בעיות בהנדסת המישור - מתמטיקה-המדריך המלא לפתרון תרגילים

‫תרגילים‬
‫הנדסת המישור ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות‬
‫הנדסת המישור ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫מעגל העובר דרך הקודקודים ‪ C‬ו‪ D -‬של המקבילית‬
‫‪ ABCD‬חותך את האלכסונים שלה בנקודות ‪ E‬ו‪F -‬‬
‫)ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הנקודות ‪ E , F, B, A‬מונחות על‬
‫מעגל אחד‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. AMB ∼ FME :‬‬
‫‪C‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי יחס הדמיון הוא ‪ , 1 : 3‬שטח המקבילית‬
‫‪ ABCD‬שווה ל‪ .Q -‬הבע את שטח המשולש ‪ FME‬באמצעות ‪.Q‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫תשובה‪ :‬ג‪. Q .‬‬
‫‪36‬‬
‫‪A‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫הקטעים ‪ CD , BF , AE‬הם גבהים במשולש ‪.ABC‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ABC ∼ AFD :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. ABC ∼ EBD :‬‬
‫ג‪ .‬הוכח‪ CD :‬חוצה את הזווית ‪.FDE‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫תרגיל ‪3‬‬
‫משולש שווה‪-‬צלעות ‪ ABC‬חסום במעגל‪ .‬נקודה ‪D‬‬
‫נמצאת על המעגל בין ‪ A‬ל‪ C -‬כך ש‪. AD BF -‬‬
‫‪ E‬היא נקודת החיתוך של ‪ BF‬ו‪) .CD -‬ראה ציור‪(.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BED ∼ ABC :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. AD + BD = CD :‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים הנדסת המישור‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪1‬‬
‫הנדסת המישור ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות‬
‫תרגילים‬
‫תרגיל ‪4‬‬
‫במשולש ישר‪-‬זווית ‪ ( C = 90° ) ABC‬נתון‪, BD = DC :‬‬
‫‪) FN ⊥ BC , DE ⊥ AB , BN = b , BF = FE = a‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬הבע את ‪ BD‬באמצעות ‪ a‬ו‪. b -‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. AD EN :‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. 2a‬‬
‫‪b‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪a +b‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫תרגיל ‪5‬‬
‫במשולש ישר‪-‬זווית ‪ ( C = 90° ) ABC‬המשך הגובה‬
‫‪ CD‬ליתר ‪ AB‬פוגש את האנך האמצעי ‪ FM‬לניצב ‪BC‬‬
‫בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪ .‬נתון‪. AC = 2b , BC = 2a :‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ DF‬באמצעות ‪ a‬ו‪. b -‬‬
‫ב‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ EFD‬באמצעות ‪ a‬ו‪. b -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪. a 2− b 2 .‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫)‪( 2 2‬‬
‫ב‪. a a 2− b 2 .‬‬
‫) ‪2b ( a + b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫תרגיל ‪6‬‬
‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל‪ .‬מנקודה כלשהי ‪ P‬שעל המעגל‬
‫מורידים אנכים ‪ ,PN ,PL‬ו‪ PM -‬לצלעות ‪ ,AC ,BC‬ו‪AB -‬‬
‫בהתאמה‪ .‬נתון‪, CPL = θ , ANM = β , APM = α :‬‬
‫‪) LNC = ϕ‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. α = β‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ PCLN‬הוא בר‪-‬חסימה במעגל‪.‬‬
‫הוכח כי ‪. β = ϕ‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪N‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪M‬‬
‫‪P‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪q‬‬
‫‪j‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪L‬‬
‫‪N‬‬
‫‪B‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים הנדסת המישור‬
‫תרגילים‬
‫הנדסת המישור ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות‬
‫‪K‬‬
‫תרגיל ‪7‬‬
‫נתון משולש ישר‪-‬זווית ‪ . ( C = 90° ) ABC‬מנקודה ‪ L‬שעל‬
‫הצלע ‪ AB‬העלו אנך החותך את ‪ BC‬בנקודה ‪ F‬וחותך את‬
‫המשכה של ‪ AC‬בנקודה ‪ .K‬מעגל החוסם את ‪KAB‬‬
‫חותך את הישר ‪ BC‬בנקודה ‪ .D‬המעגל החוסם את ‪FAB‬‬
‫חותך את הישר ‪ AK‬בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. KDC = BFL :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. BAE = EFC :‬‬
‫ג‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ KDEF‬הוא מעוין‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪.‬‬
‫נתון‪. BK = 2 :‬‬
‫‪AK 5‬‬
‫תשובה‪ :‬ב‪. 16 .‬‬
‫‪33‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪L‬‬
‫‪E‬‬
‫תרגיל ‪8‬‬
‫במשולש ‪ AED‬נתון‪ O . BC AD :‬היא נקודת החיתוך של‬
‫‪ AC‬ו‪ .BD -‬דרך ‪ O‬העבירו ‪ KL‬המקביל ל‪.AD -‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪) EF‬העובר דרך ‪ (O‬הוא תיכון לצלע ‪.AD‬‬
‫‪S KEL‬‬
‫חשב את היחס‬
‫‪SAKLD‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪L‬‬
‫‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫תרגיל ‪9‬‬
‫במשולש ישר‪-‬זווית ‪ ( C = 90° ) ABC‬נתון‪CE :‬‬
‫תיכון ליתר ‪ CF , AB‬גובה ליתר ‪. FD BC ,AB‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. CD = BF :‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי ‪ M‬היא אמצע של ‪.BC‬‬
‫הוכח כי ‪ CDM‬הוא משולש שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫ג‪ .‬הוכח כי אם ‪ ECF = 30°‬אז ‪. MD AB‬‬
‫‪K‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים הנדסת המישור‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪3‬‬
‫הנדסת המישור ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות‬
‫תרגילים‬
‫‪B‬‬
‫תרגיל ‪10‬‬
‫אלכסוני המקבילית ‪ ABCD‬נפגשים בנקודה ‪.M‬‬
‫‪ N‬היא נקודה על האלכסון ‪ AC‬כך ש‪. CN = 1 AN -‬‬
‫‪2‬‬
‫המשך של ‪ DN‬חותך את ‪ BC‬בנקודה ‪ .F‬המשכי‬
‫הקטעים ‪ BN‬ו‪ AD -‬נחתכים בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את היחס ‪. MN‬‬
‫‪CN‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. BF = FC :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪L‬‬
‫‪E‬‬
‫נתון‪ . ADB = 90° :‬הוכח‪ AB = BE :‬ו‪. AD = DE -‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪. 1 .‬‬
‫‪2‬‬
‫תרגיל ‪11‬‬
‫בטרפז ‪ ABCD‬החסום במעגל‪ ,‬נתון‪, AB CD :‬‬
‫‪ AE . AB = BC = AD‬הוא קוטר במעגל החותך‬
‫את ‪ CD‬בנקודה ‪.K‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ ADK :‬הוא משולש שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬המשיכו את הבסיס ‪ CD‬כך ש‪. DK = KL -‬‬
‫‪ BL‬חותך את המעגל בנקודה ‪.M‬‬
‫הראה כי ‪. DM = AE‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪K‬‬
‫‪L‬‬
‫תרגיל ‪12‬‬
‫בריבוע ‪ ABCD‬נתון‪. BN ⊥ AM , DM = MC :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ BCN :‬הוא משולש שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון ‪ . AN = a‬הבע את היקף המשולש ‪ BCN‬באמצעות ‪. a‬‬
‫תשובה‪ :‬ב‪. 2a( 5 + 1) .‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪N‬‬
‫‪C‬‬
‫‪4‬‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים הנדסת המישור‬
‫תרגילים‬
‫הנדסת המישור ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות‬
‫תרגיל ‪13‬‬
‫נתון מעגל שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪ AD .R‬הוא קוטר במעגל‪.‬‬
‫נקודה ‪ E‬שעל מעגל זה היא מרכז של מעגל שני המשיק‬
‫לקוטר ‪ AD‬בנקודה ‪ .F‬העבירו שני משיקים ‪ AB‬ו‪DC -‬‬
‫למעגל השני‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הנקודות ‪ C , E , B‬נמצאות על ישר אחד‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪O‬‬
‫נתון‪ . AF = 1 DF :‬הבע את שטח המרובע ‪ABCD‬‬
‫‪A‬‬
‫‪3‬‬
‫באמצעות ‪.R‬‬
‫תשובה‪ :‬ב‪. R ⋅ 3 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪N‬‬
‫תרגיל ‪14‬‬
‫על צלעות ‪ AB‬ו‪ BC -‬של משולש ‪ ABC‬בנו‬
‫ריבועים ‪ ABKL‬ו‪ .BCMN -‬העבירו ישרים ‪,AN‬‬
‫‪ ,KC‬ו‪ .LM -‬נקודה ‪ E‬היא נקודת החיתוך של ‪AN‬‬
‫ו‪ O1 .KC -‬ו‪ O 2 -‬הם מרכזי המעגלים שחוסמים‬
‫‪M‬‬
‫את הריבועים ‪ ABKL‬ו‪.BCMN -‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. AN = KC :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי נקודה ‪ E‬היא נקודת חיתוך )נוספת‬
‫ל‪ (B -‬של שני המעגלים‪.‬‬
‫ג‪ .‬הוכח‪. AN ⊥ KC :‬‬
‫ד‪ .‬הוכח כי הנקודות ‪ M , E , L‬נמצאות על ישר אחד‪.‬‬
‫תרגיל ‪15‬‬
‫‪ CD‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪ AB . O1‬הוא קוטר במעגל‬
‫קטן שמרכזו ‪ . O 2‬המעגל הקטן משיק ל‪ CD -‬וגם משיק‬
‫למעגל הגדול בנקודה ‪ .E‬נתון‪) AB CD :‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המשכי הקטעים ‪ AD‬ו‪ BC -‬נפגשים‬
‫בנקודה ‪.E‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי רדיוס המעגל הקטן הוא ‪. ADC = 60° , r‬‬
‫הבע את שטח המרובע ‪ ABCD‬באמצעות ‪. r‬‬
‫תשובה‪ :‬ב‪⋅ r 2 .‬‬
‫) ‪(6 + 2 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪K‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O2‬‬
‫‪O1‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪L‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪O2‬‬
‫‪O1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים הנדסת המישור‬
‫‪5‬‬
‫הנדסת המישור ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות‬
‫תרגילים‬
‫תרגיל ‪16‬‬
‫במשולש ישר‪-‬זווית ‪ ( C = 90° ) ABC‬נתון‪, AD = DC :‬‬
‫‪) GF ⊥ AD , DE ⊥ AB , AG = GE‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BD EF :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪p‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫= ‪ . AC‬הבע את היחס‬
‫‪AB‬‬
‫באמצעות ‪ p‬ו‪. q -‬‬
‫‪AFG‬‬
‫‪ACB‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫תרגיל ‪17‬‬
‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל‪ CF , BE , AD .‬הם חוצי‬
‫הזוויות הפנימיות של המשולש‪ ,‬הנפגשים בנקודה ‪.K‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. CF ⊥ ED , BE ⊥ FD , AD ⊥ EF :‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ . ACB = 44° :‬חשב את זוויות המשולש ‪. BDK‬‬
‫תשובה‪ :‬ב‪. 68° , 68° , 44° .‬‬
‫‪A‬‬
‫‪p4‬‬
‫‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬ב‪.‬‬
‫‪16q 4‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪G‬‬
‫‪F‬‬
‫‪K‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫תרגיל ‪18‬‬
‫במשולש שווה‪-‬שוקיים ‪ ( AB = AC ) ABC‬נתון‪, BE ⊥ AC :‬‬
‫‪AF = FB , BD = DC‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. CDE ∼ DFE :‬‬
‫ב‪ .‬נסמן ב‪ K -‬את נקודת החיתוך של הישר ‪ EF‬עם הישר ‪, BC‬‬
‫נסמן ב‪ L -‬את נקודת החיתוך של הישר ‪ ED‬עם הישר ‪. AB‬‬
‫הוכח‪ BEKL :‬הוא טרפז שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪K‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪L‬‬
‫‪6‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים הנדסת המישור‬
‫תרגילים‬
‫הנדסת המישור ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות‬
‫‪A‬‬
‫תרגיל ‪19‬‬
‫‪ BD , AG‬ו‪ CN -‬הם גבהים במשולש ‪ ABC‬הנפגשים‬
‫בנקודה ‪ L , K . E‬ו‪ M -‬הם אמצעי הצלעות ‪AC , AB‬‬
‫ו‪ BC -‬בהתאמה‪ .‬נתון‪) AF = FE :‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי נקודה ‪ F‬נמצאת על המעגל החוסם‬
‫את ‪. KLM‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. GFM = GLM :‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪L‬‬
‫‪C‬‬
‫תרגיל ‪20‬‬
‫במעגל שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪ R‬המיתר ‪ CD‬מאונך‬
‫לקוטר ‪ .AB‬הקוטר והמיתר נחתכים בנקודה ‪.F‬‬
‫המשיקים למעגל בנקודות ‪ C‬ו‪ D -‬נחתכים בנקודה ‪E‬‬
‫)ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הוכח‪. OF ⋅ OE = R 2 :‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫‪K‬‬
‫‪G M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪O‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. AE = AF‬‬
‫‪BF‬‬
‫‪BE‬‬
‫‪D‬‬
‫תרגיל ‪21‬‬
‫משולש שווה‪-‬צלעות ‪ ABC‬חסום במעגל‪ D .‬היא נקודה‬
‫כלשהי על קשת ‪) BC‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BD + CD = AD :‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ , BD = CD :‬רדיוס המעגל שווה ל‪. R -‬‬
‫הבע באמצעות ‪ R‬את שטח המרובע ‪. ABDC‬‬
‫תשובה‪ :‬ב‪. R 2 3 .‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים הנדסת המישור‬
‫‪B‬‬
‫‪7‬‬
‫הנדסת המישור ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות‬
‫תרגילים‬
‫תרגיל ‪22‬‬
‫נתון מעגל שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪ .R‬מנקודה ‪E‬‬
‫הנמצאת מחוץ למעגל העבירו משיקים ‪ EA‬ו‪. EB -‬‬
‫המשך הקוטר ‪ AC‬פוגש את המשך המשיק ‪EB‬‬
‫בנקודה ‪) F‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. AEO = CBF :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪S FBC‬‬
‫נתון‪ . OK = KE :‬מצא את היחס‬
‫‪SBEOC‬‬
‫תשובה‪ :‬ב‪. 1 .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪O‬‬
‫‪K‬‬
‫‪A‬‬
‫תרגיל ‪23‬‬
‫מעגל שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪ R‬ומעגל שמרכזו ‪ E‬ורדיוסו ‪r‬‬
‫משיקים מבפנים בנקודה ‪ .D‬רדיוסים ‪ OA‬ו‪ OB -‬משיקים‬
‫למעגל שמרכזו ‪) E‬ראה ציור(‪ .‬נתון‪. R = 3r :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪ AOB‬הוא משולש שווה‪-‬צלעות‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C E‬‬
‫‪O‬‬
‫מצא את היחס ‪. EC‬‬
‫‪OE‬‬
‫תשובה‪ :‬ב‪. 3 3 − 4 .‬‬
‫‪4‬‬
‫תרגיל ‪24‬‬
‫‪ K‬היא נקודה כלשהי על היתר ‪ AB‬במשולש ישר‪-‬זווית ‪.ABC‬‬
‫מ‪ K -‬הורידו אנך ל‪ AB -‬החותך את המשכו של ‪ AC‬בנקודה ‪,D‬‬
‫וחותך את ‪ BC‬בנקודה ‪ .N‬הישר ‪ AN‬חותך את ‪ BD‬בנקודה ‪.L‬‬
‫נתון‪. DF = FN , AE = EB :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BAL = BCL :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי ‪ EF‬אנך אמצעי ל‪.CL -‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪K‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪N‬‬
‫‪L‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫‪8‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים הנדסת המישור‬
‫תרגילים‬
‫הנדסת המישור ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות‬
‫תרגיל ‪25‬‬
‫שני מעגלים שמרכזיהם ‪ O1‬ו‪ O 2 -‬ורדיוסיהם ‪ R‬ו‪( R > r ) r -‬‬
‫בהתאמה‪ ,‬משיקים חיצונית בנקודה ‪ AB . E‬ו‪ EF -‬הם‬
‫משיקים לשני המעגלים הנ"ל‪ .‬הישר ‪ AE‬חותך את המעגל‬
‫הקטן בנקודה ‪ . C‬הישר ‪ BE‬חותך את המעגל הגדול‬
‫בנקודה ‪) D‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ AD :‬עובר דרך ‪ O1‬ו‪ BC -‬עובר דרך ‪. O 2‬‬
‫ב‪ .‬הבע את אורכו של ‪ AB‬באמצעות ‪ R‬ו‪. r -‬‬
‫ג‪ .‬הבע את שטח המרובע ‪ ABCD‬באמצעות ‪ R‬ו‪. r -‬‬
‫תשובה‪ :‬ב‪ . 2 R ⋅ r .‬ג‪. 2 Rr ⋅ ( R + r ) .‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O2‬‬
‫‪E‬‬
‫‪O1‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫תרגיל ‪26‬‬
‫נקודה ‪ K‬היא נקודת מפגש גבהים ‪ BN ,AM‬ו‪ CL -‬במשולש‬
‫חד זווית ‪ KE .ABC‬הוא רדיוס במעגל החוסם את ‪. AKC‬‬
‫‪ KF‬הוא רדיוס במעגל החוסם את ‪. AKB‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. KE = KF :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. ABC ∼ MNC :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪K‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪L‬‬
‫‪F‬‬
‫תרגיל ‪27‬‬
‫חצי מעגל שמרכזו ‪ O‬חסום במשולש שווה‪-‬שוקיים ‪ABC‬‬
‫)‪ . (AB = AC‬קוטר המעגל מונח על בסיס ‪.BC‬‬
‫השוקיים ‪ AB‬ו‪ AC -‬משיקים לחצי המעגל בנקודות‬
‫‪ E‬ו‪ F -‬בהתאמה‪ .‬העבירו משיק נוסף החותך את ‪AB‬‬
‫ו‪ AC -‬בנקודות ‪ L‬ו‪ K -‬בהתאמה )ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. B = LOK :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. BC2 = 4BL ⋅ CK :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪L‬‬
‫‪K‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים הנדסת המישור‬
‫‪O‬‬
‫‪B‬‬
‫‪9‬‬
‫הנדסת המישור ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות‬
‫תרגילים‬
‫‪A‬‬
‫תרגיל ‪28‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬העבירו קטע ‪ ,EF‬כך ש‪. B = AFE -‬‬
‫נתון‪ , GF ⊥ AC , GE ⊥ AB :‬המשך הקטע ‪ AG‬חותך‬
‫את ‪ BC‬בנקודה ‪) K‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. AK ⊥ BC :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. AE ⋅ AB = AF ⋅ AC = AG ⋅ AK :‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪G‬‬
‫‪C‬‬
‫תרגיל ‪29‬‬
‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל שמרכזו ‪ AL .O‬קוטר במעגל‪.‬‬
‫המשך הגובה ‪ AF‬חותך את המעגל בנקודה ‪ E .K‬היא נקודת‬
‫מפגש של גבהים ב‪ N . ABC -‬היא אמצע הצלע ‪BC‬‬
‫)ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. EF = FK :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. BE CL , BE = CL :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪K‬‬
‫‪B‬‬
‫‪L‬‬
‫‪O‬‬
‫‪N‬‬
‫‪K‬‬
‫‪F‬‬
‫‪. ON = 1 AE‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫תרגיל ‪30‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬נתון‪ :‬נקודה ‪ E‬היא נקודת מפגש גבהים‬
‫במשולש‪ ,‬נקודה ‪ G‬היא מרכז המעגל החוסם את ‪, ABC‬‬
‫‪) GL ⊥ AC , GK ⊥ AB‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BEC ∼ LGK :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ :‬נקודת מפגש תיכונים ב‪ ABC -‬מונחת על קטע ‪EG‬‬
‫‪L‬‬
‫‪K‬‬
‫‪G‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪10‬‬
‫‪B‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים הנדסת המישור‬