שיטות פתרון למשוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון

‫שיטות פתרון למשוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון‬
‫לא כל המשוואות הדיפרנציאליות ברות פתירה היום ‪ -‬ובפרט מסדר ראשון‪ ,‬עם זאת ישנם שיטות‬
‫המאפשרות לנו לפתור את חלקן‪ ,‬במסמך זה אציג את האפשרויות הדומיננטיות לפתירת משוואות‬
‫דיפרנציאליות מסדר ראשון ‪.‬‬
‫זהו סיכום בלבד ולא יעזור למי שלא למד את החומר לפני כן‪.‬‬
‫משוואה ליניארית מסדר ראשון על ידי הכפלה בגורם אינטגרציה‬
‫כאשר המשוואה היא מהצורה ‪ y ' a( x )y  b( x ) :‬אזי גורם האינטגרציה יהיה‬
‫נכפיל את המשוואה בגורם זה‪ ,‬ונקבל ‪ b( x ):‬‬
‫או במילים אחרות ‪ b( x ) :‬‬
‫‪a( x )dx‬‬
‫‪ y ]'  e ‬‬
‫‪a( x )dx‬‬
‫‪a( x )dx‬‬
‫‪ a( x )y  e ‬‬
‫‪a( x )dx‬‬
‫‪y ' e ‬‬
‫) ‪a( x‬‬
‫‪a( x )dx‬‬
‫‪. e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪. [e ‬‬
‫מכאן מה שנותר לעשות הוא לבצע אינטגרציה ולפתור את המשוואה ‪:‬‬
‫) ‪ a( x )dx  y ]' dx  e  a( x )dx dx  b( x‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪dx  b( x‬‬
‫‪a ( x )dx‬‬
‫‪ y   e‬‬
‫‪ [e‬‬
‫‪a ( x )dx‬‬
‫‪e‬‬
‫משוואה נפרדה‬
‫המשוואה הליניארית שהצגנו לעיל ניתנת להצגה גם בצורה ‪ y '  b( x )  a( x )y:‬או ) ‪. y '  f ( x, y‬‬
‫אם ‪ f‬בלתי תלויה ב‪ y‬דהיינו ‪ y '  f ( x ) :‬אזי‪ ,‬ניתן לבצע אינטגרציה ‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ופתרונה הכללי של המשוואה יהיה ‪y ( x )   f (t )dt  C :‬‬
‫דוגמא‬
‫נפתור את המשוואה ‪ , 3y  y '  ( x  1)  y  1 :‬נבצע הפרדת משתנים ‪y [1 x  3]y '  1:‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪1‬‬
‫כלומר ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪dx 4  x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫נמשיך עם ההפרדה ונבצע אינטגרציה ‪ ydy   4  x dx :‬‬
‫לפתור ‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות ‪ , www.eMath.co.il‬לפניות‪. [email protected] :‬‬
‫ומכאן נשאר רק‬
‫משוואה מדויקת‬
‫כאשר נתונה לנו משוואה מהצורה ‪ P( x, y )dx  Q( x, y )dy  0 :‬ומתקיים ‪ Py  Qx :‬והפונקציות ‪ P‬ו‬
‫‪ Q‬הן רציפות ובעלות נגזרות חלקיות רציפות בתחום המתאים אזי מדובר במשוואה מדויקת ‪.‬‬
‫במידה והמשוואה מדויקת‪ ,‬אזי קיימת פונקציה ) ‪  ( x, y‬הנקראת פוטנציאל של המשוואה הנ" ל אשר‬
‫מקיימת ‪. x ( x, y )  P , y ( x, y )  Q :‬‬
‫ופתרונה הכללי של המשוואה יהיה ‪.  ( x, y )  C :‬‬
‫כיצד נגיע ל ) ‪ ?  ( x, y‬נבצע אינטגרציה ל‪ P‬לפי ‪ x‬ולא נשכח ש ‪ P‬היא פונקציה גם של‪ X‬וגם של ‪. Y‬‬
‫לכן נקבל כי ‪.  ( x, y )   P( x, y )dx  C( y ) :‬‬
‫כמו כן נתון לנו כי ‪ y ( x, y )  Q‬אזי נגזור את ) ‪  ( x, y‬לפי וואי ונשווה ל‪ , Q‬וכך נמצא את ) ‪. C( y‬‬
‫וכל שנותר יהיה לרשום את הפתרון הכללי ‪.  ( x, y )  C :‬‬
‫במידה ונתון לנו תנאי התחלה‪ ,‬נוכל למצוא גם את‪. C‬‬
‫מציאת גורם אינטגרציה‬
‫נסתכל על המשוואה ‪. P( x, y )dx  Q( x, y )dy  0 :‬‬
‫אם‬
‫‪Py  Qx‬‬
‫‪Q‬‬
‫תלוי אך ורק ב‪ X‬אזי קיים גורם אינטגרציה ) ‪ ( x‬‬
‫שניתן לחלצו מן המשוואה‪ ( x )  0 :‬‬
‫אם‬
‫‪Py  Qx‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Py  Qx‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪.  '( x ) ‬‬
‫תלוי אך ורק ב‪ Y‬אז קיים גורם אינטגרציה ) ‪.  ( y‬‬
‫שניתן לחלצו מן המשוואה‪ ( y )  0 :‬‬
‫‪Py  Qx‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ '( y ) ‬‬
‫© כל הזכויות שמורות ‪ , www.eMath.co.il‬לפניות‪. [email protected] :‬‬
‫משוואת ברנולי‬
‫משוואת ברנולי היא המשוואה מהצורה ‪ b( x )  y  :‬‬
‫‪. y ' a( x )  y‬‬
‫כאשר אלפא קבוע כלשהו ‪.‬‬
‫אם ‪   0,1‬אזי המשוואה היא ליניארית ופירטנו כבר כיצד לפתור אותה ‪.‬‬
‫בכל המקרים האחרים‪ ,‬נחלק את שני האגפים ב ‪y  :‬‬
‫‪1‬‬
‫נשים לב כי מתקיים ‪( y 1 )' :‬‬
‫‪1 ‬‬
‫ולכן‪ ,‬אם נציב ‪z  y 1 :‬‬
‫ונקבל ‪y   y ' a( x )  y 1  b( x ) :‬‬
‫‪. y  y ' ‬‬
‫‪1‬‬
‫נקבל ‪ z ' a( x )  z '  b( x ) :‬‬
‫‪1 ‬‬
‫וזאת בעצם משוואה ליניארית שאנחנו כבר יודעים לפתור ‪.‬‬
‫שיטת אד‪-‬הוק‬
‫‪y‬‬
‫לשיטת הד הוק יש גם שיטת הצבה ‪ ,‬אם נצליח להגיע במשוואה דיפרנציאלית לצורה )‪y '  f ( :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y  zx‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ z ‬ומכאן נסיק כי ‪:‬‬
‫אזי נציב‬
‫‪y '  z ' x  1 z  z ' x  z‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪z ' x  z  f (z‬‬
‫‪dz‬‬
‫וזוהי משוואה נפרדה ( להמיר ‪:‬‬
‫נציב זאת במשוואה ונקבל ‪:‬‬
‫‪z ' x  f (z)  z‬‬
‫‪dx‬‬
‫© כל הזכויות שמורות ‪ , www.eMath.co.il‬לפניות‪. [email protected] :‬‬
‫‪) z' ‬‬