1 " ר סיכומים במד : סיכומי תרגולים

Transcription

1 " ר סיכומים במד : סיכומי תרגולים
‫‪ ‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫‪1 ‬‬
‫‪ ‬מד"ר ‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫סיכומים במד"ר ‪1‬‬
‫סמסטר קיץ ‪) 2009‬פרופ' ודים אוסטפנקו(‬
‫סיכומי תרגולים‪:‬‬
‫תרגול ‪:1‬‬
‫סוגים של מד"ר ודרכי פתרון‪:‬‬
‫חשוב‪ :‬לשים לב לקבוע ‪ c‬המצורף כתוצאה מאינטגרציה‪.‬‬
‫שיטה‬
‫דרך פתרון‬
‫צורה‬
‫·‬
‫הפרדת‬
‫משתנים‬
‫משוואות‬
‫הומוגניות‬
‫משוואות‬
‫לינאריות‬
‫)מסדר ‪(1‬‬
‫פתרון ע"י העברת אגפים ואינטגרציה לפי כל משתנה בנפרד‪:‬‬
‫משוואות המקיימות‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫ניתן להציג בצורה‬
‫‪,‬‬
‫·‬
‫כאשר ‪0‬‬
‫המשוואה הומוגנית‬
‫•‬
‫מציבים‬
‫•‬
‫מחשבים את ‪:‬‬
‫•‬
‫מבודדים מתוך האגף הימני את‬
‫•‬
‫משוואות‬
‫ברנולי‬
‫·‬
‫ונקבל משוואה מהצורה לעיל )הפרדת משתנים(‪.‬‬
‫‪ .‬‬
‫·‬
‫·‬
‫כפונקציה של‬
‫של‬
‫·‬
‫‪ .‬נסמן‬
‫·‬
‫·‬
‫‪ .‬‬
‫ומציבים במקום זה את‬
‫מבצעים אינטגרציה על מה שהתקבל ומשווים להצבה המקורית של ‪ ,‬ממנה מבודדים את ‪ .‬‬
‫•‬
‫•‬
‫מסמנים‬
‫•‬
‫מציבים במשוואה ומקבלים משוואה לינארית‪:‬‬
‫·‬
‫‪1‬‬
‫ולכן‬
‫·‬
‫משוואות‬
‫מדוייקות‬
‫‪0 ‬‬
‫‪,‬‬
‫•‬
‫•‬
‫הפתרון הוא מהצורה‪:‬‬
‫•‬
‫או‪ :‬‬
‫·‬
‫‪1‬‬
‫מוצאים את וממנו מוצאים את ‪.‬‬
‫אם‬
‫•‬
‫‪ .‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ .‬מתקבל ביטוי‬
‫בלבד‪ .‬‬
‫כותבים את המשוואה בצורה‪:‬‬
‫•‬
‫‪.‬‬
‫אזי המשוואה מדוייקת‪ ,‬ואין צורך במציאת גורם אינטגרציה‪ .‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫המקיים‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫ולכן‬
‫כדי למצוא את‬
‫‪ :‬מתקיים‬
‫מחשבים את‬
‫וע"י אינטגרציה מחשבים את‬
‫‪ .‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪,‬‬
‫לבסוף מקבלים את ‪ u‬ורק אז מוסיפים את הקבוע‪:‬‬
‫‪ .‬‬
‫מציאת גורם אינטגרציה‪:‬‬
‫•‬
‫כאשר לא מתקיים התנאי הראשון‪ ,‬ניתן להגיע למשוואה מדוייקת ע"י הכפלה בגורם‬
‫‪,‬‬
‫אינטגרציה שנסמנו‬
‫•‬
‫‪ .‬‬
‫‪o‬‬
‫אם‬
‫)פונ' של‬
‫‪o‬‬
‫אם‬
‫אז‪:‬‬
‫המשוואה ‪0‬‬
‫·‬
‫‪,‬‬
‫בלבד( אז‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫·‬
‫‪ .‬‬
‫‪ .‬‬
‫מדוייקת‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ ‬מד"ר ‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫תרגולים ‪:2,3‬‬
‫קירובים‪:‬‬
‫שיטת )קירוב( אויילר‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫ותנאי התחלה‬
‫·‬
‫‪· ,‬‬
‫כאשר‬
‫בהינתן מד"ר‬
‫‪,‬‬
‫… ‪0,1,2,‬‬
‫‪,‬‬
‫תיאור השיטה‪) :‬על קטע‬
‫•‬
‫השיטה מסתמכת על חישוב פונ' האינטגרל של ‪ y‬על אינטרוולים קטנים‪ .‬הנוסחה‪:‬‬
‫הוא אורך האינטרוול‪.‬‬
‫(‬
‫‪,‬‬
‫מחלקים את הקטע ל‪ n-‬חלקים שווים באורך ‪:h‬‬
‫•‬
‫בקטע‬
‫•‬
‫מחברים בין הנקודות‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫מוצאים את הישר העובר דרך‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,…,‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫ששיפועו‬
‫היא הנק' הבאה‪,‬‬
‫‪ .‬נקודת החיתוך שלו עם הישר‬
‫‪,‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪ .‬ממשיכים כך עד הקטע האחרון‪ .‬‬
‫·‬
‫מתקבל גרף פונ' מקורב לפתרון‪ .‬תזכורת‪ :‬משוואת ישר היא‬
‫‪.‬‬
‫קירוב פיקרד‪:‬‬
‫בהינתן מד"ר‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ ,‬הקירוב הוא ע"י סדרת פונ'‬
‫עם תנאי התחלה‬
‫‪,‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫קיום ויחידות‪:‬‬
‫בהינתן‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪:‬‬
‫•‬
‫אם ‪ f‬רציפה אז קיים פתרון‪ ,‬לא בהכרח יחיד‪ .‬דוגמא‪:‬‬
‫•‬
‫אם ‪ f‬גם גזירה אז הפתרון הוא יחיד‪ .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .‬‬
‫כדי למצוא את תחומי הפאזה )של ‪ ( ,‬בהם יש למד"ר פתרון יחיד‪ ,‬נמצא את התחומים בהם ‪ f‬גזירה ורציפה‪.‬‬
‫פתרון מד"ר ע"י טורי חזקות‪:‬‬
‫בהינתן מד"ר‬
‫•‬
‫‪,‬‬
‫‪:‬‬
‫∑‬
‫מסמנים פתרון כללי בצורת טור חזקות‪:‬‬
‫∑‬
‫‪1‬‬
‫‪ .‬מכך מתקבל‪ :‬‬
‫∑‬
‫‪,‬‬
‫וכו'‪.‬‬
‫לשים לב מהיכן מתחיל ‪ k‬בטורים – במקרה זה ‪ 0‬עבור ‪ 1 ,y‬עבור‬
‫תנאי התחלה יקבעו את תחילת הסדרה‬
‫•‬
‫מציבים את הטורים הנ"ל במד"ר‪ .‬‬
‫•‬
‫מבצעים השוואת מקדמי פולינום לכל חזקה‬
‫•‬
‫‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫יקבע את‬
‫וכו'!‬
‫וכן הלאה‪.‬‬
‫יקבע את‬
‫– מערכת משוואות אינסופית‪ .‬מפתרונה נקבל פתרון לכל המקדמים‪ :‬ע"י תנאי ההתחלה‬
‫ונוסחת הנסיגה נוכל להגיע לפתרון כללי עבור‬
‫‪ ,‬ומכאן לפתרון המד"ר‪ .‬‬
‫מציאת רדיוס ההתכנסות‪:‬‬
‫‪ .‬‬
‫פתרון ע"י טורים עד סדר כלשהו‪:‬‬
‫•‬
‫‪ .‬‬
‫מייצגים את ‪ y‬עד הסדר הרצוי‪ ,‬למשל‪:‬‬
‫•‬
‫את‬
‫•‬
‫בהצבה במד"ר נסתכל על הגורמים עד הסדר הגבוה ביותר המופיע ב‪-‬‬
‫‪,‬‬
‫מחשבים בהתאם‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪,‬‬
‫‪12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪ ,‬הנגזרת הגבוהה ביותר המופיע במד"ר )לרוב‬
‫(‪ .‬למשל בדוגמא לעיל‬
‫נסתכל רק על גורמים עד סדר ‪ .2‬מכל שאר הגורמים נתעלם‪ .‬פתרון סופי מתקבל ע"י השוואת מקדמי פולינום‪ .‬‬
‫נקודות סינגולריות רגילות‪:‬‬
‫במשוואות מהצורה ‪0‬‬
‫‪,‬‬
‫·‬
‫היא נקודה סינגולרית רגילה אם‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫·‬
‫הם גבולות סופיים‪ .‬אם כן‪ ,‬ניתן לפתור את המד"ר באופן הבא‪:‬‬
‫•‬
‫מציבים‬
‫∑·‬
‫כלומר‬
‫∑‬
‫‪ .‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫•‬
‫‪3 ‬‬
‫כמו קודם גוזרים ומציבים את הטורים במד"ר‪ ,‬ומתקבל שהמקדם של‬
‫‪,‬‬
‫לשים לב שכאן הטורים של‬
‫‪ ‬מד"ר ‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫הוא הפולינום האינדיציאלי שהוא ריבועי ב‪ . -‬נסמנו‬
‫מתחילים גם כן מ‪0-‬‬
‫∑‬
‫!)‬
‫‪ .‬‬
‫וכו'(‬
‫שני שורשים ממשיים שונים שההפרש ביניהם לא שלם‪ ,‬יתקבלו הפתרונות‪ :‬‬
‫מקרה ספציפי‪ :‬אם ל‪-‬‬
‫∑‬
‫∑‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫קבועים כלשהם )את‬
‫·‬
‫‪ ,‬והפתרון הכללי הוא‪:‬‬
‫·‬
‫עבור‬
‫‪,‬‬
‫מוצאים ע"י נוסחת הנסיגה המתאימה לשורשים שמצאנו(‪.‬‬
‫תרגול ‪:4‬‬
‫דיוקן פאזה של מערכת אוטונומית‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫מערכת אוטונומית‪ :‬מערכת משוואות דיפרנציאליות שאגף ימין שלה אינו תלוי ב‪ ,t-‬למשל‪:‬‬
‫טענה‪ :‬אם‬
‫פתרון למערכת אוטונומית אזי גם‬
‫קו פאזה‪ :‬קו שהפתרון‬
‫פתרון )אם‬
‫‪.‬‬
‫של המערכת‬
‫מצייר במרחב‬
‫פתרון‪ ,‬גם‬
‫)‪1‬‬
‫(;‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪,‬‬
‫)‪2‬‬
‫( וכו'‪.‬‬
‫פתרון(‪.‬‬
‫‪ .‬נשים לב‪ :‬שני קוי פאזה או לא נחתכים‪ ,‬או מתלכדים‪.‬‬
‫עקומת פאזה עבור משוואות ניוטון‪:‬‬
‫‪..‬‬
‫החוק השני של ניוטון‪0 :‬‬
‫‪.‬‬
‫)משוואה אוטונומית(; מכאן‪0 :‬‬
‫‪. ..‬‬
‫‪ .‬נסמן‬
‫‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ -‬הגורם השמאלי הוא האנרגיה הקינטית והימני הוא הפוטנציאלית‪.‬‬
‫האינטגרל הראשון‪:‬‬
‫שרטוט קווי פאזה‪:‬‬
‫•‬
‫עוברים למערכת משוואות מסדר ראשון‪:‬‬
‫הוקטורי‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫לאחר סימון‬
‫‪.‬‬
‫הופך למערכת המשוואות‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ .‬מכאן מתקבל השדה‬
‫‪.‬‬
‫‪ .‬‬
‫•‬
‫מחשבים אינטגרל ראשון‬
‫•‬
‫מוצאים נקודות קריטיות ע"י השוואה ל‪0,0 :0-‬‬
‫‪:‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫ואינטגרציה על גורם זה תתן את התוצאה‪ .‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪,‬‬
‫•‬
‫עבור נקודות קריטיות‬
‫•‬
‫מחשבים נגזרת שניה של‬
‫•‬
‫משרטטים את גרף‬
‫•‬
‫ניתן לדמות את גרף הפונ' כמסילה עליה נוסע כדור‪ .‬תיאור מהירותו ותנועתו על גרף הפונ' מתאימה לקוי הפאזה שנשרטט‪ .‬משרטטים על גרף‬
‫‪,‬‬
‫שהתקבלו‪ ,‬הנקודות הקריטיות של‬
‫‪,‬‬
‫הם‬
‫‪ .‬‬
‫כדי לזהות מינימום‪/‬מקסימום‪ .‬‬
‫( האפשריים בהתאמה למקרים השונים‪ .‬‬
‫‪ ,‬ועליו משרטטים את כל קוי הגובה )שהם האנרגיה הכוללת‬
‫מישור הפאזה את קוי הפאזה המתאימים לכל אחד מהמקרים השונים של ‪ E‬בהתאם לעקרונות הבאים‪ :‬‬
‫)קוי גובה קטנים מהפונ'( אין קוי פאזה‪ .‬‬
‫‪o‬‬
‫כיוון ש‪-‬‬
‫‪o‬‬
‫במקומות בהם יש חיתוך עם נק' קיצון‪ ,‬תהיה במישור הפאזה נקודה סינגולרית בודדת )הכדור עומד במקומו(‪ .‬‬
‫‪o‬‬
‫אז במקומות בהם‬
‫למשל(‪ ,‬יש תנועה מחזורית עם מהירות ‪ 0‬בקצוות ושיא בקיצון )ככל שהאנרגיה‬
‫במקומות בהם יש חיתוך חלק קעור ) כמו‬
‫הפוטנציאלית‪-‬גובהית גדולה יותר‪ ,‬כך הקינטית קטנה יותר ולהיפך(‪ .‬במקרה זה קוי הפאזה מהצורה‬
‫‪o‬‬
‫סימטריה ביחס לציר ה‪ . -‬‬
‫‪.‬‬
‫משוואות מהצורה ‪0‬‬
‫•‬
‫נסמן‬
‫•‬
‫מכאן‪:‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫ומכאן‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪..‬‬
‫·‬
‫·‬
‫‪ .‬‬
‫הוא השדה הוקטורי‪ .‬‬
‫תרגול ‪:5‬‬
‫נגזרות ‪ Lie‬ואינטגרל ראשון‪:‬‬
‫יהי‬
‫וקטור היוצא מנק'‬
‫להגדיר את ההרכבה‬
‫בתחום ‪,U‬‬
‫‪:‬‬
‫‪ :‬ו‪-‬‬
‫‪ :‬עקומה פרמטרית המשאירה את עם מהירות‬
‫כך ש‪-‬‬
‫‪0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ .‬ניתן‬
‫‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫‪4 ‬‬
‫נגזרת כיוונית‪ :‬הנגזרת של פונ'‬
‫יהי ‪ V‬שדה וקטורי ו‪-‬‬
‫בכיוון הוקטור‬
‫∑‬
‫·‬
‫הוא‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫|‬
‫‪.‬‬
‫‪ , :‬אז‪:‬‬
‫נגזרת ‪ Lie‬של ‪ :‬הנגזרת של הפונ' ‪ f‬בכיוון השדה ‪ V‬הוא פונ' חדשה‬
‫‪:‬‬
‫שבכל נקודה‬
‫בכיוון וקטור השדה‬
‫הערך שלה הוא הנגזרת של‬
‫היא נגזרת ‪ Lie‬של ‪.‬‬
‫‪ .‬הפונקציה‬
‫היוצא מ‪: -‬‬
‫האינטגרל הראשון )הגדרה פורמלית(‪ :‬יהי ‪ V‬שדה וקטורי‪,‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ ‬מד"ר ‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ .‬הגדרה שקולה קלה יותר לבדיקה‪:‬‬
‫‪ :‬דיפרנציאבילית‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫היא אינטגרל ראשון של המשוואה‬
‫‪ , :‬כלומר על ‪ ‬‬
‫אינטגרל ראשון אם היא קבועה לאורך כל פתרון‬
‫אם מתקיים‬
‫היא קבועה‪.‬‬
‫מערכת משוואות לינאריות‪:‬‬
‫‪ :‬אופרטור לינארי‪ ,‬ומערכת ‪ n‬משוואות לינאריות הומוגניות מסדר ‪ 1‬עם מקדמים קבועים )בקיצור משוואה לינארית(‪ .‬המשוואה‬
‫יהי‬
‫הלינארית מוגדרת ע"י השדה הוקטורי‬
‫עבור סימון קורדינטות‬
‫‪.‬‬
‫והיא מהצורה‪:‬‬
‫‪,…,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫∑‬
‫ניתן לכתוב את המשוואה בצורת מערכת משוואות‪:‬‬
‫‪ ,1‬כאשר‬
‫לכל‬
‫המטריצה המייצגת של האופרטור ‪ .A‬מט' זו היא המטריצה המייצגת של המערכת‪.‬‬
‫פתרון מערכת מצורה זו‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫עבור תנאי התחלה‬
‫אקספוננט של אופרטור לינארי‪:‬‬
‫·‬
‫פתרון יהיה‪:‬‬
‫∑‬
‫!‬
‫‪.‬‬
‫‪ ,‬כאשר ‪ E‬מט'‪/‬אופרטור יחידה‪.‬‬
‫!‬
‫•‬
‫אם המטריצה של האופרטור הלינארי אלכסונית עם איברי אלכסון‬
‫•‬
‫אופרטור ‪ A‬ניתן ללכסון אם המט' שלו ניתנת ללכסון )אלכסונית בבסיס כלשהו(‪ .‬‬
‫•‬
‫תהי ‪ P‬המט' המלכסנת של ‪ A‬כך ש‪-‬‬
‫מציאת‬
‫‪,…,‬‬
‫הינו גם כן אופרטור לינארי‪.‬‬
‫אז גם המט' של האופרטור‬
‫)‪ D‬אלכסונית(‪ ,‬אזי‪:‬‬
‫‪,…,‬‬
‫אלכסונית עם‬
‫באלכסון‪ .‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪:‬‬
‫תחילה מלכסנים את ‪:A‬‬
‫•‬
‫ואת שורשיו שהם הע"ע של ‪:A‬‬
‫מוצאים פולינום אופייני‬
‫•‬
‫לכל ע"ע‬
‫•‬
‫כעת המטריצה המלכסנת ‪ P‬היא מהצורה‪:‬‬
‫והשוואתה ל‪ .0-‬מכאן נוציא את הו"ע )יתכנו יותר מאחד(‪ .‬‬
‫נמצא ו"ע מתאים ע"י דירוג המטריצה‬
‫|‬
‫…‬
‫…‬
‫…‬
‫|‬
‫‪ . ,…,‬‬
‫|‬
‫|‬
‫‪0‬‬
‫ו‪-‬‬
‫…‬
‫…‬
‫)‬
‫‪0‬‬
‫הו"ע המתאים ל‪ .( -‬מחשבים את‬
‫)למשל בשיטת‬
‫דירוג לצד מטריצת היחידה(‪ .‬‬
‫•‬
‫‪ .‬‬
‫שלב סופי‪:‬‬
‫במקרים אחרים ניתן להסתכל על טור החזקות‬
‫∑ ולנסות למצוא חוקיות לחזקות של ‪.A‬‬
‫!‬
‫אופרטור נילפוטנטי‪ :‬אם עבור )החל מ( חזקה כלשהי הוא מתאפס‪ .‬אם ‪ A‬נילפוטנטי אז הסדרה‬
‫סופית‪.‬‬
‫תכונות אקספוננט‪:‬‬
‫•‬
‫לינאריות‪:‬‬
‫•‬
‫דיפרנציאביליות‪:‬‬
‫·‬
‫‪ .‬‬
‫‪ .‬‬
‫מסקנה )משפט(‪ :‬פתרון המשוואה הלינארית‬
‫‪.‬‬
‫עם תנאי התחלה‬
‫‪0‬‬
‫הוא‬
‫·‬
‫‪.‬‬
‫מציאת קבוצת פתרונות עבור מערכת משוואות‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫להלן תפורט קבוצת הפתרונות הבסיסית‪ ,‬כאשר הפתרון הכללי הוא צירוף לינארי של כולם‪ .‬בהינתן מערכת המשוואות‬
‫•‬
‫אם ל‪ A-‬יש ‪ n‬ע"ע ממשיים ושונים‬
‫•‬
‫כאשר לע"ע כלשהו ריבוי אלגברי גדול מ‪ ,1-‬נסמנו ‪ :d‬‬
‫‪o‬‬
‫‪,…,‬‬
‫עם ו"ע‬
‫‪,…,‬‬
‫‪ ,‬קבוצת הפתרונות הבסיסית היא‪:‬‬
‫אם מס' הו"ע המתאימים לאותו ע"ע )ריבוי גיאומטרי( הינו גם ‪ ,d‬קב' הפתרונות עבור ‪:‬‬
‫‪,…,‬‬
‫‪,…,‬‬
‫כאשר‬
‫‪:‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫‪o‬‬
‫אם מס' הו"ע המתאימים ל‪ -‬הוא‬
‫עבור‬
‫∑‪,…,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫מוצאים ע"י הצבה במשוואה והשוואת מקדמים‪ ,‬למשל עבור‪:‬‬
‫כאשר את‬
‫•‬
‫‪5 ‬‬
‫‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫·‬
‫ומציבים‪:‬‬
‫אם קיים ע"ע מרוכב‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫והמשוואה‬
‫‪ ,‬מסמנים וקטור נעלמים‬
‫‪ .‬מהשוואת מקדמים נמצא את הוקטורים הנ"ל‪ .‬‬
‫‪ :‬‬
‫)שגם הצמוד שלו הוא ע"ע(‪ ,‬נשתמש בנוסחת אויילר לקבלת ‪ 2‬פתרונות ממשיים ב"ת‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬מד"ר ‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,…,‬‬
‫·‬
‫‪,‬‬
‫תרגולים ‪:6,7‬‬
‫לינאריזציה‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫בהינתן משוואה‬
‫המוגדרת ע"י שדה וקטורי ‪ V‬במרחב הפאזה‪ ,‬תהי‬
‫)אחרת‬
‫נקודה קריטית המאפסת את השדה‪ .‬בה"כ ניתן לקחת‬
‫פשוט מזיזים את מע' הקורדינטות(‪ .‬פיתוח השדה סביב נקודה זו לטור טיילור‪ ,‬כאשר הגורם הראשון בו לינארי‪ ,‬והשמטת שאר הגורמים נקראת‬
‫‪.‬‬
‫לינאריזציה‪ :‬המעבר מהמשוואה‬
‫|‬
‫‪.‬‬
‫למערכת חדשה‪:‬‬
‫ו‪-‬‬
‫כאשר‬
‫)נגזרת הרכיב ה‪ i-‬לפי הרכיב ה‪ j-‬בנקודה קריטית(‪ .‬באופן אחר‪:‬‬
‫∑‬
‫·‬
‫הוא יעקוביאן‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫משוואות לינאריות במקדמים קבועים‪:‬‬
‫פתרון כללי של מד"ר הומוגנית מסדר ‪:2‬‬
‫לכל מד"ר לינארית הומוגנית מסדר ‪ 2‬שמקדמיה רציפים באינטרוול ‪) I‬לרוב קבועים( ניתן למצוא בדיוק ‪ 2‬פתרונות ב"ת ב‪I-‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪,‬‬
‫המקיימים‬
‫‪.‬‬
‫‪ .‬זו קבוצה יסודית‪/‬בסיסית של המד"ר‪.‬פתרון כללי למד"ר‪:‬‬
‫וורונסקיאן‪:‬‬
‫‪,…,‬‬
‫יהיו‬
‫‪ n‬פתרונות של מד"ר לינארית הומוגנית בקטע ‪ I‬עם מקדמים רציפים )כאן‪ :‬קבועים(‪ .‬וורונסקיאן‪:‬‬
‫…‬
‫…‬
‫‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,…,‬‬
‫…‬
‫•‬
‫הפתרונות‬
‫•‬
‫לפיכך‪ :‬בהינתן פתרונות למד"ר‪ ,‬ניתןם לבדוק נכונות ע"י הצבה במד"ר‪ ,‬ואי תלות ע"י הצבה בוורונסקיאן ובדיקה שלא מתקבל ‪ 0‬לכל ‪ .t‬‬
‫‪,…,‬‬
‫‪,…,‬‬
‫תלויים לינארית ב‪ I-‬אמ"מ‬
‫‪:‬‬
‫‪ .‬‬
‫פתרון משוואות לינאריות הומוגניות במקדמים ממשיים‪:‬‬
‫בהינתן מד"ר לינארית מסדר ‪ 2‬לא הומוגנית שמקדמיה קבועים וממשיים‪0 :‬‬
‫•‬
‫•‬
‫הפולינום האופייני של המד"ר‪0 :‬‬
‫‪,‬‬
‫‪o‬‬
‫‪o‬‬
‫אם שורש ממשי יחיד‪:‬‬
‫‪o‬‬
‫אם‬
‫)‬
‫)‬
‫)באופן דומה עבור סדר ‪ .(n‬קבוצת הפתרונות הבסיסית נקבעת מהשורשים לפי‪ :‬‬
‫‪,‬‬
‫שורשים ממשיים שונים‪:‬‬
‫אם‬
‫‪,‬‬
‫‪ .‬‬
‫)בריבוי גבוה יותר‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫וכו'(‪ .‬‬
‫( שורשים מרוכבים )צמודים אחד לשני(‪ ,‬לפי נוסחת אויילר‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫הפתרון הכללי‪:‬‬
‫‪ ,( , ,‬אזי‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ .‬‬
‫נקבעים ע"פ תנאי ההתחלה‪ .‬‬
‫משוואות לינאריות לא הומוגניות במקדמים קבועים‪:‬‬
‫בהינתן‪ - :‬משוואה לינארית לא הומוגנית מסדר ‪2‬‬
‫ זוג פתרונות של המשוואה ההומוגנית המתאימה ‪0‬‬‫ פתרון מסויים של המשוואה הלא הומוגנית‪ ,‬נסמנו‬‫הפתרון הכללי של המשוואה הלא הומוגנית הוא‪:‬‬
‫בהינתן‪ - :‬פתרון כלשהו‬
‫‪ -‬פתרון כלשהו‬
‫~‬
‫~‬
‫~‬
‫~‬
‫‪.‬‬
‫של המשוואה‬
‫של המשוואה‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫‪6 ‬‬
‫אז עבור המשוואה‬
‫‪ ‬‬
‫~‬
‫הפתרון יהיה‪:‬‬
‫~‬
‫~‬
‫‪ ‬מד"ר ‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪.‬‬
‫כדי למצוא את הפתרון הפרטי הנדרש למשוואה הלא הומוגנית ע"מ שנוכל לפתור את הנ"ל‪ ,‬נשתמש בשיטת המקדמים הלא ידועים )כשניתן(‪ :‬בהינתן‬
‫ונמצא אותו ע"י השוואת מקדמים‪:‬‬
‫)מקדמים קבועים(‪ ,‬נציב פתרון כללי לפי הצורה של‬
‫‪ ‬‬
‫•‬
‫‪,‬‬
‫)‬
‫‪o‬‬
‫אם‬
‫‪o‬‬
‫אם‬
‫‪o‬‬
‫אם‬
‫‪,‬‬
‫שורשים של הפולינום האופייני(‪ :‬‬
‫~‬
‫‪ :‬מחפשים פתרון מהצורה‬
‫‪,‬‬
‫~‬
‫‪:‬‬
‫~‬
‫‪:‬‬
‫•‬
‫‪ .‬‬
‫פולינום ב‪ -‬מדרגת‬
‫כאשר‬
‫‪ .‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪ :‬‬
‫‪o‬‬
‫אם‬
‫‪o‬‬
‫אם‬
‫‪,‬‬
‫~‬
‫‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫כאשר‬
‫‪ .‬‬
‫~‬
‫)מרוכבים תמיד שונים‪ ,‬צמודים(‪:‬‬
‫)אותו תנאי על (‪ .‬‬
‫יציבות‪:‬‬
‫בהינתן מד"ר הומוגנית מסדר ‪:n‬‬
‫•‬
‫יציבות‪ (stable) :‬אם כל פתרון‬
‫•‬
‫יציבות אסימפטוטית‪ (Strictly stable) :‬אם לכל פתרון של המד"ר‬
‫‪ .‬‬
‫נשאר חסום כאשר ∞‬
‫‪ .‬‬
‫מתקיים‪0 :‬‬
‫במקדמים קבועים נקבל רק יציבות אסימפ' או חוסר יציבות בכלל‪ .‬במקדמים קבועים‪ :‬יציבה אסימפטוטית אמ"מ לכל ע"ע מתקיים ‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ .‬אם‬
‫עבור ע"ע כלשהו‪ ,‬המע' אינה יציבה‪.‬‬
‫קריטריון יציבות של ‪:Routh­Hurwitz‬‬
‫•‬
‫אם הפולינום האופייני מהצורה‪:‬‬
‫•‬
‫אם הפולינום האופייני מהצורה‪:‬‬
‫‪0,‬‬
‫‪ -‬הקריטריון הוא‪0 :‬‬
‫‪ -‬הקריטריון הוא‪:‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪0,‬‬
‫·‬
‫‪ . ,‬‬
‫‪,‬‬
‫הגדרת יציבות עבור מע' אוטונומית כללית‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫תהי ‪ a‬נק' קריטית של מע' אוטונומית‬
‫כך ש‪0-‬‬
‫•‬
‫יציבה‪to :‬לכל ‪0‬‬
‫•‬
‫יציבה אסימפטוטית‪ :‬אם קיים ‪0‬‬
‫•‬
‫יציבה לחלוטין‪ :‬אם היא יציבה ויציבה אסימפטוטית‪ .‬‬
‫קיים ‪0‬‬
‫כך שאם‬
‫|‬
‫‪ .‬אזי הנקודה ‪:a‬‬
‫‪ | 0‬אז‬
‫כלשהו כך שאם‬
‫|‬
‫‪ | 0‬אז ‪0‬‬
‫|‬
‫| ‪0:‬‬
‫‪ .‬‬
‫|‬
‫|‬
‫‪ .‬‬
‫עבור מד"ר אוטונומית מסדר ‪ ,1‬קריטריון פשוט ליציבות אסימפטוטית‪:‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫הנקודה הקריטית ‪ 0‬של המשוואה האוטונומית מסדר ‪:1‬‬
‫‪.‬‬
‫יציבה אסימפטוטית אמ"מ קיים ‪0‬‬
‫כך שאם‬
‫| |‬
‫‪ 0‬אז ‪0‬‬
‫‪.‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫הנקודה הקריטית ‪ 0‬של מע' משוואות אוטונומית לינארית במקדמים קבועים‬
‫יציבה אסימפטוטית אמ"מ לכל ע"ע של ‪ A‬החלק הממשי‬
‫שלילי‪ .‬במקרה זה המערכת גם יציבה לחלוטין‪.‬‬
‫משוואה לינארית מסדר ‪0 2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫ניתנת לכתיבה כ‪-‬‬
‫‪0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .‬לפי קריטריון הורוביץ התנאים ליציבות לחלוטין‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫תנאים ליציבות מד"ר‪:‬‬
‫תהי משוואה לינארית הומוגנית כלשהי במקדמים קבועים מסדר ‪ ,n‬ובה"כ יש לה ‪ k‬שורשים אופייניים‬
‫הפתרונות‪, … :‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,…,‬‬
‫כאשר כל אחד תורם לקבוצת‬
‫‪ .‬קריטריונים ליציבות אך לא לחלוטין‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫•‬
‫‪7 ‬‬
‫‪ .‬אם כל השורשים מקיימים ‪0‬‬
‫כל השורשים מקיימים ‪0‬‬
‫לחלוטין‪ .‬אם ‪0‬‬
‫‪ ‬מד"ר ‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫אז הפתרונות הללו דועכים ל‪ 0-‬כאשר ∞‬
‫והפתרון יציב‬
‫הפתרון לא יציב כלל‪ .‬‬
‫•‬
‫קיים לפחות אחד המקיים ‪0‬‬
‫•‬
‫כל שורש המקיים ‪0‬‬
‫‪ .‬‬
‫הינו שורש פשוט )מריבוי ‪ .(1‬‬
‫סוגי נקודות יציבות‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫בהינתן משוואה אוטונומית‬
‫‪,‬‬
‫יהיו‬
‫•‬
‫מקרה ‪0 :1‬‬
‫‪o‬‬
‫‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫שורשי הפולינום‪ ,‬נסמן‪:‬‬
‫‪0, Δ‬‬
‫הפולינום האופייני הוא‪0 :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0,‬‬
‫‪.Δ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ :‬‬
‫‪ :Focal Points‬כאשר‬
‫‪,‬‬
‫הן מתרחקות מהראשית‪ ,‬ואם ‪0‬‬
‫‪o‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ :Nodal Points‬כאשר ‪0‬‬
‫‪0,‬‬
‫‪ Δ‬ו‪0-‬‬
‫הספירלות מכוונות לראשית‪ ,‬אם ‪0‬‬
‫‪ .‬פתרונות המערכת הם ספירלות‪ :‬אם ‪0‬‬
‫אלו עקומות סגורות )כמו מעגלים(‪ .‬‬
‫‪0, Δ‬‬
‫ממשיים בעלי אותו סימן‪ .‬המערכת יציבה כאשר‬
‫ואז‬
‫שליליים‪ .‬עקומת הפאזה מהצורה‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫ פרבולות המשיקות לראשית‪ .‬‬‫‪o‬‬
‫‪0, Δ‬‬
‫‪0 :Saddle Points‬‬
‫‪,‬‬
‫ממשיים בעלי סימן מנוגד‪ .‬עקומת הפאזה‪:‬‬
‫‪ -‬שתי אסימפטוטות והיפרבולות ביניהן‪.‬‬
‫נקודות אוכף תמיד אינן יציבות‪ .‬‬
‫•‬
‫מקרה ‪ :2‬‬
‫‪o‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0,‬‬
‫‪ :Δ‬עקומת הפאזה מורכבת מקוים ישרים דרך הראשית )קונפיגורציית כוכב – או יוצאים מהראשית או נכנסים לראשית(‪.‬‬
‫יציבות‪ :‬לא ברור! ‪ ‬‬
‫‪0,‬‬
‫‪o‬‬
‫‪2 )Δ‬‬
‫ולא יציב כאשר ‪0‬‬
‫(‪ :‬נקבל גם כן ‪ .Nodal Points‬יציב כאשר ‪0‬‬
‫‪ .‬עקומת הפאזה מהצורה‪ :‬‬
‫כאשר החצים פונים החוצה או פנימה‪ .‬‬
‫‪o‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0,‬‬
‫‪ :Δ‬עקומת הפאזה היא קווים מקבילים מהצורה‬
‫ממנו(‪ .‬הראשית נקודה יציבה אך לא לחלוטין אם ‪0‬‬
‫‪o‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ :Δ‬עבור‬
‫‪0‬‬
‫‪.‬‬
‫)קווים מקבילים כאשר החצים פונים לכיוון ציר ה‪ -‬או החוצה‬
‫‪ ,‬ולא יציבה כאשר ‪0‬‬
‫)בכל מקרה ‪0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫נקבל נקודה ‪) Neutrally Stable‬יציבה אך לא אסימפטוטית(‪ ,‬ועבור ‪0‬‬
‫(‪ .‬‬
‫‪..‬‬
‫נקבל חוסר יציבות‪ .‬‬
‫ישנו חומר נוסף שטרם נכלל בסיכום!!!‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫‪8 ‬‬
‫‪ ‬מד"ר ‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫סיכומי הרצאות‪:‬‬
‫משוואות קווזי‪-‬לינאריות )כמעט לינאריות(‪:‬‬
‫משוואות מהצורה‪0 :‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫פתרון של‬
‫‪,‬‬
‫בתחום‬
‫‪,‬‬
‫•‬
‫האם פתרון קיים ‪ ‬‬
‫•‬
‫האם פתרון יחיד ‪ ‬‬
‫•‬
‫מהו תחום ההגדרה המקסימלי‬
‫‪,‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫הוא פונ'‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫)משוואה נורמלית(‪.‬‬
‫‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫)מפורשת או סתומה( כך ש‪-‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫סוגים‪:‬‬
‫תלות ב‪ t-‬בלבד‪ .‬‬
‫)‪ (1‬משוואות מהצורה‬
‫משפט ‪:Barrow‬‬
‫‪,‬‬
‫תהי‬
‫‪,‬‬
‫אזי‪:‬‬
‫•‬
‫קיים פתרון יחיד‬
‫•‬
‫הפתרון של‬
‫כך ש‪-‬‬
‫למשוואה‬
‫‪,‬‬
‫‪ .‬‬
‫ו‪-‬‬
‫הוא פונ' הנתונה ע"י הנוסחה‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ .‬כל העקומים נמצאים ברצועה בין‬
‫ובכל נקודה עובר‬
‫עקום יחיד בתנאי שהפונ' רציפה‪ .‬‬
‫)תלות ב‪ -‬בלבד‪ ,‬ללא תלות ב‪ .t-‬‬
‫)‪ (2‬משוואות מהצורה‬
‫‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫אינווריאנטית ביחס ל‪ ,t-‬כלומר עבור‬
‫הערה‪:‬‬
‫נקבל אותו דבר‪ .‬מכאן‪ :‬אם ‪ ‬‬
‫)‪ (3‬משוואות לינאריות מסדר ‪0 :1‬‬
‫אם ב‪ -‬‬
‫‪,‬‬
‫מתקיים ‪0 ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ . , ,‬‬
‫‪,‬‬
‫אז מתקבלת משוואה נורמלית‪:‬‬
‫משוואות הומוגניות‪ :‬מקרה פרטי בו ‪0‬‬
‫‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫פתרון אז גם‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪. ,‬‬
‫‪ ln‬ולכן‬
‫‪ .‬שיטת פתרון‪:‬‬
‫‪ .ln‬פתרון כללי‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫הפרדת משתנים‪ :‬מפורט בתרגול‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫פונקציות הומוגניות‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫פונקציה הומוגנית )מסדר ‪ (0‬אם‬
‫‪, , :‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ .‬פתרון ע"י ההצבה‬
‫‪ ,‬מפורט בתרגול‪.‬‬
‫משוואות לינאריות‪:‬‬
‫משוואה לינארית‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫פונקציה לינארית ביחס ל‪: -‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪ ,‬כאשר המשוואה היא‪:‬‬
‫משוואה לינארית הומוגנית‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ ,‬כלומר משוואה מהצורה ‪0‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪ .‬‬
‫ו‪.(0-‬‬
‫)פתרון זו מורכב משני פתרונות‪:‬‬
‫שיטת גורם אינטגרציה‪) :‬השלישי בטבלה בתרגול ‪(1‬‬
‫עבור המשוואה‪:‬‬
‫פתרון‪ :‬מחפשים פתרון מהצורה‪:‬‬
‫‪ .‬יהי‬
‫פתרון למשוואה ההומוגנית‪ ,‬כלומר‪0 :‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫המשך הפתרון – מפורט בתרגול‪.‬‬
‫משוואות מדוייקות‪ :‬שיטה מלאה מפורטת בתרגול‪.‬‬
‫תבנית דיפרנציאלית ‪ :‬עבור‬
‫טענה‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫מדוייקת אם קיימת פונקציה‬
‫הביטוי‬
‫‪,‬‬
‫כך ש‪-‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ ,‬ותחום ההגדרה שלו הוא חיתוך תחומי ההגדרה של ‪ M‬ו‪.N-‬‬
‫‪.‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫נניח התחום של‬
‫שנסמנו‬
‫הוא פשט קשיר )בין כל ‪ 2‬נק' בתחום ניתן להעביר עקום לאו דווקא ישר( ופתוח‪ .‬אזי‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫‪9 ‬‬
‫•‬
‫אמ"מ ‪0‬‬
‫לכל מסילה סגורה‬
‫•‬
‫אמ"מ‬
‫לכל ‪ . ,‬‬
‫‪,‬‬
‫דיפרנציאל‪ :‬של פונ'‬
‫‪,‬‬
‫בנקודה‬
‫אינטגרל מסויים‪:‬‬
‫‪ ‬מד"ר ‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪.‬‬
‫הוא‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫אינטגרל מסילתי )קווי(‪ :‬עבור‬
‫‪ .‬בהינתן תבנית דיפרנציאלית‬
‫הוא‬
‫ועקום מכוון מתקבל מספר שסימונו‬
‫כאשר‬
‫המסילה‪.‬‬
‫פרמטריזציה של עקומים‪:‬‬
‫בהינתן עקום ‪ b‬פרמטריזציה היא פונ' של משתנה אחד כך ש‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫‪,‬‬
‫לכל‬
‫‪ .‬‬
‫למעט מספר סופי של נקודות‪ ,‬בכל נקודה של ‪ b‬היא חח"ע‪ .‬‬
‫משפט הפונקציה הסתומה‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫נניח כי‪:‬‬
‫•‬
‫‪,‬‬
‫•‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫ו‪0-‬‬
‫‪,‬‬
‫בקטע‬
‫‪ ,‬אז‪ :‬קיימת פונ' יחידה‬
‫‪,‬‬
‫כך ש‪ :‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫משוואה מדוייקת‪:‬‬
‫תהי‬
‫‪,‬‬
‫פונקציה סתומה‪:‬‬
‫בתחום‬
‫הערה‪ :‬בהינתן פונ' סתומה‬
‫‪ ,‬המשוואה ‪0‬‬
‫‪,‬‬
‫ופתרון משוואה מדוייקת הוא פונ' סתומה‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫היא מדוייקת‪ .‬המשוואה תכתב‪0 :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫פירוש גיאומטרי של משוואה מסדר ראשון‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫בהינתן‬
‫‪ ,‬השיפוע בנקודה‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫הוא כמובן‬
‫‪ .‬בודקים את היחס בין שיפוע זה לוקטור המיקום שהוא ‪ ,‬ואז מתקבל תיאור כללי של‬
‫השיפוע בכל נקודה‪.‬‬
‫קיום ויחידות פתרונות לבעיות התחלה‪:‬‬
‫בהינתן משוואה עם תנאי התחלה‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫)‬
‫תנאי התחלה(‪ .‬נתעניין האם קיימת‬
‫המקיימת את הנתונים‪ ,‬האם היא יחידה והאם ישנה‬
‫תלות בתנאי ההתחלה )כלומר‪ ,‬אם היה פתרון יחיד לתנאי ההתחלה‪ ,‬האם בשינוי תנאי ההתחלה יתקבל פתרון אחר(‪ .‬פתרון הינו קו אינטגרלי המוגדר‬
‫ע"י פונ' הפתרון ‪.‬‬
‫משפט ‪:Peano‬‬
‫תהי‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫חסומה ורציפה בתחום ‪ ,G‬ונניח‬
‫הערה‪ :‬בדוגמא‬
‫)בפנים התחום ‪;G‬‬
‫\‬
‫(‪ ,‬אזי‪ :‬קיים לפחות קו אינטגרלי אחד העובר דרך‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫ניתן לראות מדוע אין יחידות‪.‬‬
‫משפט ‪:Picard‬‬
‫כאשר ‪ U‬הוא סביבה של‬
‫‪,‬‬
‫תהי‬
‫‪,‬‬
‫‪ ,‬אזי‪ :‬קיימת סביבה‬
‫כך שלמשוואה‬
‫‪,‬‬
‫קיים פתרון יחיד‬
‫המקיים‬
‫קרוב ל‪ . -‬‬
‫לכל‬
‫העתקות מכווצות – ‪:Contraction Mappings‬‬
‫מרחב מטרי‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫כאשר ‪ M‬קבוצת איברים ו‪-‬‬
‫‪ :‬פונ' )מרחק( בעלת התכונות‪:‬‬
‫מטריקה‪:‬‬
‫•‬
‫אי שלילית‪0 :‬‬
‫•‬
‫סימטרית‪:‬‬
‫‪. :‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪0‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫•‬
‫‪,‬‬
‫אשמ"ש‪:‬‬
‫‪10 ‬‬
‫‪,‬‬
‫סדרת ‪ :Couchy‬סדרה‬
‫‪,‬‬
‫במרחב מטרי‬
‫‪ ‬‬
‫‪ . , ,‬‬
‫לכל‬
‫‪,‬‬
‫‪ ‬מד"ר ‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪,‬‬
‫נקראת סדרת קושי‪/‬יסודית אם ‪0‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪:‬‬
‫‪ ,lim‬ובמילים אחרות‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫כל סדרת קושי ב‪ -‬מתכנסת עם המטריקה הרגילה |‬
‫‪,‬‬
‫מרחב מטרי שלם‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫‪: lim‬‬
‫מרחב מטרי שלם אם כל סדרת קושי ב‪ M-‬מתכנסת לאיבר ב‪:M-‬‬
‫‪,‬‬
‫העתקה מכווצת‪ :‬יהי‬
‫|‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ :‬העתקה‪ A .‬תהיה העתקה מכווצת אם קיים ‪1‬‬
‫מרחב מטרי )לא בהכרח שלם(‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ 0‬כך ש‪:‬‬
‫‪ .‬אם העתקה מכווצת אז היא רציפה‪.‬‬
‫נקודת שבת‪ :‬תהי ‪ M‬קבוצה ו‪ A-‬העתקה‪ .‬הנקודה‬
‫‪.‬‬
‫תהיה נקודת שבת אם‬
‫משפט‪:‬‬
‫יהי‬
‫•‬
‫‪,‬‬
‫‪ :‬העתקה מכווצת‪ ,‬אזי‪:‬‬
‫מרחב מטרי שלם‪,‬‬
‫קיימת ל‪ A-‬נקודת שבת‪ .‬‬
‫• נקודה זו יחידה‪ .‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫יהי‬
‫‪,…:‬‬
‫‪ ,‬נגדיר עבורו את הסדרה‬
‫‪.1‬‬
‫הוכחה כי‬
‫היא סדרת קושי‪:‬‬
‫יהי‬
‫‪,‬‬
‫·‬
‫‪ ,‬אזי‪:‬‬
‫‪. ,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫כלשהו‪ .‬רוצים להראות כי ‪0‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ ,‬וזאת כיוון ש‪ A-‬העתקה מכווצת עם מקדם ‪ .‬יהי ‪ n‬ויהי‬
‫‪:lim‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫עבור ‪k‬‬
‫‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪· lim 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫אשמ"ש‬
‫‪lim‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫אשמ"ש‬
‫‪1‬‬
‫‪lim‬‬
‫·‬
‫‪.2‬‬
‫‪ M‬מרחב שלם ולכן‬
‫‪.3‬‬
‫‪ X‬נקודת שבת של ‪:A‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪ .lim‬יהי‬
‫‪lim‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪ .‬‬
‫אם ‪ A‬מכווצת היא רציפה‪ ,‬ולכן מותר להכניס את ה‪ A-‬לתוך הגבול ולקבל‪:‬‬
‫‪.4‬‬
‫ולכן ‪ X‬נקודת שבת של ‪.A‬‬
‫‪lim‬‬
‫יחידות נקודת השבת‪ :‬‬
‫נניח קיימת‬
‫‪ ,‬אז‪:‬‬
‫כך ש‪-‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫לכל ‪ n‬כי‬
‫‪0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ,‬נקודות שבת‪ .‬מכאן‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪,‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪,‬‬
‫מכווצת‬
‫‪,‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ ‬‬
‫עבור‬
‫‪,‬‬
‫יהיה פתרון‬
‫בקטע )פתוח או סגור(‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫אם‬
‫לכל‬
‫‪,‬‬
‫‪ ,‬ובאופן שקול‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫תנאי ההתחלה מתבטא בתוספת‬
‫‪,‬‬
‫העתקת ‪:Picard‬‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫ובגבול התחתון של האינטגרל‪ ,‬כך ש‪-‬‬
‫הוא פתרון למשוואה‬
‫‪,‬‬
‫‪ ,‬כלומר‬
‫‪.‬‬
‫‪. :‬‬
‫נקודת שבת של ‪.A‬‬
‫תנאי ליפשיץ‪:‬‬
‫יהיו‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫שני מרחבים מטריים‪ A ,‬העתקה המקיימת‪:‬‬
‫‪ , :‬אז ‪ A‬מקיימת תנאי ליפשיץ אם קיים ‪0‬‬
‫כך ש‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫‪11 ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ ‬‬
‫·‬
‫‪ ‬מד"ר ‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪,‬‬
‫מושגי טופולוגיה‪:‬‬
‫כדור‪ :‬כדור ברדיוס ‪0‬‬
‫עם מרכז בנקודה‬
‫‪,‬‬
‫‪ ,‬ו‪-‬‬
‫•‬
‫כדור פתוח‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫|‬
‫‪,‬‬
‫‪ ‬‬
‫•‬
‫כדור סגור‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫|‬
‫‪,‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪,‬‬
‫קבוצה פתוחה‪ U :‬קבוצה פתוחה ב‪-‬‬
‫קבוצה סגורה‪ V :‬קבוצה סגורה ב‪-‬‬
‫•‬
‫•‬
‫‪ V‬חסומה‪ ,‬כלומר קיימים ‪0‬‬
‫אם‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫אם‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫כך ש‪:‬‬
‫‪ .‬‬
‫קבוצה קמורה‪ :‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי )לא בהכרח ממימד סופי(‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫לכל ‪1‬‬
‫מקיים‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫כך ש‪-‬‬
‫)‪ B‬כדור פתוח(‪.‬‬
‫)המשלים‪ ( \ :‬הוא קבוצה פתוחה‪.‬‬
‫קבוצה קומפקטית‪ V :‬קבוצה קומפקטית ב‪-‬‬
‫‪ V‬קבוצה סגורה‪ .‬‬
‫קיים ‪0‬‬
‫אם לכל‬
‫‪,‬‬
‫מרחב מטרי‪:‬‬
‫‪ ,‬הקטע הישר )כל הנקודות על הקטע(‬
‫קבוצה‪ G .‬קבוצה קמורה אם לכל‬
‫‪.0‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪ ,‬אז‪ f :‬מקיימת תנאי ליפשיץ ב‪ G-‬עם קבוע‬
‫)נגזרות חלקיות רציפות( בקבוצה קמורה‬
‫נניח‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫– גרדיאנט‪ ,‬ומתקיים‪:‬‬
‫‪max‬‬
‫כאשר‬
‫‪.‬‬
‫הערה‪ :‬בד"כ המשפט הוא עם ‪ sup‬ולא עם ‪.max‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫נחבר את הנקודות‬
‫‪ ‬כיוון ש‪1 -‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫בקטע הישר‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫‪0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫·‬
‫‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .‬מתקיים‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ ­ 0‬‬
‫·‬
‫‪,‬‬
‫·‬
‫·‬
‫‪.‬‬
‫|‬
‫‪,‬‬
‫|‬
‫·‬
‫‪.‬‬
‫|‬
‫אשמ"ש‬
‫קושי שוורץ‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫|‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪max‬‬
‫משפט הקיום והיחידות‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫‪, ,‬‬
‫‪,‬‬
‫•‬
‫קיים‪ .‬‬
‫•‬
‫יחיד‪ .‬‬
‫•‬
‫עבור‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ ,‬אזי הפתרון‬
‫‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫אז‬
‫פתרון לבעיית ההתחלה‬
‫)רציפה ביחס ל‪ .( -‬‬
‫פתרון אמ"מ היא נקודת שבת להעתקת פיקרד‪.‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪ :‬העתקה מכווצת אזי קיימת נקודת שבת יחידה (כאשר העתקה מכווצת מקיימת‪1 :‬‬
‫אם‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫(‪.‬‬
‫משפט ‪:Picard­Lindelöf‬‬
‫יהי‬
‫|‬
‫|‪,‬‬
‫‪max | | ,‬‬
‫•‬
‫קיימת פונקציה‬
‫|‬
‫||‬
‫‪,‬‬
‫גליל )מלבן ב‪-‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ f ,‬מקיימת תנאי ליפשיץ לפי ‪| :‬‬
‫יחידה מוגדרת בקטע‬
‫|‬
‫‪,‬‬
‫|‬
‫(‪ .‬ממשפט היחידות ב‪-‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫המקיימת‬
‫‪,‬‬
‫|‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫לכל‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫עובר קו אינטגרלי יחיד‪ .‬תבי‬
‫‪min‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ ,‬אזי‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫•‬
‫‪12 ‬‬
‫·‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫|‬
‫לכל‬
‫!‬
‫‪ ‬‬
‫| כאשר‬
‫‪ ‬מד"ר ‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫)‬
‫‪,‬‬
‫הוא קירוב פיקרד(‪ .‬‬
‫הערה‪ :‬תהליך פיקרד לא תמיד מתכנס‪ ,‬יתכן ויתקבלו כמה תתי סדרות‪.‬‬
‫הרחבה של פתרונות‪:‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫תהי‬
‫‪,‬‬
‫כאשר ‪ V‬תחום קומפקטי )סגור וחסום(‪,‬‬
‫‪ ,‬אזי‪ :‬את הקו האינטגרלי העובר דרך‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫ניתן להרחיב עד השפה‬
‫מערכות משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ‪:1‬‬
‫נתונה מערכת מד"ר‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫בעיית התחלה‪:‬‬
‫‪,…,‬‬
‫‪,‬‬
‫… ; סימונים‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ -‬בו נמצא הקו האינטגרלי‪ .‬המערכת תייוצג כך‪:‬‬
‫)הכולל זמן( הוא‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪,…,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,…,‬‬
‫‪ , :‬כלומר המרחב הפאזי הוא‬
‫‪ ,‬והמרחב הפאזי המורחב‬
‫‪.‬‬
‫‪ . :‬‬
‫כאשר‬
‫‪ .‬‬
‫כל משוואה מסדר ‪ n‬ניתנת ע"י סימונים להעברה למערכת של ‪ n‬משוואות‪.‬‬
‫מערכות אוטונומיות‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫צורה‪ :‬מערכות מהצורה‬
‫)ללא תלות ב‪,(t-‬‬
‫‪, :‬‬
‫‪) :‬‬
‫‪,…,‬‬
‫‪,‬‬
‫(‪,‬‬
‫‪ -‬כלומר כל הנגזרות החלקיות‬
‫הן פונ' רציפות )מטריצת יעקובי רציפה(‪.‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫יהי‬
‫פתרון למשוואה אוטונומית‬
‫‪ ,‬נבנה פונקציה חדשה )הזזה(‪:‬‬
‫·‬
‫הוכחה‪ :‬כלל השרשרת‪:‬‬
‫‪ ,‬אזי היא גם פתרון‪.‬‬
‫אינה תלויה ב‪ .t-‬סה"כ אין השפעה על הזזה בקבוע כי הנגזרת נשארת זהה‪.‬‬
‫; כמו כן‬
‫)ואז ‪1‬‬
‫כל מערכת לא אוטונומית ניתנת לרישום בצורה אוטונומית ע"י הגדרת‬
‫(‪ .‬הקו הפאזי של המערכת החדשה הוא קו אינטגרלי‬
‫של המערכת המקורית‪.‬‬
‫‪ F‬שדה וקטורי‪ :‬בכל נקודה במרחב‬
‫‪,…,‬‬
‫נתון וקטור עם הקורדינטות‬
‫נקודה קריטית‪ c :‬תהיה נקודה קריטית‪/‬סינגולרית לשדה ‪ F‬אם‬
‫מרחב פאזה‪ :‬תחום ההגדרה של ‪:F‬‬
‫‪ ,‬כלומר‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫מרחב פאזה של‬
‫‪.‬‬
‫הוא מרחב פאזה מורחב של ‪ – F‬כאשר מוסיפים מקום ל‪.t-‬‬
‫מרחב פאזה מורחב‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫קו אינטגרלי‪ :‬פתרון של‬
‫‪ -‬קו ב‪-‬‬
‫קו פאזי‪ :‬התמונה של הקו האינטגרלי‪ .‬עבור‬
‫ כי הפתרון הוא פונ' של ‪.t‬‬‫‪.‬‬
‫פתרון‪ ,‬הקו‪/‬עקום פאזי של המערכת הוא‬
‫משפט‪:‬‬
‫לכל‬
‫נסמן‬
‫‪:‬‬
‫‪ , ‬ויהי‬
‫הפונקציה‪:‬‬
‫פתרון ל‪-‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ ,‬אזי‬
‫גם פתרון‪ ,‬כלומר הפתרון אינו תלוי ‪ .t‬למעשה כל‬
‫הקווים המקבילים הם פתרון )עבור ‪ t‬המוגד לכל (‪.‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫דרך כל נקודה במרחב פאזה לא עובר יותר מקו פאזה אחד‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫נניח ישנם שני פתרונות‬
‫פתרון‪ ,‬אבל‬
‫‪ , ,‬אז קיימים‬
‫‪ ,‬כך ש‪-‬‬
‫ אותו תנאי התחלה שכן‬‫)בגלל שהתחום הוא כל‬
‫ו‪-‬‬
‫‪ .‬לפי המשפט הקודם‬
‫‪ .‬לפי משפט היחידות‪:‬‬
‫התמונות שוות(‪ ,‬ולכן‬
‫הוא גם‬
‫אבל אז‬
‫‪ -‬סתירה‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫‪13 ‬‬
‫‪ ‬מד"ר ‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫לקו פאזה ‪ 3‬אפשרויות‪:‬‬
‫•‬
‫נקודה בודדת – נקודת שבת של המערכת‪ .‬‬
‫•‬
‫קו סגור )שקול למעגל( ללא נקודות חיתוך עצמיות‪ ,‬כמו ‪ .‬‬
‫•‬
‫ללא נקודות חיתוך עצמי כלל‪ ,‬כמו ספירלה למשל )ולא כמו ∞(‪ .‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫תהי‬
‫‪.‬‬
‫פתרון של‬
‫•‬
‫תחום ההגדרה של‬
‫•‬
‫‪ Φ‬מחזורית עם מחזור‬
‫•‬
‫בקטע‬
‫‪ .‬‬
‫‪ ,‬כלומר ‪ Φ‬הרחבה של ‪ .‬‬
‫פונקציה ב‪ T , -‬ו‪ S-‬מחזורים של ‪ ,f‬אזי‬
‫טענה‪ :‬תהי ‪ P‬קבוצת כל המחזורים של‬
‫גם כן מחזור של ‪.f‬‬
‫פונ' רציפה‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪lim‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫כך ש‪-‬‬
‫‪ Φ‬הוא כל ‪ .‬‬
‫‪ Φ‬לכל‬
‫טענה‪ :‬תהי‬
‫‪,‬‬
‫בעל התכונה שקיימים ‪,‬‬
‫‪ -‬כלומר יש חיתוך עצמי‪ .‬אזי קיימת ‪ Φ‬כך ש‪:‬‬
‫|‬
‫‪ ,‬ותהי‬
‫‪.lim‬‬
‫סדרה מתכנסת‪ ,‬אזי‪:‬‬
‫‪lim‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫קבוצה סגורה ביחס ל‪"-‬‬
‫תהי‬
‫או ‪0‬‬
‫" וסגורה‪ ,‬אזי‪:‬‬
‫או קיים‬
‫‪ ,‬כלומר … ‪, 2 ,‬‬
‫כך ש‪-‬‬
‫‪0,‬‬
‫‪.‬‬
‫אינטגרל ראשון‪:‬‬
‫נגזרת של פונקציה לפי וקטור‬
‫‪,‬‬
‫יהיו‬
‫‪:‬‬
‫‪,…,‬‬
‫‪, :‬‬
‫‪,‬‬
‫כאשר ‪ F‬שדה וקטורי ב‪.U-‬‬
‫‪,…,‬‬
‫עובר דרך וקטור ‪,F‬‬
‫הישר‬
‫‪,‬‬
‫‪ ‬‬
‫פונקציה של ‪ ,s‬הנגזרת של ‪ H‬לפי‬
‫·‬
‫‪,‬‬
‫·‬
‫זו הנגזרת לפי ‪ – F‬כמו הנגזרת הכיוונית לפי ‪ F‬רק לא מנורמלת )מוכפלת ב‪-‬‬
‫‪:‬‬
‫|‬
‫|‬
‫‪ .‬‬
‫|‬
‫(‪.‬‬
‫אינטגרל ראשון‪:‬‬
‫‪ :‬הוא אינטגרל ראשון של המשוואה )הרב מימדית = מערכת משוואות(‬
‫תחום‪,‬‬
‫יהי‬
‫‪.‬‬
‫‪:‬‬
‫היא נגזרת לפי שדה ‪ H ,F‬פונקציה של ‪,‬‬
‫אם ‪0‬‬
‫בכל ‪ ,U‬כאשר‬
‫‪.‬‬
‫תכונות‪:‬‬
‫•‬
‫אדיטיביות‪:‬‬
‫•‬
‫כלל לייבניץ‪:‬‬
‫•‬
‫סכום שדות‪:‬‬
‫•‬
‫כפל שדה בפונ'‪:‬‬
‫‪ .‬‬
‫·‬
‫‪ .‬‬
‫·‬
‫הוא שדה חדש‪ .‬‬
‫‪ ,‬כאשר‬
‫·‬
‫וקטור‬
‫‪ .‬שדות וקטורים מהווים מודול מעל חוג‪/‬אלגברה‬
‫)פונקציות(‪ .‬מכאן‪:‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪,‬‬
‫מספר‬
‫משפט‪:‬‬
‫•‬
‫‪0‬‬
‫אמ"מ‬
‫•‬
‫‪0‬‬
‫אמ"מ כל קו פאזה שייך לאחד )בלבד( ממשטחי גובה של ‪ ,H‬כאשר משטח גובה עבור‬
‫לכל פתרון‬
‫‪ .‬‬
‫המתאים ל‪ c-‬הוא‬
‫)המקור של ‪ c‬לפי‬
‫‪ H‬ב‪ .(U-‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫•‬
‫‪ :‬נתון כי ‪0‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .‬מהנתון עולה כי הנגזרת של‬
‫לפי ‪ t‬היא ‪ 0‬ולכן‬
‫קבועה‪ .‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫‪14 ‬‬
‫‪ ‬מד"ר ‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ :‬כיוון זה זהה‪.‬‬
‫•‬
‫הוא קו פאזה‪,‬‬
‫‪0‬‬
‫אמ"מ לאורך קו פאזה ‪ H‬קבועה‪ ,‬ולפי הנ"ל‬
‫פתרון – לפי הנ"ל ידוע ש‪-‬‬
‫אמ"מ‬
‫‪ ‬‬
‫‪.‬‬
‫משוואות קונסרבטיביות מדרגת חופש אחת‪:‬‬
‫‪..‬‬
‫משוואת ניוטון‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫"שדה כוחות"‪ .‬כתיבה כמע' משוואות‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫•‬
‫אנרגיה קינטית‪:‬‬
‫•‬
‫אנרגיה פוטנציאלית‪ :‬תלויה במיקום‪ ,‬פונ' קדומה של ‪:T‬‬
‫•‬
‫‪.‬‬
‫‪ .‬נגדיר למערכת ‪ 3‬פונקציות‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪,‬‬
‫פונקציית ‪:Hamilton‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ H‬היא אינטגרל ראשון של‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫·‬
‫‪0 ‬‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫‪,‬‬
‫·‬
‫;‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪ E ,‬קבוע )אנרגיה(‪ ,‬אזי‪ :‬קו פאזה )קו גובה( ‪ E‬הוא עקום חלק בסביבה של כל נקודה רגילה‪ ,‬כלומר נקודה שאינה קריטית‬
‫נסמן‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫)נקודה קריטית‬
‫‪,‬‬
‫מקיימת ‪0‬‬
‫‪ ,‬כלומר במקרה זה עבור‬
‫‪0:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0,‬‬
‫(‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫‪0‬‬
‫כלשהי של‬
‫בסביבה של‬
‫‪,‬‬
‫‪ .‬לפי משפט הפונ' הסתומה‪ :‬אם ‪0‬‬
‫ולכן אם ‪0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫הוכחנו‪ .‬אם ‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫אז בהכרח ‪0‬‬
‫כי הנקודה אינה קריטית‪ ,‬ובמקרה זה‪:‬‬
‫כך ש‪0-‬‬
‫ ומכאן גם בנקודה זו קיימת פונ' גזירה‬‫‪,‬‬
‫נקודה קריטית‪:‬‬
‫תהיה נקודה קריטית אם ‪0 ‬‬
‫‪,‬‬
‫גזירה כך ש‪0-‬‬
‫אז קיימת פונ'‬
‫‪,‬‬
‫בסביבה‬
‫וזה אמ"מ‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫נק' קריטית ל‪) H-‬כלומר ‪0‬‬
‫בסביבה מסויימת של‬
‫או ‪0‬‬
‫( כאשר ‪ H‬הוא‬
‫פונ' המילטון – אינטגרל ראשון‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫ערך קריטי‪ E :‬ערך קריטי של ‪ H‬אם‬
‫‪,‬‬
‫)ערך הפונ' בנקודה הקריטית בה ‪0‬‬
‫(‪.‬‬
‫קווי פאזה סביב נקודה קריטית‪:‬‬
‫נקודה קריטית‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫למת ‪:Morse‬‬
‫תהי ‪ u‬פונ' בעלת התכונות‪0 (1) :‬‬
‫כך ש‪-‬‬
‫קיימת קור'‬
‫‪0‬‬
‫·‬
‫‪0 (2) ,‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫)נקודה קריטית לא מנוונת‪ ,‬כלומר מינימום או מקסימום‪ ,‬לא אוכף(‪ ,‬אזי‪:‬‬
‫)נשים לב כי‬
‫(‪.‬‬
‫היא פונ' גזירה‪ ,‬הפיכה והפונ' ההופכית שלה גם גזירה – כלומר היא דיפיאומורפיזם‪.‬‬
‫למת ‪:Hadamard‬‬
‫נניח‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫סביב ‪ 0‬ומקיימת ‪0‬‬
‫·‬
‫‪0‬‬
‫‪ ,‬אזי‪ :‬קיימת‬
‫סביב ‪ 0‬כך ש‪-‬‬
‫·‬
‫‪.‬‬
‫·‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫‪15 ‬‬
‫‪ ‬מד"ר ‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫פונ' הפוטנציאל חסומה מלמטה‪ ,‬כלומר‬
‫נניח כי‬
‫‪..‬‬
‫לכל ‪ ,‬אז ניתן להמשיך כל פתרון של‬
‫לכל ציר ‪) t‬כי‬
‫(‪.‬‬
‫מערכות לינאריות‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫לינאריזציה‪ :‬המשוואה )מע' המשוואות( ·‬
‫‪.‬‬
‫נראת לינאריזציה של‬
‫סביב נקודה‬
‫כאשר‬
‫|‬
‫היא‬
‫‪,‬‬
‫מט' יעקובי של ‪.F‬‬
‫‪max‬‬
‫נורמה של אופרטור‪:‬‬
‫‪∑,‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪sup‬‬
‫‪sup‬‬
‫‪,‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪ , :‬שהוא מרחב וקטורי‪ ,‬אזי‬
‫תהי ‪ L‬קבוצת כל האופרטורים‬
‫· ‪,‬‬
‫הוא מרחב מטרי שלם‪ ,‬כאשר‬
‫‪,‬‬
‫· ו‪ L-‬הוא‬
‫מרחב נורמה )וכל מרחב נורמה הוא מרחב מטרי(‪ .‬לכן‪ ,‬כל סדרת קושי ב‪ L-‬מתכנסת לאיבר ב‪.L-‬‬
‫משפט ‪:Weierstrass‬‬
‫תהי ‪ ‬‬
‫לכל ‪ t‬כאשר‬
‫‪ :‬סדרת פונ' בעלת התכונה‬
‫∑ מתכנס‪,‬‬
‫‪ ,‬אזי‪ :‬אם‬
‫∑ מתכנס בהחלט ובמ"ש‪.‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫∑ מתכנס ו‪-‬‬
‫‪,‬‬
‫נניח‬
‫∑‬
‫∑ מתכנס במ"ש‪ ,‬אזי‪:‬‬
‫∑ ‪.‬‬
‫מסקנות‪:‬‬
‫•‬
‫הטור‬
‫•‬
‫·‬
‫!‬
‫∑‬
‫מתכנס בכל קטע ב‪ -‬בהחלט ובמ"ש‪ .‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪.‬‬
‫•‬
‫·‬
‫הוא פתרון לבעיית ההתחלה‬
‫‪ .‬‬
‫‪0‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫אם ‪ A‬לכסינה ומתקיים‬
‫‪0‬‬
‫אם‬
‫אז‪:‬‬
‫…‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫…‬
‫‪ .‬‬
‫…‬
‫‪.‬‬
‫אז‬
‫‪0‬‬
‫…‬
‫משפט ‪:C. Jordan‬‬
‫‪0‬‬
‫•‬
‫…‬
‫‪0‬‬
‫‪ :‬קיים בסיס כך שהמטריצה של ‪ A‬מקבלת צורה‪:‬‬
‫לכל אופרטור‬
‫…‬
‫של ‪0,1 ,A‬‬
‫•‬
‫‪0‬‬
‫‪ -‬צורת ג'ורדן נורמלית‪ ,‬כאשר‬
‫הם ע"ע‬
‫‪0‬‬
‫‪ .‬‬
‫ניתן להציג כל מטריצה‪/‬אופרטור כסכום‬
‫)מתחלפות(‪ ,‬וכך‪:‬‬
‫ו‪-‬‬
‫כאשר‬
‫·‬
‫מטריצה לכסינה ו‪-‬‬
‫מטריצה נילפוטנטית )מתאפסת החל מחזקה מסויימת(‪,‬‬
‫‪ .‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫אם‬
‫‪ ,‬מתחלפות )‬
‫( אז‬
‫·‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫פתרון ל‪-‬‬
‫‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫‪16 ‬‬
‫‪ ‬מד"ר ‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫כאשר ע"ע שונים‪:‬‬
‫•‬
‫מוצאים משוואה אופיינית של ‪:A‬‬
‫•‬
‫‪ .det‬‬
‫‪ . ,…,‬‬
‫מוצאים את שורשי הפולינום‬
‫•‬
‫•‬
‫‪ . ,…,‬‬
‫מוצאים ו"ע מתאימים‬
‫מציגים את‬
‫‪1‬‬
‫•‬
‫דרך בסיס‬
‫∑‬
‫‪:‬‬
‫)‪0‬‬
‫ולכן‬
‫(‪ .‬‬
‫∑‬
‫הפתרון‪:‬‬
‫‪ .‬‬
‫ע"ע מרוכבים‪ :‬פירוט דרכי פתרון למקרים שונים בתרגול‪.‬‬
‫‪0 1‬‬
‫לשים לב‪ :‬עבור ‪ I‬אופרטור כפל ב‪ , -‬המט' של ‪ I‬בבסיס הסטנדרטי היא‬
‫‪1 0‬‬
‫מכפלה קרטזית של מערכות מד"ר‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪· ,‬‬
‫ומקיימת‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪… 0‬‬
‫…‬
‫לכל מטריצה יש צורה קנונית של ג'ורדן מעל המרוכבים‪:‬‬
‫…‬
‫‪) ‬בלוקים( כאשר‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫… ‪0‬‬
‫‪.‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫היא מכפלה של מערכות‬
‫… והפתרון הוא‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫ע"ע עם ריבוי‪:‬‬
‫‪… 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪,‬‬
‫‪0,‬‬
‫‪.‬‬
‫משוואות‬
‫‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫·‬
‫‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫… ‪0‬‬
‫‪:‬‬
‫‪ :‬ניתן להרחיב את הפתרון עד לקצוות‪.‬‬
‫נניח‬
‫‪.‬‬
‫פתרון של‬
‫‪ ,‬המוגדר לקטע‬
‫‪,‬‬
‫·‬
‫‪ ,‬אזי‪:‬‬
‫‪ ‬כאשר‬
‫‪,‬‬
‫‪max‬‬
‫‪.‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫אם‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫שני פתרונות למשוואה‬
‫הוא פתרון למשוואה ההומוגנית המתאימה לה‪.‬‬
‫אז‬
‫‪.‬‬
‫עד‬
‫משפט‪ :‬ניתן להמשיך את כל הפתרון של בעיית ההתחלה‬
‫‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬ניתן להרחיב כל פתרון של‬
‫‪.‬‬
‫לכל ‪.‬‬
‫מרחב וקטורי של פתרונות‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫יהי ‪ X‬מרחב וקטורי של פתרונות‬
‫‪.‬‬
‫משפט עיקרי של מד"ר ‪:1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ X‬איזומורפי למרחב הפאזה של‬
‫)‬
‫‪.‬‬
‫(‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫מסקנות‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫‪ dim‬‬
‫‪:‬‬
‫האופרטור‬
‫הוא איזומורפיזם )מ‪-‬‬
‫(‪ .‬‬
‫ל‪ X-‬ומ‪ X-‬ל‪-‬‬
‫הערה‪ :‬כל מערכת עם ‪ n‬וקטורים במרחב וקטורי ממימד ‪ n‬מהווה בסיס )אורתוגונליים אחד לשני(‪.‬‬
‫וורונסקיאן‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫יהיו‬
‫‪,‬‬
‫‪ ,‬אזי הפונ' וורונסקיאן‬
‫‪,‬‬
‫‪:‬‬
‫…‬
‫…‬
‫מוגדרת‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫…‬
‫נניח‬
‫)‬
‫משפט‪ :‬אם לכל‬
‫‪ (1‬פתרונות ל‪-‬‬
‫‪,‬‬
‫מתקיים ‪0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ W .‬היא הוורונסקיאן של המערכת‬
‫אזי‬
‫‪,…,‬‬
‫‪,…,‬‬
‫‪.‬‬
‫פתרונות בת"ל‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫איזומורפיזם בין ‪ X‬ו‪-‬‬
‫‪17 ‬‬
‫‪ ‬מד"ר ‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪:‬‬
‫ואז פונ' האיזו' המסומנת‬
‫; קובעים‬
‫מפורש‪:‬‬
‫איזומורפיזם‪ ,‬בכל נקודה עובר קו אחד ויחיד )האנך‬
‫‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬כל פתרון של‬
‫מוגדרת‪:‬‬
‫‪ .‬לפי משפט הקיום והיחידות‪,‬‬
‫היא‬
‫חותך את מרחב הפתרונות פעם אחת בדיוק בכל נקודה(‪.‬‬
‫הוא צריף לינארי של ‪ n‬פתרונות "יסודיים"‪ .‬כל בסיס ב‪ X-‬נקרא מערכת פתרונות יסודית‪.‬‬
‫עבור‬
‫משוואות‬
‫‪,‬‬
‫‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫יהי ‪ Y‬המרחב הוקטורי של הפתרונות‪ ,‬כאשר‪:‬‬
‫המטריצה המתאימה למערכת‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫…‬
‫…‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫…‬
‫…‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,…,‬‬
‫‪..‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,…,‬‬
‫‪ :‬יהי‬
‫‪.‬‬
‫מערכת יסודית )כלומר פתרונות ל‪-‬‬
‫…‬
‫…‬
‫(‪ .‬ידוע‪0 :‬‬
‫אמ"מ‬
‫…‬
‫‪,‬‬
‫בת"ל‪ ,‬ז"א קיים‬
‫כך ש‪0-‬‬
‫‪.‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪,…,‬‬
‫הפתרונות‬
‫של‬
‫…‬
‫…‬
‫‪.‬‬
‫בת"ל אמ"מ קיים‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫כך ש‪0-‬‬
‫‪ ,‬כאשר‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫…‬
‫מסקנה‪ :‬אם‬
‫בת"ל אבל ‪0‬‬
‫‪,…,‬‬
‫‪ ,‬אזי לא קיימת מד"ר ש‪-‬‬
‫‪,…,‬‬
‫פתרונותיה‪.‬‬
‫מערכות לינאריות לא הומוגניות‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫•‬
‫‪.‬‬
‫•‬
‫פתרון כללי ל‪-‬‬
‫‪:‬‬
‫פתרון כללי ל‪-‬‬
‫‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ,‬כאשר‬
‫∑‬
‫‪.‬‬
‫‪,…,‬‬
‫מערכת יסודית‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪.‬‬
‫∑‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫∑‬
‫‪.‬‬
‫∑‬
‫‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫ומכאן ‪ X‬יהיה פתרון ל‪-‬‬
‫‪.‬‬
‫אמ"מ‬
‫∑‬
‫‪.‬‬
‫משוואות לינאריות‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ a ,‬נקודה המקיימת ‪0‬‬
‫לינאריזציה‪ :‬המשוואה‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫היא לינאריזציה של‬
‫‪.‬‬
‫סביב נקודה קריטית ‪ a‬אם‪:‬‬
‫)מטריצת יעקובי של ‪ F‬ב‪.(a-‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫‪.‬‬
‫משוואות שקולות‪:‬‬
‫‪18 ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ ‬מד"ר ‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ,‬יקראו שקולות אם קיימת מט' הפיכה ‪ P‬כך ש‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬אם המשוואות שקולות‪ ,‬הפולי' האופייניים שווים‪.‬‬
‫מערכות במישור )‬
‫(‪:‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫תהי‬
‫‪.‬‬
‫‪ ,‬אזי המערכת‬
‫מסקנה‪ :‬אם‬
‫אז‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫שקולה ל‪-‬‬
‫‪0‬‬
‫‪det‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫שקולות אמ"מ הפולינומים האופייניים מקיימים‪ :‬‬
‫·‬
‫‪.‬‬
‫יציבות‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫יציבות‪ :‬תהי ‪ a‬נק' קריטית למשוואה אוטונומית‬
‫‪ .‬אזי‪:‬‬
‫•‬
‫יציבה )ליאופונוב(‪ :‬אם לכל ‪0‬‬
‫•‬
‫אטרקטיבית‪ :‬אם קיים ‪0‬‬
‫•‬
‫נקודה יציבה ממש‪ :‬אם שני הסעיפים הנ"ל מתקיימים‪.‬‬
‫קיים ‪0‬‬
‫‪0.‬‬
‫כך ש‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪lim‬‬
‫כך ש‪0 :‬‬
‫‪0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫•‬
‫הנקודה ‪ 0‬אטרקטיבית למשוואה‬
‫‪.‬‬
‫לכל ע"ע של ‪ .A‬‬
‫אמ"מ ‪0‬‬
‫• אם ‪ 0‬נקודה אטרקטיבית‪ ,‬אז היא נקודה יציבה ממש‪ .‬‬
‫מסקנה עבור סדר ‪:2‬‬
‫‪,‬‬
‫עבור‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪:Δ‬‬
‫ניתן להסתכל על הנתונים ‪ Δ, ,‬וכל השאר כדי להסיק מהם על מס' הע"ע השונים‪ ,‬ריבויים וסימנים‪ ,‬ומהם להסיק על יציבות באופן הבא‪:‬‬
‫•‬
‫אם כל הע"ע שליליים )שונים שליליים או אחד שלילי מריבוי ‪ – (2‬יציבות ממש )לחלוטין(‪ ,‬כלומר שאיפה ל‪ 0-‬כש‪∞-‬‬
‫•‬
‫אם יש ערך עצמי אחד לפחות חיובי ממש‪ ,‬אין יציבות בגלל שאיפה לאינסוף כש‪∞-‬‬
‫•‬
‫אם יש ע"ע שלילי וע"ע ‪ 0‬או ע"ע ‪ 0‬מריבוי ‪ – 2‬יש יציבות רגילה‪ ,‬כיוון שהאקספוננט נהיה ‪ ,1‬וכש‪∞-‬‬
‫תמיד להסתכל על צורת הפתרונות‪:‬‬
‫· ‪ -‬ומהם להסיק מה קורה כש‪∞-‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪ .‬‬
‫מקבלים קבוע‪ .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ ‬‬

Similar documents