התמרת לפלס

‫אוסף תרגילים‬
‫טורי פורייה והתמרות אינטגרליות ‪11009‬‬
‫לביא קרפ‬
‫מכללת אורט בראודה‬
‫המחלקה למתמטיקה‬
‫התמרת לפלס‬
‫הגדרות ומשפטים‬
‫• התמרת לפלס‪:‬‬
‫‪f (x)e−xs dx.‬‬
‫∞‬
‫‪0‬‬
‫‪Z‬‬
‫= )‪L(f )(s‬‬
‫• התמרת לפלס הפוכה ‪:‬‬
‫‪L−1 (F )(x) = f (x) ⇐⇒ L(f )(s) = F (s).‬‬
‫• פונקציית הביסיד‪:‬‬
‫∞<‪a≤t‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0≤t<a‬‬
‫‪1,‬‬
‫‪0,‬‬
‫‬
‫= )‪.ua (t) = u(t − a‬‬
‫• פונקציית דלתא של דירק‪ δ(t) = 0 :‬לכל ‪ t 6= 0‬ומקיימת‬
‫)‪f (t)δ(t)dt = f (0‬‬
‫∞‬
‫‪Z‬‬
‫∞‪−‬‬
‫לכל )‪ f (t‬רציפה בסביבת ‪.0‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪(1‬‬
‫• קונבולוציה‪ :‬אם )‪ L (f ) (s) = F (s‬ו )‪ , L (g) (s) = G(s‬אז התמרת לפלס הפוכה‬
‫של )‪ F (s)G(s‬ניתנת על ידי הקונבולוציה‬
‫‪x‬‬
‫‪f (x − t)g(t)dt.‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪0‬‬
‫• תכונות התמרת לפלס‪:‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫)‪F (s) = L(f )(s‬‬
‫‪d‬‬
‫)‪F (s‬‬
‫)‪xf (x‬‬
‫‪− ds‬‬
‫‪d‬‬
‫)‪sF (s) − f (0‬‬
‫)‪dx f (x‬‬
‫)‪eαxf (x‬‬
‫)‪F (s − α‬‬
‫)‪u(x − α)f (x − α‬‬
‫)‪e−αsF (s‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .1‬מצא התמרת לפלס של הפונקציות הבאות‪.‬‬
‫א‪;e−x cos(3x) + e6x − 1 .‬‬
‫ג‪;sin2 x .‬‬
‫ב‪;(x − 1)4 .‬‬
‫ד‪.x sin2 x .‬‬
‫‪ .2‬חשב התמרות לפלס לפי ההגדרה‪.‬‬
‫‪0≤x<2‬‬
‫‪2≤x‬‬
‫א‪.‬‬
‫‬
‫‪0,‬‬
‫‪x,‬‬
‫= )‪;f (x‬‬
‫‪0≤x<π‬‬
‫‪π≤x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪sin x,‬‬
‫‪0,‬‬
‫‬
‫= )‪.f (x‬‬
‫רמז‪.sin x = Im(eix ) :‬‬
‫‪ .3‬לאלו מהפונקציות הבאות יש גידול מערכי?‬
‫‪3‬‬
‫ב‪;x3 sin x .‬‬
‫א‪;ex .‬‬
‫ג‪;e54x .‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪.sin(ex ) .‬‬
‫‪ .4‬חשב התמרת לפלס הפוכה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪(s − 1)4‬‬
‫;‬
‫‪1‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪+ 4s + 8‬‬
‫‪1‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪+ 2s + 2‬‬
‫‪s2‬‬
‫;‬
‫‪s2‬‬
‫;‬
‫‪s2 − 26s − 47‬‬
‫ג‪.‬‬
‫)‪(s − 1)(s + 2)(s + 5‬‬
‫‪5s2 + 34s + 53‬‬
‫ו‪.‬‬
‫)‪(s + 3)2 (s + 1‬‬
‫;‬
‫‪2‬‬
‫;‬
‫‪−2s2 + 8s − 14‬‬
‫ד‪.‬‬
‫)‪(s + 1)(s2 − 2s + 5‬‬
‫‪7s3 − 2s2 − 3s + 6‬‬
‫ז‪.‬‬
‫)‪s3 (s − 2‬‬
‫‪.‬‬
‫;‬
‫‪ .5‬הראה את הטענות הבאות‪.‬‬
‫‬
‫)‪F (s‬‬
‫א‪ .‬אם )‪ ,L(f )(s) = F (s‬אז‬
‫= )‪f (t)dt (s‬‬
‫‪s‬‬
‫ב‪ .‬אם )‪ L(f )(s) = − dsd F (s‬והגבול‬
‫)‪.F (s‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪Rx‬‬
‫‪.L‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ limx→0+‬קיים וסופי ‪ ,‬אז = )‪(s‬‬
‫‬
‫)‪f (x‬‬
‫‪x‬‬
‫‬
‫‪L‬‬
‫‪ .6‬חשב התמרת לפלס הפוכה‪.‬‬
‫‪s‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪+ 1)2‬‬
‫‪(s2‬‬
‫;‬
‫‪1‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪+ 1)2‬‬
‫‪(s2‬‬
‫;‬
‫ג‪.‬‬
‫‬
‫‪s+5‬‬
‫‪s−2‬‬
‫‬
‫ד‪.arctan (1/s) .‬‬
‫‪;ln‬‬
‫‪ .7‬נתונה בעיית התחלה ‪.y ′ (0) = −1 , y(0) = 1 ; y ′′ + y = t2 + 2‬‬
‫א‪ .‬פתור את הבעיה באמצעות השוואת מקדמים‪.‬‬
‫ב‪ .‬פתור את הבעיה באמצעות התמרת לפלס‪.‬‬
‫‪ .8‬נתונה בעיית התחלה ‪.y ′ (0) = 2 , y(0) = 1 ; y ′′ + 2y ′ + 2y = e−x cos x‬‬
‫א‪ .‬פתור את הבעיה באמצעות השוואת מקדמים‪.‬‬
‫ב‪ .‬פתור את הבעיה באמצעות התמרת לפלס‪.‬‬
‫‪ .9‬פתור את בעיוות ההתחלה באמצעות התמרת לפלס‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪.y ′ (0) = −4, y(0) = 5 ; y ′′ − 7y ′ + 10y = 9 cos t + 7 sin t‬‬
‫‪.y ′(0) = 5, y(0) = −1 ; y ′′ + 5y ′ − 6y = 21et‬‬
‫‪.y ′ (0) = −1, y(0) = 0 ; y ′′ − 3y ′ + 2y = cos t‬‬
‫‪.y ′ (0) = 2, y(0) = 0 ; y ′′ − y ′ − 2y = e−t sin 2t‬‬
‫‪.y ′ (0) = 1, y(0) = 0 ; y ′′ + 6y = et cos 2t‬‬
‫‪ .10‬פתור את בעיות ההתחלה‪:‬‬
‫‪;y ′ (0) = 1, y(0) = 0‬‬
‫א‪; y ′′ + y = u(t − 3) .‬‬
‫ב‪;y ′ (0) = 1, y(0) = 0 ; y ′′ + y = u(t − 2)(t − 4) .‬‬
‫ג‪.y ′ (0) = 1, y(0) = 0 ; y ′′ + 5y ′ + 6y = tu(t − 2) .‬‬
‫‪ .11‬נתונה בעיית התחלה‬
‫‪3π‬‬
‫‪2‬‬
‫<‪0≤x‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪≤x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10,‬‬
‫‪0,‬‬
‫‬
‫= ‪.y (0) = 0 , y(0) = 0 ; y − 2y + 5y‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′′‬‬
‫‪′‬‬
‫א‪ .‬פתור את הבעיה באמצעות השוואת מקדמים‪ .‬מצא תחילה את הפתרון‬
‫בקטע ] ‪ [0, 3π2‬ולאחר בקטע )∞ ‪ , [ 3π2 ,‬כאשר ) ‪ y( 3π2‬ו ) ‪ y ′( 3π2‬הם תנאי התחלה‬
‫לקטע השני ‪.‬‬
‫ב‪ .‬פתור את הבעיה באמצעות התמרת לפלס‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .12‬פתור את בעיות ההתחלה‪:‬‬
‫‪0≤t<2‬‬
‫א‪ ,y ′ (0) = 0, y(0) = 0 ; y ′′ + 4y = g(t) .‬כאשר ‪2 ≤ t < 5‬‬
‫‪5≤t‬‬
‫‪0≤t<1‬‬
‫ב‪ ,y ′ (0) = 0, y(0) = 0 ; y ′′ + 4y = g(t) .‬כאשר ‪1 ≤ t < 2‬‬
‫‪2≤t‬‬
‫‪0≤t<1‬‬
‫‪1≤t<2‬‬
‫ג‪ ,y ′ (0) = 0, y(0) = 0 ; y ′′ + 9y = g(t) .‬כאשר‬
‫‪2≤t<3‬‬
‫‪3≤t‬‬
‫‪ .13‬פתור את בעיות ההתחלה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3,‬‬
‫‪−1,‬‬
‫= )‪.g(t‬‬
‫‪‬‬
‫‪7,‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1,‬‬
‫‪−1,‬‬
‫= )‪.g(t‬‬
‫‪‬‬
‫‪0,‬‬
‫‪‬‬
‫‪0,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪t − 1,‬‬
‫= )‪.g(t‬‬
‫‪3‬‬
‫‪− t,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0,‬‬
‫‬
‫‪sin t,‬‬
‫‪0 ≤ t < 2π‬‬
‫= )‪.g(t‬‬
‫א‪ ,y ′ (0) = 3, y(0) = 1; y ′′ + 4y = g(t) .‬כאשר‬
‫‪0,‬‬
‫‪2π ≤ t‬‬
‫‪‬‬
‫‪0≤t<1‬‬
‫‪ 0,‬‬
‫‪t,‬‬
‫ב‪ ,y ′(0) = 2, y(0) = 0; y ′′ + 5y ′ + 6y = g(t) .‬כאשר ‪1 ≤ t < 5‬‬
‫= )‪.g(t‬‬
‫‪‬‬
‫‪1,‬‬
‫‪5≤t‬‬
‫‪ .14‬פתור את בעיות ההתחלה‪ ,‬כאשר )‪ δ(t‬מסמנת את פונקציית דירק‪:‬‬
‫א‪.y ′ (0) = 0, y(0) = 0 ; y ′′ + y = δ(t − π) .‬‬
‫ב‪.y ′ (0) = 1, y(0) = 1 ; y ′′ + 2y ′ + 2y = δ(t − π) .‬‬
‫ג‪.y ′ (0) = −2, y(0) = 2 ; y ′′ + 2y ′ − 3y = δ(t − 1) − δ(t − 2) .‬‬
‫‪ .15‬פתור את בעיות ההתחלה וסרטט את הגרפים של הפתרונות‪ ,‬כאשר )‪ δ(t‬מסמנת‬
‫את פונקציית דירק‪:‬‬
‫א‪.y ′ (0) = 1, y(0) = 0 ; y ′′ + y = δ(t − 2π) .‬‬
‫ב‪.y ′ (0) = 1, y(0) = 0 ; y ′′ + y = δ(t − π/2) .‬‬
‫‪ .16‬משקולת מחוברת לקפיץ ובמצב התחלתי המשקולת לא נעה ונמצאת מטר אחד‬
‫מתחת לנקודת מצב היציב‪ .‬לאחר ‪ π2‬שניות מכים את המשקולת עם פטיש‪.‬‬
‫המשוואה שמתארת את מיקם המשקולת בזמן ‪ t‬היא‪:‬‬
‫‬
‫‪π‬‬
‫‪, x′′ + 9x = −3δ t −‬‬
‫‪2‬‬
‫‪, x(0) = 1‬‬
‫‪.x′ (0) = 0‬‬
‫מה השפעת המכה על מיקום המשקולת?‬
‫‪ .17‬בטא את הפתרונות באמצעות משפט הקונבולוציה‪ ,‬כאשר )‪ g(t‬רציפה למקטועין‬
‫בקטע )∞ ‪.[,‬‬
‫‪4‬‬
‫א‪.y ′ (0) = 1, y(0) = −1 ; y ′′ − 2y ′ + y = g(t) .‬‬
‫ב‪.y ′ (0) = 1, y(0) = 1 ; y ′′ + 4y ′ + 5y = g(t) .‬‬
‫‪ .18‬נתונה תנועה הרמונית‬
‫‪, mx′′ + bx′ + kx = f‬‬
‫‪, x(0) = x′ (0) = 0‬‬
‫כאשר ‪ b > 0 ,b2 < 4mk‬והפונקציה ‪ f‬רציפה למקוטעין וחסומה‪.|f (t)| ≤ A :‬‬
‫א‪ .‬הראה שהפתרון ניתן באמצעות הקובולוציה‬
‫‪b‬‬
‫‪e− 2m (t−s) sin(ω(t − s))f (s)ds‬‬
‫כאשר‬
‫*ב‪ .‬הראה‬
‫‪4mk−b2‬‬
‫‪4m2‬‬
‫‪q‬‬
‫‪t‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‪, x(t‬‬
‫‪mω‬‬
‫= ‪.ω‬‬
‫‪2A‬‬
‫‪ωb‬‬
‫≤ |)‪, |x(t‬‬
‫כלומר הפתרון חסום לכל ‪ b‬ושגורם הריסון גדל ‪ ,‬הערכים של )‪ x(t‬קטנים‪.‬‬
‫‪ .19‬חשב התמרת לפלס הפוכה באמצעות קונבולוציה‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ; 2‬ג‪.‬‬
‫‪ ; 2‬ב‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫)‪(s + 2)(s − 5‬‬
‫)‪s(s + 1‬‬
‫)‪(s + 1)(s2 + 4‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ .20‬חשב התמרת לפלס של ‪.f (t) = 0t sin(t − s)e2s ds‬‬
‫‪5‬‬
‫;‬
‫‪s‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪+ 1)2‬‬
‫‪(s2‬‬
‫‪.‬‬
‫תשובות‬
.1
;
4
1
s+1
1
1
4! 24 12
− 4 + 3 − 2 + .‫ב‬
;
+
− .‫א‬
5
2
s
s
s
s
s
(s + 1) + 9 s − 6 s
1
1
4 − s2
1 1
s
.− − 2 + 2
.‫ג‬
.‫; ד‬
−
2
s
(s + 4)2
2 s s2 + 4
.2
.
1 + e−πs
.‫ב‬
s2 + 1
;e−2s
2s + 1
s2
.‫א‬
.‫ ו ד‬.‫ ג‬,.‫ ב‬.3
.4
;−3e−x +ex (cos 2x + sin 2x) .‫ד‬
1
2
;6e−5x −e−2x −4ex .‫ג‬
.6e−2x + 1 − 23 x2 (‫)ז‬
; e−2x sin 2x .‫ב‬
;−e−3x + 2xe−3x + 6e−x .‫ו‬
; 16 ex x3 .‫א‬
;e−x sin x .‫ה‬
.6
.
sin x
.‫ד‬
x
;
e2x − e−5x
.‫ג‬
x
; 21 (−x cos x + sin x) .‫ב‬
;e
−x
; 12 et − 35 e2t − 103 sin t + 101 cos t .‫ג‬
; 21 x sin x .‫א‬
;t2 + cos t − sint .7
+ cos x + sin x .8
.9
x sin x
2
;3tet − 74 et − 37 e−6t .‫; ב‬cos t − 4e5t + 8e2t .‫א‬
1 −t
3 −t
28 2t
e − 65 e−t − 13
e sin 2t + 26
e cos 2t .‫ד‬
;y(t) = 39
√
√
√
.y(t) = 253 et cos 2t + 254 et sin 2t + 7756 sin( 6t) − 253 cos( 6t) .‫ה‬
.10
;u(t − 3) [1 − cos(t − 3)] + sin t .‫א‬
;u(t − 2) [(t − 2) − 3 sin(t − 2)] + sin t .‫ב‬
.e−2t − e−3t + u(t − 2) − 19 + 13 (t − 2) + 91 e−3(t−2) .‫ג‬
6
.11
1
x
2 1 + e − cos 2x + sin 2x
2
1
3π
3π
3π
(x− 3π
)
2
) 1+e
)) + sin(2(x −
))
− cos(2(x −
+2u(x −
2
2
2
2
.12
.‫א‬
3
[− cos 2t + 1] + u(t − 2) [cos(2(2t − 2)) − 1]
4
+2u(t − 5) [− cos(2(2t − 5)) + 1]
.‫ב‬
1
1
[− cos 2t + 1] + u(t − 1) [cos(2(t − 1)) − 1]
4
2
1
+ u(t − 2) [− cos(2(t − 2)) + 1]
4
‫ אך נגזרת שניה אינה‬,‫ הפונקציה ונגזרותיה רציפות‬.‫ הפתרון של סעיף ב׳‬:1 ‫איור‬
.‫קיימת בנקודות התפר‬
.‫ג‬
.
1
u(t − 1) (t − 1) −
9
1
+ u(t − 3) (t − 3) −
9
1
−2
1
sin(3(t − 1)) +
u(t − 2) (t − 2) − sin(3(t − 2)
3
9
3
1
sin(3(t − 3)
3
7
.13
.‫א‬
3
cos 2t + sin 2t
2
1
1
+
sin t − sin 2t −
5
2
3
= cos 2t + sin 2t
2
1
1
+
sin t − sin 2t −
5
2
1
1
u(t − 2π) sin(t − 2π) − sin(2(t − 2π))
5
2
1
1
u(t − 2π) sin t − sin 2t
5
2
.‫ב‬
e−2t − e−3t
1
3
1
+ (t − 1) + e−2(t−1) −
+ u(t − 1)
36 6
4
3
14 4
− (t − 5) − e−2(t−5) +
+ u(t − 5)
36 6
2
4 −3(t−1)
e
9
7 −3(t−5)
e
9
.14
;u(t − π) sin(t − π) .‫א‬
;e−t (cos t + 2 sin t) + u(t − π)e−(t−π) sin(t − π) .‫ב‬
.et + e−3t + 41 u(t − 1) e(t−1) − e−3(t−1) − 41 u(t − 2) e(t−2) − e−3(t−2) .‫ג‬
;y(t) =
8
sin t,
2 sin t,
.15
0 ≤ t ≤ 2π
2π < t
.‫א‬
‫איור ‪ :2‬הפתרון של סעיף א׳‪ .‬הפונקציה הפתרון רציף אך הנגזרת לא קיימת בנקודת‬
‫התפר‪ .‬האמפליטודה מוכפלת בנקודת אי הגזירות ‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪0 ≤ t ≤ π/2‬‬
‫‪π/2 < t‬‬
‫‪sin t,‬‬
‫√‬
‫‪2 sin(t − π/4),‬‬
‫‬
‫= )‪.y(t‬‬
‫איור ‪ :3‬הפתרון של סעיף ב׳‪ .‬הפונקציה הפתרון רציף אך הנגזרת לא קיימת בנקודת‬
‫התפר‬
‫‪.16‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫<‪0≤t‬‬
‫‪π‬‬
‫‪≤t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos 3t,‬‬
‫‪2 cos 3t,‬‬
‫‬
‫= )‪x(x‬‬
‫‪.18‬‬
‫א‪;2te − e + 0 e (t − s)g(s)ds .‬‬
‫‪t−s‬‬
‫‪Rt‬‬
‫‪t‬‬
‫ב‪e−2(t−s) sin(t − s)g(s)ds .‬‬
‫‪.19‬‬
‫א‪; 61 sin t − 13 sin 2t .‬‬
‫‪t‬‬
‫‪Rt‬‬
‫‪0‬‬
‫‪.e−2t (cos t + 3 sin t) +‬‬
‫ב‪;1 − cos t .‬‬
‫ג‪;2e5t − 2e−2t .‬‬
‫‪9‬‬
‫ד‪. 2t sin t .‬‬