פונקציית מנה - חקירת פונקציה רציונלית ( )1,0 ( )

‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫חקירת פונקציה רציונלית ‪ -‬פונקציית מנה‬
‫פונקציית מנה היא פונקציית שבר אשר במכנה שלה מופיע המשתנה ‪.x‬‬
‫תחום ההגדרה‬
‫פונקציית מנה מוגדרת רק כאשר המכנה שונה מאפס‪ .‬כלומר‪ ,‬כדי למצוא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪ ,‬נבדוק‬
‫מתי המכנה מתאפס‪ .‬לדוגמא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫נבדוק מתי מתאפס המכנה בפונקציה‪:‬‬
‫‪x −9‬‬
‫‪x +1‬‬
‫‪ , f ( x) = 2‬המכנה חיובי בהכרח‪ ,‬אינו מתאפס לעולם ולכן היא מוגדרת לכל ‪.x‬‬
‫לעומת זאת‪ ,‬בפונקציה‪:‬‬
‫‪x +4‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪ f ( x‬ונמצא את תחום ההגדרה‪:‬‬
‫‪x ≠ ±3‬‬
‫→ ‪x2 − 9 ≠ 0‬‬
‫נקודות החיתוך עם הצירים‬
‫‪x2 − x − 2‬‬
‫= ) ‪. f (x‬‬
‫נדגים על הפונקציה‪:‬‬
‫‪x−2‬‬
‫חיתוך עם ציר ה‪:y-‬‬
‫‪0 −0−2 −2‬‬
‫=‬
‫נציב ‪ x = 0‬ונקבל‪= 1 :‬‬
‫‪0−2‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪. f (x‬‬
‫ומכאן שנקודת החיתוך עם ציר ה‪ y-‬היא‪. (0,1) :‬‬
‫חיתוך עם ציר ה‪:x-‬‬
‫‪x −x−2‬‬
‫‪→ x 2 − x − 2 = 0 → ( x − 2)(x + 1) = 0 → x = 2, x = −1‬‬
‫נשווה את הפונקציה ל‪:0-‬‬
‫‪x−2‬‬
‫נשים לב כי הפתרון ‪ x = 2‬אינו בתחום ההגדרה‪ ,‬ולכן נקודת החיתוך היחידה עם ציר ה‪ x-‬היא‪. (− 1,0 ) :‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪0‬‬
‫נגזרת ונקודות קיצון‬
‫‪u‬‬
‫' ‪u '⋅v − u ⋅ v‬‬
‫= ) ‪ f ( x‬היא‪:‬‬
‫הנגזרת של הפונקציה‬
‫‪2‬‬
‫‪v‬‬
‫‪v‬‬
‫‪x2‬‬
‫לדוגמא‪ :‬הנגזרת של הפונקציה‬
‫‪x−2‬‬
‫= ) ‪ f ( x‬היא‪:‬‬
‫= )‪. f '(x‬‬
‫‪2 x (x − 2 ) − 1 ⋅ x 2‬‬
‫‪x2 − 4x‬‬
‫‪f‬‬
‫'‬
‫(‬
‫‪x‬‬
‫)‬
‫=‬
‫→‬
‫‪(x − 2 )2‬‬
‫‪( x − 2 )2‬‬
‫= )‪f ' ( x‬‬
‫‪= 0 → x 2 − 4 x = 0 → x(x − 4 ) = 0‬‬
‫בכדי למצוא את נקודות הקיצון‪ ,‬נשווה את הנגזרת ל‪:0-‬‬
‫‪x 2 − 4x‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(x − 2‬‬
‫מאפסי הנגזרת הם‪ x = 0 :‬ו‪ . x = 4 -‬ניעזר בטבלת עלייה וירידה כדי למצוא את סוגן של נקודות הקיצון‪.‬‬
‫חשוב‪ :‬בטבלת העליה והירידה נציב תמיד גם את נקודות אי ההגדרה של הפונקציה‪ ,‬מכיוון שגרף הפונקציה יכול‬
‫להשתנות מעליה לירידה ולהפך‪ ,‬גם מסביב לנקודות אי ההגדרה‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬נציב בטבלה את שתי הנקודות החשודות כקיצון‪ x = 0 :‬ו‪ x = 4 -‬וכן את נקודת אי ההגדרה‪: x = 2 :‬‬
‫‪x>4‬‬
‫‪x=5‬‬
‫חיובי‬
‫‪x=4‬‬
‫קיצון‬
‫‪2< x<4‬‬
‫‪x=2‬‬
‫‪0< x<2‬‬
‫‪x=3‬‬
‫‪x =1‬‬
‫שלילי‬
‫שלילי‬
‫‪min‬‬
‫‪x2‬‬
‫נציב את שיעורי ה‪ x-‬של נקודות הקיצון בפונקציה‬
‫‪x−2‬‬
‫) ‪ max (0 , 0‬ו‪. min (4 ,8 ) -‬‬
‫‪x=0‬‬
‫קיצון‬
‫‪x<0‬‬
‫‪x = −1‬‬
‫חיובי‬
‫‪max‬‬
‫תחום ‪x‬‬
‫נציב בנגזרת‬
‫סימן הנגזרת‬
‫הפונקציה‬
‫עולה‪/‬יורדת‬
‫= ) ‪ f ( x‬ונקבל כי שיעורי נקודות הקיצון הם‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪77‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫אסימפטוטות מקבילות לצירים‬
‫אסימפטוטות אנכיות ‪ -‬אסימפטוטות המקבילות לציר ה‪y-‬‬
‫בכל פונקציה עלינו לבדוק את התנהגות הגרף כאשר ערכי ה‪ x-‬הולכים ומתקרבים לנקודות אי ההגדרה‪ ,‬מימין‬
‫ומשמאל‪ .‬למעשה‪ ,‬ייתכנו שני מצבים ככל שגרף הפונקציה מתקרב לנקודת אי ההגדרה‪:‬‬
‫כאשר ערכי ה‪ y-‬של הפונקציה שואפים ל‪ ± ∞ -‬הרי שמדובר באסימפטוטה אנכית שהיא קו ישר המקביל לציר ה‪.y-‬‬
‫הפונקציה לעולם אינה יכולה לחתוך את האסימפטוטה האנכית כי היא אינה מוגדרת עבור אותו ערך ‪.x‬‬
‫כאשר גרף הפונקציה שואף לערך סופי וקבוע )למשל ‪ (y=1‬מדובר בנקודת אי רציפות סליקה )"חור" בפונקציה(‪.‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫בכדי למצוא את האסימפטוטות האנכיות בפונקציות רציונליות‪:‬‬
‫נשווה תחילה את המכנה לאפס ונמצא את נקודות אי ההגדרה‪.‬‬
‫נציב כל אחת מנקודות אי ההגדרה שמצאנו במונה ונבדוק האם גם המונה מתאפס‪.‬‬
‫אם נקודת אי הגדרה אינה מאפסת את המונה‪ ,‬היא בוודאות אסימפטוטה אנכית‪ ,‬ואין צורך להמשיך לבדוק אותה‪.‬‬
‫אם נקודת אי הגדרה מאפסת גם את המונה‪:‬‬
‫‪ o‬נצמצם את הפונקציה ככל הניתן‪ ,‬באמצעות פירוק לגורמים‪ ,‬ונציב בפונקציה את נקודת אי ההגדרה החשודה‪:‬‬
‫‪ o‬אם המכנה עדיין מתאפס‪ ,‬ומתקבל ביטוי חסר משמעות )בח"מ(‪ ,‬נדע כי זוהי בוודאות אסימפטוטה אנכית‪.‬‬
‫‪ o‬אם המכנה כבר אינו מתאפס ואנו מקבלים פתרון מספרי‪ ,‬נדע כי נקודת אי ההגדרה היא נקודת אי רציפות‬
‫סליקה )"חור" בפונקציה( והפתרון שקיבלנו הוא שיעור ה‪ y-‬של נקודת אי הרציפות‪.‬‬
‫חשוב‪ :‬במידה וצמצמנו את הפונקציה באמצעות פירוק לגורמים‪ ,‬נוכל להמשיך ולחקור את הפונקציה המצומצמת‪,‬‬
‫אך נזכור כי עדיין קיימת נקודת אי רציפות סליקה )"חור"(‪ ,‬שתופיע בשרטוט הסקיצה כפי שנראה בהמשך‪.‬‬
‫בכדי לדעת בוודאות איזה מהמצבים שהצגנו מתקיים בפונקציה אותה אנו חוקרים‪ ,‬עלינו לבדוק האם ערכי ה‪ y-‬של‬
‫הפונקציה שואפים ל‪ ± ∞ -‬בנקודת אי ההגדרה או שמא מתקבל ערך סופי וקבוע‪ .‬בכדי לבדוק זאת‪ ,‬נציב בפונקציה‬
‫ערכי ‪ x‬הולכים ומתקרבים לערך ה‪ x-‬של נקודת אי ההגדרה ונבדוק את התנהגות גרף הפונקציה‪.‬‬
‫כאשר נקבל כי ערך הפונקציה הולך ושואף ל‪ , ± ∞ -‬הרי שזו אסימפטוטה אנכית‪ .‬כאשר נקבל כי ערך הפונקציה‬
‫שואף למספר קבוע נדע שיש נקודת אי רציפות סליקה )"חור" בפונקציה( ואת שיעוריה‪.‬‬
‫דוגמא א'‪ :‬מצא את האסימפטוטות האנכיות ואת נקודות אי הרציפות הסליקה של הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪x2 +1‬‬
‫‪ , f ( x ) = 2‬מאפסי המכנה הם‪ x = 0 :‬ו‪ . x = 2 -‬נציב כל אחד משני‬
‫בפונקציה‪:‬‬
‫‪x − 2x‬‬
‫הפתרונות במונה ונראה כי הוא אינו מתאפס‪ ,‬ומכאן ששני הפתרונות ‪ x = 0‬ו‪ x = 2 -‬הם‬
‫אסימפטוטות אנכיות של הפונקציה‪.‬‬
‫‪x+3‬‬
‫דוגמא ב'‪ :‬בפונקציה‬
‫‪x2 − 9‬‬
‫נציב ‪ x = 3‬במונה‪ ,‬ונראה כי הוא אינו מתאפס ומכאן ש‪ x = 3 :‬היא אסימפטוטה אנכית‪.‬‬
‫נציב ‪ x = −3‬במונה ונראה כי הוא מתאפס‪ ,‬ולכן ננסה לצמצם את הפונקציה באמצעות פירוק לגורמים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x+3‬‬
‫‪x+3‬‬
‫‪f ( x) = 2‬‬
‫=‬
‫= )‪→ f ( x‬‬
‫‪x −3‬‬
‫) ‪x − 9 ( x + 3 )( x − 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‪ . f (−3‬כלומר‪ ,‬הנקודה‬
‫נציב ‪ x = −3‬בפונקציה המצומצמת ונקבל מספר קבוע‪= − :‬‬
‫‪−3−3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪  − 3,− ‬היא נקודת אי רציפות סליקה )"חור בפונקציה"(‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫= ) ‪ , f ( x‬מאפסי המכנה הם‪ x = 3 :‬ו‪. x = − 3 -‬‬
‫‪1‬‬
‫מכאן והלאה‪ ,‬נמשיך לחקור את הפונקציה המצומצמת‪ ,‬אך נזכור כי יש "חור" בפונקציה ששיעוריו הם‪.  − 3,−  :‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪78‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫אסימפטוטות אופקיות ‪ -‬אסימפטוטות המקבילות לציר ה‪x-‬‬
‫האסימפטוטה האופקית משקפת את התנהגות גרף הפונקציה כאשר ‪ x‬שואף לאינסוף ) ∞ ( או למינוס אינסוף ) ∞ ‪( −‬‬
‫)בקצה הימני או השמאלי של שרטוט הסקיצה או בשניהם(‪ .‬משמעות האסימפטוטה היא לאילו ערכי ‪ y‬שואף הגרף‪,‬‬
‫כאשר ערכי ה‪ x-‬שואפים ל‪. ± ∞ :‬‬
‫בניגוד לאסימפטוטה אנכית‪ ,‬גרף הפונקציה יכול לחתוך אסימפטוטה אופקית‪ .‬גרף הפונקציה שואף לאסימפטוטה‬
‫האופקית רק בקצוות הסקיצה‪ ,‬כאשר ערכי ה‪ x-‬שואפים ל‪. ± ∞ :‬‬
‫בכדי למצוא את האסימפטוטה האופקית של גרף הפונקציה‪ ,‬נחלק כל אחד מהאיברים במונה ובמכנה ב‪ x-‬בעל‬
‫המעריך הגבוה ביותר המופיע בפונקציה‪ ,‬ונבדוק מה קורה כאשר ערכי ה‪ x-‬שואפים ל‪. ± ∞ :‬‬
‫‪1‬‬
‫שואף ל‪.(0-‬‬
‫)נזכור כי כאשר ערכי ‪ x‬שואפים ל‪ , ± ∞ :‬ערכו של הביטוי‬
‫‪x‬‬
‫‪x2 +1‬‬
‫דוגמא‪ :‬מצא את האסימפטוטות האופקיות של הפונקציה‬
‫‪. f ( x) = 2‬‬
‫‪x − 2x‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪2x2 1‬‬
‫‪+ 2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪lim 2 x 2 + 1‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x ≈ 2+0 ≈ 2 ≈ 2‬‬
‫=‬
‫‪x → ±∞ x 2 − 2 x x → ±∞ x 2 2 x 1 − 0 ± 1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x2 x2‬‬
‫כלומר‪ ,‬גרף הפונקציה שואף ל‪ 2-‬ולכן האסימפטוטה האופקית היא‪. y = 2 :‬‬
‫‪3x + 1‬‬
‫דוגמא‪ :‬מצא את האסימפטוטות האופקיות של הפונקציה‬
‫‪x2 − 2‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫= )‪. f ( x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3 1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪±‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x ≈ x x2 ≈ 0 + 0 ≈ 0 ≈ 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 − 0+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3x + 1‬‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫‪x → ±∞ x 2 − 2 x → ±∞ x 2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪lim‬‬
‫כלומר‪ ,‬גרף הפונקציה שואף ל‪ 0-‬ולכן האסימפטוטה האופקית של הפונקציה היא‪. y = 0 :‬‬
‫‪x2 − 3x‬‬
‫דוגמא‪ :‬מצא את האסימפטוטות האופקיות של הפונקציה‬
‫‪x +1‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫= )‪. f ( x‬‬
‫‪x 2 3x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪±‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪lim x − 3 x‬‬
‫‪lim x‬‬
‫≈ ‪x‬‬
‫∞‪x ≈ 1 − 0 ≈ 1 ≈ ±‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1 0± + 0+ 0±‬‬
‫‪x → ±∞ x + 1‬‬
‫‪x → ±∞ x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪x2 x2‬‬
‫‪x x2‬‬
‫כלומר‪ ,‬גרף הפונקציה שואף לאינסוף‪ ,‬ולכן אין אסימפטוטה אופקית לפונקציה‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪79‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫תרגילים ‪ -‬חקירת פונקציות רציונאליות )מנה(‬
‫‪3x 3 + 12 − x 2‬‬
‫‪ .1‬נתונה הפונקציה‪− 3 :‬‬
‫‪x3‬‬
‫א‪ .‬עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬
‫= )‪. f ( x‬‬
‫‪ .2‬נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬
‫‪ .4‬תחומי העליה והירידה‪.‬‬
‫‪ .1‬תחום ההגדרה‪.‬‬
‫‪ .3‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .5‬האסימפטוטות‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ג‪ .‬מצא לאילו ערכי ‪ ,k‬יהיו לישר ‪ y = k‬שתי נקודות חיתוך עם הפונקציה‪.‬‬
‫‪x2 − a2‬‬
‫‪ .2‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x − 10‬‬
‫א‪ .‬עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬
‫‪ .1‬ערכו של ‪ (0 < a) a‬ותחום ההגדרה‪.‬‬
‫= ) ‪ . f ( x‬המרחק בין שתי נקודות החיתוך שלה עם ציר ה‪ x-‬הוא ‪ 12‬יח'‪.‬‬
‫‪ .2‬נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬
‫‪ .4‬תחומי העליה והירידה‪.‬‬
‫‪ .3‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .5‬האסימפטוטות‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ג‪ .‬דרך נקודות הקיצון של גרף הפונקציה )‪ f (x‬עוברים שני ישרים המקבילים לציר ה‪ .y-‬שני‬
‫ישרים אלו יוצרים ריבוע עם ציר ה‪ x-‬והישר ‪ . y = p 2‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪.p‬‬
‫‪2 x 2 − x − 62‬‬
‫‪ f ( x ) = a +‬נחתכות בנקודה ) ‪. (6,0‬‬
‫‪ .3‬שתיים מהאסימפטוטות של הפונקציה‪:‬‬
‫‪b − x2‬‬
‫א‪ .‬עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬
‫‪ .2‬נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬
‫‪ .4‬תחומי העליה והירידה‪.‬‬
‫‪ .1‬ערכם של ‪ a‬ו‪ b-‬ותחום ההגדרה‪.‬‬
‫‪ .3‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .5‬האסימפטוטות‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ג‪ .‬הגדירו פונקציה חדשה‪ . g ( x ) = f ( x ) :‬מצא את נקודות הקיצון של גרף ) ‪ g (x‬ואת סוגן‪.‬‬
‫‪( x − 2) 3‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪( x − 4) 4‬‬
‫א‪ .‬עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬
‫= )‪. f ( x‬‬
‫‪ .2‬נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬
‫‪ .4‬תחומי העליה והירידה‪.‬‬
‫‪ .1‬תחום ההגדרה‪.‬‬
‫‪ .3‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .5‬האסימפטוטות‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ג‪ .‬הישר ‪ y = k − 2‬חותך את גרף הפונקציה )‪ f (x‬בנקודה אחת‪ .‬חשב את היקף המעגל המשיק‬
‫לישר ‪ x = k‬ולאסימפטוטה האנכית של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪80‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫‪ax 2 − 4 a‬‬
‫‪ f ( x ) = 2‬נמצאת על הישר ‪. y = 4‬‬
‫‪ .5‬נקודת הקיצון של גרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x −1‬‬
‫א‪ .‬עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬
‫‪ .2‬נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬
‫‪ .4‬תחומי העליה והירידה‪.‬‬
‫‪ .1‬הפרמטר ‪ a‬ותחום ההגדרה‪.‬‬
‫‪ .3‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .5‬האסימפטוטות‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ג‪ .‬מצא באילו תחומים מתקיים‪. f ' ( x) ⋅ f ( x) > 0 :‬‬
‫‪x2 + a‬‬
‫‪ f (x ) = b + 2‬נמצאת בראשית הצירים‪.‬‬
‫‪ .6‬אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה‪:‬‬
‫‪x + x−2‬‬
‫א‪ .‬עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬
‫‪ .1‬הפרמטרים ‪ a‬ו‪ b-‬ותחום ההגדרה‪ .2 .‬נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬
‫‪ .4‬תחומי העליה והירידה‪.‬‬
‫‪ .3‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .5‬האסימפטוטות‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ג‪ .‬הגדירו פונקציה חדשה‪ . g ( x ) = f ( x ) + p :‬מצא את ‪ p‬שעבורו לגרף פונקציה ) ‪ g (x‬תהיה‬
‫נקודת השקה אחת ויחידה לציר ה‪.x-‬‬
‫‪x 2 + 2 xp + p 2‬‬
‫‪ .7‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2 + 2 p2‬‬
‫א‪ .‬עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬
‫= )‪ . (0 < p) f ( x‬בחקירה ניתן להשתמש בתשובות בפרמטר ‪.p‬‬
‫‪ .2‬נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬
‫‪ .4‬תחומי העליה והירידה‪.‬‬
‫‪ .1‬תחום ההגדרה‪.‬‬
‫‪ .3‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .5‬האסימפטוטות‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ג‪ .‬שרטט את גרף הנגזרת )‪ f ' ( x‬ולפיו קבע כמה פתרונות יש למשוואה‪:‬‬
‫‪. f ' ' ( x ) = 0 .1‬‬
‫‪. f ' ' ' ( x ) = 0 .2‬‬
‫‪4 x + 5a‬‬
‫‪ .8‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2 − a2‬‬
‫= )‪ . (0 < a ) f ( x‬בחקירה ניתן להשתמש בתשובות במידת הצורך‬
‫בפרמטר ‪.a‬‬
‫א‪ .‬עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬
‫‪ .2‬נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬
‫‪ .1‬תחום ההגדרה‪.‬‬
‫‪ .4‬תחומי העליה והירידה‪.‬‬
‫‪ .3‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .5‬האסימפטוטות‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטט את גרף‪:‬‬
‫‪ (2‬הנגזרת )‪. f ' ( x‬‬
‫‪ (1‬הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ג‪ .‬הגרפים של הפונקציה )‪ f (x‬ושל הנגזרת )‪ f ' ( x‬חותכים את ציר ה‪ y-‬בנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬בהתאמה‪.‬‬
‫מצא עבור אילו ערכי ‪ ,a‬הנקודה ‪ B‬תמצא בין ראשית הצירים לבין הנקודה ‪.A‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪81‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫‪x 2 − 5a 2‬‬
‫‪ .9‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪(x2 − a 2 )2‬‬
‫א‪ .‬עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬
‫= )‪ . (0 < a ) f ( x‬בחקירה ניתן להשתמש בתשובות בפרמטר ‪.a‬‬
‫‪ .2‬נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬
‫‪ .4‬האסימפטוטות‪.‬‬
‫‪ .1‬תחום ההגדרה‪.‬‬
‫‪ .3‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ג‪ .‬נתון‪ . h' ( x) = f ( x) :‬עבור גרף הפונקציה )‪: h(x‬‬
‫‪ .1‬קבע האם יש לה אסימפטוטה אופקית‪.‬‬
‫‪ .2‬שיפוע המשיק לגרף הפונקציה )‪ h(x‬בנקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה‪ y-‬הוא ‪.-80‬‬
‫חשב את שטח המשולש שקודקודיו הם שלוש נקודות הקיצון של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ .10‬גרף הפונקציה‪+ b :‬‬
‫‪( x + a) 2‬‬
‫א‪ .‬עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬
‫= )‪ f ( x‬משיק לישר ‪ y = −4‬ויש לו נקודת פיתול יחידה כאשר ‪. x = 3‬‬
‫‪ .1‬הפרמטרים ‪ a‬ו‪ b-‬ותחום ההגדרה‪ .2 .‬נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬
‫‪ .4‬האסימפטוטות‪.‬‬
‫‪ .3‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .5‬תחומי הקעירות ‪ U‬והקעירות ‪. I‬‬
‫ב‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ג‪ .‬לגרף הפונקציה )‪ f (x‬יש שתי נקודות קיצון בקצות התחום ‪ . p ≤ x ≤ k‬אחת מנקודות הקיצון‬
‫הללו נמצאת על ציר ה‪ x-‬והשניה על ציר ה‪ .y-‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ p‬ו‪.k-‬‬
‫‪a − bx‬‬
‫‪ .11‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪( x − 1) 2‬‬
‫)‪ f ' ( x‬אשר חותך את הצירים בנקודות )‪ A (3,0‬ו‪. B (0,12) -‬‬
‫א‪ .‬עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬
‫= )‪ . f ( x‬בשרטוט מופיע גרף הנגזרת‬
‫‪ .1‬הפרמטרים ‪ a‬ו‪ b-‬ותחום ההגדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬
‫‪ .3‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .4‬האסימפטוטות‪.‬‬
‫‪ .5‬תחומי העליה והירידה‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬היעזר בגרף הפונקציה )‪ f (x‬ומצא כמה פתרונות יש למשוואה‪. f ( x ) = f ( x ) + 2 :‬‬
‫‪8bx‬‬
‫‪ .12‬המכנה של הפונקציה‪:‬‬
‫‪x − px + p‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪ (0 < p) f ( x‬מתאפס עבור ערך ‪ x‬יחיד‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪.p‬‬
‫ב‪ .‬נקודת הקיצון היחידה של גרף )‪ f (x‬נמצאת ברביע השלישי ומרחקה מראשית הצירים הוא‬
‫‪ . 5‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪.b‬‬
‫ג‪ .‬עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬
‫‪ .2‬נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬
‫‪ .1‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .4‬האסימפטוטות‪.‬‬
‫‪ .3‬תחומי העליה והירידה‪.‬‬
‫ד‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ה‪ .‬הגדירו פונקציה חדשה‪ . g ( x) = f ( x) ⋅ f ' ( x) :‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. g (x‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪82‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫)‪k ( x + 2‬‬
‫‪ .13‬שיפוע המשיק לגרף הפונקציה‪+ n − 2 :‬‬
‫‪x2‬‬
‫האסימפטוטות של גרף הפונקציה )‪ f (x‬נחתכות בראשית הצירים‪.‬‬
‫= )‪ f ( x‬בנקודת הפיתול שלה הוא ‪.-0.25‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את ערכם של הפרמטרים ‪ n‬ו‪.k-‬‬
‫עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬
‫‪ .2‬נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬
‫‪ .1‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .3‬תחומי הקעירות ‪ U‬והקעירות ‪. I‬‬
‫שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫בתחום ‪ − 6 ≤ x ≤ m‬לגרף הפונקציה )‪ f (x‬יש שתי נקודות מקסימום מוחלט‪ .‬חשב את המרחק‬
‫ביניהן‪.‬‬
‫‪( x + a) 2‬‬
‫‪. (0 < a ) f ( x ) = 2‬‬
‫‪ .14‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x +a‬‬
‫א‪ .‬הוכח שנקודת החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f (x‬עם ציר‬
‫ה‪ y-‬נמצאת על הישר המחבר בין שתי נקודות הקיצון‬
‫שלה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון גרף הנגזרת )‪ . f ' ( x‬נקודות החיתוך של הגרף עם‬
‫הצירים יוצרות משולש ששטחו ‪ 2‬יח"ר‪ .‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪.a‬‬
‫‪x 2 − mx + 70‬‬
‫‪ .15‬המכנה של הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 2 − nx + 14‬‬
‫היחידה שלו היא ‪. x = 2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫= )‪ f ( x‬מתאפס בשתי נקודות שונות אך האסימפטוטה‬
‫מצא את ערכי הפרמטרים ‪ m‬ו‪ n-‬ותחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫הוכח שגרף הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה‪.‬‬
‫עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬
‫‪ (2‬האסימפטוטות‪.‬‬
‫‪ (1‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫הישר ‪ y = k‬מרוחק במידה שווה מהאסימפטוטה האופקית של הפונקציה )‪ f (x‬ומנקודת‬
‫החיתוך שלה עם ציר ה‪ .y-‬הישר ‪ (2 < p) x = p‬אינו חותך את גרף הפונקציה )‪ . f (x‬הישרים‬
‫‪ y = k‬ו‪ x = p -‬נחתכים בנקודה ‪ .A‬מהנקודה ‪ A‬יוצא ישר המשיק לגרף )‪ f (x‬בנקודה ‪ B‬ברביע‬
‫הרביעי‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.B‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫‪ (1‬א‪. Max  − 6, 1  , Min 6,− 1  (2 . x ≠ 0 (1 .‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. ( −3.46, 0 ) , ( 3.46, 0 ) (3‬‬
‫‪ (4‬עולה‪ 6 < x :‬או ‪ ; x < −6‬יורדת‪ 0 < x < 6 :‬או ‪. −6 < x < 0‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪ . x = 0 , y = 0 (5‬ב‪ .‬השרטוט משמאל‪ .‬ג‪.‬‬
‫‪9 9‬‬
‫‪. k = 0, − ,‬‬
‫‪ (2‬א‪ , a = 6 (1 .‬תחום ההגדרה‪. Min (18,36 ) , Max (2,4 ) (2 . x ≠ 10 :‬‬
‫‪ (4 .(-6, 0) ,(0, 3.6) ,(6, 0) (3‬עולה‪ 18 < x :‬או ‪; x < 2‬‬
‫יורדת ‪ 2 < x < 10‬או ‪ . x = 10 (5 . 10 < x < 18‬ב‪ .‬השרטוט משמאל‪.‬‬
‫ג‪. p = ±4 .‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪83‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫‪ (3‬א‪ , b = 36 , a = 2 (1 .‬תחום ההגדרה‪. Min ( 2, 0.25 ) , Max (18, 0.02 ) (2 . x ≠ ±6 :‬‬
‫‪ (4 .(0,0.27) ,(10,0) (3‬עולה ‪ 6 < x < 18 :‬או ‪; 2 < x < 6‬‬
‫‪. x = − 6 , x = 6 , y = 0 (5‬‬
‫יורדת‪ x > 18 :‬או ‪ −6 < x < 2‬או ‪. x < −6‬‬
‫ב‪ .‬השרטוט משמאל‪ .‬ג‪. Min ( 2, 0.25 ) , Min (10,0 ) , Max (18, 0.02 ) .‬‬
‫‪ (4‬א‪ . Min (− 4,−0.05 ) (2 . x ≠ 4 (1 .‬הנקודה )‪ (2,0‬היא נקודת פיתול‪.‬‬
‫‪ (4 . (2,0), (0,−0.03) (3‬עולה‪ 2 < x < 4 :‬או ‪ ; − 4 < x < 2‬יורדת‪ 4 < x :‬או‬
‫‪ . x = 4 , y = 0 (5 . x < −4‬ב‪ .‬השרטוט משמאל‪ .‬ג‪ .‬היקפו ‪ 6.28 = 2π‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ (5‬א‪ , a = 1 (1 .‬תחום ההגדרה‪.(-2,0) ,(2,0) ,(0,4) (3 . Min ( 0, 4 ) (2 . x ≠ ±1 :‬‬
‫‪ (4‬עולה‪ 1 < x :‬או ‪ ; 0 < x < 1‬יורדת‪ −1 < x < 0 :‬או ‪. x < −1‬‬
‫‪ . x = −1, x = 1, y = 1 (5‬ב‪ .‬השרטוט משמאל‪.‬‬
‫ג‪ 2 < x .‬או ‪ 0 < x < 1‬או ‪. − 2 < x < −1‬‬
‫‪ (6‬א‪ , b = 0 , a = 0 (1 .‬תחום ההגדרה‪. Max ( 0, 0 ) , Min ( 4,0.88) (2 . x ≠ −2,1 :‬‬
‫‪ (4 .(0,0) (3‬עולה‪ 4 < x :‬או ‪ − 2 < x < 0‬או ‪ ; x < −2‬יורדת‪ 1 < x < 4 :‬או‬
‫‪ . x = −2, x = 1, y = 1 (5 . 0 < x < 1‬ב‪ .‬השרטוט משמאל‪ .‬ג‪. p = 0,−0.88 .‬‬
‫‪ (7‬א‪ (1 .‬כל ‪. (− p,0), (0,0.5) (3 . Min(− p,0), Max(2 p,1.5) (2 .x‬‬
‫‪ (4‬עליה‪ , − p < x < 2 p :‬ירידה‪ x > 2 p :‬או ‪. x < − p‬‬
‫‪ . y = 1 (5‬ב‪ .‬השרטוט העליון‪ .‬ג‪ .‬השרטוט התחתון‪ (1 .‬שלושה פתרונות‪.‬‬
‫ג‪ (2 .‬ארבעה פתרונות‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ (8‬א‪. Min(−2a,− ), Max( − ,− ) (2 . x ≠ ± a (1 .‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ (4 . (− 5a ,0), (0,− 5 ) (3‬עליה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ − a < x < −‬או‬
‫‪a‬‬
‫‪ , − 2a < x < −a‬ירידה‪ x < −2a :‬או ‪< x < a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−‬‬
‫או ‪ . x = ± a, y = 0 (5 . x > a‬ב‪ (1 .‬השרטוט‬
‫הימני‪ (2 .‬השרטוט השמאלי‪ .‬ג‪. 0.8 < a .‬‬
‫‪ (9‬א‪. Max(−3a, 1 2 ), Max(0,− 52 ), Max(3a, 1 2 ) (2 . x ≠ ± a (1 .‬‬
‫‪16a‬‬
‫‪5‬‬
‫‪), ( −a 5 ,0), ( a 5 ,0) (3‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪16a‬‬
‫‪. x = ± a, y = 0 (4 . (0,−‬‬
‫ב‪ .‬השרטוט משמאל‪ .‬ג‪ (1 .‬יש אסימפטוטה אופקית‪ 60.75 (2 .‬יח"ר‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪84‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫‪ (10‬א‪ . b = −4 , a = 6 (1 .‬תחום ההגדרה‪. Min(0,−4) (2 . x ≠ −6 :‬‬
‫‪. y = − 3 , x = − 6 (4‬‬
‫‪. (0,−4), (−4, 0), (−12,0) (3‬‬
‫‪ (5‬הקעירות ‪ − 6 < x < 3 : U‬או ‪. x < −6‬‬
‫הקעירות ‪ . 3 < x : I‬ב‪ .‬השרטוט משמאל‪.‬‬
‫ג‪ p = −4 , k = 0 .‬או ‪. p = −12‬‬
‫‪ (11‬א‪ . b = 4 , a = 8 (1 .‬תחום ההגדרה‪. Min(3,−1) (2 . x ≠ 1 :‬‬
‫‪ (5 . y = 0 , x = 1 (4 . (0,8), (2,0) (3‬עולה‪ 3 < x :‬או ‪. x < 1‬‬
‫יורדת‪ . 1 < x < 3 :‬ב‪ .‬השרטוט משמאל‪ .‬ג‪ .‬שלושה‪.‬‬
‫‪ (12‬א‪ . p = 4 .‬ב‪ . b = 1 .‬ג‪. Min(− 2,−1) (2 . (0,0) (1 .‬‬
‫יורדת‪ 2 < x :‬או ‪ . y = 0, x = 2 (4 . x < −2‬ד‪ .‬השרטוט הימני‪ .‬ה‪ .‬השרטוט השמאלי‪.‬‬
‫‪ (3‬עולה‪. − 2 < x < 2 :‬‬
‫‪ (13‬א‪ . n = 2 , k = 27 .‬ב‪. Min(− 4,−3.375) (2 . (−2,0) (1 .‬‬
‫‪ (3‬קעירות ‪ 0 < x : U‬או ‪ . − 6 < x < 0‬קעירות ‪. x < −6 : I‬‬
‫ג‪ .‬השרטוט משמאל‪ .‬ד‪ 3 .‬יח' אורך‪.‬‬
‫‪ (14‬ב‪. a = 1 .‬‬
‫‪ (15‬א‪ . n = 9 , m = 17 .‬תחום ההגדרה‪ . x ≠ 2, 7 :‬ג‪. (10,0), (0,5) (1 .‬‬
‫‪ . y = 1, x = 2 (2‬ד‪ .‬השרטוט משמאל ‪ .‬ה‪. B (4, − 3) .‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪85‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫חקירת מנה ‪ -‬סעיפי חקירה מיוחדים‬
‫שימו לב!‬
‫מטרתו של עמוד זה היא תרגול יסודי בסוגים שונים של סעיפי חשיבה המתלווים לחקירת הפונקציה‪ .‬לאחר‬
‫חקירת הפונקציה בסעיפים א'‪-‬ה' הסטנדרטיים‪ ,‬תופיע סדרה ארוכה של סעיפי חשיבה המתייחסים‬
‫לחקירה שבוצעה‪ .‬מרבית הסעיפים נפתרים תוך שימוש והבנה של גרף הפונקציה )‪ f (x‬שכבר שרטטנו‪,‬‬
‫ואינם דורשים חישובים מורכבים ויוצאי דופן כפי שנראה במבט ראשון‪.‬‬
‫‪( x + a) 2 1‬‬
‫חקור את הפונקציה‪− :‬‬
‫‪ f ( x) = 2‬לפי הסעיפים )השתמש בפרמטר החיובי ‪ a‬במידת הצורך‬
‫‪x + 2a 2 2‬‬
‫בתשובות(‪:‬‬
‫ב( נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫א( תחום הגדרה‪.‬‬
‫ד( נקודת קיצון וסוגן‪.‬‬
‫ג( אסימפטוטות מקבילות לצירים‪.‬‬
‫ה( שרטוט סקיצות נפרדות של גרף הפונקציה )‪ f (x‬ושל גרף הנגזרת )‪. f ' ( x‬‬
‫ו( מצא לאילו ערכי ‪ x‬מתקיים‪. f ( x) ⋅ f ' ( x) > 0 :‬‬
‫ז( השתמש בסעיפי החקירה ופתור את הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ (1‬כמה פתרונות למשוואה‬
‫‪4‬‬
‫= )‪. f ( x‬‬
‫‪ (2‬כמה פתרונות למשוואה )‪. f 2 ( x) = f ( x‬‬
‫‪ (3‬חשב את הערך המקסימלי של הביטוי‪. f ( x1 ) − f ( x2 ) :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ (4‬הוכח את אי השוויון‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪≤1‬‬
‫‪(x + 5)2‬‬
‫‪x + 50‬‬
‫‪2‬‬
‫≤ ‪.0‬‬
‫מגדירים פונקציה חדשה‪. g ( x) = f ( x) :‬‬
‫‪ (5‬מצא כמה נקודות קיצון יש לפונקציה )‪. g (x‬‬
‫‪ (6‬מצא לאילו ערכי ‪ ,k‬הישר ‪ y = k‬חותך את גרף )‪ g (x‬בשתי נקודות בלבד‪.‬‬
‫‪ (7‬חשב את הערך המקסימלי של הביטוי‪. g ( x1 ) − g ( x2 ) :‬‬
‫‪1‬‬
‫מגדירים פונקציה חדשה‪:‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫= )‪. h( x‬מצא את‪:‬‬
‫‪ (8‬האסימפטוטות האנכיות של גרף )‪. h(x‬‬
‫‪ (9‬שיעורי ה‪ x-‬של נקודות הקיצון של )‪. h(x‬‬
‫מגדירים פונקציה חדשה )‪ . k ( x) = f ( x‬מצא את‪:‬‬
‫‪ (11‬ערך המקסימום המוחלט של הפונקציה )‪. k (x‬‬
‫‪ (10‬תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. k (x‬‬
‫‪1‬‬
‫פתרונות‪ :‬א( כל ‪ .x‬ב( )‪ . (−4a,0), (0,0‬ג(‬
‫‪2‬‬
‫ה( גרף )‪: f (x‬‬
‫= ‪ . y‬ד( )‪. Min − a,− 1 , Max(2a,1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫גרף הנגזרת )‪: f ' ( x‬‬
‫ו( ‪ 0 < x < 2a‬או ‪ . − 4a < x < −a‬ז( ‪ (1‬שניים‪ (2 .‬שלושה‪ (5 .1.5 (3 .‬ארבע‪ k = 0 (6 .‬או ‪. 0.5 ≤ k < 1‬‬
‫‪ x ≥ 0 (10 . x = 2a, x = −a (9 . x = −4a, x = 0 (8 .1 (7‬או ‪.1 (11 . x ≤ −4a‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪86‬‬