docסדרות חשבוניות והנדסיות
download 
Report Transcription
סדרות חשבוניות והנדסיות
0 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג ספר המאגר לשאלון20853 : פרק 1.1 פונקציות וגרפים פרק 1.3 סדרות חשבונית וסדרות הנדסית כולל פתרונות מלאים מסודר לפי המאגר של משרד החינוך פרק 1.2 גדילה ודעיכה פרק 3.1 סטטיסטיקה פרק 3.3 הסתברות פרק 3.2 התפלגות נורמלית פרק 2.1 טריגונומטריה במישור. פרק 2.3 טריגונומטריה יישומים במרחב. כתב וערך :יוסי דהן פרק 2.1סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות 0 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 2 שאלה מספר .1 סדרה מוגדרת לכל nטבעי על-ידי כלל הנסיגה: (א) (ב). (ג). a1 5 an 1 an 3 רשום את ארבעת האיברים הראשונים בסדרה. הסבר מדוע הסדרה הנתונה היא סדרה חשבונית עולה. מצא את האיבר ה 75 -בסדרה. d 3 פתרון: (א) 21 22 8 7 a4 a3 a2 a1 רשום את ארבעת האיברים הראשונים בסדרה. נתונים a1 5 a1 5 a 2 a1 3 5 3 8 a n 1 a n 3 a3 a 2 3 8 3 11 a n 1 a n 3 a 4 a3 3 11 3 14 תשובה: d 3 a1 5 a2 8 a3 11 a4 14 (ב) .הסבר מדוע הסדרה הנתונה היא סדרה חשבונית עולה. תשובה :הסדרה הנתונה היא סדרה חשבונית עולה ההפרש קבוע בין האיברים הוא d 3 (ג). מצא את האיבר ה 05 -בסדרה. an a1 (n 1) d a57 a1 (57 1) d a57 5 56 3 תשובהa57 173 : a57 173 נתונים a1 5 d 3 ? a 57 תשובה סופית: (א) a1 5 a2 8 a3 11 a4 14 (ב) על-פי כלל הנסיגה כל איבר גדול ב 3 -מהאיבר הקודם לו פרק 2.1סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות 2 (ג) a57 173 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 1 שאלה מספר .3 a1 50 סדרה מוגדרת לכל nטבעי על-ידי כלל הנסיגה: an 1 an 2 רשום את ארבעת האיברים הראשונים בסדרה. (א). הסבר מדוע הסדרה הנתונה היא סדרה חשבונית יורדת. (ב). מהו הפרש הסדרה? (ג). חשב את הסכום של עשרת האיברים הראשונים של הסדרה. (ד). פתרון: (א) d 2 11 14 18 70 a4 a3 a2 a1 רשום את ארבעת האיברים הראשונים בסדרה. נתונים a1 50 a 2 a1 2 50 2 48 a3 a 2 2 48 2 46 a1 50 a n 1 a n 2 a n 1 a n 2 d 2 a 4 a3 2 46 2 44 תשובהa1 50 a2 48 a3 46 a4 44 : (ב). הסבר מדוע הסדרה הנתונה היא סדרה חשבונית יורדת. תשובה :הסדרה הנתונה היא סדרה חשבונית יורדת ההפרש בין האיברים הוא . d 2 (ג). מהו הפרש הסדרה? תשובה :ההפרש בין האיברים הוא d 2 (ד). חשב את הסכום של עשרת האיברים הראשונים של הסדרה. n 2a1 d (n 1) 2 102a1 d (10 1) S10 2 102 50 (2) 9 S10 2 S10 410 נתונים Sn תשובהS10 410 : a1 50 d 2 ? S10 תשובה סופית: (א) ( a1 50 a2 48 a3 46 a4 44ב) כל איבר קטן ב 1 -מהאיבר הקודם לו (ג) ( d 2ד) S10 410 פרק 2.1סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות 1 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 3 שאלה מספר .2 נתונים כל המספרים התלת ספרתיים .200 , 202 , 201 ,....... , 999 : כמה מספרים תלת-ספרתיים קיימים? (א). כמה מספרים תלת-ספרתיים מתחלקים ב( 7 -בלי שארית)? (ב). כמה מספרים תלת-ספרתיים אינם מתחלקים ב?7 - (ג). d 1 פתרון: 999 ........ an (א). ........ ........ ........ 201 202 200 a3 a2 a1 כמה מספרים תלת-ספרתיים קיימים ? an a1 (n 1) d 999 100 (n 1) 1 999 100 n 1 899 n 1 n 900 תשובהn 900 : כמה מספרים תלת-ספרתיים מתחלקים ב( 0 -בלי שארית)? (ב). 997 an 220 ........ ........ ........ ........ a3 an a1 (n 1) d תשובהn 180 : (ג). תשובה: 995 100 (n 1) 5 995 100 5n 5 895 5n 5 900 5n / : 5 n 180 נתונים a1 100 a 2 101 d a 2 a1 1 a n 999 d 5 200 207 a1 a2 נתונים a1 100 a 2 105 d a 2 a1 5 a n 995 כמה מספרים תלת-ספרתיים אינם מתחלקים ב? 0 - n 900 180 720 תשובה סופית: (א) ( n 900ב) ( n 180ג) n 720 פרק 2.1סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות 3 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 1 שאלה מספר .4 המספר התלת-ספרתי הקטן ביותר המתחלק ב 5 -בלי שארית הוא .207 המספר התלת-ספרתי הגדול ביותר המתחלק ב 5 -בלי שארית הוא .991 כמה מספרים תלת–ספרתיים מתחלקים ב 5 -בלי שארית. פתרון: d 7 כמה מספרים תלת–ספרתיים מתחלקים ב 5 -בלי שארית. 991 an 229 ........ ........ ........ ........ an a1 (n 1) d תשובהn 128 : 994 105 (n 1) 7 994 105 7 n 7 889 7 n 7 896 7 n / : 7 n 128 a3 221 a2 207 a1 נתונים a1 105 a 2 112 d a 2 a1 7 a n 994 תשובה סופית: n 128 פרק 2.1סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות 1 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 7 שאלה מספר .0 סכום nהאיברים הראשונים בסדרה החשבונית1 ,4 ,5 ,... : הוא כסכום nהאיברים הראשונים בסדרה החשבונית.01 ,44 ,45 ,.... : מצאו את .n פתרון: d 2 ........ d 3 15 19 72 a3 a2 a1 5 ........ a3 1 a2 2 a1 נתונים נתונים a1 1 a1 51 a 2 49 a2 4 d a 2 a1 2 d a 2 a1 3 n 2a1 d (n 1) 2 n 2 51 (2) (n 1) 2 n 102 2n 2 2 n 104 2n 2 104 2n 2 2 n 2a1 d (n 1) 2 n 2 1 3 (n 1) 2 n 2 3n 3 2 n 3n 1 2 2 3n 1n 2 Sn Sn Sn Sn Sn Sn Sn Sn Sn 3n 2 1n 104n 2n 2 2 2 2 3n 1n 104n 2n 2 0 5n 2 105n 0 n(5n 105) 0 n0 5n 105 0 5n 105 n 21 תשובהn 21 : תשובה סופית: n 21איברים פרק 2.1סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות 7 כתב וערך :יוסי דהן Sn Sn Sn לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 4 שאלה מספר .6 מפעל ,המייצר חלקי חילוף למכוניות ,ייצר בחודש הראשון (חודש ינואר) 2,000פריטים. בגלל דרישות השוק ,הגביר המפעל את הייצור בכל חודש ב 200 -פריטים יותר מאשר בחודש הקודם. (א) .כמה פריטים ייצר המפעל בחודש ה( 21 -חודש דצמבר)? (ב) .כמה פריטים ייצר המפעל במהלך השנה (מחודש ינואר עד חודש דצמבר)? (ג) .הרווח הנקי מכל פריט הוא .₪ 870כמה הרוויח המפעל במהלך השנה . (מחודש ינואר עד חודש דצמבר)? פתרון: d 100 2000 a12 a11 a9 a10 a7 a8 a5 a6 a4 a3 a2 (א) .כמה פריטים ייצר המפעל בחודש ה( 13 -חודש דצמבר)? an a1 (n 1) d נתונים a1 1000 a12 a1 (12 1) d d 100 ? a12 a12 1000 11 100 תשובהa12 2,100 : a12 2,100 (ב) .כמה פריטים ייצר המפעל במהלך השנה (מחודש ינואר עד חודש דצמבר)? n 2a1 d (n 1) 2 12 2 1000 100 (12 1) S12 2 S12 18,600 Sn תשובהS12 18,600 : (ג) .הרווח הנקי מכל פריט הוא .₪ 805כמה הרוויח המפעל במהלך השנה . (מחודש ינואר עד חודש דצמבר)? S12 18,600 18,600 850 15,810,000 תשובה15,810,000 : תשובה סופית: (א) a12 2,100 (ב) S12 18,600 פרק 2.1סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות (ג) ₪ 15,810,000 4 כתב וערך :יוסי דהן a1 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 5 שאלה מספר .5 במבנה עם גג משופע יש שני קירות תמיכה זהים. כל קיר עשוי מעמודים אנכיים של צינורות ברזל (ראו סרטוט). גג אורכו של העמוד הגבוה ביותר בכל אחד מהקירות הוא 8מטרים. אורכו של העמוד הקצר ביותר הוא 4מטרים ו 10 -ס"מ. קיר תמיכה אורכו של כל עמוד קצר מהקודם לו ב 30 -ס"מ. (א) .כמה עמודים יש בקיר תמיכה אחד? . . . . (ב) .בכמה מטרים של צינור ברזל השתמשו לבניית שני הקירות? (ג) .מחירו של מטר אחד צינור ברזל הוא .₪ 10 מה המחיר ששילמו עבור צינורות הברזל לבניית שני הקירות ? פתרון: 25ס"מ = 5.2מטר נמיר את היחידות למטר 35ס"מ = 5.3מטר הערה : (א) .כמה עמודים יש בקיר תמיכה אחד? d 0.3 8 4.10 ........ an ........ ........ ........ a3 a2 נתונים an a1 (n 1)d תשובהn 7 : 5עמודים בקיר אחד (ב). )6.20 8 (n 1)(0.3 1.8 0.3n 0.3 2.1 0.3n / : 0.3 n7 a1 a1 8 d 0 .3 a n 6.20 ?n בכמה מטרים של צינור ברזל השתמשו לבניית שני הקירות ? הערה :כול קיר מהווה סדרה חשבונית בפני עצמה n 2a1 d (n 1) 2 7 2 8 (0.3) (7 1) S7 2 S7 49.7 Sn תשובה: נתונים a1 8 d 0 .3 ? S7 סה"כ בשני הקירות 49.7 2 99.4 (ג) .מחירו של מטר אחד צינור ברזל הוא .₪ 35 מה המחיר ששילמו עבור צינורות הברזל לבניית שני הקירות ? תשובה: סה"כ המחיר תשובה סופית: (א) 5עמודים 99.4 20 1988 (ב) 99.1מ' פרק 2.1סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות (ג) ₪ 2,988 5 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 8 שאלה מספר .8 על שולחן מסדרים כדורים בצורת משולש באופן הבא: בשורה הראשונה – כדור אחד ,בשורה השנייה – 3כדורים, בשורה השלישית – 7כדורים וכן הלאה (ראו סרטוט). (א) .כמה כדורים יהיו בשורה העשירית? (ב) .מהו מספר הכדורים הדרוש ליצירת משולש שבו 20שורות? לבניית משולש משתמשים ב 189 -כדורים. (ג). כמה שורות של כדורים יהיו במשולש זה? פתרון: d 2 a10 a9 a8 a7 a6 a5 a4 7 3 2 a3 a2 a1 (א) .כמה כדורים יהיו בשורה העשירית ? נתונים an a1 (n 1)d a1 1 a10 a1 (10 1) d a2 3 a10 1 9 2 a10 19 תשובהa10 19 : (ב). a3 5 d a 2 a1 3 1 2 ? a10 מהו מספר הכדורים הדרוש ליצירת משולש שבו 15שורות? n 2a1 d (n 1) 2 10 2 1 (2)(10 1) S10 2 S10 100 Sn תשובהS10 100 : (ג). נתונים a1 1 d 2 ? S10 לבניית משולש משתמשים ב 384 -כדורים .כמה שורות של כדורים יהיו במשולש זה? n 2a1 d (n 1) 2 n 2 1 2 (n 1) 289 2 578 n 2 2n 2 578 n 2n Sn תשובהn 17 : 578 2n 2 / : 2 289 n 2 289 n 17 n תשובה סופית: (א) ( a10 19ב) ( S10 100ג) n 17 פרק 2.1סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות 8 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 9 שאלה מספר .4 אבן ,הנופלת באופן חופשי ,עוברת בשנייה הראשונה מרחק של 7מטרים ,ובכל אחת מן השניות הבאות היא עוברת 20מטרים יותר מאשר בשנייה הקודמת לה. כדי למדוד את העומק של בור ,שחררו אבן שנפלה באופן חופשי לתחתית הבור. (א) .מה המרחק שעברה האבן בשנייה החמישית? (ב) .האבן הגיעה לתחתית הבור כעבור 7שניות מתחילת הנפילה .מה עומק הבור? פתרון: (א) .מה המרחק שעברה האבן בשנייה החמישית ? d 10 5 a5 a3 a4 an a1 (n 1)d a5 a1 (5 1) d a5 5 4 10 תשובהa5 45 : a5 45 a2 a1 נתונים a1 5 d 10 ? a5 (ב) .האבן הגיעה לתחתית הבור כעבור 0שניות מתחילת הנפילה .מה עומק הבור ? n 2a1 d (n 1) 2 5 2 5 (10) (5 1) S5 2 S5 125 Sn נתונים a1 5 d 10 ? S5 תשובהS5 125 : תשובה סופית: (ב) S5 125 (א) a5 45 פרק 2.1סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות 9 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 20 שאלה מספר .15 דני צריך לשלוח בדואר 1חבילות במשקלים שונים .עלות הבולים למשלוח החבילה תלויה במשקל החבילה .מחירי הבולים הנ"ל יוצרים סדרה חשבונית .מחיר הבול היקר ביותר גדול פי 3מהבול הזול ביותר .סך הכול שילם דני .₪ 210 (א) מהו מחיר הבול הזול ביותר? (ב) .מהו מחיר הבול היקר ביותר? פתרון: 3x a3 (א) x a3 a1 a2 מהו מחיר הבול הזול ביותר ? n 2a1 d (n 1) 2 4 2 a1 d (4 1) S4 2 2x 4 2 1x 3 3 120 2 240 4 2 x 2 x 60 4 x x 15 a1 15 Sn an a1 (n 1)d נתונים a1 x a4 a1 (4 1) d a 4 3x 3 x 1x 3d 2 x 3d 2x d 3 S 4 120 תשובהa1 15 : נתונים (ב) .מהו מחיר הבול היקר ביותר ? a1 15 a 4 3 15 45 a1 x a4 3 x תשובהa4 45 : תשובה סופית: (א) ₪ 27 (ב) ₪ 17 פרק 2.1סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות 20 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 22 שאלה מספר .11 אלון ונדב מתכוננים לבחינה הפסיכומטרית .כל אחד מהם צריך ללמוד 780מילים חדשות. אלון החליט שילמד מדי יום 10מילים .נדב בנה תכנית עבודה כך ,שביום הראשון ילמד 20מילים ומדי יום ילמד שתי מילים יותר מאשר ביום הקודם. (א) כמה ימים למד אלון לבחינה? (ב) .מי מבין השניים יסיים את לימוד המילים מוקדם יותר? נמק. פתרון: (א) אלון נתונים כמה ימים למד אלון לבחינה ? S n 580 20 580 29 20 תשובהn 29 : (ב). n מי מבין השניים יסיים את לימוד המילים מוקדם יותר ? נמק. b b2 4 a c 2a ) (18) 324 4(2)(1160 n 1,2 )2(2 18 98 n 29 18 98 1 4 n 1,2 18 98 4 n 20 2 4 n 1,2 n 29 n 2a1 d (n 1) 2 n 2 10 2 (n 1) 580 2 1160 n 20 2n 2 1160 n 18 2n Sn 1160 18n 2n 2 2n 2 18n 1160 0 y ax 2 bx c a2 b 18 b 2 324 n 20 c 1160 תשובהn 20 : תשובה סופית: (א) 19ימים (ב) נדב יסיים את למידת המילים במשך 10יום ,ולכן הוא יסיים את למידת המילים לפני אלון פרק 2.1סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות 22 כתב וערך :יוסי דהן נדב נתונים S n 580 a1 10 d 2 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 21 שאלה מספר .13 ספורטאי הלך 5שעות רצופות. 4 בכל שעה עבר מרחק השווה ל- 5 מהמרחק שעבר בשעה הקודמת. בשעה השלישית הוא עבר 1,000מטר. חשב את המרחק שעבר הספורטאי בשעה הראשונה. (א). חשב את כל המרחק שעבר הספורטאי במשך 5שעות. (ב). פתרון : q : 0.8 q x0.8 1000 a7 a6 a5 a4 a3 a1 a2 א .חשב את המרחק שעבר הספורטאי בשעה הראשונה. a n a1 q n 1 נתונים a 3 a1 q 2 0.8 4 5 q 4000 a1 (0.8) 2 a 3 4000 4000 a1 (0.8) 2 6250 a1 ? a1 תשובהa1 6250 : ב .חשב את כל המרחק שעבר הספורטאי במשך 5שעות. )a1 (q n 1 q 1 Sn )6250(0.8 7 1 0. 8 1 S 7 24696.4 S7 תשובהS7 24696.4 : תשובה סופית: 4170מטר (א) (ב) נתונים a1 6250 0. 8 4 5 n7 ? S7 11,494.1מטר פרק 2.1סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות 21 q כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 23 שאלה מספר .12 בסדרה הנדסית עולה האיבר החמישי הוא 18והאיבר השביעי הוא .291 מצאו את האיבר הראשון בסדרה. א. חשבו את סכום שבעת האיברים הראשונים בסדרה. ב. פתרון: א .מצאו את האיבר הראשון בסדרה. q x2 291 q : 2 18 a7 a6 a5 291 a3 a3 a4 a2 a2 בעזרת סדרת העזר נחשב את המנה q a3 192 18 a1 a1 סדרה עזר המנה q an a1 q n 1 a3 a1 q 3 1 a1 48 192 48 q 2 192 q2 48 q 4 q 2 ?q נתון שהסדרה עולה לכן יש לפסול את התשובה q 2 ונשתמש רק ב q 2 נציב בסדרה המקורית את הנתונים ונחשב את האיבר הראשון. an a1 q n 1 נתונים a 5 48 a5 a1 q 5 1 a 7 192 48 a1 2 4 48 a1 16 a1 3 תשובהa1 3 : ב. q2 ? a1 חשבו את סכום שבעת האיברים הראשונים בסדרה. )a1 (q n 1 q 1 Sn )3 (2 7 1 2 1 S 7 381 S7 תשובהS7 381 : תשובה סופית: (א) a1 3 נתונים q2 a1 2 ? S7 (ב) S7 381 פרק 2.1סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות 23 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 21 שאלה מספר .14 יש להכניס שלושה מספרים בין המספרים 32ל ,194 -כך שתתקבל סדרה הנדסית שבה חמישה איברים. מצאו את האיבר השני בסדרה ,המתקבל אם היא סדרה עולה. א. מצאו את האיבר השני בסדרה ,המתקבל אם היא איננה סדרה עולה. ב. 194 a5 32 a4 a3 a1 a2 an a1 q n 1 a5 a1 q 5 1 496 31 q 4 / : 31 q 4 16 נתונים a5 496 a1 31 ?q q 4 16 q 2 א. מצאו את האיבר השני בסדרה ,המתקבל אם היא סדרה עולה q x2 31 62 248 496 124 a3 a5 a1 a2 a4 a 2 a1 q )a 2 31 (2 a 2 62 תשובהa2 62 : ב. מצאו את האיבר השני בסדרה ,המתקבל אם היא איננה סדרה עולה. )q x(2 a 2 a1 q 31 62 248 496 124 )a 2 31 (2 a3 a5 a1 a2 a4 a 2 62 תשובהa2 62 : תשובה סופית: (א) a2 62 (ב) a2 62 פרק 2.1סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות 21 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 27 שאלה מספר .10 האיבר הרביעי בסדרה הנדסית הוא .2,000מנת הסדרה היא .7 חשבו את סכום שמונת האיברים הראשונים בסדרה. פתרון: האיבר הרביעי בסדרה הנדסית הוא .1,555מנת הסדרה היא .0 חשבו את סכום שמונת האיברים הראשונים בסדרה. q : 5 q x5 2000 a8 a7 a6 a5 a3 a4 an a1 q n 1 a4 a1 q 4 1 1000 a1 53 / : 53 a1 8 )a1 (q n 1 q 1 Sn )8 (58 1 5 1 S 8 781,248 S8 תשובהS8 781,248 : a1 a2 נתונים a 4 1000 q5 ? a1 נתונים q5 a1 8 ? S8 תשובה סופית: S8 781,248 פרק 2.1סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות 27 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 24 שאלה מספר .16 בתחרות השתתפו 20קבוצות .כל קבוצה זוכה בפרס בהתאם למיקומה בסיום התחרות. הפרסים מהווים סדרה הנדסית שבה כל פרס קטן מקודמו פי .1 הקבוצה במקום הראשון מקבלת את הפרס הגדול ביותר ,והקבוצה במקום האחרון מקבלת את הפרס הקטן ביותר. קבוצת "עירוני תמר" סיימה את התחרות במקום השישי וקיבלה סכום של .₪ 10,000 (א) .קבוצת "צור יואב" סיימה במקום הראשון .מהו הסכום שקיבלה? (ב) .קבוצת "עירוני אפרת" סיימה את התחרות במקום האחרון .מהו הסכום שקיבלה? (ג) .מהו סכום הפרסים הכולל שחולק לכל הקבוצות המשתתפות בתחרות? q : 2 פתרון: q x2 10,000 a10 a9 a8 a6 a7 a5 a3 a4 a1 a2 (א) .קבוצת "צור יואב" סיימה במקום הראשון .מהו הסכום שקיבלה? a n a1 q n 1 כל פרס קטן מקודמו פי .3 משמעות q 0.5 : a 6 a1 q 5 נתונים a 6 20,000 q 0.5 ? a1 20,000 a1 0.5 5 / : 0.5 5 תשובהa1 640,000 : (ב). a1 640,000 קבוצת "עירוני אפרת" סיימה את התחרות במקום האחרון. an a1 q n 1 a10 a1 q101 נתונים a1 640,000 q 0.5 ? a10 a10 640,000 0.59 a10 1,250 תשובהa10 1,250 : (ג) .מהו סכום הפרסים הכולל שחולק לכל הקבוצות המשתתפות בתחרות ? נתונים )a1 (q n 1 q 1 Sn a1 640,000 q 0.5 ? S10 )640,000 (0.510 1 0.5 1 S10 1,278.750 S10 תשובהS10 1,278.750 : תשובה סופית: (א) a1 640,000 (ב) a10 1,250 פרק 2.1סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות (ג) S10 1,278.750 24 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 25 שאלה מספר .15 ההיקפים של משולשים שווי-צלעות מהווים סדרה הנדסית עולה. בסדרה ישנם 8משולשים. אורך הצלע של המשולש הראשון הוא 1ס"מ, ואורך הצלע של המשולש השני הוא 4ס"מ. (א) .מהו ההיקף של המשולש השלישי בסדרה ? (ב) .מהי הצלע של המשולש האחרון בסדרה ? (ג) .מהו סכום ההיקפים של שמונת המשולשים ? … פתרון: משולש שווה צלעות אורך הצלע של המשולש הראשון הוא 1ס"מ ,משמעות ההיקף 2 3 6 משולש שווה צלעות אורך הצלע של המשולש השני הוא 4ס"מ ,משמעות ההיקף 6 3 18 a2 18 3 a1 6 a1 6 q a2 18 q x3 a7 a8 a5 a6 a3 a4 28 4 a2 a1 (א) .מהו ההיקף של המשולש השלישי בסדרה ? a3 a2 q 18 3 54 תשובהa3 54 : (ב) .מהי הצלע של המשולש האחרון בסדרה ? n 1 תשובה :ההיקף של המשולש השמיני הואa8 13,122 : משמעות אורך הצלע של המשולש הוא 13,122 : 3 4,374 : a n a1 q a8 a1 q 7 a8 6 3 7 a8 13,122 (ג) .מהו סכום ההיקפים של שמונת המשולשים ? )a1 (q n 1 Sn q 1 נתונים )6 (38 1 S8 3 1 S 8 19,680 q3 ? S8 תשובהS8 19,680 : תשובה סופית: (א) a3 54 (ב) 4,254ס"מ (ג) פרק 2.1סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות a1 6 S8 19,680 25 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 28 שאלה מספר .18 כאשר מסדרים את המשכורות של 7עובדים בסדר עולה (מהמשכורת הנמוכה אל המשכורת הגבוהה), מקבלים סדרה הנדסית. המשכורת הנמוכה ביותר היא ,₪ 1,000והמשכורת הגבוהה ביותר היא .₪ 8,191.10 (א) .חשב את מנת הסדרה ההנדסית. (ב) .חשב את סכום המשכורות של חמשת העובדים. (ג) .חשב את הממוצע של חמשת משכורות העובדים. פתרון: q x1.2 4,000 8,294.40 a5 a3 a4 a1 a2 (א) .חשב את מנת הסדרה ההנדסית. נתונים an a1 q n 1 a5 a1 q 5 1 8294.40 4000 q 4 / : 4000 התשובה q 1.2נפסלה סדרה עולה a1 4,000 a5 8,294.40 ?q q 4 2.0732 q 4 2.0732 q 1.2 תשובהq 1.2 : (ב) .חשב את סכום המשכורות של חמשת העובדים. )a1 (q n 1 Sn q 1 תשובהS5 29,766.4 : נתונים a1 4,000 q 1. 2 ? S5 )4000 (1.2 5 1 1.2 1 S 5 29,766.4 S5 (ג) .חשב את הממוצע של חמשת משכורות העובדים. תשובהx 5,953.28 : תשובה סופית: (א) q 1.2 (ב) S5 29,766.4 פרק 2.1סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות S 5 29,766.4 5,953.28 5 5 x (ג) x 5,953.28 28 כתב וערך :יוסי דהן 29 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג שאלה מספר .14 a1 5 סדרה מוגדרת לכל nטבעי על -ידי כלל הנסיגה: an 1 an 4 (א) .רשום את חמשת האיברים הראשונים בסדרה. (ב) .קבע האם הסדרה ההנדסית עולה /קבועה /יורדת. (ג) .חשב את סכום עשרת האיברים הראשונים בסדרה. (ד) .חשב את הממוצע של עשרת האיברים הראשונים בסדרה. פתרון: 1280 a5 (א) 320 a4 80 a3 q x4 5 20 a1 a2 רשמו את חמשת האיברים הראשונים בסדרה. נתונים a1 5 a1 5 a 2 a1 4 5 4 20 a n 1 a n 4 a 4 a3 4 80 4 320 a n 1 4 an a3 a 2 4 20 4 80 a5 a 4 4 320 4 1280 q4 a1 5 a2 20 a3 80 a4 320 a5 1280 תשובה: (ב) .קבע האם הסדרה ההנדסית עולה /קבועה /יורדת. תשובה :הסדרה הנתונה היא סדרה הנדסית עולה המנה בין האיברים הוא q 4 (ג) .חשב את סכום עשרת האיברים הראשונים בסדרה. )a1 (q n 1 q 1 תשובהS10 1,747,625 : Sn )5 (410 1 4 1 S10 1,747,625 S10 נתונים a1 5 q4 ? S10 (ד) .חשב את הממוצע של עשרת האיברים הראשונים בסדרה. S10 1747625 174,762.5 10 10 תשובהx 174,762.5 : x תשובה סופית: (א) ( a1 5 a2 20 a3 80 a4 320 a5 1280ב) הסדרה הנדסית q 4 (ג) S10 1,747,625 (ד) x 174,762.5 פרק 2.1סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות 29 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 10 שאלה מספר .35 a1 5 סדרה מוגדרת לכל nטבעי על -ידי כלל הנסיגה: an 1 3 an (א) .הסבר מדוע הסדרה היא סדרה הנדסית. (ב) .רשום את חמשת האיברים הראשונים בסדרה. (ג) .חשב את סכום שמונת האיברים הראשונים בסדרה. פתרון: 405 a5 135 a4 45 a3 q x4 5 15 a1 a2 (א) .הסבר מדוע הסדרה היא סדרה הנדסית. הסדרה היא סדרה הנדסית כי כל איבר מתקבל מהקודם על-ידי הכפלה במספר הקבוע q 3 (ב) רשום את חמשת האיברים הראשונים בסדרה. a1 5 נתונים a1 5 a 2 a1 (3) 5 (3) 15 a n 1 3 a n a3 a 2 (3) 15 (3) 45 a n 1 3 an a 4 a3 (3) 45 (3) 135 a5 a 4 (3) 135 (3) 405 תשובה: q 3 a1 5 a2 15 a3 45 a4 135 a5 405 (ג) .חשב את סכום שמונת האיברים הראשונים בסדרה. )a1 (q n 1 q 1 Sn a1 5 S8 )q (3 ? S8 )5 ((3)8 1 (3) 1 S8 8200 תשובהS8 8,200 : נתונים תשובה סופית: (א) הסדרה הנדסית ( q 3ב) a1 5 a2 15 a3 45 a4 135 a5 405 (ג) S8 8,200 פרק 2.1סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות 10 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 12 שאלה מספר .31 סדרה מוגדרת לכל nטבעי על-ידי כלל הנסיגה: a1 80 an an 1 2 (א) .רשום את חמשת האיברים הראשונים בסדרה. (ב) .הסבר מדוע הסדרה הנתונה היא סדרה הנדסית יורדת. (ג) .חשב את סכום ששת האיברים הראשונים בסדרה. פתרון: 5 a5 (א) 10 a4 q 0.5 80 40 a1 a2 20 a3 רשמו את חמשת האיברים הראשונים בסדרה. a1 80 a 2 a1 (0.5) 80 (0.5) 40 a3 a 2 (0.5) 40 (0.5) 20 a 4 a3 (0.5) 20 (0.5) 10 a5 a 4 (0.5) 10 (0.5) 5 נתונים a1 80 a a n 1 n 2 a n 1 1 0 .5 an 2 q 0 .5 תשובהa1 80 a2 40 a3 20 a4 10 a5 5 : (ב) .הסבירו מדוע הסדרה היא סדרה הנדסית. הסדרה היא סדרה הנדסית כי כל איבר מתקבל מהקודם על-ידי הכפלה במספר הקבוע q 0.5 (ג) .חשבו את סכום ששת האיברים הראשונים בסדרה. )a1 (q n 1 q 1 Sn נתונים S6 )q (0.5 ? S6 )80 ((0.5) 6 1 (0.5) 1 S 6 157.5 a1 80 תשובה סופית: (א) ( a1 80 a2 40 a3 20 a4 10 a5 5ב) הסדרה הנדסית q 0.5 (ג) S10 157.5 פרק 2.1סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות 12 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 11 שאלה מספר .22 בגרף שלפניכם מתוארת סדרה הנדסית. א. 31 24 8 1 1 2 a6 a5 a4 a3 a2 a1 מצא על-פי הגרף את האיבר הראשון בסדרה ,ואת מנת הסדרה. a2 2 2 a1 1 q a1 1 a2 2 a3 4 a4 8 תשובהa1 1 q 2 : ב. חשב את סכום עשרת האיברים הראשונים של הסדרה (שים לב! חלק מהאיברים אינם מופיעים בגרף). )a1 (q n 1 Sn q 1 )1 ((2)10 1 ( 2) 1 1023 תשובהS10 1,023 : תשובה סופית: (א) a1 1 q 2 S10 S10 (ב) S10 1,023 פרק 2.1סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות 11 כתב וערך :יוסי דהן 13 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג שאלה מספר .23 בגרף שלפניכם מתוארים חמשת האיברים הראשונים של סדרה חשבונית. -1 1 4 20 21 a5 a4 a3 a2 a1 (א).מצאו על-פי הגרף את האיבר הראשון בסדרה ,ואת הפרש הסדרה. a1 14 a2 10 a3 6 a4 2 d a2 a1 10 14 4 d 4 תשובהa1 14 d 4 : (ב). חשבו את סכום עשרת האיברים הראשונים של הסדרה. תשובהS10 40 : (ג). סכום של כמה איברים ראשונים בסדרה שווה ל? 5 - n 2a1 d (n 1) 2 10 2 14 (4) 9 S10 2 S10 40 Sn n 2a1 d (n 1) 2 n 2 14 (4) (n 1) 0 2 0 n 28 4n 4 0 n 32 4n 0n 32 4n 0 4n 32 / : 4 n8 Sn תשובהn 8 : תשובה סופית: (א) a1 14 d 4 (ב) S10 40 פרק 2.1סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות (ג) n 8 13 כתב וערך :יוסי דהן 11 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג שאלה מספר .34 הגרף הבא מתאר את מספר הכיסאות באולם קולנוע ,בכל אחת מחמש השורות הראשונות באולם. א. עבור חמש השורות הראשונות ,קבעו בכמה כיסאות גדולה כל שורה מהשורה הקודמת לה. 28 24 21 21 20 a5 a4 a3 a2 a1 a1 10 a2 12 a3 14 a4 16 d a2 a1 12 10 2 d 2 תשובהd 2 : ב .בהנחה שההפרש שמצאת בסעיף א' נשאר קבוע ,מצאו )1( :כמה כסאות יש בשורה ה?10 - an a1 (n 1)d a15 a1 (15 1) d תשובהa15 38 : a15 10 14 2 a15 38 ( )3באולם הקולנוע יש 455מקומות ישיבה .מהו מספר השורות באולם? b b2 4 a c 2a ) (18) 324 4(2)(800 n 1,2 )2(2 18 82 n 16 18 82 1 4 n 1,2 4 18 82 n 25 2 4 n 1,2 n 2a1 d (n 1) 2 n 2 10 (2) (n 1) 400 2 800 n 20 2n 2 800 n 18 2n Sn 2n 2 18n 800 0 y ax 2 bx c a2 b 18 b 2 324 תשובהn 16 : c 800 תשובה סופית: (א) ( d 2ב) ( 24 )1( a15 38 )2שורות. פרק 2.1סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות 11 כתב וערך :יוסי דהן
