035806

Comments

Transcription

035806
‫מתמטיקה‪ ,‬דצמבר ‪ ,2014‬תשע"ה‪ ,‬מועד ד‪,‬‬
‫מס' ‪+316 ,035806‬נספח‬
‫‪-2-‬‬
‫השאלות‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫)‪ 40‬נקודות (‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 3 - 1‬לכל שאלה ‪ 20 −‬נקודות )‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬מכונית א יצאה מעיר ‪ A‬ומכונית ב יצאה מעיר ‪ .B‬שתי המכוניות נסעו זו לקראת זו עד‬
‫שנפגשו בנקודה ‪ ,C‬ושם עצרו‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫מכונית א יצאה לפני מכונית ב‪ .‬זמן הנסיעה של מכונית א היה גדול פי ‪ 2 4‬מזמן הנסיעה של‬
‫מכונית ב‪ .‬מכונית א עברה ‪ 150‬ק"מ יותר ממכונית ב‪.‬‬
‫למחרת המשיכה מכונית א לנסוע מ‪ C -‬עד שהגיעה ל‪ ,B -‬ומכונית ב המשיכה לנסוע מ‪ C -‬עד‬
‫שהגיעה ל‪.A -‬‬
‫ביום זה היה זמן הנסיעה של מכונית א שווה לזמן הנסיעה של מכונית ב‪.‬‬
‫לשתי המכוניות מהירות קבועה‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את המרחק מ‪ A -‬ל‪.B -‬‬
‫ב‪ .‬ביום שלישי יצאו שוב שתי המכוניות זו לקראת זו‪ ,‬מכונית א מעיר ‪ B‬ומכונית ב מעיר ‪.A‬‬
‫שתי המכוניות יצאו באותו זמן‪ ,‬ונסעו במהירות הקבועה שלהן‪ .‬הן נפגשו כעבור ‪ 6‬שעות‪.‬‬
‫מצא את המהירות של כל אחת מן המכוניות‪.‬‬
‫‪ .2‬נתונה סדרה חשבונית ‪.a1 , a2 , a3 … an‬‬
‫נתון‪ ,an = 310 , a1 = 4 :‬הפרש הסדרה הוא ‪.3‬‬
‫יצרו סדרה חדשה מכל האיברים של הסדרה הנתונה‪ .‬כל איבר בסדרה החדשה הוא הסכום‬
‫של שני איברים עוקבים בסדרה הנתונה‪.‬‬
‫הסדרה החדשה היא‪:‬‬
‫‪a1 + a2 , a2 + a3 , a3 + a4 , ….‬‬
‫א‪ .‬מצא את מספר האיברים בסדרה החדשה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח שהסדרה החדשה היא חשבונית‪ ,‬וחשב את סכומה‪.‬‬
‫ג‪ .‬בסדרה החדשה מחקו איברים על פי החוקיות הזאת‪ :‬את האיבר השני‪ ,‬האיבר השישי‪,‬‬
‫האיבר העשירי וכן הלאה‪.‬‬
‫המקומות של האיברים שנמחקו יוצרים סדרה חשבונית‪2 , 6 , 10 , … :‬‬
‫כמה איברים נמחקו בסדרה החדשה?‬
‫המשך בעמוד ‪3‬‬
‫‪-3-‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬דצמבר ‪ ,2014‬תשע"ה‪ ,‬מועד ד‪,‬‬
‫מס' ‪+316 ,035806‬נספח‬
‫‪ .3‬ההסתברות של תלמיד כלשהו לעבור מבחן נהיגה היא ‪.(p > 0) p‬‬
‫תלמיד ניגש למבחן‪ .‬אם הוא לא עובר את המבחן הוא ניגש שוב‪ .‬עד שיצליח לעבור את‬
‫המבחן‪ .‬לתלמיד יש את אותו סיכוי לעבור את המבחן בכל פעם שהוא נבחן‪.‬‬
‫ידוע שההסתברות שתלמיד יעבור את המבחן בפעם הראשונה גדולה פי‬
‫‪27‬‬
‫‪8‬‬
‫מההסתברות‬
‫שיעבור את המבחן רק בפעם הרביעית‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את ‪.p‬‬
‫ב‪ .‬אם ידוע שתלמיד יעבור את המבחן לאחר ‪ 2‬מבחנים לכל היותר‪ ,‬מהי ההסתברות שיעבור‬
‫רק בפעם השנייה?‬
‫ג‪ .‬שני תלמידים ניגשים למבחן‪.‬‬
‫מהי ההסתברות ששני התלמידים יחד יזדקקו סך הכול ל‪ 3 -‬מבחנים בדיוק‪ .‬עד ששניהם‬
‫יעברו את המבחן?‬
‫פרק שני‬
‫– גאומטריה וטריגונומטריה במישור )‪ 20‬נקודות(‬
‫ענה על אחת מהשאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬שני מעגלים נחתכים בנקודות ‪ A‬ו‪.B -‬‬
‫המיתר ‪ AD‬משיק למעגל השמאלי בנקודה ‪.A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫המיתר ‪ CB‬משיק למעגל הימני בנקודה ‪.B‬‬
‫המשך המיתר ‪ CA‬חותך את המעגל הימני בנקודה ‪,E‬‬
‫והמשך המיתר ‪ DB‬חותך את המעגל השמאלי בנקודה ‪.F‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫(ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪.∢AED + ∢FCA = 180° :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ CEDF‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון‪ 4 :‬ס"מ = ‪ 9 , BD‬ס"מ = ‪.AC‬‬
‫מצא פי כמה גדול שטח ‪ ∆ABC‬משטח ‪.∆BDA‬‬
‫המשך בעמוד ‪4‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬דצמבר ‪ ,2014‬תשע"ה‪ ,‬מועד ד‪,‬‬
‫מס' ‪+316 ,035806‬נספח‬
‫‪-4‬‬‫‪ .5‬לפניך משולש ‪.ABC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪120°‬‬
‫נתון‪AB = 2AC :‬‬
‫‪∢BAC = 120°‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ h‬הוא הגובה לצלע ‪.BC‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ h‬את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫המשיכו את ‪ BC‬עד לנקודה ‪( D‬ראה ציור)‪ .‬רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ ABC‬שווה‬
‫לרדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪.ADC‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ‪.∢ADC‬‬
‫ג‪ .‬נתון גם‪ .AD = h + 6 :‬חשב גם את ‪.h‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬
‫של פונקציות שורש‪ ,‬של פונקציות רציונאליות‬
‫ושל פונקציות טריגונומטריות ) ‪ 40‬נקודות (‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 8 - 6‬לכל שאלה ‪ 20 −‬נקודות )‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה ‪ f(x) = sinx − asinx‬בתחום ‪ a ,−π ≤ x < π‬הוא פרמטר חיובי‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬רשום את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לציר ה‪.x -‬‬
‫ג‪ .‬הוכח שהפונקציה היא אי‪-‬זוגית‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ה‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫ו‪ .‬נתונה הפונקציה ‪ g(x) = sinx‬בתחום ‪.0 < x < π‬‬
‫היעזר בסעיפים הקודמים והראה שהפונקציה )‪ g(x‬היא אי‪-‬שלילית‪.‬‬
‫המשך בעמוד ‪5‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬דצמבר ‪ ,2014‬תשע"ה‪ ,‬מועד ד‪,‬‬
‫מס' ‪+316 ,035806‬נספח‬
‫‪-5-‬‬
‫‪O‬‬
‫‪ .7‬נתונה גזרה של רבע עיגול שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪.R‬‬
‫בונים מלבן ‪ ABCD‬כך שהמעגל משיק לצלע ‪DC‬‬
‫בנקודת האמצע שלה‪ ,‬והקדקודים ‪ A‬ו‪ B -‬נמצאים‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫על הרדיוסים‪ ,‬כמתואר בציור‪.‬‬
‫מבין כל האלכסונים של המלבנים ‪ ABCD‬שנוצרים באופן זה‪,‬‬
‫‪C‬‬
‫הבע באמצעות ‪ R‬את אורך האלכסון הקצר ביותר‪.‬‬
‫‪ .8‬נתונה הפונקציה‬
‫‪D‬‬
‫‪x‬‬
‫‪+a‬‬
‫‪,f(x) = √x2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ a‬הוא פרמטר חיובי‪.‬‬
‫העבירו משיק לגרף הפונקציה‬
‫בנקודה ‪( x = 0‬ראה ציור)‪.‬‬
‫המשיק עובר בנקודה )‪.(3,1‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪.a‬‬
‫ב‪ .‬מהו תחום ההגדרה של )‪? f(x‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל על ידי המשיק‪ ,‬על ידי גרף הפונקציה ועל ידי הישר ‪.x = 4‬‬
‫ד‪ .‬הפונקציה )‪ g(x‬מקיימת לכל ‪.g ′ (0) = 5 , g ′′ (x) = f(x) :x‬‬
‫האם לפונקציה )‪ g(x‬יש נקודות קיצון ? נמק‪.‬‬
‫בהצלחה!‬