (d − x ) a q 1 1 1 1 d − b + (d − a ) − b − a 1 1 1 1 q − − + = 4π ε 0 d − b (d − d + b ) a (d − a ) 4π ε 0 = a q ג .את הקיבול נמצא עפ"י הגדרת הקיבול: 4π ε 0 1 1 1 1 + − − ) b a (d − b ) (d − a = −q 1 1 1 1 + − − 4π ε 0 (d − b ) (d − a ) b a q −q = ∆ϕ =C עבור המקרה בו מתקיים : d >> a, b 4π ε 0 4π ε 0 = 1 1 1 1 1 1 2 + − − − − b a d d b a d שאלה :4.14 ≈C שאלה :4.15 פתרון: א .נתון חומר דיאלקטרי: ε 2 − ε1 ⋅y d נחלק לאלמנטים דקים עפ"י השרטוט: ε (y ) = ε 1 + y y=d dy y=0 L כל האלמנטים מחוברים בטור )חשוב לזהות את סוג החיבור כדי לדעת לבנות את האינטגרל נכון( ,והגודל הדיפרנציאלי בכל קבל דיפרנציאלי הוא המרחק בין הלוחות. dy , קיבול של קבל לוחות דיפרנציאלי: ε − ε1 ⋅ y ⋅ ε0A ε1 + 2 ε 0 εA d = dC = dy dy ההופכי של השקול בחיבור טורי שווה לסכום ההופכיים של האלמנטים: d d ε − ε 1 1 1 dy 1 d ∫= ∫= = ⋅ ln ε 1 + 2 = ⋅ y ε 2 − ε1 C dC 0 ε 0 A ε 2 − ε1 d 0 ⋅ y ⋅ ε0A ε1 + d ε − ε1 d d = ⋅ d − ln (ε 1 ) ln ε 1 + 2 = ]) [ln(ε 2 ) − ln(ε 1 ε 0 A(ε 2 − ε 1 ) d ) ε 0 A(ε 2 − ε 1 ε d ln 2 ε 0 A(ε 2 − ε 1 ) ε 1 = התשובה הסופית: ) ε 0 A(ε 2 − ε 1 ε d ⋅ ln 2 ε1 =C ב .מטען על לוחות הקבל: ⋅ V0 ) ε 0 A(ε 2 − ε 1 ε d ⋅ ln 2 ε1 = q = C⋅V ג .חישוב השדה החשמלי ע"י חוק גאוס :יוצרים מעטפת גאוס קובייתית שפאה אחת נמצאת בתוך הקבל ופאה שנייה נמצאת מחוץ לקבל )להזכירכם ,השדה מחוץ לקבל שווה לאפס(. ⇒ q ε 0ε = E⋅A (ε 2 − ε 1 )V0 ) ε A(ε 2 − ε 1 q 1 = 0 ⋅ ⋅ V0 = ε − ε1 ε 0εA ε ε ε − ε1 ε 0 A ⋅ ε 1 + 2 ⋅ y d ⋅ ln 2 ⋅ ε 1 + 2 d ⋅ ln 2 ⋅ y d d ε1 ε1 =E ד .אותו תרגיל עם חומר דיאלקטרי אחר: ε 2 − ε1 ⋅x L מחלקים לאלמנטים מאונכים ,כך שהם מחוברים במקביל: x נניח ששטח הלוחותA = b ⋅ L : x=L dx L x=0 ε (x ) = ε 1 + :השטח הוא שהופך להיות דיפרנציאלי עבור כל אלמנט ε − ε1 ⋅ x ⋅ ε 0 ⋅ b ⋅ dx ε1 + 2 ε 0 ε ⋅ dA L dC = = d d : נמצא את השקול ע"י סכימה רגילה של האלמנטים,ומכיוון שכל האלמנטים מחוברים במקביל ε − ε1 ⋅ x ⋅ ε 0 ⋅ b ⋅ dx ε1 + 2 ε ⋅b L ε − ε1 L = 0 ∫ ε1 + 2 ⋅ x ⋅ dx = C = ∫ dC = ∫ d d L 0 0 L L ε ⋅b ε ⋅b ε − ε1 2 ε − ε1 2 ε 0 ⋅ b ε − ε1 = 0 ε 1 x + 2 ⋅ x = 0 ε 1 L + 2 ⋅L = ε1L + 2 ⋅ L = d 2L d 2L d 2 0 ε ⋅A (ε 2 + ε 1 ) = 0 2d שאלה 4.16 קבל גלילי בנוי ממוליך גלילי פנימי ארוך בעל רדיוס aהנתון בתוך חללו b של מוליך גלילי חיצוני שרדיוסו ) bראו שרטוט( .התווך בין הגלילים הינו a ריק .אם נתון כי פוטנציאל המוליך הפנימי הוא Vופוטנציאל המוליך L הפנימי הוא אפס ,חשבו את: א .צפיפות המטען האורכית )מטען ליחידת אורך( על כל אחד ממוליכי הקבל. ב .השדה החשמלי במרחק rמציר האורך של המוליך הגלילי הפנימי. ג .את קיבול הקבל ליחידת אורך. הדרכה :חשבו קודם את הקיבול וממנו את צפיפות המטען באמצעות הגדרת הקיבול .את השדה החשמלי חשבו באמצעות חוק גאוס. פתרון: ג .נניח שהמטען הפנימי הוא החיובי ,השדה בתווך שבין הגלילים הוא )חוק גאוס(: q ε 0 L ⋅ 2πr =⇒ E 'σ ⋅ 2 π aL' qL = ε0 ε 0L = '⇒ E ⋅ 2 π rL q 2 π aL =σ נחשב את הפרש הפוטנציאלים: a r r ∫ ∆V = − ∫ E ⋅ d r = − qdr -q [ln(r )]ab = q ⋅ ln b = ε L ⋅ 2 π r ε 0 L ⋅ 2π ε 0 L ⋅ 2π a b 0 הקיבול ליחידת אורך: C 2 πε 0 = L b ln a ⇒ 2 π Lε 0 b ln a = q q b ⋅ ln ε 0 L ⋅ 2π a q = ∆V =C א .נחשב את צפיפות המטען: 2 π Lε 0 2πε 0 q = = ⋅V ⇒ λ ⋅V L b b ln ln a a = q = C ⋅ ∆V ב .השדה החשמלי )נציב את המטען בביטוי שקיבלנו בהתחלה(: 2 π Lε 0 q 1 V =− ⋅⋅V = ε 0 L ⋅ 2πr ε 0 L ⋅ 2πr b b ln ln ⋅ r a a =E שאלה ) 4.17לא ברשימה( פתרון: א .תחילה נחשב קיבול של קבל כדורי רגיל )ללא חומר דאלקטרי(: השיטה למציאת קיבול היא להניח מטען חיובי , + Q ,על אחת הקליפות ,ומטען שלילי , − Q ,על הקליפה Q השנייה .לחשב את הפרש הפוטנציאלים בין הקליפות ואז לחלק עפ"י הנוסחה: ∆V = , Cכדי לקבל את הקיבול .שימו לב ,שהקיבול אמור להיות חיובי ותלוי במימדי הקבל בלבד )רדיוסים( ולא במטען. נניח מטען חיובי על הקליפה החיצונית: b - kQ kQ kQ kQ kQ kQ b−a ∆V = -∫ 2 dr = − = − − = − = kQ r a a b r a b ab a b והקיבול הוא: 4 π ε 0 ab Q ab = = ) b − a k (b - a ) (b - a kQ ab Q = ∆V =C נתון מקדם דיאלקטרי: ε(r ) = B ⋅ r נחלק את הקבל לאלמנטים של קבלים כדוריים דקים )העובי דיפרנציאלי( .הקיבול של אלמנט: b - a = dr ab = r 2 4 πε 0 ε (r )r 2 4 π ε 0 Br 3 = dC = dr dr האלמנטים מחוברים בטור ,ולפיכך נסכום על ההופכיים כדי לקבל את ההופכי של השקול: b 1 dr 1 1 1 1 1 1 a 2 − b2 ∫ = = ∫ dC = − = − − = − ⋅ = 3 C 4 π ε 0 B 2r 2 a 8 πε 0 B b 2 a 2 8π ε 0 B a 2 b 2 a 4 π ε 0 Br b b2 − a 2 8π ε 0 Ba 2 b 2 = 8πε 0 Ba 2 b 2 =C b2 − a 2 ב .כדי למצוא את צפיפות המטען על כל אחד מהלוחות ,נמצא את המטען על כל אחד מהלוחות ונחלק בשטח: 8π ε 0 Ba 2 b 2 ⋅ V0 b2 − a 2 2ε 0 Ba 2 Q = σb = ⋅ V0 4πb 2 b 2 − a 2 = Q = C ⋅ ∆V 2ε 0 Bb 2 Q = − ⋅ V0 4πa 2 b2 − a 2 הנחתי שהמטען החיובי על הלוח החיצוני ,והמטען השלילי על הלוח הפנימי. σa = − שאלה :4.18 פתרון: קיבול ליחידת אורך של קבל גלילי: C 2πε 0 = L b ln a נחלק את הקבל הנתון לשני אלמנטים גליליים הראשון עם חומר דיאלקטרי ,והשני בלי חומר דיאלקטרי. האלמנטים מחוברים בטור: 2πε 0 2πε 0 = ) 10R ln (2 ln 5R 2 πε 0 ε r 2πε 0 ε r C2 = = L )ln (5 5R ln R )ε ⋅ ln (2 ) + ln (5 L L L ) ln (2 )ln (5 = + = + = r C C1 C 2 2 π ε 0 2 π ε 0 ε r 2πε 0 ε r C1 = L 2πε 0 )ln (5 ln (2 ) + εr 2πε 0 ε r C = = )L ε r ⋅ ln (2 ) + ln (5 שאלה ) 4.19לא ברשימה( פתרון: א .נתון חומר דיאלקטרי: 2d z+d נחלק לאלמנטים דקים עפ"י השרטוט: z z=d dz z=0 = ) ε (z כל האלמנטים מחוברים בטור )חשוב לזהות את סוג החיבור כדי לדעת לבנות את האינטגרל נכון( ,והגודל הדיפרנציאלי בכל קבל דיפרנציאלי הוא המרחק בין הלוחות. dy , קיבול של קבל לוחות דיפרנציאלי: ε 0 εA ε 0 A 2d = ⋅ dz dz z + d = dC ההופכי של השקול בחיבור טורי שווה לסכום ההופכיים של האלמנטים: d z2 d2 ( 1 1 z + d )dz 1 1 3d ∫= ∫= = = ⋅ + d ⋅ z = ⋅ + d2 C dC 0 2ε 0 Ad 2ε 0 Ad 2 0 2ε 0 Ad 2 4ε 0 A d 2ε 0 A 3d =C ב .צפיפות מטען: 4ε 0 A ⋅ V0 3d = q = C ⋅ V0 q 4ε 0 = ⋅ V0 A 3d =σ ג. ד .האנרגיה האגורה בקבל: 1 1 4ε A q ⋅ V0 = ⋅ 0 ⋅ V02 2 2 3d = UC שאלה :4.20 בקבל כדורי שרדיוס מוליכו הפנימי הוא aורדיוסו החיצוני הוא , bכמתואר באיור,נפח הקבל ממולא בחומר דיאלקטרי שקבועו היחסי משתנה עם המרחק ממרכז המערכת לפי הקשר ε2 r2 , ε r (r ) = ε 1 + כאשר ε 1ו ε 2הם קבועים חיובים .ידוע כי לקליפה הפנימית נטען מטען Qואילו לקלפיה החיצונית נטען מטען . − Qנתונים. k , Q , ε 1 , ε 2 : א .חשבו את עצמת השדה החשמלי במרחק rממרכז המערכת . b ב .חשבו את הפרש הפוטנציאלים בין מוליכי הקבל. a ג .חשבו את קיבול הקבל הכדורי. ) ( dx arctan α ⋅ x = הדרכה: 2 +1 α ∫αx εr פתרון :אפשר לפתור את הסעיפים לפי הסדר ,אני מעדיף לחשב קיבול לפני הפרש מתחים. א .השדה החשמלי: ˆr Q ε 4π ε 0 ε 1 + 22 r = ˆr Q 4π ε 0 ε r r =E ג .חשוב הקיבול יתבצע ע"י פירוק לקליפות כדוריות בעלות עובי דיפרנציאלי ,האלמנטים מחוברים בטור: ε ε 2 4π ε 0 ε 2 1 r 2 + 1 ε 1 + 22 ε 0 4π r 2 4π ε 0 ε 1 r + ε 2 ε ε A r ε2 dC = r 0 = = = dr dr dr dr b b 1 1 dr 1 dr ∫= ∫= = ∫⋅ = C dC a ε1 2 4π ε 0 ε 2 a ε 1 2 r + 1 4π ε 0 ε 2 r + 1 ε2 ε2 ) ( b ε ε ε ε 1 ⋅ arctan 1 ⋅ b − arctan 1 ⋅ a = = ⋅ 2 ⋅ arctan 1 ⋅ r ε ε ε 4π ε 0 ε 2 ε 1 2 a 4π ε 0 ε 1ε 2 2 2 1 4π ε 0 ε 1ε 2 ε ε arctan 1 ⋅ b − arctan 1 ⋅ a ε ε 2 2 ב .את הפרש המתחים נמצא עפ"י הגדרת הקיבול: ε ε Q Q = ⋅ arctan 1 ⋅ b − arctan 1 ⋅ a ε ε C 4π ε 0 ε 1ε 2 2 2 = ∆V =C פרק 5 שאלה :5.6 שאלה ) 5.7לא ברשימה( ניתן לשנות את ההתנגדות הסגולית , ρ ,של חצי מוליך על ידי הוספה של זיהומים .מוט העשוי חומר חצי מוליך מונח לאורך ציר ה x -בין x = 0ל . x = L -כתוצאה מההוספה של הזיהומים מציית המוט לחוק אוהם והתנגדותו הסגולית משתנה לפי הקשר . ρ ( x ) = ρ 0 e − x Lקצה המוט הנמצא בנקודה x = 0 נמצא בפוטנציאל הגבוה ב V0מהקצה הנמצא ב . x = Lנתון כי שטח החתך של המוט הוא . A א .חשבו את התנגדותו של המוט. ב .מצאו את השדה החשמלי במוט כפונקציה של המרחק xהנמדד מקצהו השמאלי של המוט. ג .חשבו את הפוטנציאל במוט ) V ( xכפונקציה של . x ד .ציירו גרפים המתארים את ההשתנות של ) ρ ( x ) , E ( x ) , V ( xכפונקציה של . x פתרון: א .נחלק את המוט לפרוסות בעלות שטח חתך Aואורך דיפרנציאלי . dxהתנגדות התיל: ρ = ρ0 e − x L ] [ ρ0 L 1 − e −1 A ] L = 0 ρdL ρ0 e − x L dx = dR = S A L −x L ρ e dx ρ0 L x L ρ0 R = ∫ dR = ∫ 0 = e dx = − Le − x L ∫ A A 0 A 0 [ ג .נחשב את הזרם דרך הנגד .נחשב את התנגדות הנגד כפונקציה של xיחסית לנקודה בה נכנס הזרם. את הפרש הפוטנציאלים כפונקציה של xנמצא ע"י חוק אוהם: V0 V0 A V = = R ρ0 L ρ0 L 1 − e −1 1 − e −1 A ρ x ρ R( x ) = 0 ∫ e − x L dx = 0 − L ⋅ e − x L A 0 A ] ) () ) ( ) ( ρ0 L 1 − e −x L A = ] x 0 [ ( [ [ V0 A ρ L V0 ⋅ 0 1 − e − x L = V0 − ⋅ 1 − e−x L −1 A ρ0 L 1 − e 1 − e −1 ] ] =I [ V ( x ) = V0 − I ⋅ R( x ) = V0 − ב .שדה חשמלי נמצא ע"י ביצוע גרדיאנט על הפוטנציאל: ˆ = ⋅ i −x L ) ⋅ iˆ = (1 −Ve ) L1 ⋅ e 0 −1 r r V0 ∂ ⋅ 1 − e−x L E = −∇ ⋅ V = − V0 − ∂x 1 − e −1 ˆ V ⋅ e−x L = 0 ⋅i L 1 − e −1 () ( ) ( שאלה :5.8 מוליך שהתנגדותו הסגולית ρעוצב לצורה של חרוט קטום שהמרחק בין בסיסיו b , Lכמתואר באיור שמשמאל .רדיוס בסיסי החרוט הם aו . b -תוכלו להניח כי a הזרם דרך כל שטח חתך מעגלי של החוט הקטום הוא זהה .חשבו: א .את התנגדות הנגד בין בסיסיו. ב .השדה החשמלי כפונקציה של המרחק מהבסיס הגדול של החרוט ,כאשר הפרש הפוטנציאלים בין בסיסי החרוט הוא . ∆V l ג .הראו כי עבור a = bתצטמצם תשובתכם לנוסחה S L .R = ρ פתרון: א .חישוב ההתנגדות מתבצע ע"י אינטגרל על אלמנטים קטנים של דיסקות בעובי : dx 2 b−a ) (b-a =, r x + a ⇒ S = π ⋅ x + a L L 2 dL = dx , S = π ⋅ r ρdx 2 b-a π ⋅ x + a L dL = S dR = ρ L L ρdx ρ L 1 = ∫ = R = ∫ dR = − ⋅ 2 ) π b-a (b-a ) (b-a 0 x + a π ⋅ x + a L 0 L ρ L 1 1 ρ L 1 1 ρ L b − a ρL − − = = − = π b-a (b − a )L a π b-a a b π b-a ab πab + a L ב .נמצא הזרם דרך הנגד )ע"י חוק אוהם(: ∆V πab ⋅ ∆V = R ρL =I נחשב את ההתנגדות עד לנקודה מסוימת בנגד בתלות ב) x -זו ההתנגדות יחסית לנקודה בה נכנס הזרם(: x x 1 ρdx ρ L 1 ρL 1 ∫ = ) R(x = − ⋅ = ⋅ − 2 ) π b-a (b-a π (b − a ) a (b − a )x ) (b-a 0 + a x + a π ⋅ x + a L L 0 L :וע"י חוק אוהם נוכל לחשב את הפוטנציאל בנקודה זו 1 πab ⋅ ∆V ρL 1 = V ( x ) = ∆V − I ⋅ R( x ) = ∆V − ⋅ ⋅ − ρL π (b − a ) a (b − a )x + a L ab ⋅ ∆V 1 1 = ∆V − ⋅ − (b − a ) a (b − a )x + a L :את השדה החשמלי נמצא ע"י מינוס גרדיאנט על הפוטנציאל r r ∂ ab ⋅ ∆V E = −∇ ⋅ V = − ∆V − ∂x (b − a ) 1 1 ⋅ iˆ = ⋅ − a (b − a )x + a L ab ⋅ ∆V 1 1 (b − a ) ⋅ iˆ = ab ⋅ ∆V ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ iˆ 2 2 (b − a ) (b − a )x L L (b − a )x + a + a L L : a = b נבדוק את הגבול המתבקש.ג R= ρL ρL ρL = 2 = πab πa S שאלה :5.9חסר שרטוט!!! מדיסקה חלולה שעובייה wורדיוסיה הפנימי והחיצוני הם aו , b -מייצרים נגד על ידי חיתוך הדיסקה החלולה לאורך קוטר באופן שמתקבלת צורה המזכירה פרסה )ראו איור משמאל( .מוליכותה הסגולית של הדיסקה . σמחברים את הנגד בין שני המשטחים הקדמיים למקור המח המספק הפרש פוטנציאליים . V0 תוכלו להניח כי הזרם זורם לאורך חצאי מעגלים .חשבו: א .את התנגדות הנגד. r ב .את וקטור צפיפות הזרם . j ג .את הפוטנציאל החשמלי כפונקציה של הזווית הקוטבית φבהנחה כי הפוטנציאל החשמלי בנקודה בה הזרם יוצא הוא אפס .קחו את φלהיות אפס בנקודה בה הזרם נכנס. פתרון: א .מחלקים לאלמנטים חצי מעגליים )רדיוס , rעובי ( drבעלי שטח חתך דיפרנציאלי ואורך של חצי מעגל .האלמנטים מחוברים במקביל: L =π r , dS = w ⋅ dr L πr = σ dS σ w ⋅ dr ⋅ π 1 = dR σ w ⋅ dr σ w b 1 1 ∫= ∫= = ⇒ ⋅ ln π R dR a π r a b =R b a σ w ⋅ ln ב .מכיוון שהאלמנטים מחוברים במקביל ניתן לחשב את הזרם דרך כל אלמנט ע"י חוק אוהם .את הזרם על כל אלמנט נחלק בשטח החתך של האלמנט כדי לקבל את צפיפות הזרם: r ˆ dI ˆ V0σ = ) j (r = ⋅φ ⋅φ πr dS ˆ V0 ˆ V0σ w ⋅ dr = ⋅φ ⇒ ⋅φ πr dR = ⇒ dI πr σ w ⋅ dr = dR ג .נחשב את הזרם דרך הנגד: b V0 ⋅ σ w ⋅ ln V a = I= 0 R π נחשב את הפוטנציאל בזווית מסוימת: φ b a σ w ⋅ ln V0 ⋅ φ π = V0 − φ b a σ w ⋅ ln = ⋅φ R π = ) R(φ b V0 ⋅ σ w ⋅ ln ⋅a V (φ ) = V0 − I ⋅ R(φ ) = V0 − π שאלה :5.11 פרק 6 שאלה :6.21 פרק 7 שאלה :7.12 שאלה :7.16 שאלה ) 7.17לא ברשימה( פתרון :בחרתי את כיוון ציר xלתוך הדף! נניח שבמוליך הפנימי הזרם פנימה ובחיצוני החוצה. r r בסימטריה המתקיימת במוליך גלילי אינסופי ,ניתן להשתמש בחוק אמפר . ∫ B ⋅ d l = µ 0 I in :לסימטריה כזאת יוצרים לולאת אמפר מעגלית ברדיוס , rשמרכזה נמצא על ציר הסימטריה המרכזי .הצד הימני של חוק אמפר מתאים לכל רדיוס שנבחר )אינו תלוי באזורים השונים של השדה המגנטי אלא רק בסימטריה(: r r ∫ B ⋅ d l = B ⋅ 2π r כדי למצוא את השדה באזורים השונים נשנה את רדיוס הלולאה כך שבכל פעם הא תהיה באזור אחר, ונחשב בכל אזור את כמות הזרם העוברת דרך הלולאה: ) (r > R3 ⇒ µ 0 I in = I − I = 0 r r ⇒ ∫ B ⋅ d l = µ 0 I in ⇒ B ⋅ 2π r = 0 B (r > R3 ) = 0 R32 − r 2 2 2 R3 − R2 2 2 µ I R −r B (R2 < r < R3 ) = 0 ⋅ 23 2π r R3 − R22 µ 0 I in = µ 0 I − µ 0 j 2π (r 2 − R22 ) = µ 0 I µ0 I 2π r ⇒ R12 µ0 I r 2π R12 ) ( R2 − r 2 B ⋅ 2π r = µ 0 I 23 2 R3 − R 2 µ 0 I in = µ 0 I = ) B (R1 < r < R2 µ0 I r 2 , I 2 π R3 − R22 ⇒ B ⋅ 2π r = µ 0 I = µ 0 I in = µ 0 j1 ⋅ π r 2 = ) B (R1 < r < R2 = j2 ⇒ µ0 I r 2 2 1 R , I π R12 = B ⋅ 2π r ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = j2 ⇒ ) ( R 2 < r < R3 r r ∫ B ⋅ d l = µ 0 I in ) (R1 < r < R2 r r B ∫ ⋅ d l = µ 0 I in ⇒ ) (r < R1 r r B ∫ ⋅ d l = µ 0 I in שאלה ) 7.18לא ברשימה( צינור ארוך דק דפנות אשר רדיוסו החיצוני הינו Rנושא זרם i0המפולג בצורה אחידה .כיוון הזרם בצינור הוא אל תוך הדף .במרחק 3 Rממרכז הצינור מוצב תיל הנושא זרם חשמלי iבמקביל לציר הצינור ובאותו כיוון )ראה איור(. א .חשב את השדה המגנטי במרכז הצינור. ב .חשבו את השדה המגנטי בנקודה Pהנמצאת במרחק 2 Rממרכז הצינור. ג .מה צריך להיות היחס בין הזרמים iו i0 -על מנת שעצמת השדה המגנטי השקול בנקודה Pתהיה שווה לזו שבמרכז הצינור אך הפוכה לו במגמה? i P A R R R פתרון :בחרתי את כיוון ציר zמעלה. א .השדה המגנטי במרכז הצינור מושפע רק מהתיל החיצוני ולא מהצינור עצמו ,ניתן להסביר זאת ע"י חוק אמפר: B1 (r < R ) = 0 ⇒ B1 ⋅ 2π r = 0 ⇒ r I 0 in r ∫ B ⋅ dl = µ ⇒ µ 0 I in = 0 ⇒ ) (r < R כך שבנקודה במרכז הצינור קיים שדה מגנטי של תיל אינסופי במרחק 3Rמהתיל: µ 0i µi ˆ⋅ kˆ = − 0 ⋅ k ) 2π (3 R 6π R r BA = − ב .כל אחד מהגופים יוצר שדה של תיל אינסופי ,נחשב ונחבר וקטורית כדי למצוא את השקול: r ˆ µ 0 i0 ˆ µ 0 i0 µi = ⋅k ⋅k , ˆB2 (r = R ) = − 0 ⋅ k ) 2π (2 R 4π R 2π R r r r µi µi ˆ ) µ (i − 2i B P = B1 + B2 = 0 0 ⋅ kˆ − 0 ⋅ kˆ = 0 0 ⋅k 4π R 2π R 4π R r = ) B1 (r = 2 R r r µi ג .נדרוש , B P = − B A = 0 ⋅ kˆ :נשווה לביטוי שקיבלנו בסעיף ב' ונבודד את הזרם: i , 6π R 3i0 = 8i ⇒ ⇒ 3i0 − 6i = 2i i0 − 2i i = 2 3 ˆ µ 0 (i0 − 2i ) ˆ µ 0 i = ⋅k ⇒ ⋅k 4π R 6π R i 3 = i0 8 שאלה :7.19 שאלה :7.20 שאלה :7.23 y במוליך גלילי ארוך שרדיוסו aנקדחו שני חללים לאורך ציר Q הסימטריה כולו ,שקוטרם , aכמתואר באיור משמאל. המוליך נושא זרם Iבניצב למישור האיור ובמגמה החוצה. r a 2 א .חשבו את השדה המגנטי בנקודה Pהנמצאת על ציר P x ה x -במרחק rממרכז הגליל. a 2 ב .חשבו את השדה המגנטי בנקודה Qהנמצאת על ציר ה y -ובמרחק rממרכז הגליל. r הדרכה :התייחסו לחללים הגלילים כאל מוליכים הנושאים זרם באותה צפיפות אולם במגמה הפוכה. פתרון :ציר zלתוך הדף! נמספר את ה"גופים": .1גליל מלא רדיוס aשהזרם בו החוצה מהדף. .2הגליל החלול העליון ,בעל רדיוס , a 2אליו נתייחס כמלא שהזרם בו לתוך הדף. .3הגליל החלול התחתון ,בעל רדיוס , a 2אליו נתייחס כמלא שהזרם בו לתוך הדף. כדי לחשב את השדות בנקודות השונות מחשב את השדה שיוצר כל "גוף" ונחבר וקטורית. א .נחשב את צפיפות הזרם במוליך ,ובאמצעותה נחשב את ה"זרם" בכל אחד מה"גופים": ˆ 2I ⋅k π a2 ) (in =− I 2 a 2 π a 2 − (out ) , a 2 2 π a 2 − 2 2 2I I a = ⋅π 2 πa 2 2 = I2 = I3 = − j ⋅ S2 = ˆ⋅ k I r j =− 2I ⋅ π a 2 = 2I 2 πa = I 1 = j ⋅ S1 נחשב השדה המגנטי שיוצר כל אחד מה"גופים" )כמו תילים אינסופיים( בנקודה Pונחבר וקטורית )הוספתי שני שרטוטים שמסבירים את הזוויות והכיוונים ,של השדות שיוצרים כל אחד מהחללים(: y y Q Q r θ x r a 2 x θ P P θ θ r B3 r B2 r r a 2 r µ I µ I B1 = 0 1 ⋅ ˆj = 0 ⋅ ˆj πr 2π r r µ0 I 2 µ I a r 0 B2 = ⋅ − cos θ ⋅ iˆ − sinθ ⋅ ˆj = ⋅− ⋅ iˆ − ⋅ ˆj = 2 2 2 2 a a a a 2 2π r 2 + 4π r 2 + r2 + 2 r + 4 4 4 4 µ0 I µ0 I a a = ⋅ − ⋅ iˆ − r ⋅ ˆj = ⋅ − ⋅ iˆ − r ⋅ ˆj 2 2 2 a 2 π 4r + a 2 4π r 2 + 4 ( ) ( ) r µ0 I 3 µ I a r 0 B3 = ⋅ cos θ ⋅ iˆ − sinθ ⋅ ˆj = ⋅ ⋅ iˆ − ⋅ ˆj = 2 2 2 2 a a a a 2 2π r 2 + 4π r 2 + r2 + 2 r + 4 4 4 4 µ0 I µ0 I a a ⋅ ⋅ iˆ − r ⋅ ˆj = ⋅ ⋅ iˆ − r ⋅ ˆj = 2 2 2 a 2 π 4r + a 2 4π r 2 + 4 r r r r µ I µ0 I µ0 I a a ⋅ − ⋅ iˆ − r ⋅ ˆj + ⋅ ⋅ iˆ − r ⋅ ˆj = BP = B1 + B2 + B3 = 0 ⋅ ˆj + 2 2 2 2 πr π 4r + a 2 π 4r + a 2 ( ) ( ( ) ) ( ) = µ0 I 2r 2 ˆ µ 0 I 2 r 2 ˆ µ 0 I 4r 2 + a 2 − 2r 2 ˆ 1 − 2 ⋅ j = ⋅ j = ⋅ j = 1 − π r 4r + a 2 π r 4r 2 + a 2 π r 4r 2 + a 2 = µ 0 I 2r 2 + a 2 ˆ ⋅ j π r 4r 2 + a 2 :( מכיוון שאין זוויות, )היא יותר פשוטהQ באותו אופן לנקודה.ב r µ I µ I B1 = − 0 1 ⋅ iˆ = − 0 ⋅ iˆ 2π r πr r B3 = µ0 I 3 a 2π r + 2 ⋅ iˆ = r B2 = , µ0 I a 4π r + 2 µ0 I 2 a 2π r − 2 ⋅ iˆ = µ0 I a 4π r − 2 ⋅ iˆ ⋅ iˆ r r r r I I µ0 I ˆ µ0 I µ µ r r ⋅ iˆ = 0 0 B P = B1 + B2 + B3 = − ⋅i + ⋅ iˆ + ⋅ iˆ = −1 + + a a r πr π a a 4 r − 4 r + 4π r − 4π r + 2 2 2 2 µ I = 0 πr ar ar + r2 − 2 2 2 2 ⋅ iˆ = µ 0 I − 2r − a π r 4r 2 − a 2 4r 2 − a 2 − 4r 2 − a 2 + r 2 + ˆ ⋅ i :7.24 שאלה שאלה :7.25 תיל ישר באורך lהנושא זרם Iבמגמה המתוארת באיור ,מונח לאורך ציר ה . y -עובי התיל זניח. א .חשבו את השדה המגנטי בנקודה Pהנמצאת על ציר ה z -ובגובה zמעליו .מרחקי האנך מן הנקודה Pלתיל ,אל קצות התיל הם . l 2 , l 1 ב .חשבו את השדה המגנטי במצב בו הנקודה Pמעל אמצע החוט. z ג .חשבו את השדה המגנטי במצב בו הנקודה Pמעל אחד מקצות המוט. P ד .למה תצטמצם תוצאתכם לסעיף ב' עבור ? l >> z z I y I l2 l1 פתרון: נחלק את המוט לאלמנטים בעלי אורך דיפרנציאלי ונחשב את השדה המגנטי שיוצר כל אלמנט בנקודה z :P P r r z I y I dy l2 z ˆ⋅ k 2 2 y +z y ⋅ ˆj + 2 = ˆ, r 2 y +z = ˆ ⋅ k 2 y + z 2 y − l1 2 y + z2 r r = d l = dy ⋅ ˆj , r = y ⋅ ˆj + z ⋅ kˆ , r y ⋅ dy ⋅ ˆj × ⋅ ˆj + 2 2 y +z z ) 2 r ˆr µ 0 I ⋅ d l × r µ0 I = dB = 2 2 4π r 4π y + z 2 ( ˆ⋅ i µ 0 I ⋅ z ⋅ dy ) 32 2 2 ( 4π y + z = כדי למצוא את השדה נבצע את אינטגרל על כל התיל: l2 = ˆ ⋅ i −l1 ˆ ⋅ i כיוון ציר xהוא כלפי חוץ. µ 0 I ⋅ z y ˆ = ⋅i 4π z 2 y 2 + z 2 ) 32 l1 ⋅ iˆ = µ 0 I l 2 + 4π z l 22 + z 2 l 12 + z 2 r r µ0 I ⋅ z l2 dy = B = ∫ dB ∫ 2 4π −l1 y + z 2 ( µ 0 I l 2 − l1 − 4π z l 22 + z 2 l 12 + z 2 = l ב .ניקח את קצות המוט להיות במרחק שווה מראשית הצירים ,כלומר: 2 = . l 1 = l 2נציב בביטוי שקיבלנו בסעיף א': µ0 I ⋅ l ˆ ˆ⋅ i = ⋅i 2 l 4π z + z2 4 r µ0 I l l =B + 2 2 4π z 2 l + z2 2 l + z2 4 4 ג .נזיז את ראשית הצירים לקצה השמאלי של המוט ,כלומר . l 2 = l , l 1 = 0 :נציב בביטוי שקיבלנו בסעיף א': µ0 I ⋅ l = ˆ ⋅ i ˆ⋅ i 2 2 4 π z l + z r µ I l B = 0 4π z l 2 + z 2 ד .עבור : l >> z ˆ µ0 I ⋅ l ˆ µ0 I =i i l 2π z ⋅ 4π z 2 שדה מגנטי של תיל אינסופי! = ˆ⋅ i µ0 I ⋅ l 2 l 4 4π z ≈ ˆ⋅ i µ0 I ⋅ l 2 l + z2 4 4π z r =B שאלה ) 7.26לא ברשימה( I הראו כי גודל השדה המגנטי במרכזה של לולאה מלבנית )נק' ( Pשאורכה l 2µ 0 I ⋅ l 2 + w 2 ורוחבה wהנושאת זרם Iשווה ל: π lw w P = . Bלמה תצטמצם תוצאתכם בגבול ? l >> w l פתרון: תחילה יש למצוא את השדה המגנטי שיוצר תיל סופי בנקודה הנמצאת בניצב למרכזו )באותו אופן כמו בתרגיל 7.25סעיף ב'( .נציב בביטוי של השדה המגנטי את הנתונים המתאימים לשאלה זו .הצלע העליונה ותחתונה יצורות את אותו שדה מגנטי והצלע הימנית והשמאלית יוצרות את אותו שדה מגנטי .כל ארבעת השדות באותו כיוון )כלפי חוץ( .שדה מגנטי של צלע תחתונה )ששווה לזה של העליונה(: ˆ⋅ i µ0 I ⋅ l 2 πw l +w 2 = ˆ⋅ i µ0 I ⋅ l 2 µ0 I ⋅ l = ˆ⋅ i 2 w l w + 2 4 4 2 l + z2 4 4π 4π z r w =⇒ B 2 =z שדה מגנטי של צלע ימנית )ששווה לזה של השמאלית(: ˆ⋅ i µ0 I ⋅ w 2 πl w +l 2 = ˆ⋅ i µ0 I ⋅ w 2 2 l w l + 2 4 4 = ˆ⋅ i µ0 I ⋅ l 2 l + z2 4 4π r =⇒ B 4π z l 2 =z l=w , השדה המגנטי הכולל במרכז המלבן: r r r r r = B = BUp + BDown + BRight + BLeft = ˆ⋅ i µ0 I ⋅ w ⋅ iˆ + µ0 I ⋅ w ⋅ iˆ + µ0 I ⋅ l ⋅ iˆ + µ0 I ⋅ l = 2µ 0 I = π w l 2 + w2 π w l 2 + w2 π l w2 + l 2 π l w2 + l 2 2µ 0 I ⋅ l 2µ 0 I ⋅ w 2µ 0 I ˆ l w = ⋅ iˆ + = ˆ⋅ i = + ⋅i 2 2 2 2 2 2 πw l +w πl w +l π w +l w l ˆ l 2 + w 2 ˆ 2µ 0 I w 2 + l 2 = ⋅ i ⋅i π wl π w 2 + l 2 wl בגבול : l >> w r 2µ I w 2 + l 2 ˆ 2µ I l 2 ˆ 2µ 0 I B= 0 ⋅ iˆ ≈ 0 = ⋅i ⋅i π wl π wl πw w זהו שדה מגנטי בנקודה הנמצאת בדיוק במרכז בין שני תילים אינסופיים )כאשר המרחק מכל תיל 2 (. שאלה ) 7.28לא ברשימה( תיל דק מקופל לצורת מצולע משוכלל בעל nצלעות החסום ע"י מעגל שרדיוסו . Rידוע כי התיל נושא זרם . I µ 0 In א .הראו כי גודל השדה המגנטי במרכז המצולע נתון ע"י ) tan (π n 2π R = .B ב .הראו כי בגבול ∞ → nגודלו של השדה המגנטי במרכז המצולע הוא כגודלו של השדה המגנטי במרכזה של לולאה מעגלית. פתרון) :כללי ,לאו דווקא למשושה( א .נוסחה לחישוב הזווית , θ ,שהגדרתי בשרטוט המצולע: π n =⇒ θ 2θ 2θ 2θ θ R 2θ n = 2π כאשר ,במקרה של המצולע: z = R ⋅ cosθ , l = 2 R ⋅ sinθ I 2θ 2θ z l 2 שדה מגנטי שיוצר תיל אחד באורך lבנקודה הנמצאת בניצב למרכז התיל ,במרחק zממרכז התיל: µ0 I ⋅ l l2 + z2 4 =B 4π z נציב בביטוי של השדה המגנטי ,ונכפול ב n -צלעות ,כדי לקבל את השדה במרכז המצולע )שימו0לב שכל הצלעות יוצרות שדה מגנטי באותו כיוון ,לתוך הדף ,ולכן נתין לחבר באופן פשוט(: = µ 0 In ⋅ tanθ 4π ⋅ R ⋅ sin 2 θ + R 2 ⋅ cos 2 θ 2 = n ⋅ µ 0 I ⋅ R ⋅ sinθ =B 4 R ⋅ sin θ ⋅ 4π R ⋅ cosθ + R 2 ⋅ cos 2 θ 4 µ In ⋅ tanθ µ 0 In = 0 = ) tan (π n 4π R 2π R 2 2 ב .נשתמש בזהותθ << 1 ⇒ tanθ ≈ θ : במקרה שלנו: π π π ≈ → 0 ⇒ tan n n n µ In π µ In µ In B = 0 tan (π n ) ≈ 0 ⋅ = 0 2π R 2π R n 2R הביטוי שאליו שואף השדה המגנטי הוא של שדה מגנטי של כריכה מעגלית. שאלה , :7.30שאלה :7.35 ⇒ ∞→n שאלה ) :7.41לא ברשימה( טבעת שרדיוסה Rהעשויה מחומר מבודד טעונה במטען כללי Qהמפולג לאורכה בצורה אחידה. הטבעת סובבת במהירות זוויתית קבועה ωמסביב לציר הניצב למישורה ועובר במרכזה. א .חשבו את השדה המגנטי שיוצרת הטבעת הסובבת בנקודה Pהנמצאת על הציר בגובה zמעל מישורה. z ב .מה יקרה אם הטבעת תסתובב בכיוון הפוך? ω R פתרון: הזרם שיוצרת המטען בטבעת שנמצא בתנועה הוא )נסתכל על מחזור שלם של סיבוב(: ∆Q Q Qω = = ∆t T 2π =⇒ I כעת נתייחס למצב שטבעת מעגלית שזורם בה הזרם שחישבנו .מבט צד של המערכת: r dB dL = R ⋅ d ϕ , r = z 2 + R 2 R r z r = sinθ y r µ I ⋅ dL µ I ⋅ R ⋅ dϕ R dB z = 0 2 ⋅ cosθ ⋅ kˆ = 0 2 ⋅ = ˆ⋅ k 2 2 2 4π r 4π z + R z +R 2 ˆ µ I ⋅ R ⋅ dϕ = 0 ⋅k 32 4π z 2 + R 2 r I ) = , cosθ ) ω z θ P r r ( ( 2π =T z θ r I R שימו לב: • ישנן שתי זוויות , θ :שהיא זווית קבועה .ו ϕ -שהיא זווית שמשתנה לפי מיקום האלמנט בטבעת. • לא רשמתנו את הרכיבים האופקיים של השדה המגנטי מכיוון שלאחר האינטגרל הם יתאפסו )משיקולי סימטריה(. נבצע את האינטגרל לפי הזווית על כל הטבעת: ˆ⋅ k µ0 I ⋅ R 2 ) 2 32 2π ( 2 z +R 2 = ⋅ kˆ ⋅ ∫ d ϕ 0 ) µ0 I ⋅ R 2 2 32 ( 4π z + R 2 r r = B = ∫ dB z נציב את הביטוי לזרם שקיבלנו בהתחלה ונקבל את התשובה הסופית: µ 0 R 2 Qω ˆ Qω = ⋅k ˆ⋅ k 32 2π 4π z 2 + R 2 ) ( ⋅ ) 32 µ0 R 2 ( 2 z2 + R2 = ˆ⋅ k µ0 I ⋅ R 2 ) 32 ( 2 z2 + R2 r =B פרק 8 שאלה :8.14 שאלה :8.16 שאלה :8.21 שאלה :8.25 שאלה :8.29 שאלה :8.31 שאלה :8.39 שאלה :8.42 שאלה ) 8.43לא ברשימה( פתרון: א .השטף המגנטי: r r d αt 2 d 2 = Φ B = ∫ B ⋅ dS = ∫ αt 2 d ⋅ ydy 2 0 ב .הכא"מ המושרה: = αd 2 t ∂Φ B ∂ αt 2 d 2 = ∂t ∂t 2 =ε ג .הספק החום: ε 2 α 2d 4 t 2 = R R =P ד .כמות האנרגיה שנפלטה בזמן הנתון: T α 2d 4 t 2 α 2d 4T 3 = dt R 3R 0 ∫ = U = ∫ Pdt
