(אורך קטע) המרחק בין שתי נקודות

‫המרחק בין שתי נקודות )אורך קטע(‬
‫בסעיף זה נלמד לחשב את המרחק בין שתי נקודות על פי שיעוריהן‪.‬‬
‫הנוסחה למציאת המרחק ‪ d‬בין שתי הנקודות ) ‪ (x1;y1‬ו‪(x 2 ;y 2 ) -‬‬
‫היא‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫‪(x 2  x1 )2  (y 2  y1 )2‬‬
‫נוכיח את הנוסחה‪ .‬נסמן במערכת צירים‬
‫‪y‬‬
‫את הנקודות ) ‪ A(x1; y1‬ו‪ B(x 2 ; y 2 ) -‬כך‬
‫ש‪) y1  y 2 , x1  x 2 -‬ראה ציור(‪.‬‬
‫) ‪B(x 2 ; y 2‬‬
‫דרך נקודה ‪ A‬נעביר ישר המקביל‬
‫לציר ה‪ x -‬ודרך נקודה ‪ B‬נעביר ישר‬
‫) ‪C(x 2 ; y1‬‬
‫) ‪A(x1; y1‬‬
‫‪x‬‬
‫המקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫שני הישרים נפגשים בנקודה ) ‪. C(x 2 ; y1‬‬
‫הקטע ‪ AC‬מקביל לציר ה‪ , x -‬לכן ‪. AC  x 2  x1‬‬
‫הקטע ‪ BC‬מקביל לציר ה‪ , y -‬לכן ‪. BC  y 2  y1‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬הוא ישר‪ -‬זווית ) )‪ , (AC  BC‬לכן מתקיים משפט פיתגורס‬
‫לפיו ‪ . (AB)2  (AC)2  (BC)2‬נציב ונקבל‪AB2  (x 2  x1 ) 2  (y 2  y1 ) 2 :‬‬
‫‪AB  (x 2  x1 ) 2  (y 2  y1 ) 2‬‬
‫הער ות ‪:‬‬
‫א‪ .‬הנוסחה נכונה גם כאשר ‪ x1  x 2‬או ‪. y1  y 2‬‬
‫ב‪ .‬אפשר היה להוכיח את הנוסחה מבלי לדעת האם ‪ x 2‬גדול‪ ,‬קטן או‬
‫שווה ל‪ x1 -‬וגם מבלי לדעת האם ‪ y 2‬גדול‪ ,‬קטן או שווה ל‪. y1 -‬‬
‫במקרה כזה אורכי הניצבים היו ‪x 2  x1‬‬
‫ו‪. y 2  y1 -‬‬
‫ג‪ .‬הנוסחה נכונה גם כאשר הקטע הנתון מקביל לאחד הצירים‪.‬‬
‫עם זאת‪ ,‬במקרה כזה ניתן לחשב את המרחק בין שתי הנקודות‬
‫גם ללא הנוסחה‪.‬‬
‫אם לשתי הנקודות יש אותו שיעור ‪ , x‬אז המרחק ביניהן הוא ההפרש‬
‫בין שיעור ה‪ y -‬הגדול יותר לשיעור ה‪ y -‬הקטן יותר‪.‬‬
‫אם לא ידוע לאיזו נקודה שיעור ‪ y‬גדול יותר‪ ,‬ניעזר בערך מוחלט‪.‬‬
‫אם לשתי הנקודות יש אותו שיעור ‪ , y‬אז המרחק ביניהן הוא ההפר ש‬
‫בין שיעור ה‪ x -‬הגדול יותר לשיעור ה‪ x -‬הקטן יותר‪.‬‬
‫אם לא ידוע לאיזו נקודה שיעור ‪ x‬גדול יותר‪ ,‬ניעזר בערך מוחלט‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪19‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫חשב את המרחק בין הנקודות )‪ (5; 4‬ו‪. (2;3) -‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)‪(5; 4‬‬
‫נציב את שיעורי הנקודות בנוסחה‪ .‬נקבל‪:‬‬
‫)‪(2;3‬‬
‫‪d  (5  2) 2  (4  3) 2  32  12  10  3.16‬‬
‫‪x‬‬
‫לסיכום‪ ,‬המרחק בין שתי הנקודות הוא ‪. 3.16‬‬
‫תרגילים‬
‫‪.1‬‬
‫בתרגילים הבאים נתונות שתי נקודות‪ .‬מצא את המרחק ביניהן‪.‬‬
‫א‪. (11;14) , (6; 2) .‬‬
‫‪.2‬‬
‫ב ‪. ( 7; 4) , ( 9; 3) .‬‬
‫קדקודי משולש הם‪. C(14; 1) , B(9; 4) , A(8; 3) :‬‬
‫הראה שהמשולש ‪ ABC‬הוא שווה‪ -‬שוקיים‪.‬‬
‫מהו קדקוד זווית הראש?‬
‫‪.3‬‬
‫‪y‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬נתון‪. A(4; 2) :‬‬
‫הצלע ‪ AB‬מקבילה לציר ה‪x -‬‬
‫והצלע ‪ BC‬מונחת על הישר ‪. y  x  5‬‬
‫הקדקוד ‪ C‬נמצא על ציר ה‪. x -‬‬
‫א‪ .‬חשב את היקף המשולש ‪. ABC‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪. ABC‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x‬‬
‫נתונות הנקודות )‪ B( 2; 9) , A(3;1‬ו‪. C(6;7) -‬‬
‫הוכח ששלוש הנקודות נמצאות על ישר אחד‪.‬‬
‫פתור בשתי דרכים‪:‬‬
‫) ‪ ( 1‬בעזרת חישוב המרחק בין כל שתי נקודות‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬בעזרת חישובי שיפועים‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫האנך מהנקודה )‪ A(1;8‬לישר ‪y  2x‬‬
‫חותך את הישר בנקודה ‪. B‬‬
‫מצא את המרחק של הנקוד ה ‪A‬‬
‫מהישר הנתון )המרחק ‪ AB‬שבציור(‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪20‬‬
‫‪.6‬‬
‫קדקודיו של משולש ‪ ABC‬הם )‪B(6;0) , A(4; 4‬‬
‫ו‪ BD . C(10;1) -‬ה ו א הגובה לצלע ‪. AC‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪. D‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪. ABC‬‬
‫‪.7‬‬
‫המשוואה של אחת מצלעות משולש היא ‪. y  4‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫המשוואות של שניים מגובהי המשולש הן ‪ y   53 x  10‬ו‪. y  x  2 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הקדקודים של המשולש‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫קדקודיו של משולש הם )‪ B(3;1) , A(6;5‬ו‪. C(14; 1) -‬‬
‫א‪ .‬הוכח שהמשולש הוא י שר‪ -‬זווית וחשב את שטחו‪.‬‬
‫ב‪ .‬היעזר בטריגונומטריה וחשב את זוויותיו החדות של המשולש‪.‬‬
‫‪.9‬‬
‫קדקודי המשולש ‪ ABC‬הם )‪ B(10;3) , A(2;1‬ו‪. C(4;7) -‬‬
‫א‪ .‬חשב את גודל הזווית ‪ . B‬היעזר במשפט הקוסינוסים‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪. ABC‬‬
‫היעזר בנוסחה לחישוב שטח על פי שתי צלעות וסינוס הזווית שביניהן‪.‬‬
‫‪. 10‬‬
‫קדקודיו של מרובע הם )‪ C(7;14) , B(2;9) , A(3;2‬ו‪. D(8;7) -‬‬
‫א‪ .‬הוכח שהמרובע הוא מעוין וחשב את שטחו‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את גובהו של המעוין‪.‬‬
‫‪. 11‬‬
‫במקבילית ‪ ABCD‬משוואת הצלע ‪ AB‬היא ‪y  12 x  2‬‬
‫ומשוואת הצלע ‪ AD‬היא ‪. y  4x  5‬‬
‫אחד מקדקודי המקבילית נמצא בנקודה )‪. (9;10‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואות הצלעות ‪ BC‬ו‪. DC -‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המקבילית‪.‬‬
‫‪. 12‬‬
‫ישר שמשוואתו ‪ y  2x  5‬חותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה ‪. A‬‬
‫ישר שמשוואתו ‪ y  2x  5‬חותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה ‪. C‬‬
‫מנקודה ‪ A‬מורידים אנך לישר ‪ y  2x  5‬החותך אותו בנקודה ‪. B‬‬
‫מנקודה ‪ C‬מורידים אנך לישר ‪ y  2x  5‬חותך אותו בנקודה ‪. D‬‬
‫א‪ .‬חשב את שטח המרובע ‪. ABCD‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית )החדה( שבין אלכסוני המרובע ‪. ABCD‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪21‬‬
‫תשוב ות‪:‬‬
‫‪ . 1‬א‪ . 13 .‬ב‪. 5 .‬‬
‫ב‪ 7 .‬יח"ר‪20 . 5 .‬‬
‫‪ . 2‬קדקוד זווית הראש הוא ‪ . 3 . B‬א‪. 19.05 .‬‬
‫‪ . 6 .‬א‪ . (7.2; 2.4) .‬ב‪ . 7 . 9 .‬א‪. (10;4) , (5;9) , (2;4) .‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ 20 .‬יח"ר‪ . 8 .‬א‪ . 25 .‬ב‪ . 9 . 26.57 , 63.43 .‬א‪ . 47.73 .‬ב‪ . 10 . 22 .‬א‪. 40 .‬‬
‫ב‪ . 11 . 4 2 .‬א‪ . y  12 x  5.5 , y  4x  26 .‬ב‪ 21 .‬יח"ר‪ . 12 .‬א‪ . 40 .‬ב‪. 36.87 .‬‬
‫המרחק בין שתי נקודות – מציאת נעלמים‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫מצא נקודה על הישר ‪ y  2x  1‬שמרחקה מהנקודה )‪ A(8;13‬הוא ‪. 10‬‬
‫רשום את שתי האפשרויות המתקבלות‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נסמן נקודה כלשהי ‪ B‬הנמצאת על הישר ‪. y  2x  1‬‬
‫‪y‬‬
‫ומרחקה מהנקודה )‪ A(8;13‬הוא ‪. 10‬‬
‫נסמן ב‪ x1 -‬את שיעור ה‪ x -‬בנקודה ‪. B‬‬
‫)‪A(8;13‬‬
‫נקודה ‪ B‬נמצאת על הישר ‪ , y  2x  1‬לכן שיעור ה‪y -‬‬
‫שלה הוא ‪ 2x1  1‬ומכאן )‪. B(x1 ;2x1  1‬‬
‫נתון שהמרחק בין הנקודה ‪ A‬לנקודה ‪ B‬הוא ‪. 10‬‬
‫)‪B(t;2t  1‬‬
‫‪x‬‬
‫בשלב הראשון נביע את המרחק ‪ AB‬באמצעות ‪. x1‬‬
‫נקבל‪ . AB  (x1  8) 2  (2x1  1  13) 2 :‬לאחר פתיחת סוגריים וכינוס‬
‫איברים דומים נקבל‪. AB  5x12  64x1  208 :‬‬
‫כעת נשווה את המרחק ל‪. 10 -‬‬
‫נקבל‪ . 5x12  64x1  208  10 :‬כדי לפתור את המשוואה‪ ,‬נעלה בריבוע‬
‫את שני האגפים‪ .‬נקבל‪ 5x1  64x1  208  100 :‬ומכאן ‪. 5x1  64x1  108  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫הפתרונות של המשוואה הם‪ x1  10.8 :‬או ‪. x1  2‬‬
‫)הערה‪ :‬לפני ההעלאה בריבוע שני האגפים חיוביים‪ ,‬לכן אין צורך‬
‫בבדיקת הפתרונות כפי שמבצעים בדרך כלל במשוואות עם שורשים(‪.‬‬
‫עבור ‪ x1  10.8‬נקבל‪ . B(10.8;22.6) :‬עבור ‪ x1  2‬נקבל‪. B(2;5) :‬‬
‫לסיכום‪ ,‬קיימות שתי נקודות על הישר ‪ y  2x  1‬שמרחקן מהנקודה‬
‫)‪ A(8;13‬הוא ‪ . 10‬הנקודות הן )‪ (10.8;22.6‬ו‪. (2;5) -‬‬
‫‪. 13‬‬
‫מצא נקודה על ציר ה‪ y -‬שמרחקה מהנקודה )‪ (8;19‬הוא ‪. 10‬‬
‫רשום את ש ני הפתרונות האפשריים ‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪22‬‬
‫‪. 14‬‬
‫נתונה הנקודה )‪. A(10;12‬‬
‫על הישר ‪ y  x  4‬קיימות שתי נקודות שמרחקן מהנקודה ‪ A‬הוא ‪. 10‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודות האלה‪.‬‬
‫‪. 15‬‬
‫נתון ה ישר ‪ y  x  1‬ונתונות שתי נקודות ‪. B(9; 4) , A(5; 2) :‬‬
‫מצא נקודה על הישר הנמצאת במרחק שווה משתי הנקודות‪.‬‬
‫‪. 16‬‬
‫נתונות הנקודות )‪ A(4;10‬ו‪. B(1;  4) -‬‬
‫מצא נקודה על ציר ה‪ x -‬שמרחקה מהנקודה ‪ A‬גדול פי ‪ 2‬ממרחקה‬
‫מהנקודה ‪) B‬שתי אפשרויות(‪.‬‬
‫‪. 17‬‬
‫מצא נקודה על חלקו ה שלילי של ציר ה‪ y -‬הנמצאת במרחק שווה‬
‫מהנקודה )‪ B(4; 2‬ומציר ה‪. x -‬‬
‫‪. 18‬‬
‫על הישר ‪ , 4x  3y  14‬מצא נקודה הנמצאת במרחק שווה משני הצירים‪.‬‬
‫הבחן בין שני מקרים‪.‬‬
‫‪. 19‬‬
‫על ישר ‪ , y  x  2‬מצא נקודה שסכום מ רחקיה מציר ה‪ y -‬ומראשית‬
‫הצירים הוא ‪. 16‬‬
‫‪. 20‬‬
‫על ציר ה‪ x -‬מצא נקודה‪ ,‬שסכום מרחקיה מהנקודות )‪ (9;8‬ו‪(1;0) -‬‬
‫הוא ‪. 24‬‬
‫‪. 21‬‬
‫מצא באיזה תחום צריך להיות ‪ b‬כדי שהנקודה )‪ (0;b‬תהיה קרובה יותר‬
‫לנקודה )‪ (3;7‬מאשר לנקודה )‪. (  4;14‬‬
‫‪. 22‬‬
‫נתונות שתי נקודות‪ A( 3;6) :‬ו‪. B(2;k) -‬‬
‫מצא לאילו ערכים של ‪ k‬המרחק בין הנקודות ‪ A‬ו‪: B -‬‬
‫א‪ .‬שווה ל‪. 13 -‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫ב‪ .‬קטן מ‪. 13 -‬‬
‫ג‪ .‬גדול מ‪. 13 -‬‬
‫‪ (0; 25) . 13‬או )‪. (6;5) . 15 . (16; 20) , (2; 6) . 14 . (0;13‬‬
‫‪ (4;0) . 16‬או )‪ (2;2) . 18 . (0; 5) . 17 . (  4;0‬או )‪. (14; 14‬‬
‫‪ (15;0) . 20 . ( 7.166; 5.166) , (6;8) . 19‬או )‪. ( 6;0‬‬
‫‪ . 22‬א‪ k  18 .‬או ‪ . k  6‬ב‪. 6  k  18 .‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪23‬‬
‫‪. b  11 . 21‬‬
‫ג‪ k  18 .‬או ‪. k  6‬‬
‫המרחק בין שתי נקודות – צורות גיאומטריות‬
‫‪. 23‬‬
‫במשולש שווה‪ -‬שוקיים ‪ (AB  AC) ABC‬נתון‪. B(5; 5) , A(3; 6) :‬‬
‫הצלע ‪ AC‬מונחת על הישר ‪ . y  2x‬מצא את שיעורי הנקודה ‪. C‬‬
‫‪. 24‬‬
‫במשולש שווה‪ -‬שוקיים ‪ (AB  AC) ABC‬נתון‪. C( 1;14) , B(3;16) :‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הקדקוד ‪ , A‬אם נתון שהוא נמצא על הישר ‪. y  9‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת הגו בה לשוק ‪. AC‬‬
‫‪. 25‬‬
‫במשולש שווה‪ -‬שוקיים ‪ ABC‬נתון‪. C(0;2) , B( 4; 2) , AB  AC  58 :‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקוד ‪. A‬‬
‫‪. 26‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ABC‬הוא משולש ישר‪ -‬זווית ושווה‪ -‬שוקיים ) ‪. (C  90‬‬
‫נתון‪. B(4;1) , C(8; 3) :‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪) A‬שני פתרונות(‪.‬‬
‫‪. 27‬‬
‫‪ ABCD‬הוא מלבן שש ניים מקדקודיו הם )‪ A(3; 2‬ו‪. D(4;2) -‬‬
‫אורך הצלע ‪ AB‬הוא ‪. 2 17‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקודים ‪ B‬ו‪ . C -‬רשום את שתי האפשרויות‪.‬‬
‫‪. 28‬‬
‫‪ ABCD‬הוא מלבן הנמצא כולו ברביע הראשון‪ .‬הצלע ‪ AB‬מונחת‬
‫על הישר ‪ , 3x  4y  19‬שיעורי הקדקוד ‪ A‬הם )‪ , A(1;4‬אורך הצלע ‪AB‬‬
‫הוא ‪ 5‬ואורך הצלע ‪ BC‬הוא ‪ . 15‬מצא את שיעורי הקדקודים האחרים‪.‬‬
‫‪. 29‬‬
‫בריבוע ‪ ABCD‬הצלע ‪ AD‬מונחת על הישר ‪ . y  2x‬נתון‪. B(11; 2) :‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקוד ‪ . D‬רשום את שני הפתרונות האפשריים‪.‬‬
‫‪. 30‬‬
‫הקדקודים של הבסיס הקטן בטרפז ‪ ABCD‬הם )‪ A(3;1‬ו‪. B(7;4) -‬‬
‫אחד מקדקודי הבס יס הגדול‪ ,‬שאורכו ‪ , 10‬הוא )‪. D(1; 3‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקוד ‪. C‬‬
‫‪. 31‬‬
‫‪ ABCD‬הוא טרפז שווה‪ -‬שוקיים )‪. (AD  BC , AB  CD‬‬
‫נתונים הקדקודים )‪ B(7; 5) , A(5; 4‬ו‪. C(10; 4) -‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקוד ‪. D‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪24‬‬
‫‪. 32‬‬
‫במשולש שווה‪ -‬שוקיים ‪ , ABC‬הבסיס ‪ BC‬מונח על הישר ‪. x  3y  10‬‬
‫קדקוד המשולש ה וא )‪ , A(6;8‬ואורך שוק המשולש הוא ‪. 5 2‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודות ‪ B‬ו‪. C -‬‬
‫‪. 33‬‬
‫קדקוד זווית הראש במשולש שווה‪ -‬שוקיים ‪ ABC‬הוא )‪. A(4;3‬‬
‫הבסיס של משולש זה שאורכו ‪ , 2 2‬נמצא על הישר ‪. x  y  5  0‬‬
‫מצא את שיעורי הקדק ודים האחרים במשולש שווה‪ -‬השוקיים‪.‬‬
‫‪. 34‬‬
‫הנקודה )‪ C(2;1‬היא קדקוד הזווית הישרה במשולש ישר‪ -‬זווית‬
‫ו שווה‪ -‬שוקיים‪ .‬מ שוואת היתר במשולש זה היא ‪. 2x  3y  6‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקודים האחרים של המשולש‪.‬‬
‫‪. 35‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬הוא ישר‪ -‬זווית‪. C  90 ,‬‬
‫נתון‪ C(2;1) , B(0;2) :‬ושטח המשולש הוא ‪. 5‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקוד ‪ . A‬הבחן בין שני מקרים‪.‬‬
‫‪. 36‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬הצלע ‪ AB‬מונחת על הישר ‪ , y  2x‬והצלע ‪AC‬‬
‫מונחת על הישר ‪ . y  4x  12‬הגובה היורד מ‪ A -‬לצלע ‪ BC‬מונח‬
‫על הישר ‪ . y  x  2‬אורך הצלע ‪ BC‬הוא ‪ . 32‬מצא את שיעורי‬
‫הקדקודים של המשולש )מצא את שני הפתרונות האפשריים(‪.‬‬
‫‪. 37‬‬
‫במשולש ‪ , ABC‬נתון‪ , A(9;11) :‬נקודת המפגש של הגבהים היא )‪, P(9;7‬‬
‫שיפוע הגובה לצלע ‪ AC‬הוא ‪ , 1‬ואור ך הצלע ‪ BC‬הוא ‪. 12‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודות ‪ B‬ו‪. C -‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪ (4; 8) . 23‬או )‪. (2; 4‬‬
‫‪ . 24‬א‪ . (4; 9) .‬ב‪. y  x  13 .‬‬
‫‪ (7;5) . 25‬או )‪ (6; 7) . 26 . (3; 5‬או )‪. (10; 1‬‬
‫‪ B(5;0) . 27‬ו‪ C(4;4) -‬או‬
‫)‪ B(11;  4‬ו‪. D(10;16) , C(14;13) , B(5;1) . 28 . C(12;0) -‬‬
‫‪ (7;14) . 29‬או )‪. (7;1) , (1;3) . 32 . (4;1) . 31 . (9;3) . 30 . ( 1; 2‬‬
‫‪21 ; 12 , 51 ; 8‬‬
‫‪ (4;5) . 35 . 13‬או )‪. (0; 3‬‬
‫‪. 34 . (7;2) , (5;0) . 33‬‬
‫‪13‬‬
‫‪13 13‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ C(4; 4) , B(0;0) , A(2;4) . 36‬או )‪. C(0;12) , B(4;8) , A(2;4‬‬
‫‪ C(17;3) , B(5;3) . 37‬או )‪. C(5;15) , B(17;15‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪25‬‬
‫האמצע של קטע‬
‫בסעיף זה נלמד את הקשר בין שיעורי שתי נקודות המהוות קצות קטע‬
‫לבין שיעורי נקודת אמצע הקטע‪.‬‬
‫כאשר נתון קטע שקצותיו הן הנקודות ) ‪ A(x1 ; y1‬ו‪ , B(x 2 ; y 2 ) -‬ונקודה ‪M‬‬
‫היא אמצע הקטע ‪ , AB‬מתקיים‪:‬‬
‫‪x M  x1  x 2‬‬
‫‪yM  y1  y2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪A(x1; y1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪M‬‬
‫שיעור ה‪x -‬‬
‫שיעור ה‪y -‬‬
‫של נקודת האמצע‬
‫) ‪B(x 2 ; y 2‬‬
‫של נקודת האמצע‬
‫‪y‬‬
‫נוכיח את הנוסחה‪.‬‬
‫נסמן שתי נקודות ) ‪, A(x1; y1‬‬
‫) ‪ B(x 2 ; y 2‬כמתואר בציור‪.‬‬
‫) ‪A(x1; y1‬‬
‫נסמן ב‪ M(x; y) -‬את אמצע הקטע ‪. AB‬‬
‫דרך נקודה ‪ A‬נעביר ישר המקביל‬
‫לציר ה‪ y -‬ודרך נקודה ‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫) ‪C(x1; y 2‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B(x 2 ; y 2 ) D‬‬
‫‪x‬‬
‫נעביר ישר המקביל לציר ה‪. x -‬‬
‫ישרים אלה נפגשים בנקודה ) ‪ . C(x1; y 2‬דרך )‪ M(x; y‬נעביר ישר המקביל‬
‫לציר ה‪ y -‬וחותך את הקטע ‪ BC‬בנקודה ) ‪. D(x; y 2‬‬
‫‪x1  x 2‬‬
‫תחילה נוכיח ש‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬הקטע ‪ MD‬מקביל לצלע ‪ AC‬וחוצה את הצלע ‪, AB‬‬
‫‪.x‬‬
‫לכן הוא קטע אמצעים במשולש‪ ,‬כלומר ‪. BD  DC‬‬
‫מאחר והקטע ‪ BC‬מקביל לציר ה‪ x -‬מתקיים‪. DC  x1  x , BD  x  x 2 :‬‬
‫‪x1  x 2‬‬
‫ידוע ‪ , BD  DC‬לכן ‪ , x  x 2  x1  x‬כלומר ‪ 2x  x1  x 2‬ומכאן‬
‫‪2‬‬
‫‪y  y2‬‬
‫‪ . y  1‬דרך ‪ M‬נעביר ישר המקביל לציר ה‪x -‬‬
‫נעבור להוכיח ש‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫וחותך את הקטע ‪ AC‬בנקודה )‪ ME . E(x1; y‬ה ו א קטע אמצעים‬
‫‪y  y2‬‬
‫‪.y 1‬‬
‫במשולש ‪ , ABC‬לכן ‪ , AE  EC‬כלומר ‪ y1  y  y  y 2‬ומכאן‬
‫‪2‬‬
‫‪y  y2‬‬
‫‪x  x2‬‬
‫לסיכום‪,‬‬
‫‪.y 1‬‬
‫‪,x 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.x‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪26‬‬
‫‪y‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫קצות הקטע ‪ AB‬הם בנקודות )‪ A(1;6‬ו‪. B(3; 2) -‬‬
‫)‪A(1;6‬‬
‫הנקודה ‪ M‬היא אמצע הקטע ‪. AB‬‬
‫‪M‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪. M‬‬
‫)‪B(3; 2‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫ניעזר בנוסחאות לאמצע של קטע ‪.‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪xA  xB 1 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪xM ‬‬
‫‪yA  yB 6  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪yM ‬‬
‫‪x‬‬
‫הנקודה המבוקשת היא )‪. M(2; 4‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫הנקודה )‪ C(4; 1‬היא אמצע הקטע ‪ . AB‬נתון‪. A(2;5) :‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪. B‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫הנקודה ‪ C‬היא אמצע הקטע ‪ AB‬ולכן‪:‬‬
‫)‪A(2;5‬‬
‫‪2  xB‬‬
‫‪x  xB‬‬
‫‪ , x C  A‬לכן‬
‫)‪(1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 4 ‬ומכאן ‪. 6  x B‬‬
‫‪5  yB‬‬
‫‪y  yB‬‬
‫‪ , y C  A‬לכן‬
‫)‪(2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1 ‬ומכאן ‪. 7  y B‬‬
‫‪C(4; 1) x‬‬
‫‪B‬‬
‫הנקודה המבוקשת היא )‪. B(6; 7‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על הישר ‪. y  x  7‬‬
‫הנקודה ‪ B‬נמצאת על הישר ‪. y  2x  18‬‬
‫הנקודה )‪ C( 2;1‬נמצאת על הקטע ‪, AB‬‬
‫כך ש‪. AC  BC -‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪. B -‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫על פי הנתון ‪ , AC  BC‬כלומר הנקודה ‪ C‬היא אמצע הקטע ‪. AB‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על הישר ‪ , y  x  7‬לכן נוכל לסמן )‪. A(t; t  7‬‬
‫הנקודה ‪ B‬נמצאת על הישר ‪ , y  2x  18‬לכן נוכל לסמן )‪. B(m;2m  18‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪27‬‬
‫על פי נוסחת אמצע קטע מתקיים הקשר הבא בין שיעורי ה‪: x -‬‬
‫‪ . x  x A  x B‬נציב ונקבל‪t  m :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ , 2 ‬כלומר ‪. t  m  4‬‬
‫‪yA  yB‬‬
‫כמו כן‪ ,‬מתקיים הקשר ה ב א בין שיעורי ה‪: y -‬‬
‫‪2‬‬
‫נציב ונקבל‪t  7  2m  18 :‬‬
‫‪ , 1 ‬כלומר ‪. t  2m  9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. yC ‬‬
‫קיבלנו מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים ‪ t‬ו‪. m -‬‬
‫פתרון המערכת הוא ‪. m  5 , t  1‬‬
‫נקבל ששיעורי הנקודות המבוקשות הם )‪ A(1; 6‬ו‪. B( 5;8) -‬‬
‫תרגילים‬
‫‪.1‬‬
‫מצא את נקודת האמצע של הקטעים שקצותיהם נתונים להלן‪:‬‬
‫א‪. (12; 7) , (0;3) .‬‬
‫‪.2‬‬
‫ב‪. ( 6; 8) , ( 5; 8) .‬‬
‫הנקודה ‪ P‬היא אמצע הקטע ‪ . AB‬בכל אחד מהסעיפים הבאים נתונים‬
‫שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪ . P -‬מצא את שיעורי הנקודה ‪: B‬‬
‫א‪. P(8;3) , A(5;1) .‬‬
‫‪.3‬‬
‫ב‪. P( 5 1 ;3 1 ) , A(3; 7) .‬‬
‫‪2 4‬‬
‫הנקודות )‪ A(3; 4‬ו‪ B(11;16) -‬הן קצות הקטע ‪. AB‬‬
‫את הקטע ‪ AB‬חילקו ל‪ 4 -‬קטעים שווים‪.‬‬
‫נקודות החלוקה הן ‪ Q , P‬ו‪) R -‬ראה ציור(‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪R‬‬
‫‪P‬‬
‫‪A‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודות ‪ Q , P‬ו‪. R -‬‬
‫‪.4‬‬
‫הנקודות )‪ (4;8‬ו‪ (6;5) -‬מחלקות קטע לשלושה קטעים שווים‪.‬‬
‫מ צא את שיעורי הנקודות של קצות קטע זה‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫נקודה ‪ A‬נמצאת על ציר ה‪ . y -‬נקודה ‪ B‬נמצאת על ציר ה‪. x -‬‬
‫הנקודה )‪ C(3;5‬היא אמצע הקטע ‪. AB‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪. B -‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪y‬‬
‫בציור מתוארים הישרים ‪ x  9‬ו‪. y  x -‬‬
‫דרך הנקודה )‪ C(7; 4‬מעבירים ישר נו סף החותך‬
‫‪A‬‬
‫את הישרים הנתונים בנקודות ‪ B‬ו‪ A -‬בהתאמה ‪,‬‬
‫‪B‬‬
‫כך שנקודה ‪ C‬היא אמצע הקטע ‪. AB‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪. B -‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪28‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.7‬‬
‫נתון קטע ‪ AB‬שבו )‪ A(6;5‬ו‪ B -‬נמצאת על ציר ה‪. y -‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪ , B‬אם נתון שהישר ‪2y  5x  3‬‬
‫חוצה את הקטע ‪. AB‬‬
‫‪.8‬‬
‫קדקודי משולש הם‪. C(19; 8) , B(1; 2) , A(7;14) :‬‬
‫א‪ .‬מצא את משווא ו ת שלושת התיכוני ם של המשולש‪.‬‬
‫ב ‪ .‬הראה ששלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת ו מצא את ש יעורי‬
‫נקודת ה מפגש ‪.‬‬
‫‪.9‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬משוואת הצלע ‪ AB‬היא ‪ . y  3x  5‬נתון‪. B(4; 7) :‬‬
‫משוואת התיכון ‪ CD‬לצלע ‪ AB‬היא ‪. y   x  15‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הקדקוד ‪. A‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. SADC  SBDC :‬‬
‫‪. 10‬‬
‫מצא את משוואת האנך האמצעי לקטע שקצותיו )‪ (5;2‬ו‪. (11;4) -‬‬
‫‪. 11‬‬
‫קדקודי משולש הם‪. C(14; 3) , B(2; 3) , A(8; 9) :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת המפגש של האנכים האמצעיים לצלעות המשולש‪.‬‬
‫ב‪ .‬הסבר מדוע הנקודה שמצאת בסעיף א' נמצאת במרחקים שווים‬
‫מהנקודות ‪ B , A‬ו‪. C -‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 12‬‬
‫במשולש ‪ DE , ABC‬הוא אנך אמצעי לצלע ‪. BC‬‬
‫משוואת התיכון ‪ AD‬היא ‪. y  5 x  4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫משוואת ‪ DE‬היא ‪. y  1 x  4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9‬‬
‫‪1‬‬
‫משוואת הצלע ‪ AB‬היא ‪. y  x ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקוד ‪. C‬‬
‫‪. 13‬‬
‫במשולש ‪ - O ) OAB‬ראשית הצירים(‪ ,‬משוואת הגובה לצלע ‪OB‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫היא‬
‫‪ , 7x  10y  1  0‬ומשוואת התיכון לצלע זו היא ‪. 3x  2y  5  0‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקוד ‪. B‬‬
‫‪. 14‬‬
‫קדקודי משולש ‪ ABC‬הם‪. C(12; 2) , B(4;0) , A(6;4) :‬‬
‫מצא את המשוואות של שלושת קטעי האמצעים במשולש‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪29‬‬
‫‪. 15‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬נתון )‪ . A(8;7‬המשוואה של קטע האמצעים‪ ,‬המחבר את‬
‫אמצעי הצלעות ‪ AB‬ו‪ , AC -‬היא ‪ . y  1 x  1.5‬המשוואה של קטע‬
‫‪2‬‬
‫האמצעים‪ ,‬המחבר את אמצעי הצלעות ‪ AC‬ו‪ , BC -‬היא ‪. y  x  2‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקודים ‪ C‬ו‪. B -‬‬
‫‪. 16‬‬
‫נקודות האמצע של צלעות משולש הן )‪ (8;9) , (7; 2‬ו‪. (4;1) -‬‬
‫מצא את משוואות צלעותיו של המשולש‪.‬‬
‫‪. 17‬‬
‫במקבילית ‪ ABCD‬נתון‪ . B(9; 3) , A(5;1) :‬נקודת המפגש של אלכסוני‬
‫המקבילית היא )‪ . M(8; 5‬מצא את שיעורי הקדקודים ‪ C‬ו‪. D -‬‬
‫‪. 18‬‬
‫נתונים שלושה מקדקודי מקבילית ‪. C(9; 20) , B(21; 4) , A(5; 2) : ABCD‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקוד הרביעי ‪. D‬‬
‫‪. 19‬‬
‫במקבילי ת ‪ ABCD‬משוואת הצלע ‪ AB‬היא ‪ 7y  x  26‬ומשוואת הצלע‬
‫‪ AD‬היא ‪ . y  x  2‬נקודת מפגש האלכסונים במקבילית היא )‪. ( 3; 2‬‬
‫א‪ .‬מצא א ת אורך האלכסון ‪. AC‬‬
‫ב‪ .‬מצא את המשוואות של הצלעות ‪ BC‬ו‪. CD -‬‬
‫‪. 20‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על הישר ‪ . y  2x‬הנקודה ‪ B‬נמצאת על הישר‬
‫‪ . y  x  2‬הנקודה )‪ C(2;1‬היא אמצע הקטע ‪. AB‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪. B -‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 21‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬משוואות ה צלעות ‪ AB‬ו‪AC -‬‬
‫הן ‪ y  3x  9‬ו‪ , y  2x  2 -‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪ AD‬הוא תיכון לצלע ‪ . BC‬נתון‪. D(3;2) :‬‬
‫מצא את השיעורים של קדקודי המשולש‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪. 22‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬שיעורי קדקוד ‪ B‬הם )‪ . (7;2‬משוואת התיכון לצלע ‪BC‬‬
‫היא ‪ . y  1 x  3‬משוואת הצלע ‪ AC‬היא ‪. y  2x  2‬‬
‫‪3‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקודים ‪ A‬ו‪ C -‬של המשולש‪.‬‬
‫‪. 23‬‬
‫נתונים הישרים ‪ 2x  y  8  0‬ו‪ x  3y  10  0 -‬והנקודה )‪. P(0;1‬‬
‫דרך ‪ P‬עובר ישר ‪ , ‬החותך את הישרים הנתונים בנקודות ‪ A‬ו‪B -‬‬
‫בהתאמה‪ ,‬כך ש‪ P -‬היא אמצע הקטע ‪ . AB‬מצא את משוואת הישר‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪30‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. 24‬‬
‫בדלתון ‪ (BC  CD , AB  AD) ABCD‬נתונים הקדקודים‪:‬‬
‫)‪ . C(4;1) , B(2; 5) , A(7;10‬מצא את שיעורי הנקודה ‪. D‬‬
‫‪. 25‬‬
‫במשולש שווה‪ -‬שוקיים ‪ (AB  AC) ABC‬נתון‪. C(6; 9) , B(2; 3) :‬‬
‫‪ AD‬הוא הגובה לצלע ‪. BC‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הגובה ‪. AD‬‬
‫ב‪ .‬הקדקוד ‪ A‬נמצא על הישר ‪ . x  3y  4‬חשב את שטח המשולש ‪. ABC‬‬
‫‪. 26‬‬
‫במשולש שווה‪ -‬שוקיים ‪ , ABC‬מונח הבסיס ‪ BC‬על הי שר ‪x  3y  11  0‬‬
‫והשוק ‪ - AB‬על הישר ‪ . 3x  y  23  0‬נתון‪. A(5;8) :‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקוד ‪. C‬‬
‫‪. 27‬‬
‫‪ ABC‬הוא משולש ישר‪ -‬זווית ושווה‪ -‬שוקיים )‪. (AB  AC‬‬
‫נתון‪ . C( 3; 2) , B(5; 6) :‬מצא את שיעורי הנקודה ‪. A‬‬
‫‪. 28‬‬
‫א‪ .‬נתון משולש ‪ DE . ABC‬הוא קטע אמצעי ם במשולש )ראה ציור(‪.‬‬
‫‪ F‬הוא נקודה כלשהי על הצלע ‪. BC‬‬
‫‪A‬‬
‫הוכח‪ :‬הקטע ‪ DE‬חוצה את הקטע ‪. AF‬‬
‫ב‪ .‬במשולש ‪ ABC‬נתון‪. A(2;2) :‬‬
‫‪E‬‬
‫משוואת הצלע ‪ BC‬היא ‪. 2x  3y  6  0‬‬
‫‪D‬‬
‫מצא את משוואת קטע האמצעים‬
‫המחבר את אמצעי הצלעות ‪ AB‬ו‪. AC -‬‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫הדרכה‪ :‬מצא נקודה כלשהי על הצלע ‪ BC‬והיעזר בסעיף א'‪.‬‬
‫‪. 29‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬נתון )‪ . A(3;14‬המשוואה של קטע האמצעים‪ ,‬המחבר‬
‫את אמצעי הצלעות ‪ AB‬ו‪ , AC -‬היא ‪. y  x  4‬‬
‫מצא את משוואת הצלע ‪. BC‬‬
‫‪. 30‬‬
‫במרובע ‪ ABCD‬אמצעי הצלעות ‪ BC , AB‬ו‪ CD -‬הם הנקודות )‪, (4;5‬‬
‫)‪ (11;0‬ו‪ , (7;  4) -‬בהתאמה‪ .‬אמצע האלכסון ‪ AC‬הוא בנקודה )‪. (5;2‬‬
‫מצא את קדקודי המרובע‪.‬‬
‫‪. 31‬‬
‫במעוין ‪ , ABCD‬שניים מהקדקודים הם )‪ A(3;1‬ו‪. B(7;4) -‬‬
‫משוואת אחד מאלכסוני המעוין היא ‪. y  2x  5‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת האלכסון השני של המעוין‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הקדקודים ‪ C‬ו‪. D -‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המעוין‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪31‬‬
‫‪. 32‬‬
‫)‪ A(3;7‬ו‪ C(3;1) -‬הם שני קדקודים נגדיים של מעוין ‪. ABCD‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת האלכסון ‪. BD‬‬
‫ב‪ .‬היקף המעוין הוא ‪ . 8 5‬מצא את שיעורי הקדקודים ‪ B‬ו‪. D -‬‬
‫‪. 33‬‬
‫שני קדקודים נגדיים של ריבוע נמצאים בנקודות )‪ A(4; 1‬ו‪. C(6; 3) -‬‬
‫א‪ .‬חשב את שטח הריבוע‪.‬‬
‫‪. 34‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הקדקודים האחרים‪.‬‬
‫שיעורי קדקוד אחד של משולש הם )‪ , (5;5‬ואורכי שתי הצלעות שלידו‬
‫הם ‪13‬‬
‫ו‪41 -‬‬
‫‪ .‬אמצע הצלע שמולו הוא )‪. (6;1‬‬
‫מצא את שני הקדקודים האחרים של המשולש‪.‬‬
‫‪. 35‬‬
‫‪y‬‬
‫נתונים שני ישרים‪. (I) y  2x  10 , (II) y  x  4 :‬‬
‫‪I‬‬
‫הישרים נפגשים בנקודה ‪ . L‬דרך הנקודה ‪ L‬עובר‬
‫ישר החותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה ‪) P‬ראה ציור(‪,‬‬
‫‪II‬‬
‫ומשוואתו היא ‪, (1  k)x  2y  5  4k  0‬‬
‫‪ k‬הוא פרמטר‪ .‬דרך הנקודה ‪ P‬עובר ישר נוסף‬
‫החותך את הישר ‪ I‬בנקודה ‪ A‬ואת הישר ‪II‬‬
‫בנקודה ‪ , B‬כך ש‪ P -‬היא אמצע הקטע ‪. AB‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫‪L‬‬
‫‪P‬‬
‫‪x‬‬
‫ב ‪ .‬מצא את גודל הזווית שבין הישר העובר דרך הנקודות ‪ A‬ו‪B -‬‬
‫ובין הכיוון החיובי של ציר ה‪. x -‬‬
‫תשובות‪ . 1 :‬א‪ . (6;5) .‬ב‪ . 2 . (5 1 ; 8) .‬א‪ . (11;5) .‬ב‪, P(5; 7) . 3 . (8;13 1 ) .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪. B(9;3) , A(5;5) . 6 . B(6;0) , A(0;10) . 5 . (2;11) , (8; 2) . 4 . R(9;13) , Q(7;10‬‬
‫‪ . 8 . (0;13) . 7‬א‪ . y  3 x  1 1 , y  3x  35 , y  8 .‬ב ‪ . 9 . (9; 8) .‬א‪. (6;13) .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ . 11 . y  3x  27 . 10‬א‪18 . 13 . C(3; 1) . 12 . (7; 2) .‬‬
‫‪;2‬‬
‫‪. B 1 29‬‬
‫‪41 41‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. B(2;1) , C(6;3) . 15 . y  2x  17 , y   x  7 , y   1 x  3 1 . 14‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪. D(7; 7) , C(11; 9‬‬
‫‪. 17 . y  11x  43 , y   x  17 , y  2x  16 . 16‬‬
‫‪ . 19 . D( 7;18) . 18‬א‪ . 116 .‬ב‪. B(4;2) , A(0;0) . 20 . y  17 x  87 , y  x  8 .‬‬
‫‪. y   1 x  1 . 23 . C(5;8) , A(3;4) . 22 . C(5; 8) , B(1;12) , A( 1.4;4.8) . 21‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ . 25 . (8; 3) . 24‬א‪ . y   2 x  8 2 .‬ב‪ ( 1;8) . 27 . (8; 1) . 26 . 26 .‬או )‪. (3;0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ . 28‬ב ‪. D(2; 5) , C(12; 3) , B(10;3) , A( 2;7) . 30 . y  x  3 . 29 . 2x  3y  2  0 .‬‬
‫‪ . 31‬א‪ . y   1 x  7 1 .‬ב‪ . D(3;6) , C(7;9) .‬ג‪ . 32 . 20 .‬א‪ . y  x  4 .‬ב‪, (1;3) .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ . 33 . (1;5‬א‪ . 10 .‬ב‪. (3; 2) , (7; 0) .‬‬
‫‪(3;2) . 34‬‬
‫ו‪ (9;0) -‬או ‪8 173 ;3 175 ‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ו‪14 ; 1 5 -‬‬
‫‪ . 35 . 3 17‬א‪ . k  2.5 .‬ב‪. 26.57 .‬‬
‫‪17‬‬
‫‪32‬‬
‫חלוקת קטע ביחס נתון‬
‫בסעיף הקודם למדנו כיצד לחשב שיעורי נקודת אמצע של קטע‪.‬‬
‫כעת נראה כיצד ניתן לחשב שיעורי נקודה המחלקת קטע ביחס כלשהו‪.‬‬
‫כאשר נתון קטע שקצו תיו הן הנקודות ) ‪ A(x1; y1‬ו‪, B(x 2 ; y 2 ) -‬‬
‫ונקודה ‪ P‬נמצאת על הקטע ‪) AB‬ראה ציור משמאל(‬
‫ומחלקת באותו )חלוקה פנימית(‬
‫‪k  x 2    x1‬‬
‫כך ש‪AP  k -‬‬
‫‪xP ‬‬
‫‪ ,‬אז מתקיים‪:‬‬
‫‪PB ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k  y 2    y1‬‬
‫‪k‬‬
‫) ‪A(x1; y1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪P‬‬
‫‪yP ‬‬
‫) ‪B(x 2 ; y 2‬‬
‫נוכיח את הנוסח אות ‪.‬‬
‫נסמן שתי נקודות‪ A(x1; y1 ) :‬ו‪, B(x 2 ; y 2 ) -‬‬
‫‪y‬‬
‫כמתואר בציור‪.‬‬
‫כמו כן‪ ,‬נסמן נקודה )‪P(x; y‬‬
‫הנמצאת על הקטע ‪ AB‬ומחלקת אותו‬
‫) ‪k A(x ; y‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪E‬‬
‫)חלוקה פנימית( ביחס של ‪, k : ‬‬
‫כלומר ‪AP  k‬‬
‫‪PB ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫דרך נקודה ‪ A‬נעביר ישר המקביל‬
‫‪P‬‬
‫‪‬‬
‫‪D‬‬
‫) ‪B(x 2 ; y 2‬‬
‫‪x‬‬
‫לציר ה‪ y -‬ודרך נקודה ‪ B‬נעביר ישר המקביל לציר ה‪. x -‬‬
‫שני הישרים נפגשים בנקודה ) ‪. C(x1; y 2‬‬
‫דרך נקודה )‪ P(x; y‬נעביר ישר ‪ PD‬המקביל לציר ה‪ y -‬וחותך את הקטע‬
‫‪ BC‬בנקודה ) ‪ . D(x; y 2‬כמו כן‪ ,‬נעביר ישר ‪ PE‬המקביל לציר ה‪ x -‬וחותך‬
‫את הקטע ‪ AC‬בנקודה )‪. E(x1; y‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬מתקיים‪. PE  BC :‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪k‬‬
‫על‪ -‬פי משפט תלס נקבל‪AP  AE :‬‬
‫‪.  1‬‬
‫‪ ,‬כלומר‬
‫‪PB EC‬‬
‫‪ y  y2‬‬
‫נכפול את שני האגפים במכנה המשותף‪.‬‬
‫נקבל‪ , ky  ky 2  y1  y :‬כלומר ‪ (k  )y  y1  ky 2‬ומכאן‬
‫באופן דומה‪ ,‬במשולש ‪ ABC‬מתקיים ‪. PD  AC‬‬
‫על‪ -‬פי משפט תלס נקבל‪BP  BD :‬‬
‫‪AP CD‬‬
‫‪ ,‬כלומר‬
‫נכפול את שני האגפים במכנה המשותף‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪33‬‬
‫‪  x  x2‬‬
‫‪x1  x‬‬
‫‪k‬‬
‫‪.‬‬
‫‪y  ky 2‬‬
‫‪.y 1‬‬
‫‪k‬‬
‫נקבל‪ , x1  x  kx  kx 2 :‬כלו מר ‪ x1  kx 2  (k  )x‬ומכאן‬
‫‪x1  kx 2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪.x‬‬
‫‪ x1  kx 2 y1  ky 2 ‬‬
‫;‬
‫לסיכום‪ ,‬שיעורי הנקודה ‪ P‬הם‪ :‬‬
‫‪k ‬‬
‫‪ k‬‬
‫‪.‬‬
‫שים לב!‬
‫את ‪ x1‬כופלים‬
‫ב‪ -‬‬
‫למרות ש‪ x1 -‬הוא קצה הקטע ‪AP‬‬
‫שמתאים ל‪ k -‬ביחס הנתון‪ .‬כמו כן‪ ,‬את ‪ x 2‬כופלים ב‪ k -‬למרות ש‪x 2 -‬‬
‫הוא קצה הקטע‬
‫‪ BP‬שמ תאים ל‪ -‬‬
‫ביחס הנתון‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫נתון קטע ‪ AB‬שקצותיו בנקודות )‪ A(2;17‬ו‪. B(10;1) -‬‬
‫מצא נקודה ‪ , C‬הנמצאת על הקטע ‪ AB‬כך ש מתקיים‪. AC : BC  2 : 3 :‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪2  x B  3  x A 2 10  3  (2) 14‬‬
‫‪xC ‬‬
‫‪‬‬
‫נציב בנוסחה ונקבל‪  2.8 :‬‬
‫‪23‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2  y B  3  y A 2 1  3 17 53‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 10.6‬‬
‫‪23‬‬
‫‪23‬‬
‫‪5‬‬
‫‪yC ‬‬
‫לסיכום‪ ,‬נקבל )‪. C(2.8;10.6‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫נתון קטע שקצותיו בנקודות )‪ A(2; 6‬ו‪. B -‬‬
‫הנקודה )‪ C(14;18‬נמצאת על הקטע ‪ AB‬כך ש‪. AC  4BC -‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪. B‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫על פי הנתון ‪ , AC  4BC‬לכן ‪AC  4‬‬
‫‪.‬‬
‫‪BC 1‬‬
‫‪1 x A  4  x B‬‬
‫על פי הנוסחה מתקיים הקשר הבא בין שיעורי ה‪: x -‬‬
‫‪1 4‬‬
‫‪1 2  4  x B‬‬
‫‪ 14 ‬ומכאן ‪. x B  17‬‬
‫נציב ‪ . x A  2 , x C  14‬נקבל‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1 yA  4  yB‬‬
‫‪. yC ‬‬
‫ע ל פי הנוסחה מתקיים הקשר הבא בין שיעורי ה‪: y -‬‬
‫‪1 4‬‬
‫‪1  (6)  4  y B‬‬
‫‪ 18 ‬ומכאן ‪. y B  24‬‬
‫נציב‪ . y A  6 , y C  18 :‬נקבל‬
‫‪1 4‬‬
‫‪. xC ‬‬
‫לסיכום‪ ,‬נקבל )‪. B(17;24‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪34‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫נתון קטע ‪ AB‬שקצותיו בנקודות )‪ A(3;8‬ו‪. B(9;26) -‬‬
‫הנקודה )‪ C(1;11‬נמצאת על הקטע ‪. AB‬‬
‫ב איזה יחס מחלקת הנקודה ‪ C‬את הקטע ‪? AB‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נסמן את היחס המבוקש ב‪ k -‬כלומר ‪AC  k‬‬
‫‪.‬‬
‫‪BC ‬‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫ולא את הערך של ‪ k‬ו‪.  -‬‬
‫נשים לב כי המטרה היא לחשב את היחס‬
‫‪‬‬
‫‪k  xB    xA‬‬
‫על פי הנוסחה מתקיים הקשר הבא בין שעורי ה‪: x -‬‬
‫‪k‬‬
‫)‪k  9    (3‬‬
‫‪. 1 ‬‬
‫נציב את שיעור ה‪ x -‬של הנקודות ‪ B , A‬ו‪ . C -‬נקבל‪:‬‬
‫‪k‬‬
‫‪. xC ‬‬
‫נכפול את שני האגפים במכנה המשותף‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫נקבל‪ ,  k    9k  3 :‬כלומר ‪ 10k  2‬ומכאן ‪.  15‬‬
‫‪‬‬
‫יחס החלוקה ה ו א ‪ , 1: 5‬כלומר הנקודה ‪ C‬מחלקת את הקטע ‪AB‬‬
‫כך ש‪AC  1 -‬‬
‫‪.‬‬
‫‪BC 5‬‬
‫הערה‪:‬‬
‫‪k  yB    yA‬‬
‫אפשר לחשב את היחס המבוקש גם על פי הנוסחה‬
‫‪. yC ‬‬
‫‪k‬‬
‫נציב את שיעורי ה‪ y -‬של הנקודות ‪ B , A‬ו‪ . C -‬נקבל‪k  26    8 :‬‬
‫‪. 11 ‬‬
‫‪k‬‬
‫נכפול את שני האגפים במכנה המשותף‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫נקבל‪ , 11k  11  26k  8 :‬כלומר ‪ , 15k  3‬ומכאן ‪.  15‬‬
‫‪‬‬
‫ניתן לראות ש קיבלנו אותו יחס חלוקה‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪.1‬‬
‫נתו נות שתי נקודות ‪. B(2;16) , A(14;7) :‬‬
‫‪AP‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫מצא נקודה ‪ P‬הנמצאת על הקטע ‪ AB‬כך שמתקיים ‪‬‬
‫‪BP 2‬‬
‫‪.2‬‬
‫נתונות שתי נקודות‪. B( 12;21) , A(8; 4) :‬‬
‫מצא נקודה ‪ P‬הנמצאת על הקטע ‪ AB‬כך שהיחס בין ‪ AP‬ל‪BP -‬‬
‫יהיה ‪. 2 : 3‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪35‬‬
‫‪.3‬‬
‫על קטע ‪ , AB‬שקצותיו )‪ A(7; 4‬ו‪ , B(13;26) -‬מצא ‪ 4‬נקודות המחלקות‬
‫את הקטע ל‪ 5 -‬קטעים שווים‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫הנקודה ‪ P‬מחלקת את הקטע ‪ AB‬כך שמתקיים ‪. AP : PB  2 : 5‬‬
‫נתון‪ . P( 4;15) , A(2;5) :‬מצא את שיעורי הנקודה ‪. B‬‬
‫‪.5‬‬
‫הנקודה ‪ P‬מחלקת את הקטע ‪ AB‬כך שמתקיים ‪. AP  3BP‬‬
‫נתון‪ . P(6;8) , B(2;5) :‬מצא את שיעורי הנקודה ‪. A‬‬
‫‪.6‬‬
‫קצהו האחד של קטע הוא הנקודה )‪. ( 7;3‬‬
‫הנקודה )‪ P(5;9‬מחלקת את הקטע ביחס של ‪. 2 : 3‬‬
‫מצא את הקצה השני הקטע )הבחן בין שני מקרים(‪.‬‬
‫‪.7‬‬
‫הנקודה )‪ P(8;11‬נמצאת על הקטע ‪ , AB‬שקצותיו בנקודות )‪A(4;19‬‬
‫ו‪ . B(29; 3) -‬מצא באיזה יחס מחלקת הנקודה את הקטע‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫הנקודה )‪ P(1;b‬נמצאת על הקטע ‪ , AB‬שקצותיו הם )‪ A( 5;17‬ו‪. B(11; 7) -‬‬
‫א‪ .‬מצא באיזה יחס מחלקת הנקודה ‪ P‬את הקטע ‪. AB‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪. b‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪. ( 19;40) . 4 . (9;20) , (5;14) , (1;8) , ( 3;2) . 3 . (0;6) . 2 . (10;10) . 1‬‬
‫‪ (23;18) . 6 . (18;17) . 5‬או )‪ . 8 . AP : BP  4 : 7 . 7 . (13;13‬א‪ . AP : BP  3 : 5 .‬ב‪. 8 .‬‬
‫בעיות עם נקודת מפגש התיכונים במשולש‬
‫נקודת המפגש של התיכונים במשולש מחלקת כל תיכון לשני קטעים‪,‬‬
‫כך שהקטע הקרוב לקדקוד גדול פי ‪ 2‬מהקטע הקרוב לצלע‪ ,‬כלומר יחס‬
‫החלוקה הוא ‪. 1: 2‬‬
‫נקודת מפגש התיכונים במשולש נקראת מרכז הכובד במשולש‬
‫ושיעוריה הם ממוצע השיעורים של שלושת קדקודי המשולש‪,‬‬
‫כלומר אם נקודה ‪ M‬היא מפגש התיכונים במשולש ‪ ABC‬מתקיים‪:‬‬
‫‪y A  y B  yC‬‬
‫‪x  xB  xC‬‬
‫‪, xm  A‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫בחלק מהתרגילים נוסחאות אלה שימושיות מאוד‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪36‬‬
‫‪ym ‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬משוואת הצלע ‪ AB‬היא ‪y  2x  4‬‬
‫‪A‬‬
‫ומשוואת הצלע ‪ BC‬היא ‪. y  1 x  1‬‬
‫‪3‬‬
‫נקודת מפגש התיכונים במשולש היא )‪. M(11;8‬‬
‫‪E‬‬
‫‪M‬‬
‫‪F‬‬
‫מצא את השיעורים של קדקודי המשולש‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫הנקודה ‪ B‬היא נקודת החיתוך בין הישרים ‪ AB‬ו‪, BC -‬‬
‫‪ y  2x  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ y  3 x  1‬‬
‫לכן שיעוריה הם פתרון המערכת‬
‫פתרון המערכת הוא )‪ , (3;2‬לכן שיעורי הנקודה ‪ B‬הם )‪. (3;2‬‬
‫נסמן ב‪ E -‬את אמצע הצלע ‪ , AC‬כלומר ‪ BE‬תיכון ל‪. AC -‬‬
‫נציג שתי דרכים למציאת שיעורי הקדקודים ‪ A‬ו‪. C -‬‬
‫דרך א' –‬
‫נקודת מפגש התיכונים במשולש מחלקת כל תיכון ביחס ‪, 1: 2‬‬
‫לכן ‪EM  1‬‬
‫‪ .‬ניעזר בנוסחה לחלוקת קטע ביחס נתון‪.‬‬
‫‪BM 2‬‬
‫‪1 x B  2  XE‬‬
‫‪xM ‬‬
‫על פי הנוסחה מתקיים‪:‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪1  3  2x E‬‬
‫נציב ונקבל‪:‬‬
‫‪ 11 ‬ומכאן ‪. x E  15‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1 yB  2  yE‬‬
‫על פי הנוסחה מתקיים‪:‬‬
‫‪. yM ‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪1 2  2  yE‬‬
‫נציב ונקבל‪:‬‬
‫‪ 8 ‬ומכאן ‪. y E  11‬‬
‫‪1 2‬‬
‫נקבל‪. E(15;11) :‬‬
‫‪ BE‬תיכון ל‪ , AC -‬לכן הנקודה )‪ E(15;11‬הוא אמצע הקטע ‪. AC‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על הישר ‪ . y  2x  4‬נסמן‪. A(t;2t  4) :‬‬
‫הנקודה ‪ C‬נמצאת על הישר ‪ . y  1 x  1‬נסמן‪. B(m; 1 m  1) :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫נציב בנוסחת אמצע קטע‪.‬‬
‫נקבל‪ , x  x A  x C :‬כלומר ‪t  m‬‬
‫‪E‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2t‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y  yC‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 11 ‬ומכאן ‪. 2t  1 m  25‬‬
‫‪ , y E  A‬כלומר‬
‫כמו כן‪,‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ , 15 ‬כלומר ‪. t  m  30‬‬
‫‪ t  m  30‬‬
‫קיבלנו את המערכת‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2t  3 m  25‬‬
‫פתרון המערכת הוא ‪. m  21 , t  9‬‬
‫נקבל ששיעורי הקדקודים ‪ A‬ו‪ C -‬הם )‪ A(9;14‬ו‪. C(21;8) -‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪37‬‬
‫דרך ב' –‬
‫ניעזר בנוסחה למפגש התיכונים במשולש‪.‬‬
‫‪x A  x B  xC‬‬
‫על פי הנוסחה מתקיים‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫נציב ונקבל‪t  3  m :‬‬
‫‪ , 11 ‬כלומר ‪. t  m  30‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y A  y B  yC‬‬
‫‪. yM ‬‬
‫על פי הנוסחה מתקיים‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2  2t  4  13 m  1‬‬
‫‪ , 8 ‬כלומר ‪. 2t  1 m  25‬‬
‫נציב ונקבל‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. xM ‬‬
‫קיבלנו מערכת של שתי משוואות עם הנעלמים ‪ t‬ו‪ , m -‬המערכת זהה‬
‫לזו שהתקבלה בדרך א'‪ .‬פתרון המערכת הוא ‪. m  21 , t  9‬‬
‫גם בדרך זו נקבל )‪ A(9;14‬ו‪. C(21;8) -‬‬
‫‪.9‬‬
‫קדקודיו של משולש הם )‪ (10;3) , (8; 2‬ו‪. (6;14) -‬‬
‫מצא את שיעורי נקודת מפגש התיכונים של המשולש‪.‬‬
‫‪. 10‬‬
‫שני קדקוד יו של משולש הם )‪ ( 3;4‬ו‪ , (8; 7) -‬ונקודת המפגש של התיכונים‬
‫במשולש היא )‪ . (3;2‬מצא את שיעורי הקדקוד השלישי של המשולש‪.‬‬
‫‪. 11‬‬
‫אחד מקדקודי משולש הוא בנקודה )‪ . ( 7; 4‬אמצע אחת הצלעו ת‬
‫הוא בנקודה )‪ ( 4;1.5‬ונקודת מפגש התיכונים היא הנקודה )‪. (1;1‬‬
‫מצא את שני הקדקודים האחרים של המשולש‪.‬‬
‫‪. 12‬‬
‫קדקודי משולש נמצאים בנקודות ) ‪. (x1; y1 ) , (x 2 ; y 2 ) , (x 3 ; y3‬‬
‫‪ x1  x 2  x 3 y1  y 2  y3 ‬‬
‫;‬
‫הוכח‪ :‬נקודת מפגש התיכונים של המשולש היא ‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. 13‬‬
‫שני קדקודים של משולש הם )‪. B(2;1) , A(5;7‬‬
‫נקודת החיתוך של התיכונים במשולש היא )‪. M(3;6‬‬
‫מצא את המשוואות של צלעות המשולש‪.‬‬
‫‪. 14‬‬
‫‪ M‬היא נקודת מפגש התיכונים במשולש ‪. ABC‬‬
‫‪ Q , P‬ו‪ R -‬הן נקודות האמצע של הצלעות במשולש ‪. ABC‬‬
‫א ‪ .‬הוכח כי ‪ M‬היא גם נקודת מפגש התיכונים במשולש ‪. PQR‬‬
‫ב‪ .‬נקודות האמצע של צלעות המשולש ‪ ABC‬הן )‪Q(5;9) , P(7; 2‬‬
‫ו‪ . R(4;1) -‬מצא את נקודת המפגש של התיכונים במשולש ‪. ABC‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪38‬‬
‫‪. 15‬‬
‫במשולש ‪ , ABC‬שיעורי הקדקוד ‪ A‬הם )‪ , A(2; 5‬ומשוואות התיכונים‬
‫היוצאים מהקדקודים ‪ B‬ו‪ C -‬הם ‪ 4x  5y  0‬ו‪ , x  3y  0 -‬בהתאמה‪.‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקודים ‪ B‬ו‪. C -‬‬
‫‪. 16‬‬
‫המשוואות של שניים מהתיכונים במשולש הן ‪ y  x  2‬ו‪. y  6  2x -‬‬
‫אחד מקדקודי המשולש הוא בנקודה )‪. (6;4‬‬
‫מצא את שני הקדקודים האחרים של המשולש‪.‬‬
‫‪. 17‬‬
‫שתיים מצלעותיו של משולש מונחות על הישרים ‪ y   x  4‬ו‪. y  2x  1 -‬‬
‫נקודת מפגש התיכונים במשו לש זה היא בראשית הצירים‪.‬‬
‫מצא את קדקודי המשולש ואת משוואת צלעו השלישית‪.‬‬
‫‪. 18‬‬
‫הקווים התיכונים במשולש נפגשים בנקודה )‪. M(0;2‬‬
‫משוואות הישרים שעליהם נמצאות שתיים מצלעותיו של המשולש‬
‫הן ‪. 4x  y  9  0 , 5x  4y  15  0‬‬
‫מצא את משוואת הישר שעליו נמצאת הצלע השלישית של המשולש‪.‬‬
‫‪. 19‬‬
‫במשולש שווה‪ -‬שוקיים‪ ,‬משוואת התיכון לאחת השוקיים‬
‫היא ‪ . y   4.5x  5.5‬משוואת חוצה‪ -‬זווית הראש היא ‪, y  3x  32‬‬
‫וקדקוד זווית הראש הוא בנקודה )‪. (15;13‬‬
‫מצא את משוואות הצלעות של המשולש‪.‬‬
‫חלוקת קטע ביחס נתון – בעיות נוספות‬
‫‪. 20‬‬
‫בדלתון ‪ ABCD‬קדקוד ‪ A‬נמצא על ציר ה‪ y -‬וקדקוד ‪  B‬בנקודה )‪. (2;1‬‬
‫משוואת האלכסון הראשי ‪ AC‬היא ‪. y  2x  15‬‬
‫האלכסונים נחתכים בנקודה ‪ . P‬נתון‪. PC  1 AP :‬‬
‫‪3‬‬
‫מצא את השיעורים של שאר קדקודי הדלתון‪.‬‬
‫‪. 21‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬נתון )‪. b  0 , a  0 , C(0;0) , B(0;b) , A(a;0‬‬
‫‪y‬‬
‫‪B‬‬
‫הנקודה ‪ P‬מחלקת את ‪ BC‬כך ש‪. CP : BP  1: 2 -‬‬
‫הנקודה ‪ Q‬מחלקת את ‪ AC‬כך ש‪. CQ : AQ  1: 2 -‬‬
‫‪ M‬היא נקודת החיתוך של ‪ AP‬ו‪. BQ -‬‬
‫מצא ב איזה יחס מחלק הנקודה ‪M‬‬
‫את הקטע ‪. AP‬‬
‫‪M‬‬
‫‪x‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪39‬‬
‫‪P‬‬
‫‪A‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 22‬‬
‫‪y‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬נתון‪. C(6;13) , B(16;5) , A(2;3) :‬‬
‫‪C‬‬
‫מעבירים ישר המקביל לצלע ‪ BC‬וחותך‬
‫את הצלעות האחרות )ולא את המשכיהן(‬
‫בנקודות ‪ D‬ו‪) E -‬ראה ציור(‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫האורך של ‪ DE‬הוא ‪. 10.25‬‬
‫‪D‬‬
‫מצא את משוואת הישר ‪. DE‬‬
‫היעזר בפרופורציה או דמיון משולשים ‪.‬‬
‫‪. 23‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫בטרפז ‪ ABCD‬אורך הבסיס הגדול ‪ DC‬הוא פי ‪ 4‬מאורך הבסיס הקטן ‪. AB‬‬
‫אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה ‪. E‬‬
‫א‪ .‬באיזה יחס מחלקת הנקודה ‪ E‬את הקטע ‪? BD‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ . D(2;3) , B(10;15) , A(4;13) :‬מצא את שיעורי הנקודה ‪. C‬‬
‫‪. 24‬‬
‫בטרפ ז ‪ ABCD‬שבו ‪ AB  CD‬נתון‪. D( 1;2) , C( 6;7) , A(5;10) :‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקוד ‪ , B‬אם נתון שהמשכי השוקיים של הטרפז‬
‫נפגשים בנקודה )‪. (14;22‬‬
‫‪y‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 25‬‬
‫קדקודיו של משולש ‪ ABC‬הם ‪:‬‬
‫)‪. C( 6;15) , B( 18; 3) , A(6;9‬‬
‫‪A‬‬
‫מצא את האורך של חוצה‪ -‬זווית ‪. A‬‬
‫הדרכה‪ :‬היעזר במשפט חוצה‪ -‬זוו ית‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪. 26‬‬
‫במשולש ‪ AD , ABC‬הוא התיכון לצלע ‪ BC‬ו‪ AE -‬הוא חוצה‪ -‬זווית ‪. A‬‬
‫נתון‪. E(8;26) , D(15;27) , B( 6;24) :‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקוד ‪ , A‬אם נתון שהוא על ציר ה‪. y -‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪, y   x  12 , y  2x  3 . 13 . ( 1;7) , (11;0) . 11 . (4;9) . 10 . (8;5) . 9‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪, ( 3;7) . 17 . (0;6) , ( 2;0) . 16 . C(3;1) , B( 5;4) . 15 . 2;2 2‬‬
‫‪ . 14 . x  2‬ב‪3 .‬‬
‫)‪, y   1 x  32 . 19 . x  5y  3  0 . 18 . 9x  5y  4  0 , (9; 17) , ( 6;10‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. D(10;5) , C(8; 1) , A(0;15) . 20 . y  1.75x  13.25 , y  8x  107‬‬
‫‪ . 23 . 8x  10y  79  0 . 22 . AM : MP  3 :1 . 21‬א‪. BE : DE  1: 4 .‬‬
‫‪ (0;42) . 26 . 16 . 25 . (2;13) . 24‬או )‪. (0;2‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪40‬‬
‫ב‪. (26;11) .‬‬