doc2 מבחן 807 - שאלון ( )0
download 
Report Transcription
2 מבחן 807 - שאלון ( )0
ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 שאלון - 807מבחן 2 2 3 פרק ראשון -גיאומטריה אנליטית ,וקטורים ,טריגונומטריה במרחב ,מספרים מרוכבים ) 66נק'( 1 3 ענה על שתיים מהשאלות ) 1-3לכל שאלה 33נק'( .1הנקודות Aו B-נמצאות על גרף הפרבולה (4 < p) y 2 = 2 pxברביע הראשון .שיפועי הישרים p המשיקים לפרבולה בנקודות Aו B-הם בהתאמה 2ו: 2 גם על הישר . y = 6 x .המשיקים נחתכים בנקודה ,Cאשר נמצאת א .מצא את משוואת הפרבולה. ב .מעגל שמרכזו על ציר ה x-ואורך רדיוסו 12יח' אורך ,משיק לפרבולה בשתי נקודות. מצא את משוואת המעגל. .2בשרטוט נתון, p DAC =p DAB = 30 0 , AB = v, AD = w, AC = u : E , p BAC = 60 0אמצע . w = 3 , u = 2 v , BF = t ⋅ BC ,DF א .הבע באמצעות w , v , uו t -את הוקטור . AE ב .נתון :הוקטור AEיוצר זוויות שוות עם הוקטורים: ACו . AB -מצא את ערכו של הפרמטר .t ג .נתון B(0,0,0) :ו . F (1,2,−1) -הנקודה Aנמצאת על המישור ZX ושיעורי ה x-וה z-שלה זהים .מצא את שיעורי הנקודה .A .3נתונה המשוואה. (0 0 < θ < 60 0 ) , Z + 1 = 2 sin θ : Z פתרונות המשוואה הם המספרים המרוכבים Z 1הנמצא ברביע הראשון ו. Z 2 - א .סמן את המספרים Z 1ו Z 2 -על גבי מערכת צירים במישור גאוס. ב .שני המספרים Z 1ו Z 2 -נמצאים על המקום הגיאומטרי . Z + Z = 1פתור את המשוואה. Z 4 = Z 1 : ג .מבין ארבעת הפתרונות שמצאת בסעיף ב' ,שני הפתרונות הנמצאים ברביע הראשון והרביעי הם קודקודי הבסיס של משולש שווה שוקיים החסום במעגל קנוני במישור גאוס .במשולש זה כל הזויות חדות .מצא את: .1זוית קודקוד הראש. .2התצוגה הקוטבית של קודקוד הראש. © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 156 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 1 3 פרק שני -גידול ודעיכה ,פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ) 33נק'( ענה על אחת מהשאלות .4-5 a−x f ( x) = log 2 .4לפונקציה : x + 2a א. ב. ג. ד. ה. ו. ) (0 < aיש נקודת פיתול כאשר . x = −1 מצא את ערכו של הפרמטר ,aאת תחום ההגדרה של ) f (xואת האסימפטוטות. הוכח :גרף ) f (xיורד בכל תחום ההגדרה. מצא את נקודות החיתוך עם הצירים. שרטט סקיצה של גרף ). f (x הגדירו פונקציה חדשה. g ( x) = 2 f ( x ) : מצא את תחום ההגדרה ואת נקודות החיתוך שלה עם הצירים. חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ) g (xלבין הישר x = 1בין הצירים ברביע הראשון. x+ p 3 p− x (0 < p ) g ( x ) = −2המוגדרות לכל .x , f ( x) = 2 .5נתונות שתי הפונקציות: א .מצא את תחומי העלייה והירידה של שתי הפונקציות. ב .מצא את נקודות החיתוך של שתי הפונקציות עם הצירים. ג .מצא את האסימפטוטות האופקיות של הפונקציות. ד .הגדירו פונקציה חדשה. h( x ) = g ( x ) : שרטט את הגרפים של הפונקציות ) g (x ) , f (xו h(x) -על מערכת צירים אחת. ה .מהנקודה Aהנמצאת על גרף ) h(xברביע הראשון יוצאים שני ישרים :הראשון מקביל לציר הy- וחותך את גרף ) g (xבנקודה Bוהשני מקביל לציר ה x-וחותך את גרף ) f (xבנקודה .Cהנקודה D משלימה את הנקודות B ,Aו C-ליצירת מלבן .היקפו המינימלי של המלבן ABCDהוא .9p מצא את ערכו של הפרמטר .p בהצלחה! © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 157 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 פתרונות: (1א . y 2 = 16 x .ב. ( x − 13) 2 + y 2 = 144 . t 1 1− t ⋅u + (2א⋅ v + ⋅ w . 2 2 2 0 0 0 0 0 0 ב . cis15 , cis105 , cis195 , cis 285 .ג. cis150 (2 . 45 (1 . (3א. 1 3 = . AEב . t = .ג A(3,0,3) .או ). A(− 3,0,−3 (4א . x = −4, x = 2 , −4 < x < 2 , a = 2 .ג . ( −1,0) , (0,−1) .ד. ה , (0,0.5) , −4 < x < 2 : g (x) .בנקודה ) (2,0אין חיתוך אלא קיימת נקודת אי רציפות ,בגלל תחום ההגדרה .ו 0.338 .יח"ר. (5א .שתיהן עולות לכל .xב. (0,−2 3 p ) : g ( x ) , (0,2 p ) : f ( x ) . ג .שתיהן . y = 0 :ד .ראה שרטוט משמאל .ה. p = 3.65 . .. . © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 158 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 פתרון מלא -מבחן 2 שאלה :1 א .ראשית נמצא את שיעורי הנקודות Aו .B-ניתן לראות כי נקודה Bנמצאת p גדול יותר מ 2-כאשר .p>4 משמאל לנקודה Aמכיוון שהשיפוע 2 למציאת הנקודות נשתמש במשוואה הכללית של המשיק לפרבולה: ) . yy 0 = p( x + x0לאחר פתיחת סוגריים וסידור המשוואה נקבל את משוואת p p p x+ המשיקx0 : . = . yניתן לראות שהמקדם של xהוא שיפוע הישר: y0 y0 y0 p p השיפוע בנקודה Aהוא .2כלומר= 2 : ולכן : 2 yA = . yA p p לאחר הצבת שיעורי yבמשוואת הפרבולה נקבל. A , : 8 2 p p p השיפוע בנקודה Bהוא .כלומר= : ולכן. y B = 2 : yB 2 2 2 לאחר הצבת שיעורי yבמשוואת הפרבולה נקבל. B p ,2 : כעת נמצא את הנקודה Cבאמצעות החיתוך שבין שני המשיקים בנקודות Aו:B- p p p . y = 2x + נמצא את משוואת המשיק בנקודה y − = 2( x − ) :Aולאחר סידור איברים: 4 2 8 p 2 p נמצא את משוואת המשיק בנקודה y − 2 = 2 ( x − p ) :Bולאחר סידור איברים. y = x + 1 : 2 נשווה בין שני המשיקים: 1 p p p >4 x + 1 = 2x + ⋅ 4 → 2 px + 4 = 8 x + p → 2 px − 8 x = p − 4 → 2( p − 4) x = p − 4 = → xc 2 2 4 p 1 p ע"י הצבה של ערך xבאחת ממשוואות המשיקים נקבל את ערך . y c = + 1שיעורי נקודה Cהם. C , + 1 : 4 2 4 p 1 ונקבל. p = 8 : נתון שהנקודה Cנמצאת על הישר . y = 6 xנציב את שיעוריה במשוואת הישר+ 1 = 6 ⋅ : 4 2 2 לכן משוואת הפרבולה היא . y = 16 x ב .משוואת המעגל הנתון היא ( x − a ) 2 + y 2 = 144ומשוואת הפרבולה היא. y 2 = 16 x : על פי השרטוט ניתן לראות כי מעגל כזה משיק לפרבולה בשתי נקודות בעלי שיעור xזהה. לכן ,אם נשווה את משוואת המעגל ואת משוואת הפרבולה נצפה לקבל פתרון אחד בלבד. נציב במשוואת המעגל את y 2 = 16 xונקבל. ( x − a ) 2 + 16 x = 144 : לאחר פתיחה וסידור נקבל משוואה ריבועית פרמטרית. x 2 + (16 − 2 a )x + a 2 − 144 = 0 : על מנת שיהיה למשוואה פתרון אחד בלבד ,נדרוש שהביטוי מתחת לשורש ) ∆ ( ישתווה ל:0- ) ( 2 ∆ = 0 → (16 − 2 a ) − 4 a 2 − 144 = 0 → 256 − 64 a + 4 a 2 − 4 a 2 + 576 = 0 → −64 a = −832 → a = 13 משוואת המעגל המתקבלת היא. ( x − 13) 2 + y 2 = 144 : © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 159 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 שאלה :2 1 א .לפי השרטוט ניתן לראות כיDF : 2 . AE = AD +ראשית נביע את : DF DF = DA + AB + t BC = − w + v + t ( −v + u ) = − w + (1 − t )v + t u ) (1 − t t 1 1 1 v+ w DF = w + (− w + (1 − t )v + t u ) = u + 2 2 2 2 2 AE = AD + ב .מהנתון , p EAB = p EACנובע כי. cos(p EAB) = cos(p EAC) : נביע את שני הקוסינוסים באמצעות v , uו: w - ) (1 − t 1 t v + w ⋅ v t u v + (1 − t ) v 2 + 1 wv u+ AE ⋅ AB AE ⋅ v 2 2 2 2 2 = ) cos(p EAB = = = 2 AE ⋅ AB AE ⋅ v AE ⋅ v AE ⋅ v )(1 ) (1 − t 1 t v + w ⋅ u t u 2 + (1 − t ) vu + 1 wu u+ AE ⋅ AC AE ⋅ u 2 2 2 2 2 = 2 = ) cos(p EAC = = AE ⋅ AC AE ⋅ u AE ⋅ u AE ⋅ u )(2 בטרם נשווה את שני האגפים חשוב להביע בנפרד כל אחת משלוש המכפלות הסקלאריות שאינן ניתנות לפירוק: (3) u ⋅ v = u ⋅ v cos 60o = 2 v v 1 = v 2 2 (4) u ⋅ w = u ⋅ w cos 30o = 2 v 3 3 = 3 v 2 (5) v ⋅ w = v ⋅ w cos 30o = v 3 3 = 3 v 2 2 נציב את הביטויים 3,4,5ב 1-ו 2-ובנוסף נבטא את כל האורכים בעזרת ) vכדי שיהיה נוח לצמצם בהמשך(: t t 2 (1 − t ) 2 3 (1 − t ) 2 1 uv + v + wv v + v + v 2 2 2 2 2 4 = AE ⋅ v AE ⋅ v )(1 ) t 2 (1 − t 1 t (1 − t ) 2 3 2 u + vu + wu 4v + v + v 2 2 2 2 2 2 = AE ⋅ u AE ⋅ 2 v )(2 נשווה את 1ו 2-ונצמצם את שני אגפי המשוואה: t 2 (1 − t ) 2 3 t (1 − t ) 2 3 (1 − t ) 2 3 2 2 v + v + v 4v + v + v 2t v + v + v 2 2 4 = 2 2 = 2 → t v 2 + (1 − t ) v 2 + 3 v 2 2 ⋅2 2 2 4 2 AE ⋅ v AE ⋅ 2 v 3 (1 − t ) 2 3 2 2 v = 2t v + v + v ÷v 2 2 2 1 ) (1 − t ) (1 − t t + (1 − t ) = 2t + → 1 = 2t + = → 2 = 4t + 1 − t → 3t = 1 → t 3 2 2 2 2 t v + (1 − t ) v + © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 160 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 ג .נתבונן במשולש : ∆ABC על פי הנתון ,הנקודה Aנמצאת על המישור ZXושיעורי xוz- שלה זהים .המישור ZXהוא המישור "הנשען" על ציר ה X-ועל ציר ה ,Z-ולכן ,בכל הנקודות שעליו ,שיעור ה y-הוא .0לכן, נסמן את הנקודה . A( a,0, a ) :A כמו כן ,נתונה הנקודה ). B(0,0,0 הנקודה ) F (1,2,−1מחלקת את הקטע BCביחס ) 1:2כמו שמצאנו בסעיף ב'( .ניעזר בחלוקת קטע ביחס נתון ונמצא את שיעורי הנקודה :C 0 ⋅ 2 + YC ⋅ 1 = 2 → YC = 6 , 3 0 ⋅ 2 + X C ⋅1 =1→ XC = 3, 3 0 ⋅ 2 + Z C ⋅1 = −1 → Z C = −3 3 כלומר ,הנקודה Cהיא. C (3,6,−3) : הצלע ACארוכה פי שניים מן הצלע .ABניעזר בנוסחה למרחק בין שתי נקודות ונבנה משוואה מתאימה: → ) (a − 3)2 + (0 − 6)2 + (a + 3)2 = 2 a 2 + 0 2 + a 2 → (a − 3)2 + 36 + (a + 3)2 = 4 ⋅ (2a 2 (a − 3)2 + 36 + (a + 3)2 = 4 ⋅ (2a 2 ) → a 2 − 6a + 9 + 36 + a 2 + 6a + 9 = 8a 2 → 6a 2 = 54 → a = ±3 → d AC = 2d AB שתי האפשרויות לנקודה Aהן A(3,0,3) :או ). A( −3,0,−3 שאלה :3 א .תחילה נסדר את המשוואה Z + 1 = 2 sin θכך שתתקבל המשוואה הריבועית , Z 2 − 2 sin θ ⋅ Z + 1 = 0 :אותה Z ניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים: ) ( ) ( 2 sin θ ± 4 sin 2 θ − 1 2 sin θ ± 4 sin 2 θ − 1 = → Z 1, 2 2 2 = → Z 1, 2 (2 sin θ )2 − 4 ) ( 2 2 sin θ ± = Z 1, 2 2 sin θ ± 4 − cos 2 θ 2 sin θ ± 2 cosθ ⋅ i = Z1, 2 = → Z1, 2 → Z1, 2 = sin θ ± cosθ ⋅ i 2 2 Z1 = sin θ + i cos θ , Z 2 = sin θ − i cos θ נמקם את הפתרונות במישור גאוס: © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 161 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 ב .נציב את Z1 = sin θ + cosθ ⋅ iבמשוואת המקום הגיאומטרי : Z + Z = 1 1 2 Z + Z = 1 → sin θ + i cos θ + sin θ − i cos θ = 1 → 2 sin θ = 1 → 2 sin θ = ±1 → sin θ = ± 1 θ = 150° + 360°kאו → θ = 30° + 360°k 2 1 θ = 210° + 360°kאו sin θ = − → θ = −30° + 360°k 2 הזווית שנמצאת בתחום הנתון ) (0 0 < θ < 60 0היא . θ = 30° :כלומר. Z1 = sin 30° + i cos 30° : = sin θ ניעזר בזהות ) sin α = cos(90° − αונקבל כי Z1 = cos 60° + i sin 60° :ולבסוף. Z1 = cis60° : כעת נפתור את המשוואה : Z 4 = Z 1 60 ° + 360 °k Z 4 = cis 60 ° → Z = 4 1 ⋅ cis → ) → Z = cis (15 ° + 90 ° k 4 פתרונות המשוואה המתקבלים. cis 285 0 , cis195 0 , cis105 0 , cis15 0 : ג. (1נמקם את הפתרונות במישור גאוס: משיקולי נוחות לקורא ,השתמשנו בפתרון של סעיף ג' שוב בסימנים: Z 1ו , Z 1 -אך הם אינם קשורים לאותם סימונים בסעיף א'. לפי הנתונים בשאלה על מיקום הפתרונות ברביעים השונים נסמן: , Z1 = cis15°ולכן. p O1 = 15° : , Z 4 = cis285°ולכן . p O3 = 15° מכאן ש , p O2 = 75° :ולבסוף. p AOB = 90° : p AOBהיא זווית מרכזית ומכאן שהזווית ההיקפית הנשענת על אותה הקשת שווה למחצית ממנה. p ACB = 45° : Z4 (2זווית הראש של המשולש שווה השוקיים ∆ABCשווה ל , 45° -ומכאן שזוויות הבסיס של המשולש שוות ל . 67.5° -כלומר ,הזווית ההיקפית p ABCהיא בת , 67.5°ולכן הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת היא: . p AOC = 135° כדי "להתקדם" על המעגל מ Z 1 -לקודקוד Cעלינו להוסיף 135°לזווית של Z 1ולכן: C = cis (15 ° + 135 °) → C = cis150° נשים לב שקיים משולש שווה שוקיים נוסף שקודקודי הבסיס שלו הם Aו .B-במשולש זה ,קודקוד הראש ימצא על המעגל הקנוני ברביע הרביעי בין הנקודות Aו ,B-בקצה השני של הקוטר העובר בנקודה .Cזוית הראש של אותו משולש תשלים את הזוית p ACBל) 180 0 -זויות נגדיות במרובע חסום במעגל( ותהיה . 1350כלומר ,זוית הראש של משולש זה תהיה קהה ,ולכן המשולש אינו מתאים לנתון בשאלה. © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 162 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 שאלה :4 a−x : f ( x) = log 2 א .בנקודת הפיתול הנגזרת השנייה מתאפסת ולכן נגזור פעמיים את הפונקציה x + 2a )− ( x + 2a ) − ( a − x ( x + 2a ) 2 ) − 3a ( x + 2a − 3a − 3a = )f ' ( x = = = 2 2 a−x ) ( x + 2a ) (a − x ) ln 2 ln 2( x + 2a )(a − x ) ln 2( − x − ax + 2a 2 ln 2 x + 2a נמצא את הנגזרת השנייה )נגזרת של מנה(: 2 2 ))0 ⋅ ln 2(− x − ax + 2a ) − (−3a ⋅ ln 2(−2 x − a ) 3a ln 2(−2 x − a = )f " ( x = 2 2 ) ln 2(− x 2 − ax + 2a 2 ) ln 2(− x 2 − ax + 2a 2 נציב בנגזרת השנייה x = −1ונשווה אותה ל:0- f " ( −1) = 0 → 3a ln 2( −2( −1) − a ) = 0 → 2 − a = 0 → a = 2 ) ( ) ( הפונקציה מוגדרת רק כאשר הביטוי בתוך ה log-הוא חיובי: 2−x 2 > 0 ( x + 4) 2 → (2 − x)( x + 4) > 0 → − x − 2 x + 8 > 0 x+4 הפונקציה מתאפסת בנקודות x = 2ו . x = −4 :לפי המקדם השלילי של x2ניתן להסיק כי הפרבולה "עצובה" ,ויש למצוא מתי ערכיה חיוביים. ניתן לראות כי תחום ההגדרה הוא. − 4 < x < 2 : בהתאם ,האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה הן x = 2 :ו. x = −4 : מכיוון שהפונקציה מוגדרת בתחום מוגבל , − 4 < x < 2היא אינה שואפת לאינסוף ,ולכן אין לה אסימפטוטה אופקית. −6 ב .נביט בנגזרת הראשונה: )ln 2(− x 2 − 2 x + 8 חיובי ,והביטוי בסוגריים חיובי בכל תחום ההגדרה )ניתן לראות זאת בפרבולה שציירנו בסעיף א'( .לסיכום ,בכל )( − ,ולכן הפונקציה יורדת בכל תחום ההגדרה. תחום ההגדרה מתקבל= (−) : )(+ 2 1 )f (0) = log 2 = log 2 = −1 → (0,−1 ג .למציאת נקודת החיתוך עם ציר ,yנציב x=0בפונקציה: 4 2 למציאת נקודת החיתוך עם ציר ,xנשווה את הפונקציה ל:0- 2− x 2−x 2− x → = 20 )= 1 → 2 − x = x + 4 → 2 x = −2 → (−1,0 log 2 →=0 x+4 x+4 x+4 = ) . f ' ( xניתן לראות כי המונה שלילי .במכנה ln2 ,הוא ביטוי ד .נסמן תחילה את שתי הנקודות החשובות :חיתוך עם הצירים, ונתחום את שתי האסימפטוטות האנכיות. הפונקציה יורדת בכל תחום ההגדרה ולכן השרטוט הוא: © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 163 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 ה .נתבונן בפונקציה החדשה: ארכימדס -פתרונות למידה 2− x log 2 x+4 =2 )f ( x =2 ). g ( x תחום ההגדרה של הפונקציה ) g (xזהה לפונקציה הקודמת בגלל הביטוי שבתוך ה ,log -ולכן הוא. − 4 < x < 2 : נזכור גם את הזהותa loga x = x : 2−x = x + 4 )המתקיימת לכל (logולכן: 2− x log 2 x+4 g ( x) = 2 2− x 2 g ( 0) = ) = = 0.5 → (0,0.5 x+ 4 4 נקודת החיתוך עם ציר ,yכאשר :x=0 2−x נקודת החיתוך עם ציר ,xכאשר = 0 → x = 2 :y=0 x+4 →=0 2− x log 2 x+4 2 עם זאת ,זהו קצה תחום ההגדרה ,והפונקציה אינה מוגדרת ב ,x=2 :ולכן הנקודה )( 2,0 היא למעשה נקודת אי רציפות סליקה )"חור" בפונקציה( .הפונקציה החדשה נראית כך: ו .למציאת השטח נחשב את האינטגרל. 1 − x + 2 log x dx = ∫ נפשט את הפונקציה בעזרת הכלל dx : a a = x x+4 0 2− x log 2 x+4 1 S = ∫2 0 6 −1+ x+4 −x+2 |x+4 את האינטגרל נחשב בעזרת חילוק פולינומים: −x−4 −6 1 6 1 S = ∫ −1+ dx = − x + 6 ln( x + 4) 0 = −1 + 6 ln 5 − (6 ln 4) = 0.338 x+4 0 לסיכום ,השטח הוא 0.338יח"ר. שאלה :5 א .נגזור את שתי הפונקציות: x+ p 3 p− x f ( x) = 2 f ' ( x) = 2 x + P ⋅ ln 2 ⋅ ln 2 3 p−x ⋅ (−1) ⋅ ln 2 = 2 3 p− x g ( x) = −2 g ' ( x ) = −2 ניתן לראות כי ב ln2 , f ' ( x ) -הוא חיובי ,ו 2 x + p -הוא ביטוי מעריכי החיובי לכל .xלכן ) f (xעולה לכל .x ניתן לראות כי ב ln2 , g ' ( x ) -הוא חיובי ,ו 2 3 p − x -הוא ביטוי מעריכי החיובי לכל .xלכן ) g (xעולה לכל .x ב .למציאת נקודת חיתוך עם ציר ,yנציב x=0בשתי הפונקציות: → f (0) = 2 0+ p = 2 p ) (0,2 p ) g (0) = −23 p−0 = −23 p → (0,−2 3 p לשתי הפונקציות אין חיתוך עם ציר xמכיוון שביטוי מעריכי אינו מתאפס ,ולא ניתן להשוות אותן ל.0- © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 164 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 ג .כאמור ,שתי הפונקציות מוגדרות עבור כל xולכן אין להן אסימפטוטות אנכיות. למציאת אסימפטוטות אופקיות נבדוק מה קורה כאשר xשואף לאינסוף ולמינוס אינסוף. בפונקציה ) : f (x lim ← הפונקציה שואפת לאינסוף ולכן אין אסימפטוטה אופקית בתחום החיובי. ∞ ≅ ∞ f ( x) = 2 ∞ + p ≅ 2 ∞→x lim 1 ← הפונקציה שואפת ל 0-ולכן האסימפטוטה בתחום השלילי . y = 0 f ( x) = 2 − ∞ + p = 2 −∞ = ∞ ≅ 0 ∞x → − 2 בפונקציה ) : g (x lim 1 ← שואפת ל 0-ולכן האסימפטוטה בתחום החיובי היא . y = 0 g ( x ) = −2 3 p − ∞ ≅ −2 − ∞ = − ∞ ≅ 0 ∞→x 2 lim ← הפונקציה שואפת למינוס אינסוף ולכן אין אסימפטוטה אופקית בתחום ∞g ( x) = −2 3 p + ∞ ≅ −2 ∞ ≅ − ∞x → − השלילי. ד .נצייר תחילה את הפונקציות ) f (xו g (x ) -על פי החקירה מהסעיפים הקודמים .נתחיל בנקודות החיתוך עם ציר ,yונתחשב בתחומי העליה והאסימפטוטות )בתחום החיובי או השלילי בהתאם לכל פונקציה(. הפונקציה ) h(xהיא הערך המוחלט של הפונקציה ) , g (xכלומר הופכת את כל הערכים השליליים לחיוביים )ללא השפעה על הערך המספרי( ולכן היא נראית כ'תמונת מראה' כלפי מעלה של הפונקציה ) . g (x ה .סעיף זה הוא למעשה בעיית קיצון .עלינו להביע את הבעיה כמשוואה בעלת נעלם אחד .לאחר מכן נגזור את המשוואה שקיבלנו ונשווה אותה ל .0-תחילה נביע את הנקודות בעזרת משתנה יחיד .t 3 p −t 3 p −t נסמן את נקודה ) . A(t ,2בהתאם לכך ,נקודה ) , B(t ,−2מכיוון שיש להן את אותו ערך .x נביע את הנקודה Cהנמצאת על ) f (xבעזרת . tנשווה את הפונקציה ) f (x לערך yשל נקודה ) Aיש לה ערך yזהה(. 3 p −t x+ p 2 = 2 → 3p −t = x + p → x = 2 p − t קיבלנו את הנקודה ) . C (2 p − t ,2 3 p −tכעת נביע את אורכי צלעות המלבן: AB = y A − y B = 2 3 p −t − (−23 p−t ) = 2 ⋅ 23 p −t AC = x A − xC = t − (2 p − t ) = 2t − 2 p כעת נביע את היקף המלבן : + 4t − 4 p נגזור את הביטוי ונשווה אותו ל.0- 1 = ln 2 2 3 p −t 3 p −t + 2(2t − 2 p) = 4 ⋅ 2 3 p −t P = 2 AB + 2 AC = 4 ⋅ 2 → P' = 4 ⋅ ln 2 ⋅ 2 3 p −t ⋅ (−1) + 4 = 0 → 1 = ln 2 ⋅ 2 3 p −t © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 165 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 ארכימדס -פתרונות למידה כעת נבטא את tבאמצעות :p 1 ln 1 ln 2 = = → 3p − t → 3 p − t = 0.528 → t = 3 p − 0.528 ln 2 ln 2 2 3 p −t זהו למעשה ערך ,tשעבורו היקף המלבן מינימלי ,ולכן נציב אותו בנוסחת ההיקף ונשווה ל:9p- → P = 4 ⋅ 2 3 p −t + 4t − 4 p → 4 ⋅ 2 3 p −(3 p −0.528) + 4 ⋅ (3 p − 0.528) − 4 p → 4 ⋅ 2 0.528 + 8 p − 2.112 כלומר ,ניתן להביע את ההיקף כ: נשווה להיקף המינימלי: . 8 p + 3.65 . 8 p + 3.65 = 9 p → p = 3.65 © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 166
