ממעלה ראשונה משוואות .ט

‫ט‪ .‬משוואות ממעלה ראשונה‬
‫רקע‬
‫‪x+1 9‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪5‬‬
‫ו‪= -‬‬
‫בפרק ג' למדו התלמידים לפתור משוואות ממעלה ראשונה בצורת פרופורציה‪ ,‬כגון ‪= −‬‬
‫‪4‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ .‬באותה‬
‫וכן משוואות בצורת פרופורציה שאפשר להפוך אותן למשוואה ממעלה ראשונה‪ ,‬כגון‬
‫‪x 3−x‬‬
‫הזדמנות למדו התלמידים מהו תחום ההצבה של ביטוי אלגברי או של משוואה‪ .‬כמו‪-‬כן פתרו התלמידים‬
‫הנוכחי ילמדו התלמידים כיצד לפתור משוואות‬
‫ְ‬
‫מגוון שאלות מילוליות הקשורות לפרופורציה‪ .‬בפרק‬
‫ממעלה ראשונה בתוך כדי שימוש במושג "מכנה משותף" כדי "להיפטר" משברים כאשר פותרים אותן‪.‬‬
‫התלמידים יענו על שאלות מילוליות בעזרת משוואות ממעלה ראשונה מכל הסוגים‪.‬‬
‫פרק זה‪ ,‬המופיע בתכנית הלימודים לכל התלמידים‪ ,‬יהיה קשה לחלק מהם בשל מספר טכניקות חישוב‬
‫שהתלמידים צריכים לשלוט בהן‪ ,‬וכן בשל שילוב ביטויים אלגבריים ושברים‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫כפי שנראה בהמשך הפרק‪ ,‬ישנן שתי דרכים עיקריות להפוך משוואה נתונה שיש בה שברים‪ ,‬למשל‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫⋅ ‪ , + 1 = 2‬למשוואה ללא שברים השקולה לה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫דרך א'‪:‬‬
‫דרך ב'‪:‬‬
‫ מרחיבים כל חד‪-‬איבר למכנה המשותף‪.‬‬‫‪3x 6 4 x‬‬
‫)כאן המכנה המשותף הוא ‪(.6‬‬
‫= ‪+‬‬
‫‪6 6 6‬‬
‫ כופלים ישירות את שני אגפי המשוואה במכנה‬‫המשותף‪.‬‬
‫‪ -‬כופלים את שני אגפי המשוואה במכנה המשותף‪.‬‬
‫‪3x + 6 = 4 x‬‬
‫ פותרים את המשוואה על‪-‬ידי תכונות השוויון‬‫או על‪-‬ידי פעולות הפוכות‪.‬‬
‫‪x=6‬‬
‫‪x‬‬
‫‪⎛x‬‬
‫⎞‬
‫⋅ ‪) 6⎜ + 1 ⎟ = 6 ⋅ 2‬כאן המכנה המשותף הוא ‪(.6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪⎝2‬‬
‫⎠‬
‫ פותחים את הסוגריים על‪-‬ידי חוק הפילוג‪ ,‬כלומר‬‫כופלים במכנה המשותף כל חד‪-‬איבר המופיע‬
‫במשוואה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫⋅‪6 ⋅ + 6 ⋅1 = 6 ⋅2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫ מצמצמים את השברים‪.‬‬‫‪3x + 6 = 4 x‬‬
‫ פותרים את המשוואה על‪-‬ידי תכונות השוויון‬‫או על‪-‬ידי פעולות הפוכות‪.‬‬
‫‪x=6‬‬
‫כמובן‪ ,‬רצוי ללמד שיטה אחת בלבד ולהיצמד אליה לאורך כל הפרק‪ ,‬אך לא למנוע מתלמידים להשתמש‬
‫בשיטה אחרת‪ ,‬אם רצונם בכך‪.‬‬
‫לכל דרך יתרונות וחסרונות‪.‬‬
‫בדרך א'‪:‬‬
‫‪3x 6 4 x‬‬
‫ היתרון המשמעותי בדרך זו הוא שהכפל במכנה המשותף )כלומר‪ :‬המעבר מהשוויון‬‫= ‪+‬‬
‫‪6 6 6‬‬
‫לשוויון ‪ ( 3x + 6 = 4 x‬הוא טריוויאלי‪.‬‬
‫ החסרונות העיקריים הם‪:‬‬‫™ יש צורך לבצע פעולות כפל במספרים גדולים יותר מאשר בדרך ב'‪ ,‬והסיכוי להתבלבל בין‬
‫מחוברים לבין גורמים בעת הרחבת האיברים רב יותר‪ .‬למשל‪ ,‬בדוגמה הקודמת‪ ,‬תלמידים‬
‫‪3x 6 12 2x‬‬
‫⋅ = ‪+‬‬
‫)שוויון זה עדיין נכון( ולפיכך ‪ . 3x + 6 = 12 ⋅ 2x‬‬
‫עלולים לכתוב‪:‬‬
‫‪6 6 6 6‬‬
‫™ יש תלמידים שאינם מרחיבים איברים שאינם בצורת שבר‪ .‬בדוגמה הקודמת הם עלולים לכתוב‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫⋅‪+ 1 = 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 3x‬וכו'‪ .‬‬
‫טעויות כאלה‪4 x :‬‬
‫=‪+1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3x + 1 = 4 x‬‬
‫בדרך ב'‪:‬‬
‫ היתרון העיקרי בשיטה ב' הוא שאין צורך בהרחבה‪.‬‬‫ לעומת זאת יש צורך לצמצם שברים אלגבריים ולהשתמש במפורש בחוק הפילוג כדי לכפול את אגפי‬‫המשוואה במכנה המשותף‪ .‬בכל זאת יש לציין כי טעויות מהסוג של כפל שני הגורמים במכפלה במכנה‬
‫המשותף במקום גורם אחד נדירות יותר מטעויות מהסוג של הרחבת שני גורמים במכפלה שראינו קודם‬
‫לכן‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪⎛x‬‬
‫⎞‬
‫⎞‪⎛ x‬‬
‫⎟ ⋅ ‪6⎜ + 1 ⎟ = 6 ⋅ ⎜ 2‬‬
‫‪⎝2‬‬
‫⎠‬
‫⎠‪⎝ 3‬‬
‫‪3x 6 12 2x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪6x‬‬
‫⋅ = ‪+‬‬
‫⋅ ‪ 6 ⋅ + 6 ⋅ 1 = 6 ⋅ 2‬נדיר יותר מ‪. 6 6 6 6 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3x + 6 = 12 ⋅ 2x‬‬
‫‪3x + 6 = 12 ⋅ 2x‬‬
‫מהשיטות ומהטעויות הפוטנציאליות שהוזכרו עולה כי יש לתת לתלמידים כלים בסיסיים שיעזרו להם‬
‫להתמודד עם חישובים בשברים אלגבריים‪ ,‬לפני שיתחילו לפתור משוואות‪ ,‬ובפרט‪:‬‬
‫ כפל שברים אלגבריים;‬‫ צמצום שברים אלגבריים;‬‫ שימוש בחוק הפילוג בשברים אלגבריים‪.‬‬‫נעסוק בנושאים אלה בשתי הסוגיות הראשונות של הפרק‪ .‬בסוגיות אלה נראה כיצד הטכניקות המוכרות‬
‫בחישובים בשברים ללא משתנה הן בסיס לחישובים בשברים אלגבריים‪ .‬נוסף על כך‪ ,‬סוגיות אלה מהוות‬
‫מעין מבוא לפרק ט"ו המוקדש לטכניקות אלגבריות מתקדמות יותר‪ ,‬כמו שימוש בחוק הפילוג המורחב‪,‬‬
‫צמצום ביטויים אלגבריים על‪-‬ידי הוצאת גורם משותף‪ ,‬ועוד‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪ , − 5 = −‬כלומר משוואות שהמכנה הגדול ביותר‬
‫בשיעור השלישי התלמידים יפתרו משוואות מהסוג‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫המופיע בהן יכול לשמש כמכנה משותף‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫בשיעור הרביעי יכירו התלמידים את המקרה הכללי‪ ,‬כלומר משוואות מהסוג ⋅ ‪ . + 1 = 2‬במשוואות‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫כאלה יש לחשב את המכנה המשותף לפני שפותרים את המשוואה עצמה‪.‬‬
‫בשיעור האחרון יעסקו התלמידים במשוואות שהנעלם שלהן מופיע במכנה של שבר‪ ,‬למשל‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .‬במקרים אלה יש לדון במושג "תחום הצבה"‪.‬‬
‫=‪+1‬‬
‫‪x−1‬‬
‫‪x −1‬‬
‫בכל הסוגיות המוקדשות לפתירת משוואות יוצעו מספר שאלות מילוליות הקשורות לנושא הנלמד‪.‬‬
‫מומלץ להקדיש ‪ 8‬שעות להוראת הפרק‪.‬‬
‫הקשיים העיקריים שבהוראת הפרק‬
‫™ מורים עלולים להתקשות לעורר את העניין של התלמידים לאורך פרק שנעשים בו חישובים רבים‪ .‬‬
‫™ תלמידים רבים מתקשים להתמודד עם שימוש בשברים אלגבריים‪ .‬‬
‫™ חלק מהתלמידים אינם שולטים בכלים הנדרשים בתחילת הפרק או במקצתם‪ :‬פתרון משוואה‬
‫ללא שברים‪ ,‬חישובים בשברים מספריים ועוד‪ .‬‬
‫™ אחד הקשיים העיקריים שבהפיכת משוואה שיש בה שברים למשוואה שאין בה שברים הוא‬
‫השימוש הנכון בסוגריים ובסימן מינוס‪ .‬קושי זה יידון לעומק בהמשך‪ .‬‬
‫™ כאשר מופיעים כמה מחוברים באַ ַחד האגפים של משוואה נתונה‪ ,‬חלק מהתלמידים שוכחים‬
‫לכפול או להרחיב את אחד מהם‪ .‬‬
‫™ בהמשך לטעות הקודמת‪ ,‬כאשר מופיע במשוואה מחובר – מספר או ביטוי – שאינו שבר‪ .‬‬
‫™ קשה להבין שאלות מילוליות שיש בהן שברים‪ ,‬וקשה לתרגמן לצורה המתמטית‪ .‬‬
‫חלק מהקשיים שהוזכרו בפרק ג'‪ ,‬עדיין רלוונטיים לפרק הנוכחי‪ .‬להלן כמה דוגמאות‪ .‬‬
‫™ כאשר מחפשים תחום הצבה‪ ,‬התלמידים חושבים שאין מחלקים ב‪ ,0 -‬או שלחילוק ב‪ 0 -‬אין‬
‫משמעות‪ ,‬וכתוצאה מכך הם נוטים לחשוב שערך הנעלם שמחוץ לתחום ההצבה הוא תמיד ‪ .0‬‬
‫™ קביעת תחום הצבה כרוכה בפתירת משוואה נוספת )פשוטה(‪ .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬כדי לפתור את המשוואה =‬
‫‪ 1 +‬יש לפתור את המשוואה ‪. x – 4 = 0‬‬
‫‪x−4 5‬‬
‫™ יש תלמידים שאינם מבינים את תפקידי הבדיקה‪.‬‬
‫הפתרון שני תפקידים‪:‬‬
‫בפתרון משוואות שהנעלם שלהן מופיע במכנה‪ ,‬יש לבדיקת נכונות ְ‬
‫שהפתרון הוא נכון;‬
‫ְ‬
‫ לוודא‬‫שהפתרון הוא בתחום ההצבה‪ .‬‬
‫ְ‬
‫ לוודא‬‫™ אם פתרון משוואה הוא שבר‪ ,‬קיים קושי נוסף בחישובים הנובעים מהצבתו במשוואה לצורך‬
‫בדיקה‪.‬‬
‫מושגים ומונחים‬
‫נעלם‪ ,‬פתרון משוואה‪ ,‬משוואות שקולות‪ ,‬שברים‪ ,‬הרחבה‪ ,‬צמצום‪ ,‬חיבור‪/‬חיסור‪/‬כפל של שברים‪ ,‬מכנה‬
‫משותף‪ ,‬ביטויים אלגבריים‪ ,‬חוק הפילוג‪ ,‬תכונות השוויון‪ ,‬בידוד הנעלם‪ ,‬כינוס איברים דומים‪ ,‬חילוק ב‪,0 -‬‬
‫ביטוי חסר משמעות‪ ,‬תחום הצבה‪ ,‬בדיקה על‪-‬ידי הצבה‪ ,‬פתרון שאלה מילולית‪.‬‬
‫מטרות‬
‫התלמידים ידעו‪:‬‬
‫‪x+1‬‬
‫א‪ .‬לצמצם שברים אלגבריים במקרים בסיסיים‪ ,‬למשל‪= x + 1 :‬‬
‫‪2‬‬
‫⋅‪ ;2‬‬
‫‪3x 6 x‬‬
‫=‬
‫ב‪ .‬לכפול ביטויים שמופיעים בהם שברים וביטויים אלגבריים‪ ,‬למשל‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫⋅‪ ;2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪−5=−‬‬
‫לפתור משוואה ממעלה ראשונה שאחד המכנים שלה ישמש כמכנה משותף‪ ,‬לדוגמה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫לפתור משוואה ממעלה ראשונה שהמכנה המשותף שלה שונה מכל המכנים המופיעים במשוואה‪,‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫לדוגמה‪ ; + 1 = 2 ⋅ :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫לפתור משוואה שאפשר להפוך למשוואה ממעלה ראשונה שהנעלם שלה מופיע במכנה של שבר‪ ,‬לדוגמה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫;‬
‫=‪+1‬‬
‫‪x−1‬‬
‫‪x −1‬‬
‫לפתור שאלה מילולית לפי שלבּים בדרך פורמלית על‪-‬ידי משוואה מאַ ַחד הסוגים הנ"ל‪.‬‬
‫;‬
‫השיעור בספר הלימוד‬
‫מגלים ולומדים‬
‫א‪ .‬שברים אלגברים‪ :‬כפל וצמצום‪ ,‬עמ' ‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫מגלים ‪ ‬‬
‫המטרה הכללית של הפעילויות היא להראות לתלמידים שהכללים השייכים לצמצום או לכפל של שברים‪,‬‬
‫חלים גם על ביטויים אלגבריים‪.‬‬
‫‪ .1‬בשלושת הפריטים הראשונים חוזרים על צמצום שברים מספריים ומכינים את התלמידים לביצוע‬
‫הפעולות הנדרשות בפריטים האחרונים בעניין שברים אלגבריים‪ .‬יש להראות לתלמידים כי אפשר‬
‫‪6‬‬
‫ב‪ (2 -‬או במשתנה‬
‫לצמצם שבר מספרי או אלגברי במספר ידוע )לדוגמה‪ ,‬אפשר לצמצם את השבר‬
‫‪20‬‬
‫‪3x‬‬
‫)לדוגמה‪ ,‬אפשר לצמצם את השבר‬
‫ב‪.(x -‬‬
‫‪10x‬‬
‫‪ .2‬בשאלה זו ילמדו התלמידים כיצד לכפול מספר שלם ידוע בשבר אלגברי )סעיפים ב' ו‪ -‬ד'( או משתנה‬
‫בשבר )סעיף ג'( ולכתוב את המכפלה הנתונה כשבר‪ .‬חשיבות תרגילים אלה תבוא לידי ביטוי בהמשך‬
‫הפרק בהקשרים שונים‪:‬‬
‫™ בחישובים שיש בהם ביטויים אלגבריים‪ :‬תלמידים ישתמשו בחוק הפילוג בביטויים מהסוג‬
‫‪x‬‬
‫⎞‪⎛3 x‬‬
‫⎟ ‪ 12⎜ −‬וירחיבו ביטויים מהסוג ⋅ ‪; 5‬‬
‫‪7‬‬
‫⎠‪⎝2 6‬‬
‫‪x 2x 4 x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫= = ⋅ ‪ , 2‬הם‬
‫™ בפתירת משוואות מהסוג ⋅ ‪ : + 1 = 2‬אם התלמידים אינם יודעים ש‪-‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3x 6 12 2x‬‬
‫⋅ = ‪+‬‬
‫עלולים לכתוב בטעות‪6 6 6 6 :‬‬
‫‪3x + 6 = 12 ⋅ 2x‬‬
‫לומדים‬
‫אחת המטרות העיקריות של השיעור היא לעודד את התלמידים "לא לפחד" משברים אלגבריים ולהראות‬
‫להם שאין הבדל מהותי בין חישובים בביטויים מספריים לבין חישובים בביטויים אלגבריים‪ .‬באופן כללי‪,‬‬
‫לאורך כל הפרק‪ ,‬אם תלמידים מתקשים להבין פעולה או שוויון שיש בהם ביטויים אלגבריים‪ ,‬ובפרט‬
‫שברים אלגבריים‪ ,‬רצוי להציב מספר במקום הנעלם כדי להתמודד עם הקושי שהם נתקלו בו‪.‬‬
‫לדוגמה‪:‬‬
‫‪3⋅5 3‬‬
‫‪3x 3‬‬
‫‪ ,‬יהיה לו קל‬
‫‪ ,‬אפשר להציב ‪ 5‬במקום ‪ .x‬כאשר הוא יבין כי =‬
‫ אם תלמיד אינו מבין כי =‬‫‪5⋅4 4‬‬
‫‪x⋅4 4‬‬
‫‪3x 3‬‬
‫‪.‬‬
‫יותר להבין את השוויון =‬
‫‪x⋅4 4‬‬
‫‪2x + 1‬‬
‫)‪2( x + 1‬‬
‫‪x+1‬‬
‫ אם תלמיד אינו מבין כי הביטוי‬‫‪ ,‬ולא ל‪-‬‬
‫⋅ ‪ 2‬שווה ל‪-‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2⋅ 4 + 1‬‬
‫)‪2( 4 + 1‬‬
‫‪4+1‬‬
‫‪ ,‬ואחר‪-‬כך המורה יכליל את‬
‫ולא ל‪-‬‬
‫⋅ ‪ 2‬שווה ל‪-‬‬
‫תחילה הוא יבין כי הביטוי‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫המסקנה הזו בביטוי האלגברי המקורי‪.‬‬
‫בסוף השיעור מושם הדגש על טעויות נפוצות הקשורות לצמצום שברים‪ .‬טעויות אלה יופיעו שוב בתרגילים‬
‫שבהמשך הפרק וגם בפרק ט"ז‪ .‬המטרה היא להקנות לתלמידים הרגלים נכונים בנושא שימוש בביטויים‬
‫אלגבריים‪ ,‬בתקווה שהרגלים אלה )ולא הטעויות שאנו משתדלים למנוע( ילוו את התלמידים בכיתות‬
‫הבאות‪.‬‬
‫‪ ,‬אפשר להציב ‪ 4‬במקום ‪.x‬‬
‫מתרגלים‬
‫תרגילים ‪ 23 - 1‬הם חזרה על נושא שנלמד כבר‪ .‬ייתכן שבחלק מהכיתות אפשר לקצר את החזרה‪.‬‬
‫התלמידים למדו בעבר לכפול‪ ,‬לצמצם ולהרחיב שברים‪ .‬החידוש בתרגילים אלה הוא המשתנה המופיע‬
‫בשברים‪ :‬במונה‪ ,‬במכנה או בשניהם‪.‬‬
‫‪ .1‬צמצום מספרים בלבד‪ :‬המשתנה נשאר ללא שינוי‪.‬‬
‫‪ .2‬צמצום מספרים ומשתנים‪.‬‬
‫בתרגילים ‪ 5 – 3‬לכיתה ובתרגילים ‪ 14 – 11‬לבית יש לכתוב את המכפלה כשבר ולצמצם את השבר כאשר‬
‫אפשר‪ .‬כתיבת המכפלה כשבר עוזרת לתלמידים לראות מתי אפשר לצמצם את השברים‪ .‬יש לוודא‬
‫שכופלים את המונה בלבד‪.‬‬
‫‪ .6‬א( ‪ .C=B‬אמנם הצורה של ‪ B‬שונה מהצורה של ‪ ,C‬אבל כל אחת מהצורות היא ‪ 3/8‬של ‪ .A‬ב( ‪.3B=D‬‬
‫הצורה ‪ D‬בנויה מפעמיים ‪ B‬ומפעם אחת ‪ .C‬לפי סעיף א'‪ , C=B ,‬לכן ‪ .3B=D‬ג( ‪ .9/8A=D‬לפי‬
‫סעיפים א' ו‪-‬ב'‪ .‬ד( ‪.E=2B‬‬
‫בתרגיל ‪ 7‬לכיתה ובתרגילים ‪ 16 - 15‬לבית יש לכתוב את המכפלה כשבר ולצמצם את השבר כאשר אפשר‪.‬‬
‫יש לכתוב את הביטוי בתוך סוגריים‪.‬‬
‫‪ .8‬כאן מטפלים בשגיאות נפוצות‪ .‬אפשר לבקש מהתלמידים להסביר מה לא נכון בביטויים שאינם‬
‫נכונים‪ .‬רק א' ו‪-‬ד' נכונים‪.‬‬
‫‪ .9‬צמצום מספרים בלבד‪ :‬המשתנה נשאר ללא שינוי;‬
‫‪ .10‬צמצום ביטוי הכתוב בסוגריים‪ :‬אין צורך לפתוח את הסוגריים‪.‬‬
‫בתרגילים ‪ 18 - 17‬התלמידים מתבקשים להרחיב את השברים ולגלות במה צומצם כל שבר‪ .‬תרגילים אלה‬
‫יכולים להיות קשים לחלק מהתלמידים‪ ,‬יותר מאשר תרגילי הצמצום‪.‬‬
‫בתרגילים ‪ 23 - 19‬התלמידים יכולים לכפול במספר כרצונם‪ ,‬כדי שהמכנה יצטמצם‪ .‬כדאי להרגיל את‬
‫התלמידים לבחור במספר הקטן ביותר האפשרי‪.‬‬
‫‪ .24‬א( ‪ .7x/8‬ב( ‪ .4x/23‬ג( ‪ .12x/23‬ד( ‪.21x/4‬‬
‫ב‪ .‬שברים אלגברים‪ :‬חוק הפילוג‪ ,‬עמ' ‪9‬‬
‫‪ ‬‬
‫מגלים ‪ ‬‬
‫‪ .1‬מטרת פעילות זו כפולה‪ :‬לתרגל שוב את תרגום הנתונים המילוליים לשפה מתמטית על‪-‬ידי שברים‪ ,‬וכן‬
‫לעודד את התלמידים להשתמש בחוק הפילוג כאשר בביטוי אלגברי מופיע שבר‪ .‬ההקשר המילולי יעזור‬
‫לתלמידים להבין כי הביטויים ‪ 2‬ו‪ 4 -‬אינם מתאימים‪ :‬בביטוי ‪ 2‬דמי השכירות לא חולקו בין ארבעת‬
‫החברים‪ ,‬ובביטוי ‪ 4‬התשלום לדלק לו חולק‪ .‬ייתכן שתלמידים יטענו כי ביטוי נוסף אפשרי הוא‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ + 125‬או ‪ . ⋅ x + 125‬תשובות אלה אכן נכונות‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .2‬מטרת פעילות זו היא לדון בקביעת הסימנים )‪ +‬או ‪ (-‬לפני כל מחובר המופיע כאשר פותחים סוגריים‬
‫בביטוי אלגברי נתון‪ .‬התלמידים מתבקשים להתאים זוגות ביטויים השקולים לפי חוק הפילוג‪,‬‬
‫שמופיעים בהם סימני מינוס‪ .‬נוסף על התשובות הנכונות יש לבקש מהתלמידים להסביר את‬
‫קביעותיהם בצורה נכונה‪.‬‬
‫לומדים‬
‫על המורה להיעזר בדוגמאות הנתונות כדי להסביר שחוק הפילוג בשברים אלגבריים אינו שונה במהותו‬
‫מחוק הפילוג בביטויים ללא שברים‪.‬‬
‫בכל זאת יש להדגיש כי כאשר משתמשים בחוק הפילוג בשברים אלגבריים‪ ,‬רצוי לצמצם את המחוברים‬
‫‪a⋅b‬‬
‫‪b‬‬
‫(‪ ,‬למשל‪:‬‬
‫המתקבלים ולכפול אותם‪ ,‬כך שלא יישארו ביטויים בצורה ⋅ ‪) a‬אלא ביטויים בצורה‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. 4( + ) = 4 ⋅ + 4 ⋅ = 2x +‬‬
‫‪2 6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫כאמור במבוא לפרק‪ֶ ,‬הרגל זה לא רק יעזור לתלמידים לכתוב ביטויים קצרים וברורים יותר‪ ,‬אלא גם‬
‫ימנע טעויות בהרחבת ביטויים למכנה משותף בעת פתירת משוואות‪.‬‬
‫מתרגלים‬
‫בתרגילים ‪ 28 – 25‬לכיתה ובתרגילים ‪ 33 - 31‬לבית חוזרים על שימוש בחוק הפילוג‪ ,‬תחילה ללא שברים‬
‫ואחר‪-‬כך מופיעים בביטוי שברים‪.‬‬
‫‪.28‬‬
‫‪.32‬‬
‫‪.34‬‬
‫‪.36‬‬
‫בתרגיל מטופלות שגיאות נפוצות‪ .‬אפשר לבקש מהתלמידים להסביר מה לא נכון בביטויים שאינם‬
‫נכונים‪ .‬רק סעיף ב' נכון‪.‬‬
‫משתמשים בחוק הפילוג כאשר הגורם הכופל הוא ביטוי‪ .‬יש לשים לב לסוגריים‪ .‬בכל הסעיפים הגורם‬
‫הכופל זהה למכנה‪ ,‬ולכן אפשר לצמצם‪ .‬אסור לשכוח לכפול גם את המספר המופיע בסוגריים‪.‬‬
‫כתיבת שלבי הפתרון עוזרת למנוע שגיאות‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪3 ⋅ ( x + 1‬‬
‫( ⋅ )‪. ( x + 1‬‬
‫= )‪+ 2‬‬
‫א( ‪+ 2( x + 1) = 3 + 2x + 2 = 5 + 2x‬‬
‫‪x+1‬‬
‫‪x+1‬‬
‫‪10‬‬
‫)‪2 10 ⋅ 3 ⋅ ( 3x + 2) 2 ⋅ 3 ⋅ ( 3x + 2‬‬
‫( ⋅ ) ‪. 3 ⋅ ( 3x + 2‬‬
‫=) ‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫ו( ‪= 30 + 6x + 3 = 34 + 6x‬‬
‫‪3x + 2 3‬‬
‫‪3x + 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3x 5‬‬
‫‪5‬‬
‫הגורם הכופל הוא שבר‪ .‬א( ‪. ( 3x + 5 ) = + = x +‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5 4 18x‬‬
‫‪5 4‬‬
‫‪5 18x 2‬‬
‫‪. − (− −‬‬
‫) ‪) = ( − )( − ) − ( −‬‬
‫ו( ‪= + x‬‬
‫‪6 5 15‬‬
‫‪6 5‬‬
‫‪6 15 3‬‬
‫‪a‬‬
‫ב‪ (2‬תמורת שלושת החוגים יש לכפול ב‪ 3 -‬את‬
‫ב‪ (1‬תמורת כל חוג משלמים בני הזוג כהן ‪+ 50‬‬
‫‪40‬‬
‫‪a‬‬
‫‪3a‬‬
‫התוצאה שהתקבלה בסעיף ב‪. 3 ⋅ ( + 50 ) = + 150 .1‬‬
‫‪40‬‬
‫‪40‬‬
‫ג‪ .‬משוואות ממעלה ראשונה‪ :‬הנעלם במונה‪ ,‬עמ' ‪15‬‬
‫‪ ‬‬
‫מגלים ‪ ‬‬
‫‪3x 1‬‬
‫על‪-‬ידי חוק הפילוג‪ .‬המשוואה הנתונה היא פשוטה‬
‫‪ .1‬על התלמידים לפתור את המשוואה ‪+ = 5‬‬
‫‪2 2‬‬
‫יחסית‪ ,‬מכיוון שלכל שבר יש אותו מכנה )‪ .(2‬בסעיף ב' יש לשים לב שלעתים תלמידים כותבים שרשרת‬
‫‪3x 1‬‬
‫⎞ ‪⎛ 3x 1‬‬
‫לא נכונה של שוויונות מהסוג‪ . + = 2 ⋅ ⎜ + ⎟ = 3x + 1 :‬על המורה להדגיש כי יש הבדל בין‬
‫‪2 2‬‬
‫⎠‪⎝ 2 2‬‬
‫הביטוי הנתון לבין מכפלתו ב‪.2 -‬‬
‫‪ .2‬המשוואה הנתונה מורכבת יותר מהמשוואה הקודמת‪ ,‬אם מופיעים בה שני מכנים שונים )‪ 2‬ו‪ .(4 -‬אך‬
‫גם כאן המכנה המשותף לכל השברים )‪ (4‬כבר מופיע במשוואה‪ ,‬ולכן אין צורך לחשב אותו‪.‬‬
‫מטרת סעיף ה' היא שהתלמידים יפתרו את המשוואה הנתונה דרך הרחבה‪ ,‬כלומר כך‪:‬‬
‫‪3x 1‬‬
‫‪+ =5‬‬
‫‪4 2‬‬
‫‪3x 2 20‬‬
‫וכו'‬
‫= ‪+‬‬
‫‪4 4 4‬‬
‫‪3x + 2 = 20‬‬
‫‪3x 1‬‬
‫‪+ =5‬‬
‫‪4 2‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪9‬‬
‫וכו'‬
‫הערה‪ :‬ישנן דרכים נוספות לפתור את המשוואה‪ ,‬למשל‪= 4 12 = :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3x ⋅ 2 = 4 ⋅ 9‬‬
‫לומדים‬
‫כאן מוצגות שתי השיטות העיקריות לפתרון משוואות ממעלה ראשונה‪ .‬כאמור‪ ,‬עדיף לבחור שיטה‬
‫אחת בלבד ולהשתמש בה לאורך כל הפרק‪ ,‬שכן ריבוי שיטות עלול לבלבל את התלמידים בשלב הזה‪.‬‬
‫‪x 5 1‬‬
‫לאחר שהתלמידים יבינו כיצד לפתור את המשוואה הנתונה = ‪−‬‬
‫‪6 3 2‬‬
‫האלה‪:‬‬
‫‪x 5 1‬‬
‫ איך "נפטרים" ממכנים‪ ,‬אם המשוואה הנתונה היא = ‪ ? 5 ⋅ −‬אם משתמשים בשיטת ההרחבה‬‫‪6 3 2‬‬
‫‪x‬‬
‫למכנה המשותף‪ ,‬האם יש צורך להרחיב גם את המספר ‪ 5‬הכופל את השבר ?‬
‫‪6‬‬
‫‪5x 5 1‬‬
‫‪x 5 1‬‬
‫ האם יש הבדל בין המשוואה = ‪ 5 ⋅ −‬לבין המשוואה = ‪? −‬‬‫‪6 3 2‬‬
‫‪6 3 2‬‬
‫‪x 5 x−1‬‬
‫= ‪? −‬‬
‫ איך " נפטרים " ממכנים‪ ,‬אם המשוואה הנתונה היא‬‫‪6 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ,‬רצוי לשאול את השאלות‬
‫מתרגלים‬
‫‪ .38‬רק בסעיף א' המשוואות שקולות‪ .‬אפשר לבקש מהתלמידים להסביר מה השגיאה בסעיפים ב' ו‪-‬ג'‪,‬‬
‫ולהציע תיקון‪.‬‬
‫בתרגילים ‪ 53 ,39‬יש מכנה משותף לכל השברים המופיעים בתרגיל‪ ,‬ולכן קל יחסית לעבור למשוואה‬
‫שקולה ללא מכנה‪ ,‬משוואה שהתלמידים יודעים לפתור‪.‬‬
‫‪ .40‬סעיפים ב' ו‪ -‬ג' נכונים‪ .‬אפשר לבקש מהתלמידים להסביר מה השגיאה בסעיפים ב' ו‪ -‬ג'‪ ,‬ולהציע תיקון‪.‬‬
‫בתרגילים ‪ 54 ,41‬יש להגיע למכנה משותף‪ ,‬ואחר‪-‬כך לכתוב משוואה שקולה ללא מכנה‪ ,‬ולבסוף לפתור‬
‫אותה‪.‬‬
‫‪ .42‬המכנים במשוואה אינם שווים‪ ,‬אך הם שייכים ל"אותה משפחה"‪ .‬סעיפים א' ו‪ -‬ד' נכונים‪.‬‬
‫בתרגיל ‪ 43‬לכיתה ובתרגילים ‪ 61 - 57‬לבית יש תחילה למצוא מכנה משותף‪ .‬כל המכנים שייכים ל"אותה‬
‫משפחה"‪.‬‬
‫‪x −1‬‬
‫← ‪.x=-9 ← x-5=-14 ← x − 1 − 2 ⋅ 2 = −7 ⋅ 2‬‬
‫‪ .44‬א( ‪− 2 = −7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 x−1 3‬‬
‫‪1 x−1 3‬‬
‫‪= ← +‬‬
‫ד( =‬
‫‪.x=2 ← 2+x-1=3 ← +‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5x‬‬
‫‪5x‬‬
‫‪← .x +‬‬
‫‪ .‬המשוואה המתקבלת ‪= 33 :‬‬
‫‪ .45‬נסמן ב‪ x -‬את מספר העזים‪ ,‬לכן מספר הכבשים הוא‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ .x=18‬בפינת החי ‪ 18‬עזים ו‪ 15-‬כבשים‪.‬‬
‫בתרגילים ‪ 51 - 46‬המשוואות ממעלה ראשונה הן ללא שברים‪ .‬בחלק מהתרגילים מתקבלת תוצאה של‬
‫שבר‪ .‬התלמידים פתרו משוואות דומות בכיתה ז'‪ .‬בתרגילים ‪ 51 - 50‬יש לכפול תחילה לפי חוק הפילוג‪.‬‬
‫‪ .52‬משפט א' נכון‪ .‬משפט ב' לא נכון‪.‬‬
‫‪ .55‬נורית צודקת‪ .‬השבר באגף ימין הוא חיובי וגדול מהשבר שבאגף שמאל‪ .‬כדי להגיע לשוויון‪ ,‬יש להוסיף‬
‫מספר חיובי‪ ,‬ולכן ‪ x‬חייב להיות חיובי‪.‬‬
‫‪ .56‬אליהו צודק‪ .‬המספר באגף ימין שלילי‪ ,‬ולכן סכום שני האיברים באגף שמאל צריך להיות שלילי‪.‬‬
‫מאחר שהמספר הנתון‪ ,1/2 ,‬הוא חיובי‪ x ,‬חייב להיות שלילי‪.‬‬
‫‪ .62‬א( ריקה צודקת‪ .‬ההפרש הוא ‪ ,6‬כלומר המחוסר‪ ,x ,‬צריך להיות גדול מ‪ .6 -‬ב( המחוסר ‪ 3x‬צריך‬
‫להיות גדול מ‪ ,6 -‬לכן ‪ x‬יכול להיות מספר חיובי קטן מ‪.6 -‬‬
‫‪ .65‬יש לפתוח תחילה סוגריים לפי חוק הפילוג‪ ,‬אחר‪-‬כך למצוא מכנה משותף‪ ,‬ואחר‪-‬כך להמשיך כמו‬
‫בתרגילים הקודמים‪.‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.x=8/3 ← 3x=8 ← 2 ⋅ 3 + 3x = 2 ⋅ 7 ← =7 3 ⋅ 1 +‬‬
‫א( ‪= ← 3 ⋅ ( 1 + ) = 7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7 3x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫= ‪63x-7= 9x-27 ← 7 x − = x − 3 ← 7 x −‬‬
‫ו( ) ‪− 3 ⋅ 1 ← 7 ⋅ ( x − ) = 3 ⋅ ( − 1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9 3‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫← ‪.x=-10/27‬‬
‫בתרגילים ‪ 74 - 66‬יש לכתוב משוואה לפי נתוני השאלה‪ .‬פתרון המשוואה דומה לתרגילים הקודמים‬
‫)סוגריים‪ ,‬מכנה משותף(‪.‬‬
‫‪.66‬‬
‫‪.67‬‬
‫‪.68‬‬
‫‪.69‬‬
‫‪.70‬‬
‫‪.71‬‬
‫‪.72‬‬
‫‪.73‬‬
‫‪.74‬‬
‫‪9x‬‬
‫‪9x‬‬
‫‪ .‬המשוואה המתקבלת‪= 57 :‬‬
‫נסמן את הגיל של נועה ב‪ .x -‬לכן הגיל של לימור‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪9 ⋅ 30‬‬
‫(‪.‬‬
‫‪ .x=30‬נועה בת ‪ .30‬לימור בת ‪= 27 ) .27‬‬
‫‪10‬‬
‫‪x 1‬‬
‫נסמן ב‪ x -‬את סכום הכסף שהיה לרון בתחילה‪.x=7,000,000 ← . + ⋅ 1,000,000 = 2,000,000 .‬‬
‫‪4 4‬‬
‫לרון היו ‪.₪ 7,000,000‬‬
‫‪13x‬‬
‫‪13 x‬‬
‫‪ .‬המשוואה המתקבלת‪= 84 :‬‬
‫נסמן את מחיר הסוכריות ב‪ .x -‬לכן מחיר העוגיות הוא‬
‫‪x+‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫← ‪ .x=32‬מחיר הסוכריות ‪.₪ 32‬‬
‫‪9x‬‬
‫‪ .‬יש כמה‬
‫נסמן ב‪ x -‬את מחיר הספר בחנות "קריאה נעימה"‪ .‬לכן המחיר בחנות "הכול ספר" הוא‬
‫‪10‬‬
‫‪9x‬‬
‫‪9x‬‬
‫‪9x‬‬
‫= ‪← .x‬‬
‫= ‪ , x − 3‬או ‪+ 3‬‬
‫אפשרויות לכתוב את המשוואה‪ .‬דוגמאות ‪ , x − = 3 :‬או‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ .x=30‬מחיר הספר בחנות "קריאה נעימה" הוא ‪ .₪ 30‬מחיר הספר בחנות "הכול ספר" הוא ‪.₪ 27‬‬
‫נסמן את המרחק מהבית למשרד ב‪ .x -‬את ה‪ 1/4 -‬הראשון של הדרך הלך מר כהן פעמיים‪ ,‬כאשר יצא‬
‫‪x x‬‬
‫לדרך וכאשר חזר לביתו‪ .‬המשוואה המתקבלת ‪ .x=10 ← . + + x = 15 :‬המרחק מהבית למשרד‬
‫‪4 4‬‬
‫הוא ‪ 10‬ק"מ‪.‬‬
‫נסמן את זמן הנסיעה מהבית לעבודה ב‪ .x -‬את ה‪ 1/5 -‬הראשונה של הזמן עברה גב' כהן פעמיים‪,‬‬
‫‪x x‬‬
‫כאשר יצאה לדרך וכאשר חזרה לביתה‪ .‬המשוואה המתקבלת ‪ .x=10 ← . + + x = 42 :‬זמן‬
‫‪5 5‬‬
‫הנסיעה הרגיל הוא ‪ 10‬דקות‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2x 1‬‬
‫‪. x = −7‬‬
‫= ‪←.5 +‬‬
‫נסמן את המספר ב‪ .x -‬המשוואה המתקבלת ‪:‬‬
‫‪21‬‬
‫‪3 63‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪−3‬‬
‫← ‪.x=4.125‬‬
‫נסמן את המספר ב‪ .x -‬המשוואה המתקבלת ‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3x 5‬‬
‫נסמן את המספר ב‪ .x -‬המשוואה המתקבלת ‪.x=1 ← . 2x = + :‬‬
‫‪4 4‬‬
‫‪← .x +‬‬
‫ד‪ .‬משוואות ממעלה ראשונה‪ :‬הנעלם במונה )המשך(‪ ,‬עמ' ‪24‬‬
‫‪ ‬‬
‫מגלים ‪ ‬‬
‫פעילויות אלה דומות לפעילויות שביצעו התלמידים בשיעור הקודם‪ ,‬אך הפעם המכנה המשותף אינו‬
‫מופיע במשוואה‪ ,‬כלומר יש צורך לחשב אותו‪ .‬בפעילות ‪ 1‬מספיק לכפול את שני המכנים )‪ 2‬ו‪ (3 -‬כדי‬
‫למצוא את המכנה המשותף )‪ ,(6‬ואילו בפעילות ‪ 2‬קיים מכנה משותף קטן יותר )‪ (12‬ממכפלת המכנים‬
‫)‪ .(4 × 6 = 24‬יש להסב את תשומת לבם של התלמידים לכך שהשימוש במכנה המשותף ‪ 12‬מקל את‬
‫החישובים‪ ,‬אך אין טעות מתמטית בשימוש ב‪ 24 -‬כמכנה משותף‪ .‬לכן אין לפסול בשום פנים ואופן את‬
‫החישובים של תלמיד שאינו יודע לחשב את המכנה המשותף הקטן ביותר‪.‬‬
‫הערה‪ :‬אנו דנים לעומק בנושא קביעת המכנה המשותף הקטן ביותר ב"מיומנויות"‪ ,‬עמ' ‪ 332‬בספר‪.‬‬
‫לומדים‬
‫הנוכחי לבין השיעור הקודם הוא חישוב המכנה המשותף כפי שצוין‬
‫ְ‬
‫ההבדל העיקרי הקיים בין השיעור‬
‫בפעילויות הגילוי הקודמות‪ .‬לכן אם התלמידים שולטים בחומר שנלמד בשיעור הקודם‪ ,‬אין צורך לדון‬
‫לעומק בדוגמאות המובאות כאן‪ ,‬אלא מספיק לכתוב את המשוואה הנתונה על הלוח‪ ,‬לתכנן עם‬
‫התלמידים את השלבּים הרלוונטיים לפתירתה ורק לאחר מכן לבקש מהם לפתוח את הספר ולבדוק‬
‫ִאתם אם התכנון שלהם היה נכון‪.‬‬
‫הערה‪ :‬בעת התכנון לפתירת המשוואה יש להדגיש שחובה להשתמש בסוגריים כאשר כופלים את‬
‫‪x−1‬‬
‫‪.‬‬
‫הביטוי ‪ x – 1‬המופיע בשבר‬
‫‪3‬‬
‫מתרגלים‬
‫‪ .75‬יש למצוא מכנה משותף ולצמצם אותו‪ ,‬כדי שתתקבל משוואה שקולה ללא מכנה‪ .‬המכנים זרים זה‬
‫לזה‪ .‬א( ‪ .3x+2=9‬ב( ‪ .4x-15=24‬ה( ‪ .3x=2-3x-6‬ו( ‪ . -4x+11=4x‬ז( ‪ . 6x-2=-4.5‬ח( ‪3x+2=9-‬‬
‫‪.20x‬‬
‫בתרגיל ‪ 76‬לכיתה ובתרגילים ‪ 83 - 82‬לבית מטפלים בשגיאות נפוצות‪ .‬אפשר לבקש מהתלמידים להסביר‬
‫מה לא נכון בביטויים שאינם נכונים‪.‬‬
‫‪ .76‬בסעיף א' המשוואות שקולות‪.‬‬
‫בתרגילים ‪ 79 – 77‬לכיתה ובתרגילים ‪ 89 - 84‬לבית יש למצוא תחילה מכנה משותף ולצמצם אותו‪ ,‬כדי‬
‫שתתקבל משוואה שקולה ללא מכנה‪.‬‬
‫‪ .77‬א( ‪ .25/8‬ב( ‪ .46/45‬ג( ‪ .-28/3‬ד( ‪.5/6‬‬
‫‪1‬‬
‫ד( ‪. 18‬‬
‫‪ .78‬א( ‪ .7/4‬ב( ‪ .-1/21‬ג( ‪.1/2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .79‬א( ‪ .27.5‬ב( ‪ . − 12‬ג( ‪ .1.9‬ד( ‪.-33/64‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x 30‬‬
‫← ‪ .x=36‬המרחק מ‪ A -‬ל‪-‬‬
‫‪ .80‬נסמן את המרחק מ‪ A -‬ל‪ B -‬ב‪ .x -‬המשוואה המתקבלת‪+ = 1.5 :‬‬
‫‪40 50‬‬
‫‪ B‬הוא ‪ 36‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ .81‬יש למצוא מכנה משותף ולצמצם אותו‪ ,‬כדי שתתקבל משוואה שקולה ללא מכנה‪ .‬המכנים שייכים‬
‫ג( ‪ .3+10x+2=-14‬ו( ‪ . -27x+22=3x‬ז( ‪ .-4x-25=-44‬ח(‬
‫לאותה משפחה‪ .‬א( ‪.3x+4=9‬‬
‫‪.12+30x=28-9x‬‬
‫‪ .82‬אין משוואות שקולות‪.‬‬
‫‪ .83‬בסעיפים ב' ו‪ -‬ג' המשוואות שקולות‪.‬‬
‫‪ .88‬יש לכתוב את הביטוי בסוגריים‪ .‬יש לפתוח סוגריים לפי חוק בפילוג‪.‬‬
‫‪7x‬‬
‫← ‪ .(x=0‬ד( אין סוף פתרונות‪ .‬מתקבלת זהות‪ .‬ה( אין פתרון‪.‬‬
‫‪ .89‬א( ‪ .-4/9‬ב( ‪ .9.6‬ג( ‪= 0 ) 0‬‬
‫‪9‬‬
‫‪1 5x 5 x‬‬
‫‪17‬‬
‫מתקבלת המשוואה‬
‫= ‪ .1/3=0 ← +‬ו( ‪. 2‬‬
‫‪26‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .90‬א( צבי צודק‪ .‬המספר באגף ימין הוא חיובי‪ ,‬לכן הפרש הביטויים באגף שמאל צריך להיות חיובי‪.‬‬
‫כלומר ‪ x‬חייב להיות חיובי‪ .‬ב( צבי אינו צודק‪ .‬ההפרש בין שני הביטויים באגף שמאל הוא ‪ .5‬כלומר‬
‫‪7x‬‬
‫הביטוי‬
‫צריך להיות גדול מ‪ .5 -‬מאחר שהמקדם של ‪ x‬הוא מספר גדול מ‪ x ,1 -‬יכול להיות קטן מ‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪ .91‬נסמן את הגיל של מירי ב‪ .x -‬הגיל של אור הוא ‪ x/2‬ושל סיגל ‪ .6x/7‬המשוואה המתקבלת‪:‬‬
‫‪6x x‬‬
‫← ‪ .x=14‬א( הגיל של מירי הוא ‪ .14‬ב( הגיל של אור ‪ ,7‬ושל סיגל ‪.12‬‬
‫‪− =5‬‬
‫‪7 2‬‬
‫‪ .92‬נסמן את הגיל של אבי ב‪ .x -‬הגיל של איציק הוא ‪ 2x/3‬ושל קובי ‪ .3x/2‬המשוואה המתקבלת‪:‬‬
‫‪2x 3x‬‬
‫‪ .x = 6 ← x + + = 19‬א( הגיל של אבי הוא ‪ .6‬ב( הגיל של איציק ‪ 4‬ושל קובי ‪.9‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 2x‬‬
‫‪ .93‬נסמן את המספר ב‪ .x -‬המשוואה המתקבלת‪ .x = 3/4 ← + = 1 :‬המספר הוא ‪.3/4‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪3x 24‬‬
‫= ‪ .x = 4/7 ← 3 +‬המספר הוא ‪.4/7‬‬
‫‪ .94‬נסמן את המספר ב‪ .x -‬המשוואה המתקבלת‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪7‬‬
‫ה‪ .‬משוואות ממעלה ראשונה‪ :‬הנעלם במכנה‪ ,‬עמ' ‪32‬‬
‫מגלים ‪ ‬‬
‫כעת מובאת התייחסות למשוואות שהנעלם שלהן מופיע במכנה של שבר‪ ,‬והן שקולות למשוואות‬
‫ממעלה ראשונה‪ .‬השיטות לפתור משוואות אלו דומות בעליל לשיטות שנלמדו בשיעורים הקודמים‪ ,‬אך‬
‫יש לשים לב לשלושת הדברים האלה‪:‬‬
‫א( במשוואות מסוג זה המכנה המשותף לשברים המופיעים בה הוא ביטוי אלגברי‪ .‬למשל‪ ,‬במשוואה‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪ + = 1‬המובאת בפעילות ‪ ,1‬המכנה המשותף לשברים ו‪ -‬הוא ‪.4x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x 4‬‬
‫ב( מסיבה זו אי אפשר להשוות בין מכנים שהם ביטויים אלגבריים‪ ,‬במונחים כגון "גדול מ‪" "-‬או קטן‬
‫‪1 3‬‬
‫המופיעה בשאלה ז'‪ ,‬אי אפשר לומר‪:‬‬
‫מ‪ ."-‬לדוגמה‪ ,‬במשוואה ‪+ = 1‬‬
‫‪2x 4‬‬
‫"‪ 2x‬לא יכול להיות מכנה משותף‪ ,‬וצריך לחשב מכנה גדול יותר‪ ".‬אי אפשר להגיד גם‪:‬‬
‫"אין צורך לקחת ‪ 2x · 4 = 8x‬כמכנה משותף‪ ,‬אפשר להסתפק במכנה קטן יותר‪ ,‬שהוא ‪".4x‬‬
‫מאחר שאי‪-‬אפשר להשוות בין הביטויים ‪ 4x ,2x‬ו‪ ,8x -‬אם ‪ x‬הוא חיובי‪ ,‬מתקיים האי‪-‬שוויון‬
‫‪ ,2x < 4x < 8x‬ואם ‪ x‬הוא שלילי‪ ,‬מתקיים האי‪-‬שוויון ‪.8x < 4x < 2x‬‬
‫ג( יש להקפיד על בדיקת שייכות הפתרון לתחום ההצבה של המשוואה‪ ,‬כפי שעשינו בפרק ג'‪ ,‬בשיעורים‬
‫ג'‪-‬ה'‪.‬‬
‫לומדים‬
‫בחלק הראשון של השיעור דנים בנושא תחום הצבה‪ .‬רצוי להזכיר בקצרה כי‪:‬‬
‫ לעיתים הנעלם של המשוואות מופיע במכנה;‬‫ המכנה אינו יכול להיות שווה ל‪ ,0 -‬כי לחילוק ב‪ 0 -‬אין משמעות; ‪ ‬‬‫ הצבת מספרים מסוימים במשוואה עשויה לגרום להתאפסות המכנה; ‪ ‬‬‫ המספרים שעשויים לגרום להתאפסות המכנה‪ :‬‬‫אַחד הביטויים שבמשוואה לביטוי חסר משמעות; ‪ ‬‬
‫* הופכים את ַ‬
‫* אינם יכולים להיות פתרונות המשוואה; ‪ ‬‬
‫בהכר ַח מספר שאינו גורם לאף מכנה להתאפס במשוואה;‬
‫ֵ‬
‫ פתרון המשוואה הוא‬‫ כאשר מוצאים "מועמד לפתרון"‪ ,‬בסוף החישובים יש לבדוק באופן זה או אחר אם מספר זה אכן‬‫שייך לתחום ההצבה של המשוואה‪.‬‬
‫בחלק השני של השיעור מובאות דוגמאות לפתרון משוואות שהנעלם שלהן מופיע במכנה‪ .‬השיטות‬
‫‪9‬‬
‫‪1‬‬
‫המוצגת בדוגמה‪ ,‬הן השיטות הסטנדרטיות‪:‬‬
‫לפתרון המשוואה ‪+ = 5‬‬
‫‪x −1 2‬‬
‫א( הרחבת כל האיברים המופיעים במשוואה הנתונה למכנה משותף וכפל שני אגפי המשוואה במכנה‬
‫המשותף;‬
‫ב( כפל שני אגפי המשוואה במכנה המשותף על‪-‬ידי חוק הפילוג‪ ,‬וצמצום השברים המתקבלים‪ .‬‬
‫בנוסף יש לקבּוע תחילה את תחום ההצבה של המשוואה )כאן ‪ (x ≠ 1‬ולוודא בסוף החישובים‪,‬‬
‫שה"מועמד לפתרון" )כאן ‪ (3‬שייך לתחום ההצבה של המשוואה‪ .‬‬
‫הערה‪ :‬בסוף עמוד ‪ 327‬מובאת שיטה נוספת לבדיקת שייכות לתחום הצבה‪ .‬אפשר לבקש מהתלמידים‬
‫להשתמש בשיטה זו‪.‬‬
‫מתרגלים‬
‫בתרגילים ‪ 96 - 95‬ובתרגיל ‪ 104‬לבית יש למצוא מכנה משותף ולצמצם אותו כדי לקבל משוואה שקולה‬
‫ללא מכנה‪ x .‬מופיע במכנה‪.‬‬
‫‪ .95‬ו( המכנה המשותף הקטן ביותר הוא ‪ .7+9x=8 .6x‬ח( המכנה המשותף הקטן ביותר הוא ‪.12x‬‬
‫‪.6+8x=9x-5‬‬
‫‪ .96‬ב( המכנה המשותף הקטן ביותר הוא )‪ .2x+4-12=9 .3(2x+4‬ד( המכנה המשותף הוא )‪.4(3x+1‬‬
‫)‪.12+24(3x+1)=- (3x+1‬‬
‫בתרגילים ‪ 97‬ובתרגילים ‪ 106 - 105‬מטפלים בשגיאות נפוצות‪ .‬אפשר לבקש מהתלמידים להסביר מה לא‬
‫נכון בביטויים שאינם נכונים‪.‬‬
‫‪ .97‬בסעיף א' המשוואות שקולות‪.‬‬
‫בתרגילים ‪ 102 - 98‬ובתרגילים ‪ 109 - 107‬לבית אפשר למצוא תחילה את תחום ההצבה ואחר‪-‬כך לפתור את‬
‫המשוואות‪ .‬אפשר לפתור תחילה את המשוואות ואחר‪-‬כך לוודא שהפתרון נמצא בתחום ההצבה של‬
‫המשוואות‪.‬‬
‫בתרגילים ‪ 101 - 98‬תחום ההצבה הוא ‪. x ≠ 0‬‬
‫‪ .101‬ד( המכנה המשותף הקטן ביותר הוא ‪42x=-7 ← -6x+9+48x=2 ← 3(-2x+3)+4·12x=1·2 .12x‬‬
‫← ‪.x=-1/6‬‬
‫‪ .102‬ב( תחום ההצבה ‪ . x ≠ 2 / 3‬המכנה המשותף הקטן ביותר הוא )‪8(3x-2)-10·2=3(3x-2) .2(3x-2‬‬
‫← ‪.x=2‬‬
‫‪x+1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‪−1‬‬
‫← ‪ .x=10‬המספרים הם ‪ 10‬ו‪.11 -‬‬
‫‪ .103‬נסמן את המספר ב‪ ,x -‬המספר העוקב ‪.x+1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ .104‬ז( המכנה המשותף הקטן ביותר הוא ‪ .15x-20=14 .20x‬ח( המכנה המשותף הוא ‪.30x‬‬
‫‪. -15+60x=24x-40‬‬
‫‪ .105‬בסעיפים א' ו‪ -‬ב' המשוואות שקולות‪.‬‬
‫‪ .106‬בסעיפים א' ו‪ -‬ג' המשוואות שקולות‪.‬‬
‫‪ .108‬ה( תחום ההצבה ‪ . x ≠ −1 / 2‬המכנה המשותף )‪← 20(2-3x)+9·2(1+2x)=7·5(1+2x) .20(1+2x‬‬
‫‪.x=23/94‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ .109‬ג( תחום ההצבה ‪ . x ≠ 0‬כדאי לפתוח תחילה את הסוגריים לפי חוק הפילוג‪ .‬מתקבל‪2 − + 4 = 6 :‬‬
‫‪x‬‬
‫← ‪ -6/x=0‬למשוואה אין פתרון‪ .‬ד( תחום ההצבה ‪ . x ≠ 0‬כדאי לפתוח תחילה את הסוגריים לפי‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2⋅3‬‬
‫‪ −‬התקבלה זהות‪ ,‬ולכן יש אין‪-‬סוף‬
‫‪=−‬‬
‫‪← −‬‬
‫‪= −2 ⋅ 4 −‬‬
‫חוק הפילוג‪ .‬מתקבל‪+ 8 :‬‬
‫‪5x‬‬
‫‪5x‬‬
‫‪5x‬‬
‫‪6x‬‬
‫פתרונות‪ .‬כל המספרים פרט ל‪.0 -‬‬
‫‪ .110‬נוציא גורם משותף ‪ 2‬מהביטוי ‪ ,2x+4‬נקבל )‪ .2(x+2‬המכנה המשותף הקטן ביותר הוא )‪.20(x+2‬‬
‫‪2‬‬
‫תחום ההצבה ‪ . x ≠ −2‬מתקבל ‪. x = 2 ← 16x=7 ← 20+10=7(x+2) :‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ .111‬נסמן את המספר ב‪ .x -‬המספר ההפוך ‪ .x=1/9 ← 3+1/x=12 .1/x‬המספר הוא ‪.1/9‬‬
‫‪ .112‬נסמן את המספר ב‪ .x = 10/13 ← 5/x+1=7.5 .x -‬המספר הוא ‪.10/13‬‬
‫‪25 20‬‬
‫← ‪ .x=70‬המהירות הממוצעת מ‪ A -‬ל‪-‬‬
‫‪ .113‬נסמן את המהירות הממוצעת מ‪ A -‬ל‪ B -‬ב‪+ = 1 .x -‬‬
‫‪35 x‬‬
‫‪ B‬היא ‪ 70‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪55 50‬‬
‫←‬
‫‪ .114‬נסמן את המהירות הממוצעת מ‪ A -‬ל‪ B -‬ב‪ ,v -‬המהירות הממוצעת מ‪ B -‬ל‪+ = 2 .2v C -‬‬
‫‪v 2v‬‬
‫‪ .v=40‬המהירות הממוצעת מ‪ A -‬ל‪ B -‬היא ‪ 40‬קמ"ש‪ ,‬המהירות הממוצעת מ‪ B -‬ל‪ C -‬היא ‪ 80‬קמ"ש‪.‬‬
‫מיומנויות‪ ,‬עמ' ‪39‬‬
‫בעמוד זה לומדים לקבּוע את המכנה המשותף הקטן ביותר לשני שברים‪ .‬מתייחסים כאן לשאלות‬
‫האלה‪:‬‬
‫ מדוע כדאי להשתדל לקבּוע את המכנה הקטן ביותר?‬‫ איך אפשר לדעת אם מכפלת שני המכנים היא המכנה המשותף הקטן ביותר?‬‫ אם המכנה המשותף הקטן ביותר אינו מכפלת המכנים‪ ,‬כיצד מחשבים אותו?‬‫מאחר שהשימוש במכנה המשותף הקטן ביותר אינו הכרחי לפתירת משוואה של שברים‪ ,‬אלא רק‬
‫מקלות על החישובים‪ ,‬אפשר שרק התלמידים החזקים יקראו עמודים אלו‪.‬‬
‫מוכנים להמשיך? עמ' ‪41‬‬
‫‪ .1‬ב‪ .2 .‬ג‪ .3 .‬א‪ .4 .‬ג‪ .5 .‬א‪ .6 .‬ב‪ .7 .‬ב‪ .8 .‬ב‪ .9 .‬א‪ .11 .‬א‪ .12 .‬ב‪.‬‬
‫ממשיכים בתרגול עמ' ‪42‬‬
‫‪ .115‬א( ‪ .-99/100‬ד( ‪.-42x‬‬
‫‪1 − 2x‬‬
‫‪ . −‬ד( )‪.-2(x-2‬‬
‫‪ .116‬ב(‬
‫‪2‬‬
‫‪ .117‬אפשר לבקש מהתלמידים להסביר מה לא נכון בביטויים שאינם נכונים ‪ .‬המשפטים הנכונים הם‬
‫א' ו‪-‬ב'‪.‬‬
‫‪ .119‬א( ‪ .–x+4/5‬ד( ‪ .2x-17‬ו( ‪.-45-2x‬‬
‫‪ .120‬א( ‪ .B‬ב( ‪ .A-3 ,C-2 ,B-1‬ג( משוואות ‪ 1‬ו‪ 3 -‬שקולות‪ .‬ד( ‪ 1/2‬ק"ג‪.‬‬
‫‪ .121‬נסמן את משקל התיבה ב‪ x-‬ואת משקל הקובייה ב‪) .x/2-‬אפשר לסמן את משקל הקובייה ב‪x-‬‬
‫‪x‬‬
‫ואת משקל התיבה ב‪ (.2x -‬א( ‪ .x=2/5 ← 3x = 1 +‬משקל התיבה ‪ 2/5‬ק"ג‪ ,‬משקל הקובייה ‪1/5‬‬
‫‪2‬‬
‫ק"ג‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫ב( • ‪ .x=1 ← x + 1 = + 3‬משקל התיבה ‪ 1‬ק"ג‪ ,‬משקל הקובייה ‪ 1/2‬ק"ג‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5x‬‬
‫‪ .125‬נסמן את אורך היום ב‪ ,x -‬לפיכך אורך הלילה הוא ‪ .5x/7‬ביממה יש ‪ 24‬שעות‪ ,‬ולכן ‪x + = 24‬‬
‫‪7‬‬
‫← ‪ .x=14‬אורך היום ‪ 14‬שעות‪ ,‬אורך הלילה ‪ 10‬שעות‪.‬‬
‫‪ .126‬נסמן את הסכום שקיבלו מהקרובים של אבי ב‪ ,x -‬והסכום שקיבלו מהקרובים של סימה יהיה‬
‫‪4x‬‬
‫‪ .x=20,000 ← x +‬מהקרובים של אבי קיבלו ‪.₪ 20,000‬‬
‫‪= 36,000 .4x/5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x + 10 x‬‬
‫← ‪ .x=20‬מעיין בת‬
‫‪ .127‬נסמן את הגיל של מעין ב‪ ,x -‬לכן הגיל של אדווה הוא ‪= + 10 .x/4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ ,20‬אדווה בת ‪.5‬‬
‫‪ .128‬בסעיפים א' ו‪-‬ב' יש להציב את הטמפרטורה לפי צלסיוס בנוסחה ולקבל את הטמפרטורה לפי‬
‫‪9•0‬‬
‫‪ 320 .0°‬לפי צלסיוס הן ‪ 32°‬לפי פרנהייט‪ .‬ב( ‪ .50°‬בסעיפים ג' ו‪ -‬ד' יש‬
‫פרנהייט‪ .‬א( ‪+ 32 = 32‬‬
‫‪5‬‬
‫לפתור משוואה שהתוצאה שלה היא הטמפרטורה לפי פרנהייט‪ ,‬והנעלם הוא הטמפרטורה לפי צלסיוס‪.‬‬
‫‪9x‬‬
‫← ‪ 5° .x=-15‬לפי פרנהייט הן ‪ -15°‬לפי צלסיוס‪ .‬ד( ‪ .-18°, -17 7/9°‬ה( אין לאמו‬
‫ג( ‪+ 32 = 5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪9x‬‬
‫←‬
‫של ג'ון סיבה לדאגה‪ ,‬משום שהטמפרטורה המתאימה היא ‪ 37.5°‬לפי צלסיוס‪ .‬ו( ‪+ 32 = x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪9y‬‬
‫← ‪160 .y=160‬‬
‫‪ -40 .x=-40‬מעלות לפי צלסיוס שוות ל ‪ -40‬מעלות לפי פרנהייט‪ .‬ז( ‪+ 32 = 2 y‬‬
‫‪5‬‬
‫מעלות לפי צלסיוס שוות ל ‪ 320-‬מעלות לפי פרנהייט‪.‬‬
‫‪ .129‬נסמן את אורך מסלול הרכיבה ב‪ .x -‬אורך מסלול השחייה יהיה ‪ 15x/400‬אורך מסלול הריצה‬
‫‪ .x/4‬א(‬
‫‪15 x x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .x=40 ← x +‬אורך מסלול הרכיבה הוא ‪ 40‬ק"מ‪ .‬ב( אורך מסלול השחייה הוא‬
‫‪+ = 51‬‬
‫‪40 4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 1.5‬ק"מ‪ ,‬ואורך מסלול הריצה הוא ‪ 10‬ק"מ‪.‬‬
‫בקניון ב‪ ,x -‬הזמן בסופרמרקט יהיה ‪ ,x/2‬והזמן בחנות הבגדים יהיה‬
‫‪ .132‬נסמן את הזמן שהייתה יפית ַ‬
‫‪x x 1‬‬
‫← ‪ .x=1‬יפית הייתה בקניון שעה אחת‪.‬‬
‫‪ 10 .x/3‬דקות הן ‪ 1/6‬של שעה‪+ + = x .‬‬
‫‪2 3 6‬‬
‫‪ .133‬נסמן את משכורת המנהל ב‪ ,x -‬משכורת המזכירה תהיה ‪ ,x/3‬ומשכורת המתכנת תהיה ‪.3x/4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3x‬‬
‫= ‪ .x=12,000 ← + 5000‬משכורת המנהל היא ‪ ,₪ 12,000‬משכורת המזכירה היא ‪,₪ 4,000‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫ומשכורת המתכנת היא ‪.₪ 9,000‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .134‬נסמן את הגיל של רמי ב‪ ,x -‬הגיל של אסף יהיה ‪ .x=20 ← ( x + 10) = + 10 .x/2‬רמי היום‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫בן ‪ ,20‬ואסף בן ‪.10‬‬
‫‪ .135‬נסמן את מחיר השמלה בחנות "קניתי" ב‪ ,x -‬ואת מחיר השמלה בחנות "שלך" ב‪.7x/8 -‬‬
‫‪9‬‬
‫‪7x‬‬
‫= )‪( x − 6‬‬
‫← ‪ .x=216‬מחיר השמלה בחנות "שלך" הוא ‪.₪ 189‬‬
‫‪10‬‬
‫‪8‬‬
‫‪x x x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .136‬נסמן את מספר שנות חייו של דיופנטס ב‪ .x=84 ← + + + 5 + + 4 = x .x -‬דיופנטס‬
‫‪6 12 7‬‬
‫‪2‬‬
‫היה בן ‪ 84‬במותו‪.‬‬
‫‪1 1 1 1‬‬
‫= ‪← −‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .138‬נסמן את המספר ב‪ ,x -‬המספר ההפוך הוא ‪ ,1/x‬המספר ההפוך ל‪ 2x -‬הוא‬
‫‪x 4 2x 2x‬‬
‫‪.x=2‬‬
‫‪60 100‬‬
‫← ‪ .x=60‬מהירות‬
‫‪+‬‬
‫‪ .139‬נסמן ב‪ x -‬את מהירות המכונית בחלקה השני של הדרך‪= 3 .‬‬
‫‪x‬‬
‫‪45‬‬
‫המכונית ‪ 60‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ .140‬תרגיל זה מהווה מעין סיכום לנושא פתרון משוואות ממעלה ראשונה‪ .‬מטרתו העיקרית היא‬
‫שתלמידים יבינו כי בחירת השיטה הנוחה ביותר לפתור משוואה נתונה תלויה במבנה המשוואה וכן‬
‫במספרים המופיעים בה‪ .‬במילים אחרות‪ ,‬בבחירת השיטה לפתרון משוואה נדרשת תובנה מספרית‬
‫שמשתדלים לפתח כאן‪.‬‬
‫א( ‪ .-6/7‬ב( ‪ .6‬ג( ‪ .7· 6/11‬ד( ‪ 5/9‬ה( ‪ .5/16‬ו( ‪ .1/5‬ז( ‪ .-1/3‬ח( ‪ .-5/3‬ט( ‪.14.5‬‬
‫העמקה‪ ,‬עמ' ‪49‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ .1‬שטח המשולש ‪ ABC‬הוא‬
‫‪2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪) . 18 −‬שטח המשולש ‪ ADE‬הוא ‪ 18‬סמ"ר(‪.‬‬
‫שטח הטרפז ‪ BCDE‬הוא‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪. 18 −‬‬
‫⋅‪= 3‬‬
‫לכן ‪ x‬הוא פתרון המשוואה‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫לפיכך ‪ ,x2 = 9‬ולכן ‪ 3‬ס"מ = ‪.x‬‬
‫הערה‪ :‬דרך אחרת לפתור שאלה זו היא לשים לב כי לפי הנתונים שטח המשולש ‪ ADE‬גדול פי ‪ 4‬משטח‬
‫המשולש ‪ .ABC‬ומאחר ששני משולשים אלה הם דומים‪ ,‬מקדם הדמיון ביניהם הוא ‪. 4 = 2‬‬
‫‪6‬‬
‫לכן ‪ 3‬ס"מ = = ‪. x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ . x = −‬אך ‪ x‬חייב להיות מספר חיובי לפי הגדרת‬
‫‪ .2‬א( ‪ .25‬ב( ‪ .1‬ג( ‪ .9/4‬ד( ‪ .121/36‬ה( מקבלים‬
‫‪63‬‬
‫השורש הריבועי‪ .‬לכן אין פתרון למשוואה הנתונה‪.‬‬
‫ו( אין פתרון‪.‬‬