3 תרגיל בית מס` - Technion moodle

‫חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪2‬מ'‬
‫חורף תשע"ו‬
‫הטכניון‪ -‬מכון טכנולוגי לישראל‬
‫הפקולטה למתמטיקה‬
‫תרגיל בית מס' ‪3‬‬
‫ענו על כל השאלות הבאות‪ .‬הקפידו לנמק היטב את שיקוליכם בכל חלקי הפתרון‪.‬‬
‫‪ )1‬מקור קרינה רדיואקטיבי מצוי בנקודה )‪ . A=(-1,1,3‬הקרינה בכל נקודה נתונה ע"י‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫= )𝑧 ‪𝑅(𝑥, 𝑦,‬‬
‫‪(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 1)2 + (𝑧 − 3)2 + 1‬‬
‫א‪ .‬באיזה כיוון תעוף ציפור הנמצאת בנקודה ‪ A‬אם היא רוצה להקטין את הקרינה‬
‫במהירות המקסימלית?‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬באיזה כיוון יילך אדם הנמצא בנקודה ‪ A‬על המשטח ‪ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 5‬אם הוא רוצה‬
‫להקטין את הקרינה בקצב המקסימלי?‬
‫מטפס הרים מצוי על קרקע המתוארת ע"י ‪ 𝑥 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 3‬בנקודה )‪.B=(1,1,1‬‬
‫ג‪ .‬באיזה כיוון במרחב הוא יטפס אם ברצונו לטפס את הטיפוס הקשה ביותר?‬
‫ד‪ .‬תחת אותם התנאים‪ ,‬לאיזה כיוון טיפס אם כוח המשיכה היה פועל בכיוון החיובי של‬
‫ציר ‪?y‬‬
‫‪ )2‬א) נתונה המערכת‪:‬‬
‫‪yu  v  x 2  y 2  0‬‬
‫‪xu  v 2  y 2 v  y  0‬‬
‫‪.1‬בדקו כי המערכת מגדירה שתי פונקציות סתומות ‪u  x, y ‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪v  x, y ‬‬
‫בסביבת הנקודה ‪. x1 , y1 , u1 , v1   1,1,3,1‬‬
‫‪.2‬חשבו את הנגזרות החלקיות מסדר ראשון של שתי הפונקציות הסתומות בנקודה ‪. 1,1‬‬
‫‪.3‬חשבו את‬
‫‪. u xy'' 1,1‬‬
‫‪.‬‬
‫ב) הוכיחו כי המשוואה ‪z 3  xz  y  0‬‬
‫מגדירה את )‪ z=z(x,y‬בסביבת הנקודה (‪)1,0,1‬‬
‫‪2 z‬‬
‫וחשבו את )‪(1,0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪xy‬‬
‫𝑦 𝑥‬
‫‪ )3‬נניח כי המשוואה ‪ 𝑓 (𝑧 , 𝑧 ) = 0‬מגדירה פונקציה סתומה )𝑦 ‪ .𝑧 = 𝑔(𝑥,‬הוכח‬
‫שהפונקציה )𝑦 ‪ 𝑧 = 𝑔(𝑥,‬מקיימת את המשוואה‪:‬‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑥‬
‫𝑦‪+‬‬
‫𝑧=‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫תוכלו להניח כי כל הפונקציות המופיעות בשאלה גזירות חלקית בכל סדר‪.‬‬
‫‪ )4‬לפניך שלושה סעיפים‪ .‬כתוב את התשובה הסופית לכל אחד מהם‪ .‬אין צורך לנמק‪.‬‬
‫[‪ 10‬נקודות לכל השאלה]‬
‫𝑧𝑥‬
‫א) המשוואה ‪ 𝑒 + 𝑦 − 𝑧 = 0‬מגדירה פונקציה סתומה )𝑦 ‪ 𝑧 = 𝑓(𝑥,‬בסביבת‬
‫הנקודה (‪ .)0,1‬מהו ערכה של הנגזרת המכוונת של 𝑓 בכיוון )‪ (3, −4‬בנקודה (‪?)0,1‬‬
‫חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪2‬מ'‬
‫חורף תשע"ו‬
‫הטכניון‪ -‬מכון טכנולוגי לישראל‬
‫הפקולטה למתמטיקה‬
‫ב) תהי )‪ f(x,y,z‬פונקציה בעלת נגזרות חלקיות רציפות ב‪-‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3 2 6‬‬
‫‪9 2‬‬
‫‪, , , v   , ,  ‬‬
‫‪7 7 7‬‬
‫‪ 11 11 11 ‬‬
‫‪ u  ‬כיוונים ב‪-‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫ויהיו‬
‫‪ .‬מבין כל הנגזרות המכוונות‬
‫של ‪ f‬בנקודה ‪ P‬כלשהי‪ ,‬הערך המקסימלי הוא ‪ 11‬כאשר גוזרים את ‪ f‬בכיוון ‪ . u‬מהו הערך‬
‫‪f‬‬
‫של ) ‪( P‬‬
‫‪v‬‬
‫?‬
‫ג) תהי ‪ f : 3 ‬נתונה ע"י ‪f ( x, y, z)  axy 2  byz  cx3 z 2‬‬
‫הנגזרת המכוונת המקסימלית של ‪ f‬בנקודה )‪ (1,2, 1‬היא בכיוון )‪ (0,0,1‬וערכה‬
‫‪ .‬נתון כי‬
‫‪ .32‬מהם הפרמטרים ‪? a,b,c‬‬
‫בהצלחה !‬