דוגמא למבחן - אוניברסיטת תל אביב

‫אוניברסיטת תל‪-‬אביב‬
‫בית הספר למדעי המתמטיקה‬
‫פרופ' בנו ארבל‬
‫מבחן ‪A‬‬
‫משך המבחן – ‪ 5.2‬שעות‪.‬‬
‫ענה על השאלות הבאות‪.‬‬
‫‪ .1‬תייר מעוניין לטייל במדינה מסוימת כאשר נקודת ההתחלה שלו היא עיר הבירה אותה‬
‫נסמן ב‪ . A -‬מעיר הבירה ‪ A‬הוא טס לעיר ‪ B‬הרחוקה ביותר מהבירה‪ ,‬מכל ערי אותה‬
‫ארץ‪ .‬מהעיר ‪ B‬הוא טס לעיר הרחוקה ביותר מהעיר ‪ B‬ומתברר שהיא שונה מעיר‬
‫הבירה ‪ . A‬בצורה זו הוא ממשיך את סיורו‪ .‬האם יכול להיות מצב שבו הוא יחזור‬
‫לעיר הבירה ‪ A‬אם הוא נוקט בכל המקרים אותה מדיניות? נמק‪.‬‬
‫‪ .5‬על הלוח רושמים את המספר ‪ .1‬את המספר הרשום על הלוח כופלים בעצמו או‬
‫כופלים אותו ב‪ ,5-‬על פי בחירה‪ .‬מהם המהלכים שיש לנקוט כדי שב‪ 11-‬צעדים בדיוק‬
‫אפשר יהיה להגיע ל‪( ? 245 -‬מספר הצעדים אינו כולל את ה‪ 1-‬הרשום על הלוח‬
‫בתחילה)‪.‬‬
‫‪ .3‬ללא שימוש במחשבון יש לקבוע בעזרת טיעונים מתמטיים איזה מהמספרים ‪ 3111‬או‬
‫‪ 1714‬גדול יותר‪.‬‬
‫‪ .4‬מצא ללא מחשבון את השורש הריבועי של המספר‬
‫‪2000  2001 2002  2003  1‬‬
‫‪ .2‬בתוך ריבוע בוחרים נקודה כלשהי ‪ . P‬דרך ‪ P‬מעבירים מקבילים לצלעות הריבוע‬
‫ולאלכסוני הריבוע‪ .‬בצורה זו הריבוע חולק ל‪ 8-‬אזורים‪ .‬נסמן את האזורים הללו‬
‫לסירוגין ב‪ 1-‬ו‪ .5-‬הוכח שסכום שטחי האזורים המסומנים ב‪ 1-‬שווה לסכום שטחי‬
‫האזורים המסומנים ב‪.5-‬‬
‫‪ .6‬לרשותך עומדות שלוש תיבות זהות וסרגל מדידה (מספיק ארוך)‪ .‬הנך מתבקש למדוד‬
‫בעזרת הסרגל את אלכסון התיבה במדידה אחת בלבד‪ .‬כיצד תבצע זאת ? נמק‪.‬‬
‫‪ .7‬במשולש נתון שאורכי שניים מהגבהים הם ‪ 15‬ו‪ 51-‬יחידות אורך בהתאמה‪ .‬הוכח‬
‫שאורך הגובה השלישי חייב להימצא בין ‪ 7.2‬ו‪ 31-‬יחידות אורך‪.‬‬
‫בהצלחה‪.‬‬
‫פתרון‬
‫מבחן ‪B‬‬
‫משך המבחן – ‪ 3‬שעות‪.‬‬
‫ענה על השאלות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬יהיו ‪ p , q‬מספרים ממשיים ‪ . q  0‬הוכח שבין כל שורש של המשוואה‬
‫‪ x2  px  q  0‬וכל שורש של המשוואה ‪ x2  px  q  0‬נמצא שורש של המשוואה‬
‫‪ . x2  2 px  2q  0‬נתון כמובן ששלוש המשוואות יש שורשים ממשיים‪.‬‬
‫‪ .5‬במשולש שווה שוקיים ‪ ABC‬שאורך בסיסו ‪ BC‬הוא ‪ 15‬יחידות אורך חסום‬
‫מעגל המשיק לצלע ‪ AB‬בנקודה ‪ . P‬הקטע ‪ PC‬פוגש את המעגל בנקודה שנייה ‪. Q‬‬
‫אורך הקטע ‪ PQ‬הוא יחידת אורך אחת‪ .‬מצא את הגובה מ‪ A -‬לבסיס ‪ BC‬של‬
‫המשולש הנתון‪.‬‬
‫‪ .3‬במשושה ‪ ABCDEF‬כל אחד מהאלכסונים ‪ AD, BE, CF‬מחלק אותו לשתי צורות‬
‫שוות שטח‪ .‬הוכח ששלושת האלכסונים הללו חייבים להיפגש בנקודה אחת‪.‬‬
‫‪ .4‬בסדרה ‪4,12,32,80,192,...‬‬
‫א‪ .‬מצא ביטוי לאיבר הכללי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הממוצע החשבוני של ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬במרובע ‪ ABCD‬הוכח ש‪ CAD  CBD -‬אם ורק אם ‪. ABC  ADC  1800‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ .6‬במשולש ‪ ABC‬הנקודה ‪ I‬היא מרכז המעגל החסום והנקודות ‪ K , L, M‬הן נקודות ההשקה‬
‫של המעגל עם הצלעות ‪ AB, BC, CA‬בהתאמה‪ .‬דרך הקדקוד ‪ B‬מעבירים ישר המקביל ל‪-‬‬
‫‪ KL‬והפוגש את ‪ MK‬ו‪ ML -‬בנקודות ‪ R‬ו‪ S -‬בהתאמה‪ .‬הוכח שמתקיים האי‪-‬שוויון‬
‫‪B‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. tan RIS ‬‬
‫‪2 B‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 cos‬‬
‫‪ .7‬המספרים ‪ x, y‬הם ממשיים חיוביים ומקיימים את האי‪-‬שוויון‬
‫‪. x3  y 3  x  y‬‬
‫הוכח שבתנאים אלה מתקיים‬
‫‪x2  y 2  1‬‬
‫‪ .8‬שלושה מעגלים ‪ C1 , C2 , C3‬עוברים דרך אותה נקודה ‪ . I‬תהיינה ‪ P, Q, R‬נקודות המפגש‬
‫הנוספות של זוגות המעגלים ‪  C1 , C2  ,  C2 , C3  ,  C3 , C1 ‬בהתאמה‪ .‬תהי ‪ A‬נקודה על ‪C1‬‬
‫מחוץ לשני המעגלים האחרים‪ .‬תהי ‪ B‬נקודת המפגש הנוספת של ‪ AP‬עם ‪ C2‬ותהי ‪C‬‬
‫נקודת המפגש הנוספת של ‪ BQ‬עם ‪ . C3‬הוכח שהנקודות ‪ C, R, A‬על ישר אחד‪.‬‬
‫‪ .9‬מצא את הערך המספרי של‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪ cos‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫ללא מחשבון‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫פתרון‬
‫פרופ' בנו ארבל‬
‫בית הספר למדעי המתמטיקה‬
‫אוניברסיטת תל‪-‬אביב‬
‫מבחן ‪C‬‬
‫משך המבחן – ‪ 3‬שעות‪.‬‬
‫ענה על השאלות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬הוכח שלכל ‪ a, b‬ממשיים חיוביים ולכל ‪ k‬שלם‪ ,‬מתקיים האי‪-‬שוויון‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ a  b‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪1    1    2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .5‬הנקודה ‪ P‬היא קדקוד של קוביה‪ .‬מישור העובר דרך ‪ P‬חותך את הקוביה על פי‬
‫מחומש ‪ . PQRST‬ראה תרשים‪.‬‬
‫הוכח שמתקיים האי‪-‬שוויון‬
‫‪TP  PQ  QR  RS  ST‬‬
‫‪ .3‬כתוב את הפולינום‬
‫‪x  x 1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪10‬‬
‫כמכפלה של שני פולינומים עם מקדמים שלמים‪ .‬הפירוק חייב להתבצע בעזרת תכונות של‬
‫מספרים מרוכבים‪.‬‬
‫רמז‪ :‬שימוש בשורשי היחידה מסדר ‪ 3‬מוביל לפתרון‪.‬‬
‫‪.4‬הוכח שלכל ‪ m, n‬שלמים חיוביים מתקיים האי‪-‬שוויון‬
‫‪4m  n‬‬
‫‪3m  13n  1‬‬
‫‪2m!2n! ‬‬
‫!‪m!n‬‬
‫‪ .2‬במשושה ‪ ABCDEF‬הנקודות ‪ P , Q , R , S‬הן מרכזי הכובד של המשולשים‬
‫‪ ABC , BCD , DEF , EFA‬בהתאמה‪ .‬הוכח באמצעים אנליטיים שהמרובע ‪ PQRS‬הוא‬
‫מקבילית‪.‬‬
‫פתרון וקטורי מתקבל בברכה‪.‬‬
‫‪ .6‬נתבונן ב‪-‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y  xx‬‬
‫כאשר העלאה בחזקה היא אינסופית‪.‬‬
‫מצא את הערך המקסימלי החיובי של ‪ x‬עבורו‬
‫‪y‬‬
‫רמז‪ :‬יש לשים לב שעל פי הנתון ‪. y  x‬‬
‫‪y‬‬
‫סופי‪.‬‬
‫‪ .7‬הנך פוגש מכר בחוב ‪ ,‬שלא ראית אותו זמן רב‪ ,‬ומתברר שהוא נשוי ואפילו יש לו‬
‫שני ילדים‪ .‬הנך שואל אותו האם הבכור היא ילדה והוא עונה שאמנם כך‪ .‬מהי‬
‫ההסתברות ששני הילדים בנות? נמק‪.‬‬
‫אם השאלה הייתה "האם לפחות אחד מהם בת?" והתשובה הייתה כמובן כן‪ ,‬מהי‬
‫ההסתברות ששני הילדים בנות? נמק‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫הסדרה ‪xn n 1‬‬
‫מוגדרת על ידי‬
‫‪x1  3 , xn 1  xn2  3xn  4 n  1,2 ,3, ...‬‬
‫‪ .a‬הוכח שהסדרה עולה ואינה חסומה‬
‫‪ .b‬הוכח ש‪-‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ... ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪x1  1 x2  1 x3  1‬‬
‫‪xn  1‬‬
‫‪xn 1  2‬‬
‫‪ .9‬חשב את האינטגרל‬
‫‪1‬‬
‫‪d‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ dx  arctan x dx‬‬
‫‪1‬‬
‫בהצלחה!‬
‫פתרון‬
‫‪I‬‬
‫‪yn ‬‬