docשאלון 806 - מבחן 1
download 
Report Transcription
שאלון 806 - מבחן 1
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
שאלון - 806מבחן 1
1
3
פרק ראשון -אלגברה והסתברות ) 33נק'(
2
ענה על שתיים מהשאלות ) 1-3לכל שאלה
3
16נק'(
.1שבעה סוכני מודיעין אמריקנים צריכים לפענח קוד הכולל אלפי שורות .מדי יום מחכה להם מכסת
פענוח יומית קבועה .למעשה ,שלושה מהם אינם אלא מרגלים סובייטים ,שמטרתם לעכב את העבודה,
ולכן הם רק מוחקים שורות שפוענחו כך שיש לפענחם מחדש .אם ארבעת האמריקנים האמיתיים יחלו
בעבודה יחד וכעבור שעה יצטרפו שלושת המרגלים ,תסתיים עבודת הפענוח תוך שש שעות מתחילתה.
אם שני סוכנים אמריקנים אמיתיים יחלו בעבודה ב 10:00-וכעבור שעה יצטרפו חמשת הנוספים
לעבודה ,אז ב 12:00-רק 30%מהעבודה תהיה גמורה.
א .מצא כמה זמן דרוש לסוכנים האמריקנים לסיים את פענוח הקוד אם יעבדו עליו רק ארבעתם.
ב .בשעה 6:00החלו שני אמריקנים את עבודת הפענוח .ב 7:00-הצטרפו לעבודה שני סובייטים .ב8:00-
הצטרפו היתר .מצא באיזו שעה תסתיים עבודת הפענוח כולה.
ג .ידוע שסוכן אמריקאי מסוגל לפענח 20שורות בשעה .ביום ד' ,הגיעו למשרד רק שלושה סוכנים
אמריקאים ושני סובייטים .חשב תוך כמה שעות יספיק הצוות של אותו יום ד' לפענח 252שורות.
.2נתונה סדרה הנדסית עולה Anשאיבריה . a1 , a 2 , a3 ,......, a n ,... :באמצעות איברי הסדרה Anמגדירים
סדרה חדשה Bnבאופן הבא :מחסרים מכל איבר את האיבר הבא אחריו .סכום nהאיברים הראשונים
בסדרה Bnשווה בערכו המוחלט לסכום nהאיברים הראשונים בסדרה . An
א.
ב.
ג.
הוכח :הסדרה Bnהיא הנדסית.
מצא את המנה של הסדרה . An
בסדרה המקורית Anמספר זוגי של איברים .כעת עושים בה שינויים נוספים :מכפילים את כל
האיברים שבמקומות האי זוגיים פי mומחלקים את כל האיברים שבמקומות הזוגיים ב .m-מצא
עבור אילו ערכי ,mסכום הסדרה לאחר השינויים גדול מהסכום המקורי.
.3בהגרלה ניתן לזכות בשלושה פרסים :לזכות ב 25-ש"ח בהסתברות ,pלזכות ב 75-ש"ח בהסתברות 0.1
או לזכות ב 50-ש"ח .אם דני זוכה ב 75-ש"ח ,הוא לוקח את הכסף ועוזב את ההגרלה .אם הוא זוכה ב50-
ש"ח ,ההסתברות שישתתף בהגרלה נוספת היא .0.3אם הוא זוכה ב 25-ש"ח ,ההסתברות שישתתף
בהגרלה נוספת היא .0.6לפי התקנון ,דני אינו יכול להשתתף ביותר משתי הגרלות .נתון כי ההסתברות
שדני ירוויח עד סוף היום בדיוק 75ש"ח היא .0.28
א .חשב את ערכו של הפרמטר . ( p > 0.4) p
ב .חשב את ההסתברות שדני יזכה ב 50-ש"ח או ב 100-ש"ח.
ג .ידוע שדני זכה סך הכל באותו יום ב 75-ש"ח בדיוק .חשב את ההסתברות שעזב לאחר ההגרלה
הראשונה ,מבלי להשתתף בהגרלה נוספת.
ד .דני ניגש לאותה הגרלה כל יום במשך חמישה ימים .חשב את ההסתברות שבשניים מהימים יהיה
סכום הזכיה היומי הכולל לכל הפחות .₪ 100
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
עמוד 119
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
1
3
פרק שני -גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ) 33נק'(
2
ענה על שתיים מהשאלות ) 4-6לכל שאלה
3
16נק'(
.4בריבוע ABCDשצלעו aנתון F :אמצע .DOהישר AGחותך את
האלכסון BDבנקודה .Fבמשולש ∆CDOנתון.EF||CD :
א .הבע באמצעות aאת אורכי הצלעות FEו.CG -
ב .נתון ששטח הטרפז CEFGהוא 21סמ"ר .חשב את ערכו של .a
ג .נתון שהנקודה kהיא אמצע .BOהוכח KFGC :טרפז.
.5הרדיוסים של שני המעגלים המופיעים בשרטוט שווים באורכם.
המעגלים נחתכים בנקודות Dו E-והמיתר DEמשותף לשני
המעגלים .הישר BCעובר דרך הנקודה .Eהמיתר AEחוצה
את הזוית . p CADהישר EFחוצה את הזוית . p BED
א .הוכח :המיתרים BEו DF-מקבילים זה לזה.
ב .הוכח.BF=CE :
ג .נסמן . p EAD = α :רדיוס המעגל השמאלי הוא .R
אלכסוני המרובע BEDFנחתכים בנקודה .O
הבע באמצעות Rו α-את שטחי המשולשים ∆DEFו. ∆BOE :
ד .נתון ששטחי המשולשים ∆DEFו ∆BOE :שווים.
חשב את הזווית .α
.6במשולש ∆ABCישר הזווית ) ( p ABC = 90 0חסום מעגל .המעגל משיק
למשולש ∆ABCבנקודות E ,Dו .F-הצלע DFארוכה ב 20%-מהצלע .DE
א .חשב את שתי הזוויות החדות במשולש . ∆ABC
ב .קוטר המעגל החוסם את המשולש ∆ABCארוך ב 7-ס"מ מהקטע .CEחשב
את שטח המשולש . ∆DEF
פרק שלישי -חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים ,פונקציות שורש ,פונקציות רציונליות
1
3
ופונקציות טריגונומטריות ) 33נק'(
2
ענה על שתיים מהשאלות ) 7-9לכל שאלה
3
16נק'(
.7נתונה הפונקציה f ( x ) = a ⋅ x 2 − 34 x + b :בתחום . 0 ≤ x ≤ 2הפרמטרים aו b-חיוביים .בתחום הנתון,
הערך המקסימלי שהפונקציה מקבלת הוא 10והערך המינימלי שהיא מקבלת הוא .6
א .מצא את ערכי הפרמטרים aו.b-
ב .הגדירו פונקציה חדשה . g ( x) = 36 − f 2 (x ) :מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ) . g (x
ג .מצא את נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה ) . g (x
ד .מצא לאילו ערכי xמתקיים g ' ( x ) > 0 :ולאילו ערכי xמתקיים. g ' ( x ) < 0 :
ה .חשב את השטח הכלוא בין גרף הנגזרת ) , g ' ( xלבין ציר ה x-ולבין הישרים x = 12 :ו. x = 22 -
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
עמוד 120
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
a sin x
.8נתונה הפונקציה
(1 − cos x )2
ארכימדס -פתרונות למידה
= )f ( x
) (a > 0בתחום. − π ≤ x ≤ π :
2
2
בתשובות לסעיפים הבאים ניתן להשתמש ,במידת הצורך ,בפרמטר :a
א .מצא את האסימפטוטות האנכיות לגרף הפונקציה ) f (xבתחום הנתון.
ב .הוכח :גרף הפונקציה ) f (xיורד לכל xבתחום ההגדרה.
ג .מצא את נקודת החיתוך של גרף ) f (xעם הצירים בתחום הנתון.
ד .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה ) f (xבתחום הנתון.
ה .הבע באמצעות aאת השטח הכלוא ברביע הראשון בין גרף הפונקציה ) f (xלבין ציר ה x-ולבין הישרים
x = πו. x = π :
2
3
ו .מגדירים פונקציה חדשה . g ( x ) = f ( x ) :הישר y = kחותך את גרף ) g (xבשתי נקודות כאשר
. k ≥ 3מצא את ערכו של הפרמטר .a
.9בשרטוט נתונים הגרפים של הפונקציות f ( x ) = 16 x − a 2 :ו . g ( x ) = 9a 2 − 16 x :הישרים המשיקים
לגרפים של שתי הפונקציות בנקודה Aמאונכים זה לזה.
א .מצא את ערכו של הפרמטר . (0 < a ) a
ב .הגרפים של הפונקציות ) f (xו g (x ) -חותכים את ציר ה x-בנקודות
Bו C-בהתאמה .מעבירים את שני הישרים x = mו, x = m + 6 :
כך שהם עוברים משני צדי הנקודה ,Aאך בין הנקודות Bו.C-
השטח הכלוא בין הגרפים של שתי הפונקציות ,לבין שני הישרים
ולבין ציר ה x-מסתובב סביב ציר ה.x-
מצא את ערכו של הפרמטר mעבורו נפח גוף הסיבוב המתקבל הוא
מקסימלי.
בהצלחה!
פתרונות:
(1א .שלוש שעות .ב .14:00 .ג 9 .שעות.
(2ב . q = 2 .ג 2 < m .או . 0 < m < 1
(3א .0.5 .ב .0.508 .ג . 5 .ד.0.06 .
14
(4א . CG = 2a , FE = a .ב 12 .ס"מ = . a
2
3
2R sin 3α sin α
(5ג, S ∆DEF = 2R 2 sin 2 α ⋅ sin 2α .
sin 2α
(6א . 70.8 0 , 19.2 0 .ב 1.6 .סמ"ר.
(7א . b = 100 , a = 1 .ב . 2 ≤ x ≤ 32 .ג. Min (2,0), Max (17,15), Min (32,0) .
ד g ' ( x ) > 0 .כאשר g ' ( x ) < 0 . 2 < x < 17 :כאשר . 17 < x < 32 :ה 1.72 .יח"ר.
2
2
2
= . S ∆BOEד. α = 360 .
(8א . x = 0 .ג .אין .ד . Max − π ,− a , Min π , a .ה . S = a .ו. a = 3 .
2
2
(9א . a = 4 .ב. m = 2 .
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
עמוד 121
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
פתרון מלא -מבחן 1
שאלה :1
א .בשאלות הספק נפתח תמיד בסימון יעיל של ההספקים:
1
נסמן ב x -את משך הזמן הדרוש לסוכן אמריקני "אמיתי" לסיים לבדו את העבודה כולה ,ובהתאם ,הספקו הוא .
x
1
נסמן ב y -את משך הזמן הדרוש למרגל סובייטי לסיים לבדו את העבודה כולה ,ובהתאם ,ההספק שלו הוא .
y
כעת נמלא את הנתונים הראשונים בטבלה:
נשים לב :פעולת המרגלים
הפוכה מפעולת הסוכנים ולכן
ההספק שלהם הוא שלילי.
בנוסף ,הספק משותף מחושב על
ידי מכפלת מספר הסוכנים
בהספק האישי שלהם.
מספר
העובדים
ארבעה
סוכנים
מתחילים
ואז שלושה
מרגלים
מצטרפים
סוכנים
4
מרגלים
3
זמן
הספק
1
x
1
−
y
6
5
החלק היחסי
שבוצע מהעבודה
4
24
= ⋅6
x
x
3
15
− ⋅5 = −
y
y
15 x
24 15
,ולאחר סידור:
ביחד הם סיימו את כל העבודה כולה ומכאן מתקבלת המשוואה− = 1 :
24 − x
x
y
נמלא את הנתונים הבאים בטבלה:
החלק היחסי
מספר
זמן
העובדים הספק
שבוצע מהעבודה
= .(I) y
שני סוכנים
מתחילים וכעבור
שעה ,מצטרפים
עוד שני סוכנים
ושלושה מרגלים
סוכנים
2
סוכנים
2
מרגלים
3
1
x
1
x
1
−
y
2
1
1
4
x
2
x
3
−
y
4 2 3
3x
ביחד סיימו רק 30%מהעבודה כולה ומכאן מתקבלת המשוואה . + − = 0.3 :נסדר:
6 − 0 .3 x
x x y
נשווה בין המשוואות ) (Iו (II)-ונמצא את ) xתחילה נצמצמם ב:( x ≠ 0 ,x-
15 x
3x
=
→ 90 − 4.5 x = 72 − 3 x → 1.5 x − 18 = 0 → x = 12
24 − x 6 − 0.3 x
= .(II) y
אם כן ,הזמן הדרוש לסוכן אמריקני אחד לסיים את העבודה כולה הוא 12שעות .במידה ויעבדו 4סוכנים אמריקנים
12
,כלומר 3 :שעות.
במקביל ,הזמן שיידרש להם לסיים את העבודה הוא
4
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
עמוד 122
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
ב .לאחר הצבת הפתרון x = 12באחת המשוואות מהסעיף הקודם נמצא כי . y = 15
1
1
כלומר :הספקו של סוכן אמריקני הוא
.
,ואילו הספקו של מרגל סובייטי הוא
15
12
כעת נמלא את נתוני הסעיף בטבלה:
מספר
העובדים
שני סוכנים מתחילים
לעבוד בשעה .06:00
2
שני מרגלים מתחילים
לעבוד בשעה .07:00
2
שני סוכנים נוספים מצטרפים
בשעה .08:00
2
המרגל האחרון מצטרף
בשעה .08:00
1
הספק
1
12
1
−
15
1
12
1
−
15
זמן
t
t −1
t −2
t −2
החלק היחסי
שבוצע מהעבודה
2t
t
→
6
12
)2(t − 1
15
)2(t − 2
t−2
→
6
12
t −2
−
15
−
עלינו לגלות באיזו שעה הם יסיימו את העבודה כולה ולכן נשווה את סך העבודה שביצעו ל:1-
t 2(t − 1) t − 2 t − 2
2t − 2 3t − 4
−
+
−
→=1
−
= 1 → 10t − 10 − 6t + 8 = 30 → 4t = 32 → t = 8
6
15
6
15
6
15
הסוכנים הראשונים התייצבו לעבודה בשעה .6:00עבודת הפענוח הסתיימה כעבור 8שעות ,בשעה .14:00
ג .מצאנו כי הזמן הדרוש לסוכן אמריקני לסיים לבדו את העבודה הוא 12שעות ,ואילו למרגל סובייטי 15שעות.
4
12
מכאן שיחס הזמנים הוא
,ולאחר צמצום:
5
15
.
המרגל הסובייטי עובד לאט יותר מהסוכן האמריקני .אם קצב העבודה של הסוכן האמריקני הוא 20שורות בשעה,
4
5
קצב העבודה של המרגל הסובייטי הוא , ⋅ 20 :כלומר 16 :שורות בשעה.
נסמן ב t-את הזמן הדרוש לסוכנים לסיים את עבודת הפענוח ונציב את הנתונים במשוואה:
מספר
זמן
קצב
העובדים
שלושה
3
סוכנים
t
20
סוכנים ושני
מרגלים
2
מרגלים
t
− 16
עובדים
ביחד
כמות השורות
שפוענחו
60t
− 32 ⋅ t
ביחד הם פיענחו 252שורות ומכאן מתקבלת המשוואה:
60t − 32t = 252 → 28t = 252 → t = 9
כלומר ,הזמן הדרוש לסוכנים לסיים את עבודת הפענוח הוא 9שעות .
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
עמוד 123
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
שאלה 2
Bn +1
א .כדי להוכיח כי הסדרה Bnהיא הנדסית ,עלינו להראות שמנתה קבועה ואינה תלויה ב .n-כלומר= q B :
Bn
(I ) Bn = An − An+1
תחילה נמצא את האיבר הכללי בסדרה . Bnלפי הנתון:
.
הסדרה Anהיא סדרה הנדסית עולה שאיברה הראשון הוא . a1נסמן את מנת הסדרה Anבאמצעות qונקבל כי
n
An +1 = a1 ⋅ q n +1−1 → An+1 = a1 ⋅ q
האיבר הכללי של הסדרה Anהוא An = a1 ⋅ q n −1 :ובהתאם:
נחזור ונציב ב (I ) -ונקבל:
)Bn = An − An −1 → a1 ⋅ q n −1 − a1 ⋅ q n → Bn = a1 ⋅ q n ⋅ (q −1 − 1
נציב באיבר הכללי n + 1ונקבל גם את האיבר . Bn+1 = a1 ⋅ q n +1 ⋅ (q −1 − 1) : Bn +1
(
(
)
)
Bn +1 a1 ⋅ q n +1 ⋅ q −1 − 1 q n +1 q ⋅ q n
=
)מספר קבוע( = n = n = q
נוכיח כי הסדרה Bnהנדסית:
Bn
a1 ⋅ q n ⋅ q −1 − 1
q
q
ב .נתון כי סכום nהאיברים הראשונים בסדרה Bnשווה בערכו המוחלט לסכום nהאיברים הראשונים בסדרה . An
(
)
a1 q n − 1
האיבר הראשון בסדרה Anהוא a1ומנתה . qסכום nהאיברים הראשונים בסדרה Anהוא:
q −1
)
= . SA
(
) B1 = a1 ⋅ q 1 ⋅ q −1 − 1 → B1 = a1 ⋅ (1 − q
נציב n = 1באיבר הכללי של הסדרה Bnונמצא את : B1
כאמור ,מנת הסדרה Bnהיא , qולכן סכום nהאיברים הראשונים בסדרה Bnהוא:
)
נשווה:
(
(
)
a1 (1 − q ) ⋅ q n − 1
− a1 (q − 1) ⋅ q n − 1
= → SB
)→ S B = −a1 ⋅ (q n − 1
q −1
q −1
n
a q −1
1
1
S A = SB → 1
→ = − a1 ⋅ q n − 1
→ = −1
= 1 → 1 = q −1 → q = 2
q −1
q −1
q −1
)
)
(
= SB
(
ג .נסמן את q , n , a1של הסדרה המקורית ושתי תתי הסדרות )האיברים במקומות האי זוגיים והזוגיים(:
בסדרה המקורית :מספר האיברים הוא זוגי . 2n :מנת הסדרה היא q = 2והאיבר הראשון הוא . a1
(
)
a1 2 2 n − 1
)→ S 2 n = a1 (4 n − 1
=
מכאן שסכום הסדרה המקורית הוא:
2 −1
בסדרת המקומות האי זוגיים :מספר האיברים הוא . nמנת הסדרה היא q2 = 4 :והאיבר הראשון הוא . m ⋅ a1
)
S 2n
(
m ⋅ a1 4 n − 1
)m ⋅ a1 (4 n − 1
= אי זוגיים S
= אי זוגיים → S
מכאן שסכום האיברים שבמקומות האי זוגיים הוא:
3
4 −1
2a
בסדרת המקומות הזוגיים :מספר האיברים הוא . nמנת הסדרה היא q2 = 4 :והאיבר הראשון הוא . 1
m
2a1 n
4 −1
2a
= mזוגיים S
) = 1 (4 n − 1זוגיים → S
מכאן שסכום האיברים שבמקומות הזוגיים הוא:
3m
4 −1
)
(
(
)
(
m ⋅ a1 4 n − 1 2a1 n
+
עלינו למצוא עבור אלו ערכי mמתקיים > S 2 n :זוגיים + Sאי זוגיים . Sכלומר4 − 1 > a1 4 n − 1 :
3
3m
הסדרה Anעולה ולכן . a1 > 0 :כמו כן מתקיים , 4 n − 1 > 0 :ולכן נוכל לצמצם בשני הביטויים החיוביים:
)
)
(
)
(
(m − 1)(m − 2) > 0
m ⋅ a1 4 n − 1 2a1 n
m 2
m 2 − 3m + 2
+
4 − 1 > a1 4 n − 1 → +
→ −1 > 0
→>0
m
3
3m
3 3m
m
המספרים
ציר
על
m
=
2
ו
m
=
1
,
m
=
0
והמכנה
המונה
נמקם את מאפסי
+
+
:
השוויון
באי
השמאלי
הביטוי
סימן
את
לבדוק
כדי
ערכים,
ונציב סביבם
1
0
2
ניתן לראות כי תחום החיוביות הוא m > 2 :או . 0 < m < 1
)
(
)
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
(
עמוד 124
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
שאלה :3
א .ההתלבטות הראשונית בפתרון בעיה בהסתברות היא לרוב האם נפתור את התרגיל באמצעות טבלה או באמצעות
עץ .כאשר השאלה עוסקת בהגרלה בה יש מספר אפשרויות זכייה נבחר לרוב להשתמש בשיטת העץ .להגרלה
המתוארת בתרגיל זה יש שלוש תוצאות אפשריות :זכייה ב ,₪ 25-זכייה ב ₪ 50-או זכייה ב ,₪ 75-ולכן סכום
ההסתברויות שלהן שווה ל .1-אם כך ,נוכל לבטא את ההסתברות לזכות ב ₪ 50-כ , 1 − p − 0.1 :או למעשה
. 0.9 − pראשית נציג את התרחישים האפשריים בעץ:
דני
p
0.9-p
₪ 25
0.4
לא ממשיך בהגרלה נוספת
₪ 50
0.3
0.6
הגרלה 2
₪ 75
בכל מקרה לא ממשיך בהגרלה נוספת
0.7
לא ממשיך בהגרלה נוספת
הגרלה 2
p
p
₪ 25
0.1
0.9-p
₪ 50
0.1
₪ 75
0.9-p
₪ 25
0.1
₪ 75
₪ 50
כדי למצוא את ההסתברות pניצור משוואה ש p-הוא הנעלם היחיד בה .הנתון המסייע לנו בכך הוא שההסתברות
שדני ירוויח בדיוק 75ש"ח בסוף היום היא .0.28
קיימים שלושה תרחישים אפשריים לזכייה ב) ₪ 75-הנובעים מהגבלה של השתתפות בשתי הגרלות לכל היותר(:
(1זכייה בהגרלה הראשונה ב ₪ 75-ולאחריה פרישה מן המשחק.0.1:
(2זכייה בהגרלה הראשונה ב ₪ 25-וב ₪ 50-בהגרלה השנייה. p ⋅ 0.6 ⋅ (0.9 − p) :
(3זכייה בהגרלה הראשונה ב ₪ 50-וב ₪ 25-בהגרלה השנייה. (0.9 − p) ⋅ 0.3 ⋅ p :
אם כן ,סכום ההסתברויות של שלושת התרחישים הללו הוא .0.28ניצור משוואה מתאימה לפי העץ:
0.1 + p ⋅ 0.6 ⋅ (0.9 − p ) + (0.9 − p) ⋅ 0.3 ⋅ p = 0.28
0.1 + 0.54 p − 0.6 p 2 + 0.27 p − 0.3 p 2 = 0.28 → 0.9 p 2 − 0.81 p + 0.18 = 0
למשוואה זו שני פתרונות אפשריים , p1 = 0.5, p2 = 0.4 :אך ידוע לנו כי p > 0.4ולכן . p = 0.5
כעת נוכל להשלים את ההסתברויות בעץ.
דני
0.5
0.4
₪ 25
0.4
לא ממשיך בהגרלה נוספת
0.5
₪ 25
₪ 50
₪ 50
0.3
0.6
הגרלה 2
0.4
₪ 75
בכל מקרה לא ממשיך בהגרלה נוספת
0.7
הגרלה 2
0.5
0.1
₪ 75
0.1
₪ 25
0.4
₪ 50
לא ממשיך בהגרלה נוספת
0.1
₪ 75
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
עמוד 125
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
ב .מהעץ ניתן לראות כי קיימים ארבעה תרחישים שיסתיימו בכך שדני יזכה ב ₪ 50-או ב:₪ 100-
(1זכייה ב ₪ 25-בהגרלה הראשונה וב ₪ 25-בהגרלה השנייה.
(2זכייה ב ₪ 50-ואי-השתתפות בהגרלה נוספת.
(3זכייה ב ₪ 25-בהגרלה הראשונה וב ₪ 75-בהגרלה השנייה.
(4זכייה ב ₪ 50-בהגרלה הראשונה וב ₪ 50-בהגרלה השנייה.
אם כן ,ההסתברות שדני יזכה ב 50-או ב ₪ 100-הינה סכום ההסתברויות של ארבעת המאורעות הללו:
0.5 ⋅ 0.6 ⋅ 0.5 + 0.4 ⋅ 0.7 + 0.5 ⋅ 0.6 ⋅ 0.1 + 0.4 ⋅ 0.3 ⋅ 0.4 = 0.15 + 0.28 + 0.03 + 0.048 = 0.508
ג .ראשית נשים לב שהשאלה פותחת במלים ידוע שדני זכה בדיוק ב .₪ 75-צמד מלים זה רומז על הסתברות
מותנית .כלומר ,מדגישות כי אנחנו לא עוסקים עוד בהגרלה תיאורטית אשר בה כל אפשרויות הזכייה קיימות ,אלא
ב"עולם אפשרויות" מצומצם )מותנה( ,בו אפשרויות הזכייה היחידות הקיימות הן אלו אשר עומדות בתנאי שניתן
לנו .בסעיף זה "עולם האפשרויות" מצומצם יותר ולכן אנו עוברים מעץ שלם לעץ חלקי .ידוע שדני זכה ב ₪ 75-ולכן
בעץ קיימים רק שלושת המסלולים שבסופם זכה דני ב) ₪ 75-חץ מודגש(:
דני
0.5
0.4
₪ 25
0.4
לא ממשיך בהגרלה נוספת
0.5
₪ 25
₪ 50
0.4
₪ 50
0.6
הגרלה 2
הגרלה 2
0.1
0.4
0.5
₪ 25
₪ 75
בכל מקרה לא ממשיך בהגרלה נוספת
0.7
0.3
₪ 75
0.1
₪ 50
לא ממשיך בהגרלה נוספת
0.1
₪ 75
זוהי הסתברות מותנית ,ובמקרים כאלו עלינו לחלק את ההסתברות של המאורע המסוים )הרוויח ₪ 75ועזב אחרי
הגרלה ראשונה ,הענף השמאלי ביותר( בהסתברות של "העולם החדש" והמצומצם )זכה סך הכל ב ,₪ 75-בכל
הענפים המודגשים(:
5
P( B ∩ A) 0.1
= )P( B / A
=
=
)P( A
0.28 14
ד .כאשר יש יותר משלוש חזרות נשתמש בנוסחת ברנולי .ראשית נחשב את ,pההסתברות של מאורע בודד .במקרה
זה ההסתברות לזכייה ב ₪ 100-לפחות ביום אחד )ניתן להיעזר בעץ המקורי( כוללת בתוכה שלוש אפשרויות:
(1זכייה ב ₪ 25-בהגרלה הראשונה וב ₪ 75-בהגרלה השנייה .ההסתברות. 0.5 ⋅ 0.6 ⋅ 0.1 = 0.03 :
(2זכייה ב ₪ 50-בהגרלה הראשונה וב ₪ 50-בהגרלה השנייה .ההסתברות. 0.4 ⋅ 0.3 ⋅ 0.4 = 0.048 :
(3זכייה ב ₪ 50-בהגרלה הראשונה וב ₪ 75-בהגרלה השנייה .ההסתברות. 0.4 ⋅ 0.3 ⋅ 0.1 = 0.012 :
כלומר ,ההסתברות pשדני יזכה ביום אחד בסכום של לפחות ₪ 100היא. 0.03 + 0.048 + 0.012 = 0.09 :
בנוסף נאמר כי דני מנסה את מזלו בהגרלה חמש פעמים ,לכן .n=5אנו נדרשים למצוא את ההסתברות שיזכה ב100-
₪או יותר ביומיים מתוכם ) .(k=2נציב את כל הנתונים בנוסחת ברנולי:
n k
5
( p ) (1 − p ) n −k = (0.09) 2 (0.91) 3 = 0.06
k
2
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
עמוד 126
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
שאלה :4
א .מכיוון שאנו מתבקשים למצוא את EFנתחיל בשימוש בנתונים שקיימים עבורו:
נתון
(1
Fאמצע צלע DO
נתון
EF||CD (2
נובע מ (1)-ו .(2)-קטע היוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע
(3
EFקטע אמצעים במשולש ∆CDO
שמולו
קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע שמולו ושווה
⇓
למחציתה
(4
EF = 0.5aמש"ל א'
כעת עלינו להביע את אורך צלע CGבעזרת . aבדרך כלל יהיה קשר כלשהו בין הצלעות אותן אנחנו מתבקשים
למצוא או להביע בשאלה ,לכן נשים לב כי גם EFוגם CGנמצאים בתוך , ∆ACGומכיוון שהן מקבילות ניתן
להשתמש כאן במשפט תאלס.
AE EF
=
: ∆ACG (5
הרחבה שנייה של משפט תאלס
AC CG
נשתמש במאפייני הריבוע והאלכסונים בו כדי למצוא את היחס בתוך המשולש ∆ACG
אלכסונים בריבוע שווים זה לזה וחוצים זה את זה +
AO = OC = 2m (6
הצבה
מתוך ) (3ו(6)-
OE = EC = m (7
נציב את אורכי הצלעות ביחס תאלס שמצאנו במשולש ∆ACG
3m 0.5a
=
: ∆ACG (8
4m CG
⇓
2
(9
a
3
ב .נתון ששטח הטרפז CEFGהוא 21סמ"ר ,ומבקשים מאתנו לחשב את
. aנשים לב כי בסעיף א' הבענו בעזרת aאת שני אורכי בסיסי הטרפז )EF
ו (CG-ולכן נותר רק להביע את גובה הטרפז כדי למצוא את . a
= CGמש"ל ב'
N
M
OM (10גובה במשולש שווה שוקיים ∆OCD
OM||AD (11
OM (12קטע אמצעים במשולש ∆ACD
בניית עזר
זוויות מתאימות ,שניהם מאונכים לCD-
ישר היוצא מאמצע צלע ) (6ומקביל לצלע שמולו )(10
הוא קטע אמצעים
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
עמוד 127
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
(13
ארכימדס -פתרונות למידה
⇓
OM = 0.5a
גובה הטרפז הוא ,NMואותו אנו רוצים להביע.
(14במשולש EN : ∆OCMקטע אמצעים
קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע שמולו
קטע שיוצא מאמצע צלע במשולש ) (7ומקביל לצלע
שמולו )(2
(15
⇓
מתוך ) (13ו(14)-
ON = NM = 0.25a
נציב את כל אורכי הצלעות בנוסחת שטח הטרפז ונקבל:
1
2 1
( a + a) ⋅ a
(EF + GC) ⋅ MN
12 (16ס"מ = 3 4 = 21 → 7 a 2 = 21 → a 2 = 144 → a
= S EFGC
= 21 → 2
2
2
48
מש"ל ב'
ג .נתון שהנקודה Kהיא אמצע ,BOואנו מתבקשים להוכיח כי המרובע CKFGהוא טרפז .כדי להוכיח זאת
עלינו להראות שבסיסי הטרפז מקבילים ) ,(FG||KCונוכל להוכיח זאת אם נראה כי משפט תאלס מתקיים
במשולש : ∆CDK
OD = OB = 2m (17
אלכסוני הריבוע שווים זה לזה וחוצים זה את זה ו(6)-
KO = OF = FD = m (18
נתון Kו F-אמצעי צלעות BOו ,DO-בהתאמה.
אורך צלע הריבוע היא ) 12מש"ל ב'( ,וכן מתוך )(9
CD = 12 , CG = 8 → GD = 4 (19
וחיסור קטעים
DF DG
m
4
1 1
=
→
=
= →
: ∆CDK (20
לפי תאלס הפוך.FG||KC ,
FK GC
3m 12
3 3
(21
⇓
CKFGטרפז מש"ל ג'
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
עמוד 128
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
שאלה :5
בגלל שנתון שהרדיוסים של שני המעגלים שווים נוכל לטעון שהזוויות
ההיקפיות במעגלים שונים ,אשר נשענות על מיתר משותף ,שוות גם הן.
א.
(1
(2
(3
(4
(5
p CAE = p EAD = α
p BEF = p FED
p DEC = 180 − 2α
p BED = 2α
p BEF = p FED = α
(6
p DFE = p DAE = α
נתון AEחוצה זווית + p CADסימון
נתון EFחוצה זווית p BED
°
סכום הזוויות הנגדיות של מרובע חסום במעגל הינו . 180
סכום זויות צמודות שווה ל180 ° -
נובע מ(2)-
זוויות היקפיות הנשענות על אותו מיתר DEשוות )רדיוסי שני
המעגלים שווים(
נובע מ (5)-ו(6)-
אם זוויות מתחלפות שוות בין שני ישרים אז הם מקבילים .מ.ש.ל
p DFE =p BEF = α
BE || FD
(7
(8
ב.
זוויות היקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים -נובע מ (1)-ו(2)-
DE = CE (9
זוויות היקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים -נובע מ (1)-ו(2)-
BF = DE (10
נובע מ (9)-ו (10)-מ.ש.ל
BF = CE (11
ג .בסעיף זה ,השאלה הופכת לבעיה טריגונומטרית:
משולש שבו זוויות בסיס שוות הוא משולש שווה שוקיים
DF = DE (12
נשתמש במשפט הסינוסים במשולש ∆DEFכדי להביע את אורכי הצלעות DFו] DE -ניעזר ב:[(12)-
DE
= 2 R → DE = DF = 2 R sin α
sin α
סכום זוויות חד צדדיות בין מקבילים
p EDF = 180 ° − 2α (13
נשתמש בנוסחה לחישוב שטח משולש באמצעות שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן במשולש : ∆DEF
2 R sin α ⋅ 2 R sin α ⋅ sin(180 − 2α ) sin(180− 2α )=sin 2α
= S ∆DEF
→ 2 R 2 sin 2 α ⋅ sin 2α
2
זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
p DFE = p DBE = α (14
סכום הזווית במשולש ∆BDE
p BDE = 180 − 3α (15
נשתמש במשפט הסינוסים במשולש ∆BDEכדי להביע את אורך הצלע : BE
BE
α ) = sin 3α
(= 2 R sin
180
−3
→ BE = 2 R sin 3α
) sin(180 − 3α
נשתמש בנוסחה לחישוב שטח משולש באמצעות צלע ו 3-זוויות ונקבל:
2
(2 R sin 3α ) ⋅ sin α ⋅ sin α 2 R 2 sin 2 3α ⋅ sin 2 α
= S ∆BEOמ.ש.ל
=
sin 2α
2 sin 2α
2
2
2
2 R sin 3α ⋅ sin α
) = 2 R 2 sin 2 α ⋅ sin 2α ( α ≠ 0 → sin 2 α ≠ 0
ד .מהנתון מתקבלת המשוואה:
sin 2α
לאחר צמצום וכפל בהצלבה נקבל . sin 2 3α = sin 2 2α :ומהוצאת שורש משני האגפים נקבל שתי אפשרויות:
sin 3α = sin 2α
) sin 3α = − sin 2α → sin 3α = sin (− 2α
3α = 180 ° + 2α
3α = −2α
α = 180 °
5α = 0 ° / : 5
3α = 2α
α = 0°
3α = 180 ° − 2α
α = 0°
רק הפתרון α = 36°מספק לנו זווית המתאימה לנתוני השאלה .מ.ש.ל
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
5α = 180 ° / : 5
α = 36 °
עמוד 129
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
ארכימדס -פתרונות למידה
שאלה :6
45°
א.
(1
(2
נתון
p ABC = 90
נתון +סימון
DF = 1.2 x , DE = x
שני משיקים למעגל היוצאים מאותה
(3
DC = EC = y , BE = BF
נקודה שווים זה לזה +סימון
זויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות +
(4
p BFE = p BEF = 45°
חישוב
זוית בין משיק למיתר שווה לזוית
(5
p FDE = p BFE = 45°
ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני
(6נבטא את הצלע FEבאמצעות משפט הקוסינוסים במשולש : ∆DEF
2
2
2
FE = DF + DE − 2 ⋅ DF ⋅ DE ⋅ cos 45° = 1.44 x 2 + x 2 − 1.69 x 2 → FE 2 = 0.74 x 2 → FE = 0.86 x
(7נחשב את הזווית p DEFבאמצעות משפט הסינוסים במשולש : ∆DEF
DF
FE
1 .2 x
0.86 x
=
→
=
→ sin p DEF = 0.986 →p DEF = 80.4°
sin p DEF sin p FDE
sin p DEF sin 45°
זווית שטוחה שווה ל1800-
(8
p EDC = 180° − 80.4° − 45° = 54.6°
זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות
(9
p EDC = p DEC = 54.6°
סכום זוויות במשולש ∆DCE
p DCE = 180° − 2 ⋅ 54.6° → p DCE = 70.8° (10
סכום זוויות במשולש ∆ABCמ.ש.ל
p BAC = 180° − 90° − 70.8° → p BAC = 19.2° (11
ב.
נתון AC +קוטר כיוון שזוית היקפית בת
AC = EC + 7 = y + 7 (12
900נשענת על קוטר .נובע מ(3)-
חיסור קטעים +שני משיקים היוצאים
AD = AC − DC = y + 7 − y → AF = AD = 7 (13
מאותה נקודה שווים זה לזה
זוית בין משיק למיתר שווה לזוית
ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני.
p ADF =p AFD = p DEF = 80.4° (14
נובע מ(7)-
(15נמצא את ערכו של xבאמצעות משפט הסינוסים במשולש : ∆ADF
AD
DF
7
1 .2 x
=
→
=
1.94ס "מ = → x
sin p AFD sin p DAF
sin 80.4° sin 19.2°
נובע מ (2) -ו(15)-
DE = 1.94 , DF = 2.33 (16
(17נחשב את שטח המשולש ∆DEFבאמצעות הנוסחה לשטח משולש בעזרת שתי צלעות והזווית שביניהן:
DF ⋅ DE ⋅ sin p FDE 2.33 ⋅ 1.94 ⋅ sin 45°
= S ∆DEF
=
1.6סמ"ר = → S ∆DEF
2
2
0
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
עמוד 130
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
שאלה :7
א .הנתונים מתייחסים לערכי ה y-של נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה .לפונקציה יש שתי נקודות "קיצון
קצה" בקצות תחום ההגדרה x = 0 :ו. x = 2 -
בנוסף ,נגזור את הפונקציה ונשווה הנגזרת ל 0-בכדי לבדוק האם יש לפונקציה גם נקודות קיצון פנימיות:
= 0 → 2 x − 34 = 0 → x = 17
) a ( 2 x − 34
2 x 2 − 34 x + b
= )f ' ( x
זהו ערך ה x-של הנקודה החשודה כקיצון ,אך מכיוון שאינו נמצא בתחום ההגדרה של הפונקציה ,נפסול פתרון זה.
נסיק כי אין נקודת קיצון פנימית ,ולכן ערכי הקיצון המוחלט של הפונקציה הם בהכרח בקצות תחום ההגדרה.
)a (2 x − 34
= ) . f ' ( xעל פי הנתון a > 0 :ותחום ההגדרה 0 ≤ x ≤ 2ניתן להסיק כי הנגזרת
נתבונן בנגזרת:
2 x 2 − 34 x + b
שלילית בכל תחום ההגדרה )המונה שלילי והמכנה חיובי בכל תחום ההגדרה( .כלומר ,הפונקציה ) f(xיורדת בכל
תחום הגדרתה ,ולכן נסיק כי:
הערך המקסימלי 10נמצא בקצה השמאלי של תחום ההגדרה ומתקבל כאשר , x = 0
ואילו הערך המינימלי 6נמצא בקצה הימני של תחום ההגדרה ומתקבל כאשר . x = 2
כלומר ,נקודת המקסימום המוחלט היא ) (0,10ונקודת המינימום המוחלט היא ). ( 2,6
נציב את שתי נקודות הקיצון שקיבלנו במשוואת הפונקציה:
עבור הצבת x = 0נקבל , f (0) = a b = 10 :ועבור הצבת x = 2נקבל. f (2) = a ⋅ b − 64 = 6 :
a b = 10
a ⋅ b − 64 = 6
כעת נוכל לפתור את מערכת המשוואות:
10
נחלק את המשוואה הראשונה בשנייה ונקבל:
b − 64 6
נעלה בריבוע את שני האגפים ונחלץ את .bהפתרון הוא , b = 100 :ובהתאם . a = 1
=
b
.
כלומר ,הפונקציה ללא הפרמטרים היא. f ( x) = x 2 − 34 x + 100 :
ב .נבטא את הפונקציה ) : g ( x
= 36 − ( x 2 − 34 x + 100) = − x 2 + 34 x − 64
)
2
− 34 x + 100
2
(x
g ( x) = 36 −
הפונקציה מוגדרת כאשר הביטוי שבתוך השורש הוא אי שלילי. − x 2 + 34 x − 64 ≥ 0 :
המאפסים הם x = 2ו . x = 32 -נמקם אותם על ציר ה x-ונצייר פרבולה "עצובה":
עלינו למצוא מתי הפרבולה חיובית או שווה ל 0-ולכן התחום המבוקש הוא. 2 ≤ x ≤ 32 :
ג .על מנת למצוא את נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה ) , g ( xנמצא ראשית את כל נקודות הקיצון ,ונבדוק את
− 2 x + 34
שיעורי ה y-שלהן .נשווה את הנגזרת לאפס:
= )g ' ( x
= 0 → −2 x + 34 = 0 → x = 17
2 − x 2 + 34 x − 64
ובהתאם ,נקבל באמצעות הצבה בפונקציה. (17 ,15) ← y = 15 :
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
עמוד 131
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
לפונקציה ) g ( xיש גם שתי נקודות "קיצון קצה" בקצות תחום ההגדרה x = 2 :ו. x = 32 -
g (32) = − 32 2 + 34 ⋅ 32 − 64 = 0
נמצא את שיעור yבאמצעות הצבה, g (2) = − 2 2 + 34 ⋅ 2 − 64 = 0 :
כלומר ,שתי נקודות הקצה הן. (2,0) , (32,0) :
בסך הכל נמצאו שלוש נקודות קיצון.
נקודת הקיצון בעלת שיעור ה y-הגבוה ביותר היא נקודת המקסימום המוחלט. Max (17 ,15) :
נקודת הקיצון בעלת שיעור ה y-הנמוך ביותר היא נקודת המינימום המוחלט. Min (2,0) , Min (32,0) :
ד .נתבקשנו למצוא לאילו ערכי xמתקיים g ' ( x ) > 0 :ולאילו ערכי xמתקיים . g ' ( x ) < 0 :למעשה ,עלינו למצוא
את תחומי העליה והירידה של הפונקציה .ניעזר בטבלת עלייה וירידה:
17 < x < 32 x = 32
קצה
20
-
קיצון
min
max
x = 17
2 < x < 17
5
+
− 2 x + 34
2 − x 2 + 34 x − 64
= ). g'( x
תחום x
x=2
קצה נציב בנגזרת
סימן הנגזרת
הפונקציה
minעולה/יורדת
כלומר :הנגזרת חיובית כאשר . 2 < x < 17הנגזרת שלילית כאשר. 17 < x < 32 :
ה .כפי שראינו בסעיף הקודם ,בנקודה x = 17עובר גרף הנגזרת ) g ' ( xמחיוביות לשליליות .ניתן לשרטט באופן
סכמטי את גרף הנגזרת:
גרף הנגזרת ) g ' ( xנמצא מעל לציר ה x-בתחום , 2 < x < 17ומתחת לציר ה x-בתחום . 17 < x < 32
עלינו לחשב את השטח הכלוא בין גרף הנגזרת ) g ' ( xלבין ציר ה x-והישרים x = 12ו. x = 22 -
בטרם נחשב את השטחים S1ו , S 2 -נשים לב כי האינטגרל של הנגזרת ) g ' ( xהוא הפונקציה ) g ( xעצמה:
= = − 17 2 + 34 ⋅17 − 64 − − 12 2 + 34 ⋅12 − 64
17
12
17
S1 = ∫ [g ' (x ) − 0]dx = g ( x) 12 = − x 2 + 34 x − 64
17
12
0.86יח"ר = 15 − 10 2
בחישוב השטח הימני ,נשים לב שגרף הנגזרת ) g ' ( xנמצא מתחת לציר ה ,x-ולכן בחישוב האינטגרל ,נקפיד על
המינוס:
= = − − 22 2 + 34 ⋅ 22 − 64 + − 17 2 + 34 ⋅ 17 − 64
22
22
− x 2 + 34 x − 64
17
22
∫ [0 − g ' (x )]dx = − g ( x) 17 = −
= S2
17
0.86יח"ר = − 10 2 + 15
מחיבור שני השטחים נקבל:
1.72יח"ר = . S1 + S 2
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
עמוד 132
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
שאלה :8
א .נמצא את האסימפטוטות בתחום
π
2
≤≤x
π
2
. −לשם כך ,נבדוק מתי המכנה מתאפס.
(1 − cos x) 2 = 0 → 1 − cos x = 0 → cos x = 1 → x = 2πk
עבור הצבת ערכי kשלמים ,חיוביים ושליליים ,ניתן לראות כי הפתרון היחיד בתחום הנתון הוא , x = 0ולכן
האסימפטוטה היחידה בתחום היא. x = 0 :
ב .נגזור את הפונקציה ונסדר את הנגזרת:
2
]a cos x(1 − cos x) − a sin x[2(1 − cos x) sin x ] [a(1 − cos x)][cos x(1 − cos x) − 2 sin 2 x
= )f ' ( x
=
=
(1 − cos x) 4
(1 − cos x) 4
])[a(1 − cos x)][cos x − cos 2 x − 2 sin 2 x] a[cos x − cos 2 x − 2(1 − cos 2 x
=
=
(1 − cos x) 4
(1 − cos x) 3
]a[cos x − cos 2 x − 2 + 2 cos 2 x] a[cos 2 x + cos x − 2
=
=
(1 − cos x) 3
(1 − cos x) 3
)a(cos x + 2)(cos x − 1
(1 − cos x) 3
כעת ,כאשר הנגזרת מוצגת באופן זה ,נוכל לקבוע את סימנה.
נבדוק את הביטויים המופיעים במונה ובמכנה:
.1הביטוי aחיובי משום שנתון . a > 0
.2הביטויים ) (1 − cos xו (cos x + 2) -חיוביים בכל תחום ההגדרה מכיוון שבתחום זה מתקיים. −1 < cosx < 1 :
.3מסיבה זו גם הביטוי ) (cos x − 1שלילי לכל xבתחום ההגדרה.
לסיכום :המכפלה במונה היא שלילית ולכן הנגזרת כולה שלילית .כלומר ,הפונקציה יורדת לכל xבתחום ההגדרה.
ג .לפונקציה אין נקודת חיתוך עם ציר ה y-כיוון שציר ה y-הוא האסימפטוטה x = 0שמצאנו.
כדי למצוא את נקודות החיתוך עם ציר ה ,x-נשווה את הפונקציה לאפס:
→ 0 = a sin x → sin x = 0 → x = πk → x = 0
a sin x
(1 − cos x )2
=0
ד .על פי סעיף ב' אנו יודעים כי אין לפונקציה נקודות קיצון פנימיות.
נמצא את שתי נקודות הקיצון בקצות תחום ההגדרה ,ובמקרה שלנו:
עבור הצבת
π
2
x = −בפונקציה נקבל:
) ,− a
π
2
(−
π
2
x = −ו-
π
2
= .x
π
) a sin( −
2
π
−a
= ) f (−
=
→ = −a
π 2 (1 − 0) 2
2
)) (1 − cos( −
2
π
) (a sin
2
π
a
π
=) (f
=
)= a → ( , a
עבור הצבת = xבפונקציה נקבל:
2
π
2
2
2
)(1 − cos( )) 2 (1 − 0
2
מכיוון שהפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה ,נוכל לקבוע כי הנקודה השמאלית היא נקודת מקסימום ,ואילו
π
π
π
הנקודה הימנית היא נקודת מינימום .לסיכום , max(− ,− a ) :ו. min( , a ) -
2
2
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
עמוד 133
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
ה .נביע באמצעות aאת השטח הכלוא ברביע הראשון בין גרף ) f (xלבין ציר
π
ה x-והישרים
π
2
= xו-
π
3
a sin x
S = ∫
− 0 dx
2
) π (1 − cos x
2
=:x
3
a sin x
כדי לבצע אינטגרציה לביטוי
(1 − cos x) 2
ראשית ,נסמן. u = 1 − cos x :
נצטרך להשתמש בשיטת ההצבה.
du
du
נגזור את שני אגפי המשוואה ונקבל= sin x :
.נבודד את dxונקבל:
sin x
dx
a sin x
du
נחזור לאינטגרל לאחר הצבת dx :u
= : dx
∫ = Sונציב בו:
sin x
u2
a sin x
a sin x du
a
∫=S
∫ → dx
⋅
→ ∫ 2 du → ∫ au −2 du
2
2
sin x
u
u
u
a
−2
−1
רק בשלב זה ,לאחר סידור האינטגרל עבור uנבצע את האינטגרציה עצמה∫ au du = −au = − u :
a sin x
a
.
והוא:
נציב בחזרה u = 1 − cos xונקבל את האינטגרל הסופי של הביטוי
cos x − 1
(1 − cos x) 2
= . dx
π
2
a sin x
S = ∫ במלואו:
כעת נחזור ונבצע את האינטגרל − 0 dx
2
) π (1 − cos x
3
π
π
a
2
a sin x
a
a
a
S = ∫
−
0
dx
→
→
−
→ → −a + 2a
2
π
π
cos x − 1 π
) π (1 − cos x
cos − 1 cos − 1
3
3
2
3
2
ו .הפונקציה ) g (xהיא פונקציית הערך המוחלט של הפונקציה ) . f ( xכלומר ,הופכת את כל הערכים השליליים
לחיוביים ללא השפעה על הערך המספרי .הערך המוחלט אינו משפיע על הערכים החיובים של הפונקציה ולכן היא
נראית כ'תמונת מראה' כלפי מעלה של הפונקציה ). f (x
כלומר ,שיעורי נקודת הקיצון בקצה השמאלי של תחום ההגדרה הם כעת, a ) :
π
2
. (−
נתון כי הישר y = kחותך את גרף ) g ( xבשתי נקודות כאשר . k ≥ 3
הישרים ממשפחת y = kמקבילים לציר ה ,x-וחותכים את גרף הפונקציה ) g ( x
בשתי נקודות כאשר הם עוברים דרך שתי נקודות הקיצון או מעליהן .כלומר ,הערך
המינימלי שאותו יוכל לקבל הפרמטר kהוא ,aואם נתחשב בנתון , k ≥ 3הרי
שערך זה הוא ,3ולכן . a = 3
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
עמוד 134
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
שאלה :9
א .על פי הנתון ,המשיקים בנקודה Aמאונכים זה לזה ,ולכן מכפלת שיפועיהם היא .-1
ראשית ,נביע את שיעור ה x-של הנקודה Aעל ידי השוואת הפונקציות:
5a 2
= f ( x ) = g ( x ) → 16 x − a 2 = 9a 2 − 16 x → 16 x − a 2 = 9a 2 − 16 x → 32 x = 10a 2 → x
16
2
5a
= xבנגזרות:
את השיפועים בנקודה Aנמצא על ידי גזירת הפונקציות והצבת
16
16
5a 2
16
16
16 4
= ) f ( x ) = 16 x − a 2 → f ' ( x
(' → f
=)
=
=
=
2
2
2
16
4
a
a
2 16 x − a
5a
2
4
a
(2 16
) − a2
16
2
− 16
5a
− 16
− 16
− 16 − 4
= ) g ( x ) = 9a 2 − 16 x → g ' ( x
=)
( '→ g
=
=
=
2
2
2
16
4a
a
2 9a − 16 x
5a
2 4a
2
(2 9a − 16
)
16
−4 4
⋅ = −1 → a 2 = 16 → a = ±4
כאמור ,מכפלת השיפועים היא -1ולכן:
a a
ולאור הנתון a > 0נקבל את הפתרון . a = 4
ב .זוהי בעיית קיצון .בשאלות מסוג זה נביע את פונקציית המטרה ,נגזור אותה ונמצא את נקודת הקיצון המבוקשת.
. f ( x ) = 16 x − 16 , g ( x ) = 144 − 16 x
ראשית נרשום את הפונקציות לאחר הצבת : a = 4
5 ⋅ 42
בעזרת סעיף א' נמצא את שיעור ה x-של הנקודה = 5 :A
16
כעת נמצא את נקודות החיתוך של הפונקציות הנתונות עם ציר ,xולצורך כך נשווה את הפונקציות ל:0-
)f ( x ) = 0 = 16 x − 16 → 0 = 16 x − 16 → x = 1 → B (1,0
=.x
)g ( x ) = 0 = 144 − 16 x → 0 = 144 − 16 x → x = 9 → C (9,0
השטח המבוקש הוא שטח מורכב ,ולכן נוריד אנך מנקודת המפגש Aלציר ה.x-
נוסיף לשרטוט את שני הישרים x = mו x = m + 6 :כך שהם עוברים משני צדי הנקודה Aאך בין הנקודות Bו.C-
נקרא לשטח השמאלי S1ולשטח הימני ,S2ונחשב בנפרד את נפח גוף הסיבוב
המתקבל עבור כל אחד מהשטחים המסתובבים סביב ציר ה.x-
נפח גוף הסיבוב של :S1
5
5
5
m
m
m
]V1 = π ∫ ( 16x − 16 ) 2 dx = π ∫ (16x − 16)dx = π ⋅ (8x 2 − 16x) = π [200 − 80 − (8m 2 − 16m)] = π [−8m 2 + 16m + 120
נפח גוף הסיבוב של :S2
=
m+ 6
5
) (144 − 16 x)dx = π ⋅ (144 x − 8 x 2
m+ 6
∫ ( 144 − 16 x ) 2 dx = π
5
m+6
∫ V2 = π
5
]π [(144(m + 6) − 8(m + 6) 2 − 520] = π [144m + 864 − 8m 2 − 96m − 288 − 520] = π [−8m 2 + 48m + 56
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
עמוד 135
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
ארכימדס -פתרונות למידה
כעת נחבר את שני נפחי גוף הסיבוב שמצאנו כדי לקבל את פונקציית המטרה )הנפח הכולל(:
)h(m) = V1 + V2 = π (−8m 2 + 16m + 120) + π ( −8m 2 + 48m + 56) = π (−16m 2 + 64m + 176
נגזור את הפונקציה:
h' ( m) = π ( −32m + 64) = 0 → 32m = 64 → m = 2
נבדוק את סוג הקיצון ,על ידי שימוש בנגזרת השנייה ,כדי לוודא שאכן קיבלנו נפח מקסימלי כפי שהתבקשנו:
h' ' (m) = −32π < 0 → Max
ואכן ,עבור m = 2נפח גוף הסיבוב המתקבל הוא מקסימלי.
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806
עמוד 136
