çì÷ à`

‫מבחן מתכונת מספר ‪11‬‬
‫מרתון תרגול ל‪ 5 -‬יח"ל ‪ -‬קיץ תשס"ג‬
‫חלק א'‬
‫פרק ראשון‪ :‬אלגברה‪ ,‬הנדסת המישור‬
‫)‪ 50‬נקודות(‬
‫פתור שלוש מהשאלות ‪) 1-4‬לכל שאלה ‪ 16 23‬נקודות(‬
‫הנדסת המישור‬
‫‪.1‬‬
‫במשולש ‪.AD : DB = m : n ,DE || AC ABC‬‬
‫מהנקודות ‪ E‬ו‪ ,D -‬העבירו שני ישרים‬
‫מקבילים לצלעות המשולש‪ ,‬הנחתכים‬
‫בנקודה ‪ ,K‬אשר חותכים את הצלע ‪AC‬‬
‫בנקודות ‪ N‬ו‪ M -‬בהתאמה )ראה ציור(‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫הוכח‪ ,‬כי‪:‬‬
‫‪S ABC  m + n ‬‬
‫=‬
‫‪SNKM  n − m ‬‬
‫‪.‬‬
‫אלגברה‬
‫‪.2‬‬
‫עבור אילו ערכים של הפרמטר ‪ m‬גדולה הפונקציה‬
‫‪y = (3m-5)x2 + (7m-2)x - 3m‬‬
‫מהפונקציה )‪ y = (m-6)x2 + (6m-5)x - (5m+1‬בשביל כל ערך של ‪?x‬‬
‫‪.3‬‬
‫סדרה שכל איבריה שונים מאפס ומאחד מקיימת את כלל הנסיגה‪:‬‬
‫‪an − 1‬‬
‫‪an‬‬
‫= ‪. an +1‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪ an + 3 = an‬לכל ‪.n‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי ‪ . a1 = 3‬חשב את סכום ‪ 600‬האיברים הראשונים‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫חשב את סכום ‪ 422‬האיברים הראשונים‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה מחלקים שונים יש למספר ‪) 12600‬כולל ‪ 1‬והמספר עצמו(‪ ,‬אם ידוע‬
‫כי ‪.12600 = 7·8·9·25‬‬
‫ב‪ .‬כמה מספרים שונים בין ‪ 999‬ל‪ 9999 -‬ניתן להרכיב מהספרות‪:‬‬
‫‪ ,0 , 1 , 2 , 5 , 6 , 8‬בתנאי שגם יתחלקו ב‪ 5 -‬ללא שארית‪ ,‬וגם שבכל אחד‬
‫מהמספרים‪ ,‬הספרות תהיינה שונות זו מזו‪.‬‬
‫‪56‬‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות !‬
‫בעריכת‪[email protected] :‬‬
‫מבחן מתכונת מספר ‪11‬‬
‫מרתון תרגול ל‪ 5 -‬יח"ל ‪ -‬קיץ תשס"ג‬
‫פרק שני‪ :‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‪ ,‬טריגונומטריה‬
‫)‪ 50‬נקודות(‬
‫פתור שלוש מהשאלות ‪) 5-9‬לכל שאלה ⅔‪ 16‬נקודות(‬
‫חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬
‫‪.5‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪(x − 1)2‬‬
‫‪x 2 − b2‬‬
‫= )‪.b > 1 , f(x‬‬
‫א‪ .‬מצא‪ :‬תחום הגדרה‪ ,‬אסימפטוטות מקבילות לצירים‪ ,‬נקודות חיתוך עם הצירים‪,‬‬
‫נקודות קיצון‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪.6‬‬
‫בתוך גזרה ‪ OEF‬שהזווית המרכזית שלה היא ‪α‬‬
‫והרדיוס ‪ R‬חסום מלבן ‪ ABCD‬כמתואר בציור‪.‬‬
‫הצלעות ‪ AB‬ו‪ DC -‬מקבילות למיתר ‪.EF‬‬
‫מה צריכה להיות הזווית ‪) x‬ראה ציור( כדי‬
‫ששטח המלבן יהיה מקסימלי?‬
‫‪.7‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪(a > 0‬‬
‫בציור מתואר גרף הפונקציה‬
‫‪x3‬‬
‫עבור ‪ .x > 0‬בנקודה ‪ x = 2‬שעל גרף הפונקציה‬
‫=‪y‬‬
‫מעבירים משיק‪ .‬מנקודת החיתוך של המשיק עם‬
‫ציר ה‪ ,x -‬מעלים אנך לציר ה‪ .x -‬השטח שבין גרף‬
‫‪5‬‬
‫הפונקציה‪ ,‬המשיק והאנך )השטח המקווקו( הוא‬
‫‪48‬‬
‫‪.‬‬
‫מצא את ‪.a‬‬
‫טריגונומטריה‬
‫‪.8‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ ,‬כי בכל משולש מתקיים השוויון‪:‬‬
‫‪1 2‬‬
‫) ‪R (sin 2α + sin 2β + sin 2 γ‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪S‬‬
‫כאשר ‪ γ , β , α‬הן זוויות המשולש‪ R ,‬הוא רדיוס המעגל‬
‫החוסם אותו‪ ,‬ו‪ S -‬הוא שטח המשולש‪.‬‬
‫ב‪ .‬פתור את המשוואה )תן פתרון כללי(‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos x‬‬
‫= ‪. tan x + cot x‬‬
‫‪57‬‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות !‬
‫בעריכת‪[email protected] :‬‬
‫מרתון תרגול ל‪ 5 -‬יח"ל ‪ -‬קיץ תשס"ג‬
‫‪.9‬‬
‫מבחן מתכונת מספר ‪11‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬שבציור ‪,BC = a ,∢BAC = α‬‬
‫‪ AD‬הוא חוצה הזווית ‪.∢ADC = β ;BAC‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ ,‬כי‪:‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a ⋅ sin β −  ⋅ sin β + ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪. AD‬‬
‫‪sin α ⋅ sin β‬‬
‫ב‪ .‬הוכח ע"י הצבה בנוסחה ל‪ ,AD -‬שנתבקשת‬
‫להוכיח ב‪) -‬א(‪ ,‬כי הגובה במשולש שווה‪-‬צלעות‬
‫‪a⋅ 3‬‬
‫שווה ל‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ – a‬צלע המשולש(‪.‬‬
‫בהצלחה !‬
‫‪58‬‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות !‬
‫בעריכת‪[email protected] :‬‬
‫מבחן מתכונת מספר ‪11‬‬
‫מרתון תרגול ל‪ 5 -‬יח"ל ‪ -‬קיץ תשס"ג‬
‫חלק ב'‬
‫פרק שלישי‪ :‬הנדסה אנליטית‪ ,‬הנדסת המרחב‪ ,‬וקטורים‪ ,‬מספרים מרוכבים‬
‫פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות )‪ 100‬נקודות(‬
‫פתור ארבע מהשאלות ‪ ,17-10‬מהן לפחות אחת מהשאלות ‪) 17-16‬לכל שאלה‪ 25 -‬נקודות(‪.‬‬
‫הנדסה אנליטית והנדסת המרחב‬
‫‪.10‬‬
‫נתונים הישרים ‪ 2x + y − 8 = 0‬ו‪ x − 3y + 10 = 0 -‬והנקודה )‪.P(0,1‬‬
‫דרך ‪ P‬עובר ישר ‪ ,ℓ‬החותך את הישרים הנתונים בנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬בהתאמה‪,‬‬
‫כך ש‪ P -‬היא אמצע הקטע ‪.AB‬‬
‫מצא את משוואת הישר ‪.ℓ‬‬
‫‪.11‬‬
‫הנקודה )‪ P(x,y‬נמצאת מחוץ למעגל‪:‬‬
‫למעגל קטן פי ‪2‬‬
‫‪ , x 2 + y 2 = 16‬כך שאורך המשיק ממנה‬
‫ממרחק מציר ה‪.y -‬‬
‫הראה שהמקום הגיאומטרי של כל הנקודות ‪ P‬הנ"ל הוא אליפסה‪,‬‬
‫ומצא את משוואתה‪.‬‬
‫‪.12‬‬
‫במנסרה משולשת ישרה ' ‪ABCA 'B ' C‬‬
‫כל אחד מהבסיסים הוא משולש‬
‫שווה צלעות‪ .‬כמו כן נתון כי‬
‫גובה המנסרה הוא ‪ h‬והזווית‬
‫‪.∢BA'C = α‬‬
‫א‪ .‬הבע את נפח המנסרה הנ"ל‬
‫באמצעות ‪ h‬ו‪.α -‬‬
‫ב‪ .‬עבור אילו ערכים של ‪ α‬יש פתרון לבעיה? נמק‪.‬‬
‫‪.13‬‬
‫בבסיס של חרוט‪ ,‬חסום ריבוע בעל צלע ‪.a‬‬
‫‪S‬‬
‫מישור העובר דרך ראש החרוט ‪ S‬ודרך צלע‬
‫הריבוע הנ"ל‪ ,‬יוצר ע"י חיתוך עם פני החרוט‬
‫משולש שווה שוקיים שבו זווית הראש שווה‬
‫ל‪) α -‬ראה שטח מקווקו בציור(‪.‬‬
‫הוכח‪ ,‬כי נפח החרוט הנ"ל שווה‬
‫‪πa3 cos α‬‬
‫ל‪-‬‬
‫‪α‬‬
‫‪12 sin‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪59‬‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות !‬
‫בעריכת‪[email protected] :‬‬
‫מבחן מתכונת מספר ‪11‬‬
‫מרתון תרגול ל‪ 5 -‬יח"ל ‪ -‬קיץ תשס"ג‬
‫וקטורים‬
‫‪.14‬‬
‫נתון המישור ‪. π1 : 5x + 3y − 2z − 10 = 0‬‬
‫הנקודה )‪ B(2,0,0‬נמצאת במישור ‪ π1‬והנקודה )‪ A(4,2,3‬מחוץ לו‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא משוואת מישור ‪ π2‬מקביל למישור ‪ π1‬ועובר דרך הנקודה ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬מצא משוואת מישור ‪ , π3‬העובר דרך ‪ A‬ו‪ B -‬ומאונך למישור ‪. π1‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪.15‬‬
‫מצא את וקטור הכיוון של ישר החיתוך של המישורים ‪ π1‬ו‪. π3 -‬‬
‫נתונה קובייה '‪) ABCDA' B' C' D‬ראה ציור(‬
‫שאורך צלעה ‪.1‬‬
‫→‬
‫נתון‪AB = a :‬‬
‫→‬
‫‪BC = b‬‬
‫→‬
‫‪, CC' = c‬‬
‫→‬
‫→‬
‫‪ M‬נקודה על '‪ BC‬כך שמתקיים '‪. BM = t ⋅ BC‬‬
‫נקודה ‪ K‬היא מפגש האלכסונים '‪ AC‬ו‪. BD' -‬‬
‫→‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את | ‪. | MK‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את '‪.∢MKC‬‬
‫ג‪ .‬מצא‪ ,‬בעזרת הביטוי לקוסינוס שמצאת בסעיף ב‪ ,‬את גודל הזווית '‪MKC‬‬
‫עבור ‪ .t = 1‬הסבר את התשובה המתקבלת‪.‬‬
‫שים לב‪ :‬עליך לענות לפחות על אחת מהשאלות ‪.17 - 16‬‬
‫מספרים מרוכבים‪ ,‬פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות‬
‫‪.16‬‬
‫נתונים שני מספרים מרוכבים‪ , z1 = a − 3ai :‬והארגומנט )הזווית( של ‪ z2‬הוא ‪.145°‬‬
‫ידוע כי‬
‫‪. z1 − z2 = 32 − 27i‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ z1‬ואת ‪. z2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ z2‬הוא האיבר הראשון בסדרה חשבונית ו‪ z1 -‬הוא הפרש הסדרה‪.‬‬
‫מצא כמה איברים יש לחבר בסדרה זו כדי לקבל את הסכום ‪. −228 − 144i‬‬
‫‪.17‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪. y = (a + bx) ⋅ e2x‬‬
‫שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה ‪ x = 0‬הוא ‪ 8‬ושיפוע המשיק‬
‫לגרף הפונקציה בנקודה ‪ x = 1‬הוא ‪. 4e2‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬ו‪.b -‬‬
‫ב‪ .‬חקור את הפונקציה ומצא‪:‬‬
‫)‪ (1‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫)‪ (2‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫)‪ (3‬האסימפטוטה האופקית‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪60‬‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות !‬
‫בעריכת‪[email protected] :‬‬
‫מבחן מתכונת מספר ‪11‬‬
‫מרתון תרגול ל‪ 5 -‬יח"ל ‪ -‬קיץ תשס"ג‬
‫תשובות סופיות‬
‫‪.1‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.3‬‬
‫א‪ .‬הוכחה‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫א‪.72 .‬‬
‫‪.5‬‬
‫א‪ .‬ת"ה‪ , x ≠ ±b :‬אסימפטוטות‪, y = 1 , x = ±b :‬‬
‫> ‪.m‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. 633‬‬
‫ג‪.447 .‬‬
‫ב‪.108 .‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪‬‬
‫חיתוך עם הצירים‪(1, 0) ,  0, − 2  :‬‬
‫‪b ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪b2 − 1 ‬‬
‫נקודות קיצון‪. Max(1, 0) , Min  b2 , 2  :‬‬
‫‪‬‬
‫‪b ‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬גרף‪:‬‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪.a = 8‬‬
‫‪.8‬‬
‫א‪ .‬הוכחה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪.9‬‬
‫א‪ .‬הוכחה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכחה‪.‬‬
‫‪.10‬‬
‫‪. 4y + x = 4‬‬
‫‪.11‬‬
‫‪x2 y2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪32 16‬‬
‫‪.12‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪.13‬‬
‫‪. 150D + 360D k , 30D + 360D k‬‬
‫‪.‬‬
‫‪3h3‬‬
‫‪α‬‬
‫‪cot 2 − 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. α < 60D‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫‪61‬‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות !‬
‫בעריכת‪[email protected] :‬‬
‫מרתון תרגול ל‪ 5 -‬יח"ל ‪ -‬קיץ תשס"ג‬
‫‪.14‬‬
‫‪.15‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪. 5 x + 3y − 2z = 20‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪. 13x − 19y + 4z = 26‬‬
‫ג‪.‬‬
‫)‪. (13, 23, 67‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪. 2t 2 − 2t +‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪t−‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2t − 2t +‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.16‬‬
‫א‪.‬‬
‫מבחן מתכונת מספר ‪11‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫ג‪.0° .‬‬
‫‪. z2 = −30 + 21i , z1 = 2 − 6i‬‬
‫ב‪.n =12 .‬‬
‫‪.17‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב)‪.(2‬‬
‫‪. b = −2 , a = 5‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪. max 2, e 4‬‬
‫ב)‪.(2.5,0) ,(0,5) .(1‬‬
‫ב)‪.(3‬‬
‫‪.y = 0‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪62‬‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות !‬
‫בעריכת‪[email protected] :‬‬