doc– מבוא לאנליזה נומרית na141 Assignment 2 – Finding Roots of
download 
Report Transcription
– מבוא לאנליזה נומרית na141 Assignment 2 – Finding Roots of
מבוא לאנליזה נומרית – na141
Assignment 2 – Finding Roots of Nonlinear Equations
הנחיות :בכל שאלה בה אתם נדרשים לספק קוד מטלב יש לצרף לכל שאלה בצורה מסודרת הדפסה של
הקוד (הפונקציות) ושל שורות הפקודה הרלוונטיות בהן השתמשתם על מנת להריצו .יש לדאוג כי הקוד
מוצג בצורה קומפקטית וקריאה ולא מתפרש על פני מספר רב של עמודים .עבודות אשר יוגשו בצורה
מרושלת או שלא יהיו קריאות לא ייבדקו והניקוד עליהן יהיה בהתאם.
שאלה מספר : 1
היכן נחתכים הגרפים של ) y cos(xושל ? y x 3 1
פתור את הבעיה ב ,Matlabבעזרת שיטת החצייה ובעזרת .Regula Falsiהצג את תוכניותיך ,והשווה
ביצועים (מספר איטרציות ואופן התקדמות הניחוש) תוך שימוש באותם תנאי התחלה של
.
ו
a x0 3ו b x1 3עם
פתרון:
הגרפים הנ"ל נחתכים כאשר הפונקציה ) (
דוגמא לקוד:
בשיטת החציה:
) ( מתאפסת.
)function [z,error,y]=bisect (f,a,b,delta
% input: f is the function
%
[a,b] is the interval
% output: z is the root we found
%
)y = f (z
%
error is the error of z
;)ya= feval (f,a
;)yb=feval (f,b
if ya*yb>0,return,end
;))max=1+round ((log (b-a)-log (delta))/log(2
for k=1:max
;z=(a+b)/2
;)y=feval (f,z
if y==0
;a=z
;b=z
elseif yb*y>0
;b=z
;yb=y
else
;a=z
;ya=y
end
)'disp ('the current step is:
))disp (num2str (z
)'disp ('the num of iterations is:
))disp (num2str (k
if b-a < delta, break, end
end
z=(a+b)/2;
error= abs (b-a);
y=feval (f,z);
disp ('the root is:')
disp (num2str (z))
disp ('the num of iterations is:')
disp (num2str (k))
end
.2.25.1 איטרציות מגיעים לניחוש52 לאחר
:בשיטת רגולה פולסי
function [z,error,y,k] = regula (f,a,b,epsilon,maxi)
% Inputs: f is the function
%
[a,b] is the interval
%
maxi is the maximum number of iterations
% Output: z is the root we found
%
y=f(z)
ya=feval (f,a);
yb=feval (f,b);
if ya*yb>0
disp ('Note: f (a)*f (b)>0'),
return,
end
for k=1:maxi
dx=yb*(b-a)/(yb-ya);
z=b-dx;
ac=z-a;
y=feval (f,z);
disp (' the root is:')
disp (num2str (z))
disp (' Num of iterations')
disp (num2str (k))
if y==0,break;
elseif yb*y>0
b=z;
yb=y;
else
a=z;
ya=y;
end
dx=min (abs (dx),ac);
if abs (y)<epsilon,break,end
end
z;
error=abs (b-a)/2;
y=feval (f,z);
.2.25.1 איטרציות בלבד מגיעים לניחוש21 לאחר
.לכן שיטה זו טובה יותר
:2 שאלה מספר
נתקל חוקר בצורך למצוא את השורשים של הפונקציה,בעת חקירת תופעה מסוימת
) ( .
) (
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
10
6
8
4
2
0
-4
-2
-6
-8
-2.5
-10
ציור גרף של הפונקציה גילה שלפונקציה חמישה שורשים שונים אשר תחומים בקטע ]( [6, 6ראה
איור) .נסמן את אותם שורשים
כך ש . x1 x2 x3 x4 x5
בהנחה שחיפוש השורש מתחיל מ bracketכלשהו ] [a, bכך ש x5 bו , a x1ובהנחה שלעולם
אין הקירוב החדש באיטרציה כלשהי נופל בדיוק על שורש ,הוכח או הפרך עבור החוקר שלנו את הטענות
הבאות:
א) קיימים a, bכך ששיטת החצייה תתכנס ל . x1
ב) קיימים a, bכך ששיטת regula falsiתתכנס ל . x2
לאחר בחינת כל התכונות הנ"ל ,החליט החוקר שאת x3ברצונו לקרב בעזרת שיטת ניוטון ,אלא שהצורך
בניחוש התחלתי קרוב לשורש מעט הרתיע אותו .הוכח או הפרח עבור החוקר שלנו את הטענה הבאה:
ג) קיימים
)
המקיימים
(.
פתרון:
א) הטענה נכונה:
כך שיטת ניוטון תתכנס ל x3 -מכל ניחוש התחלתי בקטע
ניתן לבחור את
בתחום )
באופן בו נקודת האמצע המחושבת באיטראציה הראשונה תיפול
() :
(
.
) ( בתחום הנ"ל ,בסיום האיטרציה הראשונה
מכיוון ש-
) (
כעת האינטרוול כולל בדיוק את השורש היחיד ומכיוון ש-
תתכנס ל. -
ב) הטענה לא נכונה:
את האינטרוול בתחילת השלב ה . -בכל שלב אנו מחשבים את נקודת החיתוך של
נסמן ב-
( )) (
הקו הישר העובר בנקודות )) (
( עם ציר ה -ומחליפים את אחד הקצוות של
כך שנשמרת התכונה
האינטרוול הבא
)
(
)
( .לכן הסימן של ערך נקודת הקצה ) ( לא משתנה לכל .כנ"ל לגבי
הסימן של ערך נקודת הקצה ) ( .
) (
) ( .לכן לא ייתכן שבשלב כלשהו נגיע
במקרה שלנו יתקיים תמיד כי
לאינטרוול שיכיל את בלבד ,כיוון שלאינטרוול זה ערכי קצוות הפוכים מהנדרש.
ג) הטענה נכונה.
כך ש-
ו-
לפי משפט ההתכנסות של שיטת ניוטון עבור פונקציות
.
ו-
) ( שיטת החצייה
) ( ,אם
) (
אזי קיים
כך שהסדרה המוגדרת ע"י
תתכנס ל -עבור כל ניחוש התחלתי בקטע )
לכן אם נבחר את הקצוות כך:
בנוסף ,כיוון ש גזירה ברציפות אינסוף פעמים ו-
) ( מונוטונית עולה ,נקבל כי הטענה נכונה.
) (
) (
(.
נקבל כי השורש היחיד בקטע.
הפונקציה
) ( שכן לכל ) (
שאלה מספר ( :3בעיית החמור)
קושרים חמור עם חבל לנקודה מסוימת על גדר של חצר עגולה המלאה בדשא .החמור יכול לאכול את
הדשא שהחבל מאפשר לו להגיע אליו .בשאלה זו נענה על השאלה מה צריך להיות היחס בין אורך החבל
לבין רדיוס החצר כך שהחמור יוכל לאכול בדיוק חצי מהדשא בחצר (זו דרישתו של בעל החצר).
.
נניח כי החמור מגיע בדיוק למרחק מהנקודה בה הוא קשור וש
העזרו בשרטוט הבא כדי לענות על הסעיפים הבאים:
עבור כך שערכו של המקיים את הדרישה הנ"ל יהיה שייך לטווח
א .מצא טווח ערכים
זה .גבולות הטווח צריכים להיות מנומקים מילולית בצרוף שרטוט מתאים (לא צריך להציב
בנוסחאות) .רצוי שגודל הטווח לא יעלה על :5.2
ב .הוכח כי השטח Sאליו מגיע החמור כפונקציה של (אפשר גם כפונקציה של ו אבל יש
)
) (
) (
( ) ( ,לאחר החלפת המשתנים
) הינו
לזכור ש
הבאה( ) :
.
יש להראות דרך מלאה וחישובים מפורטים.
ג .מיצאו פתרון מקורב למשוואה בעזרת שיטת ניוטון .הוכיחו כי מובטחת התכנסות מהתחום
?
ההתחלתי שסיפקתם .כמה איטראציות נדרשות כדי להגיע לשגיאה של
הערה :ניתן לפתור עבור ולהציב כדי לקבל את (חשוב :לא לשכוח לחשב את הטווח המתאים ל-
לפי הטווח שחשבתם בסעיף א) .כמו כן מומלץ להציב את התוצאה שקבלתם בביטוי של Sשמצאתם
בסעיף ב' כדי לוודא את נכונות הפתרון.
פתרון:
כיוון שבמקרה זה החמור לא יכול לעבור את קוטר החצר (זה המקביל למשיק
א .ניקח
בנקודה בה קשור החמור) ולא יכול להגיע לכל חצי החצר הקרובה אליו ולכן חייב להתקיים
.
כיוון שבמקרה זה החמור מגיע לכל חצי החצר הקרובה אליו וגם
ניקח
√
.
מעבר לו ולכן ברור שכדי שיאכל רק חצי מהדשא בחצר צריך להתקיים
ב .כדי לחשב את Sנעזר בציור הבא של החצר:
השטח Sהוא השטח הצבעוני .שטחים המסומנים באותו צבע הם חופפים.
נזכור ששטח גזרה הוא במעגל בעל רדיוס rהוא
כש
היא הזווית ברדיאנים.
נצטרך לחשב את השטח של שתי הגזרות המסומנות בכחול סגול (במעגל שיוצר החבל אליו
קשור החמור) ושל שתי הגזרות המסומנות באדום וסגול במעגל של החצר .נצטרך גם להוריד
את שטחי המשולשים הסגולים כיוון שהם יסכמו פעמיים.
√
)(
⇒
נשתמש במשפט הקוסינוסים כדי לחשב את
√
)
√
)
:
)(
(
(
ג .נציב( ) :
(
)) ) (
) ) (
(
√ ) (
) (
) (
(
) (
נשתמש בזהויות הטריגונומטריות של זווית כפולה:
) (
(
)
) (
) (
) (
(
)) (
)) (
) (
נגדיר את fפונקציה עליה נבצע את שיטת ניוטון:
) (
) (
(
) (
)
) (
) (
) (
) (
)
(
) (
) (
(
)
) (
) (
)
) (
)
)
) (
) (
) (
) (
)
(
(
(
(
) (
(
) (
) (
) (
נבדוק האם gמכווצת בטווח שהגדרנו בסעיף א':
נמצא את הטווח עבור :x
]
[
⇒
(
) (
) (
) (
) (
)) ( (
)
)) (
( )) (
) (
נבדוק האם
)
) (
(
)
(
(
|) ( |
נבדוק מה הערך המקסימלי של המונה בטווח והמינימלי של המכנה ונראה שגם אם הם מקבלים ערכים
|) ( | .ולכן נסיק שהתנאי מתקיים בכל הטווח ולכן gמכווצת בטווח.
אלו בו זמנית עדיין נקבל
√
) (
) (
) (
)
√
(
|)) (
)
(
) (
⇒]
)
( )) (
[
(
) (
)
(
(|
הפונקציה gהיא לתוך בכל הטווח ולכן נוכל לבצע כמה איטרציות כשנתחיל מנקודה כלשהי בטווח.
)
נקבל
(
⇒
אפשר לוודא זאת ע"י הצבה.
שאלה מספר :4
א.
הראה כי קיים P0עבורו הנוסחה האיטרטיבית הבאה מוצאת את השורש השלישי של מספר
ב.
:
ממשי כלשהו
מהו סדר ההתכנסות של שיטה זו? ( 7נקודות)
נגדיר את האיטרציה הבאה לחישוב שורש ריבועי של :mהמבוססת על שתי סדרות של מספרים
שלמים:
√
ג.
.כתוב
בצע 1איטרציות בשיטה זו כדי למצוא את השורש הריבועי של 5כש
את הערך המתקבל לאחר כל איטרציה בטבלה .השווה את הערכים ל 1איטרציות של שיטת
המיתר ושיטת החציה .האם יכול להיות שלשיטה שהוצגה סדר התכנסות טוב יותר משיטת
המיתר למרות שאחרי 1איטרציות קבלנו בשיטת המיתר תוצאה יותר טובה?
מה סדר ההתכנסות של השיטה שהוצגה בסעיף ב'? (הוכחה)
פתרון:
א .נתבונן בפונקציה
המעברים השקולים הבאים:
) ( .נפתח איטראצית נקודת שבת מתאימה על ידי סדרת
ונגדיר את האיטראציה המתאימה:
)
) (
(
נבדוק האם קיים אינטרוול התכנסות עבורה בשורש:
( |
|)
|) (
|
|) √ ( | ולכן בוודאות יש אינטרוול בו היא
נקבל כי
כאשר נציב √
אינווריאנטית ומכווצת .לכן אם ניקח נקודה מתוך אינטרוול זה ,הנוסחא הרקורסיבית תוביל
אותנו לשורש.
הנגזרת של האיטראציה מתאפסת בשורש ,ולכן סדר ההתכנסות שלה הוא לפחות ריבועי.
נבדוק שהוא בדיוק ריבועי:
) √(
) √(
ב.
שיטת החצייה
שיטה חדשה
שיטת המיתר
ערך
שגיאה
ערך
שגיאה
ערך
שגיאה
1.5
5.51.
2.1111
5.51
5.52
5.11.
2.52
5.2.1
2.1
5.521
2.2.1
5.222
2.1.2
5.511
2.121.
0.0004
2.155
0.0077
2.1215
1.41421
5.5511
2.11.2
1
לאחר 1איטרציות שיטת המיתר הכי מדויקת אבל השיטה החדשה שהוצאה יכולה להיות בעלת סדר
.אם נמשיך לעוד איטרציה נראה שהשיטה
התכנסות גבוה יותר כיוון שההתכנסות תלויה גם ב
שהוצאה יותר מדויקת משיטת המיתר.
ג .נראה שסדר ההתכנסות של השיטה החדשה שהוצאה הוא ריבועי:
נציב:
נחלק משוואות:
) ( ונראה שאיטרצית ניוטון שלה היא
נתבונן ב
) (
ולכן השיטה החדשה מתכנסת בדיוק כמו איטרצית ניוטון כלומר לפחות ריבועית.
√
) √(
הנגזרת השנייה לא מתאפסת ולכן ההתכנסות היא ריבועית.
שאלה מספר :5
כמה נקודות שבת יש לפונקציה
g ( x) cos cos 19 x3 18 x 2 15 x
בקטע ] . [0,1הוכח את תשובתך!
פתרון:
נוכיח כי לפונקציה נקודת שבת אחת הקטע.
בברור טווח הפונקציה מקיים g ( x) 0,1מתוך תכונות פונקצית ה ,cosולכן מובטח שלפונקציה יש
לפחות נקודת שבת אחת .נגזרת הפונקציה מקיימת
g ( x) sin cos 19 x3 18 x 2 15 x sin 91 x3 81 x 2 15 x 13 x 2 14 x 15
) A( x) B( x) C ( x
מתכונות פונקציות טריגונומטריות מתקיים
| A( x) | 1
B( x) 1
וכיוון ש x 0,1מתקיים גם
1 2 1
1 1 1 1
x x 1
3
4
5 3 4 5
C ( x)
לכן
g ' ( x) A( x) B( x) C ( x) 1
ועל פי משפט נקודת השבט מובטח ש ) g ( xהיא בעלת נקודת שבת יחידה בתחום הנתון.
מ.ש.ל.
שאלה מספר :6
הוכח כי לא יתכן כי לאיטראצית נקודת שבת נתונה ) ( המתכנסת לשורש
יחיד.
הדרכה :הוכח יחידות בשלילה תוך שימוש בהגדרת סדר ההתכנסות.
פתרון:
נניח בשלילה כי מתקיימים התנאים הבאים עבור שגיאת האיטראציה| ,
1.
)
קיים יותר מסדר התכנסות
( |
:
2.
נניח ב.ה.כ כי
.נחשב את מנת הגבולות:
)
מכיוון שנתון כי האיטרציה מתכנסת ,ידוע כי
(
)
(
ולכן עבור
גם
סתירה.
לכן לא יתכן שקיים יותר מסדר התכנסות אחד עבור איטרצית נקודת שבת ) ( כלשהי.
.
