מבחן לדוגמא + פתרונות מלאים

Transcription

מבחן לדוגמא + פתרונות מלאים
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫שאלון ‪ - 806‬מבחן ‪1‬‬
‫פרק ראשון ‪ -‬אלגברה והסתברות )‪ 40‬נק'(‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪) 1-3‬לכל שאלה ‪ 20‬נק'(‬
‫‪ .1‬שבעה סוכני מודיעין אמריקנים צריכים לפענח קוד הכולל אלפי שורות‪ .‬מדי יום מחכה להם מכסת‬
‫פענוח יומית קבועה‪ .‬למעשה‪ ,‬שלושה מהם אינם אלא מרגלים סובייטים‪ ,‬שמטרתם לעכב את העבודה‪,‬‬
‫ולכן הם רק מוחקים שורות שפוענחו כך שיש לפענחם מחדש‪ .‬אם ארבעת האמריקנים האמיתיים יחלו‬
‫בעבודה יחד וכעבור שעה יצטרפו שלושת המרגלים‪ ,‬תסתיים עבודת הפענוח תוך שש שעות מתחילתה‪.‬‬
‫אם שני סוכנים אמריקנים אמיתיים יחלו בעבודה ב‪ 10:00-‬וכעבור שעה יצטרפו חמשת הנוספים‬
‫לעבודה‪ ,‬אז ב‪ 12:00-‬רק ‪ 30%‬מהעבודה תהיה גמורה‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה זמן דרוש לסוכנים האמריקנים לסיים את פענוח הקוד אם יעבדו עליו רק ארבעתם‪.‬‬
‫ב‪ .‬בשעה ‪ 6:00‬החלו שני אמריקנים את עבודת הפענוח‪ .‬ב‪ 7:00-‬הצטרפו לעבודה שני סובייטים‪ .‬ב‪8:00-‬‬
‫הצטרפו היתר‪ .‬מצא באיזו שעה תסתיים עבודת הפענוח כולה‪.‬‬
‫ג‪ .‬ידוע שסוכן אמריקאי מסוגל לפענח ‪ 20‬שורות בשעה‪ .‬ביום ד'‪ ,‬הגיעו למשרד רק שלושה סוכנים‬
‫אמריקנים ושני סובייטים‪ .‬חשב תוך כמה שעות יספיק הצוות של אותו יום ד' לפענח ‪ 252‬שורות‪.‬‬
‫‪ .2‬נתונה סדרה הנדסית עולה ‪ An‬שאיבריה‪ . a1 , a 2 , a3 ,......, a n ,... :‬באמצעות איברי הסדרה ‪ An‬מגדירים‬
‫סדרה חדשה ‪ Bn‬באופן הבא‪ :‬מחסרים מכל איבר את האיבר הבא אחריו‪ .‬סכום ‪ n‬האיברים הראשונים‬
‫בסדרה ‪ Bn‬שווה בערכו המוחלט לסכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה ‪. An‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫הוכח‪ :‬הסדרה ‪ Bn‬היא הנדסית‪.‬‬
‫מצא את המנה של הסדרה ‪. An‬‬
‫בסדרה המקורית ‪ An‬מספר זוגי של איברים‪ .‬כעת עושים בה שינויים נוספים‪ :‬מכפילים את כל‬
‫האיברים שבמקומות האי זוגיים פי ‪ m‬ומחלקים את כל האיברים שבמקומות הזוגיים ב‪.m-‬‬
‫מצא עבור אילו ערכי ‪ ,m‬סכום הסדרה לאחר השינויים גדול מהסכום המקורי‪.‬‬
‫‪ .3‬בהגרלה ניתן לזכות בשלושה פרסים‪ :‬לזכות ב‪ 25-‬ש"ח בהסתברות ‪ ,p‬לזכות ב‪ 75-‬ש"ח בהסתברות ‪0.1‬‬
‫או לזכות ב‪ 50-‬ש"ח‪ .‬אם דני זוכה ב‪ 75-‬ש"ח‪ ,‬הוא לוקח את הכסף ועוזב את ההגרלה‪ .‬אם הוא זוכה ב‪50-‬‬
‫ש"ח‪ ,‬ההסתברות שישתתף בהגרלה נוספת היא ‪ .0.3‬אם הוא זוכה ב‪ 25-‬ש"ח‪ ,‬ההסתברות שישתתף‬
‫בהגרלה נוספת היא ‪ .0.6‬לפי התקנון‪ ,‬דני אינו יכול להשתתף ביותר משתי הגרלות‪ .‬נתון כי ההסתברות‬
‫שדני ירוויח עד סוף היום בדיוק ‪ 75‬ש"ח היא ‪.0.28‬‬
‫א‪ .‬חשב את ערכו של הפרמטר ‪. ( p > 0.4) p‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ההסתברות שדני יזכה ב‪ 50-‬ש"ח או ב‪ 100-‬ש"ח‪.‬‬
‫ג‪ .‬ידוע שדני זכה סך הכל באותו יום ב‪ 75-‬ש"ח בדיוק‪ .‬חשב את ההסתברות שעזב לאחר ההגרלה‬
‫הראשונה‪ ,‬מבלי להשתתף בהגרלה נוספת‪.‬‬
‫ד‪ .‬דני ניגש לאותה הגרלה כל יום במשך חמישה ימים‪ .‬חשב את ההסתברות שבשניים מהימים יהיה‬
‫סכום הזכיה היומי הכולל לכל הפחות ‪.₪ 100‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪134‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫פרק שני ‪ -‬גיאומטריה וטריגונומטריה במישור )‪ 20‬נק'(‬
‫ענה על אחת מהשאלות מהשאלות ‪) 4-5‬לכל שאלה ‪ 20‬נק'(‬
‫‪ .4‬בריבוע ‪ ABCD‬שצלעו ‪ a‬נתון‪ F :‬אמצע ‪ .DO‬הישר ‪ AG‬חותך את‬
‫האלכסון ‪ BD‬בנקודה ‪ .F‬במשולש ‪ ∆CDO‬נתון‪.EF||CD :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את אורכי הצלעות ‪ FE‬ו‪.CG -‬‬
‫ב‪ .‬נתון ששטח הטרפז ‪ CEFG‬הוא ‪ 21‬סמ"ר‪ .‬חשב את ערכו של ‪.a‬‬
‫ג‪ .‬נתון שהנקודה ‪ k‬היא אמצע ‪ .BO‬הוכח‪ KFGC :‬טרפז‪.‬‬
‫‪ .5‬במשולש ‪ ∆ABC‬ישר הזוית ) ‪ ( p ABC = 90 0‬חסום מעגל‪ .‬המעגל משיק‬
‫למשולש ‪ ∆ABC‬בנקודות ‪ E ,D‬ו‪ .F-‬הצלע ‪ DF‬ארוכה ב‪ 20%-‬מהצלע ‪.DE‬‬
‫א‪ .‬חשב את שתי הזויות החדות במשולש ‪. ∆ABC‬‬
‫ב‪ .‬קוטר המעגל החוסם את המשולש ‪ ∆ABC‬ארוך ב‪ 7-‬ס"מ מהקטע ‪.CE‬‬
‫חשב את שטח המשולש ‪. ∆DEF‬‬
‫פרק שלישי ‪ -‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪ ,‬פונקציות שורש‪ ,‬פונקציות רציונליות‬
‫ופונקציות טריגונומטריות )‪ 40‬נק'(‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪) 6-8‬לכל שאלה ‪ 20‬נק'(‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪ f ( x ) = a ⋅ x 2 − 34 x + b :‬בתחום ‪ . 0 ≤ x ≤ 2‬הפרמטרים ‪ a‬ו‪ b-‬חיוביים‪ .‬בתחום הנתון‪,‬‬
‫הערך המקסימלי שהפונקציה מקבלת הוא ‪ 10‬והערך המינימלי שהיא מקבלת הוא ‪.6‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו‪.b-‬‬
‫ב‪ .‬הגדירו פונקציה חדשה‪ . g ( x) = 36 − f 2 (x ) :‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ) ‪. g (x‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה ) ‪. g (x‬‬
‫ד‪ .‬מצא לאילו ערכי ‪ x‬מתקיים‪ g ' ( x ) > 0 :‬ולאילו ערכי ‪ x‬מתקיים‪. g ' ( x ) < 0 :‬‬
‫ה‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הנגזרת ) ‪ , g ' ( x‬לבין ציר ה‪ x-‬ולבין הישרים‪ x = 12 :‬ו‪. x = 22 -‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪135‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫‪a sin x‬‬
‫‪ .7‬נתונה הפונקציה‬
‫‪(1 − cos x )2‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫= )‪f ( x‬‬
‫) ‪ (a > 0‬בתחום‪. − π ≤ x ≤ π :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫בתשובות לסעיפים הבאים ניתן להשתמש‪ ,‬במידת הצורך‪ ,‬בפרמטר ‪:a‬‬
‫א‪ .‬מצא את האסימפטוטות האנכיות לגרף הפונקציה ) ‪ f (x‬בתחום הנתון‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ :‬גרף הפונקציה ) ‪ f (x‬יורד לכל ‪ x‬בתחום ההגדרה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של גרף ) ‪ f (x‬עם הצירים בתחום הנתון‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה ) ‪ f (x‬בתחום הנתון‪.‬‬
‫ה‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את השטח הכלוא ברביע הראשון בין גרף הפונקציה ) ‪ f (x‬לבין ציר ה‪ x-‬ולבין הישרים‬
‫‪ x = π‬ו‪. x = π :‬‬
‫‪2‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫מגדירים פונקציה חדשה‪ . g ( x ) = f ( x ) :‬הישר ‪ y = k‬חותך את גרף ) ‪ g (x‬בתחום‪π :‬‬
‫≤‪≤x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−‬‬
‫בשתי נקודות כאשר ‪ . k ≥ 3‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪.a‬‬
‫‪ .8‬בשרטוט נתונים הגרפים של הפונקציות‪ f ( x ) = 16 x − a 2 :‬ו‪ . g ( x ) = 9a 2 − 16 x :‬הישרים המשיקים‬
‫לגרפים של שתי הפונקציות בנקודה ‪ A‬מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪. (0 < a ) a‬‬
‫ב‪ .‬הגרפים של הפונקציות ) ‪ f (x‬ו‪ g (x ) -‬חותכים את ציר ה‪ x-‬בנקודות‬
‫‪ B‬ו‪ C-‬בהתאמה‪ .‬מעבירים את שני הישרים ‪ x = m‬ו‪, x = m + 6 :‬‬
‫כך שהם עוברים משני צדי הנקודה ‪ ,A‬אך בין הנקודות ‪ B‬ו‪.C-‬‬
‫השטח הכלוא בין הגרפים של שתי הפונקציות‪ ,‬לבין שני הישרים‬
‫ולבין ציר ה‪ x-‬מסתובב סביב ציר ה‪.x-‬‬
‫מצא את ערכו של הפרמטר ‪ m‬עבורו נפח גוף הסיבוב המתקבל הוא‬
‫מקסימלי‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫‪ (1‬א‪ .‬שלוש שעות‪ .‬ב‪ .14:00 .‬ג‪ 9 .‬שעות‪.‬‬
‫‪ (2‬ב‪ . q = 2 .‬ג‪ 2 < m .‬או ‪. 0 < m < 1‬‬
‫‪ (3‬א‪ .0.5 .‬ב‪ .0.508 .‬ג‪ . 5 .‬ד‪.0.06 .‬‬
‫‪14‬‬
‫‪ (4‬א‪ . CG = 2a , FE = a .‬ב‪ 12 .‬ס"מ = ‪. a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ (5‬א‪ . 70.8 0 , 19.2 0 .‬ב‪ 1.6 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ (6‬א‪ . b = 100 , a = 1 .‬ב‪ . 2 ≤ x ≤ 32 .‬ג‪. Min (2,0), Max (17,15), Min (32,0) .‬‬
‫ד‪ g ' ( x ) > 0 .‬כאשר‪ g ' ( x ) < 0 . 2 < x < 17 :‬כאשר‪ . 17 < x < 32 :‬ה‪ 1.72 .‬יח"ר‪.‬‬
‫‪ (7‬א‪ . x = 0 .‬ג‪ .‬אין‪ .‬ד‪ . Max  − π ,− a , Min  π , a  .‬ה‪ . S = a .‬ו‪. a = 3 .‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (8‬א‪ . a = 4 .‬ב‪. m = 2 .‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪136‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫פתרון מלא ‪ -‬מבחן ‪1‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫א‪ .‬בשאלות הספק נפתח תמיד בסימון יעיל של ההספקים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫נסמן ב‪ x -‬את משך הזמן הדרוש לסוכן אמריקני "אמיתי" לסיים לבדו את העבודה כולה‪ ,‬ובהתאם‪ ,‬הספקו הוא‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫נסמן ב‪ y -‬את משך הזמן הדרוש למרגל סובייטי לסיים לבדו את העבודה כולה‪ ,‬ובהתאם‪ ,‬ההספק שלו הוא ‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪.‬‬
‫כעת נמלא את הנתונים הראשונים בטבלה‪:‬‬
‫נשים לב‪ :‬פעולת המרגלים‬
‫הפוכה מפעולת הסוכנים ולכן‬
‫ההספק שלהם הוא שלילי‪.‬‬
‫בנוסף‪ ,‬הספק משותף מחושב על‬
‫ידי מכפלת מספר הסוכנים‬
‫בהספק האישי שלהם‪.‬‬
‫מספר‬
‫העובדים‬
‫ארבעה‬
‫סוכנים‬
‫מתחילים‬
‫ואז שלושה‬
‫מרגלים‬
‫מצטרפים‬
‫סוכנים‬
‫‪4‬‬
‫מרגלים‬
‫‪3‬‬
‫זמן‬
‫הספק‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪y‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫החלק היחסי‬
‫שבוצע מהעבודה‬
‫‪4‬‬
‫‪24‬‬
‫= ‪⋅6‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪15‬‬
‫‪− ⋅5 = −‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪15 x‬‬
‫‪24 15‬‬
‫‪ ,‬ולאחר סידור‪:‬‬
‫ביחד הם סיימו את כל העבודה כולה ומכאן מתקבלת המשוואה‪− = 1 :‬‬
‫‪24 − x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫נמלא את הנתונים הבאים בטבלה‪:‬‬
‫החלק היחסי‬
‫מספר‬
‫זמן‬
‫העובדים הספק‬
‫שבוצע מהעבודה‬
‫= ‪.(I) y‬‬
‫שני סוכנים‬
‫מתחילים וכעבור‬
‫שעה‪ ,‬מצטרפים‬
‫עוד שני סוכנים‬
‫ושלושה מרגלים‬
‫סוכנים‬
‫‪2‬‬
‫סוכנים‬
‫‪2‬‬
‫מרגלים‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−‬‬
‫‪y‬‬
‫‪4 2 3‬‬
‫‪3x‬‬
‫ביחד סיימו רק ‪ 30%‬מהעבודה כולה ומכאן מתקבלת המשוואה‪ . + − = 0.3 :‬נסדר‪:‬‬
‫‪6 − 0 .3 x‬‬
‫‪x x y‬‬
‫נשווה בין המשוואות )‪ (I‬ו‪ (II)-‬ונמצא את ‪) x‬תחילה נצמצמם ב‪:( x ≠ 0 ,x-‬‬
‫‪15 x‬‬
‫‪3x‬‬
‫=‬
‫‪→ 90 − 4.5 x = 72 − 3 x → 1.5 x − 18 = 0 → x = 12‬‬
‫‪24 − x 6 − 0.3 x‬‬
‫= ‪.(II) y‬‬
‫אם כן‪ ,‬הזמן הדרוש לסוכן אמריקני אחד לסיים את העבודה כולה הוא ‪ 12‬שעות‪ .‬במידה ויעבדו ‪ 4‬סוכנים אמריקנים‬
‫‪12‬‬
‫במקביל‪ ,‬הזמן שיידרש להם לסיים את העבודה הוא‬
‫‪ ,‬כלומר‪ 3 :‬שעות‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪137‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫ב‪ .‬לאחר הצבת הפתרון ‪ x = 12‬באחת המשוואות מהסעיף הקודם נמצא כי ‪. y = 15‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫כלומר‪ :‬הספקו של סוכן אמריקני הוא‬
‫‪.‬‬
‫‪ ,‬ואילו הספקו של מרגל סובייטי הוא‬
‫‪15‬‬
‫‪12‬‬
‫כעת נמלא את נתוני הסעיף בטבלה‪:‬‬
‫מספר‬
‫העובדים‬
‫שני סוכנים מתחילים‬
‫לעבוד בשעה ‪.06:00‬‬
‫‪2‬‬
‫שני מרגלים מתחילים‬
‫לעבוד בשעה ‪.07:00‬‬
‫‪2‬‬
‫שני סוכנים נוספים מצטרפים‬
‫בשעה ‪.08:00‬‬
‫‪2‬‬
‫המרגל האחרון מצטרף‬
‫בשעה ‪.08:00‬‬
‫‪1‬‬
‫הספק‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪15‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪15‬‬
‫זמן‬
‫‪t‬‬
‫‪t −1‬‬
‫‪t −2‬‬
‫‪t −2‬‬
‫החלק היחסי‬
‫שבוצע מהעבודה‬
‫‪2t‬‬
‫‪t‬‬
‫→‬
‫‪6‬‬
‫‪12‬‬
‫)‪2(t − 1‬‬
‫‪15‬‬
‫)‪2(t − 2‬‬
‫‪t−2‬‬
‫→‬
‫‪6‬‬
‫‪12‬‬
‫‪t −2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪15‬‬
‫‪−‬‬
‫עלינו לגלות באיזו שעה הם יסיימו את העבודה כולה ולכן נשווה את סך העבודה שביצעו ל‪:1-‬‬
‫‪t 2(t − 1) t − 2 t − 2‬‬
‫‪2t − 2 3t − 4‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫→‪=1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪= 1 → 10t − 10 − 6t + 8 = 30 → 4t = 32 → t = 8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪15‬‬
‫‪6‬‬
‫‪15‬‬
‫‪6‬‬
‫‪15‬‬
‫הסוכנים הראשונים התייצבו לעבודה בשעה ‪ .6:00‬עבודת הפענוח הסתיימה כעבור ‪ 8‬שעות‪ ,‬בשעה ‪.14:00‬‬
‫ג‪ .‬מצאנו כי הזמן הדרוש לסוכן אמריקני לסיים לבדו את העבודה הוא ‪ 12‬שעות‪ ,‬ואילו למרגל סובייטי ‪ 15‬שעות‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪12‬‬
‫מכאן שיחס הזמנים הוא‬
‫‪ ,‬ולאחר צמצום‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪15‬‬
‫‪.‬‬
‫המרגל הסובייטי עובד לאט יותר מהסוכן האמריקני‪ .‬אם קצב העבודה של הסוכן האמריקני הוא ‪ 20‬שורות בשעה‪,‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫קצב העבודה של המרגל הסובייטי הוא‪ , ⋅ 20 :‬כלומר‪ 16 :‬שורות בשעה‪.‬‬
‫נסמן ב‪ t-‬את הזמן הדרוש לסוכנים לסיים את עבודת הפענוח ונציב את הנתונים במשוואה‪:‬‬
‫מספר‬
‫זמן‬
‫קצב‬
‫העובדים‬
‫שלושה‬
‫‪3‬‬
‫סוכנים‬
‫‪t‬‬
‫‪20‬‬
‫סוכנים ושני‬
‫מרגלים‬
‫‪2‬‬
‫מרגלים‬
‫‪t‬‬
‫‪− 16‬‬
‫עובדים‬
‫ביחד‬
‫כמות השורות‬
‫שפוענחו‬
‫‪60t‬‬
‫‪− 32 ⋅ t‬‬
‫ביחד הם פיענחו ‪ 252‬שורות ומכאן מתקבלת המשוואה‪:‬‬
‫‪60t − 32t = 252 → 28t = 252 → t = 9‬‬
‫כלומר‪ ,‬הזמן הדרוש לסוכנים לסיים את עבודת הפענוח הוא ‪ 9‬שעות ‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪138‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫‪Bn +1‬‬
‫א‪ .‬כדי להוכיח כי הסדרה ‪ Bn‬היא הנדסית‪ ,‬עלינו להראות שמנתה קבועה ואינה תלויה ב‪ .n-‬כלומר‪= q B :‬‬
‫‪Bn‬‬
‫‪(I ) Bn = An − An+1‬‬
‫תחילה נמצא את האיבר הכללי בסדרה ‪ . Bn‬לפי הנתון‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫הסדרה ‪ An‬היא סדרה הנדסית עולה שאיברה הראשון הוא ‪ . a1‬נסמן את מנת הסדרה ‪ An‬באמצעות ‪ q‬ונקבל כי‬
‫‪n‬‬
‫‪An +1 = a1 ⋅ q n +1−1 → An+1 = a1 ⋅ q‬‬
‫האיבר הכללי של הסדרה ‪ An‬הוא‪ An = a1 ⋅ q n −1 :‬ובהתאם‪:‬‬
‫נחזור ונציב ב‪ (I ) -‬ונקבל‪:‬‬
‫)‪Bn = An − An −1 → a1 ⋅ q n −1 − a1 ⋅ q n → Bn = a1 ⋅ q n ⋅ (q −1 − 1‬‬
‫נציב באיבר הכללי ‪ n + 1‬ונקבל גם את האיבר ‪. Bn+1 = a1 ⋅ q n +1 ⋅ (q −1 − 1) : Bn +1‬‬
‫(‬
‫(‬
‫)‬
‫)‬
‫‪Bn +1 a1 ⋅ q n +1 ⋅ q −1 − 1 q n +1 q ⋅ q n‬‬
‫=‬
‫)מספר קבוע( ‪= n = n = q‬‬
‫נוכיח כי הסדרה ‪ Bn‬הנדסית‪:‬‬
‫‪Bn‬‬
‫‪a1 ⋅ q n ⋅ q −1 − 1‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה ‪ Bn‬שווה בערכו המוחלט לסכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה ‪. An‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪a1 q n − 1‬‬
‫האיבר הראשון בסדרה ‪ An‬הוא ‪ a1‬ומנתה ‪ . q‬סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה ‪ An‬הוא‪:‬‬
‫‪q −1‬‬
‫)‬
‫= ‪. SA‬‬
‫(‬
‫) ‪B1 = a1 ⋅ q 1 ⋅ q −1 − 1 → B1 = a1 ⋅ (1 − q‬‬
‫נציב ‪ n = 1‬באיבר הכללי של הסדרה ‪ Bn‬ונמצא את ‪: B1‬‬
‫כאמור‪ ,‬מנת הסדרה ‪ Bn‬היא ‪ , q‬ולכן סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה ‪ Bn‬הוא‪:‬‬
‫)‬
‫נשווה‪:‬‬
‫(‬
‫(‬
‫)‬
‫‪a1 (1 − q ) ⋅ q n − 1‬‬
‫‪− a1 (q − 1) ⋅ q n − 1‬‬
‫= ‪SB‬‬
‫= ‪→ SB‬‬
‫)‪→ S B = −a1 ⋅ (q n − 1‬‬
‫‪q −1‬‬
‫‪q −1‬‬
‫‪a qn −1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪S A = SB → 1‬‬
‫→ ‪= − a1 ⋅ q n − 1‬‬
‫→ ‪= −1‬‬
‫‪= 1 → 1 = q −1 → q = 2‬‬
‫‪q −1‬‬
‫‪q −1‬‬
‫‪q −1‬‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫ג‪ .‬נסמן את ‪ q , n , a1‬של הסדרה המקורית ושתי תתי הסדרות )האיברים במקומות האי זוגיים והזוגיים(‪:‬‬
‫בסדרה המקורית‪ :‬מספר האיברים הוא זוגי‪ . 2n :‬מנת הסדרה היא ‪ q = 2‬והאיבר הראשון הוא ‪. a1‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪a1 2 2 n − 1‬‬
‫=‬
‫)‪→ S 2 n = a1 (4 n − 1‬‬
‫מכאן שסכום הסדרה המקורית הוא‪:‬‬
‫‪2 −1‬‬
‫בסדרת המקומות האי זוגיים‪ :‬מספר האיברים הוא ‪ . n‬מנת הסדרה היא‪ q2 = 4 :‬והאיבר הראשון הוא ‪. m ⋅ a1‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪m ⋅ a1 4 n − 1‬‬
‫)‪m ⋅ a1 (4 n − 1‬‬
‫= אי זוגיים ‪→ S‬‬
‫מכאן שסכום האיברים שבמקומות האי זוגיים הוא‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4 −1‬‬
‫‪2a‬‬
‫בסדרת המקומות הזוגיים‪ :‬מספר האיברים הוא ‪ . n‬מנת הסדרה היא‪ q2 = 4 :‬והאיבר הראשון הוא ‪. 1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2a1 n‬‬
‫‪4 −1‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪m‬‬
‫=‬
‫)‪ = 1 (4 n − 1‬זוגיים ‪→ S‬‬
‫מכאן שסכום האיברים שבמקומות הזוגיים הוא‪:‬‬
‫‪3m‬‬
‫‪4 −1‬‬
‫‪S 2n‬‬
‫= אי זוגיים ‪S‬‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫)‬
‫זוגיים ‪S‬‬
‫(‬
‫‪m ⋅ a1 4 n − 1 2a1 n‬‬
‫‪+‬‬
‫עלינו למצוא עבור אלו ערכי ‪ m‬מתקיים‪ > S 2 n :‬זוגיים ‪ + S‬אי זוגיים ‪ . S‬כלומר‪4 − 1 > a1 4 n − 1 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3m‬‬
‫הסדרה ‪ An‬עולה ולכן‪ . a1 > 0 :‬כמו כן מתקיים‪ , 4 n − 1 > 0 :‬ולכן נוכל לצמצם בשני הביטויים החיוביים‪:‬‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫‪(m − 1)(m − 2) > 0‬‬
‫‪m ⋅ a1 4 n − 1 2a1 n‬‬
‫‪m 2‬‬
‫‪m 2 − 3m + 2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪+‬‬
‫‪4 − 1 > a1 4 − 1 → +‬‬
‫→ ‪−1 > 0‬‬
‫→‪>0‬‬
‫‪m‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3m‬‬
‫‪3 3m‬‬
‫‪3m‬‬
‫המספרים‬
‫ציר‬
‫על‬
‫‪m‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‬‫ו‬
‫‪m‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪m‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫והמכנה‬
‫המונה‬
‫נמקם את מאפסי‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪:‬‬
‫ן‬
‫השוויו‬
‫באי‬
‫השמאלי‬
‫הביטוי‬
‫סימן‬
‫את‬
‫לבדוק‬
‫כדי‬
‫ערכים‪,‬‬
‫ונציב סביבם‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫ניתן לראות כי תחום החיוביות הוא‪ m > 2 :‬או ‪. 0 < m < 1‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫(‬
‫עמוד ‪139‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫א‪ .‬ההתלבטות הראשונית בפתרון בעיה בהסתברות היא לרוב האם נפתור את התרגיל באמצעות טבלה או באמצעות‬
‫עץ‪ .‬כאשר השאלה עוסקת בהגרלה בה יש מספר אפשרויות זכייה נבחר לרוב להשתמש בשיטת העץ‪ .‬להגרלה‬
‫המתוארת בתרגיל זה יש שלוש תוצאות אפשריות‪ :‬זכייה ב‪ ,₪ 25-‬זכייה ב‪ ₪ 50-‬או זכייה ב‪ ,₪ 75-‬ולכן סכום‬
‫ההסתברויות שלהן שווה ל‪ .1-‬אם כך‪ ,‬נוכל לבטא את ההסתברות לזכות ב‪ ₪ 50-‬כ‪ , 1 − p − 0.1 :‬או למעשה‬
‫‪ . 0.9 − p‬ראשית נציג את התרחישים האפשריים בעץ‪:‬‬
‫דני‬
‫‪p‬‬
‫‪0.9-p‬‬
‫‪₪ 25‬‬
‫‪0.4‬‬
‫לא ממשיך בהגרלה נוספת‬
‫‪₪ 50‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪0.6‬‬
‫הגרלה ‪2‬‬
‫‪₪ 75‬‬
‫בכל מקרה לא ממשיך בהגרלה נוספת‬
‫‪0.7‬‬
‫לא ממשיך בהגרלה נוספת‬
‫הגרלה ‪2‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪₪ 25‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪0.9-p‬‬
‫‪₪ 50‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪₪ 75‬‬
‫‪0.9-p‬‬
‫‪₪ 25‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪₪ 75‬‬
‫‪₪ 50‬‬
‫כדי למצוא את ההסתברות ‪ p‬ניצור משוואה ש‪ p-‬הוא הנעלם היחיד בה‪ .‬הנתון המסייע לנו בכך הוא שההסתברות‬
‫שדני ירוויח בדיוק ‪ 75‬ש"ח בסוף היום היא ‪.0.28‬‬
‫קיימים שלושה תרחישים אפשריים לזכייה ב‪) ₪ 75-‬הנובעים מהגבלה של השתתפות בשתי הגרלות לכל היותר(‪:‬‬
‫‪ (1‬זכייה בהגרלה הראשונה ב‪ ₪ 75-‬ולאחריה פרישה מן המשחק‪.0.1:‬‬
‫‪ (2‬זכייה בהגרלה הראשונה ב‪ ₪ 25-‬וב‪ ₪ 50-‬בהגרלה השנייה‪. p ⋅ 0.6 ⋅ (0.9 − p) :‬‬
‫‪ (3‬זכייה בהגרלה הראשונה ב‪ ₪ 50-‬וב‪ ₪ 25-‬בהגרלה השנייה‪. (0.9 − p) ⋅ 0.3 ⋅ p :‬‬
‫אם כן‪ ,‬סכום ההסתברויות של שלושת התרחישים הללו הוא ‪ .0.28‬ניצור משוואה מתאימה לפי העץ‪:‬‬
‫‪0.1 + p ⋅ 0.6 ⋅ (0.9 − p ) + (0.9 − p) ⋅ 0.3 ⋅ p = 0.28‬‬
‫‪0.1 + 0.54 p − 0.6 p 2 + 0.27 p − 0.3 p 2 = 0.28 → 0.9 p 2 − 0.81 p + 0.18 = 0‬‬
‫למשוואה זו שני פתרונות אפשריים‪ , p1 = 0.5, p2 = 0.4 :‬אך ידוע לנו כי ‪ p > 0.4‬ולכן ‪. p = 0.5‬‬
‫כעת נוכל להשלים את ההסתברויות בעץ‪.‬‬
‫דני‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪₪ 25‬‬
‫‪0.4‬‬
‫לא ממשיך בהגרלה נוספת‬
‫‪0.5‬‬
‫‪₪ 25‬‬
‫‪₪ 50‬‬
‫‪₪ 50‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪0.6‬‬
‫הגרלה ‪2‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪₪ 75‬‬
‫בכל מקרה לא ממשיך בהגרלה נוספת‬
‫‪0.7‬‬
‫הגרלה ‪2‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪₪ 75‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪₪ 25‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪₪ 50‬‬
‫לא ממשיך בהגרלה נוספת‬
‫‪0.1‬‬
‫‪₪ 75‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪140‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫ב‪ .‬מהעץ ניתן לראות כי קיימים ארבעה תרחישים שיסתיימו בכך שדני יזכה ב‪ ₪ 50-‬או ב‪:₪ 100-‬‬
‫‪ (1‬זכייה ב‪ ₪ 25-‬בהגרלה הראשונה וב‪ ₪ 25-‬בהגרלה השנייה‪.‬‬
‫‪ (2‬זכייה ב‪ ₪ 50-‬ואי‪-‬השתתפות בהגרלה נוספת‪.‬‬
‫‪ (3‬זכייה ב‪ ₪ 25-‬בהגרלה הראשונה וב‪ ₪ 75-‬בהגרלה השנייה‪.‬‬
‫‪ (4‬זכייה ב‪ ₪ 50-‬בהגרלה הראשונה וב‪ ₪ 50-‬בהגרלה השנייה‪.‬‬
‫אם כן‪ ,‬ההסתברות שדני יזכה ב‪ 50-‬או ב‪ ₪ 100-‬הינה סכום ההסתברויות של ארבעת המאורעות הללו‪:‬‬
‫‪0.5 ⋅ 0.6 ⋅ 0.5 + 0.4 ⋅ 0.7 + 0.5 ⋅ 0.6 ⋅ 0.1 + 0.4 ⋅ 0.3 ⋅ 0.4 = 0.15 + 0.28 + 0.03 + 0.048 = 0.508‬‬
‫ג‪ .‬ראשית נשים לב שהשאלה פותחת במלים ידוע שדני זכה בדיוק ב‪ .₪ 75-‬צמד מלים זה רומז על הסתברות‬
‫מותנית‪ .‬כלומר‪ ,‬מדגישות כי אנחנו לא עוסקים עוד בהגרלה תיאורטית אשר בה כל אפשרויות הזכייה קיימות‪ ,‬אלא‬
‫ב"עולם אפשרויות" מצומצם )מותנה(‪ ,‬בו אפשרויות הזכייה היחידות הקיימות הן אלו אשר עומדות בתנאי שניתן‬
‫לנו‪ .‬בסעיף זה "עולם האפשרויות" מצומצם יותר ולכן אנו עוברים מעץ שלם לעץ חלקי‪ .‬ידוע שדני זכה ב‪ ₪ 75-‬ולכן‬
‫בעץ קיימים רק שלושת המסלולים שבסופם זכה דני ב‪) ₪ 75-‬חץ מודגש(‪:‬‬
‫דני‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪₪ 25‬‬
‫לא ממשיך להגרלה נוספת‬
‫‪0.5‬‬
‫‪₪ 25‬‬
‫‪₪ 50‬‬
‫‪₪ 50‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.3‬‬
‫הגרלה ‪2‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪₪ 75‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪₪ 25‬‬
‫‪₪ 75‬‬
‫בכל מקרה לא ממשיך בהגרלה נוספת‬
‫‪0.7‬‬
‫הגרלה ‪2‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪₪ 50‬‬
‫לא ממשיך להגרלה נוספת‬
‫‪0.1‬‬
‫‪₪ 75‬‬
‫זוהי הסתברות מותנית‪ ,‬ובמקרים כאלו עלינו לחלק את ההסתברות של המאורע המסוים )הרוויח ‪ ₪ 75‬ועזב אחרי‬
‫הגרלה ראשונה‪ ,‬הענף השמאלי ביותר( בהסתברות של "העולם החדש" והמצומצם )זכה סך הכל ב‪ ,₪ 75-‬בכל‬
‫הענפים המודגשים(‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪P( B ∩ A) 0.1‬‬
‫= )‪P( B / A‬‬
‫=‬
‫=‬
‫)‪P( A‬‬
‫‪0.28 14‬‬
‫ד‪ .‬כאשר יש יותר משלוש חזרות מעדיף להשתמש בנוסחת ברנולי‪ .‬ראשית נחשב את ‪ ,p‬ההסתברות של מאורע בודד‪.‬‬
‫במקרה זה ההסתברות לזכייה ב‪ ₪ 100-‬לפחות ביום אחד )ניעזר בעץ המקורי( כוללת בתוכה שלוש אפשרויות‪:‬‬
‫‪ (1‬זכייה ב‪ ₪ 25-‬בהגרלה הראשונה וב‪ ₪ 75-‬בהגרלה השנייה‪ .‬ההסתברות‪. 0.5 ⋅ 0.6 ⋅ 0.1 = 0.03 :‬‬
‫‪ (2‬זכייה ב‪ ₪ 50-‬בהגרלה הראשונה וב‪ ₪ 50-‬בהגרלה השנייה‪ .‬ההסתברות‪. 0.4 ⋅ 0.3 ⋅ 0.4 = 0.048 :‬‬
‫‪ (3‬זכייה ב‪ ₪ 50-‬בהגרלה הראשונה וב‪ ₪ 75-‬בהגרלה השנייה‪ .‬ההסתברות‪. 0.4 ⋅ 0.3 ⋅ 0.1 = 0.012 :‬‬
‫כלומר‪ ,‬ההסתברות ‪ p‬שדני יזכה ביום אחד בסכום של לפחות ‪ ₪ 100‬היא‪. 0.03 + 0.048 + 0.012 = 0.09 :‬‬
‫בנוסף נאמר כי דני מנסה את מזלו בהגרלה חמש פעמים‪ ,‬לכן ‪ .n=5‬אנו נדרשים למצוא את ההסתברות שיזכה ב‪100-‬‬
‫‪ ₪‬או יותר ביומיים מתוכם )‪ .(k=2‬נציב את כל הנתונים בנוסחת ברנולי‪:‬‬
‫‪n k‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ ( p ) (1 − p ) n −k =  (0.09) 2 (0.91) 3 = 0.06‬‬
‫‪k ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪141‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫א‪ .‬מכיוון שאנו מתבקשים למצוא את ‪ EF‬נתחיל בשימוש בנתונים שקיימים עבורו‪:‬‬
‫‪(1‬‬
‫נתון‬
‫‪ F‬אמצע צלע ‪DO‬‬
‫נתון‬
‫‪EF||CD (2‬‬
‫נובע מ‪ (1)-‬ו‪ .(2)-‬קטע היוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע‬
‫‪(3‬‬
‫‪ EF‬קטע אמצעים במשולש ‪∆CDO‬‬
‫שמולו‬
‫קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע שמולו ושווה‬
‫⇓‬
‫למחציתה‬
‫‪(4‬‬
‫‪ EF = 0.5a‬מש"ל א'‬
‫כעת עלינו להביע את אורך צלע ‪ CG‬בעזרת ‪ . a‬בדרך כלל יהיה קשר כלשהו בין הצלעות אותן אנחנו מתבקשים‬
‫למצוא או להביע בשאלה‪ ,‬לכן נשים לב כי גם ‪ EF‬וגם ‪ CG‬נמצאים בתוך ‪ , ∆ACG‬ומכיוון שהן מקבילות ניתן‬
‫להשתמש כאן במשפט תאלס‪.‬‬
‫‪AE EF‬‬
‫=‬
‫‪: ∆ACG (5‬‬
‫הרחבה שנייה של משפט תאלס‬
‫‪AC CG‬‬
‫נשתמש במאפייני הריבוע והאלכסונים בו כדי למצוא את היחס בתוך המשולש ‪∆ACG‬‬
‫אלכסונים בריבוע שווים זה לזה וחוצים זה את זה ‪+‬‬
‫‪AO = OC = 2m (6‬‬
‫הצבה‬
‫מתוך )‪ (3‬ו‪(6)-‬‬
‫‪OE = EC = m (7‬‬
‫נציב את אורכי הצלעות ביחס תאלס שמצאנו במשולש ‪∆ACG‬‬
‫‪3m 0.5a‬‬
‫=‬
‫‪: ∆ACG (8‬‬
‫‪4m CG‬‬
‫⇓‬
‫‪(9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪ CG‬מש"ל א'‬
‫המשך הפתרון בעמוד הבא‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪142‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫ב‪ .‬נתון ששטח הטרפז ‪ CEFG‬הוא ‪ 21‬סמ"ר‪ ,‬ומבקשים מאתנו לחשב את‬
‫‪ . a‬נשים לב כי בסעיף א' הבענו בעזרת ‪ a‬את שני אורכי בסיסי הטרפז )‪EF‬‬
‫ו‪ (CG-‬ולכן נותר רק להביע את גובה הטרפז כדי למצוא את ‪. a‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ OM (10‬גובה במשולש שווה שוקיים ‪∆OCD‬‬
‫‪OM||AD (11‬‬
‫‪ OM (12‬קטע אמצעים במשולש ‪∆ACD‬‬
‫‪(13‬‬
‫בניית עזר‬
‫שני הישרים מאונכים ל‪ CD-‬ולכן הזוויות מתאימות‬
‫ישר היוצא מאמצע צלע )‪ (6‬ומקביל לצלע שמולו )‪(11‬‬
‫הוא קטע אמצעים‬
‫⇓‬
‫‪OM = 0.5a‬‬
‫גובה הטרפז הוא ‪ ,NM‬ואותו אנו רוצים להביע‪.‬‬
‫‪ (14‬במשולש ‪ EN : ∆OCM‬קטע אמצעים‬
‫קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע שמולו‬
‫קטע שיוצא מאמצע צלע במשולש )‪ (7‬ומקביל לצלע‬
‫שמולו )‪(2‬‬
‫‪(15‬‬
‫⇓‬
‫מתוך )‪ (13‬ו‪(14)-‬‬
‫‪ON = NM = 0.25a‬‬
‫נציב את אורכי הצלעות בנוסחת שטח הטרפז ונשווה לנתון‪ .‬נקבל‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪( a + a) ⋅ a‬‬
‫‪(EF + GC) ⋅ MN‬‬
‫‪ 12 (16‬ס"מ = ‪3 4 = 21 → 7 a 2 = 21 → a 2 = 144 → a‬‬
‫= ‪S EFGC‬‬
‫‪= 21 → 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪48‬‬
‫מש"ל ב'‬
‫ג‪ .‬נתון שהנקודה ‪ K‬היא אמצע ‪ ,BO‬ואנו מתבקשים להוכיח כי המרובע‬
‫‪ CKFG‬הוא טרפז‪ .‬ניעזר בציור ונוכיח כי‪:‬‬
‫‪ .1‬שוקיו אינן מקבילות )הדבר נובע מכך שהמשכי שוקיו ‪ KF‬ו‪ CG-‬נחתכים‬
‫בנקודה ‪.(D‬‬
‫‪ .2‬בסיסי הטרפז מקבילים )‪ . (FG||KC‬נוכיח זאת אם נראה כי משפט תאלס‬
‫מתקיים במשולש ‪: ∆CDK‬‬
‫‪(17‬‬
‫‪(18‬‬
‫‪(19‬‬
‫‪(20‬‬
‫‪OD = OB = 2m‬‬
‫‪KO = OF = FD = m‬‬
‫‪CD = 12 , CG = 8 → GD = 4‬‬
‫‪: ∆CDK‬‬
‫‪m 4‬‬
‫‪1 1‬‬
‫= → =‬
‫‪2m 8‬‬
‫‪2 2‬‬
‫→‬
‫אלכסוני הריבוע שווים זה לזה וחוצים זה את זה ו‪(6)-‬‬
‫נתון ‪ K‬ו‪ F-‬אמצעי צלעות ‪ BO‬ו‪ DO-‬בהתאמה‪.‬‬
‫אורך צלע הריבוע היא ‪) 12‬מש"ל ב'(‪ ,‬וכן מתוך )‪(9‬‬
‫וחיסור קטעים‬
‫‪DF DG‬‬
‫?‬
‫בדיקה לפי משפט תאלס הפוך אם ‪.FG||KC‬‬
‫‪FK GC‬‬
‫⇓‬
‫‪ CKFG‬טרפז מש"ל ג'‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪143‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫שאלה ‪:5‬‬
‫‪45°‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪(2‬‬
‫נתון‬
‫‪p ABC = 90‬‬
‫נתון ‪ +‬סימון‬
‫‪DF = 1.2 x , DE = x‬‬
‫שני משיקים למעגל היוצאים מאותה‬
‫‪DC = EC = y , BE = BF‬‬
‫‪(3‬‬
‫נקודה שווים זה לזה ‪ +‬סימון‬
‫זויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות ‪+‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪p BFE = p BEF = 45°‬‬
‫חישוב‬
‫זוית בין משיק למיתר שווה לזוית‬
‫‪(5‬‬
‫‪p FDE = p BFE = 45°‬‬
‫ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני‬
‫‪ (6‬נבטא את הצלע ‪ FE‬באמצעות משפט הקוסינוסים במשולש ‪: ∆DEF‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪FE = DF + DE − 2 ⋅ DF ⋅ DE ⋅ cos 45° = 1.44 x 2 + x 2 − 1.69 x 2 → FE 2 = 0.74 x 2 → FE = 0.86 x‬‬
‫‪ (7‬נחשב את הזוית ‪ p DEF‬באמצעות משפט הסינוסים במשולש ‪: ∆DEF‬‬
‫‪DF‬‬
‫‪FE‬‬
‫‪1 .2 x‬‬
‫‪0.86 x‬‬
‫=‬
‫→‬
‫=‬
‫‪→ sin p DEF = 0.986 →p DEF = 80.4°‬‬
‫‪sin p DEF sin p FDE‬‬
‫‪sin p DEF sin 45°‬‬
‫‪(8‬‬
‫זוית שטוחה שווה ל‪1800-‬‬
‫‪p DEC = 180° − 80.4° − 45° = 54.6°‬‬
‫‪(9‬‬
‫זויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות‬
‫‪p EDC = p DEC = 54.6°‬‬
‫סכום זויות במשולש ‪∆DCE‬‬
‫‪p DCE = 180° − 2 ⋅ 54.6° → p DCE = 70.8° (10‬‬
‫סכום זויות במשולש ‪ ∆ABC‬מ‪.‬ש‪.‬ל‬
‫‪p BAC = 180° − 90° − 70.8° → p BAC = 19.2° (11‬‬
‫ב‪.‬‬
‫נתון ‪ AC +‬קוטר כיוון שזוית היקפית בת‬
‫‪AC = EC + 7 = y + 7 (12‬‬
‫‪ 900‬נשענת על קוטר‪ .‬נובע מ‪(3)-‬‬
‫חיסור קטעים‪ +‬שני משיקים היוצאים‬
‫‪AD = AC − DC = y + 7 − y → AF = AD = 7 (13‬‬
‫מאותה נקודה שווים זה לזה‬
‫זוית בין משיק למיתר שווה לזוית‬
‫ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני‪.‬‬
‫‪p ADF =p AFD = p DEF = 80.4° (14‬‬
‫נובע מ‪(7)-‬‬
‫‪ (15‬נמצא את ערכו של ‪ x‬באמצעות משפט הסינוסים במשולש ‪: ∆ADF‬‬
‫‪AD‬‬
‫‪DF‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1 .2 x‬‬
‫=‬
‫→‬
‫=‬
‫‪ 1.94‬ס "מ = ‪→ x‬‬
‫‪sin p AFD sin p DAF‬‬
‫‪sin 80.4° sin 19.2°‬‬
‫‪DE = 1.94 , DF = 2.33 (16‬‬
‫נובע מ‪ (2) -‬ו‪(15)-‬‬
‫‪ (17‬נחשב את שטח המשולש ‪ ∆DEF‬באמצעות הנוסחה לשטח משולש בעזרת שתי צלעות והזוית שביניהן‪:‬‬
‫‪DF ⋅ DE ⋅ sin p FDE 2.33 ⋅ 1.94 ⋅ sin 45°‬‬
‫מ‪.‬ש‪.‬ל‬
‫= ‪S ∆DEF‬‬
‫=‬
‫‪ 1.6‬סמ"ר = ‪→ S ∆DEF‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪144‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫שאלה ‪:6‬‬
‫א‪ .‬הנתונים מתייחסים לערכי ה‪ y-‬של נקודות הקיצון המוחלטות של הפונקציה‪ .‬לפונקציה יש שתי נקודות "קיצון‬
‫קצה" בקצות תחום ההגדרה‪ x = 0 :‬ו‪. x = 2 :‬‬
‫בנוסף‪ ,‬נגזור את הפונקציה ונשווה הנגזרת ל‪ 0-‬בכדי לבדוק האם יש לפונקציה גם נקודות קיצון פנימיות‪:‬‬
‫‪= 0 → 2 x − 34 = 0 → x = 17‬‬
‫) ‪a ( 2 x − 34‬‬
‫‪2 x 2 − 34 x + b‬‬
‫= )‪f ' ( x‬‬
‫זהו ערך ה‪ x-‬של הנקודה החשודה כקיצון‪ ,‬אך מכיוון שאינו נמצא בתחום ההגדרה של הפונקציה‪ ,‬נפסול פתרון זה‪.‬‬
‫נסיק כי אין נקודת קיצון פנימית‪ ,‬ולכן ערכי הקיצון המוחלט של הפונקציה הם בהכרח בקצות תחום ההגדרה‪.‬‬
‫)‪a (2 x − 34‬‬
‫= )‪ . f ' ( x‬על פי הנתון‪ a > 0 :‬ותחום ההגדרה ‪ 0 ≤ x ≤ 2‬ניתן להסיק כי הנגזרת‬
‫נתבונן בנגזרת‪:‬‬
‫‪2 x 2 − 34 x + b‬‬
‫שלילית בכל תחום ההגדרה )המונה שלילי והמכנה חיובי בכל תחום ההגדרה(‪ .‬כלומר‪ ,‬הפונקציה )‪ f(x‬יורדת בכל‬
‫תחום הגדרתה‪ ,‬ולכן נסיק כי‪:‬‬
‫הערך המקסימלי ‪ 10‬נמצא בקצה השמאלי של תחום ההגדרה ומתקבל כאשר ‪, x = 0‬‬
‫ואילו הערך המינימלי ‪ 6‬נמצא בקצה הימני של תחום ההגדרה ומתקבל כאשר ‪. x = 2‬‬
‫כלומר‪ ,‬נקודת המקסימום המוחלט היא )‪ (0,10‬ונקודת המינימום המוחלט היא )‪. ( 2,6‬‬
‫נציב את שתי נקודות הקיצון שקיבלנו במשוואת הפונקציה‪:‬‬
‫עבור הצבת ‪ x = 0‬נקבל‪ , f (0) = a b = 10 :‬ועבור הצבת ‪ x = 2‬נקבל‪. f (2) = a ⋅ b − 64 = 6 :‬‬
‫‪a b = 10‬‬
‫‪‬‬
‫‪a ⋅ b − 64 = 6‬‬
‫כעת נוכל לפתור את מערכת המשוואות‪:‬‬
‫‪10‬‬
‫נחלק את המשוואה הראשונה בשנייה ונקבל‪:‬‬
‫‪b − 64 6‬‬
‫נעלה בריבוע את שני האגפים ונחלץ את ‪ .b‬הפתרון הוא‪ , b = 100 :‬ובהתאם ‪. a = 1‬‬
‫=‬
‫‪b‬‬
‫‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬הפונקציה ללא הפרמטרים היא‪. f ( x) = x 2 − 34 x + 100 :‬‬
‫ב‪ .‬נבטא את הפונקציה ) ‪: g ( x‬‬
‫‪= 36 − ( x 2 − 34 x + 100) = − x 2 + 34 x − 64‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫‪− 34 x + 100‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(x‬‬
‫‪g ( x) = 36 −‬‬
‫הפונקציה מוגדרת כאשר הביטוי שבתוך השורש הוא אי שלילי‪. − x 2 + 34 x − 64 ≥ 0 :‬‬
‫המאפסים הם ‪ x = 2‬ו‪ . x = 32 -‬נמקם אותם על ציר ה‪ x-‬ונצייר פרבולה "עצובה"‪:‬‬
‫עלינו למצוא מתי הפרבולה חיובית או שווה ל‪ 0-‬ולכן התחום המבוקש הוא‪. 2 ≤ x ≤ 32 :‬‬
‫ג‪ .‬על מנת למצוא את נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה ) ‪ , g ( x‬נמצא ראשית את כל נקודות הקיצון‪ ,‬ונבדוק את‬
‫‪− 2 x + 34‬‬
‫שיעורי ה‪ y-‬שלהן‪ .‬נשווה את הנגזרת לאפס‪:‬‬
‫= )‪g ' ( x‬‬
‫‪= 0 → −2 x + 34 = 0 → x = 17‬‬
‫‪2 − x 2 + 34 x − 64‬‬
‫ובהתאם‪ ,‬נקבל באמצעות הצבה בפונקציה‪. (17 ,15) ← y = 15 :‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪145‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫לפונקציה )‪ g ( x‬יש גם שתי נקודות "קיצון קצה" בקצות תחום ההגדרה‪ x = 2 :‬ו‪. x = 32 -‬‬
‫‪g (32) = − 32 2 + 34 ⋅ 32 − 64 = 0‬‬
‫נמצא את שיעור ‪ y‬באמצעות הצבה‪, g (2) = − 2 2 + 34 ⋅ 2 − 64 = 0 :‬‬
‫כלומר‪ ,‬שתי נקודות הקצה הן‪. (2,0) , (32,0) :‬‬
‫בסך הכל נמצאו שלוש נקודות קיצון‪.‬‬
‫נקודת הקיצון בעלת שיעור ה‪ y-‬הגבוה ביותר היא נקודת המקסימום המוחלט‪. Max (17 ,15) :‬‬
‫נקודות הקיצון בעלות שיעור ה‪ y-‬הנמוך ביותר הן נקודות המינימום המוחלט‪. Min (2,0) , Min (32,0) :‬‬
‫ד‪ .‬נתבקשנו למצוא לאילו ערכי ‪ x‬מתקיים‪ g ' ( x ) > 0 :‬ולאילו ערכי ‪ x‬מתקיים‪ . g ' ( x ) < 0 :‬למעשה‪ ,‬עלינו למצוא‬
‫את תחומי העליה והירידה של הפונקציה‪ .‬ניעזר בטבלת עלייה וירידה‪:‬‬
‫‪17 < x < 32 x = 32‬‬
‫קצה‬
‫‪20‬‬
‫‪-‬‬
‫קיצון‬
‫‪min‬‬
‫‪max‬‬
‫‪x = 17‬‬
‫‪2 < x < 17‬‬
‫‪5‬‬
‫‪+‬‬
‫‪− 2 x + 34‬‬
‫‪2 − x 2 + 34 x − 64‬‬
‫= )‪. g'( x‬‬
‫תחום ‪x‬‬
‫‪x=2‬‬
‫קצה נציב בנגזרת‬
‫סימן הנגזרת‬
‫הפונקציה‬
‫‪ min‬עולה‪/‬יורדת‬
‫כלומר‪ :‬הנגזרת חיובית כאשר ‪ . 2 < x < 17‬הנגזרת שלילית כאשר‪. 17 < x < 32 :‬‬
‫ה‪ .‬כפי שראינו בסעיף הקודם‪ ,‬בנקודה ‪ x = 17‬עובר גרף הנגזרת ) ‪ g ' ( x‬מחיוביות לשליליות‪ .‬ניתן לשרטט באופן‬
‫סכמטי את גרף הנגזרת‪:‬‬
‫גרף הנגזרת ) ‪ g ' ( x‬נמצא מעל לציר ה‪ x-‬בתחום ‪ , 2 < x < 17‬ומתחת לציר ה‪ x-‬בתחום ‪. 17 < x < 32‬‬
‫עלינו לחשב את השטח הכלוא בין גרף הנגזרת ) ‪ g ' ( x‬לבין ציר ה‪ x-‬והישרים ‪ x = 12‬ו‪. x = 22 -‬‬
‫בטרם נחשב את השטחים ‪ S1‬ו‪ , S 2 -‬נשים לב כי האינטגרל של הנגזרת )‪ g ' ( x‬הוא הפונקציה )‪ g ( x‬עצמה‪:‬‬
‫= ‪= − 17 2 + 34 ⋅17 − 64 − − 12 2 + 34 ⋅12 − 64‬‬
‫‪17‬‬
‫‪12‬‬
‫‪17‬‬
‫‪S1 = ∫ [g ' (x ) − 0]dx = g ( x) 12 = − x 2 + 34 x − 64‬‬
‫‪17‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ 0.86‬יח"ר = ‪15 − 10 2‬‬
‫בחישוב השטח הימני‪ ,‬נשים לב שגרף הנגזרת )‪ g ' ( x‬נמצא מתחת לציר ה‪ ,x-‬ולכן בחישוב האינטגרל‪ ,‬נקפיד על‬
‫המינוס‪:‬‬
‫= ‪= − − 22 2 + 34 ⋅ 22 − 64 + − 17 2 + 34 ⋅ 17 − 64‬‬
‫‪22‬‬
‫‪22‬‬
‫‪− x 2 + 34 x − 64‬‬
‫‪17‬‬
‫‪22‬‬
‫‪∫ [0 − g ' (x )]dx = − g ( x) 17 = −‬‬
‫= ‪S2‬‬
‫‪17‬‬
‫‪ 0.86‬יח"ר = ‪− 10 2 + 15‬‬
‫מחיבור שני השטחים נקבל‪:‬‬
‫‪ 1.72‬יח"ר = ‪. S1 + S 2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪146‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫שאלה ‪:7‬‬
‫א‪ .‬נמצא את האסימפטוטות בתחום‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫≤‪≤x‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . −‬לשם כך‪ ,‬נבדוק מתי המכנה מתאפס‪.‬‬
‫‪(1 − cos x) 2 = 0 → 1 − cos x = 0 → cos x = 1 → x = 2πk‬‬
‫עבור הצבת ערכי ‪ k‬שלמים‪ ,‬חיוביים ושליליים‪ ,‬ניתן לראות כי הפתרון היחיד בתחום הנתון הוא ‪ , x = 0‬ולכן‬
‫האסימפטוטה היחידה בתחום היא‪. x = 0 :‬‬
‫ב‪ .‬נגזור את הפונקציה ונסדר את הנגזרת‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫]‪a cos x(1 − cos x) − a sin x[2(1 − cos x) sin x ] [a(1 − cos x)][cos x(1 − cos x) − 2 sin 2 x‬‬
‫=‬
‫=‬
‫= )‪f ' ( x‬‬
‫‪(1 − cos x) 4‬‬
‫‪(1 − cos x) 4‬‬
‫])‪[a(1 − cos x)][cos x − cos 2 x − 2 sin 2 x] a[cos x − cos 2 x − 2(1 − cos 2 x‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪(1 − cos x) 4‬‬
‫‪(1 − cos x)3‬‬
‫]‪a[cos x − cos 2 x − 2 + 2 cos 2 x] a[cos 2 x + cos x − 2‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪(1 − cos x) 3‬‬
‫‪(1 − cos x) 3‬‬
‫))‪a(cos x + 2)(cos x − 1) a(cos x + 2) ⋅ (−(1 − cos x‬‬
‫)‪a(cos x + 2‬‬
‫=‬
‫‪=−‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(1 − cos x‬‬
‫)‪(1 − cos x‬‬
‫‪(1 − cos x) 2‬‬
‫בשלב האמצעי בשורה הקודמת‪ ,‬הוצאנו מינוס מהכופל הימני במונה כדי לצמצמו עם המכנה‪.‬‬
‫כעת‪ ,‬כאשר הנגזרת מוצגת באופן זה‪ ,‬נוכל לקבוע את סימנה‪ .‬נבדוק את הביטויים המופיעים במונה ובמכנה‪:‬‬
‫‪ .1‬הפרמטר ‪ a‬חיובי משום שנתון ‪. a > 0‬‬
‫‪ .2‬הביטוי )‪ (cos x + 2‬חיובי עבור כל ‪ x‬כי ערכי הקוסינוס האפשריים הם‪. −1 < cosx < 1 :‬‬
‫‪ .3‬המכנה הוא ביטוי ריבועי חיובי לכל ‪ x‬בתחום ההגדרה‪.‬‬
‫לסיכום‪ :‬המכפלה במונה היא שלילית ולכן הנגזרת כולה שלילית‪ .‬כלומר‪ ,‬הפונקציה יורדת לכל ‪ x‬בתחום ההגדרה‪.‬‬
‫ג‪ .‬לפונקציה אין נקודת חיתוך עם ציר ה‪ y-‬כיוון שציר ה‪ y-‬הוא האסימפטוטה ‪ x = 0‬שמצאנו‪.‬‬
‫כדי למצוא את נקודות החיתוך עם ציר ה‪ ,x-‬נשווה את הפונקציה לאפס‪.‬‬
‫‪→ 0 = a sin x → sin x = 0 → x = πk → x = 0‬‬
‫‪a sin x‬‬
‫‪(1 − cos x )2‬‬
‫=‪0‬‬
‫פתרון זה נפסל גם הוא בגלל האסימפטוטה ‪ . x = 0‬לסיכום‪ ,‬לפונקציה אין בתחום נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫ד‪ .‬על פי סעיף ב' אנו יודעים כי אין לפונקציה נקודות קיצון פנימיות‪.‬‬
‫נמצא את שתי נקודות הקיצון בקצות תחום ההגדרה‪ ,‬ובמקרה שלנו‪:‬‬
‫עבור הצבת‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x = −‬בפונקציה נקבל‪:‬‬
‫) ‪,− a‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x = −‬ו‪-‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪.x‬‬
‫‪π‬‬
‫‪(−‬‬
‫) ‪a sin( −‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪−a‬‬
‫= ) ‪f (−‬‬
‫=‬
‫→ ‪= −a‬‬
‫‪π 2 (1 − 0) 2‬‬
‫‪2‬‬
‫)) ‪(1 − cos( −‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫) (‪a sin‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪a‬‬
‫‪π‬‬
‫=) (‪f‬‬
‫=‬
‫)‪= a → ( , a‬‬
‫עבור הצבת = ‪ x‬בפונקציה נקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(1 − cos( )) 2 (1 − 0‬‬
‫‪2‬‬
‫מכיוון שהפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה‪ ,‬נוכל לקבוע כי הנקודה השמאלית היא נקודת מקסימום‪ ,‬ואילו‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫הנקודה הימנית היא נקודת מינימום‪ .‬לסיכום‪ , max(− ,− a ) :‬ו‪. min( , a ) -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪147‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫ה‪ .‬נביע באמצעות ‪ a‬את השטח הכלוא ברביע הראשון בין גרף ) ‪ f (x‬לבין ציר‬
‫‪π‬‬
‫ה‪ x-‬והישרים‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ x‬ו‪-‬‬
‫‪π‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ a sin x‬‬
‫‪‬‬
‫‪S = ∫ ‬‬
‫‪− 0 dx‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪π  (1 − cos x‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪:x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a sin x‬‬
‫כדי לבצע אינטגרציה לביטוי‬
‫‪(1 − cos x) 2‬‬
‫ראשית‪ ,‬נסמן‪. u = 1 − cos x :‬‬
‫נצטרך להשתמש בשיטת ההצבה‪.‬‬
‫‪du‬‬
‫‪du‬‬
‫נגזור את שני אגפי המשוואה ונקבל‪= sin x :‬‬
‫‪ .‬נבודד את ‪ dx‬ונקבל‪:‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪a sin x‬‬
‫‪du‬‬
‫נחזור לאינטגרל לאחר הצבת ‪dx :u‬‬
‫= ‪: dx‬‬
‫∫ = ‪ S‬ונציב בו‪:‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪u2‬‬
‫‪a sin x‬‬
‫‪a sin x du‬‬
‫‪a‬‬
‫∫=‪S‬‬
‫∫ → ‪dx‬‬
‫⋅‬
‫‪→ ∫ 2 du → ∫ au −2 du‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪u‬‬
‫‪u‬‬
‫‪u‬‬
‫‪a‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪−1‬‬
‫רק בשלב זה‪ ,‬לאחר סידור האינטגרל עבור ‪ u‬נבצע את האינטגרציה עצמה‪∫ au du = −au = − u :‬‬
‫‪a sin x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪.−‬‬
‫והוא‪:‬‬
‫נציב בחזרה ‪ u = 1 − cos x‬ונקבל את האינטגרל הסופי של הביטוי‬
‫‪1− cos x‬‬
‫‪(1 − cos x) 2‬‬
‫‪a‬‬
‫לשם הנוחות להמשך התרגיל‪ ,‬נכניס את המינוס למכנה ונקבל סופית שהאינטגרל הוא‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪cos x − 1‬‬
‫= ‪. dx‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ a sin x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ S = ∫ ‬במלואו‪:‬‬
‫כעת נחזור ונבצע את האינטגרל ‪− 0 dx‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪π  (1 − cos x‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ a sin x‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪S = ∫ ‬‬
‫‪−‬‬
‫‪0‬‬
‫‪dx‬‬
‫→‬
‫→‬
‫‪−‬‬
‫→ ‪→ −a + 2a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪x‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫(‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪x‬‬
‫)‬
‫‪π‬‬
‫‪‬‬
‫‪cos − 1 cos − 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫ו‪ .‬הפונקציה ) ‪ g (x‬היא פונקציית הערך המוחלט של הפונקציה ) ‪ . f ( x‬כלומר‪ ,‬הופכת את כל הערכים השליליים‬
‫לחיוביים ללא שינוי הערך המספרי‪ .‬הערך המוחלט אינו משפיע על הערכים החיובים של הפונקציה ולכן היא נראית‬
‫כ'תמונת מראה' כלפי מעלה של החלק השלילי הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫כלומר‪ ,‬שיעורי נקודת הקיצון בקצה השמאלי של תחום ההגדרה הם כעת‪, a ) :‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. (−‬‬
‫נתון כי הישר ‪ y = k‬חותך את גרף ) ‪ g ( x‬בשתי נקודות כאשר ‪. k ≥ 3‬‬
‫הישרים ממשפחת ‪ y = k‬מקבילים לציר ה‪ ,x-‬וחותכים את גרף הפונקציה ) ‪g ( x‬‬
‫בשתי נקודות כאשר הם עוברים דרך שתי נקודות הקיצון או מעליהן‪ .‬כלומר‪ ,‬הערך‬
‫המינימלי שאותו יוכל לקבל הפרמטר ‪ k‬הוא ‪ ,a‬ואם נתחשב בנתון ‪ , k ≥ 3‬הרי‬
‫שערך זה הוא ‪ ,3‬ולכן ‪. a = 3‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪148‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫שאלה ‪:8‬‬
‫א‪ .‬על פי הנתון‪ ,‬המשיקים בנקודה ‪ A‬מאונכים זה לזה‪ ,‬ולכן מכפלת שיפועיהם היא ‪.-1‬‬
‫ראשית‪ ,‬נביע את שיעור ה‪ x-‬של הנקודה ‪ A‬על ידי השוואת הפונקציות‪:‬‬
‫‪5a 2‬‬
‫= ‪f ( x ) = g ( x ) → 16 x − a 2 = 9a 2 − 16 x → 16 x − a 2 = 9a 2 − 16 x → 32 x = 10a 2 → x‬‬
‫‪16‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5a‬‬
‫= ‪ x‬בנגזרות‪:‬‬
‫את השיפועים בנקודה ‪ A‬נמצא על ידי גזירת הפונקציות והצבת‬
‫‪16‬‬
‫‪16‬‬
‫‪5a 2‬‬
‫‪16‬‬
‫‪16‬‬
‫‪16 4‬‬
‫= ) ‪f ( x ) = 16 x − a 2 → f ' ( x‬‬
‫(' ‪→ f‬‬
‫=)‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪16‬‬
‫‪4‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2 16 x − a‬‬
‫‪5a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪a‬‬
‫(‪2 16‬‬
‫‪) − a2‬‬
‫‪16‬‬
‫‪2‬‬
‫‪− 16‬‬
‫‪5a‬‬
‫‪− 16‬‬
‫‪− 16‬‬
‫‪− 16 − 4‬‬
‫= ) ‪g ( x ) = 9a 2 − 16 x → g ' ( x‬‬
‫=)‬
‫( '‪→ g‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪16‬‬
‫‪4a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2 9a − 16 x‬‬
‫‪5a‬‬
‫‪2 4a‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪2 9a − 16‬‬
‫)‬
‫‪16‬‬
‫‪−4 4‬‬
‫‪⋅ = −1 → a 2 = 16 → a = ±4‬‬
‫כאמור‪ ,‬מכפלת השיפועים היא ‪ -1‬ולכן‪:‬‬
‫‪a a‬‬
‫ולאור הנתון ‪ a > 0‬נקבל את הפתרון ‪. a = 4‬‬
‫ב‪ .‬זוהי בעיית קיצון‪ .‬בשאלות מסוג זה נביע את פונקציית המטרה‪ ,‬נגזור אותה ונמצא את נקודת הקיצון המבוקשת‪.‬‬
‫‪. f ( x ) = 16 x − 16 , g ( x ) = 144 − 16 x‬‬
‫ראשית נרשום את הפונקציות לאחר הצבת ‪: a = 4‬‬
‫‪5 ⋅ 42‬‬
‫בעזרת סעיף א' נמצא את שיעור ה‪ x-‬של הנקודה ‪= 5 :A‬‬
‫‪16‬‬
‫כעת נמצא את נקודות החיתוך של הפונקציות הנתונות עם ציר ‪ ,x‬ולצורך כך נשווה את הפונקציות ל‪:0-‬‬
‫)‪f ( x ) = 0 = 16 x − 16 → 0 = 16 x − 16 → x = 1 → B (1,0‬‬
‫=‪.x‬‬
‫)‪g ( x ) = 0 = 144 − 16 x → 0 = 144 − 16 x → x = 9 → C (9,0‬‬
‫השטח המבוקש הוא שטח מורכב‪ ,‬ולכן נוריד אנך מנקודת המפגש ‪ A‬לציר ה‪.x-‬‬
‫נוסיף לשרטוט את שני הישרים ‪ x = m‬ו‪ x = m + 6 :‬כך שהם עוברים משני צדי הנקודה ‪ A‬אך בין הנקודות ‪ B‬ו‪.C-‬‬
‫נקרא לשטח השמאלי ‪ S1‬ולשטח הימני ‪ ,S2‬ונחשב בנפרד את נפח גוף הסיבוב‬
‫המתקבל עבור כל אחד מהשטחים המסתובבים סביב ציר ה‪.x-‬‬
‫נפח גוף הסיבוב של ‪:S1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫]‪V1 = π ∫ ( 16x − 16 ) 2 dx = π ∫ (16x − 16)dx = π ⋅ (8x 2 − 16x) = π [200 − 80 − (8m 2 − 16m)] = π [−8m 2 + 16m + 120‬‬
‫נפח גוף הסיבוב של ‪:S2‬‬
‫=‬
‫‪m+ 6‬‬
‫‪5‬‬
‫) ‪(144 − 16 x)dx = π ⋅ (144 x − 8 x 2‬‬
‫‪m+ 6‬‬
‫∫ ‪( 144 − 16 x ) 2 dx = π‬‬
‫‪5‬‬
‫‪m+6‬‬
‫∫ ‪V2 = π‬‬
‫‪5‬‬
‫]‪π [(144(m + 6) − 8(m + 6) 2 − 520] = π [144m + 864 − 8m 2 − 96m − 288 − 520] = π [−8m 2 + 48m + 56‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪149‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫כעת נחבר את שני נפחי גוף הסיבוב שמצאנו כדי לקבל את פונקציית המטרה )הנפח הכולל(‪:‬‬
‫)‪h(m) = V1 + V2 = π (−8m 2 + 16m + 120) + π ( −8m 2 + 48m + 56) = π (−16m 2 + 64m + 176‬‬
‫נגזור את הפונקציה‪:‬‬
‫‪h' ( m) = π ( −32m + 64) = 0 → 32m = 64 → m = 2‬‬
‫נבדוק את סוג הקיצון‪ ,‬על ידי שימוש בנגזרת השנייה‪ ,‬כדי לוודא שאכן קיבלנו נפח מקסימלי כפי שהתבקשנו‪:‬‬
‫‪h' ' (m) = −32π < 0 → Max‬‬
‫ואכן‪ ,‬עבור ‪ m = 2‬נפח גוף הסיבוב המתקבל הוא מקסימלי‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪150‬‬