מועד א` פתור

‫בחינת הבגרות במתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"א‪ ,‬מועד א‬
‫‪ 5‬יחידות לימוד‪ ,‬שאלון ‪ ,000‬שאלות ופתרונות‬
‫הפתרונות נכתבו בהשתתפות עפר לוין‬
‫‪1‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה ( ‪ 33‬נקודות)‬
‫‪3‬‬
‫ענה על אחת השאלות ‪2-1‬‬
‫‪.1‬‬
‫במפעל לייצור מחשבונים עובדים פועלים ותיקים ופועלים חדשים‪.‬‬
‫פועל ותיק ופועל חדש התבקשו להרכיב מחשבונים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫מהזמן שנדרש לעובד חדש לבצע לבד עבודה זו‪,‬‬
‫לו פועל ותיק היה עובד‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫מהזמן שנדרש לעובד ותיק לבצע לבד עבודה זו‪,‬‬
‫ופועל חדש היה עובד‬
‫‪3‬‬
‫‪13‬‬
‫מעבודה זו‪.‬‬
‫אז יחד הם היו מבצעים‬
‫‪18‬‬
‫פועל ותיק מבצע לבד את העבודה במספר שעות קטן יותר מזה הדרוש לפועל חדש‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא פי כמה גדול מספר השעות הדרוש לפועל חדש לבצע לבד את העבודה‪,‬‬
‫ממספר השעות הדרוש לפועל ותיק לבצע לבד את העבודה‪.‬‬
‫נסמן ב ‪ x -‬את הזמן שלוקח לפועל ותיק לסיים לבדו את העבודה‬
‫נסמן ב ‪ y -‬את הזמן שלוקח לפועל חדש לסיים לבדו את העבודה‬
‫נתון כי ‪x  y‬‬
‫‪y‬‬
‫יש למצוא את המנה‬
‫‪x‬‬
‫‪ ,‬כאשר ‪. .y>x‬‬
‫פועל‬
‫זמן (שעות)‬
‫ותיק‬
‫‪x‬‬
‫חדש‬
‫‪y‬‬
‫ותיק‬
‫חדש‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫הספק לשעה (מ"ק)‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫חלקי עבודה‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x 13‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫העבודה שנעשתה ע"י שני הפועלים היא‬
‫‪3x 3 y 18‬‬
‫‪t 1 13‬‬
‫‪y‬‬
‫לאחר סימון היחס ב ‪ t -‬מתקבלת המשוואה ‪ ‬‬
‫‪6t 2 13t  6  0 ‬‬
‫‪3 3t 18‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y 3‬‬
‫‪y 2‬‬
‫למשוואה שני פתרונות‪ , t2   :‬‬
‫‪x 2‬‬
‫‪x 3‬‬
‫‪. t1 ‬‬
‫‪y 3‬‬
‫‪y‬‬
‫מכיוון ש ‪ ,  1‬הפתרון המתאים לתנאי הבעייה הוא ‪‬‬
‫‪x 2‬‬
‫‪x‬‬
‫כלומר פועל חדש יבצע את העבודה בזמן‬
‫הגדול פי ‪ 1.5‬מפועל ותיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי פועל ותיק מרכיב ‪ 9‬מחשבונים בשעה‪.‬‬
‫(‪ )1‬כמה מחשבונים בשעה מרכיב פועל חדש?‬
‫(‪ )2‬מקימים שני צוותי עבודה‪:‬‬
‫בצוות ‪ I‬יש פועל אחד חדש ושני פועלים ותיקים; בצוות ‪ II‬יש פועל אחד ותיק ושני פועלים חדשים‪.‬‬
‫כל צוות מרכיב אותו מספר מחשבונים‪.‬‬
‫צוות ‪ I‬עבד שעה אחת פחות מאשר צוות ‪.II‬‬
‫מצא כמה שעות עבד צוות ‪.II‬‬
‫(כל הפועלים הוותיקים עובדים באותו קצב‪ ,‬וכל הפועלים החדשים עובדים באותו קצב)‬
‫(‪ )1‬בשעה אחת מרכיב פועל ותיק ‪ 9‬מחשבונים‪ .‬לפי מה שחישבנו‪ ,‬אותה עבודה דורשת מפועל חדש‬
‫‪9‬‬
‫זמן גדול פי ‪ ,1.5‬כלומר שעה וחצי‪ .‬לכן פועל חדש מרכיב בשעה ‪ 6‬‬
‫מחשבונים‪.‬‬
‫‪1.5‬‬
‫(‪ )2‬צוות ן מרכיב בשעה ‪ 6 2 9 24‬מחשבונים וצוות ‪ II‬מרכיב בשעה ‪9 2 6 21‬‬
‫מחשבונים‪ .‬נסמן את מספר שעות העבודה של צוות ‪ II‬ב ‪ . t -‬לכן‪ ,‬מספר שעות העב ודה של צוות ‪I‬‬
‫הוא ‪ . t  1‬השוואה של מה שהספיקו שני הצוותים נותנת את המשוואה ‪21t‬‬
‫הוא ‪8‬‬
‫‪.2‬‬
‫)‪1‬‬
‫‪ 24(t‬שפתרונה‬
‫‪ . t‬לכן צוות ‪ II‬עבד ‪ 8‬שעות‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח באינדוקציה או בדרך אחרת‪ ,‬כי לכל ‪ n‬טבעי גדול מ ‪ 1-‬מתקיים‪:‬‬
‫(*)‬
‫‪2n1 (2n  3n )  5n‬‬
‫בדיקה‪:‬‬
‫‪2(22  32 )  26  25 : n  2‬‬
‫הנחה‪:‬‬
‫נניח ש אי ה שוויון (*) נכון עבור ‪ n  k‬טבעי כלשהו הגדול מ‪ 1-‬כלומר‪2k 1 (2k  3k )  5k ,‬‬
‫יש להוכיח על סמך ההנחה ש אי ה שוויון (*) נכון עבור ‪ n  k  1‬כלומר‪2k (2k 1  3k 1 )  5k 1 ,‬‬
‫) ‪2k (2k 1  3k 1‬‬
‫וזה שקול ל ‪-‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5k ‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪k 1‬‬
‫) ‪3‬‬
‫על סמך ההנחה ) ‪ 5k  2k 1 (2k  3k‬די להוכיח כי‬
‫‪5‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪k 1‬‬
‫נכפול את אי ה שוויון ב ‪ 5-‬ונחלק ב ‪( 2k 1 -‬חיובי לכל ‪  ) k‬נותר ל הוכיח כי ) ‪5(2  3 )  2(2  3‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2 (2‬‬
‫‪2k 1 (2k  3k ) ‬‬
‫חישוב פשוט מעביר מאי שוויון זה לאי השוויון ‪ 2k  3k‬שהוא ט ריוויאלי (‪ 2‬קטן מ ‪ 3-‬והמעריך הוא‬
‫מספר טבעי)‪.‬‬
‫משפט סיום‪:‬‬
‫בדקנו כי אי ה שוויון (*) נכון עבור ‪ , n  2‬הנחנו את נכונותו עבור ‪ n  k‬טבעי כלשהו הגדול מ ‪1-‬‬
‫והוכחנו ש הוא נכון גם עבור ‪ . n  k  1‬לכן על סמך האינדוקציה המתמטית‪ ,‬אי ה שוויון (*) נכון לכל ‪n‬‬
‫טבעי הגדול מ ‪.1-‬‬
‫הוכחה חלופית‪.‬‬
‫בביטוי ) ‪ (2n  3n‬המופיע באגף שמאל של אי ‪-‬השיוויון (*) המחובר הגדל יותר כאשר ‪ n‬גדל הוא ‪. 3n‬‬
‫לכן ננסה להסתדר בלי המחובר השני ולהוכיח את אי השוויון‬
‫‪. 2n13n  5n‬‬
‫‪6n‬‬
‫אגף שמאל של אי שיוויון זה הוא‬
‫‪2‬‬
‫‪2n n‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫ולכן הוא שקול לאי השיוויון‬
‫‪6n‬‬
‫‪ 5n‬‬
‫‪2‬‬
‫(**)‬
‫נחפש מספר ‪ n‬המקיים את (**)‪ ,‬ונסמנו ב ‪ .t-‬כל ‪ n‬הגדול מ ‪ t-‬שווה ל ‪ t+k -‬כאשר ‪ k‬הוא לפחות ‪.1‬‬
‫ל ‪ n-‬כזה אי השוויון (**) ‪ .‬הוא‬
‫‪5n‬‬
‫‪6t k‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5t 5k‬‬
‫ואי שוויון זה מתקבל מהכפלת אגפי אי השיוויונים ‪5t‬‬
‫כך הוכחנו את (**)‪ ,‬ולכן גם את (*)‪ ,‬לכל ‪t‬‬
‫‪6t k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6n‬‬
‫‪2‬‬
‫ו‪5k -‬‬
‫‪.n‬‬
‫חישוב ישיר מראה ש ‪ )**(-‬נכון ל ‪ ,n=4 -‬ולכן (**) וגם (*) נכונים לכל ‪4‬‬
‫מוכחת ע"י חישוב ישיר‪..‬‬
‫‪ 6k‬זה בזה‪.‬‬
‫‪ . n‬נכונות (*) עבור ‪n = 2 , 3‬‬
‫ב‪ .‬בהסתמך על סעיף א הוכח‪:‬‬
‫‪ (2101  3101)  55150‬‬
‫‪ (22  32 )  (23  33 ) ‬‬
‫‪100‬‬
‫‪212‬‬
‫על סמך סעיף א' ניתן לכתוב את ‪ 111‬אי ה שוויונות הבאים‪:‬‬
‫‪21  (22  32 )  52‬‬
‫‪22  (23  33 )  53‬‬
‫‪23  (24  34 )  54‬‬
‫‪2100  (2101  3101 )  5101‬‬
‫נכפול את כל האגפים השמאליים ואת כל האגפים הימניים‬
‫‪ 5101 ‬‬
‫‪(2101  3101 )  52  53 ‬‬
‫‪ 2100  (22  32 )(23  33 ) ‬‬
‫‪21  22 ‬‬
‫שימוש ב חוקי חזקות (באגף שמאל) ושימוש בחוקי חז קות ובסכום סדרה חשבונית‬
‫‪ (2101  3101)  55150 ‬‬
‫‪ (22  32 )  (23  33 ) ‬‬
‫‪100‬‬
‫‪212‬‬
‫‪2‬‬
‫פרק שני ‪-‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‪ ,‬טריגונומטריה ( ‪ 66‬נקודות)‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫ענה על שתים מבין השאלות ‪( 5-3‬לכל שאלה ‪ 33 -‬נקודות )‬
‫‪3‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.‬‬
‫(‪ )1‬למציאת תחום ההגדרה של הפונקציה יש לפתור את אי ה שוויון‪x  a, x  a  x2  a 2  0 :‬‬
‫(‪ )2‬אסימפטוטות אופקיות‪ :‬ל‪x  0 -‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪x2‬‬
‫) ‪f (x‬‬
‫וכאשר ‪ x‬שואף לאינסוף ‪ a2/x2‬שואף ל‪,1-‬‬
‫‪1‬‬
‫והביטוי תחת השורש‪ ,‬ולכן גם השורש‪ ,‬שואפים ל‪ ,1-‬ולכן )‪ f(x‬שואף ל‪ .a-‬והישר ‪a‬‬
‫אופקית‪.‬‬
‫כאשר ‪ x<0‬קיים‬
‫‪a‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ y‬הוא אסימפטוטה‬
‫) ‪ f (x‬וממשיכים כמו קודם ומקבלים ש ‪ f(x) -‬שואף ל‪ ,-a-‬והישר ‪a‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫הוא אסימפטוטה אופקית‪.‬‬
‫אסימפטוטות אנכיות‪  :‬‬
‫‪ax‬‬
‫‪x2  a2‬‬
‫‪  , lim xa‬‬
‫‪ax‬‬
‫‪x2  a2‬‬
‫‪lim x a‬‬
‫מכאן‪ ,‬לפונקציה יש שתי אסימפטוטות אנכיות ‪x  a‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪f ( x)  ‬‬
‫(‪ ) 3‬למציאת תחומי עליה וירידה יש לגזור את הפונקציה ‪‬‬
‫) ‪x2  a2  ( x2  a2‬‬
‫מכיוון ש‪ a  0 :‬והמכנה חיובי לכל ‪ x‬בתחום ההגדרה‪ f ( x)  0 ,‬ולכן הפונקציה יורדת‪.‬‬
‫אפשר להוכיח שהפונקציה יורדת גם בלי לגזור‪ ,‬כך‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫) ‪ x2 f (x‬היא פונקציה עולה של ‪ x‬לכן ‪ a2/x2‬היא פונקציה יורדת‬
‫ל ‪ x>0 -‬נצא מ ‪-‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪.‬‬
‫של ‪ , x‬ומה שיש בשורש‪ ,‬והשורש עצמו‪ ,‬הן פונקציות עולות של ‪ x‬ו ‪ f(x)-‬היא יורדת‪.‬‬
‫ל ‪ x<0 -‬נצא מ‪-‬‬
‫‪a‬‬
‫) ‪ x2 . f (x‬היא פונקציה יורדת של ‪ x‬לכן ‪ a2/x2‬היא פונקציה עולה של ‪,x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x2‬‬
‫ומה שיש בשורש‪ ,‬והשורש עצמו‪ ,‬הן פונקציות יורדות של ‪ x‬ו ‪ f(x)-‬היא יורדת‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫(‪ ) 4‬גרף הפונקציה אינו חותך את ציר ה ‪ y-‬כי הפונקציה אינה מוגדרת ב ‪ ,1-‬ואינו חותך את ציר ה ‪ x-‬כי‬
‫המונה שונה מ ‪ 1-‬בתחום ההגדרה ‪.‬‬
‫(‪ )1‬גרף הפונקציה עבור ‪a  0‬‬
‫ב‪ )2( .‬גרף הפונקציה עבור ‪a  0‬‬
‫ג‪ .‬נתונה הפונקציה ‪a  0 , g ( x)  f ( x)  a‬‬
‫הפונקציה )‪ g ( x‬מתקבלת על ידי הזזת הפונקציה )‪ f ( x‬מטה לאורך ציר ה ‪ y -‬ב ‪ a -‬יחידות לכן‬
‫האסימפטוטות האנכיות של )‪ g ( x‬אינן משתנות‬
‫האסימפטוטות האופקיות של )‪ g ( x‬הן‪y  0, y  2a :‬‬
‫(‪ ) 1‬ברור כי כמו )‪ f(x‬גם )‪ g(x‬היא פונקציה יורדת בכל תחומה‪ .‬ל ‪ x>0 -‬יש ל ‪ g(x)-‬אסימפטוטה אנכית ‪x=0‬‬
‫בכוון למעלה‪ ,‬וימינה היא יורדת לאסימפטוטה האופקית ‪ ,y=0‬לכן )‪ g(x‬מקבלת עבור ערכי ה ‪x-‬‬
‫החיוביים בתחומה את כל הערכים החיוביים‪ .‬ל ‪ x<0-‬יש ל ‪ g(x)-‬אסימפטוטה אנכית ‪ x=0‬בכוון למטה‪,‬‬
‫ובצד שמאל היא יורדת מן האסימפטוטה האופקית ‪2a‬‬
‫‪ , y‬לכן )‪ g(x‬מקבלת עבור ערכי ה ‪x-‬‬
‫השליליים בתחומה את כל הערכים הקטנים מ ‪. 2a -‬‬
‫א‪ .‬למציאת נקודות הקיצון של הפונקציה בתחום הנתון יש לפתור את‬
‫המשוואה‪f ( x)  (2 x  2)sin( x2  2 x)  0 :‬‬
‫הנגזרת מתאפסת כאשר ‪ x  1‬וכאשר ‪, x2  2 x   k‬‬
‫‪k  0, 1, 2,‬‬
‫למציאת הפתרונות הנוספים על ‪ x  1‬יש לפתור את המשוואה ‪ . x2  2 x   k  0‬פתרונות משוואה‬
‫זאת הם ‪ . 1  1   k‬ערכי ‪ k‬הנותנים פתרונות הנמצאים בתוך התחום הם הערכים המקיימים‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ .  2  1  1   k  2‬הערך היחיד של ‪ k‬המקיים אי שוויונות אלו הוא ‪ .,k=0‬ועבורו ‪. x  0, x  2‬‬
‫טבלת הערכים בנקודות החשודות היא‬
‫‪2.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-0.5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1.32‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.54‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1.32‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫מינימום מקסימום מינימום מקסימום מינימום‬
‫כאשר השורה התחתונה נובעת מן השורות שמעליה‪.‬‬
‫ב‪ .‬גרף הפונקציה בתחום ‪0.5  x  2.5‬‬
‫ג‪ .‬פונקציית הנגזרת מתאפסת בנקודות ‪. x  0, x  1, x  2‬‬
‫בתחום ‪ f ( x)  0 , 0  x  1‬ובתחום ‪f ( x)  0 , 1  x  2‬‬
‫לכן השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת וציר ה ‪x-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫הוא‪  f ( x)dx   f ( x)dx   f (1)  f (0)  f (2)  f (1)  0.92 :‬‬
‫לפי משפט הסינוסים‪ ,‬במשולש חסום ע"י מעגל ברדיוס ‪ r‬אורך הצלע הנמצאת מול זווית‬
‫‪ , 2r sin‬לכן אם בשני משולשים שונים נמצאת אותה זווית‬
‫הוא‬
‫אז יחס הצלעות הנמצאות מול הזווית‬
‫שווה ליחס הרדיוסים של המעגלים החוסמים של שני המשולשים‪ .‬במקרה הנוכחי הזווית המשותפת‬
‫היא ‪ APB  CPD‬ולכן אם ‪ r‬הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ APB‬אז‬
‫‪ 4.5/r=PD/PB=3/2‬ולכן ‪.r=3‬‬
‫‪( BPD    ‬שימוש במשפט‪ :‬זווית בין משיק למיתר בכל אחד משני המעגלים)‬
‫‪( BP  6sin , DP  9sin ‬משפט סינוסים במשולשים ‪ CPD‬ו ‪) APB -‬‬
‫) ‪( BD  36sin 2   81sin 2   108sin  sin  cos(  ‬משפט קוסינוסים במשולש ‪) BPD‬‬
‫‪PD 3‬‬
‫אם ‪‬‬
‫‪BD  117sin 2   108sin 2  cos 2     ‬‬
‫‪PB 2‬‬
‫‪ ( BD  3sin  1  24sin 2  ‬שימוש בזהות לזווית כפולה ו ב הוצאת כופל מחוץ לשורש)‬