משפט פיתגורס שטחים ו – מעגל

‫מעגל – שטחים ומשפט פיתגורס‬
‫‪C‬‬
‫‪.1‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל שמרכזו ‪O‬‬
‫כך ש‪ AB -‬הוא קוטר במעגל ‪.‬‬
‫הוכח ‪. SAOC  SBOC :‬‬
‫‪.2‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל שמ רכזו ‪O‬‬
‫כך ש‪ BC -‬הוא קוטר המעגל ‪.‬‬
‫‪ D‬היא נקודה על הרדיוס ‪. OB‬‬
‫נתון ‪. BD  2  OD :‬‬
‫הוכח ‪. SADC  2  SABC :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪ AC‬הוא קוטר ו‪ BD -‬הוא מיתר‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫במעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫נתון ‪. BD  AC :‬‬
‫‪D‬‬
‫‪O‬‬
‫הוכח ‪. SABO  SDOC :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪ AC‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ BD‬משיק למעגל בנקודה ‪. B‬‬
‫נתון ‪. D  30 :‬‬
‫‪D‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. AD  3  AO :‬‬
‫ב ‪ .‬הוכח ‪. SAOB  1 SBOD :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.5‬‬
‫הנקודות ‪ B , A‬ו‪ D -‬נמצאות על מעגל‬
‫שמרכזו ‪ O‬כך ש‪ AD -‬הוא קוטר במעגל ‪.‬‬
‫הנקודה ‪ C‬נמצאת על המשך המיתר ‪AB‬‬
‫כך ש‪ CD -‬משי ק למעגל בנקודה ‪. D‬‬
‫נתון ‪. AB  BC :‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪ :‬המרובע ‪ CDOB‬הוא טרפז ‪.‬‬
‫ב ‪ .‬הוכח ‪ :‬שטח הטרפז ‪ CDOB‬גדול‬
‫פי ‪ 3‬משטח המשולש ‪. AOB‬‬
‫‪98‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪ AB‬הוא מיתר במעגל שמרכזו‬
‫בנקודה ‪ . O‬נתון ‪ 16 :‬ס " מ ‪, AB ‬‬
‫‪O‬‬
‫‪ 10‬ס " מ ‪. OD  AB , OA ‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. OD‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪P‬‬
‫לפניך חצי עיגול שרדיוסו ‪ 6‬ס " מ ‪,‬‬
‫ומרכזו בנקודה ‪. O‬‬
‫נתון ‪ 8 :‬ס " מ ‪. PQ  AB , AQ ‬‬
‫חשב את שטח המשולש ‪. AOP‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪ 3 32‬סמ " ר ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל שרדיוסו ‪ 5‬ס " מ ‪.‬‬
‫‪ BC‬הוא קוטר במעגל ‪ .‬הנקודה ‪ D‬נמצאת‬
‫על המשך המיתר ‪. AC‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫נתון ‪ 8 :‬ס " מ ‪. AB  DC , AC ‬‬
‫‪D‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. BD‬‬
‫תשובה ‪232 :‬‬
‫‪.9‬‬
‫ס"מ‪.‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬הוא ישר זווית )‪. (AB  BC‬‬
‫נתון ‪ 7 :‬ס " מ ‪ 8 , CD ‬ס " מ ‪. DB ‬‬
‫‪A‬‬
‫רדיוס המעגל הוא ‪ 5‬ס " מ ‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫א ‪ .‬חשב את אורך המיתר ‪. AB‬‬
‫ב ‪ .‬חשב את היקף המשולש ‪. ADC‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪. 10‬‬
‫א‪ 6 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫ב ‪ 33.155 .‬ס " מ ‪.‬‬
‫משולש חד זוו ית ‪ ABC‬חסום במעגל ‪. O‬‬
‫‪A‬‬
‫אורך הצלע ‪ AC‬הוא ‪ 21‬ס " מ ומרחקה‬
‫ממרכז המעגל הוא ‪ 8‬ס " מ ‪ .‬מרחק הצלע‬
‫‪D‬‬
‫‪ BC‬ממרכז המעגל הו א ‪ 4.5‬ס " מ ‪.‬‬
‫א ‪ .‬חשב את רדיוס המעגל ‪.‬‬
‫א ‪ 13.2 .‬ס " מ ‪.‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫ב ‪ .‬חשב את אורך הצלע ‪. BC‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫ב ‪ 24.82 .‬ס " מ ‪.‬‬
‫‪99‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪. 11‬‬
‫‪ AB‬הוא מיתר במעגל ‪ . O‬המשכי המיתר ‪AB‬‬
‫והרדיוס ‪ OC‬נפגשים בנקודה ‪. D‬‬
‫נתון ‪ 16 :‬ס " מ ‪ 10 , AB ‬ס " מ ‪. BD  OC ‬‬
‫א ‪ .‬חשב את מרחק הנקודה ‪O‬‬
‫מהמיתר ‪. AB‬‬
‫ב ‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪. CD‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪. 12‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫ב ‪ 8.974 .‬ס " מ ‪.‬‬
‫‪ ABC‬הוא משולש שווה‪ -‬שוקיים )‪(AB  AC‬‬
‫החסום במעגל שרדיוסו ‪ 13‬ס " מ ומרכזו ‪. O‬‬
‫המשך הרדיוס ‪ AO‬חותך את הצלע ‪BC‬‬
‫בנקודה ‪ . D‬נתון ‪ 5 :‬ס " מ ‪. OD ‬‬
‫חשב את היקף המשולש ‪. ABC‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪. 13‬‬
‫א‪ 6 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ 67.27‬ס " מ ‪.‬‬
‫בחצי עיגול שקוטרו ‪ 18‬ס " מ חוסמים‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫טרפז שווה‪ -‬שוקיים ‪. ABCD‬‬
‫‪ BP‬הוא אנך לקוטר ‪ – O . CD‬מרכז המעגל ‪.‬‬
‫נתון ‪ 3 :‬ס " מ ‪ 10 , OP ‬ס " מ ‪. BC ‬‬
‫חשב את שטח הטרפז ‪.‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪. 14‬‬
‫‪C‬‬
‫‪P‬‬
‫‪D‬‬
‫‪O‬‬
‫‪ 96‬סמ " ר ‪.‬‬
‫במעגל שרדיוסו ‪ 12‬ס " מ עובר מיתר‬
‫‪B‬‬
‫במקטע שנוצר חסום מלבן ‪. ABCD‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫במרחק ‪ 2‬ס " מ מהמרכז ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪O‬‬
‫נתון ‪ 16 :‬ס " מ ‪. AB ‬‬
‫‪D‬‬
‫חשב את שטח המלבן ‪. ABCD‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪. 15‬‬
‫‪ 111.11‬סמ " ר ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫ה טרפז ‪ (AB  DC) ABCD‬חסום במעגל‬
‫שמרכזו בנקודה ‪ O‬ורדיוסו ‪ 10‬ס " מ ‪.‬‬
‫נתון ‪ 12 :‬ס " מ ‪ 16 , AB ‬ס " מ ‪. DC ‬‬
‫חשב את גובה הטרפז ‪.‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ 14‬ס " מ ‪.‬‬
‫‪100‬‬
‫‪D‬‬
‫‪. 16‬‬
‫‪ AB‬משיק למעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫נתון ‪ 12 :‬ס " מ ‪ 6 , AB ‬ס " מ ‪. AC ‬‬
‫‪C‬‬
‫חשב את רדיוס המעגל ‪.‬‬
‫‪O‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪. 17‬‬
‫‪ 9‬ס"מ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ BC‬הוא קוטר במעגל ‪.‬‬
‫‪ AB‬משיק למעגל בקודה ‪. B‬‬
‫‪D‬‬
‫ס " מ ‪. BC ‬‬
‫נתון ‪ 6 :‬ס " מ ‪45 , AB ‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. AD‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪. 18‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ 4‬ס"מ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ BC‬משיק למעגל ‪ O‬בנקודה ‪. C‬‬
‫‪ AB‬משיק למעגל בנקודה ‪. D‬‬
‫‪E‬‬
‫נתון ‪ 2 :‬ס " מ ‪ 6 , AE ‬ס " מ ‪. CE ‬‬
‫‪D‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. AB‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪O‬‬
‫‪ 10‬ס " מ ‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪. 19‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ ABC‬הוא משולש שווה‪ -‬צלעות שצלעו ‪ 30‬ס " מ ‪.‬‬
‫א ‪ .‬חשב את רדיוס המעגל החסום‬
‫במשולש ‪. ABC‬‬
‫ב ‪ .‬חשב את רדיוס המעגל החוסם‬
‫את המשולש ‪. ABC‬‬
‫תשובה ‪ :‬א ‪75 .‬‬
‫‪. 20‬‬
‫‪C‬‬
‫ס " מ ‪ .‬ב ‪300 .‬‬
‫‪B‬‬
‫ס"מ‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז שווה‪ -‬שוקיים‬
‫‪A‬‬
‫)‪ (AD  BC , AB  DC‬החוסם מעגל ‪.‬‬
‫נתון ‪ 6 :‬ס " מ ‪ 10 , AB ‬ס " מ ‪. DC ‬‬
‫א ‪ .‬חשב את אורך השוק ‪. AD‬‬
‫ב ‪ .‬חשב את שטח הטרפז ‪.‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫א‪ 8 .‬ס"מ‪.‬‬
‫ב ‪ 61.97 .‬ס מ " ר ‪.‬‬
‫‪101‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪. 21‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש שווה‪ -‬שוקיים ‪(AB  AC) ABC‬‬
‫נתון ‪ 39 :‬ס " מ ‪ 30 , AB ‬ס " מ ‪. BC ‬‬
‫בתוך המשולש חסום מעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫א ‪ .‬מהו אורך הקטע ‪? AE‬‬
‫‪E‬‬
‫‪O‬‬
‫ב ‪ .‬חשב את רדיוס המעגל ‪.‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪. 22‬‬
‫א ‪ 24 .‬ס " מ ‪ .‬ב ‪ 10 .‬ס " מ ‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫בתוך משולש ‪ ABC‬ישר‪ -‬זווית‬
‫‪C‬‬
‫ושווה‪ -‬שוקיים )‪ (AC  BC‬חסום מעגל ‪.‬‬
‫‪ D‬ו‪ E -‬הן נקוד ו ת השקה ‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫נתון ‪ 10 :‬ס " מ ‪. BC ‬‬
‫‪O‬‬
‫מצא את רדיוס המעגל ‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ 2.929‬ס " מ ‪.‬‬
‫‪102‬‬
‫‪A‬‬
‫דמיון משולשים – תרגילים עם מעגל‬
‫‪.1‬‬
‫המיתרים ‪ AB‬ו‪ CD -‬נ חתכים בנקודה ‪. E‬‬
‫‪A‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. EBC  EDA :‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫ב ‪ .‬נתון ‪ 4 :‬ס " מ ‪ 6 , CE ‬ס " מ ‪, BE ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ 3‬ס " מ ‪. AE ‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. DE‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪.2‬‬
‫ב ‪ 4.5 .‬ס " מ ‪.‬‬
‫במעגל שלפניך המשכי המיתרים ‪ BC‬ו‪AD -‬‬
‫נפגשים בנקודה ‪. E‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. ACE  BDE :‬‬
‫ב ‪ .‬נתון ‪ 12 :‬ס " מ ‪ 10 , AE ‬ס " מ ‪, BE ‬‬
‫‪ 9‬ס " מ ‪. AC ‬‬
‫‪E‬‬
‫מהו אורך המיתר ‪? BD‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫ב ‪ 7.5 .‬ס " מ ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫הנקודות ‪ C , B , A‬ו‪ E -‬נמצאות על מעגל‬
‫כך ש‪ BE -‬חוצה את הזווית ‪. ABC‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ AC‬ו‪ BE -‬נפגשים בנקודה ‪. D‬‬
‫‪D‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. EBC  ABD :‬‬
‫ב ‪ .‬נתון ‪ 6 :‬ס " מ ‪ 8 , BC ‬ס " מ ‪, AB ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ 9‬ס " מ ‪ . BE ‬חשב את אורך הקטע ‪. DE‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪ 3 2 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪A‬‬
‫הנקודות ‪ C , B , A‬ו‪ D -‬נמצאות על מעגל ‪.‬‬
‫‪ D‬היא אמצע הקשת ‪. E  1 ABE , AC‬‬
‫‪2‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. ADB  ABE :‬‬
‫‪D‬‬
‫ב ‪ .‬נתון ‪ 4 :‬ס " מ ‪ 5 , AD ‬ס " מ ‪. DE ‬‬
‫חשב את אורכי הקטעים ‪ AB‬ו‪. BE -‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫ב ‪ 6 .‬ס " מ ‪ 7.5 ,‬ס " מ ‪.‬‬
‫‪103‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.5‬‬
‫המיתרים ‪ AC‬ו‪ BD -‬נפגשים בנקודה ‪. P‬‬
‫הנק ודה ‪ C‬היא אמצע הקשת ‪. BD‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. ADC  DPC :‬‬
‫ב ‪ .‬הוכח ‪. CP  AC  CD 2 :‬‬
‫‪P‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫‪C‬‬
‫נתון ‪ 18 , PQ  AB :‬ס " מ ‪, AC ‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ 8‬ס " מ ‪ 10 , PB ‬ס " מ ‪. BQ ‬‬
‫‪B‬‬
‫חשב את רדיוס המעגל ‪.‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪P‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪ 15‬ס " מ ‪.‬‬
‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫נתון ‪. OQ  AB :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪Q‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. OQ  BC  AO  AC :‬‬
‫ב ‪ .‬נתון ‪ 8 :‬ס " מ ‪ 1 , BQ ‬ס " מ ‪. CQ ‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫חשב את רדיוס המעגל ‪.‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪A‬‬
‫ב‪ 6 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ AP‬הוא קוטר במעגל ‪.‬‬
‫נתון ‪ 13 , AD  BC :‬ס " מ ‪, AB ‬‬
‫‪ 12‬ס " מ ‪ 10 , AD ‬ס " מ ‪. PC ‬‬
‫חשב את רדיוס המעגל ‪.‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ 13‬ס " מ ‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪P‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל ‪ .‬נתון ‪, DE  AC :‬‬
‫‪ 9‬ס " מ ‪ 4 , DE ‬ס " מ ‪. AD  BC , DC ‬‬
‫א ‪ .‬חש ב את רדיוס המעגל ‪.‬‬
‫‪O‬‬
‫ב ‪ .‬הנקודה ‪ F‬היא אמצע הקטע ‪. AE‬‬
‫חשב את היקף המשולש ‪. DEF‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫א ‪ 10 .‬ס " מ ‪.‬‬
‫ב ‪ 24 .‬ס " מ ‪.‬‬
‫‪104‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪. 10‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל ‪ O‬שרדיוסו ‪. R‬‬
‫נתון ‪. DC  AB , OC  BC :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ R‬את אורך‬
‫‪B‬‬
‫הקטע ‪. DC‬‬
‫תשובה ‪R 3 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. 11‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬הוא ישר‪ -‬זווית ) ‪. (ABD  90‬‬
‫הצלע ‪ BC‬היא קוטר במעגל ‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. BDE  ADB :‬‬
‫‪A‬‬
‫ב ‪ .‬נתון ‪ . AB  d , BD  a :‬הבע את אורך‬
‫הקטע ‪ ED‬באמצעות ‪ a‬ו‪. d -‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪. 12‬‬
‫‪A‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a 2  d2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ BC‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫‪A‬‬
‫נתון ‪ 8 , AQ  PC :‬ס " מ ‪, AQ ‬‬
‫‪ 12‬ס " מ ‪ 16 , AC ‬ס " מ ‪. AP ‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪C‬‬
‫א ‪ .‬חשב את רדיוס המעגל ‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫ב ‪ .‬מהו גודל הזוו ית ‪? ABC‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪. 13‬‬
‫א ‪ 12 .‬ס " מ ‪.‬‬
‫ב ‪. 30 .‬‬
‫הנקודות ‪ C , B , A‬ו‪ D -‬נמצאות‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫על מעגל שמרכזו ‪ . O‬המיתרים‬
‫‪ AC‬ו‪ BD -‬נפגשים בנקודה ‪. E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪  2  CD‬‬
‫נתון ‪ :‬‬
‫‪. BC‬‬
‫‪O‬‬
‫הוכח ‪. ABE  OCD :‬‬
‫‪. 14‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל ‪.‬‬
‫‪  2  BE‬‬
‫נתון ‪ :‬‬
‫‪. OD  DF , BC‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. ACB  ODF :‬‬
‫‪O‬‬
‫ב ‪ .‬נתון ‪ 6 :‬ס " מ ‪ 8 , BC ‬ס " מ ‪, AC ‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ 13‬ס " מ ‪ . AD ‬הוכח ‪. ACB  ODF :‬‬
‫‪F‬‬
‫‪105‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 15‬‬
‫במעגל שמרכזו בנקודה ‪ , O‬הנקודה ‪C‬‬
‫היא אמצע המיתר ‪ , AB‬והנקודה ‪E‬‬
‫היא אמצע המיתר ‪. BD‬‬
‫הוכח ‪. DOE  DBC :‬‬
‫‪. 16‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫הקוטר ‪ AC‬חוצה את המיתר ‪ BD‬בנקודה ‪. E‬‬
‫נתון ‪ 8 :‬ס " מ ‪ 15 , BE ‬ס " מ ‪. CE ‬‬
‫א ‪ .‬חשב את אור ך הקטע ‪. AE‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪O‬‬
‫א ‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪. OE‬‬
‫‪D‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫א ‪ 4 4 .‬ס " מ ‪ .‬ב ‪ 5 11 .‬ס " מ ‪.‬‬
‫‪30‬‬
‫‪15‬‬
‫‪. 17‬‬
‫הנקודה ‪ P‬היא אמצע המיתר ‪AB‬‬
‫במעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬
‫הקטע ‪ BM‬מאונך לקטע ‪. AM‬‬
‫הוכח ‪. BCM  AOP :‬‬
‫‪. 18‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫‪O‬‬
‫‪P‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫הרדיוס ‪ OC‬מאונך למיתר ‪. AB‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫המיתרים ‪ AB‬ו‪ DC -‬נפגשים בנקודה ‪. E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫הוכח ‪. DCA  DBE :‬‬
‫‪D‬‬
‫‪. 19‬‬
‫הקוטר ‪ AB‬של מעגל שמרכזו בנקודה ‪O‬‬
‫חוצה את המיתר ‪ CD‬בנקודה ‪. E‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. DBC  AOC :‬‬
‫ב ‪ .‬נתון גם ‪. AC  AO :‬‬
‫הוכח ‪. AE  OE :‬‬
‫‪106‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 20‬‬
‫‪A‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫הקוטר ‪ AE‬חוצה את המיתר ‪BC‬‬
‫בנקודה ‪ . F‬נתון ‪. OD  AC :‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. ADO  AFC :‬‬
‫ב ‪ .‬הוכח ‪. AC2  2  AF  AO :‬‬
‫‪D‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪. 21‬‬
‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪. R‬‬
‫‪ D‬היא נקודת החית וך של הרדיוס ‪EO‬‬
‫עם המיתר ‪ . BC‬נתון ‪. EO  AB :‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪BD  BC :‬‬
‫‪. R2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫ב ‪ .‬נתון גם ‪. OD  DE‬‬
‫הבע באמצעות ‪ R‬את אורך הקטע ‪. DC‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫ב ‪. 0.6708R .‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 22‬‬
‫‪ BC‬הוא קוטר במעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬הוא משולש‬
‫‪P‬‬
‫שווה‪ -‬שוקיים )‪. (AB  AC‬‬
‫הוכח ‪. 2  AB  PC  BC 2 :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪B‬‬
‫‪. 23‬‬
‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪, O‬‬
‫ו‪ AC -‬משיק למעגל בנקודה ‪. A‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. ADB  CDA :‬‬
‫‪D‬‬
‫ב ‪ .‬הוכח ‪. AD 2  BD  DC :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 24‬‬
‫‪D‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל ‪ AD .‬משיק‬
‫למעגל בנקודה ‪ . A‬נתון ‪ 6 :‬ס " מ ‪, AD ‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ 4.5‬ס " מ ‪ 7 , AB ‬ס " מ ‪. AC ‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. DAB  DCA :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫ב ‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪. BD‬‬
‫‪C‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫ב ‪ 3 76 .‬ס " מ ‪.‬‬
‫‪107‬‬
‫‪. 25‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬חס ום במעגל כך ש‪BC -‬‬
‫הוא קוטר במעגל ‪ AD .‬משיק למעגל‬
‫בנקודה ‪ . A‬נתון ‪, AD  DC :‬‬
‫‪ 5‬ס " מ ‪ 13 , AD ‬ס " מ ‪. AC ‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫חשב את רדיוס המעגל ‪.‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪. 26‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ 7 1‬ס"מ‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ AC‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫‪ AB‬משיק למעגל בנקודה ‪. A‬‬
‫‪D‬‬
‫נתון ‪ 4 :‬ס " מ ‪ 5 , CD ‬ס " מ ‪. BD ‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. AC‬‬
‫‪A‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪. 27‬‬
‫‪C‬‬
‫‪O‬‬
‫‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫המשולש ‪ APO‬הוא ישר‪ -‬זווית ) ‪. (POA  90‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ AP‬משיק בנקודה ‪ B‬למעגל‬
‫‪B‬‬
‫שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬
‫נתון ‪ 16 :‬ס " מ ‪ 9 , AB ‬ס " מ ‪. PB ‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. AC‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪. 28‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪O‬‬
‫‪ 8‬ס"מ‪.‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ AP‬משיק למעגל בנקודה ‪. A‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ CP‬מקביל לצלע ‪. AB‬‬
‫הוכח ‪. AC 2  AB  PC :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 29‬‬
‫‪ PQ‬הוא קוטר של מעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫‪ CP‬הוא משיק למעגל ‪ .‬נתון ‪, BO  PQ :‬‬
‫‪ 30‬ס " מ ‪ 20 , AP ‬ס " מ ‪. PC ‬‬
‫‪A‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪O‬‬
‫‪P‬‬
‫חשב את רדיוס המעגל ‪.‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ 12‬ס " מ ‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪108‬‬
‫‪. 30‬‬
‫המשולש ‪ BCD‬חסום במעגל ‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫ד רך קדקוד ‪ B‬עובר משיק למעגל ‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫דרך קדקוד ‪ D‬עובר ישר המקביל‬
‫לצלע ‪ BC‬וחותך את המשיק בנקודה ‪. A‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. ABD  DCB :‬‬
‫ב ‪ .‬נתון ‪ , AD  4  BC :‬הוכח ‪. BD  2  BC :‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 31‬‬
‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫‪ PD‬משיק למעגל בנקודה ‪. D‬‬
‫הקשת ‪ BC‬גדולה פי ‪ 2‬מהקשת ‪. BD‬‬
‫‪O‬‬
‫הוכח ‪. ACB  ODP :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫‪. 32‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫המשכי המיתרים ‪ AP‬ו‪ BQ -‬נפגשים‬
‫בנקודה ‪ BC . C‬מקביל לישר‬
‫‪P‬‬
‫המשיק למעגל בנקודה ‪. A‬‬
‫הוכח ‪. AB2  AP  AC :‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪B‬‬
‫‪. 33‬‬
‫‪ DE‬הוא קוטר במעגל ‪ .‬בנקודה ‪D‬‬
‫מעבירים משיק למעגל ‪ .‬נתון ‪. AF  DE :‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. AD 2  AF  DE :‬‬
‫ב ‪ .‬נתון ‪ 4 :‬ס " מ ‪ 9 , AF ‬ס " מ ‪. DE ‬‬
‫חשב את שטח הטרפז ‪. AFDE‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪. 34‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫ב ‪ 29.07 .‬סמ " ר ‪.‬‬
‫‪ BC‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫‪A‬‬
‫הקטע ‪ AB‬משיק למעגל ואורכו‬
‫שווה לרדיוס המעגל ‪ .‬הנקודה ‪D‬‬
‫נמצאת באמצע הרדיוס ‪. OB‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. ABD  CBA :‬‬
‫ב ‪ .‬הוכח ‪. ADB  BAC :‬‬
‫‪109‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 35‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ AB‬הוא מיתר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫‪ AP‬משיק למעגל בנקודה ‪. A‬‬
‫הנקודה ‪ Q‬היא אמצע המיתר ‪. AB‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪P‬‬
‫‪O‬‬
‫‪2‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. BO  PO  QO :‬‬
‫ב ‪ .‬הוכח ‪. BQ 2  QO  PQ :‬‬
‫‪. 36‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ B , A‬ו‪ C -‬הן נקודות על מעגל ‪ .‬הנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬נמצאות על המיתרים‬
‫‪ AB‬ו‪ AC -‬בהתאמה ‪ ,‬כך שהישר ‪ EF‬מקביל לישר המשיק למעגל‬
‫בנקודה ‪ . A‬הוכח ‪. AB  AE  AC  AF :‬‬
‫‪. 37‬‬
‫‪ BP‬ו‪ BC -‬הם משיקים למעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫המשכי המשיק ‪ BP‬והקוטר ‪CD‬‬
‫נחתכים בנקודה ‪. A‬‬
‫נתון ‪ 8 :‬ס " מ ‪ 9 , CB ‬ס " מ ‪. AP ‬‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫חשב את רדיוס המעגל ‪.‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪. 38‬‬
‫‪C‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ 4.8‬ס " מ ‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ PA‬ו‪ PB -‬הם שני משיקים למעגל‬
‫שמרכזו ‪ . O‬המשכי המשיק ‪BP‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫והרדיוס ‪ OA‬נחתכים בנקודה ‪. C‬‬
‫‪O‬‬
‫נתון ‪ 12 :‬ס " מ ‪ 5 , AC ‬ס " מ ‪. BP ‬‬
‫‪P‬‬
‫חשב את רדיוס המעגל ‪.‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪. 39‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ 7.5‬ס " מ ‪.‬‬
‫‪ AB‬ו‪ AC -‬הם שני משיקים למעגל ‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫נתון ‪ 20 , BP  AC :‬ס " מ ‪, AB ‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ 5‬ס " מ ‪. PB ‬‬
‫‪A‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. PC‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ 10‬ס " מ ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 40‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬הוא שווה‪ -‬שוקיים )‪. (AB  AC‬‬
‫בתוך המשולש חסום מ עגל ‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫נקודות ההשקה הן ‪ E , D‬ו‪. F -‬‬
‫‪D‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. ADE  ABC :‬‬
‫ב ‪ .‬הוכח ‪. DBF  ECF :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪110‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪P‬‬
‫‪. 41‬‬
‫‪ PA‬ו‪ PB -‬הם שנ י משיקים למעגל ‪.‬‬
‫‪ BC‬מקביל למשיק ‪. AP‬‬
‫הוכח ‪. AC 2  BC  AP :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪. 42‬‬
‫‪ CB‬הוא קוטר של מעגל ‪ CQ .‬משיק למעגל‬
‫‪Q‬‬
‫בנקודה ‪ AQ , C‬משיק למעגל בנקודה ‪D‬‬
‫ו‪ BP -‬משיק למעגל בנקודה ‪. B‬‬
‫נתון ‪ 10 :‬ס " מ ‪ 40 , AP ‬ס " מ ‪. AQ ‬‬
‫‪D‬‬
‫‪P‬‬
‫חשב את רדיוס המעגל ‪.‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 43‬‬
‫‪. 44‬‬
‫מעגל שמרכזו בנקודה ‪ O‬חסום בטרפז ‪ABCD‬‬
‫)‪ . (AB  DC‬השוק ‪ BC‬של הטרפז‬
‫נוגעת במעגל בנקודה ‪. E‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. BOE  OCE :‬‬
‫ב ‪ .‬נתון ‪ 4 :‬ס " מ ‪ 5 , BE ‬ס " מ ‪. CE ‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. OB‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ 12‬ס " מ ‪.‬‬
‫‪ AB‬ו‪ AC -‬משיקים בנקודות ‪ B‬ו‪C -‬‬
‫למעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על הקטע ‪DC‬‬
‫כך ש‪. AO  OE -‬‬
‫הוכח ‪. AO 2  AB  AE :‬‬
‫‪. 45‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪O‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ 6 .‬ס"מ‪.‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬הוא שווה‪ -‬שוקיים )‪. (AB  AC‬‬
‫‪A‬‬
‫הנקודה ‪ O‬היא מרכז המעגל החסום במשולש ‪.‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. APB  AQO :‬‬
‫‪Q‬‬
‫ב ‪ .‬נתון ‪ 10 :‬ס " מ ‪ 12 , AC ‬ס " מ ‪. BC ‬‬
‫‪O‬‬
‫חשב את רדיוס המעגל ‪.‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ 3 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪111‬‬
‫‪P‬‬
‫‪B‬‬
‫‪. 46‬‬
‫‪A‬‬
‫מעגל שמרכזו ‪ O‬חסום במעוין ‪. ABCD‬‬
‫א ‪ .‬הסבר מדוע אלכסוני המעוין‬
‫נפגשים בנקודה ‪. O‬‬
‫ב ‪ .‬נתון ‪ 3 , OE  BC :‬ס " מ ‪, BE ‬‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ 10‬ס " מ ‪. BD ‬‬
‫‪E‬‬
‫חשב את שטח המשולש ‪. ADC‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪. 47‬‬
‫‪C‬‬
‫ב ‪ 33 1 .‬סמ " ר ‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫מעגל ‪ O‬שרדיוסו ‪ 6‬ס " מ משיק לישר ‪‬‬
‫בנקודה ‪ CD . E‬הוא קוטר במעגל ‪.‬‬
‫‪ BC‬משיק למעגל בנקודה ‪C‬‬
‫ו‪ AD -‬משיק למעגל בנקודה ‪. D‬‬
‫נתון ‪ 13 :‬ס " מ ‪. BE  AE , AB ‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. AOB  90 :‬‬
‫ב ‪ .‬חשב את אורכי הקטעים ‪ BE‬ו‪. AE -‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪. 48‬‬
‫‪D‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫ב‪ 4 .‬ס"מ‪ 9 ,‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ AC‬משיק בנקודה ‪ C‬למעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫‪B‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ AQ‬משיק למעגל בנקודה ‪, B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪S‬‬
‫ו‪ QS -‬משיק למעגל בנקודה ‪. S‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫הוכח ‪. PAO  POQ :‬‬
‫‪. 49‬‬
‫‪‬‬
‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫‪ AD‬משיק למעגל בנקודה ‪, A‬‬
‫‪ BC‬משיק למעגל בנקודה ‪B‬‬
‫ו‪ DC -‬משיק למעגל בנקודה ‪. P‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. DP  CP  OP 2 :‬‬
‫ב ‪ .‬הוכח ‪. AD  BC  AO 2 :‬‬
‫‪O‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪P‬‬
‫‪D‬‬
‫‪O‬‬
‫‪. 50‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל ‪.‬‬
‫המשכי המיתרים ‪ AB‬ו‪DC -‬‬
‫נפגשים בנקודה ‪. O‬‬
‫הוכח ‪. OAD  OCB :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪112‬‬
‫‪A‬‬
‫‪P‬‬
‫‪. 51‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל שמרכזו ‪O‬‬
‫כך ש‪ AB -‬הוא קוטר במעגל ‪.‬‬
‫נתון ‪ DP :‬מאונך ל‪. BP -‬‬
‫הוכח ‪. ABD  CDP :‬‬
‫‪. 52‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬הוא משולש שווה‪ -‬שוקיים‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪A‬‬
‫החסום במעגל )‪. (AB  AC‬‬
‫המשכי המיתרים ‪ AQ‬ו‪BC -‬‬
‫נפגשים בנקודה ‪. P‬‬
‫הוכח ‪. ACQ  APC :‬‬
‫‪. 53‬‬
‫‪D‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪P‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל שמרכזו ‪. M‬‬
‫‪ AE‬משיק למעגל בנקודה ‪. A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪M‬‬
‫נתון ‪. AE  BC :‬‬
‫‪B‬‬
‫הוכח ‪. AED  BAD :‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 54‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז החסום‬
‫במעגל )‪ Q . (AB  CD‬היא נקודת‬
‫החיתוך של המיתרים ‪ BP‬ו‪. CD -‬‬
‫הוכח ‪. APC  BCQ :‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 55‬‬
‫הקדקודים ‪ A‬ו‪ D -‬של ריבוע ‪ABCD‬‬
‫נמצאים על מעגל ‪ .‬הצלע ‪ BC‬משיקה‬
‫למעגל בנקודה ‪. E‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. DEF  90 :‬‬
‫ב ‪ .‬הוכח ‪. DEF  EBF :‬‬
‫ג ‪ .‬נתון ‪ 3 :‬ס " מ ‪ 12 , BF ‬ס " מ ‪. DF ‬‬
‫מצא את ‪. EF‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫ג‪ 6 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪113‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪P‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 56‬‬
‫בשרטוט ‪ AD ,‬הוא חוצה זווית ‪. BAC‬‬
‫המעגל ‪ M‬נוגע בצלע ‪ BC‬בנקודה ‪. D‬‬
‫‪M‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. BDE  DAF :‬‬
‫‪F‬‬
‫ב ‪ .‬הוכח ‪. BE  AF  DF2 :‬‬
‫‪. 57‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל ‪.‬‬
‫המשיק למעגל בנקודה ‪ B‬נפגש‬
‫עם המשך המיתר ‪ AD‬בנקודה ‪E‬‬
‫) ראה ציור (‪ .‬נתון ‪. AB  BC :‬‬
‫הוכח ‪. ABE  CDB :‬‬
‫‪. 58‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ ABCD‬הוא טרפז )‪ (AB  DC‬החסום במעגל‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫כך שהבסיס ‪ DC‬הוא קוטר במעגל ‪.‬‬
‫נתון ‪. BE  DC :‬‬
‫‪C‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. BEC  DBC :‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫ב ‪ .‬הוכח ‪. BC  AD  CE  CD :‬‬
‫‪. 59‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫הטרפז ‪ (AB  DC) ABCD‬חסום במעגל ‪.‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על הקשת ‪. CD‬‬
‫‪ BE‬חותך את ‪ CD‬בנקודה ‪. F‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. ADE  CFE :‬‬
‫‪F‬‬
‫ב ‪ .‬הוכח ‪. DEF  BCF :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪. 60‬‬
‫הטרפז ‪ (AB  DC) ABCD‬חסום במעגל ‪.‬‬
‫המשיק למעגל בנקודה ‪ C‬נפגש בנקודה ‪E‬‬
‫עם המשך האלכסון ‪. DB‬‬
‫‪ CD‬הוא קוטר המעגל ‪.‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. DAC  ECD :‬‬
‫ב ‪ .‬נתון ‪ 25 :‬ס " מ ‪ 36 , AC ‬ס " מ ‪. DE ‬‬
‫חשב א ת רדיוס המעגל ‪.‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫ב ‪ 15 .‬ס " מ ‪.‬‬
‫‪114‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪. 61‬‬
‫‪B‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז )‪(AB  CD‬‬
‫‪A‬‬
‫החסום במעגל ‪.‬‬
‫‪ BP‬משיק למעגל בנקודה ‪. B‬‬
‫הוכח ‪. AD 2  AB  CP :‬‬
‫‪. 62‬‬
‫‪P‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫בציור נתון ‪ 10 :‬ס " מ ‪ 8 , AQ ‬ס " מ ‪, AP ‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ 25‬ס " מ ‪ 20 , AB ‬ס " מ ‪. AC ‬‬
‫‪P‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. APQ  ACB :‬‬
‫‪Q‬‬
‫ב ‪ .‬הוכח כי ניתן לחסום במעגל‬
‫את המרובע ‪. BPQC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 63‬‬
‫בציור שלפניך נתון ‪. AP  AB  AQ  AC :‬‬
‫‪B‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. APQ  ACB :‬‬
‫‪P‬‬
‫ב ‪ .‬הוכח כי ניתן לחסום במעגל‬
‫א ת המרובע ‪. BPQC‬‬
‫ג ‪ .‬הוכח ‪. BPC  BQC :‬‬
‫‪. 64‬‬
‫‪A‬‬
‫‪Q‬‬
‫המרובע ‪ ABQD‬חסום במעגל ‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. DPC  DMQ :‬‬
‫ב ‪ .‬הוכח ‪ :‬המרובע ‪PQMC‬‬
‫הוא בר‪ -‬חסימה במעגל ‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫ג ‪ .‬הוכח ‪. MCQ  MPQ :‬‬
‫‪. 65‬‬
‫‪C‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Q‬‬
‫טרפז שווה‪ -‬שוקיים ‪(AB  DC) ABCD‬‬
‫חוסם מעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫השוק ‪ AD‬נוגעת במעגל בנקודה ‪. P‬‬
‫נתון ‪ 6 :‬ס " מ ‪ 4.8 , AO ‬ס " מ ‪. PO ‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪P‬‬
‫‪O‬‬
‫חשב את היקף הטרפז ‪.‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ 40‬ס " מ ‪.‬‬
‫‪115‬‬
‫‪D‬‬
‫‪. 66‬‬
‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל ‪ .‬דרך נקודה ‪B‬‬
‫מעבירים משיק למעגל ‪ .‬מנקודות ‪ A‬ו‪C -‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪N‬‬
‫מורידים אנכים למשיק ‪ ,‬החותכים אותו‬
‫בנקודות ‪ M‬ו‪ . N -‬מנקודה ‪ B‬מורידים‬
‫אנך ‪ BD‬לצלע ‪ . AC‬הוכח ‪:‬‬
‫‪BD‬‬
‫א ‪ . AM  AB .‬ב ‪ AB .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪CN BC‬‬
‫‪BD BC‬‬
‫‪. 67‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫ג ‪AM  BD .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪BD CN‬‬
‫‪ CD‬משיק למעגל בנקוד ה ‪ , P‬ו‪AB -‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫הוא מיתר במעגל זה ‪ BD .‬ו‪ AC -‬הם‬
‫אנכים למשיק ‪ PE .‬הוא אנך מנקודת‬
‫ההשקה ‪ P‬למיתר ‪. AB‬‬
‫‪E‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. ACP  PEB :‬‬
‫‪B‬‬
‫ב ‪ .‬הוכח ‪. BDP  PEA :‬‬
‫ג ‪ .‬הוכח ‪. AC  BD  PE 2 :‬‬
‫‪. 68‬‬
‫‪D‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ PA‬ו‪ PB -‬הם שני משיקים למעגל ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ C‬היא נקודה על המעגל ‪ .‬נתון ‪:‬‬
‫‪. CE  AB , CF  BP , CD  AP‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. ADC  BEC :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪P‬‬
‫‪C‬‬
‫ב ‪ .‬הוכח ‪. BCF  ACE :‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫ג ‪ .‬הוכח ‪. CE 2  CD  CF :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫‪. 69‬‬
‫‪ PA‬הוא משיק למעגל ו‪PC -‬‬
‫‪B‬‬
‫חותך את המעגל בנקודות ‪ B‬ו‪. C -‬‬
‫‪2‬‬
‫הוכח ‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪PC  AC‬‬
‫‪PB‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 70‬‬
‫שני מעגלים נחתכים בנקודות ‪ A‬ו‪. B -‬‬
‫‪A‬‬
‫ה קטרים ‪ AC‬ו‪ AD -‬מאונכים זה לזה ‪.‬‬
‫ישר העובר דרך ‪ , A‬חותך את המעגל‬
‫האחד בנקודה ‪ M‬ואת המעגל‬
‫‪D‬‬
‫האחר בנקודה ‪. N‬‬
‫‪B‬‬
‫הוכח ‪. AM  AN  CN  DM :‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪116‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 71‬‬
‫המעגלים ‪ M‬ו‪ N -‬נחתכים בנקודות‬
‫‪B‬‬
‫‪ A‬ו‪ BC . B -‬הוא קוטר במעגל ‪, M‬‬
‫‪ BN‬משיק למעגל ‪ . M‬נתון ‪, DN  AB :‬‬
‫‪ 9‬ס " מ ‪ 32 , DN ‬ס " מ ‪. AC ‬‬
‫‪D‬‬
‫‪N‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. AB‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪. 72‬‬
‫‪ 24‬ס " מ ‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫בשרטוט ‪ BP :‬משיק למעגל ‪, O‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ AP‬משיק למעגל ‪ M‬ו‪PQ -‬‬
‫‪M‬‬
‫‪O‬‬
‫הוכח ‪. PQ2  AQ  BQ :‬‬
‫‪. 74‬‬
‫‪P‬‬
‫שני מעגלים שמרכזיהם בנקודות ‪ O‬ו‪M -‬‬
‫נחתכים בנקודות ‪ A‬ו‪. B -‬‬
‫הרדיוס ‪ AO‬משיק למעגל ‪. M‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪. MO  AB :‬‬
‫ב ‪ .‬נתון ‪ 8 :‬ס " מ ‪ 5 , AB ‬ס " מ ‪. AO ‬‬
‫חשב את אורך הרדיוס ‪. AM‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫הוא מיתר משותף לשני המעגלים ‪.‬‬
‫‪. 73‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪ 6 2 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫הוכח ‪ :‬אם שני מעגלים אינם נחתכים ‪,‬‬
‫‪P‬‬
‫אז המשיק הפנימי המשותף לשניהם )‪, (PQ‬‬
‫מחלק את קטע המרכזים )‪ (MN‬ביחס‬
‫השווה ליחס בין רדיוסים של המעגלים ‪.‬‬
‫‪. 75‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪Q‬‬
‫מעגלים שמרכזיהם ‪ M‬ו‪ O -‬משיקים‬
‫‪A‬‬
‫זה לזה ‪ AB .‬משיק חיצוני המשותף‬
‫לשני המעגלים ‪.‬‬
‫נתון ‪ 15 :‬ס " מ ‪ 30 , MO ‬ס " מ ‪. MP ‬‬
‫‪P‬‬
‫חשב את הרדיוס של כל אחד מהמעגלים ‪.‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ 6‬ס"מ‪ 9 ,‬ס"מ‪.‬‬
‫‪117‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪. 76‬‬
‫בתוך זווית שקודקודה ‪ A‬חסומים שני מעגלים המשיקים זה לזה ‪.‬‬
‫המעגל הקטן משיק לאחת משוקי הזווית בנקודה ‪, B‬‬
‫והמעגל הגדול משיק לאותה שוק בנקודה ‪. C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫נתון ‪ 4 :‬ס " מ ‪ 12 , AB ‬ס " מ ‪. BC ‬‬
‫‪A‬‬
‫א ‪ .‬חשב את רדיוס המעגל הגדול ‪,‬‬
‫אם רדיוס המעגל הקטן הוא ‪ 3‬ס " מ ‪.‬‬
‫ב ‪ .‬חשב את המרחק מ‪ A -‬למרכז המעגל הגדול ‪.‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪. 77‬‬
‫א ‪ 12 .‬ס " מ ‪ .‬ב ‪ 20 .‬ס " מ ‪.‬‬
‫שני המעגלים שבציור משיקים זה לזה‬
‫‪D‬‬
‫בנקודה ‪ AB . E‬הוא מיתר במעגל השמאלי ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫המשכי הקטעים ‪ AE‬ו‪ BE -‬חותכים‬
‫את המעגל הימני בנקודות ‪ C‬ו‪. D -‬‬
‫הוכח ‪. ABE  CDE :‬‬
‫‪. 78‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫שני מעגלים משיקים מבפנים בנקודה ‪. A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ BC‬הוא מיתר במעגל הגדול המשיק‬
‫למעגל הקטן ‪ .‬המיתרים ‪ AB‬ו‪AC -‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫חותכים את המעגל הקטן בנקודות ‪ E‬ו‪. F -‬‬
‫א ‪ .‬הוכח ‪ AD :‬חוצה את הזווית ‪. BAC‬‬
‫ב ‪ .‬הוכח ‪. DF2  BE  AF :‬‬
‫‪. 79‬‬
‫‪A‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬הוא משולש שווה‪ -‬שוקיים‬
‫)‪ (AB  AC‬החסום במעגל ‪ AD .‬הוא גובה‬
‫לבסיס ‪ O . BC‬היא נקודה על הקטע ‪. AD‬‬
‫‪E‬‬
‫נתון ‪. OE  AC , AE  CE :‬‬
‫‪O‬‬
‫א ‪ .‬הוכח שנקודה ‪ O‬היא מרכז המעגל ‪.‬‬
‫ב ‪ .‬הוכח ‪. AE  BC  2  AD  OE :‬‬
‫‪. 80‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫בציור שלפניך הנקודה ‪ M‬היא מרכז‬
‫המעגל החוסם את המשולש ‪ADE‬‬
‫והנקודה ‪ N‬היא מרכז המעגל‬
‫החוסם את המשולש ‪. ABC‬‬
‫הוכח ‪. ADM  ABN :‬‬
‫‪118‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬