doc1 " ר סיכומים במד : סיכומי תרגולים
download 
Report Transcription
1 " ר סיכומים במד : סיכומי תרגולים
אריאל סטולרמן 1 מד"ר 1 סיכומים במד"ר 1 סמסטר קיץ ) 2009פרופ' ודים אוסטפנקו( סיכומי תרגולים: תרגול :1 סוגים של מד"ר ודרכי פתרון: חשוב :לשים לב לקבוע cהמצורף כתוצאה מאינטגרציה. שיטה דרך פתרון צורה · הפרדת משתנים משוואות הומוגניות משוואות לינאריות )מסדר (1 פתרון ע"י העברת אגפים ואינטגרציה לפי כל משתנה בנפרד: משוואות המקיימות: , ניתן להציג בצורה , · כאשר 0 המשוואה הומוגנית • מציבים • מחשבים את : • מבודדים מתוך האגף הימני את • משוואות ברנולי · ונקבל משוואה מהצורה לעיל )הפרדת משתנים(. . · · כפונקציה של של · .נסמן · · . ומציבים במקום זה את מבצעים אינטגרציה על מה שהתקבל ומשווים להצבה המקורית של ,ממנה מבודדים את . • • מסמנים • מציבים במשוואה ומקבלים משוואה לינארית: · 1 ולכן · משוואות מדוייקות 0 , • • הפתרון הוא מהצורה: • או : · 1 מוצאים את וממנו מוצאים את . אם • . . 1 , .מתקבל ביטוי בלבד . כותבים את המשוואה בצורה: • . אזי המשוואה מדוייקת ,ואין צורך במציאת גורם אינטגרציה . , , המקיים: , , , ולכן כדי למצוא את :מתקיים מחשבים את וע"י אינטגרציה מחשבים את . , . . , לבסוף מקבלים את uורק אז מוסיפים את הקבוע: . מציאת גורם אינטגרציה: • כאשר לא מתקיים התנאי הראשון ,ניתן להגיע למשוואה מדוייקת ע"י הכפלה בגורם , אינטגרציה שנסמנו • . o אם )פונ' של o אם אז: המשוואה 0 · , בלבד( אז: , · . . מדוייקת אריאל סטולרמן 2 מד"ר 1 תרגולים :2,3 קירובים: שיטת )קירוב( אויילר: , ותנאי התחלה · · , כאשר בהינתן מד"ר , … 0,1,2, , תיאור השיטה) :על קטע • השיטה מסתמכת על חישוב פונ' האינטגרל של yעל אינטרוולים קטנים .הנוסחה: הוא אורך האינטרוול. ( , מחלקים את הקטע ל n-חלקים שווים באורך :h • בקטע • מחברים בין הנקודות , , מוצאים את הישר העובר דרך , , , ,…, . , , ששיפועו היא הנק' הבאה, .נקודת החיתוך שלו עם הישר , . .ממשיכים כך עד הקטע האחרון . · מתקבל גרף פונ' מקורב לפתרון .תזכורת :משוואת ישר היא . קירוב פיקרד: בהינתן מד"ר . , ,הקירוב הוא ע"י סדרת פונ' עם תנאי התחלה , כאשר: קיום ויחידות: בהינתן . , : • אם fרציפה אז קיים פתרון ,לא בהכרח יחיד .דוגמא: • אם fגם גזירה אז הפתרון הוא יחיד . . . כדי למצוא את תחומי הפאזה )של ( ,בהם יש למד"ר פתרון יחיד ,נמצא את התחומים בהם fגזירה ורציפה. פתרון מד"ר ע"י טורי חזקות: בהינתן מד"ר • , : ∑ מסמנים פתרון כללי בצורת טור חזקות: ∑ 1 .מכך מתקבל : ∑ , וכו'. לשים לב מהיכן מתחיל kבטורים – במקרה זה 0עבור 1 ,yעבור תנאי התחלה יקבעו את תחילת הסדרה • מציבים את הטורים הנ"ל במד"ר . • מבצעים השוואת מקדמי פולינום לכל חזקה • : , יקבע את וכו'! וכן הלאה. יקבע את – מערכת משוואות אינסופית .מפתרונה נקבל פתרון לכל המקדמים :ע"י תנאי ההתחלה ונוסחת הנסיגה נוכל להגיע לפתרון כללי עבור ,ומכאן לפתרון המד"ר . מציאת רדיוס ההתכנסות: . פתרון ע"י טורים עד סדר כלשהו: • . מייצגים את yעד הסדר הרצוי ,למשל: • את • בהצבה במד"ר נסתכל על הגורמים עד הסדר הגבוה ביותר המופיע ב- , מחשבים בהתאם: 4 2 3 , 12 2 6 . ,הנגזרת הגבוהה ביותר המופיע במד"ר )לרוב ( .למשל בדוגמא לעיל נסתכל רק על גורמים עד סדר .2מכל שאר הגורמים נתעלם .פתרון סופי מתקבל ע"י השוואת מקדמי פולינום . נקודות סינגולריות רגילות: במשוואות מהצורה 0 , · היא נקודה סינגולרית רגילה אם: , · הם גבולות סופיים .אם כן ,ניתן לפתור את המד"ר באופן הבא: • מציבים ∑· כלומר ∑ . אריאל סטולרמן • 3 כמו קודם גוזרים ומציבים את הטורים במד"ר ,ומתקבל שהמקדם של , לשים לב שכאן הטורים של מד"ר 1 הוא הפולינום האינדיציאלי שהוא ריבועי ב . -נסמנו מתחילים גם כן מ0- ∑ !) . וכו'( שני שורשים ממשיים שונים שההפרש ביניהם לא שלם ,יתקבלו הפתרונות : מקרה ספציפי :אם ל- ∑ ∑ , , קבועים כלשהם )את · ,והפתרון הכללי הוא: · עבור , מוצאים ע"י נוסחת הנסיגה המתאימה לשורשים שמצאנו(. תרגול :4 דיוקן פאזה של מערכת אוטונומית: . מערכת אוטונומית :מערכת משוואות דיפרנציאליות שאגף ימין שלה אינו תלוי ב ,t-למשל: טענה :אם פתרון למערכת אוטונומית אזי גם קו פאזה :קו שהפתרון פתרון )אם . של המערכת מצייר במרחב פתרון ,גם )1 (; . .. , )2 ( וכו'. פתרון(. .נשים לב :שני קוי פאזה או לא נחתכים ,או מתלכדים. עקומת פאזה עבור משוואות ניוטון: .. החוק השני של ניוטון0 : . )משוואה אוטונומית(; מכאן0 : . .. .נסמן : . -הגורם השמאלי הוא האנרגיה הקינטית והימני הוא הפוטנציאלית. האינטגרל הראשון: שרטוט קווי פאזה: • עוברים למערכת משוואות מסדר ראשון: הוקטורי: , , , , לאחר סימון . הופך למערכת המשוואות: , .מכאן מתקבל השדה . . • מחשבים אינטגרל ראשון • מוצאים נקודות קריטיות ע"י השוואה ל0,0 :0- : .. . ואינטגרציה על גורם זה תתן את התוצאה . , . , • עבור נקודות קריטיות • מחשבים נגזרת שניה של • משרטטים את גרף • ניתן לדמות את גרף הפונ' כמסילה עליה נוסע כדור .תיאור מהירותו ותנועתו על גרף הפונ' מתאימה לקוי הפאזה שנשרטט .משרטטים על גרף , שהתקבלו ,הנקודות הקריטיות של , הם . כדי לזהות מינימום/מקסימום . ( האפשריים בהתאמה למקרים השונים . ,ועליו משרטטים את כל קוי הגובה )שהם האנרגיה הכוללת מישור הפאזה את קוי הפאזה המתאימים לכל אחד מהמקרים השונים של Eבהתאם לעקרונות הבאים : )קוי גובה קטנים מהפונ'( אין קוי פאזה . o כיוון ש- o במקומות בהם יש חיתוך עם נק' קיצון ,תהיה במישור הפאזה נקודה סינגולרית בודדת )הכדור עומד במקומו( . o אז במקומות בהם למשל( ,יש תנועה מחזורית עם מהירות 0בקצוות ושיא בקיצון )ככל שהאנרגיה במקומות בהם יש חיתוך חלק קעור ) כמו הפוטנציאלית-גובהית גדולה יותר ,כך הקינטית קטנה יותר ולהיפך( .במקרה זה קוי הפאזה מהצורה o סימטריה ביחס לציר ה . - . משוואות מהצורה 0 • נסמן • מכאן: . . .. : . ומכאן: , , .. · · . הוא השדה הוקטורי . תרגול :5 נגזרות Lieואינטגרל ראשון: יהי וקטור היוצא מנק' להגדיר את ההרכבה בתחום ,U : :ו- :עקומה פרמטרית המשאירה את עם מהירות כך ש- 0 . , 0 .ניתן . אריאל סטולרמן 4 נגזרת כיוונית :הנגזרת של פונ' יהי Vשדה וקטורי ו- בכיוון הוקטור ∑ · הוא: | . , :אז: נגזרת Lieשל :הנגזרת של הפונ' fבכיוון השדה Vהוא פונ' חדשה : שבכל נקודה בכיוון וקטור השדה הערך שלה הוא הנגזרת של היא נגזרת Lieשל . .הפונקציה היוצא מ: - האינטגרל הראשון )הגדרה פורמלית( :יהי Vשדה וקטורי, 0 מד"ר 1 .הגדרה שקולה קלה יותר לבדיקה: :דיפרנציאבילית. . היא אינטגרל ראשון של המשוואה , :כלומר על אינטגרל ראשון אם היא קבועה לאורך כל פתרון אם מתקיים היא קבועה. מערכת משוואות לינאריות: :אופרטור לינארי ,ומערכת nמשוואות לינאריות הומוגניות מסדר 1עם מקדמים קבועים )בקיצור משוואה לינארית( .המשוואה יהי הלינארית מוגדרת ע"י השדה הוקטורי עבור סימון קורדינטות . והיא מהצורה: ,…, . . ∑ ניתן לכתוב את המשוואה בצורת מערכת משוואות: ,1כאשר לכל המטריצה המייצגת של האופרטור .Aמט' זו היא המטריצה המייצגת של המערכת. פתרון מערכת מצורה זו: 0 עבור תנאי התחלה אקספוננט של אופרטור לינארי: · פתרון יהיה: ∑ ! . ,כאשר Eמט'/אופרטור יחידה. ! • אם המטריצה של האופרטור הלינארי אלכסונית עם איברי אלכסון • אופרטור Aניתן ללכסון אם המט' שלו ניתנת ללכסון )אלכסונית בבסיס כלשהו( . • תהי Pהמט' המלכסנת של Aכך ש- מציאת ,…, הינו גם כן אופרטור לינארי. אז גם המט' של האופרטור ) Dאלכסונית( ,אזי: ,…, אלכסונית עם באלכסון . . : תחילה מלכסנים את :A • ואת שורשיו שהם הע"ע של :A מוצאים פולינום אופייני • לכל ע"ע • כעת המטריצה המלכסנת Pהיא מהצורה: והשוואתה ל .0-מכאן נוציא את הו"ע )יתכנו יותר מאחד( . נמצא ו"ע מתאים ע"י דירוג המטריצה | … … … | . ,…, | | 0 ו- … … ) 0 הו"ע המתאים ל .( -מחשבים את )למשל בשיטת דירוג לצד מטריצת היחידה( . • . שלב סופי: במקרים אחרים ניתן להסתכל על טור החזקות ∑ ולנסות למצוא חוקיות לחזקות של .A ! אופרטור נילפוטנטי :אם עבור )החל מ( חזקה כלשהי הוא מתאפס .אם Aנילפוטנטי אז הסדרה סופית. תכונות אקספוננט: • לינאריות: • דיפרנציאביליות: · . . מסקנה )משפט( :פתרון המשוואה הלינארית . עם תנאי התחלה 0 הוא · . מציאת קבוצת פתרונות עבור מערכת משוואות: . להלן תפורט קבוצת הפתרונות הבסיסית ,כאשר הפתרון הכללי הוא צירוף לינארי של כולם .בהינתן מערכת המשוואות • אם ל A-יש nע"ע ממשיים ושונים • כאשר לע"ע כלשהו ריבוי אלגברי גדול מ ,1-נסמנו :d o ,…, עם ו"ע ,…, ,קבוצת הפתרונות הבסיסית היא: אם מס' הו"ע המתאימים לאותו ע"ע )ריבוי גיאומטרי( הינו גם ,dקב' הפתרונות עבור : ,…, ,…, כאשר : . . אריאל סטולרמן o אם מס' הו"ע המתאימים ל -הוא עבור ∑,…, , , מוצאים ע"י הצבה במשוואה והשוואת מקדמים ,למשל עבור: כאשר את • 5 : · ומציבים: אם קיים ע"ע מרוכב , . והמשוואה ,מסמנים וקטור נעלמים .מהשוואת מקדמים נמצא את הוקטורים הנ"ל . : )שגם הצמוד שלו הוא ע"ע( ,נשתמש בנוסחת אויילר לקבלת 2פתרונות ממשיים ב"ת: מד"ר 1 , ,…, · , תרגולים :6,7 לינאריזציה: . בהינתן משוואה המוגדרת ע"י שדה וקטורי Vבמרחב הפאזה ,תהי )אחרת נקודה קריטית המאפסת את השדה .בה"כ ניתן לקחת פשוט מזיזים את מע' הקורדינטות( .פיתוח השדה סביב נקודה זו לטור טיילור ,כאשר הגורם הראשון בו לינארי ,והשמטת שאר הגורמים נקראת . לינאריזציה :המעבר מהמשוואה | . למערכת חדשה: ו- כאשר )נגזרת הרכיב ה i-לפי הרכיב ה j-בנקודה קריטית( .באופן אחר: ∑ · הוא יעקוביאן ,כלומר: , . . משוואות לינאריות במקדמים קבועים: פתרון כללי של מד"ר הומוגנית מסדר :2 לכל מד"ר לינארית הומוגנית מסדר 2שמקדמיה רציפים באינטרוול ) Iלרוב קבועים( ניתן למצוא בדיוק 2פתרונות ב"ת בI- 0 0 , המקיימים . .זו קבוצה יסודית/בסיסית של המד"ר.פתרון כללי למד"ר: וורונסקיאן: ,…, יהיו nפתרונות של מד"ר לינארית הומוגנית בקטע Iעם מקדמים רציפים )כאן :קבועים( .וורונסקיאן: … … . . . ,…, … • הפתרונות • לפיכך :בהינתן פתרונות למד"ר ,ניתןם לבדוק נכונות ע"י הצבה במד"ר ,ואי תלות ע"י הצבה בוורונסקיאן ובדיקה שלא מתקבל 0לכל .t ,…, ,…, תלויים לינארית ב I-אמ"מ : . פתרון משוואות לינאריות הומוגניות במקדמים ממשיים: בהינתן מד"ר לינארית מסדר 2לא הומוגנית שמקדמיה קבועים וממשיים0 : • • הפולינום האופייני של המד"ר0 : , o o אם שורש ממשי יחיד: o אם ) ) )באופן דומה עבור סדר .(nקבוצת הפתרונות הבסיסית נקבעת מהשורשים לפי : , שורשים ממשיים שונים: אם , . )בריבוי גבוה יותר: , וכו'( . ( שורשים מרוכבים )צמודים אחד לשני( ,לפי נוסחת אויילר: , הפתרון הכללי: ,( , ,אזי: , , . נקבעים ע"פ תנאי ההתחלה . משוואות לינאריות לא הומוגניות במקדמים קבועים: בהינתן - :משוואה לינארית לא הומוגנית מסדר 2 זוג פתרונות של המשוואה ההומוגנית המתאימה 0 פתרון מסויים של המשוואה הלא הומוגנית ,נסמנוהפתרון הכללי של המשוואה הלא הומוגנית הוא: בהינתן - :פתרון כלשהו -פתרון כלשהו ~ ~ ~ ~ . של המשוואה של המשוואה אריאל סטולרמן 6 אז עבור המשוואה ~ הפתרון יהיה: ~ ~ מד"ר 1 . כדי למצוא את הפתרון הפרטי הנדרש למשוואה הלא הומוגנית ע"מ שנוכל לפתור את הנ"ל ,נשתמש בשיטת המקדמים הלא ידועים )כשניתן( :בהינתן ונמצא אותו ע"י השוואת מקדמים: )מקדמים קבועים( ,נציב פתרון כללי לפי הצורה של • , ) o אם o אם o אם , שורשים של הפולינום האופייני( : ~ :מחפשים פתרון מהצורה , ~ : ~ : • . פולינום ב -מדרגת כאשר . . : o אם o אם , ~ : , כאשר . ~ )מרוכבים תמיד שונים ,צמודים(: )אותו תנאי על ( . יציבות: בהינתן מד"ר הומוגנית מסדר :n • יציבות (stable) :אם כל פתרון • יציבות אסימפטוטית (Strictly stable) :אם לכל פתרון של המד"ר . נשאר חסום כאשר ∞ . מתקיים0 : במקדמים קבועים נקבל רק יציבות אסימפ' או חוסר יציבות בכלל .במקדמים קבועים :יציבה אסימפטוטית אמ"מ לכל ע"ע מתקיים 0 0 .אם עבור ע"ע כלשהו ,המע' אינה יציבה. קריטריון יציבות של :RouthHurwitz • אם הפולינום האופייני מהצורה: • אם הפולינום האופייני מהצורה: 0, -הקריטריון הוא0 : -הקריטריון הוא: . 0, · . , , הגדרת יציבות עבור מע' אוטונומית כללית: . תהי aנק' קריטית של מע' אוטונומית כך ש0- • יציבהto :לכל 0 • יציבה אסימפטוטית :אם קיים 0 • יציבה לחלוטין :אם היא יציבה ויציבה אסימפטוטית . קיים 0 כך שאם | .אזי הנקודה :a | 0אז כלשהו כך שאם | | 0אז 0 | | 0: . | | . עבור מד"ר אוטונומית מסדר ,1קריטריון פשוט ליציבות אסימפטוטית: משפט: הנקודה הקריטית 0של המשוואה האוטונומית מסדר :1 . יציבה אסימפטוטית אמ"מ קיים 0 כך שאם | | 0אז 0 . משפט: . הנקודה הקריטית 0של מע' משוואות אוטונומית לינארית במקדמים קבועים יציבה אסימפטוטית אמ"מ לכל ע"ע של Aהחלק הממשי שלילי .במקרה זה המערכת גם יציבה לחלוטין. משוואה לינארית מסדר 0 2 . .. . ניתנת לכתיבה כ- 0 . .לפי קריטריון הורוביץ התנאים ליציבות לחלוטין: 0 0 תנאים ליציבות מד"ר: תהי משוואה לינארית הומוגנית כלשהי במקדמים קבועים מסדר ,nובה"כ יש לה kשורשים אופייניים הפתרונות, … : , ,…, כאשר כל אחד תורם לקבוצת .קריטריונים ליציבות אך לא לחלוטין: אריאל סטולרמן • 7 .אם כל השורשים מקיימים 0 כל השורשים מקיימים 0 לחלוטין .אם 0 מד"ר 1 אז הפתרונות הללו דועכים ל 0-כאשר ∞ והפתרון יציב הפתרון לא יציב כלל . • קיים לפחות אחד המקיים 0 • כל שורש המקיים 0 . הינו שורש פשוט )מריבוי .(1 סוגי נקודות יציבות: . בהינתן משוואה אוטונומית , יהיו • מקרה 0 :1 o . 4 שורשי הפולינום ,נסמן: 0, Δ הפולינום האופייני הוא0 : 4 0, .Δ 4 : :Focal Pointsכאשר , הן מתרחקות מהראשית ,ואם 0 o . :Nodal Pointsכאשר 0 0, Δו0- הספירלות מכוונות לראשית ,אם 0 .פתרונות המערכת הם ספירלות :אם 0 אלו עקומות סגורות )כמו מעגלים( . 0, Δ ממשיים בעלי אותו סימן .המערכת יציבה כאשר ואז שליליים .עקומת הפאזה מהצורה: , פרבולות המשיקות לראשית .o 0, Δ 0 :Saddle Points , ממשיים בעלי סימן מנוגד .עקומת הפאזה: -שתי אסימפטוטות והיפרבולות ביניהן. נקודות אוכף תמיד אינן יציבות . • מקרה :2 o 0 0, :Δעקומת הפאזה מורכבת מקוים ישרים דרך הראשית )קונפיגורציית כוכב – או יוצאים מהראשית או נכנסים לראשית(. יציבות :לא ברור! 0, o 2 )Δ ולא יציב כאשר 0 ( :נקבל גם כן .Nodal Pointsיציב כאשר 0 .עקומת הפאזה מהצורה : כאשר החצים פונים החוצה או פנימה . o 0 0, :Δעקומת הפאזה היא קווים מקבילים מהצורה ממנו( .הראשית נקודה יציבה אך לא לחלוטין אם 0 o 0 0 :Δעבור 0 . )קווים מקבילים כאשר החצים פונים לכיוון ציר ה -או החוצה ,ולא יציבה כאשר 0 )בכל מקרה 0 . . נקבל נקודה ) Neutrally Stableיציבה אך לא אסימפטוטית( ,ועבור 0 ( . .. נקבל חוסר יציבות . ישנו חומר נוסף שטרם נכלל בסיכום!!! אריאל סטולרמן 8 מד"ר 1 סיכומי הרצאות: משוואות קווזי-לינאריות )כמעט לינאריות(: משוואות מהצורה0 : , , פתרון של , בתחום , • האם פתרון קיים • האם פתרון יחיד • מהו תחום ההגדרה המקסימלי , כלומר: הוא פונ' , , )משוואה נורמלית(. : , )מפורשת או סתומה( כך ש- , . , סוגים: תלות ב t-בלבד . ) (1משוואות מהצורה משפט :Barrow , תהי , אזי: • קיים פתרון יחיד • הפתרון של כך ש- למשוואה , . ו- הוא פונ' הנתונה ע"י הנוסחה: , .כל העקומים נמצאים ברצועה בין ובכל נקודה עובר עקום יחיד בתנאי שהפונ' רציפה . )תלות ב -בלבד ,ללא תלות ב .t- ) (2משוואות מהצורה . פתרון: אינווריאנטית ביחס ל ,t-כלומר עבור הערה: נקבל אותו דבר .מכאן :אם ) (3משוואות לינאריות מסדר 0 :1 אם ב - , מתקיים 0 , , . , , , אז מתקבלת משוואה נורמלית: משוואות הומוגניות :מקרה פרטי בו 0 ,כלומר: פתרון אז גם . , . , lnולכן .שיטת פתרון: .lnפתרון כללי: . הפרדת משתנים :מפורט בתרגול. , פונקציות הומוגניות: , פונקציה הומוגנית )מסדר (0אם , , : , .פתרון ע"י ההצבה ,מפורט בתרגול. משוואות לינאריות: משוואה לינארית: , , פונקציה לינארית ביחס ל: - . ,כאשר המשוואה היא: משוואה לינארית הומוגנית: 0 ,כלומר משוואה מהצורה 0 פתרון: . ו.(0- )פתרון זו מורכב משני פתרונות: שיטת גורם אינטגרציה) :השלישי בטבלה בתרגול (1 עבור המשוואה: פתרון :מחפשים פתרון מהצורה: .יהי פתרון למשוואה ההומוגנית ,כלומר0 : , . המשך הפתרון – מפורט בתרגול. משוואות מדוייקות :שיטה מלאה מפורטת בתרגול. תבנית דיפרנציאלית :עבור טענה: , מדוייקת אם קיימת פונקציה הביטוי , כך ש- , , ,ותחום ההגדרה שלו הוא חיתוך תחומי ההגדרה של Mו.N- . משפט: נניח התחום של שנסמנו הוא פשט קשיר )בין כל 2נק' בתחום ניתן להעביר עקום לאו דווקא ישר( ופתוח .אזי: אריאל סטולרמן 9 • אמ"מ 0 לכל מסילה סגורה • אמ"מ לכל . , , דיפרנציאל :של פונ' , בנקודה אינטגרל מסויים: מד"ר 1 . . הוא . , אינטגרל מסילתי )קווי( :עבור .בהינתן תבנית דיפרנציאלית הוא ועקום מכוון מתקבל מספר שסימונו כאשר המסילה. פרמטריזציה של עקומים: בהינתן עקום bפרמטריזציה היא פונ' של משתנה אחד כך ש: • • , לכל . למעט מספר סופי של נקודות ,בכל נקודה של bהיא חח"ע . משפט הפונקציה הסתומה: , נניח כי: • , • , , , , , ו0- , בקטע ,אז :קיימת פונ' יחידה , כך ש : משוואה מדוייקת: תהי , פונקציה סתומה: בתחום הערה :בהינתן פונ' סתומה ,המשוואה 0 , ופתרון משוואה מדוייקת הוא פונ' סתומה , , היא מדוייקת .המשוואה תכתב0 : . , מתקיים: , פירוש גיאומטרי של משוואה מסדר ראשון: , בהינתן ,השיפוע בנקודה , , הוא כמובן .בודקים את היחס בין שיפוע זה לוקטור המיקום שהוא ,ואז מתקבל תיאור כללי של השיפוע בכל נקודה. קיום ויחידות פתרונות לבעיות התחלה: בהינתן משוואה עם תנאי התחלה: , , ) תנאי התחלה( .נתעניין האם קיימת המקיימת את הנתונים ,האם היא יחידה והאם ישנה תלות בתנאי ההתחלה )כלומר ,אם היה פתרון יחיד לתנאי ההתחלה ,האם בשינוי תנאי ההתחלה יתקבל פתרון אחר( .פתרון הינו קו אינטגרלי המוגדר ע"י פונ' הפתרון . משפט :Peano תהי , , חסומה ורציפה בתחום ,Gונניח הערה :בדוגמא )בפנים התחום ;G \ ( ,אזי :קיים לפחות קו אינטגרלי אחד העובר דרך , . ניתן לראות מדוע אין יחידות. משפט :Picard כאשר Uהוא סביבה של , תהי , ,אזי :קיימת סביבה כך שלמשוואה , קיים פתרון יחיד המקיים קרוב ל . - לכל העתקות מכווצות – :Contraction Mappings מרחב מטרי: , כאשר Mקבוצת איברים ו- :פונ' )מרחק( בעלת התכונות: מטריקה: • אי שלילית0 : • סימטרית: . : , , 0 , , , . . אריאל סטולרמן • , אשמ"ש: 10 , סדרת :Couchyסדרה , במרחב מטרי . , , לכל , מד"ר 1 , נקראת סדרת קושי/יסודית אם 0 , , : ,limובמילים אחרות: 0 משפט: כל סדרת קושי ב -מתכנסת עם המטריקה הרגילה | , מרחב מטרי שלם: , : lim מרחב מטרי שלם אם כל סדרת קושי ב M-מתכנסת לאיבר ב:M- , העתקה מכווצת :יהי | , . :העתקה A .תהיה העתקה מכווצת אם קיים 1 מרחב מטרי )לא בהכרח שלם(, , , . 0כך ש: .אם העתקה מכווצת אז היא רציפה. נקודת שבת :תהי Mקבוצה ו A-העתקה .הנקודה . תהיה נקודת שבת אם משפט: יהי • , :העתקה מכווצת ,אזי: מרחב מטרי שלם, קיימת ל A-נקודת שבת . • נקודה זו יחידה . הוכחה: יהי ,…: ,נגדיר עבורו את הסדרה .1 הוכחה כי היא סדרת קושי: יהי , · ,אזי: . , , , כלשהו .רוצים להראות כי 0 , ,וזאת כיוון ש A-העתקה מכווצת עם מקדם .יהי nויהי :lim , עבור k , 1 , · lim 1 0 , , , אשמ"ש lim , , , , אשמ"ש 1 lim · .2 Mמרחב שלם ולכן .3 Xנקודת שבת של :A lim .limיהי lim . . אם Aמכווצת היא רציפה ,ולכן מותר להכניס את ה A-לתוך הגבול ולקבל: .4 ולכן Xנקודת שבת של .A lim יחידות נקודת השבת : נניח קיימת ,אז: כך ש- , , לכל nכי 0 ,נקודות שבת .מכאן: 0 , lim , מכווצת , lim , עבור , יהיה פתרון בקטע )פתוח או סגור( , , אם לכל , ,ובאופן שקול: , תנאי ההתחלה מתבטא בתוספת , העתקת :Picard מתקיים: ובגבול התחתון של האינטגרל ,כך ש- הוא פתרון למשוואה , ,כלומר . . : נקודת שבת של .A תנאי ליפשיץ: יהיו , , , שני מרחבים מטריים A ,העתקה המקיימת: , :אז Aמקיימת תנאי ליפשיץ אם קיים 0 כך ש: אריאל סטולרמן 11 , · מד"ר 1 , מושגי טופולוגיה: כדור :כדור ברדיוס 0 עם מרכז בנקודה , ,ו- • כדור פתוח: , | , • כדור סגור: , | , , קבוצה פתוחה U :קבוצה פתוחה ב- קבוצה סגורה V :קבוצה סגורה ב- • • Vחסומה ,כלומר קיימים 0 אם , , אם: , כך ש: . קבוצה קמורה :יהי Vמרחב וקטורי )לא בהכרח ממימד סופי(, 1 לכל 1 מקיים: , כך ש- ) Bכדור פתוח(. )המשלים ( \ :הוא קבוצה פתוחה. קבוצה קומפקטית V :קבוצה קומפקטית ב- Vקבוצה סגורה . קיים 0 אם לכל , מרחב מטרי: ,הקטע הישר )כל הנקודות על הקטע( קבוצה G .קבוצה קמורה אם לכל .0 משפט: ,אז f :מקיימת תנאי ליפשיץ ב G-עם קבוע )נגזרות חלקיות רציפות( בקבוצה קמורה נניח , , – גרדיאנט ,ומתקיים: max כאשר . הערה :בד"כ המשפט הוא עם supולא עם .max הוכחה: , נחבר את הנקודות כיוון ש1 - , , בקטע הישר: , 0 . , 1 , , , , , . · , 1 .מתקיים: , , , 0 · , · · . | , | · . | אשמ"ש קושי שוורץ , . | , max משפט הקיום והיחידות: , , , , • קיים . • יחיד . • עבור , , ,אזי הפתרון : , אז פתרון לבעיית ההתחלה )רציפה ביחס ל .( - פתרון אמ"מ היא נקודת שבת להעתקת פיקרד. משפט: :העתקה מכווצת אזי קיימת נקודת שבת יחידה (כאשר העתקה מכווצת מקיימת1 : אם , , , (. משפט :PicardLindelöf יהי | |, max | | , • קיימת פונקציה | || , גליל )מלבן ב- , f ,מקיימת תנאי ליפשיץ לפי | : יחידה מוגדרת בקטע | , | ( .ממשפט היחידות ב- , , המקיימת , |: , לכל , , עובר קו אינטגרלי יחיד .תבי min , ,אזי: , . אריאל סטולרמן • 12 · מתקיים: | לכל ! | כאשר מד"ר 1 ) , הוא קירוב פיקרד( . הערה :תהליך פיקרד לא תמיד מתכנס ,יתכן ויתקבלו כמה תתי סדרות. הרחבה של פתרונות: משפט: , תהי , כאשר Vתחום קומפקטי )סגור וחסום(, ,אזי :את הקו האינטגרלי העובר דרך , . ניתן להרחיב עד השפה מערכות משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר :1 נתונה מערכת מד"ר: • • בעיית התחלה: ,…, , … ; סימונים: , , -בו נמצא הקו האינטגרלי .המערכת תייוצג כך: )הכולל זמן( הוא פתרון: ,…, , ,…, , :כלומר המרחב הפאזי הוא ,והמרחב הפאזי המורחב . . : כאשר . כל משוואה מסדר nניתנת ע"י סימונים להעברה למערכת של nמשוואות. מערכות אוטונומיות: . צורה :מערכות מהצורה )ללא תלות ב,(t- , : ) : ,…, , (, -כלומר כל הנגזרות החלקיות הן פונ' רציפות )מטריצת יעקובי רציפה(. משפט: יהי פתרון למשוואה אוטונומית ,נבנה פונקציה חדשה )הזזה(: · הוכחה :כלל השרשרת: ,אזי היא גם פתרון. אינה תלויה ב .t-סה"כ אין השפעה על הזזה בקבוע כי הנגזרת נשארת זהה. ; כמו כן )ואז 1 כל מערכת לא אוטונומית ניתנת לרישום בצורה אוטונומית ע"י הגדרת ( .הקו הפאזי של המערכת החדשה הוא קו אינטגרלי של המערכת המקורית. Fשדה וקטורי :בכל נקודה במרחב ,…, נתון וקטור עם הקורדינטות נקודה קריטית c :תהיה נקודה קריטית/סינגולרית לשדה Fאם מרחב פאזה :תחום ההגדרה של :F ,כלומר . . . מרחב פאזה של . הוא מרחב פאזה מורחב של – Fכאשר מוסיפים מקום ל.t- מרחב פאזה מורחב: . קו אינטגרלי :פתרון של -קו ב- קו פאזי :התמונה של הקו האינטגרלי .עבור כי הפתרון הוא פונ' של .t. פתרון ,הקו/עקום פאזי של המערכת הוא משפט: לכל נסמן : , ויהי הפונקציה: פתרון ל- . ,אזי גם פתרון ,כלומר הפתרון אינו תלוי .tלמעשה כל הקווים המקבילים הם פתרון )עבור tהמוגד לכל (. משפט: דרך כל נקודה במרחב פאזה לא עובר יותר מקו פאזה אחד. הוכחה: נניח ישנם שני פתרונות פתרון ,אבל , ,אז קיימים ,כך ש- אותו תנאי התחלה שכן)בגלל שהתחום הוא כל ו- .לפי המשפט הקודם .לפי משפט היחידות: התמונות שוות( ,ולכן הוא גם אבל אז -סתירה. אריאל סטולרמן 13 מד"ר 1 משפט: לקו פאזה 3אפשרויות: • נקודה בודדת – נקודת שבת של המערכת . • קו סגור )שקול למעגל( ללא נקודות חיתוך עצמיות ,כמו . • ללא נקודות חיתוך עצמי כלל ,כמו ספירלה למשל )ולא כמו ∞( . טענה: תהי . פתרון של • תחום ההגדרה של • Φמחזורית עם מחזור • בקטע . ,כלומר Φהרחבה של . פונקציה ב T , -ו S-מחזורים של ,fאזי טענה :תהי Pקבוצת כל המחזורים של גם כן מחזור של .f פונ' רציפה: . lim lim lim הוכחה: כך ש- Φהוא כל . Φלכל טענה :תהי , בעל התכונה שקיימים , -כלומר יש חיתוך עצמי .אזי קיימת Φכך ש: | ,ותהי .lim סדרה מתכנסת ,אזי: lim משפט: קבוצה סגורה ביחס ל"- תהי או 0 " וסגורה ,אזי: או קיים ,כלומר … , 2 , כך ש- 0, . אינטגרל ראשון: נגזרת של פונקציה לפי וקטור , יהיו : ,…, , : , כאשר Fשדה וקטורי ב.U- ,…, עובר דרך וקטור ,F הישר , פונקציה של ,sהנגזרת של Hלפי · , · זו הנגזרת לפי – Fכמו הנגזרת הכיוונית לפי Fרק לא מנורמלת )מוכפלת ב- : | | . | (. אינטגרל ראשון: :הוא אינטגרל ראשון של המשוואה )הרב מימדית = מערכת משוואות( תחום, יהי . : היא נגזרת לפי שדה H ,Fפונקציה של , אם 0 בכל ,Uכאשר . תכונות: • אדיטיביות: • כלל לייבניץ: • סכום שדות: • כפל שדה בפונ': . · . · הוא שדה חדש . ,כאשר · וקטור .שדות וקטורים מהווים מודול מעל חוג/אלגברה )פונקציות( .מכאן: . , מספר משפט: • 0 אמ"מ • 0 אמ"מ כל קו פאזה שייך לאחד )בלבד( ממשטחי גובה של ,Hכאשר משטח גובה עבור לכל פתרון . המתאים ל c-הוא )המקור של cלפי Hב .(U- הוכחה: • :נתון כי 0 , . , ו- . .מהנתון עולה כי הנגזרת של לפי tהיא 0ולכן קבועה . אריאל סטולרמן 14 מד"ר 1 :כיוון זה זהה. • הוא קו פאזה, 0 אמ"מ לאורך קו פאזה Hקבועה ,ולפי הנ"ל פתרון – לפי הנ"ל ידוע ש- אמ"מ . משוואות קונסרבטיביות מדרגת חופש אחת: .. משוואת ניוטון: . "שדה כוחות" .כתיבה כמע' משוואות: , • אנרגיה קינטית: • אנרגיה פוטנציאלית :תלויה במיקום ,פונ' קדומה של :T • . .נגדיר למערכת 3פונקציות: , פונקציית :Hamilton משפט: . Hהיא אינטגרל ראשון של . . הוכחה: · 0 · · · , · ; , , , משפט: E ,קבוע )אנרגיה( ,אזי :קו פאזה )קו גובה( Eהוא עקום חלק בסביבה של כל נקודה רגילה ,כלומר נקודה שאינה קריטית נסמן . , )נקודה קריטית , מקיימת 0 ,כלומר במקרה זה עבור 0: . 0, (. הוכחה: , 0 כלשהי של בסביבה של , .לפי משפט הפונ' הסתומה :אם 0 ולכן אם 0 . , הוכחנו .אם 0 0 אז בהכרח 0 כי הנקודה אינה קריטית ,ובמקרה זה: כך ש0- ומכאן גם בנקודה זו קיימת פונ' גזירה, נקודה קריטית: תהיה נקודה קריטית אם 0 , גזירה כך ש0- אז קיימת פונ' , בסביבה וזה אמ"מ , , נק' קריטית ל) H-כלומר 0 בסביבה מסויימת של או 0 ( כאשר Hהוא פונ' המילטון – אינטגרל ראשון. , ערך קריטי E :ערך קריטי של Hאם , )ערך הפונ' בנקודה הקריטית בה 0 (. קווי פאזה סביב נקודה קריטית: נקודה קריטית: 0 0 למת :Morse תהי uפונ' בעלת התכונות0 (1) : כך ש- קיימת קור' 0 · 0 (2) , 0 0 )נקודה קריטית לא מנוונת ,כלומר מינימום או מקסימום ,לא אוכף( ,אזי: )נשים לב כי (. היא פונ' גזירה ,הפיכה והפונ' ההופכית שלה גם גזירה – כלומר היא דיפיאומורפיזם. למת :Hadamard נניח הוכחה: סביב 0ומקיימת 0 · 0 ,אזי :קיימת סביב 0כך ש- · . · אריאל סטולרמן 15 מד"ר 1 משפט: פונ' הפוטנציאל חסומה מלמטה ,כלומר נניח כי .. לכל ,אז ניתן להמשיך כל פתרון של לכל ציר ) tכי (. מערכות לינאריות: , , . , . . לינאריזציה :המשוואה )מע' המשוואות( · . נראת לינאריזציה של סביב נקודה כאשר | היא , מט' יעקובי של .F max נורמה של אופרטור: ∑, משפט: sup sup , משפט: , :שהוא מרחב וקטורי ,אזי תהי Lקבוצת כל האופרטורים · , הוא מרחב מטרי שלם ,כאשר , · ו L-הוא מרחב נורמה )וכל מרחב נורמה הוא מרחב מטרי( .לכן ,כל סדרת קושי ב L-מתכנסת לאיבר ב.L- משפט :Weierstrass תהי לכל tכאשר :סדרת פונ' בעלת התכונה ∑ מתכנס, ,אזי :אם ∑ מתכנס בהחלט ובמ"ש. משפט: ∑ מתכנס ו- , נניח ∑ ∑ מתכנס במ"ש ,אזי: ∑ . מסקנות: • הטור • · ! ∑ מתכנס בכל קטע ב -בהחלט ובמ"ש . . . • · הוא פתרון לבעיית ההתחלה . 0 טענה: • • אם Aלכסינה ומתקיים 0 אם אז: … 0 0 … . … . אז 0 … משפט :C. Jordan 0 • … 0 :קיים בסיס כך שהמטריצה של Aמקבלת צורה: לכל אופרטור … של 0,1 ,A • 0 -צורת ג'ורדן נורמלית ,כאשר הם ע"ע 0 . ניתן להציג כל מטריצה/אופרטור כסכום )מתחלפות( ,וכך: ו- כאשר · מטריצה לכסינה ו- מטריצה נילפוטנטית )מתאפסת החל מחזקה מסויימת(, . משפט: אם ,מתחלפות ) ( אז · . . פתרון ל- : אריאל סטולרמן 16 מד"ר 1 כאשר ע"ע שונים: • מוצאים משוואה אופיינית של :A • .det . ,…, מוצאים את שורשי הפולינום • • . ,…, מוצאים ו"ע מתאימים מציגים את 1 • דרך בסיס ∑ : )0 ולכן ( . ∑ הפתרון: . ע"ע מרוכבים :פירוט דרכי פתרון למקרים שונים בתרגול. 0 1 לשים לב :עבור Iאופרטור כפל ב , -המט' של Iבבסיס הסטנדרטי היא 1 0 מכפלה קרטזית של מערכות מד"ר: 0 · , ומקיימת: . … 0 … לכל מטריצה יש צורה קנונית של ג'ורדן מעל המרוכבים: … ) בלוקים( כאשר 0 1 0 1 … 0 . ו- . . . היא מכפלה של מערכות … והפתרון הוא: . : . ע"ע עם ריבוי: … 0 0 , 0, . משוואות , 1 0 1 0 0 0 , . , · : . … 0 : :ניתן להרחיב את הפתרון עד לקצוות. נניח . פתרון של ,המוגדר לקטע , · ,אזי: כאשר , max . טענה: אם , . שני פתרונות למשוואה הוא פתרון למשוואה ההומוגנית המתאימה לה. אז . עד משפט :ניתן להמשיך את כל הפתרון של בעיית ההתחלה . מסקנה :ניתן להרחיב כל פתרון של . לכל . מרחב וקטורי של פתרונות: . יהי Xמרחב וקטורי של פתרונות . משפט עיקרי של מד"ר :1 . Xאיזומורפי למרחב הפאזה של ) . ( ,כלומר: מסקנות: • • dim : האופרטור הוא איזומורפיזם )מ- ( . ל X-ומ X-ל- הערה :כל מערכת עם nוקטורים במרחב וקטורי ממימד nמהווה בסיס )אורתוגונליים אחד לשני(. וורונסקיאן: , יהיו , ,אזי הפונ' וורונסקיאן , : … … מוגדרת: . … נניח ) משפט :אם לכל (1פתרונות ל- , מתקיים 0 . W .היא הוורונסקיאן של המערכת אזי ,…, ,…, . פתרונות בת"ל. אריאל סטולרמן איזומורפיזם בין Xו- 17 מד"ר 1 : ואז פונ' האיזו' המסומנת ; קובעים מפורש: איזומורפיזם ,בכל נקודה עובר קו אחד ויחיד )האנך . מסקנה :כל פתרון של מוגדרת: .לפי משפט הקיום והיחידות, היא חותך את מרחב הפתרונות פעם אחת בדיוק בכל נקודה(. הוא צריף לינארי של nפתרונות "יסודיים" .כל בסיס ב X-נקרא מערכת פתרונות יסודית. עבור משוואות , : . יהי Yהמרחב הוקטורי של הפתרונות ,כאשר: המטריצה המתאימה למערכת: 0 0 … … 0 1 1 0 0 0 1 … … 0 0 0 . , . ,…, .. , . . , . . משפט: הוכחה: . ,…, :יהי . מערכת יסודית )כלומר פתרונות ל- … … ( .ידוע0 : אמ"מ … , בת"ל ,ז"א קיים כך ש0- . משפט: ,…, הפתרונות של … … . בת"ל אמ"מ קיים . , כך ש0- ,כאשר: . . … מסקנה :אם בת"ל אבל 0 ,…, ,אזי לא קיימת מד"ר ש- ,…, פתרונותיה. מערכות לינאריות לא הומוגניות: . • . • פתרון כללי ל- : פתרון כללי ל- : • • ,כאשר ∑ . ,…, מערכת יסודית. . ∑ . . ∑ . ∑ . ומכאן Xיהיה פתרון ל- . אמ"מ ∑ . משוואות לינאריות: . a ,נקודה המקיימת 0 לינאריזציה :המשוואה . . היא לינאריזציה של . סביב נקודה קריטית aאם: )מטריצת יעקובי של Fב.(a- אריאל סטולרמן . משוואות שקולות: 18 . , מד"ר 1 ,יקראו שקולות אם קיימת מט' הפיכה Pכך ש: , , . מסקנה :אם המשוואות שקולות ,הפולי' האופייניים שווים. מערכות במישור ) (: משפט: תהי . ,אזי המערכת מסקנה :אם אז . , . 1 שקולה ל- 0 det . . שקולות אמ"מ הפולינומים האופייניים מקיימים : · . יציבות: . יציבות :תהי aנק' קריטית למשוואה אוטונומית .אזי: • יציבה )ליאופונוב( :אם לכל 0 • אטרקטיבית :אם קיים 0 • נקודה יציבה ממש :אם שני הסעיפים הנ"ל מתקיימים. קיים 0 0. כך ש: 0 lim כך ש0 : 0 . . משפט: • הנקודה 0אטרקטיבית למשוואה . לכל ע"ע של .A אמ"מ 0 • אם 0נקודה אטרקטיבית ,אז היא נקודה יציבה ממש . מסקנה עבור סדר :2 , עבור . , : 4 :Δ ניתן להסתכל על הנתונים Δ, ,וכל השאר כדי להסיק מהם על מס' הע"ע השונים ,ריבויים וסימנים ,ומהם להסיק על יציבות באופן הבא: • אם כל הע"ע שליליים )שונים שליליים או אחד שלילי מריבוי – (2יציבות ממש )לחלוטין( ,כלומר שאיפה ל 0-כש∞- • אם יש ערך עצמי אחד לפחות חיובי ממש ,אין יציבות בגלל שאיפה לאינסוף כש∞- • אם יש ע"ע שלילי וע"ע 0או ע"ע 0מריבוי – 2יש יציבות רגילה ,כיוון שהאקספוננט נהיה ,1וכש∞- תמיד להסתכל על צורת הפתרונות: · -ומהם להסיק מה קורה כש∞- . . מקבלים קבוע . .
