הרצאה 7: התמרת Z - brd4.braude.ac.il

‫הרצאה ‪ :7‬התמרת ‪Z‬‬
‫התמרת ‪ Z‬דו‪-‬צדדית‬
‫תחום ההתכנסות‬
‫נרשום (ייצוג פולארי)‬
‫ואז‪:‬‬
‫תחום ההתכנסות ‪ -‬המשך‬
‫דוגמא ‪ – 1‬סדרה חד צדדית ימנית‬
‫דוגמא ‪ – 2‬סדרה דו צדדית‬
‫נרשום‪:‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫דוגמא ‪ – 2‬המשך‬
‫וגם‪:‬‬
‫ואז‪:‬‬
‫דוגמא ‪ – 3‬סדרה בעלת משך סופי‬
‫סכום סופי => תחום ההתכנסות הוא‪:‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫דוגמא ‪ – 4‬סדרה ימנית‬
‫התנאי להתכנסות הוא‪:‬‬
‫לכן‪ ,‬אם הטור מתכנס עבור‬
‫=> הוא גם יתכנס עבור כל‬
‫=> תחום ההתכנסות הוא מצורה‪:‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫דוגמא ‪ – 5‬סדרה שמאלית‬
‫התנאי להתכנסות הוא‪:‬‬
‫בצורה דומה לדוגמא הקודמת תחום ההתכנסות כאן‬
‫יהיה מן הצורה‪:‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫פונקצית‬
‫מדרגה‬
‫תכונות ההתמרה‬
‫תכונות ההתמרה ‪ -‬המשך‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫תכונות ההתמרה ‪ -‬המשך‬
‫פונקציית תמסורת ותגובת תדר‬
‫פונק' התמסורת =‬
‫אם תחום ההתכנסות של )‪ Hz(z‬כולל את מעגל היחידה‪,‬‬
‫ולקבל את תגובת התדר‪:‬‬
‫ניתן להציב‬
‫תגובת התדר‪:‬‬
‫יציבות ‪BIBO‬‬
‫מערכת יציבה ‪:BIBO‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪‬‬
‫מערכת ‪ LTI‬יציבה ‪BIBO‬‬
‫מסקנה‪:‬‬
‫אם ורק אם‬
‫‪.  h[n ]  ‬‬
‫‪n ‬‬
‫מערכת ‪ LTI‬יציבה ‪BIBO‬‬
‫אם ורק אם מעגל היחידה ‪|z|=1‬‬
‫נמצא בתחום ההתכנסות )‪ (ROC‬של )‪. Hz(z‬‬
‫‪‬‬
‫תזכורת‪:‬‬
‫ה‪ ROC-‬נתון ע"י‪:‬‬
‫‪.  h[n ]z  n  ‬‬
‫‪n ‬‬
‫מערכת סיבתית ויציבה ‪BIBO‬‬
‫מערכת יציבה ‪.  h[n ]    BIBO‬‬
‫‪‬‬
‫‪n ‬‬
‫מערכת סיבתית ‪ ‬תחום ההתכנסות הוא‪:‬‬
‫לכן‪ ,‬אם ‪ ,R1 < 1‬הרי שמעגל היחידה ‪ |z|=1‬כלול ב‪.ROC-‬‬
‫והמערכת יציבה ‪ .BIBO‬אם ‪ ,R1 ≥ 1‬אין יציבות‪.‬‬
‫מסקנה‪:‬‬
‫כל הנקודות הסינגולריות (בהמשך קטבים) של מערכת‬
‫סיבתית ויציבה ‪ BIBO‬נמצאות בתוך מעגל היחידה‪.‬‬
‫מערכת המתוארת ע"י משוואת הפרשים‬
‫נתון הקשר הבא‪:‬‬
‫על סמך התכונה‪:‬‬
‫ע"י ביצוע התמרת ‪ Z‬על המשוואה נקבל‪:‬‬
‫מקבלים פונקציית תמסורת רציונלית (פולינום ב‪ z-‬חלקי פולינום ב‪.)z-‬‬
‫אפסים וקטבים‪:‬‬
‫אפסים של )‪ = Hz(z‬שורשים של )‪ q( b(z‬אפסים ‪.)i‬‬
‫קטבים של )‪ = Hz(z‬שורשים של )‪ p( a(z‬קטבים ‪.)i‬‬
‫פירוק פונקצית תמסורת רציונלית לפי קטבים ואפסים‬
‫נניח כי ‪:p ≥ q‬‬
‫‪.‬‬
‫כעת ניתן לרשום‪:‬‬
‫‪:‬‬
‫פירוק לפי קטבים ואפסים ‪ -‬המשך‬
‫קיבלנו לכן לערך מוחלט‪:‬‬
‫ולפאזה (בהנחה ש ‪:)bq-r>0 -‬‬
‫=> אפשר להשתמש במפת קטבים ואפסים‬
‫כדי לשרטט עקומי בודה מקורבים‪.‬‬
‫שימו לב‪ :‬כאשר מקדמי פולינומי המונה‬
‫והמכנה ממשיים‪ ,‬האפסים והקטבים הם‬
‫בזוגות צמודים‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫פירוק לשברים חלקיים‬
H ( z) 
z
b0  b1z 1  ...  bq z  q
 1   z 
p
1

i 1
Ai
1  i z
1
:‫ ונחפש ייצוג‬p>q :‫נניח‬
i
i 1
.
p
: z   k ‫ ונציב‬1   k z 1 -‫ נכפיל ב‬Ak ‫למציאת המקדם‬
:‫מהטבלה מתקיים‬
Ak u[n ] 
n
k
Ak
1  k z
p
1
,
h[n ]   Aiin u[n ].
i 1
z  k .
:‫ולכן‬
‫פירוק לשברים חלקיים ‪ -‬המשך‬
‫אם ‪ ,q≥p‬ניתן לרשום‪:‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫ דוגמאות‬:‫פירוק לשברים חלקיים‬
1
2
1

5
z

6
z
2
z
1
H1 ( z ) 
 6z 1 
1
1 z
1  z 1
h1[n]  6 [n  1]   [n]  2(1) n u[n].
1
1
1  5z
1  5z
H ( z) 


1
2
1
1
1  6 z  8z
1 2z
1 4z
z
2

A1
A2
=

1
1 2z
1  4 z 1



 1  5 z 1 

A1   H 2z ( z ) 1  2 z 1 

 3.5
1
z 2
 1  4 z 
z 2
 1  5 z 1  

A2   H 2z ( z ) 1  4 z 1  

 4.5
1
z 4
 1  2 z 
z 4


h2 [n]   3.5  2n u[n]  4.5  4n u[n].
