docהצעת תשובה למשימה 4
download 
Report Transcription
הצעת תשובה למשימה 4
מדינת ישראל משרד החינוך משימות והצעת תשובות קיץ תשע"ד מתמטיקה 5יחידות לימוד — שאלון ראשון /המשך מעבר לדף/ שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. ( -40נקודות) פרק ראשון — אלגברה והסתברות 2 - מתמטיקה ,תשע"ד ,משימות 5 ,יח"ל ,שאלון ראשון ענה על שתיים מהשאלות ( 3-1לכל שאלה — 20נקודות). תנועה בעיות שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. משימה 1 .1 משאית יצאה מתחנה Aונסעה במהירות קבועה לכיוון תחנה . B 2שעות אחרי היציאה הגיעה המשאית לתחנה , Cהנמצאת בין Aל־ , B 1 ואז הקטינה המשאית את מהירותה ל־ 3ממהירותה הקודמת. המשאית הגיעה לתחנה 40 , Bדקות אחרי השעה שבה הייתה מגיעה אילו לא הקטינה את מהירותה. למחרת יצאה המשאית מתחנה Aבאותה מהירות קבועה ,וכשהגיעה למרחק של 14ק"מ 1 אחרי התחנה , Cהקטינה את מהירותה ל־ 3ממהירותה הקודמת. הפעם הגיעה המשאית לתחנה 20 , Bדקות אחרי השעה שבה הייתה מגיעה אילו לא הקטינה את מהירותה. א. אילו המשאית לא הקטינה את מהירותה ,כמה שעות הייתה נמשכת הנסיעה שלה מ־ Aל־ ? B ב. מצא את המהירות שהייתה למשאית לפני שהקטינה את מהירותה. הצעת תשובה למשימה 1 1 , - 5 , 9 , - 13 , 17 , - 21 , ... .2נתונה הסדרה: נסמן — v :מהירות המשאית מ־ Aעד Bבלי להקטין מהירות הערכים המוחלטים של איברי הסדרה מהווים סדרה חשבונית. — tזמן הנסיעה של המשאית מ־ Aל־ Bבלי להקטין מהירות האיברים במקומות הזוגיים בסדרה הם שליליים. א.נתון כי הסכום של 2n - 1האיברים הראשונים בסדרה הנתונה הוא . 101 דרך זמן מהירות הנתונה. (קמ"ש) העומדים במקומות מצא את הסכום של nהאיברים הראשונים האי־זוגיים בסדרה(ק"מ) (שעות) מ־ Aעד B בלי להקטין מהירות v /המשך בעמוד /3 tv t יום אחד מ־ Aעד C v 2 2v מ־ Cעד B v 3 40 4 t - 2 + 60 = t - 3 4 v (t - 3 ) 3 הדרך מ־ Aעד Bביום אחד מקיימת: 4 v tv = 2v + (t - 3 ) 3 0 7 3שעות = t /המשך בעמוד /3 מתמטיקה ,תשע"ד ,משימות 5 ,יח"ל ,שאלון ראשון -3המשך תשובה למשימה .1 ב. מהירות (קמ"ש) למחרת דרך (ק"מ) זמן (שעות) מ־ Aעד 14ק"מ אחרי C v 14 2+ v 14 (2 + v ) v מ־ 14ק"מ אחרי Cעד B v 3 14 20 t - 2 - v + 60 14 5 v (t - v - 3 ) 3 למחרת הדרך מ־ Aעד Bמקיימת: 14 14 5 v tv = (2 + v ) v + (t - v - 3 ) 3 0 7 נציב t = 3ונצמצם ב־ , vונקבל: 7 14 7 14 5 1 3 = 2 + v + ( 3 - v - 3) 3 0 84קמ"ש = v /המשך בעמוד /4 אילו לא הקטינה את מהירותה. א. אילו המשאית לא הקטינה את מהירותה ,כמה שעות הייתה נמשכת -4הנסיעה שלה מ־ Aל־ ? B ב. מהירותה. מצא את המהירות שהייתה למשאית לפני שהקטינה את חשבונית סדרה מתמטיקה ,תשע"ד ,משימות 5 ,יח"ל ,שאלון ראשון משימה 2 .2 נתונה הסדרה: 1 , - 5 , 9 , - 13 , 17 , - 21 , ... הערכים המוחלטים של איברי הסדרה מהווים סדרה חשבונית. האיברים במקומות הזוגיים בסדרה הם שליליים. נתון כי הסכום של 2n - 1האיברים הראשונים בסדרה הנתונה הוא . 101 מצא את הסכום של nהאיברים הראשונים העומדים במקומות האי־זוגיים בסדרה הנתונה. /המשך בעמוד /3 הצעת תשובה למשימה 2 האיברים במקומות האי־זוגיים מהווים סדרה חשבונית שהפרשה , 8 לכן סכום nהאיברים הראשונים במקומות האי־זוגיים: האיברים במקומות הזוגיים מהווים סדרה חשבונית שהפרשה , - 8 לכן סכום n - 1האיברים הראשונים במקומות הזוגיים: n ) = 2 (2 $1 + 8 (n - 1)) = n (4n - 3אי־זוגיS 0 n -1 ) = 2 (- 2 $ 5 - 8 (n - 2)) = (n - 1) (3 - 4nזוגיS 0 סכום 2n - 1האיברים הראשונים בסדרה הנתונה: לפי הנתון: = 4n - 3זוגי + Sאי־זוגיS S2n - 1 = 101 0 101 = 4n - 3 0 מספר האיברים במקומות האי־זוגיים: סכום 26האיברים הראשונים במקומות האי־זוגיים: n = 26 ) = n (4n - 3) = 26 (4 $ 26 - 3אי־זוגיS 0 = 2626אי־זוגיS /המשך בעמוד /5 מתמטיקה ,תשע"ד ,משימות 5 ,יח"ל ,שאלון ראשון -5- הסתברות משימות ,מס' 316 ,035806 מתמטיקה ,קיץ תשע"ד, משימה 3 +נספח -3.3 עורכים את הניסוי שלפניך. בכד יש 10כדורים 6 :כדורים אדומים ו־ 4כדורים שחורים. מוציאים באקראי כדור מהכד: אם הכדור הוא אדום ,משאירים אותו בחוץ ומוסיפים לכד xכדורים אדומים, ואם הכדור הוא שחור ,מחזירים אותו לכד. לאחר מכן מוציאים באקראי כדור נוסף מהכד. ההסתברות שלשני הכדורים שמוציאים יהיה אותו הצבע היא . 0.56 א. חשב את . x ב. ידוע שלפחות אחד מהכדורים שהוצאו היה אדום. מהי ההסתברות שבהוצאה השנייה הכדור שהוּצא היה שחור? ג. חוזרים nפעמים על הניסוי שתואר בפתיח. מהי ההסתברות להוציא שני כדורים אדומים בניסוי אחד בדיוק? (הבע באמצעות ). n הצעת תשובה למשימה 3 א. ההסתברות להוציא כדור שחור מהכד: 4 2 10 = 5 ההסתברות להוציא כדור אדום מהכד: 6 3 10 = 5 מכאן נקבל את העץ: אדוםבעמוד /4 /המשך שחור 2 5 שחור ההסתברות שלשני הכדורים יהיה אותו צבע היא: 2 5 3 5 3 5 שחור אדום 4 9+x 5+ x 9+x אדום oשחור ,שחור m + P eאדום ,אדום P c 0 על פי העץ נקבל: 3 5+ x 2 2 0.56 = 5 $ 9 + x + 5 $ 5 0 x=3 /המשך בעמוד /6 מתמטיקה ,תשע"ד ,משימות 5 ,יח"ל ,שאלון ראשון -6המשך תשובה למשימה .3 ב. ההסתברות שלפחות אחד מהכדורים הוא אדום היא: mשחור ,שחור m = 1 - P cלפחות אחד P c אדום 0 2 2 m = 1 - 5 $ 5לפחות אחד P c על פי העץ נקבל: אדום 0 m = 0.84לפחות אחד P c אדום 3 4 $9+x 5 = 0.84 pלפחות אחד +כדור שני P f שחור אדום oלפחות אחד P e אדום ג. = oלפחות אחד אדום / כדור שני P e שחור 0 נציב , x = 3ונקבל: o = 5 = 0.238לפחות אדוםאחד / 21 ההסתברות להוציא 2כדורים אדומים בניסוי אחד על פי העץ: 3 5+ x 3 2 2 m = 5 $ 9 + x = 5 $ 3 = 0.4אדומים P c ההסתברות להצלחה אחת מבין nפעמים היא: כדור שני P e שחור !n Pn (1) = (n - 1) ! # 0.4 # 0.6 n - 1 0 !n , (n - 1) ! = nלכן: 0.6 n 2 Pn (1) = n # 0.4 # 0.6 = 3 n # 0.6 n /המשך בעמוד /7 מתמטיקה ,קיץ תשע"ד ,משימות ,מס' 316 ,035806 -4 +נספח מתמטיקה ,תשע"ד ,משימות 5 ,יח"ל ,שאלון ראשון -7פרק שני — גאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) גאומטריה במישור ענה על אחת מהשאלות . 5-4 שבמחברתך. שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדק רק התשובה הראשונה משימה 4 .4 נתון משולש שווה־שוקיים .) AB = AC ( ABC A הבסיס BCהוא קוטר של חצי מעגל. חצי המעגל חותך את השוקיים ABו־ AC בנקודות Eו־ Dבהתאמה (ראה ציור). א. הוכח כי המרובע BCDEהוא טרפז שווה־שוקיים. ב. נתון , DC = 3 AD :רדיוס המעגל הוא . R 1 E הוכח כי . R = 2 DC D B .5 C הצעת תשובה למשימה 4 במשולש ABCאורך הצלע BCהוא , aוהזווית מולה היא . a BCDB =BBEC = 90 o AB 1 א. נתון. AC = 3 : א. ב. זוויות היקפיות הנשענות על קוטר הן ישרות באמצעות aו־ a ABC הבע את שטח המשולש = BDCB BEBC זוויות.הבסיס במשולש שווה־שוקיים שוות נתון גם. a = 60o : )BECB = 180 o - (90 o +BEBC) , BDBC = 180 o - (90 o +BDCB מצא את הזוויות האחרות במשולש . ABC 0 BECB =BDBC CBצלע משותפת מכאן: 3CDB ,3BEC /המשך בעמוד /5 על פי ז.צ.ז. 0 I. DC = EB 0 BEDB =BDBC זוויות היקפיות הנשענות על מיתרים שווים מאותו צד הן שוות 0 II. DE z CB על פי Iו־ : II אם זוג זוויות מתחלפות שוות ,הישרים מקבילים BCDEטרפז שווה־שוקיים /המשך בעמוד /8 מתמטיקה ,תשע"ד ,משימות 5 ,יח"ל ,שאלון ראשון -8המשך תשובה למשימה .4 ב. BCDB = 90 o מצאנו בסעיף א: במשולש ישר־הזווית CDB לפי משפט פיתגורס מתקיים: על פי הנתון AD = 3DCנקבל: במשולש ישר־הזווית ADB לפי משפט פיתגורס מתקיים: 0 BD2 = (2R) 2 - DC2 I. AC = AB = 4DC BD2 = AB2 - AD2 0 II. BD2 = (4DC) 2 - (3DC) 2 = 7DC2 מ־ Iו־ IIנקבל: (2R) 2 - DC2 = 7DC2 0 , R 2 0לכן: R = 2 DC /המשך בעמוד /9 ב. 1 נתון , DC = 3 AD :רדיוס המעגל הוא . R E הוכח כי . R = 2 DC D מתמטיקה ,תשע"ד ,משימות 5 ,יח"ל ,שאלון ראשון -9- C B טריגונומטריה משימה 5 .5 במשולש ABCאורך הצלע BCהוא , aוהזווית מולה היא . a 1 AB נתון. AC = 3 : א. הבע את שטח המשולש ABCבאמצעות aו־ . a ב. נתון גם. a = 60o : מצא את הזוויות האחרות במשולש . ABC הצעת תשובה למשימה 5 /המשך בעמוד /5 1 S3ABC = 2 AC $ AB $ sin a א. 0 לפי הנתון , AC = 3ABלכן: לפי משפט הקוסינוסים: 3 I. S3ABC = 2 AB2 sin a A a B a C a2 = AB2 + AC2 - 2AB $ AC $ cos a 0 נציב , AC = 3ABונקבל: a2 = AB2 + (3AB) 2 - 2AB $ (3AB) $ cos a 0 a2 II. AB2 = 10 - 6 cos a מ־ Iו־ IIנקבל: 3a2 sin a S3ABC = 20 - 12 cos a /המשך בעמוד /10 מתמטיקה ,תשע"ד ,משימות 5 ,יח"ל ,שאלון ראשון - 10המשך תשובה למשימה .5 ב. a 10 - 6 cos a בסעיף א קיבלנו: = AB 0 a 7 נציב a = 60oונקבל: AB BC sin BACB = sin a לפי משפט הסינוסים נקבל: נציב , a = 60o , BC = a a 7 = , ABונקבל: = AB 0 a $ sin 60 o sin 60 o 7 = sin BACB = a 7 BACB ! 180o - 19.1oכי , a = 60o לכן: 0 BACB = 19.1 o B ABC = 180 o - (60 o + 19.1o) = 100.9 o /המשך בעמוד /11 של פונקציות שורש ,של פונקציות רציונליות ושל פונקציות טריגונומטריות ( 40נקודות) - 11 - מתמטיקה ,תשע"ד ,משימות 5 ,יח"ל ,שאלון ראשון ענה על שתיים מהשאלות ( 8-6לכל שאלה — 20 נקודות).ואינטגרלי של פונקציות טריגונומטריות דיפרנציאלי חשבון שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. משימה 6 .6 x נתונה הפונקציה ) , f (x) = 2x + 8 cos2 ( 2 ) - sin (2xבתחום . 0# x #r א. ב. ()1 הראה כי . f '(x) = 4 sin2 x - 4 sin x ()2 בתחום הנתון ,מצא את נקודות הקיצון המוחלט של פונקציית הנגזרת ). f '(x ()1 בתחום הנתון ,סרטט סקיצה של פונקציית הנגזרת ). f '(x ()2 נתונה המשוואה . 0# x #r , sin2 x - sin x = k מצא עבור אילו ערכים של kיש פתרון למשוואה. ג. בתחום הנתון ,מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת ), f '(x r על ידי ציר ה־ , yעל ידי הישר המשיק לגרף של פונקציית הנגזרת בנקודה שבה x = 6 ועל ידי הישר . x = r הצעת תשובה למשימה 6 א. x x 1 )f'(x) = 2 + 16 cos 2 $ (- sin 2 ) $ 2 - 2 cos (2x ( )1הנגזרת של ) f(xהיא: /המשך בעמוד /6 x x נשתמש בזהויות sin x = 2 sin 2 cos 2 0 )f'(x) = 2 - 4 sin x - 2 (cos2 x - sin2 x , cos (2x) = cos2 x - sin2 xונקבל: 0 נציב , cos2 x = 1 - sin2 xונקבל: ( )2הנגזרת של ) f'(xהיא: f'(x) = - 4 sin x + 4 sin2 x )f''(x) = - 4 cos x + 8 sin x cos x = 4 cos x (2 sin x - 1 f''(x) = 0 בנקודות הקיצון של ) f'(xצריך להתקיים: 0 2 sin x - 1 = 0 , 4 cos x = 0 0 r 5r x= 6 , x= 6 בתחום : 0# x #r מכאן: 0 5r 6 r 0 -1 3 4 r x= 2 r 2 r 6 0 x 0 -1 0 )f'(x 3 4 0 ל־ ) f'(xמינימום מוחלט בנקודות: מקסימום מוחלט בנקודות: 5r b 6 , - 1l r a 6 , - 1k r ^0 , 0h a 2 , 0k ^r , 0h /המשך בעמוד /12 מתמטיקה ,תשע"ד ,משימות 5 ,יח"ל ,שאלון ראשון - 12המשך תשובה למשימה .6 ב. ()1 y )f '(x x r 5r 6 r 2 0 r 6 -1 f'(x) = 4 sin2 x - 4 sin x ()2 0 f'(x) = 4k יש פתרון כאשר הישר y = 4kחותך את הגרף של ) , f'(xולפי הגרף של )f'(x זה מתקיים עבור: - 1 # 4k # 0 0 1 - 4 #k#0 ג. השטח המבוקש הוא השטח המקווקו בציור: y )f '(x x r 5r 6 r 2 r 6 0 -1 0 השטח המבוקש הוא אינטגרל של הפרש הפונקציות ) f'(xו־ , y = - 1לכן: r )# [f'(x) + 1] dx = [f (x) + x] 0 = f (r) + r - f (0 r 0 =S S = 2r + r - 8 = 3r - 8 /המשך בעמוד /13 מתמטיקה ,תשע"ד ,משימות 5 ,יח"ל ,שאלון ראשון - 13 - פונקציות מנה שורש ושל פונקציות דיפרנציאלי 316 ,035806 משימות ,מס' של קיץ תשע"ד, מתמטיקה, חשבון - 6 - +נספח .7 x נתונה הפונקציה x2 - 15 משימה 7 = ). f (x ( )1מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ). f(x א. ( )2מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה ). f(x ( )3מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )( f(xאם יש כאלה). ( )4סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ). f(x x2 - 15 נתונה הפונקציה x ב. = ). g (x לפניך חמישה גרפים . V-I y y x y x III x I II y x y x V IV איזה גרף מתאר את הפונקציה ) ? g(xנמק. ג. )f' (x עבור אילו ערכי xמתקיים האי־שוויון ? g' (x) 1 0נמק. /המשך בעמוד /7 הצעת תשובה למשימה 7 א. ( )1צריך להתקיים: x2 - 15 2 0 0 תחום ההגדרה של ): f(x ( )2אסימפטוטות אנכיות של ): f(x אסימפטוטות אופקיות של ): f(x x 1- 15 , x 2 15 x = - 15 , x = 15 y =- 1 , y =1 /המשך בעמוד /14 - 14 - המשך תשובה למשימה .7 ()3 מתמטיקה ,תשע"ד ,משימות 5 ,יח"ל ,שאלון ראשון 2x 15 2 x2 - 15 =- 2 2 x - 15 (x - 15) x2 - 15 x2 - 15 - x $ בתחום ההגדרה של ) f(xמתקיים , x2 - 15 2 0 לכן בתחום ההגדרה של ): f(x = )f'(x f'(x) 1 0 0 ) f(xיורדת בתחום ההגדרה ()4 y )f(x x ב .עבור ) g(xצריך להתקיים: 1 -1 15 - 15 x2 - 15 $ 0 , x ! 0 0 תחום ההגדרה של ): g(x x # - 15 , x $ 15 0 גרפים IV , Iו־ Vלא מתאימים ) g(xהיא פונקציה הפכית ל־ )f(x 0 בתחום שבו ) f(xיורדת g(x) ,עולה 0 ) g(xעולה בתחומי ההגדרה שלה 0 גרף IIהוא הנכון ) f(xיורדת בתחוםx 1- 15 , x 2 15 : ג. 0 f'(x) 1 0בתחוםx 1- 15 , x 2 15 : ) g(xעולה בתחוםx 1- 15 , x 2 15 : 0 g'(x)2 0בתחוםx 1- 15 , x 2 15 : מכאן: )f '(x 10 )g'(x עבורx 1- 15 , x 2 15 : /המשך בעמוד /15 - 15 - בעיות מינימום /מקסימום -7.8 מתמטיקה ,תשע"ד ,משימות 5 ,יח"ל ,שאלון ראשון מתמטיקה ,קיץ תשע"ד ,משימות ,מס' 316 ,035806 +נספח משימה 8 נתונה הפרבולה . y = x2 - 12 נקודה Bנמצאת על הפרבולה ברביע הרביעי. נקודה Cנמצאת על ציר ה־ xכך ש־ — O , BC = BOראשית הצירים. (נקודה Cשונה מנקודה ). O מצא את השטח המוגבל על ידי הפרבולה ,על ידי ציר ה־ yועל ידי הקטע , BO כאשר השטח של המשולש BCOהוא מקסימלי. הצעת תשובה למשימה 8 y x C x O B נקודה Bעל הפרבולה בהצלחה! ( y = x2 - 12ראה ציור), לכן שיעורי הנקודה Bהם: זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל החינוךx2 - 12 אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד ) B (x , משולש BOCהוא שווה־שוקיים, והנקודה Bברביע הרביעי ,לכן: בסיס המשולש הוא , OC = 2xגובה המשולש הוא 12 - x2 0 שטח המשולש BOCהוא: 1 S (x) = 2 $ 2x $ (12 - x2) = 12x - x3 S'(x) = 12 - 3x2 x !- 2כי Bברביע הרביעי ,לכן: x=2 & S'(x) = 0 /המשך בעמוד /16 - 16 - מתמטיקה ,תשע"ד ,משימות 5 ,יח"ל ,שאלון ראשון המשך תשובה למשימה .8 S''(x) = - 6x בדיקת מקסימום: 0 S''(2)1 0 שיעורי הנקודה Bכאשר השטח מקסימלי: )B (2 , - 8 השטח המבוקש הוא השטח המקווקו בציור: y x C 2 B O -8 0 2 # (x2 - 12) dx - 21 $ 2 $ 8 = - [ 2x 3 - 12x] 20 - 8 0 S =- 0 1 S = 13 3 זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך
