פתרון בעיות תנועה - מתמטיקה-המדריך המלא לפתרון תרגילים

‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות תנועה‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות תנועה‬
‫‪ 1.37‬פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נסמן ‪ x :‬קמ"ש‬
‫) ‪ ( x + 12‬קמ"ש‬
‫‪27‬‬
‫‪x‬‬
‫‪27‬‬
‫שעות‬
‫‪x + 12‬‬
‫שעות‬
‫–‬
‫–‬
‫–‬
‫–‬
‫מהירותו של הולך הרגל‪.‬‬
‫מהירותו של רוכב האופניים‪.‬‬
‫משך זמן הליכתו של הולך הרגל מקיבוץ א' לקיבוץ ב'‪.‬‬
‫משך זמן רכיבתו של רוכב האופניים מקיבוץ א' לקיבוץ ב'‪.‬‬
‫נרכז את הנתונים בטבלה‪:‬‬
‫מהירות ‪V‬‬
‫זמן ‪t‬‬
‫דרך ‪S‬‬
‫)קמ"ש(‬
‫)שעות(‬
‫)ק"מ(‬
‫הולך הרגל‬
‫‪x‬‬
‫רוכב האופניים‬
‫) ‪( x + 12‬‬
‫‪27‬‬
‫‪x‬‬
‫‪27‬‬
‫‪x + 12‬‬
‫‪27‬‬
‫‪27‬‬
‫ידוע שהולך הרגל יצא לדרך בשעה ‪ 6:00‬בבוקר ורוכב האופניים יצא לדרך בשעה ‪ 9:00‬בבוקר‪.‬‬
‫הם הגיעו בו‪-‬זמנית לקיבוץ ב'‪ ,‬לכן הולך הרגל היה בדרך ‪ 3‬שעות יותר מרוכב האופניים‪ .‬נפתור‬
‫את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫) ‪x ⋅ ( x + 12‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫=‬
‫‪+1‬‬
‫‪x x + 12‬‬
‫‪9x + 108 = 9x + x 2 + 12x‬‬
‫‪x1 = 6, x 2 = −18‬‬
‫⇒‬
‫‪−12 ± 24‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫= ‪x1,2‬‬
‫⇒‬
‫‪:3‬‬
‫‪27‬‬
‫‪27‬‬
‫=‬
‫‪+3‬‬
‫‪x x + 12‬‬
‫) ‪9 ⋅ ( x + 12 ) = 9x + x ( x + 12‬‬
‫⇒‬
‫‪x 2 + 12x − 108 = 0‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫נפסול את התוצאה ‪ , x = −18‬מכיוון שמהירות היא ערך אי שלילי‪ ,‬לכן ‪ . x = 6‬כלומר‪,‬‬
‫מהירותו של הולך הרגל היא ‪ 6‬קמ"ש‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪27‬‬
‫הולך הרגל יצא לדרך בשעה ‪ 6:00‬בבוקר והיה בדרך במשך ‪ 4.5‬שעות =‬
‫‪6‬‬
‫כלומר‪ ,‬הוא הגיע לקיבוץ ב' בשעה‪ . 6 + 4.5 = 10.5 :‬מכאן שהולך הרגל ורוכב האופניים‬
‫הגיעו )בו‪-‬זמנית( לקיבוץ ב' בשעה ‪ 10:30‬בבוקר‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ 6 .‬קמ"ש‪.‬‬
‫ב‪ 10:30 .‬בבוקר‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪52‬‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות תנועה‬
‫‪ 1.38‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ x :‬קמ"ש‬
‫) ‪ ( x + 15‬קמ"ש‬
‫‪225‬‬
‫‪x‬‬
‫‪225‬‬
‫שעות‬
‫‪x + 15‬‬
‫שעות‬
‫פתרונות‬
‫–‬
‫–‬
‫מהירות המכונית‪.‬‬
‫מהירות רוכב האופנוע‪.‬‬
‫–‬
‫משך זמן נסיעתה של המכונית‪.‬‬
‫–‬
‫משך זמן נסיעתו של רוכב האופנוע‪.‬‬
‫נרכז את הנתונים בטבלה הבאה‪:‬‬
‫מהירות ‪V‬‬
‫זמן ‪t‬‬
‫דרך ‪S‬‬
‫)קמ"ש(‬
‫)שעות(‬
‫)ק"מ(‬
‫המכונית‬
‫‪x‬‬
‫רוכב האופנוע‬
‫) ‪( x + 15‬‬
‫‪225‬‬
‫‪x‬‬
‫‪225‬‬
‫‪x + 15‬‬
‫‪225‬‬
‫‪225‬‬
‫ידוע שרוכב האופנוע יצא לדרך ב‪ 40 -‬דקות מאוחר יותר מהמכונית והגיע ליעדו ב‪ 10 -‬דקות‬
‫מאוחר יותר ממנה‪ .‬כלומר‪ ,‬רוכב האופנוע היה בדרך במשך ‪ 30‬דקות פחות מהמכונית‪ .‬לכן‬
‫נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪3375‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪x + 15x 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x1 = 75, x 2 = −90‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪225 ( x + 15 ) − 225x 1‬‬
‫=‬
‫) ‪x ( x + 15‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x 2 + 15x − 6750 = 0‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪225‬‬
‫‪225‬‬
‫‪30‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫‪x + 15 60‬‬
‫‪x 2 + 15x = 6750‬‬
‫⇒‬
‫נפסול את התוצאה ‪ , x = −90‬מכיוון שמהירות היא ערך אי שלילי‪ ,‬לכן מהירות המכונית‬
‫היא ‪ 75‬קמ"ש ומהירות רוכב האופנוע היא‪ 90 :‬קמ"ש = ‪. 75 + 15‬‬
‫תשובה‪ 75 :‬קמ"ש‪ 90 ,‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 1.39‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ x :‬קמ"ש‬
‫) ‪ ( x + 5‬קמ"ש‬
‫‪64‬‬
‫‪x‬‬
‫‪34‬‬
‫שעות‬
‫‪x +5‬‬
‫שעות‬
‫– מהירות המכונית בחלק הראשון של הדרך‪.‬‬
‫– מהירות המכונית בחלק השני של הדרך‪.‬‬
‫– משך זמן הנסיעה בחלק הראשון‪.‬‬
‫– משך זמן הנסיעה בחלק השני‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪53‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות תנועה‬
‫‪3 18‬‬
‫המכונית נעצרה למשך ‪ 18‬דקות‪ ,‬כלומר‪ 18 :‬דקות =‬
‫=‬
‫‪10 60‬‬
‫שעות‪.‬‬
‫נרכז את הנתונים בטבלה‪:‬‬
‫מהירות ‪V‬‬
‫זמן ‪t‬‬
‫דרך ‪S‬‬
‫)קמ"ש(‬
‫)שעות(‬
‫)ק"מ(‬
‫החלק הראשון‬
‫‪x‬‬
‫שלב העצירה‬
‫‪−‬‬
‫החלק השני‬
‫)‪( x + 5‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪64‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪10‬‬
‫‪34‬‬
‫‪x +5‬‬
‫) ‪⋅5x ( x + 5‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3‬‬
‫‪10‬‬
‫נפסול את התוצאה‬
‫‪3‬‬
‫‪−‬‬
‫‪34‬‬
‫‪64‬‬
‫‪34‬‬
‫‪6‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪x x+5 5‬‬
‫‪6x 2 − 460x − 1600 = 0‬‬
‫‪:2‬‬
‫‪64‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪64 3‬‬
‫‪34‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+ +‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x 10 x + 5‬‬
‫) ‪320 ( x + 5 ) + 170x = 6x ( x + 5‬‬
‫⇒‬
‫‪3x 2 − 230x − 800 = 0‬‬
‫⇒‬
‫‪x1 = 80, x 2 = −‬‬
‫⇒‬
‫‪ , x = −‬כי מהירות היא ערך חיובי‪ ,‬לכן מהירות המכונית היא ‪ 80‬קמ"ש‪.‬‬
‫תשובה‪ 80 :‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 1.40‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ x :‬קמ"ש –‬
‫‪162‬‬
‫‪x‬‬
‫שעות‬
‫מהירות המונית בנסיעה מעיר ‪ A‬לעיר ‪. B‬‬
‫– משך זמן נסיעתה של המונית מעיר ‪ A‬לעיר ‪. B‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫בדרך חזרה‪ :‬תחילה‪ ,‬המונית נסעה ‪ 20‬דקות ) =‬
‫מכן‪ ,‬היא נעצרה למשך ‪ 10‬דקות )‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪20‬‬
‫‪60‬‬
‫שעה ( ועברה מרחק של‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫ק"מ‪ .‬לאחר‬
‫שעה(‪ .‬לבסוף‪ ,‬עברה את המרחק הנותר ) ‪ ( 162 − 13 x‬ק"מ‪,‬‬
‫⎞ ‪⎛ 162 − 1 x‬‬
‫במהירות של ‪ x + 9‬קמ"ש – כלומר‪ ,‬המונית עברה את החלק הנותר תוך ⎟ ‪3‬‬
‫⎜⎜ שעות‪.‬‬
‫(‬
‫)‬
‫⎟‬
‫⎠ ‪⎝ x+9‬‬
‫נרכז את הנתונים בטבלה הבאה‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪54‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות תנועה‬
‫מהירות ‪V‬‬
‫זמן ‪t‬‬
‫דרך ‪S‬‬
‫)קמ"ש(‬
‫)שעות(‬
‫)ק"מ(‬
‫‪x‬‬
‫‪162‬‬
‫‪x‬‬
‫‪162‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪−‬‬
‫הלוך‬
‫חזור‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x+9‬‬
‫‪162 −‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x +9‬‬
‫‪162 −‬‬
‫ידוע שזמן נסיעתה של המונית הלוך‪ ,‬שווה לזמן נסיעתה חזור‪ .‬לכן נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫⇒‬
‫) ‪⋅2x ( x + 9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪162 162 − 3 x 1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪− =0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x+9‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫)‬
‫(‬
‫‪1‬‬
‫‪x ⋅ 2x − x ( x + 9 ) = 0‬‬
‫‪3‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪1‬‬
‫‪x 2 + 27x − 8748 = 0‬‬
‫‪162 1 1 162 − 3 x‬‬
‫‪= + +‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3 6‬‬
‫‪x+9‬‬
‫‪162 ⋅ 2 ( x + 9 ) − 162 −‬‬
‫⇒‬
‫‪324x + 2916 − 324x + x 2 − x 2 − 9x = 0‬‬
‫⇒‬
‫‪−‬‬
‫⇒‬
‫= ‪x1,2‬‬
‫⇒‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫⇒‬
‫) ‪⋅ ( −3‬‬
‫‪x1 = 81, x 2 = −108‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪x − 9x + 2916 = 0‬‬
‫‪3‬‬
‫⇒‬
‫‪−27 ± 189‬‬
‫‪2‬‬
‫נפסול את התוצאה ‪ , x = −108‬כי מהירות המונית אינה שלילית‪ ,‬לכן מהירותה‬
‫היא ‪ 81‬קמ"ש‪.‬‬
‫תשובה‪ 81 :‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 1.41‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ x :‬קמ"ש –‬
‫‪300‬‬
‫‪x‬‬
‫שעות‬
‫–‬
‫המהירות ההתחלתית של המשאית‪.‬‬
‫הזמן הדרוש למשאית כדי לעבור את כל הדרך‪.‬‬
‫בפרק זמן של שעה ועשר דקות )כלומר ‪ 76‬שעה(‪ ,‬המשאית עברה מרחק של ‪ 76 x‬ק"מ‪ .‬לאחר מכן‪,‬‬
‫)‬
‫(‬
‫היא נעצרה למשך ‪ 20‬דקות )כלומר ‪ 13‬שעה( ואת המרחק הנותר ‪ 300 − 76 x‬ק"מ‪ ,‬היא עברה‬
‫במהירות של ) ‪ ( x + 9‬קמ"ש‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪55‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות תנועה‬
‫⎞ ‪⎛ 300 − 7 x‬‬
‫מכאן שהמשאית עברה את המרחק הנותר‪ ,‬בפרק זמן של ⎟ ‪6‬‬
‫⎜⎜ שעות‪.‬‬
‫⎟‬
‫⎠ ‪⎝ x +9‬‬
‫נרכז את הנתונים בטבלה‪:‬‬
‫מהירות ‪) V‬קמ"ש(‬
‫זמן ‪) t‬שעות(‬
‫דרך ‪) S‬ק"מ(‬
‫‪x‬‬
‫‪300‬‬
‫‪x‬‬
‫‪300‬‬
‫‪x‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−‬‬
‫מתוכנן‬
‫בפועל‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪300 − x‬‬
‫‪x+9‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪300 − x‬‬
‫‪x +9‬‬
‫לפי הנתונים‪ ,‬המשאית הגיעה לנמל בזמן כמתוכנן‪ .‬לכן נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫⇒‬
‫)‪2x(x + 9‬‬
‫‪7‬‬
‫‪300 300 − 6 x 3‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x +9‬‬
‫‪7‬‬
‫)‪x) ⋅ 2x = 3x(x + 9‬‬
‫‪6‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪2 2‬‬
‫‪x + 27x − 5400 = 0 ⋅3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x1 = 72 , x 2 = −112.5‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪7‬‬
‫‪300 7 1 300 − 6 x‬‬
‫‪= + +‬‬
‫‪x‬‬
‫‪6 3‬‬
‫‪x +9‬‬
‫‪300 ⋅ 2(x + 9) − (300 −‬‬
‫⇒‬
‫‪600x + 5400 − 600x + x 2 = 3x 2 + 27x‬‬
‫⇒‬
‫‪2x 2 + 81x − 16200 = 0‬‬
‫⇒‬
‫‪−81 ± 369‬‬
‫‪4‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪x1,2‬‬
‫⇒‬
‫נפסול את התוצאה ‪ , x = − 112.5‬כי מהירות המשאית אינה שלילית ולכן ‪. x = 72‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. 300‬‬
‫המשאית הגיעה לנמל כמתוכנן כעבור ‪ 4‬שעות =‬
‫‪72‬‬
‫‪6‬‬
‫תשובה‪ 4 16 :‬שעות‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪56‬‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות תנועה‬
‫‪ 1.42‬פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נסמן‪ x :‬קמ"ש –‬
‫) ‪ ( x + 14‬קמ"ש –‬
‫‪196‬‬
‫‪x‬‬
‫‪196‬‬
‫שעות‬
‫‪x+14‬‬
‫שעות‬
‫פתרונות‬
‫מהירותו של האוטובוס‪.‬‬
‫מהירותה של המונית‪.‬‬
‫משך זמן נסיעתו של האוטובוס‪.‬‬
‫–‬
‫– משך זמן נסיעתה של המונית‪.‬‬
‫ידוע כי האוטובוס נעצר ל‪ 15 -‬דקות )‬
‫) ‪(196x + 14‬‬
‫שעות‪.‬‬
‫המונית נעצרה ל‪ 30 -‬דקות )‬
‫⎞‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫שעה(‪ ,‬לכן משך הזמן שהאוטובוס שהה בדרך הוא‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫שעה(‪ ,‬לכן משך הזמן שהמונית שהתה בדרך הוא‬
‫‪⎛ 196‬‬
‫⎜ שעות‪.‬‬
‫⎟ ‪+‬‬
‫⎠ ‪⎝ x + 14 2‬‬
‫האוטובוס יצא ב‪ ,7:00 -‬המונית יצאה ב‪ 7:05 -‬והם הגיעו ליעדם בו‪-‬זמנית‪ .‬כלומר‪ ,‬האוטובוס‬
‫שהה בדרך במשך ‪ 5‬דקות ) ‪ 1‬שעות( יותר מהמונית‪ .‬נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪12‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪196‬‬
‫‪196‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪= + −‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x + 14 12 2 4‬‬
‫)‪3 ⋅ 2744 = x(x + 14‬‬
‫‪x1 = 84 , x 2 = −98‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪2744‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪x(x + 14) 3‬‬
‫‪−14 ± 182‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫= ‪x1,2‬‬
‫‪1⎞ 1‬‬
‫‪⎛ 196 1 ⎞ ⎛ 196‬‬
‫⎜‪+ ⎟−‬‬
‫=⎟ ‪+‬‬
‫⎜‬
‫‪4 ⎠ ⎝ x + 14 2 ⎠ 12‬‬
‫‪⎝ x‬‬
‫‪196(x + 14) − 196x 1‬‬
‫⇒‬
‫=‬
‫)‪x(x + 14‬‬
‫‪3‬‬
‫⇒‬
‫‪x 2 + 14x − 8232 = 0‬‬
‫⇒‬
‫נפסול את התוצאה ‪ , x = −98‬כי מהירות היא ערך אי שלילי‪ ,‬לכן ‪ . x = 84‬כלומר‪ ,‬מהירות‬
‫האוטובוס היא ‪ 84‬קמ"ש ומהירותה של המונית היא ‪ 98‬קמ"ש = ‪. 84 + 14‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪198 1‬‬
‫‪7‬‬
‫האוטובוס שהה בדרך במשך‬
‫‪ 2‬שעות = ‪+‬‬
‫‪12‬‬
‫‪84 4‬‬
‫‪7 7 ⋅ 60‬‬
‫שעות‪ ,‬לכן האוטובוס שהה בדרך במשך שעתיים‬
‫=‬
‫שימו לב‪ 35 ,‬דקות =‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪.‬‬
‫ו‪ 35 -‬דקות‪ .‬כלומר‪ ,‬הוא הגיע ליעדו ב‪ 9:35 -‬בבוקר‪ ,‬בו‪-‬זמנית עם המונית‪.‬‬
‫ב‪.9:35 .‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ 84 .‬קמ"ש‪ 98 ,‬קמ"ש‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪57‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות תנועה‬
‫‪ 1.43‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ x :‬קמ"ש‬
‫המהירות ההתחלתית של המונית‪.‬‬
‫–‬
‫‪360‬‬
‫‪x‬‬
‫–‬
‫‪ 1.5x‬ק"מ‬
‫–‬
‫) ‪ ( 360 − 1.5x‬ק"מ‬
‫‪360 − 1.5x‬‬
‫שעות –‬
‫‪x + 16‬‬
‫שעות‬
‫–‬
‫משך זמן הנסיעה מעיר א' לעיר ב'‪.‬‬
‫המרחק שעברה המונית מעיר ב' ועד העצירה‪.‬‬
‫המרחק הנותר לעיר א'‪.‬‬
‫משך הזמן שנסעה המונית אחרי העצירה עד שהגיעה לעיר א'‪.‬‬
‫נרכז את הנתונים בטבלה‪:‬‬
‫הלוך‬
‫חזור‬
‫מהירות ‪) V‬קמ"ש(‬
‫זמן ‪) t‬שעות(‬
‫דרך ‪) S‬ק"מ(‬
‫‪x‬‬
‫‪360‬‬
‫‪x‬‬
‫‪360‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1.5x‬‬
‫‪−‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x + 16‬‬
‫‪360 − 1.5x‬‬
‫‪x + 16‬‬
‫‪360 − 1.5x‬‬
‫ידוע שמשך זמן הנסיעה מעיר ב' לעיר א'‪ ,‬אינו עולה על משך זמן הנסיעה מעיר א' לעיר ב'‪ .‬לכן‬
‫נקבל את אי השוויון הבא‪:‬‬
‫‪360 − 1.5x 360‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+2≤0‬‬
‫‪x + 16‬‬
‫‪x‬‬
‫⇒‬
‫‪360 − 1.5x 360‬‬
‫≤‬
‫‪x + 16‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1.5 + 0.5 +‬‬
‫מאחר ו‪ , x > 0 -‬ניתן להכפיל את שני אגפי אי השוויון ב‪: x ( x + 16 ) -‬‬
‫‪( 360 − 1.5x ) x − 360 ( x + 16 ) + 2 ⋅ x ( x + 16 ) ≤ 0‬‬
‫⇒‬
‫‪0.5x 2 + 32x − 5760 ≤ 0 ⋅2‬‬
‫⇒‬
‫‪x 2 + 64x − 11520 ≤ 0‬‬
‫⇒‬
‫הפתרון של אי השוויון הוא‪ , −144 ≤ x ≤ 80 :‬אך ידוע כי ‪ , x > 0‬לכן התחום האפשרי למהירות‬
‫המונית הוא‪. 0 < x ≤ 80 :‬‬
‫תשובה‪. 0 < x ≤ 80 :‬‬
‫‪ 1.44‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ x :‬ק"מ‬
‫) ‪ ( x + 24‬ק"מ‬
‫‪ v‬קמ"ש‬
‫–‬
‫–‬
‫–‬
‫המרחק שעבר האוטובוס בחלק הראשון‪.‬‬
‫המרחק שעבר האוטובוס בחלק השני‪.‬‬
‫מהירותו של האוטובוס בחלק הראשון‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪58‬‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות תנועה‬
‫) ‪ ( v + 6‬קמ"ש‬
‫‪x‬‬
‫‪v‬‬
‫‪x + 24‬‬
‫שעות‬
‫‪v+6‬‬
‫שעות‬
‫פתרונות‬
‫–‬
‫מהירותו של האוטובוס בחלק השני‪.‬‬
‫–‬
‫משך זמן נסיעתו של האוטובוס בחלק הראשון‪.‬‬
‫–‬
‫משך זמן נסיעתו של האוטובוס בחלק השני‪.‬‬
‫נרכז את הנתונים בטבלה‪:‬‬
‫מהירות ‪) V‬קמ"ש(‬
‫זמן ‪) t‬שעות(‬
‫דרך ‪) S‬ק"מ(‬
‫חלק ראשון‬
‫‪v‬‬
‫‪x‬‬
‫‪v‬‬
‫‪x‬‬
‫חלק שני‬
‫‪v+6‬‬
‫‪x + 24‬‬
‫‪v+6‬‬
‫‪x + 24‬‬
‫על‪-‬פי הנתונים‪ ,‬המרחק בין שתי הערים הוא ‪ 264‬ק"מ‪ .‬לכן נקבל את המשוואה הראשונה‪:‬‬
‫‪x + x + 24 = 264‬‬
‫האוטובוס עבר את החלק השני במשך ‪ 10‬דקות‬
‫נקבל את המשוואה השנייה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫)‬
‫‪6‬‬
‫שעה( יותר מאשר את החלק הראשון‪ .‬לכן‬
‫‪x + 24 x 1‬‬
‫= ‪−‬‬
‫‪v+6‬‬
‫‪v 6‬‬
‫נפתור את מערכת המשוואות ונמצא את ‪:v‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪⎧ x = 120‬‬
‫⎪‬
‫‪⎨120 + 24 120 1‬‬
‫‪⎪⎩ v + 6 − v = 6‬‬
‫) ‪6v ( v + 6‬‬
‫‪144v − 4320 = v 2 + 6v‬‬
‫‪v1 = 48 , v 2 = 90‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪138 ± 42‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧ x + x + 24 = 264‬‬
‫⎪‬
‫‪⎨ x + 24 x 1‬‬
‫‪⎪⎩ v + 6 − v = 6‬‬
‫) ‪144 ⋅ 6v − 120 ⋅ 6 ( v + 6 ) = v ( v + 6‬‬
‫⇒‬
‫‪2‬‬
‫‪v − 138v + 4320 = 0‬‬
‫⇒‬
‫= ‪v1,2‬‬
‫⇒‬
‫נפסול את התוצאה ‪ 48‬קמ"ש = ‪ , v‬מכיוון שבמקרה זה‪ ,‬זמן תנועתו של האוטובוס יהיה‪:‬‬
‫‪120‬‬
‫‪144‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪ 5‬שעות =‬
‫‪6‬‬
‫‪48 48 + 6‬‬
‫עלה על ‪ 5‬שעות‪ .‬לכן ‪ 90‬קמ"ש = ‪. v‬‬
‫תשובה‪ 90 :‬קמ"ש‪.‬‬
‫וזה סותר את הנתון שלפיו‪ ,‬משך זמן נסיעתו של האוטובוס אינו‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪59‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות תנועה‬
‫‪ 1.45‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ x :‬קמ"ש – מהירות המשאית‪.‬‬
‫– מהירות המכונית‪.‬‬
‫‪ y‬קמ"ש‬
‫‪180‬‬
‫‪x‬‬
‫‪200‬‬
‫שעות‬
‫‪y‬‬
‫‪252‬‬
‫שעות‬
‫‪x‬‬
‫‪252‬‬
‫שעות‬
‫‪y‬‬
‫שעות‬
‫–‬
‫פרק הזמן הדרוש למשאית לעבור ‪ 180‬ק"מ‪.‬‬
‫–‬
‫פרק הזמן הדרוש למכונית לעבור ‪ 200‬ק"מ‪.‬‬
‫–‬
‫משך הזמן הדרוש למשאית בכדי לעבור את כל הדרך‪.‬‬
‫–‬
‫משך הזמן הדרוש למכונית בכדי לעבור את כל הדרך‪.‬‬
‫לפי הנתונים‪ ,‬פרק הזמן הדרוש למשאית בכדי לעבור ‪ 180‬ק"מ‪ ,‬שווה לפרק הזמן הדרוש למכונית‬
‫בכדי לעבור ‪ 200‬ק"מ‪ .‬לכן נקבל את המשוואה הראשונה‪:‬‬
‫‪180 200‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫המשאית הגיעה לעיר ‪ 21 ,B‬דקות לאחר שהמכונית הגיעה לעיר ‪ .A‬לכן נקבל את המשוואה‬
‫‪252 252 21‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪60‬‬
‫השנייה‪:‬‬
‫נפתור את מערכת המשוואות‪:‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪⎧ x = 0.9y‬‬
‫⎪‬
‫‪⎨ 252 252 7‬‬
‫‪⎪ 0.9y − y = 20‬‬
‫⎩‬
‫‪y = 80‬‬
‫⇒‬
‫‪28 ⋅ 20‬‬
‫‪7‬‬
‫⇒‬
‫=‪y‬‬
‫‪180y‬‬
‫⎧‬
‫‪⎪⎪ x = 200‬‬
‫‪⎨ 252 252 7‬‬
‫⎪‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪y‬‬
‫‪20‬‬
‫‪⎪⎩ x‬‬
‫⇒‬
‫‪28 7‬‬
‫=‬
‫‪y 20‬‬
‫⇒‬
‫‪x = 72‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧180 200‬‬
‫‪⎪ x = y‬‬
‫⎪‬
‫⎨‬
‫‪⎪ 252 − 252 = 21‬‬
‫‪⎪⎩ x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪60‬‬
‫‪280 252 7‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪20‬‬
‫⇒‬
‫‪x = 0.9 ⋅ 80‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫מהירות המשאית היא ‪ 72‬קמ"ש ומהירות המכונית היא ‪ 80‬קמ"ש‪.‬‬
‫תשובה‪ 72 :‬קמ"ש‪ 80 ,‬קמ"ש‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪60‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות תנועה‬
‫‪ 1.46‬פתרון‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫ידוע כי‬
‫‪60‬‬
‫שעה = ‪ 1‬דקה‪.‬‬
‫לפיכך מתקיים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫הרכבת עוברת קילומטר אחד בתוך‬
‫‪100‬‬
‫‪3 1‬‬
‫‪1‬‬
‫⋅‬
‫שעה =‬
‫‪100‬‬
‫‪5 60‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫= דקה‬
‫שעה‪ ,‬לכן מהירותה‪:‬‬
‫‪ 100‬קמ"ש‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪100‬‬
‫=‪V‬‬
‫⇒‬
‫‪S‬‬
‫‪t‬‬
‫=‪V‬‬
‫קיבלנו שמהירות הרכבת בקטע הראשון היא ‪ 100‬קמ"ש‪ ,‬לכן מהירותה בקטע השני‬
‫‪ 140‬קמ"ש = ‪100 ⋅ 1.4‬‬
‫)הגדולה ב‪ ( 40% -‬היא‪:‬‬
‫נסמן‪ x :‬ק"מ – אורך הקטע הראשון‪.‬‬
‫) ‪ ( x + 88‬ק"מ – אורך הקטע השני‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪100‬‬
‫‪x + 88‬‬
‫שעות –‬
‫‪140‬‬
‫שעות‬
‫ידוע כי‪:‬‬
‫– משך זמן נסיעתה של הרכבת בקטע הראשון‪.‬‬
‫משך זמן נסיעתה של הרכבת בקטע השני‪.‬‬
‫סך כל הדרך‬
‫מהירות ממוצעת =‬
‫סך כל הזמן‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫⎞ ‪x + 88‬‬
‫‪⎛ x‬‬
‫⎜ ‪2x + 88 = 124‬‬
‫‪+‬‬
‫⎟‬
‫⎠ ‪⎝ 100 140‬‬
‫) ‪700 ( 2x + 88 ) = 124 (12x + 440‬‬
‫‪x = 80‬‬
‫⇒‬
‫‪,‬לכן נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪− 88x = −7040‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪x + x + 88‬‬
‫‪= 124‬‬
‫‪x‬‬
‫‪88‬‬
‫‪x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 140‬‬
‫⎤ ) ‪⎡ 7x + 5 ( x + 88‬‬
‫⎢ ‪2x + 88 = 124‬‬
‫⎥‬
‫‪700‬‬
‫⎣‬
‫⎦‬
‫‪1400x + 61600 = 1488x + 54560‬‬
‫‪100‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫אורך החלק הראשון הוא ‪ 80‬ק"מ ואורך החלק השני הוא ‪ 168‬ק"מ‪ ,‬לכן אורך כל הדרך הוא‬
‫‪ 248‬ק"מ‪.‬‬
‫תשובה‪ 248 :‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ 1.47‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ x :‬קמ"ש –‬
‫–‬
‫‪ y‬קמ"ש‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫שעות‬
‫‪y‬‬
‫שעות‬
‫מהירותו של רוכב א' )המהיר יותר(‪.‬‬
‫מהירותו של רוכב ב' )האיטי יותר(‪.‬‬
‫–‬
‫הזמן הדרוש לרוכב א' לעבור קילומטר אחד‪.‬‬
‫–‬
‫הזמן הדרוש לרוכב ב' לעבור קילומטר אחד‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪61‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות תנועה‬
‫– המרחק שעבר רוכב א' תוך שעתיים‪.‬‬
‫‪ 2x‬ק"מ‬
‫– המרחק שעבר רוכב ב' תוך שעתיים‪.‬‬
‫‪ 2y‬ק"מ‬
‫נרכז את הנתונים בטבלה‪:‬‬
‫מהירות ‪) V‬קמ"ש(‬
‫זמן ‪) t‬שעות(‬
‫דרך ‪) S‬ק"מ(‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2y‬‬
‫רוכב א'‬
‫רוכב ב'‬
‫לפי הנתונים‪ ,‬רוכב ב' עבר כל קילומטר‪ ,‬בדקה אחת ) ‪ 1‬שעות( יותר מרוכב א'‪ .‬לכן נקבל את‬
‫‪60‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫המשוואה הראשונה‪:‬‬
‫= ‪−‬‬
‫‪y x 60‬‬
‫‪.‬‬
‫כמו כן‪ ,‬לאחר שעתיים נסיעה‪ ,‬רוכב ב' עבר מרחק של ‪ 20‬ק"מ פחות מרוכב א' )כלומר‪ ,‬רוכב א'‬
‫עבר ב‪ 20 -‬ק"מ יותר מרוכב ב'(‪ .‬לכן נקבל את המשוואה השנייה‪2x − 2y = 20 :‬‬
‫נפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧60 ( x − y ) = xy‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩ x = 10 + y‬‬
‫‪y1 = 20 ,‬‬
‫‪y 2 = −30‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪⎧60x − 60y = xy‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩ x − y = 10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y + 10y − 600 = 0‬‬
‫⇒‬
‫‪⋅60xy‬‬
‫‪:2‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧1 1 1‬‬
‫= ‪⎪ −‬‬
‫‪⎨ y x 60‬‬
‫‪⎪2x − 2y = 20‬‬
‫⎩‬
‫‪60 ⋅10 = (10 + y ) ⋅ y‬‬
‫⇒‬
‫נפסול את התוצאה ‪ , y = −30‬כי מהירות היא ערך אי שלילי‪ ,‬לכן ‪ y = 20‬ומכאן ש‪:‬‬
‫‪. x = 10 + 20 = 30‬‬
‫לסיכום‪ :‬מהירותו של רוכב א' היא ‪ 30‬קמ"ש‪.‬‬
‫מהירותו של רוכב ב' היא ‪ 20‬קמ"ש‪.‬‬
‫תשובה‪ 30 :‬קמ"ש‪ 20 ,‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 1.48‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ x :‬קמ"ש –‬
‫–‬
‫‪ y‬קמ"ש‬
‫) ‪ ( x − y‬קמ"ש‬
‫מהירות הסירה במים עומדים‪.‬‬
‫מהירות הזרם‪.‬‬
‫–‬
‫מהירות הסירה השטה נגד הזרם‪.‬‬
‫) ‪ ( x + y‬קמ"ש –‬
‫מהירות הסירה השטה עם הזרם‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪62‬‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות תנועה‬
‫⎞ ‪⎛ 60‬‬
‫⎜ שעות –‬
‫⎟‬
‫⎠‪⎝x−y‬‬
‫⎞ ‪⎛ 60‬‬
‫פתרונות‬
‫משך זמן השיוט הלוך )נגד הזרם(‪.‬‬
‫⎜ שעות –‬
‫⎟‬
‫⎠‪⎝x + y‬‬
‫משך זמן השיוט חזור )עם הזרם(‬
‫⎜ שעות –‬
‫⎟‬
‫⎠‪⎝x−y‬‬
‫הזמן הדרוש לסירה לעבור ‪ 36‬ק"מ נגד הזרם‪.‬‬
‫⎜ שעות‬
‫⎟‬
‫⎠‪⎝x + y‬‬
‫– הזמן הדרוש לסירה לעבור ‪ 48‬ק"מ עם הזרם‪.‬‬
‫⎞ ‪⎛ 36‬‬
‫⎞ ‪⎛ 48‬‬
‫משך זמן השיוט הלוך וחזור היה ‪ 5‬שעות ו‪ 50 -‬דקות‪ .‬לכן נקבל את המשוואה הראשונה‪:‬‬
‫‪60‬‬
‫‪60‬‬
‫‪50‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=5‬‬
‫‪60‬‬
‫‪x−y x+y‬‬
‫הזמן הדרוש לסירה לעבור ‪ 36‬ק"מ נגד הזרם‪ ,‬שווה לזמן הדרוש לסירה לעבור ‪ 48‬ק"מ עם‬
‫‪36‬‬
‫‪48‬‬
‫הזרם‪ .‬לכן נקבל את המשוואה השנייה‪:‬‬
‫=‬
‫‪x−y x+y‬‬
‫‪.‬‬
‫נפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫‪60‬‬
‫‪35‬‬
‫‪⎧ 60‬‬
‫‪⎪x − y + x + y = 6‬‬
‫⎪‬
‫⎨‬
‫‪⎪ 3 = 4‬‬
‫‪⎩⎪ x − y x + y‬‬
‫‪:5‬‬
‫⇒‬
‫‪12‬‬
‫‪7‬‬
‫‪⎧ 12‬‬
‫) ‪⎪ x − y + x + y = 6 6 ( x − y )( x + y‬‬
‫⎨‬
‫) ‪⎪3 ( x + y ) = 4 ( x − y‬‬
‫⎩‬
‫⇒‬
‫) ‪⎧⎪12 ⋅ 6 ( x + y ) + 12 ⋅ 6 ( x − y ) = 7 ( x 2 − y 2‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪⎩3x + 3y = 4x − 4y‬‬
‫⇒‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⎪⎧72x + 72y + 72x − 72y = 7x − 7 y‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩⎪ x = 7y‬‬
‫⇒‬
‫‪7 ⋅ 49 y 2 − 7 y 2 − 144 ⋅ 7y = 0‬‬
‫⇒‬
‫‪336y ( y − 3) = 0‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⎪⎧7x − 7 y − 144x = 0‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩⎪ x = 7y‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪60‬‬
‫‪⎧ 60‬‬
‫‪50‬‬
‫‪⎪ x − y + x + y = 5 60‬‬
‫⎪‬
‫⎨‬
‫‪⎪ 36 = 48‬‬
‫‪:12‬‬
‫‪⎩⎪ x − y x + y‬‬
‫⇒‬
‫‪336 y 2 − 1008y = 0‬‬
‫‪y=3‬‬
‫⇒‬
‫‪y=0 ,‬‬
‫⇒‬
‫נפסול את התוצאה ‪ , y = 0‬שכן תוצאה זו סותרת את הנתונים )כי אם ‪ , y = 0‬אז ‪.( x = 7 ⋅ 0 = 0‬‬
‫לכן ‪ y = 3‬ומכאן ש‪. x = 7 ⋅ 3 = 21 -‬‬
‫מהירות הסירה במים עומדים היא ‪ 21‬קמ"ש ומהירות הזרם היא ‪ 3‬קמ"ש‪.‬‬
‫תשובה‪ 21 :‬קמ"ש‪ 3 ,‬קמ"ש‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪63‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות תנועה‬
‫‪ 1.49‬פתרון‪:‬‬
‫נשרטט סקיצה‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫הסירה יצאה מנקודה ‪ ,A‬הגיעה לנקודה ‪ ,B‬הסתובבה ופגשה את הרפסודה בנקודה ‪ .C‬לפי‬
‫הנתונים‪ ,‬מתקיים‪ 54 :‬ק"מ = ‪ 21.6 , AB‬ק"מ = ‪ , AC‬לכן ‪ 32.4‬ק"מ = ‪. BC‬‬
‫נסמן‪ x :‬קמ"ש – מהירות סירת המנוע במים עומדים‪.‬‬
‫– מהירות הזרם )מהירותה של הרפסודה(‪.‬‬
‫‪ y‬קמ"ש‬
‫) ‪ ( x + y‬קמ"ש‬
‫–‬
‫מהירות הסירה השטה עם כיוון הזרם‪.‬‬
‫) ‪ ( x − y‬קמ"ש‬
‫–‬
‫מהירות הסירה השטה נגד כיוון הזרם‪.‬‬
‫⎜ שעות –‬
‫⎟‬
‫⎠‪⎝x + y‬‬
‫הזמן הדרוש לסירה להגיע מ‪ A -‬ל‪.B -‬‬
‫⎜ שעות –‬
‫⎟‬
‫⎠‪⎝x−y‬‬
‫הזמן הדרוש לסירה להגיע מ‪ B -‬ל‪.A -‬‬
‫⎞ ‪⎛ 54‬‬
‫⎞ ‪⎛ 54‬‬
‫⎞ ‪⎛ 32.4‬‬
‫⎜ שעות – הזמן הדרוש לסירה להגיע מהנקודה ‪ B‬לנקודת המפגש ‪.C‬‬
‫⎟‬
‫⎠‪⎝x−y‬‬
‫⎞ ‪⎛ 21.6‬‬
‫– הזמן הדרוש לרפסודה להגיע מ‪ A -‬ל‪.C -‬‬
‫⎜ שעות‬
‫⎟‬
‫⎠ ‪⎝ y‬‬
‫נרכז את הנתונים בטבלה‪:‬‬
‫מהירות ‪V‬‬
‫זמן ‪) t‬שעות(‬
‫דרך ‪) S‬ק"מ(‬
‫מ‪ A -‬ל‪B -‬‬
‫‪x+y‬‬
‫‪54‬‬
‫‪x+y‬‬
‫‪54‬‬
‫מ‪ B -‬ל‪A -‬‬
‫‪x−y‬‬
‫‪54‬‬
‫‪x−y‬‬
‫‪54‬‬
‫מ‪ B -‬ל‪C -‬‬
‫‪x−y‬‬
‫‪32.4‬‬
‫‪x−y‬‬
‫‪32.4‬‬
‫מ‪ A -‬ל‪C -‬‬
‫‪y‬‬
‫‪21.6‬‬
‫‪y‬‬
‫‪21.6‬‬
‫)קמ"ש(‬
‫סירת‬
‫מנוע‬
‫רפסודה‬
‫משך זמן השיוט הלוך וחזור של הסירה היה ‪ 4.8‬שעות‪ .‬לכן נקבל את המשוואה הראשונה‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪64‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות תנועה‬
‫‪54‬‬
‫‪54‬‬
‫‪+‬‬
‫‪= 4.8‬‬
‫‪x+y x−y‬‬
‫עד הפגישה בנקודה ‪ ,C‬הסירה והרפסודה שטו במשך פרק זמן שווה‪ .‬לכן נקבל את המשוואה‬
‫השנייה‪:‬‬
‫‪54‬‬
‫‪32.4 21.6‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪x+y x−y‬‬
‫‪y‬‬
‫נפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫‪45‬‬
‫‪⎧ 45‬‬
‫‪⎪x + y + x − y = 4‬‬
‫⎪‬
‫⎨‬
‫‪⎪ 5 + 3 =2‬‬
‫‪⎪⎩ x + y x − y y‬‬
‫) ‪⋅ ( x 2 − y2‬‬
‫⇒‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫‪⋅y ( x − y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪:2‬‬
‫‪⎪⎧90x = 4x − 4 y‬‬
‫⎨‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⎩⎪8yx − 2 y = 2x − 2 y‬‬
‫⇒‬
‫‪ x = 4y‬או‬
‫‪x=0‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪5‬‬
‫⋅‬
‫‪54‬‬
‫) ‪⎧⎪45 ( x − y ) + 45 ( x + y ) = 4 ( x 2 − y 2‬‬
‫⎨‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪⎪⎩5y ( x − y ) + 3y ( x + y ) = 2 ( x − y‬‬
‫⇒‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⎪⎧ 45x = 2x − 2 y‬‬
‫⎨‬
‫‪2‬‬
‫‪⎪⎩8yx − 2x = 0‬‬
‫⇒‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⎪⎧2x − 2 y − 45x = 0‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪⎩2x ( 4y − x ) = 0‬‬
‫⇒‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫⋅‬
‫‪54‬‬
‫‪⎧ 54‬‬
‫‪⎪ x + y + x − y = 4.8‬‬
‫⎪‬
‫⎨‬
‫‪⎪ 54 + 32.4 = 21.6‬‬
‫‪⎪⎩ x + y x − y‬‬
‫‪y‬‬
‫⇒‬
‫נפסול את התוצאה ‪ , x = 0‬כי מהירותה של הסירה גדולה מאפס‪ ,‬לכן נציב את התוצאה ‪x = 4y‬‬
‫במשוואה העליונה ונקבל‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪30y ( y − 6 ) = 0‬‬
‫⇒‬
‫‪30 y 2 − 180y = 0‬‬
‫⇒‬
‫‪2 ⋅ 16 y 2 − 2 y 2 − 45 ⋅ 4y = 0‬‬
‫‪y=6‬‬
‫‪y=0‬‬
‫‪,‬‬
‫⇒‬
‫נפסול את התוצאה ‪ , y = 0‬כי מהירות הזרם גדולה מאפס‪ .‬לכן מהירות הזרם היא‬
‫‪ 6‬קמ"ש = ‪ y‬ומהירות הסירה היא ‪ 24‬קמ"ש = ‪. x = 4 ⋅ 6‬‬
‫תשובה‪ 24 :‬קמ"ש‪ 6 ,‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 1.50‬פתרון‪:‬‬
‫נשרטט סקיצה‪:‬‬
‫‪504-x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫נסמן ב‪ C -‬את נקודת המפגש של האוטובוס והמשאית‪ .‬את המרחק ‪ AC‬נסמן ב‪ , x -‬לכן‬
‫המרחק ‪ BC‬הוא ) ‪ ( 504 − x‬ק"מ‪ .‬ידוע כי את המרחק ‪ ,CB‬האוטובוס עבר תוך ‪ 2 1‬שעות‪ ,‬לכן‬
‫‪4‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪65‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות תנועה‬
‫⎞ ‪⎛ 504 − x‬‬
‫מהירותו היא ⎟‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫⎝‬
‫⎠‬
‫‪4‬‬
‫⎜ קמ"ש‪ .‬את המרחק ‪ ,AC‬המשאית עברה תוך ‪ 4‬שעות‪ ,‬לכן מהירותה‬
‫‪⎛ x‬‬
‫⎞ ‪2 14 x‬‬
‫‪x‬‬
‫היא‬
‫= ‪ ⎜ 504 − x‬שעות‪.‬‬
‫קמ"ש‪ .‬משך זמן נסיעתו של האוטובוס עד לפגישה הוא‪⎟ :‬‬
‫⎟ ‪504 − x‬‬
‫‪4‬‬
‫⎜‬
‫‪⎜ 21‬‬
‫⎟‬
‫‪⎝ 4‬‬
‫⎠‬
‫⎞ ) ‪⎛ 504 − x 4 ( 504 − x‬‬
‫=‬
‫משך זמן נסיעתה של המשאית עד לפגישה הוא‪⎟ :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫⎟‬
‫‪⎝ 4‬‬
‫⎠‬
‫⎜ שעות‪.‬‬
‫⎜‬
‫מהנתונים נובע כי לפני הפגישה‪ ,‬האוטובוס והמשאית נסעו במשך פרק זמן שווה‪ .‬לכן נקבל את‬
‫המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2 x‬‬
‫) ‪4 ( 504 − x‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪4x ( 504 − x‬‬
‫) ‪9x 2 = 16 ( 504 − x‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪x‬‬
‫‪504 − x‬‬
‫) ‪⎡3x = 4 ( 504 − x‬‬
‫‪⎡3x = 2016 − 4x‬‬
‫‪⎡ 7x = 2016‬‬
‫⇒‬
‫⎢ או ⇒‬
‫⇒‬
‫⎢ או‬
‫⇒‬
‫⎢ או‬
‫‪⎣3x = −2016 + 4x‬‬
‫‪⎣ − x = −2016‬‬
‫) ‪⎣3x = −4 ( 504 − x‬‬
‫⇒‬
‫‪x = 288‬‬
‫או‬
‫‪x = 2016‬‬
‫נפסול את התוצאה ‪ , x = 2016‬כי ‪ 0 < x < 504‬ולכן ‪ . x = 288‬קיבלנו שהאוטובוס והמשאית‬
‫=‬
‫נפגשו במרחק של ‪ 288‬ק"מ מיישוב ‪.A‬‬
‫תשובה‪ 288 :‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ 1.51‬פתרון‪:‬‬
‫נשרטט סקיצה‪ C) :‬נקודת המפגש(‪.‬‬
‫‪x+30‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫נסמן‪ x :‬ק"מ‬
‫) ‪ ( x + 30‬ק"מ‬
‫–‬
‫–‬
‫‪C‬‬
‫המרחק שעברה המכונית עד הפגישה ) ‪( BC = x‬‬
‫המרחק שעבר האוטובוס עד הפגישה ) ‪.( AC = x + 30‬‬
‫‪5‬‬
‫לפי הנתונים‪ ,‬את המרחק ‪ ,BC‬עבר האוטובוס תוך שעה ו‪ 40 -‬דקות )כלומר‬
‫‪3‬‬
‫⎞ ‪⎛x 3‬‬
‫⎟ ‪ ⎜ 5 = x‬קמ"ש – מהירותו של האוטובוס‪.‬‬
‫⎟ ‪5‬‬
‫⎜‬
‫‪⎝3‬‬
‫⎠‬
‫את המרחק ‪ ,AC‬עברה המכונית תוך שעתיים ו‪ 24-‬דקות )כלומר‬
‫⎞ ) ‪5 ( x + 30‬‬
‫⎟‬
‫‪12‬‬
‫⎟‬
‫⎠‬
‫=‬
‫‪⎛ x + 30‬‬
‫‪ ⎜ 12‬קמ"ש –‬
‫⎜‬
‫‪5‬‬
‫‪A‬‬
‫‪12‬‬
‫‪5‬‬
‫שעה(‪ .‬לכן‪:‬‬
‫שעה(‪ .‬לכן‪:‬‬
‫מהירותה של המכונית‪.‬‬
‫⎝‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪66‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות תנועה‬
‫עד הפגישה‪ ,‬האוטובוס עבר ) ‪ ( x + 30‬ק"מ‪ ,‬במהירות של‬
‫‪x + 30‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪5‬‬
‫שעות‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪5‬‬
‫קמ"ש‪ .‬לכן‪:‬‬
‫– משך זמן נסיעתו של האוטובוס עד לפגישה‪.‬‬
‫) ‪5 ( x + 30‬‬
‫עד הפגישה‪ ,‬המכונית עברה ‪ x‬ק"מ‪ ,‬במהירות של‬
‫‪12‬‬
‫‪x‬‬
‫– משך זמן נסיעתה של המכונית עד הפגישה‪.‬‬
‫‪ 5 x + 30‬שעות‬
‫(‬
‫)‬
‫קמ"ש‪ .‬לכן‪:‬‬
‫‪12‬‬
‫האוטובוס והמכונית יצאו בו‪-‬זמנית זה לקראת זה‪ ,‬לכן משך זמן נסיעתו של האוטובוס עד‬
‫לפגישה‪ ,‬זהה למשך זמן נסיעתה של המכונית עד הפגישה‪ .‬נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪( x + 30 )2 = 36 x 2‬‬
‫‪25‬‬
‫‪12‬‬
‫‪5‬‬
‫⇒‬
‫⋅‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪⋅ ( x + 30 ) = x 2‬‬
‫‪12‬‬
‫‪5‬‬
‫‪⎡ x = 150‬‬
‫⎢ או‬
‫‪⎢ x = −13 2‬‬
‫⎣‬
‫‪11‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪x‬‬
‫) ‪5( x + 30‬‬
‫‪12‬‬
‫=‬
‫‪x + 30‬‬
‫‪6‬‬
‫⎡‬
‫‪x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪30‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫⎢‬
‫‪5‬‬
‫⎢ או‬
‫‪⎢ x + 30 = − 6 x‬‬
‫⎣⎢‬
‫‪5‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪5‬‬
‫⇒‬
‫נפסול את התוצאה ‪ , x = −13 2‬כי מרחק אינו ערך שלילי‪ ,‬לכן ‪ . x = 150‬המרחק בין ‪ A‬ל‪B -‬‬
‫‪11‬‬
‫הוא‪:‬‬
‫‪ 330‬קמ"ש = ‪. 150 + 30 + 150‬‬
‫הביטוי המייצג את מהירותו של האוטובוס הוא ‪ , 3 x‬לכן מהירות האוטובוס היא‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 90‬קמ"ש = ‪. ⋅150‬‬
‫) ‪5 ( x + 30‬‬
‫הביטוי המייצג את מהירותה של המכונית הוא‬
‫‪12‬‬
‫) ‪5 (150 + 30‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ 75‬קמ"ש =‬
‫‪12‬‬
‫תשובה‪ 330 :‬ק"מ; ‪ 90‬קמ"ש ו‪ 75 -‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ ,‬לכן מהירות המכונית היא‪:‬‬
‫‪ 1.52‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ x :‬קמ"ש – מהירותה של רכבת א'‪.‬‬
‫‪ y‬קמ"ש – מהירותה של רכבת ב'‪.‬‬
‫על‪-‬פי הנתון‪ ,‬הרכבות נפגשו בשעה ‪ 8:30‬בבוקר‪ .‬כלומר‪ ,‬רכבת א'‪ ,‬שיצאה בשעה ‪ 7:00‬בבוקר‪,‬‬
‫הייתה בדרך במשך ‪ 1.5‬שעות עד הפגישה ורכבת ב'‪ ,‬שיצאה ב‪ 7:18 -‬בבוקר‪ ,‬הייתה בדרך במשך‬
‫שעה ו‪ 12 -‬דקות עד הפגישה ) ‪ .( 1 12 = 1.2‬מכאן נקבל‪:‬‬
‫‪60‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪67‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות תנועה‬
‫‪ 1.5x‬ק"מ – המרחק שעברה רכבת א' עד הפגישה‪.‬‬
‫‪ 1.2y‬ק"מ – המרחק שעברה רכבת ב' עד הפגישה‪.‬‬
‫) ‪ (1.5x + 1.2y‬ק"מ – אורך כל הדרך‪.‬‬
‫⎞ ‪⎛ 1.5x + 1.2y‬‬
‫⎟‬
‫‪x‬‬
‫⎝‬
‫⎠‬
‫⎜ שעות – הזמן הדרוש לרכבת א' לעבור את כל הדרך‪.‬‬
‫⎞ ‪⎛ 1.5x + 1.2y‬‬
‫⎟‬
‫‪y‬‬
‫⎝‬
‫⎠‬
‫⎜ שעות – הזמן הדרוש לרכבת ב' לעבור את כל הדרך‪.‬‬
‫נרכז את הנתונים בטבלה‪:‬‬
‫מהירות ‪v‬‬
‫זמן ‪) t‬שעות(‬
‫דרך ‪) s‬ק"מ(‬
‫רכבת א'‬
‫רכבת ב'‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪1.5x‬‬
‫רכבת א'‬
‫‪x‬‬
‫‪1.5x + 1.2y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1.5x + 1.2y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1.5x + 1.2y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1.5x + 1.2y‬‬
‫)קמ"ש(‬
‫לפני‬
‫הפגישה‬
‫כל הדרך‬
‫רכבת ב'‬
‫‪1.2y‬‬
‫על‪-‬פי הנתון‪ ,‬רכבת ב' יצאה לדרך ‪ 18‬דקות מוקדם יותר מרכבת א' וגם הגיעה ליעדה ‪ 18‬דקות‬
‫מוקדם יותר מרכבת א'‪ .‬כלומר‪ ,‬רכבת ב' עברה את כל הדרך ב‪ 36 -‬דקות פחות מרכבת א'‪ .‬נקבל‬
‫את המשוואה‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪1.5x 1.2y 1.5x 1.2y 3‬‬
‫‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪5‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪− 1.5 ⋅ − 0.3 = 0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫נסמן ‪= z‬‬
‫‪x‬‬
‫⋅ ‪1.2‬‬
‫⇒‬
‫‪1.5x + 1.2y 1.5x + 1.2y 36‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪60‬‬
‫⇒‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪− 1.5 ⋅ − 1.2 = 0.6‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫⋅ ‪1.5 + 1.2‬‬
‫⇒‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪, z 2 = −1‬‬
‫‪4‬‬
‫⇒‬
‫= ‪z1‬‬
‫‪5‬‬
‫נפסול את התוצאה ‪ , z = −1‬ולכן‬
‫‪4‬‬
‫‪4z 2 − z − 5 = 0‬‬
‫⇒‬
‫‪10‬‬
‫‪z‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪− 0.3 = 0‬‬
‫‪z‬‬
‫‪1.2z −‬‬
‫= ‪ . z‬כאמור לעיל‪ ,‬רכבת א' הייתה בדרך‪:‬‬
‫‪1.5x + 1.2y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 3‬שעות = ⋅ ‪= 1.5 + 1.2 ⋅ = 1.5 + 1.2z = 1.5 + 1.2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫רכבת א' יצאה לדרכה בשעה ‪ 7:00‬בבוקר והייתה ‪ 3‬שעות בדרך‪ ,‬לכן היא הגיעה ליעדה בשעה‬
‫‪ 10:00‬בבוקר‪.‬‬
‫תשובה‪ 10:00 :‬בבוקר‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪68‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות תנועה‬
‫‪ 1.53‬פתרון‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫נסמן‪ v :‬קמ"ש – המהירות הרגילה של המכונית‪.‬‬
‫‪ t‬שעות – משך זמן הנסיעה הרגיל של המכונית‪.‬‬
‫) ‪ ( v + a‬קמ"ש – מהירות המכונית ביום המסוים‪.‬‬
‫)‪ ( t − 1‬שעות –‬
‫) ‪ ( v − 0.6a‬קמ"ש – מהירות המכונית ביום למחרת‪.‬‬
‫)‪ ( t + 1‬שעות – משך זמן הנסיעה של המכונית ביום למחרת‪.‬‬
‫נרכז את הנתונים בטבלה‪:‬‬
‫משך זמן הנסיעה של המכונית ביום המסוים‪.‬‬
‫מהירות ‪) v‬קמ"ש(‬
‫זמן ‪) t‬שעות(‬
‫דרך ‪) s‬ק"מ(‬
‫יום רגיל‬
‫היום המסוים‬
‫‪v‬‬
‫‪t‬‬
‫‪v+a‬‬
‫‪t −1‬‬
‫‪vt‬‬
‫)‪( v + a ) ⋅ ( t − 1‬‬
‫היום שלמחרת‬
‫‪v − 0.6a‬‬
‫‪t +1‬‬
‫)‪( v − 0.6a ) ⋅ ( t + 1‬‬
‫ביום המסוים‪ ,‬המכונית עברה את אותו המרחק כמו בכל יום רגיל‪ .‬לכן נקבל את המשוואה‬
‫הראשונה‪:‬‬
‫)‪v ⋅ t = ( v + a )( t − 1‬‬
‫גם ביום שלמחרת‪ ,‬המכונית עברה את אותו המרחק‪ .‬לכן נקבל את המשוואה השנייה‪:‬‬
‫)‪v ⋅ t = ( v − 0.6a )( t + 1‬‬
‫נפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧ v = at − a‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩ v = 0.6at + 0.6a‬‬
‫‪t=4‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪⎧ vt = vt − v + at − a‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩ vt = vt + v − 0.6at − 0.6a‬‬
‫) ‪: 0.4a ( a ≠ 0‬‬
‫‪04at = 1.6a‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫)‪⎧ v ⋅ t = ( v + a )( t − 1‬‬
‫⎨‬
‫)‪⎩ v ⋅ t = ( v − 0.6a )( t + 1‬‬
‫‪at − a = 0.6at + 0.6a‬‬
‫⇒‬
‫משך זמן הנסיעה הרגיל של המכונית הוא ‪ 4‬שעות‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫נביע את המהירות הרגילה של המכונית באמצעות ‪: a‬‬
‫‪v = at − a‬‬
‫⇒‬
‫‪ 3a‬קמ"ש = ‪v = 4a − a‬‬
‫המרחק בין שני היישובים הוא‪:‬‬
‫‪S = V⋅t‬‬
‫⇒‬
‫‪ 12a‬ק"מ = ‪S‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ 4 .‬שעות‪ .‬ב‪ 12a .‬ק"מ‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪69‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות תנועה‬
‫‪ 1.54‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן ב‪ x -‬את מהירות רוכב האופנוע ונסמן ב‪ t -‬את הזמן שחלף מאז שהמשאית יצאה לדרך‬
‫ועד שרוכב האופנוע השיג אותה‪ .‬המרחק שעברה המשאית תוך ‪ t‬שעות הוא ‪ 72t‬ק"מ‪ .‬רוכב‬
‫‪1‬‬
‫האופנוע יצא לדרכו ‪ 1‬שעה מאוחר יותר מהמשאית‪ ,‬לכן המרחק שעבר תוך ) ‪ ( t −‬שעות הוא‬
‫‪2‬‬
‫⎞‪1‬‬
‫⎠‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫⎛‬
‫⎝‬
‫⎟ ‪ x ⋅ ⎜ t −‬ק"מ‪ .‬נשים לב לכך שהמרחקים שווים זה לזה ונקבל את המשוואה הראשונה‪:‬‬
‫)‪(1‬‬
‫⎞‪⎛ 1‬‬
‫‪x ⋅ ⎜ t − ⎟ = 72t‬‬
‫⎠‪⎝ 2‬‬
‫) ‪ ( t + 1‬שעות הוא הזמן שחלף מהרגע שבו המכונית יצאה לדרך ועד הרגע שבו רוכב האופנוע‬
‫השיג אותה‪ .‬במשך הזמן הזה‪ ,‬המכונית עברה )‪ 80 ( t + 1‬ק"מ‪ .‬רוכב האופנוע עבר את אותו‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫המרחק תוך ) ‪ ( t − + 1‬שעות‪ ,‬במהירות קבועה של ‪ x‬קמ"ש‪ .‬לכן נקבל את המשוואה השנייה‪:‬‬
‫)‪(2‬‬
‫⎞ ‪⎛ 1‬‬
‫)‪x ⋅ ⎜ t − + 1⎟ = 80 ( t + 1‬‬
‫⎠ ‪⎝ 2‬‬
‫נפתור את מערכת המשוואות )‪ (1‬ו‪:(2) -‬‬
‫)‪80 ( t + 1‬‬
‫⇒‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫‪t 2 = −2.5‬‬
‫‪t+‬‬
‫=‬
‫‪72t‬‬
‫⇒‬
‫‪1‬‬
‫‪t−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪72t‬‬
‫⎧‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫⎪‬
‫‪t − 12‬‬
‫⎪‬
‫⎨‬
‫)‪80 ( t + 1‬‬
‫= ‪⎪x‬‬
‫‪1‬‬
‫⎪‬
‫‪t+‬‬
‫⎩‬
‫‪2‬‬
‫‪72t 2 + 36t = 80t 2 + 40t − 40‬‬
‫‪t1 = 2 ,‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪2t 2 + t − 10 = 0‬‬
‫⎞‪⎧ ⎛ 1‬‬
‫‪⎪⎪ x ⋅ ⎝⎜ t − 2 ⎠⎟ = 72t‬‬
‫⎨‬
‫)‪⎪ x ⋅ ⎛⎜ t − 1 + 1⎞⎟ = 80 ( t + 1‬‬
‫⎠ ‪⎪⎩ ⎝ 2‬‬
‫⇒‬
‫⎠⎟⎞ ‪( 12 ) = 80 ( t + 1) ⎛⎜⎝ t − 12‬‬
‫⇒‬
‫‪:4‬‬
‫‪72t ⋅ t +‬‬
‫⇒‬
‫‪8t 2 + 4t − 40 = 0‬‬
‫⇒‬
‫נפסול את התוצאה ‪ , t = −2.5‬מכיוון שזמן הוא ערך אי שלילי‪ ,‬לכן נציב את ‪ t = 2‬במשוואה )‪(1‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫‪x = 96‬‬
‫⇒‬
‫⎞‪1‬‬
‫⎛‬
‫‪x ⋅ ⎜ 2 − ⎟ = 72‬‬
‫⎝‬
‫⎠‪2‬‬
‫קיבלנו שמהירותו של רוכב האופנוע היא ‪ 96‬קמ"ש‪.‬‬
‫תשובה‪ 96 :‬קמ"ש‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪70‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות תנועה‬
‫‪ 1.55‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ v :‬קמ"ש – מהירות המשאית‪.‬‬
‫‪ S‬ק"מ – המרחק שעברו כל כלי הרכב עד לפגישה‪.‬‬
‫‪ 1.2v‬קמ"ש – מהירות המכונית‪.‬‬
‫‪ 1.4v‬קמ"ש – מהירות המונית‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫‪v‬‬
‫שעות – משך זמן הנסיעה של המשאית עד לפגישה‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫‪1.2v‬‬
‫‪S‬‬
‫שעות – משך זמן הנסיעה של המונית עד לפגישה‪.‬‬
‫‪1.4v‬‬
‫‪ x‬שעות – הזמן שחלף מאז שהמשאית יצאה לדרך ועד שהמונית יצאה לדרכה‪.‬‬
‫‪42‬‬
‫‪7‬‬
‫על‪-‬פי הנתון‪ ,‬המשאית שהתה בדרך במשך ‪ 42‬דקות ) שעות = = ‪ 42‬דקות( יותר‬
‫‪60‬‬
‫‪10‬‬
‫שעות‬
‫– משך זמן הנסיעה של המכונית עד לפגישה‪.‬‬
‫מהמכונית‪ .‬לכן נקבל את המשוואה הראשונה‪:‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫‪7‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪v 1.2v 10‬‬
‫)‪(1‬‬
‫המשאית שהתה בדרך במשך ‪ x‬שעות יותר מהמונית‪ .‬לכן נקבל את המשוואה השנייה‪:‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫‪−‬‬
‫‪=x‬‬
‫‪v 1.4v‬‬
‫נפתור את מערכת המשוואות )‪ (1‬ו‪:(2) -‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧S 1 7‬‬
‫= ⋅‬
‫‪⎪⎪ v 6 10‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪S ⋅ 2 = x‬‬
‫‪⎪⎩ v 7‬‬
‫⇒‬
‫⎛ ‪⎧S‬‬
‫‪1 ⎞ 7‬‬
‫‪⎪⎪ v ⎝⎜1 − 1.2 ⎠⎟ = 10‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪ S ⎛1 − 1 ⎞ = x‬‬
‫⎜‬
‫⎟‬
‫⎠ ‪⎩⎪ v ⎝ 1.4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫קיבלנו שהמונית יצאה לדרך‪ ,‬כעבור‬
‫‪5‬‬
‫=‪x‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪S‬‬
‫‪7‬‬
‫‪⎧S‬‬
‫‪⎪⎪ v − 1.2v = 10‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪S − S = x‬‬
‫‪⎪⎩ v 1.4v‬‬
‫‪⎧ S 21‬‬
‫‪⎪⎪ v = 5‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪ 21 ⋅ 2 = x‬‬
‫‪⎪⎩ 5 7‬‬
‫⇒‬
‫שעה )שעה ו‪ 12 -‬דקות(‪ ,‬מרגע יציאתה של המשאית‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬שעה ו‪ 12 -‬דקות‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪71‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות תנועה‬
‫‪ 1.56‬פתרון‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫מהנתונים עולה כי המרחק בין יישוב ‪ A‬ליישוב ‪ C‬הוא‪ (240+60=300) :‬ק"מ‪.‬‬
‫נסמן‪ x :‬קמ"ש – מהירותה של המונית‪.‬‬
‫) ‪ ( x − 15‬קמ"ש – מהירותה של המשאית‪.‬‬
‫‪240‬‬
‫‪x‬‬
‫‪300‬‬
‫שעות – משך זמן הנסיעה של המשאית‪.‬‬
‫‪x − 15‬‬
‫שעות – משך זמן הנסיעה של המונית‪.‬‬
‫על‪-‬פי הנתון‪ ,‬המונית יצאה לדרכה ‪ 40‬דקות לאחר שהמשאית יצאה‪ .‬כמו כן‪ ,‬המונית הקדימה את‬
‫המשאית‪ ,‬בהגעתה ליישוב ‪ ,C‬ביותר מ‪ 40 -‬דקות‪ .‬כלומר‪ ,‬משך זמן נסיעתה של המשאית היה גדול‬
‫ביותר מ‪ 80 -‬דקות ) ‪ 1 1‬שעות(‪ ,‬מזמן נסיעתה של המונית‪ .‬לכן נקבל את אי השוויון הבא‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫⇒‬
‫‪300 240 4‬‬
‫‪−‬‬
‫‪− > 0 :2‬‬
‫⇒‬
‫‪3‬‬
‫‪x − 15 x‬‬
‫) ‪3 ⋅150x − 3 ⋅120 ( x − 15 ) − 2x ( x − 15‬‬
‫⇒ ) ‪⋅3x ( x − 15‬‬
‫‪>0‬‬
‫) ‪3x ( x − 15‬‬
‫‪x 2 − 60x − 2700‬‬
‫‪<0‬‬
‫) ‪3x ( x − 15‬‬
‫) ‪: ( −2‬‬
‫⇒‬
‫‪300‬‬
‫‪240 1‬‬
‫>‬
‫‪+1‬‬
‫⇒‬
‫‪x − 15‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪150 120 2‬‬
‫⇒‬
‫‪−‬‬
‫‪− >0‬‬
‫‪x − 15 x 3‬‬
‫‪−2x 2 + 120x + 5400‬‬
‫‪>0‬‬
‫) ‪3x ( x − 15‬‬
‫⇒‬
‫נמצא את נקודות האיפוס של המונה‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪x1 = 90 ,‬‬
‫‪x 2 = −30‬‬
‫⇒‬
‫‪x 2 − 60x − 2700 = 0‬‬
‫)‪x 2 − 60x − 2700 = ( x + 30 ) (x − 90‬‬
‫⇒‬
‫נקודות האיפוס של המכנה הן‪:‬‬
‫‪ x 4 = 15‬או ‪x 3 = 0‬‬
‫⇒‬
‫‪3x ( x − 15 ) = 0‬‬
‫נחזור לאי השוויון שלנו ונקבל‪:‬‬
‫‪x ( x + 30 )( x − 15 )( x − 90 ) < 0‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫) ‪⋅3x 2 ( x − 15‬‬
‫) ‪( x + 30 )( x − 90‬‬
‫‪<0‬‬
‫) ‪3x ( x − 15‬‬
‫על פי שיטת ה"נחש" נקבל‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫‪+‬‬
‫‪x‬‬
‫‪90‬‬
‫‪-‬‬
‫‪+‬‬
‫‪15‬‬
‫‪0‬‬
‫‪+‬‬
‫‪-30‬‬
‫אי השוויון מתקיים כאשר ‪ 15 < x < 90‬או ‪ , −30 < x < 0‬אך מהירות היא ערך אי שלילי‪ ,‬לכן‬
‫נפסול את התוצאה ‪ . −30 < x < 0‬כלומר‪ ,‬התחום המספרי בו נמצאת מהירותה של המונית הוא‬
‫‪.15 < x < 90‬‬
‫תשובה‪ :‬בין ‪ 15‬קמ"ש לבין ‪ 90‬קמ"ש‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪72‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות תנועה‬
‫‪ 1.57‬פתרון‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫ב‬
‫נסמן‪ x :‬ק"מ – המרחק שעברה המונית עד לפגישה )המרחק ‪.( AC‬‬
‫) ‪ ( 220 − x‬ק"מ – המרחק שעברה המשאית עד לפגישה )המרחק ‪.( BC‬‬
‫‪20‬‬
‫‪1 4‬‬
‫המונית והמשאית נפגשו כעבור שעה ו‪ 20 -‬דקות‪ ,‬כלומר ) = ‪= 1‬‬
‫‪60‬‬
‫‪3 3‬‬
‫⎞ ‪3x‬‬
‫‪⎛ x‬‬
‫⎜ קמ"ש – מהירות המונית עד לפגישה‪.‬‬
‫=‬
‫‪4‬‬
‫⎟⎟ ‪4‬‬
‫⎜‬
‫‪⎝ 3‬‬
‫⎠‬
‫⎤ ) ‪3 ( 220 − x‬‬
‫⎥‬
‫‪4‬‬
‫⎦⎥‬
‫⎞ ‪3x − 40‬‬
‫⎟‬
‫⎠ ‪4‬‬
‫=‬
‫א‬
‫‪ ( 1‬שעות‪.‬‬
‫‪⎡ 220 − x‬‬
‫⎢ קמ"ש – מהירות המשאית עד לפגישה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫⎣⎢‬
‫‪⎛ 3x‬‬
‫= ‪ ⎜ − 10‬קמ"ש – מהירות המונית לאחר הפגישה )בדרכה חזרה(‪.‬‬
‫‪⎝ 4‬‬
‫) ‪⎡ 3 ( 220 − x‬‬
‫⎤ ‪600 − 3x‬‬
‫= ‪− 15‬‬
‫⎥‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫⎣‬
‫⎦‬
‫⎢ קמ"ש – מהירות המשאית לאחר הפגישה )בהמשך דרכה לעיר א(‬
‫⎞‬
‫‪4x‬‬
‫‪x‬‬
‫⎛‬
‫‪4‬‬
‫⎝‬
‫⎜ שעות – משך זמן הנסיעה של המונית בחזרה )מ‪ C -‬ל‪.(A -‬‬
‫=‬
‫⎟‬
‫⎟ ‪⎜ 3x − 40 3x − 40‬‬
‫⎠‬
‫⎞‬
‫‪4x‬‬
‫‪x‬‬
‫⎛‬
‫‪4‬‬
‫⎝‬
‫=‬
‫⎜ שעות – משך זמן הנסיעה של המשאית לאחר הפגישה )מ‪ C -‬ל‪.(A -‬‬
‫⎟ ‪600 − 3x 600 − 3x‬‬
‫⎜‬
‫⎟‬
‫⎠‬
‫נרכז את הנתונים בטבלה‪:‬‬
‫מהירות ‪v‬‬
‫זמן ‪) t‬שעות(‬
‫דרך ‪) s‬ק"מ(‬
‫‪3x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫) ‪3 ( 220 − x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3x − 40‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪3x − 40‬‬
‫‪600 − 3x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪600 − 3x‬‬
‫)קמ"ש(‬
‫לפני‬
‫הפגישה‬
‫לאחר‬
‫הפגישה‬
‫מונית‬
‫משאית‬
‫מונית‬
‫משאית‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪220 − x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪73‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות תנועה‬
‫ידוע שהמונית הגיעה ל‪ ,A -‬חצי שעה לפני המשאית‪ .‬לכן נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫) ‪2 ⋅ ( 600 − 3x )( 3x − 40‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪4x‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫⇒‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪600 − 3x 3x − 40 2‬‬
‫‪600 − 3x 3x − 40 2‬‬
‫⇒‬
‫) ‪8x ( 3x − 40 ) − 8x ( 600 − 3x ) = ( 600 − 3x )( 3x − 40‬‬
‫⇒‬
‫‪24x 2 − 320x − 4800x + 24x 2 = 1800x − 24000 − 9x 2 + 120x‬‬
‫⇒‬
‫‪7040 ± 6640‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪57x 2 − 7040x + 24000 = 0‬‬
‫= ‪x1,2‬‬
‫‪x1 = 120 , x 2 ≈ 3.5‬‬
‫‪114‬‬
‫‪3 ⋅ 3.5‬‬
‫נפסול את התוצאה ‪) x ≈ 3.5‬כי אז מהירות המונית היא ) ‪= 2.65‬‬
‫( קמ"ש ומהירות‬
‫‪4‬‬
‫‪600 − 3 ⋅ 3.5‬‬
‫המשאית היא ) ‪= 147.375‬‬
‫( קמ"ש וזה סותר את נתוני השאלה(‪ ,‬לכן ‪. x = 120‬‬
‫‪4‬‬
‫‪600 − 3 ⋅ 120‬‬
‫‪3 ⋅ 120‬‬
‫(‬
‫כלומר‪ ,‬מהירות המונית היא ) ‪= 90‬‬
‫( קמ"ש ומהירות המשאית היא ) ‪= 60‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫קמ"ש‪.‬‬
‫תשובה‪ 90 :‬קמ"ש ו‪ 60 -‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 1.58‬פתרון‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫נסמן‪ x :‬ק"מ – המרחק שעבר רוכב א' עד לפגישה עם רוכב ב' )המרחק ‪.( AC‬‬
‫) ‪ ( 78 − x‬ק"מ – המרחק שעבר רוכב ב' עד לפגישה עם רוכב א' )המרחק ‪.( BC‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪78 − x‬‬
‫קמ"ש – מהירותו של רוכב ב' עד לפגישה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫קמ"ש – מהירותו של רוכב א' עד לפגישה‪.‬‬
‫⎞‬
‫⎠‬
‫‪⎛x‬‬
‫‪⎝2‬‬
‫⎟ ‪ ⎜ − 2‬קמ"ש – מהירותו של רוכב א' בדרכו חזרה ליישוב ‪.A‬‬
‫‪⎛ 78 − x‬‬
‫⎞‬
‫⎟‪+ 3‬‬
‫‪⎝ 2‬‬
‫⎠‬
‫⎜ קמ"ש – מהירותו של רוכב ב' בדרכו חזרה ליישוב ‪.B‬‬
‫⎞ ‪⎛ x‬‬
‫⎟‬
‫⎟‪⎜ −2‬‬
‫‪⎝2‬‬
‫⎠‬
‫‪ ⎜ x‬שעות – משך זמן הרכיבה של רוכב א' בדרכו חזרה ליישוב ‪.A‬‬
‫⎞ ‪⎛ 78 − x‬‬
‫⎟ ‪ ⎜ 78 − x‬שעות – משך זמן הרכיבה של רוכב ב' בדרכו חזרה ליישוב ‪.B‬‬
‫⎜‬
‫⎟‪+3‬‬
‫⎠‬
‫‪2‬‬
‫⎝‬
‫נרכז את הנתונים בטבלה‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪74‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות תנועה‬
‫מהירות ‪v‬‬
‫)קמ"ש(‬
‫לפני‬
‫הפגישה‬
‫דרך ‪s‬‬
‫זמן ‪) t‬שעות(‬
‫)ק"מ(‬
‫רוכב א'‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫רוכב ב'‬
‫‪78 − x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪78 − x‬‬
‫רוכב א'‬
‫‪x‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪2‬‬
‫רוכב ב'‬
‫‪78 − x‬‬
‫‪+3‬‬
‫‪2‬‬
‫בדרך‬
‫חזרה‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪78 − x‬‬
‫‪78 − x‬‬
‫‪2 +3‬‬
‫‪78 − x‬‬
‫לפי הנתונים‪ ,‬רוכב א' חזר ל‪ 1 ,A -‬שעה אחרי שרוכב ב' חזר ל‪ .B -‬לכן נקבל את המשוואה‬
‫‪2‬‬
‫הבאה‪:‬‬
‫‪78 − x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= 78 − x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 −2‬‬
‫‪2 +3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫נכפול ב‪ 2 -‬את המונה ואת המכנה‪ ,‬של כל אחד מהשברים )פרט ל‪:( 1 -‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪156 − 2x 1‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫‪x − 4 78 − x + 6 2‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪78 − x‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫‪78 − x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2 2 −2‬‬
‫‪2 2 +3 2‬‬
‫⇒‬
‫( )‬
‫)‬
‫(‬
‫‪2x‬‬
‫‪156 − 2x 1‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫) ‪⋅2 ⋅ ( x − 4 ) ( 84 − x‬‬
‫⇒‬
‫‪x−4‬‬
‫‪84 − x‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪4x ( 84 − x ) − 2 ( x − 4 ) (156 − 2x ) = ( x − 4 ) ( 84 − x‬‬
‫‪336x − 4x − 312x + 4x + 1248 − 16x = 84x − x − 336 + 4x‬‬
‫⇒‬
‫‪80 ± 8‬‬
‫‪x 2 − 80x + 1584 = 0‬‬
‫= ‪x1,2‬‬
‫‪x1 = 36 , x 2 = 44‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫נמצא את המהירויות‪:‬‬
‫‪36‬‬
‫‪78 − 36‬‬
‫= ‪= 18 , v 2‬‬
‫‪= 21‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪44‬‬
‫‪78 − 44‬‬
‫= ‪v1‬‬
‫= ‪= 22 , v 2‬‬
‫‪= 17‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪v1‬‬
‫‪x = 36 :‬‬
‫‪x = 44 :‬‬
‫תשובה‪ 18 :‬קמ"ש ו‪ 21 -‬קמ"ש או ‪ 22‬קמ"ש ו‪ 17 -‬קמ"ש‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪75‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות תנועה‬
‫‪ 1.59‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ v1 :‬קמ"ש – מהירותו של רוכב א'‪.‬‬
‫‪ v 2‬קמ"ש – מהירותו של רוכב ב'‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪v1‬‬
‫שעות – פרק הזמן שבו רוכב א' עובר קילומטר אחד‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪v2‬‬
‫שעות – פרק הזמן שבו רוכב ב' עובר קילומטר אחד‪.‬‬
‫‪ x‬ק"מ – המרחק בין ‪ A‬ל‪) B -‬המרחק שעבר רוכב א'(‬
‫⎞ ‪3‬‬
‫⎠ ‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪⎛1‬‬
‫‪⎝4‬‬
‫⎟ ‪ ⎜ x + x + x = x‬ק"מ – המרחק שעבר רוכב ב'‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪v1‬‬
‫שעות – משך זמן הרכיבה של רוכב א'‪.‬‬
‫‪⎛ 3x‬‬
‫⎞‬
‫⎟ ‪3x‬‬
‫‪2‬‬
‫⎜‬
‫⎜ שעות – משך זמן הרכיבה של רוכב ב'‪.‬‬
‫=‬
‫⎟‬
‫⎠ ‪⎝ v 2 2v 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫לפי הנתון‪ ,‬רוכב ב' עבר כל קילומטר ב‪ -‬דקה )‬
‫‪120‬‬
‫‪2‬‬
‫שעה( פחות מאשר רוכב א'‪.‬‬
‫לכן נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫‪v1 v 2 120‬‬
‫משך זמן הרכיבה של רוכב א' היה שעתיים‪ .‬לכן מתקיים‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪=2‬‬
‫‪v1‬‬
‫משך זמן הרכיבה של רוכב ב' היה שעתיים וחצי )כי רוכב ב' הגיע ל‪ ,B -‬חצי שעה מאוחר יותר‬
‫מרוכב א'(‪ .‬לכן מתקיים‪:‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪=2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2v 2‬‬
‫נפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪x 3 x 120‬‬
‫‪2 5‬‬
‫⇒‬
‫‪1‬‬
‫‪⎧1 1‬‬
‫‪⎪ v − v = 120‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⎪ 1‬‬
‫‪x‬‬
‫⎪‬
‫= ‪⎨ v1‬‬
‫‪2‬‬
‫⎪‬
‫‪⎪v = 3 x‬‬
‫‪⎪ 2 5‬‬
‫⎩‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫⇒‬
‫‪⎧1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫= ⎪‬
‫‪⎪ v1 v 2 120‬‬
‫‪⎪x‬‬
‫‪⎨ =2‬‬
‫‪⎪ v1‬‬
‫‪⎪ 3x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪=2‬‬
‫⎪‬
‫‪2‬‬
‫‪⎩ 2v 2‬‬
‫‪76‬‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות תנועה‬
‫⇒‬
‫‪x = 40‬‬
‫פתרונות‬
‫⇒‬
‫‪240 − 200 = x‬‬
‫‪2 5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪⋅120x‬‬
‫⇒‬
‫‪x 3x 120‬‬
‫‪40‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪v1‬‬
‫‪= 20 , v 2 = ⋅ 40 = 24‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫קיבלנו שמהירותו של רוכב א' היא ‪ 20‬קמ"ש ומהירותו של רוכב ב' היא ‪ 24‬קמ"ש‪.‬‬
‫תשובה‪ 20 :‬קמ"ש ו‪ 24 -‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 1.60‬פתרון‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫ת"א‬
‫‪B‬‬
‫מקום‬
‫המפגש‬
‫‪A‬‬
‫קיבוץ‬
‫נסמן‪ x :‬ק"מ – המרחק בין הקיבוץ לת"א‪.‬‬
‫‪ v‬קמ"ש – מהירותו של רוכב האופניים‪.‬‬
‫) ‪ ( v + 30‬קמ"ש – מהירותו של רוכב הקטנוע‪.‬‬
‫‪ t‬שעות – משך זמן הרכיבה של כל רוכב עד לפגישה‪.‬‬
‫‪ t ⋅ v‬ק"מ – המרחק שעבר רוכב האופניים מהקיבוץ עד שהגיע למקום המפגש )מרחק ‪.( AB‬‬
‫) ‪ t ⋅ ( v + 30‬ק"מ – המרחק שעבר רוכב הקטנוע מת"א עד שהגיע למקום המפגש )מרחק ‪.( CB‬‬
‫על‪-‬פי הנתון‪ ,‬שעה אחת לאחר ששני הרוכבים יצאו לדרכם )בטרם נפגשו(‪ ,‬היה ביניהם‬
‫מרחק של ‪ 14‬ק"מ‪ .‬מאחר ובמשך שעה אחת‪ ,‬רוכב האופניים עבר ‪ v‬ק"מ ורוכב הקטנוע עבר‬
‫) ‪ ( v + 30‬ק"מ‪ ,‬המשוואה הראשונה המתקבלת היא‪:‬‬
‫‪x = v + ( v + 30 ) + 14‬‬
‫כאמור לעיל‪ ,‬שני הרוכבים נפגשו כעבור ‪ t‬שעות‪ .‬כלומר‪ ,‬הם עברו ביחד את כל המרחק בין‬
‫הקיבוץ לת"א )המרחק ‪.( AC‬‬
‫לכן המשוואה השנייה היא‪:‬‬
‫) ‪x = tv + t ( v + 30‬‬
‫‪tv‬‬
‫את המרחק בין מקום המפגש לבין הקיבוץ‪ ,‬עבר רוכב הקטנוע במשך‬
‫‪v + 30‬‬
‫‪12‬‬
‫שעות‪ .‬לכן המשוואה השלישית היא‪:‬‬
‫הנתון‪ ,‬הזמן הנ"ל שווה ל‪-‬‬
‫‪25‬‬
‫שעות ועל‪-‬פי‬
‫‪tv‬‬
‫‪12‬‬
‫=‬
‫‪v + 30 25‬‬
‫קיבלנו מערכת של ‪ 3‬משוואות‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪77‬‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות תנועה‬
‫⇒‬
‫‪:2‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫פתרונות‬
‫⎧‬
‫‪⎪ x = 2v + 44‬‬
‫⎪‬
‫) ‪⎨2v + 44 = 2t ( v + 15‬‬
‫) ‪⎪ 12 ( v + 30‬‬
‫= ‪⎪t‬‬
‫‪25v‬‬
‫⎩‬
‫⎧‬
‫‪⎪ x = 2v + 44‬‬
‫⎪‬
‫‪⎨ x = 2tv + 30t‬‬
‫) ‪⎪ 12 ( v + 30‬‬
‫= ‪⎪t‬‬
‫‪25v‬‬
‫⎩‬
‫⇒‬
‫‪⎧ x = 2v + 44‬‬
‫⎪‬
‫⎨‬
‫) ‪12 ( v + 30 )( v + 15‬‬
‫‪⋅25v‬‬
‫= ‪⎪⎩ v + 22‬‬
‫‪25v‬‬
‫⇒‬
‫‪25v 2 + 550v = 12v 2 + 180v + 360v + 5400‬‬
‫⇒‬
‫= ‪v1,2‬‬
‫⇒‬
‫) ‪25v ( v + 22 ) = (12v + 360 )( v + 15‬‬
‫‪13v 2 + 10v − 5400 = 0‬‬
‫⇒‬
‫‪10‬‬
‫‪13‬‬
‫נפסול את התוצאה‬
‫המרחק‪:‬‬
‫‪10‬‬
‫‪13‬‬
‫⇒‬
‫⎧‬
‫‪⎪ x = v + ( v + 30 ) + 14‬‬
‫⎪‬
‫) ‪⎨ x = tv + t ( v + 30‬‬
‫‪⎪ tv‬‬
‫‪12‬‬
‫⎪‬
‫=‬
‫‪⎩ v + 30 25‬‬
‫⇒‬
‫‪v 2 = −20‬‬
‫‪v1 = 20 ,‬‬
‫⇒‬
‫‪−10 ± 530‬‬
‫‪26‬‬
‫‪ , v = −20‬מכיוון שמהירות היא ערך אי שלילי‪ ,‬לכן ‪ . v = 20‬נמצא את‬
‫‪x = 2 ⋅ 20 + 44 = 84‬‬
‫כלומר‪ ,‬המרחק בין הקיבוץ לת"א הוא ‪ 84‬ק"מ‪.‬‬
‫תשובה‪ 84 :‬ק"מ‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪78‬‬