docפתרון לשאלה 2
download 
Report Transcription
פתרון לשאלה 2
מדינת ישראל סוג הבחינה: משרד החינוך מועד הבחינה: מספר השאלון: א .בגרות לבתי ספר על־יסודיים ב .בגרות לנבחנים אקסטרניים חורף תשע"ג2013 , 316 ,035806 הצעת תשובות לשאלות בחינת הבגרות מתמטיקה 5יחידות לימוד — שאלון ראשון הוראות לנבחן א. משך הבחינה :שלוש שעות וחצי. ב. מבנה השאלון ומפתח ההערכה :בשאלון זה שלושה פרקים. ג. פרק ראשון — אלגברה והסתברות פרק שני — גאומטריה וטריגונומטריה פרק שלישי — — 2 16 3 #2 2 — במישור — 16 3 #2 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי — 16 3 #2 — סה"כ — 2 1 33 3נקודות 1 — 33 3נקודות 33 3נקודות 100נקודות 1 חומר עזר מותר בשימוש: ()1 מחשבון לא גרפי .אין להשתמש באפשרויות התכנות במחשבון הניתן לתכנות. שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות במחשבון עלול לגרום לפסילת הבחינה. ()2 ד. דפי נוסחאות (מצורפים). הוראות מיוחדות: ()1 אל תעתיק את השאלה; סמן את מספרה בלבד. ()2 התחל כל שאלה בעמוד חדש .רשום במחברת את שלבי הפתרון ,גם כאשר החישובים מתבצעים בעזרת מחשבון. הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה ומסודרת. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. ()3 לטיוטה יש להשתמש במחברת הבחינה או בדפים שקיבלת מהמשגיחים. שימוש בטיוטה אחרת עלול לגרום לפסילת הבחינה. ההנחיות בשאלון זה מנוסחות בלשון זכר ומכוונות לנבחנות ולנבחנים כאחד. בהצלחה! /המשך מעבר לדף/ מתמטיקה ,חורף תשע"ג ,מס' 316 ,035806 -2- שאלה 1 דן יצא מתל אביב להרצליה על אופניו ,ורכב במהירות קבועה של vקמ"ש. 1 כעבור 2שעה מרגע היציאה של דן ,גם אילנית יצאה על אופניה מתל אביב להרצליה ,ורכבה באותו מסלול במהירות הגדולה ב־ 2קמ"ש ממהירותו של דן. 1 אילנית ודן נפגשו בדרך להרצליה ,ו־ 2שעה לאחר הפגישה הגיעה אילנית להרצליה. מצא באיזה תחום מספרים נמצאת המהירות , vאם נתון כי מסלול הרכיבה מתל אביב להרצליה קטן מ־ 25ק"מ וגדול מ־ 9ק"מ. פתרון לשאלה 1 זמן (שעות) מהירות (קמ"ש) t v 1 t- 2 v+2 דן עד הפגישה אילנית עד הפגישה אילנית אחרי הפגישה 1 2 v+2 לכן אורך כל המסלול הוא: )II. S = t (v + 2 על ידי פתיחת סוגריים ופישוט מקבלים מ־ :I 1 1 t= 4v+ 2 מקבלים: 1 ) (v + 2) (t - 2 1 (v + 2): 2 1 1 t- 2 + 2 =t הזמן שבו אילנית עוברת את כל המסלול: מפתרון האי־שוויונים v:t 1 ) I. v : t = (v + 2) (t - 2 אורך המסלול עד הפגישה: נציב tב־ IIונקבל: דרך (ק"מ) S = 0.25v2 + v + 1 9 1 0.25v2 + v + 11 25 8קמ"ש 41 v 1קמ"ש /המשך בעמוד /3 מתמטיקה ,חורף תשע"ג ,מס' 316 ,035806 -3- שאלה 2 א. ( )1אם מכניסים אחד מהסימנים H , 2 , G , 1למשבצת הריקה שבביטוי: 4 (1 + 2 + 3 + ... + n) 2 מתקבל אי־שוויון הנכון לכל nטבעי. 12 + 22 + 32 + ... + n2 בחר בסימן המתאים. ( )2הוכח באינדוקציה או בדרך אחרת כי האי־שוויון שבתת־סעיף א ( )1מתקיים לכל nטבעי. ב. נתונה סדרה חשבונית שאיבריה הם58 , 62 , 66, ... , (4n + 6) : הבע את סכום הסדרה באמצעות . ) n 212 ( n הערה :אין קשר בין סעיף א לסעיף ב. פתרון לשאלה 2 א. ()1 הסימן המתאים הוא: ()2 בדיקה עבור : n = 1 ( #ולא ,1כי אז אי־השוויון לא מתקיים עבור ). n = 1 12 #12 נניח כי הטענה נכונה עבור kטבעי כלשהו: 12 + 22 + 32 + ... + k2 # (1 + 2 + 3 + ... + k) 2 נוכיח כי הטענה נכונה עבור , k + 1כלומר צ"ל: 12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k + 1) 2 # (1 + 2 + 3 + ... + k + k + 1) 2 הוכחה: מהנחת האינדוקציה נובע: לכן מספיק להוכיח: 12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k + 1) 2 # (1 + 2 + 3 + ... + k) 2 + (k + 1) 2 (1 + 2 + 3 + ... + k) 2 + (k + 1) 2 # (1 + 2 + 3 + ... + k + k + 1) 2 על פי סכום של סדרה חשבונית: k )1 + 2 + 3 + ... + k = 2 (1 + k k +1 )2 (2 + k לכן נותר להוכיח: = 1 + 2 + 3 + ... + k + k + 1 2 k2 2 + (k + 1) 2 # (k + 1) (2 + k) 2 ( 1 + k ) 4 4 2 לאחר הצמצום בגורם החיובי : (k + 1) 2 k2 + 4 (2 + k) 2 4 # 4 2 k 2 + 4 # 4 + 4k + k 2 לכן הטענה נכונה לכל nטבעי /המשך בעמוד /4 מתמטיקה ,חורף תשע"ג ,מס' 316 ,035806 -4המשך פתרון לשאלה .2א)2( . דרך אחרת להוכחה: נסמן: A = 1 + 2 + ... + k B = k +1 לכן נותר להוכיח: A2 + B2 # (A + B) 2 2 A2 + B2 # A2 + 2A$B + B2 2 0 # 2A:B מאחר ש־ A 2 0ו־ B 2 0הוכחנו את מה שנותר להוכיח. ב. a1 = 58ו־ d = 4 לפי הנתון: נסמן את מספר האיברים בסדרה ב־ . k לפי הנוסחה לאיבר כללי בסדרה חשבוניתI. a k = 58 + 4 (k - 1) : לפי הנתון: מ־ Iו־ IIמקבלים: לכן: II. a k = 4n + 6 k = n - 12 n - 12 ))2 (2 : 58 + 4 (n - 13 = Sk 0 )S k = (n - 12) (32 + 2n /המשך בעמוד /5 מתמטיקה ,חורף תשע"ג ,מס' 316 ,035806 -5- שאלה 3 בחדר Iנמצאים kנשים ו־ kגברים ( .) k 21בחדר IIנמצאים kנשים ו־ 3kגברים. מטילים קובייה מאוזנת. אם מתקבל מספר המתחלק ב־ , 3בוחרים בזה אחר זה בלי החזרה 2 ,אנשים מחדר . I אם מתקבל מספר שאינו מתחלק ב־ , 3בוחרים בזה אחר זה בלי החזרה 2 ,אנשים מחדר . II 15 כאשר בוחרים באופן זה ,ההסתברות לבחור 2נשים מחדר Iגדולה פי 7מההסתברות לבחור 2נשים מחדר . II א. מצא את . k ב. מצא את ההסתברות לבחור 2נשים באופן שתואר. ג. ידוע שנבחר לפחות גבר אחד באופן שתואר. מהי ההסתברות שנבחרו בדיוק 2גברים מחדר ? I פתרון לשאלה 3 א. 1 2 ההסתברות לבחור בחדר Iהיא. 6 = 3 : 2 4 ההסתברות לבחור בחדר IIהיא. 6 = 3 : מכאן: ההסתברות לבחור 2נשים מחדר Iהיא: 1 k k -1 2 p = 3 : 2k : 2k - 1נשים P f מחדר I וההסתברות לבחור 2נשים מחדר IIהיא: 2 k k -1 2 p = 3 : 4k : 4k - 1נשים P f מחדר II לפי הנתון: 15 2pנשים 2 p = 7 P fנשים P f מחדר I מחדר II 0 מפתרון המשוואה ,אחרי צמצום ב־ , k - 1מקבלים: ב. 2 pנשים מחדר II + Pf k=4 2 pנשים מחדר I 2( = P fנשים)P 1 1 3 2 1 3 11 2( = 3 : 2 : 7 + 3 : 4 : 15 = 105נשים)P /המשך בעמוד /6 -6המשך פתרון לשאלה 3 ג. מתמטיקה ,חורף תשע"ג ,מס' 316 ,035806 2 pגברים f מחדר I = pלפחות לפחות גבר 1 pגבר P f 1 P / 2גברים מחדר I Pf 11 2( = 1 - 105נשים) p = 1 - Pלפחות P f גבר 1 2 p 1 1 3גברים = 3: 2 : 7 מחדר I לכן: p = 15לפחות 188 גבר 1 / Pf 2גברים P f מחדר I /המשך בעמוד /7 מתמטיקה ,חורף תשע"ג ,מס' 316 ,035806 -7- שאלה 4 נתון משולש . KHEנקודות Mו־ Gנמצאות על הצלעות KHו־ EHבהתאמה E K כך ש־ . GM z EK נקודה Fנמצאת על הצלע . EH F המשכי הקטעים GMו־ FKנפגשים בנקודה ( Lראה ציור). M נתון. B KML =B KFH : א. ב. נתון גם: G H הוכח כי . 3KHE +3FLG 3 L EF 12.5 , GE = 5ס"מ = 5 , EHס"מ = . LG ( )1מצא את האורך של . EK MH ( )2מצא את היחס . KH פתרון לשאלה 4 א. נתון: GM z EK BKML =BKFH צ"ל: TKHE +TFLG הוכחה: נסמןBKML =BKFH = a : BEKH = 180 o - aזוויות חד־צדדיות בין מקבילים משלימות ל־ 180 o BLFG = 180 o - aזווית צמודה ל־ BKFH 0 BEKH =BLFG BKEH =BFGL זוויות מתחלפות בין מקבילים הן שוות 0 TKHE +TFLG על פי ז.ז. /המשך בעמוד /8 -8המשך פתרון לשאלה 4 ב. נתון גם: ( )1מהנתון נובע: לפי משפט תלס או לפי דמיון במשולשים FKEו־ :FLG מתמטיקה ,חורף תשע"ג ,מס' 316 ,035806 EF 3 GE = 5 12.5ס"מ = EH 5ס"מ = LG EF 3 FG = 2 EK EF LG = FG 0 EK 3 LG = 2 0 EK = 7.5 ( )2מהדמיון שבסעיף א נובע: EK EH FG = LG 0 FG = 3 0 EG = 7.5 0 GH = 5 לפי משפט תלס או לפי דמיון במשולשים HKEו־ :HMG MH GH KH = EH 0 MH 5 2 KH = 12.5 = 5 /המשך בעמוד /9 מתמטיקה ,חורף תשע"ג ,מס' 316 ,035806 -9- שאלה 5 משולש ABCחסום במעגל .המיתר AFחותך את BCבנקודה . G A המיתר AEחותך את BCבנקודה ( Dראה ציור). נתוןBF = BG : B BAF =B CAE א. הוכח כי . 3AGB ,3ACE ב. נתון גם 2 :ס"מ = 5 , CEס"מ = 6 , ACס"מ = . GC D C G B חשב את האורך של המיתר . AE E F פתרון לשאלה 5 א. נתון: BBAF =BCAE BF = BG TAGB ,TACE צ"ל: BF = CEזוויות היקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים הוכחה: 0 BG = CE BABC =BAECזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת הן שוות 0 BAGB =BACEסכום זוויות במשולש הוא 180 o 0 TAGB ,TACEעל פי ז.צ.ז ב. 2ס"מ = 5 CEס"מ = 6 ACס"מ = GC נתון גם: מהחפיפה בסעיף א נובע: AC = AG = 5 AB = AE 3 cos BAGC = 5 במשולש שווה־שוקיים AGCמתקיים: 0 3 cos BAGB = - 5 לפי משפט הקוסינוסים 3 ) AB2 = 22 + 52 - 2 : 2 : 5: (- 5 במשולש :ABG 0 41 ס"מ = AE & 41 ס"מ = AB /המשך בעמוד /10 מתמטיקה ,חורף תשע"ג ,מס' 316 ,035806 - 10 - שאלה 6 נתון משולש שווה־צלעות . ABC A נקודה Tנמצאת בתוך המשולש (ראה ציור). נתון n , B TBC = a :ס"מ = d , CTס"מ = t , BTס"מ = . AT 2 אורך צלע המשולש הוא 2ס"מ. א. n2 - t2 הוכח כי 4d ב. הבע את שטח המשולש ATCבאמצעות aו־ . d = ). sin (a - 30o t n T C 2 2 d a B פתרון לשאלה 6 א. לפי משפט הקוסינוסים במשולש :BTC לפי משפט הקוסינוסים במשולש :TBA מ־ Iומ־ IIמקבלים: n2 = 22 + d2 - 2 : 2 : d cos a I. )II. t2 = 22 + d2 - 2 : 2 : d cos (60 o - a n2 - t2 o 4d = cos (60 - a) - cos a 0 לפי הזהות להפרש הקוסינוסים: 60 o 60 o - 2a = - 2 sin 2 sin 2 n2 - t2 4d 0 )= sin (a - 30 o ב. n2 - t2 4d STATC = STABC - STABT - STTBC 0 1 1 1 STATC = 2 : 2 : 2 sin 60 o - 2 : 2 : d sin (60 o - a) - 2 : 2 : d sin a 0 )STATC = 3 - d (sin (60 o - a) + sin a /המשך בעמוד /11 - 11 - נתונה הפונקציה א. 6 x2 + 3a2 מתמטיקה ,חורף תשע"ג ,מס' 316 ,035806 שאלה 7 = ) a . f (xהוא פרמטר. a 2 0 , מצא (הבע באמצעות aבמידת הצורך): ( )1את תחום ההגדרה של הפונקציה ). f(x ( )2את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ) f(xעם הצירים (אם יש כאלה). ( )3את האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה )( f(xאם יש כאלה). ( )4את נקודות הקיצון של הפונקציה )( f(xאם יש כאלה) ,וקבע את סוגן. ב. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ). f(x ג. ידוע שלפונקציה ) f(xיש שתי נקודות פיתול בלבד ובהן . x = ! a ( )1היעזר בגרף של ) , f(xוהבע באמצעות aאת התחום שבו פונקציית הנגזרת השנייה ) f ''(xחיובית, ואת התחום שבו היא שלילית .נמק. ( )2הבע באמצעות aאת שיעורי ה־ xשל נקודות הקיצון של ) , f '(xוקבע את סוגן. ד. הבע באמצעות aאת השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ) , f '(xעל ידי הישר x = aועל ידי ציר ה־ . x סמן במערכת צירים את השטח המבוקש. פתרון לשאלה 7 א. (המכנה תמיד חיובי ,כי הוא סכום של מספר חיובי ומספר אי־שלילי). ()1 ) f(xמוגדרת לכל x ()2 נקודת החיתוך עם ציר ה־ :y 2 ) a2 ()3 אסימפטוטה אופקית: y=0 . (0 , אין נקודות חיתוך עם ציר ה־. x אין אסימפטוטה אנכית. x=0 ()4 עבור x 2 0 f' (x) 1 0 עבור x 1 0 f' (x) 2 0 מכאן שיש מקסימום בנקודה & f' (x) = 0 - 12x (x2 + 3a2) 2 = )f' (x 2 ) (0 , 2 a /המשך בעמוד /12 מתמטיקה ,חורף תשע"ג ,מס' 316 ,035806 - 12המשך פתרון לשאלה 7 ב. y x ג. מהנתון נובעf'' (a) = f'' (- a) = 0 : ()1 f'' (x) 2 0עבור x 2 aאו , x 1- aכי בתחומים אלה ) f(xקעורה כלפי מעלה . , f'' (x) 1 0עבור , - a 1 x 1 aכי בתחום זה ) f(xקעורה כלפי מטה . + ()2 x2a + a -a 1x1a - 0 3 x 1- a -a 0 x )f'' (x + )f' (x 3 4 ל־ ) f' (xיש מקסימום בנקודה שבה x = - a ויש מינימום בנקודה שבה ד. x=a על פי סעיף א( f'(x) :)4שלילית עבור x 2 0ו־ . f'(0) = 0 לכן השטח המבוקש Sנמצא מתחת לציר ה־ xבגבולות שבין 0ל־ : a y a x a # f' (x) dx = - [f (x)] a0 0 S =- 1 2a2 =S /המשך בעמוד /13 מתמטיקה ,חורף תשע"ג ,מס' 316 ,035806 - 13 - שאלה 8 נתונה הפונקציה א. 1 f (x) = - sin x + 2 sin x בקטע . 0G x G 3r בקטע הנתון מצא: ( )1עבור אילו ערכי xהפונקציה מוגדרת. ( )2את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה ,וקבע את סוגן. ב. ג. ()1 סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בקטע הנתון. ()2 מצא משוואת ישר המשיק לגרף הפונקציה בשתי נקודות בדיוק. ? 21 sin x 2נמק. האם יש ערכים של xבקטע הנתון שעבורם מתקיים האי־שוויון sin x פתרון לשאלה 8 א. sin x $ 0 ()1 עבור כל xבקטע הנתון: ()2 (עבור 2r 1 x 1 3rאו :) 01 x 1r ( sin xמוגדר רק כאשר ) sin x $ 0 2 0# x # rאו 2r # x # 3r )cos x ( sin x - 1 2 sin x cos x = 0 sin x - 1 = 0 או 2 Z r ]] x = 2 [ 5 ]] x = 2 r \ 3r לא בתחום ההגדרה x = 2 5r x= 2 3r 0 3 מקסימום בנקודות: מינימום בנקודות: )(3r , 0 f' (x) = 0 2 r x= 2 5r 2 1 -2 & = )f' (x 2r r 0 0 4 3 )(2r , 0 )(r , 0 5r 1 )( 2 , - 2 r 2 1 -2 0 x 0 )f(x 4 )(0 , 0 r 1 )(2 , - 2 /המשך בעמוד /14 מתמטיקה ,חורף תשע"ג ,מס' 316 ,035806 - 14המשך פתרון לשאלה 8 ב. ()1 y x ()2 ג. 1 y =- 2 r 2r 5r 3r 2 r 2 0 (ישר העובר דרך שתי נקודות המינימום) 1 האי־שוויון 2 sin x 2 sin xשקול ל־ . f (x) 2 0 1 לכן אין ערכים שעבורם מתקיים האי־שוויון , 2 sin x 2 sin xכי f (x) # 0לכל xבתחום ההגדרה. /המשך בעמוד /15 מתמטיקה ,חורף תשע"ג ,מס' 316 ,035806 - 15 - שאלה 9 מחלקים חוט שאורכו kלשני חלקים (לאו דווקא חלקים שווים) . מחלק אחד של החוט יוצרים מעגל ומהחלק האחר יוצרים ריבוע. 5r סכום השטחים של שתי הצורות הוא מינימלי כאשר היקף המעגל הוא . r + 4 מצא את הערך של . k פתרון לשאלה 9 היקף המעגל: ) 0# x # k ( x היקף הריבוע: k-x סכום השטחים: x 2 k-x S = r:( 2r ) + ( 4 ) 2 0 x (r + 4) - rk 8r rk I. x = r + 4 & = 'S S' = 0 rk (הנקודה r + 4נמצאת בקטע ])[0 , k בדיקת מינימום: לפי הנתון: מ־ Iו־ IIמקבלים: r+4 S'' = 8r 2 0 5r II. x = r + 4 k=5 זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך
