מפונקציה ריבועית למשוואה ריבועית : 02 יחידה

‫יחידה ‪ :02‬מפונקציה ריבועית למשוואה ריבועית‬
‫מטרות היחידה‬
‫‪‬‬
‫להעמיק את הבנת הקשר בין פונקציה ריבועית למשוואה ריבועית‪.‬‬
‫‪‬‬
‫לפתור בדרך אלגברית משוואות ריבועיות מהצורה ‪.a ≠ 0 , ax2 + c = 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫להבין וליישם את הקשר בין פתרון משוואה ריבועית מהצורה ‪ ,a ≠ 0 ax + c = 0‬לשיעורי נקודות מתאימות‬
‫על הגרף‪.‬‬
‫‪‬‬
‫לפתור בדרך אלגברית משוואות ריבועיות מהצורה ‪.a ≠ 0 , ax2 + bx = 0‬‬
‫‪‬‬
‫להבין וליישם את הקשר בין פתרון משוואה ריבועית מהצורה ‪ ,a ≠ 0 ax2 + bx = 0‬לשיעורי נקודות מתאימות‬
‫על הגרף‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫לפתח ולהעמיק את ההבנה של ההבדלים בין משוואות מהצורה ‪ a ≠ 0 , ax + bx = 0‬למשוואות מהצורה‬
‫‪.a ≠ 0 , ax2 + c = 0‬‬
‫‪‬‬
‫לפתח ולהעמיק את ההבנה של ההבדלים בין פרבולות מהמשפחה ‪ a ≠ 0 , y = ax2 + bx‬לפרבולות‬
‫‪2‬‬
‫מהמשפחה ‪.a ≠ 0 , y = ax + c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫לפתור בעיות מילוליות שהגרף המתאים הוא מהצורה ‪.a ≠ 0 , y = ax + bx‬‬
‫‪‬‬
‫לזהות את הפרמטרים של פונקציה ריבועית‪.‬‬
‫‪‬‬
‫למצוא ייצוג אלגברי של פונקציה ריבועית לפי הפרמטרים‪ ,‬ולהתאים לגרף‪.‬‬
‫‪‬‬
‫לגלות את תכונות הפרבולה הנובעות מערכי הפרמטרים (מינימום‪/‬מקסימום‪ ,‬חיתוך עם ציר ‪.)y‬‬
‫‪‬‬
‫לחזק את השליטה במיומנויות אלגבריות ‪ -‬לתרגל פתרון משוואות ריבועיות (כולל פישוט ביטויים בעזרת חוקי‬
‫הפילוג ו‪/‬או נוסחאות הכפל)‪.‬‬
‫מהלך השיעורים‬
‫בשיעור ‪ 1‬מקשרים בין פתרון גרפי לפתרון אלגברי של משוואות מהצורה ‪ .a ≠ 0 , ax2 + c = 0‬פותרים משוואות‬
‫ריבועיות תוך מתרגלים מיומנויות אלגבריות – פישוט בעזרת חוק הפילוג המורחב ובעזרת נוסחאות‬
‫הכפל‪.‬‬
‫בשיעור ‪ 2‬מקשרים בין פתרון גרפי לפתרון אלגברי של משוואות מהצורה ‪ .a ≠ 0 ,y = ax2 + bx‬פותרים משוואות‬
‫ריבועיות תוך כדי כך מתרגלים מיומנויות אלגבריות – פישוט בעזרת חוק הפילוג המורחב ובעזרת‬
‫נוסחאות הכפל‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫בשיעור ‪ 3‬פותרים בעיות מילוליות שבהן המשוואה הריבועית היא מהצורה ‪.a ≠ 0 ,ax + bx = 0‬‬
‫ופותרים משוואות ריבועיות הכוללות פישוט‪.‬‬
‫בשיעור ‪ 4‬מזהים את הפרמטרים של פונקציה ריבועית‪ ,‬רושמים פונקציה ריבועית על‪-‬פי הפרמטרים‪,‬‬
‫ומזהים תכונות לפי הפרמטרים‪.‬‬
‫מדריך למורים – מתמטיקה משולבת‪ ,‬כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק ‪ -‬יחידה ‪20‬‬
‫מכון ויצמן למדע ‪2015‬‬
‫‪59‬‬
‫שיעור ‪ .1‬משוואות מהצורה ‪a  0 , ax2 + c = 0‬‬
‫מטרות השיעור‬
‫‪‬‬
‫לחזור ולהעמיק את הבנת הקשר בין פונקציה ריבועית למשוואה ריבועית‪.‬‬
‫‪‬‬
‫לפתור בדרך אלגברית משוואות ריבועיות מהצורה ‪.a ≠ 0 , ax2 + c = 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫להבין וליישם את הקשר בין פתרון משוואה ריבועית מהצורה ‪ ,a ≠ 0 ax + c = 0‬לשיעורי נקודות‬
‫מתאימות על הגרף‪.‬‬
‫פתיחה‬
‫משימת הפתיחה‪ :‬מבקשים הצעות לפתרון המשוואה ‪2x2 – 8 = 0‬‬
‫מציגים את דרך הפתרון של רוני (פתרון אלגברי) ואת דרך הפתרון של הדר (פתרון גרפי)‪.‬‬
‫בשתי הדרכים מתקבל כי פתרון המשוואה הוא‬
‫‪ x = 2‬או ‪.x = –2‬‬
‫סיכום ביניים‪ :‬אפשר להציג דוגמאות נוספות כדי להדגיש את הקשר בין שתי דרכי הפתרון (דרך אלגברית ודרך‬
‫גרפית)‪.‬‬
‫מהלך‬
‫משימות ‪ :4 – 1‬פותרים משוואות ריבועיות‪.‬‬
‫משימה ‪ :1‬פותרים משוואות ריבועיות מהצורה ‪.a ≠ 0 ,ax2 + c = 0‬‬
‫א‪ x = 6 .‬או ‪x = –6‬‬
‫ב‪ x = 3 .‬או ‪x = –3‬‬
‫ה‪ x = 5 .‬או ‪x = –5‬‬
‫ו‪ x = 3 .‬או ‪.x = –3‬‬
‫ג‪ x = 1 .‬או ‪x = –1‬‬
‫ד‪ x = 4 .‬או ‪x = –4‬‬
‫משימה ‪ :0‬מוצאים את נקודות האפס באמצעות פתרון משוואה ריבועית מתאימה‪.‬‬
‫א‪ (8 , 0) .‬ו‪(–8 , 0) -‬‬
‫ב‪ (1 , 0) .‬ו‪(–1 , 0) -‬‬
‫ג‪ (3 , 0) .‬ו‪(–3 , 0) -‬‬
‫משימה ‪ :3‬מפשטים ופותרים משוואות ריבועיות‪ .‬מומלץ לפתור מספר משוואות לדוגמה ורק אחר‪-‬כך לבקש‬
‫מהתלמידים לפתור את המשוואות‪.‬‬
‫א‪ x = 5 .‬או ‪x = –5‬‬
‫ב‪ x = 6 .‬או ‪x = –6‬‬
‫משימה ‪ :4‬א‪ x = 5 .‬או ‪x = –5‬‬
‫ה‪ x = 1 .‬או ‪x = –1‬‬
‫‪60‬‬
‫מכון ויצמן למדע ‪2015‬‬
‫ב‪x = 0 .‬‬
‫ג‪ x = 1 .‬או ‪x = –1‬‬
‫ד‪ x = 5 .‬או ‪x = –5‬‬
‫ג‪ x = 2 .‬או ‪x = –2‬‬
‫ד‪ .‬אין פתרון‬
‫ו‪ .‬אין פתרון‬
‫מדריך למורים – מתמטיקה משולבת‪ ,‬כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק ‪ -‬יחידה ‪20‬‬
‫משימה ‪ :5‬חשיבה ביקורתית על שתי תשובות של ניר ושל עמית‪ .‬ניתוח מצב מיוחד של הפונקציה ‪y = x2 + 16‬‬
‫שאין לה נקודות חיתוך עם ציר ‪ .x‬נדרש דיון המסכם את הידע של התלמידים על ייצוג גרפי‪ ,‬פתרון משוואה‬
‫ריבועית וניתוח המצב בעזרת הייצוג האלגברי של הפונקציה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬ברוב המשימות עוסקים בפונקציות שחותכות את ציר ‪ .x‬העיסוק בפונקציות כמו במשימה זו חשוב מאוד‬
‫כדי להראות מצב אחר ולהבין את הסיבות לכך ואת המשמעות‪.‬‬
‫עמית צודק‪ .‬אפשר להסביר במספר אופנים‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫בעזרת שרטוט גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫בעזרת פתרון המשוואה הריבועית ‪ ,x + 16 = 0‬מקבלים שלמשוואה אין פתרון‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫בעזרת הייצוג האלגברי של הפונקציה – קדקוד הפונקציה הוא )‪ (0 , 16‬מינימום‪ ,‬כך שהערך המינימלי הוא ‪.16‬‬
‫‪2‬‬
‫אפשר לבקש מהתלמידים להסביר מדוע ניר לא צודק‪ .‬ההסבר יכול להיות‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫בעזרת הצבה בפונקציה – אם מציבים בפונקציה ‪ x = 4‬או ‪ x = –4‬מקבלים ‪ y = 32‬ולא ‪.0‬‬
‫‪-‬‬
‫בעזרת שיקולים אלגבריים תוך התבוננות בייצוג האלגברי של הפונקציה – מהביטוי ‪ x2 + 16‬מתקבלת תמיד‬
‫תוצאה חיובית עבור הצבת כל מספר במקום ‪.x‬‬
‫‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫בעזרת הייצוג הגרפי – משרטטים סקיצה של גרף הפונקציה ‪y = x + 16‬‬
‫מתקבלת פונקציה שאין לה נקודות אפס (כל ערכיה חיוביים)‪.‬‬
‫סיכום‬
‫‪-‬‬
‫מסכמים את הקשר בין פתרון משוואה ריבועית לבין מציאת שיעורי נקודות האפס של הפונקציה הריבועית‬
‫המתאימה‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫מדגישים כי פתרון המשוואה הוא מספר (או מספרים) המציינים את ערכו של המשתנה‪ .‬שיעורי נקודות האפס‬
‫הם זוגות סדורים מהצורה )‪.(x , 0‬‬
‫‪-‬‬
‫אם יש זמן אפשר להציג בפני התלמידים משוואה מהצורה ‪( a ≠ 0 ,ax2 + c = 0‬לדוגמה‪,)x2 – 16 = 0 :‬‬
‫‪2‬‬
‫ולאחר מציאת נקודות האפס‪ ,‬לבקש מהם לשרטט סקיצה של גרף הפונקציה המתאימה )‪.(y = x – 16‬‬
‫אוסף משימות‬
‫המשימות ד ומות למשימות שעבדו עליהן בשיעור והן חוזרות על עצמן בדרגות קושי שונות ולכן מומלץ לתת בחירה‬
‫בין המשימות‪ .‬ראו הצעה בטבלה‪.‬‬
‫משימה לכולם‬
‫‪3,2,1‬‬
‫משימה קלה‬
‫משימה קשה‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫אתגר‬
‫‪6‬‬
‫מדריך למורים – מתמטיקה משולבת‪ ,‬כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק ‪ -‬יחידה ‪20‬‬
‫אפשרות בחירה‬
‫כולם פותרים‬
‫פותרים משימה אחת‬
‫רשות‬
‫מכון ויצמן למדע ‪2015‬‬
‫‪61‬‬
‫משימה ‪ :1‬מציאת שיעורי נקודות האפס של פונקציות ריבועיות‪ .‬מוצאים את שיעורי הנקודות על‪-‬ידי פתרון משוואה‬
‫ריבועית מתאימה‪.‬‬
‫א‪B(–2 , 0) , A(2 , 0) .‬‬
‫ג‪B(–2 , 0) , A(2 , 0) .‬‬
‫ב‪B(–1 , 0) , A(1 , 0) .‬‬
‫משימה ‪ :0‬חידת מספרים‪ .‬רצוי לרשום פונקציה ריבועית מתאימה ובעזרתה לענות על השאלות‪.‬‬
‫מסמנים ב‪ x -‬את המספר שבחרתי‪ ,‬וב‪ y -‬את התוצאה שקיבלתי‪.‬‬
‫הפונקציה המתאימה‪ , y = (x + 4)(x – 4) :‬לאחר פישוט מקבלים‪.y = x2 – 16 :‬‬
‫א‪ .‬אם קיבלתי ‪ ,0‬המשוואה‪ , x2 – 16 = 0 :‬פתרון המשוואה‪ x = 4 :‬או ‪x = –4‬‬
‫ב‪ .‬אם קיבלתי ‪ ,20‬המשוואה‪ , x2 – 16 = 20 :‬פתרון המשוואה‪ x = 6 :‬או ‪x = –6‬‬
‫ג‪.‬‬
‫אם קיבלתי ‪ ,65‬המשוואה‪ , x2 – 16 = 65 :‬פתרון המשוואה‪ x = 9 :‬או ‪x = –9‬‬
‫משימה ‪ :3‬עוסקת בפתרון משוואות ריבועיות‪.‬‬
‫א‪ x = 1 .‬או ‪x = –1‬‬
‫ב‪ x = 5 .‬או ‪x = –5‬‬
‫ה‪ x = 9 .‬או ‪x = –9‬‬
‫ו‪ x = 4 .‬או ‪x = –4‬‬
‫ג‪ x = 4 .‬או ‪x = –4‬‬
‫ד‪ x = 3 .‬או ‪x = –3‬‬
‫משימות ‪ :5 – 4‬מדורגות – פתרון משוואות עם פישוט‪.‬‬
‫שגיאות אופייניות בפישוט יכולות להיות‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫כפל שגוי בעזרת חוק הפילוג כמו כפל חלקי‪ ,‬טעויות בסימנים – רצוי לחזור ולהדריך את התלמידים לחישוב נכון‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫כפל שגוי באמצעות שימוש בנוסחאות הכפל המקוצר – מומלץ לרשום את הביטוי כמכפלה ולכפול בעזרת חוק‬
‫הפילוג המורחב‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫כינוס שגוי של איברים דומים – אפשר לתת דוגמאות ולהסביר את הטעויות‪.‬‬
‫משימה ‪ :4‬א‪ x = 5 .‬או ‪x = –5‬‬
‫ה‪ x = 5 .‬או ‪x = –5‬‬
‫ו‪x = –4 .‬‬
‫משימה ‪ :5‬א‪ x = 4 .‬או ‪x = –4‬‬
‫ה‪ x = 3 .‬או ‪x = –3‬‬
‫ב‪ x = 4 .‬או ‪x = –4‬‬
‫ג‪ x = 3 .‬או ‪x = –3‬‬
‫ד‪x = 0 .‬‬
‫ב‪ x = 4 .‬או ‪x = –4‬‬
‫ג‪x = 0.5 .‬‬
‫ד‪x = 1 .‬‬
‫ו‪ x = 1 .‬או ‪x = –1‬‬
‫משימה ‪ :6‬משימת אתגר‪.‬‬
‫ייתכן‪ ,‬כי פונקציה אחת היא שיקוף בציר ‪ x‬של הפונקציה האחרת‪.‬‬
‫הסבר נוסף יכול להיות בעזרת חישוב נקודות האפס של כל פונקציה‪.‬‬
‫נזכיר כי ביחידות קודמות ראינו כי הכפלת פונקציה בגורם קבוע גורמת לכיווץ או להרחבה של פרבולות מבלי לשנות‬
‫את נקודות האפס‪ .‬נדגיש כי לא רק פרבולת השיקוף‪ ,‬אלא כל פרבולה שהיא כפולה של אחת מהפונקציות הנתונות‬
‫תהיה בעלת אותן נקודות אפס‪.‬‬
‫‪62‬‬
‫מכון ויצמן למדע ‪2015‬‬
‫מדריך למורים – מתמטיקה משולבת‪ ,‬כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק ‪ -‬יחידה ‪20‬‬
‫שיעור ‪ .0‬משוואות מהצורה ‪a  0 , ax2 + bx = 0‬‬
‫מטרות השיעור‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫לפתור בדרך אלגברית משוואות ריבועיות מהצורה ‪.a ≠ 0 , ax2 + bx = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫להבין וליישם את הקשר בין פתרון משוואה ריבועית מהצורה ‪ ,a ≠ 0 ax + bx = 0‬לשיעורי נקודות מתאימות‬
‫על הגרף‪.‬‬
‫‪‬‬
‫לפתח ולהעמיק את ההבנה של ההבדלים בין משוואות מהצורה ‪ a ≠ 0 , ax2 + bx = 0‬למשוואות מהצורה‬
‫‪2‬‬
‫‪.a ≠ 0 , ax + c = 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫לפתח ולהעמיק את ההבנה של ההבדלים בין פרבולות מהמשפחה ‪ a ≠ 0 , y = ax + bx‬לפרבולות‬
‫מהמשפחה ‪.a ≠ 0 , y = ax2 + c‬‬
‫פתיחה‬
‫משימת הפתיחה‪ :‬מבקשים הצעות לפתרון המשוואה ‪. 2x2 – 8x = 0‬‬
‫דרך הפתרון של אסף (פתרון אלגברי) ודרך הפתרון של יואב (פתרון גרפי)‪.‬‬
‫בשתי הדרכים מתקבל כי פתרון המשוואה הוא ‪ x = 0‬או ‪.x = 4‬‬
‫סיכום ביניים‪ :‬אפשר להציג דוגמאות נוספות כדי להדגיש את הקשר בין שתי דרכי הפתרון‪.‬‬
‫מהלך‬
‫משימות ‪ :4 – 1‬פותרים משוואות ריבועיות‪.‬‬
‫משימה ‪ :1‬פותרים משוואות ריבועיות מהצורה ‪.a ≠ 0 ,ax2 + bx = 0‬‬
‫א‪ x = 0 .‬או ‪x = 3‬‬
‫ב‪ x = 0 .‬או ‪x = –3‬‬
‫ה‪ x = 0 .‬או ‪x = 5‬‬
‫ו‪ x = 0 .‬או ‪.x = –5‬‬
‫ד‪ x = 0 .‬או ‪x = –4‬‬
‫ג‪ x = 0 .‬או ‪x = 4‬‬
‫משימה ‪ :0‬מוצאים את נקודות האפס באמצעות פתרון משוואה ריבועית מתאימה‪.‬‬
‫א‪ (0 , 0) .‬ו‪(8 , 0) -‬‬
‫ב‪ (0 , 0) .‬ו‪(2 , 0) -‬‬
‫ה‪ (0 , 0) .‬ו‪(4 , 0) -‬‬
‫ו‪ (0 , 0) .‬ו‪(10 , 0) -‬‬
‫ג‪ (0 , 0) .‬ו‪(–3 , 0) -‬‬
‫משימה ‪ :3‬פותרים משוואה ומקשרים את הפתרון לסקיצה של הגרף‪.‬‬
‫ד‪ (0 , 0) .‬ו‪(7.5 , 0) -‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬פתרון המשוואה‪ x = 0 :‬או ‪x = 2.5‬‬
‫ב‪ .‬פתרון המשוואה הם שיעורי ‪ x‬של נקודות האפס של הפונקציה‪ .‬לכן מתקבל‪ A(0 , 0) :‬ו‪.B(2.5 , 0) -‬‬
‫משימה ‪ :4‬מפשטים ופותרים משוואות ריבועיות‪ .‬מומלץ לפתור מספר משוואות לדוגמה ורק אחר‪-‬כך לבקש‬
‫‪2‬‬
‫מהתלמידים לפתור את המשוואות‪ .‬נציין כי בחלק מהמשוואות מתקבלות לאחר פישוט משוואות מהצורה ‪.x + c = 0‬‬
‫א‪ x = 0 .‬או ‪x = –2‬‬
‫ה‪ x = 0 .‬או ‪x = –3.5‬‬
‫ב‪ x = 0 .‬או ‪x = 16‬‬
‫ג‪ x = 6 .‬או ‪x = –6‬‬
‫ד‪ x = 0 .‬או ‪x = –2‬‬
‫ו‪ x = 1 .‬או ‪x = –1‬‬
‫מדריך למורים – מתמטיקה משולבת‪ ,‬כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק ‪ -‬יחידה ‪20‬‬
‫מכון ויצמן למדע ‪2015‬‬
‫‪63‬‬
‫סיכום‬
‫‪-‬‬
‫מסכמים את הקשר בין פתרון משוואה ריבועית למציאת שיעורי נקודות האפס של הפונקציה הריבועית‬
‫המתאימה‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫מדגישים כי פתרון המשוואה הוא מספר (או מספרים) המציינים את ערכו של המשתנה‪ .‬שיעורי נקודות האפס‬
‫הם זוגות סדורים מהצורה )‪.(x , 0‬‬
‫‪-‬‬
‫מדגישים כי אחד מפתרונות המשוואה ‪ a ≠ 0 , ax2 + bx = 0‬הוא ‪ .x = 0‬כלומר‪ ,‬אחת מנקודות האפס של‬
‫‪2‬‬
‫הפונקציה מהצורה ‪ a ≠ 0 , y = ax + bx‬היא )‪ (0 , 0‬ומשמעותו‪ :‬גרף הפונקציה עובר דרך ראשית הצירים‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫מציגים שתי משוואות שנראות דומות (למשל‪x2 – 9x = 0 ,‬‬
‫‪ )x2 – 9 = 0‬ודנים בהבדלים ביניהן (בפתרון‪,‬‬
‫בייצוג הגרפי המתאים וכד')‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫אם יש זמן אפשר להציג בפני התלמידים משוואה מהצורה ‪( a ≠ 0 ,ax2 + bx = 0‬לדוגמה‪,)2x2 – 16x = 0 :‬‬
‫‪2‬‬
‫ולאחר מציאת נקודות האפס‪ ,‬לבקש מהם לשרטט את גרף הפונקציה המתאימה )‪.(y = 2x – 16x‬‬
‫אוסף משימות‬
‫המשימות דומות למשימות שעבדו עליהן בשיעור והן חוזרות על עצמן בדרגות קושי שונות ולכן מומלץ לתת בחירה‬
‫בין המשימות‪ .‬ראו הצעה בטבלה‪.‬‬
‫משימה לכולם‬
‫משימה קשה‬
‫‪2‬‬
‫משימה קלה‬
‫‪1‬‬
‫אפשרות בחירה‬
‫פותרים משימה אחת‬
‫כולם פותרים‬
‫פותרים משימה אחת‬
‫פותרים משימה אחת‬
‫רשות‬
‫אתגר‬
‫‪7,6,3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪9‬‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫‪10‬‬
‫משימות ‪ :0 – 1‬מדורגות – מציאת שיעורי נקודות האפס של פונקציות ריבועיות‪ .‬מוצאים את שיעורי הנקודות‬
‫על‪-‬ידי פתרון משוואה ריבועית מתאימה‪.‬‬
‫משימה ‪ :1‬א‪ (0 , 0) .‬ו‪(3 , 0) -‬‬
‫ה‪ (0 , 0) .‬ו‪(4 , 0) -‬‬
‫ו‪ (2 , 0) .‬ו‪(–2 , 0) -‬‬
‫משימה ‪ :0‬א‪ (0 , 0) .‬ו‪(4 , 0) -‬‬
‫ה‪ (0 , 0) .‬ו‪(25 , 0) -‬‬
‫ב‪ (0 , 0) .‬ו‪(–3 , 0) -‬‬
‫ג‪ (0 , 0) .‬ו‪(4 , 0) -‬‬
‫ד‪ (2 , 0) .‬ו‪(–2 , 0) -‬‬
‫ב‪ (2 , 0) .‬ו‪(–2 , 0) -‬‬
‫ג‪ (0 , 0) .‬ו‪(4 , 0) -‬‬
‫ד‪ (2 , 0) .‬ו‪(–2 , 0) -‬‬
‫ו‪ (5 , 0) .‬ו‪(–5 , 0) -‬‬
‫משימה ‪ :3‬התאמה של פונקציה לגרף‪ .‬ההתאמה יכולה להיעשות באמצעות מציאת שיעורי נקודות האפס של כל‬
‫פונקציה‪ ,‬ובסוג הקדקוד (לפי ערך הפרמטר ‪ :a‬אם ‪ a > 0‬לפרבולה קדקוד מינימום‪ ,‬ואם ‪ a < 0‬לפרבולה קדקוד‬
‫מקסימום)‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬לפונקציה ‪ y = 2x + 4‬מתאים גרף ‪III‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬לפונקציה ‪ y = 2x – 4‬מתאים גרף ‪IV‬‬
‫לפונקציה ‪ y = 2x2 – 4x‬מתאים גרף ‪I‬‬
‫ד‪ .‬לפונקציה ‪ y = –2x – 4‬מתאים גרף ‪V‬‬
‫ה‪ .‬לפונקציה ‪ y = –2x2 + 4x‬מתאים גרף ‪VI‬‬
‫ו‪ .‬לפונקציה ‪ y = 2x2 + 4x‬מתאים גרף ‪II‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪64‬‬
‫מכון ויצמן למדע ‪2015‬‬
‫‪2‬‬
‫מדריך למורים – מתמטיקה משולבת‪ ,‬כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק ‪ -‬יחידה ‪20‬‬
‫משימות ‪ :5 – 4‬מדורגות – פתרון משוואות ריבועיות מהצורה ‪ a  0 , ax2 + bx = 0‬ומשוואות ריבועיות‬
‫מהצורה ‪.a  0 , ax2 + c = 0‬‬
‫משימה ‪ :4‬א‪ x = 0 .‬או ‪x = 5‬‬
‫ה‪ x = 0 .‬או ‪x = 4‬‬
‫ב‪ x = 0 .‬או ‪x = –5‬‬
‫ד‪ x = 4 .‬או ‪x = –4‬‬
‫ג‪ x = 0 .‬או ‪x = 16‬‬
‫ו‪ x = 2 .‬או ‪x = –2‬‬
‫משימה ‪ :5‬א‪ x = 0 .‬או ‪x = 9‬‬
‫ד‪ x = 3 .‬או ‪x = –3‬‬
‫ג‪ x = 0 .‬או ‪x = 9‬‬
‫ב‪ x = 3 .‬או ‪x = –3‬‬
‫ו‪ x = 0.5 .‬או ‪x = –0.5‬‬
‫ה‪ x = 0 .‬או ‪x = 0.25‬‬
‫משימה ‪ :6‬התאמה של פתרון למשוואה‪ .‬אפשר לפתור את המשימה בשתי דרכים‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫לפתור כל משוואה‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫להציב את המספרים‪ .‬אם מתקבל שוויון‪ ,‬המספר הוא פתרון המשוואה‪.‬‬
‫א‪ x = 0 .‬או ‪x = –2‬‬
‫ב‪ x = 0 .‬או ‪x = 3‬‬
‫ה‪ x = 0 .‬או ‪x = 2‬‬
‫ו‪ x = 2 .‬או ‪x = –2‬‬
‫ד‪ x = 0 .‬או ‪x = –3‬‬
‫ג‪ x = 3 .‬או ‪x = –3‬‬
‫משימה ‪ :7‬התאמה של פונקציה לשיעורי נקודות האפס שלה‪.‬‬
‫א‪ (3 , 0) .‬ו‪(–3 , 0) -‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ב‪ (0 , 0) .‬ו‪(–3 , 0) -‬‬
‫אין נקודות אפס (גרף הפונקציה לא חותך את ציר ‪ ,x‬כל ערכי הפונקציה שליליים)‬
‫ה‪ (2 , 0) .‬ו‪(–2 , 0) -‬‬
‫ו‪ (5 , 0) .‬ו‪(–5 , 0) -‬‬
‫ז‪(0 , 0) .‬‬
‫ד‪ (1 , 0) .‬ו‪(–1 , 0) -‬‬
‫ח‪ (0 , 0) .‬ו‪(5 , 0) -‬‬
‫משימות ‪ :9 – 8‬מדורגות – פתרון משוואות ריבועיות עם פישוט‪.‬‬
‫מומלץ לבדוק את הפישוט של המשוואות ולהסביר את השגיאות תוך כדי פתרון דוגמאות‪.‬‬
‫משימה ‪ :8‬א‪ x = 0 .‬או ‪x = 2‬‬
‫ה‪ x = 0 .‬או ‪x = –6‬‬
‫ו‪x = 0 .‬‬
‫משימה ‪ :9‬א‪ x = 0 .‬או ‪x = –1‬‬
‫ה‪ x = 3 .‬או ‪x = –3‬‬
‫ב‪ x = 0 .‬או ‪x = –2‬‬
‫ג‪ x = 2 .‬או ‪x = –2‬‬
‫ד‪ x = 0 .‬או ‪x = 2‬‬
‫ב‪ x = 0 .‬או ‪x = 4‬‬
‫ג‪x = 0 .‬‬
‫ד‪ x = 0 .‬או ‪x = –5‬‬
‫ו‪ x = 0 .‬או ‪x = –18‬‬
‫משימה ‪ :12‬משימת אתגר‪ .‬פותרים משוואה ומתאימים גרף לפונקציה‪.‬‬
‫א‪x = 4 .‬‬
‫ב‪ .‬גרף ‪I‬‬
‫כדאי לבקש להסביר מדוע הגרפים האחרים אינם מתאימים‪.‬‬
‫הסברים לדוגמה‪:‬‬
‫גרף ‪ II‬לא מתאים כי לפרבולה יש שתי נקודות אפס ואילו למשוואה המתאימה יש פתרון יחיד‪.‬‬
‫גרף ‪ III‬לא מתאים כי קדקוד הפונקציה ‪ y = 2(x – 4)2‬הוא מינימום ואילו לפרבולה המשורטטת קדקוד מקסימום‪.‬‬
‫גרף ‪ IV‬לא מתאים כי לפרבולה יש שתי נקודות אפס ואילו למשוואה המתאימה יש פתרון יחיד‪ ,‬בנוסף אפשר‬
‫להיעזר בסוג הקדקוד‪.‬‬
‫מדריך למורים – מתמטיקה משולבת‪ ,‬כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק ‪ -‬יחידה ‪20‬‬
‫מכון ויצמן למדע ‪2015‬‬
‫‪65‬‬
‫שיעור ‪ .3‬פותרים בעיות מילוליות‬
‫מטרות השיעור‬
‫‪‬‬
‫לפתור בעיות מילוליות שהגרף המתאים הוא מהצורה ‪.a ≠ 0 , y = ax2 + bx‬‬
‫‪‬‬
‫לתרגל פתרון משוואות ריבועיות שדורשות פישוט‪.‬‬
‫פתיחה‬
‫משימת הפתיחה‪ :‬בעיה מילולית‪.‬‬
‫משערים‪ :‬האם הכדור יגיע לגובה של ‪ 120‬מטרים מהקרקע? במשימה ‪ 1‬יבדקו את ההשערה‪.‬‬
‫משימה ‪ :1‬פותרים ודנים‪.‬‬
‫חשוב לציין כי הג רף אינו מתאר את מסלול הכדור אחרי הבעיטה אלא את הגובה מעל נקודת הבעיטה (כי הבעיטה‬
‫היא אנכית כלפי מעלה)‪.‬‬
‫)‪(4.5 , 101.25‬‬
‫א‪ .‬נקודות האפס הן‪ (0 , 0) :‬ו‪.(9 , 0) -‬‬
‫ב‪.‬‬
‫רושמים בשרטוט את המספרים המתאימים לנקודות החיתוך של גרף הפונקציה‬
‫עם ציר ‪ x‬ומסיקים כי התחום של הפונקציה המתאימה לסיפור הוא ‪0 ≤ x ≤ 9‬‬
‫(המספרים בין ‪ 0‬ל‪ 9 -‬כולל הקצוות)‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫משמעות הנקודה )‪ :(0 , 0‬בזמן ‪ 0‬הכדור היה על הקרקע‪,‬‬
‫משמעות הנקודה )‪ :(9 , 0‬כעבור ‪ 9‬שניות מרגע הבעיטה הכדור הגיע חזרה‬
‫‪9‬‬
‫לקרקע (גובה ‪ 0‬מהקרקע)‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( x = 4.5‬ציר הסימטריה עובר דרך נקודת האמצע בין שתי נקודות האפס)‪.‬‬
‫ה‪ ,(4.5 , 101.25) .‬כעבור ‪ 4.5‬שניות הגיע הכדור לגובה מקסימלי של ‪ 101.25‬מטרים‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫לא ייתכן‪ .‬הגובה המקסימלי אליו הגיע הכדור הוא ‪ 101.25‬מטרים‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫כעבור ‪ 3‬שניות יגיע הכדור לגובה של ‪ 90‬מטרים‪ .‬הכדור יגיע שוב לגובה זה כעבור ‪ 6‬שניות מרגע הבעיטה‬
‫שהוא ‪( x = 0‬נקודה סימטרית ביחס לזמן של שיא הגובה)‪.‬‬
‫מהלך‬
‫משימה ‪ :0‬שגיאה אופיינית – בלבול בין המושגים היקף ושטח של מלבן‪ .‬מומלץ לחזור ולהסביר כל מושג‪.‬‬
‫א‪( x > 0 .‬מספרים חיוביים)‬
‫ב‪ .‬אורך הצלע הארוכה‪ 3x :‬ס"מ‬
‫ג‪ .‬שטח המלבן‪ 3x2 :‬סמ"ר‬
‫בסעיפים ד ‪ ,‬ה רושמים משוואות מתאימות‪ ,‬פותרים‪ ,‬בודקים אם הפתרון מתאים לתנאי הבעיה ועונים על השאלה‪.‬‬
‫ד‪ .‬המשוואה‪ ; 3x2 = 75 :‬פתרון המשוואה‪ x = 5 :‬או ‪ ; x = –5‬רק הפתרון ‪ x = 5‬מתאים לתנאי הבעיה‪ ,‬לכן‬
‫אורכי צלעות המלבן‪ 5 :‬ס"מ ו‪ 15 -‬ס"מ‪ ,‬היקף המלבן‪ 40 :‬ס"מ‪.‬‬
‫ה‪ .‬המשוואה‪ ; 3x2 = 192 :‬פתרון המשוואה‪ x = 8 :‬או ‪ ; x = –8‬רק הפתרון ‪ x = 8‬מתאים לתנאי הבעיה‪ ,‬לכן‬
‫אורכי צלעות המלבן‪ 8 :‬ס"מ ו‪ 24 -‬ס"מ‪.‬‬
‫‪66‬‬
‫מכון ויצמן למדע ‪2015‬‬
‫מדריך למורים – מתמטיקה משולבת‪ ,‬כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק ‪ -‬יחידה ‪20‬‬
‫משימה ‪ :3‬פתרון משוואות שדורשות פישוט‪.‬‬
‫שגיאות אופייניות בפישוט יכולות להיות‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫כפל שגוי בעזרת חוקי הפילוג כמו כפל חלקי‪ ,‬טעויות בסימנים – רצוי לחזור ולהדריך את התלמידים לחישוב נכון‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫כינוס שגוי של איברים דומים – אפשר לתת דוגמאות ולהסביר את הטעויות‪.‬‬
‫א‪ x = 8 .‬או ‪x = –8‬‬
‫ב‪ x = 0 .‬או ‪x = –11‬‬
‫ה‪ x = 0 .‬או ‪x = 4‬‬
‫ו‪ x = 2 .‬או ‪x = –2‬‬
‫ד‪ x = 0 .‬או ‪x = 4.5‬‬
‫ג‪ x = 0 .‬או ‪x = –7‬‬
‫סיכום‬
‫‪-‬‬
‫בודקים את הפתרון של משימה ‪ 2‬כולל דיון בתחום המתאים לתנאי הבעיה‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫פותרים משוואות ממשימה ‪ 3‬לבדיקת נכונות הפישוט ולבדיקת הפתרונות‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫אוסף משימות‬
‫המשימות דומות למשימות שעבדו עליהן בשיעור והן חוזרות על עצמן בדרגות קושי שונות ולכן מומלץ לתת בחירה‬
‫בין המשימות‪ .‬ראו הצעה בטבלה‪.‬‬
‫משימה לכולם‬
‫משימה קלה‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫משימה קשה‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫אתגר‬
‫‪8,7‬‬
‫אפשרות בחירה‬
‫פותרים משימה אחת‬
‫פותרים משימה אחת‬
‫פותרים משימה אחת‬
‫רשות‬
‫‪9‬‬
‫משימות ‪ :0 – 1‬מדורגות – חקירת סיטואציה סיפורית דומה לסיטואציה שבמשימת הפתיחה בשיעור‪.‬‬
‫)‪(1 , 5‬‬
‫משימה ‪ :1‬בשרטוט סקיצה של גרף הפונקציה ‪.y = 10x – 5x2‬‬
‫א‪( 0 ≤ x ≤ 2 .‬המספרים בין ‪ 0‬ל‪ 2 -‬כולל הקצוות)‪.‬‬
‫ב‪ (0 , 0) .‬ו‪ (2 , 0) -‬המשמעות‪ :‬בהתחלה (בזמן ‪)0‬‬
‫היה הספורטאי על הקרקע‪ ,‬ובסוף (כעבור ‪ 2‬שניות)‬
‫הגיע הספורטאי שוב לקרקע‪ ,‬הקפיצה נמשכה ‪ 2‬שניות‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫שנייה אחת‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪ 5‬מטרים‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫ה‪ .‬הספורטאי הגיע לגובה ‪ 2‬מטרים פעמיים‪:‬‬
‫פעם ראשונה בדרכו למעלה עד הגיעו לגובה המקסימלי‪,‬‬
‫ופעם שנייה בדרכו למטה (בחזרה)‪.‬‬
‫אפשר להסביר זאת גם בדרך גרפית‪ :‬הישר ‪y = 2‬‬
‫חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות‪.‬‬
‫‪y=2‬‬
‫(שימו לב‪ 200 ,‬ס"מ = ‪ 2‬מטר)‪.‬‬
‫מדריך למורים – מתמטיקה משולבת‪ ,‬כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק ‪ -‬יחידה ‪20‬‬
‫מכון ויצמן למדע ‪2015‬‬
‫‪67‬‬
‫משימה ‪ :0‬בשרטוט סקיצה של גרף הפונקציה ‪.y = 400x – 5x2‬‬
‫)‪(40 , 8000‬‬
‫א‪( 0 ≤ x ≤ 80 .‬המספרים בין ‪ 0‬ל‪ 80 -‬כולל הקצוות)‪.‬‬
‫ב‪ .‬כעבור שנייה אחת היה הקליע בגובה ‪ 395‬מטרים‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫כעבור ‪ 2‬שניות היה הקליע בגובה ‪ 780‬מטרים‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫כעבור ‪ 80‬שניות יגיע הקליע שוב לקרקע (נקודת האפס השנייה)‪.‬‬
‫ה‪ .‬הקליע יגיע לגובה מקסימלי כעבור ‪ 40‬שניות‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪82‬‬
‫הגובה המקסימלי אליו יגיע הקליע ‪ 8,000‬מטרים (‪ 8‬ק"מ)‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫משימות ‪ :4 – 3‬מדורגות – חקירת בעיות מילוליות הקשורות לשטחים ולהיקפים של מלבנים‪.‬‬
‫משימה ‪ :3‬א‪( x > 0 .‬מספרים חיוביים)‬
‫ד‪.‬‬
‫ב‪ .‬אורך הצלע הסמוכה‪ 2x :‬ס"מ‬
‫ג‪ .‬שטח המלבן‪ 2x2 :‬סמ"ר‬
‫אם ‪ x = 15‬אז‪ :‬היקף המלבן ‪ 90‬ס"מ‪ ,‬שטח המלבן ‪ 450‬סמ"ר‪.‬‬
‫ה‪ .‬שטח המלבן ‪ 72‬סמ"ר – רושמים משוואה מתאימה ופותרים‪.‬‬
‫המשוואה‪ ,2x2 = 72 :‬פתרונות המשוואה ‪ x = 6‬או ‪ .x = –6‬רק ‪ x = 6‬מתאים לתחום הבעיה‪.‬‬
‫אורכי הצלעות של המלבן‪ 6 :‬ס"מ ו‪ 12 -‬ס"מ‪ ,‬היקף המלבן‪ 36 :‬ס"מ‪.‬‬
‫משימה ‪ :4‬א‪( x > 0 .‬מספרים חיוביים)‬
‫ב‪ .‬אורך הצלע הסמוכה‪ 2.5x :‬ס"מ‬
‫ג‪ .‬שטח המלבן‪ 2.5x2 :‬סמ"ר‬
‫בסעיפים ד ו‪-‬ה רושמים משוואה מתאימה ופותרים‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫שטח המלבן ‪ 90‬סמ"ר‪ ,‬המשוואה‪ ,2.5x2 = 90 :‬פתרונות המשוואה ‪ x = 6‬או ‪ .x = –6‬רק ‪ x = 6‬מתאים‬
‫לתחום הבעיה‪ .‬לכן‪ ,‬אורכי הצלעות‪ 6 :‬ס"מ ו‪ 15 -‬ס"מ‪ ,‬היקף המלבן‪ 42 :‬ס"מ‪.‬‬
‫ה‪ .‬היקף המלבן ‪ 84‬ס"מ‪ ,‬המשוואה‪ ,2(x + 2.5x) = 84 :‬פתרון המשוואה ‪ ,x = 12‬מתאים לתחום הבעיה‪.‬‬
‫אורכי הצלעות‪ 12 :‬ס"מ ו‪ 30 -‬ס"מ‪.‬‬
‫משימות ‪ :6 – 5‬מדורגות – פתרון משוואות שדורשות פישוט‪.‬‬
‫משימה ‪ :5‬א‪ x = 0 .‬או ‪x = 9‬‬
‫ה‪ x = 3 .‬או ‪x = –3‬‬
‫משימה ‪ :6‬א‪ x = 0 .‬או ‪x = –8‬‬
‫ה‪ x = 0 .‬או ‪x = –10.5‬‬
‫ב‪ x = 3 .‬או ‪x = –3‬‬
‫ג‪ x = 0 .‬או ‪x = –5‬‬
‫ד‪ x = 4 .‬או ‪x = –4‬‬
‫ו‪ x = 4 .‬או ‪x = –4‬‬
‫ב‪ x = 7 .‬או ‪x = –7‬‬
‫ג‪ x = 5 .‬או ‪x = –5‬‬
‫ד‪ x = 0 .‬או ‪x = 11‬‬
‫ו‪ x = 0 .‬או ‪x = 2‬‬
‫משימות ‪ :8 – 7‬משימות אתגר – חקירת סיטואציות מילוליות‪.‬‬
‫משימה ‪ :7‬משימת אתגר‪ .‬את הסעיפים א – ג כל התלמידים יכולים לפתור‪ .‬האתגר הוא בסעיף ד שבו נדרש להבין‬
‫את המשמעות של המשפט "האם תספיק גדר באורך ‪ 80‬מטר להקיף את המגרש"‪ .‬כלומר‪ ,‬יש לבדוק האם היקף‬
‫המלבן קטן מ‪ 80 -‬מטר‪.‬‬
‫א‪( x > 0 .‬מספרים חיוביים)‬
‫ב‪ .‬אורך הצלע הסמוכה‪ 2x :‬מ'‬
‫ג‪ .‬שטח המגרש‪ 2x2 :‬מ"ר‬
‫ד‪ .‬שטח המגרש ‪ 392‬מ"ר – המשוואה‪ ,2x2 = 392 :‬פתרון המשוואה המתאים לתנאי הבעיה‪ ,x = 14 :‬אורכי‬
‫צלעות המגרש‪ 14 :‬מ' ו‪ 28 -‬מ'‪ ,‬לכן היקף המגרש‪ 84 :‬מ'‪ .‬המסקנה‪ :‬גדר באורך ‪ 80‬מטר לא תספיק‪.‬‬
‫‪68‬‬
‫מכון ויצמן למדע ‪2015‬‬
‫מדריך למורים – מתמטיקה משולבת‪ ,‬כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק ‪ -‬יחידה ‪20‬‬
‫משימה ‪ :8‬משימת אתגר‪.‬‬
‫א‪( 0 ≤ x ≤ 5 .‬המספרים בין ‪ 0‬ל‪ 5 -‬כולל הקצוות)‪.‬‬
‫ב‪ 80 .‬מטרים‬
‫ג‪ 5 .‬שניות‬
‫ד‪ 125 .‬מטרים‬
‫ה‪ .‬הגרף המתאים‪:‬‬
‫ו‪.‬‬
‫זמן הנפילה יהיה ארוך יותר והאבן תעבור מרחק גדול יותר‪ .‬מגובה של ‪ 125‬מטרים עד לגובה של )‪(–30‬‬
‫מטרים לתוך הבור‪ .‬הגרף המתאים‪:‬‬
‫)‪(2 , 20‬‬
‫משימה ‪ :9‬עוסקת בניתוח ופירוש של גרף המתאים ל"סיפור"‪.‬‬
‫א‪ A .‬ו‪ B -‬הן נקודות האפס של הפונקציה‪.‬‬
‫פותרים את המשוואה ‪ 20x – 5x2 = 0‬ומקבלים ‪ x = 0‬או ‪.x = 4‬‬
‫לכן‪.B(4 , 0) , A(0 , 0) ,‬‬
‫ב‪ .‬ציר הסימטריה‪.x = 2 :‬‬
‫ג‪ , C(2 , 20) .‬המשמעות‪ :‬כעבור ‪ 2‬שניות הקליע יגיע לגובה מקסימלי של ‪ 20‬מ'‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫מדריך למורים – מתמטיקה משולבת‪ ,‬כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק ‪ -‬יחידה ‪20‬‬
‫מכון ויצמן למדע ‪2015‬‬
‫‪2‬‬
‫‪69‬‬
‫שיעור ‪ .4‬מזהים פונקציה ריבועית‬
‫מטרות השיעור‬
‫‪‬‬
‫לזהות את הפרמטרים של פונקציה ריבועית‪.‬‬
‫‪‬‬
‫למצוא ייצוג אלגברי של פונקציה ריבועית לפי הפרמטרים‪ ,‬ולהתאים לגרף‪.‬‬
‫‪‬‬
‫לגלות את תכונות הפרבולה הנובעות מערכי הפרמטרים (מינימום‪/‬מקסימום‪ ,‬חיתוך עם ציר ‪.)y‬‬
‫‪‬‬
‫לתרגל כדי לחזק את השליטה במיומנויות אלגבריות – לתרגל פישוט ביטויים בעזרת חוקי הפילוג ו‪/‬או נוסחאות‬
‫הכפל‪.‬‬
‫פתיחה‬
‫משימת הפתיחה‪ :‬משוחחים על הפונקציות הרשומות ללא פישוט של הייצוגים האלגבריים‪ .‬אפשר לשוחח על כל‬
‫אחת בנפרד‪ ,‬ולשאול אם היא פונקציה ריבועית‪ .‬אפשר לשוחח על כולן בבת אחת‪ ,‬ולבקש לסמן את אלה שהן‬
‫פונקציות ריבועיות‪ .‬כך אפשר לשוחח על הייחודיות של פונקציה ריבועית ועל סוגים שונים של פונקציות ריבועיות‪.‬‬
‫משימה ‪ :1‬מפשטים את הייצוגים האלגבריים של הפונקציות שבהן נדרש פישוט וקובעים אם מתקבלת פונקציה‬
‫ריבועית‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫הפונקציות שבהן לא נדרש פישוט והן ריבועיות‪.y = x + 3x – 5 , y = 4x + 8x , y = x :‬‬
‫בפונקציה ‪ y = 2x + 1‬לא נדרש פישוט והיא אינה פונקציה ריבועית‪.‬‬
‫שאר הפונקציות‪ :‬הפונקציה )‪ ,y = (x + 8)(x – 1‬לאחר פישוט ‪ .y = x2 + 7x – 8‬פונקציה ריבועית‪.‬‬
‫הפונקציה ‪ ,y = x2 + x2‬לאחר פישוט ‪ .y = 2x2‬פונקציה ריבועית‪.‬‬
‫הפונקציה )‪ ,y = 2x(x + 5‬לאחר פישוט ‪ .y = 2x2 + 10x‬פונקציה ריבועית‪.‬‬
‫הפונקציה ‪ , y = x(x + 1) – x2‬לאחר פישוט ‪ y = x‬אינה פונקציה ריבועית‪.‬‬
‫הפונקציה ‪ , y = (x – 3)2‬לאחר פישוט ‪ .y = x2 – 6x + 9‬פונקציה ריבועית‪.‬‬
‫טעויות צפויות‪ :‬רושמים את הפישוט של ‪ y = x2 + x2‬כשגוי בצורה ‪ .y = x4‬הפישוט הנכון הוא‬
‫‪ y = 2x2‬שהיא פונקציה ריבועית‪.‬‬
‫סיכום ביניים‪ :‬מסכמים לפי המסגרת‪ .‬אפשר להשתמש בפונקציות הרשומות במסגרת‪ ,‬ואפשר להשתמש‬
‫בפונקציות ריבועיות אחרות‪ .‬חשוב לציין שקל לזהות את הפרמטרים כאשר הייצוג האלגברי של הפונקציה הוא‬
‫מהצורה הסטנדרטית המסודרת‪ ,‬כלומר בצורה ‪.a ≠ 0 , y = ax2 + bx + c‬‬
‫נציין כי הפרמטרים של הפונקציה הריבועית יכולים להיות מספרים חיוביים‪ ,‬מספרים שליליים או אפס‪ ,‬פרט למגבלה‬
‫על הפרמטר ‪.a ≠ 0 :a‬‬
‫‪70‬‬
‫מכון ויצמן למדע ‪2015‬‬
‫מדריך למורים – מתמטיקה משולבת‪ ,‬כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק ‪ -‬יחידה ‪20‬‬
‫מהלך‬
‫משימה ‪ :0‬בחלק מהסעיפים יש צורך לפשט תחילה‪.‬‬
‫א‪ .‬הפונקציה‪ y = 2x2 + 3x + 4 :‬ערכי הפרמטרים‪a = 2 , b = 3 , c = 4 :‬‬
‫ב‪ .‬הפונקציה‪ y = –2x + x2 :‬ערכי הפרמטרים‪a = 1 , b = –2 , c = 0 :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫הפונקציה‪ , y = –2x + x :‬לאחר פישוט ‪ y = –x‬אינה פונקציה ריבועית‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫הפונקציה‪ y = x2 – 8 + 3x :‬ערכי הפרמטרים‪a = 1 , b = 3 , c = –8 :‬‬
‫‪2‬‬
‫ה‪ .‬הפונקציה‪ , y = (x + 4)(x – 4) :‬לאחר פישוט‪ y = x – 16 :‬ערכי הפרמטרים‪a = 1 , b = 0 , c = –16 :‬‬
‫ו‪.‬‬
‫הפונקציה‪ y = –2x2 :‬ערכי הפרמטרים‪a = –2 , b = 0 , c = 0 :‬‬
‫ז‪.‬‬
‫הפונקציה‪ , y = 5x(x – 2) :‬לאחר פישוט ‪ y = 5x2 – 10x‬ערכי הפרמטרים‪a = 5 , b = –10 , c = 0 :‬‬
‫ח‪ .‬הפונקציה‪ y = 12 – 3x2 :‬ערכי הפרמטרים‪a = –3 , b = 0 , c = 12 :‬‬
‫ט‪ .‬הפונקציה‪ , y = (x – 3)2 – x2 :‬לאחר פישוט ‪ y = 9 – 6x‬אינה פונקציה ריבועית‪.‬‬
‫משימה ‪ :3‬נדרשת חשיבה הפוכה‪ .‬נתונים הפרמטרים ויש לרשום פונקציה ריבועית מתאימה‪.‬‬
‫ד‪y  1 x 2  2x  1 .‬‬
‫ג‪y = –x2 + 3x .‬‬
‫ב‪y = 8x2 + 3.5 .‬‬
‫א‪y = x2 – x + 4 .‬‬
‫‪2‬‬
‫סיכום ביניים‪ :‬בודקים את התשובות במשימות ‪ ,3 – 2‬ומסכמים לפי המסגרת‪.‬‬
‫משימה ‪ :4‬משימה מסכמת‪.‬‬
‫א‪ .‬הפונקציה הריבועית‬
‫‪y = x2 – 4‬‬
‫ב‪ .‬חשוב לשמוע את ההסברים לסעיף זה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫הגרף המתאים הוא גרף ‪ II‬כי לגרף הפונקציה ‪ y = x – 4‬קדקוד מינימום בנקודה )‪,(0 , –4‬‬
‫נימוקים נוספים‪ :‬באמצעות סוג הקדקוד (מינימום) וציר הסימטריה )‪,(x = 0‬‬
‫באמצעות סוג הקדקוד (מינימום) ומספר נקודות האפס (שתיים)‪.‬‬
‫הסברים לדוגמה לכך שהגרפים האחרים לא מתאימים‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫לרשום ייצוגים אלגבריים המתאימים לסקיצות האחרות‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫לפי סוג הקדקוד וציר הסימטריה‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫לפי שיעורי נקודות האפס‪.‬‬
‫משימה ‪ :5‬א‪ y = 2x2 – x .‬מתאים לפרבולה ‪III‬‬
‫ג‪ y = –x2 + 2 .‬מתאים לפרבולה ‪I‬‬
‫ב‪ y = –x2 + 2x .‬מתאים לפרבולה ‪IV‬‬
‫ד‪ y = 2x2 – 1 .‬מתאים לפרבולה ‪II‬‬
‫משימה ‪ :6‬פישוט ייצוגים אלגבריים של פונקציות ריבועיות והסקה של תכונות מתוך הייצוגים האלגבריים‪.‬‬
‫נדגיש כי חשוב לרשום את הפונקציה בצורה מסודרת‪.‬‬
‫א‪ ; a = 5 , b = 10 , c = 5 ; y = 5x2 + 10x + 5 .‬קדקוד מינימום כי ‪.(0 , 5) ; a > 0‬‬
‫ב‪ ; a = 4 , b = 0 , c = –16 ; y = 4x2 – 16 .‬קדקוד מינימום כי ‪.(0 , –16) ; a > 0‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ ; a = 13 , b = 0 , c = –3 ; y = 13x2 – 3‬קדקוד מינימום כי ‪.(0 , –3) ; a > 0‬‬
‫ד‪ ; a = –4 , b = 16 , c = –4 ; y = –4x2 + 16x – 4 .‬קדקוד מקסימום כי ‪.(0 , –4) ; a < 0‬‬
‫מדריך למורים – מתמטיקה משולבת‪ ,‬כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק ‪ -‬יחידה ‪20‬‬
‫מכון ויצמן למדע ‪2015‬‬
‫‪71‬‬
‫סיכום‬
‫‪-‬‬
‫בודקים את הפישוט ואת התשובות של משימה ‪.6‬‬
‫‪-‬‬
‫מסכמים את מה שנלמד בשיעור‪ ,‬כולל חזרה על תכונות הפרבולה המסייעות בזיהוי ובהתאמה‪.‬‬
‫אוסף משימות‬
‫המשימות דומות למשימות שעבדו עליהן בשיעור‪ ,‬והן חוזרות על עצמן בדרגות קושי שונות ולכן מומלץ לתת בחירה‬
‫בין המשימות‪ .‬ראו הצעה בטבלה‪.‬‬
‫משימה לכולם‬
‫משימה קשה‬
‫משימה קלה‬
‫אפשרות בחירה‬
‫אתגר‬
‫‪8,7,6,1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪9‬‬
‫כולם פותרים‬
‫פותרים משימה אחת‬
‫פותרים משימה אחת‬
‫פותרים משימה אחת‬
‫רשות‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫משימה ‪ :1‬השלמת טבלה שבה מתבקשים לזהות את ערכי הפרמטרים ולקבוע את סוג הקדקוד‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪y = 3x2 – 6x – 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪–6‬‬
‫‪–1‬‬
‫קדקוד‬
‫מינימום‪/‬מקסימום‬
‫מינימום‬
‫ב‪.‬‬
‫‪y = 2x2 – 5x – 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪–5‬‬
‫‪–4‬‬
‫מינימום‬
‫ג‪.‬‬
‫‪y  1 x 2  3x  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫מינימום‬
‫ד‪.‬‬
‫‪y  1 x 2  6x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪–6‬‬
‫‪0‬‬
‫מינימום‬
‫‪y = 3x2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫מינימום‬
‫‪y = –4x2 – 6‬‬
‫‪–4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪–6‬‬
‫מקסימום‬
‫הפונקציה‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫משימות ‪ :3 – 0‬מדורגות – פישוט‪ ,‬מציאת ערכי הפרמטרים וקביעת סוג הקדקוד‪.‬‬
‫משימה ‪ :0‬נתונות פונקציות ריבועיות‪ .‬בסעיפים ו‪ – .‬ח‪ .‬מפשטים תחילה‪.‬‬
‫א‪ .‬הפונקציה‪ ; c = 1 , b = 4 , a = 2 ; y = 2x2 + 4x + 1 :‬קדקוד מינימום‪.‬‬
‫ב‪ .‬הפונקציה‪ ; c = 0 , b = 8 , a = 1 ; y = x2 + 8x :‬קדקוד מינימום‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫הפונקציה‪ ; c = 4 , b = 0 , a = –2 ; y = 4 – 2x2 :‬קדקוד מקסימום‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪ .‬הפונקציה‪ ; c = 5 , b = 2 , a = –3 ; y = 5 + 2x – 3x :‬קדקוד מקסימום‪.‬‬
‫ה‪ .‬הפונקציה‪ ; c = 5 , b = –6 , a = 1 ; y = x2 – 6x + 5 :‬קדקוד מינימום‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫הפונקציה‪ ,y = 2x(x – 5) :‬לאחר פישוט ‪ ; c = 0 , b = –10 , a = 2 ; y = 2x2 – 10x‬קדקוד מינימום‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫הפונקציה‪ ,y = x(x + 5) – 3(x + 2) :‬לאחר פישוט ‪ ; c = –6 , b = 2 , a = 1 ; y = x2 + 2x – 6‬קדקוד מינימום‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ח‪ .‬הפונקציה‪ ,y = 5x – 5(x + 1)(x – 1) :‬לאחר פישוט ‪ y = 5‬אינה פונקציה ריבועית‪.‬‬
‫‪72‬‬
‫מכון ויצמן למדע ‪2015‬‬
‫מדריך למורים – מתמטיקה משולבת‪ ,‬כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק ‪ -‬יחידה ‪20‬‬
‫משימה ‪ :3‬מפשטים וקובעים אם מתקבלת פונקציה ריבועית‪ .‬עבור הפונקציה הריבועית מוצאים את ערכי‬
‫הפרמטרים וקובעים את סוג הקדקוד‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬הפונקציה‪ ,y = (x + 3)(x – 1) :‬לאחר פישוט ‪ ; c = –3 , b = 2 , a = 1 ; y = x + 2x – 3‬קדקוד מינימום‪.‬‬
‫ב‪ .‬הפונקציה ‪ , y = x(2x – 5) – 2x2 + 1‬לאחר פישוט ‪ ; y = –5x + 1‬אינה פונקציה ריבועית‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫הפונקציה‪ ,y = x2 + (x + 3)(2x – 1) :‬לאחר פישוט ‪ ;c = –3 , b = 5 , a = 3 ; y = 3x2 + 5x – 3‬קדקוד מינימום‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪ .‬הפונקציה‪ ,y = –3(x – 1) :‬לאחר פישוט ‪ ; c = –3 , b = 6 , a = –3 ; y = –3x + 6x – 3‬קדקוד מינימום‪.‬‬
‫ה‪ .‬הפונקציה‪ ,y = (x + 1)2 – x2 :‬לאחר פישוט ‪ ; y = 2x + 1‬אינה פונקציה ריבועית‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫הפונקציה‪ ,y = (x + 2)2 + (x + 6)2 :‬לאחר פישוט ‪ ; c = 40 , b = 16 , a = 2 ; y = 2x2 + 16x + 40‬קדקוד‬
‫מינימום‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫הפונקציה‪ ,y = x – (x + 3) :‬לאחר פישוט ‪ ; y = –6x – 9‬אינה פונקציה ריבועית‪.‬‬
‫ח‪ .‬הפונקציה‪ ,y = (x + 1)(2x + 1) :‬לאחר פישוט ‪ ; c = 1 , b = 3 , a = 2 ; y = 2x2 + 3x + 1‬קדקוד מינימום‪.‬‬
‫משימות ‪ :5 – 4‬מדורגות – מפשטים‪ ,‬רושמים את ערכי הפרמטרים‪ ,‬קובעים את סוג הקדקוד (לפי הפרמטר ‪,)a‬‬
‫ורושמים את שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ‪( y‬לפי הפרמטר ‪.)c‬‬
‫משימה ‪ :4‬תלמידים שמתקשים בנוסחאות הכפל המקוצר‪ ,‬בסעיף ב יכולים לרשום כמכפלה ולכפול‪.‬‬
‫א‪ .‬הפונקציה‪ ; c = –8 , b = 0 , a = 4 ;y = –8 + 4x2 :‬קדקוד מינימום ; חיתוך עם ציר ‪.(0 , –8) :y‬‬
‫ב‪ .‬הפונקציה‪ ,y = –(x + 3)2 :‬לאחר פישוט ‪ ; c = –9 , b = –6 , a = –1 ; y = –x2 – 6x – 9‬קדקוד מקסימום ;‬
‫חיתוך עם ציר ‪.(0 , –9) :y‬‬
‫ג‪.‬‬
‫הפונקציה‪ ,y = x2 + x(x + 2) :‬לאחר פישוט ‪ ; c = 0 , b = 2 , a = 2 ; y = 2x2 + 2x‬קדקוד מינימום ; חיתוך‬
‫עם ציר ‪.(0 , 0) :y‬‬
‫ד‪.‬‬
‫הפונקציה‪ ; c = –3 , b = 9 , a = 1 ; y = 9x + x2 – 3 :‬קדקוד מינימום ; חיתוך עם ציר ‪.(0 , –3) :y‬‬
‫משימה ‪ :5‬תלמידים שמתקשים בנוסחאות הכפל המקוצר‪ ,‬יכולים לרשום כמכפלה ולכפול‪.‬‬
‫א‪ .‬הפונקציה‪ ,y = 5x2 + 2(x + 3) + 4 :‬לאחר פישוט ‪ ; c = 10 , b = 2 , a = 5 ; y = 5x2 + 2x + 10‬קדקוד‬
‫מינימום ; חיתוך עם ציר ‪.(0 , 10) :y‬‬
‫ב‪ .‬הפונקציה‪ ,y = 2(x + 5)(x – 5) :‬לאחר פישוט ‪ ; c = –50 , b = 0 , a = 2 ; y = 2x2 – 50‬קדקוד מינימום ;‬
‫חיתוך עם ציר ‪.(0 , –50) :y‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫הפונקציה‪ ,y = (x + 4)2 – 3x2 :‬לאחר פישוט ‪ ; c = 16 , b = 8 , a = –2 ; y = –2x + 8x + 16‬קדקוד‬
‫מקסימום ; )‪.(0 , 16‬‬
‫ד‪.‬‬
‫הפונקציה‪ , y  1 ( x  4) 2  8 :‬לאחר פישוט ‪ ; c = 0 , b = –4 , a  1 ; y  1 x 2  4x‬קדקוד מינימום ;‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫חיתוך עם ציר ‪.(0 , 0) :y‬‬
‫מדריך למורים – מתמטיקה משולבת‪ ,‬כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק ‪ -‬יחידה ‪20‬‬
‫מכון ויצמן למדע ‪2015‬‬
‫‪73‬‬
‫משימה ‪ :6‬עוסקת בזיהוי פונקציה ריבועית דרך שרטוט שביל במבוך‪.‬‬
‫משימה ‪ :7‬רישום פונקציה ריבועית לפי הפרמטרים‪ ,‬והתאמה של גרף לפונקציה‪.‬‬
‫א‪ ; y = x2 + 2x .‬פרבולה ‪II‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ ; y = –x2 + 2‬פרבולה ‪III‬‬
‫ב‪ ; y = –2x2 + 2x .‬פרבולה ‪IV‬‬
‫ד‪ ; y = x2 + 2 .‬פרבולה ‪I‬‬
‫משימה ‪ :8‬מפשטים ומתאימים זוגות של פונקציות זהות‪.‬‬
‫משימות ‪ :12 – 9‬מדורגות – התאמה של פונקציה לגרף כאשר אחת מהפונקציות היא פונקציה קווית‪.‬‬
‫משימה ‪ :9‬לפונקציה ‪ y = 2x – 4‬מתאים גרף ‪ ; I‬פונקציה קווית‪.‬‬
‫לפונקציה ‪ y = x2 – 4‬מתאים גרף ‪ ; II‬פונקציה ריבועית‪.‬‬
‫משימה ‪ :12‬לפונקציה ‪ y = x – 3‬מתאים גרף ‪ ; II‬פונקציה קווית‪.‬‬
‫לפונקציה ‪ y = x2 – 3‬מתאים גרף ‪ ; III‬פונקציה ריבועית בעלת קדקוד מינימום‪.‬‬
‫לפונקציה ‪ y = –x2 + 3x‬מתאים גרף ‪ ; I‬פונקציה ריבועית בעלת קדקוד מקסימום‪.‬‬
‫משימה ‪ :11‬משימת אתגר‪.‬‬
‫הפונקציה ‪ ,y = –x2 + 4x + 5‬רוני צודקת‪ .‬אפשר לקבוע מי צודקת באחת מהדרכים הבאות‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫לפי שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ‪( y‬הפרמטר ‪.)c‬‬
‫‪-‬‬
‫אפשר לקרוא מהגרף את שיעורי נקודות האפס‪ ,‬להציב בפונקציה ולבדוק אם מתקבל שוויון‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫אפשר לראות לפי הפונקציה שנקודות החיתוך עם ציר ‪ x‬אחת חיובית ואחת שלילית‪.‬‬
‫‪74‬‬
‫מכון ויצמן למדע ‪2015‬‬
‫מדריך למורים – מתמטיקה משולבת‪ ,‬כיתה ט חלק ב – מסלול ירוק ‪ -‬יחידה ‪20‬‬