יחידות) 5 גיאומטריה ( – עבודת קיץ

‫עבודת קיץ – גיאומטריה )‪ 5‬יחידות(‬
‫בעיות עם משולשים ומרובעים )כולל פרופורציה ודמיון(‬
‫‪.1‬‬
‫‪D‬‬
‫המשולשים ‪ ABC‬ו‪ ADE -‬הם משולשים‬
‫שווי‪ -‬צלעות‪ .‬הקטעים ‪ BE‬ו‪CD -‬‬
‫נחתכים ב נקודה ‪. F‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BE  CD :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. ACD  ABE :‬‬
‫ג‪ .‬חשב את הזווית ‪. BFC‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪B‬‬
‫ג‪. 60 .‬‬
‫‪A‬‬
‫הנקודה ‪ D‬נמצאת על הצלע ‪ BC‬של משולש‬
‫שווה‪ -‬שוקיים ‪. (AB  AC) ABC‬‬
‫‪ G‬היא נקודה על המשך הצלע ‪. AB‬‬
‫הקטע ‪ FE‬מקביל ל‪. BC -‬‬
‫נתון‪GF  AG :‬‬
‫‪BF AC‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ .‬הוכח‪. AE  BC :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪G‬‬
‫‪.3‬‬
‫במשולש שווה‪ -‬שוקיים ‪(AC  AB) ABC‬‬
‫חסום מלבן ‪) GFED‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נקודה ‪ , L‬הנמצאת על צלע המלבן ‪, GF‬‬
‫היא מפגש התיכונים במשולש ‪. ABC‬‬
‫דרך הנקודה ‪ L‬העבירו אנך לצלע ‪, BC‬‬
‫החותך את ‪ BC‬בנקודה ‪. K‬‬
‫א‪ .‬הוכ ח‪. KAB  KLF  EFB :‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ 18 :‬ס"מ ‪ 15 , BC ‬ס"מ ‪. AB ‬‬
‫חשב את אורכי הקטעים ‪ KF‬ו‪. EF -‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪G‬‬
‫‪E‬‬
‫‪L‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪K‬‬
‫ב ‪ 3 .‬ס"מ‪ 4.8 ,‬ס"מ‪.‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית )ראה ציור( ‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪BF  AD :‬‬
‫‪FA AE‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬הוכח‪ AD :‬‬
‫‪AE‬‬
‫‪E‬‬
‫‪.‬‬
‫‪SADF‬‬
‫‪SAEF‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫) ‪ ( 2‬היעזר בסעיף א' ובתת סעיף ב' ) ‪,( 1‬‬
‫והוכח‪. SADF  SBEF :‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪C‬‬
‫במשולש ישר‪ -‬זווית ‪(ACB  90 ) ACB‬‬
‫‪ CD‬חוצה‪ -‬זווית ‪) ACB‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬הוכ ח‪. DB  AC  BC  AB  BC  DB :‬‬
‫) ‪ ( 2‬נתון‪ 21 :‬מ"מ ‪ 28 , BC ‬מ"מ ‪. AC ‬‬
‫חשב את האורך של הקטע ‪. DB‬‬
‫ב‪ .‬מקדקוד ‪ C‬מורידים אנך לי תר ‪. AB‬‬
‫האנך חותך את היתר‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫בנקודה ‪ . N‬הוכח כי ‪CN  BC‬‬
‫‪.‬‬
‫‪AC AB‬‬
‫ג‪ .‬חשב את האורך של הקטע ‪. DN‬‬
‫‪1‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.6‬‬
‫א‪ 15 ( 2 ) .‬מ"מ‪ .‬ג‪ 2.4 .‬מ"מ‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫נתון ריבוע ‪. ABCD‬‬
‫‪D‬‬
‫דרך הקדקוד ‪ B‬העבירו ישר ‪. TR‬‬
‫‪ AR‬ו‪ CT -‬מאונכים לישר זה )ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. AR  CT  TR‬‬
‫‪T‬‬
‫ב‪ .‬הבע את שטח המרובע ‪ ACTR‬באמצעות ‪. TR‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪A‬‬
‫‪R‬‬
‫ב‪. 1 (TR) 2 .‬‬
‫‪2‬‬
‫הוכח‪ :‬אורך התיכון במשולש קטן מהממוצע של אורכי שתי הצלעות‬
‫שלידו‪ .‬הדרכה‪:‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪B‬‬
‫הארך את התיכון כ אורכו‪.‬‬
‫בטר פז ‪ (AB  DC) ABCD‬מתקיים ‪. DC  2AB‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על השוק ‪ BC‬כך ש‪. BC  3BE -‬‬
‫הנקודה ‪ F‬נמצאת על הא לכסון ‪AC‬‬
‫כך ש‪ . FE  DC -‬האלכסון ‪ AC‬והקטע ‪DE‬‬
‫נחתכים בנקודה ‪. M‬‬
‫א‪ .‬חשב את היחסים‪FE ( 2 ) . FE ( 1 ) :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪DC‬‬
‫‪AB‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. MC  3FM :‬‬
‫ג‪ .‬חשב את היחס ‪AM‬‬
‫‪.‬‬
‫‪MC‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ . 1 ( 2 ) . 2 ( 1 ) .‬ג‪AM  1 .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪MC‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.‬‬
‫‪G‬‬
‫המרובעים ‪ ABCD‬ו‪ BFGD -‬הם מקביליות‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫נתון‪ C ) CG  CF :‬על הקטע ‪.( GF‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ ECGD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ :‬אם המקבילית ‪ ABCD‬הי א מעוין‪,‬‬
‫אז המ רובע ‪ ECGD‬ה ו א מלבן‪.‬‬
‫‪. 10‬‬
‫‪. 11‬‬
‫‪B‬‬
‫בטרפז ‪ (BC  AD) ABCD‬הנקודות ‪ M‬ו‪N -‬‬
‫הם אמצעי הבסיסים‪ ,‬הקטעים ‪ CN‬ו‪DM -‬‬
‫נחתכים בנקודה ‪ , Q‬הקטעים ‪ AM‬ו‪BN -‬‬
‫נחתכים בנקודה ‪) P‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. PQ  AD :‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם‪. AD  2a , BC  a :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ a‬את אורך הקטע ‪. PQ‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪N‬‬
‫ב‪. 2 a .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪B‬‬
‫התיכונים ‪ AE‬ו‪ CD -‬במשולש ‪ ABC‬נפגשים‬
‫בנקודה ‪ . M‬נקודה ‪ K‬היא אמצע הקטע ‪. AM‬‬
‫‪ F‬היא נקודה על הצלע ‪AC‬‬
‫כך ש‪) KF  DC -‬ראה ציור(‪.‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪KDMF‬‬
‫‪E‬‬
‫‪K‬‬
‫‪C‬‬
‫הוא מקבילית‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫‪2‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 12‬‬
‫‪E‬‬
‫במשולש ‪ , ABC‬הגובה לצלע ‪ AC‬הוא ‪. BD‬‬
‫נקודה ‪ E‬נמצאת על המשך הגובה ‪, BD‬‬
‫כך ש‪ AB -‬חוצה את הזווית ‪) EAC‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. BCA  2  BAC :‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BC  ED  BD  EA :‬‬
‫ב‪ .‬היעזר בנתונים ובסעיף א'‪,‬‬
‫‪C‬‬
‫והוכח‪. BC  ED  AD  BE :‬‬
‫‪. 13‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫בטרפז ‪ (AB  DC) ABCD‬הנקודות ‪ E‬ו‪F -‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫הן אמצעי האלכסונים ‪ AC‬ו‪ , BD -‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫המשך הקטע ‪ AF‬חו תך את ‪ DC‬בנקודה ‪. G‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. FE  DC :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. SADG  SABD :‬‬
‫‪. 14‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫הנקודה ‪ O‬היא אמצע הצלע ‪ DC‬של מלבן ‪. ABCD‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪D‬‬
‫‪G‬‬
‫‪ EF‬מקביל ל‪ DC -‬וחותך את ‪ BD‬ואת ‪BO‬‬
‫בנקודות ‪ G‬ו‪) H -‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. GH  HF :‬‬
‫‪FC‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם‪ . EG  GH :‬מצא את היחס‬
‫‪BF‬‬
‫‪. 15‬‬
‫‪F‬‬
‫‪H‬‬
‫‪F‬‬
‫ב‪. 1 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫במשולש ‪ CD , ABC‬הוא הגובה לצלע ‪. AB‬‬
‫‪G‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫מנקודה ‪ E‬שעל הצלע ‪ BC‬העבירו אנכים‬
‫‪ EF‬ו‪ EG -‬לצלעות ‪ AB‬ו‪ . AC -‬הנקודה ‪H‬‬
‫נמצאת על הקטע ‪ , DC‬כך שהמרובע ‪CEHG‬‬
‫הוא טרפז שווה‪ -‬שוקיים )‪. (GH  CE‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. CG  DF :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. AB  AC :‬‬
‫‪. 16‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז ישר‪ -‬זווית‬
‫‪‬‬
‫)‪ (BCD  90 , AB  CD‬שאלכסוניו‬
‫נחתכים בנקודה ‪. M‬‬
‫‪G‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪AB  BP :‬‬
‫‪DC PC‬‬
‫ב ‪ .‬הוכח‪. ABP  DCP :‬‬
‫‪H‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ MP‬מקביל לבסיסים ‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. 17‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫משולש ‪ ABC‬הוא משולש ישר‪ -‬זווית‬
‫‪‬‬
‫) ‪ BE .( ABC  90‬הוא תיכון לצלע ‪, AC‬‬
‫‪A‬‬
‫ו‪ CD -‬הוא תיכון לצלע ‪. AB‬‬
‫התיכונים ‪ BE‬ו‪ CD -‬נחתכים בנקודה ‪. F‬‬
‫א‪ .‬חשב את היחס בין היקף המשולש ‪BFC‬‬
‫להיקף המשולש ‪. EFD‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי הנקודה ‪ M‬היא אמצע הקטע ‪, FC‬‬
‫והנקודה ‪ N‬היא אמצע הקטע ‪. FB‬‬
‫הוכח כי המרובע ‪ DEMN‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪3‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 18‬‬
‫במשולש שווה‪ -‬שוקיים ‪(AB  AC) ABC‬‬
‫חסום מלבן ‪ , EFGH‬כך שהאלכסון ‪HF‬‬
‫מאונך לשוק ‪ AD . AC‬הוא תיכון‬
‫לבסיס ‪ . BC‬נתון‪. AD  BC :‬‬
‫א‪ .‬הו כח‪GC  1 :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪FG 2‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. HGF  FGC :‬‬
‫ג‪ .‬נתון‪ 10 :‬ס"מ ‪ . HG ‬מצא את ‪. GC‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 19‬‬
‫א‪. 2 .‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪G C‬‬
‫‪B H‬‬
‫ג‪ 2.5 .‬ס"מ‪.‬‬
‫במקבילית ‪ ABCD‬נקודה ‪ E‬נמצאת על הצלע ‪ , BC‬כך ש‪BE  a -‬‬
‫‪CE b‬‬
‫המשך הקטע ‪ AE‬חותך את המשך הצלע ‪DC‬‬
‫‪G‬‬
‫בנקודה ‪ . G‬נתון כי שטח המשולש ‪CEG‬‬
‫הוא ‪ . S‬הבע באמצעות ‪ b , a‬ו‪: S -‬‬
‫א‪ .‬את שטח המשולש ‪. ABE‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪. ADG‬‬
‫ג‪ .‬את שטח המקבילית ‪. ABCD‬‬
‫‪(a  b) 2 S‬‬
‫‪a 2S‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ . 2 .‬ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪. 20‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2a(a  b)S‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪b2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪.‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬חסום מלבן ‪. KLMN‬‬
‫‪A‬‬
‫הגובה ‪ AE‬לצלע ‪ BC‬חותך את צלע‬
‫המלבן ‪ KL‬בנקודה ‪. D‬‬
‫נתון‪ 6 :‬ס"מ ‪. AE  h , KL  2KN , BC ‬‬
‫‪D‬‬
‫‪L‬‬
‫‪K‬‬
‫הבע באמצעות ‪: h‬‬
‫א‪ .‬את אורך הקטע ‪. AD‬‬
‫‪SAKD‬‬
‫ב‪ .‬את יחס השטחים‪:‬‬
‫‪SKBN‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪h 2 .‬‬
‫‪h 3‬‬
‫‪. 21‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪h 2 .‬‬
‫‪9‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪N‬‬
‫‪E‬‬
‫‪.‬‬
‫מנקודה ‪ K‬שעל הצלע ‪ BC‬במשולש ‪, ABC‬‬
‫העלו אנך ‪ AD . KE‬הוא הגובה לצלע ‪. BC‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫נתון‪ 14 :‬ס"מ ‪ 36 , BD ‬ס"מ ‪, DC ‬‬
‫ושטח המשולש ‪ EKC‬הוא חצי משטח‬
‫המשולש ‪ . ABC‬מצא את אורך הקטע ‪. CK‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 22‬‬
‫‪C‬‬
‫‪K‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ 30‬ס"מ‪.‬‬
‫במשולש שווה‪ -‬שוקיים ‪, (AB  AC) ABC‬‬
‫‪A‬‬
‫חסום מלבן ‪ BD . DEFG‬חוצה את‬
‫הזווית ‪ ABC‬ומחלק את השוק ‪AC‬‬
‫כך ש‪ . AD : DC  2 :1 -‬נתון‪. BC  2a :‬‬
‫בטא באמצעות ‪: a‬‬
‫) ‪ ( 1‬את אורכי הקטעים ‪ AD‬ו‪. DC -‬‬
‫) ‪ ( 2‬את שטח המלבן ‪. DEFG‬‬
‫תשובה‪4 15 a 2 ( 2 ) . 1 1 a , 2 2 a ( 1 ) :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪4‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪G‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫בעיות עם מעגל )כולל פרופורציה ודמיון(‬
‫‪.1‬‬
‫‪ C , B , A‬ו‪ D -‬הן נקודות על מעגל‪,‬‬
‫‪A‬‬
‫כמתואר בציור‪ E .‬היא נקודה על ‪, AD‬‬
‫כך ש‪ . AE  DC -‬נתון‪. AB  BC :‬‬
‫‪E‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ABE  CBD :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬המשך הקטע ‪ BE‬חותך את המעגל‬
‫בנקודה ‪ . M‬הוכח‪. AM  DC :‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. M‬‬
‫הישר ‪ CD‬משיק למעגל בנקודה ‪. T‬‬
‫נתון‪. AC  CD , BD  CD :‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪AC  BD :‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. MC  MD :‬‬
‫‪. TM ‬‬
‫‪T‬‬
‫‪D‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪ C , B , A‬ו‪ D -‬ה ן נקודות על מעגל ‪.‬‬
‫המיתרים ‪ AB‬ו‪ CD -‬נחתכים בנקודה ‪F‬‬
‫)ראה ציור(‪ .‬נתון‪. DAC  DBC :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪ DC‬הוא קוטר‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם ‪. ACD  BCD :‬‬
‫הוכח‪. AB  CD :‬‬
‫ג‪ .‬נקודה ‪ G‬נמצאת על ‪ AC‬כך ש‪. GF  AG -‬‬
‫הוכח ‪. GF  GC :‬‬
‫‪.4‬‬
‫שני מעגלים‪ ,‬שיש להם אותו רדיוס ‪, R‬‬
‫‪A‬‬
‫‪G‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫משיקים זה לזה בנקודה ‪. M‬‬
‫מעבירים מיתר ‪ MB‬במעגל שמרכזו ‪, O 2‬‬
‫ומיתר ‪ MA‬במעגל שמרכזו ‪O1‬‬
‫‪M‬‬
‫‪O2‬‬
‫כך ש‪) AMB  90 -‬ראה ציור(‪.‬‬
‫‪O1‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬נמק מדוע ‪. O1MO 2  180‬‬
‫) ‪ ( 2‬הוכח כי ‪. AO1  BO 2‬‬
‫ב‪ .‬במשולש ‪ AMB‬העבירו תיכון לצלע ‪. AB‬‬
‫הבע באמצעות ‪ R‬את אורך התיכון‪ .‬נמק‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.5‬‬
‫ב‪. R .‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫הזוויות ‪ A‬ו‪ B -‬הן חדות‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ CD‬הוא קוטר במעגל‪.‬‬
‫נתון‪. CE  AB :‬‬
‫הוכח‪. ACE  BCD :‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪B‬‬
‫‪5‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.6‬‬
‫ה משולש ‪ ABC‬חסום במעגל‪ .‬מקדקוד ‪A‬‬
‫חגו מעגל נוסף‪ ,‬שבו ‪ A‬הוא מרכז המעגל‪,‬‬
‫‪A‬‬
‫והנקודות ‪ B‬ו‪ C -‬נמצאות על ה מעגל‪.‬‬
‫‪K‬‬
‫ישר העובר דרך ‪ B‬חותך את המעגל החוסם‬
‫‪T‬‬
‫בנקודה ‪ , T‬ואת המעגל האחר בנקודה ‪. K‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BTC  2BKC :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. TC  TK :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪B‬‬
‫בתוך מרובע ‪ ABCD‬חסום מעגל‬
‫שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬
‫‪O‬‬
‫הוכח‪. SAOB  SDOC  SAOD  SBOC :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.8‬‬
‫במעגל שמרכזו ‪ , O‬המשכי הקוטר ‪AB‬‬
‫והמיתר ‪ DC‬נפגשים בנקודה ‪. E‬‬
‫הוכח‪. DE  AE :‬‬
‫‪.9‬‬
‫מלבן ‪ ABCD‬חסום במעגל‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪O‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על הקשת ‪AB‬‬
‫כך ש‪) DE  DC -‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. EB  BC :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. EDB  DBA :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪. 10‬‬
‫‪ CD‬הוא קוטר המעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫‪ CB‬משיק למעגל בנקודה ‪C‬‬
‫ו‪ AD -‬משיק למעגל בנקודה ‪. D‬‬
‫המעגל משיק לקטע ‪ AB‬בנקודה ‪. E‬‬
‫א‪ .‬הוכח ‪. AD  BC‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. AOB  90 :‬‬
‫ג‪ .‬הוכח‪. AB  AD  BC :‬‬
‫‪. 11‬‬
‫‪D‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫שני מ עגלים לא שווים חותכים את זה בנקודות ‪ A‬ו‪. B -‬‬
‫המשיק לאחד המעגלים בנקודה ‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫חותך את המעגל האחר בנקודה ‪. C‬‬
‫‪G‬‬
‫המשיק למעגל האחר בנקודה ‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫חותך את המעגל האחר בנקודה ‪. D‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ABC  ABD :‬‬
‫‪D‬‬
‫ב‪ .‬ישר העובר דרך הנקודה ‪ A‬חותך את אחד‬
‫המעגלים בנקודה ‪ F‬ואת המעגל האחר – בנקודה ‪. E‬‬
‫הישרים ‪ EC‬ו‪ FD -‬נפגשים בנקודה ‪. G‬‬
‫הוכח‪ :‬המשולש ‪ EFG‬הוא שווה‪ -‬שוקיים‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪6‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 12‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬חוסם מעגל שמרכזו ‪. M‬‬
‫המעגל העובר דרך הנקודות ‪ B , C‬ו‪, M -‬‬
‫חותך את הצלע ‪ AB‬בנקודה ‪. D‬‬
‫נתון‪. A   :‬‬
‫א‪ .‬הו כח‪. BMC  90   :‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. AD  AC :‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪‬‬
‫‪. 13‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪K‬‬
‫המעגלים ‪ D‬ו‪ E -‬משיקים זה לזה בנקודה ‪. A‬‬
‫הקטע ‪ BK‬משיק למעגל ‪. D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫הקטע ‪ CK‬משיק למעגל ‪. E‬‬
‫הקטע ‪ AK‬משיק לשני המעגלים‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BK  CK :‬‬
‫‪A‬‬
‫ב‪ .‬הוכ ח‪ :‬הנקודה ‪ A‬נמצאת על הקטע ‪. DE‬‬
‫‪. 14‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫‪E‬‬
‫המשיק למעגל בנקודה ‪ C‬חותך‬
‫את המשך הקוטר ‪ AB‬בנקודה ‪. D‬‬
‫‪ E‬נ קודה על המיתר ‪ AC‬כך ש‪DE -‬‬
‫חוצה את הזווית ‪. ADC‬‬
‫הוכח‪. DEC  45 :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 15‬‬
‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל ‪. O‬‬
‫‪ AC‬ו‪ CD -‬הם מיתרים שווים במעגל‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫נתון‪ P :‬אמצע המיתר ‪, AC‬‬
‫‪O‬‬
‫‪ Q‬אמצע המיתר ‪. CD‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪D‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. APO  DQB :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. OQ  BQ :‬‬
‫‪. 16‬‬
‫שני מעגלים שווים שמרכזיהם ‪ M‬ו‪N -‬‬
‫ו רדיוסם ‪ 8‬ס"מ‪ ,‬משיקים זה לזה‬
‫בנקודה ‪ . A‬הישר ‪ BC‬הוא משיק‬
‫משותף לשני המ עגלים‪ .‬מעגל שלישי‬
‫משיק לשני המעגלים הנתונים‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪A‬‬
‫ולמשיק המשותף להם‪.‬‬
‫חשב את רדיוס המעגל השלישי‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 17‬‬
‫‪ 2‬ס"מ‪.‬‬
‫נתון מעגל שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪. R‬‬
‫‪B‬‬
‫מנקודה ‪ A‬יוצא ישר המשיק למעגל בנקודה ‪, B‬‬
‫ויוצא ישר החותך את המעגל בנקודות ‪ D‬ו‪. C -‬‬
‫‪ CD‬הוא קוטר במעגל ‪ .‬נתון‪. AB  4 R :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪3‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ AD‬באמצעות ‪ . R‬נמק‪.‬‬
‫ב ‪ .‬מנקודה ‪ A‬יוצא ישר נוסף המשיק‬
‫למעגל בנקודה ‪ . F‬הוכח כי ‪. BF  AO‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪2R .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪7‬‬
‫‪D‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 18‬‬
‫‪E‬‬
‫במע גל שמרכזו ‪ O‬חסום מרובע ‪. ABCD‬‬
‫‪ DC‬הוא קוטר‪ .‬המשכי הצלעות ‪ DA‬ו‪CB -‬‬
‫נפגשים בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. BOC   , OB  DE :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את ‪. ABO‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי שטח המשולש ‪ OBC‬שווה לשטח‬
‫המשולש ‪ . BEA‬הוכח כי ‪. OBC  BEA‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 19‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪. 90  ‬‬
‫א‪2 .‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ AD‬הוא גובה לבסיס ‪ BC‬במשולש שווה‪ -‬שוקיים‬
‫‪ E . (AB  AC) ABC‬היא נקודה על ‪ AD‬כך‬
‫שהמרובע ‪ AEBF‬הוא דלתון )‪. (AF  BF , AE  BE‬‬
‫‪F‬‬
‫‪G‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬הנקודה ‪ E‬היא מרכז המעגל‬
‫‪E‬‬
‫החוסם את המשולש ‪. ABC‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ :‬הנקודה ‪ G‬היא מרכז המעגל‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫החוסם את המשולש ‪. ABD‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 20‬‬
‫הנקודה ‪ D‬היא מרכז המעגל החסום‬
‫במשולש ‪ ABC‬והנקודה ‪ E‬היא מרכז‬
‫המעגל החו סם את המשולש ‪. ABC‬‬
‫‪E‬‬
‫הוכח‪. AEC  4  ABD :‬‬
‫‪. 21‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬הוא שווה‪ -‬צלעות‪ .‬הנקודות ‪ D‬ו‪E -‬‬
‫נמצאות על הצלעות ‪ BC‬ו‪ AC -‬כך ש‪. DC  AE -‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ACD  BAE :‬‬
‫ב ‪ .‬חשב את הזווית ‪. DFE‬‬
‫ג ‪ .‬הוכח שהמרובע ‪ CDFE‬בר‪ -‬חסימה במעגל‪.‬‬
‫ד ‪ .‬הוכח‪. DFC  DEC :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪. 120 .‬‬
‫‪. 22‬‬
‫המשולש שווה‪ -‬השוקיים ‪(AB  AC) ABC‬‬
‫חסום במעגל‪ P .‬ו‪ Q -‬הן אמצעי השוקיים‬
‫‪ AB‬ו‪ , AC -‬בהתאמה‪ .‬המשכי הקטע ‪PQ‬‬
‫חותכים את המעגל בנקודות ‪ T‬ו‪. S -‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. TB  SC :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. TP  QS :‬‬
‫‪. 23‬‬
‫הנקודה ‪ O‬היא מרכז המעגל ה חסום‬
‫במשולש ‪ . ABC‬המעגל משיק לצלע ‪BC‬‬
‫בנקודה ‪ D‬ולצלע ‪ AB‬בנקודה ‪. F‬‬
‫המשיכו את ‪ OD‬עד ‪ K‬ואת ‪ OF‬עד ‪P‬‬
‫כך ש‪ OD  DK -‬ו‪. OF  FP -‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. FD  BO‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי ‪. BO  PK‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪8‬‬
‫‪A‬‬
‫‪S‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪C‬‬
‫‪P‬‬
‫‪T‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪K‬‬
‫‪B‬‬
‫‪. 24‬‬
‫א‪.‬‬
‫הוכח את המשפט‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫קטע המרכזים של שני‬
‫‪P‬‬
‫מעגלים נחתכים – חוצה את המיתר המשותף‬
‫לשני המעגלים ומאונך לו‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫ב‪ .‬בציור מתוארים מעגלים ‪ P‬ו‪ Q -‬הנחתכים‬
‫‪B‬‬
‫בנקודות ‪ A‬ו‪ . B -‬דרך ‪ A‬מעבירים ישר החותך‬
‫‪Q‬‬
‫את המעגלים ‪ P‬ו‪ Q -‬בנקודות ‪ C‬ו‪ , D -‬בהתאמה‪.‬‬
‫נתון‪ . DC  PQ :‬הוכח‪ BC :‬ו‪BD -‬‬
‫הם קטרים במעגלים ‪ P‬ו‪. Q -‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪. 25‬‬
‫א‪.‬‬
‫הוכח את המשפט‪:‬‬
‫זווית חיצונית למעגל שווה למחצית‬
‫הפרש שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית‪.‬‬
‫ב‪ .‬המשיק למעגל בנקודה ‪ B‬חותך את המשך המיתר‬
‫‪A‬‬
‫‪ AC‬בנקודה ‪ . D‬הנקודה ‪ E‬היא אמצע הקשת ‪. AC‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ AC‬ו‪ BE -‬נחתכים בנקודה ‪. F‬‬
‫הוכח‪. DB  DF :‬‬
‫‪. 26‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫הנקודות ‪A , B , C , D , E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫נמצאות על מעגל )ראה ציור( ‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫נתון‪, CD  AB :‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫הקשתות ‪ CA‬ו‪ AB -‬שוות‪,‬‬
‫‪ AE‬הוא קוטר במעגל‪,‬‬
‫החותך את המיתר ‪ CD‬בנקודה ‪. M‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. EMD  MDE‬‬
‫‪E‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ ABMC‬הוא מעוין‪.‬‬
‫‪. 27‬‬
‫‪ ABC‬הוא משולש שווה‪ -‬צלעות החסום במעגל‪.‬‬
‫‪ D‬היא נקודה על הקשת ‪‬‬
‫‪ , BC‬ו‪ E -‬היא נקודה‬
‫על הקשת ‪‬‬
‫‪ AC‬כך ש‪ DC -‬מקביל ל‪. BE -‬‬
‫‪ BE‬חותך את ‪ AD‬בנקודה ‪ F‬ואת ‪ AC‬בנקודה ‪. G‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ADC  60 :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ :‬המשולש ‪ BFD‬הוא שווה‪ -‬צלעות‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪G‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫ג‪ .‬הוכח שלא קיים מעגל העובר דרך קדקודי‬
‫‪D‬‬
‫המרובע ‪. BGCD‬‬
‫‪. 28‬‬
‫‪C‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬חס ום במעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל‪.‬‬
‫‪  2  BE‬‬
‫נתון‪ :‬‬
‫‪. OD  DF , BC‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ACB  ODF :‬‬
‫‪O‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ 6 :‬ס"מ ‪ 8 , BC ‬ס"מ ‪, AC ‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ 13‬ס"מ ‪ . AD ‬הוכח‪. ACB  ODF :‬‬
‫‪F‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪9‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 29‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ CB‬הוא קוטר של מעגל‪ CQ .‬משיק למ עגל‬
‫בנקודה ‪ AQ , C‬משיק למעגל בנקודה ‪D‬‬
‫ו‪ BP -‬משיק למעגל בנקודה ‪. B‬‬
‫נתון‪ 10 :‬ס"מ ‪ 40 , AP ‬ס"מ ‪. AQ ‬‬
‫‪D‬‬
‫‪P‬‬
‫‪A‬‬
‫חשב את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 30‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫שני מעגלים משיקים זה לזה מבפנים בנקודה ‪. A‬‬
‫‪ AB‬ו‪ AC -‬הם מיתרים במעגל הגדול החותכים‬
‫את המעגל הקטן בנקודות ‪ D‬ו‪. E -‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. DE  BC :‬‬
‫ב‪ .‬נתון ‪ 6 , BC  2.5DE :‬ס"מ ‪. BD ‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. AD‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ 4 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪. 31‬‬
‫‪ CD‬משיק למעגל בנקודה ‪ , P‬ו‪AB -‬‬
‫הוא מיתר במעגל זה‪ BD .‬ו‪ AC -‬הם‬
‫אנכים למשיק‪ PE .‬הוא אנך מנקודת‬
‫ההשקה ‪ P‬למיתר ‪. AB‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ACP  PEB :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. BDP  PEA :‬‬
‫ג‪ .‬הוכח‪. AC  BD  PE 2 :‬‬
‫‪. 32‬‬
‫נתון משולש חד‪ -‬זוויות ‪ CE . ABC‬הוא גובה‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪P‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫לצלע ‪ , BA‬ו‪ BD -‬הוא גובה לצלע ‪. AC‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬הוכח‪ :‬המשולש ‪ DBC‬חסום במעגל‬
‫‪E‬‬
‫החוסם את המשולש ‪. EBC‬‬
‫‪A‬‬
‫) ‪ ( 2‬הוכח‪. DBC  DEC :‬‬
‫ב‪ BF .‬ו‪ CG -‬מאונכים להמשכי הקטע ‪, ED‬‬
‫‪D‬‬
‫כמתואר בציור‪.‬‬
‫) ‪ ( 1‬הוכח ‪. DCB  FEB :‬‬
‫‪G‬‬
‫‪C‬‬
‫) ‪ ( 2‬הוכח‪. EBC  GDC :‬‬
‫‪. 33‬‬
‫‪A‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל‪.‬‬
‫נתון‪ 20 , BM  MC , MQ  BC :‬ס"מ ‪, AB ‬‬
‫‪ 25‬ס"מ ‪ 36 , AC ‬ס"מ ‪. BC ‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪. PQ‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ 96 :‬סמ"ר ‪ . SBPM ‬חשב את ‪. SCPM‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 34‬‬
‫א‪ 2 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫‪M‬‬
‫ב‪ 120 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫בציור שלפניך נתון‪ 40 :‬ס"מ ‪, AC ‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ 20‬ס"מ ‪ 15 , PC ‬ס"מ ‪, BP ‬‬
‫‪ 14‬ס"מ ‪ 16 , BQ ‬ס"מ ‪. AQ ‬‬
‫הוכח כי הנקודה ‪ M‬היא מרכז‬
‫‪M‬‬
‫‪Q‬‬
‫המעגל החסום במשולש ‪. ABC‬‬
‫‪C‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי ‪10‬‬
‫‪P‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫‪. 35‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ PA‬הוא משיק למעגל ו‪PC -‬‬
‫חותך את המעגל בנקודות ‪ B‬ו‪. C -‬‬
‫‪2‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫‪. 36‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪PC  AC‬‬
‫‪PB‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל‪ E .‬היא נקודה‬
‫‪A‬‬
‫על צלע ‪ . AC‬דרך הנקודה ‪ E‬העבירו‬
‫מקביל לישר המשיק למעגל בנקודה ‪. C‬‬
‫‪D‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. DEC  ABC :‬‬
‫‪E‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ 2 :‬ס"מ ‪ 6 , BD ‬ס"מ ‪, AE  2EC , DC ‬‬
‫שטח המשולש ‪ ABC‬הוא ‪. S‬‬
‫‪C‬‬
‫הבע באמצעות ‪ S‬את שטח המשולש ‪. DEC‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 37‬‬
‫‪B‬‬
‫‪. 1S‬‬
‫‪4‬‬
‫הוכח‪ :‬הרדיוסים של מעגלים החוסמים משולשים דומים מתייחסים‬
‫זה לזה כמו הצלעות המתאימות‪.‬‬
‫‪. 38‬‬
‫המשולש ‪ ABO‬הוא שווה שוקיים )‪. (AB  AO‬‬
‫הנקודה ‪ O‬היא מרכז המעגל‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪BOD  BAO :‬‬
‫‪O‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ 12 :‬ס"מ ‪ 10 , OD ‬ס"מ ‪. AD ‬‬
‫‪A‬‬
‫חשב את היחס בין שטח המשולש ‪BOD‬‬
‫לש טח המשולש ‪. AOD‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 39‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪. 4 : 5 .‬‬
‫‪ AB‬הוא מיתר במעגל שמרכזו ‪ . O‬הנקודות ‪ C‬ו‪D -‬‬
‫נמצאות על הקשת ‪‬‬
‫‪  CD‬‬
‫‪  DB‬‬
‫‪ AB‬כך ש‪ -‬‬
‫‪. AC‬‬
‫‪ OC‬ו‪ OD -‬חותכים את ‪ AB‬בנקודות ‪ E‬ו‪F -‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫בהתאמה )ראה ציור(‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪AEO  BFO‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬נמק מדוע ‪ ( 2 ) . AO  AE‬הוכח כי ‪AE  1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪FE‬‬
‫‪FO FE‬‬
‫‪G‬‬
‫‪. 40‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל‪ CP .‬מאונך לקוטר ‪. AB‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. AC 2  AP  AD :‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ 18 :‬ס"מ ‪ 32 , AP ‬ס"מ ‪, AD ‬‬
‫‪ 40‬ס"מ ‪. CD ‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫הוכח שהמשולש ‪ DAC‬הוא ישר‪ -‬זווית‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫ג ‪ .‬חשב את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫ג‪ 20 .‬ס"מ‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי ‪11‬‬
‫‪. 41‬‬
‫‪ C , B , A‬ו‪ D -‬הן נקודות על מעגל‪ AC .‬ו‪BD -‬‬
‫נחתכים בנקודה ‪ G . F‬היא נקודה על ‪BD‬‬
‫כך ש‪ . AG  AB -‬המשך ‪ AG‬חותך‬
‫את ‪ DC‬בנקודה ‪ . E‬נתון‪. BF  GF :‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. AEC  DFC :‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪. AE  m , DF  c , EC  a :‬‬
‫הבע את שטח המשולש ‪ DFC‬באמצעות ‪ c , a‬ו‪. m -‬‬
‫תשובה‪ :‬ב‪ac2 .‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪. 42‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪G‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪.‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬חסום חצי מעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ – F‬נקודת השקה‪ .‬הקוטר ‪ PQ‬של חצי המעגל‬
‫מקביל לצלע ‪ AD . BC‬הוא הגובה לצלע ‪. BC‬‬
‫נתון‪ 20 :‬ס"מ ‪ 15 , BC ‬ס"מ ‪. AD ‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪AG  PQ :‬‬
‫‪AD BC‬‬
‫‪. 43‬‬
‫‪‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪.‬‬
‫‪D F‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬חשב את רדיוס חצי המעגל‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪O‬‬
‫‪G‬‬
‫‪P‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪ 6 .‬ס"מ‪.‬‬
‫במשולש ישר זווית ‪ (ACB  90 ) ACB‬חסום חצי מעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫קוטר המעגל מונח על היתר של המשולש‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הקטע ‪ , CO‬המחבר את מרכז‬
‫המעגל עם נקודת המוצא ‪ C‬של שני‬
‫משיקים למעגל )‪ CA‬ו‪ , (CB -‬חוצה‬
‫את הזווית שבין שני המשיקים‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ 6 :‬ס"מ ‪ 8 , AO ‬ס"מ ‪. BO ‬‬
‫‪AC‬‬
‫) ‪ ( 1‬היעזר בסעיף א' וחשב את היחס‬
‫‪.‬‬
‫‪BC‬‬
‫) ‪ ( 2‬חשב את אורכי הניצבים ‪ AC‬ו‪. BC -‬‬
‫‪B‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫ב‪ 8.4 ( 2 ) . 3 ( 1 ) .‬ס"מ‪ 11.2 ,‬ס"מ‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 44‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל‪ AP .‬הוא קוטר‬
‫במעגל‪ BE .‬הוא גובה לצלע ‪ AC‬ו‪CD -‬‬
‫הוא גובה לצלע ‪ BE . AB‬ו‪ CD -‬נחתכים‬
‫בנקודה ‪ H‬שעל הקוטר ‪. AP‬‬
‫א ‪ .‬הוכח שהמרובע ‪ BHCP‬הוא מ עוין ‪.‬‬
‫ב ‪ .‬הוכח‪AD  AE :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪DB EC‬‬
‫‪. 45‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪H‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫נתון מעגל שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪. R‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ PA‬הוא משיק למעגל בנקודה ‪. A‬‬
‫‪ AB‬הוא מיתר במעגל‪ C .‬היא אמצע‬
‫המיתר ‪ . AB‬נתון‪. PB  AB :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. 2  (AC) 2  OC  BP :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. 2  (OC)  OC  BP  2R :‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי ‪12‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪P‬‬
‫‪. 46‬‬
‫‪B‬‬
‫הנקודות ‪ A , B , C , E‬נמצאות‬
‫על מעגל )ראה ציור(‪ BE .‬חוצה‬
‫את הזווית ‪ ABC‬וחותך את‬
‫המיתר ‪ AC‬בנקודה ‪. D‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪ ABE   DAE‬‬
‫ו‪.  ABE   DBC -‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪. AB  BC :‬‬
‫‪E‬‬
‫הוכח כי ‪ BE‬הוא קוטר במעגל‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון‪ 25 :‬ס"מ ‪ R ‬ו‪BD  16 -‬‬
‫‪ .‬מצא את שטח המשולש ‪. ABC‬‬
‫‪DE 9‬‬
‫‪D‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 47‬‬
‫‪A‬‬
‫ג‪ 768 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫הנקודות ‪ C , B , A‬מונחות על מעגל כך ש‪. AB  AC -‬‬
‫‪  DC‬‬
‫הקשת ‪ BD‬שווה לקשת ‪ ) DC‬‬
‫‪.( DB‬‬
‫‪A‬‬
‫הנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬מונחות על המית ר ‪, AD‬‬
‫כך ש‪. CF  AD , BE  AD -‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪AB  BE :‬‬
‫‪AC CF‬‬
‫‪. 48‬‬
‫‪O‬‬
‫‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪SABE‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ 1 :‬‬
‫‪SACF‬‬
‫‪.‬‬
‫‪SABD‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ 1 :‬‬
‫‪SACD‬‬
‫‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ ABCD‬הוא טרפז שווה‪ -‬שוקיים החוסם מעגל‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫אורכי הבסיסים של הטרפז הם ‪ a‬ו‪. b -‬‬
‫שוקי הטרפז משיקות למעגל בנקודות ‪ P‬ו‪. Q -‬‬
‫‪Q‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. PQ  DC :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪1  1  1 :‬‬
‫‪PQ 2a 2b‬‬
‫‪P‬‬
‫‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 49‬‬
‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל‪ .‬המיתר ‪AM‬‬
‫חותך את הצלע ‪ BC‬בנקודה ‪. D‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ADC  BDM :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. ADB  CDM :‬‬
‫ג‪ .‬נתון‪. AB  BM  AC  CM :‬‬
‫הוכח‪. BD  DC :‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי ‪13‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫טריגונומטריה במישור )‪ 5‬יחידות(‬
‫התרגילים כוללים שימוש בפונקציות סינוס‪ ,‬קוסינוס וטנגנס במשולש‬
‫הערה ‪:‬‬
‫ישר‪ -‬זווית‪ ,‬ושימוש במשפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪A‬‬
‫במשול ש ישר‪ -‬זווית ‪ ABC‬נתון‪ 6 :‬ס"מ ‪, AB ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ BD . BAC   , ABC  90‬הוא גובה ליתר‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ BE‬הוא חוצה‪ -‬זווית של ‪. DBC‬‬
‫‪E‬‬
‫הבע את אורך הקטע ‪ EC‬באמצעות ‪. ‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.2‬‬
‫) ‪. 6sin (tan   tan ‬‬
‫‪2‬‬
‫במלבן ‪ ABCD‬נתון‪ 8.4 :‬ס"מ ‪, AB ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ 10‬ס"מ ‪. AM  AK , AC ‬‬
‫‪M‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. MK‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪ 2.828‬ס"מ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪K‬‬
‫‪B‬‬
‫נתון משולש ששטחו ‪ 35‬סמ"ר‪ .‬אורכי שתיים מצלעותיו הם‬
‫‪ 10‬ס"מ ו‪ 8 -‬ס"מ‪ .‬חשב את אורך הצלע השלישית של המשולש‪.‬‬
‫רשום את שתי האפשרויות‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪ 9.303‬ס"מ או ‪ 15.54‬ס"מ‪.‬‬
‫היקפו של משולש ‪ ABC‬הוא ‪ 40‬ס"מ‪ .‬הצלע ‪ BC‬גדולה ב‪ 6 -‬ס"מ‬
‫‪‬‬
‫מהצלע ‪ . AB‬נתון‪ . ABC  60 :‬חשב את אורכי צלעותיו של המשולש‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪ 16‬ס"מ‪ 10 ,‬ס"מ‪ 14 ,‬ס"מ‪.‬‬
‫במשולש ישר‪ -‬זווית ‪ (C  90 ) ABC‬העבירו מקביל‬
‫ליתר‪ ,‬החותך את הניצבים בנקודות ‪ D‬ו‪. E -‬‬
‫‪E‬‬
‫נתון‪. DAE   , ABE   , DE  m :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ m‬ו‪ -‬‬
‫את אורכי הקטעים ‪ AB‬ו‪. BE -‬‬
‫תשובה‪m cos  sin 2 , m cos 2  :‬‬
‫‪sin 2 ‬‬
‫‪sin 2 ‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ ABCD‬הוא טרפז ישר‪ -‬זווית ) ‪ DC , AB  CD‬‬
‫נתון‪. AC  CD , ACD   :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את היחס בין שטח‬
‫המשולש ‪ ACD‬לשטח המשולש ‪. ABC‬‬
‫ב‪ .‬חשב את היחס הנ"ל כאשר ‪.   60‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪1 .‬‬
‫‪cos ‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ .‬ב‪. 2 .‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי ‪14‬‬
‫‪B .( BC‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪.7‬‬
‫במשולש שווה‪ -‬שוקיים ‪ (AB  AC) ABC‬שווה אורך‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫הבסיס ל‪ , a -‬והזווית שלידו ל‪. (  45 )  -‬‬
‫‪ BH‬הוא גובה לשוק ‪ AC‬ו‪ CK -‬תיכון לשוק ‪. AB‬‬
‫הבע באמצעות ‪ a‬ו‪:  -‬‬
‫‪K‬‬
‫‪H‬‬
‫א‪ .‬את אורך הקטע ‪. AH‬‬
‫ב‪ .‬את שטח המשולש ‪. AKH‬‬
‫‪a sin  cos 2‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪.‬‬
‫‪sin 2‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪C‬‬
‫במשולש שווה‪ -‬שוקיים ‪(AB  AC) ABC‬‬
‫זווית הראש היא ‪ . 2‬דרך הנקודה ‪, D‬‬
‫הנמצאת על הגובה לבסיס במר חק ‪m‬‬
‫מהקדקוד ‪ A‬העבירו ישר היוצר זווית ‪‬‬
‫עם הישר ‪ . BC‬ישר זה חותך את שוקי‬
‫המשולש בנקודות ‪ E‬ו‪ . F -‬הבע את‬
‫שטח המשולש ‪ AEF‬באמצעות ‪  , m‬ו‪.  -‬‬
‫‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪m‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪‬‬
‫‪C‬‬
‫‪G‬‬
‫‪B‬‬
‫‪.‬‬
‫במשולש שווה‪ -‬שוקיים ‪(AB  AC) ABC‬‬
‫בנו על השוק ‪ AC‬משולש שווה‪ -‬שוקיים ‪AFC‬‬
‫כך ש‪. AF  CF  BC  a -‬‬
‫נסמן‪. AFC   , ABC   :‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬הבע את האורך של השוק ‪AC‬‬
‫באמצעות ‪ a‬ו‪.  -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. cos   1 ‬‬
‫) ‪ ( 2‬הוכח כי‬
‫‪8cos 2 ‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי משולש ‪ AFC‬הוא ישר‪ -‬זווית‪.‬‬
‫מצא את הזוויות במשולש ‪. ABC‬‬
‫‪a sin   a‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪( 1 ) .‬‬
‫‪sin 2 2cos ‬‬
‫‪. 10‬‬
‫‪a 2 sin 2  cos 2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪4sin 2‬‬
‫‪. a sin  tan(2  90 ) ‬‬
‫‪m2 sin 2 cos 2 ‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫)‪2cos(  ) cos(  ‬‬
‫‪B‬‬
‫‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪. 41.41 , 69.295 , 69.295 .‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬הוא שווה‪ -‬שוקיים )‪. (AB  AC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ BD‬הוא הגובה לשוק ו‪ BE -‬הוא חוצה זווית‬
‫‪‬‬
‫של ‪ . ABC‬נתון‪, (  30 ) BAC  2 :‬‬
‫‪ 10‬ס"מ ‪. AB  AC ‬‬
‫‪E‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את שטח המשולש ‪. BDE‬‬
‫‪D‬‬
‫ב‪ .‬הצב ‪   30‬בביטוי שקיבלת בסעיף א'‪.‬‬
‫הסבר את התוצאה שקיבלת‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫א‪ . 50sin 2 2 tan(45  1 1 ) .‬ב‪. 0 .‬‬
‫‪2‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי ‪15‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪. 11‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬הוא שווה‪ -‬שוקיים )‪ AD . (AB  AC‬הוא גובה לבסיס‬
‫‪ BC‬ו‪ CE -‬הוא גובה לשוק ‪ . AB‬שני הגבהים נחתכים בנקודה ‪. O‬‬
‫נתון‪. (  45 ) ABC   :‬‬
‫א‪ .‬הבע את היחס ‪AO‬‬
‫‪DO‬‬
‫ב‪ .‬הצב ‪   60‬ביחס של סעיף א'‪ ,‬והסבר את התוצאה המתקבלת‪.‬‬
‫ג‪ .‬הצב ‪   45‬ביחס של סעיף א'‪ ,‬והסבר את התוצאה המתקבלת‪.‬‬
‫באמצעות ‪. ‬‬
‫תשובה ‪ :‬א‪ . tan 2   1 .‬ב‪AO  2 .‬‬
‫‪DO‬‬
‫ג‪AO  0 .‬‬
‫‪ ,‬כלומר ‪ O . AO  0‬ו‪ A -‬מתל כדות‪.‬‬
‫‪DO‬‬
‫‪ ,‬נקודה ‪ D‬היא נקודת מפגש התיכונים‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 12‬‬
‫‪ AD‬הוא התיכון לצלע ‪ BC‬במשולש ‪. ABC‬‬
‫נתון‪ 12 :‬ס"מ ‪, BAD  42 , AC ‬‬
‫‪ . DAC  36‬חשב את א ורך התיכון ‪. AD‬‬
‫הדרכה‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫הארך את התיכון ‪ AD‬כאורכו‬
‫כך שתיווצר מקבילית ‪. ABEC‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 13‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ 8.771‬ס"מ‪.‬‬
‫בטרפז ‪ E (AB  DC) ABCD‬היא נקודת‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫החיתוך של האלכסונים‪.‬‬
‫נתון‪, AEB   , BE  k , DC  BC :‬‬
‫‪E‬‬
‫‪) CBD  ‬ראה ציור(‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪  , k‬ו‪ -‬‬
‫את אורך בסיסי הטרפז ‪ DC‬ו‪AB -‬‬
‫‪k sin ‬‬
‫‪k sin ‬‬
‫‪,‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫)‪sin (  ‬‬
‫)‪sin(  ‬‬
‫‪. 14‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ AD‬הוא חוצה‪ -‬הזווית של ‪ BAC‬במשולש ‪. ABC‬‬
‫נתון‪. C   , B   :‬‬
‫‪SABD sin ‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪BD  sin  :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .‬ב‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫‪SADC sin ‬‬
‫‪DC sin ‬‬
‫ג‪ .‬הוכח‪ :‬אם ‪ , SABD  SADC‬אז ‪. AD  BC‬‬
‫‪. 15‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ D‬היא נקודה על הצלע ‪ CB‬במשולש ‪. ABC‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫נתון‪, DAB  20 , CAD   :‬‬
‫‪ 7‬ס"מ ‪ 5 , AC ‬ס"מ ‪. AB ‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את היחס‬
‫שבין שטח המשולש ‪ADC‬‬
‫לשטח המשולש ‪. ADB‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ ‬כאשר שטחי המשולשים שווים‪.‬‬
‫ג‪ .‬בעבור איזה ערך של ‪ ‬יחס השטחים הנ"ל הוא הגדול ביותר?‬
‫‪B‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪7 sin  .‬‬
‫‪5sin 20‬‬
‫‪ .‬ב‪ . 14.14 .‬ג‪. 90 .‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי ‪16‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 16‬‬
‫‪ AD‬הוא התיכון לצלע ‪ BC‬במשולש ‪. ABC‬‬
‫‪A‬‬
‫נתון‪ 7 :‬ס"מ ‪ 8 , AC ‬ס"מ ‪, BC ‬‬
‫‪ . AB  AD‬חשב את הזווית ‪C‬‬
‫ואת אורך הצלע ‪. AB‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪ 4.123 , 31‬ס"מ‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫בעיות המשלבות גיאומטריה וטריגונומטריה‬
‫השאלות הבאות משלבות ידע מגיאומטריה וטריגונומטריה‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש ‪ BD , ABC‬ו‪ CE -‬הם גבהים‬
‫לצלעות ‪ AC‬ו‪ . AB -‬נתון‪. BD  CE :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬המשולש ‪ ABC‬הוא שווה‪ -‬שוקיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ 8 :‬ס"מ ‪ 5 , CE ‬ס"מ ‪. DC ‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫חשב את הזווית ‪. BAC‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.2‬‬
‫הנקודות ‪ D‬ו‪ E -‬הן אמצעי הצלעות ‪ BC‬ו‪AB -‬‬
‫של משולש ‪ AD . ABC‬ו‪ CE -‬נחתכים‬
‫בנקודה ‪ . G‬המשך הק טע ‪ BG‬חותך‬
‫את הצלע ‪ AC‬בנקודה ‪. F‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. AF  CF :‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ 6 :‬ס"מ ‪, ABF  30 , AC ‬‬
‫‪ . BAC  70‬חשב את אורך הצלע ‪. AB‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪. 64.01 .‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪G‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫ב‪. 45.58 .‬‬
‫‪A‬‬
‫בציור שלפניך נתון‪, DE  BF , DF  BC :‬‬
‫‪ 8‬ס"מ ‪ 9 , AD ‬ס"מ ‪, BF ‬‬
‫‪ 6‬ס"מ ‪ 13 , DE ‬ס"מ ‪. BC ‬‬
‫‪E‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪. DF‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית ‪. DBF‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.4‬‬
‫א‪ 8 2 .‬ס"מ‪ .‬ב‪. 72.3 .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬הוא ישר‪ -‬זווית ) ‪. (C  90‬‬
‫‪A‬‬
‫האנך האמצעי ליתר ‪ AB‬חותך את היתר‬
‫בנקודה ‪ , D‬את הניצב ‪ AC‬בנקודה ‪E‬‬
‫ואת המשך הניצב ‪ BC‬בנקודה ‪. K‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. AED  KBD :‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪. KE  3a , DE  a :‬‬
‫חשב את הזווית ‪. B‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫ב‪. 63.43 .‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי ‪17‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪K‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪ AD‬הוא חוצה‪ -‬זווית ‪ A‬במשולש ‪ABC‬‬
‫)ראה ציור(‪ .‬נת ון‪, BAC  50 :‬‬
‫‪ 4‬ס"מ ‪ 5 , BD ‬ס"מ ‪. DC ‬‬
‫א‪ .‬מצא את היחס בין הצלע ‪ AC‬לצלע ‪. AB‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורך ה צלע ‪. AB‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫א‪ . 5 : 4 .‬ב‪ 9.207 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ AM‬הוא התיכון לבסיס במשולש שווה‪ -‬שוקיים ‪ABC‬‬
‫)‪ E . (AB  AC‬נקודה על המשך הצלע ‪. AC‬‬
‫המשך התיכון ‪ AM‬חותך את הקטע ‪BE‬‬
‫בנקודה ‪ . D‬הקטע ‪ DK‬מקביל ל‪. BC -‬‬
‫א‪ .‬ה וכח‪AB  CK :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪AE EK‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ 8 :‬ס"מ ‪ 2 , AB ‬ס"מ ‪. CK ‬‬
‫‪E‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. EK‬‬
‫ג‪ .‬נתון גם‪ . ABE  82 :‬חשב את הזווית ‪. BAC‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪K‬‬
‫‪D‬‬
‫ב‪ 3 1 .‬ס"מ‪ .‬ג‪. 61.55 .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪D‬‬
‫במרובע ‪ ABCD‬נתון‪. AB  BC , AD  DC :‬‬
‫‪A‬‬
‫נקודה ‪ E‬היא אמצע האלכסון ‪. AC‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BE  DE :‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ . BCD  74 :‬חשב את הזווית ‪. BED‬‬
‫‪E‬‬
‫ג‪ .‬נסמן‪ . BCE   :‬הבע באמצעות ‪ ‬את ה יחס‬
‫בין שטח המשולש ‪ ADE‬לשטח המשולש ‪. ABE‬‬
‫)‪sin(148  2‬‬
‫תשובה‪ :‬ב‪ . 148 .‬ג‪.‬‬
‫‪sin 2‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫הקטעים ‪ AE‬ו‪ CF -‬הם חוצי זוויות‬
‫המקבילית – ‪ DAB‬ו‪ , DCB -‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ AECF‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪CF‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ . AB  2BC :‬הוכח‪ :‬המשך הקטע‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫חוצה את צלע המקבילית ‪. AB‬‬
‫ג‪ .‬נתון גם‪ . BD  0.8DC :‬חשב את הזווית החדה של המקבילית ‪. ABCD‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.9‬‬
‫ג ‪. 52.41 .‬‬
‫על ‪ AB‬ועל ‪ , AC‬צלעות המשולש ‪ABC‬‬
‫בנו ריבועים כמתואר‪ .‬הנקודה ‪ K‬נמצאת‬
‫על המשך הצלע ‪ , AB‬ומתקיים‪. AB  AK :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. DAG  KAC ( 1 ) :‬‬
‫) ‪. SABC  SDAG ( 2‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ . ACB  45 :‬הוכח‪. SABC  SBCF :‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי ‪18‬‬
‫‪G‬‬
‫‪K‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪. 10‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ ABC‬הוא משולש ישר‪ -‬זווית ) ‪.( AC  BC‬‬
‫‪ KLMN‬הוא ריבוע החסום במשולש‪.‬‬
‫‪L‬‬
‫נתון‪ 4 :‬ס"מ ‪ 9 , AN ‬ס"מ ‪. MB ‬‬
‫‪K‬‬
‫א‪ .‬חשב את צלע הריבוע‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית ‪. CKL‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 11‬‬
‫א‪ 6 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪A‬‬
‫‪N‬‬
‫ב‪. 56.31 .‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא דלתון )‪. (BC  DC , AB  AD‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ DE‬חוצה את הזווית ‪ADC‬‬
‫ו‪ BF -‬חוצה את הזווית ‪. ABC‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪BDFE‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫הוא טרפז שווה‪ -‬שוקיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪. DBF   , DE  m :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ m‬ו‪  -‬את שטח הטרפז ‪. BDFE‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 12‬‬
‫ב‪m 2 sin 2 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ BE , AD‬ו‪ CF -‬הם הגבהים של משולש‬
‫‪A‬‬
‫שווה‪ -‬שוקיים ‪. (AB  AC) ABC‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. DE  DF :‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪. (  45 ) ACB   :‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫הבע באמצעות ‪ ‬את הזווית ‪. FDE‬‬
‫ג‪ .‬נתון גם‪. BC  2a :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ a‬ו‪  -‬את שטח המשולש ‪. DEF‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫ב‪. 4  180 .‬‬
‫) ‪a 2 sin(4  180‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי ‪19‬‬
‫‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫חשבון דיפרנציאלי – פולינומים )‪ 5‬יחידות(‬
‫‪.1‬‬
‫‪2‬‬
‫לגרף הפונקציה ‪ y   x  2x  3‬מעבירים משיק‬
‫‪y‬‬
‫בנקודה )‪ . A(2;3‬המשיק חותך את ציר ה‪y -‬‬
‫בנקודה ‪ . B‬מנקודה ‪ A‬מורידים אנך ‪AC‬‬
‫לציר ה‪ . x -‬חשב את שטח הטרפז ‪ABOC‬‬
‫) ‪ - O‬ראשית הצירים(‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 10‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫‪O‬‬
‫‪2‬‬
‫הישר ‪ y  2x  4‬משיק לגרף הפונקציה ‪. f (x)  x  8x  c‬‬
‫מצא את ערכו של ‪. c‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪. 13‬‬
‫‪4‬‬
‫לגרף הפונקציה ‪ y  x  16x  2a‬מעבירים משיק בנקודה שבה ‪. y  4‬‬
‫שיפוע המשיק הוא ‪ . 16‬מצא את הפרמטר ‪. a‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪. 10‬‬
‫‪3‬‬
‫הנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬נמצאות על גרף הפונקציה ‪, y  x  7x  1‬‬
‫כך ששיעור ה‪ x -‬בנקודה ‪ A‬גדול ב‪ 4 -‬משיעור ה‪ x -‬בנקודה ‪. B‬‬
‫ידוע כי המשיקים לפונקציה בנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬מקבילים זה לזה‪.‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪. B -‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.5‬‬
‫)‪. B( 2;7) , A(2; 5‬‬
‫‪2‬‬
‫נתונה פונקציה ‪ y  x  5x  11‬ונתונה נקודה‬
‫)‪ (0; 5‬הנמצאת מחוץ‬
‫לגרף‬
‫הפונקציה‪ .‬דרך הנקודה הנתונה מעבירים משיקים לפונקציה הנתונה‪.‬‬
‫מצא את נקודות ההשקה ואת משוואות המשיקים‪.‬‬
‫תשוב ה ‪:‬‬
‫‪.6‬‬
‫)‪( 4; 47) , y  3x  5 (4; 7‬‬
‫‪. y  13x  5‬‬
‫‪2‬‬
‫גרף הפונקציה ‪ (a  0) y  2x  ax  8‬משיק לציר ה‪. x -‬‬
‫מצא את ‪ a‬ואת שיעור י נקודת ההשקה‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. (2;0) , a  8‬‬
‫חקור את הפונקציות הבאות על פי הסעיפים הבאים ומצא‪:‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‪ .‬ב‪ .‬נקודות מינימום ומקסימום‪.‬‬
‫ד‪ .‬נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬תחומי עלייה וירידה‪.‬‬
‫ה‪ .‬שרטט את גרף הפונק ציה‪.‬‬
‫‪.7‬‬
‫) ‪y  x(12  x 2‬‬
‫‪.9‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪. f (x)   x  15x  63x  49‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y  x 4  18x 2  32‬‬
‫‪3‬‬
‫א‪ .‬חקור את הפונקציה ומצא‪ :‬תחום הגדרה‪ ,‬נקודות קיצון‪,‬‬
‫תחומי עלייה וירידה‪ ,‬נקודת חיתוך עם ציר ה‪. y -‬‬
‫ב‪ .‬הראה שאחת מנקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪ x -‬היא )‪. (1;0‬‬
‫ג‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬כמה נקודות משותפות יש ל גרף הפונקציה ול ציר ה‪? x -‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי ‪20‬‬
‫‪. 10‬‬
‫חקור את הפונקצי ה ‪ y  3x 4  8x 3  6x 2‬ומצא‪:‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נקודות מינימום ומקסימום‪ .‬ג‪ .‬תחומי עלייה וירידה‪.‬‬
‫ד‪ .‬נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫‪. 11‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪2‬‬
‫ה‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪. y  x  4x‬‬
‫א‪ .‬חקור את הפונקציה ומצא‪ :‬תחום הגדרה‪ ,‬נקודות קיצון‪ ,‬נקודות‬
‫חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא לאילו ערכים של ‪ , k‬הפונקציה חותכת את הישר ‪: y  k‬‬
‫) ‪ ( 1‬ב‪ 4 -‬נקודות‪ ( 2 ) .‬ב‪ 3 -‬נקודות ‪ ( 3 ) .‬ב‪ 2 -‬נקודות‪.‬‬
‫‪. 12‬‬
‫‪x3‬‬
‫לפונקציה ‪ x 2  mx  10‬‬
‫‪3‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. m‬‬
‫) ‪ ( 4‬באף נקודה‪.‬‬
‫‪ f (x)  ‬יש נקודת קיצון ב‪. x  1 -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות המקסימום והמינימום של הפונקצי ה‪,‬‬
‫ושרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא כמה פתרונות יש למשוואה ‪. f (x)  13  0‬‬
‫‪. 13‬‬
‫‪2‬‬
‫גרף הפונקציה ‪ y  x  (a  7)x  4a  12‬חותך את ציר ה‪ x -‬בשתי נקודות‬
‫)‪ . (a  1‬שיפוע המשיק לגרף בנקודת החיתוך הי מנית מבין השתיים‬
‫שווה ל‪ . 9 -‬מצא את ‪. a‬‬
‫‪. 14‬‬
‫‪3‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪. a  0 , y   x  3ax‬‬
‫א‪ .‬מצא‪ :‬תחום הגדרה‪ ,‬נקודות קיצון‪ ,‬תחומי עלייה וירידה‪ ,‬נקודות‬
‫חיתוך עם הצירים )במידת הצורך‪ ,‬הבע תשובותיך באמצעות ‪.( a‬‬
‫ב‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬לאילו ערכים של ‪ k‬חותך הישר ‪ y  k‬את גרף הפונקציה‬
‫)הבע באמצעות ‪:( a‬‬
‫) ‪ ( 1‬בנקודה אחת‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬בשתי נקודות‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬בשלוש נקודות‪.‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪ .‬כל ‪. x‬‬
‫ב‪ (2;16) .‬מקסימום‪ (2; 16) ,‬מינימום‪.‬‬
‫ג‪ .‬עלייה‪, 2  x  2 :‬‬
‫ירידה‪ x  2 :‬או ‪. x  2‬‬
‫‪x‬‬
‫ד‪. ( 3.464.0) , (3.464; 0) , (0;0) .‬‬
‫‪.8‬‬
‫א‪ .‬כל ‪. x‬‬
‫ב‪ (3;  49) .‬מינימום‪ (0;32) ,‬מקסימום‪,‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪ ( 3; 49‬מינימום‪.‬‬
‫ג‪ .‬עלייה‪ x  3 :‬או ‪. 3  x  0‬‬
‫ירידה‪ 0  x  3 :‬או ‪. x  3‬‬
‫ד‪. (  2;0) , ( 2;0) , ( 4;0) , (4;0) , (0;32) .‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי ‪21‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‪ :‬כל ‪. x‬‬
‫נקודות קיצון‪ (3; 32) :‬מינימום‪,‬‬
‫)‪ (7;0‬מקסימום‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫עלייה‪ ; 3  x  7 :‬ירידה‪ x  7 :‬או ‪. x  3‬‬
‫נקודת חיתוך‪. (0;49) :‬‬
‫ד‪ .‬בשתי נקודות‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ . 10‬א‪ .‬כל ‪. x‬‬
‫ב‪ (0;0) .‬מינימום‪.‬‬
‫ג‪ .‬עלייה‪ , x  0 :‬ירידה‪. x  0 :‬‬
‫ד‪. (0;0) .‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ . 11‬א‪ .‬תחום הגדרה‪ :‬כל ‪ . x‬נקודות קיצון‪ ( 2 ;  4) :‬מינימום‪ (0;0) ,‬מקסימום‪,‬‬
‫)‪ (  2 ;  4‬מינימום‪ .‬נקודות חיתוך‪. ( 2;0) , (0;0) , (2;0) :‬‬
‫ב‪ .‬חיוביות‪ x  2 :‬או ‪ , x  2‬שליליו ת ‪. x  0 , 2  x  2 :‬‬
‫ג‪ k  0 ( 3 ) . k  0 ( 2 ) . 4  k  0 ( 1 ) .‬או ‪. k  4 ( 4 ) . k  4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪. 12‬‬
‫א‪. 3 .‬‬
‫‪. 13‬‬
‫‪. 10‬‬
‫‪. 14‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‪ :‬כל ‪ . x‬נקודות קיצון‪ ( a ;2a a ) :‬מ קסימום‪,‬‬
‫ב‪ (1;11 2 ) .‬מקסימום‪ ( 3;1) ,‬מינימום‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫ג‪ .‬פתרון אחד‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫) ‪ (  a ; 2a a‬מינימום‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫תחומי עלייה‪,  a  x  a :‬‬
‫תחומי ירידה‪ x  a :‬או ‪. x   a‬‬
‫נקודות חיתוך‪. (  3a ;0) , ( 3a ;0) , (0;0) :‬‬
‫ג‪ k  2a a ( 1 ) .‬או ‪. k  2a a‬‬
‫‪x‬‬
‫) ‪k  2a a ( 2‬‬
‫או ‪. 2a a  k  2a a ( 3 ) . k  2a a‬‬
‫‪. 15‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫הפונקציה ‪ y  x  15x  48x  3‬מוגדרת בקט ע ]‪. [0,11‬‬
‫א‪ .‬מצא את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הסבר מדוע גרף הפונקציה חותך את ציר ה‪ x -‬בשלוש נקודות שונות‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫א‪. 67 , 41 .‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי ‪22‬‬
‫‪. 16‬‬
‫ל גרף הפונקציה ‪ y  (3x  2)5‬מעבירים שני משיקים ששיפועיהם ‪. 15‬‬
‫מצא את משווא ו ת המשיקים‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 17‬‬
‫‪. y  15x  6 , y  15x  14‬‬
‫מצא עבור הפונקציה ‪: y  (x 2  6x)3‬‬
‫א‪ .‬נקודות מינימום ומקסימום‪.‬‬
‫ב‪ .‬תחומי עלייה וירידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫ד‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪. 17‬‬
‫א‪ (3; 729) .‬מינימום‪.‬‬
‫ב‪ .‬עלייה‪ , x  3 :‬ירידה‪. x  3 :‬‬
‫ג‪ .‬א‪. (6;0) , (0;0) .‬‬
‫‪. 18‬‬
‫‪x‬‬
‫לגרף הפונקציה ‪ y  (x  2)3 (6  x) 4‬מעבירים משיק בנקודה ‪. x  4‬‬
‫א‪ .‬חשב את שיפוע המשיק ‪ .‬ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 19‬‬
‫א‪. 64 .‬‬
‫ב‪. y  64x  384 .‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪. a  0 , f (x)  10 2 x 3  2a 2 x  a 2‬‬
‫‪3‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬הבע באמצעות ‪ a‬את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה‪,‬‬
‫וקבע את סוגן‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬באיזה רביע נמצאת נקודת המקסימום של הפונקציה? נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪ ,‬כאשר למשוואה ‪ f (x)  0‬יש‪:‬‬
‫) ‪ ( 1‬פתרון אחד‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬שלושה פתרונות‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬שני פתרונות‪.‬‬
‫ד‪ .‬היעזר בסעיפים הקודמים ומצא עבור אילו ערכי ‪ a‬למשוואה ‪f (x)  0‬‬
‫יש‪ ( 1 ) :‬שני פתרונות‪.‬‬
‫‪. 20‬‬
‫) ‪ ( 3‬שלושה פתרונות‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬פתרון אחד‪.‬‬
‫לפונקציה )‪ f (x‬יש רק נקודת קיצון אחת והיא נקודת מקסימום ב‪. x  2 -‬‬
‫א‪ .‬מהו הסימן של פונקציית הנגזרת )‪ f '(x‬עבור ‪? x  2‬‬
‫ב‪ .‬איזה מן הגרפים הבאים ) ‪ ( 4 , 3 , 2 , 1‬יכול לתאר את גרף הנגזרת‬
‫)‪ f '(x‬של הפונקציה )‪ ? f (x‬נמק את בחירתך‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪f '(x‬‬
‫)‪f '(x‬‬
‫)‪f '(x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫גרף ‪4‬‬
‫‪. 21‬‬
‫)‪f '(x‬‬
‫גרף ‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫גרף ‪2‬‬
‫גרף ‪1‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫לפניך גרף הפונקציה )‪f (x‬‬
‫בתחום ‪ . 1  x  8‬נתון‪. f '(1)  4 :‬‬
‫א‪ .‬שרטט סקיצה של גרף פונקציית‬
‫הנגזרת )‪ f '(x‬בתחום ‪. 1  x  8‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ . f '(0)  f (0) :‬מצא את משוואת‬
‫המשיק לפונקציה )‪ f (x‬בנקודה ‪. x  0‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי ‪23‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. 22‬‬
‫בציור מתואר גרף הנגזרת )‪ f '(x‬של פונקציה )‪. f (x‬‬
‫)‪f '(x‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחומי העלייה והירידה‬
‫‪2‬‬
‫‪2 x‬‬
‫של הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי ה‪ x -‬ש ל נקודות הקיצון‬
‫של הפונקציה )‪ f (x‬וקבע את סוג הקיצון‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון גם‪ . f (0)  0 :‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫‪. 23‬‬
‫בציור מתואר גרף הנגזרת )‪ f '(x‬של פונקצי ה )‪. f (x‬‬
‫)‪f '(x‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחומי העלייה והירידה של )‪. f (x‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪. f (0)  0 :‬‬
‫‪2‬‬
‫שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫‪. 24‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪ f (x‬היא פונקציה שתחום ההגדרה שלה הוא ‪. 3  x  3‬‬
‫לפניך גרף פונקציית הנגזרת )‪ f '(x‬בתחום ‪. 0  x  3‬‬
‫א‪ .‬נתון כי )‪ f '(x‬היא פונקציה זוגית בתחום ‪. 3  x  3‬‬
‫העתק את השרטוט למחברתך‪ ,‬והשלם‬
‫את הגרף של )‪ f '(x‬לכל התחום ‪. 3  x  3‬‬
‫ב‪ .‬מהם ערכי ‪ x‬עבורם יש לפונקציה נקודות קיצון פנימיות?‬
‫ציין היכן יש מינימום והיכן יש מקסימום‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון‪ f (x)  0 :‬לכל ‪ x‬בתחום ‪. f ( 2)  1 , 3  x  3‬‬
‫שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪ f (x‬בכל התחום ‪. 3  x  3‬‬
‫‪. 25‬‬
‫א‪ .‬נתונה הפונקציה ‪. f (x)   x 3  3x 2  8x  24‬‬
‫) ‪ ( 1‬הוכח שהפונקציה )‪ f (x‬יורדת לכל ערך של ‪. x‬‬
‫) ‪ ( 2‬חשב את )‪. f ( 3‬‬
‫) ‪ ( 3‬על‪ -‬פי הסעיפים ) ‪ ( 1‬ו‪ ,( 2 ) -‬מצא עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה )‪f (x‬‬
‫שלילית‪ ,‬ועבור אילו ערכי ‪ x‬היא חיובית‪.‬‬
‫‪x4‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה ‪ x 3  4x 2  24x  7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪. g(x)  ‬‬
‫) ‪ ( 1‬מצא בעזרת סעיף א' את נקודת הקיצון של הפונקציה )‪, g(x‬‬
‫וקבע אם היא מינימום או מקסימום‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬הסבר מדוע אין לפונקציה )‪ g(x‬נקודות קיצון נוספות‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא עבור אילו ערכים של ‪ k‬למשוואה ‪: g(x)  k‬‬
‫) ‪ ( 1‬יש פתרון יחיד‪ ( 2 ) .‬יש ש ני פתרונות ‪ ( 3 ) .‬אין אף פתרון‪.‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪a3 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a3 ‬‬
‫‪  0.25a;a 2 ‬מקסימום‪.‬‬
‫‪  0.25a;a 2 ‬מינימום‪,‬‬
‫‪ . 19‬א‪ . (0;a ) .‬ב‪( 1 ) .‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ ( 2‬ברביע השני‪.‬‬
‫ג‪( 1 ) .‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫ד‪. a  3 ( 1 ) .‬‬
‫)‪. 0  a  3 (2‬‬
‫)‪. a  3 (3‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי ‪24‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ . 20‬א‪ .‬חיובי‪.‬‬
‫ב‪ .‬גרף ‪. 1‬‬
‫‪ . 21‬א‪.‬‬
‫)‪f '(x‬‬
‫ב‪. y  2x  2 .‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ . 22‬א‪ .‬עלייה‪ x  2 :‬או ‪, x  2‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ירידה‪. 2  x  2 :‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ x  2 .‬מקסימום‪ x  2 ,‬מינימום‪.‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫‪ . 23‬א‪ .‬עלייה‪ x  2 :‬או ‪. x  2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ירידה‪. 2  x  2 :‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪f '(x‬‬
‫‪ . 24‬א ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ x  2 .‬מינימום‪ x  2 ,‬מקסימום ‪.‬‬
‫‪ . 25‬א‪ ( 3 ) . f (3)  0 ( 2 ) .‬חיובית‪ , x  3 :‬שלילית‪. x  3 :‬‬
‫ב‪ ( 3;35.75) ( 1 ) .‬מקסימום‪.‬‬
‫ג‪. k  35.75 ( 2 ) . k  35.75 ( 1 ) .‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫) ‪. k  35.75 ( 3‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי ‪25‬‬
‫עבודת קיץ – פונקציות רציונליות‬
‫)‪ 5‬יחידות(‬
‫‪.1‬‬
‫הישר ‪ x  1‬הוא אסימפטוטה לפונקציה ‪ax  16‬‬
‫‪x 2  3x  b‬‬
‫‪ . y ‬בנקודה ‪x  2‬‬
‫לפונקציה יש נקודת קיצון‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬ואת ‪. b‬‬
‫ב‪ .‬מצא‪ :‬תחום הגדרה‪ ,‬נקודות חיתוך עם הצירים‪ ,‬אסימפטוטות‬
‫מקבילות לצירים‪ ,‬נקודות קיצון‪ ,‬תחומי עליה וירידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬דרך כל אחת משתי נקודות הקיצון של הפונקציה מעבירים משיק‬
‫וישר המאונך למשיק‪ .‬ארבעת הישרים ה נ"ל יוצרים מרובע‪.‬‬
‫חשב את שטח המרובע‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫שיפוע המשיק לגרף הפונקציה ‪ax 2  bx  1‬‬
‫‪ y  2‬בנקודה ) ‪ (5;5 1‬הוא ‪.  40‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9‬‬
‫‪x  6x  8‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬ואת ‪. b‬‬
‫ב ‪ .‬מצא‪ ( 1 ) :‬תחום הגדרה‪ ( 2 ) .‬נקודות קיצון‪ ( 3 ) .‬תחומי עלייה וירידה‪.‬‬
‫) ‪ ( 4‬נקודות חיתוך עם הצירים‪ ( 5 ) .‬אסימפטוטות מקבילות לצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ ( 1 ) .‬מצא את תחומי החיוביות של הפונקציה‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא לאילו ערכי ‪ x‬שיפועי המשיקים לגרף הפונקציה הם חיוביים‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫הישר ‪ y  2‬הוא אסימפטוטה של הפונקציה ‪4x  15‬‬
‫‪(x  4) 2‬‬
‫א‪ .‬מצא את הערך של ‪. a‬‬
‫‪. f (x)  a ‬‬
‫ב‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ה‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ו‪ .‬הפונקציה )‪ g(x‬המקיימת ‪ . g(x)  2f (x)  c‬נקודת המינימום‬
‫של הפונקציה )‪ g(x‬היא )‪ . (3.5;3‬מצא את ערך הפרמטר ‪. c‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪2‬‬
‫נתונה פונקציה‬
‫‪ax 2  x‬‬
‫‪ . f (x) ‬אחת האסימפטוטות של הפונקציה‬
‫היא ישר המקביל לציר ה‪) y -‬ולא מתלכד איתו(‪ .‬ישר זה חו תך את‬
‫הישר ‪ y  x  3‬בנקודה ששיעור ה‪ y -‬שלה הוא ‪. 4‬‬
‫א‪ .‬מצא את הערך של הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬מצא‪ :‬תחום הגדרה‪ ,‬נקודות קיצון‪ ,‬תחומי עלייה וירידה‪,‬‬
‫נקודות חיתוך עם הצי רים‪ ,‬אסימפטוטות מקבילות לצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא לאלו ערכים של ‪ t‬יש למשוואה ‪: f (x)  t‬‬
‫) ‪ ( 1‬שני פתרונות‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫) ‪ ( 2‬אף פתרון‪.‬‬
‫‪32x‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪(x 2  3) 2‬‬
‫) ‪ ( 3‬פתרון אחד‪.‬‬
‫‪. f (x) ‬‬
‫א‪ .‬הוכח שהפונקציה מוגדרת לכל ערך של ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הנקודות על גרף הפונקציה שבהן ‪ , f '(x)  0‬וקבע אם הן‬
‫מסוג מינימום או מקסימום‪.‬‬
‫ג‪ .‬הוכח שפונקציה )‪ f (x‬היא פונקציה אי‪ -‬זוגית‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי ‪26‬‬
‫חקור את הפונקציות הבאות ומצא‪ :‬א‪ .‬תחום הגדרה‪,‬‬
‫ג‪ .‬תחומי עלייה וירידה‪,‬‬
‫ב‪ .‬נקודות קיצון‪,‬‬
‫ד‪ .‬נקודות חיתוך עם הצירים‪,‬‬
‫ה‪ .‬אסימפטוטות מקבילות לצירים‪ ,‬ו‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y  x 24x  5‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪.8‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪.9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y  x 2 7x  10‬‬
‫‪3x  15x‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪. (b  1‬‬
‫‪x  2x  b 2‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ b‬את נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ b‬אם ערך הפונקציה בנקודת המקסימום שלה הוא ‪. 1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪(x  a) 2‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪x2  5‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ( 1 ) : a‬תחום הגדרה‪ ( 2 ) .‬נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫‪. (a  0) y ‬‬
‫) ‪ ( 3‬אסימפטוטות מקבילות לצי רים‪ ( 4 ) .‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫) ‪ ( 5‬תחומי עלייה וירידה‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪. 10‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪ax 2  4‬‬
‫‪x 2  b2‬‬
‫א‪ .‬בטא בעזרת ‪ a‬ו‪ b -‬את האסימפטוטות של הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫‪. (b  0 , a  0) f (x)  2 ‬‬
‫ב‪ .‬בטא בעזרת ‪ a‬ו‪ b -‬את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬עבור אילו ערכים של ‪ b‬מתקיים‪? f (0)  0 :‬‬
‫ד‪ .‬נתון‪ . f (0)  0 :‬תאר סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪. 11‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪x 2‬‬
‫‪3 x‬‬
‫‪. f (x) ‬‬
‫א‪ .‬מצא‪ ( 1 ) :‬תחום הגדרה‪ ( 2 ) .‬נקודות קיצון‪ ( 3 ) .‬תחומי עלייה וירידה ‪.‬‬
‫) ‪ ( 4‬נקודות חיתוך עם הצירים‪ ( 5 ) .‬אסימפטוטות מקבילות לצ ירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא עבור פונקציית הנגזרת )‪: f '(x‬‬
‫) ‪ ( 1‬תחום הגדרה‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬נקודות חיתוך עם ציר ה‪. x -‬‬
‫) ‪ ( 3‬תחומי חיוביות ושליליות‪ ( 4 ) .‬אסימפטוטות מקבילות לצירים‪.‬‬
‫) ‪ ( 5‬שרטט סק יצה של גרף הנגזרת )‪. f '(x‬‬
‫הנח שלגרף הנגזרת )‪ f '(x‬אין נקודות קיצון‪.‬‬
‫‪. 12‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪x 2  8x‬‬
‫‪x2  8‬‬
‫‪. f (x) ‬‬
‫א‪ .‬מצא‪ ( 1 ) :‬תחום הגדרה‪ ( 2 ) .‬נקודות קיצון‪ ( 3 ) .‬תחומי עלייה וירידה‪,‬‬
‫) ‪ ( 4‬נקודות חיתוך עם הצירים‪ ( 5 ) ,‬אסימפטוטות מקבילות לצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬הפונקציה )‪ f (x‬היא נגזרת של פונקציה אחרת )‪, g(x‬‬
‫כלומר )‪ . g '(x)  f (x‬בהנחה שתחום ההגדרה של הפונקציה )‪g(x‬‬
‫זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה )‪: f (x‬‬
‫) ‪ ( 1‬מצא את שיעורי ה‪ x -‬של הנקודות שבהן לפונקציה )‪g(x‬‬
‫יש נקודות קיצון וקבע את סוג הקיצון‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את תחומ י העלייה והירידה של הפונקציה )‪. g(x‬‬
‫) ‪ ( 3‬הסבר מדוע לפונקציה )‪ g(x‬אין אסימפטוטה אופקית‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי ‪27‬‬
‫‪. 13‬‬
‫‪ax  b‬‬
‫הנקודה )‪ (4; 9‬היא נקודת קיצון של הפונקציה‬
‫‪x 2  9x  18‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬ואת ‪. b‬‬
‫‪. f (x) ‬‬
‫ב‪ .‬מצא‪ :‬תחום הגדרה‪ ,‬נקודות חיתוך עם הצירים‪ ,‬אסימפטוטות‬
‫מקבילות לצירים‪ ,‬נקודות קיצון‪ ,‬תחומי עליה וירידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬הפונקציה )‪ g(x‬מקיימת ‪ . g(x)  f (x)  11‬שרטט בתחום ‪3  x  6‬‬
‫את הגרף של )‪ f (x‬ואת הגרף של )‪ g(x‬באותה מערכת הצירים‪.‬‬
‫ה‪ .‬הפונקציה )‪ h(x‬מקיימת‪. h(x)  f (x)  k :‬‬
‫מצא את הערכים של ‪ k‬עבורם גרף הפונקציה )‪ h(x‬משיק לציר ה‪. x -‬‬
‫‪. 14‬‬
‫א‪ .‬נתונה פונקציה )‪ . f (x‬ידוע כי ‪ x 0‬היא נקודת מקסימום )מקומי(‬
‫של הפונקציה )‪ . f (x‬כמו כן‪. f ''(x 0 )  0 ,‬‬
‫הפונקציה )‪ g(x‬מקיימת )‪. g(x)  f (x‬‬
‫הוכח‪ x 0 :‬הי א נקודת מינימום )מקומי( של הפונקציה )‪. g(x‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה ‪x 2  4x  6‬‬
‫‪x 2  4x  5‬‬
‫‪. f (x) ‬‬
‫מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫ג‪ .‬נגדיר )‪ . g(x)  f (x‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה )‪g(x‬‬
‫וקבע את סוגה )היעזר בסעיפים קודמים(‪.‬‬
‫‪. 15‬‬
‫‪(x  a) 2‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪x2  5‬‬
‫‪. a  0 , f (x) ‬‬
‫א‪ .‬חקור את הפונקציה ומצא ) במידת הצורך הבע באמצעות ‪:( a‬‬
‫) ‪ ( 1‬תחום הגדרה ‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬נקודות חיתוך עם הצירים ‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬נקודות קיצו ן‪ ( 4 ) .‬תחומי עליה וירידה ‪.‬‬
‫) ‪ ( 5‬אסימפטוטות מקבילות לצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬הנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬נמצאת על גרף הפונקציה )‪ f (x‬בתחום שמימין‬
‫לנקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה‪ . x -‬נסמן‪. x B  x 2 , x A  x1 :‬‬
‫הוכח‪. 1  f (x1 )  f (x 2 )  1 :‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫א‪ . b  4 , a  2 .‬ב‪ .‬תחום הגדרה‪. x  1 , x  4 :‬‬
‫‪y‬‬
‫נקודות חיתוך‪. (8;0) , (0; 4) :‬‬
‫אסימפטוטות‪. y  0 , x  4 , x  1 :‬‬
‫נקודות קיצון‪ (2; 2) :‬מקסימום‪,‬‬
‫)‪ (14; 0.08‬מינימום‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫עלייה‪ x  14 :‬או ‪ 1  x  2‬או ‪. x  1‬‬
‫ירידה‪ 4  x  14 :‬או ‪. 2  x  4‬‬
‫‪.2‬‬
‫ד‪. 23.04 .‬‬
‫א‪. b  2 , a  1 .‬‬
‫ב‪. x  4 , x  2 ( 1 ) .‬‬
‫‪y‬‬
‫) ‪ (1;0) ( 2‬מינימום‪ (2.5; 3) ,‬מקסימום‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬עלייה‪ 2  x  2.5 :‬או ‪. 1  x  2‬‬
‫ירידה‪ x  4 :‬א ו ‪ 2.5  x  4‬או ‪. x  1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪8‬‬
‫) ‪. y  1 , x  4 , x  2 ( 5 ) . (1;0) , (0; ) ( 4‬‬
‫ד‪ x  4 ( 1 ) .‬או ‪ 1  x  2‬או ‪. x  1‬‬
‫) ‪ 2  x  2.5 ( 2‬או ‪. 1  x  2‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי ‪28‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪.3‬‬
‫א‪. 2 .‬‬
‫ב‪. x  4 .‬‬
‫ג‪ (3.5; 2) .‬מינימום‪.‬‬
‫ד‪. (2.29; 0) , (3.71; 0) , (0;1 1 ) .‬‬
‫‪16‬‬
‫ו‪. 7 .‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.4‬‬
‫א‪ . 1 .‬ב‪ .‬תחום הגדרה‪. x  1 , x  0 :‬‬
‫‪y‬‬
‫נקודות קיצון‪ ( 1 ; 8) :‬מקסימום‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫עלייה‪ 0  x  1 :‬או ‪ ; x  0‬ירידה‪x  1 :‬‬
‫‪2‬‬
‫או ‪ . 1  x  1‬נקודות חיתוך‪ :‬אין‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫אסימפטוטות‪. y  0 , x  1 , x  0 :‬‬
‫ד‪ t  0 ( 1 ) .‬או ‪. t  8 ( 3 ) . 8  t  0 ( 2 ) . t  8‬‬
‫‪ . 5‬ב‪ (1;2) .‬מקסימום‪ ( 1; 2) ,‬מינימום‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪.6‬‬
‫א‪. x  1 , x  1 .‬‬
‫ב‪ .‬אין‪.‬‬
‫ג‪ .‬עלייה‪ x  1 :‬או ‪ 1  x  1‬או ‪; x  1‬‬
‫ירידה‪ :‬אין‪.‬‬
‫ד‪. (0; 5) , (5; 0) .‬‬
‫‪x‬‬
‫ה‪. y  1 , x  1 .‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪. x  5 , x  0 .‬‬
‫ב‪ .‬אין‪.‬‬
‫ג‪ .‬עלייה‪ x  5 :‬או ‪ 0  x  5‬או ‪; x  0‬‬
‫ירידה ‪ :‬אין‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ד‪. (2; 0) .‬‬
‫‪1‬‬
‫ה‪. y  , x  0 .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.8‬‬
‫א‪ (b; 1 ) .‬מקסימום‪1 ) ,‬‬
‫‪2b  2‬‬
‫‪2b  2‬‬
‫‪.9‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬כל ‪. x‬‬
‫‪2‬‬
‫;‪ (  b‬מינימום‪ .‬ב‪. 3 .‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪a ) (2‬‬
‫‪5‬‬
‫)‪. y  1 (3‬‬
‫;‪. (a;0) , (0‬‬
‫) ‪ (a;0) ( 4‬מינימום‪,‬‬
‫‪ 5 a2  5 ‬‬
‫‪5 ‬‬
‫; ‪  ‬מקסימום‪.‬‬
‫‪ a‬‬
‫‪. x 5‬‬
‫) ‪ ( 5‬עלייה‪ x  a :‬או ‪a‬‬
‫‪.5‬‬
‫ירידה‪a  x  a :‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי ‪29‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪. 10‬‬
‫א‪. y  a  2 , x   b , x  b .‬‬
‫ב‪ .‬עלייה‪ b  x  0 :‬או ‪. x  b‬‬
‫ירידה‪ x  b :‬או ‪. 0  x  b‬‬
‫‪ 0  b ‬או ‪.  2  b  0‬‬
‫ג‪2 .‬‬
‫‪. 11‬‬
‫א‪ 3 ( 1 ) .‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪.x‬‬
‫) ‪ (0; 0) ( 2‬מינימום‪ (6; 12) ,‬מקסימום‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬עלייה‪ 3  x  6 :‬או ‪; 0  x  3‬‬
‫‪x‬‬
‫ירידה‪ x  6 :‬או ‪. x  0‬‬
‫) ‪. x  3 ( 5 ) . (0; 0) ( 4‬‬
‫ג‪. x  3 ( 1 ) .‬‬
‫‪y‬‬
‫) ‪. (6;0) , (0;0) ( 2‬‬
‫) ‪ ( 3‬חיוביות‪ 0  x  3 :‬או ‪; 3  x  6‬‬
‫שליליות‪ x  6 :‬או ‪. x  0‬‬
‫‪x‬‬
‫) ‪. y  1 , x  3 ( 4‬‬
‫‪. 12‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬כל ‪ (4; 2) ( 2 ) . x‬מקסימום‪ (2; 1) ,‬מינימום‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫) ‪ ( 3‬עלייה‪; 2  x  4 :‬‬
‫ירידה‪ x  4 :‬או ‪. x  2‬‬
‫) ‪. y  1 ( 5 ) . (8;0) , (0;0) ( 4‬‬
‫מקסימום‪x .‬‬
‫ג‪ x  0 ( 1 ) .‬מינימום‪x  8 ,‬‬
‫) ‪ ( 2‬עלייה‪ x  0 :‬או ‪; x  8‬‬
‫ירידה‪. 8  x  0 :‬‬
‫‪. 13‬‬
‫א‪. b  18 , a  9 .‬‬
‫‪y‬‬
‫ב‪ .‬תחום הגדרה‪. x  6 , x  3 :‬‬
‫נקודות חיתוך‪. (2;0) , (0; 1) :‬‬
‫אסימפטוטות‪. y  0 , x  6 , x  3 :‬‬
‫‪x‬‬
‫נקודות קיצון‪ (4; 9) :‬מקסימום‪,‬‬
‫)‪(0; 1‬‬
‫מינימום‪ .‬עלייה‪ 3  x  4 :‬או ‪. 0  x  3‬‬
‫ירידה‪ x  6 :‬או ‪ 4  x  6‬או ‪. x  0‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫ה‪ 1 .‬או ‪. 9‬‬
‫‪x‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי ‪30‬‬
‫‪ . 14‬ב‪ (2;2) .‬מקסימום‪.‬‬
‫‪. 15‬‬
‫ג‪ (2; 2) .‬מינימום‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬כל ‪. x‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪a ) (2‬‬
‫‪5‬‬
‫) ‪ (a;0) ( 3‬מינימום‪,‬‬
‫‪ 5 a2  5 ‬‬
‫; ‪  ‬מקסימום‪.‬‬
‫‪5 ‬‬
‫‪ a‬‬
‫;‪. (a;0) , (0‬‬
‫‪; x 5‬‬
‫) ‪ ( 4‬עלייה‪ x  a :‬או ‪a‬‬
‫‪.5‬‬
‫ירידה‪a  x  a :‬‬
‫)‪. y  1 (5‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי ‪31‬‬
‫‪x‬‬
‫עבודת קיץ – בעיות קיצון )‪ 5‬יחידות(‬
‫‪.1‬‬
‫מבין כל זוגות המספרים החיוביים שסכומם ‪ , 10‬מצא את זוג המספרים‬
‫שמכפלת ריבוע ו של האחד בחזקה השלישית של השני היא מקסימלית‪.‬‬
‫מצא גם את המכפלה המקסימלית‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 3456 , 6 , 4‬‬
‫‪.2‬‬
‫ה ס כום של שני מספרים הוא ‪. a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫הוכח כי סכום ריבועיהם המינימלי הוא ‪. a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪ x‬ו‪ y -‬הם שני מספרים חיוביים שסכומם ‪. 1‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. xy  1 :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.4‬‬
‫ב‪x  y  12 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫סכומם של שלושה מס פרים אי‪ -‬שליליים הוא ‪. 30‬‬
‫נתון כי שניים מהמספרים שווים זה לזה‪.‬‬
‫מצא את שלושת המספרים שמכפלתם‪ :‬א‪ .‬מקסימלית‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.5‬‬
‫א‪. 10 , 10 , 10 .‬‬
‫ב‪ .‬מינימלית‪.‬‬
‫ב‪ 30 , 0 , 0 .‬או ‪. 0 , 15 , 15‬‬
‫חותכים חוט שאורכו ‪ 80‬ס"מ לשני חלקים‪ .‬מכל אחד מהחלקים‬
‫מכינים ריבוע‪ .‬מה צריך להיות אורך כל אחד מהחלקים‪ ,‬כדי שסכום‬
‫השטחים של שני הריבועים יהיה מינימלי?‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪ 40‬ס"מ‪ 40 ,‬ס"מ‪.‬‬
‫בתוך מלבן שאורכו ‪ 8‬ס"מ ורוחבו ‪ 6‬ס"מ‬
‫חסומים ריבוע ומשולש אפורים‪.‬‬
‫מה צריך להיות אורך צלע הריבוע‬
‫‪6‬‬
‫כדי שהשטח האפור יהיה מינימלי?‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪ 2 1‬ס"מ‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫נתון מלבן ‪ ABCD‬שממדיו‪ 32 :‬ס"מ ‪AB ‬‬
‫‪8‬‬
‫‪P‬‬
‫‪B‬‬
‫ו‪ 24 -‬ס"מ ‪ . AD ‬על צלעות המלבן מקצים‬
‫‪Q‬‬
‫קטעים‪. CS  AQ  x , AP  CR  2x :‬‬
‫מצא את שטחה המקסימלי‬
‫של המקבילית ‪. PQRS‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪A‬‬
‫‪S‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ 400‬סמ"ר ‪.‬‬
‫במשולש שוווה‪ -‬שוקיים ‪ ABC‬אורך הבסיס ‪BC‬‬
‫הוא ‪ 4‬ס"מ והגובה לבסיס הוא ‪ 2‬ס"מ‪.‬‬
‫הגובה חותך את הבסיס בנקודה ‪. K‬‬
‫‪K‬‬
‫‪A‬‬
‫ל‪. -‬‬
‫נקודה ‪ P‬נמצאת על הגובה לבסיס בין‬
‫מה צריך להיות אורכו של הקטע ‪ , PK‬כדי‬
‫שהסכום ‪ (PA) 2  (PB) 2  (PC) 2‬של ריבועי מרחקי‬
‫הנקודה ‪ P‬מקדקודי המשולש יהיה מינימלי?‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי ‪32‬‬
‫‪A‬‬
‫‪P‬‬
‫‪C‬‬
‫‪K‬‬
‫‪B‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪ 2‬ס"מ‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫במשולש שווה‪ -‬שוקיים שבסיסו ‪ 10‬ס"מ‬
‫‪A‬‬
‫ושוקו ‪ 13‬ס"מ חסום מלבן שאחת מצלעותיו‬
‫נמצאת על בסיס המשולש ושניים מקדקודיו‬
‫נמצאים על השוקיים‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫מה צרי ך להיות אורך הצלע ‪ DE‬של המלבן‪,‬‬
‫‪D‬‬
‫כדי ששטחו של המלבן יהיה מקסימלי ?‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 10‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ 5‬ס"מ ‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫נקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפ ונקציה ‪y   x 2  81‬‬
‫ברביע הראשון‪ .‬הקטע ‪ AC‬מקביל לציר ה‪. x -‬‬
‫מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪, A‬‬
‫כדי ששטח הטרפז ישר‪ -‬הזווית ‪ABOC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪G‬‬
‫‪H‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪O‬‬
‫‪B x‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 11‬‬
‫‪y‬‬
‫נקודה ‪ A‬נמצאת על הפונקציה ‪y  x 2  3x  9‬‬
‫ב רביע הראשון‪ .‬נקודה ‪ B‬נמצאת על הפונקציה‬
‫‪ y   x 2  3x  2‬ברביע הראשון‪ .‬הקטע ‪ AB‬מקביל‬
‫לציר ה‪ . y -‬הנקודות ‪ C‬ו‪ D -‬נמצאת על ציר ה‪y -‬‬
‫כך ש‪ ABCD -‬מלבן‪ .‬מצא מה צריכים להיות שיעורי‬
‫הנקודה ‪ A‬כדי שהיקף המלבן יהיה מינימלי‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 12‬‬
‫)‪. (3;72‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪. (1.25;6.8125‬‬
‫בין גרף הפונקציה ‪ , y  x 2  6x‬הישר ‪y   x‬‬
‫וציר ה‪ x -‬חסום ברביע הרביעי מלבן ‪ABCD‬‬
‫שצלעו ‪ AB‬מתלכדת עם ציר ה‪) x -‬ראה ציור( ‪.‬‬
‫מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪, B‬‬
‫‪y‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫כפי ששטח המלבן יהיה מקסימלי?‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫)‪. (5.545; 2.524‬‬
‫‪y‬‬
‫‪. 13‬‬
‫בין גרף הפרבולה ‪y   x 2  16x  28‬‬
‫לבין ציר ה‪ x -‬חסום טרפז )ראה ציור(‪.‬‬
‫נסמן ב‪ S -‬את שטח הטרפז‪.‬‬
‫הוכח‪. S  256 :‬‬
‫‪. 14‬‬
‫א‪ .‬ל אילו ערכים של ‪ x‬המשיקים לגרף הפונקציה ‪y   x 3  9x 2  24x‬‬
‫יוצרים זווית חדה עם הכיוון החיובי של ציר ה‪. x -‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הזווית החדה הגדולה ביותר שהמשיק לגרף הפונקציה יוצר‬
‫עם הכיוון החיובי של ציר ה‪. x -‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫א‪. 2  x  4 .‬‬
‫ב‪. 71.57 .‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי ‪33‬‬