docפיזיקה 2 -מאגר שאלות ופתרונות 01
download 
Report Transcription
פיזיקה 2 -מאגר שאלות ופתרונות 01
פיסיקה - 2מאגר שאלות ופתרונות מלאים חוק קולון – צפיפות אחידה מטען qממוקם במרכז קשת חצי מעגלית בעלת רדיוס . Rחצי קשת עליון טעון במטען , Q r וחצי קשת תחתון טעון במטען ) - Qראו שרטוט( .מצאו את הכוח Fהפועל על המטען . q Y Q R q פתרון: -Q +Q dθ θ X q r dF −Q 2Q צפיפות מטען בקשת החיובית: πR נחשב את הכוח שמפעילה הקשת החיובית על המטען: = , λ 1צפיפות מטען בקשת השלילית: 2Q πR . λ2 = − 2Q dθ π ) ) ( = Q 1 = λ 1 Rdθ ( r kqdQ 1 ˆi + sin θ ⋅ ˆj = 2kqQ cos θ ⋅ ˆi + sin θ ⋅ ˆj dθ = d F1 cos θ ⋅ R2 πR 2 0 r r ˆ ˆ 2kqQ 2kqQ ∫ = F1 = ∫ dF1 = cos θ ⋅ ˆi + sin θ ⋅ ˆj dθ i−j 2 πR πR 2 3π ) ( ( ) 2 ובאותו אופן נחשב את הכוח שמפעילה הקשת השלילית על המטען: 2Q dθ π ) ) ( = Q 2 = λ 2 Rdθ ( r kqdQ 2 2kqQ = dF2 cosθ ⋅ ˆi + sin θ ⋅ ˆj = − cosθ ⋅ ˆi + sin θ ⋅ ˆj dθ 2 R πR 2 ) ( ) ( π 2 r r 2kqQ ˆ ˆ 2kqQ F2 = ∫ dF2 = ∫ − = cosθ ⋅ ˆi + sin θ ⋅ ˆj dθ −i− j 2 πR πR 2 0 נסכום את שני הכוחות שקיבלנו ונקבל את הכוח הפועל על המטען: r r r ˆ 4kqQ F = F1 + F2 = − j πR 2 חוק קולון – צפיפות אחידה נתונים שני מוטות זהים דקים בעלי אורך Lהמונחים לאורך ציר ה X -במרחק Lאחד מהשני, כמתואר בשרטוט .כל אחד מהמוטות טעון באופן אחיד במטען כולל . Qמהו הכוח הפועל על המוט הימני? y x 3L 2L L 0 פתרון: נבצע את התהליך ע"י אינטגרל כפול ,כלומר ,נחלק את שני המוטות לקטעים דיפרנציאליים נכתוב את הכוח בין שני הקטעים ואז נסכום ע"י אינטגרל כפול על הכוחות בין כל הקטעים כל שני המוטות: k ⋅ dq ⋅ dQ r2 Qdx 1 Qdx 2 = dq = dQ L L r = x 2 − x1 = dF kQ 2 dx 1dx 2 2 L 1 = ∫2Ldx 2 (x 2 − x 1 ) 0 3L kQ 2 = 2 L ) L2 (x 2 − x 1 kQ 2 dx 1 2 ) L2 (x 2 − x 1 = dF L 3L 0 2L ∫ F = ∫ dx 2 1 1 kQ 2 3L dx − = ∫2L 2 (x 2 − L ) x 2 = L2 [ln(x 2 − L ) − ln(x 2 )]2L kQ 2 kQ 2 − − + = [ ln ( 3L L ) ln ( 3L ) ln ( 2L L ) ln ( 2L ) ] ])[ln(2L ) − ln(3L ) − ln(L ) + ln(2L L2 L2 kQ 2 4 = 2 ln L 3 3L kQ 2 L2 = חוק קולון – צפיפות אחידה חשבו את הכוח החשמלי שפועל על מטען qהממוקם בנקודה , P הנמצאת במרחק hאנכית מעל קצהו השמאלי של תיל סופי בעל אורך , L עפ"י השרטוט הנתון .התיל טעון אחיד במטען כולל . Q פתרון: P r dF θ P θ r h x X x=L x=0 dx נחלק את התיל לאלמנטים ונחשב את השדה הדיפרנציאלי שיוצר האלמנט ,את השדה החשמלי נקבל ע"י אינטגרל על כל השדות שיוצרים האלמנטים. המשתנה שלפיו אבצע את האינטגרציה יהיה הזוית שבין השדה הדיפרנציאלי לאנך .המשמעות היא שבבניית האינטגרל עליי לבטא את כל המשתנים באמצעות הזוית: ) ( r Kqdq ˆdF = 2 r r h h =⇒ r = cosθ r cosθ x = sinθ ⇒ x = rsinθ r x hdθ = ⇒ dx = tanθ h cos 2 θ Q hdθ ⋅ = dq = λdx L cos 2 θ rˆ = −sinθ ˆi + cosθ ˆj ) ( 2 ˆ ˆ r cosθ Q hdθ ˆi + cosθ ˆj = KqQ − sinθ i + cosθ j dθ ⋅ − dF = Kq sinθ 2 hL h L cos θ כעת עליי לקבוע מהם גבולות האינטגרציה המתאימים לבעיה ולמשתנה שבחרתי )הזוית(. גבול תחתון הוא הזוית של השדה שיוצרת הנקודה השמאלית ביותר של התיל ,כלומר הגבול התחתון של האינטגרל. θ 1 = 0 : הגבול העליון הוא השדה שיוצרת הנקודה הימנית ביותר של תיל ,לצורך החישוב נסתכל על המשולש ישר הזוית שנוצר ,הניצב האופקי שווה , Lהניצב האנכי שווה , hולפיכך הגבול העליון של האינטגרל: h L = cosθ 2 = , sin θ 2 h 2 + L2 h 2 + L2 r F= ( θ2 :נבצע את האינטגרל ) KqQ − sinθ ˆi + cosθ ˆj dθ = hL θ1 ∫ θ ( ) [ ] KqQ 2 ˆi + cosθ ˆj dθ = Kq 0 cosθ ˆi + sinθ ˆj θ 2 = sinθ = − θ1 hL θ∫1 hL [ ] KqQ (cosθ 2 - cosθ1 ) ˆi + (sinθ 2 - sinθ1 ) ˆj = hL KqQ h L = - cos0 ˆi + - sin0 ˆj = 2 2 2 hL h + L2 h +L ˆ KqQ h L j = - 1 ˆi + 2 hL h + L2 h 2 + L2 = חוק קולון -צפיפות משתנה תיל לא מוליך מכופף לקשת חצי מעגלית בעלת רדיוס . Rהתפלגות המטען על התיל היא: . λ = C ⋅ θ 2כאשר ערכו של הקבוע Cאינו ידוע. א .מהו Cאם נתון כי סך כל המטען על התיל הוא ? Q ב .כעת נתון כי התפלגות המטען היא , λ = C ⋅ sinθ :כאשר Cהוא הקבוע שאת ערכו מצאתם בסעיף א' .מהו הכוח הפועל על מטען נקודתי qהנמצא במרכז המעגל? R q פתרון: השרטוט הנתון בשאלה: R θ q א. Q = ∫ dq dq = λdl = C ⋅ θ 2 Rdθ 3Q π3R CR π 3 3 =⇒ C π π = Q = ∫ C ⋅ θ 2 Rdθ = CR ∫ θ 2 dθ 0 0 ב. r r F = ∫ dF r Kqdq = dF ˆr R2 dq = λdl = C ⋅ sinθ ⋅ Rdθ rˆ = -sinθ ˆi + cosθ ˆj ) ( ( ) 2π r 2π KqC ⋅ sinθ ⋅ Rdθ = ˆi + cosθ ˆj = KqC sinθ - sinθ ˆi + cosθ ˆj dθ ∫ =F sinθ R ∫π R2 π 2π ) ( KqC 1 1 2 = ∫π - sin θ ˆi + sinθ cosθ ˆj dθ = R − − 2 cosθ sinθ + 2 θ ˆi + sin θ ˆj π KqC π ˆ 3KQq = i R 2 2π 2 R 2 2π KqC R שדה חשמלי – צפיפות אחידה 2.6) :מחוברת הקורס( על מוט מבודד באורך Lמפוזר מטען חשמלי -Qבצפיפות אחידה. א .חשב את צפיפות המטען האורכית. ב .חשב את השדה החשמלי בנקודה Pהנמצאת במרחק aמקצה מוט כמופיע באיור. ג .הראה כי במרחקים גדולים , a >> L ,תשובתך לסעיף ב' תצטמצם לשדה של מטען נקודתי. -Q P a L פתרון :חסר שרטוט מתאים!!! א .צפיפות המטען האורכית במוט: Q L λ=− ב .נקבע ציר xאופקי שכיוונו שמאלה ,וראשיתו בנקודה .Pנחלק את המוט לאלמנטים דיפרנציאליים )נקודתיים( ,ונחשב את השדה החשמלי שיוצר כל אלמנט בנקודה :P Q dx L dq = λ ⋅ dL = − Q L λ=− r=x ˆrˆ = −i r kdq ˆ kQdx = ˆdF = 2 r ⋅i r Lx 2 נסכום על כל הכוחות )ע"י אינטגרל(: L+a = dx kQ ˆ 1 = ⋅ i ⋅ − L x2 xa L+ a ∫ a ˆ kQ kQ ˆ ⋅i = − 2 ⋅ i dx L Lx L+a ∫ a r r = F = ∫ dF kQ ˆ 1 1 kQ 1 1 ˆ ) kQ − a + (L + a ⋅ i ⋅ − =+ = ˆ+ ⋅ i ⋅ = ⋅i − L L L+a a L ) a(L + a L + a a kQ = ˆ⋅ i ) a (L + a = ג .עבור מרחקים גדולים מהמוט ,כלומר , a >> L ,מתקיים בקירוב: L+a ≈a כך שניתן לקרב את בכוח לביטוי הבא: kQ kQ ˆ⋅ iˆ ≈ 2 ⋅ i ) a (L + a a r =F שדה חשמלי – צפיפות אחידה חשבו את השדה החשמלי בנקודה Pהנמצאת במרחק hאנכית מעל קצהו השמאלי של תיל סופי בעל אורך , Lעפ"י השרטוט הנתון .התיל טעון אחיד במטען כולל . q 0 פתרון: r dE θ P θ r h x X x=L x=0 dx נחלק את התיל לאלמנטים ונחשב את השדה הדיפרנציאלי שיוצר האלמנט ,את השדה החשמלי נקבל ע"י אינטגרל על כל השדות שיוצרים האלמנטים. המשתנה שלפיו אבצע את האינטגרציה יהיה הזוית שבין השדה הדיפרנציאלי לאנך .המשמעות היא שבבניית האינטגרל עליי לבטא את כל המשתנים באמצעות הזוית: r Kdq ˆdE = 2 r r h h x =⇒ r ⇒ x = rsinθ = cosθ = sinθ r cosθ r x hdθ = tanθ = ⇒ dx h cos 2 θ q hdθ ⋅ dq = λdx = 0 rˆ = −sinθ ˆi + cosθ ˆj L cos 2 θ 2 ˆ ˆ r cosθ q 0 hdθ ˆi + cosθ ˆj = Kq 0 − sinθ i + cosθ j dθ dE = K ⋅ − sinθ 2 hL h L cos θ כעת עלינו לקבוע מהם גבולות האינטגרציה המתאימים לבעיה ולמשתנה שבחרתי )הזווית(. גבול תחתון הוא הזוית של השדה שיוצרת הנקודה השמאלית ביותר של התיל ,כלומר הגבול התחתון של האינטגרל הוא. θ 1 = 0 : הגבול העליון הוא השדה שיוצרת הנקודה הימנית ביותר של תיל ,לצורך החישוב נסתכל על המשולש ישר הזוית שנוצר ,הניצב האופקי שווה , Lהניצב האנכי שווה , hולפיכך הגבול העליון של האינטגרל: L L = tanθ 2 ⇒ θ 2 = arctan h h נבצע את האינטגרל: θ2 θ2 ˆ ˆ r θ2 Kq 0 − sinθ i + cosθ j dθ Kq 0 Kq 0 = = − sinθ ˆi + cosθ ˆj dθ = cosθ ˆi + sinθ ˆj θ1 ∫=E ∫ hL hL θ1 hL θ1 ) ] ( [ ) ( ) ) ( ] ( [ Kq 0 (cosθ 2 - cosθ1 ) ˆi + (sinθ 2 - sinθ1 ) ˆj hL וכעת ניתן להציב את הגבולות שקיבלנו. P שדה חשמלי – צפיפות קבועה מצאו את השדה החשמלי במרחב ,שיוצר תיל אינסופי טעון אחיד בצפיפות מטען אורכית ) λנא לא לחשב ע"י חוק גאוס(. פתרון: השרטוט המתאים לבעיה: Y r dE θ X r 'r θ dx x שדה חשמלי שיוצר אלמנט אורך מהתיל הוא: r kdQ 'ˆdE = 2 r 'r המטען שמכיל אלמנט אורך הוא: dQ = λdx נמצא את הקשר בין dxל : dθ r = x = r ⋅ tan θ ⇒ dx dθ cos 2 θ ולפיכך: λr = dQ dθ cos 2 θ נביע גם את המרחק בין הנקודה Pלנקודה על התייל באמצעות הזווית : θ r r = cosθ = '⇒ r 'r cosθ נביע את וקטור הכיוון ע"י הזווית: rˆ' = cosθ ⋅ ˆi + sin θ ⋅ ˆj וכעת נוכל לחשב את השדה החשמלי: 2 r kdQ k λr ⋅ dθ cos θ kλ = 'ˆdE = 2 r = ⋅ 2 ⋅ cosθ ⋅ ˆi + sin θ ⋅ ˆj ⋅ cosθ ⋅ ˆi + sin θ ⋅ ˆj dθ 2 r 'r cos θ r r r π kλ ˆ 2k λ ∫ = E = ∫ dE = ⋅ cosθ ⋅ ˆi + sin θ ⋅ ˆj dθ ⋅j r r 0 אינטגרל על רכיב אופקי מתאפס כצפוי ,כך שהשדה והא בכיוון ניצב בלבד. ) ( ( ) ) ( שדה חשמלי – צפיפות קבועה מכופפים תיל אינסופי הטעון בצפיפות מטען אורכית λלצורה המתוארת באיור .הצורה מורכבת משני מקטעים ישרים )"חצי אינסופיים"( המקבילים זה לזה ,ומחצי מעגל בעל רדיוס .Rמצאו ,ע"י שימוש באינטגרלים ,את השדה במרכז המעגל )נקודה .(P חצי מעגל! •P R פתרון: Rdθ θ • θ dx R x נחשב את השדה שיוצרת הקשת החצי מעגלית בנקודה :P dQ = λRdθ r kdQ dE = 2 sin θ ⋅ iˆ − cos θ ⋅ ˆj R r π kλR π ˆ 2kλ kλ = E1 = ∫ 2 sin θ ⋅ iˆ − cosθ ⋅ ˆj dθ = − cosθ ⋅ iˆ − sin θ ⋅ ˆj 0 i R R 0 R כעת נחשב את השדה שיוצרים שני התיילים הישרים: dQ = λdx נמצא את הקשר בין dxל : dθ R = x = R tan θ ⇒ dx dθ cos 2 θ ולפיכך: λR = dQ dθ cos 2 θ נביע גם את המרחק בין הנקודה Pלנקודה על התייל באמצעות הזווית : θ R = R2 + x2 cos θ וכעת נוכל לחשב את השדה החשמלי: ] [ ) ( ) ( kdQ kλdx − sin θ ⋅ iˆ + cos θ ⋅ ˆj = 2 − sin θ ⋅ iˆ + cos θ ⋅ ˆj = 2 2 R +x R + x2 cos 2 θ Rdθ kλ = kλ ⋅ − sin θ ⋅ iˆ + cos θ ⋅ ˆj = − sin θ ⋅ iˆ + cos θ ⋅ ˆj 2 2 R R cos θ π r π kλ kλ 2kλ ˆ E2 = − sin θ ⋅ iˆ + cos θ ⋅ ˆj dθ = cos θ ⋅ iˆ + sin θ ⋅ ˆj 0 = − i ∫ R 0 R R :P סכום שני השדות שקיבלנו ייתן את השדה בנקודה r r r E = E1 + E 2 = 0 :דרך נוספת לחישוב השדה שיוצרים התיילים הישרים dQ = λdx ( r dE = ) ( ) ( r dE down = ( kλdx R2 + x2 r r r d E 2 = d E1 + d E 2 r dE up = ( ) ∞ r E 2 = − kλ ∫ 0 ) (R ( ) ] x R − ⋅ ˆj iˆ + R2 + x2 R2 + x2 x R ˆj − iˆ − R2 + x2 R2 + x2 2kλxdx ˆ =− i 3 2 2 2 R +x ( 2 xdx 2 ) [ ) kλdx R2 + x2 ( +x 2 ) 3 ) iˆ 2 :נבצע החלפת משתנים n=R +x 2 2 dn = 2 xdx x = 0 → n = R2 x=∞→n=∞ :ופותרים את האינטגרל ∞ r 1 dn 2kλ ˆ 1 2 E 2 = −kλ ∫ 3 iˆ = − kλ − 1 iˆ = − kλ − + iˆ = − i R 2 ∞ R R2 n n 2 R 2 ∞ שדה חשמלי מוט מבודד דק שאורכו Lנושא בחציו העליון מטען בצפיפות אחידה + λובחציו התחתון מטען בצפיפות z .− λ א .השתמש בשיקולי סימטריה על מנת למצוא את כיוונו של השדה החשמלי בנקודה .P + ב .חשב את השדה החשמלי בנקודה .P + ג .קח את הגבול בו y >> Lומצא את השדה במרחק גדול מהמוט. + a2 y +a ≈ y+ ניתן להשתמש בקירוב: y 2 ⇒ y >> a 2 + + + - P y y פתרון: א .ציירו שני אלמנטים במרחק שווים ותראו שהרכיבים בציר yמתבטלים .כך שמשיקולי סימטריה ניתן להניח בכיוון השדה יהיה הכיוון השלילי של ציר . z ב. L 2 dz r y P z θ r dE =z z=0 y L 2 z=− נחלק את המוט לאלמנטים ונחשב את השדה הדיפרנציאלי שיוצר אלמנט ,ואת השדה החשמלי נקבל ע"י אינטגרל על כל השדות שיוצרים האלמנטים .המשתנה שלפיו נבצע את האינטגרציה יהיה הזוית שבין השדה הדיפרנציאלי לאנך .המשמעות היא שבבניית האינטגרל עליי לבטא את כל המשתנים באמצעות הזוית: r kdq ˆdE = 2 r r ydθ y y z = cosθ =⇒ r = tanθ = ⇒ dz r cosθ y cos 2 θ dq = λdz ˆrˆ = cosθ ⋅ ˆj − sinθ ⋅ k ) ) ( ( ydθ kλ dθ = ˆcosθ ⋅ ˆj − sinθ ⋅ k ˆcosθ ⋅ ˆj − sinθ ⋅ k 2 y cos θ נגדיר את הזווית הקיצונית ביותר )לצורכי גבולות איטגרציה(: L L2 4 נבצע את האינטגרל )שימו לב לגבולות(: 2 y2 + = sin θ 0 ⋅ kλ 2 y cosθ y L2 y2 + 4 r = dE = cosθ 0 + λ -λ 0 r θ 0 kλ dθ k (- λ )dθ E=∫ cosθ ⋅ ˆj − sinθ ⋅ kˆ + ∫ cosθ ⋅ ˆj − sinθ ⋅ kˆ = y y 0 −θ 0 ( [ ) ] ( [ ) ] θ0 0 kλ kλ sinθ ⋅ ˆj + cosθ ⋅ kˆ 0 − sinθ ⋅ ˆj + cosθ ⋅ kˆ −θ 0 = y y θ kλ (sinθ 0 − 0) ⋅ ˆj + (cosθ 0 − 1) ⋅ kˆ 00 − kλ (0 + sinθ 0 ) ⋅ ˆj + (1 − cosθ 0 ) ⋅ kˆ y y [ ] [ ] 0 −θ 0 = L2 2 2kλ y − y + 4 2kλ 2kλ y ˆ ˆ (cosθ 0 − 1) ⋅ k = − 1 ⋅ k = ⋅ kˆ 2 2 y y L y2 + L y y2 + 4 4 : נבצע את הקירוב ונמצא את השדה.ג y >> L ⇒ y2 + a 2 ≈ y + a2 y 2 ⇒ y2 + L L2 ≈ y+ 4 4y L2 L2 2kλ y - y + 2kλ y - y − r 4y 4y ˆ 2k λ L2 ˆ ˆ E≈ ⋅k = ⋅ k = ⋅k y2 4y 3 y y2 E= k λ L2 :השדה הוא 4y 3 שדה חשמלי -צפיפות אחידה 2.15) :מחוברת הקורס( מדיסקה שרדיוסה 2 Rהטעונה בצפיפות מטען שטחית z אחידה +σהוצאה דיסקה שרדיוסה Rכך שנוצרה ) A(0,0,z דיסקה עם חור במרכזה )ראה איור( .הדיסקה מונחת במישור . x − yחשב את השדה החשמלי בנקודה . A + + + + + + + ++ 2R ++ ++ ++ ++ R + + + + + + + + y x פתרון: שדה חשמלי של טבעת דקה על ציר הסימטריה: ˆ⋅ k ) 32 kQz + z2 2 (R r = E Ring ע"י ביטוי זה ,נחשב שדה חשמלי של טבעת בעל עובי דיפרנציאלי drבעלת רדיוס rכלשהו ,ואז נסכום ע"י אינטגרל לפי הרדיוסים: ˆ⋅ k ) dq = σ ⋅ dS = σ ⋅ 2π rdr r ˆ k ⋅ σ ⋅ 2π rdr ⋅ z k ⋅ dq ⋅ z rdr = dE = ˆ⋅ k ⋅ ⋅ k = 2π k σ z 3 2 3 2 r2 + z2 r2 + z2 r2 + z2 ( ) 1 = 2π k σ z ⋅ kˆ ⋅ − = r2 + z2 R ) 32 ( 2R 32 rdr + z2 ˆ ⋅k R2 + z2 1 2 (r ) ( 2R r r ˆ ∫ ⋅ E = ∫ d E = 2π k σ z ⋅ k R 1 = 2π k σ z ⋅ − + 4R 2 + z 2 שדה חשמלי ) 2.17מחוברת הקורס( א .חשבו את השדה החשמלי בגובה zמעל למרכזה של דסקה מעגלית שרדיוסה Rהטעונה במטען qבצפיפות לא אחידה . σ (r ) = α ⋅ r 2הביעו את תשובתכם באמצעות . q יש צורך להשתמש באינטגרל הבא: x 2 + 2a 2 = x2 + a2 a2 x2 + a2 = x +a + 2 2 ) 32 x 3 dx + a2 2 ∫ (x פתרון: תחילה נחשב את המטען הכולל על הדסקה: dq = σ ⋅ dS = α ⋅ r 2 ⋅ 2π rdr = 2πα ⋅ r 3 dr πα ⋅ R 4 = q = ∫ dq = 2πα ∫ r dr 2 0 R 3 2q πR4 =α שדה חשמלי של טבעת דקה על ציר הסימטריה: ˆ⋅ k ) kQz 2 32 +z 2 (R r = E Ring ע"י ביטוי זה ,נחשב שדה חשמלי של טבעת בעל עובי דיפרנציאלי drבעלת רדיוס rכלשהו ,ואז נסכום ע"י אינטגרל לפי הרדיוסים: 2 3 dq = σ ⋅ dS = α ⋅ r ⋅ 2π rdr = 2πα ⋅ r dr r ˆ k ⋅ dq ⋅ z ˆ k ⋅ 2πα ⋅ r 3 dr ⋅ z r 3dr = dE = ⋅k ⋅ ⋅ k = 2πα ⋅ kz ˆ⋅ k 2 2 32 2 2 32 2 2 32 r +z r +z r +z ( ) ) R r 2 + 2z 2 = 2πα ⋅ kz ⋅ kˆ ⋅ = 2 2 r + z 0 ) 32 ( r 3dr + z2 2 (r ( ) R r r ∫ ⋅ ˆE = ∫ dE = 2πα ⋅ kz ⋅ k 0 ˆ R2 + 2z 2 2z 2 = 2πα ⋅ kz ⋅ − ⋅k 2 2 z2 R +z ניתן לפשט את הביטוי שקיבלנו באופן הבא: R 2 + 2z 2 R 2 + 2z 2 2q ˆ 2z 2 2πα ⋅ kz ⋅ − ⋅ ⋅ k = 2π ⋅ kz ⋅ = ˆ− 2 z 2 ⋅ k 4 2 2 2 2 πR z2 R +z R +z ) ˆ + z2 + z2 = ⋅k 2 ( )( R ) ⋅ + z2 − 2 z2 R2 + z 2 2 ) ⋅ kˆ = 4kqz ⋅ (R 4 R () ( 4kqz R 2 + 2 z 2 − 2 z 2 ⋅ R 2 + z 2 ⋅ R 4 R2 + z2 ˆ) ⋅ k 2 + z2 − z2 R2 + z 2 2 (R = 4kqz = 4 ⋅ R שדה חשמלי ) 2.18מחוברת הקורס( פתרון: לשם כך נשתמש בביטוי של שדה של טבעת: ˆi ) 32 kQx + R2 2 (x r =E נחלק את הגליל לטבעות בעל עובי דיפרנציאלי )מבט מהצד(: dx x d x=0 המטען הדיפרנציאלי של טבעת: Q 2 π Rh Q Qdx = ⋅ 2 π Rdx 2 π Rh h =σ = dq = σ dS עבור טבעת דיפרנציאלית ועפ"י מערכת הצירים שבחרתי ,השדה הדיפרנציאלי המתאים: r ˆ k ⋅ dq ⋅ x kQxdx ˆi dE = − i=− 32 2 2 32 x +R 2 π Rh x 2 + R 2 שימו לב שהציר חיובי ימינה והגדרתי את האפס בנקודה .כך שהמשתנה xהוא שלילי .כדי "לתקן" ולהחזיר את השדה להיות חיובי הוספתי מינוס לפני הביטוי. נחשב את השדה הכולל ע"י אינטגרל )שימו לגבולות(: ) d = 12 d + h ) ⋅ ˆi 2 +R 1 ˆi = kQ 2 h x + R 2 1 (d + h )2 ( ( ) d ) 32 xdx ˆi = − kQ ∫ 2 h d +h x + R 2 ( 1 ˆi = kQ ⋅ − 1 2 h d2 + R 2 + R 2 ] 1 2 ) 32 ) [(d + h ( kQxdx d ∫ h (x r E=− + R2 2 − kQ 1 h d2 + R 2 ] 12 d +h [ שדה חשמלי נתון גליל מלא בעל רדיוס Rוגובה hהנושא מטען כללי + Qבצפיפות אחידה. חשבו את השדה החשמלי הנוצר בנקודה הנמצאת על ציר הסימטריה של הגליל במרחק dמאחד מבסיסיו. d הדרכה :השתמשו בביטוי שקיבלנו עבור שדה חשמלי שיוצרת דיסקה אחידה בנקודה הנמצאת על ציר הסימטריה ,והפכו את הביטוי לשדה חשמלי דיפרנציאלי )מה שיהפוך לדיפרנציאל הוא המטען( .חלקו את הגליל לדיסקות בעלות עובי דק וחשבו את השדה שיוצרת כל דיסקה כזאת ,שימו לב שכעת מדובר בגוף עם צפיפות מטען נפחית כך שאת המטען שלו מחשבים ע"י צפיפות המטען כפול הנפח הדיפרנציאלי שלו .בנו את הביטוי לשדה החשמלי ואז סכמו ע"י אינטגרל שירוץ מהבסיס לאפה העליונה. h פתרון: לשם כך נשתמש בביטוי של שדה של דסקה )מבט מהצד(: ⋅ ˆi 12 ) r x E = kQ ⋅ 1 − x2 + R2 ( נחלק את הגליל לטבעות בעל עובי דיפרנציאלי: dx x d x=0 המטען הדיפרנציאלי של טבעת: Q 2 π Rh =ρ Q Qdx = ⋅π R 2 dx 2 h πR h עבור טבעת דיפרנציאלית ועפ"י מערכת הצירים שבחרתי ,השדה הדיפרנציאלי המתאים: r x x ˆi = − kQdx ⋅ 1 − dE = − k ⋅ dq ⋅ 1 − ⋅ ⋅ ˆi 2 2 12 2 2 12 h x +R x +R שימו לב שהציר חיובי ימינה והגדרתי את האפס בנקודה .כך שהמשתנה xהוא שלילי .כדי "לתקן" הפכתי את הוספתי מינוס לפני הביטוי. נחשב את השדה הכולל ע"י אינטגרל )שימו לגבולות(: d d r kQdx x kQ x ˆ ∫ =E ⋅ − 1 + ⋅ i = −1+ = dx ⋅ ˆi 1 2 1 2 ∫ 2 2 2 2 h h d + h x +R x +R d+h d kQ kQ 2 = − x + x 2 + R 2 d + h ⋅ ˆi − d + d 2 + R 2 + (d + h ) − (d + h ) + R 2 ⋅ ˆi h h kQ 2 = h + d 2 + R 2 − (d + h ) + R 2 ⋅ ˆi h = dq = ρ dV ) ) ( ( ) ) ( ( ] [ שדה חשמלי דיסקה בעלת רדיוס Rטעונה בצפיפות מטען אחידה σליחידת שטח .מוט בעל אורך bטעון בצפיפות מטען אורכית קבועה . λהמוט ניצב לדיסקה ונמצא על ציר הסימטריה שלה ,מרכזו נמצא במרחק z b מהדיסקה ,כך ש > . zחשבו את הכוח הפועל בין הגופים. 2 פתרון: ידוע לנו שדה חשמלי שיוצרת דיסקה טעונה אחיד על ציר הסימטריה )חישבנו בעבר(: σ z 1 − =E 2ε 0 R 2 + z2 נחלק את המוט לאלמנטים ,נחשב את הכוח הדיפרנציאלי שמרגיש כל אלמנט ,ונבצע אינטגרל על כל המוט לקבלת הכוח: dq = λdz = ] b 2 b z− 2 z+ [ σλ = dz z − R 2 + z2 2ε 0 z σλdz 1 − 2 2ε 0 R + z2 b 2 = dF = Edq z+ z ∫b 1 − R 2 + z 2 z− σλ = F = ∫ dF 2ε 0 2 2 2 b b b b = z + − R 2 + z + − z − + R 2 + z − 2 2 2 2 σλ 2ε 0 2 2 σλ b b b + R 2 + z − − R 2 + z + 2ε 0 2 2 שטף חשמלי קוביה בעלת צלע , a = 0.1mבנויה מחומר לא מוליך וטעונה אחיד בצפיפות מטען . ρ = 1000 C m r הקובייה נמצאת באזור בו שורר שדה חשמלי אחיד ] . E = 100ˆi [N Cמהו השטף הכולל דרך דפנות 3 הקובייה? r E ρ X פתרון: השדה החיצוני לא תורם כלום לשטף הכולל דרך דפנות הקוביה ,מה שנכנס יוצא .בהתאם לחוק גאוס השטף דרך דפנות הקוביה נובע מהמטען הכלוא בלבד: r r ∫ E ⋅ dS = 4πk ∫ dq = 4πk ∫ ρdV = 4πk (1000 ⋅10 ) = 4πk −3 שטף חשמלי r נתון שדה חשמלי , E = C 0 ⋅ y ˆjכאשר C 0הוא קבוע. חשבו את השטף דרך קובייה בעלת אורך צלע , Lהממוקמת במרחק Lממישור . X Z Z Y X פתרון: השדה הוא בכיוון ציר Yכך שהוא ניצב לנורמל של ארבע פאות ומקביל לנורמל של שתיים )הפאה הימנית והפאה השמאלית(. r ˆ E = C0 ⋅ y j r r r r = Φ E = E ⋅ S Left + E ⋅ S Right = C 0 ⋅ L ˆj ⋅ − L2 ⋅ ˆj + C 0 ⋅ 2L ˆj ⋅ L2 ⋅ ˆj ) () ) ( ) 2 −1 ( () ( − C 0 ⋅ L2 L + C 0 ⋅ L2 2L = C 0 ⋅ L2 L חוק גאוס – צפיפות קבועה מצאו את השדה החשמלי במרחב עבור כדור מלא טעון צפיפות מטען אחידה , ρורדיוס . R פתרון: מחוץ לכדור ניתן להתייחס אל המטען כאילו הוא מרוכז במרכז הכדור ולפיכך השדה החשמלי יהיה כמו של מטען נקודתי: 3 r 4πkR ρ ˆr = ) E(r > R 3r 2 בתוך הכדור ניקח בחשבון רק את המטען הנמצא בתוך הרדיוס בו אנו בודקים את השדה החשמלי: r 4πkr 3 ρ 4πkρr 4πkρ r = ) E(r < R = ˆr = ˆr r 2 3 3 3r חוק גאוס – צפיפות קבועה בכדור בעל רדיוס ,Rהטעון במטען חיובי ,בצפיפות אחידה יש חלל כדורי בעל רדיוס . bמרכז החלל נמצא במרחק aממרכז הכדור הגדול .מצאו את הגודל והכיוון של השדה החשמלי בתוך החלל .הראה שהשדה החשמלי בתוך החלל קבוע בגודלו וכיוונו. •a b r r הדרכה :הגדר את מיקום הנקודה לצורך חישוב תרומת הכדור הגדול לשדה על ידי חיבור aעם , r המצביע ממרכז החור אל הנקודה בה בודקים את השדה החשמלי .כדי ליצור חור בהתפלגות המטען דמיינו שהכדור Rשלם )ללא חור( ושבנוסף אליו יש כדור בעל רדיוס bהטעון ב . - ρ פתרון: • r a • r r r r r +a נתייחס למקרה ככדור שלם ומלא )רדיוס ( Rבעל צפיפות מטען , ρוכדור קטן )רדיוס ( bבעל צפיפות מטען . − ρמחשב את השדה שגורם כל אחד מהכדורים "הדמיוניים" ,וסכום של שני השדות ייתן לנו את השדה אותו אנו מחפשים. באופן כללי ,שדה חשמלי בתוך כדור מלא וטעון בעל צפיפות מטען אחידה ρניתן ע"י: r 4πkρ r =E r 3 וכעת ניתן לחשב: r r r r 4πkρ r r 4πkρ r 4πkρ r = ER ) (a + r Eb = − = r ⇒ ER + Eb a 3 3 3 חוק גאוס צפיפות אחידה )שאלה 2.34מהחוברת( כדור מלא שרדיוסו Rנושא מטען חשמלי בצפיפות מטען אחידה. ρ , r r ρ r = , Eכאשר rהוא הוקטור ממרכז א .הראו כי השדה החשמלי בתוך הכדור נתון בביטוי r 3ε 0 הכדור לנקודה כלשהי בתוך הכדור. ב .קודחים חלל כדורי שרדיוסו aבתוך הכדור .הראו כי השדה החשמלי בכל נקודות החלל הכדורי r r ρ r = , Eכאשר aהוא הוקטור המחבר את מרכז הכדור למרכז הוא אחיד ונתון בביטוי a 3ε 0 החלל. r a פתרון: א .ניצור מעטפת גאוס כדורית בתוך הכדור בעלת מרכז משותף עם הכדור )כך שרדיוסה rקטן מרדיוס הכדור .( Rע"י חוק גאוס נמצא את השדה החשמלי בתוך הכדור: r r 2 E ∫ ⋅ dS = E ⋅ 4π r q in ρV ρ 4π r 3 = ⋅ = ε0 ε0 ε0 3 r r q in ρ 4π r 3 2 ⋅ = ⇒ ⋅ = ⋅ E 4 r E d S π ∫ 3 ε0 ε0 r ρ r =E ⋅r 3ε 0 ב .נשתמש בסופרפוזיציה של כדור מלא עם "חור" )צפיפות שלילית(. נתייחס למקרה ככדור שלם ומלא )רדיוס ( Rבעל צפיפות מטען , ρ וכדור קטן )רדיוס ( bבעל צפיפות מטען . − ρנחשב את השדה שגורם כל אחד מהכדורים "הדמיוניים" ,וסכום של שני השדות ייתן לנו את השדה אותו אנו מחפשים .באופן כללי ,שדה חשמלי בתוך כדור מלא • r a • r r וטעון בעל צפיפות מטען אחידה ρניתן ע"י: r 4πkρ r =E r 3 וכעת ניתן לחשב: r r r 4πkρ r 4πkρ r Eb = − = r ⇒ ER + Eb a 3 3 r 4πkρ r r = ER ) (a + r 3 r r r +a חוק גאוס )צפיפות קבועה( פתרון: נתייחס למקרה ככדור שלם ומלא )רדיוס ( Rבעל צפיפות מטען , ρוכדור קטן )רדיוס ( bבעל צפיפות מטען . − ρמחשב את השדה שגורם כל אחד מהכדורים "הדמיוניים" ,וסכום של שני השדות ייתן לנו את השדה אותו אנו מחפשים. r נסמן את השדה שיוצר כדור מלא ,בעל רדיוס , Rב . E 1 - r את השדה שיוצר כדור מלא )עם צפיפות שלילית( בעל רדיוס , Rב . E 2 - באופן כללי ,שדה חשמלי בתוך כדור מלא וטעון בעל צפיפות מטען אחידה ρניתן ע"י: Q 3Q Q =ρ = = 3 3 3 4πR (1 − 0.25) πR 3 4πR ) 4π(0.5R − 3 3 r 4πkρ r 4πk Q r 4kQ r = E in1 =r ⋅ =r r 3 3 πR 3 3R 3 r 4πkρ r 4πk Q r 4kQ r E in2 = − r=− ⋅ r=− 3 r 3 3 3 πR 3R r k 4πR 3 ρ r k 4πR 3 ρ Q r 4kQ r E out1 = 3 r= 3 ⋅ r= 3 r 3 3 r r πR 3 3r 3 3 r k 4π(0.5R ) ρ r k πR ρ Q r kQ r E out2 = − 3 r =− 3 ⋅ r =− 3 r 3 3 3 r r πR 3r א .חישוב השדה בנקודה : O לא מתאים לתשובה המופיעה בתרגיל! r E1 = 0 r ˆ 4kQ R 2kQ = E 2 = − 3 − ⋅ ˆj ⋅j 3R 2 3R 2 r r r ˆ 2kQ = E O = E1 + E 2 ⋅j 3R 2 :A חישוב השדה בנקודה.ב ( ) r 4kQ 4kQ E1 = − R ⋅ ˆj = − 2 ⋅ ˆj 3 3R 3R r 2kQ 3R ˆ 16kQ 3R ˆ 8kQ ˆ kQ r E2 = − 3 r = − ⋅ − ⋅ j = ⋅ j = ⋅j 3 3 2 2 2 3r 81R 27R 3R 3 2 r r r 4kQ 8kQ ˆ kQ 4 8 ˆ 68kQ ˆ E A = E1 + E 2 = − 2 ⋅ ˆj + ⋅ j = 2 − + ⋅ j = ⋅j 3R 27R 2 R 3 27 27R 2 !לא מתאים לתשובה המופיעה בתרגיל .ג חוק גאוס – צפיפות קבועה מצאו את השדה החשמלי במרחב עבור לוח עבה אינסופי בעל עובי , d 0עם צפיפות מטען אחידה . ρ ρ d0 פתרון: מבט מהצד: Z מישור XY ρ d0 משיקולים של סימטריה )זהים לאלה של לוח מישורי ללא עובי( מסיקים שכיוון השדה החשמלי ניצב ללוח בכיוון החוצה מהלוח .ניצור מעטפת גאוס קובייתית כך ששטח הפאה העליונה ושטח הפאה התחתונה הוא . Aמרחק הפאה העליונה ומרחק הפאה התחתונה ממישור XYשווה .נכתוב את חוק גאוס ונחשב בנפרד כל אחד מצידי המשוואה: r r q in ∫ E ⋅ dS = ε 0 r r E ∫ ⋅ dS = 2EA q in ρV ρd 0 A = = ε0 ε0 ε0 r שימו לב שבחישוב האינטגרל ,רק דרך הפאות העליונה והתחתונה יש שטף מכיוון שבפאות האלהE , r r r מקביל ל Sואילו בשאר הפאות Eניצב ל . S נשווה בין הצדדים: ˆ d 0 ρd 0 E z > 2 = 2ε k ρd 0 A 0 = 2EA ⇒ ε0 ˆE z < d 0 = − ρd 0 k 2 2ε 0 כעת ניצור מעטפת גאוס קובייתית כך שהגובה שלה קטן מעובי הלוח ,ושוב מרחק הפאות העליונה והתחתונה ממישור יהיה שווה ל : z Z מישור XY ρ d0 נחשב את השדה מתוך חוק גאוס: r r q in ∫ E ⋅ dS = ε 0 r r E ∫ ⋅ dS = 2EA q in ρV ρ 2zA = = ε0 ε0 ε0 d0 ˆ ρz E 2 > z > 0 = ε k 0 ˆE 0 > z > − d 0 = − ρz k 2 ε0 ⇒ ρ 2zA ε0 = 2EA חוק גאוס צפיפות קבועה ) 2.42מחוברת הקורס( מישור אינסופי טעון בצפיפות משטחית אחידה . σשכבה מישורית אינסופית של מטען בעל רוחב d 0וצפיפות אחידה , ρ ,צמודה למישור .כל המטענים קבועים למקומותיהם. חשבו את השדה החשמלי בכל אזורי המרחב .קחו את ראשית הצירים במרכז השכבה המישורית. d פתרון: נחשב לחוד את השדה החשמלי שיצור המישור ואת השדה החשמלי שיוצרת השכבה .אחר כך נוכל לחבר )סופרפוזיציה( את השדות בכל אחד מהאזורים. שדה חשמלי שיוצר מישור אינסופי בעל צפיפות משטחית אחידה ) σמתקבל ע"י חוק גאוס ,בד"כ מתבצע בהרצאה(: σ 2ε 0 =E כיוון השדה ,עבור צפיפות חיובית הוא בניצב למישור ,כלפי חוץ. שדה חשמלי שיוצרת השכבה העבה בעלת צפיפות אחידה , ρמחושב בנספח המצורף בהמשך ע"י חוק גאוס .החישוב הוא עבור ציר zמאונך לשכבה כך שראשיתו במרכז השכבה. השדה מבחוץ: ˆ d 0 ρd 0 k = 2 2ε 0 d0 ρd ˆ = − 0 k 2 2ε 0 > E z < E z השדה מבפנים: d d0 >z>− 0 2 2 ˆ ρz k ε0 =E לאחר סופרפוזיציה ,מקבלים את השדה במרחב שיוצרים המישור והשכבה ביחד )זו התשובה לשאלה(: σ ρd d E = − − 0 ⋅ kˆ , z < − 0 2 2ε 0 2ε 0 d0 < z < 0 − 2 σ ˆ ρz ⋅ k , E = + 2ε 0 ε 0 d 0 > z > 0 2 σ ˆ ρz ⋅ k , E = + 2ε 0 ε 0 d0 < z 2 σ ρd E = + 0 ⋅ kˆ , 2ε 0 2ε 0 נספח לחישוב שדה של שכבה מישורית טעונה אחיד: נבחר את הראשית במרכז השכבה .מבט מהצד: z מישור xy ρ d0 משיקולים של סימטריה )זהים לאלה של לוח מישורי ללא עובי( מסיקים שכיוון השדה החשמלי ניצב ללוח בכיוון החוצה מהלוח .ניצור מעטפת גאוס קובייתית כך ששטח הפאה העליונה ושטח הפאה התחתונה הוא . Aמרחק הפאה העליונה ומרחק הפאה התחתונה ממישור XYשווה .נכתוב את חוק גאוס ונחשב בנפרד כל אחד מצידי המשוואה: r r q in ∫ E ⋅ dS = ε 0 r r E ∫ ⋅ dS = 2EA q in ρV ρd 0 A = = ε0 ε0 ε0 r שימו לב שבחישוב האינטגרל ,רק דרך הפאות העליונה והתחתונה יש שטף מכיוון שבפאות האלהE , r r r מקביל ל Sואילו בשאר הפאות Eניצב ל . S נשווה בין הצדדים: ˆ d 0 ρd 0 k = > E z 2 2ε 0 ρd 0 A = 2EA ⇒ ε0 ˆE z < d 0 = − ρd 0 k 2 2ε 0 כעת ניצור מעטפת גאוס קובייתית כך שהגובה שלה קטן מעובי הלוח ,ושוב מרחק הפאות העליונה והתחתונה ממישור יהיה שווה ל : z z מישור xy ρ d0 r r q נחשב את השדה מתוך חוק גאוס ) :( ∫ E ⋅ dS = in ε0 q in ρV ρ 2zA = = ε0 ε0 ε0 d d0 >z>− 0 2 2 ˆ ρz k ε0 =E r r E ∫ ⋅ dS = 2EA , ⇒ ρ 2zA ε0 = 2EA חוק גאוס – צפיפות קבועה בעזרת חוק גאוס קבעו מהו השדה החשמלי במרחב הנוצר ע"י גליל אינסופי ,שרדיוסו , R 1הטעון בצפיפות מטען אחידה , ρועטוף ע"י גליל שני חלול ,שרדיוסו הפנימי R 2והחיצוני , R 3וצפיפות מטען . - ρחתך הרוחב של שני הגלילים נראה הציור. −ρ R3 R2 ρ R 1 פתרון: יש 4אזורים שבהם נמצא את השדה ,עבור כל אחד מהם ניצור מעטפת גאוס מתאימה. ניצור מעטפת גאוס גלילית עם רדיוס r > R 3ואורך : L q in ε0 ) ) ( ( ) r r = ∫ E ⋅ dS r r E ∫ ⋅ dS = E2πrL q in ρV − ρπ R 32 − R 22 L ρπR 12 L ρπ R 12 − R 32 + R 22 L = = + = ε0 ε0 ε0 ε0 ε0 ( ρ R 12 − R 32 + R 22 2ε 0 r = ) ⇒ E(r > R 3 ( ) ρπ R 12 − R 32 + R 22 L ε0 = E2πrL ניצור מעטפת גאוס גלילית עם רדיוס R 2 < r < R 3ואורך : L q in ε0 ) ) ( ) ( r r = ∫ E ⋅ dS r r E ∫ ⋅ dS = E2πrL q in ρV − ρπ r 2 − R 22 L ρπR 12 L ρπ R 12 − r 2 + R 22 L = = + = ε0 ε0 ε0 ε0 ε0 ( ρ R 12 − r 2 + R 22 = ) ⇒ E(R 2 < r < R 3 2ε 0 r ניצור מעטפת גאוס גלילית עם רדיוס R 1 < r < R 2ואורך : L ) ( ρπ R 12 − r 2 + R 22 L = E2πrL ε0 r r ∫ E ⋅ dS = q in ε0 r r E ∫ ⋅ dS = E2πrL q in ρV ρπR 12 L ρπR 12 L = = = ε0 ε0 3ε 0 3ε 0 E2πrL = ρπR 12 L 3ε 0 ρR 12 6ε 0 r : L ואורךr < R 1 ניצור מעטפת גאוס גלילית עם רדיוס ⇒ E(R 1 < r < R 2 ) = r r q in E ∫ ⋅ dS = ε 0 r r ∫ E ⋅ dS = E2πrL q in ρV ρπr 2 L ρπr 2 L = = = ε0 ε0 ε0 ε0 E2πrL = ρπr 2 L ε0 ⇒ E(R 1 < r < R 2 ) = ρr 2ε 0 חוק גאוס )צפיפות קבועה( +סופרפוזיציה המערכת בשרטוט מכילה כדור מלא טעון אחיד )מטען , Qרדיוס ,( Rומוט טעון אחיד )מטען , qאורך .( Rהמרחק בין קצה השמאלי של המוט למרכז הכדור הוא . 3R א .מצאו את השדה החשמלי בנקודה ,Aהנמצאת במרחק Rמימין לקצה הימני של המוט. ב .מצאו את השדה החשמלי בנקודה ,Cהנמצאת במרחק 2Rממרכז המוט )על הציר האנכי(. A C פתרון: שדה חשמלי של כדור מלא )חישוב זה רלוונטי לשני הסעיפים(: r r q in E ∫ ⋅ dS = ε 0 r r 2 ∫ E ⋅ dS = E ⋅ 4πr Qr kQr ˆ= 3 r 3 4πε 0 R R q in ρV 3Q ⋅ 4π r 3 Qr 3 = = = ε0 ε0 4π R 3 ⋅ 3ε 0 ε 0 R 3 ⇒ ) (r < R q in Q = ε0 ε0 ⇒ ) (r > R Qr 3 ε0R 3 = ⇒ E ⋅ 4π r 2 ) (r < R Q ε0 = ⇒ E ⋅ 4π r 2 ) (r > R r = ) ⇒ E(r < R Q kQ ˆ= 2 r 2 4π ε 0 r r r = ) ⇒ E(r > R א .שדה חשמלי שיוצר מוט בנקודה נמצאת על המשכו ,עפ"י חישוב שהתבצע בכיתה ) hהוא המרחק של הנקודה מקצה המוט L ,הוא אורך המוט(: r kQ =E ˆ⋅ x ) h (h + L השדה החשמלי שיוצר המוט בנקודה :A r kQ kQ kQ =E = ˆ⋅ x = ˆ⋅ x ˆ⋅ x ) h (h + L ) R (R + R 2R 2 השדה החשמלי שיוצר הכדור המלא בנקודה :A r kQ kQ kQ = ˆE = 2 ⋅ x = ˆ⋅ x ˆ⋅ x 2 r 25R 2 ) (5R השדה כולל בנקודה Aמתקבל מהחיבור הוקטורי של שני השדות: r kQ kQ kQ 1 1 kQ 27 = EA ⋅ xˆ + ˆ⋅ xˆ = 2 ⋅ + ⋅ xˆ = 2 ⋅ ⋅ x 2 2 25R 2R R 2 25 R 50 :( שדה חשמלי שיוצר מוט לא אינסופי )בנקודה לא סימטרית.ב y x x1 x2 y x r θ r dE θ :נגדיר שדה דיפרנציאלי r kdq dE = 2 rˆ r :עפ"י השרטוט y cosθ rˆ = −sin θ ⋅ xˆ − cosθ ⋅ yˆ cosθ = y r ⇒ r= :נגדיר את המטען הדיפרנציאלי ע"י הזווית x = tan θ ⇒ y dq = λ ⋅ dL = dx dθ = y tan θ ⇒ dx = y ⋅ dθ cos 2 θ Q Q ⋅ y ⋅ dθ dx = L L ⋅ cos 2 θ :נציב בשדה הדיפרנציאלי 2 r kdq kQ ⋅ y ⋅ dθ cos θ kQ dE = 2 rˆ = ⋅ 2 ⋅ (− sin θ ⋅ xˆ − cosθ ⋅ yˆ ) = ⋅ (− sin θ ⋅ xˆ − cosθ ⋅ yˆ )dθ 2 r L ⋅ cos θ y Ly :חישוב השדה ע"י אינטגרל θ2 r r kQ kQ θ E = ∫ dE = ⋅ ∫ (− sin θ ⋅ xˆ − cosθ ⋅ yˆ )dθ = ⋅ [cosθ ⋅ xˆ − sin θ ⋅ yˆ]θ12 = Ly θ1 Ly = kQ ⋅ [(cosθ 2 − cosθ1 ) ⋅ xˆ − (sin θ 2 − sin θ1 ) ⋅ yˆ] Ly :את הסינוס והקוסינוס של הזויות ניתן לחשב ע"י מיקומי קצוות המוט יחסית למערכת הצירים שנבחרה x1 y sin θ1 = cosθ1 = x 12 + y 2 x 12 + y 2 sin θ 2 = x2 x 22 + y 2 cosθ 2 = y x 22 + y 2 R 1 =− sin θ1 = − 17 2 0.25R 2 + 4R 2 R 1 sin θ 2 = = 17 2 0.25R 2 + 4R 2 : מתקיים,( )על האנך המרכזי של המוטC עבור נקודה 2R 4 = cosθ1 = 17 0.25R 2 + 4R 2 2R 4 cosθ 2 = = 17 0.25R 2 + 4R 2 : הואC כך שהשדה החשמלי שיוצר המוט בנקודה r kQ E= ⋅ [(cosθ 2 − cosθ1 ) ⋅ xˆ − (sin θ 2 − sin θ1 ) ⋅ yˆ] = Ly = kQ 4 4 1 1 ⋅ − + ⋅ xˆ − ⋅ yˆ = R ⋅ 2R 17 17 17 17 =− 2 kQ 1 kQ ⋅ 2 ⋅ yˆ = − ⋅ 2 ⋅ yˆ 17 2R 17 R :C השדה שיוצר הכדור המלא בנקודה r 7 r = R ⋅ xˆ − 2R ⋅ yˆ 2 2 65 7R 49 2 2 r= ⋅R = + (2R ) = + 4 ⋅ R = 4 2 4 r kQ kQ r kQ 7 E = 2 rˆ = 3 r = ⋅ R ⋅ xˆ − 2R ⋅ yˆ = 3 r r 65 2 R ⋅ 2 = 65 ⋅R 2 kQ 8 ⋅ R 2 2 653 7 ⋅ xˆ − 2 ⋅ yˆ = 2 kQ 28 16 ˆ ˆ x y ⋅ − ⋅ 3 2 R 2 2 653 65 :נחבר את השדה שיוצר המוט עם השדה שיוצר הכדור המלא r kQ 28 1 1 kQ kQ 28 16 16 EC = − ⋅ 2 ⋅ yˆ + 2 ⋅ xˆ − ⋅ yˆ = 2 ⋅ ⋅ xˆ − + ⋅ yˆ 2 2 17 R R 2 653 653 R 2 653 653 17 חוק גאוס צפיפות משתנה 2.33):מחוברת הקורס( קליפה כדורית עבה שרדיוסיה הפנימי והחיצוני הם aו bנושאת מטען בצפיפות נפחית לא אחידה, A r = ) , ρ (rכאשר Aהינו קבוע מספרי .במרכזו של החלל הכדורי ) ( r = 0מצוי מטען נקודתי . + q מה צריך להיות הקבוע המספרי Aעל מנת שהשדה בתחום aיהיה קבוע ,כלומר בלתי תלוי במרחק. פתרון: נחשב את השדה החשמלי ברדיוס מסוים בתוך הכדור ונדרוש שיהיה קבוע: r r q in E = ∫ ⋅ dS ε0 r r 2 E ∫ ⋅ dS = E ⋅ 4π r r r r 2 A = q in = q + ∫ ρ (r )dV = q + ∫ ⋅ 4π r 2 dr = q + 4πA ⋅ ∫ rdr = q + 4πA ⋅ r 2 a 0 a a r r r 2 a2 = q + 2πAr 2 + 2πAa 2 = q + 4πA ⋅ − 2 2 r r q in ⇒ E ⋅ 4π r 2 = q + 2πAr 2 + 2πAa 2 = ∫ E ⋅ dS ε0 כדי שנוכל לצמצם את r 2בשני הצדדים של מהשואה וכך השה לא יהיה תלוי ב , rצריך שהקבועים בצד ימין של המשוואה יצטמצמו ,כלומר: q 2π a 2 =A ⇒ q + 2πAa 2 = 0 חוק גאוס )צפיפות קבועה( פתרון: א .השדה החשמלי במוליך עצמו הוא אפס )מכיוון שזה מה שקורה במוליך( .אם ניצור מעטפת גאוס גלילית בתוך המוליך הצינורי נקבל שסך כל המטען בתוך המעטפת חייב להיות שווה אפס ,ע"י הדרישה הזאת נמצא את צפיפות המטען ברדיוס הפנימי של הצינור: λ ⋅ L + λ a ⋅ L = 0 ⇒ λ a = −λ ברדיוס החיצוני צפיפות המטען היא: λ a + λ b = 2λ ⇒ λ b = 2λ - λ a = 2λ + λ = 3λ ב .השדה החשמלי במרחב נחשב ע"י חוק גאוס .צידו השמאלי של החוק זהה לכל האזורים: r r ∫ E ⋅ dS = E ⋅ 2π rL כאשר rהוא רדיוס מעטפת גאוס הגלילית ,ו Lהוא אורך המעטפת. הצד הימני של החוק תלוי במטען הכלוא במעטפת: q in ε0 3λ ⋅ L 3λ =⇒ E ε0 2 π rε 0 = E ⋅ 2 π rL = ⇒ q in = λ ⋅ L − λ ⋅ L + 3λ ⋅ L = 3λ ⋅ L ⇒ E ⋅ 2 π rL ) (r > b ⇒ q in = λ ⋅ L − λ ⋅ L = 0 ⇒ E ⋅ 2 π rL = 0 ⇒ E = 0 ) (a < r < b = ⇒ q in = λ ⋅ L ⇒ E ⋅ 2 π rL ) (0 < r < a λ⋅L λ =⇒ E ε0 2 π rε 0 חוק גאוס – צפיפות משתנה כדור מלא בעל רדיוס ,Rטעון בצפיפות מטען משתנה ,התלויה ב ,r-הוא המרחק ממרכז הכדור .מטענו הכולל של הכדור הוא .Qמה צריכה להיות צפיפות המטען הנפחית של הכדור , ρ (r ) ,כדי שהשדה החשמלי בתוך הכדור יהיה קבוע בגודלו? נתונים. ε 0 ,Q ,R : הדרכה :רשמו את חוק גאוס למקרה של השדה בתוך הכדור ודרשו שהשדה יהיה קבוע )ללא תלות ב.(r- תקבלו תנאי על האינטרגל של ) , ρ (rממנו ניתן למצוא את ) ) ρ (rעד כדי קבוע( .הערה :על מנת למצוא את התלות המפורשת ) , ρ (rצריך למצוא את הקבוע .מציאתו -מתוך התנאי על המטען הכולל )אינטגרל נפחי על הצפיפות נותן .(Q פתרון: כדי למצוא את הצפיפות המתאימה ,תחילה נדרוש שהשדה החשמלי יהיה קבוע. שדה חשמלי בתוך כדור מלא תלוי רק בכמות המטען , Q ,הנמצא ברדיוס הקטן מהרדיוס בו בודקים את השדה: kq E= 2 r כאשר Rזהו המרחק ממרכז הכדור של הנקודה בה בודקים את השדה. עבור המטען qמתקיים: r q = ∫ 4πr 2 ρ (r )dr 0 לפיכך הדרישה שלנו היא: r k 4π r 2 ρ (r )dr = Const ∫ 2 r 0 =E כלומר ש Eלא יהיה פונקציה של . r כעת יש לנו דרישה חדשה: r q = ∫ 4πr 2 ρ (r )dr = C1r 2 0 כאשר C1הוא קבוע. מכיוון שרוצים שהתלות ב Rבביטוי עבור השדה החשמלי Eתצטמצם. וכדי שדרישה זו תתקיים ρ (r ) ,צריך לקיים: C2 r = ) ρ (r כאשר C 2הוא קבוע. נבצע בדיקה: r r r C 4πkC 2 r 2 k k = E = 2 ∫ 4πr 2 ρ (r )dr = 2 ∫ 4πr 2 2 dr = 2πkC 2 = Const r 0 r 0 r R2 2 0 ניתן למצוא את הקבוע C 2מתוך דרישה על המטען: Q 2πkR 2 R = ⇒ C2 r2 C Q = ∫ 4πr ρ (r )dr = ∫ 4πr 2 dr = 4πC 2 = 2πkR 2 C 2 r 2 0 0 0 R 2 R 2 פוטנציאל – צפיפות קבועה: נתונות שתי קליפות כדוריות עם מרכז משותף ,עם רדיוסים R 1ו , R 2בעלות מטענים − 3Qו . 5Q במרכז נמצא מטען של . 3Qעפ"י האיור הבא: 5Q R2 - 3Q R1 3Q א .מצאו השדה החשמלי במרחב. ב .מצאו את הפוטנציאל במרחב. פתרון: א .ניתן לחשב את השדה החשמלי בכל מקום במרחב ע"י סופרפוזיציה של השדות החשמליים שיוצרים כל אחד מהגופים במרחב .להזכירכם ,שדה של קליפה מחוץ ניתן להתייחס כאל שדה של מטען נקודתי, ובתוך הקליפה הוא אפס: k (5Q − 3Q + 3Q ) 5kQ = ) E 1 (r > R 2 = 2 r2 r ) k (− 3Q + 3Q = ) E 2 (R 1 < r < R 2 =0 r2 k (3Q ) 3kQ = ) E 3 (r < R 1 = 2 r2 r ב .את הפוטנציאל נחשב ע"י אינטגרל האינסוף )שם אנט מגדירים הפוטנציאל להיות שווה אפס עבור הסימטריה הכדורית( עד לנקודה בה מחשבים את הפוטנציאל: r r r 5kQ 5kQ 5kQ V1 (r > R 2 ) = − ∫ E 1dr = − ∫ 2 dr = − − = ∞r r ∞ ∞ r R R2 R2 r 2 5kQ 5kQ 5kQ dr 0 − = − − = 2 ∞r R2 ∞ r ∫ V2 (R 1 < r < R 2 ) = − ∫ E 1dr − ∫ E 2 dr = − r R2 ∞ R2 r R1 R2 5kQ 3kQ = V3 (r < R 1 ) = − ∫ E 1dr − ∫ E 2 dr − ∫ E 3 dr = − ∫ 2 dr − 0 − ∫ 2 dr ∞ R2 R1 ∞ r R1 r r R 2 5kQ 3kQ 3kQ 5kQ 3kQ − − − − = + − r ∞ r R1 R2 r R1 פוטנציאל – צפיפות קבועה נתונים שני כדורים מלאים בעלי רדיוסים R 1ו . R 2לשני הכדורים צפיפות מטען נפחית אחידה . ρ מרכזי הכדורים נמצאים במרחק . 3R א .מצאו את השדה החשמלי לאורך הציר המחבר את מרכזי שני הכדורים. ב .מצאו את הפוטנציאל לאורך הציר המחבר את מרכזי שני הכדורים. פתרון: השרטוט המתאים לשאלה כאשר 3Rהוא המרחק בין מרכזי הכדורים: R2 R1 x=0 קיימים מספר תחומים: עבור : x < -R 1 kρ 4πR 13 kρ 4πR 32 + ) 3(- x ) 3(3R - x =V r kρ 4πR 13 ˆ kρ 4πR 32 ˆ d kρ 4πR 13 kρ 4πR 32 E=− − + i i = − 2 2 ) dx 3(- x 3(3R - x ) 3(3R - x ) 3x עבור : - R 1 < x < 0 kρ 4πR 32 ) kρ 4π(- x kρ 4πx 2 kρ 4πR 32 + = + ) 3(- x 3 ) 3(3R - x ) 3(3R - x 3 =V r kρ8πx ˆ kρ 4πR 32 ˆ d kρ 4πx 2 kρ 4πR 32 i E=− + i = − + 2 3 dx 3 3(3R - x ) ( ) 3 3R x עבור : 0 < x < R 1 3 2 2 3 2 3 kρ 4πR kρ 4πR kρ 4πx kρ 4πx + = + 3x 3 ) 3(3R - x ) 3(3R - x =V r kρ8πx ˆ kρ 4πR 32 ˆ d kρ 4πx 2 kρ 4πR 32 E=− + i i = − + 2 dx 3 3(3R - x ) 3(3R - x ) 3 הביטויים של שני התחומים האחרונים יצאו זהים!!! עבור ) : R 1 < x < (3R − R 2 kρ 4πR 13 kρ 4πR 32 V= + 3x 3(3R - x ) r kρ 4πR 13 kρ 4πR 32 ˆ d kρ 4πR 13 kρ 4πR 32 ˆ E=− i i= − = − − + 2 2 dx 3x 3(3R - x ) 3x ( ) 3 3R x kρ 4πR 13 kρ 4πR 32 ˆ i − 2 2 3x 3 3R x ( ) V= kρ 4πR kρ 4πR kρ 4π(x - 3R ) kρ 4π(x - 3R ) + = + 3x 3(x - 3R ) 3x 3 3 3 1 3 1 : (3R − R 2 ) < x < 3R עבור 2 2 r kρ 4πR 13 kρ8π(x - 3R ) ˆ d kρ 4πR 13 kρ 4π(x - 3R ) ˆ E=− + i = − + − i = dx 3x 3 3 3x 2 kρ 4πR 13 kρ8π(x - 3R ) ˆ − i 2 3 3x V= kρ 4πR kρ 4πR kρ 4π(x - 3R ) kρ 4π(x - 3R ) + = + 3x 3 3x 3(x - 3R ) 3 3 1 3 1 : 3R < x < (3R + R 2 ) עבור 2 2 r kρ 4πR 13 kρ8π(x - 3R ) ˆ d kρ 4πR 13 kρ 4π(x - 3R ) ˆ E=− + + i = − − i = dx 3x 3 3 3x 2 3 kρ 4πR 1 kρ8π(x - 3R ) ˆ − i 2 3 3x !!!הביטויים של שני התחומים האחרונים יצאו זהים : x > (3R + R 2 ) עבור V= 3 1 3 2 kρ 4πR kρ 4πR + 3x 3(x - 3R ) r kρ 4πR 13 kρ 4πR 32 ˆ d kρ 4πR 13 kρ 4πR 32 ˆ E=− i= + − i = − − 2 dx 3x 3(x - 3R ) 3x 2 3(x - 3R ) kρ 4πR 13 kρ 4πR 32 ˆ + i 2 2 3(x - 3R ) 3x פוטנציאל – צפיפות קבועה א .חשבו פוטנציאל של לוח אינסופי טעון אחיד בעל צפיפות מטען של . σ ב .חשבו פוטנציאל של לוח אינסופי טעון אחיד בעל צפיפות מטען של . − σ ג .בחרו ציר Xבניצב ללוח ואת הכיול V = 0על הלוח .שרטטו גרף המתאר את ) V(xעבור שני הסעיפים הראשונים. פתרון: א .שדה חשמלי של לוח אינסופי טעון אחיד בצפיפות מטען : σ E = 2πkσ וכיוון השדה הוא בניצב ללוח ,לתוך הלוח או מחוץ ללוח ,עבור צפיפות מטען שלילית או חיובית בהתאמה. ב .פוטנציאל של לוח אינסופי טעון אחיד ) σהלוח ניצב לציר :( X x V = − ∫ Edx = −2πkσ x 0 פוטנציאל של לוח אינסופי טעון אחיד : − σ V = 2πkσ x ג .הפוטנציאל Vכפונקציה של המרחק מהלוח xעבור לוח בעל צפיפות מטען : σ + V X הפוטנציאל Vכפונקציה של המרחק מהלוח xעבור לוח בעל צפיפות מטען : - σ V X פוטנציאל – צפיפות קבועה א .חשבו פוטנציאל במרחב של שני לוחות אינסופיים מקבילים ,שהמרחק ביניהם הוא , dהטעונים אחיד, בצפיפויות σו . - σבחרו ציר Xבניצב ללוחות ואת הכיול ϕ = 0על הלוח החיובי. ב .שרטטו גרף המתאר את ) ϕ (xעבור הפוטנציאל שחישבתם בסעיף הראשון. פתרון: א .ישנם שלושה אזורים שונים )הגדרתי x = 0על הלוח החיובי וכיוון הציר חיובי הוא מלוח החיובי לשלילי(: E 1 (x < 0 ) = 0 σ ε0 = ) E 2 (0 < x < d E 3 (x > d ) = 0 הפוטנציאל בכל אחד מהאזורים: ϕ (x < 0) = − ∫ E1dx = 0 σ σ⋅x dx = − ε ε0 0 0 x ∫ ϕ (0 < x < d ) = − ∫ E 2 dx = − σ σ⋅d dx = − ε ε0 0 0 d ∫ ϕ (0 < x < d ) = − ∫ E 2 dx − ∫ E 3dx = − ב .שרטוט הגרף: ϕ x d σ⋅d ε0 פוטנציאל – צפיפות קבועה פתרון: א .נחשב את צפיפות המטען על המקל ,כאשר הצפיפות אחידה החישוב מבצע ע"י סה"כ המטען חלקי סה"כ האורך. λ = − q L : ב .נגדיר את ראשית הצירים בנקודה השמאלית של המקל ואת כיוון הציר ימינה .נחלק את המקל לאלמנטים דיפרנציאליים ,נחשב את השדה החשמלי שיוצר כל אלמנט בנקודה ,Pונסכום ע"י אינטגרל כדי לקבל את השדה החשמלי: r kdq ˆdE = 2 r r r kλ dx ˆi rˆ = ˆi r = L+a−x = dq = λdx ⇒ dE (L + a − x )2 L ˆ 1 ˆ1 1 ˆi = kλ = (L + a − x ) i = kλ a − L + a i 0 kλ dx (L + a − x )2 r r L ∫ = E = ∫ dE 0 ˆ kq L + a − a ˆ kq i=− i L a (L + a ) ) a (L + a ג .נרשום את השדה כפונקציה של המרחק מהקצה הימני ,לצורך העניין נגדיר את הראשית מחדש ,בקצה הימני של המוט: r kq 1 ˆ1 E (x ) = − − i L x L+x a r r kq 1 1 kq V = −∫ E ⋅ dr = −∫ − = ∞[ln(x ) − ln(L + x )]a − = dx L x L+x L ∞ − kq [ln(a ) − ln(L + a ) − ln(∞ ) + ln(L + ∞ )] = kq ln a L L L+a הערה :כאשר מציבים את גבולות אינסוף ,מקבלים ) ∞( lnו ) ∞ , ln(L +בביטוי השני ניתן להזניח את , Lואז שני הביטויים מצטמצמים. ד .עבור שני הביטיים שקיבלנו נראה מה קורה עבור : a >> L kq L kq kq L ⇒ V = − ln + 1 = L a L a a kq kq ⇒ E≈ 2 ) a (L + a a =E פוטנציאל – צפיפות קבועה ) 3.12מחוברת הקורס( תיל שאורכו 2l + π Rהעשוי חומר מבודד ,כופף לצורה המורכבת משני קטעים ישרים שאורכם , lכל אחד ,המחוברים ביניהם ע"י קשת חצי מעגלית שרדיוסה Rומרכזה בנקודה . Oהתיל נושא מטען חשמלי כללי + Qהמפוזר בצורה לא אחידה על פני מקטעי התיל השונים .המקטע הישר השמאלי נושא מטען חשמלי חיובי המפוזר עליו בצורה אחידה בצפיפות + λואליו הקטע הישר הימני נושא מטען חשמלי שלילי המפוזר עליו בצורה אחידה . − λהקשת המעגלית נושאת מטען בצפיפות אחידה . + λ א .הביעו את λבאמצעות ) Q , l , Rלא בהכרח כולם(. ב .חשבו את השדה החשמלי השקול בנקודה ) Oגודל וכיוון(. ג .חשבו את הפוטנציאל החשמלי בנקודה . O +λ −λ R +λ O l l פתרון: א .נסכום את כל המטען על כל חלקי התיל ונשווהל . Qנוכל לבודד מהמשוואה שנקבל את : λ Q = q1 + q 2 + q 3 = λ ⋅ l + λ ⋅ π R − λ ⋅ l = λ ⋅ π R Q πR =λ ב .נחשב את השדה החשמלי שיוצר כל קטע בתיל ולבסוף נחבר את השדות וקטורית .נגדיר ציר x חיובי ימינה וציר yחיובי כלפי מעלה .ראשית הצירים בנקודה . O נחשב את השדה שיוצר המוט השמאלי )צפיפות חיובית(: −R −R ˆ k λ dx ˆ 1 1 1 ⋅ i = k λ − ⋅ iˆ = k λ ⋅ − + = ⋅i ∫ 2 x −l − R −R −l−R −l− R x r r = E1 = ∫ dE1 ˆ l + R − R ˆ k λ⋅ l ˆ k λ⋅ l ˆ 1 1 = k λ⋅ − = ⋅i = ⋅i ⋅i ⋅ i = k λ⋅ ) R(l + R ) R(l + R R l+ R R(l + R ) המוט השלילי יוצר את אותו שדה וגם באותו כיוון: ˆ k λ⋅ l ⋅i ) R(l + R r = E3 נחשב את השדה שיוצר החלק הקשתי של התיל .משיקולי סימטריה ניתן להבין שלאחר סכימה על כל חלקי התיל הקשתי יישאר רק רכיב אנכי ,כלומר בציר : y π π r r k λ Rd θ = ˆ − sinθ ⋅ ˆj = − k λ sinθ dθ ⋅ ˆj ∫ = E 2 = ∫ dE 2 ⋅ − cos ⋅ i θ R ∫0 R2 0 ) ( kλ kλ π = ⋅ [− cosθ ]0 ⋅ ˆj [cos(π ) − cos(0)] ⋅ ˆj = k λ [− 1 − 1] ⋅ ˆj = − 2k λ ⋅ ˆj R R R R =− נסכום את כל השדות: ˆ k λ ⋅ l ˆ 2k λ ˆ k λ⋅ l ⋅i − ⋅ j+ = ⋅i ) R(l + R R ) R(l + R r r r r = E O = E1 + E 2 + E 3 2 k λ ⋅ l ˆ 2 k λ ˆ 2k λ l ⋅i − =⋅j ⋅ iˆ − ⋅ ˆj ) R(l + R R R l+ R = ג .הפוטנציאל שיוצר המוט השמאלי יהיה חיובי )צפיפות חיובית( הפוטנציאל שיוצר המוט הימני יהיה שווה לפוטנציאל שיוצר המוט השמאלי ,אך הפוך בסימן )צפיפות שלילית( ,כך כשנחבר הם יאפסו אחד את השני ,כלומר ,אין צורך לחשב אותם .נשאר לחשב את הפוטנציאל שיוצר החלק הקשתי של התיל: π k λ Rdθ = −k λ ∫ dθ = −π k λ R 0 π ∫ = V = ∫ dV2 0 פוטנציאל – צפיפות קבועה בכדור בעל רדיוס ,Rהטעון במטען חיובי ,בצפיפות אחידה ρיש חלל כדורי בעל רדיוס .bהוקטור r ממרכז הכדור למרכז החלל מסומן ב . aמצאו את הפרש הפוטנציאלים בין הנקודה בחלל ,הקרובה ביותר למרכז הכדור )נקודה (Aלבין הנקודה בחלל ,הרחוקה ביותר ממרכז הכדור )נקודה .(B A B פתרון: את השדה החשמלי בתוך החלל חישבנו בעבר וקיבלנו שהשדה החשמלי קבוע: r 4πkρ r 4πkaρ =E =a ˆr 3 3 נחשב את הפרש הפוטנציאלים: r r 4πkaρ 4πkaρ ∫ VA − VB = − ∫ E ⋅ d l = − = dr (rB − rA ) = 4πkaρ [a + b − (a − b )] = 8πkabρ 3 3 3 3 B rB rA A פוטנציאל – צפיפות אחידה מדיסקה שרדיוסה 2 Rהטעונה בצפיפות מטען שטחית אחידה +σהוצאה דיסקה שרדיוסה Rכך שנוצרה דיסקה עם חור במרכזה )ראה איור( .הדיסקה מונחת במישור . x − y א .חשב את הפוטנציאל החשמלי בנקודה ) A(0, 0, zהנמצאת על ציר הסימטריה של הדיסקה ובגובה zמעל מישורה. ב .חשב את השדה החשמלי בנקודה . A כדור קטן שמסתו mומטענו − qמוחזק במנוחה בנקודה . A z + + + + + + + ++ 2R ++ ++ ++ ++ R + + + + + + + + y ג .חשב את הכוח שהדסקה מפעילה על הכדור כפונקציה של המרחק ממרכז הדיסקה. ד .אם הכדור משוחרר ממנוחה מנקודה ) B(0, 0, 5 Rבאיזו מהירות הוא יחלוף דרך מרכז הדיסקה ? ה .מהו סוג התנועה שיבצע הכדור ? )תנועה במהירות קבועה ,תנועה בתאוצה קבועה ,תנועה בתאוצה משתנה( x פתרון: א .חישוב הפוטנציאל החשמלי: kdq r ' = r 2 + z 2 dq = σ 2π rdr 'r 2R 2R kσ ⋅ 2π rdr 2kσπ rdr rdr = dV ∫ = ⇒ V = ∫ dV ∫ = 2kσπ = 2 2 2 2 2 r +z r +z r + z2 R R = dV ) + z2 − R2 + z2 2 ( 4R = 2kσπ ] 2R R + z2 2 [r = 2kσπ ב .חישוב השדה החשמלי: r ˆ ∂V ˆ ∂V ˆ ∂V E=− i− j− k ∂x ∂y ∂z ˆ k R2 + z2 z ]) z + z 2 − R 2 + z 2 kˆ = −2kσπ − 2 2 4R + z 2 [ ( 4R r ∂ E=− 2kσπ ∂z ג. ˆ k r r z z F = − qE = q ⋅ 2kσπ − 2 2 2 R + z2 4R + z .ד [ )] ( q V (z = 0) − V z = 5 R = [( mv 2 2 ⇒ v2 = [ ( 2q V (z = 0) − V z = 5 R m )] )] )( 2q ⋅ 2kσπ 4 R 2 − R 2 − 4 R 2 + 5 R 2 − R 2 + 5 R 2 = m 4qkσπ (2 R − R ) − 3R − 6 R = 4qkσπ − 2 + 6 R = m m v2 = [ v= )] ( ( ( ) ) 4qkσπ − 2 + 6 R m . z - מכיוון שהכוח תלוי ב, הכדור יבצע תנועה בתאוצה משתנה.ה Z פוטנציאל – צפיפות אחידה נתון משטח מישורי אינסופי בעל צפיפות מטען אחידה , σ במשטח יש חור מעגלי בעל רדיוס . aמצאו את השדה החשמלי לאורך ציר ,Zאת הפוטנציאל החשמלי על ציר Z והראו שהשדה שקיבלתם נגזר מהפוטנציאל! a ∞ פתרון: נתייחס למקרה כלוח שלם אינסופי בעל צפיפות מטען אחידה , σודיסקה עם רדיוס , aבעלת צפיפות ∞ מטען אחידה . − σסכום של השדות שגורמים הגופים ייתן את השדה המבוקש: r ˆE plane = 2πkσ ⋅ k r ˆ z k E disc = −2πkσ1 − a 2 + z2 r r r ˆ 2πkσσ = E = E plane + E disc k a 2 + z2 כעת נחשב את הפוטנציאל ,באופן דומה: ) Vplane = −2πkσz ( Vdisc = −2πkσ a 2 + z 2 − z V = Vplane + Vdisc = −2πkσ a 2 + z 2 התשובה הזאת טובה עבור z > 0בלבד! עבור , z < 0כדי לקבל את השדה נצטרך פשוט להפוך את הסימן ,והפוטנציאל נשאר אותו דבר: r ˆ 2πkσz E=− k a 2 + z2 V = −2πkσ a 2 + z 2 פוטנציאל – צפיפות אחידה ) 3.13מחוברת הקורס( יריעה אינסופית טעונה במטען חיובי בצפיפות אחידה . σ א .חשב את העבודה המבוצעת ע"י השדה החשמלי של היריעה כאשר מטען נקודתי q 0נע מפני היריעה עד למרחק zכמתואר בציור. ב .השתמש בתוצאות של הסעיף הקודם והראה כי הפוטנציאל החשמלי של יריעה אינסופית שווה σz ל: 2ε 0 . V =V 0−כאשר V 0הוא הפוטנציאל החשמלי על פני היריעה. פתרון: א .השדה החשמלי בנוצר ע"י היריעה במרחב )בחרתי ציר zניצב למישור היריעה(: r ˆ σ =E k 2ε 0 נחשב את הכוח שמפעיל השדה על המטען: r r qσ = F = qE ˆk 2ε 0 נחשב את עבודת השדה: r r z qσ qσ z ∫ = W = ∫ F ⋅ dr = dz 2ε 0 2ε 0 0 ב .נחשב את הפוטנציאל במרחק zמהיריעה: ) W = − q∆V = −q (V − V0 qσ z ) = −q (V − V0 2ε 0 σz 2ε 0 V = V0 − פוטנציאל )אינטגרל מסלול וגרדיאנט( r נתון שדה חשמלי )השדה משמר!( ˆE = 2y ˆi + (2x + 3z)ˆj + 3y k (E x , EY , E z ) = − ∂ϕ ,− ∂ϕ ,− ∂ϕ א .נסו לנחש את הפוטנציאל ) ϕ ( x, y, zלפי הקשרים∂z : ∂x ∂y ϕ (0,0,0) = 0 צריכים למצוא פונקציה אחת של y ,xו z-שהנגזרת שלה בכיוון xתיתן את רכיב השדה בכיוון x )עם סימן הפוך( ,וכך גם בהתייחס ל y-ול.z- r r r r ב .חשבו את ) ϕ ( x, y, zע"י − ∫ E ⋅ d lכאשר ) ϕ (0,0,0) = 0כלומר נקודת הייחוס היא ראשית r r0 הצירים(. פתרון: א .תחילה בדרך של ניחוש: ) ϕ = − ∫ E x dx = − ∫ 2ydx = −2xy + f (y, z ) ϕ = − ∫ E y dy = − ∫ (2x + 3z )dy = −2xy − 3yz + g(x, z ) ϕ = − ∫ E z dy = − ∫ 3ydz = −3yz + h (x, y ⇓ ϕ (x, y, z ) = −2xy − 3yz כדאי ,כמובן לבצע גרדיאנט על הפוטנציאל שמנחשים כדי לראות שמתקבל השדה החשמלי הנכון. r r ב .כעת נחשב דרך : ϕ (x, y, z ) = − ∫ E ⋅ d l )( x, y,zr ) ( x, y,0 ) ( x, y,z ) ( x,0,0 r E d l = − ( 0,2x,0 ) ⋅ ( dx,0,0 ) − ( 2y,2x,3y ) ⋅ ( 0, dy,0 ) − ∫ ∫ ∫ ) ∫ (2y,2x + 3z,3y) ⋅ (0,0, dz ) ) ) y,0 1(0,0,0 44 424443 1(x,0,0 44 4424444 3 1( x,4 4444244444 3 − 3yz − 2xy ϕ (x, y, z ) = − ) (0,0,0 0 ϕ (x, y, z ) = −2xy − 3yz פוטנציאל )גרדיאנט ,רוטור( נתון הפוטנציאל החשמלי: ϕ (x, y, z ) = 4 x 2 yz − y 2 z 3 א .מצאו את השדה החשמלי במרחב. ב .הראו שהשדה משמר. פתרון: א .שדה חשמלי מקבלים ע"י מינוס גרדיאנט על הפוטנציאל: r r = E = −∇ ⋅ ϕ ∂ ∂ ∂ =− 4 x 2 yz − y 2 z 3 ⋅ iˆ − 4 x 2 yz − y 2 z 3 ⋅ ˆj − = ˆ4 x 2 yz − y 2 z 3 ⋅ k ∂x ∂y ∂z ˆ= −(8 xyz ) ⋅ iˆ − 4 x 2 z − 2 yz 3 ⋅ ˆj − 4 x 2 y − 3 y 2 z 2 ⋅ k ( ) ( ) ) ) ( ( ( ) ב .השדה משמר אם ע"י הרוטור על השדה החשמלי מתאפס ,זה חייב להתאפס מכיוון שכל שדה שנגזר מפוטנציאל הוא שדה משמר: ˆk ∂ = ∂z 4x 2 y − 3 y 2 z 2 ) y − 3 y 2 z 2 ⋅ ˆj + ) 2 ( ) ) ⋅ iˆ + ∂∂z (8 xyz ) − ∂∂x (4 x ˆj ∂ ∂y 2 4 x z − 2 yz 3 ( ˆi ∂ ∂x ) (8 xyz r r = ∇× E ∂ ∂ = 4x 2 y − 3 y 2 z 2 − 4 x 2 z − 2 yz 3 ∂z ∂ y ( ( ) ∂ ∂ 4 x 2 z − 2 yz 3 − = ˆ(8 xyz ) ⋅ k ∂y ∂x 2 2 2 2 = 4 x − 6 yz − 4 x − 6 yz ⋅ iˆ + [(8 xy ) − (8 xy )] ⋅ ˆj + [(8 xz ) − (8 xz )] ⋅ kˆ = 0 ) ]) ( ) ( ([ פוטנציאל )מוליכים(: כדור מוליך שרדיוסו Rמוקף על ידי קליפה כדורית מוליכה עבה )קונצנטרית לכדור( שרדיוסה הפנימי 2Rורדיוסה החיצוני . 3Rטוענים את הכדור במטען + Qואת הקליפה העבה טוענים במטען − 2Q א .חשב את השדה החשמלי בכל המרחב? ב .חשב את צפיפות המטען על השפה הפנימית והחיצונית של הקליפה. פתרון: ב .המטען בכדור הפנימי יסתדר כך שהשדה החשמלי בתוכו יתאפס ,כלומר כל המטען יסתדר בצורה אחידה על שטח הפנים של הכדור ,ניתן לחשב את הצפיפות ברדיוס : R Q1 Q = 2 4π R 4π R 2 = σ1 גם המטענים על הקליפה העבה יסתדרו כך שבמוליך עצמו השדה יתאפס ,כלומר ,שבחלק הפנימי יסתדר מטען השווה למטען שבכדור הפנימי והפוכה בסימן .ברדיוס החיצוני של הקליפה יסתדר כל שאר המטען: Q2 − Q1 −Q = = 2 2 ) 4π R2 4π (2 R 16π R 2 = σ2 Q2 + Q3 = −2Q ⇒ Q3 = −2Q − Q2 = −2Q − (− Q ) = −Q Q3 −Q −Q = = 2 2 4π R3 36π R 2 ) 4π (3R = σ3 א .עפ"י המטענים ניתן לחשב את השדה בכל המרחב: ) (0 ≤ r ≤ R1 ) (R1 < r ≤ R2 ) (R2 < r ≤ R3 ) (R3 < r 0 kQ ˆ r r2 r E= 0 kQ ˆ− 2 r r פוטנציאל )מוליכים(: נתון כדור חלול העשוי חומר מוליך ומטענו . 2Qרדיוס הכדור הוא R 2ורדיוס החלל הוא . R1במרכז החלל נמצא מטען של . 3Qעפ"י האיור הבא: R2 חומר מוליך R1 3Q 2Q א .מצאו את צפיפויות המטען ברדיוס R1וברדיוס . R 2 ב .מהו השדה החשמלי במרחב? פתרון: המטענים יסתדרו כך שהשדה החשמלי במוליך יהיה אפס )במילים אחרות כך שהפוטנציאלים על הקליפה הפנימית ועל הקליפה החיצונית יהיו שווים(: r 3Q + Q1 rˆ = 0 ⇒ Q1 = −3Q = ) E (R1 < r < R2 r2 והמטען על הקליפה החיצונית יהיה: Q1 + Q2 = 2Q ⇒ Q2 = 5Q ולפיכך צפיפויות המטען על הקליפות הן: 5Q = σ2 4πR 22 3Q 4πR12 σ1 = − ב .השדה החשמלי במרחב: 3Q ) r 2 rˆ , (0 < r < R1 r E = 0 ) , (R1 < r < R2 5Q ) 2 rˆ , (R2 < r r פוטנציאל )מוליכים(: במרכזה של קליפה כדורית מוליכה שרדיוסה הפנימי aורדיוסה החיצוני , bנמצא מטען נקודתי המטען חיובי . Qהמטען הכולל שעל הקליפה הוא , − 4Qוהיא מבודדת מהסביבה. א .פתח ביטויים לגודל השדה החשמלי כפונקציה של המרחק , r ,מן המרכז ,לגבי כל המרחב. ב .מהי צפיפות המטען השטחי על המשטח הפנימי של הקליפה המוליכה? ג .מהי צפיפות המטען השטחי על המשטח החיצוני של הקליפה? ד .שרטט תרשים המראה את קווי -השדה החשמלי ,ואת מיקום כל המטענים. ה .שרטט גרף של השדה החשמלי כפונקציה של . r פתרון: ב .המטען מסתדר על שפת המוליך )הפנימית והחיצונית ( כך שהשדה החשמלי במוליך שווה לאפס .על הרדיוס הפנימי יסתדר מטען שווה למטען הנקודתי הנמצא במרכז: −Q 4π a 2 = q a = −Q ⇒ σ a ג .מתוך כך ,נוכל גם לחשב את המטען שיסתדר ברדיוס החיצוני: − 3Q 4π b 2 = q a + q b = −4Q ⇒ q b = −4Q − q a = −4Q − (− Q ) = −3Q ⇒ σ b א .חישוב השדה החשמלי: kQ ) (0 < r < a ˆ r 2 r r E = 0 ) (a < r < b 3kQ ˆ− 2 r ) (b < r r פוטנציאל )מוליכים(: שני כדורים מוליכים טעונים מרוחקים מאוד זה מזה .הכדורים בעלי רדיוסים R1ו R2 -ובמצב ההתחלתי המטענים על הכדורים הינם Q1ו Q2 -בהתאמה .מחברים את הכדורים בחוט מוליך דק ונותנים למערכת "להירגע" .כמה מטען יעבור בחוט ומאיזה כדור? R1 R2 Q1 Q2 פתרון: המטענים החדשים על כדורים הם q1ו . q 2 נכתוב שתי משוואות הנובעות משתי דרישות ,שימור מטען ושוויון פוטנציאלים: q 1 + q 2 = Q1 + Q 2 kq 1 kq 2 = R1 R2 וכעת יש שתי משוואות עם שני נעלמים אותן נפתור: q 1 + q 2 = Q1 + Q 2 R 2 q1 R1 R ⇒ q 1 1 + 2 = Q1 + Q 2 R1 = ⇒ q2 kq 1 kq 2 = R1 R2 R 2 q1 = Q1 + Q 2 R1 (Q1 + Q 2 )R 1 R1 + R 2 (Q1 + Q 2 )R 2 R1 + R 2 q1 + = q1 = q2 המטען שיעבור בחוט הוא: ∆q 2 = q 2 - Q 2 אם ∆q 2חיובי ,מטען יעבור מכדור 1לכדור .2 אם ∆q 2שלילי ,מטען יעבור מכדור 2לכדור .1 פוטנציאל -מוליכים למוליך גלילי ארוך בצורת צינור ,אורך Lורדיוסים פנימי וחיצוני R1ו , R2 -כמוראה באיור .נתון כי L >> R2כך שניתן להזניח את שפיית השדה )כלומר ,ניתן להשתמש בקירוב של גליל אינסופי( .טוענים את הגליל הפנימי במטען חשמלי כולל . +Qנתונים. L, R1 , R2 ,Q,V0 : א .מהו השדה החשמלי )גודל וכיוון( בכל המרחב? ב .כיצד יתפלג המטען החשמלי? דהיינו כמה מטען חשמלי יימצא על הדפנות שרדיוסן R1ו R2 -ובתוך התווך המוליך המשתרע מ. R1 < r < R2 - R2 נמק/י את תשובותיך .מהי ,אם כן ,צפיפות המטען המשטחית σ R1 , σ R2על דפנות המוליך? ג .חשב/י את הפוטנציאל החשמלי בנקודה על ציר הגליל אם ידוע כי ערכו של הפוטנציאל במרחק r = 2 R2ממרכז המערכת הוא . V ( 2 R2 ) =V0 ד .מה תהיה צפיפות המטען בכל המטחית בגליל את בתוכו יש תיל ישר אינסופי בצפיפות אורכית ) λ = Q / Lרמז – השדה בתוך המוליך הוא אפס ,מה זה אומר על המטען הכלוא בתוך גליל דימיוני המקיף את התיל והמעטפת הפנימית? פתרון: א .המטען יסתדר רק ברדיוס החיצוני של הגליל , R 2כך שהשדה החשמלי המוליך עצמו מתאפס ,וזה גורר שגם השדה החשמלי הפנימי מתאפס: E(r < R 2 ) = 0 את השדה החשמלי עבור r > R 2נמצא ע"י חוק גאוס: r r ∫ E ⋅ d s = 2πrlE q in 2πrlσ = ε0 ε0 R 2σ ε0r Q 2πLε 0 r =⇒ E 2πR 2 lσ ε0 = ) ⇒ E(r > R 2 כיוון השדה רדיאלי )קורדינטות גליליות(. ב .התשובה נמצאת בסעיף א' ,כל המטען יהיה על הרדיוס החיצוני ,ובהתאם צפיפות המטען. ג .נחשב את הפוטנציאל בנקודה על ציר הגליל: = 2πrlE Q 2πR 2 L =σ R1 איור 2 E1 (r > R 2 ) = Q 2πLε 0 r E 2 (r < R 2 ) = 0 ⇒ V(0 ) = V(R 2 ) V(2R 2 ) = V0 R2 V(R 2 ) − V(2R 2 ) = − ∫ E1dr 2R 2 V(R 2 ) − V0 = − − Q 2πLε 0 R2 Q dr = 2πLε 0 r 2R 2 ∫ R2 dr Q =− [ln(r )]R2R2 2 = − Q [ln(R 2 ) − ln(2R 2 )] r 2πLε 0 2πLε 0 2R 2 ∫ Q [ln(R 2 ) − ln(2R 2 )] 2πLε 0 , - Q כלומר, של הגליל יהיה הפוך מהמטען הכולל על התיל הפנימי, R 1 , המטען על הרדיוס הפנימי.ד :לפיכך צפיפויות המטען הן Q σ1 = − 2πR 1L V(R 2 ) = V0 − q(R 2 ) = 2Q ⇒ σ 2 = 2Q 2πR 2 L חוק גאוס -מוליכים 2 נתונים שני לוחות ריבועיים מוליכים ומקבילים ששטח כל אחד מהם . 2 mהמרחק בין הלוחות . 1 cm טוענים את לוח מספר 1במטען , + 10 µ Cואת לוח מספר 2במטען . + 6 µ C 2 א .מהו השדה החשמלי בכל אחת מהנקודות ? a, b, c, d, e ב .במצב שיווי משקל ,מהו המטען על כל שפה ? 1 d e c b a פתרון) :נתייחס ללוחות כאינסופיים( σ א .שדה חשמלי שיוצר לוח אינסופי: 2ε 0 =E נמצא את הצפיפות של כל לוח ואת השדה חשמלי שיוצר כל לוח: q 2 6 ⋅ 10 −6 = = 3 ⋅ 10 −6 C m 2 2 A = , σ2 q1 10 ⋅ 10 −6 = = 5 ⋅ 10 −6 C m 2 2 A = σ1 σ1 2ε 0 = E1 σ2 2ε 0 = E2 , נחשב שדה בכל אחד מהאזורים )ימני ,אמצעי ושמאלי( עבור מערכת צירים אופקית שכיוונה החיובי ימינה: σ1 σ 2 σ +σ2 − =− 1 2ε 0 2ε 0 2ε 0 σ σ σ −σ2 E Middle = E1 − E 2 = 1 − 2 = 1 2ε 0 2ε 0 2ε 0 σ σ σ +σ2 E Right = E1 + E 2 = 1 + 2 = 1 2ε 0 2ε 0 2ε 0 E Left = − E1 − E 2 = − השדה בכל נקודה )בתוך המוליך השדה החשמלי מתאפס(: Eb = 0 σ1 + σ 2 2ε 0 = E e = E Right , , ) (σ 1 + σ 2 2ε 0 σ1 − σ 2 2ε 0 E a = E Left = − = E c = E d = E Middle ב .כדי לחשב את המטען בצד השמאלי של הלוח השמאלי ,ניצור מעטפת גאוס גלילית בפאה אחת מצאת באזור השמאלי ופאה שנייה נמצאת בתוך מוליך ") "1שם השדה מתאפס( ,נוכל לחשב את הצפיפות ע"י חוק גאוס: r r ) (σ 1 + σ 2 E '∫ ⋅ dS = E Left ⋅ A' = 2ε 0 ⋅ A = 4 ⋅ 10 −6 C m 2 ) (σ 1 + σ 2 2 = ⇒ σ Left ,1 '(σ 1 + σ 2 ) ⋅ A' σ ⋅ A = 2ε 0 ε0 ⋅ 2 = 8 µC −6 'σ ⋅ A ε0 q in ⇒ 0 = r q in ε0 r ∫ E ⋅ dS = ε q Left ,1 = σ Left ,1 ⋅ A = 4 ⋅ 10 את הצד הימני של הלוח השמאלי נמצא ע"י חיסור פשוט )מטען מצטבר רק על שפת הלוח(: ⇒ q Right ,1 = q1 − q Left ,1 = 10µ − 8µ = 2 µC q Left ,1 + q Right ,1 = q1 כדי לחשב את השדה החשמלי על הצד השמאלי של הלוח הימני ,ניצור מעטפת גאוס גלילית שפאה שמאלית שלה בתוך האזור האמצעי ופאה ימנית בתוך המוליך )שם השדה מתאפס(: r r '(σ 1 − σ 2 ) ⋅ A E ∫ ⋅ dS = − E Middle ⋅ A' = − 2ε 0 = −1 ⋅ 10 − 6 C m 2 ) (σ 1 − σ 2 2 ⇒ σ Left , 2 = − '(σ 1 − σ 2 ) ⋅ A' σ ⋅ A = 2ε 0 ε0 'σ ⋅ A ε0 ⇒ − qin 0 r = qin ε0 r ∫ E ⋅ dS = ε q Left , 2 = σ Left , 2 ⋅ A = −1 ⋅ 10 − 6 ⋅ 2 = −2 µC את הצד הימני של הלוח השמאלי נמצא ע"י חיסור פשוט )מטען מצטבר רק על שפת הלוח(: ⇒ q Right , 2 = q 2 − q Left , 2 = 6µ − (− 2µ ) = 8 µC q Left , 2 + q Right , 2 = q 2 דרך אחרת ,אפשר גם לדרוש שכמות המטען משני הצדדים של אזור שמתאפס תהיה שווה ,כך נקבל 4 משוואות עם ארבעה משתנים: q L ,1 + q R ,1 = q1 q L, 2 + q R, 2 = q 2 q L ,1 = q R ,1 + q L , 2 + q R , 2 q R , 2 = q R ,1 + q L ,1 + q L , 2 הפתרון ייתן תשובות זהות למה שכבר קיבלנו בדרך הראשונה. פוטנציאל ואנרגיה פתרון: א .הפוטנציאל החשמלי בנקודה Pקל לחישוב ,היות וכל הנקודות נמצאות באותו מרחק מהטבעת .המרחק הוא: r = R2 + z2 נחשב את הפוטנציאל בנקודה :P kQ R 2 + z2 kQ = r =V ב .את השדה החשמלי ניתן לחשב ע"י גזירה של הפוטנציאל: r ˆ ∂V ˆ ∂ kQ kQz kQz E=− k=− k = − − = ˆk ˆk 3 2 32 2 2 2 2 2 2 ∂Z ∂Z R + z R +z R + z ( ) ) ( ג .נפתור משיקולים של אנרגיה .האנרגיה הפוטנציאלית של החלקיק באינסוף היא אפס ,כך שתהיה לו רק קינטית .בנקודת התחלה אין לו מהירות ,כך שאין קינטית יש רק פוטנציאלית .כדי לחשב את האנרגיה הפוטנציאלית של החלקיק בנקודת ההתחלה ,נצטרך לחשב את הפוטנציאל בנקודה זו: kdq = dV R 2 + z2 dq = σ2πRdz = ]) H 0 ([ = 2πkσR ln R 2 + z 2 + z dz R 2 + z2 ] H ∫ = 2πkσR 0 ) kσ2πRdz R 2 + z2 ([ H ∫=V 0 ) 2πkσR ln R 2 + H 2 + H − ln (R :(נמצא את המהירות באינסוף )כיוון המהירות יהיה שלילי [( ) ] V = 2πkσR ln R 2 + H 2 + H − ln (R ) U 0 = qV mv 2 U∞ = 2 U∞ = U0 ⇒ mv 2 = qV ⇒ 2 v= 2qV = m [( ) ] 4qπkσR ln R 2 + H 2 + H − ln (R ) m פוטנציאל – צפיפות אחידה )שאלה 3.23מחוברת הקורס( התייחסו לגליל מלא בעל רדיוס Rוגובה hהנושא מטען כללי + Qבצפיפות אחידה. א .חשבו את הפוטנציאל החשמלי על ציר הסימטריה ,במרחק xמאחד מבסיסיו. ב .חשבו את השדה החשמלי על ציר הסימטריה במרחק xמאחד מבסיסיו. פתרון: התייחסו לגליל מלא בעל רדיוס , Rוגובה , hהנושא נטען כללי + Qבצפיפות אחידה .השתמשו בביטוי לפוטנציאל של דסקה על ציר הסימטריה )שכבר חושב בעבר( ,וחשבו: א .את הפוטנציאל החשמלי במרחק xמאחד מבסיסיו. ב .חשבו את השדה החשמלי מתוך הפוטנציאל. ) ( ⋅ )dz = z z 2 + R 2 R 2 ⋅ ln z + z 2 + R 2 + לשימושכם: 2 2 2 (∫ z +R 2 פתרון :צריך שרטוט גם לפתרון!!!! א .נשתמש בפוטנציאל חשמלי של דסקה .נבצע אינטגרל על דסקות כדי לחשב את הפוטנציאל החשמלי שיוצר הגליל .הגדרתי את הראשית בנקודה בה אנו מחשבים את הפוטנציאל: ) + z2 − z 2 (R kdQ R2 = dϕ ⇒ ) + z2 − z 2 (R Q Qdz = ⋅ π R 2 dz 2 h πR h = , dV = π R 2 dz ⇒ dq = ρ dV ) Qdz kQ (R ⋅) + z − z = h ∫ R h R ⋅ ln (z + z + R ) z + − h+ x = + z 2 − z dz 2 2 2 2 x h+ x = 2 2 2 x 2 2 2 (R k R2 h+ x ∫ x kQ R2 =ϕ Q π R2h =ρ = ϕ = ∫ dϕ kQ z ⋅ z 2 + R 2 = 2 2 R h − = 2 2 2 2 2 2 ) kQ (h + x ) (h + x ) + R + R ln h + x + (h + x ) + R − (h + x = 2R 2 h 2 2 2 2 2 2 x x + R − R ln x + x + R + x − h 2 + 2hx h + x + (h + x )2 + R 2 kQ 2 2 2 2 2 (h + x ) (h + x ) + R − x x + R + R ln 2 2R h x + x2 + R2 ) ( :( חישוב השדה מתוך הפוטנציאל )גזירה מייגעת.ב E= dϕ = dx (h + x ) (h + x )2 + R 2 − x x 2 + R 2 + kQ d 2 = 2 = ⋅ 2 R 2h dx + R 2 ln h + x + (h + x ) + R − h 2 + 2hx x + x2 + R2 (h + x )2 − x 2 + R 2 − x 2 + 2h + R 2 ⋅ x + x 2 + R 2 (h + x )2 + R 2 + h + x + (h + x )2 + R 2 x2 + R2 (h + x )2 + R 2 kQ = ⋅ (h + x ) ⋅ x + x 2 + R 2 − 1 + x ⋅ h + x + (h + x )2 + R 2 2 R 2 h 1 + 2 2 2 2 + x R + + ( h x ) R ⋅ 2 x + x2 + R 2 ) ( ) ( ⋅ = (h + x )2 + R 2 + (h + x )2 x 2 + R 2 + x 2 1 − ⋅ + 2h + R 2 ⋅ h + x + (h + x )2 + R 2 (h + x )2 + R 2 x 2 + R 2 kQ = ⋅ (h + x )2 + R 2 + (h + x ) 2 2 = 2 2R h ⋅ x + x 2 + R 2 − x + R + x ⋅ h + x + (h + x )2 + R 2 x 2 + R 2 (h + x )2 + R 2 ⋅ x + x2 + R2 ) ( ( = 2 kQ 2(h + x ) + R 2 ⋅ 2 2 R h (h + x )2 + R 2 = 2 kQ 2(h + x ) + 2 R 2 2 x 2 + 2 R 2 = ⋅ − + 2 h 2 R 2h (h + x )2 + R 2 x 2 + R 2 = 2 kQ (h + x ) + R 2 ⋅ 2 R h (h + x )2 + R 2 = kQ 2 ⋅ (h + x ) + R 2 − x 2 + R 2 + h R 2h 2 x2 + R 2 − x 2 + R 2 x2 + R2 − x 2 + R 2 + 2h + R 2 ⋅ ) 1 (h + x )2 + R 2 − = x 2 + R 2 1 + h = !!! לא צריך לחפש טעויות, יצא נכון במכה ראשונה,יופי לי פוטנציאל – צפיפות משתנה 3.9) :מחוברת הקורס( r כדור שרדיוסו Rטעון בצפיפות מטען לא אחידה , ρ (r ) = ρ 0 כאשר ρ 0קבוע. R א .הביעו את מטענו הכללי של הכדור באמצעות. ρ 0 , R : ב .מצאו את השדה החשמלי בכל המרחב. ג .מצאו את הפוטנציאל החשמלי בכל המרחב. ד .כדור קטן שמסתו mומטענו − qמשוחרר ממנוחה במרחק 4 Rממרכז הכדור .מה תהיה מהירותו של הכדור בהגיעו למרחק של 2 Rממרכז הכדור ? פתרון: א .חישוב המטען הכולל על הכדור: R 4π ρ 0 R 3 4π ρ 0 r 4 r 2 3 = Q = ∫ ρ ⋅ dV = ∫ ρ 0 ⋅ 4π r dr r dr = = π ρ0 R ∫ R R R 4 0 0 0 R ב .נשתמש בחוק גאוס עם מעטפת גאוס כדורית .עבור סימטריה כדורית מתקיים: 2 r r ∫ E ⋅ dS = E ⋅ 4π r עבור האזור החיצוני: Q ε0 kQ r2 = Q 2 4π ε 0 r =E = ⇒ q in (r > R ) : ε0 Q ε0 = E ⋅ 4π r 2 עבור האזור הפנימי: r 4π ρ 0 r 3 4π ρ 0 r 4 π ρ0r 4 r 2 = = r dr = = ρ 0 ⋅ 4π r dr ε 0 ∫0 R ε 0 R ∫0 ε 0 R 4 0 ε0R r ρ0r 2 π ρ0 R 3r 2 Qr 2 kQr 2 = = = ε0R 4π ε 0 R 4 4π ε 0 R 4 R4 =E 1 q in ε0 (0 < r < R ) : π ρ0r 4 ε0R ⇒ = E ⋅ 4π r 2 ג .את הפוטנציאל מחשבים ע"י אינטגרל על השדה החשמלי: r kQ kQ = dr 2 r ∞ r ∫V = − r (r > R ) : R 2 3 = (0 < r < R ) : V = − ∫ kQ2 dr − ∫ kQr4 dr = kQ − kQ4 r R R 3 R ∞ r ∞ R R ] [ kQ kQ 3 kQ kQr 3 kQ 4kQ kQr 3 3 = − = r −R − + = − R 3R 4 R 3R 3R 3R 4 3R 4 ד .נקרא לנקודת השחרור Aולנקודה הסופית נקרא .Bמתקיים שימור אנרגיה: UB = UA mv B2 − qV B = − qV A 2 mv B2 ) = q (VB − V A 2 kQ kQ kQ = VB − V A − = 2R 4R 4R mv B2 kQq kQq = = ⇒ vB 2 4R 2mR פוטנציאל – צפיפות משתנה 3.14) :מחוברת הקורס( מטען Qמפוזר על פני טבעת שטוחה בעלת רדיוס פנימי aורדיוס חיצוני . bצפיפות המטען נתונה ע"י , σ = k r 3כאשר rהוא מרחק ממרכז הטבעת לנקודה כלשהי עליה .הראו כי הפוטנציאל במרכז Q a+b הטבעת שווה ל : 8π ε 0 ab = V b a פתרון: נחלק את הטבעת הנתונה לטבעות דקות בעלות עובי דיפרנציאלי . drשטח כל טבעת דקה: dS = 2π rdr המטען של כל טבעת דקה: k0 2π k 0 dr = ⋅ 2π rdr 3 r r2 = dq = σ ⋅ dS נסכום על כל המטן של כל הטבעות ונשווה ל , Q -כך נוכל להביע את הקבוע k 0ע"י הפרמטרים של השאלה: 2π k 0 dr 1 ) 1 1 2π k 0 (b − a ∫ = Q = ∫ dq = = 2π k 0 ⋅ − = 2π k 0 ⋅ − + 2 ab r r a b a a abQ = k0 ) 2π (b − a b b כל טבעת יוצרת במרכזה את הפוטנציאל הבא: kdq k 2π k 0 dr 2π kk 0 dr ⋅ = = r r r2 r3 = dV נסכום את הפוטנציאלים של כל הטבעות הדקות: 2π kk 0 dr 1 1 1 ∫ = V = ∫ dV = = 2π kk 0 ⋅ − 2 = π kk 0 ⋅ − 2 + 2 3 r a 2r a b a b b ) π kk 0 (b − a )(b + a a 2b 2 = ) π kk 0 (b 2 − a 2 2 2 a b = נציב את הביטוי שקיבלנו לקבוע : k 0 abQ ) kQ(b + a ) Q(b + a = = ) 2π (b − a 2ab 8π ε 0 ab ⋅ ) π k (b − a )(b + a 2 2 a b = V פוטנציאל ואנרגיה נתון כדור בעל רדיוס Rשמלא במטען בצפיפות אחידה .ρ א .מה השדה החשמלי בכל המרחב )בתוך הכדור ומחוצה לו(? ) 6נק'( ב .מה הפוטנציאל החשמלי בכל המרחב? ) 6נק'( עבור הסעיפים הבאים נתון R=2mו .ρ = 5.31×10-8 C/m3 ג .קודחים חור קטן דרך מרכז הכדור .מול החור ,במרחק r = 2R=4mממרכז הכדור משחררים ממנוחה חלקיק נקודתי קטן בעל מטען ) q = - 4 × 10 -6 Cמטען שלילי( ומסה × m = 2 .10-3 kgהחלקיק יכול לעבור דרך החור .מה תהיה מהירות החלקיק כשיגיע לפני הכדור וייכנס לחור? ) 6נק'( ד .היכן יגיע החלקיק למהירותו המקסימלית ,ומה תהיה מהירות זו? ) 7נק'( פוטנציאל – צפיפות משתנה בצפיפות אורכית+ q נושא מטען חשמלי כלליR תיל מבודד בצורת חצי מעגל שרדיוסו . מוגדרת באיור שלהלןθ הוא קבוע מספרי והזוויתR λ0 . λ = λ 0 sin θ . R - וq באמצעותλ0 הביעו את הקבוע.א ? שיוצב במרכז חצי המעגל+Q מהו כוח שיפעל על מטען.ב ?( מהו הפוטנציאל במרכז התיל? מהו הפוטנציאל רחוק מאוד מהתיל )במרחק אינסופי מהראשית.ג :פתרון .א dq = λdl = λ 0 sin (θ )Rdθ π π q = ∫ dq = ∫ λ 0 sin (θ )Rdθ = λ 0 R ∫ sin (θ )dθ = λ 0 R [- cos(θ )]0 = − λ 0 R [cos(π ) − cos(0 )] = π 0 0 − λ 0 R [− 1 - 1] = 2λ 0 R y q λ0 = 2R .ב r kQdq dF = 2 rˆ r r = R, ˆr = cosθ ˆi + sinθ ˆj, dq = λ 0 sinθ Rdθ r kQλ 0 sinθ Rdθ dF = cosθ ˆi + sinθ ˆj R2 r r 2π kQλ 0 sinθ Rdθ kQλ 0 F = ∫ dF = ∫ cosθ ˆi + sinθ ˆj = 2 R R π ( θ x ) ( ) ∫ (sinθ cosθ ˆi + sin θ ˆj)dθ = 2π 2 π 2π kQλ 0 2 ˆ 1 kQλ 0 1 π kQλ 0 π ˆ kQqπ ˆ sin θ i + − sinθ cosθ + θ ˆj = j= j π − ˆj = R 2 π R 2 2R 4R 2 2 r kQqπ ˆj F= 4R 2 : הפוטנציאל במרכז התיל.ג kQdq dV = r r = R, dq = λ 0 sinθ Rdθ kQλ 0 sinθ Rdθ R π π kQλ 0 sinθ Rdθ π V = ∫ dV = ∫ = kQλ 0 ∫ sinθ dθ = kQλ 0 [− cosθ ]0 = R 0 0 dV = kQq R . מהמרכזR והוא כולו נמצא במרחקq כל המטען הוא- היות וסך,התשובה צפויה . אפס:הפוטנציאל באינסוף − kQλ 0 [cos(π ) − cos(0 )] = −kQλ 0 [- 1 − 1] = 2kQλ 0 = פוטנציאל ואנרגיה – צפיפות משתנה פתרון: א .המטען על הכדור: 4πQ 0 r 3 = dq = 4πr ρ(r )dr dr R4 R 4πQ 0 r 3 4πQ 0 R 3 4πQ 0 R 4 = πQ 0 ∫ = Q = ∫ dq = r dr = 4 ∫ 4 4 4 R R R 0 0 2 ב .השדה החשמלי עבור : r > R kQ πkQ E= 2 = 2 0 r r השדה החשמלי עבור : 0 < r < R kq r2 r 4πQ 0 r 3 dr πQ 0 r 4 ∫=q = 4 R R4 0 =E πkQ 0 r 2 R4 =E ג .פותרים משיקולים של אנרגיה: 2 0 mv πkQ 0 + 2 R2 U∞ = 0 2πkQ 0 q mR 2 = v0 mv 02 πkQ 0 q = ⇒ = 2 R2 פוטנציאל ומוליכים ) 3.8מחוברת הקורס( חסר שרטוט בשאלה!!! ⇒ = U0 ∞U0 = U מערכת מורכבת משלשוה מוליכים קונצנטריים :קליפה כדורית פנימית דקה ברדיוס , Rקליפה עבה בעלת רדיוס פנימי 2 Rוחיצוני 3Rוקליפה חיצונית דקה בעלת רדיוס . 4 Rהקליפה הדקה החיצונית הטעונה במטען , Q0ואילו הקליפה המרכזית טעונה במטען . − Q0 א .מהי התפלגות המטענים על שפות הקליפה העבה המרכזית ? ב .מהו השדה החשמלי כפונקציה של המרחק rממרכז המערכת בכל המרחב ? כעת מחברים את הקליפה הפנימית והחיצונית ע"י תיל מוליך שעובר דרך חור קטן בקליפה העבה. ג .מהי התפלגות המטענים על הקליפות המרכיבות את המערכת ? ד .מהו השדה החשמלי כפונקציה של המרחק rממרכז המערכת בכל המרחב ? ה .כמה מטען עבר בין הקליפה החיצונית והפנימית ? פתרון: א .המטענים בקליפה העבה יסתדרו כך שהשדה החשמלי בקליפה הזו מתאפס ,כלומר ,הרדיוס הפנימי, , 2 Rלא יהיה מטען ,וברדיוס החיצוני 3Rיהיה . − Q0לפיכך המטענים הם, q 2 = 0 , q1 = 0 : . q 4 = Q 0 , q 3 = −Q 0 ב .קליפה כדורית יוצרת בתוכה שדה חשמלי אפס ,ואילו מחוצה לה נתין להתייחס אליה כמטען נקודתי. בסה"כ ישנם חמישה אזורים שונים .נחבר ,לכל אזור בנפרד ,את השדות החשמליים שיוצרות הקליפות: ) (r < R ) (R < r < 2 R ) (2 R < r < 3R ) (3R < r < 4 R ) (r > 4 R E1 = 0 E2 = 0 E3 = 0 kQ0 r2 E4 = − E5 = 0 ג .כאשר מחברים את הקליפה הפנימית לחיצונית ,מטען יכול לעבור בין הקליפות .המטען יעבור כך שהפוטנציאל של שתי הקליפות יהיה שווה .ניתן לרשון שתי משוואות ,אחת לשימור מטען ואחת לשוויון הפוטנציאלים: q1 + q 4 = Q0 V1 = V4 נמצא את השדה במרחב )לאחר שהמטענים עברו( וממנו נוכל למצוא את הפוטנציאל על כל אחת מהקליפות: (r < R ) E1 = 0 kq1 r2 E3 = 0 (R < r < 2 R ) E2 = (2 R < r < 3R ) k (q1 − Q0 ) (3R < r < 4 R ) r2 (r > 4 R ) E5 = 0 E4 = ⇓ r V4 = − ∫ E 5 dr = 0 ∞ R k (q1 − Q0 ) kq V1 = − ∫ E5 dr − ∫ E 4 dr − ∫ E 3 dr − ∫ E 2 dr = − ∫ dr − ∫ 21 dr = 2 r 4R 3R ∞ 2R 4R 2R r 4R 3R 2R R 3R k k (q − Q0 ) kq1 = 1 + = [7q1 − Q0 ] r 4 R r 2 R 12 R 3R R ⇓ V1 = V4 q1 = ⇒ k [7q1 − Q0 ] = 0 ⇒ 7q1 − Q0 = 0 12 R Q0 7 q 4 = Q0 − q1 = 6Q0 7 :(וניתן לחשב את המטענים בקליפה העבה )מסתדרים כך שהשדה הוא אפס במוליך Q0 7 6Q0 q4 = − 7 q3 = − : השדה החשמלי.ד (r < R ) E1 = 0 kQ0 7r 2 E3 = 0 E2 = E4 = − E5 = 0 6kQ0 7r 2 (R < r < 2 R ) (2 R < r < 3R ) (3R < r < 4 R ) (r > 4 R ) Q0 : כמות המטען שעברה מקליפה החיצונית לפנימית היא.ה 7 d2 V1 − V3 = 0 ⇒ − ∫ E 2 dx − 0 d1 + d 2 ∫ E dx = 0 1 ⇒ − E 2 d 2 − E 1d 1 = 0 ⇒ d2 q q q q Q Q E 2 d 2 + E1d 1 = 0 ⇒ − 1 − + 3 d 2 + − 1 + + 3 d 1 = 0 ⇒ ε0A ε0A ε 0A ε0A ε0A ε0A − q 1d 2 − Qd 2 + q 3 d 2 − q1d 1 + Qd 1 + q 3 d1 = 0 − q 1 (d1 + d 2 ) + q 3 (d 1 + d 2 ) + Q(d1 − d 2 ) = 0 − q 1 (d1 + d 2 ) + q 3 (d 1 + d 2 ) + Q(d1 − d 2 ) = 0 q1 + Q + q 3 = 0 ⇒ q 3 = −Q − q 1 q1 = q 3 + (d1 − d 2 )Q (d1 + d 2 ) (d1 − d 2 )Q (d1 + d 2 ) (d 1 − d 2 ) Q − 1 q1 = (d1 + d 2 ) 2 q = − (d1 − d 2 ) + 1 Q 3 (d1 + d 2 ) 2 ⇒ q1 = −Q − q 1 + (d − d 2 ) 2q 1 = 1 − 1 Q ⇒ (d 1 + d 2 ) :כך שנשאר לפתור שתי משוואות עם שני משתנים ⇒ .נשאר להציב את המטענים שמצאנו בביטויים עבור השדות פוטנציאל ,הארקה ואנרגיה נתון כדור מוליך ,Aשרדיוסו ,Rהטעון במטען .Qהכדור נמצא בתוך קליפה מוליכה ,Bשרדיוסה הפנימי 2Rורדיוסה החיצוני ,3Rהטעונה במטען .-2Qשני הכדורים הללו נמצאים בתוך קליפה כדורית מוליכה דקה ,Cבעלת רדיוס 4Rהמוארקת לאדמה .שלושת הכדורים בעלי מרכז משותף .נתונים.R ,Q : א .מהו המטען על השפה החיצונית של הקליפה הכדורית ?B ב .מהו המטען על השפה הפנימית של הקליפה הכדורית ?B ג .מהו המטען על הקליפה הכדורית ?C ד .אלקטרון שמסתו mומטענו - eמשוחרר ממנוחה ליד השפה הפנימית של הקליפה .Bבאיזו מהירות יפגע האלקטרון בכדור ) Aבהנחה שצפיפות המטען על המוליכים לא משתנה בעקבות תנועת האלקטרון(? 4R 3R 2R R A B C פתרון: שימו לב לסדר הסעיפים! ב .המטען על השפה הפנימית של Bיהיה כזה שיאפס את השדה החשמלי בתוך המוליך ,Bלפיכך המטען על הקליפה הפנימית של Bהוא. q 2R = −Q : א .המטען על השפה החיצונית של Bיהיה כזה שישלים את המטען על מוליך Bל , − 2Qלפיכך המטען על השפה החיצונית של Bהוא. q 3R = −Q : ג .המטען על הקליפה החיצונית Cיהיה כזה שיאפס את השדה החשמלי בחוץ ,לפיכך המטען על קליפה C הוא. q 4R = Q : ד .נפתור משיקולי אנרגיה: 2 mv ) = q (V2R − VR 2 2 ⇒ mv + qVR = qV2R 2 2R ⇒ U R = U 2R 2R 1 kQ kQ kQ 1 dr = = kQ − =− 2 2R r R 2R R R r ∫ V2R − VR = − kQe mR =⇒ v mv 2 kQe = 2 2R
